Sinus Grunnbok Forkurs bla i bok by Cappelen Damm

Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

Sinus

FORKURS GRUNNBOK

Forord Sinus Forkurs er et matematikkverk for ettårig forkurs for ingeniørutdanning og maritim høgskoleutdanning utviklet etter planene fra 2021. Verket består av to bøker, Sinus Forkurs Grunnbok og Sinus Forkurs Oppgavesamling, i tillegg til et tilhørende nettsted. Om grunnboka Matematikk er både et teorifag og et ferdighetsfag. Sinus Forkurs Grunnbok inneholder de matematiske teoriene, ofte sammen med eksempler fra dagliglivet og fra andre fag. Boka gir en grundig innføring i tradisjonell matematikk, der bevisene har en sentral stilling. Studentene får god trening i analytiske metoder. Studentene lærer å behandle grafer digitalt ved hjelp av GeoGebra 6. De får også opplæring i å bruke en enkel kalkulator. Studentene skal lære å bruke programmering i matematikk. Boka inneholder en del eksempler der vi bruker programmeringsspråket Python. På nettsidene til boka finner vi et gratis kurs med den grunnleggende opplæringen i Python. Der finner vi også læringsmålene innen programmering. Når studentene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der studentene skal finne ut egenskaper og regler før stoffet blir behandlet i boka. Men teorien er skrevet slik at det likevel er mulig å lese den uten å gjøre de utforskende oppleggene. Utforskoppleggene er best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres enkeltvis. I teoridelen er det en del diskusjonsoppgaver der studentene får trening i å kommunisere matematikk. Oppgavestoffet i teoriboka er plassert inne i delkapitlene slik at studentene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Hvert kapittel avsluttes med et sammendrag av viktige regler og metoder i kapitlet. Bak i boka finner vi fasit og et stikkordregister. Det er viktig at studentene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de er usikre på ord og uttrykk.

Om oppgavesamlingen Til denne boka hører ei egen oppgavebok, Sinus Forkurs Oppgavesamling. Den inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Den følger grunnboka kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i to deler, Øv mer og Blandede oppgaver. Oppgavene i Øv mer er ordnet etter delkapitler som i grunnboka. I delen Blandede oppgaver er ikke oppgavene ordnet etter delkapitler. Her må studenten finne fram til riktig stoff på egen hånd og må ofte kombinere stoff fra flere delkapitler og kapitler. I Blandede oppgaver finner vi også tidligere eksamensoppgaver i faget. Om nettstedet Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her finner vi blant annet et introduksjonskurs i pythonprogrammering, nyttig tilleggsstoff og løsninger av oppgavene i grunnboka. På nettstedet legger vi ut eventuelle feil i fasit eller i andre deler av bøkene. Kontakt oss I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha melding om feil eller ønsker om forandringer. Ta kontakt på sinus@cappelendamm.no. Vi ønsker studentene lykke til i arbeidet med faget. Tore Oldervoll – Otto Svorstøl – Robin Bjørnetun Jacobsen

Innhold

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Tall og variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tall og tallregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Brøkregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bokstavregning og parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flere potensregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tall på standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratrøtter og røtter av høyere orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenser med en brøk som eksponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Likninger og ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 To lineære likninger med to ukjente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Formler i Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Lineære ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tallinjer og intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Mengdelære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Doble ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Linjer og grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne likningen for ei linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Digital graftegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk løsning av ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonsbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradsfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80 81 85 90 94 98 101 106 112

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratsetningene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Heltallsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ikke-lineære likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nullpunktsfaktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Andregradsulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 116 118 121 124 126 130 135 138 142 147

5 5.1

Polynomer og rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8 9 15 19 22 26 30 33 36 40 44

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resten ved en polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faktorisering av polynomer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger og ulikheter av tredje grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Doble andregradsulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rasjonale ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irrasjonale likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152 156 160 165 169 173 177 180 185

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Grenseverdier og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenseverdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuerlige funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertikale asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horisontale og skrå asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fart og akselerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186 188 193 199 204 211 215 218 223 228 232

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Krumning og vendepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimering i geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensfunksjoner og rotfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammensatte funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av et produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av en kvotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

234 235 243 251 255 260 266 271 273 279

8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

Logaritmer og eksponential funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Briggske logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmelikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger med naturlige logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonen f(x) = ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av logaritmefunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

280 282 285 292 296 301 307 310 315 319 323

9 9.1 9.2 9.3 9.4

Trigonometri og geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pytagorassetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

324 326 332 337 341

9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

Arealsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cosinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prismer og sylindere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pyramider, kjegler og kuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345 349 354 358 362 368

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

Trigonometriske likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vinkelmål . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sirkelsektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generelle trigonometriske definisjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinuslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cosinuslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger med tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Enhetsformelen og andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometriske formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

370 371 378 381 388 393 399 404 410 414

11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinusfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplitude, periode og likevektslinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cosinusfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangensfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometriske ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivasjon av de trigonometriske funksjonene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drøfting av trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

416 418 421 430 436 440 443 447 451

12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9

Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorer i koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lengden av en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoren mellom to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sum, differanse og produkt av tall og vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatformlene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorregning i Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallelle vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dekomponering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneregler for vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

452 453 458 462 466 472 475 477 481 485 488

13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7

Skalarprodukt og parameterframstilling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatformelen for skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortogonale vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regneregler for skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterframstillinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regning med parameterframstillinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rettlinjet bevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

490 491 495 498 505 509 514 519 522

14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9

Vektorer i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorer i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punktkoordinater og vektorkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regning med vektorkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trevektorproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger for plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rette linjer i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameterframstilling for et plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

524 525 528 535 539 546 554 560 564 569 575

15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8

Følger og rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tallfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aritmetiske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aritmetiske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske følger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uendelige rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometriske rekker med variable kvotienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

578 580 587 590 593 597 601 607 611 614

16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7

Integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ubestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Integralet ³ dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x Integrasjon av eksponentialfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestemt integral som grense for en sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fundamentalsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne areal ved regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å finne areal mellom to grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

616 618 623

17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9

Integrasjonsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samlet resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tilnærmingsmetoder for integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trapesmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simpsonmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variabelskifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delvis integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Delbrøkoppspalting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrasjon og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrasjon av trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

652 654 659 663 668 672 676 680 686 691 694

Fasit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696

625 630 638 641 648 650

Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

TALL OG VARIABLER Studentene skal kunne • • • • • •

gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall skrive mengder på listeform regne med sum, differens, produkt og kvotient av brøker og brudne brøker anvende parenteser og fortegnsregler regne med potenser med rasjonale eksponenter anvende regneregler for potenser, kvadratrøtter, n-te røtter og røtter skrevet som potenser

1.1 Tall og tallregning Tallene 1, 2, 3, … kaller vi de naturlige tallene. Vi bruker symbolet ` om dem og sier at ` er mengden av alle naturlige tall. Når vi skal si at x er et naturlig tall, kan vi skrive x ` Symbolet leser vi ‘tilhører’, ‘er element i’ eller ‘ligger i’. Det er riktig å si at 2 ` ettersom 2 er et naturlig tall. Men 2 er ikke noe naturlig tall. Det kan vi uttrykke slik: 2 ` Symbolet leser vi ‘tilhører ikke’ eller ‘ligger ikke i’. En strek over et matematisk symbol betyr alltid ikke. De hele tallene består av alle de negative hele tallene, tallet 0 og de positive hele tallene. Vi bruker symbolet ] om dem. Vi kan skrive 2 ] Noen ganger skriver vi tallmengder på listeform. Da skriver vi opp alle tallene i mengden. Vi kan for eksempel skrive A

^1, 2, 3, 4`

Da består A bare av disse fire tallene. Vi ser at 3 A og at 5 A. Når vi skriver tall på listeform, spiller det ingen rolle hvilken rekkefølge vi skriver tallene i. Det spiller ingen rolle om vi tar med et tall flere ganger. Dermed er mengdene nedenfor like:

^2, 4, 1, 3` ^1, 2, 3, 4` ^1, 2, 3, 4, 2` ^1, 2, 3, 4` Et partall er et helt tall som er delelig med 2. Alle de positive partallene kan vi skrive på denne måten

^2, 4, 6, 8, …` Et oddetall er et helt tall som ikke er delelig med to. De positive oddetallene er

^1, 3, 5, 7, …`

1.1 TALL OG TALLREGNING

Et primtall er et helt tall som er større enn 1, og som bare er delelig med 1 og seg selv. Primtallene er

^2, 3, 5, 7, 11, …` Noen ganger har vi bruk for å fjerne ett eller flere tall fra en mengde. Det kaller vi en mengdedifferanse, og vi bruker symbolet \ om det. Med mengdesymboler kan vi skrive

^2, 4, 6, 8` \ ^4` ^2, 6, 8` ^2, 4, 6, 8` \ ^4, 8` ^2, 6` Mengdedifferansen fjerner altså tall fra en mengde. Legg merke til at

^1, 2, 3, 4` \ ^3, 5` ^1, 2, 4` Hvis vi prøver å fjerne noe som ikke er med i mengden, har det ikke noe å si for resultatet. En brøk består av en teller og en nevner. 2 m teller 5 m nevner Brøker og hele tall kaller vi rasjonale tall. Vi bruker symbolet _ om dem. Alle desimaltallene er rasjonale tall, for vi kan skrive alle desimaltall som brøker. Tallet 13,46 kan vi skrive som en brøk på denne måten: 1346 100

13, 46

Dermed er 13,46 et rasjonalt tall. Dette er nå riktig: 2 , 13, 46 og 13, 46 5 En potens består av et grunntall og en eksponent. Potenser skriver vi slik: Grunntall

Eksponent

Potens

Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal gange grunntallet. 24

2 2 2 2 16 4 ganger

Dermed er 32

3 3 9

1 | TALL OG VARIABLER

Tallet 3 kaller vi kvadratrota av 9, for 3 er det positive tallet vi må gange med seg selv for å få 9. Vi skriver 9

Videre er 25 5 fordi 52

25.

Det fins ikke noe helt tall a slik at a 2 2. Dermed er ikke 2 noe helt tall. Kalkulatoren gir 2 | 1, 4142136, men det er bare en tilnærmingsverdi. Vi får ikke noen helt rett verdi for 2 uansett hvor mange desimaler vi tar med. Det fins heller ingen brøk som er lik 2. Et tall som ikke kan skrives som en brøk, kaller vi et irrasjonalt tall. Vi kan vise at dersom x er et helt tall, så er x enten et helt tall eller et irrasjonalt tall. Hvis x ikke er et helt tall, så er det heller ikke en brøk. Dermed vet vi at 3 er et irrasjonalt tall. Ut fra dette kan vi se at det fins uendelig mange irrasjonale tall. Tallet S | 3,1415926536 er også et irrasjonalt tall. De reelle tallene er sammensatt av de rasjonale tallene og de irrasjonale tallene. De reelle tallene omfatter dermed alle hele tall, alle brøker og alle tall som ikke kan skrives som en brøk. Det blir alle tallene i det vanlige tallsystemet vårt. \ er det vanlige symbolet for de reelle tallene. Når vi skal fortelle at x ikke er lik 1, kan vi skrive x z 1. Vi kan også skrive x \ \ ^1`.

OPPGAVE 1.10

Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. b) 5 ` a) 5 ] 2 2 c) ] d) _ 3 3 e) 5 \ f) 5 _ OPPGAVE 1.11

Sett inn enten eller i de tomme rutene. b) 3 ^0, 1, 2, 4` a) 2 ^1, 2, 3, 4` c) 1, 5

^1, 2, 3, 4`

d) 1

^ 2, 1, 0, 1`

OPPGAVE 1.12

a) Skriv partallene opp til 20 på listeform. b) Skriv oddetallene mellom 20 og 36 på listeform. c) Skriv alle primtallene opp til 30 på listeform.

1.1 TALL OG TALLREGNING

OPPGAVE 1.13

Finn mengdene. a) ^1, 2, 3, 4` \ ^4`

b) ^1, 2, 3, 4` \ ^2, 4` c) ^1, 2, 3, 4` \ ^1, 5` d) \ DISKUTER

Sett dere i små grupper og diskuter hvordan dere vil regne ut disse uttrykkene: 2 c) 2 32 d) 2 3 a) 4 3 2 b) 2 4 3 2

e) 5 22 f) 22 5 g) 52 h) 5 Hva er hensikten med parenteser i slike regnestykker?

Når vi skal regne ut et uttrykk, må vi alltid gjøre det i denne rekkefølgen: 1. 2. 3. 4.

Regn først ut parentesene. Regn deretter ut potensene. Utfør så multiplikasjonene og divisjonene. Utfør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Vi viser nå med et eksempel hvordan vi går fram. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut 2 3 1 6 2 4 4 23. 2 3 1 6 2 : 4 4 23

1. Parenteser

2 4 8 : 4 4 23

2. Potenser

2 4 8 : 4 4 8

3. Multiplikasjoner og divisjoner

8 2 32 22

4. Addisjoner og subtraksjoner

Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 23 . Det er ikke det samme som 83. Når vi skriver 4 23 , skal bare 2-tallet opphøyes i tredje potens, slik at 4 23

4 8 32

1 | TALL OG VARIABLER

Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive 4 2

512

Når vi skriver 32, skal bare tallet 3 opphøyes i andre potens, ikke tallet 3. Dermed er 32 9 2

Hvis vi vil opphøye tallet 3 i andre potens, må vi skrive 3 . 3

På gode kalkulatorer kan vi regne ut 2 3 1 : 4 4 23 uten å dele opp uttrykket. Vi taster inn hele uttrykket på én gang slik som på denne Casio-kalkulatoren: M

Prøv å få til det på din kalkulator.

OPPGAVE 1.14

Regn ut både med og uten kalkulator. b) 4 2 a) 4 22

2 2

c) 5 32

d) 5 3

e) 22 32 2 2

f) 2 3 22

g) 3 5 3 6 OPPGAVE 1.15

Regn ut både med og uten kalkulator. b) 3 4 12 2 32 a) 2 7 5 2 2 c) 8 4 3 d) 24 3 17 32 3 42 2 52 OPPGAVE 1.16

Regn ut uten kalkulator. 2 a) 2 2 2 2 3

c) 4 3 2 3 2 3

b) 26 2

6 5

d) 4 22 3 3 23 32

1.1 TALL OG TALLREGNING

UTFORSK BRØK STEG 1

a) Bruk figuren til høyre til å forklare at

1 2

2 . 4

b) Bruk figuren til høyre til å forklare at

2 3

6 . 9

3 9 . 5 15 d) Forklar ut fra oppgave a, b og c at du kan gange og dele med det samme tallet i telleren og i nevneren uten at brøken skifter verdi.

c) Lag en figur som forklarer hvorfor

STEG 2

2 3 a) Bruk figuren til å bestemme . 7 7 2 7

3 7

b) Hvordan summerer vi etter dette brøker med samme nevner? c) Hva må vi gjøre med denne figuren hvis vi skal bruke den til å regne ut 2 5 ? 7 14 2 7

5 14

d) Hva må vi gjør når vi skal summere brøker som ikke har samme nevner? STEG 3

1 Å regne ut 6 er det samme som å finne en tredel av 6, som er 2. 3 1 Dermed er 6 2. 3 1 6 6 2 1 6 2 er en tredel av , som er . Altså er . 3 7 7 7 3 7 7

1 | TALL OG VARIABLER

6 2 er dobbelt så mye som en tredel, altså lik 2 7 7 2 6 4 . Dermed er 3 7 7 Denne metoden kan vi bruke til å gange brøker i hodet. 1 1 4 3 4 a) Regn ut 4, og med metoden ovenfor. 2 2 5 2 5 1 1 12 3 12 b) Regn ut 12 , og med metoden ovenfor. 4 4 13 4 13 c) Bruk metoden ovenfor og regn ut 2 9 2 10 2) 1) 3 7 5 11 To tredeler av

4 . 7

1.2 Brøkregning Tidligere har vi lært å forkorte og utvide brøker. Når vi vil utvide en brøk, multipliserer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Når vi vil forkorte en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren.

EKSEMPEL

5 slik at nevneren blir 56. 8 18 b) Forkort brøken . 30 a) Utvid brøken

LØ S N I N G

a) Ettersom 8 7 56, multipliserer vi telleren og nevneren med 7. 5 8

5 7 8 7

35 56

b) 6 er det største tallet som går opp i både 18 og 30. Vi dividerer derfor telleren og nevneren med 6. 18 30

18 : 6 30 : 6

3 5

1.2 BRØKREGNING

Vi kan bruke kalkulatoren til å forkorte brøker. Da skriver vi bare inn brøken, enten som et delingsstykke eller som en brøk som vist her: M

OPPGAVE 1.20

Forkort brøkene både uten og med kalkulator. 4 9 18 42 b) c) d) a) 6 15 21 54 OPPGAVE 1.21

Bruk kalkulatoren til å forkorte brøkene. 72 126 132 153 a) b) c) d) 120 294 198 51

117 78

308 231

Når vi regner med brøker, bruker vi disse regnereglene: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke å finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. 7 3 a) 12 8

5 4 b) 3 6 9

c) 3

17 18

a) Fellesnevneren er 24. 7 3 7 2 3 3 14 9 23 + = + = + = 12 8 12 2 8 3 24 24 24 b) Fellesnevneren for de to brøkene er 18. 5 4 3 5 4 3 18 5 3 4 2 3+ + = + + = + + 6 9 1 6 9 1 18 6 3 9 2 =

54 15 8 54 + 15 + 8 77 + + = = 18 18 18 18 18

1 | TALL OG VARIABLER

14 6 15 49

35 28 : 12 27

Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 3 i oppgave b til en brøk ved å skrive 3 tallet som . 1 17 3 18

3 17 18

17 6

14 6 15 49

2 2 5 7

35 28 : 12 27

35 27 12 28

Det er lurt å forkorte før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren.

4 35

5 9 4 4

Vi forkorter brøken før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren.

45 16

Svarene ovenfor kan vi la stå som uekte brøk. For eksempel trenger vi ikke 45 13 gjøre om til 2 . I denne boka bruker vi ikke slike blandede tall. Grunnen 16

er at det er vanlig å utelate multiplikasjonstegn. Vi vet at 2x betyr 2 x. Da er det rimelig å tro at 2

13 16

betyr 2

13 13 , i stedet for 2 , som er det rette. 16 16

Du trenger altså ikke gjøre uekte brøker om til blandede tall, men du må passe på å forkorte alle svar. Brøkstykkene ovenfor kan vi regne på gode kalkulatorer. Vi skriver inn regnestykkene med tallene på brøkform eller som et delingsstykke. Svaret kommer da ferdig forkortet som en brøk. M

En brøk med brøker i telleren eller nevneren kaller vi en brudden brøk: 6 5 4 15 6 5

Brøkene i teller og nevner kaller vi småbrøker. Her er det og

4 15

som er

småbrøkene. Brøkstreken mellom småbrøkene kaller vi hovedbrøkstreken.

1.2 BRØKREGNING

Når vi skal forenkle en brudden brøk, finner vi først fellesnevneren for småbrøkene. Fellesnevneren i dette tilfellet er 15. Deretter utvider vi den brudne brøken. Det gjør vi ved å multiplisere med fellesnevneren over og under hovedbrøkstreken. 6 5 4 15

6 15 6 3 3 3 9 5 = = = 4 2 2 15 4 15

Den brudne brøken ovenfor kan vi også forenkle ved å dividere: 6 5 4 15

6 4 6 15 3 3 9 = : = = = 5 15 5 4 1 2 2

Den første metoden er mest praktisk når vi skal forenkle brudne brøker som har flere ledd i telleren eller i nevneren. EKSEMPEL

Trekk sammen den brudne brøken 2 5 + 3 9 7 1+ 6

LØ S N I N G

Fellesnevneren for småbrøkene er 18. 2 5 + 3 9 7 1+ 6

§ 2 + 5 · 18 ¨3 9¸ © ¹ 7 · § ¨ 1 + 6 ¸ 18 © ¹

2 5 18 + 18 3 9 7 1 18 + 18 6

2 6 5 2 18 7 3

12 10 18 21

22 39

Kalkulatoren kan også brukes til å forenkle brudne brøker. Vi kan gjøre det på flere måter. M

1 | TALL OG VARIABLER

OPPGAVE 1.22

Regn ut både med og uten kalkulator. 1 4 1 4 + b) a) 12 9 12 9 5 5 e) 3 d) 3 + 12 12

1 4 : 12 9 5 f) 3 : 12

OPPGAVE 1.23

Trekk sammen. §3 1· a) 2 ¨ ¸ ©8 4¹ § 5 1· 2 c) ¨ ¸ : © 36 12 ¹ 9

§5 2· 3 b) ¨ ¸ ©6 9¹ 5 § 7 2 ·§ 1 1 · d) ¨ ¸ ¨ ¸ © 6 9 ¹© 5 4 ¹

OPPGAVE 1.24

Regn ut både uten og med kalkulator. a)

2 3 5 6

21 36 14 45

3 5 2 8 1 25 4 2

4 3

5 5 12

1.3 Bokstavregning og parenteser DISKUTER

Forklar uten å bruke regneregler for parenteser hvorfor 7 3 2 er lik 7 3 2 og hvorfor 2 3 2 er lik 2 3 2 2. En variabel er et tall med ukjent verdi. Når vi skal arrangere en fotballkamp, vet vi ikke hvor mange som kommer for å se på. Vi kan la x være antallet. Da er x en variabel. Hvis billettene koster 100 kr, gir uttrykket 100x inntektene i kroner. Uttrykket 2 x 4 x består av to ledd, 2x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: 2x 4 x 6x I uttrykket 4a 2 2a 1 a 2 3a 1 er det seks ledd. Leddene 4a 2 og a 2 er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a 2 og 2a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. 1.3 BOKSTAVREGNING OG PARENTESER 19

Vi sorterer leddene slik at ledd av samme type står samlet, og trekker sammen: 4a 2 2a 1 a 2 3a 1 4a 2 a 2 2a 3a 1 1 3a 2 5a Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Når vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Da bruker vi disse reglene: Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen.

