Ευκλειδης Β 16 by demi de

[ii]�rPO@lΔ\0� ο

!ΙΌ& 'i.J'@

&'Wιλ\�[@

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τι είvαι σημεία; Τι είvαι ευθεία;

Ισαηεριμεφικά Προβλήματα ............. ....................................... . ....................................... Α· Λυκείου Άλγεβρα. Γεvικ� Ασ_!<ήσεις

········ · · · · · · ·

::: ····.:: ··················· ································

Ασκήσεις σε φίγωvο ΑΒΓ (Β > Γ) με τη διαφορά Β- Γ .................................................. βοηθητική ευθεία

..............................

................................................................... ......

Ασκήσεις Άλγεβρας Β' Λυκείου

............. ......................... ...............................................

Γεωμετρία Β· Λυκείου (Ασκήσεις Εηαvάληψης)

Τετράεδρο- Πυραμίδα

Άρτιες- Περιπές- Περιοδικές Συναρτήσεις στοv Ολοκληρωμαηκό Λογισμό

............... ..

...............................

lnx ως εμβαδού .......... ..

......................................

Συvαρτήσεις ηου ορίzοvται με ολοκληρώματα και μια ηροσέγγιση mς .

....... ..... ....... ............................... .. ......... .........................................

Προβλήματα Πιθαvοτήτωv Σης ασκήσεις λέμε "ΝΑΙ" Αλληλογραφία

.................... ...... .............. ............ .......

................................................... ................................................

Έvα "ΠΛΕΚΤΟ" με τέσσερεις συναρτήσεις Μιγαδικοί αριθμοί

1221623 3028338 4250 60636256

.............. ........................................................... ....... .......

......... .................. .................................... ..............................

. ..

. . . ....... .

................. ................................ ............... .. . ..... .. . .

........................................... ......................................................................

Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Υπεύθυνοι Σύνταξης:

Παπαδόπουλος Νίκος, Τυρλής Γιάννης.

Συντακτική Επιτροπή:

Βακαλόπουλος Κώστας, Βλαχάκης Γιάννης, Γεωργακόπουλος Κώστας, Γράψας Κώστας, Δαμιανός Πέτρος, Δούναβης Αντώνης, Καμπούκος Γιώργος, Καρακατσάνης Βασίλης, Κατσούλης Γιώργος, Κηπουρός Χρήστος, Κοvτογιάννης Δημήτρης, Κοτσιφάκης Γιώργος, Κυριακόπουλος Θανάσης, Λαμπρόπουλος Τάσος, Μαλαφέκας Θανάσης, Μώκος Χρήστος, Σα'fτη Εύα, Σκούρας Θανάσης, Τούρλας Λεωvιδας, Τσικαλουδάκης Γιώργος.

Δύο ερωτήματα βρίσκουν απαντήσεις

Αναζητώντας το μεγαλύτερο εμβαδό

Επιμέλεια Έκδοσης:

Μαραγκάκης Σ.

Σχήματα:

Μαραγκάκης Σ.

Φιλολογική Επιμέλεια:

Γεωργούδη Μ.

Συνεργάστηκαν:

Τουμάσης Μπάμπης, Καλίκας Σταμάτης, Παπαϊωάννου Α., Μαδεμτzόγλου Ι., Σταυρό πουλος Σταύρος, Φωηάδης Γρηγόρης, Λα zαρίδης Χρήστος, Ρεκούμης Παναγιώτης, Λογοθέτης Ηλίας, Ντρίzος Δημητρής, Χρι στόπουλος Παναγιώτης, Χρίστοπουλος Θανάσης, Μπουνάκης Δημήτρης.

Καλή Επιτυχία στις Εξετάσεις σας!

Οι ασκήσεις του Ευκλείδη Β· απαραίτητο βοήθημα στην

ΙΔΙΟΚΤΗΤΗΣ:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΊΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου 34- Αθήνα 106 79 Τηλ. 36 16 532-36 17 784- FAX: 36 41 025

ISSN

προσπάθειά σας

1105-8005

Εκδότης: Ν. Αλεξανδρής Διεvθvντής: Κ. Σάλαρης Τεύχος: 350 δρχ. Ετήσια συνδρομή: 1.600 δρχ. Οργανισμοί: 3.000 δρχ. Εξωτερικού 40$ Ταχ. Επιταyές Τ. Γραφείο Αθήνα 54, Τ.Θ. 30044

ΣΥΝΔΡΟΜΕΣ:

Η mήλη "Ένα πρόβλημα πολλές λύσεις" συνεχίzεται mo 1ο τεύχος 1995-96 Τα θέματα της Μαθηματικής Ολυμπιάδας 1995 θα δημοσιευθούν mo 1ο τεύχος 1995-96

81 - 83 34 74 654

Φωτοστοιχειοθεσία Σελιδοποίηση: "ΚΛΕΙΝΙΑΣ ΕΠΕ"

Εκτύπωση: ΙΝΥΕΡΠΡΕΣ Α.Ε., Ιερά οδός

Γορδίου

Υπεύθ. Τυπογραφείου: Ν. Αδάκτυλος -τηλ.

1, Τ.Κ. 17 121

Αθήνα-Τηλ.

93 34 930

Καθώς ξεφύλλιzα ένα παλιό τεύχος του Ευκλείδη και συγκεκριμένα το τεύχος του 1989, έπεσε το μά η μου στη στήλη της αλληλογραφίας (σελ. 59), όπου δυο μαθήτριες από τη Θεσσαλονίκη έθεταν δυο πολύ σημανηκά ερωτήματα, που είχαν σχέση με τη βαθύτερη κατανόηση των δύο αρχικών γεωμετρικών εννοιών, του σημείου και της ευθείας. Τα ερωτήματα ήταν τα εξής: α. Παραδεχόμαστε πως η ευθεία αποτελείται από άπειρα σημεία. Η ευθεία όμως έχει μια διάσταση, το μή κος. Η εύλογη απορία λοιπόν που προκύmει είναι πώς από το τίποτα - που είναι το σημείο, αφού δεν έχει δια στάσεις -προκύmει το κάη -δηλαδή η ευθεία με μια διάσταση - και κατ' επέκταση οποιοδήποτε άλλο σημειο σύνολο. β. Παραδεχόμαστε όη η ευθεία εκτείνεται απεριόριστα και αποτελείται από άπειρα σημεία. Πώς όμως μπο ρούμε να παραδεχτούμε το ίδιο για το ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο έχει καθορισμένα άκρα, δηλαδή αρχή και τέλος, συνεπώς ορισμένο μήκος, κι αν τα θεωρούμε άπειρα, επειδή δεν είναι δυνατόν να τα μετρήσουμε, για τί δεν είναι δυνατή η μέτρηση τους; Απλά, πράγμαη, ευi'.ογοφαvή ερωτήματα, που όμως έχουν να κάνουν με την καρδιά των μαθημαηκών, με τα θεμέλιά τους, με τον τρόπο που αυτά δημιουργούνται και αναmύσσονται και επομένως δεν είναι εύκολο να δοθεί αντίστοιχα μια απάντηση απλή όσο και κατανοητή σε άτομα μη μυημένα στη βαθιά μαθημαηκή σκέψη, όπως οι δυο μας μαθήτριες. Όμως αυτό ακριβώς το γεγονός αποτελεί και μια δυνατή πρόκληση για κάθε δά σκαλο, ο οποίος θεωρεί καθήκον του και υποχρέωση συνάμα να εκλαϊκεύει την επιστήμη του, προσαρμόzο ντας τη διδασκαλία του στο αντιληmικό επίπεδο κάθε φορά των μαθητών του. Εξάλλου, ο μεγάλος παιδαγω γός Bruηer, ισχυριzόταν όη μπορούμε να διδάξουμε οηδήποτε σε οποιονδήποτε αρκεί να το κάνουμε με έναν έντιμο τρόπο, σεβόμενοι ης ιδιαιτερότητες του ατόμου και λαμβάνοντας υπόψη το γνωστικό του επίπεδο. Η απάντηση πάντως του Ευκλείδη στα ερωτήματα αυτά ήταν: ' Αφήνουμε τα ερωτήματα και στους ανα γνώστες μια και το θέμα παρουσιάzει ιδιαίτερο ενδιαφέρον". όσο έψαξα στα επόμενα τεύχη δε βρήκα πουθενά κάποια απάντηση, γεγονός που με παρακίνησε να γράψω το μικρό αυτό άρθρο, όχι τόσο πολύ από την επιθυμία να απαντήσω - αν μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτή η λέξη και μάλιστα με καθυστέρηση 5 χρόνων - όσο από την ανάγκη να ξεκαθαρίσω και εγώ μέσα μου τις έννοιες αυτές και να βάλω σε μια τάξη τα zητήματα, ακόμη και τις παραδοξολογίες αν το θέλετε, που προ κύmουν από την πολυσήμαντη φύση των εννοιών αυτών. Αξίzει πάντως να σημειωθεί όη στο ίδιο ακριβώς τεύχος υπάρχει ένα πολύ κατατοπιστικό άρθρο του κ. Δ. Τσιμπουράκη με τίτλο Μάχη της Αρχαίας Ελληνι κής Γεωμετρίας με το Άπειρο", που καταπιάνεται, ως ένα σημείο, με τα ερωτήματα αυτά και αναmύσσει έναν πλούσιο προβλημαησμό γύρω από τα ερωτημαηκά και τα παράδοξα, που δημιουργήθηκαν από ης διαφορετι κές αντιλήψεις των αρχαίων Ελλήνων γεωμετρών σχετικά με ης έννοιες του σημείου και της ευθείας. Παρα κάτω θα χρησιμοποιήσουμε ορισμένες από ης πληροφορίες που περιέχονται στο άρθρο αυτό. Β'

Β'

An'

'Ή

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/3

Τι είναι σapεfo; Τι είναι ε"βεfα; Τι είναι το σnpείο;

ο σημείο είναι θεμελιώδης ορχική έννοια στην aξιωματική θεμελίωση της Ευκλείδειος γεωμετρίας και περιγράφεται οπό τον Ευκλείδη με τον πρώτο οπό τους εικοσηρείς ορισμούς, που ποροθέrει συνολικά στην aρχή του βιβλίου Ι των "Στοιχείων" του. "Σημείόν εστιν ο-δ μέρος οΜέν". Δηλαδή, Σημείον είναι εκείνο το οποίο δεv έχει μέρος, δεν έχει διαστάσεις. Έτσι aυτό που λέει στην ουσία ο Ευκλείδης είναι ότι ένα σημείο δεν έχει ούτε μήκος ούτε πλάτος ούτε πάχος. Με άλλο λόγιο είναι ένα άυλο aντικείμενο. Η άποψη aυτή δημι ουργεί ομολογουμένως ένα ισχυρό σοκ στον αθώο μελετητή της γεωμετρίας, γιατί έρχεται σε πλήρη aντίθεση με mν κοινή του αίσθηση, με τη διαίσθησή του περί σημείου. Αυτή ακριβώς η διαισθητική του aντίληψη θέλει το σημείο να μοιάzει με μια πάρα πολύ μικρή σφαίρα, η οποίο έχει μια τόσο πολύ μικρή διάμετρο, που θα μπορούσε κάλλιστο να αγνοηθεί στην πράξη, όπως γιο παράδειγμα, οι χημικοί αγνοούν τη διάμετρο, ενός πρωτονίου ή ενός ηλεκτρονίου, που είναι περίπου της τάξεως του χιλιοστού του δισεκατομμυριοστού του εκο τοστομέrρου. Αυτή ακριβώς η διαισθητική aντίληψη δημιουργεί και το βασικό δίλημμα που εκφράzετοι στο ερώmμο (ο), που είναι ερώτημα όχι μόνο των δυο μας μαθητριών αλλά και όσων μυούνται γιο πρώτη φορά στην aξιωματική Ευκλείδειο γεωμετρία. Πώς είναι δυνατόν, δηλαδή, ακόμη και ένας άπειρος aριθμός άυλων σημείων, με μήκος μηδέν, να προστίθεται και να μας δίνει ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους π.χ. 1Μ. Έτσι δη μιουργείται το παράδοξο του σχήματος 1.

lM 0+0+0+0+0+

Σχήμα 1 Εξάλλου, εάν το σημείο είναι άυλο, τότε μεταξύ δύο σημείων, οσοδήποτε κοντινών, θα υπάρχουν πάντα και άλλο σημείο, κάτι που μας οδηγεί στο ότι δεν υπάρχουν γειτονικά σημείο. ·Και aφού δεv υπάρχουν γειτο νικά σημείο, πώς θα τοποθετηθούν το ένα δίπλα στο άλλο γιο να δώσουν το ευθύγραμμο τμήμα. Πώς είναι δυνατόν, επίσης, να εφάmοντοι δυο κύκλοι στο σημείο Α, aφού ανάμεσα στο σημείο επαφής του πρώτου κύ κλου με κέντρο Κ και το aντίστοιχο του δεύτερου κύκλου με κέντρο Λ, θα υπάρχουν και άλλο σημείο; (οχ. 2).

Σχήμο2 Οδηγούμαστε, επομένως, σε ένα κατ' aρχήν διαισθητικό μπέρδεμα. Το κοινό μας αίσθημα, που δημι ουργείται οπό τις καθημερινές μας εμπειρίες, δε συμβιβάzετοι με τον ορισμό του άυλου σημείου, του σημείου χωρίς διαστάσεις. Όμως τι γίνεται με τη λογική μας; Ο ορισμός του άυλου σημείου δημιουργεί και λογικό μή πως μπέρδεμα; Δημιουργεί μήπως λογική aντίφαση; Κατά μια πρώτη άποψη ναι. Και η aντίφαση είναι η εξής, σύμφωνο με το πνεύμα της ερώτησης (ο): "Αφού το ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1Μ οπορτίzετοι οπό σημείο και κάθε σημείο έχει μηδενικό μήκος, τότε εάν το προσθέσουμε, πρέπει να μας δώσουν ολικό μήκος του ευθύγραμμου τμήματος μηδέν και όχι 1Μ". Ας εξετάσουμε όμως κάπως πιο aυστηρά το παραπάνω επιχείρημα. Γιατί άραγε, οπό το γεγονός ότι κάθε σημείο έχει μηδενικό μήκος, θα έπρεπε να συμπεράνει κάποιος ότι ολόκληρο το τμήμα θα έχει μήκος μηδέν; Η κοινή αίσθηση - διαίσθηση - εvώ aποτελεί, είναί αλήθεια, την πιο γόνιμη και δημιουργική πηγή των aφη ρημένων μαθηματικών ιδεών, εντούτοις δεv τουτίzετοι με τη μαθηματική δημιουργία, δεν οπορτίzει ολόκληρο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/4

Τι είναι σapείο; Τι είναι εv8εία;

το διανοητικό εξοπλισμό της μαθηματιής σκέψης. Λειτουργεί απλώς συμπληρωματικά με τη λογική, η οποία σε τελευταία ανάλυση ελέγχει τα επιτεύγματα της πρώτης. Η ιστορία των Μαθηματικών έχει να επιδείξει εκα τοντάδες παραδείγματα, όπου η διαίσθηση από μόνη της οδήγησε σε παραπλανητικά αποτελέσματα και χρει άστηκε ο συνδυασμός και των δυο για να υπάρξει πρόοδος. Πολλές φορές ακόμη η λογική χρειάστηκε να πάει κόντρα στη διαίσθηση για να δημιουργήσει λαμπρά επιτεύγματα όπως, για παράδειγμα, οι μη Ευκλείδει ες γεωμετρίες που τόσο πολύ βοήθησαν στην ανάmυξη της μοντέρνας φυσικής. Για να γίνουμε όμως πιο σαφείς θα αναφέρουμε δυο παραδείγματα, ένα από την άλγεβρα και ένα από τη γεωμετρία όπου η πραγματικότητα αποκλίνει από τη διαίσθηση. Dαράδειypα I:

{ 3,3χ

Θεωρούμε το σύστημα:

6 (Σι ): 3, χ + 5,2y = 8,8 +

4,8y = 8,1

του οποίου η λύση είναι προφανώς χ = 1, y = 1. Ας πάρουμε τώρα το σύστημα

{ 3,29χ + 4,8y- 8,1

6 (Σz): 3, χ + 5,253y: 8,8 το οποίο προκύmει από το (Σι) με μια ελαφρά τροποποίηση δύο μόνο συντελεστών κατά 0,053 και 0,01. Πό σο επηρεάzει άραγε αυτή n αλλαγή το μέγεθος της λύσης; Η διαίσθηση λέει ότι η λύση του δευτέρου συστή ματος (Σ2 ) ελάχιστα θα διαφέρει από τη λύση του (Σι). δηλαδή, θα είναι περίπου χ=1, y=1. Κι όμως δεν εί ναι έτσι!! Η λύση του τροποποιημένου συστήματος (Σ2 ) είναι περίπου χ=- 83,59, y=56 ,21 και απέχει πολύ από τη λύση του αρχικού. Dαράδειypα 2:

Στο σχήμα 3α, το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σταθερού μήκους l κινείται έτσι, ώστε τα άκρα του Α και Β να βρίσκονται πάνω στους θετικούς ημιάξονες ΟΧ και ΟΨ ενός ορθογωνίου συστήματος. Μπορείτε να προβλέ ψετε τι είδους καμπύλη θα διαγράψει το μέσο Μ του ΑΒ; ψ

Β • • • • •

•••

•

•• χ

ο (α)

(β)

(γ)

Σχήμα 3 Η απάντηση των περισσοτέρων σ' αυτή την ερώτηση θα είναι ότι το Μ θα διαγράψει μια καμπύλη όπως αυτή του σχήματος 3β, παρασυρόμενοι προφανώς από την απλή παρατήρηση. Κι όμως αφού ΟΜ = ΑΒ/2 = l/2, το Μ απέχει πάντα σταθερή απόσταση από την αρχή των αξόνων Ο. Επομένως, θα διαγράφει ένα τεταρ τοκύκλιο κέντρου Ο και ακτίνας l/2 (σχ. 3γ). Ξαναγυρίzοντας στο αρχικό μας θέμα θα λέγαμε ότι υπάρχουν δύο τύποι σκέψεων: η διαισθητική, η οποία αντλεί το υλικό της από την κοινή παρατήρηση, την εμπειρία και τη φαντασία και η λογική σκέψη, η οποία ξε κινά από παραδοχές κοινώς αποδεκτές και με τη βοήθεια των κανόνων της συμπερασματολογίας, καταλήγει σε άλλες αληθινές προτάσεις. Στην περίmωσή μας, το βασικό επιχείρημα του ερωτήματος (α) βασίzεται περισ σότερο στη διαίσθηση παρά στη λογική για τον κύριο λόγο ότι η κεντρική του ιδέα είναι ότι το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι κάποιος μαθηματικός συνδυασμός, το άρθοισμα θα λέγαμε, των μηκών των ση μείων από τα. οποιά απαρτίzεται. Όμως στα μαθηματικά υπάρχουν πάντα περιορισμοί στις μεθόδους και στις ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 4/5

Τι εivαι σnpεio; Τι εivαι εuθεiα;

τεχvικές που χρπσιμοποιούνrαι. Δεv είvαι δυvατόv, για παράδειγμα, va προσθέσεις nόvra μια συλλογή από μη πεπερασμέvα ανrικείμεvα, ποίΊύ δε περισσότερο τα άπειρα σημεία εvός ευθύγραμμου τμήματος. Η γvωστή απλή πράξη της πρόσθεσης, όπως και του πολλαπλασιαμού άλλωστε, μπορεί va εφαρμοστεί μόvο σε έvα πε περασμέvο πλήθος όρωv. Υπόρχουv, βέβαια, κάποιες εξαιρέσεις, όπου έχει vόημα το άθροισμα απείρωv όρωv, όπως, για παράδειγ μα, γvωρίzουμε στηv περίmωση του αθροίσματος τωv απείρωv όρωv μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ, lλl<1. Στηv περίmωση αυτή έχουμε ότι S = οι + a2 + α3 + .. = �. όπως π.χ. S 1 + 1 + 1 + .l + .. 1-λ 3 9 27 .

3..

