МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 27.05.2013 Г. – ВАРИАНТ 1 Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбелязвайте в листа за отговори!
1
1. Колко на брой от числата ( 0, 5 ) , log 1 4 и ( − 27 ) 3 са цели? −2
2
А) 0
Б) 1
2. Стойността на израза А)
6
5
В) 2
Г) 3
53 е: 3 4 5
Б) 121 5
В) 61 5
Г) 5
2 3. При x ≠ 2, x ≠ 1 изразът 2 x2 + x − 1 е тъждествено равен на: 2 −2 x + 5 x − 2
А) x + 1 2−x
Б) x + 1 x−2
4. Числената стойност на израза А) −2
Б) −
1 2
В) x − 1 x+2
Г) 1 − x x+2
log 2 4 2 е равна на: В) 1 2
Г) 2
5. Ако реалните корени на уравнението x 2 − 2 x − 8 = 0 са x1 и x2 , то стойността на израза x2 е равна на: x2 1+ x1 А) −8
Б) −4
В) −2
Г) 4
1
6. Кое от неравенствата няма решение? А) x 2 + 2 x + 1 ≤ 0
7. Ако α =
π 6
Б) x 2 > 1
, то стойността на израза
А) е − 3
В) − x 2 < 1
Г) x 2 − 2 x + 3 ≤ 0
sin α : cotg3α − cos 2α
Б) е −1
В) е 1
Г) не съществува
8. Даден е равнобедрен △ ABC с ъгъл при основата равен на α и височина към основата с 3 сm по-голяма от радиуса на вписаната в триъгълника окръжност. Радиусът на вписаната в △ ABC окръжност е равен на: А) 3cos α В)
Б) 3sin α
3cos α 1 − sin α
Г)
3sin α 1 − sin α
9. Даден е правоъгълен △ ABC с катет AC = 5 cm и височина към
C
хипотенузата CH = 2 cm. Дължината на отсечката ВН е:
21 cm
А) В)
4 21 Б) cm 21 25 21 Г) cm 21
5 cm 2
5
2
A
H
10. Дадена е числова редица с общ член an = 2an −1 + 1, ∀n ∈ ℕ . Ако a2 = 4 , то първият член на редицата е: А) 0,5
Б) 1
В) 1,5
Г) 2
11. За геометрична прогресия е дадено, че a3 = −36 и a6 = 288 . За първия член и частното на прогресията е вярно, че: А) a1 = 9; q = 2
Б) a1 = −9; q = −2
В) a1 = 9; q = −2
Г) a1 = −9; q = 2
12. Броят на реалните корени на уравнението ( x − 1)( x − 2 ) 1 − x = 0 е: А) 0
Б) 1
В) 2
Г) 3
B
13. В една фирма работят 5 работници със заплата 380 лв, 2 специалисти със заплата 500 лв. и 1 ръководител (собственик) със заплата 2700 лв. Колко от служителите получават заплата, по-ниска от средната заплата във фирмата? А) 0
Б) 5
В) 6
Г) 7
14. В △ ABC AB = 24 , а ъглополовящата BL разделя страната AC на части AL = 15 и LC = 5 . През точка L е построена права, успоредна на AB , която пресича BC в точка E . Отсечката CE е равна на:
А) 2
Б) 6
В) 8
Г) 12
15. Даден е успоредник ABCD със страни AB = 10 сm, AD = 8 сm и 4 8 tg ∠DAB = . Лицето на успоредника ABCD е равно на: 3 A А) 24 сm² Б) 32 сm² В) 48 сm² Г) 64 сm²
C
D
B
10
D
16. Върху окръжност k са избрани точки A, B, C и D така, че
C
∠BAC = 30° и ∠CAD = 45° . Отношението BC : CD е:
А) 1: 2 В)
Б)
2 :1
3: 2
45° 30°
Г) невъзможно да се определи
A
B
k
17. На чертежа △ ABC е правоъгълен с хипотенуза AB = 25cm , височина
C
.
към нея CH = 12 cm и AC > BC . Тангенсът на най-малкия ъгъл в триъгълника е равен на: A
3 А) 5
3 Б) 4
4 В) 5
H
4 Г) 3
3
.
B
C
D
18. Четириъгълникът АВCD със страни AD = 5 cm и BC = 7 cm е
7
описан около окръжност с радиус 3 cm. Лицето на АВCD е: 5 3
А) 36 cm
2
Б) 48 cm
2
B
A
В) 72 cm2
Г) невъзможно да се определи
19. Радиусът на окръжността е 6 cm и OM = 4 cm. Ако AM = 5 cm, то
B
дължината на МВ е: А) 2 cm
Б) 3 cm
В) 4 cm
Г) 5 cm
O
M
A 20.В помагало по математика за зрелостен изпит има 100 задачи от първи вид, 50 задачи от втори вид и 20 задачи от трети вид. По колко начина могат да се изберат задачи за изпитна тема по математика, която съдържа 20 задачи от първи вид, 5 задачи от втори вид и 3 задачи от трети вид? 20 А) V100 .V505 .V203
20 Б) V100 + V505 + V203
20 5 3 В) C100 + C50 + C20
20 5 3 Г) C100 .C50 .C20
Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 21. Намерете решенията на неравенството ( x 2 − 3 x + 2 ) ( x − 1) ( x 2 + 1) < 0 . 22.