EKSEMPEL

Trekk sammen. a) a 2 3a b 2a 2 3a 3b b) 2 x (x 2 2 x 2 y ) (2 x 2 3 y )

LØ S N I N G

a 2 3a b 2a 2 3a 3b a 2 2a 2 3a 3a b 3b 3a 2 4b

2 x ( x 2 2 x 2 y ) (2 x 2 3 y ) 2 x x 2 2 x 2 y 2 x 2 3 y x 2 2x 2 2x 2x 2 y 3 y x2 y

OPPGAVE 1.30

Trekk sammen ledd av samme type. a) 2 x 5 y 3x 7 y 1 b) a 2 2a 3 a 2 3a 1 c) 2 x 2 x y 2 2 x 2 y 2 d) 2 xy xy 2 x 2 y 2 xy 2 yx OPPGAVE 1.31

Løs opp parentesene og trekk sammen. a) 5x y 2 x y b) a 2b a b c) x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 d) 2a 2 a 3 a 2 a 3

1 | TALL OG VARIABLER

Når vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene: Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

EKSEMPEL

Regn ut. a) 2(3x 4) b) 3 x 4 2 2 x 5 c) x 1 2 x 1 2 x 1 x 1

LØ S N I N G

2(3x 4) 2 3x 2 4 6 x 8

b) Denne oppgaven kan vi løse på to måter. En måte er først å gange tallene uten fortegn inn i parentesene og beholde parentesene: 3 x 4 2 2x 5

3x 12 4 x 10

3x 12 4 x 10 x 2

Vi kan også gange tallene med fortegn med tallene i parentesen slik: 3 x 4 2 2x 5

3 x 4 ( 2) 2 x 5

3x 12 4 x 10 x 2

Når vi bruker denne metoden, tar vi vanligvis ikke med den første mellomregningen. Vi fører utregningen slik: 3 x 4 2 2x 5

3x 12 4 x 10 x 2

c) Her multipliserer vi først parentesene og beholder parentesene om produktet: x 1 2x 1 2x 1 x 1

2x 2 x 2x 1 2x 2 2x x 1 2x 2 x 2x 1 2x 2 2x x 1 2x

OPPGAVE 1.32

Regn ut. a) 2 x 4 c) 3 2 x 1 2 3x 1

b) 2 t 3 d) 5 x 2 3x 2 5 x 2 1

OPPGAVE 1.33

Trekk sammen. a) 2 2a b 3 2a 3b c) x 1 2 x 3

b) 2a ab b2 2b a 2 ab d) 3t 2 2t 1 1.3 BOKSTAVREGNING OG PARENTESER

OPPGAVE 1.34

Trekk sammen. a) 2 x 1 x 3 x 1 x 4

b) x 3 4 x 1 2 x 1 2 x 3 3 d) t 3 8t 4 4

c) 2 x 1 2 x 3 DISKUTER

Gi en medstudent denne oppgaven: Tenk på et tall, legg 5 til tallet, gang svaret med 4, trekk 8 fra det nye svaret. Trekk til slutt skal fra det tallet du tenkte på. Bruk algebra til å finne ut hvilket tall studenten tenkte på når du får vite tallet studenten kom fram til.

1.4 Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en variabel. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. 5 7 1 a) x 2x 4

a 4 2 ab

x x : 4 12

a) Fellesnevneren for x, 2x og 4 er 4x. Vi utvider brøkene slik alle får nevneren 4x. 5 7 1 4 5 2 7 1 x x 2x 4 4 x 2 2x 4 x 20 14 x 20 14 x 6 x 4x 4x 4x 4x 4x b) Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. a 4 2 ab

a 4 2 ab

a 4 2 a b

2 b

c) Når vi dividerer med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. x x : 4 12

x 12 4 x

1 | TALL OG VARIABLER

12 x 4 x 1

3 3 1

OPPGAVE 1.40

Trekk sammen. a a a a) 2 3 6

1 1 1 2a 3a 6a

2 3 4 x 2 x 3x

OPPGAVE 1.41

Regn ut. 2a 6 a) 3 a 8a 4a c) : 5 15

2x 2 5 y 2 3 y 4x 6a d) : 2a 5 b)

OPPGAVE 1.42

Trekk sammen. 2 5 1 7 a) 3 a 2 3a

2 § 5x 7 x · ¸ x ©¨ 3 6 ¹

§ x 2 5x · x c) ¨ ¸ : 6 ¹ 12 © 3

Hvis tellerne inneholder en sum, må vi sette parentes om summen når vi setter uttrykkene på felles brøkstrek. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. 2x 3 x 1 a) 3 6 a)

8 x 1 3 4

2 x 3 x 1 2 (2 x 3) x 1 3 6 2 3 6 4 x 6 x 1 (4 x 6) (x 1) 6 6 6 4 x 6 x 1 3x 5 6 6

8 x 1 b) 3 4

8 (x 1) 3 4 1

2(x 1) 3

2x 2 3

Brudne brøker som inneholder en variabel, er det lettest å forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for smånevnerne. EKSEMPEL

Regn ut. 1 2x 3 4x

1 2

1.4 RASJONALE UT TRYKK

LØ S N I N G

Fellesnevneren for småbrøkene er 4x. Vi multipliserer derfor med 4x over og under hovedbrøkstreken. 1 2x 3 4x

2 1 2

§ 1 2 · 4x ¸ ¨ 2x ¹ © 3 1 § · 4x ¨ 4x 2 ¸ ¹ ©

4x 2 4x

2x 3 4x

1 2

2 8x 3 2x

8x 2 2x 3

OPPGAVE 1.43

Regn ut. 2x 3 x 1 a) 4 4

a 2 2a 1 2 6

x 2 2x 1 2x 3x

2 a 2 a 3 a 2a 3a

OPPGAVE 1.44

Regn ut. 2x 1 a) 5 2 x 1 2

1 a 2 a

2 b 1 b

1 x

1 1 x 1 2x

1 2 2 x

1 6 1 3x

UTFORSK POTENSER Uttrykket 24 kaller vi en potens. Eksponenten 4 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2. 24

2 2 2 2 4 ganger

a ... a a n ganger

Fra før har vi lært mange regneregler for potenser. Nå skal vi løse noen oppgaver uten å bruke regnereglene, slik vi gjør her: 23 22

2 2 2 2 2 25

Dette gjør vi for å øke forståelsen av stoffet.

1 | TALL OG VARIABLER

STEG 1

Regn ut uten å bruke regneregler for potenser. Skriv svaret som en potens. b) 24 23 c) x 3 x 2 a) 3 32 e) an a m d) an a 2 STEG 2

Regn ut uten å bruke regneregler for potenser. Skriv svaret som en potens. 34 25 x4 a) b) 3 c) 2 3 2 x d)

an ,n!3 a3

an ,n!m am

STEG 3

Forkort brøkene mest mulig, og skriv svaret med en potens i nevneren. 5 23 x13 a) 3 b) 5 c) 15 5 2 x d)

a3 ,n!3 an

am ,n!m an

STEG 4

Regn ut uten å bruke regneregler for potenser. Skriv svaret som en potens. 2 2 3 b) 22 c) 5n a) 23 d) an

e) an

Når n er et naturlig tall, forteller eksponenten n i potensen an hvor mange ganger vi skal gange grunntallet a. Hvis n er 0, et negativt helt tall eller en brøk, må vi definere an på en annen måte. Vi gjør det slik at regnereglene blir de samme som når n er et naturlig tall. STEG 5

Regn ut både uten regneregler og ved hjelp av regneregelen Hva blir konklusjonen? 23 52 a) 3 b) 2 2 5

Regn ut både uten regneregler og ved hjelp av regneregelen

am an

m n

a2 , az0 a2

STEG 6

Hva blir konklusjonen? 23 52 a) 5 b) 4 2 5

am an

a2 , az0 a5

m n

a0 , az0 an

1.5 POTENSER

1.5 Potenser Med vårt tallsystem må vi bruke potenser når vi skal arbeide med spesielt små og spesielt store tall. Hvis vi for eksempel skal regne med massen av hele jorda i kilogram, må vi skrive et tall med 24 siffer. Massen til et hydrogenatom i kilogram får på tilsvarende måte 26 nuller etter kommaet. Dette tallet klarer vi ikke å regne med hvis vi ikke bruker en potens med en negativ eksponent. Dette skal vi lære om nå. Men først repeterer vi noen av potensreglene. Vi skal også se på hvorfor reglene er riktige. Uttrykket 24 kaller vi en potens. Denne potensen betyr 2 2 2 2. Eksponenten 4 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2. Hvis vi skal regne ut 24 23 , får vi 4+3 faktorer

2 2

4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 faktorer

3 faktorer

Hvis vi skal regne ut am an, får vi m n fakktorer

a a m

m n a a … a a a … a a m faktorer

n faktorer

Denne regelen gjelder: a m an

EKSEMPEL

LØ S N I N G

m n

Regn ut a 4 a 2. a 4 a2

a 4 2

a6 5

Hvis vi skal regne ut 33 , får vi 3 5

3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 2 3 1

Vi ser at 5

3 35 3 32 9 3 3

1 | TALL OG VARIABLER

Vi bruker den samme tankegangen når vi skal regne ut am : a n faktorer m faktorer n an a a … a a a … a a a … a a n m 1 am … a a a m faktoreer

Dermed gjelder denne regelen: an am

an m

Her må vi foreløpig forutsette at n er større enn m. Siden skal vi utvide potensbegrepet slik at formelen gjelder for alle n og m. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. 7 a) 4 5 4

2 4 b) 5 35 5

4 5 4

2 4 5 5 3 5

7 5

2+ 4

5 3 5

6 3

125

Vi kan også regne på denne måten: 2 4 5 5 3 5

2 + 4 3

53 125

OPPGAVE 1.50

Regn ut. a) 32

b) 3

c) 33

d) 3

OPPGAVE 1.51

Trekk sammen og skriv svaret som en potens. b) 24 26 c) 53 5 a) 32 33 e) 2 104 5 103 d) 102 103 105 OPPGAVE 1.52

Regn ut. 4 a) 23 2 8 6 d) 35 37 3 3

5 b) 103 10 5 2 e) 2 10 6 4 10 4 10

3 2 c) 4 44 4

1.5 POTENSER

Hittil har vi arbeidet med potensen an der n er et naturlig tall. Vi skal nå innføre potenser der eksponenten er null eller negativ. Hva skal vi mene med 20? Det gir ingen mening å multiplisere 2 med seg selv null ganger. Vi ønsker at regnereglene for potenser skal gjelde for alle heltallseksponenter. 3

Vi regner ut 23 på to måter: 2 3 2 8 1 3 2 8 3

2 3 2

3 3

Vi forutsatte at potensregelen for brøker gjelder her. For at de to utregningsmåtene skal gi samme svar, må vi ha at 20 1. Vi kan gjennomføre det samme resonnementet for potensen a 0 der a er et positivt tall. For å få regnereglene til å passe må vi ha at a 0 1. a0 1 Hva skal vi mene med uttrykket 2 4 ? Vi kan jo ikke forestille oss at vi multipliserer 2 med seg selv 4 ganger. Vi definerer 2 4 på en slik måte at regnereglene for potenser gjelder for negative eksponenter: 2

0 4

2 4 2

1 2

1 16

For potensen a n må vi ha a

0 n

a n a

1 a

Vi velger derfor å definere a n slik: a n

1 an

Vi har ikke bevist formlene for a 0 og a n . Det lar seg ikke gjøre. Men vi har definert potensene på en slik måte at vi får regnereglene til å bli riktige for alle potenser der eksponenten er et helt tall.

1 | TALL OG VARIABLER

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. b) 500 a) 30

c) 3 2

d) 7 10 3

a) 30 1 b) 500 1 c) 3 2 =

1 2

1 9

d) 7 10 3 = 7

EKSEMPEL

LØ S N I N G

1 10

7 1000

Skriv tallet 1, 7 10 4 som et desimaltall. 1, 7 10 4 = 1,7

1 10

1,7 = 0, 00017 10 000

Vi kan vise at regnereglene for potenser også gjelder for eksponenter som ikke er positive. Reglene gjelder altså også når eksponentene er negative eller null. EKSEMPEL

Regn ut. 4

a) 2 2 LØ S N I N G

7 1 3 3 b) 3 6 3 3

4 3

21 2

7 ( 1)

3 3 3

a) 24 2 3

7 1 b) 3 3 3 6 3 3

3 3 6 3

6 3

OPPGAVE 1.53

Regn ut og skriv svaret som en brøk eller et helt tall. 0 b) 2 c) 5 1 d) 2 4 a) 50 2 0 4 f) 10 g) 10 e) 10 OPPGAVE 1.54

Regn ut. a) 23 2 4 3 5 d) 2 3 2 1 2 2

b) 3 4 35 4 3 e) a 2a a a

c) 3 3 3

1.5 POTENSER

1.6 Flere potensregler 3

§2· Hvis vi skal regne ut ¨ ¸ , kan vi gjøre det slik: ©3¹ §2· ¨3¸ © ¹

2 2 2 3 3 3

23 33

8 27 n

§a· På samme måten kan vi regne ut ¨ ¸ : ©b¹ n faktorer a a a … a an §a· a a ¨ b ¸ = b b … b = b b … b = bn © ¹ n

n faktorer

Denne regelen gjelder: n

§ a · an ¨ b ¸ = bn © ¹

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. 3 §2· a) ¨ ¸ ©5¹

§3· § x · b) ¨ ¸ ¨ ¸ ©2¹ © 3¹

8 § 2 · 23 a) ¨ ¸ = 3 = © 5 ¹ 5 125 4

§3· § x · b) ¨ ¸ ¨ ¸ ©2¹ © 3¹

34 x 3 24 33

4 3

3x 3 16

Uttrykk som (2x)3 kan vi regne ut uten å kjenne noen potensregel: 2x

2 x 2 x 2 x 2 2 2 x x x 23 x 3 3

8x 3

Vi ser at 2 x 23 x 3 . Tilsvarende gjelder for alle produkter ab og alle eksponenter n: a b

a n bn

1 | TALL OG VARIABLER

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. a) 3x

a) 3x

b) 2 x

32 x 2

2 x x 2 2x 2

3 ( 4 )

2 x x 2 2x

9x 2 1 1 4 x 2 x

4 x 2 1 x 1 4 x

b) 2 x

2 3 3 2 x x 4 4 2 x

3 ( 2 )

2 x 4 4 2 x

1 1 4 x 2 x

2 1 2

23 x 1 2 4 x 4

x 1 ( 4 ) 27 x 5 128 x 5 2

I eksemplet ovenfor så vi at 3x 9 x 2. Det er dermed stor forskjell på 3x 2 2 2 og 3x . I 3x skal vi bare kvadrere x og ikke 3-tallet. I 3x kvadrerer vi 3-tallet også.

OPPGAVE 1.60

Regn ut. 3 §1· a) ¨ ¸ ©2¹

§2· b) ¨ ¸ ©3¹

§1· c) ¨ ¸ © 10 ¹

§ 2· d) ¨ ¸ © 3¹

OPPGAVE 1.61

Regn ut. 3 §2· a) ¨ ¸ 33 ©3¹

5 §5· b) 22 ¨ ¸ 5 ©2¹

§x· c) ¨ ¸ ©2¹

§x· d) 35 ¨ ¸ ©3¹

Vi skal nå finne en regel vi kan bruke når vi skal regne ut en potens der 4 grunntallet er en potens. Uttrykket a 3 er av den typen. a3

a3 a3 a3 a3

a 3 3 3 3

3 4

a12

For to vilkårlige eksponenter m og n får vi: am

EKSEMPEL

am n

Regn ut. a) x

b) 2 x

23 2a

2a 4 a 1

1.6 FLERE POTENSREGLER

LØ S N I N G

a) x 2

b) 2 x 2

x 2 3 1

2 1 x 2 2

3 2 2a

2 a 2

2 a 2 a 3

1 2 1 x 2

2 2 3 2 2 a 2 a 4 a1

2a 4 a 1 1

2 a

2 3

3 ( 2 )

1 2 x 2 a 2

2 a 4 1

a 2 3

a1 a

Du må ikke blande sammen a 2 og a 2a 4 . a2

a 2a 4

a 2 4

a8 a6

OPPGAVE 1.62

Regn ut og skriv svaret som et desimaltall eller et helt tall. 1 3 b) 2 102 a) 5 103 2

c) 3 10 3

3 10 2

5 10 2 9 104 3 103

OPPGAVE 1.63

Skriv enklest mulig. 3 a) x 7 x 2 c)

2a 2

2a 3 3

22 a 1 2a

b) 2 x 2 d)

x 2 y 2

2 x 3

x2 y3

xy 2

OPPGAVE 1.64

a) Skriv tallparene som brøker. 2 2 §3· §2· 1) ¨ ¸ og ¨ ¸ ©2¹ ©3¹ 3

§3· §5· 2) ¨ ¸ og ¨ ¸ ©3¹ ©5¹ 1 1 §6· §7· 3) ¨ ¸ og ¨ ¸ ©6¹ ©7¹ b) Hvilken potensregel tror du gjelder for en brøk som er opphøyd i en negativ potens? c) Vis at regelen fra oppgave b er riktig for potensen

1 | TALL OG VARIABLER

a b

1.7 Tall på standardform Store tall med mange siffer er uoversiktlige. Ofte gjør vi regnefeil når vi skal regne med slike tall, for det er lett å glemme et siffer. Hvis vi i stedet skriver tallet ved hjelp av tierpotenser, får vi bedre styring med utregningene. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Skriv tallet 8 700 000 ved hjelp av tierpotenser. 8 700 000 8, 7 1 000 000 8, 7 106 Til vanlig skriver vi direkte 8 700 000 8, 7 106. Eksponenten 6 forteller oss hvor mange plasser vi har flyttet kommaet mot venstre. Når vi skal regne med svært små desimaltall, er det lett å gjøre kommafeil. Vi regner mye sikrere hvis vi skriver tallene ved hjelp av tierpotenser med negative eksponenter. Nå skal vi regne ut noen tierpotenser med negativ eksponent så vi ser hvordan systemet er. 10

1 101 1 2

10 1

10 1 10

1 0 ,1 10 1 0 ,01 100 1 0 ,001 1000 1 0 ,0001 10 000

EKSEMPEL

Skriv tallene ved hjelp av tierpotenser og regn ut 0,00012 0,000037.

LØ S N I N G

Vi omformer 0,00012: 0, 00012 1, 2 0, 0001 1, 2 10 4 Den negative eksponenten −4 forteller hvor mange plasser vi har flyttet kommaet mot høyre. For tallet 0,000037 får vi 0, 000037 3, 7 10 5 Nå finner vi produktet. 0, 00012 0, 000037 1, 2 10 4 3, 7 10 5 1, 2 3, 7 10 4, 44 10 9

4 ( 5 )

0, 00000000444 1.7 TALL PÅ STANDARDFORM

Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som ra 10n der n er et helt tall og tallet a er større enn eller lik 1 og mindre enn 10.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Skriv tallene 230 000 og 0,0000000167 på standardform. 230 000 2, 3 105 0, 0000000167 1, 67 10 8 På kalkulatoren kan vi legge inn tall på standardform. Hvis vi skal skrive inn 2, 3 105 på vår kalkulator, skriver vi først 2.3, trykker så på tasten 10x og skriver så 5. På andre kalkulatorer kan det stå EXP eller EE på denne tasten. M

Noen ganger skriver kalkulatoren svaret på standardform når vi legger inn vanlige tall. På figuren nedenfor har vi regnet ut 2 300 000 320 000 og 2 2500 på kalkulatoren. På vår kalkulator må vi trykke på tasten S D for å få skrevet et svar som et desimaltall. M

Det er veldig viktig å vite at svarene ovenfor er 736 000 000 000 og 0,0008.

OPPGAVE 1.70

Skriv som hele tall eller som desimaltall. b) 7,1 10 2 c) 8, 44 106 a) 2, 3 103

d) 2, 92 10 5

OPPGAVE 1.71

Skriv på standardform. a) 0,000153 b) 14 300

1 | TALL OG VARIABLER

c) 937 000 000

d) 0,00000275

Når vi har en oppgave der tallene er skrevet på standardform, er det ofte lurt å regne slik vi gjør i dette eksemplet: EKSEMPEL

Regn ut. a) 2, 3 108 1, 6 10 6

LØ S N I N G

a) Vi samler tierpotensene og bruker potensregler. 2, 3 108 1, 6 10 6 b)

8 106 6 10 3 . 4 103 3 10 2

8 106 6 10 3 4 103 3 10 2

2, 3 1, 6 108 10 6 2

8 6 106 ( 3) 4 3 103 ( 2) 1

4 103 101

3, 68 108 ( 6) 4 10

3 1

3, 68 102

4 102

36 8

400

OPPGAVE 1.72

Regn ut og skriv svaret som desimaltall. b) 2 10 1 5 10 1 a) 5 103 3 10 6 2 8, 4 10 5 10 2 9 104 c) d) 2,1 10 3 3 103 OPPGAVE 1.73

Regn ut både med og uten kalkulator. Skriv svaret på standardform. a) 4 10 4 2 102 b) 8 106 3 10 2 3, 2 105 4 10 2 c) 1, 6 10 3 d)

2 107 4 105 4 10 2

OPPGAVE 1.74

Gjør om til standardform og regn ut. a) 12 000 000 0, 0000023 b) 0, 00075 0, 000000017 4 600 000 000 0,00045 0,0012 c) d) 0,000002 27 000 000 OPPGAVE 1.75

Jordradien er 6 400 000 m. 4 3 S r og regn ut volumet av jorda i kubikkmeter. Bruk formelen V 3

1.7 TALL PÅ STANDARDFORM

1.8 Kvadratrøtter og røtter av høyere orden Kvadratrota av et positivt tall x definerer vi på denne måten: Kvadratrota av x er det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik x. x

a dersom a t 0 og a 2

Etter dette må 9 3, for 3 ! 0 og 32 9. Selv om 3 lik 3. Kvadratrota av et tall er alltid positiv.

9, er likevel ikke 9

Det fins ikke noe tall a slik at a 2 4, fordi a 2 t 0 for alle verdier av a. Dermed kan vi ikke finne kvadratrota av 4. x er bare definert når x t 0. Etter definisjonen av kvadratrot må 4 9

2 2 §2· fordi t 0 og ¨ ¸ 3 3 ©3¹

2 2 3

4 9

Vi får rett svar om vi regner slik: 4 9

4 9

2 3

Vi finner kvadratrota av en brøk ved å finne kvadratrota av telleren og nevneren hver for seg. Vi har disse regnereglene for kvadratrøtter: La a og b være to positive tall. Da er a b

a b

Det fins ingen liknende regel for en sum. Legg for eksempel merke til at 9 + 4 ikke er lik 3 + 2. For 9 4 13 3, 6, og 3 2 5. EKSEMPEL

Bruk regnereglene for kvadratrøtter til å vise at 50

LØ S N I N G

Vi utnytter at 50 25 2 . Dermed er 50

25 2

1 | TALL OG VARIABLER

5 2

5 2.

