Tema 2. Espacio muestral y su cardinalidad

Actividad

1. Considera la rifa que se hará en tu escuela y determina la cantidad de boletos que se imprimirán. Haz tus operaciones en el espacio en blanco.

Como ya se dijo con anterioridad, en un experimento aleatorio todos los posibles resultados son conocidos y al conjunto de estos le llamaremos espacio muestral y nos referiremos a él con una E (e mayúscula).

Además, al número de posibles resultados le llamaremos cardinalidad del espacio muestral. También, a cada elemento del espacio muestral lo llamaremos evento simple.

Por ejemplo, cuando consideramos el lanzamiento de una moneda al aire el espacio muestral es E = {sol, aguila}, y su cardinalidad es 2, y si lanzamos un dado de seis caras el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y su cardinalidad es 6.

Ejemplo 1

El experimento aleatorio será lanzar tres veces una moneda al aire y registrar el resultado. Encontrar el espacio muestral y determinar cuántos elementos tiene.

Solución

Un método para hallar el espacio muestral de un experimento aleatorio es mediante un diagrama de árbol, como se muestra a a continuación: si llamas S al evento “sol” y A al evento “Aguila”, entonces en cada lanzamiento tendremos dos opciones:

Observa que con este esquema obtienes tienes todas las posibles combinaciones en las que pueden resultar los tres lanzamientos, es decir que el espacio muestral es:

E = {SSS, SSA, SAS, SAA, ASS, ASA, AAS, AAA}.

El espacio muestral tiene ocho elementos.

Puedes usar un método similar para determinar cuántos boletos se venderán en la rifa.

Ejemplo 2

Considera una caja con cuatro pelotas verdes y dos pelotas rojas y el experimento aleatorio de extraer dos pelotas, sin reemplazo, es decir que una vez que extrajiste la primera, esta no regresa a la caja y observar el color de las pelotas extraídas.

Encontrar el espacio muestral y decir cuántos elementos tiene.

Solución

Puedes registrar todas las posibles combinaciones en la siguiente tabla.

Nombrando como V el extraer la pelota verde y R el extraer la pelota roja, entonces el espacio muestral es:

E ={VV, VR, RV, RR}.

El espacio muestral consta de cuatro elementos.

ACTIVIDAD

Re nete con un compañero y respondan las preguntas.

1. ¿Consideran que la probabilidad de cualquiera de estos eventos, obtener dos pelotas verdes, que la primera sea verde y la segunda sea roja, que la primera sea roja y la segunda verde o que ambas sean rojas, es la misma?

2. ¿O in uye en la probabilidad la cantidad de pelotas verdes y rojas que hay?

Ejemplo 3

Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números {1, 2, 3, 4}.

Solución

Esto lo podemos realizar en dos etapas: selecciona el primer dígito, luego elige el segundo y nalmente representa los resultados de la siguiente manera.

Con ello podemos ver que los posibles resultados son: y al realizar el conteo vemos que son 16 posibilidades.

E = {11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44}.

Como ejercicio extra, determina cuántos números de cuatro dígitos puedes formar con los dígitos del 1 al 9 y comenta en grupo lo siguiente: ¿cuántos nips de tarjetas de banco hay y cuántas tarjetas crees que haya en México? Considerando esta información, ¿crees que haya nips repetidos?

¿Cuál es la probabilidad de que un ladrón le atine al nip de una tarjeta? Y ya que estamos en este tema, no olvides que para tu seguridad no uses fechas de nacimiento o fechas fáciles de ubicar.

Ejemplo 4

Un técnico médico registra el tipo sanguíneo y factor Rh de una persona. Determina el espacio muestral.

Solución

Una forma alternativa para exhibir los posibles resultados es usando una tabla de probabilidad, como se muestra a continuación.

O bien, haciendo una representación de forma rami cada: Tipo a) Lanzar una moneda y un dado.

1. Determina el espacio muestral de cada experimento aleatorio y escribe cuántos elementos tiene.

E = Cardinalidad = b) Lanzar un dado rojo y uno azul.

