Estadistica descriptiva Paula Florez

PAULA VALENTINA FLOREZ

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2018

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MATEMATICAS POLIGONOS, HISTOGRAMAS, MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA

PAULA VALENTINA FLOREZ

INSTITUTO TECNICO ALFONSO LOPEZ GRADO 7ยบ5 OCAร A 2018 MATEMATICAS POLIGONOS, HISTOGRAMAS, MEDIA , LA MEDIANA Y LA MODA

PAULA VALENTINA FLOREZ

CLAUDIA FUENTES Docente

INSTITUTO TECNICO ALFONSO LOPEZ GRADO 7º5 OCAÑA 2018

POLIGONOS Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras de un diagrama de barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

EJEMPLO: Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones: HORA TEMPERATURA 6 9 12 15

7 12 14 11

18 21 24

12 10 8

16 14 12 10 8 6 4 2 0 6

9

12

15

18

21

24

POLIGONOS DE FRECUENCIA PARA DATOS AGRUPADOS: Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo de un histograma.

[50, 60)

C¡ 55

F¡ 8

F¡ 8

[60, 70) [70, 80) [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)

65

10

18

75

16

34

85

14

48

95

10

58

11 0 11 5

5

63

2

65

65

EJEMPLO: El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50

60

70

80

90

100

110

POLIGONOS DE FRECUENCIAS ACUMULADOS: Las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtienen el histograma de frecuencia acumulada o su correspondencia polígono.

Columna3 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Columna3

50

60

70

80

90

100

110

120

ESTADISTICA-EJERCICIOS

1. Dada la distribución siguiente constrúyase una tabla estadística en la que aparezcan las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas y las frecuencias acumuladas relativas crecientes: X¡ N¡

1 2 3 4 5 6 7

1 5

2 7

3 9

4 6

5 7

6 6

Frecuencias Frecuencias Frecuencias absolutas relativas acumuladas 1 1/12. 0.083. 1 83% 1 1/12. 0.083. 2 83% 1 1/12. 0.083. 3 83% 1 1/12. 0.083. 4 83% 2 2/12. 0.16. 6 16% 3 3/12. 0.25. 9 25% 2 2/12. 0.16. 11

9

16% 1/12. 0.083. 12 83%

1

12 2. Las edades de los empleados de una determinada empresa son las que aparecen en la siguiente tabla: EDAD MENOS DE 25 MENOS DE 35 MENOS DE 45 MENOS DE 55 MENOS DE 65

N* EMPLEADOS 22 70 121 157 184

-sabiendo que el empleado más joven tiene 18 años, escríbase la

distribución de frecuencias

acumuladas decrecientes.

22 70 121

Frecuencias acumuladas decrecientes 22 92 213

157 184

370 554

3. las temperaturas medidas registradas durante el mes de mayo de Madrid, en grados centígrados, están dada por la siguiente tabla: TEMPERATU RA N* DE DIAS

1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 2 3 6 8 4 3

Constrúyase la representación gráfica correspondiente.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

2 2 1 2 2 1

4. encuestados 50 matrimonios respeto a su nĂşmero de hijos, se obtuvieron los siguientes datos: 2;4;2;3;1;2;4;2;3;0;2;2;2;3;2;6;2;3;2;2;3;2;3;3;4 ;1;3;3;4;5;2;0;3;2;1;2;3;2;2;3;1;4;2;3;2;4;3,3;2 ÂżConstruya una tabla estadĂ­stica que represente los datos?

25

20

15

10

5

0 0

1

2

3

4

5

6

5. uno de los grandes almacenes disponen de un aparcamiento para sus clientes. Los siguientes

datos que se refieren al números de horas que permanecen en el aparcamiento de una serie de coches: 4551744365 3244366455 6433454324 5247362241 2 137315172 4424536353

1 2 3 4 5 6 7

FRECUENCIA FRECUENCIA FRECUENCIA S S S ABSOLUTAS RELATIVAS ACUMULADA S 5 5/55. 0.09.

5 7 7/55.0.127 12 12 12/55.0.218 24 11 11/55.0.2 35 10 10/55.0.181 45 6 6/55.0.109 51 4 4/55.0.072 55

HISTOGRAMA: Está formado por una serie de rectángulos que tienen sus bases sobre un eje horizontal (eje x) e iguales al ancho de clase su altura es igual a la frecuencia de la base.

POLIGONOS DE FRECUENCIA: E un gráfico de líneas trazados sobre los puntos medios de los extremos de cada rectángulo.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS RELATIVAS: La frecuencia relativa de clase es la frecuencia de la clase divida por el total de frecuencias.

