Ευκλείδης Α 107 by demi de

Γυμνάσιο

ΕΝΤΥΠΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΡ. ΑΔΕΙΑΣ 1099/96 ΚΕΜΠ.ΑΘ.

4156

ΚΕΜΠ.ΑΘ.

Ταχ. Γραφείο

Αριθμός Άδειας

ΕΚΔΟΤΩΝ

Hellenic Post

ΕΛΤΑ

υκλείδης

ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ ΤΕΛΟΣ

Α΄

Μαθηματικό περιοδικό για το

107

Ι Α Ν ΟΥΑ Ρ Ι ΟΣ - Φ Ε Β ΡΟΥΑ Ρ Ι ΟΣ - Μ Α Ρ Τ Ι ΟΣ 2 0 1 8 ε υ ρ ώ 3 , 0 0

Με αφορμή τα 100 χρόνια της ΕΜΕ και του 2018 έτος Μαθηματικών.

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏ ÐÅÑÉÏÄÉÊÏ ÐËÇÑÏÖÏÑÇÓÇÓ

ãéá ôï ãõìíÜóéï

Åõêëåßäçò

Τεύχος 107 Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος 2018 Τιμή Τεύχους 3,00 Εύρω e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ

Με αφορμή τα 100 χρόνια της ΕΜΕ και του 2018 έτος Μαθηματικών .................................................

Ιστορία των Μαθηματικών

RENE DESCARTES (1596 - 1650) Ο Σωματοφύλακας Κωνσταντόπουλος Ηλίας ............................................ 2

Μαθηματικά στον Κόσμο Στόχοι της μαθηματικής εκπαίδευσης και ο ρόλος των διαγραμμάτων Σπύρος Φερεντίνος ......................................................

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών ................................... 23

Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα Δικό σας το … μικρόφωνο!

Μαρίνης Στέλιος ........................................................... 28

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Γράμματα από τους αναγνώστες του περιοδικού Μαθαίνουμε κι άλλα αριθμητικά συστήματα: Το δεκαδικό και το δυαδικό σύστημα

Λυμπεροπούλου Ευανθία ............................................... 32

= Α΄ Τάξη Ποσοστά

Π. Αρδαβάνη, Ι. Δοργιάκη ................................................ 8

= Β΄ Τάξη Μία εισαγωγή στις Συναρτήσεις

Στυλιανός Μαραγκάκης, Ανδρέας Τριανταφύλλου .............. 12

Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Β΄

Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου ..................................... 16

= Γ΄ Τάξη Μετρήσεις με τον ¨Νόμο των ημιτόνων¨

Επιμέλεια: Τζίφας Νίκος Λαγός Γιώργος ............................ 18

Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Γ΄

Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου ...................................... 22

Bonaventura Francesco Cavalieri και ο όγκος Της σφαίρας

Παπαδάκη Μαλβίνα ..................................................... 36 Το Πρόβλημα των Πρώτων Αριθμών και μια κάποια λύση του Κόντος Αλέξανδρος ...................................................... 39 Γυμνάσιο Χαλκιδικής: Πειραματικές δράσεις στη μέτρηση του μήκους ενός κύκλου Μόσχος Αλέξανδρος ...................................................... 43 Αυτό το ξέρατε; Μαθηματικά Ανάλεκτα Συντακτική επιτροπή του Ευκλείδη Α΄ .............................. 47 Διασκεδαστικά Μαθηματικά, Συντακτική επιτροπή του Ευκλείδη Α΄ ............................. 49

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34, 106 79 ÁÈÇÍÁ Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 Fax: 210 3641025 Åêäüôçò: ÁíÜñãõñïò Öåëëïýñçò ÄéåõèõíôÞò: ÉùÜííçò ÔõñëÞò ÅðéìÝëåéá ¸êäïóçò: Êõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõ

Êùäéêüò ÅË.ÔÁ: 2054 ISSN: 1105 - 7998

Ðñüåäñïò: ÊåÀóïãëïõ ÓôÝöáíïò Á´ Áíôéðñüåäñïò: ÊõñÜíáò Ðáíáãéþôçò Â´ Áíôéðñüåäñïò: Ëõìðåñüðïõëïò Ãåþñãéïò ÌÝëç: ÁëáöÜêç Óôáõñïýëá ÁñäáâÜíç Ðüðç Βιτζιλαίου Μαρία ÄïñãéÜêç ÉùÜííá Èåïäùñüðïõëïò Èñáóýâïõëïò ÊõñÜíáò Ðáíáãéþôçò Êõñéáêïðïýëïõ ÍÜíóõ Êùíóôáíôéíßäçò Áñéóôåßäçò Ëáãüò Ãåþñãéïò Ëõìðåñüðïõëïò Ãåþñãéïò

Μακρυνιώτης Στυλιανός-Ηλίας Ìåíäùíßäçò Ãåþñãéïò Ìïñöïðïýëïõ Ìáñßá ÌðáêÜëçò ÁíáóôÜóéïò Ðáëáéïãéáííßäçò ÄçìÞôñéïò Παπαδάκη Άννα Παπαδάκη Δώρα Óßóêïõ Ìáñßá Ôæßöáò Íßêïò Ôóéêïðïýëïõ ÓôÜìç Öåñåíôßíïò Óðõñßäùí ÁðïêåíôñùìÝíïé óõíåñãÜôåò ÁíáóôÜóéïò Ðáôñþíçò (ÐÜôñá) ÃéÜííçò ÈùìáÀäçò (Èåó/íßêç) Ãéþñãïò Ñßæïò (ÊÝñêõñá) Ãéþñãïò Ôóáðáêßäçò (Áãñßíéï) ÅéñÞíç ÐåñéóõíÜêç (ÊñÞôç) ÃéÜííçò ÑÜëëçò (×ßïò) Μαρία Ρουσούλη (Καστοριά)

Γράμμα της Σύνταξης Αγαπητοί / ές αναγνώστες αναγνώστριες. Συνεχίζουμε και το 2018 την προσπάθεια βελτίωσης του περιοδικού εννοώντας ότι επιλέγουμε όσο το δυνατόν περισσότερο ποιοτικό, πρωτότυπο και ενδιαφέρον υλικό. Το υλικό που μας έρχεται από όλη την Ελλάδα, αλλά και από τους μόνιμους συνεργάτες μέλη της συντακτικής επιτροπής, είναι μεγάλο σε αριθμό ώστε συχνά θα πρέπει να αναβάλλουμε την έκδοσή του σε ορισμένα τεύχη. Βασική μας αρχή είναι πάντα ότι οι συγγραφείς που προέρχονται από την περιφέρεια προηγούνται στην κρίση και προώθηση των κειμένων τους. Στο παρόν τεύχος, όπως θα διαπιστώσετε, δεν έχουμε συμπεριλάβει άρθρο για την στήλη Τέχνη και Μαθηματικά, το οποίο όμως θα δημοσιευτεί στο επόμενο τελευταίο τεύχος της σχολικής χρονιάς. Να μην ξεχνάμε την επέτειο των 100 χρόνων της ΕΜΕ, είναι ένα από τα σημαντικότερα γεγονότα στην επιστημονική κοινότητα, σε συνδυασμό με το 2018 έτος Μαθηματικών. Σε αυτή την επέτειο αναφέρεται και το εισαγωγικό κείμενο στο τεύχος αυτό. Εκ μέρους της Συντακτικής επιτροπής του περιοδικού Ο πρόεδρος: Στέφανος Κεΐσογλου Ειδικός γραμματέας του ΔΣ της ΕΜΕ τ. Σχολικός Σύμβουλος

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

ΕΛΤΑ Hellenic Post

ÉÄÉÏÊÔÇÓÉÁ ôçò ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇÓ ÅÔÁÉÑÅÉÁÓ Óôïé÷åéïèåóßá - Óåëéäïðïßçóç: ÅËËÇÍÉÊÇ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ÅÔÁÉÑÅÉÁ Åêôýðùóç: ROTOPRINT (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ä. Ðáðáäüðïõëïò

Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού • Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å. • Ïé óõíåñãáóßåò, ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êôë. ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç A´”. ¼Ëá ôá Üñèñá õðüêåéíôáé óå êñßóç ÔéìÞ ôåý÷ïõò: åõñþ 3,00 ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (10,00+2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ=åõñþ 12,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 10,00 Ôï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: 1. Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 2. Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK 3. Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å.

