Симулативен изпит – УАСГ 30.06.2013 г. 1. Задача (6 точки) Дадена е функцията f ( x) = 9 x − 4k .3x + 4k 2 − 2k + 1 , където k е реален параметър. а). (2 точки) Да се реши уравнението f ( x) = 0 при k = 1 . б). (2 точки) Да се реши неравенството f ( x) < 4 при k = 3 . в). (2 точки) За кои стойности на параметъра k уравнението f ( x) = 0 има реални корени x1 и x2 , за които x1 + x2 < 1 . 2. Задача (7 точки) В окръжност с радиус 1 е вписан трапец ABCD с основа AB = 2 и остър ъгъл между диагоналите ϕ . а). (3 точки) Да се докаже, че лицето на трапеца е равно на (1 + cos ϕ ) sin ϕ . б). (2 точки) Да се намерят височината и другата основа на трапеца. в). (2 точки) За коя стойност на ϕ лицето на трапеца е най-голямо?
3. Задача (7 точки) В четириъгълна пирамида ABCDM с връх M околният ръб MC е перпендикулярен на равнината ( ABC ) , ABCD е правоъгълник със страни AB = 1 и AD = 3 и AM сключва с равнината на основата ъгъл 60° . а). (3 точки) Да се намери обемът на пирамидата. б). (2 точки) Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина ρ , минаваща през BD и успоредна на AM . в). (2 точки) Да се намери разстоянието между правата AB и пресечницата на равнините ( ACM ) и ρ .
Забележка: Оценката е линейна функция F ( p ) = ap + b на броя на получените точки p . Стойностите на параметрите a и b се определят от Ректората.
Пожелаваме ви успех!