MODULO MATEMATICA BASICA

INSTITUCION EDUCATIVA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE COROZAL

FORMACION COMPLEMENTARIA MODALIDAD A DISTANCIA: RES: 17157. 11-27-13

MATEMATICA BASICA I RECTOR: ARMANDO GANDARA CASTILLA. COORDINADOR DEL PFC: VALMIRO RANGEL RANGEL COMPILADORES: LIC: MANFREDO KLEBER, FERNANDO FALCON, LUIS ALVAREZ, VICTOR CABRERA. COROZAL 2014

TABLA DE CONTENIDO PRESENTACION……………………………………………………………..5, 6 INTRODUCCION……………………………………………………………...7 OBJETIVOS GENERALES………………………………………………….8 UNIDAD N° 1: PRINCIPIO DE LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTO...9 1. Principios de la lógica…………………………………………………..10 1.1. Historia y clasificación…………………………………………………..10.

1.2 Clasificación de la lógica………………………………………………..10.

1.3. Conceptualización de la lógica…………………………………………11.

1. 4. Lógica y lingüística………………………………………………………11 1.5. Proposiciones……………………………………………………………..12 1.6. Clase de proposiciones………………………………………………….12 1.7. Representación simbólica de proposiciones………………………….13.

1.8. Conectivos lógicos……………………………………..13, 14, 15, 16, 17.

1.9. Tabla de verdad…………………………………………………………..17.

1.10. Construcción de la tabla de verdad……………………………...18, 19.

1.11. Tabla de verdad para los conectivos lógicos………………………..20.

1.12. Implicación directa, contrarias, recíproca y contra recíproca………21.

1.13. Leyes de lógica…………………………………………………21, 22, 23 EJERCICIOS……………………………………………………………...23, 24 1.2 Teoría de conjunto……………………………………………………...24 1.2.1. Introducción....................................................................................24 1.2.2. Noción de conjunto……………………………………………….24, 25 1.2.3. Clase de conjuntos…………………………………………………………………….25, 26 MATEMATICA BASICA I

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1.2.3 Relaciones entre conjuntos…………………………………………......27, 28 1.2.4 Operaciones entre conjunto…………………………………..28, 29, 30, 31 1.2.5 Diagramas de Venn…………………………………………………............31 1.2.6. Cardinal de un conjunto………………………………………32, 33, 34, 35 EJERCICIOS…………………………………………………………………….36, 37 REFERENCIAS……………………………………………………………………...37 SITIO WEB……………………………………………………………………....37, 38.

UNIDAD N° 2. SISTEMA NUMERICO……………………………………………39 2.1 Sistema delos números naturales(N)…………………………………………40.

2.2 Operaciones……………………………………………………………………..40.

2.3. Potenciación…………………………………………………………...41, 42, 43 2.4. Radicación, propiedades……………………………………………….....43,44.

2.5. Logaritmación, propiedades………………………………………….44, 45, 46.

2.6. Divisores…………………………………………………………………………46.

2.7. Números primos…………………………………………………..46, 47, 48, 49.

2.8.Números compuestos…………………………………………………………..49 EJERCICIOS…………………………………………………………....49, 50, 51, 52.

REFERENCIAS………………………………………………………………………52.

SITIO WEB…………………………………………………………….,……………...52.

UNIDAD N°3. TEORIA DE EXPONENTE…………………………………………53.

Exponentes negativos……………………………………………………………54. 55 3.1. Leyes de los exponentes……………………………………………….55, 56, 57 3.2. Explicación de las leyes…………………………………………………57, 58,59.

3.3. Exponente fraccionario………………………………………………….59, 60, 61.

3.4. Exponente o…………………………………………………………………6,1, 62. .

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3.5. Potencia de exponente negativo………………………………62, 63,64,65, 66.

3.6. Exponente radical……………………………………………………....67, 68, 69.

EJERCICIOS……………………………………………………………………..69, 70.

REFERENCIAS………………………………………………………………………..70 SITIO WEB……………………………………………………………………………..70.

UNIDAD N° 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS………………………………….71 4. Expresiones algebraicas………………………………………………………72, 73.

4.1. Suma y resta de polinomios……………………………………………74, 75, 76.

4.2. Multiplicación de polinomios…………………………………………….....76, 77.

4.3. División de polinomios……………………………………………………..77. 78.

4.4. Producto cociente notable………………………………………………...79, 80.

4.5. Factorización…………………………………………………………..81, 82, 83.

EJERCICIOS………………………………………………………………..83, 84, 85.

REFERENCIAS……………………………………………………………………...85.

SITIO WEB…………………………………………………………………………..85.

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PRESENTACION La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y para las universidades públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: “Que la Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí”.

La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes.

La Institución Educativa Escuela Normal Superior de Corozal gestora de la educación y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones, y el Centro de Educación Virtual, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad Normalista e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Institución, para contribuir colectivamente a la construcción del país que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza en el nuevo Estatuto Orgánico: Misión: La escuela Normal Superior de Corozal es una institución educativa que tiende la formación inicial de maestros para desempeñarse en los diferentes contextos, fundamentada en un currículo basado en el desarrollo del pensamiento, del lenguaje, la pedagogía y la investigación, para el ejercicio de la docencia en el nivel de Preescolar y el ciclo de Básica Primaria, desarrollando su proceso educativo fundamentado en la pedagogía con orientación critico-social, para formar ciudadanos con sentido humanista, critico, analítico, autónomo y reflexivo, que desempeñen con idoneidad su labor profesional, protagonistas en el desarrollo de procesos educativos en la formación de niñas niños, adolescentes, jóvenes y adultos de la poblaciones vulnerables sujetas de exclusiones, pertinentes, de calidad, de calidad equitativos y con un enfoque intercultural, como base para el desarrollo sostenible, integral y armónico de las personas en relación con , la familia, la sociedad y su ambiente natural en un marco de convivencia democrática.

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Visión: La Escuela Normal Superior de Corozal, se consolidara como una institución generadora de conocimientos, potenciadora de los valores culturales de la región y del país, orientado su accionar pedagógico hacia la reflexión sobre su contexto para proponer creativamente a la comunidad alternativas de desarrollo lo mismo que a impulsar procesos de mejoramiento permanente de la educación en las áreas rurales y de población vulnerables sujetas de exclusión, atreves de la investigación, la innovación y el asesoramiento, para el fortalecimiento de capacidades locales y regionales.

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INTRODUCCIÓN La Educación Superior a Distancia supera las barreras del espacio físico a la distancia física para acceder a la educación.

Parte como hecho básico de la separación entre el estudiante y el profesor para lograr con su organización y gestión seguir un programa desde cualquier parte.

El Centro de Educación Virtual y a Distancia en cumplimiento de sus propósitos busca llegar a usted apreciado estudiante, sin importar el lugar donde se encuentre. Esta situación nos plantea la oportunidad de mantenerlos en un continuo proceso de innovación y cambio en aras de la calidad y la cobertura educativa.

Este manual se constituye en un material de apoyo para estudio y análisis al iniciar cualquier carrera de la modalidad a distancia que ofrece la Institución Educativa Escuela Normal Superior de Corozal. Es una de las asignaturas que conforma el plan de estudios, su duración es de un ciclo.

En la primera unidad se presenta los conceptos básicos de lógica y conectivos lógicos, como también los conceptos básicos de la teoría de conjuntos y sus operaciones.

En la segunda unidad se facilitara la comprensión y aplicación de los conceptos en la solución de situaciones problemas de la vida cotidiana para lo cual: debes reconocer los elementos del sistema numérico La tercera unidad sed estudiara la potenciación con exponentes Reales, propiedades y aplicación; al igual la logaritmación y sus propiedades La cuarta unidad encontrara elementos conceptuales de las expresiones algebraicas, sus operaciones y nociones básicas de factorización Estos elementos conceptuales que le ayudarán a identificarse en su autoestima y su ética, su rol docente y/o profesional, que le plantean retos y la motivación suficiente para emprender el camino que ha escogido.

Los Autores.

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OBJETIVOS GENERALES Establecer el valor de verdad de muchos de los enunciados lógicos utilizando las leyes de la lógica y las de las inferencias, ya sea para determinar la consistencia interna de un razonamiento.

Utilizar las diferentes leyes de la lógica con el fin de obtener precisión, claridad y generalidad en diferentes razonamientos Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, básicos para llegar a la comprensión de los conectivos lógicos y la relación del lenguaje natural, a la vez que son aplicados en la solución de problemas.

Utilizar las diferentes leyes de la lógica con el fin de obtener precisión, claridad y generalidad en diferentes razonamientos Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, básicos para llegar a la comprensión de los conectivos lógicos y la relación del lenguaje natural, a la vez que son aplicados en la solución de problemas.

Afianzar los procesos operacionales en el conjunto de los números reales mediante la solución y comprensión de situaciones problemas planteadas en contexto.

Estudiar, analizar y profundizar los conceptos fundamentales de la potenciación, básicos para llegar a la comprensión de las propiedades y la relación con la radicación y logaritmación, a la vez que su aplicación en la solución de problemas.

Mostrar que el álgebra, desde su nivel básico, es una herramienta útil e indispensable para el estudio de otras áreas de la propia matemática, de otras ciencias y prácticamente de cualquiera otra actividad.

Reconocer, clasificar y operar expresiones algebraicas e Interpretar y relacionar los productos notables y la Factorización como procesos de doble vía.

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UNIDAD N° 1: PRINCIPIOS DE LOGICA Y TEORIAS DE CONJUNTOS OBJETIVOS ESPECIFICOS

       

.Identificar las relaciones entre conjuntos.

Distinguir las diferentes clases de conjuntos Representar gráficamente los conjuntos.

Realizar las diferentes operaciones entre conjuntos.

Resolver problemas con conjuntos.

Conocer la historia de la lógica y su clasificación.

Establecer la relación entre lógica y lingüística.

Aprender los conectivos lógicos: disyunción, conjunción, implicación o entonces, equivalencia o si y solo sí.  Elaborar la tabla de verdad de enunciados o expresiones lógicas

FRASES DE ENTRADA:” Si así fue así pudo ser; si así fuera así podía ser; pero como no es, no es. Eso es lógico.

Lewis Carroll

SITUACION PROBLEMA: ¿Que conceptos, habilidades y actitudes relacionados con la lógica y los conjuntos se requieren para desarrollar el pensamiento lógico.

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1. PRINCIPIOS DE LA LOGICA

1.1. HISTORIA Y CLASIFICACIÓN: Etimológicamente la lógica es la ciencia del logos.

Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se definió la lógica como la rama de la gramática que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje.

Como la palabra es la expresión, o manifestación del pensamiento y el pensamiento racional es la base de Ja filosofía, puede decirse en general> que la lógica es la ciencia del pensamiento racional; es de aclarar que la lógica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.

En respuesta a la necesidad de construir argumentos> para defender o refutar pensamientos de los demás, Aristóteles, considerado por los griegos. “El padre de la lógica”, creo métodos sistemáticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarrolló la lógica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas.

El gran matemático Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lógica clásica, planteando que la dependencia lógica entre proposiciones es demostrada, reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecánico y a éste esquema (lógica simbólica) lo llamó una característica universal.

El proceso de la lógica continuó en el siglo XIX. En 1847 el matemático inglés George Boole en compañía de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lógicas con las matemáticas, pues a partir de los operadores aritméticos de adición, multiplicación y sustracción crearon los operadores lógicos equivalentes de unión, intersección y negación; además formularon los principios del razonamiento simbólico y el análisis lógico. A Boole se le atribuye la invención de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposiciones compuestas.

Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra “Principio Matemático», quienes codificaron la lógica simbólica en su presente forma definiéndola como la “Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles>’, por esta razón la fundación de la lógica formal moderna se le atribuye a ellos.

1.2. CLASIFICACIÓN DE LA LÓGICA La lógica se puede clasificar como: 1. Lógica tradicional o no formal.

2. Lógica simbólica o formal.

En la lógica tradicional se consideran los procesos psicobiológicos del pensamiento lógico, y los métodos de inferencia que están relacionados con la destreza para interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto; se puede considerar que la lógica no

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formal resume las experiencias humanas obtenidas del conocimiento y de la observación del mundo circundante.

