Capítulo 13
CALCULO DEL COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Cuando existe flujo turbulento o la geometría del sistema es complicada, no es posible obtener ecuaciones teóricas para calcular el coeficiente de transferencia de calor, como la obtenida para la placa plana (Ec.12.6). El coeficiente de transferencia es calculado entonces mediante ecuaciones obtenidas experimentalmente. Si las variables que afectan el fenómeno son conocidas, pueden ser arregladas en grupos adimensionales con los cuales se puede formar ecuaciones tal y como se ilustró en el Cap.4. El trabajo experimental permite entonces calcular las constantes en la ecuación. En algunos casos de flujo laminar se dispone de ecuaciones teóricas obtenidas con base en modelos simplificados. El transporte de calor por convección puede estar o no acompañado de cambio de fase. La convección puede ser forzada o natural. En el primer caso el movimiento es producido por un agente externo mientras que en el segundo son las variaciones de densidad debidas a la misma transferencia de calor las que producen la convección. En cada caso la forma de las ecuaciones será diferente. Existen en la literatura innumerables correlaciones para múltiples casos, de las cuales se verán algunas importantes. El objeto del presente capítulo es familiarizar al estudiante con su uso en la solución de problemas, dejándole la tarea de indagar sobre otras. Siempre es necesario definir la temperatura a que deben evaluarse las propiedades que aparecen en una ecuación. Igualmente necesaria es la definición de parámetros arbitrarios en la misma, como la longitud característica o la velocidad. Es necesario conocer las condiciones en que fueron obtenidas las correlaciones, es decir, el intervalo de valores de las variables en el cual las ecuaciones son aplicables, sin ser recomendable su extrapolación. Normalmente se especifican dichas condiciones y también las sustancias con las que se realizó la experimentación. Esta última información no es estrictamente necesaria supuesto que las ecuaciones serán empleadas en condiciones similares a las de su obtención, lo cual valida su uso. Es conveniente conocer la precisión esperada de una correlación; este dato no siempre está disponible. Por último debe tomarse en consideración que las correlaciones para tubos son, a menos que otra cosa sea especificada, para perfiles perfectamente desarrollados de velocidad y de temperatura. Variación de las propiedades La temperatura hace variar la viscosidad de los fluidos. En los gases hace variar adicionalmente en forma significativa la densidad y la conductividad. La variación de la viscosidad influye en el perfil de velocidad, de manera que es necesario especificar en cada caso la temperatura a la que se tomarán las propiedades. Así por ejemplo, en el caso de convección forzada de fluidos dentro de tubos se usa normalmente la temperatura media adiabática o de mezcla o simplemente temperatura del fluido (T) que es la misma empleada en el balance de entalpía. Es la temperatura que resulta de extraer el líquido contenido en una rebanada de tubo y mezclarlo. La
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precisión de muchas correlaciones no es mayor de 70-75% debido a la variación de las propiedades del fluido. Se suele tomar en cuenta esta variación al agregar el factor =(/s)0.14 correspondiendo las viscosidades a la temperatura del fluido y a la de la superficie sólida, respectivamente. En otros casos se observa que la correlación entre los datos experimentales se hace mejor si se usa la llamada temperatura de película Tf= (Ts+ T)/2, siendo Ts la temperatura de la superficie sólida. Casos estudiados Para los fines del presente capítulo se han seleccionado los siguientes casos: Convección forzada sobre placa plana dentro de tubos y otros ductos no cilíndricos dentro de serpentines helicoidales sobre tubos y bancos de tubos Convección natural en placa vertical y otras geometrías en espacios cerrados Transferencia de calor con cambio de fase condensación sobre pared vertical condensación sobre tubos horizontales condensación dentro de tubos horizontales ebullición Dado que una gran cantidad de información es dada en el sistema BTU-h-pié, es interesante tener a la mano los factores de conversión al sistema internacional. Los más usados se encuentran en la Tabla 13.1 Tabla 13.1. Equivalencias entre unidades Unidad Para transformar en SI multiplicar por 16.02 : densidad absoluta, lb/pie3 1.488 : viscosidad absoluta, lb/(pies) 0.093 : viscosidad cinemática, pie2/s 0.093 2 : difusividad térmica, pie /s 0.293 Q: flujo de calor, BTU/h 1.73 k: conductividad, BTU/hpiéºF 5.678 2 h: coeficiente de película, BTU/hpie ºF 2323.8 : calor latente, BTU/lb 4182.8 C: calor específico, BTU/lbºF 0.176 RD: resistencia por incrustación
13.1. COEFICIENTE GLOBAL A TRAVES DE UNA PARED CILÍNDRICA Antes de estudiar el cálculo de los coeficientes individuales, h, es conveniente obtener la ecuación del coeficiente global U, del cual forman parte. Un caso muy
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importante es el de la pared cilíndrica que separa dos fluidos. Cuando se estudió este caso se obtuvo la Ec. (11.10), con notación referida a la Fig.11.5:
Q
Ti Tb T D D 1 1 1 1 Ri ln 2 ln 3 Lhi D1 2 Lk1 D1 2 Lk 2 D2 Lho D3
(11.10)
k1 es la conductividad de la pared sólida interna y k 2 la de la segunda capa sólida. Definiendo el coeficiente global U mediante la ecuación: Q = UAT e igualando las últimas dos ecuaciones, se tiene que
(13.1) 1 UA Ri
Para tener una expresión de U es necesario por lo tanto dividir 1/Ri entre el área y ésta puede ser la correspondiente a cualquier diámetro, con tal de que al calcular posteriormente el flujo Q mediante la Ec. (13.1) se emplee la misma área. Las más empleadas son el área exterior correspondiente al diámetro D 3 y la interior correspondiente a D1. Si se usa el área externa A o, que corresponde a D3, en la ecuación (11.10), el coeficiente U obtenido será denotado por U o. Así, dividiendo la Ec. (11.10) entre D3LT se obtiene: Uo
1 1 D3 D3 D2 D3 D3 1 ln ln hi D1 2k1 D1 2k 2 D2 ho
(13.2)
Dos casos importantes en que se aplica la Ec. (13.2) son la transferencia de calor entre dos fluidos separados por la pared de un tubo y el caso de un tubo recubierto de aislante, en que el intercambio es entre el interior del tubo y la atmósfera. En este último caso la resistencia de la pared metálica puede ser despreciable en comparación con la del aislante, y se considera únicamente ésta última (ver ejemplo 11.5). En ambos casos, por lo tanto, existen tres resistencias, las dos de las películas y una de una pared sólida. Para estos casos la ecuación anterior puede escribirse como sigue: Uo
1 1 D2 D2 D2 1 ln hi D1 2k D1 ho
(13.3)
D1, D2, son los diámetros interior y exterior de la pared sólida de que se trate. La D D1 DL 2 D y por lo tanto, media logarítmica entre ambos es ln 2 D1
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D2 D2 D1 2 siendo el espesor de la pared sólida. De acuerdo D1 DL DL con esto la ecuación para Uo puede también escribirse: ln
1 1 D2 D 2 1 hi D1 k D L ho La ecuación correspondiente para Ui es: Uo
Ui
1 1 D1 1 D1 h i k D L ho D2
(13.4)
(13.5)
13.2. CONVECCION FORZADA Análisis dimensional. En la convección forzada existe un agente externo que determina el movimiento del fluido. Las ecuaciones de movimiento y energía se encuentran desacopladas. Las variables involucradas en la transferencia de calor por convección forzada son: h (coeficiente de transferencia de calor), (velocidad), C (calor específico), L (longitud característica), k (conductividad térmica), (densidad), (viscosidad). Procesando las variables en este orden como se hizo en el Cap.4 se obtiene los siguientes grupos adimensionales: 1=hL/k(Nusselt); 2=L/(Reynolds); 3=C/k(Prandtl). La forma general de las correlaciones será Nu=f(Re,Pr). Las magnitudes fundamentales empleadas en el análisis dimensional fueron M,L,t,T. Otros números adimensionales empleados en convección forzada son el de Graetz Gz=RePr(D/L) y el de Stanton ya utilizado en el Cap.12, St=Nu/( RePr). Las relaciones cuantitativas entre las variables adimensionales se establece en forma experimental y se expresan en ecuaciones o en forma de Gráficas o de Tablas. En las correlaciones la longitud característica que interviene en los grupos nusselt y reynolds es normalmente la misma. Los valores calculados del nusselt y el coeficiente h son medios, a menos que se especifique que se trata de valores locales. Convección forzada en placa plana En el capítulo 12 se vio este caso con flujo laminar. La ecuación obtenida en forma teórica fue Nu=0.664Re 0.8Pr1/3. Para flujo turbulento una ecuación propuesta es Nu=0.037ReL0.8Pr1/3 válida para 0.6<Pr<60. Convección forzada dentro de tubos y otros ductos El calentamiento y enfriamiento de fluidos dentro de ductos está entre los procesos de transferencia de calor más importantes en la industria de proceso. Cambiadores de calor, calderas, acondicionadores de aire, precalentadores y sobrecalentadores son ejemplos de ello. La subcapa laminar controla el proceso de
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transferencia, salvo en el caso de metales fundidos. Es necesario entonces aumentar la turbulencia para reducir dicha capa e incrementar la transferencia de calor; ello se logra aumentando la velocidad, con lo cual aumenta también la caída de presión. En el caso de tubos la longitud característica empleada en las correlaciones es el diámetro si se trata de ductos cilíndricos, o el diámetro equivalente si es otra la sección transversal. Tubos cilíndricos Efecto de entrada. Al entrar el fluido al tubo las capas límite se van cerrando hasta establecerse los perfiles de temperatura y velocidad. El coeficiente h varía en esa longitud (Fig. 13.1). Salvo en los casos en que se manejan metales fundidos, el prandtl es mayor o igual a 1, de manera que la capa límite térmica no se cierra antes de la hidrodinámica. El efecto de entrada es entonces importante a valores grandes del prandtl pues la capa límite térmica puede no llegar a cerrarse en toda la longitud del tubo, perdiéndose la utilidad de las correlaciones. Para la zona de entrada, Nusselt propuso la siguiente ecuación: Nu 0.036 Re D
