Capítulo 11
MODELOS MATEMÁTICOS DE CONDUCCIÓN DE CALOR Los sistemas en que el mecanismo de la transferencia de calor es conocido, sea porque se realiza únicamente por conducción o en flujo laminar con condiciones frontera sencillas, pueden ser tratados en forma teórica. El siguiente estudio de casos escogidos tiene por objeto mostrar la manera en que se hace esta modelación. Puede partirse de un balance de energía calorífica en un elemento de volumen o partirse en muchos casos de la ecuación de energía obtenida en el capítulo anterior. Las condiciones frontera más comunes empleadas para evaluar las constantes de integración son: Temperatura conocida; ejemplo: T(x=0)=T o Densidad de flujo de calor conocida: q(x=0)=q o o bien, Convección en una frontera:
T x
q(x=0)=h(To-Tb ) o bien, k
valor dado
x 0
T x
h(To Tb ) x 0
11.1. CONDUCCIÓN EN COORDENADAS RECTANGULARES Supóngase que una pared sólida tiene en una cara una temperatura T 1 y en la otra T2 constantes, siendo T1>T2 según se ve en la Fig. 11.1. Se quiere obtener una ecuación para calcular el flujo de calor a través de la misma, así como el perfil de temperatura. Para tal fin se aísla un elemento de volumen y se establece arbitrariamente el sistema de coordenadas de referencia. El balance de calor en el elemento es: q x .A
x
q x .A
x x
0
A es el área de la cara del elemento de volumen transversal al flujo de calor.
Figura 11.1. Conducción en pared recta
11-2
Dividiendo entre Ax y haciendo tender x a cero se obtiene: dq x 0 dx que integrada es qx=C1. La constante de integración podría ser evaluada si se tuviera una condición frontera para q x. No habiéndola, se introduce la ecuación de Fourier qx=-k(dT/dx) obteniéndose dT=-(C1/k)dx. Integrándola se tiene:
C1 x C2 (11.1) k con condiciones frontera: C.F. 1. T(x = 0)= T1 ; C.F. 2. T(x = L)= T2. De la primera condición se obtiene C2= T1 y por lo tanto C1= (T1 - T2) k/L. Introduciendo en la Ec. (11.1) las expresiones de ambas constantes se obtiene el perfil de temperatura: T
( T2 T1 ) x (11.2) L La ecuación anterior corresponde a una recta. Igualmente, introduciendo el valor de C1 en la ecuación qx=C1 se tiene el perfil de densidad de flujo de calor: T T1
q x T1 T2
k L
(11.3)
que es la Ec. (10.4) del capítulo anterior. Ejemplo 11.1. Calcular el flujo de calor que escapa de un horno a través de la pared de ladrillo de 45 cm de espesor, si su conductividad es de 0.26 W/mK; su temperatura interna es 900°C y la externa 60°C. Solución: q
0.26 900 60 485 W/m2 0.45
Coeficiente de película No siempre se conoce la temperatura de una superficie sólida sino más bien la del fluido en contacto con ella; así, en el ejemplo anterior, pudiera conocerse la temperatura de los gases dentro del horno y del aire ambiente fuera del mismo. Pueden relacionarse las temperaturas superficiales con las del fluido mediante un coeficiente de película h que se define por: q = h (T o - Tb), siendo To, Tb las temperaturas de la superficie y del fluido respectivamente. La ecuación anterior permite calcular la velocidad de transferencia de calor por convección entre la superficie sólida y la fase fluida. Posteriormente se verá la forma de calcular el coeficiente de película. Aquí únicamente se define y se usa en las condiciones frontera de algunos de los casos considerados. El coeficiente h engloba en realidad los efectos de la convección y la radiación, aunque a temperaturas no muy altas esta última es despreciable.
11-3
Ejemplo 11.2. Sea el mismo horno del ejemplo anterior pero ahora se conoce la temperatura de los gases combustión T i=1100°C, la temperatura ambiente T b= 25°C y los coeficientes de película: dentro del horno h i = 120 W/m2K y en la película externa h o = 30 (mismas unidades). Calcular el calor que se escapa. Solución: Sea T1 la temperatura de la cara interna y T 2 la de la externa. En régimen permanente se tiene 3 ecuaciones para q: q T1 T2
k 0.26 (T1 T2 ) L 0.45
q hi Ti T1 120(1100 T1 )
q ho T2 Tb 30(T2 25)
O sea: q=0.58(T1-T2);
q=132000-120T1;
q=30T2-750
Los valores obtenidos son:T1 = 1095°C; T2 =45.3°C; q =608.8 W/m2 Ejercicio. Analizar la necesidad de que el perfil de temperatura, Ec. (11.2) sea una recta, a la luz del principio de conservación de la energía. Aplicación. Paredes planas compuestas Sea una pared compuesta de varias capas, según se ve en la Fig. 11.2. Se quiere hallar una ecuación para el flujo de calor a través de esa pared. Sea T i > To. El flujo de calor es el mismo para cada capa en régimen permanente. Pueden entonces igualarse las expresiones de "q" para cada una de ellas q hi (Ti T1 )
k1 T1 T2 k 2 T2 T3 k 3 T3 T4 ho T4 Tb L1 L2 L3
que pueden reordenarse de manera que en los denominadores estén las resistencias térmicas de cada etapa: q
Ti T1 T1 T2 T2 T3 T3 T4 T4 Tb 1 hi L1 k1 L2 k 2 L3 k 3 1 ho
sumando denominadores y numeradores se tiene: Ti Tb q 1 L1 L2 L3 1 hi k1 k 2 k 3 h0
(11.4)
11-4
que tiene la forma: q
T T Ri RT
Figura 11.2. Pared compuesta
(11.5)
Figura 11.3. Analogía entre flujo de calor y de electricidad
RT es la resistencia total al flujo de calor, igual a la suma de las resistencias parciales en serie. Un proceso análogo es el paso de corriente eléctrica a través de un arreglo de resistencias en serie (Fig. 11.3). La intensidad de corriente es igual al cociente entre la diferencia total de potencial y la suma de resistencias. Igualmente la caída de voltaje en cada resistencia es proporcional a la magnitud de la misma así como la caída de temperatura lo es a la resistencia térmica de la pared (Fig. 11.3) Si en la Ec. (11.5) una de las resistencias en el denominador es mucho mayor que la suma de las otras, estas últimas pueden ser despreciadas sin cometerse gran error en el cálculo. Se dice que la etapa a la cual corresponde la resistencia más grande es el paso controlante. Posteriormente se volverá sobre este importante concepto. Ejemplo 11.3. Se quiere calcular el calor que atraviesa una pared compuesta de tres capas. Igualmente la caída de temperatura en cada pared. La temperatura del fluido en el lado caliente de la pared es de 750ºC y en el frío de 100ºC. Los coeficientes de película son: en el lado caliente h i=110 W/m2K y en el lado frío h o=30 W/m2K. Las características de las capas son: L1 = 10 cm. k1 = 0.014 W/mK (ladrillo refractario) L2 = 12.5 cm. k2 = 0.01 W/mK (aislante de caolín) L3 = 12.5 cm. k3 = 0.047 W/mK (magnesia) Solución: RT
0.1 0.125 0.125 1 1 7.14+12.5+2.66+0.033+0.0091=22.34 0.014 0.01 0.047 30 110
m2K/W q
750 100 22.34
29.1 W/m2 (25 kcal/hm2)
11-5
Caídas de temperatura: pared 1: T1=29.1x7.14=207.8ºC; pared 2: T2= 29.1x12.5= 363.7ºC ; pared 3: T3=29.1x2.66=77.4ºC; película interna: 29.1(1/110)=0.26ºC ; película externa: 29.1/30=0.97ºC Ejemplo 11.4. Una resistencia eléctrica cilíndrica tiene 1.5 cm de diámetro y potencia de 2.5 kW (L = 20 cm). Si se le recubre con un material de 2 cm de espesor. ¿Cuál será la temperatura superficial de la resistencia expuesta al aire a 25ºC en régimen permanente? h = 145 W/m2K. Solución: Q=2500=hA(Ts-Tb) ; A 0.055 0.2 0.0345 m2; despejando Ts=525ºC 11.2. CONDUCCION DE CALOR EN PARED CILÍNDRICA Sea el caso de una envoltura cilíndrica tal como el aislante de una tubería (Fig. 11.4) en que la temperatura exterior y la interior son diferentes. Se quiere obtener ecuaciones para el perfil de temperatura y el flujo de calor que la atraviesa radialmente.
