Ευκλείδης Β 108 by demi de

108

B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ

ΓΕΓΟΝΟΤΑ

Μαθηματικό περιοδικό για το ΛΥ ΚΕΙΟ

ΑΠΡΙΛΙΟΣ - ΜΑΪΟΣ - ΙΟΥΝΙΟΣ 2018

ευρώ 3,5

ΕΝΤΥΠΟ ΚΛΕΙΣΤΟ ΑΡ. ΑΔΕΙΑΣ 1099/96 ΚΕΜΠ.ΑΘ.

4156

ΚΕΜΠ.ΑΘ.

Ταχ. Γραφείο

Αριθμός Άδειας

ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ ΤΕΛΟΣ

ΕΚΔΟΤΩΝ

Hellenic Post

ΕΛΤΑ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ … ΣΥΖΗΤΗΣΕΙΣ

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Τεύχος 108 - Απρίλιος - Μάιος - Ιούνιος 2018 - Ευρώ: 3,50 e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ Γενικά Θέματα Από τα οράματα του LEIBNIZ στις ανακαλύψεις του TURING ............... Μία μέθοδος εύρεσης του Μ.Κ.Δ. δ των α, β Ν* (α>β) και της μορφής του αx+βy, (δηλ. δ=αx+βy, όπου x, y Ζ*) ........................................................ Τρίγωνα, τετράγωνα και πρώτοι αριθμοί ......................................................... Μαθηματικές Ολυμπιάδες ................................................................................ Homo Mathematicus ...........................................................................................

1 6 10 12 18

Α΄ Τάξη Άλγεβρα: Ασκήσεις Άλγεβρας, .......................................................................... 24 Γεωμετρία: Ασκήσεις επανάληψης Γεωμετρίας .............................................. 29 Β΄ Τάξη Άλγεβρα: Γενικά Θέματα Άλγεβρας,................................................................... 37 Γεωμετρία: Ασκήσεις επανάληψης στη Γεωμετρία, ........................................ 42 Κατεύθυνση: Επαναληπτικές ασκήσεις Κατεύθυνσης .................................... 50 Γ Τάξη Κατεύθυνη: Επαναληπτικά Θέματα, ................................................................ 53 Θέματα Εισαγωγικών Εξετάσεων για τα (Α.Ε.Ι) Παλαιοτέρων Εποχών, ...... 59 Γενικά Θέματα Το Βήμα του Ευκλείδη ........................................................................................ Μαθηματικά και Λογοτεχνία .............................................................................. Αναλυτικές συζητήσεις ........................................................................................ Ευκλείδης Προτείνει, ... .......................................................................................

63 67 69 78

Γράμμα της Σύνταξης Αγαπητοί μαθητές και Συνάδελφοι, Βρισκόμαστε πλέον μπροστά στην πύλη των εξετάσεων που αποτελούν την ανταμοιβή μας για τους κόπους μιας χρονιάς. Καλό είναι να τις αντιμετωπίσουμε με ψυχραιμία και το ελάχιστο δυνατό άγχος ώστε να στεφθούν με επιτυχία. Θα έχουμε όμως πάντα την πεποίθηση ότι τίποτα στη ζωή δεν κρίνεται με μια μόνο ευκαιρία. Οι δυνατότητες επανάληψης της προσπάθειας και επιλογής νέων στόχων είναι πολλές και μας περιμένουν. Η πλειοψηφία των θεμάτων που προτείνονται και σ' αυτό το τεύχος για την επανάληψη σας, ανήκει και πάλι στους Συναδέλφους του παραρτήματος Ε.Μ.Ε Ηλείας με τους οποίους είχαμε μια εξαιρετική συνεργασία για την οποία τους ευχαριστούμε θερμά. Ευχόμαστε σε όλους τους υποψήφιους, η επιτυχία των στόχων τους να σταθεί αφορμή για ένα ευχάριστο καλοκαίρι. Ï ðñüåäñïò ôçò ÓõíôáêôéêÞò ÅðéôñïðÞò: Ãéþñãïò Ôáóóüðïõëïò Ïé áíôéðñüåäñïé: ÂáããÝëçò Åõóôáèßïõ, ÃéÜííçò Êåñáóáñßäçò Υ.Γ. Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων είναι οι συνάδελφοι: Α΄ Λυκείου [Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Γ. Κατσούλης], Β΄ Λυκείου [Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Χρ. Τσιφάκης], Γ΄ Λυκείου [Δ. Αργυράκης, Ν. Αντωνόπουλος, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 11 Νοεμβρίου 2017 Θαλής: Ευκλείδης: 20 Ιανουαρίου 2018 Αρχιμήδης: 3 Μαρτίου 2018 Προκριματικός: 31 Μαρτίου 2018 Μεσογειάδα: 1 Απριλίου 2018

Κάθε Σάββατο γίνονται ΔΩΡΕΑΝ μαθήματα, Στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. Θυμίζουμε ότι: Ερωτήματα σχετικά με τα θέματα Διαγωνισμών υποβάλλονται στην επιτροπή Διαγωνισμών της Ε.Μ.Ε.

Εξώφυλλο:

Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού

Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr π πΕπιτροπή Συντακτική

ΔΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34 106 79 ÁÈÇÍÁ Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532 Fax: 210 3641025 Åêäüôçò: Ανάργυρος Φελλούρης ÄéåõèõíôÞò: Ιωάννης Τυρλής

Εκτελεστική Γραμματεία Πρόεδρος: Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò Αντιπρόεδροι: Åõóôáèßïõ ÂáããÝëçò Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Μέλη: ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò Ôáðåéíüò Íéêüëáïò

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

ΕΛΤΑ Hellenic Post

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 - 8005

Εικαστική σύνθεση

ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò Áíôùíüðïõëïò Íßêïò ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò Βλάχος Σπύρος Γιώτης Γιάννης Åõóôáèßïõ ÂáããÝëçò ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò ÊáñêÜíçò Âáóßëçò Êáôóïýëçò Ãéþñãïò Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò Êáñäáìßôóçò Óðýñïò Êïíüìçò ¢ñôé Κουλουμέντας Φώτης ÊõñéáæÞò ÉùÜííçò Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò

• Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.

Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô. Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò ËïõñéäÜò ÃéÜííçò Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò Μανιατοπούλου Αμαλία ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò ÌÞëéïò Ãåþñãéïò Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò Μπρούνζος Στέλιος Ìþêïò ΧñÞóôïòΧ Παπαπέτρος Βαγγέλης Óßóêïõ Ìáñßá ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò ÓôñáôÞò ÃéÜííçò

Ôáðåéíüò Íéêüëáïò Ôáóóüðïõëïò Ãéþñãïò ÔæåëÝðçò ¢ëêçò Tουρναβίτης Στέργιος ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò ÔóáãêÜñçò ÁíäñÝáò ÔóáãêÜñçò Êþóôáò Τσιφάκης Χρήστος Τσουλουχάς Χάρης ÔõñëÞò ÉùÜííçò ÖáíÝëç ¢ííõ ×áñáëáìðïðïýëïõ Ëßíá ×Ρéóôüðïõëïò ÈáíÜóçò ×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò Øý÷áò ÂáããÝëçò

Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50

• Ïé óõíåñãáóßåò, [ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο εισηγητής. ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00 Tï áíôßôéìï ãéá ôá ôåý÷ç ðïõ ðáñáããÝëíïíôáé óôÝëíåôáé: (1). Ìå áðëÞ ôá÷õäñïìéêÞ åðéôáãÞ óå äéáôáãÞ Å.Ì.Å. Ôá÷. Ãñáöåßï ÁèÞíá 54 Ô.È. 30044 (2). Óôçí éóôïóåëßäá ôçò Å.Ì.Å., üðïõ õðÜñ÷åé äõíáôüôçôá ôñáðåæéêÞò óõíáëëáãÞò ìå ôçí ôñÜðåæá EUROBANK (3). Ðëçñþíåôáé óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. (4). Åêôýðùóç: ROTOPRINT (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ: Ä. Ðáðáäüðïõëïò

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ĬȑȜȠȞĲĮȢ ȞĮ țĮĲĮıĲȒıİȚ ĲȠ ĮȓĲȘȝȐ ĲȠȣ ıĮĳȑıĲİȡȠ, Ƞ Leibniz ȗȒĲȘıİ ȠȚ ȜȠȖȚıȝȠȓ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ȖȜȫııĮȢ ȞĮ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ įȚİțʌİȡĮȚȦșȠȪȞ Įʌȩ ȚıȤȣȡȑȢ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȑȢ ȝȘȤĮȞȑȢ. ȅȚ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȠȓ țĮȞȩȞİȢ șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ ĮʌȠțĮȜȪȥȠȣȞ țȐșİ ȜȠȖȚțȒ ĮȜȜȘȜİȟȐȡĲȘıȘ ĮȞȐȝİıĮ ıĲȚȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ȖȜȫııĮȢ. ȆȐȞȦ ıĲĮ șİȝȑȜȚĮ, ʌȠȣ ʌȡȫĲȠȢ ȑșİıİ Ƞ Leibniz, İʌȑȞįȣıİ Ƞ īİȡȝĮȞȩȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Gottlob Frege įȚĮțȩıȚĮ ȑĲȘ ĮȡȖȩĲİȡĮ ȝİ ĲȘȞ ȑțįȠıȘ ĲȘȢ ȖȜȫııĮȢ, ʌȠȣ İʌİįȓȦțİ Ƞ Leibniz, ȝȓĮȢ «ȖȜȫııĮȢ ĲȪʌȦȞ, ȕĮıȚıȝȑȞȘȢ ıĲȠ ʌȡȩĲȣʌȠ ĲȘȢ ȖȜȫııĮȢ ĲȘȢ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒȢ, ʌȡȠȠȡȚıȝȑȞȘȢ ȖȚĮ ĲȘ șİȦȡȘĲȚțȒ ıțȑȥȘ», ĲȘȢ Begriffsschrift (ǼȞȞȠȚȠȖȡĮĳȓĮ). ȅ Frege ĮȞȑʌĲȣȟİ ȑĲıȚ ȝȚĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ, įȘȝȚȠȣȡȖȫȞĲĮȢ ĲĮȣĲȩȤȡȠȞĮ ȝȚĮ țĮȚȞȠȪȡȖȚĮ ȖȜȫııĮ. ȉȠ 1936 Ƞ Hilbert įȚĮĲȪʌȦıİ ĲȠ Entscheidungsproblem ĮȞĮȗȘĲȫȞĲĮȢ ʌİʌİȡĮıȝȑȞİȢ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȑȢ įȚĮįȚțĮıȓİȢ ȝİ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȒĲĮȞ įȣȞĮĲȩ ȞĮ įȚĮʌȚıĲȦșİȓ, ȝİ įİįȠȝȑȞİȢ țȐʌȠȚİȢ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ țĮȚ ȑȞĮ ʌȡȠĲİȚȞȩȝİȞȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ İțʌİĳȡĮıȝȑȞĮ ıĲȘ ȖȜȫııĮ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ ĲȠȣ Frege, ĮȞ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ ĮȣĲȑȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ țĮĲĮȜȒȟȠȣȝİ ıĲȠ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ. ȅȣıȚĮıĲȚțȐ, Ƞ Hilbert ĮȞĮȗȘĲȠȪıİ ȑȞĮȞ ĮȜȖȩȡȚșȝȠ ʌȡȦĲȠĳĮȞȠȪȢ İȝȕȑȜİȚĮȢ, ʌȠȣ șĮ ĮȣĲȠȝĮĲȠʌȠȚȠȪıİ ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ȠʌȠȚȠȣįȒʌȠĲİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ Ȓ ĮȞșȡȫʌȚȞȠȣ ıȣȜȜȠȖȚıȝȠȪ. ȉȠ ȩȡĮȝĮ ĲȠȣ Leibniz ĳĮȚȞȩĲĮȞ İʌȚĲȑȜȠȣȢ ȞĮ ʌĮȓȡȞİȚ ıȐȡțĮ țĮȚ ȠıĲȐ! ȍıĲȩıȠ, Ƞ Alan Turing ĮʌȑįİȚȟİ ȩĲȚ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ Ƞ ĮȜȖȩȡȚșȝȠȢ ĲȠȣ Entscheidungsproblem, țĮĲĮįȚțȐȗȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ȚįȑĮ ĲȠȣ Calculus Ratiocinator. Ǿ įȚĮʌȓıĲȦıȘ ĮȣĲȒ, ȩȝȦȢ, ĲȠȞ ȠįȒȖȘıİ ıİ ȝȓĮ ıʌȠȣįĮȓĮ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ, ȑȞĮ ȝȠȞĲȑȜȠ ȖȚĮ ĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ ȖİȞȚțȒȢ ȤȡȒıȘȢ. ǹȣĲȑȢ ĲȚȢ ʌĲȣȤȑȢ ĲȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ ĳȚȜȠįȠȟİȓ ȞĮ İȡİȣȞȒıİȚ İțĲİȞȫȢ ĮȣĲȒ Ș İȡȖĮıȓĮ. ȁȑȟİȚȢ-ȀȜİȚįȚȐ: Calculus Ratiocinator, Begriffsschrift, Entscheidungproblem, ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒȢ ȖİȞȚțȒȢ ȤȡȒıȘȢ ȉȠ ȩȡĮȝĮ ĲȠȣ LEIBNIZ ȅȚ ȕȚȠȖȡȐĳȠȚ ĲȠȣ Leibniz ʌİȡȚȖȡȐĳȠȣȞ ȑȞĮȞ İȟĮȚȡİĲȚțȐ ĮȚıȚȩįȠȟȠ ȐȞșȡȦʌȠ. ǹȣĲȒ Ș ĮȚıȚȠįȠȟȓĮ ĲȠȣ ȤĮȡĮțĲȒȡĮ ĲȠȣ ʌȡȑʌİȚ ȠʌȦıįȒʌȠĲİ ȞĮ įȚĮįȡĮȝȐĲȚıİ ıʌȠȣįĮȓȠ ȡȩȜȠ ıĲȘ ıȪȜȜȘȥȘ țĮȚ įȚĮĲȪʌȦıȘ ĲȠȣ ȠȡȐȝĮĲȩȢ ĲȠȣ. Ǿ ȣʌȑȡȠȤȘ ȚįȑĮ ĲȠȣ Leibniz ȒĲĮȞ İțʌȜȘțĲȚțȒȢ İȝȕȑȜİȚĮȢ țĮȚ ȓıȦȢ ĮįȪȞĮĲȘ ȞĮ țĮĲĮȞȠȘșİȓ Įʌȩ ĲȠȣȢ ıȣȖȤȡȩȞȠȣȢ ĲȠȣ ĲȠ ĲİȜİȣĲĮȓȠ ĲȑĲĮȡĲȠ ĲȠȣ 17Ƞȣ ĮȚȫȞĮ. ȅ Leibniz ȠȡĮȝĮĲȓıĲȘțİ ȝȓĮ İȖțȣțȜȠʌĮȚįȚțȒ ıȣȜȜȠȖȒ, ʌȠȣ șĮ ʌİȡȚȑțȜİȚİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȘȢ ĮȞșȡȫʌȚȞȘȢ ȖȞȫıȘȢ, țĮșȫȢ İʌȓıȘȢ țĮȚ ȝȓĮ ĲİȤȞȘĲȒ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ȖȜȫııĮ ʌĮȖțȩıȝȚĮȢ İȝȕȑȜİȚĮȢ, ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȘȢ ȠʌȠȓĮȢ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ĮʌȠĲȣʌȦșİȓ țȐșİ İȓįȠȣȢ ȖȞȫıȘ. Ǿ ȣʌȑȡȠȤȘ ȚįȑĮ ĲȠȣ, ȦıĲȩıȠ, įİȞ ʌİȡȚȠȡȓıĲȘțİ İțİȓ. ȅ ȓįȚȠȢ ĮʌĮȓĲȘıİ ĲȘ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ ĮȣıĲȘȡȫȞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȫȞ țĮȞȩȞȦȞ, ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ șĮ ȒĲĮȞ įȣȞĮĲȩȞ ȞĮ ĮʌȠțĮȜȪȥȠȣȞ țȐșİ ȜȠȖȚțȒ ĮȜȜȘȜİȟȐȡĲȘıȘ ȝİĲĮȟȪ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ʌȡȠĲȐıİȦȞ. Ǿ İȖțȣȡȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ʌȡȠĲȐıİȦȞ ĮȣĲȫȞ șĮ İȜİȖȤȩĲĮȞ ȝȑıȦ ȝȘȤĮȞȫȞ, ʌȠȣ șĮ ȒĲĮȞ ıİ șȑıȘ ȞĮ ʌȡȠȕȠȪȞ ıİ ʌȠȜȪʌȜȠțȠȣȢ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪȢ. ȉȠ 1673 Ƞ Leibniz ʌĮȡȠȣıȓĮıİ ȑȞĮ ȝȠȞĲȑȜȠ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȒȢ ȝȘȤĮȞȒȢ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ İțĲİȜİȓ ĲȚȢ ĲȑııİȡİȚȢ ȕĮıȚțȑȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ʌȡȐȟİȚȢ. ǹȞ țĮȚ ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ ıĲȐįȚȠ Ș ȝȘȤĮȞȒ ĮȣĲȒ ĮʌİȓȤİ țĮĲȐ ʌȠȜȪ Įʌȩ ĲȘȞ ȣȜȠʌȠȓȘıȘ ĲȠȣ ȠȡȐȝĮĲȩȢ ĲȠȣ, Ƞ Leibniz ıȣȞİȚįȘĲȠʌȠȓȘıİ ĲĮ ȠĳȑȜȘ ʌȠȣ șĮ ʌȡȠȑțȣʌĲĮȞ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȣĲȠȝĮĲȠʌȠȓȘıȘ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȫȞ. ȉȠȞ İʌȩȝİȞȠ ȤȡȩȞȠ, ʌİȡȚȑȖȡĮȥİ ȝȚĮ ȝȘȤĮȞȒ ʌȠȣ İȓȤİ ĲȘ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ İʌȓȜȣıȘȢ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ İȟȚıȫıİȦȞ țĮȚ ĲȠȞ ĮȝȑıȦȢ ĮțȩȜȠȣșȠ ȤȡȩȞȠ ĮĳȚȑȡȦıİ ĲȘȞ ʌȡȠıȠȤȒ ĲȠȣ ıİ ȑȞĮȞ ıĲȩȤȠ: ȞĮ ĮȞĮȖȐȖİȚ ĲȘ ȁȠȖȚțȒ ıİ țȐʌȠȚȠ İȓįȠȢ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȫȞ țĮȚ İȞ ĲȑȜİȚ ȞĮ țĮĲĮıțİȣȐıİȚ ȝȚĮ ȝȘȤĮȞȒ, ʌȡȠțİȚȝȑȞȠȣ ȞĮ ĳȑȡȞİȚ İȚȢ ʌȑȡĮȢ ĮȣĲȠȪȢ ĲȠȣ ȣʌȠȜȠȖȚȝȠȪȢ. ȈĲȠ ʌȜĮȓıȚȠ ĲȘȢ ĮȞĮțȐȜȣȥȘȢ ĲȠȣ ĮʌİȚȡȠıĲȚțȠȪ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪ țĮȚ ĲȘȢ İʌȓȜȣıȘȢ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ ȝİ ĲȘ ȤȡȒıȘ įȚĮįȚțĮıȚȫȞ ȠȡȓȠȣ, Ƞ Leibniz İȖțĮȚȞȓĮıİ ĲȠȞ ıȪȖȤȡȠȞȠ ıȣȝȕȠȜȚıȝȩ ĲȘȢ ȠȜȠțȜȒȡȦıȘȢ( ) țĮȚ ĲȘȢ ʌĮȡĮȖȫȖȚıȘȢ (d). ǼȓȤİ țĮĲĮıĲİȓ ıĲȠȞ ȓįȚȠ ıĮĳȑȢ ʌȦȢ ȑȞĮȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȐ țĮĲȐȜȜȘȜȠȢ ıȣȝȕȠȜȚıȝȩȢ ȒĲĮȞ ĮȞİțĲȓȝȘĲȘȢ ĮȟȓĮȢ. ȅȝȠȜȠȖȠȪıİ ʌȦȢ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ȝȣıĲȚțȠȪ ĲȘȢ ȐȜȖİȕȡĮȢ ȕȡȚıțȩĲĮȞ ıĲȘ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȒ, įȘȜĮįȒ ıĲȘȞ ĲȑȤȞȘ ĲȘȢ ȠȡșȒȢ ȤȡȒıȘȢ ıȣȝȕȠȜȚțȫȞ İțĳȡȐıİȦȞ. ȂȚĮ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȒ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȒ ȖȚĮ ĲȠȞ Leibniz įȚȑĳİȡİ țĮĲȐ ʌȠȜȪ Įʌȩ ȑȞĮ ĮȜĳĮȕȘĲȚțȩ ıȪȞȠȜȠ. ȈĲȘȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȒ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȒ țȐșİ ıȪȝȕȠȜȠ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪıİ ıİ țȐʌȠȚĮ ıĮĳȒ ȚįȑĮ, ȩʌȦȢ ȖȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Ș ʌĮȡĮȖȫȖȚıȘ țĮȚ Ș ȠȜȠțȜȒȡȦıȘ (Davis, 2007). ǹȣĲȩ ʌȠȣ ʌȜȑȠȞ ĮʌĮȚĲȠȪȞĲĮȞ ȒĲĮȞ ȝȓĮ țĮșȠȜȚțȒ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȒ, ȑȞĮ ıȪıĲ ȘȝĮ ıȣȝȕȩȜȦȞ ʌȠȣ įİ șĮ ȒĲĮȞ ĮʌȜȫȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩ ĮȜȜȐ țĮȚ șĮ țȐȜȣʌĲİ ȩȜȘ ĲȘȞ İȝȕȑȜİȚĮ ĲȘȢ ĮȞșȡȫʌȚȞȘȢ ıțȑȥȘȢ. ȅ ȖİȡȝĮȞȩȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ įȚȑțȡȚȞİ ıĲȠ ȝİȖĮȜȩʌȞȠȠ ıȤȑįȚȠ ĲȠȣ ĲȡȓĮ ıȣıĲĮĲȚțȐ ıĲȠȚȤİȓĮ. ȉȘȢ İʌȚȞȩȘıȘȢ ĲȦȞ țĮĲȐȜȜȘȜȦȞ ıȣȝȕȠȜȚıȝȫȞ ȑʌȡİʌİ ȞĮ ʌȡȠȘȖȘșİȓ Ș ıȣȖțȡȩĲȘıȘ ĲȘȢ İȖțȣțȜȠʌĮȓįİȚĮȢ ʌȠȣ șĮ ʌİȡȚİȜȐȝȕĮȞİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȘȢ ȝȑȤȡȚ ĲȩĲİ ĮȞșȡȫʌȚȞȘȢ ȖȞȫıȘȢ. Ǿ İȟȑȜȚȟȘ ĮȣĲȒ șĮ ȐȞȠȚȖİ ĲȠ įȡȩȝȠ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮȞȐįİȚȟȘ ĲȦȞ șİȝİȜȚĮțȫȞ İȞȞȠȚȫȞ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ țĮȚ ĲȘȞ İʌȚȜȠȖȒ ĲȦȞ ȚįĮȞȚțȫȞ ıȣȝȕȩȜȦȞ. ǼʌȚĲȠȝȒ ȩȜȦȞ ĮȣĲȫȞ șĮ ıȣȞȚıĲȠȪıİ Ș ĮȞĮȖȦȖȒ, Ȓ țĮȜȪĲİȡĮ Ƞ ʌİȡȚȠȡȚıȝȩȢ, ȩȜȦȞ ĲȦȞ ıȣȝʌİȡĮıȝĮĲȚțȫȞ țĮȞȩȞȦȞ ıİ ĮʌȜȠȪȢ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪȢ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ıȣȝȕȩȜȦȞ – İȞȞȠȚȫȞ. ǹȣĲȩ ȒĲĮȞ Ƞ Calculus Ratiocinator (ȜȠȖȚıȝȩȢ ĲȘȢ ıȣȞĮȖȦȖȒȢ). O Calculus Ratiocinator ȦȢ ȚįȑĮ ĮʌȜȫȢ ĮʌȠĲİȜȠȪıİ ȑȞĮ ʌȡȫȚȝȠ ıĲȐįȚȠ ĲȘȢ ıȣȝȕȠȜȚțȒȢ ȜȠȖȚțȒȢ. Ǿ ʌȡĮȖȝȐĲȦıȒ ĲȠȣ ȩȝȦȢ șĮ ȚıȠįȣȞĮȝȠȪıİ ȝİ țȠȡȣĳĮȓĮ ıĲȚȖȝȒ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȠȪ țȜȐįȠȣ. ȅ Leibniz ʌȓıĲİȣİ ȩĲȚ ȩȜİȢ ȠȚ ʌĲȣȤȑȢ ĲȠȣ ȀȩıȝȠȣ,ĳȣıȚțȑȢ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/1

--------------------------------------------------------------------- ǹʌȩ ĲĮ ȠȡȐȝĮĲĮ ĲȠȣ LEIBNIZ ıĲȚȢ ĮȞĮțĮȜȪȥİȚȢ ĲȠȣ TURING -----------------------------------------------------------------ȩıȠ țĮȚ ȣʌİȡĳȣıȚțȑȢ, ıȣȞȣĳĮȓȞȠȞĲĮȞ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ ȝİ įİıȝȠȪȢ, ʌȠȣ șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ ȖȓȞȠȣȞ ĮȞĲȚȜȘʌĲȠȓ ȝİ ȜȠȖȚțȐ ȝȑıĮ. ȅ Leibniz ȑȖȡĮȥİ ȖȚĮ ĲȘ ıʌȠȣįĮȚȩĲȘĲĮ ĲȠȣ Calculus Ratiocinator (Davis, 2007): ĭĮȞĲĮıĲİȓĲİ ʌȩıȠ țĮȜȪĲİȡȠ șĮ ȒĲĮȞ ȞĮ ĲȚȢ (ĲȚȢ ȖȞȫıİȚȢ) ȣʌȐȖȠȣȝİ ıİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ȞȩȝȠȣȢ –ȠȚ ȠʌȠȓȠȚ șĮ İȓȞĮȚ Ƞ,ĲȚ țĮȜȪĲİȡȠ țĮȚ ȩ,ĲȚ ȤȡȘıȚȝȩĲİȡȠ įȚĮșȑĲȠȣȝİ- ıȠȣȢ ĮȞșȡȫʌȚȞȠȣȢ ıȣȜȜȠȖȚıȝȠȪȢ. ȅȚ ȓįȚȠȢ ĮĳȚȑȡȦıİ ȝİȖȐȜȠ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ ʌȡȠıʌĮșİȚȫȞ ĲȠȣ ȖȚĮ ĲȘ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ İȞȩȢ Calculus Ratiocinator. ȈʌȠȣįĮȚȩĲİȡȘ ȣʌȒȡȟİ Ș ʌȡȩĲĮıȘ ĲȠȣ ȖȚĮ ȝȚĮ ȐȜȖİȕȡĮ ĲȘȢ ȁȠȖȚțȒȢ, ʌȡȠĲİȓȞȠȞĲĮȢ țĮȞȩȞİȢ ȤİȚȡȚıȝȠȪ ȜȠȖȚțȫȞ İȞȞȠȚȫȞ țĮĲȐ ĲȡȩʌȠ ʌĮȡȩȝȠȚȠ ȝİ ĲȠȣȢ ĮȜȖİȕȡȚțȠȪȢ țĮȞȩȞİȢ ȤİȚȡȚıȝȠȪ ĮȡȚșȝȫȞ. ȈĲȠ ʌȜĮȓıȚȠ ĮȣĲȩ, ĮȟȚȠıȘȝİȓȦĲȘ İȓȞĮȚ Ș İȚıĮȖȦȖȒ İȞȩȢ ȞȑȠȣ ıȣȝȕȩȜȠȣ (ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ ıȣȞ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ), ʌȠȣ ȣʌȠįİȚțȞȪİȚ ĲȘ ıȣȞȑȞȦıȘ ȠʌȠȚȦȞįȒʌȠĲİ ȠȝȐįȦȞ ȩȡȦȞ. ȅȚ ĮʌȩʌİȚȡİȢ ĲȠȣ Leibniz įİȞ ĮʌȑĳİȡĮȞ țȐʌȠȚȠ ȤİȚȡȠʌȚĮıĲȩ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ. ȉȠ ȞȒȝĮ ĲȠȣ ȠȡȐȝĮĲȩȢ ĲȠȣ ȩȝȦȢ ȑȝİȜİ ȞĮ ıȣȞİȤȓıİȚ įȚĮțȩıȚĮ ȑĲȘ ĮȡȖȩĲİȡĮ Ƞ Gottlob Frege. Ǿ BEGRIFFSSCHRIFT ĲȠȣ FREGE H ǼȞȞȠȚȠȜȠȖȚțȒ ȖȡĮĳȒ Ȓ ǼȞȞȠȚȠȖȡĮĳȓĮ ĲȠȣ Frege ıȣȞȚıĲȐ ȖȚȐ ĮȡțİĲȠȪȢ ȜȠȖȚțȠȪȢ ĲȠ ıʌȠȣįĮȚȩĲİȡȠ ʌȩȞȘȝĮ ıĲȠȞ ȤȫȡȠ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ. ȅ Frege İȝĳȠȡȠȪĲĮȞ Įʌȩ ȑȞĮȞ ʌȠȜȪ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ ıĲȩȤȠ: ĲȘ įȩȝȘıȘ ĲȘȢ ȐȜȖİȕȡĮȢ ȦȢ ȑȞĮ ıȣȞȠȜȚțȩ ȠȚțȠįȩȝȘȝĮ, ıĲĮ șİȝȑȜȚĮ ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ șĮ ȕȡȚıțȩĲĮȞ Ș ȜȠȖȚțȒ. īȚĮ ĲȘȞ ʌȡĮȖȝȐĲȦıȘ ĲȠȣ ıĲȩȤȠȣ ĮȣĲȠȪ ȑțȡȚȞİ ĮȞĮȖțĮȓȠ ȞĮ İʌȚȞȠȒıİȚ įȚțȐ ĲȠȣ ȚįȚĮȓĲİȡĮ ıȪȝȕȠȜĮ, ʌȠȣ șĮ ĮȞĲȚʌȡȠıȦʌİȪȠȣȞ ĲȚȢ ȜȠȖȚțȑȢ ıȤȑıİȚȢ. ȉȠ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȠ, ĮȜȜȐ țĮȚ Ƞ ȣʌȩĲȚĲȜȠȢ ĲȘȢ ȝİȜȑĲȘȢ ĲȠȣ, «ȂȚĮ ȖȜȫııĮ ĲȪʌȦȞ, ȕĮıȚıȝȑȞȘ ıĲȠ ʌȡȩĲȣʌȠ ĲȘȢ ȖȜȫııĮȢ ĲȘȢ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒȢ, ʌȡȠȠȡȚıȝȑȞȘ ȖȚĮ ĲȘȞ șİȦȡȘĲȚțȒ ıțȑȥȘ» įȚțĮȚȫȞİȚ ĲȠȞ ȚıȤȣȡȚıȝȩ ʌȦȢ Ƞ Frege, ȑȤȠȞĲĮȢ ȦȢ ʌȜȠȘȖȩ ĲȘȞ ȣʌȑȡȠȤȘ ȚįȑĮ ĲȠȣ Leibniz ȖȚĮ ȝȚĮ țĮșȠȜȚțȒ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȒ, Ș ȚıȤȪ ĲȘȢ ȠʌȠȓĮȢ șĮ ʌȒȖĮȗİ Įʌȩ ȝȚĮ İȟĮȚȡİĲȚțȐ İȞįİȜİȤȒ İʌȚȜȠȖȒ țĮĲȐȜȜȘȜȦȞ ıȣȝȕȩȜȦȞ, ıȣȞȑĲĮȟİ ıĲȘȞ ȠȣıȓĮ ȝȓĮ țĮȚȞȠȪȡȚĮ ȖȜȫııĮ. Ǿ ȖȜȫııĮ ĮȣĲȒ ĮʌȠĲİȜȠȪȞĲĮȞ Įʌȩ ʌȡȠĲĮıȚĮțȠȪȢ ĲȪʌȠȣȢ, ʌȡȠĲȐıİȚȢ įȘȜĮįȒ ȝİ ȣʌȠțİȓȝİȞȠ, ȡȒȝĮ țĮȚ țĮĲȘȖȠȡȠȪȝİȞȠ, ıĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȩȝȦȢ ĲȠ ȣʌȠțİȓȝİȞȠ țĮȚ ĲȠ țĮĲȘȖȠȡȠȪȝİȞȠ ȒĲĮȞ ȝİĲĮȕȜȘĲȐ (ȂȚȤĮȘȜȓįȘȢ• ǻİȜȜĮʌȩȡĲĮȢ, 2015). ȈĲȠȞ ĮțȩȜȠȣșȠ ʌȓȞĮțĮ İȓȞĮȚ ıȣȖțİȞĲȡȦȝȑȞĮ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ ʌȠȣ İȚıȒȖĮȖİ țĮȚ ĮȟȚȠʌȠȓȘıİ Ƞ Frege ıĲȘȞ ǼȞȞȠȚȠȖȡĮĳȓĮ ĲȠȣ ȝİ ĲȚȢ ĮȞĲȓıĲȠȚȤİȢ ıȘȝĮıȓİȢ ĲȠȣȢ. ȆȓȞĮțĮȢ 1: ȈȣȝȕȠȜȚıȝȠȓ ĲȘȢ ȖȜȫııĮȢ ĲȠȣ Frege (Davis, 2007) ĮȞ..., ĲȩĲİ... ‫ޔ‬ ...țĮȚ... ‫ޕ‬ ...Ȓ... ¬ ȩȤȚ... ȆĮȡȐȜȜȘȜĮ, İȚıȒȖĮȖİ įȪȠ ʌȠıȠįİȓțĲİȢ, ĲȠȞ țĮșȠȜȚțȩ ʌȠıȠįİȓțĲȘ, ʌȠȣ ıȣȝȕȠȜȓȗİĲĮȚ ȦȢ ‫׊‬, șȣȝȓȗȠȞĲĮȢ ĲȘ ȜȑȟȘ (all) țĮȚ ĲȠȞ ȣʌĮȡȟȚĮțȩ ʌȠıȠįİȓțĲȘ ȝİ ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ ‫׌‬, Įʌȩ ĲȘ ȜȑȟȘ exists. Ǿ țĮȚȞȠĲȠȝȓĮ ĲȠȣ Frege ȑȖțİȚĲĮȚ ıĲȘ įȚĮʌȓıĲȦıȘ ĲȠȣ ʌȦȢ ȠȚ ȜȠȖȚțȑȢ ıȤȑıİȚȢ ʌȠȣ įȚȑʌȠȣȞ ĲȠȣȢ ʌȡȠĲĮıȚĮțȠȪȢ ĲȪʌȠȣȢ, șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ ĮȟȚȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮȞȐȜȣıȘ țĮȚ ĲȘȞ ĮʌȠĲȪʌȦıȘ ĲȘȢ įȠȝȒȢ ĲȠȣȢ (Davis, 2007). Ǿ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ ĮȣĲȒ ĲȠȞ ȑʌİȚıİ ʌȦȢ Ș ȜȠȖȚțȒ ĲȠȣ ȑʌȡİʌİ ȞĮ ıĲȘȡȚȤĲİȓ ıİ ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ. ǲĲıȚ, ıĲĮȤȣȠȜȠȖȫȞĲĮȢ įȪȠ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȐ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ, Ƞ Frege șĮ ȑȖȡĮĳİ ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ: ǵȜȠȚ ȠȚ ıțȪȜȠȚ İȓȞĮȚ șȘȜĮıĲȚțȐ țȐȞȠȞĲĮȢ ȤȡȒıȘ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ ıȤȑıȘȢ «İȐȞ..., ĲȩĲİ...» ǼȐȞ ĲȠ x İȓȞĮȚ ıțȪȜȠȢ, ĲȩĲİ ĲȠ x İȓȞĮȚ șȘȜĮıĲȚțȩ ȆĮȡȠȝȠȓȦȢ, șĮ ĮȞĮʌĮȡȚıĲȠȪıİ ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ: ȂİȡȚțȠȓ ıțȪȜȠȚ İȓȞĮȚ ȘȝȓĮȚȝȠȚ ĮȟȚȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȘ ȜȠȖȚțȒ ıȤȑıȘ «...țĮȚ...» ȉȠ x İȓȞĮȚ ıțȪȜȠȢ țĮȚ ĲȠ x İȓȞĮȚ ȘȝȓĮȚȝȠȢ. ǺȑȕĮȚĮ, Ș ʌȠȚȩĲȘĲĮ ĲȠȣ x įȚĮĳȑȡİȚ ıĲĮ įȪȠ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ. ȈĲȠ ȝİȞ ʌȡȫĲȠ, ĮȣĲȩ ʌȠȣ İʌȚįȚȫțİĲĮȚ ȞĮ ȕİȕĮȚȦșİȓ ȦȢ ĮȜȘșȑȢ, ĮĳȠȡȐ ıİ țȐșİ x (țĮșȠȜȚțȩȢ ʌȠıȠįİȓțĲȘȢ), İȞȫ ıĲȠ įİȪĲİȡȠ İʌȚȗȘĲİȓĲĮȚ Ș ȕİȕĮȓȦıȘ ȖȚĮ țȐʌȠȚȠ x (ȣʌĮȡȟȚĮțȩȢ ʌȠıȠįİȓțĲȘȢ). ǼȞĲȐıȠȞĲĮȢ ĲȠȣȢ ıȣȝȕȠȜȚıȝȠȪȢ ĲȠȣ Frege, ȠȚ ʌȡȠĲȐıİȚȢ įȚĮȝȠȡĳȫȞȠȞĲĮȚ ȦȢ İȟȒȢ: ሺ‫׊‬x) (ĲȠ x İȓȞĮȚ ıțȪȜȠȢ ĲȠ x İȓȞĮȚ șȘȜĮıĲȚțȩ) ሺ‫׌‬x) (ĲȠ x İȓȞĮȚ ıțȪȜȠȢ ‫ ޔ‬ĲȠ x İȓȞĮȚ ȘȝȓĮȚȝȠȢ) ǳ ĮʌȜȠȣıĲİȣȝȑȞĮ: (‫׊‬x) (Ȉ(x) Ĭ(x)) (‫׌‬x) (Ȉ(x) ‫ ޔ‬Ȁ(x)) ǹțȠȜȠȣșİȓ ȑȞĮ ĮțȩȝȘ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ: īȚĮ D(x): x İȓȞĮȚ ȑȞĮȢ ȠįȘȖȩȢ ʌȠȣ İȝʌȜȑțİĲĮȚ ıİ ĲȡȠȤĮȓȠ ĮĲȪȤȘȝĮ S(x): x İȓȞĮȚ ĮȞȩȘĲȠȢ ǿ(x): x İȓȞĮȚ ȐʌİȚȡȠȢ Ǿ ʌȡȩĲĮıȘ «ǵȜȠȚ ȠȚ ȠįȘȖȠȓ ʌȠȣ İȝʌȜȑțȠȞĲĮȚ ıİ ĲȡȠȤĮȓĮ ĮĲȣȤȒȝĮĲĮ İȓȞĮȚ İȓĲİ ĮȞȩȘĲȠȚ İȓĲİ ȐʌİȚȡȠȚ» ȜĮȝȕȐȞİȚ ĲȘ ȝȠȡĳȒ: (‫׊‬x) (D(x) S(x) ‫ ޕ‬I(x)) ȉȠ țĮĲİȟȠȤȒȞ İȞĲȣʌȦıȚĮțȩ ıĲȠȚȤİȓȠ, ʌȠȣ įȚȑțȡȚȞİ ĲȘȞ ǼȞȞȠȚȠȖȡĮĳȓĮ, İȓȞĮȚ ĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ʌȦȢ Ș ȖȜȫııĮ ĲȠȣ Frege įȠȝȒșȘțİ ȝİ ȕȐıȘ ĮȣıĲȘȡȠȪȢ țĮȞȩȞİȢ ȖȡĮȝȝĮĲȚțȒȢ. ǹȣĲȩ ĲȠ ȖȞȫȡȚıȝĮ țĮșȚıĲȠȪıİ įȣȞĮĲȒ ĲȘȞ İʌĮȜȒșİȣıȘ ȜȠȖȚțȫȞ ıȣȝʌİȡĮıȝȐĲȦȞ ȦȢ țĮșĮȡȐ ĮȣĲȠȝĮĲȠʌȠȚȘȝȑȞȦȞ ʌȡȐȟİȦȞ, ĲȦȞ İʌȠȞȠȝĮȗȩȝİȞȦȞ ıȣȝʌİȡĮıȝĮĲȚțȫȞ țĮȞȩȞȦȞ, ȝİ ȝȠȞĮįȚțȒ ĮȞĮĳȠȡȐ ıĲȘ ıİȚȡȐ ȝİ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ įȚĮĲȐııȠȞĲĮȚ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ. Ǿ ȖȜȫııĮ ĮȣĲȒ ĮʌȠĲȑȜİıİ ʌȡȩĲȣʌȠ ĲȣʌȚțȒȢ ȖȜȫııĮȢ ıȣȖțȡȠĲȘȝȑȞȘȢ ȕȐıİȚ ĮȣıĲȘȡȠȪ ıȣȞĲĮțĲȚțȠȪ. ȅ ʌȚȠ șİȝİȜȚȫįȘȢ ıȣȝʌİȡĮıȝĮĲȚțȩȢ țĮȞȩȞĮȢ ĲȠȣ Frege İȓȞĮȚ Ƞ ĮțȩȜȠȣșȠȢ. ǹȞ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ ŀ țĮȚ ¨ ĮȞĲȚʌȡȠıȦʌİȪȠȣȞ įȪȠ ȠʌȠȚİıįȒʌȠĲİ ʌȡȠĲȐıİȚȢ įȚĮĲȣʌȦȝȑȞİȢ ıĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ĲȘȢ Begriffsschrift țĮȚ ĮȞ ʌȡȠĲĮșİȓ ʌȦȢ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ (ŀ ¨) țĮȚ ŀ ȚıȤȪȠȣȞ, ĲȩĲİ įİȞ ʌȡȠțȪʌĲİȚ țĮȞȑȞĮ ıĳȐȜȝĮ ıĲȠȞ ȚıȤȣȡȚıȝȩ ʌȦȢ ȞȠȝȠĲİȜİȚĮțȐ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȚıȤȪİȚ țĮȚ ĲȠ ¨. Ǿ ʌȡȩĲĮıȘ ¨ ȚıȤȪİȚ ȤȦȡȓȢ ȞĮ İȜȑȖȤİĲĮȚ țĮșȩȜȠȣ ĲȠ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȠ Ȓ ĲȠ ȞȩȘȝĮ ĲȘȢ (Davis, 2007). Ǿ įȚĮʌȓıĲȦıȘ ĮȣĲȒ įȚțĮȚȫȞİȚ ĲȠȞ ȚıȤȣȡȚıȝȩ ʌȦȢ Ș Begriffsschrift ȝʌȠȡİȓ ȞĮ șİȦȡȘșİȓ ȦȢ Ș ʌȡȦĲĮȡȤȚțȒ ȝȠȡĳȒ ĲȦȞ İȣȡȑȦȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİȞȦȞ ȖȜȦııȫȞ ʌȡȠȖȡĮȝȝĮĲȚıȝȠȪ ıȒȝİȡĮ. ȍıĲȩıȠ, ĮȞ țĮȚ Ƞ Frege șİȦȡȠȪıİ ʌȦȢ Ș Begriffsschrift ĲȠȣ ıȣȞȚıĲȠȪıİ ĲȘȞ ʌȡĮȖȝȐĲȦıȘ ĲȠȣ ĮȚĲȒȝĮĲȠȢ ĲȠȣ Leibniz ȖȚĮ ȝȓĮ țĮșȠȜȚțȒ ȖȜȫııĮ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ, Ș Begriffsschrift įİȞ ĮȞĲĮʌȠțȡȚȞȩĲĮȞ ıİ ȕĮıȚțȐ țȡȚĲȒȡȚĮ ʌȠȣ İȓȤİ șȑıİȚ Ƞ Leibniz. Ǿ ȖȜȫııĮ ĲȠȣ Leibniz șĮ ʌİȡȚİȜȐȝȕĮȞİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ĮȜȒșİȚİȢ ĲȘȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ țĮȚ ĲȘȢ ĮȞșȡȫʌȚȞȘȢ ȖȞȫıȘȢ, ȤȦȡȓȢ ȞĮ ĮȞĮȜȫȞİĲĮȚ ȝȩȞȠ ıİ ȜİȚĲȠȣȡȖȓİȢ ĮʌȜȒȢ ıȣȞİʌĮȖȦȖȒȢ ȩʌȦȢ Ș Begriffsschrift. Ǿ įİȪĲİȡȘ ĮįȣȞĮȝȓĮ ĲȘȢ ǼȞȞȠȚȠȖȡĮĳȓĮȢ İȓȞĮȚ Ș ʌȠȜȣʌȜȠțȩĲȘĲȐ ĲȘȢ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/2

--------------------------------------------------------------------- ǹʌȩ ĲĮ ȠȡȐȝĮĲĮ ĲȠȣ LEIBNIZ ıĲȚȢ ĮȞĮțĮȜȪȥİȚȢ ĲȠȣ TURING -----------------------------------------------------------------Ǿ ʌİȡȓʌȜȠțȘ įȠȝȒ ȝİ ĲȘ ȝĮțȡȠıțİȜȒ įȚĮĲȪʌȦıȘ ʌȡȠĲȐıİȦȞ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ĮțȣȡȫȞİȚ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ ʌȚșĮȞȩĲȘĲĮ İȟĮȖȦȖȒȢ ȜȠȖȚțȫȞ ıȣȝʌİȡĮıȝȐĲȦȞ ȝİıĮ Įʌȩ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȑȢ įȚĮįȚțĮıȓİȢ. ǱȡĮ, Ș Begriffsschrift, ȝİ İȟĮȓȡİıȘ ĲȚȢ ȣʌİȡĮʌȜȠȣıĲİȣȝȑȞİȢ ȝȠȡĳȑȢ ĲȘȢ, įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȜİȚĲȠȣȡȖȒıİȚ ȦȢ ĲȠ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȩ İȡȖĮȜİȓȠ, ʌȠȣ ȠȡĮȝĮĲȓıĲȘțİ Ƞ Leibniz. ȂȐȜȚıĲĮ, Ƞ Frege ȝİ ĲȠȣȢ țĮȞȩȞİȢ ĲȠȣ įİȞ ĮʌȠıțȠʌȠȪıİ ıĲȠ ȞĮ ʌĮȡȑȤİȚ ȝȓĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ ȚțĮȞȒ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİȚ țĮĲȐ ʌȩıȠ ȑȞĮ įȣȞĮĲȩ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȡȠțȪȥİȚ Įʌȩ țȐʌȠȚİȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞİȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ ĲȘȢ ǼȞȞȠȚȠȖȡĮĳȓĮȢ. Ȉİ țȐșİ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȩȝȦȢ, Ș Begriffsschrift ʌȡȠıȑȜĮȕİ įȚțĮȓȦȢ ĲȚȢ įȚĮıĲȐıİȚȢ İʌĮȞĮıĲĮĲȚțȠȪ İʌȚĲİȪȖȝĮĲȠȢ ıĲȠȣȢ țȩȜʌȠȣȢ ĲȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ȜȠȖȚțȒȢ. ȉȠ ENTSCHEIDUNGSPROBLEM ĲȠȣ HILBERT ȉȠ 1928 ĲȘ ıțȣĲȐȜȘ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ʌȡȠȕȜȘȝĮĲȚıȝȠȪȢ ĲȠȣ Leibniz ĮȞȑȜĮȕİ Ƞ Hilbert. ǼțİȓȞȘ ĲȘ ȤȡȠȞȚȐ Ƞ Hilbert İȟȑįȦıİ ȑȞĮ ıȣȞȠʌĲȚțȩ İȖȤİȚȡȓįȚȠ ȖȚĮ ĲȘ ȜȠȖȚțȒ, ʌȠȣ ʌİȡȚİȓȤİ ıİ ʌİȡȚȜȘʌĲȚțȒ ȝȠȡĳȒ ĲȚȢ įȚĮȜȑȟİȚȢ ʌȠȣ ʌĮȡȑįȚįİ Įʌȩ ĲȠ 1917 ȝİ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ĲȘ ȜȠȖȚțȒ ĲȠȣ Frege, ʌȠȣ ʌȜȑȠȞ ĮʌȠțĮȜȠȪȞĲĮȞ ʌȡȦĲȠȕȐșȝȚĮ ȜȠȖȚțȒ. Ȉİ ĮȣĲȩ ĲȠ İȖȤİȚȡȓįȚȠ ĲȑșȘțĮȞ Įʌȩ ĲȠ Hilbert įȣȠ İȡȦĲȒȝĮĲĮ, ʌȠȣ ȗȘĲȠȪıĮȞ İʌȚĲĮțĲȚțȐ ĮʌȐȞĲȘıȘ. ȉȠ ʌȡȫĲȠ İȓȤİ ȞĮ țȐȞİȚ ȝİ ĲȘȞ ʌȜȘȡȩĲȘĲĮ ĲȠȣ ȜȠȖȚțȠȪ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ʌȠȣ ʌȡȩĲİȚȞİ Ƞ Frege. ȅ ȓįȚȠȢ ȒșİȜİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİȚ ʌȦȢ ȖȚĮ ȝȚĮ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ ʌȡȠĲİȚȞȩȝİȞȘ İʌĮȖȦȖȒ, Ș ȠʌȠȓĮ ȑȤİȚ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ ȖȚĮ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ İȡȝȘȞİȓĮ ĲȦȞ ȖȡĮȝȝȐĲȦȞ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȞĲĮȚ ıĲȠȣȢ ĲȪʌȠȣȢ ȠȚ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȜȘșİȓȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ, ĲȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ȞĮ İȓȞĮȚ İʌȓıȘȢ ĮȜȘșȑȢ, ĲȩĲİ ȠȚ țĮȞȩȞİȢ ĲȠȣ Frege șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ ȠįȘȖȒıȠȣȞ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ ıĲȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ (Davis, 2007). ȉȠ įİȪĲİȡȠ ȗȒĲȘȝĮ ȒĲĮȞ ĮțȩȝĮ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ĳȜȑȖȠȞ. ǲȖȚȞİ ȖȞȦıĲȩ ȦȢ Entscheidungsproblem (ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĮʌȠțȡȚıȚȝȩĲȘĲĮȢ). ȅ īİȡȝĮȞȩȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ĮʌĮȓĲȘıİ ȝȑıȦ ĲȠȣ Entscheidungsproblem ȞĮ ȕȡİșİȓ ȝȓĮ įȚĮįȚțĮıȓĮ ʌȠȣ ȞĮ țĮșȠȡȓȗİȚ ĮȞ ȝȓĮ įİįȠȝȑȞȘ ʌĮȡȐıĲĮıȘ įȚĮĲȣʌȦȝȑȞȘ ıĲȘ ȖȜȫııĮ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ ĲȠȣ Frege İȓȞĮȚ ĮȜȘșȒȢ Ȓ ȥİȣįȒȢ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ țĮȚ ĮȞ İȓȞĮȚ Ș İȡȝȘȞİȓĮ ĲȘȢ. ǹȣĲȩ ʌȠȣ ȗȘĲȠȪıİ țĮĲȐ ȕȐıȘ Ƞ Hilbert ȚıȠįȣȞĮȝİȓ ȝİ ĲȘȞ ĮȞİȪȡİıȘ ȝȓĮ ȝİșȩįȠȣ ȚțĮȞȒȢ ȞĮ ĮʌȠĳĮȞșİȓ (entscheiden ıĲȘ ȖİȡȝĮȞȚțȒ ȖȜȫııĮ) ȖȚĮ ĲȘȞ İȖțȣȡȩĲȘĲĮ Ȓ ȝȘ ĲȠȣ ʌȡȠĲĮıȚĮțȠȪ ĲȪʌȠȣ ıİ ʌİʌİȡĮıȝȑȞȠ ĮȡȚșȝȩ ȝȘȤĮȞȚıĲȚțȫȞ ȕȘȝȐĲȦȞ, ȤȦȡȓȢ ȞĮ ĮȞĮȜȣșİȓ ĲȠ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȠ Ȓ ĲȠ ȞȩȘȝĮ ĲȠȣ. ǹȣĲȩ ʌȠȣ ĮȞĮȗȘĲȠȪıİ Ƞ Hilbert ȒĲĮȞ ȑȞĮȢ ĮȜȖȩȡȚșȝȠȢ ʌȡȦĲȠĳĮȞȠȪȢ İȝȕȑȜİȚĮȢ ʌȠȣ șĮ ĮȣĲȠȝĮĲȠʌȠȚȠȪıİ țȐșİ ʌĲȣȤȒ ĲȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ Ȓ ĲȦȞ ĮȞșȡȫʌȚȞȦȞ ıȣȜȜȠȖȚıȝȫȞ (ȂȚȤĮȘȜȓįȘȢ • ǻİȜȜĮʌȩȡĲĮȢ, 2015). Ǿ ȚįȑĮ ĮȣĲȒ ʌȡȠȟȑȞȘıİ ĲȘȞ ȑȞĲȠȞȘ ĮȞĲȓįȡĮıȘ ĮȡțİĲȫȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĲȘȢ İʌȠȤȒȢ, ȩʌȦȢ Ƞ James Hardy, ʌȠȣ ıȣȞİȚįȘĲȠʌȠȚȠȪıĮȞ ʌȦȢ ĮȞ ĲȠ Entscheidungsproblem ʌȡȐȖȝĮĲȚ ȓıȤȣİ, țȐșİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌȡȩȕȜȘȝĮ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ĮȞĮȤșİȓ ıİ ĮʌȜȩ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȩ ʌȡȩȕȜȘȝĮ țĮȚ ȞĮ İʌȚȜȣșİȓ ȝİ ĲȘȞ İĳĮȡȝȠȖȒ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȦȞ ȝȘȤĮȞȚıĲȚțȫȞ țĮȞȩȞȦȞ. ǹȣĲȩ ȚıȠįȣȞĮȝİȓ ȝİ ĲȠ ĲȑȜȠȢ țȐșİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ įȡĮıĲȘȡȚȩĲȘĲĮȢ. ȈȓȖȠȣȡĮ, Ș ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘ ʌȠȣ İʌȚĳȪȜĮııİ Ƞ Alan Turing ıĲȠ Entscheidungsproblem șĮ İʌĮȞȑĳİȡİ ĲȠ ȤĮȝȩȖİȜȠ ıĲĮ ʌȡȩıȦʌĮ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ șȠȡȣȕȘȝȑȞȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. Ǿ įȚĮȖȦȞȚȠʌȠȓȘıȘ ĲȠȣ CANTOR ȂȓĮ ıȪȞĲȠȝȘ ĮȞĮĳȠȡȐ ıĲȘȞ ȝȑșȠįȠ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȚȠʌȠȓȘıȘȢ ĲȠȣ Cantor țȡȓȞİĲĮȚ ĮȞĮȖțĮȓĮ, įİįȠȝȑȞȠȣ ȩĲȚ ĲȩıȠ Ƞ Gödel ȩıȠ țĮȚ Ƞ Turing ĮȟȚȠʌȠȓȘıĮȞ ĲȘ ȝȑșȠįȠ ĮȣĲȒ ıĲȚȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ĲȠȣȢ ıĲȠȤİȪıİȚȢ țĮȚ ĮȞĮțĮȜȪȥİȚȢ. ǻȘȝȚȠȣȡȖȠȪȝİ ıȪȞȠȜĮ ĮȞĲȚțİȚȝȑȞȦȞ, Ȓ ĮȜȜȚȫȢ ʌĮțȑĲĮ ĮȞĲȚțİȚȝȑȞȦȞ, țĮȚ İĲȚțȑĲİȢ ȖȚĮ țȐșİ ʌĮțȑĲȠ. Ǿ ȚįȚĮȚĲİȡȩĲȘĲĮ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȚȠʌȠȓȘıȘȢ ȑȖțİȚĲĮȚ ıĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ʌȦȢ ȠȚ İĲȚțȑĲİȢ ĲȦȞ ʌĮțȑĲȦȞ țĮȚ ĲĮ ĮȞĲȚțİȓȝİȞĮ ĲȠȣ țȐșİ ʌĮțȑĲȠȣ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ıĲȠȚȤİȓĮ ĮțȡȚȕȫȢ ĲȠȣ ȓįȚȠȣ ĲȪʌȠȣ. īȚĮ ĲȘȞ ʌȜȘȡȑıĲİȡȘ țĮĲĮȞȩȘıȘ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣ ȝİșȩįȠȣ șĮ ʌĮȡĮșȑıȠȣȝİ ȑȞĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ʌȡĮțĲȚțȒȢ İĳĮȡȝȠȖȒȢ ĲȘȢ, șİȦȡȫȞĲĮȢ ĲȠȣ ĲȑııİȡİȚȢ ĲȪʌȠȣȢ ȤĮȡĲȚȫȞ ĲȘȢ ĲȡȐʌȠȣȜĮȢ. ȉĮ ʌĮțȑĲĮ țĮȚ ȠȚ İĲȚțȑĲİȢ ĲȠȣ țȐșİȞȠȢ İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ ʌĮȡĮțȐĲȦ. ƅ Ɔ Ƅ Ƈ {Ƈ,Ɔ} {Ƅ,Ƈ,Ɔ} {ƅ,Ƈ} {Ƈ,Ƅ} ȂİĲĮĳȑȡȠȞĲĮȢ ĲĮ įİįȠȝȑȞĮ ĮȣĲȐ ıİ ȑȞĮ ʌȓȞĮțĮ, ȑȤȠȣȝİ: ȆȓȞĮțĮȢ 2: Ǿ ǻȚĮȖȦȞȚȠʌȠȓȘıȘ ĲȠȣ Cantor (Davis, 2007) ƅ Ɔ Ƈ Ƅ ƅ + + Ɔ + + + Ƈ + + Ƅ + + ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ – țĮȚ +, ʌȡȠțİȚȝȑȞȠȣ ȞĮ İțĳȡȐıȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ıĲȠȚȤİȓȠ- ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ įİȞ ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞİĲĮȚ țĮȚ ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞİĲĮȚ ıĲȠ ʌĮțȑĲȠ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. Ǿ țȐșİĲȘ ıĲȒȜȘ ıĲȠ ĮȡȚıĲİȡȩ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ʌȓȞĮțĮ ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞİȚ ĲȚȢ ĲȑııİȡİȚȢ İĲȚțȑĲİȢ, İȞȫ ıĲȚȢ ȠȡȚȗȩȞĲȚİȢ ȖȡĮȝȝȑȢ İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ ĲĮ ıĲȠȚȤİȓĮ țȐșİ ʌĮțȑĲȠȣ. Ǿ įȚĮȖȦȞȚȠʌȠȓȘıȘ ȑȖțİȚĲĮȚ ıĲȘ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ İȞȩȢ țĮȚȞȠȪȡȚȠȣ ʌĮțȑĲȠȣ ĮʌĮȡĲȚȗȩȝİȞȠȣ Įʌȩ ȚįȓȠȣ ĲȪʌȠȣ ıĲȠȚȤİȓĮ ĮȜȜȐ ȝİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȩ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȠ. ȆĮȡĮĲȘȡȫȞĲĮȢ ĲȘ įȚĮȖȫȞȚȠ ıĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ İȓȞĮȚ ıİ ȖȡĮȝȝȠıțȚĮıȝȑȞȘ țȩțțȚȞȘ ȑȞįİȚȟȘ, ĮȞ ĮȞĲȚıĲȡȑȥȠȣȝİ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣ, ȝİĲĮĲȡȑʌȠȞĲĮȢ įȘȜĮįȒ ĲĮ + ıİ – țĮȚ ĮȞĲȓıĲȡȠĳĮ, ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȑȞĮ ʌĮțȑĲȠ ȝİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȩ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȠ. ƅ Ɔ Ƈ Ƅ + + ȉȠ ʌĮțȑĲȠ İȓȞĮȚ ĲȠ {ƅ,Ƅ} ʌȠȣ ʌȡȐȖȝĮĲȚ İȓȞĮȚ įȚĮĳȠȡİĲȚțȩ Įʌȩ țȐșİ ȐȜȜȠ ʌĮțȑĲȠ. Ǿ ȖİȞȓțİȣıȘ ĲȘȢ ȝİșȩįȠȣ İȓȞĮȚ ȕĮȡȪȞȠȣıĮȢ ıȘȝĮıȓĮȢ. Ǿ įȚĮȖȦȞȚȠʌȠȓȘıȘ ȜİȚĲȠȣȡȖİȓ ȖȚĮ țȐșİ ʌİʌİȡĮıȝȑȞȠ, ĮȜȜȐ țĮȚ ȐʌİȚȡȠ ıȪȞȠȜȠ ıĲȠȚȤİȓȦȞ. ȉȠ șİȫȡȘȝĮ ʌȜȘȡȩĲȘĲĮȢ ĲȠȣ GहDEL ȅ Hilbert ĮȞĮȗȒĲȘıİ ʌȡȫĲȠȢ ĲȘȞ ȪʌĮȡȟȘ țİȞȫȞ ıĲȠȣȢ țĮȞȩȞİȢ ĲȠȣ Frege. ȉĮ țİȞȐ șĮ ıȒȝĮȚȞĮȞ ʌȦȢ İȞȫ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ıȣȝʌİȡȐıȝĮĲĮ ʌȠȣ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ıȦıĲȐ, ȠȚ țĮȞȩȞİȢ ĲȠȣ Frege įİȞ İʌĮȡțȠȪıĮȞ, ʌȡȠțİȚȝȑȞȠȣ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȞ ȩĲȚ ĲĮ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ ıȣȝʌİȡȐıȝĮĲĮ İȟȐȖȠȞĲĮȚ Įʌȩ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞİȢ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ. ȅ Hilbert ȝȠȚȡĮȗȩĲĮȞ ĲȘȞ ʌİʌȠȓșȘıȘ ʌȦȢ ȠȚ țĮȞȩȞİȢ ĲȠȣ Frege ȒĲĮȞ ʌȜȒȡİȚȢ. ȊʌİȞșȣȝȓȗİĲĮȚ ʌȦȢ ıĲȘ ıȣȝȕȠȜȚțȒ ȜȠȖȚțȒ ĲȠȣ Frege țȐșİ ʌȡȠȨʌȩșİıȘ țĮȚ țȐșİ ıȣȝʌȑȡĮ-

