Capítulo 12
CAPA LIMITE TERMICA En este capítulo se establece la analogía entre la transferencia de momentum y la de calor a partir del estudio de la capa límite. Las connotaciones de esta analogía van más allá de los casos meramente teóricos y llegan a aplicaciones prácticas. Desde un punto de vista, el caso que se estudia en este capítulo puede considerarse como el siguiente de la serie de casos estudiados en el capítulo 11, aunque su complejidad matemática sea mayor. El movimiento de un fluido con relación a una superficie que está a otra temperatura diferente determina la formación de una zona cercana a la superficie, en la que se dan gradientes fuertes de temperatura, de la misma manera que dentro de la capa límite hidrodinámica se dan los de velocidad, como se vio en el Cap.3. Esto ha sido comprobado experimentalmente e indica que en esa zona se da la casi total resistencia a la transferencia de calor. 12.1. SOLUCION EXACTA DE LA CAPA LIMITE TERMICA. Si se considera el proceso de transferencia de calor por difusión entre una superficie plana con temperatura superficial TS y un fluido a distinta temperatura que circula laminarmente a lo largo de la misma, se verá que el fenómeno es análogo al de transferencia de momentum estudiado en el capítulo 3. Supóngase, para facilidad de visualización, el caso particular en que la temperatura de aproximación del fluido (antes de llegar a la placa) es To>TS. Por razones termodinámicas se considera que el fluido en contacto con la superficie adquiere de inmediato la misma temperatura que ésta (equilibrio térmico). Entre esta capa de fluido y las adyacentes habrá transferencia de calor por difusión. No obstante, a una cierta distancia de la superficie existirán capas de fluido cuya temperatura no habrá cambiado. Definamos la variable =T-TS, temperatura relativa a la de la superficie sólida. Su perfil será igual al de la Fig. 12.1. Puede aquí definirse la capa límite térmica como el lugar geométrico de los puntos para los cuales se cumple = 0.99o, siendo o=To-TS. La ecuación de continuidad es la (3.1); la ecuación diferencial de calor puede obtenerse a partir de la Tabla 10.3. En términos de la variable es: 2 2 y 2 x y x 2 y = k/Cp es la difusividad térmica. 2 / x 2 es mucho menor que 2 / y 2 por la misma razón expuesta para el caso hidrodinámico y puede despreciarse quedando la ecuación anterior:
x
x
2 y x y y2
(12.1)
12-2
Las condiciones de frontera para la ecuación anterior son: C.F.1. (x=0, y) = o ; C.F.2. (x, y=0) = 0; C.F.3. (x, y=) = o Comparando las Ecs. (12.1 y 3.2) y sus respectivas condiciones frontera se observa que los problemas son iguales si se cumple que =. En este caso la misma solución de Blasius será válida en el caso térmico. Las variables adimensionales serán ahora '=/o = (T-TS)/(To-TS) y dada por la Ec. (3.5). La pendiente de la gráfica '=f() en el origen es igual a 0.332 de acuerdo con los resultados de Blasius. Si ahora se quiere una ecuación para qy=0 (densidad de flujo de calor entre la placa y el fluido) se puede partir de la ecuación de Fourier: q
y0
k
T y
y0
. El valor de la derivada anterior,
obtenida por la regla de la cadena es:
Figura 12.1. Capa límite térmica
T y
y 0
T y
y 0
0.332
(To Ts ) Re x x
y por lo tanto, q
y 0
0.332k
(To Ts ) Re x x
(12.2)
