КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ 8.12.2007г. Име.....................................................училище...........град......................
1.
1
2.
4
<,>,=
3.
7
6+1
7
6-1
3+2
7+0
7
5+1
6
6+1
4+1
6-0
1kг =
кг
5kг =
7kг -
кг
6+
=
-3 =
0+
=
-0 =
кг
1+
=
5+
=
5. 5+1
6. 7.
7
+3 =
kг = 6кг 7kг =
4.
3+4
5+2
-5 = 7
6 4 2
3
6-3
7-6
-4 =
+0 =
6 +1 =
1 7 5
+7 =
+2 =
0
4 1 7 0 5 1
1
3 7
5
-7 = -4 =
7-5
6-2
-6 =
2
0 4 3 3 2 1
7-2
8.
+1 -3 +0
= =
-
10.
+2
+4
-2
+3
7 -0
+6
+6
-3
-4
-6
-2
?
= =
9.
-5 +3
-
+
=
+2
-2
+1
-1
4
6
Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г
2 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име...........................................................училище..........................................град......................
1 зад. Определете най-голямото число, което може да бъде поставено на мястото на ? така, че да е вярно неравенството 24– (?+3)>18–(5–3). а) не може да се определи б) 1 в) 2 г) друг отговор 2 зад. Намерете броя на двуцифрените числа с цифра на единиците с 2 по-голяма от цифрата на десетиците. а) 7 б) 6 в) 8 г) друг отговор 3 зад. С колко броят на квадратите е по-голям от броя на триъгълниците на чертежа:
а) 4 б) 5 в) 2 г) друг отговор 4 зад. С колко сборът В+D е по-малък от А+С, ако А = 59 – (21+13), В = (43+30) – 27, С = (100–60) + 25, D = (77–50)–3 ? а) 12 б) 20 в) 2 г) друг отговор 5 зад. Всички страни на триъгълник са по 2 см. Квадрат има обиколка, която е с 10 см. по-голяма от обиколката на триъгълника. Страната на квадрата е: а) 3 см. б) 1 см. в) 4 см. г) друг отговор
*
поставете числа, така че квадратите да са магически /сборовете по редове, 6 зад. На местата на колони и по двата диагонала да са равни/. Сборът на тези числа е
26 25 30
31 24 * 29 23 28
32 37 * 31 * 35 36 29 34
а) 90 б) 80 в) 89 г) друг отговор 7 зад. Като откриете следващото число в редицата 25, 24, 21, 16, 9, ? изчислете сбора на всичките шест числа. а) 95 б) 75 в) 96 г) друг отговор 8 зад. Дядо Коледа разнася подаръци като започва от Ани, минава при всяко дете само по един път и стига до Тодор. Колко метра изминава Дядо Коледа? а) 100м. б) 60м. в) 80м. г) друг отговор 9 зад. Ели закачила толкова играчки на елхата, колкото е броят на всички числа между 6 и 32 включително, в чийто запис няма цифрите 2 и 5. Лили закачила толкова играчки, колкото са начините числото 28 да се представи като сбор от две различни числа, без да се използва нула. Коя от двете е закачила повече играчки? а) Лили
б) равен брой
в) не може да се определи
г) друг отговор
10 зад. Най-голямото двуцифрено число с различни цифри намалете с числото, което се получава, ако към сбора на числа, които са по-малки от 18 и по-големи от 14 се прибави числото, което показва колко пъти в записа на числата от 1 до 100 се използва цифрата 7. ОТГОВОРИ: 1–г 4; 2–а; 3–г 3; 4–б; 5–в; 6–а; 7–а; 8-в; 9–б; 10 98-(48+20)=30
Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г
3 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име..................................................................................................училище..........................................град......................
1 зад. Стойността на израза 100 – (32:4 - 2 + 4:2).2 е равна на: а) 90 б)80 в) 84 г) друг отговор 2 зад. В един клас има 15 момичета и 13 момчета, като 17 от децата са с кафяви очи, а останалите - със сини. Ако 6 от момичетата имат сини очи, колко момчета имат кафяви очи? а) 4 б) 8 в) 10 г) друг отговор 3 зад. Една от страните на триъгълник е 7 см и е с 3 см по-дълга от втората страна и с 1 см покъса от третата страна. Обиколката на триъгълника е: а) 11 б) 19 в) 23 г) друг отговор 4 зад. За една книга заплатили 10 лв. и още половината от цената на книгата. Колко струва книгата? а) 20 лв. б) 15 лв. в) 10 лв. г) друг отговор 5 зад. Колко триъгълника има на чертежа? а) 6 б) 11 в) 12 г) друг отговор
6 зад. На реката няколко рибари уловили по 9 риби и няколко – по 7 риби. Общо хванали 50 риби. Колко рибари са хванали по 9 риби? а) 3 б) 2 в) 1 г) друг отговор 7 зад. Разликата на две числа е 29. С колко ще се измени тя, ако от умаляемото извадим 15, а към умалителя прибавим 14? а) 0 б) 1 в) 29 г) друг отговор 8 зад. Камион пътувал 2 часа. Всеки час изминавал по 71 км. Останали му 52 км по-малко от изминатия път. Колко километра е целия път? а) 142 б) 192 в) 220 г) друг отговор 9 зад. Обиколката на защрихованата част от правоъгълника е 54 см. Обиколката на незащрихованата част е: а) 21 см б) 69 см в) 84 см г) друг отговор 10 зад. Заменете буквите с цифри, така че да са изпълнени означените действия, като се знае, че всяка буква означава цифра (еднаквите букви – еднакви цифри, а различните букви - различни цифри). Кое число съответства на Ш А Х?
+
А Х А А Х А Ш А Х
ОТГОВОРИ 3 клас
1. в); 2. б); 3. б); 4. а); 5. б); 6. г) 4; 7. в); 8. г) 232; 9. г) 54; 10. отг. 659
РЕШЕНИЯ: 1 зад. 100 - (32:4 - 2 + 4:2).2=100 – (8 - 2 + 2).2=100 – 8.2 =100 – 16 = 84 2 зад. 15 + 13 = 28 деца има в класа. 28 – 17 = 11 деца са със сини очи. Тогава 11 – 6 = 5 момчета са със сини очи. Следователно 13 – 5 = 8 момчета са с кафяви очи. 3 зад. Втората страна на триъгълника е 7 – 3 = 4 см. Третата страна на триъгълника е 7 + 1 = 8 см. Обиколката на триъгълника е 7 + 4 + 8 = 19 см. 4 зад. Щом за книгата са заплатили 10 лв. и половината от цената и следва, че половината от цената и е 10 лв. Тогава книгата струва 10 + 10 = 20 лв. 5 зад. Отг. 11 триъгълника 6 зад. Ако един рибар е уловил 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 9 = 41 риби. Но 41 не се дели на 7. Ако двама рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 2.9=50 – 18 =32 риби. Но 32 не се дели на 7. Ако трима рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 3.9=50 – 27 = 23 риби. Но 23 не се дели на 7. Ако четирима рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 4.9 = 50 – 36 = 14 риби. 14:7=2, т.е. 4 рибари са уловили по 9 риби. Ако петима рибари са уловили по 9 риби, то останалите трябва да са уловили 50 – 5.9 = 50 – 45 = 5 риби – невъзможно. Следователно 4 рибари са уловили по 9 риби. 7 зад. От умаляемото вадим 15 следователно разликата намалява с 15. Към умалителя прибавяме 14 следователно разликата ще намалее с още 14. Общо разликата ще се измени с 15 + 14 = 29 8 зад. За два часа камионът изминал 71 + 71 = 142 км. Следователно му остава да измине 142 – 52 = 90 км. Тогава целият път ще е 142 + 90 = 232 км 9 зад. За да се намери обиколката на незащрихованата фигура трябва да се намери дължината на страната на малко квадратче. Но по-лесно е да се съобрази, че двете обиколки се получават от събирането на равен брой страни. Следователно са равни. Отг. 54 см 10 зад. От А + Х + А = Х , следва че А трябва да е или 5 или 0 /2 точки/. Тъй като А е цифра на десетици в двуцифрено число и цифра на стотици в трицифрено не може да е 0, следва да е 5 /3 точки/. Тогава от А + Х + А получаваме 1 наум. При сумата на десетиците получаваме Х + 5 + 1 = 5, т.е. Х е 9 и едно наум /7 точки/. Тогава Ш ще е 5 + 1 = 6 /3 точки/. За намиране на А – 5 точки; за намиране на Х – 7 точки; за намиране на Ш – 3 точки.
Автори: Здравка Минчева, Драгомир Драганов – РИО Велико Търново
Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г 4 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име...........................................................училище..........................................град......................