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/3

--------------------------------------------------------------------- ǹʌȩ ĲĮ ȠȡȐȝĮĲĮ ĲȠȣ LEIBNIZ ıĲȚȢ ĮȞĮțĮȜȪȥİȚȢ ĲȠȣ TURING -----------------------------------------------------------------ıȝĮ țȦįȚțȠʌȠȚȠȪȞĲĮȚ Įʌȩ ȑȞĮȞ ȜȠȖȚțȩ ĲȪʌȠ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ĮʌĮȡĲȓȗİĲĮȚ Įʌȩ ȝȓĮ ıȣȝȕȠȜȠıİȚȡȐ. ǹȣĲȐ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ ĮȞĮʌĮȡȚıĲȠȪȞ İȓĲİ țĮșĮȡȐ ȜȠȖȚțȑȢ ȑȞȞȠȚİȢ, İȓĲİ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪȞ ıİ ıȘȝİȓĮ ıĲȓȟȘȢ Ȓ ĮȞĮĳȑȡȠȞĲĮȚ ıİ İȚįȚțȑȢ ȑȞȞȠȚİȢ ĲȠȣ șȑȝĮĲȠȢ ĲȠȣ ıȣȜȜȠȖȚıȝȠȪ. ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ ıȣȜȜȠȖȚıȝȠȪ: īȚĮ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ x ȣʌȐȡȤİȚ ĮțȑȡĮȚȠȢ y ĲȑĲȠȚȠȢ ȫıĲİ İȐȞ Ƞ x İȓȞĮȚ ȐȡĲȚȠȢ [r(x)], ĲȩĲİ Ƞ y İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȠȣ x [s(x,y)] ȈĲȘ ȖȜȫııĮ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ ĲȠȣ Frege Ƞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıȣȜȜȠȖȚıȝȩȢ įȚĮĲȣʌȫȞİĲĮȚ ȦȢ İȟȒȢ: (‫׊‬x) (‫׌‬y) (r(x) s(x,y)) ǵʌȠȚĮ ȜȠȚʌȩȞ țȚ ĮȞ İȓȞĮȚ Ș İȡȝȘȞİȓĮ ĲȠȣ x,y, ȩʌȠȚȠ ıȪȞȠȜȠ ĮȞĮĳȠȡȐȢ țȚ ĮȞ țĮșȠȡȓıȠȣȝİ, ȩʌȠȚĮ țĮȚ ĮȞ İȓȞĮȚ Ș ıȤȑıȘ s(x,y), ĮȞ ĮȣĲȩ ȖȓȞİȚ ȝİ ĲȡȩʌȠ ĲȑĲȠȚȠ, ȫıĲİ ȠȚ ʌȡȠȨʌȠșȑıİȚȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȜȘșİȓȢ, ĲȩĲİ țĮȚ ĲȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ șĮ İȓȞĮȚ ĮȜȘșȑȢ (ȂȚȤĮȘȜȓįȘȢ, ȉ· ǻİȜȜĮʌȩȡĲĮȢ Ȇ., 2015). ȉȠ 1930 Ƞ Gödel ıĲȘ įȚįĮțĲȠȡȚțȒ ĲȠȣ įȚĮĲȡȚȕȒ ĮʌȑįİȚȟİ ȝİ ȑȞĮȞ ıȤİĲȚțȐ ĮȞȫįȣȞȠ ĲȡȩʌȠ ĲȘȞ ʌȜȘȡȩĲȘĲĮ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ ĲȠȣ Frege. Ȃİ ĲȠ ĬİȫȡȘȝĮ ʌȜȘȡȩĲȘĲĮȢ ĲȠȣ țĮĲȘȖȠȡȘȝĮĲȚțȠȪ ȜȠȖȚıȝȠȪ 1ȘȢ ĲȐȟİȦȢ ĮʌȠįİȓȤĲȘțİ ʌȦȢ Ƞ țĮĲȘȖȠȡȘȝĮĲȚțȩȢ ȜȠȖȚıȝȩȢ ĲȠȣ Frege țȦįȚțȠʌȠȚİȓ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ țĮȞȩȞȦȞ ıȣȞĮȖȦȖȒȢ. Ȉİ ĮȣĲȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ țȡȓȞİĲĮȚ ĮʌĮȡĮȓĲȘĲȘ ȝȓĮ ȝȚțȡȒ ʌĮȡȑȞșİıȘ. ǶıĲİȡĮ Įʌȩ ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȘȢ ʌȜȘȡȩĲȘĲĮȢ ĲȠȣ ȜȠȖȚțȠȪ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ĲȠȣ Frege Ƞ Gödel țĮĲĮʌȚȐıĲȘțİ ȝİ ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȘȢ ıȣȞȑʌİȚĮȢ țĮȚ ȐȜȜȦȞ ȜȠȖȚțȫȞ ıȣıĲȘȝȐĲȦȞ. ȈĲȘȞ İȡȖĮıȓĮ ĲȠȣ «ȆȑȡȚ ĲȣʌȚțȐ ȝȘ ĮʌȠțȡȓıȚȝȦȞ ʌȡȠĲȐıİȦȞ ıĲȠ Principia Mathematica țĮȚ ıİ ıȤİĲȚțȐ ıȣıĲȒȝĮĲĮ» ĲȠ 1931 Ƞ Gödel İʌȑȜİȟİ ȞĮ ĮıȤȠȜȘșİȓ ȝİ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ Principia Mathematica ĲȦȞ Whitehead țĮȚ Russel, ʌȠȣ ʌİȡȚȑțȜİȚİ ȩȜȘ ĲȘȞ ȚıȤȪ ĲȦȞ țȜĮıȚțȫȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. ȅ Gödel įȚĮʌȓıĲȦıİ ʌȦȢ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ĮȜȘșİȓȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ʌȠȣ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ İțĳȡĮıĲȠȪȞ ȝȑıĮ ıĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ĮȜȜȐ įİȞ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșȠȪȞ İȞĲȩȢ ĲȠȣ. ȆȡȠȤȫȡȘıİ ıĲȘȞ țĮĲĮıțİȣȒ ʌȡȠĲȐıİȦȞ ǹ ıĲȠ PM ʌȠȣ ȕİȕĮȓȦȞĮȞ ȩĲȚ ȐȜȜİȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ B İȓȞĮȚ ȝȘ ĮʌȠįİȓȟȚȝİȢ ıĲȠ PM. ȉȩĲİ ĮȞĮȡȦĲȒșȘțİ İȐȞ ȠȚ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ǹ țĮȚ B ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ ĲĮȣĲȓȗȠȞĲĮȚ. Ȃİ ĲȘ ȝȑșȠįȠ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȚȠʌȠȓȘıȘȢ ĲȠȣ Cantor o Gödel ȝʌȩȡİıİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİȚ ȩĲȚ Ș ʌȡȩĲĮıȘ ȖȚĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȕİȕĮȚȫȞİĲĮȚ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ȝȘ ĮʌȠįİȓȟȚȝȘ țĮȚ Ș ʌȡȩĲĮıȘ ʌȠȣ țȐȞİȚ ĮȣĲȒ ĲȘ ȕİȕĮȓȦıȘ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓįȚİȢ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, Ș ʌȡȩĲĮıȘ ǹ ȕİȕĮȚȫȞİȚ ʌȦȢ Ș ʌȡȩĲĮıȘ ǹ įİȞ İȓȞĮȚ ĮʌȠįİȓȟȚȝȘ ıĲȠ PM. ȉȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ĮȣĲȩ țĮĲȑȡȡȚȥİ ĲȘȞ ʌİʌȠȓșȘıȘ ʌȠȜȜȫȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țȪțȜȫȞ ĲȘȢ İʌȠȤȒȢ ĲȠȣ Gödel ʌȦȢ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȑȞȞȠȚĮ ĮȜȒșİȚĮȢ İȞĲȩȢ ĲȠȣ PM İȓȞĮȚ ĮȣĲȒ ĲȘȢ ĮʌȠįİȚȟȚȝȩĲȘĲĮȢ. ȈȣȞİȤȓȗȠȞĲĮȢ, Ƞ Gödel ĮʌȑįİȚȟİ ʌȦȢ ĮȞ ĲȠ PM İȓȞĮȚ ıȣȞİʌȑȢ, ĲȩĲİ ȚıȤȪİȚ Ș ǹ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, Ș ǹ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ İȞĲȩȢ ĲȠȣ PM, İʌİȚįȒ ĲȠ PM İȓȞĮȚ ıȣȞİʌȑȢ. ǹĳȠȪ Ș ǹ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ıĲȠ PM, ĲȩĲİ țĮȚ Ș ıȣȞȑʌİȚĮ ĲȠȣ PM įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ıĲȠ PM (Davis, 2007· Goldstein, 2006). O Gödel ȝİ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ĲȘȢ ȝȘ ʌȜȘȡȩĲȘĲĮȢ įȚĮĲȡȐȞȦıİ ʌȦȢ țĮȞȑȞĮȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ĳȠȡȝĮȜȚıȝȩȢ țĮȚ țĮȞȑȞĮ ȜȠȖȚțȩ ıȪıĲȘȝĮ, ȩıȠ ȚıȤȣȡȩ țĮȚ ĮȞ İȓȞĮȚ, įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌİȡȚțȜİȓıİȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ĮȜȒșİȚĮȢ, Ș ȠʌȠȓĮ İțĲİȓȞİĲĮȚ ʌȑȡĮ Įʌȩ ȠĲȚįȒʌȠĲİ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ıĲȠ ʌȜĮȓıȚȠ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ ıȣıĲȘȝȐĲȦȞ (Davis, 2007). O TURING ĮȞĮȜĮȝȕȐȞİȚ įȡȐıȘ ȉȠ șȑȦȡȘȝĮ ȝȘ ʌȜȘȡȩĲȘĲĮȢ ĲȠȣ Gödel İȖțĮȚȞȓĮıİ ȑȞĮ ȞȑȠ țȜȓȝĮ țĮȚ ȑȞĮȞ ȞȑȠ ĲȡȩʌȠ ıțȑȥȘȢ ıĲȠȣȢ İȣȡȦʌĮȧțȠȪȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ țȪțȜȠȣȢ. ȅȚ ĮȞĮțĮȜȪȥİȚȢ ĲȠȣ Gödel İʌȑĲİȚȞĮȞ ĲȘȞ ʌİʌȠȓșȘıȘ ʌȠȜȜȫȞ ʌȦȢ Ƞ ĮȜȖȩȡȚșȝȠȢ ʌȠȣ İȓȤİ ĮʌĮȚĲȒıİȚ Ƞ Hilbert (Entscheidungsproblem) șĮ ȒĲĮȞ ĮįȪȞĮĲȠȞ ȞĮ ȣʌȐȡȟİȚ. ȈĲȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ İʌȚıĲȒȝȘ ȩȝȦȢ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞİĲĮȚ ȜȩȖȠȢ ȖȚĮ ȕİȕĮȚȩĲȘĲĮ įȓȤȦȢ ĮʌȩįİȚȟȘ. ȉȘȞ İȡȖĮıȓĮ ĮȞİȪȡİıȘȢ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ĮʌȩįİȚȟȘȢ ĮȞȑȜĮȕİ Ƞ Turing. Ǿ ʌȡȫĲȘ țȓȞȘıȘ ĲȠȣ Turing ȣʌȒȡȟİ Ș İȞįİȜİȤȒȢ ĮȞȐȜȣıȘ ĲȘȢ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȒȢ įȚĮįȚțĮıȓĮȢ. ȉȘ įİțĮİĲȓĮ ĲȠȣ 1930 ĲȠȣȢ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪȢ İțĲİȜȠȪıĮȞ ȠȚ ȜİȖȩȝİȞİȢ computers, ȖȣȞĮȓțİȢ ĲȦȞ ȠʌȠȓȦȞ ĮȡȝȠįȚȩĲȘĲĮ ȒĲĮȞ Ș İțĲȑȜİıȘ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȫȞ (ȂȚȤĮȘȜȓįȘȢ • ǻİȜȜĮʌȩȡĲĮȢ, 2015). ȅ Turing țĮĲȑįİȚȟİ ʌȦȢ Ƞ ʌİȡȚȠȡȚıȝȩȢ ĲȦȞ ȕĮıȚțȫȞ İȞİȡȖİȚȫȞ ĲȦȞ computers ȒĲĮȞ İĳȚțĲȩȢ. ȂȐȜȚıĲĮ, ȠȚ İȞȑȡȖİȚİȢ ĲȠȣȢ ʌİȡȚȠȡȓȗȠȞĲĮȞ ĲȩıȠ ʌȠȜȪ ʌȠȣ ıİ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĮȞĲȚțĮĲȐıĲĮıȒȢ ĲȠȣȢ Įʌȩ ȝȓĮ ȝȘȤĮȞȒ Ș ĲİȜİȣĲĮȓĮ įİ șĮ ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚȗİ țĮȝȓĮ įȣıțȠȜȓĮ ıĲȘȞ İțĲȑȜİıȘ ĲȦȞ ʌȡȐȟİȦȞ. ȅ Turing ĳĮȞĲȐıĲȘțİ Ș ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ ȞĮ İțĲİȜİȓĲĮȚ țĮĲȐ ȝȒțȠȢ ȝȓĮȢ ĲĮȚȞȓĮȢ ȤĮȡĲȚȠȪ, įȚĮȝİȡȚıȝĮĲȠʌȠȚȘȝȑȞȘȢ ıİ țȠȣĲȐțȚĮ. ȈȤȒȝĮ 1: ǹȞĮʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ ĲĮȚȞȓĮȢ ĲȠȣ Turing machine (Davis, 2007) 1 5 8 4 X 9 2 = 3 1 6 8 + 1 4 2 5 6 0 = 1 4 5 7 2 8 ȈĲȘȞ ĮȡȤȒ Ș ʌȡȠıȠȤȒ ĲȘȢ computer İȓȞĮȚ ıȣȖțİȞĲȡȦȝȑȞȘ ıĲȠȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩ ĲȦȞ ȗİȣȖȫȞ ĮȡȤȒȢ ȖİȞȠȝȑȞȘȢ Įʌȩ ĲȠ ȗİȪȖȠȢ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ıİ țȩțțȚȞȘ İʌȚıȒȝĮȞıȘ. ȂȩȜȚȢ ȠȜȠțȜȘȡȦșİȓ Ș įȚĮįȚțĮıȓĮ ĮȣĲȒ, ĲĮ İʌȚȝȑȡȠȣȢ ȖȚȞȩȝİȞĮ ʌȡȠıĲȓșİȞĲĮȚ. Ǿ įȚĮįȚțĮıȓĮ ĲȘȢ ʌȡȩıșİıȘȢ ȟİțȚȞȐ ȝİ ĲȘȞ ʌȡȩıșİıȘ ĲȠȣ ȗİȪȖȠȣȢ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ıİ ȖĮȜȐȗȚĮ ȑȞįİȚȟȘ. Ǿ ĮȞȐȜȣıȘ ĲȘȢ įȚĮįȚțĮıȓĮȢ ĲȠȣ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪ İʌȑĲȡİȥİ ıĲȠȞ Turing ȞĮ țĮĲĮȞȠȒıİȚ ʌȦȢ Ƞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩȢ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ İțĲİȜİȓĲĮȚ ȖȡȐĳȠȞĲĮȢ ȝȩȞȠ ıȪȝȕȠȜĮ ıİ țȠȣĲȐțȚĮ ʌȐȞȦ ıİ ȝȓĮ ĲĮȚȞȓĮ ȤĮȡĲȚȠȪ. Ȉİ țȐșİ ȕȒȝĮ ĮȣĲȩȢ ʌȠȣ ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ įȚĮȕȐȗİȚ ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ ȑȞĮ Įʌȩ ĮȣĲȐ ĲĮ țȠȣĲȐțȚĮ. Ǿ İȞȑȡȖİȚĮ ʌȠȣ șĮ ĮțȠȜȠȣșȒıİȚ țĮșȠȡȓȗİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ıȪȝȕȠȜȠ țĮȚ ĲȘȞ țĮĲȐıĲĮıȘ ĲȠȣ ȝȣĮȜȠȪ ıĲȘȞ ʌȡȠțİȚȝȑȞȘ ıĲȚȖȝȒ țĮȚ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ İȖȖȡĮĳȒ İȞȩȢ ıȣȝȕȩȜȠȣ ıĲȠ țȠȣĲȐțȚ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ İʌȚțİȞĲȡȫșȘțİ Ș ʌȡȠıȠȤȒ ĲȠȣ. ǶıĲİȡĮ, Ș ʌȡȠıȠȤȒ ĲȠȣ ȝİĲĮĲȠʌȓȗİĲĮȚ ıĲȠ țȠȣĲȐțȚ ʌȠȣ ȕȡȓıțİĲĮȚ ĮȡȚıĲİȡȐ Ȓ įİȟȚȐ ĲȠȣ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȣ țȠȣĲȚȠȪ (Davis, 2007). Ǿ ĮʌȜȠʌȠȓȘıȘ ĮȣĲȒ țĮĲȑıĲȘıİ įȣȞĮĲȒ ĲȘȞ ĮȞĲȚțĮĲȐıĲĮıȘ ĲȠȣ ĮĲȩȝȠȣ Įʌȩ ȝȓĮ ȝȘȤĮȞȒ ʌȠȣ ȠȞȠȝȐıĲȘțİ ȝȘȤĮȞȒ Turing. Ǿ ȝȘȤĮȞȒ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ ıİ șȑıȘ ȞĮ İȞĲȠʌȓıİȚ ȑȞĮ ĮȞȚȤȞİȣȩȝİȞȠ ıȪȝȕȠȜȠ țĮȚ ȞĮ ĮȞĲȚįȡȐıİȚ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĮȣĲȩ. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ, Ș ȝȘȤĮȞȒ șĮ ıȕȒıİȚ ĲȠ ĮȞȚȤȞİȣȩȝİȞȠ ıȪȝȕȠȜȠ țĮȚ ȝȑıĮ ıĲȠ ȓįȚȠ țȠȣĲȐțȚ șĮ ĮʌȠĲȣʌȫıİȚ ȑȞĮ ȐȜȜȠ ıȪȝȕȠȜȠ țĮȚ ĮțȠȜȠȪșȦȢ İȓĲİ ıȣȞİȤȓȗİȚ ĲȘȞ ĮȞȐȖȞȦıȘ ĲȘȢ ĲĮȚȞȓĮȢ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ İȓĲİ ȝİĲĮĲȠʌȓȗİĲĮȚ ȑȞĮ țȠȣĲȐțȚ ĮȡȚıĲİȡȐ Ȓ ȑȞĮ țȠȣĲȐțȚ įİȟȚȐ. ȅ Turing țĮĲȑįİȚȟİ ȩĲȚ țȐșİ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȚȝȠ ȝİ ĮȜȖȠȡȚșȝȚțȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ įȚİțʌİȡĮȚȦșİȓ Įʌȩ ȝȓĮ ĲȑĲȠȚĮ ȝȘȤĮȞȒ. Ǿ ȜİȚĲȠȣȡȖȓĮ ĲȘȢ ʌȡȑʌİȚ ĮȡȤȚțȐ ȞĮ țĮșȠȡȚıșİȓ Įʌȩ ȝȓĮ ȜİʌĲȠȝİȡȒ țĮĲĮȖȡĮĳȒ ȩȜȦȞ ĲȦȞ İȞįİȤȩȝİȞȦȞ țĮĲĮıĲȐıİȦȞ ıĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ șĮ ȕȡİșİȓ. ȉȠ İʌȩȝİȞȠ ȕȒȝĮ ȑȖțİȚĲĮȚ ıĲȘȞ ʌİȡȚȖȡĮĳȒ-ĲȠȞ ʌȡȠȖȡĮȝȝĮĲȚıȝȩ ĲȘȢ ĮȞĲȓįȡĮıȘȢ ĲȘ ȝȘȤĮȞȒȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ıİ țȐșİ țĮĲȐıĲĮıȘ țĮȚ ıİ țȐșİ ıȪȝȕȠȜȠ ʌȠȣ ĮȞȚȤȞİȪİȚ. Ǿ ĮȞĲȓįȡĮıȘ ĲȘȢ ȝȘȤĮȞȒȢ ıȣȞȓıĲĮĲĮȚ ıĲȘȞ ĮȜȜĮȖȒ ĲȠȣ ıȣȝȕȩȜȠȣ ıĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ, ĲȘȞ ȝİĲĮțȪțȜȚıȘ ĲȘȢ ʌȡȠıȠȤȒȢ ȑȞĮ țȠȣĲȓ įİȟȚȐ Ȓ ĮȡȚıĲİȡȐ țĮȚ ĲȘȞ ĮȜȜĮȖȒ țĮĲȐıĲĮıȘȢ. ȅ ıȣȝȕȠȜȚıȝȩȢ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȓȘıİ Ƞ Turing ĮțȠȜȠȣșȠȪıİ ĲȠ ʌȡȩĲȣʌȠ: Q a: c ĺ F (ʌİȞĲȐįĮ), ʌȡȠțİȚȝȑȞȠȣ ȞĮ țȦįȚțȠʌȠȚȘșİȓ Ș ʌȡȩĲĮıȘ: ȩĲĮȞ Ș ȝȘȤĮȞȒ ȕȡȓıțİĲĮȚ ıĲȘȞ țĮĲȐıĲĮıȘ Q țĮȚ İȞĲȠʌȓȗİȚ ıĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ Į, șĮ ıȕȒıİȚ ĲȠ Į țĮȚ șĮ ȖȡȐȥİȚ c, șĮ ȝİĲĮțȚȞȘșİȓ ȑȞĮ țȠȣĲȐțȚ įİȟȚȐ țĮȚ șĮ ʌİȡȚȑȜșİȚ ıĲȘȞ țĮĲȐıĲĮıȘ F. Ǿ ĮȜȜĮȖȒ ĲȠȣ ıȣȝȕȩȜȠȣ ȤȦȡȓȢ ȝİĲĮțȓȞȘıȘ ĲȘȢ ȝȘȤĮȞȒȢ ıİ ȐȜȜȠ țȠȣĲȓ ĮʌȠĲȣʌȫȞİĲĮȚ ȦȢ Qa:c*F (Davis, 2007). ȈȘȝĮȞĲȚțȑȢ İȓȞĮȚ įȪȠ İʌȚıȘȝȐȞıİȚȢ. ȆȡȦĲȓıĲȦȢ, Ƞ ȩȡȠȢ ȝȘȤĮȞȒ Turing įİȞ șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ ʌĮȡĮʌȜĮȞȐ. ǼʌȡȩțİȚĲȠ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/4

--------------------------------------------------------------------- ǹʌȩ ĲĮ ȠȡȐȝĮĲĮ ĲȠȣ LEIBNIZ ıĲȚȢ ĮȞĮțĮȜȪȥİȚȢ ĲȠȣ TURING -----------------------------------------------------------------ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ȖȚĮ ȝȠȞĲȑȜȠ ĮĳȘȡȘȝȑȞȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ İȞȞȠȚȫȞ ʌĮȡȐ ȖȚĮ ȝȘȤĮȞȒ, ȝİ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ʌȠȣ ĲȘȢ ĮʌȠįȓįİĲĮȚ ıȒȝİȡĮ. ǻİȪĲİȡȠȞ, ıĲȘ ȝȘȤĮȞȒ įİȞ ȣʌȒȡȤİ țȐʌȠȚȠ ȩȡȚȠ ıĲȘȞ ʌȠıȩĲȘĲĮ ĲȘȢ ĲĮȚȞȓĮȢ įȚĮșȑıȚȝȘȢ ȖȚĮ țȐșİ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩ. Ǿ ıȣȝʌİȡȚĳȠȡȐ ĲȘȢ ȝȘȤĮȞȒȢ, įȘȜĮįȒ ĮȞ șĮ ʌȡȠȤȦȡȐ ĮʌȠ țȠȣĲȐțȚ ıİ țȠȣĲȐțȚ, ĮȞ șĮ ıȣȞİȤȓȗİȚ ĮĲȑȡȝȠȞĮ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ıĲĮȝĮĲȐ Ȓ ĮȞ șĮ ʌĮȜȚȞįȡȠȝİȓ ĮĲȑȡȝȠȞĮ İȟĮȡĲȩĲĮȞ Įʌȩ ĲȘȞ ĲȚȝȒ İȚıȩįȠȣ ĲȘȢ ȝȘȤĮȞȒȢ. Ǿ İʌȓȜȣıȘ ĲȠȣ ENTSCHEIDUNGSPROBLEM ȅ Turing șİȫȡȘıİ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ ĲȚȝȫȞ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ Ș ȝȘȤĮȞȒ, ĮȞȚȤȞİȪȠȞĲȐȢ ĲȠȣȢ șĮ ıĲĮȝĮĲȒıİȚ, ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȢ ĮȣĲȩ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ȈȪȞȠȜȠ ǼȚıȩįȦȞ ȉİȡȝĮĲȚıȝȠȪ (Ȉ.Ǽ.ȉ.). ĬİȫȡȘıİ ĮțȩȝĮ ȑȞĮ ȐȜȜȠ ıȪȞȠȜȠ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ D, įȚĮĳȠȡİĲȚțȩ Įʌȩ ĲȠ Ȉ.Ǽ.ȉ.. Ǿ țĮĲĮıțİȣȒ ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ D įȚĮĳȠȡİĲȚțȠȪ Įʌȩ ĮȣĲȩ ĲȠȣ Ȉ.Ǽ.ȉ. İʌİĲİȪȖȤșȘ ȝİ ĲȘ ȝȑșȠįȠ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȚȠʌȠȓȘıȘȢ ĲȠȣ Cantor. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, țȐșİ ıĲȠȚȤİȓȠ ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ D įİȞ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ Ȉ.Ǽ.ȉ. ǹĳȠȪ ȩȡȚıİ ĲĮ įȪȠ ĮȣĲȐ ıȪȞȠȜĮ Ƞ Turing įȚĮĲȪʌȦıİ ȑȞĮ ʌȡȩȕȜȘȝĮ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȒȜʌȚȗİ ȩĲȚ įİ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ İʌȚȜȣșİȓ Įʌȩ ĲȘ ȝȘȤĮȞȒ Turing, įȘȜĮįȒ ȞĮ İʌȚȜȣșİȓ ĮȜȖȠȡȚșȝȚțȐ. ȉȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ȒĲĮȞ ĲȠ İȟȒȢ: ǺȡİȓĲİ ĮȜȖȩȡȚșȝȠ ʌȠȣ ȞĮ ĮʌȠĳĮȓȞİĲĮȚ ȖȚĮ țȐșİ įİįȠȝȑȞȠ ĳȣıȚțȩ ĮȡȚșȝȩ İȐȞ ĮȞȒțİȚ Ȓ ȩȤȚ ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ D (Davis, 2007). Ǿ ıʌȠȣįĮȚȩĲȘĲĮ ĮȞĮțȐȜȣȥȘȢ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ ȒĲĮȞ ĲİȡȐıĲȚĮ. Ǿ İʌȓȜȣıȘ ĲȠȣ Entscheidungsproblem șĮ țĮĲȑȜȘȖİ ıĲȘȞ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ İȞȩȢ ĮȜȖȠȡȓșȝȠȣ ȖȚĮ ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ țȐșİ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. ǼȐȞ ȑȞĮ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ȩȝȦȢ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İʌȚȜȣșİȓ ĮȜȖȠȡȚșȝȚțȐ, ĲȩĲİ ĲȠ Entscheidungsproblem ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝȘ İʌȚȜȪıȚȝȠ. Ǿ ȝȘȤĮȞȒ șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ ıĲĮȝĮĲȐ ȝİ ȝȓĮ ĲĮȚȞȓĮ țİȞȒ İțĲȩȢ Įʌȩ ĲȠ ĲİȜİȣĲĮȓȠ țȠȣĲȐțȚ, ʌȠȣ șĮ ʌİȡȚȑȤİȚ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 1, İȐȞ Ș ĲȚȝȒ İȚıȩįȠȣ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ D țĮȚ 0 İȐȞ Ș ĲȚȝȒ İȚıȩįȠȣ įİȞ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ D. ǼʌȚʌȜȑȠȞ, șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ țĮĲĮȜȒȖİȚ ıİ ȝȓĮ țĮĲȐıĲĮıȘ F, ȖȚĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ țĮȝȓĮ ʌİȞĲȐįĮ ĲȘȢ ȝȘȤĮȞȒȢ įİȞ ĮȡȤȓȗİȚ ȝİ ĲȠ ȖȡȐȝȝĮ F. ȆȡȠıșȑĲȠȞĲĮȢ ıĲȚȢ ʌİȞĲȐįİȢ ĲȘȢ ȝȘȤĮȞȒȢ ĲȚȢ ĮțȩȜȠȣșİȢ įȪȠ ʌİȞĲȐįİȢ: F0: ƑĺF țĮȚ FƑ:ƑĺF ĮȞ Ș ĲȚȝȒ İȚıȩįȠȣ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ D, Ș ȞȑĮ ȝȘȤĮȞȒ șĮ ȜİȚĲȠȣȡȖȒıİȚ țĮȚ șĮ ıĲĮȝĮĲȒıİȚ ȖȡȐĳȠȞĲĮȢ ȑȞĮ 1 ıĲȠ ĲİȜİȣĲĮȓȠ țȠȣĲȐțȚ. ǹȞ ȩȝȦȢ Ș ĲȚȝȒ İȚıȩįȠȣ įİȞ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ D, Ș ȝȘȤĮȞȒ șĮ ȝİĲĮțȚȞİȓĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ ĮĲȑȡȝȠȞĮ (halting problem). ǲĲıȚ, ĲȠ Ȉ.Ǽ.ȉ. țĮȚ ĲȠ D ĲĮȣĲȓȗȠȞĲĮȚ, ȖİȖȠȞȩȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȐĲȠʌȠ ȜȩȖȦ ĲȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ ʌȠȣ įȩșȘțİ ȖȚĮ ĲȠ Ȉ.Ǽ.ȉ țĮȚ ĲȠ D ȝȑıĮ Įʌȩ ĲȘ ȝȑșȠįȠ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȚȠʌȠȓȘıȘȢ ĲȠȣ Cantor. ǱȡĮ, įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ĮȜȖȩȡȚșȝȠȢ ʌȠȣ ȞĮ įȚĮțȡȓȞİȚ ĮȞ ȑȞĮȢ ĳȣıȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ D. ǲĲıȚ, ĲȠ Entscheidungsproblem İȓȞĮȚ ȝȘ İʌȚȜȪıȚȝȠ (Davis, 2007). ȀĮȝȓĮ ȝȘȤĮȞȒ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ țĮȞȩȞȦȞ ĲȠȣ Frege įİȞ İȓȞĮȚ ıİ șȑıȘ ȞĮ țĮĲĮȜȒȟİȚ ĮıĳĮȜȫȢ Įʌȩ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ ȣʌȠșȑıİȦȞ ıİ ȑȞĮ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ, įȚȩĲȚ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȠȞ ȞĮ ʌȡȠȕȜȑȥȠȣȝİ İȐȞ șĮ țȚȞİȓĲĮȚ ĮĲȑȡȝȠȞĮ Ȓ șĮ ıĲĮȝĮĲȐ (ȂȚȤĮȘȜȓįȘȢ• ǻİȜȜĮʌȩȡĲĮȢ, 2015). ȉȠ ʌȚȠ İțʌȜȘțĲȚțȩ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ, ĮȞ țĮȚ ʌĮȡȐʌȜİȣȡȠ, Įʌȩ ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ĲȠȣ Entscheidungsproblem İȓȞĮȚ ĲȠ ȖİȖȠȞȩȢ ʌȦȢ Ƞ Turing ʌĮȡİȓȤİ ȝİ ĲȘ ȝȘȤĮȞȒ ĲȠȣ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȝȠȞĲȑȜȠ ȖȚĮ ĲȠȞ ȠȚțȠȣȝİȞȚțȩ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ. Ǿ ȝȘȤĮȞȒ ĲȠȣ ıĲȘȞ ȠȣıȓĮ ıȣȞȑȞȦıİ ĲȚȢ ȑȞȞȠȚİȢ ĲȠȣ hardware (ȝȘȤĮȞȚțȐ ȝȑȡȘ), ĲȠȣ ʌȡȠȖȡȐȝȝĮĲȠȢ (Ƞ țȦįȚțȩȢ-ȠȚ ʌİȞĲȐįİȢ ıĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ) țĮȚ ĲȦȞ ʌȡȩıșİĲȦȞ įİįȠȝȑȞȦȞ (ĲĮ ȥȘĳȓĮ ıĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ). Ǿ ȝȘȤĮȞȒ ĲȠȣ ıȣȞȚıĲȐ ĲȠȞ ʌȡȩįȡȠȝȠ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ʌȡȠȖȡĮȝȝȐĲȦȞ įȚİȡȝȘȞȑȦȞ, ĮĳȠȪ ĮʌȠțȦįȚțȠʌȠȚİȓ İȞĲȠȜȑȢ țȦįȚțȠʌȠȚȘȝȑȞİȢ ıİ įȚĮĲȐȟİȚȢ ıȣȝȕȩȜȦȞ (ʌİȞĲȐįİȢ). ǹȣĲȑȢ ȠȚ ʌİȞĲȐįİȢ ȝȐȜȚıĲĮ ȑȤȠȣȞ ĲȘ șȑıȘ ĮʌȠșȘțİȣȝȑȞȠȣ ʌȡȠȖȡȐȝȝĮĲȠȢ, ȝİ ĲȘ įȚȐțȡȚıȘ ȝİĲĮȟȪ ʌȡȠȖȡȐȝȝĮĲȠȢ țĮȚ įİįȠȝȑȞȦȞ ȞĮ İȓȞĮȚ ȩʌȦȢ ıĲȠȞ ıȪȖȤȡȠȞȠ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ İȟĮȚȡİĲȚțȐ ȡİȣıĲȒ (Davis, 2007). ȉȑȜȠȢ, Ș țĮșȠȜȚțȒ ȝȘȤĮȞȒ ĲȠȣ Turing țĮĲȑįİȚȟİ ʌȦȢ ĲȠ hardware, ʌȠȣ ʌİȡȚȖȡȐĳİȚ ĲȘ ȜİȚĲȠȣȡȖȓĮ İȞȩȢ ȝȘȤĮȞȚıȝȠȪ țĮȚ ĲȠ software ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȣĳȓıĲĮȞĲĮȚ ȝİ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝȠȡĳȒ. ǹȣĲȒ ĲȦȞ țȦįȚțȠʌȠȚȘȝȑȞȦȞ ʌİȞĲȐįȦȞ ʌȐȞȦ ıĲȘȞ ĲĮȚȞȓĮ ȝȓĮȢ ȝȘȤĮȞȒȢ. 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ȀĮȚ ȩıȠ țȚ ĮȞ ĳĮȞĲȐȗİȚ ĮʌȓșĮȞȠ, ȠȚ ʌȡĮțĲȚțȑȢ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ȩȜȦȞ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ ȚįİȫȞ țĮȚ ĲȦȞ ĮȞĮțĮȜȪȥİȦȞ ȒĲĮȞ Ƞ ıȪȖȤȡȠȞȠȢ ȘȜİțĲȡȠȞȚțȩȢ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒȢ. Ǿ İʌȚıĲȒȝȘ İʌȚȕİȕĮȚȫȞİĲĮȚ ʌȦȢ ıȣȞȚıĲȐ ȑȞĮ ĮĲȑȡȝȠȞȠ ʌĮȚȤȞȓįȚ İȡȦĲȠĮʌĮȞĲȒıİȦȞ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ ʌȡȠȐȖİȚ ĲȘȞ ĮȞșȡȫʌȚȞȘ ıțȑȥȘ țĮȚ ĲȠȞ ȕĮșȝȩ țĮĲĮȞȩȘıȘȢ ĲȠȣ ȀȩıȝȠȣ Įʌȩ ĲȠȞ ȐȞșȡȦʌȠ. ȉȠ ȩȡĮȝĮ ĲȘȢ ĮȣĲȠȝĮĲȠʌȠȚȒıȘȢ ĲȦȞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȫȞ, Ș ĮʌĮȓĲȘıȘ İȞȩȢ Calculus Ratiocinator ĲȠ 1679, ȝİĲȠȣıȚȫșȘțİ ıĲȘȞ ʌȡĮțĲȚțȒ țĮĲĮıțİȣȒ ĲȠȣ ȥȘĳȚĮțȠȪ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ ĲȠȞ 20Ƞ ĮȚȫȞĮ. ȀĮȚ ȩȜĮ ĮȣĲȐ ȤȐȡȘ ıĲȠ ʌȠȜȣĲȚȝȩĲİȡȠ įȫȡȠ ĲȠȣ ĮȞșȡȫʌȠȣ, ĲȘȞ ĮȞșȡȫʌȚȞȘ ȜȠȖȚțȒ. ǼȣȤĮȡȚıĲȓİȢ ĬĮ ȒșİȜĮ ȞĮ İȣȤĮȡȚıĲȒıȦ Įʌȩ ȕȐșȠȣȢ țĮȡįȚȐȢ ĲȠȞ ȣʌİȪșȣȞȠ țĮșȘȖȘĲȒ țĮȚ țĮșȘȖȘĲȒ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȝȠȣ, ĲȠȞ țȪȡȚȠ ȂȚȤĮȘȜȓįȘ ȖȚĮ ĲȘȞ ȐȥȠȖȘ ıȣȞİȡȖĮıȓĮ, ĲȘ ıȪȜȜȘȥȘ ĲȠȣ șȑȝĮĲȠȢ ĲȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ, ĲȘȞ ʌȡȠșȣȝȓĮ țĮȚ ĲȘ ıȣȞİȤȒ țĮșȠįȒȖȘıȘ. ȉȠȞ İȣȤĮȡȚıĲȫ, ȖȚĮĲȓ ȝİ ȑțĮȞİ ȞĮ İʌĮȞİțĲȚȝȒıȦ ĲȠȞ țȩıȝȠ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. ǺȚȕȜȚȠȖȡĮĳȓĮ ȂȚȤĮȘȜȓįȘȢ, ȉ., ǻİȜȜĮʌȩȡĲĮȢ, Ȇ. ȅ Alan Turing țĮȚ Ș <http://www.blod.gr/lectures/Pages/viewlecture.aspx?LectureID=1829>. Davis, M. (2007). ȅȚ ȝȘȤĮȞȑȢ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ. ǹșȒȞĮ: ǼțțȡİȝȑȢ. Goldstein, R. (2006). ǹȚȤȝȐȜȦĲȠȢ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. ǹșȒȞĮ: ȉȡĮȣȜȩȢ.

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0 p0 p İȓȞĮȚ ĲȠ țȜȐıȝĮ ʌȠȣ ʌȡȠıİȖȖȓȗİȚ ĲȠ țĮȚ ʌȡȠȘȖİȓĲĮȚ ĲȠȣ . ǹʌȩ ĲȠȞ ȞȩȝȠ țĮĲĮıțİȣȒȢ (2) q0 q 1

ȑȤȠȣȝİ:

p1 Pp p0 ½ p p1 ¾ q1 Pq q0 ¿ q q1

īȡĮȝȝȒ ʌȘȜȓțȦȞ

pq1 p1q p(Pq q0 ) (Pp p0 )q pPq pq0 Ppq p0q

ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ įȪȠ įȚĮįȠȤȚțȑȢ ȠȡȓȗȠȣıİȢ, ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȩȡȠȣȢ ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ țȜĮıȝȐĲȦȞ, İȓȞĮȚ ĮȞĲȓșİĲİȢ. D p' ǲĲıȚ ʌȘȖĮȓȞȠȞĲĮȢ ʌȡȠȢ ĲĮ ʌȓıȦ, ıȣȞȐȖİĲĮȚ ȩĲȚ Ș įİȪĲİȡȘ ȠȡȓȗȠȣıĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ĲȘȞ ĮȞĲȓșİĲȘ ĲȚȝȒ 1 q' 1 D =–1. ǱȡĮ: 0 1 = 1 = –1 = 1 țĲȜ

ĲȘȢ 1ȘȢ ȠȡȓȗȠȣıĮȢ, įȘȜ. ȝİ –

1Ș ȠȡȓȗȠȣıĮ 2Ș ȠȡȓȗȠȣıĮ 3Ș ȠȡȓȗȠȣıĮ p p M 131 ȈȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ ĲȠ ĲİȜİȣĲĮȓȠ țȜȐıȝĮ ĲȘȢ ĮȞȐʌĲȣȟȘȢ ĲȠȣ ıİ (ıȣȞ. țȜ.) (İįȫ ĲȠ ) țĮȚ ȝİ 0 ĲȠ q N 34 q0 27 3668 ĮȝȑıȦȢ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ (İįȫ ĲȠ ) (ȀȠȓĲĮ ĲȠ ĮȡȚșȝȘĲȚțȩ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ĮȞȐʌĲȣȟȘȢ ĲȠȣ ıİ (ıȣȞ. țȜ.)). 7 952 ȆȡȩĲĮıȘ «ǹȞ (Į,ȕ)=į t 1 , į ȃ*, Į,ȕ ȃ* ȝİ Į>ȕ, ĲȩĲİ ȠȚ ĮțȑȡĮȚȠȚ x,y ȖȚĮ ĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ Įx+ȕy=į İȓȞĮȚ ȠȚ İȟȒȢ: x=–qo, y=p0 ĮȞ ȠȚ p0, q0 ĮȞȒțȠȣȞ ıİ ıĲȒȜȘ ʌİȡȚĲĲȒȢ ĲȐȟȘȢ țĮȚ x=qo, y=–p0 ĮȞ ȠȚ p0, q0 ĮȞȒțȠȣȞ ıİ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.108/8

D ıİ (ıȣȞ. țȜ.) E ǹʌȩįİȚȟȘ: ǹʌȩ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ʌȠȣ ĮȞĮĳȑȡĮȝİ ȚıȤȪİȚ pq 0 q( p 0 ) 1 (2) Ȓ p( q 0 ) qp 0 1 D p p D E G (D,E) D pG,E qG țĮȚ İʌİȚįȒ 1/p, 1/q 1 (p,q) . ǼȓȞĮȚ: țĮȚ ĮȞȐȖȦȖȠ. ǱȡĮ q E q p q ıĲȒȜȘ ȐȡĲȚĮȢ ĲȐȟȘȢ ĲȠȣ ʌȓȞĮțĮ ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ĲȠȣ

(3) (4)

(4)

(2) pq 0 G q( p0 )G G Dq 0 E( p0 ) G (5) (6) țĮȚ ĲİȜİȓȦȢ ĮȞȐȜȠȖĮ Įʌȩ ĲȘȞ (3) D ( q 0 ) E p 0 G ȅȚ ȚıȩĲȘĲİȢ (5) țĮȚ (6) ȠȜȠțȜȘȡȫȞȠȣȞ ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ. ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ 1Ƞ 156 Ȃİ ȤȡȒıȘ ĲȠȣ ʌȓȞĮțĮ ĲȘȢ ĮȞȐʌĲȣȟȘȢ ĲȠȣ ȞĮ ȕȡİșİȓ Ƞ į=(156,66) țĮșȫȢ țĮȚ ȠȚ x,y Z* ȑĲıȚ 66 ȫıĲİ: į=156x+66y. ȁȪıȘ

156 66

ª0 «1 « «2 « «0 «¬1

1 2 2 1 0

2 5 1 2 1

5º 7 »» 26=p 3» » 3» 11=q 2»¼

īȡĮȝȝȒ ʌȘȜȓțȦȞ

ȅȚ p0, q0 ĮȞȒțȠȣȞ ıĲȘȞ 4Ș ıĲȒȜȘ (p0=7, q0=3, ȐȡĲȚĮ ıĲȒȜȘ), ȐȡĮ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ ȑȤȠȣȝİ: G (156,66) 156 q 0 66 ( p 0 ) 156 3 66 ( 7) 6 įȘȜ. x=3 țĮȚ y=–7. ȆĮȡȐįİȚȖȝĮ 2Ƞ 3668 Ȃİ ȤȡȒıȘ ĲȠȣ ʌȓȞĮțĮ ĮȞȐʌĲȣȟȘȢ ĲȠȣ ȞĮ ȕȡİșİȓ Ƞ į=(3668,952) țĮșȫȢ țĮȚ ȠȚ x,y ǽ* ȑĲıȚ 952 ȫıĲİ: į=3668x+952y. ȁȪıȘ: ǲȞĮȢ ĮʌȜȩȢ țĮȚ ıȪȞĲȠȝȠȢ ĲȡȩʌȠȢ İȝĳȐȞȚıȘȢ ĲȘȢ țİȞĲȡȚțȒȢ ȖȡĮȝȝȒȢ ĲȦȞ ʌȘȜȓțȦȞ ĲȠȣ ʌȓȞĮțĮ 3668 3668 ĮȞȐʌĲȣȟȘȢ ıİ (ıȣȞ. țȜ.) ĲȠȣ İȓȞĮȚ Ƞ İȟȒȢ: =3+0,852941176… 952 952 1 1 0,172413793... 0,852941176... 1 5 0,8 0,172413793... 1 1 0, 25 0,8

1 0,25

4 ȉǼȁȅȈ

ª0 1 3 4 23º «1 3 4 23 27 » 131=p țĮȚ p0=27 » 3668 « ȳʌɲʅʅɼ ʋɻʄʀʃʉʐ īȡĮȝȝȒ ʌȘȜȓțȠȣ «3 1 5 1 4 » ǱȡĮ: 952 « » «0 1 1 6 7 » 34=q țĮȚ q0=7 «¬1 0 1 1 6 »¼ ȅȚ p0, q0 ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıĲȘȞ 5Ș ıĲȒȜȘ (ʌİȡȚĲĲȒ ıĲȒȜȘ). ǱȡĮ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ ȑȤȠȣȝİ: į= 3668 ( q 0 ) 952 p 0 3668 ( 7) 952 27 28 x 7, y 27 (ȈȘȝİȚȦĲȑȠȞ ȩĲȚ ʌȡȫĲĮ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ȠȚ x,y țĮȚ ȝİĲȐ Ƞ į). ĬİȦȡȘĲȚțȒ ȈȘȝİȓȦıȘ: ǹȞ į Ƞ ȂȀǻ țĮȚ İ ĲȠ Ǽ.ȀȆ. ĲȦȞ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ Į,ȕ, ĲȩĲİ Įʌȩ ĲȘ ȖȞȦıĲȒ İȟȓıȦıȘ D E G H țĮȚ ĲȘȞ șİȦȡȓĮ ʌȠȣ ĮȞĮʌĲȪȟĮȝİ, ȕȡȓıțȠȣȝİ ȐȝİıĮ ĲȠȞ İ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.108/9

Êȯ¼ÒÆº, Í¾ÍÊǷ¼ÒÆº ÃºÂ ÉÊəÍÈÂ ºÊÂÁÅÈȯ. ȂĮȡȓȞȠȢ ȈʌȘȜȚȩʌȠȣȜȠȢ-ǼȡİȣȞȘĲȒȢ ȄİțȚȞȐȝİ ȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ʌİȡȚĲĲȫȞ ʌȡȫĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ (P 3): 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … ț.Ȝʌ. ȉȠ 2 ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌȡȫĲȠȢ țĮȚ Ƞ ȝȠȞĮįȚțȩȢ ȐȡĲȚȠȢ ʌȡȫĲȠȢ, įİȞ ĲȠȞ ȕȐȗȠȣȝİ ıĲȘȞ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ İȡȖĮıȓĮ țĮȚ șĮ İȟȘȖȒıȠȣȝİ ʌȚȠ țȐĲȦ ȖȚĮĲȓ. ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȒ Įʌȩ ĲȘȞ ǼȣțȜİȓįİȚĮ īİȦȝİĲȡȓĮ Ș ĲȡȚȖȦȞȚțȒ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ, ȝİ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ĲȡİȚȢ ĮȡȚșȝȠȓ ĮȞ İțĳȡȐȗȠȣȞ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ, ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮȚ ĳȣıȚțȐ ĮȞ șȑȜȠȣȝİ, ȞĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ țĮĲĮıțİȣȐıȠȣȝİ ȑȞĮ ĲȑĲȠȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ. ȆȚȠ ȖİȞȚțȐ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ: ȈĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ, țȐșİ ʌȜİȣȡȐ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩĲİȡȘ Įʌȩ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ įȪȠ ȐȜȜȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ țĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ Įʌȩ ĲȘȞ įȚĮĳȠȡȐ ĲȠȣȢ. ȈĲȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ıțİĳĲȠȪȝİ ĲĮ İȟȒȢ: ǹȞ ȤȦȡȓıȠȣȝİ ĲȠȣȢ ʌȡȫĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ıİ ĲȡȚȐįİȢ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ʌȡȫĲȦȞ ʌ.Ȥ. (2, 3, 5), (3, 5, 7), (5, 7, 11), … ț.Ȝʌ ȐȡĮȖİ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ʌȜİȣȡȑȢ ıțĮȜȘȞȫȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ; ȈțĮȜȘȞȩ ĲȡȓȖȦȞȠ șȣȝȓȗȠȣȝİ, ȜȑȖİĲĮȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ ȩȜİȢ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ İȓȞĮȚ ȐȞȚıİȢ. ȉȠ 2, 3, 5 įİȞ ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ, ȖȚĮĲȓ ȩʌȦȢ İȪțȠȜĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İʌȚȕİȕĮȚȫıİȚ țȐʌȠȚȠȢ, įİȞ ȣʌĮțȠȪİȚ ıĲȘȞ ĲȡȚȖȦȞȚțȒ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ. īȚ’ ĮȣĲȩ ĲȠ 2 ĲȠ ĮʌȠȡȡȓȥĮȝİ țĮȚ țȡĮĲȠȪȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ʌİȡȚĲĲȫȞ ʌȡȫĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ. Ǽțİȓ ȑȤİȚ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ țȐșİ ĲȡȚȐįĮ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ʌİȡȚĲĲȫȞ ʌȡȫĲȦȞ, İțĳȡĮȗȩȝİȞİȢ ıİ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ, ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ʌȜİȣȡȑȢ ıțĮȜȘȞȫȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ. Ȃİ ĲȘȞ ȕȠȒșİȚĮ Ǿ/Ȋ ȝȑȤȡȚ 1.000.000 įȚĮįȠȤȚțȠȪȢ ʌȡȫĲȠȣȢ İʌĮȜȘșİȪĲȘțİ ĮȣĲȩ, ĮȞ țĮȚ įİȞ ȤȡİȚĮȗȩĲĮȞ ĮȣĲȒ Ș «ĲĮȜĮȚʌȦȡȓĮ», ĮĳȠȪ ȑȤİȚ ĮʌȠįİȚȤșİȓ Ș ıȤȑıȘ Pn+1 < 1, 6Pn Įʌȩ ȇn > 7 ʌȠȣ İȟĮıĳĮȜȓȗİȚ ĲȘȞ ȠȡșȩĲȘĲĮ ĲȠȣ ȗȘĲȒȝĮĲȠȢ ȝȑıȦ ĲȘȢ ĲȡȚȖȦȞȚțȒȢ ıȤȑıȘȢ. ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȒ Ș İȟȓıȦıȘ ĲȠȣ ǳȡȦȞĮ (ıʌȠȣįĮȓȠȣ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ țĮȚ ȝȘȤĮȞȚțȠȪ ĲȘȢ ĮȡȤĮȚȩĲȘĲĮȢ) ʌȠȣ įȓȞİȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ İȞȩȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ Įʌȩ ĲĮ ȝȒțȘ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ. ǹȣĲȩȢ İȓȞĮȚ: Ǽ = W W D W E W J ȩʌȠȣ Į, ȕ, Ȗ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮȚ Ĳ Ș ȘȝȚʌİȡȓȝİĲȡȩȢ ĲȠȣ. ǼȝİȓȢ ĳȣıȚțȐ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ıȣȝȕȠȜȓıȠȣȝİ ȝİ ȇ1, ȇ2, ȇ3 ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȦȞ ıțĮȜȘȞȫȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ, ʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĲȡİȚȢ įȚĮįȠȤȚțȠȪȢ ʌİȡȚĲĲȠȪȢ ʌȡȫĲȠȣȢ. ǹȞ ȝĮȢ İȞįȚĮĳȑȡİȚ, ȝİ ȕȐıȘ ĲȠ ȞȩȝȠ ĲȦȞ ıȣȞȘȝȚĲȩȞȦȞ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ țĮȚ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ Ȓ ȐȜȜĮ ȖİȦȝİĲȡȚțȐ ıĲȠȚȤİȓĮ İȞȩȢ ĲȑĲȠȚȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĮȣĲȩ ĲȠ İȟȚıȫȞȠȣȝİ ȝİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ İȞȩȢ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ʌȜİȣȡȐȢ Į ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĮȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĲȠȣȢ ĲȡİȚȢ įȚĮįȠȤȚțȠȪȢ ʌİȡȚĲĲȠȪȢ ʌȡȫĲȠȣȢ. ȆĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ: 3, 5, 7 Ǽ = 6,49519…țĮȚ Į = 2,54856… īȚĮ ĲȠ 5, 7, 11 Ǽ = 12,96871… țĮȚ Į = 3,6012… ț.Ȝʌ. ǹʌȩ ʌȠȜȜȐ ʌĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ ĳĮȓȞİĲĮȚ ȩĲȚ Į < ȇ1, ĮȜȜȐ ĮȣĲȩ șĮ ĲȠ įȠȪȝİ țĮȜȪĲİȡĮ ʌȚȠ țȐĲȦ. ǼȟȚıȫȞȠȞĲĮȢ ĲȠȞ ĲȪʌȠ ĲȠȣ ǳȡȦȞĮ ȖȚĮ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ, ȝİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ȝİ ʌȜİȣȡȐ Į, İȪțȠȜĮ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ (įİȞ țȐȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌȠȜȜȑȢ, ĮȜȜȐ ȩȤȚ įȪıțȠȜİȢ), ıĲȘȞ İȟȒȢ ıȤȑıȘ:

P34 2 P12 P22 P32 P22 P12

16D 4

0 (1)

ȁȪȞȠȞĲĮȢ ĲȘȞ įȚĲİĲȡȐȖȦȞȘ İȟȓıȦıȘ (1) țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȘȞ

P12 P22 r 2 P12 P22 4D 4

(2)

ǹʌȩ ĲȘȞ ĲȡȚʌȜȑĲĮ 7, 11, 13 țĮȚ ıĲȘȞ ıȣȞȑȤİȚĮ, ȚıȤȪİȚ ĲȠ ʌȜȘȞ ıĲȘȞ ıȤȑıȘ (2) ȖȚĮ ĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩ ĲȠȣ ȇ3, ȩĲĮȞ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȐ ĲȠ ȇ1, ȇ2 țĮȚ Į. ǹʌȩ ĲȘȞ (2) ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȚıȤȪİȚ P12 P22 4D 4 > 0 ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ

Į<

P1 P2 2

(3)

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/10

------------------------------------------------------------------------------------------------------ ȉȡȓȖȦȞĮ, ĲİĲȡȐȖȦȞĮ țĮȚ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ. ---------------------------------------------------------------------------------------------------

ȆĮȡĮįİȓȖȝĮĲĮ: ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ 3, 5, 7

Į<

3 5 2

Į < 2,73… ȝİ Į = 2,54856…

ȈĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ 23, 29, 31 Į < 18,26198… ȝİ Į = 17,8168… ț.Ȝʌ. ǼʌİȚįȒ Į < ȇ1 ȑȤȠȣȝİ

P1 P2 < ȇ1 ʌȠȣ įȓȞİȚ ȇ2 < 2ȇ1 (șİȫȡȘȝĮ ĲȠȣ ȉıȑȝʌȚıİĳ). ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ȇ3 2

ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȚıĲİȓ ȝȑıȦ İȞȩȢ «ʌȜĮȚıȓȠȣ», ʌȠȣ ĮȡȤȓȗİȚ ȝİ ȇ3 = ȇ2 + 2 (ȩĲĮȞ ȇ3 țĮȚ ȇ2 İȓȞĮȚ įȓįȣȝȠȚ ʌȡȫĲȠȚ) țĮȚ ĳĲȐȞİȚ ȑȦȢ: . P12 P22 . ȩĲĮȞ Į =

P1 P2 țĮȚ ȇ1 7. 2

ǺȑȕĮȚĮ ĮȞ ĮȣĲȩ ĲȠ ʌȜĮȓıȚȠ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ĲȠ İțĳȡȐıȠȣȝİ ȝȩȞȠ ȝİ ĲȠ Į, ȣʌȐȡȤİȚ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȠ Į Įʌȩ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ (1) ȖȚĮ ȇ3=ȇ2+2. Ǿ ĮȟȓĮ ĲȦȞ ʌȚȠ ʌȐȞȦ, ȓıȦȢ ȖȚĮ țȐʌȠȚȠȣȢ İȓȞĮȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ șİȦȡȘĲȚțȒ (ıĮȞ ȝȚĮ ȐıțȘıȘ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒȢ Ȓ ȖİȦȝİĲȡȓĮȢ) țĮȚ ȜȚȖȩĲİȡȠ ʌȡĮțĲȚțȒ Ȓ țĮșȩȜȠȣ ĲȑĲȠȚĮ. ǼʌİȚįȒ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȕȡİșİȓ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ĲȪʌȠȢ ʌȠȣ ȞĮ įȓȞİȚ ĲȠȞ İʌȩȝİȞȠ ʌȡȫĲȠ ĮȡȚșȝȩ, ȑȤȠȣȞ ȕȡİșİȓ įȚȐĳȠȡĮ «ʌȜĮȓıȚĮ», İȞȫ ıȣȞİȤȫȢ ĮȞĮțĮȜȪʌĲȠȞĲĮȚ ȞȑĮ. ĭĲȚȐȤȞȠȞĲĮȚ ȝİ įȚȐĳȠȡĮ țȡȚĲȒȡȚĮ țĮȚ įȚĮįȚțĮıȓİȢ. ǲȞĮ ʌȡȩıĳĮĲȠ İȓȞĮȚ: ȖȚĮ Ș 25 Ƞ İʌȩȝİȞȠȢ ª 6 º ʌȡȫĲȠȢ ȕȡȓıțİĲĮȚ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ (ʌȜĮȓıȚȠ) « K, K» ț.Ȝʌ. ¬ 5 ¼ Ȉİ țȐșİ ʌȜĮȓıȚȠ ʌȐȞĲȦȢ, ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ Ǿ/Ȋ Ȓ ȤȦȡȓȢ (ȖȚĮ ȝȚțȡȑȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ), ȖȓȞȠȞĲĮȚ įȪȠ «țȠıțȚȞȓıȝĮĲĮ», ĮĳĮȚȡȠȪȞĲĮȚ Įĳ’ İȞȩȢ ȠȚ ȐȡĲȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ țĮȚ Įĳ’ İĲȑȡȠȣ ȠȚ ʌİȡȚĲĲȠȓ ʌȠȣ ȜȒȖȠȣȞ ıİ 5, ȖȚĮĲȓ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ʌȡȫĲȠȚ țĮȚ ȠȚ ʌİȡȚĲĲȠȓ ʌȠȣ ȝȑȞȠȣȞ İȓȞĮȚ ȠȚ ȣʌȠȥȒĳȚȠȚ ȖȚĮ ĲȠȞ İʌȩȝİȞȠ ʌȡȫĲȠ, ĮĳȠȪ İȜİȖȤșȠȪȞ. Ȉİ ȑȞĮ ʌȜĮȓıȚȠ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ țĮȚ ȐȜȜȠȚ ʌȡȫĲȠȚ, İʌȩȝİȞȠȚ ĲȠȣ İʌȩȝİȞȠȣ ʌȡȫĲȠȣ. ĬĮ İȓȤİ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ ȞĮ ȝİȜİĲȘșİȓ ĮȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȠȣȢ, ĮțȠȜȠȣșİȓ țȐʌȠȚĮ ʌȚșĮȞȒ țĮĲĮȞȠȝȒ ıĲĮ įȚȐĳȠȡĮ ʌȜĮȓıȚĮ ț.Ȝʌ. Ǿ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ İȡȖĮıȓĮ ʌĮȡȑȤİȚ ȑȞĮ ʌȜĮȓıȚȠ ȖȚĮ ʌȡȫĲȠȣȢ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ İȓȞĮȚ țĮȜȪĲİȡȠ Ȓ ȤİȚȡȩĲİȡȠ Įʌȩ ȐȜȜĮ. ȍȢ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȒ ĲȠȣ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ȣʌİȡĲİȡİȓ ȐȜȜȦȞ ʌ.Ȥ. ȉıȑȝʌȚıİĳ Ȓ ĲȠȞ ȇ3 < 1,6ȇ2 ț.Ȝʌ ȩʌȦȢ İȪțȠȜĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ įȚĮʌȚıĲȫıİȚ țȐʌȠȚȠȢ, İȞȫ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȣıĲİȡİȓ Įʌȩ ȐȜȜĮ. ǵȝȦȢ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮȡȞȘșİȓ țȐʌȠȚȠȢ ȩĲȚ ȑȤİȚ ĲĮ įȚțȐ ĲȠȣ ȖȠȘĲİȣĲȚțȐ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȐ. ȆȡȠȒȜșİ Įʌȩ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ «ȖİȦȝİĲȡȚțȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ» Ș ȠʌȠȓĮ įİȞ ĮʌȠțȜİȓİĲĮȚ ȞĮ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȕİȜĲȚȦșİȓ ĮțȩȝĮ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ, İȓĲİ Įʌȩ ʌȚȠ țĮȜȪĲİȡȘ įȚĮȤİȓȡȚıȘ ĲȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ, İȓĲİ ȝİ ĲȠ ȞĮ ȝʌȠȣȞ ıĲȘȞ įȚĮįȚțĮıȓĮ țĮȚ İȝȕĮįȐ ȐȜȜȦȞ ıȤȘȝȐĲȦȞ ʌ.Ȥ. ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ, țȪțȜȠȢ1 ț.Ȝʌ. ȉȑȜȠȢ ȑȤİȚ ĲȘȞ ȚįȚĮȚĲİȡȩĲȘĲĮ ȞĮ İȟĮȡĲȐĲĮȚ țȐʌȠȚȠȢ ȐȖȞȦıĲȠȢ ʌȡȫĲȠȢ, Įʌȩ ĲȠȣȢ įȪȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȪȢ ĲȠȣ ȖȞȦıĲȠȪȢ ʌȡȫĲȠȣȢ țĮȚ ȩȤȚ Įʌȩ ĲȠȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȩ ĲȠȣ, ȩʌȦȢ ıİ ȐȜȜĮ ʌȜĮȓıȚĮ. Ǽįȫ ĲȠ ʌȜİȠȞȑțĲȘȝĮ Ȓ ĲȠ ȝİȚȠȞȑțĲȘȝĮ İȓȞĮȚ ıȤİĲȚțȩ.

ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȠ ıțĮȜȘȞȩ ĲȡȓȖȦȞȠ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ ȇ1, ȇ2, ȇ3 (įȚĮįȠȤȚțȠȓ ʌȡȫĲȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȝİ ȇ1 7) İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ ĮțĲȓȞĮȢ R. ĭȑȡȞȠȣȝİ ĲȚȢ ĮțĲȓȞİȢ ıĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮȚ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȞĲĮȚ ĲȡȓĮ ȝȚțȡȩĲİȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ. ǹʌȩ ĲȘȞ ĮȞȚıȦĲȚțȒ ıȤȑıȘ ĲȦȞ İȝȕĮįȫȞ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ (R, R, P3) țĮȚ (R, R, P2) ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȝȚĮ İȟĮȕȐșȝȚĮ X 3

2P12

ĮȞȓıȦıȘ. P22

X 2

P24

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ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȠȓ ȂĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȅȜȣȝʌȚȐįİȢ

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35À ÄÄÀÆÂÃȘ ¦ºÁÀÅºÍÂÃȘ ©ÄÎÅÉÂǷ½º "© ÊÐÂÅȘ½ÀË" 3 ¦ºÊÍȯÈÎ 2018

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ĲȘȞ (1) ȑȤȠȣȝİ | P(ai ) P(a j ) | | ai a j | . ȈȘȝİȓȦıȘ: ȈĲȠ įİȪĲİȡȠ İȡȫĲȘȝĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ țĮȚ ȐȜȜİȢ ʌȚșĮȞȑȢ țĮĲĮıțİȣȑȢ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞȠȣȞ. ȆȡȩȕȜȘȝĮ 4. ĬİȦȡȠȪȝİ n ıȘȝİȓĮ ıĲȠ İʌȓʌİįȠ, n t 4 , ĮȞȐ ĲȡȓĮ ȝȘ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ. ȅȞȠȝȐȗȠȣȝİ $ ( n ) ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȦȞ İȝȕĮįȠȪ 1 ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȞĲĮȚ ȝİ țȠȡȣĳȑȢ ĮȣĲȐ ĲĮ ıȘȝİȓĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ n 2 3n ȩĲȚ $ ( n) d , ȖȚĮ țȐșİ n t 4 . 4 ȁȪıȘ G ȈĲĮșİȡȠʌȠȚȠȪȝİ ȝȓĮ įȚİȪșȣȞıȘ u ıĲȠ İʌȓʌİįȠ. Ȉİ țȐșİ İȣșİȓĮ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıİ ĮȣĲȒ ĲȘ įȚİȪșȣȞıȘ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ ĲȠ ʌȠȜȪ įȪȠ ıȘȝİȓĮ. ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ ıİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤȠȣȞ k ȗİȪȖȘ ıȘȝİȓȦȞ ȖȚĮ ĮȣĲȒ ĲȘ įȚİȪșȣȞıȘ. ȉȩĲİ ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ (ȖȚĮ k 3 ), ıȤȘȝĮĲȓȗȠȞĲĮȚ ĲȠ ʌȠȜȪ k 1 ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝĮ İȝȕĮįȠȪ 1 ȝİ ĮȣĲȐ ĲĮ k ȗİȪȖȘ ıȘȝİȓȦȞ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.108/15

ȈȤȒȝĮ 3 ǼʌȠȝȑȞȦȢ ıİ ȝȓĮ įȚİȪșȣȞıȘ ȝİ k ȗİȪȖȘ ıȘȝİȓȦȞ, ıȤȘȝĮĲȓȗȠȞĲĮȚ ʌȠȜȪ k 1 ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝĮ İȝȕĮįȠȪ 1. ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ĮȞ ĮșȡȠȓıȠȣȝİ ĲĮ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝĮ ıİ ȩȜİȢ ĲȚȢ įȚİȣșȪȞıİȚȢ, șĮ ʌȐȡȠȣȝİ

¦ (k 1) ¦ k s ,

ȩʌȠȣ s İȓȞĮȚ ĲȠ ıȣȞȠȜȚțȩ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ įȚİȣșȪȞıİȦȞ ıĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıȘȝİȓĮ. ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ȩȝȦȢ

¦ k İȓȞĮȚ

§n· ©2¹

ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ĲȝȘȝȐĲȦȞ, ʌȠȣ İȓȞĮȚ ¨ ¸ . ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ

§ n·

ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȦȞ İȝȕĮįȠȪ 1 İȓȞĮȚ ĲȠ ¨¨ ¸¸ s . ǹȜȜȐ ȝİ ĮȣĲȩ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ȝİĲȡȒıĮȝİ țȐșİ © 2¹

ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ įȪȠ ĳȠȡȑȢ. ȂȓĮ ĳȠȡȐ ȖȚĮ ĲȘȞ įȚİȪșȣȞıȘ D țĮȚ ȝȓĮ ĳȠȡȐ ȖȚĮ ĲȘ įȚİȪșȣȞıȘ E , ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȠ ıȤȒȝĮ:

ȈȤȒȝĮ 4

§n· ¨¨ ¸¸ s ©2¹ . ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ıȣȞȠȜȚțȩ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȦȞ İȝȕĮįȠȪ 1 İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȠȜȪ 2 ĲȫȡĮ ȩĲȚ ĮȞ ȑȤȠȣȝİ n t 4 ıȘȝİȓĮ ıĲȠ İʌȓʌİįȠ, ĮȞȐ ĲȡȓĮ ȝȘ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ, ĲȩĲİ ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ įȚİȣșȪȞıİȦȞ İȓȞĮȚ s t n . ȆȡȐȖȝĮĲȚ ĮȢ ʌȐȡȠȣȝİ ĲȡȓĮ ȖİȚĲȠȞȚțȐ ıȘȝİȓĮ $, %, * (ıİ țȣȡĲȒ șȑıȘ) ȩʌȦȢ ıĲȠ ıȤȒȝĮ:

ȈȤȒȝĮ 5 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.108/16

ȉȠ ıȘȝİȓȠ ǹ ıȣȞįȑİĲĮȚ ȝİ n 1 ĲȝȒȝĮĲĮ ȝİ ĲĮ ȣʌȩȜȠȚʌĮ ıȘȝİȓĮ. ǵȜĮ ĮȣĲȐ ĲĮ ĲȝȒȝĮ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ ĲȠ ǹ, ȠʌȩĲİ ȠȡȓȗȠȣȞ n 1 įȚĮĳȠȡİĲȚțȑȢ įȚİȣșȪȞıİȚȢ. ǼʌȚʌȜȑȠȞ ĲȠ ĲȝȒȝĮ Ǻī įİȞ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ıİ țĮȞȑȞĮ Įʌȩ ĮȣĲȐ ĲĮ ĲȝȒȝĮĲĮ, ĮĳȠȪ ĲĮ ĲȑȝȞİȚ ȩȜĮ, ȐȡĮ ȠȡȓȗİȚ ȝȓĮ ĮțȩȝȘ įȚİȪșȣȞıȘ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤȠȣȝİ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ n 1 1 n įȚĮĳȠȡİĲȚțȑȢ įȚİȣșȪȞıİȚȢ, ȠʌȩĲİ ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȦȞ İȓȞĮȚ ĲȠ

§n· ¨ ¸ n 2 ʌȠȜȪ © ¹ 2

n 2 3n . 4

ȅȚ ȜȪıİȚȢ ĲȦȞ ĮıțȒıİȦȞ ĲȠȣ ĲİȪȤȠȣȢ 107. ǼȣțȜİȓįȘ Ǻǯ ǹ50. ǺȡİȓĲİ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ șİĲȚțȠȪȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ a , b, c ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȚȢ

§ c2 ¨ İȟȚıȫıİȚȢ: ab 1 2 ¨ a b

· ¸ ¸ ¹

§ a2 ¨ bc 1 2 ¨ b c

· ¸ ¸ ¹

§ b2 ¨ ca 1 2 ¨ c a

· ¸. ¸ ¹

ȁȪıȘ (Ȉ. ȂʌȡĮȗȚĲȓțȠȢ). ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ ĮȞ ȑȤȠȣȝİ ȑȞĮ ĲȡȓȖȦȞȠ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ a, b, c țĮȚ G D İȓȞĮȚ Ș įȚȤȠĲȩȝȠȢ ʌȠȣ § a2 · . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĮȞ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ bc ¨1 2 ¸ © (b c) ¹ a, b, c ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ, Ș įȠıȝȑȞȘ ȚıȩĲȘĲĮ ȜȑİȚ ȩĲȚ ȠȚ ĲȡİȚȢ įȚȤȠĲȩȝȠȚ İȓȞĮȚ ȓıȠȚ, ȐȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ, ȐȡĮ a b c . ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ȜȠȚʌȩȞ ȩĲȚ ȠȚ a, b, c ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ĲȠ ĮȞĲȓșİĲȠ, ĲȩĲİ țȐʌȠȚȠȢ șĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ Ȓ ȓıȠȢ Įʌȩ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ȐȜȜȦȞ įȪȠ. ǲıĲȦ c t a b . ǹʌȩ ĲȚȢ ʌȡȫĲİȢ įȪȠ ıȤȑıİȚȢ ȑȤȠȣȝİ a((a b)2 c2 ) c((c b)2 a2 ) a(a b c)(a b c) c(a b c)(b c a) a(a b c) c(b c a) (a b)2 (c b)2 (a b)2 (c b)2 (a b)2 (c b)2 ȐĲȠʌȠ, ĮĳȠȪ a b c d 0 , İȞȫ b c a ! 0 . ǱȡĮ ȠȚ a, b, c ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȝİ ȓıİȢ įȚȤȠĲȩȝȠȣȢ, ȐȡĮ a b c .

ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ a , ĲȩĲİ GD2

ī40. ǲıĲȦ ȠȟȣȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. Ǿ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ įȚĮȝȑıȠȣ ǹȂ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ c ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȇ. ǲıĲȦ $+ 1 ȪȥȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī țĮȚ Ǿ ĲȠ ȠȡșȩțİȞĲȡȠ ĲȠȣ. ȅȚ ȘȝȚİȣșİȓİȢ ȂǾ țĮȚ 5+ 1 ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȠȞ țȪțȜȠ c ıĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ țĮȚ ȉ, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ƞ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȢ țȪțȜȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ .7+ 1 İĳȐʌĲİĲĮȚ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ Ǻī. ȁȪıȘ

l ǲıĲȦ ȩĲȚ ȠȚ .+ 1 , $+ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȠȞ țȪțȜȠ ıĲĮ 1 , ' . ǹȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ 7.+ 1

m% . ǵȝȦȢ 7+ 1

l l %.1 l m% 0+ m5 75% 5%* l , ȠʌȩĲİ Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ țĮȚ 7+ 7.+ 7.% 1 1 1 l l (*). ǼȓȞĮȚ ȩȝȦȢ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ Ș +0 ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ țȪțȜȠ ıĲȠ ĮȞĲȚįȚĮȝİĲȡȚțȩ ( ĲȠȣ ǹ, ȠʌȩĲİ %.1 5%* l l l , ȠʌȩĲİ 0.$ 90q , ȐȡĮ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ + 1.$0 İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ 1.( '$5 p '1 p (1). ǵȝȦȢ, ($* l l l %' p (* p (2). Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ ȠȚ (1) țĮȚ (2), įȓȞȠȣȞ ȩĲȚ 5( %$' 90 q % p 5* p ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ ĲȘȞ (*), İʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤȠȣȝİ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ. %1

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.108/17

ǾȅȂȅ ȂǹȉHEMATICUS Ǿ Homo Mathematicus İȓȞĮȚ ȝȚĮ ıĲȒȜȘ ıĲȠ ʌİȡȚȠįȚțȩ ȝĮȢ, ȝİ ıțȠʌȩ ĲȘȞ ĮȞĲĮȜȜĮȖȒ ĮʌȩȥİȦȞ țĮȚ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ʌȡȠȕȜȘȝĮĲȚıȝȠȪ ʌȐȞȦ ıĲĮ İȟȒȢ șȑȝĮĲĮ: 1) ȉȚ İȓȞĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, 2) ȆȡȑʌİȚ Ȓ ȩȤȚ ȞĮ įȚįȐıțȠȞĲĮȚ, 3) ȆȠȚȠȚ İȓȞĮȚ ȠȚ țȜȐįȠȚ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ ʌȠȚȠ ĲȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ĲȠȣ țĮșİȞȩȢ, 4) ȆȠȚİȢ İȓȞĮȚ ȠȚ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ĲȠȣȢ, 5) ȆȠȚİȢ İʌȚıĲȒȝİȢ Ȓ țȜȐįȠȚ İʌȚıĲȘȝȫȞ ĮʌĮȚĲȠȪȞ țĮȜȒ ȖȞȫıȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȖȚĮ ȞĮ ȝʌȠȡȑıİȚ țȐʌȠȚȠȢ ȞĮ ĲȠȣȢ ıʌȠȣįȐıİȚ. ıȣȞĲĮțĲȚțȒ İʌȚĲȡȠʌȒ: ȀİȡĮıĮȡȓįȘȢ īȚȐȞȞȘȢ, ǺȜȐȤȠȢ ȈʌȪȡȠȢ, ȂĮȞȚĮĲȠʌȠȪȜȠȣ ǹȝĮȜȓĮ, ȂȒȜȚȠȢ īȚȫȡȖȠȢ, ȂʌȡȠȪȗȠȢ ȈĲȑȜȚȠȢ

I. ĲȚ İȓȞĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ; ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Ƞ ıȣȞȐįİȜĳȠȢ ȆȑĲȡȠȢ ĭĮȡĮȞĲȐțȘȢ İȓȞĮȚ įȚįȐțĲȦȡ ĲȘȢ ĳȚȜȠıȠĳȓĮȢ. ǲȤİȚ, ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ȐȜȜȦȞ, įȚĮĲİȜȑıİȚ ıȣȞĲȠȞȚıĲȒȢ ȑțįȠıȘȢ ĲȠȣ įȚİʌȚıĲȘȝȠȞȚțȠȪ ʌİȡȚȠįȚțȠȪ "Skepsis", ıȣȞİȡȖȐĲȘȢ ĲȠȣ ǹțĮįȘȝĮȧțȠȪ ǼȣȐȖȖİȜȠȣ ȂȠȣĲıȩʌȠȣȜȠȣ țĮȚ ĲȘȢ ȇȦȟȐȞȘȢ ǹȡȖȣȡȠʌȠȪȜȠȣ, įȚİȣșȪȞĲȡȚĮȢ ǼȡİȣȞȫȞ ıĲȠ ȀȑȞĲȡȠ ȃİȠİȜȜȘȞȚțȫȞ ǼȡİȣȞȫȞ ĲȠȣ ǼșȞȚțȠȪ ǿįȡȪȝĮĲȠȢ ǼȡİȣȞȫȞ. ȅ ıȣȞȐįİȜĳȠȢ ȆȑĲȡȠȢ İȓȞĮȚ ʌȠȜȣȖȡĮĳȩĲĮĲȠȢ țĮȚ, ĲȠ țȣȡȚȩĲİȡȠ, İȓȞĮȚ ȝȐȤȚȝȠȢ İțʌĮȚįİȣĲȚțȩȢ. ȂĮȢ ȑıĲİȚȜİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȦȝĮ ȝİ ĲȓĲȜȠ «ȉȠ ĳȚȜȠıȠĳȚțȩ ȣʌȩȕĮșȡȠ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ», ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ įȘȝȠıȚİȪȠȣȝİ, «ǼȐȞ İȞĲȡȣĳȒıİȚ țȐʌȠȚȠȢ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, ĮȞĲȚȜĮȝȕȐȞİĲĮȚ ȩĲȚ ĮȣĲȐ įİȞ İȓȞĮȚ ĮʌȜȫȢ țĮȚ ȝȩȞȠȞ ȑȞĮȢ ĲȠȝȑĮȢ Ȓ ȑȞĮ İȡȖĮȜİȓȠ țĮĲĮȞȩȘıȘȢ ĲȠȣ țȩıȝȠȣ, ĮȜȜȐ ȝȚĮ ȠȜȩțȜȘȡȘ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩĲȘĲĮ. ǹȣĲȒ, ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ȑȞĮ «ıȪıĲȘȝĮ», ȝȚĮȢ ȚįȚĮȓĲİȡȘȢ ȖȜȫııĮȢ, Ș ȠʌȠȓĮ, ȝİ ĲȘ ıİȚȡȐ ĲȘȢ, ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞİȚ ȑȞĮȞ Įȡȝȩ ıȣȞĮĳȫȞ İȞȞȠȚȠȜȠȖȚțȫȞ įȚțĲȪȦȞ. ȉĮ įȓțĲȣĮ ĮȣĲȐ ʌȡȠıȜĮȝȕȐȞȠȣȞ ıȘȝĮıȓĮ, ıĲȠ ȝȑĲȡȠ ʌȠȣ ĲİțȝȘȡȚȫȞȠȣȞ ıȣȜȜȠȖȚıȝȠȪȢ. ȀĮĲ` ȠȣıȓĮȞ ȩȝȦȢ, Ƞ ıȣȜȜȠȖȚıȝȩȢ, ıȣȞȚıĲȐ ĳȚȜȠıȠĳȚțȩ ȖȞȫȡȚıȝĮ, ȣʌȩ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮȞ ȩĲȚ İȟȐȖȠȣȝİ ȝȚĮ țȡȓıȘ Įʌȩ ȐȜȜİȢ țȡȓıİȚȢ, ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȑȞĮȞ țȠȚȞȩ ȩȡȠ. ȈĲȠ ʌİįȓȠ ʌȐȜȚ ĲȘȢ șİȦȡȓĮȢ ĲȦȞ ȚįİȫȞ, įȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȠȞ ʌĮȡĮȖȦȖȚțȩ ıȣȜȜȠȖȚıȝȩ țĮȚ ĲȠȞ İʌĮȖȦȖȚțȩ Ƞ ıȣȜȜȠȖȚıȝȩ. ȆĮȡĮȖȦȖȚțȩȢ, ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ıȣȜȜȠȖȚıȝȩȢ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ȕĮȓȞİȚ Įʌȩ ĲĮ țĮșȩȜȠȣ ıĲĮ țĮșȑțĮıĲĮ, İȞȫ İʌĮȖȦȖȚțȩȢ İȓȞĮȚ İțİȓȞȠȢ, ʌȠȣ ʌȡȠȤȦȡİȓ Įʌȩ ĲĮ İʌȚȝȑȡȠȣȢ ıĲĮ țĮșȩȜȠȣ. ǹȢ ȝȘȞ ʌĮȡĮȜİȓȥȠȣȝİ ȞĮ ĮȞĮĳİȡșȠȪȝİ țĮȚ ıĲȠȞ ĮȞĮȜȠȖȚțȩ ıȣȜȜȠȖȚıȝȩ, țĮĲȐ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠȞ ıȣȞȐȖȠȣȝİ ĲȠ ȝİȡȚțȩ Įʌȩ ĲȠ ȝİȡȚțȩ.

ǻİȪĲİȡȠ țȠȚȞȩ ȖȞȫȡȚıȝĮ ĮȞȐȝİıĮ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ĲȘ ĭȚȜȠıȠĳȓĮ, İȓȞĮȚ Ș ȣʌȩșİıȘ. Ȃİ ĲȘ ȜȑȟȘ, Ȓ țĮȜȜȓĲİȡĮ, ĲȠȞ ȩȡȠ ȣʌȩșİıȘ, İȞȞȠȠȪȝİ ĲȘȞ țȠȚȞȒ ĮʌȠįȠȤȒ, ȝȚĮȢ ĮȡȤȒȢ, Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ įȣȞȘĲȚțȒ ʌȡȠȢ İȟȒȖȘıȘ țȐʌȠȚȦȞ ȠȝȠİȚįȫȞ ĳȣıȚțȫȞ ĳĮȚȞȠȝȑȞȦȞ. ǲĲıȚ țȐʌȠȚĮ ȣʌȩșİıȘ ȖȓȞİĲĮȚ ʌȚȠ ʌȚșĮȞȒ ȩıȠ țĮĲȠȡșȫȞİȚ ȞĮ İȡȝȘȞİȪıİȚ ʌİȡȚııȩĲİȡĮ ĳĮȚȞȩȝİȞĮ. ȀĮȚ ıĲȚȢ įȪȠ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȑȢ ʌİȚșĮȡȤȓİȢ – ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ĭȚȜȠıȠĳȓĮ – ȝȚĮ ȣʌȩșİıȘ įȪȞĮĲĮȚ ȞĮ țĮĲĮıĲİȓ șİȦȡȓĮ, İĳȩıȠȞ, țĮĲȠȡșȫıİȚ ȞĮ İȡȝȘȞİȪıİȚ ĳĮȚȞȩȝİȞĮ, ȤȦȡȓȢ ȤȐıȝĮĲĮ. ȍıĲȩıȠ, ȠȚ ȣʌȠșȑıİȚȢ ȑȤȠȣȞ țĮȚ ȑȞĮȞ ȐȜȜȠȞ ȜİȚĲȠȣȡȖȚțȩ ȡȩȜȠ. ǹțȩȝĮ țĮȚ ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌȠȣ įİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĲȚȢ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ, țĮȜȪʌĲȠȣȝİ ĲĮ țİȞȐ, ĲĮ ȠʌȠȓĮ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ Ș İȝʌİȚȡȓĮ. ȆİȡȚĲĲȩ ȞĮ ĲȠȞȓıȠȣȝİ ȩĲȚ ȠȚ ȣʌȠșȑıİȚȢ ȑȤȠȣȞ ʌȜȑȠȞ İȝĳȚȜȠȤȦȡȒıİȚ țĮȚ ıİ ȐȜȜİȢ İʌȚıĲȒȝİȢ, ȩʌȦȢ ĲȘ ȕȚȠȜȠȖȓĮ (ʌȡȠȑȜİȣıȘ ĲȘȢ ȗȦȒȢ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȞȩȡȖĮȞȘ ȪȜȘ), ĲȘȞ țȠıȝȠȜȠȖȓĮ (ȖȑȞİıȘ ĲȠȣ țȩıȝȠȣ Įʌȩ ȑȞĮ ĮȡȤȚțȩ ȞİĳȑȜȦȝĮ, ț.Ȝ.ʌ.), ĲȘȞ ȠȚțȠȜȠȖȓĮ (ĳĮȚȞȩȝİȞȠ ĲȠȣ șİȡȝȠțȘʌȓȠȣ), ț.Ȑ.

ȉȑȜȠȢ, ıĲȠ ȜȓȖȠ ȤȦȡȚțȩ įȚȐıĲȘȝĮ ʌȠȣ ȝĮȢ ĮʌȠȝȑȞİȚ, șĮ ıĲĮșȠȪȝİ ıĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ. ǹȣĲȒ, ĲȩıȠ ıĲȘȞ İȣȡİȓĮ ȑȞȞȠȚĮ ȩıȠ țĮȚ ıĲȘȞ ĮȣıĲȘȡȐ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ, İȓȞĮȚ ĮʌȠȜȪĲȦȢ ĮʌĮȡĮȓĲȘĲȘ ıȒȝİȡĮ, ȝȚĮ țĮȚ ȝȚȜȐȝİ ȖȚĮ ȝȚĮ țȠȚȞȦȞȓĮ ȣʌİȡʌȜȘșȫȡĮȢ ʌȜȘȡȠĳȠȡȚȫȞ țĮȚ ĲİȤȞȠȜȠȖȚțȒȢ țȠıȝȠȖȠȞȓĮȢ. Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ, Įʌȩ ȝȩȞȘ ĲȘȢ,

țĮĲĮįİȚțȞȪİȚ ĲȘȞ ȚıȤȪ ȝȚĮȢ șȑıȘȢ, İȞȩȢ ȚıȤȣȡȚıȝȠȪ, ȝȚĮȢ șİȦȡȓĮȢ. ǼʌȓıȘȢ, ıĲȘ ĳȚȜȠıȠĳȚțȠȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ĮȞĲȓȜȘȥȘ, Ș İʌȚțȡȐĲȘıȘ ĲȘȢ ĮʌȩįİȚȟȘȢ, ĳĮȞİȡȫȞİȚ ȩĲȚ: Į. ȀĮĲȠȡșȫıĮȝİ ȞĮ įȚĮȤİȚȡȚıĲȠȪȝİ ȝȚĮ ʌȠȜȣʌȜȠțȩĲȘĲĮ İȞȞȠȚȫȞ. ȕ. ǻȚĮțȡȓȞĮȝİ ĲĮ ıȤİĲȚțȐ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/18

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ǾȅȂȅ ȂǹȉHEMATICUS ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ıĲȠȚȤİȓĮ Įʌȩ ĲĮ ȐıȤİĲĮ ıĲȠȚȤİȓĮ, ĲĮ ȠʌȠȓĮ ĮĳȠȡȠȪȞ ıİ ȑȞĮ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ ıĲȩȤȠ țĮȚ Ȗ. ǼʌȚįİȓȟĮȝİ įİȟȚȩĲȘĲĮ İʌȚȜȠȖȒȢ İȞ ȝȑıȦ ʌĮȡİȝĳİȡȫȞ, ĮȜȜȐ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ, ĮȞȩȝȠȚȦȞ ıĲȩȤȦȞ. ǹȢ ʌĮȡĮĲȘȡȒıȠȣȝİ, ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ĮȣĲȩ, ȩĲȚ İțİȓȞȠ ĲȠ ȠʌȠȓȠ, ıĲȘȞ İʌȚıĲȘȝȠȜȠȖȓĮ, țȐȞİȚ ȝȚĮ șİȦȡȓĮ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȒ,

İȓȞĮȚ Ș İȜİȖȟȚȝȩĲȘĲĮ țĮȚ įȘ įȚĮȥİȣıȚȝȩĲȘĲȐ ĲȘȢ · ȝİ ȐȜȜĮ ȜȩȖȚĮ Ș ĮȞȠȚȤĲȩĲȘĲĮ, ʌȠȣ ȝĮȢ ʌĮȡȑȤİȚ Ș ȓįȚĮ ȖȚĮ ȞĮ ĲȘȞ İȜȑȖȟȠȣȝİ țĮȚ ȞĮ ĲȘȞ ĮȞĮįİȓȟȠȣȝİ ȦȢ ĮȞĮȜȘșȒ, ıĲȠ ʌȜĮȓıȚȠ ȝȚĮȢ ȖȞȫıȘȢ, Ș ȠʌȠȓĮ ʌĮȡĮȝȑȞİȚ ĮĲİȜȒȢ. ( ǺȜ. Karl Popper, Imre Lakatos, George Pólya …)»

ǿǿ. "ǼȣțȜİȓįİȚĮ īİȦȝİĲȡȓĮ, ĮȖȐʌȘ ȝȠȣ" ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ȚțĮȞȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȠ ĮȓĲȘȝĮ ĲȠȣ ıȣȞĮįȑȜĳȠȣ Ĭ. ȋȡȚıĲȩĳȘ, įȘȝȠıȚİȪȠȣȝİ ĲȘ įİȪĲİȡȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȖȚĮ ĲȘȞ İʌȓʌİįȘ ĲȠȝȒ ıĲİȡİȫȞ ȝİ ıțȠʌȩ «...ȞĮ șȣȝȘșȠȪȝİ ĲȘȞ ȠȝȠȡĳȚȐ ʌȠȣ ȤȐșȘțİ...». ǽȘĲİȓĲĮȚ ĮʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ İȡȫĲȘȝĮ «...ȖȚĮĲȓ, ȤȐșȘțİ;...» įİȪĲİȡȠ ȝȑȡȠȢ iii. ȉȡȓĲȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıĲȠ İıȦĲİȡȚțȩ ĲȡȚȫȞ İįȡȫȞ ĲȘȢ ʌȣȡĮȝȓįĮȢ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ǻȓȞİĲĮȚ ʌȣȡĮȝȓįĮ ȅ.ǹǺī țĮȚ ıȘȝİȓĮ Ȁ,ȁ,Ȃ ıĲȠ İıȦĲİȡȚțȩ ĲȦȞ İįȡȫȞ ȅǹī,ȅǺī,ȅǹǺ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș ĲȠȝȒ ĲȘȢ ʌȣȡĮȝȓįĮȢ ȝİ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ. ĮʌȐȞĲȘıȘ (ıȤȒȝĮ 05) ȅȚ İȣșİȓİȢ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ȗİȪȖȘ ıȘȝİȓȦȞ (ȅ,Ȁ),(ȅ,ȁ),(ȅ,Ȃ) ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȚȢ ǹī,īǺ,Ǻǹ ıĲĮ ǻ,ǽ,Ǽ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. Ɣ ȈĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ ȠȚ ȂǼ,ȂȀ, ȠȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ Ǽǻ, ȂȀ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıİ ıȘȝİȓȠ Ĭ. Ɣ ȈĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ ȠȚ ȂǼ,Ȃȁ, ȠȚ İȣșİȓİȢ Ǽǽ,Ȃȁ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıİ ıȘȝİȓȠ Ȇ. Ɣ ȈĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ ĲȘȢ ȕȐıȘȢ ǹǺī, Ș İȣșİȓĮ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȇ,Ĭ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȘȞ İȣșİȓĮ Ǻǹ ıİ ıȘȝİȓȠ Ǿ. ȉȠ Ǿ İȓȞĮȚ ĲȠ ȞȑȠ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ (Ȁ,ȁ,Ȃ) ȝİ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ĲȘȢ ȑįȡĮȢ ȅǹǺ. Ɣ ȈĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ ĲȘȢ ȑįȡĮȢ ȅǹǺ, ĲȠ ĲȑȝȞȠȞ İʌȓʌİįȠ ȑȤİȚ ȝ’ ĮȣĲȒȞ įȪȠ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ Ǿ,Ȃ. Ǿ İȣșİȓĮ ǾȂ ĲȑȝȞİȚ ĲȚȢ ĮțȝȑȢ ȅǹ,ȅǺ ıĲĮ ȉ,ȇ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. Ɣ ȈĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ ĲȘȢ ȑįȡĮȢ ȅǺī, ĲȠ ĲȑȝȞȠȞ İʌȓʌİįȠ ȑȤİȚ ȝ’ ĮȣĲȒȞ įȪȠ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ ȇ,ȁ. Ǿ İȣșİȓĮ ȇȁ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ĮțȝȒ ȅī ıĲȠ ȃ. Ɣ ǱȡĮ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ ĲĮ Ȁ,ȁ,Ȃ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȘȞ ʌȣȡĮȝȓįĮ țĮĲȐ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȃȉȇ. iv. ȉȑĲĮȡĲȘ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıİ ĮțȝȑȢ țĮȚ ıĲȠ İıȦĲİȡȚțȩ İįȡȫȞ ĲȘȢ ʌȣȡĮȝȓįĮȢ (ıȤȒȝĮ 08) ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ǻȓȞİĲĮȚ ʌȣȡĮȝȓįĮ ȅ.ǹǺīǻ țĮȚ ĲȡȓĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ,ȁ,Ȃ Įʌ’ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ĲĮ įȪȠ ʌȡȫĲĮ ĮȞȒțȠȣȞ ıĲȚȢ ĮțȝȑȢ ȅǻ,ȅǺ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ țĮȚ ĲȠ ĲȡȓĲȠ ıĲȠ İıȦĲİȡȚțȩ ĲȘȢ ȕȐıȘȢ ǹǺīǻ. ȃĮ ȕȡİșİȓ Ș ĲȠȝȒ ĲȘȢ ʌȣȡĮȝȓįĮȢ ȝİ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ ĲĮ įȠıȝȑȞĮ ıȘȝİȓĮ. ĮʌȐȞĲȘıȘ (ıȤȒȝĮ 08) Ɣ ȈĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ ȠȚ ĮțȝȑȢ ȅǻ,ȅǺ, Ș İȣșİȓĮ Ȁȁ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ ǻǺ ıĲȠ Ǽ. Ɣ ȈĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ ĲȘȢ ȕȐıȘȢ ǹǺīǻ Ș İȣșİȓĮ ǼȂ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ īǻ ıĲȠ Ǿ, ĲȘȞ ĮțȝȒ ǻǹ ıĲȠ Ȅ țĮȚ ĲȘȞ ĮțȝȒ ǹǺ ıĲȠ ǽ. Ɣ ȈĲĮ ʌȜĮȓıȚĮ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ ĲȘȢ ȑįȡĮȢ ȅǻī, Ș İȣșİȓĮ ǾȀ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ȅī ıĲȠ Ȉ Ɣ ǱȡĮ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ ĲĮ Ȁ,ȁ,Ȃ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȘȞ ʌȣȡĮȝȓįĮ țĮĲȐ ĲȠ ʌİȞĲȐȖȦȞȠ ȄǽȁȈȀ. [ĲȠ ıȘȝİȓȦȝĮ ĮȣĲȩ İȓȞĮȚ ʌĮȡȝȑȞȠ Įʌȩ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ıȘȝİȚȫȝĮĲĮ ıĲȠ mathematica.gr, ĲȠȣ īȚȐȞȞȘ ȀİȡĮıĮȡȓįȘ]

ǿǿǿ. ǹȣĲȩ ĲȠ ȟȑȡĮĲİ; Į. ĲȚ İȓȞĮȚ ĲȠ "ĳȠȣĲȝʌȦȜȑȞȚȠ" ȕ. ʌȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ ĲȠȣ ȝȣȡȦįȐĲȠȣ ʌİʌȠȞȚȠȪ ĲȘȢ İȚțȩȞĮȢ; (Ș ĮʌȐȞĲȘıȘ, ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ) ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/19

ǿV. «ȅȚ ıȣȞİȡȖȐĲİȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȖȡȐĳȠȣȞ-İȡȦĲȠȪȞ» 1Ƞ șȑȝĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ țĮȡțȓȞȠȢ ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Ƞ ıȣȞİȡȖȐĲȘȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȈĲȑȜȚȠȢ ȂʌȡȠȪȗȠȢ İʌȚȝİȜȒșȘțİ ȑȞĮ șȑȝĮ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȞĲȠțȠȣȝȑȞĲȠ ȖȚĮ ĲȘ ȤȡȘıȚȝȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ. ȈȣȖȖȡĮĳȑĮȢ ĲȠȣ șȑȝĮĲȠȢ Ƞ Mohammad Kohande, ĮȞĮʌȜȘȡȦĲȒȢ țĮșȘȖȘĲȒȢ ǼĳĮȡȝȠıȝȑȞȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, ıĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ Waterloo (ȀĮȞĮįȐȢ). «ȆȫȢ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȕȠȘșȠȪȞ ıĲȘȞ țĮĲĮʌȠȜȑȝȘıȘ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ» ȤȘȝİȚȠșİȡĮʌİȓĮ țĮȚ ĲȘȞ İȝĳȐȞȚıȘ «ȅȚ ıȣȞİȡȖĮıȓİȢ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, ĲȦȞ ȝİ ȕȚȠȜȩȖȦȞ țĮȡțȓȞȠȣ țĮȚ ĲȦȞ țȜȚȞȚțȫȞ ȠȖțȠȜȩȖȦȞ ȤȘȝİȚȠșİȡĮʌİȣĲȚțȒȢ ĮȞĲȠȤȒȢ ıİ țĮȡțȓȞȠȣȢ. țĮșȚıĲȠȪȞ įȣȞĮĲȒ, ĲȩıȠ ĲȘ ȖȡȒȖȠȡȘ țĮȚ ȈĲȘȞ ȅȝȐįĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ǿĮĲȡȚțȒȢ ĲȠȣ ĮʌȠĲİȜİıȝĮĲȚțȒ įȠțȚȝȒ ĲȦȞ ıȣȞįȣĮıȝȫȞ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ĲȠȣ Waterloo, İĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ĳĮȡȝȐțȦȞ țĮȡțȓȞȠȣ , ȩıȠ țĮȚ ĲȘ ȕĮșȪĲİȡȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ țĮȚ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȑȢ ʌȡȠıİȖȖȓıİȚȢ ȖȚĮ ȞĮ țĮĲĮȞȩȘıȘ ĲȘȢ ĮȞĲȓıĲĮıȘȢ ĲȦȞ ĳĮȡȝȐțȦȞ ıĲȠȞ țĮĲĮȞȠȒıȠȣȝİ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ țĮȚ ĲȠȞ ȑȜİȖȤȠ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠ. (Shutterstock) țĮȡțȓȞȠȣ ȖȚĮ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ Įʌȩ ȝȚĮ įİțĮİĲȓĮ ĲȫȡĮ. ȈȤİįȩȞ ȠȚ ȝȚıȠȓ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȀĮȞĮįȠȪȢ șĮ ĮȞĮʌĲȪȟȠȣȞ ȈȣȞİȡȖĮȗȩȝİȞȠȚ ȝİ ȕȚȠȜȩȖȠȣȢ țĮȡțȓȞȠȣ țĮȚ țĮȡțȓȞȠ ıĲȘ įȚȐȡțİȚĮ ĲȘȢ ȗȦȒȢ ĲȠȣȢ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ țȜȚȞȚțȠȪȢ ȠȖțȠȜȩȖȠȣȢ, ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȞĮ ĲȘȞ Canadian Cancer Society. Ȉİ ʌĮȖțȩıȝȚȠ țĮĲĮȞȠȒıȠȣȝİ ȝİȡȚțȑȢ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȡȠțȜȒıİȚȢ ıĲȘȞ İʌȓʌİįȠ, Ƞ țĮȡțȓȞȠȢ İȓȞĮȚ Ș įİȪĲİȡȘ ĮȚĲȓĮ șĮȞȐĲȠȣ. ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ, ıȣȝʌİȡȚȜĮȝȕĮȞȠȝȑȞȘȢ ǵĲĮȞ Ƞ țĮȡțȓȞȠȢ ĮȞĮįȪİĲĮȚ ıĲȠ ĮȞșȡȫʌȚȞȠ ıȫȝĮ, ĲȘȢ ĮȞĲȠȤȒȢ ıĲĮ ĳȐȡȝĮțĮ țĮȚ ĲȘȢ ȣʌȠĲȡȠʌȒȢ. țĮĲĮȜȒȖİȚ ıİ țȪĲĲĮȡĮ ʌȠȣ İȓȞĮȚ "İʌȚșİĲȚțȐ" țĮȚ ȉĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝȠȞĲȑȜĮ ȝĮȢ İʌȚĲȡȑʌȠȣȞ ȞĮ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ĮʌȠĳȪȖȠȣȞ ĲȠȣȢ ȝȘȤĮȞȚıȝȠȪȢ ȥȐȤȞȠȣȝİ ȖȡȒȖȠȡĮ țĮȚ ȞĮ İȞĲȠʌȓȗȠȣȝİ ĲȠȣȢ ʌȚȠ ĮȣȟȘĲȚțȠȪ İȜȑȖȤȠȣ ĲȠȣ ıȫȝĮĲȠȢ. ǹȣĲȐ ĲĮ țȪĲĲĮȡĮ ĮʌȠĲİȜİıȝĮĲȚțȠȪȢ ıȣȞįȣĮıȝȠȪȢ ĳĮȡȝȐțȦȞ ȖȚĮ İȓȞĮȚ İʌȓıȘȢ "įȚİȚıįȣĲȚțȐ", İȚıİȡȤȩȝİȞĮ țĮȚ ĲȠȣȢ ĮıșİȞİȓȢ ȝİ țĮȡțȓȞȠ. ǼʌȓıȘȢ, İȝȕĮșȪȞȠȣȞ ĲȘȞ ȣʌȠįȚĮȚȡȠȪȝİȞĮ ıĲȠȣȢ ʌĮȡĮțİȓȝİȞȠȣȢ ȚıĲȠȪȢ. ȀĮȚ țĮĲĮȞȩȘıȒ ȝĮȢ ȖȚĮ ĲȠ ʌȫȢ țĮȚ ȖȚĮĲȓ ĲĮ țĮȡțȚȞȚțȐ ĮȣĲȐ İȓȞĮȚ ıȣȤȞȐ «ȝİĲĮıĲĮĲȚțȐ» - ĲĮȟȚįİȪȠȞĲĮȢ țĮȚ țȪĲĲĮȡĮ ıȣȤȞȐ ȖȓȞȠȞĲĮȚ ĮȞșİțĲȚțȐ ıĲĮ ĮʌȠȚțȓȗȠȞĲĮȢ ĮʌȠȝĮțȡȣıȝȑȞİȢ ʌİȡȚȠȤȑȢ ĲȠȣ ȤȘȝȚțȠșİȡĮʌİȣĲȚțȐ ĳȐȡȝĮțĮ. ȆȚıĲİȪȠȣȝİ ȩĲȚ ĮȣĲȒ Ș ĮȣȟĮȞȩȝİȞȘ ĮȜȜȘȜİʌȓįȡĮıȘ ıȫȝĮĲȠȢ. ȂȓĮ Įʌȩ ĲȚȢ ȝİȖĮȜȪĲİȡİȢ ĮȞİʌȓȜȣĲİȢ ʌȡȠțȜȒıİȚȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ İʌȚıĲȘȝȩȞȦȞ ȝİ ȕȚȠȜȩȖȠȣȢ țĮȡțȓȞȠȣ ıĲȘȞ ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ ĮĳȠȡȐ ĲȘ ıȣȤȞȒ țĮȚ țȜȚȞȚțȠȪȢ ȠȖțȠȜȩȖȠȣȢ șĮ ȠįȘȖȒıİȚ, İʌȓıȘȢ, ıİ ȣʌȠĲȡȠʌȒ ĮıșİȞȫȞ ʌȠȣ ȣʌȠȕȐȜȜȠȞĲĮȚ ıİ șİȡĮʌİȓĮ ʌȠȜȜȑȢ ȝİȜȜȠȞĲȚțȑȢ İȟİȜȓȟİȚȢ țĮȚ İʌȚĲİȪȖȝĮĲĮ ıĲȘȞ ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ. Ǿ ʌȡȩțȜȘıȘ ĲȘȢ ĮȞĲȠȤȒȢ ıĲĮ ĳȐȡȝĮțĮ Ǿ ĲȣʌȚțȒ șİȡĮʌİȓĮ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ʌİȡȚııȩĲİȡȠȣȢ țĮȡțȓȞȠȣȢ ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞİȚ ıȣȞįȣĮıȝȩ ȤİȚȡȠȣȡȖȚțȒȢ İʌȑȝȕĮıȘȢ țĮȚ ȤȘȝİȚȠșİȡĮʌİȓĮȢ țĮȚ/ Ȓ ĮțĲȚȞȠșİȡĮʌİȓĮȢ. ȉĮ ĳȐȡȝĮțĮ ȤȘȝİȚȠșİȡĮʌİȓĮȢ ȑȤȠȣȞ, ıİ ȖİȞȚțȑȢ ȖȡĮȝȝȑȢ, ĮʌȠįİȚȤșİȓ ĮʌȠĲİȜİıȝĮĲȚțȐ ıĲȘȞ țĮĲĮıĲȡȠĳȒ ĲȦȞ țĮȡțȚȞȚțȫȞ țȣĲĲȐȡȦȞ İȝʌȠįȓȗȠȞĲĮȢ ĮȣĲȐ ȞĮ ĮȞĮʌĲȣȤșȠȪȞ țĮȚ ȞĮ įȚĮȤȦȡȚıĲȠȪȞ. ǹȜȜȐ İȓȞĮȚ ıĮĳȫȢ "įȓțȠʌȠ ȝĮȤĮȓȡȚ" țĮșȫȢ țĮĲĮıĲȡȑĳȠȣȞ țĮȚ ʌȡȠțĮȜȠȪȞ ȝİĲĮȜȜȐȟİȚȢ ıİ ȣȖȚȒ, țĮȞȠȞȚțȐ țȪĲĲĮȡĮ ȚıĲȠȪ. ȀĮȚ Ș İʌȚȕȓȦıȘ ĲȦȞ ĮıșİȞȫȞ įİȞ İȟĮȡĲȐĲĮȚ ȝȩȞȠ Įʌȩ ĲȘȞ İȟȐȜİȚȥȘ ĲȦȞ țĮȡțȚȞȚțȫȞ țȣĲĲȐȡȦȞ. ȆȡȑʌİȚ İʌȓıȘȢ ȞĮ İȜȑȖȟȠȣȝİ Ȓ ȞĮ ȟİʌİȡȐıȠȣȝİ ĲȘȞ ĮȞĲȓıĲĮıȘ ıĲĮ ĳȐȡȝĮțĮ. ȀȐșİ ȤȡȩȞȠ ȤȚȜȚȐįİȢ ĮıșİȞİȓȢ ʌİșĮȓȞȠȣȞ Įʌȩ ȣʌȠĲȡȠʌȚȐȗȠȞĲİȢ țĮȡțȓȞȠȣȢ, ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ țĮĲĮıĲİȓ ĮȞșİțĲȚțȠȓ ıĲȘ ȤȘȝİȚȠșİȡĮʌİȓĮ.

Ǿ ıȣȞįȣĮıȝȑȞȘ șİȡĮʌİȓĮ İȓȞĮȚ ȝȚĮ ʌȠȜȪ İȜʌȚįȠĳȩȡĮ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ. ǹȜȜȐ ĮȣĲȒ șȑĲİȚ ĲȚȢ įȚțȑȢ ĲȘȢ İȡȦĲȒıİȚȢ ȖȚĮ ĲȠ ʌȫȢ ȞĮ įȚĮȤİȚȡȚȗȩȝĮıĲİ ĲĮ ĳȐȡȝĮțĮ, ĲĮ ȠʌȠȓĮ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ıȣȞįȣĮıĲȠȪȞ ıİ ȝȚĮ ĳĮȚȞȠȝİȞȚțȐ ȐʌİȚȡȘ ıİȚȡȐ țĮȚ ĮțȠȜȠȣșȓĮ. ȉĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝȠȞĲȑȜĮ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȘșȠȪȞ ȖȚĮ ȞĮ ȝİȜİĲȒıȠȣȞ ĮȣĲȐ ĲĮ İȓįȘ İȡȦĲȒıİȦȞ, ʌȡȠıĳȑȡȠȞĲĮȢ ıĲȠȞ ȕȚȠȜȩȖȠ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ țĮȚ ıĲȠȣȢ țȜȚȞȚțȠȪȢ ȠȖțȠȜȩȖȠȣȢ ȚıȤȣȡȐ ȞȑĮ İȡȖĮȜİȓĮ, İȡȖĮıĲȘȡȚĮțȫȞ țĮȚ țȜȚȞȚțȫȞ ʌȡȠıİȖȖȓıİȦȞ, ȖȚĮ ȞĮ ʌȡȠıșȑıȠȣȞ ıĲȠ ȠʌȜȠıĲȐıȚȩ ĲȠȣȢ. ǹȣĲȐ ĲĮ ȝȠȞĲȑȜĮ ʌȡȠıĳȑȡȠȣȞ ȝȚĮ ȠȡșȠȜȠȖȚțȒ țĮȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȝȑșȠįȠ ĮȞĮȗȒĲȘıȘȢ ȝȑıȦ İȞȩȢ ȝİȖȐȜȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ ʌȚșĮȞȫȞ ıĲȡĮĲȘȖȚțȫȞ ȖȚĮ ĲȠȞ İȞĲȠʌȚıȝȩ ĲȦȞ ʌȜȑȠȞ ĮʌȠĲİȜİıȝĮĲȚțȫȞ įȩıİȦȞ ȖȚĮ ĲȘȞ İʌȑțĲĮıȘ ĲȘȢ İʌȚȕȓȦıȘȢ ĲȦȞ ĮıșİȞȫȞ.

Ǿ ȓįȚĮ Ș ȤȘȝİȚȠșİȡĮʌİȓĮ ʌȡȠțĮȜİȓ ĮȞĲȓıĲĮıȘ Ǿ ȠȝȐįĮ ȝĮȢ İʌȚțİȞĲȡȫȞİĲĮȚ İʌȓ ĲȠȣ ʌĮȡȩȞĲȠȢ ĮȞșİțĲȚțȐ ıĲĮ ȤȘȝİȚȠșİȡĮʌİȣĲȚțȐ ıĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ȝȚĮȢ ȕĮșȪĲİȡȘȢ țĮĲĮȞȩȘıȘȢ ĲȠȣ ȠįȘȖȫȞĲĮȢ ıİ ȣʌȠĲȡȠʌȒ. ĲȡȩʌȠȣ ȝİ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ĲĮ țĮȡțȚȞȚțȐ țȪĲĲĮȡĮ ȖȓȞȠȞĲĮȚ ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/20

ĳȐȡȝĮțĮ,

Ȃİ ĲȘȞ İȞıȦȝȐĲȦıȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȝİ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȑȢ țĮȚ ʌİȚȡĮȝĮĲȚțȑȢ ȝİȜȑĲİȢ, ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȞĮ țĮĲĮȞȠȒıȠȣȝİ țĮȚ ȞĮ ȟİįȚʌȜȫıȠȣȝİ ʌȫȢ ȠȚ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠȚ ıȣȞįȣĮıȝȠȓ ĳĮȡȝȐțȦȞ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȕȠȘșȒıȠȣȞ ıĲȘȞ ȣʌȑȡȕĮıȘ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ ĮȞĲȓıĲĮıȘȢ. ǻİȞ İȓȞĮȚ ȩȜĮ țĮȡțȚȞȚțȐ țȪĲĲĮȡĮ ȖİȞȞȘȝȑȞĮ ȓıĮ. ǹȞĲĮȖȦȞȓȗȠȞĲĮȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ țĮȚ İțİȓȞĮ ʌȠȣ İʌȚȕȚȫȞȠȣȞ ȝİĲĮįȓįȠȣȞ ȖİȞİĲȚțȑȢ ʌȜȘȡȠĳȠȡȓİȢ ıĲĮ șȣȖĮĲȡȚțȐ ĲȠȣȢ țȪĲĲĮȡĮ. Ǿ șİȦȡȓĮ ĲȘȢ țȜȦȞȚțȒȢ İȟȑȜȚȟȘȢ Ǿ șİȦȡȓĮ ĲȘȢ țȜȦȞȚțȒȢ İȟȑȜȚȟȘȢ ĮȞĮĳȑȡİȚ ȩĲȚ ȠȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠȚ ȩȖțȠȚ ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ Įʌȩ ȝİȝȠȞȦȝȑȞĮ țȪĲĲĮȡĮ ȝȑıȦ ĲȘȢ ıȣııȫȡİȣıȘȢ ʌȠȜȜȫȞ ȖİȞİĲȚțȫȞ ĮȜȜĮȖȫȞ. ȍıĲȩıȠ, Ș ȣʌȩșİıȘ ĲȦȞ ȕȜĮıĲȚțȫȞ țĮȡțȚȞȚțȫȞ țȣĲĲȐȡȦȞ ȣʌȠįȘȜȫȞİȚ ȩĲȚ ȝȩȞȠ ȑȞĮȢ ȣʌȠʌȜȘșȣıȝȩȢ ĲȦȞ ĮʌȠțĮȜȠȪȝİȞȦȞ "țȣĲĲȐȡȦȞ ʌȠȣ İțțȚȞȠȪȞ Įʌȩ țĮȡțȓȞȠ" ȑȤİȚ ĲȘȞ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ȖȚĮ ĮʌİȡȚȩȡȚıĲȘ țȣĲĲĮȡȚțȒ įȚĮȓȡİıȘ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ȠįȘȖİȓ ıĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ĲȠȣ ȩȖțȠȣ. ǹȣĲȐ ĲĮ țȪĲĲĮȡĮ İȓȞĮȚ ʌȠȜȪ İʌȚșİĲȚțȐ, ȜȚȖȩĲİȡȠ İȣĮȓıșȘĲĮ ıĲĮ ĳȐȡȝĮțĮ țĮȚ ĳĮȓȞİĲĮȚ ȞĮ İȓȞĮȚ Ș țȚȞȘĲȒȡȚĮ įȪȞĮȝȘ ĲȘȢ ȝİĲȐıĲĮıȘȢ (Ș İȟȐʌȜȦıȘ ĲȦȞ țĮȡțȚȞȚțȫȞ

Ǿ ȑȜȜİȚȥȘ ȠȝȠȚȩȝȠȡĳȦȞ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȫȞ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ țȣĲĲĮȡȚțȫȞ ʌȜȘșȣıȝȫȞ ȑȤİȚ ĮȞĮȖȞȦȡȚıĲİȓ ȦȢ ȑȞĮȢ ıȘȝĮȞĲȚțȩȢ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ ʌȠȣ ʌİȡȚʌȜȑțİȚ țĮȚ ʌĮȡİȝʌȠįȓȗİȚ ĲȘȞ ĮȞĲĮʌȩțȡȚıȘ ĲȘȢ șİȡĮʌİȓĮȢ ıİ ȑȞĮȞ ĮȡȚșȝȩ ȩȖțȦȞ. ǲȤȠȣȝİ įȪȠ ĮȞĲĮȖȦȞȚıĲȚțȑȢ șİȦȡȓİȢ ȖȚĮ ȞĮ İȟȘȖȒıȠȣȝİ ĮȣĲȩ: 1) ĲȘȞ ĲȣʌȚțȒ șİȦȡȓĮ ĲȘȢ "țȜȦȞȚțȒȢ İȟȑȜȚȟȘȢ" țĮȚ 2) ĲȘȞ "ȊʌȩșİıȘ ĲȦȞ ȕȜĮıĲȚțȫȞ țĮȡțȚȞȚțȫȞ țȣĲĲȐȡȦȞ".

țȣĲĲȐȡȦȞ ıİ ĮʌȠȝĮțȡȣıȝȑȞİȢ ʌİȡȚȠȤȑȢ), Ș ȠʌȠȓĮ ıȣȤȞȐ ȠįȘȖİȓ ıİ șȐȞĮĲȠ ĮıșİȞȫȞ. Ǿ ȠȝȐįĮ ȝĮȢ įȘȝȠıȓİȣıİ ȐȡșȡĮ ıĲĮ Nature Communication țĮȚ ACS Nano ıİ ıȣȞİȡȖĮıȓĮ ȝİ įȪȠ ȕȚȠȜȩȖȠȣȢ țĮȡțȓȞȠȣ ıĲȘ ĳĮȡȝĮțİȣĲȚțȒ ıȤȠȜȒ ĲȠȣ Harvard -- Dr. Sengupta țĮȚ Dr. Goldman -- ȖȚĮ ȞĮ įİȓȟİȚ ȩĲȚ ĲĮ ȝȘ țĮȡțȚȞȚțȐ ȖĮȝİĲȠțȪĲĲĮȡĮ ȝʌȠȡȠȪȞ İʌȓıȘȢ ȞĮ țĮĲĮıĲȠȪȞ ĮȞșİțĲȚțȐ ıĲĮ ȤȘȝİȚȠșİȡĮʌİȣĲȚțȐ ĳȐȡȝĮțĮ. ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ, Ș ĮȞĲȓıĲĮıȘ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĮʌȠțĲȘșİȓ ȦȢ ȐȝİıȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ĲȘȢ ȤȘȝİȚȠșİȡĮʌİȓĮȢ. ǹȣĲȩ ʌȡȠțĮȜİȓ ĲȘȞ ĲȡȑȤȠȣıĮ İȟȒȖȘıȘ ȩĲȚ Ș ĮȞĲȓıĲĮıȘ İȓȞĮȚ ȑȝĳȣĲȘ Ȓ ĮʌȠțĲȐĲĮȚ ȦȢ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ĲȣȤĮȓȦȞ ȝİĲĮȜȜȐȟİȦȞ.

ǼȝʌȞİȣıȝȑȞȘ ȞĮȞȠȧĮĲȡȚțȒ ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıĮȝİ İʌȓıȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝȠȞĲȑȜĮ, İȞıȦȝĮĲȦȝȑȞĮ ȝİ ʌİȚȡĮȝĮĲȚțȐ įİįȠȝȑȞĮ, ȖȚĮ ȞĮ țĮĲĮȞȠȒıȠȣȝİ ĲĮ ȤȘȝİȚȠĮȞșİțĲȚțȐ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȐ ĲȦȞ țĮȡțȚȞȚțȫȞ țȣĲĲȐȡȦȞ țĮȚ ʌȫȢ İʌȚȕȚȫȞȠȣȞ ȝİ ĲȘȞ ʌȐȡȠįȠ ĲȠȣ ȤȡȩȞȠȣ. ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ȝȠȞĲȑȜĮ ʌȠȞĲȚțȚȫȞ ȝİ İʌȚșİĲȚțȩ țĮȡțȓȞȠ ĲȠȣ ȝĮıĲȠȪ İʌȚȕİȕĮȚȫıĮȝİ ĲȚȢ ʌȡȠȕȜȑȥİȚȢ Įʌȩ ĲȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ȝĮȢ ȝȠȞĲȑȜȠ ȩĲȚ, ȖȚĮ ȞĮ ȟİʌİȡĮıĲİȓ Ș ĮȞĲȓıĲĮıȘ țĮȚ Ș ȣʌȠĲȡȠʌȒ, ȑȞĮȢ șĮȞĮĲȘĳȩȡȠȢ ıȣȞįȣĮıȝȩȢ ĳĮȡȝȐțȦȞ ıİ ȑȞĮ ȝȩȞȠ ȞĮȞȠıȦȝĮĲȓįȚȠ (ȑȞĮ ȝȚțȡȠıțȠʌȚțȩ ıȦȝĮĲȓįȚȠ) ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ʌĮȡĮįȠșİȓ ıĲȠ ȓįȚȠ țȪĲĲĮȡȠ.

ǹȣĲȑȢ ȠȚ ʌȡȩıĳĮĲİȢ İȡȖĮıȓİȢ ȣʌȠȖȡĮȝȝȓȗȠȣȞ ĲȘ ıȘȝĮıȓĮ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ ĲȦȞ ȕȚȠȜȩȖȦȞ țĮȡțȓȞȠȣ ʌȠȣ İȡȖȐȗȠȞĲĮȚ ȝĮȗȓ. ǻİȓȤȞȠȣȞ ȩĲȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȕȠȘșȒıȠȣȞ ıĲȘȞ țĮĲĮȞȩȘıȘ ĲȠȣ țĮȡțȓȞȠȣ țĮȚ İʌȓıȘȢ ȞĮ ȑȤȠȣȞ ȕĮșȚȑȢ İʌȚʌĲȫıİȚȢ ıĲĮ ĮʌȠĲİȜȑıȝĮĲĮ ĲȘȢ șİȡĮʌİȓĮȢ. ȅȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ țĮȚ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȑȢ ıĲȡĮĲȘȖȚțȑȢ ʌĮȡȑȤȠȣȞ ȑȞĮȞ ĮȞȫįȣȞȠ, ȖȡȒȖȠȡȠ țĮȚ ȠȚțȠȞȠȝȚțȩ ĲȡȩʌȠ įȠțȚȝȒȢ įȚĮĳȠȡİĲȚțȫȞ ıĲȡĮĲȘȖȚțȫȞ ıȣȞįȣĮıȝȠȪ ĳĮȡȝȐțȦȞ, țĮșȫȢ țĮȚ ȐȜȜȦȞ ȣʌȠșȑıİȦȞ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȐ ȝȠȞĲȑȜĮ. ȉĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ İȝʌȞİȪıȠȣȞ ĮțȩȝȘ țĮȚ ĲȠ ıȤİįȚĮıȝȩ ĲȘȢ ȞĮȞȠȧĮĲȡȚțȒȢ!»

2Ƞ șȑȝĮ. «ĮȡȤȚȝȒįİȚĮ ıĲİȡİȐ», ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Ƞ ıȣȞȐįİȜĳȠȢ ȈȦĲ. īțȠȣȞĲȠȣȕȐȢ, ȝĮȢ ıȣȞȒșȚıİ (ıĲȠ ǻȚĮįȓțĲȣȠ) ȝİ İțȜİțĲȐ ıȘȝİȚȫȝĮĲĮ. ǹȣĲȒ ĲȘ ĳȠȡȐ įȚĮȜȑȟĮȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȦȝȐ ĲȠȣ, ȝİ ĮȞĮĳȠȡȐ ıĲĮ ȜİȖȩȝİȞĮ "ĮȡȤȚȝȒįİȚĮ ıĲİȡİȐ". ȁȩȖȦ ȑȜȜİȚȥȘȢ ȤȫȡȠȣ, șĮ ıĮȢ ĲĮ ʌĮȡȠȣıȚȐıȠȣȝİ ıİ įȣȠ ıȣȞȑȤİȚİȢ. ǼȝȐȢ, ȝĮȢ ȐȡİıĮȞǜ ĮʌȠȜĮȪıĲİĲȠ «ĮȡȤȚȝȒįİȚĮ ıĲİȡİȐ», ĲȠȣ ȈȦĲȒȡȘ īțȠȣȞĲȠȣȕȐ «ǹȡȤȚȝȒįİȚȠ ȈĲİȡİȩ Ȓ ȘȝȚțĮȞȠȞȚțȩ ʌȠȜȪİįȡȠ İȓȞĮȚ ĮʌȠĲİȜȠȪȞĲĮȚ Įʌȩ įȪȠ Ȓ ĲȡȓĮ İȓįȘ țĮȞȠȞȚțȫȞ ȑȞĮ țȣȡĲȩ ʌȠȜȪİįȡȠ, ȠȚ ȑįȡİȢ ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ İȓȞĮȚ ʌȠȜȣȖȫȞȦȞ țĮȚ ĲȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ İįȡȫȞ ĲȠȣȢ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ, ĮȜȜȐ ȩȤȚ ĲȠȣ ȓįȚȠȣ ĲȪʌȠȣ, țȣȝĮȓȞİĲĮȚ ȝİĲĮȟȪ 8 țĮȚ 92. ĮȞĲȓșİĲĮ ȝİ ȩ,ĲȚ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ıĲĮ ȆȜĮĲȦȞȚțȐ ıĲİȡİȐ. ȉȠ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ ȖȚĮ ĲĮ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪİįȡĮ ȉĮ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ, ʌȠȣ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ĲȚȢ ȑįȡİȢ, ĮȞĮȗȦȠȖȠȞȒșȘțİ ĲȠȞ 15Ƞ ĮȚȫȞĮ ȝİ ĲȚȢ İȡȖĮıȓİȢ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ ȓıİȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣȢ, įȘȜĮįȒ ȠȚ ĮțȝȑȢ ĲȠȣ Pierro dela Frantseska (1457) țĮȚ ĲȠȣ Luca ĲȠȣ ʌȠȜȣȑįȡȠȣ İȓȞĮȚ ȩȜİȢ ȓıİȢ. Paccioli “ĬİȧțȒ ĮȞĮȜȠȖȓĮ” (1509), ȩʌȠȣ ǼʌȓıȘȢ, ȖȪȡȦ Įʌȩ țȐșİ țȠȡȣĳȒ ȣʌȐȡȤİȚ Ș ȓįȚĮ İȟİĲȐȗȠȞĲĮȚ ĲĮ ǹȡȤȚȝȒįİȚĮ ıĲİȡİȐ țĮȚ ĲȡȩʌȠȚ įȚȐĲĮȟȘ ʌȜİȣȡȫȞ. ȉĮ ǹȡȤȚȝȒįİȚĮ ıĲİȡİȐ țĮĲĮıțİȣȒȢ ĲȠȣȢ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/21

ȈĲĮ țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪİįȡĮ ĮȞĮĳȑȡȠȞĲĮȚ İʌȓıȘȢ ıĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣȢ ȠȚ Orontios Finaeus (1550), J. Ramos (1569) țĮȚ Johannes Kepler “ȀȩıȝȠȢ ĮȡȝȠȞȓĮȢ” (1619). ǵȜĮ ĲĮ ĮȡȤȚȝȒįİȚĮ ıĲİȡİȐ ȑȤȠȣȞ įȚȐĳȠȡİȢ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ıĲȘȞ ĲİȤȞȠȜȠȖȓĮ țĮȚ ıİ İʌȚıĲȒȝİȢ» ȀȣȕȠțĲȐİįȡȠ

ƒ 8 ȑįȡİȢ, ƒ 4 ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ƒ 4 ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ

ǹȡȤȚȝȒįİȚĮ ıĲİȡİȐ [Įǯ ȝȑȡȠȢ] ȀȩȜȠȣȡȠ ĲİĲȡȐİįȡȠ ȀȩȜȠȣȡȠ ȠțĲȐİįȡȠ

ƒ 8 ȑįȡİȢ, ƒ 14 ȑįȡİȢ, ƒ 6 ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ƒ 4 İȟȐȖȦȞĮ ƒ 4 ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ƒ 8 İȟȐȖȦȞĮ

ȀȩȜȠȣȡȠ țȣȕȠțĲȐİįȡȠ ȇȠȝȕȠțȣȕȠțĲȐİįȡȠ

ƒ 26 ȑįȡİȢ, ƒ 12 ĲİĲȡȐȖȦȞĮ, ƒ 8 İȟȐȖȦȞĮ ƒ 6 ȠțĲȐȖȦȞĮ

ȊʌȐȡȤȠȣȞ 13 ȘȝȚțĮȞȠȞȚțȐ țȣȡĲȐ ʌȠȜȪİįȡĮ, ĲĮ ȠʌȠȓĮ İȓȤİ ȝİȜİĲȒıİȚ Ƞ ǹȡȤȚȝȒįȘȢ ıĲȠ, ȝȘ ıȦȗȩȝİȞȠ, ȑȡȖȠ ĲȠȣ «Ȇİȡȓ ĲȦȞ țȖǯ ȘȝȚțĮȞȠȞȚțȫȞ ʌȠȜȣȑįȡȦȞ» țĮȚ İȓȞĮȚ ĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ:

ȀȩȜȠȣȡȠ įȦįİțȐİįȡȠ

ƒ 26 ȑįȡİȢ, ƒ 32 ȑįȡİȢ, ƒ 8 ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ƒ 20 ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ƒ 14 ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ƒ 12 įȦįİțȐȖȦȞĮ

ȀȩȜȠȣȡȠȢ țȪȕȠȢ

ƒ14 ȑįȡİȢ, ƒ8ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ƒ 6 ȠțĲȐȖȦȞĮ ȀȩȜȠȣȡȠ İȚțȠıȐİįȡȠ

ƒ 32 ȑįȡİȢ, ƒ 12 ʌİȞĲȐȖȦȞĮ ƒ 20 İȟȐȖȦȞĮ

«īǼȍȂǼȉȇǿȀǼȈ ǻǿǹǻȇȅȂǼȈ»,ĬȑȝĮĲĮ īİȦȝİĲȡȓĮȢ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȡȤĮȚȩĲȘĲĮ ȦȢ ĲȠȞ 20ȩ ĮȚȫȞĮ, Ȉ.ȋ.īțȠȣȞĲȠȣȕȐȢ (ĲȠ įİȪĲİȡȠ ȝȑȡȠȢ ıĲȠ İʌȩȝİȞȠ)

V. İȚįȒıİȚȢ – İȚįȘıȠȪȜİȢ 1Ș. șİȫȡȘȝĮ ȖȚĮ ĲȠ ȂȠȣıİȓȠ ĳȓȜȠȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȝĮȢ ʌĮȡȑʌİȝȥİ ıĲȘ įȚİȪșȣȞıȘ: http://mathhmagic.blogspot.gr/2018/01/blogpost_27.html, ȩʌȠȣ ȕȡȒțĮȝİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȦȝĮ ȝİ ĲȘȞ ȑȞįİȚȟȘ «ǲȞĮ șİȫȡȘȝĮ ȖȚĮ ĲȘȞ ĳȪȜĮȟȘ ĲȠȣ ȝȠȣıİȓȠȣ țĮȚ ȝȚĮ ĮʌȩįİȚȟȘ Įʌȩ ĲȠ ȕȚȕȜȓȠ...». ǻȚĮȕȐȗȠȣȝİ: «ȉȠ șİȫȡȘȝĮ ĳȪȜĮȟȘȢ ĲȠȣ ȝȠȣıİȓȠȣ (ǹrt gallery problem) İȓȞĮȚ ȑȞĮ ȖȞȦıĲȩ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȚțȒȢ ȖİȦȝİĲȡȓĮȢ. ȉȑșȘțİ ĲȠ 1973,Įʌȩ ĲȠȞ ǹȝİȡȚțĮȞȩ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ Victor Clee. ȉȠ ĮʌȑįİȚȟİ ĲȠ 1975,Ƞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Václav Chvátal. ȆİȡȓʌȠȣ ʌȑȞĲİ ȤȡȩȞȚĮ ĮȡȖȩĲİȡĮ ȑȞĮȢ ȐȜȜȠȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ, Ƞ S. Fisk İʌĮȞȒȜșİ ȝİ ȝȚĮ țȠȝȥȒ ĮʌȩįİȚȟȘ.

ȉȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ «ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ ıİ ȑȞĮ ȝȠȣıİȓȠ ȑȤȠȣȝİ ȝȚĮ ȝİȖȐȜȘ ĮȓșȠȣıĮ ȝİ İțșȑȝĮĲĮ țĮȚ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ʌȡȠıȜȐȕȠȣȝİ ȚțĮȞȩ ĮȡȚșȝȩ ĳȣȜȐțȦȞ ȑĲıȚ ȫıĲİ țȐșİ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ĮȓșȠȣıĮȢ ȞĮ İʌȠʌĲİȪİĲĮȚ Įʌȩ țȐʌȠȚȠ ĳȪȜĮțĮ. ȅȚ ĳȪȜĮțİȢ șĮ șİȦȡȒıȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ıĲĮĲȚțȠȓ, įȘȜĮįȒ įİȞ țȚȞȠȪȞĲĮȚ țĮȚ İȞįİȤȠȝȑȞȦȢ șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ ĮȞĲȚțĮĲĮıĲĮșȠȪȞ Įʌȩ țȐȝİȡİȢ. ȉȠ İȡȫĲȘȝĮ: ȆȠȚȠȢ İȓȞĮȚ Ƞ İȜȐȤȚıĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ĳȣȜȐțȦȞ ȖȚĮ ȞĮ İʌȠʌĲİȪİĲĮȚ ʌȜȒȡȦȢ Ș ĮȓșȠȣıĮ;». ǼȝİȓȢ, ĮȣĲȩ ĲȠ ıȘȝİȓȦȝĮ, ĲȠ İȓįĮȝİ ʌȠȜȪ İȞįȚĮĳȑȡȠȞ. ǵȝȦȢ, ʌĮȡȩȜĮ ĮȣĲȐ İʌİȚįȒ İȓȞĮȚ ȝİȖȐȜȠ ıİ ȑțĲĮıȘ țȚ İʌİȚįȒ Ș ıĲȒȜȘ ȝĮȢ ʌȐıȤİȚ ȝȩȞȚȝĮ Įʌȩ ȑȜȜİȚȥȘ ȤȫȡȠȣ, ıĮȢ ıȣȞȚıĲȠȪȝİ ȞĮ ĲȠ įȚĮȕȐıİĲİ İıİȓȢ. http://mathhmagic.blogspot.gr/2018/01/blog-post_27.html

2. ȇİĮȜȚıĲȚțȐ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȅ ĲȡȩʌȠȢ įȚįĮıțĮȜȓĮȢ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ıĲȠ ıȤȠȜİȓȠ ĮʌĮıȤȠȜİȓ įȚİșȞȫȢ ĲȘȞ İțʌĮȚįİȣĲȚțȒ țȠȚȞȩĲȘĲĮ. ȅ ȜȩȖȠȢ ʌȠȣ Ș įȚįĮıțĮȜȓĮ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ ȝĮșȒȝĮĲȠȢ ʌȡȠȕȜȘȝĮĲȓȗİȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ, ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ȐȜȜĮ ȝĮșȒȝĮĲĮ, ĲȠȣȢ İțʌĮȚįİȣĲȚțȠȪȢ ıȣȞįȑİĲĮȚ țȣȡȓȦȢ ȝİ ĲȚȢ įȣıțȠȜȓİȢ ʌȠȣ ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓȗȠȣȞ ĮȡțİĲȠȓ ȝĮșȘĲȑȢ ȞĮ țĮĲĮȞȠȒıȠȣȞ ĲȚȢ ĮĳȘȡȘȝȑȞİȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȑȞȞȠȚİȢ țĮȚ ĲȘ ȤȡȘıȚȝȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ.

ȂȚĮ ȞȑĮ įȣȞĮȝȚțȒ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ, ȕĮıȓȗİĲĮȚ ıİ ʌȡȩıĳĮĲȘ ȝȑșȠįȠ įȚįĮıțĮȜȓĮȢ ʌȠȣ İĳĮȡȝȩȗİĲĮȚ ȝİ İʌȚĲȣȤȓĮ ıĲȘȞ ȅȜȜĮȞįȓĮ țĮȚ ĲȠʌȠșİĲİȓ ıĲȠ ʌȜĮȓıȚȠ ĲȘȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȒȢ ȗȦȒȢ țĮȚ ĲȘȢ țĮșȘȝİȡȚȞȩĲȘĲĮȢ ĲȘ ȝĮșȘıȚĮțȒ įȚĮįȚțĮıȓĮ. ȆȡȩțİȚĲĮȚ ȖȚĮ ȑȞĮ İțʌĮȚįİȣĲȚțȩ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ ȝİ ĲȓĲȜȠ ȇİĮȜȚıĲȚțȒ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ǼțʌĮȓįİȣıȘ ʌȠȣ șĮ İĳĮȡȝȠıĲİȓ ʌİȚȡĮȝĮĲȚțȐ ıİ 120 ıȤȠȜİȓĮ ĲȘȢ ȂİȖȐȜȘȢ ǺȡİĲĮȞȓĮȢ.

[https://thalesandfriends.org/el/2018/02/22/realistika-mathimatika/] ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/22

3Ș. 100 ȤȡȩȞȚĮ ȤȦȡȓȢ ĲȠȞ Georg Kantor ȈȣȝʌȜȘȡȫșȘțĮȞ 100 ȤȡȩȞȚĮ Įʌȩ ĲȩĲİ (6/1/1918), ʌȠȣ ʌȑșĮȞİ Ƞ G.Cantor, Ƞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ʌȠȣ įȐȝĮıİ ĲȠ ȐʌİȚȡȠ ȝİ ĲȠ ȝȑĲȡȘȝĮ ĲȠȣ ĲıȠʌȐȞȘ... [https://mathhmagic.blogspot.gr/2018/01/6-1918-gcantor.html]

4Ș. ȖȚĮ ĲȠȞ Jean Cocteau (1889 -1963) ȈĲȘȞ İțįȒȜȦıȘ ʌȠȣ įȚȠȡȖȐȞȦıİ Ș ȠȝȐįĮ ĬǹȁǾȈ + ĭǿȁȅǿ ĲȘȞ ȆĮȡĮıțİȣȒ 9 ĭİȕȡȠȣĮȡȓȠȣ ıĲȠ ȆȞİȣȝĮĲȚțȩ ȀȑȞĲȡȠ ĲȠȣ ǻȒȝȠȣ ĲȘȢ ǹșȒȞĮȢ (ǹȝĳȚșȑĮĲȡȠ ǹȃȉȍȃǾȈ ȉȇǿȉȈǾȈ), Ș ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ȈĲȑȜȜĮ ǻȘȝȘĲȡĮțȠʌȠȪȜȠȣ ȝȓȜȘıİ ȖȚĮ ĲȠ įȘȝȚȠȣȡȖȚțȩ ʌȞİȪȝĮ ĲȠȣ īȐȜȜȠȣ įȘȝȚȠȣȡȖȠȪ Jean Cocteau (1889 -1963). ȅ Cocteau țĮĲȑʌȜȘııİ ĲȠȣȢ ʌȐȞĲİȢ ȝİ ĲȘ įĮȚȝȩȞȚĮ İȞİȡȖȘĲȚțȩĲȘĲȐ ĲȠȣ ıĲȠ șȑĮĲȡȠ, ıĲȘȞ ʌȠȓȘıȘ, ıĲȘȞ ʌȡȩȗĮ, ıĲȠȞ țȚȞȘȝĮĲȠȖȡȐĳȠ, ıİ ıȤȑįȚĮ țĮȚ ʌȓȞĮțİȢ.

ȈĲȠ ȝȠȞȩʌȡĮțĲȩ ĲȠȣ «Le Menteur» – «ȅ ȌİȪĲȘȢ», ıĲȘ ıİȚȡȐ ĲȠȣ «șİȐĲȡȠȣ ĲıȑʌȘȢ», ĲȠȣ İȜȐııȠȞȠȢ ĮȣĲȠȪ șİȐĲȡȠȣ – «théâtre mineur», ĮĳȒȞİȚ ȞĮ ȜȐȝȥİȚ ȑȞĮ ĮıĲȑȡȚ ȣʌȩ ȝȚĮ ȖȦȞȓĮ ȜȚȖȩĲİȡȠ ȖȞȦıĲȒ. ǹȣĲȒ Ș ȐȖȞȦıĲȘ ȠʌĲȚțȒ ıĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ Cocteau, ʌȠȣ ıȣȞįȚĮȜȑȖİĲĮȚ ȝİ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ, șĮ ȝĮȢ įȫıİȚ ĲȠ ȑȞĮȣıȝĮ ȖȚĮ ȝȚĮ ʌİȡȚįȚȐȕĮıȘ ıĲȠȞ țȩıȝȠ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ʌĮȡĮįȩȟȦȞ, Įʌȩ ĲȘȞ İʌȠȤȒ ĲȠȣ ǼʌȚȝİȞȓįȘ țĮȚ ĲȠȣ ǽȒȞȦȞĮ ĲȠȣ ǼȜİȐĲȘ ȝȑȤȡȚ ĲȠȞ 21ȠĮȚȫȞĮ.

https://thalesandfriends.org/el/2018/02/16/video-apo-tin-ekdilosi-o-jean-cocteau-kai-ta-mathimatika-paradoxa/ Ș

5 . ȜȓȖȘ ǹȡȤȚĲİțĲȠȞȚțȒ ȅ Balkrishna Doshi, ȖȞȦıĲȩȢ ȖȚĮ ĲȠ ʌȡȦĲȠʌȠȡȚĮțȩ ȑȡȖȠ ĲȠȣ ıİ ȤĮȝȘȜȠȪ țȩıĲȠȣȢ țĲȓȡȚĮ, İȓȞĮȚ Ƞ ĳİĲȚȞȩȢ ȞȚțȘĲȒȢ ĲȠȣ ȕȡĮȕİȓȠȣ Pritzker, ȅ 90ȤȡȠȞȠȢ ĮȡȤȚĲȑțĲȠȞĮȢ İȓȞĮȚ Ƞ ʌȡȫĲȠȢ ǿȞįȩȢ ʌȠȣ țİȡįȓȗİȚ ĲȠ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ ȕȡĮȕİȓȠ, ĲȠ ȠʌȠȓȠ

șİıʌȓıĲȘțİ ĲȠ 1979 țȚ ȑțĲȠĲİ șİȦȡİȓĲĮȚ Ș ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ įȚȐțȡȚıȘ ıĲȠȞ ĲȠȝȑĮ ĲȘȢ ĮȡȤȚĲİțĲȠȞȚțȒȢ, țȐĲȚ ıĮȞ ĲȠ ȃȩȝʌİȜ ĲȘȢ ĮȡȤȚĲİțĲȠȞȚțȒȢ. ȈĲȠ ʌĮȡİȜșȩȞ ĲȠ ȑȤȠȣȞ ȜȐȕİȚ ȝİĲĮȟȪ ȐȜȜȦȞ ȠȚ Oscar Niemeyer țĮȚ Zaha Hadid.

http://stagona4u.gr/index.php?option=com_k2&view=item&id=6121:indian-architect-balkrishna-doshi-is-this-years-pritzker-prize-winner

6Ș. ĮʌȩıȣȡıȘ ıȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ Ǿ ĮʌȩıȣȡıȘ ĲȠȣ ȕȚȕȜȓȠȣ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĲȘȢ Ǽǯ ǻȘȝȠĲȚțȠȪ ĮȞĮțȠȚȞȫșȘțİ ȝİ ĲȘȞ Ȋǹ ĭ.31/35496/ǻ/1-3-2018, Ș ȠʌȠȓĮ ȠȡȓȗİȚ ȩĲȚ ȖȚĮ ĲȠ ıȤȠȜȚțȩ ȑĲȠȢ 2018-19 İȖțȡȓȞİĲĮȚ ȞȑȠ ıȤȠȜȚțȩ İȖȤİȚȡȓįȚȠ. ǻİȞ ȑȤȠȣȝİ

İȚțȩȞĮ ĲȠȣ ȞȑȠȣ İȖȤİȚȡȚįȓȠȣ, ȦıĲȩıȠ ʌȚıĲİȪȠȣȝİ İȚȜȚțȡȚȞȐ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ıȤİįȩȞ ĮțĮĲȩȡșȦĲȠ ȞĮ ȣʌȐȡȟİȚ ȕȚȕȜȓȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȤİȚȡȩĲİȡȠ Įʌȩ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ.

www.alfavita.gr/arthron/.../aposyrthike-sholiko-vivlio-mathimatikon-tis-e-dimotikoy

7Ș. ȆĮȖțȩıȝȚĮ ȘȝȑȡĮ İȠȡĲĮıȝȠȪ ĲȠȣ ʌ=3,14... ǹʌȩ ĲȘ ıȘȝĮȞĲȚțȒ ĳȓȜȘ ǼȣĮȖȖİȜȓĮ ȁȫȜȘ, ȜȐȕĮȝİ ȈĲȠ İʌȩȝİȞȠ ĲİȪȤȠȢ șĮ ĮıȤȠȜȘșȠȪȝİ ȝ’ ĮȣĲȩ ĲȠ ȑȞĮ ıȘȝİȓȦȝĮ, ȝİ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȝĮȢ ȣʌİȞșȪȝȚıİ ʌȦȢ șȑȝĮ. ʌȑȡȣıȚ (14/03/2017) İȠȡĲȐıĲȘțİ Ș «ʌĮȖțȩıȝȚĮ ȘȝȑȡĮ ĲȠȣ "ʌ"». ǼȝİȓȢ ĮʌİȣșȣȞșȒțĮȝİ ıĲȘ įȚİȪșȣȞıȘ ʌȠȣ ȝĮȢ ȑįȦțİ, ȩʌȠȣ, ȝİĲĮȟȪ ȐȜȜȦȞ, ĮʌȠȜĮȪıĮȝİ ĲȘ įȚʌȜĮȞȒ ĳȦĲȠȖȡĮĳȓĮ țĮȚ ĲȠ ĮʌȩĳșİȖȝĮ ĲȠȣ ȃĲİ ȂȠȡȖțȐȞ: «ȉȠ ȝȣıĲȘȡȚȫįİȢ 3,14159... ʌȠȣ ĲȡȣʌȫȞİȚ ıİ țȐșİ ʌȩȡĲĮ țĮȚ ʌĮȡȐșȣȡȠ,țĮȚ Įʌȩ țȐșİ țĮȝȚȞȐįĮ». ǹȪȖȠȣıĲȠȢ ȃĲİ ȂȠȡȖțȐȞ, A budget of paradoxes [ʌȘȖȒ: https://mathhmagic.blogspot.gr/2017/03/314.html] Vǿ. ǹʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ “ĮȣĲȩ ĲȠ ȟȑȡĮĲİ; Į. Įʌȩ ĲĮ «ǹȡȤȚȝȒįİȚĮ ȈĲİȡİȐ», ĲȠ țȩȜȠȣȡȠ İȚțȠıȐİįȡȠ ȜȑȖİĲĮȚ țĮȚ ĳȠȣĲȝʌȦȜȑȞȚȠ ȖȚĮĲȓ Ș ȝʌȐȜĮ ʌȠįȠıĳĮȓȡȠȣ ȑȤİȚ ĲȑĲȠȚȠ ıȤȒȝĮ. ȕ. ĲȠ ȝȣȡȦįȐĲȠ ʌİʌȩȞȚ ĲȘȢ ĳȦĲȠȖȡĮĳȓĮȢ ȑȤİȚ ıȤȒȝĮ İȜȜİȚȥȠİȚįȠȪȢ (Įʌȩ ʌİȡȚıĲȡȠĳȒ). ǹȞ a,b,c ĲĮ ȝȒțȘ ĲȦȞ ȘȝȚĮȟȩȞȦȞ (ĲȦȞ ĲİĲȝȘȝȑȞȦȞ, ĲİĲĮȖȝȑȞȦȞ țĮȚ țĮĲȘȖȝȑȞȦȞ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ), ĲȩĲİ Ș ȗȘĲȠȪȝİȞȘ İȟȓıȦıȘ İȓȞĮȚ x 2 y2 z2 + + =1 a 2 b2 c2 ʌȡȠĮȖȖİȜȓĮ ıĲȚȢ 14/03/2018, ʌȠȣ ȑțȜİȚȞİ Ș ȪȜȘ ĲȠȣ Homo mathematicus (ȖȚĮ ĲȠ ĲİȪȤȠȢ 108), ĮȞĮȖȖȑȜșȘțİ ȩĲȚ "ȑĳȣȖİ" Ƞ ȝİȖȐȜȠȢ İʌȚıĲȒȝȠȞĮȢ Stephen Hawking. ȁȩȖȦ ĲȘȢ ıʌȠȣįĮȚȩĲȘĲĮȢ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ İʌȚıĲȒȝȠȞĮ, Ș ıĲȒȜȘ ȣʌȩıȤİĲĮȚ ȞĮ ʌĮȡȠȣıȚȐıİȚ (ıĲȠ ĲİȪȤȠȢ 109), ȑȞĮ İʌȚȝİȜȘȝȑȞȠ ȕȚȠȖȡĮĳȚțȩ ĲȠȣ. ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/23

ƧŅƮƷƭƩƬƲƷ ȊʌİȪșȣȞȠȚ ĲȐȟȘȢ: ȋȡ. ȁĮȗĮȡȓįȘȢ, ȋȡ. ȉıȚĳȐțȘȢ, ī. ȀĮĲıȠȪȜȘȢ

ƧŅƮƷƭƩƬƲƷ

ƧķǆƾķĶǅǌ ƟǇǁĶǀǋĴǌ

ȅȚ ĮıțȒıİȚȢ 1–4 Įʌȩ ĲȠȞ ȀĮʌȩʌȠȣȜȠ ȋȡȒıĲȠ ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ 4Ƞ īǼȁ ȆȪȡȖȠȣ ȅȚ ĮıțȒıİȚȢ 5–11 Įʌȩ ȀȩȡįĮ ȉȚȝȩșİȠ ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ 2Ƞ īǼȁ ȆȪȡȖȠȣ 1. ǻȓȞȠȞĲĮȚ ȠȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ Į țĮȚ ȕ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ: D2 E2 2D 10E 17 0 (1) i. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ 2 d D d 4 țĮȚ 2 d E d 8 2E d 1 D 6 iii. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ:

ii. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ 64 d 2

ȁȪıȘ i. ǹʌȩ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ ȑȤȠȣȝİ: D1O z D1O 2 įȘȜĮįȒ O z 1 (ĮĳȠȪ D1 , O z 0

ȉȩĲİ: (1)

ȁȪıȘ: i. ǲȤȠȣȝİ: (1) D 2 2D 1 E2 10E 25 1 25 17 D 1 E 5

° D 1 2 9 ® 2 °̄ E 5

9 E 5

9 D 1

° E 5 2 d 9 ° E 5 d 3 3 d E 5 d 3 ® ® ® 2 °̄ D 1 d 3 ¯ 3 d D 1 d 3 °̄ D 1 d 9

2 d E d 8 (2) ® ¯ 2 d D d 4 (3) 4 d E2 d 64 ii. ȅȝȠȓȦȢ (2), (3) ® ¯ 8 d D 6 d 2

8 d 2E2 d 128 2 ° °8 d 2E d 128 ® ®1 1 1 d °̄ 2 d D 6 d 8 ° d D 6 2 ¯8 2 2 2E 2E 1 d d 64 64 d d 1 D 6 D 6 ǹĳȠȪ 2 d D d 4 6 D 6 z 0 . iii. Ǿ İȟȓıȦıȘ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȖȡȐĳİĲĮȚ x2 x

x2 x

Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ D1 ȕ) ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ: x D1 x D 2 x ... D8 x d 10D 3 D 2 x 2

x x D 4D 4 D 8D 16 iv. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ: E 2x 3 20x 30 t 5E 50 2

ii. ǹȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ĲȦȞ ĲȡȚȫȞ ʌȡȫĲȦȞ ȩȡȦȞ ĲȘȢ DQ İȓȞĮȚ 218 , ĲȩĲİ:

D 2 D 4 x2 x

D 2 D 4

O 1 O

O 1 O 1 O

O O2 O O3

2 2 2O 1 O

1 2

1 z 1) 2 ii. ǼȟȐȜȜȠȣ: D1 D2 D3 218 D1 D1O D1 O2 218 1 D13 3 218 D1 27 ȐȡĮ D1 128 2 iii. Ǿ ĮȞȓıȦıȘ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȖȡȐĳİĲĮȚ: x S8 x d 10 D1 O 2 D1 O x 2 8

§1· ¨ ¸ 1 1 1 2 x 128 © ¹ x d 10 128 128 x 2 1 4 2 1 2 64x2 256x 320 d 0 x2 4x 5 d 0 5 d x d 1 3. ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f(x) x2 Ox 7, O R . ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ f (2),f (6),f (8), ȝİ ĲȘȞ ıİȚȡȐ ʌȠȣ įȓȞȠȞĲĮȚ İȓȞĮȚ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ȩȡȠȚ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒȢ ʌȡȠȩįȠȣ. i. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Ȝ. ii. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ f(x) ȑȤİȚ ȐȞȚıİȢ ȡȓȗİȢ x1 , x 2 ȖȚĮ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ

6 x x 6 0 2 x

(įİțĲȒ ĲȚȝȒ ĮĳȠȪ

x 3 x 2 0 x

D1O D1O 2 D1O D1O3

iv. Ǿ ĮȞȓıȦıȘ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȖȡȐĳİĲĮȚ: 5 d 2x 3 d 5 2 d 2x d 8 1 d x d 4 2. ǻȓȞİĲĮȚ ȖİȦȝİĲȡȚțȒ ʌȡȩȠįȠȢ DQ ȖȚĮ ĲȘȞ D D3 ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪİȚ: D 2 z D 4 NDL 2 2 (1) D2 D4 i. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ȜȩȖȠ Ȝ

§ x13 x 32 · 2 ¨ 2 2 ¸ © x1 x 2 ¹

iii. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ: f (x) f (x 1) d 3 iv. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ f (x) t 8 ȖȚĮ țȐșİ x R țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ȖȚĮ ʌȠȚĮ ĲȚȝȒ ĲȠȣ x ȚıȤȪİȚ Ș ȚıȩĲȘĲĮ. ȁȪıȘ: i. ǹʌȩ ĲȠȞ ĲȪʌȠ ĲȘȢ f ȑȤȠȣȝİ f (2) 2O 3,f (6) 6O 29,f (8) 8O 57 ȅʌȩĲİ: 2f (6) f (2) f (8) 12O 58 10O 54

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/24

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 ǼʌȠȝȑȞȦȢ f (x)

ii. ȆȡȠĳĮȞȫȢ '

x 2 2x 7 (1)

4 4 1 7 ! 0 ȐȡĮ Ș f(x) ȑȤİȚ

ȐȞȚıİȢ ȡȓȗİȢ x1 , x 2 Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ ȖȓȞİĲĮȚ: 1

ª x1 x 2 x12 x1x 2 x 22 º 2 VIETA ª S S2 3P º 2 » « 2 » $ « 2 «¬ x1 x 2 2x1x 2 »¼ «¬ S 2P »¼

2 4 21

50 5 4 14 18 3 iii. Ǿ ĮȞȓıȦıȘ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȖȡȐĳİĲĮȚ

x 2 2x 7 x 1 2 x 1 7 d 3 2

2x 2 6x 8 d 0 x 2 3x 4 d 0 x > 1, 4@ iv. ǲȤȠȣȝİ: f (x) x 2 2x 1 8 x 1 8 t 8 ȖȚĮ țȐșİ x R . H ȚıȩĲȘĲĮ ȚıȤȪİȚ ȝȩȞȠ x 1 4. Ǿ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ 12 3 įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ f (x) 2 x 2x D Ȃ(–2,–1). ȃĮ ȕȡİȓĲİ: i. ȉȠȞ ĮȡȚșȝȩ Į ii. ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f iii. ȉĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ǹ țĮȚ Ǻ ĲȘȢ Cf ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ xǯx țĮȚ yǯy ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. iv. ȉȘȞ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ İ ʌȠȣ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ țĮȚ Ǻ. v. ȉȘȞ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ ȗ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ıĲȘȞ İ țĮȚ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȃ(2,–6). vi. ȉȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ Ș İȣșİȓĮ ȗ ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ xǯx țĮȚ yǯy. ȁȪıȘ i. ǲȤȠȣȝİ: 12 12 f ( 2) 1 3 1 4 D 3 4 4 D D 12 ǼʌȠȝȑȞȦȢ: f (x) 3 (1) 2 x 2x 3 ii. ȖȚ ȞĮ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș f(x) ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ x 2 2x 3 z 0 įȘȜĮįȒ x z 3 țĮȚ x z 1 . ǱȡĮ Df R ^ 3,1` 2

O 1 y=Ȝx+ț țĮȚ ] / / H ® ¯ N z 1 ǱȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ (ȗ) İȓȞĮȚ: y x N ȝİ N z 1 . ǼȟȐȜȜȠȣ ȃ ] 6 2 N N 4 , įİțĲȒ ĲȚȝȒ ĮĳȠȪ 4 z 1 . ȉİȜȚțȐ (ȗ): y x 4 vi. Ǿ İȣșİȓĮ ȗ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ xǯx țĮȚ yǯy ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ī(–4,0) țĮȚ ǻ(0,–4). ȉȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ īȅǻ ȚıȠȪĲĮȚ 1 1 4 4 8 *2' 2* 2' 2 2 5. ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ: f (x) x 3 2 x . i. ȃĮ ȖȡȐȥİĲİ ĲȠ ĲȪʌȠ ĲȘȢ f ȤȦȡȓȢ ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȘȢ ĮʌȩȜȣĲȘȢ ĲȚȝȒȢ, țĮȚ ȞĮ țȐȞİĲİ ĲȘ ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĲȘȢ f. ii. Ȃİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȘȢ Cf ȞĮ ȕȡİȓĲİ: Į) ȉĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ ȕ) ĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ ıĲĮ ȠʌȠȓĮ Ș Cf ȕȡȓıțİĲĮȚ țȐĲȦ Įʌȩ ĲȠȞ xǯx iii. ȃĮ İʌȚȕİȕĮȚȫıİĲİ ĮȜȖİȕȡȚțȐ ĲĮ (Į) țĮȚ (ȕ) ĲȠȣ İȡȦĲȒȝĮĲȠȢ (ii). iv. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ Ȝ ȖȚĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ Ș İȣșİȓĮ (İ): y O 2 4O 1 x 2018 İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ ĲȘȞ Cf ȩĲĮȞ x 0, 3

ȁȪıȘ: ȀȐȞȠȣȝİ ĲȠȞ ĮțȩȜȠȣșȠ ʌȓȞĮțĮ ʌȡȠıȒȝȠȣ ȖȚĮ ĲȚȢ ʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ ȝȑıĮ ıĲĮ ĮʌȩȜȣĲĮ

ĮȞ x 0 3 x 2x x 3, ° ǱȡĮ f (x) ®-x 3 2x 3x 3, ĮȞ 0 d x 3 ° x 3 2x x 3, ĮȞ x t 3 ¯ H ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ İȓȞĮȚ Ș ĮțȩȜȠȣșȘ:

12 12 3 0 2 3 x 2x 3 x 2x 3 2 x2 2x 3 4 x2 2x 1 0 x 1 0 x 1 . ǱȡĮ ǹ(–1,0). 12 ǼʌȓıȘȢ f (0) 3 1 . ǱȡĮ Ǻ(0,–1) 3 iv. ǲıĲȦ (İ): y Dx E Ș İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ. iii. ǲȤȠȣȝİ: f(x) 0

0 D E D 1 ® ȉȩĲİ ǹ,Ǻ H ® . ¯ 1 E ¯E 1 ǱȡĮ (İ): y x 1 v. ǹʌȠțȜİȓİĲĮȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ] / / y ' y ȠʌȩĲİ (ȗ):

ii. Į. Ǿ Cf ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ xǯx ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ(–3,0) țĮȚ Ǻ(1,0) țĮȚ ĲȠȞ yǯy ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ī(0,3). ȕ. Ǿ Cf ȕȡȓıțİĲĮȚ țȐĲȦ Įʌȩ ĲȠȞ xǯx ıĲĮ

įȚĮıĲȒȝĮĲĮ f, 3 țĮȚ 1, f

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/25

iii. Į. ǲȤȠȣȝİ: f (x) 0 x 3 2 x x 3 2x Ȓ x 3 2x x 3 Ȓ x 1 ǱȡĮ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ xǯx ıĲĮ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ(–3,0) țĮȚ Ǻ(1,0) țĮȚ ĲȠȞ yǯy ıĲȠ f (0) 3 ī(0,3)

3x 6, ĮȞ x d -1 ° 3x , ĮȞ -1 d x d 1 ȉİȜȚțȐ: f (x) ® ° 4x 13, ĮȞ 1 d x d 4 ¯

ȕ. ǲȤȠȣȝİ:. f (x) 0 x 3 2 x x 3 4x 2

ii.

x 2 2x 3 ! 0 x 3 Ȓ x ! 1

vi. ȅ ĲȪʌȠȢ ĲȘȢ f (x) ȩĲĮȞ x 0,3 İȓȞĮȚ f (x) 3x 3 . ǱȡĮ: H / /Cf

O 2 4O 1 3 O 2 4O 4 0 O 2 . ® ¯3 z 2018 6. ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f (x) ĲȘȢ ȠʌȠȓĮȢ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ

i. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ ĲȪʌȠ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ii. ǹȞ 3 D 1 ǹ. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ D 2 2D 4 1 Ǻ. ȃĮ ȕȡİșİȓ Ƞ ĮțȑȡĮȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ Į ȫıĲİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ 0 D 2 2D 4, 2D 2 D 6 ȞĮ ĮȞȒțİȚ

ıĲȘȞ Cf iii. ȃĮ ȕȡİșİȓ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȘȢ Cf țĮȚ ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ xǯx ȁȪıȘ: Ǿ Cf ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ĲȝȒȝĮĲĮ 3 İȣșİȚȫȞ ȝİ İȟȚıȫıİȚȢ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ y Dx E .

īȚĮ x d 1 Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ(–1,–3) țĮȚ Ǻ(–2,0). ǱȡĮ 2D E 0 2D E 0 ® D 3, E 6 ® ¯ D E 3 ¯D E 3 f (x) 3x 6 . īȚĮ 1 d x d 1 Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ(–1,–3) țĮȚ ī(1,3). D E 3 D E 3 ® D 3, E 0 ǱȡĮ ® ¯ D E 3 ¯D E 3 f (x) 3x . īȚĮ Ș ȖȡĮĳȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǻ(4,–3) țĮȚ ī(1,3). 3D E 1 3D E 1 ® D 4, E 13 ǱȡĮ ® ¯4D E 3 ¯4D E 3 f (x) 4x 13 .

D 1 0 D 1 D 3 0 ǹ. 3 D 1 ® ¯D 3 ! 0 D 2 2D 3 0 D 2 2D 4 1 ʌȠȣ ȚıȤȪİȚ. Ǻ. īȚĮ ĲȘȞ ĲİĲȝȘȝȑȞȘ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ Ȃ ȚıȤȪİȚ D 2 2D 4 1 Įʌȩ ǹ İȡȫĲȘȝĮ. ȅʌȩĲİ: 0 Cf f (D 2 2D 4)

2D 2 D 6

3 D 2 2D 4 6 2D 2 D 6 5D 2 7D 0

7 D 5D 7 0 D 0 Ȓ D D 0 , ĮĳȠȪ 5 7 0 ] țĮȚ 3 0 1 İȞȫ ] . ǱȡĮ Ȃ(–4,6) 5 ȉȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ İȝȕĮįȩȞ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ įȪȠ ĲȡȓȖȦȞĮ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ Cf țĮȚ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx. ĬĮ ȕȡȦ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ Cf ȝİ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ f (x) 0 (1) īȚĮ x d 1 İȓȞĮȚ 1 3x 6 0 x 2 , țĮȚ 2 d 1 . ǱȡĮ B(–2,0). īȚĮ 1 d x d 1 İȓȞĮȚ 1 3x 0 x 0 țĮȚ 1 d 0 d 1 . ǱȡĮ ȅ(0,0). īȚĮ 1 d x d 4 İȓȞĮȚ 13 13 țĮȚ 1 d d 4 . ǱȡĮ 1 4x 13 0 x 4 4 13 § · ǲȤȠȣȝİ ȜȠȚʌȩȞ ȦȢ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ĲĮ E ¨ ,0 ¸ 4 © ¹ § 13 · B(–2,0), ȅ(0,0), E ¨ ,0 ¸ . ©4 ¹ 2 3 1 13 39 63 ( (%$2) (2*() 3 3 2 2 4 8 8 2 7. ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȟȓıȦıȘ x D 3 x D 6 0 (1) i. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ȖȚĮ ʌȠȚİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Į Ș İȟȓıȦıȘ (1) ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ ȡȓȗİȢ. ii. ǹȞ x1 , x 2 İȓȞĮȚ ȠȚ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ (1) ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ

ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Į ȫıĲİ x12 x 22 42 iii. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ȖȚĮ ʌȠȚİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ Į ȚıȤȪİȚ x 2 D 3 x D 6 t 0 (2) ȖȚĮ țȐșİ x R iv. ȃĮ ȕȡİșİȓ İȟȓıȦıȘ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ʌȠȣ ȞĮ ȑȤİȚ ȡȓȗİȢ ĲȚȢ ĮȞĲȓıĲȡȠĳİȢ ĲȘȢ (1) ȁȪıȘ: ǺȡȓıțȠȣȝİ ĲȘ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ

' D 3 4 D 6 D 2 2D 15 īȚĮ ȞĮ ȑȤİȚ Ș (1) ȡȓȗİȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ ' t 0 . ǹȜȜȐ ' t 0 D 2 2D 15 t 0 D f , 5@ >3, f $ ii. ǹʌȩ ĲȠȣȢ ĲȪʌȠȣȢ ĲȠȣ Vieta ȑȤȠȣȝİ 2

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/26

x1 x 2

D 3 țĮȚ x1 x 2

D 6 ȠʌȩĲİ ıĲȠ ǹ

İȓȞĮȚ:

x x 42 x1 x 2 2x1x 2 42

D 3

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2 2

2 D 6 42 D 2 4D 45 0 9 D 5 9 D d 5 Ȓ 3 d Į<5 iii. īȚĮ ȞĮ ȚıȤȪİȚ Ș (2) İĳȩıȠȞ Į=1>0 ʌȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ ʌȡȑʌİȚ ǻ<0. ǹȜȜȐ ' 0 D 2 2D 15 0 5 D 3 . iv. Ǿ İȟȓıȦıȘ ʌȠȣ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ șĮ ȑȤİȚ 1 1 ȡȓȗİȢ ĲȚȢ U1 ȝİ x1 x 2 z 0 , țĮȚ ȡ 2 x1 x2 įȘȜĮįȒ D z 6 . ȉȩĲİ ȑȤȠȣȝİ 1 1 x1 x 2 D 3

S U1 U2 x1 x 2 x1 x 2 D 6 1 1 1 . ȅʌȩĲİ ȝİ D 6 Ș 5 U1 U2 x1 x 2 D 6 ȗȘĲȠȪȝİȞȘ İȟȓıȦıȘ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȖȡȐĳİĲĮȚ: 1 D 3 2 2 x Sx P 0 x x 0 D 6 D 6 D 6 x 2 D 3 x 1 0 ȝİ D $ ^ 6` . 8. ǻȓȞİĲĮȚ Ș İȣșİȓĮ (İ): y

D 2 1 x D 3

ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ Į ȫıĲİ i. Ǿ (İ) ȞĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ xǯx ii. Ǿ (İ) ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ĮȝȕȜİȓĮ ȖȦȞȓĮ ȝİ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx. iii. Ǿ (İ) ȞĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ ĲȘȞ 1Ș įȚȤȠĲȩȝȠ. iv. H (İ) ȞĮ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȣȝȝİĲȡȚțȩ ĲȠȣ ǹ(1,–4) ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx. ȁȪıȘ: i. Ǿ (İ) ȞĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ĲȠȣ ȐȟȠȞĮ ° D 2 1 0 ° D 2 1 ® xǯx ® ¯°D 3 z 0 ¯°D z 3

D 2 1 Ȓ D 2 1 D 3 Ȓ D 1 ® Į=1 ® ¯D z 3 ¯D z 3 ii. Ǿ (İ) ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ĮȝȕȜİȓĮ ȖȦȞȓĮ ȝİ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx D 2 1 0 D 2 1 1 D 2 1 1 D 3 iii. Ǿ (İ) ȞĮ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ ĲȘȞ 1Ș įȚȤȠĲȩȝȠ ° D 2 1 1 ° D 2 2 ® ® ¯°D 3 z 0 ¯°D z 3 D 2 2 Ȓ D 2 2 D 4 Ȓ D 0 ® ® ¯D z 3 ¯D z 3 D 4 Ȓ D 0 iv. TȠ ıȣȝȝİĲȡȚțȩ ĲȠȣ ǹ(1,–4) ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xǯx İȓȞĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ(1,4). ȅʌȩĲİ B H 4 D 2 1 D 3 D 2 8 D (1). īȚĮ ȞĮ ȑȤİȚ ȜȪıȘ Ș (1) ʌȡȑʌİȚ 8 D t 0, įȘȜĮįȒ Dd 8 . ȉȩĲİ 1 D 2 8 D Ȓ D 2 8 D

D 5 Ȓ 0 D 6 D 5 , įİțĲȒ ĲȚȝȒ ĮĳȠȪ 5 d 8 Ǻǯ ȉȡȩʌȠȢ: ǹȞ D t 2, ĲȩĲİ 1 D 2 8 D Ȓ D 2 8 D D 5 įİțĲȒ ĲȚȝȒ ĮĳȠȪ 5 d 8 . ǹȞ D 2, ĲȩĲİ 1 D 2 8 D 0 D 6

ĮįȪȞĮĲȘ. ǱȡĮ 1 D 5 . 9. ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ x 4, x 4, 3x 4 ȝİ ĲȘȞ ıİȚȡȐ ʌȠȣ įȓȞȠȞĲĮȚ İȓȞĮȚ įȚĮįȠȤȚțȠȓ ȩȡȠȚ ǹȡȚșȝȘĲȚțȒȢ ȆȡȠȩįȠȣ DQ . ǹ. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ x \ Ǻ. ǹȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ x 4 İȓȞĮȚ Ƞ ʌȑȝʌĲȠȢ ȩȡȠȢ ĲȘȢ D Q ȞĮ ȕȡİȓĲİ: i. ȉȠȞ ʌȡȫĲȠ ȩȡȠ țĮȚ ĲȘȞ įȚĮĳȠȡȐ Ȧ ĲȘȢ D Q ii. ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ 20 ʌȡȫĲȦȞ ȩȡȦȞ ĲȘȢ D Q iii. ȆȠȚȠȢ ȩȡȠȢ ĲȘȢ D Q İȓȞĮȚ ȓıȠȢ ȝİ 100 iv. ȉȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ ĮȡȤȚțȫȞ ȩȡȦȞ ĲȘȢ D Q ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȐșȡȠȚıȝĮ 80. v. NĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲĮ ĮșȡȠȓıȝĮĲĮ A D 5 D 6 D 7 ... D 20 B D1 D 3 D 5 ... D 21 * D1 D 2 D 4 D 5 D 7 D 8 ... D19 D 20 ȁȪıȘ: ǹ. ǼĳȩıȠȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ĮȣĲȠȓ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ įȚĮįȠȤȚțȠȪȢ ȩȡȠȣȢ (ǹ.Ȇ) ȑȤȠȣȝİ: 2 x 4 x 4 3x 4 x 8 . ǱȡĮ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ 4, 12, 20 Ǻ.i. ǲȤȠȣȝİ D5 x 4 D5 4 , Z D6 D5 12 4 8 țĮȚ D1 4Z 4 D1 32 4 D1 28 20 ii. S20 2D1 19Z 10 56 152 960 2 iii. DQ 100 28 v 1 8 100 Q 17 ȐȡĮ Ƞ 17ȠȢ ȩȡȠȢ İȓȞĮȚ 100 Q iv. SQ 80 56 8Q 8 80 4Q Q 8 80 2 Q2 8Q 20 0 Q 10 Ȓ v 2 Q 10 v. A S20 S4 960 64 1024 ȆĮȡĮĲȘȡȫ ȩĲȚ ıĲȘȞ ʌĮȡȐıĲĮıȘ Ǻ İȓȞĮȚ ȠȚ ʌİȡȚĲĲȒȢ ĲȐȟİȦȢ ȩȡȠȚ ĲȘȢ ĮțȠȜȠȣșȓĮȢ D v . ĬİȦȡȫ ĲȘȞ ĮțȠȜȠȣșȓĮ EQ D 2 Q 1 D1 (2Q 1 1)Z 16Q 44 , ȠʌȩĲİ: D2Q 1 D21 2Q 1 21 Q 11 . Ȃİ E1 D1 28 țĮȚ Zc 2Z 16 . ǲȤȠȣȝİ: % E1 E2 ... E11 S11 11 (2E1 10Zc) 11 28 5 16 572 2 * S20 D3 D 6 ... D18

ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ ĮțȠȜȠȣșȓĮ J Q J1

D 3Q

28 2 8

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/27

D1 3Q 1 Z 24Q 36 ȝİ 12 țĮȚ ZJ

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960 3 2J1 5ZJ

960 288

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10. ǻȓȞİĲĮȚ ǹȡȚșȝȘĲȚțȒ ȆȡȩȠįȠȢ

ĮȡȚșȝȘĲȚțȩȢ ȝȑıȠȢ ĲȦȞ D 4 țĮȚ D19 İȓȞĮȚ 45. ǹ. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ S 22 Ǻ. ǹȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ S 21 903 ĲȩĲİ i. ȉȠȞ ʌȡȫĲȠ ȩȡȠ țĮȚ ĲȘ įȚĮĳȠȡȐ Ȧ ii. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠȞ ȩȡȠ D v ȖȚĮ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ

D v 19

6v 80

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D 3½ D1 21Z 87 1 ¾ ¯ 2D1 21Z 90 Z 4 ¿

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D v 19

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6v 80 4Q 1 19

6Q 80

6Q 80 t 0

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2S 2018 D1 D 3

D 2018 ȁȪıȘ: ǹ. D 6 D 7 D8 D9 D10

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Oc O 2 țĮȚ E1

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ii. ǲȤȠȣȝİ: DQ

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O 20 1 1 O 20 1 3 O 25 1 O 5 1 3 O 25 O 5 D1 D1 O 1 O 1 1 O 20 1 O15 1 O15 . # 25 # 3 O O 5 3 O 20 1 3 O 20 1 1 1 1 1 5 3 O 3 32 96 2S D1 D 3 ī. Q 2 3Q d 2018 D 2018 D1

Q 2 3Q d

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22018 1 D1 22 D1 2 1 D1 22017

2D1 22018 2D1 2D1 D1 22017

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9920 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/28

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Ǿ İȣșİȓĮ ȋȌ İȓȞĮȚ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȣ ǹ. ȉȩĲİ: ˆ . 1. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘ ȖȦȞȓĮ *$& ˆ . 2. ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘ ȖȦȞȓĮ '$( 3. ǹȞ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ȝİ ȕȐıȘ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ǹī: I. ȉȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. q p II. ȉĮ ĲȩȟĮ $ ', ' (. ȁȪıȘ ȱ

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ȈȘȝİȓȦıȘ: ȈĲȠ ıȤȠȜȚțȩ ȕȚȕȜȓȠ (țĮțȫȢ) Ș ıȤȑıȘ (1) ȖȡȐĳİĲĮȚ, ĮʌȜȠȣıĲİȣȝȑȞĮ ȣʌȠĲȓșİĲĮȚ ȦȢ p p ˆ $ * '( , įȓȞȠȞĲĮȢ ȑĲıȚ ĲȘȞ İȞĲȪʌȦıȘ, ȩĲȚ İȟȚ% 2 ıȫȞȠȣȝİ ȖȦȞȓİȢ ȝİ ĲȩȟĮ (ĮȞȠȝȠȚȠİȚįȒ ıĲȠȚȤİȓĮ) İȞȫ İȟȚıȫȞȠȣȝİ ȝȑĲȡĮ (ĮȡȚșȝȠȪȢ). ǱıțȘıȘ 2: ǻȓȞİĲĮȚ țȪțȜȠȢ (ȅ,R) țĮȚ ĲĮ įȚĮįȠq p p . ǹȞ ĲȠ ĲȩȟȠ *$ p İȓ%, % * țĮȚ *$ ȤȚțȐ ĲȩȟĮ $ q p ȞĮȚ įȚʌȜȐıȚȠ ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ $ % țĮȚ ĲȠ ĲȩȟȠ % * İȓ-

q ȞĮȚ ĲȡȚʌȜȐıȚȠ ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ $ % , ĲȩĲİ:

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ǲȤȠȣȝİ:

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30 q , ȖȚĮĲȓ Ș ȖȦȞȓĮ Ǻǹ̂ȋ İȓȞĮȚ

ī̂

ȣʌȩ ȤȠȡįȒȢ țĮȚ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘȢ. II. ǼʌİȚįȒ Ș ĮțĲȓȞĮ ȅǹ țĮĲĮȜȒȖİȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ İʌĮĳȒȢ ǹ ĲȘȢ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘȢ ȋȌ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ ȅǹ٣ȋȌ țĮȚ ȐȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǻǹȅ İȓȞĮȚ Ƞȡˆ șȠȖȫȞȚȠ ıĲȠ ǹ. ǱȡĮ: ǻˆ 90 q ǹȅǺ 30 q ǻȅ 2' . ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ǻ ȝȑıȠ 2$ 2% 2 2 ȅǻ. III. ǹĳȠȪ ǹȀ ȪȥȠȢ ıĲȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȅǺ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ. ǱȡĮ: '* '* ȅǺ 3 . 2. 2 2 6 ǹıțȒıİȚȢ ǼʌĮȞȐȜȘȥȘȢ ǱıțȘıȘ 1: ǻȓȞİĲĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ. ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ, Ǻī, īǻ, ǻǹ ȑĲıȚ ȫıĲİ Ǻǽ=ǹǺ, īǾ=Ǻī, ǻĬ=īǻ țĮȚ ǹǼ=Ǽǻ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǼǽ țĮȚ īǾĬ İȓȞĮȚ ȓıĮ. 2. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. 3. ǺǼ//ǻǾ. 4. ȉĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ǹī, Ǻǻ, ǼǾ țĮȚ Ĭǽ ıȣȞĲȡȑȤȠȣȞ. ȁȪıȘ Ƞ

II. ǹǽ = īĬ, ȖȚĮĲȓ ĮȞ ıİ ȓıĮ ĲȝȒȝĮĲĮ (ǹǺ=īǻ, ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ) ʌȡȠıșȑıȦ ȓıĮ ĲȝȒȝĮĲĮ (ǻĬ=Ǻǽ=ǹǺ) ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ ȓıĮ ĲȝȒȝĮĲĮ. ˆ , ȦȢ ʌĮȡĮʌȜȘȡȫȝĮĲĮ ȓıȦȞ ȖȦIII. 4ī̂Ǿ ǼǹǾ ˆ , ȦȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ȖȦȞȓİȢ ʌĮˆ ǻǹǺ ȞȚȫȞ ( ǻīǺ ȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ). ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ ȆíīíȆ ȑ'

ȤȠȣȝİ ȩĲȚ $(= *+4 . ǹʌȩ ĲȠ İȡȫĲȘȝĮ 1 ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ Ǽǽ=ǾĬ (1) '

ȅȝȠȓȦȢ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ȩĲȚ 4(' %+= țĮȚ ȐȡĮ Ǿǽ=ĬǼ (2) ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (1) țĮȚ (2) ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ǼǽǾĬ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. 3. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǻǼǺǾ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ, ȖȚĮĲȓ ǻǼ//ǺǾ, ĮĳȠȪ ǹǻ//Ǻī țĮȚ ǻǼ 2 ǹǻ 2 Ǻī ǺǾ . ǱȡĮ ǺǼ//ǻǾ. 4. ȅȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ǹī țĮȚ Ǻǻ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ (ǹǺīǻ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ. ȅȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ Ǻǻ țĮȚ ǼǾ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ, ȖȚĮĲȓ ǻǼǺǾ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ǹĳȠȪ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ Ǻǻ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ Ǻǻ țĮȚ ǼǾ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ȅ. ȅȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ǼǾ țĮȚ Ĭǽ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ȅ, ȖȚĮĲȓ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ țĮȚ ȅ ȝȑıȠ ĲȠȣ ǼǾ. ȉĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ǹī, Ǻǻ, ǼǾ țĮȚ Ĭǽ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıȠ ȅ, ȐȡĮ ıȣȞĲȡȑȤȠȣȞ. ǱıțȘıȘ 2: ǻȓȞoȞĲĮȚ ȠȚ țȪțȜȠȚ (ȅ,R) țĮȚ (Ȁ,R) ʌȠȣ įİȞ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ țĮȚ Ȃ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ įȚĮțȑȞĲȡȠȣ ĲȠȣȢ. ǹʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ ĳȑȡȠȣȝİ: x ǼȣșİȓĮ (İ) ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ țȪțȜȠ (ȅ,R) ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ țĮȚ Ǻ ȝİ ǹȂ>ǺȂ țĮȚ ĲȠȞ țȪțȜȠ (Ȁ,R) ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ī țĮȚ ǻ ȝİ ǻȂ>īȂ. x ȀȠȚȞȒ İıȦĲİȡȚțȒ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ İȣșİȓĮ (Ș) ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ țȪțȜȠ (ȅ,R) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǿ țĮȚ ĲȠȞ țȪțȜȠ (Ȁ,R) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ĭ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ǹǺ=īǻ. 2. ȅǹ//Ȁǻ. 3. ȂǾ=ȂĬ. 4. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǾǻĬ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ˆ ˆ . 5. $2+ '.4 ȁȪıȘ (Ʉ)

Ȫ ȣ

ȡ Ȟ

(ɂ) ȟ

ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǼǽ țĮȚ īǾĬ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ: ǹǼ = īǾ, Įʌȩ ȣʌȩșİıȘ.

ȝ Ƞ Ȝ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/30

ĭȑȡȠȣȝİ ĲĮ ĮʌȠıĲȒȝĮĲĮ ȅǼ țĮȚ Ȁǽ ĲȦȞ ȤȠȡįȫȞ ǹǺ țĮȚ īǻ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅǼȂ țĮȚ ȂȀǽ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ: I. ȅȂ = ȂȀ, Įʌȩ ȣʌȩșİıȘ. II. OM̂E ZM̂K , ȦȢ țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ. ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ Ȇíī ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: 1.

OǼM 2.

MKZ .

AÔB īK̂ǻ , ȖȚĮĲȓ ǹǺ=īǻ. ǹĳȠȪ ĲĮ ĲȡȓȖȦǻ

īKǻ ȚıȠıțİȜȒ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ: D 180 AÔB 180 D *Kˆ ' ˆ . OÂB K'* 2 2 ȞĮ A O B

ǼʌİȚįȒ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ İȣșİȚȫȞ ȅǹ țĮȚ Ȁǻ ĲİȝȞȠȝȑȞȦȞ Įʌȩ ĲȘȞ ǹǻ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȅǹ//Ȁǻ. 3. ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȅǾȂ țĮȚ ȂȀĬ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ: I. ȅǾ = ȀĬ, ȦȢ ĮțĲȓȞİȢ ȓıȦȞ țȪțȜȦȞ. II. ȅȂ=ȂȀ, Įʌȩ ȣʌȩșİıȘ. ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ ȆíȆ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: ǻ

OHM

MKĬ . ǱȡĮ ȂǾ=ȂĬ.

Ȃǹ=Ȃǻ, ȖȚĮĲȓ ĮȞ ıİ ȓıĮ ĲȝȒȝĮĲĮ (ȂǼ=Ȃǽ, Įʌȩ İȡȫĲȘȝĮ 1),ʌȡȠıșȑıȦ ȓıĮ ĲȝȒȝĮĲĮ (ǹǼ=ǽǻ, ȦȢ ȝȚıȐ ȓıȦȞ ȤȠȡįȫȞ, ĲȦȞ ǹǺ țĮȚ īǻ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ) ʌȡȠțȪʌĲȠȣȞ ȓıĮ ĲȝȒȝĮĲĮ. ȈȣȞİʌȫȢ ǹǾǻĬ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ, ȖȚĮĲȓ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȓ ĲȠȣ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ. 5. ǹǾ=ǻĬ, ȦȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ. ǱȡĮ ǹȅ̂Ǿ ǻȀ̂Ĭ . ǱıțȘıȘ 3: ǻȓȞİĲĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ. ǲıĲȦ Ȁ, ȁ ȠȚ ʌȡȠȕȠȜȑȢ ĲȦȞ ǹ țĮȚ ī ıĲȘ įȚĮȖȫȞȚȠ Ǻǻ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. 1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȠȚ ĮʌȠıĲȐıİȚȢ ĲȦȞ țȠȡȣĳȫȞ ǹ țĮȚ ī Įʌȩ ĲȘ įȚĮȖȫȞȚȠ Ǻǻ İȓȞĮȚ ȓıİȢ. 2. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ǹȁ//Ȁī. 3. ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȘȞ ǹȀ țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȝȒȝĮ ȀǼ=Ȁǹ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: I. ǹǻ=ǹǼ țĮȚ ȅǹ=ȅǼ. II. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ. III. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǺǻǼī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ. ȁȪıȘ 4.

3. I.

II. ǹȅ=ȅī=ȅǼ. ǱȡĮ ǹǼ̂ī 90 q . ȈȣȞİʌȫȢ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ. III. Ǽī//Ǻǻ, ȖȚĮĲȓ İȓȞĮȚ țȐșİĲİȢ ıĲȘȞ ȓįȚĮ İȣșİȓĮ ǹǼ. ǹĳȠȪ Ǻī=ǹǻ=ǻǼ, ĲȩĲİ ǺīǻǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ. ǱıțȘıȘ 4: ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȅǺ. ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ȅǹ țĮȚ ȅǺ ʌȡȠȢ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ȅ țĮȚ ʌĮȓȡȞȠȝİ ĲȝȒȝĮĲĮ ȅī=ȅǹ țĮȚ ȅǻ=ȅǺ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. 1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȅǺ țĮȚ īȅǻ İȓȞĮȚ ȓıĮ. 2. ǲıĲȦ Ȃ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ǹǺ țĮȚ ȃ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ īǻ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȃ, ȅ, ȃ İȓȞĮȚ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ. 3. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. 4. ǲıĲȦ (İ) ȝȚĮ ĲȣȤĮȓĮ İȣșİȓĮ ʌȠȣ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ țĮȚ ĮĳȒȞİȚ ĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ ǹ, ī țĮȚ ǻ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ǹǺīǻ ʌȡȠȢ ĲȠ ȓįȚȠ ȘȝȚİʌȓʌİįȠ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ĮʌȩıĲĮıȘ ĲȘȢ țȠȡȣĳȒȢ ǻ Įʌȩ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ) ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ĮʌȠıĲȐıİȦȞ ĲȦȞ țȠȡȣĳȫȞ ǹ țĮȚ ī Įʌȩ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ). ȁȪıȘ

ȟ Ƞ

ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȀǻ țĮȚ īȁǺ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ:

Ȫ (ɂ) Ȝ

Ȟʅ

Ȫʅ ȟʅ

ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȅǺ țĮȚ īȅǻ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ: I. ȅǹ = ȅī, Įʌȩ ȣʌȩșİıȘ. II. ȅǺ = ȅǻ, Įʌȩ ȣʌȩșİıȘ. III. Aȅ̂ī Ǻȅ̂ǻ , ȦȢ țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ. ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ ȆíīíȆ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: 1.

Ȝʅ

ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ Ȇíī ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: ǹȀǻ īȁǺ . ǱȡĮ: ǹȀ=īȁ. ǹĳȠȪ ǹȀ=īȁ țĮȚ İʌİȚįȒ ǹȀ//īȁ, ĮĳȠȪ ǹȀ, īȁ țȐșİĲİȢ ıĲȘ Ǻǻ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ǹȀīȁ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ: ǻȀ įȚȐȝİıȠȢ țĮȚ ȪȥȠȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǼ. ǱȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. ȈȣȞİʌȫȢ ǹǻ = ǻǼ. ǼʌİȚįȒ ǻȀ ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ǹǼ țĮȚ ȅ‫ג‬ǻȀ ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ: ȅǹ=ȅǼ.

ǹǻ = Ǻī, ȦȢ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ. II. Aǻ̂Ǻ ǻǺ̂ī , ȦȢ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ ǹǻ țĮȚ Ǻī ĲİȝȞȠȝȑȞȦȞ Įʌȩ ĲȘȞ Ǻǻ. I.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/31

ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȅȂ țĮȚ īȅȃ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ: I. ȅǹ = ȅī, Įʌȩ ȣʌȩșİıȘ. II. ǹȂ=īȃ, ȦȢ ȝȚıȐ ȓıȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ (ǹǺ=īǻ, ĮĳȠȪ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȅǺ țĮȚ īȅǻ İȓȞĮȚ ȓıĮ). ˆ III. OAM 2*ˆ N , ǹĳȠȪ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȅǺ țĮȚ īȅǻ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ ȆíīíȆ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: 2.

ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ, ȖȚĮĲȓ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȓ ĲȠȣ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ȅ. ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻǻǻǯ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ Ǻǻ țĮȚ ȅȅǯ//ǻǻǯ, ȦȢ țȐșİĲİȢ ıĲȘȞ ȓįȚĮ İȣșİȓĮ (İ). ȐȡĮ ȅǯ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ Ǻǻǯ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ OOǯ

OOǯ

ǻǻǯ (1) 2

ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǹǯīǯī İȓȞĮȚ ĲȡĮʌȑȗȚȠ, ȖȚĮĲȓ ǹǹǯ//īīǯ, ȦȢ țȐșİĲİȢ ıĲȘȞ ȓįȚĮ İȣșİȓĮ (İ). ǹĳȠȪ ȅ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ǹī țĮȚ ȅȅǯ//ǹǹǯ//īī, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ȅȅǯ įȚȐȝİıȠȢ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ ǹǹǯīǯī. ıȣȞİʌȫȢ:

ȠȡșȒȢ ȖȦȞȓĮȢ. ǱȡĮ ǻȀ

Ǽǽ

Ǽǻ̂ǽ

ǻȀ

90q . Ǻī . 4

ǻȀ 4.

Ǻī (2). 2 Ǻī 2 2

Ǻī . 4

ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǻǼǽ țĮȚ ǼȂǽ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ:

ǹī ǻǽ . 2 ǹǺ II. ǼȂ ǻǼ . 2 III. Aȅ̂ī Ǻȅ̂ǻ , ȦȢ țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ. I.

ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǻǼǽ țĮȚ ǼȂǽ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǼǻǽ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ ıİ țȪțȜȠ. ȁȪıȘ 1. ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪȠȣȞ ȩĲȚ Ǽ țĮȚ Ȃ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ țĮȚ Ǻī. ǱȡĮ ǼȂ//ǹī. ȈȣȞİʌȫȢ ǼȂ//ǹǽ. ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪȠȣȞ ȩĲȚ ǽ țĮȚ Ȃ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹī țĮȚ Ǻī. ǱȡĮ Ȃǽ//ǹǺ. ȈȣȞİʌȫȢ Ȃǽ//ǹǼ. ǱȡĮ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ 4. 5.

Ǽǽ (1) 2

ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (1) țĮȚ (2) ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

ǹǹǯ īīǯ .

ǱıțȘıȘ 5: ǻȓȞİĲĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȝİ Â 90q . ĭȑȡȠȣȝİ ĲȠ ȪȥȠȢ ǹǻ. ǲıĲȦ Ǽ, ǽ țĮȚ Ȃ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ, ǹī țĮȚ Ǻī ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǹȞ Ȁ ȝȑıȠ ĲȠȣ Ǽǽ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǼȂǽ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ.

ǼʌȓıȘȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪȠȣȞ ȩĲȚ Ǽ țĮȚ ǽ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ țĮȚ ǹī. ǱȡĮ

ǹǹǯ īīǯ (2). 2

ǹǹǯ īīǯ ǻǻǯ 2

ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǺ Ș ǻǼ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ ʌȠȣ ȐȖİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ țȠȡȣĳȒ ĲȘȢ ȠȡșȒȢ ȖȦȞȓĮȢ. ǱȡĮ ǻǼ=ǹǼ. ȈȣȞİʌȫȢ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼǻ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ ȚıȤȪİȚ Ǽǹ̂ǻ Ǽǻ̂ǹ . ȅȝȠȓȦȢ țĮȚ ıĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻī Ș ǻǽ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ ǽǹ̂ǻ ǽǻ̂ǹ . ǼʌȠȝȑȞȦȢ: Ǽǻ̂ǽ Ǽǻ̂ǹ ǹǻ̂ǽ Ǽǹ̂ǻ ǻǹ̂ǽ 90 q . ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǻǼǽ Ș ǻǼ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ ʌȠȣ ȐȖİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ țȠȡȣĳȒ ĲȘȢ

ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (1) țĮȚ (2) ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

ǻǻǯ 2

ǱȡĮ ǹȅ̂Ȃ

ǹȅȂ īȅȃ . īȅ̂ȃ . ȈȣȞİʌȫȢ: Ȃȅ̂ǹ ǹȅ̂ǻ ǻȅ̂ȃ īȅ̂ȃ ǹȅ̂ǻ ǻȅ̂ȃ ǹȅ̂ī 180 q .

90q ȑʌİ-

İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ǼʌİȚįȒ Â ĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ.

ǹȅǺ īȅǻ .

