МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 30.05.2012 Г. – ВАРИАНТ 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори! 1. Изразът с най-малка стойност е: А) 15% от
14 5
Б) 3% от 15
( −8 )
2. Числената стойност на израза А) 6 + 2 − 2 3
В) 20% от 2,5
Б) − 2
3. Допустимите стойности на израза
2
+ 3 ( −2 ) + 3
(
3− 2
Г) 0,2% от 250
)
2
1
− 3 2 е:
В) 6 − 2 x −1 са: x−2
А) x ∈ [1;+∞ )
Б) x ∈ (1;2) ∪ (2;+∞ )
В) x ∈ [1;2) ∪ (2;+∞ )
Г) x ∈ (− ∞;2 ) ∪ (2;+∞ )
4. Решенията на неравенството
Г) 10 − 2
( x + 1)( x + 3) < 0 ( x + 1)( x − 3)
са:
А) ( −3;3)
Б) x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 3; +∞ )
В) x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( −1;3)
Г) x ∈ ( −3; −1) ∪ ( −1;3)
5. Стойността на израза log 1 81 − log 2 1 + lg1 е равна на: 8 3 А) –8
Б) –7
В) –1
Г) 7
1
6. Ако x1 и x2 са корените на уравнението 2 x 2 − 4 x − 5 = 0 , то за израза
a = x1 x2 ( x1 + x2 ) е вярно, че: А) a < 0
Б) a = 0
В) a > 0
Г) a ≥ 0
y
7. На чертежа е представена графиката на функцията: А) y = x 2 − 3 x − 4
Б) y = − x 2 − 3 x + 4
В) y = x 2 + 3 x − 4
Г) y = x 2 − 3 x + 4
1
–4
x
3π 8. Ако x ∈ ;2π , то стойностите на функцията f ( x) = cos x са в интервала: 2 1 А) − ; 0 2
Б) [ −1; 0 )
Г) [ 0 ; 1]
В) ( −1; 0 )
9. На чертежа за △ ABC е дадено AB = 6 cm , BC = 8cm и
C D
∠BAD = ∠ACB . Дължината на отсечката BD е равна на:
А) 6 cm
Б) 4,5cm
B
A
В) 4 cm
Г) 3, 5cm
10. Катетите на правоъгълен триъгълник са с дължини 6 cm и 10 cm. Радиусът на описаната около триъгълника окръжност е: А) 4 cm
Б) 5cm
11. Решенията на системата
x 2 − y = −1 y 2 + 2x 2 = 13
А) ( −6; −5 ) и ( 2;3)
(
) (
В) − 2;3 и
2;3
126 cm 2
В)
Г) 34 cm
са:
Б) ( 2;3)
)
(
) (
Г) − 6; −5 и
6; −5
)
12. Дадена е редица с общ член an = ( 2n ) , n ∈ ℕ . Ако числото 28 : 2 −8 е член на n
същата редица, то номерът му n е равен на: А) 2
Б) 4
В) 8
Г) 16
13. Броят на членовете на крайната аритметична прогресия 3; 7;...;151 е: А) 36 2
Б) 38
В) 48
Г) 50
14. Ако Cn2 = C53 , то n е равно на: А) −5
Б) −4
В) 4
Г) 5
15. На изпит по химия 25% от явилите се ученици имат оценка отличен, 40% – оценка много добър, 30% – оценка добър и 5% – оценка среден. Дъгата на сектора, отговарящ на оценка добър, е с мярка: А) 18°
Б) 90°
В) 108°
Г) 144°
16. Даден е △ ABC със страни AB = 4 cm , BC = 2 3 cm и AC = 2 13 cm . Мярката на ∠ABC e равна на:
А) 150°
Б) 120°
В) 60°
Г) 30°
17. За △ ABC на чертежа ∠BAC = 33° , ∠ACB = 87° и радиусът на описаната около триъгълника окръжност е
6 . Страната AC е
равна на: А)
6
Б)
2 8
В) 2 3
Г) 3 2
18. В равнобедрен трапец диагоналът има дължина 6 3 cm и
C
D
сключва с голямата основа ъгъл 30° . Лицето на трапеца е: А) 27 3 cm 2
2 Б) 18 3 cm
В) 9 3 cm2
Г) 4,5 3 cm2
B
A
19. В успоредника ABCD височините DH и DQ са съответно 15 и 15 . Ако ∠HDQ = 60° , то лицето на успоредника е:
А) 10 3
Б) 15 5
В) 30 5
Г) 150 3 D
20. Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Ако AB = 3, AD = 2, BC = 1 и ∠BAD = 60° , то страната CD е
C 2
равна на: A)
7
1
Б)
5
В) 2
60°
Г) 1,5 A
3
B
3
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 21. Намерете числата k , за които ( 3
)
k k
k
1 = 1. 3
22. Намерете корените на уравнението x + 4 − 3 = 2 6 . x + 2 x + 4 x + 6x + 8
23. Колко различни петцифрени числа, които са с различни цифри, могат да се запишат с цифрите 0, 3, 5, 7 и 9 ? 24. При записване на всичките 17 данни от проведен експеримент се оказало, че числата в подредения статистически ред образуват геометрична прогресия, като най-малкото от тях е 0, 03125 = 2−5 , а най-голямото е 2048 = 211 . Намерете медианата на тази извадка. 25. Даден е △ ABC , за който ∠CAB + ∠CBA = 90° . Ако BC =
16 8 , cm и cos ∠ABC = 3 17
да се намери лицето на триъгълника. Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори!
26. Да се реши системата
xy + 3 y 2 + x + 14 y + 11 = 0 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0
.
