Ευκλειδης α 99 by demi de

για το yυμvασιο

Τεύχος 99

�

Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος 2016 Τιμή Τεύχους 3,00 Εύρω

Ευκλείδης ./

e-mail: info@hms.gr,

Ιστορία των Μαθηματικών

Το ημίτονο: aνιχνεύοντας την ετυμολογία

Γιάννης Θωμσίδης Μσλβίνσ Παπαδάκη .............................

./ •

Τάξη

Πλάγιο και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Νάνσυ Κυρισκοπούλου Ευρυδίκη Γισννοπούλου ................ 13

Τάξη

Συναρτήσεις μετρήσεων.

Δ. Πσλσιογισννίδης Π. Αρδσβάνη .............................. .

Στέφανος Κεί"σογλου ................................................

Ασκήσεις Β' Τάξης για προχωρημένους,

ΛΥΣΕΙΣ Ασκήσεων για προχωρημένους τεύχους 98

Συντακτική Επιτροπή ............................................... 23

•

r·

Τάξη

Επιμέλοσ: Κωνσταντινίδης Άρης, Τζίφος Νίκος, Λαγός Γεώργιος

Ασκήσεις Γ' Τάξης για προχωρημένους,

Θεοδώρα Παπαδάκη ...................................................... 34

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Πρόεδρος:

faJι: 210 3641025

Εκδότης:

Α' Αντιπρόεδρος:

Διευθυντής:

Λυμπερόπουλοc; Γεώργιος

Τηλ.: 210 3617784 ο 210 3616532

ΚέίίJογλου Στέφανος

Κυράνας Παναγιώτης

Νικόλαος Αλεξανδρής

Β' Αντι πρόεδρος:

Ιωάννης Τυρλής

Επιμέλιια Έκδοσης: Κυριακοπούί\ου Νάνσυ

Μέλη: Αγγελή Άννα λλαφάκη Σταυρούλα λλεξανδράτου Άννα Αντωνοπούλου Κατιάννα Αποστόλου Αγγελική Αρδαβάνη Πόπη

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054

7998

Διάφορα OXI Αδιάφορα

Επιμέλεια: Τζίφος Νίκος ................................................ 39

Επιμέλεια: Αργυρίου Αρετή ............................................ . 40

Συντακτική Επιτροπή ...............................................

Εις μνήμη Κώστα Σάλαρη.

•

ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑJΙΚΗΣ ΗΑΙΡΕΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ HAIPEIA ο

Σελιδοποίηση:

Εκτύπωση: ROTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ & τηλ.: 210 6623778-358 Υπεύθυνος τυποyραφείου: Δ.

ΣΙΑ ΕΕ).

Παπαδόπουλος

....................................................... . 42

Γνωριμία με το Rodeπ gymπasier της Σουηδίας

ΙΣΑ ή ΑΝΙΣΑ; ΕΥΘΕΙΑ ή ΚΑΜΠΥΛΗ; ΤΡΕΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΨΕΥ ΔΑΙΣΘΗΣΕΩΝ

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Συντακτική Επιτροπή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Μαρία Ρουσούλη, Γιώργος Κσρσφέρης

Διασκεδαστικά Μαθηματικά,

Γεωργίου Σπύρος Δογιάκη Ιωάννα Θεοδωρόπουλος Θρασύβουλος Κιούφτη Ροδούλα Κυράνας Παναγιώτης Κυριακοπούλου Νάνσυ Κωνσταντινίδης Αριστείδης Λαγός Γεώργιος Λυμπερόπουλος Γεώργιος Μενδωνίδης Γεώργιος Μορφοπούλου Μαρία Μπακάλης Αναστάσιος Παλαιογιαννίδης Δημήτριος Σάλαρης Κωνσταντίνος

Σίσκου Μαρία Τζίφας Νίκος Τσικοπούλου Στάμη Φερεντίνος Σπυρίδων Χριστοδούλου Ντόρα Χρυσοβέργης Μιχαήλ Αποκεντρωμένοι συν γ ερ άτες

Αναστάσιος Πατρώνης (Πάτρα) Γιάννης Θωμο'ίδης (Θεσ/νίκη) Γιώργος Ρίζος (Κέρκυρα) Γιώργος Τσαπακίδης (Αγρίνιο) Ειρήνη Περισυνάκη (Κρήτη) Γιάννης Ράλλης (Χίος)

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών Η

Στοιχειοθεσία

Όταν τα θέματα των διαγωνισμών «Ευκλείδης» συγχρονίζονται με τα μαθηματικά του έτους 2016!!

ΜΕΓΑΛΟΣ ΧΟΡΗΓΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Ε.Μ.Ε.

ΙΔIΟκτΗΣΙΑ της

............. . ............. ........

Μαθαίνω από τα λάθη μου

Συντακτική Επιτροπή

ΠΑΝmΙΣΙΗΜΙΟΥ 34, 106 79 ΑΘΗΝΑ

Τζίφος Νίκος- Λαγός Γιώργος . . .. ........ ...... .......... . ........ ... . 31

Κατερίνα Ρουμπή

Η τριγωνομετρία στην επίλυση Γεωμετρικών προβλημάτων. Νόμος των ημιτόνων-Νόμος των συνημιτόνων

ISSN: 1105

Τάξη

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

Στέφανος Κείσογλου .................................................. ...... 9

Β'

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,

Ποσά ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα. Πόσο χρήσιμα είναι;

•

r·

Λύσεις θεμάτων Γ· τάξης για προχωρημένους τεύχους 98,

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Α'

•

www.hms.gr

•

έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει \Ό στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη Α'". TG χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση

Τιμή τεύχους: ευρώ 3,00

Ετήσια (Jυνδρομή (10,00+2,00 Ταχυδρομικά=ευρώ 12,00). Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00 Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται: 1. Με απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε. Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 300+-1 2. Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικής συναλλαγής μΕ�. τράπεζα EUROBANK 3. Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Το ημίτονο: αν ιχνεύοντας την ετuμολοyία ==

Γιάννης Θω μαίδης- Μαλβίνα Παπαδάκη

Μια μικρή ιστορία Ο Ηλίας και ο Στέφανος είναι παιδικοί φίλοι και συμμαθητές στη Β' Γυμνασίου. Μένουν στην ίδια πολυκατοικία, κάθονται στο ίδιο θρανίο και παίζουν ποδόσφαιρο στην ίδια ομάδα. Δεν θα μπορούσε να τους χαρακτηρίσει κανείς άριστους μαθητές αν μάλιστα ενδιαφερόταν να μάθει, θα διαπίστωνε ότι δεί χνουν μεγαλύτερο ενδιαφέρον για την προπόνηση, τη μουσική και το διαδίκτυο παρά για το σχολείο. Στα μαθήματα της Α' τάξης δεν αντιμετώπιζαν ιδιαίτερες δυσκολίες, με αποτέλεσμα να θεωρήσουν ότι το Γυμνάσιο είναι εύκολη υπόθεση, να ρίξουν μεγαλύτερο βάρος στις προπονήσεις και να αυξήσουν τις ώ ρες των διαδικτυακών περιπλανήσεων. Τα προβλήματα με το σχολείο άρχισαν στο πρώτο τρίμηνο της Β ' τάξης, όταν εμφανίστηκαν οι πρώτες χαμηλές επιδόσεις σε κάποια τεστ και μια παταγώδης αποτυχία στο επαναληπτικό διαγώνισμα των Μαθηματικών. Οι απαράδεκτα χαμηλοί βαθμοί στον Έλεγχο του πρώτου τριμήνου και οι αυστηρές προειδοποιήσεις των καθηγητών προκάλεσαν αναστάτωση στους γονείς τους, η οποία φυσικά μεταφέρθηκε το ίδιο βράδυ στο σπίτι. Οι επιπλήξεις συνοδεύτηκαν από την απειλή άμεσης διακοπής των προπονήσεων και απαγό ρευση της χρήσης του υπολογιστή, αφού αυτά τα δύο θεωρήθηκαν ότι φταίνε για τις χαμηλές επιδόσεις στο σχολείο. Μπροστά στον κίνδυνο, ο Ηλίας και ο Στέφανος έδωσαν μεγάλες υποσχέσεις. ότι η κατάσταση θα βελτιωθεί στο δεύτερο τρίμηνο και παρακάλεσαν να αναβληθεί προσωρινά η απόφαση ότι θα σταματή σουν το ποδόσφαιρο. Συμφωνήθηκε τελικά να μειωθούν οι προπονήσεις σε μία την εβδομάδα και να πε ριοριστεί η χρήση του υπολογιστή μόνο για ένα δίωρο το Σάββατο. Για να δείξουν μάλιστα έμπρακτα τη διάθεση αλλαγής αποφάσισαν να μελετούν μαζί τα μαθήματά τους κάθε απόγευμα, βοηθώντας ο ένας τον άλλο. Έτσι, άρχισαν να ασχολούνται συστηματικά με τα Μαθηματικά, το μάθημα στο οποίο είχαν τους χαμηλότερους βαθμούς. Όταν μάλιστα ο καθηγητής των Μαθηματικών κύριος Ευσταθίου προειδοποίησε ότι στο νέο κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας θα γράψουν το επαναληπτικό διαγώνισμα του δευτέρου τριμή νου, έπεσαν με τα μούτρα στο διάβασμα. Ένα απόγευμα προσπαθούσαν να λύσουν μια άσκηση που είχε σχεδιασμένα διάφορα ορθογώνια τρίγωνα, στα οποία έπρεπε να μετρήσουν τα μήκη τωv πλευρών και να υπολογίσουν το ημίτονο και το συνημίτονο κάθε οξείας γωνίας. «Εγώ αυτά τα ημίτονα και τα συνημίτονα δεν τα καταλαβαίν@> είπε ο Ηλίας, δείχνοντας με το δάκτυλο τον ορισμό του ημιτόνου στη σελίδα 1 42 του βιβλίου Μαθηματικών της Β' Γυμνασίου: Ο λ�ος nου σχηματfζεται, αν διαιρtσουμε την απέναντι κόθετη πλευρά μιας οξιlας γωνfας ω ενός ορθογωνfου τριγώνου δια την υποΊ"Εfνουσα, εlναι πόνrοτε σrοθερός mι λtγεται ημhονο της γωvkις ω.

<<'Όταν μετρήσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά και την υποτεί νουσα και διαιρέσουμε τα δύο μήκη, θα βρούμε σίγουρα έναν αριθμό» (Σχήμα 1) συνέχισε. «Αυτός φαίνεται ότι έχει κάποια σχέση με το ά νοιγμα της οξείας γωνίας, αφού σε ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο με δι αφορετική γωνία ω θα βρούμε διαφορετικό αριθμό. Γιατί όμως γράφει ότι είναι πάντοτε σταθερός; Αλλά εκείνο που με μπερδεύει περισσότε ρο είναι το όνομα: Γιατί αυτός ο αριθμός ονομάζεται η μίτονο;»

Σ χήμα 1

«Σταθερός είναι στα ορθογώνια τρίγωνα που έχουν την ίδια οξεία γωνία ω» απάντησε ο Στέφανος. «Και το ημίτονο εμένα μου θυμίζει το η μίχρονο, όπως στο ποδόσφαιρο που το καθένα είναι 45 λεπτά. Κάποιο μισό θα υπάρχει και στο ημίτονωι. «Εγώ ξέρω και το η μιτόνιο της μουσικής» συμπλήρωσε ο Ηλίας, που είχε ξεκινήσει κάποτε μαθή ματα αρμονίου στο Δημοτικό Ωδείο. «Είναι το μισό διάστημα ανάμεσα σε δύο συνεχόμενες νότες και το καταλαβαίνεις από τον ήχο. Πάλι το μισό δηλαδή. Έχέι άραγε καμιά σχέση το ημίτονο με το ημιτόνιο; Εγώ δεν βλέπω νότες ούτε ακούω μουσική στα ορθογώνια τρίγωνα!».

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/1

-------

Το η μίτονο: ανιχνε6οντας την ετυμολογία

-------

Πιο αργά το βράδυ, πριν πάει για ύπνο, ο φιλοπερίεργος Ηλίας έκανε μια ακόμη Προσπάθεια να βρει α πάντηση στο ερώτημα που τον απασχολούσε. Διάβασε το εισαγωγικό σημείωμα «Τι είναι η Τριγωνομε τρία;» στο αντίστοιχο κεφάλαιο του βιβλίου Μαθηματικών της Β' Γυμνασίου. Εκεί βρήκε αρκετά ιστο ρικά στοιχεία αλλά καμιά πληροφορία για την προέλευση του όρου «ημίτονω>. Συνέχισε να ξεφυλλίζει το βιβλίο και στη σελίδα 147 -φάβηξε την προσοχή του η πληροφορία ότι για να υπολογίσουμε το ημίτονο μιας γωνίας με τον επιστημονικό υπολογιστή τσέπης, χρησιμοποιούμε το πλήκτρο �· «Τι είναι πάλι αυτό το sin» αναρωτήθηκε. <<Αύριο να θυμηθώ να ρωτήσω στο σχολείο τον Ευσταθίου)). Την άλλη μέρα ο καθηγητής Μαθηματικών απουσίαζε και στην ώρα του το τμήμα του Ηλία και του Στέφανου είχε «κενό». Οι περισσότεροι μαθητές βγήκαν στην αυλή για να παίξουν ποδόσφαιρο ή μπά σκετ, αλλά ο Ηλίας, προς μεγάλη έκπληξη του Στέφανου, αποφάσισε να εγκατασταθεί στην αίθουσα της σχολικής βιβλιοθήκης και να μελετήσει τα λεξικά και τις εγκυκλοπαίδειες. Είχε μεγάλη περιέργεια να μάθει τι έγραφαν για το ημίτονο και το sin. Στη βιβλιοθήκη μάλιστα ήταν υπεύθυνος ένας άλλος μαθημα τικός του σχολείου, ο κύριος Συμεωνίδης, ο οποίος για λόγους υγείας είχε απαλλαγή από τα διδακτικά καθήκοντα. Πάνω στο γραφείο του κυρίου Συμεωνίδη υ�ρχε ένας επιστημονικός υπολογιστής τσέπης και ο Η λίας τον ρώτησε για τη σημασία του πλήκτρου �· «Είναι συντομογραφία της αγγλικής λέξης sine, που σημαίνει ημίτονο)) απάντησε ο καθηγητής. «Έ χετε αρχίσει το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας?)) «Πριν λίγες μέρες)) απάντησε ο Ηλίας «και θέλω να καταλάβω καλά όλες τις έννοιες. Στη βιβλιοθή κη ήρθα για να λύσω κάποιες απορίες. Λέω να ξεκινήσω από τα λεξικά· και να μελετήcrω τι γράφουν για τη λέξη ημίτονο». «Πολύ καλά έκανες!» απάντησε ο καθηγητής, που δεν παρατηρούσε συχνά παρόμοιες επισκέψεις μαθητών στη βιβλιοθήκη. «Αν έχεις κάποια δυσκολία, μη διστάσεις να με ρωτήσεις».

Ανα ζήτηση υλικού στη σχολική βιβλιοθήκη και το διαδίκτυο

Από το ράφι με τα λεξικά ο Ηλίας κατέβασε το ΕτυμολοΎικό Λεξικό της Νέας Ελληνικής Γλώσσας του Γ. Μπαμπινιώτη, διάβασε όσα έγραφε στη σελίδα 546 για το λήμμα «ημίτονω> και σημείωσε στο τετράδιο του τα εξής: ημίτονο: ημί + τόνο(ς) (στην αρχική σημασία «ταινία, σχοινί», ουδέτερο κατά τον αρχαίο μουσικό όρο ημιτόνιον «μισός τόνος», που απαντά στον Αριστόξενο τον 4° αιώνα π.Χ), απόδοση του γαλλικού sinus (λατινικά sinus «πτυχή ενδύματος, καμπύλη»), που χρησιμοποιήθηκε ως μαθηματικός όρος γιΟ: να απο δώσει το αραβικό djaub «πτυχή ενδύματος- μισή χορδή». Όταν έδειξε τις σημειώσεις στον κύριο Συμεωνίδη αυτός του σύστησε να μελετήσει και το λήμμα «sine» από ένα ξενόγλωσσο λεξικό. Ο Ηλίας κατέβασε από το ράφι το ογκώδες Oxford Universal Dic tionary, βρήκε στη σελίδα 1898 το λήμμα «sine» και με τη βοήθεια του κυρίου Στεφανίδη μετέφρασε στο τετράδιο τα εξής: Sine: Από το Λατινικό sinus που σημαίνει γύρισμα, καθώς και πτυχή υφdσματος. Χρησιμοποιήθηκε ως μετάφραση του συνώνυμου Αραβικού jaib, που εφαρμόζεtαι στα Μαθημ ικά με τη σημασία του 2 πα ρακάτω. Ι. Μυχός ή κόλπος. 2. Μία από τις τρεις θεμελιώδεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις: Αρχικά, ήταν το μήκος ενός ευθύγραμ μου τμήματος με αρχή το άκρο ενός κυκλικού τόξου, παράλληλο προς την εφαπτομένη στο άλλο άκρο, και τέρμα στην ακτίνα. Στη νεώτερη εποχή είναι ο λόγος αυτού του τμήματος προς την ακτίνα, ή (ισοδύ ναμα, ως συνάρτηση μιας γωνίας), ο λόγος της πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέ ναντι της δοθείσας γωνίας προς την υποτείνουσα (με το ημίτονο μιας αμβλείας γωνίας να είναι αριθμη τικά ίσο με αυτό της παραπληρωματικής της). (Συντομογραφικά sin) «Εδώ υπάρχει ένα ζήτημα» είπε σκεφτικός ο κύριος Συμεωνίδης παρατηρώντας και τα δύο κείμενα. «Φαίνεται ότι η λέξη ημίτονο είναι μετάφραση μιας άλλης μετάφρασης. Πρώτα μεταφράστηκε στα Λατι νικά ως sinus η αραβική λέξη djaub ή djaib που έχει διάφορες σημασίες και μάλιστα, όπως γράφει ο Μπαμπινιώτης, σημαίνει επίσης μισή χορδή. Ύστερα μεταφράστηκε στα Ελληνικά η λατινική λέξη sinus ως ημίτονο». Στράφηκε με νόημα τον Ηλία. «Λοιπόν, παρατηρείς ότι συμβαίνει κάτι παράξενο;)) «Εγώ παρατηρώ ότι ημίτονο σημαίνει μισή χορδή, και έτσι εξηγείται το ημι. Ο τόνος μάλλον θα έχει κάποια σχέση με τη χορδή)) απάντησε ο Ηλίας. «Καλά, και η χορδή τι σχέση έχει;» ρώτησε ο κύριος Συμεωνίδης. «Μάλλον εννοεί χορδή μουσικού οργάνου, όπως στη κιθάρα ή το βιολί, οπότε έχει σχέση και με το

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/2

------- Το η μίτονο: aνιχνεύοντας την ετυμολογία

-------

ημιτόνιο της μουσικής>�. Ο κύριος Συμεωνίδης τον κοίταξε επιτιμητικά. «Προηγουμένως μου είπες ότι έχεις απορίες στην Τριγωνομετρία, όχι στη Μουσική! Μιλήσατε καθόλου για χορδές στην Τριγωνομετρία;)) «Η τριγωνομετρία ασχολείται με τρίγωνα, το λέει και η λέξη)) απάντησε λίγο συγχυσμένος ο Ηλίας. «Τα τρίγωνα έχουν πλευρές, δεν έχουν χορδές όπως οι κύκλοι!��. «Αυτό ακριβώς είναι το παράξενο που θέλω να καταλάβεις. Αν το η μίtονο έχει σχέση με τη χορδή, τότε συνδέεται με τον κύκλο και όχι με το ορθογώνιο τρίγωνο, όπως ορίζεται στο σχολικό βιβλίο. Εξάλ λου το Oxford αναφέρει για κυκλικό τόξο, εφαπτομένη και ακτίνω�. Ο Ηλίας παραδέχθηκε ότι ο κύριος Συμεωνίδης είχε δίκιο. Η κατάσταση με το ημίτονο άρχισε να γίνεται περίπλοκη. «Εσείς κύριε, ξέρετε τι ακριβώς συμβαίνει;)) «Νομίζω ότι ξέρω)) απάντησε ο κύριος Συμεωνίδης. <<AJ.J.iJ. χρειάζεται να ψάξουμε λίγο περισσότερο. Ζήτησε από τον Ηλία να καθίσει δίπλα του στο γραφείο και άνοιξε τον υπολογιστή της βιβλιοθήκης. «Μπορούμε να βρούμε κάτι για το η μίτονο, ή καλύτερα για το sine στο διαδίκτυο. Ξέρεις να ψάχνεις;)). «Θα γράψουμε sine στην αναζήτηση του Google)) απάντησε σε χρόνο μηδέν ο Ηλίας. Ψηλά στην οθόνη εμφανίστηκε το μήνυμα Περίπου 145.000.000 αποτελέσματα (0.48 δευτερόλεπτα) Το πρώτο αποτέλεσμα στη λίστα έγραφε: Sine - Wikipedia, the free encyclopedia Ο Ηλίας άνοιξε το σύνδεσμο, έκανε scroll στη σελίδα και η οθόνη πλημμύρισε από κείμενα, σχήμα τα, γραφικές παραστάσεις, κινούμενες καμπύλες, πολύπλοκους μαθηματικούς τύπους και δεκάδες παρα πομπές με υπερσυνδέσεις. «Πρόσεξε να μην χαθείς εδώ μέσα!)) προειδοποίησε ο κύριος Συμεωνίδης. «Πήγαινε στα περιεχόμε να και εντόπισε αυτό ακριβώς που ψάχνουμε��. Ο μακρύς πίνακας περιεχομένων είχε 1 7 ενότητες με πολλές υποενότητες και ο Ηλίας με δυσκολία, διαβάζοντας έναν - έναν τους τίτλους, κατέληξε σε αυτή που έμοιαζε να είναι η πιο σχετική με το θέμα τους. Ήταν η υποενότητα 1 3. 1 με τίτλο «Etymology)). «Λοιπόν Ηλία, άκου τι θα κάνουμε. Σε λίγο θα χτυπήσει το κουδούνι. Κάνε γρήγορα επιλογή και ε κτύπωση αυτής της υποενότητας. Εγώ θα ψάξω στα περιοδικά της βιβλιοθήκης μια εργασία για την ιστο ρία της Τριγωνομετρίας που είχα διαβάσει πριν από χρόνια. Νομίζω ότι είχε αρκετές πληροφορίες για το θέμα μας)). Ο Ηλίας κρατούσε σε λίγα λεπτά το εκτυπωμένο κείμενο της Wikipedia που έγραφε τα εξής: Etymologically, the word sine derives from the Sanskrit word for chord, }ίνα (jya being its more popu lar synonym). This was transliterated in Arabic as jiba abbreviated jb . Since Arabic is written without short vowels, "jb" was interpreted as the word jaib, which means "bosom", when the Arabic text was traηs/ated in the 12th century into Latin by Gerard ofCremona. The translaior used the Latin equiva lent for "bosom", sinus (which means "bosom" or "bay" or ''fold"). The English form sine was intro duced ίn the 1590s. Ο κύριος Συμεωνίδης έφτασε κρατώντας ένα τεύχος του περιοδικού Μαθηματική Επιθεώρηση και έκανε αντίγραφα μερικών σελίδων στο φωτοτυπικό της βιβλιοθήκης. «Λοιπόν Ηλία, θα μελετήσεις στο σπίτι όλες τις σημειώσεις που κράτησες καθώς και την εργασία που φωτοτύπησα. Αυτή είναι μάλλον δύσκολη για τις γνώσεις σου, αλλά αν σταθείς στα σημεία που έχει σχήματα θα καταλάβεις με λίγη προσπάθεια τι σημαίνουν. Στη συνέχεια προσπάθησε να γράψεις ένα κείμενο για τη σημασία της λέξης ημίτονο, σημείωσε όποιες απορίες έχεις και έλα μια από τις επόμενες μέρες να το εξετάσουμε μαζί)). «Θα τα μελετήσω μαζί με το φίλο μου το Στέφανο, που έχει τις ίδιες απορίες)) απάντησε ο Ηλίας και έφυγε γρήγορα για να προλάβει το μάθημα της επόμενης ώρας.

Το η μίτονο : μια πρώτη ιστορική ανάγνωση Το ίδιο βράδυ, μετά το διάβασμα, ο Ηλίας και ο Στέφανος άπλωσαν τις σημειώσεις στο τραπέζι και άρχισαν να εξετάζουν προσεκτικά όλα τα στοιχεία. Η έρευνά τους έφερε πλούσια αποτελέσματα. Μελε τώντας τα σχήματα που υπήρχαν στην εργασία της Μαθηματικής Επιθεώρησης δημιούργησαν το επόμενο σχήμα που ταίριαζε με όσα έγραφε το Oxford Universal Dίctίonary: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/3

------- Το ημίτονο: aνιχνεύοντας την ετυμολογία Β

-------

Σύμφωνα λοιπόν με το Αγγλικό λεξικό, το ημίτονο αρχικά ήταν το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΔΓ που έχει ως αρ χή το άκρο Δ του τόξου ΔΑ, παράλληλο προς την εφαπτομένη ΑΒ στο άλλο άκρο Α του τόξου, και ως τέρμα το σημείο Γ στην ακτίνα ΟΑ. Το ΔΓ όμως είναι το μισό της χορδής ΕΔ του τόξου ΔΕ που είναι διπλάσιο.από το ΔΑ. Δηλαδή ημίτονο ενός τόξου ονομάζονταν το μισό της χοpδής του διπλάσιου τόξου.