Да се реши уравнението 1 − x − x + 4 = 1.
23. Запише във вида y = ax 2 + bx + c функцията, графиката на която е дадена на чертежа.
24. Средният успех на учениците от три класа от едно училище е 5,10. Средният успех на учениците от първия клас е 5,40, а на учениците от втория клас е 4,70. Определете средния успех на учениците от третия клас, ако се знае, че броят на учениците във всеки клас е един и същ.
4
25. Трапецът АВCD е вписан в полуокръжност с диаметър AB = 10 cm. Намерете периметъра на трапеца, ако е известно, че основата CD е равна на бедрото АD.
Пълните решения с необходимите обосновки на задачите от 26. до 28. включително запишете в свитъка за свободните отговори! 2
1 1 26. Решете уравннението 2 x 2 − − 5 x 2 − − 7 = 0 2 2
27. Намерете вероятността при хвърляне едновременно на два стандартни зара да се паднат точки със сбор не по-малък от 8.
28. В △ ABC със страни AC = 15 cm и BC = 12 cm
CL ( L ∈ AB ) е ъглополовящата на
∠ACB . През точките А, С и L е построена окръжност, която се допира до правата ВС.
Намерете дължините на отсечките АL, ВL и CL.
5
ФОРМУЛИ Квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
D = b 2 − 4ac
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )
Формули на Виет:
−b ± D при D ≥ 0 2a b c x1 + x2 = − x1 x2 = a a x1,2 =
Квадратна функция b D Графиката на y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0 е парабола с връх точката − ; − 2a 4a
Корен. Степен и логаритъм 2k
a2k = a
2 k +1
a 2 k +1 = a
1 = a− m , a ≠ 0 n a m = a m a a x = b ⇔ log a b = x
m n
при k ∈ ℕ n k
a = nk a
a log a b = b
nk
a mk = n a m при a ≥ 0, k ≥ 2, n ≥ 2 и m, n, k ∈ ℕ
log a a x = x
при a > 0, b > 0 и a ≠ 1
Комбинаторика Брой на пермутациите на n елемента:
Pn = n.(n −1)...3.2.1 = n !
Брой на вариациите на n елемента k -ти клас:
Vnk = n.(n −1)...(n − k + 1)
Брой на комбинациите на n елемента k -ти клас: Cnk =
n.(n −1)...(n − k + 1) Vnk = Pk k .(k −1)...3.2.1
Вероятност за настъпване на събитието A: p ( A) =
брой на благоприятните случаи , брой на възможните случаи
0 ≤ p ( A) ≤ 1
Прогресии 2a + (n −1) d a1 + an ⋅n = 1 ⋅n 2 2 q n −1 Sn = a1 ⋅ , q ≠1 q −1
Аритметична прогресия:
an = a1 + (n −1) d
Геометрична прогресия:
an = a1.q n−1
Формула за сложна лихва:
p K n = K .q = K .1 + 100
Sn =
n
n
Зависимости в триъгълник и успоредник c2 = a2 + b2
Правоъгълен триъгълник: a +b−c 2 Произволен триъгълник: hc 2 = a1b1
r=
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
sin α =
a c
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
Формула за медиана: 1 ma 2 = (2b 2 + 2c 2 − a 2 ) 4
mb 2 =
1 1 S = ab = chc 2 2 b cos α = c
a 2 = a1c tg α =
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
1 2 a 2 + 2c 2 − b 2 ) ( 4
mc 2 =
a n = b m Формула за диагоналите на успоредник:
a b
b 2 = b1c cotg α =
a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
1 2a 2 + 2b 2 − c 2 ) ( 4
lc = ab − mn 2
Формула за ъглополовяща:
d12 + d 22 = 2a 2 + 2b 2
Формули за лице Триъгълник:
1 S = chc 2 S = pr
Успоредник:
S = aha
1 S = ab sin γ 2 abc S= 4R
S=
S = ab sin α
p ( p − a )( p − b)( p − c )
S=
Трапец:
a +b h 2
1 S = d1d 2 sin ϕ 2 Описан многоъгълник: S = pr
Четириъгълник:
Тригонометрични функции α°
0°
α rad
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
cotg α
–
30°
45°
60°
90°
π 6 1 2
π 4 2 2 2 2
π 3 3 2 1 2
π 2
1
3
–
1
3 3
0
3 2 3 3 3
b a
1 0
−α − sin α cosα − tg α − cotg α
sin cos tg cotg
90°−α cosα sin α cotg α tg α
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tg (α ± β) =
cotg (α ± β) =
cotg α cotg β ∓ 1 cotg β ± cotg α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α −1 = 1− 2sin 2 α cotg 2 α −1 cotg 2α = 2 cotg α 1 cos 2 α = (1 + cos 2α ) 2
α +β α −β cos 2 2 α +β α −β cos α + co s β = 2co s cos 2 2 α 1− cos α = 2sin 2 2 1 sin α sin β = (cos (α −β) − cos (α + β)) 2 1 sin α cos β = (sin (α + β) + sin (α −β)) 2
sin α + sin β = 2 sin
180°−α sin α − cos α − tg α − cotg α
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tg α ± tg β 1 ∓ tg α tg β
sin 2α = 2sin α cos α 2 tg α tg 2α = 1− tg 2 α 1 sin 2 α = (1− cos 2α ) 2
90° + α cosα − sin α − cotg α − tg α
α −β α +β cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 α 1 + cos α = 2 cos 2 2 1 cos α cos β = (cos (α − β) + cos (α + β)) 2
sin α − sin β = 2sin
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО Математика – 27 май 2013 г. ВАРИАНТ 1 Ключ с верните отговори Въпроси с изборен отговор Въпрос № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Верен отговор Г А А В Б Г Б А Б В Б Б Г А Г А Б А В Г x ∈ ( −∞;1) ∪ (1; 2 )
Брой точки 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
22
x1 = −3
4
23
4
24 25
y = x2 − x − 2 5, 20 PABCD = 25cm
26
x1 = −2, x2 = 2
10
27
15 = 5 36 12 AL = CL = 10 , BL = 8
10
28
4 4
10
Въпроси с решения 26. Критерии за оценяване:
1. За полагането x 2 − 1 = t 2
(2 т.)