Η ιδιομορφία της περίmωσης αυτής έγκειται στο ότι οι άπειροι όροι της γεωμετρικής προόδου απαρτίzουv έvα άπειρο, το οποίο οι μαθηματικοί οvομόzουv aριθμήσιμο 6πειρο και είvαι σαφώς "μικρότερο" από το άπειρο του συvόλου τωv πραγματικώv αριθμώv. Ο μεγάλος Γερμαvός μαθηματικός Κανrόρ (G. Caηtor, 1845 - 1919), έvας

από τους θεμελιωτές της θεωρίας Συvόλωv, ήταv ο πρώτος που ασχολήθηκε συστηματικό με τα μεγέθη τωv απει ροσυvόλωv. Έvα σύvολο λοιπόv Σ λέμε ότι είvαι aριθμήσιμο, όταv μεταξύ τωv στοιχείωv του Σ και τωv στοιχείωv του συvόλου τωv φυσικώv αριθμώv ΙΝ υπάρχει μια αμφιμοvοσήμανrη (1-1) ανrιστοιχία. Έτσι το σύvολο Α τωv όρ τιωv φυσικώv αριθμώv είvαι aριθμήσιμο, αφού σε κάθε στοιχείο v Ε ΙΝ ανrιστοιχούμε το 2v Ε ΙΝ. Α = {2, 4, 6, 8, 10, 12, .. .2v, ... } ΙΝ

��

= {1, 2, 3, 4, 5 , 6, v, ... } Πολλά άπειρα σύvολα είvαι aριθμήσιμα, αλλά όχι όλα. Το σύvολο τωv ρητώv. Q αποδεικvύεται ότι είvαι aριθμήσιμο, εvώ το σύvολο τωv αρρήτωv IR-Q ή το σύvολο τωv πραγματικώv IR δεv είvαι, αφού δεv είvαι δυvατόv va τεθούv σε ανrιστοιχία (1-1) με τους φυσικούς αριθμούς. Για το μέγεθος του συvόλου τωv φυσικώv αριθμώv, καθώς και οποιουδήποτε άλλου aριθμήσιμου απειροσυvόλου, ο Κανrόρ υιοθέι:ησε το σύμβολο !'\0, που διαβόzεται όλεφ-μηδέv ( !'\ είvαι το πρώτο γράμμα του Εβραϊκού αλφαβήτου). Στα απειροσύvολα λοιπόv δεv ισχύει αυτό που ισχύει στα πεπερασμέvα σύvολα, όπου έvα γvήσιο υποσύvολο εvός συvόλου έχει μικρό τερο πλήθος στοιχείωv από το αρχικό σύvολο. Εδώ μολοvότι, για παράδειγμα, ACIN τα Α και ΙΝ έχουv το ίδιο πλήθος στοιχείωv Χ0• Το μέγεθος του συvόλου IR εκφρόzεται με τοv αριθμό C (C είvαι το αρχικό γράμμα της Αγγλικής λέξης coηtiηuous, που σημαίvει συvεχές). Το μέγεθος C είvαι μεγαλύτερο από το μέγεθος !'\0 με τηv έννοια ότι υπάρχει μια ανrιστοιχία (1-1) μεταξύ του ΙΝ και μέρους του IR, αλλά όΧΙ και το ανrίστροφο. Επο μέvως μπορούμε va γράφουμε C > !'\0, όπως ακριβώς γράφουμε 8 > 5 . Ο Κανrόρ απέδειξε ότι εκτός από το !'\0 και το C υπόρχουv άπειρα στο πλήθος τέι:οια μεγέθη, που εκφρόzουv πληθυκούς αριθμούς απειροσυvό λωv. Τα μεγέθη αυτό ovoμόzovraι υπερπερασμέvοι αριθμοί. Στο βασικό λοιπόv επιχείρημα του ερωτήματος (α) εvόνrια στηv αποδοχή τωv όυλωv σημείωv, γίvεται μια λαvθασμέvη παραδοχή η οποία βασίzεται καθαρό στη διαίσθηση, αφού επεκτείvεται αβασόvιστα η πρόσθεση μεταξύ πεπερασμέvωv αριθμώv, στηv πρόσθεση μιας συλλογής όπειρωv σημείωv. Όταv αvαφερόμαστε σε μήκη τωv σημείωv τα οποία συvεvώvονrαι μαθηματικώς στο μήκος του ευθύγραμμου τμήματος, η αριθμητική πράξη της πρόσθεσης πόvω στηv οποία βασίzεται ο συλλογισμός αυτός απλώς δεv έχει vόημα, γιατί αποδει κvύεται, όπως θα δούμε παρακάτω, ότι το άπειρο του συvόλου τωv σημείωv εvός ευθύγραμμου τμήματος έχει το μέγεθος του συvεχούς c και επομέvως δεv είvαι aριθμήσιμο. Ας δούμε όμως το θέμα μας και από μια άλλη οmική γωvία. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, έvav ηλεκτρο vικό υπολογιστή. Ο υπολογιστής αποτελείται αφεvός από έvα πολύπλοκο δίκτυο ηλεκτρικώv κυκλωμότωv και στοιχείωv απ' όπου περvό μια σύvθετη ακολουθία πλεκτρικώv παλμώv. Αυτό το ηλεκτρομηχαvιl(ό επίπεδο περιγραφής οvομόzεται hardware (μηχαvικός, υλικός εξοπλισμός). Από τηv άλλη μεριά, έχουμε προγράμμα τα, χειρισμούς, συμβολικές γλώσσες, αλγόριθμους κ.λπ. που συvιστούv έvα δεύτερο επίπεδο περιγραφής, που οvομόzεται software (λογισμικό). Το αποτέλεσμα της λειτουργίας του υπολογιστή, για παράδειγμα, η επί λυση μιας μαθηματικής εξίσωσης είvαι το αποτέλεσμα της συvδυασμέvης, συλλογικής δράσης και τωv δυο επιπέδωv και δεv μπορεί va αποδοθεί μόvο στη μια από τις δυο λειτουργίες. Και οι δυο περιγραφές, η μηχα vική και η λογισμική, εκθέι:ουv αυτό που συμβαίvει στο εσωτερικό του υπολογιστή· καθεμιά είvαι συvεπώς στο δικό της πλαίσιο, εvώ βρίσκονrαι σε ενrελώς διαφορετικό επίπεδα vόησης. Ίσως, τώρα, έvα ευθύγραμμο τμήμα va μοιόzει με έvav ηλεκτροvικό υπολογιστή με δυο βασικό συστατικό ή επίπεδα περιγραφής, τα σημεία και τη συvεχή διευθέι:ησή τους. Όπως ακριβώς δεv μπορεί καvείς va μας πει ποιο ακριβώς επίπεδο περιγραφής (μηχαvικό ή λογισμικό) του υπολογιστή ευθύvεται περισσότερο για τηv ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κπ. τ. 4/6

Τι είvαι σapείο; Τι είvαι ειιβεία;

επίλυση της μαθηματικής εξίσωσης, έτσι δεν μπορεί κανείς να μας πει ποιο επίπεδο περιγραφής του ευθύ γραμμου τμήματος (σημεία ή συνεχής διευθέτησή τους) ευθύνεται περισσότερο για το χαρακτηριστικό, που εμφανίzεται ως μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Αν, για παράδειγμα, τα άπειρα σημεία που αποτελούν ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους lM τα "ρίχναμε" με κάποιο τυχαίο τρόπο πάνω στην επιφάνεια ενός τετραγώνου διαστάσεων lxl (σχ. 4), αντί να τα διευθετούμε ευθύγραμμα, κατά μια διεύθυνση, τότε πώς θα μετρούσαμε το μήκος τους; Ασφαλώς μια οποιαδήποτε διαδικασία μέτρησης του μήκους τους δε θα είχε νόημα. Επομένως, δεν είναι μόνο τα σημεία που συνεισφέρουν στο φαινόμενο του μήκους ενός ευθύγραμμου τμήματος, αλλά και η διευθέτησή τους κατά ένα συνεχή τρόπο και μια συγκεκριμένη διεύθυνση. Η αριθμητική πρόσθεση λοιπόν των διαστάσεων των σημείων είναι ανεπαρκής από μόνη της να αποδώσει το μήκος, επειδή βασικά δε λαμβάνει υπόψη της τη συνεχή διευθέτηση, δηλαδή, τη γεωμετρική πλευρά.

Σχήμα 4 Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το ερώτημα (α) περιγράφει ένα διαισθητικό επιχείρημα, το οποίο βασίzεται πάνω στην κοιvή μας αντίληψη σχετικά με την έννοια του σημείου, ενώ στην ουσία δε δημιουργείται καμιά λογική αντίφαση, καμιά παραδοξολογία. Στην πραγματικότητα δεν παραβιάzεται καμιά λογική αρχή και αυτό είναι που μετράει περισσότερο στα μαθηματικά. Αλλά ούτε και για τον ίδιο τον Ευκλείδη το επιχείρημα του ερωτήματος (α) φαίνεται να δημιουργούσε κάποιο πρόβλημα. Αυτή η άποψη ενισχύεται από το γεγονός ότι την εποχή του (γύρω στο 300 π.χ. ) υπήρχαν μόνο θετικοί αριθμοί, δεν είχε νόημα το μηδέν. Το μηδέν ως αριθμητικό σύμβολο χρηmμοποιήθηκε πολύ μεταγενέστερα από τους Ινδούς μαθηματικούς. Επομένως ισχυριzόμενος ότι το σημείο δεv έχει διαστάσεις δεν εννούσε αυτό που αντιλαμβανόμαστε ίσως σήμερα, ότι, δηλαδή, έχει ένα μήκος, αλλά το μήκος είναι μηδέν. Για τον Ευκλείδη, το σημείο δεν είχε μήκος όπως, για παράδειγμα, η αρεrή δεv έχει χρώμα ή όπως η καρέκλα δεν έχει εντιμότητα. rιατί ο Εvκλείδaς οροτίpaσε το άvΑο σaμείο;

Το πιο πιθανό είναι οι πρώτοι γεωμέτρες να αντιλαμβάνονταν το σημείο σαν ένα aπείρως μικρό τμήμα της ύλης, το οποίο δεν μπορεί να διαιρεθεί παραπέρα και η επανάληψη του οποίου γεννούσε τις γραμμές, τα σχήματα, τις επιφάνειες. Η ατομική θεωρία που αναmύχθηκε από τον Λεύκιππο και το μαθητή του Δημόκριτο στα μέσα του Sου αιώνα π.χ., θα μπορούσε να ενισχύσει αυτήν την άποψη. Ωστόσο, υπάρχουν μαρτυρίες ότι η αποδοχή του σημείου ως άτομο, ως την aπείρως μικρή και άτμητη υλική οντότητα, δημιουργούσε ορισμένες θεωρητικές δυσκολίες. Για παράδειγμα, ποιο θα ήταν το μέσον ενός ευθύγραμμου τμήματος με άρτιο πλήθος σημείων; (σχ. Sa). Ή ποιο θα ήταν το μέσον ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ το οποίο είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης δυο ίσων τμημάτων ΑΒ και ΒΓ; (σχ. 56).

===a:x:x:j==== I I

Α .__

(6)

(α)

Σχήμα S

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

______.

___

κη ; τ.

417

Τι είναι σapείο; Τι είναι ε\!βεία;

Σχήμα 6 Οι πρώτοι Πυθαγόρειοι (γύρω στα 500 π.χ.) πίστευαν (διαισθητική αντίληψη) ότι εάν δοθούν δυο ευθύ γραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ (οχ. 6), πάντα μπορεί να βρεθεί ένα κοινό μέτρο τους, δηλαδή, πάντα θα υπάρχει ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ το οποίο με την επανάλrιψή του μ φορές θα έδινε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και με την επανάληψή του ν φορές θα έδινε το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ. Δηλαδή, ΑΒ = μ · ΚΛ, ΓΔ = ν· ΚΛ, όπου μ,ν Ε .JNI'. Η άποψη αυτή συνεπάγεται ότι ο λόγος δυο ευθυγράμμων τμημάτων θα είναι πάντα ένας ρητός αριθμός, αφού ΑΒ = Αβ'ΚΛ = � ΓΔ ΓΔ'ΚΛ ν Όταν όμως ανακαλύφθηκε το Πυθαγόρειο θεώρημα, διαπίστωσαν ότι ο λόγος του μήκους της διαγωνίου προς το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου είναι Γ2 και σύμφωνα με την άποψη τους θα έπρεπε ο Γ2 να είναι ρητός αριθμός. Αργότερα όμως αποδείχτηκε ότι ο Γ2 είναι άρρητος αριθμός, ένα γεγονός που οδήγη σε στην αναθεώρηση της αρχικής, διαισθητικής θέσης των Πυθαγορείων ότι δυο ευθύγραμμα τμήματα έχουν πάντα ένα κοινό μέτρο. Άλλο ένα παράδειγμα όπου η λογική κυριαρχεί επί της διαίσθησης και αναθεωρεί τα συμπεράσματα της τελευταίας. Ο Ευκλείδης, πολύ μεταγενέστερος των Πυθαγορείων, γvώριzε τον προβληματισμό γύρω από τις απόψεις των Πυθαγορείων και τον αριθμό Γ2 και του έμενε μια μόνο λογική δυνατότητα, να ορίσει, δηλαδή, το ση μείο ως κάτι το οποίο δεν έχει διαστάσεις. Η συλλογιστική που οδήγησε τον Ευκλείδη σ' αυτόν τον ορισμό θα μπορούσε να ήταν κάπως έτσι: Εάν τα σημεία ήταν υλικά άτομα, τότε θα έμοιαzαν με πολύ μικρά σφαιρίδια των οποίων η διάμετρος, αν και εξαιρετικά μικρή, δε θα ήταν πάντως μηδέν. Ας υποθέσουμε ότι κάθε σημείο άτομο θα είχε την ίδια θετική διάμετρο δ. Για να επεξηγήσουμε καλύτερα το μοντέλο των σημείων-aτόμων που έχουμε στο νου μας, aς υποθέσουμε ότι εστιάzουμε το φακό ενός ισχυρού μικροσκοπίου σε ένα πολύ μι κρό τμήμα του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με σκοπό να δούμε τη δομή του. Αυτό που θα βλέπαμε θα έμοιαzε κάπως με το σχήμα 7.

ι;

A .-------e Β

Σχήμα 7 Έστω τώρα ότι ΑΒ = μ· δ, όπου μ είναι κάποιος φυσικός aριθμός ο οποίος aντιπροσωπεύει, θα λέγαμε, τον aριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Εάν ΓΔ είναι ένα άλλο ευθύγραμμο τμήμα, τότε και aυτό σχημaτίzετaι aπό σημεία διαμέτρου πάλι δ, οπότε ΓΔ = ν · δ, όπου ν είναι κάποιος φυσικός aριθμός ο οποίος aντιπροσωπεύει παρομοίως τον aριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ. Στη συνέχεια θα έχουμε ΑΒ = Αβ'δ = � ΓΔ ΓΔ'δ ν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/8

Τι είναι σnpείο; Τι είναι ειιθεία;

που σημαίνει ότι ο λόγος δυο οποιωνδήποτε ευθυγράμμων τμημάτων, άρα και της διαγωνίου προ την πλευρά ενός τετραγώνου, θα είναι πάντοτε ένας ρητός αριθμός. Και επομένως, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι και ο Γ2 θα είναι ρητός αριθμός!!! ' Ετσι είναι λογικό να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι ο Ευκλείδης περιέγρα ψε το σημείο σαν κάτι το οποίο δεν έχει διαστάσεις, επειδή γvώριzε ότι ο Γ2 είναι άρρητος. Τι είναι n εvθεία;

Ο Ευκλείδης περιγράφει την ευθεία με τον εξής ασαφή ορισμό 4 του βιβλίου 1: "Εύθεία γραμμή έστιν, Δηλαδή, ευθεία γραμμή είναι αυτή, η οποία κείται εξ' ίσου προς τα εφ' εαυτής σημεία!! Δύσκολο να καταλάβει κάποιος τι πραγματικά εννοούσε ο Ευκλείδης μ' αυτόν τον ορισμό. Εκείνο πάντως που καταλαβαίνουμε σε γενικές γραμμές, όταν χρησιμοποιούμε τη λέξη ευθεία είναι ένα σύνολο από σημεία, τα οποία είναι διευθετημένα κατά μια συγκεκριμένη διεύθυνση κάθε φο ρά, με ένα συνεχή τρόπο, χωρίς κεvά. Η υιοθέτηση των άυλων, χωρίς διαστάσεις σημείων, διευκολύνει πολύ τα πράγματα, γιατί επιτρέπει έτm κάτι πολύ σημαντικό· την ένα προς ένα (1-1) αντιστοιχία των σημείων μιας ευθείας με τα στοιχεία του συνόλου IR. Επειδή ακριβώς τα σημεία δεν έχουν διαστάσεις, δεν υπάρχουν στην ουσία γειτονικά σημεία, δηλαδή μεταξύ δυο σημείων, οσοδήποτε κοντά κι αν βρfσκονται, υπάρχει πάντα ένα ενδιάμεσο σημείο. Το γεγονός αυτό έρχεται σε συμφωνία με τις ιδιότητες που αφορούν την πυκνότητα του 1R και επιτρέπει να aντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό αριθμό γ, ο οποίος βρίσκεται μεταξύ των α και β σε ένα ση μείο Γ της ευθείας το οποίο βρίσκεται μεταξύ των εικόνων Α και Β των αριθμών α και β αντιστοίχως (σχ. 8). ήτις, έξ' ϊσου τοίς έφ' έαυτής σημείοις κείται".

{

}

(ε)

�

Σχήμα 8 Στην πράξη, βέβαια, μια ευθεία κατασκευάzεται με τη βοήθεια ενός χάρακα και ενός μολυβιού το οποίο σύρεται κατά ένα συνεχή τρόπο στην άκρη του χάρακα, χωρίς να σηκωθεί καθόλου από το χαρτί. Εάν φτιά ξουμε μια τέτοια ευθεία γραμμή (ε) και εστιάσουμε το μικροσκόπιό μας σε ένα πολύ μικρό τμήμα της, θα δού με ότι η ευθεία γραμμή αποτελεfrαι από κόκκους μελανιού, που το μέγεθός τους εξαρτάται, αφενός μεν από την ποιότητα του μελανιού, που διαμορφώνει τα μόρια που το συνθέτουν και αφετέρου από την υφή του χαρ τιού σχεδίασης (σχ. 9).

I (ε)

Σχήμα 9

Όσο περισσότερο μεγενθύνουμε, τόσο μεγαλύτερα κενά θα παρατηρούμε μεταξύ των μορίων του μελανι ού. Γενικεύοντας, θα λέγαμε ότι στο φυσικό χώρο όλες οι ευθείες γραμμές δεν μπορεί παρά να αποτελούνται

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κn. τ.

4/9

Τι είvαι σnpείο; Τι είναι εuθεία;

από πεπερασμένο πλήθος διακριτών σημείων, που στην καλύτερη περίπτωση μπορεί να είναι τα έσχατα σω ματίδια της ύλης. Είμαστε αναγκασμένοι λοιπόν να παραδεχθούμε ότι όταν μιλάμε για ευθεία πρέπει να κά νουμε μια διάκριση μεταξύ της ιδεατός ό yεωμετρικός εvθεί ας και της φvσικός εvθεί ας. Ιδεατό ό yεωμετρικό εvθεί α: Αποτελείται από άυλα σημεία, διευθετημένα στην ίδια διεύθυνση κατά ένα συνεχή τρόπο, χωρίς κενά. Φvσικό εvθεία: Αποτελείται από φυσικά σημεία, έσχατα σωματίδια της ύλης, τα οποία μπορεί να είναι άτομα ή υποατομικά σωματίδια, για παράδειγμα κουάρκς. Για τον Ευκλείδη, αλλά και για όλους τους μαθηματικούς, οι μαθηματικές ιδέες δεν αντιπροσωπεύουν πι στά κάποια φυσικά αντικείμενα καθαυτά, αλλά έννοιες που δημιουργούνται από αυτά τα αντικείμενα με τη χρήση της δύναμης της αφαίρεσης. Στην πραγματικότητα, μερικές μόνον ιδιότητες των φυσικών αντικειμένων ανακλώνται στις αφηρημένες ιδέες που βασίzονται σ' αυτά. Έτσι η ιδέα της ευθείας γραμμής μπορεί να βασί στηκε στον τεντωμένο σπόγγο, όμως ούτε το χρώμα, ούτε το υλικό του σπόγγου είναι ιδιότητες της ιδεατής ευθείας. Η ιδεατή γεωμετρική ευθεία έχει ιδιότητες οι οποίες έρχονται σε συμφωνία με τις βασικές μαθηματι κές .αρχές και γίνεται δυνατή η ( 1-1) αντιστοιχία των σημείων της με τα στοιχεία του συνόλου ffi των πραγματι κών αριθμών. Η φυσική ευθεία απεναντίας είναι ένα φυσικό μοντέλο ερμηνείας της ιδεατής ευθείας. Το ερώτημα, βέβαια, τώρα που δημιουργείται είναι πόσο κοντά βρίσκεται το μοντέλο της φυσικής ευθείας με την έννοια της ιδεατής ευθείας. Πόσο καλά, δηλαδή, η ιδεατή ευθεία αντιπροσωπεύεται από το φυσικό της μοντέλο ή ακόμη σε ποιο βαθμό η ιδέα της ευθείας αντιπροσωπεύεται στην πραγματικότητα από τη φυσική ευθεία. Αν υποθέσουμε ότι η φυσική ή υλική ευθεία αποτελείται από υποατομικά σωματίδια, για παράδειγμα, πρωτόνια, μεσόνια, λεπτόνια, αδρόνια ή ακόμη και κουάρκς, τότε είναι δυνατόν να εφαρμοστούν οι αρχές της κβαντικής θεωρίας και να ερμηνευτεί η διπλή φύση της ευθείας. τα κουάρκς είναι οι μικρότερες δομικές μονάδες που γνωρίzουμε μέχρι σήμερα και βρίσκονται σ' έναν κόσμο 1015 φορές μικρότερο από τον κόσμο του ατομικού πυρήνα και αυτός ο κόσμος δεν είναι μακριά από το έσχατο όριο, όπου ο χώρος παύει να έχει νόημα. Τα κουάρκς είναι ουσιαστικά χωρίς δομή θεμελιώδη σω ματίδια-αντικείμενα σημειακά χωρίς εσωτερικά μέρη. Με τη βοήθεια της κβαντικής προοπτικής μπορούμε να πούμε ότι η αντιπροσώπευση της γεωμετρικής ευθείας από τη φυσική ευθεία είναι πολύ ικανοποιητική. Αυτό προκύπτει εάν αποδεχθούμε την ιδέα του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού στα υποατομικά σωματίδια. Σύμφω να μ' αυτή την ιδέα, ένα μικροσκοπικό πράγμα, όπως, για παράδειγμα, ένα κουάρκ ή ένα φωτόνιο, άλλοτε συμπεριφέρεται ως σωματίδιο κι άλλοτε ως κύμα· αυτό εξαρτάται από το είδος και την προοπτική του εκτελού μενου πειράματος. Η βασική αρχή της συμπληρωματικότητας στην κβαντομηχανική μας εΠιτρέπει να αντιληφθούμε ένα πράγ μα ταυτόχρονα και ως σωματίδιο και ως κύμα, όπως, για παράδειγμα, μπορούμε να αντιληφθούμε ένα μυθι στόρημα ταυτόχρονα και ως μύθο και ως μια συλλογή λέξεων ή τον ηλεκτρονικό υπολογιστή ταυτόχρονα και ως μηχανικό εξοπλισμό και ως λογισμικό. Το σωματίδιο είναι κάτι το εντελώς διαφορετικό από το κύμα: είναι ένας μικρός βόλος συγκεντρωμένου υλικού που αντιπροσωπεύει τη διακριτή-σημειακή φυση της ευθείας, ενώ το κύμα είναι μια διαταραχή που μπορεί να απλώνεται και να σκορπίzει και μ' αυτήν την έννοια μπορεί να αντιπροσωπεύει τη συνεχή φύση της ευθείας. Έτσι, κάτω απ' αυτό το πρίσμα, μπορούμε να μιλάμε για διπλή φύση της ευθείας, όπως ακριβώς κάνουμε με το φώς, ανάλογα με το τι θέλουμε κάθε φορά να παρατηρή σουμε. Ας ξαναγυρίσουμε όμως στο ερώτημα (β) των δυο μας μαθητριών σχετικά με την ευθεία και το ευθύγραμ μο τμήμα. Πράγματι, δεχόμαστε ότι η ευθεία εκτείνεται απεριόριστα και αποτελείται από άπειρα σημεία. Το ευθύγραμμο τμήμα πάλι έχει άπειρα σημεία, αλλά καθορισμένα άκρα, δηλαδή, αρχή και τέλος, συνεπώς ορι σμένο μήκος. Εντούτοις, το άπειρο σύνολο των σημείων της ευθείας και του ευθύγραμμου τμήματος είναι ισο δύναμα, με την έννοια ότι και τα δυο έχουν το μέγεθος του συνεχούς C. Αυτό δεν πρέπει να μας προξενεί εντύπωση, γιατί ας μην ξεχνάμε ότι μιλάμε για πληθυκούς αριθμούς απειροσυνόλων και όχι συνόλων με πε περασμένα στοιχεία. Το ίδιο συνέβη όπως είδαμε παραπάνω και με το σύνολο Α των άρτιων φυσικών αριθ μών και το σύνολο IN των φυσικών αριθμών. Μολονότι το Α είναι γνήσιο υποσύνολο του IN (ACIN), υπάρχει μια (1-1) αντιστοιχία μεταξύ των δύο συνόλων, που σημαίνει ότι και το Α είναι aριθμήσιμο σύνολο και το μέ γεθος του είναι �ο όπως και του IN. Αυτή η χαρακτηριστική ιδιότητα εμφανίzεται μόνο στα aπειροσύνολο. Έτσι ο Καντόρ χρησιμοποίησε αυτήν ακριβώς την ιδιότητα για να χαρακτηρίσει ένα aπειροσύνολο. Είπε, δη λαδή, ότι κάθε aπειροσύνολο είναι ισοδύναμο (έχει τον ίδιο πληθυκό αριθμό) με έvα γνήσιο υποσύνολό του. Τώρα γίνεται κατανοητό γιατί ενώ, π.χ. ΑΓ <ΑΒ (δηλ. το ΑΓ ως aπειροσύνολο σημείων είναι γνήσιο υποσύνο λο του ΑΒ), μπορούμε να βρούμε μια (1-1) αντιστοιχία των δυο αυτών συνόλων έτσι, ώστε να εμφανίzονται ότι έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων μεγέθους C (Σχ. 10).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/10

