МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 23.05.2012 Г. – ВАРИАНТ 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Кое от числата принадлежи на интервала [ −1; 1] ? 1 A) 5
−2
2. Числената стойност на израза А) 16
Б) x ∈ ( −∞;3]
−3
Г) 625
−
1 4
625 − 81 е равна на:
Б) 2 4 34
3. Допустимите стойности на израза А) x ∈ ( −∞;3)
1 В) − 2
Б) 7 −1.49
В) 4
Г) 34
3+ x 1 + са: 3 − x 3x В) x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 0;3)
Г) x ∈ ( 3; ∞ )
2 4. Решенията на неравенството x − 4 ≥ 0 са: 2x
А) ( − ∞; − 2] ∪ [ 2; ∞ )
Б) ( − ∞; − 2] ∪ ( 0; 2]
В) [ − 2; 0] ∪ [ 2; ∞ )
Г) [ − 2; 0 ) ∪ [ 2; ∞ )
1 log x 5. Равенството .6 6 = x − 6 е вярно за x равно на: 4 А) −8
Б) 4,8
6. За корените x1 и x2 на уравнението
В) 7
1 2
Г) 8
−0, 5 x 2 + 22,5 x − 2 = 0 е вярно, че:
А) x1 > 0 и x2 < 0
Б) x1 < 0 и x2 < 0
В) x1 > 0 и x2 > 0
Г) x1 = − x2
7. Два от корените на уравнението ax 4 + bx 2 + c = 0 са − А) −
1 и3 2
Б) −
2 3
В) −2
1 и 2 . Другите му корени са: 3 Г) −2 и
1 3
1
8. За α = − А) −
π 6
стойността на израза sin 3α − cos 2α е:
3 2
Б) −
1 2
В)
1 2
Г)
3 2
C
9. В равнобедрен △ ABC с основа AB = 8 cm е вписана окръжност. Центърът O на окръжността дели височината CH в отношение 5 : 2 . Дължината на AC е равна на: А) 6 cm
Б) 10 cm
В) 16 cm
Г) 20 cm A
.O .
B
H C .
10. Върху хипотенузата AB на правоъгълния △ ABC е взета точка H , така че ∠HCB = ∠CAB = α . Ако AC = b , то диаметърът на описаната
α
b
окръжност около △ HCB е равен на: А) b.sin α
В) b.tgα
Б) b.cos α
Г)
1 b.tgα 2
Aα
B
H
y
11. На чертежа са построени графиките съответно на квадратната функция f ( x) и на линейната функция g ( x) . Тези графики се
g ( x)
f ( x)
пресичат в точките A(0; 2) и B(3;5) . Решенията на
B(3;5)
неравенството f ( x) > g ( x) са числата от интервала: А) (−∞ ;0)
Б) (0;3)
В) (−∞ ;0) ∪ (3; ∞)
Г) (3; ∞ )
A(0; 2) O
x
12. Коя от формулите задава общия член an , n ∈ ℕ на редицата на всички естествени числа, които при деление на 3 дават остатък 2? А) an = 3n + 2
Б) an = 3n − 1
В) an = 3n − 2
Г) an = n 2 + 1
13. Ако за аритметична прогресия е известно, че a2 + a6 = 3 и сборът на първите 13 члена е равен на 26 , то намерете разликата на прогресията. А)
1 6
Б)
1 3
В) 1
Г) 6
14. Клоун разполага с 2 различни панталона, 3 вида ризи, 5 различни маски за лице и 2 перуки в различен цвят. По колко различни начини той може да избере комплект от панталон, риза, маска и перука за едно представление пред публика? А) 12
2
Б) 24
В) 30
Г) 60
15. В таблицата са дадени измерените температури на 25.04.2012 г. в 12 часа
t°
10° 15° 20° 25°
(измерена температура по C)
на обяд в няколко български града. С колко градуса се различава модата от средната стойност на температурите
n
3
4
1
2
(брой градове с t ° по C)
в статистическия ред от данни? А) с 1°
Б) с 4°
В) с 6°
Г) с 11°
16. Страната на ромб е 12 cm и острият му ъгъл е 60°. Радиусът на вписаната в ромба окръжност е равен на: А) 3 cm
Б) 3 3 cm
В) 6 cm
Г) 6 3 cm D
17. Четириъгълникът ABCD e вписан в окръжност и
C
∠DAB = 120° . Ако BD = 12cm и ∠ABC = ∠ADC , то A
120˚
диагоналът AC е равен на:
Б) 8 2 cm
А) 8 3 cm
B Г) 4 3 cm
В) 6 3 cm
18. Даден е △ ABC , за който AC = 3cm , BC = 6 cm и ∠ACB = 120° . Дължината на ъглополовящата CL ( L ∈ AB) е: А) 2 cm
Б) 3cm
В) 2 3 cm
Г) 2 7 cm
19. Трапецът ABCD ( AB || CD ) със страни AB = 10 , BC = 7 , CD = 4 и AD = 5 е с лице, равно на: А) 2 6
Б) 6 6
В) 14 6
Г) 42 6
20. В △ ABC симетралата на страната АВ пресича страната
C
ВС в точка М така, че BM : CM = 5 : 2 . Ако СН ( H ∈ AB ) е
M
височина в △ ABC , намерете отношението AH : HB . .
