Ευκλειδης α 100 by demi de

Τεύχος 100 Απρίλιος- ΜαϊΌς- Ιούνιος 2016 Τιμή Τεύχους 3,00 Εύρω ΓΙΕιι:»ΙΕ>C.

Γράμμα της Συντακτικής επιτροπή

Μαθηματικά στον Κόσμο

Τα μαθηματικά σε καταστάσεις-προβλήματα της καθημερινής ζωής Επιμέλεια: Σπύρος Φερεντίνος

./ •

. ... ... .. .

... ........ . .... . ...........

Τάξη

Β' Τάξη

.... 4

Ενδεικτικά Διαγωνίσματα και θέματα για την Β· Γυμνασίου

Επιμ. υλικού: Αρδaβάνη Π, Δοργιάκη. Ι, Πaλaιογιaννίδης Δ.

ΛΥΣΕΙΣ Ασκήσεων για προχωρημένους τεύχους 99

Συντακτική Επιτροπή . . . . . . . .. . . . .. . .. . .. . .. . .. . .... . .. . .... . .... . ..

Γ'

r·

Τάξη

Συντακτική Επιτροπή . .. ..... ......... ... ..... ... ... ................

ΑΝΑΛΠΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στα μαθηματικά σε καταστάσεις-προβλήματα της καθημερινής ζωής

Επιμέλεια υλικού: Νάνσυ Κυριaκοπούλου, Δώρα Παπαδάκη

•

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Επιμέλεια: Σπύρος Φερεντίνος

Ενδεικτικά Διαγωνίσματα και θέματα για την Α· Γυμνασίου •

Λύσεις θεμάτων Γ· τάξης για προχωρημένους τεύχους 99,

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Α'

e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

Τάξη

Ενδεικτικά Διαγωνίσματα και θέματα για την Γ· Γυμνασίου

................... . . ................

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,

................. ....... ... ........ 38

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών

Διάφορα OXI Αδιάφορα

Μαθαίνω από τα λάθη μου Επιμέλεια: Τζίφος Νίκος

......... . .... .. .... ............................ 42

Ας Παίξουμε Μπάλα ...Τριγωνομετρικά

Ζaφειρόπουλος Χρήστος ... . .. . . .... . . . .... . . . . . . .... . . .... . . . . .. . ... . . .

Οι τοίχοι γράφουν τη δική τους Ιστορία Παρουσίαση: Στάμη Τσικοπούλου

Επιμέλεια υλικού: Τζίφος Ν., Λαγός Γ., Κωνσταντινίδης Α. ..

... ... ....... .................. 47

Διασκεδαστικά Μαθηματικά,

Μενδωνίδης Γιώργος . .. ..... ... ......... .. . . . .. . .. . ... ..... .. ......

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 I

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34, 106 79 ΑθΗΝΑ

Τηλ.: 210 3617784

210 3616532 Fax: 210 3641025 Εκ δό της : Νικόλαος Αλεξανδρής Διευθυντής: •

Ιωάννης Τυρλής

Επιμέλεια Έκδοσης: Κ ριακοπο ο ύλ υ Νάνου υ

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105 7998 •

Πρόεδρος: Κέίaογλου Στέφανος

Κ Αντιπρόεδρος: Κυράνας Παναγιώτης

Β' Αντιπρόεδρος: Λυμπερόπουλος Γεώργιος ΜεΛη: Αγγελή Άννα Αλαφάκη Σταυρούλα Αλεξανδράτου Άννα Αντωνοπούλου Κατιάννα Αποστόλου Αγγελική Αρδαβάνη Πόπη

Συντακτική Επιτροπή

Γεωργίου Σπύρος Δογιάκη Ιωάννα Θεοδωρόπουλος Θρασύβουλος Κιούφτη Ροδούλα Κυράνας Παναγιώτης Κυριακοπούλου Νάνσυ Κωνσταντινίδης Αριστείδης Λαγός Γεώργιος Λυμπερόπουλος Γεώργιος Μενδωνίδης Γεώργιος Μορφοπούλου Μαρία Μπακάλης Αναστάσιος Παλαιογιαννίδης Δημήτριος Σάλαρης Κωνσταντίνος

Σίσκου Μαρία Τζίφος Νίκος Τσικοπούλου Στάμη Φερεντίνος Σπυρίδων Χριστοδούλου Ντόρα Χρυσοβέργης Μιχαήλ Αποκεντρωμένοι συνεργάτες Αναστάσιος Πατρώνης (Πάτρα) Γιάννης Θωμι:iίδης (Θεσ/νίκη) Γιώργος Ρίζος (Κέρκυρα) Γιώργος Τσαπακίδης (Αγρίνιο) Ειρήνη Περισυνάκη (Κρήτη) Γιάννης Ράλλης (Χίος)

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού

•

ΙΔΙΟΚ1ΗΣΙΑ της

ΕΜΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ1ΙΚΗΣ ΗΑΙΡΕΙΑΣ Στοιχειοθεσία· Σελιδοποίηση:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΠΑΙΡΕΙΑ

Ε κτ ύπωση: ROTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ & ΣΙΑ ΕΕ). τηλ.: 210 6623778 358 Υπεύθυνος τυπογραφείου: Δ. Παπαδόπουλος •

•

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να

στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλειοη Α'". Τα

χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση

Τιμή τεύχους: ευρώ 3,00 Ετήσια συνδρομή (10,00+2,00 Ταχυδρομικά=ευρώ 12,00). Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00 Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:

1. Με απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044

2. Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικής συναλλαγής με την

τράπεζα EUROBANK

3. Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Γράμμα της Συντακτικής ε-ιrιτρο-ιrής

Αγαπητοί αναγνώστες. Καθώς βρισκόμαστε στο τέλος της φετινής σχολικής χρονιάς και καθώς οι απολυτή ριες και προαγωγικές εξετάσεις βρίσκονται προ των πυλών, κρίναμε σκόπιμο να παραθέσουμε κατάλληλα επιλεγμένο υλικό διαγωνισμάτων και λυμένων ασκήσεων στο μεγαλύτερο μέρος του τεύχους. Στο 1 00° τεύχος του περιοδικού μας έχουμε τη χαρά να φιλοξενού με υλικό από παραρτ ή ματα της ΕΜΕ που βρίσκονται σε πανέμορφα νηmά της πατρίδας μας. Το υλικό αυτό i]τ αν η βάση πάνω στην οποία η Συντακτική επιτροπi] εργάστηκε συνθετικά ώστε να έχετε στα χέρια σας ένα ομοιογενές υλικό, χρηστικό και καλαίσθητο. Τα προτεινόμενα θέματα θα διαπιστώσετε ότι καλύπτουν μία μεγάλη κλίμακα απαιτή σεων από σχετικά απλές ασκήσεις έως αρκετά απαιτητικά προβλi] ματα. Ας γνωρίσουμε όμως τους ανθρώπους που μας έστεtλ αν το υλικό. Ομάδα εργασίας από τα Δωδεκάνησα: Καραγιάννη ς I. (Σχό λικός Σύμβουλος Μαθηματικών Δωδεκανi]σου) και Αρνικίου Δ., Γαμβρέ λλης Α., Καραβόλιας Μ. , Καρασμάνογλ ου Α., Μαλλιάκας Κ., Παπανικολάου Χ., Σείτης Β., Τόλη Μ., Χατζηαλεξίου Α. (Μαθηματικοί) Ομάδα εργασίας από την Λέσβο: Διονύσης Παύλου, Κουτσκούδης Παναγιώτης και Ντιγκράν Ματοm άν (Μαθηματικοί) Ομάδα εργασίας από την από την Χίο: Ράλλης Γιάννης (Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών) και οι Αντά ράκ:ης Λευτέρης, Φακούδης Κώστας, Μονιούκας Φώτης και Κρουσουλούδης.Νίκ ος . (Μαθηματικοί)

Ομάδα εργασίας από την από την Λευκάδα: Γαζη Α.Κ. , Ευσταθόπουλος Χ. , Κονιδάρης Ν. και Τζίφας Ν. (Μαθηματικοί) Επιπλέον εγκαινιάζουμε μία νέα σειρά άρθ ρων με τίτλο: «Τα μαθηματικά σε καταστάσεις προβλi] ματα της καθημερινής ζωi]ς» . Τη σειρά αυτή θα επιμελείται ο Σχολικός Σύμβουλος Σπύ ρος Φερεντίνος και έχει στόχο την ανάπτυξη θε μάτων που σχετίζονται με Μαθηματικές ικανότητες που αξιοποιούνται σε πραγματικές καταστάσεις στον πραγματικό κόσμο. Για την επόμενη σχολική χρονιά σχεδιάζουμε να μεγαλώσει ακόμη περισσότερο η ποικ:tλία τ-ων θεμάτων του περιοδικού. Παρουσιάσεις βιβλίων και κινηματογραφικών ταινιών που σχετίζονται με τα Μαθηματικά, ειδi]σεις που έχουν γενικό Μαθηματικό ενδιαφέρον, συνεντεύξεις μαθητών σχετικά με τη γνώμη και την εμπειρία τους με τα Μαθηματικά είναι μερικές από τις ιδέες που θα θέλαμε να υλοποιή σουμε και με τη δική σας βοi]θεια. Θα θέλαμε να σας υπενθυμίσουμε ότι είμαστε ανοικτοί σε συνεργασίες, σε συμμετοχή , σε επικοινωνία, σε παρατηρi] σεις, σε προτάσεις βελτίωσης, σε νέες ιδέες. Καλη δύναμη και καλη επιτυχία στις εξετάσεις. Για την Συντακτική επιτροπi] : Ο πρόεδρος Στέφανος Κείσογλου Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/1

Τα μαθηματικά σε καταστάσεις -προβλήματα της καθημερινής ζωής. ====-====

Εmμέλεια : Σπύρος Φερεντiνος

Με την θεματική ενότητα αυτή θα προσπαθή σουμε να δούμε τα Μαθηματικά σαν ένα μέσον οργάν ωσης, π αράστασης και τελικά κατανόησης του κόσμου της καθημερινής μας εμπειρίας. Οι βασικοί στόχοι των προβλημάτων που θα παρουσιάζονται στη σειρά αυτή είναι να μπορεί ο μαθητής: να προσδιορίζει και να κατανοεί το ρόλο των Μαθηματικών στον κόσμο, να διατυπώνει τεκμηριωμένες κρίσεις και να χρησιμοποιεί και να ασχολε ίται με τα Μαθηματικά μ ε τρόπο τέτοιο, ώστε να αντιμετωπίζει τις ανάγκες της ζωής του ως σκεπτόμενος, δημιουργικός, και ενεργός πολίτης. Οι ικανότητες αυτές περιγράφονται με τον όρο μαθηματικός αλφαβητισμός που σημαίνει τη δυνατότητα του μ αθητή να χρησιμ οποιεί τα μαθηματικά σε πρακτικές εφαρμογές, δηλαδή στην επίλυση προβλημάτων που είναι δυνατό να παρουσιασθούν στην καθημερινή - πραγματική ζωή . Θα εγκαινιάσουμε τη σειρά αυτή με δραστηριότητες που απαιτούν ερμηνεία διαγραμμάτων τα οποία διαγράμματα προέρχονται από τη μελέτη πραγματικών καταστάσεων. Πολλές φορές ακούμε την έκφραση: «Μία εικόνα ισοδυναμεί με 1000 λέξεις» . Η έκφραση αυτή για το χώρο των Μαθηματικών έχει απόλυτη εφαρμογή ιδιαίτερα δε στην περίπτωση των Τα διαγραμμάτων. παρακάτω διαγράμματα στη διεύθυνση: •

•

http://eyzin.minedu.goν.gr/Pages/Parents/Parents ArticlesSV.aspx?ArticleiD=68#. Vt JhPmLO

�

μας δίνουν μ ία σειρά από πληροφορίες που για να τις περιγράψουμε χρειαζόμαστε πράγματι Ι 000 λέξεις.

, \

\ \

•

irt � 1/ ,, \ ι.,..��.,ι \ '�

I�

!ιΥ \

: \ I .

'\.I I\I

Αλ ήθεια τι συμπεράσματα μπορείτε να βγάλετε από τα δύο αυτά διαyράμματα. Να σημειωθεί ότι ρυθμός αύξησης ενός μεγέθους είναι η ταχύτητα με την οποία αυξάνεται το μέyεθος αυτό. Ας έρθουμε όμως στην περίπτωση ενός πολύ ενδιαφέροντος θέματος με διαyράμματα το οποίο και θα αναλύσουμε. Το θέμα που ακολουθεί δόθηκε στους μαθητές στα πλαίσια του Πρ ογρ άμματος για την αξιολόγηση των μαθητών PISA (Programme for Intemational Student Assessment) 2000, το οποίο στοχεύει στην ανίχνευση του μαθημιπucού αλφαβητι σμού σε μ αθητές ηλικίας 1 5 ετών. Στόχος του θέματος αυτού είναι η ιαπανόηση και ερμηνεία διαγραμμάτων μ έσω των οποίων εκφράζεται η συμμ.εταβολ ή (σχέση, συσχέτιση) δύο μεγεθών ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α' 100 τ.412

-----

Τα μαθηματικά σε καταστάσεις -προβλήματα της καθημερινής ζωής

----

(χρόνος, ύψος νερού). Η σχέση δύο μεγεθών μπορεί να εκφραστεί μέσων διαφόρων αναπαραστάσεων, όπως διάγραμμα (γραφική παράσταση, γράφημα), συνάρτηση, λεκτική περιγραφή , πίνακας, γεωμετρικά σχή ματα κλπ. Το συγκεκριμένο πρόβλημα επικεντρώνεται στην αναπαράσταση της σχέσης δύο μεγεθών μέσω διαγραμμάτων και καλείται ο μαθητή ς να επιλέξει ποιο από τα πέντε προτεινόμενα διαγράμματα είναι αυτό που εκφράζει τη συμεταβολή των μεγεθών που εμφανίζονται στην εκφώνηση του προβλή ματος, δηλαδή του ύψος του νερού στο ντεπόζιτο όταν μεταβάλλε ται ο χρόνος. Η δυνατότητα ερμηνείας διαγραμμάτων συνδέεται με πλήθος φαινομένων της καθημερινή ς ζωής, όπως διαγράμματα μεταβολή ς της θερμοκρασίας ασθενών σε νοσοκομεία, δημοσκοπήσεις, χρηματιστή ρια, μετεωρολογία κλπ. Επομένως είναι πολύ σημαντικό για τον μαθητή να αποκτή σει την ικανότητα της άντλησης πληροφοριών μέσω της ερμηνείας διαγραμμάτων.

ΝΤΕΠΟΖΙΤΟ ΝΕΡΟΥ

Ένα ντεπόζιτο νερού έχει τη μορφή και τις διαστάσεις που φαίνονται στο διπλανό σχή μα. Αρχικά το ντεπόζιτο είναι άδειο. Μετά το γεμίζουμε νερό με ρυθμό ένα λίτρο ανά δευτερόλεπτο. Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις δείχν ει πώς το ύψος μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου;

Υψοc;

�ψος

ι-ιοm -ι

Χρόνος Ύψοc;

Ύψος

Συνέχεια στη σελίδα 3 7 . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/3

Ενδεικτικά Διαyωνίσματα και θέματα yια την Α' ruμνασίοu Επιμέλεια υλικού : Νάνσυ Κυριακοπούλου, Δώρα Παπαδάκη

=======

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Θεωρία

1ο

ΘΕΜΑ 1° Α) ί) Πότε δύο ποσά λ έγονται ανάλογα ; ii) Ποια σχέση συνδέει δυο ανάλογα ποσά χ, y ; Β) ί) Πότε δυο ποσά λέγονται αντιστρόφω ς ανάλογα; ii) Ποια σχέση συνδέει δυο αντιστρόφω ς ανάλογα ποσά χ, y ; Γ) Να χαρακτηρ ίσετε με Σωστό η με Λάθο ς κάθε μ ία από τι ςπαρακάτω προτάσει ς: ί) Αν χ, y ε ίναι δύο ανάλογα ποσά τότε τα σημε ία που παριστάνουν τ ά ζεύγη (χ, y) βρ ίσκον ται σε μ ία ευθε ία γραμμή. ii) Αν χ, y ε ίναι δύο αντιστρόφω ς ανάλογα ποσά τότε τα σημε ία που παριστάνουν τα ζεύγη (x,y) βρ ίσκονται άλλοτε σε μ ία ευθε ία γραμμή και άλλοτε σε μ ία καμ πύλη. ΘΕΜΑ 2° Α) Τι ονομάζουμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτ ίνα ρ ; Β) Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά: i) Δύο γων ίε ς που έχουν άθροισμα 180° λέγονται . . . . . . . . . . . . . . . . . ,' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γων ίε ς. ii) Δύο γων ίε ς που έχουν άθροισμα 90° λέγονται . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γων ίε ς. ίίί) Δύο γων ίε ς λέγονται εφεξή ς όταν . . . . . . . . . Γ) Να χαρακτηρ ίσετε ω ς Σωστές ή Λανθασμένες καθεμιά από τι ς παρακάτω προτάσει ς: i) Απόσταση του σημε ίου Α από την ευθε ία ε ονομάζεται το μήκο ς του ευθύγραμμου τμήματο ς από το σημε ίο Α προ ςτην ευθε ία ε. ii) Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών λέγεται το μήκο ς οποιουδήποτε κάθετου ευθυγράμμου τμήματο ςπου έχει τα άκρα του στι ς δύ ο παράλληλε ς. ίίί) Από ένα σημε ίο Α έξω από μ ία ευθε ία ε, διέρχονται άπειρε ς ευθε ίε ςπαρ άλληλε ς στην ε. Ασκή σει ς 1) Η αρχική τιμή ενό ς ποδηλάτου ήταν 6 00 €. Έγινε αύξηση τη ς τιμή ς και η καινούρια τιμή διαμορφώθηκε στα66 0 €. α) Ποιο ε ίναι το ποσοστό % τη ς αύξηση ς επ ί τη ς αρχική ς τιμή ςτου ποδηλάτου; β) Μετά από λ ίγου ς μήνε ς έγινε νέα αύξηση κατά 5% επ ί τη ς νέα ς τιμή ς. Να υπολογ ίσετε την τιμή του πο δηλάτου μετά την καινούρια αύξηση. γ) Αν ε ίναι 6 93 € η τιμή μετά και την δεύτερη αύξηση να βρε ίτε ποιο ε ίναι το ποσοστό % τη ς αύξηση ς επ ί τη ς αρχική ςτιμή ςτου ποδηλάτου; 3 , , , "ι "ι τ "ι "ι , τη ς εκταση, ς του ειναι ι εργησιμου 2) Σε ενα χωραφι τα ο 4ι του καΙΙ.Λ. καΙΙ.Λ.ιεργησιμα.

τμήματο ς ε ίναι φυτεμένο με πατάτε ς. Το υπόλοιπο καλλιεργήσιμο τμήμα του χωραφιού ε ίναι φυτεμένο με καλαμπόκι. Το μέρο ς του χωραφιού που ε ίναι φυτεμένο με πατάτε ς ε ίναι 522 m2. Να υπολογισθούν : α) Πόση έκταση έχει ολόκληρο το χωράφι και πόση από αυτήν ε ίναι κ αλλιεργήσιμη. β) Πόση έκταση ε ίναι φυτεμένη με καλαμπόκι. γ) Ποιο ε ίναι το ποσοστό ολοκλήρου του χωραφιού που ε ίναι φυτε μένο με καλαμπόκι. 3) Στο παρακάτω σχήμα ε ίναι ε 1//ε2 . Αν γνωρ ίζετε ότι β = 70° .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/4

Ενδεικτικά ΔιαΎωνίσματα και θέματα Ύια την Α' Γυμνασίου

α) Να υπολογ ίσετε τη γων ία δ. β) Αν η γων ία y ε ίναι τριπλάσια από την α να υπολογ ίσετε ------

τι ςγων ίε ς α και

γ) Να υπολογ ίσετε τη γων ία

Δεύτερο ενδεικτικό διαγώνισμα για την Α' Γυμνασίου Θεωρία ΘΕΜΑ 1 ° Α) Τι ονομάζεται Μέγιστο ς Κοινό ςΔιαιρέτη ς (Μ.Κ.Δ.) δυο φυσικών αριθμών α και β; Β) Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολ λαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δυο φυσικών αριθμών α και β; Γ) Πότε ένα ς φυσικό ς αριθμό ςλέγεται πρώτο ς; Ποιοι ε ίναι οι μονοψ ήφιοι πρώτοι αριθμο ί; ΘΕΜΑ 2° Α) Πότε δυο γων ίε ς λέγονται εφεξή ς; Να σχεδιαστε ί κατάλληλο σχήμα . Β) Πότε δυο γων ίε ς λέγονται κατακορυφήν; Να σχεδιαστε ί κατάλληλο σχήμα. Να αντιστοιχηθ ούν οι αριθμο ί τη ς 1ης στήλη ς με τα γράμματα τη ς2ης στήλη ς: Γ) lη ΣΤΗΛΗ 1) οξεία γωνία 2) πλήρης γωνία 3) αμβλεία γωνία

4) μη κυρτή γωνία

2η ΣΤΗΛΗ α) μέτρο ίσο με 360°

β) μέτρο μεγαλύτερο 180° και μικρότερο 360°

γ) μέτρο μικρότερο των 90°

δ) μέτρο μεγαλύτερο 90° και μικρότερο 180°

Ασκήσεις 1) Ο Γιώργο ς αγόρασε ένα ποδήλατο αρχική ςτιμή ς2 40 € με έκπτωση 1 5%. α) Πόσα ευρώ ε ίναι η έκπτωση και ποια ε ίναι η τιμή του ποδηλάτου μετά την έκπτωση; β) Εάν για την αγορά του ποδηλάτου έδωσε τα

� των χρημάτων του, πόσα χρήματα ε ίχε μαζ ί 4

του; γ) Να βρεθε ί πόσα χρήματα του περ ίσσεψαν μετά την αγορά του ποδηλάτου. Τι ποσοστό των αρχικών χρημάτων αποτελούν τα χ ρήματα που του περ ίσσεψαν ; 2) Βρισκόμαστε σε μ ία έκταση με μαστιχόδενδρα στη Χίο. Πέντε εργάτριε ς για να καθαρ ίσουν 12 0 κ ιλά μαστ ίχι χρειάζονται 2 4 ημέρε ς. Να βρεθούν: Α α) Σε πόσε ς ημέρε ς θα καθαρ ίσουν οι 5 εργάτριε ς 1 50 κιλά μαστ ίχι ; β) Σε πόσε ς ημέρε ς θα καθαρ ίσουν οκτώ εργάτριε ς τα 12 0 κιλά μαστ ίχι ; 3) Στο διπλανό σχήμα και με βάση τι ς πληροφορ ίε ς που παρέχονται να υπολογ ίσετε όσο το δυνατόν περισσότερε ςγων ίε ς.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/S

------

Ενδεικτι�ά Διαγωνίσματα και θέματα για την Α' Γυμνασίου

Πρwrεινόμενα θέματα λλyεpριιc; Α fυμναcrtου. •

Προκειμένου να κατασκευάσει μία ξύλινη σκάλα ένας ξυλουργός χάραξε ένα σχέδιο πάνω σε τετραγωνισμένο χαρτί. Πρώτα σχεδίασε τα 4 κατακόρυφα καδρόνια πάνω στα .......,........1'"""' ' οποία θα στηρίξει τη σκάλα. Κάνοντας υπολογισμούς βρήκε ότι θα του χρειαστούν συνολικά 20 μέτρα καδρόνια. ... ....1........ I . α) Να υπολογίσετε το μήκος χ του μικρότερου καδρονιού. i . .......�. β) Να υπολογίσετε την πλευρά των τετραγώνων στο τετραγωνισμένο χαρτί ... αν γνωρίζετε ότι μήκος ενός εκατοστού στο χαρτί αντιστοιχεί σε πραγματικό μήκος ι μέτρο. ....... ....... Λύση: α) Αν χ το μικρότερο τότε ισχύει x+2x+3x+4x=2 0m άρα x=2m β) 2 cm 2) Δίνονται οι αριθμοί Α=(2+ !. ), Β=(3+ !. ), Γ=(l+ !. ) . 5 3 2 α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς Α2, Β2 και Γ2• β) Να υπολογίσετε το ένα εκατοστό του γινομένου Α2 χΒ2 χ Γ2• Λύση: α) Μετατροπή σε κλάσμα κάθε παρένθεση ςοπότε Α2= 2 5 , Β2 = 1 00 , Γ2= 36 ....... •

]

. . . . . . . .11 . .