1 зад. Определете най-малкото число, което трябва да се постави на мястото на квадратчето, така че да е вярно неравенството + 7.65– 3.72 > 3 ( 2.7 + 69 ) а) 11 б) 9 в) 10 г) друг отговор 2 зад. Колко е броят на правоъгълниците от Чертеж.1, които имат обиколка равна на 6? а) 60 б) 10 в) 49 г) друг отговор 3 зад. Като използвате Чертеж.2 определете кое от твърденията е грешно? I BD е разлика на АD и AB II BD е разлика на BE и DE III BD е разлика на BC и CD IV BD е разлика на BF и DF
а) I
Чертеж.2 б) III и IV в) III
г) друг отговор
4 зад. Бащата на Иван купил елха и тръгнал в 18.35 часа от магазина към дома си. Трябвало да измине 3 км. За един час изминава 6 км. Обещал да занесе елхата в 19.00 часа. Колко минути ще закъснее? а) 10 б) 5 в) няма да закъснее г) друг отговор 5 зад. В шейната при Дядо Коледа се качили няколко джуджета. Шейната се тегли от 7 елена. Колко са джуджетата, ако всички крака са били 36? а) 4 б) 18 в) 3 г) друг отговор 6 зад. Равнобедрен триъгълник, правоъгълник и квадрат имат равни обиколки. Лицето на квадрата е 100 кв.см. Основата на триъгълника е 2 пъти по-малка от бедрото му и равна на една от страните на правоъгълника. Намерете другата страната на правоъгълника. а) 8 б) 16 в) 10 г) друг отговор 7 зад. Мария, Петя и Ели садили цветя. Мария садила 5 часа и засадила 60 цветя, Петя садила 4 часа, а Ели работила 6 часа и засадила 66 цветя. За един час Петя засаждала толкова цветя повече от Мария, колкото Ели за един час засаждала по-малко от Мария. Колко цветя е засадила Петя? а) 52 б) 46 в) 13 г) друг отговор 8 зад. Стефко получил коледния си подарък във вълшебна кутия, която има форма на куб. Ръбът на куба има дължина 1 дм. Кутията се отваря сама, но само ако правилно се изчисли в квадратни сантиметри сборът от лицата на всички квадрати. Колко е този сбор? а) 60 б) 6000 в) 600 г) друг отговор 9 зад. Ученици тръгнали на екскурзия на 28-ми в петък и се върнали на 1-ви пак в петък, като екскурзията им траяла общо 36 дена. През кои месеци са били на екскурзия? а) март, април и май б) юни и юли или май и юни в) юли и август г) друг отговор 10 зад. Джуджетата Даниел, Кирчо, Сергей и Пламен изработили подаръци. Броят на подаръците, изработени от Сергей и Пламен е число, четири пъти по-голямо от 27. Сергей е изработил с 6 подаръка по-малко от Пламен, Кирчо 3 пъти по-малко от Сергей, а Даниел с 36 по-малко от Пламен. По колко подаръка е изработило всяко от джуджетата?
ОТГОВОРИ: 1 - а); 2 - б); 3 - в); 4 - б); 5 - в); 6 - г) 12; 7 - а); 8 - в); 9 - г) декември, януари и февруари или юли, август и септември. РЕШЕНИЯ: 1 зад. + 7.65– 3.72 > 3 ( 2.7 + 69 ); + 455– 216 > 3 ( 14 + 69 ); + 239 > 3 *83; + 239 >249; =11 2 зад. Правоъгълниците са с размери 2 и 1. Броят им е 10. 3 зад. Грешно е третото твърдение. 4 зад. Три километра бащата изминава за половин час. Ще пристигне в 19.05 часа. Ще закъснее с 5 минути. 5 зад. Краката на елените са 7*4=28. Краката на джуджетата и Дядо Коледа са 36-28=8, а само на джуджетата – 6. Джуджетата са 6:2=3. 6 зад. Страната на квадрата е 10 см., а обиколата на всяка една от фигурите е 40 см. За триъгълника – 2х+2х+х=40, х=8, основата му е 8 см. За правоъгълника – (40-2*8)/2=12, другата страна е 12 см. 7 зад. Мария е засаждала по 60/5=12 цветя на час, а Ели – 66/6=11 цветя на час. Ели е засаждала с1211=1 цвете по-малко на час от Мария. Петя е засаждала по 12+1=13 цветя на час и е засадила 4*13=52 цветя. 8 зад. Ръбът на куба има дължина 10 см. Лицето на единия квадрат (околна стена) е 100 кв.см., а сборът от лицата на всички квадрати е 6*100=600 кв.см. 9 зад. Екскурзията започва през месец, който има 31 дена, продължава през целия следващ месец, който също има 31 дена и завършва през третия пореден месец. Възможните варианти са декември, януари и февруари или юли, август и септември. 10 зад. 4 . 27 = 108 подаръка общо са изработили Сергей и Пламен –> 2 точки (108 - 6) / 2 = 51 подаръка е изработил Сергей –> 4 точки 51 + 6 = 57 подаръка е изработил Пламен –> 2 точки 51 / 3 = 17 подаръка е изработил Кирчо –> 2 точки 57 – 36 = 21 подаръка е изработил Даниел –> 2 точки Останалите 3 точки са за цялостна и изчерпателна обосновка на решението.
Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 5клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име...............................................................................училище.........................град...................... Зад. 1. Стойността на израза 21 − 3, 075 : (m + 0 , 7 ) където m = 1,8 e: а) 1,23; б) 19,77; в) 20,23;
г) друг отговор;
Зад. 2. Ако 1,2.х − 5,13 = 2,04.2,5 то х е: а) 8,45; б) 8,525;
г) друг отговор;
в) 85,25;
Зад. 3. В едно семейство има пет сина. Всеки син има по една сестра. Колко са членовете на семейството? а) 8; б) 12; в) 6; г) друг отговор; Зад. 4. С колко ще се увеличи обиколката на правоъгълник, ако едното му измерение се намали с 1,2 дм, а другото се увеличи със 7,5 дм. а) 8,7 дм; б) 1,26 дм; в) 17,4 дм; г) друг отговор;
Зад. 5. Сборът на седем числа е 6,6. Шест от числата са равни, а седмото е с едно по-голямо от тях. Кои са числата? а) 1 и 0,6; б) 1 и 1,6; в) 0,6 и 1,6; г) друг отговор; Зад. 6. За три минути разрязали една дъска напречно, на по-малки дъски от по половин метър, като всяко разрязване траело по една минута. Да се намери дължината на дъската. а) 1,5 м; б) 15дм; в) 200см; г) друг отговор;
Зад. 7. Майката на Никола е на три пъти повече години от него, а баща му е с пет години по-възрастен от майка му. Тримата са общо на 82 години. Бащата е на: а) 38; б) 33; в) 11; г) друг отговор; Зад. 8. Няколко приятелки трябвало да купят подарък. Ако всяка даде по 6 лева, ще съберат 16 лева по-малко от стойността на подаръка; ако всяка даде по 9 лева, ще съберат 11 лева повече от стойността на подаръка.. Колко са приятелките? а) 11; б) 16; в) 8; г) друг отговор; Зад. 9. В 6ч. 30 мин. от град А за град В тръгва лека кола, която се движи със скорост 62,25 км/ч. В 9 ч. 30 мин. от град А в същата посока тръгва втора лека кола със скорост 67,5 км/ч. На колко километра една от друга ще се намират двете коли в 11 ч. 30 мин а) 331,25 км; б) 446,25 км; в) 176,25 км; г) друг отговор; Зад. 10. Имате три съда с вместимост 4 литра, 7 литра и 10 литра. В първия съд има 1 литър вода, във втория -7 литра, а в третия – 2 литра. С колко най-малко преливания можете да разделите водата на две равни части, като използвате само тези съдове?
5клас
Отговори: 1б; 2б; 3а; 4г - 12,6; 5г - 0,8 и 1,8; 6в; 7а; 8г-9 ; 9в; 10- 4 прливания.
Кратки решения 1 зад. 2 зад. 3 зад. 4 зад. 5 зад. 6 зад. 7 зад. 8 зад. 9 зад.
21 – 3,075 : 2,5 = 21 – 1,23 = 19,77 Х=8,525 бащата + майката + 5 синове + 1 дъщеря = 8 2.7,5 – 2.1,2 = 12,6дм (6,6 – 1):7 = 0,8 0,8+1 = 1,8 От три разрязвания се получават четири по-малки дъски по 50 см. Дължината на дъската е 200 см ( 82 - 5) : 7 = 11 Бащата е на 11.3 + 5 = 38 год. 9 – 6 = 3 лв., 16лв. + 11лв. = 27 лв., 27 : 3 = 9 приятелки 11ч. 30 мин. – 6. ч. 30 мин. = 5 ч. 5 . 62,25 = 311,25 км 11ч. 30 мин. – 9 ч. 30 мин. = 2 ч. 2 . 67,25 = 135 км 311,25 – 135 = 176,25 км.
10 зад.
1- съд 4 литра 1 литър 1 литър 0 литра 4 литра
2 – съд 7 литра вместимост първоначално количество 7 литра първо преливане 0 литра второ преливане 1 литра трето преливане 1 литър четвърто преливане 5 литра При правилно решаване, но с по- голям брой преливания- 10т.
3 - съд 10 литър 2 литра 9 литра 9 литра 5 литра 5 литра
6т 3т 3т 3т
Автори: Маргарита Цанова, Бисерка Петкова и Блага Маркова гр. Ботевград
Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 Време за работа: 120минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. „ Друг отговор” се приема за верен само при отбелязан резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, а от 4 до 6 с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.
ЗАДАЧИ ЗА 6 КЛАС Име...............................................................................училище.........................град...................... Зад 1. Стойността на израза 5.23-32.(12:4-1) е: а) 67 б) 4 в) 22
г) друг отговор
Зад 2. 2008- та цифра след десетичната запетая на десетичната дроб, равна на а) 1
б) 8
в) 7
2 е: 13
г) друг отговор.
Зад.3 Три кутии съдържат по един от следните предмети: монета, зарче и молив. Червената кутия е вдясно от молива, зелената кутия е вляво от бялата, зарчето е вдясно от червената кутия, а монетата е вляво от зарчето. В коя кутия е монетата? а) в зелената б) в червената в) не може да се определи г) друг отговор Зад 4. Точките А и В изобразяват на числовата ос съответно числата -2
3 5 и . 4 8
Кое число изобразява т. М, която е среда на отсечката АВ? a) -1
1 16
б)-2
1 8
в) -1
1 8
г) друг отговор.
