Ευκλείδης Β 107

107

B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ

ΓΕΓΟΝΟΤΑ

Μαθηματικό περιοδικό για το ΛΥΚΕΙΟ

ΕΝΤΥΠΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΡ. ΑΔΕΙΑΣ 1099/96 ΚΕΜΠ.ΑΘ.

4156

ΚΕΜΠ.ΑΘ.

Ταχ. Γραφείο

Αριθμός Άδειας

ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ ΤΕΛΟΣ

ΕΚΔΟΤΩΝ

Hellenic Post

ΕΛΤΑ

Ι Α Ν ΟΥΑ Ρ Ι Ο Σ - Φ Ε Β Ρ ΟΥΑ Ρ Ι Ο Σ - Μ Α Ρ Τ Ι Ο Σ 2 0 1 8 ε υ ρ ώ 3 , 5

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Τεύχος 107 - Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος 2018 - Ευρώ: 3,50 e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ Γράμμα της Σύνταξης

Γενικά Θέματα Δύο ενδιαφέροντα θέματα Γεωμετρίας ........................................................ Μαθηματικές Ολυμπιάδες ..................................................................................

Homo Mathematicus ...........................................................................................

1 5 12

Α΄ Τάξη Άλγεβρα: Ασκήσεις Άλγεβρας, .......................................................................... Γεωμετρία: Μεθοδολογία Γεωμετρίας .............................................................

18 22

Β΄ Τάξη Άλγεβρα: Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση,............................................ Γεωμετρία: Κανονικά Πολύγωνα, ...................................................................... Κατεύθυνση: Μαθηματικά Προσανατολισμού , ..............................................

28 36 41

Γ Τάξη Κατεύθυνη: Θεματικές διαδρομές στην Ανάλυση, .......................................... 51 Θέματα Εισαγωγικών Εξετάσεων για τα (Α.Ε.Ι) Παλαιοτέρων Εποχών, ...... 60 Γενικά Θέματα Μαθηματικά και Λογοτεχνία. ............................................................................. 64 Το Βήμα του Ευκλείδη, ....................................................................................... 66 Αλληλογραφία ...................................................................................................... 74 Ένα πρόβλημα στη συνέχεια και το όριο συνάρτησης .................................... 75 Ευκλείδης Προτείνει, ... ....................................................................................... 78

Αγαπητοί μαθητές και συνάδελφοι,

δεχτήκαμε σ' αυτό το τεύχος την προσφορά του Παραρτήματος Ε.Μ.Ε. Ηλείας να αναλάβει υπεύθυνα το μεγαλύτερο τμήμα της ύλης του. Αποτέλεσμα αυτής της συνεργασίας είναι η παρουσίαση αξιόλογων άρθρων που αναβαθμίζουν το περιοδικό. Ελπίζουμε να παρουσιαστεί ανάλογο ενδιαφέρον και από άλλα παραρτήματα, ώστε να γίνει φανερό αυτό που πράγματι επιθυμούμε, το περιοδικό δηλαδή να είναι κτήμα όλων μας. Σύντομα θα ακολουθήσει το 4ο τεύχος για να ολοκληρωθεί έτσι η προσφορά επαναληπτικών θεμάτων εν όψει των εξετάσεων που πλησιάζουν. Για τις μέρες του Πάσχα σας στέλνουμε τις καλύτερες ευχές μας για υγεία και χαρά σε σας και τις οικογένειές σας. Ï ðñüåäñïò ôçò ÓõíôáêôéêÞò ÅðéôñïðÞò: Ãéþñãïò Ôáóóüðïõëïò Ïé áíôéðñüåäñïé: ÂáããÝëçò Åõóôáèßïõ, ÃéÜííçò Êåñáóáñßäçò Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων είναι οι συνάδελφοι: Α΄ Λυκείου [Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Γ. Κατσούλης], Β΄ Λυκείου [Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης], Γ΄ Λυκείου [Δ. Αργυράκης, Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 11 Νοεμβρίου 2017 Θαλής: Ευκλείδης: 20 Ιανουαρίου 2018 Αρχιμήδης: 3 Μαρτίου 2018 Προκριματικός: 31 Μαρτίου 2018 Μεσογειάδα: 1 Απριλίου 2018

Κάθε Σάββατο γίνονται ΔΩΡΕΑΝ μαθήματα, Στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. Θυμίζουμε ότι: Ερωτήματα σχετικά με τα θέματα Διαγωνισμών υποβάλλονται στην επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε.

Εξώφυλλο:

Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34 106 79 ÁÈÇÍÁ Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 Fax: 210 3641025 Åêäüôçò: Ανάργυρος Φελλούρης ÄéåõèõíôÞò: Ιωάννης Τυρλής

Πρόεδρος: Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò Αντιπρόεδροι: Åõóôáèßïõ ÂáããÝëçò Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Μέλη: ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò Ôáðåéíüò Íéêüëáïò

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

ΕΛΤΑ Hellenic Post

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 - 8005

Εικαστική σύνθεση

Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr π πΕπιτροπή Συντακτική

ΔΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Εκτελεστική Γραμματεία

με μεγάλη χαρά

ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò Áíôùíüðïõëïò Íßêïò ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò Βλάχος Σπύρος Γιώτης Γιάννης Åõóôáèßïõ ÂáããÝëçò ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò ÊáñêÜíçò Âáóßëçò Êáôóïýëçò Ãéþñãïò Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Êáñäáìßôóçò Óðýñïò Êïíüìçò ¢ñôé Κουλουμέντας Φώτης ÊõñéáæÞò ÉùÜííçò Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò

• Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.

Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô. Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò ËïõñéäÜò ÃéÜííçò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò Μανιατοπούλου Αμαλία ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò ÌÞëéïò Ãåþñãéïò Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò Μπρούνζος Στέλιος Ìþêïò ΧñÞóôïòΧ Παπαπέτρος Βαγγέλης Óßóêïõ Ìáñßá ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò ÓôñáôÞò ÃéÜííçò

Ôáðåéíüò Íéêüëáïò Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò ÔæåëÝðçò ¢ëêçò Tουρναβίτης Στέργιος ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò ÔóáãêÜñçò ÁíäñÝáò ÔóáãêÜñçò Êþóôáò Τσιφάκης Χρήστος Τσουλουχάς Χάρης ÔõñëÞò ÉùÜííçò ÖáíÝëç ¢ííõ ×áñáëáìðïðïýëïõ Ëßíá ×Ρéóôüðïõëïò ÈáíÜóçò ×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò Øý÷áò ÂáããÝëçò

Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50

• Ïé óõíåñãáóßåò, [ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο εισηγητής. ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00 Tï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: (1). Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 (2). Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK (3). Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. (4). Åêôýðùóç: ROTOPRINT (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ä. Ðáðáäüðïõëïò

100

2018

.

. , 2018,

! " . " " # . $ 1918 93 ! " % ,

" & ! " . ' 8

& " & (

, " "

. ) * ' # " 11 ! " + - / , 4 5 4 4 +

' . $ # 6!6, 6 ! " 6 .

7 100 6!6 " , % 6 .

6%

& 100 & 6!6. % & & ( & /& ! " , * - . ) :

( & # / 6 & .

7 – & : & 6 & ! " . :

7 ! " , & , " " , & # ,

. & " #

* . http://www.hms.gr/fcgm2018/index.html 6!6 / . ) 6!6 6 , ( , , ,

& 100 & 6!6 2018 ! " . ' & & %

& ! "

, & /& . ) ! " ) , 6 , = , : , > , . .

" & & / " .

6!6 , " , , , " % # & 100 & 6!6, " . + "

site 6!6,

" :

,

! "

#

$%

" # $ # %$ # # & # #

$

"

$

.

107 .3/1

! " #,

. 35

! ! «" # $ », % & ,

. '

105 1, % & . (

.

A) " $ ! % &' $ ! ( " ,

#$ ) ) # # #

) ) (*) % ! ! # +x ) #

) &" (*) $ $! + % & " . i) , ) ' - : %& ! # +z š

# (*) $' ! $' $!: M d x 2 z d 180o M ) %& % 2) 4 " 2 %& – 5 " %& , ) ' ( ! 2 ( !

4 $ ) - :

ii)

š

" x 2 z ) -

# $ ( ¬ª M,180R M ¼º .

4*+ 6 i) ) # :

(4).

7 /4' ('/='4)

!

/ 4' ( 7)

'4, ! (5). ; (4) : 2% 2( *( (2 2' (6). ; (6) ! (5) : (7). / (7) A

: (8). $ % '/4, '/# '/6. 7

: '/='4='#='6 $% $* $'

( ) , š

M x 2 z 180o M (9). / (1), (2) (9)

@

x

š

M d x 2 z d 180o M .

2) / ! – (

A

x

A

Î 2

y

B

E

180o -φ

φ

Δ

O

y΄

z΄

Î 2

Γ

Î

z

Î 1

φ

y

1) ) 'z

'y,

E

x 2 z 180R M (2).

3) " 'z (

( 1))

'y, 'y-. (

'x, 'y, 'y- Oz

'/, '4, '6 '#

A yy' (3). 7

/4, /#, #7 /6. / #7'

y΄

H

š

x 2 z M (1).

2) ) 'z

'y-,

š

ω O

Γ

Î

z

Î 1

A

$( A yy ' , $( A 3 (1). /

(+ A 2z (2). (% % %

: A+ A 2z (3). $

'z . ( % /'7

: § š · OH OE ˜ VXQZ (4), OH O$ ˜ VXQ ¨ x O z ¸ (5) © ¹

107 .3/2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

OE

ย

(6). / (4) (6)

: OH O ย ย

(7). / (5) (7) : ยง ย ยท O$ ย VXQ ยจ x O z ยธ O$ ย VXQZ ย VXQM ยฉ ยน ยง ย ยท

ยจ x O z ยธ ย

(8). ยฉ ยน " 1 d VXQZ d 1 (9)

1, 1 .

7

. D (9) VXQM d VXQZย VXQM d VXQM ย

VXQ 180R M d VXQZย VXQM d VXQM

!

(8)

ยง ย ยท VXQ 180R M d VXQ ยจ x O z ยธ d VXQM (9). ยฉ ยน 7 ( @ )

f x VXQx ยชยฌ0o ,180o ยบยผ

ย

(9)

:

o

M d x 2 z d 180 M . ii) $ f f Z VXQM ย VXQZ

$

>0, S@

( 0 d Z d S ).

; f $ " f '

>0, S@

Zย 0, S

(1)

f ' Z 0 Zย 0, S , f

Zย 0, S

$ %

>0, S@

>VXQM ย VXQS, VXQM ย VXQ0@

f (A)

> VXQM, VXQM@

ยชVXQ 1800 M , VXQM ยบ ยฌ ยผ 0 7 f (A) ยชยฌVXQ 180 M , VXQMยบยผ . ย D VXQ ยงยจ x 2 z ยทยธ

ยฉ ยน ยชยฌVXQ 180R M , VXQMยบยผ

ย

M d x 2 z d 180o M

ย

x 2 z

ยชยฌM,180R M ยบยผ . ย / % : VXQ ยงยจ x O z ยทยธ VXQZย VXQM ยฉ ยน 0 d Z d S

: ย

x O z WR[VXQ VXQZย VXQM 0 d Z d S ย

M d x 2 z d 180o M . %( * ( !$!: (

'z ( 2)

yy ' .

ย

Zย > 0, S@ (1). 7 KPZ ! 0

B) ) % $! # 2 # (

# * # $ ) )

&) # . ( : F , /4#6 (

) ' %

( 1 2)

: JJJG JJJG JJJG JJJG %*' ย 2$ '$% ย 2* *'$ ย 2% $%* ย 2' JJJJG JJJG JJJJG JJJJG %*' ย $$1 '$% ย **1 *'$ ย %%1 $%* ย ''1 JJG JJG JJG JJG %*' ย X$ '$% ย X* *'$ ย X% $%* ย X' JJG JJG JJG JJG %*' ย J $ '$% ย J * *'$ ย J % $%* ย J ' ) ) $1 %1 *1 '1

/4#6 JJG JJG JJG JJG 2) X$ , X% , X* ,

% /, 4, #, 6 ,

! /4#6 JJG JJG JJG JJG ") J $ , J % , J * , J ' % /, 4, #, 6 ,

! /4#6. ( ! % 4#6, 6/4, #6/

/4# .

4)- 8! # * # 5 ) # " ( )

/4#6 x O-y

( ) ( ), %

: x D yD 1 x D x D yD 1 yD x E yE 1 x E x yE 1 yE 0, E 0 x J yJ 1 x J x J yJ 1 yJ x G yG 1 x G x G yG 1 yG JJG x D y D 1 [1 ย x D JJG x E yE 1 [1 ย x E G

: 0 (1), JJG x J y J 1 [1 ย x J JJG x G y G 1 [1 ย x G

107 .3/3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

JJG 1 [2 ˜ yD JJG x E yE 1 [ 2 ˜ yE G (2) 0 JJG x J y J 1 [2 ˜ y J JJG x G yG 1 [2 ˜ yG JJG JJG

[1 , 2 xD

yD

'-x O-y .

O

y

Α(xα,yα)

+

δ1 ξ3

x΄

ξ2 O΄ γ

ξ1

Β(xβ,yβ)

β x

Γ(xγ,yγ)

yG 1

xD

xG

yG

1

yD 1

x D yD 1 JJJG JJJG G x E yE 1 ˜ 2* x E yE 1 ˜ 2' 0 x G yG 1 x J yJ 1 JJJG JJJG JJJG JJJG G %*' ˜2$ *'$ ˜2% '$% ˜2* $%* ˜2' 0

JJJG JJJG JJJG JJJG %*' ˜2$ '$% ˜2* *'$ ˜2% $%* ˜2' (6).

4)- 8! # # # 5 ) # 7 @ (6)

1 1 1 1

, JJJJG JJJJG

: %*' ˜ 2$1 '$% ˜ 2*1 JJJJG JJJJG *'$ ˜2%1 $%* ˜2'1 (7). / (6) (7) : JJJJG JJJG JJJJG JJJG %*' ˜ 2$1 2$ '$% ˜ 2*1 2* JJJJG JJJG JJJJG JJJG *'$ ˜ 2%1 2% $%* ˜ 2'1 2' JJJJG JJJG

%*' ˜ $$1 '$% ˜ **1 JJJJG JJJJG *'$ ˜%%1 $%* ˜ ''1 (8)

y΄ Î

/ (1) (2)

JJG JJG xD yD 1 [1 ˜ xD [2 ˜ yD JJG JJG xE yE 1 [1 ˜ xE [2 ˜ yE JJG JJG xJ yJ 1 [1 ˜ xJ [2 ˜ yJ JJG JJG xG yG 1 [1 ˜ xG [2 ˜ yG

xG

α

δ

Δ(xδ,yδ)

/ % @

%

(5) : x E yE 1 x D yD 1 JJJG JJJG x J y J 1 ˜ 2$ x J y J 1 ˜ 2%

JJJJG xD yD 1 2-$ JJJJG G xE yE 1 2-% G 0Â&#x; JJJJG 0 Â&#x; xJ yJ 1 2-* JJJJG xG yG 1 2-'

JJJJG 2-$ x D y D 1 JJJJG 2-% x E y E 1 G 0 (3). / JJJJG 2-* x J y J 1 JJJJG 2-' x G y G 1 JJJJG JJJJG JJJG ­ 2 -$ 2 -2 2$ ° JJJJG JJJJG JJJG ° 2 -% 2 -2 2% (4). ® JJJJG JJJJG JJJG 2 * 2 2

2* ° ° JJJJG JJJJG JJJG ¯ 2 -' 2 -2 2' / (4) (3) : JJJJG JJJG 2 -2 2$ x D y D 1 JJJJG JJJG 2-2 2% x E y E 1 G 0

JJJJG JJJG 2 -2 2* x J y J 1 JJJJG JJJG 2-2 2' x G y G 1 JJJG 2$ x D y D 1 JJJG 2% x E yE 1 G 0 (5).

JJJG 2* x J y J 1 JJJG 2' x G y G 1

4)- 8! 5 # % 5

# 5 ) # @

(8) t

: JJG JJG JJG JJG %*' ˜ X$ '$% ˜ X* *'$ ˜ X% $%* ˜ X' (9). @

(9) t

: JJG JJG JJG JJG %*' ˜ J $ '$% ˜ J* *'$ ˜ J% $%* ˜ J ' (10) * ( !$!: # @

x E yE 1 xD 1 1 ˜ x J y J 1 %*' , ˜ x J 2 2 x G yG 1 xG xD 1 ˜ xE 2 xG

yD 1 yE 1 yG 1

$%'

xD 1 ˜ xE 2 xJ

yD 1 yE 1 yJ 1

$%* .

107 .3/4

yD 1 yJ 1 yG 1

$*' ,

! ! % % " $ ! ! % + # ) + ) &

) )( ( " $$ ! E.M.E.

78 8

! " $ &' $

! " “ %" $ ” 20 # 2018

% % $

4 +

* -2 ! 1 4 x, ) "

% %

x ,

1

x2

2

2

%%

4

x 4 y 4

% , ) 8 - % - 3 x 3 3

% . $!

3 x 3 y3 x y 3xy x y ], ! ! xyy ].

a12 a 2

x y

a 22 a 4

x

2

y

a1 ,aa 2 ,a 4 ]. ! $ (1) ! :

! xy ]. % " ,

x 2 y 2 2x xy ]

(1)

x

(2)

2

2 2

4

y 4 2x 2 2 y2 ] ,

a12 a 2 .

2 a12 a 2 ], ! a12 a 2 2

xy xy

a 2

2 1

a2

2

a

2 1

a2

m !

2

m2 ], 4 2 2 m ! . ! !

, " $ $ (2).

$ !

3 3 3 xy ]. :: x y x y 3xxy x y ], x y, xy ] . ' , , ! ! $ $ (2) !

" # x 3 y3

x

2

2

2x y

2

y 2 x y xy x y ], x 2 y 2 , x y, xy y ].

* -2 ! 2 9$ $ N N 1 N 2 N 3

" - $$& ' %

% % . ( ) , ) ) 8 - 4 $

" -- ' % & % .

(2) # - 4 $ $

&" - % # $! ( )

$ N N 1 N 2

N 3 N N 3 N 1 N 2 N N 3 N 2 3N 2 N N 3 N( N 3) 2

" !

N N 3 , N N 3 2 2 , " !

N N 3

! "" ! .

(2) N N 3 2P, ! P ! . &! $ 2P 2P 2 4P P 1

" , ! $ 4P P 1

2O

2

4 O 2 , ! O .

! P P 1 O 2 , !

P ! O , , "

107 1 .3/5

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- !

% "" $ --------------------------------------------------------------------------------------------------- P P 1 +

"( (

P 2 P 2 P P P 1 P 1 , $ ( . * -2 ! 3 4 ' & $ &

! ) & ! ) # # $ 4 10 , $ $% ) ; 4

: $ 6

% 2 2 - # $ $ 72 7

" %& . 4

) ) ; "" " $ % % % % R, #) " $

( (% ! % % R. $! *' E

) * O " "

$% D, * 2

# $( 6 . * , ! ./= '. 0

%* * $'

%*

$'

4 10 , !

2 10 . ! % "! ! ( $$ "

'

$( 2 (' '2

2 10

2

œ (' 2

40 4 36 œ (' ' 2

(1)

! " + ! *

: (D E) ˜ $' ( D E) ˜ 6 (2 (2) Â&#x; D E 24 ( Â&#x; 72 2 2 (

$ $ ! ) +

N ,, !

E D (1) (3)) (' ( 0' 0 0(

Â&#x; E D 4 2 2 ! (22) (3)

D 10, E 14 .

20 x, 21 1 y ,

( : ( ) )

,, - ! ! % "! ( $ "

), ,/, ONB,

§E· x ¨ ¸ ©2¹

2

R 2 Â&#x; x 2 49 R 2

2

(4)

2

(4) §D· y 2 ¨ ¸ R 2 Â&#x; y 2 25 R 2 Â&#x; (6 x) 2 225 R 2 Â&#x; x 2 12x 36 25 R 2 Â&#x; 61 12x R 2 x 2 49 ©2¹ ! 12xx 12 Â&#x; x 1 , ! ! ! $ (4) ! R 50 5 2 .

(2) )

,, , - ! ! % ""! ( $ $ " ),/, ONB,

§E· x2 ¨ ¸ ©2¹

2

R 2 Â&#x; x 2 49 R 2

(4)

2

(4) §D· y2 ¨ ¸ R 2 Â&#x; y2 25 R 2 Â&#x; (6 x)2 255 R 2 Â&#x; x 2 12x 36 25 R 2 Â&#x; 661 12x R 2 x 2 49 ©2¹ ! 12xx 12 0, .

!

$ $ R 50 0 5 2.

3 * -2 ! 4 *-$ 8 :(

% % ) ) 7 # ) $ ) # (" $ ;- 2007 $ 2008;

107 1 .3/6

--------------------------------------------------------------------------------------------------- ! % " $ ----------------------------------------------------------------------------------------------- $! + ( # x , ( 2007x " 2008 . /

2007x 2000x 7x ! 2000x " 000 , *$ x ( 7x " 008 . / " 7x 008 , x " 4. &!

, ! #$ x 4 .

, ! ! #$ x 1.

x " 144 . *$ ! # a144 , ( * 2007 ! " 2008. ) 2000 ย a144 #$ ! #$ 2a . 7 ย a144 #$ ! #$ 7a 1 ("

). ) ! 2a (7a 1) 9a 1 , " 2, ! a 9 .

*$

! 9144 . % " , " !

2007 ย 9144 18352008 " 2008. ( # EJ9144

2007, #$ " $ * " ! 2008. / #

EJ " ! 10 99 .

90 " , 90 # $ *$ $ ! $ .

+

* -2 ! 1 4 x, ) " % %

x ,

1

2

x2

2

%

4

x4

4

% . % , ) 8 - % - 5 x $! , ! : x 5 y5 x 4 y 4 x y x 4 y xy 4 x 4 y 4 x y xy x 3 y3 , 5

a1

x y, a 2

x 2 y 2 a 4

5

x 4 y 4 , !

! a 3 x 3 y3 . x 3 y3

! xy ย ].

3

3xy x y ย ], !

x 2 y 2 2xy ย ]

(1)

y 2 x 4 y 4 2x 2 y 2 ย ] ,

(2)

a12 a 2

x y

a 22 a 4

x

2

x y

a1 ,a 2 ,a 4 ย ]. ! $ (1) ! : xy

! xy ย ]. % " , xy

2

2

a a2 .

2 a12 a 2 ย ], ! a12 a 2 2 2 1

a 2ย

2 1

a2

2

a

2 1

a2

m !

2

m2 ย ], 4 2 2 m ! . ! !

" $ $ (2).

$ ! xy ย ]. , ! ! $ $ (2) ! 2x 2 y 2

: x 3 y3 x y 3xy x y ย ], x y, xy ย ]. ' ,

" #

x 3 y3 x 2 y 2 x y xy x y ย ], x 2 y 2 , x y, xy ย ].

3

* -2 ! 2 , ) $ $ -

#

$!

ย \ " ) ! " %& x ย \ ! $ $!: x x . ! 2 2 x 2x 3 x x 1 2

1ยท 3 ยง x 2x 3 x 1 2 ! 0, x x 1 ยจ x ยธ ! 0, " x ย \, 2ยน 4 ยฉ 2

2

2

107 .3/7

$ $

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- !

% "" $ --------------------------------------------------------------------------------------------------- $ $ $ x x 2 x 1 ! x 2 2x 3 x a ┬Ь x 3 x 2 x ! x3 2x 2 3x ax 2 2ax 3a ┬Ь

┬Ь a 1 x 2 2 a 1 x 3a 0. (1) / a 1 , $ $ $ (1) " : 3 0 $ " x ┬П \ . / a z 1 , ( $ $

(

' 4 a 1 12a a 1 4 a 1 a 1 3a 4 a 1 2a 1 .

1 $ $ (1) $ " x ┬П \ , ! $ ( ( : 2

a 1 0 4 a 1

2a 1 0 ┬Ь a 1 0 4 a 1 2a 2 1 ! 0 ┬Ь a 1 a 1 a !

1 ┬Ь a 1.

2

*$ $ " a d 1. * -2 ! 3

" ) ! -" ) " (%! ) # ,2 $

2 2 . $ %- # , % % # () # ) -

), $ $

& $ $ !%% )

# ) &$ ! )

# # " #. , ) 88 - 1 t 4 . $!

d1 , d 2 ,...,d N

. &!

( ( 2SR1 Sd1 ,

2SR 2 Sd 2 , 1 - 2SR 1 Sd 1 .

$ (

( $ $

" ,

Sd1 ... Sd 1 2(2D 2E) 4(D E) 4(D 2D) 12D (1). /

!

""( $ ! ! $

! $ $ "

, $ d1 d D,d 2 d D, ...,d N d D , !

Sd1 ... Sd 1 d DS ... DS 1DS (2) ( 12 (2) 1DS t 12D ┬Ь 1 t - , 1 t 4 ! (1) S * -2 ! 4

$ $% ) ;

ркЯрка ркаркбркв сИ║ркЯрка сВД ркбрквсИ╗ "

) $' ркбркв р╡М рлЫ рлЫркЯрка. 4 ркг

$# % %- # $! # ркЯ ) )

рка % % рки

%

#

) " " # % % # #

" # ркаркбркг ) 8 - ) " " % % # " # ркаркб ркбркг &)

$ ! ркбркв &)

$ ! ркбркг $ $! ркб. $ $! ркб % ) " " % % # " # ркаркбрки & $!

4

▀К " "

""( ▀А▀Б▀И. ! ▀И▀Б ▀Б ┘г ▀Б▀В ▀К▀Б ┘г ▀Б▀Г . ! ▀Г

!

$ ▐┐ ▀А, ▐┐▀Г р╡М ═┤▐┐▀А. ▀Б▀В $ !"

( ▐┐▀Г р╡М ▀В▀Б р╡М ═┤▐┐▀А ▐┐▀Г▀Б

$ ). ▀Б▀Г р╡М ▐┐▀В р╡М ▀А▀Б

" ▀А▀Б▀Г

сИ║▀Б▀Г р╡М ▀А▀Б ▀БсИ╗ ! ! + $

$ ▀А▀Г $ ▀Б▀И ( ! ▀Б╟б ▀И ! ▀А▀Г). ▀И▀Б ┘г ▀А ▀Г сВД ▀Б▀В ╓Ь ▀И▀Б ▀И ┘г ▀Б▀В. ! "" ▀А▀Б▀Г : ▀Бр╖арм╡ р╡Е ▀Бр╖арм╢ р╡М ═│═║═▓╬╣ р╡Ж ═┤тАл▌ФтАмр╖Ь. р╖б ▀Б р╡М тАл▌ЦтАм╞╕ 1 " ▀А▀И

$ $ $ $ ▀А▀Гр╖а ▀Б р╡М тАл▌ФтАмр╖Ь ( " "

▀Бр╖арм╡ р╡Е ▀Бр╖арм╢ р╡М ═│═║═▓╬╣ р╡Ж тАл▌ЦтАм╞╕ . "( ▀А▀Б▀Г), тАл▌ЦтАм╞╕ р╡М ═┤тАл▌ФтАмр╖Ь

107 1 .3/8

--------------------------------------------------------------------------------------------------- ! % " $ -----------------------------------------------------------------------------------------------෡ ߁ ൌ ‫ݖ‬Ƹ "" "

$ " "

"( ߀߈߁ $ $ 1 " ߀߈ ෡ ߁ ൌ ʹ‫ݖ‬Ƹ $ $ $. ߁෠ଷ ൌ ߱ ෝ , ! ! "

" ߀ߊ ߊ߀߁ : ʹ߱ ෝ ൅ ‫ݕ‬ො ൌ ͳͺͲι ֞ ʹ߱ ෝ ൅ ͵͸Ͳι െ ʹ‫ݖ‬Ƹ ൌ ͳͺͲι ֞ ߱ ෝ ൌ ‫ݖ‬Ƹ െ ͻͲι. ߁෠ଵ ൅ ߁෠ଶ ൅ ߁෠ଷ ൌ ͳͺͲι െ ‫ݖ‬Ƹ ൅ ‫ݖ‬Ƹ െ ͻͲι ൌ ͻͲι.

+

* -2 ! 1

, $ $ # ) " % ! 8 $ $! a 1 x 2 2x 2

&

! ) " %( ) # a. $!

x

2 2

x4 4

$ $

a 1 x 2 2x 2

22 4x2 4x 2

x

2

2 2x

2

2

x

2

a 1 x 2

2x 2 x 2 2x 2

$

4

4 , "

$

a 1 x 2 2x 2 x 2 2x 2 a 1 x 2 2x 2 a 1 x 2 2x 2

2

x 1 1 ! 0 " x \) 2 a 1 x 2 a 1 a 1 x 2 2 a 1 x 2 a 1 2x 2 4ax 4 2

( x 2 2x 2

a 1 x 2 0 x 2 2ax 2 0.

1 $ ' 4a 2 8 4 a 2 2 t 0 a t 2 a f, 2 º¼ ª¬ 2, f .

, a f, 2 º¼ ª¬ 2, f $ $ * \ " : x

a r a2 2 .

2, f , * \ , x

a f, 2

r 2, ! $ $ * \ , $ x

x a * -2 ! 2

! $# & !$! f x

r 2.

a

VXQx VXQ x 2 VXQ x 3 , x \ . , 8 &$ , #)& '

) " %- - T ! 0

$ f x T f x , " %& x \ . $!

" ! ! T ! 0 ( f x T f x , " x \.

1 $ (1) $ ! ! : VXQT 1, VXQ T 2 1, VXQ T 3 1 T 2 NS, T 2

! ! $ T " !

f T f 0 VXQT VXQ T 2 VXQ T 3

&! " x 0 !

2 NS, T 2

2OS, T 3

O $ ! .

N

3

(1)

2PS, N, O, P ].

2OS +

$ $ !

2 $ , ( !

O N

2,

* -2 ! 3

) ; ટઠડઢ ሺટઠ ႄ ડઢ ૂહુ ટઠ ൏ ડઢሻ % $ ભ $! ( " # ટડ % ઠઢ. 9$ %- ! ન %

# ) " " # % % # ۱૚ # " # ભટઠ % પ

%

# ) " " # % % # ۱૛ # " # ભઢડ. 4 ણ $! ( # નટ % પઢ % ત $! ( નઠ % પડ, ) 8 -

$! નǡ ભǡ પ % % $ ! ણત 2 $% )& $ ! # . $! ! $ $ + * , ( ! ) ! $ " ( : ޿መଶ ൌ ߁෠ଶ ൌ ‫ݕ‬ො ߀෠ଶ ൌ ߂መଶ ൌ ‫ݔ‬ො (1). ෡ଵ $ $ $ $ ߀෠ଶ ( ‫ܥ‬ଵ ) ! : ߈ ෡ଵ ൌ ʹ߀෠ଶ ൌ ʹ‫ݔ‬ොǤ 1 " ߈ ෡ଵ $ $ $ $ ߂መଶ ( ‫ܥ‬ଶ ) ! : ߊ ෡ଵ ൌ ʹ߂መଶ ൌ ʹ‫ݔ‬ොǤ 1 " ߊ

107 .3/

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- !