La lógica como ciencia constituye la lógica formal o simbólica, la cual se encarga de investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. En el pensamiento simbólico, las palabras se manipulan, según las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.

1.3. CONCEPTUALIZACIÓN La lógica ofrece métodos que enseñan cómo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; además, la lógica es una ciencia -que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisión, claridad y generalidad en los razonamientos.

La precisión la logra mediante el uso de símbolos, los cuales tienen como función primordial eliminar las ambigüedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad.

La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos básicos de un argumento lógico, tanto en su representación simbólica como en su significado para luego establecer un lenguaje simbólico artificial, que le permita simplificar argumentos lógicos complicados; de ésta manera , el símbolo permite concentración sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento.

1.4. LÓGICA Y LINGÜÍSTICA Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos básicos de lenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales.

Los lenguajes naturales no se establecieron a través de ninguna teoría, entre ellos están el castellano, el francés y el inglés. Las teorías y gramáticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori, es decir después de que el lenguaje ya había madurado.

Los lenguajes formales como las matemáticas y la lógica, fueron desarrollados, generalmente, a partir del establecimiento de una teoría, la cual da las bases para que a través de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teoría.

Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en común, en principio, se tiene la existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual esta constituido de símbolos simples llamados comúnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego y árabe-persa, entre otros. En los formales como la lógica se tiene el léxico del cálculo proposicional y de predicados.

Mediante la concatenación de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje

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se considera como un conjunto infinito de oraciones -o enunciados que se forman con palabras del diccionario.

En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista de símbolos, (lógicos o matemáticos) sujetos a diversas Interpretaciones. En un lenguaje formal, las palabras y las oraciones están perfectamente definidas, una palabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o de su uso. Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente exentos de cualquier componente semántico fuera de sus operadores y relaciones, y es gracias a esta ausencia de significado especial, que los lenguajes formales pueden ser usados para modelar una teoría de la ingeniería de sistemas, mecánica, eléctrica, entre otras.

1.5. PROPOSICIONES La lógica utilizada en un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elemento básico de análisis a la proposición, que no es otra cosa que una oración del lenguaje cotidiano con un significado mucho más limitado, en tales condiciones, se puede considerar una proposición corno una excepción lingüística que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, y para simplificar la escritura de argumentos lógicos complicados; crea un lenguaje simbólico artificial, en donde establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigüedades del lenguaje corriente.

Es importante tener en cuenta que las proposiciones presentan oraciones declarativas, las cuales contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugación del verbo ser.

1.6. CLASE DE PROPOSICIONES. En lógica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atómicas o simples y moleculares o compuestas, veamos:

1.6.1. PROPOSICIONES SIMPLES: Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lógicos.

Estos son algunos ejemplos: La luna es un satélite de la tierra.

2 es el inverso multiplicativo de -.

El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo tiempo, pues dejaría de ser proposición.

1.6.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS. Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o más proposiciones simples mediante términos de enlace.

EJEMPLO: Está lloviendo y el sol brilla

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El sol es verde o 7 es un cuadrado.

La veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la forma como estén combinadas; para establecer este valor.

1.7. REPRESENTACION SIMBOLICA DE PROPOSICIONES: Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como p, q, r, s,…, x, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicional, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje natural.

Los siguientes ejemplos ilustran cómo se pueden simbolizarías proposiciones:  p: Hoy es sábado.  q: Estudio ingeniería de sistema  r: New York es llamada la capital del mundo.  s: 1 no es un número primo.  x: 4+ 3 = 10.

Es decir se puede establecer una relación biunívoca entre el lenguaje natural y el lenguaje formal. Estas proposiciones generalmente se llaman frases. Éstas expresiones se denominan oraciones y para su formación se utilizaron las letras y, o, no, si, entonces, si y solo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados.

1.8. CONECTIVOS LOGICOS Estos términos de enlace reciben el nombre de Conectivos lógicos y al igual que a las proposiciones, también se les asignan un lenguaje simbólico, así: LENGUAJE NATURAL

LENGUAJE FORMAL

y

Λ

o

ν

No

⌐

Si entonces

→

Si y sólo sí

↔

Vemos varios ejemplos de notación simbólica de las proposiciones: p: Las rosas son rojas q: Las rosas tienen espinas. p Λ q: Las rosas son rojas y tienen espinas. x: Estudio lógica matemática

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y : Seré un destacado ingeniero de sistemas x → y: Si estudio lógica matemática seré un destacado ingeniero de sistemas..

Como ya se dijo en la sección anterior, los símbolos que sirven para enlazar dos o más proposiciones simples, se llaman conectivos lógicos, estos son; la conjunción, la disyunción, la negación, el condicional y el bicondicional.

1.8.1 LA CONJUNCIÓN: “٨”Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p y q simbolizada por “p Λ 4’, se denomina la conjunción de p y q.

Ejemplos de conjunción: Ejemplo 1 La proposición compuesta: s : 6 es número par;

r : entero positivo;

Λ: y

6 es un número par y entero positivo. sʌr Para establecer el valor de verdad de la conjunción, surgen las siguientes posibilidades: Que p y q sean verdaderas.

1. Que p y q sean verdaderas.

2. Que p sea verdadera y q sea falsa.

3. Que p sea falsa y q verdadera.

4. Que p y q sean falsas.

1.8.2. LA DISYUNCION: “٨”Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p y q simbolizada por “p ν 4’, se denomina la conjunción de p o q.

El operador “o” se puede usar de dos formas: como “o incluyente” o como “o excluyente”.

En el primer caso (“o” incluyente) hace que el valor de verdad de una de las dos proposiciones simples repercuta en el valor verdadero de la proposición disyuntiva; mientras que en la segunda forma (“o” excluyente) el valor de verdad de una proposición excluye la veracidad de la otra proposición, esto hace que la proposición disyuntiva tome el valor verdadero.

Ejemplo 1. Uso del “o” incluyente : p: Termino de escribir mi programa de computación q : jugará tenis. ν: o Termino de escribir mi programa de computación o jugara tenis: (p ν q) Ejemplo 2. Uso del “o” excluyente

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x: Quieres helado. v: O y: Quieres gaseosa.

Quieres helado o quieres gaseosa: (x Wy) 1.8.3. LA NEGACION (⌐): Sea p una proposición simple. Se define la negación de p mediante la preposición compuesta no p simbolizada por: “⌐ p”.

Ejemplo 1 P: 3 es un número entero primo. ⌐q: No es un número entero primo, también se puede leer. es falso que 3 es un número entero primo.

1.8.4. EL CONDICIONAL “→ ” Se dice que una proposición compuesta es proposiciones simples enlazadas por la expresión condicional, si está formada por “si.. .Entonces”.

Si p y q representan dos proposiciones, la expresión “si p entonces q se simboliza así: p → q y se lee p implica q.

La proposición precedida por la expresión “si”, se llama antecedente o hipótesis y la proposición precedida por la expresión “entonces”, se llama consecuente o conclusión de la implicación. En la expresión p → q, el antecedente es p y el consecuente es q.

Las proposiciones condicionales se pueden enunciar de diferentes maneras así:  Si p entonces q:  p sólo si q  q si p.  p es suficiente para q.  q es necesaria para p.

Los siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados:    

Si un entero es múltiplo de 4 entonces es divisible por 2.

Apruebo el semestre sólo si estudio.

El algoritmo está bien enunciado si el programa corre.

Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas.

Cuando una proposición condicional se escribe en una de. las anteriores: formas, probablemente, en el lenguaje común habrá alguna que no se interprete como se desea, pero como la lógica no permite ambigüedades, éstas se deben escribir según la definición dada en la sección.

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Existen varias formas de enunciar proposiciones condicionales así: Implicación directa: p → q Implicación contraria: q → p Implicación recíproca: ⌐p → ⌐q Implicación contrarrecíproca : q → p

Ejemplo 1 Dadas las proposiciones p: 2m es divisible por 4 q: m es par Entonces: La proposición directa es: p → q: Si 2m es divisible por 4 entonces m es par, la contraria es: q → p: Si m es par entonces 2m es divisible por 4, la recíproca es: ⌐p → ⌐q si 2m no es divisible por 4, entonces m no es par y la contra reciproca es: ⌐q → ⌐p : Si m no es par, entonces 2m no es divisible por 4.

Ejemplo Teniendo en cuenta la proposición directa: implicación.

Contraria: Recíproca:

⌐p → ⌐q construir las otras formas de la

q→ ⌐p (⌐⌐⌐ p) → ⌐q q→ ⌐p

Contrarrecíproca:

⌐q → (⌐ ⌐p) ⌐q ⌐q → p

Ejemplo 3.

Proposición directa:

⌐p → ⌐q

Contraria: Recíproca

⌐q → ⌐p ⌐ (⌐p) → ⌐ (⌐q) q→p

1.8.5. EL BICONDICIONAL “↔”: Se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresión “si y sólo sí”.

Simbólicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicación p ↔q constituye

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un bicondícional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro.

El bicondicional está formado por las implicaciones p → q y q →4 p, las cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la La proposición bicondicional tiene varias formas de traducción más no de significación, éstas son:      

p sí y sólo si q. q si y sólo si p. si p entonces q y recíprocamente. si q entonces q y recíprocamente. p es una condición necesaria y suficiente para q. q es una condición necesaria y suficiente para p.

Ejemplo Dadas las proposiciones p: Un triángulo es rectángulo. q: Un triángulo tiene un ángulo recto.

El bicondicional p↔q se puede traducir de las siguientes formas:  Un triángulo es rectángulo sí t sólo sí tiene un triángulo recto.  Un triángulo tiene un ángulo recto y sí y sólo sí es un triángulo rectángulo.  Si un triángulo es rectángulo entonces tiene un ángulo recto y si un triángulo tiene un ángulo recto entonces es un triángulo rectángulo.  Una condición necesaria y suficiente para que un triángulo tenga un ángulo recto es que sea un triángulo rectángulo.  Un triánguloᴕ rectángulo es equivalente a un triángulo con un ángulo recto.

1.9. TABLAS DE VERDAD: Definición: Una tabla de verdad es una representación esquemática de las relaciones entre proposiciones; sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos utilizados y de los valores de verdad de sus proposiciones simples. En la elaboración de una tabla de verdad los términos de enlace tales como la negación (“ ⌐”), la disyunción (“v”) y la conjunción (“Λ”) se consideran conectivos fundamentales; por tal razón, sus valores de verdad constituyen base para establecer bajo qué condiciones una proposición compuesta es verdadera o falsa. p q ⌐p pΛq pvq p→q p↔q

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V

V

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

F

V

V

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Para simbolizar los valores de verdad de una proposición, se utiliza el sistema binario, mediante el cual se le asigna 1 al valor verdadero y 0 al valor falso. La siguiente tabla resume los valores de verdad de los conectivos lógicos.

p

q

⌐p

pΛq

pvq

p→q

p↔q

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1 1.10. CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD: Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta es necesario elaborar la correspondiente tabla de verdad; para tal fin y mediante el siguiente ejemplo se enuncian los pasos a seguir: Ejemplo 1: Construir la tabla de verdad para la proposición ⌐ (p Λ q).

Paso 1: Se hace un recorrido de izquierda a derecha teniendo en cuenta los paréntesis.

Paso 2: Se identifica el conectivo que aparece dentro del paréntesis, en este ejemplo la Conjunción.

Paso 3: Se precisa el término de enlace que precede al paréntesis, en el ejemplo la negación.

Paso 4: Se elabora la tabla con el número de columnas determinado por:  Proposiciones que intervienen  Conectivos utilizados dentro del paréntesis  Conectivo utilizado fuera del paréntesis.

La siguiente tabla ilustra el paso 4: p

q

pΛq

⌐(pΛq)

Paso 5.

