Ευκλειδης Β 14 by demi de

UίJrni?O@&Olλ\@ U'O& 'U'@ &"Wlλ\rno©

ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ

......................... 3 "Gauss εvαvrίον Cramer" ................................................................. 7 Rolle ..................................................................................................... /[]

Τρίγωνα με πέvrε zεύγπ κύριων στοιχείων ίσο. Θα είναι μεταξύ τους Ίσα; Γραμμικά Συστήματα Τα Θεώρημα του

54ος Πανελλήνιος Μαθηηκός Διαγωνισμός στα Μαθημαηκά .......................................... 14

20 26 Αριθμηηκές και Γεωμετρικές Πρόοδοι ............................................................................ 32 Ασκήσεις στο εμβαδόν του Τριγώνου ........... . . .......... ..... .... . ...... .. ................. . ................... 38 Συναρτήσεις - Συστήματα Γεωμετρία Α· Λυκείου

. . ... ..... ....

..... .... ... ........................................... ....................................

. . . ....................................... ...

.. ... . . .

Το σύμβολο dy/dx στο ρυθμό μεταβολής

. ................ ...

...... .

........................ ............................................... ·

Καθετότητα - Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων ............................................................. Ασκήσεις στην Ευθεία .................................................................................................... Ένα πρόβλημα πολλές λύσεις ........................................................................................ 55

Αλληλογραφία ................................................................................ , ................................57

Είναι ακρότατο ή φράγμα ......................, ......... .................... ......................................... 58 Μια μικρή αναφορά στη Γεωμετρική Οπτική

..................................................................

Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Υπεύθυνοι Σύνταξης:

Είναι δυνατόν

Παπαδόπουλος Νίκος, Τυρλής Γιάννπς.

να φτάνο\)ν τρία

Συντακτική Επιτροπή:

στοιχεία και να μπ

Βακαλόπουλος Κώσraς, Βλaχάκπς Γιάννης Γεωργακόπουλος Κώσrας, Γράψας Κώσraς, Δαμιανός Πέτρος, Δούναβης Αντώνης, Καμπούκος Γιώργος, Καρaκατσάνης Βασίλης, Κατσούλης Γιώργος, Κηπουρός Χρήσrος, Κοvτογιάννης Δημήτρης Κοτσιφάκης Γιώργος, Κυριακόπουλος Θανάσης, Μαλαφέκας Θανάσης, Μώκος Χρήσrος Σa"ϊτη Εύα, Σκούρας Θανάσης, Τουρλάς Λεωνιδας, Τσικαλουδάκης Γιώργος.

φτάνοt)ν πέντε στοιχεία yια να είναι δ\)ο τρίγωνα ίσα; Και όμως ναι λέει ο κ. Το\)μάσπς

ΕΙ

Gaυss - Crammer =

Ο!

Επιμέλεια Έκδοσης:

Μαραγκόκης Σ. Σχήματα:

Μαραγκόκης Σ.

Ο Αγώνας

Φιλολογική Επιμέλεια:

πνευματικός.

Γεωργούδη Μ.

Το κίνητρο σvμμετοχής π αyάππ yια τα Μαθηματικά Νικητές και

Συνεργάστηκαν: Τουμάσης Μπάμπης, Γκουvτουβάς Σωτήρης,

οι 15.000 μαθήτες και

Μάκρος Στράτος, Μπόλής Θεόδωρος, Βλά

μαθήτριες και σvμμετείχαν.

μος Παναγιώτης, Ντzιαχρήσrος Βαγγέλης, Ωραιόπουλος Γιώργος, Μπaραλής Γιώργος,

Μ πράβο παιδιά! Και το\)

Φωτιάδης Γpηγόρης, Καλογεράκης Γιάννης.

χρόνο\) περισσότεροι

ΙΔΙΟΚΤΗΤΗΣ: 34- Αθήνα 106 79 36 16 532-36 17 784- FAX: 36 41 025 ISSN 1105- 8005 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗ ΕτΑΙΡΕΙΑ

�

Πανεπισrημίου

Τηλ.

ΣΥΝΔΡΟΜΕΣ:

Τεύχος: Ετήσιο συνδρομή: Οργανισμοί: Εξωτερικού

Η Γεωμετρία δίνει τα φώτα της στην

350 δρχ. 1.600 δρχ. 3.000 δρχ. 40$

Οπτική

Ταχ. Επιταyές Τ. Γραφείο Αθήνα 54, Τ.Θ. 30044

Φωτοσrοιχειοθεσίa Σελιδοποίηση: "ΚΛΕΙΝΙΑΣ ΕΠΕ"

Εκτύπωση: iΝΥΕΡΠΡΕΣ Α.Ε., Ιερά οδός

Γο δίου

Υπεύθ. Τυπο

1, Τ.Κ. 17 121

Αθήνα- Τηλ.

93 34 390

α είου: Ν . Αδάκτυλο

81 -83 34 74 654

-τηλ.

τρίyωvα με πέντε zεvyn ,

κvριωv στοιχειωv ισα. θα είναι μετα�v τοvς ,

ισα; Μοάμοος Τοvμάσος

Όπως γvωρίzουμε, οι τρεις πλευρές και οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου αποτελούν τα κύρια στοιχεία του, ενώ οι διόμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη του εί ναι τα δευτερεύοντα στοιχεία του. Εόν δυο τρίγωνα έχουν και τα έξι zεύγη των κύριων στοιχείων τους ίσα, τότε θα &(ναι ίσα εξ' ορισμού. Τα κριτήρια επίσης ισό τητας τριγώνων μας εξασφαλίzουν την ισότητα δυο τριγώνων σε ορισμένες περιπτώσεις, που αυτό έχουν τρία zεύyn κύριων στοιχείων ίσα (ΠΠΠ, πm, mΓ). Σημείωση: Με Π συμβολίzουμε την πλευρό και με Γ τη γωνία. Το ερώτημα που θα εξετόσουμε εδώ είναι τι γίνε ται στην περίmωση που τα δύο τρίγωνα έχουν πέντε zεύγη κύριων στοιχείων ίσα. Θα είναι σ' αυτήν την περίπτωση τα τρίγωνα ίσα; Καλό θα ήταν σ' αυτό το σημείο, πριν προχωρήσετε παρακότω, να σταματήσε τε και να προσπαθήσετε να δώσετε μόνοι σας την απόντηση σ' αυτό το ενδιαφέρον ερώτημα. Η διδα κτική πείρα πόντως δείχνει ότι, όταν υποβληθεί το ερώτημα αυτό μέσα στην τόξη, οι πιο πολλοί μαθητές απάντούν, αυθόρμητα περισσότερο, καταφατικό, χω ρίς καμιό επιφύλαξη. Το κύριο επιχείρημα, που προ βόλλουν κατό κανόνα για αυτή τους την απόντηση, είναι το εξής: Τα τρίγωνα αυτό μπορεί να έχουy α) τις τρεις πλευρές ίσες και τις δύο γωνίες ίσες ή β) τις τρεις γωνίες ίσες και τις δύο πλευρές ίσες. Στην πρώ τη περίmωση όμως θα είναι ίσα, λόγω του κριτηρίου ΠΠΠ, ενώ στη δεύτερη, αφού έχουν τις δύο γωνίες ίσες θα έχουν και την τρίτη, οπότε βόσει του κριτηρί ου πm θα είναι πόλι ίσα. Είναι φανερό ότι οι μαθητές παραβλέπουν το γε γονός ότι μια βασική προϋπόθεση για να ισχύουν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων είναι ότι οι ίσες πλευρές

πρέπει να βρίσκονται απέναντι από τις αντίστοιχες ίσες γωνίες. Επομένως, στην πρώτη περίmωση ο συλλογισμός τους είναι ορθός, όχι όμως πόντα και στη δεύτερη, αφού είναι δυνατόν μεταξύ των δύο ίσων πλευρών οι περιεχόμενες γωνίες των δύο τριγώνων να μην είναι ίσες. Και για του λόγου το αληθές, αρκεί να βρεθεί ένα τέτοιο πειστικό παρόδειγμα δύο τριγώνων, τα οποία να έχουν τις δυο πλευρές και τις τρεις γωνίες του ενός ίσες με τις δυο πλευρές και τις τρεις γωνίες του 6λλου και όμως να μην είναι ίσα. Στην προσπόθεια όμως να βρούμε έvα τέτοιο πα ρόδειγμα θα ανακαλύψουμε, ίσως με έκπληξη, ότι κότι τέτοιο δεν είναι και τόσο εύκολο, άφού είναι πολ λό τα ίσα στοιχεία των δυο τριγώνων και δε γvωρί zουμε πως να ξεκινήσουμε και ποιό μεθοδολογία να εφαρμόσουμε έτσι, ώστε να μην ψ6χνουμε στην τύχη. Στο υπόλοιπο μέρος αυτpύ του όρθρου θα ασχο ληθούμε με αυτό ,ακριβώς το πρόβλημα, την εύρεση, δηλαδή, ενός τρόπου, μιας μεθοδολογίας για την κα τασκευή δύο τριγώνων, τα οποία, ενώ έχουν πtντε zεύyn κύριων στοιχείων ίσα, εντούτοις δεν είναι μετα ξύ τους ίσα. Μια ορώτn διαιοβnτιιuί οροοέyyι οn

Για να είναι το παρόδειγμό μας όσο γίνεται πιο πειστικό, θα προσπαθήσουμε αρχικό να βρούμε δυο τέτοια τρίγωνα, ώστε το ένα μ6λιστα να βρίσκεται στο εσωτερικό του 6λλου, οπότε να μη χωρόει αμφιβολία ότι δε θα είναι ίσα. Κατ' αρχήν θα αποδείξουμε ότι υπόρχουν δυο τέτοια τρίγωνα και μετό θα προσπαθή-

FΥΚΛFΙΛΗΣ R'

ιιη

2/�

Tρiyωva με οέvιε zεόyιι κ.5ριωv στοΙJΙεiωv

σουμε να το κατασκευάσουμε στην πιο γενική περί πτωσ� Ας ξεκινήσουμε με το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) του σχήματος la και aς υποθέσουμε ότι οι κάθετες πλευρές του έχουν μήκος 1, δηλαδή ΑΒ = ΑΓ = 1 (δεν έχει σημασία η μονάδα μέτρη σης). Φέρουμε το ύψος ΑΔ, οπότε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΔ ή ΑΔΓ μας δίνει ότι: ΑΔ = ΒΔ = ΔΓ = _l_<ΑΓ. Γ2

να δεν είναι ίσο aφού το ένα βρίσκεται στο εσωτερι κό του άλλου. Αυτό, βέβαιο, συμβαίνει, γιατί οι ίσες γωνίες δε βρίσκονται aπέναντι από τις aντίστοιχες ίσες πλευρές. Μια nιο αvστnριί nρooέyyι on

Στο παραπάνω παράδειγμα περιοριστήκαμε σε ορθογώνιο τρίγωνο, γιο να εξασφαλίσουμε μεγαλύ Β Β τερη aπλότητα. Τώρα θα προσπαθήσουμε να δεί ξουμε πιο aυστηρά και πιο γενικά, βέβαιο, πως είναι Β δυνατόν να κατασκευάσουμε δυο τρίγωνο που έχουν πέντε zεύγη κύριων στοιχείων ίσο, χωρίς όμως aυτά να είναι ίσο. Στην προσπάθειά μας aυτή θα κάνουμε χρήση της οναλυτικο - συνθετικής μεθοδολογίας. Θα υπο (γ (β) ) (α ) θέσουμε, δηλαδή, ότι υπάρχουν δυο τέτοιο τρίγωνο, Σχήμα 1 θα αναλύσουμε τις ιδιότητές τους και στη συνέχεια, στηριzόμενοι σ' aυτές τις ιδιότητες, θα συνθέσουμε Κοτοσκευάz� υμε, τώρα, ένα δεύτερο ορθογώνιο κατασκευάσουμε, στην περίπτωσή μας το δυο aυτά τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) με ΑΓ = 1 και ΑΒ = 4/3 τρίγωνο. (σχήμ. lβ). Φέρουμε πάλι το ύψος ΑΔ και οπό το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε ότι: Αvάλuσn: Ας υποθέσουμε ότι κατασκευάσαμε δυο τέτοιο τρίγωνο ΑΒ� � !!. ε πέ_yc� zεύy η κύριων ΒΓ2 = + 12 =ι + 1 = ,ΒΓ= . στοιχείων ίσα, δηλαδή Α =Δ, Β =Ε, Γ =Ζ, ΑΓ = ΔΕ=β, ΒΓ =ΔΖ=ο (σχήμ. 2). Από το όμοιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΔΒΑ παίρνουμε όπ Α ΑΒ = ΒΓ ΒΔ·ΒΓ=ΑΒ2 ' ΒΔ=Αf32' ΒΔ ΑΒ ' ΒΓ Δ ΒΔ=16ι:2.=16 > ΑΓ. 5/.3 15 Επομένως, εάν διατηρήσουμε την κάθετη πλευρά ΑΓ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ σταθερή (ΑΓ=1), θα ήταν λογικό να συμπεράνουμε ότι θα υπάρχει μια Ε τιμή της άλλης κάθετης πλευράς ΑΒ, κάπου μεταξύ του 1 και του4 I 3 = 1,333 . . , γιο την οποίο ΒΔ = Σχήμο 2 ΑΓ. Γιο ποράδει� α, ! άν κατασκευάσουμε ένα ορθο γώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°), με ΑΓ = 1, ΑΒ 1,3 Πρέπει να παρατηρήσουμε αμέσως ότι το τρίγωνο (σχημ. lγ) και φέρουμε το ύψος ΑΔ, θα διαπιστώ aυτά: σουμε με τη βοήθεια του διαβήτη ότι το ΒΔ είναι πε i. Δεν είναι δυνατόν να έχουν τις τρεις πλευρές ρίπου ίσο με το ΑΓ. του εvός ίσες με τις τρεις πλευρές του άλλου, γιατί τό Έτσι, μ' αυτό το διαισθητικό επιχείρημα της συνέ τε θα ήταν ίσο. Άρα γ δ. χειας, ον μπορούμε να το ονομάσουμε έτσι, έχουμε ίί. Είναι όμοιο, γιατί έχουν τρεις γωνίες ίσες. καταφέρει να δείξουμε ότι υπάρχουν το δυο aυτά τρί ίίί. Δεν είναι δυνατόν να είναι ισοσκελή, γιατί τότε γωνο, που zητάμε. Στην περίπτωση αυτή θα ισχύει θα ήταν πάλι ίσο. Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι ΒΔ =ΑΓ και το τρίγωνο ΑΒΓ και ΔΒΑ θα ικανοποι- ο < β < γ και δ < ο. ούν .!. ις απο� ού\!.ε νε� συ� θήκες, � δηλοδή θα έχουν Αφού λοιπόν το τρίγωνο θα είναι όμοιο, θα τις ΒΑΓ = ΒΔΑ, Β = Β, ΒΓΑ =ΒΑΔ (πλευρές κάθε έχουμε: τες) και ΑΒ =ΑΒ, ΑΓ = ΒΔ. Έχουν, δηλαδή, πέντε Υ=� (1) και Υ=� (2). zεύγη κύριων στοιχείων ίσο, τις δυο πλευρές και τις β ο ο δ τρεις γωνίες του ενός ίσες με τις δυο πλευρές και τις τρεις γωνίες του άλλου, αλλά παρ' όλο aυτά το τρίγωΗ ( 1) μας λέει ότι η πλευρά β είναι η μέση ονάλοΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/4

'� Α

(�Υ

;

�

Δ.

�

Δ.

;ι!

"""

Δ.

Tpίyωva με οέvτε zε"vo κίipιωv στοιχείων

yος μεταξύ των α και γ και η (2) μας λέει ότι η δ είναι η τέταρτη ανάλογος των γ, α και β και επομένως κα τασκευάzονται με κανόνα και διαβήτη. Σvνβεσn - κατασκεuό: Τα zητούμενα τρίγω να μπορούν να κατασκευασθούν, επομένως, με τα εξής βήματα: α) Αν δοθούν οι δυο πλευρές α και γ του πρώτου τριγώνου, η τρίτη πλευρά β κατασκευάzεται ως η μέ ση ανάλογος των α και γ. β) Η πλευρά δ του δεύτερου τριγώνου κατασκευά zεται ως η τέταρτη ανάλογος των γ, α και β. Θα πρέπει να προσέξουμε όμως, γιατί η εκλογή των α και γ δεν μπορεί να είναι αυθαίρετη. Για να κα τασκευάzεται τρίγωνο πρέπει να ικανοποιείται η τρι γωνική ανισότητα γ <α + β ή γ - α < β (3). Αφού β2 = ay, β = � τότε η (3) γίνεται γ-α <�. (y - a)2 <ay (y>a), y2 - 2ay + a2 <ay, y2 - 3ay + a2 <Ο (4 ). Αν θεωρήσουμε την τελευταία ως μια aνίσωση δευτέ ρου βαθμού ως προς γ, τότε οι ρίzες του τριωνύμου είναι ±� = 3a±a Γs 3a ---uικι θεύε1 Y\G , οπσrε η (4) -�2 2 (3 - Γs) a <ν <(3+/5) a (5) 2 ,

Οι συντελεστές του α στην (5) μας θυμίzουν κάτι από το χρυσό λόγο Φ = 1 + Γs 1,62, το λόγο της 2 χρυσής τομής, που δημιουργεί την αίσθηση του ωραίου και της αρμονίας και που εφαρμόzεται στις καλλιτε χνικές κατασκευές. Μεταξύ των πολλών ιδιοτήτων του λόγου αυτού είναι και οι εξής: 2 i) φ2 = ( 1 + Γs) = 1 + 2Γs + 5 = 6 + 2 f5 4 4 2 = 3 + Th-2'62 2 ..

= 1 1 + f5 = 1 - Γs 2 2 2 ίίί ) (1 - Φ)2 = ( 1 - Γs ) = 1 -2� + 5 = 2 3 - Γs -0,38. = 6-2Γs = -4 2

Για να συνοψίσουμε, μπορούμε να κατασκευά σουμε με κανόνα και διαβήτη τα δυο τρίγωνα, τα οποία έχουν πέντε zεύyη κύριων στοιχείων ίσα, χω ρίς όμως να είναι μεταξύ τους ίσα, ακολουθώντας τα εξής τέσσερα βήματα: α) Επιλέγουμε αυθαίρετα ένα τμήμα μήκους α ως την πλευρά α των δυο τριγώνων. β) Εκλέγουμε την πλευρά γ έτσι, ώστε (1 - Φ) 2α <γ <Φ2α ή προσεyyιστικά 0,38a <γ <2,62a. γ) Κατασκευάzουμε την πλευρά β ως τη μέση ανά λογο μεταξύ των α και γ (β2 = ay). δ) Κατασκευάzουμε την πλευρά δ ως την τετάρτη ανάλογο των γ, α και β =

(� �)·

Αξίzει να σημειώσουμε ότι, εάν εκλέξουμε ν = Φα 1,62a, τότε θα έχουμε y2 = Φ2a2 , β2 = ay = Φα2 και β2 + a2 = Φα2 + a2 = a2 (Φ + 1) = a2 Φ2 = y2 . Επομένως, το αρχικό τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα γ. Το γεγονός αυτό μπορεί τώρα να εξηγήσει τη διαισθητι κή κατασκευή του σχήματος 1y. Στην περίπτωση αυτή τα δυο τρίγωνα ήταν ορθογώνια και α = 1, β = 1 ' 3 οπότε γ = β2 I α = 1 69 Φα = Φ Εάν εκλέξουμε γ > Φα, τότε γ - Φα > Ο και γ - α + Φα > Ο. Πολλαπλασιάzοντας κατά μέλη, θα έχουμε (γ - Φα) (γ - α + Φα) > Ο ή y2- ay > α2φ 2 - α2Φ ή y2- β2 > a2 (Φ2 - Φ) ή y2 - β2 > a2 ή y2 > a2 + β2 , οπότε τα τρίγωνα θα εί ναι αμβλυγώνια με τις αμβλύες γωνίες απέναντι των πλευρών γ και δ. Ανάλογα, εάν γ < Φα, τα τρίγωνα θα είναι οξυγώνια. =

ii) 1- φ

1 + φ = 1 + 1 + f5 = 3 + f5 = φ 2 2 2 Με βάση τα παραπάνω, ο περιορισμός (5) μπορεί να γραφεί ως εξής: (1 - Φ) 2α <γ <Φ2α· και μας δί νει τη συνθήκη, για να είναι δυνατή η κατασκευή των δυο αυτών τριγώνων. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/5 iv)

Πρακτικές - nροσεννιστικές κατασκεuές

παραπάνω κατασκευή γίνεται με κανόνα και διαβήτη και βασfzεται στην κατασκευή της μέσης ανα λόγου και της τετάρτης αναλόγου. Με τη βοήθεια όμως ενός υπολογιστή τσέπης, εvός υποδεκαμέτρου και ενός διαβήτη, μπορούμε να επιτύχουμε πολύ γρήγορα προσεγγιστικές κατασκευές, οι οποίες θα μας επιτρέψουν να αισθητοποιήσουμε την ύπαρξη αυτών των δυο "παράξενων" τριγώνων σ' όλες τις περιπτώσεις, που αναφέραμε . Παρακάτω δίνουμε ένα· παράδειγμα με α = 3 cm για κάθε περίmωση, οπότε για την πλευρά γ θα έχουμε ότι 0,38 . 3 < γ < 2,62 . 3 ή 1,14 < γ < 7,8 6. Αρχικά υπολογfzουμε το μήκος των πλευρών με προσέγγΙ ση εκατοστού, στη συνέχεια χαράσουμε τα ευθύγραμμα τμήματα, μετρώντας τα με το υποδεκάμετρο και, τέ λος, με το διαβήτη κατασκευάzουμε τα τρίγωνα. Η

... 1 ...

2 α = 3αn, γ = 4αn, β = ((;/ = W = 3,46αn, δ = αβ = 3' 3•46 = 2,59αn. γ 4 Στην περίπτωση άυτή τα τρίγωνα είναι οξυγώνια (σχημ. 4). Οαράδειypα

α'3cm

13:3,46 cm v=4cm

Οαράkιyιια 3

Σχήμα 4

δ: 2,59 cm

α = 3 cm, γ Φα """ 1 ,62 3 4,86 αn, α = 3αn, ν = 6αn, β = ((;/ = fi8 = 4,24αn, β ((;/ = ν3 . 4,86 = 3,81αn, δ αβ 3 4,24 2,12 cm. αβ 3 3,81 6 γ 2,35αn. δ= = 4 αυτή τα τρίγωνα είναι αμβλυγώ περίmωση Στην γ ,86 Στην περίmωση αυτή τα τρίγωνα είναι ορθογώνια νια (σχημ .5). (σχημ. 3) . =

α:3cm Α

B:3.81cm

y:4,86cm

δ=2.35cn-ι

Β α

-= -::::--..., a:3cm B:4,24cm y:6cm δ:2.12 cm

Σχήμα 5

Σχnμα 3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κn. τ. 2/6

rραμμικά Σvm:ιίpαΊα

Gauss εναντίον Cramer Σωτόρnς Ι'κοvvτοvβάς

Τα γραμμικά συστήματα παρουσιάzοvται σε Για να υπολογιστεί μια ορίzουσα τάξης 100, οι όλους σχεδόν τους κλάδους των Θετικών και τεχνο πολλαπλασιασμοί που απαιτούνται είναι 100! (1. 2. 3 λογικών επιστημών. Εκτός βέβαια των Μαθηματικών ... 99. 100). Ένας πολύ μεγάλος αριθμός. παρουσιάzοvται στη Μηχανική, Μηχανολογία, Στατι Όλες οι ορίzουσες, που πρέπει να αναmυχθούν, στική, Επιχειρησιακές Έρευνες, Μετεωρολογία, είναι 101 και η κάθε μια τάξης 100. Ο συνολικός Αστρονομία, Αεροναυπηγική, Κοινωνιολογία κ.λπ. αριθμός των πολλαπλασιασμών είναι εξωφρενικός, Με λίγα λόγια πολλοί επιστήμονες καλούνται για τις περίπου 10 1 60. Σε αυτόν τον αριθμό πρέπει να ανάγκες των επιστημών τους να λύσουν γραμμικά συνυπολογίσουμε και τις προσθέσεις για την ανά συστήματα. mυξη των οριzουσών. Μια και είναι ευρύ το φάσμα εφαρμογών των Έτσι ακόμα και με έναν τελευταίου τύπου Η/Υ, συστημάτων, πολλοί σπουδαίοι Μαθηματικοί ασχολή που κάνει ένα δισεκατομμύριο (109) πράξεις το θηκαν με αυτά. Ενδεικτικά αναφέρω τους Leibηitz, δευτερόλεπτο, θα χρειαzόvταν - κρατηθείτε - περί Cramer , Gauss , Jordaη, Jacobi, Sylνester και πολλούς που 10 141 αιώνες, χρόνος κατά πολύ μεγαλύτερος άλλους, που ακόμα και στις μέρες μας τα μελετούν. και από την ηλικία του σύμπαντος, που είναι 20 δισε 0 Ο κλάδος της Άλγεβρας που ασχολείται με τα κατομμύρια χρόνια (2 . 101 ). Μπροστά σε αυτή την πραγματικότητα ο άνθρω συστήματα είναι η Γραμμική Άλγεβρα και το όνομά της, γραμμική, το πήρε ακριβώς από τα γραμμικά πος επινόησε διάφορες μεθόδους - αλγορίθμους για την ταχεία επίλυση των συστημάτων. συστήματα. Έτσι με τον αλγόριθμο του Gauss ή τον αλγόριθ Η Γραμμική Άλγεβρα μελετάει τα συστήματα από καθαρά θεωρητική σκοπιά. Πρακτικά, δηλαδή με την μο Gauss - J or daη για το προηγούμενο σύστημα επίλυσή τους, ασχολείται ένας άλλος κλάδος των χρειάzονται μερικά λεmά. Μαθηματικών, η Αριθμητική Ανάλυση και ειδικά η Ενδεικτικά ένα σύστημα 361 εξισώσεων με ισά ριθμους αγνώστους ειδικής μορφής λύθηκε από την Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα, χρησιμοποιώντας βεβαίως σαν εργαλείο τους Ηλεκτρονικούς Υπολογι ομάδα Αριθμητικής Ανάλυσης του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων στον UNIVAC 1106 σε 2 λεmά. στές (Η!Υ). Υπάρχουν βεβαίως πολλές άλλες μεθόδοι - αλ Τα συστήματα που παρουσιάzοvται στην πράξη εί ναι αρκετά μεγαλύτερα από αυτά που συναντά ο μα γόριθμοι για τα συστήματα, που η ταχύτητά τους ποι κίλει και, κάθε φορά ανάλογα με το σύστημα καλεί θητής του Λυκείου. Ένας διαχωρισμός των συστημάτων γίνεται ανά ται, ο Μαθηματικός να επιλέξει τον καταλληλότερο λογα με την τάξη τους ν, δηλαδή τον αριθμό των εξι αλγόριθμο. σώσεων. Έτσι για ν :S 100 έχουμε τα μικρά συστήμα τα, για 100 <ν :S 500 τα μεσαία και για ν > 500 τα Βιβλιοyραφία μεγάλα. Στη σύγχρονη έρευνα και τεχνολογία τα συστήμα τα που παρουσιάzονται είναι μεσαία και αρκετές φο 1 . Α. Χατzηδήμος; Εισαγωγή στην Αριθμητική ρές πολύ μεγάλα. Ανάλυση I, 11, Ιωάννινα 1976. 2. Α. Balfour - W. Beνeridge: Basi c Numeri cal Τα πολύ μικρά συστήματα ν :S 10 λύνονται γρή γορα στον Η/Υ με τη μέθοδο του Cramer (ορί Aηalysis wi th For traη, Heiηemaηη Edu catioηal Books , Lοηdοη 1972. zουσες) . Για να δούμε όμως τι συμβαίνει με το μεγαλύτερο μικρό σύστημα, δηλαδή εκατό εξισώσεις με ισάριθ μους αγνώστους με τη μέθοδο Cramer . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2Π

Το

θεώρημα

τοv

Rolle Στράτος Ελ. Μάκρος

Δύο από τα πιο σημαντικά προβλήματα που απα εξίσωσης υπάρχει μια τουλάχιστον ρίzα της δεύτερης". σχόλησαν και απασχολούν τους μαθηματικούς είναι Αυτή είναι η "πρώτη έκδοση" του θεωρήματος, τα παρακάτω: που σήμερα λέγεται "θεώρημα του Rolle" και που 1. Να βρεθούν οι ακρότατες τιμές, μέγιστα και έκανε τον Rolle, αν και σφοδρό πολέμιο της νεογέν ελάχιστα, μιας συνάρτησης. νπτης τότε Μαθηματικής Ανάλυσης, "αθάνατο" στην 2. Να βρεθούν οι ρίzες μιας εξίσωσης. Ανάλυση! Εμείς εδώ δεν μπορούμε βέβαια να μιλήσουμε Κάπου πενήντα χρόνια νωρίτερα ένας άλλος Γάλ για τα προβλήματα αυτά σε όλη τους τη γενικότητα. λος μαθηματικός, ο Pierre Fer mat, έλεγε περίπου Ας περιορίσουμε λοιπόν τις "βλέψεις" μας στις πραγ αυτά: ''Αν θέλετε να βρείτε τις ακρότατες τιμές μιας ματικές συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής πολυωνυμικής συνάρτησης μην ψάχνετε οπουδήπο και στις αντίστοιχες εξισώσεις. τε! Ψάξrε μόνο εκεί όπου η παράγωγος του πολυω Όταν σε κάποιο μαθηματικό ερώτημα δεν είναι νύμου μηδενίzεται!" δυνατόν να δοθεί μια "ακριβής" απάντηση, τότε η Να λοιπόν, που για άλλη μια φορά δυο σημαντικά προσπάθεια εστιάzεται στην αναzήτηση πληροφο μαθηματικά προβλήματα συναvτιώνται! Ας επιστρέ ριών, που θα φωτίzουν όσο γίνεται περισσότερο την ψουμε όμως στο σήμερα, για να δούμε τη σύγχρονη κατάσταση και θα κάνουν ανώδυνη αυτή την έλλειψη διατύπωση του θεωρήματος του Rolle. "ακρίβειας". Ξέρουμε, για παράδειγμα, από το Νορ βηγό μαθηματικό Niels Abel (1802 - 1829) ότι για τις θεώρaμα τοv Rolle γεvικές πολυωνυμικές εξισώσεις, που ο βαθμός τους Αν μια σvνάρτnσn f είναι σvνεχάς σ' ένα υπερβαίνει το 4, δε θα βρούμε ποτέ γενικούς τύπους, διάστnμα [α, β], είναι οαραyωyίσιμn στο που θα μας δίνουν τις ρίzες, όπως π.χ. αυτόν που διάστnμα (α,β) και f(α) f (8)· τ6τε vοάρχει έχουμε για το τριώνυμο δεύτερου βαθμού! Προκύ ένα τοvλάχιστον σnμείο � τοv διαστάματος πτουν όμως πολλά άλλα ενδιαφέροντα ερωτήματα: (α,β) με f'(�) Ο. Πόσες πραγματικές ρίzες έχει το πολυώνυμο; Πόσες Για να μπορέσουμε λοιπόν να εφαρμόσουμε το θετικές και πόσες αρνητικές; Πού περίπου βρίσκο νται πάνω στον άξονα; Μπορούμε να τις βρούμε με θεώρημα του Rolle σε μια συνάρτηση f, θα πρέπει να προσέγγιση 1/10; 1/100; 1/1000; κ.τ.λ. παίρνει την ίδια τιμή σε δυο τουλάχιστον διαφορετικά Το 1690, ο Γάλλος μαθηματικός M i chel R olle σημεία (άρα να μην είναι 1 - 1), να είναι συνεχής στο γράφει στην "Άλγεβρα" του μια πρόταση, που μπο κλειστό διάστημα που ορίzουν τα σημεία αυτά και πα ραγωγίσιμη ανάμεσά τους. Το θεώρημα του Rolle δε ρούμε να τη διατυπώσουμε ως εξής: "Έστω Ρ(χ) = Ο μια πολυωννμική εξίσωση. Κατα λέει τίποτα για τις μη παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Δε σκευάzουμε την εξίσωση Ρ · (χ) = Ο, όπου Ρ· (χ) είναι η λέει επίσης ότι το σημείο ξ είναι μοναδικό ούτε και παράγωγος του Ρ(χ). Μεταξύ δυο ριzών της πρώτης δίνει κάποια μέθοδο προσδιορισμού του. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κπ. τ. 2/8 =

Το 8εώροpα το\1 Rolle

θερή (πράγματι για κάθε χ Ε [α,β]: f(α) ::5 f(x) ::5 f(α), Μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα χ ' χ σα άρα σε όλα τα εσωτερικά σημεία θα έχουμε f' (χ) = Ο) ρώνει το επίπεδο. Σε κάποια θέση έχει δυο κοινά ση μεία με την καμπύλη που παριστάνει την εξίσωση y = Ασκnσn ι f(x). Αν μεταξύ των σημείων αυτών η f είναι παραγω Αν η παράγωγος μιας παραγωγίσιμης συνάρτη γίσιμη, τότε η f' μηδενίzεται μια τουλάχιστον φορά. σης f δε μηδενίzεται σ' ένα διάστημα Δ, τότε η f είναι 1 - 1 στο Δ. Μια yεωpετρικιί εικόνα:

Γεωpε-.:ρικιί σnpασία:

Σ' ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ξΕ(α,β) Αοόδειξn: η εφαπτομένη της y = f(x) είναι παράλληλη στον Αν δεν ήταν 1 - 1, θα υπήρχαν δυο αριθμοί α < β άξονα χ ' χ. του Δ με f(α) = f(β) και σύμφωνα με το θεώρημα, θα υπήρχε γΕ(α,β) με f' (γ) = Ο (άτοπο). Αλyεβρικιί σnpασία:

