FICHA DE APOIO Darlan Moutinho 2019 | Ficha de Apoio
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porém a tarifa por cada quilograma enviado sobe para R$ 6,00. Certo fabricante havia decidido contratar o plano A por um período de meses. Contudo, ao perceber que ele precisará enviar apenas 650 quilogramas de mercadoria durante todo o período, ele resolveu contratar o plano B. Qual alternativa avalia corretamente a decisão final do fabricante de contratar o plano B?
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Sabendo que uma PG tem a1 = 4 e razão q = 2, determine a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.
2 A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão. 3 A soma dos 20 termos de uma PA é 500. Se o primeiro termo dessa PA é 5, qual é a razão r dessa PA? 4 Encontre o termo geral da progressão aritmética (PA): A = (3, 7, ...) 5 Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27). 6 Determine o 20º elemento e a soma dos termos da seguinte progressão aritmética: (2, 7, 12, 17,...). 7 Determinar o 61° termo da P.A ( 9,13,17,21,...) 8 Determinar a razão da P.A. (a1,a2,a3,...) em que a1=2 e a8=3. 9 Determinar o número de termos da P.A. (4, 7, 10, ..., 136). 10 Calcular a somados N termos da PA (2,10,18,26..) 11 Calcular a soma dos 80 primeiros termos da PA (6,9,12,15,18...) 12 Calcule o número de termos da PA cujo primeiro termo é 1, o ultimo termo é 157 e a soma dos seus termos é 3160. 13 Determine o 15° termo da PG (256,128,64,32...) 14 Determine o 10° termo da PG (3,6,12...) 15 (ENEM PPL 2017) Uma empresa de entregas presta serviços para outras empresas que fabricam e vendem produtos. Os fabricantes dos produtos podem contratar um entre dois planos oferecidos pela empresa que faz as entregas. No plano A, cobra-se uma taxa fixa mensal no valor de R$ 500,00, além de uma tarifa de R$ 4,00 por cada quilograma enviado (para qualquer destino dentro da área de cobertura). No plano B, cobrase uma taxa fixa mensal no valor de R$ 200,00,
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a) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 500,00 a menos do que o plano A custaria. b) A decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1.500,00 a menos do que o plano A custaria. c) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1.000,00 a mais do que o plano A custaria. d) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 1.300,00 a mais do que o plano A custaria. e) A decisão foi ruim para o fabricante, pois o plano B custará ao todo R$ 6.000,00 a mais do que o plano A custaria. 16 (ENEM (LIBRAS) 2017) A figura ilustra uma sequência de formas geométricas formadas por palitos, segundo uma certa regra.
Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão necessários para construir o décimo termo da sequência? a) 30 b) 39 c) 40 d) 43 e) 57 17 (ENEM PPL 2014) Um ciclista participará de uma competição e treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro dia, pedalará 60 km; no segundo dia, a mesma distância do primeiro mais r km; no terceiro dia, a mesma distância do segundo mais r km; e, assim, sucessivamente, sempre pedalando a mesma distância do dia anterior mais No último dia, ele deverá percorrer 180 km, completando o treinamento com um total de 1560 km. A distância que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em km é a) 3 b) 7 c) 10 d) 13 e) 20
18 (ENEM 2ª APLICAÇÃO 2010) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro. Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010.
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente, a) 12 dias. b) 13 dias. c) 14 dias. d) 15 dias. e) 16 dias. 19 (UPF 2019) De uma progressão aritmética an de razão r, sabe-se que a8 = 16 e a14 = 4. Seja Sn a soma dos n primeiros termos de an, o menor valor de n, de modo que Sn = 220, é a) 12 b) 11 c) 14 d) 16 e) 18 20 (UEG 2019) Uma concessionária vende um carro financiado em dois anos, e as parcelas mensais serão da seguinte maneira: a primeira parcela será de R$ 1000,00 e as demais decrescerão R$ 20,00 ao mês. Ao final do financiamento esse carro terá custado ao comprador a) R$ 18.480,00 b) R$ 18.240,00 c) R$ 18.000,00 d) R$ 17.760,00 e) R$ 17.520,00 21 (G1 - IFAL 2018) Determine o 2017o termo da Progressão Aritmética cujo 1o termo é 4 e cuja razão é 2 a) 4032 b) 4034 c) 4036 d) 4038 e) 4040
22 (G1 - IFSUL 2016) Um maratonista registrou os seus tempos, em segundos, para um mesmo percurso, durante 1 semana, que foram: (20, 18, 16, 14, 12, 10, 8). Essa sequência numérica progressão de que tipo?
