Capítulo 1- Sistemas de Numeração e os números decimais
Capítulo 2 - Operações com
Capítulo 9 - Operações com os Números Decimais
Capítulo 10 - Introdução ao estudo da Geometria
números naturais, – Adição e Subtração
Capítulo 3 - Operações com números naturais – Multiplicação e Divisão
Capítulo 4 - Operações com números naturais – Potenciação e raiz quadrada
Capítulo 5- Divisibilidade
Capítulo 6 - Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum (MDC)
Capítulo 7- Frações
Capítulo 8- Números decimais
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1-Sistemas de Numeração e os números decimais
Para fazermos as contagens do nosso dia a dia é necessário um sistema de numeração. O sistema que mais usamos é o decimal, pois contamos em grupos de 10. A palavra decimal tem origem na palavra latina decem, que significa 10. Ele foi inventado pelos hindus, aperfeiçoado e levado para a Europa pelos árabes. Daí o nome indo-arábico.
Esse sistema de numeração apresenta algumas características: 1°Utiliza apenas os algarismos indosarábicos: 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 para representar qualquer quantidade. 2°Cada 10 unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem seguinte. Observe: 10 unidades = 1 dezena = 10 10 dezenas = 1 centena = 100 10 centenas = 1 unidade de milhar = 1000 3°) Outra característica é que ele segue o principio do valor posicional do algarismo, isto é, cada algarismo tem um valor de acordo com a posição que ele ocupa na representação do numeral.
Temos, então, o seguinte quadro de posição (ou de ordens): 4° ordem Milhar
3° ordem Centenas
2° ordem Dezenas
1° ordem Unidades
Exemplo: 632. Temos que o algarismo 2 representa 2 unidades e vale 2 (1º ordem); O algarismo 3 representa 3 dezenas, ou seja, 3 grupos de 10 unidades e vale 30 (2º ordem); O algarismo 6 representa 6 centenas, ou seja, 6 grupos de 100 unidades e vale 600 (3º ordem). Atividades: 1) Leia as afirmativas, e descubra qual é o número. a) Este número tem 4 centena, 7 dezenas e 6 unidades. Qual é este número?
b)Este número tem 9 unidades de milhar, 1 centena, 3 dezenas e 8 unidades. Qual número é este?
c) Este número tem 3 unidades de milhar, 6 centenas, 9 dezenas e 4 unidades. Qual número é este?
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antecessor (número que vem antes do número dado).
- Números Naturais Exemplo: O número natural nasceu da necessidade dos homens contarem quantidade de coisas ou objetos. Esse conceito foi estabelecido a partir da sucessão dos números naturais, que se constitui num conjunto infinito de números, denominado conjunto dos números naturais.
tem
I) É representado (maiúscula)
antecessor antecessor antecessor antecessor
de 1 de 7 de 14 de 73
é é é é
1 7 14 73
– – – –
1 1 1 1
= 0 = 6 = 13 = 72
Atividades: 1°) Qual o sucessor de 99
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Esse conjunto características:
O O O O
as
seguintes
2°) Qual o antecessor de 104 pela
letra
IN
II) É um conjunto infinito III) Todo número natural tem um sucessor
3°) Qual o antecessor de 219
4°) Qual o sucessor de 47
IV) Todo número natural, exceto o zero, tem um antecessor
5°) Qual o antecessor de 554 V) Zero é o menor dos números naturais Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.
6°) Qual o antecessor de 975
Exemplos:
-Números Romanos
O sucessor de 0 é 0 + 1 = 1 O sucessor de 5 é 5 + 1 = 6 O sucessor de 57 é 57 + 1 = 58 O sucessor de 113 é 113 + 1 = 114
Os romanos usavam um sistema interessante para representar os números. Utilizavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:
Todo número natural dado, exceto o zero, tem um
I 1
V 5
X 10
L 50
C D M 100 500 1000
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livro. Usando os nossos símbolos, escreva o número correspondente ao capítulo que estou lendo. ______________ Atividades: 1) Pio 12 foi um dos papas que mais se destacaram por sua qualidade de estadista. Usando símbolos do sistema romano de numeração, escreva o número que designa esse papa. __________________________ 2) No Brasil, tanto a independência como a República foram proclamadas no século XIX. Usando algarismos, escreva o número que representa esse século. ________________________________ __________ 3) Os números representados por LX e XL no sistema romano têm o mesmo valor. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? 4) Usando o sistema romano de numeração, você deve escrever os seguintes números:
a) 26 ________________ b) 102 _______________ c) 830 _______________ d) 77 ________________ e) 409 ________________ f) 1050 _______________ g) 91 _________________ h) 365 ________________ i) 3012 ________________ 5) Estou lendo o capitulo LVII de um Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
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6+3=9 II)°Associativa
2 - Operações com números naturais, – Adição e Subtração
-Adição Adição é o ato de atribuir um valor a mais para um valor já existente, seu símbolo é +, por exemplo: 5+5=10, 7+1=8, 3+6 =9. De forma literal, podemos enunciar situações do cotidiano com soma, por exemplo: Se Marcos comprou cinco pacotes de biscoito e João comprou dez. Quantos biscoitos os dois possuem juntos, resposta 15 biscoitos ambos possuem juntos. Ou seja, adição é a idéia de acrescentar e juntar objetos e números com o objetivo de somar tais valores e aumentar uma quantidade de elementos.
Os valores em uma soma podem ser somados de maneiras diferentes sem alterar o valor da soma. Exemplos: (5+2) +6 = 13 (7+1)+ 1 = 9 (3+4) + 0 = 7 Em matemática quando temos uma operação entre parênteses a primeira coisa a se fazer na operação e resolver o que estar inserido entre parênteses, exemplo: (5+1)+ 2= 6 +2 =8. III) Elemento Neutro Qualquer número somado a zero será o próprio valor. Exemplo:
2+0=2 - Propriedades da Adição
3+0=3 4+0=4
I) Comutatividade Se alterarmos os valores de lugar, a soma não é alterada. Exemplos:
-Adição de um número positivo com um número negativo
2+3=5
Se tivermos uma conta onde há um algarismo negativo, por exemplo:
3+2=5
3+ (– 4), como efetuamos esse cálculo?
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Simples, basta entender que na soma sinais contrários sempre será negativo, ou seja, mais com menos é igual a menos e menos com mais é igual a mais, logo: 3+ (-4) = 3 -4 = -1 Como o maior número é o quatro, o sinal que será repetido é o do maior número, por isso tivemos como resposta o número -1. Iremos compreender uma pouco mais sobre o “joguinho dos sinais” nos próximos capítulos.
-Subtração
A subtração é uma operação básica da Matemática, sendo representada pelo sinal de –. O desenvolvimento da subtração entre números Naturais é de certa forma bem simples. Observe os exemplos: 5-2=3 7-4=3 8-2=6
Se tivermos a conta: 5 – (-5) = ? Quando temos uma subtração e o número seguinte tem um sinal negativo esse sinal juntamente com o sinal negativo anterior torna-se positivo, logo: 5 – (-5) = 5 + 5 = 10
Atividades: 1)A professora de língua Portuguesa indicou aos alunos do 6º ano os livros que eles deverão ler no primeiro bimestre do ano letivo, o primeiro tem 87 páginas e o segundo têm 123 páginas. Nesses dois livros, quantas páginas, ao todo, os alunos vão ler?
2) Uma empresa tem 1087 pessoas trabalhando na sua fábrica e 462 pessoas trabalhando no seu escritório. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa empresa?
De forma, literal subtração é o ato de tirar, perder uma determinada quantidade de elementos, exemplo: Paulo tinha 7 lapiseiras perdeu 5, quantas lapiseiras Paulo possui? Resposta: 7-5 =2.
-Diferença de positivo com negativo
um um
3)Durante o ano de 2011, uma equipe de futebol venceu 49 partidas, empatou 18 partidas e perdeu 5 partidas. Quantas partidas essa equipe disputou durante o ano de 2011?
número número
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6
4) Dona Maria comprou um aparelho de
som por 719 reais e as caixas de som por 96 reais. Tendo pagado 17 reais pela instalação, qual a quantia que ela gastou?