A
А) 1: 5
Б) 3 : 5
В) 3 : 7
Г) 2 : 7
.
B
H 3
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!
α −1 α 21. Намерете стойността на израза sin + cos (1 + sin α ) , ако sin α ≠ −1 . 2 2 2
22. Да се реши уравнението
2 x2 − x − 2 = − x .
23. Даден е изпъкнал n –ъгълник. Броят на всички отсечки с краища измежду върховете му е 45. Да се намери броят n на върховете на многоъгълника.
24. Група младежи решили да изпратят писма по Интернет с пожелания за късмет. Първия ден всеки от тях изпратил пожелания на петима свои приятели. Втория ден всеки от получилите пожеланието го препратил на други петима свои приятели и т.н., като всеки, получил пожелание предния ден, препращал пожеланието на петима свои приятели следващия ден. При тези условия в края на петия ден броят на изпратените пожелания бил 12500 . Колко са младежите от групата, започнали инициативата? 25. Намерете лицето на правоъгълен триъгълник с хипотенуза 5 cm и сбор от дължините на катетите 6 cm. Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 26. За допустимите стойности на x докажете тъждеството
1 π − tg 2 x ( sin x + cos x ) = 2 sin − x . cos 2 x 4 27. Краищата на отсечка AB = 3cm са центрове на две окръжности, като радиусът на окръжността с център A е по-малък от радиуса на окръжността с център B . Радиусите са избрани случайно от пет отсечки с дължини 1 cm, 2 cm, 4 cm, 5 cm и 9 cm. Намерете броя на възможностите двете окръжности да имат поне една обща точка и вероятността построените окръжности да имат две общи точки?
28. Четириъгълникът ABCD със страна BC = 7 е вписан в окръжност с диаметър 25 и център точката O , която лежи на страната AB . Лицето на △ ACD е равно на 108 . Да се намерят лицето и периметърът на четириъгълника.
4
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± D при D ≥ 0 2a b c ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Формули на Виет: x1 + x2 = − x1 x2 = a a ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
D = b 2 − 4ac x1,2 =
Квадратна функция b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; − 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
a2k = a
2 k +1
a 2 k +1 = a
при k ∈ ℕ
m 1 −m n m n k n = a , a ≠ 0 a = a a = nk a nk a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и m, n, k ∈ ℕ m a a x = b ⇔ log a b = x a log a b = b log a a x = x при a > 0, b > 0 и a ≠ 0
Комбинаторика
Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !
Брой на пермутациите на n елемента:
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас: Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1) n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk C = = Pk k .(k −1)...3.2.1 k n
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =
брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи
0 ≤ p ( A) ≤ 1
Прогресии Аритметична прогресия:
an = a1 + (n −1) d
Геометрична прогресия:
an = a1.q n−1
2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1 Sn =
n
p Формула за сложна лихва: K n = K .q n = K .1 + 100
5
Зависимости в триъгълник и успоредник 1 1 S = ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 b a b cos α = tg α = cotg α = c b a
Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2 a +b−c 2 Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1 r =
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
sin α =
a c
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4
mb 2 =
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4
a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:
Формула за ъглополовяща:
mc 2 =
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4
lc = ab − mn 2
d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2
Формули за лице 1 1 S = chc S = ab sin γ 2 2 abc S = pr S = 4R
Триъгълник:
Успоредник:
S = aha S = ab sin α
S=
p ( p − a )( p − b)( p − c )
Трапец: S =
a +b h 2
1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr
Четириъгълник:
Тригонометрични функции
6
α°
0°
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
30°
45°
60°
90°
π 6 1 2
π 4 2 2 2 2
π 3 3 2 1 2
π 2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
1 0
−α − sin α cos α − tg α − cotg α
sin cos tg cotg
90°−α cos α sin α cotg α tg α
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =
tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β
sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2
90° + α cos α − sin α − cotg α − tg α
180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cotg (α ± β) =
cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2
α +β α −β α −β α +β cos sin α − sin β = 2sin cos 2 2 2 2 α +β α −β α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 2 2 α α 1− cos α = 2sin 2 1 + cos α = 2 cos 2 2 2 1 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2
sin α + sin β = 2 sin
7
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 23 май 2012 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор
Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Верен отговор Г В В Г Г В Г А Б В В Б А Г А Б А А В В 1 x = −1 n = 10 4 11 3 S = cm 2 = 2 cm 2 = 2, 75cm 2 4 4 _ 1 Брой 5, P = 5 S ABCD = 192 и PABCD = 62
Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4
10 10 10
Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване на задача 26 Първи начин: 1. ( 1 точка)
1 − tg 2 x = 1 − sin 2 x . cos 2 x cos 2 x
2. ( 2 точки)
1 − sin 2 x = (sin x − cos x)2 . cos 2 x cos 2 x − sin 2 x
3. ( 2 точки)
(sin x − cos x) 2 ( cos x − sin x ) = . cos 2 x − sin 2 x ( cos x + sin x )
4. ( 1 точки)
cos x − sin x .(sin x + cos x) = cos x − sin x . cos x + sin x
5. ( 3 точки)
π π π cos x − sin x = cos x − cos − x = 2sin sin − x . 2 4 4
6. ( 1 точки)
π π 2 2 π π 2 sin sin − x = sin − x = 2 sin − x . 2 4 4 4 4
Втори начин: 1. ( 1 точка)
2. ( 2 точки)
1 π − tg 2 x ( sin x + cos x ) − 2 sin − x = 0 cos 2 x 4 1 − sin 2 x π π ( sin x + cos x ) − 2 sin cos x − cos sin x = 0 . cos 2 x 4 4
3. ( 3 точки)
1 − 2 sin x cos x ( sin x + cos x ) − cos x + sin x = 0 . cos 2 x − sin 2 x
4. ( 2 точки)
1 − 2 sin x cos x − cos x + sin x = 0 . cos x − sin x
5. ( 1 точка)
1 − 2 sin x cos x − cos 2 x + sin x cos x + sin x cos x − sin 2 x = 0. cos x − sin x
6. ( 1 точки) Сведено до 0 = 0
27. Критерии за оценяване на задача 27. 1. (4 точки) Нека AB = 3 cm е дадената отсечка, а k A ( A; rA ) и k B ( B; rB ) са двете
окръжности с радиуси rA < rB . Окръжностите ще имат точно една обща точка тогава и само тогава, когато rA + rB = 3 или rB − rA = 3 . Благоприятните възможности за избора на радиусите са три – числата 1 и 2, или 1 и 4, или 2 и 5. 2. ( 3 точки) Окръжностите ще имат две общи точки тогава и само тогава, когато
числата 3, rA и rB са дължини на страните на триъгълник. Благоприятните възможности за избора на радиусите са две – числата 2 и 4 или 4 и 5. 3. ( 1 точка) Броят на възможностите двете окръжности да имат поне една обща точка е
равен на сбора от възможности да имат точно една обща точка с тези да имат точно 2 общи точки. Този брой е 5. 4. ( 1 точка) Всички възможни избори за дължини на rA и rB са C52 =
5. ( 1 точка) Търсената вероятност е P =
5.4 = 10 . 1.2
2 1 = . 10 5
28. Критерии за оценяване на задача 28
D
.
C C
1. ( 1 точка) Определяне на AB -диаметър, ∠ACB = ∠ADB = 90 , ∠ADC > 90 .
A
2. ( 1 точка) Намиране на AC = 24 . 3. ( 1 точка) Намиране на S ABC = 84 и S ABCD = 192 . 4. ( 2 точки) sin ∠ABC = sin ∠ADC =
7 24 , cos ∠ADC = − cos ∠ABC = − . 25 25
5. ( 1 точка) Намиране на AD.DC = 225 . 6. ( 1 точка) Намиране на AD 2 + CD 2 = 450 . 7. ( 2 точки) Намиране на AD = DC = 15 или AD + DC = 30 . 8. ( 1 точка) Намиране на PABCD = 62 .
B