Θεωρία Μαθηματικά Κατ Β Λυκειου

ΕΚΔΟΣΗ Μαθηματικά Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1η

2014 - 2015

B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Κατ. ΘΕΩΡΙΑ

http://www.christodoulou-n.eu/ http://christodouloufro.blogspot.gr

 Λεωφόρος Γεωργίου Παπανδρέου

Δρ Νικόλαος Στ. Χριστοδούλου Έξω Παναγίτσα, 34.100 Χαλκίδα Διδάκτωρ Μαθηματικών (Ανάμεσα Intersport & Mini Market Τερτίπης) Διευθυντής Σπουδών  2221 302 266 & 6939 588 769 Email: christodouloufro@gmail.com Skype: christodouloufro

Επιμέλεια: Δρ Χριστοδούλου Νικόλαος

www.christodoulou-n.eu 1

Μαθηματικά Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

® Πνευματικές Υποχρεώσεις: 2014 Φροντιστήρια Μ.Ε ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΥ Λεωφόρος Γεωργίου Παπανδρέου, Έξω Παναγίτσα, Χαλκίδα, ΤΚ 34100 2221303366 - 6939588769 Απαγορεύεται κάθε αντιγραφή μερική ή ολική και με οποιοδήποτε τρόπο, ηλεκτρονικό, μηχανικό ή χειρόγραφο, καθώς και για οποιοδήποτε σκοπό. Ο συγγραφέας δεν εγγυάται απόλυτα την ορθότητα των μαθηματικών τύπων του παρόντος και δεν είναι υπεύθυνος για οτιδήποτε προκύψει από τη χρήση τους    Σχόλια, προτάσεις, βελτιώσεις, υποδείξεις για σφάλματα γίνονται ευχαρίστως δεκτά στην διεύθυνση christodouloufro@gmail.com

Σημείωμα Συνέταξα αυτές τις σημειώσεις, προς χάριν των μαθητών μου, το σχολικό έτος 2013-2014. Θεώρησα τότε ότι θα ήταν καλό να έχουν, όσοι μαθητές ενδιαφέρονται, κάποια πληροφόρηση, συμβατή με το σχολικό βιβλίο αλλά λίγο πιο πέρα από αυτό Οι σημειώσεις αυτές δημοσιοποιούνται με την ίδια αρχική ελπίδα που γράφτηκαν: ότι θα βοηθήσουν κάποιους νέους παράλληλα με τα μαθήματα τους να κάνουν μία είσοδο σε αυτό το εξαίρετο ανθρώπινο διανοητικό δημιούργημα. Χαλκίδα 7 Οκτωβρίου 2014 Δρ Νικόλαος Στ. Χριστοδούλου Διδάκτωρ Μαθηματικών

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1: Διανύσματα ....................................................................................................................... 3 Κεφάλαιο 2: Η Ευθεία στο επίπεδο ..................................................................................................... 12 Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές ................................................................................................................ 16

Επιμέλεια: Δρ Χριστοδούλου Νικόλαος

www.christodoulou-n.eu 2

Μαθηματικά Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κεφάλαιο 1: Διανύσματα 1. Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ • •

→

Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο Α, ονομάζεται αρχή ή σημείο εφαρμογής, ενώ το δεύτερο Β ονομάζεται πέρας του διανύσματος. Μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα που η αρχή και το πέρας του συμπίπτουν.  Συμβολίζεται με 0 . →

•

Μέτρο ή μήκος του διανύσματος AB ονομάζεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος

•

ΑΒ, και συμβολίζεται με | AB | . Μοναδιαίο διάνυσμα ονομάζεται το διάνυσμα έχει μέτρο 1.

→

2. Να δώσετε τους ορισμούς: φορέας διανύσματος, παράλληλα διανύσματα, ομόρροπα- αντίρροπα διανύσματα, ίσα διανύσματα, αντίθετα διανύσματα, γωνία δύο διανυσμάτων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ • •

Φορέας διανύσματος ονομάζεται η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα ονομάζονται δύο ή περισσότερα μη μηδενικά →

→

διανύσματα AB και Γ∆ , που έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς. Για δύο παράλληλα διανύσματα →

→

→

AB και Γ∆ λέμε ότι έχουν ίδια διεύθυνση και γράφουμε

→

AB// Γ∆ .

•

→

→

Ομόρροπα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και Γ∆ όταν: α) όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως Α την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή Γ β) όταν έχουν τον ίδιο φορέα και μία από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ →

→

περιέχει την άλλη. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα AB και Γ∆ έχουν  →

Β

προς

Δ

Β

Δ

Γ

Α  →

την ίδια κατεύθυνση (ίδια διεύθυνση και ίδια φορά) και γράφουμε AB ↑↑ ΓΔ .

•

→

→

Β

Αντίρροπα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα AB και Γ∆ όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι Α →

→

τα διανύσματα AB και Γ∆ έχουν αντίθετη κατεύθυνση (ίδια  →

Δ

Γ Β

 →

διεύθυνση και αντίθετη φορά) και γράφουμε AB ↑↓ ΓΔ . Δ

Γ

Α

3. Να δώσετε τους ορισμούς: ίσα διανύσματα, αντίθετα διανύσματα, γωνία δύο διανυσμάτων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Επιμέλεια: Δρ Χριστοδούλου Νικόλαος

www.christodoulou-n.eu 3

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Ίσα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα.

•

→

→

→

→

o Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και Γ∆ είναι ίσα, γράφουμε AB = Γ∆ .  o Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με 0 . Αντίθετα ονομάζονται δύο διανύσματα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα.

•

→

→

o Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και Γ∆ είναι αντίθετα,  →

Β

 →

γράφουμε ΒΑ = − ΑΒ

→



β



Γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β .