Se fijan los valores dé verdad en las columnas de las proposiciones p y q. se ilustra en la siguiente tabla.

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p

q

1

1

1

0

0

1

0

0

pΛq

⌐(pΛq)

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Paso 6.

Se completa Ia tabla por columnas, teniendo en cuenta el conectivo y el valor de verdad de cada proposición simple. La finalización de la elaboración de la tabla de verdad es:

p

q

pΛq

⌐(pΛq)

p

q

pΛq

⌐(pΛq)

V

V

V

F

1

1

1

0

V

F

F

V

1

0

0

1

F

V

F

V

0

1

0

1

F

F

F

V

0

0

0

1

Ejemplo 2.

1 1 Elaborar la tabla de verdad de la proposición: (p v q) Λ (pΛq).

Al realizar el recorrido de izquierda a derecha se observa que la proposición está conformada por dos paréntesis conectados por la disyunción y dentro de cada paréntesis se identifica la disyunción y la conjunción respectivamente; después de éste análisis se elabora la tabla. p

q

pvq

(pΛq)

(pvq) Λ (pΛq)

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

Ejemplo 3

Elaborar la tabla de verdad para la doble negación, es decir, ⌐p F V

p V F

⌐ ( ⌐ p) V F

p 1 0

p 1

⌐ (⌐p)

⌐ ( ⌐ p) 1 0

Este resultado permite concluir que la doble negación de una proposición es la misma proposición.

1.11. TABLA DE VERDAD PARA LOS CONECTIVOS LOGICOS 1.11.1. LA CONJUNCION: Tabla No. 1 La Conjunción p V V F F

p V F V F

pΛq V F F F

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De la anterior tabla de verdad podemos concluir que la conjunción es verdadera únicamente cuando las dos proposiciones simples son verdaderas, en cualquier otro caso la proposición es falsa .1.11.2. LA DISYUNCION: Tabla No. 2 La Disyunción p V V F F

p V F V F

pvq V V V F

p V V F F

q V F V F

pWq F V V F

1.11.3. LA NEGACION ⌐p F V

p V F

Tabla No. 3 La Negación 1.11.4. EL CONDICIONAL: Tabla No. 4 El Condicional p p p→q V V V V F F F V V F BICONDICIONAL F V 1.11.5. EL p V V F F

p↔q V F F V

p V F V F

Tabla No. 5 El Bicondicional

1.12. IMPLICACIÓN DIRECTA, CONTRARIA, RECÍPROCA Y CONTRARECÍPROCA: Tabla de verdad para las cuatro formas de la implicación p

q

⌐p

⌐q

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 1

MATEMATICA BASICA I

p→q Directa 1 0 1 1

q→p Indirecta 1 1 0 1

⌐p→⌐q Recíproca 1 1 0 1

⌐q→⌐p Contra recíproca 1 0 1 1

20

Tabla No. 6: Formas de la Implicación. Esta tabla permite analizar que los valores de verdad correspondientes a las columnas de la directa y la contra recíproca coinciden, al igual que los de las columnas de la contraria y de la recíproca, por lo tanto estas implicaciones son equivalentes, es decir: 1. (p→q) ↔ ( ⌐q→ ⌐p 2. (q→p) ↔ ( ⌐p→ ⌐q Se propone al estudiante construir la tabla de verdad para las anteriores equivalencias.

1.13. LEYES DE LA LOGICA 1.13.1. TAUTOLOGIA, CONTRADICCIONES, INDETERMINADOS TAUTOLOGIA: Cuando sus valores son verdaderos.

CONTRADICCIONES: Cuando sus valores son falsos.

INDETERMINADOS: Cuando sus valores son verdaderos y falsos.

Ejemplo 1. Demostrar que la proposición (pvq) → ( ⌐q →p) es una tautología: p V V F F

q V F V F

pvq V V V F

⌐q F V F V

⌐q→p V V V F

(pvq) → ( ⌐ q → p) V V V V

Demostrar que la proposición (p v q) → ( ⌐q →p) es una tautología:: Para verificar la validez de esta proposición es necesario realizar la tabla de verdad y comprobar que en la última columna solamente aparecen valores verdaderos.(SISTEMA BINARIO) p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pvq 1 1 1 0

⌐q 0 1 0 1

⌐q→p 1 1 1 0

(pvq) → ( ⌐ q → p) 1 1 1 1

Tabla No. 7 Ejemplo 1 Una proposición compuesta, que es falsa en todos los casos independientemente de los Ejemplo 2

¿ Es (p Λ ⌐q) Λ q una tautología Para responder la pregunta se hace necesario hacer la tabla de verdad, así

MATEMATICA BASICA I

21

p V V F F

q V F V F

⌐q F V F V

pΛ

⌐q

(p Λ

F V F F

⌐q) Λq F F F F

Por lo tanto esta proposición no es una tautología, es una contradicción ¿Es (p Λ ⌐q) Λ q una tautología, (Sistema binario) p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

⌐q 0 1 0 1

pΛ

⌐q

(p Λ

0 1 0 0

⌐q) Λq 0 0 0 0

Por lo tanto esta proposición no es una tautología, es una contradicción.

Dos proposiciones compuestas se consideran lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para cada una de las opciones en la tabla de verdad.

Ejemplo 3: (⌐p ʌ q ) ν ( ⌐ p ʌ ⌐ q ), Demostrar que es un indeterminado. p V V F F

q V F V F

⌐p F F V V

⌐q F V F V

(⌐p ʌ q ) F F V F

(⌐p ʌ ⌐q ) F F F V

(⌐p ʌ q ) ν (⌐p ʌ ⌐q ) F F V V

Es un indeterminado Establecer si las proposiciones (p →q) y (⌐p v q) son lógicamente equivalentes. Para esto hay que probar que (p →q) ↔ (⌐p v q), la tabla de verdad es: (SISTEMA BINARIO) equivalentes.Para esto hay que probar que (p →q) ↔ (⌐p v q), la tabla de verdad es: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p →q 1 0 1 1

MATEMATICA BASICA I

⌐p 0 0 1 1

⌐pvq 1 0 1 1

(p→q) ↔ ( ⌐ pv p) 1 1 1 1

22

Construir una tabla de verdad para las siguientes proposiciones: p ʌ (q p V V V V F F F F

ν r) q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

(qνr)

pʌ(qνr)

EJERCICIOS 1. Determina la verdad o falsedad de los siguientes enunciados: a. Si ~p es una proposición verdadera, entonces p es falsa. b. Si p es una proposición v y t es una tautología, entonces p ˄ t es una tautología.

2. Si p, q, r, s son proposiciones f y p ‘, q ‘,r ‘, s ‘, t ‘, son proposiciones v, entonces determinar el valor de verdad de las proposiciones siguientes : A. {[(p → q) ˄ (r → s) ] ˅ [(r´ ˄ ~ s´) ↔ (t´ ˅ r)]} → [(q ˄ p´) ˅ (r → s) ].

B. {[(p ˄ p´) ˅ (t -> t´)] → (q ˄ ~q´)} ↔ [(r → r´) ↔ (s ˅ s´)].

3. De los siguientes esquemas proposicionales solo uno es tautología. Determínalos.

A. [(p → q) ˄ ~ q ] → ~p

B. ~ ( ~ p ↔ q ) ↔ [(q ↔ p ) ˄ (p → q ) ]

C. [ (p → q ) ˄ q ] → p 4. De los siguientes esquemas proposicionales solo dos son contradicciones. Determinarlos.

A. (p ↔ q ) v (p ↔ ~ p)

B.[(p → q) ˄ (p → ~q) ] → p

C. (~ p ˄ q) ↔ (~ p ˄ ~ q) 5. Hallar entre los siguientes esquemas proposicionales, aquellos que son indeterminados.

A. (p ˄ q) → (q ˅ p)

B. [(P →q ) ↔ ~ ( p ˄ ~ q ) ]

C. (~ P ˄ q) ˅ (~p ˄ ~q)

6. Determinar entre los siguientes esquemas proposicionales, aquellos que tienen la tabla de verdad V F V F F V F V a. ~ (p ↔ ~r ) ˄ [( p → q ) ˅ ( p → r ) ]

MATEMATICA BASICA I

23

b. ( p ˄ q ˄ r ) ˅ ( p ˄ ~ q ˄ r ) ˅ (~p ˄ q ˄ ~r ) ˅ ( ~p ˄ ~q ˄ ~r ) c. [(p → q )→ r] → [ ( p ˄ q ) ˅ ~ r ]

1.2 TEORIA DE CONJUNTO 1.2.1 INTRODUCCIÓN: Georg Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en 1870. El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en las ramas de las matemáticas puras y aplicadas.

En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito. En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.

1.2.2. NOCIÓN DE CONJUNTO Usualmente la palabra conjunto apunta hacia la idea de una colección de objetos que se caracterizan por tener algo en algo común .En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto .La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto. No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido. Un conjunto es una colección bien definida de objetos de cualquier clase. Con frecuencia se usaran letras mayúsculas para denominar o llamar a los conjuntos y los elementos con letras minúsculas, separadas por comas y encerradas entre llaves, como por ejemplo.

A  a, e, i, o, u

B  m, n, o, p, q

Hay dos formas de determinar conjuntos: por extensión y por comprensión.

Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a los elementos del conjunto y sólo a ellos.

Ejemplos: A = { a, e, i, o, u } B = {0, 2, 4, 6, 8 } En un conjunto determinado por extensión no se repite un elemento.

Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una regla que permita escribir los elementos del conjunto.

MATEMATICA BASICA I

24

Ejemplos: A = {x/x es una vocal} B = {x/x es un número par menor que 10}.

1.2.3. CLASES DE CONJUNTOS Entre las principales clases de conjuntos se tienen: 1.2.3.1 CONJUNTO VACIO O NULO: Es aquel que carece de elementos, y se le denota por el símbolo ø o { }. Por ejemplo el conjunto formado por las personas que tengan una edad de 200 años es un conjunto vacío.

Otros ejemplos: A = {Los perros que vuelan}

A= { } o

A=ø

B ={ x/x es un mes que tiene 53 días}

B={} o

B=ø

1.2.3.2 CONJUNTO UNITARIO Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.

Ejemplos: A= {5} B = {números pares entre 6 y 10} = {8} C = {la capital del Perú} = {Lima} D = {x / 2x = 6} = {3} 1.2.3.4 CONJUNTOS FINITOS Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar.

Ejemplos: M = {Colombia, Bolivia, Perú, Ecuador} N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} P = { x / x es un país de la tierra } MATEMATICA BASICA I

25

1.2.3.5. CONJUNTOS INFINITOS Un conjunto es infinito si no se pueden contar sus elementos.

Ejemplos: V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... } N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } 1.2.3.5 CONJUNTO UNIVERSAL Es cualquier conjunto que contenga los elementos de los conjuntos que se están presentando en análisis dado, se representa con la letra U. Sean los conjuntos: A = { aves }

B = { peces }

C = { conejos }

D = { monos }

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D. Es U = {animales} Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación.

1.2.3.6 CONJUNTO POTENCIA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto M se llama Conjunto Potencia de M. Se le denota como PM  Ejemplos: a) M ={ 1,2} n(M) = 2 n(P(M))= 22 = 4

P(M)={{1},{2},{1,2},ø}

Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia PM  tendrá 2n elementos.

MATEMATICA BASICA I

26

1.2.3.7 CONJUNTOS DISYUNTOS Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.

Ejemplos: A={2,4,6}, B={1,2,3} A Y B son disyuntos 1.2.4. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y ELEMENTOS 1.2.4.1. RELACION DE PERTENENCIA Se utiliza la relación de pertenencia cuando se relaciona un elemento con un conjunto dado y se simboliza por  , que se lee “….pertenece a …..”

Ejemplo Sea A  a, b, c, d , e, a  A, b  A, c  A, d  A Cuando el elemento no pertenece al conjunto se emplea el símbolo  .

1.2.4.1. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 1.2.4.2. RELACION DE CONTENENCIA Se utiliza la relación de contenencia cuando se relaciona un conjunto con otro conjunto y se simboliza por  , que se lee: “….. es un subconjunto de ….”

