2012.08.04 МИННО - ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ "СВ. ИВАН РИЛСКИ" София

МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ

КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 08. 04. 2012 год. ВАРИАНТ 3 Задача 1.

24 y − 36 x = − xy

1.1 Решете системата 1.2 Решете уравнението

.

2x − y = 2 log 8 ( x 2 − 4 x + 4) = 2 log 8 ( x − 2) .

Задача 2. Дадено е квадратното уравнение (m + 3) x 2 − (m + 7) x + 2(1 − m) = 0 , където m ≠ −3 е реален параметър.

2.1) Да се намерят корените на уравнението.

2.2) Да се определят стойностите на m , за които единият корен е отрицателен, а другият е положителен, но по-малък от 3. Задача 3. Дадена е функцията y = f ( x) =

px , x ∈ (−∞; ∞) , x +1 2

където p е реален параметър.

3.1 Да се реши уравнението 2 p + 3 − 5 p + 1 = −1 .

3.2 Да се замести коренът на горното уравнение във f (x) и за получената функция да се намерят интервалите на растене и намаляване.

3.3 При какви стойности на параметъра p ъгълът между абсцисната ос и px допирателната към графиката на функцията f ( x) = 2 в пресечната й точка с x +1 ординатната ос е равен на 300 ?

Задача 4. В правоъгълен триъгълник е вписана полуокръжност, чиито диаметър лежи на хипотенузата. Да се намери дължината на радиуса на окръжността, ако центърът й дели хипотенузата на отсечки с дължини 15 cm и 20 cm.

МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ

КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 08. 04. 2012 год. ВАРИАНТ 3 Задача 1.

24 y − 36 x = − xy

1.1 Решете системата РЕШЕНИЕ:

x1 = 3

; y1 = 4

2x − y = 2

24 y − 36 x = − xy ⇒ 2x − y = 2

.

48 x − 48 − 36 x = −2 x 2 + 2 x ⇒ y = 2x − 2

x 2 + 5 x − 24 = 0 ; y = 2x − 2

x 2 = −8

. y 2 = −18

1.2 Решете уравнението log 8 ( x 2 − 4 x + 4) = 2 log 8 ( x − 2) . РЕШЕНИЕ: Дефиниционното множество е x > 2. Антилогаритмуваме и получаваме x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2) 2 , което е удовлетворено тъждествено в целия дефиниционен интервал (2, ∞).

Задача 2. Дадено е квадратното уравнение (m + 3) x 2 − (m + 7) x + 2(1 − m) = 0 , където m ≠ −3 е реален параметър.

2.1) Да се намерят корените на уравнението. РЕШЕНИЕ: Дискриминантата на уравнението е D = (3m + 5) 2 ; x1 =

1− m , m+3

2.2) Да се определят стойностите на m , за които единият корен е отрицателен, а другият е положителен, но по-малък от 3. РЕШЕНИЕ: x2 = 2 ∈ (0,3), ∀m .

Тогава x1 =

1− m < 0 ⇒ (m + 3)(m − 1) > 0 ⇒ m ∈ (−∞,−3) ∪ (1, ∞) . m+3

Задача 3. Дадена е функцията y = f ( x) =

px , x ∈ (−∞; ∞) , x +1 2

където p е реален параметър.

3.1 Да се реши уравнението

2 p + 3 − 5 p + 1 = −1 .

1 РЕШЕНИЕ: Дефиниционното множество е p ≥ − .

5 2 p + 3 + 1 = 5 p + 1 ⇒ 2 p + 3 + 1 + 2 2 p + 3 = 5 p + 1 ⇒ 2 2 p + 3 = 3 p − 3.

Ако p < 1 , последното уравнение няма решение.

x 2 = 2.