Τι είναι σαpείο; Τι είναι εvβεία;

ο Ιt:-,

11\\ ' ΙΙ'' ', ' 11 \\ ' ' 11 \ ' ' ', I I \ \ ' I I \ \ , I I \ ' "" ', Ι I \ '.Κ'

Α'� � I I 1 Ι Ι Ι

I I ι ι I I

\,\ \, \

Α� Α

κ·� κ

',Γ' Ι Ι

1 '\

...

r�s

',(Α'Γ'= ΑΓ) '

Σχήμα 10 Μας μένει τώρα να απαντήσουμε στο τελευταίο σκέλος του ερωτήματος (β), γιατί, δηλαδή, δεν μπορούμε να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας. Την απάντηση στο ερώτημα αυτό την έδωσε πριν από 100 περίπου χρό νια ο ίδιος ο μάγος του απείρου, ο Καντόρ, χρησιμοποιώντας μια τεχνική η οποία ονομάzεται συνήθως δια yώvια μέθοδος. Η κεντρική ιδέα της απόδειξης αυτής είναι η εξής: Επειδή υπάρχει μια (1-1) αντιστοιχία με ταξύ των στοιχείων του IR με τα σημεία μιας ευθείας, εάν αποδειχθεί ότι οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι δυνα τόν να μετρηθούν, τότε θα συμβαίνει το ίδιο και για τα σημεία μιας ευθείας. Ξεκινάμε από την παραδοχή ότι κάθε πραγματικός αριθμός αντιπροσωπεύεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή ενός απειροψήφιου δεκαδι κού αριθμού, π.χ.: '{3 = 1,73205α3 . . , 8. = 2,fUjfjj ... , κ.λπ. 2,49999 ... ' 2 3 Ας παραδεχτούμε τώρα ότι μπορούμε να μετρήσουμε τους πραγματικούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια αντιστοιχία (1-1) μεταξύ του IR και του ΙΝ, η οποία μας επιτρέπει να δώσουμε σε κάθε πραγματικό αριθμό α ένα όνομα, το όνομα, ας πούμε, Ov· Το σύνολο λοιπόν των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρα σταθεί ως εξής: IR = {οι, a2, a3, CJ;ι, Ov· . . } Το επόμενο βήμα είναι να θεωρήσουμε τα δεκαδικά μέρη των αριθμών αυτών και να τα συμβολίσουμε ως εξής: Δεκαδικό μέρος του 0v = Ο,δy δ2δ3 ... , ν = 1 ,2, 3 .... . Ο πάνω δείκτης ν δεί χνει ότι πρόκειται για ψηφίο του πραγματικού αριθμού Ov· Τα δΥ, δ2, δ3 κ.λπ. παριστάνουν ένα από τα ψηφία Ο, 1,2,3, ... , 9. Έτσι μπορούμε να τοποθετήσουμε όλους τους πραγμ. αριθμούς σε έναν πίνακα ως εξής: (Δεκαδικό μέρος του οι ) : Ο,δ} δ� δ§ δl ... δ� .. . (Δεκαδικό μέρος του a2) : Ο,δ� δ� δ� δ� ... δ� .. . (Δεκαδικό μέρος του a3) : Ο,δ� δ� δ� δ� ... δ� 5.

.•.

. . .

(Δεκαδικό μέρος του Ov) : Ο,δy δ2 δ3 δ4 ... δ� ... . . .

Σχπματίzουμε τώρα έναν πραγματικό αριθμό ρ, επιλέγοντας το δεκαδικό του μέρος Ο;ριρ2ρ3 ρv... με τον εξής τρόπο: Το ρι να είναι διαφορετικό από το δ}, το ρ2 να είναι διαφορετικό από το δ� ,το ρ3 διαφορετικό από το δ�, ... , το ρv διαφορετικό από το δ�, κ.λπ. Δηλαδή, το δεκαδικό μέρος του αριθμού ρ διαφέρει από τα δεκαδικά μέρη όλων των πραγματικών αριθμών αι,α2 ,α3, Ov···· τουλάχιστον κατά ένα δεκαδικό ψηφίο. Επομένως, ο πραγματικός αριθμός j:> δεν μπορεί να συμπίmει με κανένα στοιχείο του IR, πράγμα που είναι άτοπο. Η παραδοχή λοιπόν ότι οι πραγματικοί αριθμοί και κατά συνέπεια και τα σημεία μιας ευθείας, είναι δυνατόν να μετρηθούν, οδηγεί σε αντιφάσεις και πρέπει να απορριφθεί. Τελειώνοντας, οφείλουμε να ομολογήσουμε ότι τα δυο αυτά αθώα ερωτήματα των δυο μας μαθητριών, μας οδήγησαν κατ' ευθείαν στο μαγευτικό κόσμο του απείρου, έξω από το χώρο που αντιλαμβάνονται οι αισθήσεις μας. Ένας ο οποίος δεν έχει ασχοληθεί με τη μαθηματική επιστήμη και τις εφαρμογές της είναι πολύ πιθανόν να αμφιβάλει για το ότι μπορεί να υπάρξει κάποια "χρήση" του απείρου με την έννοια ότι είναι δυνατόν να ασκηθεί κάποιος έλεγχος πάνω σ' αυτό. Όμως δε θα ήταν υπερβολή να πούμε ότι προσπάθεια για κατανόηση, έλεγχο και τιθάσευση του απείρου συνιστά την καρδιά της δραστηριότητας των μαθηματικών. Αυτό που λίγο ή πολύ κά νουν οι επαyγελματίες μαθηματικοί είναι να βρίσκουν τρόπους va δαμάzουν και να κατακτούν το άπειρο. •..

••.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/1 1

Ισοnεριμετρικά Προβλήματα Καλίκας Σταμάτη ς

Στο βιβλίο της Άλγεβρας Α' Λυκείου σελ. 31 υπάρχει το παρακάτω πρόβλημα: «Να αποδειχθεί ότι (χ+ψ)2 - (χ - ψ)2 = 4χψ. Στη συνέχεια να βρείτε ποιό από όλα τα ορθογώνια με την ίδια περίμετρο έχει το μέγιστο εμβαδό». Αποδεικνύε ται δε ότι το «κανονικό» ορθογώνιο δηλ. το τετρόγωνο έχει το μέγιστο εμβαδό. Προβλήματα σον το παραπάνω λέγονται ισοπερι μετρικά. Γενικότερα ισοπεριμετρικά προβλήματα, λέμε το προβλήματα aκροτάτων, που αφορούν κυρτά σώματα. Αναφέρονται σε θέματα της καθημερινής zωής και έχουν εφαρμογές σε zητήματa της επιστήμης και της τεχνολογίας. Τα πρώτο ισοπεριμετρικά προβλή ματα το συναντάμε στην Αρχαίο Ελλάδα. Οι Μαθημα τικοί που aσχολήθηκαν μ' aυτά το προβλήματα, ήταν ο Αρχιμήδης, ο Ζηνόδωρος και ο Πάππος. Ο Αρχιμήδης έγραψε έργο, που δυστυχώς δε δια σώθηκε με τίτλο 'Ίσοπεριμετρικά" . Το σύγγραμμα αυτό αναφέρεται aπό τον Σιμπλίκιο στο παρακάτω απόσπασμα: «Διότι δέδεικται καί πρό 'Αριστοτέλους μέν πά

Ο Πάππος aπέδειξε την παρακάτω πρόταση: «Από όλο τα κυκλικά τμήματα με το ίδιο μήκος τό ξου, το ημικύκλιο έχει το μεγaίΊύτερο εμβaδό». Ο Πάππος επίσης στο V βιβλίο της «Συναγωγής>>, αναφέρεται στη σοφία των μελισσών, οι οποίες γιο να aποθηκεύσουν το μέλι, διaίΊέγουν το σχήμα των κε λιών των κερήθρων, ώστε με δεδομένη περίμετρο να επιτύχουν τη μεγaίΊύτερη έκταση. Οι μέλισσες λοιπόν, φτιάχνουν τις κερήθρες σε σχήμα κανονικού εξαγώ νου. (Δες και στο τεύχος κγ1 του Ευκλείδη Β' σελ. 3 το άρθρο του Μ. Τουμάση «Γνωρίzουν οι μέλισσες μαθηματικά; >>) Οι aποδείξεις των θεωρημάτων του Ζηνόδωρου είναι δύσκολες. Μπορούμε όμως να aποδείξουμε με γνώσεις Λυκείου την παρακάτω πρόταση: «Από το εγγεγραμμένα ν-γωνa σε κύκλο το μεγα λύτερο εμβaδό το έχει το κανονικό ν-γωνο>>. Το 1884 ο Η. Α Schwarz μπόρεσε να δώσει μια εντελώς aυστηρή aπόδειξη των ισοπεριμετρικών ιδιο τήτων του κύκλου και της σφαίρας, όπως διατυπώνο νται στο βασικά θεωρήματα Αρχιμήδη - Ζηνοδώρου.

ντως, είπερ αύτός ώς δεδειγμένω συγκέχρηται καί παρά 'Αρχιμήδους καί παρά Ζηνοδώρου μέν τοίς

επιπέδοις ό κύκλος εν δέ τοίς στερεοίς ή σφαίρα>>.

(Γιατί πάντως έχει μεν aποδειχθεί και πριν aπό τον Αριστοτέλη, aφού βέβαιο αυτός το χρησιμοποιεί ως aποδεδειγμένο, και aπό τον Αρχιμήδη και ευρύτε ρο aπό τον Ζηνόδωρο, ότι aπό το ισοπερίμετρa σχή ματα για μεν το επίπεδα το μεγaίΊύτερο εμβaδό έχει ο κύκλος γιο δε το στερεά τον μεγaίΊύτερο όγκο έχει η σφαίρα). Ο Ζηνόδωρος απέδειξε τουλάχιστον 14 θεωρή ματα, aπό το οποίο αναφέρουμε μερικά: 1. Από δύο κανονικά πολύγωνο με την ίδιο περί μετρο, μεγaίΊύτερο σε εμβaδό είναι εκείνο, που έχει τις περισσότερες γωνίες, άρα και κορυφές. 2. Ένας κύκλος είναι μεγαλύτερος σε εμβaδό aπό κάθε κανονικό πολύγωνο με την ίδιο περίμετρο. 3. Από όλο το πολύγωνο με την ίδιο περίμετρο και τον ίδιο αριθμό πλευρών, το κανονικό πολύγωνο έχει το μεγaίΊύτερο εμβaδό.

Τα Ισοnεριμετρικά Προβλιίμaτα στην Αρ:ιι:aίa Ελληνικό Βιβλιοyραφίa

Η σύγκριση εμβαδών σχημάτων με ίδιο περίμε τρο aπασχολούσε τους 'Ελληνες Μαθηματικούς της Αρχαίας Ελλάδος, γιατί είχαν δημιουργηθεί αρκετές παρανοήσεις, που εμφανίzονται στην κλασική βιβλιο γραφία και φιλολογία. Ο Θουκυδίδης υποίΊόγιzε την έκταση (το εμβαδό) της Σικελίας aπό το χρόνο που χρειazότaν γιο τον πε ρίπίΊου της, δηίΊaδή σε συνάρτηση με την περίμετρο. Ο Πολύβιος θεωρεί ακατανόητο, στρατόπεδο με την ίδιο περίμετρο, να έχουν διαφορετική έκταση. Ο Πλίνιος γιο να συγκρίνει το μεγέθη διάφορων γήινων εκτάσεων, πρόσθετε το μήκη και το πλάτη τους. Ο Πρόκλος αναφέρεται στο θεωρήματα 36, 37 του Ι βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη, γιο την ισό-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κπ. τ.

4/12

Ισοοεpιpετpιιιά Πpοβλιipατα

τητα των εμβαδών ισοϋψών τριγώνων ή παραλληλο γράμμων με ίσες βάσεις: θεωρεί ότι στον «κοινό θνη τό» η ισότητα αυτή των εμβαδών, φαίνεται σαν κάτι το παράδοξο εφόσον δε λαμβάνονται υπόψη τα μήκη των άλλων πλευρών. Μας αναφέρει επίσης ότι ορι σμένα μέλη κοινοβίων της εποχής του, εξαπατούσαν τους συνδημότες τους παραχωρώντας τους μεν γη με μεγαλύτερη περίμετρο αλλά με το εμβαδό μικρότερο από το μερίδιο που κρατούσαν για τον εαυτό τους. Έτσι αυτοί φημίzονταν για την «εντιμότητα» τους, ενώ ουσιαστικά απολάμβαναν οι ίδιοι τα πιο πολλά.

διατεταγμένης τριάδας (Α, Β, Μ) ομοευθειακών ση μείων και γράφουμε (ΑΒΜ) το λόγο: (ΑΒΜ) = ΑΜ, Μ ;ι! Β. ΜΒ

2. Δίνεται το εφαρμοστό διάνυσμα (Α, Β) με τις συντεταγμένες των άκρων του. Αν για το σημείο Ρ της ευθείας ΑΒ είναι (ΑΒΡ) =λ, να βρεθούν οι συντεταγ μένες του Ρ. (λ ;ι! -1). Αοόδει ο:

Τα Ισοnεριμετρικά Προβλάματα στον Λατινικά Λοyοτεχvία

Στην Αινειάδα του Βιργίλιου αναφέρεται ότι η πρι γκίπισσα Διδώ, αφού έφυγε από την Τύρο για να γλυτώσει από την εγκληματική τυραννία του αδελφού της, βασιλιά της Τύρου Πυγμαλίωνα, έφτασε μαzί με άλλους Τύριους στη Λιβύη. Εκεί η Διδώ zήτησε από το βασιλιά της Νουμιδίας lάρβα να αγοράσει γη. Ο lάρ βας της παραχώρησε τόση έκταση γης, όση μπορεί να «Περικυκλωθεί από δέρμα ταύρου>>. Η Διδώ, έκοψε το δέρμα σε λεπτές λουρίδες, ης ένωσε σε σχήμα κύ κλου και έrm μπόρεσε να περικυκλώσει τη μεγαλύτε ρη δυνατή έκταση. Στην έκταση αυτή η Διδώ έχrισε την Καρχηδόνα. (Αινειάδα Ι 365-368).

(ΑΒΡ) = λ <=> ΑΡ = λ <=> ΑΡ = λ· ΡΒ ΡΒ Όμως ΑΡ // ΡΒ ---+

Ρώσικο Λοyοτεχvία

----+-

Πρώτα όμως θα αναφέρουμε έναν ορισμό και με ρικές προτάσεις που θα μας χρηmμεύσουν στην από δειξη αυτή. Απλός λόγος ή μερικός λόγος τριάδας (Α, Β, Μ) ομοευθειακών σημείων Α, Β, Μ, Α ;ι! Β. Ορισμός: Ορίzουμε ως απλό ή μερικό λόγο της 1.

---+

----+-

---+

----+

----+-

----+

:(� yJ, :(χs--� - 1\

Ένα τέτοιο πρόβλημα αντιμετώπισε επίσης ο χωρι κός Παχόμ στο «Πόση γη χρειάzεται ο άνθρωπος;>> του Τολστόι. Ο προεστός των Βασκιρίων του είπε, ότι θα έχει όσπ γη μπορέσει να περπατήσει σε μια μέρα. Ο Πα χόμ δεv μπόρεσε να κλείσει τον υπερβολικά μεγάλο κύ κλο εγκαίρως και έrm βρήκε τραγικό τέλος. Φαίνεται καθαρά εδώ η θέση του Τολστόι, για το πόση γη χρειά zεται ο άνθρωπος. Ας λύσουμε τώρα τq rιαρακάτω πρόβλημα: Αοό τα εyyεy ραμpένα ν-yωνα σε κvκλο το pεyαλvτερο εpβαδό το έχει το κανονικό ν-yωνο.

---+

Άρα ΑΡ = λ · ΡΒ <=> ΟΡ - ΟΑ = λ(ΟΒ - ΟΡ) <=> ( 1 + λ) ΟΡ = ΟΑ + λ ΟΒ <=> ΟΡ = -1-·ΟΑ + λ ·ΟΒ λ +1 λ+ 1 ---+

Τα Ισοnεριμετρικά Προβλάpατα στον

1 -ΟΑ + ΟΒ <=> ΟΡ = 1+λ 1+λ

ΟΡ(χρ, ) Υρ

λ ΧΑ + _ _Χι3 λ+ 1 λ+ 1 1 ΥΑ + λ ΥΒ Υρ = λ+ 1 λ+ 1 Χρ = _1 _

-- --

Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ψ = ημχ δείξrε: 3.

(

Για τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: λ_ημΓ s ημ κ-Β + _λ_ _κ _ημΒ + _ κ+λ κ+λ κ+λ κ+λ κ> λ>

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

Ο,

κη. τ.

4/13

r),

Ιοοαεριpετρικά Προβmipατα

Θα δείξουμε ότι ισχύει για ν κ + 1 δηλαδή ημΑι + ηι.ιΑl + .. . + ηι.ιΑκ + ηι.ιΑκ ι + Α.2 + .. . + Ακ + Ακ ι)--(κ+ 1) ημ (Αι---κ+ 1 ημΑι + ηι.ιΑl + .. . + ηι.ιΑκ + ηι.ιΑκ ι :s(ι) :s(ι) κ·nμ(Αι +Α.ι+κ ... +Ακ) ημ"�< = = (κ + 1) [-κ +κ-1 nμ (Αι +� +κ ... + i\) + )�� (Απόπρόrασn3) +_ κ+1_ημΑκ 1 κ (Α + . .. + Ακ) + - 1-"�<+ι) Επειδή Β, Γ γωνίες τριγώνου, Ο < Β < π, < Γ < π (κ+ 1). ημ(-κ+1 κ κ+1 Αν Ρ χωρίzει το τμήμα ΜΝ σε μερικό λόγο �κ , λ> Ο, κ > Ο, οι συντεταγμένες του Ρ δίνονται από = (κ + 1) ημ(Αι + Α.2 + .. . + Ακ ι) κ+1 τους τύπους (*)Επαγωγή: Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι μια πρόταση ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό (εφόσον η ή μεταβλητή είναι φυσικός αριθμός) κ·πμΒ+λ·πμΓ = κ·Β+λ·Γ κ+λ κ+λ α) Αποδεικνύουμε πρώτα την πρόταση για ν = 1 Η τετμημέvη του Σ είναι β) Θεωρούμε ένα τυχαίο φυσικό κ και με την υπό κ·Β+λ·Γ θεση ότι η πρόταση ισχύει για ν = κ δείχνουμε ότι η χr = χρ =--πρόταση ισχύει για ν = κ + 1 κ+λ ενώ η τεταγμένη είναι τότε συμπεραίνουμε ότι η πρόταση ισχύει για κά θε ν φυσικό _+_λ_· _Γ) = nμ.-(κ_·Βκ+λ Από τα εyγεγραμμένα ν-γωνα σε κύκλο το με :s ή γαλύτερο εμβαδό το έχει το κανονικό ν-γωνο. κ λ κ λ --Β+ --πμΓ:snμ (κ+λ Γ) κ-+λ- ημΒ+ -κ+λ κ+λ . Αν Ο < Αι π, ί = 1, 2, .. , ν τότε: ημΑι + ηι.ιΑl + . . + ημΑ._,:s :sν·nμ (Αι +Α.ι +ν ... +Α,)' Ααόδειξa:

:s;

+ι

:s;

___:__-=---_ ____:_ __c__::_

Υρ

Χρ

--=--= ---=---

ΥΣ.

