1ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

1ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ (ΠΓΠ) ΘΕΩΡΗΜΑ Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μια προς μια και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες,τότε είναι ίσα ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ α)Σε ισοσκελη τρίγωνα ισχύουν 1)Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες 2)Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος β)οι γωνίες ισοπλεύρου τριγώνου είναι ίσες γ)Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του δ)Αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα τότε και οι χορδές τους είναι ίσες ΓΙΑΤΙ ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΡΙΓΩΝΑ Σύγκριση τριγώνων κάνουμε κάθε φορά που επιδιώκουμε να αποδείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα ή γωνίες είναι ίσες.Έτσι ακολουθούμε το εξής βήματα α)χαράσουμε ένα ικανοποιητικό (όσο το ακριβές είναι δυνατόν) σχήμα β)Εντοπίζουμε δύο τρίγωνα,τα οποία με πρώτη πρώτη παρατήρηση να δείξουν ίσα και να έχουν απαραίτητα ως στοιχεία τα ζητούμενα τμήματα ή τις ζητούμενες γωνίες γ)Τα παραπάνω τρίγωνα πρέπει οπωσδήποτε ανάμεσα στα ίσα στοίχεια τους να έχουν και μια πλεύρα.μόνο με ισότητα γωνιών δεν προκύπτει ποτέ ισότητα τριγώνων δ)Ενδεχομένως,τα ίσα στοιχεία των τριγώνων που συγκεντρώθηκαν για τη σύγκριση,να μην αρκούν.Σ’αυτές τις περιπτώσεις πιθανόν να απαιτείται πρώτα η σύγκριση δύο άλλων τργώνων,τα οποία να είναι τελικά ίσα και να μας εφοδιάσουν με δεδομένα

1

ε)Ο νόμος,τον οποίο εφαρμόζουμε μέτα την ισότητα των τριγώνων είναι <Απέναντι από ίσες πλεύρες βρίσκονται ίσες γώνιες και απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλεύρες> Η αρχή αυτή εφαρμόζεται μόνο σε τρίγωνα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και στις προεκτάσεις των ΑΒ,ΑΓ προς το Α παίρνουμε τμήματα τέτοια ώστε ΓΑ=ΔΑ και ΒΑ=ΕΑ.Να δειχθεί ότι ΒΓ=ΔΕ Απόδειξη Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ Έχουν ΓΑ=ΔΑ(υπόθεση) ΒΑ=ΕΑ(υπόθεση)

ΒΑΓ = ∆ΑΕ (ως κατακορηφήν) Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι ίσα από το 1ο κριτήριο ισότητας (ΠΓΠ) και έχουμε ότι ΒΓ=ΔΕ

2)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και προεκτείνουμε τη βάση και προς το Β και το Γ κατά ίσα τμήματα ΒΕ=ΓΖ.Να δειχθεί ότι α)ΕΑΖ ισοσκελές β)η διχοτόμος της ΒΑ Γ είναι και διχοτόμος της ΕΑ Ζ Απόδειξη α)Πρέπει να δειχθεί ότι ΑΕ=ΑΖ Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΖ. ΕΒ=ΓΖ(υπόθεση) ΑΒ=ΑΓ(επειδή ΑΒΓ ισοσκελές) Ε = ΑΓ Ζ (γιατί είναι ΑΒ παραπληρωματικές ίσων γωνιών) Άρα από το 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων έχουμε ότι ΑΕ=ΑΖ 2

β)Έστω ΑΔ η διχοτόμος της ΒΑ Γ ⇒ ΒΑ ∆ = ∆Α Γ (1) όμως αφού τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΖ είναι ίσα ⇒ ΕΑ Β = ΓΑ Ζ (2) (1)+(2) έχουμε

Ζ Ζ ⇒ ΕΑ ∆ = ∆Α Γ + ΓΑ ∆ + ΕΑ Β = ∆Α ΒΑ άρα ΑΔ διχοτόμος ΕΑ Ζ

3)Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.Να αποδειχθεί ότι οι διάμεσοι από τις κορυφές Β,Γ είναι ίσες. Απόδειξη Έστω Δ,Ε τα μέσα των ΑΒ,ΑΓ Συγκρίνω τα τρίγωνα ΔΓΒ και ΒΕΓ Έχουμε ΒΓ (κοινή) ΔΒ=ΕΓ (γιατί ΑΒ=ΑΓ ⇒

ΑΒ ΑΓ = ⇒ ΒΔ=ΕΓ) 2 2

Γ = ΑΓ Β (γιατί ΑΒΓ ισοσκελές) ΑΒ

Άρα από το 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων έχουμε ΔΓΒ και ΒΕΓ ίσα,άρα έχουμε ΓΔ=ΒΕ 4)Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ εσωτερικό του σημείο.Έστω Δ σημείο τέτοιο ώστε ΑΡ=ΑΔ και ΒΑ Γ = ΡΑ ∆ .Να δειχθεί ότι α) ΑΡ Β = Α∆ Γ β)Αν ΑΡ Β = ΑΡ Γ τότε να δειχθεί ότι η ΑΡ τέμνει την ΒΓ στο μέσο της Απόδειξη α)Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΡΔ ΑΓ=ΑΒ (ΑΒΓ ισοσκελές) ΑΔ=ΑΡ (υπόθεση) ∆ = ΒΑ Ρ (γιατί ΓΑ

Ρ + ΡΑ Γ = Α = ΡΑ Γ + ∆Α Γ ΒΑ Ρ = ∆Α Γ ) ⇒ ΒΑ

Άρα τα τρίγωνα ΑΔΓκαι ΑΡΒ είναι ίσα άρα και Α∆ Γ = ΑΡ Β

3

β)Αφού ΑΡ Β = Α∆ Γ ⇒ Α∆ Γ = ΑΡ Γ (1) όμως ΑΡΔ ισοσκελές άρα ΑΡ ∆ = Α∆ Ρ (2) (1)-(2) έχουμε ΓΡ / ∆ = Γ∆ Ρ άρα ΓΡΔ ισοσκελές άρα ΓΔ=ΡΓ όμως από το α) έχουμε ΓΔ=ΡΒ άρα ΡΓ=ΡΒ Συκγρινω τα τρίγωνα ΑΡΒ και ΑΡΓ Έχουμε ΑΡ (κοινή) ΡΒ=ΡΓ(αποδείχθηκε) ΑΡ Β = ΑΡ Γ (υπόθεση) Άρα από το 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων έχουμε ότι τα τρίγωνα ΑΡΒ και ΑΡΓ είναι ίσα και έχουμε ΡΑ Β = ΡΑ Γ άρα ΑΡ διχοτόμος άρα και διάμεσος άρα θα τέμνει την ΒΓ στο μέσο της ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η άσκηση θα μπορούσε να δοθεί και ως εξής Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ εσωτερικό του,αν ισχύει ότι ΑΡ Β = ΑΡ Γ να δειχθεί ότι ΑΡ τέμνει την ΒΓ στο μέσο της. Ειναί μια πολύ δύσκολη άσκηση!Το σημείο Δ έτσι όπως δόθηκε με ΑΡ=ΑΔ και ΒΑ Γ = ΡΑ ∆ καθώς και το ερώτημα α) είναι βοηθητίκες προτάσεις για τη λύση της άσκησης.

4