1 Решения на задачите от кандидатстудентския изпит по математика в ЮЗУ “Н.Рилски+, проведен на 12.06.2011 г.
Задача 1. При какви стойности на параметъра m сумата от корените на квадратното уравнение
x 2 2mx 2m 1 0 е равна на сумата от квадратите им?. Решение. Нека корените на даденото уравнение са x1 и x 2 . Търсим при каква стойност на m имаме равенството x1 x 2 x12 x 22 , което може да се представи и във вида (1)
x1 x 2 ( x1 x 2 ) 2 2 x1 x 2 .
От формулите на Виет имаме x1 x 2 2m и x1 x 2 2m 1 . Като заместим тези стойности в (1) за m получаваме уравнението 2m 4m 2 2(2m 1) ,
от което, чрез кратки преобразувания, стигаме до квадратното уравнение
2m 2 3m 1 0 . Корени на това уравнение са числата m1 1 и m 2 задачата.
Задача 2. Да се реши системата уравнения lg ( x y ) 2 1 lg y lg x lg 2. Решение. ДМ: x 0 , y 0 , x y 0 .
1 , които са решенията на 2
2
Тъй като
( x y ) 2 x y , то първото уравнение на системата е еквивалентно
на уравнението x y 10 . Второто уравнение, което може да се запише като
lg
y y lg 2 , е еквивалентно на уравнението 2 или y 2 x . x x Следователно дадената система в ДМ е еквивалентна на системата уравнения x y 10 y2 x.
1. Нека x 0 . Тогава и x y 0 , защото и y 0 . Тъй като в този случай x x и x y x y , получаваме системата
x y 10 y 2 x, която има решение x
10 20 , y , което принадлежи на ДМ и x 0 . 3 3
2. Нека x 0 . Тъй като в този случай x x , то системата придобива вида x y 10 y 2 x. Като заместим y от второто уравнение в първото получаваме x 10 и понеже x 0 , то x 10 , то x 10 . Тогава y 2 x 20 в първотокоято има решение x 10 , y 20 . Това решение също удовлетворява изискването на ДМ и условията x0.
Отговор. Всички решения на дадената система са наредените двойки
10 20 x1 , y1 и ( x 2 10, y 2 20) 3 3
Задача 3. В ABC са дадени страните AB 8 cm и BC 5 cm , лицето S ABC 16 cm 2 и ъгълът ABC 90 . Ако BL е ъглополовяща на триъгълника, да се
намери разстоянието от точката C до правата BL .
3
C L K A
d
B
h
D
Фиг.1
Решение. Нека CD h (Фиг.1) е височина на ABC и d CK е разстоянието от C до правата BL . От S ABC
1 1 AB.h , т.е. 16 8.h намираме h 4 . От 2 2
правоъгълния BCD имаме BD 5 2 4 2 3 . Тогава от правоъгълния ADC намираме AC 112 4 2 137 . Забележка 1. Дължината на страната AC можехме да намерим и по следния начин. От S ABC
1 4 AB.BC .sin B намираме sin B . Тогава 2 5
cos B 1 sin 2 B
3 и пресмятаме AC по косинусовата теорема. 5
След това пресмятаме дължината на ъглополовящата BL от зависимостта
BL2 AB.BC AL.BL . От AL : CL AB : BC 8 : 5 намираме AL Тогава BL2 8.5
8 5 AC , CL AC . 13 13
8 5 137 16 5 137 40.32 137. 137 40 40 40 1 и BL . 13 13 169 13 169 169
Триъгълниците ABL и CBL имат обща височина и следователно S ABL : S CBL AL : CL 8 : 5 . Оттук намираме, че S CBL Накрая от S CBL
5 5 S ABC .16 . 13 13
1 1 16 5 5 BL.d . .d и S CBL .16 получаваме d 2 5 . 2 2 13 13
Следователно търсеното разстояние е 2 5 cm .
4
Забележка 2. По-кратко решение можем да направим като пресметнем sin където ABC . Тогава d BCsin
(Виж забележка 1), имаме sin
, 2
1 cos 3 . Тъй като sin при cos 2 2 2 5
2 5 2 5 . Тогава получаваме d 5. 2 5. 2 5 5
Задача 4. Основата на триъгълната призма ABCA1B1C1 е равнобедрен ABC със страни AB AC 10 cm и BC 12 cm , а AA1 A1B A1C 13 cm . Да се намерят обемът и лицето на околната повърхнина на призмата. Решение. Нека A1O е височина на призмата (Фиг.2), а M и M 1 са средите на ръбовете BC и B1C1 . Тъй като в пирамидата с основа ABC и връх A1 околните ръбове са равни, то O е център на описаната около ABC окръжност. AM 10 2 6 2 8 . Тогава S ABC
1 AB. AC.BC 10.10.12 25 BC. AM 48 и R OA . За A1O намираме 2 4 S ABC 4.48 4
A1O AA12 AO 2 169 V S ABC . A1O 48.
625 3 231 . Обемът на призмата е 16
3 231 36 231 . Следователно V 36 231 cm 3 . 4 C1 A1
M1 C
A
O
B1
M
B
Фиг.2
Равнината AMM 1 A1 е перпендикулярна на правата BC , тъй като правите AM и A1O от нея са перпендикулярни на BC . Тогава BC MM 1 и понеже правите MM 1 и BB1 са успоредни, то и BC BB1 . Това показва, че четириъгълникът BCC1B1 е
5 правоъгълник и лицето му е S BCC1B1 12.13 156 . Лицата на другите две околни стени са равни и всяко от тях е равно на два пъти лицето на ABA1 , което е 60 cm 2 . Следователно лицето на околната повърхнина на призмата е S 4.60 156 396 , т.е. S 396 cm 2