•

θ

→

Ο



Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA= α και →

Α →



OB = β .

a

∧

Την κυρτή γωνία AOB , που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία ∧ 





 ∧

των διανυσμάτων α και β και τη συμβολίζουμε με (α, β) ή (β, α) ∧ 

Για την γωνία θ = (α, β) ισχύει 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 . Ειδικότερα: 



• θ =0 , αν α ↑ ↑ β . 



• θ = π , αν α ↑ ↓ β .     π • θ = , αν τα α και β είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε α ⊥ β 2

 

• Αν ένα από τα διανύσματα α , β είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία των 



α και β μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία θ με 0 ≤ θ ≤ π . 











4. Αν α , β είναι δύο διανύσματα, τότε να αποδείξετε ότι: α + β = β + α και       ( α + β )+ γ = α +( β + γ ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ →   → → • Από το διπλανό σχήμα έχουμε: α + β = OA+ AM = OM και   → → → Β → β + α = OB+ BM = OM . β Α     Επομένως, α + β = β + α . → →

→

a

→

→

β+ γ

→

• Από το διπλανό σχήμα έχουμε:

Α →

a

→

a

→

→

β

Μ

→

a+β

→

Ο

γ

a+β

Ο

→

β

a →

β

Β

→ → → →    → → (α + β ) + γ = (OA+ AB) + BΓ = OB+ BΓ = OΓ και → → →    → → → α + ( β + γ ) = OA+ ( AB+ BΓ ) = OA+ AΓ = OΓ .       Επομένως, (α + β ) + γ = a + ( β + γ ) . →

→

→

a + β+ γ

Γ

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 4

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 



5. Τι ονομάζεται διαφορά του ενός διανύσματος β από ένα διάνυσμα α ΑΠΑΝΤΗΣΗ 







Διαφορά α − β του διανύσματος β από το διάνυσμα α ορίζεται ως άθροισμα των       διανυσμάτων α και − β . Δηλαδή α − β = α + ( − β ) 6. Να δώσετε τον ορισμό του πολλαπλασιασμού ενός πραγματικού αριθμού λ (λ≠0)  επί ένα μη μηδενικό διάνυσμα α . Ποιες ιδιότητες ισχύουν. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 

Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ ≠ 0 και α ένα μη μηδενικό διάνυσμα. 





Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το α και το συμβολίζουμε με λ ⋅ α ή λα ένα διάνυσμα το οποίο: • είναι ομόρροπο του • είναι αντίρροπο του



α , αν λ > 0  α , αν λ < 0 και



• έχει μέτρο | λ | | α | . 







Αν είναι λ = 0 ή α = 0 , τότε ορίζουμε ως λ ⋅ α το μηδενικό διάνυσμα 0 . 















7. Αν α , β είναι δύο διανύσματα με β ≠ 0 , να αποδείξετε ότι αν α // β τότε α = λ ⋅ β ΑΠΟΔΕΙΞΗ 







Αφού τα διανύσματα α και β είναι παράλληλα και β ≠ 0 , τότε υπάρχει μοναδικός αριθμός      |α | λ τέτοιος ώστε α = λ ⋅ β . Πράγματι, αν θέσουμε κ =  , τότε | α |= κ | β | . Συνεπώς: |β|     • Αν α ↑↑ β , τότε α = κβ . 







• Αν α ↑↓ β , τότε α = − κβ . 



• Αν α = 0 ,





τότε α = 0 ⋅ β . 



Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει λ τέτοιος, ώστε α = λ ⋅ β . →

8. Δίνεται ένα διάνυσμα ΑΒ και Μ το μέσο του, να αποδείξετε ότι για ένα σημείο Ο →

→

ΟΑ + ΟΒ αναφοράς ισχύει: ΟΜ = .

2 →

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Α

→

Έστω το διάνυσμα AB και ένα σημείο αναφοράς Ο.

Μ

→

Για τη διανυσματική ακτίνα OM του μέσου Μ του τμήματος →

→

→

→

→

→

 →

 →

 →

ΑΒ έχουμε: OM = OA + AM και OM = OB + BM . →

→

Επομένως, 2 OM = OA + AM+ OB + BM = Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

Β Ο

www.christodoulou-n.eu 5

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

→

→

→

→

ΟΑ+ ΟΒ ΟΜ = 2

→

→

2 OM = OA + OB Άρα

→



9. Σε σύστημα αναφοράς xOy δίνεται το σημείο Α(x, y), αν ΟΑ = α . Να αποδείξετε ότι  το διάνυσμα α γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των x, y κατά μοναδικό τρόπο. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 

Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα του επιπέδου.  →



Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα OA = α . Αν A1 και A2 είναι οι προβολές του Α στους άξονες x ′x και y ′y αντιστοίχως, έχουμε:  →

 →

 →

OA = OA1 + OA 2

→

y

(1) →



a A

Α2

Αν x, y είναι οι συντεταγμένες του A , τότε ισχύει OA1 = xι και

→

   OA2 = yj . Επομένως η ισότητα (1) γράφεται α = x i + y j  Επομένως το διάνυσμα α είναι γραμμικός συνδυασμός   των i και j . 