β) Μετά τι ς aπλοποιήσει ςτο γινόμενο προκύπτει ίσο με 1. 3) Στο παρακάτω σχέδιο φαίνεται η κάτοψη της κύριας (αριστερά) και της βοηθητικής (δεξιά) τουαλέτας ενός σπιτιού. Ο σχεδιαστής έχει χρησιμοποιήσει τετραγωνισμένο χαρτί στο οποίο η πλευρά κάθε μικρού τετραγώνου έχει μήκος 2cm. Στην κύρια τουαλέτα η μεyαλύτερη πλευρά έχει μήκος 3m. α) Να βρείτε την κλίμακα με την οποία είναι κατασκευασμένη η κάτοψη. β) Να υπολογίσετε τις πραγματικές διαστάσεις της βοηθητικής τουαλέτας. ύ Λ ση: α) Τα 6 τετραγωνάκια τη ς κύρια ς τουαλέτα ς αντιστοιχούν σε 2x6 = 12cm στο σχέδιο άρα

η κλιμακα ειναι '

. 300 2 5 β) Η βοηθητική τουαλέτα έχει στο σχέδιο μήκο ς 2x 3=6 cm και πλάτο ς 2x 5=1 0cm άρα έχει μήκο ς 1 ,5m και πλάτο ς2 ,5m.

4) Σε ένα Γυμνάσιο διδάσκονται 3 γλώσσες, Αγγλικά, Γαλλικά και Γερμανικά. Τα .! των 3

μαθητών παρακολουθούν Αγγλικά, το 25% παρακολουθεί Γαλλικά και οι υπόλοιποι μαθητές παρακολουθούν Γερμανικά. α) Να βρεθεί τι μέρος των μαθητών παρακολουθεί Γερμανικά. β) Αν οι μαθητές που παρακολουθούν Γαλλικά είναι 40 περισσότεροι από τους μαθητές που παρακολουθούν Γερμανικά να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών του Γυμνασίου. 1 2 1 11 λ , ιο = - οποτε + -=κ. .π Λυση: α) 2 50/

β) Αν χ ο αριθμό ςτων μαθητών του σχολείου τότε 5)

..!.. χ=·

1 χ+40 άρα 3 χ=χ+480 κ.λ.π 12 ·

Μία δεξαμενή είναι σήμερα Ύεμάτη κατά 20% με ένα υγρό. Πριν από 20 ημέρες ήταν 4

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/6

------

Ενδεικτικά ΔιαΎωνίσματα και θέματα -yια την Α' Γυμνασίου

άδεια κατά 30% και το υγρό τότε ήταν 40 τόνους περισσότερο από ότι είναι σήμερα. α) Να υπολογίσετε την χωρητικότητα της δεξαμενής. β) Αν το ύψος του υγρού στη δεξαμενή σήμερα είναι 1,2m να υπολογίσετε το ύψος της δεξαμενής. Λύση : Αν χ η χωρητικότητα της δεξαμενής σε τόνους (tn) τότε πριν από 2 0 ημέρες ήταν γεμάτη κατά 70% και περιε ίχε 0,7 ·χ ενώ σήμερα περιέχει 0,2 ·χ άρα 0,7·χ - 0,2 ·χ =40tn οπότε χ= 80tn.

β) Αφού το ύψος του 2 0% , δηλαδή το .!_ 5

του υγρού, ε ίναι 1 ,2 m άρα το 1 00% (γεμάτη) του

υγρού θα έχει ύψος 5 ·1 ,2 m=6m. 6) Γνωρίζουμε ότι το 40% του βάρους ενός γιαουρτιού είναι λιπαρές ουσίες. α) Να γραφεί η σχέση που συνδέει το βάρος y του γιαουρτιού με το βάρος

ουσιών που περιέχει. β) Να βρεθεί πόσα gr λιπαρών ουσιών περιέχονται σε 350 gr γιαουρτιού. γ) Να βρείτε σε πόσα kg γιαουρτιού περιέχονται 6 kg λιπαρών ουσιών.

των λιπαρών

1 Λύση : α) Η σχέση ε ίναι 0,40·y= χ άρα y = --·x ή y= 2 ,5·χ (τα ποσά χ, y μετρημένα σε gr) 0,40 3 50 β) Με βάση τη σχέση της ερώτησης α) έχουμε 350gr = 2 ,5·χ άρα χ= gr=140gr. 2,5

γ) Με βάση τη σχέση τη ς ερώτησης α) έχουμε y=2 ,5·6kg=1 5kg 7) α) Να βρεθούν οι 4 τετραψήφιοι αριθμοί α, β, γ, δ (κατά σειρά

μεγέθους από το μικρότερο α ως τον μεγαλύτερο δ που έχουν τη μορφή x62y και έχουν τις ιδιότητες: ί. Είναι μικρότεροι του 7000, ίί. Διαιρούνται με το 3 και το 4 και ίίί. Δε διαιρούνται με το S. β) Τέσσερις βιομηχανίες Α, Β, Γ, Δ παρασκευάζουν καθημερινά σοκολατάκια. Η Α παρασκευάζει α σοκολατάκια, η Β παρασκευάζει β σοκολατάκια, η Γ παρασκευάζει γ σοκολατάκια και η Δ παρασκευάζει δ σοκολατάκια. βl) Ποιες βιομηχανίες μπορούν να συσκευάσουν τα σοκολατάκια σε κουτιά των 9 τεμαχίων χωρίς να περισσεύει κανένα; β2) Έστω ότι και οι 4 βιομηχανίες παράγουν σοκολατάκια της ίδιας ποιότητας. Αν ,η βιομηχανία Α συσκευάζει τα σοκολατάκια σε κουτιά των 9 τεμαχίων με τιμή 6 ευρώ/κουτί και η βιομηχανία Β τα συσκευάζει σε κουτιά των 16 τεμαχίων με τιμή 8,5 ευρώ/ κουτί, ποια συσκευασία με συμφέρει να πάρω; Λύση: α) Αφού ο αριθμός διαιρε ίται με 4 άρα τα δύο τελευτα ία ψηφ ία του 2 y δημιουργούν αριθμό που διαιρε ίται με 4 άρα y=4 ή y=8 ή y=O. Το y=O απορρ ίπτεται καθώς ο αριθμός δεν διαιρε ίται με 5 άρα y=4 ή y=8 . Αφού διαιρε ίται με 3 το άθροισμα των ψηφ ίων διαιρε ίται με 3 και καθώς ο αριθμός ε ίναι μικρότερος του 7000 άρα αν y=4 το χ πρέπει να ε ίναι 3 ή 6 ενώ αν y=8 τότε χ=2 ή χ=5. Τελικά α=2 628, β=362 4, γ=5628 και δ=6624. βl) οι α και δ διαιρούνται με 9 άρα οι Α και Δ μπορούν να συσκευάσουν σε 9άδες. � 85 β2) Θα πρέπει να συγκρ ίνουμε τους αριθμούς � = =0,66 και • = 0,53 άρα μας συμφέρει το 16 9 3 κουτ ί των 1 6 τεμαχίων. 8) α) Να υπολογίσετε τον Μ.Κ.Δ των αριθμών 105, 245, 175.

β) Να βρεθεί ο μεγαλύτερος ακέραιος έτσι ώστε οι 110, 253 και 181 διαιρούμενοι ζητούμενο αριθμό να δίνουν υπόλοιπο 5, 8 και 6 αντίστοιχα.

με

το

Λύση : α) Κάνοντας ανάλυση των αριθμών σε γινόμενο πρώτων παραγόντων προκύπτει ότι ο ΜΚΔ ε ίναι ο 35.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.417

------

Ενδεικτικά Διαγωνίσματα και θέματα για την Α' Γυμνασίου

β) Θα πρέπει ο ζητούμενος αριθμός να διαιρεί τους 1 10-5= 105� 253-8=245 και 1 8 1- 6= 175 άρα

είναι ο Μ ΚΔ των 1 05� 245, 175 δηλαδή ο 35.

9) α) Να αναλύσετε τον αριθμό 2016 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων β) Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς α,β,γ ώστε α5 ·β·γ=2016 25·32·Χ

γ) Να λύσετε την εξίσωση 24:42 = 2016 Λύση: α) 201 6 25 ·3 2·7 άρα β) α=2, β=9, γ=7 γ) Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής του κλάσματος είναι 1 άρα 25 ·3 2 ·χ=201 6 άρα χ=7. 10) α) Να βρείτε όλους τους διαιρέτες του 24. β) Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς α, β με γινόμενο 24 και άθροισμα πρώτο αριθμό. Λύση: α) 1 , 2, 3, 4', 6, 8, 12, 24 β) α=3 και β=8 (ή α=8 και β=3) , 24 + 3·24 11) α) Να απλοποιησετε το κλάσμα α= 30 · 2, 4 + 700 Ο, 24 β) να γράψετε τον αριθμό α σαν ποσοστό %. Λύση: α) Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής γράφεται 4·24 και ο παρονομαστής γράφεται =

------·

_i_ � 3 · 10·2 '4+7· 100·0'24=3 ·24+7·24= 10·24 άρα το κλάσμα α= = 10 5 � β) = 0,40 ή σαν ποσοστό 40% . 5 1 2) Δίνονται οι αριθμοί: α=

20 .!. 16 .! .! · + : +2 5 2 25 5 5

και β= 23 + (5. 32 - 23 - 22

•

9)2016•

α) Να αποδείξετε ότι α=6 και β=9. β) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 2016+ 20·α+16·β διαιρείται ταυτόχρονα με το 2 και το 3. γ) Να βρείτε το ΕΚΠ (8α, 4β) και ΜΚΔ (8α, 4β). Λύση: α) Πράξεις . . β) Εδώ δεν χρειάζονται πράξεις καθώς παρατηρούμε ότι το 201 6 . .

διαιρείται με 2 και 3 , ακόμη το 20·α διαιρείται με 2 και 3 καθώς είναι πολλαπλάσιό του 6 και τέλος το 1 6 · β είναι πολλαπλάσιο του 2 (λόγω του 1 6) και πολλαπλάσιο του 3 (λόyω του 9). γ) 8α=24 ·3 και 4β= 22 ·3 2 άρα ΕΚΠ (8α, 4β)= 24 ·3 2 και Μ ΚΔ (8α, 4β)= 22 ·3 13) 'Ενας αγρότης καλλιεργεί στο ! του χωραφιού του βαμβάκι, στο 258f. του χωραφιού 3

του σιτάρι και στο

-1 6

καλαμπόκι. Το υπόλοιπο μέρος του χωραφιού το αφήνει

ακαλλιέργητο. α) Τι ποσοστό του χωραφιού μένει ακαλλιέργητο; β) Το ακαλλιέργητο χωράφι είναι 15 στρέμματα πόσα στρέμματα είναι συνολικά το χωράφι του;

1 1 25 3 1 3 = 6 + = 4 ή σε ποσοστό 75% . Άρα Λύση: α) Αρχικά υπολογίζουμε το άθροισμα: 3 + 6 + 1 00 4

το ακαλλιέργητο ποσοστό του χωραφιού είναι 25% . β) Το 25% του χωραφιού είναι 1 5 στρέμματα άρα το χωράφι είναι 4 · 1 5=60 (στρέμματα)

14) Αν τα ποσά χ και y στον παρακάτω πίνακα είναι ανάλογα,_τότε: ----,...-----,-- ---τ--α) Να συμπληρωθεί ο πίνακας χ 5 4 β) Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τα χ και y. 1 2 =��9 ==�=��=�Υ�=�-�==�γ) Για την τιμή y = 2016 , να υπολογίσετε το αντίστοιχο χ. Λύση: α) Για να διατηρηθεί η αναλογία θα πρέπει χ=3 στην πρώτη στήλη και y=1 5 στην

τελευταία στήλη.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/8

� 1 l �

-------

Ενδεικτικά Διαγωνίσματα και θέματα για την Α' Γυμνασίου

β) Παρατηρούμε ότι ο συντελεστή ς αναλογίας y/x = 12/4 = 3 άρα η σχέση που συνδέει τα δύο

ποσά είναι y=3 ·χ. γ) Για y=2016 έχουμε 3·χ=201 6 άρα χ=672. 15 ) α) Ο μισθός των καθηγητών, λόγω της πρόσφατης οικονομικής κρίσης, μειώθηκε κατά

1056€.

20%. Αν οι αρχικές μηνιαίες αποδοχές ήταν 1 200 €, να βρείτε τις νέες μηνιαίες αποδοχές. β) Μετά από έντονες διαμαρτυρίες δόθηκε υπόσχεση ότι ο μειωμένος μισθός θα γίνει Να βρείτε το ποσοστό της επικείμενης αύξησης. Λύση : α) 1200€ - 240 € 960 € β) 1056 € - 960 € =96 € 1 0% Το εισιτήριο από Πειραιά για Μυτιλήνη με το πλοίο στοιχίζει 0 €. Οι εταιρείες όμως, το καλοκαίρι που αυξάνεται η κίνηση, αυξάνουν κι αυτές τις τιμές των εισιτηρίων τους κατά 20 %. α) Υπολογίστε το ποσό της αύξησης του εισιτηρίου σε € και την νέα τιμή του εισιτηρίου για το καλοκαίρι. β) Για να προσελκύσει πελάτες τους καλοκαιρινούς μήνες, η εταιρία SEA-STAR LINES προσφέρει για οικογένειες μια πολύ καλή έκπτωση. Μια τετραμελής οικογένεια, εκμεταλλευόμενη την προσφορά της εταιρίας, πλήρωσε τελικά €. Υπολογίστε το ποσοστό της έκπτωσης . Λύση : α) 40€ + 8€ = 48€ β) 25% 1 7) Τρεις φίλοι, ο Χάρης, ο Θύμιος και ο Παύλος έπαιξαν στο τυχερό παιχνίδι «πάμε στοίχημα" μαζί και επειδή δεν έβαλαν τα ίδια χρήματα ρυμφώνησαν, αν κερδίσουν να μοιραστούν τα χρήματα των κερδών ανάλογα με τα χρήματα που είχε βάλει ο καθένας. Ο € και ο Παύλος μόνο €. Μόλις βγήκαν τα αποτελέσματα Χάρης έβαλε 0 €, ο Θύμιος του παιχνιδιού είδαν ότι είχαν κερδίσει όλοι μαζί 1 200 €. α) Μπορείτε να μοιράσετε τα κέρδη στους τρεις φίλους ανάλογα με τα χρήματα που έβαλε ο καθένας στην αρχή; β) Τι ποσοστό των κερδών θα πάρει ο Θύμιος; γ) Αν χ ονομάσουμε τα χρήματα που έβαλε ο καθένας στην αρχή και y τα χρήματα που κέρδισε να φτιάξετε τον πίνακα των ποσών χ και y. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα χ, y. Λύση : α) Χάρης 800 € Θύμιος 300€ Παύλος 100€ β) 25% γ) y=20x Η πιο νόστιμη πίτσα στον κόσμο, η πίτσα ΜΙΑΜ-ΜΙΑΜ αποκάλυψε το μυστικό της! Δεν είναι μόνο τα φρέσκα υλικά ούτε το ψήσιμο αλλά είναι κυρίως το ζυμάρι που κάνει την συγκεκριμένη πίτσα τόσο νόστιμη. Για να φτιάξουν το ζυμάρι της πίτσας λοιπόν οι ειδικοί χρησιμοποιούν την αναλογία : μέρη αλεύρι προς μέρη νερό. α) Να μεταφέρετε στην κόλλα σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα που δείχνει διάφορες ποσότητες αλευριού και νερού που θα χρησιμοποιήσουμε για να φτιάξουμε ζυμάρια της ίδιας ποιο'τητ ?�._· ----.---.------.-----,---.-----τ-----, .-_ __.__

16)

144

18)

4 6 1 8 6 1 1 1 1 1sl ��/l 6 ;

Αν θέλουμε να φτιάξουμε ζυμάρια για πίτσες που το καθένα ζυγίζει 250 γραμμάρια πόσο αλεύρι και πόσο νερό θα αναμίξουμε; Να εξηγήσετε αναλυτικά την σκέψη σας γ) Τι ποσοστό του τελικού ζυμαριού είναι το αλεύρι που περιέχει και τι ποσοστό είναι το νερό; Να εξηγήσετε αναλυτικά την σκέψη σας Λύση : α) 4 2 4 1 6 20 8 αλεύρι

β)

νερό

1 '5

0,25=1/4

β) 1200γρ.αλεύρι και 300γρ.νερό , γ) 80% αλεύρι και 20% νερό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/9

-------

Ενδεικτικά Διαγωνίσματα και θέματα για την Α' Γυμνασίου Π ρ οτεινό μενα θέματα Γεωμετ ρ ίας Α' Γυμνασίου

1) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ). Φέρνουμε τις διχοτόμους ΒΔ και ΓΕ των γωνιών Β και Γ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ β) Να υπολογίσετε την γωνία ω που δημιουργείται στην τομή των δύο διχοτόμων.

Λύση: α) Οι γωνίες Β και Γ του τριγώνου είναι ίσες με 70° η καθεμία. β) Η γωνία ω είναι γωνία τριγώνου στο οποίο οι δύο άλλες γωνίες είναι

η καθεμία από 35° και επομένως ω = 1 80° - 70° = 1 1 0° .

2) Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ είναι κάθετες και τέμνονται στο ση μείο Ε. Στα τέσσερα τρίγωνα που Δ δημιουργούνται στο . εσωτερικό του τετραπλεύρου έχουμε μετρήσει μία γωνία στο κάθε ένα. Με βάση τις μετρήσεις των γωνιών : α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του Α, Β, Γ, Δ του τετραπλεύρου. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα των γωνιών του τετραπλεύρου.

α) Σε κάθε ένα από τα 4 τρίγωνα γνωρίζουμε δύο γωνίες του άρα μπορούμε να υπολογίζουμε την τρίτη. Με βάση αυτούς τους Α υπολογισμούς προκύπτει για τις γωνίες του τετραπλεύρου ότι: Α=58° , Β= 84° , Γ=l09° , Δ= 1 09° . β) Το άθροισμα των γωνιών είναι ίσο με 360° . Λύση:

3) Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται 2 εφεξής γωνίες: xOy = 40° και yOz= 80° και οι διχοτόμοι τους αντίστοιχα ΟΑι και ΟΒι αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τη γωνία ΑιΟΒι. 81 � z β) Αν ΟΑ2, ΟΒ2 οι διχοτόμοι των εφεξής γωνιών / ΑιΟy και yΟΒι αντίστοιχα και ΟΑ3, ΟΒ3 οι / διχοτόμοι των εφεξής γωνιών A20y και yOB2 / . Α αντίστοιχα. 1 Να υπολογίσετε τη γωνία Α3ΟΒ3. Λύση : α) Η γωνία ΑΙΟΒ1 είναι άθροισμα μιας γωνίας 20° και μιας 40° άρα είναι ίση με 60° β) Η γωνία Α30Β3 είναι ίση με το μισό του μισού της γωνίας Α10Β1 δηλαδή 1 5° . Ε

', ............