100 2018 . . , 2018, ! " . " " # . $ 1918 93 ! " % , " & ! " . ' 8 & " & ( , " " . ) * ' # " 11 ! " + - / , 4 5 4 4 + ' . $ # 6!6, 6 ! " 6 .

7 100 6!6 " , % 6 . 6% & 100 & 6!6. % & & ( & /& ! " , * - . ) : ( & # / 6 & . 7 â&#x20AC;&#x201C; & : & 6 & ! " . : 7 ! " , & , " " , & # , . & " # * . http://www.hms.gr/fcgm2018/index.html 6!6 / . ) 6!6 6 , ( , , , & 100 & 6!6 2018 ! " . ' & & % & ! " , & /& . ) ! " ) , 6 , = , : , > , . . " & & / " . 6!6 , " , , , " % # & 100 & 6!6, " . + " site 6!6, " : ,

! " # $%

" # $ # %$ # # & # # $

" $ .

107 .3/1

RENE DESCARTES (1596 â&#x20AC;&#x201C; 1650) ==================================================================== Â¨ Â¨ .

, , , , ! , " # " . $ ! , , " % !. # & " ! . ' " " . '! & " ! " " ( , ! ! . % ) & , ( . , # " , & % ! % " " , & . * ) ÂŤ ! Âť % & , â&#x20AC;&#x153;cogito ergo sumâ&#x20AC;?, ÂŤ " Âť â&#x20AC;&#x153;sum ergo cogitoâ&#x20AC;?, ÂŤ Âť. " ! , . + ! % , ' , & / , ) " . " + . $ 0 ) ÂŤ " Âť. + . " 1 . $ ! & ( . 2 1619 & , " 0 ! & . # & , " " . " ! , " . $ & ! . ) % & & . 4 , . 5 ) . 2 ! ! ! . 7 107 .3/2

RENE DESCARTES (1596 â&#x20AC;&#x201C; 1650)

" ! . 5 !" , ! " . $ ! & â&#x20AC;&#x2122; " . 8 ( " ! , " ! . : ( & " . Â«# " , " $ ; % & , ! . ' " , ! . ( ! ! . ) , ! $ . "! * ! * + * Â». 2 . 8 ! ! , â&#x20AC;&#x2122; . Â«/ " " , ! , * ! ! , " . / $ " $ * , ! Â». 2 . , & , % " % & ! , " ! . * & ! , ( " " & " ! , ! " ! ! " . ' ! ! & " " . " . 2 , " " , ! " , ! ! . ( " " . 2 ) " . 2 %! ) , " . 2 %! . ! . 0 ! . 7 & " , " . 2 " ) . ' ! " % . 2 " " . % , " ! ! " . : " % . ! ! ! " ! ! ! % , " ! & . ' , " !, ! ! " ! . " ! ! " ! . 0 ! " ! " . * " . & , , ! !

" ! , . 107 .3/3

RENE DESCARTES (1596 â&#x20AC;&#x201C; 1650)

# . Â« ! $ * * . / , ! ! $ U , 2 2 $ x y

U 2 , " ,

* x , y , * , $ !. 0 ! ! , * 1 / * $ * , ! ! $ Â». 1 " ) , " & " . %! . , " , . # & " , & & ! . , ( % , ( & . * , " + . " " ( ! " ! , ! ! " ! % . " , & " * ( " . , , . 0 , , ! . ! " , " ! . + " + , Â« !Â» Â« !Â». ' + , " , " , ! , , % , + ! " ! & ! . 7 Â« " Â» % . . ! " Â«/ 2 Â». # & ! " ! , Â« !Â» < + , " " ( ! " ! , . & Â«G.P.S.Â», ! . ! " . 107 .3/4

! " ========================================================================== * & ! & ! ( Î¼ ! , , . ! " " ! " # " . * & " , " , & " ! ! , & " .

' " " " % = ! " ! ( , & , ) % & . % ( " & !) & , & ! ( " " ! " . ( " " â&#x20AC;&#x201C; " & " ( .

( " " , ( .

107 .3/5

---------------------------------------- ! "# " $ " $ % & ------------------------------------

' ( ) & $ % & ' ( !) . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

@ % " % !) 12 . '! ( ) ; 2 & ( % % !) . * 13 , ( !) ; * 12 " ) 12 ; 7 !) %! ! ! 18 ; ' %! 160 cm 170 cm ! ;

* 1 # " . * ! & " % 10 12 12 20 , ! 10 12 % 16 cm ( 140 cm 156 cm), 12 20 % 16 cm ( 156 cm 172 cm). 7 % 10 12 8 cm (16/2=8) 12 20 2 cm (16/8=2). " % !) 12 . 107 .3/6

---------------------------------------- ! "# " $ " $ % & ------------------------------------

* 10 12 ! ( & !) ! ( & !) 12 20 . " % !) 12 . * 2 " ! " ! & ! ( & !) 11 13 . 11 13 ! ( & !) ! ( & !) , 11 13 . ) 11 13 . * 3 , ! ! . 7 ! . , ! ! . * 4 13 !) 160 cm, 160 ( !) , ( & !) .

* 5 12 ) , 12 " ) 12 . * 6 18 ) 14 cm . * 7 %! 160 cm 170 cm ! 13 14 13 17 . 107 .3/7

# " " ========= ============= ============ ============= ============= ============= === '. $$ (& , . % &" 11 17 +,- 8 8 : - ! <

WD < & ; # WD 40 25 7 ! . ! , & & . ! , " . # ; 2 1 . ' ! ( & 100 5 ./. R , R !

: & ! ! " ! ! # , ! " . 444 42,5 2 ! . %% 1000 100 0 42,5 ) " , !

. 100 * %% * " " 100 % %. 2 $ " & % : 44% " 42,5% % " < < < &

* $ > . 2 ! ! . K . x * ! 4 " . & & 8 5 . & 4 6

4 . !

; 5 4 ' 6 8 5 4 & < 8 6 # 5 4 ! ) 8 6 " ! , 5 62, 5 4 666, 7 0, 6255 66, 7% 62, 6 5% , 0, 667 % 1 00 8 100 6 ' 4 ! . ) 3 *

2 ! & % 1425, Â«per cen ntÂ» (Â« Â») p.c. . L L c Â« Â», ! " ! ( & ).# % ( p, . : Â« Â» c, - 10 00, : %.

107 1 .3/8

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ' & -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

" . 2 " . " % . . 20% ! " ! . x & . 2 ! ! , & ( % . 2 ( ! ; + ! ; " ! ! :

4 24 +

4 24 + 3 4 24 + / 2 , . ' 4 + T ! ! . 7 ! ; ' ; ' 16% T 100 " 84 (100-16=84). 16 ' 4 0, 2 20% 80 16 ' + 0,178 17,8% 90 ' ! ) 4 ( ;) 16 16 16 " , ! , , 100 80 90 16 ( ! . 80 x ' " U % + " : ' !( , 60 . 7 " 15%; ! " ! . 15 1 : Â&#x2DC; 60 0,15 Â&#x2DC; 60 9 , " 60-9=51 . 100 2 : # 15% 85% (100%-15%=85%) !( 85 60 Â&#x2DC; 60 0,85 Â&#x2DC; 60 51 . 100

107 .3/9

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ' & -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3 : # 100% 60 6 " & ! " 85 5% (100%-115%=85%). 7

( : 7 % 100 60 1 60:1 100=0,6 15 0,6. 15=9 85 0,6. 85=51 4 : " 7 % 100 60 85 x 100 60 85 x 60 Â&#x2DC; 85 55100 100 Â&#x2DC; x 85 Â&#x2DC; 60 x 51 100 100 100Â·x =5100 x=5100:100 x=51 5 : 100% 60 , 10% 6 5% % 3 85% 8.6+3=511 (+ ;) # ! ; x : # ( " 10000 " " !% 50 . 0 0 # # 155 ( & " " 3 " & . : # " , . + ; 50 : # !% " 0, 05 5% % 1000 3Â&#x2DC; 4 3 :# # " !% (( 0, 2 20% 15 1 Â&#x2DC; 4 15 x ' # (

* ( " ) 5% !% 5% " 5%

" 10000 50 ! % 20 00000 1000 0 % 2500 125

# #

< : = ) " . x : " +U + % 10 000 !! . 7 ! 7 & 40% . 2 ! & ! 25% % & 220% . : " " & ! . * " ( 85% % " (40%+225%+20%= =85%) 15% ! . 10 07 .3/10

: % ! ! , & 360 " ! 36%. 3 * " ( " 255% 20% 2 " ! % : 2 2 & " 40% % 1000 0 , 440% Â·1000= =400 !! 600 , (100 00-400=6000). 2 ! & " 225% 60 00 , 25% %.600=150 ! 450 4 . 2 & " 220% 45 50 , 200%.450=90 ! 360 , 36% % ! , ( % .. 8 "# # # : " .

