MODULO PENSAMIENTO MATEMATICO

INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE COROZAL

FORMACIÓN COMPLEMENTARIA MODALIDAD A DISTANCIA: RES: 17157. 11-27-13

PENSAMIENTO MATEMÁTICO

RECTOR: ARMANDO GANDARA CASTILLA. COORDINADOR DEL PFC: VALMIRO RANGEL RANGEL COMPILADORES: LIC: ERIKA P BETIN VASQUEZ. LIC: IVAN J. GONZALEZ RAMOS. COROZAL 2015 ‘Las matemáticas parecen dotar a uno de un nuevo sentido’’ Charles Darwin 1

TABLA DE CONTENIDO 1. PRESENTACION 2. INTRODUCCIÓN 3. PROBLEMA GENERAL 4. INTENCIÓN PEDAGÓGICA DEL AREA 5. INTENCIÓN PEDAGÓGICA DE LA DISCIPLINA: 6. ESTANDARES: 

BASICOS DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS:



DE COMPETENCIAS CIUDADANAS:



DE COMPETENCIAS LABORALES.

7. SITUACIÓN PROBLEMA: 8. OBJETIVOS: 

OBJETIVO GENERAL



OBJETIVOS ESPECIFICOS

9. PENSAMIENTO MATEMATICO. 10. UNIDAD TEMATICA Nº 1: “PENSAMIENTO NUMÉRICO” 

Operaciones con números naturales, situación problemicas, propiedades.



Potenciación, radicación, logaritmación, situación problemica, propiedades.



Números primos y compuestos, divisibilidad, descomposición en sus factores primos, Máximo Común Divisor(M.C.D), MINIMO Común Múltiplo (M.C.M), situación problema



Operaciones con números fraccionarios, situación problemica



Operaciones con números decimales, situación problemica.

11. UNIDAD TEMATICA Nº 2: “PENSAMIENTO ESPACIAL” 

Modelo de van Hiele



Línea recta, clase de líneas.



Ángulos clase de ángulos, medidas(transportador)



Polígonos, clase, construcción, aplicación GEOGEBRA – CABRI GEOMETRE.



Solidos geométricos. Ampliación y reducción de figuras.



Semejanza de figuras.



Plano cartesiano, movimiento en el plano, 2

12. UNIDAD TEMATICA Nº 3: “PENSAMIENTO MÉTRICO” 

Sistema métrico decimal.



Medidas de longitud, unidad, conversión perímetro de polígonos.

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Medidas de superficie, conversión unidad, áreas de polígonos regulares.



Medidas de volumen, conversión unidad, volumen de polígonos regulares.



Medidas de capacidad, unidad, conversión.



Medidas de peso, unidad, conversión.



Medidas de tiempo, conversiones.

13. UNIDAD TEMATICA Nº4: “PENSAMIENTO VARIACIONAL” 

Ecuaciones de primer grado, solución de problemas.



Razones.



Proporcionalidad.



Proporcionalidad directa, situación problemica.



Proporcionalidad inversa, situación, problemica



Porcentaje, situación problemica.



Patrón de cambio, situación problemica

14. UNIDAD TEMATICA Nº 5: “PENSAMIENTO ALEATORIO” 

Recolección de datos.



Tabulación y análisis de datos.



Grafica de barra y circular.



Moda, mediana, media, solución de problemas.



Probalidades de ocurrencia de eventos, solución de problemas

15. A MANERA DE CONCLUSIÓN….

16. PIENSA UN POCO…. RAPIDAMENTE. 17. PARA QUE PIENSES MÁS… Y MÁS….

18. REFERENTES BIBLIOGRAFICOS

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1. PRESENTACION La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y para las universidades públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: ―Que la Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí‖.

La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes.

La Institución Educativa Escuela Normal Superior de Corozal gestora de la educación y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones, y el Centro de Educación Virtual, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad Normalista e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Institución, para contribuir colectivamente a la construcción del país que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza en el nuevo Estatuto Orgánico: Misión: La escuela Normal Superior de Corozal es una institución educativa que tiende la formación inicial de maestros para desempeñarse en los diferentes contextos, fundamentada en un currículo basado en el desarrollo del pensamiento, del lenguaje, la pedagogía y la investigación, para el ejercicio de la docencia en el nivel de Preescolar y el ciclo de Básica Primaria, desarrollando su proceso educativo fundamentado en la pedagogía con orientación critico-social, para formar ciudadanos con sentido humanista, critico, analítico, autónomo y reflexivo, que desempeñen con idoneidad su labor profesional, protagonistas en el desarrollo de procesos educativos en la formación de niñas niños, adolescentes, jóvenes y adultos de la poblaciones vulnerables sujetas de exclusiones, pertinentes, de calidad, de calidad equitativos y con un enfoque intercultural, como base para el desarrollo sostenible, integral y armónico de las personas en relación con , la familia, la sociedad y su ambiente natural en un marco de convivencia democrática.

Visión: La Escuela Normal Superior de Corozal, se consolidara como una institución generadora de conocimientos, potenciadora de los valores culturales de la región y del país, orientado su accionar pedagógico hacia la reflexión sobre su contexto para proponer creativamente a la comunidad alternativas de desarrollo lo mismo que a impulsar procesos de mejoramiento permanente de la educación en las áreas rurales y de población vulnerables sujetas de exclusión, atreves de la investigación, la innovación y el asesoramiento, para el fortalecimiento de capacidades locales y regionales.

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2. INTRODUCCIÓN La Educación Superior a Distancia supera las barreras del espacio físico a la distancia física para acceder a la educación.

Parte como hecho básico de la separación entre el estudiante y el profesor para lograr con su organización y gestión seguir un programa desde cualquier parte.

El Centro de Educación Virtual y a Distancia en cumplimiento de sus propósitos busca llegar a usted apreciado estudiante, sin importar el lugar donde se encuentre. Esta situación nos plantea la oportunidad de mantenerlos en un continuo proceso de innovación y cambio en aras de la calidad y la cobertura educativa.

En este módulo tratamos de crear un espacio de reflexión y estudio del pensamiento matemático, teniendo en cuenta que la inteligencia matemática, tiene que ver con la habilidad de trabajar y pensar en términos de números y la capacidad de emplear el razonamiento lógico.

Pero este tipo de inteligencia va mucho más allá de las capacidades numéricas, nos aporta importantes beneficios como la capacidad de entender conceptos y establecer relaciones basadas en la lógica de forma esquemática y técnica. Implica la capacidad de utilizar de manera casi natural el cálculo, las cuantificaciones, proposiciones o hipótesis.

Todos nacemos con la capacidad de desarrollar este tipo de inteligencia. Las diferentes capacidades en este sentido van a depender de la estimulación recibida. Es importante saber que estas capacidades se pueden y deben entrenar, con una estimulación adecuada se consiguen importantes logros y beneficios. ¿Por qué es importante desarrollar el pensamiento matemático en nuestros estudiantes?

El pensamiento matemático incluye cálculos matemáticos, pensamiento numérico, solucionar problemas, para comprender conceptos abstractos, razonamiento y comprensión de relaciones. Todas estas habilidades van mucho más allá de las matemáticas entendidas como tales, los beneficios de este tipo de pensamiento contribuyen a un desarrollo sano en muchos aspectos y consecución de las metas y logros personales, y con ello al éxito personal. La inteligencia lógico matemática contribuye a:     

Desarrollo del pensamiento y de la inteligencia.

Capacidad de solucionar problemas en diferentes ámbitos de la vida, formulando hipótesis y estableciendo predicciones.

Fomenta la capacidad de razonar, sobre las metas y la forma de planificar para conseguirlo.

Permite establecer relaciones entre diferentes conceptos y llegar a una comprensión más profunda.

Proporciona orden y sentido a las acciones y/o decisiones.

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Diez Estrategias para estimular el desarrollo del pensamiento matemático.

La estimulación adecuada desde una edad temprana favorecerá el desarrollo fácil y sin esfuerzo de la inteligencia lógico matemática y permitirá al niño/a introducir estas habilidades en su vida cotidiana. Esta estimulación debe ser acorde a la edad y características de los pequeños, respetando su propio ritmo, debe ser divertida, significativa y dotada de refuerzos que la hagan agradable.

1. Permite a los niños y niñas manipular y experimentar con diferentes objetos. Deja que se den cuenta de las cualidades de los mismos, sus diferencias y semejanzas; de esta forma estarán estableciendo relaciones y razonando sin darse cuenta.

2. Emplea actividades para identificar, comparar, clasificar, seriar diferentes objetos de acuerdo con sus características.

3. Muéstrales los efectos sobre las cosas en situaciones cotidianas. Por ejemplo, como al calentar el agua se produce un efecto y se crea vapor porque el agua transforma su estado.

4. Genera ambientes adecuados para la concentración y la observación.

5. Utiliza diferentes juegos que contribuyan al desarrollo de este pensamiento, como sudokus, domino, juegos de cartas, adivinanzas, etc.

6. Plantéales problemas que les supongan un reto o un esfuerzo mental. Han de motivarse con el reto, pero esta dificultad debe estar adecuada a su edad y capacidades, si es demasiado alto, se desmotivarán y puede verse dañado su auto concepto.

7. Haz que reflexionen sobre las cosas y que poco a poco vayan racionalizándolas.

Para ello puedes buscar eventos inexplicables y jugar a buscar una explicación lógica.

8. Deja que manipule y emplee cantidades, en situaciones de utilidad. Puedes hacerles pensar en los precios, jugar a adivinar cuantos lápices habrá en un estuche, etc.

9. Deja que ellos solos se enfrenten a los problemas matemáticos. Puedes darles una pista o guía, pero deben ser ellos mismos los que elaboren el razonamiento que les lleve a la solución.

10. Animales a imaginar posibilidades y establecer hipótesis. Hazles preguntas del tipo ¿Qué pasaría si….?

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3. PROBLEMA GENERAL ¿Cómo desarrollar en el estudiante normalista las competencias básicas, ciudadanas y laborales en matemáticas y su relación con las nuevas tecnologías, para que evidencie la educabilidad y enseñabilidad en su formación integral y desempeño profesional en diversos contextos?

4. INTENCIÓN PEDAGÓGICA DEL AREA: Coherente con los fines y propósitos establecidos en el P.E.I. institucional con el presente programa se busca contribuir con la apropiación en los estudiantes del ciclo de formación complementaria de la Escuela Normal Superior de Corozal de los referentes conceptuales relacionados con el desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes de pre-escolar y educación básica primaria. El pensamiento matemático está ligado a unos conocimientos básicos que deben apropiar los estudiantes, para lo cual se abordarán los siguientes pensamientos y sistemas: El numérico, el espacial, el métrico, el aleatorio y el variacional.

5. INTENCIÓN PEDAGÓGICA DE LA DISCIPLINA: El curso de Pensamiento Matemático es ofrecido a los estudiantes del programa de formación complementaria de la Escuela Normal Superior de Corozal y pretende brindar herramientas conceptuales relacionadas con los conocimientos básicos que se deben desarrollar en la enseñanza de las matemáticas para los niveles de pre-escolar y básica primaria. En el curso se tendrán en cuenta los referentes teóricos de los lineamientos curriculares de matemáticas y los estándares básicos de competencias matemáticas del Ministerio de Educación Nacional. Así mismo, la mediación de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación, permitirá generar mayor interactividad en las actividades mediante la puesta en marcha del curso en plataformas virtuales de uso libre.

6. ESTANDARES: Básicos De Competencias Matemáticas:  Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codificación, localización, entre otros).  Reconozco nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad en distintos contextos y su condición relativa con respecto a diferentes sistemas de referencia.  Reconozco en los objetos propiedades o atributos que se puedan medir (longitud, área, volumen, capacidad, peso y masa) y, en los eventos, su duración.  Clasifico y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y los presento en tablas.  Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geométrico, musical, entre otros).

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De Competencias Ciudadanas:  Contribuyo a que los conflictos entre personas y entre grupos se manejen de manera pacífica y constructiva mediante la aplicación de estrategias basadas en el diálogo y la negociación.  Valoro positivamente las normas constitucionales que hacen posible la preservación de las diferencias culturales y políticas, y que regulan nuestra convivencia.  Comprendo la importancia de la defensa del medio ambiente, tanto en el nivel local como global, y participo en iniciativas a su favor. 

Participo en iniciativas políticas democráticas en mi medio escolar o localidad.

 Construyo una posición crítica frente a las situaciones de discriminación y exclusión social que resultan de las relaciones desiguales entre personas, culturas y naciones.

De Competencias Laborales.  Conformo equipos de trabajo o me integro eficazmente a éste, liderando cuando sea necesario, estableciendo relaciones fluidas de cooperación, aportando en la definición de los objetivos a alcanzar y colaborando en la superación de las contingencias que se presenten haciendo un seguimiento de éstas.  Actúo proactivamente ante los problemas emergentes que se presenten, delimitándolos y siguiendo protocolos de actuación y registro, planteando distintas respuestas alternativas y anticipando posibles resultados, que permitan seleccionar la más efectiva para aplicarla y evaluarla en el contexto del trabajo que se está realizando.  Utilizo, comunico y genero información a partir de la elaboración de la ya existente, asumiendo una posición crítica y argumentada frente a ésta, haciendo uso eficiente de la tecnología necesaria para aumentar la efectividad de tareas frente al contexto de uso de la información elaborada.  Utilizo materiales, herramientas, sistemas y procesos relacionados con diferentes tecnologías presentes en la vida diaria, comprendiendo y valorando los factores que en ellos concurren (funcionales, técnicos, económicos, sociales…), y aplicándolos en el contexto del desarrollo de sus trabajos tomando en cuenta para ello las normas de seguridad y ambientales que requieren.  Identifico y valoro diferentes problemáticas de carácter social y/o ambiental que inciden tanto en el entorno próximo como a nivel regional o mundial, para plantear y/o implementar propuestas de trabajo orientadas a dar solución o a sensibilizar a la comunidad sobre las mismas, trabajando en equipo, identificando y aplicando tanto la legislación existente al respecto como los procedimientos más pertinentes, y buscando 8

el apoyo y la colaboración de las entidades municipales, regionales, nacionales o internacionales que se ocupan de dichas temáticas.

7. SITUACIÓN PROBLEMA: ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático en los estudiantes de pre-escolar y educación básica primaria?

8. OBJETIVOS:  Objetivo General Apropiar elementos conceptuales del pensamiento matemático que permitan al estudiante normalista, diseñar actividades y estrategias didácticas que posibiliten la construcción de aprendizajes significativos a través del estudio y análisis de los lineamientos curriculares y estándares básicos de matemáticos.  Objetivos Específicos Incorporar la profundización en el estudio de los conocimientos básicos con que se deben dotar a un estudiante de pre-escolar y básica primaria plasmados en los lineamientos curriculares y estándares básicos de competencias matemáticas. 

Contribuir con el diseño de actividades y estrategias didácticas que permitan el desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes de pre-escolar y básica primaria. 

Implementar estrategias de trabajo para desarrollar competencias básicas, ciudadanas y laborales, como las relacionadas con el dominio de saberes, habilidades, actitudes y valores éticos, en las diferentes formas del estudio de la asignatura. 

9. PENSAMIENTO MATEMATICO El pensamiento es aquello que existe a través de la actividad intelectual. Se trata del producto de la mente nacido de los procesos racionales del intelecto o de las abstracciones de la imaginación.

El análisis, la comparación, la generalización, la síntesis y la abstracción son algunas de las operaciones vinculadas al pensamiento, que determina y se refleja en el lenguaje. Es posible distinguir entre diversos tipos de pensamiento, como el pensamiento analítico (que separa el todo en distintas partes), el pensamiento crítico (evalúa los conocimientos) o el pensamiento sistemático (una visión que abarca elementos múltiples con sus distintas interrelaciones).

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En este caso nos interesa el pensamiento matemático, que consiste en la sistematización y la contextualización del conocimiento de las matemáticas. Este tipo de pensamiento se desarrolla a partir de conocer el origen y la evolución de los conceptos y las herramientas que pertenecen al ámbito matemático.