Η εξίσωση f' (χ) = Ο έχει μια τουλάχιστον ρίzα στο διάστημα (α,β). Δηλαδή: Μεταξύ δυο ριzών μιας παραγωγίσιμης συνάρ τησης βρίσκεται μια τουλάχιστον ρίzα της παραγώ γου. Και σαν πόρισμα: Αν η f' (χ) έχει κ ακριβώς διαφορετικές πραγμmι κές ρίzες, τότε η f(x) έχει το πολύ κ + 1 (πράγματι αν είχε κ + 2, τότε η f ' θα είχε τουλάχιστον κ + 1). Υ

Ασκnσn 2

(Για την αλγεβρική σημασία του θεωρήματος) Μεταξύ δυο πραγματικών ριzών πολυωνύμου Π(χ) υπάρχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίzα του πολυωνύμου Π ' (χ). Aoάnnσn

Έστω ρ ι < ρ2 δυο πραγματικές ρίzες του Π(χ). Το Π(χ) γράφεται Π(χ) = (χ - ρ 1 ) (χ - ρ2 ) Σ(χ), όπου Σ(χ) ένα πολυώνυμο. Προφανώς Π(ρ ι ) = Π(ρ2 ) = Ο ... Συνεχίστε εφαρμόzοντας το θεώρημα του Rolle στο Π(χ). Ασιuισa 3

-1 •

(Για την αλγεβρική σημασία του θεωρήματος) Αν ένα πολυώνυμο έχει όλες τις ρίzες του πραγ ματικές, τότε και η παράγωγός του έχει μόνο πραγ ματικές ρίzες (πού βρίσκονται;). Ασκnσn 4

(Για την αλγεβρική σημασία του θεωρήματος) Θεωρούμε το πολυώνυμο Π(χ) = χ6 + αχ3 + βχ2 + yx +δ. Στο παραπάνω σχήμα μπορούμε να δούμε σε Να αποδείξετε ότι έχει το πολύ 4 πραγματικές ρίzες. ποια διαστήματα (από αυτά που είναι σημειωμένα στο σχήμα) εφαρμόzεται το θεώρημα του Rolle και σε Aoάnnσn ποια όχι. (εφαρμόzεται μόνο στο [α,β]). Στα διαστή Αν το Π(χ) είχε 5 πραγματικές ρίzες, τότε το ματα που το θεώρημα δεν εφαρμόzεται μπορεί η πα Π ' (χ) = 6χ5 + 3αχ2 + 2βχ +γ. ράγωγος να μηδενίzεται ή να μη μηδενίzεται. θα είχε 4. Το Π · ' (χ) = 30χ4 + 6αχ + 2β θα είχε 3 και το Π ' ' ' (χ) = 120χ3 +6α θα είχε δύο (άτοπο). Σχιίpα

Αοόδειξn -.:ov θεωριίpα-.:ος -.:ov Rolle

Η f είναι συνεχής στο [α,β], άρα θα έχει μια μέγι Ασκnσn 5 στη τιμή f(x2 ) και μια ελάχιστη f(χι ), όπου τα χι και χ2 (Για την αλγεβρική σημασία του θεωρήματος) είναι βέβαια σημεία του [α,β]. Να βρεθεί συνθήκη μεταξύ των συντελεστών της Αν ένα τουλάχιστον από τα χι , χ2 είναι εσω-.:ερι εξίσωσης: αχ3 + βχ2 + yx + δ = Ο (1) που εξασφαλί κό σημείο του [α,β], τότε η παράγωγος εκεί θα είναι zει την ύπαρξη μιας μόνο πραγματικής ρίzας ρ. μηδέν, .σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, άρα το θεώρημα αληθεύει. Aoάnnσn Αν ούτε το χι ούτε το χ2 είναι εσωτερικά σημεία, Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση έχει και δεύτερη τότε θα: είναι τα άκρα του διαστήματος, οπότε θα πραγματική ρίzα ρι έχουμε: f(χι ) = f(x2 ) = f(α), δηλαδή η f θα είναι σταα) Αν ρ = ρ ι . Τότε θα έχουμε f(x) = (χ - ρ)2 π(χ) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. ι. 2/9

ιο

σεωρnpα τοu κοιιe

{όπου π{χ) πρωτοβάθμιο πολυώνυμο). υπάρχει ξΕ{α,β) με τ · {ξ) = Ο. Θα είναι: ϊ {χ) = 2 {χ - ρ) π{χ) + {χ - ρ)2 π · {χ) = Όμως τ · {χ) = [f ' {χ) {χ- γ) - f{x)] I (χ:.:... γ) 2 . {χ - ρ) [2π {χ) + {χ - ρ)π · {χ)]· άpα ο ρ είναι ρίzα τη� Άρα f' {ξ) {ξ - γ) - f {ξ) = Ο ή f{ξ) = f' {ξ) {ξ� γ). παραγώγου. Σχόλιο. Αυτή η "άσκηση", που ήταν και θέμα σε β) Αν ρ ;ι! ρ 1 . Τότε για τη συνάρτηση γενικές εξετάσεις κάποιας χρονιάς, δίνει μια μέρική f{x) = αχ3 + βχ2 + γχ + δ απάντηση σ· ένα σημαντικό γεωμετρικό πρόβλημα, ισχύουν προφανώς οι προϋποθέσεις του θεωρήματος που θα το διατυήώοουμε με ηθελημένη ασάφεια: του Rolle στο διάστημα [ρ, ρ1 ] {υποθέτουμε ρ < ρ 1 ) Από ποια σημεία του επιπέδου μπορούμε να φέ και θα υπάρχει στο {ρ, ρ1 ) ρίzα της παραγώγου. ρουμε εφαπτομένη σε μια αρκετά ''ομαλή" καμπύλη; Και σης δυο περιπτώσεις λοιπόν η εξίσωση 3αχ2 + 2βχ + γ = Ο θα έχει πραγματικές ρίzες, άρα διακρίνουσα μη αρνητική. Οπότε θα ισχύει: β2 � 3αγ. Άρα αν β2 < 3αγ η {1) θα έχει μια μόνο πραγματι κή ρίzα. Ισχύει το αντίστροφο;

Ασκnσn 6

{Για τη γεωμετρική σημασία) Έστω f μια συνάρτηση συνεχής και παραγωγίσι μη στο διάστημα [α, β] με f{α) = f {β) = Ο και γ ένας αριθμός εκτός του διαστήματος [α,β]. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μια τουλάχιστον εφαπτομένη της y = f{x), χΕ{α,β), που διέρχεται από το σημείο {γ, 0). Anάvτnσn

Η εξίσωση της εφαπτομένης της y=f{x) σ· ένα σημείο με τετμημένη ξ είναι: y - f{ξ) = f' {ξ) {χ - ξ). Αν διέρχεται από το {γ, 0), τότε θα ισχύει: f{ξ) = f ' {ξ) {ξ - γ). Η κλίση των ευθειών, που διέρχονται από το ση μείο {γ, Ο) και τέμνουν την y = f{x), δίνεται από τη f {χ) ' συναρτηση τ {χ) = --. χ-γ Υ

Ασκnσn

Ανάλυση)

Σχήμα 3

{χρήση του θεωρήματος του Rolle στην

Έστω F,G,H τρεις πραγματικές συναρτήσεις συνεχείς σ ' ένα διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμες στο {α,β). Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο ξΕ{α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει: F {α) F {β) F' {ξ) G {α) G {β) G ' {ξ) = Ο Η {α) Η {β) Η ' {ξ) Αnόδει�n

Σχήμα 2

Θεωρούμε τη συνάρτηση F {α) F {β) F{x) σ{χ) = G {α) G {β) G{x) Η {α) Η {β) Η{χ) και έχουμε προφανώς σ{α) =σ{β) Αναπτύσσοντας την ορίzουσα ως προς την τρίτη στήλη έχουμε:

Φαντασθείτε την ευθεία να στρέφεται γύρω από το σημείο Γ. Είναι λογικό να περιμένουμε ότι η τέ μνουσα θα γίνει εφαπτομένη, όταν η συνάρτηση τ σ {x) = F {x) I G {α) G {β)I - G (x) I F {α) F {β) I + Η {α) Η (β) Η {α) Η {β) έχει τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο. Η συνάρτηση,α.υτή ορίzεται στο [α,β], γιατί το γ δεν είναι σημείο'tου δια + Η {χ) F {α) F {β) I στήματος αυτού και είναι συνεχής στο [α,β] και παρα G {α) G {β) γωγίσιμη στο {α, β) ως πηλίκον τέτοιων συναρτήσεων. Η σ{χ) είναι λοιπόν συνεχής στο [α,β] και παρα Επίσης τ{ α) = τ{β) = Ο· άρα μΠορούμε, εφαρμόzο ντας το θεώρημα του Rolle, να συμπεράνουμε ότι γωγίσιμη στο {α,β) ως άθροισμα τέτοιων συναρτήσεΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 2/10

Το θεώροpα τοιι Rolle

ων. Άρα υπάρχει ξΕ(α,β) με σ· (ξ) = Ο και επειδή:

σ' (x) = F ' (x) G (α) G (β) - G ' (x) F (α) F (β) + Η (α) Η (β) Η (α) Η (β) + Η. (χ) GF (α)(α) GF (β)(β)

Θα έχουμε για χ = ξ την zητούμενη σχέση. Παρατόροοο: Βάλτε α) Η(χ) = 1 και G(x) = χ και β) Η(χ) = 1. α) Για Η(χ) = 1 και G(x) = χ έχουμε:. Ο = F ' (ξ) (α- β) - [F(α) - F(β)] ή F ' (ξ) = [F(α) - F(β)]/ (α - β)

Το θεώρnμα τος Μέσος Τιμός

Lagraηge ή των "πεπερασμένων αυξήσεων")

Πρότάσο (R2). Αν μια συνάρτηση f είναι παρα yωyίσιμη στο διάστημα (α,β) και Im f (χ) = Im f (χ) = - σο (ή + σο) χ -+ a+ χ-+ Β-

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο χ0 του διαστή ματος (α,β) με f' (Χο) = Ο. Υ

α I

I ι - - -,------ 1 ι I

(ή του

β) Για Η(χ) = 1 έχουμε Ο = F ' (ξ) [G(α) - G(β)J - G ' (ξ) [F(ei ) - F(β)] ή F. (ξ) [G(α)- G(β)] = G. (ξ) [F(α) - F(β)]

Το θεώρομα το" Cauchy

Πρόκειται για δυο πολύ σημαντικά θεωρήματα της Ανάί\υσης με τα οποία όμως δε θα ασχοληθούμε εδώ. το θεώρημα που διατυπώνεται στην παραπάνω "άσκηση" είναι γενίκευση του θεωρήματος της μέ σης τιμής και του θεωρήματος του Cauchy και οφεί λεται στους Η.Α. S chwartz (1880) και G. Peaηo (1884). Ας δούμε τώρα πώς θα μπορούσαμε να διατυπώ σουμε μερικές προτάσεις παρόμοιες με το θεώρημα του Rolle, οι οποίες "λένε κάτι" για μη κi\ειστά δια στήματα. Μια πρώτη είvαι αυτή που η συνάρτηση παραyω yίzεται στο (α,β) και δεν ορίzεται ατά σημεία α και β αλλά έχει το ίδιο όριο σ· αυτά. ι

Πρότασο (R1). Αν μια συνάρτηση f είναι παρα yωyίσιμη στο διάστημα (α,β) και Im f(x) = im f(x) = λΕ R; χ-+ a+ χ-+ Βυπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Χο του διαστή τότε ματος (α,β) με f' (Χο) = Ο. ΑDόδει�ο

1-i άντιμετeδπιση της περίπτωσης αυτής είναι πολύ απλή. Αρκεί να θεωρήσουμε τη συνάρτηση σ(χ) = f(x) για χΕ(α,β) και σ( α) = σ(β) = λ. (στην πραyματικότriτα επεκτείναμε την f σ· ένά διάστημα' που περιέχει και τα άκρα α και β, διατήρώvτας τη συνέχειά της). Η σ ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο [α,β] και συνεπώς υπάρχει χοΕ(α,β) με σ ' (Χο) = Ο ή f' (Χο) = Ο, αφού η σ και f είναι ίσες στο (α,β).

Σχήμα4

Αόόδει�ο

Έστω z = (α + β) I 2 και τ = f(z). Επειδή χ-+Ima+f(x) = - σο, θα υπάρχει αριθμός θΕ(α,z) τέτοιος, ώστε για κάθε χ με α < χ :5 θ να ισχύει: f(x) < τ. Επειδή Im f (χ) = - σο, θα υπάρχει αριθμός χ-+ Β-

ηΕ(z, β) τέτοιος, ώστε για κάθε χ με η :5 χ < β να ισχύει: f (χ) < τ. Ας θεωρήσουμε τώρα την f στο διάστημα [θ,η], όποϋ είνdι παραyωyίσιμη (άρα και συνεχής) και έχει μέγιστο, που δεν είναι ούτε το f(θ) ούτε το f(η), αφού και οι δυο αυτές τιμές είναι μικρότερες από το f(z). Η f λοιπόν θα έχει μέγιστο σ · ένα εσωτερικό σημείο Χο του [θ, η] και σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα είναι f' (Χο) = Ο. Αν n απόδειξη σας φdtν εται δύσκολη, ξαναδιαβά στε την! Το μονοπάτι, που ακολουθήσαμε, είναι το εξής: Χωρίσαμε το διάστημα σε δυο μέρη με ένα ση μείο z κα.ι στη συνέχεια "πετάξαμε" από την αρχή και το τέλος του (α, β) δυο διαστήματα, όπου οι τιμές της f είναι μικρότερες από το f (z). Πρότασο (R3). Αν μια σUνάρτηση f είνάι συνε χής στο διάστημα [α, + οο) και παραyωyίσιμη στο (α, + σο) με f(α) = Ο και χ�+ Im f (χ) = Ο, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Χο του διαστήματος (α,+ σο) με f' (Χο) = Ο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/11

•v

vc.UΙΙΙΙpupu

.,.,.., aavaaσ

f (χ) = f (α), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Χο του διαστήματος (α, + οο) με f ' (Χο) = Ο. Αναγόμαστε στην (R3) θεωρώντας τη συνάρτηση g(x) = f(x) - α. Μπορούμε ακόμα να aποδείξουμε, χωρίς(;) ιδιαί τερη δυσκολία, τις παρακάτω προτάσεις τις οποίες προτείνουμε για aσκήσεις. Αν μια συνάρτηση f είναι πaρaγωγίσιμη στο (α, + οο) με χ-+Imα+f(x) = χ-+Im+ f(x) = λ Ε R, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο χ0 του δια στήματος (α, + οο) με f' (χσ) = Ο. Αν μια συνάρτηση f είναι πaρaγωγίσιμη στο (a, + οο) με χ....Im.., a+f(x) = χ....Im.,.+ f(χ) = + οο (ή-οο), Im

χ ...... + cο

•

σο

•

Σχήμα5

σο

Αιιόδει�n

Αν η f μηδενίzετaι σε κάποιο σημείο z > α, τότε, εqjcφμόzοvτaς το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [α, z], έχουμε την aπόδειξη της πρότασης. Αν η f δε μηδενίzετaι στο (α, + οο), τότε θα διατη ρεί το πρόσημό της (αν έπαιρνε δυο τιμές ετερόση μές, τότε θα μηδενιzότaν σε κάποιο σημείο σύμφωνα με to θεώρημα του Bolzaηo). Ας υποθέσουμε λοιπόν, χωρίς να περιορίzουμε τη γενικότητα, ότι f(x) > Ο για κάθε χ > α. (Αν είναι f(x) < Ο, τότε θεωρούμε την -f(x) και εργazόμaστε όπως πιο κάτω). Έστω ξ ένας aριθμός μεγαλύτερος του α και ένας θετικός aριθμός ε < f(ξ), π.χ. ε = f(ξ) Ι 3. Επειδή Im f (χ) = Ο, θα υπάρχει η > ξ τέτοιο, ώ<πε για κάθε χ να ισχύει χ > η οπότε f(x) < f( ξ) Ι 3. Θεωρούμε, τώρα, την f στο διάστημα [α, η + 1], όπου είναι συνεχής και συνεπώς έχει μέγιστο. Το μέ γιστο aυτό δεν μπορεί να είναι το f(a) ούτε το f(η + 1), γιατί f(ξ) > f(a) = Ο και f(ξ) > f(ξ) Ι 3 > f(η + 1), aφού η + 1 > η. Η f λοιπόν θα έχει μέγιστο σ · ένα εσωτερικό σημείο Χο του [α, η + 1] και σύμφωνα με το Θεώρημα του Fennat θα είναι f' (χσ) = Ο. Χ.....,.+CΧΙ

Σnμείωσn

Θα μπορούσαμε να διατυπώσουμε την τελευταία πρόταση ως εξής: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [a, + οο) και πaρaγωγίσιμη στο (α, + οο) με

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Χο του δια στήματος (α, + οο) με f' (Χο) = Ο. Αν μια συνάρτηση f είναι πaρaγωγίσιμη στο (- οο, + οο) με Im f(x) = χ.... Im f(x) = λ Ε R, ..,+ οο x......,-ao τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο χ0 του δια στήματος (- οο, + οο) με f' (Χο) = Ο. Αν μια συνάρτηση f είναι πaρaγωγίσιμη στο (- οο, + οο) με χ--+ Im f(x) = 1m f(χ) = + οο (ή - οο), x.....,.+co - οο τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Χο του δια στήματος (- οο, + οο) με f' (Χο) = Ο. Θεωρούμε τις συναρτήσεις φ: [0, 1) IR με τύπο φ(χ) = α + χ / (1 - χ) και την f: [α, + οο) -+IR πa ρaγωγίσιμη με x.... Im f(x) = f(a). Να aποδείξετε .,.+ co α) Η συνάρτηση g:[O, 1] IR με g(1) = f(a) ότι: και g(x) = f(φ(χ)) για κάθε χ Ε [Ο ,1) είναι συνε χής στο [0,1 ] και πaρaγωγίσιμη στο (0, 1). β) Υπάρχει ξ Ε [α + οο) με f' (ξ) = Ο. (Η άσκηση aυτή δίνει έναν άλλο τρόπο aπόδειξης της πρότα σης (R3). Ο τρόπος aυτός είναι πιο "τεχνικός" και λιγότερο εποmικός aπό τον τρόπο που προ τείνουμε πιο πάνω. Χάνουμε την αμεσότητα της εποmείaς, κερδίzουμε όμως σε τεχνική. Μην πε ριφρονήσετε λοιπόν την άσκηση aυτή. Προσπa θείστε να καταλάβετε γιατί χρησιμοποιήσαμε τη συνάρτηση φ. Όπως έλεγε και κάποιος, πιανί στας αν θυμάμαι καλά. "Όταν η έμπνευση μας εγκαταλείψει, μόνο η τεχνική μας βγάzει aπό τη δύσκολη θέση".)

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ . 2/12

--+

ΕΚΔΟΣΕΙΣ

ΠΑΤΑΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ riA ΤΟ .1\.Υ.ΚΕΙΟ ,� -,��πr ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΚΑΝΔΑΛΗΣ

ΗΛΙΑΣ ΝΤΖΙΩΡΑΣ

�

ΑΝΑΛΥΣΗ ;�'· ···�

-Ανάλυση

Μάθηματικά Α' Λυκείου

Γ Λuκεfοu - Δέσμες ΑΊ ΒΊ Δ'

Μαθηματικά Β' Λυκείου

Ανάλυση r· Λυκείου

ΙΔΗΣ •Όριο συνάρτησης, • Συνέχεια συνάρτησης, • Ακολουθίες

• Πίνακες

____ ι...,__ _. _. _

Θέματα

• Ορίζουσες

Ανάλυσης

• Γραμμικά συστήματα

Γ Λυκείου

____. �...�....; =. ;;...;

ΠΑ 11-!ΝΑΔΕΣΜΗ

Μαθηματικά Α' Λυκείου

Ακολουθίες

Ολοκληρώματα

Παράγωγοι

για την Α' Δέσμη Κεvτρnαί διάθεση: Σ. Πατάκηc; Α.Ε. Εμμ. Μπενάκη 16, 106 78 Αθήνα. Τηλ.: 36.31.078, Fax: 36.28.950

54ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαyωνισfός στα �αθnματικά

''0

θΑΛΗ�"

En. Διαyωvισμώv ΕΜΕ Π. Βλάμος, Α. Δοvvαβnς, Δ. Kovτoyιάvvnς, θ� Μnόλnς, Ε. Ντzιαχρόστος, Ι. Τuρλός, r. Ορaιόnοuλος* . . ·

y' Γuμνασίοu - Πλιίροuς ανάnτuξnς

1. Αν α, β θετικοί ακέραιοι αριθμοί και 3α + 4β = 120, να αποδείξετε ότι 30<α + β<40.

3. Αν α, β,. y, δ είναι θετικοί αριθμοί και � = Υ._, τότε β δ α- 1 ν-1 α+ 1 ν + 1 α+δ β+ν = α) β) ν) = = β - 1 δ- 1 β+ 1 δ+ 1 α β ·

2. Είναι δυνατό ένα ορθογώνιο παραλλnί\όyραμμο με διαστάσεις 9cm και 13cm να διαιρεθεί: α) σε δύο τετράγωνα με πλευρά 3 cm, ένα τετράγωνο με πλευρά 2 cm, ένα τετράγωνο με πλευρά 6cm, ένα τε τράγωνο με πλευρά 7cm κcίι ένα ορθογώνιο με πλευρές 2 cm και 5cm; β) Ένα τετράγωνο με πλευρά 2cm, ένα τετράγωνο με πλευρά 3 cm, ένα τετράγωνο με πλευρά 4cm, ένα τετρά γωνο με πλευρά 5cm και έν(] τετράγωνο με πλευρά 8cm; 3. Οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5 χωρίzονται σε δύο ομάδες Α, Β. Είναι αλnθές ότι υπάρχουν δύο αριθμοί πάντα που ανήκουν στnν ίδια ομάδα και n διαφορά τους ανήκει στnν ίδια ομάδα;

δ)

�

α+β ν+δ = β δ

4. Αν α, β, γ, δ είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε 2. και Υ._

= Ι, τότε α) αν = βδ δ 2 7 β) α = 2, β = 7 ν) α < ν δ) α � Ο ε) αβ = yδ β

5. Αν α, β, ν θετικοί αριθμοί και α5β4ν3 ;ο0 1, τότε αΒ β6 y4 α3 β2 y n παράστασn είναι ίσn με αlΟ β8 y6 α5 β4 y3 _

α) 1

y' Γuμνασίοu - θέματα οολλαολών εοιλοyών

1. Στο Σχ. 1 n γωνία φ ισούται με α) 180° - α + ν β) 180° - δ + ν ε) α + δ ν) 180° - β + ν δ) β + δ

ε) κανένα από τα παραπάνω.

δ) -1αβy

β) αβy

6. Αν α> α) 2 fl

( �)

και α +

β) 4 fl

ν) 7 fl

(

= ?, τότε α3 + δ) __3_ fl

�) =

ε) _Q_ fl

7. Ο μέγιστος αριθμός σnμείων στα οποία τέμνονται ένας κύκλος και ένα ορθογώνιο παραλλnί\όyραμμο είναι α) 2 β) 4 y) 5 δ) 6 ε) 8 •

2. Τα τρίγωνα στο Σχ. 2 είναι: α) 8 β) 12 ν) 16 δ) 20

Σχ.1

ε) 24

8. Ένα τριγωνικό γυαλί ΕΖΗ τοποθετείται πάνω από ένα ορθογώνιο παραλλπλόyραμμο ΑΒΓΔ το οποίο είναι επίσnς φτιαγμένο από γυαλί. Ποιό ποσοστό τnς καλυμμένnς με γυαλί έκτασnς είναι διπλοκαλυμμέ\(ο; α) 25% β) 33 1/3% ν) 36% δ) 26 8/17% ε) 45% Α

,---

Ε'

Σχ.2

'/ v Α

�

*Στην επιλογή των θεμάτων συνέβαλλε και ο συνάδελφος Γκάτzιοuρας Δημήτρης Πρόεδρος τοu παραρτήματος Γρεβενών.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη.

2/14

------- 54ος Πανελλήνιος Μαθnpα"Ιικός Διαyωvισpός 0'10 Μαθnpα'lικά

9. Αν ο αριθμός ν + 18 διαιρεί τον αριθμό ν + 53, όπου ν φυσικός, τότε ο ν είναι α) 2 β) 7 γ) 8 δ) 15 ε) κανένα από τα παραπάνω. 10. Αν ο αριθμός 12α3β διαιρείται με τους αριθμούς 4 και 9, η μικρότερη τιμή του ψηφίου α είναι α) Ο β) 1 γ) 2 δ) 8 ε) 9

ι. θέμα:

Αvσεις r· Ι'cμνασίοc

-------

2. Ένα ισοσκελές τραπέzιο ΑΒΓΔ, αποτελείται από ένα τετράγωνο ΑΒΕΖ και δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΖ, ΒΓΕ με r = Δ = 60•. Αν ΑΒ = 6 1f3 cm τότε το εμβαδόν του τραπεzίου είναι: α) 108 cm2 β) 128 cm2 γ) 108 + 2 cm2 ,

(

δ) 108 +

sY3) cm2

(

Υ3) ε) ( 108 + 36 Υ3) cm2

3. Στο οχ. 1 τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ είναι όμοια. Αν ΔΑ = 4, ΓΔ = 9 τότε η ΒΔ είναι:

3α + 4β = 30 ή :2. α + β = 30 ή α + β > 30. 4 4 3α + 4β 'Ομοια = 40 ή α + 1 β = 40 ή α + β < 40. 3 3 Είναι

2. θέμα:

α) Ναι, δες Σχ. 1 β) Όχι, αφού 4 + 9 + 16 + 25 + 64 = 118 > 9 ·13 = 117

Υ3

3. θέμα: α) 5 @ 6 γ) 5 δ) 8 ε) 8 + Έστω Α η ομάδα στην οποία ανήκει ο 1 και β η άλλη. Αν ο 2 ανήκει στην Α η πρόταση ισχύει. Έστω ότι ο 2 ανή 4. Το σύνολο λύσεων την ανίσωσης: Ι χ + 2 1 + Ι χ - 1 1 κει στη Β ομqδα. Αν ο 4 ανήκει στην Β η πρόταση ισχύει. < 5 είναι: Έστω ότι ο 4 ανήκει Α. Δηλαδή Α = {1, 4, ... }, Β = {2, δ) - · ε) 0 2, 2) ... }. Αν 3ΕΑ. η πρόταση ισχύει, αφού 4 - 3 = 1. Έστω ότι α) (- 3, 2) 3ΕΒ. Αν5ΕΑ η πρόταση ισχύει, αφού 5-4 = 1. Αν 5Ε Β τότε 5 - 2 = 3 ΕΒ δηλαδή πάντα η πρόταση ισχύει. 5) Αν Ο ;ι! Ο και χ= ο + 1, τόrε: ο α) 1 :s χ :s 2 χ;:: 2 γ) χ;:: 1 ή χ :s -1 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 * Α * δ) χ;:: 2 ή χ :s -2 ε) χ 2: 1 ή χ :s - 1 * * 2 2 Β

@ι-

ν){-�· �} { � �}

Δ Ε

Α' Α\iκείοc- Πλόροcς αvάοτcξnς

6. Η ένατη ek-α του αριθμού 9(99) ε�ναι α) 99 β) 9 (9 ) δ) 9 (9 -1) γ) 9so ε) κανένα από τα παραπάνω.

1. Να προσδιορισθεί το είδος του τριγώνου ΑΒΓ, αν για τις πλευρές του . α, β, y,·E 2 ισχύουν οι σχέσεις: α2 <2α + β - γ, β2 < 2β + γ - α, �<2γ + α - β

7. Αν 1 χ 10° + 2 χ 106 + 3 χ 10ν + 4 χ 106 = 24130 και οι α, β, γ, δ είναι διαφορετικοί ανά δύο, α β γ δ τοτε - + - + - + - = 2 4 8 16

2. Ένα τρίγωνο και ένα τετράπλευρο είναι τοποθετημέ να στο επίπεδο, έτσι ώστε το κοινό τους μέρος να είναι ένα πολύγωνο. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πλευρών που μπορεί να έχει το πολύγωνο αυτό;

α) 35 γ) 41 β) 37 16 16 16 ε) κανένα από τα παραπάνω

3. Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέzιο με βάσεις ΑΒ, ΓΔ του οποίοι ο διαγώνιοι ΑΓ, ΒΔ τέμνονται κάθετα στο Ο. Αν Ε είναι το συμμετρικό του Α ως προς το Ο, να αποδείξετε ότι ΒΓ .l ΔΕ.

8. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 248 - 1 είναι: α) 1 β) 4 γ) 5 δ) 3 ε) 9.

Α· l\c�είoc - θέματα οολλαολώv εοιλοyώv

1 . Ένα κανονικό πολύγωνο έχει ν πλευρές και 170 διαγωνίους. Τότε ο ν είναι ίσος με α) 15 β) 20 γ) 25 δ) 30 ε) κανένα από τα παραπάνω

•

δ)

9. Ταξιδεύοντας με ταχύτητα ν = 3 · 105 km I sec από τη Γη στον Ήλιο που απέχει 1,5 · 108 km θα χρειασθούμε: β) 2 ώρες 30 sec γ) 3.000 sec α) 2 ώρες δ) 500 sec ε) 1.500 sec. 10. Το υπόλοιπο της διαίρεσης 2100 : 5 είναι: α) Ο β) 1 γ) 2 δ) 3 ε) 4

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 2/15

------- 54ος Παvελλόvιος Μαθnpατικός Διαyωvισpός στα Μαθnpατικά θέμα 3

Λt5σεις θεμά"Ιωv οολλαολώv εοιλοyώv Α' Λvκείοv

ν (ν - 3) = 170 � ν = 20 2 (ΒΕΓ) =

2) (ΑΒΕΖ) = 108,

= 18Υ3 . Άρα: (ΑΒΓΔ) = 108 + 36Υ3 3) ΔΑ = ΔΒ

ΔΒ

ΔΓ

� ΒΔ2

= 6 . 6 {3 = 2 (Ε)

36 � ΒΔ = 6

(Β)

4) (Α)

Β'

5) Για α> 0: α + Για α< 0: α +

1 �2

� (α - 1 f � Ο

s - 2 � (α + 1 f � Ο

99 6) (999* = 99 = 9(9Β)

(Δ)

(Β)

7) Προφανώς: α = 2, β = 4, γ = 1, δ = 3. Τότε: � + � + Υ._ + � = 1 + 1 + 1 + � = 37 (Β) 2 4 8 16 8 16 16 12 8) 248 - 1 = (24) - 1 = ( 16) 12 - 1 = ... 6 - 1 = = ... 5 (Γ) 9) 500 sec 3 · 105 km/sec = 15 · 107 km = = 1,5 · 108 km (Δ) 10) 2100 = (22 ) 50 = (5 - 1) 50 = πολλ 5 + 1 (Β) Λt5σεις θεμά"Ιωv ολόροvς αvάD"Ιvξος Α' Λvκείοv θέμα 1

Λvκείοv - Πλόροvς αvάD"Ιvξος

1 . Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς α, β, γ, (Ο < α < β < γ) για τους οποίους ισχύει: αβγ + αβ + βγ + γα + α + β + γ + 2 = 1996 (1) 2. Ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 8 διαιρείται με ευθείες παράλληλες στις πλευρές του σε 64 ίσα τετράγωνα με πλευρά 1. Σε καθένα από τα 64 τετράγωνα τοποθετού με έναν θετικό αριθμό, έτσι ώστε οι αριθμοί που είναι το ποτεθημένοι σε τετράγωνα συμμετρικά ως προς μιαν δια γώνιο του τετράγωνου ΑΒΓΔ να είναι ίσοι. Το άθροισμα των αριθμών που είναι τοποθετημένοι στα 64 τετράγωνα είναι 2.000, ενώ το άθροισμα των αριθμών που είναι τοπο θετημένοι στα τετράγωνα των διαγωνίων του ΑΒΓΔ είναι 200. Να αποδείξετε όη το άθροισμα Ί:ων διαφορεηκών αριθμών που είναι τοποθετημένοι στα τετράγωνα ΑΒΓΔ εί ναι το πολύ 550. 3. Οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύ κλο C. Από ης κορυφές του Α, Γ φέρουμε εφαπτόμενες στον κύκλο, που τέμνουν την εφαπτομένη στο Β στα ση μεία Μ, Ν. Αν Η η προβολή του Β στην ΑΙ, να αποδείξε τε ότι η ΒΗ είναι διχοτόμος της γωνίας ΜΗΝ.

- Λ"σο

Οι σχέσεις (1), (2), (3) γράφονται ως εξής: α2 - 2α + 1 s β - γ (4), β2-2β + 1 s γ - α (5) και l- 2γ + 1 s α - β (6). Προσθέτουμε τις (4), (5), (6) κατά μέλη και παίρνουμε: (α-1) 2 + (β- 1)2 + (γ - 1)2 s Ο οπότε α = β = γ = 1, δηλαδή το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. θέμα 2

- Λt5σο

�

Αφού τα Α, Ε είναι συμμετρικά έχουμε όη: Δ�Ο = ΔΕΟ και αφού το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέzιο ΔΑΟ = οpΓ. Άρα τα τρίγωνα ΜΓΕ, ΟΓΒ είναι ισογώνια οπότε: ΓΜΕ = 90°.

(Β)

(ΑΔΖ)

- Λt5σο

-------

Το πλήθος των κορυφών του τριγώνου και του τετρά πλευρου είναι 7. Άρα ο αριθμός των κορυφών του κοινού μέρους δεν μπορείνα ξεπερνά τον 7. Π.χ.

Β' Λvκείοv - θέμα"Ια οολλαολώv εοιλοyώv

1. Ο αριθμός των zευγών των κατακορυφήν γωνίων που ορίzουν 15 ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο είναι: α) 30 β) 46 γ) 60 δ) 100 ε) 105 2. Σε ένα τουρνουά τένις παίρνουν μέρος 160 άτομα. Αν κάποιος χάσει σε έναν αγώνα βγαίνει έξω από το παι χνίδι. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός παιχνιδιών για να ανακηρυχrεί νικητής; (ισοπαλίες δεν υπάρχουν). α) 88 β) 200 γ) 320 δ) 480 ε) 159 * 3. 'Εστω νΕΝ , τότε οι αριθμοί 3ν + 1, 7ν + 2 α) είναι σχετικά πρώτοι για κάθε τιμή του ν β) είναι σχετικά πρώτοι, αλλά όχι πάντα γ) δεν είναι σχετικά πρώτοι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη.