EJEMPLO: La frecuencia relativa de la clase es de 64-68 es: (3/484)-100=6.25% DISTIBUCION DE FRECUENCIAS ACUMULADAS: La frecuencia total acumulada en un determinado punto es igual a la suma de las frecuencias anteriores al punto.

EJEMPLO: DISTRIBUCION FRECUENCIAS ACUMULADAS INTERVALO DE CLASE

DE

FRECUENCIA ACUMULADA 7

10 30 35 40 43 48

La frecuencia acumulada hasta la clase 4 es igual a 10.

POLIGONOS DE FRECUENCIAS ACUMULADAS: El polĂ­gono de frecuencias acumuladas se construye con los datos de la tabla, se llevan los valores de frecuencia en correspondencia con los lĂ­mites inferiores de cada clase.

16 14 12 10 8 6 4 2 0 54 a 64

64 a 69

69 a 74

74 a 79

79 a 84

84 a 89

89 a 94

94 a 98

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA: La frecuencia relativa acumulada o frecuencia porcentual cumulada es: Fra= frecuencia acumulada en cada clase Frecuencia total La suma de las frecuencias relativas acumuladas debe corresponder a 100.

EJEMPLO: se ha aplicado test a los empleados de una fabrica, obteniéndose la 7 tablas: [38,44) [44,50) [50,56)

f¡ 7 8 15

F¡ 7 15 30

[56,62) 25 55 [62,68) 18 73 [68,74) 9 82 [74,80) 6 88 Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas: 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 38

44

50

56

62

68

74

MEDIA ARITMETICA: Se define media aritmética de una serie de valores como el resultado producido al sumar todos ellos y dividir la suma por el número total de los valores. La media aritmética se expresa como x.

Dada una variable x que toma los valores x1,x2 ,… con frecuencia absolutas simbolizadas por f1,f2…. la medida aritmética de todos estos valores vendrá dada por: X= f1 x1 + f2 x2 + … + fn xn = £ f1 x1 con 1 = 1,2…

F1 + f2 + … + fn

=

£ f1

MEDIA PONDERADA: En algunas series estadísticas, no todos los valores tienen la misma importancia. Entonces, para calcular la media se ponderan dichos valores según su peso, con lo que se obtiene una medida ponderada.

Si se tiene una variable con valores x1,x2… a los que se asignan un peso mediante valores numéricos p1,p2 … la medida ponderada se calcula como sigue:

X= p1 x1 + p2 x2 + … + pn xn = £ p1 x1 con 1 = 1,2… p1 + p2 + … + pn

=

£ p1

MEDIANA: La media aritmética no simple es representativa de una serie estadística. Para complementarla se utiliza un valor numérico tal que se encuentra en el centro de la serie como mediana o valor central.

Dado un conjunto de valores ordenados, su mediana se refiere como un valor numérico tal que se encuentre en el centro de la serie, con igual número de valores superiores a el que inferiores normalmente, la mediana se expresa como ME. La mediana es la única par cada grupo de valores.

Cuando el número de valores ordenados (de mayor a menor, o de menor a mayor) de la serie es impar, la mediana corresponderá al valor que ocupe la posición (n + 1 )/2 de la serie. Si el número de valores es impar, ninguno de ellos ocupara la posición central.

Entonces, se tomara como mediana la media aritmética entre los dos valores centrales.

Mediana Determinaciรณn de la mediana de una serie de valores MODA: Es una serie de valores a los que se asocia una frecuencia, se define, moda como el valor de la variable que posee una frecuencia mayor que los restantes. La moda se simboliza normalmente por MO. Un grupo de valores puede tener varias modas. Una serie de valores con solo una moda se denomina unimodal; si tiene dos modas, es bimodal, y asi sucesivamente.

La variable cualitativa

Clasifica describe la diferencia entre los elementos de acuerdo con sus tributos o características ej: el color de tu cabello el color de un carro.

La variable cuantitativa: Expresa las diferencias entre los elementos de nuestra con valores numéricos: existen dos tipos de variable cuantitativa las discretas: adquieren únicamente valores en un conjunto de los números naturales, con el numero de hijos que hay en una familia Las continuas: permiten el manejo de los valores comprendidos en los dos números naturales.

Tabla de frecuencia: Con el objeto de obtener una mayor de síntesis de datos estos se pueden agrupar en intervalos de clases para luego presentarlos en distribuciones o tabla de frecuencia que registra la siguiente información.

Intervalos de clases: en cada uno en las cuales se decide agrupar parcialmente algunos datos con el objeto de presentar el resumen de ellos, cada intervalo se simboliza con la notación significa que se incluye el valor a pero el de b.

LA ESTADÍSTICA Es una rama de las matemáticas y una herramienta que estudia usos y análisis provenientes de una muestra representativa de datos, que busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenómeno físico o natural, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad.

