Vom Punkt zur Kugel und zur端ck Komm mit auf eine Reise durch die Welt der Geometrie
Christina Schmid
Vom Punkt zur Kugel und zur端ck Komm mit auf eine Reise durch die Welt der Geometrie
Christina Schmid
Inhaltsverzeichnis Punkt Hallo! Ich bin der Punkt. Und wer bist du?
53
Die Dreiecks-Familie
54
Gleichschenklig-Rechtwinklige Dreiecke
56
Dreiecks-Figuren
59
10
Deine Dreiecks-Figuren
60
Rasterpunkte
12
Symmetrie-Raten
62
Dein Bild aus Punkten
14
Die Vierecks-Familie
64
Wenn ein Punkt spazieren geht ...
16
Unregelmäßige Vierecke und das
Mittelpunkt oder Versteck
8
Spiegelschiff aus Dreiecken
Linie
Parallelogramm
66
Pixel
68
... wird er zur Linie!
17
Dein Pixel-Bild
70
Launische Linien
18
Quadratzentimeter
72
Wettrennen der Linien
20
Fünf-, Sechs-, Acht- & Zwölfecke
74
Turnende Gerade
22
Mosaiktänze
92
Der rechte Winkel
24
Der Kreis
96
Das Geodreieck
26
Der Zirkel
98
Diagonale Rutschbahn
28
Deine Kreis-Muster
00
Einsame Parallelen
30
Die Welt ist rund
102
Wenn Flächen hintereinander stehen ...
104
Freche Linien
31
Schnelle oder träge Linien
32
Dein Bild aus Linien
34
Körper
Weiche Geraden
36
... werden sie zum Körper!
105
Band-Ornamente
38
Körpernetze
106
Deine Band-Ornamente
40
Der Würfel
108
44 Häuser
43
Würfelnetze
110
Wenn Linien nebeneinander liegen …
44
Würfelbauten
112
Deine Würfelbauten
114
Fläche
5 Regelmäßige Polyeder
116
... werden sie zur Fläche!
45
Kugeln kugeln
130
Spiel der Spiegelachsen
46
Von der Kugel zurück zum Punkt
132
Verschieben, Spiegeln, Drehen
48 Impressum
134
Gleichseitige Dreiecke
51
Vorne im Buchumschlag findest du 2 Spiegel und ein Geodreieck. Zus채tzlich brauchst du noch ein paar Stifte, eine Schere, einen Klebestift und einen Zirkel.
In dieses Buch darfst du hineinmalen und sogar geometrische Formen aus dem Buch ausschneiden. F체r die ausgeschnittenen Formen ist noch Platz im Buchumschlag.
Bist du bereit? Dann los: Komm mit auf eine Reise durch die Welt der Geometrie!
7
8
Hallo! Ich bin der Punkt.
Und wer bist du?
Deine GrĂśĂ&#x;e?
Deine Lieblingsfarbe?
Deine Lieblingsform?
9
Punkte stehen gar nicht so gerne im Mittelpunkt wie immer alle denken.
10
Als einzelner Punkt falle ich auf.
zwischen vielen anderen Punkten kann ich mich verstecken.
11
Hee du! zur端ck an deinen Platz!
12
Die ordentlichen Punkte hier heiĂ&#x;en Rasterpunkte. Sie verstecken sich auch in einem Zeitungsbild. Schau doch mal nach! Du musst ganz nah ran oder sogar eine Lupe verwenden.
Schnell weiter, bevor ich mich hier im Raster einreihen muss.
13
14
Hier ist Platz f端r dein Bild aus Punkten.
15
W e
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P u n k t sp a
zieren geh
16
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… wird er zu r
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hu i
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mac
17
h tS
pa
ß!
ii . . .
18
Linien sind total launisch! In welcher Stimmung sind deine Linien?
ruhig aufgeregt stark freundlich wütend traurig glücklich ängstlich verträumt müde verliebt
19
Start
20
Du kannst den langsamen Linien helfen, doch noch ins Ziel zu kommen.
Ziel
Der Streber unter den Linien ist die Gerade. Sie nimmt immer den direkten Weg und die k端rzeste Strecke zwischen zwei Punkten.
Wie schnell war ich? Die Schnellste, wie immer!
