ÊÎÍÊÓ ÑÅÍ ÒÅÑÒ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ çà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàáëåøêîâ“
27 þëè 2010 ã. Âàðèàíò 1
Êîíêóðñíèÿò òåñò ïî ìàòåìàòèêà çà ïîñòúïâàíå âúâ ÂÒÓ ½Òîäîð Êàáëåøêîâ“ ñå ñúñòîè îò 20 çàäà÷è ñ èçáèðàåì îòãîâîð è 10 çàäà÷è ñúñ ñâîáîäåí îòãîâîð. Âðåìå çà ðàáîòà 150 ìèíóòè.
Çà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è ñ
⊠
å îòáåëÿçàí âåðíèÿò îòãîâîð.
Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 20 çàäà÷è: 4 òî÷êè 1 òî÷êà 0 òî÷êè
• Àêî an =
1 , òî çà êîå n å â ñèëà 0,1 ≤ an ≤ 0,2 ? n2
1
2
• Êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî
x=0
ïðè ïðàâèëåí îòãîâîð ïðè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð ïðè ãðåøåí îòãîâîð
è x=1
⊠3
4
3x + 2 2 2x ñà: = + x x x−1
⊠x=3
x = −2
1
x = −2
è x=0
• Êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî ax2 − 6x + 3 = 0, êúäåòî a å ïàðàìåòúð, ñà ðåàëíè ïðè:
⊠ a ∈ (−∞; 3]
a ∈ [−3; +∞)
a ∈ [3; +∞) 1
a ∈ (−∞; −3]
√ • Íà êîëêî å ðàâíî ïðîèçâåäåíèåòî îò êîðåíèòå íà óðàâíåíèåòî 3x2 −2x− 5 = 0 : √ √ √ √ 5 5 5 ⊠− 3 3 − 5
x+y =3 å â ñèëà: • Çà ðåøåíèåòî (x; y) íà ñèñòåìàòà
xy = −10
x2 + y2 = 21
x2 + y 2 = 9
• åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî
(−∞; 1)
⊠ x2 + y2 = 29
2x − 1 < 1 ñà ÷èñëàòà îò èíòåðâàëà: x+1
⊠ (−1; 2)
(2; +∞)
• Êîé èíòåðâàë ñúäúðæà êîðåí íà óðàâíåíèåòî
(−∞; −5)
1 1
√
0
1
(−1; 2 )
3x2 − 2 = 5 :
⊠ [2; 4)
[− 2 ; 2 )
• Êîå îò ÷èñëàòà å êîðåí íà óðàâíåíèåòî 2x+2 +
⊠ −1
x2 + y2 = −21
[5; +∞)
1 − 4 = 0: 2x
1
4
• åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî lg(2x + 3) < 1 ñà ÷èñëàòà îò èíòåðâàëà:
(−∞; −1)
7
(−∞; 1)
(−∞; 2 )
3 7
⊠ (− 2 ; 2 )
• ×åòâúðòèÿò ÷ëåí íà àðèòìåòè÷íà ïðîãðåñèÿ {an }, íà êîÿòî a2 = 20 è a6 = 8, å ðàâåí íà:
10
⊠ 14
15
17
• Íàé-ìàëêàòà ñòîéíîñò íà óíêöèÿòà y = x2 − 4x + 5, x ∈ [0; 5], å:
0
⊠1
5
10
• Íà êîëêî å ðàâíà ñòîéíîñòòà íà ïðîèçâîäíàòà íà óíêöèÿòà f (x) = 5x3 + x − 2 cos x ïðè x = 0 :
−2
0
⊠1
2
5
π • Àêî cos 2α = p è α ∈ (0; ), òî íà êîëêî å ðàâeí tg α : 2 r 1−p 1+p 1+p 1−p 1+p 1−p
⊠
r
1−p 1+p