% & & ) . % : W " " % 10% , " ! !) , 10%. % " , " " . ' 10% 10% =0% % 0 & !!! 4 & .

[ (+ 10% -100%) ( (100 110, ), Â« ] " & . 7. . !% 10% 1 5%.. ! & "" : 10% %-5%=5% 4,5%. % ( " & ( ! , ].

"# 1. *

" & 72 . . % 40% % 25%.7 " % % " & & ; 2. % 20% & 576 . . 7 !%% ; 3. 30% % " 1400 . 7 ; 4. 4 . % 25%.4 4 !%

!%% & ! . 2 ; 5. * 500 . ' " 20%. # % " 10%. 7 & ; 10 07 .3/11

! !

$% & ========================================= 8 %"&" , $ < - ) ' & % . ! ! , , " . K . " % " , " & . " " . " ( , & " " ! " !% ," " ( . ) ! , & " " , " ! . % , " ( # " , 2 , 1, $ , 5 * , 5 * . + ! ! Â« Â» Â«" Â» ( $ "# # % ( ! ) " % ( !). ( " % . 0 & "&! $ ( > x > " (* < * ( > y . + ! , ! : " " 5 . . 11 ( 1 ! 11 2 Â&#x2DC; 5 1 . " " ! 5 < , & . , " " , & ) , " " ! . . 1 6, 11 , < , ! & . $ & . 1

1 " " " ! ! ! + " + 4 < 1694.

.3/12

----------------------------------------------------------------- 8 % %# # D E --------------------------------------------------------------

! " ( %! : * y ! x . '! y x 2 cm, y 6 . x 3 cm, y 9 . x

3 x . x 1 cm, y 3 cm. 4 cm, y 12 cm . . .

! , ( ' " - * :

x y

1 3

2 6

3 9

4 5 12 15

" ( ( . 4 & , ! : y 3 x . = x , & y . # , " ! " ! , ! . # ! % , ! , & ! %! . 2 ! ( % ) "# & # , : , % , , . + : * " ! = 5 m/s. @ S ! t, Â« Â» & . 7 " $ & S " t & & % , ! ( ! t " , S ( " E "# % )# * " ! = 5 m/s. @ S ! t

F : ( & : y=S x=t G F :

t 0 1 2 3

' " - * S 0 5 10 15

5Â&#x2DC; x

E ) "# ' &

' + 7 : (0, 0), (1, 5), (2, 10), (3, 15),â&#x20AC;¦ E "& % ) "# & & y # G F .

D x ! $ <

.3/13

----------------------------------------------------------------- 8 % %# # D E --------------------------------------------------------------

L " ,

y D x , : " % y D x " y D x . : % x ' x " % y 7 ! " y

D , :

y x

0 x , y

D x

y " x

a , x z 0 . O " ! y D x

' , " y

5 x 5 " y

3 x 3.

& $ F & , & & ( , % , :

Â« Â», Â« Â», " L % L D Â« Â» ( ! ) . L D Â« Â» ( ) . ! % # % , % $ & > " # F < " . + & ( ! y D x " x & y . H< % ) "# & < : D ! 0 , & * D 0 , & $ < D

0 , &F x ' x .

$ "< ! : " % y x $ 1 3 % , " y x $ 2 4 % . ! & : 2 5 5 2 â&#x201A;¬ & 1â&#x201A;¬. * , + / " . .3/14

----------------------------------------------------------------- 8 % %# # D E --------------------------------------------------------------

* .

+ & . / & . / ! $ & â&#x20AC;&#x201C; ! . x & Â« & Â» y & Â« Â» " , : Â« Â»: : y 2 x (1), # : y 2 x 1 (2), + : y 2 x 2 (3) 7 ! 2 x , . ' " :

# + y 2 x y 2 x 1 y 2 x 2 x x x 1 2 1 2 1 2 y y y 2 4 3 5 4 6 ! % ( ( " ), " : # ! : x : . x 8 * 1. x E & * 2. x 8 E & 1. * (& : 1) , 4, + 4+ ! : = 3+ - 5Â°, 4, + = x . 2) y D x E : x -1 0 1 3 ) 8 5 2 -4 @ D E . 3) * 40%. @ y " x .

! ! % . : ' " , " 1. 0 , Â«' Â», 4 % , . 95, .3/15

# ! ! . '"* $%. ========= ============ ============= ============= ============= ========== < <) J %

1) : ! ! " " 10cm. @ ! ! ""

" ! . 2) # &

4 +0 4 & ! 4+0. + " .

! 3) ' .

( "

& 0 45 . # & " % ; : 9 ! ( ) " " + *

(( )+ (&) 1- ( ) Â&#x2DC; (&)

4) : . 4 4 ! ( ( "

100m. 2 2 ( " ! . 2 ( & & ! !. 7 !; Cabineet of Mathem matical Curioosities (Profeessor Stewarrt) ! " .

5) ) @ " 1+3+5+ +7+9+11+13+15 () @ ! " " ! x ! : x Â&#x2DC; x 3 Â&#x2DC; x 5 Â&#x2DC; x 7 Â&#x2DC; x 9 Â&#x2DC; x11 Â&#x2DC; x13 Â&#x2DC; x15 =1616

! &

106. H< 1 ) # !! "

, 11255=32Â·53. 2 " ! ! " 30Â·50 = =1, 30Â·51=5 30Â·52=25, 30Â·53=1255, 31Â·50 = 3, 31Â·51=15,, 31Â·52=75,, 31Â·53 =375 5, 32Â·50 = 9, 32Â·51=45,, 32Â·52=225 5, 32Â·53 = 1125 1125. 10 07 .3/16

--------------------------------------------------------------------------------- ' < !< % . -&FF D ------------------------------------------------------------------------------

H< 2 ) !! !) & %! ! 7 " " " " ! ! ! & . # &

" && % , . 7 " " " " x= 19 9 11 +x 13 = ! " !) . + &+x 15 & Â&#x2DC; - Â&#x2DC; x . -

H< 3 ) '

H< 4 ) : % : " ! " ! " , " 2 ! ! 7 " . 0 1 1 1 1 . 13 15 11 13 H< 5 ) " ( !

. = = 2 Â&#x2DC; (. &= 2 Â&#x2DC; =. +&= 2 Â&#x2DC; ( (. =. = )=

2 Â&#x2DC; 12 Â&#x2DC; 2

24 44+ + 12 Â&#x2DC; 2

'() )*'+-/ 01

! , " , & â&#x20AC;¦

10 07 .3/17

8 #

Â¨K K

Â¨ ========= ============ ============ ============ ========== < : -> ) K "" â&#x20AC;&#x201C; % E * % ,, " , ! Â«& " ! Â» Â« " ! Â» , " $ E E , " ! . 2 , , ! " ! ! " . - % ..