', """'... ,' Β

\ \ . \ \ \ ' \ ' \ \

.r Α ...._ ._ ....___ .. �

4) Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε την διχοτόμο ΑΔ. Στη συνέχεια φέρνουμε από την κορυφή Β μία ευθεία παράλληλη προς την διχοτόμο που τέμνει στο Ε την προέκταση της πλευράς ΓΑ. α) Να βρείτε τις 4 ίσες γωνίες που δημιουργούνται στο σχήμα. β) Να εξηγήσετε γιατί ισχύει ΒΕ=ΑΒ. Λύση: Η γωνία Β έχει χωριστεί δύο ίσες γωνίες κάθε μία από τις

οποίες είναι ίση με τις γωνίες Ε και Α του τριγώνου ΒΕΑ και ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/10

------- Ενδεικτικά Διαγωνίσματα και θέματα για την Α' Γυμνασίου επομένως το τρίγωνο ΒΕΑ έχει δύο ίσες γωνίες άρα είναι ισοσκελές. 5) Στο παρακάτω σχήμα, στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΔΕ/ΙΒΓ. Η ευθεία (ε) περνά από την κορυφή Α και σχηματίζει με την προέκταση της πλευράς ΒΑ γωνία 115°. α) Με βάση τις μετρήσεις των γωνιών που φαίνονται στην εικόνα να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΔΕ. ι: β) Στην άσκηση αυτή σε ένα Γυμνάσιο ένας μαθητής υποστήριξε ότι η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στην ΒΓ και ο καθηγητής των Μαθηματικών το επιβεβαίωσε. Μπορείτε να δικαιολογήσετε γιατί το επιβεβαίωσε; Λύση : α) Η εσωτερική γωνία Ε του τριγώνου ΑΔΕ είναι ίση με 35° και λόγω παραλληλίας και η γωνία Γ του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίση με 35° Η γωνία Α του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ίση με 1 80°- (65° +35° ) =80° . Οι γωνίες του τριγώνου ΑΔΕ θα είναι ίσες μία προς μία με τις γωνίες του ΑΒΓ λόγω της παραλληλίας. β) Πράγματι είναι παράλληλες οι δύο ευθείες καθώς η παραπληρωματική της γωνίας των 1 15° είναι ίση με 65° όσο δηλαδή και η γωνία Β του τριγώνου ΑΒΓ .

6) Στο παρακάτω σχήμα έχουμε σχεδιάσει το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90° και ΑΒ=ΑΓ. q) Να υπολογίσετε (χωρίς να τις μετρήσετε) τις γωνίες Β και Γ ι; του τριγώνου δικαιολογώντας αναλυτικά την απάντησή σας. Α β) Να μεταφέρεται το σχήμα στο χαρτί mίllίmetre και να σχεδιάσετε προσεκτικά το συμμετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία ε της πλευράς του ΒΓ. Το .. συμμετρικό του σημείου Α να το ονομάσετε Δ. 11 γ) Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις: γ1) Πόσους άξονες συμμετρίας έχει το τετράπλευρο ΑΒΔΓ; Να τους σχεδιάσετε στο σχήμα. Γ , γ2) Έχει κέντρο συμμετρίας το τετράπλευρο ΑΒΓΔ; Αν ναι, να το ονομάσετε Κ στο σχήμα σας γ3) Πως λέγεται το τετράπλευρο ΑΒΔΓ; Λύ ση : α) Β=Γ=45° β) Κατασκευή σε χαρτί mίllίmetre γl) 4 γ2) ναι γ3) τετράγωνο.

/: � ι � "'

7) Στο παρακάτω σχήμα έχουμε σχεδιάσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90° και 8=30° ' : : ' ' : ε : : : ' α :----�----�---- ----�--c-�----�-· ) Να σχεδιασετε προσεκτικα το συμμετρικο του τριγωνου ΑΒΓ ως i i i i i i προς άξονα συμμετρίας την ευθεία ε της πλευράς του ΑΒ. Το s--- ---- 1 ---- συμμετρικό του σημείου να το ονομάσετε Δ. Γ --- -- +-- ·β) Να υπολογίσετε (χωρίς να τις μετρήσετε) τις γωνίες του τριγώνου : : : : : : 30 , , , , , : � --- ----�----�----�-·ΒΓΔ δικαιολογωντας αναλυτικα την απαντηση σας για καθεμια. j _ _ j__ _ j _ Να απαντήσετε στις παρακάτω ερ τήσεις σχετικά με το τρίγωνο . _ _ ! : : : : : ΒΓΔ: Α__ ____1 Πόσους άξονες συμμετρίας έχει το τρίγωνο ΒΓΔ; r ι ι

ι ι

!---τ--τ--- 1 !---+--+-- + i

____

!----

Γ +

----�

----

_ ___

·----�----�----

•

�

j__γ)

ΤΎι) ι

----�----�----�--

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/11

-------

Ενδεικτικά Διαγωνίσματα και θέματα για την Α' Γυμνασίου

Να τους σχεδιάσετε στο σχήμα. γ2)Έχει κέντρο συμμετρίας το τρίγωνο ΒΓΔ; Αν ναι, να το ονομάσετε Κ στο σχήμα σας. γ 3) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΒΓΔ; Λύση: α) Κατασκευή σε χαρτί millίmeter β) Β=Γ=Δ=60 ° γl) 3, γ2) όχι, γ3) ισόπλευρο τρίγωνο 8) Στο σχήμα έχουμε σχεδιάσει ένα ισοσκελές τρίγωνο ΟΚΛ με ΟΚ=ΟΛ=5 και γωνία κορυφής 0=74° . α) Να σχεδιάσετε το τρίγωνο ΟΚΛ στο χαρτί μιλιμετρέ που σας δίνεται και να υπολογίσετε στην κόλλα σας (χωρίς να τις μετρήσετε) τις άλλες δύο γωνίες του δικαιολογώντας αναλυτικά την απάντησή σας. β) Να σχεδιάσετε προσεκτικά στο σχήμα σας το συμμετρικό του τριγώνου ΟΚΛ ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία ε της πλευράς του ΚΑ. Το συμμετρικό του σημείου Ο να το ονομάσετε Μ. γ) Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: γ Ι) Πόσους άξονες συμμετρίας έχει το τετράπλευρο ΟΚΜΛ; Να τους σχεδιάσετε στο σχήμα σας. γ2) Έχει κέντρο συμμετρίας το τετράπλευρο ΟΚΜΛ; Αν ναι, να περιγράψετε στην κόλλα σας ποιο σημείο είναι και στο σχήμα σας να το ονομάσετε Α. γ3) Πως ονομάζεται το τετράπλευρο ΟΚΜΛ; Να υπολογίσετε στην κόλλα σας (χωρίς να τις μετρήσετε) 'τις τέσσερις γωνίες του τετραπλεύρου ΟΚΜΛ δικαιολογώντας για κάθε μία αναλυτικά την απάντησή σας. I

:ο

ΛίJση: α) Κ=Λ=53 ° β) Κατασκευή σε χαρτί mίllimeter γl) 2 , γ2) ναι, γ3) ρόμβος Ο=Μ=74 ° Κ=Λ=1 06 °

9) Στο διπλανό σχήμα σας δίνεται ένας κύκλος με κέντρο Ο : : � και ακτίνα ΟΑ. - -, --- -τ- - ι--.---,- - -,- -- -ι-- ϊ�- 1 � � : ' �- 1 � �- α) Να βρείτε δύο σημεία πάνω στον κύκλο που το καθένα να ισαπέχει από τα Ο και Α εξηγώντας την κατασκευή σας. J � � � -� : �.- � ' � : ' ' που β ρηκατε ' Β. και Γ. τα σημεια : • - Α.. β) Ονομαστε :ο: ....--... β 1 )Πόσους άξονες συμμετρίας έχει το τετράπλευρο ΟΒΑΓ; __ � Σχεδιάστε τους στο σχήμα - , ,. - -- τ- -r ---r----ι--- ...,. --,. τ- --τβ2) Έχει κέντρο συμμετρίας το σχήμα ΟΒΑΓ; Ονομάστε το - -,- - ϊ - τ - - 1 - -Γ --,- - ι- ϊ- - τ - - ϊ Κ στο σχήμα. β3) Να υπολογίσετε (χωρίς να τις μετρήσετε) τις γωνίες του τετράπλευρου ΟΒΑΓ δικαιολογώντας αναλυτικά την απάντησή σας για καθεμία. γ) Πως ονομάζεται το τετράπλευρο ΟΒΑΓ; Αναφέρατε δύο ιδιότητες αυτού του είδους τετραπλεύρων. I

__ __ _ _ _ I

__ __

_ I

_ _

�

Λύση: α) κατασκευή με μεσοκάθετο βl) 2 β2) ναι β3) Ο=Α=120 ° Β=Γ=60 ° γ) ρόμβος, όλες

οι πλευρές και οι απέναντι γωνίες ίσες, οι διαγώνιοι διχοτομούνται κάθετα και διχοτομούν τις γωνίες του.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/12

Ενδεικτικά Διαγωνίσματα και θέματα για την Β 'Γυμνασίου

Επιμέλεια υλικού : Αρδαβάνη Π, Δοργιάκη. Ι, Παλαιογιαννίδης Δ.

=======

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο

Θ εωρί α ° Θέμα 1 Α) Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού ;

Β) Να χαράκτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο

γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. i. Αν y=� , τότε ο χ μπορεί να είναι οποιοσδή1tοτε πραγματικός αριθμός. 2 ii. Ισχύει η σχέση (.fα ) =α με α >Ο . ίίί. Ισχύει η σχέση Ν=l αl , για κάθε πραγματικό αριθμό α. iv. Ισχύει η σχέση .J α+β=Fα+..Jβ για α , β �0. Γ) Στην επόμενη πρόταση να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν χ2 =α τότε: i. πάντα � χ , ii. � χ όταν χ, α >Ο , ίίί. � = α όταν χ, α >Ο iv. τίποτα από τα προηγούμενα. =

Θέμα 2° Α) τι ονομάζουμε ημίτονο μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνοu; Β) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές ή Λανθασμένες καθεμιά από τις παρακάτω ισότητες που αφορούν το παρακάτω σχή μα: ΑΒ ΑΔ J.!). εφω = ΑΒ ,, 111) ΑΓ .. εφω = υ ημω= ΒΓ '

iv)

ΑΓ

Ar συvω=ΔΓ

ΑΒ ΑΔ --ΒΓ ΑΓ

Ασκήσεις

Θέμα 1 ° α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από της αρχή των αξόνων και από το σημείο Α( 2,-4) . β) Να βρείτε την_ εξίσωση της ευθείας ποu είναι παράλληλη στην y = -2χ κ αι περνάει από το σημείο Β ( Ο, -5 ) .

( � , 4)

γ) Ποια από τα σημεία Γ ( 2, -9) , Δ προηγούμενου ερωτή ματος;

και Ε( 2,-5 ) ανήκουν στην ευθεία του

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/13

------

Διαγώνισμα για την Β' Τάξη Γυμνασίου ------

Θέμα 2° α) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

χ-2 χ+ 3 ---χ > -- - 7χ . 2 3

β) Να βρει'τε την τιμη της παραστασης: α= .

�

νr= 49

Γι6

2(3χ -1) �χ -12 και

, και στη συνεχεια να εξετασετε αν ο '

αριθμός α που βρήκατε ανήκει στις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος Α. Α Θέμα3° Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με περίμετρο 48 cm. Μέσα στο τετράγωνο και με ακτίνα την πλευρά του σχεδιάζουμε τεταρτοκύκλιο όπως στο σχήμα. Να υπολογίσετε: την πλευρά του τετραγώνου, την περίμετρο και το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2°

Θωρ ία Θέμα 1° Α) Δίνεται η ευθεία y = αχ + β, β* Ο ί) Τι λέγεται κλίση της ευθείας y; ' ii) Σε ποιο σημείο τέμνει η γραφική παράσταση της ευθείας y τον άξονα y y Β) Να γράψετε ποιο είναι το κέντρο συμμετρίας και ποιοι είναι οι δυο άξονες συμμετρίας της ,

γραφικης παραστασης της συναρτησης y = - .

Γ) Σε ποια τεταρτημόρια βρίσκεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Θέμα 2° Α) Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Β) Έξω από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος κατασκευάζουμε τετράγωνα που έχουν εμβαδά Ει, Ε2 , Ε3• Ποια σχέση συνδέει τα εμβαδά Ει, Ε2 , Ε3 με τη διατύπωση του Πυθαγορείου θεωρήματος στο ερώτημα Α. Γ) Αν γ<β<α είναι οι 3 πλευρές ενός ορθογωνίου· τριγώνου τότε ισχύει: ί. β2+α2=γ2 ίί. α2_γ2=β2 ίίί. α2+β2=γ2 iv. όλες οι προηγούμενες προτάσεις ισχύουν.

α χ

για α < Ο ;

Ει

Ασ κήσεις

Θέμα 1°

α) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων:

χ-2 χ-1 -�-- 1 2 3

και

5( 1 - χ) � 3 - 2( 2χ - 1 )

β) Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς επαληθεύουν τις δυο ανισώσεις:

J5,

-J5 ' _72'

Jϊδ, �. 3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/14

-2,

-J5

-----�----

Διαγώνισμα για την Β' Τάξη Γυμνασίου

-------�

Θέμα 2° Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ, το ΑΔ είναι ύψος με μήκος 24 cm. 12 Επίσης ισχύει: ημΒ=- και εφΓ=Ο,75. 13 α) Να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΒ, ΓΔ, ΒΔ, ΑΓ και να .εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. β) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς συνΒ, εφΒ, ημΓ και συνΓ. γ) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΓΕ. Θέμα 3° Στο δtπλανό σχήμα το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι 25π cm2 και το μήκος της ΑΔ είναι 5 cm. α) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=5 cm. β) Να υπολογίσετε την γωνία ω. γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ..

B'---!----...::::oo..r

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3°

Θ εω ρ ί α Θέμα 1° Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Σε χαρακτηρίσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις σημειώνοντας στην κόλλα σου το αντίστοιχο γράμμα δίπλα στον αριθμό της. i. Η κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν-γώνου είναι ίση με

180°

-- .

ν ii. Αν ένα πολύγωνο έχει όλες τις πλευρές του ίσες, τότε είναι κανονικό. iii. Ο κύκλος που περνά από τις κορυφές ενός κανονικού ν-γώνου λέγεται περιγεγραμμένος. Γ) Ποια σχέση συνδέει τη γωνία φ ενός κανονικού ν-γώνου με την κεντρική γωνία ω του ν γώνου αυτού; Να υπολογίσετε τη γωνία φ ενός κανονικού δεκαγώνο�. Θέμα 2° Α) Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης με άγνωστο χ.

Β) Να χαρακτηρίσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις σημειώνοντας στην κόλλα σου το αντίστοιχο γράμμα δίπλα στον αριθμό της.

i. αν από τα δύο μέλη της ισότητας α=β αφαιρέσουμε τον αριθμό γ προκύπτει πάλι ισότητα. ii. αν τα δύο μέλη μιας ισότητας α=β πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό γ τότε προκύπτει πάλι ισότητα μόνό όταν ο αριθμός γ είναι θετικός. ίίί. αν τα δύο μέλη μιας ανίσωσης α>β πολλαπλασιαστούν με έναν αριθμό γ τότε προκύπτει πάντα aνίσωση. Γ) Να δώσετε τον ορισμό της ανίσωσης με έναν άγνωστο χ.

Θέμα 1°

Ασκήσεις

Στο δtπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΔΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις τις πλευρές ΒΔ και ΑΖ και τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΖΕΔ είναι ίσα και ισοσκελή. Δίνεται ότι AB=lO, ΒΓ=ΕΔ= 12 και 2ΕΓ=ΒΓ.

Δ:\ Δ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/1 5

------

Διαγώνισμα yια την Β ' Τάξη Γυμνασίου

-------

Α. Να υπολογίσετε το ύψος ΑΗ. Β. Να υπολογίσετε το μήκος της μικρής βάσης ΑΖ του τραπεζίου ΑΒΔΖ. Γ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΔΖ. Θέμα 2°

Δίνεται η ευθεία ε που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2χ 3. Α. Να βρεις την εξίσωση της ευθείας Ει που είναι παράλληλη προς την ε και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου. Β. Να εξετάσεις αν τα σημεία Α(2,1), 8(1,2) ανήκουν στην ευθεία Ei · Γ. Αν το σημείο Μ( -3, α) ανήκει στην ευθεία ει, να βρεις το α και να υπολογίσεις το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΚΜΛ που q-χηματίζεται από τους δύο άξονες και τις κάθετες που φέρνουμε από το σημείο Μ προς τους άξονες. -

Θέμα

Μ(-3, α)

3°

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒΓ = AfΔ � 90° . Αν ΒΓ=4 και 3 2 συvφ 5 ημω = 3 , =

Α. Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΓ. Β. Να υπολογίσετε το μήκος της ΑΔ. Γ . Να υπολογίσετε την εφφ .

Προτεινόμενα θέματα Άλγεβρας Β ' Γυμνασίου.

2 (α+β) · (α- β) d α κ ι Β= 3 4 α) Αν είνάι γνωστό ότι α=2β να δείξετε ότι Α=Β. h ) · (x-h) Χ2 ,-;; π (x+ , , β) Να υπολογισετε - 4 , οταν χ=2v 2� . την τιμη της παραστασης 1 ) Δίνονται οι παραστάσεις: Α =

3 Λύση : α) Αντικατάσταση του α με 2 β και πράξεις. β) Παρατηρούμε ότι για α=χ και β=νΓz είναι Π=Α-Β. Επίσης, αν χ=2νΓz και β=νΓz ισχύει

α=2β,οπότε Α=Β. Επομένως, Π=Ο.

μαίανδρο με αρκετές στήλες (στήλη είναι κάθε ένα από τα σχήματα σαν ανάποδο Γ) που επαναλαμβάνονται πανομοιότυπα. ,_ α) Για τις 2 στήλες του σχήματος (χωρίς την διακεκομμένη συνδετική γραμμή) χρειαζόμαστε 56cm κορδέλα. Να υπολογίσετε το ύψος κάθε στήλης. β) Αν κατασκευάσουμε έναν μαίανδρο με 5 στήλες τη μία . δίπλα στην άλλη σε μία ευθεία πόση θα είναι η απόσταση από το αριστερό άνω άκρο της πρώτης στήλης του μαιάνδρου μέχρι το δεξί άνω άκρο της τελευταίας στήλης; 2) Θέλουμε να κατασκευάσουμε με μία κορδέλα έναν I

Λύση : α) Ονομάζουμε α το τμήμα της στήλης που δεν έχει μέτρηση. Τότε, πρέπει α+χ=2χ+2, οπότε •

α=χ+2. Αυτό σημαίνει ότι για μία στήλη χρειαζόμαστε (χ+2)+χ+χ+2χ+(2χ+2)= 7χ+4 crn κορδέλα. Για δύο στήλες χρειαζόμαστε 14χ+8 και επιπλέον 2χ για το τμή μα που τις συνδέεί. Τελικά, χρειαζόμαστε 1 6χ+8=56 cm, οπότε χ= 3 και το ύψος της στήλης είναι (2·3+2)crh=8cm. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/16

------

Διαγώνισμα για την Β ' Τάξη Γυμνασίου

-------

β) Οι 5 στήλες έχουν μήκος 5 ·2χ=1 0χ. Ακόμα, η απόσταση του πάνω μέρους δύο διαδοχικών στηλών είναι χ και επαναλαμβάνεται 4 φορές. Η ζητούμενη απόσταση είναι 1 Ox+4x=1 4x=42cm. 3 ) Σε μία εκδρομή ο αριθμός των ενηλίκων είναι κατά 4 μεγαλύτερος από τον αριθμό των μικρών παιδιών. Αν διπλασιάσουμε τον αριθμό των ενηλίκων προκύπτει ο ίδιος αριθμός με το τριπλάσιο του αρ�θμού των μικρών παιδιών. α) Να βρείτε τον αριθμό των ατόμων που συμμετείχαν στην εκδρομή. β) Για τα μεταφορικά της εκδρομής το κόστος ανήλθε σε 360€ ενώ κάθε ενήλικας πλήρωσε 5€ περισσότερα από αυτά που πλήρωσε κάθε ανήλικο παιδί.' Πόσα χρήματα πλήρωσε κάθε ανήλικο παιδί; Λύ ση : α) Αν χ ο αριθμός των παιδιών τότε ο αριθμός των ενηλίκων θα είναι χ+4 και επομένως θα έχουμε την εξίσωση 3 · χ=2 · (χ+4).Άρα χ=8(τα παιδιά) και οι ενήλικοι θα είναι 12. β) Αν y€ πλήρωσε κάθε παιδί τότε κάθε ενήλικος πλήρωσε y+5€. Τότε 8y+ 1 2 · (y+5)=360 και λύνοντας την εξίσωση y= 1 5€. 4) Στην διπλανή εικόνα εμφανίζεται η υπερβολή με εξίσωση α y= , δύο σημεία της Α, Β και ένα σημείο Σ. εκτός της χ υπερβολής. α) Με τη βοήθεια του σημείου Α να βρείτε την τιμή του α. β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β. γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Σ και στην συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων Β, Σ. Λύ ση :

. 2 � -1� - ,. � _,. --:� i "'::=- =- 1 : - ;: + -�:=- ,. + - {- =- �� ο" -� =- . ., - � - -"" � =- � � ---� ,.. � - ��,.. =- �: =- -�� =- � -'" =::-,.. _,. � ,. �:-- -=- � -=-�-=- ·� =- 4 =- <� 4 =- -'":� -=--�-=-=-,f- =- -;i=-��-� t =- �:=-=- t=- -,;:=-=-f:-�.:- �

,ι

... -� � 11 ,Ι

,Ι

'" -- =,I 11

-.ι

,ι

.Ι

-1

,ι

: :].:ι�::·� ιι::��:�:��:::1: :�:3,:

� =- � -- <F =- � -- - f "::.- -=- f. =- --: :--- r - �: - t -- �:,. --:r - -�: =- ι � -- � =- -=-�=-� -=--=-::,._ , -- _,.:� -=- � -=- =-:�-'"�_,._;;_.. _,. -'� _,. �:-=--- � --�-4 � 2 ..

... .

