ВИСШЕ СТРОИТЕЛНО УЧИЛИЩЕ “ЛЮБЕН КАРАВЕЛОВ” – СОФИЯ РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ КОНКУРСНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 16. 07. 2011 г. ВTOРИ ВАРИАНТ ЗАДАЧА 1: а) Да се реши уравнението 1 + 2 x = x + 7 . б) Да се реши уравнението 4.9 x − 7.3 x + 3 = 0 . в) Да се реши системата
Решение: а) (3 точки) ДМ:
x+ y =2 x 2 y + xy 2 = 2
.
2x ≥ 0 , т.е. x ∈ [0;+∞) . x+7≥0
След повдигане на квадрат, уравнението приема вида 1 + 2 2 x + 2 x = x + 7 , откъдето получаваме 2 2 x = 6 − x . Последното уравнение е еквивалентно на
6− x ≥ 0 8 x = 36 − 12 x + x 2
.
⎧ x1 = 18 ∉ [0; 6] Следователно, x ∈ [0; 6] и x 2 − 20 x + 36 = 0 . Оттук намираме ⎨ . И така, ⎩ x 2 = 2 ∈ [0; 6] решението е x = 2 . б) (2 точки) Полагаме t = 3 x (t > 0) и получаваме уравнението 4t 2 − 7t + 3 = 0 , чиито ⎧3 x = 1 ⎧t1 = 1 > 0 ⎧ x1 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ . Следователно, ⎨ x 3 ⇔ ⎨ корени са ⎨ 3 са решенията. 3 ⎪3 = ⎪⎩t 2 = 4 > 0 ⎪⎩ x 2 = log 3 4 4 ⎩ в) (2 точки) Системата е еквивалентна на x+ y =2 x+ y =2 y = 2− x x =1 ⇔ ⇔ , откъдето получаваме . xy ( x + y ) = 2 xy.2 = 2 x(2 − x) = 1 y =1
ЗАДАЧА 2: а) Да се намерят стойностите на реалния параметър p , за които уравнението x 2 − (3 p + 1) x + p = 0 има два различни коренa по-малки от 1. x x б) Да се реши уравнението sin 2 x = cos 2 − sin 2 . 2 2 Решение: а) (2,5 точки) Уравнението има два различни коренa по-малки от 1, тогава и само
тогава
когато
af (1) > 0 D>0 . −
b <1 2a
От
уравнението
намираме
f (1) = 1 − 3 p − 1 + p = −2 p ;