Ejemplo Consideremos los siguientes conjuntos:

M  1,3,5,6,7,8,9 N  2,4,6,8,10,12 Q  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Se observa que todos los elementos del conjunto M están en Q. Se dice entonces que M esta contenido en Q y se simboliza M  Q .

1.2.5. OPERACIONES CON CONJUNTOS MATEMATICA BASICA I

27

En la teoría de conjuntos se tienen una serie de operaciones que se utilizan para obtener otros conjuntos, a partir de unos conjuntos dados; las operaciones más comunes son: la unión, la intersección, el complemento y la diferencia.

1.2.5.1. UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x / x  A o x  B} En forma gráfica:

Cuando no tienen

Cuando tienen algunos

Cuando todos los elementos de un

elementos comunes

elementos comunes

conjunto pertenecen a otro conjunto

Ejemplo 1. Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A U C

b) B U C

c) A U B

Solución: a) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 5, 6, 8 } A U C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

1.2.5.2: INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

MATEMATICA BASICA I

28

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A  B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir: A  B = { x / x  A y x  B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

Cuando tienen

Cuando no tienen

Cuando todos los elementos de un

elementos comunes

elementos comunes

conjunto pertenecen a otro conjunto

Ejemplo 1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A C

b) B C

c) A B

Solución: a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 } b) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }

A B={ , }

MATEMATICA BASICA I

29

1.2.5.3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como: A - B = {x / x  A y x  B} Mediante un diagrama de Venn - Euler:

Cundo no tiene Elementos comunes.

Cuando tiene

Cuando todos los elementos de un

Elementos comunes. conjunto pertenecen a otro Conjunto.

Ejemplo: 1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A – C

b) B – C

c) A –B

Solución:a) A = {a, b, c, d, e} y C = {d, f, g} A – C= {a b, c, e}

b) B = {a, e} y C = {d, f, g} A - B = {a, e}

A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

MATEMATICA BASICA I

30

A – B= {b, c, d}

1.2.5.4. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U. Simbólicamente se expresa: A' = {x/x  U y x  A} Ejemplo: Sean U= {m, a, r, t, e} y A={t, e} Su complemento de A es A’= {m, a. t} En forma de grafica

A'

1.2.6. DIAGRAMAS DE VENN A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada.

Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.

A continuación representaremos algunos conjuntos y verificaremos algunas igualdades (las intersecciones de dos o más conjuntos quedan caracterizados por el rayado múltiple).

El siguiente gráfico es la representación de la unión A  B

MATEMATICA BASICA I

31

El gráfico que sigue es la representación de la intersección A  B

El gráfico que se muestra a continuación representa la diferencia A  B

1.2.7. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Sea A un conjunto cualquiera, llamaremos “cardinal de A “al número de elementos de A y lo notamos como n(A).

EJEMPLOS: Si V = {x/x es estación del año}, entonces n (V) = 4.

Si P = {x/x es un primo par}, entonces n(P)= 1 Si L = {x/x es un par menor de 20}, entonces n(L) = 9 Conociendo el cardinal de ciertos conjuntos dadas, podemos obtener el cardinal de otros conjuntos que son: unión, intersección, diferencia y complementos de los conjuntos dados.

Si tenemos dos conjuntos A y B definimos el cardinal de la unión de estos conjuntos de la siguiente forma: n (AUB) = n(A) + n(B) – n (A∩B).

Si los conjuntos son disyuntos: (A∩B) =ø, entonces la relación anterior se reduce a: n (AUB) = n(A) + n(B).

EJEMPLO 1: una farmacia rebajo el precio de una loción y el de una crema. La contabilidad al final de un día índico que 66 personas habían comprado crema; 21, loción y 12 personas ambos productos.

MATEMATICA BASICA I

32

a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta? b) ¿Cuántas personas compraron solamente la loción? c) ¿Cuántas personas compraron solamente crema?

C= {x/x compro crema}, entonces n (C) = 66 L= {x/x compro loción}, entonces n(L) = 21 n (A∩B) = 12. a) ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta? n (LUC) = n(L) + n(C) – n (L∩C) = n (LUC) = 66 + 21 – 12 n (LUC) = 75 b) ¿Cuántas personas compraron solamente la loción? n (L) – n (L∩C) = 66- 12 = 54 c) ¿Cuántas personas compraron solamente crema? n (C) - n (L∩C) = 21- 12 = 9

MATEMATICA BASICA I

33

2. Una encuesta realizada a un grupo de empleados revelo que 277 tenían casa propia; 233, automóvil; 405, televisor; 165 automóvil y televisor; 120, automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor. a) ¿Cuantas personas fueron encuestadas? a) ¿Cuántas personas tienen solamente cas y televisor? c) ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia? n ( C ) = 233

n ( A ∩ TV ) = 165

n ( A ) = 233

n ( C ∩ A ) = 120

n ( TV ) = 405

n ( C ∩ TV ) = 120

n ( C ∩ A∩ TV ) = 105

n ( A ∩ TV ) - n ( C ∩ A∩ TV ) = 165

-

105 = 60

n ( A ∩ C ) - n ( C ∩ A∩ TV ) = 120

-

105 = 15

n ( C ∩ TV ) - n ( C ∩ A∩ TV ) = 190

-

105 = 85

n ( C ) - n ( A ∩ C ) + n ( C ∩ TV ) + n ( C ∩ A∩ TV ) = 277

-

15

+

85

+ 105 =

277 - 205 = 72, tienen casa propia. n ( A ) - n ( A ∩ TV ) + n ( A ∩ TV ) + n ( C ∩ A∩ TV ) = 233 233 -

15

+

60

+ 105 =

180 = 53

n ( TV ) - n ( A ∩ TV ) + n ( C ∩ TV ) + n ( C ∩ A∩ TV ) = 405 -

60 + 85 + 105 =

405 - 250 = 155 MATEMATICA BASICA I

34

a) Fueron encuestadas n (C U A U TV ) = n ( C ) + n ( A ) + n ( TV ) - n ( C ∩ A ) - n ( C ∩ TV ) n ( A ∩ TV ) + + n ( C ∩ A∩ TV ) = n (C U A U TV ) = 277 +233 +405 – 120 – 190 – 165 + 105 n (C U A U TV ) = 915 – 475 + 105 n (C U A U TV ) = 545 b) 85 personas tienen casa y televisor. c) 72 personas tienen casa propia.

EJERCICIOS 1. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son iguales y entre cuales se puede establecer una relación de contenencia:

MATEMATICA BASICA I

35

A  ingenieria , industria , agricola 

B  cebada , trigo , ajonjolí  C  Quito , Cali , Lima D  industria 

E  x / x es una ciudad de latinoamer ica  F  2,4,6,8

G  banano, café , trigo , cebada  H  industria , agricola , ingenieria  I  x / x es un número positivo menor que 10 J  x / x es un dígito 

2. En el siguiente ejercicio escriba todos los subconjuntos del conjunto dado. a) 2,9 b)

1 ,1 c)  , 

2,9

3. Dados: U= {1, 2, 3, 4, 5 ,6, 7, 8, 9, 10},, A={1, 3, 6, 8, 10}, B={2, 4, 6, 8}, C={1, 4, 6, 10} Halle: a) A  B

b) A  B

 A  B  C

4. Realice:

a) a, b, c, d  

c)

 A  B 



d)  A  C 

e)

b) 1,2,3,4 

1 , ,1, 2 4. Sea A   , 1,2,  ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y por qué? a) 1  A

b) 2  A

c) 2  A

d) 2 A

5. En cada caso encuentre P (M). a) M  3,5

1 b) M   ,1, 

6. En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican básquet; 35 practican básquet y voleibol; 90 practican sólo voleibol y 105 no practican básquet. ¿A cuántos deportistas se encuesto?

7. En una encuesta de mercado sobre el consumo de pescado y pollo se encontró que de los 1000 encuestados: 200 no consumen ninguno de estos productos; 500 MATEMATICA BASICA I

36

no consumen pollo; 600 no consumen pescado. ¿Cuántos consumen pescado y pollo?

8. Un alumno efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes de la educación a distancia de formación complementaria, acerca de los hábitos de estudios y aporta los siguientes datos. 40 estudian Psicología, 55 Comprensión lectora; 55 Matemática Básica; estudian Psicología y Comprensión lectora 15; Psicología y Matemática Básica 20; Comprensión lectora y Matemática Básica 30; estudian las tres asignatura10 y no estudian las tres asignaturas 5. a) ¿Puede asegurarse que la encuesta fue correcta? b) ¿Cuantas personas estudian Matemática Básica solamente? c) ¿Cuántas personas estudian psicología y Comprensión lectora? d) ¿Cuantas personas estudian solamente Comprensión lectora?

REFERENCIAS  Allendoerfer C. B. MATEMATICAS UNIVERSITARIAS. Mc. Graw Hill  Aurelio Baldor. Algebra Baldor  Universidad de Antioquia. Simbolismo lógico  SALAZAR, R. J.Iintroducción a la lógica deductiva y teoría de conjunto  Libros & libros. Estrategias matemáticas. 5° Sitios web donde se puede consultar el tema de conjuntos:

http://tareasplus.com http://www.uanarino.edu.co/deans/dpto.matematicas/DISTANCIA/SISTEMASMECANICA/TEORIA%20DE%20GRAFOS/GUIA2.pdf http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/conjuntos.html http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjunto Video tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=r9fJfts3Ktk

MATEMATICA BASICA I

37

UNIDAD N° 2: SISTEMA NUMERICO. OBJETIVOS ESPECIFICOS Reconocer los elementos de los sistemas numéricos.

Realizar operaciones con números reales.

Aplicar las propiedades de la adición y multiplicación de números reales en la simplificación de 0peraciones. . Resolver problemas aplicando las operaciones y propiedades de los números reales.

Conceptos: Un sistema numérico consta de las siguientes partes: Un conjunto de elemento, s Una o más operaciones., Una o más relaciones, Algunas reglas, leyes que satisfacen los elementos del conjunto

FRASES DE ENTRADA: “La Matemática, vista correctamente, posee no solamente verdad sino también extrema belleza, una belleza fría y austera como la de una escultura, sin apelar a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin los aspectos más hermosos de la pintura o la música, pero sin embargo, sublimemente pura y capaz de una perfección rígida como solo puede mostrar el arte más grande” Bertrand Rusell

SITUACION PROBLEMA: ¿Cómo tener una comprensión general sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la disposición para usar esta comprensión en formas flexibles al hacer unos juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al resolver problemas?

MATEMATICA BASICA I

38

2. SISTEMAS NUMERICOS 2.1 SISTEMA DE LOS NUMEROS NATURALES.

Los números naturales son los que sirven para contar y la idea de sucesor de un número sirve para distinguir el orden natural de los números y podemos escribir el conjunto de los números naturales como: N = { 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 , …} Los puntos suspensivos se leen: “ y así sucesivamente “ e indican que el conjunto tiene infinitos puntos 2.1.1 Representación en la recta numérica.

Para representar en la recta numérica los números naturales se trazan unas semirrectas, origen corresponde al punto cero. A cierta distancia arbitraria se coloca el número 1 y a igual distancia, el 2, el 3, y así sucesivamente.

0 1 2 3 4 …2.2 OPERACIONES: El conjunto de los números naturales es cerrado para la suma y la multiplicación, lo cual significa que para cualesquiera dos números naturales, la adición y la multiplicación de ellos también es otro número natural. Mientras que la sustracción y la división no son operaciones internas por que no siempre es posible restar y dividir números naturales en este conjunto. Ejemplo: 2 + 3= 5 donde el 5 es un natural 2 x 3 =6 donde el 6 es un natural 2 – 3 = -1 donde el número -1 no es natural 3/2 = 1.5 donde el 1.5 no es un natural 2.2.1 Operaciones con números naturales utilizando la recta numérica.

Adición: Es una operación binaria e interna por que siempre es posible realizarla entre números naturales. Ejemplos: Realiza utilizando la recta numérica la sumas a.

