2011 Химикотехнологичен и металургичен университет - София - Примерен тест

ИНСТРУКЦИЯ за кандидатстудентски конкурс по математика 1. Отговорите и решенията на кандидатстудентската работа по математика (без фигурите) се записват само с помощта на синьо пишещ химикал.

2. Фигурите се чертаят само с черен молив или със синьо пишещ химикал.

3. Препоръчва се при оформяне на фигурите да се използват линия и пергел.

4. Допуска се ползването на справочници по математика, които са одобрени от МОН.

5. Кандидатстудентската писмена работа по математика се състои от 20 тестови задачи и 2 стандартни задачи.

6. Правилен отговор на тестова задача се оценява с 1 точка, а пълно решение на стандартна задача се оценява с 10 точки. Максималният брой точки, които е възможно да се получат при цялостно решаване на кандидатстудентската работа, е 40.

7. При тестова задача се оценява само отговорът. При стандартна задача се оценяват както отговорът, така и решението.

8. Отговорите на тестовите задачи задължително се попълват в таблица, която се намира непосредствено след настоящата инструкция.

9. В таблицата под номера на всяка тестова задача се поставя една от буквите А, Б, В или Г, точно тази, с която е обозначен отговорът, който предпочита кандидатстудентът.

10. Ако буквата, с която е обозначен отговорът на някоя от тестовите задачи, е записана грешно (според кандидатстудента), то е възможна следната корекция: - Грешният (според кандидатстудента) отговор се зачертава със знака „Х”.

- В същата колонка на следващия ред, т.е. под грешния отговор, се нанася буквата, с която е обозначен верният (според кандидатстудента) отговор.

11. Не се оценяват тестови задачи, за които не е посочен отговор или отговорите са повече от един (незачертани).

12. Решенията на стандартните задачи се записват на листове, които са подпечатани и се доставят от изпитната комисия.

13. Листовете, които кандидатстудентът е определил за чернова, се обозначават с помощта на думата „чернова”, която се записва горе по средата на всяка страница.

14. Времетраенето на конкурса е 3 часа.

ОТГОВОРИ

НА

ТЕСТА

Зад. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Отг . Отг .

ПРИМЕРЕН КАНДИДАТСТУДЕНТСКИ КОНКУРС ПО МАТЕМАТИКА ЗА КАНДИДАТСТВАНЕ В ХТМУ А. ТЕСТ Зад. 1

Ако b = 3 a , да се опрости изразът B=

Отг. Зад. 2 Отг. Зад. 3 Отг. Зад. 4 Отг. Зад. 5 Отг. Зад. 6

Отг.

3

9b . a

b.a

−1

6

.

А) B = 1 ; Б) B = a + 3 ; В) B = 3 ; Г) Друг отговор. n Да се намери броят на кубическите милиметри, които са равни на 30% от един кубически сантиметър. А) n = 3 ; Б) n = 30 ; В) n = 300 ; Г) Друг отговор. Да се намери стойността на реалния параметър p , ако числата log 3 2, log 3 p и log 3 8 , взети в този ред, са последователни членове на аритметична прогресия. А) p = 2 ; Б) p = 5 ; В) p = 3 ; Г) Друг отговор. Разликата и сумата на първия и втория член на геометрична прогресия са равни съответно на 8 и 24. Да се намери сумата S5 на първите пет члена на прогресията. А) S5 =16 ; Б) S5 = 31 ; В) S5 = 32 ; Г) Друг отговор. Да се намерят стойностите на реалния параметър q , за които уравнението x 2 + qx + 4 = 0 притежава реални корени. А) q ∈ [ −4; 4] ; Б) q ∈ ( −∞ ; − 4] ∪[ 4; ∞) ; В) q ∈ ( −∞ ; 0] ∪[ 4; ∞) ; Г) Друг отговор. Да се реши неравенството x −1 <0. x +1 А) x ∈ ( 1 ; ∞ ) ; Б) x ∈ ( −∞ ; − 1) ; В) x ∈ ( −1 ;1) ; Г) Друг отговор.

Зад. 7

Дадено е уравнението x 2 − a 2 x + a +1 = 0 , където a е реален параметър. Да се намери сумата x1 + x2 , ако x1 и x2 са корени на уравнението и x1 x2 = 3 .

Отг.

А) x1 + x2 = 4 ; Да се реши системата

Зад. 8

Б) x1 + x2 = 2 ;

В) x1 + x2 = −1 ;

Г) Друг отговор.

x − 3y = 0 2.log3 x = 3.log3 y + 1. Отг. Зад. 9

А) x = 3, y = 1 ;

Отг.

А) ymin = 1 2 ; Б) ymin = 4 ; Да се реши неравенството

Зад.10 Отг.

Б) x = 6, y = 2 ; В) x = 9, y = 3 ; Г) Друг отговор. Да се намери най-малката стойност ymin на функцията y = 2 x +1 в интервала [ 0 ; 2] .

А) x ∈ ( −∞ ; 5 ) ;

Б) x ∈ [ −1 ; 4 ) ;

В) ymin = 1 ;

Г) Друг отговор.

x −1 < 2 .

В) x ∈ ( 0 ; 5 ) ;

Г) Друг отговор.

Зад.11 Отг.

Зад.12

Да се реши уравнението

А) x = π 2 + 2kπ ;

cos x = cos π Б) x = ± π 6 + 2kπ ;

6

.

π + 2kπ ,  3 x = В) ;   2π 3 + 2kπ

Г) Друг отговор.