% "" $ ---------------------------------------------------------------------------------------------------෡ ෡ ! ! $ "

(

: ߈ଵ ൌ ߊଵ ൌ ʹ‫ݔ‬ො ሺʹ ʹሻǤ ෡ଶ ൌ ߊ ෡ ଶ ൌ ʹ‫ݕ‬ො ሺ͵ሻǤ , " !

! :߈

5 ෡ ෡ ! ""

: ߊଵ ൅ ߊଶ ൅ ޿መଵ ൅ ߀෠ଵ ൌ ͳͺͲι ֞ ʹ‫ݔ‬ො ൅ ʹ‫ݕ‬ො ൅ ߱ ෝ൅߱ ෝ ൌ ͳͺͲιǤ ޿መଵ ൌ ߀෠ଵ ൌ ߱ ෝ ൌ ͻͲι െ ‫ݔ‬ො െ ‫ݕ‬ොǤ ෡ଶ ൅ ߁෠ଵ ൅ ߂መଵ ൌ ͳͺͲι ֞ ʹ‫ݔ‬ො ൅ ʹ‫ݕ‬ො ൅ ߱ ෡ଵ ൅ ߈ ! "" ߊ߁߂ : ߈ ෝ൅߱ ෝ ൌ ͳͺͲιǤ ͳ ෠ መ ෠ ߁ଵ ൌ ߂ଵ ൌ ߱ ෝ ൌ ͻͲι െ ‫ݔ‬ො െ ‫ݕ‬ොǤ ! " ޿ߍ߈ : ޿ߍ߈ ൌ ͳͺͲι െ ߱ ෝ െ ‫ݕ‬ො െ ʹ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ො. ො ! " ߁ߍߊ : ߁ߍ෠ߊ ൌ ͳͺͲι െ ߱ ෝ െ ‫ݕ‬ො െ ʹ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ො. ො ! !! $

: ޿ߍ෠߈ ൌ ߁ ߁ߍ෠ߊ. $ ߍǡ ߈ǡ ߈ ߊ . ! ! $ " ( ޿መଵ ൌ ߀෠ଵ ൌ ߱ ෝ ൌ ߁෠ଵ ൌ ߂መଵ $ $ ޿߀ ႄ ߁߂

! ߈߃ߊ߄ ߄ $ !"

, ! "(

. * -2 ! 4 p,q,r p ! q ! r ) , 8 &&$ ,

4

% %

2018pq , 3 2018qr , 3 rp ) (% ## $ ! ! %( ( ) - . $!

!

$ $ ! .. &! " : 3 rp a, 3 2018pq a kd, 3 2018 8qr a md , m, k Z 3

( a

3

2018pq

3

rp kd

m 3 22018pq k 3 2018qr ! d

: 2#( + $ (1) :

3

2018qr

3

rp md ,

(m m k) 3 rp .

(1)

2018m3 pq 2018k 3qrr 3mk 3 201182 q 2 pr (m 3 2018pq k 3 2018qr ) ((m k)3 rp 1 !" $ (1) " : 2018m3 ppq 2018k 3qr q 3mk(m k) 3 20182 q 22 p 2 r 2

(m k)3 rp .

! $ $ ! ! (2018ppqr) 2 + . 0

0

2018pqr 2 1009 pqqr (

$ $ 2,, p ! q ! r , + .

+ $ $ + $%($ #

' # 100

448. , ) ) $ $ - #

# #$ % n " # ) # #))& ' # % % , 2 2 2 3

$ $

+ 2013 D b n % D b n . $!.

!

n " a, b (

: a b n2 a 2 b22 ! (

! : 2 a b a 2 b 2 n 4 n3 ab 2 2

*$ a, b $ $

10 07 .3/10

n3 .

(1)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------- !

% "" $ ----------------------------------------------------------------------------------------------------

t 2 n 2t

n 4 n3 2

0.

(2)

$

$ $$ (2) " $$

, $ '

n 4 2 n 4 n 3 2n 3 n 4

n3 2 n q 2 t 0, q _ 0 d n d 2

0, 0 . / n 1 $ $$ " t 22 t ! a, b 1, 0 a, b 0,1 . / / n 2 $ t 2 4t 4 0 t 2 , ! $ $ a, b 2, 2 . / n

0 $ $ a, b

A4 . , ) $ $ $ -

&

x z

$#$ (

:

$!.

! (xx z )

1, x 2

2

2

( z x)

3

z

2

x,

$ "

, z ) " % )) # $

#

1, x3

3

z3

1 .

+ 2013

x z 2 xz , ! !"

( (

( y 1)) 2 3

2

0 t 0 t 1

2

y 2 1 2 xz 2 y

2xz y xz (1)

3

z x 3zx( z x) , ! $ +

$$ (1) :

( y 1)3

1 y 3 3 y ( y 1) ( y 1)3 y 3 1 3 y ( y 1) 0

( y 1)((( y 1) 2 y 2 y 1 3 y )

0 ( y 1)(2 1 y 2 2 y 2) 0

0

2 y 2 2 y 2 0 ( $$ ), ! y

1 .

$ (1) " : xz 1 $ x z 0 x z , ! x 2 1 x r1 .

! ( x, y, z ) {(1, 1, 1), ( 1, 1, 1)} .

3 . + ) ) # % 4

) # 4 ) & ! % " #

$ $! +. ) $! ! $' # $- !

4+ % % + . ) ) ! # 4 ! ' - ! " %*' . , 2 )-$ ! " $%*. + 2013 $! ! / / ! 'ႄ. ./, ! $ $ " ( ޿መଵ ൌ ߁෠ଵ ൌ ߁෠ଶ ൌ ߱ ෝ. " '/ (' ='/) (

/' '= ) (

) , " ! " )'

, ! ܱ෠ଵ ൌ ߂መଵ ൌ ߮ො.. 4 $ ܱ෠ଵ ൌ ߍ෠ଶ ൌ ߮ො (

). 4 ߀෠ଵ ൌ ߂መଵ ൌ ߮ො ( ! ). '$ "

./) (/)=/ /.) )'= =./ (

) " )/=)' ', ! ߁෠ଵ ൌ ߂መଶ ൌ ߱ ෝ. & !

"

)' : ʹ߮ො ൅ ߱ ෝ ൌ ͳͺͲι. ͳ 3 ! " )/ /': ߮ො ൌ ʹ߱ ߱ ෝ ෝ. ! ! ! $

߱ ෝ ൌ ͵͸ι ߮ො ൌ ͹ʹι. ! " ).

‫ݔ‬ො ൅ ‫ݕ‬ො ൌ ߮ො ൌ

( $ ( ႄ'/. &! '/ ! + ͹ʹι.

( $ !"

). ! !! + '/

= )= ' ).=. ( ! ! ).='/ )' . == /-./). " ). . , ! ʹ‫ݕ‬ො ൌ ߱ ෝ. ‫ݕ‬ො ൌ ͳͺι ‫ݔ‬ො ൌ ͷͶιι . & ޿߀ ߀෠ ߁ ൌ ‫ݔ‬ො ൅ ͹ʹ ʹι ൌ ͷͶι ൅ ͹ʹι ͹ ൌ ͳʹ͸ι.

4$%( ($ " $!

450. . ! "

a, b, c ( :

· § § § D2 · c2 b2 · ¸ ¸ . ¸ ¨ ¨ Db ¨ 1

bc c 1

ca 1 ¨ D b 2 ¸ ¨ c D 2 ¸ ¨ b c 2 ¸ ¹ © ¹ © ¹ © 40.

"( "

./ /. 1 $ $

, " "

c +1 # "( ./ "( ( ./ $ 5.

5 $+

1 ! . ) 5+1 c $ 3 &, . - ! $ ,1 5 " "

"( ( .7+1 $ $ ./. .

10 07 .3/11

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

HEMATICUS

------------------------------------------------------------------------------------------------

HEMATICUS 1 m a ma c $ ! , ! $ " !# $ $ + $

: 1) & , $ , 2) % ! , 3) % , $ ( ! , 4) % " , 5) % $ ( " ( $ , $ ( "

. ıȣȞIJĮțIJȚțȒ İʌȚIJȡȠʌȒ:

,

, ,

,

I. IJȚ İȓȞĮȚ IJĮ ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ; ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ! $ . 6 , $" , $ ( ,%, + $

& , $ , $ ' , , * $ . 7$ $ $ $

. *

$ $ . ȅ ȖİȞȚțȩȢ ıțȠʌȩȢ IJȘȢ įȚįĮıțĮȜȓĮȢ IJȦȞ ȂĮșȘȝĮIJȚțȫȞ İȓȞĮȚ:

" ( $, , + , ) 1 $ $ $ $ " #$, $ $, $ $, $ $ ! $ , ! $ #! $ . " $, $ " , $ ) 1 !$ $ ! , $ ( " " ( $ $ $ $

$ " ( $ $ .

$ ( " $ 2) 1 " ! $ " $ $ ( .

+ $ $ $ ! $- %- $% ) ! $% ! $ , ! , $ - % $ % : $ $ $ ! $ , $ , ) - ( $ ! $ $ " ( , $ , " ( $ $ $ + , $ $ " , / . $ $ $ #$ , 2) - ( $ $ " $

$ $ $

" ! .

$ #$. ") 1 $ ! $ " $ + $#$ ") - $ ( $

( ,

" ( ,

, $ ! ! " ( $

#

$ $

$ " $ !$ $ . $ " ( + $

$ ) - $

" $ * " $ $ " "( , $ ( $ ,

"

$ " $ " ! $ .

! $ ) ) !

$ ( $ $

$

$ $ $ $ıȘȝİȓȦıȘ (1917–1994),

! " # # " # , 1950 ! $ % # " # & " . " # ' ( "$

)

% # " #

& " # 1958 "

( " $ ) . * " " # #

# $

# #

( & . +$ ' , - " # $ . & # # ' & ' .

' , : « #$ '»

ǿǿ. "ǼȣțȜİȓįİȚĮ īİȦȝİIJȡȓĮ, ĮȖȐʌȘ ȝȠȣ" ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ $ $ . 8 ! $ ( ), * $

( " " ! " # ... , !

" . , " $ ! " # , * ( ), $ $

ʌȡȫIJȠ ȝȑȡȠȢ . %- ) -2 ! ' $

* $

$ $ . - + $

$

107 .3/12

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

HEMATICUS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$'- 1 ! " ! !+ $

. ' ( , $ $

$

$ $ .

+ ) ) & " ' ). ./' $

3,6,,

) ,).,)/. - + $

$

* i. * ! ) ) $! $ + - $ .

( ! )& !$! ( 06)

9 $ ) ., $ 36 $ . 1 9 $ )./, $ ,6 $ /. 7 9 $ + $ ./', $ 71

' ,'/ , 9 & * ! 31,,7, $ )' $ 9 !

* ! $ 3,6,, $ $ 36,ii. ! ) ) $! $ +

+ ( 07) ) ( !$! & !

" $ ! ! $ , " ! * " +

( ! $

$ + $ . . " ! %- # ! )# ) & " ' ! $ ./' . 71 %&. %

7 ,./, % $ 3,6,,. - + $

$ $

* $

)& !$! ( 07) ) $ ! $ ! ! $ ). 1 ), $ '/ $ , $ )'/.

9 ) ) ,) * . $ ,3 $ + $ 1 9 & $ 1,6 * $

( ) ' , , .,'/ 1,2,:,/1 .

9 $ ./ 1, $ .16 $ / $ $ $ 1 1.

9 $ + $ 71 %& $ 1, $ %& 5

&7,17 &1,;1 .

9 $ '%&, $ 5 1 $ & ;.

9 !

* ! $ 3,6,, $ $ "

3:68,5;.

' $ $ mathematica.gr,

ǿǿǿ. ǹȣIJȩ IJȠ ȟȑȡĮIJİ;

Ș ĮıIJȣȞȠȝȚțȒ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ , " $ ! $ , "

: & %4 &)%)41&43 /4 &1- 3') 1 &2-),431 & 2&)&1& 3'4')-& 4 ,)-) , &1- %4' 4<1 &1 &2-),431 & 2&)&1& . ,

(Ș ĮʌȐȞIJȘıȘ, ıIJȠ IJȑȜȠȢ IJȘȢ ıIJȒȜȘȢ)

107 .3/13

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

HEMATICUS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ÇżV. ÂŤČ&#x2026;Č&#x161; ĹȣČ&#x17E;Ä°ČĄČ&#x2013;Č?IJİȢ IJČ&#x2DC;Ȣ ĹIJČ&#x2019;Č&#x153;Č&#x2DC;Ȣ Č&#x2013;ČĄČ?ÄłČ ČŁČ&#x17E;-Ä°ČĄČŚÄ˛Č ČŞČ&#x17E;Âť 1Č Č&#x2122;Č&#x2018;Č?ÄŽ: Č?ÄŽČ&#x2122;Č&#x2DC;Č?ĎIJČ&#x161;Č&#x203A;Č? Ę&#x152;ȥȊIJȣĘ&#x152;ÄŽ ĹIJČ&#x161;Ȣ ÄŽĘ&#x152;Ä°Č&#x161;Č&#x203A;Č Č&#x17E;Č&#x201C;ĹİČ&#x161;Ȣ Ä˛Č ČŁ Ä°Č&#x2013;Č&#x203A;Ä°ÄłČ?Č&#x153;Č ČŁ (ÄŽĘ&#x152;ČŠ video Ä˛Č ČŁ Č&#x203A;ÄŽČ&#x2122;Č&#x2DC;Č&#x2013;Č&#x2DC;IJČ&#x2019; ÄŤČ&#x161;ČŤČĄČ&#x2013;Č ČŁ ÇťČ?ÄąČ&#x161;Č ČŁ) % ! " $ $ $ 1 - " " , " $ ! $ ! $ - " " . $ + " , $ $ " ( , $ $- % " , $ $ $ $ $ " $"$ ; , " # $ ÂŤ # Âť $ $ - $ $ $

! $ . & !, $ !

- " $ ! $ , ( ! " ! " ( - $ $ $ ( "

! !

(-

$ $ !$ $ $ " " - $ ! $ . 1 "

$

$ "" $ " - $"$ ; "$ $ $ ( + $

. $ $

" ! !+ $

- " $ 1 " $ $ $ $ 1 " - " , " $ " " . ) " , " $ " " , !

$

$ $ " " " $ ( # ' # - , !" $ #$ ! $ * . # ! $ ! ! $ - & !

! ! &

, $ ( ( $

,

$ ; % $ $ 1 " " "

ambr d $ $"$ ! $ , ( $ , " $ " " / ( " ' $ 2005-2008, " $ $ 1 " = "

ar " ! $ ! . r . ( , ! $ $ $ $"$ / ( " ' $ !

" ! $ " 2005 2008 ! 16 " $

" $ " " $ , 33 $ ! $ $ = $ ! $ $ " $ " $ ! $ ! ! ! $ , ! ! "

ar r . 1 .

$ ! ! $ $

: 1) p: xc 2) p : .y b .c m a c

c .m =q6

d . . r dra 80 Bc, 3)

p:

114.y

c r c p a rap y, b .c m a c =f-2

k

,

Č

2 Č&#x2122;Č&#x2018;Č?ÄŽ: David Hilbert: Č&#x2026; ĎȥȤČ&#x161;IJČ&#x2018;Č&#x203A;Ä˛Č Č&#x17E;ĎȢ IJȌČ&#x17E; Č?Č Č&#x17E;IJČ&#x2018;ČĄČ&#x17E;ČŚČ&#x17E; Č?ÄŽČ&#x2122;Č&#x2DC;Č?ĎIJČ&#x161;Č&#x203A;ČŤČ&#x17E;. Ę&#x152;ČĄČ Č&#x153;Ä°Č&#x2013;ČŠČ?Ä°Č&#x17E;ÄŽ " $ $ $ , * , $ $

, $ ! "" ! ,

David Hilbert: the architect of modern mathematics (David Hilbert : / # ' ' " # ) & 4 1915, b r $ %

(/ ) ! ! $ $ $ a d b r (1862 1943).> ! $ $ " , $ $ !

$ $

$ " . ) " # $ -

$ $ ! $ $ $ * , $

( , "

! , ( $ ,

(

# 0 '

#$ ( 0 ).

) b r $ ! $

$ ( + ! . & ' + $ 1915, " $ , ! ! , ( . , $ ( $ : Hilbert " # Einstein # . . 0

, b r ! $

107 .3/14

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

HEMATICUS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$ $ * $ $ " * ! ( $ " . ") ( $ + $ # , ,

$ " / $ ! $ , ! ". ÇťČŞČ Č&#x2122;Č&#x2018;ĹİČ&#x161;Ȣ ĹȤİIJČ&#x161;Č&#x203A;Č? Č?Ä° IJČ&#x2DC; ÄŤÄŹČ&#x2C6; 1 $ $ b r , ! , ,

! $ ! $ $ $

$ " ! ! - b r , $ ! $ $ "$ $ $ / . ( $ $ - + !

. ( ! $ " - ! $ !

, b r $ $ , ! - $ $ 1886 !

( ( , $ $ $ a c r r(. $ ! 3 " " ! !

- $"$ ) %

b r , $ ( " $ $ / , ! $" " $ $ $ . -

$ ( . $ * $ $ *$ !

- " ( "$ $ ( ( $

+ ! $ $ $ . ! ! $ -

(1893 1898),

( ! " $ ! $ $ ! $ - (1893 1898), /

(1898 1902), ) ,

$

! , " - $ $ ( (1902 " " ( ! - 1912) + * " $ ) ( , $ ! $ $ !+ $ . ! ! ! $ (1910 1922). Č&#x201A;ÄŽČ&#x2122;Č&#x2DC;Č?ĎIJČ&#x161;Č&#x203A;Č&#x2018;Ȣ Ę&#x152;ČĄČ Č&#x203A;Č&#x153;Č&#x2019;ĹİČ&#x161;Ȣ Č&#x2013;Č&#x161;ÄŽ Ä˛Č Č&#x17E; 21Č ÄŽČ&#x161;ČŤČ&#x17E;ÄŽ. % ! , !" " $ ' , $ b r + $

b r * ! $

( , " , 1900

23 ! /

$ ( + $

, ! - $ " #

' !' # ' $ # # # 20 . 3 - $

. $ $ + $ - $ ! * ! !

" " ! $"$ ( + = ! $

$ . ! ! $ $ = " , - " " . b r ! $ " + ! . - , ! , $ $ , 1914 " # ($ ' # # Einstein) . 3 ! ! !" $ ! $ ( " $ , " - $ * ! $ $ $ , ! , " "

! 93 $ !"

, 1931 /

, ! ! $ ! r d " $ " b r.) d *! $ $ / $ ! , $ $ $

, $ ! $ " ! $ - ! $

! $ !

$ $ , ,

$ . 6 " "! , " $ ( ! $

%

, ! ! # - !

. ! $ , $ $ - 6 " , 1930 b r ( $ !" $ ! mmy N r, $ * ! + $ ! $ $ $ ! . !

" - $ ,

. , $ - "& , , " , ". , ! $ , $ - 1943, $ % $ *

$ ! ! . a 1928, $ $ , ! https://www.bbvaopenmind.com/en/david-hilbert-the-architect-of-modern-mathematics/

107 .3/15

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

HEMATICUS

------------------------------------------------------------------------------------------------

3Č Č&#x2122;Č&#x2018;Č?ÄŽ: o i i i iz (1.7.1 4 -14.11.171 ), # <& ! 5$ # #'& Ę&#x152;ČĄČ Č&#x153;Ä°Č&#x2013;ČŠČ?Ä°Č&#x17E;ÄŽ $

$ ( 8 $ & ( ! ; $) ÄŻÄ°ČŞÄ˛Ä°ČĄČ Č?Č&#x2018;ČĄČ Č˘ O Leibniz Č&#x203A;ÄŽČ&#x161; Č&#x2DC; Č?İIJĎijȣĹČ&#x161;Č&#x203A;Č&#x2019; ĎȥȤČ&#x2019; IJČ&#x2DC;Ȣ ĹȣČ&#x17E;Č&#x2018;ȤİČ&#x161;ĎȢ / b ! $ ( $

$

( ! , $ ,

$ $ $ $ . & ! " $ $ ( +

, ! ! *$ ! $ ( $ $ ! (

, ! ! # , $ . 1 . & ! ! $ , ... $ $ $

# - 1 $ ! $

" # , , $ $ " ! $ " $ , ! ! ! $ $ "

( $ ) $-

$ $ $. $ $ $ ! ! " !

1-1 " - , . ! $" ! $ $ " " ! $ $- $ ! $ $ , , $ , , ! " p a, !

!

! $ $ $ , ! $ " , $ $ $ $ - !

! ( $ $ $ $ $ $

, $"

"

. (

! $ ! $ (1704). $ $ $ b " - / b $ $

$ 1687: ÂŤ/ (

" ) - $ $ $ , "( ,

, , # . #

( , # ' # + ( + (

$

, ( - ! $ ! ( (1702). , ) " ( . ! ! $ ! . . ! $ ! $ " : , "( , $ ,

, (Datis "

nimirum ordinatis etiam questia esse ordinata)Âť. ! ( / !" ! ! , ! ! $ , r a r r: ( ! ! " . !

+ $ ( " ( , - $ "

" $ $ : $ ( ),

$ , . . $ $ " - "

. ' ( ( $ $ $ " - + *! ! $ , ! $

, ! ! " ( + (

$ $ $ + $ $ -

, ( "

. $ $ $

! !

$ $ " $

+ ! $

"( $ $ : " !

"

! , ( " ... . 6 " ( ) $ -< 5 " | f ( x ) f(x) < .

$ $ , ! $ Ä°Č&#x161;ÄŻČ&#x2019;ĹİČ&#x161;Ȣ â&#x20AC;&#x201C; Ä°Č&#x161;ÄŻČ&#x2DC;ÄąČ ČŞČ&#x153;İȢ 1Č&#x2DC;. Č&#x2030;Č Č?Ę&#x152;Ä°Č&#x161;ČĄČ ÄąÄ° ÄŽČ&#x17E;IJČ&#x161;Č&#x203A;Ä°Č&#x201C;Č?Ä°Č&#x17E;ÄŽ...Č?ÄŽČ&#x203A;Ä°ÄŻČ Č&#x17E;Č&#x161;Č&#x203A;Č&#x2019; Ę&#x152;ČŠČĄĘ&#x152;Č&#x2DC; p: .fac b k.c m r p ma a d r p rma k 1169593736503889 & ... ! $.

2!. IJĎ Č&#x201A;Č ČŁÄąÄ°Č&#x201C;ÄŽ Č&#x201A;ÄŽČ&#x2122;Č&#x2DC;Č?ĎIJČ&#x161;Č&#x203A;ČŤČ&#x17E; Ä˛Č ČŁ Č&#x203A;ČŠÄąČ?Č ČŁ $ $ + $ ! , $ ( 3! : p : a a dfr d . r 2015 09 22 a-m a-ma ma k - -k m 3!. Ę&#x152;ČĄČ Ę&#x152;ÄŽČ&#x201C;ÄŻÄ°Č&#x161;ÄŽ Ę&#x152;Č Č&#x153;Č&#x153;ÄŽĘ&#x152;Č&#x153;ÄŽÄąČ&#x161;ÄŽÄąČ?Č ČŞ Č?Ä° "IJĎ ÄŻČ?ȤIJȣČ&#x153;ÄŽ" ; $ $ , ! ! $ $ $ . / !" $ $ $: p: .y b .c m a c =f8 c !

4 . ÇźČ&#x161;ÄŻČ&#x161;Č&#x203A;Č Č&#x201C; IJİIJȥĎȼČ&#x2019;ÄłČ&#x161;Č Č&#x161;!

107 .3/1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

HEMATICUS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

) ! 9801 $ ! $ 98 01=99 : 992=9801. / ! 2025 20 25=45 452= 2025. 2

$ $: p: ma ma c.b p . r 2017 09 b -p 79. m 5!. 180 ȤȡȩȞȚĮ ǼșȞȚțȩ țĮȚ ȀĮʌȠįȚıIJȡȚĮțȩ ȆĮȞİʌȚıIJȒȝȚȠ ǹșȘȞȫȞ 1 $ «180 $ )" #$ # #$ & " : / " $ - " ' », " ( ! ? $ . 4 ! 3% , % $ .

31 5 2018 !

. "ǼȖțȫȝȚȠ ȖȚĮ IJĮ ȂĮșȘȝĮIJȚțȐ", IJȠȣ Alain Badiou ! $ + + / - , " $ " ! * $ ! a Bad . ) Bad " ! !" " , $

! $ ! ! " " " $ , ! "" , "

' $ " ( . 3 ( $, $ ! a Bad a r , " ! ! ammar . 1972) & + + " ( " , $ + $

a Bad + ( " $ $ $ $

$ ( $ , $ ( , $ , $ . , $ $ $ $ , $ " ! $ , $ , +$ $, ! $ !

, $ $ "- $ $ ! . 1 $ * + - 19 ( . + ! $ . % ! , p : a a dfr d . r b k k m - a- a-ma ma ka pr a 7!. ȅ Einstein ʌȒȡİ ʌȡȫIJȠȢ IJȘȞ ʌĮIJȑȞIJĮ ȖȚĮ IJȘȞ țȐȝİȡĮ ĮȣIJȩȝĮIJȘȢ ȑțșİıȘȢ , " : ! ! ! p r x-20 $ dak, b r +

"

" $

! $ " ! $ " +

" . / ! $

" $ .

8!. Ƞ ȝİȖȐȜȠȢ Nash ıIJĮ 14 IJȠȣ ȤȡȩȞȚĮ ) * ' % - (John Forbes Nash Jr., 13 4 1928 - 23 , @ 2015) !

$ ! !" . & $ 1994

-! ) ( ,

* 5. 7 &*. 8 " $ + $ " . " , $ "$ $ $ " $- $

, !

- . 1 $ - ,

, "

$ ( $ $ ! $ , !

, $

% $ , $ & $ - $ $, $ , ! $ . " . & 2015, &* ; - $ . +

* 6 - " "

$ $

$-"

( ( ( (

" $ "

$ . ) - ! * !

31 , $ ! ! . ) &* - $ * "! ( $ $ ! $ 23 , @ 2015, ! + ! "

!' ! ,

, * ' % -

" # " # . 1 # $ 14 $ ' , $ , !'

# , ! 2 # , " $

Vǿ. ǹʌȐȞIJȘıȘ ıIJȠ “ĮȣIJȩ IJȠ ȟȑȡĮIJİ; « Ș ĮıIJȣȞȠȝȚțȒ IJĮȣIJȩIJȘIJĮ -' , "

% ! ) % ) #$ &; )- &) :! " %(

& ) # &; % % ( p: ma ma c.b p . r 2017 04 23-ca c -22. m )

107 .3/17

) # &8! : 8 . 6 * $ , 8 . & $ , /. 3 $

) 1 7 ! ! ( ! % -) # 3 / 6 %25/)2 ) 8,9, ! 5 - - 2 / 6 %25/)2 ) 10,11, ! < ($ )-) # 4 / 6 %25/)2 1. &

# \ # !

8 $ $! x–2 x–3 (1) $!: x =0, ! : (1) x 2 =0 x=2 x 0, ! : (1) x 2 x 3 =0 x 2 0½

¾ . = $ x 3 0¿

x

0, ! : (1) x 2= (x 3) x 2= = (x 3) x(1 )=2 3 2 3 x(1 )=2 3 x(1 )=2 3 x 1 2 3 2 3 i) A1 ! : (1) x x 1 1 ii) =1, ! : (1) . .

2. &

# \ # !

8 $ $! x–1 x–2 (1). $!:

: (1) x 1= x 2 x 1= x 2 ( 1)x=1 ( 1)x=3 3 =1, ! : (1) x= 2 = 1, ! : (1) x=

1 2

A1 A 1, ! : (1) x

1 x 1

3 1

B 5 -) : ) $ 4 $ $ 3. &

# \ # !

8 $ $! x–1 x (1) $!: % ( " x=0 $ $ (1). x =0, ! : (1) x=1 x 0, ! : (1) x 0 (x 1= x x 1= x) x!0 x!0 °½ x ! 0 °½ °½

¾ ¾ 1 D x 1°¿ 1 D x 1°¿ 1 D x 1¾°¿ 1 x !0 1 D $

i)

=1, ! : (1) x

1 2

D z 1, ! : (1) 1 ½ x 1 1 D °°

¾ x 1 1 D ! 0° °¿ 1 D 1 !0 x 1 D )

0, ! : x 0 ½° x 0

1

1 D x 1¾¿° 1 D x

ii)

x

1 ½ ° 1 D ¾ 0 D 1 °¿ x

½° 1 !0 ¾ x 1¿° 1 D

½° x 0 ½° ¾ 1 D x 1¿° 1 D x 1¾¿° i) = 1, ! : $ (1) $ ii) A 1, ! : 1 ½ 1 ½ x ° 1 D °° x (1) 1 D ¾ ¾ 1 0 ° D 1 °¿ °¿ 1 D & : /

*

0 d D 1 1 1 x1 , x2 . " =0 1 D 1 D x1 x 2 1 . / D t 1 D 1

! *

x 0

1 ½ 1 ½ °° x ° 1

D $ 1 D ¾ x2 ¾ 1 0 ° D 1 °¿ °¿ 1 D x

1 1 D

1 1 D

-) 1 x 1 Dx 1 D x 1 x t 1, D z1 x ! : . i) =1, ! $ ii) , ! : / !

$ ( $ 1 t1 * $ $ ) 1 D (2). 0

/ 1d 0, $. 1 x

107 .3/18

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! 4 #% # -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2

1 D 1 t 0 t 0 D D 1 d 0 0 d D 1 1 D 1 D

. x

x 1, ! : 1 1 x Dx 1 D x 1 . i) = 1, ! $ 1 ii) D z 1 , ! : 1 x 1 D / !

$

1 1 (3). :

1 D 1 D 1 0 ! 0 D(D 1) ! 0 3

1 D 1 D D ! 0 D 1 3 " !

.

4. &

# \ 2

) ( $ ! 8 $ $! x–2 x– (1). $!: $ $ $

: 1 x 2 2 x 2

2 x 2 4 x 4

x 2 2 x 2

(D 2 1)x 2 2Dx 4 D 2 =1 ! : (2) x=

0 (2)

3 2

3 = 1 ! : (2) x= 2 D z 1 D z 1 , ! (D 2 1) z 0 '= 4(D 2) t 0 .

2

2

/ D z 2 NDL D z 2 , * . / D r 2 , * .

-) 1 Dx 2 x D Dx 2 x D D 1 x

2 D D 1 x

=1 ! : 1 x

D 2 x D 1

* ).

= 1,

(

! : * ).

D 2.

3 (

2

2 D 3 x D 1 2 D ^1, 1` , !

1 x

2 D D 2 x . ,! " D r 2 , D 1 D 1 * " .

5. , 2 " )

# \ ! $ $! x– > 2x–1 ! " %& x \ $!: 2 2 x D d 2x 1 x D d 2x 1

1 x

x 2 2Dx D 2 d 4x 2 4x 1

3x 2 (2D 4)x 1 D 2 t 0 (1) % ' d 0 .

1 .

2 . &

# \ $

! $ $! x– 2 –x (1) $!: * ( 2 x 0, 2 xB0.

4) / \ 2 x 0, $ x 2 ! $ (1) $ .

