Ευκλειδης α 102 by demi de

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ

για το yυμvασιο ,

α,

Ευκλείδης

./ Ιστορία των Μαθηματικών

•

Βιτζιλαίου Μαρία Άννα Παπαδάκη .............. .. ...................

./ Μαθηματικά στον Κόσμο

Τα μαθηματικά σε καταστάσεις - προβλήματα της καθημερινής ζωής Επιμέλεια: Σπύρος Φερεντίνος .......................................

./ Τα Μαθηματικά στο Σχολείο • Α' Τάξη

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Γ'

Τάξη

Εξισώσεις 2ου βαθμού. Από το σήμερα στο χθες. Π. Αρδαβάνη, Δ. Παλαιογιαννίδης ... ...................... ....... 24 Δραστηριότητες με Όμοια Τρίγωνα Επιμέλεια: Τζίφος Νίκος, Κωνσταντινίδης Άρης, Λαγός Γιώργος 30 Θέματα για προχωρημένους. Στέφανος Κεί'σογλου ... .......... .......................... ......... ...... 34

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί,

Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών ................................... 35

«Μη μου τους κύκλους τάραπε» Άννα Παπαδάκη -Μαρία Βιτζιλαίου ........... .. . .... . . .. ............... 7 Οι Εξισώσεις, τα προβλήματα και η σημασία της μετάφρασης Ηλίας Μακρυνιώτης, Στέφανος Κεί'σογλου ......... ........... ..... 11

Β'

2016

e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr

Αναζητώντας την προέλευση του Συμβόλου

•

Τεύχος 102 Οκτώβριος - Νοέμβριος - Δεκέμβριος Τιμή Τεύχους 3,00 Εύρω

Τάξη

Τετραγωνική Ρίζα Γίιώργος Λυμπερόπουλος Τάσος Μπακάλης, Μαρία Σίσκου .. 15 Δραστηριότητες σχετικές με το ημίτονο συνημίτονο οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. Κυριακοπούλου Αθανασία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Θέματα για προχωρημένους. Στέφανος Κείσ ' ογλου ............ ... . . . . . .. . ... ...... ..................... 23

Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα

Χιούμορ+ Μαθηματικά Γιάννης Σταμέλος ........................ . ........................ ........ Μαθαίνω από τα λάθη μου Επιμέλεια: Νίκος Τζίφος ................................................ Φτιάξτε εύκολα Πυθαγόρειες τριάδες. Παναγιώτης Π. Χριστόπουλος ........ ................................ Ο σταυρός με το πυθαγόρειο θεώρημα έφθασε στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας Πίτσα Καπετανάκη ..... .. .................. . ....................... . ..... Διασκεδαστικά Μαθηματικά, Επιμέλεια: Συντακτική Επιτροπή

.. . .. . . .................. ... .........

41 44 45

47 49

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΙΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ 34, 106 79 ΑΘΗΝΑ

ηλ.: 210 3617784 - 210 3616532

ax:

210 3641025

κδότης: Ι ικ όλαος Αλεξανδρής ιιευθυντής:

Πρόεδρος

Συντακτική Επιτροπή Παπαδάκη Θεοδόιρα

Αντιπρόεδρος

Σίακου Μαρία

Λυμπερόπουλος Γεόιρyιος

Τζίφας Νικόλαος

Γραμματεία

Τσικοπούλου Στάμη

Κυριακοπούλου Αθανασία

Φερεντίνος Σπύρος

Μέλη

Χριστόπουλος Παναγιόιτης Συvεργάτες

Αλαφάκη Σταυρούλα

:ιιάννης Τυρλής

:πιμέλεια Έκδοσης: :ε'ϊσογλου Στέφανος :υριακοπούλου Αθανασία :ωδικ ός ΕΛ.ΤΑ: 2054

'iSN: 1 105 • 7998

Γράμμα της Σύνταξης

Παπαδάκη Άννα

Κείσοyλου Στέφανος

Αγαπητοί αναγνώστες αναγνώστριες του Ευκλείδη Α' Αρχικά να ευχηθούμε καλές γιορτές σε όλες και όλους και ευτυχία και καλή πρόοδο για τη νέα χρονιά. Στην συνεχή προσπάθεια για βελτίωση και επικαιροnοίηση του περιοδικού μας η συντακτική επιτροπή σας καλεί να εκφράσετε τη γνώμη σας

Αρδαβάνη Πόπη

Πατρόινης Αναστάσιος (Πάτρα)

για τη δομή και το περιεχόμενο. Ήδη μία σειρά από σχολεία μας

Βιτζιλαίου Μαρία

Θωμαίδης Ιωάννης (Θεσσαλονίκη)

έχουν στείλει υλικό για τις

Δορyιάκη Ιωάννα

Ράλλης Ιωάννης (Χίος)

Μαθηματικά και θα χαρούμε ιδιαίτερα να φιλοξενήσουμε υλικό από τις δικές σας ιδέες και δραστηριότητες.

Θεοδωρόπουλος Θρασύβουλος

Ρουσούλη Μαρία (Καστοριά)

Κωνσταντινίδης Αριστείδης

Περισυνάκη Ειρήνη (Κρήτη)

Λαγός Γεόιρyιος

τσαπακίδης Γεόιργιος (Αγρίνιο)

Μακρυνιόιτης Ηλίας

Ρίζος Γεόιργιος (Κέρκυρα)

Μενδωνίδης Γεόιρyιος

Παπαδάκη Μαλβίνα (Αθήνα)

Εκ μέρους της Συντακτικής επιτροπής του Ευκλείδη Α'

Ο πρόεδρος: Στέφανος Κtϊσογλου

Π. Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών.

Μπακάλης Αναστάσιος Παλαιονιαννίδης Δημήτριος

Υποστηρικτής Δραστηριοτήτων της Ε.Μ.Ε.

Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών

ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΠΕΤΡΕΛΑΙΑ

ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ της ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Στοιχειοθεσία - Σελιδοποίηση: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Εκτύπωση: ROTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ & ΣΙΑ ΕΕ). τηλ.: 210 6623778 - 358 Υπεύθυνος τυπογραφείου: Δ. Παπαδόπουλος

δράσεις τους σχετικά με τα

•

έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται αΠό την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη Α'". Τα χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση Τιμή τεύχους: ευρώ 3,00

Ετήσια συνδρομή (10,00+2,ΟΟ Ταχυδρομικά=ευρώ 12,00). Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00

Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγελ ' νονται στέλνεται:

1. Με απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 2. Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικής συναλλαγής με την τράπεζα EUROBANK 3. Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Αναζητώντας την προέλευση του Συμβόλου Γ ======

Βιτζιλαίου Μαρία - Άννα Παπαδάκη

Την έννοια της τετραγωνικής ρίζας την πρωτοσυναντάμε στη Β ' Γυμναcrίου. Γιατί όμως έχει έπιλεγεί η τάξη αυτή και όχι η Α' Γυμνασίου, ή ακόμη και κάποια μεγάλη τάξη του Δημοτικού; Δύο είναι οι βασικοί λόγοι για αυτό. Αρχικά η έννοια ΥΨΩΝΩ ΠΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ της τετραγωνικής ρίζας είναι σημαντικό εργαλείο όταν χειρι ζόμαστε θέματα εμβαδών, ιδιαίτερα δε εμβαδών τετραγώ νων. Όταν είναι γνωστό το εμβαδόν ενός τετραγώνου τότε για να βρούμε την πλευρά του χρειαζόμαστε την τετραγωνι κή ρίζα του εμβαδού. Ο δεύτερος λόγος είναι η επέκταση του συνόλου των αριθμών που χειριζόμαστε μέχρι και την Α' Γυμνασίου. Οι ρητοί αριθμοί, δηλαδή οι αριθμοί που μπορεί να γραφούν σαν κλάσματα, περιόριζαν τις Μαθηματικές μας δραστηριότητες. Χωρίς την έννοια της τετραγωνικής ρίζας ΒΓΑΖΩ ΤΗΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ δεν μπορούμε να λύνουμε προβλήματα τα οποία καταλήγουν σε κάποια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος είναι υψωμένος στο τετράγωνο. Για παράδειγμα προσπαθήστε να βρείτε έναν αριθμό :;tO που το άθροισμα του αριθμού αυτού και του αντι-

3β

στρόφου-του δίνει

3, δηλαδή

χ χ+_!_= 3. Όποιον από τους ρητούς αρ�θμούς και να δοκιμάσετε θα χ

διαπιστώσετε πολύ σύντομα ότι δεν μπορεί vα είναι ο ζητούμενος αριθμός. Η εξίσωση που προ κύπτει είναι η 1 =Ο που ονομάζεται δευτεροβάθμια και μαθαίνουμε να τη λύνουμε στην Γ Γυμνασίου. Με την ελπίδα ότι έχετε πειστεί για την αναγκαιότητα της τετραγωνικής ρίζας ας επιχειρή σουμε μαζί μία μικρή ιστορική αναδρομή για την εξέλιξη της έννοιας και του συμβόλου της. Θα ξεκινήσουμε από τον σύγχρονο ορισμό της τετραγωνικής ρίζας: «Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, είναι ο θετικός αριθμός, που όταν υψωθεί στο

χ2-3χ+

τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό α και συμβολίζεται με � ». Αυτός είναι ο ορισμός των σχολι κών βιβλίων για την τετραγωνική ρίζα. Σήμερα όλοι μαθητές από την Β ' Γυμνασίου και μετά είναι εξοικειωμένοι με το σύμβόλο αυτό αλλά η ιστορική εξέλιξη του συμβόλου έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Κατ' αρχάς θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι πολύ πριν επινοηθούν τα σύμβολα για την τετραγωνική ρίζα οι διάφορόι λαοί κατά την Αρχαιότητα χρησιμοποιούσαν μεθόδους υπολογισμού της, κυρίως σε προβλήματα υπολογισμού εμβαδών. Οι Κινέζοι, οι Βαβυλώνιοι, οι Αιγύπτιοι, οι Ινδοί και ασφαλώς και οι Έλληνες μπορούσαν να βρί σκουν αρκετά καλές προσεγγίσεις των τετραγωνικών ριζών των θετικών αριθμών. Πότε άραγε εμφανίστηκαν οι πρώτοι συμβολισμοί για την τετραγωνική ρίζα; τ�τραγωνική ρίζα του 2 ·είναι πιθανόν ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε χωρίς να εί ναι ρητός. Η ανακάλυψη έγινε πιθανότατα από τον Πυθαγόρειο φιλόσοφο Ίππασσο, ο οποίος μάλλον δολοφονήθηκε με πνιγμό για αυτήν την ανακάλυψη . Σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος, η ανακάλυψη του Ίππασου αποδείκνυε ότι αυτό δεν ισχύει. Μετά από μερικά χρόνια οι Πυθαγόρειοι βρήκαν τρόπο να περιγράφουν άρΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/1

------

Αναζητώντας την προ έλευ ση του Συμ βόλου

ρητους αριθμούς αναδρομικά, ώστε να μοιάζουν με κλάσματα. Για παράδειγμα η τετραγωνική 1 ρίζα του 2 μπορεί να γραφτεί στην εξής αναδρομική κλασματική μορφή : J2=1 + 1 2+ 1 2+ 2+ . . . --

Ση μείωση : Παραθέτουμε στη συνέχεια μία μικρή διευκρινιστική σημείωση καθώς εκτός από την τετραγωνική ρίζα και συγχρόνως με αυτή, η Μαθηματική κοινότητα εισήγαγε και ρίζες ανώτερης τάξης. Επειδή οι Μαθηματικοί συνηθίζουν να κάνουν γενικεύσεις επινόησαν αργότε ρα και άλλες ρίζες από την ανάγκη να υπολογίζουν αρχικά την πλευρά ενός κύβου όταν είναι γνωστός ο όγκος του. Για παράδειγμα όταν η πλευρά α του κύβου είναι 2μονάδες μήκους, τό τε ο όγκος είναι ίσος με 23 μονάδες όγκου. Αυτό σημαίνει ότι α3=8 και τότε . ορίζεται ο αριθμός α ως η κυβική ή τρίτη ρίζα του 8 γράφοντας α= if8 . Με παρόμοιο τρόπο ορίζονται και τέταρτες ρίζες, πέμπτες ρίζες κ.λ.π Για παρά δειγμα 24= 1 6 οπότε ο αριθμός 2 ονομάζεται τέταρτη ρίζα του 16.

Οι μαθηματικοί κατά την Αλεξανδρινή εποχή ασχολήθηκαν με τις τετραγωνικές ρίζες, αλλά σύντομα συμπεριέλαβαν στη μελέτη τους και τις κυβικές. Ο συμβολισμός της τετραγωνικής ρίζας άρχισε να χρησιμοποιείται το 1 525 από τον Christoff Rudolf. Από τότε, ο συμβολισμός έχει επεκταθεί και για τις υπόλοιπες νιοστές ρίζες, με τη διαφορά ότι πάνω αριστερά αναγράφεται το ν. Οι κύριοι συμβολισμοί των ριζών αναπτύχθηκαν τον 1 2° αιώνα στην Ευρώπη τότε που πα ρατηρείται μία διάχυση των γνώσεων που είχαν αποκτήσει οι Άραβες η συμβολή των οποίων ήταν καθοριστική . Με βάση τα όσα αναφέρει ο ιστορικός των Μαθηματικών συμβόλων Floήan Cajori διακρίνουμε 3 ομάδες σ:υμβολισμών η μία από τις οποίες μας κληροδότησε το σύμβολο . που χρησιμοποιούμε σήμερα. Οι ομάδες αυτές έχουν για βασικά τους σύμβολα τα: R (Radix), f, (iatus) και

.J. Ας δούμε λοιπόν τις ομάδες αυτές μία προς μία.

1 ) Το σύμβολο R

Ο Μαθηματικός Nicolas Chuquet τον 1 5° μ.Χ. αιώνα στο βιβλίο του με τίτλο "Ή επιστήμη των αριθμών σε τρία μέρη χρησιμοποιεί το γράμμα R, καλλιτεχνικά γραμμένο, για να συμβολίσει την τετραγωνική ρίζα.· Το R είναι το αρχικό γράμμα της λέξης radix που αποτελεί την έκφραση της τετραγω νικής ρίζας στα λατινικά και σύμφωνα με αρκετά εγχειρίδια μαθηματικών φαίνεται vα χρησιμοποιείται πολύ εκτεταμένα για το συμβολισμό της ρίζας.

�

Για παρά ειγμα R216 είναι το σημερινό

.Jϊ6, R.!_

fI ν-s

κ.τ.λ. είναι . 5 Μια παραλλαγή του συμβόλου R εμφανίζεται τον 16ό αιώνα από τον J. Scheubel, ο οποίος αντί για το R Χ,Ρησιμοποιεί την συντομογραφία ra. Έτσι το "ra.15 ad ra. 1 7" δίνει

�

"ra.col.32+ .J 1020" που σημαίνει "Μ +JU = 32+ .J1 020 ". Αντίστοιχοι συμβολισμοί επι κρατούν και στην Ισπανία προσαρμοσμένοι όμως στην Ισπανική γλώσσα. Μια λίγο διαφορετ�κή προσέγγιση γίνεται στην Ολλανδία όπου ο Α. Romanus χρησιμοποιεί το r για να υποδηλώσει την τετραγωνική ρίζα, αλλά προσθέτει και μια τελεία (.) για να δηλώσει ρίζα διωνύμου ή πολυωνύμου. Γράφει για παράδειγμα"r bin.2 + r bin.2 + r bin.2 + r2." για"

�2+ �2+ �2+ J2 ".

Τον 17° αιώνα το R αρχίζει να μην χρησιμοποιείται εκτεταμένα, ενώ στο τέλος του αιώνα έχει σχεδόν εξαφανιστεί. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/2

-----f

Ανα ζητώντας την π ρο έλευση του Συ μ βόλου

2) Το σύμβολο Το είναι κι εδώ το αρχικό γράμμα της λατινικής λέξης fatus. Σημαίνει «πλευρά ή όψη μι ας πλατείας» και εμφανίστηκε στα μαθηματικά για να συμβολίσει τη ρίζα. Η χρήση ·του είναι

παρόμοια μ' αυτή του R. Δηλαδή

"f 27 ad f 1 2" σημαίνει

Jfi

+Jϊi ".

ερμηνεία του επεκτάθηκε με τον Schoner. Έτσι σημαίνει J5, ενώ σημαίνει 5χ. Επομένως μια αλλαγή στη θέση του αριθμού σε σχέση με το σήμαινε και άλλο αποτέλεσμα. Η χρήση του στον υπολογισμό των ριζών δεν χρησιμοποιήθηκε ιδιαίτερα και καθώς αργό τερα το γράμμα: χρειάστηκε για το συμβολισμό λογαρίθμων, εξαφανίστηκε. Η

-Γ

3) Το σύμβολο Το σύμβολο αυτό προήλθε από τη Γερμανία. Ο Euler υπέθεσε ότι ήταν μια παραλλαγή του γράμματος άποψη που επικρατούσε )ιια πολλά χρόνια. Σύμφωνα με μία άλλη ιστορική προσέγγιση η προέλευση του συμβόλου αυτού ήταν μια κουκκίδα/τελεία (.) κάτι που θα συναντήσουμε στη qυνέχεια. Η μελέτη της εξέλιξης του συμβόλου στηρίζεται σε μία σειρά από εγχειρίδια άλγεβρας που έχουν κατά καιρούς βρεθεί σε διάφορες βιβλιοθήκες. Το παλαιότερο περιέχει αλγεβρικές διατρι βές στα Λατινικά και μια στα Γερμανικά. Σ' ένα από αυτά των Λατινικών, μάλλον γραμμένο το 1 480, οι τελείες χρησιμοποιούνταν για να υποδηλώσουν προέλευση ριζών. Μία τελεία που μπαίνει πριν από κάποιον αριθμό σημαίνει τετραγωνική ρίζα, δυο τελείες 4ης τάξης ρίζα, τρεις τελείες 3ης τάξης ρίζας κ.ο.κ. Προφανώς ο συμβολισμός αvτός δεν είναι πολύ εύστοχος, γιατί αν μια τελεία ση μαίνει τετραγωνική ρίζα, οι δυο 4ης τάξης ρίζα, τότε οι τρεις θα έπρεπε να σημαί-

r (radix),

{

νουν 8ης τάξης. Οι τελείες περί το 1 524 μετασχηματίζονται σταδιακά σε σύμβολα της μορφής ενώ το 1 525 εμφανίζεται το σύμβολο .ι Σε ένα μεταγενέστερο εγχειρίδιο που έγραψε κάποιος Α. Riese το 1 524 χρησιμοποιείται το σύμβολο

-Γ .

εξάπλωση του γερμανικού συμβόλου

-Γ της ρίζας άρχισε να στην ΕυρώΠη κυρίως τον 16° αιώνα.

Κ<iθώς η χρήση του συμβόλου αυτού άρχισε να επεκτείνεται ένα άλλο πρόβλημα που δεν είχε ακόμα λυθεί ήταν η τοποθέτηση της τάξης της ρίζας στη θέση που γνωρίζουμε σήμερα. Οι προτάσεις κι εδώ ήταν αρκετές. Αλλού εμφανίζεται η

-Γ 3) ή το � . Άλλη μορφή εμφάνισης της � είναι 3-Γ . Αντίστοιχοι συμβολισμοί για κάθε τάξης ρίζα. Η τοποθέτηση της τάξης στην θέση που τη γνωρίζουμε σήμερα, οφείλεται μάλλον στον Girard

για να υποδηλώσει την

�

-Γ ακολουθούμενη από ένα 3 κυκλωμένο J(j) ή το .J3 : για να δηλώσουν πάλι το

ενώ αλλού το

το 1702. Ο γνωστός μας συμβολισμός Y.f υιοθετείτε παγκοσμίως τον 1 8° αιώνα. Ένα ακόμα πρόβλημα στον συμβολισμό που έψαχνε τη λύση του, ήταν ο τρόπος γραφής των παραστάσεων κάτω από μια ρίζα. Κι εδώ η ποικιλομορφία ήταν μεγάλη . Παραδείγματα υπάρχουν πολλά, όΠως

J(3)α + b

που σημαίνει

�α + b

�7 +Jl3 ή -Γ.5+-Γ 3.+J2 που σημαίνει �5+./3 +J2 ή J.(bbb + 6aabb + 9aaaab) που σημαίνει �b3 + 6a 2b2 + 9a 4b

-Γ2 (7 +-Γ2η)

που σημαίνει

Πολλές φορές χρησιμοποιούσαν τελείες για να δηλώσουν την αρχή ή και το τέλος της ποσό τητας που βρισκόταν κάτω από τη ρίζα, ή μια τελεία στην αρχή και ένα κόμμα στο τέλος, ή μια τελεία και παρενθέσεις. Θα ήταν παράλειψη αν δεν αναφερόμαστε στη συμβολή της τυπογραφίας στην αποκρυ στάλλωση των Μαθηματικών συμβόλων. Η διάδοση των Μαθηματικών ιδεών μέσα από τα βι βλία οδήγησε ;στο να υιοθετήσουν οι. Μαθηματικοί ενιαίο συμβολισμό και για τις ανάγκες της τυπογραφίας. Η διαδικασία ήταν σταδιακή και χρειάστηκαν να γραφούν και τυπωθούν αρκετά βιβλία για να καταλήξουν οι Μαθηματικοί στον σύγχρονο συμβολισμό. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/3

------

Αναζητώντας την προ έλευ ση του Συμβόλου

Ας προσπαθήσουμε μέσα από τον φανταστικό διάλογο που ακολουθεί να ζωντανέψουμε και συγχρόνως να συντομεύσουμε χρονικά τη διαδικασία αυτή . Τα πρόσωπα που παίρνουν μέρος στον υποθετικό διάλογο είναι ο Μαθηματικός Franz και ο τυπογράφος Peter. Οι σκηνές διαδρα ματίζονται μέσα στο τυπογραφείο κάπου στη Γερμανία: Franz: Καλημέρα Peter έχω φέρει μερικά χειρό γραφα για το βιβλίο μου. Peter: Καλημέρα Franz για να δω λίγο τα χειρό γραφα. (κοιτάει προσεκτικά τα χειρόγραφα και του λέει) . . . . εδώ γράφεις radix· 1 5 ad radix 3 ad radix 2. Νομίζω ότι θα μπορούσαμε να συντο μεύσουμε λίγο όλη αυτή τη φράση. Franz: Πως δηλαδή ; Peter: Να σκέφτομαι να κόψεις το dix και να 1 αφήσεις μόνο το ra. Fraoz: Δεν με πειράζει. Στα Μαθηματικά το νό ημα έχει σημασία και αυτό εμένα δεν αλλάζει με μία περικοπή. Peter: Τότε ας κάνουμε κάτι πιο δραστικό, ας αφήσουμε μόνο το r. Νομίζω ότι δεν έχεις χρησιμοποιήσει άλλη σημαντική Μαθηματική έννοια που να αρχίζει από ra. Το κείμενο έτσι έχει μετατραπεί σε r 1 5 ad r3 ad r2. Ο Peter το βλέπει και έχει συνεχώς στο μυαλό του αυτό που του είπε ο Franz για το νόημα. "Το νό ημα, σκέφτεται, βρίσκεται στο μυαλό μας, τις λέξεις τις χρησιμοποιούμε για να εκφράσουμε το νόημα αυτό. Γιατί τότε να μη μετατρέψουμε τις λέξεις σε σύμβολα με τα οποία θα έχουμε και οικονομία χαρτιού". Σε λίγες ημέρες εμφανίζεται ο Franz ακούει τις ιδέες του Peter και του λέει: ·

Εμείς οι Μαθηματικοί θέλουμε, εκτός των άλλων, να είναι όσο το δυνατόν πιο κομψοί οι συμβολισμόί μας για τις έννοιες που χρησιμοποιούμε. Peter: Να σου κάνω μία πρόταση πάνω σε αυτό; Franz: Σε ακούω Peter: Να κάνω μεγαλύτερο το r και να βάλω τον αριθμό από κάτω να κοίτα κάπως έτσι Franz:

�

. . . . . . και γράφει με την πένα του . Franz: Peter έχω την αίσθηση ότι αυτή η στιγμή είναι σημαντική για την Άλγεβρα.