Да се пресметне стойността на израза  34   41  A = tg  π  .cos  π  .  3   3 

Отг. Зад.13 Отг. Зад.14

Отг. Зад.15 Отг. Зад.16

Отг. Зад.17 Отг. Зад.18

Отг. Зад.19 Отг. Зад.20 Отг.

; Б) A = − 1 2 ; В) A = − 3 ; Г) Друг отговор.

2 2 Сумата от дължините на катетите на правоъгълен триъгълник е 3, а дължината на хипотенузата му е 5 . Да се намери лицето S на триъгълника. А) S = 2 ; Б) S = 1 ; В) S = 2 ; Г) Друг отговор. Даден е триъгълник ABC с дължини на страните AC и BC съответно 2 и 1. Да се намери дължината c на страната AB , ако мярката на ъгъл ACB е корен на уравнението 5 cos 2 x = cos x − 1 .

2 А) c = 3 ; Б) c = 1 ; В) c = 2 ; Г) Друг отговор. В равнобедрен трапец дължините на бедрата и на малката основа са равни на b , а големината на ъгъла при голямата основа е α . Да се намери периметърът P на трапеца. А) P = 2b ( 2 + sin α ) ; Б) P = 2b ( 1 + cos 2α ) ; В) P = 2b ( 2 + cos α ) ; Г) Друг отговор. Даден е триъгълник ABC с височина CH и медиана CM , като точките H и M лежат на страната AB и M е между B и H . Да се намери лицето S на триъгълника ABC , ако дължините на CH и CM са съответно 3 и 2, а големината на ъгъл ABC е 30° . А) S = 4 ; Б) S = 3 3 ; В) S = 2 3 ; Г) Друг отговор. Даден е квадрат ABCD и точка E е среда на страната CD . Да се намери sin α , където α е големината на ъгъл BAE . А) sin α = 1 2 ; Б) sin α = 3 ; В) sin α = 5 ; Г) Друг отговор.

2 5 Графиката на функцията f ( x) = 2 − x пресича абцисната и ординатната ос съответно в точките A и B . Да се намери периметърът P на триъгълника OAB , където точката O е начало на координатната система. А) P = 3 + 3 ; Б) P = 4 + 2 2 ; В) P = 4 + 2 ; Г) Друг отговор. n Да се намери броят на нечетните двуцифрени числа, които се записват с помощта на различни цифри от множеството M = { 1, 2, 3, 4, 5} . А) n =10 ; Б) n = 8 ; В) n =16 ; Г) Друг отговор. От група студенти , състояща се от 6 момчета и 4 момичета, по случаен начин са изпитани двама студенти. Да се намери вероятността V изпитаните студенти да са момчета. А) V = 1 3 ; Б) V = 3 5 ; В) V = 2 3 ; Г) Друг отговор. А) A = 3

Б. ЗАДАЧИ Зад. 21. Дадено е уравнението x2 − ( m + 2) x + n +1 = 0 , където m и n са реални параметри. а) Да се намерят стойностите на параметрите m и n , ако корените на уравнението са x1 = 1 и x2 = 3 . б) Да се намерят стойностите на параметрите m и n , ако корените на уравнението са равни помежду си и сумата им е равна на най-голямото цяло число, което удовлетворява неравенството | x −1| ≤ 5 . в) Да се намерят стойностите на параметрите m и n , ако корените x1 и x2 на уравнението удовлетворяват системата x1 + x2 = 3 − x1 x2 1 1 + = 2. x1 x2 Зад. 22. Дължината на бедрата в равнобедрен триъгълник ABC е b , а ъгълът при върха C е с големина γ , 0 < γ < 90° . Окръжност с диаметър AB пресича бедрата AC и BC съответно в точки M и N . а) Да се намери дължината на отсечката AM . б) Да се намери лицето на трапеца ABNM . ОТГОВОРИ

НА

Т Е С Т А:

Отг. A В Г Б Б В А В Г Г Б A Б А В В Г Б Г А Зад. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ИНСТРУКЦИЯ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ

НА

З А Д А Ч И Т Е:

задача

етап от решението на задачата

точки

21 а 21 б

Намерени са параметрите m и n : m = n = 2 . Решено е неравенството | x −1| ≤ 5 : x ∈ [ −4; 6] . Намерено е най-голямото цяло число k , което е решение на неравенството: k = 6 .

2 2

D=0 ⇔ Получена е системата: x1 + x2 = k 21 в

( m + 2)

2

− 4 ( n + 1) = 0

m + 2 = 6. Намерено е решението на горната система: m = 4, n = 8 . От формулите на Виет са получени равенствата: x1 + x2 = m + 2, x1 x2 = n + 1 . x1 + x2 + x1 x2 = 3 Изходната система е преобразувана до: x1 + x2 =2 x1 x2 Намерено е решението на горната система: m = n = 0 .

m+ n=0 ⇔ m+2 =2. n +1

1 1 1 2

1

22 а

22 б

Намерена е дължината a на основата AB на триъгълника: a = 2b sin γ 2 . Намерена е дължината m на отсечката AM : m = 2b sin 2 γ .

2 Намерена е дължината c на отсечкта MN : c = 2b sin γ 2 cos γ . Намерена е височината h на трапеца ABNM : h = b sin γ sin γ .

2 Намерено е лицето S ABMN на трапеца ABMN : 1 S ABMN = b 2 sin 2 γ sin γ ( 1+ cos γ ) = b 2 sin 3 γ .

2 2

2 2 2 2 2