Figura 11.4. Conducción de calor en pared cilíndrica
Siguiendo la metodología del Cap.2, primeramente se aísla un elemento de volumen del mismo largo L de la pared como el que se ve en corte en la figura. El balance de calor en el mismo es el siguiente: r
q 2 r L r r 0
Dividiendo entre 2Lr y haciendo tender r a cero se obtiene:
d (qr ) 0. dr
C1 . No existiendo condición frontera para q no r es posible la evaluación de la constante de integración; se introduce la ecuación de Fourier obteniéndose:
Integrando esta ecuación se tiene: q
dT
C1 dr k r
11-6
que integrada es: C1 ln r C 2 k con condiciones frontera: C.F. 1:T(r=R1)=T1; C.F. 2:T(r=R2)=T2 T
(11.6)
Introduciendo las condiciones frontera en la ecuación anterior se obtienen las siguientes expresiones de las constantes de integración: T T ln R1 k T1 T2 C1 ; C 2 T1 2 1 R R ln 1 ln 2 R1 R2 Si ahora se introducen estas últimas expresiones en la Ec. (11.6) se tiene el perfil de temperatura:
T T1
T1 T2 r ln R R1 ln 2 R1
(11.7) El perfil de densidad de flujo q se obtiene introduciendo en la ecuación q=C 1/r la expresión de C1. En otra forma será necesario recurrir a la ecuación de Fourier q=k(dT/dr). Derivando la Ec. (11.7) y multiplicándola por -k se obtiene: q
k (T1 T2 ) 1 ln( R2 / R1 ) r
(11.8)
que es el perfil de "q" que permite calcular esta variable en cualquier posición radial. Nota: al perfil de temperatura pudo llegarse también a partir de la Tabla 10.3. Calor perdido Q=qA, siendo q y A evaluados con el mismo valor del radio. Multiplicando la Ec. (11.8) por A=2rL se obtiene la ecuación para el flujo de calor Q: Q
(T1 T2 )2 Lk ln( R2 / R1 )
(11.9)
Se observa que Q es independiente de la posición radial lo cual está de acuerdo con el principio de conservación de la energía. Ejercicio. Un cilindro hueco tiene radio interior R 1 y exterior R2. La cara interior está a la temperatura T1 y la exterior a T2, desconocida. El coeficiente de transferencia externo es ho. La temperatura ambiente es T b. Obtener la ecuación para la temperatura
11-7
de la superficie exterior T 2 en función de Tb siguiendo la metodología ya empleada. R: ho R2 ln( R2 / R1 ) k
T2=(BTb+T1)/(1+B) siendo B=
Aplicación. Paredes cilíndricas compuestas Sea una pared cilíndrica compuesta de dos capas, según se ve en la Fig. 11.5. La conductividad térmica de la capa interna es k 1 y la de la externa k2. Existen fluidos en contacto con ambas caras interna y externa y los respectivos coeficientes de película son hi, ho.
Figura 11.5. Pared cilíndrica compuesta
Para la transferencia de calor a través de la película interna se tiene la ecuación Qi=(2R1L)hi(Ti-T1) obtenida a partir de la definición del coeficiente de película. Igualmente, para la película exterior Q o=(2R3L)ho(T3-Tb). En cuanto a las capas sólidas el flujo de calor puede ser calculado con la Ec. (11.9) usando en cada una los valores apropiados de radio y conductividad. Ahora bien, de acuerdo al principio de conservación de la energía, el valor de Q es el mismo en cualquier posición radial. Igualando las expresiones de Q para las dos películas y las dos paredes se obtiene:
2Lk1 (T1 T2 ) 2Lk 2 (T2 T3 ) 2Lho R3 (T3 Tb ) R2 R3 ln ln R1 R2 Pasando las conductancias al denominador en forma de resistencias (inverso de la conductancia) queda: Q 2Lhi R1 (Ti T1 )
Q
Ti T1 T2 T3 T Tb T1 T2 3 1 R R 1 1 1 ln 2 ln 3 2Lhi R1 2Lh0 R3 2Lk1 R1 2Lk 2 R2
11-8
Sumando numeradores y denominadores de las fracciones y haciendo R=D/2 se obtiene: Ti Tb Q D D 1 1 1 1 (11.10) ln 2 ln 3 Lhi D1 2 Lk1 D1 2 Lk 2 D2 Lho D3 que puede ser abreviada como Q=T/(R1+R2+R3+R4) donde los sumandos en el denominador son las resistencias de la película interior, capa sólida interior, capa sólida exterior y película externa respectivamente. Ejemplo 11.5. Un tubo céd. 40, 1”, de acero, que transporta vapor sobrecalentado a 147ºC está recubierto con 0.0127 m de aislante de lana de vidrio. La temperatura ambiente es de 25ºC. a)Calcular el calor perdido por metro de longitud de tubo. b)Si no existiera el aislante ¿Cuánto valdría Q? c)Si en el cálculo se despreciara la resistencia del metal cuál sería el error? d) Ídem si se despreciara la resistencia de la película interior? k(metal)=50.2 W/mK; k(aislante)=0.04 (mismas unidades); h i=120 W/m2K; ho=30 W/m2K. Solución: a)Diámetro exterior tubo=0.033 m; Di =0.0266 m; Do=0.033+0.0254=0.0584 m. Introduciendo valores en la Ec. (11.10): Q
Q
147 25 1 1 0.033 1 0.0584 1 ln ln 120 0.0266 x 2 x50.2 0.0266 2 x 0.04 0.033 30 0.0584
122 47.83 W 0.1 6.83 10 4 2.27 0.18
b) Q
122 289 W 0.1 6.83 10 1 /(30 x 0.033 )
c) Q
122 47.84 W (error0.0) 0.1 2.27 0.18
4
La resistencia en la pared metálica es muy pequeña y por lo tanto en ella T=0. Se puede considerar sin error que en ella la temperatura es uniforme. d) Q
122 49.78 W 6.83 x10 2.27 0.18 4
(error4 %)
Aplicación. Espesor crítico de aislante Considérese un sólido cilíndrico de diámetro exterior D 1, un tubo por ejemplo, cuya temperatura exterior tiene un valor conocido y constante T 1. Supóngase que dicha temperatura es mayor que la ambiente T b, de manera que existe una disipación de calor
11-9
al mismo, Fig. 11.6. Si se recubre el tubo con un material sólido, la resistencia del recubrimiento se sumará a la de la película exterior. Al aumentar el espesor del recubrimiento la resistencia térmica del mismo aumenta en forma logarítmica de acuerdo con la Ec. (11.9), pero al mismo tiempo disminuye la resistencia R 2 del lado de la película al aumentar el área exterior (Fig. 11.7). Existe entonces un valor mínimo de la resistencia total.