Ννν5

Υρ

ΥΣ.

Ααόδειξa:

Θα αποδείξουμε την παραπάνω πρόταση με την μέθοδο της επαγωγής Για ν = 1 προφανώς ισχύει. Έστω ότι η παραπάνω πρόταση ισχύει και για ν = κ δηλαδή Οvομάzω ημΑι + ηι.ιΑl + .. . + ηι.ιΑκ κ (Αι +Α.ι κ . . . +Ακ) (1) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' (*)

:s;

nμ

____:_ :_ -=---_ ____:_

κn. τ.

4/14

Ισοοεριpετρικό Προβλιίpοι:ο

2 �ημΑ v Ε = Σ (ΟΡfϊ + 1) = Σ l �ημΑ = i= 12 i= 1 v = 1 � Σ ημΑ 2 (aπόπρόrαση4) Υ..2 � ημ (νl i Α) = 2Υ.. � ημ (2πν ) Το � � ημ (�) είναι εμβαδό ενός κανονικού

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

= 2l (OK) · (KPJ = l

i= 1

Γ Ε Ω Μ ΕΤΡ ΙΑΣ (ΙΗΣΟΥ Ί'ΤΩΝ)

•

Λύσεις 2.000 zητημάτων Όλοι αι Γ εωμετρικαί Μέθοδοι Υπό F. G. - Μ (τΟΜΟΙ 1 - 4)

i= 1

το

Κεντρική Διάθεση: Π. ΧΙΩΤΕΛΛΗΣ Ιπποκράτους 17 - 106 79 Αθήνα

ν-γώνου

Έτσι αποδείχθηκε αυτό που θέλαμε.

Τηλ.: 36 1 1 159

rιάνvn Δ. Στρατή

ΑΝ Λ ΛΥ Σ R

•

Το ΒιΒλ ίο

αυτό απευθύ νεται στους υποψ1]φιους της Α δ έσμης, αλλά και στους μαθητές της Η λ υκείου που θα ακο λ ο υθήσο υν την Α' δέσμη και περιέχει

Θεωρία δοσμένη με τρόπο απλό,

σαφή και κατανοητό • Α υμένες

ασκήσει.ς σε δύο ομά

δες κλιμακούμενης δυσκολίας, που συνοδεύονται απο βοηθι τικά σχό λια και καθιστούν ικανό τον υπο ψήφιο να αναπτύξει γενικότερες μεθόδους σκέψης •

ΠΡΑΙ'ΜΑΥΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I

Β' ΕΚΔΟΣΗ

Α σκήσεις για λύση σε δύο

σελίδες: 392 τιμή 3 .800δρχ. Διατίθεται στα κεντρικά βιβλιοnωλεία

Περιέχει: • Όλη τη θ εωρία , σύμφωνα με το Αναλυπκό Πρόγραμμα που ισχύει, με παραδείγματα και αvτιπαραδείyματα. • Κάθε κεφάλαιο κλείνει με μια πλούσια συλλοyή ασκήσεων προοδευτικής δυσκολίας με αποτέ λεσματα στο τέλος του βιβλίου και υποδείξεις νια ης πιο δύσκολες. • Για την εμπ έδωση των μεθόδων παρατfθεται ένα πλήθος από υποδειyμαηκά λυμένα θέμωα. Για την αποστολή (με αvτικωαβολή του βιβλίου ταχυδρομείστε το παρακάτω δελτίο παραyyελίας στη διεύθυνση: "Γιάvvη Στρατή Εσπερίδων 5 Γαλάται 1 1 1 46" ΔΕΛΥΙΟ ΠΑΡΑrrΕΛΙΑΣ

Όνομα: Επώνυμο:

ομάδες, με απαντήσεις και υποδεί ξεις για τη λύση τους

Διεύθυνση :

ΤΟΝ ΟΚΤΩΒΡΙΟ ΚΥΚΛ Ο Φ ΟΡΕΙ ΤΟ Β ' ΤΕ ΥΧΟΣ: ΑΝΑΛ ΥΣΗ • ΛΙΑ Φ ΟΡΙΚΟΣ Λ ΟΓΙΣft10Σ

Τηλέφωνο:

Κεντρική διάθεση :

Νίκος Ροτζιώκος, τηλ. 86 42 501 Χρίστος Φραντζ1]ς, τηλ. 60 1 1 24 1

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

Σχολείο: Φροvτιστήριο:

_ _ _ _ _ _

Πόλη:

_ _ _ _

------

Στους συναδέλφους μαθηματικούς yίνεται έκ ηrωση 40% και προσφέρεται ένα βιβλιαράκι με τις λύσεις των ασκήσεων. κη. τ.

4/15

Α' Λvκε ίο v Αλyεβ ρα rεvικές Ασκήσεις r. Τσικαλο.,δάκnς, Α. Παnαϊωάvvο", Ι. Μαδεμτzόyλο"

Α) r. Τσικαλο.,δάκnς Λvon

i) Αν χ = y, τότε προφανώς είναι:

x5 + x3 + x = if + ψ + y

'Ά.σκnσn ln:

Αντίστροφα: Δείξι:ε ότι για κάθε φυmκό ν > 1 και α > Ο ισχύει: Έστω ότι είναι χ5 + χ3 + χ = if + y3 + y και χ y. v+ i) α < ι ·<=> Va < Va Έστω π.χ. ότι είναι χ < y, τότε έχουμε χ < y, 3 < ψ, χ5 < if, από τις οποίες με πρόσθεση κατά μέ χ ii) ν v + < (ν + 1) v λη προκύmει: χ + χ3 +xs < Υ + ψ + if. Άτοπο. Λvon Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε για χ > y. Έχουμε: Άρα είναι χ = y. Γ ν ! Γ V. Γ v v + ! Γ v ι) ν.Ύ α < Ύ α <=> ·γ α < Ύ α ii) Η δοθείσα ισοδυναμία είναι ισοδύναμη με την: v + 1 Πv v + ! Γ v ιv + 1J 1 v + ν α } <=> α < Ύα <=> α < μ=ν =0 1 <=> α v + < α v <=> α < 1 ή μ=ν=2 ii) Είναι: (2) μv -μ-ν + 2 Ε {0, 2} <=> ή ν v + 1 < (ν + l) ν μ = Ο και ν = 2 v. Γ v + ! ιv+ ή <=> ν < (ν + l)v <=> Ύ ν < Ύ ν + 1 (2) μ = 2 και ν = Ο Αρκεί να δείξουμε επομένως την ισχύ της (2). Λόγω της i) είναι: Έχουμε: v. Γ v + ! Γ α) μν - μ - ν + 2 = Ο <=> (μ - l)(ν - 1) + 1 = Ο <=> Ύν < Ύν ;ι!

(

( ) ( (

) )

/ \

{

)

1 - μ = l και ν- 1 = 1 <=> (1 - μ) (ν - 1) = 1 <=> ή 1 - μ = - 1 και ν - 1 = - 1

Όμως είναι και v + ! Γ v + ! ιΎ ν < Ύ ν+l και συνεπώς έχουμε: ν. Γ v + ! ι Ύ ν < Ύ ν+l

{

μ = Ο �αι ν = 2 <=> η μ = 2 και ν = d'·

'Ά.σκnσn 2n:

β) μν - μ - ν + 2 = 2 <=> μν - μ - ν + 1 = 1 <=> <=> (μ - l)(ν - 1) = 1 <=>

Να αποδειχθούν οι ισοδυναμίες: i) xs + χ3 + χ = y5 + ψ + Υ <=> χ = Υ (χ, Υ Ε R). ii) μ, ν � IN* - {2} <=> μν - μ -ν + 2�1Ν* - {2}, (μ, ν Ε IN).

μ = 2 και ν = 2 μ- 1 = 1 και ν - 1 = 1 ή ή <=> <=> 1 = 1 μ = Ο και ν = Ο μ- 1 = 1 και ν

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

){

{

κη. τ.

4/16

------ ΑΆv.είοv ��βρα

Βρείτε για ποιές τιμές του λ Ε IR έχει: i) Το πολύ μια ρίzα. ii) Δυο άνισες ρίzες.

Ασκnσn 3n:

Βρείτε για ποιές τιμές του λ Ε IR η aνίσωση: (λ - 4) χ :5 λ2 - 20 έχει σύνολο λύσεων το [5, + )

Avσn:

οο .

Avσn:

Πρέπει (δεν αρκεί) λ - 4 < Ο τότε η (2) γίνεται: Χ :Ξ!:

i) Για να έχει το πολύ μια ρίzα πρέπει και αρκεί:

Δ = Οήλ = Ο

ισοδύναμα:

-λ-4

(λ - 2)2 - 4λ(2 - λ) = ο ή λ = ο <=> 5λ2 - 12λ + 4 = ο ή λ = ο <=>

?f - 20

-=5 λ-4

οπότε πρέπει να είναι:

------

λ = 2 ή λ = 2. ή λ = Ο 5

rιΖ - 20

ii) Για να έχει δύο άνισες ρίzες πρέπει και αρκεί: ισοδύναμα λ2 - 5λ = Ο λ ;ι! Ο και Δ > Ο ισοδύναμα λ = Ο ή λ = 5 και συνεπώς πρέπει λ = Ο ισοδύναμα: οπότε η (2) γίνεται: - 4 χ :5 - 20 ή χ <=: 5. λ ;ι! Ο και 5λ2 - 12λ + 4 >0 <=>

(λ < � και λ ο) ή λ > 2 ;ι!

Ασκnσn 4n:

Δείξτε ότι για κάθε κ Ε Ζ ισχύει:

Ασκnσn 6n:

i) ηιf! κ � + � 2κ � = 1

ii)

εq1 κ� = ο ή 3 3

( )

Avσn:

i) Είναι:

ηιf! κ � + αΝ'- 2κ � = nι.f κ � + � κ π- 2π = 3 3 3 3 ηιf! κ� + � κ� = 1. 3 3 ii) Έστω κ = 3μ + υ, μ Ε Ζ, υ Ε {0, 1, 2 }

για υ = Ο

εcιf!κ� = εcιf!{μπ +�) = εcιf!{μπ + 2;) =

για υ = 1 ή 2 λόγω της i) είναι: C:ψ - = .:ι.

Βρείτε για ποιές τιμές του λ Ε IR η κάθε μια από τις παρακάτω ανισώσεις αληθεύει για κάθε χ Ε IR. i) (λ - 2)χ2 + 2(2λ - 3)χ + 5λ - 6 ;::: Ο ii) (λ - 2)χ2 + (λ - 2)χ + 12 - λ ;::: ο Avσn:

i) Πρέπει και αρκεί: λ > 2 και Δ :5 Ο ισοδύναμα: λ > 2 και 4(2λ - 3)2 - 4(λ - 2)(5λ - 6) :5 Ο <=> λ > 2 και λ2 - 4λ + 3 <=: Ο <=> λ > 3. ii) Για λ = 2 η aνίσωση γίνεται: Ο χ + 12 <=: Ο ή Ο · χ <=: - 12 που αληθεύει για κά θε χ Ε IR. ·

Για λ > 2 πρέπει να είναι και: Δ :5 Ο <=> (λ - 2)(λ - 10) :5 Ο <=> 2 < λ :5 10. Συνεπώς η aνίσωση αληθεύει για κάθε χ Ε R όταν είναι 2 :5 λ :5 10. ί\σκnσn 7n:

Ασκnσn Sn:

Δίνεται η εξίσωση: λχ2 + (λ - 2) χ + 2 - λ = ο

Δίνονται οι ευθείες: ελ: λχ - y - 1 = Ο δλ: χ + λy - λ = ο Δείξτε ότι για κάθε λ Ε IR τέμνονται και το σημείο τομής τους βρίσκεται σε κύκλο με κέντρο την· αρχή των αξόνων.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/1 7

Α' Α"aείο" 'Άλyεβρa

Λ.Sσο:

{

----αχι2 + Βχι + ν = Ο (3) αχ22 + βχ2 + Υ = Ο αχ32 + βχ3 + Υ = Ο

Το σύοmμα: λχ- y = 1 (ε) χ + {y = λ έχει ορίzουσες: από τις οποίες με αφαίρεση ανά δύο κατά μέλη προ D = λ2 + 1, Οχ = 2λ, Dy = λ2 - 1 και συνεπώς για κύπτει: κάθε λ Ε R οι ευθείες εί\, δί\ τέμνονται στο σημείο: α(χι + χ2) + β = Ο (4) α(χι + χ ) + β = Ο 3 Μ �. rf - 1 . λΕ R rf + 1 rf + 1 οπότε αχ2 = αχ3 και επειδή είναι χ2 ;ι! χ3 έπεται ότι α = Ο και από τις (4) και (3) προκύπτει β = Ο, γ = Ο. rf- 1 εχου , , χ = 2λ , Υ = -Θεrοvτας με: ii) Η εξίσωση (2), με κατάταξη ως προς τις δυνά rf + 1 rf + 1 μεις του λ γίνεται: 2 2 λ2(2χ + 3y- 13) + λ(3χ + 2y- 10) + 3x + 2y- 10 = Ο (5) χ2 + y2 = 4ft + (rf- 1) = (rf + 1) = 1 ή Α · λ2 + Β · λ + Β = Ο (6) (rf + 1)2 (rf + 1)2 Επομένως οι ευθείες εί\ θα διέρχονται από ένα κοινό σημείο, Μ(χσ, y0), αν και μόνο αν υπάρχουν Χο· και συνεπώς το Μ ανήκει στον κύκλο με εξίσωση Υο Ε R για τους οποίους είναι Α = Β = Ο γιατί μόνο χ2 + y2 = 1. τότε η (5) έχει ως προς λ απείρες λύσεις. Δηλαδή οι εί\ διέρχονται από ένα κοινό σημείο αν και μόνο αν το σύστημα: ί\σκοσο 8ο: (ε) 2x + 3y = 13 Έστω χι , χ2 δύο διαφορετικές ρίzες της εξίσωσης: 3x + 2y = 10 αχ3 + βχ2 + yx + δ = ο (1) έχει (μοναδική) λύση η οποία λύση θα μας προσδιο με α · δ ;ι! Ο. ρίσει και το κοινό σημείο τομής των εί\. Δείξrε ότι ο χι + χ2 δεν είναι ρίzα της εξίσωσης: αχ2 + Βχ + γ = Ο (2) Πραγματικά λύνοντας το (Σι) βρίσκουμε Χο = 4/5 και y0 = 19/5. Άρα οι εί\ διέρχονται από το σημείο Μ (4/5, 19/5). Λ.Sσο: Είναι: αχι3 + βχι2 + VΧι + δ = Ο 3 ί\σκοσο 10ο: αχ2 + βχ22 + VX2 + δ = Ο από τις οποίες με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: Αν για κάθε χ Ε IR είναι α(χι2 + χιχ2 + χ22 ) + β(χι + χ2) + ν = Ο χ2 + βχ + γ ;ι! Ο και ισοδύναμα: (β - α)χ2 + 2yx + αν s Ο α(χι + χ2 )2 + β(χι + χ2) + ν = αχιχ2 . Επομένως για να είναι η χι + χ2 ρίzα της (2) πρέ δείξrε ότι για κάθε χ Ε IR ισχύει: (β2 - 4y)x2 + (4y - 2αβ)χ + α1 < Ο (1) πει να είναι χι = Ο ή χ2 = Ο που είναι άτοπο γιατίτότε από την (1) προκύπτει δ = Ο.

(

)

{

Λ.Sσο:

ί\σκοσο 9ο:

Επειδή για κάθε χ Ε IR είναι χ2 + βχ + ν ;ι! Ο θα είναι β2 - 4ν < Ο και ν > Ο (2)

Ομοίως επειδή είναι: (β - α)χ2 + 2yx + αγ s Ο για κάθε χ Ε R θα είναι β < α (λόγω (2)) και: φορετικές ρίzες δείξrε ότι α = β = γ = Ο. (2γ)2 - 4(β - α) · αν s Ο ii) Δείξrε ότι οι ευθείες: (2} α2 - αβ + ν s Ο εί\ : (2λ2 + 3λ + 3) χ + (3λ2 + 2λ + 2)y - 13λ2 <=> 10λ - 10 = Ο (2) λΕ IR διέρχονται όλες από ένα κοινό σημείο. Όμως επειδή είναι χ2 + βχ + γ Ο για κάθε χ Ε IR θα είναι: Λ.Sσο: α2 - αβ + ν < Ο i) Έστω Χι, Χ2, χ3 τρεις διαφορετικές ρίzες της (1) και συνεπώς η (1) έχει διακρίνουσα Δ < Ο οπότε τότε είναι: αληθεύει για κάθε χ Ε R (λόγω της (2)). i) Αν η εξίσωση: αχ2 + βχ + γ = Ο (i) έχει τρεις δια

;ι!

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β.

κη. τ .

4/18

Α' Α\Ιιιείο\1 1\λyεβρα

16(ν - 9)2 - 16(97 - 12ν) s Ο <=> if - 6ν - 16 :S Ο <=> (ν + 2)(ν - 8) s Ο <=> -2 :S ν :S 8 και επειδή ν Ε Ν θα έχουμε: ν = Ο, 1, 2, ... , 8.

Aσiιaoa ι ι σ:

Να λυθεί η aνίσωση: (Jf-21f + χ)(χ2 - 2χ-8) s ο (1) χ2 - 3χ -'------'--'_..!...

Ασκaσa ι 3a:

Να λυθούν οι εξισώσεις: ί ) X3v = 3v ίί) x2v = 24v ίίί) x4v - {4v + 1)x2v - 4v = Ο, ν Ε Ν*

Λ.Soa:

Η (1) είναι ισοδύναμη με: (χ-3 -2χ2 + χ){χ2 - 2χ-8){χ2 - 3χ) s Ο και χ ;οιι 0 και χ ;οιι 3. · <=> χ2 (χ- 1)2 (χ + 2) {χ-4) (χ-3) s ο <=> με χ;οιι 0 και χ;οιι 3 <=> (χ + 2) {χ- 4) {χ-3) s O και χ;οιι Ο και <=> χ;οιι 3 ή χ = 1 (xs - 2 ή 3 < xs 4 ή χ = 1)

{

}

)

Λ.Soa:

i) Διακρίνουμε τις περιmώσεις:

α) αν ν - άρτιος, τότε είναι: x3v = 3v <=> χ3 = ± 3 <=> χ = ± V3 β) αν ν - περιπός, τότε είναι: x3v = 3v <=> χ3 = 3 <=> χ = V3

Ασκaσa ι2σ:

ίί) Είναι: x2v = 24v <=> (x2) v = (24) v <=> χ2 = 24 <=>

Βρείτε για ποιές τιμές του ν Ε Ν η aνίσωση: 4χ2 + (4ν - 36)χ + 97 2: 12ν (1) αληθέύει για κάθε χ Ε R.

<=> χ = ± 4.

iii) Είναι: (x2v)2 - (4v + 1)x2v - 4v = Ο <=>

(x2v - 1)(x2v - 4v) = Ο <=> x2v = 1 ή x2v = 4v <=> χ = ±1 ή χ = ± 2

Λ.Soa:

Πρέπει και αρκεί η ( 1) να έχει διακρίνουσα Δ s Ο ισοδύναμα:

Ασκaσa ι

Β) �Αννελος Κ. Παπαϊωάννον

Να λυθεί η εξίσωση Ι χ1996 - 4 · χ998 + 21 = 2. Λ.Soa

Θέτω χ998 =y οπότε y2 = χ1996.

Για y = 2: χ998 = 2 <=> χ = 99ξΙΓ Ύ 2 ή χ = - 99ξΙΓ Ύ2

Ασκaσa 2

Να λυθεί η εξίσωση 11 + χ + χ2 + ... + χ1001 = 1, χ 2: ο. Λ.Soa

Άρα η εξίσωση γίνεται 2 Ιy - 4y + 21 = 2 <=> y2 - 4y + 2 = 2 ή !l - 4y + 2 = -2 <=> y2 - 4y = O ή y2 - 4y + 4 = 0 <=> y(y - 4) = ο ή (y - 2)2 = ο <=> y= Oήy=4ήy = 2 Για y = 0: χ998 = Ο <=> χ = Ο. Για y = 4: χ998 = 4 <=> χ = 99ξΙΓ Ύ 4 ή χ = - 99ξΙΓ Ύ4

1 1 + χ + χ2 + ... + xloo l = 1 <=> <=> 1 + χ + χ2 + .. . + xlOO = 1 ή 1 + χ + χ2 + ... + xlOO = -1. Η δεύτερη, δηλ. η 1 + χ + χ2 + . . . + χ100 = -1 είναι αδύνατη γιατί χ 2: Ο. Απ' την πρώτη έχουμε:

1 + χ + χ2 + .. . + xlOO = 1 <=> <=> xlOO + χ99 + χ98 + ... + χ = 0 <=> <=> χ(χ99 + χ98 + ... + 1) = ο <=> χ = ο γιaτί χ99 + χ98 + ... + 1 Ο. ;οι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κn. τ.