Βιβλιογραφία:

Για τη συγγραφή του άρθρου χρησιμοποιήσαμε υλικό από: 1) το βιβλίο του Florian Cajorϊ Α history of mathematical notations. 2) Το βιβλίο του David Smith : History of mathematics 3) Το βιβλίο του .Joseph Mazur : Enlightening Symbols Α Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers 4) Οι εικόνες προέρχονται από τους ισότοπους: https:// commons. wi kimedia.org/vviki/Fί le:Sguare-root Radix.svg http://\1/\Vvv.mathematics-monster.com/\essons/sguare root.html

http://ν.iwvv.solingen-internet.de/si-h https://wvvw. via\ ibri .net/cgi-

gwl irnprimatur/verkuendiger.htrn

bin/book search.php?refer=start&sν=tΉx8tΈRpZStDb3NzfHx8fA%3D%3D&wt=20&fr =s&sort=yr&order=asc&lang=en&act=quick&hi lo=lo&curr=USD&y=7667

(Από τον τελευταίο αυτό ιστότοπο προέρχεται η εικόνα του βιβλίου που είναι μία από τις εκδόσεις του βιβλίου του Christoff Rudolf Die Coss του 1 525). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/4

Τα μαθηματ ι κά σε καταστάσε ι ς προβλήματα της καθημερινής ζωής. =======

Επιμέλεια: Σπύρος Φ ερεντίνος

Η επίλυση του προβλήματος που θα διαπραγματευτούμε σε αυτό το τεύχος θα μας δώσει την ευκαιρία να ασχοληθούμε με ένα πολύ σημαντικό ερώτημα: Πότε μπορούμε να πούμε ότι έχουμε κατανοήσει μία Μαθηματική έννοια; Με το θέμα αυτό ασχολήθηκαν πολλοί επιστήμονες και διατύπωσαν διάφορες θεωρίες . πολλές από τις οποίες συγκλίνουν σε αυτά που θα περιγράψουμε στη συνέχεια. Για να γίνει κατανοητή η απάντηση στο ερώτημα που θέσαμε στην αρχή θα αναλύσουμε ένα παράδειγμα. =αχ + . Ας υποθέσουμε ότι έχουμε διδαχτεί στο σ ολείο 4ε πρώτο επίπεδο θα πρέπει να β, jl*ldwι 188εulda !Η� mιράσι8qτηςy έχουμε αποκτήσει τις βασικές imφ6AliaΛη της ιuΙΕiσς ιa ·ψσwσιι '= ca. 1IOU &φιι Ιιm610σιιιιιfοCt.11)1ΘU.,,. ,.,_ 'fVώσεις που σχετίζονται κυρίως με όλα εκείνα τα δεδομένα που πρέπει Σrο εξής. όταν ΟVΟfψΊμαmε στην να έχουμε καταχωρήσει στη μνήμη εuθεiο όνοι η yροφ«ι'\ παρόσrοοη μας. Να γνωρίζουμε δηλαδή τον tης σιινάριηοης y = β, 8ο ·λέμε: η tυθείο με εξίσωση Υ β ή οπΑώς η μορφή ΠΟυ έχει η γραφική ορισμό, τ ' ' η ευθεiι y = ΟΙΙ + β. παρασταση, ρολο τον των 0 οpιθμός σ. όπως � συντελεστώ" α, β και μία σειρά από ,ι:pιιι!ΙΙΙ)ς λtyειοικΑϊοηtrιςιΙΑΙείοςy=m..Αquοι ιλίση της ευΙεiσς Υ = σχ + ρ. βασικές ιδιότητες. Σε δεύτερο επίπεδο θα πρέπει να έχουμε αποκτήσ�;:ι τις βασικές δεξιότητες με τις οποίες μπορούμε να υλοποιήσουμε απλές εφαρμογές διαδικασιών, πράξεων και αλγόριθμων. Για παράδειγμα να μπορούμε vα κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση της y=αχ + β. Να μπορούμε να βρίσκουμε τους συντελεστές α και β από κάποια δεδομένα. Σε τρίτο επίπεδο θα πρέπει να έχουμε αποκτήσει τις βασικές ικανότητες δηλαδή τις δυνατότητες να συνδέουμε την έννοια με τον πραγματικό κόσμο, με άλλους τομείς της επιστήμης κ.λ.π. Για παράδειγμα η έννοια της συνάρτησης y=αχ + β μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να λυθούν προβλήματά όπως το εξής: Μια τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει 0,2 ευρώ το κάθε λεπτό τηλεφωνήματος και επίσης 8 ευρώ το πάγιο το μήνα, να βρεθεί η συνάρτηση που εκφράζει το συνολικό μηνιαίο ποσό πληρωμής και να παρασταθεί γραφικά. Στο τέτα ρτο επίπεδο θα πρέπει να έχουμε αποκτήσει τις κατάλληλες στάσεις μέσα από τις οποίες θα εκτιμήσουμε τηy αξία της Μαθηματικής σκέψης, θα επιλέγουμε την σκέψη αυτή σαν ένα εργαλείο ορθολογικής ερμηνεία του κόσμου που μας περιβάλλει. Έτσι η έννοια της συνάρτησης y=αχ.+ β μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να λυθούν προβλήματα που αναφέρονται σε σύγκριση προσφορών των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας, με σκοπό ο πελάτης να πληρώνει όσο το δυνατό λιγότερα χρήματα για να καλύψει τις συγκεκριμένες τηλεπικοινωνιακές του ανάγκες. ·

=α +

ποο

αχ +

=αχ+

πω.

ιιοι

150 140: 130 1lll' 118 ·' 10018'

.. , 711 : 18 � 50: ... : 30' 18 � 18. ο

190

-----

-Τ'---------·-

1997

Στην περίπτωση αυτή ο στόχος είναι να χρησιμοποιηθούν τα μαθηματικά για να αποκτήσουμε την δυνατότητα του σωστού προσανατολισμού, που είναι σύμφωνος με :τις πραγματικές μας ανάγκες, μέσα στο πλήθος των προσφορών των διαφόρων εταιρειών που ενδέχεται να έχουν κυρίαρχο σκοπό τον εντυπωσιασμό ή ακόμα και την · παραπλάνηση του καταναλωτή, προκειμένου η εταιρεία να αντλήσει το μέγιστο κέρδος. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/5

-----

Τ α μαθ ηματικά σε καταστάσε ις - π ρο βλήματα της καθ ημεριν ής ζω ής .

Πρόβλημα

(Πρόγραμμα PISA, 2003)

----

Στο διπλανό γράφημα ο κατακόρυφος άξονας αναφέρεται στον αριθμό ληστειών ανά έτος. Σε ένα τηλεοπτικό κανάλι ένας δημοσιογράφος σχολίασε την διπλανή γραφική παράσταση ως εξής : <<Η γραφ ική

παράσταση δείχνε ι ότι σημειώθήκε τεράστια αύξηση του αριθμού των ληστειών από το έτος 1998 έως το έτος 1999» Νομίζετε ότι ο δημοσιογράφος ερμήνευσε σωστά

την γραφική παράσταση; Τεκμηριώστε με επιχειρήματα την απάντησή σας.

Επίλυση του προβλήματος Ας προσπαθήσουμε τώρα να αναλύσουμε το παραπάνω πρόβλημα μέσα από το πρίσμα των τεσσάρων επιπέδων που καθορίσαμε πριν: Σε επίπεδο γνώσεων

Για την επίλυση του προβλήματος σε επίπεδο γνώσεων χρειάζονται οι έννοιες των ποσοστών,' των λόγων ή της απλής μεθόδου των τριών. Επίσης η έννοια των στατιστικών διαγραμμάτων και γενικότερα των γραφημάτων. Στο επίπεδο των

δεξίοτήτων

Εδώ είναι απαραίτητο να μπορούμε υπολογίζουμε το ποσοστό αύξησης με διάφορους τρόπους. Αρχικά "θα πρέπει από το διάγραμμα να μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο αριθμός των ληστειών που αντιστοιχεί στο έτος 1998 είναι περίπου 508 και στο 1999 είναι περίπου 5 1 6, δηλαδή υπάρχει μια αύξηση 5 1 6 - 508 = 8 ληστείες. Από αυτά συμπεραίνουμε ότι το ποσοστό αύξησης των ληστειών από το 1 998 έως το 1999 είναι περίπου 1,6% (8/508 = 0,0 1 57 και 0,0 1 57 χ 100= 1 ,57%). Με βάση το μικρό ποσοστό αύξησης μια πρώτη εl(τίμηση είναι ότι το σχήμα όπως παρουσιάσθηκε είναι δυνατό να λειτουργήσει παραπλανητικά και στην πραγματικότητα η αύξηση δεν είναι τεράστια, αλλά πολύ μικρή. Στο επίπεδο των. ικανοτήτων. Το επίπεδο αυτό συνδέεται με τον έλεγχο, την κριτική, τη διερεύνηση και ερμηνεία στατιστικών διαγραμμάτων. Εδώ θα πρέπει να διαπιστώσουμε ότι δεν είναι δυvατό από τα δεδομένα του προβλήματος να γνωρίζουμε με βεβαιότητα αν η αύξηση είναι μεγάλη ή όχι. Το ποσοστό της αύξηση των ληστειών από το 1998 έως το 1 999 είναι περίπου 1 ,6%. Αν π.χ από το 1 993 έως το 1 998 γνωρίζαμε ότι υπήρχε ένας σταθερός αριθμός ληστειών, περίπου 508 το χρόνο ή υπήρχαν και μειώσεις, τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι υπάρχει αρκετά μεγάλη.αύξηση από το 1 998 μέχρι το 1999, εφόσον το ποσοστό αύξησης απότομα ανέβηκε γύρω στο 1 ,6%. Ουσιαστικά θα πρέπει να προβληματιστούμε για τη χρήση των όρων «τεράστια αύξηση ή τεράστια μεταβολή» όταν έχουμε πληροφ9ρία για 2 μόνο σημεία ενός διαγράμματος. Επιπλέον θα πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι μια πληροφορία για 2 μόνο σημεία ενός διαγράμματος δεν είναι αξιόπιστη. Στο επίπεδο των στάσεων.

Ολοκληρώνοντας την μελέτη του προβλήματος θα πρέπει να μπορούμε να αξιολογούμε τη δήθεν «στατιστική αντικειμενικότητα» που πιθανά προβάλλεται από ορισμένα ΜΜΕ και που οφείλεται είτε σε άγνοια, είτε σε διαφόρων ειδών σκοπιμότητες. Ουσιαστικά μέσω της επίλυσης παρόμοιων μαθηματικών προβλημάτων, θα πρέπει να μετακινηθούμε από τη θέση του παθητικού θεατή, σε κριτικά σκεπτόμενο πολίτη που θα έχει την ικανότητα να αξιολογήσει απόψεις και να τις δεχθεί ή να τις αντικρούσει μέσω τεκμηριωμένων επιχειρημάτων. Παρατή ρηση: Το παραπάνω πρόβλημα στο οποίο τα δεδομένα δίνουν τη δυνατότητα να υπάρξουν διάφορες απαντήσεις ανήκει σε μια κατηγορία προβλημάτων που χαρ<iκτηρίζονται ανοικτά προβλήματα, με τα οποία θα ασχοληθούμε εκτενέστερα σε προσεχές τεύχος. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/6

<<Μη μου τους dκλους τάρατrε>> ======

Άνν α Π απαδάκη -Μ αρία Βιτ ζιλαίου

παραπάνω έκφραση ανήκει στον Αρχιμήδη τον Συρακούσιο, έναν από τους γνωστούς αρχαίους μαθηματικούς και όχι μόνο. Οι Συρακούσες πολιορκούνταν από τους Ρωμαίους. Ο Αρχιμήδης βρισκόταν στον κήπο του σπιτιού του και έφτιαχνε κύκλους στην άμμο, όταν ένας Ρωμαίος οπλίτης, παρά τις εντολές που είχε από τον στρατηγό του, μπήκε και τον σκότωσε με το ξίφος του μη γνωρίζοντας ποιος είναι. Η παραπάνω φράση ήταν και η τελευταία που είπε και έμεινε στην ιστορία. Ένα από τα συμπεράσματα που θα μπορούσαμε να βγάλουμε από τα τελευταία λόγια του Αρχιμήδη είναι ότι για αυτόν οι ιδιότητες των κύκλων ήταν πιο ενδιαφέρουσες ακόμη και από την ίδια του τη ζωή. Η

Τι κοινό έχουν τα παρακάτω αντικείμενα;

Ας σκεφτούμε λίγο την ονομασία τους: Κυκλάμινο, κύλινδρος, κύκλωμα, κυκλώνας παρατηρούμε ότι σε όλα υπάρχει ή υπονοείται ο κύκλος, η κύλιση, η περιστροφή. Από Γεωμετρική άποψη ο κύκλος είναι βασική έννοια όπως και το σημείο, η ευθεία, η ημιευθεία, το ευθύγραμμο τμήμα, η γωνία κ.λ.π οπότε ας δούμε λίγο το αντικείμενο αυτό με καθαρά Γεωμετρικό τρόπο. Η

κατασκευή ενός κύκλου γίνεται με τον διαβήτη, όπως φαίνεται παρακάτω. Κύκλος ονομάζεται το σύνολο των . σημείων του επιπέδου που απέχουν από ένα σταθερό σημείο την ίδια απόσταση. Το σταθερό σημείο λέγεται κέντρο του κύκλου και συνήθως το συμβολίζουμε με Ο. Την απόσταση την ονομάζουμε ακτίνα και συνήθως την συμβολίζουμε με ρ. Οπότε με (Ο, ρ) συμβολίζουμε τον κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ.

Μία ση μ αντική πα ρ ατή ρηση

Συχνά για να κατασκευάσουμε πρόχειρα ένα κυκλικό σχήμα χρησιμοποιούμε ένα νόμισμα ή γενικά ένα κυκλικό αντικείμενο. Εδώ θα πρέπει να αναφέρουμε ότι στην πραγματικότητα αυτό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/7

-------

«Μη μου τους κύκλους τάραττε»

που κάνουμε είναι σχεδίαση και όχι κατασκευή. Στη Γεωμετρία όταν λέμε κατασκευή εννοούμε χρήση κανόνα και διαβήτη. Ας δούμε τώρα κάποια στοιχεία του κύκλου. Στον κύκλο επιλέγουμε δυο σημεία Α, Β και τα ενώνουμε. Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ λέγεται χορδή.του κύκλου, ενώ κάθε ένα από τα δύο τμήματα του κύκλου με άκρα τα Α, Β λέγεται τόξο του κύκλου και συμβολίζεται με ΑΒ . Παρατηρήστε ότι σχηματίζονται δύο τόξα -

ΑΒ.

Να σχεδιάσετε έναν κύκλο διαμέτρου AB=4cm.

Διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου που περνάει απ' το κέντρο του. Οπότε ισχύει ότι δ = 2 ρ ·

Είναι Άρα

Ο κύκλ ο ς κ α ι τ α στ ο ιχεία του στ ον π ραγματικό κόσμο :

Το πρώτο που διαπιστώνει κανείς όταν αναζητά την ονομασία του κύκλου σε άλλες γλώσσες είναι ότι η συντριπτική πλειοψηφία των χώρών του Ευρωπαϊκού τόξου έχουν δώσει όνομα στον κύκλο με κοινή ρίζα. Ας δούμε λοιπόν πως ονομάζεται ο κύκλος σε διάφορες γλώσσες: ΧΩΡΑ

Αγγλικά και Γαλλικά Ισπανικά, Πορτογαλικά και Ιταλικά Γερμανικά Δανικά και Νορβηγικά Ολλανδικά Φιλανδικά Σουηδικά Ουγγρικά Ρώσικα Αλβανικά. Βουλγαρικά Ρουμανικά 2)

δ=4 ρ 4 : 2 = 2cm

ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΥΚΛΟΥ cycle ciclo Zyklus cyklus cyclus sykli cykel ciklus U:HΚJI

(διαβάζεται τσικλ) ·cikel tsikul ciclu

Τόξα και χορδές δεν έχουν μόνο οι κύκλοι. Ένα από το πλέον γνωστά αντικείμενα που έχουν το όνομα χορδή είναι κομμάτια από σύρμα ή κλωστή ή άλλο υλικό τα οποία παράγουν μουσικές νότες στα μουσικά όργανα όπως αυτό που φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Προσέξτε το καμπυλωτό, σχεδόν κυκλικό σχήμα 'του οργάνου και τη θέση των χορδών. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/8

-------

«Μη μου τους κύκλους τάραττε»

--------

διπλανή εικόνα , παριστάνει ένα τόξο, δηλαδή το όπλο· που χρησιμοποιείται για την εκτόξευση βελών. Παρατηρήστε ότι αποτελείται από ένα καμπύλο κομμάτι ξύλου ή άλλου υλικού, στις άκρες του οποίου δένεται μια χορδή. Άλλη μια σχέση του τόξου με τον πραγματικό κόσμο αφορά στην αρχιτεκτονική. Σκεφτείτε για παράδειγμα το γεφύρι της Άρτας ή την αψίδα του Θριάμβου. Σχηματίζουν καμάρες ή αλλιώς τόξα. Η

Ο κύκλος σε αντικείμενα καθημερινής χρήσης. Η

περίπτωση της ρόδας

περίπτωση των νομισμ άτων.

Οι ρόδες είναι κυκλικές. Αναρωτηθήκατε ποτέ το γιατί; Ως γνωστό οι ρόδες χρησιμοποιούνται κυρίως στα οχήματα. Τα οχήματα όμως πρέπει να διατηρούν καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησής τους σταθερή απόσταση από το έδαφος. Ο κύκλος είναι το μοναδικό σχήμα που μπορεί να το επιτύχει και συγχρόνως να καταναλώνει μικρή ενέργεια. Όπως όλοι γνωρίζετε τα κέρματα έχουν κυκλικό σχήμα. Αυτό συμβαίνει γιατί αφενός κοστίζει λιγότερο η κατασκευή' τους και αφετέρου ο όγκος τους είναι λιγότερος από τα υπόλοιπα στερεά. Επίσης, αν έχετε δει ποτέ δεκάρα (παλιό ελληνικό νόμισμα) ή γενικότερα παλιά κέρματα, θα έχετε παρατηρήσει ότι στη μέση είχαν μια τρύπα. Αυτό συνέβαινε γιατί συνήθιζαν να τα κρεμάνε στη μέση τους. Το βολικότερο σχήμα ήταν ο κύκλος. Η

περίπτωση των ψη φιακών δίσκων (cd-dvd) Τα cd και τα dvd είναι επίσης κυκλικά. Ο· λόγος είναι ο παραπάνω διαβάζονται μέσω laser σε πολύ υψηλές ταχύτητες.

εξής: Τα Το μόνο σχήμα που μπορεί να περιστραφεί τόσο γρήγορα, χωρίς να σπάσει καθώς και να αποθηκεύσει μεγαλύτερη ποσότητα δεδομένων που να μπορεί να διαβαστεί κατά την περιστροφή είναι ο κύκλος. Οι Ο λυμπια κοί κύκλοι και η ση μασία τους. Οι 5 Ολυμπιακοί κύκλοι αντιστοιχούν στις 5

ηπείρους (μπλε για την Ευρώπη, Κίτρινο για την Ασία, μaύρο για την Αφρική, πράσινο για την Ωκεανία και Κόκκινο για την Αμερική). Προσέξτε ότι κάθε κύκλος τέμνει έναν ή δύο το πολύ άλλους κύκλους ώστε το συνολικό σχήμα να παριστάνει την συνύπαρξη και την συνεργασία των λαών.

000

Ασκήσεις

Να σχεδιάσετε κύκλους με ίδιο κέντρο Ο και διαμέτρους 6cm, 8cm και 9cm αντίστΘιχα. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 1 02 τ.2/9

------

«Μη μο υ το υς κύκλο υς τάρα ττε»

2) Δfνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 4cm. Να κατασκευάσετε τους κύκλους (Α, ΑΒ) και (Β, ΑΒ). Να ονομάσετε Κ, Λ τα σημεία που τέμνονται οι κύκλοι και να φέρετε την χορδή ΚΛ. Να ονομάσετε Μ το σημείο τομής των ΚΛ και ΑΒ. Τι παρατηρείτε για τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΑ και ΜΒ, και τι για τα ΜΚ και ΜΛ; 3) Να επαναλάβετε την προηγούμενη άσκηση, φτιάχνοντας όμως τώρα τόυς κύκλους (Α, 3cm) και (Β, 2cm). Τι έχετε να παρατηρήσετε τώρα για τα ΜΑ, ΜΒ και ΜΚ, ΜΛ; 4) Να σχεδιάσετε ένα.ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και να γράψετε τον κύκλο που έχει διάμετρο το

Με κέντρα τα Α και Β να γράψετε κύκλους με ακτίνα ίση με την ακτίνα του αρχικού κύκλου. Από ποιο χαρακτηριστικό σημείο του αρχικού κύκλου διέρχονται οι δύο αυτοί κύκλοι; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΒ.

5) Να σχεδιάσετε τους κύκλους (K,2cm) και (K,4cm) οι οποίοι είναι ομόκεντροι. Στη συνέχεια να σχεδιάσετε μια διάμετρο ΑΒ του κύκλου (K,4cm) και να ονομάσετε Γ και Δ τα σημεία στα οποία η ΑΒ τέμνει τον κύκλο (K,2cm). Να βρείτε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΓ, ΑΔ, ΓΒ, ΔΒ. 6) Να (Jημειώσετε ένα σημείο Κ και να γραμμοσκιάσετε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Κ απόσταση μεγαλύτερη ή ίση από 3cm και μικρότερη ή ίση από 6cm.

7) Δύο άλογα είναι δεμένα σε δυο πασσάλους Α και Β αντίστοιχα που απέχουν 40m. Το πρώτο είναι δεμένο με σχοινί 20m, ενώ το δεύτερο με σχοινί 25m. Πού πρέπει να τοποθετήσουμε το νερό, ώστε να το φτάνουν και τα δύο; 8) Πόσα συνολικά σημεία τομής έχουν οι Ολυμπιακοί κύκλοι; Να ξανασχεδιάσετε τους 5 αυτούς κύκλους ιίJστε τα σημεία τομής τους να είναι λιγότερα από αυτά που φαίνονται στην τελευταία εικόνα που υπάρχει στο κείμενο πριν τις ασκήσεις. 9) Στην Παρακάτω εικόνα ένας άνθρωπος θέλει να μετακινήσει ένα κυβικό αντικείμενο (κάθε πλευρά · είναι τετράγωνο) αλλά αυτό δεν μπορεί να συρθεί στο έδαφος έτcrι αποφασίζει να το μετακινήσει περιστρέφοντας κάθε φορά.

Ποια κατά τη γνώμη σας από τις παρακάτω πορείες θα ακολουθήσει το κέντρο της εξωτερικής τετράγωνης πλευράς (λευκό σημείο);

Β) Δ)

Πληροφορίες έχουν αντληθεί από τον ιστότοπο: http://theconicsection.weebly.com/circle.html .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/10

ο ιι

Εξ. ισωσε ις, τα vρο:β"'Ληματα ,, .