(Σχήμα 2) «Εδώ βρίσκεται το μυστικό)) φώναξε φανερά εντυπωσια σμένος ο Ηλίας. «Ναι αλλά σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο, ημίτονο της γωνίας ΓΟΔ στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΟΔ είναι ο λόγος της κάθετης πλευράς ΔΓ προς την υποτείνουσα ΟΔ, δηλαδή ένα Σχήμα 2 κλάσμα)) σχολίασε ο Στέφανος. «Μας τα μπερδεύει κάπως αυτή η ΟΔ στον παρονομαστή· εκτός από υποτείνουσα είναι και ακτίνα του κύκλου)) παραδέχτηκε ο Ηλίας. «Εμένα με μπερδεύουν πολλά. Για ποιο λόγο έδωσαν τόση σημασία στη μισή χορδή, ακόμη και ει δικό όνομα;)). «Επειδή αυτά τα χρησιμοποιούσαν στην αρχαιότητα οι αστρονόμοι· σε πολύ μακρινές αποστάσεις το τόξο ΔΑ μπορεί να ταυτιστεί με το τμήμα ΔΓ>). «Ακόμη πιο καλά όμως το τόξο μπορεί να ταυτιστεί με τη δική του χορδή, τη ΔΑ. Γιατί πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη μισή χορδή του διπλάσιου τόξου;)) «Μάλλον θα είναι πιο εύκολος ο υπολογισμό9) απάντησε ο Ηλίας. «Αλλά προτείνω να διαβάσουμε πιο συστηματικά την εργασίά της Μαθηματικής Επιθεώρησης. Ίσως βρούμε εκεί κάποια απάντηση)). Στην εργασία υπήρχαν πολλές πληροφορίες για τον Κλαύδιο ΠτοΜ:μαίο, μεγάλο αστρονόμο, γεω γράφο και μαθηματικό που άκμασε στην Αλεξάνδρεια τον 2° μ.Χ. αιώνα. Δεν γνωρίζουμε πολλά για τη ζωή του εκτός ότι έζησε στην Αλεξάνδρεια, το πολιτιστικό κέντρο της ελληνιστικής εποχής την περίοδο 85- 1 65 μ.Χ. Έγραψε το σπουδαίο έργο Μεγίστη Μαθηματική Σύνταξις ή Αλμαγέστη όπως έχει μείνει γνωστό από τον τίτλο της Αραβικής μετάφρασης. Αποτελείται από 13 βιβλία και είναι κυρίως έργο α στρονομίας με θεωρίες, πίνακες και υπολογισμούς για τα ουράνια φαινόμενα. Διάβασαν επίσης ότι ο Ίππαρχος πριν από τον Πτολεμαίο, στην προσπάθειά του να υπολογίσει απο στάσεις μεταξύ αστέρων συνέταξε έναν πίνακα όπου σε κάθε γωνία αντιστοιχούσε το μήκος της χορδής όταν η γωνία γινόταν επίκεντρη. Αυτό τον πίνακα χρησιμοποίησε αργότερα ο Πτολεμαίος στην Αλμαγέ στη και έτσι διασώθηκε. «Να λοιπόν, αυτό που έλεγα!)) φώναξε θριαμβευτικά ο Στέφανος. «Οι χορδές αποτελούν καλύτερη προσέγγιση των τόξων, όχι οι μισές χορδές των διπλάσιων τόξων. Το είπε και ο Ίππαρχος!)). «Για να δούμε τι γράφει παρακάτ@) είπε aνυπόμονος ο Ηλίας. Οι πληροφορίες που υπήρχαν στην εργασία ταίριαζαν με το κείμενο της Wikipedia και άρχισαν να ξετυλίγουν σιγά-σιγά το νήμα που συνδέει τις χορδές με τα ημίτονα. Μετά του aρχαίους Έλληνες, οι Ιν δοί θεώρησαν ότι οι aστρονομικοί υπολογισμοί διευκολύνονται σημαντικά αν αντί για τη χορδή ενός τό ξου χρησιμοποιηθεί το μισό της χορδής του διπλάσιου τόξου. Ονόμασαν λοιπόν τη μισή χορδή «ardhajίνa)) (από τις λέξεις ardha μισό και jiva χορδή) και κατασκεύασαν σχετικούς πίνακες. Με ταφράζοντας τον όρο ardhajiνa οι Άραβες αστρονόμοι χρησιμοποίησαν τη λέξη «jiba)), την οποία έγρα φαν συντομογραφικά «jb)). Όταν αυτή μεταφράστηκε στα Λατινικά, ο μεταφραστής θεώρησε ότι η συ ντομογραφία <�b)) προέρχεται από την αραβική λέξη <�aib)) η οποία έχει την ίδια σημασία με τη λατινική «sinus» και έτσι χρησιμοποίησε την τελευταία για τη μισή χορδή. «Χάθηκαν στη μετάφραση)) σχολίασε ειρωνικά ο Στέφανος. «Ναι, αλλά υπάρχει κάτι ανεξήγητΟ)) είπε σκεπτικός ο Ηλίας. «Αφού οι αρχαίοι Έλληνες δεν χρησι μοποίησαν καθόλου τη μισή χορδή, πώς δημιουργήθηκε η λέξη ημίτονο;)) «Θα είναι μετάφραση)) απάντησε ο Στέφανος. «Αλλά στάσου, μετάφραση από πού; Το sinus δεν σημαίνει τη μισή χορδή!)). «Καλύτερα να πάμε αύριο στον Συμεωνίδη, να του πούμε τι βρήκαμε και να μας λύσει τις απορίε9) είπε ο Ηλίας που είχε αρχίσει να νυστάζει. Το ημίτονο: η προέλευση της λέξης Το άλλο μεσημέρι, μετά τη λήξη των μαθημάτων επισκέφτηκαν τη βιβλιοθήκη και έδειξαν στον κύ=

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Α' 99 τ.3/4

-------

Το ημίτονο: aνιχνεύοντας την ετυμολοyία

ριο Συμεωνίδη τα ευρήματά τους. «Πάρα πολύ ωραία. Υπάρχουν καθόλου απορίες;)) «Δύο πράγματα είναι αυτά που δεν καταλαβαίνουμε» εξήγησε ο Ηλίας. «Στο Σχήμα 1 το ΔΓ είναι μισή χορδή και σωστά ονομάστηκε ημίτονο, αφού «ημί =μισό )) και «τόνος= χορδψ). Όμως στο ορθοΔΓ γωνιο τριγωνο ονομα'ζεται ο λ'ογος - που δεν ειναι το ι'δ ιο. Μας μπερδευει , ' ΓΟΔ ημιτονο ' ' ' η υποτεινου'

ΟΔ

σα στον παρανομαστή)). «Αυτό είναι εύκολο και θα το βρείτε μόνοι σαρ) απάντησε ο κύριος Συμεωνίδης. «Πότε ένα κλάσμα είναι ίσο με τον αριθμητή του;)). «Όταν ο παρανομαστής είναι ίσος με τη μονάδα>) απάντησαν σχεδόν ταυτόχρονα ο Ηλίας και ο Στέ φανος. «Έτσι ακριβώς. Στον τριγωνομετρικό κύκλο που σχεδιάσατε, η ακτίνα αποτελεί τη μονάδα μέτρη σης και τα ευθύγραμμα τμήματα που μας ενδιαφέρουν υπολογίζονται ως συνάρτηση της ακτίνας.)) «Δηλαδή ΟΔ 1 , οπότε και στο ορθογώνιο τρίγωνο το ημίτονο της γωνίας ΓΟΔ είναι ίσο με το μή κος της Δη). «Τι άλλο δεν καταλαβαίνετε;)). «Η άλλη απορία δεν είναι και τόσο μαθηματική)) απάντησε κάπως διστακτικά ο Ηλίας. <<Αφού οι =

αρχαίοι Έλληνες δεν χρησιμοποίησαν καθόλου τη μισή χορδή, πώς δημιουργήθηκε η λέξη ημίτονο; Το λατινικό

sinus δεν σημαίνει μισή χορδή και άρα θα έπρεπε να μεταφραστεί διαφορετικά)).

«Τώρα ανοίγετε ένα δύσκολο ιστορικό ζήτημα. Επειδή βρήκα το θέμα του ημιτόνου ενδιαφέρον, έψαξα και βρήκα στη βιβλιογραφία μια εργασία που παρουσιάστηκε πριν μερικά χρόνια σ' ένα συνέδριο στο Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών)). «Θα μας τη δώσετε να τη μελετήσουμε;)) «Δεν χρειάζεται να μπλέξετε με πολλές λεπτομέρειες. Θα σας πω μόνο ότι η «μισή χορδή)) μετα φράστηκε αρκετές φορές στα Ελληνικά. Την πρώτη φορά στο Βυζάντιο έγινε μετάφραση από ένα Αρα βικό αστρονομικό έργο, και ο μεταφραστής Γεώργιος Χιονιάδης έκανε τότε το ίδιο λάθος όπως ο μετα φραστής στα Λατινικά. Θεώρησε και αυτός ότι η συντομογραφία <�b)) προέρχεται από τη λέξη <�aib)), η οποία σημαίνει διάφορα πράγματα, μεταξύ των οποίων «άνοιγμα ενός ρούχου στο λαιμό ή τον τράχηλω), αυτό που οι μοδίστρες λένε «λαιμόκοψψ. Έτσι δημιούργησε τη λέξη «τραχηλαία>) για να εκφράσει τη μισή χορδή ενός τόξοω). «Δηλαδή το ημίτονο στο Βυζάντιο το έλεγαν τραχηλαία και το ήξεραν και οι μοδίστρες)) σχολίασε με ειρωνική διάθεση ο Στέφανος. «Όχι μόνο αυτό, ο περίφημος Βησσαρίων το ονόμαζε «κόλπωμα>) επειδή το <�aib)) και το «siinUS)) σημαίνουν επί σης «θαλάσσιος κόλπορ). Δείτε αυτή την εικόνα που βρήκα στο διαδίκτυω). «Καλά, και το ημίτονο πότε εμφανίστηκε;)) ρώτησε ο Ηλίας έκπληκτος από τις νέες πληροφορίες . «Μη βιάζεσαι. Μια άλλη μετάφραση έγινε επί Τουρ \ πάλι από τα Λατινικά. Ο μεταφραστής Χρύ κοκρατίας, • sinus W>us σανθος Νοταράς κατάλαβε ότι το sinus δεν έχει καμιά σχέση με τη μισή χορδή, αλλά δεν προσπάθησε να δημιουργή σει μια νέα ελληνική λέξη. Αντίθετα έκανε αυτό που ονομάζουμε εξελληνισμό, δηλαδή όπως λέμε Λον δίνο το London, αυτόs ονόμασε «σίνΟ)) το sinus. Στο βιβλίο του γράφει «Κανόνας του σίνοω) για το «Θεώρημα των ημιτόνων)) που θα μάθετε στην επόμενη τάξη. Η λέξη ημίτονο εμφανίζεται για πρώτη φορά στο βιβλίο Οδός Μαθηματικής που έγραψε ο Μεθόδιος Ανθρακίτης, επίσης την περίοδο της Τουρκοκρατίαρ). Όλα τα προηγούμενα άρχισαν να εξάπτουν την περιέργεια και τη φαντασία των δύο μαθητών, που ετοιμάστηκαν να βομβαρδίσουν τον κύριο Συμεωνίδη με ερωτήσεις για τον Χιονιάδη, τον Νοταρά τον Βησσαρίωνα και τον Ανθρακίτη. Ο τελευταίος όμως αποφάσισε να οδηγήσει αλλού τη συζήτηση.

Το ημίτονο: ο όρος και η έννοια «Είναι καιρός να γυρίσουμε στο μαθηματικό μέρος του ζητήματος. Όπως δείξατε πολύ καλά στο Σχήμα 1 , το ημίτονο ενός τόξου ισούται με το μισό της χορδής του διπλάσιου τόξου. Επειδή τα τόξα ενός κύκλου ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/5

-------

Το ημίτονο: aνιχνεύοντας την ετυμολογία

-------

αντιστοιχούν σε επίκεντρες και εγγεγραμμένες γωνίες, μπορούμε να μ1λάμε επίσης για ημίτονο γωνίας». Σχεδίασε σε ένα χαρτί το επόμενο σχήμα: «Τώρα θα σας εξηγήσω και μερικά πράγματα από το επόμενο κεφάλαιο του βιβλίου Μαθηματικών. Στο Σχήμα 3 η γωνία ΒΟΓ ο νομάζεται επίκεντρη που βαίνει στο τόξο ΒΓ και η ΒΑΓ αντίστοιχη εγγεγραμμένη που βαίνει στο ίδιο τόξο. Η επίκεντρη είναι διπλάσια της αντίστοιχης εγγεγραμμένης και για το λόγο αυτό η εγγεγραμμένη λ γωνία ΑΓΒ είναι ορθή, επειδή ισούται με το μισό της αντίστοιχης ε 8 πίκεντρης ΑΟΒ που είναι ευθεία γωνία». «Πανεύκολο, αφού το μισό των 1 80 μοιρών είναι 90 μοίρερ> σχολίασε ο Στέφανος. «Ακριβώς. Αν λοιΠόν μια γωνία ΒΟΓ = 2θ γίνει επίκεντρη σε κύκλο με κέντρο Ο και διάμετρο ΑΒ = 2R , όπως στο Σχήμα 2, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιό και έχει την οξεία ΒΑΓ = θ. Από το Σχήμα 3 τρίγωνο αυτό διαπιστώνουμε αμέσως τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στο ημίτονο της γωνίας θ και τη χορδή της διπλάσιας γωνίας 2θ». Ο κύριος Συμεωνίδη ς έγραψε σε ένα φύλλο χαρτί το μαθηματικό τύπο:

ημθ

_ -

_ χορδη2θ ΑΒ 2R ΓΒ

( 1)

«Αν επιλέξουμε κύκλο με μοναδιαία ακτίνα, δηλαδή R = 1, τότε διαπιστώνουμε αμέσως από την προηγούμενη σχέση ότι το ημίτονο μιας γωνίας θ ισούται με τη μισή χορδή της διπλάσιας γωνίας 2θ, Υ πάρχει κάτι που δεν καταλαβαίνετε;». Ο Ηλίας και ο Στέφανος, αφού εξέτασαν προσεκτικά το Σχήμα 2 και τη σχέση (1 ), διαβεβαίωσαν τον κύριο Συμεωνίδη ότι δεν είχαν καμιά απορία.

Ο πίνακας του Πτολεμαίου «Λοιπόν, τώρα σας έχω μια έκπληξη. Βρήκα στο διαδίκτυο μια εικόνα που περιέχει την πρώτη και την τελευταία σελίδα του πίνακα χορδών του Πτολεμαίου». Άνοιξε στην επιφάνεια εργασίας του υπολογιστή ένα αρχείο jpg και στην οθόνιη εμφανίστηκε η επό μενη εικόνα: «τt βλέπουμε εδώ;» ρώτησε ο κύριος Συμεω νίδης. «Αριστερά ή δεξιά;» ρώτησε ο Στέφανος. «Α ριστερά δεν καταλαβαίνω τίποτε, αλλά δεξιά μοιά ζει με τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών του βιβλίου». «Να τα βάλουμε σε μία σειρά» είπε ο κύριος Συμεωνίδης. «0 Πτολεμαίος, επειδή χρησιμοποιού σε το εξηκονταδικό σύστημα αρίθμησης, επέλεξε έναν κύκλο με ακτίνα R =60. Πώς γίνεται στην πε ρίπτωση αυτή ο τύπος που έγραψα προηγουμένως;» Ο Στέφανος, κοιτώντας προσεκτικά τον τύπο ( 1 ) έγραψε από κάτω:

_ χορδη2θ η μθ 120

(2)

«Οι αριθμοί στον πίνακα του Πτολεμαίου» συ νέχισε ο κύριος Συμεωνίδης «είναι γραμμένοι σύμ φωνα με το αρχαιοελληνικό σύστημα αρίθμησης, δηλαδή α = 1, β = 2, ζ = 7, ι = 1 0, ια = l l κ.ο.κ. Η η λευταία σελίδα του πί ακα χορδώ και τ Η ]η ν ε ν πρώτη στήλη του πίνακα περιέχει τις τιμές των τό του Πτολεμαίου ξων σε μοίρες και η δεύτερη στήλη τα μήκη των αντίστοιχων χορδών με μονάδα μέτρησης την ακτίνα που υποδιαιρείται σύμφωνα με το εξηκονταδικό σύστημα αρίθμησης σε 60 πρώτα, κάθε πρώτο σε 60 δεύτερα και κάθε δεύτερο σε 60 τρίτα. Ο πίνακας περιέχει συνολικά τα μήκη των χορδών όλων των τόξων που αυξάνουν διαδοχικά ανά μισή μοίρα, από το

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/6

-----

Το ημίτονο: aνιχνεύοντας την ετυμολογία

------:---

τόξο μισής μοίρας μέχρι το τόξο 180 μοιρών». «Πώς μέτρησε τόσο μικρές χορδές με τέτοια ακρίβεια» αναρωτήθηκε ο Ηλίας. «Και μάλιστα χρησιμοποιώντας την ακτίνα ως χάρακα» έσπευσε να συμπληρώσει ο Στέφανος. «Τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά>> απάντησε ο κύριος Συμεωνίδης. «Δεν υπήρξε καμιά μέτρηση όπως αυτή που εννοείτε. Ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε πολλά θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, ένα από τα οποία είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα που ήδη γνωρίζετε, και με τη βοήθειά τους υπολόγισε τα μήκη των χορδών με τις υποδιαιρέσεις της αΚ'tίνας. Στην πράξη οι αστρονόμοι ενδιαφέρονταν να βρίσκουν με όσο γίνεται μεγαλύ τερη ακρίβεια το μήκος της χορδής ενός γνωστού τόξου και αντίστροφα: από το μήκος της χορδής να βρίσκουν το αντίστοιχο τόξο. Για να ελέγξουμε την ακρίβεια του πίνακα, θα εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Διάβασε Ηλία από τον πίνακα το μήκος της χορδής του τόξου των ζ μοιρών». Ο Ηλίας, αφού βεβαιώθηκε το ζ είναι το 7, εντόπισε γρήγορα στην 1 4η γραμμή του πίνακα το μήκος της χορδής του τόξου 7 μοιρών ίσο με 7 πρώτα 19 δεύτερα και 33 τρίτα της ακτίνας. «Αυτόν τον αριθμό θα τον καταλάβουμε καλύτερα αν μετατραπεί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμη σης» εξήγησε ο κύριος Συμεωνίδης. Έκανε γρήγορα κάποιες πράξεις στην αριθμομηχανή των Windows του υπολογιστή και έγραψε:

1 9 33 + 7,3258333 ... 60 3600

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο (2) για τη σχέση ημιτόνου και χορδής υπολόγισε με τη

, ,

βοηθεια της αριθμομηχανης οτι:

η μ3, 5

° χορδηγ 120 =

7, 3258 333 ··· 120

06 1 048 61 08 333 ...

«Τώρα θέλω εσείς να συγκρίνετε αυτό το αποτέλεσμα με εκείνο που δίνει ο πίνακας τριγωνομετρι κών αριθμών του βιβλίου σας». Ο Ηλίας έβγαλε γρήγορα το βιβλίο Μαθηματικών από την τσάντα, το άνοιξε στην τελευταία σελίδα όπου υπήρχε ο πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών και άρχισε να ψάχνει. «Δεν έχει το ημίτονο της γωνίας 3,5 μοιρών» ψιθύρισε μάλλον απογοητευμένος. «Από το ημίτονο 3 μοιρών που είναι ίσο με 0,0523 πηγαίνει κατευθείαν στο ημίτονο 4 μοιρών που είναι ίσο με Ο, 0698». «Στη μέση αυτών των δύο θα βρίσκεται το ημίτονο 3,5 μοιρών» συμπλήρωσε ο Στέφανος. «Νομίζω ότι πέφτει κοντά σε αυτό που βρήκαμε». «Αυτό δεν είναι ακρίβεια» αντέδρασε ο Ηλίας. «Θα το υπολογίσω με το πλήκτρο � στο κομπιου τεράκι του υπολογιστή. Εκεί μπορώ να βάλω όποιον αριθμό θέλω και μου δίyει απάντηση με πολλά δε καδικά ψηφία». Σε λίγα δευτερόλεπτα εμφανίστηκε στην οθόνη της αριθμομηχανής το αποτέλεσμα:

ημ3,5°

0,06104853953485687203667013038475

«Έχει ίδια τα 6 πρώτα δεκαδικά ψηφία με τον αριθμό που βρέθηκε από τον πίνακα του Πτολεμαίου» φώναξε ενθουσιασμένος ο Ηλίας. «Σχεδόν συμπίπτουν». «Δηλαδή ο αρχαίος πίνακας χορδών είναι πιο ακριβής από τον πίνακα ημιτόνων του βιβλίου;» ρώ τησε ο Στέφανος. «Εγώ θέλω τώρα να μας δείξετε ένα αστρονομικό πρόβλημα που έλυσε ο Πτολεμαίος χρησιμοποιώ ντας τον πίνακα χορδών» συνέχισε ο Ηλίας. «Με τις γνώσεις Μαθηματικών που έχετε αυτό δεν είναι εύκολο. Ήδη έχετε μάθει πολύ ενδιαφέρο ντα πράγματα» είπε ο κύριος Συμεωνίδης. «Εγώ λέω ότι είναι ώρα να τελειώσουμε και να γυρίσετε στο σπίτι. Η ώρα πέρασε και οι δικοί σας θα ανησυχούν». Ο Στέφανος είχε ένα τελευταίο, κρίσιμο ερώτημα. <<Αν πούμε αυτά που μάθαμε στο κύριο Ευσταθίου, υπάρχει περίπτωση να μας βάλει μεγαλύτερο βαθμό στο δεύτερο τρίμηνο;» «Να ζητήσετε να γράψετε μια ερευνητική εργασία στο μάθημα των Μαθηματικών με αυτό το θέμα. Να βρείτε έναν καλό τίτλο και να το προτείνετε αύριο κιόλας. Θα του μιλήσω και εγώ αν χρειαστεί». Ο Ηλίας και ο Στέφανος ευχαρίστησαν τον κύριο Συμεωνίδη και έφυγαν από τη βιβλιοθήκη γεμάτοι σχέδια. «Σκέφτηκα έναν ωραίο τίτλο για την εργασία» ανακοίνωσε ο Ηλίας καθώς βάδιζαν για το σπίτι. «Θα την ονομάσουμε Λύνοντας το μυστήριο του ημιτόνου». «Αυτό μοιάζει με αστυνομική ιστορία» σχολίασε ο Στέφανος. Εγώ σκέφτηκα έναν καλύτερο τίτλο: Η μά

χη της χορδής με το ημίτονα».

«Αυτό μοιάζει με κινηματογραφική ταινία. Η εργασία θα χάσει τη σοβαρότητά της».

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/7

Το ημίτονο: aνιχνεύοντας την ετυμολογία

0 Στέφανος προτίμησε να μην απαντήσει. Όταν έφτασαν στην είσοδο της πολυκατοικίας έκανε μια

-----

----

πρόταση. «Συμφωνώ ότι αν πάμε στον Ευσταθίου με τέτοιους τίτλους μπορεί να μη μας πάρει στα σοβαρά. Προτείνω να του μιλήσουμε αύριο για τις απορίες που είχαμε και την έρευνα που κάναμε. Αν δεχθεί να κάνουμε την εργασία και να μετρήσει ο βαθμός για το δεύτερο τρίμηνο, τότε ξεκινάμε το γράψιμο αμέ σως. Μπορούμε να τελειώσουμε και μέσα στο ΣαββατοκύριαΚΟ)). «Ωραία πρόταση )) συμφώνησε αμέσως ο Ηλίας. «Το βράδυ να συνεννοηθούμε πως ακριβώς θα πα ρουσιάσουμε την ιδέα στον Ευσταθίου)).

