Vom Punkt zur Kugel und zurück

Vom Punkt zur Kugel und zur端ck Komm mit auf eine Reise durch die Welt der Geometrie

Christina Schmid

Vom Punkt zur Kugel und zur端ck Komm mit auf eine Reise durch die Welt der Geometrie

Christina Schmid

Inhaltsverzeichnis Punkt Hallo! Ich bin der Punkt. Und wer bist du?

53

Die Dreiecks-Familie

54

Gleichschenklig-Rechtwinklige Dreiecke

56

Dreiecks-Figuren

59

10

Deine Dreiecks-Figuren

60

Rasterpunkte

12

Symmetrie-Raten

62

Dein Bild aus Punkten

14

Die Vierecks-Familie

64

Wenn ein Punkt spazieren geht ...

16

Unregelmäßige Vierecke und das

Mittelpunkt oder Versteck

8

Spiegelschiff aus Dreiecken

Linie

Parallelogramm

66

Pixel

68

... wird er zur Linie!

17

Dein Pixel-Bild

70

Launische Linien

18

Quadratzentimeter

72

Wettrennen der Linien

20

Fünf-, Sechs-, Acht- & Zwölfecke

74

Turnende Gerade

22

Mosaiktänze

92

Der rechte Winkel

24

Der Kreis

96

Das Geodreieck

26

Der Zirkel

98

Diagonale Rutschbahn

28

Deine Kreis-Muster

00

Einsame Parallelen

30

Die Welt ist rund

102

Wenn Flächen hintereinander stehen ...

104

Freche Linien

31

Schnelle oder träge Linien

32

Dein Bild aus Linien

34

Körper

Weiche Geraden

36

... werden sie zum Körper!

105

Band-Ornamente

38

Körpernetze

106

Deine Band-Ornamente

40

Der Würfel

108

44 Häuser

43

Würfelnetze

110

Wenn Linien nebeneinander liegen …

44

Würfelbauten

112

Deine Würfelbauten

114

Fläche

5 Regelmäßige Polyeder

116

... werden sie zur Fläche!

45

Kugeln kugeln

130

Spiel der Spiegelachsen

46

Von der Kugel zurück zum Punkt

132

Verschieben, Spiegeln, Drehen

48 Impressum

134

Gleichseitige Dreiecke

51

Vorne im Buchumschlag findest du 2 Spiegel und ein Geodreieck.

Zus채tzlich brauchst du noch ein paar Stifte, eine Schere, einen Klebestift und einen Zirkel.

In dieses Buch darfst du hineinmalen und sogar geometrische Formen aus dem Buch ausschneiden.

F체r die ausgeschnittenen Formen ist noch Platz im Buchumschlag.

Bist du bereit?

Dann los: Komm mit auf eine Reise durch die Welt der Geometrie!

7

8

Hallo! Ich bin der Punkt.

Und wer bist du?

Deine GrĂśĂ&#x;e?

Deine Lieblingsfarbe?

Deine Lieblingsform?

9

Punkte stehen gar nicht so gerne im Mittelpunkt wie immer alle denken.

10

Als einzelner Punkt falle ich auf.

zwischen vielen anderen Punkten kann ich mich verstecken.

11

Hee du! zur端ck an deinen Platz!

12

Die ordentlichen Punkte hier heiĂ&#x;en Rasterpunkte.

Sie verstecken sich auch in einem Zeitungsbild.

Schau doch mal nach!

Du musst ganz nah ran oder sogar eine Lupe verwenden.

Schnell weiter, bevor ich mich hier im Raster einreihen muss.

13

14

Hier ist Platz f端r dein Bild aus Punkten.

15

W e

nn

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P u n k t sp a

zieren geh

16

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… wird er zu r

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D as

mac

17

h tS

pa

ß!

ii . . .

18

Linien sind total launisch! In welcher Stimmung sind deine Linien?

ruhig aufgeregt stark freundlich wütend traurig glücklich ängstlich verträumt müde verliebt

19

Start

20

Du kannst den langsamen Linien helfen, doch noch ins Ziel zu kommen.

Ziel

Der Streber unter den Linien ist die Gerade.

Sie nimmt immer den direkten Weg und die k端rzeste Strecke zwischen zwei Punkten.

Wie schnell war ich?

Die Schnellste, wie immer!

21

22

Besuchen wir die Gerade mal bei ihren Turnübungen.

