Capítulo 1 - Números inteiros
Capítulo 2 - Operações com números inteiros
Capítulo 9 - Razões e proporções
Capítulo 10 - Regra de Três Simples e regra de Três Composta
Capítulo 3 - Números racionais
Capítulo 4 fundamentais racionais
Operações com números
Capítulo 5 - Equações do 1° grau
Capítulo 6 - Sistemas de equações do 1o grau com duas variáveis
Capítulo 7 - Equação de 1º grau com duas variáveis
Capítulo 8 - Inequação do 1° grau com uma variável
Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
1 - Números inteiros Os números inteiros estão presentes hoje e sempre, em diversas situações do cotidiano da humanidade, como, por exemplo, para medir a temperatura, contar dinheiro, marcar as horas, etc. Sua importância é indiscutível Por isso, seu estudo.
- Números Positivos e Negativos Números positivos são os números utilizados na contagem de objetos e que expressam quantidades.
*OBS os três pontos seguidos (...) representa uma quantidade infinita seguinte, ou seja, os números inteiros são infinitos. É importante ressaltar que os números podem realizar as operações de adição, multiplicação e subtração, ou seja, a soma, produto e diferença de dois números inteiros ainda é um número inteiro. O conjunto dos números inteiros pode ser subdivido em outros: I) Z* = Z-{0} são todos os números inteiros sendo não contabilizado o zero.
Já os Números negativos são os que indicam dívidas, temperaturas abaixo de zero e o resultado de certas subtrações, como 2 – 7 = -5. Ao conjunto dos números positivos e negativos damos o nome de números inteiros: ...-4, -3, -2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...
II) Z+ ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8...} é o conjunto dos números inteiros sendo apenas os dos números positivos.
Até o século XVI, os números negativos não eram aceitos como números e é essa a razão de serem chamada de números negativos, a negação do que deveria ser um número, já que parecem não expressar quantidades existentes.
Atividades:
III) Z- = {... , -5, -4 , -3, -2 ,-1} é o conjunto dos números inteiros negativos.
1) Responda: a) Qual o oposto de um número positivo?
-Conjunto dos números inteiros Os números inteiros são conhecidos como números reais e representados pela letra Z, o fato de ser representado pela letra Z é devido a palavra alemã, Zahl que significa número. Os números reais são representados da seguinte maneira:
b) Qual o oposto de um número negativo?
2) Considere os números – 20, – 5, 0, 5, 12, – 1, 8, 15. Qual o menor e o maior número?
Z ={... -2 , -1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5...}
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3) Complete as sentenças, a fim de obter sentenças verdadeiras: – 1 e +1 são números ________________
inteiros
7 e -7 também são números inteiros _______________.
4) Qual a finalidade de estudarmos um número negativo ?
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero), Por exemplo, a distância de 3 a origem é 3, usamos a seguinte simbologia para representar o módulo | 4 = 4.
|. Logo,
O módulo de um número negativo sempre será esse número na forma positiva, exemplos: |−2|=2
5) Uma conta que não foi paga gera um saldo negativo ?
-Representação de um número
inteiro na reta numérica
Os números inteiros podem ser representados em uma reta (por exemplo, numa régua), onde a esquerda ficam os números menores e a direita os números maiores. A figura abaixo, mostra como fica a representação dos inteiros na reta numérica.
| − 4| = 4
-Números
opostos ou simétricos
Qual o oposto de alguém ruim, resposta: uma pessoa boa. Assim os números têm seus inversos e contrários a eles mesmos. O oposto de 30 é -30, o oposto de -12 é 12 e assim sucessivamente. Atividades: 1) Quais são os números inteiros compreendidos entre – 5 e + 4?
2) Calcule: a)
+ 10 + 2
b) + 2 + 21
-Módulo ou valor absoluto de um número inteiro
c) + 5 + 18
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d) + 23 + 21
essa situação com apenas um número inteiro?
e) + 12 + 34
f) + 12 – 8 g) + 15 – 6
4) Para fazer um bolo, Renata gastou R$ 27,00. Ela vendeu o bolo por R$ 70,00. Qual foi o seu lucro?
h) + 45 – 32
i) + 56 – 34
5) Faça o oposto de 10 números inteiros.
j) + 57 – 31
k) – 32 + 25
l) – 23 + 12
m) – 15 + 13
n) – 45 + 40
o) – 35 + 27
p) – 23 + 32
q) – 32 + 53
3) Uma empresa deve R$ 5400,00 para seus funcionários, mas irá receber R$ 7300,00 de outra empresa. Represente Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
1) Liste 100 números inteiros e faça a comparação entre eles, podem ser números negativos e positivos.
-Comparação inteiros
de
números
Usamos o seguinte símbolo quando fazemos comparação entre números: > sinal de maior usado quando dizemos que um número é maior que o outro, exemplo: 3 > 2, lê-se da seguinte maneira: três maior que dois. Sinal de < (menor) usamos para dizer que um número é menor que outro número, exemplo: 5 < 10 lê-se da seguinte maneira: cinco menor que dez O sinal de igual (=) quando dois números são exatamente iguais, exemplo: 2 = 2, lê-se dois igual a dois. O sinal de diferente (≠) que indica que dois números não são semelhantes. Exemplo: 5 ≠ 6 , lê-se da seguinte forma, cinco é diferente de seis.
Atividades:
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6+0=6 Podemos ter a soma de três parcelas: 1° parcela + 2° parcela + 3° parcela = soma. Exemplos: 2 + 3 + 5 = 10 7 + 8 +10 =25
2 - Operações com números inteiros No conjunto dos inteiros é possível fazermos as operações matemáticas. Relembraremos como podemos fazêlas.
-Adição de números inteiros Chamamos de termos da adição as parcelas (valores a serem somados) e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total (resultado da soma efetuada). 1º parcela + 2º parcela = soma ou total Exemplo: 7 + 6 = 13 A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a Exemplo:
-Subtração O primeiro termo de uma subtração é chamado de minuendo, o segundo, termo é chamado de subtraendo e o resultado da operação de subtração é chamado de resto ou diferença. Minuendo - Subtraendo = resto ou diferença A ordem dos termos de uma subtração pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a (sempre que a ≠ b) A subtração é a operação contrária da adição: M - S = R ↔ R + S = M, ou seja, Minuendo subtraído do subtraendo é igual ao resto, o símbolo ↔ significa se somente se. R + S = M, significa: resto somado do subtraendo é igual ao minuendo.
7 + 6 = 13 6 + 7 = 13 O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0.
A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo.
Exemplos:
M + S + R = 2 × M.
5+0=5 Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
Atividades: 1) Calcular: a)
=
b)
=
c)
=
d)
=
e)
=
f)
=
g)
=
h)
=
i)
=
j)
=
k)
=
l)
=
m)
=
n)
=
o)
=
p)
=
q)
=
r) s) t) u) v) x) y)
= = = = = = = Elaborado por Diesson Costa, dĂşvidas e sugestĂľes entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
da mochila e y o preço de cada lapiseira. Outro exemplo: Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um suco com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1 x+1 y onde x representa o preço do salgado e y o preço do suco.
-Adição algébrica Até agora somamos apenas números mas também é possível somarmos letras exemplo:
Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)= T. As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas.
2xy + xy = 3xy. Atividades: A soma foi só possível por que as letras x e y são as mesmas nas duas parcelas, logo podem ser somadas. Se tivéssemos 2x2 + 2x não é possível, pois 2x2 é diferente de 2x.
1)Um carregador vai sair de uma câmara frigorífica. Dentro dela, a temperatura que marca o termômetro é de -19 °C, fora dela, a temperatura é de 22 °C. A diferença entre essas temperaturas é:
- Expressões numéricas com a
A) 41 °C
adição e subtração algébrica de números inteiros
B) 22 °C C) 4 °C
No dia a dia, freqüentemente usamos expressões sem perceber que tais expressões representam expressões algébricas ou numéricas.