4/ι9

------

Α' Α"ιιείο" 1\Δyεβρa --------=--

Γ) Γιάννης Μαδεμτzόyλο"

οι λ, μ (λ μ) οι οποίοι θέι:ουν Αν χι. χ2 οι ρίzες της εξίσωσης: χ2 + αχ + β = Ο Να βρεθούν2 -24 την εξίσωση χ (= Ο σrn) μορφή και lαl � 2β και β > 1 δείξrε ότι: 1 + 1 �2 χ-λ 2=·� lxιl IX21 χ-μ μ και επαληθεύουν την χ2 + 10χ + 2i < Ο Είναι Δ α2 -4β � 4β(β - 1) > Ο άρα η εξίσωση (χ-λ)2= � μετά την εκrέλεση πράξεων παίρνει έχει ρίzες πραγματικές και άνισες με Χι + χ2 = και ΧιΧ2 = β χ-μ μ τη μορφή (μ -λ)χ2 -λμ(μ -λ) = Ο είναι: ι + Χ2 = lqβ � β = 2 � 2 Άρα 1 f χ ι � (μ -λ)(χ -λμ) = � χ2 -λμ = Χ2 Α ά χ = χ χ + = β > Ο (αφού μ λ). x δι ό τι χ χ + ι Ι Ι ιl l ι 1 Νι 1 2 2 2 άρα Άρα λμ = 24 (1) lxιl + IX21 � 2 � ____Ei_ + _1i_ � 2 � Εξάλλου η λύση της χ2 + 10χ + 21 < Ο είναι to lxιi ·IX21 lxιi ·IX21 lxιi ·IX21 μέσα σrο οποίο βρίσκονται οι ακέραιοι λ, μ που ικανοποιούν και την (1) άρα λ = - 6 και μ = -4 ή λ = -4 και μ = - 6. ί\σιιaσa 3

ί\σιιaσa ι

ΕΖ

;ι!

Λ.Sσa

-α

2β

;ι!

[-7, -3]

ί\σιιaσa 2

πμl � + σwl� = -σwl1-�

Να λυθεί η εξίσωση:

ί\σκaσa ιι

Δίνεται η εξίσωση (Ε): (χ -1)2 - (2χ - 3)εφα = Ο με π π -- < α < 2 2 i) Αν χι. χ2 οι ρίzες της (Ε) δείξrε ότι: Θέτουμε Ιχl = y, y � Ο οπότε η εξίσωση γίνεται: nμy + σwy = _1_ σwy ίί) Βρείτ ε για ποιές τιμές του α η (Ε ) έχει ρίzες ή�nμyσυvy + συvΎ = 1 � nμyσυvy + 1 - nμ2y = 1 πραγματι κές nμy(συvy - nμy)= Ο. Από αυτήν προκύmει είτε nμy = Ο ( 1) (i) (Ε) γράφεται: Υ! -2(1 + εφα)χ + 1 + 3εφα = είτε συvy-nμy = Ο. Από την (1) έχουμε y = κπ. Επειδή y � Ο πρέπει Ο, οπόrε χι + χ2 = 2(1 + εφα) και χιχ2 = 1 + 3 εφα. ο κ να πληρεί την κ� Ο. Επειδή ΙχΙ = y � χ = 'Ετσι (χι- �}-(�- �)= � χ = όπου κ � Ο. =χι -3.(χι nμy = 1 ή 2 + �) + 42 = 0,25. (2) wάφεrαι: nμy = σwy ή σwy (i ) Θα πρέπει Δ � Ο � εφ2α - εφα � Ο � εφα εφy= 1 ή y= + 4-π (λ� Ο). Ο ή εφα � 1 . ΝΜ αΕ(-�. �) επφως α (- �. ] ή α [�. �} Αφού I� =y�x= ±(m+ �). λ� ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β. Λ.Sσa

Λ.Sσa Η

± Υ

ΕΖ

± κπ

Χ2

λπ

ο.

κη. τ.

4/20

Οι νέες μας εκδόσεις. 1994 - �95

Για το Γυμνάσιο

;,;.ιι.ψ,a;;

ΜΑΘΗΜΑτΙΚΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΑΝΑΣΗ Π. ΞΕΝΟΥ σελ.392 - Δρχ. 3.200 ΦΥΣΙΚΗ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΤΕΡΓΙΟΥ Α. ΣΑΒΒΙΔΙ σελ. 176 - Δρχ. 2400 .

ΜΑθΗΜΑτΙ ΚΑ Γ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ θΑΝΑΣΗ Π. ΞΕΝΟΥ σελ:376 - Δρχ. 3.000

....p!μ1<ι

" >.Ι!ι.�, ·1 , J:J..Jι..J. f Lu..ι� • l'4;.u ι

;!; · .,.�-!α

ΑΛΓΕΒΡΑ 41}ς ί1�ΣΜΗ Σ . ΧΡ.Γ. ΣΙΩΖΟΠΟΥΛΟΥ. . σέλ. 344 Δρχ. 3 :�09 ., c

ΠόΛΙΤΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ . · e. κοvτrοvκΗ . ' , σελ. 1�6 - ΔRΧ· 1500

�-

ΑΛΓΕΒΡΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ α' τεuχ. ΝΙΚ; Αθ. ΛΑΜΠΡΟΠΟΥΛΟΥ σ�,. 416 - Αρχ. 3�300

ΓΕΩ ΜΕτΡΙΑ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ θΑΝΑΣΗ Π. Ε:ΕΝΟΥ

Μαθήμα-ία. ΦυοιΚής- Ηλεκτρισμός

Ηλεκτρονικά Εξαρτήματα

ΤΟΜ.Β> ΔΗΜ. ΠΙΛΙΚΑ · σ�: 344, Δρχ. 4000,

. σ�; i��θ ,, L\px· 2.800

γι4 τ.ξ:Λ, l�Κ, TEl

σελ. 242, Δρχ; 3300 :

Γενικά θέματα Μαθηματικών 1ης Δέσμης- ΘΑΝ. Π. ΞΕΝΟΥ · σεΧ..320- Δρχ. 3.300

Γενικά θέματα Μαθηματίκi 4ης Δέσμης- ΘΑΝ. ή. ΞΕΝΙ σελ. 184 - Δρχ. 2.400

ΟΡΓΑΝJΚΗ ,ΧΗΜ Ε1Α ΠΕ'ΓΡΟ\' Ι AΚfl'βpy . ·· σελ.480 � Δρχ. 4'800

ΛΥΣΕIΣ ΜΑθ/ΚΩΝ θΕΜΑΤΩΝ 1974-' 94 ΧΑΡΗ ΠΑΠΑ ΠΙΚΟΥ σελ. 256 - Δρχ. 3000 •

G!!iI'OIOIYDEI

.j.�ΝJΛ ιΗι�

ΈΚθΕΣΗ ΙΔΕΩΝ ΝΙΚΟΥ ΦΡΑΓΚΟΥ σέλ. 344 - Δρχ. 3.000 •

ΙΣΤΟΡΙΑ Γ' Sc Δ' δέσμης ΚΩΝ. ΓΕΡΟΦΩΤΗΣ σελ. 176 - L\ρχ. 2.300

ΣυντακτιΚό Αρχαίας �νικής Αθ. ΓΙΑΓΚΟΠΟΥΑΟΥ, Β ΕΚΔ. σελ 336 - Δ ρχ. 4.50Q, •.

ΣΥΝτΑΚτΙΚΟ ΛΑτΙΝΙΚΩΝ Αθ. ΓΙΑ.ΓΚΟΠΟΥΛΟΥ σέλ. 600 - Δρχ. 5.500

lrίU

λιΧΑJΑ

.:tΙΙΜΛΙΙΙΣΙΕΙΙ . Ειwuιιiυι

Π ρωτοτυπες Συντακτικες

Σημάνσεις στην Αρχαία Ελλην ΗΛ. ΡΕτΣΟΥ σέλ.120 - Δρχ. 1700

Στους κ.κ. καθηγητές γίνεται έκπτωση και δίνονται δωρεάν οι λύσεις των ασ

σεων

··

Ασκήσεις σε Ιρίyωνο ΑΒΓ (Β

Γ) με In διαφορά Β

Σταvρος Σταvρόποvλος

8-κΒΓ -f <=> � � � = Β- Γ <=> � = 8- f

Ασκaσa 1 .

κΒr = Β- (κ8Γ + f) =

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ η γωνία που σχηματίzει το ύψος με τη διχοτόμο που αντιστοιχούν στην πλευρά

<=> 2ΚΒΓ

ΒΓ ισούται με 8-f

ΚΒΓ

Λvoa

Α �� Γ Β.��L_ _i Δ---__

ι ._.., �z.οι ο' ��,ucrz.ε. 1\.= GC> � · 6� (' -= I!.:;.J ιι.::.. ι t-ιC\ o τ,ν�ο..J �"- ' /?. G tt �c...., Ασκaσa 3. .l �Γj M �J. Ar 1 ΜΛj. ι\13 � Μ 1\-\ 14" - t-'\N "' V'ί'OS c.ι.C'Q U) Β. Α 11

Είναι ΔΑΕ = 180° - ΑΔΕ και ΔΡΑ = EAr + f = Δ + 2

νου ΑΕΓ}. Άρα

ΔΕΑ Αλλά ΑΔΕ =

90°

f (εξωτερική του τριγώ-

� Α � Α � ΔΡΕ = 180° - 90° - �- Γ = 90° ---Γ = 2

�Ν

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε τη διχοτόμο του ΑΔ. Να υπολογι�ού_J οι γωνίες ΑΔΒ, ΑΔΓ συναρ τήσει της διαφοράς Β - Γ. Λvoa

Γ= = 90 - 180° -8-f �

8 + - - �Γ = -8-f = 90 -90 + ο

�ν

"' 1

13 -= 31

Ι ..χστ.c:> "

ο.�Α 0·

�� . α; lt.CΙ. "" �E%-OS �f f-1

Ασκaσa 2.

vε.ι Α Γ σ-z.ο

sw τ.εe' � "" ό\ ιω z_ '/::λ" S ι:\

"ZMI V

6 �

Ι?> r

�z.c:ι

Β '-----�--� Γ

\Λ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ καθώς και τη ΒΚ κάθετη στην ΑΔ. Δείξτε ότι: � 8-f ΚΒΓ =

f:!ι8-t86� Α Δ

- Είναι ΚΒΓ = ΑΒΓ - ΑΒΚ Β - ΑΒΚ (1). Αλλά το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισ_2σκελέ<i..γιατί η_t\1{ είy_αι διχοτόμος και ύψος, άρα ΑΒΚ = ΑΕΒ = ΚΒΓ + Γ (εξωτερική του τριγώνου ΒΕΓ}. 'Ετσι από τη σχέση ( 1) έχουμε: Λvoa

f _

Q-

r� �

σ-& tΛ Ι/

!άΙ. '

�

ια.ι.Θ ε z:..ο� c::J:.�O

��

,A Q crz_o

z._ o

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β

1, το �2

Από το τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε:

� � Α= ΑΔΒ = 180° - � Β- ΒΑΔ = 180° - � Β--

= 1soo -8=�

�

Β+

(

- B-f 1so· -8-90· + Β. + r = f - -� B-f και ΑΔΓ� = 180 - ΑΔΒ = 180•

= 5)()

)

•

� � = 180• - 90° - Β - Γ = 90° + Β - Γ . '

Α ΙJ

κn. τ.

\ .,.

4/22

� � ιa

�

\?""-'-

K �t l A �

z..,.

τ..

'i-

{)_ Λ \ A- t\

Μ2

-z-ν i'<> v

�"' ς

Θ no v � "l.v \'f ll\ -.. Μ �

Μ �t,.

.. .,.. 7.-t

Λ 0. 1<!- Λ i\

ΑΔ

Μ �

�'

μt � 1

Αοιιιίοεις οε τpίyωvο ABI'

(Β

Ασκnσn 4.

r) με το Διαφορά i - ί' Λ.Jσn

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε την εξωτερική � B -f (S:,. , του ΑΔ. Δει�ιε οτι: ΜΒ διχοτομο = -2

(Σχ. 1)

A.Jσn

(Σχ. 2) � Στο <!_χήμα 1 έχου�ε: ΚΑΓ = ΚΑΒ + ΒΑΓ = ΚΑΒ + Α ( 1). Αλλά ΚΑΒ :;: 2�Β γι�ί το τρίyωνο � ε�αι ι�ο�ελές και ΑΒΓ = ω + ΔΑΒ <=> ΔΑΒ = ΑΒΓ - ω = Β - ω (εξωτερική του τριγώνου ΑΔΒ). Έτm = 180. - λ-ς - Βες = 180· - Β + f - (180° - Β)= από τη σχέση (1) έχουμε: 2 2 κΑr � 2(B..: ;;;L+ Α = 2Β - 2;;; + 180° - Β - f = � B -f f Β 180 --- 180 + Β = 180° - 2ω + (Β - Γ). � 2 2 2 Στο σχή�α 2 έχουμε: = ΒΑΓ (2). Αλλά � Β 4 f-.€ VJ 'Ρ:, Ει/) Α Δ = 2ΒΑΔ γιατί το τρίγωνο ΒΑΚ είναι ισοσκελές Α ν eι ('Ισ -z.o και ω = ΒΑΔ + Β <=> ΒΑΔ = ω - Β (εξωτερική του φι� f'ο υ b G Α \ z. o -z� Α � -:: Α Β Ασκnσn 5. γώνοJ} ΑΔΒ):..: Ετ� απ_9 τη �έσn.J.2 ) έχουμε: � � Α -ι Β� 3 r \? ύ'' CAro w r cι� ι..ι l. r� f\Θ.J � ΚΑr�= 2(ω - Β) -__Α =�ω - �Β - (180° -� - IJ = � (Γ"Ζ,.ο 6 "U. � 6ef_ σ'ΌCί φt..') Z.&o(\"t\ �·2ε τριγωνο Atil με Β > Γ προεκτεινουμε την ΑΓ 2ω � - 2Β - 180° � �+ Β + Γ = 2ω - 180° - Β + Γ = (Β - Γ). � � κατα' τμημα 2ω 18ο· ' B-f (S:,. ' ΑΔ = ΑΒ. Δει�ιε οτι:. ΔΒΓ = 9()0 + 2 � � � Είναι ΑΔΒ = 180• - ΔΑΒ - ΔΒΑ =

ΚΑΒ

•

ω.

ΚΑΓ ΚΑΒ -

-·

_ . _

A.Jσn

At;!.KDO!I 7 . \'6 - r , � ο

..,.. "" , ο ""7

λ. μ

l Α Β..

� Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > f φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Αν Μ το μέ<!_ο τηςfl' �αι η ΜΔ τέμνει την ΑΒ στο Κ, δείξrε ότι: ΔΚΒ = Β - Γ.

Β Γ Επειδή το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ισοσκελές είναι ΑΔΒ = ΔΒΑ = ω. Ακόμα Α = 2ω (εξωτερική του τρι γώνου ΑΒΔ). Οπότε � � � � � 180° - B - f � ΔΒΓ = ω + Β = Α -+Β= +Β= 2 2

Λ.Jσn

Επειδή η ΔΜ είναι διάμεσος του ορθογωνίου τρί γωνου ΑΔΓ είναι

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε από την κορυφή Α ευθεία ε που τέμνει τη ΒΓ στο Δ . Αν Κ το συμμετρικό_ΈΟυ Β ως προς την ε_l{αι Mr = ω, βρείτε τη γωνία ΚΑΓ συναρτήσει της ω και της διαφοράς Β - f. (Να δι�ρίν�ε περιmώσεις).

Λ"'""τ L:Ι

ΜΔΓ

ft� Γ R > r f' Qo f t-zo. \J vι A r κη. τ. 4/23 IHJ ιι: ' ΑΓ �' Β Σ .�""' ι...:ι Λ. � ε_σ- z,.c.ιJ M"'t-�_.<σv """ ι ' εu�ιCλ � �e�� "�o 7.D Μ J. Δ Β c.� Ν J Θ , L ι'5 7.. � h �τ ι...ι.... ;".J..C Α Γ' - - · �- � -- ... ... n . rl"' .. ... ...... A .ι. ι. J ..L U -t:'I !:!. R f:.

ί�ι \"""0 Α 1\. 1-J

ΔΜ = Ν' = ΜΓ, 2 άρα το τ_pίγωνο�ΔΜΓ είναι ισοσκελές με Γ � ΜΔ!:_ κι αφού = ΒΔΚJ.ως κατακορυφήν), είναι Γ = ΒΔΚ. Ακόμα η γωνία ΑΒΓ είναι εξωτερική του τριγώνου ΒΔΚ, οΕότε: ΑΒΓ = Κ + ΒΔκ <=> Κ = Β- ΒΔΚ = Β- Γ.

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

�

Ασιuiσεις σε τρiyωvο ΑΒΓ

(Β

r) pε το Διαφορά i - ί'

Ασκaσa 8.

Ασκaσa 10.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Α� Μ, Ν.!α Η_έσα των ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα, δείξτε ότι: ΔΜΝ = Β - Γ.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β- Γ = 90 •. Αν Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, δείξτε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΒΓ είναι ίσα. Α

Λvoa

Επειδή Μ, Ν μέσα τ�ν πλε�ρών ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα, είναι ΜΝ/I ΑΒ οπότε ΜΝΓ = Β ως εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΜΝ, ΑΒ που τέμνονται από τη ΒΓ. Ακόμα ΔΜ = ΑΓ = ΜΓ (ως διάμεοος του ορθσyωνίου 2 τριγώ_:rου �), άρα τ� τρίγων� ΔΜΓ ε�αι ισοσκελές με = Γ. Αλλά ΜΝΓ�= ΔΜΝ�+ ΜΔι:_ (εξω�ρι� του τριγώνου ΜΔΝ) ή ΔΜΝ = ΜΝΓ = Β - Γ.

ΜΔΓ

Ασκaσa 9.

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ φέρνουμε από την κο ρυφή Α ευθεία χψ παράλληλη στη ΒΓ. Αν Δ το συμμε τρικό του Γ ως πρ.-9ς την xy, δε�ε όΕ: ΒΑΔ = 180 • - (Β - Γ). Λvoa

Φέρνουμε τα ύψη ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ που τέμνονται στο Η. Τότε η γωνία Β του τριγώνου ΑΒι:_είναι.!ξωτερ�ή του ορθογωνίου τριγώνου άρα Β = + = 20· +�ΔΑΒ. Αλλά 8 - f = 9σ· Ε i3 = �ο· + f, οπό τε Γ = (1). Ακόμα οι γωνίες Γ και ΑΗΒ είναι οξεί ες κ� έχο�ν τις πλευρές τους κάθετες μία προς μ.fα, άρα!' = (2). Από τις σχ!σεις (1), (2) έχουμε = ΑΗΒ, οπότε το τρίγωνο ΑΒΗ είναι ισοσκελές κι έrσι ΑΒ = ΒΗ. Όμως το ΒΔ είναι ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΗ οπότε θα είναι και διάμεσος κι έrσι η ΔΓ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΗ, άρα ΓΑ = ΓΗ. Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΗΒΓ είναι ίσα για τί έχουν κοινή m ΒΓ, ΑΒ = ΒΗ, ΑΓ = ΓΗ.

ΔΑΒ ΑΗΒ

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 •) φέρνουμε το ύψος ΑΔ κα�η διά_!Ι.εσ�.ΑΜ. Δείξτε ότι ΔΑΜ = Β - Γ.

k:.

•

Λ f3

Α Ι\ \

�·'-

Αα

σοσκελέ

\ d't� � \ lr\J"'-'Θ AQ v � ' Λ.

[

Επειδή η ΑΜ είναι διάμεσος έχουμε Είναι ΒΓΑ = ΓΑψ ως εντός εναλλάξ των παραλλή λων χψ, ΒΓ �ου τέμ�ονται από την ΑΓ. ΒΓ = Blvf, ΑΜ = Ακόμα ΓΑψ = ψΑΔ γιατί το Δ είναι συμμετρικό του 2 Γ ως προς τη χψ. ς κι έrσι ΒΑΜ = Β (1). Οπότε ΓΑΔ = ΓΑψ + ψΑΔ = 2ΓΑψ = 2ΒΓΑ = 2Γ. άρα το τρί�νο �Μ είναι ι Ακόμα ΒΑΔ = Γ (2) γιατί είναι οξείες κι έχουν τις Έτσι ΒΑΔ = Α + ΓΑΔ = Α + 2Γ = 180° - Β - Γ + 2Γ πλευρές τους κάθετες2ια προ� μια. Ί��σι απ_9 τι'i.σχέ= 1so· - Β + Γ = 1so· - (Β - Γ). σεις (1), (2) έχουμε ΔΑΜ = ΒΑΜ - ΒΑΔ = Β -�. -

ΔΑΒ

ΑΔΒ ΔΑΒ

Ασιuισa 1 1 .

Λvoa

ΑΔΒ

ιι �ι..ι

ο� 0ι0

�.

Λ \l l A r

ΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

tl..\ Α .... ...,ι:ι. ι .- ' n r t�)

κn. τ.

Λ Α. ::: f\ι..

4/24

t\ ·-r� � o �

='>

b th -=- � L.\

Ασιuίσεις σε τpίyωvο ABI' (Β > I') με '[D Διαφορά Β - i'

Ασκnσn

12.

Ασιmσn

14.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμέvο σε κύ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμέvο σε κύ κλ_.9 (0 , �). !!ν ΑΔ το ύψος του τριγώνου, δείξι:ε ότι: κλο (Q, R). Αν ΑΔ 'l δι<!_μεσος του τριγώνου, δείξι:ε ότι: ΑΟΔ = 180° - (Β - Γ). ΔΑΟ = Β - Γ. Α

Λvσn

Φέρνουμε !{ΟΙ το ύψος ΑΚ. Επειδή Δ �έσο της �Γ είναι ΟΔ .l ΒΓ κι έτσι ΑΚ II ΟΔ, άρα ΑΔΟ = ΚΑΔ Φέρνουμε τη διάμετρ9_ ΑΚ,_!ότε ΑΓΚ = 90° γιατί (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΚ, ΟΔ που τέμνοΒαίνει σε ημικύκλιο και ΑΚΓ = Β γιατί Βαίνουν στο τό- νται από την ΑΔ). ξ�ΑΓ. Έτ�: Όμως απ� το τρίγ�νο ΑΟΔ είναι ACJΔ = ΔΑΟ = ΔΑΙ.:_- � = (180° ΑΔΓ - Γ) = 180° - (ΑΔΟ + ΔΑΟ) = 180° - (ΚΑΔ + ΔΑΟ) = - (180° - � - �) = = 1soo - κΑο = 1soo - (Β - fJ. γιατί κΑο = Β - f = 1soo ΑΔΓ Γ - 180° + ΑΚΓ + ΑΓΚ = από την άσκηση 12. = ΑΔΓ Γ + ΑΚΓ + ΑΓΚ = = - 90" - Γ + ΑΚΓ + 90° = ΑΚΓ - Γ = Β - Γ. Ασκnσn Α -ι � -r � �ο τ..o -z.. ii.. � f'h ? /\ � �

�

15.

