ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ι. Βασικές Σχέσεις Διανυσμάτων
ΙIΙ. Εσωτερικό Γινόμενο Έστω ( x1 , y1 ) και ( x2 , y2 )
Α) Ανάλυση Διανύσματος
Α) Τύποι Εσωτερικού Γινομένου
Β) Μέσο ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ
2
: .
Δ) Παραλληλόγραμμο Το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο
x1 x2 y1 y2
Α) Δίνονται τα σημεία ( x , y ) και ( x , y ) Το μέσον Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες:
x x y y , yM 2 2 x x , y y xM
x x 2 y y
,
,
a x y
x1 x2 y1 y2 2
x1 y1
2
2
x2 y2
2
, για
2
κάποιο 0 .
y Συντελεστής Διεύθυνσης: , αν x 0 . x Μέτρο:
// det , 0 // 1 2 (αν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης 1 , 2 )
( x, y )
2
ΙV. Παραλληλία Διανυσμάτων Έστω 0 , //
Β) Δίνεται το διάνυσμα
ΙΙ. Συντεταγμένες Διανυσμάτων
Γ) Ιδιότητα Προβολής
αν και μόνο αν .
,
Β) Τύποι Γωνίας
Γ) Συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ συνευθειακά, αν και μόνο αν υπάρχει
2
, για κάποιο
0.
V. Καθετότητα Διανυσμάτων 0
2. ΕΥΘΕΙΕΣ
Κλίση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία
y y x x Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το ( x0 , y0 ) και έχει κλίση λ: y y0 x x0 Εξίσωση κατακόρυφης ευθείας: x x0 ( x , y ) και ( x , y ) :
Παράλληλες ευθείες : 1 // 2 1 2 , Κάθετες ευθείες: 1 2 12 1 , (αν ορίζονται οι συντελεστές λ)
ǻȡ ȃȚțȩȜĮȠȢ ȋȡȚıIJȠįȠȪȜȠȣ ǻȚįȐțIJȦȡ ȂĮșȘȝĮIJȚțȫȞ
Γενική Εξίσωση ευθείας x y 0 , με 0 ή 0
Κάθετο διάνυσμα: ( , )
Παράλληλο διάνυσμα:
Απόσταση Σημείου ( x0 , y0 ) από την ευθεία: x y0 , d 0 , 0 2 2
Εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ: ( )
Απόσταση ευθειών: d 1 , 2
(, )
1 det , 2
1 2 1 2
ZZ FKULVWRGRXORX Q HX
3. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Ι. ΚΥΚΛΟΣ
ΙΙ. ΠΑΡΑΒΟΛΗ
Ορισμός: Ο Γ.Τ. των σημείων που ισαπέχουν από το κέντρο Ο.
Ορισμός: Ο Γ.Τ. των σημείων που ισαπέχουν από την εστία Ε και την διευθετούσα ευθεία δ.
Α) Εξίσωση Κύκλου
Α) ΜΟΡΦΗ y 2 px . 2
Με κέντρο το Ο: x y
Με κέντρο το ( x0 , y0 ) : x x0 2 ( y y0 ) 2 2
2
2
2
.
Β) Εξίσωση Εφαπτομένης του κύκλου με κέντρο το Ο
Σε σημείο ( x1 , y1 ) : xx1 yy1
2
Εστία:
Διευθετούσα: x
Εξίσωση εφαπτομένης στο x1 , y1 : yy1 p ( x x1 )
Γ) Γενική εξίσωση κύκλου
x 2 y 2 x y 0 , αν 2 2 4 0 . Κέντρο: , 2 2
Ακτίνα:
2 2 4 2
p ,0 2
p 2
Β) ΜΟΡΦΗ x 2 py . 2
p 0, 2
Εστία:
Διευθετούσα:
Εξίσωση εφαπτομένης στο x1 , y1 :
y
p 2
xx1 p ( y y1 )
ΙΙΙ. ΈΛΛΕΙΨΗ ( )
ΙV. ΥΠΕΡΒΟΛΗ
Ορισμός: Ο Γ.Τ. των σημείων που το άθροισμα των αποστάσεών τους από τις δύο εστίες είναι σταθερό.
Ορισμός: Ο Γ.Τ. των σημείων που η διαφορά των αποστάσεών τους από τις δύο εστίες είναι σταθερή.
Α) ΜΟΡΦΗ
x2
2
2
Β) ΜΟΡΦΗ
1.
( ,0) .
2
Εξίσωση εφαπτομένης στο x1 , y1 :
2
2
Σταθερό άθροισμα: 2α. Εστίες: ΄ ( ,0) και
xx1
y2
Α) ΜΟΡΦΗ
y2
2
yy1
2 x2
2
2
1.
2
Εξίσωση εφαπτομένης στο x1 , y1 :
xx1
2
yy1
2
Ασύμπτωτες:
1
y
x
και
y
x.
1.
΄ ( ,0) .
Εξίσωση εφαπτομένης στο x1 , y1 :
2
y2
2 2
2 2 xx1
2
Σταθερή διαφορά: 2α. Εστίες: ΄ ( ,0) και ( ,0) .
1
Σταθερό άθροισμα: 2α. Εστίες: ΄ (0, ) και
yy1
x2
1
Β) ΜΟΡΦΗ
y2
2
1.
2 2
Εξίσωση εφαπτομένης στο x1 , y1 :
ǻȡ ȃȚțȩȜĮȠȢ ȋȡȚıIJȠįȠȪȜȠȣ ǻȚįȐțIJȦȡ ȂĮșȘȝĮIJȚțȫȞ
2
Σταθερή διαφορά: 2α. Εστίες: ΄ (0, ) και ΄ ( ,0) .
yy1
x2
2
xx1
2
1
Ασύμπτωτες: y
x
και
y
x
ZZ FKULVWRGRXORX Q HX