D) 19 °C
Por exemplo: Numa papelaria, quando calculamos o preço de uma mochila somado ao preço de duas lapiseiras, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço
2) Um camelô fez 4 vendas. Na primeira teve prejuízo de R$ 4,00, na segunda teve prejuízo de R$ 11,00, na terceira teve lucro de R$ 13,00 e na última venda teve lucro de R$ 5,00.
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Pode-se calcular o saldo resultante desses quatro negócios, efetuando: A) – 4 – (-11) + 13 + 5 = 25
d) 3 + 100 + 4 × 20 – (50 + 1)
6) Numa cidade no sul do Canadá, o termômetro
B) – 4 + (-11) + 13 + 5 = 3
marca, no meio da tarde , uma temperatura de
C) 4 – 11 + 13 + 5 = 11
9º C e , na madrugada , uma temperatura – 10º
D) – 4 – 11 – 13 + 5 = – 23
C. Qual a variação de temperatura verificada nesse período ?
3) O estádio Presidente Vargas em Fortaleza tem capacidade para 20.268 torcedores em seu total. Sabe-se que somente um quinto da capacidade total do estádio é reservado para a torcida visitante. No jogo entre Ceará e Tiradentes somente um décimo da área de torcida visitante foi preenchida. Quantos torcedores do Tiradentes vieram ao jogo? 4) A Arena Castelão tem capacidade para 64.846 torcedores. Na partida da abertura da copa do Nordeste 2015 entre Ceará e Fortaleza. Se a torcida do ceará preencheu dois terço da capacidade do estádio. Quantos torcedores do Fortaleza foram ao jogo.
5) Francisco reais e 4 de reais. Qual é representa o ainda tem?
7) Pedro foi ao banco e imprimiu o seu saldo verificando que tinha um depósito de R$ 480 ,00 , uma retirada de R$ 500,00 , fez um outro depósito de R$ 187 ,00 , fez um deposito de R$ 560,00 e uma retirada de R$ 1000. Ao final dessas operações financeiras, Pedro possuía quanto na sua conta bancária?
8) O dobro de um número mais 20 é igual a 480. Qual é esse número?
tinha 3 cédulas de 100 20 reais. Ele gastou 50 a expressão que melhor dinheiro que Francisco
a) (3 × 100 + 4 × 20) – (50 + 1) b) (3 × 100 + 4 × 20) – (1 × 50) c) 3 × (100 + 20) – 50 + 1 Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
É possível multiplicar letras, objetos, coisas em sim? Claro, por exemplo, temos: X . Y = XY 3x – 2y = 6xy (4x2 yz).(3x3 y2) = 12 x5y3z Logo podemos utilizar a multiplicação em expressões do dia a dia.
-Multiplicação inteiros
de
números
Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é chamado de produto sendo feito da seguinte maneira: 1º fator x 2º fator = produto O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado de multiplicador. A ordem dos fatores nunca altera o produto de uma multiplicação: a x b = b xa O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1 x a = a x 1 = a
-Multiplicação Algébrica
Se João foi ao mercantil comprou 7 sabonetes e 12 cremes-dentais, se o o preço de um sabonete é R$ 1,20 e o preço de um creme-dental é R$ 1,50. Como podemos elaborar essa expressão? Simples: x representa o sabonete e y representa o creme-dental, basta apenas montar a expressão multiplicando pela quantidade em questão. 7x +12 y = Só substituir os valores de x e y: 7 (1,20) + 12( 1,50) = 8,4 + 18 = 26,40. João gastou R$ 26,40 na compra que fez.
Divisão de Números Inteiros
Lembre-se que na divisão temos a seguinte expressão: N= D x Q + R A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados:
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N é o dividendo; D é o divisor (sempre é um número diferente de zero); Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo). Exemplos: 1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.
2) No cálculo de (+3).(-8), resolvi mudar os fatores e ficou assim(-8).(3). Em ambas as expressões qual será o valor e por quê ? 3) Utilizando a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão de números inteiros, efetue (indicação: utilize as suas propriedades da adição e multiplicação se
8 × 7 + 4 = 60
achar conveniente):
2) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60, o divisor é 7, o quociente é -9 e o resto é 3.
a)
6 2 3 8
-9 × 7 + 3 = -60 Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q × D = N e diremos que a divisão é exata indicando-a como N ÷ D = Q.
b)
-Multiplicação e divisões com números inteiros
4 7 5 3 6 5
Na multiplicação e divisão de dois números inteiros temos que ficar atentos ao sinais,pois é de costume bastante os alunos errarem os sinais, a tabela abaixo mostra como fica o resultado dependendo dos sinais:
c) 9 5 6 9 2
Sinais Iguais (+) (+) x (+) = + (-) x (-) = + (+) : (+) = + (-) : (-) = +
Sinais opostos (-) (+) x (-) = (-) x (+) = (+) : (-) = (-) : (+) = d)
Atividades:
28 4 20 2 3
1) Na expressão 4-9-8+9+6, eu posso cancelar o -9 com o +9, por que isso é possível? Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
e)
ď&#x20AC; ď&#x20AC;¨ď&#x20AC; 6ď&#x20AC;Šď&#x20AC;¨ď&#x20AC;Ť 5ď&#x20AC;Š ď&#x20AC; 9 ď&#x20AC;Ť 8ď &#x203A;ď&#x20AC;¨ď&#x20AC; 579ď&#x20AC;Š ď&#x201A;¸ ď&#x20AC;¨ď&#x20AC; 579ď&#x20AC;Šď ? ď&#x20AC;˝
A fração representa uma razão entre dois valores isto Ê, uma comparação entre medidas do mesmo tipo. Assim, com os números racionais, podemos medir e resolver problemas de proporcionalidade, porcentagem e probabilidade.
f)
ď&#x20AC; 7 ď&#x20AC; 4ď &#x203A;ď&#x20AC;¨ď&#x20AC;Ť 18ď&#x20AC;Š ď&#x201A;¸ ď&#x20AC;¨ď&#x20AC; 6ď&#x20AC;Šď ? ď&#x20AC;Ť ď&#x20AC;¨4 ď&#x20AC; 6ď&#x20AC;Š ď&#x20AC;˝
g)
ď &#x203A;ď&#x20AC; 10 ď&#x20AC; ď&#x20AC;¨3 ď&#x20AC; 7ď&#x20AC;Š ď&#x20AC;Ť 1ď ? ď&#x20AC;Ť 2ď&#x20AC;¨ď&#x20AC; 5ď&#x20AC;Š ď&#x20AC;˝
-Representação de um número racional Assim como os números inteiros são representados pela letra Z, os números inteiros têm na letra Q sua representação. Definido da seguinte maneira: Q={
3-NĂşmeros racionais SĂŁo o conjunto dos nĂşmeros que podemos escrever na forma de fração, đ?&#x2018;&#x17D; ou seja, entre nĂşmeros inteiros, com o đ?&#x2018;? denominador (b) diferente de zero. SĂŁo exemplos: 0,05 que pode ser obtido pela divisĂŁo entre 5 e 100, ou seja, pode ser escrito como 5/100;
đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?
/ a â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;? ; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2C6; đ?&#x2018;?*}
O conjunto dos números racionais obedecerå a lei de formação acima, que quer dizer que o numerador a pertence a qualquer número inteiro, jå o denominador pertence aos inteiros menos o zero.
-Subconjuntos de Q
Q+ Ê a representação para os números racionais apenas positivos: 1 1 1 1
Q+ = { , , , ,} 6 5 4 3
-43 e 12 (nĂşmeros inteiros), que podem ser escritos como -43/1 e 12/1;
Q- Ê a representação para os números
A dĂzima periĂłdica 0,33333..., que pode ser escrita como o resultado da divisĂŁo entre 1 e 3, entĂŁo 1/3.