representa
uma
a) Geométrica crescente. b) Geométrica decrescente. c) Aritmética crescente. d) Aritmética decrescente. 23 (G1 - IFAL 2016) Em uma apresentação circense, forma-se uma pirâmide humana com uma pessoa no topo sustentada por duas outras que são sustentadas por mais três e assim sucessivamente. Quantas pessoas são necessárias para formar uma pirâmide com oito filas de pessoas, da base ao topo? a) 8 b) 16 c) 28 d) 36 e) 45 24 (G1 - IFCE 2016) Numa progressão aritmética de razão 3, o sexto termo vale 54. O septuagésimo sexto termo dessa sequência é o número a) 284 b) 264 c) 318 d) 162 e) 228 25 (UCS 2015) Uma fábrica fornece, a um supermercado, 1000 unidades de seu produto por R$ 3000,00. Para cada mil unidades adicionais, ela cobra R$ 200,00 a menos do que cobrou do milhar precedente. Dessa forma, para adquirir 8000 unidades, o valor que o supermercado deverá pagar será a) R$ 12.600,00 b) R$ 19.200,00 c) R$ 18.400,00 d) R$ 25.400,00 e) R$ 26.100,00 26 (UNICAMP 2015) Se (α1, α2, ..., α13) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, então α7 é igual a a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
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27 (UFTM 2012) Os valores das prestações mensais de certo financiamento constituem uma P.A. crescente de 12 termos. Sabendo que o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 e o da 12ª é R$ 2.150,00, pode-se concluir que o valor da 10ª prestação será igual a a) R$ 1.750,00. b) R$ 1.800,00. c) R$ 1.850,00. d) R$ 1.900,00. e) R$ 1.950,00. 28 (UFV 2000) Quanto aos números pares 0, 2, 4 e 8, é CORRETO afirmar que: a) estão em progressão aritmética de razão 2 b) estão em progressão geométrica de razão de 2 c) são potências consecutivas da base 2 d) são múltiplos consecutivos de 2 e) têm máximo divisor comum igual a 2
1 S = 4092
2 a8 = 4374
3 2cm
4 an = 4n - 1
5 Sn = 29524
6 990
7 a61 = 249
8 r = 1/7
9 45
10 Sn = 4n2 - 2n
11 S80 = 9960
12 40
13 a15 = 1/64
14 a10 = 1536
15 A
16 B
17 C
18 D
19 B
20 A
21 C
22 D
23 D
24 B
25 C
26 A
27 C
28 E
29 B
30 C
29 (UDESC 2011) Em uma escola com 512 alunos, um aluno apareceu com o vírus do sarampo. Se esse aluno permanecesse na escola, o vírus se propagaria da seguinte forma: no primeiro dia, um aluno estaria contaminado; no segundo, dois estariam contaminados; no terceiro, quatro, e assim sucessivamente. A diretora dispensou o aluno contaminado imediatamente, pois concluiu que todos os 512 alunos teriam sarampo no: a) 9º dia. b) 10º dia. c) 8º dia. d) 5º dia. e) 6º dia. 30 (UEPA 2012) Em 2004, o diabetes atingiu 150 milhões de pessoas no mundo (Fonte: Revista Isto é gente, 05/07/2004). Se, a partir de 2004, a cada 4 anos o número de diabéticos aumentar em 30 milhões de pessoas, o mundo terá 300 milhões de pessoas com diabetes no ano de: a) 2020 b) 2022 c) 2024 d) 2026 e) 2028
26 RESOLUÇÃO 1
[S = 4092] a (qn - 1) 4.(210 - 1) S= 1 →S= →S= q-1 2-1
4.1023 1