) 2 xB0, $ xC2 , ! : 1 x D ! 2D x x D 2D x ' d 0 4(2D 1) 2 d 0 2D 1 0 D

x!

3D 0x ! D 2

i)

0, ! : 1 x !

ii)

D t 0 , ! :

1 2 t x !

3D x \ x \ 2

3 § 3 º x ¨ , 2 » 2 , f

2 © 2 ¼

3D § 3D · x ¨ , f ¸ D t 0 2D t 2 © 2 ¹ & : 0, ! 1 x \ D t 0 , ! 1 x !

3D 2

5 -) : * ( x t D, x D '- : /

! $ $ *

! !

x T T x T x ! T x ! T x T " T d 0 (! ! " 0 !

). % " " x \

. . x 5 5 x 5 5 x 5 x 0 0 x 0 (4 # (

). : x ! 5 x ! 5 x 5 x ! 5 x 5 x \

x ! 0 x ! 0 x 0 x z 0 . x $

!

" #

2D x t 0 2 D x 0 :

3 2

1 x ! 2 x x 2 x x ! 0x ! : 1 x !

1 x !

107 .3/1

3D , ! D t 0 2

3D x \ x \, ! 0.

2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! 4 #% # -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. , 2 " ) ( # D \ !

8 $ $! x x 1 x 2 x 100 (1) ' %( $! $ \ .

x 2 1 x 2 ! 9 x 1 x ! 3 x 1,1

$!: x 50

y °½

: 1

¾ , ! f y D °¿ f y y 50 y 49 ... y 1

x f, 3 3, f

. :

/ * !

! : D E t D E , " D, E \

! " +d0. , y 50 y 50 t 100 ,

! " $ " y > 50,50@ .

)

y 49 y 49 t 98 # y 1 y 1 t 2

y t0

! " y > 49, 49@ , y > 1,1@ , y=0 .

f y t 2 (1 2 ... 50) 2

50 51 2550, 2

! " y 0 > 1,1@ > 2, 2@... > 49, 49@ > 50,50@

" =2550, $ $ f y D $ ! " y 0 , ( " D 2550 $.

D ! 2550 $ f y D $ " y U , !

Uz0,

$ " y U z U, $ f $ $. $ !

* . & ! , $ f y D

* ! ! D 2550 . &! $ (1) * $ x 0 50 .

8. , # ) %& $ $ 4. x 2 5x 5 () B. x 4 10x 2 ! 0 . x 2 x d 0 $!

4. :

( ) ( )

x 2 5x 5 9 ½ ¾ x 2 5x 5 ! 9 ¿ ½° x 2,7

x 2 5x 14 0 ½ 1 2 ¾ ¾ x 5x 4 ! 0 ¿ x f,1 4, f

° 2¿ x 1 2 2,1 4,7

9 x

2

5x 5 9

2

x

1

1

2

f, 3 1,1 3, f

y y 1 ... y 49 y 50

y 50 y 50 d 0 ,

B. : ½° x2 y ½ x2 y

2 ¾ ¾ y 1 y ! 9¿ y 10y 9 ! 0 °¿

x

2

x 6d0

°½

¾ y2 y 6 d 0°¿ x

y

½° ¾ 2 d x d 3 x d 3 3 d x d 3 2 d y d 3°¿ .

) # # : (x) Ox 2 O 2 1 x O , O \

x

y

. , 8 -

(x) ' ) " % ; " %& O \ . , 2

! ( # O \ $ $

(x) ' $ ; . . , 2

! ( # O \ $ $

$' (x) d 0 " %& O \ . 4 x1 , x 2 ; # (x) 2

) $ &$ x1 x 2 % x1 x 2 . 4 O ! 0 , 2

) -$! ; x1 , x 2 . 4 0 O z 1 % N , P \ $

x1 N x 2 P 2

) -$! # (0) ( N ) (P ) $ x x2 . 4 O ! 0 8 - x1 x 2 d 1 2 . 4 0 O z 1 $#"%

# x x2 1 % 1 2 $! . / =0 * $ x 0 0 . / O z 0 '

O

2

1 4O 2 2

...

O

2

1 t 0 .

2

(x) " * " O R . . % '=0 $ O r1 . . % O 0 ½° O 0½ 2 ¾ 6 $OO 6 2 ¾ ' d 0¿ O 1 0 °¿

O 0 ½ ¾ O O r1¿

1 .

O O2 1 1

O O . O ! 0 ! 0 ! 0 . x1 , x 2 . . :

107 .3/20

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! 4 #% # ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. 9$ ! % # E Q :

. 0 O z 1 * x1 , x 2

.

.

'$ : (0) ! 0, ( N) 0, (P) ! 0 $ 0 O2 1 . : , ( 00) d , 1d 2O 2 O 2 1 t 2O, O 2 2O 1 t 0 ,

O 1

2

. t 0 . 0 O z 1 :

x1 x 2 O2 1 1 1 1 2 2O 2 2 x x2 O 2 2O 1 O 1

! 0 . 1 !1 2O 2 2O

­4x 2 (3 D)x 4 ! 0 ® 2

¯2x (3 D)x 2 ! 0 2 ­'1 0 °­ 3 D 4 16 0 ® ® 2 ¯' 2 0 °̄ D 3 16 0

% #

, 8 - ! E Q ! %( ) - . 4 $' ; E 1 E 2 .... E 7 70 0 -

. , 8 - =1 2. , 2

& $ - !

E Q " # ) # $' E Q 40 5 $!

Q z P : DQ

.

D Q D Q 1

D P . &!

D P ...

D P 1

1

2 . , $

D Q , D Q 1 + : + 2Q 2D 4 EQ (1) 2D 1 2Q 2 D 6

: EQ 1 (2) 2D 1 ! $ (22) $ (1) + : + ( 2 EQ 1 EQ . $ EQ

2D 1 2

$ !

Z

2D 1 2 1 2D 4 6 2 D E1 .

2D 1 2D 1 . . : 7 § 6 2D 2 · 70 ¨ 2 6 7 ¸ 70 2 © 2D 1 2D 1 ¹ 2 14D 42

700

2D 1 2D 1 84 14D 70 2D 1

154D 154 1 D 1.

2.

E1

(1)

4 Z 2 ! EQ 2Q 2

EQ 40 5 2Q 2 40 5

­ 5 D 11 5 D 1 ® ¯ 7 D 1

!

1 1

D Q 2 D Q 1 D Q 1 D Q

2D 1 P Q 0 D

10. , 2

) # $

" x %& x \

$' x 2 Dx 1 3 2 3 (1) x x 1 $! !

: x 2 x 1 ! 0 ! D 1 ! 0 ' 3 0 .

: / x R 3x 2 3xx 3 x 2 Dx 1 3x 2 3x 3 ­ 3x 2 3x 3 x 2 Dx 1 ® 2 2 ¯ x Dx 1 3x 3x 3

11. ?

EQ

2Q 38 5 5 2Q 38 5

D

Q

:

1 D Q DQ -) # D \ ` % D z 2 D Q 1 $

& $ R. . , 8 -

- ! D Q

% & &

33 43 Q

2 2 Q ^17,18,1 19, 20, 21` 33 2Q 43

) ! : E17 E18 E 19 E 20 E 21 16 21 21 16 8 400 8 330 504 304 200 2 2

10 07 .3/21

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- " ! 4 #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5

$! @. 4 2 &%! " $ $ .,. . 1

=$%!$! 1

$-) # " 4 . 9$ , % A $! ) # 4 , % 4 $% $ ' $' %( *= . 4 $ 3

! ) # & , ) 8 - : 1. & " ' 7 ! .

2. ' Ù£./. $!

- ! =/7.

- ! /7 ! + , + " ! $ ! $ 8·) .

3. 3, 6, ,, -

, / , /7 7, !

36,- "( . $!

1.

2.

15q

15q

2 . .

3

'

' '

./

'

! %M/M% : '7 '7=' (1)

'

'

Ë&#x2020;/

'

'7 . : = 7. (3)

/7Ì&#x201A; 180 q 60 q 120 q '

"( " $O :

Ë&#x2020;)

. Ë&#x2020; 60 q , . % 3

! " ., !$% . ( EM BE 3 . Ë&#x2020;' 90 q .

' Ù£./. =$%!$! 2

&" 4 % + %

#.

9$ % A $! + % + $ '

$ ($% (*% =*' =$' 15 q .

.*= . : = / (2)

! (1), (2) (3) ! : =/ =/7= 7. ( /7 ! + . Ë&#x2020; 7 (*= Ë&#x2020; ($ 90 q 2 Â&#x2DC; 15 q 60 q .

.' .

)

! $'= /=( . : ' = 7 (2) ! (1) (2)

! : '7=' = 7. ( "

' 7 ! .

, $ .'. ; $ ,,

" . '. ! :

., =,'=. =

'

! /M%M/ : $%* *'= . =/7 (1) )

! ( $ 1

! : $%*

Ë&#x2020; %Ë&#x2020; 60 q . . $

2.

" " . /'7. : . . = ./, "( . Ë&#x2020; Ë&#x2020; . ($% =*' 15 q . Ë&#x2020; . $%( ='Ë&#x2020; * 45 q . '

2.

'

" " '7 .' . : . . ' = . = .

3

. 7 = .'=

15q

15q

1.

1.

3.

60 q Â&#x; )

.

2

( : 3 $(*= 4 Â&#x2DC; $( 8 Â&#x2DC; 2( .

2 5 -) : 7 ! "( ! + ). : 3 $(*= 4 Â&#x2DC; $( 4 Â&#x2DC; EZ 8 Â&#x2DC; 2( . ! "

" + +

( $ * $ !"

. ( 36,- $ !"

.

3-//7 36// /, " (

( "( , 7 / -

107 .3/22

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- " ! 4 #% # --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. $ : 7 Ù£ /, .'Ù£ /, "( "( . : -3Ù£36. ( -3Ì&#x201A;6 90 q .

36,- "( . =$%!$! 3

" " 4 $ 0q .

9$

$ ! % $' 4 4 .

4 , $# %- $! # ) ! # 4 , - ) 8 - : Ë&#x2020; 30 q .

1. % 2. & " ,- ! .

3. & /,- ! + .

4. ,Ù£/-.

5. & $

$ /- $ . "( ,-. $!

1.

/

,

"( ,-. =$%!$! 4

&" 4 % #' $!

! ) % $! ! ) # & 4 )

! % # ( . 4)- # %& $ !

4 ) #

! 4 $ A % ! $ .

9$ ,,, , $ 4 , 4 , , . , ) 8 - : 1. & " .1 ' .

2. & " 7,' "( .

3. & ,7- ! + .

4.

. Ë&#x2020; ($' .

30q , ! ! '!

2

5. & 36,- "( $!

./ Â&#x; .Ì&#x201A; 30 q .

2

30q

1.

2.

',='- ',Ù£ .. : ,'// / , ./. ( ' .. / ', Â&#x153; 01 $* .

2 & " ,/ ! , "

* ( = Â&#x; *= 1Â&#x; = 1 '

2.

3.

4.

.,Ì&#x201A; 2

120 q 2

E (1) 2

', "( "

' . : ',

60 q .

( " ,- ! . & " ,/ ,- ! " , $ ,-. : /=/,=,-=- . ( /,- ! + . ) "( ! + /,-

. : ,Ù£/-. ) " ,-, )

,. $ $ ' "

, -, ' ,-. ( )- ' ! , ,- ! .

-

'

Â&#x; ' .1 ( "( .= ', 1= .

1 7, "( "

7 . : Z,

/Ì&#x201A;, 60 q . ,=,-. & " . , # ,', ! $ "

.,Ì&#x201A; . : ',Ì&#x201A;

1 /7 ! # "

+

E (2) 2

! (1) (2) !

7,=,'. " 7,' . $ : Ë&#x2020; Ë&#x2020; ,7 Ë&#x2020; ',7 180 q ,'

Ë&#x2020; 7) 180q (180q 2 Â&#x2DC; , Ë&#x2020;') (180q 2 Â&#x2DC; , Ë&#x2020; 180 q Ë&#x2020; 2 Â&#x2DC; 0 7 2 Â&#x2DC; 0 '

Ë&#x2020; 7) 180 q 2 Â&#x2DC; (, Ë&#x2020;' ,

3.

Ë&#x2020; ) 180 q 90 q 2 Â&#x2DC; (180 q $*( .

2 Â&#x2DC; (180 q 45 q) 180 q 90 q ',7 "( .

H 7, "( "

107 .3/23

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- " ! 4 #% # --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7 . : Z, AM (3) 7- "( "

17. : ZN AN (4) ,= - (5),

( ( ! ( $ 1) ! (3), (4) (5) ! : ,= -=7,=7-. ( ,7- ! + .

4.

5.

AB ! .

2 2

Ë&#x2020; ($' 30q Â&#x; '

/ / (+ // (+ , 01 Â&#x; ./ 01 Â&#x; ./01 2 2 $ !"

.

A* A(+, 0. / /$*, ./ / /(+Â&#x; Â&#x; 0. A ./ Â&#x; ./01 $ !"

./

//

% % 30q . 9$ % , $ ) # 4 % 4 $ ' % $ # ,.

1. - ! ,-/. * . * ; ' " $ $ .

2. - + " "( ,-.

3. - ! ,- / .

4. - ! " 3- !%* : $. .

4 5. - ! $

* ,-/. "

3. $!

4 54 5B4* A 4 ¾ ?+ + + 4 <+ 4 5 4 + 5B4* A +

$%($ ) # $ ! & $

) ; # ) ) ' # #)-:!

8( :

30q

1.

, -

. / ! ,-//./. ,-/. * . ' * ! Ë&#x2020; 30 q /Ë&#x2020; 60 q B

2.

AMÌ&#x201A;N BÌ&#x201A; 30q , ! !

,- ./

! $ .. ANÌ&#x201A;M 90q 30q 60q .

B/ MN

! : 2

1 * $ $ + $

+ . '$ : ,- * Â&#x; % E ,- $ $ + .

01 2 2. , $

$ $ $ * $ + , ! $ $ $ $

$ - "

,- * .

3. 1 * "

. & "

(

"

* $ +

$ $

+ . '$ : 3,6 % E

"

* Â&#x; ./ 2 36 $ $ + .

4. & "

(

"

$ * !

$ $ $ * $

* . =$%!$! 1

" " 4 A 0q

1.

3.

BÌ&#x201A; 30 q Â&#x; A/

B/ 2

MN .

"( " ,-, $ 3 B/ MN B/ 2 .

AK 2 2 4 B/ B/ MN B/ 3 Â&#x2DC; B/ 2 5.

3 Â&#x2DC; AK 2 2 4 =$%!$! 2

$-) # " 4 % , ,

$ ) # 4 % 4 $ ' . * % # ! % ) # (

%* . , ) 8 - : %' *( 2 1. & $ , - ! $ ./ + " "( .',.

4.

107 .3/24

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- " ! 4 #% # --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 ! $ , ! $ ./

2.

', .

2 & ',- * .

4. / $ 71 * 5 ',- ZH $% .

4 $!

3.

7 1 , $ .' $

6 - 71

$ / $ 3 , , ! 36,- *

$

./'. $!

3.

1.

7

" "( " .3, /-6. : ,. = -/,

( .

1. . .

MBÌ&#x201A;K

-/Ì&#x201A;6

'

%5

60 q .

! %M/ ! :

2.

'

.3,

/-6 . : ,3 = -6.

B/ $B , ! .' = ., 2 2 Ë&#x2020; ,%' 180 q 60 q 120 q Â&#x;

'Ë&#x2020; 2.

3.

! :

180 q 120 q ',Ì&#x201A;.

2

"( " ',3 ! : ', 'Ë&#x2020; 30 q Â&#x; 0. .

2 , . - / ! ,-//./, ,-//' ( ',-

Ë&#x2020; EÌ&#x201A; 30 q ! * . ' ',- * .

B/ 'B B/ /E MN 'E 2 4. ZH 2 2 B/ B/ B/

B/ 5 Â&#x2DC; B/ 5 Â&#x2DC; AB 2 2 2 2 4 4 =$%!$! 4

$ $% ) ; 4 4 // .

4 , A, , ? $ 4 , , % 4

$ ' . 4 ! ?A

" # 4 % $ $! B % * $ ' , -

) 8 - : 1. 4= $( *+ %5 /1 .

2. - ! 71 ! + .

3.

. /' 2

2 Â&#x2DC; $( 2 Â&#x2DC; *+ 2 /1 .

/' - AB 2

2 Â&#x2DC; /1 2 Â&#x2DC; 2

/+ $( . ! "

" + +

( $ * $ !"

. ( 71 $ !"

.

. ' !

30 q

B' 2

.' /

/ 2

7 .

71 ! + .

. 3//)., " //.', ! 3 ) . )

! 6 )., ,

)/ - )'. 36// . ,-///'. ( 36//,-. 36,$' %* * . KN /0 .

2 2 3- = 6,. ( 36,- * . $ :

% 36,-

36 6, ,- -3

$. %* *' $' 3 $%*'

2 2 2 2 2 =$%!$! 5

" " 4 $

0q

% % 30 q . 9$ 4 : % 4 ! & $ . 4 )-

# %& $ ! 4 ) #

! ) % $( ! $ $! , - ) 8 - : 1. 0' $' $* . Ë&#x2020; .

2. ) ' , $ "

3. & " ', . , .

107 .3/25

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- " ! 4 #% # --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

& " ' . 'Ù£ / . ' * $ $% %( !

P .

2 $!

4.

5. .

30q

1.

*Ë&#x2020; 60 q , ! " ,/ ! ( # ' Ë&#x2020; /

! $ " , Ë&#x2020; 0$* Ë&#x2020; ,$' 30 q .

2 $ ! $

Ë&#x2020;' , 2.

30 q ,Ì&#x201A;'

60 q ,'Ë&#x2020;

Ë&#x2020; .

, ' $ "

3. " "( " ', . ,. : B* . . ., = , = 2 . A,Ì&#x201A;' B,Ì&#x201A;E , .

4.

.

180 q 120 q 2

30 q

. 'E 2

4 cm

6 cm

1.

& . ' "( , " ! " . : ' = . = 4 cm. ( : / = '/M' = 6M4 =2cm. %/ . "

: (* 2 2 . / "( , ! .Ì&#x201A;/ 30 q Ë&#x2020; " ! $%* 90 q 30 q 120 q .

2.

.//7/, " .//'/

Z/

EAÌ&#x201A;' . ( 3.

. .E , 2

'

" ' . Ë&#x2020; ' B'Ë&#x2020; E 30 q , ! .// ' AB .Ù£ / ! 'Ù£ /. & . ' * , '// . . = ' ! ! $ "(

3.

4 cm

! %M/ ! : A', BEM . ! " $ "( , = ,'. " , ' Ë&#x2020; ' 120 q !

EM

MEÌ&#x201A;' 5.

90 q

! : ,' ' $0 Â&#x153; 0' $' $* & " ,. Ë&#x2020; B 30 q . ! ( $ 1

,$ Ë&#x2020; ' 30 q ( '$* Ë&#x2020; , 30 q . -

'

' = . ! ( $ 4. =$%!$!

) ; 4 4 // % $ ' 4 $% %* 4 % 0q .

. 4 )-

# %& ! $ !

4 ) #

! $ % A $ # , - : 1. - ! .Ì&#x201A;/ 120 q .

2. - ! ./7 ! + $ .7 $ $ /.

3. - ! " .7 ! .

4. ) $

.' 3 $

$ / $ .7 ! )3///' 2. 1 cm . $!

2 2

4

. .

./7 $ !"

. = ./ = 4 cm, ! ./7 ! + . ( .7Ù£ /. Ë&#x2020; Ë&#x2020; 7$% 90 q 30 q 60 q (1), =*% " ! + .

7Ì&#x201A;.

4.

' / 2

7Ì&#x201A;/ 2

180 q 60 q 2

60 q (2)

! (1) (2) ! "

.7 ! . & $ )

"

.' " . ' !

. $ 3 /, .7Ù£ / " ./

107 .3/2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- " ! 4 #% # --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

.3 # , ( . ) 3 / ! )3// /

)3///'

E/ OK 1cm .

2 =$%!$! 7

$ $% ) ; 4 4 // % $% 4 , $' 8 % ' 0 q . 9$ A ! & $ # ) ; # % 4 : #.

1. - + '1.

2. - ! $ * $ .

3. - ! " ./1 ! .

4. - ! 1/7 $ !"

.

5. - ! .71 "( . $!

4 cm

: 4 . 9$ , , $ ) # 4 , % 4 $ ' . 4 ! 4

! $ , % $'

1.

2.

3.

4.

$!

1.

Ë&#x2020;' H

'H

2.

"( 90 q 60 q 30 q , ' 8 4cm .

2 2

AB 2 Â&#x2DC; 'H

"

!

3.

* ./' % ./' = 4+12+2·8 = 32 cm.

B *' 4 12 EZ 8cm .

2 2 % ./' = 4· 7.

1/ = '/M'1 = 12M4 = 8 cm. /Ì&#x201A; 'Ë&#x2020; 60 q .1/ ! ! .

7//1/, 7//'/ 7 = 1/ = 8 cm.

7/1 $ !"

.

4.

//

//

(+ =* Â&#x; (+ $= Â&#x; (%=+ $ !"

7=1/=1.Â&#x;. .71 "( .

2 -) : ! "

7,., .71 . =$%!$! 8

8#" " 4 % #

5.

'K

3.

.

2

Ë&#x2020; ' 30 q Â&#x; /Ì&#x201A; 60 q . ! .

3 6

. / .

3,//./. ( 3,//'6.

3,6' * . , 6

/ ./ .

M6

4 2 Â&#x2DC; 4 12 cm . $

'/

'. "( " .'

"

2.

'1

. .

3

8 cm

Ë&#x2020; - ! : $%* 60q .

- ! 3,6' * .

- + " * 3,6'. $

.- 3', ! ! : '

1.

8 cm

A

, - : 2

.

(1). '. "( 2

'3

!

.

(2). ! (1) 2

(2) "

! ,6 = '3. ( 3,6' * . & " .3' ! , Ë&#x2020; /.

60 q . .3Ì&#x201A;' 60 q Ë&#x2020; $ 60 q , ! ,3

,- ./

! $ .. Ë&#x2020; ( : ,3' 180 q 60 q 60 q 60 q . Ë&#x2020;

: 6,3 60 q

6'Ë&#x2020;3 4.

'6Ì&#x201A;, 180 q 60 q 120 q .

" '.

3 .

3-//.'. - '. ( + "( '., " '3 . .

: 2 2 AB AB .

'E Â&#x2DC; 'K Â&#x2DC; 3 3 2 3

107 .3/27

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! #% # ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

) # &8! : .. 3 $ , . 6 , 8 . & $

5$-) & ! % $ , 1

? 1: 4 (x)

x

, xย

, ย

% !

x- 1 " %( ) &$ $! ! ' )-

ยง ยท A ยจ 1, ยธ.

1 ยฉ ยน ) 8 - % 0 2) 8 - (x) (-x) 1 % $ ! $# ' # ! 8 $ $! ยง ยง S ยทยท ยง ยง 4S ยท ยท 2$# 2 x-$# x ยจ $# ยจ 5 ยธ ยธ ยจ $# ยจ 5 ยธ ยธ (1) ยฉ ยนยน ยฉ ยฉ ยนยน ยฉ ") 8 - ! " !$ 8 #$ $

% $ ! $# ' # ! 8 $ $! : 2x

1 x 1

$! ) f(1)= m m

3x 1

x

4x

2x 1

1 k 1

m

ย

1-k 1

5x 1

k 1

ย

1

1-k 1

1 ย ... ย m 1 $ m= -

(2)

1

1

k m!0 ย

ย m 1, x

DMR m ! 0. m=1 ย k=0 f(x)= x 1 x -x x 1 2) f(x) f(-x) x -x

1 1 x 1 1 x

x 1

x 1 1

R. 1 $ " : 2x x 4x 1

ย x 1 5x 1 3x 1 2x 1 x 3x 2x 5x

ย x 1 5x 1 3x 1 2x 1 f x f 3x f 2x f 5x

<x

*

0 $ ยญยฐ f x f 2x ( ) ยญยฐ x 2x 0 ย ยฎ ย ยฎ ย ยฏยฐ3x 5x ยฏยฐf 3x f 5x

< x

f x f 3x f 2x f 5x

<x

0 ย ...f x f 3x ! f 2x f 5x

2 ย x

0.

ยง xยท (x) A ยจ ยธ % - ! ยฉ xยน " %( ) &$ $! ! ' )-

A 2,- 5 . ) 8 - % 3 % 2

) $ ! .

2) 8 - ! )

( % # !

? 2:

8 $ $! $# 2x

- 2 ! x 2

S ยทยท ยง ยง S ยทยท ยง ยง 1 ย 2 2 x- x = f ยจ ยจ ยธ ยธ f ยจ ยจ S ยธ ยธ ย 5 ยนยน ยฉ 5 ยนยน ยฉ ยฉ ยฉ

") , # ! $ $!: 1 (1)

ยง ยง S ยทยท ยงSยท 2 2 x- x = f ยจ ยจ ยธ ยธ f - ยจ ยธ ย ยฉ5ยน ยฉ 5 ยนยน ยฉ 1 2 2 x- x =1 ย ... ย x=1 $ x= - ย 2 S x 2 NS, ย 7 $ x =2 r , ย 7 3 x x 1 1 1 1 x ") f(x) x x x 1 1 1 1

$!

x x x x x1 x 2 ย 1 2 ย 1 1 2 1 ย 1 1 1 1 ! x ย 1 x 1 x ย ย x 1 1 2 1 1 1 2 1

3 x

x1,x2 ย R ! :

ย f x1 f x 2 $ f " $

x2

2

ยงk 2ยท ยง1ยท k 2 ) f(2)=-A 5 ย A ยจ ยธ A ยจ ยธย ยฉk 2ยน ยฉ5ยน k 2 3

x ยง ยท ย ... ย k 3 f(x)=A ยจ ยธ.

3

x ยฉ ยน

ยง ยท ยจ 4ยธ ยฉ ยน

2

1 5

/ * $ f x z 3 3 x

! 0 (1).

1 ย 3-x 3 x 0 ย x-3 x 3 0 ย 3 x 3

3,3 . f +) < 3URMDQ(9 : x ย f ย 3 x 3 ย 3 x 3 ย x ย f

:

107 .3/28

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! #% # ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 ยง 3 x ยท ยง3 x ยท ยง3 x ยท A ยธ A ยจ ยธ ยจ ยธ ยฉ3 x ยน ยฉ3 xยน ยฉ 3 x ยน

< f ( x)

&

A ยจ

? 4: (x) A

! ยง3 x 3 xยท =A ยจ ย ยธ A 1 0 ยฉ3 x 3 x ยน

& $ f ! f 2

f

2

(4)ย 2x = - $ x ย 1-2$ 2x = -$ x ย 1 2$ 2x $ x -1 = 0 ย $ x=1 $ x=2 S 7S S ย x 2kS x 2kS $ x 2kS ,k ย Z 6 6 2 2 2 x x ยง ยท 2 ") 1 f(1)

2 ยจ ยธ ย 1 2 2 2 1-2 2 ยฉ 4ยน ย 1 2 1 2

x2

ย x ย f, 2 ย

2

0 1 2 1

ย x !2ย x ! 2

2, f

2

x

ยง 2 1 ยท (x) ยจ ยธ , ยฉ -1 ยน

z1. ) )

# ! " !$ 8 #$ .

4 2) - # ! $ $!: 3

2x

2

x 2

x

$!

x 4 ยง5ยท 2) / =- f(x)= ยจ ยธ " $

3 ยฉ7ยน

" 0 5 1 .

7

x

2x

9

2

-9 x

f

2

x 2

9

!0

x

fp

ย

2x

9

2

x 2

9

$ *

:

f

x x

-9

x

-

2

/ !

2 3

2

f

$! ) , * r1,r2 3 . r r + : !

2x3-3x2-3x 2=0 ย (x 1)(2x -5x 2)=0ย ย 1 x = -1 $ x = 2 $ x = . = -1 .

2

< -1 d $ x d 1 ย -2 d 2$ x d 2 ย -3 d 2$ x-1 d 1 ย

xย R x d 1 , "

ย

ยง Sยท x ย R ย +=1 ยจ ยธ =1," ยฉ 2ยน 1 & : f(x)=A -A x

1 " * .

A x % x 0 , x z 0 , - x 0 $ x ย 0,1 . f 0,1

2)

$ $ $ 1

= A - 1 , ย 0, f

x

! $ " $

0, f

x x ย 0,1 ! A x ย 0, f

2 1 ! 1 (1) ) % -1 2 1 2 1 ! 0 ย !0ย 0

1 ย -1 -1 ย 2 1 ! 0 ย ... ย f, 2 ย 1, f

f

2

DA x

x d

? 3: ! $# & !$!

3, f

1 , -) # A x ! ! %( ; ! 8 $ $! 2x3-3x2-3x 2 0 % 2 " $

! $# & !$! (x) -2! x-1.

1 ) 8 - (x) A -A x

1 % A x 2

) $ ! .

2) 2

; % ) -$! ! .

ยง3 x ยท A ยจ ยธ f x

ยฉ3 x ยน

f x f x =

ย x ย f, 2 ย 2

ย

1 1

<f(x)=0 ย

-

x = 1 ย - x=1 ย x=

<f(x) 0 ย

-

x

1 ย -

<f(x) 0 ย

-

x

1 ย -

n

n

? 5

$# ($ x 3x x-45 , x x ย

1

x 1ย 0 x x 1ย x

2x

-2 ย

2x

1

1

3

2

% ! 8 $ $! x 3x (1) ) 8 - ! " !$ 8 #$ $

% 2

; % ) -$! - !

2) 8 - ! (1) ' % 2 ; . ") 4 x1 0 % x 2 48 2

# , 2ย . ) 3, 2 1 # ! $ $!:

107 .3/2

x

t0 x-3 x

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! #% # ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x

$! ) x1,x2 R ! :

x 3 - x 2 - 2x

' ) &"

2

­ 3x 2 5 ' ¯ 2x 2 2

6 ®

< 1 2 3 1 3 2 NDL 1 2 6 1 45 6 2 45

x 1 % $ $ !

f

&) $ 2) , 2

) $ ! $# & !$! :

x1 f x 2 ! $ f " $

R f(3) = 0 :

x

1 1

<f(x)=0 f(x)=f 3 x = 3 3

n

<f(x) 0 f(x) f 3 x 2

2

2) x 3x A x x x A 3 0 x

3

A 3x x 2 x A 3 0 $ x A 3

! ! * x1

0 =0 ... ­ ® 3 48 ¯

­ ") ® ¯

0 , x2

=+ 2 3 2 3-+

A 3

3-3=48

+= -2 ­ =+ 2 ­ ® ®

¯3 9 -3+=51 ¯3 9 -3 -2 =51

­ += -2 ­+= 1 ® ® ¯f =0 ¯ =3

x

t0 x-3 x

) 1 $

* !