=5-2= =3
b)15-1-2+5= =14-2+5= =12+5= =17
5) Dom Pedro II, imperador do Brasil, faleceu em 1891 com 66 anos de idade. Em que ano ele nasceu?
Existem expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem I) Parênteses ( ) II) Colchetes [ ] III) Chaves { }
6) O Ceará possui 43 títulos estaduais,( campeonato cearense), o Fortaleza possui 39 títulos. Quantas vezes as duas equipes possui juntas o título estadual?
-Expressões
numéricas Adição e Subtração
Exemplo: 74+{10-[5-(6-4)+1]}= =74+{10-[5-2+1]}= =74+{10-[3+1]}= =74+{10-4}= =74+6= =80
com Atividades:
As operações de adição e subtração são efetuadas segundo a ordem em que aparecerem.
1)Calcule o valor das expressões:
Exemplos:
a)7-3+1-2= =4+1-2=
a) 10-1+8-4= b) 12-8+9-3= c) 25-1-4-7= d) 45-18+3+1-2=
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7
e) 75-10-8+5-1= f) 10+5-6-3-3+1=
2) Calcule o valor das expressões a) 25-[10+(7-4)] = b) 32+[10-(9-4)+8] = c) 45-[12-4+(2+1)] = d) 70-{20-[10-(5-1)]} = e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} = f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} = g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} = h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} = i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} = j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] = l){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} =
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Como multiplicar um algarismo de terceira ordem em diante por um número de segunda ordem
UM x + 7
Operações com números naturais – Multiplicação e Divisão
C 3 7 0
D 5 2 6 4
U 2 5 0
3-
A multiplicação é a operação aritmética que permite somar um número, chamado multiplicando, tantas vezes quanto for necessário o número de repetições, seu símbolo é o sinal de x e também pode ser representado por um ponto (.) . Exemplos: 2x3=6 3x2=6
Note que, na terceira linha da tabela colocamos os valor da multiplicação de 352 por 5 e obtemos 1760, já na quarta linha da tabela tivemos 352 x 2 e obtemos 704 para termos o valor da multiplicação basta somar os valores obtidos, 1760 + 7040 = 8800, lembrese devemos somar unidades com unidades, dezenas com dezenas, centenas com centenas e assim, sucessivamente. Conforme a tabela anterior.
5x1=5 7x6= 42 Note que, 10 x 5 = 50, ou seja, agente soma o 10 +10 +10 +10 +10 (5 vezes) e o obtém da soma o número 50,
-Algoritmo da múltiplcação Vimos até agora a multiplicação de um número de segunda ordem por um número de primeira ordem, ou seja, 10 x 5.
-Propriedades da Multiplicação I) Associatividade: Na multiplicação de três ou mais valores quaisquer, podemos associar os fatores de diferentes modos que o produto é sempre o mesmo. A propriedade de associatividade é satisfeita na multiplicação, pois: Exemplo: 3.5.2 =15.2 =30
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3.(5.2) =3.10 =30
Por exemplo:
Observe que os resultados obtidos são iguais. Os parênteses indicam a multiplicação que deve ser feita primeiro.
2 x -3 = -6
II) Existência de Elemento Neutro:
-3 x -3 = 9
O elemento neutro na multiplicação é o número 1, pois qualquer número natural multiplicado por 1 é esse próprio número .
A multiplicação de dois números negativos sempre será o valor do produto positivo.
Se tivemos o produto de dois números negativos, por exemplo:
Por exemplo: 8 x 1 = 8 e 1 x 8 = 8 Atividades: III) Comutatividade: A propriedade comutativa também é satisfeita pela multiplicação, pois a ordem dos fatores não altera o produto. Observe:
1) Em uma caixa existem 12 ovos. Quantos ovos existem em 24 caixas?
35
2) Na escola de Laís existem 22 salas de aula e em cada uma existem 25 cadeiras. Quantas cadeiras existem na escola?
Um jeito simples de explicar a propriedade distributiva é com o seguinte exemplo, tenho 3 laranjas e ganho mais 5 laranjas então na verdade eu fiquei com (3 + 5) laranjas agora substituímos as laranjas por um número, por exemplo, o número 6. Assim temos, 3.6 + 5.6 = (3 + 5) . 6.
3) Paulo precisa montar 4 bicicletas. De quantas rodas ele precisará?
7 x 5 = 35 , 5 x 4 x 5 = 20 , 5 x 4 = 20
7
=
IV) Distributividade:
Assim, como na multiplicação e na subtração também iremos trabalhar com números negativos (nos próximos capítulos).
4) Um marceneiro vendeu 20 mesas. Quantas pernas de mesa ele precisará para deixar as 20 mesas montadas?
Um número positivo multiplicado por um número negativo sempre será o valor da expressão sendo que negativo Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
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5) Ricardo comprou 12 bolas de gude e Rafael comprou o triplo. Quantas bolas de gude Rafael comprou?
reduzir esse valor em uma grande escala. Seu símbolo é representa pelo sinal: ÷ ou também pelo sinal de : .
. Exemplo; 6) Em um vestiário há 12 camisas e em outro, há o dobro desse número.Quantas camisas há no outro vestiário?
12 ÷ 4 = 3, onde 12 é o divisor e 4 é o dividendo.
12|_4__ 7) Júnior e seu amigo Edgar fazem coleção de carrinhos em miniatura. Júnior possui 32 carrinhos e Edgar o triplo dessa quantia. Quanto carrinho Edgar possui? 8) Um ônibus transporta 42 passageiros sentados. Quantos passageiros transportarão em 5 viagens, levando sempre essa quantidade?
-12
3
0 Note que, ao dividir o algarismo 12 pelo 4 encontramos dois algarismo no caso, o 3 se chama quociente, o 0 se chama resto, e quando a divisão tem resto igual á zero ela se chama divisão exata. Quando o resto é diferente de zero a divisão é chamada de divisão inexata.
9) Graça comprou 2 brinquedos, que custaram R$32,50 cada, para presentear seus 2 sobrinho. Quanto dinheiro ela gastou?
Observe a figura seguinte :
10) Patrícia comprou 4 caixas de lápis com 52 lápis em cada caixa. Quantos lápis ela comprou?
-Divisão Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação, ou seja, se na multiplicação eu vou aumentar um valor em uma grande escala, na divisão eu irei
Podemos enunciar a divisão da seguinte forma: D = dq+ r Onde, D é o divisor, d é o dividendo e r é o resto.
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O algoritmo da divisão foi enunciado por Euclides (300 A.C), e está presente no livro, Os Elementos de Euclides, o segundo livro mais vendido no mundo após a bíblia sagrada.