→ S = 4092 2 [a8 = 4374] Razão da progressão: 6 : 2 = 3 an = a1.qn–1 a8 = 2.38–1 a8 = 2.37 a8 = 2.2187 a8 = 4374 3 [2cm] Sn = [(a1 + an).n]/2 500 = [(5 + a20).20]/2 500.2= (5 + a20).20 1000 = 100 + 20.a20 1000 – 100 = 20.a20 900 = 20.a20 a20 = 900/20 a20 = 45 Vamos agora utilizar a fórmula do termo geral para encontrar o valor da razão r:
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an = a1 + (n – 1).r 45 = 5 + (20 – 1).r 45 – 5 = 19.r r = 40/19 ≈ 2 Portanto, a razão dessa PA é de aproximadamente 2 cm. 4 [an = 4n – 1] A razão r é dada por r = 7 – 3 = 4. Dessa forma, é possível determinar a fórmula de seu termo geral: an = a1 + (n – 1).r an = 3 + (n – 1).4 an = 3 + 4n – 4 an = 4n – 1 Então, o termo geral da PA (3, 7, …) é an = 4n – 1. 5 [Sn = 29524] Vamos identificar a razão q dessa PG: q = a2/a1 q = 3/1 q=3 Identificada a razão q = 3, vamos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos: Sn = [a1(qn – 1)]/(q - 1) S10 = [1(310 – 1)]/(3 – 1) Sn = (59049 – 1)/(3 – 1) Sn = 59048/2 Sn = 29524 6 [990] Determinando o 20º termo. an = a1 + (n – 1).r a20 = 2 + (20 – 1).5 a20 = 2 + 19.5 a20 = 2 + 95 a20 = 97 Calculando a soma dos termos. (a + an).n S= 1 2 S=
(2 + 97).20 2
99.20 S= 2 S = 990 O 20º termo da PA é igual a 97 e a soma dos termos equivale a 990. 7 [a61 = 249] a1 = 9, r = 4, n = 61, a61 = ? Aplicando a fórmula do termo geral, an = a1 + (n - 1)r, para n = 61, temos: a61 = a1 + (61 - 1)r a61 = a1 + 60r a61 = 9 + 60.4 a61 = 249
8 [r = 1/7] a1 = 2, a8 = 3, n = 8, r = ? Aplicando a fórmula do termo geral, an = a1 + (n - 1)r, para n = 8, temos: a8 = a1 + 7r 3 = 2 + 7r r = 1/7 9 [45] a1 = 4, an = 136, r = 3, n = ? Aplicando a fórmula do termo geral, an = a1 + (n - 1)r, para n = 8, temos: 136 - 4 + (n - 1).3 136 = 4 + 3n - 3 3n = 135 n = 45 Logo, a P.A. possui 45 termos. 10 [Sn = 4n2 - 2n] an an an an
= = = =
a1 + (n - 1)r 2 + (n - 1) - 8 2 + 8n.8 8n - 6
Sn Sn Sn Sn Sn
= = = = =
[(a1 + an).n]/2 [(2 + 8n - 6).n]/2 [(8n - 4).n]/2 (8n2 - 4n)/2 4n2 - 2n
11 [S80 = 19920/2] a30 = a30 = a30 = a30 =
a1 + 79R 6 + 79.3 6 + 237 243
S80 = S80 = S80 = S80 =
[(a1 + 130).80]/2 [(6 + 243).80]/2 (249.80)/2 19920/2 = 9960
12 [40] (1 ... 157) = 3160 3160 = [(1 + 157).n]/2 3160 = 79n n = 3160/79 n = 40 40 termos. 13 [a15 = 1/64] a15 = a15 = a15 = a15 = a15 =
a1.q14 256.(1/2)14 28.2-14 2-6 1/64
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14 [a10 = 1536] a1 = 3 q=2 n-1 = 10 - 1 = 9 a10 = a1 . 29 a10 = 3 . 512 a10 = 1536 15 [A] O plano A custará ao todo 6500 + 4.650 = R$ 5600,00 enquanto que o plano B custará ao todo 6200 + 6650 = R$ 5100,00 Portanto, a decisão foi boa para o fabricante, pois o plano B custará ao todo 5600 - 5100 = R$ 500,00 a menos do que o plano A custaria. 16 [B] O número de palitos em cada figura constitui uma progressão aritmética de primeiro termo 3 e razão 4. Portanto, o décimo termo da sequência possui 3 + 9.4 = 39 palitos. 