και η σημασια της μεταφρασης

======

Ηλίας Μακρυνιώτης, ΣτέφανΌς Κείσογλου

«Τα Μαθηματικά υπάρχουν γιατί υπάρχουν προβλήματα», αυτή είναι μία κοινή διαπίστωση όσων ασχολούνται με τα Μαθηματικά. Με το πέρασμα των αιώνων οι Μαθηματικοί έχουν επινοήσει ένα σωρό τρόπους να λύνουν προβλήματα και θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι πολλά από τα δύσκολα προβλήματα δεν θα μπορούσαν να λυθούν αν δεν διαθέταμε και τα κατάλληλα σύμβολα. Ας δούμε ένα παράδειγμα: Θέλουμε να βρούμε δύο θετικούς ακέραιους που ο ένας είναι κατά δώδ.εκα μεγαλύτερος του άλλου και ο μεγαλύτερος είναι τριπλάσιος του μικρότερου. Αν θέλουμε να αποφύγουμε τη χρήση της Άλγεβρας, δηλαδή τη χρήση διαφόρων συμβόλων δ ιου ία εξίσωσης, τότε μπορούμε να κάνουμε δοκιμές αριθμών. Για παράδειγμα: Παρατηρήστε ότι το τελευταίο ζευγάρι είναι ακριβώς οι αριθμοί που Μικ ό t--�-�--"--1 θέλουμε. 1 t-----i-----i Θα συμφωνήσετε όμως ότι η μέθqδος αυτή έχει δύο χαρακτηριστικά: 14 2 t------i 15 3 • είναι χρονοβόρα 16 4 • είναι άκομψη, θα λέγαμε πρωτόγονη . 17 5 18 6 Οι ιστορικοί λένε ότι πολύ πριν tην ανάπτυξη της άλγεβρας οι αρχαίοι λαοί χρησιμοποιούσαν τέτοιες μεθόδους. Με την ανάπτυξη της Άλγεβρας μπορούμε πλέον να λύvουμε το ίδιο πρόβλημα πολύ σύντομα και κομψά: • Αν συμβολίσουμε με χ τον μικρότερο Παρατηρήστε ότι στην αρχή κάνουμε τότε ο μεγαλύτερος θα είναι χ+12 εισαγωγή ενός συμβόλου. • • συγχρόνως ο μεγαλύτερος θα είναι 3χ άρα Στη συνέχεια κάνου με μετάφραση των 3χ=χ+12 οπότε δεδομένων του προβλήματος με τη βοήθεια 3χ-χ=12 του συμβόλου και κατασκευάζουμε μία 2χ=12 εξίσωση. χ=6 • Τέλος λύνουμε την εξί-σωση. Εκτός από την κομψότητα υπάρχει και ένας άλλος σημαντικός λόγος που χρησιμοποιούμε την εισαγωγή ενός αγνώστου χ και την δημιουργία μιας εξίσωσης, είναι η ασφάλεια και η σιγουριά ότι το αποτέλεσμα είναι έγκυρο. Προσέξτε το εξής παράδειγμα: Το διπλανό μπουκάλι με κρασί πωλείται 10€. Το περιεχόμενο είναι κατά 8,8€ ακριβότερο από το μπουκάλι. Πόσο χρεώνεται το μπουκάλι; Εδώ μία αυθόρμητη απάντηση είναι ότι το μπουκάλι χρεώνεται 10€-8,8€ = 1,2€. Όμως. ας δούμε την πραγματική τιμή του μπουκαλιού. Αν χ€ η τιμή του μπουκαλιού τότε το κρασί αξίζει (χ+8,8)€. Επειδή η συνολική αξία είναι 10€ άρα θα έχουμε (χ+8,8)+χ=10 από όπου προκύπτει ότι 2χ=10-8,8 δηλαδή 2χ=1,2 και τελικά χ=Ο,6. Θα διαπιστώσατε τώρα ότι η δημιουργία μιας εξίσωσης μας αποτρέπει από ένα λάθος στο οποίο μας οδηγεί η αυθόρμητη σκέψη μας. ΔίJ ο σημαντικές δ ρ αστη ριότητες

Πριν ξεκινήσουμε τις εφαρμογές θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι δύο πολύ σημαντικές δραστηριότητες κατά τη λύση ενός προβλήματος είναι η μετάφρασή του και η λύση της ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/1 1

-------

Οι Εξισώ σεις, τα προ βλήματα και η σημασ ία της μετάφρασης

-----

εξίσωσης που προκύπτει. Μετάφραση του προβλήματος σημαίνει η μεταφορά του από το χώρο της καθημερινής μας γλώσσας στο χώρο των συμβόλων και της Άλγεβρας και ξεκινά με το να συμβολίσουμε με κάποιο ή κάποια γράμματα τον ή τους αγνώστους του προβλήματος. Ση μ αντική παρατή ρηση : Συνήθως οι πληροφορίες του κειμένου που αναφέρονται σε ποσά (αριθμητικά δεδομένα) και σε σχέσεις μεταξύ των ποσών είναι οι πλέον σημαντικές. Για παράδειγμα στο παρακάτω κείμενο: Σε μία συγκέντρωση 54 ατόμων υπήρχαν άντρες, γυναίκες και παιδιά. Οι άντρες ήταν κατά � των γυναικών. Πόσοι άντρες, .πόσες 6 περισσότεροι από τις γυναίκες ενώ τα παιδιά ήταν τα ·

γυναίκες και πόσα παιδιά υπήρχαν στη συγκέντρωση; Εδώ το είδος των αντικειμένων (άνθρωποι) καθώς και τα είδη των ανθρώπων (άνδρες, γυναίκες, παιδιά) δεν είναι σημαντικές πληροφορίες. Αν το πρόβλημα μιλούσε για 3 διαφορετικά είδη αντικειμένων π.χ για 3 διαφορετικές μάρκες αυτοκινήτων, η Μαθηματική του συγκρότηση θα ήταν ίδια. Εφα ρμ ογές και πα ραδείγματα Παράδειγμα 1°

Ο Βασίλης έχει έναν ψηφιακό κουμπαρά ποv έχει δύο ενδείξεις στην επιφάνειά του. Η μία ένδειξη δείχνει τη συνολική αξία των χρημάτων που υπάρχουν μέσα στον κουμπαρά και η άλλη τον συνολικό αριθμό νομισμάτων και χαρτονομισμάτων που περιέχει. Ο Β ασίλης απεφάσισε κάθε φορά που του περισσεύει ένα νόμισμα των 2 € ή ένα χαρτονόμισμα των S€ να τα ρίχνει στον κουμπαρά. Κάποια στιγμή στον κοvμπαρά εμφανίζονται οι αριθμοί που βλέπετε στη διπλανή εικόνα. Πόσα νομίσματα και πόσα χαρτονομίσματα

περιέχεJ ο κουμπαράς;

Ας έρθουμε τώρα στη μετάφραση του προβλήματος και την λύση της εξίσωσης Φυ σική γλώσσα Πόσα νομίσματα ή χαρτονομίσματα; ι:::::::=:>

συνολικά τεμάχια 29

Μετάφ ραση:

Έστω χ το πλήθος των χαρτονομισμάτων. (αξία χαρτονομισμάτων 5·χ) Τα νομίσματα θα είν αι 29-χ. (αξία νομισμάτων 2-(29-χ)) 5·χ + 2-(29-χ) 1 00 Λύση εξίσωσης: 5χ+ 5 8 -2χ 100 5χ-2χ 100-58 3χ=42 χ= 1 4 =

συνολική αξία χρημάτων 1 οοε

Παρατηρήστε ότι η μετάφραση δεν γίνεται φράση προς φράση αλλά χρειάστηκε να κατασκευάσουμε δύο επιπλέον ποσότητες που είναι η συνολική αξία των χαρτονομισμάτων 5· χ και η συνολική αξία των νομισμάτων 2-(29-χ). Ση μ είωση :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/12

-------

Πα ρ άδειγμα 2°

Οι Εξισώ σεις, τα προ βλήματα και η σημασ ία της μετάφρασης

------

Ένας πωλητής αυγών αγόρασε ορισμένα αυγά προς Ο, 75 € το ένα. Κατά τη μεταφορά διαπίστωσε ότι τού έσπασαν 12 αυγά και αφού πούλησε τα υπόλοιπα προς 0,90 € το ένα διαπίστωσε ότι συγκέντρωσε και πάλι το ποσό που είχε πληρώσει αρχικά για την αγορά των αυγών. Πόσα αυγά αγόρασε αρχικά;

Φ υ σική γλώσσα Πόσα αυγά αγόρασε αρχικά;

Μετάφ ρ αση:

ι::::::=:>

Έστω χ το πλήθος των αυγών.

αυγά προς Ο, 75 ε το ένα

ι::::::=:>

Αρχική αξία αυγών Ο,75·χ

έσπασαν 12 αυγά

ι::::::=:>

Αυγά που πούλησε χ-12

πούλησε τα υπόλοιπα προς 0,90 ε

ι::::::=:>

Χρήματα που εισέπραξε: Ο,9-(χ-12)

συγκέντρωσε και πάλι το ποσό που είχε πληρώσει αρχικά

Παράδειγμα 3°

Ο,9·(χ-12) = Ο,75·χ Λύση εξίσωσης: Ο,9·χ-10,8 = Ο,75·χ Ο,9·χ- Ο,75·χ =10,8 Ο,15·χ =10,8 χ =10,8:0,15=72,

Το πρόβλημα που ακολουθεί εμφανίζεται στη Γ ερμανία τον 16°-άιώνα μ.χ. Το πρόβλημα σε ελεύθερη απόδοση λέει το εξής : Ένας άντρας πίνει ένα μικρό βαρελάκι κρασί μόνος του σε 21 ημέρες. Αν καθημερινά πίνει μαζί του και η γυναίκα του τότε το β αρελάκι αδειάζει σε 14 ημέρες. Σε πόσες ημέρες η γυναίκα του θα έπινε το κρασί μόνη της;

Υπόδε ιξη: Εδώ δεν είναι τόσο άμεση η μετάφραση όπως στα προηγούμενα παραδείγματα. Είναι αναγκαίο να επιλέξουμε πρώτα μία κατάλληλη στρατηγική ώστε η μετάφραση να είναι στη συνέχεια σχετικά απλή . Η στρατηγική που απλοποιεί τη. μετάφραση σε παρόμοια προβλήματα είναι η αναγωγή στηv μονάδα, δηλαδή στο πόσο κρασί καταναλώνουν μαζί ή καθένας ξεχωριστά σε μία ημέρα.

Φυσική γλώσσα Η ποσότητα κρασιού που κατανάλωνε ο άνδρας.

Συνολική ποσότητα βαρελιού ποσότητα κρασιού που κατανάλωνε η γυναίκα

Μετάφ ρ αση: ι::::::=:>

Έστω χ η ποσότητα που έπινε ο άνδρας την ημέρα.

ι::::::=:>

21 .χ

ι::::::=:>

Έστω y η ποσότητα που έπινε η γυναίκα την ημέρα

Συνολική ποσότητα βαρελιού

14·(x+y) Λύση εξίσωσης Θα πρέπει να ισχύει ότι Άρα η ποσότητα του κρασιού που καταναλώνει 21·χ=14·(x+y) η γυναίκα είναι η μισή από αυτή που 2lx=l4x+14y καταναλώνει ο άνδρας. Οπότε η γυναίκα θα πιει 21χ-14χ =14y άρα 7x=14y και τελικά το κρασί σε 42 ημέρες x=2y ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/13

-------

Οι Εξισώ σεις, τα προ βλή ματα και η σημασία της μετ άφ ρασης

-----

Κ αι τ ώ ρ α ή ρ θ ε η ώρ α της εξάσκη σης . . . l.

3. 4. 5. 6.

Σε μία κτηνοτροφική μονάδα για να γεμίσουν οι ταίστρες χρειάζονται 4 ώρες. Τα ζώα όταν τρώνε τις αδειάζουν σε 5 ώρες. Ξεκινάμε να γεμίζουμε τις ταΊστpες και συγχρόνως τα ζώα αρχίζουν να τρώνε. Πόση ώρα χρειάζονται οι ταΊστρες για να γεμίσουν; Ένα σκοινί μήκους 40 εκατοστών κόβεται σε δύο κομμάτια εκ των οποίων το ένα είναι 18 εκατοστά μεγαλύτερο. Πόσο μήκος έχει το μικρότερο κομμάτι; Έστω 10 διαδοχικοί φυσικόί αριθμοί. Κατά πόσο διαφέρει το άθροισμα των πέντε τελευταίων φυσικών αριθμών από αυτό των πέντε πρώτων; Ο Άλκης θέλει να διαβάσει ένα βιβλίο 250 σελίδων. Επειδή του άρεσε πολύ κάθε ημέρα διαβάζει δέκα σελίδες περισσότερες από την προηγούμενη και τελικά το τελειώνει σε 5 ημέρες. Πόσες σελίδες διάβαζε κάθε ημέρα; Ένας πατέρας είναι 35 χρονώv και ο γιος του είναι 8. Να υπολογίσετε μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τετραπλάσια από αυτή του γιού του. Ένας έμπορος αγόρασε πορτοκάλια προς 0,8€ το κιλό. Όταν τα πούλησε είχε κέρδος όσο και τα

i των

χρημάτων που διέθεσε. Με τα συνολικά χρήματα πσυ εισέπραξε αγόρασε . 4 πορτοκάλια στην ίδια τιμή με τα αρχικά, τα πούλησε και σε έναν τελικό απολογισμό παρατήρησε ότι τα χρήματα που διαθέτει τώρα είναι διπλάσια από αυτά που διέθετε στην αρχή. Πόσα κιλά πορτοκάλια είχε αγοράσει αρχικά; Τρεις εργαζόμενοι σε μία εβδομάδα εισέπραξαν συνολικά 896€. Οι δύο πρώτοι εισέπραξαν

το ίδιο ποσό ενώ ο τρίτος εισέπραξε τα 8.

� 5

του ποσού που εισέπραξαν συνολικά οι δύο

άλλοι. Τι ποσό εισέπραξε ο καθένας; Διαθέτουμε δύο ειδών ξύλινα ορθογώνια αντικείμενα (μεγάλα και μικρά) τα οποία είναι κατασκευασμένα από το ίδιο βαρύ ξύλο. Με βάση τις παρακάτω ζυγίσεις να υπολογίσετε το βάρος καθενός από τα αντικείμενα αυτά.

Η σ υ ντακτική επιτροπή το υ

ΕΥΚΛΕΙ�Η Α' ε ύ χεται σε όλο υ ς

του ς αναyνώστες

ΧΡΟΝΙΑΙ Μ ε χαρά περ ιμένο υ με νέες συνεργασίες, άρθρα, λύ σεις ασκήσεων παρατη ρ ή σ ε ις σας γ ια να γ ίνο υ με καλύτε ρ ο ι. . .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/14

αλλά και τις

Jτετραγωνικη Ρίζα =======

Γ.

Λυμπ ερόπουλο ς, Α . Μ π α κά λης, Μ. Σ ίσκ ου

Παρατηρηστε τα παρακάτω τετράγωνα και ιδιαίτερα το πλήθος των κύκλων που έχει το κάθε ένα μέσα. Χωρίς δυσκολία βλέπουμε ότι τα τετράγωνα περιέχουν 2 χ 2=4, 3 χ 3=9, 4 χ 4= 1 6, 5 χ 5=25 , 6χ6=36 κύκλους αντίστοιχα. Θα μπορούσαμε να υποθέσουμε ότι το 4 παράγεται, προέρχεται" ή ότι έχει ρίζα το 2. Καλύτερα να πούμε ότι έχει τετραγωνική ρίζα το 2 καθώς έχουμε ασχοληθεί με τετράγωνα. •• • • •• • • •• • • •• • •

[ieeeee 1i888lil ••••• • •••• ι

• • • • •J1

_________ _______ __ _ _ _ _ _

r-•·•-••il

, •••• • 1 ! 8 8 8 8 88 1

1 888888 1

Ι • • • • ••

ι��------ -----��-i

Με βάση τα προηγούμενα να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α) Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του 9, του 1 6, του 25 και του 36; β) Το επόμενο τετράγωνο στη σειρά πόσους κύκλους θα έχει; Ποια θα είναι η τετραγωνική ρίζα του αριθμού των κύκλων που θα περιέχει το επόμενο τετράγωνο; Ορίζουμε τετραγωνική ρίζα ενός Ίσως καταλάβατε ότι έχουμε εισάγει μία θετικού αριθμού α και συμβολίζουμε .καινούργια έννοια, αυτή της ρίζας και μάλιστα της τον αριθμό που αν υψωθεί στο τετραγωνικής ρίζας και θα πρέπει να την ορίσουμε με τετράγωνο δίνει α. , Δηλαδή· Μαθηματικό τρόπο. 2 = α . Fα ) Το σχολικό βιβλίο δίνει αναλυτικά αυτόν τον ( = ορισμό. Ορίζουμε Ο

Γα

Ας δούμε τώρα σε τη χρησιμότητα του νέου αυτού συμβολισμού στο χώρο της Γεωμετρίας. 1 ) Στο παρακάτω σχήμα ν α υπολογίσετε την περίμετρο του τετραπλεύρου με πλευρές α, β, γ , δ. Πλευρές του τετραπλεύρου είναι τ α ευθύγραμμα τμήματα με άκρα πάντα δύο τελείες. Λ ύ ση Παρατηρήστε ότι α=β και κάθε ένα από αυτά είναι υποτείνουσα • • . ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους 2 και 4. •

:11

•

• • •

Το Πυθαγόρειο θεώρη μα δίνει

α= β =

.J2 2 +4 2

J20

Παρατηρήστε ότι γ=δ και. καθένα από αυτά είναι υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές και 2 .

γ=δ= .J1 +2 2 Τελικά η περίμετρος είναι ίση με 2.JW + 2-JS Το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει

-J5

Μέχρι αυτή τη στιγμή έχουμε μάθει να επιλύουμε προβλήματα που οδηγούν σε εξισώσεις πρώτου βαθμού. Όλα αυτά είμαστε σε θέση να τα κάνουμε έχοντας σαν εργαλεία τις τέσσερις βασικές πράξεις που μάθαμε από το δημοτικό κιόλας. Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση . Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που το πρόβλημα που μας καλούν να λύσουμε καταλήγει σε εξίσωση στην οποία ο άγνωστος είναι υψωμένος στο τετράγωνο; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 02 τ.2/1 5

------ Jτετραyωνική Ας δούμε μια εφαρμογή με μια τέτοια εξίσωση. Να 2βρείτε 2τις2 δυνατές 2τιμές που μπορεί να . πάρει ο άγνωστος χ ώστε να επαληθεύεται η ισότητα: 6χ �8 -+- 2 χ - 9= (3χ) 20 Εφαρμόζουμε αρχικά ιδιότητες των δυνάμεων και δοσμένη ισότητα γράφεται: · 2 2 2 2 2 2 · συγκεκριμένα την β) =α β 6χ - 8 +4χ - 9= 9χ +20 (α • 6χ2 +4χ2 -9χ2 =20 + 9+ 8 Κάνουμε μεταφορά γνωστών από αγνώστους. Εκτελούμε πράξεις και στα δύο μέλη. χ2 =36 2 = 36 Οιείναιαριθμοί που ικανοποιούν την ισότητα χ άρα χ= .J36 χ= -.J36 2 2 Δ το 6 και το (-6). ιότι 6 = 36 και (-6) = 36. α Ρίζα

-------

6 ή

= -6

Π ρ οσοχή : Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι ο θετικό ς

υψω θ εί στο τετράγωνο ας δίνει τον αρ ίθJi.ό α, και συμβολίζεται με rα.

ρ ι θ μό ς που όταν

Στην παραπάνω εξίσωση όμως είδαμε ότι δύο λύσεις ικανοποιούν την εξίσωση μας, εκ των οποίων η μια είναι και αρνητική. Ουσιαστικά και αν γράψουμε αναλυτικά το αποτέλεσμα στη γενική περίπτωση που έχουμε χ2=α τότε χ= -Jα χ=--Jα . ή

Οι ιδιότητες της νέας έννοιας.

Κάθε φορά που εισάγουμε στα Μαθηματικά μία καινούργια έννοια είναι ανάγκη να δούμε και τι ιδιότητες έχει αυτή η έννοια. ΠΑΡΑ ΔΕ ΙΓ Μ Α

•

ΚΑΝΟΝΑΣ

=2· 3= 6 και� .J36 6 - 2 και fj62 και '116 ../9 4 3

../4 ../9 ..,/Τ6 .,/4

4 = - = 2

Ενώ

.J16 + 9

Δηλαδή

ΓΑ = ν4 =

..fΣ5 =

Δηλαδή

'!fp = $ , αν α2::: Ο, β

> Ο

Γα + fβ * Ja + β

Ε φα ρ μογές της έννοιας σε αριθμητικούς υπο λογισμούς.

fβ fiiβ , αν α2::: Ο, β 2::: Ο

Να απλοποιηθεί η παράσταση: Α= '1'f6 {32 {64 .J128 τις ρίζες των τετράγωνων αριθμών 16 και 64 Α=4+ � + 8+ .J64 · 2= Βκαιρίσκουμε διασπάμε αυτούς που δεν είναι τετράγωνοι. =12+'116 .J2 {64 .JZ= Εφαρμόζουμε ιδιότητες ριζών. (Διάσπαση σε γινόμενο). Βρίσκουμε τις ρίζες των τετράγωνων αριθμών 16 και 64 =12+ 4.JZ 8.J2= 12.JZ Προσθέτουμε τις όμοιες ρίζες. +

=12 +

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/16

�Τετραγωνική

Ρίζα όταν είναι μια ρίζα γνωστή θα γράψουμε το αποτέλεσμα της , ενώ σε διαφορετική περίπτωση θα προσπαθήσουμε να την γράψουμε σαν ένα γινόμενο ή ένα πηλίκο με τον έναν αριθμό να είναι τετράγωνο κάποιου αριθμού. -------

Γ:.: ν ι κfi :

-------

Α= J2 + .J40 + ν18Ι +.J4 + νΊ44 ν181=9 .J144=12 A=.J 2 + .J40 + +.J4 + 12 .../49=7 νΊ6=4 = .J2 + ..,/49 +ill= -J9=3 .J2 + + 4 {9 + 4

Να άπλοποιηθεί η παράσταση : 9

Ισχύει:

και

Ισχύει:

και

Ισχύει:

στην περίπτωση που έχουμε μια πιο σύνθετη παράσταση με πολλές ρίζες οι οποίες είναι η μία εσωτερικά της άλλης θα ξεκινάμε να κάνουμε πράξεις από τις εσωτερικές ρίζες. Εξάλλου εμείς μάθαμε να βρίσκουμε μια απλή ρίζα ενός θετικού αριθμού. Κάθε μία εσωτερική ρίζα είναι μια τέτοια απλή ρίζα. Ας δούμε τώρα μια χρήσιμη εφαρμογή στην οποία μας ζητούν να μετατρέψουμε ένα κλάσμα με παρονομαστή που έχει ρίζες σε ένα ισοδύναμο κλάσμα με παρονομαστή ακέραιο. 1· εη κϊ.: :

' ' Να μετατρεψετε το κλασμα

16 - 15

' ' ισο δυναμο ' ' σε ενα με ακεραιο παρονομαστη.

πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό

16 + 15 6-5

16 + 15 (λέγεται συζυγή ς του J6 - 15 )

( 16 - 15) . ( 16 + 15) = 16 . J6 + 16 · 15 - 15 . J6 - 15 . 15 = ( 16) 2 - ( 15) 2 = 6 - 5

Βλέπουμε ότι το κλάσμα έγινε άθροισμα δυο ριζών και είναι πιο απλό για υπολογισμό, αυτός είναι και ο στόχος της παραπάνω διαδικασίας. Το μόνο τώρα που χρειάζεται είναι ένας τρόπος υπολογισμού δεκαδικών προσεγγίσεων των ριζών. ?iζi:ς Θεηκώ-.,• ακr.ραiων α ρ ιθ μ ών

που

ό ε ν είναι τ ετ ρ άγωνο ι.

Με τις εφαρμογές που προηγήθηκαν, ιδιαίτερα με την τρίτη εφαρμογή, θα ρωτήσει κάποιος: «Ωραία με τους τετράγωνους αριθμούς 36 κ.λ.π οι τετραγωνικές ρίζες είναι κ.λ.π» ακέραιοι. Τι γίνεται με αριθμούς που δεν είναι τετράγωνοι π.χ το το 3 το το

4, 9, 16, 25,

5 18

Στο ερώτημα αυτό η απάντηση εξαρτάται αρχικά από τα εργαλεία που διαθέτουμε. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 1 02 τ.2/17

.Jτετραyωνική

Ρίζα Αν για παράδειγμα διαθέtονμε έναν υπολογιστή, τσέπης τότε ο υπολογισμός γίνεται άμεσα αρκεί να διαθέτει πλήκτρο υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας. Εδώ έχει σημασία η δύνατότητα του εργαλείου για το πόσα δεκαδικά ψηφία iιπορεί να υπολοiίζει. Στη διπλανή εικόνα ο υπολογιστής · τσέπης έ · ει δυνατότητα υπολογισμού μέχρι 8 δεκαδικά ψηφία.