τ.

2/16

54ος ΠαvεΑλιίvιος Μα8οpατικός Διαyωvισpός στα Μα8οpατιιιά

------

9) Αν το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο, τότε έχει εμΒαδό:

δ) ο 3ν + 1 διαιρεί τον 7ν + 2 ε) δεν ισχύει κανένα από τα παραπάνω 4. Η ενάl:n ef,α του αριθμού 9 (99) ειναι: δ) 9 (9 1) α) 99 Β) 9(9 ) γ) 920 ε) κανένα από τα παραπάνω. . -

. α+y 5. Αν α, Β, γ Ε R και Β = --, τότε: 2 ά)

nμΒ =

γ) εφΒ =

(nμα . + nμy) Β) συνΒ =

1 (εφα

(συνα + συvy)

+ εφy)

δ) nμa + nμΒ + nμy = συνα + συνΒ + συvγ nμα + nμΒ + nμy = εφΒ ε) συνα + συνΒ + συνy

(

6. Αν Α = _1_ - εφχ χ .., κπ , κ Ε 2 εφχ α) Α = -1 δ) Α =

2 nμ2χ

_ _

'f3 α2 Β2 {α + Β )2 { α - Β )2 αΒ γ) Β) + δ) 8 2 2 2 10 ε) κανένα από τα παραπάνω.

α)

10. Το τελευταίο ψnφίο του αριθμού iJ8 - 2 είναι: α) 1 Β) 4 y) 5 δ) Ο ε) 6

z) τότε

Λ.Sοεις θεμάτων nολλαολώv εοιλοyώv Β· Λιικείοιι

Β) Α = 1

y) Α = 2σφ2χ 1ε) Α = συν2χ

(Ε)

7) Αν nμ32" !Ξ!! 0.53, συν32" !Ξ!! 0,85, εφ32 " περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ (Σχ. 1) είναι:

!Ξ!!

0,63 n

2) Θα πρέπει όσοι έχουν αποκλεισθεί (159) να έχουν παίξει έναν τουλάχιστον αγώνα. (Ε) 3) (3ν + 1,7ν + 2) = (3ν + l,ν) = (l ,ν) = 1 (Α) 1

4) ( 999)9 = 9rJ3 5) Β

α) 15,18 cm δ) 14,94 cm

Β) 16,15 cm ε) 13,85 cm

γ) 16,75 cm

(Β)

(nμα + nμy) + nμΒ nμα + nμΒ + nμy συνα + συνΒ + συνγ (συνα + συνγ) + συνΒ α-γ α+y 2nμ -- συν -- + nμΒ 2 2 αα+ Υ συν 2 συν Υ + συνΒ 2 2 αnμΒ 2 συν Υ + ι 2 = = εφΒ (Ε) α συνΒ 2 συν ; Υ + 1

( (

8) Στο σχ. 2 ένα τετράγωνο είναι εyyεyραμμένο σε ημι κύκλιο. Ο λόγος α/Β είναι:

) )

1 - εφ2χ 6) _1_ _ εφχ = εφχ εφχ 2χ = συν -- = 2σφ2χ nμ2χ 2

ΣΧ. 2

α) i5_ β) 2 γ) i5 + 1 2 2

δ)

Γs- 1 ε) 3. 2 2

nμχ συνχ (Γ)

= _3 !Ξ!! 3,53, εφ32° = � � υ = 3εφ32° συν32° 3 ΑΒ2 = 16 + 9 εφ2 32° άρα ΑΒ !Ξ!! 1,4 VW Ξ 4,41 ΑΓ

_ _

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 2/17

-------

------- 54ος Πανελλήνιος Μαθnματικος Διayωvισμος στα Μαθnματιιίο ΑΓ R

8) R2

ΑΒ

�+ \ ή = (�Ν �

ΥΚ - ι ·

(Δ)

Συνεπώς: ΜιΗ - ΑΜι k ΑΗ = άρα τριγ. ΜΗΑ "" τριγ. ΝΗΓ = ΗΓ Νι Η - ΓΝι λ

οπότε ΜΗΑ = ΝΗΓ δηλ Η ι =

14, 94.

α�

1 ιπ

f2V + � (ο - ν'2 ν) = aβ + ν2

, (ο - 6) ν'2 η =

10) 248 - 2

\ (Γs ) ��

α�

2 2 _ = (Γs + ι) ή � = -g +

aβ + �

3,53 + 4;41

R-

ή �=

+ ΒΓ =

( 16)

ι2

-2

η, =

ν2

\2 a --1--' - 6'= (-'---

... 6 - 2

(Γ)

... 4

(Β)

Λvσεις θεμάτων ολόρο\Jς αvάιrt\Jξnς Β' Λ\Jκείο\J Θέμα 1 - Λvon

οβγ + οβ + βγ + γα + ο + 6 + ν + 2 = = βγ (ο + 1) + 6 (ο + 1) + ν (ο + 1 ) + (ο + 1) + 1 = = 1996 ή (ί:ι + 1) ( Βν + 6 + ν + 1) = 1995 Όμως 1995 = 3 · 5 · 133 ή 1995 = 3 · 7 · 95 1995 = 3 . 19 . 35 ή 1995 = 5 . 7 . 57 ή 1995 = 5 . 19 . 21 ή 1995 = 7 . 15 . 19 . Άρα έχουμε έξι τριάδες αριθμών π.χ. (ο, 6, γ) = = (2, 4, 132) κ.λπ. Θέμα 2 - Λvon

Οι αριθμοί που είναι γραμμένοι στο τετράγωνο της δια γωνίου ΑΓ είναι συμμετρικοί ως προς τη ΒΔ άρα το πολύ 4 οπό αυτούς είναι διοφορεπκοί, έστω οι, a2 , a3 , a4 . Τότε: 2(aι + a2 + a3 + a4) + 2(6 ι + 62 + 63 + 64) = 200 ή ο ι + a2 + a3 + a4 + Β ι + 62 + 63 + 64 = 100 Κάθε αριθμός γραμμένος σε τετράγωνο που δεν ανή κει στις διογωνίοuς ΑΓ, ΒΔ έχέι άλλους 3 ίσους σε συμμε τρικά τετρόγωνο ως προς ης διογωνίους. Το τετράγωvο που δεν ανήκουν σε διαγώνιες είναι 64 - 16 = 48. Άρα υπάρχουν το πολύ 12 διαφορετικοί αριθ μοί ν ι , νz, . . . Vι z· Το άθροισμα των αριθμών που δεν ανή κουν σε τετράγωνο διαγωνίων είναι 2 . 000 - 200 = 1800, άρα 4( ν ι + νz + ... + Vιz ) = 1800 <=> ν ι + νz + ... + ν ιz = 450 . Επομένως το άθροισμα όλων των διοφορεηκών αριθ μών είναι το πολύ 450 + 100 = 550. θέμα 3 - Λvon

Είναι ΜΑ = ΜΒ = k, ΝΒ = ΝΓ = λ Έστω Μ ι , Νι οι προβολές των Μ, Ν στην ΑΓ. Προφα νώς �

= ΝΓΑ ή ΜΑΜ ι = ΝΓΝι άρα τριγΑΜΜ ι "" τρινΓΝΝι οπότε ΑΜι = k = ΜιΗ ( 1) λ ΗΝι ΓΝ ι ΜΑΓ

r· Λ\Jκείο" - Πλόρο"ς αvάοτ\Jξnς 1 . Έστω Α, Β ν χ ν πίνακες με στοιχείο προγμοηκοός αριθμούς και ΑΒ = Ο . Αν υποθέσουμε όη γιο κάθε ν χ ν πίνακα Γ ισχύει 11 + Γ2 1 ;ο: Ο, να αποδείξετε όη 2' llv + Α κ + Β2Ρ Ι ;ο: Ο, όπου κ, ρ Ε Ν*. 2. Έστω ο, 6, γ Ε R, όχι όλοι ίσοι κai ο + 6 + ν ;ο' Ο. Να αποδείξετε όn γιο κάθε συνάρτηση g: R - {Ο, 1 } - R, υπάρχει μια μοναδική συνάρτηση f: R - {Ο, 1 } - R, τέτοιο ώστε: χ- 1 1 - = g (χ), γιο κάθε ο f (χ) + 6 f + νf χ 1-χ χ Ε R - { 0, 1 } .

( ) ( )

3 . Να αποδείξετε όη υπάρχουν φυσικοί οριθμοl που 10 4 τελευταίο ψηφίο τους είναι 1994 και διαιρούνται με τον 1993 .

Γ' Λ\Jκείο" - θέματα οολλαολώv εοιλοyώv

Γιο ποιές nμές του λ Ε R, το τρίγωνο που ορίzουν οι ευθείες ει : y = -4, ε2 : y = λχ + 7, ε3 : Υ = - λχ + 7 είναι ισόπλευρο; 1.

ο) ν'2 6) ν'2

ν)

δ)

ε) {3

2. Αν Α ένας 2 χ 2 πίνακας με στοιχείο προyμοnκούς αριθμούς και Α2 = - 12 , τότε ο Α είναι:

[� �]

ο)

[

δ)

-1

- 1

]

[- � �] [ � � ] -

γ)

ε) κανένα οπό 10 παραπάνω 3.

ναι: ο) 1

ι Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 3 994 δια του 13, εί6) 3

y) 5

δ) 7

ε) 9

Η συνάρτηση f: [ 1 , +οο) - R με (χ) = log (χ + Vx2 + 1 ) + log (Vx2 + 4.

ο) γνησίως αύξουσα 6) γνησίως φθίνουσα σταθερή δ) μηδενική ε) κανένα οπό 10 παραπάνω.

ν)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β. κη. τ. 2/18

- χ) είναι

54ος Παvελλόvιος Μαθαpατικός Διαyωvισpός στα Μαθαpατικό

5. Αν χ, y ΕR η εξίσωση χ x+y

]

2. θέμα:

1 _ και όπου χ το Αν θέσουμε όπου χ το _ 1-χ

έχει

ν) 2 λύdεις α) ο λύσεις β) 1 λύση δ) 3 λόσεις ε) 4 λύσεις 6. Αν το σύστημα αχ + βy = γ, βχ + yy = α, yx + αy = β έχει λύση, τότε: α) α = β = ν β) α - β = β - ν = ν - α �

= � = y_ δ) α = 1, β = 2, ν = Ο β ν α ε) α3 + β3 + ν3 = 3αβν

γ)

. χ-1 --, θα πάρουμε χ .

( 1 � χ) g Ιχl x l β f (x) + v f ( : ) + α f ( ι � ) = g ( � ) ι x x χ 1 χ 1 ν f (χ) + α ( : ) + β f ( ι � ) = ( : ) χ aι

ίχ Ι

+ Β ι

8. Κάποιος έγραψε 6 χpιστουγεvvιάτικες κάρτες α, β, γ, δ, ε, στ και ήθελε να τις βάλει σε 6 φακέλους Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΣΤ aντίστοιχα και να τις ταχυδρομήσει. Από λάθος όμως τοποθέτησε κάθε μια κάρτα σε έναν τυχαίο φάκελο. Η πιθανότητα να τοποθετήσει τις μισές κάρτες στον αντί στοιχο φάκελο είναι:

1 β) 1 ν) _1_ δ) _l_ έ) _l_ 2 24 18 6 60 9. Οι μαθητές που αρίστευσαv σε ένα διαγώνισμα είναι 8. Η πιθανόmτα να είvw 4 αγόρια κw 4 κορfι:σια είναι ε) 60 α) 1 β) 2. ν ) 17 δ) 35 64 256 128 2 8

α)

10. Έστω 100-γωνο Αι Α2 . . . Αι οο · Το πλήθος των διαγωνίων του που ενώνουν δυο κορυφές, από τις οποίες η μία έχει άρτιο και η άλλη περιπό δείκτη (π.χ. Αι Α8, Αιο An , � Α44... ) είναι: α) 1200 β) 2350 γ) 1175 δ) 300 ε) 2400 Λvσεις r· Λ"κείο"

ι. θέμα: Αφού ΑΒ = Ο, παρατηρούμε ότι: Α2κ-ι (ΑΒ) Β2ρ-ι = Ο ή Α2κ Β2Ρ =

Ο οποτε 2 2 2 Ο s I Iv + A κ l llv + Β Ρ Ι = I Ov + Α κ ) Ov + B2 PJ I = = l lv + Α2κ + Β2ρ + Α2κ Β2Ρ Ι = llv + Α2κ + Β2Ρ Ι

�

\ /

(Σ)

3. Θέμα: Θεωρούμε 1993 αριθμούς της μορφής: 1994, 19941994, 199419941994, ... όπου ο τελευταίος αποτε λείται από 1993 τετραψήφιες ομάδες. Είτε ένας από τους tίριθμούς αυτούς διαιρείται ι.iε τον 1993, είτε θα υπάρχουν δύο αριθμοί που διαιρούμεvοι με τον 1993 δίνουν το ίδιο υπόλοιπο. Η διαφορά δύο τέτοιων αριθμών θα έχει τη μορφή 1994 1994 ... 1994 · 104κ (κΕΝ). Όμως 1993 + ιο4κ, άρα 1993 Ι 1994 ... 1994. 2

Α Β Γ Δ Ε

* *

7 *

8 *

Στο 7ο θέμα πολλαπλής επιλογής από τυπογραφικό λάθος είχε γραφεί αντί του σωστού 32 αριθμός 12. Η Επι τροπή Διαγωνισμών κατά τη βαθμολόγηση δεν θα λάβει υπ' όψη το θέμα, εκτός εάν κάποιος μαθητής έχει βρει το σωστό 32 και το έγραψε ως παρατήρηση.

ΥΠΟΨΗΦΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΚΛΟΓΕΣ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε.

ΓΕΝΙΚΗ ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε

12 - 3 - 1 995 •

Το σύστημα (Σ) έχει ορίzουσα α β γ Δ = β y α = 3αβy - α3 - β3 - y3 κ. λπ. Υ α β

ΜέχρΙ 15 - 1 - 1 995 •

χ 1 ( : )+

7. Έστω κύκλος C με ακτίνα r = 4. Το τετpόπλευρο με το μεγιστο εμί3αδό που μπορεί να εyγραφεί στον κύκλο C έχει εμβαδό: α) 32 β) 80 γ) 64 δ) 4Ο Ύ3 ε) 60 VZ

•

------

ΕΚΛΟΓΕΣ ΣΤΗΝ Ε.Μ.Ε

1 9 - 3 � 1 995

Ι=VUΛJ:ΊΛΙ-Ι�Ά R '

vπ

'J/1 Q

Ασκήσεις Αλyε8ρας Α'Λvκείοv

'' ΣΥΝΑΡΥΗΣΕΙΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ" Π . Δαμιανός

1. Να βρεθεί το nεδίο ορισμοv των σvναρ Ίιίσεων

F(x)

ii)

F(x) Υ2χ + 2 - 2 � ι� - 1ο (ι� - νι� - 4

Λvσn:

Vx - 1 �

χ_ _ χ+ 1

Χ;ο! - 1

Άρα Α= [Ο, + οο)

/ \

χοΊόpο Ίnς yωνίας χΟψ και εν σvνεχεία ΊΟ σvppεΊρικό Ίοv Μ3 ως ορος Ίον ά�ονα χΌχ. Να βρεθεί ΊΟ χ Ε R, ώΟΊε

( ΜΜ3)

V20

{

, ει x-l� � o , x�l� π ι·) πρεπ χ + 1 ;ο! Ο Χ;ο! - 1 = ή x l� {αφού xsl� yια κάθεχΕ R) Χ ;ο! - 1 χ � ο π, χ� ο π

{ ,{

Κοτσιφάκnς

{

- r.

1 � - 10 ;>! 0 1 � - 3 ;>! 0 1� > 4

ή χ�2

ή χ > 4 και Χ ;ο! 10.

χ <-4 ή χ > 4 Άρα Α = (4, 10) U (10, + οο)

. - - - - - - - - - - - - - - · .:ι

' ' '

..J1s + 2χ2 = f20 18 + 2χ2 = 20 2χ2 - 2 = ο 2(χ2 - 1) = ο (χ + 1 ) (χ - 1 ) = ο χ = -1 ή χ = 1

χ� - 1 2 Χ;-! ± 10

ή χ�2

Το Μ ι έχει συντεταγμένες -χ, -3 , δηλ. είναι το σημείο Μι (-χ, -3), το Μ2 είναι το σημείο Μ2 (-3, -χ) και το Μ3 είναι το σημείο Μ3 (-3, χ). Οπότε (ΜΜ3) = f20 ..J(- 3-x)2+ (χ- 3)2 = f20

2χ + 1 � 0

ίί) Πρέπει χ-2 � 0

� -- - - -

��-.ιι .·3t .

3. ΔίνεΊαι n σvνάρΊnσn ι(χ)

2χ - 1

(α) Να λvθεί n ε�ίσωσn ι(Ο) + ι(-1) + ι( 1) + ι(-χ) = χ ( 1 ) (β) Να vοολοyιmεί ο λ Ε R αν yvωρίzοpε όn: λ

3).

ι(:)- 2 ι(:) 3 - : =

(2)

(Διαγωνισμός " ΘΑΛΗΣ' τnς Ε.Μ.Ε. 1 987)

2. ΔίνεΊαι Ίο σημείο Μ (χ, Θεωροvμε ΊΟ σvpμεΊρικό σημείο ΊΟV Μι ως ορος Ίnν αρχή Ίων α�όνων Ο, ΟΊΟ σvνέχεια θεωροv με ΊΟ σvμμεΊρικό Μ2 ΊΟV Μι ως ορος ΊΩ δι-

Αύσn

(α) Από τον τύπο της συνάρτησης έχουμε ότι: f(O) = 2 · Ο - 1 = - 1 f(-1) = 2 (- 1 ) - 1 = -2-1 = -3 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 2/20

Σωvαρτιiσεις - Σωστιipατα

f(1) = 1 και f(-x) = -2χ - 1 άρα η εξίσωση (1) γίνεται: = (xr - χΒ)2 + (ΨΒ - ΨΑ) 2 = . = 10 και (ΓΔ)2 = -1 -3 + 1 -2χ - 1 = χ � -2χ-χ = 3 + 1 � = . . . = 10, (ΔΑ)2 = .. . 10. χ = - 1. 3 (β) Επίσης έχουμε:

(}) = 2 } - 1 = Ο και (g) = 2 . g - 1 = λ- 1

άρα η (2) γίνεται:

λ · Ο-2 (λ- 1) = 3- Δ � ... � λ = 2_ 2 3

Άρα το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος ή τετράγωνο. όμως: 2 = (xr - χΑ)2 + (Ψr - ΨΑ)2 = (5 - 1)2 + (5 - 1)2 (ΑΓ) 4. Να βρεθεί το nεδίο ορισμοv τος = 16 + 16 = 32 και προφανώς (ΑΒ)2 + (ΒΓ)2 < (ΑΓ)2 Ο\Jνάρτaσaς f με τVDO άρα ΑΒΓ αμβλυγώνιο Α Επομένως ΑΒΓΔ ρόμβος. + χ2 ι + χ ι F(x) = γ (Β ' rρόπος}: (περιγραφική Λύσn:) γχz + ι + χ + ι Βρίσκουμε rις εξισώσεις rων ευθειών που διέρχο και να δειχθεί ότι είναι nεριττό vrαι από rις κοφυγές α) Α και Β Β) Β και Γ γ) Γ κaι Δ και δ) Δ και Α rου rεrραπΛεύρου. Από rους σvvrεΛε σrές διευθύνσεως εύκοΛα διαπισrώμουμε όrι το ΑΒΓΔ είναι παραλληΛόγραμμο (διόrι ΛΑΒ = ΛΔr και ΛΑΔ = ΛarJ αλλά όχι rεrράγωνο (διόrι ΛΑΒ . Λar ;o! -1}.

Λvσn Πρέπει χ2 + 1 ;::: Ο ηου ισχύει για κάθε χ Ε R και γχ2 + 1 + χ + 1 Ο. Επίσnς (ΑΒ) = (ΒΓ) = '{i(j (όπως προηγούμε 'Εχουμε γχ2 + 1 + χ + 1 > Η + x = l� + χ:<!: Ο νος rρόπος, (α)). Άρα ΑΒΓΔ ρόμΒος. νια κάθε χ Ε R. Θα Βρούμε rώρα για παράδειγμα rnν εξίσωση rnς Οπότε το πεδίο ορισμού της f είναι το R. ευθείας που διέρχεrαι από rα σnμεία Α και Β. Προ Θα δείξω ότι έχει rύπο rnς μορφής ψ = αχ + Β (1). Αφού φανώς f(-x) = -f(x) ή ro Α(1, 1) είναι σnμείο rnς ευθείας, οι σvvrεrαγμένες i(�Γ+l-x- 1 = - Υ(χ2) + 1 + χ- 1 ή rου επαΛηθεύουν rον rύπο (1) άρα: 1 = α 1 + Β ή α i(- x2) + 1 - x + 1 Υ(χ2) + 1 + χ + 1 + Β = 1 (2) ομοίως οι συvrεrαγμένες rου Β (4, 2) επαΛηθεύουν rnν (1) άρα: 2 = 4 α + Β (3). Από rn γχ2 + 1 - (χ + 1) = - γχ2 + 1 + (χ- 1) η, Λύσn rων (2) και (3) Βρίσκουμε γχ2 + 1 - (χ- 1) γχ2 + 1 + (χ + 1) α = 1 και Β = 2. άρα n ευθεία έχει rι5πο ψ = 1 χ + 2. 3 3 3 3 + 1 + (χ + 1)] = [γ [γχ2 + 1 - (χ + 1)] χ2 με όμοιο rρόπο Βρείrε rις υπόΛοιπες ευθείες. -[ γχ2 + 1 - (χ- 1)] [ γχ2 + 1 + (χ- 1)] ή 6. Να βρείτε τnν εξίσωσn ε\Jθείας (ε) no\J χ2 + 1 - (χ + 1)2 = -[χ2 + 1 -(χ - 1) 2 ] ή χ?- + 1 - χ?- -2χ - 1 = -(χ?- + 1 - χ?- + 2χ- 1) -2χ = -2χ διέρχονται αnό το σnμείο Α (ι, ι) και είναι κάθετο στον ε\Jθεία (n) με τvno (αληθής) ψ =-1χ+ 2 5. Να βρείτε το είδος το\J τετραnλεvρο\J no\J σχnματίzο\Jν τα σnμεία Α( ι, ι), 8(4, 2), 1'(5, 5) και Δ(2, 4) ενός ορθοκανονικοv σ\Jστόματος αξόνων Οχψ. Προφανώς η ευθεία (ε) έχει εξίσωση της μορφής ψ = αχ + β (1). Όμως η (ε) διέρχεται από σημείο Α Λvσn (α · τρόπος) ( 1, 1). Άρα οι συvτεγμένες του Α επαληθεύουν την Βρίσκουμε πρώτα τα μήκη των πλευρών του (1) Δηλαδή: 1 = α 1 + β � α + β = 1 (2) ΑΒΓΔ: (ΑΒ)2 = (χΒ - χΑ) 2 + (ΨΒ - ΨΑ) 2 = 2 2 2 Από την υπόθεση έχουμε ότι (ε) .l (η). = (4-1) + (2-1) = 9 + 1 = 10 ομοίως (ΒΓ) = ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 212ι ;ο!

----

Λύση

- - - �... -----

f{-0) = -f{O) � f{O) + f{O) = Ο � 2f{O) = Ο � α· - =-1 �α=3 � f{O) = Ο {1) οπότε η {2) γίνεται 3 + β = 1 � β = -2 άρα η ευθεία {β) Αφού η f είναι αύξουσα τότε {ε) έχει εξίσωσn ψ = 3χ - 2. i) για κάθε χ > Ο έχουμε ότι f{x) > f{O) ή 7. Να 8pείrε rαv εξίσωσα ευθεία� (ε) οου f{x) > ο η, είναι χάθεrα σrαv ευθεία (α) με εξίσωσα όμως χ>Ο φ = 3χ + 1 χαι σχαμαrίzει με του� άξοvε� rpίyωvo εμ8α6οι5 2 rεrpαyωvιxώv μοvά6ωv. χ · f{x) > χ · Ο � χ · f{x) > Ο {2) Άρα

( �)

}

Λvσο

Έστω ψ = αχ + β η εξίσωση της {ε). Τότε α · 3 = -1 �

α = - 1 {αφού {ε) _l_ {η)). Άρα {ε):ψ = - 1 χ + β {1) 3 3 Η {ε) τέμνει τον άξονα ψψ ' στο σημείο Κ(Ο, β). {δηλαδή χ = Ο η {1) δίνει ψ = β). Επίσης, η {ε) τέμνει τον άχονα χχ ' στο σημείο Λ{3β, 0). {όταν ψ = Ο η {1) δίνει χ = 3β). Άρα το εμβαδό του τριγώνου ΟΚΛ είναι: Ε = 1 {ΟΚ) · {ΟΛ) = 1 1� · 13� = 3β2 όμως Ε = 2 2 2 2 3β2 = 2 � β2 = 1 � β = ± ....2__ ή άρα 2 3 i3 β = ± 2 f3 άρα οι εξισώσεις των ευθειών είναι: 3 (ε1 ): ψ = - 1 x + ili και (εz ): ψ = - 1 x _ 2 f3 3 3 3 3 8. ΙΊα τα συνάρτοσο f με οε�ίq ορισμοv το R yνωρίzουμε ότι: yια κάθε χ, ψ Ε R ισχvει f(x + ψ) =f(χ) + f(ψ). ( 1 ). Να δειχθεί ότι: (α) f(O) = Ο και (�) f οεριττιί. Λvσn

ii) Επίσης, για κάθε χ < Ο έχουμε ότι f{x) < f{O) ή f {χ) < 0 άρα χ f {χ) > ο · χ ή χ · f(x) > ο {3) · όμως χ < Ο άρα χ · f{x) > Ο · χ ή χ · f{x) >0 {3) Από {1), {2) και {3) έχουμε ότι χ f{x) � Ο για κάθε χ Ε R.

}

9. Έστω n συνάρτοσο f με πεδίο ορι σμοv το R και τvοο Να δείξετε ότι ί) n f είyαι άρτια. ii) Στο σημείο Α (0, 2) τος yραφικιίς οα ράστασος τος f n τεταyμένn 2 είναι ελάχιστο. Λvσο

Παραrηρούμε όrι: (3 + Γs}{3- Γs) = 9-8 = 1 άρα 1 - = (3 - Γs)- 1 . 3 + Γs = 3- Γs Επομένως η f γίνεται f {x) = (3- Γsr x + (3 - Γsr άρα: i) για κάθε χ, - χ Ε R, έχουμε: {1): f{-x) = (3 - Γsr + (3 - Γsr x = f {x) επομένως f άρηα.

{α) Αφού η σχέση .{ 1) ισχύει για κάθε χ, ψ Ε R θα ισχύει και όταν χ = ψ = Ο, οπότε: f {Ο + 0) = f {0) + f{O) � f{O) = 2 f{O) � f{O) = Ο. ii) για χ = Ο έχουμε {β) Επίσης η {1) αν θέσουμε όπου y το -χ γίνεται f{x - χ) = f{x) + f{-x) � f{O) = f{x) + f{-x) � f{O) = (3 - v'8f 0+ (3 - ν'8)0 = 1 + 1 = 2 � Ο = f{x) + f{-x) � f{-x) = -f{x), άρα για κάθε χ Ε R, -χ Ε R και f{-x) = -f{x) και άρα το σημεfο {0, 2) ανήκει στη γραφική παράσταση της f για vα έχει τεταγμένη με ελάχιστη τιμή πρέπει για συνεπώς η f είναι περιπή . κάθε χ Ε R να ισχύει 9) Αν yια το συνάρτοσn f με οεδίο ορι f {χ) � 2 ή (3 + Γsrx + (3 - Γsr � 2 � σμοv το R yvωρίzετε ότι: είναι αvξουσα και 1 + (3 - Γsr � 2 � οεριττιί, να δείξετε ότι (α) f(O) = O και (8) χ · f(x) � Ο yια κάθε χ Ε R. (3 - Γsr � 1 + (3 - Γsfx -2(3 - ifir � ο � Λvσο {α) Αφού η f είναι περιπή τότε για κάθε χ, -χ Ε R [ 1 -(3 - Γsr]2� ο γεγσvός που ιmψει. θα ισχύει ότι f{-x) = -f{x) άρα αν χ=Ο έχουμε ότι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. ι. 2/2�

Σvvαρ"Ιόσεις - ΣvΟΙόpα'Ια

= (χι - xz ) (χι + xz) - 8(χι - xz) = = (χι - χz Ηχ ι + xz-8) (1) Από την αρχική σχέση χι < χ2 ::5 4 έχουμε χι - χ2 χ2, :ιr. s 2 < Ο και χι + χ2 < 8 ή χι + χ2 - 8 < Ο (2) . Από τις 2 σvνάρmσnς � pε F (:ιr.) σχέσεις (1) και (2) έχουμε f(χι ) - f(x2 ) > Ο ή f(χι ) > .. > 2 f(x2 ). Δηλ. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο, 4]. Στ_. σvνέχεια να βρεθεί το �ολο τιμών τος f. Έστω Χ ι , χ2 Ε [4, + οο) με 4 ::5 χι � χ2 έχουμε χ ι - χ2 < Ο και χ ι + χ2 > 8 ή χι + x2 :�c'8' ' > Ο (4) . Avσn Από τις σχέσεις (3) και (4) έχουμε f(χι ) - F(x2 ) < Ο ή Επειδή για 2 < χ < 3, χ - 3 < Ο, οπότε Ιχ - 31 = - f(χ ) < f(x ). Δηλ. η f είναι γvησίως αύξουσα σrο [4, +οο). ι 2 χ + 3 και για χ <:: 3, χ - 3 <:: Ο, οπότε l x - 3 1 = χ - 3 η f, έχει τύπο ii) Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-οο, 4] και γνησίως αύξουσα στο [4, +οο) θα παρουσιάzει -lx2, xs 2 2 ελάχιστη τιμή στο σημείο Χο = 4 F (x) = την f(4) = 42 - 8 · 4 + 20 = 16 - 32 + 20 = 4 - χ + 3, 2 < χ < 3 ιο. Να μελετοθεί ως προς το μονοτονία και να yίνει ο yραφ ικό παράστασο τος =

/ \

Χ- 3,

!_ ι_ \1• - 31. -

ΧΟ!: 2

Μονοτονία Στο διάστημα (-οο, 2] η f είναι της μορφής f(x) = αχ2 με ο < Ο, οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο (-οο, 0] και γνησίως φθίνουσα στο [0, 2] (θεωρία σχολικού βιβλίου). Στο διάστημα (2, 3) η συνάρτηση είναι της μορφής αχ + β με α = -1 < Ο, οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό (εφαρμογή σχολικού βιβλίου). Τέλος, στο διάστημα [3, +οο) εί ναι της μορφής f(x) = αχ + β με α=1 >0, οπότε είναι γνησίως αύξουσα σ' αυττό το διάστημα (πάλι από εφαρμ. σχλικού βιβλίου) Γραφική παράσταση

;ο!

ι2. Δίνεται ο σ"νάρτοσο F, με F(x) = (λ4 + ι 5)χ + ι6 με λ Ε R. Να δεί�ετε ότι i) ο F είναι yvοσίως αv�ο"σ..

ίί) F (α) < F

(;) b

iii) F (-2 1994 )

2 ---- - - - -- - - -- - -- - -----I

iii) Αφού η συνάρτηση παρουσιάzει ελάχιστη τιμή στο χ0 = 4 την f(4) = 4 [ερώτημα ii] έχουμε f(x) <:: f(4) για κάθε χ Ε R (1). Λόγω της μονοτονίας όμως όταν χ 4 θα είναι και f(x) f(4) (γιατί;) Οπότε f(x) > 4 για κάθε χ Ε R -{4} και f(-5 ι995) > f(4) = 4 και f(5 ι995) > f(4) = 4 (Αφού-5 ι995 και 5ι 995 ;ο! 4). Άρα f(-5 ι995) . f(5 ι995) > 16.

F (b),

F(2 1993)

αv

F(2 1995)

· · - · · · · ·

Λvσο

i) Αφού λ4 + 15 > Ο η F είναι γνησίως αύξουσα στο R.

α+b . Δ,�, , ιι) "'!Λ-'υ α < b, εχουμε α < -- < b Από τη γραφική παράσταση της f παρατηρούμε 2 ότι το σύνολο τιμών της fεfναι το (-οο, Ο] υ [0, 1) υ [Ο (α=α και α < b, οπότε 2α < α + b ή +οο) = (-οο, -2] υ [0, +οο) ' ' α < α + b . Ακομη α < b και b = b, οπσrε 2 ι ι. Δίνεται ο σvνάρτοσο f με ' F(x) χ2 8:ιr. + 20. α + b < 2b ή α + b < b). 2 i) Ε�ετάστε τ�ν f ως προς το μονοτονία στα διαστήματα (-οο, 4] και [4, +οο) Άρα f(α) < t α b < f(b). (�ύ F yvησίως αύξουσα) =

ίί) Βρείτε τα ακρ�τα-.:α τος f iii) Αοοδεί�ε ότι F(-5 1995) · F (5 1995)

Λvσο

ι6.

i) Έστω χι , χ2 Ε (-οο, 4] με χι < χ2 ::5 4. Έχουμε F(χι ) - F(x2 ) = χι 2 - 8χι + 20 - (χ22 - 8χ2 + 20) = χι2 - 8χι - χι 2 + 8xz =

(;)

iii) Για α = -2 ι994, b = 2 ι 995 έχουμε α < b, οπότε από την ανισότητα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ, 2/2

�uναρτοσεις - �uστοpατα

ι 4 - 2ι994 < 2 99 (2 - 1) < 2ι995 ή-2ι994 < 2 ι993 < 2ι995 2 Επειδή η F είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε τελικά: F(-2 ι994) < F(2 ι 993) < F(2 ι 99s) 13. Να λvθεί και να διερεvνnθεί yιa Ίις διάφορες Ίιμές ΊΟV λ Ε R ΊΟ σvΟΊnμα:

{ (λ + 1) χ - 2 (λ - 1)ψ = 3 }

χ + 3λψ = 4λ + 5 (Θέμα 4ης Δέσμης 1984) Λvσn

(Σ )

Δηλαδή το (Σ) αδύνατο για λ = 1 ii) λ - 1 έχοομε Dx = . . . = 33 ;ι! Ο. 2 4 Επομένως το (Σ) αδύνατη για λ = - 1/2 Τελικά το (Σ) είναι αδύνατο αν λ = 1 ή λ = - 1/2 σν

15.