Зад 5. Мартина и Антон учат в 6 клас. Мартина има толкова съученици, колкото и съученички, а броят на съучениците на Антон е а) 27
6 от броя на съученичките му. Колко са учениците в 6 клас? 7
б) 26
в) 25
Зад 6. Дадена е отсечката АВ = 16
г) друг отговор
2 см. Върху нея е взета точка М така, че дължината на АМ е 30 % от дължината 3
на АВ. Построен е квадрат АВСД и точка М е свързана с върха С на този квадрат . Лицето на четириъгълника АМСД е :
1 9
а) 361 кв. см
б) 180
5 кв. см. 9
в) 1377
7 кв. см. 9
Зад 7. Кое е най-голямото от числата 3100 ;25 25 ; 475; 749 ; 1635 а)1632 б ) 475 в) 2525
г) друг отговор. г) друг отговор
Зад 8. Диагоналите АС и ВД на успоредника АВСД се пресичат в точка О. Точката Е е средата на АО, а точка М е средата на ДЕ. Ако лицето на успоредника е 64 кв. см, то лицето на триъгълника СЕМ е : а)16 б)18 в)12 г) друг отговор. Зад 9. Крачун и Малчо се разхождат заедно,като тръгват едновременно от едно и също място в една и съща посока. Крачката на Малчо е с 25 % по-къса от тази на Крачун, но затова пък той прави с 25% повече крачки от него. След колко крачки на Крачун, Малчо ще бъде на 4 Крачунови крачки от него? а) 72 б) 60 в) 50 г) друг отговор Зад.10.Разстоянието между градовете Русе и Варна е 212,50 км. В 9 часа и 20 мин от Русе за Варна тръгнала лека кола, чиято скорост е такава, че изминава 60 км за 45 мин, а 1 час по-рано от Варна за Русе тръгнал камион, който се движи със скорост 62,5 % от скоростта на леката кола. а) Намерете в колко часа и на какво разстояние от Варна е станала срещата им. б) В колко часа разстоянието между двете превозни средства е било 19,5 км?
6клас
Отговори и кратки решения:
Отговори: Задача Зад.1. Отговор в/ 22
Зад.2. Зад.3. Зад.4. б) б ) а) 8 1 -1 16
Зад.5 а ) 27
Зад.6 Зад.7 б) г) 3100 5 180 кв. 9
Зад.8 в ) 12
Зад.9 г ) друг отговор (64)
Зад1. Решение: 5.8 - 9.2 = 40 -18 = 22 Отг. в) 22 Зад.2 Решение: 2:13=0,(153846) 2008= 6.334 + 4 следователно 4 цифра в периода е 8 т.е. 2008 цифра в редицата е 8 Отг. б) 8 зелена червена бяла Зад.3 Решение: молив монета зарче Отг.: б) червена 5 3 3 Зад.4 Решение: AB = + −2 = 3 8 4 8 3 27 3 27 1 1 т.М изобразява числото −1 АМ = 3 : 2 = −2 + = −1 8 16 4 16 16 16 1 Отг.: а) −1 16 6 Зад.5 Решение: Нека x са момчетата в класа следователно x+1 са момичетата ( x + 1) = ( x − 1) 7 Отг.: а) 27 следователно x=13 момчета, а класа е 27 ученика 2 Зад.6 Решение: АМ=30%. 16 =5 AMCD трапец 3 2 5 + 16 AM + CD 5 3 50 S= . AD = . = 180 2 2 3 9 Зад.7 Решение: 2525=550 475=2150=23.50=850 1635=470 3100=950 70 75 50 50 50 49 50 50 50 5 <8 7 <8 но 8 <9 следователно 3100 е 4 <4 =8 най- голямо Отг.: г) 3100 1 SOCD=SAOD= SABCD зад. 8 Решение: 4 1 1 SEOD= SAOD= SABCD 2 8 1 1 3 SECD=SOCD+SDEO= SABCD+ SACD= SABCD 4 8 8 1 1 3 3 SECM= SECD= . SABCD= .64 =12cm2 Oтг.:в) 12 2 2 8 16 Зад.9 Решение: 1 Крач.крачка = 1 единица 1 Малч.крачка = 0,75 единици За определено време Крачун прави 4 крачки = 4 единици
За същото време Малчо прави 5 крачки = 5.0,75=3,75 единици, т.е. 0,25 единици по-малко След 4.4=16 Крач.крачки, Крачун ще бъде на 4. 0,25 = 1 крачка пред Малчо. Слдователно след 4.16 = 64 Крачуновски крачки Крачун ще бъде на 4 крачки пред Малчо Отг: г) 64 3 = 80 км/ч. V в = 62,5%.80 = 50 км/ч. Нека след х часа от тръгването на леката 4 кола , е станала срещата: 80х +50(х+1) = 212,5 130х = 162,5 х = 1,25 часа = 1 часа и 15 мин. Следователно срещата е станала в 10 ч и 35 мин. На разстояние 2,25. 50= 112,5 км от Варна. б) Нека след у часа преди срещата разстоянието между тях е 19,5 км. 80у + 50(у+1) + 19,5 = 212,5 11 = 1час и 6 мин. Разстоянието 19,5 км между тях ще бъде в 10 часа и 26 мин преди да се 130у=143 у= 10 срещнат. Нека след z часа разстоянието между тях ще бъде 19,5 ,след срещата 80z + 50(z +1) – 19,5 = 212,5 130z = 21,5-50+19,5 130z = 182 z =1,4 часа = 1 час 24 мин Разстоянието 19,5 км между тях ще бъде в 10 часа и 44 мин след срещната. Зад.10 Решение: а)V р =60 :
-1-
КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – ТЕСТ ПО МАТЕМАТИКА – 7 КЛАС Уважаеми ученици, Този тест съдържа 40 задачи. Към част от тях са дадени по четири възможности за отговор – А), Б), В), и Г), от които само един е правилен. Вие трябва да изберете само един отговор – този, който според Вас е правилен. Към останалите задачи не са дадени възможни отговори. На тях Вие трябва да намерите отговора. Всички отговори попълнете в ЛИСТА ЗА ОТГОВОРИ. Срещу номера на съответната задача зачертайте със знака Х отговора, който приемате за верен. Ако след това прецените, че първоначалният Ви отговор не е правилен и искате да го поправите, запълнете правоъгълника с грешния отговор и зачертайте с Х буквата на друг отговор който приемате за верен. Отговорите на задачите, които нямат дадени възможности за отговор, запишете на празните места срещу номерата на съответните задачи в листа с отговори. Ако решите, че сте сбъркали, зачертайте грешния според Вас отговор със знака “Х” и запишете до него получения отговор. Правилните отговори на задачи от 1 до 15 се оценяват с по 1 точка, на задачи от 16 до 30– с по 2 точки и на задачи от 31 до 40 – с по 3 точки. Неправилни решения, задачи с недействителни отговори и задачи оставени без отговор се оценяват с по 0 точки. . Успешна работа! Задачи 1 - 15 (всяка по 1 точкa) 1. Стойността на израза 0,1- 0,099 е: A) 0,1 Б) 0,01 2. Сборът A)
В) 0,001
Г) 0,011
5 5 + е равен на: 27 9
10 36
Б)
20 27
3. Кое от следните равенства не е вярно: 2 3 1 1 1 1 А) 1 + = 2 Б) + + = 1 5 5 2 3 5 30 4 3 4. Ако х : = 1 то х е: 7 4 16 Б) A) 1 49
В)
10 27
В) 3 − 2
В) 0
2 3 =1 5 5
Г)
5 36
Г)
1 1 1 31 + + − =0 2 3 5 30
Г)
8 7
5. Колко процента заема защрихованата част от правоъгълника, показан на чертежа ? А) 85%
Б) 70%
В) 75%
Г) 95%
6. 6% от половината на 200 са равни на: A) 12 Б) 6
В) 15
Г) 3
-2-
7. Заплатата на г-н Петров е 300 лв. С колко процента ще бъде увеличена тя, ако от другия месец ще получава 318 лв.? A) 18% Б) 9% В) 6% Г) 10% 8. В един клас има 18 момичета, които са 60% от учениците в класа . Колко момчета има в класа? A) 10 Б) 12 В) 8 Г) 9 9. Ако (х2)3 = х5 , то x е: A) 1 10. Изразът A) 2
Б) 0 или 1
8 3 .4 2 е равен на: 32 2 Б) 4
В) -1 или 0 или 1
В) 8
11. Ако 5 : x = 17 : 2 , то х е равно на: 10 Б) A) 1,7 17
В)
34 5
Г) 0
Г) 16
Г) 1,5
12. Стойността на израза 1 − 3 х − 5 х − 1 − 3 х − 1 за x = −0,4 е равна на: А) 1 Б) -1 В) 3 Г) - 3 2 13. 66 % от 100 е: 3 20000 A) 3
Б)
200 3
В)
2 3
Г)
2000 3
14. Четири еднакви кубчета с ръб 2 см са подредени, както е показано на чертежа. Намерете лицето на повърхнината на полученото тяло в см 2 : А) 96
Б) 84
В)80
Г)72
15. Повърхнината на куб е 24см2. Обемът на куба е равен на? А) 12см3 Б) 6см3 В) 8см3
Г) 9см3
Задачи 16 – 30 (всяка по 2точки) 16. Колко са нечетните двуцифрени числа с различни цифри? А) 35 Б) 40 В) 45
Г) 50
17. На колко е равно произведението на целите числа х, за които 4 ≤ x ≤ 2π ? A) 400 Б) – 400 В) – 14400 Г) 14400 18. Мечо Пух изяжда за 30 дни 14 буркана с мед. За колко дни ще изяде 35 буркана с мед? А) 60 Б) 70 В) 80 Г) 75
-3-
19. Колко градуса изминава часовата стрелка на часовник за 10 минути? А) 30 Б) 50 В) 60 Г)100 20. Ако a:b =2:3, b:c = 4:5 и c:d = 5:6, то отношението а:d е равно на: А) 1: 3 Б) 2:5 В) 3:4 Г) 4:9 21. Права призма има 10 околни стени. Броят на ръбовете на тази призма е равен на: А)10 Б) 20 В) 30 Г) 40 22. Пресметнете стойността на израза 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ⋯ + 2005 − 2006 + 2007 − 2008 . А) 2008
Б) − 2008
В) 1004
Г) − 1004