3+5= 8

b.

2+4=6

0

0

MATEMATICA BASICA I

1

2

1

2

3

4

3

5

6

7

4

6

7

8

9…

8

9 39

Sustracción: No siempre es posible realizar la sustracción de dos números naturales, ejemplo: Realiza utilizando la recta numérica las sustracciones

a. 7-3

0

1

2

3

b. 3-5

0

1

2

3

4

4

5

6

5

7

6

7

8

8

No es posible realizar esta última sustracción en el conjunto de los números naturales ¿Por qué? Además de la adición y la multiplicación entre los naturales, también se dan otras operaciones como la potenciación, radicación y la logaritmación 2.3 POTENCIACION Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

2.3.1 EXPONENTE NATURAL Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

MATEMATICA BASICA I

40

2.3.2. PTROPIEDADES DE LA POTENCIACION 

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

1.

Ejemplos:

23. 25 = 23+5= 28 

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes): 2. (an)m = an.m Ejemplo: (23)2 = 23.2 = 26 = 64 (53)2 = 53.2 = 56 = 15625 

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir: 3.

Ejemplo: (5.3)2 = 52. 32= 25. 9 = 225 (4.3)3 = 43. 33 = 64. 27 = 1728 Cociente de potencia de igual base (an)÷ (am) = an-m cuando n ˃ m MATEMATICA BASICA I

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Ejemplo: (26 ) ÷ (24) = 26-4 = 22 = 4 (57) ÷ (54) = 57-4 = 53 = 125 Para todo numero natural a se cumple que a0 = 1 50 = 1 40 = 1 2.4 RADICACIÓN La radicación es la función inversa a la potenciación. La radicación entre un número natural a llamado radicando y otro número natural n llamado índice, es igual a un número b llamado raíz, que elevado a la potencia n da como resultado el número b, es decir. a(1/n) = b = √ es decir, que bn = a A partir de la definición anterior podemos decir que la radicación de un número natural es una función que a algunos pares ordenados de números naturales le hace corresponder otro número natural llamado raíz.

Ejemplos. √

=5 por que 52 = 25

√

=4

por que 43 = 64

√

=2

por que 25 = 32 2.4.1 PROPIEDADES

a. √

= √ . √

b. √

= √ ÷ √

c. √

n

=a

Ejemplos √

=√

√

= √

√

= √ 2

= 5 x 4 = 20

x√

=√

√

√

x√

= 4 x 5 = 20 ÷√

= 10 ÷ 5 = 2

÷ √ =4÷2=2

=3

MATEMATICA BASICA I

√ 7= 8 42

√

3

=5

√

4

=9

2.5 LOGARITMACIÓN Definición: Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo que permite obtener n.

(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; si y sólo si b elevado a la n da por resultado a x) Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real (n ∈ R) Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

2.5.1 Propiedades generales Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.

Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1, 2, 4, 8, 16, 32,64...etc. y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc. ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16 etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4 etc.

Propiedades logarítmicas Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos: 

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.



El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

MATEMATICA BASICA I

43



El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

Ejemplos Log2 (32x16) = log232 + log216 = log225 + log224 = 5 + 4 = 9 Log3 (81/27) = log381 – log327 = log334 – log333 = 4 + 3= 7 Log5625 = log5625 = log554 = 4.log55 = 4 Introducción a las actividades En esta secuencia se trabajará con el concepto de logaritmo, sus propiedades y aplicaciones. En las actividades los alumnos podrán calcular diferentes logaritmos aplicando su definición y propiedades. Para finalizar, realizarán una investigación que les permita conocer la utilidad que tienen los logaritmos como herramienta para otras disciplinas.

Objetivos pedagógicos Actividad 1 La invención de los logaritmos, a principios del siglo XVII, trajo consigo un significativo ahorro de tiempo. John Napier, o Neper en latín, presentó las primeras tablas de logaritmos en 1614, pero como no estaban en el sistema decimal, no fueron de utilidad. Más tarde Briggs las mejoró y las presentó en forma decimal.

Los logaritmos fueron empleados durante muchos años en todas las ciencias, pero la Astronomía fue la que más se benefició con ellos.

1) En grupos de dos o tres alumnos, realicen una investigación en páginas de Internet u otras fuentes sobre la historia de los logaritmos. Indiquen quién fue John Napier y con qué fin inventó los logaritmos.

2) Discutan con el docente las siguientes cuestiones: a) ¿La base de un logaritmo puede ser negativa? b) ¿Existe el logaritmo de un número negativo? ¿Y el logaritmo de cero?

Actividad 2

MATEMATICA BASICA I

44

1) A partir de lo trabajado en la actividad anterior, realicen los siguientes ejercicios: a) Hallen el logaritmo de 1 en base a. b) Hallen el logaritmo de 0 en base a. c) Hallar el valor de log10 5. d) Expresen el número 6 como un logaritmo en base 2. e) Expresen el número 2 como un logaritmo en base 12.

2) Completen la siguiente tabla: n

1

2

4

log2n

1/16 8

1/2

-2

-3

log1/2n

. Resuelvan las siguientes operaciones aplicando las propiedades trabajadas.

Utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos para realizar los cálculos.

En los naturales además delas operaciones, se cumplen algunas relaciones tales como: 1. Relación “ser mayor que” 2. Relación “ser menor que” 3. Relación “ser múltiplo de” 4. Relación “ser divisor de” Múltiplos: Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando el numero por el conjunto de los números naturales. Ejemplo Para hallar los múltiplos de 5 se multiplica a5 por cada elemento del conjunto natural, es decir, M5 = {5,10,15,20,25,…} M12= {12,24,36,48,60,72,…} MATEMATICA BASICA I

45

Se observa que el conjunto de los múltiplos de un número es infinito.

2.6 DIVISORES: Los divisores de un número son aquellos números que dividen exactamente a dicho número. Ejemplo.

D35= {1, 5, 7,35} D12= {1, 2, 3, 4, 6,12} D20= {1, 2, 4, 5, 10,20} El conjunto de los divisores de un número es finito 2.7 NUMEROS PRIMOS Todo número que posea solamente dos divisores el 1 y él mismo se llama número primo. Los números 2,3,5,7,11,13,17 son números primos, todos ellos se pueden obtener atreves de una estrategia llamada “criba de Eratóstenes”

2.7.1 MINIMO COMUN MULTIPLO El mínimo común múltiplo (M.C.M) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.

Para calcularlo: factorizamos los números Tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores exponentes El M.C.M es el producto de los factores anteriores

Ejemplo:

Los factores son: 2,3 y 5 elevados a los mayores exponentes (dentro de un recuadro) serían: 23, 32 y 5 MATEMATICA BASICA I

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Multiplicando los factores anteriores se obtiene el mcm

2.7.2 MÁXIMO COMÚN DIVISOR : E l m á xim o comú n d iviso r (M. C. D) d e d o s o m á s n úm e ro s e s e l m a yo r n úm e ro qu e d ivid e a t o d o s e xa ct am e nt e EJEMPLO: Calcular el MCD entre 120 y 144 Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos 120 | 2 60 | 2 30 | 2 15 | 3 5|5 1|1

144 | 2 72 | 2 36 | 2 18 | 2 9|3 3|3 1|1

120 = 23.3.5

144 = 24.32

Que es lo mismo que:

Que es lo mismo que:

120 = 2.2.2.3.5 144 = 2.2.2.2.3.3 Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los "factores" que tienen en "común" ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor exponente con que aparecen en alguno de los números Los "factores" son los números que están en la columna derecha de la descomposición: 2, 3, 5 y 1. Y para calcular el MCD hay que tomar solamente los que están en los dos números ("repetidos" les dicen algunos), aquí remarcados en color rojo.

Como el número 2 está tres veces en el 120, y cuatro veces en el 144, lo pongo elevado a la tercera (porque es la menor cantidad de veces que aparece, o "menor exponente"). Como el 3 está en ambos números, pero una sola vez en el 120 y dos veces en el 144, lo pongo elevado a la uno (o sin elevar), porque es la menor cantidad de veces que aparece. MCD = 23.3 = 8.3 = 24

2.7.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

MATEMATICA BASICA I

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1. Juanita compro un paquete de caramelos de chocolates y otro de 36, y para repartirlos en su fiesta de cumpleaños debe empacarlos en bolsas pequeñas del mismo tamaño que contengan igual cantidad de caramelos. ¿Cuál es los mayores números de caramelos que puede empacar juanita en cada bolsa, si no debe sobrar ni faltar ninguno y para cuantos invitados alcanzaran?

Solución.

Descomponemos los números simultáneamente.

24

36

2

12

18

2

6

9

3

2

3

De donde: m.c.d ( 24,36) = 22x3 = 12. Por lo tanto el mayor número de caramelos que puede empacar en cada bolsa es 12 y como 5x12 = 60 los caramelos alcanzan solamente para 5 invitados.

2. Se quiere comprar ingredientes para preparar emparedados. El jamón viene en paquetes de 12 tajadas, el pan vienen en bolsas de 12 unidades y el queso en paquetes de 15 tajadas. ¿Cuántas unidades de cada ingredientes se deben comprar, como mínimo para que los emparedados queden completos y cuantos paquetes de cada ingredientes deben comprarse?

Solución: Procedemos a descomponer los números simultáneamente 12

15

18

2

6

15

9

2

3

15

9

3

1

5

3

3

1

5

1

5

1

1

1

Por lo tanto el m.c.m (12,15 y 18) = 22x32x5 = 180 15 paquetes de jamón por que 15 x 12 = 180 10 paquetes de pan por que 10 x 18 = 180 12 paquetes de queso por que 12 x 15 = 180 MATEMATICA BASICA I

48

2.8 NUMEROS COMPUESTOS Los números que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.

Todo número compuesto se puede expresar como el producto de números primos Ejemplo, el número 20 se puede expresar como 5 x 22 El número 60 se expresa como 22 x 3 x 5 El 360 = 23 x 32 x 5 EJERCICIOS 1 Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones: a) 327 +....... = 1.208 b) ....... − 4.121 = 626 2 Busca el término desconocido en las siguientes operaciones: a) 4 · (5 +...) = 36 b) (30 −...) ÷ 5 + 4 = 8

3 Calcular de dos modos distintos las siguientes operaciones: a) 17 · 38 + 17 · 12 = b) 6 · 59 + 4 · 59 = 4. Sacar factor común de: a) 7 · 5 − 3 · 5 + 16 · 5 − 5 · 4 = b) 6 · 4 − 4 · 3 + 4 · 9 − 5 · 4 = 5. Expresa en forma de potencias: a) 150 000 b) 23 200 MATEMATICA BASICA I

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6. Escribe en forma de una sola potencia: a) 33 · 34 · 3 = b)

57 ÷ 53 =

c) [(53)4]2 = 7. Utilizando potencias, haz la descomposición polinómica de estos números: a) 3 257 b) 10 256 c) 125 368 8. Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad: a)

27 + 3 · 5 − 16 =

b) 227 + 3 − 45 ÷ 5 + 16 = c) 440 − [30 + 6 (19 − 12)] = d) 2 {4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} = PROBLEMAS a). Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años vivió?

b) Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? c) ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 º C, a la del pescado congelado, que está a −18 º C? 8. Escribe en forma de multiplicación cada una de las siguientes sumas y, luego, halla el producto CALCULA LAS SIGUIENTES OPERACIONES a) - 6 − 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 − 5 + 13 − 4:8 − 9 ⋅ 3:2 – 1 b).- 2 − 3 [ −⋅ 2 + 10 − 4 ⋅ ( − 1 + )3:3 − 8 ]

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50

c). - [ − 6 − ( − 2 + 4 ) − 5 ] − [ − 8 − ( 7 − 2 ) − 6 ] OPERACIONES CON RACIONALES

3 124  1 3 a)         5  25 25 125 3 1 2 1 b)  :  4 2 3 5 5  11 6  c)       1 6  2 5  PROBLEMAS DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M. C. D.) y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m. c. m.)

a.