OPPGAVE 1.80

Regn ut uten å bruke kalkulator. 16 49 a) b) 25 64 18 98

2 50

1 121

5 8

OPPGAVE 1.81

Bruk regnereglene for kvadratrøtter til å vise at b) 12 2 3 c) 48 4 3 a) 18 3 2 OPPGAVE 1.82

Skriv kvadratrøttene ved hjelp av kvadratrota av et mindre tall. b) 75 c) 162 a) 27 Ettersom 23 3

8, er 2 tredjerota eller kubikkrota av 8. Vi skriver

Tredjerota definerer vi på denne måten: 3

x er det tallet som opphøyd i tredje potens er lik x. 3

a hvis a 3

Legg merke til at vi kan finne tredjerota av negative tall: 3

EKSEMPEL

LØ S N I N G

2 fordi 2

Regn ut. a) 3 64

a) Vi vet 43 3

125

Ettersom 34

64. Dermed er

b) Ettersom 5 3

125, er

5 81, er 3 fjerderota av 81. Vi skriver

81 3

1.8 KVADRATRØT TER OG RØT TER AV HØYERE ORDEN

Nå er også 3 81. Likevel sier vi ikke at 3 er fjerderota av 81. Fjerderota skal alltid være et positivt tall. Fjerderota definerer vi på denne måten: 4

x er det positive tallet som opphøyd i fjerde potens er lik x. 4

a dersom a t 0 og a 4

Fjerderota av et negativ tall fins ikke, fordi a 4 t 0 for alle tall a. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. a) 4 256

a) Ettersom 4 4 4

256

256, er

32 fins ikke.

Femterota, sjetterota osv. definerer vi på den samme måten som tredjerota og fjerderota. Vi definerer n-te rot på denne måten: Dersom n er et partall, er n x det positive tallet a som er slik at a n x. Dersom n er et oddetall, er n x det tallet som er slik at a n x.

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. a) 5 32

b) 6 1012

a) Da 25 32, er 5

b) Ettersom 100

102

er 6

100

1 | TALL OG VARIABLER

2 6

1012

På mange kalkulatorer kan vi regne ut røtter av høyere orden. På vår ). kalkulator finner vi 3 64 ved å bruke tasten merket (SHIFT 3

(SHIFT x ) og 256.

Når vi skal finne 4 256 , taster vi 4 etterfulgt av M

OPPGAVE 1.83

Regn ut uten bruk av kalkulator. b) 3 1000 c) 3 64 a) 3 27

8000

OPPGAVE 1.84

Bruk kalkulatoren til å regne ut. b) 5 20, 5 c) 3 15 a) 4 13

27000

OPPGAVE 1.85

Regn ut uten kalkulator. b) 3 10 6 c) a) 3 103

OPPGAVE 1.86

Finn radien i ei kule med volumet 6,5 cm3.

UTFORSK BRØKEKSPONENTER Regnereglene for potenser har vi bare bevist for heltallige eksponenter. Nå skal vi gå ut fra at reglene også gjelder for brøker og desimaltall. STEG 1

§ 1· a) Bruk regnereglene for potenser og vis at ¨© 2 2 ¸¹ 1

Forklar at hvis 2 2 skal være et positivt tall, må da 2 2 3 § 1· ¨ 3 ¸ b) Bruk regnereglene for potenser og regn ut © 2 ¹ . 1 Hva må da 2 3 være lik?

§ 1· c) Bruk regnereglene for potenser og regn ut ¨© 5 4 ¸¹ . 1 Hva må da 5 4 være lik?

d) La n være et helt tall og a et positivt tall. Hva tror dere a n er lik?

1.9 POTENSER MED EN BRØK SOM EKSPONENT

STEG 2

a) Forklar at 2

2 § 1· ¨ 2 3 ¸ og bruk dette til å vise at 2 3 © ¹

2 3 2

1 3

b) Forklar at 2 3

og bruk dette til å vise at 2 3

3 4

3 3

2 .

c) Finn to uttrykk for 5 . d) La m og n være to hele tall, og la a være et positivt tall. m n

Vis at a n

m n

og at a n

am .

e) Regn ut 8 3 med de to formlene i oppgave d). Hvilken av formlene gir enklest regning?

1.9 Potenser med en brøk som eksponent I kapittel 1.5 innførte vi potenser med negative eksponenter. Nå skal vi innføre potenser der eksponenten er en brøk. Det gjør vi slik at regnereglene for potenser blir riktige også når n og m er brøker. I Utforsk brøkeksponenter kom dere da sikkert fram til disse formlene: La a være et positivt tall, og la m og n være naturlige tall. Da er 1 n

an a

m n

a n

eller a

m n

DISKUTER

Hva skjer med de to siste formlene når m 1?

EKSEMPEL

Regn ut.

a) 16 2 LØ S N I N G

a) 16 2 b) 27

1 3

b) 27 3 2

c) 5 4 4

1 4

c) 5 = 4 5 | 1, 50 I oppgave c måtte vi bruke kalkulatoren for å finne en tilnærmingsverdi.

1 | TALL OG VARIABLER

Legg merke til at 2 16 EKSEMPEL

16 . 2 a er det samme som a.

Regn ut uten hjelpemiddel. a) 8

4 3

b) 32

2 5

c) 7

3 2

5 LØ S N I N G

a) 8 3 b) 32

2 5

c) 7 2

53 56 5

53 56

1 2

24 16

1 22

2 2

1 4

343 | 18, 52 1

1 2

1 6

1 2

56 5

1 6

1 2

1 § 1· ¨ ¸ 2 © 2¹

51 5

Når n a er et helt tall eller en brøk, får vi enklest tallregning ved å bruke m

·m

formelen a n = ¨¨ n a ¸¸ (se eksemplene a og b ovenfor). Formelen a n = n a m © ¹ passer best når n a er et irrasjonalt tall (se eksempel c ovenfor).

OPPGAVE 1.90

Regn ut uten å bruke kalkulator. 1

a) 4 2 d) 36

b) 814 1 2

e) 3

1 4 4

c) 1000 3 § 1· f) ¨© 3 5 ¸¹

OPPGAVE 1.91

Regn ut uten å bruke kalkulator. 2

a) 4 2

d) 128

b) 27 3

3 7

c) 100

1 12 4

e) 5

3 2

§ 3· f) ¨© 9 8 ¸¹

OPPGAVE 1.92

Bruk kalkulator og regn ut. 2

a) 5 3 d) 24 ,5

b) 12 5 e) 7 56

c) 100 6 f) 31 8 47

1.9 POTENSER MED EN BRØK SOM EKSPONENT

Hvis vi skal forenkle sammensatte rotuttrykk, kan det lønne seg å skrive rotuttrykkene som potenser og deretter bruke regnereglene for potenser. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut 3 7 6 7 uten å bruke noe hjelpemiddel. 3

7 6 7

73 76

1 6

Vi har definert potenser der eksponenten er en brøk, og dermed også når eksponenten er et desimaltall. For eksempel er 3

41,5

Skrivemåten a n kan vi ikke bruke når a er et negativt tall. Det kan se fornuftig ut å si at 8

1 3

= 3 8

1 2 , bør 8 3 6 på to måter:

Men ettersom 8

2 6

8 8

2 6 2 6

6 6

1 3

og 8

2 6

gi det samme svaret. Vi regner ut

Det siste rotuttrykket eksisterer ikke. Uttrykkene 8 samme svaret, og skrivemåten 8

1 3

og 8

2 6

gir ikke det

er dermed ikke brukbar.

På kalkulatorer kan vi regne ut a x og x a også når x er en brøk eller et desimaltall.

1 | TALL OG VARIABLER

EKSEMPEL

Volumet V av ei kule med overflate O er gitt ved 1

6 S

O1,5

a) Finn volumet av ei kule der overflaten er 4 cm2. b) Finn overflaten av en femmerball. Den har volumet 5 dm3. LØ S N I N G

6 S 1

O1,5

1,5

4 cm 2

6 S

1 6 S

41,5 cm 3

0, 75 cm 3

O1,5 V | 6 S

6 S O1,5 6 S V O1,5

6 S 5 dm3

O1,5

53,17 dm 3

1,5

m3 53,17 dm

14,1 dm 2

OPPGAVE 1.93

Skriv så enkelt som mulig. 1 2

a) 2 2

1 3 6

1 3

3 3

2 2 6 2

3 2 4

1 2

1 3

3 6 3 6 9

OPPGAVE 1.94

Sidekantene i en terning har lengden s. a) Vis at overflaten O av terningen er gitt ved formelen O 6s2. 2

b) Forklar hvorfor O 6 V 3 , der V er volumet av terningen. c) Hvor stor er overflaten av en terning som rommer 0,5 liter?

1.9 POTENSER MED EN BRØK SOM EKSPONENT

SAMMENDRAG Regnerekkefølge 1. Regn først ut parentesene. 2. Regn deretter ut potensene. 3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene. 4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene. Regneregler ved brøkregning Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi. Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer da ikke verdi. Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er. Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren. Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og en parentes, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

1 | TALL OG VARIABLER

Kvadratrøtter Kvadratrota av x er det positive tallet som opphøyd i andre potens er lik x. a dersom a t 0 og a 2

La a og b være to positive tall. Da er a b

a b

Røtter av høyere orden 3

x er det tallet som opphøyd i tredje potens er lik x.

x er det positive tallet som opphøyd i fjerde potens er lik x.

a dersom a 3 = x .

a dersom a t 0 og a 4

Brøkeksponenter La a være et positivt tall, og la m og n være hele tall. Da er 1

m n

eller a n

Potensregler a0 1 a m an

n a =

1 a

am n

an am

a n bn

§ a · an ¨b¸ = n © ¹ b

an m n

a b am

am n

Tall på standardform Et tall er skrevet på standardform når det er skrevet som ra 10n der n er et helt tall og a er et tall som er større enn eller lik 1 og mindre enn 10.

SAMMENDRAG

LIKNINGER OG ULIKHETER Studentene skal kunne • definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller • gjøre rede for begrepene grunnmengde, delmengde, komplementmengde, disjunkte mengder og den tomme mengde • bruke venndiagram og forklare union og snitt av mengder • løse førstegradslikninger med en og to ukjente • løse enkle og doble ulikheter

UTFORSK LIKNINGER Uttrykket 3x 2 x 4 er et eksempel på en likning. Å løse en likning er det samme som å finne alle verdier for variabelen x slik at høyre side og venstre side av likhetstegnet får samme verdi. Vi skal nå løse likninger i hodet. STEG 1

Hvilket tall må stå i boksene? 3 7 b) 3 12 a)

c) 2

1 9

d) 4

1 15

STEG 2

Bruk tankegangen fra steg 1 og løs likningene. b) 4 x 20 c) 3x 1 13 a) x 4 9

d) 2 x

x 3

STEG 3

Hvilket eller hvilke tall må stå i boksene? 2 2 9 b) 2 8 c) a)

4 3

STEG 4

Bruk tankegangen fra steg 3 og løs likningene. b) 3x 2 27 c) x 2 5 1 a) x 2 16

d) 3x 3

2.1 Likninger Å løse likningen 3x 12 er det samme som å finne de verdiene for variabelen x som er slik at 3x blir 12. Vi ser at løsningen er x 4 fordi 3 4 12, og ingen andre verdier for x passer. Vi kan føre løsningen slik: 3x 12 x 4 At likningen 2 x 1 7 har løsningen x 3, ser vi umiddelbart, for 2 3 1 7. Vi kan gjerne løse likningen slik: 2x 1 7 x 3 Når vi skal løse kompliserte likninger, trenger vi de regnereglene vi har lært tidligere.

2.1 LIKNINGER

Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da inn løsningen i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi. EKSEMPEL

Løs likningen og sett prøve på svaret. 7 x 2 3x 10

LØ S N I N G

7 x 2 3x 10 7 x 3x 10 2 4 x 12 x 3 Vi setter prøve på svaret ved å sette inn x 3 på begge sidene i likningen i oppgaven. Venstre side: Høyre side:

7 x 2 7 3 2 19 3x 10 3 3 10 19

Venstre og høyre side er like. Løsningen er derfor riktig.

OPPGAVE 2.10

Løs likningene og sett prøve på svaret. b) 3x 1 x 2 a) 2 x 1 5 c) 2 x 2 2 x 2 d) 2 x 2 3x 7 OPPGAVE 2.11

Løs likningene. a) 12 x 13 9 x 7 b) 7 x 11 2 x 3 c) 0, 02 x 0, 7 0, 03x 0, 2

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

Når vi skal løse en noe mer sammensatt likning, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Løs opp parenteser. 2 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 3 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 4 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 5 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 6 Finn løsningen ved å dividere med tallet som står foran den ukjente. En slik punktvis framgangsmåte kaller vi algoritme. EKSEMPEL

Løs likningen. 1 x § 2x · 1 x 4 ¨ 1¸ x 1 2 6 © 3 ¹ 3 1 x § 2x · 1 x 4 ¨ 1¸ x 1 6 2 © 3 ¹ 3 2x x x 1 x 2 1 | 6 2 3 3 3 6

LØ S N I N G

x 3 2x 2 6 2 6 6 1 6 2 3 1

Fellesnevneren er 6.

x 2 1 2 x 1 6 6 6 3 3 6 1

3x 12 4 x 6 2 x 2 x x 6 3x 2 4 x x

OPPGAVE 2.12

Løs likningene. a) 3x x 2 2 x 1 3x 9 b)

x §x 1· §x · ¨ ¸ x 2 ¨ 1¸ 2 © 3 2¹ ©4 ¹

1 § 1· 1§ 1· §x 1· ¨ 3x ¸ ¨ 2 x ¸ 2 ¨ ¸ 2 © 3¹ 3© 2¹ © 3 6¹

2.1 LIKNINGER

EKSEMPEL

Anne, Berit og Cathrine har til sammen 1450 kr. Berit har 50 kr mer enn Anne. Cathrine har dobbelt så mye som Anne. Hvor mye penger har hver av dem?

LØ S N I N G

Her er det lurt å sette kronebeløpet til Anne som en variabel x, for da kan vi enkelt finne uttrykk for beløpene til de to andre. Kronebeløpet til Berit blir x 50 og beløpet til Cathrine blir 2x. Til sammen skal dette bli 1450. x x 50 2 x 1450 x x 50 2 x 1450 4 x 1400 1400 x 4 x 350 Anne har 350 kr, Berit har 400 kr og Cathrine har 700 kr.

OPPGAVE 2.13

a) Anne, Berit og Cathrine er 42 år til sammen. Berit er dobbelt så gammel som Anne. Cathrine er 2 år eldre enn Berit. Hvor gamle er hver av jentene? b) Abel, Bjarne, Cato og David er 36 år til sammen. Bjarne er 2 år yngre enn 2 Abel. Cato er dobbelt så gammel som Bjarne. Alderen til David er av 7 summen av alderen til Bjarne og Cato. Hvor gamle er hver av guttene? c) Adam er 10 år eldre enn Xeres. Om 4 år er Adam dobbelt så gammel som Xeres. Hvor gammel er Xeres? OPPGAVE 2.14

Faren til Xeres og Yasep ba dem velge ett felles tall. Så sa han til Xeres: Legg 2 til tallet og gang deretter svaret med 3. Legg 4 til det tallet du nå har og gang så svaret med 2. Til Yasep sa han: Legg 1 til tallet dere valgte og gang svaret med 2. Legg så 1 til det tallet du nå har og gang svaret med 3. Til slutt legger du til tallet 11. Xeres og Yasep gjorde som faren sa, og de ble veldig forundret da de begge fikk samme svar. Forklar hvorfor svarene ble like.

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

2.2 To lineære likninger med to ukjente En likning av typen ax by c der a, b og c er tall, kaller vi en lineær likning. Likningen 5x 2 y 4 er et eksempel på en lineær likning. Likningen 5x 2 2 y 4 er derimot ikke lineær, for den inneholder x 2 og ikke bare x. Nå skal vi løse to lineære likninger med to ukjente. Her er et eksempel på et slikt likningssett: 5x 2 y 4 x y 5 Å løse et likningssett med to ukjente er det samme som å finne verdier for x og y som passer i begge likningene samtidig. Når vi skal løse likningssettet 5x 2 y 4 x y 5 ved regning, kan vi bruke en metode som vi kaller innsettingsmetoden. Da finner vi først et uttrykk for enten x eller y i en av likningene og setter dette uttrykket inn i den andre likningen. Her velger vi å finne et uttrykk for x fra likning nr. 2 fordi det gir et enkelt uttrykk. x y 5 x 5 y Deretter setter vi inn dette uttrykket for x i likning nr. 1: 5x 2 y 4 5 5 y 2y 4 25 5 y 2 y 4 7 y 4 25 7 y 21 y 3 Til slutt finner vi x ved å sette inn i uttrykket x 5 y . x 5 y 5 3 2 Løsningen blir x 2 og y 3.

2.2 TO LINEÆRE LIKNINGER MED TO UK JENTE

At dette er riktig, ser vi når vi setter løsningen inn i de to likningene. 5x 2 y 5 2 2 3 10 6 4 x y 2 3 5 Løsningen stemmer. EKSEMPEL

Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden. 2x y 8 3x 4 y 1

LØ S N I N G

Her velger vi å finne et uttrykk for y fra likning nr. 1 da det gir et uttrykk uten brøker. 2x y 8 y 2 x 8 y 2x 8

Multipliser alle leddene med 1.

Dette uttrykket for y setter vi inn i likning nr. 2. 3x 4 y 1 3x 4 2 x 8 1 3x 8 x 32 1 11x 33 x 3 Vi finner y ved å sette x 3 inn i uttrykket for y. y 2 x 8 2 3 8 6 8 2 Løsningen er x 3 og y 2.

OPPGAVE 2.20

Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden. x 2 y 2x y

4 3

OPPGAVE 2.21

Bruk innsettingsmetoden og løs likningssettene. a) x 2 y 5 b) 3x 4 y 1 x y 2 6 x y 7 c) x 2 y 4 3x y 3

d) x 2 y 2 1 x y 1 2

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

Nå skal vi løse likningssettet 5x 2 y 4 x y 5 ved hjelp av addisjonsmetoden. Her ganger vi da med 2 på begge sidene av likhetstegnet i den andre likningen. 5x 2 y 4 x y 5 | 2 Det gir dette resultatet: 5x 2 y 4 2 x 2 y 10 Ettersom 5x 2 y

4 og 2 x 2 y 10, må

5x 2 y 2 x 2 y 4 10 5x 2 y 2 x 2 y 14 7 x 14 x 2 Her ser vi hvorfor vi ganget den andre likningen med 2. Det var for at y-leddene skulle forsvinne når vi la sammen likningene. Til vanlig fører vi den siste utregningen slik: 5x 2 y 4 2 x 2 y 10 7x 14 x 2 I raden under streken har vi summert de to radene over streken. Nå setter vi inn x 2 i en av likningene for å finne y. x y 5 2 y 5 y 3 Løsningen er x 2 og y 3. Dette stemmer med det vi fant på side 51.

2.2 TO LINEÆRE LIKNINGER MED TO UK JENTE

EKSEMPEL

Løs likningssettene ved hjelp av addisjonsmetoden. b) 7 x 3 y 11 a) x 2 y 9 2 x 3 y 13 3x 2 y 8

LØ S N I N G

a) Her kan vi gange den første likningen med 2. x 2 y 9 | 2 2 x 3 y 13 2 x 4 y 18 2 x 3 y 13 y 5 y 5 Nå setter vi inn y 5 i den første likningen. x 2y 9 x 2 5 9 x 10 9 x 1 Løsningen er x

1 og y 5

b) Her kan vi gange den første likningen med 2 og den andre med 3. 7 x 3 y 11 | 2 3x 2 y 8 | 3 14 x 6 y 22 9 x 6 y 24 23x 46 x 2 Til slutt setter vi x 2 inn i den andre likningen. 3x 2 y 8 3 2 2y 8 6 2y 8 2y 2 y 1 Løsningen er x 2 og y 1

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

OPPGAVE 2.22

Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden. x 2 y 2x y

4 3

OPPGAVE 2.23

Bruk addisjonsmetoden og løs likningssettene. b) 3x 4 y 1 a) x 2 y 5 x y 2 6 x y 7 c) x 2 y 4 3x y 3

d) 3x 4 y 4x 3 y

6 8

2.3 Formler En formel gir oss verdien av en variabel ved hjelp av verdien av en eller flere andre variabler. Volumet V av ei kule er gitt ved

4 3 Sr 3

I denne formelen finner vi verdien for V når vi kjenner verdien av variabelen r, som er radien. Variabelen r kaller vi den uavhengige variabelen, og V kaller vi den avhengige variabelen. Vi velger verdier for den uavhengige variabelen og regner ut verdien for den avhengige variabelen. Formelen ovenfor inneholder også konstanten S | 3,14. Noen ganger trenger vi verdier for to variabler for å regne ut den tredje. Volumet V av en sylinder er gitt ved h

Sr h r

Her må vi kjenne både radien r og høyden h for å kunne finne volumet V. I dette tilfellet har vi to uavhengige variabler og én avhengig. I de fleste formlene vi skal arbeidet med i denne boka, er det én uavhengig variabel og én avhengig. 2.3 FORMLER

EKSEMPEL

Vanja har nettopp fylt opp tanken på skuteren sin med bensin. Når hun har kjørt x mil, er antallet liter bensin på tanken gitt ved formelen b 6 0, 2 x a) Hvor mye bensin er det på tanken når hun har kjørt 15 mil? b) Hvor langt har hun kjørt når det er 2 liter bensin igjen på tanken? c) Hvor langt kan hun kjøre før tanken er tom?

LØ S N I N G

a) Når hun har kjørt 15 mil, er x 15. Antallet liter bensin er da b 6 0, 2 x 6 0, 2 15 6 3 3 Det er 3 liter bensin igjen på tanken. b) Når det er 2 liter bensin igjen på tanken, er b 2. Det gir denne likningen: b 2 6 0, 2 x 2 0, 2 x 2 6 0, 2 x 4 0, 2 x 4 0, 2 0, 2 4 x 0, 2 x 20 Hun har kjørt 20 mil. c) Tanken er tom når det er 0 liter bensin igjen. Det gir denne likningen: b 0 6 0, 2 x 0 0, 2 x 0 6 0, 2 x 6 0, 2 x 6 0, 2 0, 2 6 x 0, 2 x 30 Hun kan kjøre 30 mil.

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

OPPGAVE 2.30

Skuteren til Vanja har gått 5000 km. Om x uker regner hun med at antallet kilometer skuteren har gått, er gitt ved U 100 x 5000 a) Hvor langt har skuteren gått om 12 uker? b) Når har skuteren gått 6500 km? c) Hvor mye regner Vanja med å kjøre per uke? OPPGAVE 2.31

Vanja kjøper en skuter som koster 24 000 kr. Hun regner med at verdien minker med 300 kr per måned. a) Finn en formel for verdien V av mopeden om t måneder. b) Bruk formelen til å finne verdien om 2 år. c) Hvor lang tid går det før verdien av mopeden er halvert? Ved hjelp av en formel kan vi lage nye formler. Vi bruker da regnereglene for likninger. EKSEMPEL

Bjarne er på sydenferie og har 10 000 kr med seg og bruker 800 kr per dag. Etter x dager er beløpet B i kroner gitt ved B 10 000 800 x a) Finn en formel for x. b) Når har han 6000 kr igjen? c) Når er Bjarne blakk?

LØ S N I N G

a) Leddet med x flytter vi over på venstre side og flytter alt annet på høyre side. B 10 000 800 x 800 x 10 000 B 800 x 10 000 B 800 800 10 000 B x 800 b) Vi setter B 6000 og får x

10 000 B 800

10 000 6000 800

4000 800

Bjarne har 6000 kr igjen etter 5 dager. 2.3 FORMLER

c) Bjarne er blakk når B 0. x

10 000 B 800

10 000 0 800

10 000 12, 5 800

Bjarne er blakk i løpet av den 13. dagen.