Al desarrollar este pensamiento, el sujeto alcanza una formación matemática más completa que le permite contar con un cuerpo de conocimientos importante que le será de utilidad para llegar a los resultados.

El pensamiento matemático, por lo tanto, incluye conocer cómo se ha ido formando un concepto o técnica. De esta manera, la persona conoce sus dificultades inherentes y descubre como explotar su uso de forma adecuada.

Como asignatura, el pensamiento matemático incluye el estudio de conceptos, técnicas y algoritmos vigentes en cada momento histórico. Esto no implica, de todas formas, evaluar los logros y descubrimientos matemáticos de la antigüedad desde el conocimiento actual.

Si bien el pensamiento matemático está íntimamente relacionado con la capacidad de pensar y trabajar en términos numéricos empleando el razonamiento lógico, este tipo de inteligencia trasciende el ámbito de las matemáticas y colabora con nuestra habilidad para comprender conceptos de otra naturaleza y para relacionarlos basándonos en esquemas y técnicas ordenadas. Es a través del pensamiento matemático que podemos convertir los cálculos, las hipótesis, las cuantificaciones y las proposiciones en un recurso natural de nuestro cerebro.

A diferencia de lo que mucha gente cree, todas las personas contamos con la posibilidad de desarrollar este tipo de pensamiento, y la capacidades resultantes dependen del grado de estimulación que cada una reciba. La inteligencia se puede y se debe entrenar; sólo a través de un esfuerzo constante y de mucha determinación es posible obtener resultados importantes.

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Entre los beneficios que otorga el pensamiento matemático se encuentran los siguientes puntos:

* promueve la capacidad de resolver problemas en diversos ámbitos de la vida a través de la formulación de hipótesis y de la elaboración de predicciones; * incentiva el razonamiento acerca de los objetivos y los métodos a seguir para alcanzarlos; * permite relacionar conceptos que, en apariencia, se encuentran distantes entre sí, lo cual abre las puertas a un entendimiento más profundo; * despierta la necesidad de ordenar y analizar los actos y las decisiones que se realizan a diario, mejorando el rendimiento general.

Como en todos los casos, cuanto más temprano en la vida se comience a estimular el pensamiento matemático en una persona, mayor será su desarrollo intelectual y más natural le resultará aplicar este tipo de inteligencia lógica en su día a día. Sin embargo, es necesario señalar que no es posible exponer a los niños a estos conceptos sin moderación, sino que la enseñanza debe ser acorde a la edad y, no menos importante, a las características de cada individuo. Asimismo, no se debe olvidar que se aprende mejor cuando la educación supone un divertimento que cuando se impone.

Algunos de los métodos que suelen emplearse al trabajar con niños muy pequeños incluyen actividades que se centran en la manipulación de diversos objetos, para que los identifiquen, los comparen y los clasifiquen. También es muy beneficioso presentarles gradualmente una serie de conceptos físicos y químicos que puedan advertir en su vida cotidiana, ayudándoles a estudiar sus efectos en el entorno.

10. UNIDAD TEMATICA Nº 1 PENSAMIENTO NUMÉRICO. …el pensamiento numérico se refiere a la comprensión en general que tiene una persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones…(McIntosh, 1992).

El desarrollo del pensamiento numérico de los niños empieza antes de su ingreso a la escuela, cuando hacia los dos o tres años, a través de la interacción con otros adultos 11

(fundamentalmente sus padres) desarrollan no solo las habilidades y competencias relativas al lenguaje materno, sino que, gracias a esas interacciones, también desarrollan una serie de intuiciones sobre lo numérico, las cuales se muestran en competencias relativas al conteo, percepción del cardinal de pequeñas colecciones, incluso, la posibilidad de composiciones y descomposiciones de las mismas. Si bien no puede decirse que estas actuaciones constituyan un conocimiento amplio del número ni en el sentido matemático (aun no pueden reconocerse las propiedades matemáticas básicas del sistema de los números naturales ni psicológico (la complejidad lógica de estos conocimientos es aún incipiente), si puede afirmarse que estas primeras intuiciones numéricas son la base para el posterior desarrollo de los aspectos psicológicos y matemáticos del mismo.

Desde el punto de vista psicológico, se deben estructurar las operaciones lógicas de clases de seriación y de inclusión, que son las que permiten, siguiendo a Piaget, la construcción de la noción de cardinalidad, y orden estable, y por consiguiente, del número como una clase lógica. Esta construcción de los aspectos cognitivos del número es un asunto del desarrollo normal de la persona, y el papel de la escuela en este proceso es importante, pero no enseñando las actividades piagetianas de seriación, clasificación, ordenación, conservación, etc., sino a partir de promover situaciones en las cuales el papel de la interacción social del niño con otros niños y adultos sea factor fundamental para el desarrollo de éstas, en tanto que le posibiliten el proceso de adquisición de las competencias lingüísticas, pragmáticas, y conceptuales necesarias para su desarrollo. En otras palabras, el aprendizaje del número no es solo un problema de desarrollo cognitivo, sino que el contexto sociocultural en el que el niño despliega su actividad es determinante en los logros que puede alcanzar.

Así pues, aceptando que la escuela juega un papel importante en el desarrollo del pensamiento numérico, y que este es un proceso de larga duración, se pueden proponer los siguientes aspectos sobre los cuales centrar los esfuerzos en el contexto escolar: Conocimiento de los múltiples usos de los números.

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Conocimiento De Los Múltiples Usos De Los Números.

Los números en la vida cotidiana pueden ser usados de muchas maneras: como secuencia verbal, para cuantificar, para medir, para expresar un orden, para etiquetar, para marcar una locación, o simplemente como una tecla para pulsar (en el caso de las calculadoras), (MEN, 1998; Decorte, Verschafel, 1996).

Los Números como secuencia verbal Esta es quizás una de las primeras identificaciones que el niño hace con respecto al número. Desde una edad muy temprana, cuando se inicia el desarrollo del lenguaje, los niños comprenden que existen palabras para referirse a las cosas o las acciones, y otras palabras especiales con las cuales referirse al contar. No quiere decir esto que los niños en esos momentos iniciales sepan contar, sino que identifican la existencia de palabras para referirse a esa acción es especial.

Esta iniciación al uso de las palabras números cumple una funcionalidad muy importante en el aprendizaje del conteo: de un lado, permite que los niños aprendan las palabras número, y de otro, con la corrección del adulto, interiorizan el orden en que ellas deben ser aprendidas. Si bien pronunciar las palabras número no es contar en el sentido estricto de la palabra, conocer las palabras y su orden es uno de los aspectos claves en su aprendizaje. Además, cuando este aprendizaje se hace unido a las acciones mismas de contar, y no solo a partir de acción de repetir las palabras número como si se tratara de una canción o un retahíla de palabras, éstas palabras número se aprenden en contexto y con significado, lo que hace más fácil los aprendizajes posteriores con respecto al número.

Los números para etiquetar Los números como etiquetas tienen varios sentidos: de un lado puede identificar cierto uso que da el niño a las palabras número cuando está en proceso de aprender a contar, pero de otro, puede referirse al uso que al número como código de identificación de personas, objetos, funciones etc.

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Cuando el niño inicia el aprendizaje del conteo, una etapa inicial del proceso está referida al uso de las palabras número como etiquetas. Esto es, para el niño, cada palabra número enunciada, no representa la cantidad de objetos contados hasta el momento, sino el último objeto señalado. Es decir, la palabra número no expresa cantidad sino formas de nombrar los objetos. Esto se va superando en la medida que los niños interiorizan la noción de cantidad, y sobre todo, en la medida que reconocen y memorizan de manera perceptual las cantidades o colecciones de muestra. Por ejemplo, reconocen donde hay dos o tres objetos sin necesidad de contar.

El otro sentido, ya no depende de la comprensión del niño, sino de los usos culturales del número. Los números de las cédulas, de los teléfonos, de las camisetas de los jugadores de fútbol, etc., no comportan el significado de número en el sentido estricto de la palabra. Son tan solo etiquetas para identificar algo: una persona (la cédula), una cuenta (el teléfono) y una función (el juego del fútbol). Como puede verse en los ejemplos señalados, con dichos números no tiene sentido las operaciones clásicas de sumar o restar, aunque si indican una clasificación. Esto es, los números como etiquetas cumplen la función de clasificar objetos, y dependiendo del contexto en que sean usados, esta clasificación es más detallada o no. Por ejemplo, en el caso de los códigos de barra que identifican los productos que se venden en una tienda, almacén o supermercado, las barras representan una secuencia de números los cuales se utilizan representar características del producto: fabricante, tipo de producto, nacionalidad, etc.

Los números para contar Contar es una acción fundamental en el desarrollo del pensamiento numérico, sobre todo, al inicio de las conceptualizaciones más elementales con respecto al número.

Pero no siempre que se repite una secuencia de palabras (número) se está usando el número en su sentido de contar. Los números se usan para contar, cuando el resultado final de la acción expresa la cantidad (cardinalidad) de una colección de objetos. En tal sentido, establecer correctamente la correspondencia uno a uno de las palabras número con los objetos de la colección que se quiere contar no es suficiente para que el número exprese cantidad, aunque si es condición necesaria. Esta significación se logra, 14

cuando en la acción de establecer la correspondencia biunívoca, cada nueva palabra número usada expresa la totalidad de objetos contados hasta el momento, y no tan solo como una etiqueta que representa el último objeto contado.

Los números para medir En el mismo sentido del ítem anterior, no siempre se tiene la necesidad de cuantificar cantidades discretas. Muy a menudo, se debe cuantificar magnitudes continuas. En tales casos, el número expresa una cantidad, pero ahora como resultado de una medición. En estos casos, por lo general ya no se trata de número enteros, sino de números racionales, o incluso de números irracionales. Los números como resultado de una medida constituyen una de las fuentes de sentido y significado más importantes para el desarrollo del pensamiento numérico. Es precisamente la necesidad de expresar la medida de magnitudes de diferente naturaleza la que se constituye como fuente

fenomenológica para la construcción conceptual de los diferentes sistemas

numéricos.

Los números para ordenar Unido a lo anterior está el sentido de los números como criterio organizador de una secuencia. Se trata un sentido del número en que no es solo cantidad, sino que a través de la noción de cantidad se establece la organización de una secuencia de eventos, acciones, etc. En este sentido el significado del número en juego no es el de cantidad, sino el de orden. En este caso, la noción de cantidad es el referente básico para definir el orden de aquello que se quiere organizar. Todo lo anterior muestra una amplia riqueza de situaciones para tomar conciencia de la multiplicidad de sentidos y significados de los números.

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Los Números Naturales El conjunto de los números naturales está formado por: N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...} Con

los números naturales contamos

los elementos de

un

conjunto

(número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal).

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales: 5 > 3;

5 es mayor que 3.

3 < 5;

3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Operaciones Con Números Naturales  Suma de números naturales: a + b = c. Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

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Propiedades de la suma 1. Interna o clausurativa: a + b 2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5 +5 =2 +8 10 = 10

3. Conmutativa: a + b = b + a 2 +5 =5 +2 7 =7 4. Elemento neutro: a + 0 = a 3 +0 =3 Resta de números naturales: a - b = c. Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo.

Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta 1. No es una operación interna 2 −5 2. No es Conmutativa 5 −2 ≠2 −5

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Multiplicación de números naturales: a · b = c. Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación 1. Interna: a · b 2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5) 6 · 5 = 2 · 15 30 = 30 3. Conmutativa: a · b = b · a 2 · 5 =5 · 2 10 = 10 4. Elemento neutro: a · 1 = a 3 · 1 =3 5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 2 · 8 = 6 + 10 16 = 16 6. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c) 2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5) 6 + 10 = 2 · 8 16 = 16

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División de números naturales: D ÷ d = c. Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor.

Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la división 1. División exacta

15 = 5 · 3 2. División entera

17 = 5 · 3 + 2 3. No es una operación interna 2 ÷6 4. No es Conmutativo.

6 ÷2 ≠ 2 ÷ 6 5. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0÷5 = 0 6. No se puede dividir por 0.

Nota: La potenciación es una operación derivada de la multiplicación y tanto la radicación como la logaritmación tienen su origen en ella.

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Números Primos Y Compuestos Un número primo es un número natural que se puede dividir exactamente sólo entre 1 y él mismo.

Un número compuesto se puede dividir entre otros números además de 1 y él mismo.

Por lo tanto cualquier número natural mayor que 1 es primo o compuesto Múltiplos Y Divisores De Un Número Natural

Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales.

Ejemplos: son múltiplos del número 2 el 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 y muchos más los múltiplos son infinitos como son infinitos los números naturales.

Existen algunas reglas que permiten decidir si un número es múltiplo de otro.

Al observar la serie de los múltiplos de 2 se encuentra que todos son números pares, generalizando se puede decir que: Todo número par es múltiplo de 2.

Los números 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,.... son múltiplos de 3; observa que al sumar las cifras de los números 12, 15, 18, 21 se obtiene el número 3 o un múltiplo de 3:

De esta manera, se concluye lo siguiente: Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3.

Los números 0, 10, 15, 20, 25, 30... son múltiplos de 5; todos ellos terminan en 0 y 5, por lo tanto, se dice que: Un número es múltiplo de 5 cuando su última cifra es 0 ó 5.

El mínimo común múltiplo (mcm) es el número más pequeño, que no sea 0, que es múltiplo de 2 o más números.

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El primer método para calcular el mcm es el que hemos utilizado antes, es decir, escribimos los primeros múltiplos de cada número, señalamos los múltiplos que sean comunes y elegimos el múltiplo común más pequeño.

Ahora vamos a explicar el segundo método para calcular el mcm. Lo primero que hay que hacer es descomponer en factores primos cada número. Después tendremos que elegir los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y por último, tendremos que multiplicar los factores elegidos.

Divisores De Un Número.

Como todo número tiene sus múltiplos así también tienen sus divisores es decir otros números que lo dividen exactamente.

Los divisores de un número son los que dividen a éste en forma exacta.  El uno es divisor de todos los números.  Todo número es divisor de sí mismo.

Para determinar los divisores de un número, se buscan todos los números que lo dividen en forma exacta, es decir, el residuo debe ser cero.

A continuación encontrarás algunas reglas que te harán saber cuándo un número es divisible entre otro sin necesidad de estar haciendo la operación.

A este conjunto de reglas le llamamos Criterios De Divisibilidad Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.

8, 14, 54, 382, 1876 son divisibles por 2.

Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3, si la suma de los dígitos que lo componen, es múltiplo de tres.

6, 21, 69, 255, 1356 son divisibles por 3

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Divisibilidad por 4: un número es divisible por cuatro si las dos últimas cifras (unidades y decenas) son dos ceros (00) o son divisibles por cuatro. Doce es divisible por cuatro por lo tanto 512 es divisible entre cuatro. Al igual que: 204 y 780, 7500...

Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 o 5.

Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez.

Divisibilidad por 7: un número es divisible por 7, si el número que se obtiene al separar el último dígito, multiplicarlo por 2 y restarle el número que queda, es múltiplo de 7.

Esto se ve complicado pero observa: el número 98 es divisible por 7 porque Se separa el 9 del 8, ahora se multiplica 8 x 2 = 16 y se resta 16 –9 = 7 245 es divisible por 7. porque se separa el último dígito, el 5; queda 24. Ahora se multiplica 5 x 2 = 10 y se resta 24 – 10 = 14 Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.

Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10, si su último dígito es 0.

Divisibilidad por 100: un número es divisible por 100, si sus dos últimos dígitos son cero. .

Divisibilidad por 1000: un número es divisible por 1000, sus tres últimos dígitos son cero.

Divisibilidad por 10000: un número es divisible por 10000, sus cuatro últimos dígitos son cero.

El máximo común divisor de dos o más números naturales es como su nombre indica, el mayor de los divisores comunes a dichos números.