→

a →

j Ο

→

A1

i

x

Μοναδικότητα 





Η έκφραση του α ως γραμμικού συνδυασμού των i και j είναι μοναδική.    Πράγματι, έστω ότι ισχύει και α = x ′i + y ′j .     Τότε θα έχουμε: xi + yj = x ′i + y ′j   ( x − x ′)i = ( y ′ − y ) j

y′ − y  j x − x′



Αν υποθέσουμε ότι x ≠ x ′ , δηλαδή ότι x − x ′ ≠ 0 , τότε θα ισχύει i = 







Η σχέση αυτή, όμως, δηλώνει ότι i / / j , που είναι άτοπο, αφού τα i και j δεν είναι συγγραμμικά. Επομένως x = x ′ , που συνεπάγεται ότι και y = y ′ .  Δηλαδή το διάνυσμα α γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των x, y κατά μοναδικό τρόπο. →



10. Σε σύστημα αναφοράς xOy δίνεται τα σημεία Α(x 1 ,y 2 ) και Β(x 2 ,y 2 ). Αν είναι ΟΑ = α 

→







και ΟΒ = β , να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων α + β και λ α είναι (x 1 +x 2 ,y1 +y 2 ) και (λx 1 , λx 2 ) αντίστοιχα. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 



Θεωρούμε τα διανύσματα α = ( x 1 , y1 ) και β = ( x 2 , y 2 ) , τότε έχουμε: 















• α + β = ( x1 i + y1 j ) + ( x 2 i + y 2 j ) = ( x1 + x 2 ) i + ( y1 + y 2 ) j 









• λα = λ ( x 1 i + y 1 j ) = (λx 1 ) i + (λy 1 ) j Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 6

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 



Επομένως α + β = ( x 1 + x 2 , y1 + y 2 ) και Δηλαδή ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 )



λα = ( λx1 , λy1 ) και λ⋅ ( x 1 , y1 ) = (λx 1 , λy1 )

11. Σε σύστημα αναφοράς xOy δίνεται τα σημεία Α(x 1 ,y 2 ) και Β(x 2 ,y 2 ) και Μ το μέσο →





→

του ΑΒ. Αν είναι ΟΑ = α και ΟΒ = β , να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου →

Μ του διανύσματος ΑΒ είναι: x=

x1 + x 2 y + y2 και y= 1 2 2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α( x 1 , y1 ) και Β( x 2 , y 2 ) του είναι οι καρτεσιανού επιπέδου και Μ ( x , y) συντεταγμένες του μέσου του ΑΒ. →

1 → → ( OA + OB ) 2

1 [( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 )] 2 1 1 1 1 ⇔ ( x , y) = [( x 1 , y1 ) + ( x 2 , y 2 )] 2 2 2 2  x 1 + x 2 y1 + y 2   (x, y) = =  ,  2   2 x + x2 y + y2 Επομένως ισχύει x = 1 και y = 1 2 2 OM =

⇔

y

B(x2,y2) Μ(x,y)

( x , y) =

A(x1,y1) Ο

x

12. Να αποδείξετε ότι οι συντεταγμένες (x, y) ενός διανύσματος με άκρα τα σημεία Α(x 1 ,y 1 ) και Β(x 2 ,y 2 ) δίνονται από τις σχέσεις: x = x 2 – x 1 και y = y 2 – y1 . ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δύο σημεία Α ( x1 , y1 ) και Β ( x 2 , y 2 ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι ( x, y ) είναι οι

y B(x2,y2)

→

συντεταγμένες του διανύσματος AB . →

→

→

A(x1,y1)

Είναι: AB = ( x , y) , OB = ( x 2 , y 2 ) , και OA = ( x 1 , y 1 ) , Τότε έχουμε ισοδύναμα:  →

 →

 →

⇔ ( x , y) = ( x 2 , y 2 ) − ( x 1 , y 1 ) ⇔ ( x , y) = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) Άρα x = x 2 – x 1 και y = y 2 – y 1 .

AB = OB − OA

Ο

x





13. Έστω ένα διάνυσμα α = (x,y), να αποδείξετε ότι το μέτρο του είναι: α = x 2 + y 2 . ΑΠΟΔΕΙΞΗ →



Έστω OA = α = ( x, y ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου. Το σημείο Α έχει τετμημένη x και τεταγμένη y , και ισχύει (ΟΑ1 ) =| x | και (ΟΑ2 ) =| y | . Έτσι θα έχουμε:

y Α2

A(x,y) →

a Ο

A1

x

 | α | 2 = (ΟΑ1 ) 2 + ( Α1 Α) 2 = (ΟΑ1 ) 2 + (ΟΑ 2 ) 2 = | x | 2 + | y | 2 = x 2 + y 2

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 7

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 



Άρα | α | 2 = x 2 + y 2 ⇒ α = x 2 + y 2 14. Nα αποδείξετε ότι η απόσταση των σημείων Α(x 1 ,y 2 ) και Β(x 2 ,y 2 ) είναι (ΑΒ) = (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 ΑΠΟΔΕΙΞΗ y

B(x2,y2)

Θεωρούμε δύο σημεία Α( x 1 , y1 ) και Β( x 2 , y 2 ) του καρτεσιανού επιπέδου. Επειδή η απόσταση (ΑΒ ) των σημείων Α και Β είναι ίση →

A(x1,y1)

με το μέτρο του διανύσματος AB = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) , έχουμε:

Ο

→

( ΑΒ) =| AB |= ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

x



15. Έστω ένα διάνυσμα α = (x, y) Tι ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης του  διανύσματος α , με τι ισούται και τι ισχύει για τον συντελεστή διεύθυνσης στις περιπτώσεις που είναι α) x = 0 και β) y = 0. ΑΠΑΝΤΗΣΗ →



Έστω OA = α = ( x , y ) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και φ , η γωνία που σχηματίζει με τον  άξονα xx΄. Για τη γωνία φ , αν το α δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα y ′y , ισχύει: y εφφ = . x 

Συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α ονομάζεται το πηλίκο 

y της τεταγμένης x

προς την τετμημένη του α = ( x , y ) , με x ≠ 0 , Τον συντελεστή διεύθυνσης τον y συμβολίζουμε με λ και ισχύει: λ = = εφφ x ΣΧΟΛΙΑ — Αν y = 0 , δηλαδή αν λ = 0.