OPPGAVE 2.32

Hvis Vanja kjører x mil med skuteren på ett år, er utgiftene i kroner gitt ved U

3x 3500

a) Finn en formel for x uttrykt ved utgiftene U. b) Bruk formelen til å finne hvor mange mil hun kan kjøre for 5000 kr. Hva blir utgiftene per mil da? OPPGAVE 2.33

Vanja har kjørt med skuteren sin til ei venninne. Hun begynner på hjemveien. Etter t minutter er avstanden s hjemmefra målt i kilometer gitt ved s 35 0, 7t a) Finn en formel for tida t. b) Bruk formelen til å finne ut hvor lang tid hun har kjørt når det er 14 km igjen hjem. c) Bruk formelen til å finne ut hvor lang tid hun bruker hjem. EKSEMPEL

Rotorbladene på vindturbinene på Storheia vindpark på Fosen i Trøndelag er 58,5 m lange. a) Finn arealet A av den sirkelen som rotorbladene lager når de roterer.

58 5 m 58,5

Effekten P målt i kilowatt (kW) til en turbin er 3

k vindstyrke arealet når vindstyrken er målt i meter per sekund (m/s) og arealet er det fra oppgave a målt i kvadratmeter. Tallet k er avhengig av lufttettheten og virkningsgraden til turbinen. Her setter vi k 0,0003, som er en ganske realistisk verdi. b) Finn effekten av en turbin på Storheia når vindstyrken er 5 m/s (lett bris).

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

Når vi skal finne energien målt i kilowattimer (kWh), bruker vi formelen energi = effekt tid c) La oss tenke oss at turbinen går i 300 døgn på ett år, og at vindstyrken hele tida er 5 m/s. Hvor mye energi gir da én turbin i løpet av ett år? d) En norsk husstand bruker i gjennomsnitt 20 000 kWh per år. Hvor mange husstander kan få strøm fra én turbin på Storheia? e) På Storheia er det 80 slike turbiner. Hvor mange husstander kan få strømmen sin fra Storheia vindpark? LØ S N I N G

a) Arealet A er gitt ved formelen

A Sr 2 der r er radien. Den er her 58,5 m. Arealet er A S 58, 5 m

10 751 m 2

b) La v være vindstyrken i meter per sekund. Da er effekten i kilowatt gitt ved formelen P 0, 0003 v 3 A 0, 0003 53 10 751 403 Effekten er 403 kW. c) Antallet timer t i 300 døgn er t

300 24 h 7200 h

Energien E er E

P t

403 kW 7200 h 2 901 600 kWh

d) Når hver husstand bruker 20 000 kWh, blir antallet husstander 2 901 600 145 20 000 145 husstander kan få strømmen sin fra én turbin. e) Fra 80 turbiner blir antallet husstander 80 145 11 600

2.3 FORMLER

OPPGAVE 2.34

Her bruker vi tallene fra eksemplet på forrige side. En elbil bruker i gjennomsnitt 3000 kWh per år. a) Hvor mange elbiler kan få all strømmen sin fra én turbin på Storheia? b) Hvor mange elbiler kan få strømmen sin fra vindparken på Storheia? OPPGAVE 2.35

Her bruker vi formler og tall fra eksemplet på forrige side. Vi tenker oss nå at vindstyrken er 10 m/s (frisk bris) i stedet for 5 m/s. a) Hvor mange husstander kan da få strømmen sin fra vindparken på Storheia? b) Hvor mange elbiler kan da kjøre på strøm fra Storheia? OPPGAVE 2.36

Her bruker vi formler og tall fra eksemplet på forrige side. På havet er det aktuelt å bygge vindmøller som er mye større enn dem på land. Utenfor New York skal et norsk firma bygge vindturbiner som er 250 m høye. De er da ca. 3 ganger så høye som vindmøllene på Storheia. Vi tenker oss at rotorbladene er 3 ganger lengre enn dem på Storheia, og at vindstyrken er 5 m/s som i eksemplet foran. Vi regner også med at en amerikansk husstand bruker like mye strøm som en norsk. a) Hvor mange husstander kan da får strømmen sin fra én vindturbin utenfor New York? b) Hvor mange husstander kan få strømmen sin fra de 70 vindmøllene de skal bygge?

2.4 Formler i Python Vi kan bruke programmeringsspråket Python når vi arbeider med formler. I matematikk bruker vi vanligvis variabelnavn som består av én bokstav. Vi bruker r for radius og h for høyde. I programmering bruker vi i stedet variabelnavn som radius og høyde. Da blir lettere å forstå programmet. Her er et program som finner arealet av et rektangel når grunnlinja er 5,2 cm og høyden er 3,7 cm. 1 2 3 4

grunnlinje = 5.2 høyde = 3.7 areal = grunnlinje * høyde print("Arealet er", round(areal, 1),"kvadratcentimeter.")

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

Uttrykket ‘round(areal, 1)’ runder av arealet til 1 desimal. Programmet gir denne utskriften: Arealet er 19.2 kvadratcentimeter.

Nå skal vi lage et program som skal finne volumet av ei kule med radius r 3, 8 cm. Formelen for volumet er V

4 3 Sr 3

Da må vi hente en nøyaktig verdi for tallet S fra biblioteket math med Python. 1 2 3 4

from math import pi radius = 3.8 volum = 4/3 * pi * radius**3 print("Volumet er", round(volum, 1),"kubikkcentimeter.")

Legg merke til hvordan vi skriver potenser med Python. Når vi skal regne ut radius3, skriver vi ‘radius**3’. Vi får denne utskriften: Volumet er 229.8 kubikkcentimeter.

Arealet A av et kvadrat med sidekant s er gitt ved A s 2. Da er s A . Når vi skal lage et program med Python som finner sidekanten når arealet er 13, 7 cm 2, kan vi hente kvadratrotfunksjonen ‘sqrt’ fra biblioteket math. 1 2 3 4

from math import sqrt areal = 13.7 sidekant = sqrt(areal) print("Sidekanten er", round(sidekant, 1),"cm lang.")

Vi kan også gjøre det slik: 1 2 3

areal = 13.7 sidekant = areal**0.5 print("Sidekanten er", round(sidekant, 1),"cm lang.")

Begge programmene gir dette resultatet: Sidekanten er 3.7 cm lang.

DISKUTER

Forklar hvorfor de to programmene ovenfor gir samme resultat.

2.4 FORMLER I PY THON

OPPGAVE 2.40

Lag et program med Python som finner volumet av et prisme der lengden er 3,5 cm, bredden er 2,4 cm og høyden er 5,2 cm. OPPGAVE 2.41

Lag et pythonprogram som finner arealet av en sirkel med radius 4,5 cm. OPPGAVE 2.42

Volumet V av et prisme med grunnflate G og høyde h er gitt ved formelen V G h. a) Finn en formel for høyden h uttrykt med G og V. b) Lag et program med Python som finner høyden i et prisme der grunnflaten er 144 cm 2 og volumet er 1000 cm 3 (1 L). OPPGAVE 2.43

a) Finn en formel for radien r i en sirkel med arealet A. b) Lag et pythonprogram som finner radien når arealet er 10, 4 cm 2 . Nå skal vi lage et program med Python som vi kan bruke i eksemplet om vindkraft på side 58 og 59. For å finne arealet og effekten kan vi bruke dette programmet: 1 2 3 4 5 6 7

from math import pi radius = 58.5 vindstyrke = 5 areal = pi * radius**2 effekt = 0.0003 * areal * vindstyrke**3 print("Arealet er", round(areal),"kvadratmeter.") print("Effekten er", round(effekt),"kW.")

Programmet gir denne utskriften: Arealet er 10751 kvadratmeter. Effekten er 403 kW.

I dette programmet har vi skrevet inn radien og vindstyrken i koden. Vi kan også lage programmet slik at vi kan velge verdiene for radien og vindstyrken når vi kjører programmet. Men alt vi skriver inn når vi kjører programmet, blir tolket som en tekst som programmet ikke kan regne med. Vi må gjøre teksten om til et tall før vi kan begynne å regne. Funksjonen ‘float’ gjør teksten om til et desimaltall. Programmet kan nå se ut som vist på neste side.

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

1 2 3 4 5 6 7

from math import pi radius = float(input("Hvor lange er rotorene?")) vindstyrke = float(input("Hva er vindstyrken?")) areal = pi * radius**2 effekt = 0.0003 * areal * vindstyrke**3 print("Arealet er", round(areal),"kvadratmeter.") print("Effekten er", round(effekt),"kW.")

Når vi nå kjører programmet, kan vi få dette resultatet: Hvor lange er rotorene? 58.5 Hva er vindstyrken? 5 Arealet er 10751 kvadratmeter. Effekten er 403 kW.

OPPGAVE 2.44

Tilpass programmet ovenfor slik at vi får løst hele oppgaven i eksemplet på side 58 og 59. OPPGAVE 2.45

Tilpass programmet slik at det kan løse oppgave 2.34, 2.35 og 2.36.

2.5 Lineære ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for å vite om en størrelse er større enn eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), ≤ (mindre enn eller lik), > (større enn) og ≥ (større enn eller lik). Når vi skriver x 3, betyr det at x er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket x t 5 forteller at x er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at åpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent på samme måte som likninger. Vi kan legge til det samme tallet på begge sidene av ulikhetstegnet. 5!3 5 2 ! 3 2 7!5

2.5 LINEÆRE ULIKHE TER

Vi kan trekke fra det samme tallet på begge sidene av ulikhetstegnet. 5!3 5 2 ! 3 2 3 !1 Da kan vi gjøre slik: x 2 y x 2 2 y 2 x y 2 Vi ser at vi kan flytte et ledd over på motsatt side av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan gange med positive tall på begge sidene av ulikhetstegnet. 5!3 2 5 ! 2 3 10 ! 6 Når vi ganger med −2, får vi tallene −10 og −6, og vi vet at 10 6. Dermed må vi snu ulikhetstegnet når vi ganger med negative tall. 5!3 2 5 2 3 10 6 Her er regnereglene for ulikheter: Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet.

EKSEMPEL

Løs ulikhetene. a) 3x 4 x 8

b) x 2 4 x t 5x 2

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

LØ S N I N G

a) Vi bruker reglene på forrige side. 3x 4 x 8 3x x 8 4 2x 4 2x 4 2 2 x 2 b)

x 2(4 x ) t 5x 2 x 8 2 x t 5x 2 x 2 x 5x t 2 8 2 x t 10 Nå dividerer vi med 2 på begge sidene av ulikhetstegnet. Da må vi snu tegnet. 2 x 10 d 2 2 x d 5

OPPGAVE 2.50

Løs ulikhetene. a) 3x 2 ! 8 b) 2 x 5 ! x 1 c) x 3 3x 1 d) 2 x 1 t 3 x 6 OPPGAVE 2.51

Løs ulikhetene. a) 2 x 5 ! 4 x 1 b) 2(3 x ) 2 3(x 1) § x· c) 2 3x 6 ¨ 1 ¸ ! 0 © 2¹ 2 5 1 d) x x 3 2 3 5 1 7 9 e) x ! x 2 6 6 2 Til nå har vi arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv.

2.5 LINEÆRE ULIKHE TER

EKSEMPEL

Fredrik kjører fra Trondheim til Oslo. Vi tenker oss at han holder jevn fart. Etter t timer er avstanden fra Oslo målt kilometer gitt ved y 500 80t Petter starter fra Oppdal samtidig med at Petter starter fra Trondheim. Etter t timer er avstanden mellom Petter og Oslo gitt ved y 380 60t Når er Fredrik den av de to som er nærmest Oslo?

LØ S N I N G

Fredrik er nærmest Oslo når han har mindre avstand til Oslo enn det Petter har. Det gir 500 80t 380 60t 60t 80t 380 500 20t 120 20t 120 ! 20 20 t !6 Når det har gått mer enn 6 timer, er Fredrik nærmest Oslo.

OPPGAVE 2.52

La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U 30x 50 a) Hvor langt kan vi kjøre med drosjen hvis prisen skal være mindre enn 380 kr? b) Hvor langt må vi kjøre med drosjen hvis prisen skal være større enn 500 kr? OPPGAVE 2.53

Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 qC og synker med 2,5 qC per time. a) Når er temperaturen over 61 qC? b) Når er temperaturen under 71 qC? OPPGAVE 2.54

Anne og Einar er på tur. Anne har med seg 1200 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne? OPPGAVE 2.55

Løs ulikhetene. 1· 2 § a· § a) 8 2 ¨ a ¸ a 3 ¨ 2 ¸ 2¹ 3 3¹ © © 2s 1 4(2s 1) 1 c) 2 66

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

b) 6 4(t 8) 2t ! 34 6t

2.6 Tallinjer og intervall De reelle tallene kan vi framstille på ei tallinje: –5 –4 –3 –2

–1

Origo 0 1

5 x

Det skal være en fast avstand mellom hvert av de hele tallene. Denne avstanden kaller vi skalaen på tallinja. Punktet der 0 er plassert, kaller vi origo. Ethvert reelt tall har sin egen plass på tallinja. Og hvert punkt på tallinja svarer til ett reelt tall. Hvis det er en variabel med et navn vi framstiller på ei tallinje, skriver vi navnet på variabelen ved siden av pilspissen på tallinja. Variabelen på figuren ovenfor heter x. Tallene mellom 0 og 3 er et eksempel på et intervall. Dette intervallet omfatter ikke bare de hele tallene, men også alle brøker og irrasjonale tall mellom 0 og 3. Intervallet er bestemt ved den doble ulikheten 0 x 3 I slike doble ulikheter står det minste tallet helt til venstre og det største helt til høyre. Vi bruker dermed bare tegnene < og d i slike doble ulikheter. På tallinja avmerker vi intervallet på denne måten: –5 –4 –3 –2

–1

5 x

Åpent intervall

Legg merke til at endepunktene 0 og 3 ikke er med i dette intervallet. Slike intervaller kaller vi åpne intervaller og bruker skrivemåten 0, 3 om intervallet. Dersom vi vil uttrykke at x ligger mellom 0 og 3, kan vi skrive enten 0 x 3 eller x 0, 3 Hvis vi vil uttrykke at x ikke ligger i dette intervallet, skriver vi x 0, 3 . Vi kan skrive 2 0, 3 og 4 0, 3 . Det intervallet som er bestemt ved den doble ulikheten 0 d x d 3, markerer vi slik på tallinja: –5 –4 –3 –2

–1

5 x

Lukket intervall

2.6 TALLINJER OG INTERVALL

Her er endepunktene med i intervallet. Et slikt intervall kaller vi et lukket intervall. Vi bruker skrivemåten ª¬0, 3º¼ om dette intervallet. I stedet for å skrive at 0 d x d 3, kan vi skrive x ª¬0, 3º¼ . Det fins også halvåpne intervaller. Hvis 0 d x 3, skriver vi at x ª¬0 , 3 . På tallinja markerer vi dette slik: –5 –4 –3 –2

–1

5 x

Halvåpent intervall

Hvis 0 x d 3, skriver vi at x 0, 3º¼ . På tallinja ser det slik ut: –5 –4 –3 –2

–1

5 x

Halvåpent intervall

Noen intervaller er uten grense i den ene enden. Ulikheten x ! 2 gir et eksempel på et slikt uendelig intervall: –5 –4 –3 –2

–1

5 x

Uendelig intervall

I matematikken skriver vi x 2, o når vi vil uttrykke at x ! 2. På tilsvarende måte betyr x m , 1º¼ at x d 1.

OPPGAVE 2.60

Skriv de avmerkede intervallene med matematiske symboler. a) –5 –4 –3 –2

–1

5 x

–5 –4 –3 –2

–1

5 x

–5 –4 –3 –2

–1

5 x

–5 –4 –3 –2

–1

5 x

–5 –4 –3 –2

–1

5 x

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

OPPGAVE 2.61

Skriv disse intervallene med matematiske symboler og tegn dem inn på tallinjer. a) Alle x større enn 3 og mindre enn 5. b) Alle x større enn eller lik 2 og mindre enn 3. c) Alle x mindre enn eller lik 3. d) Alle x større enn −2. OPPGAVE 2.62

Marker disse intervallene på ei tallinje. b) ª¬0, 4 º¼ c) ¬ª 1, o a) ª¬ 3 , 6

d) m, 3º¼

OPPGAVE 2.63

Sett inn enten eller i de tomme rutene. 0, 6 b) 3 0, 2º¼ a) 3 c) 6

0, 6

d) 6

e) 0

m, 1

f) 1

0, 6º¼ 0, o

2.7 Mengdelære Nå ser vi på tallene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 og kaller dem grunnmengden. Grunnmengden kaller vi ofte S. Her kan vi skrive grunnmengden på listeform slik: S

^0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`

Vi innfører noen andre mengder med hele tall mellom 0 og 9. A C

^0, 1, 2` ^1, 3, 5, 7, 9`

B D

^0, 2, 4, 6, 8` ^2, 0, 1`

Mengden B består av partallene, og mengden C består av oddetallene mellom 0 og 9. Ettersom disse 4 mengdene bare består av elementer fra mengden S, er de delmengder av S. Med matematiske symboler skriver vi A S

B S

C S

D S

Mengdene A og D inneholder nøyaktig de samme tallene. Vi sier da at de to mengdene er like, og skriver A D

2.7 MENGDEL ÆRE

I kapittel 1.1 lærte vi om mengdedifferanse. Mengden B \ A består av de elementene i B som ikke er med i A. Dermed er B\A

^4, 6, 8` og A \ B ^1`

Mengden S\A

^3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`

kaller vi komplementmengden til A. Denne mengden består dermed av alle elementen i grunnmengden S som ikke er med i A. Vi kaller den også ‘ikke A’ og bruker da symbolet A. Dermed er

^3, 4, 5, 6, 7, 8, 9` Mengdene A ^0, 1, 2` og B ^0, 2, 4, 6, 8` har de to tallene 0 og 2 felles. Vi sier at mengden ^0, 2` er snittet av A og B, og vi skriver A B ^0, 2` A S\A

Uttrykket A B leser vi «A snitt B». A B består av de elementene som er med i både A og i B. Mengdene B ^0, 2, 4, 6, 8` og C ^1, 3, 5, 7, 9` har ingen felles elementer. Vi sier at snittet av de to mengdene er tomt, og vi skriver B C er symbolet for den tomme mengden. Det er en mengde uten noen elementer. Symbolet ^` blir også brukt om denne mengden. Når B C , er B og C to disjunkte mengder. To disjunkte mengder har dermed ingen felles elementer. Det er stor forskjell på mengden ^0` og mengden . Mengden ^0` inneholder ett tall, nemlig tallet 0. Mengden inneholder derimot ingen tall. Mengdene A ^0, 1, 2` og B ^0, 2, 4, 6, 8` inneholder til sammen tallene 0, 1, 2, 4, 6 og 8. Den samlede tallmengden kaller vi unionen av A og B, og vi skriver A B

^0, 1, 2, 4, 6, 8`

Uttrykket A B leser vi «A union B». A B består av de elementene som er med i A eller i B eller i begge.

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

EKSEMPEL

La A ^1, 2, 3, 4, 5`, B ^2, 3, 5, 7`, C ^4, 6, 8` og D a) Finn A B , B C , A B og B C . b) Finn A \ B, B \ A, D \ C og C \ D . c) Undersøk om A, B eller C er en delmengde av D.

LØ S N I N G

A B

^2, 3, 4, 5, 6, 7, 8`.

^2, 3, 5`

fordi 2, 3 og 5 er de eneste tallene som er med i både A og B. B C fordi det ikke er noen tall som er med i både B og C. A B

^1, 2, 3, 4, 5, 7`

fordi det er de tallene som er med i A eller i B eller i begge. B C

^2, 3, 4, 5, 6, 7, 8`

fordi det er de tallene som er med i B eller i C eller i begge. b)

A\B

^1, 4`

B\A

^7`

D \C

^2, 3, 5, 7`

C\D c) A inneholder tallet 1, det gjør ikke D. Dermed er ikke A en delmengde av D. Alle tallene i B og alle tallene i C er med i D. Dermed er B og C delmengder av D. B D og C D

OPPGAVE 2.70

Vi setter A ^2, 3, 4, 5`, B ^3, 5, 7, 9` og C S ^0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`. a) Finn A B , B C , A B og B C . b) Finn A \ B, B \ A, A \ C og C \ A. c) Finn A og B.

^4, 6, 8` med grunnmengden

OPPGAVE 2.71

^1, 3, 5`, B ^0, 2, 4,` og C ^1, 2, 3` med grunnmengden ^0, 1, 2, 3, 4, 5`.

Vi har A

S a) Finn A B , B C , A B og B C . b) Finn A \ B, B \ A, A \ C og C \ A. c) Finn A og B.

2.7 MENGDEL ÆRE

Til nå har grunnmengden S bestått av noen få hele tall slik at vi kunne skrive S på listeform. Men grunnmengden kan også være et intervall eller for eksempel bestå av alle de reelle tallene \. EKSEMPEL

La A ª¬1, 5 , B ª¬3, 7 º¼ , C 5 , 8º¼ og D ª¬2 , 8 med grunnmengde S \. a) Finn A B , B C , A B og B C . b) Finn A \ B og B \ A. c) Finn A og B. d) Undersøk om A, B eller C er en delmengde av D.

LØ S N I N G

a) 0

AEB B A

A B ª¬3 , 5 2

6 BEC C

B C 0

5 , 7 º¼ 3

4 AFB

B A

A B ¬ª1, 7 º¼ 2

BFC C B

B C

ª¬3, 8 º¼

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

b) 0

A\B B A

A \ B ª¬1, 3 0

B\A B A

B \ A ¬ª5, 7 º¼ c) 0

m, 1 ª¬5, o

7 A

A \\A 2

B \\B

9 B

m, 3 7, o

d) A inneholder tallet 1, det gjør ikke D. Dermed er ikke A en delmengde av D. Alle tallene i B er med i D. Dermed er B en delmengde av D. C er ikke en delmengde av D, for C inneholder tallet 8, og det gjør ikke D. B D

Nå skal vi se på en mengde A i en grunnmengde S og framstille den i et venndiagram. Slike diagrammer ble først tatt i bruk av den engelske matematikeren John Venn (1834 1923). A = S\A A

2.7 MENGDEL ÆRE

Mengden S er alt innenfor rektangelet. Mengden A er det området som er fargelagt på figuren. I dette venndiagrammet er komplementmengden A (‘ikke A’) alt som ikke er fargelagt innenfor rektangelet. Ved å framstille flere mengder i samme venndiagram kan vi finne noen egenskaper ved mengdene. Nedenfor har vi tegnet to mengder A og B i en grunnmengde S.