El signo negativo en la última ecuación es consistente con la forma en que se definió el sentido positivo de "y" y el hecho de que To>TS. La ecuación anterior permite calcular la densidad local de flujo de calor en una posición "x" a lo largo de la superficie de la placa. Un valor promedio para toda la longitud puede ser obtenido por integración de la Ec. (12.2) de la misma manera que se hizo para yx. Se llega así a la siguiente expresión
( - ) q = 0.664k T 0 T s Re L L
(12.3)
Se observa que al igual que en el caso hidrodinámico, el valor medio resulta igual al doble del valor local evaluado en x=L. Las Ecs. (12.2 y 12.3) son válidas si =, y por lo tanto si Cp/k =1. El grupo adimensional Cp/k es el número de Prandtl (Pr). Si Pr 1,
12-3
será necesario introducir un factor de corrección en ambas ecuaciones. Polhausen ( 1) observó que la gráfica de la figura 3.2 es válida para el caso de transferencia de calor, si se grafica ' en función de Pr1/3. El factor Pr1/3 debe entonces ser introducido en las Ecs. (12.2, 12.3). La Ec. (12.3) queda por lo tanto: q 0.664k
(T0 Ts ) Re L Pr 1 / 3 L
(12.4)
Coeficiente de transferencia La Ec. (12.4) permite calcular la velocidad de transferencia de calor por difusión en capa límite laminar. Si el flujo es turbulento no es posible llegar a tal tipo de ecuaciones teóricas y es necesario usar el coeficiente de película, h, ya definido en el capítulo anterior: q= h(T) = h(TS-To)
(12.5)
Combinando las Ecs. (12.4, 12.5) se obtiene para flujo laminar: h
0.664k Re L L
Pr 1 / 3
ecuación que, reordenada, se transforma en: Nu = 0.664ReL1/2Pr1/3
(12.6) (12.7)
siendo Nu=hL/k el número de Nusselt. La ecuación para calcular h en flujo turbulento será empírica; lo mismo puede decirse de los casos en que la geometría es compleja (Cap.13) Espesor de la capa límite térmica. De la solución numérica de la ecuación de Blasius (Tabla 3.1) se obtiene que para =5, = 0.99. Esto indica, de acuerdo con la definición de capa límite, que en el "borde" de la misma = 5. Denotando el espesor de la capa límite térmica como T, se tiene entonces que
T Re x 5 x
(12.8)
de donde T
5x Re x
(12.9)
La ecuación anterior da el espesor de la capa límite térmica en función de la posición a lo largo de la placa para Pr=1. Combinando la solución de Blasius con la modificación de Polhausen se obtiene para el espesor de la capa límite térmica la siguiente ecuación:
12-4
T
5x
(12.10)
Re x Pr 1/ 3
De la ecuación anterior se deduce que cuando Pr=1 los bordes de las capas límite hidrodinámica y térmica coinciden (los espesores son iguales). Si Pr>1 la capa límite térmica se desarrolla dentro de la hidrodinámica por ser su espesor menor que el de aquella. Si Pr<1 sucede lo contrario. Debe decirse que para gases el prandtl es del orden de 0.8-0.9, para metales fundidos Pr<<1 y para los demás líquidos Pr>>1. Para aceites, por ejemplo, Pr>100. En los casos interesantes en ingeniería química por consiguiente, la capa límite térmica coincide con la hidrodinámica o está dentro de la misma. En el desarrollo anterior se consideraron constantes las propiedades del fluido, por lo que los valores que deben emplearse serán los que corresponden a la temperatura media o de película Tf=(Ts+To)/2. Ejemplo 12.1. Sea una placa de 1 m de largo, 0.2 m de ancho por la cual fluye tangencialmente agua a 50ºC a velocidad de 0.1 m/s. T s=70ºC. Calcular la densidad de flujo de calor q. Solución: Tf = (50+70) / 2=60ºC. La propiedades del agua a 60ºC son: k = 0.651 W/mK. Pr = 3.02; = 0.478 x 10-6 m2/s Re L