Quando tivermos uma a operação matemática envolvendo ao mesmo tempo multiplicação e divisão, resolvemos a operação que estiver entre parênteses primeiro. Exemplo (45 ÷ 3 ) x 3 = = 15 x 3 = 45
Atividades:
Atividades: 1) Efetue as operações abaixo: a) (45 x 9) ÷ 3 =
1) Determine o quociente e o resto:
b) (110 x 2) ÷ 1 =
a) 842 ÷ 31 b) 1236 ÷ 54
c) 170 x 2 + ( 45÷3) =
c) 5348 : 63
d) (245 ÷ 5) x ( 64÷8) =
d) 37511 : 107
e) (12 ÷ 4) + (68 x2) =
e) 25713 ÷ 102
f)( 1024 ÷ 2) + ( 2 x 1)=
f) 138400 ÷ 1297
g) ( 300 x 6) ÷ 300=
g) 3711 : 123
h) (81÷3) x 7 =
h) 1113 ÷ 13
i) (45 x 3) + 2 =
i) 9999 ÷ 1109
-Operações envolvendo Multiplicação e Divisão
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Algumas outras definições que podem ser utilizadas: Na potenciação fique atento a dois casos: 1°) Qualquer número elevado a 1 é ele próprio, exemplo: 31 =3 51=5 2°) Qualquer número elevado a zero é igual á 1, exemplo: 20 =1 30= 1
4- Operações com números naturais – Potenciação e raiz quadrada
-Propriedades 1)Produtos de potências de mesma base: Exemplo
-Potenciação Potenciação ou Exponenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo: 32 (leia-se "três elevado ao quadrado", ou "três elevado à segunda potência" ou ainda "três elevado à dois"). No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo duas vezes. Sendo: 3.3 = 9. Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27
22. 22 =22+2 =24 = 16 Note que no produto de duas potências, as bases são iguais quando isso acontece, repetimos a base e somamos os expoentes. Outro exemplo: 32.33 = 32+3 = 35 = 243
-Quociente de potências de mesma base Quando se tem uma divisão de potências, por exemplo, 25: 23, nessa
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situação repetimos a base e subtraímos os expoentes, 25: 23 = 25-3 = 22 = 4
a)4.4.4=
Outro exemplo:
b)5.5.5.5=
7 2: 71= 7 2-1 = 71 = 7
-Potência de mesma potência
c)10.10.10.10.10=
d)a.a.a.a.a= Basta multiplicar os expoentes da expressão, o número que está fora dos parênteses pelo número que está dentro dos parênteses
e)45.45.45.45.45.45= 2)Qual é o número que representa a base em :
3)Calcule as potências abaixo:
-Potência de Produto O expoente que eleva a expressão contida dentro do parêntese, eleva todos os elementos inseridos dentro do parêntese, exemplo:
-Raiz Quadrada de um número
Atividades:
1)Escreva os números e as letras em forma de potência.
Determinar a raiz quadrada consiste em calcular o número que, elevado ao quadrado, gera o valor desejado. Por exemplo, a raiz quadrada do algarismo 25 corresponde ao número 5, pois 5² é igual a 25. Em algumas situações, descobrir esse número por tentativa pode ser muito cansativo e bastante complicado. Para resolver, devemos utilizar uma técnica denominada decomposição de números em fatores primos, isto é, utilizar a
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fatoração. Número primo Ê um número que só pode ser divido por dois números, um e ele próprio.
Propriedades Das RaĂzes
Quando decompomos um número em fatores primos temos a chance de verificar se esse número Ê chamado de quadrado perfeito. Fatorar significa escrever o número em uma multiplicação de fatores primos. A multiplicação de dois números iguais deve ser representada por uma potenciação de expoente 2. Observe o exemplo a seguir: Para determinarmos a raiz quadrada do número 196 precisamos primeiramente fatorar e unir os termos semelhantes, dois a dois.
a .n b  n a.b
n
1)
exemplo: 3 2.3 7  3 14
n
2)
a :n b  n
18 : 6 
exemplo:
3)
mn
a b
m.n
a
18  3 6
a 3
exemplo:
10  6 10
196 = 2 2 x 72 Logo, a raiz quadrada de 196 ĂŠ:
an
4) ( a )n = exemplo:
đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;” = đ?&#x;?. đ?&#x;? đ?’™ đ?&#x;•. đ?&#x;• = 14
( 5 )2  5 2  25  5
n
5)
-Raiz cĂşbica Determinar a raiz cĂşbica consiste em determinar o nĂşmero em que elevado a terceira potĂŞncia gera o valor desejado.
3
n.p
2  3.4 2 4  12 16
6) a
Exemplo: 27 = 3.3.3 = 3
am  am.p exemplo:
3 45
m n
n
m
 a exemplo:
 5 43
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Atividades:
1)Calcule as potências: a) 10² c) (–4)³ e) 61
b) (–7)² d) (2,5)²
f) (–3/4)² h) (–1/2)³ j) (–0,6)³
g) (√3)1 i) (–1,3)²
2) Calcule as seguintes raízes: a) 1024 b) 25 c) 36 d) 81 3
e) 27 3
f) 81 3) Determine as raízes: e)
3
27
100
f)
5
32
8
g)
9 16
h)
a)
81
b) c) d)
3
4) Calcule as seguintes raízes:
25 9 49
169 ;
3
125 ; 4 625 ; 3 343 ; 4 81 ; 6 729 ;
7
128 ; 10 1024 .
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Exemplo: 256 → divisível por 2, pois o último algarismos (6) é par. 14698 → divisível por 2, pois o último algarismos (8) é par. 95647 → não-divisível por 2, pois o último algarismos (7) não é par. Divisão por 3 Um número é divisível por três quando a soma de seus algarismos absolutos for também divisível por três. 855 → 8+5+5 = 18, como 18 é divisível por 3, podemos afirmar que 855 também será. No exemplo acima, ainda poderemos somar 1 a 8 para facilitar a resposta: 1+8 = 9, sendo que 9 também é divisível por 3, atestamos que 855 também será divisível por 3.
5-Divisibilidade
Existem alguns métodos que facilitam a resolução de determinadas divisões, neste capítulo, iremos ver alguns casos que facilitam muito na hora de dividir determinados números
Outros exemplos: 25 848 → 2+5+8+4+8 = 27 = 2+7 = 9 → O número 25848 é divisível por 3 ,pois 9 é divisível por 3. 274 → 2+7+4 = 13 = 1+3 = 4 → O número 274 não é divisível por 3, pois 4 não é divisível por 3.
Critérios de divisibilidade Divisão por 2 Um número é divisível por dois quando o seu algarismo das unidades simples (o último algarismo da direita para a esquerda) for par, ou ainda quando esse algarismo for zero.
Divisão por 4 Um número é divisível por quatro quando o número formado pelos seus últimos algarismos (unidade e dezena) forem também divisíveis por 4 ou terminarem em 00 (zero, zero).
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128 → 28:4 = 7 → como o agrupamento dos dois últimos algarismos foi um número divisível por 4, o número 128 também será divisível por 4. 7900 → como o número 7900 termina em 00, ele é divisível por 4. Divisão por 5 Um número é divisível por cinco quando seus últimos algarismos terminam em zero ou em cinco. 25 680 Como esse número termina em zero, ele é divisível por cinco;
Observações Um número será divisível por 9, quando atender os mesmos critérios da divisão por 3, ou seja, a soma de seus algarismos formará um número também divisível por 9; Um número será divisível por 8, quando terminar em 000 (zero, zero, zero) ou quando os últimos 3 dígitos forem divisíveis por 8; Um número será divisível por 10 se terminar em 0. Todo número é divisível por 1;
152
Não existe divisão por zero;
Como esse número não termina nem em zero nem em cinco, ele não é divisível por cinco;
Todo número dividido por ele próprio resulta 1.
5685 Por terminar em cinco, número é divisível por cinco.
Atividades: esse
Divisão por 6 Um número é divisível por seis quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 5286 → 5+2+8+6 = 21 (divisível por 3); termina em algarismo par (6) (divisível por 2). Portanto 5286 é também divisível por 6.
1) Sem efetuar a divisão, assinale com um X os números que são divisíveis por 2. a) 111 ( ) b) 128 (
)
c) 306 (
)
d) 517 (
)
e) 250 (
)
f) 305 (
)
957 → 9+5+7 = 21 (divisível por 3); não termina em algarismo par. Portanto 957 não é divisível por 6.
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2) Sem efetuar a divisão, assinale com um X os números que são divisíveis por 3. a) 129 (
) b) 101 (
) c) 401 (
d) 902 (
)e) 333 (
)f) 209 (
................................................................ ................................................................ ...............................
) )
3) Usando as regras de divisibilidade, verifique se o número 3 306 é divisível por 6.
4)Entre os números naturais compreendidos entre 120 e 130, identifique os que são divisíveis por: a) 2 ................................................................ ................................................................ ............................................................... b)3...........................................................
6) Um número é divisível por 12, se é divisível por 3 e 4, ao mesmo tempo. Considerando os números dados no exercício anterior, quais deles são divisíveis por 12?
7) Um número é divisível por 15, se é divisível por 3 e 5, ao mesmo tempo. Encontre dois número formados por 3 algarismos que sejam divisíveis por 15.
