Capítulo 10
INTRODUCCION AL TRANSPORTE DE CALOR
10.1. PRINCIPIOS BÁSICOS El calor asociado a un proceso es una función de camino. A presión constante es igual a DH. El calor se transfiere en tres formas diferentes, a saber, conducción, convección y por radiación. Conducción. La transferencia de calor por conducción se da entre dos superficies que están a diferente temperatura, sin que exista movimiento del medio existente entre ellas. La ecuación que rige este fenómeno es la ley de Fourier q k
dT dx
(10.1)
donde q es la densidad de flujo de calor, o sea la cantidad de calor que fluye por unidad de tiempo y de área transversal; k es la conductividad térmica. Convección. En esta forma de transferencia de calor existe un movimiento de la fase, a diferencia de la conducción, producido por el mismo fenómeno de transporte o bien por un mecanismo externo. Se diferencia así la convección natural de la forzada. La velocidad del fenómeno puede calcularse por: q = h (Tp - T¥)
(10.2)
donde h es el coeficiente de transferencia de calor. El cálculo del coeficiente de película h será visto posteriormente. Radiación. En este mecanismo el calor se transfiere siguiendo las leyes de la electromagnética: qr = s e ( Tp 4 - T¥ 4 )
(10.3)
s: constante de Stephan - Boltzmann. e: emisividad [=]1 . Esta forma de transferencia no participa de la naturaleza de los llamados fenómenos de transporte. Se presenta en el Apéndice A-2.
10-2 Transporte de calor por conducción. Conductividad Considérese dos superficies planas paralelas de área A, separadas por una substancia sólida de espesor L (Fig. 10.1). Si se quiere mantener la superficie superior a una temperatura T1 mayor que la de la superficie inferior T 2 será necesario proporcionarle una cierta cantidad de calor por unidad de tiempo,Q. Este calor se transmitirá a través del sólido hasta llegar a la superficie inferior. Si se desea mantener el proceso en régimen permanente será necesario eliminar calor de la superficie inferior a la misma velocidad a la que es suministrado a la superior. El calor Q puede relacionarse con los demás parámetros del sistema mediante la ecuación Q
calor ADT k t L
(10.4)
siendo DT=(T1-T2). A la constante de proporcionalidad k se llama conductividad térmica. El grupo kA/L es la conductancia; su inverso la resistencia. Para definir la unidad de conductividad puede hacerse que los parámetros A, L, DT sean iguales a la unidad en la Ec. (10.4). Se tendrá que numéricamente Q=k y se podrá definir la unidad de conductividad como la velocidad a que se transmite el calor por conducción entre dos superficies de 1 m2 colocadas a una distancia de 1 m, habiendo entre ambas una diferencia de temperatura de 1 grado. En el SI es el W/mK. La Ec. (10.4) puede reordenarse para que quede: Q/A=q=kDT/L. Pero DT/L=-dT/dx si la temperatura varía linealmente entre T1 y T2 como es el caso en régimen permanente. El signo negativo es necesario por ser negativa la derivada. De esta manera se obtiene la Ec. (10.1)
Figura 10.1. Definición de la conductividad
La conducción en un sólido es un fenómeno ampliamente matematizado. Cuando se da en un fluido que se mueve será necesario resolver simultáneamente las ecuaciones de calor y movimiento. De acuerdo con la regla de las fases la conductividad de una substancia pura debe ser función de dos propiedades termodinámicas. Puede por lo tanto establecerse que k= f( p, T). En los gases a alta presión k aumenta con la temperatura; en los líquidos sucede lo contrario. La dependencia con respecto a la presión es despreciable en sólidos y líquidos. En la Tabla 10.1 pueden verse algunos valores de la conductividad
10-3 10.2. ANALOGIA ENTRE LOS FENOMENOS DE TRANSPORTE Dos sistemas son análogos si las ecuaciones que describen su comportamiento son las mismas. Los fenómenos de transporte se producen cuando existen gradientes de las variables conductoras (velocidad, temperatura y potencial químico) que denotan a su vez gradientes de concentración de las correspondientes entidades conservativas (momentum, energía interna y masa), que son las que se transportan Tabla 10.1 Conductividad de algunas sustancias Substancia Conductividad (SI) T, ºC Aire 0.026 25 Butano 0.016 25 CO2 0.017 25 0.176 30 Acetona (líq) 0.62 30 Agua 0.17 20 Aceite de oliva 0.18 20 Aceite de ricino 0.15 30 Benceno 8.3 30 Mercurio 0.19 100 Asbesto 202 100 Aluminio 0.74 20 Asfalto 52 100 Acero 377 100 Cobre 0.039 30 Lana mineral
Las ecuaciones de mecanismo para el transporte de momentum y calor son respectivamente la de Newton y la de Fourier ya estudiadas. En la Ec. (10.1) "q" es la densidad de flujo de calor, es decir, el calor que fluye por unidad de tiempo y de área d