-------

,d.g.J1g sqrt(2)

1.,, 4142.1 3 56 2373095

� � i:-1 � ' � � _:J _:_J

�

1 !

--------

Για όσες κάι όσους χειρίζονται υπολογιστή, εφοδιασμένο με τα κατάλληλα βασικά λογισμικά μπορούν να εμφανίσουν , τον calculator του λειτουργικού συστήματος και να έχουν ακρίβεια 1 5 δεκαδικών ψηφίων. Προσέξτε την έκφραση sqrt(2) που αναγράφεται στο επάνω μέρος της μικρής οθόνης. Είναι συντομογραφία της square root δηλαδή της τετραγωνικής ρίζας.

Ένα άλλο εργαλείο ιδιαίτερα χρήσιμο είναι οι πίνακες των ριζών. Έναν τέτοιο πίνακα μπορείτε είτε να βρείτε στο διαδίκτυο είτε να κατασκευάσετε εσείς στο excel σε 3 φάσεις, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, και στη συνέχεια να τον εκτυπώσετε. .

SUMi

rιτ

,,. (

')c; .ι'

•

ιJ=SQR'll'(A1�1 I

f.'ϊ =SQRT(A1)

c �__ _Qι___,

Στο Al κελί πληκτρολογούμε 1 Στο Β 1 κελί πληκτρολογούμε

=SQRT(Al )

Επιλέγουμε και τα δύο κελιά Jςαι σύρουμε τον σταυρό που εμφανίζεται κάτω δεξιά.

1,4142136

1,7320508

2,236Θ68

4 δ· 7

2,4494897 2,6457513 2,8234271

3,1622777

Το λογισμικό-- , υπολογίζει τις τετραγωνικές ρίζες των ακεραίων μετά το 1 .

Τέλος να αναφέρουμε και την μέθοδο των προσεγγίσεων που παρουσιάζει αναλυτικά το σχολικό βιβλίο. Εκεί παρατηρήστε ότι και πάλι είναι αναγκαίος ένας υπολογιστής τσέπης καθώς οι υπολογισμοί είναι πολλοί και επίπονοι. Οι άρρ η τ ο ι α ρ ι θ μ ο ί

Με οποιονδήποτε τρόπο και αν επιχειρήσουμε να υπολογίσουμε τον ,/2 , βλέπουμε ότι τα δεκαδικά ψηφία δεν τελειώνουν ποτέ , ούτε τα ψηφία αυτά είναι περιοδικά δηλαδή επαναλαμβανόμενα . Την ιδιότητα των επαναλαμβανόμενων δεκαδικών ψηφίων την είχαμε δει μόνο στη διαίρε'ση δυο ακέραιων αριθμών δηλαδή στα κλάσματα . Τους ακέραιους και τους κλασματικούς · αριθμούς, θετικούς ή αρνητικούς, τους ονομάσαμε ρητούς αριθμούς.

.J2

λοιπόν δεν είναι ρητός αριθμός · όπως και οι : .J3 , ../5 , -16 , ,,/7 . . . κ .ο. κ Οι αριθμοί' αυτοί ονομάζονται άρρητοι. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι οι τετραγωνικές ρίζες των μη τετράγωνων αριθμών δεν είναι οι μοναδικοί άρρητοι, κάποιον ιδιαίτερα γνωστό θα συναντήσετε στη μέτρηση του κύκλου. Το σύνολο όλων των ρητών και αρρήτων αριθμών μας δίνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών που αναφέραμε και παραπάνω και το συμβολίζουμε με το R . . .

Μ ί α ευ φ υής ιδέα τ ο υ 'Η ρ ω να Ο Ήρωνας, ένας από τους μεγάλους

Μαθηματικούς των Ελληνιστικών 1JJόνων, επινόησε μία έξύπνη διαδικασία (αλγόριθμο) να υπολογίζει δεκαδικές προσεγγίσεις τετραγωνικών ρίζών. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ�2/18

.Jτετραγωνική

Ρίζα ' Ας υποθέσουμε ότι ο Ήρωνας ήθελέ να υπολογίσει μία προσέγγιση του

-------

.fi. . (εμείς σήμερα

γνωρίζουμε ότι μία καλή προσέγγιση είναι ο δεκαδικός 1 ,4 1 42 1 3 56) 0 Διασπά τον αριθμό 2 σε γινόμενο δύο άλλων ι Β Η ΜΑ ) 2= 1 . 2 οπότε 1 < <2 αριθμών α= και β=2 που ο πρώτος να είναι μικρότερος του δεύτερου

l x2 = , 2 1 5 και l +2

2 0 ΒΗΜΑ )

1 , 333

Υπολογίζει τις ποσότητες α+β α β - και -α+β ,, 2 2 ·

Τ Παρατηρ �ί ότι 1 ,333< .fi. < 1 ,5

Υπολογίζουμε τις ποσότητες:

Εδώ τώρα οι aριθμοί 1 ,333 και 1 ,5 έγιναν οι νέες τιμές των α και β οπότε επαναλαμβάνει τη διαδικασία.

3 ° ΒΗΜΑ )

1 , 333 + 1 , 5 _ . 1 , 333 x l , 5 = 1 . 4 1 158 . 1 '4 1 6 5 και 1333+ 1 5 2 ' ' · ·.

Παρατηρεί ότι 1 ,4 1 1 58<

: j ". .

Προσέξτε . ότι σε 3 · βήματα έχει προσεγγίσει τον αρκετά. Σκεφτείτε πόσο μεγάλη προσέγγιση μπορούμε να πετύχουμε αν η διαδικασία αυτή να επαναληφθεί αρκετές φορές

.fi.

,JQ. < 1 ,41 65

Ε φα ρ μ ογές γ ι α ε ξ άσκη ση 1 . Να βρείτε τους αριθμούς χ που ικανοποιούν τις εξισώσεις: γ) χ2 + i 6 = 1 0 α) χ2= 1 2 1 β) 3χ2 = 1 92 δ) χ2 +205= 30 5 ε) χ2+ 320 =320 στ) χ2 -250 = - 225 2 . Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: ο

Α = ν1Ι6 +

B= z

J t .j40 νΊff Γ= J4.jy64 ..fi.

•

· .

.J32 + ν'64 + ν1128

1 1.

ι . '

3 . Να <;m.rκριθούν ο� αριθμοί: ...ιs� -ι.

.·

.j4 + -JI44

. · κ�ι .J5_ +2 · · ·· . '

'. '

. . Να λυθεί η εξίσωση : .../3 χ + ..fi. = ..fi. χ 5 5. Να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες κατά προσέγγιση εκατοστού:

.f3, ../5, ..fi, ν'Π

6. Με βάση τα αποτελέσματα της άσκη ση ς 5 να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες:

../6, VB, ν'ΙΟ,νΊ4, 7.

�

Μετατρέψτε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμά τους με ρητό παpονομαστή : .../3+ .,/5

.Jβ- ι

... )

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ k': 1:02 τ.2/19 .

··

-17�� ,

Δ ραστηρ ιοτητες

σχετ ι κες με το ημιτονο " ,, συvημιτονο οξειος yωνιας ορθοyωvιοu ,, τρ ιyωvου. ,,

-- --------------

-·-· - - · - --- � - ·-·----�----- ·-·

Κυριακοπούλου Αθ ανασία

Στη σελίδα 254 του σχολικού βιβλίου σου, υπάρχει ο παρακάτω πίνακας.

Γωνiο 1 (σtμψς)Ι 1

0 0349

0 9998 ο 9994

0 , 0523

0 ,9986

3 4

0 1 75

0,0698

0 , 0 872 ο, 1 045 ο, 1 2 1 9 Ο, 1 392

7 8

ι εφσπτομένη

συνημίτονο

ημίτονο

0175

ο 0349

Γωνiα 1 (c< μψς} 46 47

0,743 1

0,0699

0 , 7547

0 ,9962

0 , 0 87 5

0,9945

0, 1 05 1

0,9925

ο, 1 2 2 8

50 51 52

0,9903

Ο, 1 405

0,7880

1 , 1 1 06

0 ,6 5 6 1

0,777 1

0,7986

1 0724

0,669 1

0 , 7660

1 0355

0 682 0

ο 73 1 4

1 εφαπτομtνη

0 6947

0 ,7 1 93

0 , 0 5 24

0 , 99 76

συνημίτονο

ημίτονο

1 , 1 504

0,642 8

1,1918

0,6293

1 ,2349

1 ,27�9

0,6 157 0,60 1 8

1 ,3270

Τι παρατηρείς σχετικά με το μέγεθος των τιμών του ημιτόνου καθώς η γωνία μεγαλώνει; Τι παρατηρείς σχετικά με το μέγεθος των τιμών του συνημιτόνου καθώς η γαινία μεγαλώνει; Τι παρατηρείς σχετικά με το μέγεθος των τιμών της εφαπτομένης καθώς η γωνία μεγαλώνει;

36 37 38 39 40 41

0,5878

0,6 1 57

1 1

0 60 1 8

1 i

0,6428 0 6561

i i

1 !

0,8090

0,7265

0,78 1 3

1 . 0 7536

ο 7986

0,7880

1 1

0,7660

0,839 1

! · 0 8693

0 7547

81 82

83 84 85 86

1 i

0,9945

0,9962

ο 1 392

0 9903

i 1

0 , 1 564

0,9877

ο 9976

0, 1 045

0,0872 0 0698

1 1 i 1 ί 1

6,3 1 38 7,1 1 54 9,5 1 44 1 1 ,4301 14 3007

Με βάση τον παραπάνω πίνακα συμπλήρωσε τις ανισώσεις που ακολοuθούν: _. . . . . . . . . . . <

. . . . . . . . . . .<

ημ39° < . . . . . . . . . . . . . . . ημ83° < . . . ..... . . . . .. .

. . . . . . . . . . .< . . . . . . . . . . .<

συν39° < . . . . . . . . . . . . . . . συν83° < . . . ........... .

. . . . . . . . . . .< . . . . . . . . . . .<

εφ39° < .. . . . .. � . . . . . . . εφ83° < . . . . . . . . . . . . . . .

Εφαρμογή Κατασκεύ ασε ένα ορ θογώνιο τ ρίγωνο ΚΛΜ,. με γωνία Κ ορ θή και γωνία Λ =30° . Γράψε τη σχέση που συνδέει τις πλευρές ΜΚ, ΜΛ με τη γωνία Λ.

ΜΚ και ΜΛ είναι η απέναντι κάθετη από τη γωνία Λ και η υποτείνουσα αντίστοιχα. Η σχέση που συνδέει μια οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου ω με την απέναντι κάθετη πλευρά της και την υποτείνουσα είναι η εξής: απέναντι κάθετη ημ ω= ' υποτεινουσα Οι πλευρές

ΜΚ

ημΛ = ΜΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/20

-- Δραστηριότητες σχετικ ές με το ημίτονο - συνημίτονο οξε ίας γων ίας ορ θ ογων ίου τριγώνου.

ο , .. �ο

η�

ΜΚ · ΜΑ ΜΑ

•� ,

-2 = --

·1

ΜΚ

ημ30° = .!_2

Είναι δεδομένο ότι

ΜΑ

Κάνοντας χιαστί προκύπτει ότι η υποτείνουσα είναι διπλάσια από την απέναντι κάθετη πλευρά των 30°.

[•: (ρ !ι ρ μ.uγ ·{ι Κατασκεύασε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 2. Φ έρε τη διχοτόμο από μια κορυφή. Πόσες μοίρες είναι οι γωνίες του αρχικού τριγώνου; Πόσο είναι το μήκος της διχοτόμου; Υπολόγισε το ημίτονο και το συνημίτονο των 30° και 60° , χρησιμοποιώντας στοιχεία από το σχήμα. Τι παρατηρείς στις τιμές που βρήκες στο προηγούμενο ερώτημα;

A=B=f = 60°

Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 1 8 0°. Οι γωνίες κάθε ισόπλευρου� τριγώνου είναι ίσες, επομένως: Α. Ι3 t 1 80 0

= = = 3 600

διχοτόμος ΑΔ στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι και ύψος. Επομένως το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ορθογώνιο και της μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος ΒΔ με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Η

2 .. Εφαρμόζουμε Π.Θ. στο τρίγωνο ΑΒΔ

και υπολογίζουμε διχοτόμου. ΑΔ

το

μήκος

= .Jr-AB-2 ΒΔ = .J22 - 12 = .Jj 2

Επιπλέον, η διχοτόμος ΑΔ είναι και διάμεσος, επομένως διχοτομεί την απέναντι πλευρά ΒΓ . Έτσι,

ΒΔ=l .

ημ30° = -2 συν30° = Jj ημ60° = J32 συν60° = -2 1

Στο τρίγωνο ΑΒΔ, για .τις 30° η απέναντι και η προσκείμενη κάθετη είναι ΒΔ και ΑΔ αντίστοιχα και για τις 60° η απέναντι και η προσκείμενη κάθετη είναι ΑΔ και ΒΔ αντίστοιχα και η υποτείνουσα η ΑΒ. Εφαρμόζοντας τα

ημ ω=

απέναντι κάθετη ,

υποτεινουσα προσκείμενη κάθετη

συν ω= ��υποτείνουσα έχουμε :

ΒΔ = 1 J3 ° = συν30 ημ30ο = ΑΒ 2 ΑΒ 2 ΒΔ = .!_ ημ6Ο0 = ΑΒ = J32 συν60° = ΑΒ 2 -

ΑΔ

και

ΑΔ

και

Γενικά ισχύει ότι: 4. Π αρατη ρού με ότι:

ημ30° = συν60° ημ60° = συν30°

•

Το ημ ίτονο μιας γων ίας ισούται με το συνημίτονο της συμπληρωματικής της. Το συνημί1ονο μιας γων ίας ισούται με το ημίτονο της συμπληρωματικής της.

ΕΥΚΛΕΙΔΙΙΣ Α' 102 τ. 2/21

- Δ ραστηριότητες σχετικές με το ημ ίτονο - συνημ ίτονο οξε ίας γων ίας ορ θ ογων ίου τριγών ου.

Α σκή σεις 1.

Αν ω είναι μια οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου, να εξηγήσεις: γιατί οι τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου παίρνουν τιμές μεταξύ Ο και 1. γιατί δεν μπορο�ν να πάρουν την τιμή Ο ή την τιμή 1. ί. ίί.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, μια οξεία γωνία του ισο,:;ται με 45° και μια κάθετη πλευρά έχει μήκος 1 Υπολόyiσε το μήκος της υποτείνουσας. cm.

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με κέντρο το Ο, ενώστε τα σημεία Α(-4, Ο) και Β(Ο, -3). Να φέρετε το ύψος ΟΔ του τριγώνου ΑΒΓ. Υπολογίστε τη γωνία ΔΟΒ με τη βοήθεια του πίνακα που βρίσκεται στη σελίδα 254 του βιβλίου Σε συνέχεια της 1 εφαρμογής, να εξηγήσεις γιατί η υποτείνουσα είναι τετραπλάσια της προβολής της π�νράς ΜΚ στηv υπqτείνουσα. Με. βοηθεια του πίνακα της σελίδας 254 του βιβλίου σου, συμπλήρωσε τον πίνακα: συ v1° = συ v89° = ημ1° = ημ89° = συγ�8° = σ(J γ2� ;:;:: ημ2° = ημ88° =. συv87° = συv3° = ημ3ο = ημ87° = _· Τι παρατηρείς στις παραπάνω τιμές; σομ.

ης

τη

___

''--7'--,----

---

ί.

Μπορείς να διατυπώσεις έναν γεVικό κανόνα; Χωρίς τη βοήθεια του πίνακα, συμπλήρωσε τα κενά: ημ26° = συ ν ημ45° = σφ v ίί.

ίίί.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102. τ.2/.12

- - · -ημ __

= συv50°

ρη μivοuις;� Τόξ,η·

=======

1 '·

Στέφ ανος Κείσογλου

1 ) Ένα κατάστημα ψηφιακών προϊόντων πούλησε την περασμένη εβδομάδα 40 εκτυπωτές από τρεις εταιρείες Α, Β, Γ και εισέπραξε 4.400€.. Κάθε εκτυπωτής της εταιρείας πωλείται 100 €, κάθε ·εκτυπωτής της εταιρείας Β πωλείται 200€ :ιcαι κάθε εκτυπωτής της εταιρείας Γ πωλείται 250€. Πόσους εκτυπωτές από κάθε εταιρεία πούλησε το κατάστημα την περασμένη εβδομάδα;

2) Αν τους αριθμούς

παρά.στασης:

χ,

y συνδέεi η σχέση 39x- 1 3y= 1 56 να υπολογίσετε την τιμή της

2Υ

=·

3) Να βρείτε όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (α, β) των θετικώv ακεραίων α, β για τα οποία ισχύει η

.!.. + !=! (Υπόδειξη : Καθώς οι αριθμοί α, β θα πρέπει να είναι μεγαλύτεροι του 9 θέστε α β 9 α=9+χ και β=9+ y)

σχέση : ·

4 ) Στο διπλανό αμβλυγώνιο -φίγωνο δίνονται οι

μετρή σεις 2 πλευρών του και η τιμή του ε μβαδού του που είναι 1 2 cm2 •

Να υπολογίσετε την τιμή του χ.

5 ) Σε ένα τετράγωνο πλευράς 10 ενώνουμε το μέσον κάθ& πλευράς με μία από τις απέναντι κορυφές όπως δείχνει το διπλανό σχήμα . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τετραγώνου που δημιουργείται από τις τομές των τμημάτων που έχο'U'με φέρει.

Για τον 6) Στα παρακάτω σχήματα το τρίγωνο με πλευρές β, γ, α και Υπόδειξη : ύψος υ είναι ορθογώνιο. Να εξετάσετε αν και το διπλανό υπολογισμό (την ανάπτυξη) τρίγωνο είναι ορθογώνιο. μιας παράστασης της μορφής (x+y)2 να αξιοποιήσετε την επιμεριστική ιδιότητα, δηλαδή (x+y) · (x+y) x2+2xy+y2. =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/23

2ου Ρ. .Ε �ισιοσs.:; ις ,

Από

το

·'"=·- ,_,,._, =-, ,=

β ·

, μου .

σfΗιι;ρα στο χθες� -

--- - _, .

,,,,=·c.oc=-�-"' - ' �'-" ·c.cccoc====0 - ' - c ' --==-c=-o.= =-�-=.-cco=-0=---0'=' '"".. · ·

Π . Α ρδαβάνη , Δ . Π αλαιογιαννίδης

κι'μω Ας υποθέσουμε ότι ο κύριος Αντώνης εργάζεται σε μία γεωπονική εταιρία που σχεδιάζει κήπους. Έχει εντολή να φυτέψει γκαζόν σε έναν κήπο · σχήματος ορθογωνίου, όπως αυτός που μπορείς να δεις στην εικόνα. Το μήκος του παρτεριού που θα φυτευτεί είναι διπλάσιο του πλάτους του. Από την εταιρία πήρε υλικό για να στρώσει μία επιφάνεια 75ιη2 . Όταν τελείωσε τη δουλειά του είδε ότι του είχε περισσέψει υλικό με το οποίο θα μπορούσε να καλύψει ένα ακόμα παρτέρι με διαστάσεις 3m μήκος και lm πλάτος. Ο ιδιοκτήτης του κήπου του ζήτησε να τοποθετήσει κατά μήκος της μεγάλης πλευράς του παρτεριού μια σειρά από πλάκες. Π λάκ�χ

u"' ' Ο ν

Ο κύριος Αντώνης ανέλαβε να προμηθευτεί τις πλάκες και να τις τοποθετή·σει. Οι πλάκες είναι τετράγωνες με πλευρά 50cm. Αποφάσισαν ότι κάθε πλάκα θα απέχει από την προηγούμενη και την επόμενή της 15cm και ότι την ίδια απόσταση θα έχουν και οι δύο ακραίες πλάκες από τα όρια του παρτεριού. Πόσες πλάκες τοποθέτησε στο παρτέρι ο κύριος Αντώνης; _ _ι:\ Υ(�λυ ς)η

11; α �

λ {1 (� η

Η απαραίτητη

Αν το πλάτος του παρτεριού είναι χ, τότε το μήκος του είναι 2χ. Άρα το εμβαδόν του είναι 2χ2 •

θεωρία.. Η εξίσωση axZ + y, α * Ο Λύνουμε και Jeατμλήγουμε στην χ2 = r _

Διακρίνουμε τις πε ριπτώσεις: Α. Αν _ r. > Ο , η εξίσωση έχει δύο α

άνισες λύσεις Χι

Lr -�

U '1 - -;;

και

Το εμβαδόν της επιφάνειας που μπορεί να καλυφθεί = - -;_; από το υλικό που περίσσεψε είναι 3m2 • Επομένως θα Xz ισχύει: 2χ 2 + 3 = 75 ή χ 2 = 3 6 , οπότε χ = 6 ή Β . Αν _ r. = Ο , η εξίσωση έχει δύο χ = - 6 που απορpίπτεται αφού το χ είναι μη λ' a ισες υσεις Χι - χ2 - 0 . , , , , , αρνητικος αριθ μος μια και εκφραζει ενα μηκος. Ά ρα Γ Α r 0 ξ·, , ν ε ισωση ειναι το μήκος του παρτεριού είναι 6m. < ' η a αδύνατη .

5 0v + 1 5 (v + 1) = 600 χρειαστούν 9 πλάκες .

Κάθε πλάκα έχει μήκος 50cm. Αν χρησιμοποιήσουμε ν πλάκες, το συνολικό τους μ,ήκος είναι 50ν cm. Τα κενά που θα μείνουν είναι ν+ 1 (ν- 1 ανάμεσα στις ν πλάκες και 2 ακόμα, ένα σε κάθε άκρη). Το συνολικό μήκος των κενών είναι 1 5 (v + 1) , οπότε το μήκος του παρτεριού είναι 5 0v + 1 5 (v + 1 ) . Επομένως 65v + 1 5 = 600. Δηλαδή 65v = 5 8 5 , οπότε v = 9 . Άρα θa

. Μετά από λίγες ημέρες ο κύριος Αντώνης έπρεπε να φυτέψει γκαζόν σε ένα τετράγωνο παρτέρι ενός άλλου σπιτιού. Κάποιος συνάδελφός του τον πληροφόρησε ότι στο ίδιο σπίτι είναι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/24

-------

Εξισώσεις 2611 β αθ μού. Από το σή μερα στο χθ ες.

--------

φυτέψει και αυτός ένα άJ.λο παρτέρι σχήματος ορθογωνίου του οποίου η μία διάσταση ήταν 2ιη μικρότερη και η άλλη 5ιη μικρότερη από την πλευρά του τετράγωνου παρτεριού. Του είπε επίσης ότι το εμβαδόν αυτού του ορθογώνιου παρτεριού ήταν 1 0ιη2 • Ο κύριος Αντώνης αποφάσισε μετά από αυτές τις πληροφορίες ότι θα πρέπει να εφοδιαστεί με υλικό που απαιτείται για επιφάνεια εμβαδού 49ιη2 • Έχει δίκιο ο κύριος Αντώνης; Ας το εξετάσουμε. Αν η πλευρά του τετράγωνου παρτεριού είναι χ m,τότε το εμβαδόν της επιφάνειάς του είναι ιη2 και οι διαστάσεις του ορθογώνιου παρτεριού είναι χ-2 ιη και χ-5 ιη.

χ2

Επομένως το εμβαδόν της επιφάνειας του ορθογώνιου παρτεριού είναι - 5) = 1 0 ιη2 • Επομένως έχουμε: 10 = 0 ή = Ο, οπότε = Ο . Ά ρα χ=Ο, που απορρίπτεται, ή Τότε όμως το εμβαδόν του παρτεριού είναι 49 ιη2 •

(χ - 2) (χ χ2 - 7χ +

χ2 - 7χ + 1 χ2 - 7χ

χ(χ - 7)

χ=7.