! "" % % ! . " ( " . % %

& ! . : ( !! " ! ! & . 7 ! . Â« â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; & ! - . . .Â» , ! " " . ( Â« %* * Â». + ! ! ! ! % " ! ! ( . + " , : + - + G- - 1 'G GE 8G G 8D G -+ E, ,KG â&#x20AC;&#x2DC;â&#x20AC;&#x2122;= , * 3/ / ! , 5 ! * $ *

â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; . ' : . @ " $ E . 2 & . (. @

& % "< %% * , " & . *

4+ + ( ! " & , . 2 & ! " , 2 +0, !) & & 4. " 04+

!! 4 : K KP%

*' %*KP% %*

KP400 *' 100K

*' '

+ & ! ( : 1 ! ) ( E Â&#x2DC; X á&#x2C6;º ! & 2 10 07 .3/18

----------------------------------------------------------------------------------- 8 # Â¨K -------------------------------------------------------------------------------

1 $% Â&#x2DC; *' 2 1 ( $% %* KP% 2 1 ( 150 Â&#x2DC;100KP 400 2 ( 4821 m 2 2 & 4821m 2 . 2 ! : â&#x20AC;&#x2DC;â&#x20AC;&#x2122; Â¨ Â¨ â&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122;. E K : ! " ( 4) = à¬µ , (4+)= ! ß&#x192; àµ&#x152; ß&#x2122;ß&#x203A;Ç¤ ß&#x;ß¤ß&#x20AC; .' ! & à¬¶ % " < " & !) . & , % " " & !) & !, " 1 1 1 % ( EJ Â&#x2DC; KP$ JD Â&#x2DC; KP% DE Â&#x2DC; KP* : 2 2 2 + - + G- - 2 KG8G 8 -GK,K 1 1 % : ( EJ Â&#x2DC; KP$ JD Â&#x2DC; KP% 2 2 ! , " !) : E Â&#x2DC; KP$ D Â&#x2DC; KP% . KP$ KP% / (1) D E 1 1 7 JD Â&#x2DC; KP% DE Â&#x2DC; KP* ( 2 2 KP% KP* (2) E J KP$ KP% KP* (1) (2) ! : D E J

: ' , 4, + , &, , KP$ KP% KP* " . K D E J

1. ' & & !. (

' K- : =3,68 cm2 =328,53 cm2 107 .3/19

----------------------------------------------------------------------------------- 8 # Â¨K -------------------------------------------------------------------------------

' K- : =11838,76 cm2 =407,29 cm2 + ! , % ! ! & : Q 2 3600 ( U KP 2 Q 2. ' & ( ! .

' K- : w=34,88 cm x=16,91 cm y=30,03 cm 3. ' & ( ! .

' K- : \ 550 4\ 460 +\660 4. : : ( ) & @ ( 4) 390 # ( +) 620. : %! 2500m " : " .

' K- : 4=2248,62 m , +=1602,74 m 107 .3/20

--------------------------------------------------------------------------------------- 8 # 8 Â¨K ----------------------------------------------------------------------------------

5. * , !" , & , 160 ( . @ & " !)

( ( 18m !)

68 6 0 . (+ !) " , ( " , ((

' K- : =477,79 m 6. '! , + (1564 â&#x20AC;&#x201C; 1642 1 ) ! ! 7 ( Â« Â», !

& ! . 0 (( , 55 ! , ( !) ! ), !! Â« Â»Â» 4,8 & ! . @ " , ! " .

' K- : 850 7. = & % " . # # < < '21+1: : # % . / " 800 . /. 91 " , . 3664 . Â« Â» "

, 365 # . + ( " 30 & " & 226 !) , & " !) & . :

' K- \995 m , & \400

10 07 .3/21

' < !<

% . -& &F E

========= ============ ============= ============= ============= ========== < <) J %

2 $ $ # .

1) 0! % 4 . %

550 4 450 . % ! 4.900â&#x201A;¬.. ! ! % 1225 125 %% % 4, 125 % 4 % . # % ! % % ! % 4. 7 % !! !! % % 4 % ;; 2) 0! 4

( % . ( ! 8

( ! ( . ( 4 " ( 4,5 ( ! ( . 7 ( ( 4 " ; $ ! & 3) ' 2 f(x)= x f +&xx+ " 4

% # & " ! %% , 4. $ % $ ! $ ' ' . 4) ' !

AB= 10ccm +0=2 4. += . ! !

$ .

5) : " , &, " . @ ( : 2 2 2 7=( + &&+& + )Â·(& + &+& + )Â·( + &+ +& + ).

! & 10 06 1) 1 ! : Â·& â&#x20AC;&#x201C; 3& + â&#x20AC;&#x201C;10= =0 Â·& â&#x20AC;&#x201C; 3 & + â&#x20AC;&#x201C;3=7 (&+1)Â·( â&#x20AC;&#x201C;3)=7 &=6 =4. 2) 1 ! : 2â&#x20AC;&#x201C;&2+4&= =15 2â&#x20AC;&#x201C;& â&#x20AC;&#x201C; 2+4&â&#x20AC;&#x201C;4=111 2â&#x20AC;&#x201C;(&â&#x20AC;&#x201C;2)2=11 (( â&#x20AC;&#x201C;&+2)Â·( + +&â&#x20AC;&#x201C;2)=11 11 " : â&#x20AC;&#x201C;&+2=1 +&â&#x20AC;&#x201C;2=11 1

â&#x20AC;&#x201C;&+2= =11 +&â&#x20AC;&#x201C;2= =1

â&#x20AC;&#x201C;&+2 2=â&#x20AC;&#x201C;1 +&â&#x20AC;&#x201C;2 2=â&#x20AC;&#x201C;11

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;&+2=â&#x20AC;&#x201C;11 + +&â&#x20AC;&#x201C;2=â&#x20AC;&#x201C;1

2 3) 1 ! 7 =( +2)2+(&+2) + â&#x20AC;&#x201C;2Â·(( +&)â&#x20AC;&#x201C;8 7= 2+2 2 +&2+2& 7= Â·( +22)+&Â·(&+2).. ! , & " ! 2

" +2, &+ +2 Â·( +2) &Â·(&+2) " ! 2. 4) = !

. 283Ã&#x2014; Ã&#x2014;279 = 2 2 (281+2) Â·Â·(281â&#x20AC;&#x201C;2)=2881 â&#x20AC;&#x201C;2 â&#x20AC;¦â&#x20AC;¦ â&#x20AC;¦. 5) # " x+y+z= =3k x= =0, y=k z=2k. z 2 2 2 2 2 7 ! x +yy +z =5k ! k k 5k2 ) 5. 5

10 07 .3/22

========== ====================================== ========

; ! !

78 8 #+, , --/, ,3 +4/' '3: ;3+&>, ; ,3 + '+ +4/ + +'3:+ โ <:- 3;/ โ 20 2018

$ " "< D E E 8K G ' ( 1. K (

# & : $

D 10 . E :

ยง 2E D ยท 500 ยง D 11E ยท 18 1 ย ยจ ยจ ยธย ยธ , $ : ยฉ E ยน 3 ยฉ E ยน

ยท ยง ยงD D ยท 500 500 1 - : $ ยจ 2 ยธ ย 18 ย ยจ 1 1ยธ 2 10 0 ย 18 ย 10 11

3 Eยน 3 ยน ยฉ ยฉE 500 18 1 ย 1 4 ย 500 18 ย 1 2000 18 20188. 12 ย 3 D 10 , D 10E : 2 - : 1 . E ยง E ยท ยง 2E 10E ยท 500 ยง 10E 11E ยท ยง 12E ยท 500 $ ยจ 18 ย ยจ 18 ย ยจ ยธ ยจ ยธย ยธ ยธย E E ยน ยฉ E ยน 3 ยฉ ยฉ ยน 3 ยฉ E ยน

12 500 ย 18 1 ย 1 4 ย 500 18 2000 18 2018. 1 3 ' ( 2. ' & ! < ) ! $ ^ 2, 4, 6,, 8,10,12,14 4,16,18, 20` , < *

% ! << &%% " ; : 2 : * 2 ย 4 ย 6 ย 8 ย 10 ย 12 ย 114 ย 16 ย 18 ย 20 0 2 ย 22 ย 2 ย 3 ย 23 ย 2 ย 5 ย 22 ย 3 ย 2 ย 7 ย 24 ย 2 ย 32 ย 22 ย 5 218 ย 34 ย 52 ย 7 ' " , " 7, 14. " " 14. 2 !! * 217 ย 34 ย 52 " 2 . + " " 2. + + ! . " 2 " 8. ' " !) *1 ! * 2

214 ย 34 ย 52

2166 ย 34 ย 52 7

ย 32 ย 5 , 2

ย 3 2 ย 5 . 2

" 2, 10 07 .3/23

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 ! " %% ----------------------------------------------------------------------------------------------------

" ! 2 14 " ! 8 144. Ë&#x2020; 1115D ! ' ( 3. % DE E $ "

< Ë&#x2020; Ë&#x2020; $ " '*% Ë&#x2020; % 2 Â&#x2DC; '*$ Ë&#x2020; . K ( % %' Ë&#x2020; . %* 2 Â&#x2DC; '%$ * '% '* Ë&#x2020; $ x, '%* Ë&#x2020; " 'Ë&#x2020; '%$ 2 Â&#x2DC; '%$ 2x . Ë&#x2020; Ë&#x2020; : : , '*$ 'Ë&#x2020; y. '*% 2 Â&#x2DC; '*$ 2 y. 4+ Ë&#x2020; 3x 3 y 180D Â&#x; 3 x y 180DD 115D Â&#x; x y $Ì&#x201A; $

65D . 3

04+ D Ë&#x2020; % %'* 180 2 x 2 y 180D 2 x y

65 6 180 2 Â&#x2DC; 3 D

' 1

130D 180 3 D

4100D . 3

' ( 4. G E & & #% % & & < > "< $ * " *. G ! " & # 400. E %% & <" " F $ M " (* <

" & $ $ * > . - < F $ M 40% F & . "

$ < F $ M "& 40 *, ( ! "<

$ * "& > . : * x ! . !