α) Το σημείο Α που ανήκει στη γραφική παράσταση έχει συντεταγμένες (8 , 3) άρα 8= και α 3

α=24. Η εξίσωση της υπερβολής είναι y=

. χ β) Η τετμημένη του Β είναι 1 Ο άρα η τεταγμένη του θα είναι 24: 1 0=2,4. γ) Το σημείο Σ έχει συντεταγμένες ( 1 0, 8) άρα η απόσταση ΒΣ είναι 8-2,4=5,6. 5) Ο κύριος Καλάθης διαθέτει κατάστημα αθλητικών ειδών και πρόκειται να εφοδιάσει το κατάστημά του με περισσότερες από 3 1 μπ�λες . Επισκέπτεται το κατάστημα του προμηθευτή του και πληροφορείται ότι υπάρχουν δύο ποιοτήτων μπάλες που οι τιμές τους είναι ακέραιοι

αριθμοί. Μία μπάλα ποιότητας Β κοστίζει τα

� της τιμής μιας μπάλας ποιότητας Α. Ο κύριος

5 Καλάθης διαθέτει 780€ και κάνοντας λογαριασμούς βλέπει ότι δεν μπορεί να αγοράσει 32 μπάλες ποιότητας Α γιατί δεν του φτάνουν τα χρήματα που διαθέτει. Αν όμως αγοράσει 25 μπάλες ποιότητας Α και 1 0 μπάλες ποιότητας Β θα πάρει ρέστα τα οποία όμως δεν αρκούν να αγοράσει κάποια επιπλέον μπάλα. α) Αν χ η τιμή μιας μπάλας ποιότητας Α να γράψετε 2 ανισώσεις οι οποίες προκύπτουν από τα δεδομένα του προβλήματος. β) Να υπολογίσετε την τιμή της μπάλας με ποιότητα Α και την τιμή της μπάλας με ποιότητα Β. Λύ ση :

α) Για την αγορά μπαλών δύο ποιοτήτων ισχύει: 25χ+ 1 0 · � ·χ<780, για την αγορά μόνο Α 5 ποιότητας ισχύει: 32·χ>780.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/17

------

Διαγώνισμα για την Β ' Τάξη Γυμνασίου

β) Από τις λύσεις των ανισώσεων έχουμε 3 1 χ<780 και 32χ>780 άρα

24,38<χ<25, 1 6. Άρα χ=25. Τότε κάθε μπάλα ποιότητας Β έχει τιμή 1 5€.

780 780 , <χ< 31 , οποτε 32

�

6) Τα ποσά χ, y είναι αντιστρόφως ανάλογα.

�

α) Να συμπληρώσετε τον διπλα�ό πίνακα (δι�αιολογώντας -χ--+-_2__ -3--+------1 , y την απαντηση σας ) και στην συνεχεια να εκφρασετε το y ως 24 __ 8 συνάρτηση του χ. β) Το σημείο Α(χ,6) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής. Να βρείτε την τετμημέvη χ του σημείου Α . γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α που βρήκατε στο ερώτημα β. Ποια είναι η κλίση της ευθείας αυτής; ·

_ _ .___ .____

Λύ ση :

_ _ ,___ ,___ _ ____.

I I

α) Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, οπότε το γινόμενο 2 1 χ 3 -� των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερό. Εδώ α=3·8=24. Ι----Ι-----+-- --+8 12 4 _2_ .___-=Υ _ Επομένως ο πίνακας συμπληρωμένος είναι: 24 , , ειναι Άρα η σχεση y χ β) Το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση. Άρα οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της υπερβολής. Δηλαδή, 6 · χ=24 ή χ=4. γ) Αφού η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων η εξίσωσή της θα έχει τη μορφή y=λχ. Αφού διέρχεται από το σημείο Α� θα ισχύει 6=λ· 4 ή Η κλίση της ευθείας είναι λ · ·

__,_ _ _ ___._ ___._ _ _

α) Να λύσετε την εξίσωση:

3 - χ + χ-2 2χ- 3

κ=: = � .

__,

=�

= --

10 ) β ) Να λύσετε την ανίσωση: 3 (χ - 1 χ- 2 , να παραστήσετε τις λύσεις της στην ευθεία των πραγματικών αριθμών και να εξετάσετε αν η λύση της εξίσωσης του ερωτήματος (α) είναι λύση της ανίσωσης αυτής. 5

Λύ ση : α) 2(3 - χ) + S(x - 2) = 2χ - 3 β) 3 χ 3 < χ - 2 η, 2χ < 1 -

�

ή 6 - 2χ + Sx - 10 1 ' χ<2 η ισοδυναμα

2χ - 3 ή ισοδύναμα χ

Προφανώς 1 . Επομένως, η λύση της εξίσωσης δεν είναι λύση της ανίσωσης.

-4

-3

-2

-1

Μία κυρία έχει δύο ανίψια. Το ένα μένει στην Εφταλού ενώ το άλλο στη Σκάλα Συκαμνιάς. Τώρα που καλοκαίριασε τους έβαλε ένα αγωνιστικό στοίχημα: Θα ξεκινήσουν ο ένας από την Εφταλού με τα πόδια και ο άλλος από τη Σκάλα με ποδήλατο και όταν συναντηθούν θα μετρηθούν οι αποστάσεις που έκαναν και η θεία θα δώσει 1 Ο € για κάθε χιλιόμετρο σε αυτόν Που περπάτησε και 4 € για κάθε χιλιόμετρο σε αυτόν που έκανε ποδήλατο. Αν η απόσταση ' Εφταλού -Σκάλα είναι 7 χιλιόμετρα, α) Να βρείτε πόσα τουλαχιστον και μέχρι πόσα το πολύ χρήματα είναι πιθανόν να ξοδέψει η θεία. β) Αν γνωρίζουμε ότι τελικά τα δύο ανίψια πήραν τα ίδια χρήματα, να βρείτε σε ποιο σημείο της διαδρομής συναντήθηκαν και πόσα χιλιόμετρα είχε κάνει ο καθένας. γ) Την επόμενη χρονιά που ξανάγινε ο αγώνας η θεία ξόδεψε, και για τους δύο συνολικά 49 €. Να βρείτε σε ποιο σημείο της διαδρομής συναντήθηκαν και πόσα χιλιόμετρα είχε κάνει ο καθένας αυτή τη φορά. 8)

Λύ ση : α) Η θεία

θα δώσει το μικρότερο ποσό αν πληρώσει μόνο τον ποδηλάτη και το μεγαλύτερο αν πληρώσει μόνο τον βαδιστή. Επομένως θα πληρώσει τουλάχιστον 28 € και το πολύ 70 €. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/18

------

Διαγώνισμα για την Β ' Τάξη Γυμνασίου

-------

β) Αν ο βαδιστής κάνει χ Κm, τότε ο ποδηλάτης θα κάνει 7-χ Κm. Ο βαδιστής θα πάρει l Ox € και ο ποδηλάτης θα πάρει 4(7-χ) €. Άρα 1 0χ=4(7-χ) ή 1 0χ=28-4χ ή ισοδύναμα 14χ=28. Τελικά χ=2. Δηλαδή συναντήθηκαν 2 Κm από την Εφταλού και 5 Κm από Σκάλα. Πήραν από 20 €. γ) Είναι: 1 0χ+4(7-χ)=49 ή 10χ-4χ=49-28 ή 6χ=2 1 . Δηλαδή χ=3,5 . Επομένως συναντήθηκαν στη μέση της διαδρομής και έκαναν από 3,5 Κm ο καθένας. 9) Σε ένα πείραμα φυσικής τρυπάμε ένα φουσκωμένο μπαλόνι και μελετάμε, καθώς ξεφουσκώνει, πως μειώνεται ο όγκος του αέρα που περιέχει σε ·σχέση με το χρόνο που περνά από τη στιγμή που το τρυπάμε. Αν ο όγκος του αέρα μετριέται σε λίτρα και ο χρόνος σε λεπτά της ώρας, τότε η μεταβολή του όγκου σε σχέση με το χρόνο δίνεται από την συνάρτηση με τύπο y = - 2 t + 8 όπου y είναι ο όγκος του μπαλονιού που μειώνεται σε lt και ο t ο χρόνος σε mιn. α) Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις εξηγώντας αναλυτικά τη σκέψη σας (μπορείτε να χρησιμοποιήσετε είτε τον τύπο είτε την γραφική παράσταση): ί) Πόσος είναι ο αρχικός όγκος του μπαλονιού την στιγμή που το τρυπάμε; ίί) Πόσος χρόνος περνά μέχρι να ξεφουσκώσει τελείως το μπαλόνι; iii) Σε πόσο χρόνο, από την στιγμή που το τρυπάμε, ο όγκος του αέρα μέσα στο μπαλόνι έχει απομείνει ο μισός του αρχικού; β) Σε τετραγωνισμένο χαρτί να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης φτιάχνοντας και έναν δικό σας πίνακα τιμών. ,

Μ�:

α) i) Για t=O παίρνουμε y=8 lt, ii) Όταν το μπαλόνι ξεφουσκώσει δεν έχει όγκο. Έτσι, για y=O έχουμε -2t+8=0, οπότε t=4 min, iii) Ο αρχικός όγκος είναι 8 lt. Για y=4 παίρνουμε -2t+8=4· ή -2t=-4. Επομένως t=2 min. β) Κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών. Μας αρκούν δύο τιμές αφού η γραφική παράσταση θα είναι ευθύγραμμη. Έχουμε ήδη δύο τιμές από το προηγούμενο ερώτημα.

ο 8

4 3 2

Πρέπει να προσέξουμε ότι στην γραφική παράσταση δεν πρέπει να ανήκουν σημεία τα οποία έχουν αρνητικές συντεταγμένες. Επομένως η γραφική παράσταση θα είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, όπου Α είναι το σημείο με συντεταγμένες (0, 8) και Β το σημείο με συντεταγμένες (4, 0).

1 Ο) Ο τύπος που δίνει το ιδανικό βάρος y (σε kg) ενός άνδρα είναι: y = χ - 100 -

- lS O ( 1 )

όπου χ το ύψος του σε cm. α) Υπολογίστε το ιδανικό βάρος ενός άνδρα ύψους 1 ,70m. β) Ποιο θα πρέπει να είναι το ύψος ενός άνδρα βάρους 74kg; γ) Θα μπορούσε να υπάρξει άνδρας με ιδανικό βάρος 1 55kg; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Λύση : α) Στη σχέση ( 1 ) για χ =1 ,70m= 1 70cm έχουμε: 20 1 70 - 1 50 70 = 70 - 5 = 65 kg. y = 1 70 - 1 00 4 4 =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/19

------

β)

Διαγώνισμα για την Β ' Τάξη Γυμνασίου

Στη σχέση (1) για y = 74 έχουμε: 74 = χ - 1 00 -

-------

χ - 1 50 . Άpα 296 4

) ( 4χ - 400 . - χ - 150

546 , , ' πρεπει ' να εχει ' υψος ' ' χ =' δ ρας αυτος ' 1 , 82m ' - = 1 82 cm. Επομενως ο αν απο οπου προκυπτει οτι 3 χ - 1 50 , άρα 620 4χ - 400 - ( χ - 150 ) γ) Στη σχέση (1) για y = 1 55 έχουμε: 155 = χ - 1 00 4 87 από όπου προκύπτει 3 χ = 870 και χ = 0 = 290 cm. 3 Επομένως ο άνδρας αυτός θα έπρεπε να έχει ύψος 2,90m που είναι μάλλον . . . αδύνατον! =

Π ροτ ε ινό μενα θέμ ατα Γ ε ω μετρ ίας Β ' Γυ μν ασίου

1 ) Ο κύκλος του σχή ματος έχει περίμετρο μεγαλύτερη κατά 2,8cm από την περίμετρο του εγγεγραμμένου κανονικού εξαγώνου. α ) Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου θεωρώντας π = 3, 14. � β) Να υπολογίσετε το συνολικό εμβαδόν των λευκών τμημάτων που δημιουργούνται μεταξύ του εξαγώνου και του κύκλου. ΛίJση : α) Ισχύει 2πρ=6ρ+2,8 (αφού η πλευρά του κανονικού εξαγώνου είναι ίση με την ακτίνα ρ του κύκλου).Άρα 6,28ρ-6ρ=2,8. Επομένως 0,28ρ=2,8 άρα ρ= 1 Ocm. β) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι η διαφορά των εfβαδών του κύκλου 2 2 και του εξαγώνου. Το εμβαδόν του κύκλου είναι 3,14 · 1 0 cm =3 14 cm . Το εμβαδόν του εξαγώνου είναι ίσο με 6 φορές το εμβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς 1 0cm. Το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου υπολογίζεται με τη βοήθεια του Πυθαγόρειου Α θεωρήματος. Το ύψος ΑΜ είναι και διάμεσος, 2 ΒΜ=5 2 οπότε 2 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΜΑΒ παίρνουμε ΑΜ =ΑΒ +ΒΜ • Επομένως 2 2 2 ΑΜ =10 -5 ή ΑΜ: =75 , οπότε ΑΜ= ..J7S S../3 . Το εμβαδόν του ' ιο·sν'3 ' του 2 5 νΓ-13;) cm2 . Άρα το εμβαδον ' λευ ρου τριγωνου ' 2ισοπ ειναι 2 κανονικού εξαγώνου είναι 150../3 cm Επομένως το ζητούμενο 2 -/3 εμβαδόν είναι 3 14-1 50 cm • 2) Ο Σωτήρη ς προκειμένου να δημιουργή σει μία μικρή πίστα για να χρησιμοποιήσει την σανίδα του (skateboard) σκέφτηκε να τοποθετήσει στη συγκεκριμένη σκάλα της εικόνας μία πλατειά σανίδα. Για να υπολογίσει το μήκος της σανίδας μέτρησε τις διαστάσεις των σκαλοπατιών και βρήκε ότι σε κάθε σκαλοπάτι το ύψος ήταν 2 1 cm και το πλάτος ήταν 28cm. Στο υπόγειο του σπιτιού του βρήκε μία σανίδα μήκους 2,50 μέτρα. α ) Να εξετάσετε τι κομμάτι της σανίδας που βρήκε θα πρέπει να κόψει ώστε αυτή που θα απομείνει να ταιριάζει στην συγκεκριμένη σκάλα. β ) Για να είναι ασφαλής η κάθοδος θα πρέπει η κλίση της σανίδας ως προς το έδαφος να μην υπερβαίνει το 0,76. Να εξετάσετε αν η σανίδα του Σωτήρη διαθέτει ασφαλή κλίση. ΛίJση : α ) Σε κάθε σκαλί δημιουργείται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 21 και 28. Η υποτείνουσα είναι ίση με 35 (Πυθαγόρειο θεώρημα) και επειδή δημιουργούνται 6 ορθογώνια θα έχουμε απαιτούμενη σανίδα 6·35cm=2 1 0cm. Άρα θα πρέπει να κόψει 40cm σανίδας. .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/20

------

Διαγώνισμα για την Β ' Τάξη Γυμνασίου

κλ

-------

κλίση της σανίδας είναι η εφαπτομένη της μικρής από τις δύο οξείες γωνίες των 21 3 ο , , , , , , ασφαλ , ορθογωνιων τριγωνων και ειναι ι<τη με = '4 = ,75 αρα ειναι ης η ιση . 28 β) Η

3) Δύο ίσοι κύκλοι με κέντρα Α και Β και ακτίνας 10 cm τέμνονται και

κέντρο του άλλου.

ένας περνά από το

α) Να υπολογίσετε το μήκος της κοινής χορδής ΓΔ, β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ρόμβου ΑΓΒΔ. Λύ ση : α) Η κοινή χορδή ΓΔ είναι ίση με το διπλάσιο του ύψους ενός ισοπλεύρου τριγώνου (του ΓΑΒ) πλευράς lOcm. Άρα ΓΔ= J3 = 1 0 · J3cm 2·10· 2 β) Ο ρόμβος αποτελείται από 2 ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 1 Ocm και 2 ύψους 5 J3cm άρα θα έχει εμβαδόν 2 _!_ · 1 Ο · 5 · J3cm 2 ·

Στο παρακάτω σχήμα ο κύκλος έχει μήκος L=12πcm και το ΑΒΓΔΕΖ είναι κανονικό εξάγωνο. α) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα ρ του κύκλου είναι ίση με 6cm. β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΖΕΓ είναι ορθογώνιο καθώς ° και ότι ΕΖΓ 60 . γ) Να υπολογίσετε τις πλευρές και το εμβαδόν του τριγώνου z.,_ ::wr ΖΕΓ. Λύ ση : α) Είναι γνωστό ότι η περίμετρος L ενός κύκλου ακτίνας ρ δίνεται από τον τύπο L=2πρ. Άρα 2πρ=12πcm άρα ρ=6cm β) Κάθε εγγεγραμμένη σε κύκλο γωνία που βλέπει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Η γωνία ΕΖΓ ° είναι εγγεγραμμένη και βλέπει το τόξο ΓΕ που έχει μέτρο 120° άρα η γωνία ΕΖΓ = 60 . γ) Αρχικά γνωρίζουμε ότι ΖΓ=2ρ, επιπλέον η πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου είναι ίση με ρ 2 2 2 2 2 2 άρα και ΖΕ=ρ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΖΕΓ έχουμε ΕΓ =ΖΓ - ΖΕ = (2ρ) -ρ =3 ρ . Τελικά ΕΓ= .J3 · ρ = J3 · 6cm . Το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με =

_ _ _ _ _

_!_ 2 _!_ ΕΓ · ΕΖ= · 6 ../3 · 6cm2 18 ..f3cm 2 2 5) Το διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 24 cm . α) Με τη βοήθεια κατάλληλης εξίσωσης να υπολογίσετε τις πλευρές του χ+4 τριγώνου και να αποδείξετε ότι είναι ορθογώνιο τρίγωνο. β) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ και κατόπιν το ύψος Α β του ΑΔ. Λύ ση : α) Ισχύει: x+x+4+x+2=24cm άρα 3x=1 8cm άρα x=6cm. Τελικά 2 2 2 AB=6cm AΓ=8cm και BΓ=lOcm. Για τις πλευρές ισχύει ΑΒ +ΑΓ =ΒΓ άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. β) ημω=Ο,6 , συνω=Ο,8 και εφω=0,75 2 γ) Το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο 0,5 ·AB·AΓ=24cm . Αν θεωρήσουμε pάση την πλευρά ΒΓ τότε το εμβαδόν γράφεται 0,5·ΒΓ · ΑΔ άρα Γ 5 ΑΔ =24cm άρα AΔ=4,8cm. 6) α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι ορθογώνιο. =

Ar ΔJχ+2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/21

------

Διαγώνισμα για την Β ' Τάξη Γυμνασίου

-------

β) Να υπολογίσετε το μέτρο του τόξου χ (σε μοίρες) με κατάλληλη εξίσωση. γ) Να βρείτε τις γωνίες ΔΑΓ και ΒΓΔ. δ) Αν το μήκος του κύκλου είναι L = 20πcm, να βρείτε την ακτίνα ρ του κύκλου και το μήκος των πλευρών ΑΒ και ΒΓ. Λύ ση : α) Η γωνία Γ του τριγώνου είναι εγγεγραμμένη και βλέπει τόξο 60° άρα η γωνία αυτή είναι ίση με 30° και επομένως στο τρίγωνο ΑΒΓ οι δύο γωνίες του έχουν άθροισμα 90° . β) Αρχικά συμπεραίνουμε ότι η ΑΓ είναι διάμετρος του κύκλου λόγω του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Αυτό σημαίνει ότι χ+4χ=1 80° άρα χ=36° . γ) Ισχύει L=2π·ρ άρα 2πρ=20πcm και επομένως ρ=lOcm. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ..fj ° ° ΑΒ=ΑΓ · ημ30 =2 ρ·0,5=ρ= l 0cm. Ακόμη ΒΓ=ΑΓ·ημ60 =2ρ· =ρ · ..fj =10· ..fj cm. 2 7) Στο παρακάτω πλέγμα κάθε τετραγωνάκι έχει πλευρά 1 .Το ορθογώνιο τρίγωνο που έχουμε σχεδιάσει έχει κάθετες πλευρές με μήκη 2 και 3. α) Να δείξετε ότι η τρίτη πλευρά του έχει μήκος .Jϊ3 . β) Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο με πλευρά .Jϊ3 και να δείξετε ότι έχει εμβαδόν 1 3 τετραγωνικές μονάδες. Δείξτε τώρα ότι το μήκος της διαγωνίου αυτού του τετραγώνου έχει μήκος .J26 . γ) Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο με πλευρά .J26 και να βρείτε το εμβαδόν του καθώς και το μήκος της διαγωνίου του. Τι παρατηρείτε; Σημείωση : Να θεωρήσετε ότι τα

είναι εκφρασμένα σε cm.

μήκη των διαφόρων τμημάτων που αναφέρονται στην άσκηση

2 2 2 Λύ ση : α) Αν χ η τρίτη πλευρά του τότε χ =2 +3 =13 άρα χ= .Jϊ3 2 2 β) Αν α= .Jϊ3 η πλευρά του τετραγώνου τότε το εμβαδόν του είναι ίσο με α =13cm • Η διαγώνιος y του τετραγώνου είναι υποτείνουσα ισοσκελούς ορθογωνίου με κάθετες πλευρές .Jϊ3 άρα J= 13+ 1 3=26 οπότε .J26 . y= 2 γ) Αν y= .J26 η πλευρά του τετραγώνου τότε το εμβαδόν του είναι ίσο με J=26cm • Η διαγώνιος z του τετραγώνου είναι υποτείνουσα ισοσκελούς ορθογωνίου με κάθετες πλευρές 2 .J26 άρα z =26+26=52 οπότε y= J52 . Αυτό που είναι άξιο παρατήρησης είναι ότι έχει οριστεί μία διαδικασία κατασκευής σειράς τετραγώνων που καθένα από αυτά · έχει διπλάσιο εμβαδόν από το προηγού μενό του. 8) Στο διπλανό σχήμα δίνονται : το ύψος του παραθύρου ΑΒ = 5m, το ύψος φράχτη ΔΓ = 2m και το μήκος αυλής (μέχρι τον εξωτερικό τοίχο) ΒΓ = 4m Θεωρώντας ότι οι τοίχοι είναι κατακόρυφοι και το έδαφος οριζόντιο, τότε: α) να δείξετε ότι ΑΔ = 5m, 2m β) να βρείτε τη γωνία ΑΔΕ , δοθέντος ότι εφ37° = (δ) :_;_,--�...----0,75 , ημ49° = 0,75 και συν41 ° = 0,75, 4m γ) να υπολογίσετε το ημ37° και δ) να υπολογίσετε το ελάχιστο μήκος της σκάλας που χρειάζεται κάποιος για να κατέβει απευθείας από το παράθυρο Α στο δρόμο (δ) • •

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/22

λύση :

--------�-

Διαγώνισμα yια την Β ' Τάξη Γυμνασίου

------

α) Το ΒΓΔΕ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο άρα ΔΕ = ΒΓ = 4cm και ΒΕ = ΔΓ = 2cm, οπότε ΑΕ = ΑΒ ΒΕ = 5cm 2cm = 3cm. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΑΔ, άρα από το Πυθαγόρειο Θεώρημα -

έχουμε: Επειδή ΑΔ m

:2:

ΑΔ2 = ΑΕ2 + ΔΕ2 = 42 + 32 = 1 6 + 9 = 2 5 .