— Αν x = 0 , δηλαδή αν  διανύσματος α .





α // x′x , τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α είναι ο 

α // y′y , τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του 



16. Να αποδείξετε την ισοδυναμία α // β ⇔ λ 1 = λ 2 όπου λ 1 , λ 2 είναι οι συντελεστές   διεύθυνσης των διανυσμάτων α , β αντίστοιχα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 



Έστω δύο διανύσματα α = ( x 1 , y1 ) και β = ( x 2 , y 2 ) με συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ 2 αντιστοίχως. Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες: x   α // β ⇔ 1 x2

y1 y y = 0 ⇔ x1y 2 = x 2 y1 ⇔ 1 = 2 ⇔ λ1 = λ 2 . y2 x1 x 2

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 8

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 



17. Αν α , β είναι δύο διανύσματα τότε να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου των δύο αυτών διανυσμάτων. Ποιές συνέπειες προκύπτουν από τον ορισμό. ΑΠΑΝΤΗΣΗ •

Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών     διανυσμάτων α και β και το συμβολίζουμε με α ⋅ β τον     πραγματικό αριθμό α ⋅ β =| α | ⋅| β | ⋅συνφ , όπου φ η γωνία των 



διανυσμάτων α και β .

•



 





Αν α = 0 ή β = 0 , τότε ως εσωτερικό γινόμενο ορίζουμε α ⋅ β = 0 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

•

    α ⋅ β = β ⋅α   Αν α⊥β , ⇔   Αν α ↑↑ β , ⇔   Αν α ↑↓ β , ⇔

•

α 2 =| α | 2 ( Όπου α 2 το εσωτερικό γινόμενο α ⋅α που ονομάζεται: τετράγωνο του α .)

• • •





(Αντιμεταθετική ιδιότητα)  

α⋅ β =0  





α ⋅ β =| α | ⋅ | β |  





α ⋅ β = − | α |⋅| β | 



 







18. Για κάθε διάνυσμα α να αποδείξετε ότι | α |2 = α 2 ΑΠΟΔΕΙΞΗ 















Έχουμε: α 2 =| α | ⋅ | α | συν 0 = | α | ⋅ | α | ⋅1 = | α | ⋅ | α |= | α |2.

19. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους. Δηλαδή   α ⋅ β = x 1 x 2 + y1 y 2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 



Έστω τα διανύσματα α = ( x 1 , y1 ) και β = ( x 2 , y 2 )  →

Β(x2,y2)

y



Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA = α και  OB = β .

→

→

Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε: ∧

( ΑΒ) 2 = (ΟΑ) 2 + (ΟΒ) 2 − 2(ΟΑ)(ΟΒ)συν θ (1)

β

Α(x1,y1) θ Ο

→

a x

η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά. Όμως είναι ( ΑΒ) 2 = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 , (ΟΑ) 2 = x 12 + y12 και (ΟΒ) 2 = x 22 + y 22 .

Επομένως, από την (1) σχέση έχουμε διαδοχικά: Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 9

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης   ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = x 12 + y12 + x 22 + y 22 − 2α ⋅ β   x 12 + x 22 − 2 x 1 x 2 + y 12 + y 22 − 2 y 1 y 2 = x 12 + y 12 + x 22 + y 22 − 2α ⋅ β   − 2 x 1 x 2 − 2 y1 y 2 = −2α ⋅ β   α ⋅ β = x 1 x 2 + y1 y 2

20. Να αποδείξετε ότι:                i) λ α ⋅ β = α ⋅ (λβ) =λ( α ⋅ β ) ii) α ⋅ (β + γ ) = α ⋅ β + α ⋅ γ iii) α ⊥β ⇔ λ 1 ⋅ λ 2 = −1 ΑΠΟΔΕΙΞΗ 





Θεωρούμε τα διανύσματα α = ( x 1 , y1 ) , β = ( x 2 , y 2 ) και γ = ( x 3 , y 3 ) , τότε έχουμε: i)

    (λα ) ⋅ β = (λx1 , λy1 )( x 2 , y 2 ) = (λx1 ) x 2 + (λy1 ) y 2 = λ ( x1 x 2 + y1 y 2 ) = λ (α ⋅ β )     α ⋅ (λβ) = ( x 1 , y1 )(λx 2 , λy 2 ) = x 1 (λx 2 ) + y1 (λy 2 ) = λ ( x 1 x 2 + y1 y 2 ) = λ (α ⋅ β) . 







και

 

Άρα, (λα) ⋅ β = α ⋅ (λβ) = λ(α ⋅ β)

   α ⋅ (β + γ ) = ( x 1 , y1 )( x 2 + x 3 , y 2 + y 3 ) = x 1 ( x 2 + x 3 ) + y1 ( y 2 + y 3 ) = ( x 1 x 2 + x 1 x 3 ) + ( y1 y 2 + y1 y 3 ) = ( x 1 x 2 + y1 y 2 ) + ( x 1 x 3 + y1 y 3 )     = α ⋅β + α ⋅ γ     y y iii) α ⊥ β ⇔ α ⋅ β = 0 ⇔ x1x 2 + y1y 2 = 0 ⇔ y1y 2 = − x1x 2 ⇔ 1 2 = −1 ⇔ λ1λ 2 = −1 x1 x 2

ii)

 

21. Αν α , β είναι δύο διανύσματα και θ η γωνία των δύο αυτών διανυσμάτων, τότε να αποδείξετε ότι συνθ=

x 1 x 2 + y1 y 2 x + y 22 ⋅ x 22 + y 22 2 1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ 