Η απαpαίτηπι

Η εξίσωση χ2

θεωρία. + βχ Ο =

μέλος της εξίσωσης και βρίσκουμε τις τιμές του χ. Παραγοντοποιούμε το α'

Ο κύριος Γιάννης, ένας συνάδελφος του κυρίου Αντώνη, πρέπει να διακοσμήσει έναν κήπο σχήματος ορθογωνίου του οποίου η μία διάσταση είναι κατά 2ιη μεγαλύτερη από την άλλη. Γνωρίζει ότι το εμβαδόν της επιφάνειας του κήπου είναι 4 8 ιη2 • Χρειάζεται όμως να γνωρίζει το μήκος και το πλάτος του κήπου για να επιλέξει τα κατάλληλα διακοσμητικά και τα φώτα που θα Παραγγείλει. Μπορείς να τον βοηθήσεις; Αν δεν τα καταφέρεις, διάβασε τα επόμενα για να δεις πώς θα μπορούσες να το κάνεις. Η μέθοδος που αναδεικνύεται, και ονομάζεται μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση όλων των εξισώσεων 2°υ βαθμού. Αν η μικρή διάσταση είναι χ m, τότε η μεγάλη διάσταση · είναι χ+2 ιη και το εμβαδόν είναι χ (χ ιη2 . Επομένως = 48 ή 48 = Ο Θα προσπαθήσουμε τώρα να μετασχηματίσουμε αυτή την εξίσωση σε μία ισοδύναμή της (δηλαδή μία εξίσωση που θα έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με αυτήν) που θα έχει τη μορφή της εξίσωσης της πρώτης περίπτωσης. Θα πρέπει δηλαδή να εμφανίσουμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης ως ένα τέλειο τετράγωνο. . - 48 � ο ή Μεταφέρουμε τον σταθερό όρο στο 2° μ.έλος = 48 = 48 .ι Προσθέτουμε και στα δύο μ.έλη το τετράγωνο που λείπει για να ή εμφανιστεί το ανάπτυγμα της ταυτότητας = 49 1 = .../49 ή Άρα. Βγάζουμε την τετραγωνική ρίζα (όταν αυτό μπορεί να γίνει) 1 = -.../49 Δηλαδή = = ή χ= - 1 = -8 , που απορρίπτεται. Άρα η μικρή διάσταση είναι 6ιη και η μεγάλη είναι 8ιη.

+ 2)

χ2 + 2χ χ2 + 2χ χ2 + 2χ + + (χ + 1)2 χ+ χ+ χ 7-1 6

χ(χ + 2)

χ2 + 2χ -

-7

Σε μία επαρχιακή πόλη ο κατασκευαστής ενός κατοικιών 60 συγκροτήματος ενοικιάζει διαμερίσμάτα σε φοιτητές για ένα έτος. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, τον μήνα Σεπτέμβριο, έχει παρατηρήσει ότι αν το ενοίκιο που ζητά για κάθε διαμέρισμα είναι 1 8 0 ευρώ, τότε όλα τα διαμερίσματα ενοικιάζονται από τον μήνα Σεπτέμβριο. Αν το ενοίκιο που ζητά για κάθε διαμέρισμα είναι 1 Ο ευρώ παραπάνω, τότε 2 διαμερίσματα μένουν ξενοίκιαστα. Το ίδιο συμβαίνει αν αυξήσει και άλλο το ενοίκιο. Δηλαδή για κάθε παραπάνω αύξηση κατά 1 Ο ευρώ μένουν ξενοίκιαστα ακόμη 2 διαμερίσματα. Ποιο είναι το ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/25

-------

Εξισώσεις 2ov pαθμού. Απο το σήμερα στο χθες.

-------

εισόδημα του κατασκευαστή για τον μήνα Σεπτέμβριο όταν όλα τα διαμερίσματα είναι ενοικιασμένα και ποιο όταν η τιμή ενοικίου είναι 1 90 ή 200 ευρώ; Αφού απαντήσεις. μπορείς να συμβουλευτείς τον παρακάτω πίνακα για να ελέγξεις την ορθότητα της απάντησής σου. Τ ιμή ενοικίου διαμεpίσματο� (σε ευ p ώ)

Ε νο ι κιασμένα διαμεpίσματα

1 80 1 90 200

60 58 56

Μην ι αίο Ε ισ ό δημα (σε ευ ρ ώ)

180 . 60 10800 190 . 58 = 1 1020 200 . 56 = 1 1200 =

Να προσπαθήσεις να απαντήσεις στα επόμενα ερωτήματα. Αν δεν τα καταφέρεις ή αν θέλεις να ελέγξεις την απάντησή σου, διάβασε τις απαντήσεις που ακολουθούν κάθε ερώτημα. 1 ) Ποιος μαθηματικός τύπος δίνει το μηνιαίο εισόδημα το πλήθος ν των αυξήσεων κατά 10 ευρώ;

Ε του κατασκευαστή σε σχέση

με

Παρατηρούμε ότι 1 90= 1 80+ 1 0. 200= 1 80+1 0·2. 2 1 0=1 80+ 1 0·3 κλπ. Επομένως μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μηνιαίο ενοίκιο για κάθε διαμέρισμα είναι 1 8ο+ 1 Ο·ν και τα αντίστοιχα ενοικιασμένα διαμερίσματα είναι 60-2·ν. όπου ν είναι ο αριθμός αυξήσεων των 1 0 ευρώ στην τιμή του ενοικίου. Άρα το μηνιαίο εισόδημα του κατασκευαστή δίνεται από τον τύπο Ε = (180 + 10v) · (60 - 2v),όπου ν είναι το πλήθος των αυξήσεων κατά 1 0 ευρώ.

Απάν τη ση:

2) Μπορεί το μηνιαίο εισόδημα του κατασκευαστή να είναι 1 1 020 ευρώ; Ποια τιμή ενοικίου πρέπει να ζητήσει ώστε να έχει αυτό το μηνιαίο εισόδημα, έχοντας έστω μερικά διαμερίσματα ξενοίκιαστα; Πόσες περιπτώσεις υπάρχουν;

Απά ντηση : Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα το εισόδημα του κατασκευαστή μπορεί να είναι

1 1 020 ευρώ. Αυτό συμβαίνει όταν το ενοίκιο που ζητά είναι 1 90 ευρώ. Μπορεί όμως να έχει το ίδιο εισόδημα ζητώντας άλλο ενοίκιο; Ας το εξετάσουμε. Θα πρέπει:

(180 + 10v) · (60 - 2v = 1 1020 10800 - 3 60v + 600v - 2 0v 2 = 11020 -20v 2 + 240v - 2 2 0 = Ο v 2 -:-.12v + 1 1 = Ο v2 - 2 6 · v = ·

-11

v2 - 2 · 6 · v + 62 = - 1 1 (v - 6) 2 = 2 5 v-6=

Εκτελούμε τις πράξεις και · κάνουμε την αναγωγή των ομοίων όρων

+ 62

v - 6 = -5

Άρα v = 11 ή v = 1 . Για ν=l έχουμε την αναμενόμενη λύση. δηλαδή ενοίκιο 1 90 ευρώ. Παρατηρούμε όμως ότι προέκυψε και μία ακόμα λύση, η λύση ν= 1 1 . Πραγματικά. όταν ν= 1 1 , το ενοίκιο είναι 180 + 10 · 1 1 = 290 ευρώ, μένουν ξενοίκιαστα 2 · 11 = 22 διαμερίσματα και το μηνιαίο εισόδημα του κατασκευαστή είναι (180 + 10 · 11) · (60 - 2 · 1 1) = 290 · 38 = 1 1020 ευρώ. Επομένως μπορεί να έχει το εισόδημα των 1 1 020 ευρώ σε δύο περιπτώσεις. όταν ζητήσει ενοίκιο 1 90 ευρώ και όταν ζητήσει ενοίκιο 390 ευρώ για κάθε διαμέρισμα. 3) Υπάρχει περίπτωση το απαιτητό ενοίκιο να είναι τέτοιο ώστε να μην ενοικιαστεί κανένα διαμέρισμά του; Πότε θα συμβεί αυτό; Απ άντηση : Αν δεν ενοικιαστεί κανένα διαμέρισμα, θα ισχύει Ε=Ο. Στην περίπτωση αυτή

έχουμε:

(180 + 10v) · (60 - 2v) = Ο . Αλλά 180 + 1 0v > Ο, για κάθε τιμή του φυσικού ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/26

-----

Εξισώσεις 2°" β αθμού. Από το σήμερα στο χθες.

αριθμού ν, οπότε πρέπει 60 - 2v = Ο ή v = 30. Τότε η τιμή του ενοικίου είναι 180 + 1 0 3 0 = 480 ευρώ.

4) Μπορεί το εισόδημα του κατασκευαστή να είναι 1 1 520 ευρώ; Απ άντηση : Θα πρέπει

{180 + 1 0v) {60 - 2v) = 1 1 5 2 0 ____.__�-----''------------ι Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε την 1-_,,_____ 1 0 8 0 0 3 6 0v + 6 0 0 v - 2 0 v 2 = 1 1 5 2 0 αναγωγή των ομοίων όρων -20v 2 + 240v .- 720 = 0 v 2 - 12v + 36 = Ο ·

-2

6 v = -36 ·

v-.2) - 2 · 6 · v' � +. 6 2 = -36 (v - 6) 2 = Ο

v - >6 = Ο

240

Άρα ν=6, οπότε το ενοίκιο θα είναι διαμφίσματα.

ευρώ και θα παραμείνουν ξενοίκιαστα 48

Π ρ οτεινό μεν η δ ρ αστη ρ ι ότ η τα : Να εξετάσετε αν το εισόδημα του κατασκευαστή μπορεί

να είναι

·1 3.000

Να ση με ι <οσ ο υ με εδώ ότι η εξίσωση του ερωτήματος

μπορεί να λυθεί και με άλλο τρόπο. Συγκεκριμένα, αν παρατηρήσουμε ότι ο συντελεστής του ν είναι ο αντίθετος του αθροίσματος των ω.λων δύο συντελεστών, τότε μπορούμε να επιχειρήσουμε να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο με τη μέθοδο της παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση. {180 + 10v) · {60 - 2v) = 1 1 020 10800 - 3 60v + 600v - 2 0v 2 = 1 1 020 -20v 2 + 240v - 2 2 0 = Ο v 2 - 1 2v + 1 1 = Ο

Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε την αναγωγή των ομοίων όρων. Δ ιαιρούμ,ε με τον συντελεστή του νι Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής του ν είναι ο αντίθετος του αθροίσματος των άλλων δύο συντελεστών (12= 1 +1 1). Διασπάιιε το μονώνυμο 12ν.

v2 - v - 1 1 · v + 1 1 = Ο v (v ..:... 1) - 1 1 {v - 1) = Ο

(v - 1) ; (v - 1 1) = Ο v - 1 = 0 ή v - 11 = Ο v = l ή v = 11

Παραγοντοποιούμε με ομαδοποίηση. Λύνουμε την εξίσωση.

2°υ

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να λύσουμε μια εξίσωση βαθμού και όταν ο συντελεστής του χ ισούται με το άθροισμα ή με, την διαφορά των άλλων δύο συντελεστών. Να το επιβεβαιώσεις λύνοντας τις εξισώσεις χ 2 + 3χ + 2 = Ο και 2χ 2 - 3χ - 5 = Ο . (Υπόδειξη: Για την πρώτη εξίσωση ισχύει Για τη δεύτερη εξίσωση ισχύει

3=1 +2.

-3=2-5).

Α,υτά για το σή μερα. Τι γινόταν παλαι ό τερα; , Ο νεαρός Ασναμίρ μπορεί να ζούσε στη Βαβυλώνα την εποχή του βασιλιά Χαμουραμπί, γύρω στο π.Χ., και να εκπαιδευόταν για να γίνει γραφέας. Ένα από τα αντικεf.μενα που θα μελετούσέ · ήταν τα · μαθηματικά. Κάποια ημέρα, μελετώντας αριθμητική, συνάντησε το παρακάiώ πρόβλημα:

1700

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/27

-------

Εξισ ώσεις 2 00 βαθ μού. Από το σή μερα στο χθ ες

--------

Πάρε 1, τον συντελεστή (του χ). Διαίρεσε το 1 σε δύο μέρη. 0;30·0;30=0; 1 5, πρόσθεσέ το στο14, 30 και η ρίζα του 14, 30; 1 5 είναι 29;30. Πρόσθεσε στο 29;30 το 0;30 που πολλαπλασίασες με το εαvτό του, και 30 είναι (η πλευρά) του τετραγώνου

Στο κείμενο αυτό μπορούμε να δούμε τον τρόπο που οι Βαβυλώνιοι έλυναν την εποχή εκείνη την εξίσωση (σε σϊηχρονη γραφή) χ 2 - χ = 14,3 0 . Για να ξεκαθαρίσουμε λίγο τα πράγματα πρέπει, να θυμηθούμε ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν ένα εξηκονταδικό θεσιακό σύστημα αρίθμησης, δηλαδή ένα σύστημα στο οποίο δεν χρησιμοποιούσαν μονάδες, δεκάδες εκατοντάδες κλπ αλλά μονάδες, εξηντάδες τρισχtλιαδοεξακοσιάδες κλπ. Τα «ψηφία» του συστήματος είναι οι αριθμοί 59 (δεν υπάρχει το Ο). Έτσι ο αριθμός αποτελείται από μονάδες και εξηντάδες. Δηλαδή στο δεκαδικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι ο αριθμός 14 + 1 = 87 Επίσης θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι το δεκαδικό τμήμα του αριθμού εισάγεται όχι με την υποδιαστολή (που χρησιμοποιείται όπως εί.δαμε για να ξεχωρίσει τα ψηφία διαφορετικής τάξης), αλλά με ένα ερωτηματικό (;). Έτσι ο αριθμός αποτελείται από Ο μονάδες και εξηκοστά, δηλαδή είναι ο αριθμός του δεκαδικού συστήματος, και ο αριθμός είναι ο του δεκαδικού συστήματος. Η λύση που προτείνεται στο κείμενο είναι η εξής (στην αριστερή στήλη εμφανίζεται η λύση που προτείνεται στο κείμενο, στη μεσαία στήλη η λύση στο δεκαδικό σύστημα και στη δεξιά στήλη ο σύγχρονος συμβολισμός):

14,30

30/60=1/2=0,5

0;30

Πάρε 1 , τον συντελεστή (του χ) . Διαίρεσε το σε δύο έ . Ο;

30 30 ·

Ο;

=Ο; 1 5 ,

πρόσθεσέ το στο 1 4,30

14-,

1 ), (60 1, 2, 143, ... , 57, 58, 60 30 ·

Στο εξηκονταδικό σύστημα το μισό του είναι το 30/60= 1 /2=0,5

χ 2 - 2"

15/60=1/4=0,25

1 . χ = 870 2

Υπολογίζεται το δεύτερο

Ο ' 5 ·Ο ' 5=0 ' 25 (η' � � = �) •

0. 30 0;15

(602=3600)

870+0,25=870,25

(χ - 0,5) 2 = 870,2 5 και η ρίζα του 30; 1 5 87 , 2 5=29 , 5 · είναι η 29;30. χ - 0,5 = 29,5 29; 30= 29 και 30/60=29,5 Πρόσθεσε στο 29; 30 το Ο; Πρόσθεσε στο 29, 5 τον 0,5 που 30 που πολλαπλασίασες πολλαπλασίασες με τον εαυτό χ = 29,5 + 0,5 ε τον εαυτ� τ_ο_υ�'�--J�� το_υ��--+��-----; _ Και 30 είναι η πλευρά του και �Ο είναι (η πλευρά) χ= τετ α ώνου του τετ α ·��-'-� ώνου ��-'--'-��__,___��--'

Εξετάζοντας προσεκτικά τη λύση που προτείνεται στο κείμενο μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι Βαβυλώνιοι για την επίλυση εξισώσεων βαθμού χρησιμοποιούσαν μία μέθοδο που είναι πολύ κοντά σε αυτήν που χρησιμοποιούμε και σήμερα. Ας πάρουμε όμως τα πράγματα απ6 την αρχή, με τη βοήθεια μερικών παραδειγμάτων, για να δούμε με ποιο τρόπο μπορούμε σήμερα να λύσουμε εξισώσεις βαθμού. Σου θυμί.ζει τίποτα αυτή η μέθοδος; Δεν είναι η ίδια με αυτήν που χρησιμοποιήσαμε κατά την λύση ορισμένων προβλημάτων στην αρχή του κειμένου; Η διαφορά είναι ότι οι Βαβυλώνιοι δεν είχαν αρνητικούς αριθμούς και δεν υπολόγιζαν στις λύσεις και τον αντίθετο της τετραγωνικiις ρίζας.

2°υ

(Πολαιοβαβυλωνιακό κείμενο ΒΜ 13901- φυλάσσεται στο British Museum - αντιγραμμένο από τ!J βιβλίο του Β. Van der Wae1·den «Η Αφύπνιση της Επιστήμης», σελίδα 70, Μετάφραση Γ. Χριστιανίδης):

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/28

-------

Πμοτπ 1•(ίμενι:ς α <rιιψ-;εις t!

Εξισώσεις 200 βαθ μού. Από το σήμερα cno χθες.

εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι ισοδύναμο με τοκαιΤοεμβαδό ορθογωνίου που έχει πλευρές τη μία την κατάΝα βρείτεμικρότερη από.τωντηπλευρών ·πλευρά του τετραγώνου. τα μήκη των δύο σχημάτων . βρείτε ότιδιαστάσεις τηςστηνσελίδας τουπουσημειωματάριου του σχήματος αν6Ναγνωρίζουμε το κείμενο εικόνα βλέπετε έχει διαστάσεις 4 είναι το ίδιο γύρω-γύρω και το εμβαδόν του περιθωρίουτο περιθώριο της σελίδαςστηείναισελίδα 11 άλλη

8cm

2cm

τις

cm,

cm2 •

Ανκύκλων) γνωρίζουμεείναιότιαριθμητικά το εμβαδόν του δακτυλίου των (το τμήματουμεταξύμικρού δύο ίσο με την περίμετρο κύκλου ναότι υπολογίσετε την ακτίνα τιμέςτουχωρίςμικρού κύκλου. (Αυτό σημαίνει είναι ίσες οι αριθμητικές να ληφθούν όψιν οι διαφορετικές μονάδες μέτρησης). 3)

1 1 ι

- �;... 1-1 ,1;..,,1.::_..,τη .

· - --r,"�r",ι.. � Ά�,, ..

...ι " ..,... ,,..

�""""' "'� i<""!t.•IJ""

1 τr.. .,.. ir" "rι.,"i'-

ιfι ΙΟ .ι-4�" ι,.� ,

�/[

υπ

2 Το εμβαδόν κύκλου ακdνας ρ είναι ίσο με π·ρ η δε · περίμετρος του κύκλου είναι ίση με 2π·ρ

το 45°κύριοι Γυμνάσιο της άνω Παναγιάς Τυμφρηστού λάβαμε την παρακάτω επιστολή: <Επικοι ΑΑπό γαπητοί ν ωνούμε μαζί σας εκ μέρους των 326 μαθητών της Γ ' τάξης του σχολείου μας καθώς έχουμε ένα δύσκολο πρόβλημα με το οποίο ασχολούμεθα συνεχώς όλοι και όλες. Τό πρόβλημα, το οποίο μάλλον θα μπει στο επικείμενο 74° φετινό διαγώνισμα στα Μαθηματικά, λέει το εξής: 4)

Είναι γνωστό ότι οι διαδοχικοί Φυσικοί αριθμοί 3, 4, 5 μπορεί να αποτελούν τα μέτρα των τρι ών πλευρών ενό ς ορθογωνίου τριγώνου. Να εξετάσετε αν υπάρχουν και άλλοι 3 διαδοχικοί Φυσικοί αριθμοί, μεγαλύτεροι ενδεχομένως των 3, 4, 5, που μπορεί να αποτελούν μέτρα των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Θα θέλαμεναναβοηθήσετε μας στείλετε μία λύση του προβλήματος αυτού επειγόντως.» Μπορείτε α)Να λύσετε την εξίσωση: β) Να εκτιμήσετε αν οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ακέραιες λύσεις χωρίς να λύσεtε ;

. . . . __ . .

χ2=χ

χ2

χ2 +

χ2

= χ+

χ2

τις

χ 3

+- =

χ χ χ χ+ -+-+-

χ2

3 4

χ χ χ χ + - + - + - = χ+ - + - + - + -

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσ�ις: η

Ί\

,;., _ι

3) 0t ) 5)

(χ - 3) 2 = 49 2 (χ - 2 = 7 9χ2 - 30χ = -25 χ2 - 9 = Ο 2χ 2 + 32 = ο

)

2χ 2 - 1 0 = 0 7 1 4χ2 = χ 8) 3χ2 + 5χ = -2 9 ) 6χ2 + 7χ + 1 = ο ΗΡ} 7χ2 + 6χ - 1 = 0

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/29

Δραστηρ ιότητες με

'Όμο ια Τρίyωνα

Επιμέλεια: Υπάρχει ένας ενδιαφέρον τρόπος να μετρήσουμε, κατά προσέγγιση, την απόσταση ενός α ντικειμένου από εμάςότιχωρίς κανένα όργανο. Ας υποθέσουμε ένα επιβατικό αυτοκίνητο έχέι μέσο μήκος 5 περίπου μέτρα. και ότι αυτό βρίσκεται σε κάποια απόσταση από εμάς την οποία θέλουμε μάτι, να υπολογίσουμε κατάχέριπροσέγγιση. Κλείνουμε το αριστερό τεντώνουμε τό μαςμάτιμε τονσε αντίχειρα προς τα επάνω και σκοπεύουμε με το δεξί κάποιο σημείο Α δεξί του αμαξιού. και ανο, ίγουμε το ,αριστερό. Κλεί ν ουμε το μάτι τφρα ο Β iι . Κάνου αντίχειρας φαίνετάι να σκοπεύει στο σημείο ε μία Β στο έδαφος.· εκτίμηση της απόστασης Α Εδώ στην περίπτωση τουΠολλαπλασιάζουμε αμαξιού είναι περίπουεπί το1 Ο μισό αμάξι δηλαδή 2,5 το 2,5m και το αποτέλεσμα είναι μία με.καλή προσέγγιση της απόστασης που θέλουμε να υπολογίσου Για ναπουκαταλάβετε την εξήγηση που βρίσκεται στο τέλος του κειμένου μελετήστε τα παρα δείγματα ακολουθούν. Παραθέτουμε μία σειρά ασκήσεων που αναφέρονται στην ομοιότητα των τριγώνων, εκτι μώvtαςτηςότιομοιότητας ασχολούμενοvες με αυτέςΕκτιμούμε θα εμπεδώσετε καλύτερα τα όσα πραγματεύεται το κεφά λαιο των τριγώνων. επίσης ότι δεν χρειάζονται ολοκληρωμένες λύ σεις υποδείξεις, απαντήσεις για την επίλυσή όλα τααλλilμήκησύντομες που δίνοντάι ή ζητούνται να υπολογίσετε είναι σετους,cm. Τέλος σας ενημερώνουμε ότι Τζίφας Νίκος, Κωνσταντινίδης Ά ρη ς, Λαγ�ς Γιώργος

======

Π ό σ ο α πέχει έν α α ντ ικείμενο α πό εμένα ;

Ά σ κ η σ η 1 11

Αφού αποδείξετε την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και Α 'Β Τ ' σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις, στη συνέχεια να υπολογίσετε τα μήκη χ, y στις περιπτώσεις αυτές. ι η περίπ τ ω σ η .

Δίνεται ότι : Α

Α 'και Γ=f' '

ΥΠΟΔ:

Α'

Αφού τηννα υπολογί ομοιότη ταστετωντο αποδείξετε τριγώνων με τηπλευρών. βοήθεια του λό γου γνωστών Ναούμεθυμάσαι ότιτωνχρησιμοποι τον λόγο πλευρών που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες χ

χ=6

2η περίπτωση .

