Симулативен изпит по МАТЕМАТИКА за УАСГ 03.07.2011г. Зад.1(6точки) Дадено е уравнението sin2x = 1 + а .sinx − cos2x , където а е параметър. а) За коя стойност на а уравнението има корен
π 12
? (1точка)
б) Да се реши за а = 2 . (3точки) в) За кои стойности на а уравнението има точно 3 различни решения в интервала [0; π ]. Зад.2(7точки) В △ ABC , ∢ABC=β , a ∢ACB=2β . Страната AB е пресечена в точката L от окръжността, минаваща през точките A , C и центъра O на описаната около △ ABC окръжност. а) Да се докаже, че CL е ъглополовяща на ∢ACB (2точки) б) Да се докаже, че c 2 = b2 + ab , където a = BC , b = CA и c = AB. (3точки) в) Да се намери отношението AL : LB ако cos β =
3 4
(2точки)
Зад.3(7точки) Дадена е права четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 с основа ромба АВСD с остър ъгъл α при върха А и диагонал BD = d . През BD и върха C1 е прекарана равнина, сключваща остър ъгъл β с равнината ( ABC ) . α
а) Да се докаже, че обемът на призмата е V = 0, 25.d 3 .cotg 2 .tgβ (3точки) 2
б) Ако ъгъл β = α , да се намери за кой ъгъл α обемът е най-малък. (2точки) в) Нека PQ е оста-отсечка на правите DD1 и BC1 , където P е точка от DD1 , а Q e точка от BC1 (т.е. PQ ⊥ DD1 и PQ ⊥ BC1 ). Да се намери в какво отношение Q дели BC1 . (2точки)
ИЗТОЧНИК: math10.com http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=85&t=6892