8) Dados os números 39, 140, 245, 384, 720 e 2600, verifique os que são divisíveis por :
................................................................ ............................................................... c)6
a)2 :
................................................................
b)3 :
................................................................
c) 4 :
................................................................ 5) Considerando os números 432, 516, 825, 1100, 4008 e 15 000, identifique os que são: Divisíveis por 3 ................................................................ ................................................................ ..............................
d) 5 : e) 6 : f) 8 : g) 9 : h) 10 :
Divisíveis por 4 Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
19
9) Qual é o maior número de dois algarismos divisível por 5 ?
10) Qual é o menor número de três algarismos divisível por 3 ?
9 x 2 = 18 9 x 3 = 27 9 x 4 = 36 9 x 5 = 45 9 x 6 = 54 E assim por diante. Sendo assim, os múltiplos de 9 são: 0, 9, 18,27, 36, 45, 54,... Também uma forma de saber se um número é múltiplo de outro é dividi-los. Se o resto for zero, então é múltiplo. Assim:
Desafio Um número é composto de três algarismos. O algarismo das unidades é 2 e o das centenas é 5. Determine os possíveis valores do algarismo das dezenas para que esse número seja divisível por 3.
-Múltiplos de um número natural
a) 4 é múltiplo de 2 porque 4 ÷ 2 = 2 e o resto = 0. b) 72 é múltiplo de 3 porque 72 ÷ 3 = 24 e o resto = 0. c) 200 é múltiplo de 4 porque 200 ÷ 4 = 50 e o resto = 0. d) 125 é múltiplo de 5 porque 125 ÷ 5 = 25 e o resto = 0.
-Números primos e compostos Número primo: Um número primo, é um número natural maior que 1, que tem só dois divisores, o 1 e o próprio número. Número Composto
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc. Para determinarmos os múltiplos de 9, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Um número composto, é um número natural maior que 1, que tem mais do que dois divisores.
Atividades:
9x0=0 9x1=9 Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
20
1) Determina os divisores dos números abaixo e ostre quais são primos e quais são compostos: 12 17
13 18
14 19
15
16
20
2) Qual é o menor número primo?
3) Quantos e quais são os números primos?
4) Quais são os dez primeiros números primos?
-Método para a Decomposição em Fatores Primos Para realizarmos a decomposição de um número em fatores primos, devemos procurar pelo menor número primo capaz de dividi-lo (divisão exata) e realizarmos a sua divisão por este número enquanto for possível. Depois devemos procurar pelo próximo número primo capaz de dividi-lo e continuar neste procedimento até que o quociente da divisão resulte em 1. Neste momento teremos todos os fatores primos que compõe tal número. Exemplo:
5) Classifique como verdadeiro ou falso: a) Todos os números primos são ímpares. b) Existem números que são primos e compostos
Após sucessivas divisões do número 360 chegamos ao quociente 1. Temos então que o número 360 pode ser decomposto nos seguintes fatores primos:
-Decomposição de um Número Natural em Fatores Primos
2, 2, 2, 3, 3 e 5.
A decomposição de um número natural em um produto de fatores primos é chamada de fatoração. A fatoração de qualquer número natural primo resultará no próprio número.
5.
A fatoração do número primo 19, por exemplo, não resultará em outro número senão ao próprio número 19.
Podemos dizer então que: 360 = 23 . 32 .
Atividades: 1)Decomponha os números em fatores primos: a)180 b)220
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21
c)320
25 é divisível por 5 , pois tem resto igual a 0.
d)308
Exemplo:
e) 605
Determinando os divisores naturais de 64:
f) 616 g) 1008
64 = 1 . 64 64 = 2 . 32 64 = 4 . 16 64 = 8 . 8
h)1210 i)2058 j)3125
Esgotando todas as possibilidades de escrever 64 como o produto de 2 números naturais, encontramos os divisores de 64, que são: 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64.
k)4225 l)5040
2 – Qual é o número cuja fatoração é:
Exemplo:
a) 2 . 2. 3 . 5 . 7
2) Determinando os divisores naturais de 80:
b) 3 . 3 . 5 . 5 . 7. 80 = 1 . 80 80 = 2 . 40 80 = 4 . 20 80 = 5 . 16 80 = 10 . 8
c) 2 . 3 . 5 . 7 d) 5 . 5 . 11 . 13
Os divisores naturais de 80 são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 e 80.
-Divisores natural
de
um
Atividades:
número
Dizemos que um determinado número natural é divisível por outro (não nulo), quando a divisão do primeiro pelo segundo deixa resto zero (0). Exemplo:
1)Escreva os divisores de cada número natural representado abaixo: a)36 =_______________________________ ________________________________ _
6 é divisível por 3, pois tem resto igual á 0.
b)54
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22
=_______________________________ ________________________________ _
de cada número:
c)15 =_______________________________ ________________________________ _
a)D(6) = {_______________________________ ______________________________}
d)60=___________________________ ________________________________ ______ e)90 =_______________________________ ________________________________ __ f)28 =_______________________________ ________________________________ __ g)12 =_______________________________ ________________________________ __ h)24 =_______________________________ ________________________________ i)30 =_______________________________ ________________________________ __ j)25 =_______________________________ ________________________________ __
2)Represente o conjunto dos divisores
b)D(9) = {_______________________________ ______________________________} c)D(8) = {_______________________________ ______________________________} d)D(14) = {_______________________________ ______________________________} e)D(15) = {_______________________________ ______________________________} f)D(18) ={______________________________ _______________________________} g)D(20) = {_______________________________ ______________________________} h)D(30) = {_______________________________
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23
______________________________}
d) por:
i)D(24)
6
=
_______________________________
{_______________________________
_______________________________
______________________________} 3)Escreva todos os números divisíveis por 2 que estão entre 25 e 49. ________________________________
_____ e) por: 9 _______________________________ _______________________________
________________________________
_____
________________________________
f) por:
________________________________
10
________________________
_______________________________ _______________________________
4)Dentre os números:
____
60 – 531 – 123 – 120 – 36 – 13 – 540 - 27 Quais são divisíveis: a) por: 2 :_______________________________ ________________________________ b) por: 3 ________________________________ ________________________________ ___ c) por: 5 _______________________________ _______________________________ _____ Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
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O maior dos divisores comuns de dois ou mais algarismos é chamado de máximo divisor comum (M.D.C) Exemplo Consideremos os divisores de
conjuntos 12 e
dos 18
D12={1,2,3,4,6,12} D18={1,2,3,6,9,18} Os mesmos divisores ou números que aparecem tanto em D12como em D18 são { 1,2,3,6} , os números ou divisores {4,9,12,18} aparecem mas não é comum nos dois divisores. E o maior desses divisores comuns, ou seja, o maior valor que aparece tanto para D12 quanto D18 neste caso é 6 e indicamos m.d.c (12,18) = 6.
Atividades: 1) escreva o conjunto dos divisores de 8,9,10,12,15 e 20 a) D8={ b) D9={ c) D10= { d) D12={ e) D15={ f) D20 ={
6-Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum (MDC) -Máximo Divisor Comum
-Processos práticos para determinação do mdc I) Por decomposição em fatores primos (fatoração completa)
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Exemplo: Determinar o mdc de 18 e 60 18 2 09 3 03 3 01
60 30 15 05 01
1) Temos que os números 24, 36 e 48 possuem vários números divisores comuns, como exemplo os números 2 e 4. Determine o maior divisor comum a 24, 36 e 48. 2) Determine os menores números inteiros positivos pelos quais devem ser divididos os números 72 e 120 de modo que se obtenham divisões exatas com quocientes iguais.