27. С цифрите 0,1, 4,5, 6, 7 и 8 са записани всички четирицифрени числа, които се делят на 5 , като в записа им няма повтарящи се цифри. Каква е вероятността едно произволно избрано от тях число да се дели на 9 ?
28. Даден е ромб ABCD , в който ∠DAB < ∠ADC . Точките M и N са съответно средите на страните BC и CD . Ако MN = 3 cm и радиусът на описаната окръжност около △ AMN е равен на
4
7 3 , да се намерят страната и ъглите на ромба. 3
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение −b ± D при D ≥ 0 2a b c ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Формули на Виет: x1 + x2 = − x1 x2 = a a
ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
D = b 2 − 4ac x1,2 =
Квадратна функция b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; − 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
a2k = a
2 k +1
1 = a− m , a ≠ 0 m a m, n, k ∈ ℕ
a 2 k +1 = a
при k ∈ ℕ m
n
am = a n
a x = b ⇔ log a b = x
n k
a log a b = b
a = nk a
nk
a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и
log a a x = x
при a > 0, b > 0 и a ≠ 0
Комбинаторика
Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !
Брой на пермутациите на n елемента:
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1) n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk C = = Pk k .(k −1)...3.2.1 k n
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =
брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи
0 ≤ p ( A) ≤ 1
Прогресии Аритметична прогресия: an = a1 + (n −1) d Геометрична прогресия:
an = a1.q n−1
2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1
Sn =
n
p Формула за сложна лихва: K n = K .q n = K .1 + 100
5
Зависимости в триъгълник и успоредник 1 1 S = ab = chc a 2 = a1c b 2 = b1c 2 2 b a b cos α = tg α = cotg α = c b a
Правоъгълен триъгълник: c 2 = a 2 + b 2 a +b−c a sin α = 2 c Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1 r =
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4
mb 2 =
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4
a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:
Формула за ъглополовяща:
mc 2 =
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4
lc = ab − mn 2
d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2
Формули за лице 1 1 S = chc S = ab sin γ 2 2 abc S = pr S = 4R
Триъгълник:
Успоредник:
S = aha S = ab sin α
S=
p ( p − a )( p − b)( p − c )
Трапец: S =
a +b h 2
1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr
Четириъгълник:
Тригонометрични функции
6
α°
0°
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
30°
45°
60°
90°
π 6 1 2
π 4 2 2 2 2
π 3 3 2 1 2
π 2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
1 0
−α − sin α cos α − tg α − cotg α
sin cos tg cotg
90°−α cos α sin α cotg α tg α
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =
tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β
sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2
90° + α cos α − sin α − cotg α − tg α
180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
cotg (α ± β) =
cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2
α +β α −β α −β α +β cos sin α − sin β = 2sin cos 2 2 2 2 α +β α −β α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 2 2 α α 1− cos α = 2sin 2 1 + cos α = 2 cos 2 2 2 1 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2 sin α + sin β = 2 sin
7
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 30 май 2012 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Верен отговор А В В Г В А В Г Б Г В Б Б Г В А Г А В В 0 или 1 x = −1 96 8 80 S ABC = cm 2 3 ( 4; −5) и ( x ; −1) , x ∈ ℝ
22 1 = 220 10 AB = 6 cm ; 60° и 120° P=
Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 10 10 10
Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване на задача 26 1. ( 3 точки) Еквивалентни преобразувания на дадената система – xy + 3 y 2 + x + 14 y + 11 = 0 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0
⇔
−2 xy − 6 y 2 − 2 x − 28 y − 22 = 0 2 xy + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0
.