, x 3 !

x 3

2x 2x x . % , ! 3 3 2x x Â&#x2DC; 2 400 x 40 . ! % ) ) 40% , ! % ) 3 3 xÂ· 4 2x Â§ 16 . , !

% ) Â¨ 40 Â¸ Â&#x2DC; 3 Â¹ 10 15 Â© x 2x 12x 2 Â&#x2DC; 16 16 . %

% ) 440 , 15 3 15 12x 122x 16 40 Â&#x153; 1 360 Â&#x153; x 30 . 24 Â&#x153; 12x 155 15 ( 30 ! 10 % 70 . %

E E E 8K G

' ( 1. K ( # & $ 2

$ D

Â§ 2Â· Â§ 1Â· Â¨ 3Â¸ , E Â¨ 2Â¸ , J Â© Â¹ Â© Â¹

Â§ 2Â· Q * * D Â¨ Â¸ Â© 3Â¹

Â§ 3Â· Â¨ Â¸ Â© 2Â¹

18 , G 23

E 2 J 2 G 2 DJ EG G , 2

1 . 23

9 Â§ 1Â· , E Â¨ Â¸ 4 Â© 2Â¹

1 ,J 8

10 07 .3/24

18 8

9 , G 4

1 23

1 , 8

--------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 ! " % ------------------------------------------------------------------------------------------------

" D E 2

J 2 G2

Â§ 9Â· Â§1Â· Â¨ Â¸ Â¨ Â¸ Â© 4Â¹ Â©8Â¹ DJ EG .

5 : $

81 1 16 64

325 , 64

Â§9Â· Â§ 1Â· Â¨ Â¸ Â¨ Â¸ Â© 4Â¹ Â© 8Â¹

9 Â§ 9Â· Â§ 1Â· 1 Â&#x2DC;Â¨ Â¸ Â¨ Â¸Â&#x2DC; 4 Â© 4Â¹ Â© 8Â¹ 8 2

81 1 16 64

G DJ EG

325 , 64

Â§ 325 Â· Â¨ Â¸ . Â© 64 Â¹ .

325 2 Â&#x; DJ EG

325 325 Â§ 325 Â· Â&#x2DC; Â¨ Â¸ 64 64 Â© 64 Â¹

2 - : $ (D 2 E2 )( J 2 G 2 ) (DJ EG) 2 D 2 J 2 D 2 G 2 E2 J 2 E2 G2 D 2 J 2 2DEJG E2 G2

D 2 G 2 E2 J 2 2DEJG (DG EJ ) 2 . 2

Â§9 1 9 1Â· 0. $ Â¨ Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â¸ 5 : Â© 4 8 4 8Â¹ 1 1 ' ( 2. 8 &$ % * * < % < . ' 4 3

< &$ % * $ $ &> % * 15 $ < % 5 < ; : * " : 1 1 = 4 3 7 ( x ) 15 5 ; : %& â&#x20AC;&#x201C; < % , & % , : %& â&#x20AC;&#x201C; < , 1 15 3 1 Â&#x2DC; D Â&#x2DC; 60 Â&#x2DC; 4D . ) & % , : x D Â&#x2DC; 1 5 15 4 " ! 4 . ' ( 3. H * P(x) D(x 2)2 b(x 3) c ! à¢&#x2021;Ç¡ à¢&#x2C6;Ç¡ à¢&#x2030; ! " "< . ( ) ! x, y ! " "< x ! y , $ F ! P(x) P(y) ! " "< . x y (() ! P(8) & 3, $ F " ! P(2018) & 3. ( ) * á&#x2C6;ºÂ&#x161;á&#x2C6;» àµ&#x152; È½á&#x2C6;ºÂ&#x161; àµ&#x2026; Í´á&#x2C6;»à¬¶ àµ&#x2026; Â&#x201E;á&#x2C6;ºÂ&#x161; àµ&#x2026; Íµá&#x2C6;» àµ&#x2026; Â&#x2026; àµ&#x152; È½Â&#x161; à¬¶ àµ&#x2026; á&#x2C6;ºÂ&#x201E; àµ&#x2026; Í¶È½á&#x2C6;»Â&#x161; àµ&#x2026; Í¶È½ àµ&#x2026; ÍµÂ&#x201E; àµ&#x2026; Â&#x2026; á&#x2C6;ºÂ&#x161;á&#x2C6;» àµ&#x2020; á&#x2C6;ºÂ&#x203A;á&#x2C6;» àµ&#x152; È½á&#x2C6;ºÂ&#x161; à¬¶ àµ&#x2020; Â&#x203A; à¬¶ á&#x2C6;» àµ&#x2026; á&#x2C6;ºÂ&#x201E; àµ&#x2026; Í¶È½á&#x2C6;»á&#x2C6;ºÂ&#x161; àµ&#x2020; Â&#x203A;á&#x2C6;» àµ&#x152; á&#x2C6;ºÂ&#x161; àµ&#x2020; Â&#x203A;á&#x2C6;»á&#x2C6;ºÈ½á&#x2C6;ºÂ&#x161; àµ&#x2026; Â&#x203A;á&#x2C6;» àµ&#x2026; Â&#x201E; àµ&#x2026; Í¶È½á&#x2C6;», P(x) P(y) x y (D x y b 4D) : D x y b 4D x y x y " , ! " a, b, c, x, y " . P 2018 P 8

(() , x 2018, y 8 N , 2010 P 2018 P 8 2010 N, N Â&#x; P 2018 P 8 2010 N, N 107 .3/25

L 2010 3 Â&#x2DC; 6670 3, Ü²á&#x2C6;ºÍºá&#x2C6;» " , á&#x2C6;ºÍ´Í²Í³ Í³Íºá&#x2C6;» 3. l 72q . G &> $ $* " ' ( 4.

" < % DE $% " $ M

" )# E " " E "

A E . K $ F E & "< %% % < " "

%* DE. : * " * . : = ! !) + :. = % : ! 4+, : =:4= =:+. 2 !) ) " 4+, : " 4,+, 4 :4=:+. E A +0, + , n n *($ 722q , ( (*$ 36q (1). ( : !) , " ! n 2$* 36q , (1 1) " ! OA = :+. ' 2

G G "# 1006

47. D <

& &% " & F ! * 49 " " 94 . 2012 . = = "" ) " " . * : 49

2 2

9 2

2 9

51 122 94

3 3

2 4

4 2

812

( " N 2 2 2 $ ^8222 ,832 ,...5112 ` . 2 81 N 512 , 5 81 4330 . 511

48. x y 4 " x 2 y 2 114 , $

# # !

x3 y 3 . . :

x y

5 x 3 y3

x y 2xy Â&#x; xyy 2

x y

x y x 2 y 2 xyy

A49. F D 1 x 2 2Dx 2

x 2 y2

2 4 Â&#x2DC; 14 1 52.

Â&#x; xy

42 14 1. 2

0, "< .