23. Телевизорът на Иво има канали с номера от 0 до 50.Ако Иво започне от канал с номер 15 да натиска клавиша на дистанционното 100 пъти постъпателно с 1 (16, 17, 18, и т.н.) на какъв номер е спрял Иво? (Отговора запишете в листа за отговори) 24. Две коли, намиращи се на разстояние 70 km една от друга, тръгват едновременно в противоположни посоки, като едната се движи със скорост 60 km/h, a другата – с 80 кm/h. След колко време разстоянието между колите ще бъде 350 km? (Отговорите запишете в листа за отговори) 25. От пет еднакви квадрата е съставен правоъгълник с лице 80см2. Колко сантиметра е обиколката на правоъгълник съставен от 7 такива квадрата? А) 60см Б) 64см В) 68см Г) 88см 26. Даден е триъгълник АBC и нека точка М дели страната AB в отношение 3:1, считано от A към B, а точката N дели страната BC в отношение 1:2, считано от B към C.Каква част от лицето на триъгълника ABC е лицето на триъгълника MBN? (Отговора запишете в листа за отговори) 27. Трима автори разпределили хонорар в отношение 3:4:5. Ако си бяха разпределили хонорара по равно, един от авторите щеше да получи 100лв. повече от първоначалното разпределение. Колко е стойността на целия хонорар? (Отговора запишете в листа за отговори) 3 28. След като Иво решил от заплануваните задачи, му останали с 5 по-малко нерешени 5 задачи от решените. Колко задачи е решил Иво? (Отговора запишете в листа за отговори) 29. От хижа А тръгнал турист, движещ се със скорост 3,5 km/h. Два часа по-късно по същия път след него тръгнал друг турист със скорост 6 km/h. Колко време след тръгването си вторият турист ще настигне първия? (Отговора запишете в листа за отговори) 30. В една кошница има 12 зелени и 13 червени ябълки. Ако в кошницата няма други ябълки, то колко ябълки най- малко трябва да извадим от нея без да гледаме, за да сме сигурни че между извадените има 3 червени? (Отговора запишете в листа за отговори)
-4-
Задачи 31 – 40 (всяка по 3 точки ) D
C
4 е записано като безкрайна десетична периодична 7 A дроб, коя цифра стои на стотно място след десетичната запетая? А) 2 Б) 4 В) 8 Г)1
B
31. Даден е квадрат със страна 2 см. С центрове точките А и С, с радиуси 2 см са начертани дъги от окръжности (виж чертежa). Лицето на защрихованата част е: А)
Б) π − 4
2π − 4
В) π
Г) 4 − π
32. Ако числото
33. Коя е цифрата на единиците на 22008 ? (Отговора запишете в листа за отговори) 34. Петима ученика решили общо 11 задачи. Кое от следните твърдения със сигурност е вярно? А) Някой е решил точно 2 задачи. Б) Някой е решил точно 3 задачи. В) Някой решил повече от 4 задачи. Г) Някой решил по-малко от 3 задачи. 35. Какво следва със сигурност от поговорката ”Който пее зло не мисли”, ако Х „ мисли зло”? А) Х не пее Б) Х пее В) не може да се твърди нито, че Х пее, нито обратното Г) нито едно от предходните твърдения не следва със сигурност. 36. Двама работника свършват определена работа за 2 часа. За колко време 3 работника ще свършат половината работа? (Отговора запишете в листа за отговори) 37. Том пресметнал, че се движи със скорост 10 км/ч. Том допуснал само две грешки: пресмятал, че 1 км е равен на 600 м, и че 1 час е равен на 100 минути. Каква е истинската скорост на Том в км/ч.? А) 4 Б) 3,6 В) 6 Г) 5 38. Иво решил в събота да отиде на мач или на кино, но не изпълнил намерението си. Тогава, какво може да се твърди със сигурност?: A) ходил е на кино, но не е ходил на мач;
Б) ходил е на мач, но не е ходил на кино;
В) ходил е на мач и на кино;
Г) не е ходил нито на мач, нито на кино.
39. Продавачката в магазина попитала господин Многознайков дали има 20 стотинки за да му върне рестото с банкнота. Той отговорил, че това не е невъзможно. Какво може да се твърди със сигурност: A) той има 20 ст.
Б) той няма 20 ст.
В) възможно е да има 20ст.
Г) нито един от посочените отговори
40. Най-голямото естествено число, на което винаги се дели сборът на три последователни четни числа е : A) 4
Б) 6
В) 8
Г) 12
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Отг.
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
Отг.
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Отг.
ОБЩ БРОЙ ТОЧКИ:...............................
Бр. верни отговори:…….x 1 точка………. ..
Отг.
Въпрос N
А А А А
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Б Б Б Б
Б
В В
В В
В
Отг. В В
Г
Г Г Г
Г
Отг. Г Г
15
2h48min
1/12 1200лв 15
ПРОВЕРИЛ : ……………………………….
Бр .верни отговори……….х 2точки ………
30
29
А
18
Отг. Б Б
13 2 часа или 3 часа А В Г Б
Отг. А А
Въпрос N 16 17 6
В
В
В
В
Отг.
Б
Б
Б
Б
В
В
В
В
40мин.
Б
Б
Б
Б
Отг.
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Отг.
Бр. верни отговори ……х 3точки……..
А
А
39 40
А
А
А
А
А
А
Отг.
38
37
36
35
34
33
32
31
Въпрос N
Име: …………………………………………………………………………... Училище: ……………………………………… гр./с.: ……………………..
ЛИСТ ЗА ОТГОВОРИ:
5
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
В
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
А А А А
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30
29
А
18
А
Отг. А А
Въпрос N 16 17
Б
Б Б Б Б
Б
Отг. Б Б
В
В В В В
В
Отг. В В
Г
Г Г Г Г
Г
Отг. Г Г
ПРОВЕРИЛ : ……………………………….
А
3
Б
В
Отг.
ОБЩ БРОЙ ТОЧКИ:...............................
А
2
Б
Отг.
Бр .верни отговори……….х 2точки
А
1
Отг.
Бр. верни отговори:………….x 1 точка ..
Отг.
Въпрос N
А А
39 40
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Отг.
В
В
В
В
В
В
В
В
Отг.
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Отг.
Бр. верни отговори …………х 3точки…
А
А
А
А
A
А
Отг.
38
37
36
35
34
33
32
31
Въпрос N
Име: …………………………………………………………………………... Училище: ……………………………………… гр./с.: ……………………..
ЛИСТ ЗА ОТГОВОРИ:
6
Секция “Изток“- СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г. 8 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки.
Организаторите Ви пожелават успех! Име.............................................................училище.........................................град............................ 1 зад. Стойността на израза а) 2 3 − 3 ;
(
152 − 122 + 147 − 5 + 3
б) 2 3 + 15 ;
)
3−
в) 2 3 − 9 ;
( −3 )
4
е:
г) друг отговор.
2 зад. Успоредник АВСD, за който AB + BC = AB − AD е винаги :
а) квадрат;
б) правоъгълник;
в) ромб;
г) друг отговор.
x + 2 x −1 x − 2 x −1 + : − e: x x+2 x x+2 в) х = 0; -2; 4; г) друг отговор.
3 зад. Множеството от недопустими стойности на израза а) х = 0; -2;
б) х ≠ 0; -2; 4 ;
4 зад. В остроъгълен △ АВС отсечката СН е височина. Ъглополовящата на ∡ АВС пресича СН в точка L така, че CL : LH = 2 : 1. Ако СН = 15 см, то дължината на LB е : а) 7,5 см; б) 10 ; в) 2,5; г) друг отговор. 5 зад. Стойността на израза а) 4;
9+4 5 + 9−4 5 е :
б) 2 5 ;
в) 6 ;
г) друг отговор.
6 зад. В квадрат АВСD точките M и N са средите на страните АВ и АD. Отношението на лицата на триъгълниците ANM и MNC е : а) 1: 4 ; б) 2: 3; в) 1: 3; г) друг отговор. 7 зад. Множеството от стойности на параметъра р, за които уравнението
( px − 1)( x + 2 ) + 1 = а) p ≠ −1 ;
p 2 − ( x − p ) има два различни реални корена е : 2
5 б) p ∈ − , ∞ ; 4
5 в) p ∈ − , ∞ ; 4
г) друг отговор.
8 зад. В едно училище приели в 8 клас 78 ученика. От тях 43 посещавали курс по математика, 37 – курс по български език, 18 – курс по английски език. На курс по математика и български език едновременно са ходили 18 ученика, по български език и английски – 6, а по математика и английски език – 7. Оказало се, че трима ученика са посещавали и трите курса. Учениците, които не са посещавали никакъв курс са : а) 4; б) 8; в) 12; г) друг отговор. 9 зад. Решение на уравнението 2 x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 2 x + 1 = 0 е наредената двойка (x, y) : 1 а) (1; 1); б) (-1; 2); в) ;1 ; г) друг отговор. 2 10 зад. Даден е правоъгълен триъгълник АВС (∠С = 90˚ ). Ъглополовящата на ∠ВАС пресича ВС в точка L. Височината на триъгълник АВС през върха С пресича АВ в точка Н и височината на триъгълника ALC, спусната от С, пресича AL в т. Q. Да се намери ∠СНQ, ако АН = CQ. .
Отговори :
1. а
2. б
3. в
4. б
5. б
6. в
7. г 5 − ,−1 ∪ (− 1, ∞ ) 4
8. б
9. г 1 1; 2
Кратки решения : 1 зад. 27.3 + 7 3 − 5 3 − 3 − 9 = 9 + 2 3 − 3 − 9 = 2 3 − 3 2 зад. AC = BD x + 2 x − 1 x. ( x + 2 ) . + ⇒ x = 0; −2; 4 са недопустими стойности x x+2 x−4 1 4 зад. Нека LP ⊥ BC . Триъгълник LPC – правоъгълен и LP= CL ⇒ ∢ LCP = 30° ⇒ ∢ ABC = 60˚ 2 ⇒ △ BLC е равнобедрен ⇒ BL = 10 см
3 зад.