Ένα project yια ολόκληρο το τμήμα Ο κύριος Ευσταθίου άκουσε την άλλη μέρα με πολύ ενδιαφέρον όσα του διηγήθηκαν ο Ηλίας και ο Στέφανος, στη διάρκεια δύο διαλειμμάτων. Από το ύφος του ήταν φανερό ότι άκουγε πρώτη φορά όλες αυτές τις συναρπαστικές λεπτομέρειες για την ιστορία του ημιτόνου. «Όλα αυτά είναι πολύ ενδιαφέροντα και σας συγχαίρω για την προσπάθεια. Αλλά για να θεωρηθεί ότι έγινε στο πλαίσιο του μαθήματος και να αξιολογηθεί, θα πρέπει να ενταχθεί μέσα σε ένα πρόγραμμα ερευνητικών εργασιών στις οποίες συμμετέχουν όλοι οι μαθητές του τμήματος σας. Στην περίπτωση αυ τή μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμη με ένα ωριαίο διαγώνισμα, ίσως και περισσότερω). «Οι περισσότεροι βαριούνται κύριε να κάνουν τέτοιες εργασίες. Θα προτιμήσουν το διαγώνισμα!)) σχολίασε ο Στέφανος. «Αυτό αφήστε το σε μένα. Λοιπόν θα εφαρμόσουμε το εξής σχέδιο. Αύριο θα ανακοινώσω στο τμήμα τις απορίες που είχατε για το ημίτονο και ότι αρχίσατε να ερευνάτε το ζήτημα. Στην Τριγωνομετρία όμως, εκτός από το ημίτονο, υπάρχουν το συνημίτονο και η εφαπτομένη. Υπάρχουν ακόμη η συνεφαπτομένη, η τέμνουσα, και η συντέμνουσα, που δεν περιλαμβάνονται στη ύλη σας αλλά είναι παρόμοια. Θα ζητήσω να χωριστεί το τμήμα σε τριμελείς ομάδες. Δύο ομάδες θα μελετήσουν την προέλευση των υπόλοιπων τριγωνομετρικών α ριθμών που ανέφερα. Τρεις άλλες ομάδες θα συλλέξουν στοιχεία για τον Πτολεμαίο, τον Χιονιάδη, τον Βησ σαρίωνα, τον Νοταρά, τον Ανθρακίτη και άλλους εmστήμονες που ασχολήθηκαν με την Τριγωνομετρία και τις εφαρμογές της. Δύο άλλες ομάδες θα συγκεντρώσουν προβλήματα πρακτικών εφαρμογών της Τριγωνομε τρίας. Υπάρχουν άπειρες. Θα δημιουργηθεί επίσης μια ομάδα τεχνικής υποστήριξης που θα κάνει τα σχήματα στον υπολογιστή και θα εmμεληθεί ένα τεύχος με τις εργασίες όλων των ομάδων. Εσείς οι δύο θα αναλάβετε, τιμής ένεκεν και ως γνώστες του θέματος, το ρόλο των βοηθών μου στην παρακολούθηση και το συντονισμό όλων των ομάδων. Είναι ένα project για ολόκληρο το τμήμω). «Θα προλάβουμε κύριε να το τελειώσουμε μέσα στο δεύτερο τρίμηνο; )) ρώτησε κάπως προβληματι σμένος ο Ηλίας. «Κανείς δεν μας εμποδίζει να το επεκτείνουμε και στο τρίτο τρίμηνο. Θα το δηλώσω στον Διευθυ ντή ως ανάθεση εκπόνησης ερευνητικής εργασίας στο μάθημα των Μαθηματικών, και θα μετρήσει επί σημα στην αξιολόγησή σας. Ίσως οργανώσουμε στο τέλος της χρονιάς και μια ημερίδα παρουσίασης, στην οποία θα προσκαλέσουμε τους γονείς καί το σχολικό σύμβουλο. Λοιπόν να φέρετε αύριο μαζί σας το υλικό που έχετε συγκεντρώσει να το δείξουμε και στους υπόλοιπουρ). Ο Ηλίας και ο Στέφανος έφυγαν εκείνη τη μέρα από το σχολείο με ενθουσιασμό, και συναίσθηση ότι τους είχε ανατεθεί ένα πολύ σοβαρό έργο. Επιμύθιο Στην επιστημονική ορολογία παρατηρούμε αρκετές φορές την ύπαρξη μιας ασυμφωνίας ανάμεσα στην ετυμολογία ενός όρου και τη σημασία του, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο ορίζεται η αντίστοιχη έννοια. Στις Φυσικές Επιστήμες το φαινόμενο αυτό οφείλεται συχνά στη διαφορετική χρήση του συγκε κριμένου όρου ή της αντίστοιχης έννοιας στην καθημερινή ζωή και την επιστήμη. Π.χ. κάθε μαθητής, πριν αρχίσει ακόμη το σχολείο, έχει αποκτήσει από την καθημερινή εμπειρία μια αντίληψη για τον όρο <<δύναμη» που δεν είναι εύκολα συμβατή με τον ορισμό της αντίστοιχης έννοιας στο μάθημα της Φυσι κής. Στα Μαθηματικά η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη, επειδή τις περισσότερες φορές οι όροι που χρη σιμοποιούνται, όπως διαμορφώθηκαν με το πέρασμα των χρόνων, όχι μόνο δεν έχουν κάποιο άμεσο α ντίκρισμα στην καθημερινή ζωή, αλλά ούτε και με την έννοια την οποία εκφράζουν. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί, που εμφανίζονται για πρώτη φορά στους μαθητές του Γυμνασίου, ως λόγοι μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, αποτελούν μια τέτοια χαρακτηριστική περίπτωση. Η μελέτη της ετυμολογίας και της προέλευσης των επιστημονικών όρων αποτελεί ένα συναρπαστικό πεδίο έρευνας που μπορεί να συμβάλει αποφασιστικά στην εννοιολογική κατανόησή τους. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/8

οναΛοyα και αvτιστροφως αvα.λοyα. Πόσο χρήσιμο είναι;

ποοα "

, "\

"·

======

Παρατηρήστε με προσοχή τους παρακάτω πί νακες: Α 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

R RJA 1.8 1.2 1 .2 2.4 1.2 3 1 .2 3.6 4.2 1.2 4.8 1.2 5.4 1.2 6 1.2

Γ 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Λ Λ"Γ 15 10 15 7.5 15 6 15 5 15 4.29 15 3.75 3.33 15 15 3

Στους πίνακες αυτούς έχουμε καταγράψει τις τιμές των ποσών Α και Β, στον πρώτο, και των ποσών Γ και Δ στον δεύτερο. Στον πρώτο πί νακα αν κάποιος έχει ''Μαθηματική '' διά θεση θα παρατηρήσει μερικές κανονικότητες, κά ποια μοτίβα. Η πρώτη στήλη περιέχει τιμές που αυξάνονται κατά το σταθερό ποσό 0,5. Η δεύτερη στήλη περιέχει τιμές που αυξάνονται πάλι κατά σταθερό ποσό αλλά όχι το ίδιο με την πρώτη στήλη. Τέλος στην τρίτη στήλη πα ρατηρούμε ότι ο λόγος των αντιστοίχων τιμών των δύο ποσών παραμένει σταθερός και ίσος προς 1 ,2 δηλαδή ισχύει: Β= 1 ,2 ·Α. Έχει ενδιαφέρον να ο παραστήσουμε τα ζευ 4 γάρια των αριθμών αυ 2 τών σε δύο άξονες . Φαίνεται ότι σε κάθε 1 4 2 3 δ ζεύγος αριθμών αντι στοιχεί ένα σημείο και ότι όλα τα σημεία βρί σκονται πάνω σε μία ευθεία. Ας έρθουμε τώρα στον δεύτερο πίνακα με τα ποσά Γ και Δ . Εδώ μπορεί η πρώτη στήλη α κολουθεί προφανώς τον κανόνα του πρώτου πίνακα αλλά η δεύτερη περιέχει τιμές που δεν φαίνεται άμεσα να ακολουθούν κάποιο κανό να. Αν όμως πάμε στην τρίτη στήλη παρατηρούμε ότι το γινό μενο •• των αντιστοίχων τιμών των δύο ποσών Γ και Δ παραμένει σταθερό και ίσο με 15, δηλαδή ισχύ-

Στέφανος Κείσογλου

Αν τώρα παραστήσουμε τα ζευγάρια των α ριθμών αυτών σε δύο ά ξονες θ α πάρουμε τα σ ημεία που φαίνονται εν ωμένα στην διπλα νή εικόνα. Παρα τηρήστε ό τι πλέον τα σημεία δεν βρίσκονται σε μία ευθεία. Ας συνοψίσου με τις παρατηρήσεις μας και ας περ άσουμε σε κάποιους ο ρισμούς: α) Δύο ποσά Α και Β ε ίναι ανάλογα όταν ο λόγος των αντιστοίχων τιμών είναι στα θερός . Γενικώς τα ποσά χ, y που είναι ανάλογα συν δέονται με τη σχέση y=λ·χ και ο σταθερός λό γος λ λέγεται και συντελε στής. β) Δύο ποσά Γ και Δ είναι αντιστρόφως ανά λογα όταν το γινόμενο των αντιστοίχων τιμών είναι σταθερό. Γενικώς τα ποσά χ, y που είναι αντιστρόφως ανάλογα συ νδέονται με τη σχέση α y= όπου ο αριθμός α είναι το σταθερό γινό χ

μενο των αντιστοίχων πο σών. Ας δούμε αναλυτικά έν α παράδειγμα για να διακρίνουμε τα δύο αυτά είδη των ποσών . Π α ρ άδειγμα: Για την ασφαλτόστρωση ενός δρόμου 2km απαιτο vνται 8 εργάτες εργαζόμε νοι επί 12

α) Πόσοι εργ άτες χρειάζονται για την ασφαλ

τόστρωση ενός δρόμου 3,5km σε 12 ημέρες; β) Σε πόσες ημέρες 20 εργάτες θα aσφαλτο στρώσουν τον δρόμο των 2km; Λ ί) ση : Αρχικ ά θα πρέπε ι να παρα τηρήσουμε ότι στο πρόβλημά μας υπ άρχουν 3 ποσά:

ει: Δ= -. Γ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/9

------

Ποσά ανά'λογα και αντιστρόφως ανά'λογα. Πόσο χρήσιμα είναι;

Στο πρώτο ερώτημα τα ποσά που μελετούμε (μήκος δρόμου, εργάτες) είναι ανάλογα καθώς η διάρκεια του έργου ( 1 2 ημέρες) παραμένει 8 ' ' σταθερή. Ο συντελεστης ειναι =4 και επο2 μένως ο τύπος που συνδέει τα δύο ποσά είναι: y=4·x όπου χ είναι το μήκος του δρόμου και y είναι ο αριθμός των εργατών. Για χ= 3 ,5 προ κύπτει y= 14. Στο δεύτερο ερώτημα τα ποσά που μελετούμε (εργάτες, ημέρες εργασίας) εί ναι αντιστρόφως ανάλογα όταν το μήκος του δρόμου που θα ασφαλτοστρωθεί παραμένει σταθερό 2km. Το σταθερό τους γινόμενο, ό πως προκύπτει από την εκφώνηση, είναι 8 · 1 2=96 και επομένως ο τύπος που συνδέει τα 96 ' ' ' ' δυο ποσα ει'ναι y=-οπου χ το πλη θος των χ εργατών και y οι ημέρες εργασίας. Για χ=20 παίρνουμε 4,8.

δ�<2_πό�(J)�_·

--·-··

-----

- ___,

- ------

1: 1 .000.000 1 : 1 6.500.000 Λί1tπι: α) Οι αποστάσεις δύο πόλεων σε δύο χάρτες είναι ανάλογες προς τις κλίμακες. Αν χ η απόσταση· των δύο πόλεων στον χάρτη της θα ισχύει: τότε Ευρώπης 1

�= 1 6.500.000 66

1 .000 .000

1 6.500.000

από όπου προ-

1 .000.000

κύπτει ότι x=4mm. β; Η πραγματική απόσταση των δύο πόλεων Π fΗ)σοzι1: Στην καθημερινή μας ζωή διαχειρι είναι 66χ 1 .000.000 mm δηλαδή 66km. ζόμαστε ποσά που συνήθως είναι ανάλογα (π.χ Παμ6()ηγμα 2". το κόστος μιας αγοράς μας και η ποσότητα 3 ' κτη' ' πορτοκαλιων ' ενος παραγωγης που αγοράζουμε). Το γεγονός αυτό συχνά μας Τα -της 8 παρασύρει να θεωρούμε ανάλογα και δύο πο 4 σά που δεν είναι. Κλασικό παράδειγμα είναι ματος είναι 6 τόνοι. Πόσο ζυγίζουν τα 5;

Ένα νούφαρο \ f,ση: Τα μέρη της παραγωγής και το βάρος σε λίμνη δι της παραγωγής είναι ποσά ανάλογα. Αν χ τό πλασιάζει την νοι είναι το βάρος που μας ζητά το πρόβλημα 4 επιφάνειά του 32 ' κάθε ημέρα. τότε θα ισχύει: χ = 5 = 15 ' αρα χ= 12 , 8 τονοι. 3 6 Σε 20 ημέρες καλύπτf;ι όλη τη λίμνη, σε πόσες ημέρες θα 8 καλύψει τη μισή λίμνη; σ Παρατήριι ιι: Προφανώς υπάρχουν και άλλοι Η αυθόρμητη απάντησή μας είναι συνήθως οι τρόποι υπολογισμού. Συζητήστε με τους συμ 1 0 ημέρες. Όμως τα δύο ποσά, ημέρες και εμ μαθητές σας εναλλακτικούς τρόπους. βαδόν, δεν είναι ανάλογα. Η σωστή απάντηση 11 έννοια τοι1 ποσοστο\ι ι.:ω τυ υνrιλογσ ποσό είναι οι 1 9 ημέρες (δικαιολογήστε την απά Η έννοια του ποσοστού επί ενός ποσού σε πολ ντηση αυτή). λά προβλήματα συνδέεται με τα ανάλογα ποσά. Ας δούμε τώρα μερικά χαρακτηριστικά παρα Από τον ορισμό του ποσοστού, με βάση και το δείγματα αναλόγων ποσών: 2° παράδειγμα, καταλαβαίνουμε τη σύνδεσή του fi αριΊ:δειγμα 1 ''. με τα ανάλογα ποσά. Ποσοστό επί ενός ποσού Διαθέτουμε δύο διαφορετικούς χάρτες. Στον είναι το μέρος του ποσού εκφρασμένο σε εκα ένα απεικονίζεται η Ελλάδα και στον άλλο η τοστά. Για παράδειγμα το 20% μιας ποσότητας Ευρώπη. Στον χάρτη της Ελλάδας η απόσταση 20 δεν είναι τίποτε άλλο παρά τα -, δηλαδή το δύο πόλεων είναι 66mm. 1 00 α} Να βρείτε την απόσταση των πόλεων αυτών στον χάρτη της Ευρώπης. .!. της ποσότητας αυτής. Ας δούμε 2 χαρακτηρι5 β) Να βρείτε την πραγματική απόσταση των ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/10

-----�-

Ποσά ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα. Πόσο χρήσιμα είναι;

στικά παραδείγματα. Παράδειγμα 1 °. Ένα φλιτζάνι καφέ decaffeinated είναι απαλλαγμένο κατά 97% από καφείνη. Πόσα φλιτζάνια καφέ θα πρέπει να πιει κάποιος ώστε-να έχει εισάγει στον οργανισμό του τόση καφείνη όση περιέχει ένα κανονικό φλιτζάνι καφέ; Λύση : Από τα δεδομένα προκύπτει ότι ένα φλιτζάνι καφέ decaffeinated περιέχει 3% κα3 φείνη δηλαδή . Αν χρειαστούμε χ φλιτζά1 00 1 00 1 1 00 νια τότε � = 1 00 = και επομένως χ=33 3 3 1 3 1 00 φλιτζάνια. Παρατήρηση : Προφανώς υπάρχουν και άλλοι τρόποι υπολογισμού. Συζητήστε με τους συμ μαθητές σας εναλλακτικούς τρόπους. Παράδειγ μα 2°. Ένας καταστηματάρχης πούλησε είδη δώρων με κέρδος 1 5%. Αν τα πουλούσε με κέρδος 1 8% θα κέρδιζε 45€ επιπλέον. Πόσο κόστισε το εμπόρευμα στον καταστηματάρχη; Λύση : Επειδή τα δύο ποσοστά αναφέρονται στο ίδιο αρχικό ποσό μπορούμε να πάρουμε τη διαφορά τους, δηλαδή 3%, και να υποθέσουμε ' ' δος) ' τα 3 του κοστους ' οτι το κερ (που ειναι 1 00 1 00 είναι 45€. Άρα το κόστος ήταν 3 45€= 1 .500€. Οι ποσοστιαίες μ εταβολές Ένα μεγάλο μέρος των προβλημάτων στα πο σοστά αναφέρονται σε ποσοστιαίες μεταβο λές, δηλαδή στην μεταβολή ενός αρχικού πο σού Α κατά ένα ποσοστό ε% κα:ι στην δημι ουργία ενός τελικού ποσού Τ. Κλασική περί πτωση είναι οι ποσοστιαίες αυξήσεις ή οι εκπτώσεις στις τιμές προϊόντων. Αν ένα αρχικό ποσό Α π.χ 300€ αυξηθεί κατά 20% τότε το τελικό ποσό Τ που θα προκύψει 20 20 . ' θα ειναι Τ=300€+300 · -€=300 · ( 1 + - )€. 1 00 1 00 . Αν τώρα είχαμε ελάττωση 20% τότε το τελικό 20 ποσό θα ήταν Τ=300 · ( 1 )€. Σε κάθε περί1 00 πτωση το τελικό ποσό Τ προκύπτει από το αρ-

χικό Α με πολλαπλασιασμό επί ένα συντελεστή λ. Ο συντελεστής αυτός είναι ίσος με 1 +ποσοστό ή με Ι -ποσοστό της μεταβολής. Γενικά Τ=λ· Α. Συμπέρασμα: Το τελικό και το αρχικό ποσό μιας ποσοστιαίας μεταβολής είναι ποσά ανά λογα και σαν τέτοια μπορούμε να τα υπολογί ζουμε. Ας δούμε μερικά παραδείγματα. Παράδειγ μα 1 ο Ο Πέτρος διαθέτει το ποσό των 1 50€. Θέλει να αγοράσει μία φωτογραφική μηχανή της 0_ ποίας η αξία είναι 2 1 0€ αλλά ο καταστηματάρχης του ανέφερε ότι θα του κάνει έκπτωση 1 5%. Κατά τι ποσοστό θα πρέπει να αυξηθούν τα χρήματα του Πέτρου ώστε να μπορέσει να αγοράσει την φωτογραφική μηχανή; Λύση : Αρχικά ας δούμε την τελική τιμή μετά την έκπτωση. Το αρχικό ποσό είναι Α=2 1 0€, το ποσοστό έκπτωσης είναι 1 5% άρα ο συντελεστής λ= 1 - � =0,85 και το τελικό ποσό θα 1 00 είναι 2 1 0 ·0,85€= 1 78,5€. Αυτό το ποσό τώρα θα πρέπει να είναι το τελικό ποσό όταν το αρ χικό είναι τα χρήματα που διαθέτει ο Πέτρος, 1 78,5 ' το λ= = δηλαδή Α= 1 50€, Τ= 1 78,5 αρα 1 50 --

1 , 1 9 = 1 + __!2_ . Από τον συντελεστή λ προκύ1 00 πτει ότι 1 9% θα πρέπει να είναι η ποσοστιαία αύξηση των χρημάτων του Πέτρου για να α γοράσει την φωτογραφική μηχανή . Παράδειγμα 2° Σε μια χώρα το υπουργείο οικονομικών μείω σε τους μισθούς κατά 1 0% . Οι εργαζόμενοι στη χώρα αυτή άρχισαν μεγάλες απεργίες και διαδηλώσεις. Το υπουργείο μετά από μερικούς μήνες, για να κατευνάσει τα πνεύματα, ανα κοίνωσε ότι οι μισθοί θα αυξηθούν κατά 1 0%. Οι κινητοποιήσεις όμως συνεχίσθηκαν. Γιατί άραγε; Απ άντηση : Ας σκεφτούμε λίγο γενικά και ας υποθέσουμε ότι ένας εργαζόμενος έχει στην αρχή μισθό Α. Μετά τη μείωση 1 0% ο μισθός του θα γίνει ( 1 - __!_Q_ )·Α, δηλαδή 0,9Α. Στη συ1 00 νέχεια το ποσό που προέκυψε θα αυξηθεί κατά 1 0% δηλαδή ο τελικός μισθός που θα προκύψει είναι (1 + __!_Q_ ) · (0,9Α) = 1 , 1 χΟ,9Α = 1 00

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/1 1

Ποσά ανάλογα και αντιστρόφως ανάλοyα. Πόσο χρήσιμα είναι;

Ο 99Α. Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής λ εί' 1 ναι μικρότερος του 1 κατά -- άρα θα έχουμε 1 00 μείωση τελικά των μισθών κατά 1 %. Μ ερικές χρήσιμες παρατηρήσεις 1 ) Αν παρατηρήσουμε τον τύπο που συνδέει το -------

αρχικό ποσό Α, το τελικό ποσό Τ και το ποσοστό της μεταβολής του Α βλέπουμε ότι έχει τη μορφή της σχέσης που συνδέει τα ανάλογα ποσά: y=λχ. Εδώ το ποσό y είναι το τελικό ποσό Τ. Το ποσό χ είναι το αρχικό ποσό Α. Ο συντελεστή λ είναι ίσος με 1 +ποσοστό ή Ι -ποσοστό. 2) Αν ένα ποσό Α υποστεί διαδοχικές μεταβολές με διάφορα ποσοστά κάθε φορά τότε το τελικό ποσό υπολογίζεται με το_ γινόμενο των διαφόρων συντελεστών. Για παράδειγμα αν το ποσό των 250€ αυξηθεί 1 5%, στη συνέχεια ελαττωθεί κατά 8% και τέλος ελαττωθεί κατά 7% το τελικό ποσό που θα προκύψει υπολογίζεται αφού πρώτα υπολογίσουμε τους 3 συντελεστές. Οι συντελεστές είναι πeοκύπτουν από τα ποσοστά· +15% -7% -8% ποσοστό

1,15 0,92 0,93 συντελεστής Με βάση τον πίνακα ο συνολικος-τελικος συντε λεστής είναι λ= 1 , 1 5 χΟ,92χΟ,93=0,985 άρα το τε λικό ποσό είναι 250·0,985€=246,25€.

Προτεινόμενες Α σκήσεις. 1 ) Στην παρακάτω φωτογραφία το ύψος του κτιρί

ου (στη φωτογραφία) είναι 67,5 mm ενώ το πραγ ματικό ύ ος είναι 1 0 1 25m.

Να περιγράψετε μία διαδικασία με την οποία μπο ρούμε να υπολογίσουμε, με σχετική ακρίβεια, το πραγματικό ύψος της κυρίας που περνά μπροστά από το κτίριο. 2) Για να επιτύχουμε μία απόχρωση του μοβ χρειάζεται να αναμείξουμε 1 50 gr κόκκινο χρώμα, 1 00 gr πράσινο και 1 20 gr μπλε. Διαθέτουμε 1 ,5 kgr χρώμα μπλε. Με πόσα κιλά από τα άλλα χρώ ματα θα πρέπει να αναμείξουμε το χρώμα αυτό ώστε να πάρουμε την ίδια ακριβώς απόχρωση μοβ; 3) Ο κ. Αμελίδης έχει ένα σπουδαίο ραντεβού στις 1 0: 1 0 ' το πρωί και οδηγεί το αμάξι του στην εθνι κή οδό με ταχύτητα 1 OOkm/h. Καθώς το ρολόι του δείχνει 9 π.μ διαπιστώνει ότι έχει καύσιμα για 80km, αν συνεχίσει να οδηγεί με την ταχύτητα αυ τή. Γνωρίζει ότι η κατανάλωση του καυσίμου είναι

αντιστρόφως ανάλοyη της ταχύτητας. Θα προλάβει να είναι συνεπής στο ραντεβού του ο κ. Αμελίδης; Αν όχι με πόση καθυστέρηση θα φτάσει; 4) Σε μία επιχείρηση διανομής προϊόντων όταν διαπίστωσαν ότι δεν έχουν χώρο στο yκαράζ yια τα 6 νέα οχήματά τους έκαναν επέκταση του χώρου του γκαράζ κατά 40% ώστε να χ.ωρέσουν όλα. Πόσα οχήματα διαθέτει τώρα η επιχείρηση; 5) Μία δεξαμενή είναι σήμερα γεμάτη κατά 30% με ένα υγρό. Πριν από 20 η μέρες ήταν άδεια κατά 30% και το υγρό που περιείχε τότε ήταν κατά 40 τόνους περισσότερο από ότι είναι σήμερα. Πόσους τόνους υγρού χωρά η δεξαμενή; Το ρολόι τη ς εικόνας δεί6) 12:30' α) Να υπολογί- f.ιl\"" /n 1 � � χνει 2 σετε τη γωνία θ που σχημα�9 κ ν τίζει ο ωροδεί της με τη • κατακόρυφη ευθεία που περνά από το 1 2. β) Να υπολογίσετε τη γωνία � ω που σχηματίζει ο λεπτοδ·είκτης με τον ωροδείκτη. 7) Ένας φαρμακοποιός διαθέτει 1 20 mg ενός φαρ μακευτικού παρασκευάσματος που περιέχει 20% μιας δραστικής ουσίας. Ο φαρμακοποιός γνωρίζει ότι η δραστική ουσία σε αυτό το ποσοστό είναι ε πικίνδυνη για τον άνθρωπο και ότι η πλέον κατάλ ληλη περιεκτικότητα είναι 1 8%. Επιλέγει να α ραιώσει το αρχικό διάλυμα με ένα άλλο περιεκτι κότητας 1 5%. Ποια ποσότητα από το δεύτερο διά λυμα θα πρέπει να αναμείξει με το αρχικό; 8) Βάψαμε έναν τοίχο διαστάσεων 1 Ομ μήκος και 4μ ύψος και μας χρειάστηκε μία ορισμένη ποσότη τα μπογιάς. Δίπλα από τον τοίχο αυτό υπάρχει έ νας άλλος τοίχος με διαστάσεις 9,2μ μήκος και 5 μ ύψος. Πόσο τοις εκατό περισσότερη μπογιά θα χρειαστεί στη βαφή του δεύτερου τοίχου από ότι του πρώτου; 9) Ο κ. Τυχερόπουλος έπαιξε τζόκερ και αγόρασε και ένα λαχείο. Μετά από 2 ημέρες έκπληκτος δι απιστώνει ότι κέρδισε και από τα δύο συνολικά 1 05 .000€. Πήγε πρώτα σε μία από τις δύο πλησιέ στερες τράπεζες και κατέθεσε τα κέρδη του τζόκερ με 3% για ένα χρόνο. Τη ίδια ημέρα πήγε στη δεύ τερη τράπεζα και κατέθεσε τα κέρδη από το λαχείο με 4% για ένα χρόνο. Μετά από ένα χρόνο διαπί στωσε ότι ο τόκος που πήρε από τη μία τράπεζα ήταν ίδιος ακριβώς με τον τόκο που πήρε από την άλλη. Τι ποσά κέρδισε σε κάθε μία περίπτωση; 10) Ένα ποσό 800€ αυξάνεται 20%. Κατά τι ποσο στό θα πρέπει να ελαττωθεί το ποσό που θα προ κύψει ώστε να επανέλθει στην αρχική τιμή των 800€;. Αν το αρχικό ποσό ήταν 1 000€ ή 1 500€ ή 2000€ θα άλλαζε η απάντησή σας; Να βγάλετε έναν γενικό κανόνα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/12

ιιο �

�

. _

\ 4}31�

ιο

Πλάyιο

uαραλληλόyρα μμ ο

Νάνσυ Κυριακοπούλου - Ευρυδίκη Γιαννοπούλου

Καθημερινά ακούμε τον όρο παραλληλόγραμ μο, ορθογώνιο κ.λ.π. Εδώ θα δούμε πώς μπο ρούμε να κατασκευάσουμε αυτά τα αντικεί μενα ώστε να φαίνονται πραγματικά ..... . . Παραλληλόγ ραμμο Από ένα χαρτόνι, κόβουμε 4 λωρίδες, ανά 2 ίσου μήκους.

έχουν τη μικρότερη απόσταση μεταξύ τους; Σχεδίασε. Πιθανών να σχεδίασες διάφορες θέσεις, όπου η νοητή ευθεία που ενώνει τα δύο τρένα να εί ναι κάθετη στις παράλληλες ε Ι και ε2.

Β Α

� J-.,

Ιl-

=ι;

Με τα 4 διπλόκαρφα, ενώνουμε τις 4 λωρίδες, ως �ς

Τι σας θυμίζει αυτό το αντικείμενο; Πιστεύουμε ότι θα απαντήσετε ένα παραλληλόγραμμο. Γιατί όμως λέγεται παραλληλόγραμμο; Είναι οι απέναντι πλευρές παράλληλες; Δώ σε διάφορες γωνίες στην κατασκευή σου και παρατήρησέ το. Αν αλλάξουμε το πλάτος του τι συμβαίνει με τις απέναντι πλευρ ές του; Ορισμός παραλληλογράμμου : Το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Δύο τρένα κινούνται σε παράλληλες ράγες. Το Α κινείται πάνω στην ε 1 και το τρένο Β πάνω στην ε2.

ΕΙ

Πού πρέπει να βρίσκονται τα τρένα ώστε να

Σε όλες αυτές τις πιθανές θέσεις, μέτρησε με τον χάρακά σου την απόσταση των δύο τρέ νων (μήκος ΑΒ). Τι παρατηρείς; Αυτή η μικρότερη απόσταση των δύο τρένων είναι πάντα σταθερή και ονομάζεται απόστα ση των παραλλήλων.Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, οι παράλληλες τροχιές είναι οι απέναντι πλευρές του.