Να βρεθόvν οι Ίιμές Ίων οραyμαΊι κών αριθμών λ και μ yιa ΊΙς οοοίες Ίa· ΟVΟΊόpΟΊΟ:

{ {

}

(Σι) (2λ - 1) • + 10 J1'P = 3 � 2:ιι + 4ψ = 5 (Σ:z} (λ - 2) χ - (μ + 1 ) ψ = 7 3χ - 6 ψ = 7 είναι σvyχρόνως aδuνaΊa. (4n Δέσμη 1987)

}

Η ορίzουσα των συvτελεmών είναι D = 3 - 2 (λ- 1) = 1 3λ Λvσn Για να είναι τα (Σ ι ) και (Σ2 ) συγχρόνως αδύνατα = 3λ (λ+ 1) + 2(λ - 1) = ... = 3λ2 + 5λ - 2 = πρέπει τουλάχιmον (1) D 1 = Ο και (2) D2 = Ο 2 = 3λ + 6λ - λ � 2 = (3λ - 1) (λ + 2). Λύνουμε το σύστημα των (η και (2). και έχουμε: Ανάλογα έχουμε Dι = Ο και $> Si\- 2(\ι-4 = Ο $> ... μ = 1 και Dx = 3 -2 (λ- 1) = ... = (8λ-5) (λ + 2) - 6λ+ 3μ + 15 = 0 λ=3 D2 = 0 4i\ + 5 3λ Όμως για μ = 1 και λ = 3 έχουμε: και DΨ = λ + 1 3 = ... = (4λ + 1) (λ + 2) D ι χ ... = -38 ;ι! Ο και D2x = ... = -32 Ο. 1 4λ + 5 Επομένως για μ = 1 και λ = 3 τα (Σ ι ) και (Σ2 ) είΔιακρίνουμε ης εξής περιmώσεις ναι συγχρόνως αδύνατα. (Ι) Από D Ο δηλ. αν λ;ι! 1 και λ;ι!-2 τόrε το (ε) έχει Μσn 16. Να λvθεί ΊΟ σVmnpa: 3 l_ + _l_ + _l_ = 5 (1.) 4λ + 1 Dφ 8λ5 D και ψ = - = -χ ψ ω 6 την x = _____ll = D 3λ- � D 3λ- 1 l_ + _l_ + l_ = l_ (2) τότε το (Σ) έχει 1 λύση τη χ ψ z 4 (Σ ) (II) Αν χ = 1/3 τότε D = Ο και Dx Ο οπότε το (ε) 13 (3) l_ + l_ + _l_ = είναι αδύνατο. χ z ω 12 (III) Αν λ = -2 τότε D = Dx = DΨ = Ο οπότε το (ε) _l_ + l_ + _l_ = - __5_ (4) γίνεται: ψ z ω 12 αν χ · ψ · ω · z ;ι! Ο / - χ + 6ψ = 3 η, \ χ- 6ψ = -3

I Ι

} {

}

;ι!

}

Λuσn

χ = -3 + 6ψ άρα το Σ έχει άπειρες λύσεις της μορ Με πρόσθεση και των τεσσάρων εξισώσεων του φής (χ, ψ) = (-3 + 6ψ, ψ), ψ Ε R. (Σ) κατά μέλη έχουμε 3 1 + l + l + 1 = 2 + 1 + 13 _5_ <;:> 14. Να οροσδιοριmοw οι Ίιμές ΊΟV λ Ε R χ ψ ω z 6 4 12 12 ώΟΊε ΊΟ OUOΊDμa: 1 + l + l + 1 = _]_ (5) Άρα: /(λ + 1 ) χ - 2 (λ - 1) ψ = 3 \ (Σ) χ ψ ω z 12 \ χ + 3λψ = 4λ + 5 Ι με αφαίρεση κατά μέλη των (5) και (1) έχουμε: να είναι αδvναΊο. (Θέμα 4ης Δέσμης 1986) 1 = _1_ - 2 $> 1 = - 3 $> Ζ = - 4 z 12 6 z 12 Λvσn Ομοίως: των (5), (2) έχουμε Για να είναι το σύmημα αδύνατο πρέπει τουλάχιmον l = .1.. - 1 $> _1_ = _4_ $> (ι) = 3 D = Ο $> ... $> (λ- 1) (2λ + 1) = Ο $> λ = 1 ή λ = - 1/2 ω 12 4 ω 12 i) αν λ= 1 έχουμε Dx = ... = Ο και DΨ = ... 43 ;ι! Ο.

(

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ.

2/24

)

Σuvαιn:8σεις ,- Σνστιίματα

Με aντικατάσταση των (5) και (6) στο (Σ) έχουμε.

των (5) και (3):

l = � - 13 � l = - 6 � ψ = -2 ψ 12 12 ψ 12 και των (5), (4) έχουμε: 1 = � + 2 � 1 = 12 � χ = 1 χ 12 12 χ 12 17. Να λvβεί 1:0 σUcn:npα

•Ψ ω = 2 (ψω - ωκ - χψ) J•Ψ ω = 3 (ωχ - ψω - χψ) \χ ψ ω = 4 (χψ - ψω - ωχ)

(1 )

(2)

)

(Σ)

(3)

χ · ψ · ω ;ο! Ο Λuσο

Αφού χ · ψ ω ;ο! Ο � (χ Ο και ψ ;ο! Ο και ω ;ο! 0) η ( 1) γίνεται 1 = ψω - ωχ-χψ � 1 - l - 1 = 1 (4) όμοια χψω χ ψ ψ 2 2 η (2) γίνεται: 1._1_1. = 1 (5) ψ χ ω 3 και η (3) γίνεται: l_l_l = 1 (6) ω χ ψ 4 με πρόσθεση κατά μέλη των (4), (5) και 6) έχουμε: _ 1._1_1. = 1 + 1 + 1 � l + l + l = - 13 (7) ω χ ψ 2 3 4 χ ψ ω 12 Από τις σχέσεις (7) και (4) με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: 2_ = _ 13 + l � x = _ 24 χ 12 2 7 Επίσης aπό (7) και (5) έχουμε: 2._ = _ 13 + 1 � χ = - 8. ψ 12 3 3 και aπό (7) και (5) έχουμε: 2._ = _ 13 + 1 � ω = - 12 ω 12 4 5 ·

;ο!

18. Να λ\!8εί 1:0 Clν01:npα: 2 (χ + z) + ω = - 5 (1)

1 \

χ + 2 (ψ + ω) = 6

(2)

2 (ψ + ω) + z = Ο

(3 )

ψ + 2 (z + χ) = - 1

(4)

\ 1

12x (-+ 2ψ(-x- ω) + ω = -5 \ Ι- 2ω - 2ψ + ω = -5 \ z) = 6 � x-2x- 2z = 6 \2 (-x-z) + z = O= - 1 \-χψ2x-- 2ω2z-+2ψz ==O- 1 � ψ + 2 (- ψ - ω) I I Ι + 2ψ = 5 (7) \ � χ+ 2z = - 6 (8) \2χ2ω++zψ== 1 (10)(9) I (10) ο

βρί Από τη λύση του συστήματος των (7) και σκουμε ότι ω = -1 και ψ = 3. Ενώ aπό την λύση του συστήματος των (8) και (9) βρίσκουμε ότι χ = 2 και z = -4. Γιάννη Δ. Σ1:pα1:ιί DΡΑΓΜΑΥΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι σελίδες: 392 ηpιί 3.800δρχ. Δια1:ί8εται 01:α κεντρικά βιβλιοοωλεία

Περιέχει: • Όλη τη θεωρία , σύμφωνα με το Αναλυτικό Πρόγραμμα που ισχύει, με παραδείγματα και αvτιπαραδείγματα. • Κάθε κεφάλαιο κλείνει με μια πλούσια συλλογή ασκήσεων προοδευτικής δυσκολίας με αποτέ λεσματα mo τέλος του βιβλίου και υποδείξεις για τις πιο δύσκολες. • Για την εμπέδωση των μεθόδων παρατίθεται ένα πλήθος από υποδειγματικά λυμένα θέμαω. Για την αποmολή (με αντικαταβολή του βιβλίου ταχυδρομείmε το παρακάτω δελτίο παραγγελίας mη διεύθυνση: "Γιάvvη Στρσrή Εσπερίδων 5 Γαλάτσι 1 1 1 46"

ΔΕΛΥΙΟ DΑΡΑΓΓΕΛΙΑΣ

Όνομα: (3 )

Επώνυμο: Διεύθυνση: Τηλέφωνο:

Λuσn

Σχολείο:

... 5(χ + ψ + z + ω) = Ο � χ + ψ + z + ω = Ο

Φροvτιmήριο:

Με πρόσθεση των (1), (2), (3), (4) έχουμε:

aπ' όπου:

{

χ + z = - ψ - ω (5) και \ ψ + ω = - χ - z (6) /

------ ------Πόλη:

------- ·

Στους συναδέλφους μαθηματικούς γίνεται έκ πτωση 40% και προσφέρεται ένα βιβλιαράκι με τις λύσεις των ασκήσεων.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/25

rεωμετρία Α' Λvκείοv Λεωνίδ ας Το vρλας

Το θεώρnpα τοu θολό

Ασκnσn ln:

Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την ΒΓ, που, τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Από το Γ φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την ΒΕ, που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. Να δείξετε ότι:

και Ε τέτοια, ώστε να είναι ΜΔ = ΜΕ. Από το Δ φέρ νουμε παράλληλη προς την ΑΓ, που τέμνει την ΑΒ στο Ζ και από το Ε παράλληλη προς την ΑΒ, που τέ μνει την ΑΓ στο Η. Να αποδειχθεί ότι ΖΗ // ΒΓ. Α

Λ.Jon

Λ.Jσn

Επειδή ΔΕ // ΒΓ, εφαρμόzοvτας το θεώρημα του Θαί\ή, έχουμε: ΑΔ = ΑΕ (1)

ΑΓ Όμοια, επειδή ΒΕ // ΓΖ, έχουμε: ΑΒ

ΑΒ = ΑΕ

Αρκεί να δείξουμε όrι: ΑΖ = ΑΗ . ΖΒ ΗΓ Επειδή ΔΖ//ΑΓ, έχουμε ΑΖ = ΔΓ (1) ΖΒ

ΔΒ

και ΕΗ // ΑΒ · άρα ΑΗ = ΒΕ (2) ΗΓ ΕΓ Όμως, ΔΓ = ΒΕ και ΔΒ = ΕΓ (yιαrί;) Επομένως από (1) και (2) ΑΖ = ΑΗ ΖΒ ΗΓ Ασκnσn 3n:

Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο ΑΔ της γω νίας Α, που τέμνει την ΑΒ στο Ε και την ΑΓ στο Ζ. Να δείξετε ότι ΕΒ = ΓΖ.

(2)

ΑΖ ΑΓ Από τις (1) και (2) προκύmει

Ασκnσn 2n:

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Πάνω στην πλευρά ΒΓ ορίzουμε δυο σημεία Δ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 2/26

Ι'εωpετρία Α · Λ\ικείοv Λvσn

Λvσn

Επειδή ΑΔ //ΕΜ, έχουμε ΕΒ = ΜΒ (1)

Η προς απόδειξη σχέση γράφεται

FA ΜΔ ΑΒ = ΔΝ (1) ΓΜ ΑΒ και ΖΜ !I ΑΔ· άρα ΓΖ = ΓΜ = ΜΒ (2) "ΖΑ ΜΔ ΜΔ Επειδή ΑΒ /I ΓΜ, τα τρίγωνα ΡΑΒ και ΡΓΜ είναι όμοια και Από (1) και (2) παίρνουμε ΕΒ = ΓΖ (3) FA "ΖΑ ΑΒ = ΑΡ (2) Επειδή Ε = Α1 = Α2 = Ζ, το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ΓΜ ΡΓ ισοσκελές και ΑΕ = ΑΖ. Επειδή ΔΝ // ΑΒ, τα τρίγωνα ΡΑΒ και ΡΝΔ είναι Οπότε .από την (3) προκύmει ότι ΕΒ = ΓΖ. �

�

όμοια και

ΔΝ = ΑΡ ΑΒ

Ασκnσεις yια λvσn

4. Από τυχαίο σημείο Ν της διαμέσου ΑΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ, που τέμνουν την ΒΓ στα σημεία Δ και Ε. Να αποδείξετε ότι η ΝΜ είναι διάμεσος του τρι γώνου ΔΝΕ. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Μ της πλευράς ΒΓ τέτοιο, ώστε ΜΓ/ ΜΒ = μ/ν. Αν η ΑΜ τέμνει τη διάμεσο ΓΔ σε σημείο Ε, να δείξετε ότι: ΕΓ _ 2 · μ ΕΔ

- --

6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τα τρία ύψη του ΑΔ,

(3)

ΡΝ Από τις (2) και (3) προκύmει η (1) και η zητούμε νη σχέση. Ασκnσn 9n:

Από τυχ�ίο σημείο Μ της υποτείνουσας ορθογω νίου ΑΒΓ (Α = 90 • ) φέρνουμε κάθετες ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το α'θροισμα ΑΔ - + ΑΕ - ειvαι , σrα , .

ΒΕ και ΓΖ και τμήματα ΔΗ _ι ΑΒ και ΔΘ _ι ΑΓ. Να δείξετε ότι ΗΘ // ΖΕ. 7. Να δείξετε ότι τα σημεία τομής των διαμέσων (κέντρα βάρους) των τεσσάρων τριγώνων, στα οποία διαιρείται τυχαίο τετράπλευρο από τις διαγώνιές του, είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

θερό .

ΑΓ

ΑΒ

Όμοια τρίyωvα

Ασκnσn 8n:

Λvσn

Από τις κορυφές Γ και Δ τραπεzίου ΑΒΓΔ (ΑΔ // ΒΓ) φέρνουμε παράλληλες προς την ΑΒ, που τέ μνουν τις ΒΔ και ΑΓ στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΑΒ2 = ΓΜ ΔΝ. ·

Επειδή ΑΔ = ΜΕ και ΑΕ = ΜΔ

ΑΔ + ΑΕ = ΜΕ + ΜΔ (1) ΑΒ

ΑΓ

ΑΒ

ΑΓ

Επειδή ΜΕ // ΑΒ, τα τρίγωνα ΓΕΜ και ΓΑΒ είναι όμοια και

ΜΕ = ΓΜ (2) ΑΒ

ΓΒ

Επειδή ΜΔ // ΑΓ, τα τρίγωνα ΒΜΔ και ΒΓΑ είναι όμοια και

ΜΔ = ΒΜ ΑΓ ΒΓ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 2/27

(3)

ι Έωpειρίο Α . .Β\Ιιιείο\1

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (2) και (3) ΓΜ ΒΜ = ΓΜ + ΒΜ = ΒΓ . - - = 1. ΑΒ + ΑΓ = ΓΒ + ΜΕ

ΜΔ

ΒΓ

τι:;ιΙU'\α' Μ - + ΑΕ ΑΒ ΑΓ = 1 = σrαθερό.

ΒΓ

_")....

, ωσrε , ΑΕ , -=Μ - = ΔΖ ανησrοιχa τεrοια, -. ΕΒ ΒΓ ΖΓ

Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΕΖ σχηματίzει ίσες γω νίες με τις ΑΔ και ΒΓ.

Aoaaσa 10a:

Σε τρίγωνο ΑΒΓ η μεσοκάθετος της πλευράς ΒΓ τέμνει τις ΑΓ και ΑΒ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Αν ΑΗ είναι ύψος του τριγώνου και Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να δείξετε ότι: Λvσa

Φέρνουμε από το Ε παράλληλη προς την ΒΓ, που τέμνει την ΑΓ στο Κ. Από το θεώρημα του Θαλή έχουμε: ΑΚ = ΑΕ = ΔΖ ΚΓ

•

Λvσa

Επειδή ΔΜ 11 ΑΗ, τα τρίγωνα ΓΔΜ και ΓΑΗ είναι όμοια. Άρα Alt = rn

ΓΜ

ΔΜ

(1)

Επειδή ΕΜ 11 ΑΗ, τα τρίγ�να ΒΕΜ και ΒΑΗ είναι όμοια. Άρα ΑΗ

ΒΗ (2) ΕΜ ΒΜ Προσθέτουμε τις (1) και (2) κατά μέλη ΑΗ + ΑΗ = Πi + ΒΙ-Ι = Πi + ΒΗ = ΒΓ = 2 ΒΓ ΓΜ ΔΜ ΕΜ ΓΜ ΒΜ

ΕΒ

ΖΓ

επομένως ΚΖ II ΑΔ. Για να δείξουμε ότι ω = φ, αρκεί να δείξουμε ότι ΕΚ = ΚΖ . Τα τρίγωνα ΑΕΚ και ΑΒΓ είναι όμοια. Άρα ΕΚ = ΑΚ ΑΓ

(1) ΒΓ Τα τρίγωνα ΓΚΖ και ΓΑΔ είναι όμοια. Άρα ΚΖ = ΑΓ ΚΓ (2)

Μ Διαιρούμε κατά μέλη τις (1) και (2) και έχουμε:

απ' όπου προκύmει:

Μά ΑΚ = ΑΕ = Μ οπόrε η (3) yίνεrαι: ΚΓ

ΕΚ . Μ ΚΖ ΒΓ

ΕΒ

ΒΓ

= Μ . άρα ΕΚ = 1 και τεΛικά ΕΚ = ΚΖ. ΒΓ

ΚΖ

Το nvθαyόρειο θεώρaμα

Ασκaσa 13n: Ασκaσa 1 1a:

Δίνεται τραπέzιο ΑΒΓΔ με Α = Δ = 90• . Αν Μ και Σε ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΔ = ΒΓ, Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντί στις πλευρές ΑΒ και ΓΔ παίρνουμε σημεία Ε και Ζ στοιχα, να αποδείξετε ότι ΒΓ2 - ΑΔ2 = 4· ΜΝ2 . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2128

Β Ι Β Λ Ι Α

κΑ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν

·�':Jr. - 1,� ;�':;�;

�:} :

e �'.��·;ί��ΙΙ:�ιι

ΚΥΚΛΟΦΟΡΟΥΝ Λt.!on

Αν φέρουμε τμήμα BE·.l ΓΔ και εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, για το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΓ θα έχουμε: ΒΓ2 ΒΕ2 + ΕΓ2 ΑΔ2 + ΕΓ2 ή ΒΓ2 - ΑΔ2 ΕΓ2 =

Αρκεί τώρα να δείξουμε όtι ΕΓ2 ΕΓ 2 ΜΝ

•

ΔΙΑΝΥΣΜΑ1ΙΚΗ ΓEQMETPIA

•

ΚQΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

ΔΓ - Ν3

ΔΓ - ΔΕ

ΕΓ

•

4 ΜΝ2 ή

ΑΛΓΕΒΡΑ

ANri. ΜΝ

•

(π{νακις-σuστι\ματα-ορ{tοuσις) ΕΥθΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡQΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ό.ε.δ.

Άσιιnσn 14n:

Αν ΑΕ είναι το ύψος ισοσκελούς τραπεzίου ΑΒΓΔ (ΑΒ /I ΓΔ), να δείξετε ότι ΑΓ2 - ΑΔ2 ΑΒ ΓΔ. =

Λt.!on

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕΓ και ΑΔΕ έχουμε:

Σε κά8ε ΒιΒΛίο παρατί8ετaι με με8οδικό

ΑΓ2 ΑΕ2 + ΕΓ2 ΑΔ2 ΑΕ2 + ΔΕ2 Αφαιρώντας κατά μέλη ΑΓ2 - ΑΔ2 ΕΓ2 - ΔΕ2 ( ΕΓ + ΕΔ) (ΕΓ - ΕΔ) ΔΓ (ΕΖ + ΖΓ - ΕΔ) ΔΓ ΕΖ ΔΓ ΑΒ .

τρόπο n 8εωρίa, τn v οποία πΑaισιώvουv:

•

ηαρατnρήσει� λυμένε� εφαρμογέ, 6λυτε� πρωτότυπa, ασκήσει,

•

Για πληροφορίες απευθυνθήτε στα τηλέφωνα: 270 747- 266 766 - FAX 241 184

Άσκnσn lSn:

Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ α Γ2 καιΑΔ α. Αν ΑΕ και ΓΖ είναι κάθετα τμήματα στη διαγώνιο ΒΔ, να δείξετε ότι ΒΖ ΖΕ ΕΔ. =

6- C1" τw

Α Ι; (

\�α qι 0\ n o � Α l{� ιι..ι � ι s n e c δ' ι ?'<e> '"W'�O cJ � . � vJ ν Ρ.. / r �"" I �J � € ι υ- "Ζ.-0 �"" S � V CA �·ρ εθ ΕΛ. V\ f\ <..U' c:r

/4Jtιι:a.

Ο'"ζ. Ι S

"t.D... Ci

ΑΒ

�� Γ β)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 2/29

β -·Hi- I- 6Γ ;:ο (\ \ιC. 2-

εωpετρια � nοκειοο

ΖΑΓ + ΓΑΒ + ΒΑΔ = 90· . Το τρίγωνο ΓΖΑ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και αν ΑΓ = β, τότε ΖΑ = β Γ2 . Όμοια αν ΑΒ = γ, τότε ΑΔ = γ Γ2 . ΖΔ = ΖΑ + ΑΔ = β f2 + γ f2 = f2 (β + γ) Γ Α Επειδή ΖΜ = ΜΔ = 'ΖΔ. θα είναι ΖΜ = ΜΔ = f2 (β + γ) Λvσn 2 2 Κατ' αρχήν τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΖΓ είναι ίσα, οπότε ΔΕ = ΖΒ. ΑΝά ΛΜ = ΖΜ - ΖΛ = ΖΜ ΖΑ f2 (β + γ) f2 β - = Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε: 2 2 2 ΒΔ2 = ΑΔ2 + ΑΒ2 = α2 + (α f2 ) 2 = 3α2 Μ v i2 και ΜΚ = ΜΔ- ΚΔ = ΜΔ-= -= απ' όπου ΒΔ = α Γ3 2 2 Από το ίδιο τρίγωνο ΑΔ2 = ΒΔ · ΔΕ = f2 (β + γ) Υ f2 = β f2 ΔΕ 2 2 2 2 ή α = α f3 Το τρίγωνο ΓΛΜ είναι ορθογώνιο στο Λ Άρα θα απ' όπου ΔΕ = _:!__ = ..!:._ = α f3 = &l_ είναι: 3 α fi f3 3 ΓΜ2 = ΓΛ2 + Ν:ν1.2 = 2 + Ν:ν1.2 Επομένως ΔΕ = ΒΖ = ΒΔ ψυ01Κά και. ΕΖ = ΒΔ. 3 3 2 Άρα ΔΕ = ΕΖ = ΒΖ ή ΓΜ2 = β + j = c} (1 ) 2 2 2 Το τρίγωνο ΒΚΜ είναι ορθογώνιο στο Κ. Άρα θα είναι: 2 Ασκnσn 16n: 2 ΒΜ2 = ΜΚ2 + ΒΚ2 = +

(�)

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 •). Εξω τερικά του τριγώνου κατασκευάzουμε τα τετράγωνα ΑΒΔΕ καιΑΓΖΗ. Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΔΖ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

�

(�)

2 ή ΒΜ2 = β + j = c} (2) 2 2 2 Από ( 1 ) και (2) έχουμε ΓΜ = ΒΜ και και ΓΜ2 + ΒΜ2 = r} + r} = cf = BΓ2 2 2 Επομένως το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Ασκιίσεις yια λuσn

19. Αν Η είναι το ορθόκεvτρο τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι: ΗΒ2 - ΗΓ2 = ΑΒ2 - ΑΓ2 . 20. Αν Δ είναι τυχαfο σημείο της βάσης ΒΓ ισο σκελούς τριγώνου ΑΒΓ, να δείξετε ότι: ΑΒ2 - ΑΔ2 = ΒΔ · ΔΓ. 21. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και Ο τυχαίο σημείο της διαγωνίου του ΒΔ. Να δείξετε ότι: i. ΑΒ2 - ΑΟ2 = ΟΒ ΟΔ Λvσn ίί. ΒΟ2 + ΟΔ2 = 2 · ΑΟ2 Κα(αρχήν τα σ�εία Ζ, Α, Δ είν9_ι συνευθειακά. Γιατί ΖΑΓ = 45 • , ΓΑΒ = 90• και ΒΑΔ = 45 • . Άρα ·

Gde.. w Α 8 r Av

!b t. f

\t.G..\ \

\1 tc7o -z.νι_S

Μ -a �

�

�(f

c5l

<.ι � w r ll. ! d'ι ICO �ο \-" ο t.-S

v.. v

f3 Γ

� -ι. f

Α ., G D

�

�C1. ι

ι:Λ) Λ Μ � \ σ-o o- ..a.>.t..S

"ζ. ο�

f\ � �

ι σ- 19

l δ\ �Ο'Ζ.Ο � ο z � ) 1\Μ {/ ΑΓ) � Μ /Ι Α Β r) ο.ν f>ι :: � c.ι (\. �

Γ\� εv ε' cS>.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/30

�

β Λ

lιι6dtιεις

�� κορφή

Από τις εκδόσεις « Κορφή» κυκλοφορούν τα παρακάτω Β ιβλία Μαθηματικών:

nρογμοτικει; σuνορτησεrι:;

�οΥΑ��'�ε2 η Α tιuχος

' Ν·'

Λ' & Β' ΤΟΜΟΣ

. ......... . � εue.α �> Κ...-;λο!; , ,.._, i EλACiψn ι γ"�"'

ΔΗΜΗΤΡΗΙ ΑΝΛΓΝΟΙ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ Τ. Λ'

ΥΠΟ ΕΚΔΟΣΗ

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1 0)

Κ. ΠΑΠΟΥrΣΗ: «ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ»

Ε. ΚΑΜΠΑΝΗ - Ν. ΚΡΑΣΑΚΗ: ccΑΝΑΛΥΣΗ» Α' & Β' τόμος

Β. ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ: ccMEΛETH ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ» Α' & Β' τόμος (Β' ΤΟΜΟΣ ΥΠΟ ΕΚΔΟΣΗ) Θ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΜΟΥ - Α. ΚΑΛΟΓΙΑΝΝΗ: ΜΑΘΗΜΑτJΚΑ r ΛΥΚΕΙΟΥ ccΑΝΑΛΥΣΗ» Θ. ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΜΟΥ - Α. ΚΑΛΟΓΙΑΝΝΗ: ΜΑΘΗΜΑτJΚΑ r ΛΥΚΕΙΟΥ ccΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ»

Κ. ΜΠΙΡΜΠΙΛΗ : ccANAΛY11KH ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

Δ. ΑΝΑΓΝΟΣ: Δ. ΑΝΑΓΝΟΣ:

ccΓEΩMETPIA Α' ΛΥΚΕΙΟΥ»

ccΓEΩMETPIA Β' ΛΥΚΕΙΟΥ» Τ. Α' (ΥΠΟ ΕΚΔΟΣΗ)

ΛΙΝΑΣ ΑΝΑΓΝΟΥ - ΠΑΤΣΙΟΜΗΤΟΥ: ccΣVMOΓH - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ», Β' ΛΥΚΕΙΟΥ

Α. ΠΑΠΑiΩΑΝΝΟΥ: ccMAΘHMAτJKH ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ Π ΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ», rΛYKEIOY

Θα τα β ρε ίτε

σ'

όλα τα β ι βλ ι οπωλεία

KENTPIKH ΔΙΑΘΕΣΗ: ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ GUTENBERG: Σόλωνος 103 - 106 78, Τηλ.: 3600798, FAX: 3600127

Αριθμ ητικές και Γε ωμετρ ικές Π ρ ό ο δ ο ι Γιώρyος Η. Μπ αραλιίς

Είναι:

Ασκnσn ln:

a2 + οβ + β2 + β2 + βγ + � = = a2 + 2β2 + � + β ( ο + γ) = a2 + � + 2β2 + β . 2β = a2 + � + 4β2 = = α2 + � + (ο + γ) 2 = 2α2 + 2αγ + 2� = = 2 (� + γα + α2 ) .

Σε μια αριθμητική πρόοδο δίνονται: (1) ov 206, ω = 3, Sv = 3979 Να βρεθούν το: οι, ν και το 550 =

Λvσn

/Sv av) η {3979 + (ν \ + (ν - 1) ω =ν { 7958209ή 3ν / 3if -415ν + 7958 = 0 ή { ν = 23 _1 0 Είναι:

= � ( οι + 2

0v = οι

= � (οι + 206) 2 1) 3 206 = οι -

(209 - 3v + 206)

οι =

\ οι = 209-3ν

οι -

Επομένως

2. Για να είναι οι (β + γ) 2 - a2 , (γ + α) 2 - β2 , (ο + β) 2 - � διαδοχικοί

όροι αριθμητικής προόδου αρκεί:

2 [ (γ + ο )2 - β2 ] = (β + γ) 2 - ο2 + (α + β )2 - � Είναι: (β + γ) 2 - a2 + (ο + β) 2 - � = = β2 + 2βγ + � - ο2 + α2 + 2αβ + β2 - � = = 2β2 + 2αβ + 2βγ = 262 + 2β (α + γ) = 2β2 + (ο + γ) 2 = = 2 ( ο + γ) 2 - (α + γ) 2 + 2β2 = = 2 (α + γ)2 - 2β2 = 2 [ (γ + α) 2 - β2] =

Ασκnσn 3n:

Sso = �[2οι + (ν - 1) ω]

= 50 [2 140 + (50- 1) 3] 2

= 25 . (280 + 147) = 10.675

Ασκnσn 2n:

Αν οι αριθμοί ο, β, γ είναι διαδοχικοί όροι οριθ μηπκής προόδου, να δείξετε ότι και οι παρακάτω αριθμοί είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 1) ο2 + οβ + 62, � + γα + a2, β2 + βγ + γ2 (γ + a) 2 - β2,

2) (β + γ )2 - a2 ,

Αν οι αριθμοί l, l, l, l με οβ� Ο είναι διαδο>α ο β γ δ χικοί όροι οριθμηηκής προόδου, να αποδείξετε όη: α) β + 0 + β + Υ = 2, β) �- 3β = γ + δ � β- ο β- γ αβ

(ο + β ) 2 - γ2

Λvσn

1 . Αφού οι ο , β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητι κής πρόοδου έχουμε: 2β = ο + γ. Γιο να είναι οι a2 + οβ + β2 , � + γα + ο2 , β2 + βγ + � διαδοχικοί όροι οριθμηnκής πρόοδου αρκεί

2 (� + γα + ο2 )

a2 + οβ + β2 , � + β2 + βγ + � .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β

;οο

ΛVσn

α) Αφού οι αριθμοί l, l, l waι διοδο>αΚοί όροι α β γ αριθμητικής προόδου, θα ισχύει: 2. = l + l ή β = 2ov β ο γ ο+γ

Επομένως:

2ογ + ν 2ογ + α ---β+ο β+ν ο+ν α+ν + = -- + -- = 2ογ β-ο β-γ 2ογ - α -- - ν α+ν α+ν --

κη. ι.

2/32

Αριβμnτικές και rεωpετρικές Πρόοδοι Λvσn

3αγ + � 3y + a 3a + y = 3ay + if + = + = γ- α α-γ ay- if ay- � 3y + a - 3a-y = 2 (y- a) = 2 = γ- α ν- α

Έστω χ - ω, χ, χ + ω οι αριθμοί.

2 β) Είναι: 2_ = 1 + 1 ή � = 2_ + 2_ ή - = 2_ _ � y β δ y β δ β δ y - 2α 2y- 4δ ή 2α = 4δ - 2y (1) και = ή αβ '/) αβ '/) α - β γ- δ , 1 + 1 = 1 + 1 ή 1 - 1 = 1 - 1 η, -= -- η α δ β ν β α δ y αβ '!':> 3α- 3� 3y - 3δ = (2) αβ '!':> Επομένως: 5α - 3β _ 3α-3β 3δ + ---4δ - 2y _ --- + 2α -_ - 3γ-- -y-+ ------δ αβ αβ a6 '/) '/) '/)

Άρα οι αριθμοί είναι: -1 , 3, 7 ή 7, 3, -1 Ασκnσn 6n:

Αν Sκ, Sμ, Sρ είναι τα αθροίσματα των κ, μ, ρ αντίστοιχα πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου (av), να αrιοδείξεrε όο: Sρ 5κ -- (μ - ρ) + Sμ -- {ρ - κ) + - {κ - μ) = Ο

Ασκnσn 4n:

Σε μια αριθμητική πρόοδο οι, a2 , . . . , av, . . . είναι οι = 1 . Για ποιά τιμή της διαφοράς ω της προόδου η παράσταση Α = αια3 + 2a a3 έχει ελάχιστο; 2

Απόδειξη

Είναι: Sκ Sκ = �[2αι + (κ - 1) ω] ή = 1 [2αι + {κ - 1) ω] ή 2 κ 2 Sκ (μ -ρ) = 1 (2a1 + κω - ω) {μ -ρ) = 2 κ = 1 (2αι μ + κωμ - ω μ - 2αιρ- κωρ + ωρ) (1) 2

Λvσn

Είναι: α = οι + ω και a3 = οι + 2ω οπότε: 2 Α = οι (αι + 2ω) + 2 (οι + ω) (οι + 2ω) = = αι 2 + 2αιω + 2αι2 + 4aι ω + 2αιω + 4ω2 = = 4ω2 + 8αιω + 3αι2 Επειδή οι = 1 έχουμε Α = 4ω2 + 8ω + 3. Θεωρούμε τη σuνάρmση f (ω) = 4ω2 + 8ω + 3, ωΕR Έχουμε: f (ω) = 4ω2 + 8ω + 3 = = 4 (ω2 + 2ω) + 3 = = 4 (ω2 + 2ω + 1) - 4 + 3 = = 4 (ω + 1)2 - 1. Όμως για κάθε ω Ε R είναι 4 (ω + 1) 2 � Ο. Επομένως η τιμή της συνάρτησης f γίνεται ελάχι στη, όταν ω = -1 , και η ελάχιστη αυτή τιμή είναι ίση με -1 .

