Determinantes
I)Determinante é um número real associado a toda matriz quadrada A=[aij] , segundo uma determinada lei. A notação para o determinante da 2 3 matriz A será det A ou 0 5
2 3
III)Determinante de segunda ordem(2X2) : É dado pelo produto da diagonal principal a11.a12 subtraído da diagonal secundária a21.a22
a11 A a21
a12 det A a11a22 a12 a21 a22
0 5 Exemplos:
II)Determinante de primeira ordem (1X1) :
A a11 det A a11 ou
a11 a11
Exemplos :
b)
1 , 3
det A= 6 – 5 = 1
3 2 15 ( 2) 17 1 5
. IV) Determinante de terceira
a) A 3 , det b) B 5
2 a) A 5
,
A= -3
ordem(3X3):
5 5
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a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a31 a32 a33
Use a regra do elevador, dessa a11 e a31 a primeira coluna na terceira coluna faça o mesmo sendo que: desça a13 e suba a33 Em seguida multiplique as a primeira diagonal faça o mesmo com a segunda e terceira ambas da direita após isso some o produto da primeira com o da segunda e da terceira, faça o mesmo para as da esquerda. No final some os valores obtidos e subtraia a soma da direita menos a soma da esquerda.
2 3 A 1 5 c11 (1)11 . 5 5, c12 (1)12 . 1 1
VI)Determinante de ordem n 2
Teorema de Laplace. O determinante de uma matriz quadrada de ordem n 2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna)pelos respectivos cofatores.
V) Cofator. Nota : É mais prático considerar a fila Seja A=[aij] uma matriz quadrada de
que contém o maior número de zeros.
ordem n 2 . Cofator de aij A é o produto de (-1) i j pelo determinante da matriz que se obtém de A, suprimindo a linha de ordem i e a coluna de ordem j .
Exemplos :
1 3 4 a) A 2 0 5 7 6 8
det A = 3 .
Notação: cij
C12 + 0 . C22 + 6 . C32
Exemplos:
2 5 1.( 51) 51 , c32 13 7 8 (exemplo anterior) c12 ( 1)12 .
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det A= 3 . 51 + 6 . (-13) = 153 - 78 = 75
4.4. det A t = det A VII)Propriedades dos determinantes. Seja A e B duas matrizes quadradas Exemplo : de ordem n .
1.1. det A= 0, se uma fila de A é nula .
1 1 1 A 1 0 3 , det A = -6 ; 1 5 1 1 1 1 A 1 0 5 , det A t 6 1 3 1 t
2.2.det A= 0 , se duas filas paralelas de A sâo iguais .
3.3. det A= 0 , se duas filas paralelas de A são proporcionais .
5.5. det (A.B)= det A.det B
6.6. O determinante não se altera Exemplos:
quando adicionamos a uma fila outra fila paralela previamente multiplicada
a) 3
5
1
0 0 0 0 2 1 7
1
3
2
b) 0 1 4 0 1 3 2
por um número real diferente de zero. 2 4 4 c ) 1 0 2 0 3 5 6 7.7. O determinante de uma matriz A ( superior ou inferior ) é igual ao produto
L2 = 0 = L3
L1 C3 = 2.C1
dos elementos da diagonal principal .
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a)
5
4
b)
2
7
Exemplos :
1 3 4 A = 0 6 4 0 0 3
x
y
y
x
c)
x y x
y x y
;
Det A = 18
1
2
3
d) 5
9 8
4 7
0
3 4 B = 5 2 7
0 0 7 2 0 0 8 6 1 0 4 3 7 2 0 0 0 3 0 0
3 4 2 1 5 1
e)
f)
2 3 4 ;
4
3
2
4 2
2 1
3 0
Det B = - 36
2
1
2) O valor de
3
1
22
é:
5
Exercícios:
1. Calcule os determinantes:
1 2 2
a)
b)
5 2 6 2
c)
10 6 10
d) e)
2 2 5 2 3 2
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3) Sendo x 0 e y, respectivamente, os determinantes das matrizes a b 2a 2c y vale: e , então x c d 3b 3d
a) b) c) d) e)
7) O determinante de
36 12 –6 –12 –36
a) b) c) d) e)
1 x
4) O conjunto solução de
1 1 1 1
1 1 x 1
1 2 3 4 5
0 0 2 1 0 0 2 3 2 0 1 2 3 3
0 0 2 0
0 0
é:
0 3 6 –12 –3
é:
x 1
a) b) c) d) e)
8) O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira coluna por 7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, o valor do novo determinante será:
{ x R | x 1} { 0, 1} {1} { -1 } {0} a 2
1 b
a b
5) Se ,A= eB= 3 y x 4 x y At, então det(AB) vale: a) b) c) d) e)
8 4 2 –2 –4
a) b) c) d) e)
2 14 18 21 42
9) O determinante da matriz A = (aij), de ordem 3, onde aij =
i – j, se i j i + j, se i > j
é igual a: 6) Se a =
1 0 2 1 2 e b = 3 4 4 , então 3 2 1 1 4
(ab – a) é um número: a) b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
–34 –26 0 26 34
negativo múltiplo de 5 divisível por 7 quadrado perfeito maior que 40
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x
10) A equação
x4 0
0 1
a) 2 x1 3x2 x3 5 é uma equação
1 3 = 0:
linear de três incógnitas.