ǼȂ

ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ ȆíīíȆ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: ǹȅǺ īȅǻ. 5. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǼǻǽ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ ıİ țȪțȜȠ, įȚȩĲȚ: ǼÂǽ Ǽǻ̂Eǽ 90q 90q 180q . ǱıțȘıȘ 6: ǻȓȞİĲĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ ȝİ ǹǺ 2 ǹǻ . ǲıĲȦ Ǿ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ īǻ țĮȚ Ǽ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ ǹǺ. ǹȞ Ĭ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ ǹǾ țĮȚ ǻǼ țĮȚ ǽ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ ǺǾ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/32

țĮȚ īǼ, ĲȩĲİ: 1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ǹǾ İȓȞĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ˆ . ȖȦȞȓĮȢ %$' 2. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ǺǾ İȓȞĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ Ǻ̂ țĮȚ ǹǾ٣ǾǺ. 3. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǼǾǻ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ. 4. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ. 5. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲĮ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝĮ ǹǺīǻ țĮȚ ǹǼīǾ țĮȚ ǼǽǾĬ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ țȑȞĲȡȠ. 6. ȆȩıİȢ ȝȠȓȡİȢ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ Ș ȖȦȞȓĮ ǹ̂ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ ȫıĲİ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǾ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ ıİ țȪțȜȠ; ȉȚ İȓįȠȣȢ șĮ İȓȞĮȚ ĲȠ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǾ; ȁȪıȘ Ȝ

ıȦ

ĲȠȣ

İȡȦĲȒȝĮĲȠȢ 2 ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: ĬǾ̂ǽ 90 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ. ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȦȞ ǹǺīǻ țĮȚ ǹǼīǾ țĮȚ ǼǽǾĬ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ: ȅȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ǹī țĮȚ Ǻǻ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ (ǹǺīǻ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ. ȅȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ǹī țĮȚ ǼǾ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ, ȖȚĮĲȓ ǹǼīǾ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ (ǹǼ=//Ǿī). ǹĳȠȪ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ ǹī, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ǹī țĮȚ ǼǾ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ȅ. ȅȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ǼǾ țĮȚ Ĭǽ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ȅ, ȖȚĮĲȓ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȅ ȝȑıȠ ĲȠȣ ǼǾ. ȈȣȞİʌȫȢ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ. ǹǺīǾ İȖȖȡȐȥȚȝȠ D

Ǿī̂Ǻ ˆ ǾīǺ ˆ ǹǾB 180 D Ǿī̂Ǻ 180 q 2

360 q 120 q 2

ˆ Ǿī̂Ǻ 2 Ǿī̂Ǻ 360 q ǾīǺ Ȫ

ǹ̂ 120 q , ĲȠ įİ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹǺīǾ ȚıȠıțİȜȑȢ. ǱıțȘıȘ 7: ǻȓȞİĲĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺī ȝİ

ǻī 2 ǹǻ Ǿ ȝȑıȠ ĲȠȣ ǻī. ǱȡĮ ǻǾ ǹǻ. 2 2 ȈȣȞİʌȫȢ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǾ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ: ǻǹ̂Ǿ ǻǾ̂ǹ . ǼʌȓıȘȢ: Ǻǹ̂Ǿ ǻǾ̂ǹ , ȦȢ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ ǹǺ țĮȚ īǻ ĲİȝȞȠȝȑȞȦȞ Įʌȩ ĲȘȞ ǹǾ. ǱȡĮ ǻǹ̂Ǿ Ǿǹ̂Ǻ . ȈȣȞİʌȫȢ ǹǾ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ǻǹ̂Ǻ . ȅȝȠȓȦȢ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ȩĲȚ ǾǺ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ǹǺ̂ī . ǱȡĮ ˆ ˆ Ǻ +%$ ˆ ǹǾB 180 D +$ ˆ $%* ˆ 360 q ǻǹǺ

Â 90q țĮȚ Ǻ̂ 30q . ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘ įȚȤȠĲȩȝȠ Ǻǻ. ǹʌȩ ĲȘȞ țȠȡȣĳȒ ǹ ĳȑȡȠȣȝİ țȐșİĲȠ ıĲȘ Ǻǻ ʌȠȣ ĲȘȞ ĲȑȝȞİȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȃ țĮȚ Ș ʌȡȠȑțĲĮıȒ ĲȘȢ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ. ǹȞ Ȃ ȝȑıȠ ĲȘȢ Ǻǻ, ĲȩĲİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǼ țĮȚ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȒ. 2. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǼȂ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ. 3. Ǻǻ 2 ǹǼ . 4.

ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ ǹǻǼȂ. ǼȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ ıİ țȪțȜȠ; ȁȪıȘ 5.

ǻǹ̂Ǻ ǹǺ̂ī 180 2 2 2 360 q 180 q 90 q . ȈȣȞİʌȫȢ: ǹǾ٣ǾǺ. 2 D

30q

ǼʌİȚįȒ ǹǺ//īǻ ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ǹǼ//ǻǾ (1). ǼʌȓıȘȢ: ǹǼ

ǹǺ 2

īǻ 2

ǻī . 2

ǻǼ٣Ǻī țĮȚ Ǽī

ǻǾ (2)

ǹʌȩ ıȤȑıİȚȢ (!) țĮȚ (2) ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǼǾǻ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ țĮȚ Įʌȩ İȡȫĲȘȝĮ 1, ĮĳȠȪ ǹǻ=ǻǾ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ. ǲȤȠȣȝİ Ǽǻ٣ǹǾ, ȖȚĮĲȓ ǹǼǾǻ ȡȩȝȕȠȢ. ǱȡĮ ǹǼ̂Ĭ 90 q . ȅȝȠȓȦȢ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ȩĲȚ ǼǺīǾ ȡȩȝȕȠȢ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ Ǽǽ̂Ǿ

90 q . Ȃȑ-

Ȩ Ȝ

Ƞ Ȟ

Ǻȃ įȚȤȠĲȩȝȠȢ țĮȚ ȪȥȠȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺǼ. ǱȡĮ ǹǺǼ ȚıȠıțİİȜȑȢ. Ǻȃ ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȠȣ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ǹǼ. ǱȡĮ ǹǻ=ǻǼ. ȈȣȞİʌȫȢ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǼ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/33

İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȂǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ, ȖȚĮĲȓ Ȃǹ=ȂǼ, ĮĳȠȪ Ȃ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ȝİıȠțĮșȑĲȠȣ ĲȠȣ ǹǼ. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǺȂǹ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ, ȖȚĮĲȓ ǹȂ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ ʌȠȣ ȐȖİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ țȠȡȣĳȒ ĲȘȢ ȠȡșȒȢ ȖȦȞȓĮȢ ıĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺǻ. ǱȡĮ: ȂǺ̂ǹ Ȃǹ̂Ǻ 15 q . ȈȣȞİʌȫȢ

ǹȂ̂ȃ

3. 4.

ʌȜİȣȡȐ ǹǺ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȇ ĲȩĲİ: Ȇȇ ȁȪıȘ ȫ

ǻÊī 180 q BÊM MÊA AÊǻ 90 q . ǱȡĮ ǻǼ٣Ǻī. ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǻǼī

ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ Ȇíī ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: ABZ ǻ

ǿıȤȪİȚ: ǹǼ̂ǻ ǹǽ̂Ǻ , ȖȚĮĲȓ ABZ ǹǼǻ . ǱȡĮ: ǹK̂Ǽ 180 q ǽǹ̂Ǻ ǹǼ̂ǻ ˆ $ZB ˆ 180 q =$% 180 q ǽǹ̂Ǻ ǹẐB

180 q 90 q 90 q . 3.

ȅȝȠȓȦȢ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ȩĲȚ:

Ǻȁ̂ǽ ǾȂ̂ī 90 q .

ǱȡĮ: ȃȀ̂ȁ Ȁȁ̂Ȃ ȁȂ̂ȃ 90 q , ȦȢ țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ ǹȀ̂Ǽ , Ǻȁ̂ǽ , HȂ̂ī . ǱȡĮ ȀȁȂȃ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ (1). ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȀǼ țĮȚ ǻĬȃ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ: AǼ = ǻĬ, Įʌȩ ȣʌȩșİıȘ.

II.

ȀÂE Ĭǻ̂ȃ , ĮĳȠȪ ABZ ǹǼǻ.

Aǻ̂E 2 Aǻ̂N 150 q , ĮĳȠȪ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ ǻȃ įȚȤȠĲȩȝȠȢ, ĮĳȠȪ İȓȞĮȚ ȪȥȠȢ..\ ǻÊM ǻÊA AÊM 75 q .

MÂǻ 90 q BÂM 75 q . ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǻǼȂ įİȞ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ ıİ țȪțȜȠ, ȖȚĮĲȓ MÂǻ ǻÊM 150 q z 180 q . ǱıțȘıȘ 8: ǻȓȞİĲĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ǹǺīǻ. ǹȞ Ǽ, ǽ, Ǿ, Ĭ ıȘȝİȓĮ ĲȦȞ ǹǺ, Ǻī, īǻ țĮȚ ǻǹ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ: ǹǼ=Ǻǽ=īǾ=ǻĬ. Ǿ ǹǽ ĲȑȝȞİȚ ĲȚȢ ǻǼ țĮȚ ǺǾ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȁ țĮȚ ȁ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, İȞȫ Ș īĬ ĲȑȝȞİȚ ĲȚȢ ǻǼ țĮȚ ǺǾ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ȃ țĮȚ Ȃ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǽ țĮȚ ǹǻǼ İȓȞĮȚ ȓıĮ. 2. ǹǽ٣ǻǼ. 3. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȀȁȂȃ İȓȞĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. 4. ȉĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ǹǺīǻ țĮȚ ȀȁȂȃ ȑȤȠȣȞ ĲȠ ȓįȚȠ țȑȞĲȡȠ ıȣȝȝİĲȡȓĮȢ. 5. ǹȞ Ȇ ȝȑıȠ ǹǼ țĮȚ ȁȇ//ȀȆ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ

ǹǼǻ .

2 90 q 15 q

60 q , Įʌȩ İȡȫĲȘȝĮ 2.

ȈȣȖțȡȓȞȠȣȝİ ĲĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǽ țĮȚ AǻǼ. ǹȣĲȐ ȑȤȠȣȞ: I. AǼ = Ǻǽ, Įʌȩ ȣʌȩșİıȘ. II. AB = ǹǻ, ȦȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ.

ǻÊī 180 q Ǽǻ̂ī ī̂ 90 q .

ǹȂ̂Ǽ

ȃǻ̂Ǽ ǹǻ̂ȃ 75q . ǱȡĮ: Ǽǻ̂ī Ǻǻ̂ī ȃǻ̂Ǽ 30q , 5.

ǻī . 2

2ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ. ǼȡȖĮȗȩȝĮıĲİ ȝİ ȖȦȞȓİȢ țĮȚ ȣʌȠȜȠȖȓȗȠȣȝİ ĲȚȢ țĮȚ Ǻǻ̂ī 105 q

ǲȤȠȣȝİ: ǹÊǻ ǻǹ̂E 90q BÂM MÂE 15q .

ȚıȤȪİȚ: Eǻ̂ī 30 q . ǱȡĮ Ǽī

2 Ȃǹ̂Ǻ 2 15 q 30 q .

Ȃȃ İȓȞĮȚ țĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ǹȂ̂Ǽ , İʌİȚįȒ Ȃȃ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ țĮȚ ȪȥȠȢ ıĲȠ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȂǼ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ . ǹĳȠȪ ĲȠ ǹȂ̂Ǽ 2 ǹȂ̂ȃ 2 30 q 60 q ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȂǼ ȑȤİȚ ȝȓĮ ȖȦȞȓĮ 60º İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ. ǲȤȠȣȝİ: Ǻǻ=2·ǺȂ=2·ǹȂ=2·ǹǼ. ȈĲȠ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ ǺȂǼ ȚıȤȪİȚ ȂǺ̂ǹ ȂÊǺ 15q . ǼʌȓıȘȢ: ȂÂE AÊM 60q .

ǺǼ . 2

ǹʌȩ țȡȚĲȒȡȚȠ Ȇíī ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ: AȀǼ ǻĬȃ. ȈȣȞİʌȫȢ ǹȀ=ǻȃ.

Ȁȁ ǹǽ ǹȀ ȁǽ ½ ¾ Ȁȁ Ȁȃ ǻǼ ǻȃ ȀǼ ¿

Ȁȃ .

ǱȡĮ ȀȁȂȃ ȡȩȝȕȠȢ (2). ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (1) țĮȚ (2) ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ ȀȁȂȃ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ. ȅȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ǹī țĮȚ Ǻǻ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ǹǺīǻ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹȀīȂ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ, ĮĳȠȪ ǹȂ//Ȃī, İʌİȚįȒ ǹǽ//Ĭī (ǹǽīĬ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ, ȖȚĮĲȓ ǽī=//ǹĬ) țĮȚ ǹȀ=Ȃī, '

ĮĳȠȪ AKE HMī . ǱȡĮ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/34

ȅȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ ȀȂ țĮȚ ȃȁ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ țĮȚ ȝȐȜȚıĲĮ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȅ. ıȣȞİʌȫȢ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ǹǺīǻ țĮȚ ȀȁȂȃ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ țȑȞĲȡȠ ĲȠ ȅ ʌȠȣ ĮʌȠĲİȜİȓ ĲȠ țȑȞĲȡȠ ıȣȝȝİĲȡȓĮȢ ĲȠȣȢ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ țȑȞĲȡȠ ıȣȝȝİĲȡȓĮȢ ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȀǼ Ș ȀȆ İȓȞĮȚ Ș įȚȐȝİıȠȢ ʌȠȣ ȐȖİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ țȠȡȣĳȒ ĲȘȢ ȠȡșȒȢ ȖȦȞȓĮȢ țĮȚ ȐȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȀȆ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ȝİ ǹȀ̂Ȇ Ȇǹ̂Ȁ . ǹȀ̂Ȇ ǹȁ̂ȇ , ȦȢ İȞĲȩȢ İțĲȩȢ țĮȚ İʌȓ ĲĮ ĮȣĲȐ ĲȦȞ ʌĮȡĮȜȜȒȜȦȞ ȀȆ țĮȚ ȁȇ ĲİȝȞȠȝȑȞȦȞ Įʌȩ ĲȘȞ Ȁȁ. ǱȡĮ Ȇǹ̂Ȁ ǹȁ̂ȇ . ȈȣȞİʌȫȢ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȇȁ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ǹȇ=ȇȁ. ǼʌȓıȘȢ: ǹǺ̂ȁ ǹǼ̂Ȁ 90 q - ǹȁ̂ȇ ȇȁ̂Ǻ . ǱȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȁȇǺ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. ȈȣȞİʌȫȢ ȇǺ=ȇǹ=ȁȇ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ȇ ȝȑıȠ ĲȠȣ ǹǺ. ǱȡĮ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ:

Ȇȇ ȆǺ ȇǺ ȆǼ ǼǺ ȇǺ ǹǼ ǹǺ § ǹǺ ǹǼ · ǼǺ ¨ ǼǺ ¸ 2 2 2 ¹ © 2 ǺǼ ǺǼ . ǺǼ 2 2

ǱıțȘıȘ 9: ǻȓȞİĲĮȚ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī, ȠȚ įȚȐȝİıȠȓ ĲȠȣ ǹǻ, ǺǼ țĮȚ īǽ țĮȚ Ĭ ĲȠ ȕĮȡȪțİȞĲȡȩ ĲȠȣ. ǲıĲȦ Ȁ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ Ǽǽ ȝİ ĲȘȞ ǹǻ țĮȚ ǿ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ ǻǾ ȝİ ĲȘȞ ǹī, ȩʌȠȣ Ǿ ĲȠ ıȣȝȝİĲȡȚțȩ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ ǽ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠ Ǽ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ:

1 ǹǻ . 6

ȀĬ

2. 3.

ǹǾ=īǽ țĮȚ ǻǾ//ǺǼ. ȉȠ ȕĮȡȪțİȞĲȡȠ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǻǾ İȓȞĮȚ ĲȠ

ǹǽīǾ İȓȞĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ, ȖȚĮĲȓ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȓ ĲȠȣ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ, ĮĳȠȪ Ǽǽ=ǼǾ, ȜȩȖȦ ıȣȝȝİĲȡȓĮȢ. ǱȡĮ ǹǾ=īǽ. ǲȤȠȣȝİ ǽǼ//Ǻī, ĲȩĲİ ǼǾ//Ǻǻ. ǼʌȓıȘȢ ǼǾ

Ǻī 2

ǽǼ

Ǻǻ (1)

ǼǾǺǻ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ǱȡĮ ǺǼ//ǻǾ. ǼǾ//ǻī, ȖȚĮĲȓ ǼǾ//Ǻǻ. ǼʌȓıȘȢ ǼǾ=ǻī ȜȩȖȦ (1). ǱȡĮ ǼǾīǻ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ. ȉȠ ıȘȝİȓȠ ǿ İȓȞĮȚ ĲȠ țȑȞĲȡȠ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ. ǱȡĮ ǿ ȝȑıȠ ĲȘȢ ǻǾ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ǹǿ įȚȐȝİıȠȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǾ. ǼʌȓıȘȢ ǾȀ įȚȐȝİıȠȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻǾ țĮȚ ĲȑȝȞİĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ ǹǿ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ. ǱȡĮ Ǽ ȕĮȡȪțİȞĲȡȠ. ǿıȤȪİȚ ȩĲȚ:

ǾȀ

3 ǾǼ 2

3 Ǻī 2 2

3 Ǻǻ 2

3 Ǻī . 4

ǱıțȘıȘ 10: ǻȓȞİĲĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī. ĭȑȡȠȣȝİ ĲȚȢ įȚȤȠĲȩȝȠȣȢ ǹǻ țĮȚ ǺǼ ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ĭ. ǲıĲȦ ǽ ĲȠ ıȣȝȝİĲȡȚțȩ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ Ĭ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ. ǹʌȩ ĲȠ ǽ ĳȑȡȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ǹǺ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ǹī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǿ țĮȚ ĲȘȞ Ǻī ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1.

Ĭǹ ĬǺ Ĭī !

2. 3.

Ĭ ȝȑıȠ Ǻǽ. ĬȂ٣Ĭǽ.

ĬǾ

3 ǹǺ . 2

Ȃǽ . 2

ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ĬǾīȂ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ. 6. ȉĮ ıȘȝİȓĮ ī, ǻ, Ĭ, Ǽ İȓȞĮȚ ȠȝȠțȣțȜȚțȐ. ȁȪıȘ 5.

ıȘȝİȓȠ Ǽ țĮȚ ȝȐȜȚıĲĮ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ ǾȀ

3 Ǻī 4

ȁȪıȘ Ȝ

ȡ Ƞ

ȈĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪȠȣȞ ȩĲȚ ǽ țĮȚ Ǽ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ǹǺ țĮȚ ǹī. ǱȡĮ Ǽǽ//Ǻī. ȈȣȞİʌȫȢ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻī ȑȤȠȣȝİ ǽȀ//Ǻǻ țĮȚ ǽ ȝȑıȠ ǹǺ, ĲȩĲİ Ȁ ȝȑıȠ ǹǻ. 2 1 1 $' $' $' . ȀĬ ǹĬ ǹȀ 3 2 6

ǲȤȠȣȝİ Įʌȩ ĲȡȚȖȦȞȚțȒ ĮȞȚıȩĲȘĲĮ:

Ĭǹ ĬǺ ! ǹǺ ½ ° ĬǺ Ĭī ! Ǻī ¾ Ĭī Ĭǹ ! ǹī °¿

( )

ǹǺ Ǻī īǹ

2 Ĭǹ 2 ĬǺ 2 Ĭī ! 3 ǹǺ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/35

3 Ĭǹ ĬǺ Ĭī ! ǹǺ . 2 2.

ǹĳȠȪ Ĭ ȕĮȡȪțİȞĲȡȠ ıĲȠ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ǹǻ țĮȚ ǺǼ įȚȐȝİıȠȚ. ǱȡĮ:

2 ǺE . ȈȣȞİʌȫȢ: 3 1 Ĭǽ 2 ĬE 2 BE BĬ . 3 AB̂Z BẐM 30 q , ȦȢ İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ

ʌȑȗȚȠ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘ įȚȐȝİıȩ ĲȠȣ ȦȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ĲȘȢ ĮțĲȓȞĮȢ R. 5. Ǿ țȐșİĲȘ ȤȠȡįȒ īǼ ıĲȘ įȚȐȝİĲȡȠ ǹǺ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȘ ȤȠȡįȒ Ǻǻ. ȁȪıȘ

ǺĬ

2ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ: ȃĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ĬH 4.

ȠʌȩĲİ ĮʌĮȞĲȐȝİ ȐȝİıĮ țĮȚ ıĲȠ İȡȫĲȘȝĮ 4. ǾǼ įȚȐȝİıȠȢ țĮȚ ȪȥȠȢ, ĮĳȠȪ ǺǼ٣ǹī. ǱȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ĬǾǽ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. ȈȣȞİʌȫȢ ĬǾ=Ǿǽ. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ĬȂǾ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ, ȖȚĮĲȓ MĬ̂H ĮĳȠȪ:

90 q 30 q

60 q

ǼʌİȚįȒ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ĬȂǾ țĮȚ ǾȂī İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡĮ ȝİ țȠȚȞȒ ʌȜİȣȡȐ ĲȘȞ ǾȂ ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ĬǾ=Ǿī=Ȃī=ȂĬ. ǱȡĮ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǾīȂĬ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ. ȈȣȞİʌȫȢ

ǹī̂Ǻ 120q .

ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ĬǼīǻ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȝȠ ıİ țȪțȜȠ, ȖȚĮĲȓ: ĬǼ̂ī Ĭǻ̂ī 90 q 90 q 180 q . ǱȡĮ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ī,ǻ,Ĭ,Ǽ İȓȞĮȚ ȠȝȠțȣțȜȚțȐ. ǱıțȘıȘ 11: ǻȓȞİĲĮȚ țȪțȜȠȢ țȑȞĲȡȠȣ ȅ țĮȚ ĮțĲȓȞĮȢ R țĮȚ ǹǺ ȝȚĮ įȚȐȝİĲȡȩȢ ĲȠȣ. ǲıĲȦ Ș ȤȠȡįȒ ǹǻ=R țĮȚ Ȃ, ȃ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ȤȠȡįȫȞ ǹǻ țĮȚ Ǻǻ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǹȞ Ș ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ ȅȃ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ țȪțȜȠ (ȅ,R) ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ī, ĲȩĲİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 1. ǹǺ̂ǻ 30q . 2. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȅȂǻȃ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ. 3. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȅǺīǻ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ. 4. ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮ6.

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MĤī Ǻǹ̂ī 60q țĮȚ MĬ̂H

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2 Ẑ 60 q . ǱȡĮ ĬǾ=ǾȂ. ȈȣȞİȂǽ . ʌȫȢ ĬǾ 2

ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȅǻ İȓȞĮȚ ȚıȩʌȜİȣȡȠ, ĮĳȠȪ ȅǹ=ȅǻ=ǹǻ=R. ǱȡĮ ǹȅ̂ǻ 60 q . ȈȣȞİʌȫȢ

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ĬM̂H MĤĬ 60 q ,

MĬ̂H

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MZ , 2

90 q .

ǿıȤȪİȚ ǹǻ̂Ǻ 90 q , ȖȚĮĲȓ İȓȞĮȚ ȖȦȞȓĮ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȘ țĮȚ ȕĮȓȞİȚ ıİ ȘȝȚțȪțȜȚȠ. ǱȡĮ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȅȂǻȃ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ. q ǻ $0ˆ ' 60q . ȈȣȞİʌȫȢ: ǲȤȠȣȝİ ȩĲȚ $ p ' Ǻ 180 q 60q 120 q . p p p 60q . ǹĳȠȪ ī ȝȑıȠ ' Ǻ , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ǻ ī Ǻī ǱȡĮ ȖȚĮ ĲȚȢ ĮȞĲȓıĲȠȚȤİȢ ȤȠȡįȑȢ ȑȤȠȣȝİ: Ǻī=ǻī=ǹǻ=R (1) ǹĳȠȪ ȅǻ=ǻī=īǺ=Ǻȅ=R, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ȅǺīǻ İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ. p Ǻī ˆ ˆ Bǻī 30q . ǹĳȠȪ İȓȞĮȚ ǿıȤȪİȚ: ǹǺǻ 2 İȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ ĲȦȞ İȣșİȚȫȞ ǻī țĮȚ ǹǺ ĲİȝȞȠȝȑȞȦȞ Įʌȩ ĲȘȞ Ǻǻ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ǹǺ//īǻ. ȈȣȞİʌȫȢ ǹǺīǻ ĲȡĮʌȑȗȚȠ. ǹĳȠȪ p p Aǻ Ǻī Aǻ Ǻī , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ǹǺīǻ

İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ. Ǿ įȚȐȝİıȠȢ ȝ ĲȠȣ ǹǺīǻ įȓȞİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ ĲȪǹǺ īǻ 2 R R (1) 3R ʌȠ: ȝ . 2 2 2 5. ǲıĲȦ ǽ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȘȢ īǼ ȝİ ĲȘȞ ȅǺ. p Ǽ , ĮĳȠȪ ȅǽ٣īǼ. ȈȣȞİʌȫȢ: ǱȡĮ Ǻ ȝȑıȠ ĲȠȣ * q p *%Ǽ 2 % ī 120 q . p 120 q . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ǻǺ=īǼ. ǱȡĮ '%

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/36

ƨŅ ƮƷƭƩƬƲƷ ȊʌİȪșȣȞȠȚ ĲȐȟȘȢ: Ǻ. ȀĮȡțȐȞȘȢ, Ȉ. ȁȠȣȡȓįĮȢ, ȋȡ. ȉıȚĳȐțȘȢ

ƨŅƮƷƭƩƬƲƷ

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ĬȑȝĮ 1Ƞ ǲıĲȦ ȑȞĮ ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȪıĲȘȝĮ 2x2 ȝİ ĮȖȞȫıĲȠȣȢ x, y țĮȚ ȠȡȓȗȠȣıİȢ D, Dx , Dy ȝİ D x ! 0,

Dy ! 0 . ǻİȤȩȝĮıĲİ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ:

7 D (1). 2 Į. ǻİȓȟĲİ ȩĲȚ ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ ȑȤİȚ ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ȖȚĮ țȐșİ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ș R ȝİ VXQT z 0 . ȕ. ǹȞ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ İȓȞĮȚ Ș x, y 1, 2 ĲȩĲİ: 2Dx (ıȣȞ 2ș)Dy

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1 Șȝ200 2

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Șȝ20

Dy . 3 Dx 0 Șȝ10 2ıȣȞ100

Dy Dx 3 D D Șȝ100 2ıȣȞ100

Dy D

1 3 4 0 Șȝ10 ıȣȞ100

4 (2).

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1 3 0 Șȝ10 ıȣȞ100

ıȣȞ100 3.Șȝ100 Șȝ100 ıȣȞ100

ıȣȞ10 İĳ60 Șȝ10 Șȝ100 ıȣȞ100 0

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1 Șȝ200 2

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5ʌ ȑȤȠȣȝİ: ʌ ș 2ʌ 6 5ʌ ʌ 17ʌ ʌ 2țʌ 2ʌ 2țʌ 6 6 6 1 17 5ʌ 7ʌ Ȓș ț ț 0 Ȓ ț 1 ș 12 12 6 6

ǼʌȓıȘȢ ș

2țʌ

5ʌ 5ʌ 7ʌ ½ ȉİȜȚțȐ ș ® , , ¾ . ¯ 6 6 6 ¿

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/37

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1 . 1 İĳ 2 Į

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İȓȞĮȚ

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§ 1 · x x Ȧ ° §1· ®©¨ 2 ¹¸ 1 ¨ ¸ 2 ©2¹ ° 1 Ȧ 2 ¯ 1

§1· §1· ¨ ¸ ¨ ¸ x ! 1 , ĮĳȠȪ Ș İțșİĲȚțȒ ıȣȞȐȡ©2¹ ©2¹ 1 ĲȘıȘ ȝİ ȕȐıȘ ĲȠ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ. 2 ĬȑȝĮ 3Ƞ § ʌ ʌ· ǹȞ ș ¨ , ¸ ĲȩĲİ ©4 2¹ § 2· Į. ǻİȓȟĲİ ȩĲȚ: İĳș 1 ¨ ıȣȞș ¸ 0. ¨ Ȧ ¸¹ © ȕ. i ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ

ȘȝĮ x 3

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ȘȝĮ

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x Șȝș x 1

x (1)

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1 ıȣȞș . ıȣȞș

ȁȪıȘ §ʌ ʌ· Į. ȈĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ¨ , ¸ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ ĲȠȣ ıȣȞȘ©4 2¹

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/38

ȝȚĲȩȞȠȣ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ țĮȚ ĲȘȢ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘȢ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. ǲȤȠȣȝİ ȜȠȚʌȩȞ: ʌ ʌ ʌ ʌ ș ș ! İĳș ! İĳ 4 2 4 4 ʌ ʌ ș İĳș ! 1 İĳș 1 ! 0 țĮȚ 4 2 ʌ ʌ ıȣȞ ıȣȞș ıȣȞ 2 4 2 2 0 ıȣȞș ıȣȞș 0 . 2 2 2 ) 0. 2 ȕ. i. Ǿ (1) ȠȡȓȗİĲĮȚ ȝȩȞȠ ȖȚĮ x t 1 . ȉȩĲİ ĲĮ ȝȑȜȘ ĲȘȢ (1) İȓȞĮȚ șİĲȚțȐ. ǲĲıȚ ȑȤȠȣȝİ:

ǱȡĮ (İĳș 1)(ıȣȞș

(1) ª¬ ıȣȞș x Șȝș x 1 º¼

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x x 1

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x x 1

Șȝ 2ș

x x 1

1 ıȣȞș 2(İĳș)Șȝ

1 ıȣȞș . ıȣȞș

ș 2

ĬȑȝĮ 4Ƞ Į. ǹȞ Ƞ Ȟ İȓȞĮȚ șİĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ, įİȓȟĲİ ȩĲȚ Ƞ 5 įȚĮȚȡİȓ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ Į 3 27 Ȟ 2 2 Ȟ . ȕ. ǹȞ Ȟ,ț,ȡ șİĲȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ ȝİ ĲȠ ȡ ȞĮ ȝȘȞ İȓȞĮȚ ʌȠȜȜĮʌȜȐıȚȠ ĲȠȣ 5, șİȦȡȠȪȝİ ĲĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ $ x

3 27 Ȟ x 3 ȡx 2 2018 țĮȚ

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ĲĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ. ȁȪıȘ Į. ȆȡȠĳĮȞȫȢ Į f 27 , ȩʌȠȣ f x 3x Ȟ 2 2Ȟ . ǹȜȜȐ

f x

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ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ ȝİ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ıȣȞĲİȜİıĲȑȢ. ǲĲıȚ ȑȤȠȣȝİ: f 27 253 27 ʌȠȜ5 = 5 ª¬53 27 2 Ȟ º¼ Į

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İĳș İĳș ! 0 2 1 x x İĳ 2ș 2 4

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0 (3). ' 1 İĳ2ș

1 ıȣȞș r 1 ! 0 ȠʌȩĲİ (3) x . ǵȝȦȢ 2 ıȣȞ ș 2ıȣȞș ıȣȞș 1 ıȣȞș 1 2ıȣȞș 0 1 , İȞȫ ! 1 , ȠʌȩĲİ 2ıȣȞș 2ıȣȞș 2ıȣȞș ıȣȞș 1 ǱȡĮ Ș İȟȓıȦıȘ 1 ȑȤİȚ ȝȠ 3 x 2ıȣȞș ıȣȞș 1 ȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ ĲȘȞ x1 2ıȣȞș ii. ǲȤȠȣȝİ: VXQT x1 KPT x1 1

ıȣȞș

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1 ıȣȞș 1 ıȣȞș Șȝș

1 2ıȣȞș 2ıȣȞș

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ȕ. ǹȞ įİȤĲȠȪȝİ ȩĲȚ ĲĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ șĮ ȑȤȠȣȝİ: °3 27Ȟ ț 3 27Ȟ 2 2Ȟ ® Ȟ °̄ȡ ț 2 2

ȡ Į ȡ Į z ʌȠȜ5

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ȗĮ ĲȠȣ Q x ĲȩĲİ:

1 ıȣȞș ıȣȞș 1 ıȣȞș Șȝș 1 ıȣȞș 2ıȣȞș

Į. ǻİȓȟĲİ ȩĲȚ Į ȕ

ȕ. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ 5ln x 5 ln x

1 ıȣȞș 1 ıȣȞș 1 ıȣȞș İĳș 1 ıȣȞș ıȣȞș 1 ıȣȞș ș 1 ıȣȞș İĳș 2Șȝ 2 ıȣȞș 2

ȡʌ,ȡ = .

ıȣȞ Į ȕ 2ıȣȞ

2018 x 1

ȁȪıȘ §1· Į. ǲȤȠȣȝİ Q ¨ ¸ 0 P 2 3 0 ©2¹

P 2 3 8 ȘȝĮ ıȣȞȕ Șȝȕ ıȣȞĮ 5 3

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/39

ȘȝĮ ıȣȞȕ Șȝȕ ıȣȞĮ 0 Șȝ Į ȕ 0

Șȝș ıȣȞș

Į ȕ ȡʌ, ȡ = .

1 3

ȕ. Ǿ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ ıȪȞȠȜȠ ȠȡȚıȝȠȪ 0, f . ǹȜȜȐ

ǹȜȜȐ

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(1) Șȝș ıȣȞș

ȠʌȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȖȡȐĳİĲĮȚ: 2018 x 1

1 (1). 5ln x ln x 2ıȣȞ 5 5 2018 x 1

ǹȜȜȐ țĮȚ 2ıȣȞ d2 5 1 1 Ȝ2 1 2Ȝ ĮĳȠȪ 5ln x ln x Ȝ 2, t 5 Ȝ Ȝ Ȝ Ȝ 5ln x ! 0 ȝİ ĲȠ ȓıȠȞ ȝȩȞȠ Ȝ=1, įȘȜĮįȒ x=1. ȉȩĲİ ȩȝȦȢ 2ıȣȞ

2018 x 1

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ǱȡĮ 1 x 1

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1 3

Șȝș ıȣȞș

Șȝ 2ș 2Șȝș ıȣȞș ıȣȞ 2ș

1 1 Șȝ2ș 3

1 3

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ĬȑȝĮ 6Ƞ Į. ǲıĲȦ ȑȞĮ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ f (x) ȝİ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ıȣ-

°eț Ȧ e 2e 6 3 e 2e 3 0 ® 2 °̄Ȧ 2Ȧ 3 0

ȞĲİȜİıĲȑȢ.ǹȞ Ƞ ıĲĮșİȡȩȢ ȩȡȠȢ țĮȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ĲȦȞ ıȣȞĲİȜİıĲȫȞ ĲȠȣ f (x) İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȠȓ ĮȡȚș-

eț Ȧ ® eț 1 Ȓ eț 3 eț 3 ț ln3 Ȧ 1Ȓ Ȧ 3 ¯

ȝȠȓ,įİȓȟĲİ ȩĲȚ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ įİȞ ȑȤİȚ ĮțȑȡĮȚĮ ȡȓȗĮ. ȕ. ǹȞ ĲȠ ʌȠȜȣȫȞȣȝȠ

ĬȑȝĮ 7Ƞ

§ 1 · 4 3 2 g(x) ¨ Șȝș ıȣȞș ¸ x Įx 2x 3¹ © 5 Įx Șȝ2ș , Į = İȓȞĮȚ 3Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ ĲȩĲİ: 3 i. ǼȟİĲȐıĲİ ĮȞ ĲȠ g(x) ȑȤİȚ ĮțȑȡĮȚİȢ ȡȓȗİȢ.

2ț

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x (p) & 3 . ȉȩĲİ ĲĮ İʌȓʌİįĮ (p) țĮȚ (Ȇ) ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ țĮĲȐ İȣșİȓĮ (İ). ȈȣȞİʌȫȢ ĲĮ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ (ȅ, R) țĮȚ ĲȠȣ İʌȚʌȑįȠȣ (Ȇ) İȓȞĮȚ ĲȩıĮ ȩıĮ țĮȚ ĲĮ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ȝİ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ) ȝİ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİʌȓʌİįȠȢ. ȂȚĮ İȣșİȓĮ țĮȚ ȑȞĮȢ țȪțȜȠȢ ıĲȠ İʌȓʌİįȠ ȑȤȠȣȞ ĲȠ ʌȠȜȪ įȪȠ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ, ıȣȞİʌȫȢ Ƞ țȪțȜȠȢ (ȅ, R) țĮȚ ĲȠ İʌȓʌİįȠ (Ȇ) ȑȤȠȣȞ ĲȠ ʌȠȜȪ įȪȠ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ. ǱȡĮ ıİ țȐșİ ʌİȡȓʌĲȦıȘ Ƞ țȪțȜȠȢ (ȅ, R) țĮȚ ĲȠ İʌȓʌİįȠ (Ȇ) ȑȤȠȣȞ ĲȠ ʌȠȜȪ įȪȠ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ. 2. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ įȪȠ ȓıȠȚ ȠȝȩțİȞĲȡȠȚ țȪțȜȠȚ ʌȠȣ įİȞ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıĲȠ ȓįȚȠ İʌȓʌİįȠ ȑȤȠȣȞ ȝȓĮ ȝȩȞȠ țȠȚȞȒ įȚȐȝİĲȡȠ. ȁȪıȘ: ǼʌİȚįȒ ȠȚ țȪțȜȠȚ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ țȑȞĲȡȠ, ȑıĲȦ ȅ, ĲĮ İʌȓʌİįȐ ĲȠȣȢ (p) țĮȚ (q) ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ ĲȠ ȅ ȠʌȩĲİ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ ȝȚĮ İȣșİȓĮ (İ) ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ ĲȠ ȅ. Ǿ İȣșİȓĮ (İ) ĲȑȝȞİȚ țĮȚ ĲȠȣȢ įȪȠ țȪțȜȠȣȢ ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ǹ țĮȚ Ǻ ȠʌȩĲİ ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ įȚȐȝİĲȡȠ ĲȘȞ ǹǺ. ǹȞ ȠȚ țȪțȜȠȚ İȓȤĮȞ țĮȚ ȐȜȜȘ țȠȚȞȒ įȚȐȝİĲȡȠ ĲȘ īǻ ĲȩĲİ ĲĮ ī țĮȚ ǻ įİȞ ĮȞȒțȠȣȞ ıĲȘȞ (İ) ĮȜȜȐ ĮȞȒțȠȣȞ ıĲĮ İʌȓʌİįĮ (p) țĮȚ (q), ȠʌȩĲİ ĲĮ (p) țĮȚ (q) ȑȤȠȣȞ țȠȚȞȒ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ) țĮȚ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ İțĲȩȢ ĮȣĲȒȢ (ĲȠ ī Ȓ ĲȠ ǻ), İʌȠȝȑȞȦȢ ĲĮ İʌȓʌİįĮ ĮȣĲȐ ıȣȝʌȓʌĲȠȣȞ ĮĳȠȪ ȝȚĮ İȣșİȓĮ țĮȚ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ȠȡȓȗȠȣȞ ȝȩȞȠ ȑȞĮ İʌȓʌİįȠ. 3. ǻȓȞİĲĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ǹǺīǻ țĮȚ ȝȚĮ İȣșİȓĮ (İ) țȐșİĲȘ ıĲȠ İʌȓʌİįȩ ĲȠȣ ıĲȠ țȑȞĲȡȠ ĲȠȣ Ȁ. ȆȐȞȦ ıĲȘȞ (İ) ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ. ǹȞ Ȃ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȘȢ ǹǺ, ȞĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ 0( A $% . ȁȪıȘ: ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ .0 A $% (ȖȚĮĲȓ;). ǲȤȠȣȝİ (. A $%*'

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/43

ȁȪıȘ: ǼȓȞĮȚ $. A 3 țĮȚ .% A %* (ȖȚĮĲȓ;), ȠʌȩĲİ Įʌȩ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ĲȡȚȫȞ țĮșȑĲȦȞ İȓȞĮȚ $% A %* . ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȀǺ Įʌȩ ĲȠ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ ȑȤȠȣȝİ: $%2 $.2 .%2 = 102 82 =164 ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İʌȓıȘȢ Įʌȩ ĲȠ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ ȑȤȠȣȝİ: $* 2

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ȅʌȩĲİ $*

196

= 196

14(6H cm) .

5. ǻȓȞİĲĮȚ ȑȞĮ İʌȓʌİįȠ (Ȇ) țĮȚ ȝȓĮ İȣșİȓĮ (İ) ʌȠȣ įİȞ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ (Ȇ), įİȞ İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ ı’ ĮȣĲȩ țĮȚ ĲȠ ĲȑȝȞİȚ ıİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ǹ. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȓĮ ȝȩȞȠ İȣșİȓĮ ĲȠȣ (Ȇ) ʌȠȣ İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ ȝİ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ). ȁȪıȘ: ȆȐȞȦ ıĲȘȞ İȣșİȓĮ (İ) ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ıȘȝİȓȠ Ǻ įȚĮĳȠȡİĲȚțȩ ĲȠȣ ǹ țĮȚ Įʌȩ ĲȠ Ǻ ĳȑȡȞȠȣȝİ ĲȘ ǺȀ țȐșİĲȘ ıĲȠ (Ȇ). ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘȞ İȣșİȓĮ (Ș) ĲȠȣ (Ȇ) țȐșİĲȘ ıĲȘȞ ǹȀ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ǹ. ǼʌİȚįȒ %. A 3 țĮȚ

$. A K , Įʌȩ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ĲȡȚȫȞ țĮșȑĲȦȞ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ $B A K . Ǿ İȣșİȓĮ (Ș) İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ (İ) ȖȚĮĲȓ ĮȞ ȣʌȒȡȤİ țĮȚ įİȪĲİȡȘ İȣșİȓĮ ĲȠȣ (Ȇ) țȐșİĲȘ ıĲȘȞ (İ), ĲȩĲİ Ș (İ) șĮ ȒĲĮȞ țȐșİĲȘ ıĲȠ İʌȓʌİįȠ (Ȇ) ȦȢ țȐșİĲȘ ıİ įȪȠ İȣșİȓİȢ ĲȠȣ (Ȇ), ʌȡȐȖȝĮ ȐĲȠʌȠ. l 90q ) 6. ǻȓȞİĲĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ( $ țĮȚ ȝȚĮ İȣșİȓĮ (İ) țȐșİĲȘ ıĲȠ İʌȓʌİįȩ ĲȠȣ ıĲȠ ȝȑıȠ Ȃ ĲȘȢ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıȐȢ ĲȠȣ. ȃĮ įİȓȟİĲİ ȩĲȚ țȐșİ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ (İ) ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ ĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. ȁȪıȘ: ȈĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Ș Ȃǹ İȓȞĮȚ Ș įȚȐȝİıȠȢ ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıĲȘȞ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ ȠʌȩĲİ %* =ȂǺ İȓȞĮȚ 0$ 2 = Ȃī. ǼʌİȚįȒ H A $, %, *

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(ȖȚĮĲȓ;) ȠʌȩĲİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǻȂǹ, ǻȂǺ țĮȚ ǻȂī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ıĲȠ Ȃ țĮȚ ʌȡȠĳĮȞȫȢ İȓȞĮȚ ȓıĮ ĮĳȠȪ ȑȤȠȣȞ ĲȘ Ȃǻ țȠȚȞȒ țĮȚ Ȃǹ = ȂǺ = Ȃī. ǼʌȠȝȑȞȦȢ İȓȞĮȚ ǻǹ = ǻǺ = ǻī. 7. ǹʌȩ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ǹ ʌȠȣ įİȞ ĮȞȒțİȚ ıİ țȐʌȠȚĮ Įʌȩ įȪȠ ĮıȪȝȕĮĲİȢ İȣșİȓİȢ (İ) țĮȚ (ȗ) ȞĮ ĳȑȡİĲİ İȣșİȓĮ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ țĮȚ ĲȚȢ įȪȠ ĮȣĲȑȢ ĮıȪȝȕĮĲİȢ İȣșİȓİȢ. ȁȪıȘ: ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌȠȣ ȠȡȓȗİȚ Ș ȝȓĮ Įʌȩ ĲȚȢ įȪȠ ĮıȪȝȕĮĲİȢ, ȑıĲȦ Ș (ȗ) țĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǹ. ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ: x H / / $, ] . ȈĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĮȣĲȒ Ș (İ) ĲȑȝȞİȚ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ıİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ Ǻ. ǹȞ İȓȞĮȚ ǹǺ//ȗ ĲȩĲİ Ș ȗ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ Ș ǹǺ țĮȚ Ș İ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ İȣșİȓĮ ĲȠȣ ʌȠȣ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ǹ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĲȑȝȞİȚ ĲȘ ȗ, ĮĳȠȪ ĮȣĲȒ ȕȡȓıțİĲĮȚ ıİ İʌȓʌİįȠ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ȝİ ĲȘ ȗ. ǹȞ Ș İȣșİȓĮ ǹǺ įİȞ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ȝİ ĲȘ ȗ ĲȩĲİ ĲȘȞ ĲȑȝȞİȚ ıİ ıȘȝİȓȠ Ȁ. Ǿ ǹǺ İȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȫȢ Ș ȗȘĲȠȪȝİȞȘ İȣșİȓĮ. x İ // (ǹ, ȗ). ȈĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĮȣĲȒ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ İȣșİȓĮ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ǹ țĮȚ ĲȑȝȞİȚ ĲȘ ȗ ȕȡȓıțİĲĮȚ ıĲȠ İʌȓʌİįȠ (ǹ, ȗ) ʌȠȣ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜȠ ȝİ ĲȘȞ (İ) țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ įİȞ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ İȣșİȓĮ İ. įȪȠ 8. ǻȓȞȠȞĲĮȚ ĮıȪȝȕĮĲİȢ İȣșİȓİȢ (İ) țĮȚ (ȗ). ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȓĮ ȝȩȞȠ İȣșİȓĮ ʌȠȣ İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ țĮȚ ıĲȚȢ įȪȠ ĮıȪȝȕĮĲİȢ İȣșİȓİȢ (İ) țĮȚ (ȗ). ȁȪıȘ: ĬİȦȡȠȪȝİ įȪȠ ĮıȪȝȕĮĲİȢ İȣșİȓİȢ (İ) țĮȚ (ȗ). ǹʌȩ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ǹ ĲȘȢ ȝȚĮȢ, ȑıĲȦ ĲȘȢ İ ĳȑȡȞȠȣȝİ ĲȘȞ ǹx // ȗ țĮȚ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ (Ȇ) ĲȠ İʌȓʌİįȠ ʌȠȣ ȠȡȓȗȠȣȞ Ș (İ) țĮȚ Ș ǹȤ. ȉȩĲİ ] / / $x ] / / 3 . ǹʌȩ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ Ǻ ĲȘȢ (ȗ) ĳȑȡȞȠȣȝİ %* A 3 , ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ țĮȚ %* A ] . ǹʌȩ ĲȠ ī ĳȑȡȞȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ǹȤ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ (İ) ıĲȠ ǻ. ǹʌȩ ĲȠ ǻ ĳȑȡȞȠȣȝİ ĲȘȞ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ĲȘ Ǻī ʌȠȣ, ʌȡȠĳĮȞȫȢ, șĮ ĲȝȒıİȚ ĲȘ (ȗ) ıİ ıȘȝİȓȠ Ǽ. ǼȓȞĮȚ ǻǼ // Ǻī țĮȚ %* A 3

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/44

ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ '( A 3 țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ '( A H . ǼʌİȚįȒ ǻǼ // Ǻī țĮȚ %* A ] șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ '( A ] . ȈȣȞİʌȫȢ Ș ǻǼ İȓȞĮȚ Ș ȗȘĲȠȪȝİȞȘ țȠȚȞȒ țȐșİĲȠȢ ĲȦȞ įȪȠ ĮıȣȝȕȐĲȦȞ İȣșİȚȫȞ (İ) țĮȚ (ȗ). Ǿ ǻǼ İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞĮįȚțȒ țȠȚȞȒ țȐșİĲȠȢ ĲȦȞ ĮıȣȝȕȐĲȦȞ ȖȚĮĲȓ ĮȞ ȣʌȒȡȤİ țĮȚ ȐȜȜȘ ȖȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Ș Ǻǽ ĲȩĲİ șĮ ȒĲĮȞ %= A H , = { * (ȖȚĮĲȓ;). ǹȞ ǽȥ // ȗ, ĲȩĲİ %= A ] %= A =\ %= A 3 ȦȢ țȐșİĲȘ ıĲȚȢ İȣșİȓİȢ ĲȠȣ ǽȌ, İ. ǱȡĮ = { * , ȐĲȠʌȠ (īȚĮ ȞĮ ȝȘȞ ʌİȡȚʌȜȑȟȠȣȝİ ĲȠ ıȤȒȝĮ șİȦȡȒıĮȝİ ȦȢ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ įİȪĲİȡȘȢ țȠȚȞȒȢ țĮșȑĲȠȣ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ ĲȘȢ ȗ ĮȞĲȓ ĲȣȤĮȓȠȣ ıȘȝİȓȠȣ Ĭ ĮȣĲȒȢ. ǹȣĲȩ ʌȡȠĳĮȞȫȢ įİȞ ʌİȡȚȠȡȓȗİȚ ĲȘ ȖİȞȚțȩĲȘĲĮ). ȈȣȞĲȠȝȩĲİȡĮ: E' A 3 , BZ A 3 (' / /%= (, ', %, = ıȣȞİʌȓʌİįĮ (%, '= ıȣȞİʌȓʌİįİȢ, ȐĲȠʌȠ. 9. Ȉİ ıĲȡİȕȜȩ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ (ıĲȡİȕȜȩ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ʌȠȣ ȠȚ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ įİȞ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ıĲȠ ȓįȚȠ İʌȓʌİįȠ) ȠȚ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ʌȜİȣȡȑȢ

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G 82 112 ... # 13.6 6H cm . 2. ǲȞĮ țĮȞȠȞȚțȩ ʌȠȜȪȖȦȞȠ ȝİ ȐȖȞȦıĲȠ ĮȡȚșȝȩ ʌȜİȣȡȫȞ Ȟ, ȑȤİȚ İȝȕĮįȩȞ ( Q 8 . Ǿ ȖȦȞȓĮ MP ĲȠȣ țĮȞȠȞȚțȠȪ ʌȠȜȣȖȫȞȠȣ ʌȠȣ ȑȤİȚ ĲİĲȡĮʌȜȐıȚȠ ĮȡȚșȝȩ ʌȜİȣȡȫȞ ȝ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĮȣĲȩ (P 4 Q ) , İȓȞĮȚ: Mˆ P 157 0 30 . ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıșȠȪȞ:

1. Ȃİ ıțȠʌȩ ĲȘȞ ıȤİįȓĮıȘ İȞȩȢ țĮȡĮȕȚȠȪ, ȑȞĮȢ ȝĮșȘĲȒȢ ǻȘȝȠĲȚțȠȪ ıȤȠȜİȓȠȣ ȗȦȖȡȐĳȚıİ ĮȡȤȚțȐ ȑȞĮ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ȝİ ȕȐıİȚȢ ટઠ ൌ ૞ ‫ܕ܋‬ǡ ડઢ ൌ ૚ૠ ‫ܕ܋‬. ȂʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ĲȠȞ ȕȠȘșȒıİĲİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİȚ ĲȠ ȪȥȠȢ ȣ, ĲȚȢ ȝȘ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ y țĮȚ ĲȚȢ įȚĮȖȫȞȚİȢ į, ĮȞ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ Įȣ1 ĲȘȢ İʌȚĲȠȪ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ, țĮĲĮȜĮȝȕȐȞİȚ ĲȠ 4 ĳȐȞİȚĮȢ İȞȩȢ ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ȝİ įȚĮıĲȐıİȚȢ ૛૛ ‫ܕ܋‬ țĮȚ ૚૟ ‫;ܕ܋‬ ȁȪıȘ: īȚĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȠ ȪȥȠȢ ȣ ĲȠȣ ĲȡĮʌİȗȓȠȣ İĳȩıȠȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĲȚȢ ȕȐıİȚȢ țĮȚ ȩĲȚ ĲȠ İȝ1 ȕĮįȩȞ ĲȠȣ Ǽ İȓȞĮȚ ĲȠ ĲȠȣ İȝȕĮįȠȪ ĲȠȣ ȠȡșȠȖȦ4 ȞȓȠȣ Ǽǽīǻ, ȑȤȠȣȝİ: $% *' X 1 ( (= (' 2 4 5 17 X 1 22 16 ... X 8 6H cm . 2 4 ǹȞ Įʌȩ ĲĮ ī țĮȚ ǻ ĳȑȡȠȣȝİ ĲȚȢ țȐșİĲİȢ ĮʌȠıĲȐıİȚȢ ıĲȘȞ ĮʌȑȞĮȞĲȚ ȕȐıȘ ǹǺ, ĲĮ ȝȒțȘ ĮȣĲȐ ĲȦȞ țĮșȑĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ, İȓȞĮȚ ȓıĮ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ, ȩʌȦȢ İȓȞĮȚ ȓıĮ țĮȚ ĲĮ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǼǻ țĮȚ Ǻǽī (ȖȚĮĲȓ;). ǹʌȩ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ȠȡșȠȖȦȞȓȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ șȑıȠȣȝİ $( %= z țĮȚ $' %* y .

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2Ȗ) ȉȠ ĮʌȩıĲȘȝȐ ĲȠȣ D Q țĮȚ,

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ȓįȚȠ țȪțȜȠ. Ȃ’ ĮȣĲȩȞ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ țĮĲĮıțİȣȐȗİĲĮȚ țĮȚ ĲȠ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țĮȞȠȞȚțȩ Ȟ-ȖȦȞȠ, ȩĲĮȞ ȑȤȠȣȝİ țĮĲĮıțİȣȐıİȚ ĲȠ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȠ ȠȝȩȜȠȖȩ ĲȠȣ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıĲȠȞ ȓįȚȠ țȪțȜȠ. īȚ’ ĮȣĲȩ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĮȞĮĳİȡȩȝĮıĲİ ıĲȠ ĲȣȤĮȓȠ țĮȞȠȞȚțȩ Ȟ-ȖȦȞȠ ȩʌȠȣ Ȟ ĳȣıȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ Ȓ ȓıȠȢ ĲȠȣ 3.

3600 ... P 16 . P

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ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ĲȠ ĮʌȩıĲȘȝĮ D'Q ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țĮȞȠȞȚțȠȪ Ȟ-ȖȫȞȠȣ, ĲĮȣĲȓȗİĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ ĮțĲȓȞĮ R ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ıĲȠ țĮȞȠȞȚțȩ Ȟ-ȖȦȞȠ ʌȠȣ İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ı’ ĮȣĲȩȞ. ȅȞȠȝȐȗȠȣȝİ O Q , D Q ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ țĮȚ ĲȠ ĮʌȩıĲȘȝĮ ĲȠȣ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ ıĲȠȞ țȪțȜȠ țĮȞȠȞȚțȠȪ ȞȖȫȞȠȣ țĮȚ O 'Q , D'Q ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ țĮȚ ĲȠ ĮʌȩıĲȘȝĮ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ ıĲȠȞ țȪțȜȠ țĮȞȠȞȚțȠȪ ȞȖȫȞȠȣ, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǹʌȩ ĲȘȞ ıȤȑıȘ ȠȝȠȚȩĲȘĲĮȢ ĲȦȞ įȪȠ ȠȡșȠȖȦȞȓȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ $ 10 12 , $1' 0 1' 2 , ȑ-

O Q DQ O DQ OQ 3 Q DQ (1) ' 9 2 OQ R 6 3 ǼʌȓıȘȢ Įʌȩ ĲȘȞ ıȤȑıȘ ʌȠȣ ıȣȞįȑİȚ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ țĮȚ ĲȠ ĮʌȩıĲȘȝĮ, ȚıȤȪİȚ: ȤȠȣȝİ:

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/46

R2 81 2S 3 3 6W 2S 3 3 2 2 4. īȪȡȦ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ İȞȩȢ țĮȞȠȞȚțȠȪ İȟĮȖȫȞȠȣ ʌȠȣ İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ ȝİ țȑȞĲȡȠ ĲȠ ȅ(0,0) țĮȚ ĮțĲȓȞĮȢ R=1, «ȤĲȓȗȠȣȝİ» ȐȜȜĮ 6 țĮȞȠȞȚțȐ İȟȐȖȦȞĮ ȓıĮ ʌȡȠȢ ĮȣĲȩ. Ǿ țĮĲĮıțİȣȒ ʌ.Ȥ. ĲȠȣ $ 1% 2 * 1 % 4 % 5 $ 2 ȖȓȞİĲĮȚ ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ țĮȚ ıĲȘȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ İȚțȩȞĮ. 6W

ǹȡȤȚțȐ ĳȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ $1 $ 2 , ȕȡȓıțȠȣȝİ ĲȠ ıȣȝȝİĲȡȚțȩ 21 ĲȠȣ ȅ ȦȢ ʌȡȠȢ ĮȣĲȒ țĮȚ İȖȖȡȐĳȠȣȝİ ıĲȠȞ țȪțȜȠ (21 , 21 $1 ) ȑȞĮ țĮȞȠȞȚțȩ İȟȐȖȦȞȠ.

