3ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μια προς μια,τότε τα τρίγωνα είναι ίσα ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ α)Η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση του,είναι διχοτόμος και ύψος β)Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου είναι ίσες τότε και τα τόξα είναι ίσα ΘΕΩΡΗΜΑ Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μια προς μια τότε είναι ίσα ΘΕΩΡΗΜΑ Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μια προς μια,τότε είναι ίσα ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ α)Το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής β)Η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του,διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της γ)Δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματα τους είναι ίσα

δ)Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε σημείο εσωτερικό γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ 1)Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ και στις προεκτάσεις τους παίρνουμε τμήματα ΒΖ=ΑΓ και ΓΘ=ΑΒ.Να δειχθεί ότι α)ΑΖ=ΑΘ β)ΖΑ ⊥ ΑΘ Απόδειξη α)Συγκρινω τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΓΘ έχουν ΒΖ=ΑΓ(υπόθεση) ΓΘ=ΑΒ(υπόθεση) = ΑΒ Ζ ΑΓ Θ = 90 + Α

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα από το 1ο θεώρημα ισότητας τριγώνων και έχουμε ότι ΑΖ=ΑΘ β)Ισχύει ότι ΖΑ Θ = ΕΑ Ζ + ΕΑ Θ όμως ΖΑ Θ = ΑΘ Ε από το α) άρα ΖΑ Θ = ΑΘ Ε + ΕΑ Θ άρα ΖΑ Θ γιατί το τρίγωνο ΑΘΕ είναι ορθογώνιο 2)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές με Α = 100° ,εξωτερικά της ΑΓ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓΕ και στην προέκταση της ΑΓ παίρνουμε Κ τέτοιο ΑΚ=ΒΓ α)Να δειχθεί ότι ΒΕ=ΒΚ β)να βρεθεί η γωνία ΓΚ Β Απόδειξη Αφού Α = 100° άρα Β = Γ = 40° Συγκρίνω τα τρίγωνα ΒΓΕ και ΑΒΚ Έχω ΓΕ=ΑΒ (ΑΓΕ ισόπλευρο) ΒΓ=ΑΚ (υπόθεση)

ΒΓ Ε = 100° = Α

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα από το 1ο θεώρημα ισότητας τριγώνων έχουμε ΒΕ=ΒΚ

β) Έχουμε ότι ΑΒ=ΑΓ=ΑΕ άρα ΑΕΔ ισοσκελές με κορυφή 160 μοιρες άρα ΑΒ Ε = ΑΕ ∆ = 10° άρα ΒΕ Γ = 50° άρα λόγω α) έχουμε ΑΒ Κ = 50° Γ = 30° ⇒ ΓΒ Κ = 10° άρα ⇒ ΕΒ Β = ΑΓ Β − ΚΒ Γ = 40° − 10° = 30° ΓΚ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η άσκηση μπορεί να διατυπώθεί και ως εξής Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με Α = 100° .στην προέκταση της ΑΓ πάιρνουμε ΑΚ=ΒΓ.Να βρεθεί η γωνία ΓΚ Β Είναι η ίδια άσκηση χωρίς να έχουμε κατασκευάσει το ισόπλευρο τρίγωνο.Αυτή η κατασκευή μας βοηθάει στη λυση του προβλήματος.Αν δεν υπήρχε το πρόβλημα θα ήταν εξαιρετικά δύσκολο και θα έπρεπε να της φέρουμε εμείς.Καθε ευθεία που μας βοηθάει στην επίλυση ενός προβλήματος,όταν τα δεδομένα δεν μας βοηθάνε από μόνα τους,τις λέμε βοηθητικές γραμμές. ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ Όταν τα στοιχεία ενός σχήματος ,μάζι με τα δεδομένα ,δεν επαρκούν για τι λύση ενός γεωμετρικού προβλήματος,τότε είμαστε ανγκσμένοι να φέρουμε μια ή περισσότερες βοηθητικές γραμμές.Γενικά τέτοιες ενέργειες είναι α)Να ενώσουμε δύο σημεία του σχήματος β)Να δημιουργήσουμε νέα τρίγωνα γ)Να φέρουμε τις αποστάσεις κάποιων σημείων προς κάποια ευθεία δ)Να φέρουμε τη διχοτόμο μιας γωνίας ε)Να φέρουμε το μέσο ενός τμήματος στ)Να φέρουμε παράλληλη από ένα σημείο προς κάποια ευθεία