( ) & < %

F $ < \ ; (() D

< %

F < < . . ( ) + D 1 % 22x 2 0 Â&#x153; x 1, ! \ . + D z 1 % ! \ ,

& " % 2 , ' 4D 2 8 D 1 t 0 Â&#x153; 4 Âª D 1 1Âº t 00, ! . Â¼ Â¬ (() + D 1 % ! x 1 . 10 07 .3/26

+ D z 11, % ! , " ! , , 2 2 ' 4D 8 D 1 4 ยช D 1 1ยบ

!. 1 ! ! , ยฌ ยผ , D 1 1

!. ! ! 2

D 1

1 ย ] D 1 ' 2

D 1

1 D 2 2D 2 D 2 , D t 2.

+ D 0 ' 8 !. + D d 1 % E 1 x 2 2E x 2 0, E ย ], E t 1 , 2 2 2 2 'c 4E2 8 E 1 4 ยช E 1 1ยบ . ! E 1 E 1 1 E 2 , ยฌ ยผ %

( .

ห 90D . H E32. % DE $ & !

D < * ED D = E " R & ! ED E < * * D = R. K $ F % R " < . . 2 0+ 0 W W0 : x ' '* $% $ $= x * *( *% '$ ' ห ห , ! x ' '$= '*( ห ห %$= ห ห 180D 2 ย $%= ห ห %, ห ' '$( '$% $% '$% ' ห 180D 2 ย '$% '$ 180D '$% D ห . ห ! ! '*( 180 '$%

"# # %

50. @ ! ! "" ! ! : {x 2 xy xz y, y 2 yz yx z, z 2 zx zy x} . A51. 4

2018 " ! , โ ! , " ! . E33. ' %

4+ 0, !) 4 " ห . 4 ! . 4 %$* E34. ' 4+ 4 4 ' 4+ $1 *1 , , ห "! $$ * ** " . $%* 45D , 1

% $*

$$1 . 10 07 .3/27

;

â&#x20AC;Ś ! ========= ============ ============ ============ ============ ============ === E &) < 8 ÂŤ> ! Âť / * @ 5 . " 5 !Âť. : ' ! Arne A Dahl ' " " "" ( & & & " "! " . H $ * $ " M % $ !< , ! " ! ) )# % * & !< . " ) . % : 7 % " ! ; Parallel, analogy y, sphere, orthogonall, hypotenuse, hypothesiss, polygon,, polyhedrron, symmetry, synthesis, analytic, isoosceles, trap pezium. , : 7 7 , , , " , , " , ! , ! , , ! " " , , , ( . * * ! % . L L # " # , + , % ! ! . , %! ! , !! + + & ( : ÂŤ' ' Âť. L L %

! ! % % , % , ! !

, % . T M M 1: '

( 5 5 # " T.L. Heath !

# "

( ! " ! % & " & ! . : * * " " : ÂŤ2 " + * . 2 ! " . ) ) 55 , 55 , * 5* * * * " Âť. T M M 2: ' " ! & # " @.

# "

: ÂŤ? ! * , + , " , 10 07 . 3/28

--------------------------------------------------------------------------------------------------- " â&#x20AC;¦ " ) ! ------------------------------------------------------------------------------------------------

! "* $ ! !, , , 5 ! , ! * , " 5 Â». # : : % # " , ! ! . + & " " & ) , , " ( ) ! . & " ( Heath !

. , â&#x20AC;&#x2122; , " , %! . : Â« Â» 1 !, ! " " , . % Â« Â» : Â« Â». ! " + Â« Â» ( / . 7 " % ! Â». : Â« ! ' 7 : . 2 ) " " ; 2 ! " ! + ;Â» : Â«2 " + . ~ , & " !" " . , , ! ! " + !Â» : Â« ! " ! !Â» : Â«# & . 0 ! % ! % . % , ! , ! "! Â». : Â« , " & % , " & " " % ( " & " . % ( " & % " : . : ( " % , " Â». : Â« % " " < + >= , " + . L , " , % , . " . 0 % : * " ! 2 " & Â« Â» ! " " " . " ( . ' " " " , # " . L " " : K ! % & ;Â» 107 . 3/29

--------------------------------------------------------------------------------------------------- " … " ) ! ------------------------------------------------------------------------------------------------

: «0 , . # & ( " ; / ». : «' ; ». : «= ; & ;» : «@ & " . < , & , . : 7 , ( : « & » , " « ) » ! " " & . : " % & &

& !» : «0 ! ! " % % & # " ». : «L , , ( & " . + ’ ! ;» : « " ( % . ' + ! " . L & ! ' " ( ». : «$ ’ % , . < ! " ; @ ( ! ! " . & & " ( . + ! , ’ " % ! , " ! ! . L , ( % & . :%! , & ! " . % , & ! !» : «#’ " % " , & " ( " # " ». : «7 , ! ( & " % " ! # " , ! & ! ( " & . " ! % ( , . " " " ! ! !) , , , ;». : «2 ! & . L & ! ». : «7 " ; ' ». : « , , ! & !» 107 . 3/30

& " "

. 1) : , ,K - K- KG ' 8 @ 7 7 ! ! " 0 # " ! 105. 2 ! . E E Â«- 8 8 ! "& & " $&> Â»Â» H< 1. " O . & !) 4m. ' ! . 7 ; 7 " = 24 4cm 30ccm. 2 2 2 2 2 x = 24 + +30 , x = 576 5 +900, x = 1476, x = 1476 x 38,4cm m 0,384m m 7 " = 4m m 5m. 2 2 2 2 2 x = 4 +55 , x = 16+ +25, x = 41, 4 x = 411 , x 6,4m m 6,44m 0,384m

, . H< 3. * . # ! . 7 ; x y , ! : x = y â&#x20AC;&#x201C; 1 y = 2(xâ&#x20AC;&#x201C;1) ! : x = 2(xâ&#x20AC;&#x201C;1)â&#x20AC;&#x201C; 1 x = 2xâ&#x20AC;&#x201C; 2â&#x20AC;&#x201C; 1 2+1 = 2x 2 â&#x20AC;&#x201C; x x = 3 y = 2(3â&#x20AC;&#x201C; 1) = 4 3 4 .. 2) ! V V K + 'G - , ' 2 + +

, Â«

% Â». D# 1 % " . 1+1=2 2+2=4 3+3=6 4+4=8

5+ +5=10

1Â·1=1 1

2Â·2=4

3Â·3=9

4Â·4=16

5Â·5 5=25

1:1=1 1

2:2=1

3:3=1

4:4=1

5:5 5=1

3â&#x20AC;&#x201C;3=0 4â&#x20AC;&#x201C;4=0

5â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C;5=0

1â&#x20AC;&#x201C;1=0 0 2â&#x20AC;&#x201C;2=0

D# 2 7 " 4 % . +4+1+0=9=3 32, 6+9+1+ +0=16=42, 8+16+1+0= 8 =25=52, 10+ +25+1+0=3 36=62. 2+1+1+00=4=22, 4+ 7

! " " . D# 3 7 " !! ! " " . + = =2 Â· = 2 " : 2 + 2+1+0 2+2 +1 = ( +1)2. : =11 â&#x20AC;&#x201C; = =0 10 07 .3/31

================================================================================ !

, " " % " ) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9; 2 " ) ; L, & . 7 ! & ( % , , ( " ) " ! . L " ! " , ! " ! â&#x20AC;¦ R % " " & ! :

'! &

+ , &, , , , (, , ", , , , , , %, , , , , , , , , ),

# %

'! & "

" ) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

# ) " !

- M ) , < , ( . 7 , ) , " " ! % ; 2 " : / ! ! " " . 2 , ! , " " " " ! ". = : " ! , ) & . # ( ! ( & ; ' , ... , " ! ! " ! " " &> " $ " ! !. 2 ! " ; ' ' & & $ ! &$ , ! & $ # . % " & : * ) 1, )

# ) " (1)

0 1 1

* ) 1 !

# ) " (11)

0 11 1, 1 0 1 #

* ) 1

# ) " (111)

0 111 1, 1 , 1 0 1 #

7 ; L 1 , ! ! , . L 11, 1 10 ! , - 10 . 0 , 10 ! & 107 .3/32

-------------------- 8 ! " & ! "& # : - $ " $ " " $ $ " -----------------

" % . " 111, 100 ! , 10 , 10 ! % . ' ( , ! : 10 0 ! = 1 !

10 / = 1 # !

10 # / = 1 0 /

10 0 = 1

" &$

"&$

8 &$

" &$

"&$

8 &$

X &$

10 # ! = 1 0 !