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El método más sencillo e intuitivo para saber cuál es el máximo común divisor de varios números, consiste en calcular los divisores de cada número y, de los divisores comunes a dichos números, el mayor de ellos será su Máximo Común Divisor.

Si dos números sólo tienen como divisor común el 1 decimos que son Primos Entre Sí, y entonces su Máximo Común Divisor es igual a 1.

Otro procedimiento para calcular el máximo común divisor, más corto y que resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores primos) de los números.

Para ello, procederemos como sigue: 1. Realizamos la factorización de los números.

2. Tomamos todos los factores comunes elevados al menor exponente.

3. El M.C.D será el producto de los factores anteriores.

Por último, también podemos hallar el Máximo Común Divisor de dos números por el método de las divisiones sucesivas, conocido como algoritmo de Euclides. Este procedimiento es muy útil cuando los números son grandes.

Para hallar el Máximo Común Divisor de dos números procedemos como sigue: 1. Dividimos el mayor por el menor, si el resto es cero, el divisor (el menor) es el M.C.D de los dos números.

2. Si el resto no es cero, se divide nuevamente el divisor entre el resto. Si el nuevo resto es cero, el último divisor (el resto anterior) es el M.C.D. 3. Si el nuevo resto no es cero, seguimos haciendo lo mismo hasta conseguir un resto igual a cero. El último divisor, el que nos da un resto igual a cero, será el M.C.D de los números dados.

4. Si el último divisor, el que nos da resto cero, es igual a 1, quiere decir que sólo tienen como divisor común el 1, es decir, son Primos Entre Si, y su Máximo Común Divisor es igual a 1.

Ejemplo: Hallemos el Máximo Común Divisor de 2310 y 98 2310 ÷ 98 = 23 de cociente y 56 de 1er resto 98 ÷ 56 = 1 de cociente y 42 de 2o resto 56 ÷ 42 = 1 de cociente y 14 de 3er resto 42 ÷ 14 = 3 de cociente y 0 de 4o resto Como el divisor 14 nos da un resto igual cero, es el M.C.D de los números dados.

M.C.D. (2310, 98) = 14

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Actividad: Números Primos Criba De Eratóstenes La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado n. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y n, y se van tachando los números que no son primos de la siguiente manera: 1°- Vamos a hallar los números primos menores que 100. Para ello haz en tu cuaderno una tabla en la que aparecen los números naturales desde el 2 hasta el 100 (el 1 no lo incluimos pues hemos dicho que no se considera primo ni compuesto).

2° El primer número que aparece es el 2, que es primo (rodéalo con una circunferencia en rojo). Tacha o colorea, a partir del 2, todos los números de 2 en 2. Los números (4, 6, 8, 10, 12,…) no son primos pues son todos divisibles por 2.

3° El siguiente número que aparece

es el 3, que es primo (rodéalo con una

circunferencia en rojo).Tacha o colorea, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, incluso los ya tachados anteriormente. Los números (3, 6, 9, 12, 15,…) no son primos pues son todos divisibles por 3.

4°Continúa este proceso mientras te sea posible seguir tachando números: El siguiente número que aparece sin tachar es el…

Llegarás a la tabla que contiene todos los números primos menores que 100.

1 11 21 1 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

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7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Números Fraccionarios El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina. Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de un pastel, pero se ―calculan‖ de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en ambos casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel, etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas partes.

Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.

La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.

Términos De Una Fracción

El Numerador indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. El Denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero. Por ejemplo, la fracción

(se lee tres cuartos) tiene como numerador al 3 y

como denominador al 4. El 3 significa que se han considerado 3 partes de un total de 4 partes en que se dividió el entero o el todo.

La fracción

(se lee un séptimo) tiene como numerador al 1 y como denominador al 7.

El numerador indica que se ha considerado 1 parte de un total de 7 (el denominador indica que el entero se dividió en 7 partes iguales).

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Números Decimales Los decimales son otra manera de escribir las fracciones, así un medio se convierte en 0,5 y un cuarto en 0,25. La coma decimal es la que separa los números enteros de los números fraccionarios. Enseñarles a los niños a leer y escribir decimales puede ser complicado, pero con un poco de paciencia y creatividad se logra llegar lejos. Persevera y pronto conseguirás que los dominen. ¿Qué son números decimales?

Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene una parte decimal. Es decir, que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto.

La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y en la recta numérica, esta parte estaría ubicada entre el cero y el uno, mientras que la parte entera se la escribe en la parte derecha. En el caso de que un número decimal no posea una parte entera, se procede a escribir un cero al lado izquierdo o delante de la coma.

Clasificación de los números decimales Números decimales exactos.- estos son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales y se pueden escribir sin un excesivo esfuerzo, como estos: 0,75; 2,6563; 6,32889 Números decimales periódicos.- son aquellos que tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patrón o período determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso. Para denotar que se trata de un número infinito, que no puede ser escrito indefinidamente por un ser humano, se utilizan tres puntos seguidos que significa infinidad, por ejemplo.

1,333333333…; 6,0505050505…; 5,325483254832548…

Números decimales periódicos puros.-donde los números decimales son parte del mismo grupo como: 26

3,63636363…

Números decimales periódicos mixtos.- donde existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en: 9,36666666…

Números decimales no periódicos.- estos números tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón, un buen ejemplo de números decimales no periódicos, son los números irracionales, como:

Operaciones Con Números Decimales Suma y resta Para sumar y restar números decimales, debemos anotar cada valor en forma vertical, para facilitar la operación, de tal manera que la coma quede en la misma columna, incluso si la parte entera de un valor tenga más cifras que el otro.

Multiplicación Para multiplicar dos números decimales, o un número decimal por un número entero, se resuelve la operación sin tomar en cuenta la coma. Luego el número de cifras decimales será la suma del número de cifras decimales de los dos factores, es decir que si un factor tiene dos cifras decimales y el otro tiene una cifra decimal, quiere decir que el resultado deberá tener tres cifras decimales, División Para dividir números decimales, tenemos varios casos según los decimales se encuentren en el divisor, en el dividendo o en ambos, veamos:  Para dividir cuando el dividendo es decimal, se hace la división sin tomar en cuenta la coma y al obtener la primera cifra decimal, se pone la coma en el resultado y se sigue dividiendo de la misma manera.  Para dividir cuando el decimal se encuentra en el divisor, se debe recorrer la coma hasta el final de la cifra del divisor, mientras que en el dividendo se añaden ceros por el mismo número de espacios recorridos por la coma. Y se procede a dividir de manera normal.

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 Cuando el dividendo y el divisor son números decimales, recorremos las comas por tantos espacios sean necesarios para que desaparezca del número con más cifras decimales. Mientras que en el número que tiene menos cifras decimales se irán añadiendo ceros según los espacios que falten, y se procede a dividir de la manera tradicional.  Para dividir un número decimal para una cifra múltiplo de diez se debe retroceder la coma hacia la izquierda según el número de ceros que tenga el múltiplo de diez, y si excede el número de espacios, se debe añadir ceros mientras se mantiene la coma y un cero a su izquierda, como a continuación.

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UNIDAD TEMATICA Nº 2: “PENSAMIENTO ESPACIAL” El pensamiento espacial es una habilidad que tenemos por lo menos la mayoría de las personas de visualizar algo inexistente, crearlo, poder manipularlo en el "espacio", típico. Usualmente cuando alguien quiere explicar algún objeto mueve las manos para poder señalar dimensiones, forma, etc. Y si la otra persona receptora está en sintonía puede tener una visualización más acertada de lo que se le está explicando.

El pensamiento espacial constituye un componente esencial del pensamiento matemático, está referido a la percepción intuitiva o racional del entorno propio y de los objetos que hay en él. El desarrollo del pensamiento espacial, asociado a la interpretación y comprensión del mundo físico, permite desarrollar interés matemático y mejorar estructuras conceptuales y destrezas numéricas El pensamiento espacial constituye un componente esencial del pensamiento matemático, está referido a la percepción intuitiva o racional del entorno propio y de los objetos que hay en él. El desarrollo del pensamiento espacial, asociado a la interpretación y comprensión del mundo físico, permite desarrollar interés matemático y mejorar estructuras conceptuales y destrezas numéricas.

El Pensamiento Espacial En Las Matemáticas El estudio de la geometría intuitiva en los currículos de las matemáticas escolares se había abandonado como una consecuencia de la adopción de la ―matemática moderna‖. Desde un punto de vista didáctico, científico e histórico, actualmente se considera una necesidad ineludible volver a recuperar el sentido espacial intuitivo en toda la matemática, no sólo en lo que se refiere a la geometría.

Howard Gardner en su teoría de las múltiples inteligencias considera como una de estas inteligencias la espacial y plantea que el pensamiento espacial es esencial para el pensamiento científico, ya que es usado para representar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de problemas. El manejo de información espacial para resolver problemas de ubicación, orientación y distribución de espacios es peculiar a esas personas que tienen desarrollada su inteligencia espacial. Se estima que la 29

mayoría de las profesiones científicas y técnicas, tales como el dibujo técnico, la arquitectura, las ingenierías, la aviación, y muchas disciplinas científicas como química, física, matemáticas, requieren personas que tengan un alto desarrollo de inteligencia espacial.

La propuesta de Renovación Curricular avanzó en este proceso enfatizando la geometría activa como una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración y representación del espacio.

En los sistemas geométricos se hace énfasis en el desarrollo del pensamiento espacial, el cual es considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales.

Los sistemas geométricos se construyen a través de la exploración activa y modelación del espacio tanto para la situación de los objetos en reposo como para el movimiento.

Esta construcción se entiende como un proceso cognitivo de interacciones, que avanza desde un espacio intuitivo o sensorio-motor (que se relaciona con la capacidad práctica de actuar en el espacio, manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas, cálculos espaciales, etc.), a un espacio conceptual o abstracto relacionado con la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de referencia y prediciendo los resultados de manipulaciones mentales.

Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por las características cognitivas individuales como por la influencia del entorno físico, cultural, social e histórico. Por tanto, el estudio de la geometría en la escuela debe favorecer estas interacciones. Se trata de actuar y argumentar sobre el espacio ayudándose con modelos y figuras, con palabras del lenguaje ordinario, con gestos y movimientos corporales.

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Para lograr este dominio del espacio se sugiere el enfoque de geometría activa que parte de la actividad del alumno y su confrontación con el mundo. Se da prioridad a la actividad sobre la contemplación pasiva de figuras y símbolos, a las operaciones sobre las relaciones y elementos de los sistemas y a la importancia de las transformaciones en la comprensión aun de aquellos conceptos que a primera vista parecen estáticos. Se trata pues de ‗hacer cosas‘, de moverse, dibujar, construir, producir y tomar de estos esquemas operatorios el material para la conceptualización o representación interna.

Esta conceptualización va acompañada en un principio por gestos y palabras del lenguaje ordinario, hasta que los conceptos estén incipientemente construidos a un nivel suficientemente estable para que los alumnos mismos puedan proponer y evaluar posibles definiciones y simbolismos formales.

Veamos la diferencia entre mostrar y hacer, entre observar y actuar, entre simbolizar y conceptualizar en algunos ejemplos concretos.

La geometría activa es una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración y representación del espacio.

Cuerpos, superficies y líneas Al pasar las manos por las caras o superficies de objetos, muebles y paredes se aprecia más que con cualquier definición la diferencia entre cuerpos y superficies, y entre superficies planas y curvas. La interrupción del movimiento prepara el concepto de superficie como frontera de un cuerpo, y el movimiento de la mano prepara el concepto de plano, el de región y el de área.

Al pasar el dedo por el borde común de dos superficies se aprecia la diferencia entre superficie y línea y entre línea recta y curva, y se prepara el concepto de longitud y el de prolongación de una línea en la misma dirección y sentido del movimiento del dedo.

La interrupción del movimiento prepara el concepto de línea como frontera de una superficie, y el movimiento del dedo prepara el concepto de línea recta, el de segmento y el de longitud.

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Al terminar el recorrido de un borde que termina en punta, esa interrupción del movimiento prepara el concepto de punto.

Se sugiere la prioridad del cuerpo sobre la superficie, de ésta sobre la línea y de ésta sobre el punto 11. Ángulo: los niños de 1, 2― ó 3― grado han tenido la oportunidad de dar vueltas completas, medias vueltas y cuartos de vueltas en sus juegos. Partiendo de esta experiencia, la aproximación activa al ángulo de giro puede lograrse muy fácilmente al extender el brazo y luego girarlo hasta detenerse en otra posición. Si se deja como señal de la posición inicial un palo o una pita o una marca en la pared, y se barre un ángulo de giro con el propio brazo y se mira la posición en que se detuvo, se puede llegar a una apreciación cualitativa de mayor a menor amplitud o apertura del ángulo de giro.

Después de estabilizar la construcción de este concepto, se puede aceptar el ángulo pintado en el cuaderno como la huella de un giro que ya pasó. Así el ángulo orientado aparece primero que el ángulo sin orientación y se puede saber de qué ángulo se trata mientras se recuerde el giro que lo trazó. El giro es activo y el ángulo está pintado estáticamente.

Desarrollo del pensamiento geométrico y El modelo de Van Hiele La moderna investigación sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico indica que éste sigue una evolución muy lenta desde las formas intuitivas iniciales hasta las formas deductivas finales, aunque los niveles finales corresponden a niveles escolares bastante más avanzados que los que se dan en la escuela.

El modelo de Van Hiele es la propuesta que parece describir con bastante exactitud esta evolución y que está adquiriendo cada vez mayor aceptación a nivel internacional en lo que se refiere a geometría escolar.

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La Teoría de van Hiele o Modelo de van Hiele o Niveles van Hiele es una teoría de enseñanza y aprendizaje de la geometría, diseñado por el matrimonio holandés van Hiele.

El modelo tiene su origen en 1957, en las disertaciones doctorales de Dina van HieleGeldof y Pierre van Hiele en la Universidad de Utrecht, Holanda. El libro original donde se desarrolla la teoría es Structure and Insight : A theory of mathematics education.

La teoría se encasilla dentro de la didáctica de la matemática y específicamente en la didáctica de la Geometría.

La idea básica del modelo, expresado en forma sencilla es: El aprendizaje de la geometría se construye pasando por niveles de pensamiento. Según este modelo, se requiere una adecuada instrucción para que los alumnos puedan pasar a través de los distintos niveles. En relación a esto, los Van Hiele proponen cinco fases secuenciales de aprendizaje: información, orientación guiada o dirigida, explicitación, orientación libre e integración. Ellos afirman que al desarrollar la instrucción de acuerdo a esta El Nivel 1. Es el nivel de la visualización, llamado también de familiarización, en el que el alumno percibe las figuras como un todo global, sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes. Por ejemplo, un niño de seis años puede reproducir un cuadrado, un rombo, un rectángulo; puede recordar de memoria sus nombres. Pero no es capaz de ver que el cuadrado es un tipo especial de rombo o que el rombo es un paralelogramo particular. Para él son formas distintas y aisladas.

En este nivel, los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son clases de figuras reconocidas visualmente como de ―la misma forma‖.

El Nivel 2. Es un nivel de análisis, de conocimiento de las componentes de las figuras, de sus propiedades básicas.

Estas propiedades van siendo comprendidas a través de observaciones efectuadas durante trabajos prácticos como mediciones, dibujo, construcción de modelos, etc. El niño, por ejemplo, ve que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos, que las diagonales son de la misma longitud, y que los lados opuestos también son de la misma longitud.

Se reconoce la igualdad de los pares de lados opuestos del paralelogramo general, 33

pero el niño es todavía incapaz de ver el rectángulo como un paralelogramo particular.

En este nivel los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son las clases de figuras, piensan en términos de conjuntos de propiedades que asocian con esas figuras.