(
)
(
2
)
2
5 зад. 2 + 5 + 2 − 5 = 2 + 5 + 5 − 2 = 2 5 6 зад. S - .лице на квадрат 1aa 1 1 1 3 1 S AMN = = S ; S MNC = S - S + S + S = S 222 8 4 4 8 8 2 2 2 7 зад. px + 2 px − x − 2 + 1 = p − x + 2 px − p 2
( p + 1) x 2 − x − 1 = 0, p ≠ −1 5 D = 4 p + 5 > 0 ⇒ x ∈ − , −1 ∪ ( −1, ∞ ) 4 8 зад. М – 21 ; БЕЛ – 16 ; АЕ – 8 ; М, БЕЛ – 18 ; БЕЛ, АЕ – 6 ; М, АЕ – 7 ; М, БЕЛ, АЕ – 3 Общо – 70 Не са участвали 8 ученика. 9 зад. 2 x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 2 x + 1 = 0 ⇒ ( x 2 − 2 x + 1) + ( x 2 − 4 xy + 4 y 2 ) = 0
( x − 1)
2
+ ( x − 2 y ) = 0 ⇒ x = 1, y = 2
1 2
10 зад. ∆AHC≅∆CQА⇒CH=AQ, ∠ACH=∠CAQ=α. ∆AHC е правоъгълен ⇒3α=90° ⇒α=30°. В ∆AQC ∠ACQ=60°. ∠ACH=30° ⇒ ∠HCQ=30°. ∆AHQ≅∆CQH ⇒ ∠CHQ=∠AQH ⇒ ∆HPQ равнобедрен (CH преича AQ в точката P) ⇒ ∠CHQ=(180°-∠HPQ):2=30°.
Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г. 9 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех!
Име...........................................................училище..........................................град...................... Зад 1. Ако x>3, то изразът x + 2 + x − 3 2 + x + 3 − x е равен на: a) -7; б) -2x-1; в) 1; Зад 2. Кое от уравненията няма реални корени? a) x 2 + x − 4 = 0 ; б) x 2 + x − 1 = 0 ;
г) друг отговор.
в) x 2 + 2 x + 1 = 0 ;
г) x 2 − x + 4 = 0 .
Зад 3. Периметърът на триъгълник е 63см. Да се намери периметъра на триъгълника с върхове в средите на страните на дадения триъгълник в сантиметри.
а) 21;
б) 31,5;
в) 15,75;
г) друг отговор
Зад 4. Ако -1+2-3+4-5+......................-x+(x+1)=2007, то x е равно на: а) 4012; б) 4013; в) 4014; г) друг отговор. 2 2 2 x + 2 x − 4x + 3 x + 4x + 4 Зад 5. . : е равно на: 2 x − 3 x 2 + 4 x + 3 9 x − x +1 x−3 x −1 ; б) ; в) ; г) друг отговор. a) x −1 x+3 x +1 Зад 6. Медианите AM и CN на триъгълник ABC са перпендикулярни. Ако AM=12см и CN=10см, то лицето на триъгълник ABC е: б) 40кв.см; в) 80кв.см; г) друг отговор. a) 60кв.см; 2007 6−4 2 2007 1 . Зад 7. 3 + 2 2 е равно на: + 2007 1004 4 3− 2 2 a) 2; б) 6; в) 10; г) друг отговор. Зад 8. Точката M дели отсечката АВ вътрешно в отношение 3:5, а O е произволна точка нележаща на правата AB. Ако OA = a , OB = b , то OM e равен на : 3 1 1 3 5 а) a +b ; б) a + b ; в) a + b ; г) друг отговор. 5 3 5 8 8 2 1 Зад 9. Ако f ( x ) = , x ≠ − , то стойността на израза 2x +1 2
(
(
)
(
(
)
)
)
f (1) f (2) + f ( 2) f (3) + f (3) f (4) + ... + f (1002) f (1003) е: 1336 2003 668 a) ; б) ; в) ; 2007 6021 2007
г) друг отговор.
Зад 10. Ако разделим двуцифрено число на сбора от цифрите му, ще получим частно 7 и остатък 6. Ако разделим числото на цифрата на единиците, ще получим частно 27 и остатък 2. Намерете числото.
Отговори и решения-9 клас Отговори: 1-а); 2-г) ; 3-б); 4-б); 5-в); 6-в); 7-г) 1; 8-г)
5 3 a + b ; 9-a) 8 8
Решения : Задача1. x + 2 + x − 3 2 + x + 3 − x = x + ( 2 + x ) − 3 ( 2 + x ) − ( 3 − x ) = x + 2 + x − 6 − 3 x − 3 + x = −7 Задача2. Отг. г). Задача3. Нека даденият триъгълник е ABC и средите на страните му AB, BC и CA са съответно M, N и P. 1 1 1 Тогава MN = AC , MP = BC и PN = AB като средни отсечки в △ ABC . Следователно 2 2 2 1 1 1 63 MN + MP + PN = AC + BC + AB = = 31,5 . 2 2 2 2 x +1 Задача4. ( -1+2)+(-3+4)+(-5+6)+.....................+(-x+(x+1))=2007, 1+1+…….+1=2007, = 2007 , x=4013 2 x + 2 2 x 2 − 4 x + 3 x 2 + 4 x + 4 ( x + 2 ) 2 ( x − 1)( x − 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 1) Задача5. . : . = = 2 x − 3 x 2 + 4 x + 3 ( x − 3) 2 ( x + 1)( x + 3) ( x + 2 )2 9 − x ( x + 1) Задача6. Ако G е пресечната точка на медианите в △ ABC , то тя ги дели в отношение 2:1 считано от 2 AG.CN върховете на триъгълника. Тогава AG = AM = 8 и S ABC = 2 S ANC = 2 = 80кв.см . 3 2 6 − 4 2 2007 22007 3 − 2 2 2007 2007 2007 1 1 . . Задача7. 3 + 2 2 + = 3+ 2 2 + = 2007 2007 1004 4 22008 3− 2 2 3− 2 2 2007 2007 2007 1 . 1 = 2. 1 = 1 = 3+ 2 2 3− 2 2 + 3− 2 2 2007 2 2 3− 2 2 3 5 Задача 8. Ясно е, че OM = OA + AM и OM = OB + BM . Тогава OM = а + AB и OM = b − AB . След като 8 8 умножим първото равенство по 5, а второто по 3 и ги съберем ще получим 15 15 5 3 5OM + 3OM = 5а + AB + 3b − AB = 5а + 3b . Следователно OM = а + b . 8 8 8 8 4 4 4 4 Задача9. f (1) f (2) + f (2) f (3) + f (3) f (4) + ... + f (1002) f (1003) = + + + ..... + = 3.5 5.7 7.9 2005.2007 2007 − 2005 1 1 1 1336 5−3 7−5 9−7 1 1 1 1 1 = 2. + + + .... − = 2. − + − + ..... + = 2. − = 5.7 7.9. 2005.2007 2005 2007 3.5 3 5 5 7 3 2007 2007
(
(
) (
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
)
Задача10. Ако означим цифрата на единиците с y, а на десетиците с x, тогава от условието следва системата 10 x + y = 7( x + y ) + 6 и нейното решение е x=8, y=3. 10 x + y = 27 y + 2 Търсеното число е 83.
Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г. 10 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име...........................................................училище..........................................град......................
(
)(
)
Зад 1. Стойността на израза 5 72 − 2 18 − 3 32 : 4 3 e: б) 6 ; в) 3 6 ; г) друг отговор. а) 3 3 ; Зад 2. Катетът и хипотенузата в правоъгълен триъгълник имат дължини съответно 6см и 8 см. Дължината на височината към хипотенузата е: 3 7 3 7 а) 3 7 см; б) см; в) см; г) друг отговор. 4 2 1 Зад 3. Ако α е остър ъгъл и sin α = ,то стойността на sin α .tgα е: 3 2 2 2 2 а) ; б) ; в) ; г) друг отговор. 12 4 3 ( x − 2 )( x + 3) ≥ 0 е: Зад 4. Множеството от решенията на неравенството 2 ( x − 5)
а) ( −∞, −3] ∪ [ 2, ∞ ) ;
б) ( −∞,3) ∪ [ 2, ∞ ) ;
Зад 5. Ако x1 и x2 са корени на уравнението
в) [ −3, 2] ;
г) друг отговор.
3x 2 − x − 1 = 0 , то x13 x2 + x1 x2 3 е равно на:
3 −6 6+ 3 ; б) − ; 9 9 Зад 6. Произведението от корените на уравнението 9 9 б) − ; а) ; 4 4
в) −
(2
);
3 +1
г) друг отговор. 3 2 x − 3 = 4 x − 2 x + 3 е: 3 в) ; г) друг отговор. 2 x− y Зад 7. Ако x 2 − 7 xy + 12 y 2 = 0 и x и y са отрицателни числа, то е равно на: x+ y 1 3 1 3 б) ; в) или ; г) друг отговор. а) ; 2 5 2 5 Зад 8. Точките M и N са съответно от страните BC и CD на успоредника ABCD. Ако M е среда BC, а отношението CN:ND = 2:3 и O е пресечната точка на AM и BN, то отношението AO:AM е: а) 2 : 3 ; б) 5 : 6 ; в) 1: 5 ; г) друг отговор. а)
Зад 9. Ако
(x
2
а) −2 3 ;
− 3)
2
2
3x + 3 3 2x + + 2 + = 0 , то стойността на а − x е: a 2 б) − 3 ; в) 0;
г) друг отговор.
Зад 10. Медицентърът на равнобедрения триъгълник ABC (AC=BC), лежи на вписаната му окръжност. Да се намери периметъра на на триъгълника, ако AB=10см.