2 2 3 5
3) Três
fios que medem respectivamente 24m, 84m e 90m foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então cada pedaço deve medir: a) 4m
18 = 2 x 3 x 3 60 = 2 x 2 x3 x 5
b) 6m c) 14m
O valor comum nas duas fatorações é um número 2 e um número 3, sendo assim 3 x 2 = 6 o m.d,c,(18,60)=6
d) 15m
4) Um auxiliar de enfermagem pretende
II) Números primos entre si Quando o m.d.c. de dois números é igual, a 1 dizemos que eles são primos entre si exemplos: a) 4 e 9 são primos entre si, pois m.d.c.(4,9)=1
usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamento de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? a) 33 b) 48
b) 8 e 15 são primos entre si pois o m.d.c.(8,15) = 1
c) 75 d) 99
Atividades:
e) 165
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26
5) Um fazendeiro comprou 180 mudas de açaí e 84 de copaíba para plantar em uma região de sua fazenda. Considere
O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo múltiplo comum,(M.M.C.). Exemplo:
que, para o plantio, as mudas tenham sido repartidas entre os empregados da fazenda,
de
forma que todos os
Consideramos os múltipos de 2 e 3, M2={0,2,4,6,8,10,12..........}
empregados tenham recebido a mesma quantidade de mudas de açaí e a mesma
M3={0,3,6,9,15..........}
quantidade de mudas de copaíba e que Obtemos o múltilplo comum fazendo a comparação dos dois conjuntos entre si.
nenhuma muda tenha sobrado. Afirmação: nessa situação, é correto
M2 e M3 = { 0, 6 , 12 ...}
afirmar que o número máximo de empregados da fazenda é 4. Julgue a afirmação acima em certa ou errada
excluindo o zero, o menor múltiplo comum é 6. e indicamos o mínimo múltiplo comum de 2 e 3 assim: m.m.c.(2,3) = 6
-Processo prático para
determinar o Mínimo múltiplo comum, (M.M.C). Por decomposição em fatores primos (fatoração completa) 1) determinar o m.m.c. de 120 e 80 120,80 060,40 030,20 015,10 015,05 005,05 001,01 -Mínimo
(MMC)
múltiplo
2 2 2 2 3 5
comum 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240
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logo m.m.c. (120,80) = 240 2) determinar o m.m.c. de 14, 45 e 6 14, 45, 06 07, 45, 03 07, 15, 01 07, 05, 01 07, 01, 01 01, 01, 01
2 3 3 5 7
primeira acende a cada 27 horas, a segunda acende a cada 45 horas, a terceira acende a cada 60 horas e a quarta só acende quando as outras três estão acesas ao mesmo tempo. De quantas em quantas horas a quarta lâmpada vai acender?
2 x 3 x 3 x5 x7 = 630 logo M.M.C ( 14, 45, 06) = 630
Atividades: 1)Determine o menor número positivo
5) Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O cometa A visita a terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 1910, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passarão juntos pelo planeta novamente?
que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 5, 6 e 7.
6) Em uma arvore de natal, três luzes piscam 2) Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos, que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12.
3) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/2002 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi:
com freqüência diferentes. A primeira pisca a cada 4 segundos, a segunda a cada 6 segundos e a terceira a cada 10 segundos. Se, num dado instante, as luzes piscam ao mesmo tempo, após quantos segundos voltarão, a piscar juntas?
7) Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de
4) Em uma casa há quatro lâmpadas, a Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
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dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é:
8) Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente.
9) Numa pista de videogame, um carrinho dá uma volta completa em 30 segundos, outro, em 45 segundos e um terceiro carrinho, em 1 minuto. Partindo os três do mesmo ponto P, no mesmo instante T, quando os três se encontrarem novamente, o número de voltas que o mais rápido terá dado será:
1.
M.M.C (3, 4, 6)
2.
M.M.C (2, 4, 8)
3.
M.M.C (3, 6, 9)
4.
M.M.C (4, 8, 10)
5.
M.M.C (6, 12, 15)
6.
M.M.C (6, 15, 18)
7.
M.M.C (8, 12, 20)
8.
M.M.C (9, 15, 27)
9.
M.M.C (12, 16, 24)
10.
M.M.C (12, 15, 21)
11.
M.M.C (20, 25, 40)
12.
M.M.C (16, 32, 48)
13.
M.M.C (12, 32, 48)
14.
M.M.C (15, 25, 40)
15.
M.M.C (24, 30, 45)
16.
M.M.C (25, 50, 75)
17.
M.M.C (32, 48, 64)
18.
M.M.C (30, 45, 60)
19.
M.M.C (6, 12, 18, 30)
20.
M.M.C (35, 50, 70, 100)
10) Calcule o m.m.c dos seguintes números
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-Relação entre M.M.C. e M.D.C
Uma relação entre o M.M.C. e o m.d.c. é: O M.D.C.(a,b) multiplicado pelo M.M.C.(a, b) é igual ao produto de a por b, isto é: M.D.C.(a, b) . M.M.C.(a, b) = a . b Exemplo: M.D.C.(12, 15) ´ M.M.C.(12, 15) = 12 . 15 = 180
Esta relação é bastante útil para o caso de querermos encontrar o M.M.C. e o M.D.C. de dois números, pois basta encontrar um dele e utilizar a relação acima. Exemplo: Determinar o M.M.C. e o M.D.C. entre 15 e 20. O primeiro passo é determinar o M.D.C. ou o M.M.C. entre 15 e 20, obtido o M.D.C.(15, 20) = 5 e sabendo que 15 .20 = 300, e tomando a relação M.D.C.(15, 20) .M.M.C.(15, 20) = 15 . 20, fazemos: M.M.C.(15, 20) = (15 . 20) / m.d.c.(15, 20) Donde se obtém que o M.M.C.(15, 20) é igual a 300 dividido por 5, ou seja M.D.C.(15, 20) = 60.
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30
7- Fraçþes O que uma fração? Certamente, você jå deve ter comido uma pizza e na hora da divisão das doze fatias sempre quis comer uma a mais. A pizza Ê a quantidade de fatias Ê um exemplo claro de fração, você tem um total de doze pedaços e como três pedaços, fazemos a seguinte representação matemåtica
3 12
,
onde o tanto de pedaços de pizza que vocĂŞ devorou ĂŠ trĂŞs e o fato de estar em cima, ou seja, em cima da barra ĂŠ chamado de numerador, e o numeral que estĂĄ embaixo da barra, ou seja, o doze ĂŠ chamado de denominador. Podemos representar da seguinte forma: đ?‘Ž đ?‘? Sendo a o numerador e b o denominador. Em outras palavras, fração ĂŠ a parte dividida pelo todo, As figuras a seguir sĂŁo representaçþes clĂĄssicas de fração observe:
Note que temos, todo que são as partes não preenchidas, pelas partes preenchidas, ou seja, fraçþes.
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-Leitura dos Números Fracionários Para fazer a leitura de uma fração devemos começar pelo número que está acima, o numerador para em seguida ler o que está em baixo, denominador.
Atividades: 1) Que fração do Tagram cada peça representa?
A tabela a seguir mostra os casos mais recorrentes na leitura de números fracionários: Número de partes em que a fração foi dividida 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 100 1000
Nome de cada parte Meio Terço Quarto Quinto Sexto Sétimo Oitavo Nono Décimo Onze avos Doze avos Treze avos Centésimo Milésimo
2) Encontre a fração correspondente a cada figura abaixo:
1
Então, se tivermos o número 4 Como fazemos a leitura dele? Simples, o numerador é o número um e o denominador é o quatro, segundo a tabela a leitura será:
3) Como se lê os seguintes números fracionários:
Um quarto. *Uma consideração a lembrar no estudo das frações é que o denominador não pode ter o valor igual á zero.
a)
1 11
3
b) 4
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32
1
c) 8
2
d) 3 -Tipos de Frações Há algumas considerações no estudo de frações que devemos estar atento e com isso facilitar o entendimento do estudo de frações, exemplos:
1
e) 5
3) Uma terrível bruxa descobriu uma fórmula para preparar uma mistura com efeitos mágicos. Observe a fórmula e responda:
I) Própria: o numerador é menor que denominador. 1
Exemplo, 2 (lê-se um meio). II) Imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.
a)Que fração da mistura representa as lágrimas de crocodilo?
Exemplo, (lê-se nove quintos)
b)Que fração da mistura representa a baba de sapo e o vinho de víbora juntos?
inteira e uma fracionária.