1 1
b) x y z t 1 é uma equação linear de quatro incógnitas.
a) só admite uma solução real e ela é menor que –3. b) só admite uma solução real e ela é maior que 1. c) só admite a solução nula. d) admite duas soluções reais. e) não admite soluções reais.
II)Sistema linear. Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas x1 , x2 ,..., xn todo sistema da forma:
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a x a x ... a x b 22 2 2n n 2 21 1 ... ... a m1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n bn a11, a12 ,..., a1n , b'1 , b'2 ,..., b'n são
números reais. Se o conjunto ordenado de números reais '1 , '2 ,..., 'n satisfizer a todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear
Sistemas Lineares
I)Equação Linear Toda equação da forma a1 x1 a2 x2 ... an xn b é denominada equação linear, em que:
a1 , a2 ,.., an são coeficientes x1 , x2 ,..., xn são as incógnitas
b é um termo independente
III)Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, b1 b' 2 ... b' n 0 , o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo: 2 x y z 0 x y 4z 0 5 x 2 y 3z 0
Exemplos: Elaborado por Diesson Costa. Email:diessonsaga@gmail.com
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IV) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo:
x 3 y 5 S1 : S 1,2 2 x y 4
y 3x 2 2 S2 : S 1,2 x y 1 3
2 x1 5 x 2 x3 0 V) Seja o sistema: 4 x1 3x 2 6 x3 1 . 7 x x 2 x 8 2 3 1
Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma: 2 5 1 x1 0 4 3 6 . x 1 2 7 1 2 x3 8
VI) Classificação dos sistemas lineares Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:
A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.
a11 x1 a12 x 2 .. a1n x n b1 a x a x .. a x b 22 2 2n n 2 21 1 Seja o sistema : ... ... a m1 x1 a m 2 x 2 .. a mn x n bn Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas:
a11 a 21 ... A ... ... a m1
a12 a 22
am2
... a1n ... a 2 n ... a mn
Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes.
b1 a12 b a 22 2 ... Ax1 ... ... bn am 2
... a1n ... a2 n ... amn
Pela regra de Cramer: x1
det Ax1 det A
De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas:
VII)Regra de Cramer
a11 b1 a 21 b2 ... Ax 2 ... ... am1 bn
Elaborado por Diesson Costa. Email:diessonsaga@gmail.com
... a1n ... a2 n det Ax2 x2 det A ... amn Página 7
a11 a 21 ... Axn ... ... am1
a12 a22
am 2
... b1 ... b2 det Axn xn det A ... bn
Generalizando, num sistema linear o valor da incógnita x1 é dado pela expressão:
xi
det Ai det A
A é a matriz incompleta do sistema. A é a matriz obtida de A substituindo - se i as colunas dos coeficient es de x i pela coluna dos termos independentes.
Vejamos alguns exemplos. 1º Exemplo: Resolver o sistema 2 x y 7 . x 5 y 2
2 1 Resolução: A det A 11 1 5 7 1 A1 det A1 33 2 5 2 7 A2 det A2 11 1 2 det A1 33 3 det A 11 det A2 11 y 1 det A 11
x
Resposta: S 3,1
VIII)Discussão de um sistema linear Seja o sistema linear de n equações a n incógnitas.