2. За получаването на уравнението 2t 2 − 5t − 7 = 0
(2 т.)
3. За намиране на корените t1 = −1, t2 = 7 2
(2 т.)
4. За извода, че за t1 = −1 уравнението x 2 − 1 = −1 ⇔ x 2 = − 1 няма решение 2 2
(2 т.)
5. За намиране корените x1 = −2, x2 = 2 на уравнението x − 1 = 7 ⇔ x 2 − 4 = 0 2 2
(2 т )
27. Критерии за оценяване: Първи начин:
1. Определяне на всички възможности - 6.6=36
(1 т).
2. Определяне на 5 благоприятни възможности за сбор 8 от точките на двата зара – 4,4 или 2,6 или 6,2 или 3,5 или 5,3
(2 т.)
3. Определяне на 4 благоприятни възможности за сбор 9 от точките на двата зара – 3,6 или 6,3 или 4,5 или 5,4
(2 т.)
4. Определяне на 3 благоприятни възможности за сбор 10 от точките на двата зара – 5,5 или 4,6 или 6,4
(2 т.)
5. Определяне на 2 благоприятни възможности за сбор 11 от точките на двата зара – 5,6 или 6,5
(1 т.)
6. Определяне на 1 благоприятна възможност за сбор 12 от точките на двата зара 12 – 6,6 7. Намиране на търсената вероятност P = 15 = 5 36 12
(1 т.) (1 т.)
Забележка: За определяне броя на неблагоприятните възможности се присъжда същият брой точки както при определяне на благоприятните възможности.
Втори начин:
1. Съставяне на таблица с възможните точки от двата зара и техния сбор I
(5 т.)
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
II
2. Преброяване на всички възможности
(1 т.)
3. Преброяване на благоприятните възможности
(3 т.)
4. Намиране на търсената вероятност P = 15 = 5 36 12
(1 т.)
28. Критерии за оценяванe: 1. За доказване, че ∠BCL = ∠CAL
От ∠BCL =
C
(1 т.)
1 м.CL (периферен ъгъл) и от 2
15
1 CL ⇒ ∠CAB = ∠BCL вписаният ∠CAL = м. 2 2. За доказване, че ∠ACL = ∠CAL
k x
A
(1 т.)
∠ACL = ∠BCL (CL е ъглополовяща) следва, че ∠ACL = ∠CAL .
3. За доказване, че AL = CL Означаваме AL = CL = x , BL = y .
(1 т.)
4. За доказване, че ABC CBL ( ∠B е общ и ∠BCL = ∠CAB ) и правилно записана пропорция
AB AC BC x + y 15 12 = = ⇔ = = BC CL BL x y 12
5. За съставяне на еквивалентната система 15 12 = x y ⇔ x + y 12 = 12 y
y 4 = x 5 ( x + y ) y = 144.
12
x
(2 т.) (2 т.)
L
y
B
4. За решаване на системата и намиране на k = 2
(2 т.)
Заместваме y = 4k , x = 5k в равенството ( x + y ) y = 144 и получаваме
36k 2 = 144 ⇔ k 2 = 4 , k = 2 и x = 10, y = 8 . 5. За правилен отговор AL = CL = 10 , BL = 8 .
(1 т.)
Забележка. Равенства за х и у могат да се получат още от: – свойство на ъглополовящата:
AC AL 15 x = ⇔ = ; 12 y BC BL
– дължината на ъглополовящата: CL2 = AC.BC = AL.BL ⇔ x 2 = xy − 15.12 ; – свойство на секущите: BC 2 = BL. AB ⇔ 144 = y ( x + y ) .