0.8
D Pr 1 / 3 L
0.055
(13.6)
válida para L/D entre 10 y 400, siendo las propiedades evaluadas a la temperatura de mezcla T. Flujo laminar. Integrando la ecuación de energía calorífica dentro de un tubo con perfil parabólico de velocidad, se demuestra que el nusselt tiende asintóticamente a un valor que es 48/11 para el caso en que la densidad de flujo de calor q en la pared sea constante a lo largo del tubo y 3.66 si la temperatura de pared es la misma para todo el tubo. Para flujo laminar desarrollado, temperatura de pared constante, Haussen ha propuesto la siguiente ecuación: Nu 3.66
0.0668 D L Pe
1 0.04 D L Pe
(13.7)
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La longitud característica en el péclet (Pe=RePr) es el diámetro del tubo. Las temperaturas deben ser evaluadas a T. Si L Nu 3.66 Flujo turbulento. Para flujo desarrollado en tubos lisos una ecuación clásica es la de Dittus-Boelter: DG Nu 0.023
0.8
CP k
n
(13.8)
o bien, NuD=ReD0.8 Prn, donde n=0.4 si es calentamiento o n=0.3 si se trata de enfriamiento. G=<>. Las propiedades deben ser evaluadas a la temperatura de mezcla del fluido. Esta ecuación es válida para tubos lisos, Re>10,000, Pr entre 0.6100, y T de transferencia moderada pues la ecuación no toma en cuenta la variación
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de la viscosidad por temperatura, que puede llegar a ser importante, principalmente en líquidos viscosos. Para tubería rugosa el valor de h será mayor, por la turbulencia generada por la rugosidad, y esto dará un margen de seguridad al usar la Ec.(13.8). La ecuación de Dittus-Boelter se hace inexacta para Pr>100. Una ecuación útil para Pr>100 es la de Gnielinski( 1)
Figura 13.1.Longitud de entrada en un tubo
Nu=0.0214(Re0.8-100)Pr0.4
(13.9a)
para 0.5<Pr<1.5, 104<Re<5x106 Nu=0.012(Re0.87-280)Pr0.4
(13.9b)
para 1.5<Pr<500, 3000<Re<106 Las propiedades se evalúan a la temperatura del fluido. Cuando la T de transferencia es grande y por lo tanto la variación de la viscosidad entre la pared del tubo y la masa líquida es importante se puede usar la relación de Sieder y Tate que incluye un factor para tomar en consideración dicha variación: Nu 0.027 Re
0.8
Pr
1/ 3
b s
0.14
(13.10)
Las propiedades son evaluadas a la temperatura T salvo s. La ecuación es válida para flujo turbulento ya desarrollado. Al igual que la de Dittus-Boelter, fue obtenida para tubos lisos pero puede usarse para tuberías. El coeficiente real será mayor en este caso que el calculado y esto dará mayor seguridad al diseño. Es aplicable para líquidos orgánicos, gases y soluciones acuosas; pero es menos confiable para agua. Para este último caso una ecuación empleada es la de Eagle y Ferguson (Ec.14.34) Ejemplo 13.1. Se va a calentar 80 kg/min de agua de 30 a 60ºC haciéndola pasar por un tubo de 5 cm de diámetro interior, T s=120ºC (calentado con vapor de agua saturado) ¿qué longitud de tubo se necesita? Suponer que las propiedades son constantes a lo largo del tubo. Solución: T=(30+60)/2=45ºC. Las propiedades del agua a 45ºC son: C=4,180 J/kgK; =5.98x10-4 Pas; k=0.637 W/mK;
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Calor necesario (balance de entalpía): sean T1, T2 las temperaturas del agua a la entrada y la salida del tubo. Q=C(T2-T1) Ecuación de transferencia: Q=DLh(Ts- T). Igualando las últimas dos C (Tb 2 Tb1 ) ecuaciones y despejando L se obtiene: L Dh(Ts Tb ) Re
Cálculo de h:
4 4(80 / 60) 56,778. Pr=4180x5.98x10 -4/ D 0.05 (5.98 x10 4 )
0.637= 3.92; siendo turbulento el flujo puede usarse la ecuación de Dittus-Boelter o la de Gnielinski. Aplicando ésta última: Nu=0.012(567780.87-280)(3.92)0.4=277.7; h=277.7x0.637/0.05=3538 W/m 2K (con la de Dittus-Boelter se obtiene h=3224). Empleando el valor promedio h=3381 W/m 2K se calcula: Por lo tanto,
L
(80 / 60)(4180)(60 30) =4.2 m (0.05)(3381)(120 45)
Ejercicio. Por un tubo fluye agua con velocidad media de 0.84 m/s entrando a 30ºC. La pared del tubo es de 60ºC. ¿A qué temperatura sale? El tubo es de ¾” BWG 14. L=1 m. A 30ºC: ’=0.996, =0.803x10-3 kg/ms. Pr=5.45; k=0.617 W/mK. Supóngase que las propiedades permanecen constantes. Usar ecuación de Dittus-Boelter. R: T=39.7ºC Conducto anular entre dos tubos coaxiales Las correlaciones obtenidas para tubos cilíndricos funcionan igualmente para ductos con otras secciones transversales, sustituyendo el diámetro D por el diámetro equivalente térmico. Tal es el caso del ducto anular; el diámetro equivalente térmico en este caso es diferente del hidráulico ya empleado en el capítulo 5. Se puede generalizar el diámetro equivalente como igual a cuatro veces el radio hidráulico, donde el radio hidráulico es definido como: rH
sec ción del flujo perímetro activo
Por perímetro activo se entiende aquel en que se efectúa el fenómeno considerado, sea de fricción o de transferencia de calor. Para el caso del ánulo entre dos tubos concéntricos los dos diámetros que lo delimitan son importantes si se trata de calcular la fricción, pues ésta se ejerce en ambas caras. Tomando en cuenta este hecho se obtuvo la expresión De=Di-do. En el fenómeno de transferencia térmica, en cambio, el fenómeno se da únicamente a través de la pared del tubo interno. Esto lleva, en el caso del ánulo entre dos cilindros coaxiales, a dos diámetros equivalentes diferentes, para ambos procesos de transferencia y a dos números de Reynolds diferentes. El diámetro equivalente para transferencia de calor en este caso es:
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2 2 ( Di d o ) D 2 d 2 o 4 i De 4 do do
(13.11)
Di es el diámetro interior del tubo exterior; d o el exterior del tubo interior. Ejemplo 13.2. Considérese un intercambiador de calor formado por dos tubos concéntricos, el exterior de 1.5” céd.40 y el interno de 7/8” 14 BWG. En el espacio anular fluye agua que entra a 21ºC y al tubo interior entra benceno a 43ºC, según se indica en la Fig. 13.2. La longitud del cambiador es 1 m. a)Se quiere saber a qué temperatura salen el benceno y el agua. b)La caída de presión -P en el espacio anular. Considérese que las propiedades son constantes e iguales a los valores de entrada. Velocidades medias para benceno y agua respectivamente: V B = 1.5 m/s, VA = 1.22 m/s. La conductividad del metal es k=382 (W/mK). Puede considerarse que no hay pérdida de calor al exterior. Solución: Las medidas de los tubos son: DINT tubo interno: di= 0.018 m; DINT tubo externo: Di=0.0409 m; DEXT tubo interno: do= 0.0222 m. Lado del benceno(tubo interior). Las propiedades del benceno a 43ºC son: B = 866 kg/m3; B = 0.52 x 10-3 Pas; kB = 0.15 W/mK; CB = 1842 W/kgK. 0.018 1.5 866 1842 0.52 10 3 44,965 ; Pr 6.38 3 0.15 0.52 10 Nu = 0.023 (44965) 0.8 (6.38)0.3=211.6; hi =211.6x0.15/0.018=1763 W/m2K Re
VA = 1.22 m/s VB= 1.5 m/s
Figura 13.2. Ejemplo 13.2
Lado del agua(espacio anular) Las propiedades del agua a 21ºC son: A=1.0x10-3 kg/ms, kA=0.6 W/mK. C=4178 W/kgK. '=1.0. Pr=6.96 El diámetro equivalente hidráulico es De=Di-do=0.0187 m Re=0.0187x1.22x1000/(10 -3)=22,814. El flujo es turbulento; la ecuación de Dittus-Boelter puede ser empleada.
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El diámetro equivalente para transferencia de calor es De = (0.0409 2 0.053 1.22 1000 64,660; 0.02222)/0.0222 = 0.053 m; Re 10 3 Nu = 0.023(64660) 0.8(6.96)0.4 = 352.6 ho = 352.6x0.6/0.053= 3992 W/m2K; Coeficiente global Aplicando la Ec. (13.23) se tiene: Uo
1 1 0.0222 0.0222 0.0222 1 = 1,076 W/m2K x ln 1763 0.018 2 x382 0.0187 3992
Ao=(0.0222)xx1=0.07 m2. Q=1076x0.07(43-21)=1657 W Las temperaturas de salida del benceno y el agua se obtienen a partir del balance de entalpía. Los gastos másicos respectivos son: B=(/4)x(0.018)2x 1.5x866=0.33 kg/s; A=(/4)(0.04092-0.02222)x 1.22x1000=1.13 kg/s. Temperaturas de salida: el balance de entalpía para el benceno es: -1657= BCB(TB-43)=0.33x1842(TB-43) de donde TB=40.27°C; para el agua T A = 21.35°C Caída de presión en el tubo interior : por la Ec. (5.5) f=0.0791/(44965) 0.25= 5.43x10-3; -P=2(5.43x10-3)x1.52x866/0.018=1176 Pa Caída de presión en el ánulo: El diámetro equivalente es en este caso el hidráulico De=0.0187 m. f=0.0035+0.264/(22814) 0.42=0.0074 (Ec.5.9) -P=2f<>2L/De=2x0.0074x1.222x1000/0.0187=1178 Pa Serpentines helicoidales cilíndricos La manera más económica de agregar área de calentamiento a un tanque es mediante un serpentín (Fig. 13.3). El diámetro interior D del tubo y el de la hélice o espiral (D s) son parámetros importantes en este caso. Igualmente hay que tomar en cuenta el paso del serpentín (P t) que es la distancia axial entre los centros de dos espiras vecinas. Los serpentines se construyen normalmente en planta doblando tubos de cobre o acero para formar la hélice. Dentro de los ductos curveados se generan componentes de flujo adicionales a los existentes en un tubo recto, a consecuencia de las fuerzas centrífugas. Esto produce un aumento del factor de fricción y del coeficiente de transferencia de calor del orden de 20%. Así, para flujo turbulento de aire en serpentines helicoidales, Jescke (en 2) encontró la correlación:
D hs h1 3.5 Ds
(13.12)
donde hs es el coeficiente en el serpentín y h el correspondiente al tubo recto. La longitud de entrada en un serpentín es a su vez 20-50% más corta que en un tubo recto. Si el número de Dean (Dn) es mayor que 200, el cálculo para el caso laminar puede hacerse para flujo desarrollado. Dn=Re(D/Ds)0.5.