Además, se usa en áreas de negocios o instituciones gubernamentales ya que su principal objetivo es describir al conjunto de datos obtenidos para la toma de decisiones o bien, para realizar generalizaciones sobre las características observadas.

En la actualidad, la estadística es una ciencia que se encarga de estudiar una determinada población por medio de la recolección, recopilación e interpretación de datos. Del mismo modo, también es considerada una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo.

POBLACIÓN: En estadística una población es un conjunto de sujetos, individuos, elementos o eventos con determinadas características. A menudo se obtiene una muestra de dicha población, es decir un subconjunto representativo. Luego de realizar un análisis estadístico a la muestra, los resultados se extrapolan al resto de la población (inferencia estadística). La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación sumisa, y que han sido recopilado a partir de otros datos numéricos. Kendall y Buckland (citados por Gini V. Glas / Julian C. Stanley, 1980) definen la estadística como un valor resumido, calculado, como base en una muestra de observaciones que generalmente, aunque no por necesidad, se considera como una estimación de parámetro de determinada población; es decir, una función de valores de muestra.[1]

EJEMPLO: número total de personas que estudien o trabajen en una universidad conforman una población.

También es posible referirse únicamente a los estudiantes, lo cual es más común. Es quizás el ejemplo más clásico, ya que en las universidades donde se imparte estadística los estudiantes son la población más cercana y conocida para analizar.

MUESTRA: En estadística, una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una población. En diversas aplicaciones interesa que una muestra sea una muestra representativa y para ello debe escogerse una técnica de muestra adecuada que produzca una muestra aleatoria adecuada ( se obtiene una muestra sesgada cuyo interés y utilidad es más limitado dependiendo del grado de sesgo que presente).

EJEMPLO:

Dentro de la población de todos los estudiantes de un recinto educativo, pueden tomarse solo los que cursan el primer año.

VARIABLE: Una variable estadística es una característica que puede fluctuar y cuya variación es susceptible de adoptar diferentes valores, los cuales pueden medirse u observarse. Las variables adquieren valor cuando se relacionan con otras variables, es decir, si forman parte de una hipótesis o de una teoría. En este caso se las denomina constructos o construcciones hipotéticas.

Tipos de variables estadísticas  Cualitativas: No se expresan ediante un número (cualidad). A su vez las podemos clasificar en: o Ordenables: Aquellas que sugieren una ordenación. (Por ejemplo la graduación militar, El nivel de estudios, etc.). o No ordenables: Aquellas que sólo admiten una mera ordenación alfabética, pero no establece orden por su naturaleza. (Por ejemplo el color de pelo, sexo, estado civil, etc.).

 Cuantitativas: Se expresan mediante un número (cantidad). De estas hay dos tipos: o Discretas: Solo puede tomar valores aislados.

(Por ejemplo, nº de hermanos). o Continuas: Pueden tomar todos los valores de un intervalo. (Por ejemplo, la estatura de los alumnos de 3º de ESO).

LAS DISCRETAS: Una variable discreta es una variable que no puede tomar algunos valores dentro de un mínimo conjunto numerable, quiere decir, no acepta cualquier valor, únicamente aquellos que pertenecen al conjunto. En estas variables se dan de modo coherente separaciones entre valores observables sucesivos.

Dicho con más rigor, se determina una variable discreta como la variable que hay entre dos valores observables (potencialmente), hay por lo menos un valor no observable (potencialmente). Como ejemplo, el número de animales en una granja (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,......). Otro ejemplo sería el número de hijos en una familia (1; 2; 3; 4; ...).

En lógica matemática, una variable proposicional (también llamada variable

sentencial o letra sentencial) es una variable discreta que puede ser verdadera o falsa. Las variables proposicionales son los bloques de construcción básicos de las fórmulas proposicionales, usadas en lógica proposicional y en lógicas superiores.

Una variable continua puede tomar un valor fijo dentro de un intervalo determinado. Y siempre entre dos valores observables va a existir un tercer valor intermedio que también podría tomar la variable continua. Una variable continua toma valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo un intervalo de valores. Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de una variable discreta, nunca puede ser medida con exactitud; el valor observado depende en gran medida de la precisión de los instrumentos de medición. Con una variable continua hay inevitablemente un error de medida. Como ejemplo, la estatura de una persona (1.72m, 1.719m, 1.7186m....). Otro ejemplo, puede ser el tiempo que toma un atleta en recorrer 100 metros planos, ya que este tiempo puede tomar valores como

9,623 segundos; 10,456485 segundos; 12,456412 segundos; es decir, un intervalo de valores.

TABLA DE FRECUENCIAS: En estadística, se le llama distribución de frecuencias a la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría.[1] Esto proporciona un valor añadido a la agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase.