3)Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν ίσες περιμέτρους και ΑΓ=ΔΖ , Γ = Ζ ,να δειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι ίσα Απόδειξη Σκέψεις.Παρατηρόντας τα δεδομένα βλέπουμε ότι μας δίνει μια πλευρά και μια γωνία ίση μια προς μια.Άρα χρειαζόμαστε μια γωνία η μια ακόμα πλευρά να είναι ίσες.Δεν έχουμε χρησιμοποιήσει την περίμετρο,πουμε πρώτη ματιά δεν μας βοηθάει.Αφού η περίμετρος και των δυο τριγώνων είναι ίσες και έπειδη ΑΓ=ΔΖ άρα ΑΒ+ΒΓ=ΔΕ+ΕΓ.Αν φέρουμε στις

προεκτάσεις των ΒΓ,ΖΕ τμήματα ίσα με ΒΑ,ΕΔ αντίστοιχα τότε θα έχουμε δύο ίσα τμήματα,που είναι πιο εύχρηστα. Άρα στην προέκταση των ΓΒ,ΖΕ παίρνουμε τμήματα ΒΗ=ΑΒ και ΕΘ=ΔΕ Άρα η σχέση ΑΒ+ΒΓ=ΔΕ+ΕΖ γίνεται ΓΗ=ΘΖ. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΗΓ και ΔΘΖ Έχουν ΓΗ=ΘΖ,ΑΓ=ΔΖ (υπόθεση) Γ = Ζ (υπόθεση) Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα από το 1ο θεώρημα ισότητας τριγώνων έχουμε ΗΑ Γ = Θ∆ Ζ Όμως τα τρίγωνα ΑΒΗ και ΔΕΘ είναι ισοσκελή Άρα Η = ΒΑ Η, Θ = Ε∆ Θ Όμως από την ισότητα των τριγώνων έχουμε

Γ = Θ∆ Ζ και Η = Θ ΗΑ άρα ΗΑ Γ − ΒΑ Η = Θ∆ Ζ − Ε∆ Θ ⇒ ΒΑ Γ = Ε∆ Ζ

βρήκαμε το στοιχείο που μας έλειπε Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ Έχουν ΑΓ=ΔΖ (υπόθεση) Γ = Ζ (υπόθεση) Γ = Ε∆ Ζ (το αποδείξαμε) ΒΑ Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα από το 2ο θεώρημα ισότητας τριγώνων

4)Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ εσωτερικό σημείο του.Αν ΓΡ,ΒΡ τέμνουν τις ΑΒ,ΑΓ στα Δ,Ε αντίστοιχα και ισχύει ότι ΒΔ+ΔΓ=ΒΕ+ΕΓ να δειχθεί ότι ΑΡ ⊥ ΒΓ Απόδειξη Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΕΒΓ έχουν τις περιμέτρους ίσες. Αν θυμηθουμε την προηγούμενη άσκηση Βλέπουμε ότι έχουν και μια ιση πλευρά (ΒΓ κοινή) Και μια ίση Β = Γ (ΑΒΓ ισοσκελές) Άρα τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΕΒΓ είναι ίσα Άρα ΕΒ Γ = ∆Γ Β και συνεπώς ΒΡΓ ισοσκελές Άρα ΒΡ=ΓΡ Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΡΒ και ΑΡΓ Έχουν ΑΒ=ΑΓ(ΑΒΓ ισοσκελές) ΒΡ=ΓΡ(το αποδείξαμε) ΑΡ κοινη Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα από το

3ο θεώρημα ισότητας τριγώνων και έχουμε ΒΑ Ρ = ΓΑ Ρ άρα ΑΡ διχοτόμος άρα και ύψος ⇒ ΑΡ ⊥ ΒΓ