Αν α = ( x 1 , y1 ) και β = ( x 2 , y 2 ) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε       α ⋅β α ⋅ β =|α | | β |συνθ ⇒ συνθ =   . | α |⋅| β |    Είναι όμως α ⋅ β = x 1 x 2 + y1 y 2 , | α |= x 12 + y12

Επομένως η παραπάνω σχέση γίνεται: συνθ =

και

 | β |= x 22 + y 22 .

x 1 x 2 + y1 y 2 x 12 + y 12 ⋅ x 22 + y 22

 



22. Αν α , v είναι δύο διανύσματα, τότε i) Τι ονομάζεται προβολή του διανύσματος v      στο διάνυσμα α ; ii) Να αποδείξετε την ισότητα α ⋅ v = α ⋅ προβ α v . ΟΡΙΣΜΟΣ     Έστω α, v δύο διανύσματα του επιπέδου με α ≠ 0 .  →



 →



Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA = α και OM = ν . →

Από το Μ φέρνουμε ΜΜ 1 κάθετο στη διεύθυνση του OA . Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 10

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

 →





Το διάνυσμα OM1 λέγεται προβολή του ν στο α και  συμβολίζεται με προβ α ν .  →

Δηλαδή, OM 1 =



προβ α ν

M →

v

.

θ

ΑΠΟΔΕΙΞΗ    → →  →  →  →  α ⋅ v = α ⋅ (OM 1 + M 1 M ) = α ⋅ OM 1 + α ⋅ M 1 M = α ⋅ OM 1 = α ⋅  προβ α ν

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

A

Ο

→

M1

a

www.christodoulou-n.eu 11

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Κεφάλαιο 2: Η Ευθεία στο επίπεδο 23. Πότε μια εξίσωση με δύο αγνώστους x, y ονομάζεται εξίσωση γραμμής . ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

24. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A( x 1 , y1 ) και B(x 2 , y 2 ) , με x 1 ≠ x 2 είναι λ =

y 2 − y1 . x 2 − x1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δύο τυχαία σημεία A(x 1 ,y 1 ) και B(x 2 ,y 2 ) μιας ευθείας (ε) που δεν είναι κάθετη στον άξονα xx΄.

ε

y

Tότε ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείας (ε) είναι ίσος με το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος →

AB = ( x 2 - x 1 , y 2 - y1 ) , δηλαδή λ = λ

Άρα λ =

→

AB

y -y = 2 1. x 2 - x1

B(x2,y2) Α(x1,y1) Ο

x

y 2 - y1 x 2 - x1

25. Να γραφτούν οι συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν ε1 ,ε 2 είναι δύο ευθείες με αντίστοιχους συντελεστές διεύθυνσης λ 1 ,λ 2 και τα   διανύσματα δ1 και δ 2 είναι παράλληλα προς τις ε1 και ε 2 αντιστοίχως, έχουμε τις ισοδυναμίες και

  ε 1 // ε 2 ⇔ δ 1 // δ 2 ⇔ λ 1 = λ 2

  ε1 ⊥ ε 2 ⇔ δ1 ⊥ δ2 ⇔ λ1λ 2 = −1 .

26. Σε σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνεται ευθεία (ε) με συντελεστή διεύθυνσης λ και ένα σημείο της Α(x o , y o ) . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι y - y o = λ(x - x o ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και A( x 0 , y 0 ) ένα σημείο του επιπέδου. Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 12

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Έστω ένα δεύτερο σημείο A( x 0 , y 0 ) της ευθείας ε

M ( x , y)

 →

Είναι AM = ( x − x0 , y − y0 ) και λ

→

AM

=

διαφορετικό του

ε

y

y − y0 x − x0

→

Ισχύουν οι ισοδυναμίες: AM // ε, ⇔ λ AM = λ ε ⇔

M(x,y) Α(x0,y0)

y − y0 =λ x − x0

Ο

⇔ y − y 0 = λ( x − x 0 ) .

x

Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται και από το σημείο A( x 0 , y 0 ) . Άρα η εξίσωση της ευθείας ε είναι: y – y o = λ(x – x o ) 27. Να αποδείξετε ότι ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A( x 1 , y1 ) και B( x 2 , y 2 ) έχει εξίσωση y − y1 =

y 2 − y1 (x − x 1 ) x 2 − x1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δύο τυχαία σημεία A(x 1 ,y 1 ) και B(x 2 ,y 2 ) της ευθείας (ε)

ε

y

B(x2,y2)

Αν x 1 ≠ x 2 , τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας

Α(x1,y1)

y − y1 είναι λ = 2 και επομένως η εξίσωση y − y 0 = λ( x − x 0 ) x 2 − x1 y − y1 γίνεται: y − y1 = 2 (x − x 1 ) x 2 − x1

Ο

x

28. Nα αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Αx+By+Γ=0 με Α≠0 ή Β≠0 και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής Αx+By+Γ=0 με Α≠0 ή Β≠0 παριστάνει ευθεία γραμμή. ΑΠΟΔΕΙΞΗ y • Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο. Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy ′ στο σημείο Σ(0, β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε θα έχει εξίσωση y = λx + β , η οποία γράφεται λx + (−1) y + β = 0 Σ(0,β) Αν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο P( x0 , y0 ) , τότε θα έχει y ε εξίσωση η οποία x = x0 , γράφεται ισοδύναμα x + 0 ⋅ y + (− x 0 ) = 0 .

P(x0,y 0 ) Ο x

Ο

x

ε

Επομένως και στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείας ε παίρνει τη μορφή Ax + By + Γ = 0 με A ≠ 0 ή B ≠ 0 .

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 13

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

•

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Αντίστροφα, έστω η εξίσωση Ax + By + Γ = 0

με

A≠0

ή

B ≠ 0.

