Geometria Analítica
I)Posição relativa de duas retas Sabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser : Paralelas: r s = Concorrentes: r s = { P } , onde P é o ponto de interseção . Coincidentes: r = s. Dadas as retas r : ax + by + c = 0 e s : a’x + b’y + c’ = 0 , temos os seguintes casos :
Solução: Temos que: 1 / 4 = 2 / 8 3 / 10 (segundo caso acima) e, portanto as retas são paralelas.
II)Ângulo formado por duas retas Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a tangente do ângulo agudo formado pelas retas é dado por :
as retas são coincidentes .
as retas são paralelas .
as retas são concorrentes .
Exercícios resolvidos 1 - OSEC-SP - Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?
Exercício comentado Determine o ângulo agudo formado pelas retas r : 3x - y + 2 = 0 e s : 2x + y - 1 = 0. solução: Para a reta r : y = 3x + 2. Logo, mr3. Página 1
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Para a reta s : y = - 2x + 1. Logo, ms = -2. Substituindo os valores na fórmula anterior e efetuando os cálculos, obtemos tg = 1, o que significa que o ângulo entre as retas é igual a 45º, pois tg45º = 1. (Faça os cálculos para conferir). III)Distância entre ponto e reta d(P, r) =
ax 0 by 0 c 2
a b
cartesianas ou seja o ponto O(0,0) , a equação reduzida da circunferência fica: x2 + y2 = R2 Para obter a Equação Geral da circunferência, basta desenvolver a equação reduzida. Temos: x2 - 2x . xo + xo2 + y2 - 2y . yo + yo2 R2 = 0 .
2
IV)Estudo facilitado da circunferência Considere a circunferência representada no plano cartesiano , conforme abaixo , cujo centro é o ponto C(xo , yo) e cujo raio é igual a R , sendo P(x , y) um ponto qualquer pertencente à circunferência .
Exemplo: Dada a equação x2 + y2 - 6x + 8y = 0, temos: D = - 6 , E = 8 e F = 0. Logo, pelas igualdades anteriores, podemos determinar as coordenadas do centro e o raio como segue: xo = - (-6) / 2 = 3 ; yo = - 8 / 2 = -4 e R = 5 (faça as contas). Portanto, o centro é o ponto C(3, -4) e o raio é igual a 5 u.c (u.c = unidade de comprimento).
Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre dois pontos, já vista em outro texto publicado nesta página, teremos: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 , que é conhecida como equação reduzida da circunferência de centro C(x0,y0) e raio R. Assim, por exemplo, a equação reduzida da circunferência de raio 5 e centro no ponto C(2,4) é dada por: (x - 2)2 + (y - 4)2 = 25. Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir com a origem do sistema de coordenadas Página 2 Elaborado por Diesson Costa. Email:diessonsaga@gmail.com
7) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a: a) – 2
Exercícios
1)Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,4) e tem coeficiente angular 2.
b) 0 c)
2) Se o ponto P(2,k) pertence à reta de equação:
2
d) 1 e) ½
2x + 3y - 1 = 0, então o valor de k é: a) 1. b) 0. c) 2.
d) -1.
e) -2.
3) Verifique se as equações abaixo representam circunferências. Caso afirmativo, determine o centro e o raio das circunferências seguintes: 2
2
a)x + y + 6x = 0
b) x2 + y2 = 9 c) x2 + y2 + 4x – 10y + 20 = 0 d) x2 + 2y2 + 4x + 18y – 100 = 0 e) x2 + 3y2 – 4 = 0 f) x2 + y2 + 4x – 4y – 17 =0 4)Determine os valores de “k” de modo que a circunferência de equação (x – k)2 + (y – 4)2 = 25 passe pelo ponto (2k,0). 5) A equação de uma circunferência C é x2 + y2 – 2y – 7 = 0. Verifique se o ponto (2,3) pertence à circunferência.
6) Sendo (x+2, 2y – 4) = (8x, 3y – 10), determine o valor de x e de y.
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