Sinus 2P-Y Påbygging (LK20) utdrag by Cappelen Damm

Gustafsson | Osnes | Oldervoll | Svorstøl

Sinus 2P-Y MATEMATIKK STUDIEFØREBUANDE VG3 NYNORSK

Foto og grafikk: Omslagsfoto: Unsplash/Victor Garcia Side 6: AdobeStock/phpetrunina14, Side 10: GettyImages/nadia_bormotova, side 15: GettyImages/ TopVectors, side 16: GettyImages/Jenny On the Moon, side 17: GettyImages/IconicBestiary, side 21: GettyImages/Angela Kostell, side 22: GettyImages/baramee2554, side 23: GettyImages/PrettyVectors, side 25: GettyImages/nadia_bormotova, side 28: GettyImages/Irina_Strelnikova, side 30: GettyImages/ nadia_bormotova, side 33: GettyImages/pedrojperez, side 34: GettyImages/warrengoldswain, side 35: GettyImages/Hanna Siamashka, side 36: AdobeStock/Comel, side 59: GettyImages/matejmo, side 62: AdobeStock/besjunior, side 65: GettyImages/Veronika Karpenko, side 67: GettyImages/Medesulda, side 78: GettyImages/TopVectors, side 81: GettyImages/Vect0r0vich, side 83: GettyImages/Irina_ Strelnikova, side 86: GettyImages/sorbetto, side 88: GettyImages/Natalia Zimicheva, side 91: GettyImages/ferrantraite, Side 94: AdobeStock/Andrey Popov, side 110: GettyImages/elenabs, side 141: GettyImages/ThitareeSarmkasat, Side 144: AdobeStock/salajean, side 154: GettyImages/Aleksandr Kharitonov, side 165: GettyImages/piloL39, side 176: Aurora Gustafsson, side 181: GettyImages/ bluebearry, side 182: GettyImages/PCH-Vector, side 185: Wikimedia/Michelangelo (falt i det fri), Side 188: GettyImages/Tanawat Thipmontha, side 196: GettyImages/sabelskaya, side 204: GettyImages/ elenabs, side 221: GettyImages/Godruma, GettyImages/Alfadanz, GettyImages/PCH-Vector, side 240: AdobeStock/araho, side 256, 257, 267, 288, 316: GettyImages/Sudowoodo, side 262: Wolfgang Rattay/ Reuters/NTB, side 263: GettyImages/traveler1116, GettyImages/Tetiana Garkusha, side 264: GettyImages/GaborBalla, side 269: GettyImages/35mmf2, side 275: GettyImages/LaserLens, side 278: GettyImages/Chimpinski, side 279: GettyImages/AnatolyM, side 280: GettyImages/technotr, side 281: GettyImages/monkeybusinessimages, side 285: GettyImages/rubynurbaidi, GettyImages/Denira777, side 336: Lucas Ninno, side 361: GettyImages/drogatnev Bileta er manipulerte.

© Cappelen Damm AS, Oslo 2022 Sinus 2P-Y følgjer læreplan (LK20) i matematikk fellesfag 2P-Y frå 2020 for vg3 påbygging til generell studiekompetanse. Materialet i denne publikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverklova. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er eksemplarframstilling og tilgjengeleggjering berre tillate dersom det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan føre til erstatningsansvar og inndraging og kan straffast med bøter eller fengsel. Dette er ei TROY®-innbunden bok. Ei TROY®-innbunden bok har forsterka omslag. Testar viser at bøker med denne innbindinga toler vesentleg hardare bruk over tid enn bøker utan denne forsterkinga. TROY® er eit registrert varemerke og er patentert av Cappelen Damm AS. Grafisk formgivar: BØK / Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihandsteikningar: Per Ragnar Møkleby Tekniske teikningar: Terje Sundby, Keops Redaktørar: Bjørn-Terje Smestad og Sigurd Torp Nordby Nynorsk omsetjing: Gry Vikesland, Språkverkstaden Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Utgåve nr. 4 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-74073-3 www.cdu.no sinus.cdu.no

Forord Sinus er eit matematikkverk for den vidaregåande skulen og er utvikla etter læreplanane frå 2020. Læreboka Sinus 2P-Y er skriven for fellesfaget matematikk 2P-Y for påbygging til generell studiekompetanse. Boka legg vekt på praktisk og relevant matematikk, og elevane får god trening i å løyse oppgåver både med og utan bruk av digitale hjelpemiddel. Sinus 2P-Y gir opplæring i bruk av programma Excel og GeoGebra og i programmeringsspråket Python. I tråd med fagfornyinga legg boka spesielt vekt på utforskande matematikk for at elevane skal forstå lærestoffet betre. Når elevane skal i gang med eit nytt tema, inneheld boka ofte utforskande opplegg der elevane sjølve skal finne fram til samanhengar og eigenskapar før temaet blir behandla. Teorien er likevel skriven slik at elevane kan lese han utan å gjere dei utforskande opplegga. Utforskopplegga er best eigna som gruppearbeid, men kan òg gjerast individuelt. Teoridelen har fleire diskusjonsoppgåver der elevane får trening i å kommunisere matematikk gjennom å drøfte matematiske problem, strategiar og løysingar. Til slutt i kvart kapittel er det eit samandrag av viktige reglar og metodar. Her er det òg ei større prosjektoppgåve. I nokre av desse prosjektoppgåvene får elevane bruke stoffet i kapittelet innanfor andre fagfelt. I andre oppgåver får elevane lære ny og spennande matematikk. Alle kapitla blir avslutta med eit oppgåvesett som er eigna til repetisjon. Boka har i tillegg ein oppgåvedel. Oppgåvestoffet er delt i tre. Den første delen heiter «Øv meir». Her er oppgåvene ordna etter delkapitla i teoridelen. Den andre delen heiter «Blanda oppgåver». Her er det oppgåver som skal løysast både utan og med digitale hjelpemiddel. I nokre oppgåver står det om elevane skal bruke hjelpemiddel eller ikkje. I andre oppgåver kan elevane velje metode sjølve. I denne delen er det lagt inn merke som viser kva oppgåver elevane kan løyse når dei er ferdige med eit delkapittel. Den tredje delen heiter «Opne oppgåver». Her er det opne og utforskande oppgåver som kan vere meir krevjande enn dei i «Blanda oppgåver». Heilt til slutt i boka kjem fasit og stikkordregister. Til verket høyrer det òg ein nettstad: www.sinus.cdu.no. Her er det løysingsforslag, interaktive oppgåver og andre relevante tilleggsressursar for elevar og lærarar. Alle Python-programma som blir brukte i boka, anten i døme eller oppgåver, er tilgjengelege og kan køyrast direkte på nettstaden. Dette håper vi vil gjere terskelen for å komme i gang med programmering lågare. I arbeidet med å få fram best moglege bøker er det viktig å ha god kontakt med brukarane av boka. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldingar om feil eller ønske om endringar. Forfattarane vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønskjer alle lykke til i arbeidet med faget. Einar Gustafsson – Egil Reidar Osnes – Tore Oldervoll – Otto Svorstøl

Innhald

Prosent

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Prosent og prosentdel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finne prosenten og det heile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentpoeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentvis endring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosentvis vekst i fleire periodar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Sparing i bank og aksjefond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 8 10 14 17 21 27 31 32 34

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Potensar og røter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensane a0 og a–n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fleire reknereglar for potensar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tal på standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratrøter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Røter av høgare orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Digital informasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 39 41 44 46 50 53 57 58 60

Variable storleikar

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Variablar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formelrekning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variablar og figurar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proporsjonale storleikar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omvendt proporsjonale storleikar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Matematisk jakt på romvesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 64 68 75 79 85 89 90 92

Statistikk

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Søyle-, sektor- og linjediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å lage digitale diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gjennomsnitt og typetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Median i frekvenstabell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variasjonsbreidd og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å vurdere sentralmål og spreiingsmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppert materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sentralmål i gruppert materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Spørjeundersøking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.......................................................................

.........................................................

....................................................................

94 96 101 106 110 114 117 123 126 134 139 140 142

Lineære funksjonar

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digital grafteikning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne likninga til ei rett linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk avlesing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineære funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineær vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineær regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Armlengd og det gylne snittet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Matematiske modellar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

146 151 155 162 166 171 178 183 184 186

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Andregradsfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentialfunksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentialregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensfunksjonar og potensregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kjenneteikn ved funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gjennomsnittleg vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samandrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prosjektoppgåve: Månemodellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repetisjonsoppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

190 197 200 205 209 216 223 228 233 235 236 238

Oppgåver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Potensar og røter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Variable storleikar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Statistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Lineære funksjonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Matematiske modellar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

240 241 258 268 290 320 337

Fasit – teoridel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Fasit – oppgåvedel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

PROSENT Mål for opplæringa er at eleven skal kunne • forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

UTFORSK PROSENT Prosent betyr hundredel. Det betyr at 1 % er det same som éin hundredel av noko. Vi finn 1 % av eit tal ved å dele talet på 100. STEG 1

Vi kan bruke vegen om 1 når vi vil finne p % av noko. a) Finn 1 % av 350 kr. Bruk det til å finne 4 % av 350 kr. b) Kvifor kallar vi metoden vegen om 1? c) Forklar med dine eigne ord korleis du kan gå vegen om 1 for å finne kor mykje ein bestemt prosent utgjer av eit tal. Kva er dei sterke og dei svake sidene ved metoden? STEG 2

I steg 1 gjekk du vegen om 1 % for å finne 4 %. No skal vi bruke andre metodar. a) Kva må vi dele med for å finne 50 % av noko? Finn 50 % av 400 kr. 400 kr 50 %

b) Kva må vi dele med for å finne 25 % av noko? Finn 25 % av 600 kr. 600 kr 25 %

c) Kva må vi dele med for å finne 10 % av noko? Finn 10 % av 250 kr. 250 kr 10 %

d) Finn 20 % av 250 kr. Beskriv korleis du går fram. STEG 3

a) Bruk metodane i steg 2 til å finne 50 %, 25 % og 10 % av 320 kr. b) Bruk svara i oppgåve a til å finne 75 % og 15 % av 320 kr. STEG 4

Finn 1 %, 7 % og 14 % av 800 kr utan hjelpemiddel. Forklar korleis du går fram.

1.1 PROSENT OG PROSENTDEL

1.1 Prosent og prosentdel I Utforsk prosent repeterte vi at 1 % er det same som éin hundredel av noko. Derfor er 15 % det same som 15 hundredelar: 15 %

15 100

0,15

Å finne halvparten av noko er det same som å finne 50 % av noko. Det kan vi vise slik: 1 2

1 50 2 50

50 100

50 %

Vi gjer om frå desimaltal til prosent ved å gonge med 100 %, slik: 0,3 0,30 100 % 30 % DØME

LØ Y S I N G

4 og 0,455 som prosent. 25 b) Skriv 37,5 % som desimaltal og brøk. c) Bruk brøken til å finne 37,5 % av 80.

a) Skriv

4 25

4 4 25 4

16 16 % 100

b) 37,5 % = 0,375

0,455 100 % 45,5 % 37,5 %

37,5 100

37, 5 : 12, 5 100 : 12, 5

3 8

c) 37,5 % av 80 er 3 80 8

3 80 8

3 10 30

OPPGÅVE 1.10

Skriv som prosent utan å bruke hjelpemiddel. 34 3 1 a) b) c) d) 0,4 e) 0,04 100 20 4

1 8

Når vi skal finne prosentdelen av eit tal, kan vi bruke denne regelen: p % av eit tal

1 | PROSENT

p talet 100

Dersom vi skal finne 36 % av 3280 med hjelpemiddel, kan vi derfor rekne slik: 36 % av 3280

36 3280 1180,8 100

Slike utrekningar kan vi enkelt gjere på lommereknaren eller i CAS:

DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut. a) 23 % av 432 kr

b) 1,9 % av 3995 kr

a) Vi reknar slik: 23 % av 432 kr

23 432 kr 99,36 kr 100

b) Vi reknar slik: 1,9 % av 3995 kr

1,9 3995 kr 100

75,91 kr

OPPGÅVE 1.11

Rekn ut. a) 3 % av 1530 kr c) 103 % av 4250 kr

b) 22,4 % av 9582 kr d) 0,4 % av 1 000 000 kr

OPPGÅVE 1.12

a) Maya set 5500 kr i banken og får 2,35 % rente på eitt år. Kor mange kroner får Maya i rente? b) Truls har 235 000 kr i studielån og betaler 1,579 % i rente per år. Kor mange kroner må Truls betale i rente dette året? OPPGÅVE 1.13

Dersom du skal finne 7 % av 50, får du det same svaret som når du reknar ut 50 % av 7. a) Bruk det du kan om prosent, til å forklare kvifor dette blir rett. b) Rekn ut 7 % av 50 utan hjelpemiddel. c) Lag to rekneoppgåver som blir lettare å løyse ved å bruke denne metoden.

1.1 PROSENT OG PROSENTDEL

OPPGÅVE 1.14

Nedanfor ser du Python-koden til eit program. 1 2 3 4

prosent = 23 heile_talet = 432 prosentdelen = prosent/100 * heile_talet print(prosent, "% av", heile_talet, "er", round(prosentdelen, 2))

a) Forklar kvar linje i programmet. b) Bruk programmet til å løyse oppgåve 1.11.

DISKUTER

1478 , 90 kr

0 ,23 6430 kr

Are og Bente skal rekne ut 23 % av 6430 kr. Are gjer det slik:

Bente reknar slik: 6430 kr 23 100

1478 , 90 kr

Har dei komme fram til rett svar? Kva er forskjellen på dei to metodane?

1.2 Finne prosenten og det heile I delkapittel 1.1 rekna vi ut prosentdelen av eit tal. No skal vi finne prosenten når vi veit prosentdelen av talet. I ein klasse med 15 elevar er det 6 jenter. Andelen jenter er då 6 15

6:3 15 : 3

2 5 2 5

2 5

Vi seier at andelen jenter er , eller at av elevane er jenter. Sidan prosent er det same som hundredel, kan vi finne prosenten ved å gjere om andelen til hundredelar. Omgjord til hundredelar blir andelen jenter 2 5

2 20 5 20

40 100

40 %

40 % av elevane er jenter. Vi har utvida brøken med 20 i teljaren og nemnaren for å få hundredelar.

1 | PROSENT

DØME

LØ Y S I N G

Ein klasse med 30 elevar skal velje elevrådsrepresentant. Valet står mellom Naomi og Roger. 18 elevar stemmer på Naomi, Roger får 9 stemmer, og resten er blanke stemmer. a) Kor mange prosent av elevane har stemt på Naomi? b) Kor mange prosent av elevane har stemt på Roger? c) Kor mange prosent av elevane stemte blankt? a) Vi reknar ut kor stor del 18 utgjer av 30 ved å gjere om til hundredelar. 18 : 3 30 : 3

6 10

60 100

60 %

60 % av elevane stemte på Naomi. b) 9 er halvparten av 18, så andelen som stemte på Roger, må vere halvparten av andelen som stemte på Naomi. 30 % av elevane stemte på Roger. Vi kunne òg ha rekna slik: 9 30

9:3 30 : 3

3 10

30 100

30 %

c) Resten av elevane stemte blankt. Det utgjer 100 % 60 % 30 % 10 % 10 % av elevane stemte blankt.

OPPGÅVE 1.20

a) Kor mange prosent er 80 kr av 400 kr? b) Kor mange prosent utgjer 12 elevar av 50? OPPGÅVE 1.21

I ein quiz er det 30 spørsmål. Mari klarer 12 av spørsmåla, og Petter klarer 15. Kor mange prosent av spørsmåla klarer kvar av dei? Spesielt når vi har hjelpemiddel tilgjengeleg, er det nyttig med ein formel for å rekne ut prosenten direkte. Då kan vi bruke denne: Vi finn kor mange prosent eit tal er av det heile, ved å rekne ut talet 100 % det heile

1.2 FINNE PROSENTEN OG DE T HEILE

DØME

LØ Y S I N G

Jenny sette inn 3500 kr i aksjefond. Eitt år seinare hadde ho fått 123 kr i utbyte. Kor mange prosent svarte dette til? Prosentdelen er 123 100 % 3,51 % 3500 Utbytet var 3,51 % av beløpet. Legg merke til at vi ikkje skriv inn prosentteiknet når vi gjer utrekninga med CAS eller kalkulator.

OPPGÅVE 1.22

Eit par langrennsski blir sett ned med 1200 kr under vårsalet. Før salet kosta skia 4800 kr. Kor mange prosent er prisen på skia sett ned? OPPGÅVE 1.23

I 2021 var det 9517 innbyggjarar i Stad kommune. 2754 personar var eldre enn 60 år, mens 3420 var yngre enn 30 år. Kor mange prosent utgjer aldersgruppene a) yngre enn 30 år b) 30 til 60 år c) eldre enn 60 år OPPGÅVE 1.24

Ta utgangspunkt i Python-programmet i oppgåve 1.14 og lag eit tilsvarande program som reknar ut andelen i prosent. Test programmet på oppgåve 1.21. Av og til veit vi både prosenten og prosentdelen. Det kan vi bruke til å finne kva heile talet (100 %) er. Vi kan gå vegen om 1 %. Først finn vi kva 1 % svarer til, ved å dele prosentdelen på p. Så gongar vi med 100 for å finne kva det heile er. Det gir denne regelen: Dersom eit tal er p % av det heile, er det heile

1 | PROSENT

talet 100 p

DØME

LØ Y S I N G

a) I eit skuleval stemmer 87 % av elevane. Det svarer til 522 elevar. Kor mange elevar er det på skulen? b) Ein mobiltelefon har 15 % straum igjen. På telefonen står det at dette held til 1 time og 48 minutt bruk. Kor lang batteritid har telefonen når han er heilt oppladd? a) 522 elevar er 87 % av alle elevane. Vi finn då det totale talet på elevar ved å rekne ut: 522 100 600 87 Skulen har 600 elevar. b) Først gjer vi 48 minutt om til timar. Det er 60 minutt i 1 time. 48 minutt er derfor

48 60

0,8 timar. 1 time og 48 minutt er då 1,8 timar. Det skal svare til

15 % av den totale batteritida. Vi finn batteritida når telefonen er heilt oppladd, ved å rekne ut: 1,8 100 12 15 Telefonen har 12 timars batteritid.

Dersom vi skal finne 100 % utan hjelpemiddel, går vi fram på same måten, men av og til er det raskare å gå vegen om andre prosenttal enn 1 %. I dømet nedanfor går vi vegen om 5 %. DØME

LØ Y S I N G

a) Amalie kjøper ei bukse og får 300 kr rabatt. Det svarer til 15 % av den opphavlege prisen. Kva kosta buksa utan rabatt? b) Jonas sel jordbær og får 5 % av prisen han sel for. Ein dag tener han 400 kr. Kor mykje har han selt for? a) 300 kr svarer til 15 %. Når vi deler 300 med 3, finn vi kva 5 % svarer til: 300 kr 3

100 kr

Så gongar vi med 20 for å finne 100 %: 100 kr 20 2000 kr Buksa kosta 2000 kr utan rabatt. 1.2 FINNE PROSENTEN OG DE T HEILE

b) 400 kr utgjer 5 %, så vi kan gonge med 20 for å finne 100 %: 400 kr 20 8000 kr Jonas har selt jordbær for 8000 kr

OPPGÅVE 1.25

a) Teodor har deltidsjobb og tener 143 kr i timen. Dette er 81,7 % av lønna til Paula. Kva er timelønna til Paula? b) Teodor arbeider 4 timar og 30 minutt i veka. Det svarer til 12 % av full stilling. Kor mange timar er det i ei full arbeidsveke? OPPGÅVE 1.26

Løys oppgåva utan hjelpemiddel. a) På ein prøve må ein ha 20 % rett for å stå. 20 % svarer til 15 poeng. Kor mange poeng er det mogleg å få på prøven? b) I ein klasse er det 12 gutar. Det er 40 % av elevane. Kor mange jenter er det i klassen? OPPGÅVE 1.27

I ei bedrift er sjukefråværet ein tilfeldig dag 8 %. Det svarer til 10 personar. Finn ut kor mange personar som arbeider i denne bedrifta. Ikkje bruk hjelpemiddel.

1.3 Prosentpoeng DISKUTER

Gunnar: På skulen vår er det 1000 elevar. På måndag var 8 % av elevane borte. På tysdag var 9 % borte. Kva er auken i prosent? Jasmin: Auken er 1 % fordi 9 8 1. Sander: Eg er einig med Jasmin, for 8 % av 1000 elevar er 80 elevar, og 9 % av 10 1 1000 elevar er 90 elevar. Då er auken 10 elevar og 1 %. 1000

Tuva:

100

Eg trur ikkje det stemmer. Fråværet har auka med 10 elevar, men 10 1 , som er utgangspunktet var at 80 elevar var borte. Auken blir 80 8 12,5 %. Kven har rett? Prøv sjølv og diskuter løysingane dykkar.