Ο (ως απόσταση) θα ισχύει ΑΔ = .J25 = 5

β) Επειδή

απέναντι κάθετη = εφΜΕ ' 0' 75 = � = ΑΕ = 4 ΕΔ προσκείμενη κάθετη

προκύπτει ότι ΑΔΕ � 37° 3 α πέναν τι κάθετη γ) η μ3 γ = η μΜΕ = = ΑΕ = = 0 6 υποτείνουσα ΑΔ 5 ' δ) Όσο πιο κοντά στον τοίχο ΑΒ βρίσκεται το σημείο Ζ στο οποίο θα στηρίζεται η σκάλα στον δρόμο, το μήκος της σκάλας ΑΖ μικραίνει. Θα έχουμε την ελάχιστη απόσταση όταν η σκάλα ακουμπάει στο σημείο Δ. Δηλαδή όταν τα σημεία Α, Δ και Ζ βρίσκονται σε ευθεία. Η ΑΒ/IΔΓ γιατί είναι κάθετες στην ΒΓ άρα τεμνόμενες από την ΑΖ σχηματίζουν εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες δηλ ΑΖΒ = ΑΔΕ = 37° . Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΖΒ έχουμε Λ

η μΑΖΒ =

ΑΒ ΑΖ

. Επομένως η μ3γ = � και άρα 0, 6 = � , οπότε χ = χ

25 3

= 8,33 . Άρα το ελάχιστο

μήκος της σκάλας είναι 8,33m 9) 'Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το σχέδιο μιας αποθήκης. α) Να αποδείξετε ότι ΑΒ = χ = 3,9m και ΒΓ= y = 2,5m. β) Πόσο θα κοστίσει συνολίκά η σκεπή αν το κάθε m2 κοστίζει 40€ ;

Λύ ση : α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ έχουμε

Α0=3,6 και ΟΒ=4,5-3=1,5 άρα

χ2 = 0Α2 + 082 = 3, 62 + 1 , 52 = = 12,96 + 2, 2 5 = 1 5, 2 1 .

2 Άρα χ = .J1 5, 2 1 = 3, 9 m διότι 3,9 = = 1 5,2 1 . Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΟΓ έχουμε

Άρα y = .J6, 2 5 = 2 , 5 m (προφανώς επειδή πρόκειται περί αποστάσεων πρέπει χ > Ο και y > Ο) β) Το συνολικό εμβαδόν της σκεπής είναι 8 · x + 8 · y = 8 · 3, 9 + 8 · 2, 5 = 3 1 , 2 + 20 = 5 1, 2 m2• Επομένως θα κοστίσει 5 1, 2 · 40 = 2 048 €. y2 = ΟΓ2 + 0 Β2 = 22 + 1,52 = 4 + 2, 2 5 = 6,25

10) Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον κύκλο (Ο,ρ) με "

ΑΔΓ=45

ΑΓ

2 J2 cm και

Να υπολογίσετε: α) Την γωνία ΑΟΓ , την ακτίνα και το μήκος του κύκλου. β) Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος. ' γ) Το μήκος του τόξου ΓΔ. .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/23

------

Διαγώνισμα για την Β ' Τάξη Γυμνασίου

-------

Λύ ση : α) Η γωνία ΑΔΓ είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο ΑΓ. Άρα η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία ΑΟΓ είναι ίση με 90°. Από το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΓ, έφαρμόζοντας Πυθαγόρειο

Θεώρημα, έχουμε: 2 p 2 = (2.fij2 , οπότε ρ = 2 cm. Το μήκος του κύκλου (Ο,ρ) είναι : L= 4π cm. β) ΑΟΓ = 90°. Άρα ο κυκλικός τομέας με κέντρο το Ο και ακτίνα ΟΓ είναι τεταρτοκύκλιο. Το εμβαδόν του κύκλου είναι Ε = πρ2 = π(2)2 = 4π cm2 . Επομένως το εμβαδόν του τεταρτοκύκλιου είναι π cm2 • Το τρίγωνο ΑΟΓ είναι. ισοσκελές ορθογώνιο. Άρα το εμβαδόν του είναι ίσο με (ΑΟΓ) = 2�2 = 2 cm2 . Άρα το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τμήματος είναι ίσο με π-2 cm2 • γ) Αν χ είναι το μέτρο του τόξου ΓΔ, τότε χ+90°+ 1 20°=360°, οπότε χ=1 50°.

1 1 ) Στο παρακάτω σχήμα το τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές (ΑΔ=ΒΓ) και έχουμε φέρει τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. Επιπλέον έχει χαραχθεί και ένα ημικύκλιο με διάμετρο ΕΖ. Δίνονται: ΑΒ= 4 Α 10 10, ΔΕ = ΖΓ = 6 και ημφ = - . 5 α) Να βρείτε τα τμήματα ΑΔ, ΑΕ και ΕΖ. β) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ. γ) Να βρείτε το εμβαδόν και την περίμετρο της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. (Θεωρούμε π=3,14 με προσέγγιση) Δ r z 6 Λύ ση : Λύση :

α) Αφού ημφ = - άρα συνφ= 4

Στο ορθογώνιο

τρίγωνο ΑΕΔ ισχύει: ΑΔ=

ΔΕ

= 1 Ocm. Ακόμη με Πυθαγόρειο θεώρημα στο · τρίγωνο ΑΕΔ συνφ προκύπτει AE=8cm. Τέλος λόγω του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΖΕ θα είναι EZ=l Ocm. --

β) (ΑΒΓΔ)=

(Β+ β) · υ

(22+ 1 Ο) 2

128cm2 •

γ) Η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει εμβαδόν Ε ίσο με 't'Ί διαφορά των εμβαδών του τραπεζίου μείον το εμβαδόν του ημικυκλίου. E=l 28cm2 -3, 1 4 · 5 2cm =78,5cm2 με προσέγγιση του π=3, 14. Από το σχήμα προκύπτει ότι η ζητούμενη περίμετρος είναι ΕΔ+ΔΑ+ΑΒ+ΒΓ+ΓΖ+ημικύκλιο= 42cm+3, 14 · 5cm=5 1 ,7cm.

Η συντακτική Επιτροπή ίδ του Υ 4

Σας εύχεται καλή επιτυχία στίς εξετάσεις σας και Καλό Καλοκαίρι

Σας -ιrεριμένουμε ατα καλοκαιρινά σχολεία ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/24

j:\ ύσεις

θεμάτων yιu προχωρημένους Β" τάξης τεύzους 99

1 ) Δύο διαδοχικές πλευρές και η διαγώνιος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου σχηματίζουν ορθσyώνιο τρίγωνο. Αναζητούμε ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών ακέραιους αριθμούς (Πυθαγόρειες τριάδες) και στο τρίγωνο αυτό οι δύο κάθετες πλευρές έχουν άθροισμα 34cm. ι

2 3 4

33 32 31 30

Αν κατασκευάσουμε έναν πίνακα με 2 στήλες τότε το ζευγάρι 10 και 24 είναι οι ζητούμενες πλευρές αφού η υποτείνουσα θα είναι 26 (ακέραια) Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι 240 cm2 •

Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο αφού τα κέντρα των 4- κύκλων είναι κορυφές τετραγώνου. Οι δύο κάθετες πλευρές έχουν μήκος R+ρ ενώ η υποτείνουσα έχει μήκος 2R άρα ισχύει: 2(R+ρ)2 = (2R)2 • Από αυτό προκύπτει ότι:

.fi (R+ρ) 2R και σε μία πιο κομψή έκφραση: =

ρ= (.fi- 1 ) R ·

Διερεύνηση : Αν όλες οι ακτίνες των κύκλων είναι ίσες με ρ τότε χωρούν συνολικά 6 κύκλοι ίσοι με τον μικρό yύρω από αυτόν. Τα κέντρα των κύκλων είναι κορυφές κανονικού εξαγώνου.

2) Οι δύο γραφικές παραστάσεις προέρχονται από παραστάσεις των συναρτήσεων . , , α β , , , , α β α-β , , y=- και y=- . Το μηκος καθε τμηματος ειναι ισο με τη διαφορα - - - = - απο οπου για χ

x=l προκύπτει ότι α-β=3 . Κάθε μήκος επομένως των τμημάτων προκύπτει από την διαίρεση του 3 με την τετμημένη του σημείου στο οποίο έχουμε φέρει την κάθετη. Στο σημείο 1 0 3 ' ' ' ' = 0,3 επομενως το ζητουμενο μηκος ειναι 10

.fj:.

α+

> 1 ,2 προκύπτει ότι α+.Jα> 1 ,2(α-..Γα) που μετά από πράξεις

Από τη δοσμένη σχέση

α) Μία κατάλληλη τριάδα είναι η α= 1 00, β= 1600 και γ=2500. β) α=9.

α-να

δίνει 2,2..Γα>Ο,2α επομένως ..Γα<1 1 άρα α<1 2 1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/25

Ενδε\1(1'tκό Δ οy ω i ματ =======

και

θέματα "'f\tl τη

r " Γυμνασiου

Επιμέλεια : Τζίφας Ν ., Λαγός Γ., Κωνσταντινίδης Α.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο Θεωρία

Θέμα 1 ° Α) Να γραφεί η γενική μορφή της εξίσωσης 2ou βαθμού με έναν άγνωστο καθώς και ο τύπος της διακρίνουσας της εξίσωσης. Β ) Ποιο είναι το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 2ou βαθμού. Σε περίπτωση που υπάρχουν λύσεις, ποιες είναι αυτές. 2 Γ) Αν η εξίσωση αχ + βχ + γ = Ο, α =t- Ο έχει διακρίνουσα Δ > Ο και ρ1 , ρ 2 οι λύσεις της, να γραφεί το τριώνυμο αχ 2 + βχ + γ σε παραγοντοποιημένη μορφή. Θέμα 2 °

Α) Να διατυπώσετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας δύο τριγώνων. Β) Πότε λέμε ότι 2 τρίγωνα είναι όμοια (ορισμός).

Γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. i. Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια, τότε είναι ίσα ii. Δύο ισόπλευρα τρίγωνα είναι πάντα όμοια iii. Δύο ορθογώνια τρίγωνα με ίσες γωνίες είναι ίσα

Ασκήσεις

Θέμα 1 ° α) Να λύσετε την εξίσωση χ2 - 3χ - 4 = Ο και κατόπιν να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο χ2 - 3χ - 4 . χ2 - 3χ - 4 β) Να aπλοποιήσετε το κλάσμα χ2 - l χ2 - 3χ - 4 2χ + Κ= + 1 + 201 3 γ) Να υπολογίσετε την παράσταση : χ xz 1 Θέμα 2 ° α) Να λύσετε το σύστημα β) Αν η λύση

(x, y)

{

(

2x - y = 2 x + 2y = 6

του παραπάνω συστήματος επαληθεύει την σχέση

: (α+β)χ-( α -β)y= αχy

όπου α, β πραγματικοί αριθμοί , να αποδείξετε ότι α = β Θέμα 3 ° Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) του διπλανού σχήματος. Στις προεκτάσεις των ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε τμήματα ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα ώστε ΑΔ=ΑΕ. Να αποδείξετε ότι: α) ΕΒ=ΔΓ β) ΕΒ Γ = Δf'Β γ) ΒΕΔ = ΓΔΕ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2° Θεωρία

Θέμα 1 ° Α) Πότε μια ισότητα λέγεται ταυτότητα; Β ) Να συμπληρώσετε τις επόμενες ταυτότητες :

( α - β)2 = ..?;.7 . . . �... . . , ( α - β)( α + β) = . ... ........ . ..... , ( α - β)3 = . .................. . /

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/26

------

Διαγώνισμα για την Γ Τάξη Γυμνασίου

Γ) Να αποδείξετε την ταυτότητα:

-------

( α + β) 3 = α3 + 3 α 2 β + 3 αβ2 + β3

Θέμα 2° Α) (ί) . Τι ονομάζεται διάμεσος τριγώνου; (ίί). Τι ονομάζεται ύψος τριγώνου; Β) Να χαρακτη ρισθούν οι παρακάτω προτάσεις με την ένδειξη Σ (Σωστή) ή Λ (Λάθος). (ί). Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. (ίί). Αν δύο τρίγωνα έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. (ίίί) . Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. (iv). Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία

Ασκήσεις

Θέμα 1° Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ Γ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Επίσης φέρνουμε τις ΜΔ l_ ΑΒ και ΜΕ l_ ΑΓ. Α (Α). Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΜΔΒ και ΜΕΓ είναι ίσα. (Β ) . Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ και προς το Β και προς το Γ και παίρνουμε τα τμήματα . ΒΖ= ΓΗ. Να συγκριθούν τα τρίγωνα ΒΔΖ, ΓΕΗ. Θέμα 2° Δίνονται οι παραστάσεις :

Α = χ2 - 7χ + 6 χ2 - 3 6 α. Να βρεθούν οι τιμές του aπλοποιή σετε. β . Να αποδείξετε ότι : Θέμα 3°

, οι γωνιες

και

2 Β χ + 7χ + 6 χ2 - 1 =

για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις

και

και μετά να τις

( Α + Β )2 - ( Α - Β ) 2 = 4

, , , ω και φ ειναι παραπληρωματικες ' . Αν με ω οξεια και φ αμβλεια

Α . Να υπολογίσετε τα ημω και εφω

Β . Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας φ

Γ . Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α =

, : συvω 1 5 τοτε 17

1 7 ημφ + 1 5εφω + 1 7συvφ ημ2φ + συv 2 ω

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3° Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/27

= -

------ Διαγώνισμα για την Γ Τάξη Γυμνασίου

-------

Γ) Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση από τις παρακάτω ως Σωστή ή Λάθος. χ2 χ y i. Η εξίσωση α + β + = Ο με α * Ο , έχει μια τουλάχιστον λύση αν η διακρίνουσα της είναι θετική ή μηδέν ( Δ � Ο ) . χ2 ii. Αν ρ1ρ2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης α + βχ + y = Ο με α * Ο , τότε το τριώνυμο 2 2 ) αχ + βχ + y παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο: αχ + βχ + y = ( χ - Ρι ( χ - Ρ2) Θέμα 2° Α) Στο διπλανό ορθοκανονικό σύστημα αξόνων είναι σχεδιασμένη μία γωνία ω. Το σημείο Μ(χ, y) είναι ένα τυχαίο σημείο της τελικής πλευράς της γωνίας ω. Με τη βοήθεια του σχήματος να δείξετε ότι ημ2 ω + συ v2 ω = 1 0 Β. Να aντιστοιχίσετε σε κάθε τριγωνομετρικό αριθμό της στήλης Α τον ίσο του από τη στήλη Β. •

ΣΤΗ ΛΗ Β

ΣΤΗΛΗ Α

1 . ημ120° 2. εφ135° 3. - εφ1 35° 4. συν60° 5. - συν60° Ασκήσεις

α. ημ60° β. συν120° γ. εφ45°

Θέμα 1°

{

} {

}

2(x + 1) + 3(y + 2) = 21 . Δινεται το συστημα (Σ) . 4(χ - 2) - 3(y + 1) = 3(χ - y) + y - 1 2 2x + 3y = 13 α) Να αποδειχθεί ότι το σύστημα (Σ) είναι ισοδύναμο με το το οποίο να λυθεί. x - y = -1 β) Αν η λύση του συστή ματος του προηγού μενου ερωτή ματος είναι (x,y)=(2,3), τότε να αχ + βy = 10 βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε και το σύστημα να έχει την ίδια λύση 5 αχ + 2βy = 14 {x,y)=(2,3). Θέμα 2° Δίνονται οι παραστάσεις : α=χ+3+3χ2-2χ-2χ2-2 , β=(χ-4)(χ+4)-χ(χ-6) , γ=(χ-1 )2 -1 α) Να γράψετε στην απλούστερη δυνατή μορφή τις παραστάσεις α, β και γ. Α β) Χρησιμοποιώντας τις τελικές aπλοποιημένες μορφές των παραστάσεων α, β και γ που βρήκατε στο α) ερώτημα να λύσετε την εξίσωση 2α+β=γ-19 Θέμα 3° Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, όπως το διπλανό σχή μα. Αν ΒΔ και ΓΕ ύψη του τριγώνου και Κ το σημείο τομή ς τους. Δείξτε ότι: Γ Β α) Τα τρίγωνα ΒΕΓ, ΒΔΓ είναι ίσα. β) Τα τρίγωνα ΚΕΒ, ΚΔΓ είναι ίσα. γ) Το τρίγωνο ΚΒΓ είναι ισοσκελές.

{

}

Προτειν ό μεν α θέματ α Άλγε β ρ ας Γ ' Γυ μν ασίου. χ+2 2χ-3

1) Για τα διπλανά σχήματα (ορθογώνιο και τετράγωνο) γνωρίζουμε ότι έχουν το ίδιο εμβαδόν. α) Να υπολογίσετε τις διαστάσεις του ορθογωνίου και την πλευρά του τετραγώνου. β) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του χ για την οποία το ορθογώνιο είναι ισεμβαδικό με τετράγωνο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/28

------ Διαγώνισμα για την Γ ' Τάξη Γυμνασίου

-------

πλευράς 2χ. Να θεωρή σετε ότι όλες οι αλγεβρικές παραστάσεις εκφράζουν τα μέτρα των αντίστοιχων γεωμετρικών μεγεθών. 2 2 λ ύση α) Ισχύει (2χ-3)·(χ+2)=χ που μετασχηματίζεται στην εξίσωση χ +χ-6=0 η οποία έχει ρίζες 2 και -3 άρα χ=2. 2 β) Η εξίσωση που προκύπτει είναι η 2χ -χ+6=0 και δεν έχει πραγματικές ρίζες 2 2) Αν για του ακέραιους αριθμούς χ, y ισχύει 9x +25 r= 1 8 1 και x·y=-6 α) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 3x+5y β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 3x-5y γ) Να υπολ{yγίσετε τις τιμές 2 χ, y. 2 των Λύση. α) Ισχύει (3x+5y) =9x +25 r+30x·y=1 8 1-1 80=1 άρα 3x+5y=1 (1) ή 3 x+5y=-1 (2). 2 2 β) Ισχύει (3x-5y) =9x +25r-30x·y=1 8 1 + 1 80=361 άρα 3x-5y=1 9 (3) ή 3x-5y=- 19 (4). γ) Επειδή οι χ, y είναι ακέραιοι μόνο τα συστήματα των εξισώσεων (1) ,(4) και (2), (3) δίνουν αποδεκτά ζεύγη τιμών (-3,2 2) και (3, -2). 3) Δίνεται το τριώνυμο 2χ -3χ+ 1 α) Να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο δύο πρωτοβάθμιων παραγόντων. 2 β) Ας υποθέσουμε ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου εκφράζεται από την παράσταση 2χ -3χ+ 1 Ποιες θα μπορούσε να είναι οι διαστάσεις του ως εκφράσεις του χ; Υπάρχει τέτοιο ορθογώνιο με εμβαδόν 3; Να θεωρή σετε ότι όλες οι αλγεβρικές παραστάσεις εκφράζουν τα μέτρα των αντίστοιχων γεωμετρικών μεγεθών. .!. .!. 2 2 Λύση : α) Οι ρίζες του 2χ -3χ+1 είναι οι και 1 άρα 2χ -3χ+1=2(χ- )·(χ- 1)=(2χ-1)·(χ-1 ). Θα 2 2 μπορούσε η2παραγοντοποίηση να γίνει και με διάσπαση του -3χ σε -2χ-χ. β) Αφού 2χ -3χ+ 1=(2χ-1)·(χ-1 ) θα μπορούσε οι διαστάcrεις του υποθετικού ορθογωνίου να 2 2 είναι 2χ-1 και χ-1 . Αν το εμβαδόν ήταν 3 θα έπρεπε 2χ -3χ+ 1=3 άρα 2χ -3χ-2=0 κ.λ.π , χ+ 1 χ , 4) .Δινεται ' Α= 2- 2 η αλγεβρικη' παρασταση χ -χ χ - 1 ή i. Να παραγοντοποι σετε τις παραστάσεις χ2 - χ , χ2 - 1 . ii. Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η αλγεβρική παράσταση Α έχει νόημα. ίίί. Να κ(ινετε τις πράξεις στην Α. . χ+1 Να λυσετε ' ιν. την εξ'ισωση Α 2 . χ -χ 2χ + 1 Λυ' ση : Η Α= με χ '* Ο, - 1 , + 1 χ(χ + 1)(χ - 1) 2χ + 1 χ+1 = -- μετα' τις πρα' ξεις γινεται ' ' χ3 (χ - 1) = ο που δ'ινει λυσεις Η εξ'ισωση χ(χ + 1)(χ - 1) χ2 - χ Ο και 1 που απορρίπτονται άρα είναι αδύνατη. χ χ+2 (2) . . Αν κ είναι η θετική ρίζα της 5) Να λύσετε τις εξισώσεις χ2 = χ (1) και __ = 3 χ-2 2χ + = -3 λΥ εξίσωσης (1) και λ η αρνητική ρίζα της εξίσωσης (2) να λύσετε το σύστημα χ - 2κy = κ + λ χ χ+2 ' ' κ= 1 και η -- = -- εχει Λυ, ση: Η χ2 = χ εχει ' λυσεις ' Ο και 1 αρα ' λυσεις ' 4 και - 1 αρα 3 χ-2 2χ - y = -3 που έχει λύση το ζεύγος ( x,y ) = (-2, -1) λ=-1 . Το σύστημα γίνεται x - 2y = O 6) Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Ποιά είναι η πιθανότητα των ενδεχομένων ί . Να έχουν ίσες ενδείξεις. ίί. Να έχουν άθροισμα ενδείξεων 6. -

- -

{

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/29

}

------

iii.