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Cuando el flujo es turbulento dentro del serpentín, la longitud de entrada suele terminar en la primera vuelta y puede despreciarse; para fines de cálculo puede considerarse únicamente la región de flujo desarrollado. Una ecuación para el reynolds crítico en un serpentín es(3): 0.5 D Rec= 21001 12 Ds
(13.13)
Para calcular el nusselt en flujo turbulento puede usarse la ecuación de Schmidt(3)
Nu s D D 1.0 3.61 Nu D s D s
0.8
(13.14)
donde Nu es para tubo recto y Nus para el serpentín. La ecuación última es válida para Re entre 2x10 41.5x105 y Ds/D entre 5-84. Para valores bajos del reynolds, entre 1500-20000, puede usarse la ecuación de Pratt (en 3), muy parecida a la Ec. (13.12):
Nu s D 1 3.4 Nu Ds
(13.15)
Figura 13.3. Serpentín helicoidal Ejemplo 13.3. En un tanque con agitador de turbinas equipado con baffles y serpentín helicoidal de cobre se va a enfriar en forma continua de 50ºC a 25ºC, 0.8 kg/s de una solución, empleando para ello agua que entrará al serpentín a 5ºC y saldrá a 15ºC. El diámetro del agitador es 40% del del tanque y gira a 600 rpm. El diámetro del tanque es 1 m. El serpentín está hecho con tubo 3/4 BWG 16, con diámetro de espira igual a 0.8 m. Calcular el largo necesario del serpentín. Las propiedades de la solución a 25ºC son: C=2,800 J/kgK, k=0.282 W/mK; '=1.05; =28 cp. Sea Cp del agua igual a 4200 J/kgK. Se ha propuesto la siguiente ecuación para el coeficiente externo al serpentín (Chilton,Drew,Jebens en ref. 4), obtenida trabajando con agua, dos aceites y glicerina:
ho Da 1 0.62 B Re a Pr 3 b k s
0.14
(13.3.1)
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donde B=1.1 para agitador de turbina, tanque con baffles o B=0.87 para agitador de paletas, con baffles. Rea=Da2N/ es el reynolds de agitación. N es el número de revoluciones por segundo. La ecuación anterior es válida para Rea entre 2,000-700,000. Solución: Balance de entalpía: Q=0.8x2800x25=56,000 W. El flujo del agua de enfriamiento será 56000/ (10x4200)=1.33 kg/s. Coeficiente dentro del serpentín. D=0.016 m; Do=0.019 m. Propiedades del agua a 10ºC: '=1.0; =1.3 cp; Pr=9.45; k=0.58 W/mK. Re=4x1.33/(0.016x0.0013)= 81,414; Nu=0.023(81414)0.8(9.45)0.4=479 Por la Ec.(13.14), Nus=553, de donde hi=553x0.58/0.016=20,046 W/m 2K. Coeficiente exterior. N=600/60=10 rps. Dado el alto valor de h i puede considerarse como una aproximación que la temperatura de la pared del tubo es aproximadamente 10ºC; sea a esta temperatura s=42 cp. Re=(0.4)2x10x 1050/0.028=60,000;Pr=2800x0.028/0.282=278; por la Ec.(13.31): Nu=1.1(60000)0.62(278)1/3(28/42)0.14= 6,222, de donde ho=6222x0.282/0.4=4,386 W/m 2K Coeficiente global. La conductividad del cobre es k=386 W/mK. Por la Ec.(13.3):
U
1 1 0.019 0.019 0.019 1 =3431 W/m 2K ln 20046 0.016 2 x386 0.016 4386 Largo del serpentín: L=56000/(3431x15x0.019)=18.22 m
Transferencia de calor en fluidos no-newtonianos fluyendo en tubos con pared a temperatura constante Flujo laminar. Gran parte de la investigación sobre transferencia de calor en líquidos no-newtonianos se ha realizado en tubos. Dada la alta viscosidad que usualmente presentan los líquidos no-newtonianos su flujo es preferentemente laminar. El calor se transfiere principalmente por conducción, aunque si el flujo es muy lento puede presentarse una componente de convección natural. La temperatura tiene efecto sobre el coeficiente de consistencia K' siguiéndose una ley tipo Arrhenius. El índice de comportamiento n', en cambio, prácticamente no varía con la temperatura. Para los líquidos que siguen el modelo potencial, Metzner y Gluck( 5) han propuesto la siguiente ecuación: Nu 1.75
1/ 3
Gz
1/ 3
K' Ks '
0.14
(13.16) siendo =(3n+1)/4n y K'=K. La ecuación anterior es válida en ausencia de convección natural. El coeficiente reológico K b es determinado a la temperatura T promedio entre las de entrada y salida . Es válida para Gz>20, n0.1 siendo el número de Graetz definido en este caso como G z=(/4)RePr(D/L)=C/kL. El valor del coeficiente h obtenido con la ecuación anterior debe ser usado con una diferencia media aritmética de temperatura DTMA=(T1+T2)/2 correspondiendo los subíndices 1,2 a la entrada y salida respectivamente. En muchos casos el factor de corrección (K'/K s')0.14 puede ser considerado igual a 1, sin gran error.
13-12
Flujo turbulento. Una ecuación propuesta para este caso es la de Yoo( 6): St=0.0152(ReG)-0.155Pr-2/3 (13.17) siendo St, número de Stanton, definido en el Capítulo 12, St=h/<>C. La ecuación anterior es válida para n' entre 0.2-0.9, 3000<Re G<90,000, con error de 5%. Tanto el reynolds generalizado como el prandtl deben ser calculados con la viscosidad efectiva. Convección forzada sobre tubos y bancos de tubos Caso de un solo tubo Para el caso de gases fluyendo transversalmente a un cilindro de diámetro exterior Do Hilpert (en ref. 7) reportó en 1933 la ecuación Nu=CRe n, para gases. Con estos datos y los obtenidos posteriormente con líquidos por Knudsen y Katz (en ref. 8) se obtuvo la siguiente correlación Nu=CRenPr1/3 (13.18) donse Re=oDo/, Nu=hoDo/k. Las propiedades son tomadas a T f=(T+Ts)/2. o es la velocidad de aproximación del fluido. Valores de las constantes C,n pueden verse en la Tabla 13.2 Tabla 13.2. Valores de las constantes para la Ec. (13.18) aplicada a un solo cilindro aislado Re C n 0.4-4 0.989 0.33 4-40 0.911 0.385 40-4000 0.683 0.466 4000-40000 0.193 0.618 40000-400000 0.0266 0.805
Otra manera de calcular el nusselt en este caso es mediante la ecuación de Churchill y Bernstein (9) para líquidos y gases 5/8 Pr 1 / 3 Re D Nu 0.3 1 0.25 1 (0.4 / Pr) 2 / 3 282000
0.62 Re D
0.5
0.8
(13.19)
Las propiedades son las correspondientes a la temperatura de película. La ecuación es válida para 100<ReD<107, PeD>0.2 . Ejemplo 13.4. Aire a 25ºC, presión atmosférica, pasa transversalmente a un tubo de 0.0508 m de diámetro exterior cuya superficie está a 170ºC. La velocidad de aproximación es o=25 m/s. ¿Cuánto calor pierde el tubo por metro de longitud? Solución: Tf=(25+170)/2=97.5ºC. A 97.5ºC las propiedades del aire son: =2.2x10-5 m2/s; k=0.031 W/mK. Pr=0.693
13-13
0.0508 x 25 57,727; De la Tabla 13.2, C=0.0266; n=0.805, por lo 2.2 x10 5 Nu=0.0266(57727) 0.805(0.693)1/3= 160.2 h=160.2x0.031/0.0508=97.77 W/m2K Q=x0.0508x1x97.77x(170-25)=2,262 W
Re= tanto,
Usando la ecuación de Churchill-Bernstein se obtiene Nu=149 Bancos de Tubos Los tubos se arreglan en bancos no sólo para aumentar el área de transferencia de calor en un espacio dado sino también el coeficiente de transferencia (Fig. 13.4). El coeficiente externo para la primera fila de un banco de tubos es igual al que corresponde a un tubo único con flujo cruzado. En las siguientes filas el coeficiente de transferencia aumenta debido a la turbulencia creada por los tubos anteriores hasta estabilizar su valor en 10 filas aproximadamente en la dirección del flujo. A reserva de ver con más detalle estos arreglos al estudiar los cambiadores de carcasa y tubos, hay qué decir aquí que los más importantes son el cuadrado y el triangular. Se llama "paso" a la distancia entre los centros de dos tubos vecinos. Grimson propuso la misma ecuación (13.18) para bancos de 10 o más filas de profundidad. Las propiedades del fluido son evaluadas a la temperatura T f=( T+TS)/2. Las constantes C, n pueden verse en la parte superior de la Tabla 13.3. Si la profundidad del banco es menor de 10 tubos será necesario corregir el valor de h o, multiplicándolo por un factor F obtenido de la parte inferior de la Tabla( 8). En la Tabla 13.3 y la Fig. 13.4 se utiliza un paso paralelo al flujo, que es horizontal, (S p) y otro normal (Sn). El reynolds está basado en el diámetro del tubo y la velocidad máxima que hay en el banco. Esta se da por supuesto donde el área transversal es mínima. En el arreglo cuadrado el área mínima es simplemente la correspondiente al claro entre 2 tubos. Esto puede también decirse en el arreglo triangular si S p no es muy pequeño al grado de obstruir el flujo. Por lo tanto, A mín=L(Sn-Do).