9 5
Fórmula para III) Mista: constituída por umamistura parte mágica (10 litros de mistura)
1
Exemplo, 2 3 (lê-se dois um terço). 1 litro de lágrimas de crocodilo Pode-se encontrar uma fração imprópria 2 litros de baba de sapo a partir do número misto: 3 litros de sangue de vampiro 1
4 litros de vinho de víbora Exemplo, 32 (lê-se três um meio) =>
Fórmula para mistura mágica (10 litros de mistura)
2x3=6; 6+1=7 (7 é o numerador e o 2 é o denominador), e assim por diante, repetindo o denominador.
1 litro de lágrimas de crocodilo
IV) Aparente: é quando o numerador é
2 litros de baba de sapo
múltiplo ao denominador, ou seja, um número inteiro escrito em forma de fração.
3 litros de sangue de vampiro 4 litros de vinho de víbora
4
Exemplo, 1= 4 (lê-se um igual a quatro quartos).
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33
V) Equivalentes ou semelhantes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. 4
3) Transforme os números mistos em frações impróprias: 2
a) 3
5
2
b) 5
1 4
5
c) 2
6
d)4
1 2
Exemplo 4 = 2
VI) Irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação.
4) Mostre três frações equivalentes as ½
9
Exemplo:22
-Operações com frações VII) Decimal: o denominador é uma potência de 10(100,1000,10000…). Exemplo,
436 1000
(lê-se quatrocentos e
Assim como uma soma de dois números é possível também somarmos duas frações, subtrair, multiplicar e dividir frações.
trinta e seis-mil avos).
Atividades: 1) Classifique as seguintes frações como: próprias, impróprias ou aparentes.
-Adição e subtração de números fracionários A adição e a subtração de frações de denominadores diferentes são feitas utilizando mínimo múltiplo comum, ou M.M.C . Exemplo:
(O MMC de 9 e 6 é 18) 2) Escreva cinco frações equivalentes à
cada uma das frações dadas:
Outro exemplo
a)
1
2 3
5 b) 4
2
1
5+2
5
10
+ =
Temos, que o M.M.C é 10 basta, fazer uma nova fração, onde o denominador é o M.M.C, 10 e o numerador é a divisão dos do primeiro denominador pelo
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34
M.M.C multiplicado pelo numerador , da mesma forma com a outra fração, divide em baixo e multiplica em cima, logo:
denominador ĂŠ igual ao nĂşmero multiplicado, podemos cancelar esses dois nĂşmeros e repetir apenas o numerador, exemplo:
5+2
1
10
=7/10
9
x9=1
Divisão de Fraçþes -Subtração A Subtração, operação contråria a soma tambÊm Ê da mesma forma:
Para efetuar a divisão entre duas fraçþes, multiplica-se a fração que estå no numerador pelo inverso da fração que estå no denominador. Exemplo:
½ -1/5 = 5-2/10 = 3/10
-Multiplicação A multiplicação Ê efetuada apenas multiplicando-se os numeradores entre si e os denominadores entre si.
-Potenciação de fraçþes Basta elevar tanto o numerador quanto o denominador para a potência em questão, exemplo:
Exemplos:
8 7 1 9
2
16
5
35
x = 4
4
7
63
x =
( đ?&#x;? đ?&#x;?) 2 =
đ?&#x;? đ?&#x;’
-Radiciação A raiz de uma fração Ê feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação:
* É bom lembrar que o sĂmbolo % (percentual ou de porcentagem) representa uma fração sobre 100, exemplo: 4% = 4/100 EntĂŁo, 10% de 100 ĂŠ igual ĂĄ, 10/100 x 100 = 10. Quando se multiplica um nĂşmero sem ser fração por uma fração e o valor do
* 0,5 ĂŠ uma representação decimal de um meio, veremos mais sobre o assunto no capĂtulo seguinte.
Atividades:
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35
1) Efetue as operações e apresente a resposta na forma simplificada: 1 2 3 4 2 b)1 3 1 2 c )1 10 5 a)
1 1 1 4 6 24 4 11 e)2 9 6
7)Lucas e Pedro gostam de jogar bolinhas de gude, juntos eles tem 15 bolinhas, sabendo que 2/5 das bolinhas são de Lucas, quem possui mais bolas de gude, Lucas ou Pedro?
d)
2) Se num estádio de futebol cabem 44 mil torcedores e num jogo apenas 2 da 5
sua capacidade foi preenchida, quantos torcedores assistiram a esse jogo?
3) Um aluno já fez
8) Faremos uma festa no final do ano, a 5ª série ficará responsável pela arrecadação de 1/5 do dinheiro necessário para realização desse evento. Sabendo que precisaremos de R$ 2.000,00, quanto a 5ª série deverá arrecadar?
2 dos exercícios de 3
um trabalho de Matemática. Ainda faltam 7 exercícios para terminar. Quantos exercícios há nesse trabalho?
4) Ache o valor de X: x = 3/5 + 1/3
5) O professor de Educação Física do Colégio observou que em uma classe de 42 alunos, 1/3 praticavam futsal, responda: quantos alunos praticam futsal e quantos não praticam?
6) Responda: Quanto é ¼ de hora em minutos?
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8- NĂşmeros decimais
SĂŁo numerais que indicam um algarismo que nĂŁo ĂŠ inteiro. Geralmente apĂłs o algarismo das unidades, usa-se uma vĂrgula, indicando que o nĂşmero a seguir pertence Ă ordem das dĂŠcimas, ou casas decimais. Todos os nĂşmeros decimais finitos( que tem fim) ou infinitos( que nĂŁo tem fim) podem ser escritos na forma de fração, porĂŠm, os nĂşmeros decimais irracionais, como o đ?œ‹, por exemplo, nĂŁo podem ser escritos na forma de fração pois sĂŁo infinitos e nĂŁo tĂŞm perĂodo. Comumente, vemos nĂşmeros decimais nos preços de qualquer objeto e tambĂŠm nos produtos alimentĂcios, por exemplo: Uma muda de uma planta X custa R$ 15,50. Temos que o valor ou preço da muda nĂŁo ĂŠ um nĂşmero inteiro e sim decimal, quize reais e cinqĂźenta centavos.
-Notação decimal Um nĂşmero decimal sempre serĂĄ evidenciado por ter uma vĂrgula, Elaborado por Diesson Costa | DĂşvidas e sugestĂľes entrem em contato atravĂŠs do email: diessonsaga@gmail.com
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exemplos; 1,387 ; 1,4 ; 1,2 ; 1,5 ; 2,8 ; 2,9 e etc.
-Numerais por extenso 0,1 = décimo (1 casa decimal).
O deslocamento da vírgula corresponde a um zero se colocarmos número na forma fracionária, exemplo 1,2 é o 12 mesmo que : , note que a vírgula se 10 desloca da direita para a esquerda uma casa, pois 1,2 só tem um zero se fosse 1,020 como ficaria sua forma fracionária ? Um Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas observe os exemplos,
0,01 = centésimo (2 casas decimais). 0,001 = milésimo (3 casas decimais). 0,0001 = décimo de milésimo (4 casas decimais). 0,00001 = centésimo de milésimo (5 casas decimais). 0,000001 = milionésimo decimais).
(6 casas
0,0000001 = décimo de milionésimo (7 casas decimais). 0,00000001 = centésimo milionésimo (8 casas decimais).
de
0,000000001 = bilionésimo (9 casas decimais). 0,000000000001 = trilionésimo (12 casas decimais).
-Leitura dos números decimais Como escrever números decimais por extenso ? Sim temos o número 20,50 como fazemos a leitura dele, simples, antes da vírgula temos a parte inteira e após a vírgula temos a parte decimal, logo para o exemplo acima temos a seguinte leitura: Vinte inteiros e cinqüenta centésimos. Se fosse 20 ,4000 como seria por extenso ?
Atividades: 1) Escreva por extenso os números decimais abaixo: a)2,1=
b)0,36=. c)2,36=. d)14,6=
e)0,123 =.