Diese Übung heißt horizontal.

Was machst du, Gerade?

Stell dir die Horizontlinie zwischen Meer und Himmel vor!

Wie auf einer Waage muss das Gewicht links und rechts gleich sein: dann ist man waagrecht.

So wie das Buch vor dir liegt ist es auch horizontal oder waagrecht.

heiĂ&#x;t senkrecht oder vertikal.

Ich muss das Gleichgewicht halten, um nicht umzufallen.

vertikal oder senkrecht vor dir.

TurnĂźbung

Wenn du das Buch drehst, liegt es

Diese

23

on

ag

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28

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e iĂ&#x; n G t D hn : D er i a i ei So e L de e L de i n Pr hi i n ini n s Ăź f lf t e n e i e n in en na d di a u l pa nd au vo r d f d f as em e r e n ra n pa G n ll e ni e. eb l z ra e o G e o en ue ll e d le rei dre e i in a e n na n Li c k i e c nd de k ni b er r. s e n ei m in d he Ze au r ic ch hn en par u n a ll d el .

un

D

du

ht le ec n . r na nk de go e er ia h s w D c zt au eu ne Ei nn kr h rc ka 29

30

Wer gehรถrt zusammen?

Jeweils zwei bilden ein Paar.

K an

h

ns

Ic td ir

m

m

nn

u

ka

Pa

r i m a ll e S u le ch n ic e n ht he fin lfe d e n? n.

ne

be

ei

Welche Linie ist l채nger?

Die Horizontale oder die Vertikale?

Sind die horizontalen Linien parallel?

31

Achtung! Freche Linien spielen unseren Augen einen Streich!

Wenn sich deine Augen nicht sicher sind, kannst du die Linien mit deinem Geodreieck pr체fen.

oder vertikal / senkrecht

. en eg R ke r ar st er od ak et e R

horizontal / waagrecht

ne

je nachdem ob sie

ei

Linien wirken verschieden,

ie

Bilder malen!

großen Häusern.

können Linien auch:

stabil wie Säulen bei

Was wir Punkte können,

Vertikale Linien wirken

32

ie

w

oder diagonal durch das

D

ia

go

na

le

Li

ni

en

si

nd

vo l

le

rE

ne

rg

Bild laufen.

Senkrechte Linien zeigen,

dass etwas schnell nach unten f채llt.

Horizontale Linien wirken ruhig, wie beim Horizont am Meer.

33

Waagrechte Linien zeigen wie jemand schnell durch das Bild rennt.

34

Hier kannst du ein Bild malen.

Aber nur mit Linien!

35

36

Auch Geraden werden manchmal weich: nach 10 Minuten in kochendem Wasser.

37

Noch ein Spiel zwischen Punkt und Linie: Kennst – du – das – Haus – vom – Ni – ko – laus?

5 4

3

Kannst du die Punkte mit 8 Linien zu einem Haus verbinden, ohne deinen

42

Start 1

2

Ende

Eine schlaue Verbindungslinie hat entdeckt, dass es 44 verschiedene Wege gibt.

Mit Hilfe der Zahlen kannst du sie alle ausprobieren!

Stift abzusetzen?

142134532

143124532

145312342

145342312

123143542

123543142

124531432 132453412

134235412 135421432

142135432 143213542

145312432

123145342

124134532

124534132

134123542

134532142

135423412

142345312

143245312

145321342

123413542

124135432

132143542

134124532

134532412

135432142

142354312

143542132

145324312

123453142

124314532

132145342

134214532

135412342

135432412

143123542

143542312

145342132

123541342

124354132

132435412

135412432

43

Punkte werden zur Linie.

44

Und Linien werden zur ...

Fl채che!

Punkte und Linien haben sich zusammengetan und sind zu Ecken und Seiten

Höhe

Seite

Ec ke

einer Fläche geworden.

Willkommen bei den Flächen!

Breite

Mit deinem Stift kannst du das Quadrat kitzeln und gleichzeitig seine Fläche flächig anmalen.

45

46

Quadrat, Dreieck und Kreis haben sich zum SymmetrieSpiel getroffen.

Wenn du deinen Spiegel mitbringst, kannst du mitspiegeln. Wer die meisten Spiegelachsen hat, gewinnt!

Wer gewinnt?

Hast du auch Spiegelachsen?