­ x z3 °

! : ® x ! 0 , $ x 0,1 1,3 3, f $ ° xz0 ¯

:

x

3

x

x-3

x

x-3

1 -1

x

x

3x

x

t0

2x

x

3 - -3 t0 x-3 x

t 0 x -1 x-3 x t 0

$ *

:

x x

0

-1

x-3

f

3

1

/ !

x

­3x y=5 . / + 1 : 6 ® ¯3x y=5 & + =1 ! =+ 1= 2, x = x3- 2x2 - x 2

2) x A x 8 8A x / * $ (x) x 0 (1), 8 8An t 0 (2), x ! 0 (3) % ( : 1 . 2 0 x

3 x 2 x 1 x 1 ! 0 x 1,1 2, f

0,1 2, e@

")

4 2· ¸ © 4 ¹

x = §¨

x

,

!

x

1· § ¨ ¸ : 2¹ © 1 n ( !1)

2

2 1

x ! ¨§ ¸· x ! 2 x ! 2 2¹ © ? 7

! $# & !$! x A A 2x2 2A x

) , 2

) $ ! . x 2) , # ! $ $! d 3A x 4 ( ). ") , $#"% 2 , Ao 3 .

x 0,1 3, f .

? ) , 2

D, E

3 8A

§ 3 -2 2 3 - · ") 4 x ¨ ¸¸ , x ¨ 4 © ¹ # ! $ $! 4 (x) – 1 4 ( -1) ( ) . $! ) (x 1) " 5(x) 3 2 -1 =0 -1 - -1 - + -1 2 = 0 -+=1, ( ( ) 3 + 0 ... + = r 1 . !

0 6+ 2 (/ ' ( "

# 2 2 #$ # ).

3x-y=5 . +=-1 : 6 ­® ¯3x-y=-4

:

A x

&

x

x

n

<f(x) 0 f(x) f 3 x

A

$

) # #

$! ) / * $ f

107 .3/30

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! #% # ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$! ) , -3 : " $

0 f 1 1 1 f 2

­° x ! 0 (1) ® 2 2 °̄A x 2A x 6 ! 0 (2) (1) x A x

0 ! (2)

1

2A x 6 ! 0

2 2

2A x

2A x 6 ! 0

3 2

2

2

­°A x k

4A 2 x 2A x 6 ! 0 ® 2 °̄4k 2k 6 ! 0 ­A x k 3 ° ® A x $ A x ! 1 3 2 °k $ k 1 2 ¯

A x A

3 2

$ A x ! A §

f, ¨

f

1

©

§

2) x f,

¨

x!

3 2

$ x

· ,0 ¸ . ¹

· , 0 ¸ : ¹

1

©

¬ª 2A x ¼º 2A x 6 d 3A x

4A 2 x 2A x 6 d 12A x

2A 2 x 5A x 3 d 0 2

1 dA 2

...

1 2

x d 3 A

d x d

1

") f

2

3

1

1

1 2

dA

txt

=A 4A

3

x d A

2A

3

2

3

,

A 6

? 8

! $# & !$! (x) 2Ao x 3 , x - 3 . % ! " !$ #$ $# & !$! (x)

1

x

,

-3

) 8 - 3 10 7.

2) ! % - ! % ( # § 2· # ! $ $!: (x) 4Ao 4 Ao ¨ ¸ 1 ( ) © 5¹

") 8 - ! 8 $ $! (x) Ao 2x ( ) ' % 2 $! ," %& 2 0 .

10 10 3 10

2) 1 ! $ = 1 . / = 1 : 4 x , 2A 4 1 4A 4 A §¨ ·¸ 1 © 10 ¹

2A 2A

4 1 4A

4 A

4 1 4A

2

2A

4 1 2A

x x

x

4 1 1

4 4A

4 1 p

4 1 x ! 2 2

") / * $ (44) + 0 x -3 +x 0, $ x 3, 0 . &!

2A x 3 A E x

2 2 A x 3 A E x x 3

x2 6 - E x 9 0 ( )

Ex

1 ( )

6 - E

x

6 =A 6 .

3

3 1

3 10 7, DMR 3 3 10

! :

.

A 6 A 6 A 6 A 36=2A 6=2 2 2 A 10 A 9 A 2

10

'

x ª¬

2 2

4

1 2

1 2

2

36 E2 -12E E E -12 ! 0

E-6- E E-12

2

x x 1

E-6 E E-12

2

x 2

E E 12

E

3 ! $ 2 2

.

3

% ( x1

'

E2 12E E2 12E 36

E 6

E 6

6 E E 6 ' 0

' ! E2

E

E E ' ! 0

E 6 ' ! 6 x 2 ! 3 & x 2 3, 0 , !

107 .3/31

x

x2 .

2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! #% # ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

) %-) # (/ 6 / $ ) % $ , 1 ? 1 ? ) # # (x) 3 2 3 x 2004 3 2"x 2003 " 3 x 2002 x 1

2x 2 3x 1 ( + ) $ (4)

$ ! $ $ $

-) # ,2, " = % 22 2 2 2" (1).

4 (x) ' ! %( % ; %

(x) 8x 2002 ! x 1 .

#)- ) ! $! (x) : x 3 1 #(x) 24x 2 7x 15 , - : . 8 - 2 " 2 .

2. 8 - #)& ' ) # # (x)

$

(x) " & $ ! (

(x) 2 (x)x 2 3 (x)x (x) x 1 . ". , 2

)! % % #)- ) ! $! (x) : 2x 2 3x 1 .

$! . f (x) * ! 1. f (x) $ * -1. f ( 1) 0

­

+ " .

° ¯ + " 0 (2)

f (x) : ( 2x 2 3x 1) . $ $ $

? 2 9$ ) # #

1

! % ( ) $ $ $ f (x)

x 3 1 . / x 1 ! $ (3) : f (1) 46 6 3 2 46 3 8 2 + " 2

f (x) 16x 24x 8x x 1.

2. & f (x) " : f (x) 2(8x 2002 ) x 2 3(8x 2002 ) x 8x 2002 x 1

(x) 8x 2002 : 2004

2003

2002

f (x) 2 (x) x 2 3 (x) x (x) x 1 . ". ! ( $ + : f (x) ( 2x 2 3x 1) (x) (x 1) (4)

.

$!

°½

¾

2 2 0 °¿ 2

( 1) 1 4 2 1 1

.

½

¾ 2

2 1¿ 2

: (1)

.

ii. , $

! 8 $ $! (x) 1 x2 1 x2 3 .3x 1 2.3x .5x 1

2

4 2 1, %

+ " z 0 . $ (2) , !

3 2004 3 2003 3 2002 + " f(x) 2 x 3 x x x 1.

f (x) (x3 1)3(x) 24x2 7x 15 (3),

(x)

%

. 4 #)- ) ! $! (x) : x 1

# 1 , 2

% .

2. 4 % 1 % ) # # ! #)- $! (x) x 4 2x 2 4 - : i. , 2

% $ " &:

!

# - !

! $! (x) : x 2 1 .

° 3 +3 "3 3 +" ®

2+ +2 +" 0 +( + ") 0

%

2

1 2

2 2

2 1

(2), ! 0

2 2 0 (1).

2

$ (1) " 2 2 0 . .

2 , 1 . / 2 ! $ (2) : 2 2 1 .

2. i)

( 1) 1 2 1

1

(x) x 2x 4 .

4

,

2

$

+

ii).

(x)

$

x

2

(x) : x 2 1

$

1 x 2 3 1 .

x 2 1 x 2 3

x

2

1 x 2 3 9.3x 1 2.3x 9.5x 1

x

2

1 x 2 3 9.3x 1 2.3x 9.5x 0

x 2 3! 0

x 2 1 0 2 9 3x 1 2 3x 9 5x

2 x

r1 (3) 25.3

x

0 (3) .

9.5 x

.

2

§ 3· §3· ¨ ¸ ¨ ¸ x 2002 ©5¹ ©5¹ (x) 8x .

$ $ + !

x 1 ( ( + ) ! ! + ! x1 1, x 2 1, x 3 2

107 .3/32

x

2

*

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! #% # ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

? 3

. , 2

) $ ! . ยชยง 1 ยทx 2 ยบ 2. , $

! 8 $ $!: (x) ยซยจ ยธ 2ยป 3 ยฌยซยฉ 2 ยน ยผยป

x 4 . x 1 . , 2

) $ ! f .

2. , 8 - : 1 2 2 .

2 i. (0) 2 1 2 3. ii. (0) 2 ". , $

! 8 $ $! (x) x 4 4 2 2

? ! $# & !$! (x)

x

ยง1ยท 4 ยจ ยธ 20 10 o 3 (1) ยฉ 4ยน ". $

! $ $!: 2 x x 1 1

1 2

, .

2 $! . / $ f x2 4 ! 0 (1) . x 1 z 0, $ x z 1

x 1 / x z 1 , (1) ย x 1 x 2 4 ! 0 ย

-

-2

1

2

+

+ +

1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .

2. i. f (0)

ii. f (0)

() 1 2 2

2 2

ยง 2 1ยท ยจx ยธ ย 2ยน ยฉ 2 2 x 4 x 4 1 ยง 2 1ยท x2 ย ยจx ยธ ย x 1 2ยน x 1 2 ยฉ 3 2 ... ย 2x 4x x 7 0 (3). $'( o 2 $% # : (3) ย x 1 2x 2 6x 7 0 ย

ย f (x) x

2

x

2

x 1, 2x 6x 7 ! 0 ( =2 0, ' 20 0 ).

? 4

" x ย \

ยชยง 1 ยท x 2 ยบ ยซยจ ยธ 2 ยป . ยซยฌยฉ 2 ยน ยปยผ

ยชยง 1 ยท x 2 ยบ ยชยง 1 ยท x 2 ยบ 2

ยซยจ ยธ ยป ยซยจ ยธ 2 ยป 3 ยซยฌยฉ 2 ยน ยปยผ ยซยฌยฉ 2 ยน ยปยผ ยช ยง 1 ยทx ยบ ยชยง 1 ยท2x 4 ยบ 4ยป ยซ 4 ยจ ยธ 20 ยป 3 ย ยซยจ ยธ ยซยฌยฉ 2 ยน ยฌยซ ยฉ 4 ยน ยผยป ยผยป x 2x 4 x ยช ยง1ยท ยบ ยง1ยท ยง1ยท 4 4 ยจ ยธ 20 ย ยซ 4 ยจ ยธ 20ยป ย ยจ ยธ ยฉ4ยน ยซยฌ ยฉ 4 ยน ยปยผ ยฉ 2 ยน

ยง1ยท ยจ ยธ ยฉ2ยน

2x

2x

ยชยง 1 ยทx 1 ยบ ยซยจ ยธ 1ยป 2 . ยฌยซยฉ 2 ยน ยผยป

ยง1ยท 2ย ยจ ยธ ยฉ2ยน

2x

24 ย

1

2x

/ x ย \ , x 1 ! 1 , ! $ $

R . ! x ยฝยฐ 1

2 ย 2 ยพย

2 3

2 ย 3 0 ยฐยฟ x x ยฝยฐ 1

1

ยฝยฐ

ย ยพย ยพย 2 3 ยฟยฐ

2

3 0 ยฟยฐ 2

? ! $# & !$! (x)

ยง1ยท ยจ ยธ ย 2x 1 ย

ยฉ2ยน 1 1 x , , ย .

2 2 ". f 1

2 3.

2

ยช ยง 1 ยท x 1 ยบ ยซ 2 ยจ ยธ 2ยป ยซยฌ ยฉ 2 ยน ยปยผ 2. 1 (1) * f,1 .

f (x)

ยง1ยท ยง1ยท ยง1ยท 16 ยจ ยธ 4 4 ยจ ยธ 20 ย 12 ยจ ยธ ยฉ2ยน ยฉ2ยน ยฉ2ยน

2 1 2 3,

3 0 (2).

0

2x

2 . ". 1 $ 2,1 ย 2, f

:

2.

(1) ย

$ $ $ $ 2,1 ย 2, f .

22 2

1ยท ยง1ยท ยธ ! ยจ ยธ ย x 1 0 ย x 1 . ยฉ2ยน ยฉ2ยน

$ f $ f,1 .

-

x 1

ย ยจยง

ย x 1 x 2 x 2 ! 0 ย x ย 2,1 ย 2, f , -

$! . / $ f x 1 ยง1ยท ยจ ยธ 1 ! 0

ยฉ2ยน

ยง 2 1ยท ยจx 2ยธ ยฉ ยน

x

x

1

3ย 2

x

1 3 ย

1 2 ย ย 0 x 2 $ $ $ + $ " $

. x

107 .3/33

0

x

2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! #% # ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$! @. 4 2 &%! โ 2 / .6. % " =$%!$! 1

) # # : x x3 5 ย x2 ย o D 4 ย o E x 4 , -) # , 2 % .

1.

x

) # # x 1 18, 2

% 2.

4 D 10 % E 100 : . , $

! 8 $ $!:

x

0.

x

x 4 2

:

x

x

d0

x3 5 ย x2 ย

4ย x ย

0 ย 5ย

18 ย 5 ย

2ย 4ย

1 (1)

+ 13 (2)

% $ (1) (2) : 6ย + 12 ย + 2 ย + 100 .

1 ย 5ย

D 4 ย 2 13 ย

2. , $#"%

# ยง 3ยท ยจ ยธ. ยฉ o 3ยน

$!

1.

x

2.

2

1 .

x y 2

d

2x 2y , 2 2

2

0.

3

10 ! 1 ! $ .

3 8 10 $ $ $ f " $

: ยง 3 ยท ยท ยง ยธ. f ยจ $ ยธ f ยจยจ 8ยน 3 ยธยน ยฉ ยฉ

2.

d0ย 3.

ยง1 ยท x ย ยจ ,1ยธ (,

). ยฉ2 ยน

Sยท ยง ยจ KP 8 ยธ % ยฉ ยน

y ยง x2 ยท ยจ 2 2 2 ยธ t 0 . 1 ! $ ยจ ยธ ยฉ ยน

! " x y .

ยง 1ยท ยง1 ยท x ย ยจ 0, ยธ ย ยจ , 2 ยธ ย 2, f . ยฉ 2ยน ยฉ2 ยน

x 1 x 2

x 2 x

2 2

. / * $ (4) x ! 0 , x 2 4 z 0, x z 0 , $

ย

,

x y ยง x2 ยท ยง 2y ยท 2 2 2

2

2 ย 2 ย 2 t 0, ยจ ยธ ยจ ยธ ยฉ ยน ยฉ ยน

/ =10 +=100 :

&! :

2

5. 4 ) ) 8 - : 3 o 2 o 5 1 o 4 . ) $

! $ $!: o x

1 x 3 o 2 o 5 1 .

D 1 ย D 10 .

3 2 . x 0 ย x 5 ย x 8 ย x 4 ,

r r : x 1 x 2 ( ).

x

x

!

2

+ 4,

+

ยงx ยท , ) 8 - ยจ ยธd ยฉ 2 ยน " %& x, ย ิน. *- $' ! $- !

VXQ x KP x

!

2

1

2 x , xย ิน.

4. , $

! 8 $ $!:

.

$!

1. :

x

x

3. , $

! $ $!:

. , $

! $ $!:

2.

1.

4 ) # # x 2 ) &"

# ) # # x % #)- ) ! $! # ) # #

2.

=$%!$! 2

! $# & !$!

:

f f x

3 3

2ย 2

2x 2 1 ย x 1 .

107 .3/34

f x

1

22 ย f x

1 ย 2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = " 2 " ! #% # ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.

2

2

x

21

2

1

x

=$%!$! 4: ! $# & !$! x x . 9$

$! A x,0

­°2 2 2 22VXQ x 2VXQ x 2 0 ® 2 °̄ 2 0 VXQ2 x

­°2VXQ x ® °̄ 1

B x 2,0 , x ! 1 , ! " %( ) &$ $!

! $# & !$! .

2

2 5.

VXQ 2 x

2VXQ

2

2

1 2VXQ

x

2

2

x

f x = ln x

1 x 1 x N , ‫ג‬Ժ.

2

2 40 10

B

A

5 1

5

10

2 1 x

2

4 x

x

2

x

, ) 8 -

2 - #

) ; # 44

$# & !$! # x

)-

) x x 2 x .

2.

, ) 8 - - %

. , ) 8 - : x x!0. . , $

! $ $!: x t x 81 (1), -

x

$ 1, f % x$

1.

, " %&

. f x

2.

1

x

9

.

9

2

x

x

x

, 2

! ( # x $

2 -

# ) ; # 44

$ 15 .

4.

, ) 8 -

2 - #

) ; # 44

$# ' #8& .

9

9 2

2 d 9

xd

x

6t x

0

2.

x 9 9 .

81

1

92

x

3.

9

x

6d 0

d3 9

x

1 0 xd 2

d3 9

x

N

2 10

N

x

1 2

d9

( 2

15

2

2 10 10

4

x

x)(x 2 x)

2 2 2

2 !1

2

2x

2

x 2 2x 15 0 x 3 x x1 , x 2 1, f , ! :

x1 x2

9 x ½ °½ ¾ ¾ 2 0 ¿° 2 d d 3¿ x

4.

x 2

(B E) X ( 2 x 2 x

x

.

0 x

x

. / y=9 :

1 x

x

2.

3.

$!

.

$!

2

(%

N , -

2 -

# ) ; # 44

$ 3

1. y x

o 2 10

.

x

II. , $

! 8 $ $!:

.

x+2,0

1.

.

I. , ) 8 - :

2

A x,0

2!0

2 ! 1

=$%!$! 3: ! $# & !$! x x , x ! 0 % ! 0 .

-

1. 4 x

1.

1

4 .

:

1

x!

8

x

2.

y

" :

3

%

15 5 x

x1 2 x2 2½ x1 2

¾ x1 x2 ¿ x1 x2

x1 2

x1

2 3 2.

x2 2 °½ ( )

x2 2

x1 x 2 .

3

¾ °¿

x2

$ $ $ " $

1, f .

107 .3/35

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

! !"#$ % & '!

" 4. #$ ! , , $ ! , ' / / $

1.

+

-"

% %

) $ ! &

-"

3 .

4

,

#) " $ -" )

# % -" 2 # . $!: & "

! ( !

!"

! $ !" $

( !" ( !"

). ) !"

$

!" $

! $ , (

: 5 c c 3 . ) !"

+ (

5 4

$

"

!" $ ! $ , ( : 2

c § c · § 3 · 9 . ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © 4 ¹ 16 2. , 8 - -" 2

$ ) " ) #

"" " % & ) " " 1 $ % % .

4 $!: & "" "

" "

! "

! .

!"

+ ( "

!" $

! $ . ) !" ! $ ( "(

!" $

.

R $ " "

"( ./ ! ! $

R

./ 3 )' 2 " "

"( 71

c3 ). R . ( :

./

71

2

§R § 3 · ¨ 2 ¨ ¸ =¨ © c3 ¹ ¨ R © 2

· ¸ ¸ ¸ ¹

2 2

§1· 1 ¨ ¸ = 4 ©2¹

3. , #) " $

! ) # & %

2 - % % -" #, ) ' % 4 % )-$ ! 2 3 .

4 3 R 3 .

2 2 & ! " ! $

R 3 ! " . ( 2 6 R 4

$!: R = 4 ! 2 3

6

1 1 3 56 Â&#x2DC; 6 = Â&#x2DC; 6 6 Â&#x2DC; 6 = 3 Â&#x2DC; 4 Â&#x2DC; 2 3 = 2 2

= 24 3 "

.

4. , 8 -

" ) #

) # ( ) $ (

# $ ) #

" #, #

" # % # % % 8 " # ) # "" " $ % % " . $!

1 "( 3 R 3 , "( 4 R 2 "( 6 R .

= R 3

26 24 = R 2 R 2 = R 2 2R 2 = 3R 2

2

= 2

= 23 .

( ( "

) " "(

$ "( . )

"

: R 3 R 2 R 6 , 4 3 .

2 2 2 2

:

24

32

§ R 2 · § R ·2 ¨¨ ¸¸ ¨ ¸ = © 2 ¹ ©2¹ 2

2 2 2 §R 3· 2R R 3R 2 =

= = ¨¨ ¸¸ 6 .

4 4 4 2 © ¹ 5. ) # & ) # % % 8 " # % 8 ) # % $% #&; #

&" . , 8

- % #

" ) # $# ) ) # % # # 8 " # $'! ; # % %- %&" .

107 .3/3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$!: & "

1 -

= 1 = 6.

1 " "( 6 180q 6 = 360q = 180q 6 180q 60q = 120

: l 1 360q 2 Â&#x2DC; 90q 120q = 60

R 6 R 3 Â&#x; 1 .

2 2 ") "( " 1. l 60q . . . 4 R 2 .

1.

2 2 2 R 2 R 6

=

./ = 1. 1/ = 2 2 1

R

" 1 ! ! 1 = 1 = 6. % ( 1 = 6. )

!

"( 6. ) "

"( ( !

60q 90q 150q . ( " !. . 9 " "" " $ % % (+, ) % ) # # 4 % 4 $ $ ' ) #

#

" # % # $ ) #

" #, ) # "" " $

% % # -. , #) " $ : ) " # " # 4 , 2) :

# 4 , ") ! % ) 2 - #. $! ) & ! / $

"( ,

p/ 360q 120q .

3 1 " . "" -"

$ + ! ., l 60q . . )

. = 4, ! .

360q p .

90q ! / 45q . ( 4 180q 60 Â&#x2DC; 45q 75q 2) / 45q "( "

1/ ! 1 = 1/. ! "! ( $

: 1 2 1/ 2 / 2 Â&#x; 2 1 2 23 Â&#x; 2 1 2

R 3

2

Â&#x; 1 2

3R 2 Â&#x; 2

2 6

2 ) / + ! "( : R 2 6 R 6 Â&#x2DC; ./ Â&#x2DC; 1 2 2 = ./ =

2 2

R2 =

2R 2 =

2 6 Â&#x2DC; 6

8 3 3

R2 =

=R 2

12 6 8

3 3

=

8 4 7. 9

&" % % % %&" "" " $

2 % % (+, ). , 8 - 12 4 . $!: & "

*

.3' "( 3 .'

3 = R, .' = 6 = R.

(

21 # ( ( ' ): 3 Â&#x2DC; .' .

2 12 = 6 ( .3') = 6 Â&#x2DC; = 3R 2 ( 12 4 3R 2 24 =

= 3R 2 R 2

2

= 3R 2 2R 2

R2

8. , 8 -

2 - # % % 2 -" # $ & "

2 % % -" ) #

"" " % & ) " " $ % % 2 " .

107 .3/37

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$!: & 1 2 " 2 "" "

2 -"

(3, R)

*

1 23 2 "( 13 2 2

13 = R .' = .

, ! $ $" $ $ $, : 3 1 ย 2 2 2 1 2 3 2 = ย = 2 ย ย R 1 = = 5 ย R 2 2 ย ย 1 !

= 5 ย 2 2 1

2 5 ย (1) ) ! : ย 2 R 2 1 5 ย R

2 T ! -"( " "

(3, R) ! $ c R !

"" "

! -"

!" ! $ !"

$

d ,

! : c

ยง ยท ยจ ยธ ยฉ c ยน

2

ยง ยท ยจ ยธ ยฉRยน

2 (1)

ยง ยท ยจ ยธ ยฉ 2 ยน

2

2 ย 22 c ย

2 c 2 . , 8 -

2 - # % % "" " # % " # $

2 - # " # ) # ' $ &$

) #

# "" " # % # ) " " #

" #. $!: & + !

"(

8 4 ) -. =

4 ย 4 ย R = 2R 2 2 .

2 c4 7 2R

=

4

R 2

(

+ !

" c4 4 c4 ย 4 = 2R ย R 2 = 2R 2 2 .

8 = .

10. ? # $ $ # &) ) %&% $'(

% % ) #" # $ 8 # . + *# "- $'# ; - # ) " -

% %& ) " . , ) 8

$'# $ - *# " % 2 ) ) " # &. $!: 1 " "( 360q 180q = 180q .

& -"

! " ( 360 .

! ! ( : 360q ยท ยง ยจ180q ยธ 360q 1 . ยน ยฉ ยง 2ยท 1 ย 180qย ยจ1 ยธ 360q ย ยฉ ยน ยง 2ยท ยจ1 ยธ 2 ย 2 2 ย ยฉ ยน 2 ,

2 2 ย ( 2) 2 ย 2 ย 3 (1) / ( -"( ย 3, ! !" $ (1) : 2 t 3 ย 2 t 3 2 ย d6 (2) 2 ! (1) (2) 3 d d 6 ! ! : = 3 = 4 = 5 = 6. / = 3 $ (1) = 6. / = 4 $ (1) = 4.

5 / = 5 $ (1) = ย ` 3 / = 6 $ (1) = 3. ( "

*$ , ! " , "

! " .

11. + " % % 8 " # ) # ' )- %

# $'! ; # 8&" . , 8 -

107 .3/38

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8&" # - % %- % 2

-" # ' %-. $!: & " 1 ., ./, 4/', 3' , 6 7, ,7' : . = ./ = /' = ' = 7 = 7 = 6

"

30 ( "" "

+ !

360q 60q ).

6 ( "

! " 1, , 4, 3, 6, , ! . & " 1,, .1 , / 4, '43, 36 76, ! ( ) ( " 1 436, ! "(

!.

1. = 1 = 1, = , = ,7 !

1 1 R 3 .

1, .7 = 3 = 3 3 3 !" ( "(

R 3 1, 1, 3 = 3 =

= 6 3 R .

12. % %- ) &" %

. ) , 8 - " # $'! ; # % %- ) &" .

2) , 8 -

$ $ % &% -" (ȋȡȣıȒ ȉȠȝȒ),

"

( $

! ) # & # ) " #. ") , #) " $ , $# ($ ! ) # & # ) " #,

( $ )

" )- & ) # ' # % - &% . $! ) )

$ $ $ 11

! " 37, .71, /1 , ' 4 13 . (& )

" 71 43

! "( ( !.

2) ! .3 2 . 3 .

1 " . ' "" "

$ 360q ! ./' = 2 5 2 2 72q = 144 5 144q l ,

. ' = 72 .

2 l 72q

! .3 "( , ( " . 3

. = .3. & " . 3 37 ! ( ) ! : 3 .3 .7 .3

, (1) 73 3 73 3 3 = .7 = 3 . .7 .3

(1) .7 73 .3 3 .7 .3 3 .3

, .7 = 3 . .3 . .3 . ) ! .3 2 . 3 . ") ) " / ' . /

"" "

+ ! , ( $ 7 ! $ "

"( . 3. ! ( $ $ ! . 3

.3 3

73

:

. 3

=

. 3

. 3

=

. , . = .3 3 = 3 . .

1 3 ) !"

.3 !" $

3

+ * ( "

73

5 1 .

2

.

=

1

1 1

!

5

3 =.7=.3-73= = 5

1 1

5 =

1

5

13. % %- %&" 4 ... ! ) # & 4 - ) %

! ) % $! ! % + $ $! . , 8 - :

107 .3/3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

) 4 4 .

2) 5

&) # + - 2 . $! ) )1 10 = 360q = 36q .

10 & " )./ )/' "

,

10 144q = = 72q ! )/. )/' 2 2 ,/. ,/' . & " ,./ ,/' $ ,/

, ./ = /' = 10

,/. ,/' 108q , ( ! ' 2 .2 36q ($ .2

"( ).

1 '1 36q "" "

! 72 ', '1 ' 2 = 36 36 = = 72 . ) ! " ,' ,' 180q ', 1 =72 . ( ,' ', $

! " ,'

, = '.

108q . l 2 36q !

2) ,/. l 1 36q

l1 . " ,./ , ) 10

" )., ! ., = ).. )

', = )'. ( ).,' ! + 14. , 8 - %& " % % % " # ) # ) & ! ! ) ) # & # ' ; % &" $ ) " -" 2 1/3. , 2 ) $! , $# ($ ! ) # & ,

(% ! " # # ( . $! ; $ "( '. % ( ' ./ ( ). ; .4 /3 $ '.

& " 4. '3/ " . = /' = 8, 4. = /3 "( , " '

45 "" "

+ ! 90 p /' p = = 360q 45q ) B ./ ( p 8

, !

4 = 4. = 3'. "( " 4 . ! "! ( $

: 28 4 2 4.2 .2 Â&#x; 24.2 28 Â&#x; 4.2 Â&#x; 2 2 .

4. 8 2 ( ./') = 2(4 .) (./34) = 4 Â&#x2DC; 4. =2Â&#x2DC; 4. Â&#x2DC; ./ = 4.2 4. Â&#x2DC; ./ = 2 2 2 2 28 2 Â&#x2DC; 8 = 8 = 8 8 = 2 2 2 =

28 1 2 2

28

.

(1)

§ R 2· 2R R 4 = 2R ¨¨ R ¸¸ = 2 © ¹

2R 2 R 2 2

R2 2

2 1

! (1) (2) : R2 2 ( ./') =

R 2 2 §¨ ©

2

(2)

2 1 1 2

=

2

1·¸ 2 ¹ = R 2 .

2 2 & + ! "( 8 ( $ $ $ 8) ! : R2 2 ./'

1 2 Â&#x; 2 8 2R 2 4 2

./'

8 ./'

2R 2 2

./' 1 1 Â&#x; 4 1 ' 71 3 / $ ' : 2 2 ' = 4 43 3' = 8 8 8 2 2 = 8 8 2 = 8 1 2 .

107 .3/40

.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

()* +"#$ % , ! + ",* & ) %-) # , (/ 6 / $ ) % $ , 1

? 1 : % % %

2

: x2

4x

2

1

: x2

2

2x 0

0.

4 % %

. § · ii. 8 $ $! x2 2 2x O¨ x2 2 4x ¸ 0 (1) 4 © ¹ " %& O ^ 1` 8 $ $! % % # % - % % ) # % &; )- ! (1) ' )- $! ( 1 , 2 .

2. , 2

! 8 $ $! ! % ( ' (

% % 8 $ $! ! (1). $!: . i. . , 1 , /, 2 1 , 2 . 8 - : i.

. . 1,0 , 1 1 / 2,0 ,

16 9 25 5 2 . ./

2 1 3 , 2 2 2 5 3 5 7 2 1 1 1 2 1 .

2 2 2 2 2 1 ./ 1 2 . ! $ $ -

2

!

1

,

.

2

9 ii. (1) 1 x 2 1 y2 2 2 1 x 0 4 x O 1 $

$ " 9 3 6x x $ $ 4 8 $ $ ycy . x O z 1 , ! $ $ " : 2 2 1

9 x 2 y2 x 0 (2).

1 4 1

2 2 1

$

1

, % 0 *

4 2 1

$ % 4* 2

2

1

2

2

9 .

4 1

9 1

16 2 16 4 9 2 9

25 2 7 4

1

1

2

2

.

25 2 7 4 ! 0 " R ^ 1` " $

25 2 7 4 ' 351 0 . " R ^ 1` $ 2 %2 4* ! 0 $ ! $ (1) *

" .

0 x1 , y1 , N x 2 , y 2 $

1

,

2

. / 0 :

9· § x12 y12 2x1 ¨ x12 y12 4x1 ¸ 0 .0 0 4¹ © 0 ! $

$ $ (1). 0 " 1 . ( $ " ! $ 0.1 .

2. 1

$ " , * ! $

0 , 1

1 , 2 , ! $ " -

! $ .

0 x1,y1 ,N x2 ,y2 .

­ x12 y12 2x1 0 ( ) 9 3 ° 6x1 x1 &! ® 2 .

9 2 4 8 0 °x1 y1 4x1 4 ¯ 3 3 . 01 : x .