En el grado cuarto hay 40 estudiantes y en el grado quinto hay 60 estudiantes.

El profesor de educación física quiere dividir cada grado en grupos del mismo número de estudiantes. ¿Cuál es el máximo número de personas que puede elegir para cada grupo? b.

En una canasta hay 36 rosas y en otra, 24 orquídeas; se quieren hacer arreglos de igual número de flores y cada uno con solo tipo de flor. ¿Cuál es el mayor número de flores que se pueden colocar en los floreros con esta condición? c.

Sara dispone de dos vasijas para guardar la leche. Una vasija tiene una capacidad para 24 litros y otra para 18 litros. Sara quiere envasar la leche en recipientes que tengan igual capacidad y utilizar el menor número posible de ellos. ¿Cuál debe ser la capacidad del recipiente?

REFERENCIAS     

Allendoerfer C. B. MATEMATICAS UNIVERSITARIAS. Mc. Graw Hill Aurelio Baldor. Algebra Baldor Libros & libros. Estrategias en matemáticas. 5° Pabla Ardila de García, Norma Galvis Quiroga. ACIERTOS MATEMATICOS 7°.

Sitios web donde se puede consultar el tema de sistema numérico

 

http://tareasplus.com http://www.vitutor.com/di/e/a_10.html

MATEMATICA BASICA I

51

UNIDAD N° 3: TEORIA DE LOS EXPONENTES OBJETIVOS ESPECIFICOS: Dar a conocer explícitamente las diversas propiedades de la potenciación con exponente natural Aplicar los exponentes enteros y fraccionarios en la solución de problemas.

Usar las propiedades de los exponentes Reales en la solución de ejercicios

FRASES DE ENTRADA: SI LA GENTE PIENSA QUE LAS MATEMATICAS SON SIMPLES, ES SOLO PORQUE NO SE DAN CUENTA DENLO COMPLICADO QUE ES LA VIDA,

SITUACION PROBLEMA: ¿Cómo comprender que la potenciación y radicación son operaciones inversas y la relación que existe entre las propiedades de cada una de ellas

MATEMATICA BASICA I

52

3. EXPONENTES NEGATIVOS. 3.1. Exponentes positivos y negativos A los exponentes también se los llama índices.

El exponente de un número nos dice cuántas veces debemos usar ese número en una multiplicación.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se podría llamar "8 elevado al 2" o simplemente "8 al cuadrado".

Entonces, en general: an te dice que multipliques a por si misma un numero n de veces:

Pero esos son exponentes positivos, ¿qué pasa si tenemos algo como…?

8-2, Este exponente es negativo... ¿qué quiere decir?

Exponentes Negativos ¿Negativo? ¿Qué puede ser lo opuesto a multiplicar? ¡Dividir!

La división es la inversa (opuesta) de la multiplicación.

Un exponente negativo nos indica cuántas veces dividir por ese número.

Por ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125 , o muchas divisiones: Por ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008, Pero se puede hacer de una forma más fácil: MATEMATICA BASICA I

53

5-3, también podría calcularse así: 1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008

El último ejemplo nos mostró una forma más simple de manejar exponentes negativos: Calcula el exponente (an), Luego utiliza su inverso 1/an)

Para cambiar el signo (más a menos, o menos a más) de el exponente usa el resiproco (es decir, 1/an) Entonces, ¿cómo sería 8-2 ?

Por ejemplo: 8-2 = 1 ÷ 8 ÷ 8 = 1/82 = 1/64 = 0,015625 Más ejemplos: Exponente negativo Inversa de un exponente positivo Respuesta -2 2 4 = 1/4 = 1/16 = 0,0625 -3 3 10 = 1 / 10 = 1/1.000 = 0,001 Todo Tiene Sentido Mi método favorito es comenzar con “1” y luego multiplicar o dividir tantas veces como el exponente me diga. Así obtendrás la respuesta correcta, por ejemplo:

52 51 50 5-1 5-2

Ejemplo: Exponentes de 5 .. etc..

1×5×5 25 1×5 5 1 1 1÷5 0,2 1÷5÷5 0,04

... etc...

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54

Si miras esta tabla, verás que los exponentes positivos, el cero o los exponentes negativos son parte del mismo modelo (bastante simple).

3.1 Leyes de los exponentes Los exponentes también se llaman potencias o índices, El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número, En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o

simplemente“al cuadrado

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas: El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes! Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Aquí están las leyes (las explicaciones están después): Ley x1 = x x0 = 1 x-1 = 1/x

Ejemplo 61 = 6 70 = 1 4-1 = 1/4

xmxn = xm+n xm/xn = xm-n

x2x3 = x2+3 = x5 x4/x2 = x4-2 = x2

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(xm)n = xmn (xy)n = xnyn (x/y)n = xn/yn x-n = 1/xn

(x2)3 = x2×3 = x6 (xy)3 = x3y3 (x/y)2 = x2 / y2 x-3 = 1/x3

3.2. Explicaciones de las leyes Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo: Ejemplo: potencia de 5 52= 5x5= 25 51= 5 50= 1 5-1= 1/5 5-2= 1/52= 1/25 verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que xm. xn = xm+n En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5 Así que x2x3 = x(2+3) = x5 La ley que dice que xm/xn = xm-n Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

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(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1 : Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1 La ley que dice que (xm)n = xmn Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12 Así que (x3)4 = x3×4 = x12 La ley que dice que (xy)n = xnyn Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo: Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3 La ley que dice que (x/y)n = xn/yn Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3 La ley que dice que Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m): Ejemplo: Y eso es todo Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n = 0 Exponente negativo ¡No definido! (Porque dividimos entre (n<0) 0) MATEMATICA BASICA I

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Ummm ... ¡lee más abajo!

Exponente = 0 El extraño caso de 00

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado": x0 = 1, así que ... 00 = 1 0n = 0, así que ... 00 = 0 Cuando dudes... 00 = "indeterminado"

3.3 Exponentes fraccionarios También se llaman "radicales", Exponentes fraccionarios: ½ En el ejemplo de arriba, el exponente es "2", ¿pero y si fuera "½"? ¿Cómo funcionaría?

Pregunta: ¿Qué es x½ ?

Respuesta: x½ = la raíz cuadrada de x (o sea x½ = √x) ¿Por qué?

Porque si calculas el cuadrado de x½ tienes: (x½)2 = x1 = x Para entenderlo, sigue esta explicación de dos pasos: Primero, hay una regla general: ( xm)n = xm x n Ejemplo: ( x2)3 = x6 Probamos con otra fracción Vamos a probar otra vez, pero con un exponente de un cuarto (1/4): ¿Qué es x¼? (x¼)4 = x¼×4 = x1 = x Entonces, ¿qué valor se puede multiplicar 4 veces para tener x? Respuesta: La raíz cuarta de x.

Así que x¼ = la raíz cuarta de x Regla general MATEMATICA BASICA I

58

De hecho podemos hacer una regla general: Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:

Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3 ?

Respuesta: 271/3 =

27 = 3

¿Qué pasa con fracciones más complicadas?

Las fracciones más complicadas se pueden separar en dos partes:  

una parte con un número entero, y una parte con una fracción del tipo 1/n

Para entender eso, sólo recuerda que m/n = m × (1/n):

Así que tenemos esto: Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima

Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2 ?

Respuesta: 43/2 = 43×(1/2) = √(43) = √(4×4×4) = √(64) = 8 Ahora... ¡Juega con el gráfico!

Mira cómo la curva cambia suavemente cuando juegas con las fracciones en esta animación, esto te indica que la idea de exponentes fraccionarios funciona bien.

Cosas que probar:   

Empieza con m=1 y n=1, después aumenta la n poco a poco para que veas 1/2, 1/3 y 1/4 Después prueba m=2 y mueve la n para ver fracciones como 2/3 etc.

Ahora haz que el exponente sea -1

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Finalmente prueba a hacer m más grande, después n más pequeño, después m más pequeño, después n más grande: la curva debería dar vueltas Variables con exponentes Cómo multiplicarlas y dividirlas

Un exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces se usa la variable en una multiplicación.

Ejemplo: y2 = y. y (esto es y multiplicado por y, porque en Álgebra poner dos letras juntas significa multiplicarlas) Igualmente z3 = z. z. z y x5 = x. x. x. x. x Exponente 1 Si el exponente es 1, la variable está sola (por ejemplo x1 = x) Normalmente no escribimos el "1", pero a veces ayuda recordar que x también es x1 3.4 Exponente 0 Si el exponente es 0, entonces no estás multiplicando nada y la respuesta es sólo "1" (por ejemplo y0 = 1)

Multiplicar variables con exponentes Entonces, cómo multiplicas esto: (y2)(y3) Sabemos que y2 = yy, y y3 = yyy así que lo escribimos todo: y2 y3 = yyyyy Eso son 5 "y"s multiplicadas juntas, así que el nuevo exponente es 5:

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60

y2 y3 = y5 ¿Pero para qué contar las "y"s cuando los exponentes ya nos dicen cuántas hay?

Los exponentes nos dicen que hay dos "y"s multiplicadas por 3 "y"s que hacen un total de 5 "y"s: y2 y3 = y2+3 = y5 ¡Así que el método más simple es sumar los exponentes! (Nota: esa es sólo una de las Leyes de los Exponentes) Variables mezcladas Si tienes una mezcla de variables, sólo suma los exponentes de cada una, así (pulsa el botón): Exponentes negativos Los exponentes negativos quieren decir dividir! x-1 =

1

x-2 =

x

1 x2

x-3 =

1 x3

¡Acostúmbrate a este idea, es muy importante y útil!

Dividir: y5 / y3 = y5-3 = y2

3.5 POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO

Cuando tenemos un exponente negativo hay que INVERTIR LA BASE para pasar a exponente positivo.

Por ejemplo:

y

Ejercicio 6 Solución 6 Hallar a)

y b)

MATEMATICA BASICA I

61

Ahora con letras

O bien:

Ejercicio 7 Solución 7 Hallar a)

y b)

Pero atención a cuando la base también es negativa Por ejemplo:

o bien

Fíjate que el poner el inverso de la base no significa cambiar el signo de la misma.

Al final el signo del resultado dependerá de si el exponente es par o impar.

Con las fracciones ocurre lo mismo.

Así:

o bien

Ejercicio 8 Solución 8 Hallar: a)

b)

Veamos qué fácil queda todo cuando la base es una fracción de numerador la unidad.

Ejemplos: a)

MATEMATICA BASICA I

b)

62

!!!AL HALLAR EL INVERSO PARA PASAR A EXPONENTE POSITIVO NO SE CAMBIA EL SIGNO!!!

Al final, cuando efectuamos la potencia, se cambia o nó según sea el exponente par o impar.

Ejercicio 9 Solución 9 Hallar: a)

b)

Si te fijas, todos los números que están elevados a exponentes negativos, al pasarlos a exponentes positivos pasan del numerador al denominador y viceversa.

Así que si queremos que en una expresión todos los exponentes sean positivos haremos lo siguiente:

Pero si lo que pretendemos es que no quede nada en el denominador, todas las potencias del denominador las podemos pasar al numerador cambiando el signo del exponente:

Ejercicio 10

Con la siguiente expresión queremos a) que no quede ningún exponente negativo b) que no quede nada en el denominador.

Objetivo de Aprendizaje Simplificar expresiones algebraicas con exponentes fraccionarios.

Introducción Las raíces cuadradas a menudo se escriben usando un signo de radical: Pero hay otra forma de representar el cálculo de una raíz. Podemos usar exponentes fraccionarios en lugar de un radical.

.

¿No te puedes imaginar cómo elevar un número a una potencia fraccionaria?

Puede que sea difícil acostumbrarse, pero los exponentes fraccionarios pueden incluso ayudar a simplificar algunos problemas. Veamos cómo funcionan estos exponentes fraccionarios que llamamos radiales racionales.