Spielregel: Wenn etwas spiegelsymmetrisch ist, kannst du es an der Spiegelachse in zwei gleiche Hälften teilen.

47

Du hast nur eine Spiegelachse.

3. Platz: Dreieck, 3 Spiegelachsen 2. Platz: Quadrat, 4 Spiegelachsen 1. Platz: Kreis, unendlich viele Spiegelachsen

LĂśsung im Spiegel:

Alle Vierecke haben ihre

Den Liebling der Vierecks-

viereckigen Eigenheiten.

Familie kennst du schon: Das Quadrat. Wie heiĂ&#x;en die anderen?

64

Gleichschenkliges Trapez

Drachen

Parallelogramm

Rechteck

Raute

Quadrat

LĂśsung im Spiegel

Ecken

Seiten

Rechte Winkel

65

Parallele Seiten

Gleichlange Seiten

Die Vierecke streiten sich

Das Quadrat gewinnt!

mal wieder darĂźber, wer

Parallelogr. 4 4 0 4 2

von ihnen die meisten

Drachen

4 4 1

0 2

11

Ecken, Seiten, rechten

Trapez

4 4 0 2 2

12

Winkel, parallele und

Raute

4 4 0 4 4

16

gleich langen Seiten hat.

Rechteck

4 4 4 4 2

18

Quadrat

4 4 4 4 4

20

Wer gewinnt?

LĂśsung im Spiegel

14

Unregelmäßige Vierecke heißen so, weil sie Regeln nicht besonders mögen. Das Parallelogramm ärgert sie manchmal.

66

Viereck

Das kannst du mit jedem Viereck der Welt ausprobieren:

Mittelpunkte

Teile jede Seite in der Mitte und markieren die Stelle mit einem Punkt.

Das ergibt 4 Mittelpunkte.

Verbinde alle markierten Mittelpunkte mit 4 Linien.

Du bekommst immer ein Parallelogramm!

Also doch eine Regel.

67

Wie Punkte verstecken sich auch Quadrate gerne.

Schau dir ein Bild am Computer aus der Nähe an: Das Bild ist aus vielen kleinen Quadraten zusammengesetzt. Diese Quadrate heißen Pixel.

Vergrößert sieht ein Pixelbild so aus.

69

70

Hier ist Platz f端r dein Pixel-Bild.

71

Kennst du schon die

Was schätzt du:

Quadratzentimeter?

Wie viele Quadratzentimeter bedeckt deine Hand Hand?

Diese Quadrate sagen Flächen wie groß sie sind.

Ihre Abkürzung schreibt

cm 2

sich so: cm 2 Jetzt kannst du deine Hand auf das Papier legen und mit einem Stift umfahren.

Wie groß sind die Flächen

Wie viele Quadrat-

der 6 Formen?

zentimeter sind es? cm 2

72 A

B

D

C

E F

D = 8 cm 2

E = 1 cm 2

F = 2 cm 2

A = 1 cm 2

B = 2 cm 2

C = 4 cm 2

Lösung im Spiegel

73

Du kennst schon die gleichseitigen Dreiecke Quadrat

und Quadrate.

Auf den nächsten Seiten warten auch 74

noch gleichseitige Fünf-, Sechs-, Acht- und Zwölfecke darauf, von dir ausgeschnitten zu werden.

12

3

4

5

6

8

75

76

77

F端nfeck

78

79

Sechseck

82

Achteck

83

86

87

Zwรถlfeck

92

Wenn du alle Formen ausgeschnitten hast, kannst du sie miteinander spielen lassen. Manche verstehen sich sehr gut untereinander und manche wollen nichts miteinander zu tun haben.

93

Dieses Spiel heißt Mosaik: Formen müssen sich so aneinander legen, dass keine Zwischenräume entstehen.

94

Dreiecke, Quadrate und Sechsecke schaffen es alleine eine Fläche ganz ohne Zwischenräume zu bedecken.

Mit den ausgeschnittenen Legeplättchen kannst du viele geometrischen Experimente machen.

Fünf, Acht- und Zwölfecke

C

brauchen Hilfe von anderen Formen, um ihre Zwischenräume zu füllen.

B D

Wer kann in den Zwischenräumen aushelfen?

A

E

E Dreieck D — C Sechseck B — A Quadrat

Lösung im Spiegel

95

Kannst du auch Kreise zeichnen? Am besten geht das mit einem Zirkel.