Q- = { â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;&#x2019; , â&#x2C6;&#x2019; }
racionais negativos, exemplo: 1
1
1
1
6
5
4
3
Q* Ê a representação dos números racionais retirando o zero. Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestþes entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
Atividades:
-Representação geométrica dos números racionais
1) Dadas as frações abaixo, escreva-as em ordem crescente
Assim como os números inteiros, os números racionais podem ser representados em uma reta numérica, a figura a seguir mostra como fica a organização de um número racional na reta numérica:
5 2 1 8 , , , 7 3 4 5
2) O resultado de
a)
10 9
c)
10 9
b)
14 9
d)
14 9
-Número oposto e módulo (valor absoluto) O oposto de um número racional é o seu número negativo, logo o oposto de 1/25 é 1/25, o oposto de ½ é -½ e assim sucessivamente.
2 16 é: 3 81
3) Sabendo que a = 2 , b = 8 e c = 5 e d = 20 , calcule:
-Módulo (valor absoluto)
a) a + b =______
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero),
b) a/2 -c = ______
Por exemplo, a distância de 1/2 a origem é 1/2, usamos a seguinte simbologia para mostrar tal distância ou representar o módulo | |. Logo, 1/2 = 1/2. O módulo de um número racional negativo sempre será esse número na forma positiva, exemplos:
c) a – b =______
d) 4a – 5b + 2c = _____
| − 2/5 | = 2/5 | − 4/3| = 4/3
4) Calcule as expressões:
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a) 17,352 – 15,2 + 8,3
Para somar frações que tenham o mesmo denominador, basta somar seus numeradores, como no exemplo abaixo:
b) 35,25 – (4,85 – 1,23 + 17,9) No caso de frações com denominadores diferentes, devemos seguir alguns passos. Para entendermos este processo, calcularemos a seguinte soma de frações:
c) 15 – (3,25 + 2,7 – 4,08) – 10
I) Encontrar um número que seja múltiplo de todos os denominadores para isto, podemos utilizar o M.M.C.
d) 20,3 – [4,75 – (1,2 + 2,38)] + 5,1
Podemos utilizar, neste exemplo, o número 30 como múltiplo de todos os denominadores. 5) Uma pessoa comprou uma dúzia de enfeites. Pagou R$ 18,24 pela compra. Quanto pagou em cada enfeite?
4-Operações fundamentais com números racionais
-Adição Podemos definir as frações como partes de um todo. Por exemplo, temos de uma bolo se dividirmos este bolo em 8 pedaços iguais e tomarmos 3 destas partes. Também definimos a fração como o resultado da divisão de dois números. Por exemplo, a fração resultado da divisão de 3 por 8.
II) Representar todas as frações da adição com este mesmo denominador. Para representar cada fração com este novo denominador, basta dividirmos este novo denominador pelo numerador da fração, e então multiplicar o resultado obtido pelo numerador desta mesma fração, obtendo assim o novo numerador desta fração. Nas frações de nosso exemplo as contas são: 30 ÷ 3 × 7 = 70; 30 ÷ 2 × 4 = 60 e 30 ÷ 5 × 4 = 24. Portanto, temos:
Apenas simplificando, temos:
é o
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-A subtração A subtração É considerada como o oposto da adição. Pensamos em subtração quando queremos eliminar um valor de outro, para saber quanto restará. Por exemplo, temos:
( )
q)
g) (-3)2 = 9 ( )
( )
r) 0 Q
h) 7,3 Q ( )
a-b=c Nos números racionais temos:
( )
0 s) 2 N
i) 64 R ( ) ( )
t)
2/5 -1/5 =1/5 Se os denominadores forem opostos, então temos que tirar o M.MC, exemplo:
j) 3,222 Q ( ) ( )
u)
1/6 -1/5 = 5-6 /30 = -1/30
k) = 3,14
Atividades:
7 Q
f) -32 = 9 ( )
25 N
3
27 Z
( )
2) Simplifique as frações: a) 2/4 =
1)Use V ou F conforme o caso
b) 3/6 = c) 9/6 =
a) 3,1 Q ( ) l) 3,555 = 3,555... ( ) b)
2 Q ( )
7 1000
m) 0,777... =
d) 5/{10} = e) {15}/{18} = f) {24}/{30} = g) {12/{24} =
( ) h) {21}/{63} =
3 c) 8 Z ( ) ( )
2 n) 0,222... = 9
3)Solucione:
d) 25 = 5 ( ) Euler) ( )
o) e 2,7 (no de
a) 3/5+1/5 =
e) 9 = 3 ( )
p) 0,85 R
b) 4/9+8/9 =
( )
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c) 7/6-3/6 =
-DivisĂŁo d) 2/7-2/7 =
Significa a transformação de partes equivalentes e, portanto, não precisamos do MMC.
4) Resolva os itens abaixo: MĂŠtodo para resolver: a)1/3+1/2=
b)1/3+2/4 =
I) Mantemos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda fração isso quando nĂŁo for possĂvel dividir diretamente. Exemplo: 1/8
=
1
5
1
8
c)1/5+3/4+1/2+3/{10} =
1/5
d) 7/{10}-2/5 =
-Potenciação
e) 1/4-5/6 =
Quando temos uma fração elevada a um expoente, elevamos o numerador e o denominador ao mesmo expoente, exemplo:
f) 2/3-1/6+5/2 =
8
5
đ?&#x2018;Ľ =
4
(2 5) 2 = 25 Se o expoente for um número positivo e a fração negativa, teremos uma solução positiva, exemplo:
-Multiplicação Significa a transformação de partes equivalentes e, portanto, não precisamos do MMC. MÊtodo para resolver: I) Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si, exemplo: 2 5
3
6
8
40
đ?&#x2018;Ľ =
( - 1/2) 2 = Âź Mas se tivermos um expoente Ămpar elevado a uma fração negativa teremos uma solução negativa, exemplo: ( -1/2) 3 = - 1/8
-Radiciação
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d) racionais negativos? Sendo a um nĂşmero real, positivo ou negativo, com n sendo um nĂşmero natural Ămpar e positivo, maior que 1,
e) racionais positivos?
tem-se um b, tal que, se , entĂŁo bm = a, onde a ĂŠ o radicando, m ĂŠ o Ăndice, b ĂŠ raiz e â&#x2C6;&#x161; ĂŠ o radical. Nos nĂşmeros racionais em uma divisĂŁo a raiz ĂŠ a mesma para o numerador e denominador desde que tenha o mesmo radicando: n
a :n b ď&#x20AC;˝ n
a b
18 : 6 ď&#x20AC;˝
Exemplo:
18 ď&#x20AC;˝ 3 6
O denominador, nĂŁo pode ficar na forma de raiz quando isso acontecer racionalizamos a expressĂŁo, exemplo:
1/ 6 =
1 6
đ?&#x2018;Ľ
6 6
=
6 6
ď&#x192;&#x2DC; NĂŁo existe raiz de nĂşmero negativo para os nĂşmeros naturais.
3) Qual Ê a alternativa que Ê igual à subtração do número decimal 242,12 do número decimal 724,96? a)48,284
Atividades: b)586,28 1) Considere os nĂşmeros: -1; 4; -10; 0,5 ; 2 ; 5,1; 7
c)241,59
Quantos desses nĂşmeros sĂŁo: a) naturais?
d)482,84
b) inteiros? c) racionais? Elaborado por Diesson Costa, dĂşvidas e sugestĂľes entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
4) Qual é a alternativa que representa a multiplicação 3,02x0,65?
1
c) o triplo de 8
a)2,37
b)3,37 4
d) o dobro de 7 c)1,963 7) Qual é a alternativa que representa a soma 4,013+10,182? d)23,7 a.) 14,313 b) 13,920 c)14,195 d)14,083
8) Cinco colegas: Mati, Pafa, Agriano, Cenato e Vani, combinaram de ir a uma festa à fantasia. Mas Nhonho havia comido muitos pastéis na lancheria da escola e ficou sem dinheiro para pagar o ingresso que custava dois reais. Quanto cada um pagará a mais para o Nhonho ir à festa?