Figura 13.4. Bancos de tubos.Notación. a)arreglo cuadrado. b) arreglo triangular
13-14
Ejemplo 13.5. Aire a 1 atm, 10ºC pasa horizontalmente a través de un banco de tubos con 15 filas en dirección perpendicular al flujo y 5 en dirección paralela. Su velocidad antes de entrar al banco es de 6 m/s. La superficie de los tubos está a 60ºC. El diámetro exterior de los tubos es 0.0254 m y están alineados en una arreglo cuadrado con paso Sn=Sp=0.0381 m. Calcular el calor transferido por unidad de longitud del banco, para L=1 m. Solución: Sp/D=1.5; Sn/D=1.5; de la Tabla 13.3 C=0.278; n=0.62 Tf=(60+10)/2=35ºC. Las propiedades del aire a 35ºC son: =1.65x10-5 m2/s. k=0.028 W/mK. Pr =0.706 Cálculo de la velocidad máxima: Sn 1.5 0.0264 x18 6x max= o =18 m/s; Re= =27,709 Sn D 1.5 1 1.65 x10 5 Aplicando la Ec. (13.18):Nu=0.278(27709) 0.62(0.706)1/3=140.6 Por lo tanto, ho=140.6x0.028/0.0254=155 W/m2K El valor anterior correspondería al caso en que N10. Ya que N=5, de la parte inferior de la Tabla 13.3 se obtiene F=0.92 con el cual se corrige h o: ho=155x0.92=142.6 W/m2K. El area es A=15x5(0.0254)x1=5.98 m2, por lo que Q=142.6x5.98(60-10)= 42,671 W Tabla 13.3 Valores para la Ec. (13.18) aplicada a bancos de tubos a)Bancos de 10 o mas filas de tubos
Sn Do 1.25
SP Do
Triangular
Cuadrado
Arreglo
N
C
1.5 n
C
2.0 n
C
3.0 n
C
n
1.25 1.5 2.0 3.0
0.386 0.407 0.464 0.322
0.592 0.586 0.570 0.601
0.305 0.278 0.332 0.396
0.608 0.620 0.602 0.584
0.111 0.112 0.254 0.415
0.704 0.702 0.632 0.581
0.0703 0.0753 0.220 0.317
0.752 0.744 0.648 0.608
0.6 0.9 1.0 1.125 1.25 1.5 2.0 3.0
.......... .......... .......... .......... 0.575 0.501 0.448 0.344
.......... .......... .......... .......... 0.556 0.568 0.572 0.592
.......... .......... 0.552 .......... 0.561 0.511 0.462 0.395
.......... .......... 0.558 .......... 0.554 0.562 0.568 0.580
.......... 0.495
.......... 0.571
0.236 0.445
0.636 0.581
0.531 0.576 0.502 0.535 0.488
0.565 0.556 0.568 0.556 0.562
0.575 0.579 0.542 0.498 0.467
0.560 0.562 0.568 0.570 0.574
b)Razón de h para N filas de tubos a h para 10 filas 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
13-15
hN/h10 arreglo triangular hN/h10, bancos cuadrado
0.68 0.64
0.75 0.8
0.83. 0.87
0.89 0.9
0.92 0.92
0.95 0.94
0.97 0.96
0.97 0.98
0.99 0.99
1.0 1.0
Cuando la temperatura de la corriente exterior sufre una gran variación en su paso a través del banco debe tomarse como valor de T la media logarítmica entre las diferencias de temperatura (T-T s) a la entrada y a la salida del banco de tubos. Ejercicio. Supóngase que dentro de los tubos del banco del ejemplo anterior fluye 1butanol en condiciones tales que h i= 4,000 W/m2K. ¿Cuánto vale Uo si los tubos son 12 BWG de cobre con conductividad k=290 W/mK ?. Do=0.0254 m; Di=0.0198 m. R: Uo=136 W/m2K 13.3. CONVECCION NATURAL A diferencia de algunos casos de convección forzada en que el coeficiente puede ser obtenido analíticamente (caso de la placa plana por ej.) por solución sucesiva de las ecuaciones de movimiento y energía, en la convección natural los gradientes de velocidad dependen directamente de los de temperatura, de manera que las ecuaciones diferenciales de movimiento y energía están acopladas y su solución analítica no es factible. Debe entonces recurrirse a ecuaciones experimentales. Análisis dimensional. En este fenómeno un elemento de fluido disminuye su densidad al aumentar su temperatura por efecto del calor recibido y se desplaza hacia arriba conducido por la fuerza boyante, siendo sustituido por otro más frío. La convección o movimiento es así producida por el fenómeno mismo de transferencia y las ecuaciones de movimiento y energía se encuentran acopladas. En el análisis dimensional de este fenómeno la velocidad no aparece como variable independiente pues es un efecto de la transferencia de calor. El coeficiente de expansión , en cambio, se vuelve importante; es definido como el incremento relativo del volumen del gas por cada grado de temperatura: =V/(VT). Su dimensión es T -1. La fuerza boyante F=(f-c)g que surge como consecuencia de la dilatación, así como la diferencia de temperatura T, resultan ser también variables importantes. Otras son el calor específico, la viscosidad, la conductividad térmica, una longitud característica y la gravedad. En resumen, las variables son h,,C,g,T,,L,,k. Procesándolas dimensionalmente en este orden usando como variables fundamentales: M,L,t,T,Q se obtienen los siguientes grupos adimensionales: 1=hL/k Nusselt),
2=T;
3=C/k (Prandtl),
4=2gL3/2
Los grupos 2, 4 aparecen afectados por el mismo exponente en las ecuaciones y de esa manera es posible agruparlos: al producto: 24=gTL32/2 se llama número de Grashof(Gr); por lo tanto quedan las correlaciones de la forma Nu=f(Gr,Pr). El número de Graschof es una relación entre las fuerzas de flotación y las viscosas y juega en este fenómeno un papel semejante al que juega el reynolds en la convección forzada, ya que su valor está relacionado con el tipo de flujo, laminar o
13-16
turbulento. En algunas correlaciones se usa el número de Rayleigh Ra=Gr Pr= gTL3/. Normalmente la longitud característica que interviene en el nusselt es la misma que aparece en el graschof o el rayleigh. Los coeficientes de transferencia en la convección natural son mucho menores que en la forzada. No obstante, muchos dispositivos son enfriados de esta manera, como equipos electrónicos, eléctricos, radiadores para calefacción, etc. Placa vertical Isotérmica Flujo Laminar Squire y Goldstein( 10) resolvieron en forma aproximada las ecuaciones de variación para este caso, suponiendo perfiles apropiados de velocidad y temperatura. El resultado obtenido para el nusselt local fue: Pr Ra x Nu x 0.508 0.952 Pr
1/ 4
(13.20)
siendo las propiedades evaluadas a la temperatura de película T f=(T+Ts)/2. La longitud característica en la Ec. (13.20) es la posición "x" a lo largo de la placa. El valor medio L
del coeficiente se calcula mediante h (1 / L) 0 hx dx . Se obtiene así que h bien: Pr Ra Nu 0.677 0.952 Pr
4 hx 3
x L
o
1/ 4
(13.21)
siendo la longitud característica el largo vertical de la placa. La correlación (13.20) está bien avalada por los datos experimentales. Al aumentar el prandtl, el nusselt se hace proporcional a (Ra) 1/4. La transición de flujo laminar a turbulento se da aproximadamente cuando Ra=10 9. La mismas ecuaciones pueden ser usadas para la cara que mira hacia abajo de una placa inclinada con tal de que se sustituya g en la ecuación por la componente de la gravedad paralela a la placa. Nota:el coeficiente de dilatación se define como =V/V para T=1 y presión constante. Por lo tanto, para gases ideales V= V. por otro lado PV=RT. Si T=1, V=R/P. Por lo tanto V=R/P, y =1/T.
Régimen turbulento Rohsenow y Hartnett( 3) dan la siguiente correlación para Nu x en placa vertical isotérmica: Nux=0.0295Pr7/15Grx2/5(1+0.494Pr2/3)-2/5. Calculando el valor medio del coeficiente de película se llega a: h
5 hx 6
xL
, o bien,
Nu=0.0246Pr7/15Gr2/5(1+0.494Pr2/3)-2/5
(13.23)
siendo la longitud característica el largo vertical de la placa. La ecuación anterior es válida si Pr no es muy grande o muy pequeño. Las propiedades deben ser evaluadas a la temperatura Tf. Se aplica principalmente para gases. Una ecuación propuesta para convección natural en el aire por Warner y Arpaci (en ref. 8) es:
13-17
Nu=0.1Ra1/3
(13.24)
Cilindros verticales Pueden usarse las ecuaciones anteriores para tubos verticales siempre que el espesor de la capa límite no sea muy grande en relación con el diámetro del tubo. Esto se cumple si D/L35/GrL1/4 Otros casos Diversos casos pueden ser manejados con la ecuación empírica: Nu=CRam
(13.25)
donde C,m, dependen de la geometría del sistema y del valor del rayleigh. Sus valores están en la Tabla 13.4a. Las propiedades corresponden a la temperatura de película T f. Las longitudes características son: para cilindro el diámetro, para plano vertical la altura, para placas cuadradas horizontales el lado y para otras superficies planas horizontales la relación (área)/(perímetro). McAdams( 2) propone para el rectángulo L=(a+b)/2 y para el círculo L=0.9D. En la Tabla 13.4a se observa que en el intervalo 8x106-1011 del rayleigh para placa horizontal el coeficiente h es independiente de la longitud característica y del tamaño de la superficie. En efecto, el exponente en la Ec. (13.25) es m=1/3 que se simplifica con el de la longitud. Lo mismo puede decirse del cilindro horizontal para Ra=10 9-1012. Tabla 13.4a. Valores de C, m para la Ec. (13.25) ( 8) C m Rango de validez. Rayleigh Planos y cilindros verticales 0.59 1/4 104-109 0.021 2/5 109-1013 cilindro horizontal 0.53 1/4 104-109 0.13 1/3 109-1012 cara superior de placa horizontal 0.54 1/4 2x104-8x106 calentada o cara inferior de placa 0.15 1/3 8x106-1011 enfriada Cara inferior de placa horizontal 0.27 1/4 105-1011 calentada o cara superior de placa enfriada Tabla 13.4b. Ecuaciones simplificadas para aire ( 2) Caso Movimiento laminar Movimiento turbulento 104<Ra<109 Ra>109 0.25 h=1.342(T)1/3 T h=1.417 Placas o cilindros verticales h=1.243(T)1/3 L h=1.52(T)1/3 0.25 T h=1.319 d o Cilindros horizontales Geometría
Placas horizontales: Cara superior de
placas
T h=1.319 L
0.25
13-18
calentadas o cara inferior de placas enfriadas
T h=0.586 L
0.25
Cara inferior de placas calentadas o superior de placas enfriadas
Ejemplo 13.6 Un tubo horizontal de acero de 2” std. conduce vapor ligeramente sobrecalentado a 150ºC con velocidad media de 30 m/s. Esta cubierto con 1” de aislante de lana de vidrio; la temperatura del aire ambiente es 40ºC. Calcular a) Calor perdido por metro de tubo. b) Temperatura exterior del aislante. Despreciar la resistencia del metal. Conductividad del aislante: k=0.04 W/mK. Diámetros del tubo: di=0.0525 m; do=0.06 m. Solución: No se conoce la temperatura exterior del aislante y por lo tanto tampoco se conoce la temperatura de película del aire T fo, ni puede calcularse h o. De la Tabla 13.5, el valor medio de este último (convección libre al aire) es 25 W/m 2K. El coeficiente hi puede ser calculado: las propiedades del vapor a 150ºC son: =2.7610-5 m2/s; k=0.028 0.0525 x30 57,065; Nu=0.023(57065) 0.8(1.025)0.3=147.9; por lo W/mK; Pr=1.025; Re 5 2.76 x10 tanto, hi=147.9x0.028/0.0525=78.9 W/m2K. Puede ahora calcularse una primera aproximación del coeficiente U depreciando la resistencia de la pared metálica. El diámetro exterior del aislante es Do=0.06+0.0254x2=0.111 m. Uo
1 1 1 0.111 0.111 0.111 1 = =1.086 W/m2K ln 0.0268 0.8536 0.04 78.9 0.0525 2 x0.04 0.06 25
Q=1.086(0.111)x110=41.66 W. Por lo tanto, To=41.66/(25x0.111)=4.8ºC; To=44.8ºC. Los valores anteriores pueden hacerse más precisos en forma iterativa: Primera iteración: Siendo las resistencias de la película interior y del aislante independientes de la temperatura puede escribirse: Uo=1/(0.88+1/ho). El diámetro exterior del aislante es D=0.111 m. To=44.8ºC. Tf=(44.8+40)/2=42ºC; a esta temperatura =0.244x10-4 m2/s; =1.72x10-5 m2/s; k=0.027 W/mK. Ra
9.81(1 / 315) x (0.111) 3 x 4.8 487,136; por la Ec.(13.25) y la Tabla 13.4: (1.72 x10 5 )(0.244 x10 4 )
Nu=0.53(Ra)0.25=14.0; por lo tanto, h o=14x0.027/0.111=3.4 W/m2K; Uo=1/(0.88+1/3.4)=
13-19
0.85 W/m2K. Q=0.85(0.111)x110=32.6 W. La caída de temperatura en la película exterior es: To=32.6/(3.4x0.111)=27.5ºC, de donde T o=67.5ºC. Segunda iteración: Tf=(67.5+40)/2=53.75ºC; a esta temperatura =0.26x10-4 m2/s; =1.82x10-5 m2/s; k=0.028 W/mK. Ra=2,381,777; Nu=20.82; ho=20.82x0.028/0.111=5.2 W/m2K; Uo=1/ (0.88+1/5.2)=0.93 W/m2K. Q=0.93(0.111)x110=35.67 W. La caída de temperatura en la película exterior es: To=35.67/(5.2x0.111)=19.67ºC, de donde To=59.67ºC. Tercera iteración: No es necesaria: el nuevo valor de T f sería: Tf=49.8ºC; los valores de , , k a esta temperatura son prácticamente los mismos de la iteración anterior por lo que se puede considerar que el proceso de cálculo ya convergió; los resultados son: Q=35.67 W, To=59.67ºC Ejercicio. Calcular el calor que se pierde por metro de tubo del ejemplo 13.4 si el aire está quieto. R: Q=215.9 W Ejemplo 13.7. Calcular el coeficiente de transferencia de calor de una pared horizontal de 3x1 m a 38ºC expuesta a la atmósfera a 5ºC. Solución: Tf=(38+5)/2=21.5ºC. Las propiedades del aire a esta temperatura son: =2.108x10-5 m2/s; =1.6x10-5 m2/s. =1/294.7=3.39x10-3 K-1. k=0.0257 W/mK. Tomando como longitud característica L=(3+1)/2=2 m. Ra
(3.39 x10 3 )(38 5) x 2 3 x9.81 =2.6x1010 ; de la Tabla 13.4 C=0.15, m=1/3. 5 5 (1.6 x10 )(2.108 x10 )
NuL=0.15(2.6x1010)1/3=444. h=444x0.0257/2=5.7 W/m2K h=444x0.0257/2=5.7 W/m2K. Q=752.4 W. Ecuaciones para aire Para el caso particular del aire existen ecuaciones simplificadas que pueden verse en la Tabla 13.4b. En espacios cerrados Espacio vertical Considérese dos paredes a diferente temperatura T 1,T2 constante separadas una distancia . Sea T1>T2. Entre ambas placas existe un fluido. El espacio está cerrado en la parte superior. A pequeñas diferencias de temperatura (T 1-T2) la transferencia de calor entre ambas placas se da prácticamente por conducción ya que las corrientes convectivas son casi inexistentes. Esta región se caracteriza porque Ra= 1000. En estas condiciones, q=kT/=hT de donde h=k/ y por lo tanto Nu=h/k=1. Al aumentar el número de Rayleigh las corrientes convectivas van aumentando y se
13-20
presentan diversos regímenes con valores crecientes del nusselt. Para calcular este último se ha propuesto la ecuación de Shewen( 11): 0.5
0.0665Ra 1 / 3 2 (13.26) Nu 1 1 (9000 / Ra )1.4 6 válida para gases (Pr=0.7), Ra <10 , 40<H/<110. Las propiedades corresponden a la temperatura de película Tf.