Α _7 /,___ __,Β Γ

Ας πάρουμε τα παράλληλα ευθύγραμμα τμήμα τα ΑΒ και ΓΔ. Τότε θα τις ονομάσουμε βάσεις.

� /Α :�7Β

_ _

Η απόσταση (η μικρότερη δηλαδή) των βάσε ων ΑΒ και ΓΔ είναι το ευθύγραμμο τμήμα Ul, το οποίο είναι κάθετο στις βάσεις. Το Ul λέ γεται ύψος του παραλληλογράμμου.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/13

Β �· 7

Πλάγιο και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Ας πάρουμε τα παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΒΓ. Τότε θα τις ονομάσουμε βάσεις.

Δ� •?

ΟΒ= ...

ΟΓ=...

ΟΓ=.. .

ΟΓ= ...

ΟΓ=...

ΟΔ= ...

ΟΔ=...

ΟΔ= ...

!Ο διχοΟι δια:yώνιες κάθε παgαλλnλο:ygά!!!υ τοb!ούνται. Μπο ρείς να εξηγήσεις τι σημαίνει η πα ρ απάνω πρ όταση ; Μέτρησε με τον χάρακα τις απέναντι πλευρές και με το μοιρογνωμόνιο τις απέναντι γωνίες για να διαπιστώσεις ότι είναι ίσες.

.�

Η απόσταση (η μικρότερη δηλαδή) των βάσεων ΑΒ και ΓΔ είναι το ευθύγραμμο τμήμα U2, το οποίο είναι κάθετο στις βάσεις. Το U2 λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου.

ΟΒ=...

Τι π α ρ ατη ρ είς ;

Β �v

ΟΒ=...

g�

Θ α μπορούσε να υπάρχει ένα παραλληλόγραμμο, στο οποίο οι απέναντι πλευρές να μην είναι ίσες; ; ; Τοποθέτησε τις λωρίδες με τέτοιον τρόπο, ώστε να είναι κάθετες οι πλευρές, όπως στο σχήμα:

•••

•

Με τον χάρακά ,σου, σχεδίασε τα παραλληλόγραμμα. I

•

r'\ - I

�

i I

" r'\

j� :ι \

Το παραπάνω σχήμα, λέγεται ορθογώνιο_παραλληλόγραμμο. • Γιατί πιστεύεις ότι λέγεται ορθογώνιο; Ποια από τα παρακάτω σχήματα είναι ορθογώνια;

/ Στα παραπάνω 4 παραλληλόγραμμα που σχεδίασες, ονόμασε Α, Β, Γ και Δ nς κορυφές τους και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων, που ονομάζεται κέντρο του παραλληλογράμμου. Σε κάθε παραλληλόγραμμο, μέτρησε με τον χάρακα τα μήκη των κορυφών από το κέντρο του. l o παρ/μο

2ο παρ/μο

3ο παρ/μο

4ο παρ/μο

ΟΑ=. . . . . .

ΟΑ= . . . ...

ΟΑ= . .....

ΟΑ= . . ....

�]��

Τσάκισε το ορθογώνιο που έχεις φτιάξει, με 2 τρόπους ως εξής:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/14

•

I I I

•

� : :I

•

I I I

------

Πλάγιο και ο ρ θογώνιο παραλληλόγραμμο •

• -w - - - - - - -- - - - - - -

-------

πάνω πρόταση ; Η χελώνα που φαίνεται στο σχήμα, αφήνει

-·

•

ίχνος όταν κινείται.

•

Της δίνουμε την lη εντολή: μπροστά 100 Οι παραπάνω ευθείες είναι οι μεσοκάθετοι των Και η χελώνα προχωρά μπροστά (προς τα πά νω, αφού προς τα πάνω κοιτά) 1 00 βήματα. πλευρών του ορθογωνίου. Τι παρατηρείς; Μπορείς να βρεις άλλους άξονες συμμετρί ας;

Με τον χάρακά σου, μέτρησε τα μήκη των δι αγωνίων. •

.. ...

• ... ..

... ..

.. ..

....

•

.. .. ..

•

, ..

.. ..

.. ...

•

., ,'

•

μπροστά 100

Της δίνουμε τη 2η εντολή : δεξιά στροφή 90 Και η χελώνα στρίβει δεξιά κατά 90 μοίρες.

ΊΊ π υ �� Η.τηι�::ι;:.

·'

δεξιά στροφή 90

Τι μπορούμε να υποθέσουμε για τα μήκη των διαγωνίων ενός ορθογωνίου ;

Υποθέτω ότι

Με τον χάρακά σου, ολοκλήρωσε τα ορθογώνια: ! I

- -- ----- -- -----+-ι __ _ ., _. -ι-- --+-+-J! Γι

c!�

__i_

ι Αφού ολοκληρώσεις τα παραπάνω ορθογώνια, φέρε τις διαγώνιές τους και μέτρησε τα μήκη τους. Συμφωνούν οι μετρήσεις που έκανες _______l _____l___

- -- -

·---

ι__

__ _

---

-- -

_ _

Της δίνουμε την 3η εντολή: μπροστά 50 Μπορείς να σχεδιάσεις πού πήγε η χελώνα και το ίχνος που άφησε; Μπορείς να δώσεις τις επόμενες εντολές, ώστε τα ίχνη που θ α αφήσει η χελώνα να σχηματίσουν ένα ορθογώνιο ; . \.σκήσεις Ι

Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος, να χαράξετε όλα τα ύψη προς τις πλευρές του, από το ση μείο Κ. .

κ.

με την παραπάνω υπόθεση σχετικά με τις διαγώνιες ενός ορθογωνίου ;

� / ____, · 7 _

Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει περίμε τρο 30 cm. ΑΔ=2ΑΒ και Α=72°. Οι διαγώνιες κάθε ορθογωνίου, τέμνονται σε Να υπολογιστούν οι πλευρές του παραλ ένα σημείο, που λέγεται κέντρο του ορθογω ληλογράμμου. νίου. ii. Να υπολογιστούν οι γωνίες Β, Γ και Δ. ι.

Ποια είναι η θέση του κέντ μου σε κάθε διαγώνιο ; / Οι 6 ιαγιοη�ς κ60�: ο μθογιΨ> ί ο υ δ ιzοτο μ ο-\ι-

ν τα ι.

yεις τι σημαίνει η παρα

Μπορείς να εξηγ /

3. Η μικρή χελώνα απεφάσισε να σχεδιάσει με το ίχνος της το παραλληλόγραμμο του σχήμα τος. Σκέφτηκε μερικές ενέργειες (τις 4 πρώτες) που θα πρέπει να κάνει αλλά στη συνέχεια δυ σκολεύεται πολύ στο να αποφασίσει για τις

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/15

Πλάγιο και ο ρ θογώνιο παραλληλόγραμμο

υπόλοιπες 4. Μπορείτε να τη βοηθήσετε;

�.

•

δεξιά στροφή μπροστά 70 δεξιά στροφή μπροστά 100 δεξιά στροφή μπροστά ? δεξιά στροφή μπροστά ?

Οι παρακάτω φράσεις περιέχουν μαθηματι κά λάθη. Υπογράμμισε τα λάθη και ξανα γράψε τη σωστή φράση. Μερικά ορθογΦνια είναι παραλληλό γραμμα. Όλα τα παραλληλόγραμμα είναι ορθογώ νια. Δεν υπάρχει παραλληλόγραμμο με ορθές γωνίες. Όλα τα ορθογώνια έχουν το πολύ 2 γωνίες ορθές. Όλα τα παραλληλόγραμμα έχουν τις δια γώνιές τους ίσες. Δεν υπάρχει παραλληλόγραμμο που να έχει τις διαγώνιές του ίσες. Μερικά ορθογώνια έχουν τις διαγώνιές τους ίσες. Στα παρακάτω παραλληλόγραμμα, φέρε τα ύψη από το σημείο Α.

Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος, δίνε ται μια γωνία 45 ° και δύο πλευρές με μήκη 50 εκ και 80 εκ. Επιπλέον έχουν σχεδιαστεί με διακεκομμένες γραμμές 3 προεκτάσεις πλευρών και μία κάθετη (κάτω αριστερά) στην πλευρ ά με μήκος 80 . ,.

�Υ

Να υπολογίσετε τις γωνίες α, β, γ και δ. ί ί . Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών ε και ζ. ίίί. Να δώσετε τις σωστές εντολές για να σχε διάσεις το παραλληλόγραμμο με τη χελώ να.

Να γράψετε κύκλο (0, ρ) με διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ. Αν ο καθηγητής σας ζητούσε να του δικαιολογήσετε γιατί το τετράπλευ ρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, τι θα του λέγα τε; Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το σημείο Ο της τομής των δια γωνίων του. Από το σημείο Ο να φέρετε ευθεία ε η οποία τέμνει τις πλευρές ΑΔ και ΒΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να εξη γήσετε γιατί: ί. ΟΕ=ΟΖ ίί. Το ΑΕΖΓ είναι παραλληλόγραμμο.

1 0.

Συμπληρώστε κατάλληλα τα ερωτηματικά ώστε τα σχήματα που δίνονται να μην είναι παραλληλόγραμμα. Ακολούθως, να αιτιο λογήσετε ποια ιδιότητα των παραλληλο γράμμων δεν ισχύει.

,.-:)β

W4( /?1 ι

?___ �---=:

Να κατασκευάσετε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να φέρετε τα ΑΕ .l ΔΓ και ΓΖ .l ΑΒ. Να εξηγήσετε γιατί το ΑΖΓΕ είναι ορθογώνιο. ί. ο κύκλος με διάμετρο την ΑΓ διέρχε ίί. ται από τα σημεία Ζ και Ε.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/16

Συναρτήσε ι ς μετρήσεων. ======

Δ. Παλαιογιαννίδη ς Π. Αρδαβάνη

Στη φωτογραφία βλέπουμε ένα τρένο που εκτελεί το δρομολόγιό του περνώντας δίπλα από στύλους τροφοδοσίας. Ο Έκτορας κατέγραψε την απόσταση που αυτό διανύει σε χρονικό διάστημα 6 sec παρατηρώντας τον τρόπο που αυτό προσπερνά τους στύλους τροφοδοσίας. Τα αποτελέσματα των μετρήσεών του φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Χρόνος t 4 1 ο 2 3 5 6 (σε sec) Απόσταση ο 30 60 90 12 15 18 S (σε m) ο ο ο 1 60 Παρατηρώντας τα δεδομένα ο Έκτορας συμπέρανε ότι 1 20 το τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα, αφού σε ίσα 80 χρονικά διαστήματα καλύπτει ίσες αποστάσεις. 40 Αποφάσισε να ελέγξει την ορθότητα της σκέψης του χρόνος (σε sec) κατασκ&υάζοντας το διάγραμμα της κίνησης του τρένου 0 ο 2 4 6 8 στο συγκεκριμένο κομμάτι της διαδρομής. Η μορφή του διαγράμματος επιβεβαίωσε τη σκέψη του. Η γραφική παράσταση είναι μια ημιευθεία με αρχή την αρχή των αξόνων, οπότε τα μεγέθη είναι ανάλογα (συμφωνεί αυτό με τα δεδομένα του πίνακα και την πρώτη παρατήρηση του Έκτορα;). Η ανακάλυψη αυτή τον βοήθησε να σκεφτεί ότι μπορεί να βρει έναν τύπο που θα συνδέέι τις τιμές του διαστήματος S που διανύει το τρένο με τις τιμές του χρόνου t. Αυτό είναι εύκολο στη συγκεκριμένη περίπτωση γιατί, όπως φαίνεται από το διάγραμμα και από τον πίνακα, ο συν.τελεστής αναλογίας είναι 3 0/ 1 3 0 οπότε ο τύπος είναι S 3 0t Μία σχέση σαν την προηγούμενη που συνδέει τις τιμές δύο μεταβλητών ποσοτήτων χ και y με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε τιμή τη ς μεταβλητής χ να αντιστοιχίζετάι σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y, λέμε ότι είναι μία συνάρτηση. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής χ. =

Αν η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής χ, τότε ένας πίνακας όπου εμφανίζονται ζεύγη που αποτελούνται από τιμές της μίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες τιμές της άλλης μεταβλητής λέγεται πίνακας τιμών της συνάρτησης.

Αν η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής χ, τότε το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (χ, y), όπου χ και y είναι αντίστοιχες τιμές των δύο μεταβλητών, λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης. Το πρόβλημα του π ά ρ κινγκ

Ο κύριος Παπαδόπουλος εξετάζει δύο πίνακες με τα ποσά που έχουν πληρώσει συνάδελφοί του σε δύο χώρους στάθμευσης κοντά στη δουλειά του. Προσπαθεί να μαντέψει ποιο Πάρκινγκ 2 ποσό θα πλή ώνε σε κά ε πάρκινγκ αν άφηνε Ώρες 2 8 3 6 . το αυτοκινητο του για 5 ωρες. 1 6 . . . Ποσό 14 22 26 . 28 J � � Ο Αριστείδης, ο μικρός γιός του κυρίου Παπαδόπουλου που είναι μαθητής της Β ' Γυμνασίου,

I I I I 9:1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/17

-------

Συναρτήσεις μετρήσεων

κατασκεύασε σε ένα κομμάτι τετραγωνισμένο χαρτί τα παρακάτω διαγράμματα που περιγράφουν το ποσό που πληρώθηκε σε κάθε πάρκινγκ για τις αντίστοιχες ώρες στάθμευσης, οσό σε €)

40 35

30 25

20 15

•

5 ο

•

4 5 6

�

•

30 25

Πάρκινγκ

οσό σε €)

Χρό νος (σε ώρες) 7 8

•

9 10 11

•

4 5 6

•

Χρόν ος (σε ώ ρε ς) 7 8

9 10 11

Πάρκινγκ 2

Παρατηρείς κάτι στα δύο διαγράμματα; Και στις δύο περιπτώσεις τα σημεία ανήκουν σε μία νοητή ευθεία. Χάραξε τις δύο ευθείες και βρες τα σημεία τους με τετμημένη 40

30 25

οσ ό σε €)

•-

40 35

(σε €)

20 15

Χρόν

10 ο

Π οσ ό

ος (σε ώ ρε ς)

Πάρκινγκ

Χρό νος (σε ώ ρε ς)

ο ��-�� ο 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1

9 10 1 1

Πάρκινγκ 2

Παρατηρώντας τις δύο γραφικές παραστάσεις ο Αριστείδης αποφάσισε ότι για ώρες δεν έχει σημασία ποιο πάρκιγκ θα επιλέξει ο πατέρας του μια και θα πληρώσει και στα δύο (γιατί;). Παρατήρησε όμως ότι αν σκοπεύει να σταθμεύσει περισσότερες από ώρες τον συμφέρει το δεύτερο πάρκινγκ, ενώ για λιγότερες από ώρες τον συμφέρει το πρώτο (Μήπως, αν τοποθετήσεις και τις δύο γραφικές παραστάσεις στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων θα φανεί καλύτερα;). Η Ισμήνη, που βοήθησε τον Αριστείδη να φτιάξει τα διαγράμματα, παρατήρησε ότι και στις δύο περιπτώσεις το ποσό y σε € εκφράζεται ως συνάρτηση του χρόνου στάθμευσης χ σε ώρες. Η συνάρτηση αυτή είναι y 3χ + 5 για το πρώτο πάρκινγκ και y 2χ + για το δεύτερο (γιατί;). Επαληθεύεται η απάντηση του Αριστείδη στο ερώτημα του πατέρα του από τις δύο συναρτήσεις;

Οι

20€

συνταγ:Jς μαγειριιοίς

Η Μαρία ανακάλυψε μια ιστοσελίδα με συνταγές μαγειρικής από όλο τον κόσμο. Έχει όμως ένα πρόβλημα. Οι θερμοκρασίες που αναφέρονται στις συνταγές εiναι εκφρασμένες στην κλίμακα Φαρενάιτ, ενώ ο φούρνος της είναι βαθμονομημένος στην κλίμακα Κελσίου. Ψάχνοντας στο

y=�9 (x-32) που εκφράζει τη θερμοκρασία σε βαθμούς κελσίου (°C) ως συνάρτηση της θέρμοκρασίας σε βαθμούς Φαρενάιτ (°F). Η Μαρία άρχισε να συμπληρώνει τον πίνακα �;· - -;-1 --3-00 ,I--4--40 ,-�1 -52Q _L_�10� 1 που βλέπεις L__y_ l?_Q_L I .=l Μπορείς να συμπληρώσεις τον πίνακα; Οι τιμές που λείπουν είναι 230, 270 και 320 βαθμοί y

διαδίκτυο βρήκε τη σχέση

--�

__ __

με προσέγγιση δεκάδας.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/18

__ �_ ___ __

-------

Συναρτήσεις μετρήσεων

Κελσίου, σωστά; Προσπάθησε να το επιβεβαιώσεις. Η Μαρία είναι ευχαριστημένη γιατί ξέρει σε · 5οο Θε μο ρ κρΟσlα ποια θερμοκρασία θα ρυθμίζει το φούρνο 400 σε •c της όταν μαγειρεύει τις τέσσερεις πρώτες 300 συνταγές. Σκέφτηκε όμως να κατασκευάσει 2DO την γραφική παράσταση της συνάρτησης που χρησιμοποίησε για να κάνει τις Θερμοκρασlα 1 00 μετατροπές, ώστε να μπορεί αμέσως να σε ° F βUΟ Ι U Q 900 βρίσκει τη θερμοκρασία σε κάθε περίπτωση. Μπορεί με τον τρόπο αυτό να βρει κατά προσέγγιση, χωρίς να κάνει υπολογισμούς, τη θερμοκρασία στην οποία πρέπει να ρυθμίσει τον φούρνο της αν η θερμοκρασία της συνταγής είναι 500° F; Η Μαρία θέλει τώρα να ανεβάσει σε ένα blog μια συνταγή. Πρέπει να μετατρέψει την ένδειξη της θερμοκρασίας από 200° C σε °F. Μπορείς να βοηθήσεις τη Μαρία να βρει τη σωστή ένδειξη χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση; !:1 0 0

Ο πρ οπονητής

Ο προπονητής ενός μικρού και αρχάριου κολυμβητή σημειώνει τα μέτρα που έχει διανύσει συνολικά μέσα στο νερό ο αθλητής του μετά από κάθε αναπνοή που παίρνει.

Κατέγραψε τις παρατηρήσεις του στον r---_ Ανα _πνο_έ-dς-+ 1 -+-_2 + 3 -+ 4 -+-_5----Ι D\V() 11_ ,_ διπλανό πίνακα. _1_1_L__1_4_L__l_5__j l__Μ:έ_=-_5_1___ 7_ τ_!_ρ_α_L_ .-

Μπορείς να βρεις έναν τύπο με τον οποίο να υπολογίζεις τη συνολική απόσταση y (σε m) με τη βοήθεια του πλήθους χ των αναπνοών του αθλητή; Επαρκούν τα δεδομένα που έχουμε για κάτι τέτοιο; Όχι, δεν φαίνεται να υπάρχει κάποιος τέτοιος τύπος. Ορίζεται, όμως. μια συνάρτηση που να εκφράζει την απόσταση y συναρτήσει των αναπνοών χ; Ναι, ορίζεται μια συνάρτηση από αυτά τα δεδομένα και ας μην υπάρχει τύπος ή μια συγκεκριμένη κανονικότητα για τον υπολογισμό των τιμών της. Με τη συνάρτηση αυτή απλά aντιστοιχίζουμε τον αριθμό 1 στον 5, τον 2 στον 7, τον 3 στον 1 1 , τον 4 στον 14 και τον 5 στον 1 5 . Μπορείς, τώρα, να καθορίσεις τι είδους τιμές παίρνει η μεταβλητή χ; Είναι ένας φυσικός αριθμός, έτσι δεν είναι; Μπορείς να κάνεις τη γραφική παράσταση αυτής της 16 • συνάρτησης; Είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα; 14 πόσταση 8 σε m) Ποια είναι η τετμημένη του σημείου Κ; Είναι 2,5. Μπορεί το 12 • σημείο αυτό να ανήκει στη γραφική παράσταση; Όχι, αφού η 10 τετμημένη του δεν είναι φυσικός αριθμός. Επομένως, η e • γραφική παράσταση αποτελείται μόνο από τα 5 σημεία, εκτός • του Κ, που φαίνονται στο σύστημα συντεταγμένων της 4 διπλανής εικόνας. Δηλαδή, η γραφική παράσταση μιας 2 _Α_ ε ςc...-_, νά_ συνάρτησης δεν είναι άπαραίτητα γραμμή, αλλά μπορεί και να 0 ___ � σ 4 ο 2 αποτελείται από διακεκριμένα σημεία. e

Η απορ ία τ ου Μαν ώλη

Ο Μανώλης, ξεφυλλίζοντας ένα βιβλίο Μαθηματικών του μεγαλύτερου αδελφού του, είδε την εικόνα που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αναρωτήθηκε αν μπορεί αυτή η καμπύλη να είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. Ποια είναι η γνώμη σου; Μπορείς να βρεις σημεία της καμπύλης με τετμημένη 2; Πόσα τέτοια σημεία μπορείς να βρεις; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/19

b 4 2

2 -2

-4

-------

Συναρτήσεις μετρήσεων

Είναι τα σημεία με συντεταγμένες (2, 2) και (2 -2), συμφωνείς; Είναι δυνατό αυτό σε μία συνάρτηση; Όχι. Σε μία συνάρτηση σε κάθε τιμή της μεταβλητής χ aντιστοιχίζεται μία μόνο τιμή της y. Επομένως η καμπύλη της εικόνας δεν μπορεί να είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δεν μπορούμε να βρούμε δύο διαφορετικά σημεία με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι αν υπάρχει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των τεταγμένων y ' y που έχει περισσότερα από ένα κοινά σημεία με μια καμπύλη, τότε η καμπύλη αυτή δεν μπορεί να είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. ,

Α σκή σεις

Η κυρία Μαρία ισχυρίζεται ότι από κάθε κιλό

ώριμες ντομάτες μπορούμε να πάρουμε, κατά μέσο όρο, 0,35 κιλά χυμό. Α. Να βρεις μια σχέση με την οποία να εκφράζουμε τα κιλά χυμού y που παίρνουμε συναρτήσει των κιλών χ ώριμης ντομάτας που θα χρησιμοποιήσουμε. Β. Σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων να κατασκευάσεις τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. Για τη συνάρτηση y=2x-3 να συμπληρώσεις τον πίνακα τιμών που ακολουθεί και στη συνέχεια να κάνεις τη γραφική παράσταση. χ

I I I I I I I • -

-2

Δίνεται ο πίνακας τιμών: Α. Μπορείς να μαντέψεις ποια είναι η συνάρτηση που 1 2 3 4 10 15 χ έχει αυτόν τον πίνακα τιμών; 45 3 6 12 18 Β . Να προσπαθήσεις να συμπληρώσεις τα κενά. Υ Γ. Να κατασκευάσεις τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων. Να απαντήσεις στα ίδια ερωτήματα (με την άσκηση 4) για τους παρακάτω πίνακες. Πίyακας Ι Πίνακας 11 χ

1 4

10 2 0,5 4 0,5 6 3

Ένας ερασιτέχνης οινοπαραγωγός έχει εμπειρικά καταλήξει στο συμπέρασμα ότι από κάθε κιλό σταφύλι που παράγει παίρνει περίπου 0,6 κιλά κρασί. Α. Να βρεις τη σχέση που να εκφράζει τα κιλά y του κρασιού συναρτήσει των κιλών χ του σταφυλιού που παράγει ο οινοπαραγωγός. Β. Να κατασκευάσεις ένα πίνακα τιμών για τα μεγέθη χ και y. Γ. Να κατασκευάσεις σε κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων τη γραφική παράσταση της συνάρτησης εάν γνωρίζεις ότι κάθε χρόνο η παραγωγή σταφυλιού κυμαίνεται μεταξύ 00 3 και 800 κιλών. Δ. Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να προσπαθήσεις να βρεις πόσο κρασί θα πάρει αν παραχθούν 550 κιλά σταφύλι και πόσο σταφύλι έχει παραχθεί αν έχει πάρει 230 κιλά κρασί. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/20

------

Συναρτήσεις μετρή σεων

Στις παρακάτω εικόνες εμφανίζονται τα διαγράμματα κίνησης τριών αυτοκινήτων. 1 60

1 60

120

1 20

1 60

Jη�(σe m)

1 20

fιιιιιι., -....-

- -- -- -' ρQν ος � σε eec ) ο ι,.ιις::: �.;_:;..!... � ο 2 4 6 8

ο ι......,...�.;_:;..!...+=-=Ο-..;;.;;.:.�

ο ιιιι:::;ι.._,_��.::...:;..;;.�

....,...

+=-=Ο..:..:;..:.

Διάγραμμα (γ) Αν γνωρίζεις ότι το αυτοκίνητο 1 είναι ακίνητο, το αυτοκίνητο 2 κάνει επιταχυνόμενη κίνηση και το αυτοκίνητο 3 κινείται με σταθερή ταχύτητα, να aντιστοιχίσεις σε κάθε αυτοκίνητο το κατάλληλο διάγραμμα κίνησης. Μπορείς να αιτιολογήσεις τις απαντήσεις σου; 7.

Σε κάποια τάξη δόθηκε στους μαθητές η παρακάτω εικόνα. � - -:- - � - -: - - � - -: - � - �1 β � - : - - � - :- - � - -: - - � �1 . - L. - .J 1 2 + - - :- -. � - - : - - } - : - Γ - -:1 ο I

.ι. - _,_ I

.ι. - ...J -

{ - - :- - � - -: - � -:- - � - .: e I _, _ 4 Ι t - -:- - + - -:- - τ - -: - - � - -: 2 Ι

.. - _ , _ - +- I

- +-

τ I

I - -r

, j

I ,-

I -.

- r

ιI

... � -

- - r -,

I I Ι I I I I 1 I I I I I I I I I Ι I I I Ι - - ,- - , - - Γ - '1 - -. - - r - -, - - τ - -. - - r - , -

...

... L - .ι. ... ... ι... ... λ ... ... ! ... ... .&.. ... ..J ... ... L ... ....ι ... ... L. ... ..ι ...

Ι I

-�

:- -τ -

: - -τ - : - - τ - : - � - : - - � - � -

- - -

- -

I ...

