Algébra determinates e sistemas lineares by Carlos Diesson Costa

Determinantes

I)Determinante é um número real associado a toda matriz quadrada A=[aij] , segundo uma determinada lei. A notação para o determinante da 2 3 matriz A    será det A ou 0 5

2 3

III)Determinante de segunda ordem(2X2) : É dado pelo produto da diagonal principal a11.a12 subtraído da diagonal secundária a21.a22

a11 A a21

a12   det A  a11a22  a12 a21 a22 

0 5 Exemplos:

II)Determinante de primeira ordem (1X1) :

A  a11   det A  a11 ou

a11  a11

Exemplos :

1 , 3

det A= 6 – 5 = 1

3 2  15  ( 2)  17 1 5

. IV) Determinante de terceira

a) A  3 , det b) B  5

2 a) A   5

A= -3

ordem(3X3):

5 5

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a11 a12 a13  A  a21 a22 a23  a31 a32 a33 

Use a regra do elevador, dessa a11 e a31 a primeira coluna na terceira coluna faça o mesmo sendo que: desça a13 e suba a33 Em seguida multiplique as a primeira diagonal faça o mesmo com a segunda e terceira ambas da direita após isso some o produto da primeira com o da segunda e da terceira, faça o mesmo para as da esquerda. No final some os valores obtidos e subtraia a soma da direita menos a soma da esquerda.

 2 3 A  1 5 c11  (1)11 . 5  5, c12  (1)12 .  1  1

VI)Determinante de ordem n  2

Teorema de Laplace. O determinante de uma matriz quadrada de ordem n  2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna)pelos respectivos cofatores.

V) Cofator. Nota : É mais prático considerar a fila Seja A=[aij] uma matriz quadrada de

que contém o maior número de zeros.

ordem n  2 . Cofator de aij  A é o produto de (-1) i  j pelo determinante da matriz que se obtém de A, suprimindo a linha de ordem i e a coluna de ordem j .

Exemplos :

 1 3 4 a) A  2 0 5  7 6 8

det A = 3 .

Notação: cij

C12 + 0 . C22 + 6 . C32

Exemplos:

2 5  1.( 51)  51 , c32  13 7 8 (exemplo anterior) c12  ( 1)12 .

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det A= 3 . 51 + 6 . (-13) = 153 - 78 = 75

4.4. det A t = det A VII)Propriedades dos determinantes. Seja A e B duas matrizes quadradas Exemplo : de ordem n .

1.1. det A= 0, se uma fila de A é nula .

 1 1  1 A  1 0 3 , det A = -6 ;  1 5 1   1  1 1 A   1 0 5 , det A t  6   1 3 1  t

2.2.det A= 0 , se duas filas paralelas de A sâo iguais .

3.3. det A= 0 , se duas filas paralelas de A são proporcionais .

5.5. det (A.B)= det A.det B

6.6. O determinante não se altera Exemplos:

quando adicionamos a uma fila outra fila paralela previamente multiplicada

a) 3

0 0 0 0 2 1 7

b) 0  1 4  0 1 3 2

por um número real diferente de zero. 2 4 4 c ) 1 0  2  0 3 5 6 7.7. O determinante de uma matriz A ( superior ou inferior ) é igual ao produto

L2 = 0 = L3

L1 C3 = 2.C1

dos elementos da diagonal principal .

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5

2

Exemplos :

1 3 4    A = 0 6 4  0 0 3

x y x

y x y

;

Det A = 18

d) 5

9 8

4 7

3 4  B = 5  2 7

0 0  7 2 0 0  8 6 1 0 4 3 7  2 0 0 0 3 0 0

3 4 2 1 5 1

2 3 4 ;

4 2

2 1

3 0

Det B = - 36

 2

1

2) O valor de

é:

Exercícios:

1. Calcule os determinantes:

1 2 2



5 2  6 2

10  6 10

d) e)

2 2 5 2 3 2

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3) Sendo x  0 e y, respectivamente, os determinantes das matrizes a b  2a 2c  y vale:  e  , então x c d  3b 3d

a) b) c) d) e)

7) O determinante de

36 12 –6 –12 –36

a) b) c) d) e)

1 x

4) O conjunto solução de

1 1 1 1



1 1 x 1

1  2 3  4 5 

0  0 2 1 0 0  2 3  2 0 1 2 3 3

0 0 2 0

0 0

é:

0 3 6 –12 –3

é:

x 1

a) b) c) d) e)

8) O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira coluna por 7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, o valor do novo determinante será:

{ x  R | x  1} { 0, 1} {1} { -1 } {0} a 2

1 b

a b 

5) Se   ,A=   eB= 3 y   x 4 x y At, então det(AB) vale: a) b) c) d) e)

8 4 2 –2 –4

a) b) c) d) e)

2 14 18 21 42

9) O determinante da matriz A = (aij), de ordem 3, onde aij =

i – j, se i  j i + j, se i > j

é igual a: 6) Se a =

1 0 2 1 2 e b = 3  4 4 , então 3 2 1 1 4

(ab – a) é um número: a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

–34 –26 0 26 34

negativo múltiplo de 5 divisível por 7 quadrado perfeito maior que 40

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10) A equação

x4 0

0 1

a) 2 x1  3x2  x3  5 é uma equação

1 3 = 0:

linear de três incógnitas.

1 1

b) x  y  z  t  1 é uma equação linear de quatro incógnitas.

a) só admite uma solução real e ela é menor que –3. b) só admite uma solução real e ela é maior que 1. c) só admite a solução nula. d) admite duas soluções reais. e) não admite soluções reais.

II)Sistema linear. Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas x1 , x2 ,..., xn todo sistema da forma:

a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b 22 2 2n n 2  21 1 ... ...  a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bn  a11, a12 ,..., a1n , b'1 , b'2 ,..., b'n são

números reais. Se o conjunto ordenado de números reais  '1 , '2 ,..., 'n  satisfizer a todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear

Sistemas Lineares

I)Equação Linear Toda equação da forma a1 x1  a2 x2  ...  an xn  b é denominada equação linear, em que:

a1 , a2 ,.., an são coeficientes x1 , x2 ,..., xn são as incógnitas

b é um termo independente

III)Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, b1  b' 2  ...  b' n  0 , o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo: 2 x  y  z  0  x  y  4z  0 5 x  2 y  3z  0 

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IV) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo:

 x  3 y  5 S1 :   S  1,2 2 x  y  4

y  3x  2  2 S2 :   S  1,2   x  y  1  3

2 x1  5 x 2  x3  0  V) Seja o sistema: 4 x1  3x 2  6 x3  1 . 7 x  x  2 x  8 2 3  1

Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma: 2 5  1  x1   0  4  3 6 . x    1    2   7 1  2  x3   8 

VI) Classificação dos sistemas lineares Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:

A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.

a11 x1  a12 x 2  ..  a1n x n  b1 a x  a x  ..  a x  b 22 2 2n n 2  21 1 Seja o sistema : ... ...  a m1 x1  a m 2 x 2  ..  a mn x n  bn Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas:

 a11 a  21  ... A  ...  ...  a m1

a12 a 22

am2

... a1n  ... a 2 n       ... a mn 

Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes.

 b1 a12 b a 22  2  ... Ax1    ...  ...  bn am 2

... a1n  ... a2 n       ... amn 

Pela regra de Cramer: x1 

det Ax1 det A

De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas:

VII)Regra de Cramer

 a11 b1 a  21 b2  ... Ax 2    ...  ...  am1 bn

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... a1n  ... a2 n   det Ax2   x2  det A    ... amn  Página 7

 a11 a  21  ... Axn    ...  ...  am1

a12 a22

am 2

... b1  ... b2   det Axn   xn  det A    ... bn 

Generalizando, num sistema linear o valor da incógnita x1 é dado pela expressão:

xi 

det Ai  det A

A é a matriz incompleta do sistema. A é a matriz obtida de A substituindo - se  i   as colunas dos coeficient es de x i  pela coluna dos termos independentes.

Vejamos alguns exemplos. 1º Exemplo: Resolver o sistema 2 x  y  7 .   x  5 y  2

2  1 Resolução: A     det A  11 1 5   7  1 A1     det A1  33  2 5  2 7  A2     det A2  11 1  2 det A1 33  3 det A 11 det A2  11 y   1 det A 11

x

Resposta: S  3,1

VIII)Discussão de um sistema linear Seja o sistema linear de n equações a n incógnitas.

a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 a x  a x  ...  a x  b 22 2 2n n 2  21 1 ...  ...  a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a nn x n  bn Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou determinado. Utilizando a regra de Cramer, temos: x1 

det An det A1 det A2 , x2  ,..., xn  det A det A det A

Possível e Determinado  det A  0 Possível e Indeterminado  det A  0  e det A  det A  ...  det A  0 1 2 n 

Impossível



det A  0  e pelo menos um det A  0 n 

Vejamos alguns exemplos: 1º) Exemplo: Discutir o sistema 3x  my  2 .  x  y  1 Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:

3 m  A   det A  3  m 1  1 2 m  A1     det A1  2  m 1  1 3 2 A2     det A2  1 1 1   Fazendo: det A  0  3  m  0  m  3

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Para m = –1, teremos: x  

det A1  0  2  m  0  m  2 Resposta: SPD  m  3 (sistema possível e determinado) SPI  m (sistema possível e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor de m SI  m  3 (sistema impossível) 2º) Exemplo: Determinar m, de modo que o x  y  2  sistema  x  my  z  0 seja incompatível.  x  y  z  4  Resolução:  1 1 0  A   1 m 1   det A  m  1  1 1  1 2  1 0  Ax  0 m 1   det Ax  2m  6 4 1  1

1 2 0 Ay   1 0 1   det Ay  4  1 4  1

(impossível)

z

Fazendo: det A  0  m 1  0  m  1

4 y   (impossível) 0

0 (indeterminado). 0

Resposta: SI  m  1

3º) Exemplo: Verificar se o sistema 3x  2 y  0 é determinado ou  x  y  0 indeterminado. Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:

3  2 A  det A  5 1 1  0  2 Ax    det Ax  0 0 1  3 0 Ay    det Ay  0 1 0 Como det A  5  0 , o sistema é determinado. Vamos achar a solução: det Ax 0  0 det A 5 det Ay 0 y  0 det A 5

x  1  1 2 Az   1 m 0  det Az  6m  6  1 1 4

4 0

S  0,0 Resposta: O sistema é determinado e S  0,0. Observação:

det Ax  0  2m  6  0  m  3

det Az  0  6m  6  0  m  1

Todo sistema homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0, 0,.., 0) chamada solução trivial.

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Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre det A1  0, det A2  0,..., det An  0

4.Calcular m e n de modo que sejam

x  y  1 e 2 x  y  5

equivalentes os sistemas: 

mx  ny  1  nx  my  2

Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo, é suficiente o estudo do determinante dos coeficientes das incógnitas

5. Expresse matricialmente os sistemas:

Exercícios e questões de vestibulares

2 x  y  5 x  3 y  0

a) 

1. Determine m para que  1,1,2 seja solução da equação mx  y  2 z  6 .

2a  b  c  1  b) a c 0  3a  5b  c  2 

2. Dada a equação

x y   1 , ache  para 2 3

que  ,   1 torne a sentença verdadeira.

6. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. a)

x  2 y  5  2 x  3 y  4

7)Resolva o sistema linear

2 x1  3x 2  x3  0  3. Seja o sistema S1 :  x1  2 x 2  x3  5  x  x  x  2 2 3  1 .

2 x  3 y  z  11  x  y  z  6 5 x  2 y  3z  18 

a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S. b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.

8) Se o sistema linear a seguir, é impossível,

 ax  y  z  1   x  2 y  3z  0 2 x  y  3 z  2  então: 14/3 e) a = 28

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a) a = 0 c) a = 3/4

b) a = d) a = 1

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9) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior? a) 2 anos c) 4 anos 10 anos

. c) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S. d) Verifique se (0,0,0) é solução de S. Resp: a) é b) não é

b) 3 anos d) 5 anos e)

3x  y  k 2  9 . x  2 y  k  3 

13) Seja o sistema: 

10) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era a) 96 d) 116

2 x1  3x 2  x3  0  12) Seja o sistema S1 :  x1  2 x 2  x3  5  x  x  x  2 2 3  1

b) 98 e) 128

Calcule k para que o sistema seja homogêneo. Resp: k = -3 8) Calcular m e n de modo que sejam

x  y  1 2 x  y  5

equivalentes os sistemas: 

mx  ny  1 nx  my  2

e 

Resp: m = 0 e n = 1

c) 108

14) Expresse matricialmente os sistemas: 11) (Ufg 2007) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos veículos, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.

2 x  y  5 x  3 y  0

a) 

2a  b  c  1  c 0 a  3a  5b  c  2 

15) A expressão matricial de um sistema S

2  5 a   4 .     . Determine as  3 1  b   7 

é 

equações de S.

16) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.

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x  2 y  5 2 x  3 y  4

b) 

Resp: {(1,2)}

3x  4 y  1 Resp: {(3,2)} x  3 y  9 

b) 

17) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:

x  2 y  z  2  a) 2 x  y  3 z  9 Resp: {(1,2,3)} 3x  3 y  2 z  3   x  y  10  0  b)  x  z  5  0 Resp: y  z  3  0 

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