Отговори 10 клас 1.б); 2.в); 3.а); 4.г) ( −∞, −3] ∪ [ 2,5 ) ∪ ( 5, ∞ ) ; 6.в); 5.б); 7.в); 8.б); 9.г) 2 3 . Решения:
(
)(
) (
)(
)
12 2 = 6 4 3 Зад 2. От Питагоровата теорема за дадения триъгълник следва, че другият катет има дължина 6.2 7 3 7 см. 2 7 см. Тогава височината към хипотенузата има дължина = 8 2 1 2 2 1 1 1 2 . Зад 3. cos α = 1 − sin 2 α = 1 − = . Тогава sin α .tgα = sin 2 α = . = 9 3 cos α 9 2 2 12 3 x≠5 Зад 4. Ясно е, че даденото неравенство е еквивалентно на ( x − 2 )( x + 3) ≥ 0
Зад 1. 5 72 − 2 18 − 3 32 : 4 3 = 30 2 − 6 2 − 12 2 : 4 3 =
Следователно x ∈ ( −∞, −3] ∪ [ 2,5 ) ∪ ( 5, ∞ ) . 3 3 Зад 5. От формулите на Виет следва, че 3 x1 x2 = − 3 x1 + x2 =
3 3 3 6+ 3 Тогава x x + x1 x2 = x1 x2 ( x + x ) = x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = − − − 2 = − 3 3 9 3 Зад 6. Уравнението 2 x − 3 = 4 x − 2 x + 3 е еквивалентно на системата 3 x≥ 2x − 3 ≥ 0 2 2x + 3 ≥ 0 3 3 x≥− Следователно и решение на тази система е x = , което 4x ≥ 0 2 2 2 2 x≥0 2x − 3 + 2x + 3 = 4x 4 x2 − 9 = 0 е решение и на даденото уравнение. 3 1 2
(
3
) (
2 1
2 2
(
2
)
2
)
Зад 7. Ясно е, че y=0 не е решение. Тогава уравнението x 2 − 7 xy + 12 y 2 = 0 е еквивалентно на 2
x x x 2 − 7 + 12 = 0 . Ако положим = z , то от z − 7 z + 12 = 0 следва,че z = 3 или z = 4 . y y y x −1 x− y y z −1 1 3 Следователно . Тогава при z = 3 отговорът е , а при z = 4 е . = = x + y x +1 z +1 2 5 y
Зад 8. Нека точка R е от отсечката BN такава, че MR е успоредна на CD. Ако означим CN=2k, то ND=3k и AB=5k. MR е средна отсечка в триъгълник NBC и MR=к. От △ ABO ∼△ MRO следва, че AB AO 5k 5 = = = . Следователно AO:AM=5:6. MR MO k 1 Зад 9. Тъй като всяко от събираемите от лявата част на уравнението е по-голямо или равно на нула,
(x
то за да има решение трябва и трите да са 0 т.е. 2
3x + 3 3 9 2x 2 x + a = 0 и +2 = = x + 3 a a 2 4
(
)
2
2
(
)(
)
− 3) = x 2 − 3 = x − 3 x + 3 = 0 , 2
= 0 . От първото и третото равенство следва, че
(
)
x = − 3 , а от второто x = − a . Тогава a = 3 и a − x = 3 − − 3 = 2 3 . Зад 10. Нека точките E, M и O са съответно средата на AB, медицентърът и центърът на вписаната окръжност за триъгълник ABC. От AC=BC следва, че M и O са от медианата CE. Тогава CM:ME=2:1 и MO=OE, откъдето следва, че CO:OE=5:1. Тъй като O e пресечна точка на ъглополовящите в триъгълник ABC, то като приложим свойството на ъглополовящите за триъгълник AEC ще получим, че AE:AC=EO:OC=1:5. Но AE=5см и тогава AC=25см. Следователно PABC = 10 + 25 + 25 = 60см .
Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 8.12.2007 г 11 клас Времето за решаване е 120 минути. Регламент: Всяка задача от 1 до 9 има само един верен отговор. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите от 1 до 3 се оценяват с по 3 точки, задачите от 4 до 6 се оценяват с по 5 точки, задачите от 7 до 9 се оценяват с по 7 точки. Задача 10 се решава подробно и се оценява с 15 точки. Организаторите Ви пожелават успех! Име...........................................................училище..........................................град......................
1 зад. Решенията на неравенството ( x + 2 ) ( x − 1)( 3 − x ) ≥ 0 са: 2
а) (− ∞;−2] ∪ [1;3] ;
б) [1;3] ∪ {− 2};
в) (− ∞;1] ∪ [3;+∞ ) ;
г) друг отговор.
2 зад. Дадена е аритметична прогресия, за която a 2 = 0, a 6 = 12 . На колко е равен десетият член на прогресията? а) 27; б) 24; в) 30; г) друг отговор. 3 зад. Ъглите в правоъгълен триъгълник образуват аритметична прогресия. Най-малката страна е 5. На колко е равна медианата към най-голямата страна? а) 2,5; б) 5 2 ; в) 5; г) друг отговор.
(
)
4 зад. За ъглите α , β , γ , от интервала 0 0 ;180 0 , е изпълнено равенството sin α . sin β . sin γ = 1 . Кое от твърденията е вярно? а) α − β > 0 ; б) α + β = γ ; в) α + β + γ = 270 0 ; г) друг отговор. 5 зад. На колко е равен ъгълът на правилен четиридесетоъгълник ? б) 1710; в) 1600; а) 1400;
г) друг отговор.
6 зад. Графиката на у = х 2 − 4 представлява: а) части от две параболи; б) парабола;
в) две параболи;
г) две прави.
7 зад. Колко различни шестбуквени думи, без повторение на буквите, могат да се съставят от К, О, Л, Е, Д и А така, че думите да започват и завършват с гласна буква? в) 144; г) друг отговор. а) 6!; б) С 62 ; 8 зад. Триъгълник АВС е вписан в окръжност с радиус R. Ако страната AB = R, на колко е равен ъгъл ACB? а) 300; б) 900 в) 1500; г) друг отговор.
(
)
2
9 зад. Корените на уравнението x 2 − 4 x + 4 = 5 x 2 + 2 + x − x 2 са: 1 а) 0; б) 0 и − ; в) няма корени; г) друг отговор. 2 10 зад. Числата a, b и c в този ред образуват аритметична прогресия и b е средно геометрично на a и c. а) Докажете, че a, b и c равни; 0 0 б) Намерете числените стойности на x, y и z, ако a=tgx+cotgx, x ∈ 0 ;90 ,
(
b = 2 − y + 6 yz − 9 z и c = log 2
2
5
z.
)
Отговори: 1 2 3
4
5
6
7
Б
В
Б
А
В
Б
В
8 Г 300 или 1500
9 А
Решения и упътвания: 1 зад. х = –2 не променя знака на израза, следователно решения на неравенството са решенията на квадратното неравенство ( x − 1)(3 − x ) ≤ 0 ∪ x = −2 . a1 + d = 0 2 зад. Решаваме системата , с решение а1 = -3, d = 3 ⇒ a10 = a1 + 9d = 24 . a1 + 5d = 12 3 зад. Нека α < β < γ = 90 0 са ъглите в триъгълника. От прогресията ⇒ 2 β = α + γ . Но α = 90 0 − β , γ = 90 0 , откъдето получаваме α = 30 0 , β = 60 0 . Хипотенузата е два пъти по-голяма от най-малкия катет, а медианата към най-голямата страна (хипотенузата) е половината от нея. 4 зад. Произведението на три числа в интервала (0;1] е единица, тогава и само тогава, когато всяко от тях е 1 ⇒ α = β = γ = 90 0 . 5 зад. Всеки n – ъгълник, чрез всички диагонали през един от върховете, можем да разделим на (n-2) триъгълника, тогава сборът от ъглите на всеки n – ъгълник е (n-2).1800. Всички ъгли на (40 − 2).180 0 = 1710 правилния многоъгълник са равни, в случая 40 6 зад. 7 зад. Ако фиксираме първа и последна позиция, останалите символи можем да подредим по P4 = 4!= 4.3.2.1 = 24 начина. Гласните букви може да поставим на първа и последна позиция по V32 = 3.2 = 6 начина, общо 6.24 = 144 думи. 8 зад. От синусова теорема АB = 2 R sin ∠ACB , от условието 1 получаваме sin ∠ACB = , откъдето ∠АСВ е 300 или 1500. 2 9 зад. Допустимите стойности на уравнението са x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ [0;1] , тогава уравнението е равносилно на
x − 2 = 5 x 2 + 2 + x − x 2 , но при x ∈ [0;1] ⇒ х − 2 = 2 − х , откъдето получаваме 4 х 2 + 2 х = 0 , с корени х1 = 0 и х2 = –0,5. Дефиниционните условия изпълнява само х = 0. 10 зад. a) От основните свойства на аритметична и геометрична прогресия получаваме a+c b= 2 2 a+c 2 , след заместването получаваме условията 2 = ac ⇔ (a + c ) = 4ac . След b = ac 2
преобразувания достигаме до (а − с ) = 0 ⇔ а = с = b . б) сборът две положителни реципрочни числа е по-голям или равен на 2 ⇒ а ≥ 2 , 2 b = 2 − ( y − 3 z ) ≤ 2 . Очевидно единствена възможност е a = b = 2, от подточка а) получаваме и с 2
= 2. Равенства се достига при tgx=cotgx=1 ⇒ x = 450 и y = 3z.