0 x 2 8 8 ?

2 : ?

$!

0 (x , ), 1 ( x, 2 ) JJJJG

$ $

& #$ 01 $'! ; JJJJG S % 01 2 2 .

&8 xcx " .

4.

JJJJG . 8 - 01 2, 2 .

2. 4 . $ # 01 , $!

13 2D $(D,0), %(0, ).

3 8 -

" .$% " $ ! % # ( . . ". , 2

$! $ , % # ( 2 $

2 - # " # .$% &' $ . % # ( ! . ? ! ) 2 ( '( 8- % $ ( 1,0 .

8 - ! ' )- $! 0 % ! # 01 ) ! ! ) 2 ( .

JJJJG $!: . 01 2x, y .

$

JJJG JJJJG $( 2x, y) . 2$ 01 , ! 2 $

JJJG ! . & 2$ $ * x cx " S , ! ( $ !4 ­y 2x y

$ ®

. &!

2x 4 ¯x 0 JJJJG 01 2 2 4x 2 y2 2 2 x r1 x 1

107 .3/41

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

! y=2. ! $ (1) y JJJJG 01 2, 2 .

2 .

2.

0 (1, 2) 1 (3, 4) .) "

. x .

1 3 2

2 4 2

2 , y.

.$% "( $ . ". & + ! "( .$% ( "( 3) : 1 JJJG JJJG 1 4 2 2 .$% .$ .% D 2 9. D 2 4 2 2 9 1ª 1 2 2 4 13 .

2 9º¼ 3 3 & ( 2 4 13 * $ 4

! " 2 . $ $, % 2 " " .$% + ! $(2,0) %(0,3) . .

: y2

: y2

2px

p 1, $ p 2

2.

0 1, 2 . ) " 0 $ $ (2), 0 .

0 $ 1 $ $ $ $ : 2y 2 x 1 , $ : y x 1 .

1 ! 01:y 2 x 1 01:y x 1

01 { . ?

3 :

x1 , y1

1

­° ® °̄2

2

x1 y1

N x 2 , y 2

&!

2

$

\

­ ° ® ° ¯

2

2 N \ (-

x2

­°x z 0 c :

® 2 2 2 2 2 $ °¯ x 1 y 1 ¯x y 2x 0 ( 3(1,0) =1,

$ )(0,0)).

2.

02 ,2 0 $ $ 1 $ ­x z 0

c2 : ®

$ $ $ !.

2p 4 p 2 ! :2 0 y 2 x

2 0

:x

0

y

2 0

0 ( ).

2

d . ,

$

: d .,

1 1

1 1 …

3 0 ^0, 2 2 0

2 0

2 0

2 0

0

2 0

4 0

0

0 ! H : x

$

1 1

2 0

3

1

2 0

2 0

0

2 0

`

3, 3 .

0 $ ! $-

2

2

2

.

: x 3y 3 0 : x 3y 3 0 .

x2 y 2 =1 .

4 9 . , 2

! %% - !

! .

2. 4 M $! ! ) # 2 $% $

! - % E,Ec $

! #) " $

! )

" # MEEc . 4 ? 4 : ? ! :!

:

2 11 x ' -3

( :

) ) ! # :y=-

!

! " (0(c , 2

$! . ". , 2

! 8 $ $! ! #) 2 ( 1 ) #

x1 y1 2

­x z 0 ° 2 °y 6 ® 2 N ( ).

° x2 y2 °2 1 N2 x

2 ¯ ­x2 z 0 ° °­x2 z 0 ` c2 ® § y22 · ® 2 2 : , °2 ¨1 x2 ¸ x2 °¯x2 y2 2x2 0 2 ¹ ¯ © ­ 2 2 °° : ®1 ° 2 ¯°1 2

?

$!

2N · § 2 , ,N R .

0 2 , 2 , R % 1 ¨ 2 2 ¸ © 1 N 1 N ¹ . , 2

" %- -) $!

0, 1 .

2. , 2

% ) -

" % -) # ( . $!: .

1 , 2 "

!

2

4x1 .

" " ! :

4x (2).

01

" : N

3.

. (2,3) .

JJJG JJJG § 2(2 ) · .$ 2, 3 , .% ¨ 2, ¸ 3 © ¹ JJJG JJJG .$..% 2 2 2 2 0 . " -

2

§ y1 · 2 1 ¨ ¸ x1 y1 © 2¹ 2 4x ( + ) 1 : y

,

' %

107 .3/42

0,0 ,

$

!

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% $ )

! ! ! # 8 1 x. $ $!

2 $!: . ) $ #$ +

D2 9 , ycy .

E2 4, J 2 D 2 E2 5. . D 3, E 2, J 5 ( ,+," 0).

J 5 1 ! $ $ #$ H D 3 2. : 9 x 2 4y 2 36 . 1

"( 0((c : 3 (0() (0(c) ((c() 2 2" 6 2 5 .

$ ! $ $ #$ $ H $ $ $ H1 $ 0 .

0 ( , ), 0, ! 0 . x y 1 : 1 1 : 9 x 4 y 36 .

4 9

? 5 : ! #) 2 (

+ 2 x1x 2 y1 y 2+ 2

y12 +2

A 1 1

2 11 .

3 9 2 11 1 1 4 3

9 . $ 4

3 11 .0 2

9 2 4 2

9 2 9 2 .11 36 12 2

36 1 N 0

3

4 N2

§ 33 3 33 · , ! 0 ¨¨ , ¸.

2 2 ¸¹ © 3 ". ) $ + (c(0, 5), N

3 .

3

((0, 5) .1 $ $ *$ $ + 2

2

y x 1: 2 2 1 +1

1, 1 ,+1 ! 0 .

­E 5 D ­D1 1 °

® ® D1 1

E D 2 E 2 1 1 ¯ 1 °E 2 ¯ 1 2 1

) ! :

2 1

0 (1) y

: y2

x 4

1.

0 (1).

§ +2 · +2 . 0 ¨ 0, ¸ . y1 y1 ¹ ©

ycy , ! . ", y1 , ! .

./

" 2 y12

2 +2

1

y12 +2

y12 "2 2

2 +2

"2 1 2

+2 +4 y .

1 2

$ $ 06 xcx . +2 +2 .

6( y y1 + 2

x $ ./ $ $ ycy y1 ! (. , ! 06 A (. x1 " x " 06 . (. 1 6 1 . y1 06 : y

+2 y1

+2 y12 2

x1 " x $ y1

06 : x1 " x y1 y + 2 (6() d , 06

2

1

%

$!: . x1 , y1 .T ! $ $ ," $ H xx yy

ycy . : 21 21 1

+

1 .

; $ ! ' ( . ) ! ! $

&8 c $ 0 .4 ! ) 2 ( # $ ! # , 8 - (6( ) D .

x

1

2 x2

D2 E2

# ' )- ! $ ( J ,0

!

/ x

) $ $ 1

:

x1 " + 2 " 2

x1 "

2

y12

107 .3/43

0

x1 " " + 2 x1 "

2

y12

x1 " 2

x1 "

2

y12

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x1 " 2

!

2

x1 " 2

x1 "

2

y12 ,

2 x12 2 2 x1" 2 " 2 2 y12

% " . D 2 y12

E2 x12 D 2E2 , ! :

2 x12 2 2 x1" 2 " 2 + 2 x12 2+ 2

2

+ 2 x12 2 2 "x1 2 " 2 + 2

" 2 x12 2 2 x1" 4

"x1

2

* " ! ) - 7 / 6 -. $

=$%!$! 1: 4 ! 8 $ $! 2x2 2 2 2x 2 0(1) ) $ & % % , - : 4) , 2

# , % % % ! % .

) , 2

# " ) ! '( 8- 8 %- $! # % % # . ) , 8 - - % % ) # ;

)- ! 8 $ $! (1) ' )- $ - $! 4, # ) # 2

$#

" . ) , ) 8 -

%

) )& % % (% # $ # % $ ! $# ' 2

! 8 $ $! ! ) 2 ( % # ( ! '( 8- % # $

! # .

O $!: 4) (1) x2 y2 x y =0 (2).

2 O 0 1 (2) 12 2 - 4 2 ( 1)2 0 A1. & 3

1 O

$ 3( , ) 2 2 2 O 1 (O 1) R= .

2 2 B) 1 !

! $

()3) R ()3)2 R2

§ 1 · § O · O 1

0 (0,1) (1, f). ¨ ¸ ¨ ¸ !

4 © 2¹ © 2 ¹ ) (1) (2y 1) 2x2 2y2 2x=0 (3). $ ,(x0,y0) $ "

! " $ $ (3) "

2y0 1 0 ½° R {1}, $ ¾ 2 2 2x0 2y0 2x0 0°¿ 1½ y0 ° 2° ¾ & ! $ !

1° x0 2 °¿ 1 1 ( , ).

2 2 1 O ) & 3( , ) O z 1 $ 2 2 2

2

2

1

$ $

: x= 2 1 1 ( , ). 1 + )(0,0) 2 2 $ $: 1: y2=2x . =$%!$! 2: ! 8 $ $!: (3 2)x2 2 2 4 x (2 5 ) 2 0 (1), .

4) , ) 8 - ! ) )& 8 $ $! (1) ) $ & % % - " 2. ! $# ' 8 - % % # - &)

$ # &8 x x % .

) , 2

! 8 $ $! ! ) 2 ( 1, ! ) ' )- %

# ) )& % % #, ' % # ( +(0,0) % &8 $#

x x. ) , 2

! 8 $ $! ! :! 2, " ; # - ' %

+(0,0), &8 $#

x x, ! $

! $! ) ( # % % # &8 x x %

(% # "& # &8 4. $!: 4) 3O 2 z 2O, $ O z 2 , ! . = 2, ! $ (1) " : 4x2 4y2 8x 8y 4=0 x2 y2 2x 2y 1=0,

2 .2 4/ = ( 2)2 ( 2)2 4 = 4 0.

" $ (1) =2. ) 3(1,1) R= 1.

1 ! $ 3 ! xdx: 1 0 1 1 0 =1 = R, y=0 $ d( ,xdx) = 0 1 xdx. , ! ! ! ydy.

) ! $ ! $ $ + 1 $

1: y2=2px 3(1,1) $ $ , 1

12=2p 1 p= . & $ + 2

$ 1:y2=x. ) / + $

xdx, $ : y 0 ½ ¾ + y=0 x=1.

2 2 x y 2x 2y 1 0¿

$ $ #$ $ (1,0), $ "=1

" 2 =4,

=2. ! +2 = 2 "2 + + = 3 . , $ -

107 .3/44

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x 2 y2

1.

4 3 =$%!$! 3: " 8 $ $ : 4 x2 4 2 4(! )x 4($# ) 3 0 (1) % 2(! )x 2($# ) 1 0 (2) , -) # 0,2)).

4) , ) 8 - ! (1) ) $ & % % 1 % 2

o %

# % ! %

#.

) , ) 8 - ! (2) ) $ & # , ! ) &)

# % % # 1. ) , ) 8 - ! " ( $ ! ) (%

% # # % % # % % 2. * ! $' %( $! % % 1 % 2 S , 2

$! ) ( 4 ) 2

1 % . , 8 &$

$! 4 (% $ % % 2.

3 $!: 4) (1) x2 y2 ($ )x ( )y =0, 4

2 .2 4/ = $ 2 2 3 = 4 0,

KPM VXQM 1 3( , ) 2 2 4 R1= =1.

2 A) 1 (2) $ x By /=0 =2$

.=2 . $ : 2KPM 0 ½ ¾ , A0 .A0.

2VXQM 0 ¿

$ (2) .

KPM VXQM 2KPM 2VXQM 1 2 2 =

: d( , )= 4KP2M 4VXQ2M #$

2:

2

=1=R1, $ $ 4 1. ) / "

KPM VXQM 3( , ) : 2 2 KP 2 M VXQ 2 M 1 = , $ x 2 y2 4 4 4 1 3 2: x2 y2 = ( 4 )(0,0) R2=

1 ).

2

KP 2 M VXQ 2 M 1

= = R1 R2, 4 4 2

.

S ) / = , ( " : 2 ()3) =

3 =0 2x 1=0.

4 6 $ +

-

x2 y2 x

$ (x,y) = (

1 , 0).

$ 2

(

1 , 0). % $ !

2

1 =R2,

$

2 2. =$%!$! 4: 4) , 2 :! % # +(0,0), $ % $ &8 x x, ! 1 ) $ $! ! (3, ) ' ) 5 ! : 3x 5 25 (1).

) , 2

! 8 $ $! ! # (!) ) # %& ! ! $ $! . ) 4 ! # ( )

) 1, 2

! :! $ &% 4 , 4 # "& # ! &8 $ $! % $ ' , ) 8 - # , % ! # (!)

# ) ( $# ' # $ $! B. ) 4 # ( ), (!) # &8 x x $ $! A % $ ' , 8 -=( .( +( . * " $ ( ) - $!

: =( .( +(

! #% ) ! ) )& $- ! % ) - !

! :! ) % # -

-) $!: 4) ! ! $, $ #$ $ () )=

x 2 y2

D 2 E2

1 , ,+ 0

$ $ $ #$ $ 3(3,

16 ) $ 3 2x 16 y2 1 . / D 5 E 5

* $ $ (1), " , $ 16 3 2 1 5E2 D =5, +=4 (

3 5 25 x 2 y 2 N 1 ).

25 16 x 2 y2

1. & $ #$ $ 25 16 5

) : ($)A( ) $ = 1 $ = , 3 16 5 = (x 3), $

($): y 5 3

107 .3/45

($): y =

5 x 3

9 .

5

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

) ) 1 2 $ d( 5,0) (5,0) 1:x = 5, 2: x = 5. & $

/d 1, +

­ x 5 , $ /d( 5,8). ) $ : ® ¯3x 5y 25

$

2, /(5,2). ) d $ #$ d( ",0), (",0), ! " = D 2 E2 = 3, $ d( 3,0), (3,0).

1 $ $ /d d : 0 8 (x 3), $ y= 4x 12. y 0= 3 5 1 $ $ / : 0 2 y 0= (x 3), $ y= x 3.

3 5 & $

5 / , /d d + $

( ( ­ y 4x 12 . ® ¯y x 3

9 24 '$ 5( , ), " 5 5 $ $ $ $ ($).

/d d, / $ ($) $ 5. ) 1 xdxd $

25 27 7( ,0) $ ($) $ 1( ,0).

3 25 &

7 , 7 d, 3 , 3 d, 1 , 1 d 16 34 16 34

$: 7 = , 7 d= , 3 = , 3 d= , 3 3 5 5 1 = 48 1 d=102. =( .( +( 16

= . =(d .(d +(d 34

1 ! $ ( $ !

" 3 d, ! $ 31 $

$ 37 $ !

"( . ! ! $ ! $ $ #$ : 1 $ ($) $

$ $ #$ $ 3 $ " d . . =$%!$! 5: ! #) 2 ( : x2 3 2 .

4) , 2

$ , ! %% - ! %

$ )

! #) 2 ( .

) , 2

! " ) # $'! ; # $ )

! #) 2 ( &8 x x. ) , ) 8

-

$!

3 S S ( , 3 ), ( , ) (% $ !

VXQT 2 2 #) 2 ( . ) 4 $! ( , ) 0, (% $ ! #) 2 ( , - : i) , 2

ii) , 2

! ' - ! " / , -) # , $

! ) 2 ( . $!: 4) 1 $ x2 3y2=9 " x 2 y2 1 . =3, += 3 , "= 12 =2 3 .

9 3

$ d( 2 3 ,0),

(2 3 ,0), ! $ =

: y=

J D

2 3 3

3 3 x y= x.

3 3

3 x $ * xdx "

3 3 S

1 ( 1= $ 1= .

3 3 3 x $ * xdx "

2 1 y= 3

) 1 y=

( 2=

3 S 2S $ 2= = .

3 3 3

) / $ +

$ ,, -

2

9 § 3 · 2 9 2 =9, ¨ ¸ 3( 3 ) =9, 2 VXQ T © VXQT¹ 2 1 KP T 1, 1 KP2T VXQ2T , .

2 VXQ T VXQ2T ) i) / c 62 3 2 = 9 = 3 =3 =3 ( ! 0).

6(6,3). ii) ! $ ! $ " * ! $ $ $ + $ 6 $ d / . 1 $ $ 6(6,3) 6x 3y

1 , $ $ :2x 3y=3. $ : 9 3 3 d $ $ $ $ 6 ! d = 2 3 3 ! d: y 3= (x 6) $ d:y= x 12, 2 2 $ $ ! $ d / .

107 .3/4

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

! ( ! *. ' -) # - 6 / 6 - ,25-1 G G G JG G G 2 JG G G 2 ? 1. 9$ ,2 , " ! $#"" %& & D E J D E J G G G G GG G J G G G J G G JG G G G $ , ! 8 $ $! ( ")x ( 2)y (2 ") 0(1) 2 2 2 D

E

J

2 D E

2 D

J

2 E J % % % ( ): x 2 2 1 .

JG G G JG G G G 2S ) , 8 - ! (1) 8 $ $! # .

3 6 VXQ 0 D E J 0 D E J 0 .

3 2) , 8 - - # ! 8 $ $! ? 2: : # ( ): x E (1) ' )- $! . ") 4 ! # ( ) &)

$ % % ( ) , E \ % ! 8 $ $! x2 2 4x 4 7 0 (1).

2 ! 8 $ $( ! . ) , 8 - ! (1) ) $ & % % , # ) 9$ ( ) ! # x 1 0 % $! ) # 2 % % ! % .

4, % # % % # ( )

$ : 2) , 2 " )

# 2 ! ( ) &) JG JJJG G JJJG G JJJG Jn G G · 2S

$ % % % " )

. § D 2$ , E 2% , J 2* % ¨ D, E ¸ . 4 ") 4 ! ( )

% % % ; $ # - © ¹ 3 JG G G G ' ( (% 3 , 2 : H / /G 8 - : D E J 0 .

JJG G JG G i) ! 8 $ $! ! ( ) % ii) 2 - # $- $!: ) (D J ) 0 (D E) 0 ! ) # # " # ) # "" " $

JG G JG G G G D A J D A E ! E J ( ). ( $ % % % ' ) # & )& $ ! ( ).

(1) ( ) " ! $ ) , 2 % # #

" # ) # JG G G "" " $ % % , % ) # ""

D , E , J .

JG G

# 2 $% $ ! # ( ).

2) 1 (1) " (D J ) 0 $ $!: ) $ % 4 * 7 , !

JG G JJG G $ % 1: (D E) y (D E) 0 $ $ 1: y 1 ,

2 $2 %2 4* 4 e0,

JJG JJG JG G JG G 2 2 ( " (D E) 0 $ 2: (D J ) x (D J ) 0,

$ $ H 2 : x 1 ) ( 1) ( 2) (

$ 3( 1, 1).

JG G JG G JG G G (D J)xN (D E) yN D(E J) JG G JG G JG G JG G (D J ) (D E) (D E) (D J ) 0 . ( ! $ (1) ! $ 3(-1,-1). ") 1 ( ) JG G

(c) d O, H

U

JG G

D E D J

JG G JG G D E D J

2

1

2

JG G JG G 2 JG G 2 JG G 2 JG G JG G D E D J D E D J 2 D E D J 0 JG JG JG D E 0 D J 0 . D E 0 ! H : x 1 JG G D J 0 ! H : y 1 .

) H

JG G

G OH OG

D J

JG G D E

JG G 1 D J

JG G

Dn,E

Jm G G D, J

JG G

D E .

D J D E 1 1 VXQ Dm, J

JG G

JG G

Jn G G 1 1 VXQ D, E

JG G

JG G G 2S D , E , J 3 GmG 2S .

$ ""

E, J 3

$ 2 %2 4* 1 ( $ (1) 2

3(2,2) =1.

2) 1 ( )

E d , H U 1 E 2 E r 2.

2 E 1 ( ) d , H f U f1 2 E f 2 2f E f 2.

") $ ( ) *

3 U 3 ,$ $ O 3 ( ! "( "" "

) E U 1 1 2 d . , H D3 .

E r 2 2 2 2 2 i) ! : 2 2 H 2 : y x H1 : y x 2 2 ii) + ! "(

3 33 (O3)2 .

4 4 ) 1 "" "

"( $ O4 U 2 2 + $ ( )

107 .3/47

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

E 2 U 2 2 ย ย E r1, 2 2 2 2 ! "( + H3 : y x 1 d(., H) D4

H4 : y x 1 ยญy x 1

$

: ยฎ 2 2 ยฏ x y 4x 4y 7 0 ยญy x 1 , ยฎ2 2 ยฏx y 4x 4y 7 0 "( $ : 2,3 , 1,2 , 2,1 3, 2 . ? 3: : $! (-",0) % (",0) 0C"C2. ) , 2 " %- $! # ) ) # " ) $' : JJJJG JJJG 1 1 4VXQ(0( , 0( ) JJJJG JJJG JJJJG JJJG 1

0( ย 0( 0( 0(

1 8 -

4 # - &)

$ ! #

4

- ! :! ( ): x 4 2) ! 8 $ $!

(2 N )x 4(1 2 N ) N 1 0 (1) N ย \ .

1. , 8 - ! (1) ) $ & # " %& N ย \ 2. , 8 - # ) # ) $ & ! (1) ' - )- $! ) % 2 .

3.

) # ) & )- $! , & ) $ & )- ! (1).

4. 4 8 -

$! !

! :! ( ) , 2 ) # )- #

! $' $! (1) ; $ ! :! ( ) ' ( $ $! . $!

JJJG JJJJG 1 1 4 ) 1 ย JJJJG JJJG JJJJG JJJG ย 0( 0(d 4 ย 0(d 0( 0(d ย 0( 2

0 ย c ! (c): (, (d (d(

2

x 2 y2 #$

4 E2 2 J f4. 1 (c) $

y 1 ย E 1 ย 12

4 J2 ย J

3 . & -

x 2 y2 1, $ c : x 2 4y 2 4 .

4 1 2) 1. 1 $ (1) ยญ2 N 0 . $ ยฎ ยฏ 4 8N 0 (c):

2. / N

2 $ H1 : y

1 ," 4

1 $ H 2 : x 1 . ) H1 H2 2 ยง 1ยท . ยจ1, ยธ

$

ยฉ 4ยน (2 N)x 4(1 2 N)y N 1 2 N 1 2N N 1 0 0 " N ย \ . ! ! 3.

1 3. / N $ (1) $ 2 ยง 1ยท H 2 : x 1 $ ! . ยจ1, ยธ ยฉ 4ยน 1 / N z ! $ (1) $ 2 N 2 O

. ย 8O 1 N 2 4O .

4 8N 1 / O z , $ $ 8 2 4O 1 1 z ( " O $. 8O 1 2 8 ( $ (1) ! ยง 1ยท ! $ . ยจ1, ยธ , ! ! $ ยฉ 4ยน 1 1 y x 1 , $ $ x 8y 1 0 .

4 8 * ( !$!: (H1 ),(H 2 ) !

$ 3, ! $ $ H1 N ย H2 0

N ย \ ! ! $ 3 ! $ H 2 .

4. 1 x 1 $ #$ * ยง 3ยท

$ ยจยจ1, ยธ 2 ยธยน ยฉ ยง 3ยท 3 3 1 ยจยจ 1, f y. f $ยธยธ , 4 2 2 ยฉ 2 ยน

3 ! $ #$ . ! $ (1), $ ! $ H 2 : x 1 , !"

$ #$

N

x x * $ +

$ 3. 1 *$ $ 1 H:y O ย x 1 , $

$ 4 1 H : y Ox O $ x1 , x 2 4

$ * $ #$ 2 1ยท ยง * $ x 2 4 ยจ Ox O ยธ 4 $ $ 4ยน ยฉ

107 .3/48

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 4O x 2

! x .

2

2 O 4O2 x 4O2 2O 1 x1 x 2

2

15 0, 4

-

4O2 O 1 O 1 .

1 4O2

5 .

4 #$ ) ( !$!: ! # 2, 70 # ( ( "

3 + # , $

"

2 2 H D : 2D D 3 x D D 1 y 3D 1 0 H :y x

$ (-1,2) # 2D 2 D 3 3D 1 H D : y 2 x 2 , D D 1 D D 1

$

G : y Ox P $ ,

! "

2 O 1 P # # # , 2D 2 D 3 # " D \ . & D2 D 1 ,

$

# # : 2 O

2 D

1

O D

O

3 z 0 ,

# " D \ ,

O z

O z 2 O z 2 ½ ½ ¾. ¾ # # 2 ' 0 ¿ 3O 22O 23 ! 0 ¿

11 52 11 52 O1 O !

O2 3 3 # 2, ! O1 2 O 2 . x #

#

2D 2 D 3 f D 2 > O1 , O 2 @ .

D D 1 ? 4: ) 2 ( ( ) ) # ' % # (

! '( + 8- , &8 $#

&8 y y % ' )- $! (2,1).

$ ( 0,1

G: y 1 .

$

$( 5,d $, G 3 $( C d $, G $

! $ + . $ %(

10,d %, G 1 %( e d %, G $ . !

2)

$ + . ") 5 x1 , y1 $ $ + $ $ ! $ ! ., (H) : x1x 2 y1 y $ ! $ $ +

! (c1 ) . U %5 . &!

! $ + , ! 5 $ . $ + ! $ 5d $ +

! , ! %5 U %5 ( ), ( $ + 5 . $ ! $ (H) $ + ! $ 5 , ! %5 A (H) .

4 O

) , 8 - ! ( ) ! x2 4 .

2) , 8 -

4(2,2) $ %- ! ( ) %

(3,0) 8 %-. ") 4 B $! ! ( ) ) # ) ' ! &' $ ! )-$ $! )- $! % A $! ) # ! # B

&8 8 -

" B A $ $% . *

$! B ) , 2 ! " ( $ ! ) 2 $%

$ ' ) # ; # $ ! ( ) # ) # ' )- $! 4. $!: ) 1 $ $ + $

c :x 2 2py !

$ * 2,1 4 2p p 2 . $ + $ $ c :x 2

4y ,

5] y y ! !" $ ! $ $ + $ 57 $ "

n =5] n M ,!

(5] $ (5= n 5=(

n =5]

M ( ! n =5( n M !

Oy 5] ). (=5 " 5(= (= (5 .

3 x1 3 , %5 A x x OH !

2 B A H . x1 z 3 , ! H A%5 OH O%5 1

x1 x12

2 4x1 12

1 x13 8x1 24 0

x1 2 x12 2x1 12 0 x1 2 . 5 2,1

107 .3/4

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

) ) ! (2,2) $ + $ $

H :y 2 O Â&#x2DC; x 2 , $ H : y Ox 2 2O . $ ! $ x 2 $ * $ + . / x1 , y1 1 x 2 , y 2 $ * $ (H ) $ + . y1 y 2 &! x1 z x 2 (" ). : O . x1 x 2 / x1 , y1

c :x 2 x 22

1 x 2 , y2

$

4y x12

4y1

4y 2 ! :

x12 x22 4y1 4y2 Â&#x; x1 x2 Â&#x2DC; x1 x2 4 y1 y2

Â&#x; x1 x2

Â&#x;O

x 2

4 y1 y2

x1 x2

Â&#x; x1 x2 4O Â&#x; 2x0 4 Â&#x2DC;O

! 0 $ ( )

x02 x 0 2 . (

2 ( , * $ + ! $ (2,2), + 1 2 x x 2 $ $ + y 2 § 3· $ . ¨1, ¸

© 2¹ $ x 1 .

JG JJJG ? 5:

$ : D 2$ % G JJJG E 2% -) # +(0,0), 4(0,3) % (3,4). ) , 8 -

" +4 2 #" .

2) , 2 ! 8 $ $! ! ' - # ( ), !

G JG " D % E . ") , 2 ! % " % % ) # ' # %

# $ ! # ( ) % &JG G )

$ # D % E . ) , 2 ) , )- # ) )& % % # "" " # " # +4 .

JG JJJG JG JJJG $!: ) D 2$ 0,3 , E 2% 3, 4

JJJG $% 3,1 " "( ) .

JJJG JJJG : $% Â&#x2DC; $2 3 Â&#x2DC; 0 1 Â&#x2DC; 3 3 f0, ! $ JJJG JJJG " ( $%, $2) + , "

) . + "(

+ $ " .

2)

: y0

JJG 1

JJJJG 2$1

1 JG JG Â&#x2DC; D D

JJG JJJJG 0,1 2 2%1

1 G § 3 4·.

G Â&#x2DC;E ¨ , ¸ ©5 5¹ E

G

JJG JJG § 3 9 ·

1 2 ¨ , ¸, ©5 5¹ 2$1*%1 $ !"

(2$1 ) (2%1 ) 1 ! ! + , ! $ "( ! 2* ! $ " $12%1 .

JG G 1 ! ( ) $ "

D E

JJJG 2*

! 2 0,0

G O G O G 3 . $ $ $

G : y

3x .

JG G ") )

D E ! 2 0,0

H1 : x

4 x, 3

H2 :y

0

$

JG H 2 :4x 3y 0 D A x x OEG

4 . ) *$3

! $ 3 ( ,3 ) " 1, 2 d , H1 d , H 2 (1) d ,H1

0

4N 3 Â&#x2DC; 3N

d , H2

N

5N

N . $ (1) 5 4 3 " N z 0 " N 0 * $ 2 0,0 . (

2

2

$ x N y 3N

2

2

N 2 N z 0 .

) (H3 ) $ $ .

1 O H3 O JJJG

$ $ $% 3 1 y 3 x, $ x 3y 9 0 .

3 (H3 ) Â&#x153;

d . , H3 U Â&#x153;

N 9N 9

N 10 10 N Â&#x153; 6 N 2 16 N 9 0 Â&#x153;

Â&#x153; 9 8N

8 10 8 10 N1 N N2 .

6 6 $ 0,0 N1 ,3N1

$ B: x 3y 9 0 (" ), "" "

N

c1 : x N1 y 3N1 N12, 2 2 c2 : x N2 y 3N2 N22 , 2

"

.

107 .3/50

2

(

"" -

) # &8! : '. " $ , -. ! , 3. . ! , 4. 6

* +"#-. /" / *-. ,+)! !$ ,)

" 0 1 02 + ! " 3 "#2 ,+ ! # ) '+"#2 ",*2 & ! # & , ! ( ! , ;

& ! $ $ ' ) $ 6 " ,

, $ ( % /d $ / 6 g $ " $ $#$ ! $ + $ $ " $ + ( ( ! . ( $ ( + * $ " ( , $ " , "

, . ; $ (

! $ $ !"

$ , ! $ $#$,

+

+

!

, $ ( , " ( ! $" / 6 .

1! %( (:

! $# & !$! f(x) xAnx AnD D 1 Anx,

x, D 0, f ! ) ' &' $ ! ( 1. ) , ) 8 - D 1 2) , ($

! ) !

% ! %# - !

") , #) " $

% ( ,

³x

10 A x 1

A x x

1

) , $

! 8 $ $! x (x ) (x ) ) , ($ ) ! $# ' % !