El Nivel 3. Llamado de ordenamiento o de clasificación. Las relaciones y definiciones empiezan a quedar clarificadas, pero sólo con ayuda y guía. Ellos pueden clasificar figuras jerárquicamente mediante la ordenación de sus propiedades y dar argumentos informales para justificar sus clasificaciones; por ejemplo, un cuadrado es identificado como un rombo porque puede ser considerado como ―un rombo con unas propiedades adicionales‖. El cuadrado se ve ya como un caso particular del rectángulo, el cual es caso particular del paralelogramo. Comienzan a establecerse las conexiones lógicas a través de la experimentación práctica y del razonamiento.

En este nivel, los objetos sobre los cuales razonan los estudiantes son las propiedades de clases de figuras.

El Nivel 4. Es ya de razonamiento deductivo; en él se entiende el sentido de los axiomas, las definiciones, los teoremas, pero aún no se hacen razonamientos abstractos,

ni

se

entiende

suficientemente

el

significado

del

rigor

de

las

demostraciones.

Finalmente, el Nivel 5. Es el del rigor; es cuando el razonamiento se hace rigurosamente deductivo. Los estudiantes razonan formalmente sobre sistemas matemáticos, pueden estudiar geometría sin modelos de referencia y razonar formalmente manipulando enunciados geométricos tales como axiomas, definiciones y teoremas.

Las investigaciones de Van Hiele y de los psicólogos soviéticos muestran que el paso de un nivel a otro no es automático y es independiente de la edad. Muchos adultos se encuentran en un nivel 1 porque no han tenido oportunidad de enfrentarse con experiencias que les ayuden a pasar al nivel 2.

Sin embargo, algunos estudios han mostrado que la población estudiantil media no alcanza los dos últimos niveles, especialmente el del rigor, pues exige un nivel de cualificación matemático elevado, y que no hay mucha diferencia entre estos dos 34

niveles.

Parece que los estudiantes deben recorrer un largo trecho entre los tres primeros niveles y los últimos de rigor y formalización, y que ese trecho no ha sido investigado suficientemente para detectar a su vez la existencia de niveles intermedios.

Aunque estos niveles son una aproximación aceptable a las posibles etapas en las que progresa el pensamiento geométrico, los docentes debemos ser críticos con respecto a ellos, pues no parecen dirigidos a lo que parecen ser los logros más importantes del estudio de la geometría: la exploración del espacio, el desarrollo de la imaginación tridimensional, la formulación y discusión de conjeturas, jugar con los diseños y teselaciones del plano y sus grupos de transformaciones. La propuesta de geometría activa, que parte del juego con sistemas concretos, de la experiencia inmediata del espacio y el movimiento, que lleva a la construcción de sistemas conceptuales para la codificación y el dominio del espacio, y a la expresión externa de esos sistemas conceptuales a través de múltiples sistemas simbólicos, no coincide con la descripción de Van Hiele, más orientada a la didáctica clásica de la geometría euclidiana y al ejercicio de las demostraciones en T o a doble columna.

Representación bidimensional del espacio tridimensional Otro aspecto importante del pensamiento espacial es la exploración activa del espacio tridimensional en la realidad externa y en la imaginación, y la representación de objetos sólidos ubicados en el espacio.

Al respecto Lappan y Winter, afirman: A pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor parte de las experiencias matemáticas que proporcionamos a nuestros niños son bidimensionales. Nos valemos de libros bidimensionales para presentar las matemáticas a los niños, libros que contienen figuras bidimensionales de objetos tridimensionales. A no dudar, tal uso de ―dibujos‖ de objetos le supone al niño una dificultad adicional en el proceso de comprensión. Es empero, necesario que los ni ños aprendan a habérselas con las representaciones bidimensionales de su mundo. En nuestro mundo moderno, la información seguirá estando diseminada por libros y figuras, posiblemente en figuras en movimiento, como en la televisión, pero que 35

seguirán siendo representaciones bidimensionales del mundo real‖ Para comunicar y expresar la información espacial que se percibe al observar los objetos tridimensionales es de gran utilidad el uso de representaciones planas de las formas y relaciones tridimensionales. Hay distintos tipos de tales representaciones.

Cada una es importante para resaltar un aspecto, pero es necesario utilizar varias a la vez para desarrollar y completar la percepción del espacio.

La representación en el plano de cuerpos sólidos o de objetos de la realidad, puede hacerse mediante dibujos de vista única o dibujos de vista múltiples. Los dibujos de vista única son aquellos en los que se ilustran las tres dimensiones del objeto en una sola vista, con lo cual se logra representar el objeto de una manera muy próxima a la realidad. Hay dos maneras de hacer estos dibujos: mediante axonometrías y mediante perspectivas cónicas.

Los dibujos de vistas múltiples representan los objetos a través de una serie fragmentada de vistas relacionadas‖ El dibujo en perspectiva se puede utilizar con mucho provecho para la educación estética, y para el ejercicio de las proyecciones de objetos tridimensionales en la hoja de papel, y de la hoja de papel al espacio. Para esto último se puede empezar por dibujar cubos y cajas en perspectiva, de manera que unos oculten parcialmente a los otros, y luego tratar de colocar cubos y cajas de cartón sobre una mesa de manera que se vean como en el papel. Aun en el dibujo en perspectiva es difícil dibujar las elipses que representan las distintas maneras como aparece un círculo desde distintos puntos de vista. Por eso puede ser aconsejable limitar la perspectiva a figuras rectilíneas, a menos que los mismos alumnos quieran explorar cómo se dibujan las tapas de las alcantarillas en las calles ya dibujadas en perspectiva.

Las transformaciones En la actualidad, gran parte de la geometría escolar se ha ocupado del movimiento de 36

figuras geométricas desde una posición a otra, y de movimientos que cambian el tamaño o la forma. El estudio de las transformaciones de figuras ha ido progresivamente primando sobre la presentación formal de la geometría, basada en teoremas y demostraciones y en el método deductivo.

La primacía de las figuras muertas y de las relaciones de paralelismo y perpendicularidad de líneas, y las de igualdad o congruencia o semejanza de figuras ocultaron por mucho tiempo el origen activo, dinámico de los conceptos geométricos, y dejaron en la penumbra las transformaciones. Los sistemas geométricos se redujeron a sus componentes, como los puntos, líneas y planos, segmentos de recta y curvas, y figuras compuestas por ellos, con sólo la estructura dada por las relaciones mencionadas.

Esta propuesta intenta devolver la dinámica a los sistemas geométricos, con sus operadores y transformaciones, que resultan de internalizar en forma de esquemas activos en la imaginación, los movimientos, acciones y transformaciones que se ejecutan físicamente. Esto quiere decir que una transformación no puede definirse, ni mucho menos simbolizarse formalmente, antes de que los alumnos hayan hecho algunas transformaciones externas, moviéndose ellos mismos y moviendo hojas, varillas y otros objetos, deformándolos, rotándolos o deslizándolos unos sobre otros de manera física, de tal manera que ya puedan imaginarse esos movimientos sin necesidad de mover o transformar algo material, a lo más acompañando esta imaginación con movimientos del cuerpo o de las manos‖ Cuando se estudien estos sistemas de transformaciones, debe comenzarse por los desplazamientos que pueden hacerse con el propio cuerpo, o deslizando objetos y figuras sobre el plano del piso, del papel o del tablero. Con esto se llega primero a las rotaciones y a las traslaciones. Se trata de ver qué tipo de movimientos conservan la dirección, cuáles la orientación en el plano o en el espacio, cuáles cambian los órdenes cíclicos de los vértices, sin definir verbalmente ninguna de estas transformaciones.

En los talleres con los maestros hemos comprobado la dificultad que tienen para 37

distinguir esos aspectos activos que los niños captan inmediatamente, y la resistencia que sienten al ver que en realidad no se puede definir con palabras qué es traslación ni qué es rotación. Definirlas por medio de las reflexiones es un engaño, pues tampoco se pueden definir las reflexiones por medio de definiciones verbales.

Las reflexiones no pueden hacerse con figuras de material concreto: o se hacen en el cerebro o no pueden hacerse. La ayuda de espejos, láminas semitransparentes, calcado en papel transparente o de copia, etc., pueden ayudar al cerebro a interiorizar, reversar y coordinar las reflexiones pero no pueden suplantarlo. Por lo tanto, no se debe comenzar por las reflexiones para obtener las rotaciones y las traslaciones.

De esta manera se propone que se trabaje la geometría por medio de aquellas transformaciones que ayuden a esa exploración activa del espacio y a desarrollar sus representaciones en la imaginación y en el plano del dibujo.

Noción Del Espacio: La noción de espacio el niño la adquiere con cierta lentitud. Al principio tiene un concepto muy concreto del espacio: su casa, su calle; no tiene siquiera idea de la localidad en que vive. Pero esa noción se desarrolla más rápidamente que la de tiempo, porque tiene referencias más sensibles. El niño de seis o siete años no está aún en condiciones de reconocer lo que es su país desde el punto de vista Geográfico y es probable que piense que "Colombia" es la ciudad donde vive, y/o, que "Corozal" es su barrio o sector residencial; los niños que viajan a otras ciudades o a países vecinos, en cambio, aprenden rápidamente a diferenciar ciudad y país. Hasta los ocho o nueve años, no se adquiere la noción de espacio geográfico, por eso la lectura de mapas y de globos terráqueos no es una labor sencilla, pues requiere una habilidad especial para interpretar

numerosos símbolos, signos y

captar

las

abstracciones

que

estos medios suponen.

El niño reconoce el espacio en la medida en que aprende a dominarlo. Baldwin, Stern , distinguen en los niños un "espacio primitivo" o "espacio bucal", un "espacio próximo o

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de agarre" y un "espacio lejano", que el niño aprende a dominar y que paulatinamente va descubriendo , a medida que aprende a moverse por sí solo.

El espacio lejano es al principio poco diferenciado. Debido a la inmadurez de la adaptación y de la convergencia, los niños de un año ni siquiera perciben los objetos que se hallan distantes, que constituyen para ellos tan solo un fondo indeterminado.

Con la valoración de la distancia se relaciona también la valoración de las dimensiones de los diferentes objetos. Para pequeñas distancias y figuras sencillas existe ya una constancia de dimensión o magnitud, en el segundo año de edad. La exacta valoración de las dimensiones de un objeto en distintas alternativas coincide con la comprensión del acortamiento de la perspectiva de los objetos. La comprensión de las perspectivas representadas es el aspecto más complejo de la representación espacial y se desarrolla más tarde.

El punto esencial del desarrollo general de la comprensión del espacio es la transición del sistema de cálculo (coordenadas) fijado en el propio cuerpo a un sistema con puntos de referencia libremente móviles.

En conclusión se puede decir que las nociones espaciales reflejan sensaciones corporales y estados emocionales. Las elecciones al representar responden a una forma de sentir y de vincularse con los elementos, las personas y con el propio cuerpo.

En sus primeras manifestaciones gráficas, la expresión del niño está centrada en el "yo" y los vínculos que va desarrollando con el medio. No le interesa establecer un orden en la representación de los elementos. La hoja es un soporte que le permite volcar ideas como un recipiente a ir llenando. Cada espacio es una posibilidad de incorporar elementos valiosos para él, aunque los dispongan en forma inconexa. A medida que el niño crece, surge la necesidad de establecer un orden y vínculos espaciales en sus representaciones.

39

La evolución en el modo de ver el espacio es muy personal y responde a niveles de maduración que no pueden ser forzados. De nada sirve proponer desde la visión del adulto determinadas soluciones espaciales, pues estas, para que sean significativas para los niños, tienen que partir de descubrimientos personales. Se los puede ayudar a ampliar la conciencia en relación al espacio circundante con actividades y juegos que les resulten afectivamente atractivos y los confronten con desafíos diversos. Existen una serie de soluciones espaciales que aparecen en los dibujos infantiles que no tienen que ver con la captación visual, sino con los conceptos y

emociones que desean

reflejar. La necesidad de narrar lo que les es significativo y conocen de lugares, mecanismos y objetos hace que dibujen elementos "transparentes" para que se vea su interior. En ciertas ocasiones, expresan en un mismo dibujo dos situaciones que ocurren en distintos tiempos. También suelen dibujar diferentes puntos de vista para un mismo objeto, materializando así su experiencia en relación a este y una incipiente expresión del volumen. Cuando en los niños surge la necesidad de elaborar imágenes más realistas, es el momento de ayudarlos a agudizar la observación.

Noción De Tiempo: Las palabras ahora, hoy, ayer y mañana pueden señalar en su uso, cada vez un sector distinto del tiempo real. En los niveles evolutivos prematuros, el niño se orienta en el tiempo a base de signos esencialmente cualitativos extra temporales.

El posterior desarrollo de las aptitudes para una más correcta localización y comprensión del orden de sucesión se relaciona con la toma de conciencia de las dependencias causales y del dominio de las relaciones cuantitativas de las magnitudes del tiempo.

El sentido de temporalidad, es decir, la noción de tiempo es una de las más difícilmente accesibles a los escolares entre ocho y los doce años. Si se hace un análisis detenido de las descripciones de Piaget respecto de las diferentes capacidades de aprendizaje de los niños a través de sus etapas de desarrollo cognitivo, se puede ver que las nociones de espacio y tiempo surgen y se desarrollan lentamente, casi confusamente.

A menudo se puede ver, desde la experiencia práctica, que durante los primeros 10 40

años de vida los niños tienen un difícil trabajo para "hacerse la idea" de cómo es el desarrollo del tiempo con que medimos la historia, o de lo que significan los espacios que están más allá de lo que él o ella conoce.

Hasta los siete u ocho años e incluso más, es insuficiente la idea o noción de duración y de pasado.

Hasta los siete años la expresión "la semana pasado" no adquiere sentido para ellos.

Piaget señala la dificultad con que los niños adquieren la noción de edad, sucesión, duración, anterioridad y posterioridad. Muy lentamente llegan a formar el concepto de un largo tiempo histórico anterior a ellos porque no los pueden hacer objeto de una observación

directa.

De

ahí

también

la

dificultad

para

comprender

las sociedades, instituciones y móviles de la conducta de los adultos. El niño apenas conoce más que a su familia y sólo lentamente y de manera elemental va adquiriendo alguna noción de la vida. Casi siempre los temas de Ciencias Sociales rebasan la comprensión de los alumnos por eso convendría tener en cuenta el esquema de Piaget, porque los procesos de la inteligencia influyen en la asimilación y acomodación, es decir, que si algo no se comprende tampoco se podrá asimilar. Por otra parte, no existe inconveniente en ir preparando el camino de un aprendizaje histórico basado en la narración de hechos desde los primeros cursos de escolaridad, que favorecerán en el niño la aparición de un cierto sentido de conciencia histórica.

Noción De Representación: Es una imagen interiorizada del mundo exterior. Cuando el bebé comienza a entender que los objetos y las personas siguen existiendo aun cuando él no las vea ni actúa sobre ellos, está comenzando a hacer representaciones mentales y por ende, su proceso de pensamiento está iniciándose.

Es por ello que se señala que el período preescolar es esencialmente el momento del crecimiento de la habilidad del niño para usar representaciones. Este proceso implica un enorme avance hacia la independencia del niño con respecto al "aquí y ahora" y a los objetos concretos de su mundo.

41

Elementos Del Pensamiento Espacial En el pensamiento espacial se debe:  Habilidad para imaginar una representación tridimensional desde distintas perspectivas  Habilidad para visualizar - concreta mente e imaginariamente - efectos de reflexión e inversión de objetos-imágenes.  Comprender objetos tridimensionales partiendo de gráficos bidimensionales y viceversa.

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La Línea Recta: Una cierta cantidad de puntos situados cada uno junto al otro, en una misma dirección, dan origen a un trazo continuo, que es una línea.

Si bien una línea recta se dibuja en el plano siempre con una cierta extensión delimitada por razones prácticas dado que sería imposible dibujar una recta sin final en geometría se utiliza el concepto ideal de que una recta es de longitud infinita en sus dos extremos.

Clasificación De Las Rectas Rectas Secantes: Están conformadas por dos líneas rectas que se unen por un solo punto, lo que hace que estas solo se corten una vez.