1 | PROSENT

Når oppslutninga om eit politisk parti aukar frå 6 % til 9 %, seier vi at oppslutninga har auka med 3 prosentpoeng. Auken i prosentpoeng er 9 6 3 Når vi reknar ut differansen mellom to prosenttal, finn vi endringa i prosentpoeng. Når oppslutninga aukar frå 6 % til 9 %, er ikkje auken på 3 %. Auken svarer til halvparten av oppslutninga, for 3 % er halvparten av 6 %. Halvparten er det same som 50 %. Auken er altså på 50 %. DØME

For Oljepartiet minkar oppslutninga frå 12 % til 9 %. a) Kva er endringa i prosentpoeng? b) Kva er endringa i prosent? For Naturpartiet aukar oppslutninga frå 9 % til 12 %. c) Kva er endringa i prosentpoeng og prosent for dette partiet? d) Kvifor er endringa i prosent ulik for desse partia?

LØ Y S I N G

12 9 3 Oppslutninga til Oljepartiet går ned 3 prosentpoeng.

3 12

1 4

25 %

Oppslutninga minkar med 25 %. c)

12 9 3 Oppslutninga til Naturpartiet aukar med 3 prosentpoeng. 3 9

1 3

33,3 %

Oppslutninga aukar med 33,3 %. d) Endringa i prosentpoeng er lik, men utgangspunktet er forskjellig. For Oljepartiet er utgangspunktet 12 %, mens for Naturpartiet er utgangspunktet 9 %. Fordi 3 utgjer ein mindre del av 12 enn av 9, blir endringa i prosent mindre for Oljepartiet enn for Naturpartiet.

1.3 PROSENTPOENG

OPPGÅVE 1.30

I eit land blir styringsrenta sett opp frå 1 % til 1,25 %. a) Kva er endringa i prosentpoeng? b) Kva er endringa i prosent? OPPGÅVE 1.31

Emil fekk til 75 % av oppgåvene på den første matematikkprøven og 60 % av oppgåvene på den andre matematikkprøven. a) Kva er forskjellen i prosentpoeng? b) Det var 20 oppgåver på den første prøven og 25 oppgåver på den andre prøven. Kor mange oppgåver fekk han til på kvar prøve? OPPGÅVE 1.32

Eit parti fekk 8 % oppslutning i ein kommune ved lokalvalet i 2019. a) I ei meiningsmåling i 2021 hadde partiet auka oppslutninga med 25 %. Kor stor var auken i prosentpoeng? b) Kor mange prosentpoeng måtte oppslutninga ha auka med for at oppslutninga skulle ha auka med 75 %? OPPGÅVE 1.33

Ved eit val i ein kommune stemmer 2000 veljarar. Partiet Medvind får 15 % oppslutning. Ved neste val får partiet like mange stemmer, men no har det samla stemmetalet falle til 1800. a) Med kor mange prosentpoeng har oppslutninga endra seg? b) Med kor mange prosent har oppslutninga endra seg? OPPGÅVE 1.34

Nedanfor ser du eit Python-program. 1 2

startprosent = 5.7 sluttprosent = 8.2

3 4 5

prosentpoeng = sluttprosent - startprosent prosent = prosentpoeng/startprosent * 100

6 7 8

print("Endringa i prosentpoeng er:", round(prosentpoeng, 1)) print("Endringa i prosent er:", round(prosent, 1),"%")

a) Forklar korleis programmet verkar. b) Bruk programmet til å løyse oppgåve 1.30.

1 | PROSENT

1.4 Vekstfaktor På eit treningssenter kostar eit abonnement 400 kr. Treningssenteret vil setje opp prisen på månadsabonnement med 20 %. Den opphavlege prisen svarer til 100 %. Den nye prisen er då 120 % av den opphavlege prisen.

Derfor kan vi rekne ut den nye prisen slik: 120 % av 400 kr

120 av 400 kr 1,20 400 kr 100

480 kr

Talet 1,20 kallar vi vekstfaktoren ved 20 % auke. Vi finn denne vekstfaktoren slik: 100 % 20 % 120 %

120 1,20 100

eller slik: 1

20 1 0,20 1,20 100

DISKUTER

Samanlikn dei to metodane for å rekne ut vekstfaktoren ovanfor. Kvifor kan vi bruke begge metodane til å finne vekstfaktoren?

Vekstfaktoren ved p % auke er 1

p 100

Treningssenteret selde i utgangspunktet 60 abonnement kvar månad. Etter at prisen auka, selde dei 10 % færre abonnement kvar månad. Det opphavlege salet er 100 %. Det nye salet er dermed 90 % av det opphavlege.

1.4 VEKSTFAK TOR

Vi kan derfor rekne ut det nye salet slik: 90 90 % av 60 60 0,90 60 54 100 Talet 0,90 kallar vi vekstfaktoren ved 10 % nedgang. Vi finn vekstfaktoren 0,90 slik: 90 100 % 10 % 90 % 0,90 100 eller slik: 10 1 1 0,10 0,90 100 Vekstfaktoren ved p % nedgang er p 1 100

DØME

LØ Y S I N G

a) Finn vekstfaktoren ved 50 % auke. b) Finn vekstfaktoren ved 7,5 % nedgang. a) Ein auke på 50 % gir 100 % 50 % 150 % Vekstfaktoren er då 150 1,50 100 Vi kan òg rekne slik: 50 1 1 0,50 1,50 100 b) Ein nedgang på 7,5 % gir 100 % 7,5 % 92,5 % Vekstfaktoren er då 92,5 0,925 100 Vi kan òg rekne slik: 7,5 1 1 0,075 0,925 100

1 | PROSENT

OPPGÅVE 1.40

Finn vekstfaktoren når ein storleik aukar med a) 12 % b) 85 % c) 3 % d) 1,5 % e) 0,75 % f) 200 % OPPGÅVE 1.41

Finn vekstfaktoren når ein storleik minkar med a) 12 % b) 5,5 % c) 52 % d) 1,25 % e) 0,75 % f) 36,5 %

DISKUTER

Kvifor er vekstfaktoren ved prosentvis auke alltid større enn 1? Kvifor er vekstfaktoren ved prosentvis nedgang alltid eit tal mellom 0 og 1?

OPPGÅVE 1.42

Python-programmet nedanfor kan brukast til å finne vekstfaktoren ved prosentvis auke. 1 2

svar = input("Kva er endringa i prosent?") prosenten = float(svar)

3 4

vekstfaktor = 1 + prosenten/100

5 6

print("Vekstfaktoren er", round(vekstfaktor, 3))

a) Forklar korleis programmet verkar. b) Korleis kan vi bruke programmet utan endringar til å finne vekstfaktoren ved prosentvis nedgang? Når vi kjenner vekstfaktoren, kan vi bruke han for å finne ut kor mange prosent ein storleik har auka eller minka med. DØME

LØ Y S I N G

Finn den prosentvise endringa når vekstfaktoren er 1,15. Når vekstfaktoren er 1,15, betyr det at vi har ein auke, for vekstfaktoren er større enn 1. Talet har auka frå 100 % til 115 , 100 % 115 % Det svarer til ein auke på 115 % 100 % 15 % 1.4 VEKSTFAK TOR

DØME

LØ Y S I N G

Finn den prosentvise endringa når vekstfaktoren er 0,72. Når vekstfaktoren er 0,72, betyr det at vi har ein nedgang, for vekstfaktoren er mindre enn 1. Talet har gått ned frå 100 % til 0,72 100 % 72 % Det svarer til ein nedgang på 100 % 72 % 28 %

OPPGÅVE 1.43

Finn den prosentvise auken når vekstfaktoren er a) 1,25 b) 1,125 c) 1,0205 d) 1,0031 e) 1,57 f) 2,15 OPPGÅVE 1.44

Finn den prosentvise nedgangen når vekstfaktoren er a) 0,75 b) 0,88 c) 0,985 d) 0,9275 e) 0,25 f) 0 OPPGÅVE 1.45 1

vekstfaktor = 1.39

2 3 4 5 6 7 8

if vekstfaktor > 1: prosent = (vekstfaktor - 1) * 100 print("Auken er på", round(prosent, 2), "prosent.") else: prosent = (1 - vekstfaktor)*100 print("Nedgangen er på", round(prosent, 2), "prosent.")

a) Kva gjer Python-programmet ovanfor? Forklar kvar linje. b) Bruk programmet til å løyse nokre av oppgåvene ovanfor. OPPGÅVE 1.46

Skriv av og fyll ut tabellen nedanfor: Vekstfaktor

Prosentvis endring

1,07 –8 % 0,26 +115 %

1 | PROSENT

1.5 Prosentvis endring Når vi skal finne den nye verdien etter ei prosentvis endring, gongar vi den opphavlege verdien med vekstfaktoren. Dette kan vi skrive som ein regel. ny verdi = opphavleg verdi vekstfaktor

DØME

LØ Y S I N G

På ein kafé sel dei 220 kanelbollar kvar dag. Ein bolle kostar 30 kr. Det blir bestemt at prisen skal setjast ned med 20 %. Det fører til at salet går opp med 10 %. a) Finn den nye prisen for ein bolle. b) Finn ut kor mange bollar dei sel kvar dag etter prisendringa. a) Prisen blir sett ned med 20 %. Då blir vekstfaktoren 1

20 1 0,20 0,80 100

Den opphavlege prisen var 30 kr. Då blir den nye prisen 30 kr 0,80 24 kr b) Salet aukar med 10 %. Då blir vekstfaktoren 1

10 1 0,10 110 , 100

Det opphavlege salet var 220 bollar kvar dag. Då blir det nye salet 220 110 , 242

DISKUTER

Ida løyste oppgåve a i dømet ovanfor slik: Avslaget er 0,20 30 kr = 6 kr Ny pris er 30 kr 6 kr = 24 kr Kva er forskjellen på metoden til Ida og metoden i dømet? Kva for ein metode ville du ha valt? Ville du ha valt den same metoden anten du hadde hjelpemiddel eller ikkje? 1.5 PROSENT VIS ENDRING

OPPGÅVE 1.50

Eit busselskap sel reisekort som vist i tabellen nedanfor. Type kort

Dagskort

Vekeskort

Månadskort

Pris (kr)

90,–

250,–

600,–

a) I veke 45 var det 20 % rabatt på alle reisekorta. Kva kosta kvart av korta då? I tabellen nedanfor ser du kor mange kort som blei selde i veke 44, og kor stor den prosentvise endringa var i veke 45. Type kort

Dagskort

Vekeskort

Månadskort

500

420

750

15 %

20 %

32 %

Selde kort i veke 44 Endring i veke 45

b) Kor mange kort blei det selt av kvar type i veke 45? Nokre gonger kjenner vi verdien både før og etter ei prosentvis endring. Det kan vi bruke til å finne vekstfaktoren og dermed prosenten. Vi set opp formelen som ei likning: opphavleg verdi vekstfaktor = ny verdi opphavleg verdi vekstfaktor

ny verdi opphavleg verdi

vekstfaktor =

ny verdi opphavleg verdi

opphavleg verdi

Vi kan gå fram på same måten for å finne den opphavlege verdien dersom vi kjenner både den nye verdien og vekstfaktoren. Då får vi denne formelen:

DØME

ny verdi vekstfaktor

a) Timelønna til Tomine gjekk opp frå 160 kr til 184 kr. Kor mange prosent steig lønna hennar? b) Ei vare er sett ned med 35 %. Den nye prisen er 455 kr. Kva var prisen før han blei sett ned?

1 | PROSENT

r kkr kkr r

opphavleg verdi

LØ Y S I N G

a) Den opphavlege timelønna var 160 kr, og den nye er 184 kr. Då er vekstfaktor =

ny verdi opphavleg verdi

184 kr 115 , 160 kr

Vekstfaktoren er 1,15. Det betyr at den nye lønna er 115 , 100 % 115 % av den opphavlege. Auken er 115 % 100 % 15 % Lønna steig med 15 %. b) Vekstfaktoren ved 35 % nedgang er 1

35 1 0,35 0,65 100

Den nye prisen er 455 kr. Då er opphavleg verdi =

ny verdi vekstfaktor

455 kr 0,65

700 kr

Vara kosta 700 kr før prisen blei sett ned.

OPPGÅVE 1.51

Prisen på ein spelkonsoll blir sett ned frå 5900 kr til 4500 kr. a) Finn vekstfaktoren. b) Kor mange prosent blei prisen sett ned med? OPPGÅVE 1.52

Katten Båtsmann vog 4,5 kg sommaren 2022. Då hadde vekta auka med 40 % sidan året før. a) Finn vekstfaktoren. b) Kva vog Båtsmann året før? OPPGÅVE 1.53

1. januar 2000 budde det 8000 personar i ein kommune. Frå 2000 til 2010 minka innbyggjartalet med 5 %. a) Finn antalet innbyggjarar i kommunen i 2010. I 2020 var innbyggjartalet 7980. b) Kor mange prosent steig innbyggjartalet med frå 2010 til 2020? c) Kva er den prosentvise endringa i innbyggjartalet frå 2000 til 2020? 1.5 PROSENT VIS ENDRING

Vi kan bruke ulike strategiar for å løyse oppgåver om prosent utan hjelpemiddel og i hovudet. I det neste dømet ser vi på nokre slike. DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut utan hjelpemiddel. a) Ei vare kostar 150 kr. Prisen på vara blir sett opp med 3 %. Kva er den nye prisen? b) Runa betaler 840 kr for ei jakke som er sett ned med 30 %. Kva kosta jakka opphavleg? c) Prisen på eit månadsabonnement på mobiltelefon blir sett opp frå 250 kr til 260 kr. Kor mange prosent er prisen sett opp med? a) Vi går vegen om 1 %. 150 kr svarer til 100 %. Då utgjer 1 % 150 kr 100

1,50 kr

3 % utgjer då 3 1,50 kr 4,50 kr Etter prisoppgangen kostar vara 150 kr 4,50 kr

154,50 kr

Den nye prisen på vara er 154,50 kr. b) Sidan jakka er sett ned med 30 %, svarer 840 kr til 70 % av den opphavlege prisen. Vi deler 840 med 7 for å finne ut kor mykje 10 % svarer til: 840 : 7 120 No veit vi at 120 kr svarer til 10 % av den opphavlege prisen. Då svarer 100 % til 120 kr 10 1200 kr Jakka kosta opphavleg 1200 kr. c) Prisauken er 260 kr 250 kr 10 kr Vi reknar ut kor stor prosentdel 10 kr utgjer av 250 kr: 10 : 5 250 : 5

2 2 50 2

4 100

Prisen på mobilabonnementet er sett opp med 4 %.

1 | PROSENT

OPPGÅVE 1.54

Rekn ut utan hjelpemiddel. a) I ei skulekantine kostar lunsjrettane 45 kr. Kantina set opp prisen med 4 %. Kva er prisen etter auken? Rund av til nærmaste krone. b) Ei matvogn sel taco for 105 kr per rett. På slutten av dagen set dei ned prisen med 20 %. Kva er prisen då?

OPPGÅVE 1.55

Rekn ut utan hjelpemiddel. a) Ein dag er 10 % av elevane på ein skule borte. Då er 540 elevar til stades. Kor mange elevar går det på skulen? b) I ein vg3-klasse sluttar 12 % av elevane den første månaden. Då er det 22 elevar igjen i klassen. Kor mange elevar var det opphavleg i klassen? OPPGÅVE 1.56

Rekn ut utan hjelpemiddel. a) Eit populært studium har 1500 søkjarar. Året etter har søkjartalet auka til 1800. Kva er auken i prosent? b) Prisen på ein genser blir sett ned frå 1200 kr til 1050 kr. Kva er nedgangen i prosent? OPPGÅVE 1.57

Ein lokal klesbutikk sel klede i fire produktkategoriar. Ein månad blei det til saman selt 3600 plagg. Diagrammet viser fordelinga av kategoriane. Kor mange einingar blei det selt av kvar kategori?

Genserar 15 % Jakker 10 %

T-skjorter 50 %

Bukser 25 %

1.5 PROSENT VIS ENDRING

UTFORSK PROSENTVIS ENDRING I FLEIRE PERIODAR Ei vare kostar 100 kr. STEG 1

I butikk A blir prisen på vara først sett opp med 10 %. Etter ei stund blir prisen sett ned med 10 %. a) Kostar vara meir, mindre eller like mykje etter dei to endringane? Kva er det første du tenkjer? Gjer utrekningar og grunngi svaret. b) Kva blir den totale endringa i prosent? Har prisen på vara noko å seie for dette? STEG 2

I butikk B blir prisen på vara først sett ned med 10 %. Etter ei stund blir prisen sett opp med 10 %. a) Kostar vara meir, mindre eller like mykje etter dei to endringane? Kva er det første du tenkjer? Gjer utrekningar og grunngi svaret. b) Kva blir den totale endringa i prosent? Har prisen på vara noko å seie for dette? c) Samanlikn svara i steg a og b med svara i steg 1. Kvifor blir det slik? STEG 3

I butikk C aukar prisen på vara først med 4 % og deretter med 6 %. a) Kva kostar vara etter den første prisauken? b) Kva kostar vara etter den andre prisauken? c) Kvifor blir ikkje den totale prisauken 10 %? STEG 4

I butikk D aukar prisen på vara først med 6 % og deretter med 4 %. a) Kva kostar vara etter den første prisauken? b) Kva kostar vara etter den andre prisauken? c) Samanlikn svaret i steg b med svaret i steg 3. Kvifor blir det slik? STEG 5

I butikk E aukar dei prisen på vara med 2 % fem gonger. a) Kva kostar vara etter den første prisauken? b) Kva kostar vara etter den den andre, tredje, fjerde og femte auken? c) Kva blir den totale endringa i prosent? Har prisen på vara noko å seie for dette? STEG 6

Kva konklusjonar kan vi trekkje etter det vi har funne ut i steg 1–5? Korleis kan det å rekne med vekstfaktor hjelpe oss å finne eit mønster?

1 | PROSENT

1.6 Prosentvis vekst i fleire periodar I Utforsk prosentvis endring i fleire periodar rekna vi på prisen til ei vare som endra seg fleire gonger. No skal vi sjå korleis vi reknar når ein storleik endrar seg med ein fast prosent fleire gonger. Ein kommune har 5000 innbyggjarar. Kommunen reknar med at folketalet vil auke med 2 % per år dei neste ti åra. Vekstfaktoren er 100 % 2 % 102 %

102 1,02 100

Etter eitt år er innbyggjartalet 5000 1,02 5100 I byrjinga av det andre året er det 5100 innbyggjarar i kommunen. Ved slutten av det andre året har innbyggjartalet vakse til 5100 1,02 5202 Ved slutten av det tredje året er innbyggjartalet 5202 1,02 | 5306 Legg merke til at vi òg kan rekne innbyggjartalet etter to år slik: 5000 1,02 1,02 5000 1,022

5202

Etter tre år har innbyggjartalet auka til 5000 1,023 | 5306 Når vi skal finne innbyggjartalet etter ti år, er den siste metoden raskast. Då treng vi berre éi utrekning: 5000 1,0210 | 6095 Når ein storleik endrar seg med same prosent i fleire periodar, bruker vi denne regelen for å finne storleiken etter ei tid: For ein storleik som veks med ein fast prosent i fleire periodar, har verdien etter n periodar vakse til opphavleg verdi vekstfaktorn

1.6 PROSENT VIS VEKST I FLEIRE PERIODAR

Merk at vi òg kan bruke denne regelen når ein storleik minkar med ein fast prosent. Då er vekstfaktoren mellom 0 og 1. DØME

LØ Y S I N G

Verdien av ein elektrisk sparkesykkel minka med 7 % kvart år. Sparkesykkelen kosta 15 000 kr då han var ny. Kva var sparkesykkelen verd etter 5 år? Her er den opphavlege verdien 15 000 kr. Vekstfaktoren ved 7 % nedgang er 100 % 7 % 93 %

93 100

0,93

Det er 5 periodar, altså er n 5. Det set vi inn i formelen på førre side: 15 000 0,935 | 10 435 Etter 5 år var sparkesykkelen verd 10 435 kr.

OPPGÅVE 1.60

I 2016 kjøpte Mathea ein spelkonsoll til 4000 kr. Ho gjekk ut frå at verdien ville minke med 15 % kvart år. a) Kor mykje kan Mathea rekne med å selje spelkonsollen for i 2022? b) Kor mange prosent har då verdien av spelkonsollen minka med? OPPGÅVE 1.61

Restauranten Bordets gleder jobbar for å redusere matsvinnet. I desember 2020 kasta dei 800 kg mat. I 2021 klarte bedrifta å redusere det gjennomsnittlege matsvinnet med 2 % per månad. a) Kva var matsvinnet i desember 2021? b) Kor mange prosent minka matsvinnet med totalt frå desember 2020 til desember 2021? OPPGÅVE 1.62

I 2015 kjøpte Ahmed eit hus for 2,1 millionar kroner. Verdien på huset steig med 5 % kvart av dei neste tre åra for deretter å minke med 2 % dei neste to åra. a) Kva var huset verdt i 2020? b) Kor mange prosent auka verdien av huset frå 2015 til 2020?