Όμοια: Sκ (ρ - κ) μ

1 ( 2α1 + μω - ω) (ρ - κ). 2

= 1 (2αιρ + μωρ - ωρ - 2αικ - μωκ + ωκ) (2) 2 s -Ε. {κ - μ)

= 1 (2αι + ρω - ω) {κ -μ) = 2

= 1 (2αικ + ρωκ - ωκ - 2αιμ - ρωμ + ωμ) (3) 2

Ασκnσn 5n:

Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς, που αποτε λούν διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου, αν το άθροισμά τους είναι 9 και το άθροισμα των , , -11 . ανηστροφων τους ειναι 21

Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (1), (2) και (3) έχουμε:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

� {μ - ρ) + Sι.ι. (ρ - κ) + Sρ (κ - μ) = 1 · 0 = Ο κ μ 2 ρ κη. τ.

2/33

Ισχύει: ημ(Α + Β) ημ(Α - Β) = ημ2Α - ημ2 Β ημ (Α + Β) = ημΓ ημ (Α + Β) ημ(Α - Β) = ημ(Β + Γ) ημ (Β - Γ) ή Λ. 1 ειvαι 1 -, 1 ..., , ' δια00!ΧΙΚΟι, οροι μιας n ν 1 , -, ημ (Α- Β) = ημ (Β- Γ) ή ημ (Α- Β) = ημ (Β- Γ) ή αι α2 α3 α., αριθμητικής προόδου με α 1 · a2 .. . av .,. Ο, να αποδεί ημΑ ημΓ ημΑ ημΒ ημΒ ημΓ ξετε ότι: a1 a2 + α2α3 + . . . + Ov-l av = (ν - 1 ) a1 av ημΑσυνΒ- ημΒσυνΑ ημΒσυνΓ - ημΓσυνΒ = η, για κάθε ν ε Ν με ν � 2 . ημΒημΓ ημΑημΒ σφΒ - σφΑ = σφΓ - σφΒ ή 2σφΒ = σφΑ + σφΓ. , διαδο!ΧΙΚοι, 1 -, 1 ειvαι 1 ..., Αφού οι αριθμοι, 1 , -, αι α2 α3 α., Ασκnσn 9n: όροι αριθμητικής προόδου θα έχουμε: Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ οι πλευρές του α, β, γ εί _l_ _l_ = ω ή a1 - a = ω a1 '12 (1) 2 ναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να απο α2 αι δείξετε ότι το εμβαδόν του Ε δίνεται από τη σχέση: _l_ _l_ = ω ή α2 -α3 = ω α2 α3 (2) α3 02 _l_ _l_ = ω ή a3 - C4 = ω α3 α.ι (3) C4 03 Ασκnσn 7n:

___: _ :___ _ _ __:__ _ _

Αnόδει�n

1 _ = ω ή α., _ 1 - α., = ω α., _ 1 α., (ν - 1) α., α., - 1 Με πρόσθεση κατά μέλη των (ν - 1 ) σχέσεων έχουμε α1 - 0v = ω (α 1 α2 + a2a3 + . . . + av-l av) (1). αι - α., = (ν - 1) ω ή ΑλΜ l = l + (ν - 1) ω ή αι α., α., αι α1 - qv = a10v (ν - 1) ω (Π). Από (Ι) και (Π) έχουμε a10v (ν - 1) ω = ω (α 1 α2 + α2α3 + . .. + av-1 av) ή α1 α2 + α2α3 + . . . + Ov-l αν = (ν - 1) a10v _l_

_ _

Ασκnσn 8n:

Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ οι a2 , 62 , y2 αποτεΛούν διαδοχι�ούς όρους αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι και οι σφΑ, σφΒ, σφΓ αποτελούν επίσης διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. (το αντίστροφο ισχύει;)

Αφού α, β, γ διαδοχικοί όροι aριθμ. προόδου εί ναι: α + γ = 2β ή α + β + γ = 3β (1) ή α - β + γ = β (2). Επομένως 3β2 = 3 β · β = (α + β + γ) (α - β + γ) = 2τ 2 (τ - β) = 4τ (τ- β), δηλ. 3β2 = 4τ (τ - β) ή 3. β2 = τ (τ - β) (1) 4 ·

Γνωρίzουμε όι:ι: Ε = Υτ (τ - α) (τ - β) (τ -γ) (2) και εφ� = (τ - α) (τ -γ) (3) τ (τ - β) 2 13 Άρα: 3- β2 εφ-β =· τ (τ - β) (τ α) (τ - β) = 2 4 τ �-� � (τ - α) (τ - β)2 (τ -γ) τ (τ - β) = Υτ (τ - α) (τ - β) (τ -γ) = Ε

Λuσn

Είναι: 2β2 = a2 + y2 (1) Αnό τον νόμο των ημιτόνων έχουμε: � = � = __J_ = 2R .

Ασκnσιa lOn:

οπόrε:

ημΑ ημΒ ημΓ α = 2 R ημΑ, β = 2 R ημΒ, γ = 2 R ημΓ (2)

Αnό (1) και (2) έχουμε: 8 R2 ημ2 Β = 4R2 ημ2 Α + 4 R2 ημ2 Γ ή 2 ημ2 i3 ,;, ημ2Α + ημ2Γ ή ημ2Α - ημ2Β = = ημ2 Β - ημ2Γ

Αν α, β, γ, δ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προό δου να αποδείξετε ότι: 1 . (αβ + βγ + ya) 3 = aβy (α + β + y) 3 2. (a2 + β2 + y2) (β2 + y2 + δ2 ) = = (αβ + βγ + γδ) 2 Αnόδει�n

1. Αφού οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρι κής πρ�όδου, έχουμε: β2 = ay.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη.

τ.

2/34

Αριθμnτικές και Γεωμετρικές Πρόοδοι

Επομέvως: όπου λ ο λόγος της ορχικής γεωμετρικής προόδου. 3 3 3 3 2 (οβ + βγ + ya) = (οβ + βγ + β ) = β (ο + β + y) Επειδή ο λόγος δύο διοδοχικώv όρωv είvοι σταθερός = β2β (ο + β + y) 3 = ογβ (ο + β + y) 3 = η ακολουθία τωv οριθμώv (Ι) είvοι γεωμ. πρόοδος. = οβγ (ο + β + y)3 . 2. Είvοι: 2. Ισχύει: (a1 2 + a22 + a32) . (β12 + β22 + β32 ) - (ο 1β 1 + ο2 β2 + ο3β3) 2 = (ο1 β2 - ο2 β1 ) 2 + (ο 1β3 - ο3β1 )2 + (ο2 β3 - ο3β2 ) 2 (rουτότηο Lagraηge)

Επομέvως: (a2 + β2 + y2 ) (β2 + r + δ2 ) - (οβ + βγ + γδ) 2 = (ay - β2 ) 2 + (οδ - yβ) 2 + (βδ - r ) 2 = Ο, γιατί β2 = ay, οδ = βγ και r = βδ . Όμοιο οποδεικvύετοι, κάvοvτος πράξεις και στο δύο μέλη. Σημείωση: Γεvίκεuση mς ταυτότητος του Lagra ηge: (a 12 + a22 + . . . + α}) (β 12 + β22 + . . . + β}) (ο 1 β1 + ο2β2 + · · · Ovβv)2 = Σ (ακβλ - αλβκ)2 με κ, λ Ε {1, 2, . . . , v} Ασκηση 12η:

Δίvετοι η γεωμετρική πρόοδος α 1 , a2 , ... , av - Να αποδείξετε ότι: (1 ) 1. Οι αριθμοί 1 , 1_, . . . , 1 σΙ - � � - � � - � + 1 οποτελούv γεωμετρική πρόοδο. 2. Το άθροισμα τωv v όρωv της ποροπάvω προό δου είvοι:

__ _

2v 2v 01 - � Ασκηση 13η:

Av η εξίσωση ax4 + βχ2 + γ = Ο έχει πραγματι κούς συvτελεστές και ο ;ι! Ο , va βρείτε τη συvθήκη, ώστε οι ρίzες της va είvοι διαδοχικοί όροι γεωμετρι κής προόδου. Λvση

Έστω ρ1 , ρ2 , ρ3 , ρ4 οι ρίzες της εξίσωσης. Οι ρίzες μιας διτετράγωvης εξίσωσης είvοι δύο zεύγη οvτίθε τωv οριθμώv, οπότε: ρ 1 + ρ2 + ρ3 + ρ4 = Ο ( 1 ) . Επειδή οι ρίzες είvοι και διαδοχικοί όροι γεωμετρι κής προόδου, θα είvοι:

Από (1) και (2) είvοι:

Λvση

Υπολογίzουμε το λόγο δυο διαδοχικώv όρωv της ακολουθίας τωv οριθμώv (1) . 1 �+1 �+2 � -� + 1 1 � + 1-� +2 1 � �+ αΙ λ2κ ι ι},1 λ2κ - 2 if,1 λ2κ ?f = = ------, ----,+ κ 2 2 οΙ ?fκ - ai λ ai λ2κ 1 1.

(_l_ ) ( ) J _

l - rf

?f ( ι - ?f) λ2

� ( 1 + ί\ + ί\3 + λ4) = ο rf

ή χ (1 + λ) ( 1 + λ3) = ο ή χ (1 + λ) (1 + λ) (1 - λ + λ2 ) = Ο ή λ = -1 διπλή ρί zο άρο ρ1 = χ, ρ2 = -χ, ρ3 = -χ, ρ4 = χ Η επιλύουσο της είvοι: ay2 + βy + γ = Ο οπότε Υ1 = ρ1 2 = ρ42 = Χ2 Υ2 = Ρ22 = ρ/ = Χ2 χ2 = Υ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 2/35

Αριθμοτικές και rεωpετρικές Πρ6οδοι 1\σκnσn 14n:

, οι zmουμεvοι Για λ = Γ6 ειv, αι χ = - 4 Γ6 οπσrε 3 3 ο 16 8. είναι: αριθμ ί 6, 4, , (οι ίδιοι}. 3 9 -

Ανάμεσα σης ρίzες mς εξίσωσης 16χ2 - 65χ + 4 = Ο να παρεμβάλεrε 5 γεωμετρικούς ενδιάμεσους. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί. Λvσn

1\σκnσn 16n:

Οι ρίzες της εξίσωσης 16χ2 - 65χ + 4 = Ο είναι: , Έmω (av}, (β) αριθμηηκή και γεωμετρική πρόο ρl = 4 και ρz = 1 . ' Εmω χι , χ2, . . . , χ5 οι zηιουμενοι 16 δος αντίσrοιχα με πεπερασμένο πλήθος όρων να αριθμοί. Τότε οι αριθμοί 4, χι , χ2, χ3, χ4, χ6, 1/16είναι αποδείξετε όη: 1. Για την (α) το άθροισμα δύο όρων που 'Ίσαπέ εmά με οι = 4 και α7 = � . Αν λ ο λόγος της προό 1 χουν" από τους "άκρους" όρους είναι ίσο με το δου θα είναι: άθροισμα των "άκρων" όρων . 2. Για την (βv} το γινόμενο δυο όρων που 'Ίσαπέ χουν" από τους "άκρους" όρους είναι ίσο με το γινό Επομένως για λ = 1/2 οι zητούμενοι αριθμοί εί μενο των "άκρων" όρων. ναι: Αοόδειξn

1. Έmω ( av} η αριθμηηκή πρόοδος με διαφορά ω. Τότε για κάθε ν, μ Ε Ν* με μ < ν είναι: αι +μ + αν-μ = οι + Ωv Για λ = - 1/2 οι zητούμενοι αριθμοί είναι: Πράγμαη: α ι +μ + αν-μ = οι + (1 + μ - 1} ω + ο ι + 4 - 2 1 1 1 1 _L 2 4 8 16 + (ν - μ - 1} ω = οι + μω + α1 + νω - μω - ω = οι + οι + (ν - 1}ω = οι + 0v 2. Έσrω (β) η γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ. 1\σκnσn 15n: Τότε για κάθε ν, μ Ε Ν* με μ < ν είναι: α ι +μ · Ωv-μ = 0ι Ωv Να βρεθούν 4 αριθμοί οι οποίοι αποτελούν δια Πράγμαη: δοχικούς όρους μιας γεωμετρικής προόδου, αν το = αι λι +μ-l · αι λv-μ-ι n α ι +μ · -v-μ 1 4 02 γινόμενο τους είναι και το γινόμενο του πρώ- = οι . οι . λl +μ-l +v-μ-ι = οι . αιλv-ι = ο . av ι 9 του με τον τρίτο όρο ισούται με ro τετραπλάσιο του δευτέρου. 4, 2, 1,

1, 1, 1, _L 2 4 8 16

\; χλ ��.4� I� · Λvσn

'Εσrω

�. χλ,

1\σκnσn 17n:

Υλ3 αριθμοί. τόι:ε α

λ3 λ . � Υλ. Υλ3 = 1024 4 = ].024 9 , x 9 λ3 λ η ή χ � 4λ .

J \

/256λ4 = 1029 4 , /λ4 = 9 , \χ = 4λ η \χ = 4λ η 4

το άθροισμα του πρώτου και του τρίτου όρου μιας γεωμετρικής προόδου με άπειρο πλήθος όρων είναι 13 και το άθροισμα 27. Να βρείτε την πρόοδο.

{

λ = ± ii 3 χ = 4λ

Για λ = � είναι χ = 4 'f6 οπόrε οι zηωύμεvοι 3 3 αριθμοί είναι: 6, 4, 8., 16 3 9

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

Λvσn

/οι + a3 = β ή /οι + aιrt = 13 ή \S = � 1 λ -

\� = 27 1-λ

/ aι ( 1 + rt) = 13 ή ι 27 (1 - λ) ( 1 + rt) = 13 ή \οι = 27 (1 - λ) οι = 27 (1 -λ} 1 27λ3 2'7λ2 + 2'7λ- 14 = ο ή \οι = 27 {1 - λ) _

κη. r.

2/36

Αριθpnτικές και rεωpετρικές Πρόοδοι

ι (3λ- 2) (9λ2 - 3λ + 1) = ο \ aι = 27 (1-λ)

/λ -- 23 η \aι = 9

σφχ = σφ� ή χ = κπ + � κ Ε Ζ. 4 4

, χ . iΠ-ι ο/ 3� ν χ Ίι χ χ 'V . . . 2. Είναι: χ · χιβ . χιΒ . χι/27 ... = 5 Γs

Επομένως η πρόοδος είναι: 9, 6, 4, 8., 16 , 3 9

l l l ...

Ασκnσn 18n:

Να λυθεί η εξίσωση: + (χ2 + 7) + (χ2 + 12) + . . . + (χ2 + 52) 330

(χ2 + 2)

Λ\ίσο

= 5 Γs

η,

+ + χ · χ3 9 27 = 5 Γs ή Υ! - χ2 = 5 Γs ή �!2 = 5312 ή χ = 5 1 1 yιmί: 1 + 1 + _1_ + . .. = -3- = . .3_ = 1 3 9 27 1 -1 2. 2 3 3

Το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι άθροισμα διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου με α ι = χ2 + 2, α, = χ2 + 52, ω = 5 και Σv = 330, Ασκnσn 20n: οπότε Να λυθεί η εξίσωση: αν = α ι + (ν - 1) ω ή χ2 + 52 = χ2 + 2 + (ν -1)5 ή 1 + α + α2 + a3 + . . . + αχ = 52 = 2 + 5ν - 5 ή 5ν = 55 ή ν = 11. (1 + α) (1 + α2) (1 + a4) (1 + a8) , ,<-ν = 2αι + (ν- 1) ω · ν η, Ειvαι με α > Ο και α 1 (Ο < α 1) 2 2 (; + 2) + 10 · 5 . 11 = Λ\ίσο 33 2 Το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι άθροισμα 22 (χ2 + 2) + 550 = 660 ή 22χ2 + 44 = 110 ή διαδοχικών όρων γεωμετρικής προόδου με: α ι = 1, λ = α, ν = χ + 1 και 22χ2 = 66 ή χ2 = 3 ή χ = ± V3 S = (1 + α) (1 + a2 ) (1 + a4) (1 + a8) �

Να λυθούν οι εξισώσεις: 1. (σφχ + 1) + (σφχ + 5) + (σφχ + 9) + . . . + (σφχ + 25) = 98 2. χ·

v x V xo/x r.

_ αι (λν - 1) η, 1 (crι + ι _ 1) _λ- 1 a- 1 = (1 + a) ( 1 + a2)( 1 + α4) ( 1 + a8) ή ax + l - 1 = (αι2 - 1) (a2 + 1) (a4 + 1) (a8 + 1) ή aχ+1 _ 1 = α 6 _1 ή ax+l = a16 ή χ + 1 = 16 ή χ = 15 5 - - ---

Ασκnσn 19n:

�

Γενίκευση Να λυθεί η εξίσωση: Λ\ίσο 1 + α + α2 + α3 + . . . + αχ = 1. Οι αριθμοί 1, 5, 9, ... , 25 είναι διαδοχικοί όροι = (1 + α) (1 + a2) (1 + a4) ... (1 + a2v) αριθμητικής προόδου με αι = 1, ω = 4 και αν = 25, με Ο < α 1 και ν Ε Ν* οπότε : 25 = 1 + (ν - 1)4 ή 4ν = 28 ή ν = 7 και Λ\ίσο s = Ι(1 + 25) = 7 · 13 = 91 2 Όμοια βρίσκουμε χ = 2ν+ 1 - 1 Επομένως η εξίσωση γράφεται: 7σφχ + 91 = 98 ή 7σφχ = 7 ή σφχ = 1 ή

= 5 Γs

�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη.

τ.

2/37

Ασκήσ ε ι ς σι: ο εμ βαδόν τ ο v τ ριyώνο v Γρ nyό ρ nς Δ. Φωτι άδn ς

θεώρnμα ι.

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το εμβαδόν του Ε δίνεται από τον τύπο:

1 ΜΓ · ΜΑnμ120° = f3 2 4

4 (κλ + λμ + !J!<) ' � S = f3 · Ε 4 -1 2

ii. Αν ΑΒΓ ισόπλευρο τότε Ε = c} f3 και S = α2 . 4 ί\σκnσn 2n

θεώρnμα 2.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διάμεσοι ΑΔ, ΒΕ τέμνονται στο Αν δυο τρίγωνα ΑΒΓ και Α· Β · Γ · έχουν ης γω Κ. Να υπολογιστούν οι λόγοι των εμβαδών: νίες Α και Α · ίσες ή παραπληρωμαηκές, τότε ισχύει: (ΑΚΕ) και ..ιι -ι.) -(ΚΔΕ) (ΑΒΓ) = β · y ) ΑΒΓ) ( (ΑΒΓ) (Α ' Β ' Γ ) β ' y' ·

Λvσn

Αοόδειξn

Επειδή Α = Α ' ή Α + Α ' = 180°, είναι ημΑ = ημΑ ' . Ακόμη (ΑΒΓ) = 1 β · γ ημΑ και 2 (Α ' Β Τ ' ) = 1 β ' v · ημΑ Ό 2 (ΑΒΓ) Άρα = βΎ (Α ' Β Τ' ) β ' y'

Ασκήσεις ί\σκnσn l n

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εσωτερικό σημείο του Μ. Αν ΜΑ = κ, ΜΒ = λ, ΜΓ = μ και οι πλευρές του τριγώ νου ΑΒΓ φαίνονται από το Μ υπό ίσες γωνίες, δείξι:ε όη: ί. το άθροισμα S = κ · λ + λ μ + μ κ είναι στα θερό και ii. S = α2 , αν το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο πλευράς α. ·

Αοόδειξn

Γνωρίzουμε όη η διάμεσος χωρίzει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα. 2. ΑΔ - 1 ΑΓ · ΑΕ ) ) 2 =1 ΑΚ (ΑΚΕ (ΑΚΕ =3 = = i) ΑΔ 2ΑΔ ΑΓ 6 2 2 ΑΓ · (ΑΔΓ) (ΑΒΓ) · ΔΕ = ii) (ΚΔΕ) = (ΚΔΕ) = (ΚΔΕ) = ΔΚ (ΑΒΓ) 2 (ΑΔΓ) 4 (ΑΔΕ) 4ΔΑ · ΔΕ 1 ΑΔ = 3 - = _l_ 4ΑΔ 12 ·

i. Επειδή ΑΜΒ = ΒΜΓ = ΓΜΑ και ΑΜΒ + ΒΜΓ ί\σκnσn 3n + ΓΜΑ = 360° είναι κάθε γωνία 120°. Ακόμη (ΑΒΓ) = (ΑΜΒ) + (ΒΜΓ) + (ΓΜΑ) = Σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ = y και ΑΓ = β, = 1 ΜΑ ΜΒ ημ 120° + 1 ΜΒ . ΜΓ . ημ120ο + φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ και τη διάμεσο ΓΕ. 2 2 �

�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη.

τ.

2/38

Ασκόσεις στο εμβαδό τοu τριyωvοu

Αν (ΒΔΕ) = � · (ΑΒΓ), να αποδείξετε όη το τρί-

Αnόδει�n

γωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με κορυφή Α.

Αnόδει�ιi

Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΑΒΓ έχουν κοινή γωνία Α. α · y _ y_ (ΒΔΕ) = � <=> ΒΔ · ΒΕ = � <=> β + γ 2 = � (ΑΒΓ) 4y &\ · ΒΓ 4y γ- α 4y (θεώρημα εσωτ. διχοrόμων) β <=> Υ =<=> -β + γ 2y <=> 2y2 = β2 + βγ <=> y2 - β2 + y2 - βγ = ο <=> <=> (γ - β) (γ + β) + Υ (γ - β) = 0 <=> <=> (γ - β) (2y + β) = Ο <=> β = Υ <=> Το ΑΒΓ είναι ισοσκελές τρίγωνο.

(ΑΕΙ) = α <=> ΑΕ ΑΙ = α <=> = � <=> -- (Α1 ) (ΑΙΓ) β + γ ΑΙ · ΑΓ β + γ βγ α <=> -γ = -α <=> α + β = -<=> -β+γ α+β β+γ β α <=> γ = α <=> Υ α+β+γ α+β+γ -

Ασκnσn 4n

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι του ΒΔ και 2 Αν (ΑΒΓ) = ι + (ΑΔΕ), δείξτε όη το τρίγωνο

( �)

ΓΕ.

ΑΒΓ είναι ισοσκελές με κορυφή Α.

( ) ( )

( )

Αοόδει�n

2 ΑΔΕ 2 (ΑΒΓ) = ι + Ξ_ · ( ) <=> ((ΑΒΓ) ΑΔΕ) = ι + Ξ_ <=> β β 2 "' <=> ΑΒ · ΑΓ = ι + α (Α κοινή) ΑΔ · ΑΕ β

Ασκnσn 6n

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το έγκεvτρό του Ι. Αν (ΙΒΓ) = _β_ (ΑΒΓ), δεiξrε όrι το ΑΒΓ είvαι ισο2β + γ σκελές με κορυφή το Γ. Αοόδει�n Α

β ---'·γ --- = (α + β)2 <=> <=> -β2 �-� α+γ α+β

<=> (α + γ) (α + β) = (α + β)2 <=> β·γ β2

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΙΒΓ έχουν κοινή βάση και ύψη ΑΔ = U0 , ΙΚ = ρ = η ακτίνα του εγγ. κύκλου.

<=> -α + ι = -α + ι <=> β = γ β Υ

Ε_

(ΙΒΓ) = .Ε_ = ....:._ = � ( ι ) (ΑΒΓ) υ0 2Ε 2τ α Είναι yvωmoί οι τύποι Ε = τ · ρ = Άρα·

Ασκnσn Sn

Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διχοτόμοι του ΑΔ και ΓΕ τέα , το μνοvται mo Ι. Αν (ΑΕΙ) = (ΑΙΓ), δείξτε ση β+γ τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με κορυφή Β. --

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β

α Uα. 2 Απ . (ΙΒΓ) β =α , -ο την υπόθεση ειvαι = -(ΑΒΓ) 2β + Υ 2τ α <=> β (Μγω mς (ι)) <=> -- = 2β + γ α + β + γ ,

κη. τ.

2/39

Ασκήσεις στο εμβοδό '[OU '[pιyώvou

� αβ + β2 + βγ = 2αβ + αγ � β2 - αβ + βy - αγ = Ο 2 α · β � β (β - α) + y (β - α) = Ο � (β + γ) (β - α) = Ο � β = β + γ · α � if = β (β + γ) (θεώρημα διχοrόμου) β = α � ΑΒΓ ισοσκελές. ΔΑΓ Β (χορδής και εφαmομένης)

- =

Ασκnσn 7n

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 1 5 Με διάμετρο τη Γ ΒΓ γράφουμε κύκλο που τέμνει ης πλευρές του ΑΒ στο Δ και ΑΓ στο Ε. (ΑΔΕ) Να βρεθεί ο ί\όγος: Δ�Γ = ΔΑΒ (ΑΔ = διχοτόμος) άρα Β = ΔΑΒ και (ΑΒΓ) ΑΔΒ ισοσκελές με ΑΔ = ΔΒ.

- -

ο .

Λvσn

- -

ΑΒ ΑΔ � β) ( ) = 1 � · = 1 � β = 2y (1) (ΑΔΓ) 2 ΑΔ. · ΑΓ 2 σy (1) α · γ =-α � α = 3δα δα = ΔΒ = =β + γ 3y 3 α2 = β (β + γ) � if = 2 . γ . 3γ �

� v = α f6 = 3 f6 δα � 6 6

= ΑΔ. · � (Α. = κοινή σrα δυο τρίγωνα) (ΑΒΓ) ΑΒ · ΑΓ ΑΓ = ΑΕ 2 (ΑΔ. · ΑΒ = ΑΕ · � ΑΒ � = τέμνουσες κύκffiυ

)

(ΑΔΕ)

( )

= συν2 15°

� : (ίΞ = 90° και συν 15° = �)

1 + συν 30° = 2. _y + 'r;,3- (ουν2α 2συν2α- 1) 4 2

� v = f6 δα και β = 2v = f6 δα 2

Ασκnσn 9n

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90°) να αποδειχτεί η σχέση: Γ2 = 1 -t- 1' δα β γ όπου δα η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας Α.

Αοόδειξn Γ

Ασκnσn 8n

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με εσωτερική διχοτόμο δα = ΑΔ, ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία Α,Β,Δ εφάπτε ται στην πλευρά ΑΓ. α. Ν' αποδειχτεί όη α2 = β (β -+- γ) και δα ΔΒ. β. Αν ο ί\όyος των εμβαδών των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι 1 :2 να υπολογιστούν οι πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ σε συνάρτηση με το μήκος της διχοτό (ΑΒΓ) = (ΑΒΔ) + (ΑΓΔ) �. μου δα. 1 β·y � 1 γ . δα . ημ45 + 1 β . δα . ημ45 � 2 2 2 Λvσn � βy = Υ · δα · f2 + β δα f2 � α) ΓΑ2 = ΓΔ ΓΒ � (εφαπτομένη και τέμνουσα) 2 2 =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β

κη. τ.

2/40

Ασκόσεις στο εμβαδό τοu τριyώvοu

<=> β · ψ 2ημ Δ συν Δ = (β + ν) δα ημ Δ <=> 2 2 2 <=> δα = 2βy συν Δ (1) β+ν 2 Από το νόμο συνημιτόνων είναι yvωστό ότι: 2 Υ. - ι:1 (2) συν Α = β + 2βy Από την τριγωνομετρία yvωρίzουμε ότι: συνΖ Δ = 1 + συνΑ (3) 2 2 Από τις σχέσεις (2) και (3) είναι: 2 συif Δ = 2βν + β + .f - ri = (β + vf - ri = 2 �ν �ν = (α + β + ν) (β + ν -α) = 2r . 2 (τ -α) = τ (τ -α) <=> βν �ν �ν συν Δ = τ (τ 2 βy

.;:> βy = (β + γ) δα . ii__ <=> � = � <=> fi = l + l. 2 Γz β + ν δα β ν

1\σιιnσn 1 0n

Να υπολογιστεί η διχοτόμος ΑΔ = δα τριγώνου ΑΒΓ aπό τις πλευρές του. (Με τη θεωρία των εμβα δών). Λvσn Α

ν a)

<=>

(ΑΒΓ) = (ΑΒΔ) + (AΔfl <=>

l β yημΑ = l yδα ημ Δ + l β δα ημ Δ 2 2 2 2 2 Αι = � =

(

�)

(τβ-νa) -- . ff ---

Άρο (1) yιvεraι δα - 2βν β+ν _

2_ Υ βyτ (τ - α) =_ β+y

ΑΝΤΟΝΗΣ ΠlΥΡΙΔΑΚΗΣ

-1' 40 διαγωνiσματα

Ένα ξcχωριστό βοήθημα yια τouc; unoφή.ιouc; τηc; Α• Δtσμηc;

-/'

l Ο τέστ πολλαπλής επιλογής

-/'

Κρiσιμα σημεiα

-/'

ΔH.illiΠHΣ ι .

ΜΠΟΥΝΑΚJ:ΙΣ Κοθrfτηrη;; ΜcιΟημm:ι�.ών

(multiple choice)

Ο ι l Ο... συμβουλές

Πανελλαδικές

HMeO�A Mf ΤΟ ΜΕΟ �ΧΟΛ ΙΚΟ SIBΛ\0

ΘΕΣΙΑΛΟΝιΚΗ

ΒΙΒΛIΟΕΚΔΟΉΚΗ ΑΕ. eΕΙΙΑΙiοΝιΚΗΣ

ΠΑΡΑΓΓΕΛΙ ΕΣ: ΤΗΛ.

(081 ) 2521 40

ΒιΒΛΙΟΕΚΔΟΤιΚΗ Α Ε

ΚΑΣΤΡΙΗΙΟΥ 13·15

546 23 θΕΗΑΙ\ΟΝΙΚΗ

® •

9ΕΣΣλΛΟΝΙΚΗΣ

2 6 36 3 7 8 fa x . 23 43 69

ΕΥΚΛΕΙΔΗ� Β ' κη. τ. 2/4 1

ΒιΒΛιΟΕΚΔΟτΙΚΗ Α Ε Μ Γ Α ΝΑ ΠΑΣΑΚ ΗΣ

\��j,"ιJ�:f ({)

36 33 970 8 fax· 36 38 564

1994

Το σ15 μ β ο λ ο

dy dx

σι: ο ρ vθ μ ό με-.:αβ ο λής Γιάννος Γ. Καλοyεράκnς

ται κατά μήκος μιας καμπύλης. Αν το Α δεν αλλάzει την (Ηράκλειτος) φορά της κίνησης τότε το ν μπορεί να είναι συνάρτηση ως προς s και το ιΝ να έχει νόημα. Αν όμως το Α ai\1. Εισαyωyικά ds λάzει φορά, τότε το ν δεν είναι συνάρτηση ως προς s. Στο βιβλiΌ της Ανάλυσης σης εφαρμογές, γίνεται χρή Στην περίmωση αυτή το ιΝ έχει νόημα; ση του συμβόλου dy/clx, που οφεiλεται στο G.W. Leibηiz ds (1646-1716). Το σύμβολο αυτό αποτελεί μια εξαίρεση 4. Οι συναρτήσεις, που μελετούμε, είναι της μορ στα Μαθηματικά, γιατί δε χαρακrηρίzεται από την εν φής y = f (χ). Στις εφαρμογές όμως παρουσιάzονται νοιολογική πληρότητα που έχουν τα άλλα σύμβολα. ισότητες της μορφής F (χ, y) = Ο, που συνδέουν τις Ό G. Leibηiz χρησιμοποίησε το σύμβολο αυτό για πραγματικές τιμές χ, y. Είναι δυνατόν η σχέση αυτή να θεμελιώσει διαισθητικά την έννοια του διαφορι να μη δίνει το y σα συνάρτηση του χ, ή να μη λύνεται κού συντελεστή, δηλαδή της παραγώγου, σε μια επο ως προς y ή να λύνεται με περισσότερους από έναν χή που δεν είχε αναmυχθεί η σύγκλιση. τρόπους γενικά να έχουμε μια πεπλεγμένη μορφή. Επινόησε τα aπείρως μικρά μεγέθη, που ονόμασε π.χ. y2 = 2px, xeY - y + 1 = Ο, 3y3 + 2xy = χ2 . Στις aπειροστά και συμβόλισε την aπειροστή μεταβολή περιmώσεις αυτές μπορούμε να ορίσουμε το dy/dx; μιας ποσότητας χ με dx και την παράγωγο της συνάρ 5. Ανάλογη είναι η περίπιωση, που τα χ, y είναι τησης y = χ2 με dy/dx = 2χ. Ένας συμβολισμός που συνεχείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής t, που λέγεται διατηρείται και σήμερα, που αν και θυμίzει πηλίκο δε παράμετρος. Παράμετρος στο ρυθμό μεταβολής εί θεωρείται τέτοιο, αλλά μια αδαίρετη· οντότητα. Στην ναι, συνήθως, ο χρόνος, η θερμοκρασία, η yωνία. αρχή μελετήθηκαν απλές συναρτήσεις και ο συμβο Τότε τα χ, y εκφράzονται από ισότητες της μορφής χ λισμός έδινε σωστά αποτελέσιJατα· αργότερα διαπι = f (t) και y = g (t) και αντίστοιχες τιμές είναι εκείνες στώθηκε ότι μπορεί να οδηγnσει σε άτοπα συμπερά που παίρνουμε την ίδια χρονική στιγμή. σματα. Η κριτική του 19ου αιώνα στα θεμέλια της Είναι δυνατόν όμως η χ = f (t) να μην είναι γv.η Ανάλυσης είχε σαν αποτέλεσμα να οριστεί αυστηρά η σίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, ώστε να αντι έννοια της nαραγώγου. Με την τελική τακτοποίηση στρέφεται και να βρίσκουμε τελικά το y σαν συνάρτη διατηρήθηκε και ο συμβολισμός αυτός, γιατί λει ση του χ. Δηλαδή η απαλοιφή του t να μη δίνει τουργεί ορμονικότερα σε ορισμένες εφαρμογές. συνάρτηση. Όπως για παράδειγμα η παραμετρική εξίσωση της παραβολής χ = t2, y = 2 at. Στις περιmώσεις αυτές μπορούμε να ορίσουμε το dy; 2. Θεωρία clx Μπορούμε να αποφύγουμε ορισμένες από τις πα Σε προβλήματα στα οποία η παράγωγος ερμηνεύ ραπάνω δυσκολίες, αν χρησιμοποιήσουμε το συμβο εται ως ρυθμός μεταβολής κάποιου μεγέθους, δεν εί λισμό του J.L. Lagraηge, (1772) κυρίως σε θεωρητι ναι εύκολο πqvτa " να απαντήσουμε σε ερωτήσεις, κά θέματα. Σε προβλήματα Φυσικής όμως ένα σύ στημα μπορεί να επηρεάzεται από περισσότερες από όπως είναι οι παρακάτω. 1. Στο dy/dx το χ δηλώνει αριθμό, ανεξάρτητη με δυο μεταβλητές, κάθε μια από τις οποίες είναι συνάρ τηση των άλλων. Η χρήση του κλασικού συμβολι ταβλητή, ή συνάρτηση; 2. Το dy/dx δηλώνει αριθμό ή τη συνάρΊ:ηση του σμού θα απαιτούσε ένα μεγάλο πλήθος συμβόλων για τις συναρτήσεις. Γενικά η χρήση του τύπου ρυθμού μεταβολής; 3. Έστω ότι τα s και V δηλώνουν τη συνάρτηση θέ (gof) ' (χ) = g ' (f (χ)) · f ' (χ) είναι πολυπλοκότερη σης και την ταχύτητα του υλικού σημείου Α, που κινεί- από την εφαρμογή του κανόνα της αλυσίδας ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 2/4 2 άρ μονίη άφανής φανερfjς κρείττων . . .