Διαγώνισμα για την Γ ' Τάξη Γυμνασίου

-------

Να έχουν γινόμενο ενδείξεων 8. ίν. Η πρώτη ένδειξη να είναι άρτια και η δεύτερη ένδειξη περιττή. Λύση : Ο Δειγματικός χώρος αποτελείται από 6·6=36 ζεύγη i. Ίσες ενδείξεις έχουν τα ζεύγη (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) άρα Ρ(να έχουμε ίσες ' ' 6 1 ενδειξεις)= 36 6 2_ ίί. Άθροισμα 6 έχουν τα ζεύγη (1 ,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) άρα Ρ(να έχουν άθροισμα 6)= 36 � _!_ ίίί. Γινόμενο ενδείξεων 8 έχουν τα ζεύγη (2,4)και (4,2) άρα Ρ(γινόμενο ενδείξεων 8)= 36 1 8 ίν. Με πρώτη ένδειξη άρτιος και δεύτερη ένδειξη περιττός είναι τα ζεύγη = -

(2, 1 ),(2,3),(2,5),(4, 1 ),(4,3 ),(4,5),(6,1 ),(6,3 ),(6,5) άρα Ρ(άρτιος-περιττός)= _2_ .!_ 36 4 3 2 7) Θεωρούμε τις αλγεβρικές παραστάσεις Α = 2χ -2χ, Β = 2χ -4χ+2 και Γ = 9-14χ α) Να παραγοντοποιή σετε τις παραστάσεις Α και Β Α β) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζεται η παράσταση .και να aπλοποιή σετε Β την παράσταση αυτή γ) Να λύσετε την εξίσωση Α = Ο δ) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ισχύει 4Β = Γ Α χ(χ + 1) 2 , , χ * 1 γ) Α=Ο δίνει λύσεις 0, 1,-1 Λυση : α) Α=2χ(χ- 1)(χ+ 1) και Β=2(χ-1) β) - = Β χ 1 δ) 4Β=Γ η 8χ2-2χ- 1 =Ο που δίνει λύσεις 1/2 και -1/4. 2 2 α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α+2β) -(α-2β) =8αβ 8) β) Να υπολογίσετε με την βοήθεια της παραπάνω ταυτότητας την αριθμητική τιμή της .!_ 2 .!_ 2 παράστασης' Κ=( +40,32) -( -40,32) 8 8 γ) Να γράψετε τον αριθμό 8·36 σαν διαφορά τετραγώνων δύο φυσικών ι:φιθμών. Λύση : β) Εφαρμόζουμε την ταυτότητα (α) για α=1/8 και β=20, 1 6 2 2 κ = (.!.. + 2 . 20' 16) (.!_ - 2 . 20' 16) = 8 . .!.. . 20' 1 6 = 20' 1 6 8 8 8 για α=4 και β=9 γ) Εφαρμόζουμε την ταυτότητα 2 2 2 (4+2·9) -(4-2·9) =8-4·9=8 ·36 . άρα 22 -142=8 ·36 2 9) α) Να λύσετε την εξίσωση -2χ =3χ-5 2 -2χ -3χ+5 και να το β) Να βρείτε για ποιες τιμές του χ ορίζεται το κλάσμα Κ =

aπλοποιή σετε. γ) Να λύσετε την εξίσωση ' Λυ, ση : α) Η εξισωση

δ'ινει λ':υσεις 1 και - 5/2

.!_ 2_ +Κ=2χ χ (lx + 5) -, x .... 1, -1 β) K _ χ+1 ..,...

2_ 2χ + 5 .!. 2 _ = - , x -::J; 1, -1, 0 και ισοδυναμεί με την -4χ .;.)χ+7=0 .χ 2χ χ + 1 που έχει λύσεις .;.7/4 (δεκτή) και 1 (απορρίπτεται). 1 0) Ένας παίκτης μπάσκετ σουτάρει από απόσταση 10m από το κέντρο της στεφάνης Κ του καλαθιού, που βρίσκεται σε ύψος 3m, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η μπάλα Μ όταν φεύγει από τα χέρια του παίκτη βρίσκεται σε ύψος 2m. Αν τοποθετή σουμε την αρχή Ο ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων στα πόδια του αθλητή , να βρείτε: γ) Η εξίσωση γίνεται

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/30

------ Διαγώνισμα για την Γ Τάξη Γυμνασίου α) Τις συντεταγμένες των σημείων Μ και Κ. Αν η _ τροχιά της μπάλας στο σχήμα είναι παραβολή της μορφής y = αχ2+βχ+γ, και διέρχεται από τα σημεία (0, 2) και (1 0, 3 ), να

-------

υπολογίσετε: Το πρόσημο του α και την y τιμή του γ, γ) Αν επιπλέον η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας την χ 6, να βρεθούν και τα α και β. δ) Ένας παίκτης με τα χέρια υψωμένα, πηδώντας κατακόρυφα, μπορεί να φτάσει τα 3, 70m. Αν 2m πηδήξει σε οριζόντια απόσταση χ 6m από τον παίκτη που σουτάρει, ο ι θα μπορέσει να «κόψει» το σουτ; ι.ι----- 1 Om ---+1 ---.ι Λύση : α) Μ(Ο, 2) και Κ(1 0, 3 ). : χ=6 β) Εφόσον η τροχιά της καμπύλης τού σχήματος είναι παραβολή, που παίρνει μέγιστη τιμή, θα πρέπει να είναι Iα < ol . Το Μ(Ο, 2) είναι σημείο της παραβολής επομένως 2 = α · 02 +β·Ο+γ. Οπότε β)

.. ι

I I

γ)

l y = 21

Αν χ = 6 είναι άξονας συμμετρίας, τότε: -� = 6 , δηλαδή β = - 12α .

2α

Το Κ(1 Ο, 3 ) είναι σημείο της παραβολής επομένως 3 =α·1 02 +β·1 0 + γ . Επειδή γ = 2, 1 00α + 1 0β = 1 . Επειδή 1 Q � 0 0 lΟΟα -12 0α ; 1 ' και άρα α ; - 210 Επομένως fY=-12 -2 5 2

δ)

Η παραβολή y

( )

I·

4α

= -�= 2α 6.

)

2 = _!_ 2 έχει κορυφή με συντεταγμένες -1._ .-� . 2 α 4α 5 2 0 χ +�χ+

(lJ Παίρνει δηλαδή την μέγιστη τιμή της -� = 5 χ

(

β= -12α

( )

-4 4

9 8 + 25 20 4 20

1 2 20

3,80 όταν

Επομένως ο παίκτης δε θα μπορέσει να «κόψει» το σουτ . (εναλλακτικά θα

μπορούσαμε να υπολογίσουμε το ύψος της μπάλας για χ 6, αντικαθιστώντας στην 12 , , 1 36 2 6 19 εξισωση της παραβολης: y =- 0 62 + 0 6+2=- + 7 0 +2 7 0 5 3 8 ) 2 2 20 2 2 Δ l l) ίνονται οι εξισώσεις: χ2 - 7 χ + 6 = 0 και χ2 + 7χ + 6 = 0 α) Να λύσετε τις παραπάνω εξισώσεις και μετά να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: χ2 - 7χ + 6και χ2 + 7χ + 6 Α χ2 - 7 χ + 6 και Β = Χ2 + 7χ + 6 . β) Δίνονται οι παραστάσεις: = x2 -l χ2 - 36 Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις Α και Β και μετά να τις aπλοποιήσετε. =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/31

------

Διαγώνισμα για την Γ ' Τάξη Γυμνασίου

-------

γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση (Α + Β) - (Α - Β) είναι ανεξάρτητη του χ. 2 2 Λύση: α) χ -7χ+6={χ-1 )(χ-6) και χ +7χ+6={χ+ 1 (χ+6) χ2 + 7χ + 6 χ + 6 χ2 - 7χ + 6 χ - 1 = β) Α = 2 = , χ '* 6, -6 και Β = , χ '* 1 , -1 χ - 36 χ+6 χ2 - 1 χ-1 χ-1 χ+6 = 2 2 4 · γ) (Α + Β) - (Α - Β) = 4ΑΒ = 4 · χ+6 χ-1 1 2) Ένας φίλος του Παύλου τον ρώτησε τι πακέτο κινητής τηλεφωνίας δ·ιάλεξαν γι' αυτόν οι γονείς του. Ο Παύλος δε θυμόνταν ακριβώς, είχε όμως τους λογαριασμούς των 5 τελευταίων μηνων: -

Χρόνος ομιλίας (σε λεπτά) Ποσό (σε €)

Ιανουάριος

Φεβρουάριος

Μάρτιος

Απρίλιος

Μάιος

1 20

1 05

Αν θεωρήσουμε ότι η σχέση που συνδέει το ποσό y (σε ευρώ) που πρέπει να πληρωθεί, το πάγιο λ(σε ευρώ) , την τιμή του ενός λεπτού ομιλίας κ(σε ευρώ) και τον συνολικό χρόνο ομιλίας χ (σε λεπτά), είναι y=λ+κχ α) Να δείξετε ότι στο πακέτο του Παύλου, το πάγιο είναι 2€ και το λεπτό ομ1λίας κοστίζει 0,20€; β) Να-παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση y = 0,2χ + 2. γ) Αν γνωρίζετε ότι τον Ιούνιο ο Παύλος μίλησε συνολικά 1 ώρα και 12 λεπτά στο κινητό του, υπολογίστε αλγεβρικά και γραφικά το ποσό του λογαριασμού του μήνα αυτού. δ) Αν γνωρίζετε ότι ολόκληρο i"ον μήνα Ιούλιο ο Παύλος έφυγε διακοπές στο εξωτερικό και δεν πήρε μαζί του το κινητό του, τι ποσό θα πληρώσει για το μήνα αυτό; Λύση : α) Στη σχέση y = κχ + λ , για χ = 60 και y = 14, έχουμε: 1 4 = 60κ + λ και για χ = 120 και y = 26, έχουμε: 26 = 120κ + λ . Έχουμε επομένως το σύστημα: λ=14-60 · 0,2=14-12=2 λ=14-60κ λ=14-60κ 60κ+λ=14 1 20κ+λ=26 ' 120κ+(14-60κ ) =26 ' 60κ=12 ' κ= =0,2

{

β)

{

��

Δηλαδή ο Παύλος πληρώνει πάγιο 2€ και το λεπτό ομιλίας του κοστίζει 0,20€. y = 0,2χ + 2

Αλγεβ ρικά : Για χ = 72, y = 0,2 · 72 + 2 = 14,4 + 2 = 16,4 . Δηλαδή ο Παύλος θα πληρώσει 16,40€ για το μήνα Ιούνιο. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/32

------

Γεωμετρικ ά:

Διαγώνισμα yια την Γ ' Τάξη Γυμνασίου '

-------

Παίρνουμε σημείο Ρ με χ = 72 στον άξονα χ χ. Φέρουμε κάθετη στον άξονα χχ που τέμνει την ευθεία στο Σ. Από το Σ φέρουμε κάθετη στον άξ9να y 'y που τον τέμνει στο Τ. Η τεταγμένη του Τ είναι η ζητού μενη τιμή.

Τον μήνα Ιούλιο ο Παύλος είχε μηδενικό χρόνο ομιλίας επομένως θα πληρώσει: €, δηλαδή μόνο το πάγιο. y= 13) Έστω ένα ορθογώνιο μήκους .J6 και πλάτους .J6 . α) Υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν του ορθογωνίου. β) Πόσο είναι το μήκος των διαγωνίων του; γ) Πόσο πρέπει να είναι το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου ώστε να έχει την ίδια περίμετρο με το ορθογώνιο; δ) Πόσο πρέπει να είναι το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου ώστε να έχει το ίδιο εμβαδόν με το ορθογώνιο; Λύση : α) Περίμετρος =

γ)

Ο, 2 ·Ο + 2 = 2

2[(.J6 +3 )+(3 -.J6)] = 12 , Εμβαδόν = ( .J6 + 3)( 3 -v'6 ) = 32 - ( .J6 )2 = 9-6 = 3

β)

δ2 = ( .J6 +3 )2 + (3 - ./6)2 = [( � )2 +6./6 +9] + [ ( ./6 )2 - 6# + 9 = 3 0 Άρα δ= .J30

Αν δ είναι το μήκος της διαγωνίου,

Αν χ είναι το μήκος πλευράς του τετραγώνου, τότε Περίμετρος τετραγώνου = Περίμετρος ορθογωνίου, Επομένως το ζητούμενο τετράγωνο πρέπει να έχει πλευρά ίση με 3. δ) Αν y είναι το μήκος πλευράς του τετραγώνου, τότε . Επειδή y είναι μήκος y > Ο άρα Εμβαδόν τετραγώνου = Εμβαδόν ορθογωνίου, J3 . Επομένως το ζητούμενο τετράγωνο πρέπει να έχει πλευρά ίση με J3 . 2 2 14) α) Να λυθεί η εξίσωση. χ - 5χ + 4 = Ο . β) Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις χ - 1 6 , 1-χ . χ2 - 5χ + 4 και να απλοποιηθεί το κλάσμα 2 χ - 5χ + 4 1-χ 1 1 �Ο. - -- + 2 γ) Να λυθεί η κλασματική εξίσωση: χ2 - 1 6 χ - 4 χ - 5χ + 4 2 Λύση: α) Η χ - 5χ + 4 = Ο έχει λύσεις 4 και 1 2 · β) χ2 - 5χ + 4 = (χ - 4)(χ - 1) και χ - 1 6 = (χ - 4)(χ + 4)

γ)

4χ = 12 , χ = 3 .

y2 = 3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/33

------

1-χ

---

Διαγώνισμα yια την Γ ' Τάξη Γυμνασίου

1-χ

-1

με χF4, 1

χ2 - 5χ + 4 (χ - 4)(χ -1) χ - 4 1 _ _ __ 1 _ __0 1 1 1 - χ = ο <:::> γ) 1 --+ χ2 - 1 6 χ - 4 χ2 -5χ + 4 (χ - 4)(χ + 4) χ - 4 χ - 4 --

_ _

-----

με xF4, 1 ,-4 η οποία έχει λύση χ= -7/2. 1 5) Αν για την αμβλεία γωνία α) Το

συvω και την εφω .

β) Την τιμή της παράστασης: Λύση :

ω ισχύει ότι ημω = i , να υπολογίσετε: 5

3εΦω - 5συv ( 1 80. - ω ) + 5ημ ( 1 80' - ω ) .

2 2 α) Από την ταυτότητα ημ ω+συν ω= 1 , αν αντικαταστή σουμε ημω=4/5 έχουμε συνω= - 3/5 (συνω<Ο διότι ω αμβλεία γωνία).

ω εφω ημ συvω =

4 5 =-4

3 5

( �) -5(-συνω)+5ημω=-4+5 (- �) +5 � =-4-3+4=-3

β) 3εφω-5συν(1 80°-ω)+5ημ(1 80°-ω)=3 -

Προτειν ό μεν α θέματα Γε ω μετρ ίας Γ ' Γυμνασ ίου .

1) Στο παρακάτω σχή μα έχουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ

"1�-- · -��·

χ+δ

___

�\\•+2

_ _____ _

----��L

α) Να εξηγήσετε γιατί τα παραπάνω τρίγωνα είναι όμοια. β) Να βρείτε τον λόγο ομοιότητας τους λ. � 2 γ) Αν λ = �αι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 8 cm ,να βρείτε το . εμβαδόν του τριγώνου 3 ΔΕΖ. (Να θεωρή σετε ότι όλες οι αλγεβρικές παραστάσεις εκφράζουν τα μέτρα των αντίστοιχων γεωμετρικών μεγεθών). β) Επειδή ΑΒΓ :::::: ΔΕΖ έχουμε Λύση : α) Έχουν δύο γωνίες ίσες άρα είναι όμοια. 6 6 2 6 χ <:::> 2 =-= -- = χ - χ - 12 Ο <:::> χ = 4(δεκτή), -3 (απορρίπτεται) άρα .λ = 4+5 9 3 χ+5 χ+2 8 (ΑΒΓ) = (�) 2 = _i ::::> (ΔΕΖ) = 1 8 = γ) 9 (ΔΕΖ) (ΔΕΖ) 3 2) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές ΑΒ = 80 και ΑΓ = Β 60. Πάνω στην πλευρά ΑΒ ορίζουμε τμήμα ΑΔ = χ και σχηματίζουμε το ορθογώνιο ΑΔΕΖ, όπου Ε πάνω στην υποτείνουσα ΒΓ και Ζ πάνω στην πλευρά ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια και μετά να βρείτε σαν συνάρτηση του χ το μή κος της πλευράς ΔΕ. β) Να βρείτε σαν συνάρτηση του χ το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΔΕΖ. --

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/34

------

Διαγώνισμα για την Γ Τάξη Γυμνασίου

-------'--

γ) Για ποια τιμή του χ το εμβαδόν του ΑΔΕΖ γίνεται μέγιστο; (Να θεωρήσετε ότι όλες οι αλγεβρικές παραστάσεις εκφράζουν τα μέτρα των αντίστοιχων γεωμετρικών μεγεθών. ) Λύση : α) Το ΒΔΕ ::::! ΑΒΓ διότι είναι ορθογώνια και έχουν την γωνία Β κοινή. ΒΔ = ΔΕ = ΒΕ => 80 - χ ΔΕ = β) Από ΒΔΕ ΑΒΓ έχουμε: => ΔΕ = - � χ + 60 ΑΒ ΑΓ ΒΓ 80 60 4 · γ) (ΑΔΕΖ) = ΑΔ · ΔΕ = χ(- � χ + 60) = - � χ2 + 60χ ::::!

δ ) Για χ = _f!._ = - 60 = 40 το (ΑΔΕΖ) γίνεται μέγιστο.

3 2(--) 4

2α

3) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ . Από το σημείο Β φέρνουμε το ευθύγραμμο τμή μα ΒΔ κάθετο στην ΑΒ και από το σημείο Γ Α φέρνουμε το ευθύγραμμο τμή μα ΓΕ κάθετο στην ΑΓ , με ΒΔ = ΓΕ α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. β) Να αιτιολογή σετε το γεγονός ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. γ) Αν Κ , Λ τα σημεία στα οποία η ΔΕ τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΚ και Δ��--+-----�--� Ε ΑΕΛ είναι ίσα. Λύση : α) Είναι ορθογώνια με δύο πλευρές ίσες άρα ΑΒΔ= ΑΓΕ. β) Από ΑΒΔ=ΑΓΕ έχουμε ΑΔ=ΑΕ άρα ΑΔΕ ισοσκελές γ) Από ΑΒΔ=ΑΓΕ έχουμε Αι = Α και από ΑΔΕ ισοσκελές έχουμε Δι = J\ άρα τα 2 ΑΔΚ και ΑΕΛ έχουν ΑΔ=ΑΕ , Αι = Α , Δι = Ει άρα είναι ίσα. 2 4 ) Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο γνωρίζουμε τα μήκη των πλευρών- που είναι: α = χ J3 , β = χ και γ = χ+3. Εάν η γωνία Α = 60·, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του και το είδος του τριγώνου ΑΒΓ. (Να θεωρήσετε ότι όλες οι αλγεβρικές παραστάσεις εκφράζουν τα μέτρα των αντίστοιχων γεωμετρικών μεγεθών.) Λύση : Αν εφαρμόσουμε τον νόμο των ημιτόνων έχουμε : J3 χ χ + 3 χ../3 ' ' και επειδη' η μ60°= - αντικαθιστωντας εχουμε -- = = .

ηιJΒ

ημΓ

_L =

ηιJΒ

Χfl -ν 3

ημ60

•

ηιJΒ = .!. => Β = 3ο· ,Β = 1 sο· caπορρίπτετα ι) . 2

Αν Β=30° και Α=60° τότε Α=90° και το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. χ χ+3 χ χ+3 ' ' χ = 3 αρα = Άρα => = α = 3-ν{:;3 , β=3 και

ημ3 0°

ημ90°

-1 2 -

γ=6 Α

5) Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), χαράζουμε τα ύψη του ΒΔ

και ΓΕ. Να δειχθεί ότι: α) Τα τρίγωνα ΔΒΓ και ΕΒΓ είναι ίσα. β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. γ) Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Λύση : α) ΒΔΓ=ΕΒΓ διότι είναι ορθογώνια, ΒΓ κοινή και Β = Γ β) ΑΒΔ=ΑΓΕ διότι είναι ορθογώνια, ΑΒ=ΑΓ και Α κοινή γ) Από ΑΒΔ=ΑΓΕ έχουμε ΑΕ=ΑΔ άρα ΑΔΕ είναι ισοσκελές ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/35

B�

.,.r

_ _ _

" λυοε ι ς yια l.

3α+6α+···+300α 2β+4β+ .. ·+200β

ΊΟ

� ατα eεμ _

Ίb)V 33α:

= 2β(1+2+ ... +100) = 2β = 2ίi = 2 3α(1+2+ ...+100)

3α

. uροχωρημινιιιν -- τεuχος 1 00 ,.