transversal. Por otro lado, la ecuación de Newton de viscosidad es d x y en ella es la densidad de flujo de cantidad de movimiento. Puesto que las ecuaciones que describen estos dos fenómenos de transporte son de la misma forma, podemos establecer que dichos fenómenos son análogos entre sí. Las consecuencias de esta analogía serán estudiadas en capítulos posteriores, pero cabe señalar aquí que gracias a esta propiedad las soluciones obtenidas para uno de estos fenómenos pueden ser aplicadas al transporte de la otra entidad si se realizan ambas en iguales condiciones. 10.3. ECUACION DE ENERGIA CALORÍFICA Considérese un fluido incompresible con temperatura no-uniforme animado de movimiento arbitrario y en él un elemento de volumen, inmóvil, que puede intercambiar energía calorífica con el entorno. Según el primer principio de la termodinámica DU=QW; Si no hay trabajo DU=Q: la energía que se transporta como calor se almacena en el
10-4 elemento de volumen como energía interna. Un balance de energía tendrá los términos que se muestran en la Fig. 10.2. DU= calor que entra (neto) por convección +calor que entra (neto) por conducción +calor generado
Figura 10.2. Balance de energía calorífica
El término " calor generado" se refiere al que se produce por disipación viscosa, electricidad o microondas, lo que implica una aportación de energía del exterior. Sus dimensiones son: g'[=](calor)(volumen)-1(tiempo)-1. La forma de los términos en el balance anterior es la siguiente: Calor que entra por convección: Uˆ ( ) AUˆ donde es el flujo másico; A el área de entrada. Uˆ CT siendo C el calor específico. Calor que entra por conducción: q A (ver Fig. 10.2) Calor generado: Siendo D(volumen)=DxDyDz
D(volumen)g'
Acumulación de energía interna:
( mUˆ ) Uˆ D (volumen) t t
El balance queda: DyDz ( xUˆ )
x x Dx
DxDz ( y Uˆ )
( Uˆ ) DxDyDzg ' DxDyDz t
y y Dy
DxDy ( z Uˆ )
z z Dz
DyDz q x
x x Dx
DxDz q y
y y Dy
DxDy q z (10.5)
Dividiendo entre DxDyDz y haciendo tender los incrementos a cero (considerando constante)
z z Dz
10-5 ( xUˆ ) ( yUˆ ) ( zUˆ ) q x q y q z Uˆ g' y z x y z t x
(10.6)
El primer paréntesis de la Ec. (10.6) se puede expresar y z Uˆ Uˆ Uˆ x Uˆ x y z ; y z x y z x
para fluidos incompresibles =0 y
el primer término de la expresión anterior es igual a cero, quedando la Ec. (10.6): Uˆ Uˆ Uˆ Uˆ x y z q g' 0 x y z t
(10.7)
que se puede abreviar usando la notación vectorial:
DUˆ q g' 0 Dt
(10.8)
DT q g ' Dt
(10.9)
O bien, C
Introduciendo en la Ec. (10.7) la ley de Fourier: q x=-kdT/dx; qy=-kdT/dy; qz=kdT/dz, queda: 2T 2T 2T T T T T k 2 2 2 g ' 0 C x y z x y z y z t x
(10.10)
que se puede abreviar: C
DT k 2T g ' Dt
(10.11)
La última ecuación es válida para convección libre y forzada. Si se introducen en las ecs (10.9, 10.11) las expresiones de los operadores en los diversos sistemas de coordenadas se obtiene la ecuación de energía en los tres sistemas, en términos de densidad de flujo q y de temperatura, respectivamente. Las ecuaciones resultantes están desarrolladas en las Tablas 10.2 y 10.3. Casos particulares Si solamente existe conducción se tiene la forma más general de la ecuación de Fourier. De la Ec. (10.11):
10-6 C
T k 2T t
(10.12)
o bien, Tabla 10.2-Ecuación de energía calorífica en función de la densidad de flujo Coordenadas rectangulares: qx q y qz T T T T C x y z g' x y z y z t x Coordenadas cilíndricas:
T T T 1 q q z T 1 C r z (rq r ) g' r r z r z r r t Coordenadas esféricas:
1 2 1 (r q ) (q sen ) 2 r T T T T r r r sen C r g' t r r r sen 1 q r sen Tabla 10.3-Ecuación de energía calorífica en función de la temperatura Coordenadas rectangulares:
2T 2 T 2T T T T T k 2 2 2 g ' C x y z x y z y z t x Coordenadas cilíndricas:
1 T 1 2T 2T T T T T C r z 2 g' k r 2 2 r r z z t r r r r Coordenadas esféricas:
T T T T C r r r r sen t 1 2 T 1 k 2 r 2 r r r r sen
T 2T t
T 1 2T sen 2 g' 2 r sen 2
(10.13)
10-7
que a régimen permanente constituye la ecuación de Laplace: 2T 0
(10.14)
La ecuación de Poisson incluye el término generación de calor: 2T
g' 0 k
.
Bibliografía recomendada 1. Bird,R.B.,Stewart,W.,Lightfoot,E.,"Transport Phenomena". John Willey, N.Y., 1960.
C g' k q t T Û
Notación calor específico, J/(kgK) calor generado, (calor)L-3t-1 conductividad térmica, (calor)L-1T-1t-1 densidad de flujo de calor, W/m2 tiempo, s temperatura energía interna específica, (energía)M -1
Difusividad térmica, L2t-1 Densidad de flujo de momentum, esfuerzo cortante, (masa)(velocidad)/L 2t
(10.15)