Raquel galante las matemáticas y el infinito

El infinito y las matemรกticas RAQUEL GALANTE FLORINDO 2ยบEASD

1

¿Existe el infinito? ¿Existe en el mundo físico algo que no tenga principio ni fin, o el infinito es solo un concepto matemático?

Sea el número 1 x 2 x 3 x 4....x n, es decir, lo que en matemáticas se denomina “factorial de n” y se representa así: n!; es evidente que n! es divisible por todos y cada uno de los n primeros números, puesto que los contiene todos como factores, y por lo tanto n!+2 será divisible por 2; n!+3 será divisible por 3...y n!+n será divisible por n. Tendremos pues, n-1 números consecutivos no primos (de n!+2 a n!+n) y como n puede ser tan grande como queramos, no hay límite para la distancia a la que pueden hallarse dos primos sucesivos.

Y si los primos están cada vez más dispersos, son cada vez menos frecuentes. ¿No llegará un momento en el que no habrá ninguno más? Pues resulta que no, ya que el conjunto de los números primos es infinito.

En cuanto al número de libros escribibles, es finito (aunque, eso sí, muy grande).

2

ÍNDICE 4 - 7

¿Qué es el infinito?

8

Aquiles y la tortuga

9

Finitismo, las matemáticas sin infinito

10-12

Distintos infinitos

13

Teoría del mono infinito

14

Conclusiones

· Es infinito un número? · El infinito no crece · Al operar con el infinito

· ¿Hay infinitos mayores?

3

¿Qué es el infinito?

Del latín “infinitus”, se denomina infinito a aquello que no tiene (ni puede tener) término o final.

El concepto se ha utilizado en diversos ámbitos, como la filosofía, la astronomía, el arte, y, por supuesto, la matemática.

¿Es infinito un número?

Infinito es un concepto abstracto que tiene implicaciones en distintas áreas del conocimiento humano, como la filosofía, las matemáticas o la física.

Concretamente en matemáticas a veces se emplea como un número (se utiliza en algunas operaciones o como forma de contar objetos) pero no se puede incluir en otros conjuntos numéricos, como el de los enteros o los naturales, porque se comporta de forma totalmente diferente a todos ellos cuando se somete a las operaciones matemáticas más básicas.

4

El infinito no crece Parece obvio, pero no está de más recordarlo porque a veces nos cuesta imaginarlo: el infinito no tiene fin. Infinito no significa grande, enorme o gigante.

No hay en nuestro mundo cotidiano nada así, así que solemos imaginarnos, por ejemplo, que nos movemos por el espacio en línea recta y que nunca llegamos al punto donde nos detenemos, o un objeto (un número o el universo) que crecen sin parar. Pero no es exactamente así. No es que algo se haga infinito, es que es infinito.

5

Al operar con el infinito...

Estos son algunos ejemplos de ese comportamiento diferente: si sumas infinito más uno, la solución sigue siendo infinito, igual que si se lo restas. Cuando algo no tiene fin, eso no cambia por muchas unidades que sumes o restes.

Otra lección que nos enseñan en las matemáticas del colegio es que cualquier número dividido por infinito tiene como resultado el número cero. Esto no es exactamente así, ya que se trata de una indeterminación, aunque sirve para entender el concepto.

Si al dividir un número cualquiera (en este caso uno) entre una cantidad cada vez más alta, el resultado es cada vez más pequeño, al dividirlo entre infinito, que es el número más alto, el resultado tenderá a ser lo más pequeño posible, es decir, cero.

6

¿Y si se divide infinito entre infinito?

Ya que la división de cualquier número entre sí mismo es igual a uno, podríamos pensar que este caso será igual, pero no lo es. La respuesta es que esa operación es otra indeterminación, y este es el motivo: no todos los infinitos son iguales, y puesto que es imposible saber con qué tipos de infinitos estamos operando, es imposible saber cuál sería el resultado.

7

Aquiles y la tortuga Como tantos otros conceptos matemáticos, el del infinito le debe mucho a los filósofos griegos.

El primer problema en torno al infinito que se conoce es la fábula de Aquiles y la tortuga, planteada por el filósofo Zenón de Elea en el siglo V antes de Cristo. En ella, narraba una carrera entre Aquiles y una tortuga. El primero es más rápido, así que da cierta ventaja a la segunda.