Figura 13.5. Celdas de Benard
Espacio Cerrado Horizontal Pueden darse dos casos según que la placa más caliente esté arriba o abajo. En el primer caso no hay convección y únicamente conducción a través del fluido y por lo tanto Nu=1. Si la placa caliente está abajo se observa que si Gr <1700, aún rige la conducción y son despreciables las corrientes convectivas. Sin embargo, a valores mayores del grashof empieza a ser significativa la convección. Todo el fluido en contacto con la placa inferior tenderá a subir, pero siendo cerrado el espacio será necesario que también existan corrientes descendentes. El patrón de movimiento del fluido fue observado por Benard trabajando con líquidos (1901). Observó que se forman celdas hexagonales como se ve en la Fig. 13.5. Estas celdas sobreviven en tanto que el flujo no se haga turbulento, lo cual ocurre cuando Gr 50,000. La turbulencia destruye las celdas. Jakob recomienda para gases las siguientes ecuaciones: ke 1/ 4 0.195Gr para 104< Gr<4x105 k
(13.27)
ke 1/ 3 0.068Gr para 4x105<Gr k
(13.28)
ke es la conductividad efectiva en la que se combinan la conducción y la convección. Para líquidos Globe y Dropkin proponen:
13-21
ke 1/ 3 0.069Gr Pr 0.407 3x105<Ra<7x109 (13.29) k Las propiedades corresponden a la temperatura media entre las dos extremas. El flujo de calor es calculado mediante la Ec. (10.4) empleando la conductividad efectiva ke.
Ejemplo 13.8. Entre dos placas verticales de 2 m de alto por 1 de ancho, separadas 3 cm hay aire a la presión atmosférica. Las placas están a 80ºC y 0ºC respectivamente y están unidas en la parte superior formando una cavidad. ¿Cuánto calor se transfiere entre ellas? Solución: A 40ºC las propiedades del aire son: =1.7x10-5 m2/s. =2.4x10-5 m2/s. k=0.027 W/mK. =1/313.2=3.19x10-3 K-1. Ra
9.81(3.19 x10 3 ) x80 x(0.03) 3 =165,673 (1.7 x10 5 )(2.4 x10 5 )
0.0665(165673)1 / 3 Por la Ec. (13.26): Nu 1 1 (9000 / 165673)1.4
2
0.5
=3.73;
h=3.73x0.027/0.03=3.36 W/m2K; Q=3.36x2x80=536 W. 13.4. TRANSFERENCIA DE CALOR CON CAMBIO DE FASE Los procesos de transferencia de calor a líquidos en ebullición(principalmente agua) al igual que los de condensación, son importantes en operaciones de destilación y evaporación, en calderas, condensadores, etc. Los coeficientes de transferencia con cambio de fase son mucho más elevados que en la simple convección, en el caso del agua; no puede decirse lo mismo en la condensación de vapores orgánicos, según puede apreciarse en la Tabla 13.5. Condensación La condensación de un vapor simple puede darse en gota o en película. La primera se produce cuando el líquido no moja la superficie y está asociada a coeficientes de transferencia de calor del orden de 2 a 20 veces mayores que los de la condensación en película, debido a que la superficie se encuentra parcialmente desnuda. En la condensación en película, en cambio, el carácter aislante del condensado, que cubre casi la totalidad de la superficie, hace disminuir el coeficiente de transferencia de calor. La dificultad de obtener condensación estable en gota obliga a hacer los cálculos considerando condensación en película. La condensación en película no es el paso que sigue a la de gota, porque haya acumulación de condensado; ambos mecanismos de condensación son diferentes y pueden incluso alternarse. Se requiere de ciertas condiciones en la superficie para que se presente la condensación en gota, tales como la presencia de polvo o de contaminantes adheridos a ella. La condensación en gota también se da cuando se condensan varias sustancias inmiscibles.
13-22
Tabla 13.5. Orden de magnitud de los coeficientes de película Caso h, W/m2K convección libre, al aire 10-40 convección forzada. Aire o vapor sobrecalentado 40-140 convección forzada de aceite 85-2,500 convección forzada benceno 1500-1800 convección forzada metanol 3000-3500 convección forzada de agua 425-25,000 agua en ebullición 4,250-85,000 condensación en película, de vapor de agua 9,000-25,000 condensación en gota, de vapor de agua 42,000-170,000 condensación de vapores orgánicos 1,700-3,500
Condensación en placa vertical Para la condensación en película laminar existe una solución analítica debida a Nusselt. Las suposiciones en que se basa son que el calor cedido por el vapor al condensado es únicamente latente; que la película de condensado es laminar y su grosor función del flujo. Además supone que la película es tan delgada que puede aproximarse el perfil de temperatura con una recta. Por último, considera que la superficie está limpia y lisa, que no tiene curvatura y que su temperatura es constante. Las propiedades del condensado se toman a la temperatura media de la película. Considérese el volumen de control fijo en el espacio que aparece en la Fig. 13.6. Las fuerzas que actúan sobre él son la de gravedad, la de flotación y el esfuerzo cortante con la película que está fuera del elemento, en contacto con la pared sólida. Un balance de fuerzas en el volumen de control queda como sigue:
y xz l g y xz g yx xz 0
representa el valor local del espesor de la película. Simplificando la ecuación anterior y reordenándola se tiene:
y l g l d x dy
(13.30)
que integrada proporciona: l gy 2 gy l x C1 l l 2 C1=0 pues en y=0, x=0. Por lo tanto el perfil de velocidad queda: x l l
2 2y 1 y g 2
(13.31)
(13.32)
13-23
Figura 13.6. Condensación en placa vertical
La velocidad media puede obtenerse a partir de
1
0
x dy . El resultado es:
l g 2
(13.33)
3 l
Si se considera que <<l la ecuación anterior se simplifica, quedando:
g l 2 3 l
(13.34)
Balance de energía. El calor se transfiere por conducción a través de la película de condensado por no existir componente en "y" del movimiento, de manera que T Ts q x k l sat donde el subíndice "x" indica "local" y no la dirección del flujo de x calor. El grosor de la película aumenta al bajar, alimentada con el nuevo condensado. El calor latente liberado por la condensación debe atravesar la película para llegar a la pared sólida. Sea Q este calor. Se tiene que Q x z l ; por otro lado Qx q x x z y por lo tanto, l
x
l
x x
q x x
Dividiendo entre x y haciendo tender x a cero, l
d
q x kl
dx
T
(13.35)
donde T=Tsat-Ts. Introduciendo la Ec. (13.34) en la (13.35) se llega a:
l g d 3 k l T 3 l dx 2
(13.36)
13-24
Integrando, considerando que en x=0, =0 y por lo tanto C1=0, y despejando se obtiene: 4 k T x l 2 l l g
1
4
(13.37)
qx=hxT=klT/, y por lo tanto hx=kl/ y Nux=hxx/ k l (13.37) se obtiene: 1 l2 gx 3 Nu x 2 k l T l
1
=x/. A partir de la Ec.
