1 Решения на задачите от конкурсния изпит по математика, проведен на 15.07.2011 в ЮЗУ “Н. Рилски” Задача 1. Да се реши неравенството log
1 5
(6 x 1 36 x ) 2.
Решение. Ако положим 6 x y , получаваме неравенството (1)
log
1 5
(6 y y 2 ) 2,
с ДМ:
6y y 2 0 y 0.
Тази система неравенства има решение
y (0, 6) .
(2)
Тъй като при основа
1 1 , логаритмичната функция е намаляваща и 5
1 неравенството (1) е еквивалентно с неравенството 6 y y 5 2
2
5 , т.е. на
неравенството (3)
y 2 6 y 5 0.
Решението на това неравенство е множеството (4)
y ( ,1] [5, ) . Сечението на неравенствата (2) и (4) е множеството
(6)
(0,1] [5, 6) . Връщаме се към полагането 6 x y . От 0 6 x 1 6 0 получаваме x 0 , а от
5 6 x 6 , намираме log 6 5 x 1 . Отговор: x ( , 0] [log 6 5,1) .
Задача 2. Да се реши системата уравнения x 3y 1 2 2 x y 2 7 y 6.
Решение. Задачата има смисъл при