6) Faça os cálculos e descubra: a) o dobro de
7 9
b) o quádruplo de 0,8 Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
x+1= 6 ; 2x +3 =4 ; x+3 =1/2 Não são equações do primeiro grau: 2x2+ 7 =3; x3 +6 =18 Como resolver uma equação? Simples se eu tenho: x+1= 6 basta passar o número antes da igualdade (primeiro membro) para a depois da igualdade (segundo membro), como era positivo + 1 ao fazer essa alteração o valor vai ficar negativo, logo: x= 6 -1 x=5 Quando mudamos o algarimos ou letra de um membro para outro se antes da alteração era um valor negativo fica positivo ao passar para o outro membroe vive e versa.
-Expressões algébricas Uma expressão matemática é chamada algébrica ou literal quando possui “números e letras” ou explicitamente, apenas “letras”. As letras são conhecidas como as famosas variáveis. Exemplos: a) x + y b) 3xy 5- Equações do 1° grau c) x + 4 Usamos uma equação para calcular um valor desconhecido que irá depender de uma letra no caso: x, y ou z. As equações podem ter soma subtração, multiplicação e divisão. A equação é dita de 1° grau quando ela possui apenas uma variável (letra) e é de grau 1, exemplos:
d) 4a+5b
-Termo Algébrico
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É todo produto indicado de números reais, representados ou não por variáveis, pertencente a uma expressão algébrica. Exemplos: 2xy2 + 5x3y
Quando numa mesma expressão, tiver dois ou mais termos semelhantes, podemos reduzi-los todos a um único termo, usando a propriedade distributiva Exemplos:
–
10xy
+
5
2
2xy → é um termo algébrico, pois tem variáveis 5x3y → é um termo algébrico, pois tem variáveis 10xy → é um termo algébrico,pois tem variáveis 5 → é termo constante, pois não tem variáveis.
I) 5x + 3x – 2x = 6x O x se repete 4 vezes passando o 6x para o segundo membro (antes da igualdade a esquerda) temos: 5x +3x -2x -6x = 0 Podemos colocar o x em evidência, pois ele se repete: x( 5 +3 -2 -6) , resolvendo a expressão do parênteses temos: x( 8-8) = x(0) =
-Termos semelhantes
0
Uma equação é dita semelhante quando ela possui termos semelhantes, exemplo
II)
2x + 3x = 6 , note que o 2 e o 3 tem em comum a letra x, logo podemos efetuar a soma:
7xy – xy + 5xy = 11xy
Fazendo o mesmo anterior temos:
procedimento
xy(7-1+5-11) =0
2x + 3x = 6
xy(0) =0
= 5x = 6
Conclusão: somamos os coeficientes e conservamos a parte literal
x= 6/5 Não é uma equação semelhante: 2x + 2x2 =6, pois 2x é de grau 1 e 2x2 é de grau 2.
Atividades: 1)
Reduza os termos semelhantes:
a)
8a + 2a =
b)
7x – 5x =
-Redução de termos semelhantes
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c)
d)
Vamos lembrar que:
2y²- 9y² =
Ao eliminar parênteses precedidos pelo sinal de (+), não toque o sinais dos termos incluídos nos parênteses.
4a² - a² =
Exemplos: e)
2x + (5x -3) = 0
4y – 6y =
2x + 5x – 3 = 0 f)
7x – 3 = 0
-3m²+ 8m² =
7x = 3 g)
6xy²- 8y²x =
x=3/7
h)
5a – 5a =
2) Ao eliminarmos parênteses precedidos pelo sinal negativo (-) troque os sinais incluídos nos parênteses.
2)
Reduza os termos semelhantes:
Exemplo:
a)
8x + 1x/2 =
7x – (4x – 5) = 0 7x -4x + 5 = 0
b)
3a – 2a/3 =
3x + 5 = 0 3x = -5 x =-5/3
c)
1x/2 + 1x/3 =
d)
2 x²/3 - 1 x²/2 =
e)
1y/2 – 2y/5 =
f)
2x + 1x/2 -3x/4 =
-Eliminação
de colchetes e chaves
A mesma regra é válida para colchetes e chaves. Atividades:
1) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas:
parênteses,
a)
6x + (2x – 4) – 2 =
b)
7y -8 – (5y – 3) =
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c)
d)
e)
f)
g)
h)
b)
3X + { 2Y – [ 5X – (Y + X)]} =
c)
– 3x + [ x² - ( 4x² - x ) + 5x] =
d)
xy – [ 2x + (3xy – 4x ) + 7x] =
e)
8a – [ ( a + 2m) – ( 3a – 3m)] =
f)
a – (b – c) + [ 2a + (3b + c)] =
g)
–[x + (7 – x) – (5 + 2x)]
3x – (-2x + 5) – 8x + 9 =
4x – 3 + (2x + 1) =
(x + y) – (x + 2y) =
( 3x – 2y) + (7x + y) =
–(8a + 4 – ( 3a + 2) =
a)
5a + (3a -2) – (10a – 8) =
b)
6x + (5x -7) – (20 + 3x )=
d)
6x² - [ 4x² + (3x – 5) + x] =
4x – ( -3X + 9 – 2X) =
2) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas:
c)
a)
(x + y + z) + x – (3y + z) =
(m + 2n ) – ( r – 2n) – ( n+ r) =
e) – (6y + 4x ) + ( 3y – 4x ) – (-2x + 3y) =
h)
{ 9x – [ 4x – (x – y)- 5y] + y} =
i) (3a + 2m ) – [ ( a – 2m) – (6a + 2m)] =
j) 7x³- { 3x² - x – [ 2x – { 5x³ - 6x² ) – 4x ]} = k) 2y – { 3y + [4y – (y – 2x) + 3x ] – 4x } + 2x =
l) 8y + { 4y – [ 6x – y- (4x – 3y) – y ] – 2x } = )
3) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas: Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
m) 4x – { 3x + [ 4x – 3y – (6x – 5y ) – 3x ] – 6y}
n) 3x – { 3x – [3x – (3x –y) – y ] – y} - y
4) Reduza os termos semelhantes das expressões algébricas: a)
-2n – (n – 8) + 1 =
b)
5 – ( 2a – 5 ) + a =
b) 5a – { 5a – [ 5a – (5a – m) – m] – m}–m= c) – { 7a – m – [ 4m – (n – m + 3a) – 4a] + n }
d) 5xy – [ - (2xy + 5x) + [ 3Y – (-XY + X + 3XY)]} =
e) – {x – 2y + y – [ 3x + 5xy + 6y – (x –y) + 8 ]} =
-Equação do 1° grau c)
3x + ( -4 – 6x) + 9 =
d)
8y – 8 – ( -3y + 5) =
É conhecido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em sua solução. Exemplos:
e)
a – [ n + ( a + 3) ] =
f)
5 + [ x – (3 – x)] =
g)
x² - [ x – (5 - x²)] =
h)
5x – y – [ x – ( x – y)]
5) Reduza os termos semelhantes das expressões algébricas: a)
3x – 4 = 2 a o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita. 3y + 4 = 7 a o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita. Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos. É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:
2x + ( 2x + y) – (3x – y) + 9x = x = 2, veja: 3x – 4 = 2 3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2 Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
y = 1, veja:
Resolvendo ela antes temos que:
3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1
5x = 6 -1 =
Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente
5x = 5 x = 5/5 x= 1
-Equação do 1º grau forma literal
Colocamos a solução entre chaves ou entre parênteses: S = { 1} ou S = ( 1)
Agora que podemos conhecer a equação de grau um na sua forma literal que a seguinte:
O s maiúsculo vem da palavra solução. A solução também pode ser chamada de raiz da equação
ax + b = 0 Onde, tem-se: a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)
-Problemas do 1° grau com uma variável
Exemplo:
Como resolver problemas corriqueiros que necessitamos utilizar um raciocínio mais agudo, simples usamos equações:
4x + 10 = 1
Exemplo:
a=4
A soma de três números naturais pares e consecutivos é igual a 54. Quais são os números?
b = 10 Exemplo: 3x – 6 = 0
Como encontrar a solução do problema acima?
a=3
Solução:
b=6
-Solução de uma equação Se temos uma equação: 5x + 1 = 6 Como podemos escrever a solução dessa equação ?
