МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ
КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 08. 04. 2012 год. ВАРИАНТ 3 Задача 1.
24 y − 36 x = − xy
1.1 Решете системата 1.2 Решете уравнението
. 2x − y = 2 log 8 ( x 2 − 4 x + 4) = 2 log 8 ( x − 2) .
Задача 2. Дадено е квадратното уравнение (m + 3) x 2 − (m + 7) x + 2(1 − m) = 0 , където m ≠ −3 е реален параметър. 2.1) Да се намерят корените на уравнението. 2.2) Да се определят стойностите на m , за които единият корен е отрицателен, а другият е положителен, но по-малък от 3. Задача 3. Дадена е функцията y = f ( x) =
px , x ∈ (−∞; ∞) , x +1 2
където p е реален параметър. 3.1 Да се реши уравнението 2 p + 3 − 5 p + 1 = −1 . 3.2 Да се замести коренът на горното уравнение във f (x) и за получената функция да се намерят интервалите на растене и намаляване. 3.3 При какви стойности на параметъра p ъгълът между абсцисната ос и px допирателната към графиката на функцията f ( x) = 2 в пресечната й точка с x +1 ординатната ос е равен на 300 ?
Задача 4. В правоъгълен триъгълник е вписана полуокръжност, чиито диаметър лежи на хипотенузата. Да се намери дължината на радиуса на окръжността, ако центърът й дели хипотенузата на отсечки с дължини 15 cm и 20 cm.
МИННО-ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ
КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 08. 04. 2012 год. ВАРИАНТ 3 Задача 1.
24 y − 36 x = − xy
1.1 Решете системата РЕШЕНИЕ:
x1 = 3
; y1 = 4
2x − y = 2
24 y − 36 x = − xy ⇒ 2x − y = 2
.
48 x − 48 − 36 x = −2 x 2 + 2 x ⇒ y = 2x − 2
x 2 + 5 x − 24 = 0 ; y = 2x − 2
x 2 = −8
. y 2 = −18
1.2 Решете уравнението log 8 ( x 2 − 4 x + 4) = 2 log 8 ( x − 2) . РЕШЕНИЕ: Дефиниционното множество е x > 2. Антилогаритмуваме и получаваме x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2) 2 , което е удовлетворено тъждествено в целия дефиниционен интервал (2, ∞).
Задача 2. Дадено е квадратното уравнение (m + 3) x 2 − (m + 7) x + 2(1 − m) = 0 , където m ≠ −3 е реален параметър. 2.1) Да се намерят корените на уравнението. РЕШЕНИЕ: Дискриминантата на уравнението е D = (3m + 5) 2 ; x1 =
1− m , m+3
2.2) Да се определят стойностите на m , за които единият корен е отрицателен, а другият е положителен, но по-малък от 3. РЕШЕНИЕ: x2 = 2 ∈ (0,3), ∀m .
Тогава x1 =
1− m < 0 ⇒ (m + 3)(m − 1) > 0 ⇒ m ∈ (−∞,−3) ∪ (1, ∞) . m+3
Задача 3. Дадена е функцията y = f ( x) =
px , x ∈ (−∞; ∞) , x +1 2
където p е реален параметър. 3.1 Да се реши уравнението
2 p + 3 − 5 p + 1 = −1 .
1 РЕШЕНИЕ: Дефиниционното множество е p ≥ − . 5 2 p + 3 + 1 = 5 p + 1 ⇒ 2 p + 3 + 1 + 2 2 p + 3 = 5 p + 1 ⇒ 2 2 p + 3 = 3 p − 3.
Ако p < 1 , последното уравнение няма решение.
x 2 = 2.
При p ≥ 1 , получаваме 4(2 p + 3) = 9( p 2 − 2 p + 1) ⇒ 9 p 2 − 26 p − 3 = 0 . Тогава p1, 2 =
26 ± 26 2 + 4.27 26 ± 28 1 26 + 28 = ; p1 = − < 1 – не е решение, p2 = = 3 . Отг. 3 18 18 9 18
3.2 Да се замести коренът на горното уравнение във f (x) и за получената функция да се намерят интервалите на растене и намаляване. РЕШЕНИЕ: f ( x) =
1 − x2 3x ' f ( x ) = 3 > 0 ⇔ x ∈ (−1, 1). Следователно функцията , 2 x2 +1 x2 + 1
(
)
е намаляваща в (− ∞,−1) ; растяща в (− 1,1) и намаляваща в (1, ∞ ) . 3.3 При какви стойности на параметъра p ъгълът между абсцисната ос и px допирателната към графиката на функцията f ( x) = 2 в пресечната й точка с x +1 ординатната ос е равен на 300 ? РЕШЕНИЕ: Тангенсът на ъгъла между абсцисната ос и допирателната към графиката на функцията в пресечната й точка с ординатната ос е равен на стойността на производната на функцията при x = 0 . tg 30 =
1 3
; f ( x) = p '
1− x2
(x
2
+ 1)
2
⇒ f ' (0) = p ⇒ p =
1 3
.
Задача 4. В правоъгълен триъгълник е вписана полуокръжност, чиито диаметър лежи на хипотенузата. Да се намери дължината на радиуса на окръжността, ако центърът й дели хипотенузата на отсечки с дължини 15 cm и 20 cm. РЕШЕНИЕ: Нека полуокръжността се допира до по-малкия от катетите на триъгълника в точка, която разделя катета на отсечки с дължини x см и r см, а до другия – в точка, която го разделя на отсечки с дължини съответно y см и r см, където с r означаваме търсения радиус.
От подобието на съответни триъгълници ( ARP и RBQ ) получаваме 3 4
4 3
x r 15 = = . r y 20
Следователно x = r; y = r , откъдето за двата катета на дадения триъгълник 7 7 3 4 2 2 2 От Питагоровата теорема: a + b = (15 + 20) , т.е.
получаваме представянето: a = r + x = r , b = r + y = r . 7 2 7 2 1 3 2 .4 2 .5 2 2 2 1 2 2 r + = 35 ⇒ r 2 + 2 = 5 ⇒ r = 2 = (3.4) 2 ⇒ r = 12 см. 2 3 4 4 3 +4 3 2
Минно – геоложки Университет “Свети Иван Рилски”
Критерии за оценяване на задачите ОТ ПРИЕМНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА НА 08.04.2012 г. ЗАДАЧА 1. 1.1. Изключване на едното неизвестно Получаване и решаване на квадратно уравнение Получаване на решението на системата 1.2. Определяне на дефиниционното множество т. Антилогаритмуване и получаване на решението
5 точки 1 т. 1 т. 1 т.
ЗАДАЧА 2. 2.1) Намиране на корените на уравнението 2.2) Намиране на съответните неравенства за параметъра Определяне на търсените стойности на параметъра т.
3 точки 1 т. 1 т.
1 1 т.
1
ЗАДАЧА 3. 6 точки 3.1. Решаване на ирационалното уравнение 2 т. 3.2. Намиране на производната и на интервалите на растене и намаляване на функцията 2 т. 3.3. Намиране на търсената стойност на параметъра 2 т. ЗАДАЧА 4. Съставяне на подходящи връзки между метрични елементи Намиране на радиуса
4 точки 2 т. 2 т.
ЗАБЕЛЕЖКА: Горните критерии са съставени върху основа на решенията, дадени от авторите. Всички други възможни решения се оценяват по аналогичен начин в рамките на определените за съответната задача точки.
Формулата за определяне на оценката е 2 k<3 , Q= k = 3, ... ,18 3 + ( k − 3) . 0,2 където Q е окончателната оценка, а к е броят на получените точки.