Figura 11.6. Notación para el caso de radio crítico
RT
D 1 ln 2 2 Lk D1
1 Lho D2
Derivando RT con respecto a D2 e igualando a cero se obtiene el valor de D 2 correspondiente a la resistencia mínima:
dRT 1 1 1 1 2 0 dD2 2Lk D2 Lh0 D2
Figura 11.7. Radio crítico. R1: resistencia del aislante. R2: de la película, RT:total
El valor obtenido de D2 es el llamado diámetro crítico Dc. Se obtiene:
11-10
DC
2k ho
(11.11)
El radio crítico es rc=k/ho. Si D2 > Dc , al aumentar el diámetro (por aumentarse el espesor del recubrimiento) aumentará la resistencia total y el recubrimiento se comporta como un aislante. En cambio, si D2<Dc sucederá lo contrario: al aumentar el espesor del aislante (y el diámetro exterior) se perderá más calor: el recubrimiento actuará como disipador de calor. Para el primer caso es conveniente que el recubrimiento sea de baja conductividad. Ejemplo 11.6. Un tubo caliente de 1", BWG 14 se va a recubrir con aislante de asbesto con conductividad k = 0.2 W/mK. El aire está seco y quieto y h o = 8 W/m2K. ¿Cuál será el efecto del aislante? Solución: DC
2x0.2 0.05 m; Do=0.0254 m; puesto que Do<Dc, el aislante aumenta la 8
pérdida de calor a medida que aumenta su espesor hasta llegar a un diámetro exterior de 0.05 m. A partir de ese punto empezará a restringir la fuga de calor. Ejemplo 11.7. Sean el mismo tubo y el mismo aislante del ejemplo 11.6. Supóngase que se recubre con aislante hasta que el diámetro exterior es D o=0.05 m. Si la temperatura exterior de tubo es T T=-6°C y la ambiente es Tb = 25°C ¿en qué porcentaje se aumenta la entrada de calor al tubo por la presencia del aislante? Solución: El flujo de calor en presencia del aislante es dado por:
Tb TT D 1 1 donde los subíndices "a", "T", "o" corresponden a ln o 2 Lk a DT Lho Do aislante, exterior del tubo y exterior al aislante respectivamente. Introduciendo valores numéricos: Q
Q
31 1 0.05 1 = 23.22 W por metro de tubo ln 2 0.2 0.0254 8 0.05
Sin el aislante Q=hoA(Tb-TT)=0.0254x8x31=19.78 W/m. La capa de aislante aumenta así la velocidad de entrada de calor en 17%. Cualquier aislante agregado sobre el diámetro externo de 0.05 m actuaría reduciendo el flujo de calor. Ejemplo 11.8. Un tubo de 1" BWG 14 que conduce vapor está a 120.4°C. Se recubre con ½” de aislante de fibra de vidrio. a) Si el aislante está seco y el lugar bien ventilado de manera que ho = 40 W/m2K ¿ayuda el recubrimiento a reducir las pérdidas de calor? b) Si se empapa el aislante con agua y su conductividad llega al límite a ser
11-11
prácticamente la de la misma. ¿aun así cumplirá su función? c) Si el lugar se ventila y h o aumenta a 100 W/m2K estando seco el aislante ¿funciona aún como aislante el recubrimiento mojado?. Para la fibra de vidrio empaquetada k = 0.08 W/mK. Para el agua líquida k=0.685 W/mK Solución: DT=0.0254 m a) Dc=2k/ho=2x0.08/40=0.004 m. Puesto que DT>Dc todo el aislante ayuda a reducir las pérdidas de calor. b) Do=0.0508 m; Dc=2x0.685/40=0.034 m. Por lo tanto el espesor de aislante entre D=0.0254 m y D=0.034 m (0.0043 m de espesor) ayuda a disipar calor. El resto, 8.4x10-3 m actúa realmente como aislante. c)Dc=2x0.685/100=0.0137 m; puesto que Dc<DT todo el aislante actúa como tal. 11.3. CONDUCCION CON GENERACION DE CALOR Sea el caso de transferencia de calor en que hay producción del mismo en el medio sólido, por una corriente eléctrica, por ejemplo. Se quiere obtener los perfiles de temperatura y flujo para estos casos.
a)
b)
Figura 11.8. Generación de calor en pared recta. a) caso general, b) pared adiabática
a) Coordenadas rectangulares Considérese el caso de una placa metálica calentada por el paso de una corriente eléctrica (Fig. 11.8a). La liberación de calor, que se considerará uniforme en todo el volumen, es representada por g’= Q/(volumen). El aire ambiente está a la temperatura conocida Tb. Se quiere obtener ecuaciones para la temperatura máxima dentro del sólido y la temperatura superficial. La temperatura en ambas caras es la misma. Por la simetría del sistema se puede establecer que en el plano central q=0. Por la existencia de esta condición dq frontera es más conveniente partir de la Tabla 10.2 obteniéndose: 0 x g que dx integrada es:
11-12
qx=g'x+C1 (11.12) Aplicando la C.F.1 q(x=0)=0, se obtiene C 1=0. Introduciendo ahora la ecuación de Fourier e integrando nuevamente se obtiene: T g
x2 C2 2k
(11.13)
2 C.F.2. T(x=L)=To, de donde C2 T0 g L / 2k
Perfil de temperatura. Introduciendo la expresión de C2 en la Ec. (11.13) se obtiene el perfil de temperatura (parabólico): T T0
g L2 2k
x 2 1 L
(11.14)
Perfil de la densidad de flujo. Es q=-kdT/dx=g'x. Como era de esperarse es una recta, dado que el calor se genera de manera uniforme en todo el volumen. El calor eliminado es q x L g'L=ho (To-Tb). De la última ecuación puede obtenerse el valor de To: g L To Tb (11.15) ho Si la resistencia de la película es muy pequeña T oTb. De hecho esto supuso tácitamente en 11.1.
se
La temperatura máxima corresponderá a x=0, en donde dT/dx=0; de la Ec. (11.14): Tmax T ( x 0) To
g L2 2k
(11.16)
Ejemplo 11.9. Pared adiabática. Una pared con generación uniforme de calor puede funcionar como adiabática si el valor de g' es apropiado. Se trata de obtener este último valor. Considérese la pared de la Fig. 11.8b, cuya cara x=0 está en contacto con un sistema que se quiere mantener aislado. Se sabe que la temperatura de la pared interna es Ti y la del ambiente Tb. Solución: Es necesario obtener primeramente el perfil de temperatura con generación de calor, en función de la temperatura conocida T b. Este perfil debe cumplir la condición adiabática q x 0 0. Introduciendo la Ec. (11.15) en la Ec. (11.14) se obtiene: g ' L2 T Tb 2k
2 2k x 1 Lho L
Imponiendo a la Ec. (11.17) la condición T=T i en x=0 se tiene:
(11.17)
11-13
g'
Ti Tb L / ho L2 / 2k
(11.18)
Ejercicio. Sea una pared con generación de calor. a) Calcular la velocidad de generación necesaria para que funcione como una pared adiabática b) Calcular la temperatura de la cara externa. La temperatura de la cara interna es 200ºC y del ambiente 25ºC; el espesor de pared es 0.1 m; su conductividad k=0.4 W/mK. h o=10 W/m2K. R:por Ec. (11.18): g'=7777.8 W/m3. Por la Ec. (11.15) To=102.8ºC b) Coordenadas cilíndricas. Sea un conductor eléctrico cilíndrico de radio R por el que pasa una corriente eléctrica, de manera que se genera calor a velocidad g’. En forma simplificada se supondrá que la generación es uniforme en todo el volumen. Se trata de obtener el perfil de temperatura y una ecuación para la temperatura máxima. De la Tabla 10.2: 1 d (rq r ) g' r dr Integrándola se obtiene: g r C1 qr 2 r 0
(11.19)
Puesto que en la ecuación de un sistema físico no puede darse ningún término infinito, es evidente que C1 =0 o bien que el término C1/r no existe. Esto es así porque el valor r=0 forma parte del sistema (no siempre ocurre así). Esta condición puede expresarse diciendo que en r=0, q no es infinito. De hecho, en ese punto q=0, lo cual es evidente por la simetría del sistema. Introduciendo ahora la ecuación de Fourier q r=kdT/dr en la Ec. (11.19) e integrando se obtiene: T
g' 2 r C2 4k
Se dispone de la condición frontera: T(r=R)=T o, que aplicada a la ecuación anterior produce C2=To+g’R2/4k. Introduciendo esta expresión en la ecuación integrada se llega a : T To