След почленно събиране на двете уравнения се получава уравнението y 2 + 6 y + 5 = 0 . 2. ( 2 точки) Решаване на уравнението y 2 + 6 y + 5 = 0 и намиране на корените y1 = −1 и y2 = −5 .
3. ( 2 точки) Решаване на системата
y = −1 y = −1 ⇔ , откъдето − x + 3 + x − 14 + 11 = 0 0.x = 0
решенията са ( x ; −1) , x ∈ ℝ .
4. ( 2 точки)
Решаване на системата
y = −5 y = −5 ⇔ , откъдето −5 x + 75 + x − 70 + 11 = 0 −4.x = −16
решението е ( 4; −5 ) . 5. ( 1 точка) Отговор
( 4; −5)
и ( x ; −1) , x ∈ ℝ .
27. Критерии за оценяване на задача 27. 1. ( 1 точка) Определяне броя на четирицифрените числа, завършващи на нула – V63 = 120 .
2. ( 2 точки) Определяне броя на четирицифрените числа, завършващи на пет – V63 − V52 = 100 .
3. ( 1 точка) Определяне броя на четирицифрените числа, кратни на пет – 100 + 120 = 220 .
4. ( 2 точки) Определяне на броя на кратните на 9 четирицифрени числа с цифра на единиците 0. Той е сборът от пермутацията на 2 тройки цифри 5, 6, 7 и 4, 6,8 , т.е. броят е 2.P3 = 12 .
5. ( 3 точки) Определяне на броя на кратните на 9 четирицифрени числа, с цифра на единиците 5. Той се пресмята с помощта на пермутациите на 2 тройки цифри 0, 6, 7 и 1, 4,8 , т.е. броят е 2.P3 − P2 = 10 .
6.(1 точка) Намиране на търсената вероятност P =
22 1 = . 220 10
N
D
28. Критерии за оценяване на задача 28
C
3 1. ( 1 точка) Прилагане на синусова теорема за △ AMN и намиране на sin ∠NAM =
M
a
3 3 . 14
A
2a
2.(1 точка) α < 90° ⇒ ∠NAM < 90° . 3. ( 1 точка) Намиране на cos ∠NAM =
13 . 14
4. ( 1 точка) Доказване на AN = AM . 5. ( 1 точкA) Прилагане на косинусовата теорема за △ AMN и намиране на AM = AN = 3 7 .
6. ( 1 точка) Нека AB = 2a и ∠DAB = α . Прилагане на косинусовата теорема за △ ABM .
7. ( 1 точка) Прилагане на косинусовата теорема за △ MCN . 8. ( 1 точка) Съставяне на системата
63 = 5a 2 + 4a 2 cos α . 9 = 2a 2 − 2a 2 .cos α
9. ( 1 точка) Намиране на страната на ромба AB = a = 6 cm. 10.(1 точка) Намиране на ъглите на ромба 60° и 120° .
B