17 [C] As distâncias diárias percorridas correspondem a uma progressão aritmética de primeiro termo 60km e razão rkm. Logo, sabendo que a soma dos primeiros termos dessa progressão é igual a 1560km, e que a distância percorrida no último dia foi de 180km, temos 1560 = [(60 + 180)/2].n ↔ n = 13 Portanto, segue que 180 = 60 + (13 - 1).r ↔ r = 10km 18 [D] As distâncias percorridas pelo corredor constituem a progressão aritmética (3; 3,5; 4; ...; 10). Se n denota o número de dias para que o planejamento seja executado, temos que 10 = 3 + (n - 1).0,5 ↔ 7.2 = n - 1 ↔ n = 15. 19 [B] Calculando: a8 = a1 + 7r = 16 a14 = a1 + 13r = 4 6r = -12 → r = -2 a1 - 14 = 16 → a1 = 30 an = 30 - 2.(n - 1) = 31 - 2n (30 + an).n = 200 2 (30 + 32 - 2n).n = 200 2 (62 - 2n).n = 200 → 62n - 2n2 - 440 = 0 2
Sn =
6
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-n2 + 31n - 220 = 0 Δ = 312 - 4.(-1).(-220) = 81 n=
-31 ± √81 = 2.(-1)
n = 20 ou n = 11
Assim, o menor valor de n será igual a 11. 20 [A] O valor das parcelas decresce segundo uma progressão aritmética de razão -20 e primeiro termo 1000. Logo, o valor da última parcela é 1000 - 23.20 = R$ 540,00. Portanto, segue que a resposta é [(1000 + 540)/2].24 = R$ 18.480,00 21 [C] Calculando: a2017 = a1 + 2016.r a2017 = 4 + 2016.2 = 4036 22 [D] Como os termos decrescem de dois em dois temos uma progressão de primeiro termo igual a 20 e razão -2 logo, temos uma progressão aritmética decrescente. 23 [D] Utilizando os conceitos de progressão aritmética, pode-se escrever: a1 = 1 a2 = 2 r=1 a8 = 1 + (8 - 1).1 = 1 + 7 = 8 S = [(1 + 8).8]/2 = 36 pessoas 24 [B] an = a1 + (n - 1).r a6 → 54 = a1 + (6 - 1).3 → a1 = 39 a76 = 39 + (76 - 1).3 = 264 25 [C] Trata-se de soma de termos de uma PA de razão -200. Assim, pode-se escrever: a8 = 3000 + (8 - 1).(-200) → a8 = 1600 S8 = [(3000 + 1600).8]/2 → S8 = 18400 26 [A] Como α7 é o termo médio da progressão aritmética, segue-se que 78 = α7.13 e, portanto, temos α7 = 6.
27 [C] Seja r a razão da progressão aritmética. Se o valor da 1ª prestação é R$ 500,00 e o da 12ª é R$ 2150,00 então 2150 = 500 + 11.r ↔ r = 1650/11 = 150 Portanto, o valor da 10a prestação é 500 + 9.150 = R$ 1850,00. 28 [E] [A] Falsa: Não estão em P.A, pois 4 - 2 ≠ 8 - 4 [B] Falsa: Não estão em P.G, pois 2 ÷ 0 ≠ 4 ÷ 2 [C] Falsa: O zero não é potência de 2 [D] Falsa: está faltando o 6 entre 4 e 8 [E] Verdadeira: O máximo divisor comum entre 0, 2, 4 e 8 é 2. 29 [B] O número de alunos contaminados no n-ésimo dia é dado por 2n-1. Queremos calcular n, tal que 2n-1 = 512. Desse modo, 2n-1 = 512 ↔ 2n-1 = 29 ↔ n = 10. Portanto, todos os alunos teriam sarampo no 10o dia. 30 [C] De acordo com as informações, temos que a evolução do número de diabéticos corresponde à sequência (150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, ...). Portanto, o mundo terá 300 milhões de pessoas com diabetes no ano de 2004 + 5.4 = 2024.
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