A B

Mengden A B består av hele det området som er fargelagt i venndiagrammet. A B er det området som er innenfor både A og B. Når vi skal framstille to disjunkte mengder, ser diagrammet slik ut:

OPPGAVE 2.72

Vi har A ª¬2 , 6 , B ª¬3, 7 º¼ og C ª¬1, 3 med grunnmengden S \. a) Finn A B , B C , A B og B C . b) Finn A \ B og B \ A. c) Finn A og B. OPPGAVE 2.73

Vi arbeider med grunnmengden \ og lar A m , 3º¼ , B a) Finn A B , B C , A B og B C . b) Finn A \ B og B \ A. c) Finn A og B. d) Er noen av mengdene A, B og C disjunkte?

2, o og C

ª¬0, 1º¼.

OPPGAVE 2.74

a) Hva er komplementmengden til partallene når grunnmengden er de naturlige tallene `? b) Hva er komplementmengden til oddetallene når grunnmengden er de naturlige tallene `? c) Hva er komplementmengden til de rasjonale tallene når grunnmengden er de reelle tallene \? d) Hva er komplementmengden til ª¬1, 2 º¼ når grunnmengden S ª¬0, 5º¼ ?

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

OPPGAVE 2.75

To mengder A og B er ikke disjunkte. a) Tegn de to mengdene i et venndiagram. b) Finn mengdene A B, A B, A og B i venndiagrammet. c) Finn mengden A B i venndiagrammet. d) Bruk venndiagrammet til å forklare at A B A B. Når vi arbeider med mengder, trenger ikke elementene være tall. Vi ser på et eksempel. EKSEMPEL

En liten klasse består av bare seks studenter: Ola, Kari, Per, Jon, Mia og Gry. Grunnmengden er da S

^Ola, Kari, Per, Jon, Mia, Gry`

I klassen er det tre faste grupper, A, B og C, der A B C

^Ola, Mia, Gry` ^Ola, Per, Jon` ^Kari, Mia, Gry`

a) Er noen av mengdene A, B og C disjunkte? b) Finn A B , B C , B C , A og B. LØ S N I N G

a) Mengdene B og C er disjunkte ettersom de ikke inneholder noe felles element. A B ^Ola` b) B C

^Ola, Kari, Per, Jon, Mia, Gry` S \ A ^Kari, Per, Jon` S \ B ^Kari, Mia, Gry` C

B C A B

OPPGAVE 2.76

Vi her gitt mengdene A â, e, i, o, u, y, æ, ø, å`, B â, b, c, d, e` og C ^m, n, o, p, r` med grunnmengde S â, b, c, … , æ, ø, å`. a) Finn A B og A C . b) Forklar hvorfor B og C er disjunkte. c) Hvilke bokstaver er det A består av?

2.7 MENGDEL ÆRE

2.8 Doble ulikheter Noen ganger må vi løse doble ulikheter. Hvis x forekommer bare mellom de to ulikhetstegnene, kan vi løse den doble ulikheten direkte ved å trekke fra tall over alt og ved å dele eller gange med tall over alt. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Løs ulikhetene. a) 11 2 x 1 17

b) 7 d 2 3x d 8

a) Her forekommer den ukjente bare mellom ulikhetstegnene, og vi kan løse ulikheten direkte. 11 2 x 1 17 11 1 2 x 1 1 17 1 10 2 x 16 10 2 x 16 2 2 2 5 x 8 b) Vi bruker de vanlige regnereglene for ulikheter: 7 d 2 3x d 8 7 2 d 3x d 8 2 9 d 3x d 6 Nå dividerer vi med −3. Da må vi snu ulikhetstegnene. 9 3x 6 t t 3 3 3 3 t x t 2 Vi skriver svaret slik: 2 d x d 3 I doble ulikheter begynner vi alltid med det minste tallet. Vi skriver 2 d x d 3 og ikke 3 t x t 2.

OPPGAVE 2.80

Løs de doble ulikhetene. b) 19 5x 4 34 a) 8 3x 2 14

c) 2 6 2 x 4

OPPGAVE 2.81

Løs ulikhetene. 3 1 7 a) 2 d x 4 2 2

2 5 b) 1 1 x 3 3

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

c) x 3 d 3x 1 d x 7

Hvis x ikke bare forekommer mellom de to ulikhetstegnene, må vi vanligvis dele den doble ulikheten i to enkle ulikheter. EKSEMPEL

Løs ulikheten. x 2 3x 4 2 x 6

LØ S N I N G

Her forekommer x flere steder, og vi må løse de to ulikhetene x 2 3x 4 og 3x 4 2 x 6 hver for seg så finne de verdiene for x som passer i begge ulikhetene. Først løser vi ulikheten x 2 3x 4: x 2 3x 4 x 3x 4 2 2 x 6 2 x 6 ! 2 2 x ! 3 x 3, o

Husk å snu ulikhetstegnet.

Så løser vi likningen 3x 4 2x 6: 3x 4 2 x 6 3x 2 x 6 4 x 2 x m, 2 Løsningen er x 3, o m, 2

3, 2

Vi kan også skrive løsningen slik: 3 x 2

OPPGAVE 2.82

Løs ulikhetene. a) x 5 3x 1 x 11 b) x 2 x 1 7 c) 2 x 1 d 5x 10 d 3x 8

2.8 DOBLE ULIKHE TER

SAMMENDRAG Likning Når vi løser en likning, finner vi den eller de verdiene for variabelen som gjør at uttrykkene på høyre og venstre side av likhetstegnet blir like. Regneregler for likninger Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet hvis vi samtidig skifter fortegn på leddet. Innsettingsmetoden Når vi skal løse to likninger med to ukjente x og y med innsettingsmetoden, finner vi et uttrykk for x eller y fra en av likningene. Dette uttrykket setter vi inn i den andre likningen. Det gir oss én likning med én ukjent, som vi da løser. Addisjonsmetoden Når vi skal løse to likninger med to ukjente x og y med addisjonsmetoden, multipliserer vi om nødvendig likningene med hvert sitt tall slik at en av variablene forsvinner når vi legger sammen likningene. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Vi kan flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet hvis vi skifter fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. Union Unionen A B består av alle elementene som er med i A eller i B eller i begge. Snitt Snittet A B består av alle elementene som er med både i A og i B.

2 | LIKNINGER OG ULIKHE TER

Delmengde Mengden A er en delmengde av mengden B (A B ) hvis alle elementene i A også er med i B. Den tomme mengden Den tomme mengden inneholder ingen elementer. Disjunkte mengder To mengder A og B er disjunkte hvis de ikke har noen elementer felles (A B ). Komplementmengde Komplementmengden A til mengden A består av alle de elementene som ikke er med i A.

SAMMENDRAG

LINJER OG GRAFER Studentene skal kunne • benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner • tegne grafer til funksjoner i kartesiske koordinatsystemer i to dimensjoner • regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme nullpunktene til disse • løse likninger, likningssystemer og ulikheter grafisk

3.1 Rette linjer Ei linje har likningen y 2x 1 Hvis vi skal finne ut om punktet A 3, 7 ligger på linja, setter vi inn x 3 og y 7 i likningen og ser om tallene passer. y 2x 1 7 2 3 1 7 7 Siden tallene passer i likningen, ligger punktet A 3, 7 på linja. Punktet B 5, 9 ligger ikke på linja, for x 5 og y 9 passer ikke i likningen. y 2x 1 9 2 5 1 9 11 Et punkt ligger på ei linje med likningen y ax b hvis og bare hvis koordinatene til punktet passer i likningen. Når vi kjenner likningen for ei linje, kan vi finne koordinatene til hvor mange punkter vi vil på linja. Vi velger verdier for x og regner ut y. Vi ser på linja med likningen y 2 x 1. Hvis vi velger x 0, blir y 2 0 1 1. Punktet 0, 1 ligger på linja. Med x 2, blir y 2 2 1 5. Punktet 2, 5 ligger på linja. Vanligvis samler vi utregningene i en slik tabell:

y 10

y = 2x + 1

Når vi har to punkter på linja, kan vi tegne den. Her har vi også tegnet de to punktene A 3, 7 og B 5, 9 og ser at A ligger på linja, og at B ikke ligger på linja.

B(5, 9)

8 7

A(3, 7)

6 5

(2, 5)

4 3 2 1 (0, 1) 1

x 2

3.1 RE T TE LINJER

OPPGAVE 3.10

Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. a) y 2 x 1 b) y x 4 c) y 2 x 2 Er noen av linjene parallelle? OPPGAVE 3.11

Lag tabell og tegn linjene i det samme koordinatsystemet. 3 x 1 a) y 2 x 3 b) y 2 x 1 c) y 2 Krysser noen av linjene y-aksen i det samme punktet? Nå ser vi mer på linja y 2 x 1. Tallet 1 kaller vi konstantleddet. y 7

y = 2x + 1

5 4

Stigningstallet

3 2 1

Konstantleddet

Stigningstallet

x 1

Linja skjærer y-aksen i y 1, som er lik konstantleddet i likningen. Det kan vi regne ut ved å sette x 0: y 2 0 1 1 Hvis vi tar utgangspunkt i skjæringspunktet med y-aksen og går 1 enhet mot høyre, må vi 2 enheter opp for å komme til linja. Se trekanten nederst til venstre på figuren. Tallet 2 gjenkjenner vi som tallet foran x i likningen y 2 x 1. Vi kaller det stigningstallet til linja. Nå tar vi utgangspunkt i et annet punkt på linja og går 1 enhet til høyre. Hvor langt er det da opp til linja? Se trekanten øverst til høyre på figuren. De to trekantene er formlike og like store (kongruente). Da må avstanden opp til linja være like store i begge trekantene. Avstanden opp til linja er dermed 2, som er stigningstallet til linja. Nå ser vi på linja med likningen y

3 | LINJER OG GRAFER

2 x 3. Først lager vi tabell.

Deretter tegner vi linja. y y = –2 x + 3 5 4 Konstantleddet

1 Stigningstallet

–2

2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

213 –2

–2

Stigningstallet

–3

Hvis vi tar utgangspunkt i et punkt på denne linja og flytter oss 1 enhet mot høyre, må vi 2 enheter ned for å møte linja. y minker med to enheter når x øker med 1 enhet. Vi sier også at y øker med 2 enheter. Tallet 2 er stigningstallet til linja y 2 x 3. Også her står stigningstallet foran x i likningen. Tankegangen ovenfor kan vi gjennomføre for ei vilkårlig linje y ax b. Den rette linja

y y = ax + b

y ax b a

skjærer y-aksen i punktet y b. Når x øker med én enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b er konstantleddet.

Stigningstallet

1 Konstantleddet x

Hvis stigningstallet a er et positivt tall, stiger linja mot høyre. Hvis stigningstallet a er et negativt tall, synker linja mot høyre. Hvis stigningstallet a 0, er linja horisontal. Linja y 3 er ei slik linje, for vi kan skrive likningen som y 0 x 3. Til venstre nedenfor har vi tegnet den linja. y

y 4

y=3

1 –3 –2 –1 –1

x=2

x 1

2 3

–3 –2 –1 –1

2 3

Likningen x 2 kan vi oppfatte som likningen for ei linje der alle punktene har førstekoordinat lik 2. Det blir ei linje som er parallell med y-aksen slik som vist til høyre ovenfor. 3.1 RE T TE LINJER

Ei horisontal linje har likningen y b. Linja går gjennom tallet b på y-aksen. Ei vertikal linje har likningen x k. Linja går gjennom tallet k på x-aksen. I stedet for å bruke tabell når vi skal tegne ei rett linje, kan vi utnytte konstantleddet og stigningstallet. EKSEMPEL

Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene a) y

LØ S N I N G

3 x 2 2

b) y

3x 4

3 x 2 er konstantleddet 2. Linja går derfor gjennom 2 3 punktet y 2 på y-aksen. Linja har stigningstallet 1, 5. Hver gang x øker 2 3 med én enhet, øker y med enheter. Når vi skal tegne linja, markerer vi 2

a) I likningen y

først punktet y 2 på y-aksen. Vi går så ut fra dette punktet og går én 3 enhet til høyre parallelt med x-aksen. Deretter går vi 1, 5 enheter 2 oppover for å finne det neste punktet på linja. Fra et punkt på linja kan vi i stedet gå 2 enheter mot høyre og deretter 3 enheter opp for å finne et annet punkt på linja. Nå har vi to punkter på linja og kan tegne linja som vist til venstre nedenfor. y 5 4

3 2

y 5 1 4

x+2

1,5

1 –2 –1

x 1

2 3

–3

–2 –1

y = –3x + 4

2 3

x 5

b) Linja y 3x 4 går gjennom punktet y 4 på andreaksen. Når vi går en enhet til høyre fra dette punktet, må vi gå tre enheter nedover for å finne et nytt punkt på grafen. Når vi har to punkter, trekker vi linja som vist til høyre ovenfor.

OPPGAVE 3.12

Utnytt konstantleddet og stigningstallet til å tegne linjene. a) y 2 x 1

b) y

3 | LINJER OG GRAFER

2 x 2

c) y

1 2

3 2

d) y

x 1

OPPGAVE 3.13

a) Tegn de fire linjene y 1, x 1, x 3 og y x 2 i det samme koordinatsystemet. b) Finn arealet av området som er avgrenset av de fire linjene. OPPGAVE 3.14

a) Tegn de tre linjene y x 2, y 2x 2 og x 3 i det samme koordinatsystemet. b) Finn arealet av området som er avgrenset av de tre linjene.

3.2 Å finne likningen for ei linje Både stigningstallet og likningen for ei linje kan vi finne grafisk. Da tegner vi linja i et koordinatsystem og leser av stigningstallet og skjæringspunktet med andreaksen. EKSEMPEL

Ei linje går gjennom punktene 1, 2 og 3, 10 . Finn likningen for linja grafisk.

LØ S N I N G

Vi markerer de to punktene i et koordinatsystem og trekker linja gjennom punktene. Skjæringspunktet med y-aksen gir konstantleddet b 4. y (3, 10)

10 9 8 7 6 4 3 (–1, 2)

2 1

Stigningstall

5 1

Konstantledd

–3 –2 –1

x 1

For å finne stigningstallet a velger vi et punkt på linja og går 1 enhet mot høyre ut fra punktet. Da må vi gå 2 enheter opp for å komme til linja. Det gir stigningstallet a 2. Likningen for linja blir y 2x 4 3.2 Å FINNE LIKNINGEN FOR EI LINJE

OPPGAVE 3.20

I dette koordinatsystemet har vi tegnet fire rette linjer. Finn likningene for linjene grafisk. y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

x 1

–1

–2 –3 –4 –5

OPPGAVE 3.21

Ei linje går gjennom punktene 1, 1 og 3, 3 . Finn likningen for linja. Nå skal vi finne stigningstallet til ei linje ved regning. Ei linje går gjennom punktene 2, 1 og 5, 7 , som vist her: y 8 (5, 7)

7 6 5 4 3

6y a

2 1 –1

–1

(2, 1) 1

6x 2

x 5

Vi går fra punktet 2, 1 til punktet 5, 7 . Da øker x fra 2 til 5. Vi bruker symbolet Δx (‘delta x’) om en endring i x-verdi. Økningen i x-verdi er da 'x 5 2 3

3 | LINJER OG GRAFER

Økningen i y-verdi (Δy) er 'y 7 1 6 Stigningstallet a forteller hvor langt det er opp til linja når x øker med 1 enhet. På figuren ovenfor er det to formlike trekanter. Det gir 'y 'x 'y 6 2 'x 3

a 1 a

Stigningstallet er 2. Denne tankegangen kan vi gjennomføre for alle rette linjer som går gjennom to punkter, x1 , y1 og x2 , y2 . y (x2, y2)

'y a (x1, y1)

1 'x

Formlike trekanter gir a 1 a

'y 'x 'y 'x

y2 y1 x2 x1

Ei rett linje som går gjennom to punkter x1 , y1 og x2 , y2 , har stigningstallet a

'y 'x

y2 y1 x2 x1

3.2 Å FINNE LIKNINGEN FOR EI LINJE

EKSEMPEL

Finn stigningstallet til ei linje som går gjennom punktene 1, 3 og 5, 9 .

LØ S N I N G

Stigningstallet er a

'y 'x

y2 y1 x2 x1

9 3 5 1

6 4

3 2

OPPGAVE 3.22

Finn stigningstallet til linja som går gjennom punktene 1, 1 og 4, 7 . OPPGAVE 3.23

Finn stigningstallet til linja gjennom disse punktene: a) 2, 7 og 4, 1 b) 1, 2 og 3, 4 c) 4, 1 og 2, 3 d) 4, 1 og 2, 10 På forrige side fant vi at linja gjennom punktene 2, 1 og 5, 7 har stigningstallet 2. Nå skal vi finne likningen for denne linja ved regning. Ettersom linja har stigningstallet 2, må likningen være y 2x b der b er et ukjent tall. Punktet 2, 1 ligger på denne linja. Fra kapittel 3.1 vet vi at da må koordinatene til punktet passe inn i likningen. Vi setter x 2 og y 1 inn i likningen. 1 2 2 b 1 4 b b 3 Likningen for linja er y 2x 3 Vi hadde fått det samme svaret hvis vi hadde brukt punktet 5, 7 i stedet for 2, 1 . Prøv!

3 | LINJER OG GRAFER

EKSEMPEL

Ei linje går gjennom punktene 1, 5 og 3, 3 . a) Finn stigningtallet til linja. b) Finn likningen for linja ved regning.

LØ S N I N G

a) Stigningtallet er a

'y 'x

y2 y1 x2 x1

3 5 3 ( 1)

8 4

b) Når stigningstallet er 2, må likningen være y

2 x b

der b er et ukjent tall. Punktet 1, 5 ligger på linja. Da må x 1 og y 5 passe i likningen. 5 2 1 b 5 2 b b 3 Likningen er y

2 x 3

OPPGAVE 3.24

a) Finn likningen for ei linje som går gjennom 2, 1 og har stigningstallet 3. b) Finn likningen for ei linje som går gjennom 1, 5 og har stigningstallet −3. OPPGAVE 3.25

Finn likningen for linjene gjennom de to punktene uten bruk av hjelpemidler. a) 1, 5 og 4, 2 b) 2, 1 og 2, 11 c) 0, 5 og 4, 7 d) 2, 4 og 2, 1 OPPGAVE 3.26

Ei linje l går gjennom punktene 2, 5 og 4, 3 . a) Finn likningen for linja l. b) Ei linje m er parallell med linja l og går gjennom punktet 3, 1 . Finn likningen for linja m.

3.2 Å FINNE LIKNINGEN FOR EI LINJE

3.3 Digital graftegning Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å tegne rette linjer og andre grafer. Her viser vi hvordan vi bruker GeoGebra 6 til slik tegning. Vi skal nå tegne linja y 1, 5x 2 øverst i høyre ved hjelp av GeoGebra. Vi åpner programmet, klikker på hjørne og velger Vis . Der merker vi av for algebrafelt og grafikkfelt. Hvis vi og ikke får fram koordinataksene eller rutenettet, åpner vi menyen for å få fram aksene, og på for å få fram rutenettet. klikker på Nå skriver vi inn likningen for linja i algebrafeltet. Bruk desimalpunktum og ikke desimalkomma!

Når vi trykker Enter, gir GeoGebra linja navnet f på denne måten:

Linja er nå tegnet i grafikkfeltet. 5 4 3 2 1

–4

–3 3

–2 2

–1 –1

–1 1

Du får sikkert et helt annet utsnitt og andre tall på aksene enn det vi har fått. Hvis vi klikker inne i grafikkfeltet og holder inne venstre musetast, kan vi flytte på koordinatsystemet. Vi kan zoome ved hjelp av to fingrer på styreplata eller ved hjelp av hjulet på musa.

3 | LINJER OG GRAFER

Hvis vi vil endre på en av aksene, klikker vi på , plasserer musepekeren på aksen og holder inne venstre musetast. Da kan vi dra i aksen og få den slik vi vil. Nå skal vi sette navn på aksene. Da klikker vi i grafikkfeltet og høyreklikker deretter. Nå klikker vi på Grafikkfelt og velger fanen xAkse. Deretter skriver vi inn navnet x på x-aksen. x

Deretter velger fanen yAkse og skriver y som navn på aksen. Nå kan det være lurt å lagre dette, slik at vi slipper å gjøre det hver gang. Da åpner vi menyen , trykker på Innstillinger og på Lagre innstillinger . Hvis vi vil endre fargen på linja, åpner vi menyen , klikker vi på linja og . Vi kan også trykke på og velge hvilken type linje vi vil ha, deretter på og hvor tykk den skal være. Til slutt trykker vi på AA og velger Verdi. Da får vi skrevet likningen for linja ved siden av linja, og ikke ved siden av navnet. Nå kan vi få fram dette resultatet: 5

y = 1.5x + 2

x –2 2

–1

OPPGAVE 3.30

Tegn linjene digitalt. a) y 3x 1 b) y 2 x 7 c) y 3, 7 x 2, 4 2 1 d) y x 3 3

3.3 DIGITAL GRAF TEGNING

Noen ganger kan det være vanskelig å finne ut hvilke verdier vi skal ha langs aksene. Ofte står det i oppgaven hvilke x-verdier vi skal bruke. Men vi må selv finne ut hvilke verdier vi trenger langs y-aksen. Da kan vi gå fram som i dette eksemplet. EKSEMPEL

Tanken på en bil inneholder 60 liter bensin. Bilen bruker 0,55 liter bensin per mil. Etter x mil er bensinmengden y i liter gitt ved y 60 0, 55x Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye bensin det er igjen på tanken helt til vi har kjørt 100 mil.

LØ S N I N G

Vi bruker GeoGebra og skriver først inn likningen i algebrafeltet og får dette: Husk å bruke punktum og ikke komma!

Men ennå kommer det sikkert ikke fram noen graf i koordinatsystemet. Grunnen er at vi ikke har de riktige verdiene på aksene. Da klikker vi først i grafikkfeltet, holder inne venstre musetast og drar i koordinatsystemet slik at og drar i x-aksen origo kommer nederst til venstre. Deretter trykker vi på slik at vi får fram tallene fra 0 til 100. Deretter drar vi i y-aksen slik at linja vises i hele området fra x 0 til x 100. Nå høyreklikker vi inne i grafikkfeltet og velger Grafikkfelt . I fanen xAkse gir vi x-aksen navnet ‘x (mil)’. Deretter gir vi y-aksen navnet ‘y (liter)’. Det gir denne grafen: y (lit (liter) (ie ) 60 6 0

y = 60 - 0.55x

40 4 0

x (mil) 0

40 4 0

3 | LINJER OG GRAFER

80 8 0

100 10

OPPGAVE 3.31

Tante Maggi har 10 000 kr i et skrin på kjøkkenet. Hun sparer fra nå av 1500 kr per måned og legger pengene i skrinet. Etter x måneder er beløpet y i kroner gitt ved y 1500 x 10 000 Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye penger det er i skrinet de neste 24 månedene. OPPGAVE 3.32

For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved y 0, 84 x 1200 der x er tallet på kilowattimer. Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og 30 000. OPPGAVE 3.33

a) Tegn linja digitalt når y 2 x 10 og x er mellom −10 og 10. b) Tegn linja digitalt når y

0, 05x 10

og x er mellom 0 og 20. c) Tegn linja digitalt når y 0, 02 x 1000 og x er mellom 0 og 100 000. OPPGAVE 3.34

Vi fyller varm drikke med temperaturen 90 qC på ei termosflaske. Temperaturen i flaska synker med 3 grader per time. a) Finn en formel for temperaturen y etter t timer. b) Tegn digitalt ei linje som viser sammenhengen mellom y og t når t er mellom 0 og 10.