1 | PROSENT

OPPGÅVE 1.63

a) Ole er svømmar. Han trener 12 timar i veka og har ein plan om å auke treningsmengda med 10 % per år dei neste åra. Kor mange timar i veka trener Ole om 5 år dersom han følgjer denne planen? b) Mia trener styrke. Ho tek 50 kg i benkpress og har som mål å auke med 5 % per månad i eit halvt år. Kor mykje tek Mia i benkpress om eit halvt år dersom ho når målet sitt? c) Finst det nokon grenser for kor lenge auken i oppgåve a og b kan halde fram? Kva må vi eventuelt vite for å bestemme det? Når vi vil rekne bakover i tid, kan vi òg bruke formelen opphavleg verdi vekstfaktorn Då bruker vi negative verdiar for n. DØME

LØ Y S I N G

Ei bedrift kuttar plastforbruket med 2 % kvart år i perioden frå 2015 til 2030. I 2020 var det årlege plastforbruket 4,6 tonn. a) Finn eit uttrykk for plastforbruket n år etter 2020. b) Kva var plastforbruket i 2015? c) Kor mykje plast vil bedrifta forbruke i 2030? a) Vekstfaktoren for 2 % nedgang er 0,98, og utgangsverdien i 2020 er 4,6 tonn. Då er plastforbruket i tonn n år etter 2020 gitt ved 4,6 0,98n b) 2015 er 5 år før 2020. Derfor set vi inn n

4,6 0,98 5 5,1 Plastforbruket i 2015 var 5,1 tonn. c) 2030 er 10 år etter 2020. Derfor set vi inn n

10.

4,6 0,9810 3,8 Plastforbruket i 2030 er 3,8 tonn.

1.6 PROSENT VIS VEKST I FLEIRE PERIODAR

OPPGÅVE 1.64

Cornelia har ei årslønn på 405 000 kr. For tre år sidan gjorde ho ein avtale om at lønna skulle auke med 2,5 % per år. Kva var lønna til Cornelia for tre år sidan? OPPGÅVE 1.65

Victor har 30 000 følgjarar på SnikkSnakk. Dei siste åra har talet på følgjarar auka med 50 % kvart år. a) Kor mange følgjarar hadde Victor for to år sidan? b) Kor mange følgjarar hadde han for fem år sidan? c) Dersom utviklinga held fram, kor mange år går det før han har over 1 million følgjarar? OPPGÅVE 1.66

a) Kva reknar programmet nedanfor ut? 1 2 3 4

folketal = 4000 verdi = folketal vekstfaktor = 1.025 år = 0

5 6 7 8

while verdi < folketal*2: verdi = verdi * vekstfaktor år = år + 1

9 10 11

print(round(verdi, 0)) print(år)

b) Kva blir skrive ut i dei to siste linjene? OPPGÅVE 1.67

Tabellen nedanfor viser utviklinga i omsetninga til ei bedrift frå 2017 til 2021. Årstal 2017 2018 2021 2020 2021

Omsetning 500 000 550 000 605 000 665 500 732 050

Finn den prosentvise endringa frå kvart år til det neste.

1 | PROSENT

SAMANDRAG Prosent Prosent betyr hundredel. Vi gjer om andelen av tal skrive som brøk eller desimaltal til hundredelar for å finne prosenttalet. Prosentdel p % av talet

p heile talet 100

Å finne prosenten av det heile talet 100 % det heile Å finne det heile Dersom eit tal er p % av det heile (100 %), er det heile

talet 100 p

Prosentpoeng Når vi reknar ut differansen mellom to prosenttal, finn vi endringa i prosentpoeng. Vekstfaktor Vekstfaktoren ved p % auke er 1

p 100

Vekstfaktoren ved p % nedgang er 1

p 100

Prosentvis endring Skal vi finne ein ny verdi etter ei prosentvis endring, reknar vi slik: ny verdi = opphavleg verdi vekstfaktor Prosentvis endring i fleire periodar Når ein storleik endrar seg med ein fast prosent fleire gonger, er verdien etter n periodar opphavleg verdi vekstfaktorn Dersom vi skal finne verdien bakover i tid, bruker vi negative verdiar for n.

SAMANDRAG

SPARING I BANK OG AKSJEFOND Det er lurt å setje av noko av inntekta til sparing, anten til uføresette utgifter på kort sikt eller til langsiktig sparing. Slik kan det til dømes bli lettare å kjøpe leilegheit, hus eller bil. Men korleis lønner det seg å spare pengane? Å spare i banken Å ha pengane i banken er ein sikker måte å spare på. Banken gir oss renter. Renta varierer, men vanlegvis lite over tid. SSB har laga ei historisk oversikt over den gjennomsnittlege renta sidan 1953. Den høgaste renta hadde vi i 1987. Då var ho 11,3 %. Dei siste åra har renta vore låg, til dømes var ho 0,8 % i 2016. Det betyr at dersom vi sette 10 000 kr i banken i 1987, kunne vi rekne med at beløpet på kontoen eitt år seinare hadde vakse til 11 130 kr. Dersom vi gjorde det same innskotet i 2016, ville vi eitt år seinare sitje igjen med 10 080 kr. Når vi skal vurdere verdien av sparepengane, bør vi ta høgd for den generelle prisstiginga i samfunnet. Den blir beskriven av konsumprisindeksen (KPI). I 2015 var KPI 100, i 2016 var han 103,6. Det betyr at varer som kosta 10 000 kr i 2015, kosta 10 360 kr i 2016. I 2016 tapte vi dermed på å la pengane stå i banken. Verdien blei mindre i løpet av året fordi prisane steig meir enn rentene vi fekk av beløpet vi hadde sett i banken.

Å spare i fond Ei anna spareform er aksjefond. Ein aksje er ein eigarpart av eit selskap, og fondet forvaltar eigarpartar i mange bedrifter. Indeksfond er aksjefond med låge kostnader som prøver å gi deg som kunde lik avkasting som marknaden i ein viss periode. Avkasting er pengar vi tener ved å investere i marknaden. Dersom aksjeselskapa gjer det godt, vil vi kunne få meir igjen enn om vi set pengane i banken, men vi vil òg kunne tape pengar dersom utviklinga er negativ. I perioden 2000 til 2021 auka indeksen på Oslo Børs frå 190 poeng til 1200 poeng. Det

1 | PROSENT

svarer til ein auke på over 500 %. Grafen nedanfor viser denne utviklinga. Vi ser at i enkelte periodar har det vore nedgang, sjølv om utviklinga over tid har vore positiv. Det er spesielt to tydelege nedgangar dei siste 20 åra: under finanskrisa i 2008 og under starten av koronapandemien i 2020. Etter finanskrisa tok det omtrent seks år før indeksen var tilbake på same nivå som før. 1200 1000 800 600 400 200 0

2005

2010

2015

2020

Konsumprisindeksen auka i åra mellom 2000 og 2021 frå 75 til 118. Det er ein auke på 57 %. Auken i verdiane på Oslo Børs har altså vore mykje større enn auken i konsumprisindeksen. Dersom vi investerte 10 000 kr på aksjar i år 2000 og avkastinga følgde indeksen, ville beløpet i 2021 ha vakse til over 63 000 kr. Dersom vi tar omsyn til kroneverdien, ville det ha svart til omtrent 40 000 kr i 2000, omtrent fire gonger meir enn vi investerte. I den same tidsperioden var den gjennomsnittlege årlege innskotsrenta under 3 %. Dersom vi sette inn 10 000 kr på kontoen i 2000 og fekk 3 % per år i rente, ville vi hatt 18 600 kr i 2021, utan å ta omsyn til kroneverdien.

Å finne den månadlege renta Mange sparer litt kvar månad. Bankane reknar som regel med årlege renter, men vi kan rekne ut den månadlege renta dersom vi kjenner den årlege renta. Dersom vekstfaktoren per månad er x, vil vekstfaktoren per år vere x12. Dersom den årlege renta er 1,5 %, finn vi den månadlege renta ved å løyse likninga x12 = 1,015. Då blir: x

1,015

Kjelder: ssb.no – gjennomsnittleg utlånsog innskotsrente i bankane per 31. desember, besøkt januar 2022 live.euronext.com – NO0007035327XOSL, besøkt januar 2022

1,0012

Den månadlege renta er altså 0,12 % når den årlege renta er 1,5 %.

PROSJEKTOPPGÅVE I denne oppgåva skal du undersøkje korleis sparing i bank og sparing i indeksfond kan utvikle seg over tid. Kulepunkta nedanfor skal hjelpe deg med å komme i gang. Bruk gjerne rekneark til å løyse denne oppgåva. • Ta utgangspunkt i at du set av 1000 kr kvar månad i tre år. • Finn ut kva innskotsrenter nokre bankar tilbyr på sparekontoar. Rekn om til månadleg rente. • Finn fram til nokre indeksfond. Kva har den historiske avkastinga vore i desse fonda dei siste fem åra? Kor store er gebyra? Kvifor kan ikkje historisk avkasting garantere framtidig avkasting? • Lag ei oversikt som viser korleis utviklinga kan bli over tid. Ta utgangspunkt i ulike, men sannsynlege renter og avkastingar basert på det du har funne ut ovanfor. • Korleis kan vi gå ut frå at konsumprisindeksen påverkar sparinga vår?

SPARING I BANK OG AKSJEFOND

REPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 1

OPPGÅVE 4

Ein kommune hadde 12 560 innbyggjarar. Året etter var innbyggjartalet minka til 12 230. Finn vekstfaktoren. Kva fortel han i dette tilfellet?

Eit politisk parti aukar oppslutninga frå 23 % til 26 %. a) Finn auken i prosentpoeng. b) Finn auken i prosent.

OPPGÅVE 2

OPPGÅVE 5

Utsalsprisen på ein bil auka med 16 800 kr frå eit år til det neste. Det svarer til ein prisauke på 4 %. Finn utsalsprisen på bilen for begge åra. OPPGÅVE 6

I ein matbutikk kostar 1 kg eple vanlegvis 24,00 kr. a) Ein dag var prisen på eple sett ned 15,0 %. Kva var kiloprisen på eple denne dagen? b) Ein annan dag var prisen på eple 29,90 kr. Kor mange prosent var prisen på eple sett opp i forhold til normal pris denne dagen?

Illustrasjonen nedanfor er henta frå Aftenposten 23. september 2021 og viser lista over dei mest besøkte filmane på kino helga før. Topp 10-lista over mest besøkte filmar på kino sist helg 42 690

Dune Paw Patrol

12 523

Shang-Chi

8 411

Clue: Maltesergåten

6 204

Ingenting å le av

5 129

After We Fell

4 273

Croods

4 026

Free Guy

2 115

Malignant

1 736

OPPGÅVE 3

Space Jam

1 67 1

Ein dag var literprisen på bensin 18,20 kr på bensinstasjonen «Full tank» og 16,80 kr på bensinstasjonen «Tom tank». Den eine bensinstasjonen auka då prisen med det same beløpet som den andre bensinstasjonen sette prisen ned med. Kor mange prosent måtte literprisen endrast på kvar av bensinstasjonane for at prisen skulle bli den same begge stader?

Kjelde: Film og Kino

1 | PROSENT

a) Kor mange prosent høgare var besøket på «Ingenting å le av» enn på «Croods»? b) Kor mange prosent lågare var besøket på «Space Jam» enn på «Malignant»? c) Kor mange prosent av kinobesøket var på «Dune»?

OPPGÅVE 7

OPPGÅVE 8

Sofia fekk til saman 25 000 kr i gåver då ho blei fødd. Pengane blei sett på ein konto med 3,0 % fast rente per år. a) Kor mykje vil Sofia ha på kontoen på 18-årsdagen dersom pengane blir ståande urørt? b) Kor mykje vil Sofia ha på kontoen på 18-årsdagen dersom ho tek ut 10 000 kr på 16-årsdagen sin? OPPGÅVE 9

Kåre Kubick har nettopp kjøpt ein brukt skuter. Skuteren er 4 år gammal. «Kor mykje kosta denne skuteren då han var ny?» spør Kari. «Verdien gjekk ned 30 % det første året, 20 % det andre året og 10 % kvart av dei to neste åra», svarer Kåre. «Eg betalte 12 700 kr. Då kan du sjølv rekne ut kva han kosta som ny.»

ER! VINN

Ei bedrift har dei siste åra måtta nedbemanne. I dag har bedrifta 500 tilsette, men talet har minka med 8 % kvart år. Kva for eit uttrykk kan vi bruke for å rekne ut talet på tilsette for 3 år sidan? Forklar kvifor kvart av dei andre uttrykka er feil. 1) A 500 1,08 3 2) A 500 0,923 3) A 500 0,92 3 4) A 500 1,083

OPPGÅVE 10

I byrjinga av 2016 vann Anne Lise i Lotto. Ho kjøpte ein ny bil til 340 000 kr og kunst for 80 000 kr. Vi reknar med at bilen minkar i verdi med 13 % per år, mens verdien av kunsten aukar med 8 % kvart år. a) Kor stor var den samla verdien av bilen og kunsten etter 5 år? b) Lag eit rekneark som viser både verdien av bilen og verdien av kunsten kvart år i 10 år. c) Utvid reknearket i oppgåve b slik at det òg viser den samla verdien av bilen og kunsten i 10 år. OPPGÅVE 11

Forklar kva som skjer når programmet nedanfor blir køyrt. Kva fortel dei to tala som blir skrivne ut i linje 10 og 11? 1 2 3 4 5 6 7

Hjelp Kari med å rekne ut svaret.

beløp = 5000 vekstfaktor = 1.02 år = 0

while beløp år = år beløp = beløp =

< 100000: + 1 beløp * vekstfaktor beløp + 10000

9 10 11

print(round(beløp, 0)) print(år)

REPE TISJONSOPPGÅVER

POTENSAR OG RØTER Mål for opplæringa er at eleven skal kunne • tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform • lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om samfunnsfaglege tema og tema frå lokalmiljøet, gjere utrekningar i samband med dette og presentere og argumentere for resultata

UTFORSK POTENSAR Uttrykket 24 kallar vi ein potens. Denne potensen kan vi skrive som ein gjenteken multiplikasjon. Eksponenten 4 fortel kor mange gonger vi skal gjenta grunntalet 2 i multiplikasjonen. Eksponent

24 = 2 · 2 · 2 · 2 Grunntal

4 gonger

STEG 1

a) Kor mange gonger skal vi gjenta grunntalet 3 når vi skriv potensen 35 med gjenteken multiplikasjon? b) Kor mange gonger skal vi gjenta grunntalet 3 når vi skriv potensen 37 med gjenteken multiplikasjon? c) Kor mange gonger skal vi gjenta grunntalet 3 når vi skriv produktet nedanfor med gjenteken multiplikasjon? 35 37 d) Kva blir då 35 37 uttrykt som éin potens med 3 som grunntal? e) Kva for ein samanheng er det mellom eksponentane i steg a og b og svaret i steg d? STEG 2

No lèt vi eksponentane p og q vere to vilkårlege positive heiltal. Grunntalet a kan vere kva tal som helst. a) Kor mange gonger skal vi gjenta grunntalet a når vi skriv potensen a p med gjenteken multiplikasjon? b) Kor mange gonger skal vi gjenta grunntalet a når vi skriv potensen aq med gjenteken multiplikasjon? c) Kor mange gonger skal vi gjenta grunntalet a når vi skriv produktet nedanfor med gjenteken multiplikasjon? a p aq d) Kva blir då a p aq uttrykt som éin potens med a som grunntal? e) Kva regel har du no komme fram til?

2.1 POTENSAR

STEG 3

a) Kor mange gonger skal vi gjenta grunntalet 5 når vi skriv potensen 57 med gjenteken multiplikasjon? b) Kor mange gonger skal vi gjenta grunntalet 5 når vi skriv potensen 53 med gjenteken multiplikasjon? c) Skriv potensane med gjenteken multiplikasjon og forkort så mykje som mogleg 57 53 d) Kva blir

57 53

uttrykt som éin potens med 5 som grunntal?

e) Kva for ein samanheng er det mellom eksponentane til dei to potensane i steg a og b og eksponenten frå svaret i steg d? STEG 4

a) Gjenta steg 3 for brøken 210 28 b) Gjenta steg 3 for brøken 109 103 c) Formuler med dine eigne ord ein regel for samanhengen mellom eksponentane til potensane i teljaren og nemnaren og eksponenten til svaret. d) Kva for ein regel gjeld for potensuttrykket nedanfor? ap aq

2 | POTENSAR OG RØTER

2.1 Potensar Det er tungvint å skrive 2 2 2 2 når vi i staden kan skrive 24. Og dersom vi ønskjer å multiplisere talet 10 hundre gonger, er det mykje enklare å skrive 10100. Slike uttrykk kallar vi potensar, og dei består av eit grunntal og ein eksponent. Eksponent

24 = 2 · 2 · 2 · 2 Grunntal

4 gonger

Når vi skal rekne med potensar, gjer vi denne jobben mykje enklare ved å bruke potensreglar. I Utforsk potensar kom du sikkert fram til følgjande reglar for multiplikasjon og divisjon av to potensar med same grunntal: a p aq ap aq

DØME

a p q

Rekn ut. a) 54 52

LØ Y S I N G

p q

b) 4 5 4

2 4 c) 5 35 5

a) 54 52 54 + 2 56 7 b) 4 5 4 7 5 4 2 16 4 2 2+ 4 6 4 c) 5 35 5 3 53 56 3 53 125 5 5 5 Det kan vi òg rekne slik: 2 4 5 5 3 5

2 + 4 3

53 125

2.1 POTENSAR

OPPGÅVE 2.10

Trekk saman som éin potens. b) 24 26 c) 53 5 a) 32 33

d) 102 103 105

e) 2 104 5 103

OPPGÅVE 2.11

DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut. 4 a) 2 3 2

b) 103 10

3 2 c) 4 44 4

8 6 d) 35 37 3 3

Rekn ut. 2 a) 2

b) 22

c) 2 32

d) 4 23

a) 2

2 105 6 102 4 104

e) 4 2

( 2) ( 2) 4

b) 22

2 2 4 2

2 9 18

4 8 32

c) 2 3

d) 4 2

e) 4 2

4 2 2 2

4 8

Legg merke til forskjellen på 2 og 22. I potensen 2 er grunntalet 2 slik at 2

2 2

I uttrykket –22 må vi rekne ut potensen først og setje på minus etterpå. Dermed er 22

2 2

DISKUTER

Kvifor er ikkje 2 32 det same som 62?

OPPGÅVE 2.12

Rekn ut. a) 32

b) 3

c) 33

d) 3

OPPGÅVE 2.13

Rekn ut. a) 2 52

b) 5 23

c) 2 32 3 22

2 | POTENSAR OG RØTER

e) 3

f) 34

2.2 Potensane a0 og a–n DISKUTER

Rekn ut

32 32

Rekn òg ut

både med og utan potensreglar. Kva trur de 30 må vere lik? 32 33

på to måtar. Kva trur de 3 1 må vere lik?

Til no har vi tenkt på eksponenten n i potensen an som eit naturleg tal, altså tala 1, 2, 3, …. No skal vi sjå nærmare på potensar der eksponenten er null eller negativ. Kva skal vi meine med a0? Det gir inga meining å gjenta grunntalet a null gonger i ein multiplikasjon. I diskusjonsoppgåva ovanfor fann de kanskje ut at 30 1. For at reknereglane skal passe, må vi ha at a0 1 for alle tal a z 0. a0 1 Det betyr at svaret blir 1 uansett kva for eit tal vi opphøgjer i null. Kva skal vi meine med uttrykket 2–4? Vi kan jo ikkje sjå for oss at vi skal gjenta grunntalet 2 4 gonger når vi multipliserer det med seg sjølv. Vi definerer 2–4 slik at reknereglane for potensar gjeld for negative eksponentar òg: 2

0 4

2 4 2

Det same gjeld for alle tal a z 0 som er opphøgde i ein negativ eksponent n. a n

DØME

LØ Y S I N G

1 an

Rekn ut. a) 30 b) 500

c) 3 2

d) 7 10 3

a) 30 1 b) 500 1 1 1 c) 3 2 = 2 = 3 9 d) 7 10 3 = 7

1 10

7 1000

2.2 POTENSANE a 0 OG a –n

DØME

Skriv talet 1,7 10 4 som eit desimaltal.