Rectas Paralelas: Las rectas paralelas son dos líneas rectas ubicadas en el mismo plano que nunca se cortan y no tienen ningún punto en común, cuando los puntos de ambas se ubican a una misma distancia, estas pueden estar rectas o inclinadas.

Rectas Perpendiculares: Las rectas perpendiculares son aquellas dos líneas rectas que cuando se cortan forman cuatro ángulos iguales; son aquellas líneas que forman un ángulo de noventa grados (90º).

Rectas Coincidentes: Las rectas coincidentes son dos líneas rectas que se ubican en un mismo plano, tienen todos sus puntos en común, es decir, se ubican una sobre la otra, tienen la misma dirección; al igual que toda recta se identifica con una letra minúscula.

Angulo: Un ángulo es una figura conformada en una superficie por dos líneas que tienen el mismo punto de origen. Existen distintas maneras de clasificarlos, algunas de ellas son: A) Tipos de ángulos según su medida:        

El ángulo agudo mide menos de 90°.

El recto mide 90° El obtuso es aquel que mide más de 90°.

El ángulo convexo mide menos de 180°.

El llano mide 180°.

El ángulo cóncavo es mayor de 180°.

El nulo mide 0° El ángulo completo mide 360°

B) Según su posición:  Los ángulos consecutivos poseen el mismo vértice y un lado en común

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 Los ángulos adyacentes, en cambio, conforman un ángulo llano ya que tienen un vértice y un lado en común y los otros lados ubicados uno en prolongación de otro.  Los ángulos opuestos por el vértice son los que comparten el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro.

C) Según su suma:  Hay dos clases de ángulos los complementarios que devienen de la sumatoria de dos ángulos cuyo resultado es de 90°:  Los ángulos suplementarios, en cambio, son el resultado de dos ángulos cuya sumatoria dé como resultado 180° Procedimiento Para Medir Un Ángulo 1. Colocamos el centro del transportador sobre el vértice del ángulo.

2. Hacemos coincidir ―el cero‖ del transportador con uno de los lados del ángulo. Hay que prestar especial atención a la situación del cero en el transportador, ya que hay bastante diferencia de unos modelos a otros. En la figura tenemos un transportador completo, es decir, con la circunferencia entera y con dos ceros. Es frecuente utilizar modelos con la mitad de la circunferencia.

3. Leemos en el transportador los grados que hay desde un lado del ángulo, el que está sobre el cero del transportador, hasta el otro lado, teniendo cuidado siempre en seguir la escala que parte del cero que hemos colocado en el lado del ángulo.

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Los Polígonos.

La denominación de polígono — palabra compuesta de poli, del griego: muchos; y gonos del griego: ángulos — se aplica a las figuras geométricas planas, delimitadas por el cruce de tres o más líneas rectas; lo cual conforma una superficie definida por 3 o más lados, los cuales forman entre sí la misma cantidad de ángulos.

Los polígonos se clasifican según tres criterios:  Por la igualdad o desigualdad de lados: 

Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;



Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de extensión distinta.

 Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de ángulos: 

Triángulos - los que tienen 3 lados y 3 ángulos.



Cuadriláteros - los que tienen 4 lados y 4 ángulos.



Pentágonos (del griego: penta: cinco) - los que tienen 5 lados y 5 ángulos.



Exágonos (del griego: exa: seis) - los que tienen 6 lados y 6 ángulos.



Heptágonos (del griego: hepta: siete) - los que tienen 7 lados y 7 ángulos.



Octógonos - los que tienen 8 lados y 8 ángulos.



Nonágonos - los que tienen 9 lados y 9 ángulos.



Decágonos - los que tienen 10 lados y 10 ángulos.



Undecágonos - los que tienen 11 lados y 11 ángulos.



Dodecágonos - los que tienen 12 lados y 12 ángulos.



Con más de 12 lados, se denominan indicando el número de lados.

 Por la existencia de una o más líneas que los dividan en mitades iguales: 

Polígonos simétricos — los que tienen uno o más ejes de simetría



Polígonos asimétricos — los que no tienen ningún eje de simetría

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Construcciones con regla y compás de un Pentágono Regular .

Terminamos esta sección del módulo con la construcción con regla y compás con un pentágono regular, vamos a hacer la construcción partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos A y B: La construcción del pentágono regular.

Trazamos la paralela al eje Y que pasa por B, digamos r. Se traza la mediatriz del segmento AB obteniendo el punto O como corte con el eje X. Trazamos la circunferencia de centro B y radio AB, digamos C1. Obtenemos el punto M como corte de C1 con la recta r. Con centro en O trazamos la circunferencia de radio OM, C2, obteniendo el punto S de corte con el eje X. Trazamos ahora la circunferencia de centro A y radio AS, C3. Obtenemos el punto P al cortar con C1 y el punto Q como corte con la mediatriz del segmento AB. Para obtener el vértice que nos falta, R, simplemente construimos el punto simétrico a P respecto de la mediatriz del segmento AB. Uniendo los vértices obtenemos el pentágono regular buscado.

Solidos Geométricos.

Los cuerpos geométricos son los elementos que, ya sean reales o ideales — que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente — ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas.

Clasificación Los cuerpos geométricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geométrico redondo.  Poliedros Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos cuyas caras son todas figuras geométricas planas exclusivamente. Entre los más conocidos:  Pirámide 46

 Prisma

 Redondos Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. Entre los más conocidos:  Esfera  Cono  Cilindro

Semejanza De Figuras.

Es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas.

Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma de los continentes no cambia, pero si el tamaño.

Movimientos En El Plano Un movimiento en el plano es una transformación geométrica del plano que conserva los ángulos y las distancias (la forma y el tamaño). Se distinguen 3 tipos de movimientos: Traslación, giro o rotación, y simetría.  Traslación: La Traslación es un movimiento en el que los segmentos que unen un punto cualquiera y su transformado son siempre de la misma dirección sentido y longitud. El segmento, que está orientado por asignarle un sentido, se denomina vector de traslación.  Rotación: es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo.

Las elementos de una rotación son: Un punto

denominado centro de rotación, Un ángulo, Un sentido de rotación. Estas transformaciones pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro. Para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y será negativo el giro cuando sea en sentido de las manecillas.  Simetría axial: es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con 47

las siguientes condiciones: a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma .b) El segmento que une un punto con su imagen ,es perpendicular al eje de simetría.  Simetría Central: Una simetría central, de centro el punto O, hace corresponder a cada punto P del plano otro punto P, de tal forma que O permanezca siempre como punto medio del segmento PP. La simetría central es un caso particular de simetría rotacional (cuando el ángulo de rotación es de 180º), es decir, P se obtiene girando P 180º alrededor de O.

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UNIDAD TEMATICA Nº 3: “PENSAMIENTO MÉTRICO” Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades, su medición y el uso flexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situaciones. ―Los sistemas métricos, pretenden llegar a cuantificar numéricamente las dimensiones o magnitudes que surgen en la construcción de los modelos geométricos y en las reacciones de los objetos externos a nuestras acciones‖ Actividades de la vida diaria relacionadas con las compras en el supermercado, con la cocina, con los deportes, con la lectura de mapas, con la construcción, etc., acercan a los estudiantes a la medición y les permiten desarrollar muchos conceptos y destrezas matemáticas.

Los procesos de medición comienzan ―desde las primeras acciones con sus éxitos y fracasos codificados como más o menos, mucho o poco, grande o pequeño, en clasificaciones siempre relacionadas en alguna forma con imágenes espaciales, esto es con modelos geométricos, aún en el caso del tiempo.‖(Carlos E. Vasco, El constructivismo genético, Bogotá, Universidad Nacional) Que Sistema Lo Soporta Este pensamiento lo soporta el sistema de medidas. El estudio de la medida es importante en el currículo de las matemáticas desde preescolar hasta el grado undécimo debido a su practicidad en muchos aspectos de la vida diaria. El estudio de la medición también ofrece una oportunidad para aprender aplicar las operaciones, las ideas geométricas, los conceptos de estadística y las nociones de función. Estas conexiones se complementan con las relaciones que existen entre las medidas y las ciencias sociales, la ciencia, el arte y la educación física.

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Propiedades  La construcción de la magnitud Una primera actividad de quien aprende es la de crear y abstraer en el fenómeno u objeto la magnitud concreta o cantidad susceptible de medición.

El concepto de magnitud empieza a construirse cuando se sabe que hay algo que es más o menos que otra cosa y se pregunta: más qué o más de qué. Puede darse una etapa intermedia de construcción de magnitudes que después se puedan fundir en una sola, como se ha señalado para la longitud, con las magnitudes intermedias de largo, ancho, espesor, altura, profundidad, etcétera.  El desarrollo del proceso de conservación Es especialmente importante sobre todo para quienes inician el ciclo de la educación básica primaria, ya que la captación de aquello que permanece invariante a pesar de las alteraciones de tiempo y espacio, es imprescindible en la consolidación de los conceptos de longitud, área, volumen, peso, tiempo, etc.  La estimación de magnitudes y los aspectos del proceso de ―capturar lo continuo con lo discreto‖ están íntimamente relacionados con los conceptos de medida y conteo  La apreciación del rango de las magnitudes y la selección de unidades, son habilidades poco desarrolladas en los niños y aún en las personas adultas debido al tratamiento libresco y descontextualizado que se le da a la medición dentro de las matemáticas escolares.

Antes de seleccionar una unidad o un patrón de medida es necesario hacer una estimación perceptual del rango en que se halla una magnitud concreta, por ejemplo, la altura de una puerta, la longitud de un camino.  La selección de unidades La estimación de medidas ayuda a los niños no sólo 50

a reforzar la comprensión de los atributos y el proceso de medición sino a que adquieran conciencia del tamaño de las unidades.  El trasfondo social de la medición La interacción social y la referencia a un trasfondo significativo e importante para el alumno son absolutamente insustituibles en la construcción de los procesos de la medición en el cerebro de cada uno. ¿Cuántas veces hemos tenido que volver a mirar el valor numérico de un año luz, o un barril, o una milla marina?, pues como lo somos ni astrónomos, ni petroleros, ni marineros, estas medidas no tienen significado para nosotros. No vale la pena gastarle tiempo a aprenderlas, sino sólo a saber en dónde buscarlas y a quién preguntarle sobre ellas.

Sistema Métrico Decimal Medidas y magnitudes Para adentrarnos en el tema, es necesario aclarar o definir estos conceptos:  Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.  Medir es comparar una magnitud con otra que llamamos unidad.  La medida es el número de veces que la unidad está contenida en la magnitud.

Si queremos medir la longitud de una pieza, lo primero que debemos hacer es elegir la unidad de medida, en este caso la más apropiada sería el metro.

Origen y destino En el pasado cada país y en algunos casos cada región usaban unidades de medidas diferentes, esta diversidad dificultó las relaciones comerciales entre los pueblos. Para acabar con esas dificultades, en 1791, tras la Revolución Francesa, la Academia de Ciencias de París propuso el Sistema Métrico Decimal.

Progresivamente fue adoptado por todos los países, a excepción de los de habla inglesa, que se rigen por el Sistema Inglés o Sistema Imperial Británico.

51

En España su empleo se hizo oficial desde 1849, aunque sobre todo en el ámbito agrario ha coexistido con las medidas tradicionales.

El sistema métrico decimal de la Revolución Francesa se ha convertido hoy en día en un sistema más moderno, más universal y más completo, conocido como Sistema Internacional de Unidades.

Cómo funciona el Sistema Métrico Decimal

El Sistema

Métrico

Decimal es

los múltiplos y submúltiplos de

un

sistema

de

unidades

una unidad de medida están

en

relacionadas

el

cual

entre

sí

por múltiplos o submúltiplos de 10.

El Sistema Métrico Decimal lo utilizamos para medir las siguientes magnitudes: Medidas de longitud: La unidad de las medidas de longitud es el metro (m).

Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, los prefijos griegos Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil, respectivamente. Los submúltiplos del metro se forman anteponiendo los prefijos griegos deci, centi y mili, que significan décima, centésima y milésima parte, respectivamente.

Los múltiplos y submúltiplos del metro aumentan y disminuyen de diez en diez, y son: Kilómetro (Km), Hectómetro (Hm), Decámetro (Dm), metro (m), decímetro (dm), centímetro (cm), milímetro (mm)

Medidas de masa (peso). La unidad de las medidas de masa (peso) es el gramo.

Los múltiplos y submúltiplos del gramo aumentan y disminuyen de diez en diez y son: Kilógramo (Kg), Hectógramo (Hg), Decágramo (Dg), gramo (g), decígramo (dg), centígramo (cg), milígramo (mg).

Medidas de capacidad La unidad de las medidas de capacidad es el litro.

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Los múltiplos y submúltiplos del litro aumentan y disminuyen de diez en diez y son: Kilólitro (Kl), Hectólitro (Hl), decálitro (Dl), litro (l), decílitro (dl), centílitro (cl), milílitro (ml) Medidas de superficie La unidad de las medidas de superficie es el metro cuadrado (m2), que corresponde a un cuadrado que tiene de lado un metro lineal.

Los múltiplos y submúltiplos del m2 aumentan y disminuyen de cien en cien y son: Kilómetro cuadrado (Km2), Hectómetro cuadrado (Hm2), Decámetro cuadrado (Dm2), metro cuadrado (m2), decímetro cuadrado (dm2), centímetro cuadrado (cm2), milímetro cuadrado (mm2).

Medidas de superficie agrarias Para medir extensiones en el campo se utilizan las llamadas medidas agrarias, que son las siguientes:  La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado (Hm2).

1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m2  El área equivale al decámetro cuadrado (Dm2).

1 a = 1 Dm2 = 100 m²  La centiárea equivale al metro cuadrado.

1 ca = 1 m2

Medidas de volumen La unidad de las medidas de volumen es el metro cúbico (m3), que es un cubo cuya arista mide un metro lineal.

Los múltiplos y submúltiplos del m3 aumentan y disminuyen de mil en mil y son: Kilómetro cúbico (Km3), Hectómetro cúbico (Hm3), Decámetro cúbico (Dm3), metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3), centímetro cúbico (cm3), milímetro cúbico (mm3).

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Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa Existe una relación muy directa entre el volumen y capacidad. 1 l (un litro) es la capacidad que contiene un recipiente cúbico de 1 dm de arista; es decir, la capacidad contenida en un volumen de 1 dm3.

También existe una relación entre el volumen y la masa de agua. 1 g (un gramo) equivale a 1 cm3 de agua pura a 4° C.

Unidades de tiempo Las unidades de tiempo no pertenecen al Sistema Métrico Decimal, ya que están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 60. El tiempo es una magnitud del Sistema Sexagesimal. Pero el segundo (s), como unidad de tiempo, se incluye en el Sistema Internacional de Unidades.

Conversiones: Para convertir de una unidad a otra se deben realizar reglas de tres simples teniendo en cuenta la relación de los múltiplos y submúltiplos de la unidad principal en cada caso.

Ejemplos: Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la inmediata inferior, y 10 veces menor que la inmediata superior.  Para pasar de hm a dam multiplicaremos por 10 o correremos la coma decimal un lugar a la derecha.

7 hm = 70 dam = 700 m ; 3 km = 30 hm = 300 dam = 3000 m .

7,35 m =73,5 dm = 735 cm = 7350 mm.  Para pasar de m a dam dividiremos la cantidad por 10 o correremos la coma un lugar a la izquierda.

70 m = 7 dam; 325 m = 32,5 dam = 3,25 hm = 0,325 km = 0,0325 mam.

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UNIDAD TEMATICA Nº4: “PENSAMIENTO VARIACIONAL”

Ecuaciones de primer grado o lineales

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3 55

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Resolución de problemas mediante ecuaciones Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).

Veamos un problema característico: Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?