�

2J3 3

2 ) α) y=AB=OB-OA= χ·εφ60° -χ·εφ30° = χ · (εφ60° -εφ30°) =χ·( '\f,j-J )= -- = 1 ,1 5χ �

β) Για να είναι y=x θα πρέπει η γωνία ω να είναι τέτοια ώστε εφ(30 +ω)-εφ30°=1 άρα

° εφ(30 +ω) =1 +εφ30°=1 ,57. Αν πάμε στους τριγωνομετρικούς πίνακες παρατηρούμε ότι 1 ,57 ° είναι η εφαπτομένη της γωνίας 57,67° άρα η γωνία 30 +ω=57,67° και επομένως ω=27,67° κατά προσέγγιση. 3) Η Γεωργία και ο Πέτρος σκέφτηκαν πως για να έχει μια εξίσωση 201 6 λύσεις, θα έχει

άπειρες. Άρα, πρέπει να βρουν α, β τέτοια ώστε η εξίσωση: (3α+2β-10)χ = να είναι αόριστη. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει αναγκαστικά να ισχύουν:

(3α+2β-10) = Ο (- S)α - 3β + 4 = Ο 2 . Α)

Β)

Συνεπώς, α=-22 και β=38

2χ + 51 y = 404 3 90 -y χ - 60 = 23 3 10

(-S)α - 3β + 4

α = -2 β = 38 lOx

+ y = 2020 --+ lOx + 3y = 2460

χ=1 80 y=220

�------�φ

Παρατηρώ πως καθώς ο ήλιος δύει, η γωνία φ που σχηματίζεται από τη σκιά του άντρα στο έδαφος και τη νοητή ακτίνα του ήλιου μικραίνει. Λίγο πριν δύσει ο ήλιος, λοιπόν, η γωνία φ θα είναι πολύ μικρή , ενώ η γωνία ω θα είναι μεγάλη. Γνωρίζοντας πως απέναντι από τη μικρή γωνί� του τριγώνου βρίσκεται η μικρή πλευρά και αντίστοιχα απέναντι από τη μεγάλη γωνία βρίσκεται η μεγάλη πλευρά, κατανοώ πως το χ είναι το ύψος και το Υ το μήκος της σκιάς του άντρα, καθώς χ < y. 4. Παρατηρώ πως οι γωνίες Α, ΕΓΖ, Δ, Ε, Ζ βαίνουν σε ημικύκλια, επομένως είναι ορθές. Άρα το εγγεγραμμένο σχήμα ΓΕΔΖ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και το τρίγωνο ΑΒΓ ° ορθογώνιο με Α = 90°. Το τρίγωνο ΚΓΖ είναι ισόπλευρο, καθώς ΚΓ=ΚΖ και ΖΚΓ=60 . Άρα ΚΓΖ= 60°. ° ° ° Άρα, ΚΓΕ=ΕΓΖ-ΚΓΖ=90 - 60 = 30 . Συνεπώς, ΑΓΒ = ΚΓΕ 30° =

Συνεπώς, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχω: συν30° = Ar . Άρα, ...f3 = Ar. Σ't)νεπώς, ΒΓ = 2.J3. . 2 ΒΓ ΒΓ

Η ΒΓ είναι η διάμετρος του κύκλου, άρα η ακτίνα ρ =

2...[3 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/36

ANAΛYfi KH ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Στα μαθηματι κά σε κατα στάσε ις ζωής -προβλ ή ματα τη ς καθημερ ινής Επιμέλεια Σπύρος Φερεντίνος

=====

Είναι φανερό ότι στα διαγράμματα Α και Ε από μια χρονική στιγμή και μετά, παρότι ο χρόνος μεταβάλλεται, το ύψος του νερού παραμένει σταθερό, επομένως τα διαγράμματα αυτά δεν αντιστοιχούν στα δεδομένα του προβλή ματος, εφόσον το ύψος του νερού, που αρχικά γεμίζει τον κώνο και στη συνέχεια τον κύλινδρο, συνεχώς αυξάνεται μέχρι να γεμίσει ολόκληρο το ντεπόζιτο. Ειδικά στο διάγραμμα Α και το αριστερό τμή μα του, που αντιστοιχεί στην αύξηση του ύψους στου νερού στον κώνο, δεν αντιστοιχεί στα δεδομένα του προβλή ματος, εφόσον η στάθμη του νερού στον κώνο λόγω του σχήματός του δεν αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, σε αντίθεση με τον κύλινδρο στον οποίο λόγω του σχήματός του το ύψος του νερού αυξάνεται με σταθερό ρυθμό, άρα η μεταβολή του ύψους στον κώνο δεν μπορεί να παρασταθεί με ευθύγραμμο τμή μα. •

•

Το διάγραμμα Γ εκφράζει μια σταθερή και ομοιόμορφη αύξηση του ύψους του νερού στον κώνο αρχικά και στη συνέχεια στον κύλινδρο με την πάροδο του χρόνου, μέχρι να γεμίσει πλή ρως το ντεπόζιτο, αλλά η σταθερή αύξηση του ύψους (σταθερός ρυθμός μεταβολή ς) ισχύει μόνο για τον κύλινδρο και όχι για τον κώνο, όπως αναφέρθηκε προηγού μενα. Ακόμη, εφόσον ο κώνος έχει ίδιο ύψος και ίδια βάση με τον κύλινδρο επομένως μικρότερο όγκο, ο ρυθμός με τον οποίο γεμίζει είναι ταχύτερος σε σχέση με τον κύλινδρο. Το διάγραμμα Δ εκφράζει στο δεξιότερο τμή μα του (ευθύγραμμο τμή μα), που αντιστοιχεί στην αύξηση του ύψους του νερού στον κύλινδρο, μια ταχύτερη αύξηση του ύψους του νερού σε σχέση με το αριστερό τμή μα (καμπύλη με την κοιλότητα προς τα πάνω), που αντιστοιχεί στην αύξηση του ύψους του νερού στον κώνο, αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με τα δεδομένα του προβλή ματος, σύ μφωνα με τα οποία θα έπρεπε το νερό να γεμίσει ταχύτερα τον κώνο από τον κύλινδρο. Το σωστό διάγραμμα είναι το Β, όπου το αριστερό τμή μα του (καμπύλη με την κοιλότητα προς τα κάτω) εκφράζει ότι το νερό κινείται ταχύτερα και με όχι σταθερό ρυθμό στον κώνο, σε σχέση με το δεξιότερο τμή μα που ι- 1 .0 m ...-{ εκφράζει το ρυθμό μεταβολή ς του νερού στον κύλινδρο εντός του οποίου το ύψος του νερού αυξάνει με σταθερό ρυθμό.

1 .e m

Ελέγξτε τώρα την ικανότητά σας: Να κατασκευάσετε το διάγραμμα που μας δείχγει το πώς αυξάνεται το ύψος του νερού με την πάροδο του χρόνου όταν το ντεπόζιτο έχει τη διπλανή μορφή .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/37

Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί Επιμέλεια : Επιτροπή Διαγωνισμών

33η

Ελλην ι κή Μαθηματ ική Ολυμπ ιάδα ••ο Αρχι μήδης•• 27 Φεβρουαρίου 2016

θέματα μικρών τάξεων

Πρ όβ λημα 1 Οι θετικοί ακέραιοι p,q και καθέναν από τους p,q κατά

r είναι πρώτοι και έχουν γινόμενο ίσο με n. Αν αυξήσουμε 1, τότε το γινόμενο (p + l){q + l)r είναι ίσο με n+ 138 . Να

προσδιορίσετε όλες τις δυνατές τιμές του η. Λύση : Σύμφωνα με την υπόθεση, έχουμε:

{

} {

}

n :) : :: ;: � :: : ) ) � � r n + 1 38 ( p + i) ( pqr + ( p r � n + 1 38 r � 1 38 · (p + Από την εξίσωση ( 1) ( p + q + 1) r = 13 8 = 2 · 3 · 23 θα προσδιορίσουμε τις δυνατές τιμές των p, q, r και στη συνέχεια από την εξίσωση pqr n θα βρούμε τις δυνατές τιμές του n . Επειδή οι θετικοί ακέραιοι p, q, r είναι πρώτοι, οι δυνατές τιμές του r είναι 2 ή 3 ή 23, οπότε έχουμε τις περιπτώσεις: Αν r = 2, τότε p + q + 1 = 69 <=> p + q = 68 , από την οποία, αφού p, q πρώτοι, προκύπτουν τα ζεύγη: ( p, q ) = ( 7,61 ) , ( p, q ) = ( 61, 7) , ( p, q ) = ( 3 1, 3 7) , ( p, q ) = ( 3 7,3 1) . Επομένως για το αρχικό γινόμενο προκύπτουν οι τιμές: n = 7 ·61 · 2 =854 ή n =31·37 · 2 = 2294 . Αν r = 3, τότε προκύπτει η εξίσωση p + q + 1 = 46 <=> p + q = 45 , από την οποία, αφού p,q πρώτοι, προκύπτουν τα ζεύγη: (p,q) = ( 2,43) , (p,q) =( 43,2) και η τιμή n = 2 · 43 · 3 = 258 . Αν r = 23, τότε p + q + l = 6 <=> p + q = 5 <=> ( p, q ) = ( 2,3 ) ή ( p, q ) = ( 3, 2 ) , οπότε θα είναι n = 2 3 · 23 = 138 . Επομένως οι δυνατές τιμές του n είναι οι: 138, 258, 854 και 2294.

•

Πρ όβλημα 2 Οι πραγματικοί αριθμοί x,y,z,

, με χ:ιι!:z είναι διαφορετικοί από το Ο και ισότητες ( χ + yγ + (2 - xy) 9, (y + zγ - (3 + yz) 4. =

(; +� +�Υ)(� +� +�z)(� +� +:χ} =

Να προσδιορίσε<ε την τιμή της παράστασης : Λύση :

ικανοποιούν τις

Οι δεδομένες σχέσεις γίνονται:

�

x2 + / + xy = 7, y2 + z2 + yz = 7 ,

από τις οποίες με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: χ2 - z2 + xy -yz = Ο <=> ( x-z )(x + z ) + y( x-z) = Ο <=> (x- z )(x + z + y ) = Ο. Από την τελευταία ισότητα, επειδή είναι από την υπόθεση χ-z * Ο , έπεται ότι:

x+y+z = O .

Θεωρούμε τώρα καθέναν χωριστά τους παράγοντες της παράστασης Α . Έχουμε ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/38

(1) (2)

(3 )

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

χ y2 χ3 + / + z 3 Υ z 2 χ3 + / + z 3 χ3 - = + + + = ____:_::-+ Υ χ2 Υ χ2 χ2 Υ ' z / /z /z 3 3 χ +/ +z z χ2 / , , , + - + -- = , οποτε η παρασταση γινεται : 2 2 2 χ z z x z x 3 χ3 + / + z 3

-------

(

Α = ....:...._

)

--:--�

( xyz )3

_ _

Από τη σχέση (3) λαμβάνουμε : z = -χ - y, οπότε 3 3 3 3 3 x3 + / + z = x + / + ( -x - y ) = x + / - ( x + y ) = 3 xy ( χ + y ) = 3xy ( -z ) = 3xyz. Η σχέση (5) προκύπτει άμεσα και από την ταυτότητα του Euler. Επομένως, από τη σχέση (4) λαμβάνουμε 3 ( 3xyz )3 χ3 + / + z3 ) ( --:::---Α= 3 -' = 3 27. -

( xyz )

Θεωρούμε τραπέζιο ΑΒΓΔ(ΑΔΙ/ΒΓ) με Α = Β = 90° και ΑΔ<ΒΓ Ονομάζουμε Ε το σημείο τομή ς των μη παράλληλων πλευρών ΑΒ και ΓΔ, Ζ το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ΒΓ και Μ το μέσον τη ς ΕΖ. Αν δίνεται ότι η ευθεία ΓΜ είναι κάθετη στην ευθεία ΔΖ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΖΓ είναι κάθετη στην ευθεία ΕΓ. Λύση : Έστω ότι η ΔΖ τέμνει τις ΓΜ, ΒΓ στα Κ, Ν αντίστοιχα. Π ρ όβ λημα

Τότε στο τρίγωνο ΑΔΖ , έχουμε ότι Β μέσον του ΑΖ και ΒΝ II ΑΔ , οπότε έχουμε ότι Ν μέσον του ΖΔ . Επομένως στο τρίγωνο ΖΕΔ η ΜΝ συνδέει τα μέσα δύο πλευρών, οπότε: ΜΝ ΙΙΕ.Δ (1) Εmπλέον στο τρίγωνο ΜΓΖ , τα ΓΒ, ΖΚ είναι ύψη, άρα το σημείο Ν είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, οπότε: ΜΝ ..l ΖΓ (2). Από τις σχέσεις (1) και (2) έπεται ότι ΖΓ ..l ΕΓ , που είναι το ζητούμενο. Π ρόβλημα 4 . Να υπολογίσετε το πλήθος των διατεταγμένων εξάδων

να δημιουργηθούν, αν οι αριθμοί και το άθροισμα

α1

(5)

....;. _ .._ _

α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6

+ α2 + α3 + α4 + α5 + α6

(4)

Μ Β

Σχήμα 1

( α1 , α2 , α3 , α4 , α5 , α6 )

που μπορούν

μπορούν να πάρουν τις τιμές 0,1 και 2

είναι άρτιος.

Το άθροισμα α1 + α2 + α3 + α4 + α5 + α6 είναι άρτιος, αν και μόνο αν το πλήθος των 1 είναι άρτιο, δηλαδή 0,2, 4,6. Αν δεν έχουμε καθόλου 1 , οι δυνατές επιλογές είναι 2 6 , αφού για καθέναν από τους α; έχουμε δύο επιλογές ( Ο ή 2 ) Λύση :

Αν έχουμε δύο

τότε τη θέση τους μπορούμε να την επιλέξουμε με

υπόλοιπες 4 θέσεις έχουμε 2 ' επιλογές. Δηλαδή συνολικά έχουμε 2 4 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/39

(�) {�)

τρόπους και στu; δυνατές εξάδες.

---- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Αν έχουμε τέσσερα

---(:) {:)

τότε τη θέση τους μπορούμε να την επιλέξουμε με

2 υπόλοιπες 2 θέσεις έχουμε 2 επιλοyές. Δηλαδή συνολικά έχουμε 2 2

{�) {:)

τρόπους κιι;ι σnς

δυνιχτές εξάδες. Αν

έχουμε έξι 1 , τότε είναι φανερό ότι έχουμε έναν τρόπο. 6 ' Επομένως, συνολικά έχουμε: 2 + 2 + 22 + I = 64 + 1 6 · 1 5 + 4 · 1 5 + I = 365 εξάδες.

Οι λύσεις των ασκήσεων του τεύχους 99 Α41 . Βρείτε όλους τους διψήφιους θετικούς ακέραιους Α = αb = 1 0α + b , με α < b, οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα των ακεραίων χ, με α � χ � b. Ρουμανία 201 5 Λύση : Σύμφωνα με τις υποθέσεις του προβλήματος έχουμε την εξίσωση: αb = α + ( α + 1 ) + ... + b � 1 + 2 + ... + 9 = 45, από την οποία έπεται ότι: α � 4. • •

Για α = 4, έπεται ότι: αb � 45 = 1 + 2 + ... + 9 � α = 1, άτοπο. Για α = 3, έπεται ότι: 3 + 4 + ... + ( b - 1 ) + b 3b 30 + b � 1 + 2 + ... + ( b - 1 ) = 33 � b ( b - 1 ) = 66, =

•

η οποία δεν έχει λύση στο σύνολο { 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Για α = 2, έπεται ότι 2 + 3 + . + ( b - 1) + b = 2b = 20 + b � 1 + 2 + ... + ( b - 1 ) = 21 � b (b - 1) = 42,

η οποία έχει τη λύση b = 7, οπότε αb = 27. Για α = 1, έπεται ότι 1 + 2 + ... + ( b - 1 ) + b = 1b = 1 ο + b � 1 + 2 + ... + ( b - 1 ) = 1 ο � b ( b - 1 ) = 20, η οποία έχει τη λύση b = 5, οπότε αb = 15.

Α42 . Βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του κ για την οποία ο αριθμός 1 2κ είναι

παράγοντας του 1 20!, όπου 1 20! είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακέραιων από 1 μέχρι Φιλανδία 201 5 και 1 20, δηλαδή 1 20 ! = 1 · 2 · 3 · . · 1 1 9 · 1 20. 2 Λύση : Έχουμε 12κ = 2 κ · 3κ . Σχετικά με τον αριθμό 120 ! = 1 · 2 · 3 · ... · 1 1 9 · 120, παρατηρού με ότι

υπάρχει ο παράγοντας 3 σε 40 ακέραιους της μορφή ς 3n, 1 ::; 3n ::; 120. Επίσης υπάρχουν οι 2 παράγοντες 3 = 9 σε 13 ακέραιους της μορφή ς 9n, 1 ::; 9n ::; 120, 3 = 27 σε 4 ακέραιους της μορφή ς 27n, 1 ::; 27n ::; 120, και υπάρχει ένας ακόμη ο ακέραιος, 8 1 που είναι παράγοντας. Επομένως ο μέγιστος εκθέτης κ για τον οπQίο ο 3κ διαιρεί τον ακέραιο 120 ! = 1 · 2 · 3 · ... · 1 1 9 · 120. είναι ο 40 + 1 3 + 4 + 1 = 58. Εργαζόμενοι ομοίως διαπιστώνουμε ότι ο παράγοντας 2 εμφανίζεται στον ακέραιο 120 ! = 1 · 2 · 3 · ... · 1 1 9 · 120 , 60 + 30 + 1 5 + 7 + 3 + 1 = 1 16 = 2 · 58 φορές. 58 Επομένως, ο ακέραιος 12 διαιρεί το 120! = 1 · 2 · 3 · ... · 1 1 9 · 120, ενώ για κ > 58 ο 12κ δεν διαιρεί τον αριθμό 120 ! 1 · 2 · 3 · ... · 1 19 · 120. =

Ν31. Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακέραιους η για τους οποίους υπάρχουν ακέραιοι Ολλανδία 201 4 α,b τέτοιοι ώστε n2 = α + b και n3 = α2 + b2 • 2 Λύση : Χρησιμοποιού με τη γνωστή ανισότητα α2 + b � 2αb καθώς και την ισότητα 2 3 3 4 3 2αb = ( α + b )2 - ( α2 + b 2 ) , οπότε έχουμε: n � ( n2 ) -n � 2n � n � n = Ο ή n ::; 2 � n ε { 0,1, 2} .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/40

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Για n = Ο, προκύπτει η λύση α = b = Ο. Για n = 1, προκύπτει η λύση α = Ο, b = 1 . Για n = 2, προκύπτει η λύση α = b = 2. Επομένως οι δυνατές τιμές του n είναι οι Ο, 1 και •

------

• •

Γ27. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς a = l . Τα σημεία Ε ,Ζ,Η και θ ανήκουν στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ, αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΕ = ΒΖ = ΓΗ = ΔΘ = χ , με Ο< χ<1. Οι ΑΖ, ΒΗ,ΓΘ και ΔΕ τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν στο εσωτερικό του δεδομένου τετραγώνου το τετράπλευρο ΙΚΛΜ. Ν α εκφράσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΙΚΛΜ ως συνάρτηση του χ. Ιρλανδία 2015 Λύση : Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΖ και

ΒΓΗ έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες, οπότε z χ είναι ίσα. Επομένως ΓΒ Η + Β ΖΑ = 90° , οπότε Σχή μα 1 Ι Β Ζ = 90°. Λόγω συμμετρίας το τετράπλευρο ΙΚΛΜ είναι τετράγωνο. Ιδιαίτερα οι ευθείες ΙΚ και ΛΜ είναι παράλληλες, οπότε τα τρίγωνα ΑΒΙ και ΑΕΜ είναι όμοια. Όμως τα τρίγωνα ΒΙΖ και ΑΕΜ είναι ίσα (ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και μία οξεία γωνία ίση), οπότε έχουμε ΕΜ ΙΖ. Επίσης, τα τρίγωνα ΑΕΜ και ΑΒΖ είναι όμοια, οπότε έχουμε χ2 χ ΕΜ ΑΜ ΑΕ ΕΜ ΑΜ χ <:::::> EM = IZ = και ΑΜ = -=== - = -- = - <=> - = -- = χ ΒΖ ΑΒ ΑΖ 1 .J1 + x2 .J1 + x2 .J1 + x2 =

Επομένως έχουμε

r:--:7 lM = ΑΖ - ΑΜ + ΙΖ = ν 1 + χ-

)

(

χ + χ2 r:--:7 ν 1 + χ2

1 + χ2

Άρα το εμβαδό του τετραγώνου ΙΚΛΜ ισούται με Ε(ΙΚΛΜ) =

r:--:7 ν 1 + χ2

( 1 - χ) 2

χ2

1 χ = r:--:7 , Ο < χ < 1 . ν 1 + χ2

l + x2

Ν3 2 . Να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε 7 θετικούς ακέραιους, υπάρχουν πάντα 4 με άθροισμα που διαιρείται με το 4. Α43. Αν

a, b, c

θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

Πότε ισχύει η ισότητα; Γ28.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με

α+b+c =

.J2 + α2 + .J2 + b2 + .J2 + c2 � 3.J3 . BAr

3 , να αποδείξετε ότι:

ΑΒ Γ < 90ο.'Εστω ΑΕ η διχοτόμος της γωνίας

BAr

το Ε σημείο της πλευράς ΒΓ. Το σημείο Ζ ανήκει στη διχοτόμο ΑΕ έτσι ώστε ΑΒΖ = .!_ και

ΑΖ = ΑΓ

.Βρείτε το μέτρο της γωνίας

Bf'Z .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/41

με

BAr

ΜΑΘΑΙΝΩ ΑΠΟ ΤΑ ΜθΗ ΜΟΥ =====

Επιμέλεια Νίκος Τζίφας

Τα λάθη στις δυνάμεις Ένα σημαντικό μέρος των λαθών των μαθητών στις δυνάμεις οφείλεται στην λάθος εφαρμογή των ιδιοτήτων των δυνάμεων. Από το βιβλίο του Allen R. Angel elementary Algebra 4th ed 1 996 New Jersey USA παραθέτουμε μια σειρά από λάθη που έγιναν από μαθητές Π ΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΛΑΘΩΝ 1) Σε άσκηση που δόθηκε σε μαθητές. Να κάνετε τις πράξεις 32 . 3 1 = Μαθητή ς 32 • 3 1 = 9 3 = 7 2 9 Το σωστό

32 . 3 1

3 2 +1

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Στην περίπτωση αυτή ο μαθητής πολλαπλασιάζει τις βάσεις των δυνάμεων και προσθέτει τους εκθέτες τους εφαρμόζοντας μια δική του ιδιότητα Εδώ ο μαθητής πρέπει να εφαρμόσει την ιδιότητα α 1)

αμ . αν = α. aμ+v .