..... - - .. - -i I

J ...

-τ - -

I ... L ...

.,ι ... ... 1- ... .&. ... ... L- ... .ι ... ... ! ... ... .L ... ...J ... ... L ... ...J ... ... L.. ... -1 ...

.L ... ... Ι ... ... .i, ... ... ! ... ... L ... ...J ... - L. - ..J

, - -ϊ

- -

.ι. - - • -

� - - L - � - - L - � - - ' - - L - J ...

I I

ι I I I ι I I I - - - - - - τ - - - - τ - �- - r - �ι

- -ι ι I ι I - ..J - _ ι_ - .J - _ ι_ - ., - - r- - τ

5 β

τ - -ιI

.J - _ ι _ -

r I

-ι I

.1 - -'

10 1 1 12

- ,.. - -ιI

- .1. - -'-

- L - .J -

r - ϊ I

I Ι Ι Ι I .I Ι Ι ι I I Ι I Ι I I ι I I I Ι Ι I I - , - - r - τ - -r - τ - -� - - τ - , - - τ - , - - r - , 1 I Ι ι ι I ι I I I I I - .J - - � - J. - - L - J. - - 1 - - J. - ..J - - ,1. - ..J _ - L - ..J Ι

I I I I I I I Ι I ι - -ι - - .- - τ - - ,- - τ - -, - - τ - -, - - ,.. - -. - - Γ - -, -

Προσπάθησε να απαντήσεις και εσύ στα ερωτήματα που τέθηκαν: Μπορούν να αποτελούν οι δύο καμπύλες που βλέπεις τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου. Β. Μπορείς να μαντέψεις ποια είναι η συνάρτηση; Γ. Να κατασκευάσεις έναν πίνακα τιμών για τη συνάρτηση αυτή. Δ. Ο Θεόφιλος ισχυρίστηκε ότι αυτή η γραφική παράσταση περιγράφει το εξής πρόβλημα: «Τέσσερεις εργάτες , που δουλεύουν με τον ίδιο ρυθμό, εργάζονται 2 ημέρες για να ολοκληρώσουν το βάψιμο ενός ορόφου μιας οικοδομής. Να γράψετε μια σχέση που συνδέει τις ημέρες y που χρειάζονται χ εργάτες, που δουλεύουν με τον ίδιο ρυθμό, για να ολοκληρώσουν το βάψιμο του ίδιου ορόφου».

Α.

Συμφωνείς με το Θεόφιλο; Προσπάθησε να δικαιολογήσεις την απάντησή σου. Ποιες μετατροπές_ πρέπει να γίνουν στη γραφική παράσταση για να έχει δίκιο ο Θεόφιλος;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/21

θέματα yια προχωρημένους της Β. τάξης =======

Στέφανος Κείσογλου.

Για ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχουμε τις παρακάτω πληροφορίες: α) τα μήκη των πλευρών του και των διαγωνίων του είναι ακέραιοι αριθμοί. β) η περίμετρός του είναι 68cm Να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Στο παρακάτω σχήμα ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ περιβάλλεται από 4 κύκλους ακτίνας R οι οποίοι εφάπτόνται μεταξύ τους και συγχρόνως εφιiπτονται και στον κεντρικό κύκλο. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις δύο ακτίνες ρ και R. Διερεύνη ση :

Να εξετάσετε πόσοι κύκλοι με ακτίνα ρ χωρούν εφαπτομενικά γύρω από τον κεντρικό κύκλο με κέντρο το Ο.

QB •

Στο παρακάτω σχήμα υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις δύο υπερβολών, δηλαδή οι γραφικές παραστάσεις δύο διαφορετικών συναρτήσεων που συνδέουν αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

Αφού παρατηρήσετε προσεκτικά τις πληροφορίες που δίνονται στην εικόνα να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος ΑΒ. Ν α δικαιολογήσετε με όσο το δυνατόν αυστηρά μαθηματικό τρόπο την απάντησή σας. Β ο

S·

4)Να βρεθούν οι τιμές του θετικού αριθμού α> 1 για τις οποίες ισχύει:

α+ {α > 1 2 α--Γα '

Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει: Fα + Jβ+ .JΎ = 1 00 . α) Να βρείτε κατάλληλες τιμές (τριάδες) για τα α, β, γ που ικανοποιούν την συγκεκριμένη σχέση. β) Πόσες τέτοιες τριάδες υπάρχουν; 5)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/22

ν 2 1 00=

375=

5 50=

2·2·2·2· . . . . . . . . . .2

γ 100

τεύχους 98.

24 ·24 · 24 . . . . . . . . . . . 24 = 1 625

γ 25

3 · 3 · 3 · 3 . . . . . . . . . . . 3 = 33 · 3 3 · 3 3 . . . . . . . . . . . 3 3 = 2 25

)

γ 75

5 ·5 ·5 ·5

)

γ 25

. . . . . . . . . . . 5 = 5 2 · 5 2 · 5 2 . . . . . . . . . . . 5 2 = 25 25 )

γ 50

)

γ 25

Αναλύουμε τις δυνάμεις με τον παρακάτω συστηματικό τρόπο. 1)

Παρατηρούμε ότι η μεγαλύτερη δύ�αμη τελικά είναι η 3 75

περίμετρος του ορθογωνίου είναι 6α. Το aχρωμάτιστο τρίγωνο έχει εμβαδόν ίσο με �2 ενώ το συνολικό εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 2α2• Άρα ισχύει 2α2 - �2 6α και επομένως α=4 οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι 8 τ.μ. δή: ότι κάθε 4 δυνάμεις το ψηφίο των ου: 3 Παρατηρούμε Α3 ν_§pf:�"!ίt:!9<:>:UJ!f: λ�ΎΟ27_!�_ς.§�'!�� δηλα 815 61 μονάδων επαναλαμβάνεται. 243 729 . 2.187 6. 4027 είναι ο εκθέτηςμε της4 καιζητούμενης Επειδήδιαιρούμε δύναμης 19.683 59.049 177 .147 531.441 i τον βρίσκοuμε πηλίκο 1.θα006είναι και υπόλοιπο 3. τρίτη στήλη του πίνακα μας δείχνει ότι το τελευταίο ψηφίο της δύναμης το 7. Θακαιπρέπει η διαφορά νατουγίνει ελάχιστηείναικαι99.το μέγιστο. Αυτά επιτυγχάνονται για =50 y=49. μέγιστη τιμή κλάσματος χ ΖΓ είναι προφανώς παράλληλη της ΑΒ και έχειΖ μήκος 12. Αν φέρουμε τα ύψη του Ζ ισοσκελούς τραπεζίουάραΓΔΕΖΚ=ΛΓ=3. τότε τα τμήμιατα ΛΓ και θεώρημα Κ είναι ΤοΏυθαγόρειο ίσα και καθώςΚΛ=6 στο τρίγωνοτουΔΛΓτραπεζίου δίνει ΔΛ=4.(ΖΓΔΕ Τώρα)=36μπορεί νατουυπολογιστεί το - - !� - - - - - - -� και ορθογωνίου εμβαδόν (ΑΒΓΖ)=48. 2) Η

i -t---------- ·····- ------------ ---1.----- - -

- -----------------

! +-

----- - - --·

---.---

------·----------

-------·· -- �- ------ · - ----------<

-------------�------------

---- ---�---�-----�- - - - --"

x-y

x+y

5) Η

- - r 4

Α ._-------12 --------� Β

Παρατηρήστε ότι η διαφορά των όρων στη δεύτερη γραμμή αυξάνεται συνεχώς κατά 2 επομένως μετά το 40παρατήρηση ακολουθούνπουοι αριθμοί 56, 72 καιπολύ90.στην εύρεση του 1 όρου είναι ότι Μία σημαντική θα διευκολύνει κάθεεξής αριθμός στη Υψώνουμε δεύτερη γραμμή προκύπτειτοναπόπάνω τον αριθμό που βρίσπροσθέτουμε κεται από πάνωτοντουεαυτόμε τον κανόνα: στο τετράγωνο αριθμό και του του. γραμμή Αν δηλαδήείναιστηνο ν2πάνω γραμμήζητάμε βρίσκεται ο100°αριθμός νθατότεέχουμε ο αντίστοιχος αριθμός στην +ν. κάτω Επειδή τον όρο για v=lOO αποτέλεσμα ν2+ν=10.100. 6) α )

οοου

β)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/23

τριγωνομετρία στην επίλυση Γεωμετρικών προβλημάτων. Νό μος των ημιτ όνων-Νό μος των συνημιτ όνων

=======

Επιμέλεια: Κωνσταντινίδης .Άρη ς, Τζίφας Νίκος, Άαγός Γεώργιος.

Με τις γνώσεις σου στο κεφάλαιο της τρι γωνομετρίαςδηλ., μπορείς να επιλύεις να υπολογίζεις άγνωστες πλευ ρές ή γωνίεςφυσικά των τα στοιχεία χρησιμο ποιώντας που γνωρίζεις για αυτά. Επίσης έχεις αρχίσει να αντιλαμβάνεσαι ότι η τρι γωνομετρία, σου δίνει την δυνατότη τα, νατααντιμετωπίσεις διάφορα γεωμετρικάνα προβλήματα. προσπαθήσουμε Θα εξετάσουμε πώς θαριθμούς χρησιμοποιούμε τους τριγωνομετρικούς α και γενικά τις γνώσεις μας στο κεφά λαιο της τρι γωνομετρίας, για την μελέτη ενός τυχαίου τρίγωνου αλλά καιΑυτόγενικότερα ενός πολυγωνικού σχήματος. είναι εφικτό αφού έχουμε τηνπολυγωνικό δυνατότητασχήμα. να χωρίσουμε σε τρίγωνα κάθε Να λοιπόν μία πρώτη προσπάθεια. Ζητάμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου του παρακάτω ήματος σ με τα στοι χ χεία πο υ γνωρίζουμε, όπως αυτά φαίνονται στο σχήμα. που ορθογώνια

τρίγωνα,

τριγώνων αυτών,

με αλγεβρικές μεθό

δους

Ε 21 ΑΒ · Γ (εφαρμογή στο συγκεκριμένο ) τρίγωνο Ε = 21 ·(ΑΒ) ·(ΒΓ) ·ημΒ (αξιοποίηση της σχέσης ( 1 )) άρα Ε _!_ · 150m ·100m· ημ40° και τελικά (αριθμητική εφαρμο γή) κατά προσέγ εμβαδόν επομένως είναι Το γιση ίσο με Μεύψοςανάλογο τώρακαιτρόπο φέρε τοτακατάλ ληλο κάθε φορά υπολόγισε εμβα δάτω σχήματα. των τριγώνων που φαίνονται στα παρακά =

Ε ::::: 482 l m 2

482 lm2 •

Υ πολογ ι σ μ ός του ε μ βαδ ού ενός τριγώνου

Το εμβαδόν του τριγώνου αυτού θα υπολογι σθεί, εάν βρούμε το μήκος του τμήματος ΓΔ είναι το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην βάση ΑΒ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΒ με εφαρμογή του ορισμού του ημιτόνου για την γωνία Β έχουμε: ημΒ =

ΓΔ

ΒΓ

ή (ΒΓ) ·ημΒ

ΓΔ ( 1 ) ή 1 00·ημ40° = ΓΔ

Για τον υπολογισμό του εμβαδού έχουμε: Ε _!_2 β · υ (τύπος εμβαδού τριγώνου) =

33.7cm

40cm

Παρατηρώντας τα τρίγωνα στα οποία υ πολογίσαμε τους, διαπιστώνουμε ότιδύο σε καθένατο απόεμβαδόν αυτά γνωρίζουμε τα μήκη μεταξύ των πλευ πλευρών τους και τηνγωνία. ρών Μπορούμ αυτών , περιεχόμενη λοιπόν να3 μορφές. ε διατυπώσΜπορείς ουμε τοννα κανόνα κω μάλιστα σε συμπληρώσεις τις άλλες δύο; Τύπος εμβαδού τριγώνου 1 Ε = - α β ημΓ 2 ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/24

• • . • • . • • • • • • ••

= ...........

-------

Η τριγωνο μετρία στην επίλυση Γεω μετρικών προβλη μάτων.

Ο Νόμος των η μιτόν ων επίλυση ενός τριγώνου, τον υπολογισμό των στοιχείων του,

για δηλαδή Για την λοείναι πογικό να θεωρήσουμε ότιλύ,θα μαςεάνβοηθούσε γνωρίζαμε συνοποίες οι σχέσεις των ταμεμήκη δέουν τριτους πλευρών αρτου.ιθ γωνομετρικούς γωνιών των μούς να προσπαθήσουμε Θα τέτοιες εντοπίσουμε ΑΒΓ τοθα τρίγωνο λοιπόν Θεωρούμε σχέσεις. υπολογίσουμε και σχήματος διπλανού του τοΑΓΔύψος του h. Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: ημΑ = ΓΔ ή ημΑ = hβ ή h =β · ημΑ στο τρίγωνο Ναότιεργασθείτε μΒ. η =α h δείξετε να και ΒΓΔ · τηρούμε τώρα ότι το ύψος h έχει εκφρα Παρα καταλή επομένως και τρόπους δύο με σθεί α·ημΒ ότι: βαυτό στο συμπέρασμα γουμε ·ημΑτις= ιδιότη σημείο στο Χρησιμοποιώντας ιών, η σχέση αυτή γράφεται τες των αναλογ ημΑ = ημΒ (1 ) α β ίδιο στο συνέχεια Στη ΑΒΓύψοςνα εκμε τρίγωνο το φράσετε ερ ανάλογες σχέσεις, ορθο στα γαζόμενοι και ΑΕΒ ότι: γώνια ΑΕΓ καικαινα δείξετε ημΒ ημΓ (2) β Από τις σχέσεις και (2) προκύπτει ότι: Γ

----=.. A e-----.-....8

ΑΓ

Δραστηριότη τ α:

Α�-----__. γ

(Ι)

Σε οποιοδήποτε τρίγωνο με γωνίες Α, Β, Γ και με μήκη απέναντι πλευρών α, β, γ αντί στοιχα , το πηλίκο του ημιτόνου μίας γωνί ας με το μήκος της απέναντι της πλευράς, είναι σταθερό. Μπορείτε να συμπληρώσετε τα ερωτηματικά στη σχέση που ακολουθεί;

ημΑ

;

-- = - = -

β Αυτός ο κανόνας λέγεται Νόμος των η μ ιτό ν ων

πλευράς της μήκος το Βρείτε τρίγωνο ΑΓ στο Ξεκ ινήστεΑΒΓμε το νόμο των ημιτόνων ημΒ- ( εφαρμογη ημΑ- =και λ:υ, στε ως προς β. α β ) του νόμου των ημιτόνων (πολλα στα και πλασιασμός μέλη με) α· β και δύο απλοποίηση β= αημΒ η μΑ (διαίρεση και στα δύο μέλη με το ημΑ) , με 350cm β 350cmημ59ημ38° αντικαταστηστε Από Α. το για 59° και Β το για 38° α, το για τους οπότε υπολογίστε τα των δύο γωνιώνπίνακες ημίτονατριγωνομετρικούς Το μήκος της πλευράς ΑΓ είναι κατά προσέγ γιση 251cm.Φυσικά χρησιμοποιώντας τον νόμο υπο ναγωνίας έχεις τηνμιαςδυνατότητα ημιτόνων, των άγνωστης ημίτονο το και λογίσεις αυ γωνία την συνέχεια στη και τριγώνου, του τ προ τή. Στο σημείο αυτό σου εφιστούμε ην αφού σοχή δύο παραπληρωματικές γωνίες γνωρίζεις έχουν το ίδιοότιημίτονο. γω οξείας της μέτρο το Βρείτε τρίγωνο ΑΒΓ νίας Β στοΞεκινήστε με το νόμο των ημιτόνων καιημΑλύστεη Βως προς μ (εφαρμογή τσu νόμου των ημιτόνων) α β ημΒ= βημΑ α (επίλυση ως προς ημΒ) (αημΒ= 150ημ69° 250 ντικατάσταση δοσμένων τιμών)των Β � 34° (χρήση τρι πινά γωνομετρικών υπολογιστή ή κων τσέπης) Στα παρακάτω σχήματα α), β), γ) να υποΕφαρμογή l η

Λύ ση :

βη μΑ=αη μΒ

β � 2 5 1 cm .

Σχόλιο :

στον υπολογισμό της γωνίας,

Εφαρμογή 2η

Λύ ση :

Ασκήσεις 1.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/25

-------

Η τριγωνομετρία στην επίλυση Γεωμετρικών προβλημάτων.

λογίσετε το εμβαδόν για κάθε πολύγωνο με στρογγυλοποιηση στο cm . 2

α)

β)

96cm

1W\1

γ)

2.500m

Οι αρχαιολόγοι έχουντουπρόσφατα αρχίσειστηνα ξεθάβουν τα ερείπια οχυρού Τζέιμς Βιρτζί νια. ΑΒΓ. Το οχυρό είχε μια το σχήμα ισοσκελούς τριγώνου Α τυχώς γωνία του έχει ε ξαφανιστεί στονΑΒποταμό Αν το πλήρεςμέσατείχος είναιΤζέιμς. 750m, η γωνία Α=46.5° και η γωνία Β=8Τ Να υπολογίσετε πόσο είναι τοκατάμήκος των τειχώντο εμβαδόν ΑΓ και ΒΓ; ποίηση στο cm. το μήκος με στρογγυλο- α)β) Πόσο είναι προσέγγιση του αρχικού οχυρού; 5.

- -Γ 'flοταμός TCti�ς-

_ - ·

Να βρείτε το μέτρο της γωνίας Α σε μοίρες στο παρακάτω οξυγώνιο τρίγωνο. 3.

. , ' ' I ' ' I ..,-·

..,.. .

. ......

Β Α 6. Ένα δένδρο μεγαλώνει κατακόρυφα στην πλευ-

ρά ενός λόφου. Ο λόφος σχηματίζει γωνία 1 8° με την οριζόντια ευθεία. Το δένδρο ρίχνει σκιά 1 8m πάνω στο λόφο, όταν η γωνία των ακτίνων του ή λιου είναι 68° με την οριζόντια ευθεία. Πόσο είναι το ύψος του δένδρου; 4. Ο Άρης (σημείο Α) βρίσκεται σε ένα αερόστατο πάνω από ένα διάδρομο προσγείωσης ΒΓ μήκους 2500m. Στη μια άκρη του διαδρόμου, η Βασιλι κή(σημείο Β) βλέπει τον Άρη υπό γωνία 3Ψ Στην άλλη άκρη του διαδρόμου(σημείο Γ) ο Γιάννης βλέπει τον Άρη υπό γωνία 62°. α) Ποια είναι η απόσταση μεταξύ Άρη και Βασιλι κής; β) Ποια είναι η απόσταση μεταξύ Άρη και Γιάννη; γ) Πόσο ψηλά είναι ο Άρης από το έδαφος; (Να θεωρήσετε ότι το ύψος τόσο του Γιάννη όσο και της Βασιλικής είναι 1 ,60m).

Ο Ν ό μ ο ς τ ων συ νη μ ιτ όν ων

Γνωρίζεις το Πυθαγόρειο θεώρημα που και μάλιστα έχεις αξιοποιήσει τις δυνατότητες

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/26

-------

Η τριγωνομετρία στην επίλυση Γεωμετρικών προβλημάτων.

παρέχει το θεώρημα αυτό για τη μελέτη των ορθογωνίων τριγώνων. 0 στόχος μας τώρα είναι να μετασχηματίσουμε με κατάλληλο τρόπο τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα ώστε να είναι χρήσιμη για όλα τα τρίγωνα στα οποία γνωρίζουμε μία γωνία. Ας δούμε αρχικά ποια σχέση συνδέει μία πλευρά ενός τριγώνου με τις άλλες πλευρές του, όταν αυτή βρίσκεται απέναντι από οξεία, ορθή, ή αμβλεία γωνία. Δίνονται λοιπόν τα παρακάτω τρίγωνα στα οποία η πλευρά α = 8, β = 6, ενώ στο πρώτο που είναι οξυγώνιο η πλευρά γ= 9, στο δεύτερο που είναι ορθογώνιο γ= 1 Ο και στο τρίτο που είναι αμβλυγώνιο γ = 1 2 Α

ται απέναντι από αμβλεία γωνία τότε το τε τράγωνό τη ς είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του. τίθεται τώρα το ερώτημα: Στην περίπτω ση που μία πλευρά ενός τριγώνου βρίσκεται απέναντι από μία οξεία ή αμβλεία γωνία, θα ήταν δυνατόν να υπολογισθεί η ποσότητα κα τά την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών υπολείπεται ή πλεο νάζει αντίστοιχα, από το τετράγωνο της πλευράς αυτής. Ο στόχος εδώ είναι να υπολογιστεί η ποσότητα που πρέπει να αφαιρεθεί ή να προστεθεί στο άθροισμα των τετραγώνων ώ στε οι ανισότητες να γίνουν ισότητες. Θα μελετήσουμε τώρα την περίπτωση στην οποία η γωνία είναι οξεία. Θεωρούμε λοιπόν το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος Γ

α=β

α2+β2= 1 00 , γ2=8 1 2 2 γ <α +β2 οξυγώνιο τρίγωνο Α

α=β

α2+β2 = 1 00 , Υ= 1 00 2 y=α +β2 ορθογώνιο τρίγωνο Α

β= 6

α=β

Φέρουμε το ύψος ΑΔ και έχουμε στο ορθογώ νιο τρίγωνο ΑΔΓ με τη βοήθεια του πυθαγο ρείου θεωρήματος και του συνημιτόνου της γωνίας Α τις ακόλουθες σχέσεις: ΑΔ ΔΓ2 + ΑΔ2 = ΑΓ2 και συνΑ = - Στο ορθοΑΓ

α2+β2= 1 00, γ2= 1 44 2 2 γ >α +β2 αμβλυγώνιο τρίγωνο

Μπορούμε μάλιστα να γενικεύσουμε τα παραπάνω ως εξής: Εάν μία πλευρ ά ενός τριγώνου βρίσκε ται απέναντι από οξεία γωνία τότε το τε τρ άγωνό τη ς είναι μικρότερο από το άθροι σμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευ ρών του. Εάν μία πλευρά ενός τριγώνου βρίσκε ται απέναντι από ορθή γωνία τότε το τετρά γωνό της ισούται με το άθροισμα των τε τραγώνων των δύο άλλων πλευρών του. Εάν μία πλευρά ενός τριγώνου βρίσκε-

γώνιο ψίγωνο ΓΔΒ έχουμε α2 =ΔΓ + ΔΒ 2 ( 1 ) . αλλά ΔΒ = γ-ΑΔ, οπότε η παραπάνω ισότητα 2 2 2 ( 1 ) γράφεται: α = β +γ - 2βγσυνΑ Αυτή η ισότητα αποδεικνύεται ότι ισχύει και στην περίπτωση που η γωνία Γ είναι αμβλεία και φυσικά για κάθε μία από τις γωνίες του τριγώνου. Για οποιοδήποτε τρίγωνο με πλευρές α, β και γ και με γωνίες Α,Β, Γ απέναντι από αυτές α ντίστοιfα ισχύουν: α2= β +γ2 - 2βγσυνΑ, β2=γ2+α2 - 2γασυνβ, γ2=α2 +β2 - 2αβσυνΓ Αυτός ο κανόνας λέγεται Νόμος των συνημι τόνων

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/27

-------

Η τριγωνομετρία στην επίλυση Γεωμετρικών προβλημάτων.

Ε φ αρ μογή 1 . Βρείτε το μήκος της πλευράς Α

ΑΓ στο οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ

Λύ ση : β2=α2+γ2-2αγσυνΒ Νόμος συνημιτόνων

β2=522+45 2- 2 · 52 -45 · συν36° aντικαθιστούμε με τις δοθείσες τιμές β= .J52 2 + 45 2 - 2 · 52 · 45 · συν36° βγάζουμε την τετραγωνική ρίζα β;:::3 1 cm.

Ε φ αρμογή 2 . Να βρείτε το μέτρο της γωνίας

Γ στο οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Α

γ=250cm .

3. Δύο ακτίνες ΟΑ,ΟΒ ενός κύκλου (0, σχηματίζουν κεντρική γωνία ρ=24cm) ΑΟΒ = 1 26° . Ποιο είναι το μήκος της χορδής ΑΒ;

4. Βρείτε το μέτρο της μικρότερης γωνίας σε . ένα οξυγώνιο τρίγωνο με πλευρές 4cm, 7 cm και 8cm. 5. Οι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι 1 5cm και 20cm και μια από τις διαγώνιες είναι 1 9cm. Πόσο είναι οι γωνίες του παραλληλο γράμμου;

6. Ο πιλότος ενός επιβατικού αεροπλάνου πη γαίνει ανατολικά με ταχύτητα 720km/h,όταν φτάνει στο σημείο Α, βλέπει μπροστά του μια καταιγίδα. Στρέφει το αεροπλάνο 20° βόρεια για να αποφύγει την καταιγίδα και συνεχίζει σ' αυτή την κατεύθυνση για 1 5min.

Έπειτα κάνει δεύτερη στροφή πηγαίνοντας α ντίθετα στην αρχική του κατεύθυνση. Λύ ση : γ2=α2+β2-2αβσυνΓ νόμος συνημιτόνων

γ 2 -α2 -β 2 λύνουμε ως προς συνΓ -2αβ 2502 - 225 2 - 1 75 2 συνΓ= aντικαθιστούμε με -2 . 225 · 1 75 τις δοθείσες τιμές Γ :::::: 76° συνΓ=

Ταξιδεύει σε αυτή την κατεύθυνση για 40min οπότε κάνει μια τρίτη στροφή και ταξιδεύει μέχρι να φτάσει στην αρχική του θέση Α. Πό σο χρόνο έχασε ο πιλότος από το αρχικό σχέ διο πτήσης; 40min

Ασκήσ εις 1 . Να βρείτε το μήκος χ της πλευράς του τρι γώνου με προσέγγιση εκατοστού.

35 cm

2. Να βρείτε τη γωνία Γ σε μοίρες. Α

7. Ένας κωπηλάτης βρίσκεται σ ' ένα ποτάμι που ρέει με ταχύτητα 3km/h από τον Βορρά προς το Νότο. Κωπηλατεί Βορειοανατολικά με ταχύτητα 4,5km/h όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α) Με πόση ταχύτητα u κινείται; β) Προς ποια κατεύθυνση σε σχέση με τον άΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/28

-------

Η τριγωνομετρία στην επίλυση Γεωμετρικών προβλημάτων.