g R 2 4k
r 2 1 R
(11.20)
que es el perfil de temperatura; se observa que es parabólico. La temperatura máxima se da en el centro del alambre pues allí q r=0 y por lo tanto dT/dr=0. Haciendo r=0 en la Ec. (11.20) se tiene:
11-14
Tmax To
g' R2 4k
(11.21)
Ejercicio. En un horno de microondas se genera el calor dentro del producto por vibración electromagnética de las moléculas; ¿en dónde se produce la temperatura máxima? Supóngase que la generación de calor es uniforme 11.4. ALETA DE ENFRIAMIENTO CON SECCIÓN CONSTANTE. RÉGIMEN PERMANENTE Los casos anteriores tienen como característica común que las ecuaciones diferenciales representan la conducción de calor en un medio contínuo. En la ecuación diferencial no interviene parámetro alguno asociado a las fronteras. El efecto de éstas se hace presente únicamente al imponer las condiciones límite. En el caso de las superficies extendidas la condición frontera está implícita en la ecuación diferencial. En esos casos el parámetro”h” asociado con la pérdida de calor en la superficie aparece en la ecuación diferencial. Las superficies extendidas o aletas se usan para disipar calor. Motores eléctricos y de combustión interna así como otros equipos eléctricos y electrónicos son enfriados por este medio. Considérese una aleta con sección transversal constante y espesor suficientemente pequeño como para que se pueda considerar sin gran error que la temperatura es uniforme en toda la sección. El perímetro será aproximadamente igual al doble del ancho. Esta simplificación se llama concentración de parámetros. El ancho será aproximadamente igual a la mitad del perímetro tal como se ve en la Fig. 11.9a. La ecuación diferencial debe ser obtenida mediante un balance de energía calorífica. El balance queda: x
Sq
x x
hPx (T Tb ) 0
siendo S la sección transversal de la aleta. Dividiendo entre x y haciendo tender x a cero se obtiene: S
dq hP (T Tb ) 0 dx
Introduciendo la ecuación de Fourier: Sk
d 2T hP(T Tb ) 0 dx 2
Para hacer homogénea la ecuación anterior sea =T-Tb y m2=hP/Sk. La ecuación queda:
11-15
d 2 m 2 0 2 dx
con condiciones frontera: CF1. (x=0)=o , siendo o=T-Tb CF2. d/dx(x=L)=0 La segunda condición indica que todo el calor se pierde prácticamente por disipación de las caras de la aleta mas no en la punta. Esto es consecuencia de la suposición de que la sección transversal es muy pequeña. La integración de la ecuación anterior nos lleva a: =C1senh(mx)+C2cosh(mx) (11.22) La aplicación de la primera condición frontera proporciona C 2=o. Aplicación la segunda condición frontera: d dx
de
C1 m cosh(mL) o m senh( mL) xL
de donde
C1
o m senh(mL) ] o tanh(mL) m cosh(mL)
Por lo tanto; o cosh(mx) o tanh(mL) senh(mx)
(a)
(11.23a)
(b)
Figura 11.9. Superficie extendida recta
Introduciendo una temperatura adimensional *=/o la última ecuación queda: * cosh( mx) tanh(mL) senh( mx)
(11.23b)
La variable * adimensional varía entre cero y uno y se dice que está normalizada. Tanto para facilidad de cálculo como de representación gráfica y de aplicación de las condiciones frontera es conveniente normalizar las variables.
11-16
Calor disipado El calor disipado es todo aquel calor que entra a la aleta puesto que no hay acumulación. Por lo tanto, Q kS
dT dx
kS x 0
d dx
x 0
; de la Ec. (11.23a):
d dx
o m tanh(mL) x 0
y por
lo tanto, Q kS (To Tb ) m tanh(mL)
(11.24)
Aplicación. Eficiencia de aleta Se define como el cociente entre el calor que disipa la aleta y el que disiparía si toda ella estuviera a la temperatura de la pared. Este último valor correspondería al máximo calor disipable, igual a PLh(T o-Tb). Por lo tanto la eficiencia de aleta es dada por:
kS (To Tb ) m tanh(mL) calor disipado calor disipado si T T0 PLh(To Tb )
tanh(mL) mL
(11.25)
Ejemplo 11.10. Considérese una aleta de aluminio con sección transversal rectangular con las siguientes dimensiones: L=3.5 cm. Ancho: w= 3 cm. Espesor = 0.2 cm. k=205 w/mK. Calcular el calor disipado y la eficiencia de aleta, T o =135°C; Tb=40°C;h=150 w/m2K Solución: 150 x 0.06 27.05 m-1 6 x10 5 x 205 Q 205(6 x10 5 )(135 40) x 27.5 tanh( 27.05 0.035) 23.34 W tanh(27.05 0.035) 0.78 27.05 0.035
P=2w=0.06 m; S=w=0.03x0.002=6x10-5 m2; m
11.5. ALETA CIRCULAR Se trata de obtener una ecuación para la velocidad de disipación del calor por convección en la aleta de la Fig. 11.10a
11-17
a)
b) Figura 11.10. Aleta circular
El balance de energía calorífica en el elemento de volumen de la Fig. 11.10b es: Qrr -Qrr+r - Qc =0 siendo Qc el calor perdido por convección al ambiente. Las expresiones para ambas componentes son:
Qr= 2rk
dT ; dr r
Qc=4rrh(T-Tb)
Introduciendo las últimas expresiones en la ecuación de balance, dividiendo entre 2r y haciendo tender r a cero se obtiene la siguiente ecuación:
r
d 2T dT 2rh (T Tb ) 0 dr k dr 2
Definiendo una variable temperatura adimensional *
T Tb e introduciéndola en la última To Tb
ecuación se obtiene:
d 2 * d * 2 r 2 M r * 0 dr dr
(11.26)
siendo M2=2h/k=L-2. La Ec. (11.26) es una ecuación de Bessel con solución *=C1Io(Mr)+C2Ko(Mr)
(11.27)
Io, Ko son funciones Bessel modificadas de orden 0, de 1ª y 2ª clase respectivamente (Apéndice B-3). Las condiciones frontera son: CF1. *(R=Ri)=1 CF2. d*/dr(R=Ro)=0 Aplicando las condiciones frontera a la Ec. (11.27), evaluando las constantes de integración e introduciendo las expresiones en la misma ecuación se obtiene el perfil adimensional de temperatura:
11-18
*
K 1 ( MRo ) I o ( Mr ) I 1 ( MRo ) K o ( Mr ) I o ( MRi ) K 1 ( MRo ) I 1 ( MRo ) K o ( MRi )
(11.28)
La expresión para el calor perdido por convección en régimen permanente es
Q k
dT 2Ri 2kRi (To Tb ) d * dr dr Ri
Derivando la Ec. (11.28) e introduciéndola en la última ecuación se obtiene: Q=-2RikDK1(MRo)I1(MRi)-I1(MRo)K1(MRo) Siendo :
D
(11.29)
1 I o ( MRi ) K 1 ( MRo ) I 1 ( MRo ) K o ( MRi )
Ejemplo 11.11. Calcular la temperatura en la punta de una aleta circular de aluminio en las siguientes condiciones: h=20 W/m2K; =0.1 mm; k=205 W/m2K; To=300ºC; Tb=30ºC; Ro=0.03 m; Ri= 2.4 cm. Solución: M=(2x20/205x10-4)0.5=44.17 m-1. MRi=44.17x0.024=1.06; MRo=44.17x0.03=1.325 de las Tablas del Apéndice B se obtiene: K 1(MRo))=0.359; I1(MRo)=0.8195; I0(MRi)=1.302 ; K0(MRi)=0.3936; I0(MRo)=1.49; K0(MRo)=0.2696; con la Ec. (11.28) haciendo r=0.03 m se calcula *= 0.9568 ; T=30+0.9568(300-30)=288ºC
11.6. SOLIDO SEMIINFINITO Supóngase un sólido rectangular a temperatura uniforme T 0. En un instante dado una de sus caras cambia su temperatura a un valor constante T s. El cambio es en forma de escalón. A partir de ese momento se transfiere calor de la cara caliente al resto del cuerpo, en forma transitoria, formándose un perfil de temperatura que penetra paulatinamente en el sólido según se ve en la Fig. 11.11. La longitud en "x" es suficientemente grande como para que la perturbación que se da en la cara anterior no llegue a sentirse en la posterior. Se quiere obtener el perfil de temperatura y una ecuación para el calor que es necesario transferir al sólido para mantener la temperatura superficial Ts. T 2T De la Tabla 10.3, capítulo anterior: C k 2 , o bien: t x 2T T 2 t x donde =k/C es la difusión térmica. Las condiciones límite son: C.F.1. T(t=0, x)=T0; C.F.2. T(t,x=0)=Ts; C.F.3. T(t,x=)=T0. T T0 Definiendo la variable normalizada: e introduciéndola en la ecuación Ts T0 anterior, el problema queda:
11-19
Figura 11.11. Sólido semiinfinito
2 (11.30) t x 2 con condiciones: C.F.1. (0,x)=0; C.F.2. (t,0)=1, C.F.3. (t,)=0. El problema puede ser resuelto por el método de la transformada de Laplace. Transformando la ecuación anterior queda: 2 ' S (t 0) 2 (11.31) x
donde la prima indica la variable transformada. ‘(x=0)=1/s, C.F. 2. ‘(x=)=0. Integrando s x
Las condiciones son: C.F. 1. la Ec. (11.31) se obtiene:
s x
. Aplicando las condiciones frontera se evalúan las constantes de ' C1e C2e integración: C1=0; C2=1/s, que introducidas en la ecuación producen:
1 s exp x S
(11.32)
Por último, antitransformando la ecuación anterior se obtiene el perfil de temperatura x ferc 2 t
(11.33a)
x T T0 (Ts T0 ) ferc 2 t
(11.33b)
o bien,
T
Calor absorbido. Es dado por la expresión q k x . La obtención de la x 0 derivada se facilita con la regla de la cadena. Para ello puede definirse una variable u= x / 2 t ; se tiene así T=f1(u); u=f2(x). Por lo tanto, T/x=(T/u)(u/x). Por otro lado
11-20
ferc(u)/u=-2exp(-u2)/ (Apéndice B-2). Introduciendo la expresión de cada derivada parcial se tiene la ecuación: T e (Ts T0 ) 2 x
2
Por lo tanto, T x
x 0
(Ts T0 ) ; t
1 2 t
y
q x 0 k
(Ts T0 )
t
Por último, sustituyendo por su expresión se obtiene: q (Ts T0 )
kc t
(11.34)
Es necesario verificar la validez de considerar al sólido como semiinfinito, en la forma en que se ilustra en el ejemplo 11.12. El calor absorbido por la placa en un tiempo dado t es: t k Ct Q S q dt 2 S (TS TO ) 0 (11.35) En la Ec. (11.34) el valor de q se hace infinito si t=0. Esta imprecisión se deriva de la consideración de que el aumento de temperatura en la cara x=0 se hace en forma de escalón, lo cual es evidentemente una idealización que requeriría un flujo instantáneo de calor infinito. Lo mismo sucedió en la sección 2.7, de transferencia de momentum en régimen transitorio. Aquel caso y el del sólido semiinfinito son análogos por estar representados por las mismas ecuaciones. Ejemplo 11.12. Un bloque de zinc de 8 cm de espesor está a temperatura uniforme de 25°C. Si una cara se pone en contacto con agua hirviente a 100°C; ¿cuál será la temperatura a 2 mm de la superficie 3 segundos después de haber comenzado el calentamiento? k = 110 W/mK; ' = 7.16; C= 418.3 J/kgK Solución:
110 3.673x10-5 m2/s 7160 418.3
T 25 0.002 ferc(0.0953) ferc 5 100 25 2 3 . 673 10 3
De la Tabla de función error (Apéndice B-2): fer(0.0953)=0.107; ferc(0.0953)=10.107=0.893 Por lo tanto, T=25+0.893(100-25)=91.96ºC
11-21
Es necesario comprobar que el sólido se comporta como semiinfinito. Para t = 3 s, x=0.08 m, el argumento de la función error es igual a 3.81, mayor que 2 y por lo tanto el sólido es suficientemente largo para ser considerado como semiinfinito. Visto de otra forma, 3 segundos después de comenzado el proceso la temperatura a 8 cm de la superficie es aún prácticamente igual a 25ºC. Ejemplo 11.13. Una aleación tiene ' = 8.2 y C= 396 J/kgK. Un bloque de la misma está a temperatura uniforme de 25ºC. Si la temperatura es T=118°C a 5 mm de la superficie, transcurridos 6 segundos desde que la temperatura superficial cambió bruscamente de 25 °C a 140 °C ¿cuánto vale la conductividad? El espesor es de 20 cm. Solución: =k/(8200x396). El perfil de temperatura queda: 118 25 1 fer 140 25 2
0.005 k 6 8200 396
; o
bien,
fer 2
0.005 6k 8200 396
0.1913
En la Tabla de función error se encuentra que: 0.1913=fer(0.171). Por lo tanto, 0.005 0.171 ; despejando se obtiene: k=115.6 W/mK 2 6k /(8200 x396)
Aplicación. Temperatura de contacto Si se tocan con el dedo objetos de diversos materiales que estuvieron toda la noche a la intemperie y por lo tanto están a la misma temperatura, se sentirán unos más fríos que otros.¿A qué se debe? Cuando la piel se pone en contacto con un sólido a diferente temperatura, si el contacto es breve tanto la piel como el sólido se comportarán como sólidos semiinfinitos, estableciéndose perfiles transitorios de temperatura en ambos medios, fluyendo calor de uno a otro y estableciéndose en la superficie de contacto una temperatura llamada justamente "de contacto" que es la que se siente. Se trata aquí de calcularla. Sea por ejemplo que el material (m) es más caliente que la piel (p). Aplicando la Ec. (11.34) a ambos cuerpos se tiene que: q m (T0 m Ti ) q p (Ti Top )
(kC ) m t ( kC ) p
t
(11.36a) (11.36b)
donde Ti es la temperatura interfacial o de contacto y T 0m,T0p las temperaturas iniciales de ambos cuerpos. Igualando ambas ecuaciones (11.36) y despejando T i se obtiene:
11-22
Ti
T0 p
kC p kC p
kC m kC m
T0 m
(11.37)
En la Tabla 11.1 se dan algunos valores del grupo kC=(calor)2L-4T-2t-1. Ejemplo 11.14. Supóngase que la piel a 36.5°C se pone en contacto con objetos de acero, cobre y ladrillo todos a 80°C. ¿Cuál se sentirá más caliente? Solución: Acero: Ti
80 158.7 10 6 36 4.23 x10 6 158.7 10 6
4.23x10 6
73.82ºC
Cobre: Ti
80 1353 36 4.23 77.66C 1353 4.23
Ladrillo: Ti
80 1.96 36 4.23 53.8C 1.96 4.23 Tabla 11.1. Valores de kC a 50ºC Medio 10-6kC, J2m-4K-2s-1 piel 4.23 acero 158.7 cobre 1353 ladrillo 1.96 aluminio 482.3 plomo 49.16 oro 710.6 plata 1022.1 latón 364 bronce 76.9 asbesto 0.091 corcho 1.17x10-3 Concreto 1.8
El cobre se sentirá más caliente que el acero y éste más que el ladrillo. En cambio, si la temperatura del sólido fuera de 15°C las temperaturas de contacto serán: 17.95°C para el acero; 16.11° para el cobre; 27.49 °C para el ladrillo. Por lo tanto en este caso más frío se sentirá el cobre que el acero y más éste que el ladrillo. 11.7. MODELOS CON PARAMETROS CONCENTRADOS Cuando dos procesos simultáneos se dan en serie y uno de ellos es notablemente más lento que el otro, la velocidad resultante es prácticamente igual a la
11-23
del paso más lento si el régimen es permanente. Se dice que es el paso controlante; en él se produce prácticamente la totalidad de la caída de potencial, como puede verse en la Fig. 11.3. El concepto de paso controlante es ampliamente utilizado en ingeniería. Se puede aplicar a la transferencia de calor del seno de una fase al el interior de otra, pues existen dos pasos en serie, uno en cada una de ellas. Supóngase por ejemplo el transporte de calor desde un líquido hasta el interior de un sólido inmerso en él. Existe un paso de convección y otro de conducción, ambos en serie. Si la resistencia en la película fluida es mucho mayor que en la fase sólida, el gradiente de temperatura en esta última será despreciable y toda la caída de temperatura se dará prácticamente en la película; se dice que el sólido se comporta como un sistema de parámetros concentrados; su temperatura es entonces uniforme e igual a la interfasial. Esto último es de utilidad si se quiere estudiar el comportamiento dinámico del sólido como un todo. No existirá más variable independiente que el tiempo. Para que exista el paso controlante es necesario que se cumpla que 1/h>>L/k, o sea, hL 1 k
(11.38)