Vinte inteiros e 4 milésimos. Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
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-Transformação para números fracionários
Se pegarmos o número 5 para representá-lo em forma de fração basta achar um número que dividido por outro número o resultado seja 5. Por exemplo: 5=
10 2
ou
20 4
ou
300 60
2) Usando algarismos, escreva na forma decimal:
.
Atividades:
a) Quatro inteiros e sete décimos ________________________________ ____________
1)Escreva as frações decimais na forma de números decimais:
228
a) 10 = _________________________
98
b) 1000 _________________________
1336
c) 1 000 000 = _________________________
61
d) 100 _________________________
129
e) 10 000 = _________________________
b) Dois inteiros e trinta e cinco milésimos ________________________________ ______
c) Quarenta e sete centésimos ________________________________ ______________
d) Dois inteiros e trezentos e cinqüenta e um centésimo de milésimos _______________
e) Sete inteiros e oito centésimos de milésimos ________________________________ _
3) Um edifício A tem 27,6 metros de altura, enquanto um edifício B tem
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27,45 metros de altura. Qual dos dois edifícios é mais alto? Por quê?
4) O que é um número decimal ?
5) O que é uma dizima periódica ? Dê exemplos ?
9-Operações com os Números Decimais
-Adição
de Números Decimais
Considere a seguinte soma: 1,28 + 2,6 + 0,038 Transformando em frações decimais, temos: 128 100 3818
26
38
1280
2600
38
+ 10 + 1000 = 1000 + 1000 + 1000 =
1000
Método prático: I) Igualamos o número de casas decimais, com o acréscimo de zeros; II) Coloca-se vírgula;
vírgula
debaixo
de
III) Efetuamos a soma, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais. Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
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Exemplos: 1°)(1,28 + 2,6 2°) (35,4 + 0,038) 0,75 + 47)
3°) (6,14 + 1,8 + 0,007)
Note que na soma, utilizamos o método prático, onde não havia o zeros colocamos para efetuar a soma, e fizemos a soma.
-Subtração de Números Decimais
1°) (3,97 2,013)
2°) (17,2 5,146)
3°) (9 0,987)
Seguindo o método prático e fazendo os “ajustes” necessários temos facilidade para operar a subtração e as demais operações com os números decimais
Atividades: 1) Calcule as expressões: a) 17,352 – 15,2 + 8,3
Considere a seguinte subtração: b) 35,25 – (4,85 – 1,23 + 17,9) 3,97 - 2,013 c) 15 – (3,25 + 2,7 – 4,08) – 10 Transformando em fração decimal, temos:
2)Nara mede 1,58m e Darlan mede 1,88 m de altura. Qual deles é mais alto e qual é a diferença entre as duas alturas?
Método prático I) Igualamos o número de casas decimais, com o acréscimo de zeros; II) Coloca-se vírgula;
vírgula
debaixo
3) Qual o resultado de cada operação?
de
III) Efetuamos a diferença, colocando a vírgula na subtração alinhada com as demais. Exemplos:
d) 20,3 – [4,75 – (1,2 + 2,38)] + 5,1
a) 0,917 + 2,79 b) 2,7 – 1,82 c) 5,14 – 2,822
I) 2,318 II) 0,88 III) 3,707
4) Thiago e Joaquim são dois irmãos que se preocupam com o peso e por essa
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razão eles fazem regularmente atividades físicas. Ao se pesarem constataram que o peso de cada um era de 87,7 kg e87,69 kg. Qual dos dois está pesando mais?
5) A ginasta Daiane dos Santos obteve a 5a colocação da ginástica artística de solo nas Olimpíadas de Atenas 2004. Daiane conseguiu a nota de 9,375 e a romena Catalina Ponor conquistou a nota 9,75. Qual delas consegui a maior nota?
- Multiplicação
6) Qual é o maior, 0,3 ou 0,03? Justifique.
de Números
Decimais
Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5 Transformando em fração decimais, temos: Método prático: Multiplicam-se os dois número normal, acrescentando a vírgula depois sendo que a virgula desloca-se a quantidade de números existentes após a vírgula tanto no primeiro número quanto no segundo número Exemplos:
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3,49 · 2,5 3) Se m = 1,802 e n = 100, então m × n = ________________.
4)Um fio de náilon vai ser colocado em rolinhos com 15 m cada um. Se na fábrica há 3 000 m de fio, quantos rolinhos de náilon vão ser feitos?
1,842 · 0,013
Atividades: 1) Calcule mentalmente e escreva o resultado em seu caderno. a) 10 × 43,21 b) 1,45 × 100 c) 1 000 × 65,4 d) 10 × 0,0012 e) 1,25 x 200
Divisão de Números Decimais
I) Divisão exata Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05 Transformando em frações decimais,
f) 1,387 x 100 g) 2,9 x 2,9 i) 1,2 x 1,5 j) 7,8 x 7,9
Método prático
k) 2,7 x 3,6
I) Iguala-se o número de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
l) 4,5 x 4,8
II) Retira-se as vírgulas; 2) Um prédio tem 20 andares. Cada andar tem 3,75 m de altura. Qual é a altura do prédio?
III) Efetua-se a divisão;
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Exemplo:
b) (16 – 6 x 1,8) : 1,3 c) (7,2 – 1,26) : 0,9 d) 1,1 + 0,33: 1,1
1,5 : 2,5 = 15 25
:
10 10
=
15 10
.
10 25
=
15 25
3) Leia essa situação, arme uma expressão numérica e determine o valor da expressão. II) Divisão não-exata Tome como exemplo a divisão de 66 por 21, temos:
Note que na divisão 66:21 temos que 3 multiplicado por 21 é igual a 63 e 6663= 3, quando isso ocorrer acrescentamos uma vírgula no quociente no caso 3, e votamos a fazer a divisão colocando um zero no resto. Logo temos uma divisão inexata ou aproximada igual a 3,1
Atividades: 1) Calcule as divisões. a) 7,44 : 06 b) 1,2 : 0,24 c) 0,072 : 0,09 d) 5,4 : 2,7 e) 2,08 : 0,8
“Milena foi a uma loja de bijuteria com R$ 100 reais comprar alguns presentes. Ela comprou um cordão para dar a sua tia, que custou R$ 22,30 reais, e comprou cinco pares brincos para dar as suas amigas, que custou R$ 13,20 cada par.”
10- Introdução ao estudo da Geometria Ao contrário do que muitos atualmente são levados a pensar, o estudo da geometria não é um fator isolado da matemática. Aliás, a matemática inteira está interligada, a geometria é um campo específico que completa o ensino da matemática com a compreensão de objetos sólidos concretos e abstratos, mas para entendermos a geometria é necessário conhecer os elementos básicos geométricos existentes.
-Inicio da Geometria
f) 9 : 0,06
2) Determine o valor de cada uma das expressões. a) (0,324 + 1,26) : (2 – 0,8)
Geometria significa "medida da terra". Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a história, é que os primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa
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hipótese falsa. Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da geometria. Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides, mestre na escola de Alexandria (Cidade do Egito, famosa por seu farol), que publicou por volta de 325 a.C. Os Elementos, uma obra com treze volumes, propondo um sistema inédito no estudo da Geometria.
A figura a seguir representa uma reta que representa a menor distância possível entre dois pontos.
Exemplos de reta: fio esticado, lados de
um quadro.
A próxima figura representa um plano, que é uma noção geométrica
Esse trabalho de Euclides é tão vasto que alguns historiadores não acreditaram que fosse obra de um só homem.
Exemplos de planos: o quadro negro, a superfície de uma mesa.
Mas essas desconfianças suficientes para tirar de Euclides o primeiro a método para um estudo matemática.
-Notações de Ponto, Reta e Plano:
não foram o mérito propor um lógico da
-Noções Elementares
Geométricas
As representações de objetos geométricos podem ser realizadas do seguinte modo, letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte maneira :
A figura abaixo representa um ponto, o conceito elementar de geometria por meio de pontos pode traçar uma reta e a partir daí construir elementos e figuras geométricas
Exemplos de pontos: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha.
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas; Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas; Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas.
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4) A sala de aula é um exemplo de um plano ?