1 0.1 2.09 10 5 0.478 10 6
Nu = 0.664 ReL0.5 Pr1/3 =0.664(2.09x105)1/2 (3.02)1/3 = 438.8 h = (438.8)(0.651)/(1) = 285 W/m2K Q = hAT = 285x0.2(70-50) =1,143 W 12.2. METODO INTEGRAL Considerando el caso en que la capa límite térmica se encuentra dentro de la hidrodinámica, el perfil de velocidad en la primera será dado por la Ec. (3.22). El balance de energía calorífica en el elemento de volumen (Fig. 12.2) es:
T 0
x HW dy
x
T 0
x HW dy
x x
o H o q s x W 0
(12.11)
H es la entalpía específica, Ho la entalpía específica fuera de la capa límite térmica. W es el ancho de la capa límite. o es el flujo de materia que entra al volumen de control proveniente del exterior de la capa límite; es dado por la ecuación de continuidad (3.16), aplicada al volumen de control de la Fig. 12.2. Introduciendo esta expresión de o en la Ec. (12.11), dividiendo entre Wx y haciendo tender x a cero se obtiene:
12-5
d
T 0
x Hˆ dy
T 0
x Hˆ o dy
qs 0 dx dx Y considerando que Hˆ Hˆ o =Cp(To-T) la ecuación anterior se transforma en: d
T 0
d
x (To T )dy dx
qs C p
(12.12)
que es la ecuación integral de energía, siendo qs=qy=0. Se requiere conocer T=T(y) para poder efectuar la integral. Postulando el perfil adimensional y T Ts A B To Ts T
y C T
2
y D T
3
se requerirán 4 condiciones frontera para la evaluación de los coeficientes: C.F.1. en y=0, T=Ts; C.F.2. en y=T, T=To; C.F.3. en y=T, T/y=0. La cuarta condición es: C.F.4. en y=0, 2T/y2 =0. Esta última condición se obtiene imponiendo a la Ec. (12.1) las restricciones x=0, y=0, válidas en y=0.
Figura 12.2. Balance de energía en un elemento de volumen
Imponiendo las condiciones frontera, se obtiene el perfil de temperatura adimensional igual al ya obtenido para la velocidad: T Ts 3 y To Ts 2 T
1 y 2 T
3
(12.13)
Introduciendo la ecuación (12.13) en la (12.12) y efectuando la integración se obtiene:
o
d (3 2 / 20 3 4 / 280) 3 dx 2 T
(12.14)
12-6
Siendo =T/<1. El segundo término dentro del paréntesis es mucho menor que el primero y puede despreciarse. Efectuando la derivación la ecuación anterior queda: 1 2 2 d d 2 3 10 dx dx o
(12.15)
Introduciendo en la ecuación anterior el valor de dado por la Ec. (3.25) e integrando se obtiene = T 0.976 Pr 1 / 3 (12.16) Comparando las Ecs. (3.15, 12.10) se deduce que el valor de la constante en la Ec. (12.16) es 1 según el método exacto. Por último, la expresión para el coeficiente de transferencia puede obtenerse como sigue: hx=qs/T; qs=-k(T/y)y=0. Partiendo de la Ec. (12.13) se obtiene: qs=-3kT/2T. El signo(-) obedece a la definición del sentido positivo de la coordenada "y"; suprimiéndolo queda: h x=3k/2T=3k/(2). El subíndice "x" indica que el valor es local. Sustituyendo en ésta última ecuación dado por la Ec. (12.16) y de la Ec. (3.25) se obtiene: hx 0.332
k Re x Pr 1 / 3 x
Para el valor medio se tiene: h=
(12.17). 1 L
L
0
h x ( x)dx =0.664(k/L)ReL0.5Pr1/3, que es el
