СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВ. КЛИМЕНТ ОХРИДСКИ” ПИСМЕН КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 8 АПРИЛ 2012 г. ЗАДАЧИ И ПРИМЕРНИ РЕШЕНИЯ – ТЕМА 1 1. Да се реши уравнението x 2 + x − 4 = 2 x − 4. Решение. Решенията на уравнението удовлетворяват неравенството 2 x − 4 ≥ 0, x ≥ 2. При x ≥ 2 имаме
x 2 + x − 4 = 2 x − 4 ⇔ x 2 + x − 4 = ( 2 x − 4 ) ⇔ 3 x 2 − 17 x + 20 = 0. Корени2
те на това уравнение са x1 = 4 и x2 = 5 . Понеже 4 > 2, а 5 < 2, то решение на ирацио3
3
налното уравнение е x = 4. Намирането на решението може да се извърши и с проверка.
2. В триъгълника ABC дължината на страната BC е 8 и ∢ACB = 60°. Да се намерят друC гите две страни, ако радиусът описаната окръжност е R = 13 3 . 3 60° Решение. От синусова теорема намираме c = 2 R sin 60° = 13. b 8 От косинусова теорема: 132 = 82 + b 2 − 8b, откъдето b 2 − 8b − 105 = 0. A c B Корените са b1 = 15 и b2 = −7. Понеже b > 0, решението е b = 15. 3 Да се реши неравенството
2 x + 1 ≤ 2 x + 1. 4 x − x2 − 3
Решение. Дефиниционното множество е x ≠ 1, x ≠ 3. Имаме
⇔
( 2 x +1)(1− ( 4 x − x 2 − 3)) 4x − x2 − 3
)
( 2 x +1)( x − 2) ≤0⇔ ( x −1)(3 − x )
2 x +1 ≤ 2 x +1 4 x − x2 − 3
2
≤ 0. Решението на неравенството е
x ∈ − 1 ;1 ∪{2} ∪ (3; +∞ ). 2 4. Даден е равнобедрен триъгълник АВС с периметър 32. Допирателната към вписаната окръжност, успоредна на основата АВ, пресича бедрата в точки P и Q. Да се намери лицето на триъгълника, ако PQ = 4. Решение. Първи начин Нека AB = a и AC = BC = b. От C
PQ CQ CQ = , откъдето 4 = . Но PT = TQ = 2, AB CB a b a CQ 2 CN b − 2 a 4 2 QN = TQ = 2 и BN = . Така + = + = = . Откъдето 2 a b b b b b 4b+ 2a = 2b−a , 2.32 = 32−2a , a − 8 2 = 0 и a = 8. Така намираме b = 12, ( ) a 2 a 2
△ PQC ~△ ABC имаме
P M A
T
Q N B
h = 8 2 и S = 32 2. Втори начин. Нека AB = a, AC = BC = b, PABC = 2 p = 32 и PPQC = 2q. От △ PQC ~△ ABC имаме
PQ 2 q = . AB 2 p
( a − 8) 2 = 0
p −a Но PT = PM , TQ = QN и 2q = 2CN = 2 ( p − a ). Така 4 = , откъдето a
p
и a = 8. Така намираме b = 12, h = 8 2 и S = 32 2.
1