Cardinalidad = c) Lanzar dos dados indistinguibles.

Cardinalidad = d) Extraer dos bolas sin remplazo de una urna con 2 rojas y 2 negras.

Cardinalidad = e) Extraer dos bolas con remplazo de una urna con 2 rojas y 2 negras.

Cardinalidad = f) Lanzar dos veces un dado y sumar los números.

Cardinalidad =

2. Considera los experimentos a y b y comenten en grupo si son el mismo o en qué se diferencian. Además, si la cantidad de eventos en el espacio muestral no es la misma, ¿es más probable que en el primer experimento caiga dos veces 6 que en el experimento b? Anoten sus conclusiones en las líneas.

3. Considera los experimentos d y e y comenten en grupo en qué afecta que sea con reemplazo o sin reemplazo.

Tema 3. Eventos simples y eventos compuestos

Actividad

1. Considera la situación de la rifa para el viaje de n de curso y determina cuántos números satisfacen las características mencionadas.

a) Inicia con 1.

b) Termina con 9.

c) El número de en medio es 5.

d) Inicia con 3, el segundo dígito es múltiplo de 3 y el último dígito es 8.

e) Sus primeros dígitos son 23 y es múltiplo de 10.

f) Inicia con 2 y cada dígito es el doble del anterior.

Como se mencionó anteriormente, a cada posibilidad en la que ocurre un experimento aleatorio se le llama evento simple, por ejemplo, en el caso de la rifa un evento simple es cada uno de los números, como en los incisos e y f: en el inciso e, el único número que satisface esas condiciones es el 230 y en el inciso f, es el 248, mientras que en el resto hay más de un número que satisface esas condiciones. A esos eventos se les llama eventos compuestos.

Los eventos se denotan con letras mayúsculas seguida de dos puntos, cuando los defines, y cuando hablas en términos de conjuntos, es decir, que los describes con llaves, se coloca un =.

Ejemplo 1

Si el experimento consiste en lanzar un dado su espacio muestral, como ya sabes, es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Un evento simple será:

A: obtener un 3 y otro puede ser B: obtener un 5, es decir que los eventos son:

A = {3} y B = {5}.

Ejemplo 2

Si el experimento es lanzar una moneda tres veces ya sabes que su espacio muestral será

E={SSS, SSA, SAS, SAA, ASS, ASA, AAS, AAA}, y cada posibilidad será un evento simple, por ejemplo:

A: los tres lanzamientos son águila.

A= {AAA}

B: los tres lanzamientos son sol.

B = {SSS}

C: el primer lanzamiento es águila, el segundo sol y el tercero águila, nuevamente.

C = {ASA}

Ejemplo 3

Considera el ejemplo 2 de este tema. Un evento compuesto será:

A: el primer lanzamiento es sol.

Observa que sus posibles resultados son cuatro: SSS, SAS, SSA, SAA, es decir:

A = {SSS, SAS, SSA, SAA}.

O bien:

B: El segundo lanzamiento es sol.

B = {SSS, SSA, ASS, ASA} a) Experimento: lanzar dos volados.

1. Determina los elementos de cada evento y escribe si es simple o compuesto.

A: El primer lanzamiento es sol.

A =

B: El segundo lanzamiento es águila.

B =

C: Ambos son águila.

C = b) Experimento: lanzar dos veces un dado.

A: El primer lanzamiento es un número par.

A =

B: El segundo lanzamiento es 6.

B =

C: La suma de ambos números es 12.

C = a) ¿De cuántas formas se puede integrar este comité? Escribe el espacio muestral. b) Si dos de estas personas, nombrémoslas P3 y p5 se caen mal, ¿en cuántos eventos simples coinciden? c) ¿Crees que es altamente probable que estas personas deban colaborar juntas? Explica.

2. Lee y responde.

De un grupo de 5 personas se seleccionarán a tres para formar un comité para organizar un viaje escolar.