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: 4Į) ȉĮ 6 țĮȞȠȞȚțȐ İȟȐȖȦȞĮ ʌȠȣ țĮĲĮıțİȣȐȗȠȞĲĮȚ ȝİ ĮȣĲȩȞ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ, İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞĮ ıİ țȪțȜȠȣȢ ȓıȘȢ ĮțĲȓȞĮȢ R=1, ȝİ ĮȣĲȒ ĲȠȣ ĮȡȤȚțȠȪ țİȞĲȡȚțȠȪ İȟĮȖȫȞȠȣ. 4ȕ) ȉĮ ıȘȝİȓĮ 2 , $ 2 , % 5 İȓȞĮȚ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ. 4Ȗ) ǹȞ İȞȫıȠȣȝİ ĲĮ ıȘȝİȓĮ * 1 , * 2 , * 3 , * 4 , * 5 , * 6 ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĮȞȐ ȑȞĮ țȠȡȣĳȑȢ ĲȦȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȦȞ țĮȞȠȞȚțȫȞ İȟĮȖȫȞȦȞ, įȘȝȚȠȣȡȖİȓĲĮȚ ȑȞĮ İȟȐȖȦȞȠ. ǹĳȠȪ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ țĮȞȠȞȚțȩ, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȘȢ ĮțĲȓȞĮȢ R=1, ĲȘȞ

ĮțĲȓȞĮ ĲȠȣ R C . 4į) ȉȑȜȠȢ, ĮȞ ĳȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ *1* 2 țĮȚ ȕȡȠȪȝİ ĲȠ ıȣȝȝİĲȡȚțȩ /1 ĲȠȣ ȅ ȦȢ ʌȡȠȢ ĮȣĲȒ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȝİ ʌĮȡȩȝȠȚȠ ĲȡȩʌȠ ȩʌȦȢ ıĲȠ 4Į) İȡȫĲȘȝĮ ȩĲȚ ĲȠ İȟȐȖȦȞȠ *1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 * 2 ʌȠȣ İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıĲȠȞ țȪțȜȠ ( / 1 , /1*1 ) , İȓȞĮȚ țĮȞȠȞȚțȩ. 4įi) Ȃİ ĲȚ ȚıȠȪĲĮȚ Ș ĮʌȩıĲĮıȘ d 2/ 1 ĲȦȞ țȑȞĲȡȦȞ ĲȦȞ įȪȠ țĮȞȠȞȚțȫȞ İȟĮȖȫȞȦȞ; 3 RC . 4įii) NĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ d

ȁȪıȘ: 4Į) ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ 2$ 12 1 $ 2 İȓȞĮȚ ȡȩȝȕȠȢ ȖȚĮĲȓ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȓ ĲȠȣ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ țĮȚ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ țȐșİĲĮ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ıȘȝİȓȠ 2 1 (ĲȠ ıȣȝȝİĲȡȚțȩ ĲȠȣ ȅ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȘȞ $1 $ 2 ), șĮ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ $1 țĮȚ $ 2 , ȓįȚĮ ĮʌȩıĲĮıȘ ȝİ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ O 6 R 1 , ĲȠȣ ĮȡȤȚțȠȪ (țİȞĲȡȚțȠȪ) țĮȞȠȞȚțȠȪ İȟĮȖȫȞȠȣ. ǼĳȩıȠȞ İȖȖȡȐĳȠȣȝİ ıĲȠȞ țȪ(21 , 21 $1 ) ĲȠ țĮȞȠȞȚțȩ İȟȐȖȦȞȠ țȜȠ $ 1% 2 * 1 % 4 % 5 $ 2 , Ș ĲİȜİȣĲĮȓĮ țȠȡȣĳȒ ĲȠȣ (Ș $ 2 ) șĮ ıȣȝʌȓʌĲİȚ ȝİ ĲȠ ȐȜȜȠ ȐțȡȠ ĲȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ $1 $ 2 ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĲĮȣĲȩȤȡȠȞĮ țĮȚ ʌȜİȣȡȐ ĲȠȣ ĮȡȤȚțȠȪ İȟĮȖȫȞȠȣ ȝİ ȝȒțȠȢ R=1, ȩıȠ țĮȚ Ș ĮțĲȓȞĮ ĲȦȞ įȪȠ țȪțȜȦȞ. ȀĮșȑȞĮ Įʌȩ ĮȣĲȐ ĲĮ ĲȩȟĮ ĲȦȞ įȚĮįȠȤȚțȫȞ țȠȡȣĳȫȞ ĲȠȣ $ 1% 2 * 1 % 4 % 5 $ 2 İȓȞĮȚ

600 . ǵȝȠȚĮ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ ȩĲȚ țĮȚ ĲĮ ȐȜȜĮ 5 țĮȞȠȞȚțȐ İȟȐȖȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ ʌȠȣ țĮĲĮıțİȣȐȗȠȞĲĮȚ İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞĮ ıİ țȪțȜȠȣȢ ĮțĲȓȞĮȢ ‫ ܀‬ൌ ૚. ˆ 2 ,ȅ$ ˆ ˆ 4ȕ) ȅȚ ȖȦȞȓİȢ % 5 $ 2 1 1 2 $ 1 , $ 1 $ 2 2 İȓȞĮȚ ȖȦȞȓİȢ ȚıȠʌȜİȪȡȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ (ʌȠȚȦȞ;) țĮȚ țȐșİȝȚȐ ĲȠȣȢ İȓȞĮȚ 600 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝȐ ĲȠȣȢ șĮ İȓˆ 2 1800 . ȞĮȚ Ș İȣșİȓĮ ȖȦȞȓĮ % 5 $ 2 1 4Ȗ) ȉȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ ĲȠȣ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȣ İȡȦĲȒȝĮ-

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/47

ĲȠȢ ȝĮȢ İʌȚĲȡȑʌİȚ ȞĮ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲĮ ĲȝȒȝĮĲĮ 2$ 2 țĮȚ $ 2 % 5 ȦȢ İȣȡȚıțȩȝİȞĮ ıĲȘȞ ȓįȚĮ İȣșİȓĮ țĮȚ ȝİ ȐșȡȠȚıȝĮ 2R=2, ʌȠȣ ĲĮȣĲȓȗİĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ 2% 5 . ȉĮ ıțȚĮıȝȑȞĮ ȝİ ȝȦȕ ĲİĲȡĮȖȦȞȓįȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ, ȑȤȠȣȞ: įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ (ȝİ ȝȒțȘ 2, 1) țĮȚ ĲȘȞ ʌİȡȚİȤȩȝİȞȘ ȖȦȞȓĮ ȓıȘ ȝİ M6 1200 . ǹȞ țȠȚĲȐȟȠȣȝİ ʌȡȠıİțĲȚțȐ ĲȠ ıȤȒȝĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȐȜȜĮ 10 ȓıĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ĮțȡȚȕȫȢ ĲĮ ȓįȚĮ ıĲȠȚȤİȓĮ ȝİ ĮȣĲȐ. ȈĲȘȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩĲȘĲĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ 6 ȗİȣȖȐȡȚĮ (ȜĮȝȕĮȞȠȝȑȞȦȞ įȚĮįȠȤȚțȐ ȝİ țȠȚȞȒ ʌȜİȣȡȐ ʌ.Ȥ. ĲȘȞ 2% 5 ) ȓıĮ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚĮ țĮȚ ĮȞȐȝİıĮ ı’ ĮȣĲȐ ĲĮ ȓıĮ ȗİȣȖȐȡȚĮ, ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȐȜȜĮ 6 ȚıȠıțİȜȒ țĮȚ ȓıĮ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ ĲȡȓȖȦȞĮ (ȝʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ĲĮ İȞĲȠʌȓıİĲİ ıĲȠ ıȤȒȝĮ;). ǼȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȑȢ ȩĲȚ Įʌȩ ĲȚȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȚıȩĲȘĲİȢ ȩĲȚ ĲȠ ȅ ȚıĮʌȑȤİȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ * 1 , * 2 , * 3 , * 4 , * 5 , * 6 , ȐȡĮ ĮȣĲȐ ĲĮ 6 ıȘȝİȓĮ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ʌȐȞȦ ıİ țȪțȜȠ. ȂȑȞİȚ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ĮȣĲȐ ĲĮ ıȘȝİȓĮ, ȤȦȡȓȗȠȣȞ ĲȠȞ țȪțȜȠ ıİ 6 ȓıĮ ĲȩȟĮ. ǹȞ ʌĮȡĮĲȘȡȒıȠȣȝİ ĲĮ ȖȡĮȝȝȠıțȚĮıȝȑȞĮ ȝİ ĲȘȞ ıțȓĮıȘ ĲȘȢ ıțĮțȑȡĮȢ ĮȝȕȜȣȖȫȞȚĮ țĮȚ ȚıȠıțİȜȒ ĲȡȓȖȦȞĮ ıĲȠ ĲİȜİȣĲĮȓȠ ıȤȘȝĮ ĲȘȢ ȐıțȘıȘȢ, ĮȣĲȐ ȑȤȠȣȞ Įʌȩ 2 ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ ȝİ ĲȘȞ ĮțĲȓȞĮ R=1 țĮȚ ĲȚȢ ʌİȡȚİȤȩȝİȞİȢ ȖȦȞȓİȢ Įʌȩ 1200 (ȖȚĮĲȓ;). ǱȡĮ țȐșİ ĲȩȟȠ țȐșİ ʌȜİȣȡȐȢ ĲȠȣ İȟĮȖȫȞȠȣ *1* 2 * 3 * 4 * 5 * 6 İȓȞĮȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ ȓıȦȞ ĲȩȟȦȞ, ĮĳȠȪ ıĲȠ țĮșȑȞĮ Įʌȩ ĮȣĲȐ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪȞ įȪȠ ȓıİȢ ȤȠȡįȑȢ. Ȇ.Ȥ. ıĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ-ȤȠȡįȒ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ * 1 * 2 , ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ĲȠ ĲȩȟȠ ĲȘȢ ȤȠȡįȒȢ * 1 % 4 ıȣȞ ĲȠ ĲȩȟȠ ĲȘȢ ȤȠȡįȒȢ % 4 * 2 . ȀĮȚ ȖȚĮ ĲȚȢ ȐȜȜİȢ 5 ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠ ȓįȚȠ ȚıȤȪİȚ. ȉĮ ĲȩȟĮ İȓȞĮȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ ȓıĮ, ĲȠ ȓįȚȠ țĮȚ ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ İȟĮȖȫȞȠȣ ȖȚĮĲȓ ıİ ȓıİȢ ȤȠȡįȑȢ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪȞ ȓıĮ ĲȩȟĮ țĮȚ ĮȞĲȚıĲȡȩĳȦȢ. ȀȐșİ ĲȫȡĮ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȘ ȖȦȞȓĮ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ İȟĮȖȫȞȠȣ, ȕĮȓȞİȚ ıİ 6-2 ĲȩȟĮ ĲȦȞ 600 . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȩȜİȢ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ ȓıİȢ ȝİ M6 1200 . ȉȠ İȟȐȖȦȞȠ *1* 2 * 3 * 4 * 5 * 6 İȓȞĮȚ țĮȞȠȞȚțȩ ȖȚĮĲȓ ȑȤİȚ ȩȜİȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ țĮȚ ȩȜİȢ ĲȚȢ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ ȓıİȢ. ǵıȠȞ ĮĳȠȡȐ ĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩ ĲȘȢ ĮțĲȓȞĮȢ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ĲȠȣ İȟĮȖȫȞȠȣ (Ȓ ĲȘȢ ĮțĲȓȞĮȢ ĲȘȢ ıȣıĲȐįĮȢ ȩʌȦȢ ȜȑȖİĲĮȚ ıĲȘȞ ĲİȤȞȠȜȠȖȓĮ ĲȦȞ țȣȥİȜȦĲȫȞ įȚțĲȪȦȞ) ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞİȚ ȝİ įȪȠ ĲȡȩʌȠȣȢ. 1ȠȢ ĲȡȩʌȠȢ: ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ĲȠ Ȇ.Ĭ. ıĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ (ȖȚĮĲȓ;) OO1* 2 țȚ’ ȑȤȠȣȝİ:

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ii. ǹȞ . İȓȞĮȚ ĲȠ țȑȞĲȡȠ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ĲȩĲİ: x1 x 2 p țȜ y1 y 2 p xK țĮȚ y K . 2 2 Ȝ 2 Ȝ

§ p țȜ p · ǱȡĮ . ¨ 2 , ¸ . Ǿ ĮțĲȓȞĮ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ İȓȞĮȚ Ȝ¹ © Ȝ ( $%) 1 ȡ p p 2țȜ 1 Ȝ2 . 2 Ȝ2

H İȟȓıȦıȘ ĲȠȣ ȗȘĲȠȪȝİȞȠȣ țȪțȜȠȣ İȓȞĮȚ p țȜ · § p· § ¨x ¸ ¨y ¸ 2 Ȝ ¹ © Ȝ¹ © 2

p p 2țȜ 1 Ȝ2

Ȝ4

ĬȑȝĮ 5Ƞ : ĬİȦȡȠȪȝİ ĲĮ ıȘȝİȓĮ 0 2ıȣȞș, 4Șȝș ȝİ ș > 0, 2ʌ . Į. ǻİȓȟĲİ ȩĲȚ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ȃ ȕȡȓıțȠȞĲĮȚ ʌȐȞȦ ıİ ȝȚĮ ȑȜȜİȚȥȘ C. ȕ. ǲıĲȦ (İ) Ș İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȘȢ C ıĲȠ 0 ȩĲĮȞ § ʌ· ș ¨ 0, ¸ . Ǿ (İ) ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ȝİ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ Ĳȡȓ© 2¹

ȖȦȞȠ İȝȕĮįȠȪ ( ș . ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ 0 ȫıĲİ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ȞĮ İȓȞĮȚ İȜȐȤȚıĲȠ țĮșȫȢ țĮȚ ĲȠ İȜȐȤȚıĲȠ İȝȕĮįȩȞ. xM °° 2 ıȣȞș x M 2ıȣȞș ȁȪıȘ: Į. ǲȤȠȣȝİ ® ® ¯ y M 4Șȝș ° y M Șȝș °̄ 4 2 2 x M yM ıȣȞ 2ș Șȝ 2ș 1 M C , ȩʌȠȣ 4 16 x 2 y2 1 (ȑȜȜİȚȥȘ ȝİ ĲȚȢ İıĲȓİȢ ıĲȠȞ ȐȟȠ C : 4 16 ȞĮ ycy ) ȕ. Ǿ ( İ ) ȑȤİȚ İȟȓıȦıȘ:

ıȣȞș x Șȝș y

2 4 ĲȑȝȞİȚ ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ ıĲĮ § · 2 4 § · .¨ ,0 ¸ , / ¨ 0, ¸ , ȠʌȩĲİ ıȣȞș © ¹ © Șȝș ¹ 1 1 2 4 ( ș

2. 2/

2 2 ıȣȞș Șȝș

8 2Șȝș.ıȣȞș

8 Șȝ2ș

1 țĮȚ

ıȘȝİȓĮ

8 , ĮĳȠȪ Șȝ2ș

S 0 2T S KP2T ! 0 . 2 ǱȡĮ: ((ș) İȜȐȤȚıĲȠ Șȝ2ș ȝȑȖȚıĲȠ ʌ ʌ ș Șȝ2ș 1 2ș , ĮĳȠȪ 0<2ș<ʌ. ǱȡĮ 2 4 0 2, 2 2 țĮȚ min ((ș) 8 . 0 T

ȈȤ.6 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/52

ıŅƮƷƭƩƬƲƷ ȊʌİȪșȣȞȠȚ ĲȐȟȘȢ: ǻ. ǹȡȖȣȡȐțȘȢ, ȃ. ǹȞĲȦȞȩʌȠȣȜȠȢ, Ȁ. ǺĮțĮȜȩʌȠȣȜȠȢ, ǿ. ȁȠȣȡȚįȐȢ

ıŅƮƷƭƩƬƲƷ

Ʃ ĴǈĴǇǃ ĸǅǆƼ ĲƽĂĴĸĴ ȁĮȗĮȡȓįȘȢ ȋȡȒıĲȠȢ

ȅȚ ȜȪıİȚȢ įȓȞȠȞĲĮȚ ʌİȡȚȜȘʌĲȚțȐ, ȫıĲİ ȞĮ ĮĳȒȞȠȣȞ ʌİȡȚșȫȡȚĮ ĮȣĲİȞȑȡȖİȚĮȢ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ İȞȩȥİȚ ĲȦȞ İȟİĲȐıİȦȞ ǲıĲȦ ȝȓĮ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f ȝİ f (x) f (0) 1 țĮȚ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ lim 3 1 țĮȚ x o f x 1 f c(x) lim 6. x o1 x 1 Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ f (x) x 3 3x 1. ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș f ȑȤİȚ įȪȠ șİĲȚțȑȢ țĮȚ ȝȓĮ ĮȡȞȘĲȚțȒ ȡȓȗĮ. Ȗ) ǹȞ ȡ İȓȞĮȚ Ș ĮȡȞȘĲȚțȒ ȡȓȗĮ ĲȠȣ ȕ İȡȦĲȒȝĮĲȠȢ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ Cf, ĲȠȣȢ ȐȟȠȞİȢ țĮȚ ĲȘȞ 3U(U 1) . İȣșİȓĮ x U ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ 4 f (x) f (x) 1 į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ ȩȡȚĮ lim , lim . x o1 | ln x | x o1 KP 2 (x 1) ȁȪıȘ: Į) ǲıĲȦ ȩĲȚ Ƞ ȕĮșȝȩȢ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİf (x) rf , ȐĲȠʌȠ, ȐȡĮ Ƞ ȡȠȢ ĲȠȣ 3 , ĲȩĲİ lim 3 x o f x 1 ȕĮșȝȩȢ ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ Ȓ ȓıȠȢ ĲȠȣ 3 . ĬİȦȡȠȪȝİ f (x) Dx 3 E x 2 Jx G . ȁĮȝȕȐȞȠȞĲĮȢ ȣʌ ȩȥȚȞ ĲȚȢ ȣʌȠșȑıİȚȢ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ. ȕ) ǺȡȓıțȠȣȝİ ĲĮ İʌȓ ȝȑȡȠȣȢ ıȪȞȠȜĮ ĲȚȝȫȞ. ǲȤȠȣȝİ, f (( f, 1)) ( f,3),f ([ 1,1]) [ 1,3],f ((1, f)) ( 1, f). 1)

Ȗ) ȉȠ İȝȕĮįȩȞ İȓȞĮȚ, (

³U|f(x)|dx ³U (x 3x 1)dx 3

...

ȁĮȝȕȐȞȠȣȝİ ȣʌ ȩȥȚȞ f (U) 0. į) ȉȠ ʌȡȫĲȠ ȩȡȚȠ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ f İȞȫ ĲȠ įİȪĲİȡȠ ȝİ ȤȡȒıȘ De L’Hospital įȓȞİȚ 3. 2) ǲıĲȦ Ș ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f : (0, f ) o \ , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ: f (1) 1 țĮȚ f(x) xf c(x) ! 0 , ȖȚĮ țȐșİ x (0, f) . ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: f (x 1) 1 Į) lim ! 1. xo 0 x 1 1 ȕ) f (x) , ȖȚĮ țȐșİ x (0,1) țĮȚ f (x) ! , ȖȚĮ x x țȐșİ x (1, f ). 1 Ȗ) ȊʌȐȡȤİȚ [ ( , 2) ĲȑĲȠȚȠȢ ȫıĲİ f c([) ! 1. 3

į) ((O ) ! ln O , ȩʌȠȣ ((O ) İȓȞĮȚ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ȤȦȡȓȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚțȜİȓİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ Cf ĲȠȞ ȐȟȠȞĮ xcx țĮȚ ĲȚȢ İȣșİȓİȢ x 1, x O ȩʌȠȣ O ! 1. f (x 1) 1 ȁȪıȘ: Į) ȉȠ lim ĮȞ șȑıȠȣȝİ u x 1 x o0 x f (u) f (1) ȖȓȞİĲĮȚ lim ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ f c(1). * u o1 u 1 ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĮȞ ıĲȘȞ ıȤȑıȘ ĲȘȢ ȣʌȩșİıȘȢ f(x) xf c(x) ! 0 șȑıȠȣȝİ x 1 , ĲȩĲİ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ. ȕ) ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ D(x) xf (x), x (0, f) Ș ȠʌȠȓĮ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ

lim O u f ' 1 lim O x 1 f ' 1 , ȩĲȚ İȓȞĮȚ u o1

x o0

ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ: 1 0 x 1 ȠʌȩĲİ D(x) D(1) f (x) țĮȚ x ! 1 x ȩʌȠȣ İȡȖĮȗȩȝĮıĲİ ĮȞȐȜȠȖĮ. 1 Ȗ) ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ Ĭ.Ȃ.ȉ ıĲȠ [ , 2] țĮȚ įȚĮʌȚıĲȫ3 1 f(2) f( ) 1 3 . ȞȠȣȝİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ [ ( , 2) ȫıĲİ f c([) 5 3 3 1 1 ǹȜȜȐ Įʌȩ ĲȠ ȕ İȡȫĲȘȝĮ f (2) ! , f ( ) 3. 2 3 į) E(O)

O ³1 | f (x) | dx . ǼʌİȚįȒ, 1 x O

ȝİ f (x) !

1 ȠʌȩĲİ ȠȜȠțȜȘȡȫȞȠȞĲĮȢ ȑȤȠȣȝİ ĲȠ ȗȘx

ʌĮȓȡȞȠȣ-

ĲȠȪȝİȞȠ. 3) ǲıĲȦ f : \ o \ ȝȓĮ țȣȡĲȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȝİ f (100h 1) 1 200. f (1) 1 țĮȚ lim ho0 h Į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘȢ ĲȘȢ ȅȣıȚĮıĲȚțȐ ȣʌȠȞȠȠȪȝİ ȩĲȚ: f(u) f(1) f(x 1) 1 f(x 1) f 1

, O x 1 , ȩʌȠȣ O u

x u 1 x 1 1

ȠʌȩĲİ lim x 1 1, limO u fǯ 1 limO x 1 fǯ 1

x o0

uo1

xo0

(șİȫȡȘȝĮ ȠȡȓȠȣ ıȪȞșİıȘȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ)

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/53

_______________________________

ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ īǯ ȁȣțİȓȠȣ

Cf ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ (1,f (1)). ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ:

³2 ( ³1 f (x)dx)dt t 16.

Ȗ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ [ (1, 2) ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ 2f ( [ )f c( [ ) f 2 (2) 1. į) ǹȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ȝȓĮ ʌĮȡȐȖȠȣıĮ F ĲȘȢ f İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȒ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ:

S 2 S 2

f (t) KP tdt

ȁȪıȘ: Į) ȉȠ ȩȡȚȠ ĲȘȢ ȣʌȩșİıȘȢ ĮȞ șȑıȠȣȝİ x 100h 1 įȓȞİȚ f c(1) 2 , ȠʌȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘȢ İȓȞĮȚ y 2x 1. ȕ) ǼʌİȚįȒ Ș f İȓȞĮȚ țȣȡĲȒ ȑȤȠȣȝİ f (x) t 2x 1. ȅȜȠțȜȘȡȫȞȠȞĲĮȢ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ,

³1 f (x)dx t 2.

ȅȜȠ-

țȜȘȡȫȞȠȞĲĮȢ İț ȞȑȠȣ, ʌȡȠțȪʌĲİȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ. Ȗ) ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ D (x) f 2 (x) țĮȚ İĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ Ĭ.Ȃ.ȉ ıĲȠ [1, 2]. į) Ǿ F İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȒ țĮȚ İʌȠȝȑȞȦȢ Ș Fc f șĮ İȓȞĮȚ ȐȡĲȚĮ. Ǿ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f (t)KPt șĮ İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȒ ıȣȞİʌȫȢ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ șĮ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ 0. 4) ǲıĲȦ f : \ o \ ȝȓĮ įȪȠ ĳȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȝİ ıȣȞİȤȒ įİȪĲİȡȘ ʌĮȡȐȖȦȖȠ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ f (1) 1,f c(1) 0,fǯǯ(x) z 0 ȖȚĮ țȐșİ x \ țĮȚ f (x)KPx VXQx 1 lim 0. xo 0 x Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ f (0) 0 țĮȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ x0 (0,1) ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ f c(x0 ) 1. ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f İȓȞĮȚ țȠȓȜȘ. Ȗ) ȃĮ ȝİȜİĲȒıİĲİ ĲȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȘ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮ țĮȚ ȞĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ f c(2f(x) 1) d 0. į) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲĮ țȠȚȞȐ ıȘȝİȓĮ ĲȦȞ ȖȡĮĳȚțȫȞ ʌĮȡĮıĲȐıİȦȞ ĲȦȞ ıȣȞĮȡĲȒıİȦȞ f țĮȚ g(x) x. KPx VXQx 1 ȁȪıȘ: Į) 0 lim(f (x) ) f (0). x o0 x x ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ D(x) f (x) x ȖȚĮ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ İĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ĬİȫȡȘȝĮ Rolle ıĲȠ [0,1]. ȕ) ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ Ĭ.Ȃ.ȉ ȖȚĮ ĲȘȞ f c ıĲȠ [x 0 ,1] țĮȚ [ (x 0 ,1) ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ 1 f cc([) 0 . ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ 1 x0 ȩĲȚ Ș f cc įȚĮĲȘȡİȓ ʌȡȩıȘȝȠ. Ȗ) Ǿ f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ țĮȚ f c(1) 0. Ǿ ĮȞȓıȦıȘ ȠȡȓȗİĲĮȚ ıĲȠ \ țĮȚ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ ĲȘȞ 2f (x) 1 t 1 . Ǿ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȚıȠįȣȞĮȝİȓ ȝİ ĲȘ . f (x) t f (1) Ș ȠʌȠȓĮ ȑȤİȚ ĲȘ ȜȪıȘ x 1 ĮĳȠȪ f (1) ȝȑȖȚıĲȠ ĲȘȢ f.

_____________________________

į) ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ E(x) f (x) x . ǿıȤȪİȚ, E(0) E(1) 0 . ȅȚ įȪȠ ʌȡȠĳĮȞİȓȢ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ E İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȑȢ įȚȩĲȚ ĮȞ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ Ș E ȑȤİȚ țĮȚ ĲȡȓĲȘ ȡȓȗĮ ȝİ ĲȘȞ ȕȠȒșİȚĮ Rolle țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıİ ȐĲȠʌȠ. 5) ǲıĲȦ f : (0, f ) o \ ȝȓĮ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȝİ f (1) 1 țĮȚ ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ x 2 f c(x) 2 xf (x), ȖȚĮ țȐșİ x (0, f ). Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ, 2ln x 1 f (x) , x (0, f ). x ȕ) ȃĮ ȝİȜİĲȒıİĲİ ĲȘ f ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȘ țȣȡĲȩĲȘĲĮ țĮȚ ĲĮ ıȘȝİȓĮ țĮȝʌȒȢ. Ȗ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ 3f (x 1) 2f (x) f (x 3), ȖȚĮ țȐșİ x ! e2 . į) ǹȞ İʌȚʌȜȑȠȞ F İȓȞĮȚ ȝȓĮ ĮȡȤȚțȒ ĲȘȢ f, ıĲȠ (0, f ) , ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: e i) F( ) F(x) c,x (0, f) , ȩʌȠȣ f (x) t f (1) x e F(x) e ii) e ³1 2 dx ³1 F(x)dx ce(e 1). x ȁȪıȘ: Į) Ǿ ıȤȑıȘ ĲȘȢ ȣʌȩșİıȘȢ ȖȡȐĳİĲĮȚ,

(xf (x))c (2lnx)c.

ȕ) ȀȠȓȜȘ ıĲȠ (0,e 2 ] țĮȚ țȣȡĲȒ ıĲȠ [e 2 , f ). Ȗ) ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ Ĭ.Ȃ.ȉ ıĲĮ [x,x 1],[x 1,x 3] țĮȚ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ĲȠ ȩĲȚ Ș f c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. e į) i) ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ D(x) F( ) F(x) x țĮȚ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ıĲĮșİȡȒ. e e F(x) . ii) ĬİȦȡȠȪȝİ I ³1 2 dx. ĬȑĲȠȣȝİ u x x 6) ǻȓȞİĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f (x) x 3 2x 2. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: Į) Ǿ f ĮȞĲȚıĲȡȑĳİĲĮȚ țĮȚ ȞĮ ȕȡİȓĲİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȚȝȫȞ ĲȘȢ. ȕ) ȅȚ Cf ,Cf 1 ȑȤȠȣȞ ĮțȡȚȕȫȢ ȑȞĮ țȠȚȞȩ ıȘȝİȓȠ ĲȠ ( 1, 1).

| f (x) f (y) | , ȖȚĮ 2 İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ.

Ȗ) 2 | f 1 (x) f 1 (y) |d| x y |d țȐșİ x, y \ țĮȚ ȩĲȚ Ș f 1

į) 5F(x 2 3) 2F(x 2 6) 3F(x 2 1), ȩʌȠȣ F İȓȞĮȚ ȝȓĮ ĮȡȤȚțȒ ĲȘȢ f. ȁȪıȘ: Į) ǹʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ, f (A) \. ȕ) ǹʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ f 1 (x) f (x) Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ f (f (x)) x 0 ȑȤİȚ ȝȠȞĮ-

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/54

_______________________________

ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ īǯ ȁȣțİȓȠȣ

įȚțȒ ȡȓȗĮ ĲȠ 1. (Ȃİ ʌĮȡĮȖȫȖȚıȘ țĮȚ ĮȞĲȚțĮĲȐıĲĮıȘ). ǱȜȜȠȢ ĲȡȩʌȠȢ İȓȞĮȚ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ ĲȘȞ f (x) x įİįȠȝȑȞȠȣ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. Ȗ) ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ, x y,x y,x ! y țĮȚ | f (x) f (y) | , ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ĲȘ ıȤȑıȘ | x y |d 2 ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șȑĲȠȣȝİ x f 1 (x), y f 1 (y) ȠʌȩĲİ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ. į) ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ Ĭ.Ȃ.ȉ ıĲĮ 2 2 2 2 [x 1, x 3], [x 3, x 6] țĮȚ ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ ȣʌȩȥȘ ȩĲȚ F c İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ. 7. ǲıĲȦ f : \ o \ ȝȓĮ įȪȠ ĳȠȡȑȢ ʌĮȡĮȖȦȖȓıȚȝȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȝİ f cc ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ȖȚĮ ĲȘȞ f (x) x 3 9x 1 18 țĮȚ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪȠȣȞ lim xo 3 x 3 f c(x) ! 0, ȖȚĮ țȐșİ x ( f , 3) (3, f ). Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ f (3) 1,f c(3) 0. ȕ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ f cc(3) 0 țĮȚ ȩĲȚ ĲȠ . (3,f(3)) İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ țĮȝʌȒȢ ĲȘȢ Cf . Ȗ) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ f (x) 0 ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȓĮ ȡȓȗĮ ȑıĲȦ ȡ Ș ȠʌȠȓĮ ĮȞȒțİȚ

_____________________________

ıĲȠ (1, 3) țĮȚ

³U f c(x)f c(f(x) 2)dx 3

1 f(2).

f (x) x 3 9x 1 , ȜȪx 3 ȞȠȣȝİ ȦȢ ʌȡȠȢ f (x) țĮȚ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȝİ ȩĲȚ f (x) 1 f (3) lim f (x). ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ, f c(3) lim x o3 x 3 x o3 țĮȚ ĮȞĲȚțĮșȚıĲȠȪȝİ f (x) . ȕ) f c(x) ! 0 f c(x) f c(3) ! 0 f c(x) f c(3) ! 0, x (3, f) °° x 3 . ® ° f c(x) f c(3) , x ( f,3) x 3 ¯° f c(x) f c(3) f c(x) f c(3) lim t 0, lim d 0 İʌȠȝȑx o3 x o3 x 3 x 3 ȞȦȢ f cc(3) 0. Ȗ) ǼĳĮȡȝȩȗȠȣȝİ ĬİȫȡȘȝĮ Bolzano ıĲȠ [1,3] . Ǿ ȝȠȞĮįȚțȩĲȘĲĮ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ ȝȠȞȠĲȠȞȓĮ ĲȘȢ f. ȉȠ ȠȜȠțȜȒȡȦȝĮ ȚıȠȪĲĮȚ [f (f (x) 2)]3U ... 1 f (2). ȁȪıȘ: Į) ĬȑĲȠȣȝİ D(x)

ƳǋǊĸĶǅǈǓĂĶǈĴ ǄƽĂĴĸĴ ǁǅĴ ĸĴ ƯĴǄǃĂĴĸǅǆƼ ǋǊķĴǈĴĸǊǇǅķĂǊǔ ǄĶĸǅǆǕǈ ķ ǊǍĵǕǈ

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ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/55

_______________________________

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2 VXQ x 1 HM2 x . ȅʌȩĲİ: x h c(x) ! 0 1 HM2 x ! 0 1 HMx 1 § S S· § S S · § S S· x ¨ , ¸ țĮȚ hc(x) 0 x ¨ , ¸ ¨ , ¸ © 4 4¹ © 2 4¹ © 2 4¹ ǱȡĮ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ h ȦȢ ıȣȞİȤȒȢ ıĲȠ ǹ șĮ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĳșȓȞȠȣıĮ ıĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ § S Sº ªS S · '1 ¨ , » țĮȚ ' 3 « , ¸ țĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪ© 2 4¼ ¬4 2 ¹ ª S Sº ȟȠȣıĮ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ ' 2 « , » . ǲȤȠȣȝİ ¬ 4 4¼ ª § S· · ª2 S · ȜȠȚʌȩȞ: h '1 «h ¨ ¸ , lim h x ¸ « , f ¸ S 4 2 ¸ ¹ x o ¬ ¹ «¬ © 2 ¹ ª § S · § S ·º ª 2 S S 2 º h ' 2 «h ¨ ¸ , h ¨ ¸» « , 2 »¼ ¬ © 4 ¹ © 4 ¹¼ ¬ 2

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ĮĳȠȪ xī <0 .ȅȝȠȓȦȢ ǻ (C2) (xǻ ȕ)2 +(Ȝ – ȡ)2=ȡ2 xǻ = ȕ+ O(2ȡ-Ȝ) , ĮĳȠȪ

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xM E

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=0 Ȝ xM+

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2R y M 2 2R y M 2 2R 2 U xM2 x M 2 yM E y M 2R

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2R x M 2 2U x M 2 2U y M 2 2R y M 2

(ǿ).

2R x M 2 + 2U x M 2 2U yM 2 2R yM 2 =ȕ 2R 2U x M2 2U yM 2 2R yM 2 = 2R 2R x M 2 (ǿǿ). ǵȝȦȢ 0< xM dȕ, ȠʌȩĲİ: (ǿǿ)

2U x M 2 2U y M 2 2R y M 2 = 2R (ȕ xM )

2ȡ xM2 + 2ȡ yM2 2R yM2 = 2R(ȕ2 + xM2 2ȕ xM) (R ȡ) xM2 +( R ȡ) yM2 2ȕ R yM +R ȕ2=0. E ǹȞ R=ȡ ĲȩĲİ: (C): x = (ȝİıȠțȐșİĲȠȢ ĲȠȣ ǹǺ). 2 2E R E2 R 2E R , Ǻ=0, ī = = 0 (C): x2+y2 + Ax +By+ī = 0 ȝİ ǹ= x+ ǹȞ R>ȡ ĲȩĲİ: (C): x2+y2 R U R U R U R E2 R 4E2 R 2 4E2 R 4E2 R 4U R E2 țĮȚ ǹ2+Ǻ2 4ī = = ( >0. 1)= 2 2 R U R U R U R U R U

R U

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4 4 3 4 4PC ¨© 2 ¸¹ 4 ȈȘȝİȓȦıȘ: ȈĲȘ 10Ș ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ǼȕįȠȝȐįĮ (ĬİııĮȜȠȞȓțȘ 25 ȝİ 29 ǹʌȡȚȜȓȠȣ 2018, ȠȚ ıȣȞȐįİȜĳȠȚ ȉȘȜȑȝĮȤȠȢ ȂʌĮȜĲıĮȕȚȐȢ țĮȚ īȚȫȡȖȠȢ ȂʌȠȜȠĲȐțȘȢ ʌĮȡȠȣıȓĮıĮȞ İȞįȚĮĳȑȡȠȣıİȢ İʌİțĲȐıİȚȢ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ șȑȝĮĲȠȢ (ȝİ ĲȓĲȜȠ – ȅ ȝİĲĮıȤȘȝĮĲȚıȝȩȢ ĲȘȢ įȚĮȝȑıȠȣ) ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ȠʌȠȓȦȞ țĮȚ ĲȘ įȚĮʌȓıĲȦıȘ ȩĲȚ Ș ĮțȠȜȠȣșȓĮ (ȉȞ) ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ȉ1, ȉ2, ȉ3, … ȩʌȠȣ ĲȠ ȉ1 ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȚȢ įȚĮȝȑıȠȣȢ ĲȠȣ ǹBC, țĮȚ țĮș’ ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ȉi, it2 ȑȤİȚ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȚȢ įȚĮȝȑıȠȣȢ ĲȠȣ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȣ, ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ įȪȠ ȣʌĮțȠȜȠȣșȓİȢ ȉ1, ȉ3, ȉ5, … țĮȚ ȉ2, ȉ4, ȉ6, … ȠȝȠȓȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ. Ǿ ıȣȞșȒțȘ įİ ( 2a 2 b 2 c 2 Ȓ 2b 2 c 2 a 2 Ȓ 2c 2 a 2 b 2 ) İȓȞĮȚ ȚțĮȞȒ țĮȚ ĮȞĮȖțĮȓĮ, ȫıĲİ ȠȜȩțȜȘȡȘ Ș ĮțȠȜȠȣșȓĮ (ȉȞ) ȞĮ İȓȞĮȚ, ĮțȠȜȠȣșȓĮ ȠȝȠȓȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ. x ȆȡȠĲİȓȞȠȣȝİ ȦȢ ĮȞȠȚȤĲȩ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȘȞ ǹȜȖİȕȡȚțȒ ĮʌȩįİȚȟȘ ĲȘȢ ȪʌĮȡȟȘȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȝİ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȚȢ įȚĮȝȑıȠȣȢ įȠșȑȞĲȠȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABC, įȘȜĮįȒ ĮȞ a d b d c , ȠʌȩĲİ ȦȢ ȖȞȦıĲȩȞ m c d m b d m a , ĲȩĲİ

Įȡțİȓ ȞĮ įİȚȤĲİȓ ȩĲȚ m a m b mc , Ȓ x

2b 2 2c 2 a 2 2c 2 2a 2 b 2 2a 2 2b 2 c2 .

ȆǹȇȅȇǹȂǹȉǹ ˆ ˆ ˆ ȞĮ ȖȡĮĳİȓ 2$' 180R % ȈĲȠ ĲİȪȤȠȢ 107 (ĬȑȝĮ ȋȘȝȚțȒȢ ȈȤȠȜȒȢ) ĮȞĲȓ ĲȠȣ 2$' ˆ ˆ VXQ 2% 2' ... 2% ț.Ȝ.ʌ. Ȓ țĮȜȪĲİȡĮ $2' 2$ ȈĲȘ ıİȜȓįĮ 77 ȐıțȘıȘ 4 ĮȞĲȓ ĲȠȣ (ĮıțȒıİȚȢ 8, 9) ȞĮ ȖȡĮĳİȓ (ĮıțȒıİȚȢ 2, 3) ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/62

ˆ 90R %

ƶǊ ƨƾĂĴ ĸǊǍ ƩǍǆǇĶȽĵǃ ȦȱȪȭȦȬȦȪȢ: ȤȪȢȮȮȨȳ ȳȴȲȢȴȨȳ – ȣȢȤȤȦȬȨȳ ȦȵȳȴȢȩȪȰȵ

ȴȰ ȩȦȹȲȨȭȢ ȴȨȳ ȳȱȢȳȭȦȮȨȳ ȷȰȲȥȨȳ ȴȰȵ ȢȲȷȪȭȨȥȨ 1 ȫȢȪ ȳȷȦȴȪȫȦȳ ȦȶȢȲȭȰȤȦȳ ȴȰȵ ȥȪȰȮȵȳȨȳ ȤȪȢȮȮȢȲȰȳ – ȱȵȲȤȰȳ

“õĔâ Ûßç é‫ر‬ĕ‫ ַر‬àěàáäê ַìÞÝ éÛÞáַè‫ر‬ոâÝ Ùæַ‫رر‬ĕ êåäéÛĖâäêèַ ÚßĔëäæַ éĚãַ àַß

Ûà éäê èÝ‫ر‬ÛĖäê Úßìäéä‫ر‬Ėַç éäê é‫ر‬ĕ‫ַر‬éäç ַìÞĕ àĔÞÛéäç Ûåß éÝâ ‫ر‬ÛÙַáêéոæַâ éîâ

Úěä ÛêÞÛßĜâ, Ý ַìÞÛĖèַ àĔÞÛéäç ÚßַßæÛĖ éÝâ éÛÞáַè‫ر‬ոâÝâ Ùæַ‫رر‬ĕâ Ûßç Úěä Ėèַ ‫ر‬ոæÝ.”

ǹȡȤȚȝȒįȠȣȢ ǱʌĮȞĲĮ ȉȩȝȠȢ īǯ ȂİĲȐĳȡĮıȚȢ ǼȊǹīīǼȁȅȊ Ȉ. ȈȉǹȂǹȉǾ ǻȓȞȠȣȝİ ȝȚĮ İȜİȪșİȡȘ įȚĮĲȪʌȦıȘ ĲȘȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȡȩĲĮıȘȢ ʌȡȠıĮȡȝȠıȝȑȞȘ ıĲȚȢ ĮıțȒıİȚȢ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ. ǻȓȞİĲĮȚ ĲİșȜĮıȝȑȞȘ ȖȡĮȝȝȒ ABC, AB ! BC İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȘ ıİ țȪțȜȠ (ȅ,R). ǹȞ D ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ q ABC țĮȚ DK A AB ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ: AK=KB+BC. ȉȠ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ȑȤİȚ Ȝȣșİȓ ȝİ ʌȠȜȜȠȪȢ ĲȡȩʌȠȣȢ. ĬİȦȡȠȪȝİ ʌĮȚįĮȖȦȖȚțȐ ıȦıĲȩ ȞĮ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ įȚȐĳȠȡȠȣȢ ĲȡȩʌȠȣȢ ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘȢ İȞȩȢ șȑȝĮĲȠȢ. īȚĮ ĮȣĲȩ įȓȞȠȣȝİ įȪȠ ĲȡȩʌȠȣȢ ȜȪıȘȢ ĲȠȣ, Įʌȩ ĲȠȞ ǹȡȤȚȝȒįȘ țĮȚ ĲȡİȓȢ ĲȡȩʌȠȣȢ ȜȪıȘȢ ĲȠȣ Įʌȩ ĲȠȞ Thabit Ibn Qurra, ȝİĲĮĳȡĮıĲȒ ĲȦȞ ȑȡȖȦȞ ĲȠȣ ǹȡȤȚȝȒįȘ ıĲĮ ǹȡĮȕȚțȐ.

1 Ȱȳ ȴȲȰȱȰȳ (Ȣ ȲȷȪȭȨȥȨȳ ) p DN q ȈȘȝİȚȫȞȠȣȝİ ıĲȠȞ țȪțȜȠ ıȘȝİȓȠ ȃ, ȑĲıȚ ȫıĲİ BD țĮȚ ıĲȘȞ Ǻǹ ıȘȝİȓȠ ȉ ȑĲıȚ ȫıĲİ ǺȀ=Ȁȉ. ĭȑȡȠȣȝİ ĲȚȢ DA, DN, DT țĮȚ AN. ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ: l A1 l A2 (İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞİȢ ʌȠȣ ȕĮȓȞȠȣȞ ıİ l m 1 DNA q,B l 1 DNA q İʌȠȝȑȞȦȢ ȓıĮ ĲȩȟĮ), A1 D 3 4 2 2 l l m , Tl l m l m ȦȢ İȟȦĲİȡȚțȒ Ș Tl ĲȠȣ B A1 D A1 D A2 D 4 3 5 6 6 5 ĲȡȚȖȫȞȠȣ ADT. l (ʌȡȠıțİȓȝİȞİȢ ȖȦȞȓİȢ ıĲȘ ȕȐıȘ ĲȠȣ ǼȓȞĮȚ Tl5 B 4 l l m l m. ȚıȠıțİȜȠȪȢ ĲȡȚȖȫȞȠȣ BDT), ȠʌȩĲİ B A D A D 4

ǼʌİȚįȒ l A1

l m A2 , ĲȩĲİ D 3

m. D 6

m D m ȐȡĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ADN țĮȚ ADT ȑȤȠȣȞ ĲȘȞ AD țȠȚȞȒ ĲȘȞ DN=BD=DT țĮȚ D 3 6 p , DN q BD p ȠʌȩĲİ țĮȚ ǹȃ=BC. ȉİȜȚțȐ ȑȤȠȣȝİ ȠʌȩĲİ AN=AT. ǼȓȞĮȚ p AD DC AT+TK=KB+BC Ȓ AK=KB+BC. īȚĮ ȝİȡȚțȑȢ ĮțȩȝȘ ĮʌȠįİȓȟİȚȢ țĮȚ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ĲȠȣ İȞ ȜȩȖȦ șİȦȡȒȝĮĲȠȢ ȕȜȑʌİ: ȈȘȝİȚȫıİȚȢ īȚȫȡȖȠȣ Ȉ. ȉĮııȩʌȠȣȜȠȣ ȖȚĮ ĲȠ ȈİȝȚȞȐȡȚȠ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ʌȠȣ ȠȡȖȐȞȦıİ Ș ǼȜȜȘȞȚțȒ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ǼĲĮȚȡİȓĮ (11-10-2014). 1

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/63

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ȉȠ ȕȒȝĮ ĲȠȣ ǼȣțȜİȓįȘ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 Ȱȳ ȴȲȰȱȰȳ (Ȣ ȲȷȪȭȨȥȨȳ ) ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȘȞ ȀǺ ʌȡȠȢ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ Ǻ ȑĲıȚ ȫıĲİ ȀǼ=Ȁǹ. ȉȩĲİ DE=DA (DK ȪȥȠȢ țĮȚ įȚȐȝİıȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ADE). p DA p DC DA (D ȝȑıȠ ĲȠȣ q ǼʌȓıȘȢ İȓȞĮȚ: DC ABC ), l m l l A1 C2 ȦȢ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞİȢ ıĲȠ ȓįȚȠ ĲȩȟȠ țĮȚ A1 E3 (ADE m E l țĮȚ İʌİȚįȒ DC=DA=DE ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ), ȠʌȩĲİ C 2

m E l . ǱȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ CDE İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ ȑĲıȚ țĮȚ C 4 5 țĮȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ BCE İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ȝİ BC=BE. ǹʌȩ țĮĲĮıțİȣȒ AK=KB+BE. ǼʌİȚįȒ BE=BC ȑȤȠȣȝİ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ AK=KB+BC 3 Ȱȳ ȴȲȰȱȰȳ (T HABIT I BN Q URRA ) ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ DQ & AB . ǼȓȞĮȚ ĳĮȞİȡȩ ȩĲȚ ĲȠ AQDB İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ȠʌȩĲİ AQ=BD țĮȚ AF=KB p țĮȚ D ȝȑıȠ ĲȠȣ q AQ DB ( QF A AB ). ǼʌİȚįȒ p ABC șĮ İȓȞĮȚ p DQ q BC ȐȡĮ țĮȚ BC=DQ=KF. ȈȣȞİʌȫȢ țĮȚ AF+FK=KB+BC Ȓ AK=KB+BC. 4 Ȱȳ ȴȲȰȱȰȳ (T HABIT I BN Q URRA ) ȈĲȘȞ Ǻǹ ıȘȝİȚȫȞȠȣȝİ ıȘȝİȓȠ ȉ, ȑĲıȚ ȫıĲİ BK=KT. ǼʌİȚįȒ D ȝȑıȠ ĲȠȣ n DTB n a (1). ĲȩȟȠȣ q ABC , șĮ İȓȞĮȚ DA=DC. ǲıĲȦ DBT p DBC q 2a . Ǿ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȘ ȖȦȞȓĮ ȉȩĲİ : DA n 1 360D 2a 180D a . ǼʌȓıȘȢ ȜȩȖȦ ĲȘȢ (1) țĮȚ Ș DBC 2 n 180D a . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ATD țĮȚ CBD İȓȞĮȚ DTA ȓıĮ, Įʌ’ ȩʌȠȣ AT=BC, ıȣȞİʌȫȢ țĮȚ AT+TK=KB+BC Ȓ AK=KB+BC. 5ɔɘ əɖɦɕɔɘ (Thabit Ibn Qurra) ǹʌȩ ĲȠ ıȘȝİȓȠ D ĳȑȡȠȣȝİ țȐșİĲȘ DL ıĲȘȞ İȣșİȓĮ CB. m țĮȚ DA p DC p DA DC , ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ A1 C ǼʌİȚįȒ l 2 AKD țĮȚ CLD İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȖȚĮĲȓ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ țĮȚ ȑȤȠȣȞ ĲȚȢ m ȦȢ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıİȢ ȓıİȢ țĮȚ ĲȚȢ ȠȟİȓİȢ ȖȦȞȓİȢ l A1 C 2 p İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞİȢ ʌȠȣ ȕĮȓȞȠȣȞ ıĲȠ ĲȩȟȠ BO . ǱȡĮ LC=AK (1) țĮȚ LD=DK. ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘ DB. ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ DLB țĮȚ DKB İȓȞĮȚ ȓıĮ ȝİ ȕȐıȘ ĲĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ, ȠʌȩĲİ BL=BK (2). ǹʌȩ ĲȚȢ (1) țĮȚ (2) ȑȤȠȣȝİ AK=LC=BC+BL=BK+BC. ǼĳĮȡȝȠȖȑȢ 1. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ: D E D E KPD KPE 2KP VXQ 2 2 ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/64

ǹʌȩįİȚȟȘ: Ȉİ țȪțȜȠ ĮțĲȓȞĮȢ R İȖȖȡȐȥĮȝİ ĲȡȓȖȦȞȠ ABC ȝİ AB ! BC . ǲıĲȦ D ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ q ABC țĮȚ DK A AB . n n ȅȞȠȝȐȗȠȣȝİ ACB D, BAC E . ȉȩĲİ İȓȞĮȚ q 2D 2E , DBC q D E , BD p D E 2E D E ABC n D E . ȈĲȠ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡȓȖȦȞȠ ADC ȑȤȠȣȝİ: țĮȚ BAD 2 n D E CAD n . ǹʌȩ ĲȠ ȞȩȝȠ ĲȦȞ ȘȝȚĲȩȞȦȞ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ACD 2 ABC ȑȤȠȣȝİ AB 2RKPD țĮȚ BC 2RKPE . ǼʌȓıȘȢ Įʌȩ ĲȠȞ

ȓįȚȠ

ȑȤȠȣȝİ AK AK

n ADVXQ BAD

ȞȩȝȠ

ȖȚĮ

ĲȠ

ĲȡȓȖȦȞȠ

ADC

ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ:

D b DA DC 2RKP . ǹʌȩ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ AKD 2 D E D E 2RKP VXQ . ǹʌȩ ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ ĲȠȣ ǹȡȤȚȝȒįȘ, ȑȤȠȣȝİ: 2 2

1 AB BC

R KPD KPE

1 2RKPD 2RKPE R KPD KPE . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲİȜȚțȐ: 2 D E D E D E D E 2RKP VXQ VXQ Ȓ KPD KPE 2KP . 2 2 2 2

ǲıĲȦ ĲȡȓȖȦȞȠ ABC ( AB ! BC ), İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ ĮțĲȓȞĮȢ R. ǹȞ DE İȓȞĮȚ Ș įȚȐȝİĲȡȠȢ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ, Ș țȐșİĲȘ ıĲȘ BC țĮȚ DK, ET ȠȚ ĮʌȠıĲȐıİȚȢ ĲȦȞ D țĮȚ E Įʌȩ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ AB ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ KT=AC. ǹʌȩįİȚȟȘ: Ǿ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ ET ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ țȪțȜȠ ıĲȠ n 90D (İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȘ ʌȠȣ ȕĮȓȞİȚ ıİ ıȘȝİȓȠ M. ǼȓȞĮȚ DME ȘȝȚțȪțȜȚȠ), țĮȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ TMDK ȠȡșȠȖȫȞȚȠ, İʌȠȝȑȞȦȢ DM=KT. ǹʌȩ ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ ĲȠȣ ǹȡȤȚȝȒįȘ, İȓȞĮȚ: BK=KA+AC Ȓ BT+TK=KA+AC țĮȚ İʌİȚįȒ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ BMDA İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĲȡĮʌȑȗȚȠ șĮ İȓȞĮȚ BT=KA, ȠʌȩĲİ ĲİȜȚțȐ TK=AC Ȓ DM=AC. ȈȘȝİȓȦıȘ: (ǹ) ȂʌȠȡȠȪȝİ ĲȫȡĮ İȪțȠȜĮ, ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲĮ ȝȒțȘ ĲȦȞ ĲȝȘȝȐĲȦȞ BT țĮȚ AT b c ıȣȞĮȡĲȒıİȚ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABC. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, BT=AK țĮȚ BK AK AC , 2 b c b c c b ȠʌȩĲİ AT BK țĮȚ BT AB AT c 2 2 2 (Ǻ) ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ İʌȓıȘȢ ȩĲȚ ĲĮ ĲȝȒȝĮĲĮ AE țĮȚ AD İȓȞĮȚ ȠȚ įȚȤȠĲȩȝȠȚ, İıȦĲİȡȚțȒ- İȟȦĲİȡȚțȒ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ǹ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABC. ǿıȤȪȠȣȞ İʌȠȝȑȞȦȢ ȠȚ ıȣȞșȒțİȢ ĲȘȢ ȐıțȘıȘȢ «ȈȪȞșİĲĮ șȑȝĮĲĮ, ȐıțȘıȘ 1, ȈȤȠȜȚțȩ ȕȚȕȜȓȠ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ȑțį. 2010». ǱȡĮ ȝȑıȦ ĲȘȢ İĳĮȡȝȠȖȒȢ 2 ĲȠȣ ʌĮȡȩȞĲȠȢ ȐȡșȡȠȣ Ș ʌȡȠĮȞĮĳİȡșİȓıĮ ȐıțȘıȘ ĲȠȣ ȈȤȠȜȚțȠȪ ȕȚȕȜȓȠȣ İȓȞĮȚ ıȣȞȑʌİȚȐ ĲȘȢ. l ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABC ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ 3. Ǿ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ $ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ țȪțȜȠ ĲȠȣ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ: b c d 2 AE ǹʌȩįİȚȟȘ: ǲıĲȦ ET A AB . ǹʌȩ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ b c ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ İȓȞĮȚ: AT , ȠʌȩĲİ Įʌȩ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ 2 2.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/65

b c d AE Ȓ b c d 2 AE . 2 ȈȘȝİȓȦıȘ: ǹʌȩ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȉǼ ȝʌȠȡȠȪȝİ İʌȓıȘȢ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ: $ $7 $7 1 b c VXQ Ȓ AE= Ȓ AE= $ 2 $( 2 VXQ $ VXQ 2 2 4. ǿıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ABC İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȣȤȩȞ ıȘȝİȓȠ D ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ p AB ʌȠȣ įİȞ ʌİȡȚȑȤİȚ ĲȠ C. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ: DA+DB=DC. l B l 60D țĮȚ ǹ ȝȑıȠ ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ BAC q. ǹʌȩįİȚȟȘ: ǼȓȞĮȚ D l 60q Įʌȩ ĲȠ ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ AT A CD ȠʌȩĲİ: ǼʌİȚįȒ D

ĲȡȓȖȦȞȠ ǹȉǼ șĮ İȓȞĮȚ: . AT d AE įȘȜĮįȒ

AD (1). 2 ǹʌȩ ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ ĲȠȣ ǹȡȤȚȝȒįȘ șĮ İȓȞĮȚ BD+DT=TC Ȓ DC BD BD+DT+DT=TC+DT Ȓ BD+2DT=DC TD Įʌȩ ȩʌȠȣ 2 ıİ ıȣȞįȣĮıȝȩ ȝİ ĲȘȞ (1) İȓȞĮȚ AD DC DB DA DB DC . 5. ȉȡȓȖȦȞȠ ABC AB ! AC İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ q . ǹȞ țȪțȜȠ țĮȚ D İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ BAC

ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǻȉ șĮ ȑȤȠȣȝİ DT

DK A AB țĮȚ Ȃ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ BC ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ KM & AE ȩʌȠȣ ǹǼ=įD ǹʌȩįİȚȟȘ: ĭȑȡȠȣȝİ İȣșİȓĮ Įʌȩ ĲȠ C ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ǹǼ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ Ǻǹ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȉ. ǼȪțȠȜĮ įȚĮʌȚıĲȫȞȠȣȝİ ȩĲȚ AT=AC=b. ȉȩĲİ BT=b+c. ǹȜȜȐ b c Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȩĲĮıȘ ĲȠȣ ǹȡȤȚȝȒįȘ İȓȞĮȚ BK . ȈĲȠ 2 ĲȡȓȖȦȞȠ BCT ĲĮ Ȁ țĮȚ Ȃ ıȣȞįȑȠȣȞ ĲĮ ȝȑıĮ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ BT, BC ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, İʌȠȝȑȞȦȢ KM & CT țĮȚ İʌİȚįȒ CT & AE șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ KM & AE . ȈȘȝİȓȦıȘ: ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ș ȀǼ įȚȤȠĲȠȝİȓ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABC. ȆȡȐȖȝĮĲȚ, Ș įȚȐȝİıȠȢ ǹȂ įȚȤȠĲȠȝİȓ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABC. ȈĲȠ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǹȀȂǼ İȓȞĮȚ: (ǹǼȂ)=(ǹǼȀ) țĮȚ (ǹȂȀ)=(ȀǼȂ), ȠʌȩĲİ ȑȤȠȣȝİ: (ACE)+(AEM)=(AMK)+(KMB) Ȓ (ACE)+(AEK)=(KEM)+(KMB) Ȓ 1 (ACEK)=(KEB)= ABC . 2 6. ȉȡȓȖȦȞȠ ABC AB ! AC İȓȞĮȚ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠ ıİ țȪțȜȠ, D q țĮȚ Ȃ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ BAC

ʌȜİȣȡȐȢ BC. ĭȑȡȠȣȝİ ĲȘȞ DK A AB . Ǿ İȣșİȓĮ ȂȀ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȡȠȑțĲĮıȘ ĲȘȢ CA ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ȃ. ȃĮ ȕȡİșİȓ ĲȠ ȝȑĲȡȠ n. ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ DNA ȁȪıȘ: ǼȓȞĮȚ ĳĮȞİȡȩ ȩĲȚ DM A BC . ǼĳȩıȠȞ DK A AB , ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ Ș İȣșİȓĮ ȀȂ İȓȞĮȚ Ș İȣșİȓĮ Simson ȖȚĮ ĲȠ n 90q . ıȘȝİȓȠ D ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABC. ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ȖȦȞȓĮ DNA ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/66

© ÂÈË ÍÀË §ÂÃºÊȐÍÀË ǹʌȩ ĲȠ ȕȚȕȜȓȠ ĲȠȣ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ ǼȣĮȖȖȑȜȠȣ ȈʌĮȞįȐȖȠȣ ȝİ ĲȓĲȜȠ "ȂĮĲȦȝȑȞĮ ĬİȦȡȒȝĮĲĮ" ȅ ǼʌȓȤĮȡȝȠȢ, Ƞ ʌȜȠȪıȚȠȢ țĮȡĮȕȠțȪȡȘȢ Įʌȩ ĲȘȞ ȀȩȡȚȞșȠ, ȑȡȚȟİ ȝȚĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȝĮĲȚȐ ıĲȠȞ țȒʌȠ ĲȠȣ ıʌȚĲȚȠȪ ĲȠȣ. ǵȜĮ ȒĲĮȞ ıĲȘȞ İȞĲȑȜİȚĮ țȚ ȑĲȠȚȝĮ ȞĮ įİȤșȠȪȞ İʌȚĳĮȞİȓȢ ȀȠȡȓȞșȚȠȣȢ țĮȚ ǹșȘȞĮȓȠȣȢ ȖȚĮ ĲȘ ȝİȖȐȜȘ İȠȡĲȒ. ȅ țȒʌȠȢ İȓȤİ įȚĮțȠıȝȘșİȓ țĮĲȐȜȜȘȜĮ țĮȚ İȓȤİ ȤȦȡȚıșİȓ ıİ įȪȠ ĲȝȒȝĮĲĮ. ȉȠ ȑȞĮ ʌȡȠȠȡȚȗȩĲĮȞ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ȐȞįȡİȢ țĮȚ ĲȠ ȐȜȜȠ ȖȚĮ ĲĮ ȖȣȞĮȚțȩʌĮȚįĮ. ȉȘȞ ȫȡĮ ĲȘȢ ʌȡȠıȑȜİȣıȘȢ ıĲȒșȘțİ ıĲȘȞ İȓıȠįȠ ıĲȠȜȚıȝȑȞȠȢ țĮȚ ȤĮȝȠȖİȜĮıĲȩȢ ʌİȡȚıĲȠȚȤȚȗȩȝİȞȠȢ Įʌȩ ȣʌȘȡȑĲİȢ ȖȚĮ ȞĮ ȣʌȠįİȤĲİȓ ĲȠȣȢ ʌȡȠıțİțȜȘȝȑȞȠȣȢ ĲȠȣ. Ǿ ʌȡȠıȑȜİȣıȘ țȡȐĲȘıİ ĮȡțİĲȒ ȫȡĮ. ȅ ǼʌȓȤĮȡȝȠȢ ȑıĳȚȟİ İțĮĲȠȞĲȐįİȢ ȤȑȡȚĮ țĮȜİıȝȑȞȦȞ ʌȠȣ ĳȠȡȠȪıĮȞ ĲĮ ʌȚȠ ĳĮȞĲĮȤĲİȡȐ ĲȠȣȢ ȡȠȪȤĮ ȖȚĮ ȞĮ ĲȡĮȕȒȟȠȣȞ ĲĮ ȕȜȑȝȝĮĲĮ. ǲȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĲİȜİȣĲĮȓȠȣȢ İʌȚıțȑʌĲİȢ ȒĲĮȞ Ƞ ĬİȐȖȘȢ, ȑȞĮȢ ȀȠȡȓȞșȚȠȢ ȜȩȖȚȠȢ, ʌȠȣ ıȣȞȠįİȣȩĲĮȞ Įʌȩ ȑȞĮȞ ȞİĮȡȒȢ ȘȜȚțȓĮȢ ȐȞįȡĮ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ĲĮ İȓȤİ ȜȓȖȠ ȤĮȝȑȞĮ įȚȩĲȚ İȓȤİ ȕȡİșİȓ ȑȟȦ Įʌȩ ĲĮ ȞİȡȐ ĲȠȣ. «ĭȓȜĲĮĲİ ǼʌȓȤĮȡȝİ», İȓʌİ İȖțȐȡįȚĮ, «ȞĮ ıȠȣ ȖȞȦȡȓıȦ ĲȠȞ ǹșȘȞĮȓȠ ĬİĮȓĲȘĲȠ, ȑȞĮȞ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȝİȖȐȜȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ĲȘȢ ǹțĮįȘȝȓĮȢ». ȉĮ ȝȐĲȚĮ ĲȠȣ ȀȠȡȓȞșȚȠȣ ȐıĲȡĮȥĮȞ. ȀĮȚ ʌȠȚȠȢ įİȞ İȓȤİ ĮțȠȣıĲȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ǹțĮįȘȝȓĮ ĲȠȣ ȆȜȐĲȦȞȠȢ. «ȂİȖȐȜȘ ȝȠȣ ĲȚȝȒ ʌȠȣ ıİ ȖȞȦȡȓȗȦ ĬİĮȓĲȘĲİ. ȃĮ ıĮȢ ȠįȘȖȒıȦ ıİ ȝȚĮ įȚĮțİțȡȚȝȑȞȘ șȑıȘ. . .» ȅ ĬİȐȖȘȢ ĲȠȞ įȚȑțȠȥİ: «ǻİȞ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ. ȅ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ șĮ ȝİȓȞİȚ ȖȚĮ ȜȓȖȠ ȝĮȗȓ ȝĮȢ įȚȩĲȚ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İʌȚıĲȡȑȥİȚ ıĲȘȞ ǹșȒȞĮ». «ȉȩĲİ ȞĮ ĲȠȣ ȖȞȦȡȓıȦ ĲȘȞ ĮȞȚȥȚȐ ȝȠȣ ĲȘ ȃȚțĮȡȑĲȘ. ǹıȤȠȜİȓĲĮȚ țȚ ĮȣĲȒ ȝİ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ. ȅȚ įȐıțĮȜȠȓ ĲȘȢ İįȫ įİȞ ĲȘȞ ĮȞĲȑȤȠȣȞ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȠȜȜȑȢ İȡȦĲȒıİȚȢ ʌȠȣ ĲȠȣȢ ȣʌȠȕȐȜȜİȚ». ȅ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ ȑıĳȚȟİ ĲĮ ȤİȓȜȘ įȚȩĲȚ İȓȤİ ȕĮȡİșİȓ țĮĲȐ ĲȚȢ İȜȐȤȚıĲİȢ țȠȚȞȦȞȚțȑȢ İțįȘȜȫıİȚȢ ʌȠȣ ʌȒȖĮȚȞİ ȞĮ ıȣȞĮȞĲȐ "ȚįȚȠĳȣǸİȢ ıĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ" țĮȚ ȚįȓȦȢ, ȖȣȞĮȚțİȓİȢ "ȚįȚȠĳȣǸİȢ". Ǿ įİțĮȠțĲȐȤȡȠȞȘ ȃȚțĮȡȑĲȘ ȝİ ȪĳȠȢ țȐșİ ȐȜȜȠ ʌĮȡȐ ȞĲȡȠʌĮȜȩ ʌȜȘıȓĮıİ ĲȠȞ ĬİĮȓĲȘĲȠ. «ǻȐıțĮȜİ», ĲȠȣ İȓʌİ ȤȦȡȓȢ ʌİȡȚıĲȡȠĳȑȢ, «ȑȤȦ ĮțȠȪıİȚ ȖȚĮ ĲȘ įȠȣȜİȚȐ ıȠȣ. ȀĮĲĮıțİȪĮıİȢ ĲȠ țĮȞȠȞȚțȩ ȠțĲȐİįȡȠ1 țĮȚ ĮıȤȠȜİȓıĮȚ ȝİ ĲȠ țĮȞȠȞȚțȩ İȚțȠıȐİįȡȠ2 țĮȚ ĲȠȣȢ ȐȡȡȘĲȠȣȢ3 ĮȡȚșȝȠȪȢ». ȅ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ ĲȘȞ țȠȓĲĮȟİ ȝİ ȑțʌȜȘȟȘ. ȈĲĮ İȚțȠıȚȠțĲȫ ĲȠȣ ȤȡȩȞȚĮ įİȞ İȓȤİ ıȣȞĮȞĲȒıİȚ ȖȣȞĮȓțĮ, ʌȩıȠ ȝȐȜȜȠȞ ȞİĮȡȒ țȠʌȑȜĮ, ʌȠȣ ȞĮ ȖȞȦȡȓȗİȚ țĮĲĮıțİȣȑȢ ȖİȦȝİĲȡȚțȫȞ ıȤȘȝȐĲȦȞ. ĬȑȜȠȞĲĮȢ ȩȝȦȢ ȞĮ įȠțȚȝȐıİȚ ĲȚȢ ȖȞȫıİȚȢ ĲȘȢ, ĲȘ ȡȫĲȘıİ: «īȞȦȡȓȗİȚȢ ĲĮ ȐȜȜĮ țĮȞȠȞȚțȐ ıĲİȡİȐ;» Ȃİ ȑțʌȜȘȟȘ ȐțȠȣıİ ĲȘ ȃȚțĮȡȑĲȘ ȞĮ ĲȠȣ ȜȑİȚ: «īȞȦȡȓȗȦ ĲȠ ĲİĲȡȐİįȡȠ4, ĲȠȞ țȪȕȠ țĮȚ ĲȠ įȦįİțȐİįȡȠ5. ȆȠȜȪ ȝ' ĮȡȑıİȚ Ș țĮĲĮıțİȣȒ ĲȠȣ įȦįİțȐİįȡȠȣ įȚȩĲȚ ĮʌĮȚĲİȓ ĲȘ ȖȞȫıȘ ĲȘȢ ȤȡȣıȒȢ ĲȠȝȒȢ6.» ȅ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ ȑȝİȚȞİ ȐȞĮȣįȠȢ! ȂȚĮ ȞİĮȡȒ țĮȚ ȩȝȠȡĳȘ ȖȣȞĮȓțĮ ȖȞȫȡȚȗİ ĲȘ ȤȡȣıȒ ĲȠȝȒ, ĲȘȢ ȠʌȠȓĮȢ ĲȚȢ İĳĮȡȝȠȖȑȢ, ȤȡȩȞȚĮ ĲȫȡĮ, ʌȡȠıʌĮșȠȪıĮȞ ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıȠȣȞ İțĮĲȠȞĲȐįİȢ ıȠĳȐ țİĳȐȜȚĮ. 1

ȆȠȜȪİįȡȠ ȝİ ȑįȡİȢ 8 ȓıĮ ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ. ȆȠȜȪİįȡȠ ȝİ ȑįȡİȢ 20 ȓıĮ ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ. Į 3 ǼȓȞĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ įİȞ ʌĮȓȡȞȠȣȞ ĲȘ ȝȠȡĳȒ , ȩʌȠȣ Į, ȕ ĮțȑȡĮȚȠȚ, ȕ z 0 . ȕ 4 ȆȠȜȪİįȡȠ ȝİ ȑįȡİȢ 4 ȓıĮ ȚıȩʌȜİȣȡĮ ĲȡȓȖȦȞĮ. 5 ȆȠȜȪİįȡȠ ȝİ ȑįȡİȢ 12 ȓıĮ țĮȞȠȞȚțȐ ʌİȞĲȐȖȦȞĮ. 6 ȋȡȣıȒ ĲȠȝȒ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ Ș įȚĮȓȡİıȘ İȞȩȢ İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ıİ ȐțȡȠ țĮȚ ȝȑıȠ ȜȩȖȠ. ǻȘȜĮįȒ, ĮȞ įȓȞİĲĮȚ ȑȞĮ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ AB ǹī . ĲȝȒȝĮ ǹǺ, ȞĮ ȕȡİșİȓ ȑȞĮ ıȘȝİȓȠ ī ȫıĲİ Aī īǺ 2

