ftigung mit den Eigenschaften und Sachverhalten des umgebenden physikalischen Raumes, wie der Gestalt von räumlichen
erschiedlichsten Gesichtspunkten eingeteilt und gegliedert. Die bekannteste Einteilung ist die Unterscheidung zwischen der
mente« von Euklid (rd. 300 v. Chr.) dargestellte »klassische Geometrie«. Aus Axiomen und Postulaten (»Forderungen«) wurden
on, v. a. bezüglich der Anordnung und Stetigkeit, wurden besonders durch M. Pasch, G. Peano und D. Hilbert geschlossen.
noch die Grundbegriffe (z. B. Punkt: »etwas, das keine Teile besitzt«) erklärt. Heute verzichtet man meist auf eine derartige werden als Grundbegriffe Punkte und Geraden und als Grundbeziehungen Inzidenz, Zwischenbeziehung und die Kongruenz
tetigkeitsaxiome sowie das Parallelenaxiom. Letzteres war für die Entwicklung der Geometrie seit Euklid von besonderer
geht und g nicht schneidet. Lange Zeit versuchte man, dieses Axiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten; als beweisbarer
n übrigen Axiomen unabhängig ist (N. Lobatschewski, J. B. Bolyai, C. F. Gauß). Das bedeutet, dass man neben der euklidischen
rallelenaxioms Gültigkeit hat. Als absolute Geometrie bezeichnet man eine Geometrie, in der weder das Parallelenaxiom noch
er synthetischen Geometrie, bei der als Grundlage Axiomensysteme verwendet werden, und der analytischen Geometrie, bei
trie kann man die Differenzialgeometrie und die Integralgeometrie ansehen, die durch Hinzunahme der Differenzial- und
der geometrische Gebilde betrachtet werden, die durch Gleichungen beliebig hohen Grades beschrieben werden. Weiterhin
ometrie) und Stereometrie (räumliche Geometrie). Zu diesen Gebieten gehören Beschreibung und Konstruktion geometrischer
ischen Figuren geschieht in der Trigonometrie und in der sphärischen Trigonometrie. Ein Bindeglied zwischen der Planimetrie
ichnet werden. In der Abbildungsgeometrie untersucht man Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich, wobei man
bildung sind. Größen, die Invarianten bei Kongruenzabbildungen (Bewegung) sind, untersucht man in der Kongruenzgeometrie.
ntsprechend beschäftigt sich die Affingeometrie mit Invarianten bei affinen Abbildungen (Affinität). Die projektive Geometrie allen genannten Abbildungen gehen Geraden wieder in Geraden über, diese Abbildungen sind also geradentreu. Dies ist bei Eine topologische Invariante ist z. B. die Eigenschaft einer Kurve, geschlossen zu sein. Jede der genannten Abbildungsarten
nbegriffs eine Systematik der Geometrie (F. Klein, 1872) entwerfen. Geschichte: Darstellungen geometrischer Figuren und
ometrischen Beziehungen, wie sie bei Dreieck, Rechteck, Quadrat, den regelmäßigen Vielecken, der Spirale und dem Kreis
ngsaufgaben könnte der Anlass zu näheren Betrachtungen derartiger Figuren gewesen sein. Bereits in der babylonischen und
argeometrischer Figuren bekannt, die teils exakte, teils Näherungswerte lieferten. Sowohl den Babyloniern als auch den alten
aber nur an Zahlenbeispielen verifiziert. Eine abstrakt beweisende, wissenschaftliche Geometrie bauten erst die Griechen auf.
Bedeutung des Parallelenaxioms gab schon in der Antike Anlass zu Beweisversuchen. Sie wurden von den Arabern wieder
ndert die nichteuklidische Geometrie. – Über den Bereich der euklidischen, nur mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Geometrie
Dreiteilung des Winkels und der Quadratur des Kreises, deren Lösung die Mathematiker bis in die Neuzeit beschäftigte. In der
von Apollonios von Perge systematisch behandelten Kegelschnitte). Im Verlauf der Entwicklung der analytischen Geometrie endgültig beantwortet werden. Auch die Antwort auf die Frage, welche regelmäßigen ebenen Vielecke sich exakt mit Zirkel
en). Konstruktionen, die sich allein mit dem Zirkel ausführen lassen, hatte bereits 1672 G. Mohr untersucht. Im 17. Jahrhundert
allerdings erst im 19. Jahrhundert intensiv weiterbearbeitet wurde. Aus den im 17. Jahrhundert entstandenen Methoden der
ellte den gruppentheoretischen Gesichtspunkt in den Vordergrund (Erlanger Programm, 1872), kennzeichnete die einzelnen
hin lose nebeneinander stehenden Geometrien in einen geordneten Zusammenhang bringen. Das Problem der Axiomatisierung
agen der Geometrie« (1899,) übten einen maßgebenden, bis heute nachwirkenden Einfluss auf die Weiterentwicklung der
n algebraische Grundlage abstrakte, nicht kommutative oder nicht assoziative Körper sind. Dabei finden die algebraischen Christina Schmid, WS 09 / 10, Bachelorthesis, Schriftlicher Teil