-.;:

13.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ( Β > Γ.) εyγεγραμμένο σε κύκλο (0, R) . Αν η εφαrnομ� του�ύκ2ου στο Α τέ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμέvο σε κύ μνει τη ΒΓ στο Δ, δείξι:ε ότι: ΑΔΒ = Β - Γ. κλο (0, R). Από το Α φέρνουμε την ευθεία ε παράλ ληλη στη ΒΓ πο� τέμν�ι το_:ι κύκλο στο Δ. Λvσn Α Δείξι:ε ότι: ΑΓΔ = Β - Γ.

Ασιιnσn

Λvσn

Είναι ΔΑΒ = Γ γιατί η γωνίε;_ΔΑΒ σχηματίzεται από χορδή και εφαπτομένη και η Γ είναι η αντίστοιχη εγγεγραμμένη yωvία.__ Ακόμα ΑΒΓ = Β = ΑΔΒ + �Β (εξ�τε�κή του τρ;γώνου ΑΒΔ), άρα ΑΔΒ = Β - ΔΑΒ = Β - Γ. �

�

Είναι ΔΑΓ = ΑΓΒ = Γ (1) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ, ΒΓ 'nου τέμνονται από την ΑΓ. Άρα τα τόξα ΑΒ, ΓΔ είναι ίσα κι έτσι είναι ίσες και οι αντί- Ασκnσn στοιχες χορδές ΑΒ και ΓΔ. Επομένως το ΑΒΓΔ ι:_!ναι ισ�σκελές τραπέzιο (αφού και ΑΔ 11 ΒΓ) κι έτσι Β = Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β > Γ.. Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ yράφο�με_!tύκλο που τέμνει τη ΒΓ στο έ�ουμε: ΒΓΔ (2). Άρα �ό τις �έσεις__( 1), (� ΑΓΔ = ΒΓΔ - ΑΓΒ = Β - Γ. Δ. Δείξι:ε ότι: ΔΑΓ = Β - Γ. Α �\ � � V\ 8 , �0-z-�0� -c.-tιS β., �, ι7στ.ι.ι &crztλl Α- \3 \ � Cλ <IΊ Ο '2D Γ CfLQvJ �ν rιec.e . (λ("\ο "U) f: βσ"'� Δ. ε; . (\�ι:Λ-�"' .Α Ιό � "V V\. u \ ';<-� \. ' , J • , ""'"'\J\ , ι-ι. � :!\ "' . �ο ο..\ ο 1.1 :; �ο - � ·-z. ""' s Α e�...-. vσlf-z.c.v\ Δ it.t λ�'Γ Δ = � r 4 ) c-1 λ) Β. Α -: (""' Δ

16.

"' z;ι::>CΑ""<, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κη. τ. 4125

.....

•

Ασκιiσεις σε τρίyωvο ABI'

(Β

f) με τα Διαφορά Β - ί'

�

2Γ

�

19. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = και Β - Γ = 36 ο . Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. LΥπό_§ειξ!l Α + Β + Γ = 180° + 36° + Γ + Γ = 180° κτλ.).

Λvon

2Γ

�

<=>

�

20. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμένο σε κύκλο (0, R) . Αν ΑΔ η διχοτόμος του τριγώνου, δείξ τε ότι: ΜΟ = Β - Γ

(Υπόδειξη: Φέρτε το ύψος ΑΚ και προεκτείνετε την ΑΔ ώστε να τέμνει τον κύκλο στο Ε. Τότε το τρίγωνο Επειδή ΑΒ = ΑΔ ως ακτί�ς κύ�ου, το τρίγωνο ΑΟΕ είναι ισοσκελές και συνεχίστε έχοντας υπόψη ΑΒΔ είναι ι�οσκελέ2 κι έr� ΑΔΒ = Β. και την άσκηση Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (Β > Γ) εyγεγραμμένο σε Αλλά ΑΔΒ ΔΑΓ�+ Γ J..εξω!_ερ�ή του τριγώνου ΑΔΓ), οπότε = ΑΔΒ - Γ = Β - Γ. κύκλο (0, R). Αν η διχοτόμος ΑΔτέμνει τον κύκλο στο a) ειrttJ � - r �'30 }tc.A-1 Πι1.. Αδ ;;;e z.tt Ε, δείξτε ότι: ΑΟΕ = 180° - {Β - f). (Υποδείξη: άσκηr�� Af . � , � t\ 1.. Ar -.) 1).. 1\ 1' � ση 14). Ασιιnσn 17. 'i) Α "tί..

12).

21.

ΔΑΓ � =

�

� t r:fto \l.Cλ' \ f\ � -= ο 0' � ' 'i.,�

e,e t.EXJ":_v

ν22.

Σετρίγωνο ΑΒΓμε ΑΒ < ΑΓείναι B - f. = 40°. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Β - Γ = 90 ο. Αν ΑΔ το ύψος Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε τμήμα ΑΔ = ΑΒ. Να βρεfrε σε μοίρες τη γωνία ΔΒΓ. {Υπόδειξη: άσκηση του, δείξτε ότι ΑΔ2 = ΔΒ · ΔΓ. zo

νο--

�

2).

�

23. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ είναι Β - Γ =80ο. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίzει η διχοτόμος ΑΔ με την πλευρά ΒΓ. (Υπόδειξη: άσκηση 3).

Λvon

Παρατιiρnσn: Υπάρχει μια ορισμένη ομάδα ασκήσεων στις κατ�σκ�υές τριγώνων που χρησιμο ποιείται η διαφορά Β - Γ. Συγκεκριμένα θεωρούμε το σύνολο των στοιχείων του τριγώνου : Α = { υα (ύψος), μα (διάμεσος), δα (εσωτερική διχοτόμος), δα ' (εξωτε ρική δι�οτ�ος), R (ακτίνα περιγεγραμμένου κύ κλου), Β - Γ = φ}. Έχοντας υπόψη τις παραπάνω ασκήσεις καθώς κι ότι για κάθε κατασκευή τριγώνου απαιτούνται τρία στοιχεία, αν αυτά τα στοιχεία δίνο Έχουμε ΑΒΓ = Β = Δ + = 9_.9° � (εξω- νται από το σύνολο Α, τότε η κατασκευή του ΑΒΓ τερική του τριγώνου ΑΔΒ) κι αφού Β - Γ = 90ο πραγματοποιείται. Β = 90ο + f είναι ΔΑΒ = f. Άρα τα τρίγων� ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι όμοια γιατί έχουν και την γωνία Δ κοινή . Εφαρμοyιί. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ΑΒΓ αν δίνονται: 'Ετσι: Μ = ΔΒ Μ2 = ΔΒ ΔΓ. β) δα, R, Β - Γ = φ, α) μα, υα, !? - !:_ =φ, ΔΓ Μ δ) δα ' , R, Β - f = φ, γ) μα, δα, Β - Γ = φ, ε) δα ' , μα, B - f = φ. �

<=>

ΔΑΒ

ΔΑΒ <=>

�

Υnόδειξn: Αν ΑΗ το ύψος, ΑΜ η διάμεσος, ΑΔ η εσωτερική διχοτόμος και ΑΔ ' η εξωτερική διχοτό 18. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ παίρνουμε επί της μος του τριγώνου ΑΒΓ να κατασκευάσετε αρχικά ένα από τα τρίγωνα ΑΗΜ, ΑΗΔ, ΑΔ ' Η, ' (όποιο πλευράς ΑΓ τμήμα ΑΔ = ΑΒ. Δείξτε ότι φυσικά είναι δυνατό κάθε φορά). Στη συνέχεια να ΔΒΓ = Β- Γ (Υπόδειξη: άσκηση προσδιορίσετε το περίκεντρο Ο και τέλος να γράψετε τον κύκλο (0, ΟΑ) που θα σας δίνει τις κορυφές Β, Γ. Ασκιiσεις yια λvon

IL OV

Ι? V\ � f.v

ΑΔΔ

2).

Z,.f..) ;χ o'll 'Ζ- ο'\ �

ΖΡ

\"- f.στ::>

ό �cx . '? f\

V'"

fb r

S Ι' Δ

δ' Ι �:;ζΕ

Cι...ν

ΓΙ

�=ι.

.....

σc,νι\1

J?e... ,

"€ @ �� Β (

�

��Σ� κρ;��.

""'-

�

-u>

'-'

r 5 ,..

ΑΒ ΜΓ

�

vι

rΔ

\'1

� cfV"'

ε 1'1 ι.. '.?Co\\ f\

r lλ

Α Γ \1 ε.

Ε ΚΔΟΣΕΙΣ

ΠΑΤΑΚΗ

Μ ΑΘ Η Μ ΑΤ Ι Κ Ά Γ Ι Α ΤΟ ΛΥ Κ Ε Ι Ο ΗΛΙΑΣ ΝΤΖΙΩΡΑΣ

ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΚΑΝΔΑΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ I Κ Α

ΑΝΑ

"' !:101

Γ Ι Α Τ Ι Σ: Δ Ε Ι: Μ Ι! Σ

Α,

'ς' Η

οο. ο ι Δ

Μαθηματικά-Ανάλυση

Μαθηματικά Α' Λυκείου

Γ' Λυκείου · Δέσμες Α', Β', Δ'

ΣΤΕΛΙΟΣ ΕΥΡΙΠΙΩΤΗΣ

11 1 \· CiΣ

Μαθηματικά Β' Λυκείου

Μαθηματικά Γ' Λυκείου

ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΤΣΟΥΛΦΑΝΙΔΗΣ

1l. 0 'f ' ΦλΝ!δ-J Σ

• Όριο συνάρτησης, • Συνέχεια

� .. nn1 '�'"�� ., ;:y=η- �,·�� .. ι':"�.υ,ι ' 1 1 ;:;; \ �.�t:-τ;-τ:'� �� '

συνάρτησης, • Ακολουθίες

• Πίνακες

'------'

Θέματα

• Ορίζουσες

Ανάλυσης

• Γραμμικά συστήματα ..__

Γ' Λυκείου

_ _ _ _ _ _

ΑΙΜΙΛΙΟΣ ΤΣΟΥΛΦΑΝ ΙΔΗΣ .ΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΓΙΑ !ΉΝ Α ΔΕΣΜΗ �o-Mt.� 260 λψι;νt ς Q:)«Mtl(i :!$0 σλιntς οο•κουι:

Ακολουθίες για την Α' Δέσμη

Ολοκληρώματα

Παράγωγοι

Κεντρική Διάθεση: Σ. Πατάκης ΑΕ. Εμμ. Μπενάκη 1 6, 1 06 78 Αθήνα. Τηλ.: 38. 3 1 .078, Fax: 36.28.950

Η βοnθn"Ιικό εvθεία rροyόρnς Δ. Φωτιάδnς

Στις ασκήσεις της Γεωμετρίας γvωρίzουμε ότι είναι απαραίτητο ένα καλό σχήμα. Πολλές φορές όμως δεν φτάνει αυτό. Χρειάzεται να φέρουμε κάποια βοηθητι κή ευθεία που θα απλοποιήσει την άσκηση και θα μας βοηθήσει στη λύση του. Εδώ πρέπει να υπάρχει -εκτός από τη σωστή γνώση της θεωρίας- φαντασία και έμπνευση, yvωρίzοvτας ότι ο τρόπος που θα δουλέψουμε δεν είναι πάντα μοναδικός. Ιδού ένα πα ράδειγμα. Δίνεται τρίγωνο ισοσκελές ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και τμήμα ΔΕ με άκρα Δ, Ε σrην ΑΒ και σrην προέκταση της ΑΓ αντίσrοιχα. Δείξι:ε ότι το τμήμα ΔΕ διχοτομείται από την ΒΓ αν και μόνο αν ισχύει η σχέση: ΑΔ + ΑΕ = 2ΑΒ. Σκέψη lη (ισότητα τριγώνων)

•

Σχ.

Έσrω Μ μέσο της ΔΕ. Τα τρίγ�να � ΚΟ.!_Μ� είναι ίσα. Έχουν ΔΜ = ΜΕ, Μι =Μ2 και Β = Ζ (εντός εναλλάξ). Άρα ΕΖ = � κ�ι επ�δή l_O τρί γωνο ΓΕΖ είναι ισοσκελές (Ζ = Β = Γ = Γ ι) θα ισχύει: ΓΕ = ΕΖ = ΔΒ. ΑΔ + ΑΕ = ΑΔ + ΑΓ + ΓΕ = ΑΔ + ΑΒ + ΔΒ = = 2ΑΒ. Αντίστροφα. Η απόδειξη είvαι παρόμοια και αφήνεται ως άσκηση (το ίδιο ισχύει και παρα κάτω). Σκέψη 3η (εφαρμογές παρ/ μων).

Φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΓ από το σημείο Δ. ΔΖ // ΑΓ. Έσrω Μ μέσο της ΔΕ. Τα φίγ�να � και ΜΓΕ είναι ίσα. Έχουν ΔΜ = ΜΕ, Μι = Μ2 (κατακο ρυφή), Δι = Ε (εντός εναλλάξ). Άρα ΔΖ = �Ε και �πειδ� το τρίγωνο ΔΒΖ είναι ισοσκελές (Ζι = Γ= Β) θα ισχύει ΔΒ = ΔΖ = ΓΕ ΑΔ + ΑΕ = ΑΔ + ΑΓ + ΓΕ = ΑΔ + ΑΒ + ΔΒ = = 2ΑΒ. Αντίσrροφα. Έσrω ΑΔ + ΑΕ = 2ΑΒ ΑΔ + ΑΓ Δ Έστω Μ μέσο της ΔΕ. Φέρνουμε ΔΖ // ΒΓ. Στο τρί + ΓΕ = ΑΓ + ΑΔ + ΔΒ ΓΕ = ΔΒ. Επειδή ΔΒΖ ισοσκελές ΔΖ = ΔΒ = ΓΕ. Άρα τα τρίγωνα ΜΔΖ γωνο ΕΔΖ η παράλληλη από το μέσο της ΔΕ προς τη ΔΖ διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΖΕ, δηλαδή και ΜΓΕ είναι ίσα και ΔΜ = ΜΕ. ΖΓ = ΓΕ. Ακόμη ΑΔ = ΑΖ (ΑΔΖ ισοσκελές) Σκέψη 2η. ΑΔ + ΑΕ = ΑΖ + ΑΓ + ΓΕ = ΑΖ + ΑΓ + ΖΓ = Φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΒ από το σημείο 2ΑΓ = 2ΑΒ. Ε. ΕΖ // ΑΒ. •

•

�

<=>

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/28

Σκέψη 4η.

βοοθοτιιιά ε"θεία Α

Σκέψη 5η.

Σχ. 4

Έστω Μ μέσο της ΔΕ. Φέρνουμε ΜΚ // ΑΓ και Έστω Μ μέσο της ΔΕ. Φέρνουμε ΕΖ // ΒΓ. Στο τρί ΜΛ // ΑΒ. Στο τρίγωνο ΑΔΕ Μ μέσο της ΔΕ και γωνο ΔΕΖ είναι Μ μέσο της ΔΕ, ΜΒ // ΖΕ άρα Β μέσο ΜΛ// ΑΔ άρα Μ ΛΕ. Στο τρίγωνο ΑΔΕ Μ μέσο της της ΔΖ και ΔΒ = ΒΖ. ΔΕ και ΜΚ // ΑΕ άρα ΑΚ = ΚΔ. ΑΔ + ΑΕ 2ΑΚ + 2Μ = 2(ΑΚ + ΚΜ) = Ακόμη ΑΕ ΑΖ (ΑΕΖ ισοσκελές). ΑΔ + ΑΕ = ΑΔ + ΑΖ = ΑΔ + ΑΒ + ΒΖ = ΑΔ + = 2(ΑΚ + ΚΒ) = 2ΑΒ. ΑΒ + ΒΔ = 2ΑΒ. Είναι ΑΚΜΛ παρ/ μο και ΚΒΜ ισοσκελές τρίγωνο. ,

ΔΕΛΤΙΟ 1ΥΠΟΥ

Το Δ.Σ. της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Ε.Μ.Ε.), το οποίο εκλέχθηκε στις αρχαιρεσίες της 19ης Μαρτίου 1995 με την υποστήριξη της Δημοκρατικής Συνεργασίας Μαθηματικών, συγκροτήθηκε σε σώμα την 27 Μαρτίου 1995 . . . ΔΙΟΙΚΗΥΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΑΙΟ

Πρόεδρος Α ' Αντιπρόεδρος Β ' Αντιπρόεδρος Γεν. Γραμματέας Ανοπλ. Γεν. Γραμμοτέος Ειδ. Γραμματέας Τομίας Ανοπλ. Ταμίας Έφορος Βιβλιοθήκης Μέλη

Νικόλαος Αλεξανδρής Σταύρος Ποποστουρίδης Γεώργιος Δημάκος Κων/ νος Σάλορης Αδάμ Αγγελής Αθονάmος Σκούρος Παναγιώτης Μπουρβάρης Ιωάννης Τσορπολής Νικόλαος Παπαδόπουλος Μπόλης Θεόδωρος Στυλιανός Ανδρεαδάκης Σπυρίδων Κολυβάς Βασίλειος Παπαντωνίου Αντώνιος Ντίνος Κων/ νος Σκανδάλης

ΕΞΕΛΕΚΥΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ

Πρόεδρος Μέλη

Ηλίας Λυπιτάκης Ευάγγελος Ντzιοχρήστος Ιωάννης Τυρλής

Το Δ. Σ. εκφράzει τις ευχαριστίες σε όλους τους συναδέλφους που συμμετείχαν στις εκλογικές διαδικασίες και καλεί όλο το μέλη της Μαθηματικής Κοινότητος να συμμετέχουν στις δραστηριότητες της Ε.Μ.Ε. (Συντα κτικές - επιστημονικές επιτροπές, εκδηλώσεις παραρτημάτων κ.λπ.).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ .

4/29

Ασκήσεις Αλyεβρας Β ' Λvκείοv Λεωνίδας Τοvρλας Χρήστος Λαzαρίδnς

Α) Λεωνίδας Τοvρλας

Αοκaσa 1.

ημ Β + Γ 2 (2) 2ημ Δ συν Δ = 2 2 συv Β + Γ 2 Β + Γ = ημ, Α και συν -Α ομως ημ Β + Γ = συν2 2 2 2 --

Να δείξετε ότι συv3α συvα- ημ5α ημα = συv4α �α- ηifα

Λvσa

συν Δ 2 οπότε η (2) yίvει:αι 2ημ Δ συν Δ = 2 2 ημ Δ 2 Επειδή συν Δ ;ι! Ο έχουμε ότι 2ηif Δ = 1 2 2

συv3α συvα-ημ5α ημα �α- ημ2α

l[σuv (3α - α) + συν (3α + α)] - l[σuv (5α- α) - συv (5α + α)] 2

συv2a - ημ2α

Αοκaσn 2.

απ'

όπου

ημ Δ = ii νιαrίημ Δ ;ι! 2 2 2 2

1 (συv2α + συv4α- συv4α + συν6α)

�2----- = �α- nifα --1 (συν2α + συν6α) -1 2συν 2a + 6a συν 2a-6a 2 2 2 =2 �α- ηifα συv2α - ηifα συν4α συν2α = συν4α συν2α

-Γ2)

{

Άρα Δ = 45ο ή Α = goo. 2 "'

Ασκaσa 3.

Αν οι ρητοί αριθμοί α, β, 5 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να βρείτε τις ρίzες του πολυω νύμου f(x) = α3χ3 - (α - 1)χ2 - (2β + 1 )χ + 3α2 + 3, αν γvωρίzουμε ότι μια ρίzα του είναι η χ = 1.

Να αποδείξετε ότι αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέ ση Λvσa + ημΓ Επειδή οι αριθμοί α, β, 5 είναι διαδοχικοί όροι ημΒ (1) ημΑ = ΑΠ., θα ισχύει 2β = α + 5 (1) συvΒ + συvΓ Ακόμη έχουμε f(1) = Ο. τότε αυτό είναι ορθογώνιο. Άρα f(1) = α3 · 13 - (α - 1) · 12 - (2β + 1) · 1 + 3if + 3 = Ο ή α3 - (α - 1) - 2β - 1 + 3α2 + 3 = Ο Λvσn ή λόγω της (1) α3 - α + 1 - α - 5 - 1 + 3α2 + 3 = Ο Η σχέση (1) γράφεται: ή α3 + 3α2 - 2α - 2 = Ο Β-Γ Εφαρμόzοvτας σχήμα Homer βρίσκουμε μοναδική 2ημ Β + Γ συν -ρητή ρίzα την α = 1, οπότε β = 3. 2 ή 2 2ημ Δ συν Δ = Το πολυώνυμο f(x) θα έχει την μορφή 2 2συv Β + Γ συν Β- Γ 2 f(x) χ3 - 7χ + 2 2 --

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κn. τ.