10 0 / = 1 /

10 = 1 # /

" &$

"&$

8 &$

10 # = 1 0

, , 0 '! " . 2 0 " ! ( 10. + : x 2 " ) 10 " . x " ( ! 10 # , 0 . x " ( ! 10 0 , . x " ( ! 10 , # / . x " ( ! 10 # / , 0 / . x " ( ! 10 0 / / â&#x20AC;¦â&#x20AC;¦â&#x20AC;¦. & !!! 0 , & " 10 # , , 10 , & ! # , , ! & . 4 , , 5 " " 10 ' 5

$ . ' : * ) 2, )

# ) " ! (2)

0 2 1

* ) 2 !

# ) " ! (22)

0 22 1, 2 0 2 #

* ) 2

# ) " ! (222)

0 222 1, 2 , 2 0 2 #

! " 2.222. L " , ) " " % . % " & . 5 , ! ! " " â&#x20AC;¦ 107 .3/33

-------------------- 8 ! " & ! "& # : - $ " $ " " $ $ " -----------------

? 100 . 4 5 "10 !" . > !, 100 1 " ! ! ( 0!!!!), & . + !!! () ...) 7 , " , (& 10, " " , " ) &> 10 ) ! " ) ! ( " % ). + :

8 u 10 3 u 10

1245 1 u 10 2 u 10

4 u 101 5 u 100

L , " & 10. ' , " ) : 52.346 5 u10.000 + 2 u1.000 + 3 u100 + 4 u10 + 6 u1

= 5 u 104 + 2 u 103 + 3 u 102 + 4 u 101 + 6 u 100 2 ! ! " ! , " ) $ 10 ) ! " ) ! ( " % ) ! 10. . . 0, 75

7 : 10

5 : 102

7 u 10

5 u 10 2

* , " , ) ) " & 10. . . 236, 58 2 u 102 3 u 101 6 u100 5 u 1 1 8 u 10 2

, , Â«0 Â» " !. ( ! ! 10. H ...) " , , 0 , " ; , !!! , " , $ " , ( !!! 7 ; = % â&#x20AC;¦ 7 " " ! . 7 , ! . * ) , & , ! % , . 7 ; ' ( " :

D& # Y ) ' #! M )

" $ " 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10 107 .3/34

$ " 2 0, 1 2

-------------------- 8 ! " & ! "& # : - $ " $ " " $ $ " -----------------

* , ! " " : 1101, 101010, 1000110 . 2 " ; + & ! , & " ! , " ! . ! ( " & :

, . * , & , , * ! 2. 4 * 5 ! & ; ? ! ' ! . 2 , , $ ! * * .

$ @ & " : 1453, 1821, 1789, 1940, 56347, 1654378, 125789345, 13 ! 798 ! .

@ & % " ! ! : 1111112 , 1010112 ,1010101012 ,1111111112 .

@ & ! & ! <, =, > ( " : 10001112

7210

1010112

3510

11111111111112

1640010

107 .3/35

Bonaventura Francesco Cavalieri ! ========================================================================= 8 ( ' $&" 7 . Â&#x201E; " ( % . 2 : ( ; 7 " ( , & . Â&#x201E; " ; # % # " + ( , . 7 " . @ % , " ! ! . @ . @ % . @ ! . & " , . 2 , 4 , Cavalieri. : Bonaventura Francesco Cavalieri " # 1 1598 15 1 , " â&#x20AC;&#x201C; 1 - " John Colombini Siena & " ! ( . ' ! = San Gerolamo + 7 7 ( , Benedeto Castelli + . : + Cavalieri "

, 112 %! . : Cavalieri % " " 7 # 1629 " 1647, 47 . Â&#x201E; % ! " ! 2 + , : . $ %! % " 1 . ! & # " Â¨ + 107 .3/36

------------------------------------------------------- Bonaventura Francesco Cavalieri " %" ) ----------------------------------------------------

$ * Â¨ ! 1635 ( # " , & . '! " , " " " ( "! ), . ( ., & ! " Cavalieri. 2 # " Cavalieri -# & ! Cavalieri . : Cavalieri ! < , < Cavalieri, T " . " " , . / " , Torricelli, Fermat, Barrow Pascal. 2 Cavalieri " .

# Cavalieri % ( $&: = " ! . 0! 4+ 0 W & & !) & . & ! ! ! , & , . : Cavalieri ( ! . ( & , " ! % & . ! . = ! ! " " " ! . "! " " ! , " & . L .

# Cavalieri % %" : H * . , * .

107 .3/37

------------------------------------------------------- Bonaventura Francesco Cavalieri " %" ) ----------------------------------------------------

# & " * Cavalieri ! & , " ( . ! " " ! . G %" ) = . + & ( & " # Cavalieri. + " ! & ! " ! ! & ! . = . = & . & , " .

' & r ( . 0 ! !) r & r. # ! & & & !) !) . * ! : ! !) , !) . 2 ! ( & . ! , ! . ) & ! : s2= ( " " ) (r2 â&#x20AC;&#x201C; h2) () & : r2 â&#x20AC;&#x201C; h2= (r2 â&#x20AC;&#x201C; h2) 7 ! & . : , ! ! Cavalieri " & . 2 , , ! ! ! . 7 : V2 = L â&#x20AC;&#x201C; L 1 V2 = r2 r r2 r = 3 1 2 = r3 r3 r3 = 3 3

2 r3 3 r " , 2 4 V ) = 2Âˇ r3 = r3 3 3 5

107 .3/38

' # @ # + "

===================================================================== <F $

J $ . , K , " !, K * .

8< 1 : ! ! " ! <F ' ! % ! ! " . % Â« % Â» ! " ) " Â« Â», () ( Â« -Â» Â« Â» %) % Â«- Â». 2 ! " % ; x 2 " ! " % ! % . x 2 " " " " " % . " % , " ! & , ! , : % " " , , " , ! ( + , , < % ) . " " ! . : " 1001 ( ! " ) " ! 7Ã&#x2014;11Ã&#x2014;13=1001. : " " " 1001 ! " ! . : " ! ( . ! ) " ! ! 1, ' *

! . : " " ( . ) " ! " " " . : " " " ! ! ! . ' $ % . : " 1, 2, 3, 5, 7 7 4, 6, 8, 9 '! " , 4=2Ã&#x2014;2, 6=2Ã&#x2014;3, 8=2Ã&#x2014;2Ã&#x2014;2, 9=3Ã&#x2014;3. Â&#x201E; % " , ( % ! " " " ! . ! " & . , " , " . % ! " & % " & Â· . 2 % " , & . " " " & ) . . 2 ( ) ! " & ) . + : " 1001 " ! , 7, 11, 13Â· 1001=7Ã&#x2014;11Ã&#x2014;13, " " . 0 & " % . + : " $ & <% , Â« Â» " % Â« Â» Â« Â», ( Â« Â», Â« Â» " % 107 .3/39

--------------------------------------------------- - ' ( ' *

! * * " "& &

-----------------------------------------------

Â« Â»Â· & " : % ( % * % Â· ! ! % .

" % , & , " . 2) ' # #! " *

! ; 7 ) " ! * !- 4 & " % . : " " $ %

( ( ! 3300 ./.) % "" ,

" . : !<

( 276 ./.., % 194 ./.) ! " , (

"" !

"# " &$ . ' !! " " . . : * ! 4 . 2 ! ( ( ( ) % , , ) : ! , % " ! !

.. * , 1 U ( , 155) : L , L ,

) ( ), 15, , 1 U ( . , 15) : L , , ) ( ), 15. :

. 3) - " !< ( )# ) 1. : 3 ./. & " ! . 2. ' 90 ( ) ! , Q. 3. 3 : !

" " . + "

" ! & " " ) : ) , ) ,

) . . 11. " " ! , , ) , ) ) , ) ,

) : + : U= =1, U=11, &U=12,

UU=111, "UU=229 . . 22. : ( " 2 . 3 ./. 10 07 .3/40

--------------------------------------------------- - ' ( ' *

! * * " "& &

-----------------------------------------------

!- !! & " . * * 1 U, 2, 4U . . % % : U=1. , = 1000. # ! 2

(15 .

.) ! .