A Γ x − , που είναι εξίσωση ευθείας με B B Γ A  συντελεστή διεύθυνσης λ = − και η οποία τέμνει τον άξονα yy′ στο σημείο  0,−  B B  Γ — Αν B = 0 , τότε, λόγω της υπόθεσης, είναι A ≠ 0 και η εξίσωση γράφεται x = − , που A  Γ  είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα x ′x στο σημείο του P − ,0 .  A 

— Αν B ≠ 0 , τότε η εξίσωση γράφεται y = −

Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση Ax + By + Γ = 0 με A ≠ 0 ή B ≠ 0 παριστάνει ευθεία. ΣΧΟΛΙΑ 1. Η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα y ′y στο σημείο A(0, β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι y − β = λ( x− 0) ⇔ y = λx + β .

2. Αν μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωσή της είναι y − 0 = λ ( x − 0) ⇔ y = λx ∧

∧

3. Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών x O y και y O x ′ έχουν εξισώσεις y = x και y = − x αντιστοίχως.

4. Αν μια ευθεία διέρχεται από το σημείο A( x 0 , y 0 ) και είναι παράλληλη στον άξονα x ′x , έχει εξίσωση y − y 0 = 0( x − x 0 ) ⇔ y = y 0 .

29. Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 είναι παράλληλη στο 

διάνυσμα δ = (B,−A) . ΑΠΟΔΕΙΞΗ 

Έστω ε μια ευθεία με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 και διάνυσμα δ = (B,−A) •

Αν B ≠ 0 , τότε η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = −

A A και το διάνυσμα λ δ = − . Επειδή B B

οι συντελεστές τους είναι ίσοι τότε η ευθεία είναι παράλληλη με το διάνυσμα.

•



Αν B = 0 , τότε η ε και το διάνυσμα δ είναι παράλληλα προς τον άξονα yy′ επομένως και μεταξύ τους παράλληλα.

30. Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση Αx + By + Γ = 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα  n = ( A, B ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ  



Είναι δ ⋅ n = ( B,− A) ⋅ ( A, B) = AB − AB = 0 . Επομένως το διάνυσμα δ = ( B,− A) είναι κάθετο στο   διάνυσμα n = ( A, B) . Επειδή το διάνυσμα δ είναι παράλληλο με την ευθεία Ax + By + Γ = 0 ,  η ευθεία αυτή θα είναι κάθετη στο διάνυσμα n = ( A, B) Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 14

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

31. Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 και M 0 (x 0 , y 0 ) ένα σημείο εκτός αυτής. Να γράψετε τον τύπου που προσδιορίζει την απόσταση d του σημείου Μ από την ευθεία ε. ΑΠΑΝΤΗΣΗ y ε

Μ0(x0,y0)

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 και M 0 ( x 0 , y 0 ) ένα σημείο εκτός αυτής. Η απόσταση του σημείου Μ ο από την ευθεία ε δίνεται από τον τύπο:

Ο

x

d ( M 0 , ε) =

| Ax0 + By0 + Γ |

A2 + B 2

32. Έστω Α(x 1 , y 1 ) , B(x 2 , y2 ) και Γ(x 3 , y3 ) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου. Να γράψετε τον τύπο που προσδιορίζει το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση των συντεταγμένων των κορυφών του. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ(x 3 ,y 3 )

B(x 2 ,y 2 )

Έστω A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) και Γ ( x3 , y3 ) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, τότε το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ προσδιορίζεται από την σχέση: → → 1 ( ABΓ ) = | det( AB, AΓ ) | 2

A(x 1 ,y 1 )

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 15

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Κεφάλαιο 3: Κωνικές Τομές 33. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x2+y2=ρ2. Ποιος κύκλος ονομάζεται μοναδιαίος; ΑΠΟΔΕΙΞΗ y Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(0,0) και ακτίνα ρ.

M(x,y) Το σημείο M ( x , y ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν ρ απέχει από το κέντρο του Ο απόσταση ίση με ρ, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: x Ο (0,0) (1) ( OM ) = ρ Όμως, (OM ) = x 2 + y 2 . Επομένως, η (1) γράφεται x2 + y2 = ρ ⇔ x2 + y2 = ρ2 .

C

(2)

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι οι συντεταγμένες των σημείων του κύκλου και μόνο αυτές επαληθεύουν την εξίσωση (2). Άρα, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x2 + y2 = ρ2. ΟΡΙΣΜΟΣ Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 1 έχει εξίσωση x 2 + y 2 = 1 και ονομάζεται μοναδιαίος κύκλος.

34. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου x2+y2 = ρ2 σε ένα σημείο του Α(x 1 ,y 1 ) , να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου σε αυτό το σημείο έχει εξίσωση xx 1 +yy 1 = ρ2. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου C : x 2 + y 2 = ρ 2 σε ένα σημείο του A( x1 , y1 ) . Έστω ένα δεύτερο σημείο M ( x , y ) →

y

M(x,y)

→

Είναι OA= ( x1 , y1 ) και AM = ( x− x1 , y − y1 )

ε

Α(x1,y1)

Ισχύουν οι ισοδυναμίες →

→

M ( x , y ) ∈ ε ⇔ ΟΑ⊥ΑΜ ⇔ OA⋅ AM = 0 ⇔

Ο

x

⇔ x1 ( x − x1 ) + y1 ( y − y1 ) = 0 ⇔ xx1 + yy1 = x12 + y12 ⇔ xx1 + yy1 = ρ 2 , αφού

x12 + y12 = ρ 2 .

Επομένως, η εφαπτομένη του κύκλου x 2 + y 2 = ρ 2 στο σημείο του A( x1 , y1 ) έχει εξίσωση xx 1 + yy1 = ρ 2

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 16

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Κ(x o , yo ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: (x – x o )2 + (y – y o )2 = ρ2 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο K ( x 0 , y 0 ) και ακτίνα ρ. Ένα σημείο M ( x , y) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν ισχύει : (KM ) = ρ

Κ(x0,y0)

(1)

ρ

Όμως, (KM) = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 .