mismo resultado ya obtenido por el método exacto, Ec. (12.6) 12.3. ANALOGIA ENTRE LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y LA DE MOMENTUM Varios intentos han sido hechos por establecer analogías que permitan correlacionar datos experimentales en transferencia de momentum y calor. Así, desde 1901 Reynolds (2) propuso para flujo turbulento que la transferencia de momentum y calor se hacían por mecanismos análogos. Con base en esto propuso que se usaran ecuaciones semejantes a las de Newton y Fourier, sumando difusividades turbulentas o de remolino a las moleculares. Al suponer que las difusividades de remolino son iguales para momentum y calor y mucho mayores que las correspondientes moleculares , , Reynolds llegó a establecer una analogía entre los fenómenos de transferencia de momentum y calor: St=fp/2 que es la llamada analogía de Reynolds. St es el número de Stanton igual a Nu/(RePr) =h/Cpo. Esta expresión permite relacionar datos de transferencia de calor y momentum. Colburn (3)partió de la analogía de Prandtl e introdujo el factor Pr2/3 con lo cual se mejora la correlación entre los datos de transferencia de calor y momentum. Combinando la Ec. (12.6) con la Ec. (3.13) puede establecerse la igualdad: fp Nu 1/ 3 2 Re L Pr
Introduciendo en la última ecuación el número de Stanton:
(12.18)
12-7
StPr2/3 = fp/2
(12.19)
La ecuación anterior es la expresión de la analogía de Colburn, válida también si se establece para valores locales de los parámetros adimensionales. Correlaciona adecuadamente los datos experimentales obtenidos para flujo sobre placas. La Ec. (12.19) es válida también para flujo turbulento en placa plana y con las modificaciones adecuadas puede usarse para flujo turbulento mas no laminar en tubos. Es la analogía más ventajosa y más sencilla de usar. Es válida para valores de Pr comprendidos entre 0.6 y 100. Es exacta para placas planas siempre que se cumplan los supuestos establecidos en su desarrollo: básicamente que las propiedades físicas sean constantes. No deberán estar presentes procesos que no tienen contraparte análoga en el otro fenómeno de transporte; no debe haber por lo tanto arrastre de forma (placa curva, por ejemplo) y no debe haber generación interna de calor de origen químico o viscoso, ni efectos producidos por radiación. Ejemplo 12.2. Calcular el calor que gana una placa plana de 2.0 m de largo por 0.4 m de ancho, a 30ºC, en contacto con un líquido a 90ºC. La fuerza de arrastre producida por el líquido en la placa es de 4.6 N cuando la velocidad de aproximación es de 2 m/s. Las propiedades del líquido a 60ºC son: '=0.95; =5x10-3 Pas; k=0.1 W/mK, Cp=2.511 kJ/kgK Solución: ReL=2x2x950/0.005=760,000. El flujo es turbulento y por lo tanto no es aplicable la Ec. (12.7). Pr=2511x0.005/0.1=125.5; s=4.6/(2x0.4)=5.75 Pa. fp=2s/o2= 2x5.75/ (950x22)= 3.02x10-3 Aplicando la analogía de Colburn (Ec. 12.19): h=fpCpo Pr-2/3/2=(3.02x10-3)x950x 2511x2(125.5)-2/3/ 2 = 144 W/m2K de donde Q=(2x0.4)x144x60=6,912 W 12.4. FLUIDOS NO-NEWTONIANOS Las consideraciones hechas hasta llegar a la Ec. (12.15) son válidas igualmente para fluidos no newtonianos. Si se introduce en esta ecuación la expresión de tomada de la Ec. (3.30) se llega a las siguientes expresiones para fluidos que siguen la ley de potencia (4) 3 30 f (n)( n 1) 2n 1
Nux= 2
1 / 3
Pr 1 / 3 Re x
( n 2 ) /( 3 n 3)
(12.20)
El valor del Prandtl en este caso depende de la posición. Su expresión es Pr x=CpK (o/x)n-1/k Rex=o2-nxn/K. Para n=1 la Ec. (12.20) se reduce a la expresión para newtonianos Nux=0.332Rex1/2Pr1/3. El valor medio, obtenido por integración es:
12-8
Nu=
3 30 f (n)(n 1) 2 2n 1
1 / 3
Pr Re x
( n 2 ) /( 3 n 3)