LØ Y S I N G

1,7 10 4 = 1,7

1 10

1,7 = 0,00017 10 000

Reknereglane for potensar frå førre delkapittel gjeld òg når eksponentane er negative eller null. DØME

Rekn ut. a) 24 2 3

LØ Y S I N G

a) b) c)

23 2 1

4 3

24 2 3 2 23 3 1 2 1 2 7 1 3 3 3 6 3 3

7 1 3 3 3 3 36

21 2 2

7 1

3 3 6 3

3 1

24 16 6

3 3 3

6 3

Vi kunne òg ha rekna slik: 7 1 3 3 37 ( 1) ( 3) 6 3 6 3 3

37 1 3 6

OPPGÅVE 2.20

Rekn ut og skriv svaret som ein brøk eller eit heilt tal. 0 b) 2 c) 5 1 d) 2 4 a) 50 e) 10 2 f) 100 g) 10 4 OPPGÅVE 2.21

Rekn ut og skriv svaret som ein brøk eller eit heilt tal. b) 10 5 1 c) 6 2 3 d) 200 10 2 a) 3 20 OPPGÅVE 2.22

Rekn ut. a) 23 2 4 2 d) 3 3 3

b) 3 4 35 3 5 e) 2 3 2 1 2 2

2 | POTENSAR OG RØTER

c) 5 3 53 4 3 f) a 2a a a

UTFORSK POTENSREGLANE STEG 1

Potensar med brøk som grunntal kan vi skrive slik: §2· ¨5¸ © ¹

2 2 2 5 5 5

23 53

Sidan eksponenten er 3, gjentek vi brøken tre gonger når vi multipliserer. a) Bruk gjenteken multiplikasjon og rekn ut §5· ¨7¸ © ¹

Skriv både teljaren og nemnar som éin potens. b) Kva for ein regel trur du gjeld for uttrykket nedanfor når n er eit positivt heilt tal? §a· ¨b¸ © ¹

STEG 2

Nedanfor ser du eit døme på ein potens der grunntalet er eit produkt. 4

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 24 34 a) Bruk gjenteken multiplikasjon og rekn ut 2 x

b) Kva for ein regel trur du gjeld for uttrykket nedanfor når n er eit positivt heilt tal? a b

STEG 3

Her er eit døme på ein potens der grunntalet òg er ein potens. Vi har skrive det ut ved hjelp av gjenteken multiplikasjon, men har ikkje rekna det ut. 5

73 73 73 73 73 73 a) Bruk gjenteken multiplikasjon og rekn ut 24

Skriv svaret som éin potens med 2 som grunntal. b) Kva for ein regel trur du gjeld for uttrykket nedanfor? am

2.2 POTENSANE a 0 OG a –n

2.3 Fleire reknereglar for potensar I Utforsk potensreglane kom du sikkert fram til følgjande potensregel for potensar med brøk som grunntal: n

§ a · an ¨b¸ = n © ¹ b

DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut. 3 §2· a) ¨ ¸ ©5¹

§x· b) 3 ¨ ¸ ©3¹

3 8 §2· a) ¨ ¸ = 23 = © 5 ¹ 5 125

§x· b) 34 ¨ ¸ ©3¹

34 x 3 3

4 3 3 x 3 3

4 3

x 3 3x 3

Regelen nedanfor gjeld for alle tal a, b og eksponentar n. n

a b an bn

DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut. 2 a) 3x a) 3x

b) 4 2 x

b) 4 2 x 32 x 2 1

9x 2

4 2 1 x 1

1 1 4 2 x

1 x

2 x

Merk at det er stor forskjell på 3x og 3x 2. I 3x2 er det berre x – ikkje 3 – som skal multipliserast med seg sjølv. Altså er 3x 2 3 x x. 2 I 3x fører parentesen til vi må gonge 3x med seg sjølv. Altså er 2 3x 3x 3x 9x 2.

2 | POTENSAR OG RØTER

OPPGÅVE 2.30

Rekn ut utan hjelpemiddel. 3 3 §2· §1· a) ¨ ¸ b) ¨ ¸ ©3¹ ©2¹

§1· c) ¨ ¸ © 10 ¹

c) 2 3

§ 2· d) ¨ ¸ © 3¹

OPPGÅVE 2.31

Rekn ut utan hjelpemiddel. 3 4 b) 3x 1 a) 5x OPPGÅVE 2.32

Rekn ut utan hjelpemiddel. 3 3 5 §5· §2· 3 2 a) ¨ ¸ 3 b) 2 ¨ ¸ 5 ©2¹ ©3¹

§x· c) ¨ ¸ ©2¹

§x· d) 3 ¨ ¸ ©3¹

I Utforsk potensreglane fann du sikkert ein potensregel for potensar der grunntalet sjølv er ein potens. For vilkårlege tal a, m og n er regelen slik: n

DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut. 5 a) 23 a) 23

c) 3x 3 d) 2 x 2

b) x 2

am n

3 5

x 2

2 3

d) 2 x 2

215 x6

32 x 3 2

c) 3x 3

22 x 2

9 x 2

3 2

4 x

9x 6 2 2

4 x 4

1 x4

4 x4

OPPGÅVE 2.33

Rekn ut og skriv svaret som eit desimaltal eller eit heilt tal. 2 2 b) 2 10 2 a) 103 2

c) 3 10 1 10 2

5 10 2 9 104 3 103

OPPGÅVE 2.34

Skriv enklast mogleg. 4 a) a 2 c) x 7 x 2

b) x 1 d) 2 x 2

2 1

2 x 3

2.3 FLEIRE REKNEREGL AR FOR POTENSAR

2.4 Tal på standardform

Google Earth Pro

Store og små tal med mange siffer kan lett bli uoversiktlege, og det er fort gjort å gløyme eit siffer. Det blir enklare dersom vi skriv talet som eit tal mellom 1 og 10 gonga med ein tiarpotens. Det kallar vi å skrive talet på standardform.

Jorda har massen: 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67 kg Hydrogenatomet har massen:

Ovanfor ser du massen til jorda og massen til eit hydrogenatom. Begge desse er døme på tal vi med fordel skriv på standardform. Eit positivt tal er skrive på standardform når det er skrive som a 10n der a er eit tal som er større enn eller lik 1 og mindre enn 10, og n er eit heilt tal.

DØME

LØ Y S I N G

Skriv talet 8 700 000 på standardform. 8 700 000 8,7 1 000 000 8,7 106 Til vanleg skriv vi direkte: 8 700 000

8,7 106

6 plassar

Eksponenten 6 fortel oss kor mange plassar vi har flytta kommaet mot venstre.

2 | POTENSAR OG RØTER

Når vi skal rekne med svært små desimaltal, er det lett å gjere kommafeil. Vi reknar mykje sikrare dersom vi skriv tala på standardform. Då får vi tiarpotensar med negativ eksponent. Legg merke til at 10 1 10 3 DØME

LØ Y S I N G

1 101 1 103

1 0,1 10 1 0, 001 1000

10 2 10 4

1 102 1 104

1 0, 01 100 1 0, 0001 10 000

Skriv tala på standardform. a) 0,00012 b) 0,000037 a) Vi bruker at 0,0001 10 4. 0,00012 1,2 0,0001 1,2 10 4 Legg merke til at eksponenten 4 fortel kor mange plassar vi har flytta kommaet mot høgre. Vi kunne derfor ha gjort dette direkte, slik: 4 0, 00012 N 1,2 10 4 plassar

b) Her flyttar vi kommaet 5 plassar mot høgre. 0, 000037 N

3,7 10 5

5 plassar

Legg merke til at vi òg kunne ha talt nullane framfor 37.

OPPGÅVE 2.40

Skriv tala på standardform. a) 2 300 000 b) 180 000 000 c) 3000 d) 781 000 OPPGÅVE 2.41

Skriv som heile tal eller som desimaltal. b) 7,1 10 2 c) 8,44 106 a) 2,3 103

d) 2,92 10 5

OPPGÅVE 2.42

Skriv tala på standardform. a) 0,000153 b) 14 300

c) 937 000 000

d) 0,00000275

2.4 TAL PÅ STANDARDFORM

Når vi skal rekne med store og små tal, er det ofte nyttig å skrive tala på standardform før vi reknar ut. Då kan vi bruke potensreglane vi alt kan. DØME

Skriv tala på standardform og rekn ut. Skriv svaret på standardform. 2 000 000 000 0,00071

LØ Y S I N G

Først skriv vi tala i reknestykket på standardform: 2000 000 000 2 109 9 plassar

4 0, 00071 7,1 10 4 plassar

Så reknar vi ut: 2 000 000 000 0,00071 2 109 7,1 10 4 14,2 10

9 4

2 7,1 109 10 4

14,2 105

Resultatet er enno ikkje skrive på standardform, for talet framfor tiarpotensen må vere mellom 1 og 10. Vi skriv det på standardform, slik: 14,2 105 1,42 10 105 1,42 106

OPPGÅVE 2.43

Gjer tala om til standardform og rekn ut. Skriv svaret på standardform. a) 12 000 000 0,00002 b) 0,00075 4 000 000 4 600 000 000 0,00045 0,0012 d) c) 0,000002 27 000 000 Når vi har ei oppgåve der tala er skrivne på standardform, er det ofte lurt å rekne slik vi gjer i dette dømet:

DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut. a) 2 108 6 10 6

8 106 6 10 3 4 103 3 10 2

a) Vi samlar tiarpotensane og bruker potensreglar. 2 108 6 10 6

8 106 6 10 3 4 103 3 10 2

2 6 108 10 6 12 10 2

8 6 106 ( 3) 4 3 103 ( 2) 1

2 | POTENSAR OG RØTER

8 6

4 103 101

12 102 12 100 1200

4 10

3 1

4 102

400

OPPGÅVE 2.44

Rekn ut. a) 5 103 3 10 6 8,4 10 2 c) 2,1 10 3

b) 2 10 1 5 10 1 5 10 2 9 104 d) 3 103

OPPGÅVE 2.45

Rekn ut og skriv svaret på standardform. a) 4 10 4 2 102 3,2 105 4 10 2 c) 1,6 10 3

b) 8 106 3 10 2 2 107 4 105 d) 2 4 10 2

OPPGÅVE 2.46

For alle typar bølgjer – lysbølgjer, lydbølgjer, vassbølgjer og andre bølgjer – kan vi finne farten v til bølgja målt i m/s ved å multiplisere frekvensen f målt i Hz (1/s) og bølgjelengda O målt i m. Vi bruker då formelen v

f O

a) Ei lydbølgje har frekvensen 1,4 104 Hz og bølgjelengda 2,4 10 2 m. Kor stor er lydfarten? Skriv svaret på standardform. b) Vi kan sjå på raudt laserlys som ei lysbølgje med frekvensen 4,0 1014 Hz og bølgjelengda 7,5 10 7 m. Kor stor er lysfarten? Skriv svaret på standardform. OPPGÅVE 2.47

Sidan universet utvidar seg, vil andre galaksar i gjennomsnitt bevege seg vekk frå oss med ein fart v som aukar når avstanden d til galaksen aukar. Vi kan finne denne avstanden målt i meter ved å dele farten v målt i m/s på Hubbles konstant H0 2,27 10 18 s 1. Dette kallar vi Hubbles lov, og denne lova kan vi uttrykkje gjennom formelen d

v H0

a) Ein galakse beveger seg vekk frå oss med ein fart på 1,2 106 m/s. Kor langt unna oss er denne galaksen, ifølgje Hubbles lov? Når vi måler astronomiske avstandar, bruker vi gjerne lysår. Eitt lysår er den avstanden lyset legg bak seg på eitt år, og målt i meter er denne avstanden 9,46 1015 m. b) Den nærmaste galaksen vår, Andromedatåka, er 2,5 millionar lysår unna. Kor langt er det til Andromedatåka målt i meter? 2.4 TAL PÅ STANDARDFORM

2.5 Kvadratrøter DISKUTER

Finn alle tal x som passar i kvar av desse likningane. a) x2 9 b) x2 9 c) x3 8 d) x3 8 e) x4 16 f) x4 16 Tala 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … kallar vi kvadrattal. Grunnen er at 12 1,

22 4,

32 9,

42 16,

52 25, …

Vi kan òg sjå på kvadrattala som arealet av kvadrat der lengda av sida er heile tal.

16 9 2 1

1 1

Vi seier at kvadratrota av 9 er 3 fordi 32 9. 9

3 2

Merk at også 3 9, men 3 er likevel ikkje kvadratrota av 9. Grunnen er at kvadratrota alltid skal vere eit positiv tal. Kvadratrota av x er det positive talet som opphøgd i andre potens er lik x. x

a dersom a er eit positivt tal slik at a2 x.

Vi kan ikkje ta kvadratrota av negative tal, for det finst ikkje noko reelt tal som opphøgd i andre potens blir negativt. Kvadratrota av eit kvadrattal kan vi finne utan hjelpemiddel. Til dømes er 49

7 fordi 72

2 | POTENSAR OG RØTER

Når vi skal finne kvadratrota av andre tal, kan vi bruke lommereknar eller eit anna digitalt hjelpemiddel. Slik finn vi 13 i CAS:

Kvadratrotteiknet får vi ved å taste Alt + R eller ved å hente det frå i GeoGebra. tastaturet

OPPGÅVE 2.50

Finn alle kvadrattala som er mindre enn 300. OPPGÅVE 2.51

Rekn ut ved hjelp av løysinga av oppgåve 2.50. b) 64 c) 121 d) 196 a) 36

225

OPPGÅVE 2.52

Bruk løysinga av oppgåve 2.50 til å finne heiltal som ligg nær desse kvadratrøtene: b) 50 c) 145 d) 200 a) 15 OPPGÅVE 2.53

Rekn ut ved hjelp av eit digitalt hjelpemiddel. b) 50 c) 145 d) 200 a) 15 Etter definisjonen av kvadratrot er 4 9

2 §2· fordi ¨ ¸ 3 ©3¹

4 9

2 2 3

Vi får rett svar dersom vi reknar slik: 4 9

4 9

2 3

Vi finn kvadratrota av ein brøk ved å finne kvadratrota av teljaren og nemnaren kvar for seg. Vi har desse reknereglane: La a og b vere to positive tal. Då er a b

a b

2.5 KVADRATRØTER

Det finst ingen liknande regel for ein sum. Legg til dømes merke til at 9 + 16 ikke er lik 3 + 4 7. For 9 16 25 5. DISKUTER

Kvadratrota av eit tal er det same som talet opphøgd i ein halv. 1

Bruk potensreglane de alt kan, til å forklare kvifor dette er rett.

DØME

LØ Y S I N G

Bruk reknereglane for kvadratrøter til å vise at 50

5 2.

Vi utnyttar at 50 25 2 Dermed er 50

25 2

5 2

OPPGÅVE 2.54

Rekn ut utan å bruke hjelpemiddel. 16 49 a) b) 25 64 c)

1 121

18 98

OPPGÅVE 2.55

Bruk reknereglane for kvadratrøter til å vise at b) 12 2 3 c) 48 a) 18 3 2

4 3

OPPGÅVE 2.56

Skriv kvadratrøtene ved hjelp av kvadratrota av eit mindre tal. b) 75 c) 162 a) 27

2 | POTENSAR OG RØTER

2.6 Røter av høgare orden Tala 1, 8, 27, 64, … kallar vi kubikktal. Grunnen er at 13 1,

23 8,

33 27,

43 64 , …

Dette er volumet (kubikkinnhaldet) av terningar der lengda av sidekantane er 1, 2, 3, 4 osv. 4 3 64

2 27 8

4 3

2 1

1 1

Ettersom 23 8, kalla vi talet 2 for tredjerota eller kubikkrota av 8. Vi skriv 3

Tredjerota definerer vi på denne måten: 3

x er det talet som opphøgd i tredje potens er lik x. 3

a dersom a3 x.

Legg merke til at vi kan finne tredjerota av negative tal: 3

2 fordi 2

Dersom vi skal finne kubikkrota av tal som ikkje er kubikktal, må vi som regel bruke lommereknar eller eit anna digitalt hjelpemiddel. I CAS finn vi 3 13 slik:

2.6 RØTER AV HØGARE ORDEN

DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut utan hjelpemiddel. b) 3 125 a) 3 64 a)

125

4 fordi 43 64 3

5 fordi 5 125

OPPGÅVE 2.60

Skriv opp alle kubikktala frå og med 1 til og med 1000. OPPGÅVE 2.61

Rekn ut ved hjelp av oppgåve 2.60. b) 3 27 c) 3 216 a) 3 8

729

OPPGÅVE 2.62

Rekn ut ved hjelp av eit digitalt hjelpemiddel. b) 3 90 c) 3 500 d) 3 888 a) 3 10 Dersom vi reknar ut 34, får vi 34 81. Talet 3 kallar vi fjerderota av 81, og vi skriv 4

81 3 4

Merk at også 3 81, men likevel er ikkje 3 fjerderota av 81. Vi kan ikkje ta fjerderota av negative tal, for det finst ikkje noko tal a som er slik at a4 blir eit negativt tal. Fjerderota definerer vi på denne måten: 4

a dersom a er det positive talet som er slik at a4 x.

Vi definerer femterota, sjetterota osv. på same måten som tredjerota og fjerderota. DISKUTER

Kan de finne eit tal som er slik at svaret blir negativt når vi opphøgjer det i andre? Kan de finne tal der svaret blir negativt når de opphøgjer dei i tredje eller fjerde? Kan svaret bli negativt når vi tek tredjerota? Kva med fjerderota?

2 | POTENSAR OG RØTER

DØME

LØ Y S I N G

Rekn ut utan hjelpemiddel. b) 4 32 c) a) 4 256

a) Ettersom 44 256, er 4

256

b) Vi kan ikkje finne fjerderota av negative tal. 4

32 finst ikkje.

c) Sidan 25 32, så er 5

DØME

LØ Y S I N G

Bruk eit digitalt hjelpemiddel og rekn ut. b) a) 4 50 a)

2,66

2,35

OPPGÅVE 2.63

Bruk eit digitalt hjelpemiddel til å rekne ut. b) 5 20,5 c) 3 15 a) 4 13 d)

27000

OPPGÅVE 2.64

Rekn ut utan hjelpemiddel. b) 4 10 000 a) 3 1000

OPPGÅVE 2.65

Volumet av ein terning er 422 cm3.

422 cm3

Kor lang er sidekanten? 2.6 RØTER AV HØGARE ORDEN

Vi kan bruke brøkar som eksponentar til å skrive rotuttrykk. 1 3

Vi har at 2 2

1 3 3

2 fordi 1

21 2

Generelt har vi denne regelen: m n

DØME

a m når a ! 0

Rekn ut.

a) 16 2

b) 27 3

d) 8 3

e) 32

LØ Y S I N G

a) 16 2 = 2 16 b) 27

1 3

c) 5 4

2 5

f) 7 2

1 4

c) 5 = 4 5 | 1,50 4

d) 8 3 e) 32

2 5

f) 7 2

24 16 2

2 2

1 22

1 4

343 | 18,52

OPPGÅVE 2.66

Rekn ut utan å bruke hjelpemiddel. 1

a) 9 2 d) 2

1 5 5

b) 16 4 10 § 1· e) ¨© 2 5 ¸¹

c) 1000 3

OPPGÅVE 2.67

Rekn ut utan og med hjelpemiddel. 2

a) 4 2

d) 128

3 7

b) 27 3 4 § 3· ¨ ¸ e) © 9 8 ¹

2 | POTENSAR OG RØTER

c) 100

3 2

SAMANDRAG Reknereglar for potensar a0 1

n a =

a m an

am an

m n

1 a a

m n

a b am

a b n

§ a · an ¨b¸ = n © ¹ b

a m når a ! 0

Tal på standardform Eit tal er skrive på standardform når det er skrive som a 10n, der a er større enn eller lik 1 og mindre enn 10 og n er eit heilt tal. Kvadratrot Kvadratrota av x er det positive talet som opphøgd i andre potens er lik x. x

a dersom a er eit positivt tal slik at a2 x.

Reknereglar for kvadratrøter La a og b vere to positive tal. Då er a b

a b

Tredjerot (kubikkrot) 3 x er det talet som opphøgd i tredje potens er lik x. 3

a dersom a3 x.

Fjerderot 4 x er det positive talet som opphøgd i fjerde potens er lik x. 4

a dersom a er det positive talet som er slik at a4 x.

SAMANDRAG

DIGITAL INFORMASJON Ei datamaskin behandlar tal og gjer utrekningar. For å forstå korleis datamaskina reknar, må vi sjå inni henne. Der finn vi mikroprosessoren, som er hjernen i datamaskina. Når vi studerer prosessoren nærmare, oppdagar vi at databehandling eigentleg handlar om potensar. Titalssystemet Når vi reknar, bruker vi vanlegvis titalssystemet. Det består av ti ulike siffer frå 0 til 9. Titalssystemet er eit plassverdisystem. Det vil seie at plassen til kvart siffer bestemmer kva for ein verdi det har. Ved å plassere siffera ulike kombinasjonar kan vi byggje opp alle tal. Vi har einarar (100), tiarar (101), hundrarar (102), tusenar (103) osv. Dersom vi treng det, set vi komma og har tidelar (10–1), hundredelar (10–2), tusendelar (10–3) osv. Kvar plass uttrykkjer altså ein potens av ti. Hundrarar Tiarar Einarar 102 101 100 6

Tidelar Hundredelar 10–1 10–2 ,

Talet 634,52 kan vi skrive med tiarpotensar, slik: 6 102 + 3 101 + 4 100 + 5 10–1 + 2 10–2

Transistorar

straum inn på basen, blir transistoren opna slik at det kan gå straum gjennom kollektoren og emitteren. Dette seier vi svarer til talet 1. Dersom det ikkje går straum inn på basen, er transistoren lukka, og det går ingen straum gjennom kollektoren og emitteren. Det svarer til talet 0. Det betyr at datamaskina berre har to siffer å telje med: 0 og 1. Til gjengjeld har moderne halvleiarteknologi gjort det mogleg å lage veldig små, og dermed veldig mange, transistorar på éi mikrobrikke.