4
(13.38)
El valor medio del coeficiente h es calculado mediante h 3 2 4 k l l g resultado es: h 3 2 T l L
1 L hx dx . El L 0
1/ 4
, o bien,
k 3 2 g h 0.943 l l T l L
1/ 4
(13.39a)
Si no se desprecia la densidad del vapor la ecuación es: k 3 ( ) g h 0.943 l l l T L l
1/ 4
(13.39b)
Por lo tanto, L3 l2 g Nu 0.943 l k l T
1/ 4
(13.40)
El flujo se vuelve turbulento y las ecuaciones anteriores dejan de ser válidas cuando Re=350, siendo el Reynolds definido como / l . es el flujo de condensado por unidad de longitud horizontal de la película: = =c/W. Las ecuaciones de trabajo son (13.34, 13.37, 13.39) Para flujo turbulento de la película de condensado se ha propuesto la ecuación( 12):
k l 3 l 2 gTL h 0.003 3 l
1/ 2
(13.41)
Las propiedades ,,k en las ecuaciones anteriores son para el condensado a la temperatura Tf=(Tsat+Ts)/2. El calor latente corresponde a la temperatura de saturación. Para condensación en la cara superior de una superficie plana, inclinada un ángulo 60º con respecto a la vertical, puede usarse g z=gcos en las Ecs. (13.39); de esta
13-25
manera se tendrá que hinclinada=hvertical(cos)0.25. McAdams(2) recomienda para el caso en que Re<450 y el flujo sea turbulento, usar la Ec. (13.39) multiplicada por 1.2 Ejemplo 13.9. Vapor saturado a 100ºC se condensa sobre una placa vertical de 1 m de largo. La placa está a 60ºC. Calcular el coeficiente de película h y la velocidad de producción de condensado. Solución: A 100ºC, =2258 x103 J/kg. Para el agua líquida a 80ºC: =974 kg/m3; k=0.668 W/mK; =3.546x10-4 kg/ms. Primeramente hay qué averiguar si el flujo es laminar o turbulento. Por la Ec. (13.37): 1/ 4
4(0.668)(100 60)(3.546 x10 4 )1.0 2.06x10-4 m 3 2 ( 2258x10 )(974.08) (9.81) Por la Ec. (13.34) 974.08 x ( 2.06 x10 4 ) 2 x9.81 =0.38 m/s y por lo tanto, 3(3.546 x10 4 )
Re
(2.06 x10 4 ) x 0.38 x974 = 216 (laminar) 3.546 x10 4
Por la Ec. (13.39): 1/ 4 (0.668) 3 (974) 2 (9.81)(2258 x10 3 ) 2 h 0.943 =4,323 W/m K 4 (100 60)(3.546 x10 ) x1.0 q=4323x40=173,292 W/m2; c=172292/(2258x103)=0.077 kg/sm2 Condensación en película sobre tubos horizontales A partir de las ecuaciones obtenidas por Nusselt para placa vertical se han obtenido otras aplicables a distintas formas, tales como el exterior de un tubo horizontal. El resultado para este caso es ( 7): D 3 v l 2 g Nu D 0.725 l k l (Tsat Ts )
1/ 4
(13.42)
Las propiedades corresponden a la temperatura de película T f. Normalmente el flujo de condensado en el exterior de un tubo horizontal es laminar si se trata de un tubo aislado o un banco inclinado de ellos (Fig. 13.7). En bancos verticales la acumulación de condensado de un tubo al siguiente podrá llegar a producir flujo turbulento. Una ecuación recomendada para flujo laminar en banco vertical es la siguiente:
13-26
2 D 3 v l g Nu D 0.725 N v l k l (Tsat Ts )
1/ 4
(13.43a) o sea, 1/ 4
3 2 k l l g ho 0.725 (13.43b) N D ( T T ) sat s v l Nv es el número de tubos del banco vertical. En la Fig. 13.7 se observa la ventaja de que el banco esté inclinado. La diferencia radica básicamente en el hecho de que, en el caso de un solo tubo o de un banco inclinado, el espesor de la película de condensado es nula en la parte superior de cada tubo. En cambio en el caso del banco vertical esta ventaja sólo se da en el tubo superior.
Puede también compararse la efectividad de un tubo horizontal con respecto a otro vertical en cuanto a transferencia de calor. Dividiendo las ecs(13.43b)/(13.39) se llega a: hhor . L 0.769 hver . D
1/ 4
(13.44)
Si L/D=2.85, hhor=hver. Normalmente L/D>50 y en consecuencia h hor>2.0 hver. Ejemplo 13.10. Vapor de agua saturado a 47,390 Pa (abs), proveniente de un evaporador se pone en contacto con un condensador formado por 10 tubos de 19 mm (3/4") BWG 14 de 1 m de largo. Dentro de los tubos circula agua fría de manera que su temperatura superficial es de 20ºC ¿Cuánto condensado se produce por hora a) si los tubos son horizontales arreglados en un banco vertical. b) si los tubos son horizontales en un banco inclinado. c) si los tubos están verticales ? Solución: Temperatura del vapor: 80ºC; T f=50ºC; las propiedades del condensado a 50ºC son: =988 kg/m3; =5.47x10-4 Pas; k=0.644 W/mK. La entalpía de vaporización a 80ºC es =2308.8 kJ/kg; 1/ 4 (988) 2 x9.81(2308.8 x1000) x (0.644) 3 2 h 0 . 725 a) =4,022 W/m K 4 10(5.47 x10 ) x0.019 x 60 4022 x 60(0.019 ) x10 x3600 c =224.6 kg/h 2308.8 x1000 b) h=4022x101/4=7152 W/m2K. c=224.6x7152/4022=399 kg/h c)
L D
1/ 4
1 0.019
1/ 4
2.69 ;
(0.769x2.69)=3,457.4 W/m2K c=399x3457.4/7152=192.9 kg/h
hver=hhor/(0.769x2.69)=7152/
13-27
(a)
(b)
Figura 13.7. Tubos en banco (a) vertical y (b) inclinado
Efecto de no condensables Si el vapor contiene no-condensables se forma una película aislante de estos gases, adyacente a la superficie de condensación, aumentando la resistencia de la película por un factor que depende de la concentración de no-condensables según se ve en la Fig. 13.8( 13) así como de la velocidad del vapor. Así, para el caso en que hubiera Y=0.5% de aire en el vapor quieto, el coeficiente de película h resultaría reducido al 60% del valor correspondiente a la ausencia de no-condensables. Por esto es práctica común eliminar por venteo los incondensables presentes en un condensador.
Figura 13.8. Efecto de no-condensables. Vapor quieto
Ejemplo 13.11. Un cambiador de calor de 1 m de largo está formado por dos tubos concéntricos horizontales de 1” y 2” diámetro nominal. En el interior fluye un solvente con temperatura de 38ºC y velocidad media de 1.5 m/s. En el espacio anular hay vapor de agua saturado a presión absoluta de 5.72 b (157ºC); contiene 0.4% de no-condensables. El tubo interior es de cobre 1”, 12 BWG. El exterior es cédula 40. ¿Cuál es la velocidad de producción de condensado?. Despréciese la resistencia del tubo interior y considérese que el cambiador está perfectamente aislado de manera que no hay pérdidas al exterior. Siendo importantes las resistencias de ambas películas considérese que la temperatura de pared en la media entre las extremas. Las propiedades del solvente a 38ºC son: =2.5x10-6 m2/s; k=0.173 W/mK; Pr=30.
13-28
Solución: Lado del solvente (Tubo interior) di=0.02 m 0.02 x1.5 12,000 (turbulento); por la Ec. (13.9b): 2.5 x10 6 Nu=0.012(120000.87-280)(30)0.4=152.4, de donde hi=1318.6 J/m2K Re
Lado del vapor (espacio anular). Es el caso de condensación sobre un tubo horizontal); do= 0.0254 m; Ts=(157+38)/2=97.59ºC. La temperatura de película de lado de vapor es Tf=(97+157)/2=127ºC. Las propiedades del condensado a 127ºC son: =0.22 cp ; =939 kg/m3; k=0.685 W/mK. =2.092x106 J/kg (a 157ºC) 1/ 4
939 2 x9.81x (2.092 x10 6 )(0.685) 3 ho 0.725 8,341 W/m2K 3 ( 0 . 22 x 10 ) x 0 . 0254 ( 157 97 . 6 ) De la Fig. 13.8 =0.7 y ho(corregido)=8341x0.7=5839 W/m2K.
Coeficiente global de transferencia Uo
1 1 0.0254 1 =881.5 J/m2K 1318.6 0.02 5839
Q=(x0.0254x1)x881.5(157-38)= 8370 W por metro de tubo Condensado producido: =8370/(2.092x106)=4x10-3 kg/s Nota: En rigor el cálculo debió ser iterativo. Teniendo los valores obtenidos de los coeficientes individuales, puede ser calculada la temperatura de la pared metálica y nuevamente el coeficiente ho y repetido el procedimiento. Paso controlante en transferencia de calor. De acuerdo con la Ec. (11.10) la velocidad de transferencia de calor es inversamente proporcional a la suma de las resistencias en serie que deben ser atravesadas por el calor. Cuando alguna de ellas es significativamente mayor que las otras, estas pueden ser despreciadas en el cálculo sin introducir un error significativo en el resultado; se dice entonces que el paso al cual corresponde esa resistencia es el paso controlante. El paso controlante aparece cuando todas las resistencias menos una son muy pequeñas; tales son los casos de películas de condensación y el de la pared metálica de un tubo. En los pasos no controlantes la caída de temperatura es prácticamente nula; esto último puede visualizarse en la Fig. 11.3. El concepto de paso controlante facilita y en muchas ocasiones hace posible el cálculo de la velocidad de un proceso. No siempre puede considerarse que existe un paso controlante. En el ejemplo siguiente se presenta la solución de casos en que existe paso controlante. Ejemplo 13.12. Un tubo de 10 m de largo conduce 0.2 kg/s de vapor saturado a 130ºC con 98% de calidad (v=2,174.2 kJ/kg). El tubo es estándar de 2". Está recubierto con 1.9 cm de un aislante con conductividad k=0.07 W/mK. El aire exterior
13-29
está quieto a 25ºC. Calcular la velocidad de producción de condensado y la temperatura exterior del aislante b) Si el tubo no tuviera aislante ¿Cuál sería la velocidad de pérdida de calor?. El aire está quieto a 25ºC. kacero=45 W/mK c) Considérese ahora que el tubo (provisto del aislante) está sometido a una corriente de aire de 8 m/s perpendicular al tubo. ¿Cuál es la velocidad de pérdida de calor?. Solución: Dentro del tubo se produce condensación mientras que en el exterior del aislante se da la convección libre. Según la Tabla 13.5 el valor medio de h o para convección libre al aire es h o=25 W/m2K. El valor mínimo de hi es del orden de 9,000. El diámetro exterior del tubo es D=0.06 m; el del aislante es D o=0.098 m. Aproximando con estos valores las resistencias de las películas y calculando la del aislante se tiene: Uo
1 1 1 0.098 0.098 0.098 1 = =2.6 W/m2K 4 ln 2.07 x10 0.343 0.04 9000 0.0525 2 x 0.07 0.06 25
Se observa que la resistencia de la película interna puede ser despreciada en el cálculo del coeficiente U. Además, la resistencia del aislante es independiente prácticamente de la temperatura. Por lo tanto U o-1= 0.343+1/ho=2.6 W/m2K. El calor perdido por metro de tubo es: Q=2.6(0.098)x105=84 W. To= 84/(25x0.098) =10.9ºC y To=35.9ºC. Estos valores de Q, T o constituyen una primera aproximación que puede ser mejorada en forma iterativa: Primera iteración: Tf=(36+25)/2=30.5ºC. A esta temperatura =2.2x10-5 m2/s, =1.598x10-5 m2/s; k=0.026 W/mK. Ra
9.81(1 / 303.7) x (0.098) 3 x10.9 9.416x105 ( 2.2 x10 5 )(1.598 x10 5 )
Nu=CRam. De la Tabla 13.4a C=0.53, m=¼. Nu=16.51; ho=16.51x0.026/0.098=4.38 W/m2K Uo
1 =1.75 W/m2K. Q=1.75(0.098)x105=56.58 W/m 0.343 1 / 4.38
To=56.58/(0.098x4.38)=42ºC; To=67ºC.