Cuando Aquiles echa a correr desde el punto A, la tortuga ya está en el punto B; cuando alcanza ese punto B, la otra ya ha llegado al punto C; él llega a esa posición, pero de nuevo la tortuga se ha adelantado y ha alcanzado el punto D. ultado tenderá a ser lo más pequeño posible, En esta persecución, argumentaba Zenón de Elea, Aquiles nunca ganaría a la tortuga, porque tendría que recorrer un número infinito de tramos finitos, algo imposible de hacer en un intervalo de tiempo finito.

8

El finitismo Leopold Kronecker, matemático alemán que vivió en el siglo XIX, era tremendamente escéptico con el modo en que se concebía y utilizaba el concepto de infinito en las matemáticas del siglo XVII y XVIII. Ese escepticismo terminó fraguando en una filosofía matemática llamada finitismo, una forma extrema de constructivismo según la cual un objeto matemático no existe si no puede ser construido a partir de números naturales.

Con esto, se refiere a que los números infnitos como tal no pueden existir, ya que no forman partes de los números naturales ni los primosComo prueba de la relación histórica que ha habido entre las matemáticas y la teólogía, Kronecker resumió su opinón en la frase: “Dios creó los números naturales; el resto es obra del hombre”.

9

Distintos infinitos El matemático alemán Georg Cantor dedicó gran parte de su trabajo a finales del siglo XIX a estudiar el concepto del infinito y de los distintos infinitos.

Cantor planteó un modo para construir los conjuntos numéricos y después establecer el concepto de infinito. Para ello, definió que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos, o la misma cardinalidad, si existe una función que relacione cada elemento de uno de esos conjuntos con un solo elemento del otro, y viceversa.

10

Partiendo de esto, Cantor definió un conjunto como infinito cuando uno de sus subconjuntos tiene la misma cardinalidad.

Esto parece una contradicción, puesto que se supone que un subconjunto siempre tendrá menos elementos que el conjunto al que pertenece.

Esto es así en los conjuntos finitos, pero no en los infinitos, y aquí va un ejemplo: si relacionamos cada número par con un número natural (el primero es un subconjunto del segundo), podemos establecer que al 2 le corresponde el 1; al 4 le corresponde el 2; al 6 le corresponde el 3... Y así podríamos seguir sin llegar nunca al final.

11

¿Hay infinitos mayores?

Cantor comparó unos conjuntos numéricos con otros y determinó que hay unos infinitos mayores que otros.

Comparó, por ejemplo el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, 4,...) con el de los números reales (que incluyen los racionales, que se pueden representar como fracciones, y los irracionales, que no se pueden representar como fracciones), y concluyó que ambos son infinitos, pero este segundo es mayor, puesto que se pueden seguir añadiendo decimales sin fin, es decir, que no son numerables porque no se pueden relacionar, uno a uno, con los números naturales.

A pesar de que sus aportaciones fueron fundamentales para la teoría de los conjuntos abstractos, Cantor fue un incomprendido en su época: sus conclusiones fueron rechazadas por muchos, que le acusaron incluso de blasfemo, y padeció trastornos mentales, afectando a su vida y su trabajo en sus últimos años.

12

Teorema del mono infinito No es una broma, existe un teorema llamado así, que establece que un mono que pulsase teclas al azar en una máquina de escribir durante un tiempo infinito casi seguramente terminaría por escribir cualquier texto que se halle en la Biblioteca Nacional de Francia.

Este teorema fue enunciado originalmente por el matemático francés Émile Borel en 1913. Él propuso que si un millón de monos mecanografiase diez horas al día era extremadamente improbable que produjesen algo parecido a los textos contenidos en una de las bibliotecas mejor aprovisionadas del mundo, y que aún así era aún menos probable que las leyes de la estadística no se cumpliesen.

13

Conclusiones Escogí este tema porque, a pesar de que pueda parecer muy recurrente, es de esos de los que es siempre interesante investigar y estudiar.

Dicho esto, ha sido un poco difícil la búsqueda, ya que, o en casi todas las páginas viene lo mismo, o hay vocabulario técnico especializado en gente que haya estudiado a fondo las matemáticas.

Sin duda, lo que más me ha llamando la atención es el teorema que trataba sobre los monos, ya que es una hipótesis que parece en broma, pero tiene su sentido a la hora de explicarse.

Creo que la más complicada de entender es la parte de Cantor, ya que usa términos matemáticos que, para mí, eran difíciles de comprender.

En resumen, pienso que es un tema al que se le puede sacar mucho partido y que resulta muy complejo si se estudia a fondo.

14