Totalssystemet Sidan datamaskina berre har to siffer, må ho bruke totalssystemet når ho reknar. Vi kallar det for det binære talsystemet. Det er også eit plassverdisystem, men det bruker potensar av 2 i staden for tiarpotensar. 24 =16

23 = 8

22 = 4

21 = 2

20 = 1

Talet 11001 skrive i totalssystemet svarer til 25 i titalssystemet. Det kan vi sjå ved å rekne slik: 1 24 + 1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

Bit og byte Kollektor Emitter Base Mikroprosessoren i ei datamaskin består av svært mange transistorar. Transistoren er ein elektrisk komponent med tre «bein»: kollektoren, basen og emitteren. Midtbeinet, basen, fungerer som ein slags brytar. Når det går

2 | POTENSAR OG RØTER

Ordet bit er ei samantrekking av «binary digit», altså eit siffer i totalssystemet. Internettfart blir ofte målt i megabit per sekund. Det kjem av at totalssystemet ligg til grunn for digital informasjonsoverføring. Lagringsplass på datamaskina blir ofte målt i byte (kilobyte, megabyte, gigabyte, terrabyte). Éin byte består av 8 bit.

PROSJEKTOPPGÅVE 1 Moores lov seier at den teknologiske utviklinga vil gjere det mogleg å doble talet på transistorar på eit areal annakvart år. Så langt har lova vist seg å stemme svært godt. a) Ta utgangspunkt at det i 1970 var mogleg å ha ca. 2000 transistorar på ei brikke. Kor mange transistorar var det mogleg å ha på ei like stor brikke i 1972, 1974 og 1976? b) Finn eit uttrykk som viser kor mange transistorar det var mogleg å ha på ei brikke av same storleik n år etter 1970. c) Kor mange transistorar var det mogleg å ha på ei like stor brikke i 2020?

PROSJEKTOPPGÅVE 2 Når vi strøymer musikk over mobil- eller DAB-nettet, blir det sendt informasjon via elektromagnetiske bølgjer som formar nullar og einarar. Signalmottakaren tolkar bølgjene og bruker dei til å spele den rette musikken i høgtalaren.

0 1 Digitalt signal

Modulert bølge

a) Gå saman i grupper og lag eit system som bruker totalssystemet til å sende beskjedar. Skriv ein kode i titalssystemet, omset koden til totalssystemet og send beskjeden med nullar og einarar. Klarer mottakaren å tolke beskjeden rett tilbake til titalssystemet? b) Lag eit meir avansert system som òg kan omsetje bokstavar og meldingar til totalssystemet.

DIGITAL INFORMASJON

REPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 1

OPPGÅVE 6

Rekn ut og skriv svaret som eit heilt tal eller ein brøk. a) 23 22 2 b) 23 2 7

Rekn ut og skriv svaret på standardform. Vis utrekningar. a) 2 104 6 103 b) 4,03 106 400 000 6 103 5 10 8 c) 2 10 2

c) 22

2 3

OPPGÅVE 2 OPPGÅVE 7

Rekn ut. a) 9 3 2 §3· b) 23 ¨ ¸ ©2¹ 6 2 2 2 c) 0 3 4 2

Kva forenklingar er rette? Forklar kva som eventuelt er feil. a) 8 8 8 8 8 85 2 b) 7a 14a 2 c) 4 25 85 1 d) 6 4 6 6 6 6

OPPGÅVE 3

Rekn ut utan å bruke hjelpemiddel. Skriv svaret som eit heilt tal eller som eit desimaltal. a) 7 10 3 b) 6 104 4 10 7 2,4 106 5 10 4 c) 2 10 2

e) 3a 7a 0 10 OPPGÅVE 8

Rekn ut. Vis utrekningar. 60 a) 15 3

4 8 2

OPPGÅVE 4

Rekn ut og skriv svaret så enkelt som mogleg. Vis utrekningar. 22

22 23 23 22

OPPGÅVE 5

Rekn ut og skriv svaret som eit heilt tal eller ein brøk. Vis utrekningar. 3 §1· 22 4 1 ¨ ¸ ©2¹

2 | POTENSAR OG RØTER

1 8

OPPGÅVE 9

Bruk eit digitalt hjelpemiddel til å rekne ut. 18, 4 2 2,1 a) 4 0, 5 1, 52 b)

42 6 91

OPPGÅVE 10

OPPGÅVE 12

a) Forklar kva som skjer i kvar linje når programmet nedanfor blir køyrt. Kva fortel tala som blir skrivne ut i linje 5?

I eit naturfagforsøk slepper Line ein stein frå ei bru. Når steinen treffer vassflata, er farten gitt ved

1 2 3 4 5

a = 1 while a < 10: svar = a**(1/2) a = a + 1 print(svar)

b) Gjer endringar i programmet slik at det gir ein forklarande tekst til tala som blir skrivne ut i linje 5. OPPGÅVE 11

Venus er planeten som er nærmast jorda. Avstanden frå jorda til Venus er ca. 42 millionar kilometer. a) Skriv denne avstanden på standardform. Gi svaret både i kilometer og i meter. b) Ein Mazda CX5 er 4,55 m lang. Rekn ut kor mange slike bilar vi må parkere etter kvarandre for å få den same lengda som avstanden frå jorda til Venus. Skriv svaret på standardform.

4, 4 x

der x er høgda på brua målt i meter. Steinen har farten 24 m/s når han treffer vassflata. Kor høg er brua? OPPGÅVE 13

Ein elev skulle løyse ei oppgåve og skrive svaret på standardform. Eleven hadde løyst oppgåva slik: 0 ,005 3000 2 3 0 ,001 15 5 10 3 3 10 3 2 10 3 15 10 3

30 10 15 10 3 2 10 3 3 3

2 10 6 a) Kva for to feil har eleven gjort? b) Løys oppgåva rett. Skriv svaret som eit heiltal.

REPE TISJONSOPPGÅVER

OPPGÅVER • Oppgåvene i delkapittel.

ØV MEIR

gir meir trening i grunnleggjande rekneteknikkar frå kvart

BLANDA OPPGÅVER og OPNE OPPGÅVER inneheld ofte stoff frå • Oppgåvene i fleire tema. Det er lagt inn merke som viser kva oppgåver du skal kunne løyse når du er ferdig med eit delkapittel.

• I blanda oppgåver er det oftast konkrete spørsmålsformuleringar, men du finn òg oppgåver der du må vurdere eigne og andre sine løysingar, og fleirvalsoppgåver. • Dei opne oppgåvene er ofte større og meir komplekse. Her får du mellom anna trening i å jobbe med samansette tekstar og uoppstilte problem. Av og til må du sjølv lage problemstillingar som du undersøkjer ved hjelp av strategiar, som modellering, utforsking og programmering. Det er meininga at du skal bruke litt meir tid på desse oppgåvene, og dei legg til rette for å trene på å skrive matematiske tekstar. Dei opne oppgåvene har ikkje alltid ein fasit, og det kan derfor vere nyttig å diskutere både oppgåvene og løysingane med andre.

Prosent ØV MEIR

Oppgåve 1.113

1.1 PROSENT OG PROSENTDEL

Oppgåve 1.110

a) Rekn ut 10 %, 20 % og 50 % av beløpa utan å bruke hjelpemiddel. 1) 80 kr 2) 150 kr 3) 1800 kr b) Rekn ut med eit hjelpemiddel. 1) 30 % av 120 2) 13 % av 600 3) 40 % av 800 4) 8 % av 175

Oppgåve 1.114

Oppgåve 1.111

Kva for ein figur passar til prosenten? a) 80 % b) 55 % c) 25 % d) 15 % A

Gunn har to kontoar som står urørte i banken. På den eine kontoen står det 24 000 kr, og på den andre står det 106 000 kr. Ho får 0,10 % rente per år på kontoen med lågast innskot og 0,15 % rente per år på den andre. a) Kor mange kroner har kvar av desse kontoane auka med etter eitt år? b) Kor mykje har Gunn til saman på desse to kontoane etter eitt år?

Ein liter bensin kostar 17,50 kr. Prisen på bensinen blir først sett opp med 4 %. Dagen etter blir prisen sett ned med 4 %. Kor mykje har bensinprisen gått ned i alt etter desse to prisendringane? Oppgåve 1.115

a) Kva gjer dette programmet? Forklar kva som skjer i kvar linje. 1 2

tal = 250 prosent = 1

3 4 5 6

Oppgåve 1.112

a) Ein radio kostar 1200 kr. Så blir prisen sett opp 20 %. Kor mange kroner blir prisen på radioen sett opp med? b) Ei klokke kostar 2400 kr og blir sett ned 15 %. Kor mange kroner blir prisen på klokka sett ned med?

while prosent <= 100: utrekning = tal*prosent/100 print(prosent, "% av", tal, "er", round(utrekning, 2)) prosent = prosent + 1

b) Gjer endringar i programmet ovanfor slik at det berre skriv ut prosenten av eit tal når prosentane er 10 %, 20 %, 30 %, 40 %, 50 %, 60 %, 70 %, 80 %, 90 % og 100 %.

1 | PROSENT

241

1.2 FINNE PROSENTEN OG DET HEILE

a) Eit år var elevtalet på ein skule 600. Året etter var det 15 fleire elevar på skulen. Kor mange prosent gjekk elevtalet opp? b) Elevtalet på ein annan skule var 750. Året etter hadde elevtalet gått ned med 30. Kor mange prosent hadde elevtalet gått ned?

Guro og Henrik er på eit handlesenter. Begge har 500 kr å handle for. a) Guro ser på ei bukse til 750 kr og kan få 40 % avslag i prisen. Har ho nok pengar til å kjøpe buksa? b) Henrik ser på eit par sko til 1250 kr og kan få 25 % avslag i prisen. Forklar Henrik at han ikkje har nok pengar til å kjøpe skoa. c) Kor mange prosent avslag må Henrik få for å kunne kjøpe skoa?

Oppgåve 1.121

Oppgåve 1.124

Oppgåve 1.120

I eit glas eplesyltetøy veg innhaldet 510 g. På etiketten står det at det er tilsett 20 g sukker per 100 g bær. Kor mange prosent sukker er det tilsett i eplesyltetøyet? Oppgåve 1.122

Illustrasjonen viser kor mange som heia på laga Manchester United og West Ham United under ein fotballkamp. 2. omg.

82:09

0–1 West Ham United

Manchester United

0 – 1 Manuel Lanzini 9’ Kven heiar du på?

14 964

MNU

WHU

5 371

+ Kampinfo

a) Kor mange prosent heia på West Ham United? b) Kor mange fleire måtte ha heia på West Ham United for at svaret i oppgåve a skulle ha vore 50 %?

Oppgåve 1.123

242

1 | PROSENT

a) Ei skulderveske kostar ordinært 699 kr. Andrine får 15 % avslag på veska. Kor mykje betaler ho? b) Litt seinare betaler Oda 559 kr for same type veske. Kor mange prosent avslag får Oda på den ordinære prisen? Oppgåve 1.125

a) Ola og Ida kjøper nye hovudtelefonar. Ola betaler 570 kr for sine, og Ida betaler 790 kr for sine. Kor mange prosent meir betaler Ida enn Ola? b) Kor mange prosent mindre betaler Ola enn Ida? c) Kvifor får vi ikkje det same svaret i oppgåve a og b? Oppgåve 1.126

Vemund kjøper ein mobiltelefon på sal. Han får 700 kr i avslag på den ordinære prisen. Det svarer til 20 % avslag. Kor mykje betaler Vemund for mobiltelefonen?

Oppgåve 1.127

Oppgåve 1.131

Tove har fått 25 % i avslag på prisen på ein kjole. Det svarer til 300 kr. a) Kva var den opphavlege prisen på kjolen? b) Kor mykje betalte Tove for kjolen?

Frå nettsidene til Statistisk sentralbyrå 14. august 2020:

Oppgåve 1.128

Fredrik fekk tilbod om 30 % rabatt på ei ny klokke. Det svarte til 870 kr. a) Kva kosta klokka før ho blei nedsett? b) Fredrik hadde berre 2000 kr å bruke på ei ny klokke. Seljaren bestemte seg for at Fredrik skulle få kjøpe klokka for denne summen. Kor mange prosent avslag fekk Fredrik i alt? Oppgåve 1.129

Kasper, Jesper og Jonathan skal dele ein pengesum på denne måten: • Kasper får 825 kr. • Jesper får 20 % av pengesummen. • Jonathan får 55 % av pengesummen. Kor mykje får Jesper og Jonathan? 1.3 PROSENTPOENG

Oppgåve 1.130

a) På ei meiningsmåling gjekk oppslutninga om partiet Venstre ned frå 5,0 % til 4,1 %. Kor mange prosentpoeng minka oppslutninga om Venstre med? b) Litt seinare gjekk oppslutninga om Venstre opp 1,2 prosentpoeng. Kor mange prosent var oppslutninga om Venstre då?

Renta på nye lån til hushald med pant i bustad fall med 0,08 prosentpoeng til 1,80 prosent i juni 2020. Renta på uteståande bustadlån hadde eit litt mindre fall med 0,05 prosentpoeng til 1,97 prosent. a) Kor høg hadde renta på nye lån med pant i bustad vore før ho blei sett ned? b) Kor høg hadde renta på uteståande bustadlån vore før ho blei sett ned? Oppgåve 1.132

For fem år sidan deltok 35 % av elevane på ein skule på ein dagstur til ein fjelltopp. I år gjekk deltakinga ned til 21 %. a) Kor mange prosentpoeng er nedgangen på? Dei siste åra har elevtalet heile tida vore på 540 elevar. b) Kor mange elevar deltok på turen for fem år sidan? c) Kor mange elevar deltok no? Oppgåve 1.133

I 2021 budde 30 % av elevane på ein skule mindre enn 5 km frå skulen. I 2022 steig dette talet til 35 %. a) Kor mange prosentpoeng var auken på? Elevtalet på skulen var 260 både i 2021 og i 2022. b) Kor mange elevar budde mindre enn 5 km frå skulen i 2021? c) Kor mange elevar budde meir enn 5 km frå skulen i 2022? 1 | PROSENT

243

Oppgåve 1.134

Oppgåve 1.141

På ein vidaregåande skule er det 400 elevar. I januar var det gjennomsnittlege dagsfråværet 4,5 %. Månaden etter hadde dette fråværet auka til 6,0 %. I mars gjekk det gjennomsnittlege dagsfråværet ned til 4,0 %. a) Kor mange var borte frå skolen i gjennomsnitt per dag i kvar av månadene januar og februar? b) Kor mange prosentpoeng auka det gjennomsnittlege dagsfråværet med frå januar til februar? c) Kor mange prosentpoeng minka fråværet med frå januar til mars? d) Kor mange prosent auka fråværet med frå januar til februar?

Finn den prosentvise endringa når vekstfaktoren er a) 1,28 b) 1,007 c) 2 d) 0,60 e) 0,99 f) 0,008

Oppgåve 1.135

Ein skule har 650 elevar. Torsdag er 30 elevar borte, fredag 45. a) Kor mange prosentpoeng auka fråværet med frå torsdag til fredag? b) Kor mange prosent auka fråværet med frå torsdag til fredag?

1.5 PROSENTVIS ENDRING

Oppgåve 1.150

a) Ein familie hadde eit straumforbruk på 20 000 kWh i 2020. I 2021 var forbruket 3 % høgare. Bruk vekstfaktoren og finn energiforbruket i 2021. b) Frå 2021 til 2022 reduserte familien forbruket med 3 %. Kor stort er straumforbruket? Oppgåve 1.151

a) Bordtennisklubben Serve hadde i fjor 240 medlemmer. I år har medlemstalet auka med 15 %. Kor mange medlemmer har klubben no? b) I går kosta 1 liter bensin 18,50 kr. I dag har prisen gått ned med 6 %. Frank kjøper i dag 40 L bensin. Kor mykje betaler han for bensinen? Oppgåve 1.152

1.4 VEKSTFAKTOR

Oppgåve 1.140

Finn vekstfaktoren når a) verdien aukar med 31 % b) verdien minkar med 18 % c) verdien minkar med 2,5 % d) verdien aukar med 2,5 % e) verdien aukar med 100 % f) verdien minkar med 50 %

244

1 | PROSENT

a) Skobutikken Vi skor deg har tilbod på sko. Skoa kosta opphavleg 800 kr, men blir no selde med 30 % rabatt. I ein annan butikk kosta skoa opphavleg 700 kr, men no blir dei selde med 20 % rabatt. Kva for eit tilbod er det beste? b) Per Mekkar har kjøpt ein gammal bil som han pussar opp. Han sel bilen for 90 000 kr. Det er 25 % meir enn det han gav for han. Kor mykje betalte Per for bilen?

Oppgåve 1.153

Oppgåve 1.157

Ei bukse kostar 600 kr. Prisen blir først sett ned med 20 %. Salet går dårleg, og prisen blir sett ned ytterlegare 30 %. a) Kva kostar buksa no? b) Kor mange prosent blei prisen sett ned i alt? c) Kvifor blir det ikkje rett å seie at prisen på buksa gjekk ned med 20 % 30 % 50 %?

Det er sal i ein møbelbutikk. Tabellen viser prisavslaget på nokre av møblane.

Oppgåve 1.154

Oppgåve 1.158

Ei skjorte kostar 490 kr på sal. Den opphavlege prisen er då redusert med 30 %. Kva var den opphavlege prisen på skjorta?

I ein matematikktime fekk elevane denne oppgåva:

Oppgåve 1.155

Ei populær jakke hadde gått opp i pris med 8 % til 2430 kr. Kva kosta jakka før prisoppgangen? Oppgåve 1.156

a) Marie kjøper ein aksje og sel han for 352 kr. Det er 10 % meir enn det ho gav for han. Kva var kjøpsprisen på aksjen? b) Gustav kjøpte ei myntsamling som han noko seinare selde for 3960 kr. Det var 12 % mindre enn det han hadde betalt. Kva betalte Gustav for myntsamlinga?

Ordinær pris (kr)

Salspris (kr)

Sofa

12 000

10 500

Stol

8900

Puff

Avslag i prosent 15

2960

Skriv av og fyll ut tabellen.

100 personar har meldt seg på eit kurs i strikking. Arrangøren veit at deltakartalet som regel minkar med 20 % den første månaden og 15 % den andre månaden. Kor mange deltakarar kan arrangøren rekne med vil slutte i løpet av dei to første to månadene? Her er eit av svara: 20 % sluttar den første månaden, og 15 % sluttar den andre månaden. Til saman er det 35 % som sluttar. Talet på deltakarar som sluttar, er då 100 0,35 = 35 Kommenter denne løysinga. Løys oppgåva slik du meiner ho bør løysast.

1 | PROSENT

245

Oppgåve 1.159

Oppgåve 1.161

Løys oppgåvene utan å bruke hjelpemiddel. a) Ein bluse kosta 500 kr. Så blei prisen sett ned med 20 %. Finn den nye prisen. b) Ein koffert kostar 1800 kr utan meirverdiavgift. Meirverdiavgifta er 25 %. Rekn ut meirverdiavgifta. c) Prisen på ei bok blei sett opp med 5 %. Det svarte til ein prisauke på 20 kr. Kor mykje kosta boka før prisen blei sett opp? d) Eit politisk parti har ei oppslutning på 10 %. Oppslutninga aukar med 2 prosentpoeng. Kor mange prosent aukar oppslutninga med? e) Prisen på ei bukse blei sett ned med 40 %. I dag kostar buksa 300 kr. Kor mykje kosta buksa før prisen blei sett ned?

Ein fabrikk forureinar lufta med utslepp av CO2. I år var det samla utsleppet 50 tonn. Fabrikken bestemmer seg for å redusere utsleppet med 12 % kvart år. a) Kor stort blir utsleppet om 2 år og om 5 år? b) Kor mange prosent er utsleppet redusert på 5 år?

Oppgåve 1.162 1.6 PROSENTVIS ENDRING I FLEIRE PERIODAR

Oppgåve 1.160

Hanne hoppar høgde. I dag er det personlege rekorden hennar på 1,60 m. Målet hennar er å auke personlege rekorden med 3 % per år. a) Kor høgt reknar Hanne med å hoppe neste år? b) Kor høgt reknar Hanne med å hoppe om 3 år? c) Med kor mange prosent forbetrar ho rekorden på 3 år dersom ho når målet sitt?

246

1 | PROSENT

Verdien av ein bustad har stige med 7 % per år sidan han var ny. I dag er bustaden verd 2,8 millionar kroner. a) Rekn ut kor mykje bustaden vil vere verd om 8 år dersom verdistiginga held fram. b) Rekn ut kor mykje bustaden var verd for 8 år sidan. Oppgåve 1.163

Åse låner 30 000 kr i eit kredittselskap. Ho må betale 1,8 % rente per månad. a) Kor mykje skyldar ho kredittselskapet etter eitt år når ho ikkje begynner nedbetalinga det første året? b) Kor mange prosent rente svarer det til på eitt år?