M(x,y)

Ο

Επομένως, η σχέση (1) γράφεται: (x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = ρ ⇔

y

x

(x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = ρ 2

36. Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο K ( x 0 , y 0 ) και ακτίνα ρ, ο κύκλος αυτός έχει εξίσωση (x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = ρ 2

Κάνοντας πράξη στην παραπάνω εξίσωση του κύκλου έχουμε : x2 – 2xx o + x o 2 + y2 – 2yy o + y o 2 = ρ2 δηλαδή παίρνει τη μορφή Γ = x 02 + y 02 − ρ 2 .

⇔

x 2 + y 2 − 2 x 0 x − 2 y0 y + ( x 02 + y02 − ρ2 ) = 0

x 2 + y 2 + Ax + By + Γ = 0 όπου A = −2 x 0 , B = −2 y 0 και

37. Να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής: x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 με Α2 + Β2 - 4Γ > 0 παριστάνει κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κάθε εξίσωση της μορφής x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 (1) γράφεται διαδοχικά: x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 ⇔

( x 2 + Ax) + ( y 2 + By) = −Γ ⇔  2 A A2   2 B B2  A 2 B2 x + 2 x +  + y + 2 y +  = −Γ + ⇔ +  2 4   2 4  4 4  2

2

A B A 2 + B 2 − 4Γ   . x +  + y +  = 2 2 4  

Επομένως: •

Αν A 2 + B 2 − 4Γ > 0 , η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο K  − 

ρ=

A B ,−  και ακτίνα 2 2

A 2 + B 2 − 4Γ .

2

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 17

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

•

Αν A 2 + B 2 − 4Γ = 0 , η εξίσωση (1) παριστάνει ένα μόνο σημείο, το K  −

•

Αν A + B − 4Γ < 0 , η εξίσωση (1) είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία M ( x, y) των οποίων οι συντεταγμένες να την επαληθεύουν.



2

A B ,−  .

2 2

2

38. Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής και να γράψετε την εξίσωσή της. Ποια είναι η παράμετρος της παραβολής και τι παριστάνει. Ποιες είναι οι ιδιότητες της παραβολής. Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής σε ένα σημείο της Α(x 1 , y 1 ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ. Παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ. Β. Η εξίσωση της παραβολής C είναι: Αν η παραβολή έχει εστία E  ,0 και διευθετούσα δ : x = − p 2 

 

p 2

Αν η παραβολή έχει εστία E 0,  και διευθετούσα δ: y = −

p έχει εξίσωση y2 = 2px 2

p έχει εξίσωση x2 = 2py 2

Γ. Ο αριθμός p λέγεται παράμετρος της παραβολής και η | p | παριστάνει την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα. Δ. Ιδιότητες της παραβολής • Η γραφική παράσταση της παραβολής βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε.

• Σε μια παραβολή y2 = 2px ο άξονας x ′x είναι άξονας συμμετρίας της .

• Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής A 1 διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία A 1 E και η ημιευθεία A 1 t , που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής. (ανακλαστική ιδιότητα ) E. H εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής

y Α1(x1,y1)

t

O ε

σε ένα σημείο της Α(x 1 , y 1 ) είναι: •

p  E  ,0 

x η

2  C

αν η παραβολή έχει εξίσωση y = 2px yy1 = p( x + x1 ) 2

•

xx 1 = p( y + y1 ) αν η παραβολή έχει εξίσωση x 2 = 2py

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 18

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

39. Να δώσετε τον ορισμό της έλλειψης και να γράψετε την εξίσωσή της. Ποιες είναι οι ιδιότητες της έλλειψης . Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης σε ένα σημείο της Α(x 1 ,y 1 ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω E ′ και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Α. Έλλειψη με εστίες τα σημεία E ′ και Ε ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα E ′ και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του E ′E . Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε με 2α, δηλαδή Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν ( ME ′ ) + ( ME ) = 2α Β. Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E ′(−γ,0) , E(γ ,0) είναι x2 y 2 + =1, όπου β = α 2 − γ 2 α2 β2

Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E ′(0,− γ ) , E(0, γ ) είναι x2 y 2 + 2 =1, όπου β = α 2 − γ 2 2 β α

Γ. Έστω μια έλλειψη

C:

ιδότητες:

x2 y 2 + =1 , όπου α2 β2

β = α 2 − γ 2 , τότε αυτή έχει τις εξής

• Αν M1 ( x1 , y1 ) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε τα σημεία M 2 ( x1 ,− y1 ) , M 3 ( − x1 , y1 ) και M 4 ( − x1 ,− y1 ) ανήκουν στην C, αφού οι συντεταγμένες τους

επαληθεύουν την εξίσωσή της. Η έλλειψη C τέμνει τον άξονα x′x στα σημεία A′(−α,0) και A(α,0) , ενώ τον άξονα y ′y στα σημεία B′(0,− β ) και B(0, β ) . Τα σημεία A′, A, B′, B λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα A′A και B ′B , τα οποία έχουν μήκη ( A′A) = 2α και ( B′B) = 2 β , λέγονται μεγάλος άξονας και μικρός άξονας αντιστοίχως.

• Η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες x = −α , x = α και y = −β , y = β .