L "

1 ( ( ) U, 2 ( ( ) &&U, 1000 0 , , 20 000 ,& . . + "

& , " . 7 # # " ! & ! & 2 15 . 4) " % * ! ! * . # &&

" !

" : ) ( ( ): ) 2, 4, 6, 8, 8 % ) 2Â· () 0, ! 2 5 %) 5, ! 5. * ,

! ! ! , "" , 2, " ( ) ) , 1 3 7 9, & & " "" 1 3 7 9.

( 1

" ! . . : ""

" 1, , :

& (

" " ! . 4 & 1 ! & , ( " . ' "

& 2 . " 2 . ' * * < ' "&! $ "&$ â&#x20AC;&#x201C; ) â&#x20AC;&#x201C; " " ! . * , ) ) < ! " " ! -) (1, 3, 7, 9), " " "

!) " " Â· " % " . ' $ % . ' 10 - 19 " :: 11, 13, 17 7 19. ' 6670 - 679 7 : 6671, 673, 677. 6 ' 500 - 509

! " : 5033, 509. ' 21 0 - 219 " : 211. ' 200 - 209

" . . = = " < ' # ' . @ !! ,, # ! " #.

10 07 .3/41

-------------------------------------------------- - ' ( ' * ! * " "& ----------------------------------------------

T ! $ F 2 " ! " ) : 1, 3, 7, 9. " ) $ #" " ! " % : ) " , () " %) ! " . < L " ) 1, 3, 7 9 ( ! " ) ! ! # , - & $ # . ' " -Â&#x2039; +Â&#x2039;. . # & " ! ! " . ' " ! - & $ # " ! . : ( " " # - & $ # 99 +99. 7 ( " ' ( 1 99).

. : " & ! " " ! " . + ' , $ , "

$ . / ' ! . 3 , $ , ,

. D D GE+

1) + . MN L L ?(( %?2 H?4L L ?)L24 + %?2. . + Â R+1 0 ', = @ 1 1995. 2) " 2(. 8 . 4 ? . # , % . 0 , Â&#x152; 111, 185 32. 7 , 2001. ISBN 960-86784-1-2, ! & & . 3) Jean Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers: [= " ] (@ ) ISBN 978-2-84245-117-2, ! & & . * . Belin: POUR LA SCIENCE, 7 , + 2013 4) #arcus du Sautoy, Le mystĂ¨re des nombres. [2 " ] # # (. . Gallimard, 7 2013. 5) % 2. . . ! , ) * . 7 ( . @ 2 - 4, 106 78, " 2014. 6) % 2. . . >L?9M?2 4Q% )MQ4Q% MLH+Q% ( * @ 2 - 4, 106 78, " 2016. 107 .3/42

& " G : # " .

======================================================================== 8 <F $

2 + < 2 % ' / . 4 60 = 12 @. # ! / !. 2 ' 3.000 ! ' #. . ' ! ! 170 " % . % " ' " 7 7 . = " " &U . ! ! " ! .

G GEG -G 8 G KG G - 8 -+G -G " " &U 6 2016. ! ) " ! $ 3,14" ! . X $ : 2 6 2016 "# # &F : : " 5 . ' $ : ' " " ! . " CD ! , !. 2 : 1. CD !. 2. > . 3. ) . 4. .(%! )

5. / * 6. + . 7. N

8. !

" ! . + % ! . # " , , ! . ) .

107 .3/43

------------------- E & X " $ "# : ' "< $ & < #" " " . ----------------

' ! . 0 ( . & ! ! + % " . 2 " ! . # & . 2 ! ( ! .

' . # " (L/ ). 7 3 & 3,14. $ " "& )< : : " ! ) ! . * " ! & . 0 " " " ) & .

$ : 0 ! " L/ & 3,14. : " & 3, 25 3, 27 3, 19. " . & & 3 & " ! ! . 4. ' + 8 - ' H -G + H8G . " " &U 7 2016. ! ) " ! $ 3,14" ! . E ! o ! - ! ! . X $ : 7 7 2016 "# # &F : : " 5 . ' $ : ' " " ! . ( . 1. = 2. / * 3. + . 4. N + 107 .3/44

------------------- E & X " $ "# : ' "< $ & < #" " " . ----------------

" ( ! ! . & ! ! . / % ! ! " . 2 " . # ! = 2 . 4 = 5,6cm.

' . 7 % "! 5,6cm " ( ).

"! " 4 " .

* " " ( "! . 2 ! . + ! % ( . 2 " ( "! . : " ( " % & " ! & . 2 . ' " - " - 107 .3/45

------------------- E & X " $ "# : ' "< $ & < #" " " . ----------------

" ! . * ( " ! .

7 ! . # 14/100 . 5 : L = 3,14.

$ " "& )< : # ! ! . . * " ! ! . ! . " ! ! & . 107 .3/46

* ; " + " =================================================================================== " "# #.

1) - & ' # GF) $ ; * 7 , :% , "! ) % . ! ! " " 7 !. Â«8 100 " ! 1Â£ & & " ! !. " % " %! 100. 2 & & " ! " " . 2 " " % , ;Â» : " + : 7 " ! 100, 66 67, " " " ! " . ' , " % 100, " . 7 " ! ! 50 (33), " " . L ( , " " % " 100 ! ( " . ) . " , ! " & . http://www.bbc.com/news/education-34505485

2) % # + * 2 1972 " & R ( Vasarely, ( , T & . : ) & , Vasarely !. : " op art ! . 2 ! 1972 & " " . 7

& " ) & " ;

107 .3/47

--------------------------------------------------------------------------------- F< ; 8 ! "& & " -----------------------------------------------------------------------------

3) " " . # ! ! !

, ! . Â&#x201E; # . L & , ! . ' 3 " & ! . " # ) % " . & ( . 2 ! & " 1970 ( % . : 23 Gary Anderson & & . https://en.wikipedia.org/wiki/Recycling_symbol 4) G % * ! â&#x20AC;Ś : ! " ( 23 ! ) ! " " 77.232.917 7 . 7 " 2 -1. Â " " " 1 ! ÂŤ Âť 74.207.281 ( " : 2 -1) ! ) . : " , " #77232917, " ( # " , + ! # # , 17 % # " ! " 257. : " 2P-1, ! 2. : 3 # " 3, 7 31. ' 50 # , & ! " . 1997 : Great Internet Mersenne Prime Search, GIMPS (https://www.mersenne.org/) 360.000 % , " & " 16 # " . O M77232917 ! " 26 0 & 2017 .Â&#x201E; 2( " 7 2 7 , GIMPS. / % .Â&#x201E; 2( " 7 % " . ' " ! .Â&#x201E; . ) 50 ! # " !, " 2( " 7 & & 3.000 " GIMPS. : % GIMPS & " 100 ! ) , " 150.000 & . 107 .3/48

- 8 ! "& $ " $&>

=========================================================== < : " "# # 1) 7 ! " ! 37Ã&#x2014;3=111, 37Ã&#x2014;6=222, 37Ã&#x2014;9=333, 37Ã&#x2014;12=444 & 37Ã&#x2014;27. 2) 7 % . 1Ã&#x2014;8+1=9 12Ã&#x2014;8+2=98 123Ã&#x2014;8+3=987 1234Ã&#x2014;8+4=9876 12345Ã&#x2014;8+5=98765 @ % 12345678Ã&#x2014;8+6 3) * ! !, ! 84 . L ! 6 , ! 10, 4 ! ! 9 ! . # ! " !; 4) @ & ) " " ! ) " 1 ! " !. 3 1 5) @ % " 1+ " 2 1 " ! 1+ 2 6) : % 32 5 2 . 2 ( % 1â&#x201A;¬. 7 2 5 ;

# 106 1) ! 2 ! !

2) 7 @2 ' 3:10U 3) 11111111=55562-44452 1111111111=555562-444452 4)

5) Â&#x201E; 2017 ( 2 2018) , 1009 , " 2016 4 1. ! . , 4 2016 " 1. 107 .3/49

Εκδόσεις της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Τιμή τεύχους: 3€

Τιμή τεύχους: 3,5€

Τιμή τεύχους: 10€

Τιμή βιβλίου: 30€

Τιμή βιβλίου: 20€

Κεντρική Διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα τηλ.: 210 3616532, 210 3617784 fax: 210 3641025 www.hms.gr e-mail: info@hms.gr