el grupo hL/k es llamado número de Biot (adimensional). Si se toma como valor de L el cociente (volumen)/(área superficial), se puede demostrar que si Biot< 0.1 para formas cercanas a placa, cilindro o esfera, el error introducido al suponer que la temperatura en el sólido es uniforme será menor de 5%. En el caso contrario, cuando la resistencia en el sólido es mucho mayor que la que hay en el fluido, el valor del Biot es mucho mayor que 1. La temperatura dentro del fluido es entonces prácticamente uniforme e igual a la de la superficie interfasial. Puede considerarse que tal evento se da cuando Bi 100. Supóngase el caso del bulbo de mercurio de un termómetro sumergido en un baño a la temperatura Tb. Para simplificar considérese que el espesor y la resistencia del vidrio es despreciable. La temperatura inicial del bulbo es T 0 y supóngase T0<Tb. El mercurio y la delgada pared de vidrio que lo contiene constituye el sólido. Si Biot<0.1 la temperatura (T) dentro del bulbo es aproximadamente uniforme. Un balance de energía calorífica en el bulbo sería: hA(T Tb ) CV
dT dt
(11.39)
La condición inicial es T(t=0)=T0 Con objeto de normalizar la temperatura se define =(T-Tb)/(T0-Tb). Introduciendo esta variable en la Ec. (11.39) se obtiene: hA CV
d dt
(11.40)
con condición inicial: (t=0)=1. Integrando la última ecuación considerando h constante se obtiene:
11-24 hA ln CV
t C1
Por la condición inicial C1=0 y por lo tanto,
e
hA t CV
(11.41)
O bien, T Tb (T0 Tb )e
hA t CV
(11.42)
En la ecuación última (hA) representa la inversa de la resistencia térmica de la película superficial. CV es la capacidad calorífica del mercurio. Por lo tanto, el grupo dentro del paréntesis en el exponente es el inverso del producto de la resistencia por la capacidad del bulbo de mercurio. Este producto (RC) constituye la constante de tiempo del sistema. Tiene como dimensión (tiempo). Su significado físico se hace aparente haciendo t= en la Ec. (11.42); se tendrá =e-1=0.368, es decir, T Tb 0.368(T0 Tb )
(11.43)
Esto indica que a la variable T le falta por recorrer 36.8% de su recorrido total posible, que es (T 0-Tb), o bien, que ya recorrió 63.2% de ese camino. Se define así la constante de tiempo como el tiempo necesario para que la variable del sistema, temperatura en este caso, recorra 63.2% del recorrido total. Esta definición es aplicada a los llamados sistemas de primer orden, representados por una ecuación diferencial de primer orden con respecto al tiempo. Estos sistemas tienen como respuesta característica una curva exponencial; la respuesta dinámica no presenta oscilaciones. Es sabido que en el caso del termómetro la temperatura del mismo se igualará a la del líquido que lo rodea, sin que exista la posibilidad de que se sobredispare (que presente oscilaciones). Igualmente un sistema eléctrico de primer orden es aquél que tiene resistencia y capacitancia pero no inductancia. La constante de tiempo en este caso es precisamente el producto de ambas. En un sistema mecánico el comportamiento es de primer orden cuando no existe prácticamente inercia (masa); sólo contiene resorte y amortiguador y la constante de tiempo será el producto de las constantes de ambos componentes. Aplicación. Se quiere determinar el coeficiente de transferencia h en la película en torno a un sólido. Supóngase que el sólido está inicialmente a la temperatura T 0, en contacto con el fluido a la temperatura T b. De la Ec. (11.42) se tiene, hA ln(T Tb ) ln(T0 Tb ) CV
(11.44)
t
11-25
Graficando por lo tanto ln(T-Tb) vs tiempo se obtiene una recta cuya pendiente es -hA/CV de la cual se puede calcular h. Por lo tanto, a partir de la curva de enfriamiento se puede obtener h. Es necesario verificar que Bi<0.1. Esto podrá ser cierto usando un sólido muy conductor. Ejemplo 11.15. Una bola metálica de 5 cm de diámetro, inicialmente a 140ºC, se coloca súbitamente en un aceite en reposo en el cual T=20ºC. Calcular el tiempo necesario para que la bola se enfríe a 80ºC suponiendo que la temperatura del líquido es constante. Las propiedades del acero son: '=7.86 ; C=460.5 J/kgK; h=17.4 W/m2K; k= 46.5 W/mK Solución: (Vol)/A=R/3=8.33x10-3 m; El Biot es Bi=17.4(8.33x10 -3)/46.5=3.11x10-3<<0.1; el sistema sólido puede ser considerado como de parámetros concentrados; la constante de tiempo es =7860x460.5(8.33x10-3)/17.4=1732.8 s. por lo tanto, =(80-20)/(140-20)= 0.5=e-t/1732.8 de donde: t=1201 s. Ejercicio. Preparar un programa de computadora que simule el proceso anterior, y comparar los resultados. 11.8. CONDUCCIÓN DIFERENCIAS FINITAS
BIDIMENSIONAL
EN
RÉGIMEN
PERMANENTE.
Caso en que la temperatura en la frontera es conocida Sea una placa metálica cuadrada en la cual se quiere establecer el perfil de temperatura en régimen permanente. La ecuación 2T 2T 0 x 2 y 2
(11.45)
representa este caso y puede ser integrada por separación de variables. No obstante, cuando las condiciones frontera no son sencillas se hace necesario recurrir a la solución numérica. Para tal fin las derivadas deben ser escritas en términos de diferencias finitas. Así, se tiene en la Fig. 11.12 que T x
Ti 1, j T i , j x
i 1 , j 2
T x
y
i 1 , j 2
La segunda derivada puede aproximarse mediante T x 2 2
Por lo tanto
i, j
T x
i 1 , j 2
x
T x
i 1 , j 2
Ti , j Ti 1, j x
11-26
2T x 2
Ti 1, j Ti , j Ti , j Ti 1, j
x
i, j
2
Ti 1 , j 2Ti , j Ti 1 , j
x 2
(11.46)
Figura 11.12. Coordenadas para calcular la derivada en diferencias finitas
Igualmente puede establecerse que 2T y 2
Ti , j 1 2T i , j Ti , j 1
(11.47)
y 2
i, j
Introduciendo las expresiones de las derivadas (11.46, 11.47) en la Ec. (11.45) se obtiene: Ti 1, j 2Ti , j Ti 1, j
x
Ti 1, j
2
Ti , j 1 2Ti , j Ti , j 1
y 2
0
(11.48)
si x y ; la ecuación anterior puede escribirse en forma aproximada: 2Ti , j Ti 1, j Ti , j 1 2Ti , j Ti , j 1 0 , que reordenada es Ti 1, j Ti 1, j Ti , j 1 Ti , j 1 4Ti , j 0
(11.49)
Dividiendo el sólido por medio de una rejilla en elementos de volumen puede establecerse para cada nodo una ecuación como la (11.49). Se obtiene así un conjunto de ecuaciones lineales cuya solución dará los valores de la temperatura en cada nodo. Esto se ilustra en la Fig. 11.13a. Las incógnitas son las temperaturas T 1, T2, T3, T4. Aplicando la Ec. (11.49) a los nodos se obtienen las ecuaciones Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3 Nodo 4 cuya matriz extendida es:
500+T2+T3+100-4T1=0 500+100+T4+T1-4T2=0 T1+T4+100+100-4T3=0 T2+100+100+T3-4T4=0
11-27 Nodo
T1
T2
T3
T4
1 2 3 4
-4 1 1 0
1 -4 0 1
1 0 -4 1
0 1 1 -4
Término independ -600 -600 -200 -200
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: T 1=T2=250ºC, T3=T4=150ºC. Mientras más pequeños sean los elementos de volumen más precisa será la solución. Para calcular el calor transferido puede considerarse que cada nodo es el centro de un elemento de volumen. El sólido puede entonces ser sustituido por un conjunto de barras uniendo los nodos, como se ilustra en la Fig. 11.13b. En el caso de las barras horizontales el largo de cada barra es x y su ancho es equivalente a y. Es a través de las barras que se considera que se transfiere el calor. Así por ejemplo, en la Fig. 11.13b se han establecido 9 nodos internos. En los nodos externos la temperatura es conocida. Sea L el espesor del cuerpo sólido. El flujo de calor del nodo (1) al nodo que está a 27ºC es QT127=(T1-27)
k (y) x
(11.50)
es el espesor de la placa. El flujo total de calor del cuerpo al exterior estará dada por la suma de los flujos de cada uno de los nodos internos a los exteriores conectados con ellos: Q=QT165+ QT268+ QT375+ QT343, etc.