•

Δ. Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης σε ένα σημείο της Α(x 1 ,y 1 ) είναι xx1 yy1 + =1 α2 β2 yy1 α2

+

xx 1 β2

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

αν έχει εξίσωση

x 2 y2 + =1 α 2 β2

= 1 αν έχει εξίσωση

x 2 y2 + =1 β2 α 2

www.christodoulou-n.eu 19

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

40. Τι ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης

x2

+

α2

y2 β2

= 1 . Να αποδείξετε ότι για την

β = 1− ε 2 α ΑΠΑΝΤΗΣΗ

εκκεντρότητα ε της έλλειψης ισχύει η σχέση:

Εκκεντρότητα ε της έλλειψης

x2 y 2 γ + 2 =1 ονομάζουμε, το λόγο ε = <1 2 α α β

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή γ = α 2 − β 2 έχουμε: α 2 − β2 α2 − β2 γ β β β ⇔ ε2 = = 1 −   ⇔ ε 2 = 1 −   και άρα = 1− ε 2 . = 2 α α α α α α     2

ε=

2

41. Να δώσετε τον ορισμό της υπερβολής και να γράψετε την εξίσωσή της. Ποιες είναι οι ιδιότητες της υπερβολής . Να γραφτεί η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής σε ένα σημείο της Α(x 1 ,y 1 ) και οι εξισώσεις των ασύμπτωτων της ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω E ′ και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Α. υπερβολή με εστίες τα σημεία E ′ και Ε ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα E ′ και Ε είναι σταθερή και μικρότερη του ( E ′E ) . Την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σημείου της υπερβολής από τις εστίες την παριστάνουμε με 2α, ενώ την απόσταση των εστιών με 2γ. Η απόσταση E ′E ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής. Ένα σημείο Μ είναι σημείο της υπερβολής, αν και μόνο αν | ( ME ′) − ( ME ) |= 2α . Β. Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E ′(−γ,0) , E (γ,0) , είναι x2

−

y2

= 1,

όπου

β = γ2 − α 2

α β Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E ′(0,− γ ) , E(0, γ ) είναι 2

2

y 2 x2 − =1 , α2 β2

Γ. Έστω μια υπερβολή με εξίσωση

όπου

β = γ2 − α 2

x2 y 2 − =1 , όπου α2 β2

β = γ2 − α 2 , τότε αυτή έχει τις

εξής ιδιότητες: • Η υπερβολή έχει τους άξονες x ′x και y ′y άξονες συμμετρίας και την αρχή των αξόνων κέντρο συμμετρίας. Επομένως, η ευθεία που ενώνει τις εστίες E ′, E της υπερβολής και η μεσοκάθετη του E ′E είναι άξονες συμμετρίας της υπερβολής, ενώ το μέσο Ο του E ′E είναι κέντρο συμμετρίας της. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής.

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 20

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

• Η υπερβολή τέμνει τον άξονα x ′x στα σημεία A′(−α ,0) , και A(α ,0) . Τα σημεία αυτά λέγονται κορυφές της υπερβολής. και δεν τέμνει τον άξονα y′y .

• Τα σημεία της υπερβολής βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x = −α και x = α , πράγμα που σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους. ∧

• Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία E ′ME , όπου E ′, E οι εστίες της υπερβολής Δ. Η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής σε ένα σημείο της Α(x 1 ,y 1 ) είναι •

xx 1

•

yy1

α2 α2

−

yy1

−

xx 1

β2 β2

x2 y 2 − =1 α2 β2

= 1 αν έχει εξίσωση

y 2 x2 − =1 α2 β2

= 1 αν έχει εξίσωση

42. Να γραφτούν οι εξισώσεις των ασύμπτωτων της υπερβολής ΑΠΑΝΤΗΣΗ x 2 y2 − = 1 , τότε οι ασύμπτωτες της είναι ευθείες: α 2 β2 β β και y = x, y=− x . α α

• Αν η υπερβολή C έχει εξίσωση

y 2 x2 − =1 , τότε οι ασύμπτωτες της είναι ευθείες: α2 β2 α α και y= x y = − x. β β

• Αν η υπερβολή C έχει εξίσωση

43. Τι ονομάζεται ορθογώνιο βάσης μιας υπερβολής; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ορθογώνιο βάσης της υπερβολής ονομάζεται το ορθογώνιο ΚΛΜΝ με κορυφές τα σημεία K (α, β ) , Λ (α,− β ) , M (−α,− β ) και N (−α, β ) . y=−

β x a

β x a

Α

Ο Μ

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

y= Κ

Ν Α΄

y

x

Λ

www.christodoulou-n.eu 21

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

44. Τι ονομάζεται εκκεντρότητα υπερβολής;. Να αποδείξετε ότι για την εκκεντρότητα ε μιας υπερβολής ισχύει η σχέση

β = ε 2 −1 α

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Εκκεντρότητα ε της υπερβολής

γ x2 y 2 − 2 =1 , ονομάζεται ο λόγος ε = > 1 .

2 α α β ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή γ = α 2 + β 2 , για την εκκεντρότητα ε έχουμε: α 2 + β2 γ  β ⇒ ε 2 =1+   άρα = α α α 2

ε=

β = ε 2 −1 . α

45. Πότε μια υπερβολή ονομάζεται ισοσκελής; Να αποδείξετε ότι στην ισοσκελή υπερβολή η εκκεντρότητά της είναι ε = 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω η υπερβολή C με εξίσωση

x 2 y2 − = 1, α 2 β2

Ισοσκελής ονομάζεται η υπερβολή για την οποία ισχύει α = β και αυτή έχει εξίσωση x 2 y2 x 2 y2 2 ⇒ − 2 =1⇒ x 2 − y2 = a 1 − = 2 2 2 α β α α

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Στην ισοσκελή υπερβολή η εκκεντρότητα είναι ίση με ε=

γ α2 + α2 2α 2 α 2 = 2 = = = α α α α

Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου

www.christodoulou-n.eu 22