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/67

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ȅ īȚȠȢ ĲȘȢ ȃȚțĮȡȑĲȘȢ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ǿ ĮȣȖȒ ȕȡȒțİ ĲȠȞ ĬİĮȓĲȘĲȠ țĮȚ ĲȘ ȃȚțĮȡȑĲȘ țĮșȚıȝȑȞȠȣȢ ȖȪȡȦ Įʌȩ ȑȞĮ ĲȡĮʌȑȗȚ ȞĮ ȗȦȖȡĮĳȓȗȠȣȞ ıȤȒȝĮĲĮ ıİ ȝȚĮ ʌİȡȖĮȝȘȞȒ. ǵĲĮȞ Ƞ ǹșȘȞĮȓȠȢ ĳȚȜȩıȠĳȠȢ ıȣȞİȚįȘĲȠʌȠȓȘıİ ȩĲȚ ʌȑȡĮıİ Ƞ ȤȡȩȞȠȢ, ıȘțȫșȘțİ ȝİ ȕĮȡȚȐ țĮȡįȚȐ. «ȆȡȑʌİȚ ȞĮ ĳȪȖȦ. ĬĮ ıİ țȡĮĲȫ İȞȒȝİȡȘ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌȠȡİȓĮ ĲȘȢ įȠȣȜİȚȐȢ ȝȠȣ. ĬĮ ıİ ʌİȡȚȝȑȞȦ ĲȠ ıȣȞĲȠȝȩĲİȡȠ ıĲȘȞ ǹșȒȞĮ». ȉȘȢ İȓʌİ ĲȩıĮ ʌȠȜȜȐ ʌȠȣ ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ĮȞĮȡȦĲȒșȘțİ țȚ Ƞ ȓįȚȠȢ ĮȞ Ș ĮȚĲȓĮ ȒĲĮȞ ȐȜȜȘ țĮȚ ȩȤȚ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ, ȖȚĮ ĲȘȞ ʌȠȜȪȦȡȘ ıȣȞĮȞĮıĲȡȠĳȒ ĲȠȣȢ. ȉȘȞ ȫȡĮ ʌȠȣ ĲȘȞ ĮʌȠȤĮȚȡİĲȠȪıİ ȑȕȖĮȜİ Įʌȩ ĲȠȞ ȜĮȚȝȩ ĲȠȣ ȑȞĮ țȩıȝȘȝĮ. ǳĲĮȞ ȝȚĮ ʌİȞĲȐȜĳĮ Įʌȩ ĮıȒȝȚ ʌȠȣ ȒĲĮȞ įİȝȑȞȘ ı' ȑȞĮ įİȡȝȐĲȚȞȠ țȠȡįȩȞȚ. «ȆȐȡİ ĮȣĲȩ. ǼȓȞĮȚ ĲȠ ȑȝȕȜȘȝĮ ĲȦȞ ȆȣșĮȖȩȡİȚȦȞ». «ȄȑȡȦ, ȟȑȡȦ. . .», ĮʌȐȞĲȘıİ ȝİ țĮȝȐȡȚ Ș ȝȚțȡȒ. «ǼȓȞĮȚ ĲȠ ĮıĲİȡȠİȚįȑȢ țĮȞȠȞȚțȩ ʌİȞĲȐȖȦȞȠ». ȅ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ ȖȠȪȡȜȦıİ ĲĮ ȝȐĲȚĮ Įʌȩ șĮȣȝĮıȝȩ! «Ǿ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ İʌȚıĲȒȝȘ įİȞ ȑȤİȚ ȝȣıĲȚțȐ ȖȚĮ ĲȘ ȃȚțĮȡȑĲȘ», ıțȑĳĲȘțİ. «ĬĮ ĲȠ ĳȠȡȫ ȖȚĮ ȞĮ ȝȠȣ șȣȝȓȗİȚ ĲȘ ȖȞȦȡȚȝȓĮ ȝĮȢ țĮȚ ȩĲĮȞ ȑȡșİȚ Ș ȫȡĮ, șĮ ĲȠ ʌİȡȐıȦ ıĲȠ ȜĮȚȝȩ ĲȠȣ ʌȡȫĲȠȣ ȝȠȣ ʌĮȚįȚȠȪ», ȒĲĮȞ ĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ĲȘȢ ȜȩȖȚĮ. Ǿ țȠʌȑȜĮ ıȣȞĮȞĲȒșȘțİ ʌȠȜȜȑȢ ĳȠȡȑȢ ȝİ ĲȠȞ ĬİĮȓĲȘĲȠ. Ǿ ȜĮĲȡİȓĮ ĲȘȢ ȖȚĮ ĲĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ĲȘȞ ȠįȒȖȘıİ ȞĮ ȖȓȞİȚ ȑȞĮ İȓįȠȢ "İȟȦĲİȡȚțȒȢ" ȝĮșȒĲȡȚĮȢ ıĲȘȞ ǹțĮįȘȝȓĮ. ȂİĲȐ ȩȝȦȢ Įʌȩ ȑȞĮ ʌİȡȓʌȠȣ ȤȡȩȞȠ ȤȐșȘțİ. ȂȐĲĮȚĮ ʌȡȠıʌĮșȠȪıİ Ƞ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ ȞĮ ĲȘ ȕȡİȚ. ȀĮȞİȓȢ įİȞ ȖȞȫȡȚȗİ ʌȠȣ İȓȤİ ʌȐİȚ. ȅȚ ȀȠȡȓȞșȚȠȚ ĳȓȜȠȚ ĲȠȣ ĲȘȡȠȪıĮȞ ȝȚĮ ʌİȡȓİȡȖȘ ıȚȦʌȒ . . . ǲĲȠȢ 369 ʌ.ȋ. ȅȚ ʌȠȜȓĲİȢ ĲȦȞ ǹșȘȞȫȞ İȚįȠʌȠȚȒșȘțĮȞ ȩĲȚ țȘȡȪȤșȘțİ ʌȩȜİȝȠȢ ȝİĲĮȟȪ ǹșȘȞĮȓȦȞ țĮȚ ȀȠȡȚȞșȓȦȞ. «ǲȤȠȣȝİ ıȣȝȝĮȤȒıİȚ ȝİ ĲȠȣȢ ȈʌĮȡĲȚȐĲİȢ țĮȚ șĮ ȞȚțȒıȠȣȝİ ĲȠȣȢ ʌĮȡȐıʌȠȞįȠȣȢ ȀȠȡȓȞșȚȠȣȢ», ȑȜİȖİ Ș ĮȞĮțȠȓȞȦıȘ ĲȦȞ ĮȡȤȩȞĲȦȞ. Ǿ ȝȐȤȘ ıĲȘȞ ʌİįȚȐįĮ ĲȦȞ ȂİȖȐȡȦȞ țȩȞĲİȣİ ȞĮ ĲİȜİȚȫıİȚ. ǱȜȜȦıĲİ, Ƞ ǳȜȚȠȢ ʌȜȘıȓĮȗİ ıĲȘ įȪıȘ ĲȠȣ. ȅ ǹșȘȞĮȓȠȢ İșİȜȠȞĲȒȢ ıĲȡĮĲȚȫĲȘȢ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ Ƞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ, Ƞ İĲĮȓȡȠȢ ĲȠȣ ȆȜȐĲȦȞȠȢ, țȠȣȡĮıȝȑȞȠȢ țĮȚ țȐșȚįȡȠȢ, İĲȠȚȝȐıĲȘțİ ȞĮ ĮʌȠșȑıİȚ ĲȠ įȩȡȣ țĮȚ ĲȘȞ ĮıʌȓįĮ ĲȠȣ, ȩĲĮȞ İȓįİ ȑȞĮ ȞİĮȡȩ ȀȠȡȓȞșȚȠ ȞĮ țĮĲİȣșȪȞİĲĮȚ ĲȡȑȤȠȞĲĮȢ İȞĮȞĲȓȠȞ ĲȠȣ ȝİ ĲȘȞ ȜȩȖȤȘ ʌȡȠĲİĲĮȝȑȞȘ. ȆȡȠıʌȐșȘıİ ȞĮ ĲȠȞ ĮʌȠĳȪȖİȚ, ĮȜȜȐ Ș ĮȚȤȝȒ ĲȘȢ ȤȫșȘțİ ıĲĮ ʌȜİȣȡȐ ĲȠȣ. ȆȓįĮțĮȢ ıȦıĲȩȢ, ʌİĲȐȤĲȘțİ ĲȠ ĮȓȝĮ. ȅ ıĲȡĮĲȚȫĲȘȢ ĲȠȞ ʌȜȘıȓĮıİ ʌȜȐȖȚĮ ıĲȘȞ ʌȡȠıʌȐșİȚȐ ĲȠȣ ȞĮ ĮʌȠȝĮțȡȣȞșİȓ. ǹıȣȞĮȓıșȘĲĮ, ȐʌȜȦıİ Ƞ ĳȚȜȩıȠĳȠȢ ĲȠ ȤȑȡȚ ĲȠȣ ıĲȠ ȜĮȚȝȩ ĲȠȣ ıĲȡĮĲȚȫĲȘ ıİ ȝȚĮ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ ȪıĲİȡȘȢ ȐȝȣȞĮȢ. ȈĲȠ ȤȑȡȚ ĲȠȣ ȑȝİȚȞİ ȑȞĮ țȩıȝȘȝĮ ʌȠȣ ĲȠ ȑıĳȚȟİ ȝİ ȝĮȞȓĮ, ȜİȢ țĮȚ șĮ ȑĳİȡȞİ ĲȘ ȜȪĲȡȦıȘ. ȅȚ įȣȞȐȝİȚȢ ĲȠȣ ȩȝȦȢ, ȖȡȒȖȠȡĮ ĲȠȞ İȖțĮĲȑȜİȚȥĮȞ. ǲʌİıİ țȐĲȦ ıĳĮįȐȗȠȞĲĮȢ Įʌȩ ĲȠȞ ʌȩȞȠ. ǹȡȖȐ ĲȠ ȕȡȐįȣ ĲȠȞ ȝİĲȑĳİȡĮȞ ıĲȘȞ ǹșȒȞĮ, ȩʌȠȣ țĮȚ ʌȑșĮȞİ ȝİĲȐ Įʌȩ ȜȓȖİȢ ȘȝȑȡİȢ. ȆȡȠĲȠȪ ʌİșȐȞİȚ, ȥȚșȪȡȚıİ: «ȅ ȖȚȠȢ ĲȘȢ ȃȚțĮȡȑĲȘȢ . . . Ȧ ȆȐȞıȠĳȠ ȅȞ! īȚĮĲȓ ĲȠ ȑĲĮȟİȢ ȑĲıȚ;» ȅ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ įİȞ șĮ ȝȐșĮȚȞİ ʌȠĲȑ ȩĲȚ Ƞ ȀȠȡȓȞșȚȠȢ ıĲȡĮĲȚȫĲȘȢ ʌȠȣ ĲȠȞ ȜȐȕȦıİ ȒĲĮȞ țĮȚ įȚțȩȢ ĲȠȣ ȖȚȠȢ. Ǿ ȃȚțĮȡȑĲȘ Ș ȀȠȡȓȞșȚĮ, Ș ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ, İȓȤİ țȡĮĲȒıİȚ ĲȠ ȝȣıĲȚțȩ ȖȚĮ ĲȠȞ İĮȣĲȩ ĲȘȢ. Ǿ ȝȠȓȡĮ ȩȝȦȢ ĲĮ ȑĳİȡİ ȑĲıȚ, ȫıĲİ Ƞ ȝİȖȐȜȠȢ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ ȞĮ ĳȪȖİȚ ıĲĮ 48 ĲȠȣ ȤȡȩȞȚĮ Įʌȩ ĲȠ ȤȑȡȚ ĲȠȣ ȖȚȠȣ ĲȠȣ ʌȠȣ ʌȠĲȑ įİȞ ȖȞȫȡȚıİ.

ȆĮȡĮĲȒȡȘıȘ: ǼțĲȩȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ ĬİĮȓĲȘĲȠ țĮȚ ȃȚțĮȡȑĲȘ, ĲĮ ȐȜȜĮ ʌȡȩıȦʌĮ İȓȞĮȚ ĳĮȞĲĮıĲȚțȐ. ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ ǻȚȠȖȑȞȘ ĲȠȞ ȁĮȑȡĲȚȠ, Ƞ ĬİĮȓĲȘĲȠȢ ĲȡĮȣȝĮĲȓıĲȘțİ ıĲȠȞ ȀȠȡȚȞșȚĮțȩ ȆȩȜİȝȠ ĲȠ 369 ʌ.ȋ. țĮȚ ʌȑșĮȞİ Įʌȩ ĲĮ ĲȡĮȪȝĮĲȐ ĲȠȣ. Ǿ ȣʌȩȜȠȚʌȘ įȚȒȖȘıȘ İȓȞĮȚ ĳĮȞĲĮıĲȚțȒ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/68

§ ¥®£¤ ¬ … ¬® ¡¡¬ £¬ (£££) ȃȓțȠȣ Ĭ. ǹȞĲȦȞȩʌȠȣȜȠȣ Ȇİȡȓ ıȣȞȩȜȦȞ țĮȚ ĮȡȚșȝȫȞ ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ ȟİțȚȞȒıȠȣȝİ ʌȡȫĲĮ ȝİ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ. ȉȚ ĮȞĲȚȜĮȝȕĮȞȩȝĮıĲİ ȩĲĮȞ ĮțȠȪȝİ ĲȘ ȜȑȟȘ ıȪȞȠȜȠ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǹʌ’ ȩĲȚ șȣȝȐȝĮȚ, ȞȠȝȓȗȦ ȩĲȚ Ș ȑȞȞȠȚĮ ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ, İȓȞĮȚ ĲĮȣĲȩıȘȝȘ ȝİ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ĲȘȢ ıȣȜȜȠȖȒȢ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȞ șİȜȒıȠȣȝİ ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıȠȣȝİ ĲȠȞ ȠȡȚıȝȩ ʌȠȣ ȑįȦıİ Ƞ Cantor ȖȚĮ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ, șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ įİȤșȠȪȝİ ȦȢ ıȪȞȠȜȠ, țȐșİ ıȣȜȜȠȖȒ ĮȞĲȚțİȚȝȑȞȦȞ Ȓ įȚĮȞȠȘȝȐĲȦȞ ıĮĳȫȢ țĮșȠȡȚıȝȑȞȦȞ, ĲĮ ȠʌȠȓĮ șİȦȡȠȪȝİ ȦȢ ȝȚĮ ȠȜȩĲȘĲĮ. ȉĮ ıȪȞȠȜĮ ĲĮ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ ĲĮ țİĳĮȜĮȓĮ ȖȡȐȝȝĮĲĮ ǹ, Ǻ, ī țĲȜ. țĮȚ ȖȚĮ ȞĮ įȘȜȫıȠȣȝİ ȩĲȚ țȐʌȠȚȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ Į ĮȞȒțİȚ ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ Ȓ İȓȞĮȚ, ȩʌȦȢ Ȝȑȝİ, ıĲȠȚȤİȓȠ ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ ǹ ȖȡȐĳȠȣȝİ Į ǹ , İȞȫ ȖȚĮ ȞĮ įȘȜȫıȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ Į įİȞ ĮȞȒțİȚ ıĲȠ ǹ ȖȡȐĳȠȣȝİ D $ ȉĮ ıȪȞȠȜĮ ĲĮ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ İȓĲİ ĮȞĮȖȡȐĳȠȞĲĮȢ ȑȞĮ - ȑȞĮ ĲĮ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȠȣȢ İȓĲİ ʌİȡȚȖȡȐĳȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ ʌȠȣ ȠȡȓȗİȚ ĲĮ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȠȣȢ, ȖȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ $ {3, 4, 5} Ȓ ǹ={x| xĳȣıȚțȩȢ ȝİĲĮȟȪ 2 țĮȚ 6} ǺȑȕĮȚĮ, ȩʌȦȢ ĮʌȠįİȓȤșȘțİ ĮȡȖȩĲİȡĮ, Ƞ ȠȡȚıȝȩȢ ĮȣĲȩȢ ȑȤİȚ țȐʌȠȚĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: īȚĮĲȓ İȓʌĮĲİ ȩĲȚ Ƞ ȠȡȚıȝȩȢ ȑȤİȚ țȐʌȠȚĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȅ ȠȡȚıȝȩȢ ĮȣĲȩȢ, ĮȞ ıȣȞįȣĮıĲİȓ ȝİ ĲȘ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ıȤȘȝĮĲȚıȝȠȪ ıȣȞȩȜȦȞ, ȩʌȦȢ ıȪȞȠȜĮ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ȦȢ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȠȞ İĮȣĲȩ ĲȠȣȢ țĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ıȣȞȩȜȦȞ ȠįȘȖİȓ ıİ ĮȞĲȚĳȐıİȚȢ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ĲȚȢ Ȝȑȝİ ʌĮȡȐįȠȟĮ. īȚĮ ĲȠ ȜȩȖȠ ĮȣĲȩ ıĲȘ ıȪȖȤȡȠȞȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ șİȝİȜȓȦıȘ ĲȘȢ șİȦȡȓĮȢ ıȣȞȩȜȦȞ įİȤȩȝĮıĲİ ȩĲȚ ȑȞĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ țĮȚ ȑȞĮ ıĲȠȚȤİȓȠ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ. ǼʌȓıȘȢ, įİȤȩȝĮıĲİ ȩĲȚ, ȠȚ ȑȞȞȠȚİȢ «ıȪȞȠȜȠ» țĮȚ «ıĲȠȚȤİȓȠ» ıȣȞȩȜȠȣ, șİȦȡȠȪȞĲĮȚ ȦȢ ĮȡȤȚțȑȢ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȉȚ ıȘȝĮȓȞİȚ ĮȣĲȩ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘ ıȪȖȤȡȠȞȘ ĮȟȚȦȝĮĲȚțȒ șİȝİȜȓȦıȘ, ȝȚĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ șİȦȡȓĮ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ: x ȀȐʌȠȚȠȣȢ ȝȘ ȠȡȚȗȩȝİȞȠȣȢ Ȓ ĮȡȤȚțȠȪȢ ȩȡȠȣȢ,

ȆȚșĮȞȫȢ Įʌȩ țȐʌȠȚȠȣȢ ʌȡȠıįȚȠȡȚıȝȑȞȠȣȢ ȩȡȠȣȢ (ȕĮıȚıȝȑȞȠȣȢ ıĲȠȣȢ ĮʌȡȠıįȚȩȡȚıĲȠȣȢ ȩȡȠȣȢ), x ǹʌȩ ȠȡȚıȝȑȞİȢ įȚĮĲȣʌȫıİȚȢ ʌȠȣ ĲȚȢ Ȝȑȝİ ĮȟȚȫȝĮĲĮ țĮȚ x ǹʌȩ ȐȜȜİȢ įȚĮĲȣʌȫıİȚȢ ʌȠȣ ȜȑȖȠȞĲĮȚ șİȦȡȒȝĮĲĮ țĮȚ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ıȣȞȐȖȠȞĲĮȚ ȜȠȖȚțȐ Įʌȩ ĲĮ ĮȟȚȫȝĮĲĮ. ȉĮ ĮȟȚȫȝĮĲĮ, ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ȝĮȢ ʌĮȡȑȤȠȣȞ, ĲȘȞ ĮʌĮȡĮȓĲȘĲȘ ȖȞȫıȘ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ȝȘ ȠȡȚȗȩȝİȞȠȣȢ ȩȡȠȣȢ. ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǹȟȚȫȝĮĲĮ ȑȤȠȣȝİ ıȣȞĮȞĲȒıİȚ ıĲȘ īİȦȝİĲȡȓĮ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǲȤİȚȢ įȓțȚȠ. Ǿ ʌȡȫĲȘ ĮȟȚȦȝĮĲȚțȒ ʌĮȡȠȣıȓĮıȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ șİȦȡȓĮȢ İȓȞĮȚ Ș șİȝİȜȓȦıȘ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ʌȠȣ ʌĮȡȠȣıȓĮıİ ʌİȡȓʌȠȣ 400 ȤȡȩȞȚĮ ʌ. ȋ. Ƞ ǼȣțȜİȓįȘȢ ıĲĮ «ȈĲȠȚȤİȓĮ» ĲȠȣ. ǺȑȕĮȚĮ ĮȣĲȩȢ įİȞ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȓȘıİ ĮȡȤȚțȠȪȢ ȩȡȠȣȢ țĮȚ ʌȡȠıʌȐșȘıİ ȞĮ ȠȡȓıİȚ ĲĮ ʌȐȞĲĮ țĮĲĮĳİȪȖȠȞĲĮȢ ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ țĮȚ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ ıİ ȚįȚȩĲȘĲİȢ ʌȠȣ įİȞ ȑȤȠȣȞ Ȓ ĮıĮĳİȓȢ ȠȡȚıȝȠȪȢ. ȈĲȘ ıȪȖȤȡȠȞȘ șİȝİȜȓȦıȘ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ʌȠȣ ȑȖȚȞİ Įʌȩ ĲȠȞ Hilbert ȠȚ ȩȡȠȚ «ıȘȝİȓȠ» țĮȚ «İȣșİȓĮ» șİȦȡȠȪȞĲĮȚ ȦȢ ĮȡȤȚțȠȓ. ǹȜȜȐ ĮȢ İʌĮȞȑȜșȠȣȝİ ıĲĮ ıȪȞȠȜĮ. ȆȩĲİ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ Ȝȑȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ĲȠ țİȞȩ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǵĲĮȞ įİȞ ȑȤİȚ ıĲȠȚȤİȓĮ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȍȡĮȓĮ! ȉȠ țİȞȩ ıȪȞȠȜȠ ĲȠ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ . ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȀĮȞȑȞĮ ıĲȠȚȤİȓȠ; ȂʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ȝĮȢ įȫıİĲİ ȑȞĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǺİȕĮȓȦȢ! ǹȢ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ x 2 1 0 ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. ǹȞ ʌȠȪȝİ ıȪȞȠȜȠ ȜȪıİȦȞ ȁ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ, ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȞ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȜȪıİȚȢ ĲȘȢ, ʌȠȚȠ ȞȠȝȓȗİĲĮȚ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ȜȪıȘȢ ĲȘȢ; ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǼȪțȠȜȠ. ǼȓȞĮȚ ĲȠ ȁ={-1, 1}. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ĬİȦȡȒıĲİ ĲȫȡĮ, ʌȐȜȚ ıĲȠ , ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ x2+1=0. ȆȠȚȠ ȞȠȝȓȗİĲİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ȜȪıİȫȞ ĲȘȢ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǹ…, țĮĲȐȜĮȕĮ. ǻİȞ ȑȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ ȜȪıİȚȢ, ȠʌȩĲİ ȁ= .

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/69

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ǹȃǹȁȊȉǿȀǼȈ … ȈȊǽǾȉǾȈǼǿȈ (ǿǿǿ) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȍȡĮȓĮ. ȂȒʌȦȢ șȣȝȐıĲİ ĲȫȡĮ, ʌȩĲİ įȣȠ ıȪȞȠȜĮ ȜȑȖȠȞĲĮȚ ȓıĮ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ : ȂȒʌȦȢ, ȩĲĮȞ ȑȤȠȣȞ ĲĮ ȓįȚĮ ıĲȠȚȤİȓĮ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȂȐȜȚıĲĮ. ǻȣȠ ıȪȞȠȜĮ ǹ țĮȚ Ǻ ȜȑȖȠȞĲĮȚ ȓıĮ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ $ % , ȩĲĮȞ ȖȚĮ țȐșİ x A , ȚıȤȪİȚ x B țĮȚ ĮȞĲȓıĲȡȠĳĮ. ȀĮȚ ĲȫȡĮ, ʌȩĲİ įȣȠ ıȪȞȠȜĮ İȓȞĮȚ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǵĲĮȞ ȑȤȠȣȞ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ ıĲȠȚȤİȓĮ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȉȚ İȞȞȠİȓȢ; ǵĲȚ įȚĮĳȑȡȠȣȞ ıİ ȩȜĮ ĲĮ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȠȣȢ Ȓ ȣʌȐȡȤİȚ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȑȞĮ įȚĮĳȠȡİĲȚțȩ ıĲȠȚȤİȓȠ ıİ țȐʌȠȚȠ ıȪȞȠȜȠ. ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȉĮ ıȪȞȠȜĮ įȚĮĳȑȡȠȣȞ ıİ ȑȞĮ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ıĲȠȚȤİȓȠ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȆȠȜȪ ıȦıĲȐ. ȆȡȠıȑȟĲİ ȚįȚĮȚĲȑȡĮ ĲȠ ıȤȘȝĮĲȚıȝȩ ĲȦȞ ĮȡȞȒıİȦȞ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ĮȞ ȑȤȠȣȝİ ĲȘȞ ȑțĳȡĮıȘ «ȖȚĮ țȐșİ x A , (ȚıȤȪİȚ) P(x) 0 » ĲȩĲİ Ș ȐȡȞȘıȘ ĲȘȢ İȓȞĮȚ «ȣʌȐȡȤİȚ (ȑȞĮ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ) x A , ȫıĲİ (ȞĮ ȚıȤȪİȚ) P(x) z 0 ». ǹȢ șȣȝȘșȠȪȝİ ĲȫȡĮ ʌȩĲİ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ ǹ ȜȑȖİĲĮȚ ȣʌȠıȪȞȠȜȠ İȞȩȢ ıȣȞȩȜȠȣ Ǻ. ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǵĲĮȞ ȖȚĮ țȐșİ ıĲȠȚȤİȓȠ x A , ȚıȤȪİȚ İʌȓıȘȢ x B. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȍȡĮȓĮ. ȈĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĮȣĲȒ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ A B țĮȚ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȠȪȝİ İʌȓıȘȢ ȩĲȚ ĲȠ Ǻ İȓȞĮȚ ȣʌİȡıȪȞȠȜȠ ĲȠȣ ǹ. ȉȚ ıȤȑıȘ ȜȑĲİ ȞĮ ȑȤİȚ ĲȠ țİȞȩ ȝİ ĲĮ ȐȜȜĮ ıȪȞȠȜĮ; ȂĮșȘĲȒȢ ī: ǼȓȞĮȚ ȣʌȠıȪȞȠȜȠ țȐșİ ıȣȞȩȜȠȣ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȂȚĮ ıĲȚȖȝȒ. ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĮȣĲȐ ʌȠȣ İȓʌĮȝİ ʌĮȡĮʌȐȞȦ, șĮ ʌȡȑʌİȚ, ĮȞ ʌȐȡȠȣȝİ ĲȣȤĮȓȠ ıȪȞȠȜȠ ǹ, ȞĮ ȚıȤȪİȚ «ǹȞ x , ĲȩĲİ x A ». ȂĮ ĮȣĲȩ įİȞ ıĲȑțİȚ! ȉȚ șĮ ʌİȚ x ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǲȤİȚȢ įȓțȚȠ ȞĮ șȑĲİȚȢ ĲȠ İȡȫĲȘȝĮ. ȈĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, İțĳȡȐıİȚȢ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ «ĮȞ p ĲȩĲİ q» ĲȚȢ Ȝȑȝİ ıȣȞİʌĮȖȦȖȑȢ ȝİ ȣʌȩșİıȘ p țĮȚ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ q. ȂȚĮ ıȣȞİʌĮȖȦȖȒ İȓȞĮȚ ȥİȣįȒȢ ȝȩȞȠ ĮȞ Ș ȣʌȩșİıȒ ĲȘȢ İȓȞĮȚ ĮȜȘșȒȢ țĮȚ ĲȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝȐ ĲȘȢ ȥİȣįȑȢ. Ȉİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ȐȜȜİȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ İȓȞĮȚ ĮȜȘșȒȢ. ȈĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȒ ȝĮȢ ȑȤȠȣȝİ ıȣȞİʌĮȖȦȖȒ ȝİ ȥİȣįȒ ĲȘȞ ȣʌȩșİıȘ ( x ) țĮȚ ıĮȞ ĲȑĲȠȚĮ İȓȞĮȚ ʌȐȞĲȠĲİ ĮȜȘșȒȢ, ĮȞİȟȐȡĲȘĲĮ Įʌȩ ĲȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ. ǹȢ İʌĮȞȑȜșȠȣȝİ ȩȝȦȢ. ĭĮȞĲȐȗȠȝĮȚ ʌȦȢ ȩȜȠȚ ıȣȝĳȦȞȠȪȝİ ȩĲȚ ĮȞ A B țĮȚ B A , ĲȩĲİ A B . ǹȢ ʌİȡȐıȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȞĮ ȝȚȜȒıȠȣȝİ ȖȚĮ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ĲȘȢ ȚıȠįȣȞĮȝȓĮȢ įȣȠ ıȣȞȩȜȦȞ. ȆȩĲİ șİȦȡİȓĲİ ȩĲȚ įȣȠ ıȪȞȠȜĮ Ȝȑȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝĮ;

ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǵĲĮȞ İȓȞĮȚ ȓıĮ; ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǹĳȠȪ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȘȞ ȠȡȓıĮȝİ. īȚĮĲȓ ĲȫȡĮ ȞĮ ȝȚȜȒıȠȣȝİ ȖȚĮ ȚıȠįȪȞĮȝĮ, ĮȞ İȓȞĮȚ ĲȠ ȓįȚȠ ʌȡȐȝĮ; ȂȒʌȦȢ ĮȣĲȐ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ĲȠ ȓįȚȠ ʌȜȒșȠȢ ıĲȠȚȤİȓȦȞ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǵĲĮȞ ȝȚȜȐȝİ ȖȚĮ ıȪȞȠȜĮ ʌȠȣ įİȞ ȑȤȠȣȞ ȐʌİȚȡȠ ʌȜȒșȠȢ ıĲȠȚȤİȓȦȞ, İȓȞĮȚ ȩʌȦȢ Ȝȑȝİ ʌİʌİȡĮıȝȑȞĮ, ıȣȝȕĮȓȞİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ĮȣĲȩ ʌȠȣ ȜİȢ. ȆȡȠțİȚȝȑȞȠȣ ȩȝȦȢ ȞĮ țĮȜȪȥȠȣȝİ ȩȜİȢ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ, ȖİȞȚțȐ Ȝȑȝİ ȩĲȚ, įȪȠ ıȪȞȠȜĮ ǹ țĮȚ Ǻ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝĮ, țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ A B , ȩĲĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȚĮ «1-1» ĮȞĲȚıĲȠȓȤȘıȘ ĲȦȞ ıĲȠȚȤİȓȦȞ ĲȠȣȢ, įȘȜĮįȒ ȩĲĮȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ıİ țȐșİ ıĲȠȚȤİȓȠ ĲȠȣ ǹ ȞĮ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȒıȠȣȝİ ȑȞĮ ıĲȠȚȤİȓȠ ĲȠȣ Ǻ țĮȚ ĮȞĲȚıĲȡȩĳȦȢ. ǹȜȜȐ, ĮĳȠȪ ĮȞĮĳİȡșȒțĮȝİ ıİ ıȪȞȠȜĮ ȝİ ȐʌİȚȡȠ ʌȜȒșȠȢ ıĲȠȚȤİȓȦȞ ĮȢ ʌİȡȐıȠȣȝİ ȞĮ ȝȚȜȒıȠȣȝİ ȖȚĮ ʌİʌİȡĮıȝȑȞĮ țĮȚ ȐʌİȚȡĮ (ĮʌȑȡĮȞĲĮ) ıȪȞȠȜĮ ȟİțȚȞȫȞĲĮȢ ȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ `* {1, 2, 3, ...} ĲȦȞ șİĲȚțȫȞ ĮțİȡĮȓȦȞ. ȉȠ ıȪȞȠȜȠ ` N

{Q `* | Q d N }

ĲȠ Ȝȑȝİ ĮȡȤȚțȩ ĮʌȩțȠȝȝĮ ĲȦȞ șİĲȚțȫȞ ĮțİȡĮȓȦȞ ȝȒțȠȣȢ ț. ȉȫȡĮ, ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ Ȉ șĮ Ȝȑȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ: x ȆİʌİȡĮıȝȑȞȠ, ȩĲĮȞ İȓĲİ .., İȓĲİ Ȉ ` ț ȖȚĮ țȐʌȠȚȠ șİĲȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ ț. x ǱʌİȚȡȠ, ȩĲĮȞ Ȉ z țĮȚ ĲȠ Ȉ įİȞ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȠ ȝİ țȐʌȠȚȠ ĮȡȤȚțȩ ĮʌȩțȠȝȝĮ ĲȠȣ ` * . ǼȚįȚțȐ, ĮȞ ȖȚĮ ȑȞĮ ĮʌİȚȡȠıȪȞȠȜȠ Ȉ ȚıȤȪİȚ Ȉ ` , ĲȩĲİ Ȝȑȝİ ȩĲȚ ĲȠ Ȉ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȒıȚȝȠ. ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȆȡȠȘȖȠȣȝȑȞȦȢ ȝĮȢ ʌİȡȚȠȡȓıĮĲİ ĲȠȞ ȠȡȚıȝȩ ȖȚĮ ĲĮ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ıȪȞȠȜĮ ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌȠȣ įİȞ ȑȤȠȣȝİ ȐʌİȚȡĮ ıĲȠȚȤİȓĮ. ǻȘȜĮįȒ ĮȞ ȑȤȠȣȝİ ȐʌİȚȡĮ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȚ ıȣȝȕĮȓȞİȚ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ĬĮ ȟİțȚȞȒıȦ ȝİ țȐĲȚ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ıĮȢ ĳĮȞİȓ ʌİȡȓİȡȖȠ ıİ ʌȡȫĲȘ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ. ǼȞȫ ĲĮ ʌİʌİȡĮıȝȑȞĮ ıȪȞȠȜĮ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȝİ țȐʌȠȚȠ ȣʌȠıȪȞȠȜȩ ĲȠȣȢ, țȐĲȚ ĲȑĲȠȚȠ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ıȣȝȕİȓ ıĲĮ ĮʌİȚȡȠıȪȞȠȜĮ. ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȆȦȢ İȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩȞ ȞĮ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ȝİ ȣʌȠıȪȞȠȜȩ ĲȠȣȢ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ` ĲȦȞ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ` Į ĲȦȞ ĳȣıȚțȫȞ ȐȡĲȚȦȞ. ȉȩĲİ ȖȚĮ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f: ` o ` D ȝİ f(Ȟ)=2Ȟ, İȪțȠȜĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ «1-1» țĮȚ İʌȚʌȜȑȠȞ f ( ` ) ` Į , ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ` ` D

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/70

ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȉȠ ıȪȞȠȜȠ ] ĲȦȞ ĮțİȡĮȓȦȞ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȣʌİȡıȪȞȠȜȠ ĲȠȣ ` , İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȒıȚȝȠ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȡțİȓ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ʌȠȣ ȞĮ ĮʌȠțĮșȚıĲȐ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ȚıȠįȣȞĮȝȓĮ. ȉȚ ȜȑĲİ ȖȚĮ țt0 2 N, ¯ 2 N 1, ț<0

ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f : ] o ` ȝİ f ( N) ®

ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȅ ʌȡȫĲȠȢ țȜȐįȠȢ ĮʌİȚțȠȞȓȗİȚ ĲȠȣȢ ĳȣıȚțȠȪȢ ıĲȠȣȢ ȐȡĲȚȠȣȢ, ȩʌȦȢ ʌȡȚȞ, Ƞ įİȪĲİȡȠȢ ĲȠȣȢ ĮȡȞȘĲȚțȠȪȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ıĲȠȣȢ ʌİȡȚĲĲȠȪȢ,… ȞĮȚ İȓȞĮȚ ȝȚĮ țĮĲȐȜȜȘȜȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ. ǹȞĲȚıĲȡȩĳȦȢ, İȪțȠȜĮ ȕȡȓıțȠȣȝİ ȩĲȚ țȐșİ ȝȘ ĮȡȞȘĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ İȓȞĮȚ İȚțȩȞĮ țȐʌȠȚȠȣ ĮțİȡĮȓȠȣ, ȝȑıȦ ĲȘȢ f. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǼȓȞĮȚ «1-1». ȉȚ ȜȑĲİ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȃĮȚ… ǹĳȠȪ țȐșİ țȜȐįȠȢ ĲȘȢ İȓȞĮȚ «1-1». ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ĬĮ ȑȜİȖİȢ ĲȠ ȓįȚȠ țĮȚ ȖȚĮ ĲȘ ıȣȞȐȡ x 1, x t 2 . ¯4 x, x<2

țȡȒ ʌĮȡȑȞșİıȘ. ǹȞ ȑȤȠȣȝİ įȣȠ ıȪȞȠȜĮ ǹ, Ǻ ĲȩĲİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ ȩȜĮ ĲĮ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȠȣȢ (ĳȣıȚțȐ ĲĮ țȠȚȞȐ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲĮ ȖȡȐĳȠȣȝİ ȝȚĮ ĳȠȡȐ) ȜȑȖİĲĮȚ ȑȞȦıȘ ĲȦȞ ıȣȞȩȜȦȞ ǹ, Ǻ țĮȚ ıȣȝȕȠȜȓȗİĲĮȚ ȝİ . ǼʌȓıȘȢ, ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȞ ĲĮ țȠȚȞȐ ıĲȠȚȤİȓĮ ĲȦȞ ǹ, Ǻ ĲȠ Ȝȑȝİ ĲȠȝȒ ĲȦȞ ıȣȞȩȜȦȞ ǹ, Ǻ țĮȚ ĲȠ ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ ȝİ . ǹȢ İʌĮȞȑȜșȠȣȝİ ȩȝȦȢ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ ıĲĮȝĮĲȒıĮȝİ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȆȦȢ ȠȡȓȗȠȣȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ, ȩʌȦȢ Ƞ 2 , ʌȠȣ įİȞ İȓȞĮȚ ȡȘĲȠȓ. ȉȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ȩȜȠȣȢ ĮȣĲȠȪȢ, įȘȜĮįȒ ĮȞ ĲȠ ıȣȝȕȠȜȓıȠȣȝİ ȝİ \ _ , ĲȩĲİ

ĲȘıȘ ȝİ ĲȪʌȠ f (x) ®

\ _ {x \ | x _} .

ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȃĮȚ… ȀĮȚ ı’ ĮȣĲȒ țȐșİ țȜȐįȠȢ ĲȘȢ İȓȞĮȚ «1-1». ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȍȡĮȓĮ! ȂȠȣ ȕȡȓıțİȚȢ ıİ ʌĮȡĮțĮȜȫ ĲȠ f(1) țĮȚ ĲȠ f(2); ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȃĮȚ! f(1)=3, f(2)=3. ȍȤ…! ǼȓȞĮȚ ĲȠ ȓįȚȠ! ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: īȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ «1-1» ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f1 (x), x A ¯f 2 (x), x B

ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ f (x) ®

įİȞ Įȡțİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ «1-1» Ș f1 ıĲȠ ǹ țĮȚ Ș f2 ıĲȠ Ǻ. ǼțĲȩȢ Įʌȩ ĮȣĲȩ, ĮʌĮȚĲİȓĲĮȚ İʌȚʌȜȑȠȞ ȞĮ ȚıȤȪİȚ f1 (A) f 2 (B) țȐĲȚ ʌȠȣ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ıĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ʌȠȣ ȠȡȓıĮȝİ ʌȡȠȘȖȠȣȝȑȞȦȢ ıĲȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ țĮȚ įİȞ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ıĲȘȞ ĲİȜİȣĲĮȓĮ. īȚĮ ȞĮ ʌȡȠȜȐȕȦ ĲȘȞ İʌȩȝİȞȘ İȡȫĲȘıȒ, ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șĮ ıĮȢ įȫıȦ țȐʌȠȚİȢ ʌȜȘȡȠĳȠȡȓİȢ țĮȚ șȑȜȦ ȞĮ ȝȠȣ ĮʌĮȞĲȒıİĲİ ıİ ȝȚĮ İȡȫĲȘıȘ. ȉȠ ıȪȞȠȜȠ _ ĲȦȞ ȡȘĲȫȞ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȒıȚȝȠ țĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ \ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ įİȞ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȒıȚȝȠ, İȓȞĮȚ ȩʌȦȢ Ȝȑȝİ ȣʌİȡĮȡȚșȝȒıȚȝȠ țĮȚ Ș ȑȞȦıȘ įȣȠ ĮȡȚșȝȒıȚȝȦȞ ıȣȞȩȜȦȞ İȓȞĮȚ ıȪȞȠȜȠ ĮȡȚșȝȒıȚȝȠ. ȂʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ȝȠȣ ʌİȓĲİ ĲȚ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: «ǲȞȦıȘ»; ȉȚ İȞȞȠȠȪȝİ ȩĲĮȞ Ȝȑȝİ «ȑȞȦıȘ»; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǲȤİȚȢ įȓțȚȠ. ǹȞ țĮȚ ȑȤȠȣȝİ ĮȞĮĳȑȡİȚ ȒįȘ ĲȘȞ ĲȠȝȒ țĮȚ ȠȚ ȑȞȞȠȚİȢ ȠȡȓȗȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȤȠȜȚțȩ ȕȚȕȜȓȠ ǱȜȖİȕȡĮȢ ǹǯ ȁȣțİȓȠȣ, ĮȢ țȐȞȠȣȝİ ȝȚĮ ȝȚ-

ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ _ ( \ _) \ ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǺİȕĮȓȦȢ, ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȐȝİıĮ Įʌȩ ĲȠȞ ȠȡȚıȝȩ ĲȘȢ įȚĮĳȠȡȐȢ \ _ . ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȍȡĮȓĮ. ȉȩĲİ, ĮȞ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȒıȚȝȠ, ĲȠ ȓįȚȠ șĮ ıȣȝȕĮȓȞİȚ țĮȚ ȝİ ĲȘȞ ȑȞȦıȘ _ (\ _) \ , ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȐĲȠʌȠ, įȚȩĲȚ ȩʌȦȢ İȓʌĮȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ ȣʌİȡĮȡȚșȝȒıȚȝȠ. ǱȡĮ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ İȓȞĮȚ ȣʌİȡĮȡȚșȝȒıȚȝȠ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: īȚĮĲȓ ȩĲĮȞ ȝĮȢ ȝȚȜȐȞİ ȖȚĮ ȐȡȡȘĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȝĮȢ ĮȞĮĳȑȡȠȣȞ ʌȐȞĲĮ ĲȠ 2 ; ǻİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȖȡȐȥȠȣȝİ țȐʌȠȚȠ ȐȡȡȘĲȠ ȤȦȡȓȢ ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒıȠȣȝİ ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ ĲȘȢ ȡȓȗĮȢ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȅ ȜȩȖȠȢ ȖȚĮ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ıȤİįȩȞ ʌȐȞĲĮ ȩĲĮȞ ȝȚȜȐȝİ ȖȚĮ ȐȡȡȘĲȠȣȢ ĮȞĮĳȑȡȠȣȝİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 2 İȓȞĮȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ȚıĲȠȡȚțȩȢ. ǲȤİȚ ȞĮ țȐȞİȚ ȝİ ĲȘȞ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ, Įʌȩ ĲȠȣȢ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȣȢ, ĲȘȢ ȪʌĮȡȟȘȢ ȐȡȡȘĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ Ș ĮįȣȞĮȝȓĮ ĲȠȣȢ ȞĮ İțĳȡȐıȠȣȞ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ȝİ ʌȜİȣȡȐ 1 (ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ 2 ) ȝİ ȡȘĲȩ țȜȐıȝĮ (ȜȩȖȠ ȝİȖİșȫȞ). Ǿ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ ĮȣĲȒ, ʌȠȣ țĮĲȐ ʌȠȜȜȠȪȢ ȠĳİȓȜİĲĮȚ ıĲȠȞ ǴʌʌĮıȠ, İʌȑĳİȡİ țĮĲĮȜȣĲȚțȩ ʌȜȒȖȝĮ ıĲȘȞ țȠıȝȠșİȦȡȓĮ ĲȠȣȢ, ʌȠȣ ʌȡȑıȕİȣİ ȩĲȚ Ƞ țȩıȝȠȢ įȠȝİȓĲĮȚ țĮĲȐ ȡȘĲȩ ĲȡȩʌȠ, įȘȜĮįȒ ȩȜİȢ ȠȚ įȠȝȚțȑȢ ıȤȑıİȚȢ ĲȠȣ ıȪȝʌĮȞĲȠȢ İȓȞĮȚ ıȤȑıİȚȢ ȜȩȖȦȞ șİĲȚțȫȞ ĮțȑȡĮȚȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/71

ǹȜȜȐ ĮȢ ʌȡȠıʌĮșȒıȠȣȝİ ȞĮ ȖȡȐȥȠȣȝİ ȐȡȡȘĲȠ ĮȡȚșȝȩ ȤȦȡȓȢ ĲȘ ȤȡȒıȘ ĲȠȣ ıȣȝȕȩȜȠȣ ĲȘȢ ȡȓȗĮȢ. ǹʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ, ȩĲȚ țȐșİ ȡȘĲȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ, ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌĮȡĮıĲĮșİȓ ȝİ ĲȘ ȝȠȡĳȒ ʌİȡȚȠįȚțȠȪ įİțĮįȚțȠȪ țĮȚ ĮȞĲȓıĲȡȠĳĮ. ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĮȞ țĮĲĮıțİȣȐıȠȣȝİ ȑȞĮȞ ĮȡȚșȝȩ ȝİ ȐʌİȚȡĮ įİțĮįȚțȐ ȥȘĳȓĮ, ȤȦȡȓȢ ȞĮ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ʌİȡȚȠįȚțȒ İʌĮȞȐȜȘȥȘ țȐʌȠȚȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ĲȠȣ, ĲȩĲİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĮȣĲȩȢ İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ. ȉȚ ȜȑĲİ, Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 0,101001000100001…. İȓȞĮȚ ʌİȡȚȠįȚțȩȢ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȉȚ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȩ ȑȤİȚ ĮȣĲȩȢ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȂİĲȐ ĲȘȞ ȣʌȠįȚĮıĲȠȜȒ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ ȝȠȞȐįİȢ țĮȚ ȝȘįİȞȚțȐ, ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȥȘĳȓȠ İȓȞĮȚ Ș ȝȠȞȐįĮ, țĮȚ ĮȞȐȝİıĮ ıĲȘȞ ʌȡȫĲȘ țĮȚ ĲȘ įİȪĲİȡȘ ȝȠȞȐįĮ ȑȤȠȣȝİ ȑȞĮ ȝȘįİȞȚțȩ, ĮȞȐȝİıĮ ıĲȘ įİȪĲİȡȘ țĮȚ ĲȘȞ ĲȡȓĲȘ, įȪȠ ȝȘįİȞȚțȐ, ĮȞȐȝİıĮ ıĲȘȞ ĲȡȓĲȘ țĮȚ ĲȘȞ ĲȑĲĮȡĲȘ ĲȡȓĮ ȝȘįİȞȚțȐ țȠț. ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȅ ĲȡȩʌȠȢ ʌȠȣ ĲȠȞ țĮĲĮıțİȣȐıĮȝİ İȖȖȣȐĲĮȚ ȩĲȚ įİȞ ȑȤȠȣȝİ țȐʌȠȣ İʌĮȞȐȜȘȥȘ ĲȠȣ ȓįȚȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ, ȠʌȩĲİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹțȡȚȕȫȢ! ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȉȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ İȓȞĮȚ «ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ» Įʌȩ İțİȓȞȠ ĲȦȞ ȡȘĲȫȞ; ȀĮȚ ĮȞ ȞĮȚ, ʌȩıȠ «ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ» İȓȞĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ \ _ Įʌȩ ĲȠ Įʌȩ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ _ ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ ȝȚȜȒıȠȣȝİ ȜȓȖȠ ȖİȞȚțȩĲİȡĮ. ǹȣĲȩ ʌȠȣ įȚĮĳȠȡȠʌȠȚİȓ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ \ Įʌȩ ĲĮ ȐȜȜĮ ıȪȞȠȜĮ İȓȞĮȚ ĲȠ ȜİȖȩȝİȞȠ ĮȟȓȦȝĮ ĲȘȢ ʌȜȘȡȩĲȘĲĮȢ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȦȢ ıȣȞȑʌİȚĮ ĲȘȞ ʌȣțȞȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ıĲȠȚȤİȓȦȞ ĲȠȣ. ȋȐȡȘ ı’ ĮȣĲȒ țȦįȚțȠʌȠȚȒșȘțĮȞ țĮȚ țĮĲĮıțİȣȐıĲȘțĮȞ, Įʌȩ ĲȠȞ Dedekind, ȠȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ, ȝİ ȝȚĮ ȝȑșȠįȠ (ĲȠȝȑȢ Dedekind) ĲȚȢ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ ȠʌȠȓĮȢ ıȣȞĮȞĲȐȝİ ıİ İȡȖĮıȓĮ ĲȠȣ ǼȪįȠȟȠȣ ʌȠȣ ʌĮȡȠȣıȚȐıĲȘțİ ıĲȠ 5Ƞ ȕȚȕȜȓȠ ĲȦȞ ȈĲȠȚȤİȓȦȞ ĲȠȣ ǼȣțȜİȓįȘ. ȈĲȠ ıȪȞȠȜȠ \ , șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȝİ ȞĮ ʌȠȪȝİ ȩĲȚ įİȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ «ĲȡȪʌİȢ». ȉȩıȠ ȠȚ ȡȘĲȠȓ, ȩıȠ țĮȚ ȠȚ ȐȡȡȘĲȠȚ İȓȞĮȚ ʌȣțȞȠȓ ıĲȠ \ . ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȉȚ ıȘȝĮȓȞİȚ ĮȣĲȩ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǵĲȚ ĮȞȐȝİıĮ ıİ įȣȠ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, ȣʌȐȡȤİȚ ʌȐȞĲĮ ȑȞĮȢ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ ȡȘĲȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ǺȑȕĮȚĮ, ĮȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ıĲȘȞ ʌȡȐȟȘ, ȩĲȚ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȐʌİȚȡȠȚ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȂʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ȝĮȢ ĲȠ ĮʌȠįİȓȟİĲİ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ ʌȠȣ ȑȤȦ ȣʌȩȥȘ ȝȠȣ įİȞ

İȓȞĮȚ ĲȩıȠ ĮʌȜȒ. ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ ĲȘȞ ǹȡȤȚȝȒįİȚĮ ȚįȚȩĲȘĲĮ (ʌȠȣ ıȤİĲȓȗİĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ ʌȜȘȡȩĲȘĲĮ) ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ , țĮȜȩ İȓȞĮȚ ȞĮ ĲȘȞ ĮʌȠĳȪȖȠȣȝİ. ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȉȚ ȜȑİȚ Ș ǹȡȤȚȝȒįİȚĮ ȚįȚȩĲȘĲĮ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: īȚĮ ȞĮ ĲȠ ʌȠȪȝİ ȝİ ĮʌȜȐ ȜȩȖȚĮ, ȜȑİȚ ȩĲȚ, ĮȞ ʌȐȡȠȣȝİ įȣȠ șİĲȚțȠȪȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į (ȠıȠįȒʌȠĲİ ȝȚțȡȩ) țĮȚ ȕ (ȠıȠįȒʌȠĲİ ȝİȖȐȜȠ) ȝʌȠȡȠȪȝİ ʌȐȞĲĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ȑȞĮ șİĲȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ Ȟ ȫıĲİ Ȟ Į ! ȕ. īȚĮ ȞĮ İʌĮȞȑȜșȠȣȝİ ȩȝȦȢ ıĲȠ șȑȝĮ ȝĮȢ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȠȪȝİ țȐʌȠȚĮ ʌȡȠțĮĲĮȡĲȚțȐ țĮȚ țĮĲȩʌȚȞ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ĲȘȞ ʌȣțȞȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ ıĲȠ \ . ĭĮȞĲȐȗȠȝĮȚ ȞĮ ıȣȝĳȦȞİȓĲİ ȩĲȚ ȠȚ ʌȡȐȟİȚȢ ȝİĲĮȟȪ ȡȘĲȫȞ įȓȞȠȣȞ ȦȢ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ȡȘĲȩ ĮȡȚșȝȩ. ǵʌȦȢ Ȝȑȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȡȘĲȫȞ İȓȞĮȚ țȜİȚıĲȩ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȡȐȟİȚȢ ĲȘȢ ʌȡȩıșİıȘȢ țĮȚ ĲȠȣ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪ (țĮȚ ĲȚȢ «ʌĮȡȐȖȦȖİȢ» ĲȠȣȢ ĮĳĮȓȡİıȘ țĮȚ įȚĮȓȡİıȘ). ȉȚ ȜȑĲİ, ıȣȝȕĮȓȞİȚ ĲȠ ȓįȚȠ țĮȚ ȝİ ĲȠȣȢ ȐȡȡȘĲȠȣȢ; ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: īȚĮĲȓ ȩȤȚ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȂȘ ȕȚȐȗİıĲİ! ǹȞ șİȦȡȒıȠȣȝİ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ (įȚĮĳȠȡȐ) İȞȩȢ ȡȘĲȠȪ țĮȚ İȞȩȢ ȐȡȡȘĲȠȣ, ȩʌȦȢ İʌȓıȘȢ țĮȚ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ (ʌȘȜȓțȠ) ĲȠȣȢ İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ, ʌȠȣ ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ İȪțȠȜĮ ȝİ ĮʌĮȖȦȖȒ ıİ ȐĲȠʌȠ, ĲȩĲİ ĲȚ ȜȑĲİ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ 2 3 țĮȚ 2 3 ; ȂĮșȘĲȒȢ ī: ǼȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȚ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȉȚ ȑȤİĲİ ȞĮ ʌİȓĲİ ȖȚĮ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ țĮȚ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ĲȠȣȢ; ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȉȠ ȐșȡȠȚıȝĮ İȓȞĮȚ 4 țĮȚ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ İȓȞĮȚ 1. ǼȓȞĮȚ țĮȚ ȠȚ įȣȠ ȡȘĲȠȓ. ȉȚ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ȩȝȦȢ ȝİ ĲȚȢ įȣȞȐȝİȚȢ ȐȡȡȘĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǻİȞ șĮ ȒșİȜĮ ȞĮ İʌİțĲĮșȠȪȝİ ıİ ʌİȡȚʌĲȦıȚȠȜȠȖȓĮ. ȂȚĮȢ ȩȝȦȢ țĮȚ ĲȠ ȑșİıİȢ, ĲȚ ȜȑĲİ ȣʌȐȡȤİȚ įȪȞĮȝȘ ȝİ ȐȡȡȘĲȘ ȕȐıȘ țĮȚ ȐȡȡȘĲȠ İțșȑĲȘ ʌȠȣ ȞĮ įȓȞİȚ ȡȘĲȩ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ; ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǹȞ İȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩȞ! 2

ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȉȚ ȜȑĲİ ȖȚĮ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 2 ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ȡȘĲȩȢ Ȓ ȐȡȡȘĲȠȢ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ įȠȪȝİ ȝȚĮ ȑȝȝİıȘ ĮʌȩįİȚȟȘ. ȉȚ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ĮȣĲȩȢ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ; ȂĮșȘĲȒȢ ī: ǼȓĲİ ȡȘĲȩȢ, İȓĲİ ȐȡȡȘĲȠȢ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȞ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ȡȘĲȩȢ, ĲȩĲİ ȕȡȒțĮȝİ ĮȣĲȩ ʌȠȣ șȑȜĮȝİ įȘȜĮįȒ ȐȡȡȘĲȘ ȕȐıȘ ıİ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/72

ȐȡȡȘĲȠ İțșȑĲȘ ȞĮ įȓȞİȚ ȡȘĲȩ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȀĮȚ ĮȞ İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ

ĲȠȢ. ȉȩĲİ ĲȚ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ȝİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ Ƚ ȂĮșȘĲȒȢ ī: ǼȓȞĮȚ ȡȘĲȩȢ, ĮĳȠȪ Į

§ 2 ¨ ©

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ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǹȣĲȩ ĲȫȡĮ İȓȞĮȚ ĮʌȩįİȚȟȘ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǺİȕĮȓȦȢ! ȂȒʌȦȢ ȟȑȡİĲİ ʌȠȚĮ ĮȡȤȒ İĳĮȡȝȩıĮȝİ İįȫ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȃĮȚ. ȉȘȞ ĮȡȤȒ ĲȘȢ ĮʌȩțȜȚıȘȢ ĲȡȓĲȠȣ. ǻȘȜĮįȒ İįȫ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Ȓ ȑȤİȚ ȝȚĮ ȚįȚȩĲȘĲĮ Ȓ įİȞ ĲȘȞ ȑȤİȚ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȆȡĮȖȝĮĲȚțȐ. ȂʌȠȡİȓ ȞĮ ıĮȢ ȟİȞȓȗİȚ, ĮȜȜȐ ȣʌȐȡȤİȚ ȡİȪȝĮ ıĲȘ ĳȚȜȠıȠĳȓĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ʌȠȣ įİȞ ĮʌȠįȑȤİĲĮȚ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ĮȡȤȒ țĮȚ ıȣȞİʌȫȢ įİȞ įȑȤİĲĮȚ ĲȑĲȠȚİȢ ĮʌȠįİȓȟİȚȢ. ǼȓȞĮȚ ȠȚ ȜİȖȩȝİȞȠȚ ȚȞĲȠȣȧıȚȠȞȚıĲȑȢ (intuition) ȝİ țȪȡȚȠ İțĳȡĮıĲȒ ĲȠȣȢ ĲȠȞ ȅȜȜĮȞįȩ ȂĮșȘȝĮĲȚțȩ Brower ʌȠȣ ıĲȘȡȓȗȠȞĲĮȚ ıĲȘȞ İʌȠʌĲİȓĮ, ĲȘȞ țĮĲĮıțİȣȒ țĮȚ ȝȚĮ İȞĮȜȜĮțĲȚțȒ ıȪȜȜȘȥȘ ĲȘȢ ȜȠȖȚțȒȢ. ǹȢ țȜİȓıȠȣȝİ ȩȝȦȢ İįȫ ĲȘȞ ʌĮȡȑȞșİıȘ, ĮȞĮĳȑȡȠȞĲȐȢ ıĮȢ ȩĲȚ, ʌȡȐȖȝĮĲȚ ȩʌȦȢ ȑȤİȚ ĮʌȠįİȚȤșİȓ Ƞ Į2

ȡȚșȝȩȢ 2 İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ (İȓȞĮȚ Ș ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ ʹ ʹ ʌȠȣ ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ȦȢ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ Gelfand – Schneider țĮȚ İȓȞĮȚ ȣʌİȡȕĮĲȚțȩȢ). ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȀĮȚ ʌȦȢ șĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȩĲȚ, ĮȞȐȝİıĮ ıİ įȣȠ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ȣʌȐȡȤİȚ ʌȐȞĲĮ țȐʌȠȚȠȢ ȐȜȜȠȢ ȐȡȡȘĲȠȢ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ șİȦȡȒıȠȣȝİ įȣȠ įȚĮĳȠȡİĲȚțȠȪȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ. ȉȩĲİ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĮȣĲȐ ʌȠȣ İȓʌĮȝİ ʌȡȠȘȖȠȣȝȑȞȦȢ, ĮȞȐȝİıĮ ıĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ

țĮȚ

ȕ 2

ȣʌȐȡȤİȚ ȑȞĮȢ ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ

ȡȘĲȩȢ ȡ. ȉȩĲİ Į

Į ȡ 2 ȕ 2 2 ȝİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ȡ 2 , ʌȠȣ ȕȡȓıțİĲĮȚ ĮȞȐȝİıĮ ıĲȠȣȢ

Į, ȕ ȞĮ İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǻİȞ ĮʌĮȞĲȒıĮȝİ ȩȝȦȢ ıĲȘȞ İȡȫĲȘıȘ ʌȩıȠ ʌȚȠ ȝİȖȐȜȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ Įʌȩ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȡȘĲȫȞ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ ʌİȡȚȠȡȚıĲȠȪȝİ ıĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ [0, 1]. ǹʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤȠȞĲĮȚ ı’ ĮȣĲȩ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȠ ȝİ ĲȠ ıȪ-

ȞȠȜȠ ĲȠ [0, 1]. ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȂĮ ʌȦȢ İȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩȞ; ǻİȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȡȘĲȠȓ İțİȓ ȝȑıĮ; ǻİȞ İȓȞĮȚ ĲȠ 0, 5; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǺİȕĮȓȦȢ. ȊʌȐȡȤȠȣȞ țĮȚ ȝȐȜȚıĲĮ ȐʌİȚȡȠȚ! ȈĲĮ ǹȞȫĲİȡĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ ıĲȘ ĬİȦȡȓĮ ȂȑĲȡȠȣ, ĮʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȩıȠ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ, ȩıȠ țĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ ĲȠȣ [0, 1] ȑȤȠȣȞ «ȝȑĲȡȠ» ȓıȠ ȝİ ĲȘ ȝȠȞȐįĮ, İȞȫ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȡȘĲȫȞ ĲȠȣ ȓįȚȠȣ įȚĮıĲȒȝĮĲȠȢ ȑȤİȚ ȝȑĲȡȠ ȝȘįȑȞ. ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȀĮȚ ĲȚ ıȘȝĮȓȞİȚ ĮȣĲȩ; ǻȘȜĮįȒ ȠȚ «țĮȜȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ», ȠȚ ȡȘĲȠȓ ʌȠȣ ȟȑȡȠȣȝİ İȓȞĮȚ ȑȞĮ ĲȓʌȠĲĮ ȝʌȡȠıĲȐ ıĲȠȣȢ ȐȜȜȠȣȢ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȊʌȐȡȤȠȣȞ țĮȚ ȐȜȜĮ ʌȠȣ șĮ ıĮȢ ĳĮȞȠȪȞ ȜȓȖȠ ʌİȡȓİȡȖĮ. ǹʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ ȩĲȚ ĲĮ ıȪȞȠȜȠ [0, 1] İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȠ ȝİ ĲȠ \ , țĮȚ țȐșİ ĲȑĲȠȚȠ ıȪȞȠȜȠ Ȝȑȝİ ȩĲȚ ȑȤİȚ ĲȘȞ ȚıȤȪ ĲȠȣ ıȣȞİȤȠȪȢ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȉȚ İȓȞĮȚ ʌȐȜȚ ĮȣĲȩ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȋȦȡȓȢ ȞĮ ȟİĳİȪȖȠȣȝİ șĮ ıĮȢ ʌȦ ĮʌȜȐ įȣȠ ȜȩȖȚĮ. Ǿ ȣʌȩșİıȘ ĲȠȣ ıȣȞİȤȠȪȢ įȚĮĲȣʌȦȝȑȞȘ Įʌȩ ĲȠȞ ȚįȡȣĲȒ ĲȘȢ șİȦȡȓĮȢ ıȣȞȩȜȦȞ, ĲȠ īİȡȝĮȞȩ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ Cantor, ʌȡȠȕȜȑʌİȚ ȩĲȚ ĮȞȐȝİıĮ ıĲȘȞ ĮʌİȚȡȓĮ ĲȦȞ ĳȣıȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ (ĮȡȚșȝȒıȚȝȘ ĮʌİȚȡȓĮ), ʌȠȣ ĮʌİȚțȠȞȓȗİĲĮȚ ȝİ ıȘȝİȓĮ țĮȚ ĲȘȞ ĮʌİȚȡȓĮ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ («įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮ» ĮʌİȚȡȓĮ), ʌȠȣ ĮʌİȚțȠȞȓȗȠȞĲĮȚ ȦȢ ȝȚĮ (ıȣȞİȤȒȢ) ȖȡĮȝȝȒ, įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ İȞįȚȐȝİıȠ İʌȓʌİįȠ (ĮʌİȚȡȓĮȢ). ǹȣĲȩ, ĮʌȜȐ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ ĮʌİȚȡȠıȪȞȠȜȠ ĲȠȣ \ ʌȠȣ įİȞ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȒıȚȝȠ, ȑȤİȚ ʌİȡȐıİȚ ıĲȘȞ İʌȩȝİȞȘ ȕĮșȝȓįĮ ĮʌİȚȡȓĮȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ İțİȓȞȘ ĲȠȣ \ , įȘȜĮįȒ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȠ ȝİ ĲȘȞ İȣșİȓĮ ĲȦȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. ȉȘȞ ȣʌȩșİıȘ ĲȠȣ ıȣȞİȤȠȪȢ ıȣȝʌİȡȚȑȜĮȕİ ȦȢ ʌȡȫĲȠ ȝȑıĮ ıĲĮ 23 ȟĮțȠȣıĲȐ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȐ ĲȠȣ Ƞ Hilbert ȦȢ ʌȡȩțȜȘıȘ ȖȚĮ ĲȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ țȠȚȞȩĲȘĲĮ ıĲȘȞ ĮȞĮĲȠȜȒ ĲȠȣ 20Ƞȣ ĮȚȫȞĮ. ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǼȓʌĮĲİ ȩĲȚ ĲȠ (0, 1) İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȠ ȝİ ĲȠ ; Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ İȓȞĮȚ ȝȑıĮ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ʌȠȣ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǺİȕĮȓȦȢ! ǹȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠțĮĲĮıĲȒıȠȣȝİ ȝȚĮ ȑȞĮ ʌȡȠȢ ȑȞĮ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȚıȘ ĲȦȞ ıĲȠȚȤİȓȦȞ ĲȠȣȢ. ǹȢ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ x f (x) ln . ȆȠȚȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ; 1 x ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȆȡȑʌİȚ țĮȚ Įȡțİȓ:

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/73

x ! 0, (1) } țĮȚ 1 x (1) x(x 1) 0 0 x 1 .

{ x z 1 țĮȚ

ǱȡĮ, f

(0, 1) .

ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǻİȞ ʌȡȑʌİȚ ĲȫȡĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș f İȓȞĮȚ ȑȞĮ ʌȡȠȢ ȑȞĮ țĮȚ ȑȤİȚ ıȪȞȠȜȠ ĲȚȝȫȞ ĲȠ ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǻİȞ İȓȞĮȚ ĮʌĮȡĮȓĲȘĲȠ. ǹȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ f(x)=y, ȑȤİȚ ȖȚĮ țȐșİ y ȝȠȞĮįȚțȒ ȜȪıȘ, ȦȢ ʌȡȠȢ x, ıĲȠ (0, 1). ȉȚ ȜȑĲİ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǻİȞ șĮ țȐȞȠȣȝİ įȘȜĮįȒ, ȩĲȚ țȐȞȠȣȝİ țĮȚ ȩĲĮȞ ʌȡȠıʌĮșȠȪȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲȘȞ ĮȞĲȓıĲȡȠĳȘ ȝȚĮȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ʌȠȣ ʌȡȫĲĮ ĮʌȠįİȚțȞȪȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ȑȞĮ ʌȡȠȢ ȑȞĮ țĮȚ ȝİĲȐ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ f(x)=y; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȣĲȩ İȓȞĮȚ ʌİȡȚĲĲȩ. īȚĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ İȓȞĮȚ ȑȞĮ ʌȡȠȢ ȑȞĮ, Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ f(x)=y, ȑȤİȚ ȖȚĮ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ y , ĲȠ ʌȠȜȪ ȝȚĮ ȜȪıȘ ıĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ f, țȐĲȚ ʌȠȣ ȑĲıȚ țĮȚ ĮȜȜȚȫȢ țȐȞȠȣȝİ ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ĲȘȢ ĮȞĲȓıĲȡȠĳȘȢ, ȩʌȠȣ ȠȚ ʌȚșĮȞȠȓ ʌİȡȚȠȡȚıȝȠȓ ȖȚĮ ĲȠ y ȠȡȚȠșİĲȠȪȞ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ĮȞĲȓıĲȡȠĳȘȢ. Ǽįȫ ʌȠȣ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ȑȤİȚ ıȪȞȠȜȠ ĲȚȝȫȞ ĲȠ , Įȡțİȓ Ș İȟȓıȦıȘ ĮȣĲȒ ȞĮ ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ȝȚĮ ȜȪıȘ, ȖȚĮ țȐșİ y . ȉȚ ȜȑĲİ șĮ ȕȠȘșȒıİȚ țȐʌȠȚȠȢ; ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȃĮ ȜȑȦ İȖȫ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȃĮȚ. ȆȐȝİ! ȂĮșȘĲȒȢ ī: Ȃİ x (0, 1) ȑȤȠȣȝİ: y ln

f (x)

x 1 x

x 1 1 e y 1 x x

1 x

1 e y x

e y

1 1 e y

țĮȚ ʌȡȠĳĮȞȫȢ x (0, 1) . ǱȡĮ Ș f İȓȞĮȚ ȑȞĮ ʌȡȠȢ ȑȞĮ țĮȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȚȝȫȞ ĲȘȢ İȓȞĮȚ ĲȠ . ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȂȚĮ țĮȚ ıȣȗȘĲȐȝİ ȖȚĮ ĲȘȞ İıȦĲİȡȚțȒ įȠȝȒ ĲȠȣ , ĮȢ įȠȪȝİ țĮȚ ȝȚĮ ĮțȩȝĮ țĮĲȘȖȠȡȚȠ-

ʌȠȓȘıȘ ʌȠȣ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĮȣĲȩ. ǲȞĮȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ İȓĲİ ĮȜȖİȕȡȚțȩȢ İȓĲİ ȣʌİȡȕĮĲȚțȩȢ. ǹȜȖİȕȡȚțȩȢ ȜȑȖİĲĮȚ ȑȞĮȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȡ, ȩĲĮȞ ȣʌȐȡȤİȚ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ ȇ(x)=0, ȝİ

ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ıȣȞĲİȜİıĲȑȢ ʌȠȣ ȑȤİȚ ȡȓȗĮ ĲȠ ȡ. ȀȐșİ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ įİȞ İȓȞĮȚ ǹȜȖİȕȡȚțȩȢ ȜȑȖİĲĮȚ ȣʌİȡȕĮĲȚțȩȢ. ȂĮșȘĲȒȢ: ȅȚ ȡȘĲȠȓ İȓȞĮȚ ǹȜȖİȕȡȚțȠȓ țĮȚ ȠȚ ȐȡȡȘĲȠȚ ȊʌİȡȕĮĲȚțȠȓ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ ȝȘ ȕȚĮȗȩȝĮıĲİ. ĭȣıȚțȐ țȐșİ ȡȘĲȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ İȓȞĮȚ ǹȜȖİȕȡȚțȩȢ. ǻİȞ İȓȞĮȚ ȩȝȦȢ ıȦıĲȩ ȩĲȚ țȐșİ ȐȡȡȘĲȠȢ İȓȞĮȚ ȣʌİȡȕĮĲȚțȩȢ. īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ Ƞ 2 İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x 2 2 0 . ȂĮșȘĲȒȢ: ȃĮȚ. ȂȒʌȦȢ İȓȞĮȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ, ĮȢ ʌȠȪȝİ ȩʌȦȢ Ƞ 2 3 ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǼȓʌĮȝİ ȞĮ ȝȘ ȕȚĮȗȩȝĮıĲİ. ǹȜȜȐ ĮĳȠȪ ĲȠ ȑșİıİȢ, ĮȢ ȠȞȠȝȐıȠȣȝİ Į ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ĮȣĲȩ. ȉȩĲİ ȑȤȠȣȝİ: Į2 Į D3

2 3 2 6 Į2

5 2 5 3 4 3 6 2 D3

11 2 9 3 (11 2 9 3)( 2 3)

D4 D4

5 2 6

(5 2 6)( 2 3)

22 27 11 6 9 6 D 4

49 20 6

ȠʌȩĲİ Į 4 10Į 2

(49 20 6) 10 (5 2 6)

Į 10Į 1 0 4

ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Į İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ x 4 10x 2 1 0 . ȆĮȡİȝʌȚʌĲȩȞĲȦȢ, ȝʌȠȡȠȪȝİ İȪțȠȜĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș İȟȓıȦıȘ ĮȣĲȒ įİȞ ȑȤİȚ ȡȘĲȒ ȡȓȗĮ, ȠʌȩĲİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 2 3 İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ. ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȆȦȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ įİȞ ȑȤİȚ ȡȘĲȒ ȡȓȗĮ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: īȚĮ ȞĮ ȝȘȞ İʌİțĲĮșȠȪȝİ ıĲȠ șİȫȡȘȝĮ ȡȘĲȫȞ ȡȚȗȫȞ ıİ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ ȝİ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ıȣȞĲİȜİıĲȑȢ, ıĮȢ ĮȞĮĳȑȡȦ ĮʌȜȐ, ȩĲȚ: ǹȞ ȝȚĮ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒ İȟȓıȦıȘ ȝİ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ıȣȞĲİȜİıĲȑȢ ȑȤİȚ ȝİȖȚıĲȠȕȐșȝȚȠ ıȣȞĲİȜİıĲȒ ȓıȠ ȝİ ĲȘ ȝȠȞȐįĮ, ĲȩĲİ ȠȚ ȡȘĲȑȢ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ İȓȞĮȚ ĮțȑȡĮȚİȢ țĮȚ ĲȚȢ ĮȞĮȗȘĲȠȪȝİ ȝȑıĮ Įʌȩ ĲȠȣȢ įȚĮȚȡȑĲİȢ ĲȠȣ ıĲĮșİȡȠȪ ȩȡȠȣ. ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȀĮĲȐȜĮȕĮ. Ǽįȫ ȠȪĲİ ĲȠ 1 ȠȪĲİ ĲȠ ͳ İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǻİȞ șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȝİ İįȫ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 2 3 ȝİ ȐĲȠʌȠ; ȃĮ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ȡȘĲȩȢ țĮȚ ȝİĲȐ Įʌȩ ȑȞĮ Ȓ įȣȠ ĲİĲȡĮȖȦȞȚıȝȠȪȢ ȞĮ țĮĲĮȜȒȟȠȣȝİ ıĲȠ ȐĲȠʌȠ «ȡȘĲȩȢ = ȐȡȡȘĲȠȢ». ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǺİȕĮȓȦȢ. ǹȞ įİ ʌȐȡȠȣȝİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/74

2 3 ĲȩĲİ İȓȞĮȚ ʌȡȠĲȚȝȩĲİȡȠ ĮȣĲȩ ʌȠȣ İȓʌİȢ,

ĮĳȠȪ Ș ʌȜȒȡȘ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ĲȘȢ įȚĮįȚțĮıȓĮȢ ʌȠȣ İȓįĮȝİ ʌȡȠȘȖȠȣȝȑȞȦȢ, ȠįȘȖİȓ ıĲȘȞ İȟȓıȦıȘ x 6 9x 4 4x 3 27x 2 36x 23

Ȉİ ȐȜȜİȢ ȩȝȦȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ, ȩʌȦȢ ȖȚĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ɐɓɋʹͲɍ İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ, țĮĲĮĳİȪȖȠȣȝİ ıĲȘȞ įȚĮįȚțĮıȓĮ ıȤȘȝĮĲȚıȝȠȪ İȟȓıȦıȘȢ. ȈȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ, ȝȑıȦ ĲȠȣ ĲȪʌȠȣ VXQ3D

4VXQ 3 D 3VXQD

ȠįȘȖȠȪȝĮıĲİ ıĲȘȞ İȟȓıȦıȘ 8x 3 6x 1 0 ʌȠȣ įİȞ ȑȤİȚ ȡȘĲȒ ȡȓȗĮ īȚĮ ȞĮ İʌĮȞȑȜșȠȣȝİ ȩȝȦȢ ıĲȘ ıȣȗȒĲȘıȒ ȝĮȢ, ȖİȞȚțȐ Ș ȞȚȠıĲȒ ȡȓȗĮ ȠʌȠȚȠȣįȒʌȠĲİ șİĲȚțȠȪ ĮțȑȡĮȚȠȣ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȩȢ ĮȜȖİȕȡȚțȩȢ. ǼʌȓıȘȢ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ įȣȠ ĲȑĲȠȚȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ İʌȓıȘȢ ĮȜȖİȕȡȚțȩȢ. ȀĮȚ ȖȚĮ ȞĮ ıĮȢ ʌȡȠȜȐȕȦ, ıĮȢ ȜȑȦ ȩĲȚ ȑȤİȚ ĮʌȠįİȚȤĲİȓ ȩĲȚ ȠȚ ȖȞȦıĲȠȓ ȝĮȢ ĮȡȚșȝȠȓ ʌ țĮȚ e İȓȞĮȚ ȣʌİȡȕĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ. ȀĮȚ ĲİȜİȚȫȞȦ ȝİ țȐĲȚ ĮțȩȝĮ ʌȚȠ İȞĲȣʌȦıȚĮțȩ. Ǿ ȠȡȚıĲȚțȒ ĮʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȠȣ ĲİĲȡĮȖȦȞȚıȝȠȪ ĲȠȣ țȪțȜȠȣ ȝİ țĮȞȩȞĮ țĮȚ įȚĮȕȒĲȘ, ʌȠȣ ĮʌĮıȤȩȜȘıİ ĲȘ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ țȠȚȞȩĲȘĲĮ ȖȚĮ İȓțȠıȚ ʌİȡȓʌȠȣ ĮȚȫȞİȢ, įȩșȘțİ ȝȑıĮ Įʌȩ ĲȘȞ ȣʌİȡȕĮĲȚțȩĲȘĲĮ ĲȠȣ ʌ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȆȩıȠȚ İȓȞĮȚ ĮȣĲȠȓ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹʌȠįİȚțȞȪİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ ĮȡȚșȝȒıȚȝȠ. ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȣʌİȡȕĮĲȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ İȓȞĮȚ ȣʌİȡĮȡȚșȝȒıȚȝȠ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹțȡȚȕȫȢ. ǹĳȠȪ ȩʌȦȢ ȑȤȠȣȝİ ȒįȘ ĮȞĮĳȑȡİȚ, ĲȠ \ İȓȞĮȚ ȣʌİȡĮȡȚșȝȒıȚȝȠ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǻȘȜĮįȒ, ĮȞ țĮĲȐȜĮȕĮ țĮȜȐ, țĮȚ ȝȑıĮ ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ ĲȦȞ ȐȡȡȘĲȦȞ ȠȚ «țĮȜȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ», įȘȜĮįȒ ȠȚ ĮȜȖİȕȡȚțȠȓ İȓȞĮȚ ȑȞĮ ĲȓʌȠĲĮ ȝʌȡȠıĲȐ ıĲȠȣȢ ȐȜȜȠȣȢ! ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ țȐȞȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȝȚĮ ʌȡȫĲȘ ʌȡȠıʌȐșİȚĮ ȞĮ İȟȠȚțİȚȦșȠȪȝİ ıİ ȐʌİȚȡİȢ įȚĮįȚțĮıȓİȢ. ǹȢ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ D 0,999999... ȩʌȠȣ ȝİĲȐ ĲȘȞ ȣʌȠįȚĮıĲȠȜȒ șİȦȡȠȪȝİ ȩĲȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȚĮ ĮĲȑȡȝȠȞȘ įȚĮįȠȤȒ Įʌȩ ĲĮ ȥȘĳȓȠ 9 țĮȚ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ȕ=1. ȆȠȚȠȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ įȣȠ șİȦȡİȓĲĮȚ ȩĲȚ İȓȞĮȚ Ƞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ; ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ĭȣıȚțȐ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ȕ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȂȐȜȚıĲĮ. ȂȒʌȦȢ ȝʌȠȡİȓȢ ȞĮ ȝȠȣ ȕȡİȚȢ țȐʌȠȚȠ ĮȡȚșȝȩ ʌȠȣ ȞĮ İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ Įʌȩ ĲȠ Į țĮȚ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ Įʌȩ ĲȠ ȕ;

ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǼȓȞĮȚ ȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ Ȗ ʌȠȣ, ȝİĲȐ ĲȘȞ ȣʌȠįȚĮıĲȠȜȒ, ĮĳȠȪ ȖȡȐȥȠȣȝİ ȩıİȢ ĳȠȡȑȢ șȑȜȠȣȝİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 9, ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ȖȡȐĳȠȣȝİ ȦȢ ĲİȜİȣĲĮȓȠ ȥȘĳȓȠ ĲȠ 1. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȂȐȜȚıĲĮ. ȉİȜİȚȫȞİȚ țȐʌȠȣ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Į= 0, 9 ȫıĲİ ȞĮ ȑȤİȚȢ ĲȘ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ȞĮ İʌȚıȣȞȐ-

ȥİȚȢ ȑȞĮ İʌȚʌȜȑȠȞ ȥȘĳȓȠ ʌȠȣ șĮ İȓȞĮȚ ĲȠ 1; ǹȞ ĮȞĲȓ ȖȚĮ ĲȘ ȝȠȞȐįĮ İȖȫ ȕȐȜȦ ĲȠ 9, ĲȩĲİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ʌȠȣ ʌĮȓȡȞȦ įİȞ İȓȞĮȚ «ĲȝȒȝĮ ĲȠȣ Į» țĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ ĲȠȣ Ȗ; ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȂȒʌȦȢ İȓȞĮȚ ȓıȠȚ; ȂȒʌȦȢ ĮȣĲȩ ıȤİĲȓȗİĲĮȚ ȝİ ĲȘȞ ʌȣțȞȩĲȘĲĮ ʌȠȣ ȜȑȖĮȝİ ʌȡȠȘȖȠȣȝȑȞȦȢ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ įȠȪȝİ ȜȠȚʌȩȞ ĲȚ ıȣȝȕĮȓȞİȚ. ȂʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ȝȠȣ ʌİȓĲİ ʌȠȚȠȢ İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 10Į; ȂĮșȘĲȒȢ ī: ĭȣıȚțȐ. ǿıȤȪİȚ: 10Į= 9,99999... ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ĭĮȞĲȐȗȠȝĮȚ ȞĮ ıȣȝĳȦȞİȓĲİ ȩĲȚ 10Į 9,9 . ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǺİȕĮȓȦȢ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȖȡȐȥȠȣȝİ ȩĲȚ 10Į Į 9, 9 0, 9 9Į 9 Į 1 . ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȀȚ ȩȝȦȢ, İȝȑȞĮ İȟĮțȠȜȠȣșİȓ ȞĮ ȝȠȣ ĳĮȓȞİĲĮȚ ʌİȡȓİȡȖȠ! ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĲȠ įȚĮʌȚıĲȫıȠȣȝİ țĮȚ ȝİ ȐȜȜȠ ĲȡȩʌȠ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǺİȕĮȓȦȢ. ǹȢ įȠȪȝİ țĮȚ ȑȞĮ ȐȜȜȠ ĲȡȩʌȠ, ȓıȦȢ ʌȚȠ ʌȡȠıȚĲȩ. ȂʌȠȡİȓȢ ȞĮ ȝȠȣ ȖȡȐȥİȚȢ ıİ ʌĮȡĮțĮȜȫ, ȝİ ȝȠȡĳȒ ʌİȡȚȠįȚțȠȪ ȡȘĲȠȪ ĲĮ țȜȐıȝĮ-

ĲĮ

1 2 țĮȚ ; 3 3

ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȃĮȚ. ǻİȞ İȓȞĮȚ įȪıțȠȜȠ. ǼȓȞĮȚ 1 3

0, 3 țĮȚ

2 3

0, 6 .

ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǻİȞ ȞȠȝȓȗȦ ȞĮ įȚĮĳȦȞİȓ țĮȞȑȞĮȢ ȝİ ĲȚȢ İʌȩȝİȞİȢ ȚıȩĲȘĲİȢ. 0,99999.... 0, 9

0, 3 0, 6

1 2 1 3 3

ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȀĮȚ ȩȝȦȢ İȓȞĮȚ ȑĲıȚ! ȂĮșȘĲȒȢ ī: ǻȘȜĮįȒ Ș ȖȡĮĳȒ İȞȩȢ ĮȡȚșȝȠȪ ıĲȠ įİțĮįȚțȩ ıȪıĲȘȝĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȒ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǵȤȚ ȖȚĮ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. ǹȞ ʌȐȡȠȣȝİ ȖȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 0, 003 ĲȩĲİ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĲȠȞ ȖȡȐȥȠȣȝİ 0, 02999...

ǹȣĲȩ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ȝİ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ x ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ x

N , N `*, Q ` . īȚĮ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ ȐȜ10Q

ȜȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ, Ș ȖȡĮĳȒ İȓȞĮȚ ȩȞĲȦȢ ȝȠȞĮįȚțȒ.

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/75

ǹȜȜȐ, ĮȢ įȠȪȝİ țĮȚ țȐĲȚ ȐȜȜȠ ʌȠȣ ıȤİĲȓȗİĲĮȚ ȝİ ĲȘ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ĮĲȑȡȝȠȞȘȢ İȜȐĲĲȦıȘȢ İȞȩȢ șİĲȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ. ǹȞ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ ȚıȤȪİȚ |Į-ȕ|<İ ȖȚĮ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ șİĲȚțȩ ĮȡȚșȝȩ İ, ĲȩĲİ ʌȠȚĮ ıȤȑıȘ ȞȠȝȓȗİĲĮȚ ȩĲȚ ıȣȞįȑİȚ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ Į, ȕ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǿıȤȪİȚ H D E H ȖȚĮ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ

ȝȠȪȢ Į, ȕ ȚıȤȪİȚ | Į ȕ | İ ȖȚĮ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ șİĲȚțȩ

șİĲȚțȩ ĮȡȚșȝȩ İ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȅ ĮȡȚșȝȩȢ İ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȓȞİȚ ȠıȠįȒʌȠĲİ ȝȚțȡȩȢ. ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȂȒʌȦȢ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ İȓȞĮȚ ȓıȠȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ; ǻȚĮȚıșȘĲȚțȐ țȐĲȚ ĲȑĲȠȚȠ ȣʌȠȥȚȐȗȠȝĮȚ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: Ȉǯ ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ Ș įȚĮȓıșȘıȘ İȓȞĮȚ ȑȞĮȢ țĮȜȩȢ ȠįȘȖȩȢ. ȉȠ ȝİȚȠȞȑțĲȘȝĮ ĲȘȢ İȓȞĮȚ ȩĲȚ įİȞ ʌĮȡȑȤİȚ ȕİȕĮȚȩĲȘĲĮ. Ǿ ȕİȕĮȚȩĲȘĲĮ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ ıȣȞįİįİȝȑȞȘ ȝİ ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ. ȂȒʌȦȢ İįȫ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȑȤȠȣȝİ ȝȚĮ ĮʌȩįİȚȟȘ; ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȆȫȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȟİțȚȞȒıȠȣȝİ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ĬȑȜȠȣȝİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ ĲĮȣĲȓȗȠȞĲĮȚ. ȂȒʌȦȢ ȝʌȠȡİȓĲİ ȞĮ ʌȡȠĲİȓȞİĲĮȚ țȐʌȠȚĮ ȝȑșȠįȠ ĮʌȩįİȚȟȘȢ. ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȃĮ įȠȣȜȑȥȠȣȝİ ȝİ ȐĲȠʌȠ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȆȠȜȪ ȦȡĮȓĮ! ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǲıĲȦ ȩĲȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ įİȞ İȓȞĮȚ ȓıȠȚ. ȂİĲȐ ĲȚ țȐȞȠȣȝİ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ ȣʌȠșȑıȠȣȝİ ȜȠȚʌȩȞ ȩĲȚ ȠȚ Į, ȕ įİȞ İȓȞĮȚ ȓıȠȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ. ȉȩĲİ ʌȡȠĳĮȞȫȢ ȑȤȠȣȝİ |Į-

ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǵĲȚ țĮșȫȢ ĲȠ x ʌĮȓȡȞİȚ ĲȚȝȑȢ ȠȜȠȑȞĮ țĮȚ ʌȚȠ țȠȞĲȐ ıĲȠ xo, ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ʌȡȠıİȖȖȓȗȠȣȞ, ȠȜȠȑȞĮ țĮȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ıĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ A.

ȕ|>0. ȉȚ ȜȑĲİ ȖȚĮ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ

1 | Į ȕ | ; 2

ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǵĲȚ İȓȞĮȚ ȑȞĮȢ șİĲȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ȉȚ ȐȜȜȠ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȈĲȘ șȑıȘ ĲȠȣ İ įİȞ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȕȐȜȠȣȝİ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ șİĲȚțȩ ĮȡȚșȝȩ; ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǹ… țĮĲȐȜĮȕĮ. ǹȞ șȑıȠȣȝİ ĮȞĲȓ ȖȚĮ

İ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ

1 | Į ȕ | , ĲȩĲİ Ș įȠıȝȑȞȘ ıȤȑıȘ ȖȡȐ2

ĳİĲĮȚ | Į ȕ |

1 | Į ȕ | țĮȚ |Į-ȕ|>0. 2

1 ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȐĲȠʌȠ. 2 ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: īȚĮĲȓ țĮĲĮȜȒȟĮȝİ ıİ ȐĲȠʌȠ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: īȚĮĲȓ ȣʌȠșȑıĮȝİ ȩĲȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ İȓȞĮȚ įȚĮĳȠȡİĲȚțȠȓ ȝİĲĮȟȪ ĲȠȣȢ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǱȡĮ, ıİ ʌȠȚȠ ıȣȝʌȑȡĮıȝĮ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ; ȂĮșȘĲȒȢ ī: ǵĲȚ, ĮȞ ȖȚĮ ĲȠȣȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ĮȡȚșǱȡĮ 1

ĮȡȚșȝȩ İ, ĲȩĲİ Į=ȕ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȢ ʌİȡȐıȠȣȝİ ĲȫȡĮ ıĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ĲȠȣ ȠȡȓȠȣ. ȉȚ ĮȞĲȚȜĮȝȕĮȞȩȝĮıĲİ ȩĲĮȞ ĮțȠȪȝİ ȩĲȚ ĲȠ ȩȡȚȠ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ f ıĲȠ xo İȓȞĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ A Ȓ ȩĲĮȞ ȕȜȑʌȠȣȝİ ȩĲȚ lim f (x) =A. xo x o

ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǻȘȜĮįȒ, ĮȞ țĮĲȐȜĮȕĮ țĮȜȐ, ĮȞ | x1 x o | | x 2 x o |

ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĮȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ x1 İȓȞĮȚ ʌȚȠ țȠȞĲȐ ıĲȠ xo Įʌȩ ĲȠȞ x2 ĲȩĲİ . | f (x1 ) A | | f(x 2 ) A | ., įȘȜĮįȒ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ f(x1) İȓȞĮȚ ʌȚȠ țȠȞĲȐ ıĲȠȞ A Įʌȩ ĲȠȞ f(x2). ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǹțȡȚȕȫȢ! ȂĮșȘĲȒȢ ī: īȚĮĲȓ, įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȚĮ «ĲĮȜȐȞĲȦıȘ» țȠȞĲȐ ıĲȠ xo; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǲȤİȚȢ įȓțȚȠ, ĮȜȜȐ țĮȜȩ İȓȞĮȚ ȞĮ ʌİȡȚȠȡȚıĲȠȪȝİ ʌȡȫĲĮ ıİ ȝȚĮ ĮʌȜȒ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȝİ įȣȠ țȜȐįȠȣȢ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȘȢ ȠʌȠȓĮȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ țĮĲĮȡȡȓȥȠȣȝİ ĲȠȞ ȚıȤȣȡȚıȝȩ ĲȘȢ «ȝȠȞȩĲȠȞȘȢ ıȪȖțȜȚıȘȢ» ıĲȠ ȩȡȚȠ. ǹȢ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲȘ ıȣȞȐȡĲȘıȘ f (x)

3x , x t 0 . ® ¯ 2x , x 0

ĭĮȞĲȐȗȠȝĮȚ ȞĮ ıȣȝĳȦȞİȓĲİ ȩȜȠȚ ȩĲȚ ĲȠ ȩȡȚȠ ĲȘȢ f ıĲȠ xo=0 İȓȞĮȚ A=0. ǹȞ ȜȐȕȠȣȝİ ĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ x1=0,15 țĮȚ ʹ Ͳǡ ʹ , ĲȩĲİ ĮȞ țĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ x1 İȓȞĮȚ ʌȚȠ țȠȞĲȐ ıĲȠ ȝȘįȑȞ Įʌȩ ĲȠȞ x2, Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ f(x1)=0,45, İȓȞĮȚ ʌȚȠ ȝĮțȡȚȐ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĲȠȞ f(x2)=0,4 Įʌȩ ĲȠ ȝȘįȑȞ. ȂȒʌȦȢ ȝʌȠȡİȓ țȐʌȠȚȠȢ ȐȜȜȠȢ ȞĮ ȝĮȢ įȚĮĲȣʌȫıİȚ țĮȜȪĲİȡĮ ȝȚĮ įȚĮȚıșȘĲȚțȒ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ ĲȘȢ ȑȞȞȠȚĮȢ ĮȣĲȒȢ; ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȃȠȝȓȗȦ ȩĲȚ șĮ ȒĲĮȞ țĮȜȪĲİȡĮ ȞĮ ʌȠȪȝİ ȩĲȚ «ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ʌȡȠıİȖȖȓȗȠȣȞ ȩıȠ șȑȜȠȣȝİ ıĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ A, țĮșȫȢ ĲȠ x ʌȡȠıİȖȖȓȗİȚ ȝİ ȠʌȠȚȠįȒʌȠĲİ ĲȡȩʌȠ». ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȣĲȩ İȓȞĮȚ ȝȚĮ țĮȜȒ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ. ǹȢ ȕȐȜȠȣȝİ ȩȝȦȢ ĲĮ ʌȡȐȖȝĮĲĮ ıİ ȝȚĮ ıİȚȡȐ. ǹʌĮȡĮȓĲȘĲȘ ʌȡȠȨʌȩșİıȘ ȖȚĮ ȞĮ ȝʌȠȡȑıȠȣȝİ ȞĮ ȝȚȜȒıȠȣȝİ ȖȚĮ ȩȡȚȠ ĲȘȢ f ıĲȠ xo İȓȞĮȚ ȞĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ʌȜȘıȚȐıȠȣȝİ ȩıȠ șȑȜȠȣȝİ ıĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ xo. ȉȚ ıȘȝĮȓ-

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/76

ȞİȚ ĮȣĲȩ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ǵĲȚ Ș f ȠȡȓȗİĲĮȚ țȠȞĲȐ ıĲȠ xo. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȂĮȢ ĲȠ įȚİȣțȡȚȞȓȗİȚȢ ȜȓȖȠ ĮȣĲȩ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȃĮȚ. ȉȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ıȣȞȐȡĲȘıȘȢ ʌİȡȚȑȤİȚ ıȪȞȠȜȠ İȓĲİ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ (Į, xo) (xo, ȕ) İȓĲİ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ (Į, xo) İȓĲİ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ (xo, ȕ). ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȆȡĮȖȝĮĲȚțȐ, ıĲȠ ıȤȠȜȚțȩ ȕȚȕȜȓȠ ĲĮ ʌȡȐȖȝĮĲĮ İȓȞĮȚ ȩʌȦȢ ĲĮ ȜİȢ. ĬĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȝİ ȩȝȦȢ ȞĮ ĮʌĮȚĲȒıȠȣȝİ țȐĲȚ ȜȚȖȩĲİȡȠ Įʌȩ ĮȣĲȩ. ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ǻȘȜĮįȒ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǹȞĲȓ ĲȦȞ (D, x o ) f Ȓ (x o , E) f ȞĮ ĮʌĮȚĲȒıȠȣȝİ ĮʌȜȫȢ (x o H, x o ) f z Ȓ (x o , x o H) f z ȖȚĮ țȐșİ ɂ ! Ͳ , (ȠıȠįȒʌȠĲİ ȝȚțȡȩ). ǹȣĲȩ ȝĮȢ įȓȞİȚ ĲȘ įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ȞĮ ʌȜȘıȚȐȗȠȣȝİ ȩıȠ șȑȜȠȣȝİ ıĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ țĮȚ țĮĲȐ ıȣȞȑʌİȚĮ ȞĮ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȝȚȜȐȝİ ȖȚĮ ȩȡȚȠ ĲȘȢ f ıĲȠ ȈĲȘȞ ʌȡȐȟȘ, İįȫ ȑȤȠȣȝİ ĲȘ ıȣııȫȡİȣıȘ ȐʌİȚȡȦȞ ıĲȠȚȤİȓȦȞ ĲȠȣ țȠȞĲȐ ıĲȠ , ȖȚ’ ĮȣĲȩ țĮȚ ĲȠ ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ȦȢ ıȘȝİȓȠ ıȣııȫȡİȣıȘȢ ĲȠȣ .

ȂĮșȘĲȒȢ Ǻ: ȉȚ țȐȞĮȝİ įȘȜĮįȒ ĲȫȡĮ; ȆİȡȚȖȡȐȥĮȝİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ ĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ; ǼȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩ ȞĮ ȝȚȜȐȝİ ȖȚĮ ȩȡȚȠ ĲȘȢ f ıĲȠ țĮȚ ĲȠ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȘȢ ȞĮ ȝȘȞ ʌİȡȚȑȤİȚ įȚȐıĲȘȝĮ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ (x o İ, x o ) Ȓ (x o , x o İ) ; ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǵıȠ țĮȚ ĮȞ ıĮȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ ʌİȡȓİȡȖȠ, ȝʌȠȡİȓ ʌȡȐȖȝĮĲȚ ȞĮ ıȣȝȕĮȓȞİȚ ĮȣĲȩ, ĮȞ ȝȚȜȐȝİ ȖȚĮ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ ȠȡȚıȝȑȞİȢ ıİ «ʌȣțȞȩ» ȣʌȠıȪȞȠȜȠ ĲȠȣ \ . ǹȞ ȖȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ șİȦȡȒıȠȣȝİ ȝȚĮ ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȝİ ʌİįȓȠ ȠȡȚıȝȠȪ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ _ ĲȦȞ ȡȘĲȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ, ĲȩĲİ Įʌȩ ĲȘȞ (x o H, x o ) _ z

(ĮĳȠȪ ĮȞȐȝİıĮ ıİ įȣȠ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪȢ ȣʌȐȡȤİȚ ʌȐȞĲȠĲİ ȡȘĲȩȢ) ȖȚĮĲȓ ȜȑĲİ ȩĲȚ įİȞ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ș ıȤȑıȘ (x o H, x o ) _ ; ȂĮșȘĲȒȢ ǹ: ȆȡĮȖȝĮĲȚțȐ, ĮĳȠȪ ȑȤȠȣȝİ ʌİȚ ȩĲȚ ĮȞȐȝİıĮ ıİ įȣȠ ȡȘĲȠȪȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ʌȐȞĲĮ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ȐȡȡȘĲȠ ĮȡȚșȝȩ, ıȣȝʌİȡĮȓȞȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ įȚȐıĲȘȝĮ (x o H, x o ) įİȞ ʌİȡȚȑȤİĲĮȚ ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ _ ĲȦȞ ȡȘ-

ĲȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ. ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ȍȡĮȓĮ. ǹȜȜȐ ĮȢ İʌĮȞȑȜșȠȣȝİ ĲȫȡĮ ıĲȠȞ ȠȡȚıȝȩ ĲȠȣ ȕȚȕȜȓȠȣ ȝĮȢ. ȃĮ įȚİȣțȡȚȞȓıȠȣȝİ ȩĲȚ įİȞ ȝĮȢ İȞįȚĮĳȑȡİȚ ʌȩıȠ țȠȞĲȐ Ȓ ʌȩıȠ ȝĮțȡȚȐ ıĲȠ xo İȓȞĮȚ ĲĮ Į, ȕ. ǼʌȓıȘȢ, ȝĮȢ İȓȞĮȚ ĮįȚȐĳȠȡȠ ĮȞ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ȓ ȩȤȚ ıĲȠ xo.

ǹȢ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲȫȡĮ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ Įʌȩ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ ʌȠȣ ĮȞȐĳİȡİȢ, ȩʌȠȣ Ș f ȠȡȓȗİĲĮȚ ıİ ıȪȞȠȜȠ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ (Į, xo) (xo, ȕ) țĮȚ ȞĮ įȠȪȝİ ȜȓȖȠ ĲȠȞ ȠȡȚıȝȩ ĲȠȣ ȠȡȓȠȣ. ȉȠȞ șȣȝȐĲĮȚ țȐʌȠȚȠȢ; ȂĮșȘĲȒȢ ī: ȃĮȚ. Ȃİ ĲȘȞ ʌȡȠȨʌȩșİıȘ ȩĲȚ Ș f ȠȡȓȗİĲĮȚ ıİ įȚȐıĲȘȝĮ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ ʌȠȣ İȓʌĮȝİ, Ȝȑȝİ ȩĲȚ Ș f ȑȤİȚ ıĲȠ xo ȩȡȚȠ A, A , ȩĲĮȞ: ȖȚĮ țȐșİ İ>0 ȣʌȐȡȤİȚ į>0 ĲȑĲȠȚȠȢ, ȫıĲİ ȖȚĮ țȐșİ x (Į, xo) (xo, ȕ), ȝİ 0 | x x o | G ȚıȤȪİȚ: ȁ ȋ Ȍ A ȁ ɂ . ȀĮșȘȖȘĲȒȢ: ǵĲĮȞ Ȝȑȝİ ȖȚĮ țȐșİ İ>0 İȞȞȠȠȪȝİ ȩĲȚ ıĲȠ İ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ įȫıȠȣȝİ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ ĲȚȝȒ, ȩıȠ ȝȚțȡȒ șȑȜȠȣȝİ. ǹʌȩ İțİȓ țĮȚ ʌȑȡĮ, Ƞ ȣʌĮȡȟȚĮțȩȢ ʌȠıȠįİȓțĲȘȢ ʌȠȣ ıȣȞįȑİĲĮȚ ȝİ ĲȠ į (ȣʌȐȡȤİȚ į>0) ȝĮȢ įİȓȤȞİȚ ȩĲȚ ĲȠ į, įİȞ İȓȞĮȚ ĮȞİȟȐȡĲȘĲȠ Įʌȩ ĲȠ İ, ȝİ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ȩĲȚ țȐșİ ĳȠȡȐ ʌȠȣ ĮȜȜȐȗİȚ ĲȠ İ, ĮȣȟȠȝİȚȫȞİĲĮȚ įȘȜĮįȒ Ș ĮʌȩıĲĮıȘ ĮȞȐȝİıĮ ıĲȠ f(xo) țĮȚ ĲȠ A, ĮʌĮȚĲİȓĲĮȚ İʌĮȞĮʌȡȠıįȚȠȡȚıȝȩȢ

ĲȘȢ ĮʌȩıĲĮıȘȢ ĲȠȣ x Įʌȩ ĲȠ xo. Ȉİ țȐșİ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȩȝȦȢ Įʌȩ ĲȘ ıȤȑıȘ ȁ ȁ! Ͳ , ĮʌȠțȜİȓİĲĮȚ Ș įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ĲĮȪĲȚıȘȢ ĲȠȣ x ȝİ ĲȠ xo. ȃȠȝȓȗȦ ȩȝȦȢ ȩĲȚ İįȫ İȓȞĮȚ ȑȞĮ țĮȜȩ ıȘȝİȓȠ ȖȚĮ ȞĮ ıĲĮȝĮĲȒıȠȣȝİ. ȆİȡȚııȩĲİȡĮ ȖȚĮ ĲȠȞ ȠȡȚıȝȩ ĲȠȣ ȠȡȓȠȣ, ĲȘȞ ȐȡȞȘıȒ ĲȠȣ țĮȚ ȖİȞȚțȐ ȖȚĮ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ĮȣĲȒ, șĮ įȠȪȝİ ıİ İʌȩȝİȞȘ ıȣȞȐȞĲȘıȘ. ȈĮȢ İȣȤĮȡȚıĲȫ. ǺȚȕȜȚȠȖȡĮĳȓĮ 1. īȚĮȞȞȩʌȠȣȜȠȢ ǹ.: ǹʌİȚȡȠıĲȚțȩȢ ǿǿ 2. ȀȣȡȚĮțȩʌȠȣȜȠȢ ǹ. ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ȁȠȖȚțȒ 3. Niven I.: Numbers: Rational and irrational 4. Hammack R.: Book of Proof 5. Nelson R. – Alsina C.: Charming Proofs (A Journey into elegant Mathematics) 6. Bloch Ǽ.:Proofs and Fundamentals 7. N. Sirotic – R. Zazkis: Irrational numbers on the number line - Where are they? (International Journal Mathematical education June 2007) 8. Davis D.: Ǿ ĳȪıȘ țĮȚ Ș įȪȞĮȝȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ 9. ǹȞĮʌȠȜȚĲȐȞȠȢ ǻ.: ǼȚıĮȖȦȖȒ ıĲȘȞ ĳȚȜȠıȠĳȓĮ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ 10. ȇȠȣıȩʌȠȣȜȠȢ ī.: ȂĮșȘȝĮĲȚțȩȢ ȡİĮȜȚıȝȩȢ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/77

O Ευκλείδης προτείνει ...

«ȸ ʃɲʌɷɿɳ ʏʘʆ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʙʆ ɸʀʆɲɿ ʏɲ ʋʌʉɴʄɼʅɲͲ ʏɲ ʃɲɿ ʉɿ ʄʑʍɸɿʎ ʃɲɿ ʉ ʃʑʌɿʉʎ ʄʊɶʉʎ ʑʋɲʌʇɻʎ ʏʉʐ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʉʑ ɸʀʆɲɿ ʆɲ ʄʑʆɸɿ ʋʌʉɴʄɼʅɲʏɲ». Ɇ. R.

HALMOS

ǼʌȚȝȑȜİȚĮ: īǿȍȇīȅȈ ȉȇǿǹȃȉȅȈ - ȃǿȀȅȈ ǹȃȉȍȃȅȆȅȊȁȅȈ – īǿǹȃȃǾȈ ȁȅȊȇǿǻǱȈ ĬĮ įİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ȜȪıȘ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ ȝȠȞĮįȚțȒ. ǹȈȀǾȈǾ 293 (ȉǼȊȋȅȊȈ 102 ) 1) ǹȞ ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ x,y,z İȓȞĮȚ -4, ʌ.Ȥ z 4 , ĲȩĲİ ǹȞ ıİ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī İȓȞĮȚ D XD , ĲȩĲİ ȞĮ įİȚȤșİȓ Įʌȩ ĲȘȞ įİȪĲİȡȘ İȟȓıȦıȘ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ȑȤȠȣȝİ 1 5 3 ȩĲȚ: J () 1) d E d J) , ȩʌȠȣ ĭ . ( y 64 0 y 4 țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ x 4 . 2 2) ǹȞ ȩȜȠȚ İȓȞĮȚ ȝȚțȡȩĲİȡȠȚ Ȓ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȚ ĲȠȣ -4 īȚȫȡȖȠȢ ȉȡȚȐȞĲȠȢ – ǹșȒȞĮ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩĲȩĲİ įİȞ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȚıȤȪİȚ Ș İȟȓıȦıȘ (1). ʌȠȣȜȠȢ - ȀĮĲİȡȓȞȘ ) . 3) ǹȞ ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ x,y,z İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ ĲȠȣ ȁȊȈǾ ( ǿȦȐȞȞȘȢ ǹȞįȡȒȢ – ǹ-4, ȑıĲȦ x ! 4 , ĲȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ x 3 ! 64 șȒȞĮ ) ǼȓȞĮȚ (ȕȜȑʌİ ıȤİĲȚțȩ ıȤȒȝĮ) x 3 64 țĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ İȟȓıȦıȘ ĲȠȣ ıȣıĲȒ'% '* %* D șĮ ȑȤȠȣȝİ 12y 2 48y 64 x 3 64 1 ȝĮĲȠȢ VM% VM* $' $' $' XD 12y2 48y 0 4 y 0 . ǹʌȩ ĮȣĲȩ, İȡȖĮȗȩțĮȚ ȐȡĮ ıĳǺ 1 ıĳī (1). ĬȑȝİȞȠȚ ȠȝȠȓȦȢ, ʌĮȓȡȞȠȣȝİ 4 z 0 , įȘȜĮįȒ ȩȜȠȚ E ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȚ ĲȠȣ -4. ǱĲȠʌȠ. x ȠʌȩĲİ ȑȤȠȣȝİ ĲȠȣȝİ ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜĮȞ: ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ, J ȈȦĲȒȡȘȢ ȈțȠĲȓįĮȢ – ȀĮȡįȓĲıĮ, ĬȩįȦȡȠȢ ȋȦȝĮ1 2 2 (1) 2 2 2 ĲȐȢ – ȃȓțĮȚĮ, īȚȐȞȞȘȢ ǾȜȚȩʌȠȣȜȠȢ – ȀĮȜĮȝȐĲĮ, KP % 1 VM % 1 VM * 1 VM * 1 VM * x2 ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȀĮȡĲıĮțȜȒȢ – ǹȖȡȓȞȚȠ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮ2 2 2 2 1 KP * 1 VM % 1 (1 VM*) 2 2VM* VM * ȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ - ȀĮĲİȡȓȞȘ. 2 1 VM * ǹȈȀǾȈǾ 295 (ȉǼȊȋȅȊȈ 103 ) (x2 1)VM2* 2x2VM* 2x2 1 0 (2) ȈĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǻ țĮȚ ǹǺ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ İʌİȚįȒ VM* R Ș įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ ĲȠȣ ȦȢ ʌȡȠȢ VM* ǹǺīǻ șİȦȡȠȪȝİ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ǽ țĮȚ ǽ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ, ǹǼ ǹǽ ĲȡȚȦȞȪȝȠȣ İȓȞĮȚ ȝȒ ĮȡȞȘĲȚțȒ. ǻȘȜĮįȒ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ: 2 (1). ȉĮ ĲȝȒȝĮĲĮ īǼ țĮȚ īǽ ȫıĲİ 4 2 2 Ǽǻ ǽǺ 4x 4(x 1)(2x 1) t 0 Ȓ ĲȑȝȞȠȣȞ ĲȘ įȚĮȖȫȞȚȠ Ǻǻ ĲȠȣ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ x 4 (x 2 1)(2x 2 1) t 0 x 4 3x 2 1 d 0 (3). ıĲĮ ıȘȝİȓĮ ȇ țĮȚ Q ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ȠȚ țȪțȜȠȚ (ȇ, ȇǻ) țĮȚ (Q, Q%) ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ȠȡșȠȖȦȞȓ3 5 3 5 d x2 d ǹʌȩ ĲȘȞ (3) ʌĮȓȡȞȠȣȝİ: Ȓ 2 2 ȦȢ. (īȚȫȡȖȠȢ ǹʌȠıĲȠȜȩʌȠȣȜȠȢ – ȂİıȠȜȩȖȖȚ ) ȁȊȈǾ ( ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȀĮȡĲıĮțȜȒȢ – ǹȖȡȓȞȚȠ) ȕ 5 1 1 5 Ȓ ĭ 1 d d ĭ . dxd 2 2 Ȗ ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜĮȞ: ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ, īȚȫȡȖȠȢ ȉıȚȫȜȘȢ – ȉȡȓʌȠȜȘ, ǹȞĲȫȞȘȢ ǿȦĮȞȞȓįȘȢ – ȋȠȜĮȡȖȩȢ, ȇȠįȩȜĳȠȢ ȂʌȩȡȘȢ – ǻȐĳȞȘ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ – ȀĮĲİȡȓȞȘ. ǹȈȀǾȈǾ 294 (ȉǼȊȋȅȊȈ 103 ) ȃĮ Ȝȣșİȓ ıĲȠ ıȪȞȠȜȠ R ĲȠ ıȪıĲȘȝĮ: x 3 12y 2 48y 64 0 ° (Ȉ) ® y3 12z 2 48z 64 0 ° z 3 12x 2 48x 64 0 ¯

ǲıĲȦ Ȁ ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ įȪȠ țȪțȜȦȞ.

(ȅȝȐįĮ ȆȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ ǿįȚȦĲȚțȠȪ ȁȣțİȓȠȣ ȆĮȞĮȖȓĮ ȆȡȠȣıȚȫĲȚııĮ – ǹȖȡȓȞȚȠ ), ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ – ȀĮĲİȡȓȞȘ ȁȊȈǾ ( ĬȦȝȐȢ ȉıȐțĮȢ – ȆȐĲȡĮ ) Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ȩȜȦȞ ĲȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ: (x 4)3 (y 4)3 (z 4)3 0 (1) ȝİ ʌȡȠĳĮȞȒ ȜȪıȘ (x, y, z) ( 4, 4, 4) ʌȠȣ İȓȞĮȚ țĮȚ ȜȪıȘ ĲȠȣ (Ȉ).

ǹȡțİȓ ȞĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ȚıȤȪİȚ: RKQ

S Ȓ ĲȠ ĮȣĲȩ 2

Kȇ 2 QK 2 . ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ (ȕȜȑʌİ ıȤȒȝĮ) ǹǺ ǻī ǻQ ǻȇ ȇQ AZ ȩĲȚ: ǽǺ ǽǺ QB QB ZB AB ZB AB '5 5Q '5 5Q QB 1 1 ZB ZB QB QB AZ 'P PQ QB (2). ȅȝȠȓȦȢ, ȑȤȠȣȝİ: ZB QB PQ2

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/78

---------------------------------------------------------------------------------------------------- ȅ ǼȣțȜİȓįȘȢ ȆȡȠĲİȓȞİȚ … -------------------------------------------------------------------------------------------------PQ QB '5 (3). Ǿ (1) ȕȐıİȚ ĲȦȞ (2),(3) '5 'P PQ QB PQ QB '5 2 įȓȞİȚ: QB '5 [PQ ('5 2%)][PQ ('5 2%)] 2 QB '5 AE E'

PQ ('5 2%) QB '5 2

PQ 2

'5 2 Q% 2 PQ 2

0 K5 2 QK 2 . ȅǼǻ.

ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜĮȞ: ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ, ĬȩįȦȡȠȢ ȋȦȝĮĲȐȢ – ȃȓțĮȚĮ, ĬȦȝȐȢ ȉıȐțĮȢ – ȆȐĲȡĮ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ - ȀĮĲİȡȓȞȘ. ǹȈȀǾȈǾ 296 (ȉǼȊȋȅȊȈ 103 ) ǻȓȞİ2 ĲĮȚ Ș ıȣȞȐȡĲȘıȘ f : R o R ȝİ f (x) ax bx c ȝİ a, b, c R . ǹȞ ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ıȤȑıİȚȢ: ab ! 0 (1) țĮȚ P 8a 27b 216c 0 , ĲȩĲİ ȞĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ: 1) ȊʌȐȡȤİȚ x1 (0,1) ĲȑĲȠȚȠ, ȫıĲİ f (x1 ) 0 . 2) f (1) f (2021) ! 0 . (īȚȫȡȖȠȢ ȂȒĲıȚȠȢ – ȇȐȝȚĮ ǱȡĲĮȢ ) ȁȊȈǾ ( ȈȦĲȒȡȘȢ ȈțȠĲȓįĮȢ - ȀĮȡįȓĲıĮ ) ǼʌİȚįȒ ab ! 0 ȠȚ a,b İȓȞĮȚ ȠȝȩıȘȝȠȚ țĮȚ ȝȘ ȝȘįİȞȚțȠȓ. ǹʌȩ 8a 27b 216c 0 ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ a b a b c ( ) , ȠʌȩĲİ f (0)f (1) 27 8 27 8 c(a b c)

(

a b a b )(a b ) 27 8 27 8

a b 26a 7b )( ) 0 , ĮĳȠȪ a, b ȠȝȩıȘȝȠȚ. 27 8 27 8 ȈȣȞİʌȫȢ, ȣʌȐȡȤİȚ x1 (0,1) : f (x1 ) 0 (ĮĳȠȪ Ș f a b ıȣȞİȤȒȢ). ǼʌİȚįȒ ǻ b 2 4ac b 2 4a( ) 27 8 (

4a 2 ab ! 0 țĮȚ x1 x 2 27 2

c 0 ȠȚ ȡȓȗİȢ ĲȘȢ f a İȓȞĮȚ İĲİȡȩıȘȝİȢ țĮȚ ȚıȤȪİȚ x 2 0 x1 1 2021

İȞȫ ıİ țȐșİ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ıȤȑıİȚȢ: 2 af (1) ! 0 , af (2021) ! 0 , ȠʌȩĲİ a f (1)f (2021) ! 0 țĮȚ ĲİȜȚțȐ f (1)f (2021) ! 0 . ȁȪıȘ ȑıĲİȚȜĮȞ: ĬȦȝȐȢ ȉıȐțĮȢ – ȆȐĲȡĮ, īȚȐȞȞȘȢ ǾȜȚȩʌȠȣȜȠȢ – ȀĮȜĮȝȐĲĮ , ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ, ȀȫıĲĮȢ ȃİȡȠȪĲıȠȢ – īȜȣĳȐįĮ, ĬȩįȦȡȠȢ ȋȦȝĮĲȐȢ – ȃȓțĮȚĮ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ – ȀĮĲİȡȓȞȘ ǹȈȀǾȈǾ 297 (ȉǼȊȋȅȊȈ 103 ) ȈĲȠȞ ʌȓȞĮțĮ ıȤİįȚȐȗȠȣȝİ țȣȡĲȩ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ABCD. ȈȘȝİȚȫȞȠȣȝİ ĲĮ țȑȞĲȡĮ Ǽ,F,G,H ĲȦȞ ĲİııȐȡȦȞ țȪțȜȦȞ țĮșȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ İĳȐʌĲİĲĮȚ ıİ ȝȓĮ ʌȜİȣȡȐ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ țĮȚ ıĲȚȢ ʌȡȠİțĲȐıİȚȢ ĲȦȞ įȪȠ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ȝİ ĮȣĲȒ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȠȣ. ȂİĲȐ Įʌȩ ĮȣĲȩ ıȕȒȞȠȣȝİ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ABCD. ȂʌȠȡİȓ ȞĮ țĮșȠȡȚıșİȓ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȩȢ ĲȠȣ; (ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ, ǻȘȝȒĲȡȘȢ ȂĮȞȦȜȩʌȠȣȜȠȢ - ȀĮĲİȡȓȞȘ ) ȁȊȈǾ (ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ )

Ǿ ĮʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ İȡȫĲȘȝĮ İȓȞĮȚ ȃǹǿ ! ǲıĲȦ EFGH ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ʌȠȣ ȠȡȓȗİĲĮȚ ĮʌȠ ĲĮ țȑȞĲȡĮ ĲȦȞ ʌĮȡİȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȦȞ țȪțȜȦȞ ıĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ. ȅȚ ʌȜİȣȡȑȢ EF, FG, GH, HE İȓȞĮȚ ĳȠȡİȓȢ ĲȦȞ İȟȦĲİȡȚțȫȞ įȚȤȠĲȩȝȦȞ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ A,B,C,D ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ ABCD ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. ȀĮĲȐ ıȣȞȑʌİȚĮ, ȠȚ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ HGFQ İȓȞĮȚ ȚıȠțȜȚȞİȓȢ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ǹǺīǻ. ȈȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ: Ǿ ʌȜİȣȡȐ EF ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ȓıİȢ ȖȦȞȓİȢ ȝİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ AB, AD , Ș ʌȜİȣȡȐ FG ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ȓıİȢ ȖȦȞȓİȢ ȝİ ĲȚȢ AB,BC, Ș ʌȜİȣȡȐ GH ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ȓıİȢ ȖȦȞȓİȢ ȝİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ BC, CD țĮȚ Ș ʌȜİȣȡȐ HE ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ ȓıİȢ ȖȦȞȓİȢ ȝİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ CD, DA. Ǿ ȚįȚȩĲȘĲĮ ĮȣĲȒ ȝĮȢ İʌȚĲȡȑʌİȚ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȡȚȫȞ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ĮȞĲĮȞĮțȜȐıİȦȞ (ıȣȝȝİĲȡȚțȫȞ) ĲȠȣ EFGH ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȡİȚȢ įȚĮįȠȤȚțȑȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ, ȞĮ ĮʌȠțĲȒıȠȣȝİ ĲȠ ĮȞȐʌĲȣȖȝĮ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ ABCD İʌȓ ȝȚȐȢ İȣșİȓĮȢ. ȆȡȐȖȝĮĲȚ: (ȕȜȑʌİ ıȤȒȝĮ ) ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 108 Ĳ.4/79

---------------------------------------------------------------------------------------------------- ȅ ǼȣțȜİȓįȘȢ ȆȡȠĲİȓȞİȚ … -------------------------------------------------------------------------------------------------ǹȢ ȟİțȚȞȒıȠȣȝİ ĲȘȞ ĮʌȩįİȚȟȘ ȑȤȠȞĲĮȢ ȦȢ įİįȠȝȑȞȠ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ABCD. ǻȘȜĮįȒ, ĮȣĲȩ ȣʌȐȡȤİȚ (įİȞ ĲȠ ȑȤȠȣȝİ ıȕȒıİȚ ĮțȩȝȘ). ǲıĲȦ EcFGHc,EccFcGHc,EccFccGcHc ĲĮ ıȣȝȝİĲȡȚțȐ ĲȠȣ EFGH ȦȢ ʌȡȩȢ FG, GHc, HcEcc ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ ȝİ ĲĮ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ıȣȝȝİĲȡȚțȐ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ ABCD , ȩʌȦȢ İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȚ ıĲȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıȤȒȝĮ. ǼʌİȚįȒ Bˆ 1 Bˆ 2 (ȣʌȩșİıȘ) țĮȚ ˆ țĮȚ B 3 İʌİȚįȒ FBG İȣșİȓĮ șĮ İȓȞĮȚ ABCc İȣșİȓĮ ȝİ BCc BC . ǼȓȞĮȚ Cˆ Cˆ (ȣʌȩșİıȘ ) ˆ B 2

ˆ ( ıȣȝȝİĲȡȓĮ) İȓȞĮȚ B ˆ B 3 1

țĮȚ Cˆ 1

Cˆ 1c , Cˆ 2

Cˆ 2c ( ıȣȝȝİĲȡȓĮ ). ǼʌȠ-

ȝȑȞȦȢ,

ȚıȤȪİȚ

ȩĲȚ

ˆc C 1

ˆ c. C 2

ǵȝȦȢ,

ȠʌȩĲİ

İȓȞĮȚ

ˆc C 1

ˆ c C 3

ˆ c C 2

ˆ c țĮȚ İʌİȚįȒ GCcHc İȣșİȓĮ șĮ İȓC 3

(ıȣȝȝİĲȡȓĮ)

ȞĮȚ țĮȚ BCcDcc İȣșİȓĮ, İȞȫ CcDcc CcDc CD . ǼʌİȚįȒ Dˆ 1

ˆ D 2

ˆ (ȣʌȩșİıȘ) țĮȚ D 1

ˆ c D 1

ˆ cc , D 1

ˆ cc . ǵȝȦȢ, D ˆ cc D ˆ cc (ıȣȝȝİĲȡȓĮ) ȠʌȩĲİ İȓȞĮȚ D ˆ cc D ˆ cc țĮȚ D 2 1 3 2 3 İʌİȚįȒ EccDccHc İȣșİȓĮ șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ AcccDccCc İȣșİȓĮ ȝİ AcccDcc AccDcc AcDc AD . ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ Ș ʌİȡȓȝİĲȡȠȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ABCD İȓȞĮȚ: AB BC CD DA AB BCc CcDcc DccAccc AAccc , įȘȜĮįȒ İțĳȡȐȗİĲĮȚ ȝİ ĲȠ ȝȒțȠȢ AAccc ȩʌȠȣ ĲȠ A ccc E ccFcc . ȁȩȖȦ ıȣȝȝİĲȡȓĮȢ İȓȞĮȚ Aˆ 1 Aˆ 1c Aˆ 1cc Aˆ 1ccc țĮȚ ˆ D 2

ˆ c D 2

ˆ cc ˆ cc (ıȣȝȝİĲȡȓĮ) șĮ İȓȞĮȚ D D 2 1

ˆ ˆ . ȈȣȞİʌȫȢ, İȓȞĮȚ țĮȚ A ˆ ˆ ccc ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ EF țĮȚ EccFcc İȓȞĮȚ A A ȜȩȖȦ ĲȘȢ ȣʌȩșİıȘȢ A 1 2 2 1 ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ȝİ EA EccAccc . ȈȕȒȞȠȣȝİ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ABCD țĮȚ İțĲİȜȠȪȝİ ĲȘȞ ĲȡȚʌȜȒ ıȣȝȝİĲȡȓĮ ĲȠȣ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ EFGH ȩʌȦȢ ıĲȘȞ ĮȡȤȒ. ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ ǹ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ EF țĮȚ ıȘȝİȓȠ Accc ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ EccFcc ĲȑĲȠȚȠ, ȫıĲİ EA EccAccc . ĭȑȡȠȣȝİ ĲȠ ĲȝȒȝĮ AAccc ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ ȠʌȠȓȠȣ İțĳȡȐȗİȚ ĲȘȞ ʌİȡȓȝİĲȡȠ ĲȠȣ ABCD. ĬİȦȡȠȪȝİ ȑȞĮ ȐȜȜȠ ıȘȝİȓȠ ǿ ĲȘȢ EF . ȕȡȓıțȠȣȝİ ıȘȝİȓȠ ǿccc ĲȘȢ EccFcc ĲȑĲȠȚȠ, ȫıĲİ Eǿ Eccǿccc țĮȚ ĳȑȡȠȣȝİ ĲȠ ĲȝȒȝĮ ǿǿccc ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ FG ıĲȠ J ĲȘȞ GHc ıĲȠ Ȁ țĮȚ ĲȘȞ HcEcc ıĲȠ L. Ȃİ ĮȞĲȓıĲȡȠĳİȢ ĮȞĲĮȞĮțȜȐıİȚȢ ĲȦȞ ıȘȝİȓȦȞ K,L țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ıİ ȞȑȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ IJK cLcc ȝİ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ ĲȠȣ ĮȡȤȚțȠȪ țĮȚ ʌİȡȓȝİĲȡȠ IIccc AAccc EEcc (ȜȩȖȦ ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȦȞ). ȈȣȞİʌȫȢ, ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȐʌİȚȡĮ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡĮ ȝİ ĲȘȞ ȚįȚȩĲȘĲĮ ĲȠȣ ĮȡȤȚțȠȪ ĲİĲȡĮʌȜİȪȡȠȣ ʌȠȣ ȩȝȦȢ ȑȤȠȣȞ ȩȜĮ ĲȘȞ ȓįȚĮ ʌİȡȓȝİĲȡȠ EEccc . ȆȇȅȉǼǿȃȅȂǼȃǹ ĬǼȂǹȉǹ x2 C ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ ȝİ g(x) 3 , ĲȩĲİ ȞĮ ȕȡİșİȓ Ș g 319. ȃĮ įİȚȤșİȓ ȩĲȚ ıİ țȐșİ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ȚıȤȪİȚ Ș 2 W2 3U2 12RU , ȩʌȠȣ Ĳ Ș ȘȝȚʌİȡȓȝİ- İȜȐȤȚıĲȘ ĮʌȩıĲĮıȘ (ǹǺ). (īȚȐȞȞȘȢ ǾȜȚȩʌȠȣȜȠȢ – ıȤȑıȘ: E d ȀĮȜĮȝȐĲĮ ). 6 3 ĲȡȠȢ , ȡ Ș ĮțĲȓȞĮ ĲȠȣ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ, R Ș 322. ǹȞ a, b ! 0 ȞĮ ȕȡİșİȓ Ș İȜȐȤȚıĲȘ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮĮțĲȓȞĮ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ĲȠȣ țĮȚ Ǽ ĲȠ 2a b 2a(b a) b 2a a(b 4a) İȝȕĮįȩȞ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī. ȆȩĲİ ȚıȤȪİȚ Ș ȚıȩĲȘ- ȡȐıĲĮıȘȢ: 4a 2 b 2 ĲĮ; (īȚȫȡȖȠȢ ȃȚțȘĲȐțȘȢ – ȈȘĲİȓĮ). 320. ǹȞ ȇ ĲȣȤĮȓȠ ıȘȝİȓȠ ıĲȠ İıȦĲİȡȚțȩ ĲȡȚȖȫȞȠȣ (ǻȚȠȞȪıȘȢ īȚȐȞȞĮȡȠȢ – ȆȪȡȖȠȢ) ǹǺī , ț,Ȝ,ȝ ȠȚ ĮʌȠıĲȐıİȚȢ ĲȠȣ ȇ Įʌȩ ĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ 323. ȃĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ ıİ țȐșİ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī Țǹ,Ǻ,ī ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ țĮȚ G1 , G2 , G3 ȠȚ ĮʌȠıĲȐıİȚȢ ĲȠȣ ıȤȪİȚ: ( R)2 t 2 U ( 1 1 ) , ȩʌȠȣ R, E,ȡ, ȣ , ȣ , ȣ Ș Į ȕ Ȗ E XD XE2 X2J ȇ Įʌȩ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Ǻī,ǹī,ǹǺ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ, ĲȩĲİ ȞĮ ĮʌȠįİȚȤșİȓ ȩĲȚ ȖȚĮ ĲȠ İȝȕĮįȩȞ Ǽ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ĮțĲȓȞĮ ĲȠȣ ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ , ĲȠ İȝȕĮįȩȞ , ǹǺī ȚıȤȪİȚ Ș ĮȞȚıȩĲȘĲĮ: Ș ĮțĲȓȞĮ ĲȠȣ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ țĮȚ ĲĮ ĲȡȓĮ į į į ȪȥȘ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȓȤȦȢ. (īȚȫȡȖȠȢ ȃȚțȘĲȐțĮ 2 Ȝȕ 2 ȝȖ 2 t 4Ǽ( 1 2 3 ) . țȘȢ – ȈȘĲİȓĮ ). Șȝǹ ȘȝǺ Șȝī °x2 y2 z2 xz 0

(īȚȫȡȖȠȢ ȃȚțȘĲȐțȘȢ – ȈȘĲİȓĮ ).

321. ǹȞ ǹ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ ĲȘȢ C f ȝİ f (x)

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