Oppgåve 1.165

Pia og Fredrik er tvillingar. Dei fekk 5000 kr kvar då dei blei fødde. • Pengane til Pia blei sett på ein konto med 2 % rente per år. • Pengane til Fredrik blei brukte til å investere i aksjar. • Dei første ti åra auka verdien av aksjane med 5 % per år. • Dei neste åtte åra minka verdien av aksjane med 1 % per år.

Myntsamling Bil

På ein skule var elevtalet 900. Dei tre neste åra auka elevtalet med 1 % per år. Deretter minka elevtalet med 1,5 % kvart år dei tre neste åra. a) Lag eit rekneark som skriv ut kor mange elevar det var på skulen kvart år i denne perioden. b) Utvid reknearket slik at det òg skriv ut kor mange prosent elevtalet har gått ned på dei seks åra.

12 % nedgang

245 330 250 000 194 672 151 589

Skriv av og fyll ut tabellen. Ta med utrekningar. Oppgåve 1.168

2 3

beløp = 10000 vekstfaktor = 1.02 år = 0

4 5

Oppgåve 1.166

60 000

Båt

Kven hadde mest pengar då dei fylte 18 år?

5% auke

Verdi om tre år (kr)

For tre år sidan kjøpte Marit ei myntsamling, ein ny bil og ein fritidsbåt. Verdien av gjenstandane har heile tida endra seg med ein årleg fast prosent. Vi reknar med at desse prosentane vil vere dei same i dei kommande åra. Tabellen viser noko av verdiutviklinga på desse gjenstandane. Verdi i dag (kr)

Ei veke auka bensinprisen med 1 % per dag frå måndag til fredag. På onsdag kosta bensinen 17,28 kr per liter. a) Kor mykje kosta bensinen på fredag denne veka? b) Kor mykje kosta bensinen på måndag denne veka? c) Kor mange prosent auka bensinprisen frå måndag til fredag?

Verdi for tre år sidan (kr)

Oppgåve 1.167

Endring av verdi per år

Oppgåve 1.164

6 7

while beløp < 25000: beløp = beløp * vekstfaktor år = år + 1

8 9 10

print(round(beløp, 0)) print(år)

Forklar kva dette programmet reknar ut.

1 | PROSENT

247

BLANDA OPPGÅVER

Oppgåve 1.201

Illustrasjonen nedanfor er henta frå Aftenposten 19. juni 2021.

Oppgåve 1.200

Illustrasjonen nedanfor er henta frå Aftenposten 19. juni 2021. Han gir mellom anna ei oversikt over kor mange av skuledagane som var på raudt nivå i Oslo frå januar til juni i 2021.

Fredag

Måndag JANUAR

Så langt i år er det selt 3900 hytter, ein oppgang på 27,1 % samanlikna med same periode i fjor.

Undersøk om det blei selt minst 3000 hytter i same periode året før.

FEBRUAR

Oppgåve 1.202

MARS

Ei bedrift hadde ein marknadsdel på 25 %. Året etter hadde marknadsdelen auka med 5 prosentpoeng. Kor mange prosent auka marknadsdelen med?

APRIL

Oppgåve 1.203

MAI

a) Teikn ein figur med 15 ruter. Fargelegg 40 % av figuren. b) Kor mange fleire ruter må du fargeleggje for at det skal dekkje 80 % av figuren?

JUNI

Skuledagar under pandemien Raudt nivå Gult nivå Ferie/fri Heildigital

Enkelte påstod at nærmare 40 % av skuledagane hadde vore på raudt nivå. Undersøk om påstanden stemmer.

Oppgåve 1.204

Ulrik påstår at to av desse alternativa gir det same avslaget. 1) 2) 3) 4)

30 % avslag Halv av halv pris 75 % avslag Kjøp 3, betal for 2

Har Ulrik rett?

248

1 | PROSENT

Oppgåve 1.205

Oppgåve 1.207

a) Kor mykje mat kastar norske forbrukarar kvart år? Hent opplysningar frå teksten nedanfor. b) Kor mykje kastar vi til saman av bakarvarer, middagsrestar og frukt og grønsaker?

Prisen på ein spade er sett ned til 210 kr. Då er den opphavlege prisen redusert med 30 %. Kva var den opphavlege prisen på spaden? Oppgåve 1.208

I ein bolle er det 15 grøne kuler, 4 gule kuler og 1 blå kule. Kor mange prosent av kulene er ikkje grøne? Oppgåve 1.209

a) Kor mange prosent av figuren er fargelagde?

https://www.melk.no/Melkekilden/Kosthold/Matsvinn/ Hvor-mye-mat-kaster-nordmenn-hvert-aar

Oppgåve 1.206

Eli-Trine har spart 12 000 kr, og av desse pengane bruker ho 4000 kr til ergometersykkel og 1550 kr til klede. a) Kor mange prosent av sparepengane bruker ho? Venninna til Eli-Trine seier: «Du har jo brukt halvparten av sparepengane dine på å kjøpe sykkel og klede.» b) Kor mange prosent mindre måtte Eli-Trine ha spart for at denne påstanden skal stemme?

b) Kor mange fleire ruter må du fargeleggje for at det skal dekkje 60 % av figuren? c) Kor mange ruter er ikkje fargelagde dersom 40 % av figuren er fargelagde? Oppgåve 1.210

Forretninga «Løp og kjøp» har denne annonsen: KJØP 3 SKJORTER, og vi betaler den billigaste for deg!

a) Thomas kjøper tre skjorter. Dei kostar 299 kr, 399 kr og 499 kr. Kor mange prosent avslag får Thomas på skjortene? b) Geir kjøper fire skjorter som alle har den same prisen. Kor mange prosent avslag får Geir på skjortene? 1 | PROSENT 249

Oppgåve 1.211

Oppgåve 1.215

Peder Felgen har lagt ut fire dekk for sal, men han får ikkje selt dei. Han set derfor ned prisen med 15 %. Prisavslaget er på 300 kr. Kva kostar dekka etter at Peder har sett ned prisen?

I ei skål med Non Stop er 25 % grøne. Beate legg så like mange grøne Non Stop oppi skåla som det var der frå før. Kor mange prosent Non Stop i skåla er no grøne?

Oppgåve 1.212

Oppgåve 1.216

Randi har tenkt å kjøpe seg eit nytt snøbrett. Ho får tre tilbod på det snøbrettet ho ønskjer seg.

Elida har begynt å lage eit dataprogram. Det ser slik ut: 1

1) Forretninga «Sporten» kan gi henne 18 % rabatt på utsalsprisen, som er 3800 kr. 2) På ei sportsmesse kan ho få kjøpt brettet med ein rabatt på 23 %. Prisen utan rabatt er 3899 kr. 3) Gjennom idrettsklubben «Aktiv» kan ho få kjøpt brettet med eit avslag på 22 %. Det svarer til ein rabatt på 902 kr av den opphavlege prisen. Finn ut kvar Randi bør kjøpe snøbrettet. Oppgåve 1.213

På ein skuletur er 40 % av elevane gutar. 60 % av jentene overnattar i telt. Ingen gutar gjer det. Kor mange prosent av elevane overnattar i telt? Oppgåve 1.214

På ein skuletur er 40 % av elevane gutar. 60 % av jentene overnattar i telt. I alt overnattar 40 % av elevane i telt. Kor mange prosent av gutane overnattar i telt?

250

1 | PROSENT

prosent = 25 kroner = 1750

3 4

pris = kroner*100/prosent

5 6

print(pris)

a) Forklar kva som skjer når programmet blir køyrt. Kva reknar dette programmet ut? b) Elida er ikkje nøgd med programmet sitt sjølv om det gir rett svar på oppgåvene det skal løyse. Gjer endringar i programmet slik at det òg skriv ut forklarande tekst til svaret. Oppgåve 1.217

For bedrifta Jojo har marknadsdelane gått ned frå 16,2 % i 2020 til 14,9 % i 2022. Kva påstand eller påstandar stemmer? Grunngi svara. 1) Tilbakegangen til Jojo er 8,0 %. 2) Tilbakegangen til Jojo er 8,7 %. 3) Tilbakegangen til Jojo er 1,3 %. 4) Tilbakegangen til Jojo er 1,3 prosentpoeng.

Oppgåve 1.218

Oppgåve 1.223

Ved stortingsvalet i 2017 fekk MDG 3,2 % av stemmene. I 2021 fekk partiet 3,8 % av stemmene. Kva påstand eller påstandar stemmer? Grunngi svara. 1) Framgangen til MDG er 6 %. 2) Framgangen til MDG er 18,8 %. 3) Framgangen til MDG er 0,6 %. 4) Framgangen til MDG er 0,6 prosentpoeng.

Prisen på ein sofa blei først sett ned med 15 % og deretter med 10 %. No kostar sofaen 7650 kr. Kva kosta han før prisen blei sett ned første gongen?

Oppgåve 1.219

a) På ein høgskule gjekk strykprosenten opp frå 7,9 % til 9,3 % frå eitt år til det neste. Kor mange prosentpoeng var auken på? b) Kor mange prosent var auken på? Oppgåve 1.220

Medlemsavgifta på treningssenteret «Trim» er 300 kr per månad. Medlemsavgifta på «Mosjon» er 200 kr per månad. Kor mange prosent dyrare er det å trene på Trim enn på Mosjon? ▲ 1.3

Oppgåve 1.221

Eit måleri kostar 50 000 kr. Verdien aukar med 8 % per år. Finn verdien av måleriet om 5 år. Oppgåve 1.222

Ein båt er i dag verd 306 000 kr. Verdien har minka med 10 % det siste året. Vi går ut frå at verdien vil minke med 10 % neste år òg. a) Kor mykje vil båten vere verd om eitt år? b) Kor mykje båten var verd for eitt år sidan?

Oppgåve 1.224

Beate set 18 000 kr i banken. Ho lèt pengane stå urørt i banken i to år. Det første året får ho 0,10 % rente, mens ho får 0,15 % rente det andre året. a) Set opp eit uttrykk som viser kor mykje Beate har i banken etter to år. Bjarne set 18 000 kr i ein annan bank. Han lèt òg pengane stå urørt i banken i to år. Banken gir 0,15 % rente det første året og 0,10 % rente det andre året. b) Kven har mest pengar i banken etter to år? Grunngi svaret. Oppgåve 1.225

To forskjellige butikkar sel ei vare. Prisen er den same i begge butikkane. I butikk A blir prisen sett opp med 20 %. I butikk B blir prisen først sett opp med 10 % og så, etter nokre dagar, med 10 % til. Martin påstår at prisen då framleis er den same i begge butikkane. Forklar Martin kvifor dette ikkje er rett. Bruk gjerne eit døme når du forklarer. Oppgåve 1.226

For 8 månader sidan kjøpte Inger aksjar. Nedanfor har ho rekna ut kva verdien av aksjane er i dag. 10 000 kr 1,03 1,0084 0,913 | 7824 kr Kva kan reknestykket fortelje om korleis verdien av aksjane har endra seg?

1 | PROSENT

251

Oppgåve 1.227

Oppgåve 1.230

Lise driv med turorientering og finn postar. Ho har laga eit diagram som viser kor mange postar ho har funne dei siste tre åra. Ho har sølt på diagrammet.

Ein fabrikk har redusert utsleppet av karbondioksid med 8 % kvart år dei siste åra. Utsleppet er i dag 40 tonn per år. Kva for eit uttrykk kan vi bruke for å rekne ut kor stort utsleppet i kilogram var for 3 år sidan? Grunngi svaret. 1) U 40 000 1,08 3 2) U 40 000 0,923 3) U 40 000 1,083 4) U 40 000 0,92 3

Postar 200 1 75 1 50 120

125

108

100

Oppgåve 1.231

75 50 25 2019

2020

2021

År

a) Kor mange prosent færre postar fann Lise i 2021 enn i 2020? b) Lise fann 25 % færre postar i 2020 enn i 2019. Kor mange postar fann ho i 2019? Oppgåve 1.228

Ein familie kjøpte ei hytte for tre år sidan for 2 070 000 kr. Dersom verdien på hytta har følgt verdistiginga på andre hytter i området, er ho verd 2 295 046 kr. Kor mange prosent har verdistiginga auka med kvart år? Oppgåve 1.229

Verdien av ei myntsamling har auka med 5 % kvart år dei siste åra. Samlinga er i dag verd 50 000 kr. Kva for eit uttrykk kan vi bruke for å rekne ut verdien av myntsamlinga for 2 år sidan? Grunngi svaret. 1) M 50 000 1,05 2 2) M 50 000 0,95 2 3) M 50 000 1,052 4) M 50 000 0,952

252

1 | PROSENT

a) Ein fjellkikkert kosta 2200 kr. På ei messe blei prisen sett ned 20 %. Finn den nye prisen. b) Deretter blei prisen sett opp igjen slik at han på nytt blei 2200 kr. Kor mange prosent blei prisen sett opp med? Oppgåve 1.232

Du er i ein klesbutikk og skal kjøpe eitt par sokkar, éi T-skjorte og ei jakke. Du kan velje mellom to tilbod: Tilbod 1: Kjøp 3 plagg og få 75 % avslag på totalprisen. Tilbod 2: Kjøp 3 plagg. Betal berre for dei to billigaste. a) Finn døme på prisar slik at dei to tilboda gir det same avslaget. b) Kva er det avgjer om du bør velje tilbod 1 eller tilbod 2? Oppgåve 1.233

Det året Åge fyller 25 år, opprettar han ein BSU-konto. Han set inn 27 500 kr på kontoen 1. januar kvart år. Renta er 2,7 % per år. Lag eit rekneark som viser kor mykje som står på kontoen i starten og slutten

av året frå og med det året Åge fyller 25 år, til og med det året han fyller 33 år. Oppgåve 1.234

I august 2020 hadde Eiendom Norge dette oppslaget: Omsetninga aukar framleis I august blei det selt 9964 bustader i Noreg. Det er 10,2 prosent fleire enn i tilsvarande månad i 2019. Så langt i år det selt 66 213 bustader i Noreg – 3,5 prosent fleire enn på same tid i 2019. I august blei det lagt ut 11 667 bustader til sal i Noreg. Det er 8,2 prosent færre enn i tilsvarande månad i 2019. Så langt i år det lagt ut 70 771 bustader til sals i Noreg – 2,9 prosent færre enn på same tid i fjor. Kjelde: https://eiendomnorge.no/boligprisstatistikk/

a) Kor mange bustader blei det selt i august 2019? b) Kor mange bustader blei det selt i alt i 2019 fram til august? c) Kor mange bustader blei lagde ut for sal i august 2019? d) Kor mange bustader blei lagde ut for sal i 2019 fram til august? Oppgåve 1.235

a) Kva reknar dette programmet ut? 1 2 3 4

belop = 15000 rente = 1.5 vekstfaktor = 1 + rente/100 aar = 0

5 6 7 8

while aar < 10: belop = belop*vekstfaktor aar = aar + 1

b) Kommenter og forklar kva som skjer i kvar linje i programmet. c) Programmet manglar utskrift. Lag ei linje til slutt som skriv ut det programmet gir svar på.

Oppgåve 1.236

Henry arva 120 000 kr og sette pengane inn på ein sparekonto 1. januar 2015. Banken gav 1,0 % rente per år. Henry laga eit program som skulle vise kor stort beløpet var ved utgangen av kvart år i 10 år framover. Programmet skulle berre vise beløpa i heile kroner. 1 2 3

beløp = 120000 vekstfaktor = 1.01 år = 0

4 5 6 7

while beløp < 10: beløp = beløp * vekstfaktor år = år + 1

8 9 10

print(round(beløp, 0)) print(år)

Skriv programmet som Henry laga. Gjer endringar i programmet slik at det reknar ut det Henry ønskjer. Oppgåve 1.237

Det året Åse fyller 25 år, opprettar ho ein BSU-konto. Ho set inn 27 500 kr på kontoen 1. januar kvart år. Renta er 2,7 % per år. Åse har laga eit rekneark som viser kor mykje som står på kontoen rett før og rett etter kvart innskot frå og med det året ho fyller 25 år, til og med det året ho fyller 33 år. Det er nokre feil i programmet. Finn ut kva feil programmet har, og gjer endringar slik at det fungerer. 1 2 3

beløp = 27500 vekstfaktor = 1.27 år = 1

4 5 6 7 8 9

while år < 10: print(år) print(round(beløp, 0)) år = år + 1 beløp = beløp * vekstfaktor

1 | PROSENT

253

OPNE OPPGÅVER Oppgåve 1.300

Ungdata er lokale ungdomsundersøkingar der skuleelevar over heile landet svarer på spørsmål om korleis dei har det, og kva dei driv med på fritida. Frå 2010 og fram til sommaren 2019 har 628 700 ungdommar delteke i undersøkinga. Studer resultata nedanfor og ta stilling til påstandane øvst på neste side. Prosentdel som har skulka skulen det siste året – etter kjønn og klassetrinn Gutter

53 26

Jenter

42 26

8. 9. 10. Vg1 Vg2 Vg3 trinn trinn trinn Fleire enn før skulkar skulen Generelt er det eit mindretal av ungdommar som skulkar skulen. Skulking er samtidig eit fenomen som aukar gjennom ungdomsåra. Mens under to av ti har skulka skulen det siste året på 8. trinn, gjeld det om lag halvparten av elevane på vg3. Dei fleste som skulkar, gjer det mellom éin og fem gonger. 4 % på ungdomstrinnet og 9 % på vidaregåande har skulka meir enn dette. Det er små kjønnsforskjellar i omfanget av skulking. På ungdomsskulen er skulking noko meir vanleg blant ungdom frå lågare sosiale lag, mens dette jamnar seg ut på vidaregåande. Dei fleste fylka ligg på

9. 10. Vg1 Vg2 Vg3 8. trinn trinn trinn landsgjennomsnittet for skulking, men det er minst skulking i Innlandet og mest i Oslo og i dei nordlegaste fylka. Fram til 2015 blei det registrert ein svak nedgang i kor mange ungdomsskuleelevar som skulka skulen. Etter det har prosentdelen som skulkar på ungdomsskulen, auka ein god del – frå rundt 20 prosent i 2015 til rundt 25 prosent i 2018. Tala for vidaregåande viser ein litt annan utviklingsprofil med ein nedgang frå 2015 til 2017. Det kan henge saman med innføringa av nye fråværsreglar i vidaregåande. Samtidig viser undersøkinga i år ein liten auke frå i fjor.

Prosentandel som har skulket skolen siste år – etter kjønn, skoleslag og tidspunkt Jenter Gutter

20 20

21 21

2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 Ungdomsskolen

254

1 | PROSENT

2015 2016 2017 2018 Videregående

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Om lag 50 % av elevane på vg3 har skulka det siste året. 52 % av jentene i vg3 har ikkje skulka skulen. 13 % av elevane har skulka meir enn 5 gonger. I perioden 2015 til 2018 har det vore ein auke på om lag 5 % i antal elevar som har skulka på ungdomsskulen. I perioden 2015 til 2018 har det vore ein nedgang på om lag 5 prosentpoeng i antal jenter som har skulka på ungdomsskulen. Fleire gutar enn jenter skulkar skulen i 2018. Andelen gutar som skulkar skulen, har auka med 34 prosentpoeng frå 8. trinn til vg3. Meir enn 20 % av elevane på 8. trinn har skulka skulen minst éin gong.

Oppgåve 1.301

Illustrasjonen nedanfor er henta frå A-magasinet 16. oktober 2021.

Hytter

I 2021 hadde vi 440 000 hytter i Noreg.

På 20 år har talet på hytter

På 10 år har talet auka med 8,5 prosent.

auka med ca. 100 000. I ei folketeljing frå 1970 estimerer SSB at 171 000 private hushald eigde totalt 190 000 fritidshus.

500 000 400 000

347 000

398 000

440 000

300 000 200 000 100 000 0

2000

2010

2021

Vurder påstanden om at på 10 år har talet på hytter i Noreg auka med 8,5 %. Legg vekt på å vise mest mogleg kompetanse når du gjer vurderinga. Oppgåve 1.302

Lag eit program i Python som kan rekne ut kor mykje ein har på sparekontoen, ut frå desse krava: • Ved nyttår kvart år set ein inn eit fast beløp. Ein kan velje sparebeløpet sjølv. • Ein skal sjølv kunne bestemme kor mange år ein skal spare. • Ein skal sjølv kunne velje rentefot.

1 | PROSENT

255

Oppgåve 1.303

Illustrasjonen nedanfor er henta frå Aftenposten 22. september 2021.

Førstegangstilfelle av hjarte- og karsjukdommar Tabellen viser talet på førstegongstilfelle av akutt hjerneslag, hjarteinfarkt, atrieflimmer og hjartesvikt per 100 000 innbyggjarar. 2019

2020

216

208

Akutt hjarteinfarkt 257 466 Atrieflimmer

229

338

310

Akutt hjerneslag

Hjartesvikt

418 Kjelde: FHI

Sofia og Ivar studerer diagrammet. Kommenter det Sofia og Ivar seier. Bruk resultata frå diagrammet til å gi Ivar eit svar på spørsmålet. Sofia Det var færre tilfelle av akutt hjerneslag, akutt hjarteinfarkt, atrieflimmer og hjartesvikt i 2020 enn i 2019. Det er størst nedgang i talet på atrieflimmer. Då gir dette òg størst prosentvis nedgang.