21
22
Besuchen wir die Gerade mal bei ihren Turnübungen.
Diese Übung heißt horizontal.
Was machst du, Gerade?
Stell dir die Horizontlinie zwischen Meer und Himmel vor! Wie auf einer Waage muss das Gewicht links und rechts gleich sein: dann ist man waagrecht.
So wie das Buch vor dir liegt ist es auch horizontal oder waagrecht.
heiĂ&#x;t senkrecht oder vertikal. Ich muss das Gleichgewicht halten, um nicht umzufallen.
vertikal oder senkrecht vor dir.
TurnĂźbung
Wenn du das Buch drehst, liegt es
Diese
23
on
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on ag
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un
D
du
ht le ec n . r na nk de go e er ia h s w D c zt au eu ne Ei nn kr h rc ka 29
30
Wer gehรถrt zusammen?
Jeweils zwei bilden ein Paar.
K an
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Ic td ir
m
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u
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Pa
r i m a ll e S u le ch n ic e n ht he fin lfe d e n? n.
ne
be
ei
Welche Linie ist l채nger? Die Horizontale oder die Vertikale?
Sind die horizontalen Linien parallel? 31
Achtung! Freche Linien spielen unseren Augen einen Streich! Wenn sich deine Augen nicht sicher sind, kannst du die Linien mit deinem Geodreieck pr체fen.
oder vertikal / senkrecht
. en eg R ke r ar st er od ak et e R
horizontal / waagrecht
ne
je nachdem ob sie
ei
Linien wirken verschieden,
ie
Bilder malen!
großen Häusern.
können Linien auch:
stabil wie Säulen bei
Was wir Punkte können,
Vertikale Linien wirken
32
ie
w
oder diagonal durch das
D
ia
go
na
le
Li
ni
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si
nd
vo l
le
rE
ne
rg
Bild laufen.
Senkrechte Linien zeigen,
dass etwas schnell nach unten f채llt.
Horizontale Linien wirken ruhig, wie beim Horizont am Meer.
33
Waagrechte Linien zeigen wie jemand schnell durch das Bild rennt.
34
Hier kannst du ein Bild malen.
Aber nur mit Linien!
35
36
Auch Geraden werden manchmal weich: nach 10 Minuten in kochendem Wasser.
37
Noch ein Spiel zwischen Punkt und Linie: Kennst – du – das – Haus – vom – Ni – ko – laus?
5 4
3
Kannst du die Punkte mit 8 Linien zu einem Haus verbinden, ohne deinen
42
Start 1
2
Ende
Eine schlaue Verbindungslinie hat entdeckt, dass es 44 verschiedene Wege gibt. Mit Hilfe der Zahlen kannst du sie alle ausprobieren!
Stift abzusetzen?
142134532
143124532
145312342
145342312
123143542
123543142
124531432 132453412
134235412 135421432
142135432 143213542
145312432
123145342
124134532
124534132
134123542
134532142
135423412
142345312
143245312
145321342
123413542
124135432
132143542
134124532
134532412
135432142
142354312
143542132
145324312
123453142
124314532
132145342
134214532
135412342
135432412
143123542
143542312
145342132
123541342
124354132
132435412
135412432
43
Punkte werden zur Linie.
44
Und Linien werden zur ...
Fl채che!
Punkte und Linien haben sich zusammengetan und sind zu Ecken und Seiten
Höhe
Seite
Ec ke
einer Fläche geworden.
Willkommen bei den Flächen!
Breite
Mit deinem Stift kannst du das Quadrat kitzeln und gleichzeitig seine Fläche flächig anmalen.
45
46
Quadrat, Dreieck und Kreis haben sich zum SymmetrieSpiel getroffen.
Wenn du deinen Spiegel mitbringst, kannst du mitspiegeln. Wer die meisten Spiegelachsen hat, gewinnt!
Wer gewinnt? Hast du auch Spiegelachsen? Spielregel: Wenn etwas spiegelsymmetrisch ist, kannst du es an der Spiegelachse in zwei gleiche Hälften teilen.