Δίνεται ότι: Α

Γ' =

Α'

Α 'και Β=Β '

Γ Β

Γ'

ΥΠΟΔ:

Κατ αρχάς θα πρέπει να αποδείξετε την ομοιότητα τωνχρειάζεται τριγώνωνπροσοχή αυτών. Εδώ και πάλι στην επιλογή των ότιπλευρών. Επιπλέ οννα διαπιστώνουμε είναι αναγκαίο γνωρίζουμε τα πλευρών μήκη τουλάχι στον αντιστοίχων Β Τ ' . Είνα\ x�Ocm,y=40cm.ΒΓ και 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/30

•

·.

--------�

3 η πε ρ ίπτω σ η . Δίνεται ότι :

Δρ αστη ριότητες με Ό μοια Τ ρίγωνα

Β Ε και ΑfΉ=Δ

-------

ΥΠΟΔ:

Να εξηγήσετε γιατί τα δύο τρίγω να είναι όμοια. Προσοχή και πάλι στην επιλογή των αντιστοίχων πλευρών. Οι υπολογισμοί θα σας δώσουν x=28cm.

8 --.---.ι...�---1.L_. Ε Γ Ά σκη σ η 211

Να αποδείξετε την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΓ και ΔΕΓ του παρακάτω σχή ματος, γνωρίζοντας ότιΑΒ!/ΔΕ. Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα μήκη χ και y. Α

ΥΠΟΔ :

Κατ αρχάζ- θα πρέπει να θυμηθείτε τις ιδιότητες ταιν γωνιών που σχη ματίζονται από δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από τρίτη. Να αποδείξετε την ομοιότητα των παραπάνω Είναι τριγώνων. x=54cm,y=42cm.

Ά σκ η σ η 3 η

Στο σχήμα που ακολουθεί να δείξετε ότι ΑΒΔ::::Α : ΔΓ. Στη συνέχεια να εξετάσετε, αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να αιτιολογή σετε την απάντηση σας. ΥΠΟΔ :

Αφού υπολογίσετε την ΑΔ= 1 2cm και την ΔΓ=9cm θα απο-' δείξετε την ομοιότητα των τριγώ νων ΑΒΔ και ΑΔΓ με την βοή θεια αναλογιών στην συνέχεια θα αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ορ θογώνιο με το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος :�

Άσ κ η σ η 4 η

Παρόμοια στο παρακάτω σχήμα να δείξετε όμοια. Τέλος να υπολσyίσετε τα χ, y, z.

/yB

ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ

Ά σκη σ η 5 η

και ΑΔΒ είναι

ΥΠΟΔ :

Εδώ έχουμε αρκετά ορθογώνια τρίγωνα. Αφού αποδείξετε την ομοώτητα των τριγώνων αυτών οι υπολογι σμοί θας σας δώσουν χ= 1 5, 1 cm, y=52,9cm και z=28,2 cήι.

Γνωρίζοντας ότι ΒΓ//ΕΖ να δείξετε ότι ΑΒΓ::::ΑΕ : Ζ και να υπολσyίσεtε το χ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/31

'-----

Δρ αστη ριότητες με Ό μοια Τ ρίγωνα

-------

Κατ αρχάς θα πρέπει να θυμηθείτε ιδιότητες των γωνιών που σχη ματίζονται από δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από τρίτη. Αφού αποδείξετε την ομοιότητα των παραπάνω τριγώνων οι υπολο γισμοί θα δώσουν χ=6, 7 cm τις

51 �-

Αν στο παρακάτω σχή μα είναι ΒΓ//ΔΕ//ΖΗ να υπολογίσετε τα χ, y

•

....

Στην ουσία πρόκειται για επέκταση της προηγούμενης άσκησης. Αφού . αποδείξετε την ομοιότητα των τρι γώνων ΑΒΓ και ΑΔΕ και κατόπιν των ΑΔΕ και ΑΖΗ προκύπτει ότι χ=24 cm,y=40cm.

Υ ._________________:::.,

Αρχικά να αποδείξετε ότι: ΑΙΈ = ΕΒΔ και ΓΑΕ = ΕΔΒ Στη συνέχεια να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΓΕ και ΕΔΒ είναι ό μοια και να υπολογίσετε τα :χ, y. •

Θυμηθείτε τη σχέση που έχουν οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαί νουν στο ίδιο τόξο. Να αποδείξετε την ομοιότητα των δύο τριγώνων με την βοήθεια των γωνιών τους. Προσοχή στην επι λογή των αντιστοίχων πλευρών. Είναι χ=52 cm, y=42cm .

Παρό μοια στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι ΑΒF;:::Γ : ΔΕ και να υπολογίσετε τα x,y.

Να αποδείξετε την ομοιότητα των δύο τριγώνων. Προσοχή στην ε πιλογή των αντιστοίχων πλευρών. Είναι χ= 1 3 cm,y=20cm .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/32

------- Δραστηριότητες με Ό μοια Τ ρίγωνα

Άσκη ση 9 η

ΑΒΔ ; ΒΔr , β) ΒΑr = ΜΔ ,

Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ να αποδείξετε ότι α ) ΒΕ::=::ΓΔΕ . Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα χ, y. 48

)(

γ) Α

ΥΠΟΔ:

Να αποδείξετε την ισότητα των γωνιών και μέσω αυτής την ο μοιότητα ταιν παραπάνω τριγώ νων. Είναι χ=28 cm, y= l 20cm.

-------

90 70

Ά σκη ση 1 0η Παρ ό μοια στο παρακάται τραπέζιο ΑΒ//ΓΔ να υπολογίσετε τα χ, y. )(

25.

.·

ΥΠΟΔ:

Να αποδείξετε την ισότητα των γωνιών και μέσω αυτής την ο μοιότητα ταιν παραπάνω τριγώ νων. Είναι χ=2 1 cm, y=20cm.

. •

Δ �-� --· ------------------------------35

Άσκη ση 1 l η Ν α υπολογίσετε τα χ, y στο παρακάται σχήμα. Υ

ΥΠ Ο Δ :

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρούμε τα x,y ένας από αυτούς είναι να φέρουμε τις κα θέτους από τα παραπάνω σημεία και να απο δείξουμε όμοια τα ορθογώνια τρίγωνα που θα δημιουργηθούν οπότε είναι χ=50 cm,y=9cm.

Τώρα πλέον είναι δυνατόν, με τη Μαθηματική εμπειρία που αποκτήσατε από τις ασκήσεις στην ομοιότητα, να κατανοήσετε πως εξηγείται, ή μάλλον πως τεκμηριώνεται, ότι ο αριθμός που βρήκαμε για την απόσταση του αντικειμένου από εμάς είναι προσέγγιση της πραγματικής από στασης. Έχει διαπιστωθεί ότι η απόσταση d του αντίχειρα από το μάτι μας, όταν το χέρι μας βρίσκεται σε έκταση, είναι περίπου δεκαπλάσια από την απόσταση μεταξύ των δύο ματιών μας. Ας κάνουμε πρώτα μία γεωμετρική παράσταση της σκόπευσης που πραγματοποιήσαμε.

Ρ=+ - -

-----

- - - -

- - - - - .... .... .... -

Τώρα επιχειρήστε με τη βοήθεια των ομοίων τριγώνων να εξηγή σετε τη μέθοδο υπολογισμού. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/33

Τάξη Γ '

Θέματα για προχωρη μένους.

=======

Δίνονται οι παρακάτω πληροφορίες. •

•

• σ

•

Στέφανος Κείσογλου

•

εικόνα παριστάνει μέρος μιας ειδικής αριθμογραμμής. Δύο διαδοχικά σημεία αντιστοιχούν σε δύο αριθμούς που διαφέρουν κατά αριθμός α είναι ακέραιος. Να βρειτε' το σημειο' το οποιο' αντιστοιχει' στον αριθμο' -23 . Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: (χ+ l)(x+2)(x+3)(x+4) - 3 Να αποδείξετε ότι η παράσταση: ( J2+ J3 + J5) · ( J2 + J3 - JS) ( J2 - J3 +JS) ( -J2 + J3+J5) είναι ακέραιος αριθμός. αν ισχύει μία γενίκευση πρότασης. Συγκειcρίμένα να εξετάσετε ανβ) Ναγια εξετάσετε οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους τηςα, β,παραπάνω γη παράσταση: (Γα Jβ+JY) · (Γα+ Jβ-JY) (Γα -Jβ+JY) ·(-Γα+Jβ+JY) είναι ακέραιος αριθμός. Ναγινόμενο αποδείξετε β, ακέραιοι αριθμοί και μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου τότε · β-γότιείναιαν α,ζυγός τοΠυθαγόρεια ατριάδα αριθμός. Στην ουσία μας ζητά να δείξουμε ότι δεν υπάρχει στην οποία το γινόμενο των στοιχείων της να είναι μονός αριθμός. Για το διπλανό τρίγωνο γνωρίζουμε ότι: όλες οι πλευρέςΔ του έχουν μήκος 1 2J3Δ β) οι κορυφές , Ε, Ζ του τριγώνου ΕΖ βρίσκονται πάνω στις πλευρές και αντίστοιχα. ΔΕΖ τουτουτριγώνουόπως φαίνεται είναι κάθετες· μία προς μία προςΝαοι τιςπλευρές πλευρές στο σχήμα. Δ υπολογίσετε την περίμετρο του ΕΖ. των δύο τρι γ ώνου Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα εμβαδά ψιyώνων. 1 θετικός αριθμός χ ικανοποιεί τη σχέση χ- 1 - 1+ 1 Να εξετάσετε αν ο αριθμός αυτός - l +x κ μπορεί να γραφεί στη μορφή λ όπου θετικοί ακέραιοι. ς υποθέσουμε ότιτην γιααρίθμηση το διπλανό βιβλίο τουδιαθέτουμε μία μόνο πληροφορία, ότι για των σελίδων χρησιμοποιήθηκαν 3.693 ψηφία. Να υπολογίσετε τις σελίδες που έχει το βιβλίο αυτό. •

•

0,5.

3) α)

ΑΒΓ

cm.

α)

ΑΒ, ΒΓ

γ)

ί) ίί)

ΑΓ

ΑΒΓ,

6) Ο

κ,

7) Α

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/34

7Ί°ς

Μαθη ματικοί Δι αγωνισ μοί

==== == ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ

Ε πιμέλε ια: Επιτροπή Δ ιαγων ισμών

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 'Ό ΘΑΛΗΣ" 1 2 Νοεμβρίου 201 6 Οι λύσεις των προβλη μάτων Β'

Πρό β λη μα ι

Γυμνασίου

Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης :

(

0)2 153 (-8)3 -3 -3 (-2 Α= 5 2 + (-5}� + i - 9

Λί)ση . Επειδή οι εκθέτες των δυνάμεων στους αριθμητές και στους παρανομαστές των κλασμά των είναι ίσοι εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων που αφορούν κλάσματα, όπως για πα-

( -20 )2 = ( -2Ο J2 = ( )2 = 16, . 5 5 (�J-' = ( �3 J' = (-3)3 = -27 ( -8 )3 - (-3 J-3· = ( -20 ]2 + (�J3 + (-8 ]3 -(�J3 = ( -5220)2 + _!f_ + 5 -5 2 -3 ( -5 )3 23 = ( -4)2 + ( -3 )3 + ( -4)3 - (-3)3 = ( -4 )2 + ( -4)3 = 16 - 64 = -48 .

ράδειγμα όn :

-4

κλπ. Επίσης, γία τη δύναμη με α ρνητικό εκθέτη ισχύει

. 'Ετσι έχοuμε:

Π ρ ό βλη μα 2 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Στο σημείο Α φέ ρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ = α κάθετο προς την πλευρά ΑΓ. Η προέκταση της διαμέσου ΒΕ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο σημείο Ζ. (α) Να αποδείξετε ότι ΖΑ = ΖΓ . (β) Να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία ΑΔΒ . Λύση : (α) Η διάμεσος ΒΕ του ισοπλεύρου τριγώνου είναι ύψος και διχοτόμος, άρα και μεσοκάθετη της πλευράς Δ

ΑΑΒΓ.Γ Α ==

s .._______

Επομένως το σημείου Ζ απέχει ίσες αποστάσεις από τα σημεία Α και Γ, δηλαδή Ζ ΖΓ. (β) Επειδή είναι ΑΔ α , το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με

ΜΒ = ΑΒΔ

(1)

ΒΜ = + = 60° + 90° = 150° 300 = 150 . 0 ΜΒ = ΑΒΔ = 1800 -150 = 2 2

Όμως έχουμε BAr ΓΑΔ Επομένως από το τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε:

Σχήμα 2

(2)

Εναλλακτικά , μετά τη σχέση ( 1 ) θα μπορούσαμε να προχωρή σουμε ως εξής: Η διάμεσος ΒΕ του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ είναι και ύψος, άρα κάθετη προς την πλευρά ΑΓ, όπως είναι κάθετη και η ΑΔ, από την υπόθf:ση . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/35

------ Μ αθηματικοί Διαγωνισμοί

------

Επομένως είναι ΒΕ 11 , οπότε ΜΒ ΔΒΕ Από τις σχέσεις και έπεται ότι ΑΒΔ ΔΒΕ. ' τηςγωνιας' ΑΒ"Ε , οποτε' θα εχουμε ' διχοτομος ' ΑΒ"Δ ΔΒ"Ε ΑΒ Ε Τ ρα η ΒΔ ειναι ' της γωνιας' Β" , δηλαδη' Ε ΑΒΓ ' και διχοτομος αφου' η ΒΕ ειναι . Επομενως, γω της έχουμε ΜΒ ΑΔ

(1)

(3)

(4)

(2)

,..

-- = 300 2 ΑΒ ,.. 600 ° ' = -- = - = 30 2 2

(1)

° 15 .

λό

Π ρόβλη μ α 3 Ένα κατάστημα πωλούσε μία τηλεόραση πριν τις εκπτώσεις 540 ευρώ. Την περίοδο των εκπτώσεων την πωλούσε με έκπτωση α%. Με το τέλος των εκπτώσεων το κατάστημα αύ ξησε την τιμή που πωλούσε την τηλεόραση στις εκπτώσεις κατά β%. Αυτό είχε ως αποτέ λεσμα η τιμή πώλησης της τηλεόρασης να γίνει ίση με την τιμή που είχε πριν τις εκπτώ σεις. Να βρείτε τηy τιμή του β συναρτήσει της τιμής του α.

τιμή πώλησης της τηλεόρασης την περίοδο των εκπτώσεων είναι ευρω. τιμή της τηλεόρασης μετά την περίοδο των εκπτώσεων θα γίνει ) )!__ ρώ. ( Σύμφωνα με την υπόθεση του προβλήματος θα ισχύει: )L ( ( )β · β β β

Λύση : Η

540 α 540 - -1 00

540 -

�

54Ο α 1 00

1 00

+ 540 -

540 ( 1 00 - α ) 1 00

5 40α

+ 540 -

54 Οα

1 00

54 0 α �

540 α 1 00

ευ

1 00

540 � 540 -

540 α 1 00

540 (1 00 - α )

54Οα

1 00

�

540 α

1 00 α . 1 00 - α

Π ρόβλη μα 4 Όλα τα ψηφία του θετικού ακέραιου αριθμού είναι ίσα είτε με 8 είτε με 9 και καθένα από αυτά τα ψηφία εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά στον αριθμό. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του Α, αν αυτός διαιρείται με το 4 και με το 3.

Για να διαιρείται ένας αριθμός με τοΟιτελευταίο διψήφιο τμήμαγιαπρέπει να διαιρείται με τοτμήμα(κριτήρια διαιρετότητας Α Γυμνασίου). πιθανές περιπτώσεις το τελευταίο διψήφιο του αριθμού είναι: 88, 89, 98, 99. Από αυτούς μόνο ο 88 διαιρείται με το οπότε ο Α πρέπειψηφίων να λήγειτουσεδιαιρείται 88. Επίσης,με ξέρουμε ότι ένας ακέραιος διαιρείται με τοδιψήφιος, όταν τοτότεάθροισμα των Αν υποθέσουμε ότι ο αριθμός Α είναι πρέπει Α ο88,αριθμός ο οποίοςείναιδεντριψήφιος, διαιρείταιτότε με τοθα είναι είτε ο 888 είτε ο 988. Όμως στον 888 δεν χρησι Ανμοποιείται 9, ενώ ο 988έχει άθροισμα ψηφίων και δεν8888,διαιρείται με το99�8 . Αν ο αριθμόςτο ψηφίο είναι τετραψήφιος είναι ένας από τους παρακάτω: 8988, 9888, Όμως οι αριθμοί 8888,9988 έχουν άθροισμα ψηφίων 32 και αντίστοιχα, άρα δεν διαιρούνται με το Επομένως, οι μόνοι τετραψήφιοι που ικανοποιούν τις συνθήκες είναι οι 8988, 9888, οπότε η ελάχιστη τιμή του Α είναι 8988 . 4,

Λύση : 4

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/36

------ Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Γ ' Γυμνασίου

Π ρόβλη μ α 1

Αν

α=

1:νν

-------

: 22 ν-Ι και β = 10 2 ν+Ι

: ιοον ' να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράσταση ς : Α=

( α3 - β ) 3 + α2β - 2β + 2α2 α2 + αβ - 10α

'Εχουμε ότι α = 1:: : 22v-1 = ( 1: )v : 22v-1 = 4v : 22v-1 = 22v : 22v-1 = 22v-(2v-ι) ::::: 2 . Και β = 1 02v+I : 1 00v = 1 02v+I : 1 02v = 1 0 , Οπότε είναι a 2· = 4, α3 = 8 Και Λύση :

Α=

(α3 - β)3 + α 2 β - 2β + 2α 2 = (8 - 1 0)3 + 40 - 20 + 8 = -8 + 40 - 20 + 8 = 5 4 α 2 + αβ - 1 0α 4 + 20 - 20

Π ρόβλη μ α 2 Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΟΚ = α και δύο κύκλοι α κτίνας α που έχουν κέντρα στα σημεία Ο και Κ, οι ο ποίοι τέμνονται στα σημεία Α και Β . Το σημείο Γ ανή κει στο τόξο ΚΒ και η ευθεία ΓΚ τέμνει τον κύκλο C 2 κέντρου Κ και ακτίνας α στο σημείο Δ . Η ευθεία ΟΚ τέμνει τον κύκλο C 2 κέντρου Κ και ακτίνας α στο ση-

μείο Ε . Αν είναι ΚΟΓ = 45° , να βρείτε : ( α ) πόσες μοίρες είναι η γωνία κΔΕ , ( β ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΕ συναρτήσει του Λύσ η : (α) = ΟΓ = α , ΟΚΓ

α.

τρίγωνο προσκείμενεςΤο στη είναι:είναι ισοσκελές βάση βάση γωνίεςέχειτουΟΚίσες, οπότε θαοπότε 80· 1 35· = , = 1 - 45° = -67 , 5 • μοιρες. 2 2 Επίσης, επειδή οι γωνίες ΔΚΕ και ο:Κr είναι κατά κορυφή, έχουμε ΔΚΕ = ο:Κr = 67, 5° μοίρες. νία κ.ΔΕ είναι μία από τις ίσες γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου ΔΚΕ γω οπότε , κ.ΔΕ = 180· -267, 5° 1 12,2 5· = 56, 25· μοιρες Ο

με

ΚΓ.

Άρα έχ,ει τις

ΚΔ

= ΚΕ

ΚΓ "

(έχει

Σχήμα2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/37

)

α ,

Μ αθηματικοί Δ ιαγωνισμοί

------

-------

(β) Έστω ΓΖ το ύψος του τριγώνου ΟΓΕ από την κορυφή Γ. Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ΓΖ = α ημ45° = J22 , οπότε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΕ είναι Ε ( ΟΓΔ ) = ..!. . 2 α J2 = J2 2 2 2 ΟΓΖ

Πρόβλη μ α 3 Ο Γuόργος και οι φίλοι του έχουν 450 καραμέλες τις οποίες μοίρασαν μεταξύ τους σε ίσα μερίδια και ο καθένας πήρε ακέραιο αριθμό καραμέλες. Όμως τρεις από τους φίλους του Γιώργου του επέστρεψαν το 20% του μεριδίου τους. Έτσι ο Γιώργος πήρε συνολικά περισ σότερες από 120 καραμέλες. Να βρείτε πόσοι ήταν συνολικά ο Γιώργος και οι φίλοι του και πόσες καραμέλες πήρε ο Γιώργος.

από την υπόθεση. . ό που χ;;: : 4 Έστω ότι ο Γιώργος και οι φίλοι του ήταν συνολικά χ, , 45ο καραμε' λες. Ο τρεις φίλοι επεστρεψαν .στο Γιωργο ενας τους αρχικα' πηρε' ' ' συνοχ 450 270 = 720 καραμε'λες. 20 450 = 270 καραμε'λες. Ο. Γιωργος , , πηρε συνο λ ικα 100 χ χ χ χ χ 720 την υπόθεση του προβλήματος , πρέπει: χ >120<:::::> 120χ < 720 <:::::> χ< 6 . δυνατές τιμές για το χ είναι χ= 4 ή χ= 5. Όμως η τιμή χ= 4 απορρίπτεται, γιατί 720 1 44. με: 4'λεδενς. δίνει ακέραιο πηλίκο. Άρα είναι χ = και ο Γιώργος πήρε συνολικά

Λ ύση :

ι·) ,

Τ,

οτε ο κα{. , 3

ικα

· -

Σύμφωνα με

Επομένως οι η διαίρεση 450 - =

καρα

Π ρόβλη μ α 4 Δίνονται οι αριθιιοί Α = 3α5b = 3 · 103 + α · 101 + 5 · lO + b και Β = 5c3d = 5 · 10 3 + c · 10 1 + 3 · lO + d . ( α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ψηφία α, b, (β) Αν ανάμεσα στα κλάσματα

νατές τιμές των ψηφίων α, b,

lll

= .

Επομένως, για οποιαδήποτε

111,

αφού δείξαμε ότι

α,

Ο·

(β) Από το πρώτο ερώτημα

το

� < .!!._ 36 45

, τιμη, του 5 3d λαμ3959 < 36 3960 = . Επισης η μικροτερη 3a5b < 36 = 36 5030 > . 5c3d > 45 d , αρα 45Β = 45 ψηφία b, c, d ισχύει ότι: � = 3a5b < 110 < 111 < 5c3 d = .!!._ . 45 45 36 36 ξέρουμε ότι πάντα υπάρχουν δύο ακέραιοι ανάμεσά τους, το 11 και . �36 < 11 < 111 < .!!._45 . Για να είναι μόνο αυτοί οι ακέραιοι ανάμεσά Ο ,

ισχύει ότι:

l lO

� ' .!!._ υπάρχουν ακριβώς δύο ακέραιοι, να βρεθούν οι δυ36 45

, Α , , : ( α) Ισχυει Λυση οτι 36

οταν c βανεται ,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/38

------

Μ αθη ματικοί Διαγωνισμοί

-------

5c3d �112. τους, θα πρέπει 109� 3α5b <110<111< 36 45 = Από την ανισότητα αριστερά παίρνουμε ότι 3a5b 109 · 36 <:::> 3a5b 3924, οπότε· π ρέπει και ο b μπορεί να πάρει-οποιαδήποτε τιμή-από το Ο μέχρι το 9. Από την ανισότητα δεξιά παίρ5c3d � 112 <:::> 5c3d < 112 · 45 <:::> 5c3d < 5040, οπότε c =Ο και το μπορεί να πάρει νουμε -οποιαδήποτε45 τιμή από Ο μέχρι 9. >

Οι

λύσε ις των προβλημάτων του τεύχοuς·101

Ν33. Βρείτε τον θετικό ακέραω αbc = lΟΟα + lOb + c ο οποίος είναι 13 φορές μεγαλύτερος από τον διψήφω αριθμό που προΚύπτει αν του. διαγράψουμε το ψηφίο των δεκάδων. (Ρουμανία 2016) Λύση .