MATEMATICA BASICA I

63

Fracciones en los Exponentes Los radicales y los exponentes son operaciones inversas. Por lo que puede sorprenderte un poco saber que un radial puede ser expresado como un número exponencial. La tabla de abajo muestra algunos ejemplos de raíces cuadradas comunes escritas como radicales, exponentes fraccionarios y enteros. Nota que el denominador de un exponente fraccionario es el número 2.

Radical

Exponente

Entero 4 5 10

Veamos otros ejemplos, pero esta vez con raíces cúbicas. Recuerda, el cubo de un número es el número elevado a la tercera potencia. Nota que en estos ejemplos, el denominador del exponente fraccionario es el número 3.

Radical

Exponente

Entero 2 5 9

Estos ejemplos nos ayudan a modelar una relación entre los radicales y los exponentes fraccionarios: a saber, que la enésima raíz de un número puede escribirse ya sea como

MATEMATICA BASICA I

o

.

Radical

Exponente

…

…

64

"La raíz quinta del número 243" puede escribirse como: A) B) C) D)

Más Allá de Fracciones Unitarias Todos los numeradores de los exponentes fraccionarios en los ejemplos que hemos visto eran 1. Podemos usar otro tipo de exponentes además de fracciones unitarias, como se muestra abajo. ¿Notas algún patrón emergente en la tabla?

Radical

Exponente

…

…

Para escribir un radical como un exponente fraccionario, la potencia a la cual elevamos la base se convierte en el numerador y la raíz se convierte en el denominador.

Escribiendo Exponentes Fraccionarios Cualquier radical en la forma

pude escribirse como un exponente fraccionario en la forma

Esto también tiene sentido para nuestros exponentes con fracciones unitarias puede escribirse como , ya que cualquier número sigue siendo el mismo si lo elevamos a la primera potencia. Ahora sabemos de dónde viene el numerador de 1 en la forma equivalente de .

MATEMATICA BASICA I

65

.

3.6. EXPRESIONES RADICALES: Para ver cómo. Aquí tenemos una expresión radicar que necesita ser simplificada

.

Un método para simplificar esta expresión es factorizar y sacar grupos de a3, como se muestra:

También podemos simplificar la expresión si pensamos en el radical como un exponente fraccionario, y usamos el principio de que cualquier radical en la forma puede escribirse como un exponente

fraccionario en la forma:

= Nota que los exponentes fraccionarios están sometidos a las mismas reglas que los exponentes que aparecen en expresiones algebraicas.

Ambos métodos de simplificación nos dan el mismo resultado, a2. Dependiendo del contexto del problema, podría ser más fácil usar un método u el otro, por ahora, notemos que fuimos capaces de simplificar esta expresión más rápido usando exponentes fraccionarios que usando el método de "sacar".

Intentemos una expresión más complicada. Esta expresión tiene dos variables, una fracción, y un radical. Es un poco intimidante. La tomaremos paso a paso para ver si el usar exponentes fraccionarios nos puede ayudar a simplificarla.

MATEMATICA BASICA I

66

Empezaremos por simplificar el denominador porque es en donde se localiza el radical

Ejemplo Problema Simplificar Separar los términos del denominador

Calcular la raíz de 8, que es 2 Reescribir el radical como un exponente Reescribir la fracción como una serie de factores con el fin de cancelar términos (ve el siguiente paso) Simplificar la constante y términos c Usar la regla de los exponentes negativos, n-x=

, para reescribir

como

Combinar los términos b al sumar los exponentes Regresar el exponente a su forma radical. Por convención, una expresión no se considera simplificada si tiene un exponente fraccionario o un radical en el denominador Solución

MATEMATICA BASICA I

67

Bueno, eso tomó un rato, pero lo logramos. Aplicamos lo que sabemos sobre exponentes fraccionarios, exponentes negativos y las reglas de los exponentes para simplificar la expresión.

Simplificar A) B) C)

D)

Sumario Un radical puede ser expresado como un valor con un exponente fraccionario

= Siguiendo la convención Reescribir radiales como exponentes fraccionarios puede ser útil para simplificar algunas expresiones radicales. Cuando trabajes con Exponentes fraccionarios, recuerda que están sujetos a todas las reglas de los otros exponentes que aparecen en expresiones algebraicas.

EJERCICIOS 1. Aplicar la potenciación

53 =

24 =

(-4)2 =

2. Convertir un exponente negativo a positivo.

3 -2 = x -n = x9=

x5

3. Simplifica y escribe utilizando exponentes positivos. . x6 = x -10 12 =

6x4y7

MATEMATICA BASICA I

=

(6x10) (3x4)2 =

4 X 10 -

68

6 X 10 4

5 -8

12x y = REFERENCIAS    

Allendoerfer C. B. MATEMATICAS UNIVERSITARIAS. Mc. Graw Hill Aurelio Baldor. Algebra Baldor Libros & libros. Estrategias matemáticas. 5° Pabla Ardila de García, Norma Galvis Quiroga. ACIERTOS MATEMATICOS 7°.



Sitios web donde se puede consultar el tema de teorías de exponentes

  

http://tareasplus.com http://www.vitutor.com/di/e/a_7.html http://www.youtube.com/watch?v=bCN4UAYp8lo

MATEMATICA BASICA I

69

UNIDAD N° 4: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. OBJETIVOS ESPECIFICOS Clasificar los polígonos por sus características.

Nombrar las expresiones algebraicas como una combinación de símbolos representativos reales de sus operaciones.

Señalar los elementos que integran el término en un polinomio.

Resolver operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios.

Describir y reconocer productos notables.

Aplicar los productos notables más sencillos en la factorización de expresiones algebraicas..

FRASES DE ENTRADA: E L RAZONAMIENTO MATEMATICO PUEDE CONSIDERARSE MAS BIEN ESQUEMATICAMENTE COMO EL EJERCICIO DE UNA COMBINACIONES DE DOS INSTALACIONES, QUE PODEMOS LLAMAR LA INTUICION Y EL INGENIO. A.TURING

SITUACION PROBLEMA: ¿Cómo comprender el álgebra como una generalización de la aritmética conjuntamente con sus operaciones y propiedades

MATEMATICA BASICA I

70

4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

3 2 xy     x y 1

o

x  5x  3

6 x

Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axn, en donde a es un número real y n es un entero no negativo. Un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar. monomio

5x

binomio

5x  2

trinomio

x  x 1 2

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos.

4.1 Polinomios Definición: Un polinomio en x es una suma de la forma: an xn + an-1 xn-1 + ··· + a2 x2 + a1 x + a0 Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un número real. Si an es un numero diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado n.

El coeficiente a de la mayor potencia de x es el coeficiente principal del polinomio.

Ejemplos de polinomios:

MATEMATICA BASICA I

71

Ejemplo

Coeficiente principal

Grado

3x  5x  (7) x  4

3

4

x  9 x  (2) x

1

8

5 x  1

-5

2

8

8

0

7x  2

7

1

4

3

8

2

2

Ejemplos de expresiones que no son polinomios:

a)

1  3x x

b)

x5 x 2

c)

2

3x  x  2 2

En el primer ejemplo el exponente de x es negativo contradiciendo la definición de polinomio, de igual forma en el ejemplo c donde el exponente de x no es entero.

En el ejemplo b tenemos una expresión racional o fraccionaria con un polinomio en el numerador y otro en el denominador. El criterio que utilizaremos es el siguiente si el polinomio del denominador no es el constante o de grado cero, la expresión no es un polinomio. Recuerde que los exponentes deben ser enteros positivos.

Gráficas Una fórmula polinómica tiene la forma y = an xn + an-1 xn-1 + ··· + a2 x2 + a1 x + a0.

En la aplicación de abajo, que sigas los siguientes pasos: 1. Aprieta la caja que dice lineal para ver la gráfica de un polinomio de grado 1 (una fórmula lineal). Nota que la gráfica cruza el eje de x una vez. El valor MATEMATICA BASICA I

72

2.

3.

4.

5.

6.

de x donde la gráfica cruza el eje de x se llama una raíz o cero de la gráfica. ¿Cuál es la raíz inicial de la gráfica? Juega con los botones para ver como la raíz cambia cuando los coeficientes cambian. Después aprieta la caja que dice lineal de nuevo.

Aprieta la caja que dice cuadrática para ver la gráfica de un polinomio de orden 2 (una fórmula cuadrática). Mover los botones para que a = 1b = 2 y c = 0. Debes ver que la gráfica tiene dos raíces en x = -1 y x = 0. Mover el botón para que c = 1 y la gráfica tiene solamente una raíz en x = -1. Mueve el botón para que c = 2 y la gráfica no tiene ninguna raíz. Es decir que la gráfica no cruza el eje de x. Un polinomio de orden 2 puede tener 0, 1 o 2 raíces. Juega con los botones para ver como la raíz cambia cuando los coeficientes cambian. Después aprieta la caja que dice cuadrática de nuevo.

Aprieta la caja que dice cúbica para ver la gráfica de un polinomio de orden 3 (una fórmula cúbica). Un polinomio de orden 3 puede tener 1,2 o 3 raíces.

Juega con los botones para ver si puede encontrar coeficientes para que haya 1, 2 y 3 raíces de la gráfica. Después aprieta la caja que dice cúbica de nuevo.

Aprieta la caja que dice cuartica para ver la gráfica de un polinomio de orden 4 (una fórmula cuartica). Un polinomio de orden 4 puede tener 0, 1, 2, 3 o 4 raíces. Juega con los botones para ver si puede encontrar coeficientes para que haya 0, 1, 2, 3 y 4 raíces de la gráfica. Después aprieta la caja que dice cuartica de nuevo.

Aprieta la caja que dice quintica para ver la gráfica de un polinomio de grado 5 (una fórmula quintica). Un polinomio de grado 5 puede tener 1, 2, 3, 4 o 5 raíces. Juega con los botones para ver si puedes encontrar coeficientes para que haya 1, 2, 3, 4 y 5 raíces de la gráfica. Después aprieta la caja que dice quintica de nuevo.

4.1. Suma y Resta de Polinomios: Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales. Los pasos para hacer la suma son: Paso 1: Elimine los paréntesis Pasó 2. Agrupe términos semejantes Pasó 3. Sume y reste los términos semejantes.

Ejemplo: Halla la suma de:

( x  2 x  5x  7)  (4 x  5 x  3) 3

2

MATEMATICA BASICA I

3

2

73

( x  2 x  5x  7)  (4 x  5 x  3) x  2 x  5x  7  4 x  5x  3 3

2

3

=

=

=

3

2

3

2

=

2

( x  4 x )  (2 x  5x )  5x  (7  3) 3

3

2

2

(5x )  (3x )  5x  (10) 3

2

5x  3x  5x  10 3

2

Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes de los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.

Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:

( x  2 x  5x  7)  (4 x  5x  3) 3

2

3

2

Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto un signo negativo, los signos dentro del paréntesis se afectan. Los signos se cambian a su opuesto y el signo negativo antepuesto al paréntesis pasa a ser positivo.

(4 x  5x  3)  (4 x  5 x  3) 3

2

3

2

Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo sólo escriba los términos que están dentro del paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + entre los dos paréntesis.

Paso 3: Agrupe los términos semejantes; es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.

Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.

Así que aplicando este concepto a la expresión original tendríamos:

MATEMATICA BASICA I

74

( x  2 x  5x  7)  (4 x  5x  3) = ( x  2 x  5x  7)  (4 x  5x  3) = 3

2

3

2

=x

3

3

2

3

2

 2 x  5x  7  4 x  5x  3 = 2

3

2

x  4 x  5x  2 x  5x  7  3 = 3

3

2

2

3x  7 x  5x  4 3

2

4 . 2 . Mul ti pl i c ac i ón de un monomi o por un pol i nomi o S e mu lt ip lica e l m o no m io p o r to d o s m o nom io s qu e f o rm a n e l po lin om io .

y

ca d a

u no

de

lo s

E JE MP L O S 3x POR (2 x 3 − 5 4 3 2 = 6x − 9x + 12x − 6x

3x2

+

4x

−

2)

=

Mul ti pl i c a ci ón de pol i nomi os E st e t ip o d e op e racio n e s se pu e de lle va r a ca b o d e dos f o rm as d ist in t a s.

