НАЦИОНАЛЕН ВОЕНЕН УНИВЕРСИТЕТ "ВАСИЛ ЛЕВСКИ" КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА – ЮЛИ 2012г. ПЪРВА ТЕМА Задача 1. а) Да се реши уравнението x + log3 30 − 3x = 4 .
(
)
1 б) Да се реши уравнението sin 2 x − sin 2 2 x + sin 2 3 x = . 2 Задача 2. Дадена е функцията f ( x ) = 22− x + m . 2 x − 2m − 2 , където m е реален параметър. а) Да се намерят стойностите на параметъра m , за които уравнението f ( x ) = 0 има точно един реален корен. б) Да се намерят стойностите на параметъра m , при които уравнението f ( x ) = 0 има два различни реални корена x1 и x2 , за които x1 + x2 = 1 .
Задача 3. Даден е триъгълникът ΔABC с остър ъгъл при върха A и с дължини 3 на страните AC = 15 см и BC = 20 см, за който sin (∠ABC ) = . 5 а) Да се намери дължината на височината към страната AB . AD 9 = , да AB 25 се намери разстоянието между центровете на описаните около ΔADC и ΔBDC окръжности.
б) Ако D е точка от страната AB , която я дели в отношение
Задача 4. Основите на правa триъгълна призма ABCA1B1C1 с околни ръбове AA1 , BB1 и CC1 са равностранните триъгълници ΔABC и ΔA1B1C1 с дължина на страната 4 см, а равнината през върховете A , B и C1 сключва с равнината на основата ABC ъгъл с мярка 30o . а) Да се намери радиусът на описаната около призмата сфера. б) Да се намери разстоянието между средите на ръбовете AB и B1C1 .
1