Σύμφωνα με την υπόθεση του προβλήματος έχουμε: abc = 13· ac <:::> 100α+ 10b +c = 13(10a+c) <:::> 10b = 30α+ 12c. Από την τελευταία εξίσωση, επειδή το 5 διαιρεί τους ακέραιους 1 Ο . και 30, έπεται 511 2c 5jc, αφού ( 5, 12) = 1. Επομένως είναι c = Ο ή c = 5 .. Αν c =Ο, τότε b = 3α. Επειδή δεδομένος αριθμός είναι τριψήφιος, θα είναι πάρχουν τρία δυνατά ζεύγη ( α, b) : ( 1, 3) , ( 2, 6) και ( 3, 9), οπότε οι δυνατοί ακέραιοι εί ναι 130, 260 και 390. Αν c =5 , τότε b =3α+6, οπότε ( a,b ) = ( l,9 ) , αφού α:;t:Ο.ΕπομένΦς λύση του προβλήματος είναι και ο ακέραιος 195.

ότι

�

•

α :;t:

Ο, υ-

οι

•

Α44. Ν α βρείτε όλα τ α ζεύγη θετικών ακέραιων χ + Υ = ..Γχ +

( x,y) που είναι λύσεις της εξίσωσης

JY + Ν

(Ρουμανία lOJ 6)

(1 ) εξίσωση μπορεί να γραφεί ως (χ+ y)- Γχ = fY + /;y. Με ύψωση των δύο μελών στο τετράγωνο λαμβάνουμε χ2 +2.xy+ y2 +χ-2 ( χ+ y ) Γχ = xy+ y+2yfx <=> χ2 +xy+ y2 +χ-y = 2 ( 2y+χ) Γχ. Στην τελευταία εξίσωση τα δύο μέλη είναι θετικοί ακέραιοι, αφού οι χ, y είναι θετικοί ακέραιοι. Επομένως πρέπει ο αριθμός Γχ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, αφού ο χ είναι θετικός ακέραιος. -'Εστω Γχ = α. Τότε η αρχική εξίσωση γίνεται χ+ y = α + /Υ + aJY <:::> χ + y-α = ( 1 + ) /Υ , από την οποία προκύπτει ότι και ο αριθμός fY πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. είναι fY = b , τότε η αρχική εξίσωση γίνεται: α2 + b2 = ab + α + b <:::> 2α2 + 2b2 -2ab - 2α - 2b =' Ο<:::> ( α - b )2 + (α - 1 )2 ( b - 1 )2 = 2. Με έλεγχο από την τελευταία εξίσωση έχουμε ότι: ( α, b) { ( 1, 2), ( 2, 1), ( 2, 2)} , οπότε προκύπτει ότι: ( x, y ) { (1,4), ( 4,1),( 4,4)}. Λύση. Η

Αν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/39

------

Γ29. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

ABC με Α

-------

90° Η διχοτόμος της γωνίας ACB τέμνει την πλευ ρά ΑΒ στο D και την κάθετη στο Β προς την πλευρά BC στο σημείο Ε. Αν F είναι το συμμετρικό του Ε ως προς το σημείο Β και η ευθεία DF τέμνει την πλευρά BC στο σημείο Ρ, να αποδείξετε ότι ΕΡ l. CF . (Ρου μανία 2016)

Λύσ η .

Σχήμα 3 �

Επειδή η ευθεία CE είναι διχοτόμος της γωνίας C και ΒΕ 1- CB , τα τρίγωνα ADC και BEC έχουν δύο γωνίες ίσες, DA C = EBC και ACD = ECB . Επομένως θα έχουν και ADC = BEC . Επειδή EDB = ADC , ως κατά κορυφή, θα είναι BDE = BED . .

Άρα το τρίγωνο BED είναι ισοσκελές με ΒΕ = BD . Όμως, από υπόθεση είναι ΒΕ = BF , οπότε στο τρίγωνο DEF η διάμεσος DB ισούται με το μισό της πλευράς EF . Άρα το τρίγωνο DEF είναι ορθογώνιο στο D . Επομένως στο τρίγωνο EFC , CB και FD είναι ύψη του που τέμνονται στο σημείο Ρ , το οποίο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. Άρα η ευθεία ΕΡ ορίζει το τρίτο ύψος του τριγώνού EFC , οπότε ΕΡ 1- CF .

Ασκήσε ις yια Αύση

Ν 34. Έστω α, b δύο θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε να υπάρχει πρώτος θετικός ακέραιος

την ιδιότητα:

[ α, α + p ] = [b, b + p ] . Να αποδείξετε ότι: α = b .

Σ η μ είωση : Με x, y .

[ x, y ]

με

σημειώνουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των θετικών ακεραίων

Α .45. Αν x, y είναι διαφορετικοί μεταξύ τους πραγματικοί αριθμοί και 2xy + 1 :;t: Ο , να

συγκρίνετε τους αριθμούς Α =

6x 2 y 2 + xy - 1 2xy + 1

και

(

)

(

χ χ2 - ι - y y 2 - ι x-y

)

Γ30. Έστω 1 το έκκεντρο τριγώνου ΑΒΓ με ΑΓ > ΑΒ . Έστω ΑΔ το ύψος από την κορυφή Α

και ΑΕ η διχοτόμος από την κορυφή Α. Αν είναι ΕΜ = 1 0° και γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/40

ΒiΓ = 1 20° , να βρείτε

τις

Χιού μο ρ

Μαθη ματικά

Γιάννη ς Στα μέλος Με ιδιαίτερη χαρά υποδεχτή καμε το κείμενο του Γιάννη Σταμέλου ο οποίος είναι συγγραφέας ενός χαρακτηριστικού βιβλίου για το Μαθηματικό χιούμορ. Μία σύντομη , παρουσίαση του βιβλίου γίνεται στο τέλος του κειμένου που μας έστειλε ο συγγραφέας. ======

ζωypιίιιpος �pιιyσrι yvλDzοίιι ��

Etσa'ffi)'flKά

Ένα κείμενο χιουμοριστικό δεν είναι υποχρεωτι� : Kliilς έι;ας κο να είναι γραμμένο σε γλώσσα χιουμοριστική. Μπορεί να περιγράφει κάτι που να προκαλεί το γέλιο χωρίς να χρησιμοποιεί χιουμοριστική γλώσσα. Ή ακόμα να το δημιουργεί η επίπλαστη σοβαροφάνειά του. Θα μπορούσε, άραγε, ένα κείμενο σε γλώσσα χιουμοριστική να σταθεί δίπλα στον ορθό 'λfyyo και την επι----....._)6 � 69 στήμη; Θα είχε αξία, άραγε, μια μελέτη για την αξιο ποίηση και τη χρήση του χιούμορ στην επιστήμη και την κοινωνία; Η απάντηση είναι θετική αν παρατη ρήσουμε ότι το χιούμορ ασκούσε ανέκαθεν μια ελκυστική επιρροή σε πολλή κόσμο. Ο Αριστοτέλης στα Φυσικά του είναι κατηγορηματικός: μόνο ο άνθρωπος ανάμεσα στα ζώα μπορεί να σκέφτεται. Και είναι επίσης το ·μόνο ζώο που γελάει. Και συσχετίζονται αυτές οι δυο λειτουργίες στον άνθρωπο: γελάει γιατί σκέπτεται και κατανοεί. Σκέπτεται και συσχετίζει. Σκέπτεται και ανακαλύπτει τους κανόνες της σκέψης. Γνωρίζει τους κανόνες και τη λειτουργία της σκέψης και συνθέτει διανοήματα για να την υπονομεύσει. Μεγάλος εχθρός του γέλιου είναι η συγκίνηση. Είναι άραγε σημαντικό να γελάμε; Ο γάλλος συγγραφέας Σαμφόρ υποστηρίζει πως «η πιο χαμένη απ' όλες τις μέρες μας είναι εκείνη που δε γελάσαμε». Η σύγχρονη ιατρική, πάλι, θεωρεί το γέλιο ως ένα από τα καλύτερα φάρμακα, επιβεβαιώνοντας τη λαϊκή σοφία, η οποία διακηρύσσει πως «το γέλ ιο είvα ι υγεία». Είναι σαν την ασπιρίνη, υποστηρίζει ο Γκρούτσο Μαρξ, μόνο που αυτό πιάνει δυο φορές πιο γρήγορα. Εκτός από τις σημαντικές κυκλοφορικές και αδενικές ευεργετικές �διότητες, ζωηρεύει το πνεύμα, δημι ουργεί ευεξία και καλή διάθεση και, ως παράγοντας ατομικής ευεξίας, επιδρά ευεργετικά στην ψυχολογία, αποτελώντας θεραπευτικό μέσο. Πολλοί είναι αυτοί που υποστηρίζουν ότι η υγεία μας είναι ανάλογη, για να χρησιμοποιήσουμε και λίγη μαθηματική ορολογία, με τις ποσότητες του γέλιου που «κd.ταναλώνουμε». Είναι τόση η αξία του γέλιου και κατά συνέπεια του χιούμορ με όλες τις μορφές του (αστείο, ανέκ δοτο, σκώμμα, ειρωνεία κλπ) και είναι τόσο μεγάλο το εύρος των δραστηρ�οτήτων που παράγουν γέλιο ώστε, αν θα πρότεινε κανείς τη δημιουργία έδρας γέλιου στα πανεπιστήμια, θα γελούσαν με την ιδέα α κόμα και οι σοβαροφανείς και οι πουριτανοί.

38.269

.Μ°" ιστοp.q � Πόσες φορές δεν αναφερθήκαμε στην αρχαία Ελλάδα ως λίκνο της Επιστήμης, της Φιλόσοφίας, του Θεάτρου και της Δημοκρατίας. Όμως πόσοι γνωρίζουν άραγε ότι μαζί με τη Δημοκρατία ανακάλυψε και το χιούμορ; Διότι η Ελλάς, η Αθήνα πιο συγκεκριμένα, εφηύρε εδώ και εικοσιπέντε αιώνες και το χιού μορ, συγχρόνως με την κωμωδία και τη σάτιρα. Μπορεί η λέξη να αντηχεί αγγλοσαξονική, αλλά η έννοια της λέξεως γεννήθηκε στη μικρή, φωτισμένη, χαρούμενη Αθήνα. Και αν ο κόσμος όλος, η ανθρωπότητα, οι σοφοί, οι ιστορικοί ούτε σκέφτηκαν ποτέ ν' αμφισβητήσουν ότι η Δημοκρατία έκανε τα πρώτα της βήματα πραγματικά στη δική μας γωνιά, αυτό οφείλεται και στη σύγχρονη γέννηση του χιούμορ. Γιατί εδώ, για πρώτη φορά ο μικρός άνθρωπος, ο κοινός πολίτης, γέλασε ελεύθερα, δημόσια, με τα παθήματα των μεγάλων. Για πρώτη φορά, στην ιστορία των λαών, συγγραφείς και ποιητές τόλμησαν όχι μόνο να κατακρίνουν, αλλά να κοροϊδέψουν τους μεγάλους, τους ισχυρούς, τους πλούσιους, τους στρατηγούς, τους κύβερνήτες, ακόμη και τους θεούς!

ΑaοσJnίσιιιmι Ωό το pιρ1ίο dιoUpop+M�

«Το βιβλίο του Γιάννη Σταμέλου <<Χιούμορ + Μαθηματικά» αποτελεί μια πρωτότυπη προσπάθεια να γε φυρωθεί το χάσμα ανάμεσα στα εξ ορισμού «σοβαρά» μαθηματικά και στο χιούμορ»,'γράφει ο καθηγητής του Πανεπιστημίου Κρήτης Μιχαήλ Λάμπρου στο Προλογικό σημείωμα του βιβλίου. «Δ εν βλέπει κανείς μαθημαΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/41

------

«Χιούμορ+ Μ αθηματικά»

τικούς τύπους, αξιώματα, θεωρ ήματα, λήμματα και πορ ίσματα, εντούτο ις βλέπει μ ια εμβρ ι θή συλλογή από μ ικρές διασκεδαστικές ιστορ ίες, σαν σοφά ρητά, με ένα δίδαγμα η κάθε μ ία. Πρόκειται για ένα απολαυστικό βιβλίο, γραμμένο με χάρη. Ένα βιβλίο που το χιούμορ είναι η Κο ινή συνιστώ σα των διδαγμ άτων του» σημειώνει.

Ο συγγραφέας είνάι μαθηματικός και εργάζεται στη δημόσια δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Το βιβλίο του αυτό είναι το πέμπτο του (σήμερα έχει εκδώσει έντεκα). Είναι χωρισμένο σε δυο μέρη. Στο πρώτο επιχειρεί να απαντήσει σε ερωτήματα γενικότερα για το χιούμορ και το γέλιο, όπως: Είναι καλό να γελά με; Με τι γελάμε; Πώς συνδέεται το γέλιο και το χιούμορ με τον πολιτισμό; Υπάρχει σχέση με τις κοινω νικές αξίες και τη δημοκρατία; Υπάρχουν εξαιρέσεις που πρέπει να σεβόμαστε όταν κάνουμε χιούμορ; Κατά πόσο νομψοποιούνται οι άνθρωποι των γραμμάτων να χρησιμοποιούν τις διά{ρορες εκφάνσεις του λόγου για να κάνουν χιούμορ; κ.α. Στο δεύτερο, το ειδικότερο, διερευνά το πως συνδέεται το «μα θηματικό χιο ύμορ >> με την επιστήμη, την ιστορία, την Ελληνική Μυθολογία, την πολιτική, το θέατρο, την ποίηση, τη μαντινάδα, τη λαϊκή θυμο σοφία, τον ελληνικό κινηματογράφο, τον Τύπο, τη γελοιογραφία κ.α. Χιούμορ, ατάκες, ιστορίες και πολλές γελοιογραφίες είναι μερικά από τα περιεχόμενα του βιβλίου που διαβάζεται ευχάριστα και δεν απαιτεί εξειδικευμένες γνώσεις. Το βιβλίο, όπως αναφέρεται στον τίτλο, μπορεί να συνδέει το χιούμορ με τα μαθηματικά, αλλά όπως και με τις προηγούμενες αναφορές, ο ανα γνώστης θα βρει πολλά παραδείγματα για τις διάφορες εκφάνσεις του. Μπορεί κατά συνέπεια να έχε1 και άλλα επίπεδα ανάγνωσης. Τα κείμενα πλαισιώνονται από πολλές σχετικές γελοιογραφίες.

E� � -- aίflP'O τou �

Ο Δημόκριτος είχε το παρατσούκλι «Γελασίνορ>, γιατί γελούσε, λέει, ασταμάτητα μέ τις ηλιθιότητες που έβλεπε συνεχώς γύρω του. Σε τέτοιο βαθμό μάλιστα γελούσε που οι δικοί του ανησύχησαν μήπως και είχαν πειραχθεί τα φρένα του. Ο γιατρός που τον εξέτασε τον βρήκε μια χαρά και ο μεγάλος φιλόσο φος μόλις άκουσε τη διάγνωση άρχισε να . . . γελά. Ο Δημόκριτος έζησε περίπου έναν αιώνα, επιβεβαιώ νοντας για μια ακόμα φορά αυτό που και οι πρόσφατες έρευνες αναδεικνύουν: Το γέλιο συμβάλει στη μακροζωία. Ο Χέμινγουεϊ, μάλιστα, το πάει ακόμα πιο πέρα και λογοτεχνική αδεία λέει ότι οι τάφοι των αν θρώπων που έλεγαν πολλά καλαμπούρια στη ζωή τους είναι σκεπασμένοι με καλύτερης ποιότητας χώμα. Είναι γνωστό ότι όλοι οι κλασσικοί φιλόσοφοι εκτ()ς από τον Έρασμο ήταν και μαθηματικοί. Ο Άγ γλος συγγραφέας και δραματουργός Ντάγκλας Άνταμς είναι κυρίως γνωστός από το έργο του «Γυρίστε τον Γαλαξία με ώτο στοπ» κάνοντας χιούμορ παρατηρεί σχετικά: Η φιλοσοφία είναι ένα παιχνίδι που έχει σκοπούς και δεν έχει κανόνες. Τα μαθηματικά έχουν κανόνες, αλλά δεν έχουν σκοπό. Στο βιβλίο «Χιούμορ+Μαθηματικά» θα βρείτε και μια αναφορά στον Ισαάκ Ασίμωφ σχετικά με την αριθμολογία. Ο ίδιος έχει διατυπώσει και μερικές εύστοχες χιουμοριστικές ατάκες που σχετίζονται με τα μαθηματικά και την επιστήμη, όπως: Αν η γνώση δημιουργεί προβλήματα η άγνοια σίγουρα δε μπορεί να τα λύσει. Ο ίδιος, επίσης, διηγείται και την εξής ιστορίά: Κάποτε συνάντησα έναν πρόεδρο πανεπιστημίου. «Γιατί εσείς οι φυσικοί ζητάτε πάντα ακριβά μηχανήματα;» με ρώτησε. «Το μαθηματικό τμήμα δε ζητά παρά μολύβια, χαρτιά και γομολάστιχες. Το φιλοσοφικό τμήμα, μάλιστα, είναι το καλύτερο: Δε ζητά ούτε γομολάστιχες». Στα Μαθηματικά με τα ελληνικά γράμματα πι και φι, όπως θα σας είναι ενδεχομένως γνωστό, συμ βολίζονται διεθνώς δυο πολύ σπουδαίοι λόγοι: Ο λόγος του μήκους της περιφέρειας προς την διάμετρο για κάθε κύκλο και με το φι ο λόγος που προκύπτει από τη διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, από τη γνωστή μας Χρυσή Τομή την οποία κατά κόρο χρησιμοποιούσε ο Φειδίας. Τη γνωστή και ως αναλογία ωραιότητας. Το φι τιμητικά έχει δοθεί στο «χρυσό λόγο» από το πρώτο γράμμα του ονόματος του Φειδία. Όμως, ενώ θα περίμενε κάνείς το αν�ίθετο, η έκφραση στο «Πι και φι» δεν έχει κα μία σχέση με τα μάθηματικά. Σήμερα τη χρησιμοποιούμε ως συνώνυμη του «αμέσως», γρήγορα, αστρα πιαία. Η προέλευσή της, όμως, είναι μεσαιωνική και οφείλεται στις λέξεις «παλούκι» και «φούρκα». Θα την άποδίδαμε σήμερα ως «γρήγορα στο παλούκι ή την κρεμάλα». Η με συνοπτικές διαδικασίες θανά τωση. Στο βιβλίο «Χιούμορ+Μαθηματικά» γίνεται μια μικρή αναφορά στο γνωστό περιστατικό που αποδί δεται στον Ευκλείδη, όταν κάποιος από το ακροα-ίήριό του, στο Μουσείο, στην Αλεξάνδρεια, όπου δίδα σκε γεωμετρία, τον ρώτησε τι θα κέρδιζε από τη γνώση του θεωρήματος που μόλις είχε παρουσιαστεί. Ο Ευκλείδης, τότε, απευθυνόμενος σε έναν Παριστάμενο δούλο του, είπε: «Δ ώσε του τρε ις οβολο ύς, αφο ύ ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/42

------ «Χιούμορ+ Μ αθηματικά» θέλει οπω σδήποτε να κερ δίσει κάτι>>. Και είναι αλήθεια ότι υπήρξαν εποχές κατά τις οποίες οι επιστήμο νες και οι σοφοί απεχθάνονταν το χρήμα. Και μιας και αναφερθήκαμε στην επιστήμη ας δούμε τι λένε οι έρευνες, σχετικά. Λοιπόν, το 88% των ανθρώπων, λένε οι έρευνες, δεν ξέρουν μαθηματικά. Και ο ατσίδας της παρέας: Ευτυχώς, εγώ ανήκω 'στο άλλο 1 5% . Οι Άπλοι, μεγάλοι μάστορες στο Θέμα χιούμορ, διαχεφίζονται αυτές τις υποθέσεις με μεγάλες ποσότη τες φλέγματος. Πραγματικά, όταν κάποτε ο Γλάδστων, υπουργός Οικονομικών του Ηνωμένου Βασtλείου; α ναφερόμενος στις έρευνες του φυσικού Φαραντέυ για την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία του είπε: <<Καλές είναι, αλλά σε τι χρησιμεύουν;» Εκείνος, δίχως διόλου να διστάσει, με δηκτικό τρόπο του απάντησε: «Μην ανησυχείτε κύρ ιε, μ ια μέρα θα τις φορολογήσετε».

Και μιας κι αναφερθήκαμε σε άγγλους, ας σταθούμε λίγο και σε ένα άλλο σχετικό από τη δική μας σχολική πραγματικότητα, που εμπλέκει έναν άλλο άγγλο, τον Νεύτωνα. Ο νόμος της βαρύτητας συχνά συνδέεται στην εκπαίδευση με το μήλο που κατά την παράδοση «έφ αγε» στο κεφάλι ο Νεύτωνας. Είναι γνωστό ακόμα ότι η βαρύτητα σ' ένα τόπο εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου. Στο ερώτη μα, λοιπόν, του καθηγητή crτην τάξη, αν η βαρύτητα είναι πάντα η ίδια, ένας μαθητής ζητά το λόγο και με μεγάλη αυτοπεποίθηση απαντά: «Α σφ αλώς κα ι δεν είνα ι η ίδ ια . Το Σεπτέμβρ ιο είνα ι μεγαλύτερη, γι ατί τότε πέφτουν τα περ ισσό τερα μ ήλα» .

Μα μπορεί κανείς να κάνει χιούμορ με το πιο «στέρεο» πράγμα που έχει δημιουργήσει ο άνθρωπος; Παραδείγματος χάριν στο ερώτημα 1 + 1 πόσο κάνει; Η απάντηση μπορεί να είναι απρόβλεπτη. Έτσι ένας που έχει αφομοιώσει τον λεγόμενο δυτικό τρόπο σκέψης, θα δώσεις έμφαση στη μαθηματική πράξη . Όχι όμως και ένας άραβας έμπορος. Αυτός θα επικεντρωθεί στο « πόσο κάνε ι)>. Έτσι η απάντηση πο υ θα ει (JΠρ άξει ς ε ίνα ι: « πουλά ς ή αγορ άζεις; »

Και μη νομίζετε ότι δεν γίνεται χιούμορ αλλιώς με τα μαθηματικά. Ενδεικτικά: <<Ρε συ πως τα ο ικονόμησες; Εσύ ήσουν κα κός μα θητής στο σχολε ίο » . <<Να σου πω . Είδα στον ύπνο μου δύο αρ ιθμο ύ ς το 3 κα ι το 7 κα ι έπι α σα το μήνυμα. Λέω τι θέλει να πει το μ ήνυμ α ; Τι να κά νω με αυτού ς το υς δυο . Σκέφ τομα ι 3 χ 7 =2 8 κα ι πα ίζω στο κα ζίνο το 2 8 και σηκώ νω τη ν μ πά νκα » !