4/30

Ασκόσεις Αλyεβρας Β ' Αιικείοιι

χ3 - 7χ + 6 = χ3 - χ - 6χ + 6 = = χ(χ2 - 1) - 6(χ - 1) = = χ(χ - 1)(χ + 1) - 6(χ - 1) = = (χ - 1)(χ2 + χ - 6) = = (χ - 1)(χ - 2)(χ + 3) Οι ρίzες του πολυωνύμου θα είναι οι: χ = 1 ή χ = 2 ή χ = -3

Λuσn

Η εξίσωση γράφεται

[� + (Γ3� -2 · 2 · Γ3] χ = 2 + Γ3 ή (2 - Γ3�χ = 2 + Γ3 ή (2 - Γ3�χ (2- Γ3) = (2 + Γ3) (2 - Γ3) ή (2 - Γ3�χ + 1 = 1 απ'

Ασκnσn 4.

Να υπολογίσετε τους αριθμούς α και β, όταν οι αριθμοί α, 5, β είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, ενώ οι α, 3, β είναι διαδοχικοί όροι γεωμε τρικής προόδου.

όπου 2χ + 1 =0 ή χ = _ 1. 2

Ασκnσn 6.

Να λυθεί το σύστημα: χ + Ιοg3ψ = 3 (1) ψ = 3χ + 6 (2)

Λuσn

Επειδή οι αριθμοί α, 5, β είναι διαδοχικοί όροι Λuσn ΑΠ. θα έχουμε α + β = 10 (1) Από την (1) έχουμε log3ψ = 3 - χ, (ψ > 0) ή Επειδή οι αριθμοί α, 3, β είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. ψ = 33 - χ (3) θα έχουμε α β = 9 (2) Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι οι α και β εί Από τις (2) και (3) έχουμε: 3χ + 6 = 33 - χ ναι οι ρίzες της εξίσωσης χ2 - 10χ + 9 = Ο. ή 3χ + 6 = 33 . 3- χ Από τη λύση της τελευταίας παίρνουμε ότι α = 1 ή 3χ . 3χ + 6 . 3χ = 33 και β = 9 ή α = 9 και β = 1. ή 32Χ + 6 . 3χ - 27 = ο ·

Θέτουμε 3χ = z > Ο (4), οπότε έχουμε την εξίσωση 2 z + 6z - 27 = απ' όπου z = 3 ή z = - 9 < απορρίπτεται. Από την (4) 3χ = 3 παίρνουμε χ = 1 και από την (3) ψ = 33 - 1 παίρνουμε ψ = 9.

Ασκnσn 5.

Να λυθεί η εξίσωση

(7 -4f3) x = 2 + f3

Αχιλλέα

Κυκλοφόρησε το βιβλίο

Β. Κυριάκου

ΚυκλοφοQεί: 330 Λυμένα Γενικά Θέματα 4ης Δέσμης

επιπέδου Γενικών εξετάσεων εφ όλης της ύλης

Άλγεβρα Α ' Λυκείου (2 τεύχη) • Άλγεβρα 1 ης Δέσμης 4ης Δέσμης • Ανάλυση 4ης Δέσμης (2 τεύχη)

•

τη ς ΕΜΕ, Σπ . Ζερβού.

Άλγεβρα

Εκδοτ. Όμιλ. Συγγρ. Καθηγητών. Σόλωνος 100 Αθήνα τηλ. 3646 125. Αχιλλέας Β. Κυριάκου - Ασκληπιού 28 Λάρισα τηλ. (04 1 ) 259530 & (0495) 3 1 125

�

"ΚΑθΟΛΙΚΗ ΑΛΙΈΒΡΑ I'' του καθ. Παν. Αθηνών και τ. Προέδρου

Κ ι•χλοιrιψοι•ν ι ;τωη; οτη νι υ t•λη •

Ο,

Ένα βιβλίο μοναδικό και απαραίτητο για κάθε

:ι,

τους Μαθηματικούς γίνεται έκπτωση 30% και δίνονται δωρεάν οι λύσεις των ασκήσεω

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

σκεπτόμενο μαθημαηκό.

κη. r.

4/3 1

Ασιuiσεις ΑλΎΕ8ρας Β " J\1J8Eioσ

I ο γινόμενο των ν πρώτων όρων μιας ακολουθίας

Ασκnσn

Avσn

Οι τάξεις των όρων είναι 1, 3, 5, . . . , δηλαδή σχη ματίzουν ΑΠ. με πρώτο όρο 1 και διαφορά 2. Ο εκα τ τοστός όρος της είναι 1 + (100 - 1)2 = 199. v2 + 3v Τελικά, S = α1 + a3 + .. . + a199 = α1 + (α1 + 2ω) (av) είναι Πv = 2 2 , V ν Ε Ν*. + . . . + (α 1 + 198ω) = 100α 1 + (2 + 4 + ... + Να βρεθεί το άθροισμα Sν, των ν πρώτων όρων της. 198)ω = 100α1 + 99/2 (2 + 198)ω = 100α1 + 100 · 99ω = 100(α 1 + 99ω) = 100 [a 1 + (100 - 1)ω] = Λvσn 100α100 = 100 2 = 200. ι2 + 3· ι a1 = Π1 = 2 2 = 4. Ο νιοστός όρος της (Gv), όταν ν > 1, είναι: Ασκnσn 4. αι ClΊ . . Clv - ι Clv --Ov = -Έστω Γ.Π. με a101 = 2. Να βρεθεί το γινόμενο Π, αι ClΊ Clv - 1 των 201 πρώτων όρων της. 2v + 2 2 2 = 2 2 = 2v + l Avσn (v - 1 )2 + 3 (v - 1 ) Έστω λ ο λόγος της Γ.Π. Τότε: Π = α1α2 . . . α2οι = 2 2 αι (αlλ) (αιλ2) . . . (αιλ2ΟΟ) = aι20lλl + 2 + ... +200 = + 1 ' Εχου Clv + _ 2v 2 , , αι Γ.Π . με -- - -- - 2, αρα η ( 0v ) ειv 200 (1 + 200) l v + ?01 · 2 Clv Οϊ = λ2 με αι = 4 και λ = 2. αΙ8l = 2201 _ v-1 , λ � 1 Τεfιικα, S.., = αι -- = 4-- = 4 (� - 1). 2- 1 λ- 1 Β) Χρόστος Λαzαρίδnς

• • •

Ασκnσn 5.

Έστω (Gv) μια ακολουθία θετικών αριθμώνmς οποί ας ο πρώτος όρος a1 είναι ο γεωμετρικός μέσος των 1, 2, ο a2 ο γεωμετρικός μέσος των 1, a1 , ο a3 ο γεωμε Να βρεθεί το άθροισμα τρικός μέσος των 1, a2 κ.τ.λ. Να βρεθεί ο νιοστός όρος S = 11 . . . 1 + 22 .. . 2 + . . . + 99 . . . 9. (Ο κάθε όρος της (Gv) και το γινόμενο Π, των aπείρων όρων της. του S έχει ν το πλήθος ίσα ψηφία). Ασκnσn 2.

Avσn

1 1 Κάθε όρος του αθροίσματος έχει την ακόλουθη αΙ = 1 2 => αι = ii, � = 1 αι => cη = 24", μορφή: κκ . . . κ = κ(ll . . . 1) = 1 = κ(1 . 1 ov- l + 1 . 1 ov - 2 + . . . + 1 . 10 + 1) = � = 1 · a2 => α3 = �. ... = κ(1ov- l + 1 ov - 2 + ... + 10 + 1) = Παρατηρούμε ότι κάθε όρος της (Gv) είναι δύναμη με βάση το 2 και εκθέτη που είναι όρος Γ.Π. με πρώ 10V - 1 = -Κ ( 10V - 1), κ Ε { 1, 2, . . . 9} . = κ-το όρο 1/2 και λόγο 1/2 με, lλl < 1. 10- 1 9 Ο νιοστός εκθέτης θα είναι Τελικά, έχουμε: v v - 1 = , άρα Ο = 2(}) S = 1(1ov - 1) + 2.(1ov - 1) + . . . + 2.(1ov - 1) = Clv _ 9 9 9 Το zητούμενο γινόμενο είναι: Π = α1α2 . . . Gv ... = = (1ov - 1) 1 + 2 + · · · + 9 = (1ov - 1) 1 2. (1 + 9) = 1 + (1\2J + + (1)v + 1 9 92 1 (1\2J (1)v 2 2 2 =2 =2 = 22 22 2 2 ... . . . 2 v = s(1o - 1) (0 εκθέτης είναι άθροισμα aπείρων όρων της Γ.Π., άρα ισούται με Avσn

} (})

(}γ

Ασκnσn 3.

}

Έστω ΑΠ. με a100 = 2. Να βρεθεί το άθροισμα S, των 100 πρώτων περιπής τάξεως όρων της.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

1-1 2 κη. τ.

4/32

)

=1 .

··

rΕΩΜΕΤΡΙΑ

Β,

ΛΥΚΕιοv

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ� Κ ατσοvλnς rιώρyος

ί\σκaσa la

Λώσa

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α = 60" β = 5, γ = 3. Να υπολογιστεί η διάμεσος του μ0• �

.Δ

Λvσa

Α Είναι ΑΒ = ί\3 ΑΒ = R f3 (1) και Μ = 120" (γιατί;). Στο τρίγωνο ΑΜΒ είναι Μ > 90 • οπότε εφαρμόzοvτας γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε: . ΑΒ2 = ΡΜ2 + ΜΙ# + 2 ΜΒ ΜΗ <=> ΡΜ Στο. ΑΒΓ (Α < 90 · ) οπότε από το γενικευμένο (γιαrί;) /Wri ΜΗ = 2 πυθαγόρειο θεώρημα είναι: <=> ΑΒ2 = ΡΜ_2 + ΜΒ2 + ΡΜ . ΜΒ <=> if = β2 + \f - 26 . Μ <=> if = β2 + \f - βγ (1) (1) Nro Μ = Υ (νιαή;) <=> 3� = 4 + 25 + 10 <=> 3� = 39 <=> R = m 2 Στο ΑΒΓ (ΑΜ διάμεσος) �

.Δ

�

}

�

}

�

<=> β2 + .f = � + if <=> 262 + 2\f = � + if : 2 <=> 262 + 2\f = � + β2 + 1- - βv <=> <=> � = β2 + .;ι. + βγ <=>

ί\σκnσa 3n

Αν ΑΜ διάμεσ�ς του τρ_!Υώνου ΑΒΓ και οι διχοτόμοι των γωνίων ΑΜΒ και ΑΜΓ τέμνουν ης ΑΒ, ΑΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα και η ΕΖ τέμvει την ΑΜ στο Η δείξ τε όη ΜΕ2 + ΜΖ2 = 4ΜΗ2

<=> ιζ = 25 + 9 + 15 <=> ιζ = 49 <=> lJa = l 4 2 4

.Δ

Λvσa

ί\σκaσa 2a

Δίνεται κuκλος (0, R) και xoρpq του ΑΒ = λ3. Αν Μ σημείο του κυρτογώνιου τόξου ΑΒ ώστε ΑΜ = 2 και ΜΒ = 5 να υπολογιστεί η ακτίνα R του κuκλου.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/33

Γεωμ.ετρiα s· Δ.

Στο ΑΜΒ (ΜΕ διχοτόμος

·� = λ\1 ΕΒ ΜΒ

Στο ΑΜΓ ΜΖ διχοτόμος) Δ.

Ν. = ΑΜ ΖΓ ΜΓ

(2)

ΜΓ

ΑΕ

ΕΒ

= 20025 (γιαrί;) = . =-= 5 ΆρaΔΕ = ΒΔ +ΕΒ = 48 β)2 Είναι2 ΜΕ82= 90"VJyι6 a2τί;) οπότε2 ΑΕ2 = ΔΕ5 2 ΑΔ - ΑΕ = 4 - (3 ) - ΑΕ = 2304- 4 = 2250 - ΑΕ = δα = 15ii0 ΕΒ

= (3) Από (1), (2), (3), είναι -. =-Ν. <=> ΕΖ/ ΒΓ (4) Έχουμε ) \ <=> ΜΗ = ΗΕ (5) Μι Μ=:_ιΜ=Ει 2 JME(απόδΙΧDtόμος (4)) / ΌμοιΜΕΖ α ΜΗ(ΜΗ= ΗΖδιάμεσος) (6) Στο ΑΛλά ΜΒ

ΑΒ ΑΒ + ΑΓ

ΕΝαι ΒΔ = ΒΓ

ΖΓ

ΒΓ · ΑΒ - ΑΒ ΑΓ

200

και

'ι\σκnσn Sn

Δίνεται κύκλος (0, R) και χορδή του ΑΒ = λ6. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά ΒΓ = ΑΒ και φέρνουμε � εφamόμεvο τμήμα ΓΔ. Αν η διχοτόμος της γωνίας Γ τέμνει τις ΒΔ, ΑΔ στα σημείαΕ καιΖ aντίστοιχα δείξ τε ότι: ΒΕ = ΔΕ

· ΔΖ

ΑΖ

Λ.Sσn

'ι\σκnσn 4n

Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: ΑΒ = 10, ΒΓ = 20 και ΑΓ = α) Να βρεθεί η απόσταση των σημείων στα οποία τέμνουν τη μεγaλl)τερη πλευρά η εσωτερική και εξω τερική διχοτόμος της aπέναντι γωνίας. β) Αν δα 3 Γ6 να βρεθεί η εξωτερική διχοτόμος δα' 15

Λ.Sσn

τέμνουσα} <=> ΓΔ2 = ΓΑ <=> ΓΔ εφαmομέvη <=> ΓΔ2 = 2R R = 2� <=> ΓΔ = Rf2 (1) Στο ΒΓΔ (ΓΕ διχοτόμος) Γ ΒΕ Β <=> ΒΕ __Β._ <=> ΔΕ = ΓΔ ΔΕ = Rf2 <=> ΒΕΔΕ ii_2 (2) Στο ΑΓΔ (ΓΖ διχοτόμος) <=> ΔΖΝ. = ΓΔ <=> ΔΖΝ. 2R <=> Rf2 <=> (3) f2 Από (2) και (3) είναι ΔΕΒΕ ΔΖ = 1 <=> ΒΕ·ΡΙΖ = ΔΕ·ΔΖ Είναι ΓΒ..ί\

ΓΒ

<=>

Γ � Β Δ

a)Είναι Α > 90" (γιατί;) και εξωτερική διχοτόμος ΑΕ τέμνει την ΒΓ στην προέκταση προς το μέρος του Β (γιατί;) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' π

ΑΓ

Pll ΔΖ

. Pil

κη. τ.

4/34

_2._

ΙΈωpει:ρία Β· Λιικείοιι

Ασκnσn 6n

ότι:

Avσn

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μβ.lμγ . Δείξι:ε i) 62 + y2 = 5a2 ii) Αν ΑΔ ύψος και Η ορθόκεντρο ΑΗ · ΑΔ = 2a2

Avσn Α

Φέρνουμε ΚΜ. Είναι ΚΜ .l ΑΒ (γιατί; ) άρα το τε τράπλευρο ΓΝΗΜ είναι εγγράψιμο (γιατί;) οπότε ΚΝ ΚΓ ΚΗ · ΚΜ (1) Αλλά το ΚΑΜ είναι ορθογώνιο στο Α και ΑΗ ύψος οπότε Jq-1 ΚΜ = ΚΑ2 (γιατί;) !g ΚΝ · ΚΓ = R2 . ·

.Δ

Ασκnσn 8n .Δ

i) Αν Θ βαρύκεντρο είναι

ΘΜ = � (yιαrί;) <:> 1 J.Ια = � <:> J.Ια = 3α (1) 2 3 2 2 Α?ιΜ β2 + � = 2� + if <:> 2 + <:> β2 + � = sif 62 + � = 2 ·

(�) �

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Θ το βαρύκεντρό του. Αν Κ, Η τα μέσα των ΒΘ, ΓΘ αντίστοιχα ότι: i) (ΘΑΒ) = (ΘΒΓ) = (ΘΓΑ) ii) (ΒΚΗΓ) = 1 (ΑΒΓ) 4 Α

δείξτε

Avσn

.Δ

i) Στο ΑΒΓ (ΑΜ διάμεσος)

(ΑΒΜ) = (ΑΜΓ) Στο ΒΘΓ (ΘΜ διάμεσος) (ΒΘΜ) = (ΘΜΓ) Άρα (ΑΒΜ) - (ΒΘΜ) = (ΑΜΓ) - (ΘΜΓ) (ΘΑΒ) = (ΘΓΑ) Όμοια (ΘΑΒ) = (ΘΒΓ) .Δ

�

Επομένως (ΘΑΒ) = (ΘΓΑ) (ΘΒΓ) = 1 (ΑΒΓ) (1) 3 ii) Στο ΒΘΓ επειδή Κ, Η μέσα των ΒΘ, ΘΓ είναι =

ii) Είναι ΔΗΕΓ εγγράψιμο (γιατί;), άρα ΑΗ · ΑΔ = ΑΕ · ΑΓ (2 ι Επειδή Α < 90• από το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα είναι: a2 = 62 + y2 - 2ΑΓ · ΑΕ 2ΑΓΑΕ 62 + y2 - a2 (2) 2ΑΗ · ΑΔ 5ο2 - a2 ΑΗ · ΑΔ = 2a2 . �

�

A.,.nσn 7n

.Δ

(ΚΘΗ) = 1 (ΘΒΓ) (yιαrί . ;) <:> 4 (1 ) (ΒΚΗΓ) 3_ (ΘΒΓ) <:> (ΒΚΗΓ) = 1 (ΑΒΓ) 4 4

�

Ασκnσn 9n

Δίνεται κύκλος (Κ, R) και ευθεία (ε) που δεν τέμνει Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90.), Δ μέ τον κύκλο. Από σημείο Μ της (ε) φέρνουμε τα εφα σο ΑΒ και ΔΕ .l ΒΓ. Αν (ΒΔΕ) 3_ (ΑΔΓ) να υπολοπτόμενα τμήματα ΜΑ, ΜΒ και την ΚΓ.l(ε). Αν η ΑΒ τέ , 8 , � γιστει η γωνια Β: μνει την ΚΓ στο Ν δείξι:ε ότι ΚΝ · ΚΓ = R2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/3$

Γεωpετpία Β ' Λvκείοv

Λvσa

Ν\λά ΒΓΔΕ ισοσκελές τραπέzιο (γιατί;) με ΒΕ = 2R, ΓΔ = R ΚΜ = ΒΕ + ΓΔ = 2R + R <=> ΚΜ = 3R (2) 2 2 2 Επίσης ΑΗ = ΑΝ + ΝΗ ΑΗ = α6 + 06 (γιατί; ) 2 .;,;.

<=> ΑΗ = Rfi + K{J <=> ΑΗ = 3RU (3) 2 4 4 Από (1), (2), (3) έχουμε

Στο ΑΒΓ (ΓΔ διάμεσος) .;,;. (ΑΔΓ) = (ΒΔΓ) (1) (1 ) Έχουμε (ΒΔΕ) = 3. (ΑΔΓ)<=> 8 (ΜΕ) (ΒΔΓ)

(ΑΚΜ)

l ΒΕ · ΔΕ

= 3_ <=> 2

= 3_ <=> ΒΕ = 3_ ΒΓ (2) 8 · l ΒΓ ΔΕ 8 2

= l 3R . 3Rfi <::> (ΑΚΜ) = gfi� 2 2

Ασκnσn l l n

Σε κύκλο (0, R) παίρvουμε τα διαδοχικά σημεία Ν\λά τα τρίγωvα ΑΒΓ και ΒΔΕ είvαι όμοια (γιατί;) Α, Β, Γ και Δ ώστε ΑΒ = 60°, ΒΓ = λ1 , ΓΔ = 60°. Να 2 οπότε βρεθεί το εμβαδό του μικrόγραμμου σχήματος ΑΒΓΔ ΒΕ = ΒΔ. <=> ΒΕ ΒΓ = · ΑΒ ΒΔ. ΑΒ ΒΓ Λvσa ΑΒ : 3_ ΒΓ ΒΓ = ΑΒ <=> � = 3_ ΒΓ2 (3) 8 2 4 2 2 Στο ΑΒΓ (Α = 90°) .;,;. ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ2 .;,;. � ΒΓ2 = 3. ΒΓ2 + ΑΓ2 .;,;. ΑΓ2 = l ΒΓ2 .;,;. 4 4 ο � <=> ΑΓ = ΒΓ <=> Β = 30° 2 .Δ

Το εμβαδό του μικrόγραμμου σχήματος ΑΒΓΔ εί vαι (ΑΒΓΔ) = Εκ. τομέα (ΟΑΒΓΔ) - (ΟΑΔ) - Εκ. τμήματος (ΟΒΓ) (1) Καvοvικό εξάγωvο ΑΒΓΔΕΖ είvαι εγγεγραμμέvο 11 11 Είvαι ΒΓ = λ12 .;,;. ΒΓ = 30° .;,;. ΑΔ = 150° . σε κύκλο (0, R). Av Κ, Μ μέσα τωv ΒΓ και ΔΕ αvτίΆρα Εκ. τομέα στοιχα vα βρεθεί το εμβαδό του τριγώvου ΑΚΜ. . (ΟΑΒΓΔ) = π � · 150ο = 5� (2) Λvσa 360° 12 και Εκ. τμήματος

Ασκnσn l On

..,.