Um número é par quando é múltiplo de dois , como não conhecemos esse número vamos utilizar de uma letra qualquer, por exemplo o x, logo Temos : 2x, são três números consecutivos e pares logo o segundo será 2x + 2 e o terceiro 2x + 4, o problema ainda relata que a soma desses
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três número é 54 logo já podemos armar o problema:
2)Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número?
2x + 2x + 2 + 2x +4 = 54
a)15 b)30 c)45 d) 90
6x +6 = 54 6x = 54 -6
3) José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café?
6x = 48 x= 48/6 x=8 Logo: 2x = 16, 2x +2 = 18 e 2x +4 = 20 Os três números pares cuja soma é 54 são: 16, 18 e 20. Para resolver um enunciado em que irá precisar utilizar de uma equação para encontrar a solução, basta ler com atenção a questão e descobrir passo a passo o que se quer encontrar o valor desconhecido sempre o chame de x.
Atividades:
1)O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente um objeto que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui? a)R$20,00 b)R$20,50 c)R$22,00 d) R$ 22,50
a)87,5 b)125,6 c)262,5 d)267,5 e) 272,0 4) Um motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou 1/5 da capacidade do tanque para chegar à cidade A; gastou mais 28 L para ir da cidade A até a cidade B; sobrou, no tanque, uma quantidade de combustível que corresponde a 1/3 de sua capacidade. Quando o veículo chegou à cidade B, havia, no tanque menos de: a)10L b)15L c)18L d)20L e) 21 L 5)Eduardo tem R$ 1.325,00 e Alberto, R$ 932,00. Eduardo economiza R$ 32,90 por mês e Alberto, R$ 111,50. Depois de quanto tempo terão quantias iguais?
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a)3meses b)5meses c)7meses d) 9 meses 6) 1) Resolva as equações a seguir a)18x - 43 = 65
11) A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos têm 60 anos? 12) Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de Sônia?
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20
13) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número?
d) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
7)Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
8) Indique a Incógnita de cada equação a) 2x – 3 = 15 b) 4y = 30 – 18
14) O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos quatro. Qual é esse número?
15) O quádruplo de um número, diminuído de 10, é igual ao dobro desse número, aumentado de 2. Qual é esse número?
c) 5z – 6 = z + 14 d) m + 4 = 20
9) 1 – O dobro de um número, aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse número?
10) A soma de um número co o seu triplo é igual a 48. Qual é esse número?
16) O triplo de um número, menos 25, é igual ao próprio número, mais 55. Qual é esse número?
17) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de
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carros é igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento?
18) Um número somado com sua quarta parte é igual a 80. Qual é esse número?
26) Subtraindo 5 da terça parte de um número, obtém-se o resultado 15. Qual é esse número?
27) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 25. Quantos objetos há na caixa?
19) Um número mais a sua metade é igual a 15. Qual é esse número?
20) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 32. Qual é esse número?
21) O triplo de um número é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número?
24) O dobro de um número, menos 10, é igual à sua metade, mais 50. Qual é esse número?
28) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 72 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?
29) Flávia e Sílvia têm juntas 21 anos. A idade de Sílvia é três quartos da idade de Flávia. Qual a idade de cada uma?
30) A soma das idades de Carlos e Mário é 40 anos. A idade de Carlos é três quintos da idade de Mário. Qual a idade de Mário?
25) A diferença entre o triplo de um número e a metade desse número é 35. Qual é esse número?
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6 - Sistemas de equações do 1
o
grau com duas variáveis Já vimos que uma equação de uma variável é aquela que aparece apenas uma variável representa por uma letra qualquer, exemplo: 2x + 5 =10. E uma equação de duas variáveis como? Simples, ela é uma equação acrescentada de duas variáveis, exemplo: 3x +5y =10. A escrita algébrica de uma equação com do primeiro grau é a seguinte: ax+by+c Em 2x + 5 = 10 temos que a = 2 , b = 5 e c = -10.
-Produto cartesiano representação gráfica
e
Plano Cartesiano foi criado pelo matemático fracês, René Descartes. Ele associava a geometria à álgebra, esta foi Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
a forma que ele criou para representar graficamente expressões algébricas.
Chamamos esses números ordenado. Exemplos:
A sua utilização mais simples é a de representarmos graficamente a localização de pontos em um determinado plano. Através dele também podemos representar um segmento de reta ou um triângulo, por exemplo.
(3,4), onde o x corresponde a 3 e o y é corresponde a 4.
O plano cartesiano é composto de duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizontal e outra vertical.
Portanto, Indicamos por (x, y) o par ordenado que é formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.
Damos no nome de eixo x ou eixo das abscissas à reta horizontal. À vertical chamamos de eixo y ou eixo das ordenadas. A orientação positiva das retas é representa por uma seta como podemos ver na figura a seguir.
de par
(1/2, 1/5), onde o x corresponde a ½ e o y corresponde a ¼. (-1 , 5) , onde o x corresponde a -1 e o y corresponde a 5.
Dois pares ordenados serão iguais quando os elementos de primeira ordem forem iguais e os elementos de segunda ordem também forem iguais, exemplo: Se os pares ordenados (x, 5) e ( 3, y) são iguais encontre os valores de x e y ? Simples, como os pares ordenados são iguais x =3 e y =5.
-Produto cartesiano. O produto cartesiano de dois conjuntos A e B são todos os pares ordenados (x, y), sendo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. Vamos tomar como exemplo seguintes conjuntos A e B:
os
A= {1,2} -Pares ordenados
B= {3}
Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.
O produto cartesiano de A por B, representado por é igual a: A X B = { (1,3) , ( 2,3) }
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Observe que segundo a definição de produto cartesiano, todos os elementos de são pares ordenados em que o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo ao conjunto B.
3) Determine x para que {1, 1, 2, 3} = {1, x, 3}.
4) Analise o gráfico abaixo e responda as perguntas: Atividades: 1) . No plano cartesiano abaixo, escreva os pares ordenados de cada ponto:
Qual a ordenada do ponto E?_____________ E a abscissa do ponto H?________________ 2) Considere os segmentos g e k indicados no seguinte plano cartesiano. Determine as coordenadas de suas extremidades.
Que ponto que tem como abscissa o número 3?____________ Que ponto ou pontos pertencem ao terceiro quadrante?__________ Que pontos possuem somente coordenadas positivas?____________
5) Desenhe no caderno um sistema cartesiano e represente geometricamente os pares ordenados: a) (- 4,5)
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b) (3,2)
c) (5,-3)
d) (0,-6)
e) (5,0)
f) (-2,-7)
7- Equação de 1º grau com duas variáveis As equações do 1º grau com duas variáveis são representadas pela expressão ax + by = c, onde a e b são diferentes de 0 e c assume qualquer algarismo pertencente aos reais. Observe exemplos abaixo de equações:
6) Responda: a) Qual a abscissa do par (-10,5)?
10x–2y=0 x–y=–8 7x+y=5 12x+5y=–10 50x–6y=32 8x + 11y = 12
b) qual a ordenada do par (5,-7) Numa equação de 1° grau é possível encontrar o par ordenado (x, y) da equação, os valores de x dependem dos valores de y e vice versa. Atribuindo valores a qualquer uma das variáveis descobrimos os valores correlacionados a elas. Por exemplo, na equação 3x + 7y = 5, vamos substituir y por 2: 3x+7.2=5 3x+14=5 3x=5–14 3x=–9 x=–9/3 Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
x=–3 Temos que para y = 2, x = – 3, estabelecendo o par ordenado (–3, 2).