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a x a x ... a x b 22 2 2n n 2 21 1 ... ... a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n bn Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou determinado. Utilizando a regra de Cramer, temos: x1
det An det A1 det A2 , x2 ,..., xn det A det A det A
Possível e Determinado det A 0 Possível e Indeterminado det A 0 e det A det A ... det A 0 1 2 n
Impossível
det A 0 e pelo menos um det A 0 n
Vejamos alguns exemplos: 1º) Exemplo: Discutir o sistema 3x my 2 . x y 1 Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
3 m A det A 3 m 1 1 2 m A1 det A1 2 m 1 1 3 2 A2 det A2 1 1 1 Fazendo: det A 0 3 m 0 m 3
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Para m = –1, teremos: x
det A1 0 2 m 0 m 2 Resposta: SPD m 3 (sistema possível e determinado) SPI m (sistema possível e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor de m SI m 3 (sistema impossível) 2º) Exemplo: Determinar m, de modo que o x y 2 sistema x my z 0 seja incompatível. x y z 4 Resolução: 1 1 0 A 1 m 1 det A m 1 1 1 1 2 1 0 Ax 0 m 1 det Ax 2m 6 4 1 1
1 2 0 Ay 1 0 1 det Ay 4 1 4 1
(impossível)
z
Fazendo: det A 0 m 1 0 m 1
4 y (impossível) 0
0 (indeterminado). 0
Resposta: SI m 1
3º) Exemplo: Verificar se o sistema 3x 2 y 0 é determinado ou x y 0 indeterminado. Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
3 2 A det A 5 1 1 0 2 Ax det Ax 0 0 1 3 0 Ay det Ay 0 1 0 Como det A 5 0 , o sistema é determinado. Vamos achar a solução: det Ax 0 0 det A 5 det Ay 0 y 0 det A 5
x 1 1 2 Az 1 m 0 det Az 6m 6 1 1 4
4 0
e
S 0,0 Resposta: O sistema é determinado e S 0,0. Observação:
det Ax 0 2m 6 0 m 3
det Az 0 6m 6 0 m 1
Todo sistema homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0, 0,.., 0) chamada solução trivial.
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Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre det A1 0, det A2 0,..., det An 0
4.Calcular m e n de modo que sejam
x y 1 e 2 x y 5
equivalentes os sistemas:
mx ny 1 nx my 2
Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo, é suficiente o estudo do determinante dos coeficientes das incógnitas
5. Expresse matricialmente os sistemas:
Exercícios e questões de vestibulares
2 x y 5 x 3 y 0
a)
1. Determine m para que 1,1,2 seja solução da equação mx y 2 z 6 .
2a b c 1 b) a c 0 3a 5b c 2
2. Dada a equação
x y 1 , ache para 2 3
que , 1 torne a sentença verdadeira.
6. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. a)
x 2 y 5 2 x 3 y 4
7)Resolva o sistema linear
2 x1 3x 2 x3 0 3. Seja o sistema S1 : x1 2 x 2 x3 5 x x x 2 2 3 1 .
2 x 3 y z 11 x y z 6 5 x 2 y 3z 18
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S. b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.
8) Se o sistema linear a seguir, é impossível,
ax y z 1 x 2 y 3z 0 2 x y 3 z 2 então: 14/3 e) a = 28
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a) a = 0 c) a = 3/4
b) a = d) a = 1
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9) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior? a) 2 anos c) 4 anos 10 anos
. c) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S. d) Verifique se (0,0,0) é solução de S. Resp: a) é b) não é
b) 3 anos d) 5 anos e)
3x y k 2 9 . x 2 y k 3
13) Seja o sistema:
10) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era a) 96 d) 116
2 x1 3x 2 x3 0 12) Seja o sistema S1 : x1 2 x 2 x3 5 x x x 2 2 3 1
b) 98 e) 128
Calcule k para que o sistema seja homogêneo. Resp: k = -3 8) Calcular m e n de modo que sejam
x y 1 2 x y 5
equivalentes os sistemas:
mx ny 1 nx my 2
e
Resp: m = 0 e n = 1
c) 108
14) Expresse matricialmente os sistemas: 11) (Ufg 2007) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos veículos, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.
2 x y 5 x 3 y 0
a)
b)
2a b c 1 c 0 a 3a 5b c 2
15) A expressão matricial de um sistema S
2 5 a 4 . . Determine as 3 1 b 7
é
equações de S.
16) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
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x 2 y 5 2 x 3 y 4
b)
Resp: {(1,2)}
3x 4 y 1 Resp: {(3,2)} x 3 y 9
b)
17) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
x 2 y z 2 a) 2 x y 3 z 9 Resp: {(1,2,3)} 3x 3 y 2 z 3 x y 10 0 b) x z 5 0 Resp: y z 3 0
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