μ . αv = αμ+v.

2) Επίσης σε άσκηση που δόθηκε στους 2) Στην περίπτωση αυτή ο μαθητή ς μαθητές. απλοποιεί τις βάσεις των δυνάμεων του 33 ' κλάσματος και εκθέτη βάζει την διαφορά Ν α κανετε τις πραξεις: 31 των εκθετών εφαρμόζοντας και εδώ μια Μαθητή ς α αντί της σωστής δική του ιδιότητα α: = =

αμ ιδιότητας ν α

Το σωστό

αμ-v_

ι μ -v

3) Τέλος σε άλλη άσκηση που δόθηκε σε 3) Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο μαθητής,

μαθητές: Να συμπληρώσετε τις ισότητες Λύ ση

ΧΟ

μαθητή :

=ο 5° = ο

χο

= =

εφαρμόζει μια δική του ιδιότητα 1 αντί της σωστής

α0 =

α0

Το σωστό

ΧΟ

5° = 1

ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

Παρακάτω δίνουμε ένα παράδειγμα συνηθισμένων λαθών των μαθητών στις δυνάμεις. Μπορείτε να τα βρείτε και να τα εξηγήσετε στην στήλη των παρατηρήσεων; Να συμπληρώσετε τις ισότητες -3 2 =3 2 + 3- 2 =

Μαθητή ς -3 2

1 9

= - - = --

32 + 3-2

32 =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/42

� ΜΙΞQΥΜ� ΜΠΑΜ τrιrΩNQM�TPIISA ...

======

Ζαφειρόπουλος Χρήστος, Μαθηματικός, Γυμνάσιο Καράτουλα Ηλείας

Η καλή εξάσκηση δεν είναι απαραίτητη μόνο για τους αθλητές, αλλά και για τους μαθητές, πόσο μάλλον όταν συνδυάζουμε ένα προσφιλές μας άθλημα με την τριγωνομετρία. Ας εξασκηθούμε λοιπόν στο ποδόσφαιρο μέσω της τριγωνομετρίας ή το αντίστροφο μέσα σε ένα γήπεδο μήκους 120 m και πλάτους 90 m. Προθέρμανση

Εικόνα 1 : Προθέρμανση

Η μπάλα κινείται ευθύγραμμα από τον παίχτη Α έως τον παίχτη Ε . .ί\ρα'Υε Α) Πόση είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β; Β) Πόση είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων Β και Γ; Γ) Πόση είναι η απόσταση μεταξύ των παιχτών Α και Ε;

Γ Μ ΕΝ , οι λόγοι.. ΑΒΚ , ΑΛ Λ,Δ Δ) Να υπολογιστουν Α ,Α Κ Μ Ν Τι παρατηρείς και τι εκφράζουν οι παραπάνω λόγοι; Ε) Αν η μπαλιά του παίχτη Α προς τον παίχτη Ε είχε σταθερή ταχύτητα 2 kmlh, να υπολογιστεί η γωνία κΑΒ. , οι λόγοι.. ΑΒ Κ , ΑΓΛ , ΔΑΜ , ΕΑΝ ΣΤ) Να υπολογιστουν

, λόγοι; , και τι εκφράζουν οι παραπανω τι παρατηρεις Γ

, οι Η) Να υπολογιστουν Τι παρατηρείς και τι εκφράζουν οι παραπάνω λόγοι;

'l ,C.,.,

ιvv

rοι: Α

Κ Β

ΑΛ Α

,Α

Α Ν Μ , ΑΔ , Α Γ Ε

Απαντήσεις: Α) Με χρή ση του Πυθαγορείου Θεωρή ματος στο τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε:

ΑΒ 2 ΑΚ 2 + ΚΒ 2 => ΑΒ 2 Β) Ομοίως: ΒΓ 10VS m. =

10 2 => ΑΒ 2

500 => ΑΒ 10VS m. Γ) ΑΕ 4 10VS 40VS m.

Α ο π ν ν σ άθ ε η πλευ ρ ά ης χ τ τ τ ι η α έν α τ ι κ τ κΑΒ ί κ κ.ΑΒ κ Α ίσί ο ι ο με ε ν νη άθ ε η πλευ ρ ά η ς χη π ρ σ τ τ τ τ

ΔΜ ΕΝ Δ) ΑΒ Κ ΑΛ ΓΛ Α Α Κ Ν Μ κλίση της ευθ είας της μπαλιάς =

εφκΑΒ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/43

ο μ ε αντίστ ιχη τ ταγ ένη ο μ μ ε αντίστ ιχη τ τ η ένη

-------

Ε)

σ Απόσ ΒΚ = τα η = ρ Α Χ όνο Κ

ΣΤ) Η) ιη

= ε

Ας παίξουμε μπάλα .. τριγωνομετρικά

φ κΑΒ => κΑΒ =

63 0

10...[5

�

Απέν ν κάθ ε η πλευ ρ ά = = α τι ΕΝ = τ Υπο είν ου σ Α ΑΒ α Ε τ ΑΚ = ΑΛ = ΑΜ = ΑΝ = Π ρ ο σκείμενη κάθ ε η πλευ ρ ά = � = τ Α ΑΒ ΑΓ Α Υπο είν ου σ Δ α Ε τ ΒΚ =

Γ = ΔΜ = Λ ΑΓ Α Δ

10...[5

Φάση:

Ε ικόνα

2...[5

..fS·../5 ..f5 5

--------

2..f5 = z..,fS = ημκΑΒ

..[52

συνκJ\Β

2: Φάση Ιη

Η μπάλα κινήθηκε αρχικά από τον παίχτη Α προς τον παίχτη στον παίχτη Γ, αν ΚΑΒ = 45° και ΝΒΓ = 60°.

και κατόπιν από τον παίχτη Β

Άραγε Α) Πόση είναι η απόσταση των παιχτών Α και Β; Β) Πόση είναι η απόσταση των παιχτών Β και Γ; Απαντήσεις :

.-.

Α) η μΚΑΒ

40.J2 m.

.-.

Β) σvvΝ ΒΓ 2η

Φάση:

ΒΚ

ΑΒ =>

ΝΒ

ΒΓ

ημ45°

συν60°

ΑΒ =>

..fi

ΒΓ =>

ΑΒ =>

r:;

ΑΒ ν 2

1 = 10 => ΒΓ = 2 0 m. 2 ΒΓ

ΑΒ

so ..fi => ΑΒ

so..fi. - => ΑΒ = 2

Εικόνα 3 : Φάση

2η

Η μπάλα κινήθηκε από τον παίχτη Α προς τον παίχτη Β και κατόπιν από τον παίχτη Β στον παίχτη Γ, αν ΚΑΒ = 45° και ΝΒΓ = 3 0°. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/44

------

Ας παίξουμε μπάλα .. τριγωνομετρικά

------

Άραyε

Α) Πόση είναι η απόσταση των παιχτών Α κ:αι Β; Β) Πόση είναι η απόσταση των παιχτών Β κ:αι Γ; Απαντή σεις:

Α) Το ερώτημα είναι το ίδιο με το αντίστοιχο της

1 ης

Φάσης. Όμως τώρα ·θα το επtλύσουμε με χρήση του Πυθαγορείου Θεωρή ματος για το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΚΑΒ:

= ΒΚ2 + ΚΑ2 � ΑΒ 2 = 2 402 � ΑΒ = 40...fi m. � 10 Β) συν30° 2� � ΒΓ = 2 0..f3 m. � ..f3 = � = ΒΓ = ΒΓ ν3 ΒΓ 3 ΑΒ 2

3" Φάση :

Εικόνα 4 :

Φάση 3η

Η μπάλα κινή θηκε από τον .παίχτη Α προς τον παίχτη Β και κατόπιν από τον παίχτη Β στον

παίχτη Γ, αν ΚΒΑ

= ΝΒΓ = θ0•

Ά ραγε

Α) Πόση είναι η απόσταση ΒΚ;

Β) Πόση είναι η γωνία ΚΒΑ;

Απαντή σεις :

� εφΝΒΓ = � εφΝΒΓ = � ΒΝ 8 0 -ΒΚ � � Επομένως: ;� = 80�:κ � 40(80 - ΒΚ) = 30ΒΚ 3200 - 40ΒΚ = 30ΒΚ -3200 � -40ΒΚ - 30ΒΚ = -3200 � -70ΒΚ = -3200 � ΒΚ = _ 70 => ΒΚ :: 45,7 m. Β) εφΚΒΑ = 4405,7 � εφΚΒΑ = 0,875 � ΚΒΑ :: 41° Α) εφΚΒΑ = �. ΒΚ

4" Φάση :

Εικόνα

5: Φάση. 4η

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/45

------ Ας παίξουμε μπάλα .. τριγωνομετρικά ------- Η μπάλα κινήθηκε από τον παίχτη Α προς τον παίχτη Γ και κατόπιν από τον παίχτη Γ στον παίχτη Δ, αν ΔΑΓ 45° και ΑΔ 45 m. Ά ρ αγε Α) Πόσο είναι το εμβαδόν όλου του γηπέδου; Β) Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΓ; Γ) Πόσο μήκος διένυσε συνολικά η μπάλα από τον παίχτη Α μέχρι τον παίχτη Δ; Δ) Η προηγούμενη απόσταση είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από 100 m; =

Απαντήσεις: Α) Εμβαδόν γηπέδου

120 90

10800 m2 . 5 2 02 1012,5 m2 -2-

4 Εμβαδόν τριγώνου ΑΔΓ = 2 Γ) Με Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε:

Β)

ΑΓ2

ΑΔ2 + ΔΓ2 => ΑΓ2

ΑΓ + ΓΔ

(45 + 45-/2) m

2 45 2 => ΑΓ 45-/2 m ·

τρόπος: Τριγωνομετρικά . . . Δ) Έστω: ΑΓ + ΑΔ < 100 => 45 + 45ν'2 < 100 => 45VZ < νΓz < 1,22 . . . => 2 < (1,22 .. . ) 2 => 2 < 1,493 .. => Άτοπο, επομένως ΑΓ + ΑΔ > 100 m Β'

:�

100 - 45 => 45VZ < 55 => νΓz <

«Διατάσεις» για εξάσκηση :

Εικόνα 6: «Διατάσεις» για εξάσκηση Η μπάλα κινήθηκε από τον παίχτη Α προς τον παίχτη Γ και κατόπιν από τον παίχτη Γ στον

παίχτη Δ, αν ΔΑΓ = 30° και ΑΔ = 45 m. Ά ρ αγ ε Α) Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΓ; Β) Πόσο μήκος διένυσε συνολικά η μπάλα από τον παίχτη Α μέχρι τον παίχτη Δ; Γ) Η προηγούμενη απόσταση είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από 100 m; Δ) Τώρα παίξτε εσείς μπάλα σε δικό σας γή πεδο με το Geogebra. Αναφορές : Βλάμος, Π., Δρούτσας, Π., Πρέσβης, Γ., Ρεκούμης, Κ. (20 1 1). Μαθηματικά Β ' Γυμνασίου. (σελ. 136-155). Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. Εικόνα ποδοσφαιριστή : http:Uclubs.pathfinder.gr/olympias a nthis/1232674?zoom=l&albu m=306989

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/46

Οι τοίχοι· yράφοuν πι δική τους Ιστορία στο

...

5ο Γυμνάσιο Αχαρνών

Παρουσίαση: Στάμη Τσικοπούλου Σχολική Σύμβουλος Μαθηματικών

Το πανέμορφο έργο της διπλανής φωτογραφίας που δεσπόζει στην είσοδο του σχολείου και απεικονίζει το "Δένδρο της Γνώσης", όπως και εκείνο στον τοίχο του προαύλιου χώρου, με την ονομασία του σχολείου διακοσμημένη με ποικίλα γεωμετρικά σχέδια, τα έχουν φιλοτεχνήσει οι μαθητές του σχολείου. Τα έργα αυτά δεν είναι όμως τα μοναδικά. Η ιδέα να βάψουν και να ζωγραφίσουν τους τοίχους του σχολείου γεννήθηκε την Άνοιξη του 20 14 και μέσα στο καλοκαίρι της ίδιας χρονιάς άρχισε να υλοποιείται, με στόχο ένα

σχολείο με τοίχους Ομιλούντες! Σχολικούς τοίχους, αίθουσες και διαδρόμους, γεμάτους φωτεινά χρώματα, σκέψεις, εργασίες, όνειρα δημιουργίες και εικόνες των μαθητών. Οι καθηγητές, οι γονείς, ακόμα και ο φύλακας του σχολείου, συνοδευόμενοι στο όμορφο αυτό «ταξίδι>> και από ορισμένους μαθητές, άρχισαν κομμάτι - κομμάτι να υλοποιούν την ιδέα βάφοντας με υπέροχες τεχνοτροπίες τους σχολικούς τοίχους και τοποθετώντας πάνω τους καλαίσθητες κορνίζες και πίνακες. Κορνίζες έτοιμες να φιλοξενήσουν καλλιτεχνικές και μαθητικές δημιουργίες ανάλογα με το θέμα και την τάξη.

Οι μαθητές του Bl και Β2, έκαναν την αρχή, μεrαμορφώνοντας τις αίθουσες τους.

Οι κοινόχρηστοι χώροι στον όροφο : μια όαση χρωμάτων! !

Όταν τον Σεπτέμβριο οι μαθητές γύρισαν, γοητευμένοι από το αποτέλε,σμα που αντίκρισαν, αποφάσισαν να συνεχίζουν την προσπάθεια και στις ελεύθερες ώρες τους να προσπαθήσουν να ζωγραφίζουν και άλλα έργα. Γι αυτό ονόμασαν το σχολικό έτος 20 14-20 1 5 : ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/47

Οι τοίχοι γράφουν την δική τους ιστορία

-------

ΜΙΑ ΣΧΟΛΙΚΉ ΧΡΟΝΙΑ ΓΕΜΑΤΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ... ΠΟΛΥ ΧΡΩΜΑ! ! ! Έτσι δημιουργήθηκε η γωνιά των Μαθηματικών, των Ξένων Γλωσσών, που χωρίζεται σε Αγγλικά και Γαλλικά, ο Πίνακας της Ελεύθερης Έκφρασης όπου ο καθένας μπορεί να εκφραστεί ελεύθερα, η γωνιά του μαθή ματος Καλλιτεχνικών και έπεται συνέχεια . . . .

Μια καινούρια τοιχογραφία στολίζει την αίθουσα των Γαλλικών, στα εθνικά χρώματα της χώρας τη ς Β'ξένης γλώσσας.

Η καινούρια τοιχογραφία και η γωνιά της υπό

κατασκευή, "Καλλιτεχνικής Βιβλιοθήκης", στο εργαστήρι των Καλλιτεχνικών.

Μέσα από το θεατρικό παιχνίδι και τα εικαστικά οι μαθητές έστειλαν μηνύματα για την διαφορετικότητα ζωγραφίζοντας το δέντρο του "Εσύ όπως Εγώ" που κοσμεί έναν τοίχο της αίθουσας πολλαπλών χρή σεων (διπλανή φωτό). Όσο όμως κι αν φαίνεται απλό, όμορφο και γεμάτο φαντασία, το εγχείρημα έχει, όπως κάθε τι που αξίζει στη ζωή , και τις δυσκολίες του. Αυτές εστιάζονται στο κόστος των υλικών. Οι μπογιές και τα υλικά για τις κορνίζες και τους πίνακες χρειάζονται χρή ματα που δυστυχώς δεν μπορούσαν να εξασφαλιστούν από τα ταμεία του Σχολείου και του Συλλόγου Γονέων. Γι αυτό στις 1 7 Ιανουαρίου 2015 το σχολείο μετετράπηκε σε χώρο έκφρασης και

δημιουργίας με σκοπό να συγκεντρωθούν υλικά ζωγραφικής για να συνεχίσουν οι τοίχοι να μιλούν

Στο πλευρό τους, βρέθηκαν πολλοί τοπικοί φορείς που θέλησαν να συνδράμουν το έργο του 5ου Γυμνασίου Αχαρνών.

και να λένε των παιδιών τα όνειρα και την ιστορία.

φαιτο 1

φαιτο 2

φωτο 3

Έτσι ξεκίνησε μια πολύ γόνιμη χολυδιάστατη συνεργασία μαζί τους που βρίσκεται σε πλή ρη εξέλιξη. Για χαράδειΎμα :

- Το Παράρτημα Αχαρνών της Ελληνικής Αντικαρκινικής Εταιρείας, ενημέρωσε τους μαθητές για

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 100 τ.4/48

Οι� ,..__.. τους κινδύνους από το κιLτι·;�- _: •.::-::: � =:-

τσιγάρο» (φωτο

,...

-- ...,._

�

1).

- Ανάλογη ήταν και η σιτc:__-. · ·.-:.:-< τους ενημέρωσε για τη G7. _:. - - .,.

-::--- -

ενημέρωση το έμβ/.ημα :τ; γυναίκα μέσα στο Ι- .· -

,.:... - . -.ι.: _ ·,_-_; -:-- _· :::

�-

�

l" .o _

'�-·

-:-;-:,__-.

•J_ - - ·

...: •�-

:χ.:. �- --

- Η τοιχογραφία με θέμα � την Κίνηση Πο/.ιπiπ :·ια ::-"'""·

, ,. __.....

•

� •:-.ι.:ε_.:.... "7 ι

�:==. ο:

•.J.. -�w. ι·

ενημέρωση για τφ· πfX:.J-:O·�:r_ ,,_ι:. �:r-: .-,·--..� :: · ·:;.. _;z!.::

ι;·,·� -:--- :

t"-'- -c ._ ·� ::.:. � .:·.:_: ·, ·-� -.

-τ•

�-Ι"\"'4···γαmα με

·Eτ.:u.-...?jYIO\' .. που

τους

Αποτέλεσμα ό/.η; ω :τ; -:τ-; -::.. · ·-::- � -: � ;. �·::._ );

'οησε μιΛωντας στην τοπική εφημερίδα Σπύ ρ ος Κα ρ α β ίας, ψυχή όλης αυτής της

«ΜΕΝΙ Δ ΙΑΤΗΣ)) ο j,ιει.Η-Λ-:- ; :.=··_. �::_οί...::ω υ κ. προσπάθειας, είναι οι μαθητi; 1 ·α iι_οι , . πο/. u πιο θετική

διάθεση και να βλέπουν το σχολείο τους

με . . . άλλο μάτι. Να το προσi:ιοιΛ·. ω μψ πετούν σκουπίδια όπως παλιά και βέβαια να κατεβάζουν πλέον και οι ίδιοι ιδέες ;.·ια το πc:Υ; θα ί'εμίσουν και τους υπόλοιπους τοίχους που περιμένουν με τη σειρά τους υπομονετικά. μέιρι 1·α μετατραπούν κι εκείνοι, σε «Ομιλούντες!»

Σε μια φράση ο διευθυντής, οι καθηγητές και οι μαθητές του 5ου Γυμνασίου Αχαρνών πιστεύουν ότι : Η τέχνη μπορεί να αλλάξει την πορεία ενό ς σχολείου. Τα στηρίγματά τους σε ό,τι έκαναν ήταν οι συνεργασίες και ο εθελοντισμός. Τις δημιουργίες των μαθητών, ο Όμιλος Φίλων Δημοτικής Πινακοθήκης Αχαρνών "Χρήστος Τσεβάς" τις τύπωσε σε πολύ όμορφα σημειωματάρια και ημερολόγια τα οποία αποφέρουν έσοδα στους μαθητές για να μπορούν να συνεχίζουν το έργο τους. Τον Ιούνιο του 20 1 5, οι μαθητές έβαλαν τις τελευταίες πινελιές σ'ένα έργο που εγκαινίασε τη συνεργασία τους με τον Όμιλο Φίλων Δημοτικής Πινακοθήκης Αχαρνών "Χρήστος Τσεβάς" .Η τοιχογραφία τους, είναι αντίγραφο από τον πρωτότυπο πίνακα του λαϊκού ζωγράφου της περιοχής, που έδωσε την ευκαιρία στους μαθητές να γνωρίσουμε τον ίδιο και το έργο του. Τα στάδια δημιουργίας του έργου τους μπορείτε να τα δείτε στο βίντεο που αναρτήθηκε στο: https://www.youtube.com/watch?v=RXoΚ.Na5gUVΑ «Στο σχολείο μας οι εικαστικές τέχνες δεν έχουν απλά διακοσμητικό χαρακτήρα»

Εφετζή, καθηγήτρια καλλιτεχνικών.

λέει η κ

«Κάθε τοιχογραφία, κάθε εικαστική παρέμβαση μέσα στο

σχολείο είναι και ένα ζωντανό μάθημα, ένα project με αρχή, πορεία και τέλος. Οι μαθητές που εμπλέκονται στη διαδικασία αποκτούν όχι μόνο γνώσεις επάνω σε πρακτικά ζητήματα τέχνης και

τεχνικής, αλλά πολλαπλά προσωπικά και κοινωνικά εφόδια. Η αλληλεπίδραση με τους συλλόγους

εθελοντών και τους πολιτιστικούς φορείς της τοπικής κοινωνίας έχει αφυπνίσει το ενδιαφέρον των παιδιών για τη διαφύλαξη της παράδοσης, της ιστορίας και του πολιτισμού του τόπου μας, την οικολογία, την ισότητα των φύλων και τα κοινωνικά κινήματα, την αποδοχή της διαφορετικότητας, την υγεία και την πρόληψη, την εθελοντική προσφορά. Παράλληλα, με τη μεταξύ τους συνεργασία μέσα στις καλλιτεχνικές ομάδες ενδυναμώνονται οι δεσμοί φιλίας και ομαδικότητας»

Επειδή όμως τα πολλά λόγια είναι περιττά όταν μιλούν τα έργα, απολαύστε τα στην ιστοσελίδα του σχολείου: Sgym-acharn.att.sch.gr/

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

1 00 τ.4/49