Exemplo Dada a equação 4x – 3y = 11, encontre o valor de y, quando for igual a 2. x=2 4.2–3y=11 8–3y=11 –3y=11–8 –3y=3 (multiplicar mpor – 1) 3y=–3 y=–3/3 y=–1 Estabelecendo x = 2, temos y = – 1, constituindo o par ordenado (2, –1).
-Solução de duas equações com duas variáveis I) Adição Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita. Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo, recorremos ao princípio multiplicativo da igualdade para multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de sorte que a equação equivalente resultante nos permita obter uma equação com uma única incógnita. Exemplo: Encontre a solução do sistema abaixo:
-Sistema de equações Um sistema de equações é um conjunto finito de equações nas mesmas variáveis. Exemplo: Note que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da primeira equação com o respectivo termo da segunda equação:
Os sistemas de equações são ferramentas bastante comuns na resolução de problemas nas diversas áreas do conhecimento (Matemática, Física, Química, Engenharia, etc). De maneira geral, a resolução de um sistema é bem simples. Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
Logo como 2x= 26 temos que x =13, para encontrar o valor de y basta substituir o valor de em qualquer uma as equações do sistema de equações, logo: 13 +y = 20 y = 20-13 y =7 S = { 13 , 7}
II) Substituição Nesse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das variáveis e substituir na outra equação, veja o exemplo abaixo como resolvemos:
valor de substituir.
x=20–y
o
qual
iremos
3x + 4y =72 3(20 – y) + 4y = 60 -3y + 4y = -3y + 4y = 72 – y =
72 72 60 12
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 em qualquer uma das equações x=20–y. x=20–y x=20–12 x=8
A solução do sistema é S = (8, 12)
Atividades: 1)Escreva uma equação que represente
cada uma das situações.
Dado o sistema , enumeramos as equações.
a) A diferença entre o dobro de um número x com o quádruplo de número y é igual a 60.
b) A terça parte de um número x corresponde ao triplo do número y. Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: x+y=20 x=20–
y
2 c) 3
do número x aumentado de 30 é 3 igual a 4 do número y.
Agora na equação 2 substituímos o Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
d) O triplo de um nĂşmero x ĂŠ igual ao nĂşmero y.
2) Verifique se cada um dos pares ordenados a seguir Ê a solução da equação 9x + y = 1.
6) O terreno retangular tem 144 m de perĂmetro e seu comprimento ĂŠ o triplo de sua largura. Determine a ĂĄrea desse terreno.
7) O par (-3, 5) Ê solução do sistema:
a) (0, 1) b) (1, 0)
â&#x20AC;&#x201C;x + 2y = 12
c) (1, â&#x20AC;&#x201C;8)
3x + 8y = 31
d) (-1, 10) Essa afirmação ĂŠ correta? Por quĂŞ? 3) Dada a equação 2x â&#x20AC;&#x201C; y = â&#x20AC;&#x201C;6, determine y para os seguintes valores de x sejam : a) x = â&#x20AC;&#x201C;1
-Resolução de problemas que envolvem equaçþes de 2° com duas variåveis
b) x = 0 Como resolver problemas do tipo:
4) Verifique se o par (â&#x20AC;&#x201C;5, 5) ĂŠ soluça do ď&#x192;Ź x ď&#x20AC;Ť 2y ď&#x20AC;˝ 5 ď&#x192; sistema ď&#x192;Ž3x ď&#x20AC; 2y ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC; 25 .
ď&#x192;Źx ď&#x20AC;Ť 2 y ď&#x20AC;˝ 5 ď&#x192; 5) Se (x, y) ĂŠ solução de ď&#x192;Ž4 x ď&#x20AC; y ď&#x20AC;˝ 2 , determine o valor de x + y.
A soma de dois nĂşmeros ĂŠ 15, e a diferença entre eles ĂŠ 3. Determinar esses nĂşmeros? Note que temos um problema que vai envolver duas variĂĄveis, entĂŁo teremos que đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ś = 15 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ś=3 Resolvendo por um dos mĂŠtodos vistos no caso pelo mĂŠtodo da adição teremos que: 2x +0y = 18 , logo 2x=18, entĂŁo x =18/2 =9, para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer uma das equaçþes , logo: 9 + y = 15
Elaborado por Diesson Costa, dĂşvidas e sugestĂľes entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
y=15-9
e) No zoológico há cisnes e girafas. São 96 cabeças e 242 patas. Quantos são os cisnes? E as girafas?
y=6 S= { 9,6} Para resolver problemas envolvendo equações com duas variáveis bastas ter atenção ao enunciado da questão e resolver com calma. Atividades:
f) Um tomate e um pepino pesam juntos 140g. Para fazer o equilíbrio da balança é preciso colocar 5 tomates de um lado e 2 pepinos do outro.Quanto pesa um tomate? E um pepino?
1)Resolva os problemas utilizando sistema de equação do 1º grau com uma incógnita por qualquer método.
g) A soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são os números?
a) Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duas etapas, de modo que na primeira etapa percorra 60 km a mais que na segunda. Quantos quilômetros ele deverá percorrer em cada etapa? b) A soma de dois números é 18, e a diferença entre eles é 7. Determinar esses números.
c) Um número é o quádruplo de outro e a soma dos dois é 40. Quais são os números?
d) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130, e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Qual é o números de automóveis e bicicletas que se encontram no pátio?
h) Quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. Cinco camisetas e sete calções custam R$ 138,00. Qual é o preço de cada peça? i) Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou numa caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas aranhas e joaninhas ele apanhou? (lembre se que a aranha tem 8 patas e a joaninha 6)
j) A diferença entre dois números é 3. O maior é 3/2 do menor. Quais são os números?
2) Resolva os problemas abaixo: a) A soma de dois números é 20 e a sua diferença é 10. Então, o seu produto é: (a) 75 (b) 84
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(c) 96
(d) 100
que y é o triplo de x conclui – se que o número de extintores de espuma química existente nesse depósito é: a) 3
b) Foram destacados soldados combatentes de duas corporações, x e y, para apagar o fogo nessa fábrica. A figura só mostra os da corporação x, mas a corporação y destacou um número 3 vezes maior. Se o total de soldados é 36, o numero de combatentes da corporação y é :
b) 4 c) 5 d) 6
(a) 30 (b) 27 (c) 24
(d) 21 c) Uma equipe de resgate constituída de 18 pessoas é formada por médicos, bombeiros e alpinistas. Sabe-se que o número de bombeiros é o triplo do número de médicos e que apenas 2 alpinistas fazem parte do grupo. Logo, o número de bombeiros que compõe a equipe é:
8- Inequação do 1° grau com uma variável Chamamos de inequação toda sentença matemática que ao invés de ter uma igualdade apresenta uma desigualdade, exemplo:
a) 14 2x +5 =10 é uma equação, pois tem uma igualdade.
b) 12 c) 10
2x + 5> 10 é uma inequação, pois apresenta uma desigualdade.
d) 8
Os sinais de desigualdade são: < Sinal de menor, > sinal de maior
d) Num depósito existem 24 extintores de incêndio, sendo x de espuma química e y de dióxido de carbono. Sabendo – se
≤ Sinal de menor igual,≥ sinal de maior igual.
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Na forma algébrica podemos inequações da seguinte forma:
ter
ax+ b > 0 ax + b < 0 ax + b ≥ 0 ax +b ≤ 0
-Inequação do 1° grau com uma variável Sim, já sabemos que uma inequação apresenta uma desigualdade, por exemplo: 3x +5 <10, como fazemos a solução de tal equação? Sim, basta passar o termo que não depende de x para o outro membro:
Ou seja, para ter solução a equação tem que ter valores para x maiores que -7/4.
-Conjunto-universo e conjuntosolução de uma inequação
3x < 5
Para encontrar a solução de uma inequação do 1° grau, primeiramente devemos resolver a inequação, por exemplo:
x <5/3
5x + 8 > 28
A interpretação da solução é que a inequação só terá solução para valores que o x assumir menores que 5/3.