При p ≥ 1 , получаваме 4(2 p + 3) = 9( p 2 − 2 p + 1) ⇒ 9 p 2 − 26 p − 3 = 0 . Тогава p1, 2 =

26 ± 26 2 + 4.27 26 ± 28 1 26 + 28 = ; p1 = − < 1 – не е решение, p2 = = 3 . Отг. 3 18 18 9 18

3.2 Да се замести коренът на горното уравнение във f (x) и за получената функция да се намерят интервалите на растене и намаляване. РЕШЕНИЕ: f ( x) =

1 − x2 3x ' f ( x ) = 3 > 0 ⇔ x ∈ (−1, 1). Следователно функцията , 2 x2 +1 x2 + 1

(

)

е намаляваща в (− ∞,−1) ; растяща в (− 1,1) и намаляваща в (1, ∞ ) .

3.3 При какви стойности на параметъра p ъгълът между абсцисната ос и px допирателната към графиката на функцията f ( x) = 2 в пресечната й точка с x +1 ординатната ос е равен на 300 ? РЕШЕНИЕ: Тангенсът на ъгъла между абсцисната ос и допирателната към графиката на функцията в пресечната й точка с ординатната ос е равен на стойността на производната на функцията при x = 0 . tg 30 =

1 3

; f ( x) = p '

1− x2

(x

2

+ 1)

2

⇒ f ' (0) = p ⇒ p =

1 3

.

Задача 4. В правоъгълен триъгълник е вписана полуокръжност, чиито диаметър лежи на хипотенузата. Да се намери дължината на радиуса на окръжността, ако центърът й дели хипотенузата на отсечки с дължини 15 cm и 20 cm. РЕШЕНИЕ: Нека полуокръжността се допира до по-малкия от катетите на триъгълника в точка, която разделя катета на отсечки с дължини x см и r см, а до другия – в точка, която го разделя на отсечки с дължини съответно y см и r см, където с r означаваме търсения радиус.

От подобието на съответни триъгълници ( ARP и RBQ ) получаваме 3 4

4 3

x r 15 = = . r y 20

Следователно x = r; y = r , откъдето за двата катета на дадения триъгълник 7 7 3 4 2 2 2 От Питагоровата теорема: a + b = (15 + 20) , т.е.

получаваме представянето: a = r + x = r , b = r + y = r .  7 2  7 2  1  3 2 .4 2 .5 2 2 2 1 2 2   r   +   = 35 ⇒ r  2 + 2  = 5 ⇒ r = 2 = (3.4) 2 ⇒ r = 12 см.

2  3   4   4  3 +4 3   2

Минно – геоложки Университет “Свети Иван Рилски”

Критерии за оценяване на задачите ОТ ПРИЕМНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА НА 08.04.2012 г. ЗАДАЧА 1.

1.1. Изключване на едното неизвестно Получаване и решаване на квадратно уравнение Получаване на решението на системата 1.2. Определяне на дефиниционното множество т. Антилогаритмуване и получаване на решението

5 точки 1 т.

1 т.

1 т.

ЗАДАЧА 2.

2.1) Намиране на корените на уравнението 2.2) Намиране на съответните неравенства за параметъра Определяне на търсените стойности на параметъра т.

3 точки 1 т.

1 т.

1 1 т.

1

ЗАДАЧА 3.

6 точки 3.1. Решаване на ирационалното уравнение 2 т.

3.2. Намиране на производната и на интервалите на растене и намаляване на функцията 2 т.

3.3. Намиране на търсената стойност на параметъра 2 т. ЗАДАЧА 4. Съставяне на подходящи връзки между метрични елементи Намиране на радиуса

4 точки 2 т.

2 т.

ЗАБЕЛЕЖКА: Горните критерии са съставени върху основа на решенията, дадени от авторите. Всички други възможни решения се оценяват по аналогичен начин в рамките на определените за съответната задача точки.

Формулата за определяне на оценката е 2 k<3  , Q= k = 3, ... ,18 3 + ( k − 3) . 0,2 където Q е окончателната оценка, а к е броят на получените точки.