Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий“ ”
КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 10 април 2011 г. ВТОРА ТЕМА Задача 1.Да се решат уравненията и неравенството: √ √ 1.1. 12 + x = 7x + 8 − 2; 1.2. 9x − 26.3x−1 − 3 = 0; 2 3 2 − < . 1.3. x−2 x+1 (x − 2)2 Задача 2. Дадено е квадратното уравнение x2 − 2kx + k 2 − 4k + 16 = 0, където k е реален параметър. 2.1. Да се намери най-малката цяла стойност на k, за която даденото уравнение има два различни реални корена. 1 1 1 2.2. Да се представи като функция на k израза + , където x1 и x2 са 2 x1 x2 реални корени на даденото уравнение и да се намери най-голямата стойност на тази функция. Задача 3. В трапеца ABCD диагоналът BD е равен на 40 см и е перпендикулярен на бедрото AD, а диагоналът AC е ъглополовяща на < ) BAD . Височината на трапеца е 24 см. 3.1. Да се намери лицето на трапеца ABCD. 3.2. Да се намери разстоянието от пресечната точка на диагоналите на трапеца до бедрото му AD. Задача 4. Основа на триъгълната пирамида ABCM е равнобедреният ∆ABC с основа AB, периметър 32 см и sin < ) BAC = 0, 8. 4.1. Да се намерят радиусите на описаната и на вписаната в ∆ABC окръжности. 4.2. Ако височината на пирамидата ABCM е 4 см и върхът M се проектира в центъра на вписаната в ∆ABC окръжност, да се намерят обема на пирамидата и радиуса на вписаната в нея сфера.