ξονα ΒΝ πραγματικά κινείται; Σημείωση : Το δεύτερο ερώτημα αναφέρεται στην ουσία στη γωνία που σχηματίζει η τελική ταχύτητα u με τον κατακόρυφο άξονα ΒΟΡΑΣ - ΝΟΤΟΣ. Β

.ΑΣ

σχέση με την οριζόντια κατεύθυνση ΔΥΣΗ ΑΝΑΤΟΛΗ. Μετά το γεύμα αλλάζουν κατεύ θυνση και περπατούν ακόμη 5km (τμήμα ΑΒ) υπό γωνία 1 37° σε σχέση με την οριζόντια κα τεύθυνση. α) Πόσο μακριά από την κατασκήνωση τους βρίσκονται ο Γιώργος και η Μαρία; β) Υπό ποια γωνία ω σε σχέση με τον οριζό ντιο άξονα πρέπει να ταξιδέψουν ώστε να επι στρέψουν στην κατασκήνωση τους; Β

Β 3 ,

110 ΟΣ

8. Ένας σωλήνας νερού του συστήματος ποτί σματος μιας φάρμας πρέπει να περάσει δια μέσου ενός μικρού λόφου. Ο ιδιοκτήτης της φάρμας προσδένει ένα σχοινί μήκους 1 1 ,2m στο σημείο εισόδου του σωλήνα στο λόφο και ένα σχοινί μήκους 14,5m στο σημείο εξόδου του σωλήνα από το λόφο. Όταν κρατάει τα σχοινιά τεντωμένα, τα άκρα τους συναντώνται σχηματίζοντας γωνία 58° .

α) Ποιο είναι το μήκος του σωλήνα που πρέπει

να περάσει δια μέσου του λόφου; β) Υπό ποια γωνία ω σε σχέση με το πρώτο σχοινί πρέπει να τοποθετηθεί ο σωλήνας ώστε να βγει από το λόφο από το σωστό σημείο ε ξόδου;

9. Ο Γιώργος και η Μαρία κάνουν πεζοπορία σ' ένα βουνό. Περπατούν 8km (τμήμα ΚΑ) από την κατα σκήνωση τους (σημείο Κ) υπό γωνία 42° σε

10. Ένας πιλότος πετάει με το αεροπλάνο του τύπου Cessna σε μια πορεία όπως στο παρα κάτω σχήμα. Ο πίνακας οργάνων δείχνει ταχύ-

τητα πτήσης ΟΒ με μέτρο 250km/h.(ταχύτητα πτήσης είναι η ταχύτητα που θα είχε το αεροπλάνο με μηδενικό άνεμο). Ωστόσο πνέει άνεμος με ταχύτητα ΟΓ με 4:(0Β, ΟΓ) = 56° , που έχει μέτρο 40km/h. Ποιο είναι το μέτρο της πραγματικής ταχύτη τας ΟΑ του αεροπλάνου; Β

ΒΙΒΛΙ ΟΓΡΑΦΙΑ: Discoνering Michael Seπa Third Edition USA

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/29

Geometry

μένους Γ ' Γυμνασίου

θέματα yια

=======

Θεοδώρα Παπαδάκη

1) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α, αν γνωρίζετε ότι α= .!.. β . 3

Α=

3α+6α+9α+ ...... +300α 2β+4β+6β+ ... . . . +200β

2 ) Ένας προβολέας Π είναι τοποθετημένος σε ύψος χ πάνω από το έδαφος και εστιάζει στο

έδαφος στο σημείο Α σχηματίζοντας με τον κατακόρυφο τοίχο γωνία 8=30°. Ο προβολέας στρέφεται κατά γωνία ω=30° οπότε εστιάζει τώρα στο σημείο Β. α) Να αποδείξετε ότι η απόσταση y=AB είναι μεγαλύτερη του χ για τις συγκεκριμένες γωνίες του σχήματος. Να

θεωρήσετε ότι

J3 = 1 , 73 .

β) Κάνοντας χρήση τριγωνομετρικών πινάκων να βρείτε κατά τι γωνία θα έπρεπε να στρίψει ο προβολέας για να ισχύει x=y.

3) Ο καθηγητής των Μαθηματικών ζήτησε από τους μαθητές του, στο πρώτο μάθημα της νέας χρονιάς, να του βρουν 20 1 6 λύσεις για την εξίσωση : (3α+2β- 1 0)χ+5α+3β-4=0. Οι μαθητές τον κοίταξαν με απορία και μόνο η Γεωργία και ο Πέτρος άρχισαν να κάνουν κάποιους υπολογισμούς με τη συναίνεση του καθηγητή. Πως εργάστηκε η Γεωργία και ο Πέτρος;

4) Δύο κύκλοι με κέντρα Ο και Κ αντίστοιχα εφάπτονται στο σημείο Γ. Με βάση το σχήμα και με δεδομένο ότι η πλευρά ΑΓ έχει μήκος 3 και η γωνία ΖΚΓ είναι 60° , να βρείτε την ακτίνα ρ του κύκλου με κέντρο Ο.

5) α) Να λύσετε το σύστημα:

1 2x+ - y = 404 5 χ-60 390-y - -- = 23 10 3 β ) Έστω πως τα αποτελέσματα που βρήκατε είναι το ύψος ενός άντρα σε εκατοστά και του μήκος της σκιάς του. Ωστόσο, δε γνωρίζουμε την αντιστοιχία τους.

Αν ο άντρας βρίσκεται σε ένα άδειο γήπεδο λίγο πριν δύσει ο ήλιος, ποιο είναι το πραγματικό ύψος του και ποιο το μήκος της σκιάς του και γιατί; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/30

Λύσεις Ασκήσεων για Προχωρημένους yια τη Γ ' Τάξη ===-

Τζίφας Νίκος- Λαγός Γιώργος

α+β+γ = Ο έχουμε και (α+β+γ)2 =Ο ή α2 +β2 +/ +2αβ +2βγ +2αγ =Ο ή α2 +β2+γ2 =-2(αβ + βγ + γα) ίί. Από α+β+γ = Ο έχουμε και α+β = - γ ή (α+β)3 =-γ3 ή α3+β3 +3άβ(α+β) = -γ3• Αντικαθιστώντας στη σχέση αυτή το α+β με -γ έχουμε: α3+β3 -3αβγ = -γ3 ή α3+β3+γ3 = 3αβγ ίίί. Από την σχέση: α2 +β2+γ2 =-2(αβ + βγ + γα) έχουμε: (αz +β2+j )2 =4(αβ + βγ + γα)z ή α4 + β4 +γ4 + 2(αzβz+βγ+γzαz)= = 4[α2β2+βγ+γ2α2+2(αβ2γ+α2βγ+αβγ2)] ή α4 + β4 +γ4 + 2(α2β2+βγ+γ2α2) = 4[α2β2+βγ+γ2α2+2αβγ(α+β+γ)]. Επειδή όμως α+β+γ=Ο παραπάνω σχέση γίνεται: η 4 α + β4 +γ4 + 2(α2β2+βγ+γ2α2) = 4( α2β2+βγ+γ2α2) ή α4+β4+γ4 = 2( αzβ2 + β2γz + γ2α2) 2 . , 1 1 1 αβ+βγ+yα ' , = Ο . Επομενως εχουμε και αβ+ βγ+γα = Ο . ι. Απο την σχεση : - + Ρ + - = Ο εχουμε: 1 ί. Από

αΡ Υ

Έχουμε τώρα: (α+β+γ? = α2+β2+γ2 +2(αβ+βγ+γα) ή (α+β+γ)2 = α2 + β2 + γ2 αφού αβ+βγ+γα = Ο ί ,; + + ί .Αρχικά να δείξετε ότι: α3 + β3 + γ3 -3αβγ (α+β γ)( α2 + β2 γ2 αβ βγ γα) = = [ α2 + β2 + γ2 (αβ + βγ + γα)], οπότε έχουμε: α3 + β3 + γ3 - 3αβγ = (α+β+γ)( α2 + β2 + γ2) αφού αβ+βγ+γα = Ο. Έχουμε τώρα: (α3 + β3 + γ3 - 3αβγ? =(α+β+γ)2 (α2 + β2 + γ2 )2 = (α2 + β2 + γ2)3 γιατί (α+β+γ)2 = α2 + β2 + γ2. ' ' κ λ μ ' - = - = - με εφαρμογη ιδιοτητας των αναλογιων ' εχουμε : 3 . Απο την σχεση: α Ρ Υ ' , , θ .Λ .:. , κ λ μ κ+λ+μ Π λλ λ ,ζ ο απ ασια οντας στην συνεχεια τους ορους κα ε ΙVΙ.Uσματος επι τον παρονομαστη -;; = β = γ = α+β+y , 'λ , . � _ βλ _ yμ _ (α+β+y)(κ+λ+μ) , ,f(iίi - jβλ _ ,JYιi _ .j(α+β+y) (κ+λ+μ) Ρ και με εφαρμογη πα ι της του εχουμε. z - pz - z -; z α α+β+y α y (α+β+y) Υ '

ίδιας ιδιότητας των αναλογιών έχουμε:

-ΓαΚ+Jϊiλ+m α+β+y

.Jca +β+y)(κ+λ+μ) α+β+y

Αφού τα κλάσματα αυτά είναι ίσα με ίσους παρονομαστές θα έχουν καt ίσους aριθμητές. Άρα : ..f(iΚ +.Jϊiλ +..fίiY =.J(α + β + y)(κ + λ + μ) --2 _ , z_ _ z_ + _ 2_ + _ 2 = 4 Θεωρουμε την παρασταση + +α z + α β '. " l +...L.. - β +y +� γ +_./!._ + +...L.. 1+� 1+_./!._ + y ,

β+ 4(α+β+y)

Ζ(α+β) 2 (y+a) _ Ζ(β+y) 2 = + + α+ β +y α+β+y α+β+y α+β+y α+β+y . α+ β 5. (χ + y)3 = 3xy(x + y), x3 + 3x2y + 3xy2 _ _

α β

y+a

β +y β+y

y+ a y+a

α= β α+ β

α+ β +γ β +y

α+ β +y y+a

+ χ3 = 3x2y + 3χyz, οπότε χ3 + y3 = Ο α α α 6. 3( z + β 2 + y2) = ( + β + y)2 3( 2 + βz + yz) = α 2 + β2 + y2 + 2αβ + 2 αy + 2βy α z + β2 + y2 = αβ + αy + βy α 2 + β2 - 2 αβ + y z = -αβ + αy + {Jy, (α - {3 )2 + {J z + y z - 2βy = {J z - α{J + ay - βy (α - {3 )2 + ({3 - y)2 + α z + y2 - 2 αy = {J z - αβ - αy - {Jy+ α z + yz (α - {J)z + ({3 - y)z + (α - y)2 = Ο, α - {3 = Ο οπότε α = {3 , {3 - y = Ο οπότε {3 = y, α - y = Ο οπότε α = y άρα α = {3 = y χ + y + z = 6, χ2 + y2 + z2 = 16, (χ + y + z)2 = xz + yz + zz + 2xy + 2xz + 2yz 7. 62 = 16 + 2 (xy + xz + yz) οπότε xy + xz + yz = 10 8. 1 1 1 =ο + + (χ-y)(χ-ω)

(y-ω)(y-x)

(ω-χ)(ω-y) 1'

� - �� - �

1 0.

(χ-y)(χ -ω)

(y-ω)(y-x)

1 + � - �� -�

(ω- χ)(ω-y)

ω -y+χ-ω-χ+y

� - �� - � = � - �� - �� - �

= ο

� οπότε (χ - α)(y + α) = (χ + α)(α - y) και xy + αχ - αy - α2 = χα - xy + α2 - αy οπότε xy = az χ+ = � y+a α (x+1)(y+1)(z+1) = _1 (x-1)(y-1)(z-1)

(:�� + 1 ) (�� + 1 ) (�� + 1) (α - � Ρ ) (Ρ ) (Υ -��+ α) 2α. 2β. 2y + t -� t � + Υ p 7; _ -7---; � -'-----7---"-'-- _ -'- = (α . - β - α - Ρ (Ρ - r - Ρ - r (γ - α - γ - α = (- 2/1)(- 2γ)(- 2α) = -1 (γ α (α --'--'; - β(P r ) ) ) ) ) ) α + β 1 Ρ+Υ 1 γ + α 1 α /1 r+α P+r + 3, xy = 2 οπότε Α = xz + y2 - xy = (χ + y)z - 2xy - xy = 3z χ 3 + y3 = (χ + y)3 - 3xy(x + y) , 9 = 33 - 3xy. _

ιι. 12.

1 3.

3xy = 9 - 3.2 = 3 και Β = (χ - y)z = χ2 + y2 - 2xy = (χ + y)2 - 2xy - 2xy = 32 - 4.2 = 1.

(χ + y + z)z = χ2 + yz + z2 + 2 (xy + yz + xz), 1 0 2 = χ2 + yz + z2 + 2.20 οπότε χ2 + y 2 + z2 = 60. Επειδή x+y+z=O είναι χ3 + y3 + z3 = 3xyz ,θέτω χ=2α-β-γ, y=2β-γ-α, z =2γ-α-β οπότε έχω χ+y+z=2α-β γ2β-γ-α+2γ-α-β=Ο άρα ισχύει.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/31

Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί

Επιμέλεια : Επιτροπή Διαγωνισμών

76ος ΠΑΝ ΕΛΛΗ ΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙ ΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 'Ό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" 16 Ιανουαρίου 2016 Ενδεικτικές λύσεις

Β' ΓΥΜΝΆΣΙΟΥ

Πρόβλημα 1 . Δίνονται οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί α = Ο, 2 και = Ο, 3. ( α) Να γράψετε τους άριθμούς α και β σε κλασματική μορφή .

(β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = Λύση : (α) Έχουμε διαδοχικά:

( 3α - 5β )2015 + ( 18α2 + β2 ) 2016 •

α=Ο,222 . . . Ι Οα= 2,222 . . . Ι Οα= 0,222 . . . 2 Ι Οα= α . . . 2 9α = 2

Άρα ειναι

, β = 93 = 31 . , β, α = 92 . " ' =(3α -5β)" " + (18α' +Ρ')"" = ( 3·�-5·Η"' +(18{�) + (H J" = (� - �)2015 + ( 18 · _i_81 + _2_81 )2016 =(-1)201 5 + (+ 1γ01 6 =-1+1=0. ' Ε ργαζομενοι ομοιως, ρισκουμε οτι:

( β) 'Εχουμε: Α

Πρόβλημα 2 . Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο με τον οποίο είτε πολλαπλασιάσουμε είτε διαιρέσουμε το 2016, προκύπτει ως αποτέλεσμα τέλειο τετράγωνο. Λύση : Αναλύουμε το σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Έχουμε ότι 7. Επομένως, όταν ο αριθμός πολλαπλασιαστεί με κάποιο παράγοντα, για να προκύψει γινόμενο που είναι τέλειο τετράγωνο, θα πρέπει ο παράγοντας αυτός να έχει ως παράγοντες τους αριθμούς και 7 σε περιττό εκθέτη και κάθε άλλο πρώτο παράγοντα σε άρτιο εκθέτη. Ο μικρότερος τέτοιος αριθμός είναι ο 2 7) 7 Παρατηρούμε ότι και η διαίρεση

2016

2016= 25 · 32 ·

2016

2 · 14. 24 32 = ( 22 · 3)2 = 122,

2016: ( ·

δίνει πηλίκο ίσο με

•

που είναι τ�λειο τετράγωνο.

Επομένως ο μικρότερος θετικός ακέραιος με τη ζητούμενη ιδιότητα είναι ο Πρόβλημα 3 Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) και Α = 30 ° . Το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ισόπλευρο και το σημείο Ε βρίσκεται στη προέκταση τη ς πλευρ ά ς ΒΓ και είναι τέτοιο ώστε ΒΓ=ΓΕ. Αν η πλευρά ΑΓ τέμνεται από τη ΔΕ στο σημείο z, τότε: (α) Να υπολογιστούν οι γωνίες ΑΒΔ και AfΔ . (β) Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΔΒ κ αι ΑΔΓ είναι ισοσκελή. ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/32

14.

-------

Μαθηματικοί Δ ιαγωνισμοί

(γ) Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΒΔΕ είναι ορθογώνιο. Λύ ση :

Σχήμα (α) Το τρίγωνο

--------

ΒΓΔ είναι ισόπλευρο άρα Β2 = /; 60° . Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με Α = 3 Ο 0 άρα iJ = f = 75° .

....

Αφαιρώντας τις ισότητες κατά μέλη, έχουμε: ....

....

ο ο (} ο Β - Β2 = Γ - � = 75 - 60 = 15 =:. Β1 = Γι = 1 5 . (β) Επειδή ΑΒ ΑΓ και ΔΒ ΔΓ η ΑΔ είναι μεσοκάθετη της ΒΓ , άρα και διχοτόμος της γωνίας λ , οπότε λ1 = Α2 = 15 ° . Άρα τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΔΒ είν·αι ισοσκελή. (γ) Το τρίγωνο ΓΔΕ είναι ισοσκελές ( ΓΔ ΓΕ ) με ΔΕΓ = fΊ + ΖiΈ = 15 ° + (1 80° =

-.f)= 15° +180 ° - 75 ° = 120 ° .

rΔΕ = ΔΕr 3 0° . Επειδή από το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΔ είναι ΕΒΔ rΒΔ 6(f , έπεται ότι: ΒΔΕ = 180" - ΕΒΔ +ΔΕΒ = 180" -(60° + 30" ) = 90°, οπότε το τρίγωνο ΒΔΕ είναι Άρα

(

)

ορθογώνιο. Π ρόβλημα 4. Για την εκτέλεση ενός μεγάλου ερευνητικου εργου στο προαπαιτού μενο χρονικο οριο, _ ξεκίνησαν να εργάζονται συνολικά . 500 ερευνητές. 'Οταν τελείωσε στην ώρα του το !_ του

4 έ ργου, αποχώρησαν 100 ερευνητές, οπότε το δεύτερο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με καθυστέρηση. Αποχώρησαν ό μως τότε και άλλο ι 100 ερευνητές, οπότε το τρίτο τέταρτο του έργου ολοκληρώθηκε με επιπλέον καθυστέρηση. Πόσοι ερευνητές πρέπει να προσληφθούν, ώστε το έργο να τελειώσει στον προγραμματισμένο χρ όνο. (Υποθέτουμε ότι όλοι οι ερευνητές που εργάστηκαν, αλλά και αυτοί που θα προσληφθούν, δουλεύουν με την ίδια απόδοση) Λύ ση : Αφού στο πρώτο τέταρτο δούλευαν όλοι οι ερευνητές, το έργο ολοκληρώθηκε στην ώρα του και υποθέτουμε ότι χρειάστηκαν χρόνο t . ' ' ' απο το τεταρτο σε κα' θε χρονικη' μονα' δα ολοκληρωνεται το Στο δευτερο

500-100 = 400 = 54 ' 500 500

έργο που θα ολοκληρωνόταν αν δούλευαν όλοι. Επομένως, για να ολοκληρωθεί το δεύτερο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/33

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ---

' ' ' τεταρτο του εργου χρεια' ζεται χρονος

5t. 4

�3 t . χ. 4t . (36t+ �4 t + �3 t+x = 4t � χ = t (3- �4 - �3 ) = t 1512 - 2Ο) = _12Ι t 300 + y ' ' ' ' χ = 500 t ' 300+y 500 t =__!._t=>�= y+300=>5700= y 5700 300+y 12

Ομοια για να ολοκληρωθεί το τρίτο τέταρτο -tου έργου θα χρειαστεί χρόνος

Έστω τέλος ότι με την προσθήκη των ερευνητών στο τελευταίο τέταρτο χρειάζεται χρόνος Το έργο για να τελειώσει στην ώρα ή νωρίτερα του χρειάζεται χρόνος τετραπλάσιος από το πρώτο τέταρτο που δούλευαν όλοι, δηλαδή χρόνος μικρότερος ή ίσος με Άρα, έχουμε τη σχέση :

Επομένως, αν έγινε πρόσληψη

ερευνητών στο τελευταίο τέταρτο δούλεψαν

' επιστημονες και για το τελευταιο τεταρτο χρειαστηκαν χρονο

' , οποτε πρεπει επιστήμονες.

Επομένως πρέπει να προσληφθούν

Π ρόβλημα 1

Γ' ΓΥΜΝΆΣΙΟΥ

{ ) {

Ν α παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο: Ρ χ = 4 χ + 4 την τιμή της παράστασης Α = 6 Ρ( 5

�

γ - 28 { χ + 4) + 48 και να βρείτε

) 4�Ρ ( 4) -

Λύση (α)

(β)

χ)= 4( χ+4)2 -28(χ+4)+48 = 4 [(χ+4)2 -7( χ+4)+ 12J = 4(χ2 +8χ+ 16-7χ-28+12) = 4( χ2 +χ)= 4χ(χ+ 1). Α= 6JP( -5) -4JP(4) = 6J-20( -5+1) -4J16( 4+1) =6J80 -4J80 =2J80 =8J5 Ρ(

Π ρόβλη μα 2 (α) Να αποδείξετε την ταυτότητα: x 2x - 1

(

}( 2x + l) + x = 4x3 , για κάθε πραγματικό αριθμό

χ.

( β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Α = 4031 · 4033 · 32256 + 32256 είναι κύβος ενό ς ακεραίου αριθμού τον οποίο και να προσδιορίσετε. Λύση

χ(2χ-1)(2χ+ l)+x =χ( 4χ2 -1 )+χ= 4χ3 -χ+χ = 4χ3• 4031 4033 2χ-1 =4031, 2χ+1=4033, χ=2016. Α ' ' ' 32256 = 16 . 2016 χ= 2016, 16χ(2χ-1)(2χ+ 1)+ 16χ =64χ3, Α = 4031 · 4033 · 32256 + 32256 = 64 · 20163 = 43 20163 = (4 · 2016)3 = 80643• 8064.

(α)

(β) Επειδή οι ακέραιοι

και διαφέρουν κατά δύο, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι οπότε θα είναι Για να αντιστοιrnσουμε τον αριθμό

λλ ' στην προηγουμενη ταυτοτητα, πρεπει να την πο απλασιασουμε με τον ακεραιο '

Τότε αυτή γίνεται:

οπότε θέτοντας

έχουμε:

•

Επομένως, ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Π ρόβλημα 3 Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές ΑΔ = α και ΑΒ = 4α. Με κέντρα τα σημεία Α, Β και ακτίνα α γράφουμε κύκλους Το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ, η ΜΕ είναι εφαπτόμενη του κύκλου κέντρου Α και η ΜΖ είναι εφαπτόμενη του κύκλου κέντρου Β, όπως φαίνεται στο σχήμα. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/34

-------

Μαθηματικοί Δ ιαγωνισμοί -------

(α) Ν α υπολογίσετε τη γωνία ΔΑΕ . (β) Να υπολογίσετε το εμβαδό του μικτόγραμμου γραμμοσκιασμένου χω ρίου ΔΕΜΖΓ που περικλείεται από το τόξο ΔΕ, τα τμήματα ΕΜ,ΜΖ, το τόξο ΖΓ και το τμήμα ΓΔ. Λ

(α) Επειδή το Μ είναι το μέσον του ΑΒ θα έχουμε ότι ΜΑ = 2α. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΑ α 1 οπότε ΕΜΑ=30°, ΕΑΜ =90°-30°= 60°και ΕΑΜ εχουμε ημ(ΕΜΑ) =--=-=-, ΑΜ 2α 2 συνεπώς ΕΑΔ = 90°-60° = 30° . Λύ ση

�

Σχήμα 2 Το εμβαδόπαραλληλογράμμου του μικτόγραμμουΑΒΓΔ γραμμοσκιασμένου το εμβαδό ΖΒ του ορθογωνίου αφαιρέσουμε τοχωρίου εμβαδόπροκύπτει, των τριγώνωναπόΕΑΜ,Μ και αφαιρέσουμε και τους κυκλικούς τομείς ΔΑΕ, ΖΒΓ . Προφανώς (ΑΒΓΔ)= 4α = 4α2 Από το _!_ Πυθαγόρειο J3Θεώρημα έχουμε ΕΜ2J3= 4α2 - α2 = 3α2 ωΕΜ = a.J3 , οπότε (ΕΑΜ) = 2 ΕΑ ΕΜ = α22 , και όμοια (ΒΖΜ ) = α22 . Επιπλέον, ομοί ς με το ερώτημα (α) α2 υπολογίζουμε ότι ΖΒΓ = 30', οπότε έχουμε εμβτομ έα(ΔΑΕ) = εμβτομ έα(ΖΒΓ) = π . 12 . Επομένως, έχουμε: έμβyραμ. χωρίου (ΔΕΜΖΓ) = 4α2 -2 . α22J3 - 2 π12α2 =. α2 (4 - J3 - π6 ) . αν

( β)

α·

�

Πρόβλη μα 4 Δύο φίλοι, ο Γιάννης και ο Β αγγέλη ς έχουν μία σακούλα με καραμέλες. Ο Γ ιάννης βάζει το

χέ ρι μέσα παίρνει κάποιες καραμέλες, και από αυτές που πήρε κρ ατάει τα

�4

και τις

υπόλοιπες (από αυτές που πήρε) τις δίνει στο Β αγγέλη. Στη συνέχεια ο Βαγγέλη ς παίρνει τις υπόλοιπες που έμειναν στη σακούλα, κρατάει το

...!. .. 12

και δίνει στο Γιάννη τις υπόλοιπες. Αν

σε κάθε μοιρασιά καθένας παίρνει ακέραιο αριθμό από καραμέλες και τελικά οι καραμέλες του Γιάννη είναι εξαπλάσιες από τις καραμέλες του Β αγγέλη , να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό από καραμέλες που μπορεί να περιέχει η σακούλα. Λύ ση .