Το οώμβολο

dy ck

οι:ο ριιθμό μετα(ιολός

dy = dy . du dx du dx όπου y = g (u) και u = f (χ). Στην τελευταία ισότητα δε μπόρούμε να θεωρήσουμε ότι απλοποιήθηκε το du, γιατί το dy/dx δεν είναι πηλίκο. Ένας συμβολι σμός όμως ακόμη και να τον δεχόμαστε παραδο σιακά ή ιστορικά, δεν είναι αυθαίρετος αλλά έχει ανταπτυχθεί για να εξυπηρετεί ορισμένες ανάγκες. Αν αυτό μοιάzει με κλάσμα, ίσως θα πρέπει να συ � περιφέρεται και σαν κλάσμα, τουλάχιστο ορι σμένες φορές. Και πράγματι αυτό συμβαίνει και μια δικαιολqγία είναι ότι προέρχεται από όριο κλασμά των της μορφής f (x + h) - f (x) Δy h Δχ Ακόμη σε προβλήματα, όπου οι μεταβλητές έχουν φυσική ερμηνεία και μας ενδιαφέρουν οι διαστάσεις, η μονάδα μέrρησης του dy/dx βρίσκεται με απλοποί ηση των μονάδων του du στο δεύτερο μέλος. Σε προβλήματα που δεν αναφέρονται σε σύνθε τες καταστάσεις, ορισμένες από ης ερωτήσεις μπο ρούν να αnαντηθούν σχετικά εύκολα. Στο dy/dx το χ δηλώνει ανεξάρτητη μεταβίΊnτή και στη γενική περί πτωση δηλώνει συνάρτηση. Συνάρτηση συμβολίzει και το dy/d�, που περιέχει και ης μεταβλητές της συνάρτησης από την οποία προήλθε. Αριθμό δηλώ, που νει το όχι και τόσο κομψό σύμβολο dy dx χ = α ερμηνεύεται και σα στιγμαίος ρυθμός μεταβολής. )\1πορούμε να υπερβούμε και ης δυσκολίες της �ρώ τησης 3, Ώεριορίzοντας το y σε ένα διάστημα Δ, ώστε να είναι συνάρτηση ως προς χ στο διάστημα αυτό, όπως ήδη γνωρίzουμε από ης εξισώσεις των εφαmο μένων στις κωνικές τομές. Ανάλογα ισχύουν και για ης άλλες �ύο ερωτήσεις. Για να λύσουμε όμως ένα πρόβλημα που περιέχει τύπο με συσχετιzόμενες με ταβλητές, χρησιμοποιούμε την έννοια του ρυθμού μετα�ολής "συνάρτησης ως προς συνάρτηση" . Για παράδειγμα, έστω ότι σημείο Α κινείται κατά μήκος καμπύλης και υ (t), S (t) η ταχύτητα και η συνάρτη ση θέσης την χρονική στιγμή t. Από το t έως το t + h η ταχύτητα θα μεταβληθεf κατά υ (t + h) - υ (t) και η θέση του κατά s (t + h) - s (t). Η μέση μεταβο λή της ταχύτητας ανά μονάδα διαστήματος θα είναι S (t + h) - S (t) h Ο. t + h-t ' Η στιγμιαία μεταβολή θα είναι το όριο του κλά σματος, όταν h Ο, δηfι:ιδή Im S (t + h) - S (t) . h --+ ο (t + h) - (t) _

;ο!

---+

Γενικά αν χ, y είναι συναρτήσεις μιας μεταβλητής t, τότε το dy/dx είνd! συνάρτηοη του t και ορίzεται από , dy (t) = Im y(t + h) - y(t) για κάθε t για το το οριο h --+ ο χ (t + h) - χ (t) dx οποίο υπάρχει το όριο. Η τιμή του dy (� δηλώνει το ρυθμό μεταβολής dx

της συνάρτησης y (t) ως προς τη συνάρτηση χ (t), στο σημείο t. Σχόλιο

Αν υπάρχουν τα όρια Im 0 Υ (t + h) - Υ (t) και h --+ h ' (t) x(t + h) - x(t) 0 τσrε , �. , Im οο εχουμε: dy (t) = y-h --+ ο h dx χ' (t) Δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης ως προς μια άλλη είναι ίσος με το λόγο των ρυθμών μεταβολής τους ως προς την κοινή ανεξάρτητη μετα βλητή τους. Συνεπώς στην ερώτηση 3 στο &./ δεν απαιτείται ds το υ να είναι συνάρτηση του s, γιατί ορίzεται πάντα εκτός από την περίπτωση ποp θ(J έχουμε s · (t) = Ο. Δηλαδή το σημείο Α να είναι ακίνητο. Για να απαντήσουμε στην ερώτηση 4 θα πρέπει να γνωρίzουμε είναι τα χ, y. Αν τα χ, y είνcιι συναρτήσεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής t, τότε, χρησιμοποιώντας τα γνωστά θεωρήματα των παρα γώγων και το παραπάνω σχόλιο, μπορούμε να ορί σοομε το dy/dx. Αν τα χ, y είναι αριθμοί, τότε το dy/dx δεν έχει νόημα. Αν το y είναι συνάρτηση το'υ χ, όπως στην ισότητα 3y3 + 2xy 'd χ2, χ > Ο, τότε, αν στη θέση του y μπορούσαμε να βάλουμε την έκ φρα�ή τού ως προς χ, θα είχαμε μια ταυτότητα ως προς χ. Δηλαδή τα δύο μέλη θα ήταν δυο τύrίοι της ίδιας συνdρτnσης. Συνεπώς οΊ παράγωγοι τους θα είναι ίσες. Αυτό μας επιτρέπέι να παραγωγίσουμε τα δύο μέλη της ισότητας ως προς χ και στους όρους που υπάρχει το y να εφαρμόzουμε τον κανόνα της αλυσίδcις. Δηλαδή δε χρειάzεται ο ακριβής τύπος τόυ y ως προς χ. Στην τελική ισότητα παρουσιάzεται το dy/dx σε γραμμική μορφή, άρα μπορούμε να λύ σουμε ως προς αυτό. --'--'----'-'-- ;ο!

Παράδειyμα 1 .

Δίδεται ότι y, χ είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις για ης οποίες ισχύει χ2 .(t) + y2 (t) = l. Να βρεθεί το dy/dx. ΛtSσn

Έστω t τέrοιο, ώστε χ · (t) Ο. Από γνωστό θεώ ρημα έχουμε ότι 2χ (t) χ· (t) + 2y (t) y · (t) = Ο. Από το παραπάνω σχόλιο παίρνουμε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 2/43

;ο!

Το σόpβολο � σι:ο Ρ"βpό pετοβολιίς ..

2χ (t) + 2y (t) dy (t) = ο. dx

Δίδεται η ισότητα χ2 + y2 Να βρεθεί το dy/dx.

3. Λvpέvες Ασκιίσεις

Άρα dy (t) = - χ y (t) dx

(t)

Παράδειyμα 2

Λvσa

Θεωρούμε ότι το y είναι συνάρτηqη του χ. Αν παραγωγίσουμε τα δύο μέλη ως προς χ και εφαρμόσουμε τον κανόνα της αλυσίδας σε κάθε όρο που περιέχει το y, θα έχουμε d (x2 + �) = d (1) ή d (x2) + d (y2) = 0 ή dx .

2χ + d (�) dy

dy dx

1 . Ένα πλοίο κινείται με ταχύτητα 180 m/miη. Ένα υποβρύχιο κινείται 45 m κάτω από την επιφά νεια της θάλασσας με ταχύτητα 60 m/miη και διεύ θυνση ορθογώνια ως προς τη διεύθυνση του πλοίου. Μια χρονικιi στιγμή το πλοίο και το υποβρύχιο βρί Ο!{ονται τήν ίδια κατακόρυφο; Ν� βpεθεί ο ρυθμός μεταβολής της απόστασής τους 1 min αργότερα. Λvσa

ή 2χ + 2ydy ο ή dy = Υ� dx dx =

Παράδειyμα 3

Δίδεται ότι χ = α συνt και y βρεθεί το dy/dx.

Έστω ότι Α είναι η θέση του πλοίου πάνω από το Ο. Να υποβρύχιο Γ και Δ, Β οι θέσεις τους t mίη αργότερα. Η ΑΓ είναι η κοινή κάθετος των aσύμβάτων ευθειών ΒΓ και ΑΔ. Άρα η ΒΓ είναι κάθετος στο επίπεδο (ΑΔ, Λvσa ΑΓ) και ΔΓΒ = π/2 . Για τα διαστήματα ΑΔ και ΓΒ Αν υψώσουμε στο τετράγωνο και προσθέσουμε έχουμε ΑΔ = 180 t m και ΓΒ = 60 t m. Από το ορθο κατά μέλη, βρίσκουμε την εξίσωση του κύκλου γώνιο ΑΔΓ έχουμε ΔΓ2 = 32 .400 t2 + 2025 και από χ2 + y2 = 02 . το ορθογώνιο ΔΓΒ, αν ΔΒ = ω, Μπορούμε όμως, χρησιμοποιώντας το παραπάνω . σχόλιο, να βρίσκουμε το dy/dx. ω = 15 . ν 1 t + 9. Άρα dω 15 160 t . V 160t + 9 c1t dy (t) = y' (t) ή dy ω = a ouv t ή dy (t) = - σφ t ή Τη χρονική στιγμή t = 1 mίη θα έχουμε - α ημt dx dx χ' (t) dx dω χ dv 2400 m/miη. � - -Υ dt 13 dx =1 =

α ημt, α

�

Παρατnρόσεις

1. Ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης y (t) ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή της t είναι μερίκή πε ρίπτωση, aφού μπορούμε να πάρουμε χ (t) = t. 2. Ο ρυθμός μεταβολής της y (t) ως προς την χ (t) μπορεί να θεωρηθεί από τα παραπάνω ο ρυθμός με ταβολής της συνάρτησης y με ανεξάρτητη μεταβλητή την χ. Δηλαδή η παράγωγος της y ως προς χ. Με τη μορφή αυτή χρησιμοποιείται στις ασκήσεις που πε ριέχουν συσχετιzόμενους ρυθμούς μεταβολής. 3. Ο ρυθμός μεταβολής δεν είναι σταθερή συνάρ τηση, γενικά μεταβάλλεται με το χ. 4. Το σύμβολο dy/dx είναι χρήσιμο, όταν δεν έχουμε τον τύπο του y ως προς χ. Περιέχει όμως μια αοριστία, γιατί δε δηλώνει ποιά ακριβώς συνάρτηση μελετούμε.

1. Στην άσκηση εκφράσαμε την απόσταση ΔΒ = ω (t) σα συνάρτηση του t. Αυτό όμως δεν επιτυγχάνε ται πάντα. 2. Για να αντιμετωπίσουμε μια άσκηση με ρυθμό μεταβολής, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: α. Σχεδιάzουμε κατάλληλο σχήμα, γιατί η γεωμε τρική μορφή του φαινομένου δεν αλλάzει με το χρόνο. β. Συμβολίzουμε τις ποσότητες που μας ενδιαφέ ρουν τη χρονική στιγμή t. γ. Με τη βοήθεια γνωστών σχέσεων και δεδομέ νων βρίσκουμε μια ισότητα, που ισχύει για κάθε t. δ. Παραγωγίzοντας, βρίσκουμε μια εξίσωση που περιέχει το zητούμενο ρυθμό μεταβολής. · ε. Λύνουμε την εξίσωση ως προς το ρυθμό μετα βολής, που zητούμε και aντικαθιστούμε τα δεδομένα που ισχύουν κατά τη δεδομένη χρονική στιγμή.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

2/44

τό cnίpβολο � στο ρvβpό pεταβόλός ck

3 . Μια πρίσματική δεξαμενή έχει κατακόρυφη τομή 2. Ένα σημείο Α κινείται στη γραφική παράσταση της y = χ2 - 2χ. Όταν βρίσκεται στο (2, Ο) το χ αυξά- ίσοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετη πλευρά 4 m. Το μήl:{ος τη� δεξαμενής είναι 10 m. Η δεξαμε νεrαι μερυθμό dx = 3 αn sec . νή γεμίzει \ιερό με ρυθμό μεταβολής του όγκου του clt 1) Να βρεθεί το dy/dt και να ερμηνευτεί το αποτέ 3 m3/miη. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του ύψους h, λέσμα. 2) Να βρεθεί σε ποια θέση οι δυο ρυθμοί με της στάθμriς του νερού τη χρονική ότιγμή 1:σ κατά την ταβολής είναι ίσοι. οποία το ύψος του νερού είναι h = 2,5 m. Λvon

Λvσn Υ or----'4__�8 α

Γ ι------.ι' Δ h

1) Η τετμημένη χ εξαρτάται από το χρόνο t, χωρίς να ξέρουμε τον τύπο με τον οποίο συνδέονται. Επειδή το y είναι συνάρτηση του χ, εξαρτάται και αυτό από το t. Παραγωγίzοντας την y = χ2 - 2χ, παίρνουμε dy = 2xdx - 2 dx clt clt clt Οταv

dy = (2χ- 2) dx . dt clt

χ = 2 έχουμε dy dt

Iχ = 2=

2 3 = 6 αn/sec ·

Όταν το σημείο βρίσκεται στο (2, 0), η προβο λή του στον άξονα χ . χ κινείται δεξιά με ταχύτητα dx = 3 αn/sec. Η προβολή του στον άξονα y · y κινεί dt ται προς τα πάνω με ταχύτητα dy = 6 αn/sec. Δηλαδή

Ο όγκος του νερού τη χρονική στιyμή t θα είναι

ν = h · α · 10. 2 Επειδή το ΑΓΔ είναι ισοσκελές, θα έχουμε h = α και ν = 5h2 m3. Σwεπώς dv = dv dh όπου dv = 10h και clt

2) 'Οι:αν οι δύο ρυθμοίείναι ίσοι θα ισχύει 2χ-2 = 1, χ = 3. και y = - 3. 2 4 Οαρατnρόσεις

i. Η ισότητα dy = {2χ - 2) dx είναι ο κανόνας της clt

clt

αλυσίδας. Δεν είναι αναγκαίο να εκφράσουμε το y σα συνάρτηση του t, για να βρούμε το ρυθμό μεταβολής στο (2, 0) . Αυτός είναι ένας από τους λόγους, που κάνει εξαιρετικά χρήσιμο τον κανόνα της αλυσίδας στο ρυθμό μεταβολής. ίί.

dv = 3 m3/min. dt Άρα τη χρονική στιγμή που h = 2,5 m, θα έχουμε dh = _.3._ m/min. dt t = to 25

clt

η ταχύτηl:α στο y · y είναι το γινόμενο της κλίσης της γραφικής παράστασης με την ταχύτητα στον χ · χ.

dh clt

Οαρατnρόσεις

1. Στην άσκηση έχουμε δύο συσχετιzόμενες μετα βλητές ν και h, γvωρίzουμε το ρυθμό της μεταβολής της μιας και zητούμε της άλλης. Έχουμε συσχετιzό μενους ρυθμούς μεταβολής. 2. Αν δύο ή περισσότερες παραγωγίσιμες συναρ τήσεις συνδέονται με μια ισότητα, για να βρούμε το . zητούμενο αριθμό μεταβολής, παραγωγίzουμε τα δύο μέρη. Στη διαδικασία αυτή εννοούμε πως η ισό τητα f = g σημαίνει ότι η f και g είναι δύο τύποί της ίδιας συνάρτησης. Συνεπώς οι αντίστοιχες παράγω γοι θα είναι ίσες. Π.χ. αν αχ2 + β = 4χ2 + 5, παίρ νουμε 2αχ = 8χ. Αλλά δε μπορούμε να παραγωγί σουμε την χ2 = 4 για να πάρουμε 2χ = Ο, γιατί είναι εξίσωση που αληθεύει για δύο μόvο τιμές του χ. 4 Ένα κωνικό δοχείο ύψους U ΚQΙ ακτίνας R γε μίzει με νερό. Όταν το νερό φθάσει στο μέσο του ύψqυς το δοχείο αναστρέψεται, ώστε ο άξονας να εί-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β · κη. τ. 2/45

Το cnSpβoλo

.-ι dιι

στο ρuθpό μεταβολής

5. Ένα πρωΊ άρχισε να χιονίzει με σταθερό νοι κάτακόρυφος και αρχίzει vα αδειάzει με ρυθμό ρυθμό. Ένα εκχιονιστικό μηχάνημα άρχισε να καθα dv = 4em3/sa:. ρίzει ένα δρόμο στις 8 π.μ. και μέχρι τις 9 π.μ. είχε dt καθαρίσει 2 km. Μέχρι στις 10 π.μ. είχε καθαpίσει 3 km. Το μηχάνημα μπορεί να απομακρύνει ένα στα 1) Να βρεθεί το ύψος h, ποu θα φθάόει το νερό μετά την Όναστροφί1. 2) Αν R ;, 4 cm να βρεθεί ο θερό όγκο χιονιού ανά ώρα. Να βρεθεί πότε άρχισε ρυθμός μεταβολής τ�υ ύψους της στάθμης το vερού να χιονίzει. τη χρονική στιγμή ta. που το ύψος είναι h/2. Λ.Jon

Έστω Τ > Ο ο χρόνος που πέρασε από τη στιγ μή που άρχισε να χιονίzει μέχρι τις 8 π. μ . που άρχι σε να εργάzεται το μηχάνηj.lα. Έστω f (t) η απόστα ση π � υ έχει διανύσει μέχρι τη χρονική στιγμή t, όπου t ο χρόνος που πέρασε από τη στιγμή που άρ χισε να χιονίzει και h (t) το ύψος του χιονιού την ίδια χρονική στιγμή. Επειδή !ο χιόνι πέφτει με Οταθερό ρυθμό το ύψος του αυξάνει με σταθεpό ρυθμό. Δηλαδή dh = c, c > Ο. Ο ρυθμός μεταβολής του dt ύψους είναι συνεχής συνάρτηση του t, οπότε

Λtίσn

f h'

(t) dt =

cdt

ή h (t) =

+ cι . Επειδή h (Ο) =

1) Ο όγκος του νερού, όtαv φθάσει στο μέσο του Ο, έχουμε C = Ο. Το μηχάνημα εργαzόμενο μt στα ι ύψους, θα εfνάι θερn φορά απομακρύνει το χιόνι με σταθερό ρυθμό. Άρα ri ταχύτητα του είναι αντιστρόφως ανάλογη του ύψους του χιονιού για κάθε χρονική στιγμή, t 2: τ. Έστω t, 11 ακrίνα l:ης επιφάνειας του νερού αj.lέσως Άρα df (t) = __κ_ όπου Κ σrαθερ6 ή df (t) = Κ, dt h W dt ct μετά την αναστροφή. Τότε θα ισχύει V = 1 π h 3 και από την ομοιότητα των τριγώνων ΟΑΒ και ΟΓΔ θέrοντας Κ = Κι df (t) = Κι dt t θα έχουμε R = � ή τ = Rh . ΣυVεπώς θα ισχύει: h Επειδή ο ρυθμός μεταβολής τriς απόστασης είναι συνεχής συνάρτηση του t, σύμφωνα με το θεμελιώ 2 π �U = l π Rh 2 · h ή h = V7 · U ή h = 0,956 U δες θεώρημα, έχουμε 24 3 u 2

( )

fτ+ι κ dt = 2 και r+ 2 κ dt = 1 JΤ+ι t

--l --l με f (τ) = Ο. 2) Ο όγκος του νερού κάθε χρονική στιγμή t θα t τ είναι V = l πρ2 Η. 3 ΣυνεΠώς Κι lη σ + 1) - Κι !η τ = 2 κciι Από την ομοιότητα των τριγώνων ΟΓΔ και ΟΕΖ θα Κι lη σ + 2) - Κι lη σ + 1) = 1. ρ =ρ =, ρ =4· Η , 4 οπσrε R η, εχουμε 2 Άρα Κι = και Η U Η U U h (τ + 1) - h T και V = 16 Π Η3 . Άρα dV = 16 ΠΗ . dH ή 21η σ + 2 ) - 2 !η σ + 1 ) = !η σ + 1 ) - !η τ dt dt 3 U2 άρα τ σ + 2)2 = σ + 1) 3 dH ____!l_ dV = . - 1 + V5 Ξ 0,618 h , , dt 16 πμ2 dt Π Τ2 + Τ - 1 = 0 συνεπως τ = 2 Τη χρονική σrι'yμή to. Η = h ή Η = 0,478 · U, ή Τ "" 37 mίη, 5 sec. Άρχισε να χιονίzει στις 7 h, 2 t' 22 mίη, 55 sec π. μ. 1,09 cm/sa:. dv = -4 και = f dt dH π dt t = to ι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κ η . τ. 2/46

ΒΙΒΛΙΑ , Άλγεβρα

ΔΕΣΜΗΣ

Δ. Kovτoyιάvvn Δ. Ζέρβα

, Πιθανότητες ,

Συνάρτηση στο Λύκειο

Γ. Σιώτου Π. Ευθυμιόπουλου

, Μαθηματικά Θέματα Α. Κατσουλάκη , Μηχανική

Ε. Γκερμπεσιώτη

, Ηλεκτρισμός

Ε. Γκερμπεσιώτη

Ειδικές τιμές για Μαθηματικούς ΕΚΔΟΣΕΙΣ "ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ" Βουρνάζου 10- 12, 1 1 5 2 1 Αθήνα Τηλ. 645 3 1 14, 1 18 FAX: 645 3 1 38

Μ οντάς Γιώργος

Γιαννάκος Παναγιώτης

1. rΕΝΙΚΑ

ΤΣ.ΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ

θΕΜΑΤΑ

ΑΛΓΕΒΡΑΣ - ΑΝ. ΙΈΩΜΕΤΡΙΑΣ (Α . Τεύχος) ιΙ' 80 . (διπλά) επαναληπτικά θέματα, πο/\ί\απλών . ερωτήσεων. ιΙ' Πολλά θεωρητικά και .πρωτότυπα με συνοπτικές λύσεις (200 σελ.)

ΜΑθΗΜΑΥΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ (Γ Τεύχος)

.:a "' Περιεχόμενα: α) Τοπικά ακρότατα σε σημεία aσυνέχειας 8) Μονοτονία (σε ένωση διαστημάτων) γ) Κοινή εφαπτομένη ευθεία και απόσταση δύο 4 καμπύλων

Tn.lΊ.: 951 7863

!!-----

Αθήνα

----i

ΝuιtΑιιφipιιtιe και περιέχει:

Μεθοδολοyία δοκιμασμέ1111 και εnιβεβαιωμέ\111 σιοv πίνακα 308 λuμέvες ασκήσεις όnως ακριβώς nαροuσιάσιnκαv σιnv αίθοuσα διδασκαλίας

Καθ ε-.:ότn-.:α - Εσίi>-.: ερ ικό yινό μενο δ ι ανvσμ ά-.: ων Κατσοvλnς r ιώρyος

�� Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια σχέση δια γράμμα του άκρου της, δηλαδή ΟΑ = α, ΟΒ = β νυσμάτων σε μια γεωμετρική άσκηση, στην οποία κ.λπ. 'Ετσι μετατρέπουμε την όσκηση από γεωμετρι υπάρχει και κάποια καθετότητα, μπορούμε να χρησι κή σε αλγεβρική. μοποιήσουμε και μια από ης παρακάτω μεθόδους (προβολές ή διανυσμαηκή ακτίνα): Παράδειyμα: Στο παραπάνω ορθογώνιο � _____,.. τρίνωνο � δείξτε όη: ΑΔ2 ΒΔ · ΔΓ α) Πpοβολές: Στο εσωτερικό yινqμενο δυο διανυσμάτων μπο ρούμε να ανηκαταστήσουμε ένα διάνυσμα με την προβολή του οάvω στο άλλο. Δηλαδή: -+

-->

α · V = α προβ0 V

-->

Σημαντικό είναι να προσέξουμε όπ η παραπάνω πρόταση εφαρμόzεται και αντίστροφα.

--+ ----+ σαν αρχή to Α οπότε: ΑΒ Θεωpούμε --+β,�ΑΓ y, � Παράδέιyμιi: ΑΔ = δ και έχουμε Α = 90ο <=> ΑΒ .lΑΓ <=> β · y = Ο (1) Δίνεται ορθοyω�ιο τρίγωνο � �ΑΒΓ�(Α2 = 90° ) και το ΑΔ ύψος οπότε ύψος του ΑΔ. Δείξτε όη ΒΔ · ΒΓ ΒΑ ΑΔ.l ΔΓ δ y- δ (2) --+ .l (ΑΓ--+ Μ --+ ) <=> ΑΔ <=> --2 Α M.i(AB-M) � = β · δ (3) ΑΔ .l ΔΒ ΑΔ2 = ΒΔ--+· ΔΓ <=> Το συμπέρα911 α=--vοάφεται -.!;ιΓ δ2 (δ--+ - β) (y - δ) ΑΔ2 (ΑΔ - ΑΒ) (ΑΓ - ΑΔ) <=> --+ (1) δ2 = y δ - δ2 - β y + β · δ <=> δ2 = β δ ισχύει (2) aπό (3 ) . Β Γ Στη συνέχεια παραθέrουμε κάποιες βασικές ασκή σεις, λυμένες i,ιε ης παραπάνω μεθόδους. ΒΔ · ΒΓ = ΒΑ · ΒΓ (γιατί το διάνυσμα � ----+-ΒΔ είναι -+ η προβολή του ΒΑ πάνω στο ΒΓ) ΒΑ · ΒΑ ΒΑ2 (γιατί η προβολή του διανύσματος ΒΓ πάνω στο ΒΑ είναι το Ασκnσn ln: _____,.. ίδιο το ΒΑ) . Δίνεται παραλληλόyραμμο ΑΒΓΔ � �α ι ΓΕ .l ΑΒ 2 ΓΖ .l ΒΔ. Δείξτε ότι ΒΔ ΒΖ ΒΑ ΒΕ �Γ β) Διαvvσματικό ακτίvα Επιλέyουiιε σαν αρχn κατάλληλο σημείο ( συνή θως αυτό που εμφανίzεται στις διανυσμαηκές σχέ σεις ης περισσότερες φορές). Εκφράzουμε όλες ης υποθέσεις κciι τα συμπεράσματα με διανυσμαη� συνθήκες και ό?ία τα διdνύαματα βάσει του τύπου ΑΒ = ΟΒ - ΟΑ. Την κάθε διανυσμαηκή ακτίνα τη Γ συμβολίzουμε για λόγους ευκολίας με το μικρό ----+-

---+

-----:-+-

<=>

----+-

�

-->

---=-=--

--> -->

-->

-+.

--> -->

-->

= �

-->

_____,..

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κή. τ. 2/48

��

� -+

-+ --+

---=--+-

--> -->

--+

Καθετ6τnτα - Εσωτερικ6 yιv6pεvo διανvσpότωv --+--+ --+--+ --+--+

�

----+

----+-

____,.. �

____,.. ____,..

____,..

�

____,..

----+

____,..

____,.. ____,..

----+

____,..

--+

--+--+

---+

____,..

____,.. ____,..

--+--+

---+

� --+ β ν - β--+μ - ν--+μ --++ μ--+2 = -β δ + δ--+2 - ν ε + ε--+ � � β (δ - μ) + ν (ε - μ) = ο (�ίναι μ2 = =2 ε +δ2 γιατί;) που ισχύει από (2) και (3) .

α) Προβολές: ΒΔ ΒΖ = ΒΔ · ΒΓ (γιατί ΒΖ = ΠροβΒΔ_ ΒΓ) και ΒΑ · ΒΕ = ΒΑ ΒΓ (γιατί ΒΕ = ΠροβΒΛ ΒΓ). Άρα ΒΔ ΒΖ - ΒΑ ΒΕ = ΒΓ (ΒΔ - ΒΑ) = = ΒΓ · ΑΔ = ΒΓ · ΒΓ = ΒΓ2

� �

____,..

�

Ασκnσn 3n:

β) Διαvuσpατικιί ακτίνα: Θεωρούμε ως aρχή το Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εyyεyραμμένο σε κύκλο και Β είναι ΒΑ = α, ΒΓ = y, ΒΔ = δ, ΒΕ = ε και ΒΖ = z ΑΔ διάμεσος του. Αν ΑΕ διάl!εφος του κύκλου, δείξΈχουμε ΓΕ .l ΑΒ � ΓΕ .l ΒΑ � (ΒΕ - ΒΓ) .l ΒΑ τε ότι: ΑΒ2 + ΑΓ2 = 2ΑΔ · ΑΕ � (ε - ν) α = Ο � α ε = α ν (1) και ΓΖ .l ΒΔ � Α � --+--+ ΓΖ .l ΒΔ � (ΒΖ ΒΓ) .l ΒΔ � (z - ν) δ = Ο � --+ --+ � y δ = δ z (2) ____,..

� ____,..

----+ ____,..

____,..

----+

----+ ----+

____,..

......

____,..

�

----+ ---+-

----+ ----+

____,..

......

____,..

----+

____,..

�

-----+

�

---+ ----+

____,..

- ΒΑ ΒΕ = το συμπέρασμα yράφεω --+--+ ΒΔ ΒΖ --+� --+--+ --+ (1) --+ --+ '--+ --+ ΒΓ2 � δ z - α ε = y2 � ν δ - α ν = y2 � ν (δ - α) = (2) --- --- --- --y2 ισχυει, διοτι δ - α = ΒΔ - ΒΑ = ΑΔ = ΒΓ = ν �

--+--+

.....

Ασκnσn 2n:

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Μ τυχαίο ση μείο τπς υποτείνουσας ΒΓ. Αν ΜΔ .l ΑΒ και ΜΕ .l ΑΓ, δείξrξ ότι: ΜΒ · ΜΓ = ΔΑ · ΔΒ + ΕΑ · ΕΓ ____,..

____,..

ΑΔ διάμεσος οπότε

- = ΑΒ + ΑΓ (1) ΑΔ 2 --- --- (Ι) --- --- --Έχουl!ε 2ΑΔ ΑΕ = (ΑΒ + ΑΓ) ΑΕ = = ΑΒ · ΑΕ + ΑΓ · ΑΕ� = ΑΒ ---· ΑΒ-+ + ΑΓ · ΑΓ . (νι�ΑΒ =--DροβJ\Β ΑΕ και ΑΓ = ΠροβΑ[ ΑΕ) = = ABz + ΑΓz . ·

-----+

�

-----+

----+

-----+

α) Προβολές ΔΑ · ΔΒ = ΔΑ · ΜΒ (γιατί ΔΒ = Προβt;Α ΜΒ) � � ΔΑ · ΔΒ = ΜΕ · ΜΒ (1) (ΔΑ = ΜΕ) και ΕΑ · ΕΓ = ΕΓ ΜΒ (2) (yιaτί ΕΑ = ΠροβΕ[ ΜΒ). Από (1), (2) είναι: ΔΑ · ΔΒ + ΕΑ · ΕΓ = ΜΒ (ΜΕ + ΕΓ) = ΜΒ ΜΓ ____,..

____,..

------+

____,..

�

-----+

Ασκnσn 4n:

ύωος του ΑΔ και το ορΔίνεωι τρίγωνο ΑΒΓ, το� θόκεvτρό του Η. Δείξrε ότι: ΔΑ · ΔΗ = ΒΔ · ΔΓ. �

-----+

____,..

-----+

β) Διαvuσμαnκιί ακτίνα: Θεωρούμε σαν αρχή το --+ --+ Α Είναι ΑΒ = β, ΑΓ = y, ΑΔ = δ, ΑΕ = ε και ΑΜ = μ. --+ --+ Έχουμε ΑΒ .l ΑΓ � β ν = Ο (1) --+ --+ ΜΔ .l ΑΒ � (ΑΔ - ΑΜ) .l ΑΒ � (δ ---+μ)--+β = Ο (2) ΜΕ .L ΑΓ � (ΑΕ - ΑΜ) .L ΑΓ � (ε - μ) ν = Ο (3) το συμπέρασμα γράφεται ΜΒ · ΜΓ = ΔΑ · ΔΒ + ΕΑ · ΕΓ � � (ΑΒ - ΑΜ) (ΑΓ - ΑΜ) = - ΑΔ--+· (ΑΒ - ΑΔ) - ΑΕ--+(ΑΓ - ΑΕ)--+�--+ --+ --+ --+ --+ --+ � (β - μ) (ν - μ) = -δ (β - δ) - ε (ν - ε) � -----+

___,

-----+

.____,..