5x > 28 -8
Outro exemplo:
x > 20/5
3(x + 4) < 4(2 –x)
x>4
3x < 10 – 5
Resolução:
5x > 20
Depois de feitas as operações necessárias, devemos isolar a variável em um dos membros da desigualdade e os termos constantes no outro. Com isso, obtemos os valores que satisfazem a inequação inicial, que consiste no nosso conjunto solução da inequação 5x+8>28
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E escrevemos a solução do seguinte modo: S= {x â&#x2C6;&#x2C6; đ??źđ?&#x2018;&#x2026;/ > 4}
3) Encontre a solução das inequaçþes abaixo:
Lembrando que IR ĂŠ o conjunto dos reais e engloba todos os nĂşmeros: fracionĂĄrios e inteiros e nĂŁo inteiros. O sĂmbolo / significa tal que.
a)
Representando na reta teremos:
b)
4 Onde os valores da solução são os números maiores que quatro.
c)
Atividades: d) 1) Quantos nĂşmeros inteiros e positivos x 2x ď&#x20AC; 7 satisfazem a inequação ď&#x20AC;Ť ď&#x201A;Ł0 2 3 ? a) nenhum
e)
b) 1 c)2 f)
d)3 e) 4
g) x x ď&#x20AC;1 2) A solução da inequação ĂŠ tal que : ď&#x201A;Ł ď&#x20AC;2 ď&#x20AC;3 a) x>-1 b)x > -2 c) x > 2
h)
d) x ď&#x201A;Ł -2 e) x ď&#x201A;ł -2 Elaborado por Diesson Costa, dĂşvidas e sugestĂľes entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
i)
q)
j) r)
k)
l)
s)
m)
4) A área do deve ser menor ou igual a 20 m2. Escreva uma inequação que represente essa situação e indique os números inteiros que podem representar a medida do lado desse retângulo.
n) o)
5) Resolva as inequações abaixo a) 2x + 5 < -3x +40
p)
b) 6(x - 5) -2(4x +2) > 100
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c) 7x - 9 < 2x + 16 c) 20 - (2x +5) ≤ 11 + 8x
d) -(8 - 4x - 7) ≤ 2x + 7
d) 20 - 2(3x + 4) + 2(3 - 7x) > 2(-x+5) 7x +9
6) Resolva as inequações : a) 2x + 5 ≥ -3x +40
b) 6(x - 5) -2(4x +2) ≥ 80
c) 20 - (7x + 4) < 30
d) -(8 - 5x) ≤ 2x + 7
7) Resolva as inequações em U = R
9-Razões e proporções
-Razões a) 8x - 10 > 2x + 8 A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, feito da seguinte maneira: b) 2(3x +7) < -4x + 8
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r = A/B, onde R é a razão e A e B são os respectivos números.
isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da outra, exemplos:
Exemplo: Qual a razão de 25 para 5 ?
3/6 x 6/3 = 1
r = 25/5 =5
½x2=1
Podemos ter situações do cotidiano que envolvam razões, exemplo :
1/5 x 5 =1
Dos 1200 candidatos inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso: Solução Temos: 240: 1200, logo : 240/1200 = 1/5, ou seja, de cada cindo candidatos inscritos um foi aprovado. Outro exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da área construída para a área livre é: Solução: Ele quer a razão entre a área construída para a área livre, logo: Temos r = (área construída) / (área livre) = 1200/3000 = 2/5.
-Razões inversas
2/3 x 3/2 = 1
- Razões especiais I) Escala. Ao compararmos mapas com os lugares a serem representados por eles, representamos as distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão: Escala: medida no mapa/medida real (a mbos na mesma unidade de medida).
II) Velocidade Média.
É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. A velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para calcular distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, m/s, cm/s etc. Representamos por Vm a velocidade média:
Vejamos as seguintes razões:
Vm= distância percorrida/tempo total de percurso
3/6 e 6/3
III) Densidade.
Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.
A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para
Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1,
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medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidades são g/cm³, kg/m³ etc.
86 km/h. Qual o tempo gasto no percurso?
Densidade = massa / volume
Atividades: 1)Determinar a razão de 48 para 72.
6)A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos. a) 14 e 20 anos
2) Numa partida de basquete, Francis fez 15 arremessos, acertando 9 deles. Nestas condições:
b) 14 e 21 anos c) 15 e 20 anos d) 18 e 17 anos
a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de Francis?
b) Qual a razão entre o número de arremessos que Francis acertou e o número de arremessos que ela errou?
e) 13 e 22 anos
7) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas sabendo que a soma é 66 cm². a) 22cm² e 44cm²
3)Um carro percorreu a distância de 540 km em 4 horas qual a velocidade média do carro?
b) 20cm² 46cm² c) 21cm² e 45cm² d) 24cm² e 42 cm²
4) Se um carro faz um movimento de 85 km/h durante 2h30min, que distância percorreu?
5) Uma moto percorreu a distância de 645 km com uma velocidade média de
e) 23cm² e 43cm²
8) Numa turma de 40 meninas e 10 meninos, qual é a razão entre o número de meninas e o total da turma?
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9) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos
15)Um veículo desenvolve a velocidade média de 75m/s durante 3 horas. Quantos quilômetros percorrerão?
10) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9 cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes
16). Se o móvel anda a 40m/s, que distância percorrerá em 7 minutos?
11)Em uma volta de 5000m, você desenvolveu uma velocidade média de 2500m/min. Qual foi o tempo gasto no percurso?
12) Um ponto material percorreu a distância de 300m com velocidade média de 20m/s. Quanto tempo gastou?
13) Um móvel percorreu 486 km com velocidade média de 45m/s. Em quantas horas transcorreu este percurso? -Proporção 14) Um motociclista percorre 600m na velocidade média de 72 km/h. Quantos segundos levam no trajeto?
A igualdade entre razões denominase proporção. Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma
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proporção se, e somente se, a razão a: b for igual à razão c : d.
-Quarta proporcional
Indicamos esta proporção por: Dados três números racionais: a, b e c, que não tem valor igual a zero. Chamase de quarta proporcional desses números um número x tal que: A letra a e a letra c são chamados de extremos já a letra c e a letra b são chamados de meios. Você certamente já deve ter visto problemas do tipo: Encontre o valor de x na proporção abaixo: x/5 = 2/3 Para encontrar x basta multiplicar os meios pelos extremos, ou seja, 3 . x = 5 .2 , assim temos que 3x = 10 , x = 10/3.
Exemplo: Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6. Solução: 8/12 = 6/x Temos que:
Podemos ter problemas do cotidiano envolvendo a proporção, por exemplo: Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha? Solução: 600/x = 100/25 Resolvendo os meios pelos extremos temos: 600 . 25 = x. 100 x =( 600 . 25) / 100 x = 150
8 . x = 6 . 12 x= ( 6.12) /8 x= 72/8 x=9
-Proporção contínua e terceira proporcional É toda a proporção que apresenta os meios iguais, exemplo: 20/10 = 10/ x 20. x = 10 . 10 20x = 100 x=5
Ou seja, 25 kg podem fazer 150 pães. Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
-Outras propriedades III) Antecedente e Conseqüente relativa à soma
I) Composição Em toda proporção a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou quarto: Se
a c = b d
então,
Em toda proporção a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim como um antecedente está para o seu conseqüente. Para a > c e b > d.
ab cd ab cd = ou = a c b d
ac c c a a = , então, = = ou b bd b d d ac c a = = bd b d
Se Exemplo:
3 6 3 4 68 = ,então, = 4 8 3 6 3 4 68 = 4 8
Se
ou
Exemplo:
II) Decomposição Se Em toda proporção a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim com a diferença dos dois últimos está para o terceiro ou quarto. a ab cd c = ,então, = b a c d ab cd = b d
Se
ou
Exemplo:
5 20 5 2 20 8 = ,então, = ou 2 8 20 5 5 2 20 8 = 8 2
Se
ou
8 4 = , 6 3
então,
84 8 4 = = 3 63 6
84 8 4 = = 63 6 3
IV) Antecedente e Conseqüente relativa ao produto
Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.