Έστω α οι καραμέλες που πήρε από τη σακούλα ο Γιάννης και β οι καραμέλες που πήρε από ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/35

-------

τ'

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -------

3α και δινει ' κραταει' ' στο Βαγγε'λη -.α4 αι αφου σε τη σακου' λα ο Βαγγε'λης. οτε ο Γιαννης 4 κάθε μοιρασιάτουκαθένας πολλαπλάσιο 4. (1 ) παίρνει ακέραιο αριθμό από11καραμέλες, πρέπει το α να είναι Αντίστοιχα, ο Βαγγέλης κρατάει !!_12 και δίνει στο Γιάννη 12β . 3α 11β καραμε'λες, ενω, ο Βαγγε'λης εχει , -+-. α β , ο Γιαννης , εχει , συνολικα, -+ Επομενως, 4 12 4 12 5 3 Επομένως πρέπει να ισχύει 6( α4 +!!_12 ) = 4α + 1112β 34α = 12β 9α = 5β . (2) ), πρέπει το α να είναι πολλαπλάσιο του 5. (3) Για να ισχύει η (2 ) και (3) συνάγουμε ότι το α πρέπει να είναι πολλαπλάσιο Από τις (1 του 5 4 = 20, οπότε η ελάχιστη τιμή του είναι 20. Επομένως, από τη σχέση (2) παίρνουμε β = 36 Επομένως, ο ελάχιστος αριθμός από καραμέλες που μπορεί να περιέχει η σακούλα είναι 20 + 36 = 56. --

?:>

�

Οι λύσεις των ασκήσεων του τεύχους 98

Α39. Τρεις ποδηλάτες Π1 , Π2

και

Π3

ξεκινούν ταυτόχρονα από την πόλη Α και κινούνται κατά μήκος της κλειστής διαδρομής που αποτελείται από τρία ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ. Ο ι ταχύτητες του ποδηλάτη Π1 στα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ είναι 1 2, 10 και 15 (Km/h), αντίστοιχα. Οι ταχύτητες του ποδηλάτη Π2 στα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ είναι

15, 15 και 10 (Km/h), αντίστοιχα, ενώ οι ταχύτητες του ποδηλάτη Π3 στα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ είναι 10, 20 και 1 2 (Km/h), αντίστοιχα. Αν και οι τρεις ποδηλάτες επιστρ έφουν την

ίδια χρονική στιγμή στην πόλη Α, να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία

ΑΒΓ .

Λευκορωσία 2014

Έστω ΑΒ =χ, ΒΓ = y, ΓΑ = Τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το χρόνο που χρειάστηκε κάθε ποδηλάτηςχ για να zδιανύσει τη διαδρομή ΑΒΓΑ. χρόνοςχπου χρειάστηκε ο z ' ' ' ' ' πρωτος ποδηλατης ειναι -+-+15 15 10 ενω ο 12 10 15 , ο δευτερος ποδηλατης χρειαστηκε-+-+-, τρίτος χρειάστηκε �10 + 20 + 12 Επειδή οι τρεις ποδηλάτες επέστρεψαν στην πόλη Α την ίδια χρονική ταυτίζονται, οπότεΑΒ, έχουμε Επομένως,στιγμή παρατοιηπαραπάνω ρούμε ότι γιαχρόνοι τα μήκη των πλευρών ΒΓ τιςκαιεξισώσεις: ΓΑ ισχύει ότι: �12 + L10 + _:__15 = �15 + L15 + _:__10 = �10 + _L20 + _:__12 5x+6y+4z = 4x+4y +6z = 6x+3y+5z x+2y = 2z και 2χ-y = z x+2y = 2(2χ-y) και z = 2χ-y 3χ = 4y και 3z = 5y (x,y,z) = ( 4{ ,y, 5{} y � 16/ y = --= 25/ z Επομενως, προκυπτει η ισοτητα χ + y = --+ 4 9 οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με κορυφή της ορθής γωνίας το Β, δηλαδή είναι ΑΒΓ =90°. z.

Λύση :

L ...:.._ .

?:>

�

?:>

�

?:>

Α40. Αν a, b, c είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/36

�.

2 c 2c + ----:"7" = -- ' a2 + b 2 a2 + c2 b+c ότι το γινόμενο bc είναι τέλειο τετράγωνο. 32

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -------

-------

να αποδείξετε

αb

(1) α=

Λευκορωσία 2015

Αν είναι =Ο ή =Ο, τότε =Ο και είναι τέλειο τετράγωνο. Επίσης, αν Ο, από τη 2 Έτσι, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι σχέση (1) προκύπτει ότι = τουοπότε ακέραιοι είναι διάφοροι μηδενός.πάλιΤότε=η δεδομένη ισότητα γράφεται: 1 '+ 1 = 2 . (2) +1 1+ (�) (;) +1 � - � Αν θεσουμε χ = -, y = - τοτε η σχεση γινεται: 1 + -1 = -2 <=> 2+χ2 + / = -2 -1 + χ2 / + 1 xy + 1 (1 + χ2 ) ( 1 + / ) xy + 1 <=> ( + + ΥΖ ) ( xy + 1) = 2 ( 1 + χ2 ) ( 1 + y2 ) <=> 2xy + xz + yz + 2 + χ3 + xy3 = 2 + 2xz + 2yz + 2xz yz <=> χ3 2xz/ + xy3 - ( xz -2xy + / ) = Ο <=> xy (� -y)2 -(χ-y)2 =Ο<=> (χ-y)2 (xy-1) =Ο ή xy = 1 <=> x=y Αν χ = τοτε- = = 2 Αν xy = 1, τοτε = -= 1 =2 + 11

Λύση.

α, b, c

(2) ,

ΧΖ

Υ-

•

bα

αc

α c

1 =>

b c

α :

(3)

(4)

b .

Ν30. Ο ι αριθμοί p , q , r είναι πρώτοι θετικοί ακέ ραιοι με p εξίσωση p+q r

και ικανοποιούν την

=p-q+r

Β ρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του γινομένου pq r Λευκορωσία 2014 Λύση

'Εχουμε p + q = p - q + r <=> p +q = rp -qr + rz <=> q ( r+ 1)-p(r-1) = rz. (1) Αν r 2, τότε οr r ως πρώτος, θα είναι περιττός. Επομένως, οι ακέραιοι r + 1, r -1 θα είναι άρτιοι και το ίδιο θα ισχύει για τον ακέραιο q ( r + 1) - ( r -1) , δηλαδή ο ακέραιος r2 θα είναι άρτιος. Αυτό όμως είναι άτοπο, γιατί ο r εί ν αι περι τ τός. Επομένως θα είναι r = 2. Τότε από τη σχέση (1) προκύπτει ότι: (2) p = 3q-4 Από τη σχέση (2) προκύπτει ότι όταν ο ακέραιος αυξάνεται ή μειώνεται, τότε και ο ακέραιος αυξάνεται ή μειώνεται, αντίστοιχα. Επομένως, το γινόμενο παίρνει τη μέγιστη τιμή του, όταν ο ακέραιος παίρνει τη μέγιστη τιμή του. Από τις σχέσεις p = q και p + q 11 >

pqr

3 -4

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/37

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

--------

έπεται ότι: 3q-4 q 11 � 4q 15 � q .!24 , οπότε οι δυνατές τιμές του είναι 3 και 2. Για q = 3 είναι = 5 (πρώτος), οπότε 30 είναι η μέγιστη δυνατή τιμή του γινομένου +

pqr =

pqr .

Γ26. Τρίγωνο είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και Α > 90·. Έστω Μ το συμμετρικό της κορυφής Α ως προς την κορυφή Γ. Η μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ τέμνει την προέκταση της πλευράς ΒΑ στο ση μείο Ρ. Αν οι ευθείες ΡΜ και ΒΓ είναι κάθετες, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΡΜ είναι ισόπλευρο. Ρουμανία 2015 Λύ ση

Σχήμα 1 Έστω ότι οι ευθείες ΒΓ και ΡΜ τέμνονται στο Δ και ΑΒΓ =θ. Τότε θα είναι: ΜfΔ = AfB = ΑΒΓ =θ και ΡΜΓ = 90° -θ. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, γιατί η ΡΓ είναι μεσοκάθετη της πλευράς Άρα ΡΜΓ = ΡΑΓ = 90° -θ. Όμως η γωνία ΡΑΓ είναι εξωτερική γωνία του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, οπότε ισχ;ύει : PAr = 2θ. Επομένως, έχουμε την ισότητα: = 90° -θ� 3θ 90° � θ 30°. Άρα είναι ΡΜΓ =ΡΑΓ 90° 60°, οπότε το τρίγωνο ΡΑΜ είναι ισόπλευρο. Ρ ΑΜ

ΑΜ.

2θ

-θ=

προς λύση Α = = 10α , με οι οποίοι Βρείτε όλους τους διψήφιουςΑσκήσεις θετικούς ακέραιους είναι ίσοι με το άθροισμα των ακεραίων με Βρείτεόπουτη 120! μεγαλύτερη δυνατή τιμήόλωντουτων θετικών για την ακέραιων οποία αριθμός 12κ είναι παράγοντας του 120!, είναι το γι ν όμενο από 1 μέχρι και 120, δηλαδή 1· 2·3 ·όλους ... ·119·120. 120! =Βρείτε τους μη αρνητικούς ακέραιους για τους οποίους υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε = και = ι τετράγωνο πλευράς 1 . Τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ ανήκουν στις πλευρές Δίνετα ΑΒ, ΒΗ, ΒΓ, ΓΘΓΔ και και ΔΕΔΑ,τεμνόμενες αντίστοιχα, σχηματίζουν έτσι ώστε στο= ΒΖεσωτερικό = ΓΗ = ΔΘτου= δεδομένου με τετραγώνου 1 . Οι ευθείεςτο τετράπλευρο Να εκφράσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ως συνάρτηση του Α4 1 .

χ,

Α42.

Ν3 1 . Γ27.

α � χ � b.

α+b

ΑΒΓ Δ

ΑΖ,

+ b2 •

αb

α < b,

α, b

α=

ΑΕ

ΙΚΛΜ.

χ,

ΙΚΛΜ

ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/38

Ο<χ<

χ.

Τα λάθη στις κλασματικές παραστάσεις

Ένα σημαντικό μέρος των λαθών των μαθητών στις κλασματικές παραστάσεις-κλάσματα τ η η οφείλεται στην λάθος εφαρμογή των ιδιοτήτων ςR.καιAngelτηςelementary απλοποίησηςAlgebra των ς του πρόσθεσ κλασμάτων-κλασματικών παραστάσεων. Από το βιβλίο Allen 4th ed New Jersey USA παραθέτουμε μια σειρά από λάθη που έγιναν από μαθητές Στην περίπτωση αυτή μαθητής προσθέτει Σε άσκηση που δόθηκε σε μαθητές. λανθασμένα δύοέχουνκλασματικές παραστάσεις οι οποίες δεν τον ίδιο παρονομαστή εφαρμόζοντας μια' δικιά 'του ιδιότητα την Εδω ο μαθητης πρεπει να κανει β ομώνυμες τις κλασματικές παραστάσεις και μετά να τις προσθέσει. Στην περίπτωση αυτή ο μαθητής επειδήίδιοοι Επίσης σε άσκηση που δόθηκε στους κλασματικές παραστάσεις έχουν τον μαθητές. παρονομαστή τις προσθέτει σωστά. Όμως ξεχνά ναδεύτερου βάλεικλάσματος παρένθεσηπουστον αριθμητή του έχει δύο όρους και κάνει λάθος το πρόσημο του )δεύτερου όρου του αριθμητή(λάθος επιμερισμού . 1 996

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣ Ε Ι Σ

ΠΕΡΙ ΠΤΩΣ ΕΙΣ ΛΑΘΩΝ

• -+-= 1 α κανετε τις πρα εις: χ

'ξ

1 χ 1+χ -+-= χ 1 χ+1

Μ αθητής

Το σ ωστ ό

1 χ 1 χ2 1 + χ2 -+-=-+-= χ 1 χ χ χ

δ=

α+β

y+δ .

'ξ

4χ

α κανετε τις πρα εις: χ-2 ,

2x+l χ-2

4χ 2χ + 1 4χ - 2χ + 1 2χ + 1 = = -- χ-2 χ-2 χ-2 χ-2

Μ αθητής

---

4χ 2χ + 1 4χ - 2χ - 1 2χ - 1 -- - --- = = χ-2 χ-2 χ-2 χ-2

Το σ ω στό

----

---

3)μαθητές: Τέλος σε άλλη άσκηση που δόθηκε σε Να aπλοποιήσετε τη κλασματική παράσταση χ+2 2

Στηπροσπάθεια συγκεκριμένη περίπτωση οτομαθητής, στην να απλοποιήσει κλάσμα απλοποίησε μέρος του αριθμητή παρονομαστή κάνοντας λάθος. με τον 3)

χ+2 χ+ 1 -- = -- = x + l 2 1

Λ ύ ση μαθη τή :

Π ΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΕΞΆΣΚΗΣΗ

Παρακάτω λαθών δίνουμετωνέναμαθητών παράδειγμα συνηθισμένων στις κλασματικές παραστάσεις. Μπορείτε την στήληνατωντα βρείτε και να τα εξηγήσετε σ παρατηρήσεων; ,

Να απλοποιησετε τα κλασματα: 4

Μαθητής =

2χ χ =

2χ xy

- , - ,

x 3 .y2 y

2 -

χ+2

χ 2 χ = -+- = -+ 1 2 2 2

Πως θα αποφύ γουμε το λάθος; 2

Το δοθέν κλάσμα έχει προέλθει από την πρόσθεση δύο ομώνυμων κλασμάτων στα οποία και το αναλύουμε. Κατόπιν κάνουμε απλοποίηση στο δεύτερο κλάσμα.

χ+2 χ+ 1 χ 1 =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/39

Όταν τα θέματα των δ ιοyωv ιομών «Ευκλείδης» ΟUΥΧpονίζοντα ι με τα μαθηματι κά του έτους 201 6! !

συνάδελφος Μαθηματικός του 2ου Γυμνασίου Πύργου μας έστειλε μία σειρά από ενδιαφέρουσες ασκήσεις οι οποίες βασίζονται σε παλαιότερα θέματα του διαγωνισμού · Ευκλείδης· της ΕΜΕ από τα έτη 1990-2015 . Από τις ασκήσεις αυτές επιλέξαμε μερικές και σας τις παρουσιάζουμε. επιλογή αυτή στηρίχτηκε στο ότι οι ασκήσεις αυτές έχουν κάτι κοινό που αφήνουμε σε εσάς να ανακαλύψετε. Ένα τετράγωνο με αριθμούς λέγεται μαγικό όταν σε κάθε γραμμή, σε κάθε στήλη και σε κάθε διαγώνιο οι αριθμοί έχουν το ίδιο άθροισμα. Για παράδειγμα το παρακάτω 3χ3 τετράγωνο είναι μαγικό: 7 12 11 Παρατηρήστε ότι το άθροισμα των30. αριθμών σε κάθε γραμμή, σε κάθε και σε κάθε διαγώνιο είναι 10 6 στήλη Ας υποθέσουμε τώρα ότι σε ένα μαγικό τετρciγωνο 3χ3 ο αριθμός στο του τετραγώνου είναι ο 672 να υπολογιστεί το άθροισμα κάθε 13 κέντρο 9 στllλης , γραμμής και διαγωνίου του. Αν α, β, γ είναι πρώτοι αριθμοί (αριθμοί που διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό ) τους με α<β<γ. Οι τρεις αυτοί αριθμοί έχουν άθροισμα 12, να υπολογιστεί αριθμητική τιμή 5 2 · της παράστασης Α=α β ·γ . Με βάση την άσκηση 2 να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις 3, Οι φυσικοί αριθμοί α, 5β, 2γ είναι ανάλογοι των αριθμών 2,3,7 αντίστοιχα. Να αΠοδείξετε ότι η παράσταση : Α=α ·β ·γ είναι πολλαπλάσιο του 2016. 5 · i · (ω+2) = Να υπολογιστούν οι ακέραιοι αριθμοί , ω για τους οποίους ισ ύει: χ χ χ 2016 5 ·(λ+ 1 )2 (3 μ. + 1 ) = 2016 να αποδείξετε ότι κ = Αν κ, λ, μ φυσικοί αριθμοί και ισχύει: κ λ=� Να βρείτε τον μικρότερο τετραψήφιο αριθμό αβγδ για τον οποίο ισχύει . α) είναι άρτιος το ψηφίο των μονάδων του είναι τριπλάσιο από το ψηφίο των χιλιάδων του γ) το ψηφίο των δεκάδων του είναι το μισό από το ψηφίο των χιλιάδων του. δ) ο αριθμός διαιρείται και με το 9. 7. Να βρείτε τον τετραψήφιος αριθμό αβγδ για τον οποίο ισχύει: διαιρείται με το 2,7και 9. το γινόμενο α·β·γ ·δ = Ο γ) ο διψήφιος αριθμός γδ είναι τέλειο τετράγωνο. Να υπολογιστεί η αριθμητική τιμή της παράστασης χωρίς πράξεις στο τετράδιό σας: Α= 2016-2015 · 2017 + 2016·2015 Η

Αργυρίου Αρετή

Άσκηση 1 .

Άσκηση 2.

4, 5 .

Άσκηση 3 .

Άσκηση 4.

Άσκηση 5.

•

Άσκηση 6.

β)

Άσκηση α) β)

Άσκηση 8.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/40

Εις

μνήμη Κώστα Σάλαρη. Από τη Συντακτική Επιτροπή του περιοδικού μας.

Την Τετάρτη 27 Ιανουαρίου, στην καθιερωμένη συνάντη ση της Συντακτικής του μας, περιοδικού, μαςο Σάλαρης, έφτασε η αναχώρησε είδηση ότι γιαένατοαπόμεγάλο τα βασικά μέλη ης επιτροπής τεπιτροπής ο Κώστας ταξίδι .... η Ο τΚώστας, από τα παλαιότερα καιτηνπιοεγκυρότητα δραστήριακαιμέλη σωστή τ ς Συντακτικής επι ροπής, αποτελούσε εγγύηση για διαχείριση της ύλης και των άρθρων που φιλοξενούσαμε. Το γεγονός αυτό οφειλόταν στην πολυμάθειά του, την εμπειρία τουδραστηριοποίησή και την αστείρευτη διάθεση δράση και συμμετοχή ην ΕΜΕγια χρονολογείται στις ομάδες εργασίας της ΕΜΕ. του στ από τη δεκαετία τουδιετίες ταμίας Διετέλεσεκαι γενικός για αρκετά χρόνια Αςεκλεγμένο μέλος του βιογραφικό ΔΣ και γιατου:δύο συνεχόμενες γραμματέας. δούμε ένα σύντομο Ο Κώστας ενδιαφερόταν Σάλαρης είχεγιασπουδάσει Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο τηςτουΑθήνας ενώ συγχρόνως τον κλάδο της πληροφορικής. Στο Πολυτε νείο Βερολίνου χ έκανε μεταπτυχιακές σπουδές αντικείμενο σετηνπολυεθνικές αριθμητικήεταιρίες ανάλυσηως και τον η συνέχειαμε εργάστηκε προγραμματισμό και στ στέλεχος πληροφορικής. Στον Κώστα δεν παρουσία έλλειψε ποτέ το δημιουργός ενδιαφέρονεκπαιδευτικού για τη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση στην οποία είχε συνεχή είτε ως υλικού είτε ωςιδιαίτερο διδάσκων.ενδιαφέρον Το υλικόκαθώς και τα αναφέρονται βιβλία τα οποία φιλοξενούν κείμενά του παρουσιάζουν τόσο γενικότερου σε καθαρά ενδιαφέροντος, Μαθηματικά όπως θέματαοι ) όσο και σε θέματα (Μαθηματικές Ολυμπιάδες κ. λ . π λογικομαθηματικές δεξιότητες και το τυχαίο στηνήτανκαθημερινότητά μας. Μία σημαντική ης Μαθηματικής προσφορά στο χώρο τ παιδείας και η δημιουργία του ιστότοπου telemath.gr. τη

'80.

TeleMath@ Η

c:cl Το άλλ α

7\ρθρο

Μαθrιμστιιι:ό

Ελλη νικη Μαθηματική Πύλη

Βιβλiο Who ίs who

CtSchool

Υnατίο

ΔΙδακτική

Δlοσι«:δοστικό Μαθημστικό

·· �

Γεωμετρία

Επικοινωνία

Διοyωνιομοί

Για τον Κώσταμαζίο ιστότοπος ήτάν,τοκατά ταπολύλεγόμενά του, έργο ζωήςδημιουργία και όσοιτουέτυχεκαι ναμε συνεργαστούν του γνωρίζουν πόσο είχε εργαστεί για τη πόση θέρμη μιλούσε γιαη αυτόν. Ήταν χαρακτηριστική διάθεσή του για συνεχή δημιουργία και αυτό το γνωρίζουμε πολύ καλά όσοι συμμετέχουμε' στηκατάσταση ΣυντακτικήτηςΕπιτροπή. Ακόμη και τησεσυγγραφή περιόδουςυλικού που αντιμετώπιζε δυσκολίες με την υγείας του, οργάνωνε σχετικού την πληθώρα των θεμάτων τα οποία συστηματικά μελετούσε. Ίσως και λόγω των η θεωρία αριθμών. Το σπουδών του είχε μίαδημοσιεύτηκε ιδιαίτερη αγάπη σε θέματα σχετικά με τπεριοδικού τελευταίο του άρθρο στο προηγούμενο τεύχος του μας και αφορούσε τουςτουτέλειους αρίθμούς και τους αριθμούς Mersenne. πάντα με αγάπη και μεγάλη απουσία Κώστα εί ν αι σημαντική, θα τον θυμόμαστε εκτίμηση. με

(98)

Γνωρ ι μ ία με το Roden gym nasier τ η ς Σου η δίας Κατερίνα Ρουμπή

Η Ευρωπαϊκή Ένωση αποτελεί πλέον ένα χώρο όπου οι πολίτες των κρατών της μπορούν και οφείλουν να επικοινωνούν, να ενημερώνονται και να ανταλλάσουν τις εμπειρίες τους σε ό λους τους τομείς της κοινωνικής ζωής. Στα πλαίσια αυτής ακριβώς της προοπτικής, στον τομέα της εκπαίδευσης, έχει σχεδιαστεί και υλοποιείται το Ευρωπαϊκό Πρόγραμμα Erasmus+ ΚΑ Ι . Το πρόγραμμα αυτό αφορά στη μαθησιακή κινητικότητα εκπαιδευτικών και επιχορηγείται από την Ευρωπαϊκή Επιτροπή, μέσω του Ιδρύματος Κρατικών Υποτροφιών (I.K.Y.). Το πρόγραμμα Erasmus+ δίνει την ευκαιρία στους καθηγητές να βιώσουν μια μαθησιακή εμπειρία σε μια άλλη χώρα, βελτιώνοντας τις γνώσεις, τις δεξιότητες και τις ικανότητές τους και παράλληλα να έρ θουν σε επαφή με μια νέα κουλτούρα και πολιτισμό και να αναπτύξουν το αίσθημα της ευρωπα ϊκής ταυτότητας. Στα πλαίσια του προγράμματος αυτού είχα την τύχη), ως μαθηματικός στο 1 ° Γυμνάσιο Αμαρουσίου, να επισκεφτώ την εβδομάδα 2 1 -25 Σεπτεμβρίου 20 1 5 το γυμνάσιο Roden gymna siet στην πόλη NorrtaUe της Σουηδίας. Ο ι μ α θητές του Rodengymnasίer

(το γυμνάσιο Rodengymnasier είναι ένα σχολείο που προετοιμάζει τους μαθητές τόσο για ανώτερη εκπαίδευση όσο και για τεχνικά επαγγέλματα). Έχει τάξη ένταξης για μαθητές μετανά στες που πρόσφατα έφτασαν στη Σουηδία και δε μιλούν ακόμη τη σουηδική γλώσσα. Είναι ένα σχολείο που στοχεύει στο να βοηθήσει το μαθητή να αποκτήσει γνώση και αυτοπειθαρχία μέσα από ένα δημιουργικό περιβάλλον μάθησης. Αξίζει να σημειωθεί η δουλειά που γίνεται στην τάξη ένταξης με μαιθητές που δε μιλούν σουηδικά. Διδάσκονται Σουηδικά, μαθηματικά και αγγλικά. Και όταν φτάσουν σε ένα ικανοποι ητικό γλωσσικό επίπεδο εντάσσονται στο κανονικό ωρολόγιο πρόγραμμα. Αυτό συνήθως παίρ νει ένα με δύο χρόνια. Διδάσκοντας μαθηματικά σε μαθητές από Αφγανιστάν, Ερυθραία, Φιλιπ πίνες με διαφορετικά επίπεδα γνώσεων τόσο στα μαθηματικά όσο και στη γλώσσα και στην κουλτούρα είναι μεγάλη πρόκληση. Οι στόχοι πολλοί. Να γνωριστούν όλοι και να δουλέψουν σαν ομάδα, να καταγράφεί το υπάρχον μαθηματικό επίπεδο για να προχωρήσουν παραπέρα, να μάθουν να μιλούν σουηδικά. Καθόλου εύκολη δουλειά αλλά η πράξη έχει δείξει πως σύντομα φαίνονται θετικά αποτελέσματα. Η χρήση ψη φ ιακών μέσων

Το Rodengymnasier έχει μία αξιόλογη παράδοση στη χρήση υπολογιστών στη διδασκαλία Μαθηματικών. Για τις χρονιές 20 1 3- 1 4 αποτελεί ένα Microsoft Mentor School. Το Microsoft Mentor School είναι ένας τίτλος που απονέμεται σε ένα μικρό αριθμό σχολείων εφόσον καλύ πτουν τις εξής δύο προϋποθέσεις: α) Δραστηριοποιούνται στην ανάπτυξη της τεχνολογικής καινοτομίας και β) Τα εκπαιδευτικά προγράμματά τους αποτελούν μοντέλα που μπορούν να εφαρμοστούν και σε άλλα σχολεία. Τα σχολεία αυτά αποτελούν μέλη ενός παγκόσμιου δικτύου που συνεργάζονται aνταλλάσσοντας εμπειρίες και τεχνογνωσία. https://www.educatornetwork.com/schools/mentor. Το Το Rodengymnasier είναι το μοναδικό στη Σουηδία, και ένα από τα 80 σχολεία παγκοσμίως, που έχει αυτόν τον τίτλο χάρη στις καινοτόμες διδακτικές πρακτικές σε σχέση με τη χρήση τεχνολογίας στη διδασκαλία μαθηματικών. Με τις επιτυχημένες διδακτικές πρακτικές του καθιερώνει μια και νούρια μαθηματική κουλτούρα και οι μαθητές του εmτυγχάνουν στις εθνικές εξετάσεις αποτελέσμαΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/42

-------

Γνωριμία με το Roden gymnasierτης Σουηδίας

τα πολύ πάνω από το μέσο όρο της Σουηδίας (http://www .youtube.com/watch?v=GZfHwJujLTo). Κάθε μαθητής και κάθε καθηγητής παίρνει από το σχολείο ένα λάπτοπ για να το χρησιμοποιεί όλη τη σχολική χρονιά. Το τετράδιο και το μολύβι μαζί με το λά πτοπ και τη σύνδεση στο διαδίκτυο απο τελούν τη φαρέτρα του μαθητή ενώ ο πί νακας και ο προτζέκτορας του καθηγητή. Ο μαθηματικός του σουηδικού σχο λείου, Jonas Hall, θεωρείται πρωτοπόρος στον τομέα του, είναι ο γενικός διευθυ ντής του σουηδικού ινστιτούτου geogebra, το 80% του χρόνου του διδάσκει μαθηματικά στο Rodengymnasier και το υπόλοιπο 20% οργανώνει συναντήσεις με καθηγητές με σκοπό τη δια σπορά καλών πρακτικών διδασκαλίας μαθηματικών με χρήση νέων τεχνολογιών. Στα μαθήματά του ο Jonas Hall χρησιμοποιεί σταθερά το λογισμικό geogebra και τις δυνα τότητες πειραματισμού και διερεύνησης που διαθέτει. Ακόμα και ένα καθαρά τεχνικό κομμάτι της ύλης, όπως είναι η παραγώγιση γινομένου συναρτήσεων, με τη χρήση geogebra και κατάλ ληλο φύλλο εργασίας μπορεί να αποτελέσει ευκαιρία για εικασίες και έλεγχο ορθότητας. Οι μα θητές εργάζονται πολύ με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και από αυτές βγάζουν συμπεράσματα για τις ιδιότητες των συναρτήσεων αυτών.