Το σκίτσο είναι τη ς Άννας Παπαδ άκη ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/43

Μαθα ίνω από τα Λάθη μου ======

ΛΑθΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Επιμέλεια Νίκος Τζίφ ας

Σε έρευνα του Blanco (200 1 ) σχετικά με τη διδασκαλία κ:αι τη μάθηση της γεωμετρίας δόθηκε στους μαθητές η παρακάτω δραστηριότητα Β

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ •

Όρισε το ύψος ενός τριγώνου ΟΌρισε το ορθόκεντρο ενός τριγώνου • Ο Σχεδίασε το ορθόκεντρο στο παρακάτω τρίγωνο Η ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών στην παραπάνω δραστηριότητα παρουσιά ζει μια ενδιαφέρουσα αλληλοσυγκρουόμε νη κατάσταση . Οι περισσότεροι μαθητές γράφουν σωστά τον ορισμό του ύψους ε νός τριγώνου και του ορθόκεντρου. Σχεδιάζουν τα ύψη όμως λάθος και Β συνεπώς και το ορθόκεντρο Για παράδειγμα στην παραπάνω δρα στηριότητα σχεδιάζουν το ορθόκεντρο μέσα στο τρίγωνο όπως δείχνει η πα ρακάτω εικόνα αντί του σωστού . Σε έρευνα των Cutugno & Spagnolo (2002) το δείγμα των μαθητών πα ρουσίασε τρείς βασικές παρανοήσεις όσον αφορά το ύψος 1 . Το ύψος είναι μια κάθετη γραμμή. Αυτή η άποψη δεν επιτρέπει στους μαθητές να σχεδιάσουν το ύψος αν το τρίγωνο δεν έχει οριζόντια βάση. (Το 9 1 % των μαθητών σχεδίασαν τρί γωνα με οριζόντια βάση) 2. Το ύψος πρέπει να σχεδιάζεται μέ σα στο τρίγωνο. 3. Το ύψος πρέπει _ να χωρίζει την πλευρά σε δύο ίσα μέρη . Τα παραπάνω ίσως να απορρέουν από το καθημερινό νόημα που έχει το ύ ψος (Cutugno & Spagnolo,2002). Πα ρατηρείται συχνά το γεγονός οι μαθη τές να γράφουν σωστά τον ορισμό, αλλά η γραφική παράσταση να μη συμφωνεί με τον ορισμό. Η κατάστα ση αυτή μας επιτρέπει να μιλήσουμε για διαφορά ανάμεσα· στον ορισμό και την αν απαράστα ση μιας έννοιας και συνεπώς ψάχνουμε για βαθύτερες νο ητικές εικόνες οι οποίες σχετίζονται με · την έννοια του ύψους του τριγώ νου. •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/44

Φτιάξτε εύκοΑα Πuβαyόρειες τριάδες. ====

Του Παναγιώτη Π . Χριστόπουλου

Είναι γνωστο οτι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, που οι κάθετες πλευρές του έχουν μήκος β, γ καιΔ η υποτείνουσα μήκος α, ισχύει το ηλαδή αν φτιάξουμε τετράγωνα με πλευρές τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ισχύει lα2=β2+γ�. Μια τριάδα θετικών ακέραιων αριθμών πο� ικανοποιεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα ονομάζεται Με το πρόβλημα της εύρεσης Πυθαγόρειων τριάδων ασχολήθηκαν ο Πυθαγόρας τον 6° π.Χ. αιώνα, ο Πλάτωνας τον 5°-4° π.Χ. αιώνα, ο Ευκλείδης τον 3°-4° π.Χ. αιώνα. Από πλήθος ιστορικών στοιχείων προκύπτει ότι τις πυθαγόρειες τριάδες γνώριζαν Β Β αλγεβρικά οι αβυλώνιοι αλλάΒ και άλλοι λαοί. Αιγυπτιακός πάπυρος του ερολίνου 6619 από την περίοδο του Μέσου ασιλείου της Αιγύπτου συμπεριλαμβάνει ένα πρόβλημα του οποίου η λύση είναι η πυθαγόρεια τριάδα 6, 8 , 1 στο οποίο όμως δεν γίνεται αναφορά σε ορθογώνιο τρίγωνο. πίνακας γραμμένος στη Μεσοποταμία μεταξύ του 1790 και του 1750 π.Χ. κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Χαμουραμπί, περιέχει επίσης πολλές αναφορές σχετικές με πυθαγόρειες τριάδες. Διόφαντος τον 3° μ.Χ. αιώνα στηριζόμενος στο 10° Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη , έδωσε την εξής μέθοδο προσδιορισμού Πυθαγόρειων Τριάδων: επιλέγουμε δύο φυσικούς αριθμούς π.χ 3 και 5 . Βρίσκουμε τα τετράγωνά τους 9, 25 και το γινόμενό τους 3χ5=15. Βρίσκουμε το άθροισμα των τετραγώνων, τη διαφορά των τετραγώνων και το διπλάσιο του γινομένου τους δηλαδή τa 34, 16 και 30. Αυτοί οι τρεις αριθμοί είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. Πράγματι επαληθεύουν το Ι(ϊ2=β2+γ� γιατί 342=1156,.162=256 και 302=900 Δηλαδή 11 56= 256+900. Αςθετικοί δούμεαριθμοί λίγο τότε τη μέθοδο γενικά: Αν α β δύο άνισοι , οι τρεις αριθμοί τριάδα. είναι Πυθαγόρεια απόδειξη σαν άσκηση για τουςσχήματος. μαθητές της Γυμνασίουαφήνεται με βοήθεια του διπλανού Πυθαγόρειο Θεώρημα.

•

Πυθαγόρεια

- τριάδα.

Ο,

Plίmpton

322,

Μέθοδος Διόφαντου Ο

α) β) γ)

2 2 2 2 (α + β , α - β , 2αβ)

τη

Α ρχέγον ες πυ θαγόρ ειές τ ρ ιά δ ες

Μία αρχέγονη πυθαγόρεια τριάδα είναι αυτή για την οποία οι α, β; γ είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α, β, γ είναι 1 ). (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61 ), ( 12, 35, 37), ( 13 , 85), (16,63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65). (8,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 102 τ.2/45

84,

Φτιάξτε εύκολα Πυθαγό ρειες τριάδ ες.

---___,....---

Άλλο ι τ ρό π ο ι για να φ τιά ξετε Πυ θαγόρειες τ ρι άδ ες.

Στηριζόμενοι φυσικά στα πιο πάνω σας προτείνουμε μία σειρά από πρακτικούς τρόπους για να σχηματίζετε εύκολα Πυθαγόρειες τριάδες. Πάρτε ένα οιονδήποτε φυσικό αριθμό μεγαλύτερο του 2 και υψώστε τον στο τετράγωνο(δηλαδή πολλαπλασιάστε τον με τον εαυτό του). Τον αριθμό που βρήκατε χωρίστε τον σε δύο άλλους αριθμούς που να διαφέρουν κατά μία μονάδα: Τώρα έχετε μια Πυθαγόρεια � 2 τριάδα. αν πάρετε τον αριθμό 3 θα έχετε 3 9 τον χωρίζουμε σε 4 και 5, και έχουμε τώρα που είναι μια Πυθαγόρεια τριάδα. Πάρτε ένα οιονδήποτε φυσικό αριθμό μεγαλύτερο του 2 και υψώστε τον στο τετράγωνο. Πάρτε τώρα το μισό του αριθμού που βρήκατε και χωρίστε τον σε δύο άλλους αριθμούς που yα διαφέρουν κατά δύο μονάδες. Τώρα έχετε μι� Πυθαγόρεια τριάδα. αν πάρετε τον αριθμό 4 θα έχετε 42=16, το μισό του. 1 6 είναι 8 τον χωρίζουμε σε 3 και 5, και έχουμε τώρα που είναι μια Πυθαγόρεια τριάδα. 522=25=13+ 12, η (5,12,13) είναι Πυθαγόρεια τριάδα 62=36, 36: 2=18=8+ 10 η (6,8,10) είναι Πυθαγόρεια τριάδα 72= 49=24+25 (7,24,25) είναι Πυθαγόρεια τριάδα 82=64, 64:2=32 =15+ 17 η (8,15,17) είναι Πυθαγόρεια τριάδα. + 9 =81=40 41 η 4 0, 4 1) είναι Πυθαγόρεια τριάδα (9, 1022=100, 100:2=50=24+26 η (10,24,26) είναι Πυθαγόρεια τριάδα 11 = 121 =60+61 η (11,60,6 1) είναι Πυθαγόρ,εια τριάδα ομοιότητα των τριγώνων μας δίνει τηΠυθαγόρεια δυνατότητα με(β, βάση μίανα τριάδα γ, α) κπατυθασαγορειες �ευάσουτρια� δες.άπειρες άλλες �

Μ ε μονούς αρ ιθμούς.

. μονό

παράδειγμα: (3,4,5)

Μ ε ζυγ ούς αριθμούς

ζυγό

παράδειγμα:

(4,3,5)

Π αραδ είγματ α

Με τη βοή θεια της ομ ο ι ότη τ ας των ορθογωνίων τ ρ ιγώνων. Η

�

Ασκήσ εις 1 ) Να κατασκευάσετε αρκετές Πυθαγόρειες τριάδες με βάση τους 3 πρακτικούς τρόπους που προτείνονται παραπάνω.

2) α) Σε κάθε Πυθαγόρεια τριάδα που υπάρχει στο κείμενο αλλά και σε αυτές που εσείς έχετε κατασκευάσει να υπολογίσετε το γινόμενο των δύο καθέτων πλευρών. Τι σχέση έχει το γινόμενο αυτό με τον αριθμό 1 2; β) Επιπλέον να υπολογίσετε το γινόμενο και των τριών πλευρών σε κάθε Πυθαγόρεια τριάδα. Τι σχέση έχει με τον αριθμό 60; Να διατυπώσετε κανόνες με βάση τις παρατηρήσεις σας. 3) Δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχονν την γωνία Α=Δ=90°. Ο λόγο:;

� :� =

Αν η ΔΕ=3 καιΒΓ=45.

Ποια είναι τα μήκη των πλευρών των τριγώνων και ποως ο λόγο:; των γινομένων των πλευρών τους. 4) Ακόμα μπορούμε να έχουμε πυθαγόρειες 3αδες αν πάρουμε τα μήκη β, γ των κάθετων πλευρών ορθογωνίου τρiγώνου και τα τμήματα της υποτείνουσας α1 και α2 που ορίζονται από το ύψος του τριγώνου

2 ( �γ )2

· προς την υποτείνουσα. Είναι β

;

+α ,

y2 ( �γ )2 =

;

+α .

πρότασης.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 1 02 τ.2/46

Εξετάστε την αλήθεια αυτής τη ς

Πίτσα Καπετανάκη

πό την Ένωση Ελλήνων Μαθηματικών λάβαμε ένα κείμενο το οποίο δείχνει τις πολιτιστικές ανησυχίες των ανθρώπων που ασχολούνται με τα Μαθηματικά. Το δημοσιεύουμε καθώς πιστεύουμε ότι από το κείμενο προκύπτει ότι δεν έχει καμία βάση η άποψη πως τάχα οι Μαθηματικοί είναι άνθρωποι μονοδιάστατοι και δεν ενδιαφέρονται για θέματα πολιτισμού. που Μαθηματικών Η ένωση Ελλήνων συνεργάζεται με την ΕΜΕ αποφάσισε μετά από τις εκλογές της, τον Απρίλιο του 20 1 6 να πρ αγματοποιήσει μορφωτική και ψυχαγωγική εκδρομή στη Μόσχα και την Αγία Πετρούπολη . Συμμετείχαν 40 Μαθηματικοί και φίλοι τους, πσυ με μαθητική διάθεση και ευχάριστες σκέψεις, τίμησαν το φετινό έτος της Ελληνορωσικής φιλίας. Στη Μόσχα επισκεφθήκαμε το Πανεπιστήμιο, το θέατρο Μπολσόι και το αριστουργηματικό Μετ ρ ό της, που εξυπηρετεί καθημερινά περισσότερους από 8 εκατομμύρια επιβάτες. Πάνω από · μερικούς σταθμούς του, που είναι εντυπωσιακά διακοσμημένοι, βρίσκεται ο ποταμός Μόσχο β α .

Η Περίφημη Κό κκινη Πλατεία, που είναι η τέταρτη σε μέγεθος πλατεία στον κόσμο, περιστοιχίζεται από τον υπέροχο ναό του Αγίου Β ασιλείου_. το Κρ εμλίνο ( έδρα �- � ,,.... - -· των Τσάρων και σήμερα του προέδρου της Ρωσίας) κα� το Μαυσωλείο του Λένιν (που προσπάθησε να καθιερώσει παγκοσμίως το Κομμουνιστικό πολιτικό σύστημα). Στην πλατεία αυτή γίνονται όλες οι μεγαλοπρεπείς παρελάσεις τμημάτων του ρώστκου στρατού, μαζί με κινούμενο πολεμικό εξολπισμό. Επισκεφθήκαμε επίσης το υπέροχο και ιστορικό Μποροντίνο, που είναι αφιερωμένο στον «Πατριωτικό πόλεμο» που έγινε με αρχηγούς τον επιτιθέμενο Ναπολέοντα της Γαλλίας και τον ογδοντάχρονο στρατηγό Κουτούζοβ της Ρωσίας. Από εκεί άρχισε η υποχώρηση του Ναπολέοντα που συναντούσε καμμένα χωριά και πόλεις και αντάρτες που τον σφυροκοπούσαν. Τελικά έφ θ ασε στη Γαλλία με 1 3 ,000 στρατιώτες απ,9 τις 600.000 με τις οποίες ξεκίνησε τον πόλεμο. Είναι γνωστό πως στη «Ρωσία» ηττήθηκε και ο αήττητος ως τότε στρατός του Χίτλερ. Στη συνέχεια επισκεφθήκαμε το μουσείο των Κοσ μοναυτών. Εκτός από τους δορυφόρους και τα διαστημόπλοια, το Μουσείο στεγάζει το δορυφόρο και τη στολή του θρυλικού Γιούρι Γκαγκάριν, του πρώτου ανθρώπου που ταξίδεψε για πρώτη φορά στο διάστημα ! . . Η Αγία Πετρούπολη που πριν από μερικά χρόνια ονομαζόταν Λένιγκραντ, είναι χτισμένη πάνω σε νησάκια του ποταμού Νέβα.Εκεί επισκεφθήκαμε ένα από τα μεγαλύτερα μουσεία του κόσμου, το Ερμιτάζ. Για να δει κάποιος όλες τις αίθουσές του, πρέΠει να βαδίσει περισσότερα από 20 χιλιόμετρα! ..Στη συνέχεια μας έγινε ξενάγηση στο Ναό του Αγίου Ισαάκ . Ο συνάδελφος κ.Παναγιώτης Χριστόπουλος, μας μίλησε για το εκκρεμές του Φουκώ που με τις ταλαντώσεις του από ύψος 1 04 m μέσα στο ναό, αποδείκνυε την περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της. Τέλος, επιmcεφθήκαμε το Πέτε ρχοφ που ήταν η θ iρινή κατοικία των Τσάρων . Είνάι ένα στολίδι της Ρωσικής αρχιτεκτονικής, γεμάτο από παλάτια, πάρκα, συντριβάνια και πολύχρωμους κήπους. Τα σχέδια ήταν από τον Τσάρο Μεγάλο Πέτρο και όπως έιπε ο κ. Μενδωνίδη ς είναι «χτισμένο πάνω στους σκελετούς των Ρώσων εργατών . . » . --� �':Ύ'� ....:l.. _....,_ w.�,....;· 1·_. ..,..,.-(•W!J1*·-!��

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ.2/47

---

0 σταυρ ός με το πυθαγό ρειο θεώρημα έφ θασε στην Αγία Πετρούπ ολη της Ρωσίας

0 Καποδίστριας

---

Η καθηγήτρια της Φιλοσοφικής Σχολής του Πάνεπιστημίου Αθηνών κ. Μαρία Μενεγάκη μπροστά στο άγαλμα του Καicοδίστρια, στην Πετρούπολη μας είπε: Ο Καποδίστριας ήταν το έκτο από τα 1 0 παιδιά του Αντωνίου και της Διαμαντίνας. Γεννήθηκε στην Κέρκυρα στις 1 Ο Φεβρουαρίου 1 776. Έκανε σπουδές Ιατρικής και νομικής στην Πάντοβα της Ιταλίας. Το 1 808 ο Τσάρος της Ρωσίας Αλέξανδρος Α', τον κάλεσε στην Πετρούπολη για να του αναθέσει διπλωματική υπηρεσία. Από το 1 809 ως · υπουργός εξωτερικών του Τσάρου, έκανε λαμπρή σταδιοδρομία, την οποία ο ίδιος τερμάτισε με το ξέσπασμα της επανάστασης του 1 82 1 . Δυστυχώς ο Τσάρος καταδίκασε τόσο το κίνημα του Υψηλάντου όσο και την Ελληνική επανάσταση στην Πελοπόννησο και ταυτίστηκε με την φιλοτουρκική πολιτική του Αυστριακού Καγγελάριου Μέτερνιχ. Στη Συνέλευση της Τροιζήνας το 1 827 ο Καποδίστριας εκλέχθηκε Κυβερνήτης της Ελλάδος και ξεκίνησε για την τραγική φάση της ζωής του.Φθάνοντας στην Ελλάδα εγκαταστάθηκε σε ένα φτωχικό οίκημα και αρνήθηκε να φορέσει τη στολή του Κυβερνήτη για να μην ξεχωρίζει από το ρακένδυτο Λαό. Αρνήθηκε να δεχθεί μισθό και οργάνωσε τακτικό στρατό. Ίδρυσε τη σχολή Ευελπίδων και φ ρόντισε ιδιαίτε ρα την εκπαίδευ ση των Ελληνοπαίδων, που αποτελούσαν.γι ' αυτόν «τ ο ροδόχρονο μέλλον της Ελλάδο ς. Η σύγκρουσή του όμως . με τα μέγάλα ελληνικά συμφέροντα καθώς και με τις ξένες δυνάμεις που τα προστάτευαν έφερε το πρόωρο και τραγικό τέλος του. Το πρωί της Κυριακής 27 Σεπτεμβρίου 1 83 1 δολοφονήθηκε από τους αδελφούς Μαυρομιχάλη στην είσοδο του ναού του Αγίου Σπρυρίδωνα στο Ναύπλιο. Ο λαός της Ελλάδος, θρήνησε τον άδικο χαμό του, γιατί στο πρόσωπό του είχει δει τον αληθινό Σωτήρα του . . . Τ ο Π υ θ α όρειο Θεώρ t ι 11

Ο καθηγητής της Ελληνικής Φιλοσοφίας στο Πανεπιστήμιο Λομονόσοφ και ξεναγός μας στη Μόσχα, Βασίλης Βονταρέγκο είχε μεσολαβήσει για να τοποθετηθεί στο γνωστό μουσείο Ε ρμιτάζ της Πετρούπολης ένας πίνακας με μία απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος από τον Γιώργο Μενδωνίδt) . Στον πίνακα αυτό αποτυπώνεται η ελληνορωσική ορθοδοξία σε αρμονία με τα μαθηματικά. Η μαθηματικός κ. Μαρία Μοσχο βίτου διατύπωσε στους εκδρομείς με πολύ διδακτικό τρόπο τη νέα αυτή αξιόλογη απόδειξη του Ο Σάσσα με τη μαθήτρια Βέρα Αγγελοπούλου Πυθαγόρειου Θεωρήματος. «Η απόδειξη» όπως φαίνεται στη φωτογραφία της πρώτης σελίδας είναι διατυπωμένη στα Ελληνικά, ενώ όλα τα υπόλοιπα είναι γραμμένα με ρωσική γραφή . . Ο Σάσσα δεν ζητιανεύει!

Στην κρουαζιέρα που κάναμε στον ποταμό Νέβα της Πετρούπολης, στο πρώτο γεφύρι που · συναντήσαμε, · βρισκόταν ο δωδεκάχρονος Σάσσα, που μας χαιρετούσε χαμογελαστός και με τα δυο χέρια υψωμένα και κινούμενα. Τον βλέπαμε που έτρεχε για να είναι στο δεύτερο γεφύρι, πριν από μας για να μας ξαναχαιρετήσει! Το ίδιο συνεχιζόταν και με τα άλλα γεφύρια μέχρι που φτάσαμε στο γεφύρι μηδέν, που μας περίμενε λαχανιασμένος για να μας συναντήσει και με χαμόγελο να μας χαιρετήσει από κοντά. Εμείς είχαμε βάλει σε ένα σακουλάκι τριάντα περίπου ευρώ, που του τα προσφέραμε με μεγάλη ευχαρίστηση, μαζί με μια καρτούλα που έγραφε στα ρώσικα « Καλή πρόοδο». :�;:κείνο το χαμόγελο της ευγνωμοσύνης του δεν θα φύγει ποτέ από το μυαλό μας. Γειά σου για πάντα Σάσσα, μας πρόσφερες μεγάλη χα ρ ά .

Όλοι οι εκδρομείς γύρισαν χαρούμενοι κι ευχαριστημένοι, με τις βαλίτσες τους γεμάτες από πλούσια φιλοξενία και ωραίες αναμνήσεις . . . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α : 102 τ.2/48

Τα Μαθη ματ ι κά μας δ ι ασκεδάζουν Απ ό τη ν Συντ α κτική επιτ ροπή

1) Ο κύριος Φωτιάς αφού λογάριασε τα έσοδα που είχε και τα έξοδα που έκανε τους 6 τελευταίους μήνες πέταξε το χαρτί των υπολογισμών του στο καλάθι των αχρήστων. Εκεί ένας απρόσεκτος καπνιστής έριξε το αποτσίγαρό του και το αποτέλεσμα είναι αυτό που φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Μήπως μπορείτε να αποκαταστήσετε τους λογαριασμούς του κ. Φωτιά;

2) Ένας διαρρήκτης εκτός των άλλων αφαίρεσε από ένα παλαιοπωλείο σπανίων νομισμάτων το νόμισμα με την πιο παλαιά αναγραφόμενη στο νόμισμα ημερομηνία κοπής 1 43 π.χ. Αν για κάθε έτος προ Χριστού η αξία του νομίσματος αυξανόταν κατά 30€ ποια είναι η πραγματική αξία του νομίσματος;

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 3) Στην δ ιπλ ανη' σειρα' των κλ ασματων - - - - - - ' - - - - - ποιος αριθ μος 3 ' 2 ' 5 ' 4 ' 7 ' s 9 ' 1 6 ' 1 1 ' 32 ' ' θα πρέπει να μπει στη θέση του ερωτηματικού ώστε το κλάσμα που θα δημιουργηθεί να ακολουθεί τον κανόνα με τον οποίο δημιουργούνται τα προηγούμενα κλάσματα; '

4) Σας προσκαλούν σε έναν διαγωνισμό εφευρετικότητας σχετικά με Μαθηματικές δραστηριότητες. Στο διαγωνισμό αυτό σας έχουν ειδοποιήσει ότι θα σας εκφωνήσουν ανακατεμένα όλους τους φυσικούς αριθμούς από το 1 μέχρι 1 00 και θα παραλείψουν σκόπιμα έναν. Για κάθε αριθμό θα αφήνουν ένα περιθώριο 1 0 δευτερολέπτων προτού σας πουν τον επόμενο. Στο τέλος θα σας ζητήσουν να βρείτε ποιον αριθμό έχουν παραλείψει αλλά θα σας επιτρέψουν να απευθύνετε μία μόνο ερώτηση στην επιτροπή (όχι βέβαια για τον αριθμό που παραλήφθηκε). Επινοήστε μία ερώτηση που θα μπορούσε να σας επιτρέψει να βρείτε τον ζητούμενο αριθμό. 5) Ένας φίλος σας έχει δύο ρολόγια Α και Β και σας προτείνει να σας δωρίσει το ένα από .αυτά. Τα ρολόγια αυτά έχουν τις εξής ιδιορρυθμίες. Το Α δείχνει τη σωστή ώρα μία φορά κάθε 2 ημέρες ενώ το Β δείχνει τη σωστή ώρα μία φορά κάθε 3 χρόνια. Ποιο από τα ρολόγια θα επιλέγατε;

Απαντ ή σεις τεύχους 1 0 1

ΜΔl . Αν χ, y οι δύο μονοψήφιοι αριθμοί τότε ισχύει: (5x+4)2+y-8= 1 0x+y ( π.χ. 45= 1 0χ4+5) ΜΔ2 . Έστω xyz ο τριψήφιος και zyx ο αντεστραμμένος του. Η διαφορά τους είναι: 1 Ι Οχ+ I Oy+z-( I OOz+ 1 0y+x)=99x-99z=99(x-z) πολλαπλάσιο του 99. ΜΔ3. Σε κάθε τρίγωνο μέσα στον κύκλο αναγράφεται το πενταπλάσιο του εμβαδού του. Στο πρώτο το εμβαδόν είναι 6 άρα 5 χ 6=30, στο δεύτερο το εμβαδόν είναι 1 2 άρα 5 χ 1 2=60, στο τρίτο το εμβαδόν είναι 1 5 άρα 5 χ 1 5=7 5 . ΜΔ4. 505, 505, 505, 505 ΜΔ5. Οι αριθμοί 1 , 2, 3 έχουν την ιδιότητα: 1 +2+3= 1 χ 2 χ 3 ΜΔ6. Το γινόμενο όλων των κλασμάτων δίνει

_!_ , άρα _!_ χ 20 1 6 = 1 008 .

2 2 ΜΔ7. Θα πάρεις Ο καθώς ένας από αυτούς είναι Ο. Η ερώτηση μοιάζει παραπλανητική αλλά υπονοεί και τους αριθμούς του πληκτρολόγιου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 102 τ .2/49