Digamos que las edades de los tres son: x edad de Pedro y edad de Álvaro z edad de María Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro): y=x+3 También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María): z=x–7 Ahora tenemos que: edad de Pedro:

x 56

edad de Álvaro:

x +3

edad de María:

x–7

La suma de las tres edades es 38: x + x +3 + x – 7 = 38 Resolviendo está última ecuación tendremos: x = 14 (esta es la edad de Pedro) Finalmente: Edad de Pedro:

x

= 14 años

Edad de Álvaro:

x + 3 = 17 años

Edad de María:

x–7

= 7 años

Razones Y Proporciones Razones La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.

Proporciones.

Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras: a/b=c/d o a:b::c:d Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

Propiedades.

A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos. a×d=b×c

B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por el otro MEDIO. b= a d c

C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO. a=b c d 57

Proporcionalidad Directa.

Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.

EJEMPLO Si un kilogramo de naranjas cuesta $1200 ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos?

1/3=1200/x

→

x = 1200×3/1

x = $3600

Ejercicios 1. Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 libras son de músculo. Calcular cuánto pesan los músculos en un niño de 4lb, 62Lb, 85Lb. 2. El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2, 5, 7, 10 galones, 3. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla

N Vueltas

4

Tiempo

12

8

20 35

23

30 50

Proporcionalidad Inversa.

Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales. El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.

Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.

Ejemplo.

En una camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de cada uno.

Nª DE GARRAFAS CAPACIDAD DE GARRAFA (L= PRODUCTO 10 28 280 20 14 280 40 7 280 70 4 280 140 2 280 Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes número de garrafas y su capacidad en litros son inversamente proporcionales.

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Ejercicios.

1. La tabla describe la relación entre el número de obrero y el número de días que tardan en hacer un trabajo.

OBREROS

6

DIAS

30

12

40 10

a) Completar la tabla b) ¿Cuántos obreros se necesitan, para completar la obra en 4 días? c) ¿Cuántos días tardaran 14 obreros en hacer la misma obra?

2. En la clase de Juan 15 estudiantes deciden hacer una excursión y compran comida suficiente para 10 días. a) Si solo pueden ir 10 estudiantes ¿Podrían quedarse más días? Justifica tu respuesta. b) Completa la siguiente tabla y determina cuantos días más pueden quedarse en la excursión si solo van 5 estudiantes.

Nª DE ESTUDIANTES Nª DE DIAS PRODUCTO 15

10

150

10 8 5

Si solo van 8 estudiantes ¿Para cuantos días alcanzara la comida?

3. En la siguiente tabla se muestra la relación entre el diámetro de una tubería por la que desagua un tanque y el tiempo que tarda en vaciarse.

DIAMETRO(Pul)

½

1

TIEMPO(Seg)

2

2½

3

80

a) Completa la tabla. b) Explico si las magnitudes son inversamente proporcionales. c) Determine el tiempo que tardara en vaciarse en una tubería de 6 pulgadas de diámetro.

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Porcentaje (%) O Tanto Por Ciento.

El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones.

El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo.

Ejemplos: 1 centésimo =

5 centésimos =

50 centésimos =

Nota importante. No olvidar que las fracciones deben expresarse siempre lo más pequeñas posible, deben ser fracciones irreductibles.

¿Qué significa 50 %?: Significa que de una cantidad que se ha dividido en cien partes se han tomado 50 de ellas, o sea, la mitad. ¿Qué significa 25 %?: Significa que de un total de 100 partes se han tomado 25, o sea ¼ ( 25/100 al simplificar por 5, se reduce a ¼).

Cálculo de Porcentaje El Porcentaje o Tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente proporcionales (significa que si una variable aumenta la otra también aumenta y viceversa).

En el cálculo intervienen cuatro componentes: Cantidad Total

----

100 %

Cantidad Parcial

----

Porcentaje Parcial

60

Ejemplo (Cantidad total)

$ 1.000 - equivale al -

(Cantidad parcial)

$ 500

100 % (porcentaje total)

- equivale al -

50 % (porcentaje parcial)

Existen tres situaciones o tipos de problemas que pueden plantearse. Éstos son :

1.- Dada una cantidad total, calcular el número que corresponde a ese porcentaje (%) parcial: Ejemplo:

¿Cuál (cuanto) es el 20% de 80?

Cantidad

Porcentaje

Total

80

100

Parcial

x

20

Para resolverlo, se hace:

Resolvemos la incógnita (x):

Haciendo la operación, queda:

Simplificando, queda:

Respuesta: el 20 % de 80 es 16.

2.- Calcular el total, dada una cantidad que corresponde a un porcentaje de él.

Ejemplo: Si el 20 % de una cierta cantidad total es 120 ¿Cuál es el total?

Cantidad

Porcentaje

x

100

120

20 61

Para resolverlo, se hace:

Resolvemos la incógnita (x):

Haciendo la operación, queda:

Simplificando, queda:

Respuesta: 120 es el 20 % de un total de 600.

3.- Dado el total y una parte de él calcular qué % es esa parte del total.

Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 40 de 120?

Cantidad

Porcentaje

120

100

40

x

Para resolverlo, se hace:

Resolvemos la incógnita (x):

Haciendo la operación, queda:

Simplificando y haciendo la división, queda:

Respuesta: 40 es el 33,33 % de 120.

62

Patrones Numéricos Reflexiona

¿Cuál es el número que falta en la distribución numérica?.

Si analizas la forma como están dispuestos los números y qué relación tienen entre sí, observarás que existe una misma forma de operar con ellos; y de esa manera te darás cuenta qué número es el que falta, qué número es el que debe ir en lugar de la interrogante. Esta situación que se plantea es un ejemplo de lo que se llaman "patrones numéricos", son muy variados y se presentan con mucha frecuencia..

Juego Torre De Hanoi.

Trata de Trasladar la torre de la izquierda a la derecha de pieza en pieza, eso sí, no podrás colocar una pieza grande sobre una menor.

En el juego de las torres de Hanoi se cumple un patrón numérico en relación al menor número de movimientos que se deben realizar para mover la torre, de disco en disco, conforme a las reglas del juego.

63

La pista es la siguiente: - Con 1 disco, el menor número de movimientos es 1.

- Con 2 discos, el menor número de movimientos es 3.

- Con 3 discos, el menor número de movimientos es 7.

- Con 4 discos, el menor número de movimientos es 15.

- Con 5 discos, el menor número de movimientos es 31.

Descubre el patrón y determina ¿cuál es el menor número de movimientos que se deben realizar en una torre de Hanoi de 10 discos?

64

14. UNIDAD TEMATICA Nº 5: “PENSAMIENTO ALEATORIO” Una tendencia actual en los currículos de matemáticas es la de favorecer el desarrollo del pensamiento aleatorio, el cual ha estado presente a lo largo de este siglo, en la ciencia, en la cultura y aun en la forma de pensar cotidiana. La teoría de la probabilidad y

su

aplicación

a

los

fenómenos

aleatorios,

han

construido

un andamiaje

matemático que de alguna manera logra dominar y manejar acertadamente la incertidumbre. Fenómenos que en un comienzo parecen caóticos, regidos por el azar, son ordenados por la estadística mediante leyes aleatorias de una manera semejante a cómo actúan las leyes determinísticas sobre otros fenómenos de las ciencias. Los dominios de la estadística han favorecido el tratamiento de la incertidumbre en ciencias como la biología, la medicina, la economía, la psicología, la antropología, la lingüística..., y a un más, han permitido desarrollos al interior de la misma matemática.

Las investigaciones de Shanghnessy (1985) le han llevado a establecer que en las matemáticas escolares el desarrollo pensamiento aleatorio, mediante contenido de la probabilidad y la estadística debe estar imbuido de un espíritu de exploración y de investigación tanto por parte de los estudiantes como de los docentes. Debe integrar la construcción de modelos de fenómenos físicos y del desarrollo de estrategias como las de simulación de experimentos y de conteos. También han de estar presentes la comparación y evaluación de diferentes formas de aproximación a los problemas con objeto de monitorear posibles concepciones y representaciones erradas. De esta manera el desarrollo del pensamiento aleatorio significa resolución de problemas La búsqueda de respuestas a preguntas que sobre el mundo físico se hacen los niños resulta ser una actividad rica y llena de sentido si se hace a través de recolección y .análisis de datos. Decidir la pertinencia de la información necesaria, la forma de recogerla, de representarla y de interpretarla para obtener las respuestas lleva a nuevas hipótesis y a exploraciones muy enriquecedoras para los estudiantes. Estas actividades permiten además encontrar relaciones con otras áreas del currículo y poner en práctica conocimientos sobre los sobre los números, las mediciones, la estimación y estrategias de resolución de problemas.

65

En la tarea de buscar y recoger datos es importante mantener claros los objetivos, las actitudes, los intereses que la indujeron, prever qué tipos de respuestas se pueden encontrar, las dificultades que podrán presentarse, las distintas fuentes

como

consultas, entrevistas, encuestas, observaciones, la evaluación de su veracidad, distorsiones, sesgos, lagunas, omisiones y la evaluación de la actitud ética de quien recoge los datos y su responsabilidad social .

Cuando se habla de datos, es importante una reflexión sobre su naturaleza. Ellos no serían comprensibles sin considerar que tienen un mínimo de estructura, el formato y seguramente un orden, por ejemplo el estar unos a continuación de otros, el orden alfa ético si son palabras, el orden aditivo si se trata de números. En este sentido podría considerarse que no hay datos sino sistemas de datos. La enseñanza

de

las

matemáticas convencionales ha enfatizado la búsqueda de la respuesta correcta única y los métodos deductivos.

La introducción de la estadística y la probabilidad en el currículo de matemáticas crea la necesidad de un mayor uso del pensamiento inductivo al permitir, sobre un conjunto de datos, proponer diferentes inferencias, las cuales a su vez van a tener diferentes posibilidades de ser ciertas. Este carácter no determinista de la probabilidad hace necesario que su enseñanza se aborde en contexto significa donde la presencia de problemas abiertos concierta carga de indeterminación permitan exponer argumentos estadísticos, encontrar diferentes interpretaciones y tomar decisiones.

―Explorar

e

interpretar los datos, relacionarlos con otros, conjeturar, buscar configuraciones cualitativas, tendencias, oscilaciones, tipos de crecimiento, buscar correlaciones, distinguir correlación de causalidad, calcular correlaciones y su significación, hacer inferencias

cualitativas,

diseños, pruebas

de

hipótesis, reinterpretar los datos,

criticarlos, leer entre líneas, hacer simulaciones, saber que hay riesgos en las decisiones basadas en inferencias‖26 son logros importantes en el aprendizaje de la estadística.

Entonces habrá de tenerse especial cuidado para que la enseñanza de conceptos, de métodos, de representaciones del mundo estadístico y probabilístico como camino 66

hacia la construcción de una teoría matemática no cause la pérdida de su carácter aleatorio.

Recolección De Datos La recolección o recopilación de datos es el momento en el cual el investigador se pone en contacto con los sujetos, objetos o elementos sometidos a estudios con el propósito de obtener los datos o respuestas de las variables consideradas; a partir de estos datos se prepara la información estadística y se calcula las medidas de resumen e indicadores para el análisis estadístico.

Técnicas Y Métodos De Recolección De Datos.

Son las herramientas que se manipulan para obtener información y para llevar a cabo las observaciones de una investigación o estudio determinado. Conforme a lo que se desea estudiar o investigar, la característica a observar, sus propiedades y factores relacionados con aspectos naturales, económicos, políticos, sociales, etc., cuando se selecciona uno de estos instrumentos. En otras palabras, estos son los que permiten efectuar observaciones, de uno u otro fenómeno, en una forma más despejada y precisa de la descripción de los hechos a estudiar.

La Observación.

Es la técnica de recolección de información por excelencia y se utiliza en todas las ramas de la ciencia. Su uso está regido por alguna teoría y éstas determinan los aspectos que se van a observar.

La Encuesta Esta es un de las herramientas más utilizada en la investigación. Para su implementación, la encuesta utiliza los cuestionarios como medio principal para obtener información. De esta manera, las encuestas pueden realizarse para que el individuo encuestado procese por sí mismo las respuestas en el papel.

67

El Cuestionario El cuestionario es un formato redactado en forma de interrogatorio con el mismo se obtiene información relacionada con las variables objeto de la investigación. Pueden ser aplicados personalmente o por correo y en forma individual o colectiva. Está formado por un conjunto de preguntas elaboradas cuidadosamente sobre los hechos y aspectos que se desean conocer sobre una población o parte de ella; este instrumento es respondido por el participante sin la intervención directa del entrevistador. En el cuestionario simple el encuestado contesta, previa lectura del escrito, sin intervención directa de ninguna de las personas que participa en la investigación.

La Entrevista La entrevista es muy utilizada en investigación social, y sus características son similares a las del cuestionario, siendo la principal diferencia el hecho de que es el encuestador u observador quien anota las respuestas a las preguntas.

Tabulación de datos La tabulación consiste en presentar los datos estadísticos en forma de tablas o cuadros.

Forma de tabular Variables Cualitativas Pueden representarse:  la frecuencia absoluta (símbolo: f ó n), que es el nº de veces que aparece cada modalidad (resultado del recuento). La frecuencia total, de todas las modalidades juntas, se representa por N.  la frecuencia relativa ( fr) o proporción se obtiene dividiendo la frecuencia de cada modalidad entre el total de datos. fr = f / N . Los valores posibles oscilan entre 0 y 1. Suele expresarse con 3 decimales. La suma de todas las fr tiene que dar 1 ó un número muy cercano al 1, si ha habido redondeos.

68

 el porcentaje (%), que es la frecuencia relativa multiplicada por 100. (f*100)/N. Suele expresarse con 3 dígitos. La suma de todos los porcentajes debe dar 100 o un número muy próximo, si ha habido redondeos.  las frecuencia acumuladas (Σ f ó Σn ) que se obtienen sumando la frecuencia de cada modalidad a las frecuencias ya acumuladas anteriormente. En la primera modalidad no hay nada acumulado de antes y por tanto su frecuencia acumulada será su misma frecuencia. La última modalidad tiene que dar una frecuencia acumulada igual a N.  las frecuencias relativas acumuladas y los porcentajes acumulados se obtienen de forma similar. En las variables nominales las modalidades pueden ponerse en el orden que se quiera, pero en las ordinales hay que respetar el orden lógico.

Variables Cuantitativas Los datos se agrupan según la frecuencia de los valores. Es lo que se denomina Distribución de frecuencias. La forma de tabular depende del nº de datos.

----Si son pocos (la mayoría de autores pone el tope en 30), se hace una tabla simple de forma similar a lo visto para las variables CL. Cada dato equivale a una modalidad.

Al final nos quedaremos con la f de cada número y si se prefiere también con el %. Los números se ordenan de menor a mayor o de mayor a menor. La tabla puede hacerse en sentido vertical u horizontal.

----Si son muchos se agrupan en clases, que son intervalos sucesivos de valores. Los datos se asignan a la clase que les corresponde y se cuentan los datos de cada clase, que está representada por el punto medio o centro de clase (pm ó c).

Esta agrupación es arbitraria con dos condiciones esenciales: que las clases sean mutuamente excluyentes y que todos los datos puedan se asignados a una clase.

Ahora bien, la experiencia ha ido introduciendo una serie de normas, que permiten hacer esta agrupación de la forma más racional posible.

Se recomiendan en la mayoría de las ocasiones los siguientes pasos: 1) calcular el RECORRIDO (R), (a veces mal llamado Rango) 69

= (límite real superior del dato mayor – límite real inferior del dato menor) 2) calcular el Nº DE CLASES (NC) .

Es función de N (tamaño de la muestra) y no hay reglas fijas.

En general: ―entre 4 y 20‖ Ayudas: NC = 1+ 3,32*logN ó 1+1,44*lnN 3) calcular la AMPLITUD de las clases ó INTERVALO (i) : i = R / NC Si i no es número entero, se redondea al número entero superior para que NC*i ≥ R y así queden englobados todos los datos Como probamos con 2 ó 3 opciones, conviene elegir una i que sea impar, pues así el punto medio de la clase (pm ó c) tendrá una cifra menos.