! $# & !$! ­ (x ) , x , 0 0, f

° (x) ® x °¯ 2, x 0 $ ) , ) 8 -

2 4 3 §x· ³ (3 x) x ³ ¨ 2 ¸ x 2³ (x) x ¹ 1 2 © 2 $!: ) 1 $ $ f " " $

f d(x) x A x A D D 1 A x d

x

A x

f d(1) 0 2 A 1A 1 A D D 1 0 A D D 1 0 D 1 , ! A D d D 1 , " D 0, f

! " D 1 ( " + + ) 2) / D 1 f (x) x A x , x 0, f

2

f d(x) 2

2

A x , x 0, f

x

A x 0 A x 0 x x 0 x 1 2 A x !0 A x !0 f d(x) ! 0 2 A x x

f d(x) 0 2

A 2x

A n

A x ! A 1 x ! 1 2 A x 0 A x 0 f d(x) 0 2 A x x A n

A x A 1 0 x 1 1 * ! $ $ "(" f d !

x f d(x)

d A D D 1 A x d

d A D D 1 A x d A

A 2x

0

1 0

f

x

f

). .

A x d A D D 1 1x 2 A x 1 2 A x A D D 1 , x 0, f

x x 1 $ $ f * 1 " x 1 , ! f (1) 1 . '$ , $ f !

: x f d(x) 0 " x $ 0, 1 $

$ x 0 1 , ' 0, f , * " " $ !, ! ! ( $ rma ! :

$ f $ >1, f . $ f " !$ 8 #$ $

>1, f .

A

2

x

2

f $ 0, 1@ . $ f " !$ #$ $ 0, 1@ .

x

f d(x) ! 0 " x $ 1, f

107 .3/51

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x 0, f

) 1 $ $

, 0 , 0, f , $ ( .

1 $ $ f d " " $

§ 2 A x ·d f dd(x) f d(x) d 2 ¨ A x ¸ x ¹ © 2 2 § A x ·d · § A x 2¨ A x d A x¨ ¸ ¸ ... x © x ¹ ¹ ©

A

2

x

2A 2 x A x 1 , x 0, f

x2 f dd(x) ! 0 " x 0, f , !

! A m (x) A m xo0

2

A

2

x

! 0 2A x A x 1 ! 0 , (x2

2 2 1 D 2 ! 0 ' 7 0 . $ f .

9§ 1 A x· xA x ¨ xA x 2 ") , ³ x10A x 1A xdx

³ ¸ dx 21 x ¹ © 1 9 10 1 1 x A x x A x ddx x A x ddx

³ ³ 21 20 1 10 1 ª Ax º 1 10 x

1

« » ¼ 20 20 1 ! $!: / " ! $ (

x A x ) xf d(x ) f (x ) (1) & $ $ (1) $ , f , ! f, fd

2

0, f . : xf d(x ) f (x )

0 x 0 ! xf d(x ) f (x ) ( $ $ $ M(x) xf d(x ) f (x ) , x , f

M(0) f ( ) 0 M (x) ! 0

" x , 0 0, f

% " $ $ $ " " $

Md(x) xf d(x ) f (x ) d ... xf dd(x ), x , f

Md(x) 0 xf dd(x ) 0 x 0 ,

$ x 0

$ $

x o0

f d( ) 2

f (x ) x

Am x o0

0,

f (x ) f ( ) x .

(0)

$ . 1 $ $ " " $ , 0 , 0, f ,

§ f(x ) ·d $ " "

d(x) ¨ ¸ ... x © ¹ xf d(x ) f(x ) , x , 0 0, f

x2 : d(x) ! 0 " x , 0 0, f , !"

) $ $ x 0 0 . $ " $

, f .

2

$ ) : ³ (3 x)dx

3 x

1

1

... ³ ( )d 2

2

³ ( )d 1

2

³ (x)dx

(2)

1

x 2 §x· 2 ³ ¨ 2 ¸ dx ... 2 ³ ¹ 2 © 1 4

3

³ (x)dx

x

1

2

d

2

x dx

(3)

³ (x 1)dx

(4)

2³ 1

2

2

... ³ ( 1)d 1

1

/ x >1, 2@ : n

0 1 d x d 2 (0) (x) 2 (x)

x ! 0

1, 2 , !

2

³ x dx ! 0 (5) 1

!

f dd(x ) ! 0 " x , f , !"

+) Md(x) 0 xf dd(x ) 0 x 0 Md(x) ! 0 xf dd(x ) ! 0 x ! 0 $ $ $ * x 0 0 .

$

$ xf d(x ) f (x ) +( * 0 2 -) : (2 ! $) / x 0 $ (1) $

f (x ) xf d(x ) , "

x , 0 0, f , .,.&. " $ f

> x, 0@ , x , 0 > 0, x @ ,

2

: 0 ³ 1

(5) 2

2

1

1

x dx ³ x dx 2³ x dx

§x· ³ (3 x)dx ³ ¨ ¸ dx (3) 1 2 © 2¹ (2) 2

4

$ " x , f

n

x x 1 x

2

2

1

1

(3) 4

2

x dx 2³ x 1 dx ³ (4)

2³ 1

2

x 1 ³ x dx ³ x 1 dx 2

1

3 §x·

dx 2 (x)dx ³ ¨ ¸ ©2¹ 2

3 §x· ³ (3 x)dx ³ ¨ 2 ¸ dx 2³ (x)dx 2

4

1

2

107 .3/52

© ¹

2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2! %( (: 1

$# ($ (x) A x, xย 0, f

x % (x) x , x ย 0, f

) i) , ($

! $# & !$! )

! % ! %# - ! . ii) , 2

$

! .

9' ! " %( ) &$ $! ! % %- # ! $ )

! , "($

! )& !$( $ .

2) , 2

$! ! " %( ) &$ $! ! , $ ) ! ) ! ! '

)- $! A 0, 3 . ! $# ' , 2 x

! 8 $ $! ! ) ! $ $! # -. ") , ) 8

-

!

8 $ $!

2 (x) 2x (x) 3 (x) 0 ' % 2 ; $ &$ ! 1,

. *-$ ; ' ! ) !" ! 8 $ $! $ &$ ! 0, f

) , ) 8 - : i) $# & !$! ) #$ &; %- % -

,

# ) # 2

. x U f , -) # ! ; ii) Ai x oU 3 (x) (x) (U )

2 x ! 0 , JLD N TH x ย 0, f . $ x3 $ $ f . ii) 1 f " $

$ 0, f , ! ( $ f dd(x)

f ( $)

A m f (x), A m f (x)

x o f

x o 0

f, f

ยง1 ยท A m ยจ A x ยธ f , ยฉx ยน 1 0 A m A x

A m x o f x x o f A m f (x)

x o f

A m f (x)

x o0

\ !

x o f

ยง1 ยท A m ยจ A x ยธ x o0 ยฉ x ยน

f

f ,

. A m( A x) f x o 0 .

A m f (x) f $ x x o0

0 -

! $

$ $ " $ $ f. f $ 0, f , ! $ " $ $ $ ! $

$.

2) 1 $ $ $ ( ) $ " $ $ f $ 0 x0 , f (x0 ) , x0 ! 0 y f (x 0 ) f d(x 0 )(x x 0 ) . 1 ( )

0, 3 ,

! 8 $ $! # ") ( . ) , 2

! $' %( $! " % ) $ &$ $# ($ , $ ) (* -2 ! # 2 ( ) 9 # %- $! 0 D , (D ) , 0 D N -) #

x 0 f d(x 0 ) f (x 0 ) 3 0 . $

$ xf d(x) f (x) 3 0 , x ย 0, f (1).

)- $! , 1, 1 # - 2 (

1 $ (1) * 1 $ , ! $ $ $ (x) xf d(x) f (x) 3 , x ย 0, f " $

, !

1-1,

d(x) xf dd(x) ! 0 , JLD N TH x ย 0, f

N ย 4, 2 ! %( ; ! 8 $ $! x (x) (x) 0 , % )& $ ! % ) ! (x), x ! 0 . 5! ' %( $ " ( 0 ) # ) &-

!

! ! # 1 / . , 2

# - 2 ( # 2 # " # ) # $'! ; ! ) ! ! " %( ) &$ $! ! $ $! # &8 x x, , ! ' %( $ " ( 0 $!: ) i) 1 $ $ f " " $ 1 1 x 1 ยง1 ยทd 2 , x ย 0, f

f d(x) ยจ A x ยธ 2 x x x ยฉx ยน

ยง 1 1 ยทd 2x 1 ยธ 2 2 4 ยฉ x xยน x x

f dd(x) ยจ x ย 0, f

2 x , x3

x 1 0, JLD N TH x ย 0, f . x2 $ $ $ f " $ .

:

f d(x)

! $

! ,

3 f (x 0 ) f d(x 0 )(0 x 0 ) , $

$ $ $ " $ $ f $ 1 1, 1 ! $

0, 3

$ y f (1) f d(1)(x 1) , $ y 2x 3

")

/ x ย 1,

:

f 2 (x) 2xf (x) 3f (x) 0 ย f (x) f (x) 2x 3 0 ย f (x) 0 , ! f (x) 2x 3 ! 0 ,

JLD N TH x ย 1, ย 0, f , $ f $ y 2x 3 $ $ $ $ 1 1, 1 .

1 f $ 1, h

B a , !

107 .3/53

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

! f (1)f ( )

1 0 . $ $

f (x) 0 * $ 1,

0, f

$ f 1-1,

" $ , $ * .

$ $ f 2 (x) 2xf (x) 3f (x) 0 +( * $ 1, x

0, f

$

. $

$

f (x) 2xf (x) 3f (x) 0 +( * 1, ! f 2 (x) 2xf (x) 3f (x) 0 f (x) f (x) 2x 3 0 f (x) 0 f (x) 2x 3 0 x U x 1 f 1 1

f (x) 0 f (U) x U f (x) 2x 3 0 x 1 , $ f $ y 2x 3 $ $ $ $ 1 1, 1 , ! f (x) t 2x 3 "

x 0, f

! " x 1 ) i) 1 $ $ " " $

x x x A x d A x x A x d d(x) x d x

A x

· x § 1 ¨ A x¸ ©x ¹ x

d(x) 0

A x x

x

A x x

d(x) ! 0 J)

A m (x) (U)

VXQHF 9

x oU

1 (x) (U)

f ,

(U) (U) 0

(x) (U) 0 , ! . . ) f (1) (1) 1 , $ $

1 1, 1 ! $

" (

f, . x / x 0, 1 f (x) ! (x) , !

fp

0 x 1 f (x) ! f (1) f (x) ! 1 ,

(x) (1) (x) 1

'$ $ 0, 1 $ " $ $ f + ! $ " $ $ . x / x 1, f f (x) (x) , !

f 1 1

1 x U f (1) ! f (x) f (x) 1 ,

U

n (0, U

1 x U

f (x) ! 0

(1) (x) (x) ! 1 ,

$ f (x) (x) , " x 1, U .

fp

fp

d !

i

).,.

$ $ $ : 0, f o \ " x * ( !) " .

ii) / x : x U

(x) 3 f (x) (x) (U)

x oU

f 2 (U) 0

fp

f (x) ! 0 f (x) ! f (U) 0 x U

0 x d(x)

f 2 (x) ! 0 , A m

f (x) 0

1 * ! $ $

.

f VXQHF 9

x oU

0 x 1

f (x) , x 0, f

J)

A x x

f , A m f 2 (x)

n (0,1) (0, U

f (x) 0 f (x) f (U) x x

1 2 x oU f (x)

Am

2

§ · ¨ 1 ¸ 1 1 ¸ f 2

A m (x) A m ¨ x oU x oU ¨ f (x) f (x) (x) (U) ¸ ¨ x U ¸ © ¹ f (x) f ( U ) 0 f (x) f (U) ! A m Am f d(U) 0 x oU x U x oU x U

U -

/ x t U f (x) d f (U) f (x) d 0 x t U ! 1 (x)

x

x

! 0 , $

f (x) (x) , " x U, f .

) ! $ 1, f $ " $ $ f + ! $ " $ $ ! $!: ) "

f, !

.

1 1 1 , !

2

f (x) f (x) (x) (U) x U

107 .3/54

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$ ) 1 $ $ $ ( 1) $ " $ $ f

$

0 D, f (D) , D ! 0 y f (D) f d(D)(x D) . & $

$ $ ( 1)

ยง Df d(D ) f (D ) ยท xdx, ydy % ยจ , 0 ยธ f d(D ) ยฉ ยน

* 0, f (D) Df d(D) . & + ! "( )./ $ * $ $ ( 1) 1 (2%)(2*)

( 2 2 Df d(D) f (D)

Df d(D) f (D) 1

f (D) Df d(D) 2 f d(D) 2f d(D) ! f d(D) 0 $ $ !

D( )f d(D( )) f (D( ))

(( )

2

2f d(D( ))

" " (d( ) ...

D( )f d(D( )) f (D( )) f dd(D( )) ย

2D( )f d(D( )) Dd( )D( )f d(D ( )) Dd( )f (D( )) 2 f d(D( ))

2

(x) f

x Ai

xo 0

)

, ) 8 - :

(0) 0 A (x 1) , " %& x ย > 0, f

2)

(x)

")

(x) ! (x) , " %& x ย 0, f

x

) 1. 201

2

ยณ

2018

(x) x ! 2

2018

(2)

2018

(1)

1

2. 8 $ $!

ยงxยท ยจ 2ยธ ยฉ ยน 1 ' # &' $ ; $ &$ ! (1, 2) ) )& ' %- x0 ย 0, 2

, $

2 - # " # 4 "

" $ $ x 0 , -) # $ x, (x) , % 2, (x)

2

201 (x 1)ยณ

2018

( )

2

2018

(x) (x 1)

2018

x ย 0, 2 % , ) 2

, 4 $ ' $ &8 x x. $!: ) 1 $ $ f x 0 0 , !1 f (0) A m f (x) A m x o0 x o0 2(x 1)f d(x)

ยง 1 1 ยท 1 ย 0 0 , A mยจ ยธ x o 0 2(x 1) f d(x) ยฉ ยน 2 ! A m f d(x) f . f (0) 0 x o0

2) / x ย 0, f

:

1 2(x 1)f (x) 1 ย 2f (x)f d(x) ย f 2 (x) d (x 1) f d(x)

&$ "

0

D( 0 ) 1 , Dd( 0 ) 1 ,

f (D ( 0 )) f (1) 1 , f d(D ( 0 )) f d(1) f dd(D ( 0 )) f dd(1) 3 , !

2 ,

(d( 0 ) D( 0 )f d(D( 0 )) f (D( 0 )) f dd(D( 0 )) ย 2D( 0 )f d(D( 0 )) Dd( 0 )D( 0 )f d(D( 0 )) Dd( 0 )f (D( 0 )) 2 f d(D( 0 ))

2 1 ย 3

4 2 1

2

2 2

!

3 %( (: 9$

$# '( $# & !$! : > 0, f o \ , " ! ) $' # : x

2

) " " $ ! $ &$ !

0, f

x

(x)

1 , " %& x ย 0, f

2(x 1) (x)

(x 1) d

ย f 2 (x) A (x 1) c, c ย \ / x

0 f (0)

2

D)

A 1 cย c 0 .

" x ย 0, f :

A (x 1) ! 0 ย f 2 (x)

f 2 (x)

ย f (x)

9 .

8

A

A (x 1) ! 0

A (x 1)

(1)

/ x ย 0, f f (x) z 0 $ f , ! $ ! $ $

0, f . (2) A mf d(x) f , ! f d(x) ! 0 " x x o0

x 0

0 f d(x)

1 , 2(x 1)f (x)

JLD N TH x ย 0, f , f (x) ! 0 "

107 .3/55

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x x 0

0

(3)

! (2), (3) ! f(x) ! 0 JLD N TH x 0, f

! $ (1) ! f (x)

A (x 1)

JLD N TH x 0, f . ! ) $ !

A (x 1) ,

f (0) 0 .

f (x) JLD N TH x > 0, f

") / x 0, f $ $ $ f h .,.&.

>0, x @ , ! >0, x @ >0, f

" " $ 0, x 0, f . -

[ 0, x , ( f (x) f (0) x 0

f d([)

D)

f (x) x

(1)

fdp

f (x) ! f d(x) x 1 $ $ f d " $ , ! § ·d 1 f dd(x) f d(x) d ¨ ¸ © 2(x 1)f (x) ¹ 1 (x 1)f (x) d 1 f (x) (x 1)f d(x)

0 2 2 2 (x 1) f (x) 2 (x 1) 2 f 2 (x)

" x 0, f .

f (x) ! f d(x) , " x 0, f

x

) 1. ! ( $ ") " x 0, f

:

x! f (x) ! f d(x) f (x) ! xf d(x) x

f 2017 (x) ! 0

2

M(2) 2019³ f 2018 ( )d 2f 2018 (2) f 2018 (1) ! 0 1

!"

1.

1 $ $ h

B a $ >1, 2@ , ! $

$ M(x) 0 , $ $ $ §x· 2f 2018 (x) (x 1)f 2018 ¨ ¸ ©2¹ 1

* $ 1, 2 . ) & + ! " ./' $ $ x : ((x) ( B)( ' ) 2 x f (x), x 0, 2 .

2

2019(x 1) ³ f 2018 ( )d

f (x) (2 x)f d(x), x 0, 2

(d(x)

(1)

: 0 [ x f d([) ! f d(x)

(

M(1) M(2) 0 , ! M(1) 2f 2018 (1) 0

(dd(x)

(d(x) d f (x) (2 x)f d(x) d

2f d(x) (2 x)f dd(x) 0 , " x 0, 2

1 $ $ d " $ $ (0,2), ! ( $ (d( $)

f (2), f

A m (d(x), A m (d(x)

x o2

x o 0

A 3, f . '$ , 0 (d( $)

$ d 1-1, " $ , !

! x 0 (0, 2) , (

(d(x 0 )

0.

dp

4 : 0 x x 0 (d(x) ! (d(x 0 )

0 ,

dp

x 0 x 2 (d(x 0 ) ! (d(x) (d(x) 0 1 * ! $ $ "(" (d(x) -

(x) ! xf d(x)f (x) x f 2018 (x) ! f 2018 (x) d !

2018 2 x 0 x0 2 2 x 2018 2018 d ³ f (x)dx ! ³ f (x) dx

d(x) 1 1 2018 2

2 1 1 2 2018 ª¬ xf 2018 (x) º¼ ³ f 2018 (x)dx ! f (x)dx ).,. ³

1 2018 2018 1 1 2 2

! x 0 (0, 2) , ( 2018³ f 2018 (x)dx ! 2f 2018 (2) f 2018 (1) ³ f 2018 (x)dx

+ ! " ./' " " 1 1 2 x 0 .

2019³ f 2018 (x)dx ! 2f 2018 (2) f 2018 (1) 2 -) : (2 ! $)

$ $ $ 1 ((x) + > 0, 2@ . '$ , 2.

$ $ $ f

2018

2017

2 §x· M(x) 2019(x 1)³ f 2018 ( )d 2f 2018 (x) (x 1)f 2018 ¨ ¸ ©2¹ 1

x >1, 2@ 0, f

1 $ $ $ >1, 2@ ,

2 x f (x), x >0, 2@ . 1 ((x)

>0, 2@ * "

((x)

!. & * , ! ((0) ((2) 0 " -

107 .3/5

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- !

%& " ! #% # --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

! $ x 0 ((0, 2) . & x0 !"

rma * $ (d((x) ,

R

, !"

!

x 1 ย f x x 1 ย f x

M( )

x 1

f x

f x f

x ,

ยง f x A m M( ) A m ยจ x 1

o0 o0 ยฉ x 1)f d x f (x) (11) (x

f x f

ยท

x ยธ ยน

/ x ย 0, f :

x 1 ย f x x 1 ย f x x 1

Am o0

x

(1)

ย (x x 1)f d x f (x)

4!

%( (: 9$ ) " " $ ! $# & & !$! : 0, f o \ , " ! ) $' # :

Ai

ย

x 1 ย x x 1 ย x x 1

o0

2

x

" %& x ย 0, f %

(x))

ยณ x 1 x 1 1

) $! ! $# & !$! ? (x) 2xx2 4x A x 5x2 4x 1 , x ย 0, f

) , ) 8 -

(x) ((x 1)A x , x ย 0, f

2) , ($

! ! ) ! %# -

!

% 2

$! % )( ( ! " %( ) &$ $ $( ! .

! $# ' , 2

2 - # ' # # ) # ) % % )-- ! " %( ) ) &$ $! ! , ! ) !

! ! " %( ) &$ $! ! ! $

$! % )( 1

! % # x % x . ") i. , ($

! $# &

!$!

! % % -

.

ii. , $ $

8 $ $ $ :

x

5x 2 4x 1

2018

x 2x 4x x ) ?

2

x

x 2 2x 100

, x ย 0, 0 f

5x 4x 1 (x) 2

) )

, $!

()

( 4)) $ x, ((x) ,

% 2 x, (2 x) x ย 1, 2 , ! " %( ) &$ $ $! ! . , , ) 8 - " % %& x ย 1, 2 ! % $! ! ! # 4

4 "" ! # 2. * - ! % $! ! # 4

-

x $ 1 $!: ) / 0 x ! 0 :

x 1

2

x (x ( 1)f d x (x 1)df (x))

x 1

ยง f (x) ยทd ย ยจ ยธ ยฉ x 1ยน

ย

2

A x d

f (x)

ยณ x 1 dx ยณ A

1 XS!THHVK

ย 1

2

ย

1 x

f (x)) A x c, c ย \ (2) x 1

xdx c( 1)

1

> xA

x x @1 c( 1)

(3) ย 1 1 c( 1)) ย c 0 f (x) A x ย f (x) ! ! (2), (3)

x 1 x ย 0,, f

"

x 1 A

x,

2) 1 $ $ $ f "" " $ 1 A x d x 1 dA x (x 1) A x d

f d(x) (x 1)

x 1 1 A x 1 , x ย 0, 0 f

x x 1 ยทd 1 1 x 1 ยง f dd( x) ยจ A x 1ยธ

, x ยน x x2 x2 ยฉ x ย 0, f

A x

x 1 0 ย x 1 0 ย x 1 x2 x 2 !0 x 1 f dd(x) ! 0 ย 2 ! 0 ย x 1 ! 0 ย x ! 1 x x2 !0 x 1 f dd(x) 0 ย 2 0 ย x 1 0 ย 0 x 1 x 1 * ! $ $ f dd !

: f dd(x) 0 ย

0 x f dd(x)

f

10 07 .3/57

i

1

1, f (1)

.3.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

: x . f dd(x) 0 . " x $ 0, 1

$ f $

$ f $ $ 0, 1@ . x

1

ยชยง x 2 ยบ 1ยง x ยท ยท ยชยฌ x 2x ยบยผ 1 ยซยจ x ยธ A x ยป ยณ ยจ 1ยธ dx ยน ยฌยฉ 2 ยผ1 1 ยฉ 2 ยน

0, 1@

1

$ f $ >1, f .

...

$ f $ >1, f .

y 0 f d(1)(x 1) , $ y 2(x 1) .

$ $ $ (x) f (x) 2(x 1), x ย 0, f .

1 $ $ $

ยช1 ยบ ยซ , ยป ย 0, f , ( . ยฌ ยผ : (x) t 0 , " x ย >1, @ ย >1, f , !

$ f >1, f , ! $ " $ , $ !, + ! $ $ $ y 2(x 1) , ! ! $

( $ ) !. ยช1 ยบ (x) d 0 , " x ย ยซ , 1ยป ย 0, 1@ , ! $ f ยฌ ยผ $ 0, 1@ , ! $ " $ , $ !, + ! $ $ $ y 2(x 1) , ! ! $

( $ ) !. & *$

+ !

(

1

ยณ (x) dx ยณ (x)dx ยณ (x)dx 1

1

1

: ยณ (x)dx 1

(4)

1

1

1

1

1

3

1

ยทd

4

+)

4 f (x) 2(x 1) 4 (x) , x ย 0, f

1 * ! $ $ "(" d !

x d(x)

0

f

1 0

). . : d(x) 0 " x $ 0, 1

x

$ 0, 1@ . $

" $ $ 0, 1@ x

1 ยชยง x 2 ยบ ยท ยง x2 ยท1 ยชยฌ x 2x ยบยผ 1 ยซยจ x ยธ A x ยป ยณ ยจ x ยธ dx ยน ยนx ยฌยฉ 2 ยผ1 1 ยฉ 2

"

1

1

2

8 3 2 2 7 4 2 ") "1. 1 $ $ " " $

2 d(x) 2x 4x A x 5x 2 4x 1 d ...

1

2

4

ยชยง x 2 ยบ ยช x2 ยท ยบ 2

x x A ยซยจ ยป ยซ x ยป ยชยฌ x 2x ยบยผ1 ยธ 2 4 ยน ยผ1 ยฌยฉ ยผ1 ยฌ 2 1 8 3 ...

4 *$

+ !

2 7 1 8 3 2 ยณ (x) dx

4 2 4 1

.

ยชยง x 2 ยบ 1 ยง x2 ยท ยท ยชยฌ x 2x ยบยผ 1 ยซยจ x ยธ A x ยป ยณ ยจ x ยธ A x ddx ยน ยน ยฌยฉ 2 ยผ1 1 ยฉ 2 2

7

ยง x2

ยณ (2x 2)dx ยณ (x 1)A xdx 2

2

2 ยณ (x)dx ยณ ยจ 2 x ยธ A xdx ยชยฌ x 2x ยบยผ1 ...

1 1ยฉ ยน

$

1 ยงx ยทd ยชยฌ x 2 2x ยบยผ 1 ยณ ยจ x ยธ A xdx 1ยฉ 2 ยน 1

1

ยชยง x 2 ยบ ยช x2 ยท ยบ ยชยฌ x 2x ยบยผ 1 ยซยจ x ยธ A x ยป ยซ x ยป ยน ยผ1 ยฌยฉ 2 ยผ1 ยฌ 4 1

2

f dd(x) ! 0 " x $ 1, f

f dd $ * x 0 1 * ! $ . $

(1, f(1)) , $ (1, 0) $

$ " $ $ f.

1 $ $ $ ( ) $ " $ $ f $

$ 1, 0

1

2

1

d(x) ! 0 " x $ 1, f

$ $ >1, f . $ " $ $

>1, f . " x 1 * (1) 0

"2 .

/ x ย 0, f

:

, ย

2018

5x2 4x 1

107 .3/58

2018

2018

ยง x 2x ยท ยจ x 1009 ยธ ยจ ยธ ยฉ ยน 2

ย

5x2 4x 1

x2x 4x 2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ! %& " ! #% # ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------A 1 1

5x 2 4x 1

ย A

A x 2x

2x

ย 5x 4x 1 2

2

4x

ย

4x A x

2

(x) ! 0

(1) , "

x ย 0, 1) ย (1, f , $ " x=1 * 0. & $ $ (44) 0, f . / x ย 0, f

: A 1 1

,, ย A

x 2x

2

4x

A

ย 2x 2 4x A x

5x 2 4x 1 f (x)

ย 2x 2 4x A x 5x 2 4x 1 f (x) (x) ! 0

(1) 0

x ย 1, 2 ย 1, f

(7)

! $ f >1, f

! (6), (7) ! $ $ ! f (x) f (2 x) O(x) ! 2 , " x ย 1, 2

2(x 1)

! $!: 1 ! $ (7)

,& $ >1, x @

5x 2 4x 1 f (x)

ย (x) f (x) ย x 1 !

(1) , " x ย 0, 1) ย (1, f , -

2 -) : (, )

$ f (1) 0 f (x) 0 f (1) ,

)- 8!: / x ย 1, 2

" x ย 0, 1) ย (1, f

O(x) ! 2 ย

)

/ x ย 1, 2 $ $ $ .

O(x)

f (x) f (2 x) 2(x 1)

1 -) : ( .,.&.) / x ย 1, 2 0 2 x 1 x 2

f (x) f (2 x) 2(x 1) f (x) f (1) f (1) f (2 x)

2(x 1) 2(x 1)

f (x) f (2 x)

2(x 1) 2(x 1)

" $ 2 x, 1 ย 0, f .

[ ย 2 x, 1 f (1) 0

f (2 x) (5) x 1

f $ 0, 1@ , ! $ f d " $-

0, 1@ ย

fdp

x 1! 0

ย f (x) f (2 x) ! 4(x 1)

(8)

$ $ $ M(x) f (x) f (2 x) 4(x 1), x ย ' >1, 2

! $ " $

$ '. &! " x ย 1, 2

M (1) 0

1 x 2 ย M(1) M(x) ย M(x) ! 0

1 $ $ f $ > 2 x, 1@ ย 0, 1@ h .,.&., ! > 2 x, 1@ ย 0, f " -

f (1) f (2 x) x 1

f (x) f (2 x) !2 2(x 1)

Mn ย

O(x)

, ( f d([)

(6)

$ ! +) ! x 1! 0 f (x) ! 1 , " f (x) ! 2 x 1 ย 2 x 1

ย 2x 2 4x A x 5x 2 4x 1 0 ย (x) 0 ย x 1 !

(1) 0

f (2 x) !1 2 x 1

(8)

ย f (x) f (2 x) ! 4(x 1) ย O(x) ! 2 x

0 x 1, ! $ , .

$

(1, 0) $ " $ $ f. '$ , $ .

$

$ $ " $ $ f $

$ , ! $ $ $ " $ f d(1) 2 . !

!

! f (x) f (2 x) A m O(x) A m x o1 x o1 2(x 1) 025)+ ยง 0ยท ยจ ยธ ยฉ 0ยน

A m x o1

(5)

: 2 x [ 1ย f d([) ! f d(1) ย

f (2 x) !2 x 1

f (x) f (2 x) d 2(x 1) d

f d(x) f d(2 x) ... f d(1) 2 2 d ) (

! $ "(" (

A m x o1

107 .3/5

-* + % " +- '! 0 46!

) : " . 5 $$-) #

5 " : * ) $ ( 4 ! 1959 <! %( ' ( ! %& (5 " ) 8 $ : * ) D & # - ) % A( ! 2 : ' "( " ./ . =", / =+, + ". ; # ' $ ). )'= , + . ".

J 4)- 8!: .= (1) D 2O O 2O 0 = Â&#x; 2. = Â&#x;2 2. 1 = ) $ '=180 2 % Â&#x; $ (1800 2 % )= D D D 2 2O D 2O Â&#x; 2. = (2).

D 2D

(1),(2) Â&#x; . =

J2 = D2

(1) D 2O 2O 4O 2 8J 2 Â&#x; 2"2= 2 2 Â&#x; 2 2 2"2 = 0 Â&#x; = = O 2 2J 2 O Â&#x; 2 2D

J O 2 2J 2 O

=

J ( O 2 2J 2 O) = O 2 2J 2 O 2

O 2 2J 2 O .

2J

= " 2 : * # ' 1 58- <! % , -" !' % . !"! ( : . * " # &% .

A( ! 5 : * $ ( x2 x =0 (1) " * $ ( x2 x =0 (2), , ! ( (x) = x (x 1) O 2 2P +(

(x) = x2 ( )x 1, z0.

P ! $!: ! $ $ A0, $ A0, ! $ $.

4)- 8!: 1, 2 * $ (1), ! 1 2 = 1Â&#x2DC; 2 = , !