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Se
a c ,então, b d
a.c a 2 c 2 b.d b 2 d 2
sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?
Exemplo:
3.6 3 2 6 2 3 6 , então, 4.8 4 2 8 2 4 8
Atividades:
1) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números?
2) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor de a e de b?
3) A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor está para 19. Quais são os números?
4) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos têm Pedro e Paulo
5) O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg?
6) A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 87 está para 51. Quais são os números?
7) Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b?
8) Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional x?
9) Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem
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uma proporção. Qual o valor da terceira proporcional x ?
d) 1 e 0,4
e) 10 e 100
10) Determine a quarta proporcional dos seguintes números:
f)
1 e6 2
a) 4, 6 e 8
b) 6, 19 e 18
12) Determine dois números sabendo-se que a razão entre eles é 1/3 e a soma de seus quadrados é 90.
c) 3, 5 e 15
d) 4,
2 e5 3
13) Determine as dimensões de um retângulo sabendo-se que elas estão na razão 4/3 e que a área desse retângulo é igual a 48 m2.
e) 0,3; 1,2 e 3,8
f) 0,2; 0,5 e 0,7
14) O produto de dois números é 60. A razão entre eles e 3/5. Determine esses números. (12 e 5)
11) Calcule a terceira proporcional dos seguintes números: a) 4 e 8
b) 2,4 e 5,4
c) 1
15) Determine a base e a altura de um triângulo cujo produto é igual a 48 m2, sabendo-se que a razão entre elas é 3.
4 3 e 2 5 4
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10 - Regra de Três Simples e regra de Três Composta
Para sabermos o que é uma regra de três, é necessário antes entendermos o que é uma grandeza diretamente e inversamente proporcional.
30 x As duas grandezas são diretamente proporcionais, pois quanto maior for o tempo maior será a quantidade de litros utilizada. Logo: Basta multiplicar: 10.x=50.30
-Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais
10x=1500 x= 150 Logo em 30 minutos serão despejados 150 litros.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é multiplicado por esse mesmo número positivo. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo.
Segundo exemplo: Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão? Solução faça a tabela para verificar se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais:
Exemplos: 1) Uma torneira despeja 50 litros de água em 10 minutos. Quantos litros serão despejados por essa torneira em 30minutos? Solução: Vamos construir uma tabela e verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: Litros 50
Tempo 10
Velocidade 8 16
Tempo 50 x
Note que as grandezas são inversamente proporcionais, pois quanto maior for a velocidade menor será o tempo, logo: Basta inverter onde tem o x por 50 e onde tem 50 colocar x e multiplicar: 16.x = 50 .8
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16x = 400 x=25 Ele irá percorrer o quarteirão em 25 minutos.
2) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2 ?
-Regra de Três Simples É conhecida por possuir apenas duas grandezas. Exemplo:
3) Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados chegam ao acampamento, então, por quanto tempo o acampamento estará abastecido?
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² de parede. Quantos litros de tintas serão necessários para pintar 450 m², nas mesmas condições?
Litros 18 x
Metros quadrados 60 450
As grandezas são diretamente proporcionais, pois quanto mais metros quadrados para pintar maior a quantidade de litros para ser utilizada:
4) Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de mesma qualidade. Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a primeira tem 12m a mais do que a segunda?
18.450 = x.60 x =135 litros.
Atividades: 1)Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm de largura por 35 cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2 m de largura. O comprimento correspondente será:
5) De duas fontes, a primeira jorra 18 litros por hora e a segunda 80 litros. Qual é o tempo necessário para a segunda jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos?
6) Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha ? Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
7) Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
8) Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
9) Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?
10) Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio
12) Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?
13) Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
14) Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
15) Seis máquinas escavam um túnel em 7 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio
11) Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia
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-Regra de TrĂŞs Composta
Uma regra de trĂŞs ĂŠ classificada como composta quando apresentar trĂŞs ou mais grandezas. Vejamos quatro passos utilizados para resolver uma regra de trĂŞs composta: I) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua respectiva grandeza.
II) Isolar a grandeza cujo valor Ê desconhecido. As grandezas que não forem destacadas serão relacionadas, uma de cada vez, com a grandeza que foi destacada para determinar se estas duas são diretamente ou inversamente proporcionais. Caso seja diretamente proporcional, colocaremos um d sobre esta grandeza não destacada; caso contrårio, sendo inversamente proporcional, colocaremos uma letra i sobre esta grandeza não destacada; III) Montar a equação da seguinte maneira: o valor desconhecido da grandeza destacada serå igual ao valor conhecido da grandeza destacada que multiplica as fraçþes das grandezas não destacadas da seguinte maneira: se a grandeza tiver a letra d acima, Ê só repetir a fração e, caso contrårio, tiver a letra i, inverte-se a fração.
horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracþes em 20 dias. Solução: Vamos construir uma tabela, relacionando cada valor a sua respectiva grandeza.
N° de pedreir os 18 12
N° de barracþ es 10 5
Tempo(di as)
Horas/d ias
20 30
x 6
Façamos uma relação de cada grandeza com a grandeza que estĂĄ faltando: 1° a grandeza nĂşmero de pedreiros e horas/dia sĂŁo inversamente proporcionais. 2° a grandeza nĂşmero de barracĂľes e horas/dias sĂŁo diretamente proporcionais. 3° a grandeza tem/dias e horas/dias sĂŁo inversamente proporcionais. Logo temos que: đ?&#x2018;Ľ 6
=.
12 18
.
10 2
.
20 30
x = 12 horas/dia.
IV) Resolver a equação. Exemplo: Doze pedreiros fizeram 5 barracþes em 30 dias, trabalhando 6 Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestþes entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com
Atividades:
1)Um construtor utilizando 16 operários trabalhando 6 horas por dia constrói uma determinada obra em 180 dias. Quantos operários podem executar a mesma obra trabalhando 8 horas por dia no prazo de 120 dias
5) Uma turma de 20 operários começa uma obra a 1º de março para terminá-la a 4 de abril (35dias), trabalhando 6 horas diárias. Ao término do dia 14, o proprietário lhes diz que precisa da obra terminada no dia 24 de março. Então, a partir do dia 15, coloca mais 8 operários e aumenta as horas diárias de trabalho, de modo que vê satisfeito seu desejo. Quantas horas diárias trabalharam os
2)Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?
operários na segunda fase?
3)Se 10 carros consomem em 6 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 2 dias?
4)Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60m de altura pesa 4350kg. Calcule quanto pesará um bloco do mesmo mármore cujas dimensões são: Comprimento: 2,20; Largura: 0,75m; Altura: 1,20m
6) Um supermercado dispõe de 20 atendentes que trabalham 8 horas por dia e custam R$2800,00 por mês. Quanto o supermercado gastará por mês, em reais, se passar a ter 30 atendentes trabalhando 5 horas por dia?
7) Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por dia, levaram 2 meses e meio. Aumentando de 40 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, pergunta-se:
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em quanto tempo os operários construíram um segundo canal, com o mesmo comprimento do primeiro, porém de profundidade e largura com medidas sendo duas vezes maior que as medidas do primeiro?
concluirão a tarefa, se, agora, eles trabalharão 7 horas por dia?
8) Para arrumar 120 salas, 2 pessoas gastam 5 dias. Se precisamos que as salas sejam arrumadas em um único dia, será necessário contratar mais n pessoas que trabalhem no mesmo ritmo das duas iniciais. O valor de n é:
9) Sabe-se que 4 máquinas, operando em 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidos por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
10) Certa tarefa seria executada por 15 operários trabalhando 8 horas por dia, durante 20 dias. Se 5 trabalhadores foram transferidos quando completados 13 dias do início da tarefa, em quantos dias os 10 trabalhadores restantes Elaborado por Diesson Costa, dúvidas e sugestões entre em contato pelo email: diessonsaga@gmail.com