Ivar Ja, men er det slik at størst nedgang i tal alltid gir størst nedgang i prosent?

Oppgåve 1.304

8. august 2019 hadde Aftenposten ei sak som handla om uhell med elsparkesyklar. Ta utgangspunkt i illustrasjonen og vis kompetansen din i prosentrekning. Lag problemstillingar og vis utrekningar.

Uhell med elsparkesyklar I juli blei 149 personar i Oslo skadde etter uhell under bruk av elsparkesykkel. Oslo legevakt har hatt 337 legevaktbesøk etter uhell med slike syklar i perioden april til juli. Talet på skadar som 22 413 Alle typar skadar er registrerte på 149 Oslo legevakt i 337 (1,5 %) av skadane april–juli etter er forårsaka av uhell 107 uhell med med elsparkesykkel elektrisk sparkesykkel 46 34 Flest menn 61 % menn april mai

juni

juli

49 % kvinner

Lettare skadar

245

Moderate skadar Alvorlege skadar

256

1 | PROSENT

71 21

Kjelde: Oslo universitetssykehus

Oppgåve 1.305

Amalie og Olav prøver å løyse denne oppgåva: Ein familie kjøpte ein einebustad for fem år sidan. Verdien av einebustaden ŚĂƌ ĂƵŬĂ ŵĞĚ Ϩ й ŬǀĂƌƚ Ċƌ ĞƚƚĞƌ Ăƚ ĚĞŝ ŬũƆƉƚĞ ŚĂŶ͘ ŝŶĞďƵƐƚĂĚĞŶ Ğƌ ŝ ĚĂŐ ǀĞƌĚ ϥ͕ϧ ŵŝůůŝŽŶĂƌ ŬƌŽŶĞƌ͘ <Žƌ ŵǇŬũĞ ǀĂƌ ďƵƐƚĂĚĞŶ ǀĞƌĚ ĨŽƌ ϧ Ċƌ ƐŝĚĂŶ͍ Amalie Vekstfaktoren blir 1,06, for det er jo snakk om 6 % årleg auke. Olav Kan det stemme? Dersom vi bruker 1,06 som vekstfaktor og oopphøgjer han i 5, blir jo verdien av einebustaden høgare enn i dag. Det stemmer jo ikkje. Amalie Kanskje vi må bruke 0,94 som vekstfaktor?

Olav Det gir meining. Då får vi ein verdi på einebustaden som er lågare enn i dag.

Kommenter det Amalie og Olav seier. Forklar dei korleis dei skal løyse oppgåva.

1 | PROSENT

257

Potensar og røter ØV MEIR

Oppgåve 2.116

Rekn ut. 12 108 a) 4 105

2.1 POTENSAR

Oppgåve 2.110

Rekn ut. a) 23 c) 42

Rekn ut. a3 a a) 2 a 2

b) 5 d) 2 f) 23

32 34

25 23 c) 4 2 2 2

d) 23 22

3 34 43 42 44

Oppgåve 2.114

52 27 54 22 54 2 4

Oppgåve 2.115

Rekn ut og skriv svaret som eit heilt tal. a) 2 103 5 102 b) 25 107 4 103

258

Ein elev skulle rekne ut uttrykket

37 34

a) 24 25 2

Rekn ut. 23 33 25 a) 32 27

32 23 x 2

Oppgåve 2.118

Oppgåve 2.113

Rekn ut.

Skriv uttrykka som éin potens. 25 a) 23 24 b) 3 2 d)

b) 23 b 4 22 b

c) x y x y

Oppgåve 2.112

c) 53 51

0,8 1024 0,4 1019

Oppgåve 2.117

b) 32 d) 24

Oppgåve 2.111

Rekn ut. a) 103 3 c) 2 e) 22

2 | POTENSAR OG RØTER

34 24 31 3 22 33 og løyste oppgåva på denne måten: 34 2 4 31 3 2 2 33 3 4 1 2 4 3 1 3 2 2 35 24 34 22 3 5 4 2 4 2 3 22 62 36 Undersøk om eleven rekna rett. Finn eventuelle feil og løys oppgåva slik du meiner at ho skulle ha vore løyst.

Oppgåve 2.119

Oppgåve 2.124

Når vi skal beskrive eigenskapane til datamaskiner, bruker vi ofte forkortingar som k (kilo), M (mega), G (giga) og T (tera). a) Skriv k, M og G som tiarpotensar.

Rekn ut. 5 5 a) 3 5 3 3 3 4 c) 3 9

Datamaskiner byggjer på totalssystemet. Det er derfor meir vanleg å oppgi verdiar for mellom anna internminne og lagringskapasitet med toarpotensar. Til dømes er ikkje 1 kB 1000 byte, men 210 1024 byte. Tilsvarande er 1 MB 220 byte og 1 GB 230 byte. b) Rekn ut 220 og 230.

Oppgåve 2.125

2.2 POTENSANE a0 OG a–n

Oppgåve 2.127

Oppgåve 2.120

Skriv potensane som desimaltal eller heiltal. b) 2 2 a) 70 32 c) 2 d) 3 1 3 Oppgåve 2.121

Skriv potensane som brøk eller heiltal. b) 2 5 a) 3 2 d) 55 5 4 c) 23 2 3 Oppgåve 2.122

Finn x slik at a) 4x 40 4 3 4

1 1 5 54 5 3

b) 7 4 7x 75 72

Oppgåve 2.126

Skriv så enkelt som mogleg. a 3 a 5 1 n a) 3 2 b) a 2n a a 2 a a Kva for forskjellige positive heile tal x og y er slik at xy yx Oppgåve 2.128

Eit foreldrepar blei spurt kor mange barn dei hadde. Dei svarte stolt at dersom dei tok talet på gutar og opphøgde i talet på jenter, fekk dei det totale antalet. Kor mange gutar og jenter hadde dei? Oppgåve 2.129

Finn ut kva feil som er gjorde i løysingane nedanfor. Løys oppgåvene rett. 4 1 2 24 2 30 2 1 23 8 a) 2 2 2 3 2 3 30 1

Oppgåve 2.123

Rekn ut. 33 2 2 3 4 40 23 4 1 a) b) 2 1 3 2 4 2 24 33 2 1 3 4 40 23 4 1 2 4 c) 2 1 3 2 4 2

2 2 20 42 2 5 22

2 0 2 5 2

3 1 3 3 2 2 3 6 2 2

23 2 2 5 27 1 22 2

c) d)

1 3 6

3 1 2

2 2

5 7 1

22 21 23

2 | POTENSAR OG RØTER

259

Oppgåve 2.136

2.3 FLEIRE REKNEREGLAR FOR POTENSAR

Oppgåve 2.130

Rekn ut.

c) 3y

a) 4x

Finn ut kva feil som er gjorde i oppgåvene. Løys oppgåvene rett. 4 2 4 a) 22 2 26 64 3

b) 2 10 2 2 10 1

b) 3 10 6

Finn ut kva feil som er gjorde i oppgåvene. Løys oppgåvene rett. 3 2 1 3 3 2 a) 10 1 3 103 10 3 10

Rekn ut og skriv svaret så enkelt som mogleg. 3 2 3 2 b) xy xy 2 a) 2 x 3x 2

d) 2 32

2 2 33

Oppgåve 2.135

260

2 10 6 4 10 2

Oppgåve 2.139

Oppgåve 2.134

8 10 8

Oppgåve 2.133

Oppgåve 2.138

Oppgåve 2.132

3y2

Rekn ut.

c) 3 y

Oppgåve 2.137

Oppgåve 2.131

a) 2 x 2

2 | POTENSAR OG RØTER

4 5

30 212 25

2.4 TAL PÅ STANDARDFORM

Oppgåve 2.146

Oppgåve 2.140

Rekn ut utan hjelpemiddel. Skriv svaret på standardform.

Skriv som heile tal. b) 1,8 108 a) 2,7 104 1 c) 50 10 d) 3,0 100

6 108 4,2 109 1,6 105

Oppgåve 2.141

Oppgåve 2.147

Skriv som desimaltal. b) 1,9 10 4 a) 2,3 10 2 c) 0,0075 102 d) 7,2 10 1

Ei datamaskin gjer 1,6 milliardar enkeltoperasjonar på eitt sekund. Kor mange enkeltoperasjonar kan ho gjere på eitt døgn? Skriv svaret på standardform.

Oppgåve 2.142

Kva for tal er ikkje skrivne på standardform? b) 0,8 107 a) 1,2 102 c) 9,8 10 10 d) 12,4 1012 27 e) 1 10 f) 2,8 Oppgåve 2.143

Skriv på standardform. a) 23 000 b) 0,00006 c) 85 000 000 d) 0,00000009 Oppgåve 2.144

Rekn ut utan å bruke hjelpemiddel og skriv svaret på standardform. Kontroller svaret digitalt. a) 2,5 104 3 1012 b) 8,5 102 4 1011

Oppgåve 2.148

Ein liten koparfilspon veg 0,016 mg. Eit koparatom veg 1,06 10 22 g. Kor mange koparatom er det i den vesle sponen?

c) 6,5 109 3 10 6 d)

8,4 109 2,1 103

Oppgåve 2.145

Kva tal nedanfor er like store? 3,4 106 34 000 000

0,34 108

34 105

2 | POTENSAR OG RØTER

261

Oppgåve 2.149

Oppgåve 2.152

Kva for eit tal er størst av 2 7 og 3 3 ? Løys oppgåva utan å bruke lommereknar. Oppgåve 2.153

Vi har gitt at 8 | 2,828. Kva er då verdien av 800 ? Oppgåve 2.154

Rekn ut utan å bruke lommereknar. Commodore 64 var ei av dei første datamaskinene som var så rimelege at dei blei vanleg i mange heimar. Maskina blei lansert i 1982 og eigna seg best til spel. Ho hadde ein prosessor på 1 MHz. Det vil seie at maskina kunne utføre 106 operasjonar kvart sekund. a) Kor mange operasjonar kunne Commodore 64 utføre på éin time? Skriv svaret på standardform. b) Kor mange gonger raskare enn Commodore 64 er ei datamaskin med ein prosessor på 2,9 GHz? Skriv svaret på standardform.

5 5 5 5 5 5 5 5 Oppgåve 2.155

Rekn ut utan å bruke lommereknar. 36 2 32 2.6 RØTER AV HØGARE ORDEN

Oppgåve 2.160

Rekn ut utan hjelpemiddel. b) 3 125 a) 4 16 c)

1012

2.5 KVADRATRØTER

Oppgåve 2.161

Oppgåve 2.150

Bruk eit digitalt hjelpemiddel og rekn ut. b) 5 12,6 a) 4 2,36

Rekn ut utan å bruke lommereknar. 1 9 a) b) 4 25 81 75 c) d) 169 3

Oppgåve 2.151

Bruk reknereglane for kvadratrøter til å vise at b) 72 6 2 a) 8 2 2 c)

262

3 7

200

10 2

2 | POTENSAR OG RØTER

32,9

345

Oppgåve 2.162

Rekn ut utan hjelpemiddel. a)

27 2 2

b) 3 3 5 4 16

Oppgåve 2.163

Astronomen Johannes Kepler viste at ein planet med middelavstanden r km til sola har ei omløpstid på T år gitt ved T

5,5 10 13 r 3

Jorda har ein middelavstand til sola på 1,5 108 km. Uranus har ein middelavstand til sola på 2,87 109 km. Venus har ein middelavstand til sola på 1,08 108 km. Rekn ut omløpstida for dei tre planetane.

BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 2.200

Kva for ein av desse påstandane stemmer? Alternativ 1: 2 1 2 1 2 2 2 Alternativ 2: 2 1 2 1 2 1 1 1 1 Alternativ 3: 2 2 Oppgåve 2.201

Kva for eit av desse tre uttrykka har størst verdi? Løys oppgåva utan hjelpemiddel. 3 2) 22 28 1) 3 4 34 23 2 §1· 3) 2 1 ¨ ¸ ©4¹ Oppgåve 2.202

Kva for eit av desse tre uttrykka har minst verdi? Løys oppgåva utan hjelpemiddel. 2 32 2 3 2) 1) 2 2 3 3 Oppgåve 2.164

Effekten P målt i kilowatt (kW) til ein vindturbin er gitt ved formelen P 3,23 v3 der v er vindstyrken målt i meter per sekund (m/s). Gå ut frå at effekten er 1600 kW. Finn vindstyrken.

72 75

Oppgåve 2.203

Finn ut kva feil som er gjorde i løysingane nedanfor. Løys så oppgåvene rett. 4 a) 30 30 4 34 81 3

b) 2 10 1 6 10 1

2 10 3 6 10 2 12 10 5 1,2 10 6

Oppgåve 2.204

Finn ut kva feil som er gjorde i løysingane nedanfor. Løys så oppgåvene rett. 3 2 1 3 2 2 a) 2 10 1 4 102 2 10 4 10 8 10 § 32 3 · b) ¨ 4 ¸ © 3 ¹

4 4

8 100

3 3 4

3 3

2 | POTENSAR OG RØTER

263

Oppgåve 2.205

Oppgåve 2.209

Skriv uttrykket så enkelt som mogleg. x3 x y

§x· ¨ ¸ ©y¹

Oppgåve 2.206

Skriv uttrykket så enkelt som mogleg. 2 a2

a 7 2b

4 a b 2 Oppgåve 2.207

Sorter desse tala i stigande rekkjefølgje med det minste talet først. 312 10 5 0,0031 3,14 10 2 3 4 3,11 10 3,1 10 Oppgåve 2.208

Tove plukka 20 000 brunsniglar i hagen sin i løpet av sommarsesongen. Gå ut frå at kvar brunsnigel i gjennomsnitt er 8 cm lang. Tenk deg at Tove legg alle sniglane på rekkje. a) Kor lang blir rekkja med sniglar? Det blir sagt at kvar brunsnigel kan få 400 avkom. b) Kor mange brunsniglar har Tove spart hagen sin for ved å plukke dei sniglane ho gjorde? Skriv svaret på standardform.

Rekn ut og skriv svaret på standardform. Løys oppgåva utan hjelpemiddel. 6,0 106 3 107 1,5 10 2 Oppgåve 2.210

Rekn ut og skriv svaret på standardform. Løys oppgåva utan hjelpemiddel. 2,5 107 5 106 0,005 Oppgåve 2.211

Oppslaget nedanfor er henta frå e24.no. Det viser kor stort oljefondet var 13. juli 2021. Marknadsverdien på oljefondet

For deg og framtidige generasjonar

I Noreg er det ca. 5 millionar innbyggjarar. Tenk deg at oljefondet blei delt likt mellom innbyggjarane i Noreg. Omtrent kor mykje ville kvar innbyggjar ha fått? Skriv svaret på standardform. Oppgåve 2.212

Ein bakterie har lengda 2 10 5 mm. Kor mange bakteriar er det plass til langs ein fingernagl med breidda 1 cm? Skriv svaret på standardform. Oppgåve 2.213

a) Rekn ut kor mange timar det er i eit hundreår. Vi ser bort frå skotår. Skriv svaret på standardform. b) I ein skuletime lærte elevane at 1 mikroår er 1 10 6 år. Læraren påstod at 1 undervisningstime på 60 minutt er meir enn 1 mikrohundreår. Rekn for å finne ut om læraren hadde rett. 264

2 | POTENSAR OG RØTER

Oppgåve 2.214

Oppgåve 2.217

Ein elev skulle løyse ei oppgåve og skrive svaret på standardform. Eleven hadde løyst oppgåva slik:

26. desember 2004 blei Søraust-Asia ramma av eit kraftig jordskjelv i havbotnen utanfor den indonesiske øya Sumatra. Som følgje av det oppstod det ei stor bølgje (ein tsunami) som breidde seg raskt til mange land i Søraust-Asia. Farten v i meter per sekund (m/s) til bølgja er gitt ved

8 ,0 108 7 10 7 4 10 5 56 108 7 4 10 5 14 10 1 5 14 10 4

9,81 h

Overflatearealet O av ei kule med radius r er O 4Sr2 Ei kule har overflatearealet 50,24 cm2. Rekn ut radiusen r.

der h er havdjupna i meter. a) Finn farten til bølgja uttrykt i meter per sekund (m/s) og kilometer per time (km/h) når havdjupna er 4000 m. b) Kva er havdjupna når bølgjefarten er 49 m/s? c) Avstanden frå jordskjelvsenteret til Sri Lanka er 1440 km. Kor mange timar brukte bølgja til Sri Lanka når havdjupna på denne strekninga i gjennomsnitt er 4000 m?

Oppgåve 2.216

Oppgåve 2.218

Ei kule med radiusen r har volumet

Olav har teikna grafen til funksjonen f (x ) x 3 , , sjå figuren nedanfor. Kva har Olav rekna ut her?

a) Kva har eleven gjort feil? b) Ein annan elev gav svaret 14 106 på den same oppgåva. Kva er gale med dette svaret? ▲ 2.4

Oppgåve 2.215

4 S r3 3

Ei sjampoflaske har form som ei kule. Volumet av flaska er 113 cm3. Kor stor er radiusen i flaska?

y 14

12 (2,15443, 10)

10 8 6 4 2 –2

–2

x 2

2 | POTENSAR OG RØTER

265

Oppgåve 2.219

Oppgåve 2.223

Bruk reknereglane for kvadratrøter til å vise at a) 3 12 27 6 3 b) 24 54 5 6

Du er publikum i spørjeprogrammet «Matematikk på 1-2-3». Inge N. Peiling har fått denne oppgåva: Kva for eit av dei fire uttrykka nedanfor har minst verdi?

Oppgåve 2.220

Skriv desse tala i stigande rekkjefølgje med det minste talet først. Vis utrekningar. 9 3 40 , 4 1 , , 8 , 6 10 2 16 Oppgåve 2.221

Sorter desse tala i stigande rekkjefølgje med det minste talet først. 4 5,67 , 8 12,56 , 12 18,04 , 2,08 Oppgåve 2.222

Forklar kva som skjer i kvar linje når programmet nedanfor blir køyrt. Kva fortel svaret som blir skrive ut i linje 4? 1

2 3 4

a = input("Skriv inn eit positivt tal: ") a = float(a) svar = a**(1/3) print(svar)

20 · 5–1 22

2 5–2 · 5 · 10

6 · 10–2 · 3 9 · 10–3

Oppgåve 2.224

Finn forholdet mellom volumet av ei kule med diameteren a og volumet av ein terning med sidekantane a. Volumet av ei kule med radiusen r er gitt ved V

4 S r3 3 a a a a

▲ 2.6

266

2 | POTENSAR OG RØTER

1 3–1

Inge er usikker på svaret, men han kan spørje nokon frå publikum om hjelp. Han spør deg. Fortel kva som er det rette alternativet, og forklar kvifor det er slik.

+ 3√8 –

OPNE OPPGÅVER Oppgåve 2.300 Tiril Når vi arbeider med svært store eller svært små tal, skriv vi gjerne tala på standardform. Ivar Ja, det vil seie at vi til dømes skriv lysfarten som 300 000 000 m/s = 3 · 108 m/s. Regelen er då at talet skal skrivast som a · 10n, der a er eit tal mellom 1 og 10, og n er eit heilt tal. Tiril Eg veit det, men det er ikkje alltid at teorien er så lett i oppgåver. Eg fekk feil på ei oppgåve som eg rekna slik: 3,0 · 108 · 8,0 · 10–12 = 24 · 108–12 = 24 · 10–4 = 2,4 · 10–5 Her er talet skrive på standardform, og dessutan har eg bruk potensreglane.