(U U2 ) 2 2U1U2 U 2 U2 2 U U2 )x 1 = ;(x) = x2 1 x 1 = x2 1 x 1 = x2 ( 1 U1U2 U1U2 U2 U1 U U U1 U2 U U U U U Â&#x2DC; = x(x 1 ) 2 (x 1 ) = (x 1 )( x 2 ). x2 1 x 2 x U2 U1 U2 U1 U2 U1 U2 U2 U1 U U U ! ! 1 A 2 , $ 1A 2, 1A 2, ! 1 (x) (x 1 ) U2 U1 U2 U U U

( x 2 ), $ ! : ( 1 )= ( 2 )=0 ( ).

U1 U2 U1 Q

Q

Q

Q

§U · §U · §U · §U · / ( ) , ¨ 1 ¸ 1 ¨ 2 1¸ =0 ¨ 2 ¸ 1 ¨ 1 1¸ =0, $ © U2 ¹ © U1 ¹ © U1 ¹ © U2 ¹

1 ( 1 2) 2 = 0 ( ). % " : (2) Â&#x153; x2 ( 1 2 ) x ( 1Â&#x2DC; 2) =0 Â&#x153; x2 ( 1 2 ) x ( 1Â&#x2DC; 2) =0 , * 1A0 : 12 ( 1 2 ) 1 1 Â&#x2DC; 2 =0 Â&#x; 1 ( 1 2 ) 2 =0 Â&#x; ( ).

1

$ ! p(x) (x ) (x

+), ! A+, ! (x

107 .3/60

)(x +).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? * ) ' -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(ii )

1 2 = A0 Â&#x; 1 A 2. $ 1 A 2, ( : 1 = 2 Â&#x; 1 (2 1) Â&#x; 1 =0 Â&#x; =0, .

1 =0 Â&#x;(2 2) 1 = 0

*+ 5 + <4, + . .*. 1 57 5 "

8 $ ( : " %-) # ( " 5$ ! - & $)

! ! $ ' $

),

'. . Â&#x161;

A O

Â&#x161;

1 , % O '

J 2 !

§J · § J · W D (1), $ HM ¨ 1 ¸ Â&#x2DC; HM ¨ 2 ¸ ©2¹ © 2 ¹ L D . - $ ! $ ! $ (1) ! $ " $ $ 1! Â&#x161;

1 2

; $ ), $ $ . : A O

Â&#x161; J1 J 2 J1 J 2 J1 J 2 J2 0 O ' .

2 2 2 ! "( " ),' : §J J · § J J · 20 WÂ&#x2DC;VXQ ¨ 1 2 ¸ (2) ! ) "( " ),. ! 20 DÂ&#x2DC;VXQ ¨ 1 2 ¸ (3). © 2 ¹ © 2 ¹ §J J · §J J · § J J2 · VXQ ¨ 1 2 ¸ VXQ ¨ 1 2 ¸ VXQ ¨ 1 ¸ © 2 ¹ W © 2 ¹ © 2 ¹ W D ! (2) (3) : § J J2 · D §J J · § J J2 · W D VXQ ¨ 1 VXQ ¨ 1 2 ¸ VXQ ¨ 1 ¸ ¸ 2 2 © ¹ © ¹ © 2 ¹ §J · §J · 2 Â&#x2DC; KP ¨ 1 ¸ Â&#x2DC; KP ¨ 2 ¸ W D 2 §J · § J · W D © ¹ © 2¹ HM ¨ 1 ¸ Â&#x2DC; HM ¨ 2 ¸ .

2¹ 2 ¹ L D § J1 · § J2 · W D © © 2 Â&#x2DC; VXQ ¨ ¸ Â&#x2DC; VXQ ¨ ¸ ©2¹ © 2¹ Â&#x161;

, 0O%

Â&#x161;

$ 2 ' 2$ A $' . ! "( "

D 1 D §J · § J · 1 VXQJ1 W W D . ) ' ! VXQJ1 ! " HM2 ¨ 1 ¸ HM2 ¨ 1 ¸ D W W D © 2 ¹ 1 VXQJ1 © 2 ¹ 1 W 2! ( ( ( $ ) $ " $, ! J1

J " ).' : M J 2 ' 2 2 Â&#x161;

J2

Â&#x161;

M ' .

2

§M '· HM ¨ ¸ 2' 2$ © 2 ¹ ()' ) ) ! " )' $ " $ 2' 2$ §M '· HM ¨ ¸ © 2 ¹ §J · §J · §J · HM ¨ 2 ¸ HM ¨ 2 ¸ HM ¨ 2 ¸ W D W D W D © 2 ¹ HM § J1 · Â&#x2DC; HM § J 2 · W D . © 2¹ © 2¹

¨ ¸ ¨ ¸ W D W D W D § 180R J1 · § J1 · § R J1 · ©2¹ © 2 ¹ L D 90 VM HM

HM ¨ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ 2¹ 2 ©2¹ © © ¹

107 .3/ 1

5B 4B4 EB + : <&$ % - & ) , " )!

- % 8 ) $ ( ,48 61 3 j& 31 , O ! $"$ 3% & 25) /. % % & 254'1 , O !

3 $"$ 3% &$ & $ 06-02-2018, $ # '1,1&51 3 5 / j5/), " $ , $ ! $ , " $, ( ! " $ ! "( " $ $ . $

$ $ $ $ " # ! m m r am. ) '$ $ 3 " ( " $ ! !

!, & + , ! " " ! 78 ! ,

$ #$ " $"! ( ( # ( $ "! $ " . , " , $ ( $ 3 , '$ 3 " ( " $ ; $ % $ $ ( , ! ! , $ &

. ; $ ! N r y f r, (1

. , .! 4 ) !

4.3.2., ! ! !

. % $ , ! $,

!

!

, ! : , " % "

, $ , ! ! , , % $ . ' " / 6 $ (

! !

( $ ( . % $ ! " $ '. ., (5) $ $ ! $ 6 "( , $ $ ( . .6.,. .) $ . 2 $ $ ' /

6 $ 2 " % . (6) ! % " " ! 4 ,

! %

+ "! , ( !

1997 2000 ! '. . 3 . & 1998, $ 6 & $ % " " &

;.%.: .3.%. . 2002 " 3 $"$ &

$ '

( $ ( . 2 ! ! $ , $ ! $

$ ! $ ! $ ;.%.:. ! $ ! & $

$ ( $ ( % $ $ ( .

1 $ % " " ! 4 , 3 ! % $ ( $ $ "

$ $ ! $ . ; " ! " $ ! "" ! " . ! ! + + , " # 10 $ ""

! ! 60 . ! + ,

" + $

" ! " & $ % " " &

;.%.:. 3% . % $ "

> , $

$ . ) '$ $ 3 " ( "

( . ' " " ! ! / ( , ( , " ( $ $ * $ + $ $. 1 " + + ! $ 2005 % ! ! arma a : r par r a a f rma a d a . pr r r p ( 86-91), !

# ( r f. ) '$ $

#$ ( $. 2 ! "( " $ + $ $ $ $ $ " $ $ + $, , ! $ .

" $ ! . 2

, (! ! $ ! ) $ $ * ' ! $ " . " + , ( ! !#

+ $ ( $ $ . % !+ $ ! . %

!" $ " ! $ ( " $ * . ! ! " ! # " ! $ , $ ! $ ! . 1 + , !

!

+ + ( ! $ #$ ( $ " ! , ! !

, 3 3 $, 2002, &

;.%.:. % $ $ ( ! #

$ $ $ , ! , 1 #$

: ) # ' ' #. # # "

& ' #$ 5 , $ # , $ , ' & $

* ) $ !' , " ' !' # ' # #

6 ( " )#

. 7

, # # $ , !'

( ( ! ' " # , # " )5. 7 # #$ , $ , '

( "

# #

, $ $ # " ' # ( & ' # 5 , # " !" # $ . ' ( " , $ '

, " # ' , # # # # # # # # # ' ' ' 8# ' . ) , # $ $ # $"

, ' #$

! # . $ " ! " # # -- ! # # -- #

, $ " " #$. * , #$ , # # # # . ' ! , #$ #

# #$ * & ' # #$ . ( $ $#$ $ " $ 4 , " !

"

* ! * $ , " !" . 1 $ ! , !

"

, + ,

+ $ . " $ *

+ , ! ! ! ! ,

" $ " ! .. 3 , $ ! $ , . " $

'$ $,

! ! ,

$ ! $ ! $ ! "

! " ( , , $" + $ . ( $ /$ .

$

$

() ) *

(

! + + $

# "" # # ) &" # #

' 0 '

& $ !" " " : 9 "" ) ! $ ! . 9 " Ȇ ȆĮȡȝİȞȓįȘȢ # # "

ǽȒȞȦ ȦȞ! ) ! $ ! . ' +

" *$ , " "

" " . % !

$ ( $

!# # . &

* $ $ , $

$ $

" ( , $ $ $ $ $ $ ! $ $

. ) A( A " " "

! ! $ . $ ! " " ! , ! ! $ !" , $ *$ $ ( $ $ $

( $ $

% & # # , $

" $ * % # : * * "

$ # ; ( $

% & ! .

3 A A( $ : * (

#

.

1

" $ " , $ # ! * $ 1 +

"

$ $ . !! !

$ ( "

$ .

!

$ !

$

! $.

& $ $

. ) * ! A( ( $ ! 433 .8 8. & $ $

! +$ $ $ ( . * ) #

, ȃȑĮȡȤȠȢȢ, ĬİȝȚıIJȠȖȑȞȞȠȣȢ. ) $

. ) ( , $. ) !

( .

1 $.

) , ' A( ( ! k ! ( k ! $ $

(

$ $ " "

! ). ) A( ,

, " !$ $ . &$ & ! $ $ !

$ , (

$

$, ($ + + . , !

( , ! $" $ , ' . $ "$

! ! # # !, , '

! "

( ( . 1 $# # : : ' $ ) . $ " ,

( , "

$ ! ,

'

, # # # . 0 " '

# " $ '

. & 5 ' " , - ". & " # . ) # "" #$ . ' '

" ',

! # !'

" $ 1 ' 10.

" .' . $ "

, . ) A( (

, $ " * ( . 3 + !

$

, , !

, $ ! $

$ ! $. / !, +

$ " " .. ) , " , ! " !$ . . . & ! + , $ $ * !. &

$ * $ $$ $

$ $ $ ! . 1 ! ! $ $ $ $ + ! , " $ $ !.

1

!

$ ! . , * $ !! , $

1

) A( $ ( " .

10 07 .3/ 4

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 * & 8 # , & ' # -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. 3 !

, !

A( . ) ( + "$ , ' . 1 $

: 0 ' $ $ ' ' ' , . ) A( , ! $ , : ! # $

. ) , ' " + . ) " " $ ! $ . ) A( !

, #

( :

$ $ $ , $ ' ( , ! ( " $ !$ . . . ) ( + " $ . , ! ( , , '

$. & !

. . . 3 ( $ " ! $ " + : 0

; ) A( $ : 0 ' $ . ) " $ $ $ ! ! . / , $

, $

, # A(

!+ $ $ $ # ! . ) , ' * ! ! . ,! , " $ $: - . - # ' $ . ' ( A( "$ ! + . ) , ' , $ *

$ $" . %

! . ) ( !

! . & !" : ; . 0 " . . . ) ! ! ! * ! . 3 !

, $ " ! " ! ! $ $ . & ( "$ ( , $ . &

! ! .

) ! " # " $ $ $ ! : #$ ǽÈ&#x2019;È&#x17E;ȦÈ&#x17E;Ä®, # ' # $ , # # "

) $ . ( $ ' . . . 6 $ ' # #

$ . ' * # # , $ $ ' " .

& "" " A( " $ = "

$ . ) $ !" + $ " $ " " .

* $ " $ " , ! , ! , ! ,

$ A( . ) ($ " # !" , - " : "( , ' , $ , $ "$ $ "!

# ( 2 $

3! , A( : )

. 1 ( !. ) $ ( ! ! " * ! " " ! ( .

0 ( , ! " ! ! ! , ! ! . &

$ $: / ǽÈ&#x2019;È&#x17E;ȦÈ&#x17E; . " #

! * $ ! " ! * !.

l ! ! , " ! 3 + , !

$ ! , !" , & ' #: ) A( " * .

* ( !$!: & ! " . ) , & ' # $ , $" . & " " ! " .

2 " ( ! ( A( .

3 ) 4 $

! " ; n o ! (+ + 7c).

107 .3/ 5

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 22( # #% % ! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7 7* +

# 1//)

: & !

(

""" ! #$

#

' ( "

' &

â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x201C; ' & )$"

. . 5 &

"" ! $ $ $ $$ 276 100 ! " 5$ ! ! $ & $ $ 105 ! $ $ + #% ! ) ... . 3 !, "

"

" %- $ - $ %( (

& ( $

+

, $ ! ' !% / ! $ ! ar o i i o (1798 11867) " $ ! * 2 %( *

..

$

, ! , *

! * "

$" $ ( ( % + /

3 $$"$ .,.% . # %& !

d !!

% + /

3 $$"$ .,.%. * * " ! . -) ) # # ( $ 1971). 2 *

! ! "

$ "

( . .

$

,,.,/: . / /. ). ,.,/

$

* ) " + **

( . ./) $

!"

/ ( ./) .

$

/. ,.,/,'

$

( ) , * ) - ( %-) -" $

(

+ *

( ./'), $ ( ! !" , $

!:

( ./')

( ./) ( .')

/ ' : /. '.

$ $ . / $ ! $

$ $ " +

+ "( . 4 " 2 %( ( (

+ ! "( ./ / *

! ../ , ! $

!

+ ! ""( ! $

$ $ ! " " $

$ ./ $

( " $ $ ( ).

% " : (+

1). / ' / Â&#x2DC; ' Â&#x2DC; : ( . ./') : /. '. /. Â&#x2DC; '. Â&#x2DC; 2 ))/ 2 )' : 2 /). 2 '). Â&#x161;

Â&#x161;

(1).

( ./') 1 $

** %( ( $ , %& $# ;#"(

4, .. ,+,",

$

$ ) ( )

$

! $ ! ),,

$ $ ( ( $$

,.,/,'.

! ! !" ( ./')

$

( $ ! $ ( )

! ! $ $ (

Â&#x161;

) ) Â&#x2DC; )/ Â&#x2DC; $ ( , ") ) Â&#x2DC; ) )' Â&#x2DC; $ ( , ) : Â&#x161; Â&#x161; )/ ) Â&#x2DC; ). Â&#x2DC; $ ("",+) )' Â&#x2DC; ) ). Â&#x2DC; $ ( ,+) Â&#x161;

$

( , ") $ ( , ) : Â&#x; ( ./ /') Â&#x161; Â&#x161; $

(",+) $ ( ,+)

Â&#x161;

Â&#x161;

$ ( , ") $ ( , ) : Â&#x161; Â&#x161; $ (",+)) $ ( ,+)

Â&#x161;

,

Â&#x161;

$ ( , ") $ ( , ) : (2 ( ./') 2) . Â&#x161; Â&#x161; $ (",+) $ ( ,+)

$ (2), $

$ , 1 , .1 , /1 ,'1

$

$ $ )( + +" )

$ $ ( 1) ! ! $

) ! ! ! : ( ./') ( 1.1/1'1 ) . '$ ) - -"

$$& $! % &

10 07 .3/66

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 22( # #% % ! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

)

#' #

$$ $ %

! $ ! " ) () )

#$ $ , ) # ' ) %

! $ ! ! . () $ . ./' 1.1/1'1 ** ) ) ) % .)

( $

) - -"

$$& %

) ) ! $ ! ,,

) - -""

$ $$& $! % & &

) #

#' # # ) ) # ! $ ! ! . , $

$

, ! $ $

* % %( $ !. , + $ $ $ !"

$

! $ $ (2) $ ! : 4 ! $ ! )( ,+ +, ", ) %( % " A , -

% " % '

-

! "

# % 2. (+

(2)).

Â&#x161;

( ./')

% " ,, : ( ./ /')

Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x153; $

$ ( , ") (",+) 0 Â&#x; ( , ") (",+) . '$ $ )/ $ $ " ) ). ! $ )', $ $$ )/,

$

$ . !

(

" $ '( # # $

$ ) ) * ) ( ) (

%- #

&) # . "

, * ! : 1) 5 $$ $! 1 , 2 , 3 , 4 $ %- # * ) (

% : $$ $ % # 1 , 2 , 3 , 4 , 8 ) # # 1 2 , 1 3 , 2 3 , 3 4 , 2 4 , 4 1 ( * ) " $! '1 ,,' 2 ,' 3 ( $

( )

Â&#x161;

$

( , ") $ ( , ) : Â&#x161; Â&#x161; $

(",+) $ ( ,+)

1 . Â&#x161;

Â&#x161;

$ ( , ") $ ( , ) :

, 1 (3). Â&#x161; Â&#x161; $ ( ",+) $ ( ,+) Â&#x161; Â&#x161; Â&#x161;

(", ) Â&#x153; (",+) (+, ) Â&#x153; "A : 2 2 Â&#x161; Â&#x161; Â&#x161; Â&#x161;

(+, ) (",+) Â&#x153; ( ,+) (",+) , 2 2 Â&#x161; Â&#x161; Â&#x161;

$ ( ,+) $ (",,+) (",+) (4).

2 Â&#x161; Â&#x161; Â&#x161; Â&#x161;

( , ") Â&#x; $ ( , ) ( (( , ") ! $, ( , ) 2 (5). 1 (3) + (4),(5) " : Â&#x161;

2) 5 $$ # ,++,", $

!

$ , * ) (

&) # : $$ ) # ,+,"", , 8 % # 3,6,,,,-, ,. ( $

( ) " # 1 , 2 ,

3 ( *

).

Â&#x161;

$ ( , ") ( , ") 1 : Â&#x161; Â&#x161; $ ("",+) ("",+) Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x153; $ ( , "") (",+) $ (",+) ( , ") Â&#x153; Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x153; $ ( , "") (",+) $ (",+) ( , ") 0 Â&#x153;

10 07 .3/ 7

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 22( # #% % ! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

; , ,

" % %- $ - ! %( (

& $ %( $ ! ,

! $ $ + ! .

1).

) (

%- # # 36,-

,. ! "( $ . 1 . .

! !

$ /,' '.

$

3.

", 3

. ) ,+,",

$. % " , ! 36,3

$ ,. * " /,'. ') 1 ( , ,+,", '$ ( ./'

$ 3

%( $ ! !.

( $ &$%! !$! 27 . # ' " "( ./

$ .

1 . $ / 7 $ / $ . 1.

1 $ 17 $ '

!

1 '1 1

: . (. ) 7 '7

! $

/,'

* " ,.. '$ ! : ( ./') 1 . % "

, $

$

$ 3 3 ,3.,3/ /,3'

! $ $ !

. 6- : ( ./') (6-5') (33). 1 $ $

$ , , ,,.,,/ /,,' !! $ ! .

6- : (6-5') (. /') (4). ! (3),(4) : ( .') ( ./') (. /') (( .'/) ( ./)

1 1 Â&#x153; ( ./') 2 1 (5). ( ./) ( ./') ( .')

/z'

( ./ /') z 1 , ( ./') 1 .

!

2)

) ( ) )

&) #

, , ,

,+ "(

! $ '

! $ " 1'7. 4 ) ! ( ($ # , $ ! ! $# ' % $ $#"% % , )-$ -

&$$ %(

&

%( $ ! !.

!

1 7 .,/ / ! ""( $ , ( $ ' ,

$ ./

71 .

, $

', * "

.,/..

3 , (./' ) 1 ! $ $

., /, ' ',

((71 ) 1 , $ ,

* " 7,1.

7 &! , !

$ $

'

'7,' ' ,'1,'

$

' A ' , ! ! $ ' ! $ " 1'7.

10 07 .3/ 8

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2( # #% ! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ÂŤ Âť Rolle

( ! . #

" $ $ ( $ olle,

$ "

. 1 ! $

olle ! ! $ $ " ! $ ! $ ! $ ! !

$ ( ( , ! $ $. & ( $ $ $ " . & ( $

olle * $ $ *

$ $ f x =0 1 , . ! $ a, b ,

! $ f x $ $ > a, b @ " " $ a, b

f a =f b . !

! " $ $ , ( $

(1) ( " $ " $ $ $ $ , !

( $ : Č&#x2020;ȍȢ Ä˛Č ÄąČ&#x203A;Č&#x2018;ijIJČ&#x2DC;Č&#x203A;İȢ; & ( !

" !,

$ #$

$ + + $

+ ! " $ . i o (1 52-171 ): / , $ ! "

" ! ! ( ( $ $ 1691 Demonstration d une ethode pour resondre les Egalite de tous les degre . 0

, $ , ! $ ' $. '$ " Tra d br

( . !

+ x , $ $ ,.3.'.

" $ " " $ ! ca cad

( . ? 1 : 4 $# ($ : > , @ o \ , : > , @ o \ $# ' $ > , @ , ) " " $

$ ,

,

x z 0,

4)

" %& x Â? ,

z ,

,

- ) 8 :

) )& ' x0 Â? ,

a = b , ! ! ( $

" . a z b . $!: 4)

)

(

f x0 -

f b -f a

b - a

$

x 0 =0.

$

x 0 Â? a,b ,

! $

x 0 Â? a, b . 1 1

$ "

$

x =0,

f b -f a

b - a

- x0

.

- x0

olle Â? a,b

,

) #

(

f b -f a

=

f x0

,

=0 $

b - a x0

f b -f a

$ f x x =0 1

b - a

f b -f a

! x =f x A x k 2 ,

b - a

$ . ( " $

x

* A, k

*

! ( $ olle, $" " f x ,

x . % " $ x

$ $ > a, b @ , " " $ a,b

a b .

! ( $ olle x 0 Â? a, b , x 0 =0 . * ( !$!: % $ ! x

$ $ $ : > a,b @ o \, x =x, !

( $ $ , $ & . / " * $ $ * 3x3,

! ( $ $ , $ & " f x , x , x ,

$ > a,b @ " " $ a, b . &! x 0 Â? a,b , (

107 .3/

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2( # #% ! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f a f b f x0

a b x0

a

b

x0

0. (

: > a, b @ o \,

x

1, ! ( .

? 2 : 9$ $# & !$! :> ,

@ o \ , ) # $# '( $ > , @ , ) " " $ ! $ , %

0. 4) 8 - " %& $# & !$! : > , @ o \ $# '( $ > , @ % ) " " $ ! $ , , x z 0 " %& x Â? , , #)& ' # x1 , x 2 Â? , ,

$

x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 % x1 z x 2 .

,

$!: / $

x2 f x2

x1 f x1 =-f x1

!

f x 2

$. ! x1 , x 2 *

x f x

(

f x =0 1

x f x -f x =0 2

$

! . % " ( ( ,+), $ $ 1

"

2

2

x

"

x = - x f x =

f x

x

x

x f x

f x =0 ,

x f x

- x

- x

1

x

0 , !

f x =0 ,

2

x

" $

1

1

:> a,b @ o \,

0 , !

2

x , 2 x

1

x =

:> ,b@ o \,

x

2

f x $

x =

f x

x

,

h

olle. x1 z x 2 , ! $ ( $ $. x1 =x 2 = , ! $

ª f ºŸ ªf ºŸ =0, ! $ f =f =0 x z 0 " x � a, b , f [ f [ 0. &! f a =f =f b =0 " *! !

2

2

@ o \, 1 x = x f x

+ $ ( $ olle, " x1 Â? a, [ , x1 f x1 f x1 3 , " $ ! $"

+ $ $ f x

$ $ 2 :> ,b@ o \, 2 x = x

+ $ ( $ olle, " x 2 Â? ,b , $"

" $ $ $

x2 f x2

1

:> a,

f x2 4 , x1 x 2 .

3 , 4

$ " $ ( ).

& " x1 , x 2 Â? a,b , ( x1 z x 2

x1 x2 f x1 f x2 f x1 f x2 0. ! " $ $ :> a,b @ o \ > a,b @ x z 0 " x Â? a, b , + *! $

* ( !$!: "

" " $ a,b ,

$ . / " "

S $ $ f:> 0, a @ o \, ª0,a ºŸ � ª 0, ¸¡ ! $ > 0, a @ , " " $  2š 0, a f 0 f a 0 ,

*$ $ $ x1 Â? 0, a , x 2 Â? 0, a

1 z 2 f x1 f x 2 f x1 f x 2 ! 0. ! " : > 0, a @ o \

$ " !

. ? 3 : ? $# ($ ) " " $ ÂŞ

$

2

,

.

2

:> ,

@ o \ % : >

4) 8

-

º ª8 º ª8 8  ³  -2 ª 8 8 Ÿº  ³

  Ÿ   8 Ÿ $!: [ * $ $ x :

8 ÂŤÂł

,

@o\

) # $# ' $

[Â? ,

#)& ' ºª  ³ Ÿ  8

107 .3/70

x =$ x

º  0 Ÿ

>

,

@

% ) #

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2( # #% ! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ªb f x «³ ¬x

º

d » ¼

ª

2

2

ªx º x « ³ f d » -2 ª¬f x

¬a ¼ º

2

ªx

º ªb

º

x º¼ « ³ f d » « ³ d » =0 1 .

¬a

¼ ¬x

¼

2

ª ºª º ª º f x «³ f d » «³ d » x «³ f d » ¬x ¼ ¬a ¼ ¬b ¼ ¬a ¼ x x x x ª ºª º ª ºª º x « ³ f d » « ³ d » ª¬f x x º¼ « ³ f d » « ³ d » =0 ¬a ¼ ¬b ¼ ¬a ¼ ¬b ¼ x x x x x x x x ª º ª º f x ³ d « ³ d ³ f d » x ³ f d « ³ f d ³ d » ª¬ f x x º¼ ³ f d ³ d . a b a b a b ¬a ¼ ¬a ¼ (

x x

f x x , ! $ 1

b

x

1 f x « ³ d »

x - a º¼

" ªª¬

ª¬

x

x

x - b º¼ ª¬ x - b x - a º¼

x a º¼ ¬ª x b º¼

»

x b x a º¼

ª¬ x a ¼º ª¬ x b º¼ ª¬ x b x a º¼ ( + ! ( " x , !

0.

x

$ $ $ : >a, b@ o \,

x = ª¬ x - a º¼ ª¬ x - b º¼ ª¬ x

x - a - b ¼º . % $ ! $ > a, b @ , " " $ a, b

a

b 0.

+ $ ( $ olle a,b [ 0 , ! ( $ . *$ . . * ( !$!: f= $ $ $ $ $, ! [ a, b

2

º ª º ªb ªb º « ³ f x dx » =6 « ³ f x dx » « ³ f x dx » . «¬ a »¼ ¬« ¬a ¼ ¼»

? 4 : 9$ $# ($ :> , ) " " $ ª

8 8 « ³ x

«¬

$!: f x

ªx

$

8

8

x

³ x

,

.

º x» »¼

@ o \ , :>

,

@ o \,

4) 8

-

ª

8

8 « ³ x

«¬

ºª x» «³ »¼ ¬« 8

x

#)& '

[ ,

>

,

@,

) #

º x» ¼»

* $ $ x : x

º

ªx

º ªx

º

¼ ¬b

¼ !

x «³ f d ³ f d » x «³ f d » «³ f d » ¬a

$ $# ' $

b

¼ ¬a $ $ $

0 1 ,

f x ,

$ 1

$ x

f x x ª¬ x a x b ¼º x ¬ª x a ¼º ¬ª x b ¼º 0 f x x ª¬ x - a º¼ f x x ª¬ x - b º¼ x ¬ª x a ¼º ¬ª x b ¼º 0 ,

$

x - b ¼º x ¬ª x - a ¼º ¬ª x - b ¼º x ¬ª x - a ¼º ¬ª x - b ¼º x ¬ª x - a ¼º =0 ,

x 0, ! :> a,b@ o \ , x = x ¬ª x - a ¼º ¬ª x - b ¼º . % $ ! " $ x h

olle. [ a, b

[ 0 *$ . * ( !$!: ( $ x x k x , $ $ [ a, b

»

( k

ª

ºªb

º

ª

¼ «¬

»¼

«¬ a

b

º

« ³ f x dx » « ³ f x dx » =k « ³ f x dx- ³ f x dx » .

x

« » ¬

a

»¼

107 .3/71

x

, !

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2( # #% ! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[ ª[ º ª[ º ª[ º $ $ [ � a, b ( f [  ³ f x dx ³ f x dx   ³ f x dx   ³ f x dx  .  a Ÿ  a Ÿ  b Ÿ b

? 5 :

! ) " %( $# & !$! x \ \ ) # ) " " $ ! $ \ %

x

Ÿº 1, ." %& x � \ . $!: % $ ! ! $ ªf f x

ºŸ =1, f f x

x c 1 , f 0 =0, ! ! $ 1 " x=0 , f f 0

=c Â&#x; f 0 =c Â&#x; c=0.

f f x

=x, " 0

" ! ) $' # : i.

0,

ii.

0 ! 0,

iii. ÂŹÂŞ

x Â? \. ( $ $ f x

$ , !

( ! $ f f x

x " . ! x1 Â? \, x 2 Â? \

x1 z x 2 f x1 f x 2 . &! ! ( $

" ! $

olle,

+ +$ $

x 0 Â? x1 , x 2 ,

x1 x 2 ,

f x 0 0,

(

! :

ÂŞÂŹ f f x

ºŸ 1 Â&#x; f x f f x

1 " x Â? \ Â&#x; f x 0 f f x 0

1 Â&#x; 0 1 , " . " * " " ( x1 , x 2 x1 z x 2 f x1 z f x 2 . ! $ ! $ f x 11.

$ f x

1-1 \ , " $

! $ \ (' !

Bolzano ! ! ( ! $" 106 $ . ). % $

f x

! f 0

m ! 0. 0 f x ! 0. '$ ! 0 ( x o0 x f [ ! 0, $ f [ ! f 0 . ! ! ! $ f x " $

! $ $ " $ . $ ! f x

x " x Â? \ . % " , !

x 0 Â? \, ( f x 0 ! x 0 . &! $ f x " $ ,

f f x 0

! f x 0 , $ x 0 ! f x 0 " . 0 " x 0 Â? \,

( f x 0 x 0 .

$ $ f : \ o \, f x =x " x Â? \.

? : 9$ ) " %( $# & !$! x

$ ' $ &$ ! > 0, @ , 0 , $# ' ) " " # ' % &8 , -) ) $! ' ) &" " &8! 1 $

&$ ! 0,a . 4) 8 - #)& ' [ Â? 0,

$

0

-

2

2

...

$!: *

-) :

$ $

x

k

f x f 0 xf x

2

x f 2

x ... 1

-1

-1

-1

: > 0,a @ o \

x

f

x kx

1

1

1

,

1

8

!

0

0,

a2 a

f a ...- -1

f a

2 1 , " a 0. $ a 1 > 0,a @ , " " $ 0,a 0 = a =0. ( " $ x

f 0 -f a af a -

x

( $ olle, [ Â? 0,a (

x 1

-1

1

x

1

k

f

1

f

1

x

[

1 kx , " x Â? 0,a . ! $

0. % " " * $

=0

$

2 . ! 1 , 2

*$ .

-) )- # " 5 $$-) # : / !"

3. $ $" ! $ $ " . !+ $ $ $

107 .3/72

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 2( # #% ! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

'$ !+ $ : " $ $ f x ( $ > 0, a @ , 0 a, "("

2. ' $ ! " "

3

$

f a =f 0 af a $!:

0,a .