Figura 11.13. a)Ilustración del método. b)Elementos de volumen y nodos
Ejemplo 11.16. Sea un ducto de sección cuadrada de 10 cm de lado, que conduce un fluido caliente. Su pared interna está a 300ºC. Está recubierto por 10 cm de aislante. La cara superior externa del aislante está a 70ºC por estar expuesta al sol mientras que las verticales está a 60ºC y la inferior a 50ºC según se ve en la Fig. 11.14. Se quiere saber cuánto calor se pierde a la atmósfera si el largo del ducto es de 10 m. La conductividad del aislante es de 0.04 W/mK Solución: Las matriz extendida de coeficientes está contenida en la Tabla 11.2.
11-28
Figura 11.14. Ejemplo 11.6
Tabla 11.2. Matriz extendida del ejemplo 11.6 Nodo
T1
T2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-4 1
1 -4 1
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
T13
T14
T15
T16
1 1 -4 1
1 -4 1
1 -4
1
1 -4
1
1 -4
1
1 -4
1
1 -4
1
1 -4
1
1 -4
1
1 -4 1
1 -4 1
1
1 -4 1
1 -4 1
1 -4
Término Independ. -130 -370 -370 -370 -130 -360 -360 -360 -360 -360 -360 -110 -350 -350 -350 -110
Invirtiendo la matriz de coeficientes y multiplicando la inversa por la de términos independientes se obtienen los siguientes valores de las temperaturas (en grados centígrados): T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
113.9
164.69
174.84
164.69
113.92
160.97
160.97
170
T9
T10
T11
T12
T13
T14
T15
T16
170
159.02
159.02
106.8
155.3
165.15
155.31
106.1
Cálculo del flujo de calor al exterior
11-29
x=y=0.05 m; =10 m. Aplicando la Ec. (11.50) a cada nodo conectado con uno exterior se calculan los resultados en la Tabla 11.3: Caso en que la temperatura en la frontera es desconocida La temperatura superficial puede ser desconocida como en el caso de paredes rectangulares estudiado en la sección 11.1, y conocerse la temperatura del ambiente T b y el coeficiente de transferencia ho. En este caso la temperatura en los nodos superficiales deberá ser calculada y será necesario establecer para cada uno de ellos una ecuación. No cabe aplicar en estos nodos la Ec. (11.45), dado que no se encuentran en el medio continuo. Es necesario proceder a efectuar un balance de calor en cada uno de ellos. Sea por ejemplo, el nodo (i, j) de la Fig. 11.15. En régimen permanente se cumple que Q(i, j+1)(i, j)+ Q(i-1, j)(i, j)+ Q(i, j-1)(i, j)+ Q(ambiente)(i, j)=0 Tabla 11.3. Flujos de calor en el ejemplo 11.16 Componente Flujo de calor 21.57 N160ºC 17.57 N170ºC 37.88 N270ºC 41.94 N370ºC 37.87 N470ºC 17.57 N570ºC 21.57 N560ºC 40.39 N660ºC 40.39 N760ºC 44.0 N860ºC 44.0 N960ºC 39.6 N1060ºC 39.6 N1160ºC 18.43 N1260ºC 22.43 N1250ºC 42.12 N1350ºC 46.06 N1450ºC 42.12 N1550ºC 22.43 N1650ºC 18.43 N1660ºC Flujo total 656.0 W
Expresado en ecuaciones el balance anterior, para L=1 queda: k x + (Ti-1, j -Ti, j) y x 2 k x + (Tb-Ti, j)hoy=0 +(Ti, j-1-Ti, j) y 2 k
(Ti, j+1-Ti, j) y
11-30
(a) (b) Figura 11.15. a) Caso de temperatura límite desconocida. b) Ejemplo 11.17
Efectuando las operaciones y recordando que x=y se obtiene la ecuación: Ti, j+1+2Ti-1, j+Ti, j-1-2Ti,j(2+
ho h x )+2Tb o x =0 k k
(11.51)
Ejemplo 11.17. Una barra metálica de medio metro de largo y 0.3 m de arista se encuentra empotrada de manera que en las caras A,C,D (Fig. 11.15) la temperatura es de 200ºC. La cuarta cara está al aire a temperatura de 25ºC. La conductividad del metal es k=50 W/mK y el coeficiente de transferencia al aire h o=40 W/m2K. ¿Cuánto calor se pierde al aire a través de la cara descubierta? Solución: Aplicando la Ec. (11.49) a los nodos (1),(2),(4),(5) y la Ec. (11.51) a los nodos (3), (6) se obtiene el sistema de ecuaciones: (1) (2) (3) (4) (5) (6)
-4T1+T2+T4=-400 T1-4T2+T3+T5=-200 2T2-4.16T3+T6=-204 T1-4T4+T5=-400 T2+T4-4T5+T6=-200 T3+2T5-4.16T6=-204
La solución es T1=T4=198.55ºC, T2=T5=195.64ºC; T3-T6=188.38ºC El calor perdido es Q=2(188.38-25)x40x0.1x0.5=653.5 W Ejercicios (ver respuestas en el Apéndice D) 1. La pared de un horno de proceso tiene temperatura T 1 desconocida en la cara interior y temperatura conocida T2 en la cara exterior. El espesor de la pared es L. La temperatura de los gases dentro del horno es Ti y el coeficiente interior de película h i. Dar la ecuación para la temperatura T 1. b) Calcular el calor perdido por metro cuadrado si Ti=140ºC; T2= 30ºC; k=0.6 W/mK; L=0.2 m; hi=30 W/m2K.. 2. Un tanque metálico esférico contiene un líquido. La temperatura de su cara interior es T 1 conocida. El tanque está recubierto por un material aislante. Puede despreciarse la resistencia del metal y
11-31 considerar únicamente la pared de aislante. El radio interior del aislante es R 1 y el exterior R 2. El coeficiente exterior de película es ho y la temperatura ambiente es T b. a) Obtener una ecuación para T2, (temperatura superficial del aislante). b) Si T 1=-30ºC, ho=20 W/m2K; R1=2 m; R2=2.2 m; k=0.04 W/mK; Tb=25ºC ¿Cuánto vale T2? c)¿Cuánto vale T en r=2.08 m? d) ¿Cuánto vale el calor perdido por segundo? 3. La Ec. (11.17), perfil de temperatura en una pared adiabática en función de T b, fue obtenida para el caso en que T2 es desconocida. Obtener el mismo perfil en función de T2 que ahora es conocida. 4. Un cilindro hueco de acero tiene radio interior R 1 y exterior R2. La cara interior está a la temperatura T1 y la exterior a T2. Obtener el perfil de temperatura y dar una ecuación para Q, el calor perdido por metro de tubo. 5. Un conductor eléctrico está expuesto al aire a la temperatura T b. a)Obtener una expresión para la temperatura máxima Tmax. Sea Ro el radio exterior. b) Calcular la intensidad máxima de corriente si la Temperatura máxima permisible es 600ºC. Tb=25ºC; ho=20 W/m2K; Ro=2.5 mm; k=366 W/mK; e=1.7x 10-8 ohmm. 6. El combustible de un reactor nuclear tiene una forma aproximadamente esférica. Considerando que la liberación de calor es uniforme en toda la partícula obtener una ecuación para T máxima-To. (To es la temperatura superficial). El régimen es permanente y el radio de la esfera es R. 7. Una resistencia para calentar agua tiene la forma de una aleta de enfriamiento (Fig. 11.9). pero está empotrada en ambos extremos. Por ella pasa una corriente que libera calor uniformemente en todo su volumen a razón de g' W/m3. La temperatura en los extremos es T o; la del agua es Tb; el área seccional de la aleta S; su perímetro P y su longitud 2L. Demostrar que el perfil de temperatura es dado por la ecuación:
g ' S cosh m( L x) g ' S T Tb To Tb , siendo m= hP cosh( mL) hP
hP . Puede considerarse que en kS
cualquier posición de la resistencia la temperatura es uniforme en toda la sección. 8. Una placa de plástico de pequeñas dimensiones se saca de un horno a la temperatura T 0 al aire que está a Tb. Su espesor es y el área de una cara A m2. a) Obtener la ecuación para el tiempo necesario para que se enfríe desde la temperatura inicial T 0 hasta una final Tf. El coeficiente de película varía con la temperatura según la ecuación: h o=B(T-Tb)-0.75; b) Calcular el tiempo necesario para que la pieza se enfríe de 140ºC a 80ºC siendo T b=35ºC, =1 cm; '=0.77; C=2200 J/kgK; k=36 W/msK B=10.9 W/(m2K0.25). c) Verificar el resultado por simulación. Comprobar previamente que Bi<0.1 9. Una esfera de radio R tiene temperatura exterior T o, se encuentra en contacto con aire quieto, a una temperatura Tb<To. Cuánto vale el número de Nusselt (Nu=hD/k). (k es la conductividad del aire). 10. Dentro de un tubo de 3" std. fluye un líquido a 120ºC. El tubo está recubierto con 2 cm de aislante y está expuesto a la atmósfera a 30ºC, siendo el coeficiente de transferencia exterior h o=25 W/m2K. Se conoce la temperatura exterior del aislante: T o=52ºC. a)¿Cuánto calor se pierde por metro de tubo? b) Cuál es la temperatura en la superficie exterior del tubo? La conductividad del metal es k=114 W/mK. 11. Un tubo con diámetro exterior de 3 cm tiene un recubrimiento externo de 1 cm de espesor cuya temperatura exterior es de 108ºC. La temperatura ambiente es de 25ºC; h o=20 W/m2K. Si la temperatura de la pared metálica es de 120ºC ¿Cuánto vale la conductividad del aislante? 12. Una aleta de aluminio (k=214 W/mK) de 3 mm de espesor, 8 cm de largo y 4 cm de ancho está insertada en una pared a 300ºC siendo la temperatura ambiental de 52ºC. h= 80 W/m2K . Calcular la pérdida de calor en la aleta. 13. Una corriente de 200 ampere pasa a través de un alambre de acero de 3 mm de diámetro. La resistividad del acero es de 1.8x10-8 ohmm. Está en contacto con el aire a 30ºC; ho=30 W/m2K. a) Calcular la temperatura en el centro del alambre. b)Calcular la temperatura superficial. k=45 W/mK 14. Un alambre de 4 mm de diámetro exterior se desea enfriar recubriéndolo con un plástico con k = 0.07 W/mK. ¿Es posible? Tomar ho = 40 W/m2K . 15. Un sólido metálico rectangular está a 20ºC. En t=0 en una de sus caras la temperatura cambia a 120ºC.a)¿Cuál será la temperatura a 3 cm de esa cara, 2 minutos después de comenzado el calentamiento. b) Cuánto debe ser el largo del sólido para que se comporte como semiinfinito?=10 cm2/s. 16. Una aleta circular de 0.2 mm de espesor y radios r o=5 cm; ri= 3 cm está hecha de un metal con conductividad k=378 W/mK. El coeficiente de transferencia de calor es h=5.8 W/m2K; To=600ºC; temperatura ambiente: 30ºC; calcular la temperatura en la punta de la aleta. R:T=588.6ºC
11-32 17. Para un material M1, el valor del grupo (kC) es el doble que el de otro material M2. Si el material M1 está a 50ºC y el material M2 a 100ºC ¿Cuál es la temperatura de contacto? R: T i=70.7ºC 18. Se quiere caracterizar un termopar que está a la temperatura ambiente (25ºC). Cuando se pone en contacto con un material para el cual (kC)=366x106 (unidades SI) el cual está a 100ºC, la temperatura leída es 66.8ºC ¿Cuánto vale kC efectiva para el material del termopar? R: kC=230.8x106 (SI) 19. Un tubo de refrigeración de 1/4" BWG14 tiene en la pared externa una temperatura de -10ºC. El coeficiente de transferencia externo es h o=5.8 W/m2K. Se pretende forrarlo con un material aislante con conductividad k=0.03 W/mK con objeto de evitar pérdidas de frío. ¿Cuál será el espesor mínimo de aislante necesario para lograr el efecto buscado? 20. Un tubo sin aislante tiene diámetro exterior d o menor que el diámetro crítico. Se le recubre con una capa de aislante de espesor tal, que las pérdidas de calor al ambiente tienen el mismo valor que sin aislante. La conductividad del aislante es k a. Dar una ecuación que relacione el espesor con los diámetros del tubo y del aislante (da) y coeficente de película ho. 21. Basándose en la Fig. 11.13, usando 4 nodos y considerando que la cara A está a 400ºC y las otras a 100ºC calcular las temperaturas en los nodos. 22. El bulbo cilíndrico de un termómetro de mercurio, con diámetro de 1 mm y largo de 2 mm está a 20ºC. Se remoja en un aceite en reposo a 60ºC; en 470 segundos su temperatura llega a 56.6ºC. Se quiere calcular con esta información el coeficiente de película en el aceite. Las propiedades del mercurio a 40ºC son '=13.5; C=138 J/kgK. 23. Una barra cuadrada horizontal de metal tiene sus caras a diversas temperaturas. La superior está a 80ºC, la inferior a 30, y de las verticales una está a 50ºC y la otra a 40ºC ¿Cuál es la temperatura en el centro de la barra?.
Bibliografía Recomendada 1. Kreith F. "Principios de Transferencia de Calor". Herrero Hnos. México, 1968 2. Bird,R.B.,Stewart,W.,Lightfoot,E.,"Transport Phenomena". John Willey,N.Y., 1960. 3. Manrique J.A., "Transferencia de Calor", Harla, 1976 4. Myers,G. E.,”Analytical Methods in Conduction Heat Transfer”,McGraw-Hill Book Company, USA,1971
Notación C D g' h k R rc r Û S t T V
capacidad calorífica, Jkg-1K-1 diámetro, m calor generado, Wm-3 coeficiente de película, Wm-2K-1 conductividad térmica, WL-1T-1 radio, m radio crítico, m variable radio, m energía interna específica, Jkg-1 sección transversal, m2 tiempo, s temperatura, K velocidad, ms-1
e
difusividad térmica, m2s-1 resistividad eléctrica, ohmm Subíndices
11-33 b C' i o T 0
ambiente crĂtico interfase exterior tubo inicial