(12.21) En resumen, la solución obtenida por Blasius para la capa límite hidrodinámica es aplicable a la transferencia de calor. Lo anterior ha sido verificado experimentalmente y muestra la analogía entre estos fenómenos. Aunque la demostración de la analogía de Colburn con base el estudio de la capa límite fue hecha en condición de flujo laminar, la extensión de la analogía al caso turbulento, que es el más frecuente en ingeniería, es muy conveniente pues permite extrapolar, en ciertas condiciones, valores experimentales obtenidos en transferencia de momentum al caso de calor y viceversa. Ejercicios (ver respuestas en el Apéndice D) 1- A lo largo de una placa plana fluye agua con velocidad de aproximación de 0.2 m/s. Calcular a qué distancia de la superficie de la placa la temperatura del agua es de 40ºC en una posición ubicada a 40 cm del borde de ataque. La temperatura de aproximación del agua es de 100ºC y la de la placa 20ºC. a 60ºC, '=1.017; =4.86x10-4 Pas. Longitud de la placa: 1 m. 2- Supóngase que sobre una placa plana con medidas L=1 m; W=0.6 m pasa agua a 35ºC siendo la temperatura de la placa 5ºC. La velocidad de aproximación es de 0.15 m/s. Las propiedades del agua a 20ºC son: '=1.0; =1 cp; Cp= 4,178 J/kgK, k=0.6 W/mK. Calcular la velocidad de transferencia de calor. 3. Obtener una expresión para el valor medio del Nusselt en una placa de longitud L . Suponer que la longitud con flujo laminar es despreciable. Para la parte turbulenta se ha propuesto la correlación fx=0.0592Re x-1/5 (5), válida para Reynolds entre 5x10 5-107. Suponer que esta correlación es válida. 4. La tapa del cárter de un automóvil tiene 50 cm de longitud por 40 de ancho y está a 160ºC; ¿ A qué velocidad disipa calor el cárter al aire ambiente que está a 40ºC y se mueve tangencialmente a su superficie? El vehículo se mueve a 30 m/s con respecto al aire. Suponer que por la vibración el flujo es turbulento en toda su longitud. Para flujo turbulento una ecuación propuesta es Nux=0.0296Rex0.8Pr1/3 . 5. Un líquido pasa tangencialmente a una placa plana de 0.6 mx 0.6 m con velocidad de 2 m/s. Sus propiedades son: =20 cp; '=0.9; k=0.02 W/mK; Pr=12200; el líquido ejerce sobre la superficie una fuerza de arrastre de 3.7 N; calcular el valor medio de h.
Bibliografía 1. Pohlhausen,E.,Z.Angew.Math.Mech.,1,115(1921) 2. Reynolds,O., Scientific Papers of Osborne Reynolds, Vol.2, Cambridge University Press,London,1901. 3. Colburn,A.P.,Trans.A.J.Ch.E.,29,174(1933) 4. Chabra,R.P.,Richardson,J.F.,"Non-Newtonian Flow in the Process Industries". ButterworthHeinemenn(1999) 5. Hewit,G.F.,Shires,G.L.,Bott,T.R.,Process Heat Transfer,CRC, 194 Notación fp k Nu NuX q ReX,ReL
factor de fricción en placa plana conductividad térmica, Wm -2K-1 nusselt medio nusselt local densidad de flujo de calor, Wm -2 reynolds local y evaluado en x=L
12-9 To TS
temperatura de aproximación, K temperatura en la superficie de la placa, T
T yx L o '
difusividad térmica(a= k/CP), m2s-1 espesor de la capa límite hidrodinámica, m espesor capa límite térmica,m variable espacial adimensional viscosidad absoluta, kgm-1s-1 viscosidad cinemática, m 2s-1 densidad, kgm-3 densidad local de flujo de cantidad de movimiento, Pa esfuerzo cortante evaluado en la superficie de la placa, Pa valor de tyx, evaluado en x=L, Pa velocidad de aproximación, ms-1 función velocidad normalizada, adimensional función temperatura normalizada, adimensional
Subíndices: x L
valor local valor en x=L