En principio todas las clases deben tener la misma amplitud.

4) Ver si hay SOBRAS, que son la diferencia entre NC*i y R. Se reparten lo mejor posible entre ambos extremos de la distribución fijando así los límites definitivos de la tabla.

5) Construir el esquema de la tabla, poniendo columnas de 

Clases Ó Límites Tabulados



Limites Reales



Punto Medio (Pm Ó C)



Frecuencia ( F Ó N)



Frecuencia Relativa ( Fr)



Porcentaje (P O %)



Frecuencias Acumuladas ( Σf Ó Σn)



Frecuencias Relativas Acumuladas (Σfr)



Porcentajes Acumulados (Σ%)

6) Se hace la tabla definitiva Análisis de datos El análisis de datos es un proceso de inspeccionar, limpiar y transformar datos con el objetivo de resaltar información útil, lo que sugiere conclusiones, y apoyo a la toma de decisiones. El análisis de datos tiene múltiples facetas y enfoques, que abarca diversas 70

técnicas en una variedad de nombres, en diferentes negocios, la ciencia, y los dominios de las ciencias sociales.

Grafica de Barras y circular La estadística se aplica en diversos aspectos del quehacer humano, para lo cual es necesaria la obtención de datos y el análisis de los mismos.

A fin de facilitar el manejo de los datos, estos se concentran en una tabla y, posteriormente, se representan en graficas que pueden ser de barras, circulares, histogramas o poligonales de frecuencias, según se trate de datos cualitativos o cuantitativos.

Las gráficas de barras y las circulares representan datos cualitativos.

Para trazar una gráfica de barras se procede de acuerdo con los siguientes pasos: 1. Trazar dos rectas perpendiculares y llamar 0 (origen) al punto donde se intersectan.

2. Colocar la escala de valores o frecuencias sobre una de las rectas y en la otra los datos cualitativos en estudio.

3. Trazar rectángulos o barras del mismo ancho y dejar un espacio pequeño entre ellos. La longitud de los rectángulos está determinada por la frecuencia correspondiente.

Ejemplo: Se hizo una encuesta acerca del tipo de programas televisivos preferidos por algunos niños; los resultados se representan en la gráfica de barras que se localiza a continuación:

71

De aquí se puede concluir que: a) Los programas más vistos por niños son las caricaturas y la lucha libre. b) Las telenovelas captan mucho público infantil. c) Los programas de concurso tienen gran aceptación entre los niños d) Pocos niños aceptan los programa documentales. e) La lucha libre televisada ha captado la atención de mucho público infantil.

El procedimiento para trazar una gráfica circular es el siguiente: 1. Se traza un círculo que representar el 100 % o la totalidad de los datos obtenidos.

2. Los datos se representan en porcentajes que se obtienen al establecer proporciones.

3. Para determinar la medida del ángulo que representar la frecuencia de cada dato, se establece una proporción entre el tanto por ciento a representar y los grados del círculo.

4. Cuando ya se sabe la medida del ángulo a trazar, se usa un transportador para hacerlo.

Ejemplo: Utilizando los datos de la encuesta anterior.

72

ObtĂŠnganse los porcentajes correspondientes a cada tipo de programa televisivo.

Posteriormente se establece la proporciĂłn entre el tanto por ciento obtenido y los grados del cĂ­rculo.

73

Nota: tómese en cuenta que en algunos casos se redondea el resultado, por lo que este es una aproximación.

Por último se traza el círculo y los ángulos resultantes, los cuales representan los porcentajes de los datos obtenidos:

Puede observarse que tanto la gráfica de barras como la gráfica circular son útiles en la representación de datos estadísticos y ambas dan una visión clara de la cual pueden inferirse conclusiones.

Medidas Estadísticas Medidas de tendencia central: Media, Mediana, Moda Supóngase que un determinado alumno obtiene 35 puntos en una prueba de matemática. Este puntaje, por sí mismo tiene muy poco significado a menos que podamos conocer el total de puntos que obtiene una persona promedio al participar en esa prueba, saber cuál es la calificación menor y mayor que se obtiene, y cuán variadas son esas calificaciones.

En otras palabras, para que una calificación tenga significado hay que contar con elementos de referencia generalmente relacionados con ciertos criterios estadísticos.

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Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.

Volviendo a nuestro ejemplo, digamos que la calificación promedio en la prueba que hizo el alumno fue de 20 puntos. Con este dato podemos decir que la calificación del alumno se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificación promedio fue de 65 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, debido a que se ubicaría muy por debajo del promedio de la clase.

En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central es:  Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.  Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.  Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.  Sirve como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.

Las medidas de tendencia central más comunes son:  La media aritmética: comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M o por una X con una línea en la parte superior.  La mediana: la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribución.

Se representa como Md.  La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo. De estas tres medidas de tendencia central, la media es reconocida como la mejor y más útil. Sin embargo, cuando en una distribución se presentan casos cuyos puntajes son muy bajos o muy altos respecto al resto del grupo, es recomendable utilizar la mediana o la moda. (Porque dadas las características de la media, esta es afectada por los valores extremos).

La media es considerada como la mejor medida de tendencia central, por las siguientes razones: 75

 Los puntajes contribuyen de manera proporcional al hacer el cómputo de la media.  Es la medida de tendencia central más conocida y utilizada.  Las medias de dos o más distribuciones pueden ser fácilmente promediadas mientras que las medianas y las modas de las distribuciones no se promedian.  La media se utiliza en procesos y técnicas estadísticas más complejas mientras que la mediana y la moda en muy pocos casos.

Cómo calcular, la media, la moda y la mediana Media aritmética o promedio Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.

Ejemplo 1 En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2, 5, 3 n = 6 (número total de datos)

La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.

Ejemplo 2: Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro con las medidas de 63 varas de pino lo ilustra.

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Largo (en m) 5 6 7 8 9

Frecuencia absoluta Largo por Frecuencia absoluta 10 5 .

10 = 50 15 6 .

15 = 90 20 7 .

20 = 140 12 8 .

12 = 96 6 9 .

6 = 54 Frecuencia total = 63 430

Se debe recordar que la frecuencia absoluta indica cuántas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera más corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces).

Moda (Mo) Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos; o sea, cual se repite más.

Ejemplo 1: Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.

5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3 La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3) Ejemplo 2: 20, 12, 14, 23, 78, 56, 96 En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda.

Mediana (Med) Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor o lo contrario. Usted divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante corresponde al número del caso que representa la mediana de la distribución.

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Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.

Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos: Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.

Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).

Ejemplo 1: Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2 Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10 El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.

Ejemplo 2: El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los valores centrales.

21, 19, 18, 15, 13, 11, 10, 9, 5, 3

Conceptos Básicos De Probabilidad  Experimento: proceso mediante el cual se obtiene una observación.  Experimento

aleatorio: conjunto

de

pruebas

cuyos

resultados

están

determinados únicamente por el azar.  Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

78

 Evento: es uno o más de los posibles resultados de un experimento. Cuando un evento consta de un sólo posible resultado recibe el nombre de "evento simple", pero si está integrado por dos o más se llama "evento compuesto".  Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral  Suceso : cualquier subconjunto de puntos muéstrales  Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultáneamente  Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral.  Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro  Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.

Técnicas De Conteo El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Principio de la multiplicación.

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento ―ocurren E1 y E2…..y Ep‖ es igual a producto.

79

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas Ejemplo: Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.

Respuesta: (3)(4)=12 Principio aditivo Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + .........+ W maneras o formas Ejemplos: 1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirlpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirlpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

80

Principio de la suma o adición.

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de: m+n maneras.

Ejemplo: Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

Presa

Playas

Económico

Residencial

Condominio

Californiano

Provenzal m=2

n=3

2+3= 5 maneras Principio de la permutación.

A diferencia de la fórmula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el número de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la fórmula que se utiliza para contar el número total de permutaciones distintas es: FÓRMULA: n P r = n! (n - r) Ejemplo: ¿Cómo se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?

Aplicando la fórmula de la permutación tenemos: 81

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! = 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760 Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.

Nota: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !

Principio de la combinación.

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones.

Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes: Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB Combinaciones: AB, AC, BC Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es: n C r =

n! r! (n – r)!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones: 82

nCr=

!

!

! ( – )!

! !

35

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

PROBABILIDADES En ocasiones realizamos acciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire, en las que conocemos de antemano los posibles resultados que se pueden dar (cara o cruz) pero no sabemos exactamente cuál de ellos se va a dar.

Lo mismo ocurre cuando lanzamos un dado: sabemos que puede salir 1, 2, 3, 4, 5, o 6, pero no sabemos cuál de ellos saldrá.

Los resultados de estas acciones dependen del azar: Sabemos cuáles pueden ser pero es imposible determinar de antemano cual será.

La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se dé.

Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.

Sucesos: Como ya dijimos llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar. Distinguimos 3 tipos de sucesos: 

Suceso posible: Es un resultado que se puede dar.

Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado. 

Suceso imposible: Es un resultado que no se puede dar.

Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7). 

Suceso seguro: Es un resultado que siempre se va a dar.

Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).

83

Probabilidades de los sucesos Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir: 

Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás:

Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz". 

Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir. 

Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.

Cálculo de probabilidades Para calcular probabilidades se utiliza la siguiente fórmula:

Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles

El resultado se multiplica por 100 para expresarlo en porcentaje.

Veamos algunos ejemplos:

a) Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda: Casos favorables: 1 (que salga "cara") Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz") Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 % b) Calcular la probabilidad de que salga "3" al lanzar un dado: Casos favorables: 1 (que salga "3") Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6") Probabilidad = (1 / 6 ) * 100 = 16,6 % 84

c) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 4 " al lanzar un dado: Casos favorables: 4 (sería válido cualquiera de los siguientes resultados "1, 2, 3, o 4") Casos posibles: 6 (puede salir "1, 2, 3, 4, 5 o 6") Probabilidad = (4 / 6 ) * 100 = 66,6 %

d) Calcular la probabilidad de que salga el número 76 al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100: Casos favorables: 1 (sacar el número 76) Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa) Probabilidad = (1 / 100 ) * 100 = 1 % e) Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 98" al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100: Casos favorables: 98 (valdría cualquier número entre 1 y 98) Casos posibles: 100 (hay 100 números en la bolsa) Probabilidad = (98 / 100 ) * 100 = 98 % Ejercicios 1.- Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: 2.- Calcula la probabilidad de que al lanzar una moneda salga "cara" o "cruz": 3.- Calcular la probabilidad de que salga "un número entre 1 y 40" al sacar una bolita de una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100: 4.- Calcula la probabilidad de que un niño nazca un lunes: 5.- Calcula la probabilidad de que al elegir un mes al azar este sea del primer trimestre:

85

15. A MANERA DE CONCLUSIÓN….

En este módulo se aborda uno de los propósitos esenciales de la enseñanza de las matemáticas, es decir, el desarrollo del pensamiento matemático de los escolares, ofreciendo a los maestros algunas reglas y conceptos prácticos de lo que deben hacer para contribuir a su desarrollo, abarcando todos los tipos de pensamiento que se estudian desde las matemáticas Uno de los aspectos esenciales de la educación es formar hombres y mujeres creativos, capaces de vivir en un mundo cada vez más competitivo en el cual a diario se presentan problemas a los que hay que buscar la mejor alternativa de solución. Los maestros tienen el deber ineludible de entrenar a los escolares de manera que desarrolle hasta el máximo de sus posibilidades un pensamiento racional, verdadero y lógico. La matemática necesita de este tipo de pensamiento y a la vez tiene posibilidades de contribuir a su desarrollo.

Para poder desarrollar el pensamiento matemático de los alumnos a través de la enseñanza de las Matemáticas es necesario tener en cuenta un sistema de reglas, acciones y postulados metodológicos que favorecen el desarrollo de este tipo de pensamiento en los escolares. En este artículo tenemos el propósito de ofrecer en forma de postulados las reglas principales que hay que tener en cuenta para poder desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnos.

El pensamiento es un proceso complejo y los caminos de su formación y desarrollo no están completamente estudiados, por lo que muchos maestros no le dan un tratamiento adecuado al mismo, al no concebir a partir de un trabajo intencionado un sistema de trabajo que propicie su formación y desarrollo de acuerdo a las condiciones existentes en el medio histórico-social donde se desarrolla el escolar.

De forma general ―se entiende como lógico el pensamiento que es correcto, es decir, el pensamiento que garantiza que el conocimiento mediato que proporciona se ajusta a lo real.‖ 86

El hombre se vale de procedimientos para actuar. Algunos son procedimientos específicos, como el procedimiento de resolución de ecuaciones matemáticas; otros son procedimientos generales, válidos en cualquier campo del conocimiento, pues garantiza la corrección del pensar, tales como los procedimientos lógicos del pensamiento, que representan los elementos constituyentes del pensamiento lógico.

Así pues, la estructura del pensamiento, desde el punto de vista de su corrección es a lo que llamamos formas lógicas del pensamiento, dentro de las cuales podemos distinguir tres formas fundamentales:  El Concepto: reflejo en la conciencia del hombre de la esencia de los objetos o clases de objetos, de los nexos esenciales sometidos a ley de los fenómenos de la realidad objetiva.  Juicios: un juicio es el pensamiento en el que se afirma o niega algo.  Razonamiento: Es la forma de pensamiento mediante la cual se obtienen nuevos juicios a partir de otros ya conocidos.

Cuando estas formas lógicas del pensamiento se utilizan dentro la rama de las matemáticas para resolver ejercicios y problemas de una forma correcta, entonces hablamos de un pensamiento lógico matemático. En la educación este pensamiento comienza a formarse a partir de las primeras edades de los niños, cuando estos tienen que utilizar procedimientos como la comparación, clasificación, ordenamiento o seriación y otros para resolver problemas sencillos de la vida circundante; pero es la escuela y dentro de esta la enseñanza de las Matemáticas, la que más puede influir en que el alumno vaya desarrollando un pensamiento cada vez más lógico y creativo.

A continuación ofrecemos un sistema de reglas que son necesarias tener en cuenta por parte de los maestros para contribuir al desarrollo de un pensamiento lógico matemático en sus alumnos.

1. Estudie la teoría relacionada con el pensamiento lógico y trate de aplicarla a sus 87

alumnos de acuerdo a las condiciones concretas que tiene en el aula.

2. No haga usted lo que pueden hacer sus alumnos. Recuerde que el maestro es el dirigente del proceso de enseñanza aprendizaje, que su función es guiar, orientar, supervisar y dirigir el trabajo de los alumnos, por tanto no se trata de hacer las cosas, sino que el alumno las realice bajo su dirección.

3. Siempre que sea posible, deje que sean los alumnos los que descubran los conocimientos. Planifique actividades para que sean los alumnos los que descubran por si mismo los conocimientos, de esta forma son más duraderos y los alumnos sienten el placer de ser investigadores. Por ejemplo, para impartir el conocimiento de que ―la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180º‖ el método más efectivos es que los alumnos tracen distintos tipos de triángulos, midan sus ángulos y se den cuenta de que cualquiera que sea el triángulo que trace siempre la suma de sus ángulos interiores va a ser de 180 grados.

4. No se anticipe a las respuestas de los alumnos, sea paciente. Un mal de muchos maestros es la impaciencia que muestran cuando realizan alguna pregunta y los alumnos no le responden, llegando a cometer el error de anticiparse a las respuestas de los alumnos o contestarse él mismo. Sea paciente, pregunte lo que quiera varias veces y de distintas formas hasta que los alumnos puedan realizar sus propios razonamientos.

5. Trate de lograr que el alumno adopte una posición activa en el aprendizaje. Esto supone insertarlo en la elaboración de la información, en su remodelación, aportando sus criterios en el grupo, planteándose interrogantes, aportando diferentes vías de solución, argumentando sus puntos de vista, etc., lo que le conduce a la producción de nuevos conocimientos o a la remodelación de los existentes. Involucre a sus alumnos en un proceso de control valorativo de sus propias acciones de aprendizaje, que asegure los niveles de autorregulación, de reajuste, de la actividad que realiza, con lo cual se eleva su nivel de conciencia en dicho proceso, garantizando un desempeño activo, reflexivo, en cuanto a sus propias acciones o en cuanto a su comportamiento. Lo anterior garantiza niveles superiores en cuanto a la formación de motivaciones e intereses por el estudio, aspectos muy importantes para elevar la calidad del aprendizaje.