•  îñòðîúãúëíèÿ òðèúãúëíèê △ABC å ïðåêàðàíà âèñî÷èíàòà CH êúì ñòðàíàòà AB . Àêî AH = 2, BH = 3 è CH = 4, òî ïåðèìåòúðúò íà △ABC å: √ 15 20 íèêîå îò òåçè ⊠ 10 + 2 5 •  ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê åäèíèÿò êàòåò èìà äúëæèíà 8 è äèàìåòúðúò íà îïèñàíàòà îêðúæíîñò å 10. àäèóñúò íà âïèñàíàòà â òðèúãúëíèêà îêðúæíîñò å:
1
3
⊠2
2
5
2
• Â ïðàâîúãúëíèêà ABCD ñúñ ñòðàíè AB = 7 è BC = 3 ñà ïðåêàðàíè úãëîïîïîëîâÿùèòå íà <) DAB è <) BCD. Íàìåðåòå ðàçñòîÿíèåòî ìåæäó òåçè úãëîïîëîâÿùè. √ √ √ √ 3 2 4 2 5 2 ⊠2 2 • Â △ABC å äàäåíî AB = 12, AC = 7 è <) BAC = 60◦ . Äúëæèíàòà íà ìåäèàíàòà êúì ñòðàíàòà AB å: √ √ 6 127 íèêîå îò òåçè ⊠ 43 • Êîëêî êîðåíà èìà óðàâíåíèåòî cos x =
0
⊠1
1 π â èíòåðâàëà [0; ] : 3 2
2
3
•  êîé êâàäðàíò ëåæè ïðåñå÷íàòà òî÷êà íà ïðàâèòå ñ óðàâíåíèÿ y = 2x è y = x − 1:
ïúðâè
âòîðè
⊠ òðåòè
÷åòâúðòè
•  êóòèÿ èìà 16 ïëîäà ÿáúëêè, êðóøè, ïðàñêîâè è ñëèâè ïî 2 ÷åðâåíè è ïî 2 çåëåíè îò âñåêè òèï. Èçâàäåíè ñà ïîñëåäîâàòåëíî áåç âðúùàíå 2 ïëîäà. Âåðîÿòíîñòòà èçâàäåíèòå ïëîäîâå äà áúäàò åäíà ÷åðâåíà ïðàñêîâà è åäíà çåëåíà êðóøà å: 1
2
1
1
⊠ 30
20
3
1
16
Îöåíÿâàíå íà âñÿêà îò ñëåäâàùèòå 10 çàäà÷è: 6 òî÷êè 0 òî÷êè
ïðè âåðåí îòãîâîð ïðè ãðåøåí èëè íåîòáåëÿçàí îòãîâîð
◮ Ñðåäíîòî àðèòìåòè÷íî íà ÷èñëàòà îò èçâàäêàòà ñ äàííè 1, 3, 1, 5, 7, 1 å: Îòãîâîð:
3
◮ Êîìïþòúð â íà÷àëîòî íà åâðóàðè å ñòðóâàë 1000 ëâ.  êðàÿ íà âñåêè ìåñåö öåíàòà ìó íàìàëÿâà ñ 2% ñïðÿìî öåíàòà â íà÷àëîòî íà ìåñåöà. Êîëêî ëåâà ùå ñòðóâà êîìïþòúðúò â êðàÿ íà ìàðò ñúùàòà ãîäèíà? Îòãîâîð:
960,40 ëâ.
2
x + y2 − 5 = 0 ◮ åøåíèÿòà (x; y) íà ñèñòåìàòà
xy + 2 = 0, Îòãîâîð:
ñà:
(x; y) ∈ {(−1; 2), (1; −2), (−2; 1), (2; −1)}
◮ åøåíèÿòà íà íåðàâåíñòâîòî 54−3x ≤ 1 ñà: Îòãîâîð:
◮ lim x→0
4 x ∈ [ ; +∞) 3
3x = sin 2x
Îòãîâîð:
3 2
◮ Çà êîè ñòîéíîñòè íà x óíêöèÿòà f (x) = 2x3 + 3x2 − 5, x ∈ (−∞; +∞), èìà ëîêàëíè åêñòðåìóìè? Îòãîâîð:
◮ Ëèöåòî íà Îòãîâîð:
x = 0 è x = −1 △ABC ,
â êîéòî AC = 5, BC = 2 è <) ACB = 135◦ , å:
√ 5 2 2
◮ Êàòåòèòå íà ïðàâîúãúëåí òðèúãúëíèê ñà ñ äúëæèíè 5 è 6.  êàêâî îòíîøåíèå âèñî÷èíàòà êúì õèïîòåíóçàòà äåëè õèïîòåíóçàòà? Îòãîâîð:
25 : 36
◮ Ïðàâ êðúãîâ öèëèíäúð èìà ëèöå íà îñíîâàòà 2π è âèñî÷èíà 2. Ïîâúðõíèíàòà íà ñ åðàòà, îïèñàíà îêîëî öèëèíäúðà, å: Îòãîâîð:
12π
◮ Êîëêî ñà ÷åòèðèöè ðåíèòå ÷èñëà, â çàïèñà íà êîèòî ó÷àñòâà âñÿêà îò öè ðèòå 0, 1, 2 è 3 ? Îòãîâîð:
18 4