-----+

------+

--+ ____,..

-----+

___,. -----+

-----+

----+-

-----+

-----+ -----+

-----+

--+

___,.

--+

-----+

------+

Έχουμε ΔΑ ΔΗ = ΔΗ · ΒΑ ( 1) γιατί � ----+. ΔΑ = ΠροβΔΗ ΒΑ και ΒΔ · ΔΓ = ΔΓ · ΒΑ (2) γιατί ΒΔ --= ΠροβΔ[ΒΑ. --- ----- --- (lJ το συμπέρασμα γράφεται ΔΑ · ΔΗ = ΒΔ · ΔΓ � ιz) ΔΗ · ΒΑ = ΔΓ ΒΑ � ΒΑ (m - Δil = ο � -- -ΒΑ ΓΗ = Ο που ισχύει αφού Η ορθόκεvτρο. ·

-----+

F:ΥΚΛΗΔΗΣ R '

-----+

κ π . τ_

2/49

-----+

Καθειότnτα - Εσωτερικό yιvόpεvo δια""σpάτωv Ασκnσn 7n:

Ασκnσn Sn:

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ Αν οι διάμεσοι ΒΔ, ΓΕ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέμνο το μέσο της ΒΓ. Αν Μ� .l ΑΓ και Λ μέσο της ΜΚ, νται κάθετα, δείξτε ότι: δείξτε ότι Μ .l ΒΚ. 1) (ΑΒ) 2 + (ΑΓ)2 ·= 5(ΒΓ) 2 2) συv Α � 1 Α 5 Α

Γ Β ____,..

____,..

Β Αρκεί Μ · ΒΚ = Ο. Επιλέγουμε σαν αρχή το σημείο Μ και έχουμε: Μ · ΒΚ = . (ΜΛ - ΜΑ) (ΜΚ - ΜΒ) .!.LΘ�ούμε ω�χή� Α�ίν�Δ .l ΓΕ .;::;. = ΜΛ · ΜΚ - ΜΛ ΜΒ - ΜΑ ΜΚ + ΜΑ ΜΒ = .;::;. ΒΔ ΓΕ = Ο (ΑΔ - ΑΒ) (ΑΕ - ΑΓ) = Ο .;::;. ΜΚ 1 MI{ . lΜΚΜΓ ΜΡιΜΚ = + 2 2 - A8 - Ar = 0 .;:;. (yιarί ΜΛ. = 1 ΜΚ, ΜΒ = - Mr και ΑΜ .l ΒΜ) = 2 ---+2 ΑΓ ΑΓ � ΑΒ---2 + ΑΒ · ΑΓ =0 .;::;. --+ --+ --+ 2 2 2 4 2 2 = lΜΚ + l ΜΚ - ΜΚ = 0 5ΑΒ ΑΓ = 2(ΑΒ� + ΑΓ2 ) (1) 2 2 yιarί ΜΚ = ΠροβΜΚΜΓ και ΜΚ = Π�κΜΑ Το συμπέρασμα γράφεται: ΑΒ2 + ΑΓ2 = 5ΒΓ2 .;::;. · i\B2 + ί\Γ2 = 5 (Ar- i\BJ 2 .;::;. i\B2 + ί\Γ2 = 5(ΑΒ2 + ΑΓ2 - 2ΑΒ ΑΓ) 10 ΑΒ · ΑΓ = 4 (ΑΒ2 + ΑΓ2) .;::;. Ασκnσn 6n: .;::;. 5 ΑΒ ΑΓ = 2 (ΑΒ2 + ΑΓ2 ) που ισχύει από (1) Δίνεται ημικύκλιq διαμέτρου ΑΒ και δυο τυχαία 2) Είναι συν Α = συν (ΑΒ, ΑΓ) = σημεία του Γ και Δ. Φέρνουμε ΔΑ .l ΑΒ, που τέμνει τη ΒΓ mo Η. Δείξτε ότι ΒΗ · ΒΓ = ΒΔ2 . ------+

�

� �

�

------;...

� �

�

____,..

� ....--...+-

____,..

.;::;.

(� )(� ) ----+ ----+

.;::;.

---+

_ ·

----+-

------+

�

____,..

--?ι-:

----+-

----+

----+·

.;::;. -+

----+

------+

____,..

----+-

____,..

�

_.____,..

�

____,.. ____,..

____,..

Φέρνουμε ΑΓ, ΑΔ και ΔΒ. Είναι ΑΓΒ = ΑΔΒ = 90" οπότε ΒΗ · ΒΓ = ΒΗ · ΒΑ (γιατί ΒΓ = Προβi3Η Ασκnσn 8n: ΒΑ) = ΒΑ · ΒΕ (γιατί ΒΕ = Προβί3Α ΒΗ) = ΒΑ · ΒΔ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90"), ΑΔ (γιατί ΒΕ = Προβί3Α ΒΔ) = ΒΔ· ΒΔ = ΒΔ2 (γιατί ΒΔ ύψος και ΑΜ διάμεσος του τριγώνου. Αν ΔΕ .l ΑΒ = ΠροβΒΔ ΒΑ). και ΔΖ .l ΑΓ, δείξτε ότι ΑΜ .l ΕΖ. �

�

------;.

�

----+

------+

�

------+-

�

----+-

------+-

----+

----+ ----+

�

------+

----+

____,..

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

2/50

Καθε-.:ό-.:n-.:α - Εσω-.:ερικό yιvόμεvο διαvιισμά-.:ωv

Είναι

ΒΙΒΑΙΟΠΩΛΕΙΟ: ΑΡΜΕΝΟΠΟΥΛΟΥ 27 (πίσω από τη Ροτόντα) . ·� (03:1 ) 203·720, FAX: 21 1 ·305 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 54635 TEX N I KA ΕΠΙΣΤΗ Μ Ο Ν Ι ΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΑΕΙ, ΤΕΙ, Ι Ε Κ

ΑΜ ΕΖ = 1 (ΑΒ + ΑΓ) ΕΖ = 2

ΣΥΜΦΩΝΑ Μ Ε ΤΟ ΝΕΟ Α Ν ΑΛΥτΙ ΚΟ Π ΡΟ ΓΡΑ Μ Μ Α 1 994-95

= 1Α8Ε.Α + 1ΑΓ' Κz. = 2

ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ και τις Δ ΕΣ Μ ΕΣ

ΠΛΗ ΡΕΙΣ ΣΕΙΡΕΣ ΣΧΟΛΙ ΚΩΝ ΒΟΗΘΗΜΑΤΩΝ

= 1Α8ΕΖ + l ΑΓ ΕΖ = 2

ΒΙΒΛΙΑ

ΑΛΓΕΒΡΑ 4nς ΔΕΣΜΗΣ (Πίνακες • Γραμμικά Συστήματα • Πιθανότητες) του κ. Χρήστου. Σωzιόnουλου.

Στο β ιβλίο γίνεται μια πλήρη ανάπτυξη της θεωρίας, ίδιαίτερα στο �εφάλαιο των Πιθανοτήτων. Περιέχει επίσης παρατηρήσεις και σημειώσεις για τη λύση των ασκήσεων. Λύνονται 259 ασκήσεις και προτείνονται γι

Β' ΕΚΔΟΣΗ

ΛΝ Λ ΛΥΣΗ

Λ• τt-:Υ'-ω .. '" ,.f(l � '"" ....

λύση 517 ασκήσεις με τις απαντήσεις τους.

Το ΒιΒλ ίο αυτό απευθύ νεται στους υποψ1]φιους της Α δ έσμης, αλλ ά και στους μαθητές της Η λ υκείου που θα ακο λ ο υθήσο υν την Α' δέσμ η και περιέχει •

.,. ·"- \ιGοο"

ΑΛΓΕΒΡΑ Β' ΛΥΚΕΙ()Υ, Τόμος Α' (Υριγωνομετρία

Το μη φορμαλιστικό πνεύμα, η έμφαση στη διαισθητική κατανόηση, ο πλούτος σκέψεων και ιδεών, η πρωτοτυπία των περισσοτέρων ασκήσεων, η κομψότητα των λύσεων και γενικά το υψηλό επίπεδο είναι τα κυριότερα χαρακτη ριστικα αυτού του βιβλίου. Περιέχει: 1020 Άλυτες ασκή

σεις με υποδείξεις και απαντή σε ις , 400 Λυμένες ασκήσεις.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ

ΜΑθΗΜΑΠΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑ �NQTHTA

ΥΛΗΣ τ<ι.!ν ετών 1 974 - 1 994

του κ. Χάρη Παπατzίκου. Περιέχει: λυμένα τα.θέμ(Ιτα των Ε ισαγωγικών εξετάσεων 197479, των Πανελληνίων εξετάσ �ν 1 97Q-83, των Γενικών

�

·� Θεωρία δοσμένη με τρόπο απλό, σάφ1] και κατανοητό

εξετάσεων 1 ης και 4ης Δέσμη" ς του 1 983-1 994 και των

Α υμένες

ασκήσεις σε δύο ομά δες κλιμακούμενης δυσκολίας, που συνοδεύονται απο βοηθι τικά σχό λια και καθιστούν ικανό τον υπο ψJjφιο να αναπτύξει γενικότερες μεθόδους σκέψης •

Α σκ,ίσεις για λ ύση σε δύο ομάδες, με απαντήσεις και υποδεί ξεις για τη λύση τους •

ΤΟΝ ΟΚΤΩΒΡΙ() ΚΥΚΛ Ο ΦΟΡΕΙ ΤΟ Β ' ΤΕ ΥΧΟΣ: ΑΝΑΛ ΥΣΗ •

Λ ΙΑ Φ ΟΡΙΚΟΣ Λ ΟΓΙΣΝΙΟΣ

�εντρική διάθεση :

Νίκος Ροτζιώκος. τηλ. 86 42 501 Χρίστος Φραντζ1jς, τηλ. 60 1 1 24 1

•

Πολυώνuμ�), του κ. Ν. Λαμπρόπουλου.

Εξετάσεων 4-1994.

ΠΟΛΙτΙΚΗ OIKONOMIA του κ. Θόδωρου Κοuτρούκn (qύμφωνα με το νέο αναλυτικό πρόγραμμα 1 994-95). Περιέχει. Κωδικοποιημένη σύνοψη θεωρίας - Εφαρ μογές

Λυμένες ασκήσεις - Τεστ από τη θεωρία - Ασκήσεις για λύση.

Η ΣΕ/ΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ Θ. ΞΕΝΟΥ

8 ΜΑΘΗΜΑτΙ ΚΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (νtα έκδοση) 8 ΑΛΓΈΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ' ΛVKEIOV 8 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΑΛΓΕΒΡΑ - Α Ν ΑΛΥτΙΚΗ ΓΕΩΜ ΕΤΡΙΑ 1 (1 ης ΔΕΣΜΗΣ) 8 8 8 8 8 8 8

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΑΝΑΛΥτΙΚΗ ΓΕΩΜΕΥΡΙΑ 2 (1 ης ΔΕΣΜΗΣ) (Κωνικές τ ο μ ές, Μ ιγαδικοί α ρι θμοί, Π ι θανότητες) ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ης ΔΕΣΜΗΣ 1

(Πίνακες, Γραμμικά συστήματα, ΔιQνύσματα, Η ευθεία στο επίπεδο)

(Συναρτήσεις - Όριο, Συνέχεια - Ακολουθίες) ΑΝ ΑΑΥΣΗ 1 ης ΔΕΣΜΗΣ 2 (Διαφορικός λογισμός)

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ης ΔΕΣΜΗΣ 3 (Ολοκληρωτικός λογίσμός) ΑΛΓΕΒΡΑ 4ης ΔΕΣΜΗΣ (Πίνακες-Γραμμικά Συστήματα-Πι θανότητες)

ΑΝΑΛΥΣΗ 4ης ΔΕΣ;ΜΗΣ .. 1 (Βασικές έννοιες-Όριο-Συνέχεια συν/σης) ΑΝΑΛΥΣΗ 4ης Δ Ε� Μ Η Σ 2 (Διαφορικός � Ολοκλ�ρωτικός Λογισμός)

εΝτοΣ

8 8

ΘΆιι;-� ι' κ:ΥκΛοmοι:>��'Ν:ι iΣΙ

ΓΕΝ Ι ΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΩΝ 1 ης ΔΕΣΜΗΣ ΓΕΝ Ι ΚΑ Θ ΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΩΝ 4ης ΔΕΣΜΙ-!Σ • •

Στους καθηγητές yίνεται έκπτωση 35% Ζητήστε να σας στείλουμε τον τιμοκατaλογο του Ιανουαρίου 95 ---- - - -

. . .!

.· .;.. το· .

···· -

-- -··· · -· ' ·· -- - - - �-

- - - _ ___ .!.._ _ _ _ _ _ _ -- ---

ι:ι .n ι ::• •• • · · - -

Καθετότστα - Εσωτερικό yιvόpεvo διαvνσpάτeιιv

------

�

----+-

(διότι ΕΑ = ΠροβΑίJ ΕΖ και ΑΖ = ΠροβΑf' ΕΖ) =

= lΑΒΔΑ + lΑΓΑΔ 2 � �2

�

(διότι το ΕΑ είναι η προβολή του ΔΑ πάνω� στο ΑΒ και το ΑΖ είναι η προβολή του ΑΔ πάνω στο ΑΓ) = lΑΔ(ΑΓ -Α8) = 1ΑΔΒΓ ο (διάιΑΔ .ι ΒΓ) �

�

Άρα ΑΜ

�

ΕΖ

Ο οπότε ΑΜ _ι ΕΖ.

Ασκnσn 1 1n:

[ }

Η άσκηση να λυθεί και με διανυσματική ακτίνα (θεωρούμε ω� αρχή το Α είναι Παρα-.:όρnσn. Ν" = ν, ---+

Αν � = - � β = [ �· οοξτε όη:

•

ΑΔ = δ, ----+

.....

6+ ν κ.λπ). ΑΜ = -2 . ------+

Ασκnσn 9n:

Λ.Jσn

Αν α, ν Ο, δείξτε ότι: -+

;ιι

i) Προβ--ν = α. ν . � α - � ��2

ii)

Ισχύει:

lπροβ--α ;1"1 = �� --· �I �α

i) Είναι Προβα>ν 1 1 α οπότε Προβα>ν = λ . α, λ Ε ( 1) R ( 1) και α ν = α · Προβα>V <=> α ν = α (λei) <=> α . ν= λα 2 <=> α . ν � λ Ια'Ι 2 <=> -+

---+

Αν � ==:

[ -43] και β = [ 82J.

οοξτε

ότι:

Ασκnσn 10n:

Λ.Jσn

= _.

<=>

Επομένως

(ά><noo 9 (i)J

. βl = 1 6 -321 = 26 (2) και =IΠροβ--α -+1β (1)1� � � V9 + 16 5

� 1Προββ �� · βΙ = 1 6 -321 = 26 = __2Q_ (3) lβl V4 + θl V68 2 fi7

Από (2) και (3) είναι: 5 1 nροβ�βl - 2 mlπροββ �l =

5 · 26 _ 2 fi7 __2Q_ = O 5 2 fi7

Οι Ασκήσεις 1 1 και 12 να λυθούν και χωρίς τους τύπους της 9ης άσκησης. Παρα-.:ό ρnσn:

Από την άσκηση 9 (ii) έχουμε:

�� (1)

Ιαώει: l προΒ,;� � �

Λ.Jσn ·

[�] από (1) έχουμε:

Ασκnσn 12n:

= � -·

α- ·-ν (2) <=> λ = . 1�12 Από (1) και (2) Προβ-> ---ν α · ν Ό-+ . α 1�12 --- ν αι Προβ ii) Από (i) είν � - . ν � · -+α οπόrε 1�12 I Π�α � � · ν -+α � · ν 1-+α1 I � · ν:1ι 1-+1α 1�12 ι;ι� 1�12 <=>Ι nροβ--� = Ι � · νι α νι 1�1 =

= � (� + β) . � = 4 . 5 + ι- 3) . ο � = � � προβ--ν (,J42 + (-3)2 ) 5 α ��2

---+

προβ--ν--- = α · ν -+α (1) (άσκηση 9(i)) α � ��2 ·

Αν ν = � + β

Λ.Jσn

---+

Προβ�(� + β) = � � 5

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/52

Δ.Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ ΔΕΣΜΗΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛ YTIKH ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ (τΟΜΟΣ Ι &11)

�Ε κδοση : • Αν�λ�ση 1 ης t;,έσμης 3ος ;rό -..ας -.-Γι'-� ι • ι ν .,. . 1 Α.&�u μ ι) z rί τ fι στ εσ!"δ ι α Άλγ ε βρα τ α φ ιJ λ λ εωv τω v λ u σ Ανάλuση Α' Τό μ ο ς

Ένcί βιβλίο Μοναδικό που σε καλύπτει

Υrιό

• • •

Αvάλυση Β ' Τόμος

Πλήρως Περιέχει : •

Πλι'φrι_Θεωρία -Σημειώσει�- Παρατηρήσεις

•

Πρωτό,τuπες Ασκήσεις

•

Μεθόδολογική επεξεργασία θεμάτων

Πλήρεις οδη γοί για τη σωστή προετοιμασία κάθέ υποψηψiου

•

Οσοι το διάβασαν θεωρ�ύν οτι είναι το πλrιpέστερο βιβλίο Αναλυτικής Γεώμετρίας

Θέματα Μ α θ η μ α τ ι κών 1 ης κ α ι 4ης Δ έσμ ης

Και :

•

Άλγεβρ α Α' Λυκείο υ

•

Γεωμετ ρ ία Α' Λυ κείου

•

Πάραγγελίeς : εκδόσεις Πpά�n Αδ.Κοραή 31 τ.κ 16232 Βi:ιρωνας Τηλέφωνο : '76 42 728

Άλγεβρ α Β' Λυκείο υ

Γι α καθηγητές έ κmωση 35 %

Γιάννη ς Ηλιόπουλος. Μ;τάλογλου Θεσσαλονtκη , Τη λ. 52-+.9 7, fax:

_......-

ιιιι5ιιι""'( 46 29)

5 � 254.426...,....

ΑΣΚiΙΣΕΙt

. QlpΛ.Ji.fME .�Ξ "ιwίΟΥί'ΣΙΑ" ..: �JA ε�-IWioYπa ;:.·· : · ·θΟΑ; ι:Α; Ή• · . ."

.- ,

. ·

, - -

i ;

Γ Ε Ω Μ ΕΤΡ Ι ΑΣ (ΙΗΣΟΥ IΤΩΝ)

·.. .

•

και.(1Ψει� ��OεcJ>v δwΡεάv και ρcSv� σrοuς μαθη-

. μq.tψ,()))ς ' ·. ::

�j)ικn. δϊ

· · .

...

: ' βιβK. ·G�ten�

•

Εκδ.Οc:Jεις "Κc;,p<pή":τηλ�· 36 00 •'798, 36 1 1 38'7 .

'•

•

, • ;.,,''"';," ;Hτ ·-,_ ,__ .... , .. - :·····.

-"'•'ii",;,"• ;";:

·.

Λύ�εις �.000 zηi:ημάτωv Όλαι αι Γεωμετρικαί Μέθοδοι Υπό F. G. - M (τΟΜΟΙ 1 - 4)

·1\Ν'ΜJ�Jiιi�ιις, cι.v�yoa� . � ��-11ΚΑ .• r· fvιoiU1ιoY � •• :�ii��·;· 1_�i��*'��. � .-iι-t•6i:i� i�

•

;:•:- -- ;:

•

. •

(Κυκλοφορέf Σ;ΥΝfΟΜΑ . ) Τηλ.: 80 32 488

· · ....

(

; ,..

,.,;,

Κevτρική Διάθεση: Π. ΧΙΩΤΕΛΛΗΣ Ιπποκράτους 17 - 106 79 Αθήνα Τηλ. : 36 1 1 159

Ασκήσε ι ς

Εvθ ε ία

στην

Βασίλης Δ. Καρακατσάνnς

1) Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ με εξισώσεις πλευρών ΑΒ: y = 1 ΑΓ: 2χ + y = 11 και ΒΓ: y - 2x = 7. Να δειχθεί ότι τα ίχνη των καθέτων από ένα σημείο Μ(6, 4) στις πλευρές του τριγώνου είναι συνευθειακά. Λvσn

Έστω ΜΔ, ΜΕ, ΜΖ οι κάθετες στις ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοι χα τότε οι συvrελεστές διεύθυνσης είναι λΜΕ = 1/2, λΜΖ = 1/2 και οι αντίστοιχες εξισώσεις ΜΔ: χ = 6, ΜΕ: y - 3 = 1/2 (χ - 6) και ΜΖ: y - 4 = - 1/2 (χ - 6). Λύνομε τώρα αντίστοχα συστήματα

)

ΜΔ : χ = 6 λύση Δ (6, 1) μετά AB : y = l

) )

- 4 = - lι2 (χ - 6) λύση το Ζ (0, 7) ΒΓ : y - 2χ = 7 ' 611 Τέλος παίρνονταςτην αντίστοιχη ορίzουσα D = 4 3 � = Ο 071 αποδείξαμε ότι τα Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. Υ

1 1

2) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(8, 10) 8(2, 4) και Γ(12, 2). Ζητείται η απόσταση του ορθοκέvτρου του Η από τη διάμεσο ΒΜ του τριγώνου αυτού. ΑΚ, ΓΛ τα αντίστοιχα ύψη του ΑΒ. Λvσn

Με τη βοήθεια των συvrεταγμένων των κορυφών βρί σκουμε τις εξισώσεις των τριών πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ Υ - 10 10 - 4 ΑΒ: -- = -- � χ - y = 2, 8-2 χ-8 - 4 = _4_ � χ + Sy = 22. χ - 2 2 - 12 Έστω τώρα Μ το μέσο της ΑΓ άρα θα είναι Μ 8 12 , 10 2 = (10, 6) ΒΓ:

(�

Επίσης η εξίσωση της διαμέσου

BM: y-4 = 4-6

(

)

x-4y + 1 � διάμεσο ΒΜ είναι d(H, ΒΜ ) = l = 16W V 1 2+ (- 4)2 s1 3) Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α > Ο. Ζητεί ται το σύνολο των ση�ίων Μ(χ, y) του επιπέδου που ικα νοποιούν την σχέση ΜΒ2 + ΜΔ.2 = 2Mr2 + 2α2. Λvσn

ΜΕ : y - 3 = 1ι2 (χ - 6) Λύση Ε (4, 3) AΓ : 2x + y = ll στη συνέχεια το σύστημα ΜΖ :

Τέλος οι συντεταγμένες του ορθόκεvτρου Η θα είvί::ιι η λύση , ΑΚ: Sx - y = 30 1 rου συστηματος ι' που ειναι Η 22 -, 20 3 3 ΓΛ: χ + y = 14

� x- 4y + 14 = 0

χ- 2 2 - 10 Άpα ο συντελεστnς της ΒΓ είναι λ8r = - 1 I 5 και λόγω της καθετότntας ΑΚ ..l ΒΓ θα είναι λΑΚ · λ8r = -1 άρα λΑΚ = 5 συνεπώς η εξίσωσηςmς ΑΚ: y - 10 = 5 (χ -8) � 5x -y = 30. Ομοίως αφού ΓΛ .l ΑΒ θα ισχύει λΑΒ · λrΛ = - 1 άρα λrΛ = -1 συvεπώς η εξίσωσητης ΓΛ: y-2 = -(χ- 12) � χ + y - 14 = Ο.

Έστω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων με αρχή το Δ και την ΔΓ να Βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα ΔΧ τότε εί ναι Α(Ο, α), Β(α, α), Γ(α, 0) και Δ(Ο, 0) και η δοσμένη σχέ ση στην εκφώνηση γίνεται (χ - α)2 + (y - α) 2 + χ2 + � = 2(χ - α)2 + 2� + 2α2 � y = χ - α (δ) που επαληθεύεται από το Γ(α, Ο) άρα η ευθεία αυτή του γ · τ, διέρχέι:αι από το Γ. Επίσης η εξίσωση της ΑΓ είναι: y-α α-0 -- = -- � Υ = - χ + α (ε). χ-0 0-α Άρα αφού το γινόμενο των συvtελεστών διεύθυνσης των (ε) και (δ) ευθειώv είναι -1 συμπεραίνουμε ότι η (δ) είναι κάθετη στην (ε) δηλαδή στην ΑΓ στο σημείο Γ. Άρα ο zητούμενος γ · τ είναι η ευθεία (δ) κάθετη στην διαγώνιο ΑΓ στο σημείο Γ. 4) Δίνεται η γραμμή (ε): 2 ημ2 � χ + 2 συν2 � y = συνα με ω Ε (0, π). 2 2 Αφού δειχθεί ότι η (ε) γραμμή είναι ευθεία μετά να δειχθεί ότι για κάθε ω Ε (0, Π) η ευθεία αυτή θα διέρχεται από σταθερό σημείο Α(χ, y). Λvσn

Για Α = 2 ημ2�, Β = 2 συν2�, Γ = συνω - 1 η (ε) 2 2 γίνεται Αχ + By = Γ με IAI + IBI = = 2ημ2 ω/2 + 2συν ω/2 = 2 "' Ο άρα η (ε) είναι ευθεία γραμμή και γράφεται ως εξής: (1 - συνω) χ + (1 + συνω)y = 1 - συνω άρα συνω(y - χ + 1) + (χ + y - 1) = Ο και τέλος αφού η (ε) διέρχεται από το Α για κάθε ω Ε (0, ΓΙ) οι συvrεταγμένες του Α(χ, y) θα επαληθέύουν το σύΟτημα x+y=l

)

άρα (χ, y) = (1, 0) -x + y = - 1 άρα η ευθεία γραμμή (ε) διέρχεται από το σταθερό σημείο A(l, 0)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/54

" Εvα Π ρ όβλη μ α π ο λλές λvσ ε ι ς Επιpέλεια: Νίκος Σ-.:άθιi Παπαδόποιiλος

Άσκηση 7η

Τρόπος -.:ρί-.:ος

Αν μια πλεvρά -.:ριyώνοv βρίσκε-.:αι απένα πι από οξεία yωνία, -.:ο -.:ετράyωνό -.:ης είναι ίσο με -.:ο άθροισμα -.:ων τε-.:ραyώνων -.:ων δvο άλλων nλεvρών ελαπωμένο κα-.:ά -.:ο δι nλάσιο yινόμενο της μιας αnό αv-.:ές εnί -.:ην προβολό σε αv-.:όν της άλλης. Λvση: Πpώ-.:ος τρόnος

Γ Γ

Α < 90° Στο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε Β < 90° και φέρνουμε

(

τη διάμεσο Αο οο ΟΓ =

�)

Προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΟ και παίρνουμε ΔΟ ΑΟ. Α < 90°, ΓΔ ύψος. Τότε ΔΒΑ > 90° και ΔΒ β, ΔΓ y. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΒΔ έχουμε Θεωρούμε ΔΘ .1 ΑΒ . α2 =:= ΓΔ2 + ΒΔ2 ( 1 ) όμως, ΒΔ y - ΔΑ απ ' όπου: ι + Δ 2 ΔΑ - 2 · y · ΔΑ (2) Β 2 Από το τρίγωνο ΔΒΑ με ΔΒΑ < 90° προκύπτει: ΔΑ2 β2 + y2 + 2 · y · ΘΒ (1) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΔΑ έχουμε: (3 ) Απο το τρίγωνο ΑΒΓ με το θεώρημα tης διαμέσου ΓΔ2 β2 - ΔΑ2 ( Από ης (1), (2) και 3 ) με ανηκατάmαση προκύπτει: προκύπτει: β2 + ι 2 ΟΑ2 + 2 ΟΒ2 απ ' όπου: 2β2 + 2ι 4 ΟΑ2 + 40Β2 και mη συνέχεια: α2 β2 + r - 2 · y · ΔΑ ΔΑ2 2β2 + 2ι - 4 ΟΒ2 (2) Δεv-.:ερος -.:ρόόος Από (1), (2) έχουμε β2 + y2 - 4 ΟΒ2 2 · y ΘΒ απ' όπου β2 + ι α2 2 y · ΘΒ και mη συνέχεια α2 β2 + y2 - 2 · y · ΘΒ (3 ) επειδή όμως ΘΒ ΑΗ (4) Β Από (3 ) , (4) προκύπτει: α2 β2 +�ι - 2y · ΑΗ Στην ίδιο σχέση καταλήγουμε αν Β ;::: 90°. =

Τέ-.:αρτος -.:ρόnος Β Α

Με εφαρμογή του νόμου των συνημιτόνων dro τρί γωνο ΑΒΓ προκύπτει: α2 β2 + ι - 2β y συνΑ (1) Από το τρίγωνο ΒΔΑ έχουμε: ΔΑ y · συνΑ (2) Από (1) και (2) με ανηκατάmαση παίρνουμε: α2 β2 + ι 2β . ΔΑ =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κz. τ. 1/55

ι:.vu ιιpuonnpu nunnες n"uεις

------

Α. < 9οό Από το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο ΓΒΔ παίρνουμε: ΒΔ2 - α2 = 2 · ΓΔ · ΕΑ, Φέρνουμε ΒΔ .1. ΑΓ. Ξέρουiιε ότι: ΒΔ2 - α2 = 4 β · ΕΑ, α_: = ΒΔ2 - 4β · ΕΑ (1) ημ2Β + ημ2Γ = 2 + 2συνΑ · σUνΒ · συνΓ - ημ2Α (1) Από το τρίγωνο ΑΒΔ (ΒΑΔ > 90°) έχουμε: α = 2RnμA, β = 2RnμB, y = 2RημΓ (2) y2 ΒΔ2 = y2 + β2 + 2 β ΑΕ (2) α2 =4R2nμ2A, β2 = 4R2nμ2B, = 4R2ημ2Γ (3) Από (1), (2) προκύmει: α2 = y2 + β2 + 2 · β · ΑΕ ημ2Α + σuvZA = 1 (4) και ΔΑ = yσυνΑ (5) Θεωρούμε την παράσταση β2 + y2 - 2β ΔΑ - α2 4 · β · ΑΕ, την οποία μετασχημι;ιτίzουμε παίρνοντας υπόψη ης (1), (2), (3), (4), (5) και έχουμε: β2 + y2 - 2 β ΔΑ - α2 = Β = 4R2ημ2Β + 4R2ημ2Γ - 4RημΒ · y συνΑ - 4R2ημ2Α = 4R2ημ2Β + 4�ημ2Γ - 8� ημΒ ημΓ συvΑ - 4� ημ2Α = 4R2 (ημ2Β + φ2Γ - 2ημΒ · ημΓ · συνΑ - ημ2Α) = 4R2 (2 + 2 συνΑ συνΒ · συνΓ - ημ2Α - 2ημΒ ημΓ · συνΑ - ημ2Α) = 4R2 (2 + 2 σ�νΑ συνΒ · συνΓ - 2ημΒ · ημΓ · συνΑ - 2 ημ2Α) = ... = 8R2 συνΑ [συνΑ + συν (Β + Γ)] = 8R2 συνΑ (συνΑ - συν Α) = Ο Έβδομος τρόοος απ' όπου φαίνεται πως: α2 = β2 + y2 2β . ΔΑ ·

�

Σnjιείωσn

Αν Α + Β + Γ = 180° τότε ημ2Α + ημ2Β + ημ2Γ = 2 + 2 συν Α συνΒ · συνΓ (γνωστή άσκηση) ·

Πέp.ατος τρόl!._ος (Βλέπετε σχήμα τέrαρτου τρόπου) Α Α < 90°, ΒΔ .1. ΓΑ Αν πάρουμε το εσωτερικό γινόμενο της ισότητας ΓΒ = ΑΒ - ΑΓ θα έχουμε: Α < 90°, ΓΔ .1. ΑΒ και έστω β > α ΓΒ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 - 2 ΑΒ ΑΓ Θεωρούμέ τη διάμεσο ΓΜ (ΒΜ = ΜΑ = y/2) απ' όπου προκύπτει: κι' έχουμε: α2 = y2 + β2 - 2 y β συνΑ, α2 = β2 + y2 - 2β ΔΑ β2 - α2 = 2 y ΔΜ, α2 = β2 - 2y ΔΜ, α2 = β2 + y2 - y2 - 2y . ΔΜ, Έκτος τρόοος Α < 90°, α2 = β2 + y2 - y (γ + 2 ΔΜ), Φέρνουμε ΒΕ .1. ΑΓ και προεκτείνουμε την ΓΑ ώστε α2 = β2 + yZ - y (2ΜΑ + 2ΔΜ), ΓΑ = ΑΔ. α2 = β2 + y2 - 2y (ΜΑ + ΔΜ), Προφανώς ΒΑΔ > 90° και επομένως ΒΔ > α. α2 = β2 + y2 - 2 Υ . ΔΑ

�

____,._.

�

____,..

----+

�

•

ΥΠΟΨΗΦΙΟΤΗΤΕΣ rιΑ ΤΙΣ ΕΚΛΟrΕΣ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Μέχρ1 1 5 - 1 - 1 995 rENIKH ΣΥΝΕΛΕΥΣΗ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε 12 - 3 - 1 995 ΕΚΛΟrΕΣ ΣΤΗΝ Ε.Μ.Ε 1 9 - 3 - 1 995

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' ΚΖ.

Ι.