Segunda iteración: Tf=46ºC. k=0.028, =1.822x10-5; =2.6x10-5 (SI); Ra=2.566x106; Nu=21.21; ho=21.21x0.028/0.098=6.06 W/m2K; U=1/(0.343+1/6.06)= 1.968 W/m2K; Q=1.968(0.098)x105=63.63 W; To=63.63/(0.98x6)=34.1; To=59ºC. Tercera iteración:Tf=42ºC; los valores de las propiedades son prácticamente las mismas que para la segunda iteración por lo que puede considerarse que el proceso de cálculo ya convergió siendo los resultados finales: T o=59ºC, c=10x63.63/ (2174.2x103) =2.92x10-4 kg/s.
13-30
b) El valor del coeficiente U, tomando en cuenta todas las resistencias existentes y usando los valores aproximados de la tabla 13.5 es: U
1 1 1 0.06 0.06 0.06 1 0.04 4 ln 1.27 x10 8.9 x10 5 0.04 9000 0.0525 2 x 45 0.0525 25
kmol/m2K Es notorio que existe un paso controlante en la película externa (convección natural); por lo tanto, la temperatura exterior del tubo es aproximadamente 130ºC. Es necesario calcular el coeficiente ho. Tf=(130+25)/2=77.5ºC. Las propiedades del aire a esta temperatura son: =2.076x10-5 m2/s; =0.298x10-4 m2/s; k=0.03 W/mK; Pr=0.697; El valor calculado del rayleigh es Ra=1,027,544, y por la Tabla (13.4a) los valores de las constantes para la Ec. (13.25) son: C=0.53, m=0.25; se calcula así h o=8.43 W/m2K, y por lo tanto la pérdida de calor es Q=(10x0.06)x8.43x105=1,668.5 W c) Despreciando la resistencia del metal y la de la película de condensación, quedan la del aislante y la de la película exterior (convección forzada): U
1 0.343
1 ho
Siendo desconocida la temperatura exterior del aislante T o no puede calcularse la de película ni ho. El problema debe resolverse en forma iterativa. Primera iteración: Sea To=39ºC; Tf=32ºC; con los valores de la propiedades del aire a 32ºC se calcula Re=37,765; de la Tabla 13.2 se obtiene: C=0.193, n=0.618 y por la Ec. (13.18): Nu=115.3, ho=35.3 W/m2K. Con este último valor se calcula U
1 0.343
1 =2.69 W/m2K; el área exterior del aislante es: A=10(0.098)=3.079 m2. 35.3
Por lo tanto, la pérdida de calor es Q=2.69x3.079(130-25)=869 W Segunda iteración: Con los valores de Q, ho ya obtenidos se recalcula la temperatura exterior del aislante To; (To-25)=
869 =8ºC y por lo tanto 3.079 x35.3
To=25+8=33ºC, Tf=29ºC; ya que este valor no es muy diferente del que ya se tenía puede considerarse que el procedimiento de cálculo ya convergió : Q=869 W. Condensación dentro de un tubo horizontal Cuando un tubo está recubierto de aislante, es la resistencia de éste la que controla el fenómeno, y la resistencia de la película de condensación dentro del tubo es despreciable. Esto se hizo patente en el último ejemplo. Si se tratara, en cambio, del tubo interior de un cambiador de doble tubo, por ejemplo, o de otro caso similar en que el tubo careciera de aislante, entonces el coeficiente dentro del tubo cobraría importancia. Este puede ser un caso interesante en la industria por su relación con las
13-31
líneas de conducción de vapor y por su aplicación en refrigeración y aire acondicionado. El análisis teórico resulta demasiado complejo, por lo que las ecuaciones propuestas son empíricas. Cuando el vapor saturado entra al tubo de conducción se dan diversos regímenes que van desde el flujo de vapor con calidad 100% hasta el flujo de condensado con burbujas de vapor en el caso extremo, pasando por el régimen de condensación estratificada representada en la Fig. 13.9, que es la normal en tuberías de vapor. La condensación estratificada puede darse sin o con arrastre del condensado por el vapor. Cuando la velocidad del vapor no es muy alta (Re <35,000) el condensado formado fluye por las paredes por la sola acción de la gravedad sin que haya arrastre axial del mismo por parte del vapor. Este caso fue estudiado por Chato (en 3) aplicando la teoría de Nusselt a la parte de arriba de la pared del tubo y considerando que en la de abajo no hay transferencia de calor por el efecto aislante del condensado. De este trabajo se obtiene la siguiente ecuación muy semejante a la (13.39b):
2.F Figura 13.9. Condensación dentro de un tubo horizontal
( ) g k l 3 hi l l l (Tsat Ts ) D
1/ 4
(13.45)
Las propiedades corresponden a la temperatura de película. La ecuación es válida para Re<35,000 evaluado a la entrada al tubo. depende de la fracción del tubo ocupada por el condensado: =0.728g3/4, siendo:
g
1 1 (1 x) / x ( / l ) 2 / 3
(13.46)
x es la calidad del vapor. Si Re>35,000 el esfuerzo cortante afectará la superficie del condensado formando olas y la transferencia de calor a través del líquido del fondo no será ya despreciable. Para este caso una correlación aproximada es la de Akers, Deans, Crosser(14): Nu=
hD =0.026 Prl kl
Rem0.8
(13.47)
1/3
Rem es el reynolds de mezclado dado por la ecuación:
Re m
D Gl G l l
1/ 2
(13.48)
Esta correlación es 50% precisa si Re >20,000 y Rel>5000. Las velocidades másicas Gl , G se calculan como si cada fase ocupara todo el tubo. Debe decirse que el condensado producido en una
13-32
conducción de vapor es eliminado mediante trampas de manera que no hay gran acumulación dentro de la tubería. Ejemplo 13.13. En una tubería std. 52 mm (2") fluye vapor saturado a 130ºC. a) Si la velocidad es de 7 m/s y la calidad x=0.98, calcular el coeficiente de película. b) Si la velocidad es de 60 m/s, calcular hi a la entrada, cuando no se ha formado condensado y después de haberse condensado 15% del vapor inicial. Considerar que la calidad x=0.98 es constante. La temperatura de la pared es 110ºC Solución: a) Las propiedades del vapor a 120ºC son: =1.12 kg/m 3; =12.7x10-6 kg/ms. Las del condensado a la misma temperatura: l=943 kg/m 3; l=2.3x10-4 kg/ms; kl=0.685 W/mK. Prl=1.446. El calor latente a 130ºC es =2,174x103 J/kg
0.0525 x7 x1.12 32,384 ; g1; =0.728 12.71x10 6 1/ 4 943(943 1.12) x9.81(2174 x1000) x (0.685) 3 2 hi 0.728 =9,173 W/m K 4 2 . 3 x 10 ( 130 110 ) x 0 . 0525 Re=
b) Las propiedades del vapor a 130ºC son: =2.42x10-5 m2/s; k=0.0261; =1.495 kg/m 3, Pr=1.04. Del líquido: l'=0.935; kl=0.685 W/mK. G=60x1.495=89.7 kg/m 2K A la entrada al tubo: Re=0.0525x60/(2.42x10 -5)=130,165; Nu=0.023(130165)0.8(1.04)0.3= 287.4; hi=287.4x0.0261/0.0525=142.8 W/m 2K Una vez condensado 15% del vapor: Re m
0.5 943 =508,069 89.7 x 0.15 89.7 x 0.85 1.12 hi=1079x0.685/.0525=14,080 W/m 2K
0.0525 2.3 x10 4
Por la Ec. (13.47): Nu=1079;
Ebullición En ausencia de flujo Las magnitudes que intervienen en este fenómeno son más numerosas que en la condensación y el fenómeno mucho más complejo. Características de la superficie así como la tensión superficial del líquido, calor latente, presión y otras propiedades se vuelven importantes. Aunque se ha avanzado bastante en el conocimiento del mecanismo por medio de fotografías de alta velocidad, no hay ecuaciones generales que describan el proceso, ni correlaciones generales de los datos experimentales. Cuando en un recipiente sin agitación se va aumentando la temperatura de un elemento calefactor (alambre, tubo o placa) se dan sucesivamente una serie de regímenes de transferencia de calor. En la Fig. 13.10 la absisa corresponde a la diferencia de temperatura entre la superficie caliente y la ebullición del líquido. A esta diferencia Ts-Teb se llama "exceso de temperatura". Los regímenes sucesivos pueden describirse de la siguiente manera:
13-33
Régimen I. En esta etapa aún no hay ebullición: la transmisión se da por convección libre, aunque puede existir una cierta evaporación del líquido que está en contacto con la superficie caliente. El flujo de calor puede ser calculado con las correlaciones ya vistas para convección natural. Régimen II. Empiezan a formarse burbujas en puntos preferentes de la superficie caliente. Al principio dichas burbujas no llegan a la superficie del líquido pero después empiezan a alcanzarla transportando vapor hasta ella. Este fenómeno hace aumentar en forma no-lineal la densidad de flujo de calor en forma que depende del número de sitios activos en la superficie sólida y de la velocidad de formación de las burbujas en ellos. Régimen III. El fenómeno de formación de burbujas se hace más intenso con lo cual el flujo de calor por unidad de área aumenta. No obstante, las burbujas comienzan a producir un efecto negativo en la transferencia por aislar térmicamente la superficie caliente. La curva de densidad de flujo de calor llega a un máximo en el cual el exceso de temperatura tiene su valor crítico. Para el agua a la presión atmosférica (T s-Teb)crítico es aproximadamente de 30ºC y el valor correspondiente del coeficiente h del orden de 106 W/m2K. Régimen IV. Este régimen no es reproductible (presenta diversas modalidades). A medida que las burbujas se multiplican van aislando la superficie caliente hasta el extremo en que toda la transferencia se da a través de una película gaseosa. Se dice que la ebullición es pelicular a diferencia de los regímenes II, III en que es nucleada. El flujo de calor llega en este régimen a un mínimo; a este punto se llama de Leidenfrost. Régimen V: El valor del flujo de calor vuelve a aumentar porque la contribución de la radiación se hace importante. La velocidad de transferencia de calor es dada por la Ec. (10.3): q=(Ts4-Teb4) La“ebullición nucleada”, que corresponde a los regímenes II,III es la que presenta interés industrial. El fenómeno es complejo y escapa a la modelación teórica, lo que obliga a recurrir a correlaciones experimentales no muy precisas debido a que, aun trabajando con superficies cuidadosamente preparadas, es difícil obtener datos reproductibles. Debe decirse que las correlaciones en presencia de evaporación son aun menos precisas que para condensación. La primera de estas correlaciones propuesta fue la de Rohsenow (15): g ( l ) q l
0.5
cl (Ts Teb ) n C sf Prl
3
(13.49)
es la tensión superficial del liquido; c l el calor específico del líquido. La ecuación anterior es aplicable a superficies limpias y pulidas; predice el flujo de calor durante la ebullición nucleada. Las propiedades son tomadas a la temperatura de ebullición. Csf es una constante característica del par superficie-fluido. En la Tabla 13.6 pueden verse algunos valores de la misma. En cuanto al exponente "n" es igual a 1
13-34
para el agua y 1.7 para otros líquidos. Se ha observado que durante la ebullición nucleada la geometría del elemento calefactor no es relevante.
