2013.10.07 МИННО - ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ "СВ. ИВАН РИЛСКИ" София

МИННО ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ

КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 10.07.2013 г. ВАРИАНТ 3 Задача 1. Решете уравнениeтo: 4x −1 −

12 = 0.

4x

Задача 2. Решете уравнениeтo:

x + 5 = 1.

Задача 3.

3.1 При какви стойности на параметъра q неравенството

x 2 + qx − 1 < 1 е в сила за 2x2 − 2x + 3

всяко реално x?

3.2 Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията

f (x ) =

x

2

2x 2 + 4

при x ∈ [− 1; 3] . x2 + 2x − 3 . x→∞ 2 x 2 − 3 x + 4

3.3 Намерете границата lim

Задача 4. Един от диагоналите на ромб го дели на два равностранни триъгълника. В ромба е вписан кръг с дължина на радиуса 2. Намерете отношението на лицето на кръга и лицето на ромба.

МИННО ГЕОЛОЖКИ УНИВЕРСИТЕТ „СВЕТИ ИВАН РИЛСКИ” – СОФИЯ

КРАТКИ РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ ОТ КОНКУРСЕН ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА 10.07.2013 г. ВАРИАНТ 3 Задача 1. Решете уравнениeтo: 12 = 0.

4x РЕШЕНИЕ: За 4 x = y получаваме системата: y > 0 , y 2 − y − 12 = 0 , която има единствено решение y = y1 = 4 , откъдето намираме и решението x = 1 .

4x −1 −

Задача 2. Решете уравнениeтo:

x + 5 = 1. РЕШЕНИЕ: x + 5 = 1 ⇒ x + 5 = ±1 ⇒ x = −5 ± 1 .

Отг.: x1 = −6, x2 = −4 .

Задача 3.

3.1 При какви стойности на параметъра q неравенството

реално x?

x 2 + qx − 1 < 1 е в сила за всяко 2x2 − 2x + 3

2 ( 2 x − 1) + 5 − 2x + 3 = > 0 ∀x ⇒ от

x 2 + qx − 1 < 1 получаваме 2 2x2 − 2x + 3 еквивалентното квадратно неравенство: x 2 − (q + 2) x + 4 > 0 , което е в сила за всяко реално x, когато дискриминантата на квадратния тричлен е отрицателна. Така получаваме (q + 2) 2 − 4.4 < 0 ⇒ (q − 2)(q + 6) < 0 ⇒ q ∈ (− 6, 2 ) .

РЕШЕНИЕ: 2 x

2

3.2 Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията

f (x ) =

x

2

2x 2 + 4

при x ∈ [− 1; 3] .

1 2  1 2 РЕШЕНИЕ: f ( x) = 1 − 2 . Тогава  = (1 − g ( x) ) , където g ( x) = 2 x +2 2 x +2 2 1 1 9 1 1 , min f ( x) = 1 − max g ( x) = (1 − g (0) ) = 0 . max f ( x) = 1 − min g ( x) = (1 − g (3) ) = −1≤ x ≤3 −1≤ x ≤3 −1≤ x ≤3 2 2 22 −1≤ x≤3 2 2

(

)

(

)

x2 + 2x − 3 3.3 Намерете границата lim 2 . x→∞ 2 x − 3 x + 4 2 3 1+ − 2 x2 + 2x − 3 x x =1. РЕШЕНИЕ: lim 2 = lim x →∞ 2 x − 3 x + 4 x →∞ 3 4 2 2− + 2 x x

Задача 4. Един от диагоналите на ромб го дели на два равностранни триъгълника. В ромба е вписан кръг с дължина на радиуса 2. Намерете отношението на лицето на кръга и лицето на ромба. РЕШЕНИЕ: Лицето S1 на вписания в ромба кръг е S1 = πr 2 = 4π . Лицето S на ромба е S=

S a2 3 π 3 2h , където a е страната на ромба, a = , където h = 2r = 4 . Тогава 1 = .

2 S 8 3

Минно – геоложки Университет “Свети Иван Рилски”

Критерии за оценяване на задачите ОТ ПРИЕМНИЯ ИЗПИТ ПО МАТЕМАТИКА НА 10.07.2013 г. ЗАДАЧА 1. Свеждане до подходящо квадратно уравнение Решаване на квадратното уравнение Получаване на решението на даденото уравнение

4 точки 1 т.

2 т.

1 т.

ЗАДАЧА 2. Преобразуване и намиране на поне един корен на уравнението Намиране на всички решения на уравнението

3 точки 2 т.

1 т.

ЗАДАЧА 3.

3.1 Подходящо еквивалентно преобразуване на неравенството 1 т. Определяне на търсените стойности на параметъра 2 т.

3.2 Намиране на най-малката стойност и на най-голямата стойност на функцията 3.3 Намиране на границата

7 точки

ЗАДАЧА 4. Съставяне на подходящи връзки между метрични елементи Намиране на търсеното отношение

4 точки 2 т.

2 т.

3 т.

1 т.

ЗАБЕЛЕЖКА: Горните критерии са съставени върху основа на решенията, дадени от авторите. Всички други възможни решения се оценяват по аналогичен начин в рамките на определените за съответната задача точки.

Формулата за определяне на оценката е 2 k<3  , Q= k = 3, ... ,18 3 + ( k − 3) . 0,2 където Q е окончателната оценка, а к е броят на получените точки.