1/56

Από τον συνάδελφο Ν. Κισκύρα λάβαμε την πα ρακάτω επιστολή. Αγαπητέ Ευκλείδη Β ' Στο ΤΕΤΑΡΊΌ Φύλλο σου 1993-1994 στη Σελίδα 31 δημοσιεύεται η Άσκηση Αριθ. 10η: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Ο το εσωτερικό του. Φέρνουμε ευθείες ΜΝ, ΙΕ, ΖΘ που διέρχονται από το Ο και είναι παράλ ληλες προς τις πλευρές ΒΓ, ΑΒ, ΑΓ, αντίστοιχα. Αν (ΟΕΘ) = ει (OIN) = ε2 , (ΟΜΖ) = ε3 και (ΑΒΓ) = Ε και δεαθείόrι: VE = VE; + iE; + Ύ"Ε; (1) Η Άσκηση αυτή είχε δημοσιευθεί πριν χρόνια στον ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β ' αλλά είχε σε συνέχεια για από δειξη και δύο άλλα μέρη, που η απόδειξη όλης της άσκησης δημοσιεύθηκε. Με αλλαγή των γραμμάτων του τότε σχήματος, ώστε να ταιριάzει στο τωρινό Σχήμα που δημοσιεύε ται στον ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β ' σου γράφω ποιά ήταν τα συμπληρωματικά καθώς και την απόδειξή των: Αν στο σχήμα αυτό καλέσουμε μι , μ2 , μ3 τα μεβα δά των παραλληλογράμμων ΟΙΑΖ, ΟΕΒΜ και ΟΘΓΝ, αντίστοιχα να δειχθεί ότι: α) μι + μ2 + μ3 = 2 (ν ει ε2 + ν Ε2 ε3 + νε3 ει ) β) μ ι μ2 μ3 = 8(ει ε2 ε3 ) •

Αn6δειξσ:

α) Από τη σχέση Υ Ε = fE; + fi; + fi;, έχουμε ότι: VE = ( fi; + γε;; + Vi;,f = ει + ε2 + ε3 + + 2 (ν ει Ε2 + ν ε2 ε3 + ν ε3 ει ) .

Ο συνάδελφος Ιωάννης Μαδεμτzόγλου (Σέρρες) μας έστειλε ασκήσεις Τριγωνομετρίας VIO τη Β' Λυκείου. Ορισμένες από αυτές θα δημο01ευτούν στο 4ο τεύχος. Η συνάδελφος Κατερίνα Καρακωνσταντάκη (Περι στέρι - Αθήνα) μας έστειλε έξι ασκήσεις με τίτλο: "Από δειξη ανισώσεων με την βοήθεια των παραγώγων". Ο συνάδελφος Χαράλαμπος Λουγκρίδης (Κύ προς) μας έστειλε εργασίες με τίτλους (α) Τέλειοι αριθμοί. (β) Πυθαγόρειες τριάδες και {γ) Μικροί συμβολή στις Ηρώνειες Τριάδες. Ευχαριστούμε τον συνάδελφο Χρήστο Πέτρου για τις παρατηρήσεις του και τα καλά του λόγια Τον συνάδελφο Αθανασιάδη - Γκούμα ευχαριστούμε για τις παρατηρήσεις του. Λάβαμε την εργασία του κ. Δ. Σιαμίδη που αφορά τετραγωνισμό κύκλου και τριχοτόμηση γωνίας. Η μαθήτρια Τσίτουρα Ειρήνη μας έστειλε λύση της άσκησης που είχε προταθεί από τον καθηγητή . της πολυτεχνικής Σχολής Ξάνθης κ. Χαλιούλια. Η μαθήτρια Σελλούvτου Ελένη μας έστειλε δυο τύ πους που αφορούν γεωμετρικές προόδους. Αυτοί είναι: Το άθροισμα των ν πρώτων όρων γεωμτρικής προόδου ισούμαι με: ai v G.2v - οvι (οι a2) cη - αι Το άθροισμα των άπειρων όρων γεωμετρικής '12 • οι προόδου με lλl < 1 ισούται με cη - αι Οι αποδείξεις προκύπτουν άμεσα από τους γvωστούςτύπους αιι θέοουμε όπου λ = '12 οι Ο μαθητής Αντώνης Αντωνάκης μας έστειλε την παρακάτω πρόταση. Για να ισχύει η ισότητα av = βv + γv, α, β, γ, ν Ε Ν* πρέπει και αρκεί οι αριθμοί )v και )v- 1 να είναι αιιτία� -

;ο!

και μι + μ2 + μ3 + ει + Ε2 + ε3 = = ει + Ε2 + ε3 + 2 (ν ει Ε2 + ν ε ε3 + νε3 ει ) (2) 2 β) από τα τρίγωνα ΙΟΖ και ΕΟΘ έχουμε (ΖΟΙ) = (01) (ΟΖ) και επομένως: (ΘΟΕ) (ΟΘ) (ΟΕ) μι = 2 . (01) (ΟΖ) (3) ει (ΟΘ) (ΟΕ) Έτσι από την (3) και τις (4) με πολλαπλασιασμό κατά μέλη θα έχουμε ότι: μι · μ2 · μ3 = 8 ή μι · μ · μ = 8 (ει · Ε2 ε ) 3 2 3 · ει · Ε2 Έ3 Από τις επιστολές του κ. Γ. Τσάπη του δημοσιεύ Ο συνάδελφος Γιώργος Μπαγάνης (Μύρινα Λή τηκαν στο 3ο και 4ο τεύχος του σχ. έτους 1993 - 94 μνου) μας έστειλε ασκήσεις Ανάλυσης. Θα δημοσι είχε παραληφθεί ο τίτλος που ήταν τα "τα Σχολικά Μαθηματικά Βιβλία μας διασκεδάzουν". ευτούν ορισμένες από αυτές στο 4ο τεύχος. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/57

{� {�

•

mawωa (J]ill[JJ®uωu® ώ crp[JJώWJJlω Το σχολΙκ6 εγχειρίδιο της Ανάλυσης [1] στην σελ.

36 ορίzει τα ακρ6τατα συνάρτησης ως εξής:

&1" !Γ, G!cfXY11®WUιfl\9\9illςt «Στο Θόδωρο }>

Όμως η άσκηση αυτή έχει και τρίτο ερώτημα, το εξής: (iii) Για ποιές τιμές του λ έχουμε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του χ + y; Με το ερώτημα αυτ6 το εγχειρίδιο της Άλγεβρας έρχεται σε αντίθεση με τον τρ6πο που εγχειρίδιο της Ανάλυσης, το οποίο προϋποθέrει την ύπαρξη των τι, του λ για τις οποιες , η παράσταση λ- 1 παιρνει , μων rf + 1 ελάχιστη και μέγιστη τιμή. Ουσιαστικά λοιπ6ν για το εγχειρίδο της Ανάλυσης το ερώτημα αυτ6 είναι άνευ αντικειμένου, αφού θα έπρεπε να έχει εξεταστεί στο (ii). Θα πρέπει τέλος να αναφέρουμε 6τι σχετικά για την εύρεση της μέγιστης ή της ελάχιστης τιμής μιας nαράστασης δεν είναι απαραίτητη η χρήση της παρα yώγου, σε μερικές περιπτώσεις μάλιστα η μέθοδος αύη1 δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Σε κάθε 6μως r;ιερίnτωση για να βρούμε τα ακρ6τατα μιας συνάρτη σης f (χ), θα πρέπει να εξασφαλίzουμε την ύπαρξη τι μών χι , χ2 του πεδίου ορισμού Α ώστε f (χι ) s f (χ) s f' ( χ2 ). Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Όταν υπάρχει σημείο χ0 του πεδίου ορισμού Α μιας συνάρτησης f, τέτοιο ώστε για κάθε χ Ε Α να ισχύει f (Χο) � f (χ), τ6τε η f παρουσιάzει στο χομέγι� στη τιμή f (XQ) . Με τον ίδιο ακριβώς τρ6πο ορίzει και το ελάχιστο μιας συνάρτησης. Δηλαδή, προκειμένου να προσδιορίσουμε τα ακρ6τατα μιας συνάρτησης f (χ), με f Α R καθορί zουμε το σύνολο τιμών της f (Α) και στη συνέχεια εξε τάzουμε αν υπάρχουν Χο με Χο Ε Α, ώστε f (Χσ) � f (χ), για κάθε χ Ε Α ή f (Χσ) s f (χ), για κάθε χ Ε Α. Απ6 προσωπική μας εμπειρία γvωρίzουμε 6τι με ρικοί μαθητές διαπράπουν ένα πολύ συνηθισμένο σφάλμα: Βρίσκουν το σύνολο f (Α). Έστω π.χ. 6τι f (Α) = [α, β]. Τ6τε αποφαίνονται 6τι το β είναι η μέγιστη και το α είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (χ), χωρίς να αποδείξουν την ύπαρξη τι μών χι , χ2 Ε Α τέrοιων ώστε f (χι ) = α και f (χ2 ) = β. Δηλαδή στην περίπτωση αυτή οι μαθητές προσδιο 1 ) Στις φετεινές εξετάσεις τέθηκε το εξής θέμα: ρίzουν φράγματα της συνάρτησης, αλλά 6χι ακρ6τατα. Α) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = 2χ2 , χ Ε R. Το σφάλμα αυτ6 έχει τις ρίzες του κυρίως στη με α) Αν ε είναι η εφαπτομένη της γραφικής παρά λέrη τριωνύμου που οι μαθητές διδάσκονται στην Α · Λυκεfου, 6που με τη βοήθεια της συνθήκης Δ � Ο, στασης C της συνάρτησης f στο σημείο Μ (2a, 8a2 ) προσδιορίzονταν φράγματα τιμών, τα οποία τις πε α > Ο, να βρείτε το εμβαδ6ν του χωρίου που περι ρισσ6τερες φορές συνέπιπταν και με τα ακρ6τατα της κλείεται απ6 την C, την ευθεία ε και τον άξονα y ' y. β) Έστω θ η γωνία που σχηματίzει η ε με την συνάρτησης. ευθεία ΜΟ, 6που Ο είναι η αρχή των αξ6νων. Το γεγον6ς αυτ6 βέβαια δεν συμβαίνει πάντα. Να εκφράσετε την εφθ ως συνάρτηση του α και Θα παρατηρήσουμε ακ6μα 6τι και στο σχολΙκ6 εγ χειρίδιο "ΜΑΘΗΜΑrΙΚΑ" r· Λυκείου (ΜΓΕΒΡΑ να βρεfrε την μέγιστη τιμή της εφθ 6ταν το α μεταβάλ ΑΝΜντΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) των λεται (α > 0). Οφείλουμε να επισημάνουμε 6τι η ΚΕΓΕ έστειλε Ανδρεαδάκη Σ., Κουσέρα Ν., Παπασταυρίδη Σ., Πολύ zου Γ., Σβέρκου Α. στη σελ. 80 υπάρχει η άσκηση 2 και nρος τους διορθωτές τη σωστή λύση. στο (ii) ερώmμα: <<Αν (χ, y) είναι μια λύση του συστήμα ψ τος, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του αθροfσματος χ + ψ, το σχολικ6 εγχειρίδιο δίνει "λύ ση" με τη βοήθεια της διακρfνουσας της παράστασης λ- 1 κ, δn?Ωδή οοσιαστικά βρίσκει. άνω και κάrω ?f + 1 φράγμα της παράστασης αυτής απ6 την aνίσωση 1 + Γs - 1 - Γs S K S ---χ 2 2 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 2/58 --

-- =

---

Οι "άλλοι Μαθσματικοί τσς Αρχαίας Ελλάδας

Μαθητής απάντησε σωστά στο (α) και στο (β) έκανε τα εξής: , Βρηκε , σωσrα, σrι:

εφθ

"- - λ,

'�

·•

1 + λιί\2 1 + 32a2 αλλά αντί στη συνέχεια να παραγωγίσει την συνάρτηση g (α) =

3) Να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή της παράστασης f (χ) = νχ + 1 + γ 1 1 -χ. Λ.Sσn

Το πεδίο ορισμού της f (χ) είναι το Α = [-7, 11]. , β= Θ ρούμε τα διαvύσμαrα α = εω γ 11 _ χ

και να προσδιορίσει το �ax = fi, 4 1 + 32a2

για α = fi, έκανε το εξής: ' Εθεrε 4a = � 8 1 + 32α2 οπότε 32tα2 - 4α + t = Ο (1). Αλλά α Ε R, οπότε Δ 2:: Ο ή 16 - 4 32t2 2:: Ο ή t2 s 1 και σrαμαrούσε. 8 ·

[ Γχ+Ί] -+

Τ6rε � · Β = γχ + 7 + γ 11- χ = f (χ) και

[ �]

�� = 3 Γ2, l βl = Γ2, οπ6rε l�l l βl 6 �

.......

�

Αλλά α · β s lα l l βl, άρα f (χ) s 6. Η σχέση α · β s lαl lβl ισχύει σαν ισότητα, όταν τα α, β εwαι ομόροπα, δηλ. αν �

--+

.......

---+

--+

Γχ+7 = 1 ή γχ + 7 = γ11 - χ ή γ 11 - χ 1 Βέβαια η απάντηση fi ταuτίzει:αι με mν ορθή, 4 2χ = 4 ή χ = 2 Ε Α. όμως ο συλλογισμός είναι λάθος, αφού ο μαθητής με τον Άρα η μέγιστη τιμή της f (χ) είναι η f (2) = 6 . τρόπο αυτό προσδιορίzει ένα άνω φράγμα της συνάρτηΑφήνουμε τον αναγνώστη να αντιμετωπίσει τα παρακάτω θέματα 4a σης g(α) = , αΝά όχιτομέyισrο. 1) Να προσδιορίσετε την μέγιστη τιμή της 1 + 32 a2 Στην περίmωση αυτή, πως θα έπρεπε να βαθμολο f(x) = -J4συv2χ + 1 + -J4 ημ2χ + 1 γηθεί ο μαθητής; Σύμφωνα με το εγχειρίδιο της Ανά λυσης, ο μαθητής δεν απάντησε σωστά ενώ σύμφωνα 2) Να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης με το εγχειρίδιο της Άλγεβρας απάντησε σωστά. f(x) = <Γχ + 4 1 το παράδειγμα μας είναι φανταστικό, θα μπορού σε όμως να είναι και πραγματικό και εν πάσει περι 3) Να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του αριθ πτώσει δείχνει την έλλειψη συντονισμού μεταξύ των διάφορων συγγραφικών ομάδων. μού lzl , av lz + = 2.

ν :

�

2) Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης f (x, y) = -Jx2 + {312-y)2 + -JJI! + {130- χ)2 (1)

4) Αν αχ + βy = αβ (1) να αποδείξετε ότι: _1_ s l + l__ -2- + !I! a2 β2

Λ.Sσn.

Το πρόβλημα αυτό δεν είναι δυνατό να το αντιμετω πίσουμε με τη βοήθεια της παραγώγισης, αφού η f (χ, y) περιέχει δυο μεταβλητές. Φαίνεται λοιπόν εξαιρετικά δύσκολο να αντιμετωπισθεί, όμως μπορούμε να του δώσουμε μια ''γεωμετρική" λύση εξαιρετικά απλή. Πράγματι αν θεωρήσουμε τα σημεία Α (0, 312), Β (130, 0), Μ (χ, y) η -(1) γράφεται: f (χ, y) = IAMI�IMBIJ.?J . -Όμως είναι γνωστό ότι IAMI + IMBI 2:: IABI (3) οπ6rε f (χ, y) � I J\M I = ν3122 + 13Q2 = 338. --

5) Αν χ, y, α, β, Ε R με α β > Ο και ισχύει 2χ + 3y = 6 (1) και χ2 + y2 - 6x - 4y + 12 = Ο (2), να αποδειξεrε 6rι: i) i13- 1 s ,J>f + 1jl s i13 + 1 3- f.3 :S Υ :S 3 + f.3 u ") χ 4 4 -I. '·

Βιβλιοyραφία

"'-"-' .. =--.

1) Κατσαργύρη Β, Μεντή Κ, κ.λη. Μαθηματικά Γ ' Λυκείου, Ανάλυση, ΟΕΔΒ 1993 2) Ανδρεαδάκη Σ, Κουσέρα Ν, κ.λπ. Μαθηματικά Γ ' Λυκείου, Άλγεβρα, ΟΕΔΒ 1993. Ο αριθμός 338 είναι ένα κάτω φράγμα της f (χ, y) . 3) Ανδρεαδάκη Σ, Κουσέρα Ν, κ.λπ. Μαθηματικά Γ ' Για να είναι όμως η ελάχιστη τιμή της f (χ, y) θα πρέ Λυκείου, Λύσεις των ασκήσεων, ΟΕΔΒ 1993. πει να υπάρχουν XQ, Υο ώστε f (XQ, y0) = 338. Δ.Γ. Κοντογιάvvη, Άλγεβρα I, Αθήνα 1993. 4) Ως γνωστόν όμως f (χ, y) = 338, για κάθε (XQ, y0) 5) Δ.Γ. Κοντογιάννη, Διανυσματικός Λογισμός και που ανήκει στο τμήμα ΑΒ. Αναλυτική Γεωμετρία I, Αθήνα 1994. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/59

Σκοπός του άρθρου αυτού είναι μια σύντομη ανα φορά σε ορισμένες Βασικές έννοιες και κλασικές εφαρμογές της Γεωμετρικής Οmικής, ώστε να καταδει χθεί μέσα από αυτές η σημαντική συμβολή της Γεωμε τρίας -κατά πρώτο λόγο- στον κλάδο αυτό της Φυσι κής. Η Γεωμ. Οπτική μελετάει τα οπτικά φαινόμενα, χωρίς να λαμβάνει υπ' όψη την κυματική φύση του φω τός. Στηρίzεται στις αρχές της ευθύγραμμης πορείας του φωτός, Της aντιστρόφου πορείας του φωτός και στην έννοια της φωτεινής ακτίνας (που θεωρείται ευθεία τροχιά). Τα παραπάνω μπορούν να θεωρηθούν κατά κάποιο τρόπο Αξιώματα της Γεωμ. Οmικής. Οι Βασικοί νόμοι διάδοσης του φωτός είναι ο νό μος της Ανάκλασης και ο νόμος της Διάθλασης 1 . Νόμος τος Ανάκλασης

α) Το επίπεδο ανάκλασης είναι κάθετο στην ανα κλώσα επιφάνεια Β) Η γων� 9_νάιs(ιασης α είναι ίση με τη γωνία πρόσmωσης Β (α = Β)

a2 ) l'ωvio nρ6σnτωσnς είναι η γωνία που σχημ. από την προσπίmουσα ακτίνα ΑΒ και την κά θετο δ στο σημείο πρόσπτωσης Β. Αντίστοιχα η γω νία ανάκλασης. a3) Εάν ο = Ο δηλ. εάν η φωτεινή ακτίν.2_ προσπέ σει καθέτως, τότε ανακλάται καθέτως δηλ. Β = Ο. 2. Ν6μος τος Διάθλοσnς τοιι φωτ6ς

α) Το επίπεδο διάθλασης είναι κάθετο στη διαθλώ σα επιφάνεια (διαχωριστική επιφάνεια που χωρίzει δύο οmικά μέσα (m 1 ) και (m2 ), λ.χ. αέρα και νερό). Β) Το πηλίκο του ημιτόνου της γωνίας πρόσπτω σης προς το ημfrονο της γωνίας διάθλασης είναι στα θερό και ίσο με το πηλίκο των ταχυτήτων του φωτός στα δύο μέσα. το σταθερό αυτό πηλίκο καλεfrαι Δείκrης Διάθλασης η

Εφαρμοyές Σημειώσεις: a1 ) Επίπεδο ανάκλασης καλείται το επίπεδο που ορίzεται από την προσπίmουσα ακτίνα Εφορμοyιί 1 : ΑΒ και την κάθετο δ στο σημείο πρόσmωσης Β. (και Είδωλο επιπέδου κατόmρου περιέχει και την ανακλώμενη ακτίνα ΒΓ) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κn. τ. 2/60

Μια pικpιί αναφορά cn:n Ι'εωpετpικιί Οιn:ικιί

Το είδωλο Α · είναι συμμετρικό του αντικειμένου Α ως προς το κάτοπτρο ΚΛ: Έστω κάτοπτρο ΚΛ και φω τεινό αντικείμενο Α Οι φωτεινές ακτίνες ΑΒ και ΑΓ με τά την ανάκλασή τους διέρχονται από το είδωλο Α · . Θα αποδείξουμε ότι ΑΖ = Α · Ζ και ΑΑ · .l ΚΛ, όπου Ζ το σημείο τομής της ευθείας ΑΑ · με το κάτο πτρο ΚΛ. Α

/ .

Την ιδιότητα αυτή του κατόπτρου χρησιμοποιούμε για τη μέrρηση μικρών γωνιών.

Αποδεικνύεται εύκολα (Άσκηση) ότι ο Γεωμετρικός Τόπος των διαδοχικών ειδώλων του σημείου Α, που παρέχει κατά την περιστροφή του το κάτοπτρο, είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο και ακτίνα την απόσταση του αντικειμένου από τον άξονα περιστροφής Ο. Σnμείωσn:

ί\σκaσn: Φωτεινή ακτίνα ανακλάται διαδοχικά πάνω σε δύο επίπεδα κάτοπτρα που σχηματίzουν με ταξύ τους οξεία γωνία φ. Να δείξετε ότι η τελικά ανακλώμενη ακτίνα σχηματί zει με τη διεύθυνση mς προσπίπτουσας γωνία ω = 2φ.

Αοόδειξn:

Από το νόμο της ανάκλασης είναι α � β �ότε και οι συμπληρωματικές τους θα είναι ίσες ν = δ. Όμως δ = ε ως κατά κορυφήν άρα και Ύ = ε (1J Ομοίως αποδ. ότι και z = n (2) Οπότε και οι πα ραπληρωματικές τους ω και φ (δέν σημειώνονται στο σχήμα) θα είναι ίσες: ω = φ (3) τότε όμως τα τρίγωνα ΑΒΓ = Α . ΒΓ διότι έχουν ΒΓ κοινή και τις γωνίες ω = φ και Ύ = ε. Από την ισό τητα των τριγώνων αυτών παίρνουμε ΑΒ = Α · Β (4). Αοόδειξn: Από το νόμο της ανάκλασης είναι: Τα τρίγωνα ΑΖΒ = Α ' ΖΒ [διότι: ΒΖ κοινή, ΑΒ = Α · Β (από σχέση (4)) και z = n (από σχέση (2) ] οπότε ο = β και Ύ = δ (1J Η γωνία ω, ως εξωτερική γωνία του τριγώνου θα είναι και ΑΖ Α' Ζ Επειδή ΑΒ = Α . Β (σχέση (4)) το τρίγωνο ΑΒΑ . ΑΒΕ είναι: είναι ισοσκελές και η ΒΖ είναι διχοτόμος του, αφού ω = ιο + β) + ιΎ + δ) (2) Ακόμα θ = β + Ύ (3), ως εξωτ. γωνία του ΑΒ Γ. z = n, άρα θα είναι και ύψος. Δηλ. ΑΑ . .l ΚΛ. Όμως θ = ψ (4), διότι είναι οξείες και έχουν τις πλευρές τους κάθετες. Εφορμοyό 2: Από (2) λόγω των (1), (3) και (4): ω = (ο + β) + ιΎ + δJ = 26 + 2Ύ = 2ιβ + ΎJ = 2θ = 2φ, δηλ. ω = 2φ και Ε1 = 1so· - 2φ. Περιστροφή Επιπέδου Κατόπτρου Σnμείωσn: Βλέπε και σχολ. βιβλίο Γεωμετρίας Α ' Λυκείου, Άσκηση 16, σελ. 59, Έκδοση Δ ' 1993, όπου εξετάzεται η περίπτωση που τα 2 κάτοπτρα τέ μνονται κάθετα. =

Εφορμοyό 3:

Διάθλαση του φωτός σε πλάκα με παράλληλες έδρες Εάν ένα επίπεδο κάτοπτρο στραφεί κατά γωνία φ Στο σχήμα φαίνεται η πορεία μιας φωτεινής ακτί η ανακλώμενη ακτίνα στρέφεται κατά διπλάσια γωνία νας, που προσπίπτει σε γυάλινη πλάκα με παράλλη θ = 2φ. λες έδρες. Η γωνία διάθλασης β είναι μικρότερη της (Βλέπε σχολ. βιβλίο Γεωμετρίας Α · Λυκείου: γωνίας πρόσπτωσης α, διότι η ύαλος είναι πυκνότερο μέσο σε σχέση με τον αέρα. Άσκηση 10, σελ. 34, Έκδοση Δ · , 1993) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/6 1

Μια pικριi αναφορά στα ΙΈωpετρικιi Οοτικιi Ν

Β,

� - ...

I •,' ο

... ) '

'a.._

' ' Λ

Από το νόμο της Διάθλασης, έχουμε: η αντικείμενη στην ακμή βάσις του πρίσματος (στο σχ . ΚΛΣΡ βάσις) ημα = η(l ) και ημδ = η(2) ημβ ημγ Α Είναι β = y ως εντός εναλλάξ, οπότε α = δ (3). Η (3) σημαίνει ότι η εξερχόμενη ακτίνα είναι παράλλη λη με την αρχική προσπίπτουσα. Την παράλληλη μετατόπιση h θα υπολογίσουμε: Από το ορθ. τρίγωνο ΑΒΝ : ΒΝ = ΑΒ ημ(α β) (3) και από το ορθ. τρίγ. .Δ

ΑΟΟ : ΑΒ = ΑΟ (4) συνβ Στο σχήμα φαίνεται η πορεία μιας μονοχρωματιΕάν ΑΟ = d και ΒΝ = h, από (3) και (4) παίρ κής ακτίνας φωτός δια μέσου του πρίσματος. νουμε: Για τις δυο διαθί\άσεις στα Κ και Λ, έχουμε: ημα ημδ = η h = ΑΟ . ημ (α- β) = ΑΟ . (ημασυνβ - συvαημβ) = - = η (1) και (2) ημβ συv β συνβ ημγ Α.!!_ό το _fγγράψιl:!.ο (γιg_τί;)_.!ετράπλευρο 0ΚΑ1_ εί = d ημα συv:,;,;μβ ) (5) ναι ΣΟΛ = Α όμως ΣΟΛ = β + γ (ως εξ. γωvία του ΟΚΛ), οπότε Α = Β + y (3) ημα (6) και συvβ = .J1 - ημ2β = Η _χωνία εκτροπής Ε" υπολογίzεται ως εξ. γωνία ό (1): ημβ = Απ η του � � ΕΚΛ: � � � � � � � � � ε =:._K1 j- � = (α ..:- βι+ (�- 'ίl = α + δ - (β + γ) (3) = (7) = α + δ - Α δηλ. ε = α + δ - Α (4) η Οι (1), (2), (3) και (4) αποτελούν τις εξισώσεις του Οπότε η (5) με βάση τις (6), (7) δίνει τελικά: πρίσματος. h = dημα (1 - συνα ) .Jη2 - ημ2α Εφaρpοyιί 5: �

(

Πορεία ελαχίστου χρόνρυ του φωτός

Εφaρpοyιί 4:

Πορεία φωτός δια του πρίσματος Χαρακτηριστικά στοιχεία του πρίσματος: Οι επιφάνειες ΜΚΡΝ και ΜΛΣΝ έδρες. Η τομή αυτών ΜΝ ακμή Η αντίστοιχη επίπεδος γωνία Α της διέδρου, που σχηματίzουν οι δύο έδρες διαθλαστική γωνία. Κάθε τομή κάθετος στην ακμή κυρία τομή. (στο σχήμα: ΑΒΓ = κυρία τομή, κάθετος στην ακμή ΜΝ) Η έδρα

I I

θ •

(ε)

ΕΥI<ΛΕΙΔΗΣ Β ' κη. τ. 2/62

( m, ι

Μια μικρό αναφορά σαι Ι'εωpετριιυi Οατικιi

Κατά την διάθλαση του φωτός, για να μεταβεί το φως aπό κάποιο σημείο Α ενός οπτικού μέσου (m 1 ) σε ένα σημείο Β ενός άί\ί\ου οπτικού μέσου (m2 ) 1. Στο σχήμα φαίνεται η πορεία του φωτός σε πρί ακολουθεί πορεία του ελαχίστου δυνατού χρόνου. σμα, που βρίσ�ετaι �ll θέq_η εί\g_χί01ης εκτροπής, όπου ισχύουν: Α = 2β, α = δ και β = γ. Να βρείτε τη γωνία φ, που σχημaτίzει ll εξερ?iόμε;yη ακτίνα ΚΕ με Αοόδειξn: Έστω ότι η ταχύτης του φωτός στο μέσο (m 1 ) είναι την ανακλώμενη ΙΔ. (Απ. φ = 2β = Α) C1 και στο (m2 ) C2 . Εάν (ε) η διaθί\ώσa επιφάνεια, θα βρούμε για ποια θέση του σημείου Ο επί της (ε) ο χρόνος δια δρομής του φωτός aπό Α Β είναι εί\άχιστος: Εάν ΓΟ = χ, ΓΔ = ί\, οπότε ΟΔ = ί\ - χ, ΑΓ = α, ΒΔ = β. Τότε ο χρόνος t aπό Α Β είναι: 2 t = AO + ΒΟ = ,.jcl- + >f + ,.jβ + (i\- x'f = f (x) cι cι C2 C2 Η Παράιyω\0(; f (χ) = .1. . χ + C1 ,.jcr + >f --+

--+

Για να έχουμε εί\άχιστο πρέπει: f · (χ) = Ο, δηί\. ί\- χ χ =c η, C2 ' 1 • ,.j β2 + (ί\- x'f ,.jcl- + >f ΓΟ ΔΟ C2 - = cι - ή C2 ημθ = cι ημδ ή ΒΟ ΑΟ ημθ _ c1 _ π ημδ C2

2. Να δείξετε ότι κατά την aνάκί\aσn του φωτός, φως ακολουθεί πορεία του ελαχίστου δυνατού χρόνου το

Βιβλιοyραφία:

1 . Κ. Δ. λλεξόπουί\ου, Γ. Δ. Μπίλί\η: Στοιχεία Φυσικής, Τόμος δεύτερος, Αθήναι 1967. 2 . Κ. Δ. λλεξόπουί\ου, Δ. I. Μαρίνου: Ασκήσεις Φυσικής, Τόμος Β ' , Αθήναι 1977 3. Α Π. Βοί\άνη: Φυσική, Τόμος 3, Οmική, Αθή νaι 1974. 4. Θεωρ. Γεωμετρία Α ' Λυκείου: λλιμπινίσης Σnpείωσn: Με την παραδοχή ότι το φως ακο Αν., Δημάκος Γ, Εξaρχάκος Θ., Κοvτογιάννης Δ. λουθεί πορεία του ελαχίστου δυνατού χρόνου, Τaσσόπουί\ος Γ. (Εκδ. Δ ' , 1993), ΟΕΔΒ έχουμε την aπόδειξη του νόμου της Διάθλασης του 5. Α Κουκί\άδa - Π. Γεωργιaκάκη: Πaράγωγοι φωτός. Οί\οκί\ηρώμaτa, 1976. ·

� - - -

Λ Λυκείου α

'Λλyεβpα

Γε;ωμετpfα

]) Λυκε ί ο υ α

Γε;ωμε;τpfα

l q Δέ σ μη Θέματα Ανάλυσης Θέματα Ανάλυσης

α α

•

Ι ΠΙ

[κnτωση

α α

Θέματα Ανάλυσης ΙΙ 'Λλ yεβpα Γ Αυκεfου

30%

στους μα8ημαrικούς

•

Σαββκτό:/ι.σε λαι ςς J!ροε

στην εκ:παίδεΙJ(Jη

ιΓ )\ Jαθηματικά •

•

• •

Μ αθηματικά Α' Γ υμνασίου Μαθηματικά Β' Γυμνασίου Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

Άλγεβρα Γεωμετρία

. Β ' Λ ΥΚΕΙΟ Υ •

•

Άλγεβρα Γεωμετρία

Σαββαλα .

z.Πη�ής 18 & Σο�ωνος

•

ΤΗΛ . 106 ι 81 Αβη'ν ο ι

330 1251 · 330 1903 -4

ΓΥΜΝΆΣΙΟ Υ

Α ' Λ ΥΚΕΙΟ Υ

Εκδόσεις - Βιβ�ιοπωλε ίο

Γ . Μαραγούσιας Γ. Μαραγούσιας Γ. Μαραγούσιας

Κ. Τζιρώνης-8. Τζουβάρας Γ. Κόλλιας Κ. Τζιρώνης-8. Τζουβάρας Γ. Κόλλιας

Γ' Λ ΥΚΕΙΟ Υ • • • • • • • •

Ανάλυση Α' δέσμης Πα ράγωγοι Α' δέσμης Ολ ο κληρώματα Α' δέσμης Πίνακες-Συστήματα Α δέσμης Πιθανότητες-Μιγαδικοί Α δέσμης Αν. Γεωμετρία Α' δέσμης (2 τε ύχη) Άλγεβρα - Αν. Γεωμετρία (2 τεύχη) Μαθηματικά t:J. δέσμης (4 τόμοι)

Κ. Τζιρώνης-8. Τζουβάρας Σ. Μαρίνης-Π. Παπανικολάου Γ. Σπηλιώτης Γ. Μαραγούσιας Γ. Μαραγούσιας Α. Τραγανίτης Β. Κάμπας Σ. Μαρίνης-Ά. Παπαδήμας

• Οδηγός n . ειραματωv Χημεί ς • Πει ·μ α Α

Κ . Σαλτερ ής Σ. Μιχέλης Δ. & Π. Θεοδω Κ Κ ρόπουλος . Κ ομvηvος . Σαλτερής Μ. Ζανvίκος Δ. Μπαμπίλ ης Σ Μιχέλης f· & Π. θ_εο δωρόπουλος . Παπαζησης Δ. Μπαμπίλ ης

ρα ατα και Ε ρyα ριακές ς σκήσει Χημείας στη

JΊωλοyία

•

Βιολογία - Ανθρωπολογία Βιολογία Β' Δέσμης • Προβλήματα & Πειράματα Βιολογίας

-•

)

Jj-ιβλία για •

)

•

• • • • • •

τον

Β. Ηλιόδης Π. Β ότση ς Π. Β ότσης

ΕΚΠαιδευτικό

Περιβάλλον-Οικολογία-Εκπαίδευση Οδηγός Οικολογίας Ποιος ήταν ο Αδάμ Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ψηφίδ ες ιδε ών Εγκέφαλος Η κραυγή των Ελλήνων ιδ ί Λεξικ ό Εννοι ώ ν Γε νικής Πα ε α ς

Α. Αθανασάκης-θ. Κουσουρής π. Βότσης Π . Βό ης τσ Σ . Γκίκας I. Ευαγγέλου I. Ευαγγέλου Κ. Μπαρούτας Σ. Γκίκας

/ Jολιτικtί Οικονομία •

Πολιτική Οικονομία

Λ. Σδρόλιας

J�εvτικόΛογισμικό