3.3 DIGITAL GRAF TEGNING

3.4 Grafisk løsning Fredrik studerer i Trondheim og skal hjem til Oslo. Han kjører i gjennomsnitt 70 km/h. Etter x timer er avstanden y til Oslo i kilometer gitt ved y 515 70 x Grafen nedenfor viser hvor langt Fredrik har igjen når han har kjørt x timer. km y 600 500 400 300 200 100

x 1

6 5,5

8 h

Når vi skal finne ut hvor langt Fredrik har igjen etter 3 timer, tar vi utgangspunkt i tallet 3 på x-aksen, går rett opp til grafen og så inn på y-aksen. Vi ser at Fredrik har 300 km igjen etter 3 timer. Fredrik kjører om Hamar. Det er da 130 km igjen til Oslo. Når passerer han Hamar? Nå tar vi utgangspunkt i tallet 130 på y-aksen, går horisontalt bort til linja og så ned på x-aksen. Da finner vi ut at Fredrik passerer Hamar etter 5,5 timer. Slike grafiske løsninger som vi nå har gjort, gir vanligvis ikke eksakt riktige svar. Men ofte kan en tilnærmet løsning være god nok. Noen ganger trenger vi ikke eksakt riktige løsninger. Andre ganger arbeider vi med matematiske modeller som bare gir en omtrent riktig beskrivelse av virkeligheten. Når vi arbeider med slike modeller, trenger vi ikke eksakte svar. EKSEMPEL

Løs likningene grafisk. a) 3x 2 4 b) 2 x 5 x 2

3 | LINJER OG GRAFER

LØ S N I N G

a) Vi tegner først linja med likningen y 3x 2.

Deretter tar vi utgangspunkt i tallet 4 på y-aksen, går parallelt med x-aksen bort til linja og deretter parallelt med y-aksen ned til x-asken. Vi kommer fram til tallet 2. Løsningen er x 2 b) Her tegner vi de to linjene med likningene y samme koordinatsystemet.

2 x 5 og y

x 2 i det

I skjæringspunktet har de to uttrykkene samme verdi. Løsningen er dermed x-verdien til skjæringspunktet. Løsningen er x 1

3.4 GRAFISK LØSNING

OPPGAVE 3.40

Løs likningene grafisk. a) 2 x 1 5 c) 2 x 2 2 x 2

b) 3x 1 x 2 d) 2 x 2 3x 7

OPPGAVE 3.41

Vanja betaler 3500 kr i året i forsikring for skuteren sin. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. a) Forklar at utgiftene i kroner per år er gitt ved U

0, 50 x 3500

når hun kjører x kilometer per år. b) Tegn linja i oppgave a når x er mellom 0 og 5000. c) Bruk linja til å finne ut hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr. Vi kan også løse likningssett grafisk. EKSEMPEL

Løs likningssettet grafisk. 5x 2 y 4 x y 5

LØ S N I N G

Først finner vi et uttrykk for y fra den første likningen. 5x 2 y 4 2 y 5x 4 | 1 1 2 y 5x 4 | 2 5 y x 4 2 Den andre likningen gir x y 5 y x 5 Vi har nå omformet hver av de to likningene til en likning av typen y ax b, som vi gjenkjenner som likningen for rette linjer. Her har vi tegnet de to linjene i et koordinatsystem.

3 | LINJER OG GRAFER

y 7

y = 52 x – 2

6 5 4 3 2

y = –x + 5

1 –2 –1 –1

x 1

–2

Vi skal finne punktene som ligger på begge linjene. Skjæringspunktet gir løsningen. Løsningen er x 2 og y 3

OPPGAVE 3.42

Løs likningssettet grafisk uten digitalt hjelpemiddel. x 2 y 2x y

4 3

OPPGAVE 3.43

Løs likningssettene grafisk. b) 3x 4 y 1 a) x 2 y 5 x y 2 6 x y 7 c) x 2 y 4 3x y 3

d) x 2 y 2 1 x y 1 2

OPPGAVE 3.44

Knut skal kjøre en strekning på 400 km. Han kjører jevnt med farten 60 km/h. Når han har kjørt 90 km, starter Anne. Hun kjører den samme strekningen som Knut med farten 80 km/h. Når Anne har kjørt i t timer, har hun kjørt trekningen s 80 t Knut har da totalt kjørt strekningen s 60 t 90 Finn grafisk hvor lang tid det går før Anne har nådd igjen Knut. Hvor langt har de kjørt da? 3.4 GRAFISK LØSNING

OPPGAVE 3.45

Ved lønnsforhandlingene i et datafirma får en selger velge mellom to tilbud for månedslønn: 1) Ei fast lønn på 15 000 kr pluss 500 kr for hver datamaskin hun selger. 2) Ei fast lønn på 16 500 kr pluss 250 kr for hver datamaskin hun selger. a) Sett opp to formler for lønna når hun selger x datamaskiner per måned. b) Finn grafisk hvor mange maskiner hun må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Hva er månedslønna i dette tilfellet?

3.5 Grafisk løsning av ulikheter Nå skal vi se hvordan vi kan løse ulikheter grafisk. EKSEMPEL

Vi kommer fram til ei hytte på fjellet. Temperaturen inne er 2 qC. Vi fyrer i ovnen og temperaturen øker da med 3 grader per time. Bestem grafisk når temperaturen er over 14 qC.

LØ S N I N G

Temperaturen i celsiusgrader etter t timer må da være gitt ved y 3t 2 Temperaturen er dermed over 14 qC når 3t 2 ! 14 Vi tegner først linjene med likningene y 3t 2 og y 14 i et koordinatsystem. Grader y 20

y = 3t + 2

y = 14

12 8 4 –1

2 3

t 7 timer

Temperaturen er over 14 qC når linja y 3t 2 ligger over linja y 14. Det er når t ! 4. Legg merke til hvordan vi markerer løsningen på x-aksen. Temperaturen er over 14 qC når det har gått mer enn 4 timer.

3 | LINJER OG GRAFER

EKSEMPEL

Løs ulikheten grafisk. 2 x 5 x 2

LØ S N I N G

Vi tegner de to linjene med likningene y

2 x 5 og y

x 2 .

y 5

y=x+2

4 3 2

y = –2x + 5

1 –1 –1

x 1

2 3

Ulikheten 2 x 5 x 2 er oppfylt for de verdiene for x som er slik at linja y 2 x 5 ligger under linja y x 2. Ut fra figuren ser vi at det er når x !1

OPPGAVE 3.50

Løs ulikhetene. a) 3x 2 ! 8 c) x 3 < 3x 1

b) 2x 5 ! x 1 d) 2 x 1 t 3 x 6

OPPGAVE 3.51

La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U 30x 50 a) Finn grafisk hvor langt vi kan kjøre med drosjen hvis prisen skal være under 380 kr. b) Hvor langt må vi kjøre med drosjen hvis prisen skal være over 500 kr? OPPGAVE 3.52

Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 qC og synker med 2,5 qC per time. a) Når er temperaturen over 61 qC? b) Når er temperaturen under 71 qC? Vi kan også løse doble ulikheter grafisk. EKSEMPEL

Løs ulikhetene grafisk. a) 1 2 x 1 5

b) 2 x 4 x 1 x 7

3.5 GRAFISK LØSNING AV ULIKHE TER

LØ S N I N G

a) Vi tegner linjene y 1, y 2 x 1 og y 5 i et koordinatsystem. y 6

y = 2x – 1

y=5

4 3 2

y=1

–1 –1

2 3

Løsningen av ulikheten 1 2 x 1 5 er de verdiene for x der linja y 2 x 1 ligger over linja y 1 og under linja y 5. Figuren viser at løsningen er 1 x 3 b) Nå tegner vi linjene y koordinatsystem.

2 x 4, y

x 1 og y

x 7 i et

y 7 6

y=x+1

5 4

y = –x + 7

3 2 1

y = –2 x + 4 1

2 3

x 6

Løsningen av ulikheten 2 x 4 x 1 x 7 er de verdiene for x der linja y x 1 ligger over linja y 2 x 4 og under linja y x 7. Figuren viser at løsningen er 1 x 3

OPPGAVE 3.53

Løs de doble ulikhetene grafisk. a) 1 3x 5 7 b) 2 2 x 4 8 OPPGAVE 3.54

Løs ulikhetene grafisk. a) x 5 3x 1 x 11 c) 2 x 1 d 5x 10 d 3x 8

100

3 | LINJER OG GRAFER

b) x 2 x 1 7

c) 2 6 2 x 4

3.6 Funksjonsbegrepet DISKUTER

På bybussen koster en enkeltbillett 19 kr for barn under 16 år, 38 kr for voksne og 19 kr for personer over 67 år. Når det kommer inn en person på bussen, er prisen y bestemt av alderen x til personen. Men om vi vet hva en person har betalt på bussen, kan vi ikke bestemme den nøyaktige alderen til personen. Finn andre situasjoner der hver verdi for en variabel x gir én bestemt verdi for en variabel y. Men om vi kjenner verdien av variabelen y, kan vi ikke finne én bestemt verdi for x. Vi kaster en stein opp i lufta. Etter t sekunder er steinen y meter over bakken, der y er gitt ved formelen y

5t 2 20t

Etter 3 s er høyden i meter y

5 32 20 3 15

Steinen er 15 m over bakken etter 3 s. Når vi kjenner t, kan vi regne ut en bestemt verdi for y. Vi sier at høyden y er en funksjon av tida t. y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Steinen har samme høyde over bakken to ganger på vei opp og på vei ned. Steinen er 15 m over bakken etter 1 s og etter 3 s. Når vi kjenner høyden y, kan vi ikke fastsette én bestemt verdi for tida t. Tida t er dermed ikke en funksjon av høyden y. Uttrykket 5t 2 20t kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for et funksjonsuttrykk. Når y er høyden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket for h(t) og skriver h(t ) 5t 2 20t Her er h den første bokstaven i ordet høyde. Vi sier også at funksjonen h er gitt ved h(t ) 5t 2 20t

3.6 FUNKSJONSBEGREPE T

101

Når vi skal finne høyden i meter etter 1 s, skriver vi h(1) 5 12 20 1 15 Høyden i meter etter 2 s er h(2) 5 22 20 2 20 Tallene 15 og 20 kaller vi funksjonsverdier. Vi regner ut flere funksjonsverdier og samler dem i en tabell: t

h(t)

Så tegner vi grafen til funksjonen h. Da merker vi av punktene i tabellen og trekker en glatt kurve gjennom dem. m y 25 20 15 10

5 t 1

Langs førsteaksen finner vi den uavhengige variabelen t. Denne variabelen velger vi verdier for. Langs andreaksen finner vi funksjonsverdiene. Det er verdiene vi regner ut. Vi ser at steinen er tilbake på bakken etter 4 sekunder. Ferden stopper der. Altså må vi forutsette at variabelen t her er et tall mellom 0 og 4. Det kan vi skrive slik: 0dt d 4 At t er et tall mellom 0 og 4, kan vi også skrive på denne måten: t ª¬0, 4 º¼ Vi sier at funksjonen h har definisjonsmengden ª¬0, 4 º¼ , og vi skriver Dh

ª¬0, 4 º¼

D er den første bokstaven i definisjonsmengde, og h er navnet på funksjonen.

102

3 | LINJER OG GRAFER

Vi ser at steinen er 20 m over bakken i det høyeste punktet. Med andre ord kan høyden være alle tall fra og med 0 m til og med 20 m. Funksjonsverdiene kan dermed være alle tall i intervallet ª¬0, 20 º¼ . Dette intervallet kaller vi verdimengden til funksjonen. Vi skriver Vh

ª¬0, 20 º¼

Ovenfor brukte vi h som navn på funksjonen, fordi den gir høyden over bakken. Vi brukte t som navn på variabelen, for det var tida. Hvis en funksjon ikke har noen spesiell, praktisk tolkning, bruker vi gjerne x som variabel og f som navn på funksjonen. Funksjonsuttrykket kaller vi da f (x ). Bokstaven f er den første bokstaven i ordet funksjon. En funksjon f er gitt ved f (x ) x 2 2x Da er f (2) 22 2 2 4 4 0 og 2

f ( 2) 2 2 2

4 4 8

OPPGAVE 3.60

Regn ut a) f (x ) b) f (x ) c) f (x )

f ( 2), f (0) og f (2) når funksjonen f er gitt ved 3x 2 x 2 2x 3 x 3 2x 2 9x 1

OPPGAVE 3.61

Vi skyter opp ei kule. Høyden i meter etter t sekunder er gitt ved h(t ) 5t 2 50t a) b) c) d) e) f)

Finn høyden etter 2 s, 5 s og 7 s. Tegn grafen til h. Når er kula tilbake på bakken? Finn definisjonsmengden til funksjonen. Finn verdimengden. Når er kula 50 m over bakken?

3.6 FUNKSJONSBEGREPE T

103

Ovenfor kjente vi funksjonsuttrykket til en funksjon og kunne lage en graf. Andre ganger kjenner vi grafen uten å kjenne funksjonsuttrykket. Høyden h over bakken etter tida t kan være gitt ved denne grafen: m h 80 60 40 20

t 1

8 s

Høyden er her en funksjon av tida t, for hver mulig verdi for t gir nøyaktig én verdi for høyden. Etter for eksempel 2 s er høyden 60 m. Men her er ikke tida t en funksjon av h. Når vi kjenner høyden h, kan vi normalt ikke finne tida t. Én verdi for h kan gi to verdier for t.

OPPGAVE 3.62

Vi kaster en stein opp i lufta. Grafen viser høyden h(t) i meter etter t sekunder. m y 50 40 30 20

t 1

6 s

a) Finn høyden etter 2 s og etter 5 s. b) Forklar hvorfor høyden er en funksjon av tida t. Finn definisjonsmengden og verdimengden til denne funksjonen. c) Når er steinen 40 m over bakken? d) Er tida en funksjon av høyden? OPPGAVE 3.63

Grafene nedenfor viser sammenhengen mellom en variabel x og en variabel y. Finn ut om y er en funksjon av x, og om x er en funksjon av y. a) b) c) y

x 2

104

3 | LINJER OG GRAFER

x 2

Nå har vi sett at vi kan definere funksjoner ved hjelp av et funksjonsuttrykk og ved hjelp av en graf. Men vi kan også definere funksjoner ved hjelp av en tabell. På veier med fartsgrense 80 km/h ble fartsbøtene i 2019 gitt ut fra denne tabellen: Fart (km/h) Bot (kr)

¢80, 85]

¢85, 90]

800

2100

¢90, 95] ¢95, 100] ¢100, 105] ¢105, 110] ¢110, o² 3400

4700

6400

8500

10 200

Intervallet 80, 85º¼ består av alle tall fra 80 til og med 85. Intervallet 110,o inneholder alle tall over 110. Når vi kjenner farten, gir tabellen én verdi for boten. Boten er da en funksjon av farten. Definisjonsmengden til denne funksjonen f er Df

80, o

Det vil si all fart over 80 km/h. Verdimengden består av tallene 800, 2100, 3400, 4700, 6400, 8500 og 10 800. Vi kan skrive den på listeform: Vf

^800, 2100, 3400, 4700, 6400, 8500, 10 200`

I tabellen ovenfor er farten ikke en funksjon av boten. Når vi vet hvor stor boten er, kan vi ikke si nøyaktig hvor stor farten var.

OPPGAVE 3.64

Karakteren på en eksamensbesvarelse blir fastsatt ut fra hvor mange prosent av oppgavene studenten får til. 0−34 prosent: F 35−44 prosent: E 45−59 prosent: D 60−74 prosent: C 75−89 prosent: B 90−100 prosent: A Prosenten er da rundet av til nærmeste hele prosent. a) Forklar hvorfor karakteren er en funksjon av prosentene. Finn definisjonsmengden og verdimengden til denne funksjonen. b) Er prosentene en funksjon av karakteren?

3.6 FUNKSJONSBEGREPE T

105

3.7 Andregradsfunksjoner DISKUTER

En funksjon f er gitt ved f (x ) x 2 6x 5 a) Fyll ut denne tabellen: 1

f (x)

a) Finner du noe mønster i tallene? b) Kan du bruke systemet du fant, til å finne f ( 2) og f (8) uten å sette inn i funksjonsuttrykket? Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 4 x 3 og er et eksempel på en andregradsfunksjon. Når vi skal tegne grafen til f, velger vi noen verdier for x og regner ut funksjonsverdiene. Det gir denne tabellen: x

f (x)

Deretter merker vi av tallene som punkter og trekker en glatt kurve gjennom punktene. y 10

Nullpunkt

x –2

Bunnpunkt (2, –1)

Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel.

106

3 | LINJER OG GRAFER

Punktene på x-aksen der grafen krysser aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at f (x ) 0 Funksjonen på forrige side har dermed nullpunktene x 1 og x 3. Funksjonen har et bunnpunkt i punktet der x 2 og y 1. Bunnpunktet har koordinatene 2, 1 . I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Men i kapittel 5.1 skal vi se at ikke alle funksjoner trenger å ha den minste funksjonsverdien i bunnpunktet. Den minste funksjonsverdien til denne funksjonen er 1. Det er når x 2. Verdimengden består av alle tall som er større enn eller lik 1. Dermed er ª¬ 1, o

Funksjonen g gitt ved g (x ) x 2 6x 5 og har denne grafen: y 5

Toppunkt (3, 4)

4 3 2

1 –1 –1

x 2 3

Nullpunkter

Denne funksjonen har to nullpunkter, x 1 og x 5. Den har et toppunkt med koordinatene 3, 4 . Et toppunkt er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Men funksjoner trenger likevel ikke ha den største funksjonsverdien i toppunktet. Funksjonen g har verdimengden Vg

m, 4 º¼

Verdimengden består av alle tall y som er slik at y d 4. Toppunkter og bunnpunkter kaller vi med et felles ord for ekstremalpunkter. Et ekstremalpunkt er dermed enten et bunnpunkt eller et toppunkt.

3.7 ANDREGRADSFUNKSJONER

107

OPPGAVE 3.70

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 6x 8 a) b) c) d)

Tegn grafen til f. Finn nullpunktene til f. Finn ekstremalpunktet til f. Finn verdimengden til f.

OPPGAVE 3.71

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 2x 8 a) b) c) d)

Tegn grafen til f. Finn nullpunktene. Finn ekstremalpunktet. Finn verdimengden til f.

Nå skal vi se hvordan vi kan tegne grafen til andregradsfunksjoner digitalt, og hvordan vi da kan finne funksjonsverdier, nullpunkter og ekstremalpunkter. Som eksempel bruker vi funksjonen f fra side 106, der f (x ) x 2 4 x 3 Når vi skal skrive x 2 i GeoGebra, kan vi skrive x ^2. Men vi kan også taste Alt 2 for å få fram eksponenten 2. Når vi nå skal skrive funksjonen i algebrafeltet, trenger vi ikke skrive f (x ) foran uttrykket, for det blir satt på automatisk. Vi skriver bare x 2 4 x 3.

Nå tilpasser vi koordinatsystemet og får fram denne grafen: y 5 4 3 2 1

x 0

–1 1

108

3 | LINJER OG GRAFER

Hvis vi for eksempel skal finne funksjonsverdien f (4), skriver vi f (4) i algebrafeltet som vist her:

Altså er f (4) 3. For å finne nullpunktene skriver vi Nullpunkt( f ) i algebrafeltet. Da får vi dette:

Funksjonen har nullpunktene x 1 og x 3. Topp- eller bunnpunktet får vi fram på tilsvarende måte. Da bruker vi fellesnavnet ekstremalpunkt og skriver Ekstremalpunkt( f ).

Funksjonen har ekstremalpunktet 2, 1 . I grafikkfeltet ser vi at dette er et bunnpunkt. På grafen har punktene nå fått navnene A, B og C. Vi høyreklikker på overog velger Verdi i menyen skriften Punkt i algebrafeltet, åpner menyen under AA . Det gir dette resultatet: y 5

f(x) = x2 – 4x + 3

4 3 2 1

((1, 1, 0)) 0 –1 1

(3, (3 3, 0) 0

((2, 2, – -1) 1) 1) 3.7 ANDREGRADSFUNKSJONER

109

Noen ganger får vi bruk for å tegne grafer til funksjoner med en bestemt definisjonsmengde. På side 101 kastet vi en stein. Høyden over bakken etter t sekunder var gitt ved h(t ) 5t 2 4t , t ª¬0, 4 º¼ For å få tegnet grafen nøyaktig fra 0 til 4 skriver vi h(t) = Funksjon(−5t 2 + 20t, 0, 4) Da kommer dette fram i algebrafeltet:

Her skrev vi h(t) = foran Funksjon for at funksjonen skulle få navnet h, og for at variabelen skulle være t. Nå klikker vi i grafikkfeltet, høyreklikker og velger Grafikkfelt. Der velger vi fanen xAkse og endrer navnet til ‘t (sekund)’. I fanen yAkse endrer vi navnet til ‘y (meter)’. Etter å ha tilpasset aksene, får vi denne grafen: y (meter (meter) t 20 20

10 10

t (sekund (sekund) ( k ) 0

OPPGAVE 3.72

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 2x 3 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet til f.

110

3 | LINJER OG GRAFER

OPPGAVE 3.73

Funksjonen f er gitt ved f (x ) x 2 4 x 3 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet. OPPGAVE 3.74

En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved 3 21 135 T (x ) x 2 x , x ª¬8, 20º¼ 8 2 2 a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 qC? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da?

3.7 ANDREGRADSFUNKSJONER

111

SAMMENDRAG Rette linjer Et punkt ligger på ei linje med likningen y ax b hvis og bare hvis koordinatene til punktet passer i likningen. Linja skjærer y-aksen i punktet y b. Når x øker med én enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b er konstantleddet.

y y = ax + b a b

Stigningstallet

1 Konstantleddet x

Stigningstallet til ei linje Ei rett linje som går gjennom to punkter x1 , y1 og x2 , y2 , har stigningstallet a

'y 'x

y2 y1 x2 x1

Å finne likningen for ei linje Når vi skal finne likningen for ei rett linje som går gjennom to punkter x1 , y1 og x2 , y2 , finner vi først stigningstallet a. Deretter finner i konstantleddet b ved å sette inn i likningen y ax b koordinatene til ett av de to punktene. Grafisk løsning av lineære likningssett Når vi skal løse to lineære likninger med to ukjente x og y grafisk, finner vi y uttrykt med x i begge likningene. Dette gir likningen for to rette linjer som vi tegner i et koordinatsystem. Løsningen finner vi ved å lese av koordinatene til skjæringspunktet. Funksjon Vi sier at y er en funksjon av x dersom hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Parabel Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Definisjonsmengden Df Definisjonsmengden D f til funksjonen f er alle verdiene vi kan velge for x. Verdimengden Vf Verdimengden V f til funksjonen f er alle funksjonsverdiene f (x ) vi får når x Df .