Der Zirkel sucht sich einen Mittelpunkt und sticht sich fest. Rund um diesen Mittelpunkt zeichnet er einen Kreis.

Der Abstand zwischen den Schenkeln des Zirkels ist der Radius.

98

Halte den Abstand des Zirkels ein und stich in den Umkreis ein.

Der Radius passt genau 6 mal in den Umkreis, egal Seinen Namen hat der

wie klein oder groĂ&#x; dein

Zirkel vom lateinischen

Kreis ist. So kannst du

Wort circulus, das Kreis

verschiedene Kreismuster

bedeutet.

konstruieren.

3

4

1

5

6

2

7

99

100 H ie r k

s ann td

de

u

in e Krei

se kreise

s n la

se

n

!

101

Linie, Fl채che,

Ja!

habt ihr auch Lust auf mehr Tiefe?

Klar!

links 104

Dann nichts wie rein in die dritte Dimension!

oben

rechts

unten 105

hinten

Ti ef

Breite

Hรถhe

e

Kรถrper

vorne

Wenn man einen Körper

Aus welchem Netz lässt

auseinandernimmt,

sich welche Körper falten?

sieht man, aus welchen Seitenflächen er sich zusammensetzt. Das nennt man Körpernetz.

A

E

106

C D

B

A = Quader, B = Zylinder, C = Prisma, D = Kegel, E = Pyramide

Lösung im Spiegel

Kegel

Pyramide

107

Quader Zylinder

Prisma

Aus vielen kleinen

C

Würfeln kannst du noch größere Würfel bauen.

Aus wie vielen Würfeln sind die Würfel hier zusammengesetzt?

B

112 Wie viele Würfel fehlen hier noch zum großen Würfel?

A D1

D1 = 9, 10, 11, 12, 13, 14 oder 15 | D2 = 13 A=1|B=8|C=2

Lösungen im Spiegel

Dies ist der Bauplan f端r

Von der anderen Seite

das W端rfelbauwerk.

sieht das W端rfelbauwerk

D2

so aus. Wie viele W端rfel fehlen nun wirklich?

3

3

2

2

3

1

113 Hier kannst du einen eigenen Bauplan entwerfen und das Bauwerk zeichnen.

114

Hier ist Platz f端r deine Bauwerke!

115

Der Würfel ist ein Regelmäßiges Polyeder.

Ikosaeder 20 Dreiecke

116

Würfel 6 Quadrate

Es gibt 5 regelmäßige Polyeder.

Alle Flächen haben die gleiche Form, alle Ränder sind gleich lang

Welche 3 Körper sind

und alle Winkel sind

aus der gleichen Fläche

gleich groß.

zusammengesetzt?

Dodekaeder 12 FĂźnfecke

Oktaeder 8 Dreiecke 117

Tetraeder 4 Dreiecke

Ikosaeder, Oktaeder und Tetraeder

LĂśsung im Spiegel

Dies ist nur etwas für Geometrie-Spezialisten wie dich!

Bald sind wir am Ziel unserer Reise durch die Welt der Geometrie.

Nun steht dir noch eine besonders kniffelige Aufgabe bevor: 5 flache Körpernetze wollen in dreidimensionale Körper 118

verwandelt werden!

Du brauchst Schere, Kleber und geduldige Hände.

Vielleicht hilft dir jemand beim Zusammenkleben, wenn dir die Hände ausgehen.

Tipp: Am besten knickst du erst alle Faltlinien, bevor du mit dem Kleben beginnst.

Tetraeder

119

120

W端rfel

121

122

Oktaeder

123

124

Dodekaeder

125

126

Ikosaeder

127

128

Je mehr Ecken, Kanten und Flächen ein Körper hat, umso ähnlicher wird er einer …

… Kugel!

Doch nur die Kugel kommt als einziger dreidimensionaler Körper mit nur einer Fläche aus.

129

Kugeln kugeln.

Darum ist es schwierig, sie festzuhalten.

Besonders gut kugeln Bälle, Murmeln, ...

Fällt dir noch etwas ein?

130

Von ganz, ganz weit weg betrachtet ist auch die Kugel nur ein winzig kleiner Punkt.

Wie ich!

Jetzt kannst du wieder von vorne beginnen, mit deiner Reise durch die Welt der Geometrie!

131

132

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