Великотърновски университет Св. св. Кирил и Методий“ ”
КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 10 април 2011 г. ВТОРА ТЕМА Задача 1.Да се решат уравненията и неравенството: √ √ 1.1. 12 + x = 7x + 8 − 2; 1.2. 9x − 26.3x−1 − 3 = 0; 2 3 2 − < . 1.3. x−2 x+1 (x − 2)2 Задача 2. Дадено е квадратното уравнение x2 − 2kx + k 2 − 4k + 16 = 0, където k е реален параметър. 2.1. Да се намери най-малката цяла стойност на k, за която даденото уравнение има два различни реални корена. 1 1 1 2.2. Да се представи като функция на k израза + , където x1 и x2 са 2 x1 x2 реални корени на даденото уравнение и да се намери най-голямата стойност на тази функция. Задача 3. В трапеца ABCD диагоналът BD е равен на 40 см и е перпендикулярен на бедрото AD, а диагоналът AC е ъглополовяща на < ) BAD . Височината на трапеца е 24 см. 3.1. Да се намери лицето на трапеца ABCD. 3.2. Да се намери разстоянието от пресечната точка на диагоналите на трапеца до бедрото му AD. Задача 4. Основа на триъгълната пирамида ABCM е равнобедреният ∆ABC с основа AB, периметър 32 см и sin < ) BAC = 0, 8. 4.1. Да се намерят радиусите на описаната и на вписаната в ∆ABC окръжности. 4.2. Ако височината на пирамидата ABCM е 4 см и върхът M се проектира в центъра на вписаната в ∆ABC окръжност, да се намерят обема на пирамидата и радиуса на вписаната в нея сфера.
ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ Задача 1. √ √ 1.1. 12 + x = 7x + 8 − 2 Множеството от допустими стойности на x се определя от 12 + x ≥ 0 и 7x + 8 ≥ 0. 8 Следователно x ∈ − , ∞ . След повдигане в квадрат на двете страни на уравне7 нието се получава квадратното уравнение 9x2 − 28x − 32 = 0. Корените му са x1 = 4 8 и x2 = − . След проверка в даденото уравнение се установява, че единственото 9 решение на уравнението е x = 4. 1.2. 9x − 26.3x−1 − 3 = 0 26 След полагане u = 3x (u > 0), се получава квадратното уравнение u2 − u−3 = 0 3 1 2 ⇐⇒ 3u − 26u − 9 = 0. Корените на това уравнение са u1 = − и u2 = 9. Но u1 < 0, 3 следователно само при u = 9 или 3x = 9 се получава единственото решение x = 2 на даденото показателно уравнение. 2 2 3 1.3. − < x−2 x+1 (x − 2)2 Множеството от допустими стойности е x 6= −1 и x 6= 2. След еквивалентни 2 2 3 3x − 15 преобразувания се получава − < ⇐⇒ < 0 ⇐⇒ 2 x−2 x+1 (x − 2) (x − 2)2 (x + 1) 3(x − 5)(x − 2)2 (x + 1) < 0. Решение на даденото неравенство е x ∈ (−1, 2) ∪ (2, 5). Задача 2. 2.1. Даденото уравнение x2 − 2kx + k 2 − 4k + 16 = 0 има два различни реални корена при D > 0, където D = 4k 2 − 4(k 2 − 4k + 16) = 16(k − 4). Най-малката цяла стойност на k, удовлетворяваща неравенството 16(k − 4) > 0 е k = 5. 1 1 1 x1 + x2 k 2.2. С ϕ(k) се означава израза + . Тогава ϕ(k) = = 2 2 x1 x2 2x1 x2 k − 4k + 16 2 −k + 16 (k ≥ 4), а първата и ` производна е ϕ′ (k) = 2 . Понеже ϕ′ (k) ≤ 0 за k ≥ 4, (k − 4k + 16)2 1 то функцията ϕ(k) e намаляваща в интервала [4, ∞), т.е. max ϕ(k) = ϕ(4) = . k≥4 4 Задача 3. D
C b
O
b
A
D1
B
Дадено: ABCD — трапец ABkDC BD = 40 см DD1 = h = 24 см < ) ADB = 90◦ < ) BAC = < ) CAD
3.1. От питагоровата теорема за триъгълник BDD1 се намира q BD1 = BD 2 − DD12 = 32, а от метрична зависимост в правоъгълния триъгълник ABD ⇒ BD 2 = BD1 .AB. BD 2 Следователно AB = = 50. От △ADD1 по питагоровата теорема се получава BD1 √ AD = AB 2 − BD 2 = 30. От успоредността на правите AB и CD следва, че < ) ACD = < ) CAB. Но < ) CAB = < ) CAD, т. е. △ACD е равнобедрен (CD = AD = 30). Тогава SABCD =
AB + CD · DD1 = 960 см2 . 2
3.2. Понеже DB⊥AD, то търсеното разстояние е дължината на OD, която се
CD 3
OD
= =
OB AB 5 . Следователно OD = 15 см. намира от системата
OD + OB = 40 M
Задача 4.
B C
O
P
Q
Дадено: ABCM — триъгълна пирамида △ABC — равнобедрен AC = BC PABC = 32 см sin < ) BAC = 0, 8
A
4.1. От правоъгълния триъгълник BP C се получава p BP = cos < ) ABC = 1 − 0, 82 = 0, 6. BC
Но P B + BC = 12 PABC = 16, откъдето P B = 6, BC = 10 и AB = 12. От друга страна CP AB.CP = sin < ) ABC ⇒ CP = BC.0, 8 = 8. Намира се лицето SABC = = 48. От BC 2 abc се изчисляват r = 3 см и R = 6, 25 см. формулите S = p.r и S = 4R 4.2. Нека точка O е центърът на вписаната в основата окръжност. Така OM = 4 1 и OQ = OP = r (Q ∈ AC). Тогава V = · SABC .MO = 64 см3 . За намиране на 3 3V радиуса rсф. на вписаната в пирамидата сфера се използва формулата rсф. = , S1 където S1 е пълната повърхнина на пирамидата. Тъй като върхът M се проектира в центъра на вписаната в основата окръжност, то височините през M в околните стени на пирамидата са равни. Следователно S1 = SABC + p.MP = 128 и rсф. = 1, 5 см.
ВТОРА ТЕМА – ОТГОВОРИ, ТОЧКИ, УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ 1.1. − 2 т. : x = 4; Задача 1. 1.2. − 1 т. : x = 2; 1.3. − 2 т. : x ∈ (−1, 2) ∪ (2, 5).
================================================= 2.1. − 1,5 т. : k = 5; Задача 2. 2.2. − 2,5 т. : Максималната стойност е 1/4 при k = 4. ================================================= 3.1. − 2 т. : S = 960 см2 ; Задача 3. 3.2. − 1 т. : OD = 15 см. ================================================= 4.1. − 1,5 т. : r = 3 см, R = 6, 25 см; Задача 4. 4.2. − 2,5 т. : V = 64 см3 , rсф. = 1, 5 см.
================================================= • Всяко подусловие се оценява по дадената точкова схема с точност до 0, 5 точки. Σ • Всеки проверяващ определя оценката по формулата 2+ , където Σ е общият 4 сбор точки. • Крайната оценка е средно аритметична от оценките на двамата проверяващи, когато разликата между последните не е по-голяма от 0, 50. При разлика между оценките над 0, 50, работата се разглежда от арбитър. Оценката на арбитриращия е окончателна. • Всички работи, оценени с отличен, задължително се арбитрират. ================================================= Председател на изпитната комисия:
/доц. д-р Даринка Гълъбова/