47
Du hast nur eine Spiegelachse. 3. Platz: Dreieck, 3 Spiegelachsen 2. Platz: Quadrat, 4 Spiegelachsen 1. Platz: Kreis, unendlich viele Spiegelachsen
LĂśsung im Spiegel:
Alle Vierecke haben ihre
Den Liebling der Vierecks-
viereckigen Eigenheiten.
Familie kennst du schon: Das Quadrat. Wie heiĂ&#x;en die anderen?
64
Gleichschenkliges Trapez
Drachen
Parallelogramm
Rechteck
Raute
Quadrat
LĂśsung im Spiegel
Ecken
Seiten
Rechte Winkel
65
Parallele Seiten
Gleichlange Seiten
Die Vierecke streiten sich
Das Quadrat gewinnt!
mal wieder darĂźber, wer
Parallelogr. 4 4 0 4 2
von ihnen die meisten
Drachen
4 4 1
0 2
11
Ecken, Seiten, rechten
Trapez
4 4 0 2 2
12
Winkel, parallele und
Raute
4 4 0 4 4
16
gleich langen Seiten hat.
Rechteck
4 4 4 4 2
18
Quadrat
4 4 4 4 4
20
Wer gewinnt? LĂśsung im Spiegel
14
Unregelmäßige Vierecke heißen so, weil sie Regeln nicht besonders mögen. Das Parallelogramm ärgert sie manchmal.
66
Viereck
Das kannst du mit jedem Viereck der Welt ausprobieren:
Mittelpunkte
Teile jede Seite in der Mitte und markieren die Stelle mit einem Punkt. Das ergibt 4 Mittelpunkte.
Verbinde alle markierten Mittelpunkte mit 4 Linien.
Du bekommst immer ein Parallelogramm! Also doch eine Regel.
67
Wie Punkte verstecken sich auch Quadrate gerne.
Schau dir ein Bild am Computer aus der Nähe an: Das Bild ist aus vielen kleinen Quadraten zusammengesetzt. Diese Quadrate heißen Pixel.
Vergrößert sieht ein Pixelbild so aus.
69
70
Hier ist Platz f端r dein Pixel-Bild.
71
Kennst du schon die
Was schätzt du:
Quadratzentimeter?
Wie viele Quadratzentimeter bedeckt deine Hand Hand?
Diese Quadrate sagen Flächen wie groß sie sind. Ihre Abkürzung schreibt
cm 2
sich so: cm 2 Jetzt kannst du deine Hand auf das Papier legen und mit einem Stift umfahren. Wie groß sind die Flächen
Wie viele Quadrat-
der 6 Formen?
zentimeter sind es? cm 2
72 A
B
D
C
E F
D = 8 cm 2
E = 1 cm 2
F = 2 cm 2
A = 1 cm 2
B = 2 cm 2
C = 4 cm 2
Lösung im Spiegel
73
Du kennst schon die gleichseitigen Dreiecke Quadrat
und Quadrate.
Auf den nächsten Seiten warten auch 74
noch gleichseitige Fünf-, Sechs-, Acht- und Zwölfecke darauf, von dir ausgeschnitten zu werden.
12
3
4
5
6
8
75
76
77
F端nfeck
78
79
Sechseck
82
Achteck
83
86
87
Zwรถlfeck
92
Wenn du alle Formen ausgeschnitten hast, kannst du sie miteinander spielen lassen. Manche verstehen sich sehr gut untereinander und manche wollen nichts miteinander zu tun haben.
93
Dieses Spiel heißt Mosaik: Formen müssen sich so aneinander legen, dass keine Zwischenräume entstehen.
94
Dreiecke, Quadrate und Sechsecke schaffen es alleine eine Fläche ganz ohne Zwischenräume zu bedecken.
Mit den ausgeschnittenen Legeplättchen kannst du viele geometrischen Experimente machen.
Fünf, Acht- und Zwölfecke
C
brauchen Hilfe von anderen Formen, um ihre Zwischenräume zu füllen.
B D
Wer kann in den Zwischenräumen aushelfen? A
E
E Dreieck D — C Sechseck B — A Quadrat
Lösung im Spiegel
95
Kannst du auch Kreise zeichnen? Am besten geht das mit einem Zirkel. Der Zirkel sucht sich einen Mittelpunkt und sticht sich fest. Rund um diesen Mittelpunkt zeichnet er einen Kreis.