112

3 | LINJER OG GRAFER

Nullpunkt x er et nullpunkt for f dersom f (x ) 0. Toppunkt I et toppunkt er funksjonsverdien større enn i alle nabopunktene. Bunnpunkt I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Ekstremalpunkt Et ekstremalpunkt er enten et toppunkt eller et bunnpunkt.

SAMMENDRAG

113

FAKTORISERING Studentene skal kunne • • • •

beregne produkt av polynomer, anvende kvadratsetningene og beherske faktorisering løse andregradslikninger med en og to ukjente løse likninger av høyere grad som kan omformes til andregradslikninger sette opp fortegnsskjema for polynomer og rasjonale uttrykk

UTFORSK KVADRATSETNINGENE STEG 1

Ved hjelp av to positive tall a og b lager vi to kvadrater. Det ene har sidekant a og det andre sidekant a b som vist på denne figuren:

a+b a a

b a+b

Bruk figuren til å forklare at a b

a 2 2ab b2

STEG 2

La nå a og b være to positive tall der b a. Da kan vi lage denne figuren:

a a–b a–b

b a

a) Forklar at det grønne og grå området til sammen har arealet 2ab b2 b) Vis at det gir a2 a b

2ab b2

c) Vis at det gir a b

a 2 2ab b2 4.1 KVADRATSE TNINGENE

115

STEG 3

La a og b være to positive tall der b a. Da kan vi lage figuren til venstre nedenfor

b b a a–b

a–b

a+b

a) På figuren til venstre har vi delt det grå området i to deler. Forklar hvorfor vi kan sette sammen de to delene til rektangelet til høyre ovenfor. b) Bruk dette til å forklare at a 2 b2

a b a b

4.1 Kvadratsetningene I Utforsk kvadratsetningene beviste dere sikkert disse 3 kvadratsetningene: Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Konjugatsetningen:

a b a2 2ab b2 2 a b a2 2ab b2 a b a b a2 b2

I de geometriske bevisene måtte vi forutsette blant annet at a og b var positive tall. Nå beviser vi reglene ved regning. Da ser vi at kvadratsetningene gjelder for alle tall a og b. a b

a b a b

a 2 a b b a b2

a 2 a b a b b2

a 2 2 a b b2 a b

a b a b

a2 a b b a b

a 2 a b a b b2

a 2 2 a b b2 a b a b

a 2 a b b a b b

a 2 a b a b b2

a 2 b2 Konjugatsetningen kaller vi også for tredje kvadratsetning.

116

4 | FAK TORISERING

EKSEMPEL

LØ S N I N G

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 2 b) x 3 a) a 2

c) x 1 x 1

d) 2t 1 2t 1

f) 2 x 3 2 x 3

a 2

a 2 2 a 2 22

a 2 4a 4

x 3

x 2 2 x 3 32

x 2 6x 9

x 1 x 1

2t 1 2t 1

x 2 x 2

2x 3 2x 3

e) x 2 x 2

x 2 12

x2 1 2

2t 12

4t 2 1

Legg merke til at 2t

x2 2

Husk at

2t 2t 4t2.

2 2 2.

2 x 2 2 x 3 32 2 x 2 2 x 3 32 4 x 2 12 x 9 4 x 2 12 x 9 4 x 2 12 x 9 4 x 2 12 x 9 24 x Vi kan få fram de riktige svarene ovenfor uten å bruke kvadratsetningene. Men det som er viktig her, er å trene på kvadratsetningene. Det blir veldig viktig å kunne bruke alle kvadratsetningene, for snart skal vi bruke dem til å faktorisere andregradsuttrykk.

OPPGAVE 4.10

Bruk kvadratsetningene og regn ut. 2 2 b) x 1 a) x 5 d) a 3 a 3

c) t 3

e) x 4 x 4

OPPGAVE 4.11

e) 5x 1

c) 2 x 5 2 x 5

OPPGAVE 4.12

Bruk kvadratsetningene om mulig når du regner ut og trekker sammen. 2 2 2 b) x 3 x 3 a) x 1 x 1 x 1 2

c) 2 x 3 4 x 2 x 3

d) 2 t 4 t 4 3 t 4

4.1 KVADRATSE TNINGENE

117

DISKUTER

Vi kan bruke kvadratsetningene til vanlig tallregning. Det gir en metode som vi med litt øving kan bruke til hoderegning. 21 19 20 1 20 1 202 12 400 1 399 212 20 1 2 202 2 20 1 12 400 40 1 441 a) Regn ut dette på tilsvarende måte. 1) 32 28 2) 95 105 3) 522 b) Lag egne oppgaver og be medstudenter regne oppgavene i hodet.

OPPGAVE 4.13

Vis ved regning at a b

a 3 3a 2b 3ab2 b3

OPPGAVE 4.14

Vis ved regning at a b

a 4 4a 3b 6a 2b2 4ab3 b 4

4.2 Faktorisering Tallene 15 og 28 kan vi skrive på denne måten: 15 3 5 28 2 2 7 Vi sier at tallene er faktorisert. Det vil si at tallene er skrevet som et produkt av to eller flere faktorer. Tallet 15 har dermed faktorene 3 og 5. Nå skal vi faktorisere algebraiske uttrykk på tilsvarende måte. Uttrykket 4x 12 har to ledd, 4x og 12. Ledd er uttrykk eller tall med eller mellom. Hvis vi skriver 4x 12 4 x 4 3 er ikke uttrykket 4x 12 faktorisert. Det er bare leddene 4x og 12 som er faktorisert. Men ettersom leddene har en felles faktor 4, kan vi trekke 4 utenfor en parentes. 4 x 12 4 x 4 3 4 x 3 Nå er 4x 12 faktorisert. Uttrykket har faktorene 4 og x 3 . Vi kan alltid kontrollere en faktorisering ved å gange faktorene. 4 x 3

118

4 x 4 3 4 x 12

4 | FAK TORISERING

Uttrykkene x 2 4 x og 3x 3 9 x kan vi faktorisere slik: x2 4x x x 4 x x 4 x 3x 3 9 x 3x x 2 3x 3 3x x 2 3 Vi må være forsiktige når vi setter et negativt tall utenfor en parentes: 2 x 2 4 x 10 2 x 2 2 x 5 3x 2 6 x

3x x 2

Leddene i parentesen må skifte fortegn. Vi ser at det stemmer når vi multipliserer faktorene: 2 x 2 2 x 5 3x x 2

2 x 2 4 x 10

3x x 3x 2 3x 2 6 x

OPPGAVE 4.20

Sett mest mulig utenfor en parentes. a) 3x 6 b) 2 x 2 3x 3 2 d) 2 x 3 4 x 2 6 x c) 2 y 4 y OPPGAVE 4.21

Trekk mest mulig utenfor en parentes. b) 5xy 2 10 xy a) 2 xy 2 4 x c) a 2b2 3a 2b ab

d) 3x 2 6 xy 9 x

Vi kan bruke konjugatsetningen (tredje kvadratsetning) til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a 2 b2

a b a b

EKSEMPEL

Faktoriser om mulig uttrykkene ved hjelp av konjugatsetningen. b) x 2 5 a) x 2 4 d) 9 x 2 4 c) 4t 2 9

LØ S N I N G

x 2 4 x 2 22

x2 5 x2

4t 2 9

x 2 x 2 5

x 5 x 5 2t 3 2t 3

4.2 FAK TORISERING

119

9x 2 4

3 x 22

Her står det mellom de to kvadratene. Da kan vi ikke bruke konjugatsetningen. Vi kan vise at det ikke går an å faktorisere uttrykket på noen annen måte heller. Kan ikke faktoriseres.

Når vi faktoriserer, må vi ofte først sette faktorer utenfor en parentes og deretter bruke konjugatsetningen. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Faktoriser 3x 3 48x. 3x 3 48 x 3x x 2 16

3x x 2 4 2

3x x 4 x 4

OPPGAVE 4.22

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 25

b) t 2 9

c) x 2

1 4

d) 2 x 2 8

OPPGAVE 4.23

Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. b) x 2 4 c) 9 x 2 1 a) 4 x 2 9

d) 12 x 3 75x

UTFORSK HELTALLSMETODEN STEG 1

Når vi regner ut x 3 x 5 , får vi x 3 x 5

x x 5x 3x 3 5 x 2 8 x 15

Hvilken sammenheng er det mellom konstantleddene 3 og 5 i de to faktorene og førstegradskoeffisienten 8 i andregradsuttrykket? Hvilken sammenheng er det mellom tallene 3 og 5 i de to faktorene og konstantleddet 15 i andregradsuttrykket? Hvilken regel ser ut til å gjelde? STEG 2

a) Undersøk om regelen fra steg 1 stemmer når du regner ut disse gangestykkene: 2) x 3 x 2 3) x 2 x 3 1) x 1 x 4 b) Lag dine egne gangestykker og undersøk om regelen gjelder.

120

4 | FAK TORISERING

STEG 3

Regelen fra steg 1 og 2 kan vi bruke til å faktorisere andregradsuttrykk. Hvis x2 5x 6 x d x e , hva kan du si om tallene d og e? Finn tallene d og e. Faktoriser uttrykket x2 5x 6. STEG 4

Hvis x2 4x 3 x d x e , hva kan du da si om tallene d og e? Finn tallene d og e. Faktoriser uttrykket x2 4x 3. STEG 5

Hvis x2 2x 3 x d x e , hva kan du da si om tallene d og e? Finn tallene d og e. Faktoriser uttrykket x2 2x 3.

4.3 Heltallsmetoden Hvis det skal være mulig å faktorisere andregradsuttrykket x2 bx c, må det finnes to tall d og e slik at x 2 bx c

x d x e

Ved å gange faktorene på høyre side får vi x 2 bx c

x2 d x e x d e

x 2 bx c

x2 d e x d e

Hvis dette skal stemme for alle x, må d e c og d e b. Hvis vi finner to tall d og e slik at b d e og c d e, så er x 2 bx c

x d x e

I praksis klarer vi bare å finne tallene d og e i hodet når b og c er hele tall. Derfor kaller vi metoden heltallsmetoden. Metoden fungerer bare når andregradsleddet er x 2. Det kan ikke stå noe tall eller minustegn foran x 2.

4.3 HELTALLSME TODEN

121

EKSEMPEL

Faktoriser ved hjelp av heltallsmetoden og kontroller svaret. b) x2 6x 5 c) x2 3x 4 a) x2 8x 7

LØ S N I N G

a) Her må vi finne to tall som er slik at produktet av tallene blir 7. De hele tallene som passer, er da r1 og r 7. Ettersom summen skal bli 8, må tallene være 1 og 7. x 2 8x 7

x 1 x 7

Kontroll: x 2 7 x x 7 x 2 8x 7

x 1 x 7

b) Her må vi finne to tall slik at produktet er 5. Det mulige hele tallene er da r1 og r 5. Men summen av tallene skal være 6. Da må tallene være 1 og 5. x 2 6x 5

x 1 x 5

Kontroll: x 1 x 5

x 2 5x x 5 x 2 6 x 5

c) Her må produktet av tallene være −4. De to tallene må da ha motsatt fortegn og finnes blant tallene r1, r 2 og r 4 . Når summen skal være 3, må tallene være −1 og 4. x 2 3x 4

x 1 x 4

Kontroll: x 1 x 4

x 2 4 x x 4 x 2 3x 4

OPPGAVE 4.30

Bruk heltallsmetoden til å faktorisere uttrykkene, og kontroller faktoriseringen ved regning. b) x 2 8 x 7 a) x 2 3x 2 d) x 2 2 x 1 c) x 2 2 x 3 OPPGAVE 4.31

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av heltallsmetoden. b) x 2 7 x 12 a) x 2 6 x 8 d) x 2 6 x 9 c) x 2 2 x 15

122

4 | FAK TORISERING

DISKUTER

Vi ser på faktoriseringen x 2 bx c x d x e . a) Hva kan du si om tallene d og e hvis c ! 0? b) Hva kan du si om tallene d og e hvis c 0? c) Hva kan du si om tallene d og e hvis c 0? d) Hva kan du si om tallene d og e hvis c 0 og b ! 0? e) Hva kan du si om tallene d og e hvis c 0 og b 0? f) Hva kan du si om tallene d, e og c hvis b 0? Hvis det er et tall foran x 2 i det andregradsuttrykket vi skal faktorisere, må vi sette det utenfor en parentes før vi bruker heltallsmetoden. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Faktoriser uttrykkene. b) x 2 5x 6 a) 2 x 2 8 x 6 a)

2x 2 8x 6 2 x 2 4 x 3

c) 2 x 3 8 x 2 8 x

2 x 1 x 3

Den siste faktoriseringen er riktig fordi 1 3 4 og 1 3 3. b)

x 2 5x 6

1 x 2 5x 6

Her brukte vi at 2 3 c)

1 x 2 x 3

5 og at 2 3

2x 3 8x 2 8x 2x x 2 4 x 4 x2 4x 4

2x x 2 x 2

2x x 2

x 2 x 2 fordi 2 2 4 og 2 2 4 .

I eksemplet foran så vi at x2 4x 4

x 2

Dette kan vi kontrollere ved hjelp av den første kvadratsetningen: x 2

x 2 2 2 x 22

x2 4x 4

Hvis vi i faktoriseringen x 2 bx c og e er like, er x 2 bx c

x d x d

x d x e finner ut at de to tallene d

x d

Da sier vi at x 2 bx c er et fullstendig kvadrat. Dermed er x 2 4 x 4 et fullstendig kvadrat.

4.3 HELTALLSME TODEN

123

OPPGAVE 4.32

Faktoriser uttrykkene. b) 4 x 3 24 x 2 20 x a) 3x 2 12 x 9 d) x 4 4 x 2 c) x 3 x 2 2 x OPPGAVE 4.33

Hvilke av uttrykkene er fullstendige kvadrater? b) x 2 5x 4 a) x 2 2 x 1 d) x 2 10 x 25 c) x 2 6 x 9

4.4 Rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er en brøk som inneholder en variabel. Når vi skal forkorte slike uttrykk, får vi bruk for det vi nå har lært om faktorisering. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. 2x 2 4 x 9 a) 3 5x 10

x2 x 2 x2 1

a) Først faktoriserer vi og setter alt på én brøkstrek. Deretter forkorter vi brøken. 2x 2 4 x 9 3 5x 10

2x x 2 3

9 5 x 2

2x x 2 9 3 5 x 2

2x 9 3 5 1

b) Telleren faktoriserer vi ved hjelp av heltallsmetoden. x2 x 2

x 1 x 2

1 2 2 og 1 2 1

Nevneren kan vi faktorisere med heltallsmetoden eller med konjugatsetningen. x 2 1 x 2 12

x 1 x 1

Dermed er x2 x 2 x2 1

124

x 1 x 2 x 1 x 1

4 | FAK TORISERING

x 2 x 1

6x 5

OPPGAVE 4.40

Regn ut. 2 6x 9 a) 3 4x c)

b) 2

1 2 2 x 3

x 1 2x 4

x 2x 4 2 3x

2 x 4 3x 3 x 1 7 x 14

OPPGAVE 4.41

Regn ut. x 2 3x 9 a) 3 2x 4 OPPGAVE 4.42

Forkort brøkene. x2 4 a) 2x 4 4 x 16 c) 2 x 8 x 16

4x2 9 4x 6 x 2 16 d) 2 x 8 x 16

Når vi skal legge sammen rasjonale uttrykk, må vi først faktorisere nevnerne for å finne fellesnevneren. EKSEMPEL

LØ S N I N G

Regn ut. 9x 4 a) 2 x 6 3x 9

2x 4 3 x 5x 4 2 x 8 2

a) Først faktoriserer vi nevnerne for å finne fellesnevneren. 2x 6 2 x 3 3x 9 3 x 3 Fellesnevneren er 2 3 x 3 6 x 3 . Nå utvider vi brøkene slik at de får samme nevner. Deretter trekker vi sammen. 9x 4 2 x 6 3x 9

9x 4 2 x 3 3 x 3

3 9x 2 4 3 2 x 3 2 3 x 3 27 x 8 6 x 3

27 x 8 6 x 3 6 x 3

27 x 8 6 x 18

Vi må alltid se etter om vi kan forkorte svaret. Her går det ikke an, for vi kan ikke faktorisere telleren. 4.4 RASJONALE UT TRYKK

125

b) Først faktoriserer vi nevnerne for å finne fellesnevneren. 2x 8 2 x 4 x 2 5x 4

x 4 x 1

4 1 5 og 4 1 4

Fellesnevneren er 2 x 4 x 1 . 2x 4 3 x 4 x 1 2 x 4

2x 4 3 x 5x 4 2 x 8 2

2 2x 4 2 x 4 x 1 4 x 8 3x 3 2 x 4 x 1

3 x 1

4 x 8 3x 3

2 x 4 x 1

x 11 2 x 4 x 1

OPPGAVE 4.43

Regn ut. x x 2 5x a) 3 2 6

x 1 x 2 2 4

1 3x 4 2 2 2x x

2 x x 2 1 x2 2x 2

3 2 2 x 2x x 4

3 4 x 1 x 5x 6 x 2 x 3

OPPGAVE 4.44

Regn ut uten hjelpemiddel. x 3 1 1 a) 2 3x 3 x 1 x 1 c)

x 1 2 2 x 3 x 4x 3

4.5 Andregradslikninger Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså et av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik: Dersom a b 0, så er a 0 eller b 0. Produktregelen kan vi bruke til å løse andregradslikninger ved regning. Da faktoriserer vi først andregradsuttrykket slik vi gjør her:

126

4 | FAK TORISERING

EKSEMPEL

Løs likningene ved regning. b) x 2 6 x 5 0 a) x 2 2 x 0

LØ S N I N G

a) Her faktoriserer vi andregradsuttrykket ved å sette x utenfor en parentes. x 2 2x 0 x x 2 0 Når produktet av disse to tallene er null, må et av tallene være null. x 0 eller x 2 0 x 0 eller x 2 b)

x 2 6x 5 0 x 1 x 5 0 x 1 0 eller x 5 0 x 1 eller x 5

1 5

5 og 1 5

OPPGAVE 4.50

Løs likningene. a) x 2 5x 0 c) x 2 7 x 10 0

b) x 2 3x 2 0 d) x 2 x 6 0

Når vi løser andregradslikninger ved hjelp av faktorisering, må vi ordne likningene først. Da flytter vi først alle leddene over på venstre side av likhetstegnet. Deretter dividerer vi med tallet foran x 2. Men vi kan også løse andregradslikninger grafisk. EKSEMPEL

Vi har gitt de to andregradslikningene 1) 2x 2 4x 6 0

2) 2x 2 6x 6 4x 2

a) Løs likningene ved regning. b) Løs likningene grafisk ved hjelp av en graftegner. LØ S N I N G

a) Når vi skal løse likning 1, deler vi først med 2 eller ganger med på begge 2 sidene av likhetstegnet. Da får vi bort tallet foran x 2. 2x 2 4 x 6 0 |

1 2

x 2 2x 3 0 x 1 x 3 0 x 1 0 eller x 3 0 x 1 eller x 3

1 3

3 og 1 3

4.5 ANDREGRADSLIKNINGER

127

I likning 2 må vi først flytte alle leddene over på venstre side av likhetstegnet. 2x 2 6x 6 4 x 2 2 x 2 10 x 8 0

1 2

x 2 5x 4 0 x 1 x 4 0 x 1 0 ellerr x 4 0 x 1 eller x 4

1 4

4 og 1 4

b) Når vi skal løse likning 1 grafisk i GeoGebra, skriver vi først funksjonsuttrykket i algebrafeltet. Deretter skriver vi Nullpunkt( f ) i algebrafeltet. Da får vi fram grafen til venstre nedenfor. I oppgaven er det bare spørsmål etter x-verdien til nullpunktene. Svaret er x

1 eller x 3

y = 4x - 2 14

(4, 14)

4 12

(-1, 0) –2

–1

(3, 0) 1

–2 6

–4 4

–6 2

(1, 2)

–8 –1

For å løse likning 2 grafisk skriver vi f (x ) 2 x 2 6 x 6 og y 4 x 2 i algebrafeltet. Deretter bruker vi Skjæring mellom to objekt og får fram figuren til høyre ovenfor. Det er x-verdien til skjæringspunktene mellom grafen og linja som er svaret på oppgaven. x 1 eller x

128

OPPGAVE 4.51

Løs likningene ved regning og grafisk. b) x 2 7 x 6 0 a) 3x 2 12 x 9 0 2 d) 2 x 2 3x x 2 2 x 2 c) x 3x 3 2 x 1 4 | FAK TORISERING

Likningen x 3 3x 2 3x 1 0 er et eksempel på en tredjegradslikning. Likningen x 4 4 x 2 3 0 er en fjerdegradslikning. Vi kan løse noen slike likninger ved å faktorisere dem. EKSEMPEL

Løs likningene. a) x 3 4 x 0 b) x 3 5x 2 6 x 0 c) x 4 3x 2 4 0

LØ S N I N G

a) Vi faktoriserer uttrykket. x3 4x 0 x x2 4

x 0 eller x 2 4 0 x 0 eller x 2 4 x 0 eller x 2 eller x b)

x 3 5x 2 6 x 0 x x 2 5x 6

x x 2 x 3 0 x 0 eller x 2 eller x 3 c)

2 3

6 og 2 3

x 4 3x 2 4 0 x2

3x 2 4 0

Dette er en andregradslikning med x 2 som ukjent. Vi faktoriserer uttrykket. x2 4 x2 1

4 1

4 og 4 1

x 2 4 eller x 2 1 x 2 eller x 2 Likningen x 2 1 har ingen løsning.

I eksemplet ovenfor kan vi kontrollere faktoriseringen slik: x2 4 x2 1

x 2 x 2 x 2 4 x 2 4 x 4 3x 2 4

Vi ser at faktoriseringen er riktig.