Η εργασία μέσα στην τάξη γίνεται σε ομάδες, συζητούν, δοκιμάζουν συναρτήσεις και ελέγ χουν τις εικασίες τους με το λογισμικό http://www.wolframalpha.com/. Ο στόχος πάντα είναι να μπορούν και με χαρτί μολύβι και με το geogebra να μελετούν συναρτήσεις. Ο Jonas Hall χρησιμοποιεί συχνά την κοινότητα geogebra tube όπου υπάρχει πολύ και αξιό λογο υλικό από συναδέλφους από όλον τον κόσμο. Μπορεί ο καθένας να μοιραστεί το δικό του υλικό ή να αντλήσει από το αποθετήριο, να φτιάξει τη δική του βιβλιοθήκη την οποία μπορεί να δώσει πρόσβαση και στους μαθητές. Επίσης προτείνει και το screencast-o-matic.com το οποίο καταγράφει για 1 5 λεπτά τι συμ βαίνει στην οθόνη, και με ήχο αν θέλω, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί: α) γιά την αποθήκευση μιας περίπλοκης κατασκευής στο geogebra ώστε οι μαθητές να μπορούν να την ξαναδούν αν χρειαστεί, ή για την αποθήκευση και ολόκληρου του μαθήματος και β) κατά τη διάρκεια γρα πτών αξιολογήσεων στον υπολογιστή (χωρίς πρόσβαση στο διαδίκτυο) για να φανεί η πορεία της σκέψης του μαθητή και να αποφευχθούν περιπτώσεις αντιγραφής. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/43

-------

Γνωριμία με το Roden gymnasierτης Σουηδίας

Άλλες δραστηριότητες στο Rodengymnasier Το Rodengymnasier έχει άριστα εξοπλισμένα εργαστήρια φυσικής και βιολογίας.

Τα μαθήματα αυτά γίνονται κατά το ήμισυ στο εργαστήριο. Οι μαθητές καλούνται να με τρήσουν τον όγκο, τη μάζα, το ph. Δεν υπολογίζουν μόνο με τους τύπους αλλά καλούνται να ε πινοήσουν τρόπους να εκτελέσουν πρακτικά μετρήσεις και υπολογισμούς. Ο πλούσιος, τελευ ταίας τεχνολογίας εξοπλισμός δίνει επαγγελματική αίσθηση. Οι ομαδικές εργασίες ενισχύουν τη συνεργατική, διερευνητική μάθηση . Τα πειράματα ακολουθούνται πάντα από γραπτή παρουσία ση των αποτελεσμάτων και θεωρητική τεκμηρίωσή τους. Η διδ ασκαλία της Αστρονομίας

Το μάθημα της αστρονομίας γίνεται στην αυλή για να παρατηρήσουν ζωντανά τις ηλιακές κηλίδες την ημέρα και τους κρατήρες της σελήνης το βράδυ . Οι μαθητές καλούνται να συναρμολογήσουν μόνοι τους τα τηλεσκόπια εντοπισμού των κηλίδων του ή λιου και να ερευνήσουν τον τρόπο λειτουργία τους. Το σχολικό εγχειρίδιο είναι πάντα υπό μάλης και χρησιμοποιείται για αναφορά κ,αι επίλυση αποριών. Αλλά και το διαδίκτυο με τη βοήθεια του προγράμ λογισμικού Stellarium ανοιχτού ματος (http://www.stellaήum.org/el/) εμφανίζει έναν ρεα λιστικό ουρανό σε 3D όπως ακpιβώς θα τον βλέπαμε με γυμνά μάτια, κιάλια ή τηλεσκόπιο. Και αυτό για όποια ημερομηνία επιθυμούμε -και για όλα τα γεω γραφικά μήκη και πλάτη της γης. «Ταξίδι στο χώρο και το χρόνο.» Ε πιμύθιο Η σύγκριση ελληνικής και σουηδικής σχολικής καθημερινότητας δεν είναι εύκολη. Σίγουρα στη Σουηδία υπάρχουν περισσότερα τεχνολογικά μέσα καθώς και μια σαφής τάση βιωματικής μάθησης. Το δασκαλοκεντρικό μοντέλο διδασκαλίας δε χρησιμο ποιείται εκτεταμένα. Αντίθετα στόχος είναι η ανακα λυπτική μάθηση, η συνεργατική μάθηση και η ενερ γοποίηση του μαθητή να αναλάβει την ευθύνη της πορείας του. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/44

Ι ΣΑ

ή ΑΝ Ι ΣΑ;

ΕΥΘΕΙΑ

ή ΚΑΜΠΥΛΗ;

ΤΡΕΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΨΕΥΔΑΙΣθΗΣΕΩΝ Μαρία Ρουσούλη, Γιώργος Καραφέ ρης Ψευδαισθήσεις Παρατηρήστε την παρακάτω εικόνα. Ποιος από τους 3 ανθρώπους προβάλλεται με το μι κρότερο ύψος; Προφανώς ο Γ φαίνεται να έχει το μικρότερο ύψος. Ας επιχειρήσουμε όμως να κάνουμε μία επιβεβαίωση. Προσπα θήστε με έναν διαβήτη να συγκρίνετε τα μεγέθη των εικόνων των αν θρώπων Α και Γ. Θα διαπιστώσετε ότι η οπτική σας εντύπωση σας απατά! ! ! Οι δύο εικόνες έχουν το ίδιο ύψος. Αυτή ακριβώς η ψευδής αίσθηση που έχουμε για κάποια φαινό μενα, για κάποιες εικόνες, ονομάζεται στο χώρο της ψυχολογίας ψευ δαίσθηση και έχει μελετηθεί σε μεγάλο βαθμό από τους ερευνητές. Στην παρούσα εργασία μας θα επιχειρήσουμε να οργανώσουμε τις διάφορες ψευδαiσθήσεις στο χώρο των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας. Πως δημιουργούνται όμως οι ψευδαισθήσεις; Οι οπτικές ψευδαισθήσεις δημιουργούνται από τον τρόπο που εγκέφαλος ερμηνεύει τα ερε θίσματα που προσλαμβάνονται από τις αισθήσεις μας και μεταφέρονται μέσω του νευρικού μας συστήματος. Ο εγκέφαλός μας προσπαθεί να βρει τον ευκολότερο τρόπο για να κατανοήσει αυτά που βλέπουμε. Με μια γρήγορη ματιά προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε την κάθε εικόνα. Όμως μετά από μερικά δευτερόλεπτα μπορεί να συνειδητοποιήσουμε ότι κάποιες λεπτομέρειες της εικόνας που δεν προσέξαμε αρχικά, διαφοροποιούν την αρχική ερμηνεία που δώσαμε. Γεωμετρικές ψευδαισθήσεις ή γεωμετρικές πλάνες Οι γεωμετρικές-οπτικές ψευδαισθήσεις, χαρακτηρίζονται ως οπτικές οφθαλμαπάτες, όπου οι γεωμετρικές ιδιότητες τις οποίες αντiλαμβάνεται το μάτι, διαφέρουν από τις πραγματικές ιδιότητες των αντικειμένων στο οπτικό πεδίο. Προκύπτουν από απλά συνήθως σχήματα, χωρίς πολλές γραμμές, στα οποία όμως αντιλαμβανόμαστε εσφαλμένα κάποιες απόψεις είτε της μορφής τους είτε του μεγέθους τους. Τις πρώτες πλάνες ανακάλυψαν ο Fick το 1 85 1 , ο Oppel το 1 855 και οι Zδllner και Poggendorf το 1 860. Η αλήθεια βέβαια είναι ότι δεν είναι όλοι οι άνθρωποι το ίδιο ευαίσθητοι στις γεωμετρικές πλάνες. Μία πλάνη που κάποιος την αντιλαμβάνεται πολύ έντονα μπορεί κάποιος άλλος να μη τη βλέπει καθόλου [ 1 ] .' Ένα μέρος της λίστας των γεωμετρικών οπτικών ψευδαισθήσεων, περιλαμβάνει ψευδαι σθήσεις μήκους, μεγέθους, θέση(;, παραλληλότητας ή ευθύτητας γραμμών, προσανατολισμού και απατηλών περιγραμμάτων. Εδώ θα ασχοληθούμε μόνο με ψευδαισθήσεις μήκους , μεγέθους και παραλληλότητας ή ευθύτητας γραμμών. Α) Ψευδαισθήσεις μήκους i) Fick illusion ( 1 85 1 ) (Εικόνα 1 ) Όλα τα ευθύγραμμα τμήματα της εικόνας 1 είναι ίσα μεταξύ τους, αλλά έχουμε την ψευδαίσθηση ότι τα κατακόρυφα φαίνονται μεγαλύτερα από τα οριζόντια. Επίσης κάθε τμήμα που τέμνεται φαίνεται

σχ.cι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/45

οχ.β

EudMι ι

(Fick)

ΟΧ· Υ

ΙΣΑ ή ΑΝΙΣΑ; ΕΥΘ ΕΙΑ ή ΚΑΜΠΥΛΗ ;

μικρότερο, γι' αυτό στο Τ το οριζόντιο τμήμα φαίνεται μικρότερο (σχ. α,β) Στην ψευδαίσθηση του Kίinnapas (σχ.γ) το οριζόντιο τμήμα που δεν διακόπτεται φαίνεται μεγαλύτερο [ 1 ] [2] . Το ίδιο συμβαίνει στο ζεύγος ύψος-πλάτος όπου η υπερεκτιμάται το ύψος. Ένας άνθρωπος ξαπλωμένος φαίνεται πιο κοντός απ' ό,τι όρθιος.

Εαcόνα. 2 StLouis Gateway .Arch

Στην ψευδαίσθηση του Fick σηρίζεται η μεγαλύτερη πραγματική οφθαλμαπάτη στον κόσμο. Η St. Louis Gateway Arch (Εικόνες 2, 3) Η αψίδα είναι τόσο ψηλή όσο και πλατιά.

ii) Mίίller-Lyer illusion ( 1 889) (Εικόνα 4)

Στην εικόνα 4 όλα τα ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα και έτσι τα αντιλαμβάνεται ο αμφιβληστροειδής. Ο εγκέφαλος όμως of----o τα αναλύει σαν ζήτημα βάθους, με αποτέλεσμα το 1 ° και 3 ° τμήμα να φαίνονται πιο κοντά, ε\ιώ το 2° και 4° πιο μακριά. ( ) Συνεπώς ο αμφιβληστροειδής αναγνωρίζει την παρουσία τεσσάρων ίσων τμημάτων, ενώ ο εγκέφαλος υποστηρίζει πως )>-----<< το 2° και 4° είναι μακρύτερα. Q εγκέφαλος συνήθως κερδίζει Εucάνα 4 (Moller-Lyer) σε τέτοιες διαφορές κι έτσι αντιλαμβανόμαστε τα τμήματα 2° και 4° , μεγαλύτερα [1] [2] . iii) Day illusion (1 972) (Εικόνες 5 και 6) Αυτή είναι η ψευδαίσθηση της ημιτονοειδσ6ς καμπύλης του Day. Όλα τα κατακόρυφα τμήματα είναι μεταξύ τους ίσα, αλλά εκείνα που βρίσκονται στις καμπύλης της κορυφές φαίνονται πολύ μεγαλύτερα! [ 1 ]

Ειιcόνα 6

iv) Sander illusion ( 1 926) (Εικόνα 7)

Εδώ η διαγώνιος ΑΖ φαίνεται μεγαλύτερη από την ΖΓ, ενώ είναι ίσες. Μια πιθανή εξήγηση είναι πως τα παραλληλόγραμμα ΑΗΖΒ και ΗΓΔΖ έχουν διαφορετικό βάθος, δηλαδή ΒΖ είναι μεγαλύτερη από την ΖΔ με αποτέλεσμα να «παρασύρεται>) και το μήκος • των διαγωνίων [ 1 ] . z Εucόνα 7 (Saodeτ) Β) Ψ ευδ αι σθήσε ις μεγέθ ους Ο Ibn Al Hazan γνωστός και ως lbn al-Haytham (965 - 1 039) ήταν διάσημος Άραβας γιατρός Αιγυπτιακής καταγωγής και διατύπωσε γύρω στο 1 000 μ. Χ. τη θεωρία της σύγκρισης των μεγεθών. Ισχυρίζεται, πως η αντίληψή που σχηματίζουμε για το μέγεθος ενός συγκεκριμένου αντικειμένου επηρεάζεται από την αντίληψη που έχουμε σχηματίσει για το μέγεθος των αντικειμένων που το περιβάλλουν [ 1 ].

.;�"·";Ε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/46

ΙΣΑ ή ΑΝΙΣΑ; ΕΥΘΕΙΑ ή ΚΑΜΠΥΛΗ; i) Ebbinghaus illusion or Titchener circles ( 1 90 1 ) (Εικόνα 8)

------

Στην εικόνα 8, οι δύο εσωτερικοί κύκλοι είναι ίσοι, αλλά ο κύκλος αριστερά φαίνεται μικρότερος, διότι σύμφωνα με τον Ibn Al Hazan το μέγεθός του • • •8·8•• 8 8 επηρεα' ζεται απο' το μεγε ' θ ος των μεγαλυτερων ' κύκλων που τον περιβάλλουν. Ακριβώς το αντίθετο συμβαίνει με τον εσωτερικό κύκλο δεξιά που ΕuάΜι 8 {'J"'tcbr;rιrr arcles) περιβάλλεται από μικρότερους κύκλους γι ' αυτό φαίνεται μεγαλύτερος. Κατά την άποψη όμως του Jacques Ninio [ 1 ] εδώ έχουμε φαινόμενο κανονικοποίησης δηλ. την τάση να μεγεθύνουμε τα μικρά και σμικρύνουμε τα μεγάλα. Έτσι το φαινόμενο σμίκρυνσης στ ' αριστερά επηρεάζει ομοιόμορφα τόσο τους εξωτερικούς όσο και τον εσωτερικό κύκλο ενώ το αντίστροφο συμβαίνει με τους κύκλους στα δεξιά. Αυτό που επηρεάζει την πλάνη είναι η απόσταση των περιβαλλόντων κύκλων από τον κεντρικό, αν οι γύρω κύκλοι είναι κοντά στον κεντρικό τότε ο κεντρικός φαίνεται μεγαλύτερος, ενώ όταν είναι μακριά φαίνεται μικρότερος [2]. ii) Delboeufίllusion ( 1 887- 1 888) (Εικόνα 9)

•. • • • ••

Εικόνα 9 (DeJboeυf) Ο εσωτερικός κύκλος αριστερά φαίνεται μικρότερος από τον εσωτερικό δεξιά, εξαιτίας της απόστασης του κύκλου που τους περιβάλλει. · Ποια μερίδα είναι μεγαλύτερη; Όσο μεγαλύτερο είναι το πιάτο τόσο περισσότερο φαγητό σερβιριζόμαστε . . . και παίρνουμε «κιλάκια»! [3] iii) Jastrow illusion ( 1 889) (Εικόνα 1 0)

Εucόνα 10 (�asιrow)

Τα δύο σχήματα είναι ίσα, επειδή όμως η μακρύτερη πλευρά του ενός είναι δίπλα στην κοντύτερη του άλλου, ξεγελιέται ο εγκέφαλος και αντιλαμβάνεται το επάνω σχήμα μεγαλύτερο από το κάτω [4] .

Γ) Ψευδα ισθή σε ις π α ρ αλλη λότη τ ας ή ευ θύτη τ α ς γ ρα μ μών Στις παρακάτω πλάνες το καμπύλωμα συμβαίνει στα σημεία επαφής και εκεί όπου οι ευθείες τέμνουν τις οικογένειες ευθειών/καμπύλων. i) Hering illusion ( 1 86 1 ) (Εικόνα 1 1 ) Στην εικόνα 1 1 , οι κατακόρυφες γραμμές είναι παράλληλες ενώ φαίνονται να καμπυλώνουν. Η πλάνη αποδόθηκε από τον Hering στην υπερεκτίμηση της γωνίας στα σημεία που οι παράλληλες τέμνουν την δέσμη των ευθειών. Έχει ενδιαφέρον πως η πλάνη στη ψευδαίσθηση Hering, εμφανίζεται στις παράλληλες και όχι στην οικογένεια των ευθειών, δίνοντας την εντύπωση πως υπάρχει μία ιεραρχία [ 1 ] [2]. ii) Ehrenstein illusion ( 1 94 1 ) (Εικόνες 12 και 1 3) Εδώ πρόκειται για τετράγωνα, τρίγωνο και κύκλο, μέσα σε κύκλους, των οποίων οι πλευρές φαίνονται καμπυλωμένες λόγω της ψευδαίσθησης. Στα τετράγωνα και στο τρίγωνο το καμπύλωμα είναι έντονο στα σημεία επαφής [2] [5]. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/47

ΙΣΑ ή ΑΝ ΙΣΑ ; ΕΥΘ Ε ΙΑ ή ΚΑΜΠΥΛΗ ;

Euc6νcι 12

(Einasteιo)

____,

bO Εαcάνα 13

iii) Cafe wall illusion ( 1 898) (Εικόνα 1 4) Ονομάστηκε έτσι, γιατί αρχικά παρατηρήθηκε στα τούβλα του τοίχου του Cafe Wall στο St Michael's Hill στο Bristol [6] . Εδώ η εναλλαγή άσπρου -μαύρου χρώματος στα τετράγωνα, δημιουργεί την ψευδαίσθηση πως οι οριζόντιες γραμμές είναι καμπυλωμένες, ενώ είναι ευθείες παράλληλες. Αρχικά αναφέρθηκε σαν Kindergarten illusion (ψευδαίσθηση του νηπιαγωγείου) το 1 898 και ανακαλύφθηκε εκ νέου το 1 973 από τον Richard Gregory. Στην εικόνα 1 5, ο καθηγητής Richard Gregory επισκέπτεται το Cafe Wall, τον Φεβρουάριο του 20 1 0.

Εικόνα 14 Cafc wall illusion

Επίλογος Οι περισσότεροι έχουμε χρησιμοποιήσει την έκφραση : «δεν το πιστεύω αν δεν το δω με τα ίδια μου τα μάτιω) . . . Αλήθεια τι βλέπουν τα μάτια μας; Ο θαυμαστός κόσμος των ψευδαισθήσεων είναι aπέραντος. Ελπίζουμε ότι θα μας δοθεί η ευκαιρία να ασχοληθούμε και με άλλες περιπτώσεις γεωμετρικών ψευδαισθήσεων, σε μελλοντική εργασία. [1] [2] [3 ] [ 4] [5 ] [6 ]

JacquesNίnio (2000). Η επιστήμη των ψευδαισθήσεων. Κάτοπτρο <<Γνωστές και άγνωστες Γεωμετρικές πλάνες μέσα από το λογισμικό του GeoGebra» Μ. Ρουσούλη, Γ. Καραφέρης, Π. Θεοδώρου, Πρακτικά 32συ Συνεδρίου Μαθηματικής παιδείας σελ. 983 Bach Michael. DelboeufIllusίon. Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://www.michaelbachΔe/ot/cog Delboeuf/index.html (30/8/20 1 5). Ζογάκης Γιάννης ( 1 6 - 3 - 201 2). Γεωμετρικές ψευδαισθήσεις. http://users.sch.gr/izogakίs/?p=3497 Wo1fram MathWorld. Ehrensteίn Illusίon. Διαθέσιμο στην ιστοσελίδα http://mathworld. wo1fram.com/Ehrensteinlllusion.html (27/8/20 1 5). https://en.wikipedia.org/wίki/Cafe wall illusion

Β ι βλιογρα

φία

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/48

ΔΙ�ΚΙ:ΔιUΤΙ ΚΑ ΜΑθΗΜΑΤΙΚΛ =======

Συντακτική επιτροπή .

Ο Γιώργος συνηθίζει να χαλαρώνει από τα μαθήματά του δοκιμάζοντας τις ικανότητές του στο σημάδι του στόχου που έχει κρεμάσει στον τοίχο του δωματίου του. Διαθέτει 4 βελάκια τα οποία ρίχνει το ένα μετά το άλλο και στη συνέχεια αθροίζει τα αποτελέσματα. Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορεί να καταγράψει σε έναν γύρο;

Τα οικήματα στην οδό Τρεχαγυρευόπουλου είναι αριθμημένα από 1 μέχρι και 1 50. Ο Λευτέρης έχει ιδιαίτερη αδυναμία στον αριθμό 7 και από όπου περνά μετρά πόσα 7άρια είναι συνολικά γραμμένα στα οικήματα των ΟΔΟΣ διαφόρων οδών. Πόσα 7άρια θα μετρήσει στην οδό ΤΡΕΧΑΓΥΡΕΥΟ ΠΟΥΛΟΥ Τρεχαγυρευόπουλου;

3 ) Παρατηρήστε τις παρακάτω σειρές με τα αθροίσματα. 1η σειρά: 1 2η σειρά: 3+5 3η σειρά: 7+9+ 1 1 4η σειρά: 1 3+ 1 5+ 1 7+ 1 9 Φανταστείτε ότι συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο μέχρι και τη δέκατη σειρά. Πως μπορούμε να υπολογίσουμε το ακριβές άθροισμα των αριθμών της σειράς αυτής χωρίς να βρούμε τους αριθμούς που περιέχει; 4)

Ο καθηγητής των Μαθηματικών σε ένα Γυμνάσιο

ζήτησε από τους μαθιητές να υπολογίσουν 1 το γινόμενο ( 1 - _!_ ) · (1 -.!. ) · ( 1 -_!_ ) · · · · · ·( 1 -- ) . Μετά από περίπου ένα λεπτό μία μαθήτρια, 2 3 4 40 χωρίς να χρησιμοποιήσει το τετράδιό της, σήκωσε δειλά το χέρι τη ς και απάντησε «25 χιλιοστά κύριε». Πως το κατάφερε αυτό;

5) Πόσα διαφορετικά ορθογώνια υπάρχουν στο παρακάτω σχήμα;

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 99 τ.3/4 9

ΜΔl .

ΜΔ7.

Μόνο μία γιατί μετά δεν θα υπάρχουν 90 πορτοκάλια.

1 2345432 1 1 23456543 2 1 . . .

ΜΔ2.

Έστω χ ο αριθμός που σκέφτηκες. Το εμβαδό του τετραγώνου είναι χ2 και η περίμετρος 4χ Αν τα προσθέσουμε έχουμε χ2 + 4χ και στη

ΜΔ8.

συνεχεια

χ2 + 4χ χ

χ(χ + 4) χ +4 (1) χ =

Η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές 3 και 4 είναι

α= .J32 + 4 2 J25 5 , άρα η περίμετρός του 3+4+5=12. Στην ( 1 ) θα προσθέσουμε το 1 2 και έχουμε χ+4+ 1 2=χ+ 1 6. Τώρα αφαιρούμε το χ , το αποτέλεσμα είναι 1 6 και Jl6 4 . =

ΜΔ3. 1 ,25 το γάλα και 0,25 η σοκοφρέτα ΜΔ4. 5=1 ΜΔ5. Γιατί οι κινέζοι είναι περισσότεροι

ΜΔ6.

ΜΔ9. 1 1 0 (40: 0,5=80 80+30= 1 1 0) ΜΔ10. α) 54-50=4 , 42 1 6 , 54+4=58, 58Χ50=2900, 2900+ 1 6=29 1 6 Άρα 542 =29 1 6 β) 40-38=2 , 22 = 4 , 38-2=36, 36Χ40= 1 440, 1 440+4=1 444 , άρα 3 82 = 1 444 γ) 75-70=5, 52 25 , 75+5=80, 70Χ80=5600, 5600+25=5625 , άρα 752 =5625. Το ίδιο αν αφαιρέσουμε το 75 από το 80. =

ΜΔ1 1 .

Αν είσαι 1 4 χρονών τότε 1 3 837Χ 1 4=1 937 1 8 και 1 93 7 1 8Χ73= 1 4 1 4 1 4 1 4, γιατί 1 3837Χ73= 1 0 1 0 1 0 1

Από τον Μαθηματικό Γιάννη Εξηνταρίδη λάβαμε το παρακάτω μήνυμα και τον ευχαριστούμε. Αγαπητό περιοδικό Διαβάζοντας στο τελευταίο τεύχος (98) του Ευκλείδη Α ' το άρθρο για τους αριθμούς του Mersenne, θα ήθελα να σας αναφέρω (αν δεν το έχετε διαβάσει ήδη) ότι πρόσφατα (πριν λίγες μέρες) ανακαλύφθηκε ο 49ος αριθμός του Mersenne! Είναι ο 274·207·281- 1 έχει με 22.338.6 1 8 ψηφία. Περισσότερες πληροφορίες θα βρείτε στην ιστοσελίδα του project Great Intemet Mersenne Prime Search (www.mersenne.org). Πιστεύω ότι θα ήταν καλό να αναφερθεί (σαν συμπλήρωμα ίσως ?) σε ένα από τα επόμενα τεύχη . του περιοδικού. Εξάλλου πρόκειται για μια όμορφη σύμπτωση. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 99 τ.3/50