Der Abstand zwischen den Schenkeln des Zirkels ist der Radius.
98
Halte den Abstand des Zirkels ein und stich in den Umkreis ein. Der Radius passt genau 6 mal in den Umkreis, egal Seinen Namen hat der
wie klein oder groĂ&#x; dein
Zirkel vom lateinischen
Kreis ist. So kannst du
Wort circulus, das Kreis
verschiedene Kreismuster
bedeutet.
konstruieren.
3
4
1
5
6
2
7
99
100 H ie r k
s ann td
de
u
in e Krei
se kreise
s n la
se
n
!
101
Linie, Fl채che,
Ja!
habt ihr auch Lust auf mehr Tiefe?
Klar!
links 104
Dann nichts wie rein in die dritte Dimension!
oben
rechts
unten 105
hinten
Ti ef
Breite
Hรถhe
e
Kรถrper
vorne
Wenn man einen Körper
Aus welchem Netz lässt
auseinandernimmt,
sich welche Körper falten?
sieht man, aus welchen Seitenflächen er sich zusammensetzt. Das nennt man Körpernetz.
A
E
106
C D
B
A = Quader, B = Zylinder, C = Prisma, D = Kegel, E = Pyramide
Lösung im Spiegel
Kegel
Pyramide
107
Quader Zylinder
Prisma
Aus vielen kleinen
C
Würfeln kannst du noch größere Würfel bauen. Aus wie vielen Würfeln sind die Würfel hier zusammengesetzt?
B
112 Wie viele Würfel fehlen hier noch zum großen Würfel?
A D1
D1 = 9, 10, 11, 12, 13, 14 oder 15 | D2 = 13 A=1|B=8|C=2
Lösungen im Spiegel
Dies ist der Bauplan f端r
Von der anderen Seite
das W端rfelbauwerk.
sieht das W端rfelbauwerk
D2
so aus. Wie viele W端rfel fehlen nun wirklich? 3
3
2
2
3
1
113 Hier kannst du einen eigenen Bauplan entwerfen und das Bauwerk zeichnen.
114
Hier ist Platz f端r deine Bauwerke!
115
Der Würfel ist ein Regelmäßiges Polyeder.
Ikosaeder 20 Dreiecke
116
Würfel 6 Quadrate
Es gibt 5 regelmäßige Polyeder. Alle Flächen haben die gleiche Form, alle Ränder sind gleich lang
Welche 3 Körper sind
und alle Winkel sind
aus der gleichen Fläche
gleich groß.
zusammengesetzt?
Dodekaeder 12 FĂźnfecke
Oktaeder 8 Dreiecke 117
Tetraeder 4 Dreiecke
Ikosaeder, Oktaeder und Tetraeder
LĂśsung im Spiegel
Dies ist nur etwas für Geometrie-Spezialisten wie dich!
Bald sind wir am Ziel unserer Reise durch die Welt der Geometrie. Nun steht dir noch eine besonders kniffelige Aufgabe bevor: 5 flache Körpernetze wollen in dreidimensionale Körper 118
verwandelt werden!
Du brauchst Schere, Kleber und geduldige Hände. Vielleicht hilft dir jemand beim Zusammenkleben, wenn dir die Hände ausgehen. Tipp: Am besten knickst du erst alle Faltlinien, bevor du mit dem Kleben beginnst.
Tetraeder
119
120
W端rfel
121
122
Oktaeder
123
124
Dodekaeder
125
126
Ikosaeder
127
128
Je mehr Ecken, Kanten und Flächen ein Körper hat, umso ähnlicher wird er einer …
… Kugel!
Doch nur die Kugel kommt als einziger dreidimensionaler Körper mit nur einer Fläche aus.
129
Kugeln kugeln. Darum ist es schwierig, sie festzuhalten. Besonders gut kugeln Bälle, Murmeln, ... Fällt dir noch etwas ein?
130
Von ganz, ganz weit weg betrachtet ist auch die Kugel nur ein winzig kleiner Punkt.
Wie ich!
Jetzt kannst du wieder von vorne beginnen, mit deiner Reise durch die Welt der Geometrie!
131
132
Unterst端tzt uns bei der Finanzierung dieses Buches: http://www.startnext.de/punkt-zur-kugel