( 5)
2
= 5 ⇒ x = 45 0 , y = 15, z = 5 . Стефчо Наков гр. Монтана
Секция “Изток” – СМБ КОЛЕДНО МАТЕМАТИЧЕСКО СЪСТЕЗАНИЕ – 08.12.2007г. 12 клас Времето за решаване е 120 минути. Организаторите Ви пожелават успех! Име...............................................................................училище.........................град...................... ПЪРВА ЧАСТ Всяка задача има само един верен. “Друг отговор ” се приема за решение само при отбелязан верен резултат. Задачите се оценяват с по 2 точки: 1 зад. Решенията на неравенството 1 а) ;2 2
x+1 ≥ 1 са от интервала: 2x − 1 1 в) ;2 2
1 б) ;2 2 25 125 и B=5 , то е вярно, че: 2 зад. Ако A = 3 4 8 а) A = B б) A > B в) A < B 3 зад. Решенията на уравнението 3x + x = 2 са:
1 г) ;2 2
б) 1 в) 0,5 а) 0; 0,5 2x x +1 x 4 зад. Корените на уравнението 8 − 8 − 8 + 8 = 0 са: а) 2; 4 б) 1; 2 в) 1; 3
г) 0,5; 1
x 2 + y 2 = 23 е: xy = 1 а) 1 б) 2 в) 3 2 6 зад. Корените на уравнението log 8 ( 1 − x ) = 2 log64 x са:
г) не могат да се сравнят
г) друг отговор
5 зад. Броят на реалните решения на системата
г) друг отговор
5 −1 − 5 −1 5 −1 − 5 −1 б) в) ; г) друг отговор 2 2 2 2 7 зад. В ∆ABC медианите AD и BE са взаимно перпендикулярни. Ако дължините на страните AC и BC са съответно 3 см и 4 см, то дължината на страната АВ е равна на: б) 10 в) 5 г) друг отговор а) 15 8 зад. Радиусите на две пресичащи се окръжности са съответно 13 см и 15 см, а дължината на общата им хорда е 24 см. Ако центърът на всяка от двете окръжности е външна точка за другата окръжност, то разстоянието между центровете е равно на: а) 14 см б) 28 см в) 30 см г) друг отговор 9 зад. За геометрична прогресия, състояща се от седем члена, сумата на първите три от тях е 0,875, а сумата на последните три е равна на 14. Четвъртият член на тази прогресия е равен на 7 а) 1 б) − в) 0 г) друг отговор 3 10 зад. Радиусът на окръжността, описана около ∆АВС е 6 см, ∡ A = 70 0 и ∡ C = 80 0 . Дължината на ъглополовящата на ∡ C е равна на: а) 4 см б) 6 см в) 10 см г) друг отговор 11 зад. Трицифрено число е по-голямо от 500 и по-малко от 600. Ако то е 64 пъти по-голямо от сбора на цифрите си, то числото е: б) 521 в) 523 г) друг отговор а) 532 12 зад. Правоъгълен триъгълник има лице 116 см2, а катетите му се отнасят както 3 : 7 . Височината към хипотенузата го разделя на два триъгълника. Лицата на тези триъгълници са равни на: б) 52см2 и 64см2 в) 33,8см2 и 82,2см2 г) друг отговор а) 18см2 и 98см2
а)
ВТОРА ЧАСТ Следващите две задачи са със свободен отговор, който трябва да се напише. Задачите се оценяват с по 3 точки: 1 зад. Да се намерят корените на уравнението sin 3 x − cos 3 x = sin 2 x − cos 2 x за x ∈ ( 00 ;60 0 ) . Отговор:................................................. 2 зад. В правоъгълен триъгълник, периметърът на който е 36 см, е вписана окръжност.Допирната точка на окръжността с хипотенузата я дели в отношение 2 : 3 . Да се намери дължината на хипотенузата на триъгълника. Отговор:.................................................
ТРЕТА ЧАСТ На следващите три задачи трябва да се опише решението. Задачите се оценяват с по 10 точки:
1 зад. Да се реши уравнението
x − 3 = 6 − x −1 .
2 зад. За кои стойности на реалният параметър p уравнението ( p − 1) x 2 − 2 px + p + 3 = 0 има два реални корена, за които е вярно неравенството x12 + x22 ≥ 4 ? 3 зад. Даден е квадрат ABCD със страна a , в който т. N е среда на BC, M ∈ CD и CM : MD = 2 : 1 . Да се намери лицето на петоъгълника, ограничен от правите BC, CD, AN, AM и BD.
Кратки решения и отговори ПЪРВА ЧАСТ 1зад.
x+1 1 2−x 1 ≥ 1; x ≠ ; ≥ 0 ⇒ x ∈ ;2 ; Отг. б) 2x − 1 2 2x − 1 2 2
2
10
3
3
9
25 3 5 125 5 5 5 3 5 15 5 5 5 15 = = = ; B= 5 = = = след. A > B ; Отг. б) 2зад. A = 3 4 8 2 2 2 2 2 2 2 1 3зад. 3x + x = 2 ; x = 2 − 3x . Ако x ≥ , уравнението няма решение, след. решение е само x = . Отг. в) 3 2
( )
4зад. 8 2 x − 8 x +1 − 8 x + 8 = 0 ; 8 x
x 2 + y 2 = 23 5зад. xy = 1
⇔
( x + y)
2
− 9 ⋅ 8 x + 8 = 0 ; 8 x = 1 = 8 0 ⇒ x = 0 ; 8 x = 8 ⇒ x = 1 Отг. г) 0; 1
2
= 25
xy = 1
⇔
x+ y =5 xy = 1
5 − 21 −5 + 21 −5 − 21 и ; Отг. г) четири 2 2 2
( 1− x ) 2
6зад. log 8
и
x + y = −5 xy = 1
. Решенията са четири:
(1− x )
= 2 log64x , DC: x ∈ ( 0,1) . Уравнението е еквивалентно на: log 8
2
5 + 21 ; 2
= log 8x , т.е. x 2 + x − 1 = 0 .
5 −1 принадлежи на допустимите стойности. 2 7зад. Нека М е пресечната точка на медианите. Означаваме AM = 2x; MD = x; BM = 2 y; ME = y .
От корените на това уравнение само
Тогава от Питагоровата теорема за правоъгълните триъгълници получаваме AB = 4 x 2 + 4 y 2 = 5 . Отг. в) 8зад. Нека АВ е общата хорда, ОО1 е разстоянието между центровете и OO1 ∩ AB = M . Тъй като
AB ⊥ OO1 и AM = MB , то от Питагоровата теорема и от правоъгълните триъгълници пресмятаме OM = 5 и MO1 = 9 , след. OO1 = 14 . Отг. а) 9зад. От условието и свойствата на геометричната прогресия получаваме
(
)
a1 1 + q + q 2 = 0,875
(
)
a1 q 4 1 + q + q 2 = 14
, от
7 и a4 = 1 . Отг. г) 3 10зад. ∆ACL е равнобедрен и AC = CL . От синусова теорема за ∆ACL намираме AC = 6см . Отг. б) 11зад. Ако числото е abc , то очевидно е, че a = 5 . Тогава от условието получаваме 6b + 7c = 20 , от където b = 1, c = 2 Отг. г) 512 12зад. Правоъгълните триъгълници, получени от височината към хипотенузата, са подобни. Тогава S1 a 2 9 , от където намираме S1 = 18см 2 и S 2 = 98см 2 . Отг. а) = 2 = S2 b 49 където q = ±2 и съответно намираме a4 = −
ВТОРА ЧАСТ
(
)
1зад. sin 3 x − cos 3 x = sin 2 x − cos 2 x за x ∈ 00 ;60 0 . Преобразуваме уравнението и получаваме
( sin x − cos x ) ( sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x ) = ( sin x − cos x )( sin x + cos x ) ( sin x − cos x ) (1 − cos x − sin x ( 1 − cos x ) ) = 0 ( sin x − cos x )( 1 − cos x )(1 − sin x ) = 0 sin x = cos x π π x = ∈ 00 ; 4 3
cos x = 1
sin x = 1
решенията на тези уравнения не принадлежат на дадения интервал
2зад. Ако допирните точки на окръжността със страните на триъгълника са съответно M, N и P, r + 5x = 18 означаваме AM = AP = 2x, MB = BN = 3x, CP = CN = r и от системата 2 2 ( r + 2x ) + ( r + 3x ) = 25x 2 намираме x1 = −18; x2 = 3 .Тъй като AB = 5x е дължина на отсечка, то AB = 15.
ТРЕТА ЧАСТ 1зад. Определяме ДМ: 3 ≤ x ≤ 6 x − 3 + 1 = 6 − x ↑2 ………………………..