Mira la d em o st ra ció n con e l sigu ie nte e jem p lo: P (x) = 2 x 2 − 3

Q (x) = 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x

S e m u lt ip lica ca da m on om io d e l p rime r p o lino m io po r to d o s lo s e le me n to s de l se gu n do p o linom io .

P (x) · Q ( x) = (2 x 2 − 3 ) · (2 x 3 − 3 x 2 + 4 x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x = S e sum an lo s m ono m io s d e l m ismo gra d o . = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x MATEMATICA BASICA I

75

S e ob t ie ne ot ro po lin o m io cu yo gra d o e s la sum a d e los gra d o s d e lo s po lin o m io s qu e se mu lt ip lica n .

G ra d o de l p o lino m io = + G ra d o de Q (x) = 2 + 3

G ra d o de P (x) =

4 . 3 . DI V I SI Ó N DE P O LI NO MI O S P a ra e xp lica r la divis ió n d e po lin omio s n o s va ld re mo s d e u n e je mp lo p rá ct ico : P (x) = x 5 + 2 x 3 − x − 8

Q (x) = x 2 − 2 x + 1

P (x ) ÷ Q (x ) no e s c ompl e to co rre sp o nd a n.

d e jam o s

hue cos

en

lo s

lu gare s

qu e

A la de re ch a sit u am o s e l d iviso r d e nt ro d e u na ca ja.

Divid im o s e l p rimer m o no m io d e l d ivi d e nd o en t re e l p rim e r m o nom io de l d iviso r. x 5 ÷ x 2 = x 3 Mu lt ip lica m o s ca da t é rm in o d e l p o lin o m io d iviso r p o r e l re su lt a do an t e rio r y lo re st a m o s d e l p o lin om io d ivid e n do :

MATEMATICA BASICA I

76

V o lve m o s a di vi di r e l p rime r mo n om io d e l d ivid e n d o e n t re e l p rime r mon o m io de l d iviso r. Y e l re su lt a d o lo m u lt ip licam o s p o r e l d iviso r y lo re st a m o s a l d ivid e n d o . 2 x 4 / x 2 = 2 x 2 P ro ce de mo s igu a l qu e a n te 5 x 3 ÷ x 2 = 5 x

4.4. Productos y cocientes notables En este artículo se tratara una rama muy importante del algebra, se aprenderá a hacer reconocimiento por simple inspección de algunas expresiones algebraicas especiales que se conocen como producto y cociente notable.

Existen casos en los que se puede hacer la división o el producto de una expresión algebraica ya está un monomio, un binomio o un polinomio; solo con observarla.

Los productos y cocientes notables son los siguientes: 1. El cuadrado de un monomio.

2. El cuadrado de un binomio compuesto por la suma de sus términos.

3. El cuadrado de un binomio compuesto por la diferencia del primer término menos el segundo.

MATEMATICA BASICA I

77

4. El producto de un binomio compuesto por la suma de sus términos multiplicado por el binomio compuesto por la diferencia del primer término menos el segundo.

5. El cubo de un binomio compuesto por la suma de sus términos.

6. El producto de dos binomios constituidos por la suma de sus términos, donde el primer termino de los dos es igual y el segundo es diferente.

7. El cociente de un binomio donde el primer término esta elevado al cuadrado menos el segundo término que también esta elevado al cuadrado, divido por el binomio constituido por la suma de sus términos.

8. El cociente del binomio conformado por la suma de sus términos los cuales están elevados al cubo dividido por el binomio compuesto por la suma de sus términos.

9. El cociente del binomio conformado por la diferencia de sus términos los cuales están elevados al cubo dividido por el binomio compuesto por la diferencia de del primer término menos el segundo.

10. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales dividido entre la suma o diferencia de las cantidades.

MATEMATICA BASICA I

78

4 . 5 . F ACTO RI Z AC I O N 4 . 5 .1 . Sa c a r fac tor c omún y fa c t or c omún por a gr upa c i ón.

Co n sist e en ap licar la p ro p ied a d d istrib u t iva : a · b + a · c + a · d = a (b + c + d) E je mp lo s De sco mp o ne r e n f a ct o re s sa ca nd o fa ct o r com ún 3 2 2 1 . x + x = x (x + 1 )

2 x 4 + 4 x 2 = 2 x 2 (x 2 + 2 ) x 2 − a x − b x + a b = x (x − a ) − b (x − a ) = (x − a ) · ( x – b ).

4 . 5 .2 . Di fe re nc ia de c ua dra dos Un a d if e re n cia d if e re n cia.

de

cu a d rad o s

es

igu a l

a

su m a

por

a 2 − b 2 = (a + b) · (a − b) E JE MP L O S: De scom p on e r e n f a ct o res y h a lla r la s ra íce s 2 1 . x − 4 = (x + 2 ) · (x − 2 )

L a s ra íce s son x = −2 y x = 2 4 2 2 2 2 . x − 1 6 = (x + 4 ) · (x − 4 ) = (x + 2 ) · (x − 2 ) · (x + 4)

4 . 5 .3 . Tri nomi o cua dra do pe rfec to Un t rin o m io cua d ra d o p e rf e ct o e s igu a l a u n b in om io a l cu ad ra d o. a 2 ± 2 a b + b 2 = (a ± b) 2 E je mp lo s De sco mp o ne r e n f a ct o re s MATEMATICA BASICA I

79

.

2

4 . 5 .4 . Tri nomi o de l a forma : x + bx + c y de l a 2 for m a : a x +bx + c Cu m p le la s sigu ien t e s co n d icion e s: E l co ef icien t e d e l p rim e r t é rm in o e s 1 .

E l p rim e r té rm ino e s u na le t ra cu a lqu ie ra e le va da a l cu a d rad o .

E l se gu n do té rm in o t ien e la m ism a le t ra qu e la p rim e ra con e xp o n e n te 1 y su co ef icie nt e e s u n a ca n t id ad cua lqu ie ra , p o sit iva o n e ga t iva .

E l t e rce r t é rm ino e s in d ep e nd ie nt e d e le t ra qu e a p a re ce e n e l 1 ° y 2° T e rm in o e s u n a can t id ad cu a lqu ie ra , p o sit iva o n e ga t iva . E l t rin o m io d e la f o rm a: a x 2 + b x + c = a · ( x − x 1 ) · ( x − x 2 ), e s d if e ren t e al a n t e rio r, p o r e l coef icie n te e s d ist in to d e u no E JE MP L O De scomp o ne r e n f a cto re s 1.

2.

2 3 . 2 x +1 1 x + 5 = ( 2 x + 1 ) ( x + 5 ) t e rm ino

2 x* x = 2 x 2 -- ---- --- 1 °

2x * 5 = 1 0 x X * 1 = _ x_ _ MATEMATICA BASICA I

80

11 x----2 ° t e rm ino 1 * 5 = 5 ---------3 ° t e rm in o

2 2 4 . 6 x - 7 x – 3 = (2x – 3 )(3 x +1 ) = 2 x * 3 x= 6 x --- - 1 ° t e rm in o

- 3*3 x= - 9 x 2x+ 1 = +2 x_ _ _ -7 x--2 ° t e rm in o

4 . 5 .5 . DI FE RE NCIA DE CU AD R ADO P E RFE CTO .

S e e xt ra e la ra í z cu a d rad a de d e l p rim e r t é rm in o y e l se gu n do t é rm ino , lu e go se co lca un sign o po sit ivo y u n o ne ga t ivo .

E JE MP L O : (x 2 – y 2 = (x + y) ( x - y) (9 – b 2 )= (3 + b ) (3 -b ) 4 . 5 .6 . S UM AN O DI FE RE NCI A DE C UBO S P E RFE CTOS .

L a sum a d e d o s cub o s pe rf e cto s se de sco mp on e e n d o s f a ct o re s: 1 ° L a sum a d e su s ra íce s cu b ica s.

2 ° E l cu ad ra do d e la p rim e ra ra íz, m e no s e l p ro d u ct o d e la s d os ra íce s, m a s cu ad ra d o d e la se gu nd a ra íz.

L a d if e re n cia d e d o s cub o s pe rf e ct o s se d e scom pon e en d os f a ct o re s: 1 ° L a sum a d e su s ra íce s cu b ica s.

2 ° E l cu ad ra do d e la p rim e ra ra íz, m e no s e l p ro d u ct o d e la s d os ra íce s, m a s cu ad ra d o d e la se gu nd a ra íz.

E JE MP L O : X 3 + 1 = ( x + 1 )( x 2 – x +1 ) A 3 – 8 =(a – 2 ) (a 2 + 2 ª + 4 ) 4 . 5 .7 CUBO P E RFE CTO DE BI NO MIO .

T en e r cua t ro té rm in o s .

Q u e e l p rim e ro y u lt im o te n ga n cu bo s p e rf e cto s.

Q u e e l 2 ° te rm ino se m a s o m en o s e l t rip lo d e l cu a dra d o d e la ra í z cu b ica De l p rim e r t é rm ino m u lt ip lica do p or la ra íz cu b ica d e l u lt im o t e rm ino .

MATEMATICA BASICA I

81

E JE MP L O : (a + b ) 3 = a 3 + 3 ª 2 b + 3 a b 2 +b 3 (a – b ) 3 =a 3 - 3 ª 2 b + 3 a b 2 + b 3 8 x 3 + 1 2 x 2 +6 x +1 = (2 x +1 ) 3 8 x 6 + 5 4 x 2 y 4 - 2 7 y 9 – 36 x 4 y 3 = 8 x 6 + 5 4 x 2 – 3 6 x 4 y 3 + 5 4 x 2 y 4 - 2 7 y 9 = (2 x 2 – 3 y 3 ) 3

EJERCICIOS Expresa en lenguaje algebraico: La mitad del resultado de sumarle 3 a un número.

La tercera parte del área de un rectángulo en el que la base mide el doble que la altura.

El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos.

La media de un número y su cuádruplo.

Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones: El triple del resultado de sumar un número con su inverso.

El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.

El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x.

El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de altura.

Dado los siguientes polinomios: R(x) = 4x3 – 2x + 3.

Calcular: a) R(x) + S(x) + T(x)

S(x) = - 3x + 6x2 – 1

b) R(x) + S(x) – T(x)

T(x) = 2x2 – 5x3 – 3

c) S(x) – (R(x) + T(x) d) S(x) - T(x)

Multiplicación de Polinomios (6x2 + 5x – 4) * ( -2x) ( x3 – 2x2 +x – 1) *(x + 2) (5x2 - x3 + 4x) * (-3x + 3 – x3 ) Resuelva las siguientes divisiones: P(x) = x3 – 5x2 + 2x +2 ÷ x -1 P(x) = x3 – 5x2 + 2x +2 ÷ x + 2

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P( x) = 3x4 – 5x3 – 2x + 2 ÷ x – 1 Q(x) = - 3x3 + 4x2 – x – 2

÷ S(x) = x2 – 3x -10

Desarrolla los siguientes productos notables: (2a+3b)2 = (a2b2 – 1)( a2b2 + 7) = (a2 + 3b)3 = (xa+1 – 3xa-2)2 (a – 11)(a + 10 Factorizar x2y2 + 7xy – 18 = 6a2 + 11a + 3 = 10b2 + 21b – 10 = a7 – a5 = p2q3 – q4 = x2 + 14x +49 = REFERENCIAS    

Allendoerfer C. B. MATEMATICAS UNIVERSITARIAS. Mc. Graw Hill Aurelio Baldor. Algebra Baldor.

Libros & libros. Estrategias matemáticas. 5° Pabla Ardila de García, Norma Galvis Quiroga. ACIERTOS MATEMATICOS 8°.

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Sitios web donde se puede consultar el tema de expresiones algebraicas

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http://tareasplus.com http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html http://www.aulafacil.com/fracciones-algebraicas/curso/Lecc-2.htm http://html.rincondelvago.com/expresiones-algebraicas.html

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