Finn eventuelle feil i utrekninga. Forklar korleis Tiril har tenkt. Oppgåve 2.301

Kor nøyaktig eit fotografi gir att verkelegheita, er mellom anna avhengig av oppløysinga, målt i antal biletpunkt per tomme (dpi = dots per inch), og bitdjupna, (bpc = bits per channel), som oppgir kor mange ulike gråtonar eller fargenyansar kvart biletpunkt kan ha. Dersom bitdjupna er 4, kan kvart punkt ha 24 16 ulike gråtonar. a) Kor mange ulike gråtonar kan det vere i eit bilete med ei bitdjupn på 16? I eit 8-bits fargebilete av typen RGB kan kvart biletpunkt ha 28 ulike nyansar for kvar av fargane raud, grøn og blå. Vi seier derfor at kvart punkt har tre kanalar i eit RGB-bilete. Bitdjupna er då 8 3 24. b) Kor mange ulike fargar kan eit bilete med bitdjupna 24 ha? c) Kor mange biletpunkt er det i eit bilete som er 6 tommar breitt og 4 tommar høgt, når oppløysinga er 300 dpi? d) Kor mange biletpunkt er det i eit bilete som er 12,7 cm breitt og 12,7 cm høgt, når oppløysinga er 150 dpi? Rekn med at 1 tomme er 2,54 cm. Når vi skal rekne ut kor mange byte lagringsplass eit bilete treng, multipliserer vi talet på biletpunkt med bitdjupna og dividerer med 8. e) Kor mange megabyte (MB) lagringsplass treng eit bilete med dei eigenskapane som er beskrivne i oppgåve b og c? Her reknar vi med at 1 MB 220 byte. 2 | POTENSAR OG RØTER

267

FASIT TEORIDEL 1 1.10 a) 34 % c) 25 % e) 4 %

b) 15 % d) 40 % f) 12,5 %

1.11 a) 45,90 kr b) 2146,37 kr c) 4377,50 kr d) 4000 kr 1.12 a) 129,25 kr b) 3710,65 kr 1.13 50 7 a) 7 50 100 100 b) 3,5 1.20 a) 20 % b) 24 % 1.21 Mari: 40 % Petter: 50 % 1.22 25 % 1.23 a) 35,9 % b) 35,1 % c) 28,9 % 1.25 a) 175 kr b) 37,5 timar

1.31 a) 15 prosentpoeng b) 15 på begge

1.52 a) 1,40 b) 3,2 kg

1.32 a) 2 prosentpoeng b) 6 prosentpoeng

1.53 a) 7600 b) 5 % c) 0,25 % nedgang

1.33 a) 1,67 prosentpoeng auke b) 11,1 % auke 1.40 a) 1,12 c) 1,03 e) 1,0075

b) 1,85 d) 1,015 f) 3

1.41 a) 0,88 c) 0,48 e) 0,9925

b) 0,945 d) 0,9875 f) 0,635

1.43 a) 25 % c) 2,05 % e) 57 %

b) 12,5 % d) 0,31 % f) 115 %

1.44 a) 25 % c) 1,5 % e) 75 %

b) 12 % d) 7,25 % f) 100 %

1.46 Vekstfaktor

Prosentvis endring

1,07

+7 %

0,92

–8 %

0,26

–74 %

2,15

+115 %

1.27 a) 125

1.50 a) Dagskort: 72 kr Vekeskort: 200 kr Månadskort: 480 kr b) Dagskort: 425 Vekeskort: 504 Månadskort: 990

1.30 a) 0,25 prosentpoeng b) 25 %

1.51 a) 0,763 b) 23,7 %

1.26 a) 75 poeng b) 18 jenter

362

1.54 a) 47 kr b) 84 kr 1.55 a) 600 elever b) 25 elevar 1.56 a) 20 % b) 12,5 % 1.57 T-skjorter: 1800 Bukser: 900 Jakker: 360 Genserar: 540 1.60 a) 1509 kr b) 62,3 % 1.61 a) 628 kg b) 21,5 % 1.62 a) 2,33 millionar kr b) 11,2 % 1.63 a) 19,3 timar b) 67 kg 1.64 376 083 kr 1.65 a) ca. 13 300 b) ca. 3950 c) 9 år 1.67 10 % mellom alle.

REPETISJONSOPPGÅVER 1 Oppgåve 1 0,974, vekstfaktoren fortel at folketalet har minka med 2,6 %. Oppgåve 2 a) 20,40 kr b) 24,6 % Oppgåve 3 «Full tank» måtte setje ned prisen med 3,8 %. «Tom tank» måtte setje opp prisen med 4,2 %. Oppgåve 4 a) 3 prosentpoeng b) 13,0 % Oppgåve 5 Pris det første året: 420 000 kr, pris det andre året: 436 800 kr. Oppgåve 6 a) 27,4 % b) 3,7 % c) 48,1 %

2.20 a) 1 1 c) 5 1 e) 100 1 g) 10 000 2.21 a) 3 3 c) 4 2.22 1 a) 2 c) 1 e) 1 2.30 1 a) 8 c) 0,001

Oppgåve 7 Uttrykk 3

b) 40

b) 1 1 d) 16 f) 1

b) 2 d) 2

Oppgåve 9 27 998 kr

2.32 a) 8 x2 c) 4 2.33 a) 1 000 000 c) 9

Oppgåve 10 a) 287 009 kr

2 2.10 a) 35 c) 54 e) 108

b) 210 d) 1010

2.11 a) 2 c) 4 e) 3000

b) 100 d) 9

2.34 a) a8 c) x

b) 9 d) 27 f) –81

2.42 a) 1,53 10 4 c) 9,37 108

b) 1,43 104 d) 2,75 10 6

2.43 a) 2,4 102 c) 2,3 1015

b) 3,0 103 d) 2,0 10 14

2.44 a) 0,015 c) 40

b) 0,1 d) 1,5

2.45 a) 8 10 2 c) 8,0 106

b) 2,4 105 d) 5 1015

2.46 a) 3,4 102 m/s b) 3,0 108 m/s

b) 3

2.47 a) 5,3 1023 m b) 2,4 1022 m

d) 3 f) a2 8 b) 27 16 d) 81

2.31 a) 54x4 27 b) 3 x c) 26 36

Oppgåve 8 a) 42 560,83 kr b) 31 951,83 kr

2.12 a) 9 c) 27 e) 81

2.13 a) 50 c) 6

2.50 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289 2.51 a) 6 d) 14

b) 8 e) 15

2.52 a) 15 | 4 c) 145 | 12 b) 20 d) 3x

b) 0,0004 d) 1,5 b) x2 1 d) x

2.40 a) 2,3 106 c) 3,0 103

b) 1,8 108 d) 7,81 105

2.41 a) 2300 c) 8 440 000

b) 0,071 d) 0,0000292

2.53 a) 15 b) 50 c) 145 d) 200 2.54 4 a) 5 1 c) 11

c) 11

b) 50 | 7 d) 200 | 14

3, 87 7, 07 12, 04 14,14 7 8 3 d) 7 b)

2.56 a) 3 3 b) 5 3 c) 9 2 2.60 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000

363

2.61 a) 2 c) 6

b) 3 d) 9

2.62 a) 2,15 c) 7,94

b) 4,48 d) 9,61

2.63 a) 1,90 c) 2,47 e) 30

b) 1,83 d) 3,73 f) inga løysing

2.64 a) 10 c) 100

b) 10

2.65 7,5 cm 2.66 a) 3 c) 10 e) 4 2.67 a) 8 c) 0,001 e) 27

b) 2 d) 2

b) 9 1 d) 8

REPETISJONSOPPGÅVER 2 Oppgåve 1 a) 32 1 b) 2 c) 1 Oppgåve 2 a) 1 b) 18 c) 2 Oppgåve 3 a) 0,007 b) 0,024 c) 60 000 Oppgåve 4 11 Oppgåve 5 17

364

Oppgåve 6 a) 1,2 108 b) 3,63 106 c) 1,5 10 2

3.12 a) 3x c) 7x e) 2y

Oppgåve 7 a) Feil b) Feil c) Feil d) Rett e) Feil

3.13 a) 135x b) 135x 50y c) 540x 200y d) 28 800 kr

Oppgåve 8 a) 2 1 b) 2 c) 8 Oppgåve 9 a) 3,34 b) 5,60 Oppgåve 11 a) 4,2 107 km = 4,2 1010 m b) 9,2 109 Oppgåve 12 Ca. 30 m Oppgåve 13 a) 1) Eleven har sagt at 23 2 103 2) Eleven har gjort feil på slutten av oppgåva, for når 10 3 blir flytta opp i teljaren, blir det 103 b) 8000

3 3.10 a) 3x b) 8x c) 8x 12y d) 7x 7y e) 8a 6b 2 f) 10 3.11 a) 13x 9y b) 4 pakkar mint, 5 pakkar lakris og 10 andre bitar

b) 2x 2y 5 d) 0 f) 4a c

3.20 a) 7,5 kg b) 0,5 kg 3.21 a) 35 cm b) 25 cm, veks 2 cm per veke 3.22 a) L 95x 23y b) 302 kr c) 725 kr 3.23 a) O 200x 12000 b) 8000 kr c) 60 billettar 3.24 c) 16 elsyklar 3.25 a) V 18 000 300x c) Etter 30 månader 3.26 b) x 0,00025y 7,5 c) 18 månader 3.27 Radiusen i den største sirkelen er fire gonger så lang som radiusen i den minste sirkelen 3.30 a) K5 25, K6 36 b) Kn n2 c) Oddetala 3.31 a) R4 20, R5 30 b) 2550 c) 6, 12, 20, 30. Summen av dei n minste partala er lik rektangeltal nr. n. d) 2550

3.33 a) T5 15, T6 21 b) 210 d) 3, 6, 10, 15. Summen av dei n minste naturlege tala er lik trekanttal nr. n. e) 820 3.40 a) 112 kr per time. Proporsjonalitetskonstanten er timelønna. b) 616 kr 3.41 a) 340 m/s. Proporsjonalitetskonstanten er lydfarten i luft. b) Ca. 2,2 km (2210 m) c) Ved å telje tre sekund blir avstanden ca. 1 km. 3.42 km a) 0, 8 , farten i km per min minutt. b) 9,6 km c) 1, 25

min , farten i min per km. km

d) 12,5 min 3.43 a) 1,0526 SEK/NOK 0,95 NOK/SEK b) 807,50 NOK c) 631,56 SEK 3.44 b) 1) 10 km 2) 15 km 3.50 b) 6000 kr c) 1) 600 kr 2) 500 kr 3) 300 kr 3.51 b) Minst 10 3.52 b) 600 kr c) Minst 13 personar 3.53 a) 1200 kr b) 133 kg

3.54 a) 3,33 2,5 1,67 c) Forholdet mellom utsalspris og innkjøpspris REPETISJONSOPPGÅVER 3 Oppgåve 1 a) 6x 10y b) 10x 9y c) 2y2 2x2

4 4.10 a) 27 4.11 a) 48 c) 173 4.12 a) Framkomstmiddel

Oppgåve 2 12x 9y y2 Oppgåve 3 a) y (mg)

120

210

t (døgn)

b) Proporsjonalitetskonstanten er 30. Han fortel at Anna tek 30 mg per dag. Oppgåve 4 a) 45 b) Kari køyrer med jamn fart. c) 67,5 km Oppgåve 5 a) 120 b) Ho køyrer like langt kvar dag (120 km).

Buss

120

Sykkel

Moped/ ATV

Anna

SUM

240

50 %

0,25

25 %

0,083

8,3 %

0,167

16,7 %

100 %

4.15 b) 157,4 %

Oppgåve 7 a) 5, 12 og 21 b) 32, 45 e) n 12

4.30 a) 2 b) 2,8

Oppgåve 10 a) y 25x 300 y 300 b) x 25 c) 16 gonger

0,5

4.14 a) ca. 4,8 mrd b) ca. 1975

4.21 b) 25 %

Oppgåve 9 52x 30

1 2 1 4 1 12 1 6

4.13 1 1 1 a) Tog: , båt , fly 2 3 6 b) Tog: 150, båt: 100, fly: 50

Oppgåve 6 2,4 km

Oppgåve 8 a) 2,7 g/cm3 b) m T V c) 1,0 kg

Elevar Brøk Desimaltal Prosent

4.31 a) 3 b) 3,2 4.32 a) 14 4.33 a) 0 b) 27 c) 1,9 d) 7,9 %

365

FASIT OPPGÅVEDEL 1 1.110 a) 1) 2) 3) b) 1) 2) 3) 4)

8 kr, 16 kr, 40 kr 15 kr, 30 kr, 75 kr 180 kr, 360 kr, 900 kr 36 78 320 14

1.111 a) Figur F b) Figur C c) Figur A d) Figur E 1.112 a) 240 kr b) 360 kr 1.113 a) 24 kr, 159 kr b) 130 183 kr 1.114 3 øre 1.120 a) 2,5 % b) 4,0 % 1.121 20 % 1.122 a) 26,4 % b) 4222 1.123 a) Ja, buksa kostar 450 kr. c) 60 % 1.124 a) 594 kr b) 20,0 % 1.125 a) 38,6 % b) 27,8 % 1.126 2800 kr

370

1.127 a) 1200 kr b) 900 kr

1.150 a) 20 600 kWh b) 19 982 kWh

1.128 a) 2900 kr b) 31,0 %

1.151 a) 276 b) 695,60 kr

1.129 Jesper: 660 kr Jonathan: 1815 kr

1.152 a) Skoa kostar 560 kr i begge butikkane. Tilboda er like gode. b) 72 000 kr

1.130 a) 0,9 prosentpoeng b) 5,3 % 1.131 a) 1,88 % per år b) 2,02 % per år 1.132 a) 14 prosentpoeng b) 189 elevar c) 113 elevar 1.133 a) 5 prosentpoeng b) 78 elevar c) 169 elevar 1.134 a) 18 elevar, 24 elevar b) 1,5 prosentpoeng c) 0,5 prosentpoeng d) 33,3 % 1.135 a) 2,3 prosentpoeng b) 50 % 1.140 a) 1,31 c) 0,975 e) 2

b) 0,82 d) 1,025 f) 0,50

1.141 a) 28 % auke b) 0,7 % auke c) 100 % auke d) 40 % nedgang e) 1 % nedgang f) 99,2 % nedgang

1.153 a) 336 kr b) 44 % 1.154 700 kr 1.155 2250 kr 1.156 a) 320 kr b) 4500 kr 1.157 Ordinær pris (kr)

Salspris (kr)

Avslag i prosent

Sofa

12 000

10 500

12,5

Stol

8900

7565

Puff

3700

2960

1.158 32 deltakarar sluttar. 1.159 a) 400 kr b) 450 kr c) 400 kr d) 20 % e) 500 kr 1.160 a) 1,65 m b) 1,75 m c) 9,4 % 1.161 a) 38,7 tonn, 26,4 tonn b) 47,2 %

1.162 a) 4,81 millionar kroner b) 1,63 millionar kroner

1.205 a) 223 300 tonn b) 231 000 tonn

1.163 a) 37 161,62 kr b) 23,9 %

1.206 a) 46,3 % b) 7,5 %

1.164 a) 17,63 kr b) 16,94 kr c) 4,1 %

1.207 300 kr 1.208 25 %

1.165 Pia: 7141,23 kr Fredrik: 7515,27 kr Fredrik hadde mest pengar.

1.209 a) 20 % b) 15 ruter c) 15 ruter

1.166 a) Etter 1 år: 909 Etter 2 år: 918 Etter 3 år: 927 Etter 4 år: 913 Etter 5 år: 900 Etter 6 år: 886 b) Nedgang på 1,5 %

1.210 a) 25 % b) 25 % 1.211 1700 kr

Myntsamling

5% auke

Verdi om tre år (kr)

Verdi i dag (kr)

Verdi for tre år sidan (kr)

Endring av verdi per år

1.167

60 000 69 458 80 406

Bil

12 % 360 000 245 330 167 186 nedgang

Båt

8% 250 000 194 672 151 589 nedgang

1.200 37,1 % (39 av 105 dagar)

1.212 «Sporten»: 3116 kr Sportsmesse: 3002 kr «Aktiv»: 3198 kr Billigast på sportsmessa 1.213 36 % 1.214 10 % 1.215 40 %

1.201 Ja. Ut frå tala blei det selt 3068 hytter.

1.216 a) Programmet reknar ut den opphavlege prisen på ei vare før det blir gitt rabatt.

1.202 20 %

1.217 Påstand 1 og 4 stemmer.

1.203 a) Fargelegg 6 ruter b) 6 ruter

1.218 Påstand 2 og 4 stemmer.

1.204 Ja. Alternativa 2 og 3 gir det same avslaget.

1.219 a) 1,4 prosentpoeng b) 17,7 %

1.220 50 % 1.221 73 466 kr 1.222 a) 275 400 kr b) 340 000 kr 1.223 10 000 kr 1.224 a) 18 000 1,0010 1,0015 b) Dei har like mykje. 1.227 a) 10 % b) 160 postar 1.228 3,5 % 1.229 Uttrykk 1 1.230 Uttrykk 4 1.231 a) 1760 kr b) 25 % 1.233 År 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Starten av året (kr) 27 500 55 742,50 84 747,55 114 535,73 145 128,20 176 546,66 208 813,42 241 951,38 275 984,07

Slutten av året (kr) 28 242,50 57 247,55 87 035,73 117 628,20 149 046,66 181 313,42 214 451,38 248 484,07 283 435,64

1.234 a) 9042 c) 12 709

b) 63 974 d) 72 885

1.300 1) Sann 3) Usann 5) Sann 7) Sann

2) 4) 6) 8)

Sann Usann Sann Usann

371

2 2.100 a) 8 c) 16 2.111 a) 1000 c) 8 e) 4

2.122 a) 1 b) 9 d) 16 b) 25 d) 16 f) 8

2.112 a) 27 c) 54

b) 2 d) 33

2.113 a) 1024 c) 4

b) 3 d) 128

2.114 a) 6 b) 50 2.115 a) 1 000 000 b) 1 000 000 000 000 2.116 a) 3000 b) 200 000 2.117 a) a2 3 5

c) x y

b) 32b5 72 d) x

c) 1 2.123 3 a) 2

2.126 1 a) a

372

1 32 d) 5

n 1

2.128 2 jenter og 2 gutar 2.129 a) 128 c) 9

b) 32 d) 12

2.130 a) 16x2

c) 27y

1 c) 3y

b) a

c) 5

c) 9

2.135 8 a) 125 3 c) 2x

25 9 16 d) 25x 2

2.136 1 a) 16 25 c) 9

3 2 y10 d) 5 x

2.137 40

2.127 2 og 4

2.119 a) k 103, M 106 og G 109 b) 2020 1 048 576 2030 1 073 741 824

2.121 1 a) 9 c) 1

b) 1

2.125 a) x 4 b) x 1

2.131 a) 4x4

b) 0,25 d) 0,33

b) 2

2.124 1 a) 25

2.118 12

2.120 a) 1 c) 1

1 25 d) 1 b)

4 25 1 d) 8 4 b) 4 x 2 d) x

2.138 a) 256 b) 32 10 8 3,2 10 7 2.139 a) 9 109 1 b) 8 2.140 a) 27 000 b) 180 000 000 c) 5 d) 3 2.141 a) 0,023 c) 0,75

b) 0,00019 d) 0,72

2.142 b, d og f 2.143 a) 2,3 · 104 c) 8,5 · 107

b) 6 · 10–5 d) 9 · 10–8

2.132 a) 9 5 b) 5 x

2.144 a) 7,5 · 1016 c) 1,95 · 104

b) 3,4 · 1014 d) 4,0 · 106

2.133 a) 8 · 106 b) 9 · 10–12

2.145 3,4 · 106 og 34 · 105 34 000 000 og 0,34 · 108

2.134 4 a) 27x y c) 24

2.146 3,0 104

b) xy4 d)

9 64

2.147 1,38 · 1014

2.148 1,5 · 1017

2.202 1) 32 2) 27 3) 7 Uttrykk 3 har minst verdi.

2.149 a) 3,6 109 b) 2,9 103 2.150 1 a) 2 9 c) 13

2.203 a) 1 b) 2,88 10 3 3 5

2.216 3,0 cm 2.217 a) 198 m/s, 713 km/h b) 245 m c) ca. 2 timar

2.204 a) 2 107 1 b) 9

2.218 Olav har funne at 3 10 | 2,15443.

6 10 2

2.152 2 7

2.205 x y2

2.153 28,28

2.206 2b4

d) 5

2.220

9 16

2.207 3,1 10 4, 0,0031, 3,11 10 3, 312 10 5, 3,14 10 2

2.155 14

2.208 a) 1,6 km b) 8,0 106

2.160 a) 2 c) 2 e) 2

b) 5 d) 1 f) 100

2.161 a) 1,24 c) 2,01

b) 1,66 d) 2,30

2.162 a) 7 b) 37 2.163 Jorda: 1 år, Uranus: 84,6 år, Venus: 225 døgn (0,617 år) 2.164 7,9 m/s 2.200 Alternativ 3 2.201 1) 8

1 32 Uttrykk 1 har størst verdi. 2) 4

2.209 1,2 1016

3 0 , 4 1, 4

2,08 | 1,44, 4 5,67 | 1,54 2.222 Programmet reknar ut tredjerota av eit tal. 2.223 A) 1 B) 0 C) 1 D) 20 Alternativ B er rett. 2.224 S 6

2.211 2,4 106 kr

2.212 5 105

3.110 a) 3x 2y b) 6a 5b c) a 5b

2.214 a) I den nest siste utrekninga skal det stå 14 101 5 b) Svaret er ikkje skrive på standardform. Det blir 1,4 107 2.215 2,0 cm

8 2

18,04 | 1,27, 8 12,56 | 1,37,

2.210 4 109

2.213 a) 876 000 timar 8,76 105 timar b) Læraren hadde rett.

2.221 12

2.154 1

1 , 4

0, 06, 4 1

3.111 a) 4x2 3y2 b) 3x2 4x c) 3a2 3.112 a) xy 6y b) ab 2a c) 8x y d) x2 5x 3.113 a) 5x 5 b) 11x 18 c) 2a 2ab 3b d) 3ab

373

Sinus 2P-Y Påbygging (LK20) utdrag

Articles inside

Repetisjonsoppgåver