x − 3 = 4 − x ↑2 и допълваме ДМ: 3 ≤ x ≤ 4 ............................. x1 =
9+ 5 9− 5 , не е решение и x2 = е решение. 2 2
2зад. p ≠ 1 D = −2 p + 3 > 0 ⇒ p < 3 / 2 …… x12 + x22 =
−2 p 2 + 4 p + 2 ≥0 ( p − 1)2
[
)
3 …….Oтговор p ∈ 1 − 2 ; 1 ∪ 1; 2 3 зад. S KPNCM = S ANCM − S ACP
М
D
Q
7 a 2 5a 2 9 a 2 = − = 12 24 24
C
К O
N
P
A
B
Section “Iztok” – UBM Christmas Competition – 8.12.2007 11-12 grade Time - 120 minutes Rules: For each problem from 1 to 50 you receive1 point and there is only one correct answer. Organizing committee wishes a successful work! Name………………………………………………..School………………………….City…………………….. 2 5 3 2 3 5 10 2 1. (C) (D) (E) = (A) 2/5 (B) 5 6 3 3 15 B(3,4) 2. What is the relationship between the areas of ∆ABC and ∆DBC in figure? (A)Equal (B)Area ∆ABC=1/2 Area of ∆DBC (C)Area of ∆ABC> Area of ∆DBC D(6,1.5) (D)Area of ∆ABC+1= Area of ∆DBC (E) Area of ∆ABC=1/3 Area of ∆DBC a−b -1= 3. If a≠-b, then C(3,-1) a+b 0 2 2 130 a − b −1 2a −2b a +b A(0,-4) (C) (E) (D) (A) 0 (B) a+b a+b a+b a+b 700 4. If the given angles have the measures indicated in figure, what are the measures of x and y? 0 x (A) x=1000, y=900 (B) x=1200, y=850 (C) x=1200, y=900 (D) x=1100, y=900 5. If 3+y=a and 3-y=a, then y0 450 (A) a=5, y=2 (B) a=1, y=-1 (C) a=2, y=-1 (D) a=3, y=1 (E) a=3, y=0 6. If 250 quadles = 1 dorple and 1750 septles =1 dorple, how many septles = 1 quadle? (A) 3 (B) 7 (C) 17 (D) 30 (E) 70 x −1 2 = then x= 7. If x +1 3 (A) 3 (B) 2 (C) No value possible (D) 4 (E) 5 8. In figure, if ray OA is perpendicular to line BD and ∠AOE has degree measure of 15, A then the measure of ∠COD is B (A) 75 (B) 95 (C) 100 (D) 105 (E) 100 E 9. If 4 x 2 =16, then x= O (A) -2 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) -4 C D x2 −1 x2 −1 =15, then y= 10. If =5 and y 3 3 (A) 5 (B) 3 (C) 3 (D) 15 (E) Cannot be determined 0 11. cosx-(sin(90 -x))= (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) .87 (E) .5 12. In figure, arc CD is a semicircle. AB ⊥ CD, BC=3, BD=4. Then the length of AB= (A) 3.46 (B) 4.42 (C) 3 (D) 4 (E) 5 2 2 13. If (b+c)(ab-ac)=b -c , then a= C (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) b (E) c 3 2 x + yz 14. If x=2, y=3, and z=4, then = − 2( 2 − 3 y ) (A) 5 (B) -5.6 (C) -5 (D) 5.6 (E) 4 15. If the radii of the circles in figure are 5 and 3, the centers are A and B and both ∠GAF F and ∠DBC are right angles, what is perimeter of ∆CEG? (A) 32 (B) 38.63 (C) 30 (D) 27,63 (E) Cannot be determined 16. If ABCD in figure is a parallelogram and is positioned in the coordinate plane so that A=(1,1), B=(4,2), and E=(3,3), then D is (A)(-4,-2) (B) (-4,2) (C) (2,4) (D) (2,-4) (E) (-2,-4)
A
A
D
B E G
D B
A
D
C E
B
C
area∆ADC is area∆ABC (D) 3/5 (E) 5/3
17. In figure, if AD=2 and DB=3, then the ratio (A) 2/3
(B) 3/2
(C) 2/5
C
1 18. If f =2x, what is f(x)? B x D A (A) 2/x (B) x/2 (C) 1/(2x) (D) 2 (E) Cannot be determined 19. In figure, ∠D and ∠B are right angle, AD=AB, BC=DC, and AB≠BC. How many circles can be drawn that D contain A, B and C, but not D? (A) None (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Infinitely many A 1 3 20. If x − x − <0, then the greatest negative value for x is 2 2 B (A) -1 (B) -1/2 (C) -3/2 (D) 0 (E) No negative value of x will make the inequality true 21. The graphs of which of the following are the same? 1 1 1 1 II. y + 1 = ( x + 3) III. y − 2 = ( x − 3) I. y = x + 2 2 2 2 (A) I and II only (B) None (C) II and III only (D) I and III only (E) I, II, and III 22. In 10 minutes, the number of degrees the hour hand of a clock rotates is 2 (A) 1 (B) 6 (C) 6 (D) 5 (E) 10 3 1 1 =0, then x= 23. If + x x (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 111 (E) No real value possible 24. (sinx)(cosx)=1 when x= I. 0 II. π/4 III. All real numbers (A) I only (B) II. only (C) I and II only (D) none (E) all 25.If 1/x<1/2, then (A) x>2 (B) x>2 or x<2 (C) x>2 and x<2 (D) x>2 or x<0 (E) x is any real number except zero 26. If k+1 represents a given odd integer, which of the following must also be an odd integer? (A) 2(k+1) (B) k(k+1) (C) (k+1)(k+2) (D) (k+1)(k-1) (E) (k+1)2-1 2 27. If (a -3a)(a+3)=0 then a= (A) {3} (B) {-3} (C) {3,-3} (D) {0,3,-3} (E) {0,-1,3,-3} C 28. If the right angles and sides are as marked in figure, the area of trapezoid ABCD is D 18, and a=2b, then c= (A) 4.47 (B) 8.94 (C) 4 (D) 2 (E) Cannot be determined 3 29. If(x) = -1/x and x takes on successive values from -10 to -1/10, then A E B (A) f(x) increases throughout (B) f(x) decreases throughout (C) f(x) increases, then decreases (D) f(x) decreases, then increases (E) f(x) remains constant throughout 30. If in a ∆ABC, ∠C is a right angle, BC=1, and tan∠B=p, then cos∠A= (A)
1
(B)
p p +1
(C)
p
(D)
p2 +1 p
(E) p2+1
p +1 p +1 31. A gold bar with dimensions 2’x3’x4’ has all of its faces rectangular. If it is melted and recast into three cubes of equal volumes, what is the length of an edge of each cube? (A) 1 (B) 2 (C) 3) (D) 4 (E) 5 32. If n!/2=(n-2)! Then n= (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 1 33. If log x= log a-log b and a=4b2, then x= 2 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) 16 34. If p, m, and n are prime numbers, none of which is equal to the other two, what is the greatest common factor of 24pm2n2, 9pmn2, and 36p(mn)3? (A) 3pmn (B) 3p2m2n2 (C) 3pmn2 (D) 3pmn2n2 (E) 3pmn3n3 35. If the perpendicular bisector of the segment with endpoints A (1,2) and B (2,4) contains the point (4,c), then the value of c is (A) 7 (B) 7/4 (C) -7 (D) 4 (E) -4 2
2
C
36. If f(x) =1/x and f[f(x)]=f(x), then x is (A) 1 only (B) -1 only (C) 1 or -1 (D) no real number (E) any real number 37. If in figure, line DE is parallel to line AB, and CD=3 while DA=6, which of the following must be true?
C D
E
2
Area∆CDE CD III. If AB=4, then DE=2 = B A Area∆CAB CA (A) I only (B) II only (C) III only (D) II and III only (E) I and II only 38. If x=3i, y=2i, and z=1+i, then xy2z= (A) 0 (B) -1 (C) 1-i (D) 12-12i (E) 6-6i 39. If a<b, then each of the following is true for all a and b EXCEPT (A) –a<|b| (B) –a>-b (C) –b2<a2 (D) –a2<b2 (E) 0>b-a 40. A singer has memorized 12 different songs. If every time he performs he sings any three of these songs, how many different performances can he give? (A) 4 (B) 12 (C) 110 (D) 220 (E) 440 41. In figure, the measure of ∠AOD and ∠BOY is 90, and the measure of ∠DOY is between 40 and 50. What is the range of possible values of the measure of ∠AOC? A (A) 30 to 40 (B) 40 to 50 (C) 50 to 60 (D) 40 to 60 (E) Cannot C D be determined O 42. If a circle is tangent to be both the x- and y-axis and has a radius of 1, then its equation Y E (B) x2+y2=1 (C) x2+(y+1)2=1 (D) (x+1)2+y2=1 is (A) (x-1)2+(y+1)2=1 B (E) (x-1)2+y2=1 43. If two planes P1, and P2, are parallel, then (A) Any line in P1 is parallel to any line in P2 (B) AB=CD whenever A and C are in P1 and B and D are in P2 (C) Any line that intersects P1 in exactly one point will intersect P2 in exactly one point (D) Any line parallel to P1 will intersect P2 (E) Any line that intersects P1 in more that one point must intersect P2 in more than one point y y y π 44. If tan =sin and 0≤ ≤ , then cos y =? 2 2 2 2 (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 1/2 (E) - 2 /2 45. The number of points in the intersection of the graphs of y=|x+2| and y=-|x|+2 is (A) Infinitely many (B) A finite but indeterminable number (C) 3 (D) 2 (E) 0 46. If sin x>0 and cos x=–.8, then tan x= (A) .6 (B) -.6 (C) 1.33 (D) -.75 (E) -1.33 47. If x= yz , x>0, y>0, and z>0, then log y= I. ∆CDE~∆CAB
II.
log x 2 2 log x x2 (B) (C) (D) 2logx-logz (E) 2(log x-log z) z log z log z 48. A parallelogram has an area of 36 square feet and two sides of lengths 6 feet and 9 feet. Which of the following is the sine of an angle of the parallelogram? (A) 2/3 (B) 3/2 (C) 4/9 (D) 5/9 (E) -5/6 49. Three cards, Card One, Card Two, and Card Three, are drawn from a desk. One of these is a queen, one an ace, and one a king. One and only one of the following statements is true. I. Card Two is NOT a queen II. Card Three IS a queen III. Card One is NOT an ace Based on this information, which of the following is true? (A) Card One is a queen (B) Card One is an ace (C) Card Two is a king (D) Card Three is an ace (E) Card Three is a queen 50. If a cube has an edge of length 10, then the length of the segment connecting the center of a face of the cube to any vertex not contained in the plane of that face is (B) 5 6 (C) 6 5 (D) 3 5 (E) 10 6 (A) 6
(A)
Отговори 11-12клас SAT 1-d; 2-a; 3-c; 4-b; 5-е; 6-b; 7-e; 8-d; 9-d; 10-b; 11-a; 12-a; 13-b; 14-e; 15-d; 16-c; 17-a; 18-a; 19-a; 20-e; 21-e; 22-d; 23-e; 24- ; 25-d; 26-d; 27-d; 28-a; 29-a; 30-c; 31-b; 32-b; 33-b; 34-c; 35-b; 36-e ; 37-e; 38-e; 39-e; 40-d; 41-b; 42-a; 43-c; 44-b; 45- a; 46-d; 47-d; 48-a; 49-d; 50-b