6. Dedíquele tiempo y esfuerzos para que los alumnos lleguen a dominar los conceptos 88

al nivel que se exige para su grado. Muchos de los fracasos del aprendizaje de los alumnos es porque no tienen una representación mental clara de los objetos con que trabajan, es decir, operan con los conceptos sin tenerlos claros. En este sentido es vital que usted compruebe por diferentes vías que el concepto quede bien formado en el alumno. En muchas ocasiones es productivo preguntar, por ejemplo: ¿qué usted se imagina cuando escucha la palabra círculo? De la respuesta del alumno usted puede diferenciar si tiene una representación mental clara del círculo o lo confunde con la circunferencia.

7. No descuide nunca profundizar en el estudio de las propiedades de los objetos.

Proponga ejercicios y problemas a los alumnos en las que tengan que aplicar las propiedades

de

los

objetos

(Reconocer

propiedades,

Distinguir

propiedades:

esenciales, necesarias, suficientes). Someter constantemente a los alumnos a que analicen proposiciones como las siguientes: ―Todo cuadrado es un rectángulo‖ o ¿Un triángulo equilátero es isósceles? También se pueden proponer ejercicios como el siguiente. ¿Cuántos rectángulos tiene la figura?

8. Utilice siempre muchos problemas. Para desarrollar el pensamiento lógico debe utilizar muchos problemas, para ello el maestro debe ser un apasionado de los problemas e imbuir a sus alumnos en el placer de resolverlos, por tanto no solo proponga problemas, sino estimule constantemente que los alumnos busquen y creen nuevos problemas, que trasladen los problemas resueltos en la escuela a la comunidad y viceversa. Provoque discusiones colectivas o en grupos para resolver problemas.

Utilice distintas variantes de actividades en la que los alumnos tengan que resolver problemas, tales como: el problema de la semana; los mejores alumnos resolviendo problemas; competencia entre equipos, salones de clases y escuelas. Es importante que enseñe a sus alumnos a utilizar las distintas etapas para la solución de problemas.

9. Enseñe a sus alumnos técnicas para resolver problemas. Acostumbre a sus alumnos a hacer figuras de análisis, cuadros, tablas, etc así como a aplicar técnicas como: la 89

modelación (lineal, conjuntista, ramificado, tabulares); lectura analítica y reformulación; determinación de problemas auxiliares; el tanteo inteligente; la comprobación etc.

10. Estimule la búsqueda de distintas variantes de solución para los ejercicios y problemas. No deje pasar un ejercicio en el que indague si algún alumno lo realizó por otra vía de solución. En caso que tenga otra vía de solución y los alumnos no la utilizaron, no deje de hacerlo notar. Estimule de alguna forma los alumnos que hacen los ejercicios por más de una vía o los que lo hacen por otra vía que no es la que se ha enseñado.

11. Someta constantemente a los alumnos para que emitan o analicen proposiciones.

La discusión y análisis de proposiciones es una vía efectiva para conocer los errores de conceptos y el dominio del contenido que tiene el alumno, por lo que la proposición constante y cada vez con mayor nivel de exigencia de proposiciones que contengan expresiones lógicas dentro de la matemática contribuye a desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnos. Ejemplo de proposiciones: ―dos rectas paralelas no se cortan‖, ―Dado las longitudes de los tres lados de un triángulo siempre es posible construirlo‖, ―Todo polígono de cuatro lados paralelos dos a dos e iguales es un cuadrado‖.

12. Utilice procedimientos lógicos del pensamiento asociados a razonamientos (inferencias inmediatas, deducción por separación, refutación, demostración directa, demostración indirecta y la argumentación). Una vez que sus alumnos tengan cierto desarrollo en su pensamiento lógico matemático, se puede pasar a utilizar los procedimientos lógicos asociados a los razonamientos, es decir a sacar inferencias a partir de varias presupuestos, a deducir propiedades, reglas y refutar proposiciones, así como a realizar demostraciones matemáticas.

13. Utilice los errores que cometen sus alumnos para propiciar su desarrollo. La utilización de los errores que cometen los alumnos es una importante arma para que el alumno reflexione sobre el error cometido, las causas que lo provocaron y la forma de resolverlo. No le diga al alumno porqué cometió el error, sino pregúntele de forma inteligente para que él se percate de las causas del mismo y la forma de subsanarlo.

Utilice con frecuencia problemas y ejercicios que contengan errores, que le sobren datos o que no tengan solución. Otra actividad que le gusta a los alumnos y que puede ser aprovechada para desarrollar el pensamiento lógico matemático es la búsqueda de 90

errores en la solución de ejercicios y problemas propuestos, realizados por los propios alumnos o por otros estudiantes.

14. Utilice diferentes juegos para desarrollar el pensamiento lógico. Los niños por naturaleza le gusta mucho jugar, por lo que el maestro debe aprovechar este aspecto en función de su desarrollo, para ello, incentive y practique junto a sus alumnos diferentes juegos que necesiten realizar razonamientos, tales como el ajedrez, damas, dominó, las torres de Hanoi, adivinanza de números y otros que sean tradicionales en la comunidad.

En este aspecto se incluye el uso de los llamados JIMO o juegos computarizados en los cuales el alumno tiene para jugar que tomar decisiones, pensar y buscar alternativas de solución a situaciones problemicas que se le presentan durante el desarrollo del juego.

15. Proponga constantemente a sus alumnos acertijos y adivinanzas. Dentro del campo de la las Matemáticas existen un gran cantidad de acertijos, adivinanzas y juegos que pueden contribuir al desarrollo del pensamiento lógico de los alumnos. En este sentido es necesario saber el nivel de los mismos para que se adapten al de los alumnos.

Cuando ponga una adivinanza o acertijo no le ofrezca a los alumnos la respuesta; sino trata de que los propios alumnos lleguen a buscar por qué se puede acertar la respuesta. Un ejemplo de este tipo de actividad es el que se le plantea a los alumnos: ¿Piensa un número?; adiciónale diez; quítale 5; quítale el valor del número que pensaste; multiplícalo por 4. Si queremos en este momento le decimos que el número del resultado de la operación es 20.

Conclusiones La aplicación en las clases de Matemáticas de distintos tipos de juegos permite crear un ambiente investigativo en el aula y una atmósfera muy positiva en función de elevar a niveles superiores el pensamiento lógico matemático de los alumnos y con ello la calidad de la educación que desarrollamos.

Los miembros de la sociedad actual tienen a diario que enfrentar disímiles problemas de la vida, por lo que sólo con un adecuado desarrollo del pensamiento lógico estarán 91

en condiciones de buscar las mejores alternativas de solución. La educación de forma general y los maestros en particular tienen el deber ineludible de trabaja en función de elevar los niveles de desarrollo del pensamiento lógico matemático de los alumnos.

La planificación de múltiples actividades por parte de los maestros con la intencionalidad de desarrollar el pensamiento lógico matemático de los alumnos, es una vía para elevar los niveles de calidad de la educación de cualquier país.

Entre este conjunto de actividades se destacan sobre manera lo relacionado con los métodos de enseñanza que propicien una participación activa y consciente de los alumnos en el proceso de adquisición de los conocimientos, el trabajo con los problemas de diferentes tipos y naturaleza; así como de actividades docentes y extradocentes encaminadas a ese fin. La aplicación de las reglas y actividades descritas anteriormente en un aula, por parte de los maestros, permitirían un desarrollo acelerado y continuo de las capacidades de los alumnos para emitir juicios, realizar razonamientos lógicos y resolver problemas con un alto nivel de independencia y creatividad.

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16. PIENSA UN POCO…. RAPIDAMENTE. 01. ¿Cuál es el número que si lo pones al revés vale menos?

02.¿Cuál es el número que si le quitas la mitad vale cero?

03. Hay gatos en un cajón, cada gato en un rincón, cada gato ve tres gatos ¿sabes cuántos gatos son?

04. ¿Qué pesa más un kilo de hierro o un kilo de paja?

05. Si estás participando en una carrera y adelantas al segundo, ¿en qué posición terminarás la carrera?

06. De siete patos metidos en un cajón, ¿cuántos picos y patas son?

07. En un árbol hay siete perdices; si un cazador dispara y mata dos. ¿Cuántas perdices quedan en el árbol?

08. A un árbol subí, donde manzanas había, si manzanas no comí y manzanas no dejé. ¿Cuántas manzanas había?

09. Si digo cinco por cuatro veinte, más dos, igual a veintitrés. ¿Es verdad o mentira?

10. Si digo cinco por ocho cuarenta, más dos, igual a cuarenta y cuatro. ¿Es verdad o mentira?

11. ¿Cuánto valen siete sardinas y media, a real y medio la sardina y media?

12. Un pan, otro pan, pan y medio y medio pan. ¿Cuántos panes son?

13. Pan y pan y medio, dos panes y medio; cinco medios panes, ¿Cuántos panes son?

14. Si un ladrillo pesa un kilo más medio ladrillo. ¿Cuánto pesa ladrillo y medio?

15. Tres medias moscas y mosca y media ¿Cuántas medias moscas son?

16. ¿Cuántas moscas volando son tres medias moscas más mosca y media?

17. ¿Cómo podrá repartir una madre tres patatas entre sus cuatro hijos?

18. ¿Cuál es el resultado de dividir 30 por 1/2 y sumarle 10?

19. ¿Cuántas veces pueden restarse cinco de veinticinco?

20. ¿Qué hacen seis mujeres juntas?

21. Tengo tantas hermanas como hermanos, pero mis hermanos tienen la mitad de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos somos?

22. Dos personas jugaron cinco partidas de ajedrez. Cada una ganó tres. ¿Es posible?

23. Dos padres y dos hijos entran en una estación de "metro". Compran sólo tres entradas y pasan sin problemas, ¿cómo lo hicieron?

24. Una señora le dice a su amiga: 93

«...hace dos días mi hijo tenía seis años, pero el año que viene tendrá nueve» . ¿Es posible?

25. Una suma con tres cifras exactamente iguales da como resultado 24, pero el 8 no es el número que buscamos. ¿De qué números se trata?

26. ¿Qué pasa en Madrid y en Buenos Aires todos los días (incluidos festivos) de 5 a 6 de la tarde?

27. Si digo uno entre veinte es igual a diecinueve, ¿es posible?

28. ¿Qué es lo que se necesita entero, aunque sobre?

29. Yendo yo hacia Villavieja me crucé con siete viejas. Cada vieja siete sacos, cada saco siete ovejas. ¿Cuántas viejas, sacos y ovejas iban hacia Villavieja?

30. Si dos regalos cuestan 110 euros y uno de ellos cuesta 100 euros más que el otro, ¿cuánto vale cada regalo?

31. Un agricultor tiene 3 montones de paja en el prado y 4 montones en el pajar. Si los juntara todos ¿cuántos montones tendría?

32. En el cajón de tu armario tienes seis calcetines negros y seis calcetines azules. Si no hay luz y quieres sacar el mínimo número de calcetines para asegurarte que obtendrás un par del mismo color, ¿cuántos calcetines deberás sacar del cajón?

33. Si dos hombres hacen dos hoyos en dos días, ¿cuantos días necesita un sólo hombre para hacer un hoyo?

34. Si un hombre se come una manzana en medio minuto. ¿Cuántos hombres hacen falta para comer 30 manzanas en quince minutos?

35. ¿Qué número, menor de mil, tiene más letras?

36, ¿Qué número tiene el mismo número de letras que el valor que expresa?

37. ¿Por qué un barbero de Jaén prefiere cortarle el pelo a dos jiennenses en vez de a un linarense?

38. Si seis pintores pintan un edificio en tres días, ¿cuántos días tardarían nueve pintores?

39. Si un regalo me ha costado dos euros más medio regalo, ¿cuánto me costarán dos regalos?

40. ¿Cuántas bolas de 10 cm. de diámetro pueden introducirse en una caja vacía de 100 cm. De lado?

41. Una señora tenía en su monedero 30 euros en dos billetes, pero uno de ellos no era 94

de 10euros. ¿Qué billetes tenía?

42. ¿A cuánto equivale camisa y media más camisa y media?

43. ¿Por qué un hombre que tiene cuarenta y dos años de edad sólo ha podido celebrar diez cumpleaños?

44. Si un coche toma una curva a la derecha a cuarenta kilómetros por hora, ¿cuál es la rueda que menos gira?45. ¿Por qué enloqueció el libro de matemáticas?

46. Si una niña se come un pastel en una hora,... ¿cuánto tardarán dos niñas en comerse dos pasteles?

47. Si un niño tarda una hora en recorrer 1 kilómetro, ¿cuánto tardarán dos niños en recorrer2 kilómetros?

48. Si dos pintores pintan un edificio en 3 días, ¿cuánto tardarían seis pintores?

49. Si cuatro manzanas pesan 400 gramos, ¿cuánto pesa cada manzana?

50. Si una camisa mojada se seca en siete minutos. ¿Cuánto tardarán en secarse dos camisas?

51. ¿Cuánto es la mitad de 2 + 2?

52. Si hay 12 sellos de 10 céntimos en una docena, ¿cuántos sellos de 20 céntimos habrá en dos docenas?

53. Colocar 10 terrones de azúcar en 3 tazas vacías, de forma que cada taza contenga un número impar de terrones.

17. PARA QUE PIENSES MÁS… Y MÁS….

1.- Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben él y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?.

2.- Un oso camina 10 Km. hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partió. ¿De qué color es el oso?

3.- ¿Qué animal tiene en su nombre las cinco vocales?

4.- Un hombre está al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitación, que esta inicialmente apagada.

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¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo?

Pista: El hombre tiene una linterna.

5.- En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres señores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color. Se le pregunta al tercero de la fila, que puede ver el color del sombrero del segundo y el primero, si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde negativamente. Se le pregunta al segundo que ve solo el sombrero del primero y tampoco puede responder a la pregunta. Por último el primero de la fila que no ve ningún sombrero responde acertadamente de que color es el sombrero que tenía puesto. ¿Cuál es este color y cuál es la lógica que uso para saberlo?

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18. REFERENTES BIBLIOGRAFICOS.  LINEAMIENTOS CURRICULARES y estándares de matemáticas. MEN. República de Colombia. Santa fe de Bogotá. D.C 1998  ESTANDARES BASICOS DE COMPETENCIAS en lenguaje, matemáticas, ciencias y ciudadanas. MEN. Revolución Educativa Colombia Aprende.

Documento N° 3  MONTAÑA Marcos y CONTRERAS Mauricio, evaluación de competencias matemáticas. Bogotá D.C. Colombia  ESTRATEGIAS en matemáticas 5. Editorial libros & libros s. a. 2013.  MATEMÁTICAS soluciones educación básica primaria 5. Editorial futuro. 2003.  ARITMÉTICA teórico práctico. Aurelio Baldor.  GODINO Juan D. BATANERO Carmen, FONT vicenc. didáctica de las matemáticas para maestros, edición 2004 España.

CIRBERGRAFIA  http://es.slideshare.net/PTAaTLANTICO/presentacin-y-actividades-pensamientoaleatorio  http://maescentics2.medellin.unal.edu.co/~nacanov/wiki/index.php/Pensamiento_ Aleatorio  http://zolecita-delgado.blogspot.com/2012/05/pensamiento-numerico.html  http://wdb.ugr.es/~encastro/wp-content/uploads/CONFERENCIA-PN1.pdf  http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551115/Modulo_en_Linea/leccin_38__pe nsamiento_mtrico_y_sistemas_de_medida1.html  http://www.sinewton.org/numeros/numeros/57/Articulo04.pdf

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