4.5 ANDREGRADSLIKNINGER

129

OPPGAVE 4.52

Løs likningene. a) x 3 16 x 0 c) 2 x 4 18 x 2 0

b) 3x 3 12 x 0 d) x 4 x 2 0

OPPGAVE 4.53

Løs likningene. a) x 4 5x 2 4 0 c) x 6 9 x 3 8 0

b) x 4 x 2 2 0 d) x 5 3x 3 4 x 0

4.6 Andregradsformelen Vi har en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregradslikning. Vi kaller den andregradsformelen. Andregradslikningen ax 2 bx c 0 har løsningene x

b r b2 4ac 2a

når b2 4ac t 0. Nå viser vi hvordan vi bruker denne formelen til å løse andregradslikninger. EKSEMPEL

Løs likningene med andregradsformelen. a) x 2 4 x 3 0 b) 2 x 2 12 x 14 0 c) x 2 3x 5 2 x 2

LØ S N I N G

a) Når vi sammenlikner likningen x 2 4x 3 0 med likningen ax 2 bx c 0 ser vi at a 1, b 4 og c 3. Dette setter vi inn i formelen. x x

b r b2 4ac 2a 4 r

4 4 1 3 2 1

4r 4 4r2 2 2 4 2 4 2 x eller x 2 2 x 1 eller x 3 x

130

4 | FAK TORISERING

4 r 16 12 2

b) Det kan være lurt å forenkle likningen 2 x 2 12 x 14 0 før vi løser den. 2 x 2 12 x 14 0 | x 2 6x 7 0

1 2

Nå er a 1, b 6 og c 7. Det gir x x

b r b2 4ac 2a 6 r

6 4 1 7 2 1

6 r 36 28 2

6r 8 2

6 8 eller x 2

6 8 2

x | 4, 41 eller x | 1, 59 c) Denne likningen må vi ordne først. x 2 3x 5 2 x 2 x 2 5x 7 0 Her er a 1, b 5 og c 7. Da er x

5 r

5 4 1 7 2 1

5 r 25 28 2

5 r 3 2

3 fins ikke, og vi kan dermed ikke finne noen verdi for x. Likningen har ingen løsning.

Vi kan også løse likningene i eksemplet grafisk slik vi har gjort på neste side.

4.6 ANDREGRADSFORMELEN

131

b) 7 6 5 4 3 2

(1, 0) 0

–1

(1.59, 0)

(3, 0) 2

–1 –2

(4.41, 0) 4

–2 –4

–1

I a og b ser vi at x-verdien til nullpunktene stemmer med det vi regnet ut. I oppgave c er det ingen skjæringspunkter mellom grafen til f (x ) x 2 3x 5 og linja y 2 x 2. Likningen x 2 3x 5 2 x 2 har da ingen løsning.

OPPGAVE 4.60

Løs andregradslikningene med andregradsformelen. b) 2 x 2 2 x 12 0 a) x 2 5x 6 0 2 d) x 2 2 x 2 4 x 4 c) 2 x 4 x 2 0 e) 4 x 2 12 x 6 2 x 2 5x 6 OPPGAVE 4.61

Arealet av et rektangel er 3500 m2. Lengden er 20 m lengre enn bredden. Finn lengden og bredden av rektangelet ved å løse en andregradslikning. DISKUTER

Uttrykket d b2 4ac kaller vi diskriminanten til andregradslikningen ax 2 bx c 0. Hvordan kan vi bruke diskriminanten til å avgjøre hvor mange løsninger en andregradslikning har?

EKSEMPEL

Vi har gitt andregradslikningen x2 4x c 0 der c er et ukjent tall. Finn antallet løsninger for ulike verdier av c.

132

4 | FAK TORISERING

LØ S N I N G

Når vi skal finne antallet løsninger, bruker vi andregradsformelen. x2 4x c 0 2

4 r

4 4 1 c

4 r 16 4c 4

2 2

Likningen har to løsninger hvis uttrykket under rottegnet er positivt. Det er når 16 4c ! 0 4c ! 16 4c 16 4 4 c 4 Det er én løsning hvis det er 0 under rottegnet. 16 4c 0 4c 16 c 4 Det er ingen løsning hvis det er et negativt tall under rottegnet. 16 4c 0 4c 16 c!4 Likningen har to løsninger når c < 4, én løsning når c 4 og ingen løsning når c > 4.

Vi kan kontrollere løsningen i eksemplet i GeoGebra. Da skriver vi f (x ) x 2 4 x c i algebrafeltet og får fram en glider for c. Vi kopierer glideren til grafikkfeltet ved å trykke på sirkelen foran glideren. I grafikkfeltet ser vi nå grafen til venstre nedenfor når c 3 . Funksjonen har to nullpunkter, og likningen har da to løsninger for c 3. f

–1 –1

–1 1

–1 –1

–1 1

c=3 –2 2

–1 –1

c=4 –2 2

–1 1

c=5 –2 2

4.6 ANDREGRADSFORMELEN

133

Nå drar vi i glideren og ser at vi har to løsninger når c 4. Når c 4, har vi ett nullpunkt slik figuren i midten på forrige side viser. Likningen har dermed én løsning for c 4. Ved å dra glideren videre ser vi at f ikke har noen nullpunkter når c ! 4. Se figuren til høyre på forrige side.

OPPGAVE 4.62

Vi har gitt andregradslikningen ax 2 4 x 2 0, a z 0 a) Finn antallet løsninger for ulike verdier for a. b) Kontroller svaret i oppgave a i GeoGebra. Husk å sette et mellomrom eller gangetegnet * mellom a og x 2. OPPGAVE 4.63

Vi har gitt andregradslikningen x 2 5x 2 x b a) Finn antallet løsninger ved regning. b) Kontroller svaret i oppgave a i GeoGebra. Ved hjelp av andregradsformelen kan vi lage et pythonprogram som løser alle andregradslikninger. Her er et slikt program: 1

from math import sqrt

2 3

print("Vi skal løse andregradslikningen ax^2+bx+c=0")

4 5

a = float(input("a ="))

6 7 8 9 10 11 12

if a == 0: print("Med a = 0 blir det ikke en andregradslikning.") else: b = float(input("b =")) c = float(input("c =")) d = b**2 - 4*a*c

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

if d < 0: print("Ingen løsning") elif d == 0: x1 = -b/(2*a) print("En løsning x =", round(x1, 2)) else: x1 = (-b+sqrt(d))/(2*a) x2 = (-b-sqrt(d))/(2*a) print("To løsninger x =", round(x1,2), "og x =", round(x2,2))

134

4 | FAK TORISERING

DISKUTER

Studer programmet på forrige side og forklar hvordan det virker.

OPPGAVE 4.64

Løs likningene i Python. b) 2 x 2 10 x 10 0 a) x 2 4 x 3 0 2 d) x 2 4 x 5 0 c) 3x 6 x 3 0

4.7 Ikke-lineære likningssett I kapittel 2 løste vi lineære likningssett ved hjelp av innsettingsmetoden og ved hjelp av addisjonsmetoden. De metodene kan vi også bruke når vi for eksempel skal løse to likninger med to ukjente der minst en av dem er av andre grad. EKSEMPEL

Løs likningssettet ved regning. 2x y

x 3x 2 y LØ S N I N G

Vi bruker innsettingsmetoden og finner et uttrykk for y i den første likningen. 2x y 4 y 2 x 4 | 1 y 2x 4 Nå setter vi dette uttrykket inn i den andre likningen. x 2 3x 2 y

x 3x 2 2 x 4

x 3x 4 x 8 4 x 2 7 x 12 0 x 3 x 4 0 x 3 0 eller x 4 0 x 3 eller x 4

3 4

12 og 3 4

Nå finner vi verdiene av y ved å sette inn i uttrykket y 2 x 4. x 3 gir y 2 x 4 2 3 4 2 x 4 gir y 2 x 4 2 4 4 4

4.7 IKKE-LINEÆRE LIKNINGSSE T T

135

Løsningen er x 3 og y 2 eller x

4 og y

Legg merke til at vi i eksemplet ovenfor har to løsninger. x 3 og y 2 hører sammen og er én løsning. x 4 og y 4 er den andre løsningen.

OPPGAVE 4.70

Løs likningssettene ved regning. b) x y 1 a) x y 1 2 x 2 3x y 2 x 4x y 3

c) x 2 5x y 6 4x 2 y 5

OPPGAVE 4.71

Løs likningssettet fra eksemplet med addisjonsmetoden. 2x y

x 3x 2 y

I de likningene vi har løst til nå, har inneholdt x 2 og ikke y 2. Men vi kan også løse likninger der både x 2 og y 2 er med. EKSEMPEL

Løs likningssettet. 3x y 3 3x 2 y 2 9

LØ S N I N G

Først finner vi et uttrykk for y ut fra den første likningen. y 3 3x Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x 2 y 2 2

3x 3 3x

3x 9 6 x 9 x 2 2

3x 9 6 x 9 x

9 9

6 x 6 x 9 9 6 x x 3 0 6 x 0 eller x 3 0 x 0 eller x 3

136

4 | FAK TORISERING

Det fins altså to x-verdier som er løsning. For hver x-verdi regner vi ut en tilhørende y-verdi. x 0 gir y 3 3x 3 3 0 3 x 3 gir y 3 3x 3 3 3 6 Løsningen er x 0 og y 3 eller x 3 og y

OPPGAVE 4.72

Løs likningssettene. a) 2 x y 10 2

x y

b) x y 2 x2 4x y2 6 y

OPPGAVE 4.73

Løs likningssettet. a) 2 x 2 3x y 2 x2 4x y

b) x 2 5x 3 y 2 3y x 7

UTFORSK NULLPUNKTSFAKTORISERING Nå skal vi lære å faktorisere andregradsuttrykk uten å bruke heltallsmetoden. STEG 1

a) Andregradsuttrykket x2 6x 8 har to nullpunkter x 2 og x 4. Uttrykket er altså lik 0 for disse x-verdiene. Vi skal faktorisere uttrykket. Da må det finnes to tall d og e slik at x2 6x 8 x d x e Uansett hvilken verdi vi velger for x, skal da x2 6x 8 og x d x e bli det samme tallet. Ettersom x2 6x 8 0 når x 2 og når x 4, hvilket tall må da x d x e være når x 2 og når x 4? Hvorfor blir x d 0 for x 2 og x e 0 for x 4 eller omvendt? Bestem verdier for d og e. Bruk dette til å faktorisere x2 6x 8. b) Faktoriser x2 6x 5 når du får vite at uttrykket har nullpunktene x 1 og x 5. c) Faktoriser x2 2x 3 når du får vite at uttrykket har nullpunktene x 1 og x 3.

4.8 NULLPUNK TSFAK TORISERING

137

STEG 2

a) Andregradsuttrykket x2 4x 4 har bare ett nullpunkt x 2. Vi faktoriserer x2 bx c. Da må det finnes to tall d og e slik at x2 4x 4 x d x e x2 4x 4 har bare har ett nullpunkt x 2. Hvorfor må da d e? Hva må begge tallene d og e være? Faktoriser x2 4x 4. Hvilken regel tror du gjelder? b) Andregradsuttrykket x2 6x 9 har bare ett nullpunkt x 3. Bruk dette til å faktorisere x2 6x 9. STEG 3

Andregradssuttrykket x2 4x 5 har ingen nullpunkter. Vi prøver å faktorisere uttrykket. Da må det finnes to tall d og e slik at x2 4x 5 x d x e Hvilke nullpunkter har x d x e ? Hvorfor går det da ikke an å faktorisere x2 4x 5? Hvilken regel tror du gjelder? STEG 4

a) Utrykket 2x2 10x 12 har nullpunktene x 2 og x 3 og må da ha faktorene x 2 og x 3 . Men kan 2x2 10x 12 være lik x 2 x 3 ? Finn ut ved å gange faktorene. Hva mangler i faktoriseringen? Hvilken regel ser ut til å gjelde? b) Uttrykket 3x2 6x 9 har nullpunktene x 1 og x 3. Bruk det til å faktorisere uttrykket.

4.8 Nullpunktsfaktorisering Når vi kjenner nullpunktene til et andregradsuttrykk, kan vi bruke dem til å faktorisere uttrykket. Dersom andregradsuttrykket ax 2 bx c har de to nullpunktene x x1 og x x2, er ax 2 bx c a x x1 x x2 Dersom andregradsuttrykket har bare ett nullpunkt x x1, er ax 2 bx c a x x1

Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer.

138

4 | FAK TORISERING

EKSEMPEL

Finn nullpunktene, og bruk dem til å faktorisere uttrykkene. b) x2 5x 8 c) 3x2 18x 27 a) 2x2 2x 12

LØ S N I N G

a) Først bruker vi andregradsformelen og finner nullpunktene. 2 x 2 2 x 12 0 x

2 r 22 4 2 ( 12) 2 2

2 r 4 96 4 2 r 100 4 2 r 10 4 3 eller x 2

x x x

Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. 2 x 2 2 x 12 2 x 3

x 2

2 x 2 x 12 2 x 3 x 2 Husk å ta med tallet foran x 2 i faktoriseringen. b) Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 2 5x 7 0 x

( 5) r ( 5)2 4 1 7 2

5 r 25 28 2

5 r 3 2

Kvadratrota av −3 fins ikke, og likningen har derfor ikke noe nullpunkt. Uttrykket kan ikke være et produkt av to førstegradsfaktorer. Det er ikke mulig å faktorisere uttrykket.

4.8 NULLPUNK TSFAK TORISERING

139

c) Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene til 3x2 18x 27. Først deler vi med 3 for å forenkle utregningen. 3x 2 18 x 27 0 |: 3 x 2 6x 9 0 ( 6) r ( 6)2 4 1 9 2 6r0 x 2 x 3 x

Uttrykket har bare det ene nullpunktet x 3. Det gir faktoriseringen 3x 2 18 x 27 3 x 3

OPPGAVE 4.80

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene. b) x 2 3x 2 a) x 2 8 x 12 d) 6 x 2 5x 1 c) 2 x 2 4 x 30 OPPGAVE 4.81

Faktoriser uttrykkene ved hjelp av nullpunktene. b) x 2 6 x 9 a) x 2 6 x 8 2 c) x 6 x 10

UTFORSK ANDREGRADSULIKHETER Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Parabelen kan vende opp eller ned som vist her: 3

1 –1

–1

x 1

2 3

–2

–1

x 1

2 3

–2

Parabelen til venstre vender den hule sida ned, og den til høyre vender den hule sida opp.

140

4 | FAK TORISERING

STEG 1

Bruk GeoGebra og legg inn funksjonen f (x ) ax 2 bx c. Dra i de gliderne som kommer fram og finn ut hva som bestemmer om den hule sida vender opp eller ned. STEG 2

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f (x ) 2x 2 8x 6

a) Hvordan kan vi bruke grafen til å løse likningen 2x 2 8x 6 0? Hva blir løsningen? b) Hvordan kan vi bruke grafen til å løse ulikheten 2x 2 8x 6 0? Hva blir løsningen? c) Hvordan kan vi bruke grafen til å løse ulikheten 2x 2 8x 6 ! 0? Hva blir løsningen?

5 4 3 2 1 –1

x 1

–2

STEG 3

Nå skal vi løse ulikheten x 2 5x 6 0 a) Bruk heltallsmetoden til å løse likningen x 2 5x 6 0 Nå lar vi funksjonen f være bestemt ved at f ( x ) x 2 5x 6 Svar på spørsmålene nedenfor uten å tegne grafen til f : b) Hvor krysser grafen til f x-aksen? c) Hvilken vei vender den hule sida? d) Hvor ligger grafen under x-aksen? e) Hva blir løsningen av ulikheten? STEG 4

Bruk metoden fra steg 3 til å løse ulikhetene. a) x 2 6 x 5 ! 0 b) 2 x 2 6 x 4 ! 0 c) 3x 2 6 x 3 d 0 d) x 2 4 x 5 ! 0

4.9 ANDREGRADSULIKHE TER

141

4.9 Andregradsulikheter Når vi løser lineære ulikheter, bruker vi regneregler som likner de reglene vi bruker når vi løser likninger. Når vi arbeider med ulikheter som ikke er lineære, må vi bruke helt andre metoder. Da kan vi bruke fortegnslinjer. La oss tenke oss at vi skal undersøke hvordan fortegnet til uttrykket x 2 varierer med x. Vi vil finne ut hvor x 2 er negativt, hvor x 2 er null, og hvor x 2 er positivt. x 2 0 når x 2 x 2 0 når x 2 x 2 ! 0 når x ! 2

Negativt område for x 2: Nullpunkt for x 2: Positivt område for x 2:

Så lager vi ei tallinje der vi markerer nullpunktet til x 2. Deretter lager vi ei fortegnslinje for uttrykket x 2: –2

–1

5 x

x–2

På slike fortegnslinjer bruker vi disse symbolene: 0

markerer nullpunktene til uttrykket markerer at uttrykket er negativt markerer at uttrykket er positivt

EKSEMPEL

Lag ei fortegnslinje for uttrykket 3x 6.

LØ S N I N G

Først finner vi nullpunktet til uttrykket. Denne utregningen gjør vi ofte i hodet. 3x 6 0 3x 6 x 2 Når x ! 2, blir 3x 6 et negativt tall. Når x 2, blir 3x 6 et positivt tall. Det gir denne fortegnslinja: –2

–1

–3x + 6

142

4 | FAK TORISERING

2 0

5 x

OPPGAVE 4.90

Lag fortegnslinje for uttrykkene. a) x 3 b) 2x 4 c) x 2 d) 3x 9 Nå skal vi løse ulikheten 2 x 2 2 x 12 0 Først faktoriserer vi andregradsuttrykket. 2 x 2 2 x 12 2 x 2 x 6

2 x 2 x 3

fordi 2 3 6 og 2 3 1. Så lager vi fortegnslinje for hver av faktorene 2, x 2 og x 3 og setter dem under hverandre. Da får vi et fortegnsskjema. –6 –5 –4 –3 –2 –1

2 x+2

0 0

x–3 2(x + 2) (x – 3)

Nå utnytter vi fortegnsreglene for tallregning. Når x 2, har vi to negative faktorer og én positiv. Da blir produktet positivt, og vi tegner sammenhengende linje. Når x 2, er en av faktorene lik null, og da er produktet lik 0. Når x er et tall mellom 2 og 3, er det én negativ faktor og to positive. Da blir produktet negativt. Når x 3, er en av faktorene lik null, og da er produktet lik 0. Når x ! 3, er alle tre faktorene positive, og produktet er da positivt. Se den nederste linja på figuren. Dermed har vi funnet fortegnslinja til 2 x 2 x 3 . Ettersom 2 x 2 2 x 12 2 x 2 x 3 for alle verdier av x, er dette også fortegnslinja for 2 x 2 2 x 12. Vi skulle løse ulikheten 2 x 2 2 x 12 0 og må da finne ut hvor vi har stiplet linje i diagrammet ovenfor. Det er når x er mellom 2 og 3. Løsningen er 2x 2 2x 12 < 0 når 2 < x < 3 4.9 ANDREGRADSULIKHE TER

143

Denne løsningen kan vi kontrollere grafisk. Da tegner vi grafen til funksjonen f gitt ved f (x ) 2 x 2 2 x 12 y 15 10 5 –3 –2 –1 –5

x 1

–10 –15

Vi ser at grafen ligger under x-aksen når 2 x 3. Det stemmer med løsningen ovenfor. EKSEMPEL

Løs ulikheten ved regning. x 2 x 1 ! 2x 3 Kontroller løsningen grafisk.

LØ S N I N G

Først ordner vi ulikheten ved å samle alle leddene på venstre side før vi faktoriserer. x 2 x 1 ! 2x 3 x2 x 2 ! 0 x 2 x 1 ! 0

2 1 2 og 2 1 1

Nå tegner vi fortegnslinjer for faktorene x 2 og x 1 . Deretter lager vi ei fortegnslinje for x 2 x 1 ved å utnytte at to negative faktorer gir et positivt produkt, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt produkt, og at to positive faktorer gir et positivt produkt. –6 –5 –4 –3 –2 –1

x–2 x+1

(x – 2) (x + 1)

Vi skulle finne de verdiene av x der x 2 x 1 ! 0. Da må vi finne de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. Det er når x 1 og når x ! 2. x 2 x 1 ! 0 når x 1 og når x ! 2.

144

4 | FAK TORISERING

Ulikheten vi begynte med, har den samme løsningen: x 2 x 1 ! 2x 3 når x 1 og når x ! 2. Når vi skal kontrollere løsningen grafisk, skriver vi f (x ) x 2 x 1 og y 2 x 3 i algebrafeltet i GeoGebra. Det gir dette resultatet: 8 6 4 2

–3

–2

–1

y = 2x + 3

–2

At x 2 x 1 ! 2x 3, betyr at grafen til f må ligge over linja y 2x 3. Det er når x 1 og når x ! 2. Det stemmer med løsningen foran.

EKSEMPEL

Løs ulikheten og kontroller løsningen grafisk. x 2 2x 2 0

LØ S N I N G

Uttrykket x 2 2x 2 klarer vi ikke å faktorisere med heltallsmetoden. Vi bruker da andregradsformelen for å finne nullpunktene. x 2 2x 2 0 x x

2 r 2 r 4 2

2 4 1 2 2

Kvadratrota av 4 fins ikke. Dermed har ikke x 2 2x 2 noen nullpunkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn. Uttrykket er dermed enten positivt for alle verdier av x, eller negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi av x. Vi velger x 0. Det gir x 2 2x 2 02 2 0 2 2 Ettersom uttrykket er positivt for x 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x. Det blir ikke negativt for noen verdi for x. x 2 2x 2 0 har ingen løsning.

4.9 ANDREGRADSULIKHE TER

145

Dette kontrollerer vi ved å tegne grafen til funksjonen f (x ) x 2 2x 2 Den ser slik ut: y 4 3 2 1 –1 0

x 1

Grafen ligger ikke under x-aksen for noen x. Dermed har x 2 2 x 2 0 ingen løsning.

OPPGAVE 4.91

Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer og kontroller løsningen grafisk. a) x 2 5x 6 ! 0 b) x 2 x 2 0 c) 2 x 2 x 1 t 0 d) 2 x 2 x 6 d 0 OPPGAVE 4.92

Løs ulikhetene. a) x 2 4 x 4 ! 0 b) 6 x 2 5x 1 0 c) x 2 6 x 9 t 0 d) 2 x 2 8 x 9 0 OPPGAVE 4.93

Vi har gitt likningen x 2 bx 4 0 a) Finn ved regning antallet løsninger ved regning for ulike verdier for b. b) Kontroller svaret i oppgave a ved å lage en glider i GeoGebra.

146

4 | FAK TORISERING

SAMMENDRAG Kvadratsetningene Første kvadratsetning:

a b

a 2 2ab b2

Andre kvadratsetning:

a b

a 2 2ab b2

Konjugatsetningen:

a b a b

a 2 b2

Heltallsmetoden Hvis vi finner to tall d og e slik at b d e og c d e, så er x2 bx c x d x e Rasjonalt uttrykk Et rasjonalt uttrykk er en brøk som inneholder en variabel. Produktregelen Dersom a b 0, så er a 0 eller b 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax2 bx c 0 har løsningene x

b r b2 4ac når b2 4ac t 0 2a

Nullpunktsfaktorisering Dersom andregradsuttrykket ax 2 bx c har de to nullpunktene x x x2, er

x1 og

ax 2 bx c a x x1 x x2 Dersom andregradsuttrykket har bare ett nullpunkt x ax 2 bx c a x x1

x1, er

Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer.

SAMMENDRAG

147

Sinus Grunnbok Forkurs bla i bok

Articles inside

2.6 Tallinjer og intervall

Sammendrag