-Pontos Colineares e semi-retas Pontos colineares: são pontos pertencem a uma mesma reta. A
B
que 5) Quem foi o percussor do estudo da geometria ?
C 6) Qual foi o livro que deu início aos estudos da geometria ?
Semi-retas: Um ponto B sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto B é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semiretas opostas.
Atividades: 1) No seu cotidiano, existem vários objetos com formato de figuras plana e sólido geométrico. Cite algumas?
-Segmento de Reta
2) Dê 3 exemplos: a) plano
É a parte da reta limitada por dois pontos distintos. Exemplo:
b)reta Na física, o segmento de reta é também conhecido como vetor. c) ponto
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-Ângulos Geométricos É a reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares (que não estão sobre a mesma reta).
-Ângulo Obtuso É quando o ângulo formado tem medida menor que noventa graus.
As duas figuras a seguir são exemplos de ângulos Na figura A temos a reunião das duas semi retas divididas pela origem, observe que a região “aberta” é o ângulo formado pelas retas AO e OB :
Exemplo:
-Ângulo Agudo Na figura B temos a medida que é dada para algum ângulo formado:
-Ângulo reto Temos alguns ângulos específicos que sempre vale ser lembrado e relembrado. Um ângulo reto é chamado assim, quando o encontro de suas duas semiretas forma 90°. Exemplo:
É o ângulo cuja medida é menor que 90°.
-Posições Relativas entre duas Retas - Retas Paralelas Duas retas são chamadas paralelas quando não tem ponto em comum (quando não se tocam).
r
s
Logo, r e s são retas paralelas
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Retas Coplanares Quando duas retas estão inseridas no mesmo plano essas retas são chamadas de retas coplanares. 7) O que é uma reta coplanar ?
8) O que são retas paralelas ?
Retas Coincidentes É quando duas retas têm os mesmo pontos em comum, ou quando elas são iguais.
9) O que são retas coincidentes ?
Exemplo:
10) Um ângulo pode ter mais de 90° ? Atividades: 1) O que é um segmento de reta ? Dê um exemplo? 2) O que são ângulos ?
3) O que é um ângulo reto ?
4) O que é um ângulo obtuso ?
-Polígonos Chamamos de polígonos uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. Linha poligonal é uma linha que é formada apenas por segmentos de reta. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. O número de lados de um polígono coincide com o número de ângulos. A tabela a seguir representa principais polígonos do cotidiano.
os
5) O que é um ângulo agudo Nome 6) O que se quer dizer quando falamos que duas avenidas ou ruas são paralelas ?
Triângulo Quadrilátero Pentágono
Quantidade Polígono de lados Três Quatro Cinco
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Hexágono Heptágono Octógono Decágono
Seis Sete Oito Dez
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 106
105
102
1
10-2 10-4 10-6
-Medidas de comprimento e superfície
Para transformarmos de uma unidade para outra basta multiplicar o que estar a minha direita pela quantidade de casas, exemplo 1 metro para milímetro multiplica por 1000 que é igual á 1 x 1000 = 1000 milímetros. Se quisermos inverter, ou seja, transformar milímetros para metros, basta dividir pela quantidade casas na potência de dez. De milímetros para metros são três unidades, logo divide por 1000, então ; 1000:1000 = 1 metro A tabela a seguir mostra como se efetua tal conversão
Você, certamente, já deve ter ouvido falar em uma medida de comprimento, por exemplo, aquele terreno medido em m2 (metros quadrados). Metros é uma medida de comprimento. A tabela a seguir mostra como é a tabela de comprimento que utilizamos no Brasil. km hm dam m dm cm mm Essa é a tabela de comprimento utilizada, onde: Km é chamado de quilômetro Hm é chamado de hectômetro
-Unidades de área Bastante utilizada para medir determinadas superfícies
Dam é chamado de decâmetro M chamado de é metro Dm é chamado de decímetro Cm é chamado de centímetro Mm é chamado de milímetro
A escrita é a mesma da medida de comprimento só que ao invés de terminar em metros termina em metros quadrados, exemplo centimetrosquadrados.
-Transformação de medidas -Unidade de Massa Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
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kg
hg
dag g
dg
cg
mg
2) Escreva por extenso a medida indicada em cada um dos itens seguintes:
Onde: a) 32 km Kg é chamado de quilograma. Hg é chamado de hectograma. b) 48cm Dag é chamado de decagrama. G é chamado de grama. c) 12,76 m Dg é chamado de decigrama. Cg é chamado de centigrama. d) 34,8 dm Mg é chamado de miligrama. e) 51,32 m -Unidade de Volume Tradicionalmente, representamos o volume de qualquer líquido pela unidade denominada de litros.
3) Faça as transformações solicitadas em
kl
a) 345,67 m em km
hl
dal
l
dl
cl
ml
A interpretação é a mesma dos demais sendo que ao invés da terminação ser em metros é em litros, exemplo, mililitro.
cada item.
b) 46,87 m em mm
c) 0,034 km em dm
Atividades: 1) Quanto vale em metros:
d) 7458 dm em hm
a) 3,6 km + 450 m b) 6,8 hm - 0,34 dam
e) 48 km em m
c) 16 dm + 54,6 cm + 200mm d) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam
f) 0,23 mm em km
e) 82,5 hm + 6 hm
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4) Três pedaços de barbantes, todos de 40 cm, equivalem a um único pedaço de quantos metros de barbante?
9) Quanto mede a área de sua cidade ou bairro ? Especifique a sua cidade ou seu bairro.
5) Para que serve uma trena ? 10) Qual a medida mais utilizada em um frigorífico ? 6) Um passo de Pedro equivale a 0,5 m. Para dar uma volta em torno do quarteirão, ele contou 420 passos. Quantos metros tem o contorno desse quarteirão?
7) A medida do palmo de Fausto é de 22 cm. Se, ao medir a altura de uma estante, ele contou 8 palmos, qual é a medida da estante, em metros?
8) Ana está passeando em uma praça quadrada com 24,5 m de lado. Ela deu 4 voltas completas no contorno da praça. a) Quantos metros Ana andou?
b) Em média, cada passo de Ana mede 0,8 m, quantos passos ela terá dado ao completar as 4 voltas?
-Áreas das figuras planas Você já deve ter ficado curioso para saber a área de um determinado terreno ou mesmo do seu quarto e da sua casa, há figuras geométricas que basta uma fórmula matemática para calcular o valor do seu tamanho.
-Triângulo
h Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: diessonsaga@gmail.com
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b
-Retângulo
Como se calcular a årea de um triângulo de 90°, simples basta multiplicar a base(b) pela altura(h) e dividir por dois em outras palavras: à rea do triângulo =
l
đ?‘?.â„Ž
c
2
Exemplo:
Basta multiplicar o comprimento ( c ) pela largura ( l)
7
Exemplo: 3 Ă rea =
đ?‘?.â„Ž 2
=
3.7 2
=
21
7
2
-Quadrado l
2 Ă rea = c.l = 2 . 7 = 14
l
Bata multiplicar o lado vezes o lado Ă rea do quadrado = l2
Exemplo: Atividades:
5 5 Ă rea = l.l = 5.5 = 25
1) Determine a årea de uma sala quadrada, sabendo que a medida de seu lado Ê 6,45 m 2) Vamos calcular a årea de uma praça retangular, em que o comprimento Ê igual a 50 m e sua largura mede 35,6 m
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3) Calcule a área de um retângulo, em que a base mede 38 cm e sua largura mede a metade da base.
4) Quantos metros de tecido, no mínimo, são necessários para fazer uma toalha para uma mesa que mede 400 cm de comprimento por 230 cm de largura?
5) Determine a área de um triângulo, sabendo que sua base mede 5 cm e sua altura mede 3 cm
6) Determine a área de uma sala quadrada, sabendo que a medida de seu lado é 8 m
7) Um jardim de forma retangular tem área de 54 m2. Qual é o comprimento desse jardim, sabendo-se que a largura mede 3 m?
8) Qual o formato de um caderno ?
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