Tipos de frecuenciasEditar Frecuencia completaEditar La frecuencia completa por su denominación es el número de veces que aparece un determinado valor en un valor estadístico. Se representa por fila. La suma de la frecuencia completa es igual al número total de datos, que se representa por N. Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee sumatoria.

Frecuencia relativaEditar Se dice que la frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por hi. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1 Frecuencia relativa (hi) es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra (N).

Es decir: siendo el fi para todo el conjunto i. Se presenta en una tabla o nube de puntos en una distribución de frecuencias.

Si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtendremos el porcentaje o tanto por ciento (pi).

Frecuencia acumuladaEditar La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor consideraido.

La frecuencia acumulada es la frecuencia estadística F(XXr) con que el valor de un variable aleatoria (X) es menor que o igual a un valor de referencia (Xr).

La frecuencia acumulada relativa se deja escribir como Fc(X≤Xr), o en breve(Xr), y se calcula de Fc (Hr) = HXr / N donde MXr es el número de datos X con un valor menor que o igual a Xr, y N es número total de los datos. En breve se escribe: Fc = M / N Cuando Xr=Xmin, donde Xmin es el valor mínimo observado, se ve que Fc=1/N, porque M=1. Por otro lado, cuando Xr=Xmax, donde Xmax es el valor máximo observado, se ve que Fc=1, porque M=N. En porcentaje la ecuación es: Fc(%) = 100 M / N Frecuencia relativa acumuladaEditar La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. Ejemplo:

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 44 Distribución de frecuencias agrupadasEditar La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.

Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. Límites de la clase. Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.

La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase. La marca de clase es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros. En caso de que el primer intervalo sea de la forma (-∞,k], o bien [k,+∞) donde k es un número cualquiera, en el caso de (-∞,k], para calcular la marca de clase se tomará la amplitud del intervalo adyacente a el (ai+1), y la marca de clase será ((k-ai+1) +k)/2. En el caso del intervalo [k,+∞) también se tomará la amplitud del

intervalo adyacente a el (ai-1) siendo la marca de clase ((k+ai-1)+k)/2.

Construcción de una tabla de datos agrupados: 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

1. Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48.

2. Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos que queramos establecer.

Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15.

En este caso, 48 - 3 = 45, incrementamos el número hasta 50 : 5 = 10 intervalos.

Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece al intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo.

Intervalo ci

ni Ni

fi

Fi

[0, 5)

2.5 1

1

0.025 0.025

[5, 10)

7.5 1

2 0.025 0.050

[10, 15)

12.5 3 5 0.075 0.125

[15, 20)

17.5 3 8 0.075 0.200

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.275 [25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425 [30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600 [35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850 [40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950 [45, 50) 47.5 2 40 0.050 1 Total:

40

1

LONGITUD DE INTERVALO: intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa)[1] es un subconjunto

. A tal subconjunto se le exige

que para cualesquiera satisfaga que

y todo

con

se

.[2] Específicamente, un intervalo

es un subconjunto conexo de la recta real . Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.[3] Proposición Notación Nota Ejemplos gráficosEditar

Gráfica de una función en un intervalo.

Transformaciรณn lineal de intervalos.

Transformaciรณn lineal de intervalos.

Línea numérica.

ClasificaciónEditar Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo: [11] Caracterización Editar Intervalo cerradoEditar El número real x está en si sólo si . Los puntos a y b son elementos del intervalo cerrado I; a es el ínfimo y b el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos a y b con

. El intervalo

abierto es el interior del intervalo cerrado de extremos a y b; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado ; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta . [12]

EJERCICIOS: A^ poblaciĂłn - Los dos cosas B^ MUESTRA -lo ed dice de ek C^ variable que interviene estado -intervalo que es D^ clases de variable -los diferentee cacos 2* durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas: 3,35,30,37,31,41,20,10,26 45,37,9,41,26,21,31,35,10,26 35,25,36,42,38,25,30,39,40 38,25,36,32,38,28,30,36,39,40 La variable cualitativa Clasifica describe la diferencia entre los elementos de acuerdo con sus tributos o caracterĂ­sticas ej: el color de tu cabello el color de un carro.

La variable cuantitativa: Expresa las diferencias entre los elementos de nuestra con valores numéricos: existen dos tipos de variable cuantitativa las discretas: adquieren únicamente valores en un conjunto de los números naturales, con el numero de hijos que hay en una familia Las continuas: permiten el manejo de los valores comprendidos en los dos números naturales.

Tabla de frecuencia: Con el objeto de obtener una mayor de síntesis de datos estos se pueden agrupar en intervalos de clases para luego presentarlos en distribuciones o tabla de frecuencia que registra la siguiente información.