Figura 13.10. Curvas de ebullición típicas para un alambre, tubo o superficie horizontal dentro de un recipiente de agua a la presión atmosférica Tabla 13.6. Valores de C para la Ec. (13.49 ) Combinación Csf agua-cobre 0.013 agua-platino 0.013 agua-acero inoxidable 0.013 agua-bronce 0.006 tetracloruro de carbón-cobre 0.013 alcohol butírico-cobre 0.00305 n-pentano-cobre 0.0154 isopropanol-cobre 0.0025 (*) para superficies pulidas y limpias
Para calcular el flujo máximo puede usarse la ecuación:
qmáx=Ccr g 2 ( l )
1/ 4
(13.50)
En la Tabla 13.7 pueden verse algunos valores del coeficiente C cr para usar en la ecuación anterior. En la Tabla 13.8 hay algunos valores de la tensión superficial del agua. Tabla 13.7 Coeficiente para calcular el flujo máximo de calor ( 16) Geometría del calentador Ccr Longitud característica L Calentador plano horizontal grande 0.149 Lado o diámetro Calentador plano horizontal pequeño 18.9K1 Lado o diámetro Cilindro horizontal grande 0.12 Radio Cilindro horizontal pequeño 0.12L*-0.25 Radio K1=/g(l-)A; L*=Lg(l-)/0.5
Rango de L* L*>27 9<L*<20 L*>1.2 0.15<L*<1.2
Una observación práctica en relación con este comportamiento es que un calefactor eléctrico no debe ser empleado más allá del punto máximo pues al quedar aislado aumentará su temperatura, lo cual lo cual hará disminuir más aún la transferencia de calor, acabando por fundirse.
13-35
Ejemplo 13.14. En un recipiente de acero inoxidable pulido se hierve agua a presión de 1 atmósfera. El calentamiento se hace a través del fondo circular plano con diámetro de 0.3 m. La temperatura del metal es 115ºC. a) Cuánto vale h y la velocidad de evaporación. b) ¿Cuánto vale el flujo máximo de calor?. c) Calcular el valor de Tcrít. Solución: A 100ºC: l=957.9 kg/m3. =0.60; Prl=1.75; =2257 kJ/kg. l=0.282x10-3 Pas. cl=4217 J/kgK. =0.0589 Ne/m. De la Tabla 13.6 Csf=0.013; además n=1. Por la Ec. (13.49): a) 9.81(957.9 0.6) q (0.282 x10 3 )(2257 x10 3 ) 0.0589
1/ 2
4217(115 100) 3 0.013(2257 x10 x1.75
3
=475,146 W/m2. h=475146/15=31,676 W/m2K A=0.07 m2; c=475146x0.07/(2257x103)=0.0147 kg/s. 9.81(957.9 0.6) b) L*= 0.3 0.0589
(13.50):
0.5
119.8 ; de la Tabla 13.7, Ccr=0.149; por la Ec.
q máx 0.149 x 2257x10 3 0.0589x9.81(0.60) 2 (957.9 0.6)
1/ 4
x10-3=1263.3 kW/m2
c) De la Ec. (13.49) se obtiene Tmáx=20.8ºC, hmáx=1263.3/21=60.736 kW/m2K Ebullición con flujo Cabe considerar si el líquido se mueve afuera o dentro de un tubo. En ambos casos la presencia de convección forzada incrementa la transferencia de calor. En experimentos con agua se ha llegado, para el flujo externo, a flujos de calor de 35 MW/m2. El flujo dentro de ductos es mucho más complejo pues no existe superficie libre para el escape del vapor sino que las burbujas son arrastradas por el líquido. Las características de este flujo bifásico dependen de las proporciones de líquido y condensado, lo que hace más complicado el análisis del fenómeno. Tabla 13.8.
Tensión superficial del agua T, ºC 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
103, N/m 75.7 72.7 69.6 66.2 62.7 58.9 55.0 50.9 46.6 42.2 37.7
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Ejercicios (ver respuestas en el Apéndice D) 1. Calcular el coeficiente de transferencia de calor externo h o en un banco de tubos de cobre cuando se hace pasar agua horizontalmente a 75ºC a través del mismo. La superficie de los tubos está a 95ºC. El banco contiene 6 filas en un plano perpendicular a la dirección del flujo externo y 8 en el plano paralelo. La velocidad antes de entrar al banco es de 0.8 m/s. El diámetro de los tubos es 1” y están alineados en una arreglo triangular (S n=Sp) con paso de 1½”. 2. Una superficie cuadrada inclinada 30º con respecto a la vertical, de 0.5 m de lado a 60ºC se expone en su cara superior a vapor de agua saturado seco, quieto, a presión de 2 b(abs), conteniendo 0.5% de gases no condensables. Calcular la velocidad de producción de condensado. 3. Se quiere aislar el fondo de un recipiente que contiene salmuera. Para ello se piensa asentar el tanque sobre una tarima metálica formada con dos placas paralelas horizontales con espacio libre de 6 cm entre ellas. a) Calcular el calor que se transmitiría al tanque si el espacio entre las placas se llenara totalmente con agua. La temperatura superior es de 0ºC y la inferior de 40ºC. La superficie horizontal de la tarima y del fondo del tanque es de 0.36 m 2. b) Calcular las pérdidas si ahora hay aire en el espacio de la tarima. 4. Un tubo horizontal de 2" std. de 15 m de largo conduce vapor saturado a 120ºC y está recubierto con 1" de lana de vidrio. La temperatura exterior del aislante es de 72ºC y la ambiente de 25ºC. La velocidad media del aire es de 8 m/s. a) ¿Cuánto condensado se produce? b) ¿Cuál es la conductividad del aislante? Supóngase como aproximación que las resistencia de la película interior y del metal pueden ser despreciadas. 5. Un condensador consta de 5 tubos de 1" BWG 14 horizontales alineados verticalmente, de 1.2 metro de largo. Si la superficie exterior de los tubos es de 57ºC y el vapor que se condensa está a 1.2 kgf/cm 2 (manom.) ¿Cuál es la velocidad de transferencia de calor? 6. Un horno de forma cúbica de 1.4 m de lado está expuesto al aire en reposo a 25ºC. Sus caras externas están a 75ºC. ¿Cuánto calor pierde? 7.Cuanto calor ganan dos tubos horizontales de 0.05 m de diámetro exterior y 5 m de largo cuya superficie está a 15ºC si están en contactgo con vapor saturado a 1.2 kg f/cm 2 (manom). Considerar los siguientes casos: a) Uno de ellos está sobre el otro alineado verticalmente. b) Uno está al lado del otro. c) Forman un banco inclinado. 8. Dentro de un tubo de 1" std. de 100 m de largo pasa aceite a 40ºC con velocidad de 0.6 m/s. Sus propiedades son '=0.95, Pr=1870; k=0.12 W/mK. ¿Cuánto vale hi? =28 cp. R: hi=46.9 W/m 2K 9. Para calentar agua se hace pasar gases de combustión por un tubo sumergido en agua. El coeficiente de transferencia del lado de los gases es hi=275 W/m 2K. La temperatura media del agua es 60ºC y la de los gases 625ºC. El tubo tiene diámetro nominal de 63 mm (2.5”), cédula 40. Nota: observar que existe un paso controlante. R: q=133,270 W/m 2. Bibliografía: 1. Gnielinsky,V. "New Equations for Heat and Mass Transfer in Turbulent Pipe and Channel Flow", Int.Chem.Engng., Vol 16, pp359-308, 1976 2. McAdams,W.H. "Heat transmission ", 3th Ed. McGraw-Hill, New York,1954 3. Rohsenow, W., Harnett,J.,Young,C., Handbook of Heat Transfer. 3ª Ed. McGraw-Hill Book. New York. 1998. 4. Coulson,J.M., Richardson,J.F. Chemical Engineering, Vol.1, Pergamon Press, Oxford, 1977 5. Metzner,A.B.,Vaughn R.D.,Houghton,G.L. AIChE J., 3, 1957, 92 6. Chabra, R.P.,Richardson,J.F. Non-Newtonian Flow in the Process Industries".Butterworth-Heinemann. 1999 7. Chapman, A.J. "Heat Transfer"The Macmillan Co., 2 nd Ed. London, 1969 8. Holman,J.P. "Heat Transfer" 8th Ed. McGraw-Hill Inc, New York, 1997 9. Churchill, S.W.,Bernstein,M.J."Heat Transfer", 99,300(1977) "A Correlating Equation fot Forced Convection from Gases" 10. Squire, H.B.,Golstein,S., "Modern Developments in Fluid Mechanics", Oxford University Press, 1938 11. Shewen,E.,Hollands,G.,Raithby, G.,"Heat Transfer by natural Convection Across a vertical air cavity of large aspect ratio, J.Heat Transfer vol.118, pp993-995, 1996
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12. Bird,R.B.,Stewart,W.,Lightfoot,E.,Transport Phenomena. John Willey,New York,1960. 13. Valiente-Barderas A. "Problemas de Transferencia de Calor", Limusa-Noriega, México, 1994 14. Akers,W.W., Deans H.A., Crosser, O.K. Condensing Heat Transfer within horizontal tubes. Chem.Eng.Prog. Symp. Ser. Vol.55, no.29, p.171, 1958 15. Rohsenow,W.M. "A Method of Correlating Heat Transfer Data for Surface Boiling Liquids", Trans.ASME, vol 74, 969,1952 16. Çengel Y. Heat Transfer. A Practical Approach. McGraw-Hill, Boston, 1998 A c do,Do D, di Da Dn Ds G Gz hi,ho K ke n Nu Nux Ra Rea St t T Ti Tfi Tfo T Tf Ts T1,T2 natural), K V W x c
Notación área de calentamiento, m 2 calor específico, J/kgK diámetro exterior del tubo, m diámetro interior del tubo, m diámetro del agitador, m número de Dean, adimensional diámetro de la hélice del serpentín, m velocidad másica, kg/m 2s número de Graetz coeficientes de transferencia interior y exterior, W/m 2K coeficiente de consistencia, Nm -2sn conductividad efectiva (convección natural), W/mK índice comportamiento reológico, adimensional nusselt medio nusselt local número de Rayleigh reynolds de agitación número de Stanton tiempo, s temperatura del seno del fluido; temperatura de mezclado, K temperatura interior, K (Ti+T)/2, K (To+T)/2, K temperatura de la masa fluida (placa), temperatura media de mezclado (tubo), K temperatura media de película=(T+T s)/2, K temperatura de la superficie sólida. Temperatura de la pared del tubo, K temperatura de entrada y salida en tubo. Temperaturas de las paredes (convección volumen específico, m 3/kg ancho, m calidad del vapor. adimensional espesor pared metálica tubo. Separación entre las paredes (convección natural), m densidad, kg/m 3 tensión superficial, N/m flujo de condensado, kg/s
Subíndices a aislante, agitador b seno del fluido D calculado con el diámetro como longitud característica eb ebullición L calculado con el largo l líquido sat saturación x valor local vapor
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s f hor s ver
valor en la masa fluida pared, pared del tubo película horizontal superficie, serpentín vertical