$

a2 f 2

a

a3 f 3

% $ ! 1 Â&#x153; A-

a3 f 3

!

Â? 0,a

(

. *

$ f a -f 0 -af a

$

x =0 2 , ! A

f a -f 0 -af a

a2 f 2

a2 f a

2

a

a2 f 3

x

0 1 .

.

A f x

=0 3 . / ! $ f x

a3 3 f x , f x , f x , 2- $ " . 0

" !

2 Â&#x153;

x ,

*! " ! kx 2 f

x z0

! $ , !

x2 f 2

ÂŞx

x = ÂŤÂł

ÂŹ0 2

x 2

2

Âł2

f

f

0

x

Âş x

Âť Âł f Âź0 0

ÂŞ Ax 3 ÂŹa

4 Â&#x153; ÂŤ

3

3 x2 x2 - f a3 2

3 Â&#x153;

x

0 4 . / x Â? 0,a

:

.

Âź

ÂŞ 2 ÂŤ f ÂŹ2

d

Âş

d Âť

1 , 2

k . / $ $

k

Âş

x Âť

x2 f x ÂŞÂŹ f 2

d

x =0,

0Â&#x153;

Âź

x

ºŸ0 ³ f d x

0

Ax 3 a3

x =

!

x2 f x -xf x f x -f 0 = x .

2

% ( g 0

x .

0

Aa 3 - a =0, !" $

A = a . 1 x ! h a3

olle. $ " $ !

.

a =

a2 f 2

A =f a -f 0 -af a

!

, !

"

$,

x =f x -f 0 -xf x

"(" $ $ % " :

-1

x

f

2

x f 2

a

a -... -1

1 Â&#x153;

1 A

a 1 " !

x -... -1

x

f

f

x

x

x - -1

1

1

f

1

x =0 1 ,

a

. f

1

x =0 2 .

8 +

!

$

-1

$

x

$ $

f

1

x ,

x .

ÂŞ x2 x f x f x xf x xf x f

ÂŞ

Âş

ÂŹ

Âź ÂŤ

2 ÂŹ 1

a

* $ $ A- -1

" , !

Âş ÂŞ x -1 x ...

-1 f

Âť ÂŤ

Âź ÂŹ

x -1

x

f

1

Âş

x Âť Âź

x

A ÂŞ A Âş 2 Â&#x153; ÂŤ 1 x 1 - x Âť =0 Â&#x153; x =0, ! x = 1 x 1 - x . % ( 0 = a ÂŹa Âź

Â&#x; A = a . 1 g ! h

olle.

107 .3/73

a =0,

) 31

( ) $ ( $ *# "- ? ! ) ) < ($ 5$- % ( " ) $ ! $ $ ! $ % "

: ยพ !

3 $ ./ ! " "( ./ $

" "

$ $ $ $ ., $ ( ! , $ ./

J .

2

$ $ $ , ! ( ! $ , , ,/') :

0$ ย 0*

0' ย 0( ย

E E ย 2 2

E2 ยงD Jยท ยงD Jยท

ย

ย ยจ ยธ ยจ ยธ 4 ยฉ 2 2ยน ยฉ 2 2ยน

D2 J 2 ย E2 J 2 4 4

D2 .

ยพ 1 $ $

, $ "

$ ! $, $ : ) %, J $ / .

$ $ / ! () ! $ "( /', / ) :

*$2

*' ย *( ย E2

D J ย D J ย E2

D 2 J 2 ย E2 J 2

D2

ยพ

% $ ! $ ! $ ! $ 3. - (,$ !"

1 !" )

$"

+ $ (

! $

, $ ! $: & " /dd.dd7

! "

+," "

./ "

"

./. $ ( % "! ( $ .

" $

/ ( " . & ! +B?E : $ $ $ 54 106 ! *

N ย ] ^0, 1` " " +)

N ย `

107 .3/74

9 ) -2 ! $ ! $# ' % - $# & !$!

# % !"! ( . , $ !

4. ? ! $# & !$! : \ o \ (x)

­1 , x ! 0 Ž ¯ 1, x d 0 $# & !$! $# '( $

! $# & !$! " - $# '( $ x 0 ,

41) 9$ f : \ o \ x 0 . ? (x) f(x) Â&#x2DC; (x) . 4 ! ) 8 - f (0) 0 42) 4 $ , ! f : \ o \ $# '( $

x 0 % f (0) 0 , ) 8 - ! $# & !$! " - (x) f(x) Â&#x2DC; (x) $# '( $ x 0 .

43) , 2 % ( % "% $# (%! " ! $# '( $ x 0 $# & !$! f : \ o \ $ ! $# & !$! (x) f(x) Â&#x2DC; (x) $# '( $ x 0 .

) , $ ) & " $# & !$! :\ o \ $

(x) d 1 " %& x Â? \ ! ) ! ' - $ x 0 , )- 8 &. ) 9$ $# & !$! : \ o \ ) # $# '( $ x 0 $ #)& ' # 0 % %- - % $' (x) d M " %& x Â? ( , ) .

9$ : \ o \ $# & !$! $# '( $ x 0 . , 2 % ( % "% $# (%! ) # ) ) % ) ! $ ! $# & !$! " - (x) (x) Â&#x2DC; (x) $# '( $ x 0 . )- 8!: (0) z 0 ! $ $!: 41) ) f, x 0 ! : m f (x) x o0

! (x)

x o0

(0) . ,

m (x)

x o0

mf(x) Â&#x;

m (x)

x o 0

f(x) " x 0 !

(1)

f(0)

m (x)

x o 0

m

x o0

(x)

,

0.

M(x)

1,

!

f(x) . $ f 0, ! $ f $ 0. , m f(x) f(0) 0 , ! m (x) 0 , ! x o0

x o0

m (x) 0

x o0

(0) .

, $

0, *$ .

43) *

1 2 "

! " $ " $ 0 $ $ f : \ o \ ( $ $ $ (x) f(x)M(x) 0 $ $ f (0) 0 .

m (y) 0 , (2). ! (1) (2)

yo f

m ( (y))

y o f

A.

§ 1 ¡ $ ¨ ¸ $ y . Š (y) š , Â&#x17D;Â&#x2039;Â? É&#x201E;É&#x160;Â&#x203A; A , (3) m (y )

( (y))

Â&#x203A;o f

y o f

f , (4),

" !" ! (3) (4)

m $ (y ) A Â&#x; m $ y A Â&#x; A A Â&#x; A 0 yo f

yo f

¡ § m ¨ y ¸ f , (5) ! ! (3) (5) 2š Š § ¡

: m $ ¨ y ¸ A Â&#x; m y A 0 yo f yo f Š 2š

$ :

yo f

: KP 2 y VXQ 2 y 1 , !

m $ 2 y 2 y 1 Â&#x; 0 0 1 , .

y o f

! $ x 0 ( ! ). x , $ "" $, ! + $ $ $, $ $ $ , !" $ ! $ * $ $ $

$ ! $: ! m $ x A . &! x o f

( A � 1, 1 . ! A ! Ͳ , !

0 ( $ x 0 " x . " É&#x2C6; Â? ` 2G S S

x c 2NS ! G $ N ! ,

4 2 $ x c 1 0 , . ! A d Ͳ , !

x o0

(x)

!

!

mf(x) Â&#x;

x o0

!

1 , ! y

(y)

(0) f(0) (2) : (1), (2)Â&#x; f(0) f(0) Â&#x; f (0) 0 .

42) (0) f(0) (0) 0 Â&#x2DC; ( 1) 0 , ! m (x) 0 . '$ ,

(x)

x o0

f(x) " x 0,

(x) (0)

x o 0

.

m f (x) f (0)

x o0

m (x)

1

­ 1 °$ , x z 0 Ž x °¯c, x 0 " ! c � 1, 1 . 1 $ $ , ! ! ! 0. % " ,

m (x) A , (1).

$ $ $

. , $ $ $

1 " x .

2 2G S S " N Â? ` xc 2NS ! G , $ N !

4 2 1

KPxc 1 ! , .

, $ x 2 ! f . . ! $ " $ *$ $ $ (0) 0 .

(0) 0 .

0 ( . . KPx

&! (0) 0 " x . x 0 . 0 (x) d (x) d (x) , (1) $ 0, ! $ 0. , m (x) (0) 0 , ! m

x o0

(x)

107 .3/75

xo0

m

x o0

(x)

0 !" $ (1) !

------------------------------------------------------------------------------------- 9 ) -2 ! $ ! $# ' % - $# & !$! ---------------------------------------------------------------------------------

+ ,

! m (x) 0 (0) .

, $ 0. xo0

4 $ , ! $ 0

! (0) 0 . (0) z 0 , ! $ $ ( 1 , 1 ), 1 ! 0 (x) z 0 ,

$

0. , $

x

0 x

1

*

x 2x2 ...

1 2 ...

1

1

x

Q Q

1 1

x 2 x 2 ...

1 2 ...

2 ...

ON

x1 x 2 ... x

!

(

x1 , x 2 , ..., x .

! x1 , x 2 , ..., x + ! $

, ! " ! + ! $

! x1 x 2 ... x Q .

Q 0

, ( , !

: O1 ... OQ 2 ...

2 ...

2

...

Q

! 0.

xQ

Q

2 ...

2

...

2 ...

Q

...

1 1

x Q !

Q

t 0, N 1, 2, ..., Q

N 1

1 1

Q

1

Q

$

0 , .

, !

, " $ ! $ (0) 0 * ( !$! 1: 1 $ $ : \ o \ , 0. , ! $ $ ( 1 , 1 ), 1 ! 0 0. * ( !$! 2: $ ! $ ( $

3

$

! " $ $ $ , !

( $ " $ $ $ . ) !" ! !

$ ,

( $ .. $ - % $ (

+ $ - 1: 4, \ " $ , " x, y x y " c \ x c y c . % " $

! : ( , +) {x \ : x +}, +, , + \ , + {x \ : d x d +}, d +, , + \ (D, E {x \ : D x d E}, D E, D, E \ , +) {x \ : d x +}, +, , + \ {} , !

(D, f) {x \ : D x}, D \ ( f, E) {x \ :x E}, E \ , f) {x \ : d x}, \ ( f, + {x \ : x d +}, + \ ( f, f) \ , ! \ !

! ! $ $

. 0

, ! $ " ! ! ! , " !,

$ $ ,

! $ ! " ! $ $

. + $ - 2: t 1 ! ! "

x1 , x 2 , ..., x . &! !

1

Q

x1 ...

1 1

! ,

Q

1 1

,

0 . $

Ͳ $ $ $ " !

0. ,

+ ! !#$ "! . '$ - $ + $ ! " ! + ! , t0,

Q

Q 1

2 ...

Q

1 " ! + !

O1 x1 O 2 x 2 ... O Q x Q , ! !: + $ - 3: Q t 1 ! ! , x1 , x 2 , ..., x Q "

1 , 2 , ..., t 0 1 2 ... 1 % # $ - x1 , x 2 , ..., x + $ O1 , O 2 , ..., O Q ( ! ! ) " ! O1 x1 O 2 x 2 ... O Q x Q 1 , " Q 1

! x1 , x 2 , ..., x Q + $ , Q

! x1 , x 2 , ..., x Q . * - $! 5: \ $

x1 , x 2 , ..., x Q , t 1 ! , ! "

! x1 , x 2 , ..., x Q $ $ 4. ! , !

x1 , x 2 , ..., x Q 4.

4)- 8!: $ m {x1 , x 2 , ..., x Q } ! % max{x1 , x 2 , ..., x Q } " !

x1 , x 2 , ..., x Q . , .

! x1 , x 2 , ..., x Q , ! , B . $ , d x N d % 1, 2, ..., .

y O1 x1 O 2 x 2 ... O Q x Q "

! x1 , x 2 , ..., x . '$ , O1 , O 2 , ..., O Q t 0

1 2 ... 1 , y O1 x1 O 2 x 2 ... O Q x Q . &!

1 (O1 O2 ... OQ )$ O1$ O2 $ ... OQ $ d 1 x1 2 x 2 ... x d O1% O 2 % ... O Q % (O1 O 2 ... O Q )% % , $ d y d B , B . 4 $ ,

! , y $ ! $ $ ( $ .

* ( !$! 4: / O1

107 .3/7

O2

... O Q

----------------------------------------------------------------------------------------- 9 ) -2 ! $ ! $# ' % - $# & & !$! ------------------------------------------------------------------------------------* - $! : x1 , x 2 , ..., x Q \ , Q t 1 ! ! $ m {x1 , x 2 , ..., x Q }, % maax{x1 , x 2 , ..., x Q } &! , B \ d B $ ! $ !QLNHXP QR9 P VR9 ½ ­ y : y JHQ $ ! ® ¾ $, % ¯ !UR9 WZQ x1 , x 2 , , x Q ¿ x1, x2 , ,xQ $

,, . ,

! , " ­ y : y JHQLNHXP QR9 P VR9 ½

! ® ¾ $, % UR9 WZQ x1 , x 2 , , x Q ¿ ¯ !U / " ! $

!

. =$%!$! 1: , ) ) 8 - ) () )

z 4, (-) # 4, \ , 4 d ) " % # $ -- 4, % $# ) ! $

! )- 8! ! ) ) - $! .

B ! $!: = , !

1 0 B .

(0,, 1) .

0 1 B .

B . &!

B

B

! 1 1 ((0, 1) B B B 2 " * "

!

B B BZ B

(1 ) B B

B B B (B B ) B , !

, B "

! .

$ % NDL O 2 , O1 , O 2 t 0, 0 O1 O 2 1 O1 B B

$ ( ( $ ! $ $ ! $$ 6.

, B . &! !

"

! ,, . ! ! x1 , x 2 , ..., x Q . , "

!

x1 , x 2 , ..., x Q , ! + $ 0. =$%!$! 2:: 9$ \ % x1 , x 2 , ..., x t . 5 5-

" ; # - %& " % # $ -- 1x1 2x2 ... x

1 , 2 , ..., t 0 % 1 2 ... 1 % ) ! t , -

4 , f ) &$ ! . 4 $# 2 , -

$# ) # $ ) & " -) #

x 0 . '$ , " ! " ! + " ! x N D . !

+ , NR ( O NR ! 0

" ! x t NDL x NR z D . x ! $ $ x

0. &!

y 1x1 2x2 ... 1x 1 ( ) 1 x 1 ... x t 1 2 ... 1 ( ) 1 ...

(O1 O 2 ... O Q )D O NR G

D O NR G ! D ! ! 0

! 0 . ! . , " ! " z 0

x

. & & "

*$

( "

/ x1

" , 1, x 2

x3

1

0, 2

0 x N ! D .

3

. &! x t y 1 x1 2 x 2 3 x 3

1 2 " ,

1, 2, 3 x1 1 ! =$% %!$! 3: 9$ \ % . x1 , x 2 , ..., x t . 4 . x1 x 2 ... x

) 8

-

x1 x 2 ... x

x1 x2 ... x 1x1 2x2 ... . x

1 O1 O 2 ... O Q ! 0 . & *$

Q ! $ $ $ $ 8 z 0 " $ $!: :

1, 2, ,..., =$% %!$! 4: #) $ % ) 8

$%($ 8 %

$

! & $ D$ ( . =$% %!$! 5: 9$ $ t 1 #$ %- - % x1 , x 2 , ..., x ) " % . 4 4 $'

x1 x 2 ... x x12 x 22 ... x 2 1

) 8

-

x1 x 2 .... x 1 ( )- 8!: x% 1 % ) - " " $ $ $"

$ $ $, (

! !

"

! .

% % z " %&) %. $!: 4 *! ! " N 1, 2,..., Q

1

! " (

7 7 !$ $,+ ,) ) # " 2 %$, ,4 ,

" , ,

$ " "

10 07 .3/77

O Ευκλε Ευκλείδης Ε είδης προτείνει προτε είνει ...

« & "

# ! & *

" ( "

# ». .

R.

HALMO OS

: EB + 5B 4,5+ - , + 4,5E,+* 4 + + 4,, + B =

(6) $

: 4 287 (5 < <+ 102).

4 4

' " ./ . / ./ $

' 2 $

#

# $ ( 22 ) $ (2 ) (8), '% 5 5 5 2 $ ./ " : ) , ! '* 4S S

(2F ) ( 2F) S . ! (7),(8)

1 5 5 5 ) $ 1 $ ' , S 2 ) KPF K KP(2F ) 0 .

$ $ $

5 ( .1 1 / 1 . ! + !"

S ./ f (F) ) KPF KP K (2F ) R . (/ ( " , 5 ) 5 . (

" "" $) (/ ( ( " , 5

) 2 $ (0, ) **$ ** $ f ( ) 0 $

5

. .= / .' ' ! '/ %$' ! *$' '

Z

. 1 ! .1 . , %+ ! $+ .

$ $ .1 , ( : . = 1.

, "

. 1 1/ (%/%).

$(+

'+*

F

$( (+

1 1

#.

%+'

&!

F \,

F ( $

" ( $+ +* $(% ) ! 2 #

.1/

4 5

KP\ . !

KPF !

$ ! "

1

$ # 1 1 1 1 ( 1) (2).

(3 ) $ 1 1 . . (. )

(1). $ *

!"

%' '*

)2 )2

(%$' ') (*$' ')

(%+') (*+' )

(%$') (% %+') (*$') (* *+')

(%$+ +) (%$+ )

(*$+ ) (*$+ +)

(. 1) (. . ) (. )

;2 1 ( 1)

(. ) 1

(2),(3),(4)

$ # $

)2

1 ;

(4),

!

; (5). ( , " $

4S ­ (6) ° 2F \ $ : ® # ! 0 . !! $

, 5 °¯KP\ ) KPF (7) 2S \ 2S

. !! $ 0 F (6) F

5 5 2

S . : f c(F) ) VXQF 2VXQQ(2F ) . % $

5 3 2 S S d d d 2F d S $ . ! "

5 2 20 5

3S 2S ((2 ) d 0 , $ , $ . f c(F) ! 0 , " F .

5 20 5 S 1 2 ; 0 , 4 2 5 5 3S S S S x (0, ) (2x ) ( , ) 5 2 20 5 S S f cc(x x) 2 VXQ KPx 2KP(2xx ) ! 0 ("" ) 5 5 3

fd n 0, , f c(x) ! f c(0) 0 " "

0 20 2S S x (0, ) , ! x 0 $

* $ f 5 5 2S 2S (0, ) . y &! ,

!

5 5

3S $+ Z %$* * $ $ x y %+' %$ 5

S . & , ! & !

$

!

% * 5

./

: "

3S 2S KP KP P %* KP$ 5 5 2VXQ S ) .

S $% KP* KP S 5 KP P 5 5

f c(0)

) 2VXQ

%* 1 5 ) $% 2

$ : ' $ ' / % "" .

4 288 (5 5 <+ 1002) " $ $ "

x,y, : x y 0 ! ! $ ! $ :

:

10 07 .3/78

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ + #% % ! *

(

y2

2

2

x

2

x2

2

y

2

)( 2

2

x2 2

($' '*) (2'*) (%'*) (2'* *)

) ! 25 .

x (4 $ ) (% / !! ) y x x y . &! , B ,

: y x y x

x x y y

y x

y2

2

2

x2

2

2B B

2

2(

3

3) Â&#x;

y2 2

2

2 6

2 y2 x2

2 x 2 y2

2

x

)( 2

y2 x2

( 1) 5 2

(B 1) 2 5 . , 2

y2

x2 2

)

( 1) 2 5 Â&#x2DC;

4 $

"

)3 356. % + ! $

$$ /'. ,

: 1 23 331 ,

26 661 ( 3,6

/,.'))

221 551

"( (

"

./

% " , Â&#x161;

2

S , $% O , $ $ .. $ 3

! "( ( ! "

*

,.' ' ' $ $ ,'

$ / . - + : 1) 1

,'

. 2) & + !

! ,

.. (/ ( "" & ( $ & $ )

( ' $ $ / % " ) "

,'. !! ! : , , ,' , , ,. . . . ,' Â&#x161; Â&#x161; S

)

"" # #

($ ' 2 Â&#x161; Â&#x161; Â&#x161; Â&#x161; S 2S $0' $(' S Â&#x153; $(' S Â&#x153; $(' !

3 3 Â&#x161;

Â&#x2DC; (B 1) 2 5 t 25 $ ! $ ,

! $ ! ! $ , ! , $ . B 2 , , B 3 . & 2 2 y2 x2 y2 x 2 ( 2 2 2 )( 2 2 2 ) ! 25 . x x y y $! $ : '$ $ 3 +! 3

, ( $ 4

$ 8 "! , 8 5 ! , ! $ ' $.

4 28 (5 <+ + 102) ' ! ./' 3, 6

"

/, .' ) $

"

. ! ! 3, 6

$ "( .' /

() ) ') ()./ /) 5. - ! : (5/') .

2 (/ ( " !

, !!"" ). ( ( $ 4 $ 8 ""! )

..1

))1 55 5 1Â&#x153;

%

2

)

,

y2

))1 2551 Â&#x153; 331 66 61 2)

'

2

x y 2 2 x y2

x2

1 1 1 1 / Â&#x2DC; 1 '/ ' Â&#x2DC; ..1 2 '/ Â&#x2DC; ))1 2 '/ Â&#x2DC; 551 '/ 2 2 2 2 1 ..1 2) ))1 2551 Â&#x153; 2331 26 661

y2

2

(

2(5*' )

2(2'*) 2(55*' )

2 x 2 y2 xxy y x

2 2 2 Â&#x; 2 2 2 y x xy x x y

2

y x

x y

($' '*) (%'*)

Â&#x153; 2 Â&#x2DC; ,,1 2 Â&#x2DC; ,,1 , ( ( , . $! $ : ' $ / 5 ! ! , ! $ ' $.

4 2 0 (5 5 <+ 1002)

B

x2

y

y2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 Â&#x2DC; ,,1

.. . 1 //1 (

,,1

** .//1. 1 , 2.. 121 )). 1

$

: "

()' ) () )./) 2(5/' ')

Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x161;

Â&#x161; Â&#x161;

'/ $ '/ 6 6 ! "

'/ ' / . ( , $( '( ( $( (* $* 3 ( ./ 2Â&#x2DC; . . 2 ). 1 ))

,'

' ' / '/ Â&#x153;

3

: 3 $0 0' '( ($ O O 3 O(1 3) . ,

$ . !

O $0 0' '

"( 2 "

, , ,' , ! . ( ,

: ( $0'() 2( $0()

1 O O 3 O2 3 .

2Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC; 2 2 2 4 ( $

! "

). $! $ : ( $ 4 $ 8 "! , '$

$ 3 ++!

3

, 5 ! ! , ! $ ' $.

4 2 1 (5 5 <+ 1002) Â&#x161;

' + "( "

./ ( ! ) . 1 2 $* 2 .

"( ./ *

! " . .' / (

! "

./7 $

* $ ./

10 07 .3/7

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ + #% % ! *

2 , ! + 2

+ ! 7'. (6 $ & ! / ) ( !

8

- ) 2 1 2 : ($% %*) Â&#x; $% Â&#x2DC; $* Â&#x2DC; KP$

2 2 2

$ . ( $%*)

1

Â&#x2DC; 1 Â&#x2DC; 2 Â&#x2DC; $

2

2 Â&#x; $

2

Â&#x161; 3S , ' 4

$

2 !" !

2 2

3 3 2 ( ) 3 3 4

7 .

12

( " & ! ). (/ (

1 (' $ / % " )

"

! $

!: ª1 º 0» ª x cº « a ªx º (,).

»Â&#x2DC;« » « yc » « 1 » ¬y ¼ ¬ ¼ «0 «Âb »¼ ª1 º «a 0» # ,

$

!

T « » «0 1» «Âb »¼ ! ! * " "

!

( . (+ ! + + /d , $ 20 010). , (&), $ #$

x2

( ):

­ ° .' . 1 ° " .'7 7 1) °® .7 ./ ° Â&#x161; Â&#x161; ° '.7 ./ °Ì&#x201E; 3 '7 / 2

./ $ , ! ' ­ ° (* * $* 2 ° 2) ® = =* %* " 7 / 7 ./ ° Â&#x161; Â&#x161; S ° =*( \ $*% % 3 ¯ $ , ! =( $% 1 . , '7 $ !"

. , ($'=() 2( $'() Â&#x161; 1 7S 2 Â&#x2DC; Â&#x2DC; $' Â&#x2DC; $ $( Â&#x2DC; KP('$() 2 Â&#x2DC; KP 2 12 S S S S S S 2 Â&#x2DC; KP( ) 2 KP VXQ V KP VXQ V 3 4 3 3 4 4

x2

y2

1 , a ! b ! 0 , ! ! $ a 2 b2 R " "

""( G1G 2 G3 ./ ! : R , ! ab 2G1 , 2G2 , 2G3 $

$ # #$

$ ./,/ , . . ( ):

y2

1 $ * *

a 2 b2 ( c) : x c2 yc2 1 . (x1 , y1 ), (x 2 , y 2 ),, (x 3 , y3 ) "

( ,.,/ "( ./, ! "

!

,.,,/

(& &) ! $ $: ª1 º 0» ªx c x c x c º « ª x1 x 2 x 3 º a 1 2 3 » « « »Â&#x2DC;« » 1 « y1c y 2c y3c » « » ¬ y1 y 2 y3 ¼ ¼ Â0 «Âb »¼ ª1 « a x1 « «1 y «¬ b 1

1 º x3 a » . , c, Bc, * c » 1 » y3 b »¼ "( ( c.c/c ( ! ./

(&)) : 1 x2 a 1 y2 b

1 1 1 1 1 1 c( x1 , y1 ), Bc( x 2 , y 2 ), / c( x 3 , y3 ) . a b a b a b & " c.c/c "" ""

. /

+ "( ( ( $

$: ( $%*) ab( a $c%c*c)

JJG JJJG JJJ 1 d ( . ., / 2

( . ./)

3 2 1 2 2 (1 3) .

2 Â&#x2DC; Â&#x2DC; 2 2 2 2 2 $! $ : '$ $ 3 +! 3

, % " , / ( ' $ / ( " & ( $ & $, ( $ 4

$ 8 "! , 5 !! , ! $ ' ' $.

4 2 2 (5 <+ + 102 ). $

,. .,/

$ #$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 x 22 x1 2 x 33 x1

JJJJJG JJJJG 1 d ($c%c, $c*c 2

($c%c*c)

1 (x x ) 1 a 2 1 2 1 (x3 x1 ) a

1 x2 x1 y2 y1 2ab x3 x1 y3 y1

( ./)

,

y 2 y1

y3 y1

1 (y2 y1 ) b 1 (y3 y1 ) b

1 ($%*) ab

ab( c.c/c) Â&#x153;

+" 4R

ab

c+c"c 4 Â&#x2DC;1

Â&#x153;R

+" 1 Â&#x2DC; c+c"c ab

(1). , ! :

c

+ +c

3 . 6!"

1 ,

.

2 ,

" "c

y 2 y1 x 2 y2

12 12 x 2 x1 a b

10 07 .3/80

(x1 , y1 ) , B(x 2 , y 2 ) -

1,

x 22 a2

y22 b2

1

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ + #% % ! *

â&#x20AC;¦ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

y 22 y12 x 22 x12

b2 a2

!

y 2 y1 y 2 y1 Â&#x2DC; x 2 x1 x 2 x1

O $%

b2 a

2

:

0 O $% Â&#x2DC;

2

b k , ! k a2

y 2 y1 x 2 x1

b2 a2

3

2

3c 3

c2 2 R c 3

R c 2 Rc

Rc

+ +c

" . "c

x 2 x1 . 1 $$ $ y 2 y1

b2 kx $$

a2 #$ "

$ $ # ­ b2 y

kx °° a2

: ® 2

: 2 °x y 1 °Ì&#x201E;¯ a 2 b 2 O AB Â&#x2DC; a a ,y r x r . , 1 O AB Â&#x2DC; k 1 O AB Â&#x2DC; k y

2G3

4a 2 Â&#x2DC; O 2 $% 44a 2

1 O $% k 1 O $$% k

2G 3

G3

J

a

( $%)

J c

... 2aa

1 O 2$% 1 O $% k

1 O 2$% . $ , : 1 O $% k

(x 2 x1 ) 2 (y 2 y1 )2

( $c%c)

...

J Jc

x 2 x1 1 O 2$%

1 1 (xx 2 x1 ) 2 2 (y ( 2 y1 ) 2 2 a b

1 x 2 x1 1 AB k a

x 2 x1 1 O 2$%

1 O 2$% 1 O $% k

G3 1 x 2 x1 1 O AB k a E D G2 , G1 . 0. . .

, Dc Ec 2 (/ ( " & ! â&#x20AC;&#x201C; )

1 #$ (C) , "

! ,

$ !

a

+ (Cc) : x 2 y 2 (R c) 2 (P) !

a R c

S b R cVXQZ Z , ! Z z $ "

((P)

2 . / / (Cc)

: 1c c2 c3 R c a c bc R c , ! c c c : 1 2 3 a cbc

(R c)3 (R c)2

Rc

G1G2 G3 ab b

DEJ (1) D DEJ DcEcJ c Rc R c Â&#x2DC; R cVX XQZ DcEc J cVXQZ DEJ D D DEJ (2) DEJ Rc 4R c(cVXQZ 4(cV VXQZ 4(

(R c)3

(cVXQZ (2))

c 1

D (3) G1 G1cV VXQM1 R cVX XQM1 R c , ! M1 $ ""

Dc

( ( %d*d, '1'1c (P) (

! ).

0 , -

R

*B+5 5 ,+ ,4 4 ? 454.

315. ,+," $ ( ( "( ./ / $ "" "

! $ $: % 1 * 1 $ 1 3 .

HM 4 HM 4 HM d D4 2 J 2 144U 4 2 E (/ ( ( " ! â&#x20AC;&#x201C; , !"" ) , 316. " "

D1 , D 2 ,..., D Q : D1 D 2 ... D Q

$: (D1

S , ! ! $

1 2 1 1 (S2 Q2 )2 ) (D2 )2 .. . (DQ )2 t D2 D1 DQ QÂ&#x2DC; S2 (/ ( "" & ( $ â&#x20AC;&#x201C; & $ ).

1

t2 x

317. - + lim (x ³ (e 1)dt) . x o f

c+c"c (1).

4 c

/ + G1 , G2 , G3 , D, E, J ./ (P)

( ./)= = : (

, :

0

(/ $ 1 1 ! â&#x20AC;&#x201C; 3

3 ) 318. R 1 , R 2 " "

"(

.' /' ' Â&#x161;

* "( ( "

./ (

) ! $ 2

! ', ! + ! ( ./) "( ( ./ /

!

: 3 (2R1R 2 ) . (/ ( "" & ( $ â&#x20AC;&#x201C; & $ ) ( . ./) (R12 R 22 ) 2

10 07 .3/81

Εκδόσεις της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Τιμή τεύχους: 3€

Τιμή τεύχους: 3€

Τιμή τεύχους: 3,5€

Τιμή τεύχους: 10€

Τιμή τεύχους: 10€

Τιμή τεύχους: 10€

Τιμή βιβλίου: 30€

Τιμή βιβλίου: 20€

Τιμή βιβλίου: 20€

Κεντρική Διάθεση: Πανεπιστημίου 34 - Αθήνα τηλ.: 210 3616532, 210 3617784 fax: 210 3641025 www.hms.gr e-mail: info@hms.gr