�----�-r--�� r I

(ΟΒΓ) = π . � . 3Οο (ΟΒΓ) = � - (ΟΒΓ) (3) 360° 12 Από (1), (2), (3) έχουμε: (ΑΒΓΔ) = 5 � - (ΟΑΔ) - � + (ΟΒΓ) = 12 12 � � � διστι ΒΟΓ + ΑΟΔ = 180 = 4� = 12 3 rι?. , (ΟΑΔ) = ΟΑ · ΟΔ = n:. οπσrε = 1 <=> (ΟΑΔ) = (ΟΒΓ) (ΟΒΓ) ΟΒ · ΟΓ � --

Είvαι (ΑΚΜ) = 1 ΚΜ ΑΗ (1) 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/36

Ι'εωpετρία Β' Λιικείοιι

Είvαι (ΑΔΗ)

Ασιιaσa 12a

(3 )

(ΕΑΗ)

Εκ. τομέα (ΑΔΗ) - Εκ. τμήματος

60°

Δίvεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2α, ΒΓ = α και <* Α2 Αλλά ΑΗΕ ισόπλευρο <* Α1 = Ε μέσο ΑΒ. Στο εσωτερικό του ορθογωνίου γρά οπότε φουμε ημικύκλιο διαμέrρου ΑΒ και τα τεταρτοκύκλια (Α, α), (Β, α) που τέμvουv το ημικύκλιο στα Η και Κ Εκτομέα (ΑΔΗ ) = πif 30ο πif (4) και 360 12 αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το εμβαδό του μικτόγραμ μου τριγώvου ΕΗΚ. Εκτμήματος (FAH) = πif 60ο Q2'{3 Λ.Sσa =

Το ημικύκλιο διαμέrρου ΑΒ εφάπτεται της ΔΓ στο μέσο της Μ (γιατί; ) Άρα (ΕΗΚ) (ΕΗΜ) + (ΕΜΚ) (1) Τα μικτόγραμμα τρίγωvα ΑΔΗ , ΕΗΜ, ΕΜΚ, ΒΚΓ είvαι ισεμβαδικά (γιατί;) (2). =

. (6)

(6)

= ( � - ;)

Q2 Γ3 πif

• • •

Συναρτήσεις - όριο - συνέχεια Παράγωγος (Β έκδοση) Ολοκλήρωμα (Β έκδοση) Πίνακες συστήματα - διανύσματα - ευθεία Κωνικές τομές - πιθανότητες - μιγαδικοί ΕΙ

•

m!\1i.ιtιil'ι ,Atqμη

-�

Μαθηματικά 4ης Δέσμης (Β �κδοση) (Αλγεβρα - Ανάλυση)

Κυκλοφορούν από τις Φuσικομαθηματικές εκδόσεις ''Αίθρα" (Απρίλιος 1 995) : των

των

"Απειροστικόc; Λοyισμόc;" τόμος

(σε δ6ο τε6χτι)

Σ. Νεγρεπόvτη - Σ. Γιωτόπουλου - Ε. Γιαvvακούλια, Τόμος llα (σελ. 439, δρχ. 6500) και Tόuot llβ fσελ 377. δοΥ 5500)

"Οι αστρονόμοι ττιc; Αρχαίας Ελλάδας"

Β. Σπαvδάγου - Ρ. Σπαvδάγου - Δ. Τραυλού (σελ. 344, δρχ. 3000).

Φυσικομαθηματικό Βιβλιοπωλείο «Αίθρα» * Ανδρέα Μεταξά 26 * 1 06 81 Αθήνα * τηλ. 3301 3301 252 * fax. 3301 252 ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

Από (3) , (4) , (5) είvαι (ΑΔΗ ) = πif - πif + Q2 f3 = 4 12 Q2 Γ3 - πif = 4 12 02 Από (1), και (2) είvαι: (ΕΗΚ) 2

•

360°

πif Q2'{3 (5)

κn. τ.

4/37

269 -

Τετ ρ άε δρ ο - Π" ραμίδα θανάσnς Κvpιακόοοvλος

Στη Στερεομετρία, από τα Πολύεδρα, ξεχωριστό ενδιαφέρον παρουσιόzει η μελέτη του Τετραέδρου γενικό, καθώς και των ειδικών μορφών του (κανονι κού, ορθοκενψικού, τρισορθογώνιου, ισοεδρικού κ.λ.π.) το τετρόεδρο μπορεί να θεωρηθεί και ως τριγω νική πυραμίδα και η κάθε έδρα του ως βάση της. Στην πυραμίδα βάση δεν είναι αναγκαστικό τρίγω νο, όπως στο Τετράεδρο, αλλά ένα κυρτό πολύγωνο το οποίο και τη χαρακrηρίzει (τριγωνική, τετραγωνική κ.λ.π. ) . Εάν το πολύγωνο l:ης βάσης της πυραμίδας είναι κανονικό και έπι πλέον η κορυφή της προβάλ λεται στο κέντρο της βάσης, η πυραμίδα καλείται κα νονική. Εδώ πρέπει να τονίσουμε και τη ξ)ιαφορό μεταξύ και Στο κανονικό Τετράεδρο όλες οι έδρες είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα (άρα το κανον. τετράεδρο έχει ίσες όλες τις ακμές του) ενώ στη κα νονική Τριγωνική πυραμίδα η βάση είναι ισόπλευρο .τρίγωνο και οι παράπλευρες έδρες της ίσα Ισοσκελή τρίγωνα. γκος Τετραέδρου: ν 1/ Ε1 υ1, δηλ. το 1/3 τουΌεμβαδού μιός βάσης επί=το αντίστοι χο ύψος Κανονικό Τετράεδρο (ακμής α): υ = α f6 ' ν = a312V2 (Βασική Εφαρμογή σχολ. βιβλίου) Πυραμίδα ν = 1 Εa υ όπου υ το ύψος της πυραμίδας και Ε6 το εμβαδόν της βάσης της Κόλουρος Πυραμίδα: ή

κανονικοv τει:ραέδρο" vικιiς iι"ραpίδας.

Άσκnσn ln

Δίνεται κανονικό τετράεδρο ακμής α και σημείο εσωτερικό αυτού. Να δείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων του Ο από τις έδρες του τετραέδρου εί ναι σταθερό. Ο

Αnόδειξn: Α

κανοvικιiς τριyω

Έστω χ, y, z, ω, οι αποστάσεις του Ο από τις έδρες του τετραέδρου. Είναι νΑΒΓΔ = νΟΒΓΔ + νΟΑΓΔ + νΟΑΒΔ + νΟΑΒΓ ή ν/ΗΔ = 1 (ΒΓΔ) χ+ 1 (ΑΓΔ) y + 1 (ΑΒΔ) z + 1 (ΑΒΓ) ω = } (if�) x+ } (if�) y+ } (if�) z+ } (if�) ω if i3 (x+y+z+ω) η =-12 Δ x+y+z+ω= 12ifν/Η i3 ή 12 · (a3 Γ2)· x+y+z+ ω= if i312 ή αf6 x+y+z+ ω =--=u το άθροισμα αυτό είναι σταθερό και μάλιστα όπου Ε και Ε· Τα εμβαδά των βάσεων και υ το ύψος ίσο με το ύψος του τετραέδρου ΑΒΓΔ. της κολούρου πυραμίδας. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 3

Δηλ.

κη. τ.

4/38

Ταράεδpο

Π\Ιpαμiδα

Ασκaσn 2n

Δίνεται κανονικό τετράεδρο ΑΒΓΔ, ακμής α και το ύψος ΑΗ αυτού. Εάν Ο το μέσο του ΑΗ, να δείξετε ότι το τετράεδρο ΟΒΓΔ είναι Τρισορθογώνιο στο Ο.

ΔΗ

περνάει από το μέσο Ζ της ΒΓ και είναι:

(2) ( �) ( ?) :

ΗΖ = lΔΖ = l α 13 = α f3 3 3 6 Από το ορθ. τρ. ΟΖΗ: 2 α 2 oz2 = ΟΗ2 + ΖΗ2 = α + = ... =

Αοόδειξn:

.Δ

ή ΟΖ = � άρα ΟΟΓ = 90°

Όμοια ΓΟΔ = 90° και ΔΟΒ = 90° Δ

Ασκaσn 3n

Δίνεται κανονικό τετράεδρο ΑΒΓΔ ακμής α. 1ον) Να δείξετε ότι τα τμήματα που ορίzονται από Αρκεί να δ�ίξουμε_.?τι τα μέσα των απέναντι ακμών είναι κοινές κάθετοι των � ΒΟΓ = ΓΟΔ = ΔΟΒ = αντισtοίχων απέναντι ακμών, διέρχονται από το ίδιο Επειδή το Τετράεδρο είναι κανονικό: σημείο και είναι ανά δύο κάθετα και ίσα μεταξύ τους. ΒΓ = ΓΔ = ΒΔ = ΔΑ = ΑΒ = ΑΓ = α. 2ον) Να υπολογισθούν τα μήκη των τμημάτων Το Η είναι Βαρύκεντρο του τριγώνου ΒΓΔ (γιατί;) αυτών συναρτήσει της ακμί1ς α. Στο τρ. ΒΑΗ, ΒΟ διάμεσος άρα από θεώρ. ΔιαμέΑ σων: Λ15σn ΑΒ2 + ΒΗ2 = 20C)2 + ΑΗ2 ή

90•.

.Δ

40�

= 2ιi + 2ΒΗ2 -ΑΗ2 (1) Υ3 = αf3 Είvαι: ΒΗ = 2. ΒΕ = 2. α 3 3 3 Ακόμη: ΑΗ2 = ΑΒ2 - ΒΗ2, (από το ορθ. τρίγ. ΒΑΗ) ή

( 2 ) (2) ( ?(2),f � 40B'�2a'+ 2{" �r- � "' l οΒ' � �ι AH2 = if - α

ή AH2 = if (3)

(3):

Από (1) λόγω των

Όμοια Βρίσκουμε = if

Or-2

και ΟΔ2 = if

2 2

αφού ΒΓ�= α, ΟΒ2 + 0[2 = ΒΓ2 άρα ΒΟΓ = go· . Όμοια ΓΟΔ = και ΔΟΒ = Άλλος τρόπος:

1ον) Έστω Ε και Θ, Ζ και Η, Κ και Λ τα μέσα των απέναντι ακμών του τετραέδρου ΑΒΓΔ. Κατ' αρχήν διαπιστώνουμε ότι οι απέναντι ακμές καν. τετραέδρου είναι ορθογώνιοι. Πράγματι ΓΕ .l ΑΒ και ΔΕ .l ΑΒ άρα ΑΒ .l επ (ΓΕ, ΔΕ) = (Γ, Ε, Δ) οπότε ΑΒ ορθογώνιος με τη ΓΔ. Στο ισοσκελές τρ. ΑΘΒ (ΑΘ = ΘΒ), ΘΕ διάμεσος, όρα και ύψος, δηλ. ΘΕ .l ΑΒ και επειδri. ΓΕ = ΕΔ (γιατί;) ΕΘ .l ΓΔ, οπότε ΕΘ κοινή κάθετος των ΑΒ και ΓΔ. Όμοια ΚΛ και ΖΗ κοινές κάθετοι των (ΑΓ, ΒΔ) και (ΑΔ, ΒΓ) αντίστοιχα. .

.Δ

Είναι: Ο� + Or-2 = if + if = if ή

90•

.Δ

90•

Το ύψος του κ. Τεφαέδρου ΑΒΓΔ είναι ΑΗ = α "{6 3

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

Είναι ΕΖ // ΒΔ και ΗΘ // ΒΔ άρα ΕΖ // ΗΘ, = 2 =

κη. τ.

4/39

Τετράεδρο - Π"ραpίδα

α) Επειδι}.._το τετp�εδρο QΑΒΓ είναι τρισορθογώ άρα το ΕΖΘΗ παρ/μο και οι διαγώνιές του ΕΘ και ΖΗ νιο στο 0: ΑΟΒ = ΒΟΓ = ΑΟΓ = 90• . διχοτομούνται. Όμοια ΚΖΛΗ παρ/μο και η διαγώνιος ΚΛ περνάει ΟΑ .l ΟΒ και ΟΑ .l ΟΓ άρα ΟΑ .l επ. (ΟΒ, ΟΓ). από το μέσο Ο της ΗΖ. Άρα τα τμήματα ΕΘ, ΖΗ και δήλ. ΟΑ .l επ. (Β, Ο, Γ) άρα ΟΑ ορθογώνιος με τη ΚΛ διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο. ΒΓ (γιατί;). Είναι ΟΗ .l επ. (Α, Β, Γ) άρα ΟΗ ορθο γώνιος με τη ΒΓ. Επομένως ΒΓ .l επ. (ΟΑ, ΟΗ) = Είναι ΕΖ = ΒΔ. και ΕΗ = ΑΓ . (0, Α, Η), διότi είναι ορθογώνιος σε δυό τεμνόμενες 2 2 Όμως ΒΔ = ΑΓ άρα ΕΖ = ΕΗ και το παρ/μο ευθείες του επιπέδου αυτού. Εάν λοιΠόν η ΑΗ τέμνει ΕΖΘΗ είναι ρόμβος. Επειδή ΒΔ ορθογώνιος στην ΑΓ την ΒΓ στο Κ θα είναι ΒΓ .l ΑΚ. Όμοια ΓΖ .l ΑΒ και οι παράλληλοι προς αυτές ΕΖ και ΕΗ θα είναι κάθε ΒΕ .l ΑΓ. Άρα Η ορθόκεντρο του ΑΒΓ. τοι, άρα το ΕΖΘΗ ορθογώνιο οπότε το ΕΖΘΗ είναι Άλλος τρόπος: και τετράγωνο. επίπ. (Α, Ο, Η) .l (Α, Β, Γ) [διότι ΟΗ .l (Α, Β, Γ)] Όμοια ΚΖΛΗ τετράγωνο. επίπ. (Α, Ο, Η) .l (0, Β, Γ) [διότι ΟΑ .l (0, Β, Γ)] Τα τετράγωνα αυτά είναι ίσα, άρα θα έχουν και άρα το επίπ. (Α, Ο, Η) θα είναι κάθετο στη τομή των ίσες διαγώνιες (δηλ. ΕΘ = ΗΖ = ΚΛ) που τέμνονται επιπέδων (Α, Β, Γ) και (0, Β, Γ) δηλ. (Α, Ο, Η) .l ΒΓ καθέτως, δηλ. ΖΗ .l ΕΘ και ΚΛ .l ΗΖ. και θα είναι ΒΓ .l ΑΚ κ.λ.π. Β) Εάν ΒΓ = χ, ΑΓ = y, ΑΒ = z και ΟΑ = α, ΟΒ 2ο) Είναι ΒΘ2 = ΑΘ2 = &ι2 (yιαrί;) = Β και ΟΓ = γ, τότε: 4 χ2 = 62 + y2, y2 = α2 + y2, z2 = α2 + Β2 . οπότε με θεώρ. Διαμέσων στο BeA (ΘΕ διάμεσος): Είναι: χ2 + y2 = 2yl + α2 + Β2 = 2yl + z2 > z2 ή z2 < χ2 + � άρα r < 90..:_. ΒΘ2 + ΘΑ2 = 2ΘΕ2 + ΑΒ2 ή &ι2 + &ι2 = Όμοια: Α < 90• και Β < 90• 4 2 4 γ) (ΟΒΓ)2 = 1/4 ΒΓ2 · ΟΚ2 = 1/4 ΒΓ2 ΑΚ ΗΚ = 1/2 ΒΓ · ΑΚ · 1/2 ΒΓ ΗΚ = (ΑΒΓ) · (ΗΒΓ) = 2ΘΕ2 + a2 ή ΘΕ = α f2 2 2 δ) (0ΒΓ) 2 = (ΑΒΓ) (ΗΒΓ), (ΟΑΓ) 2 = (ΑΒΓ) (ΗΑΓ), (0ΑΒ)2 = (ΑΒΓ) (ΗΑΒ) . 'Ομοια ΗΖ = ΚΛ = α Οπότε: (0ΑΒ)2 + (ΟΑΓ)2 + (0ΒΓ)2 = (ΑΒΓ)2 . 2 ε) Από το ορθ. τρίγ. ΑΟΚ : .Δ ·

Γ2

"""

1 = 1 + 1 = 1 + 1 + 1 ΟΗ2 ΟΑ2 OJ<l ΟΑ2 ΟΒ2 ΟΓ2 όπου κάναμε διαδοχική εφaρ.ιtονιi της γνωστής σχέ σης για ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) _l_ = _l_ + _l_ ifa Β2 V _ _

1\oκnon 4n

Δίνεται τρισορθογώνιο στο Ο, τετράεδρο Ο.ΑΒΓ. Εάν ΟΗ το ύψος του.τετραέδρου, vα δείξετε ότι: α) Το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ Β) Το ΑΒΓ είναι οξυγώνιο γ) (0ΒΓ) 2 = (ΑΒΓ) · (ΗΒΓ) δ) (0ΑΒ)2 + (0ΑΓ)2 + (0ΒΓ)2 = (ΑΒΓ)2 ε) _1_ = _1_ + _1_ + 1 ΟΗ2 ΟΑ2 ΟΒ2 ΟΓ2 """

_ _

Α.όδειξa:Α

_ _

•:

Σημείωση: Η παραπaνω άσκηση είναι γνωστή ως θεώρημα του Gua de Malves.

1\oκnon Sn

Δίνεται κανονική τριγωνική πυραμίδα Ο.ΑΒΓ με ακμή βάσης α. l::.άν οι παράπΛευρες ακμές ως σχη ματίzουν με τη Βάση της γωνία 60•, να Βρεθούν το εμβαδό της ολικής επιφάνειάς της και ο όγκος της.

Λvon:

Επειδή η πυραμίδα είναι κανονική το ίχνος Η του ύψους της ΟΗ, είναι το κέντρο Βάρους του ισό πλευρου τριγCδνου ΑΒΓ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/40

Τετράεδρο - Πνραpίδα

Ασκaσa 6a

Κανονική τετραγωνική πυραμίδα Ο.ΑΒΓΔ με ακ μή βάσης ΑΒ = 2α και ύψος ΟΚ = α Γ3 τέμνεται με επίπεδο παράλληλο προς τη βάση που περνάει από το' μέσο' κ · του ύψους ΟΚ, κατά το τετράπλευρο Α ΒΤ Δ' . Να υπολογίσετε τον όγκο ν της κολούρου πυρα ' μίδαςΑΒΓΔΑ ΒΤ' ΔΌ

Α Β

2. (0 Υ3) = 0 fi ή Είναι ΗΓ = = 3 3 2 3 ΗΓ= fi3 (1) Στο ορθ. τρίγ. ΗΟΓ είναι ΗΟΓ = 30• άρα ΗΓ=� ή ΟΓ= 2 ·ΗΓ� 2 (0?) =0Α=ΟΒ(2) ή ΟΓ= 20'(3 3 Για το ύψος ΟΟΗΗ2mς= Οπυραμίδας: Γ2 -ΓΗ2 (;! ai3)2 - (ai3r ' Τ ' ' 2' 1 αφούο.Μιρςτων 3 = .. . = α- η ΟΗ =α (3) = (2 3 Είναι: (Α Β Δ ) = ΟΚ Δ) ΟΚ2 4 Παράπλευρο ύψος ΟΚ: ΟΚ2 = 082 -ΒΚ2 = εμβαδών των( βάσεων μι α ς κολούρου πυραμίδας ι σ ού 2 τετράγωνο του λόγου των aποστάσεών τους (2 °?) - (�)2 = . .. = � ή ΟΚ= 0� (4) ταιαπόμετηντοκορυφή της αντίστοιχης πυραμίδας. Εάν (ΑΒΤΔ· ) = και (ΑΒΓΔ) = Ε έχομε: Εάν Ε6 το εμβαδό της βάσης και Ε το εμβ. της παράπλευρης επιφάνειας mς πυραμίδαςπ είναι: = 41 E = 4l (4c?-) = cfΕολ = � + � = (ΑΒΓ) + 3 (ΟΑΒ) = c?-Γ3 ΟΚ = ΟΚ2 = =Οκ Είναι: =ΟΚ-ΟΚ' = --+3-lAB· OK= 2 4 2 c?- f3 + 3- l a· af39 = c?-fi + c?-f39 ή = afi2 ή ΚΚ ' = afi2 4 2 6 4 4 Εολ = c?- ( Γ3 + i39) Άρα Ε= 4c?-, = c?-, υ = afi , οπόrε: 2 4 ν= l3 (Ε+ � +Ε')·υ = · � l (c?- V3) · α= σ3 Υ3 Η ν= lq Ο 12 3 4 3 = 3l (4c?- + ,J4c?- . c?- + c?-). α 2Γ3 = Το αυτό πρόβλημα να εξετασθεί και = ... = l6 a3 f3 ή ν=Ζ6 σ3 Υ3 για κανονική τετραγωνική πυραμίδα ακμής βάσης α, όταν οι παράπλευρες ακμές της σχηματίzουν με τη βάση της γωνία 60•, 30• και45 • αvτίσrοιχα. 2_ ΓΚ

Λvσa:

.Δ

�

ΑΒΓ

ε·

(4)

κκ ·

ε·

Σaμείωσa:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β.

κη. τ.

4/41

"ί\ρτιες - Περιττές - Περιοδικές Σvναρτήσεις στον Qλοκλnρωτικό Λοyισμό Παvαyιώτnς Ρεκοvμnς

Αν η συνάρτηση f είναι περιπή και συνεχής Στην παρακάτω εργαpία μας συγκεντρώσαμε με ρικές απλές και χρήσιμεb προτάσεις, με τρόπο cιπλ6 στο R, τότε η συνάρτηση και διδακτικό, για τις άρτιες, περιπές και περιοδικές συναρτήσεις, οι οποίες θα μας διευκολύνουν σε με γάλο Βαθμό στον υπολογισμό διαφόρων ολοκληρω μάτων, στη διατύπωση των οποίων υπεισέρχονται οι είναι αρτία. παραπάνω συναρτήσεις. Φυσικά το θέμα δεν το εξα ντλήσαμε, απλά μια μικρή προσπάθειά κάναμε, ανοί γοντας όμως ένα μεγάλο δρόμο για πιο πολλές και Το πεδίο ορισμού της F είναι το R και χρήσιμες προσπάθειες από τους αναγνώστες. Για οικονομία χώρου, θεωρήσαμε γνωστό ό, τι F(- x) � { Ί ι� dt (IJ αναφέρεται στα σχολικά βιβλία γύρω από τις παραπά νω συνσ.ρτήσεις είτε ως θεωρία είτε ασκήσεις. Κα Στην (1) θέτω t - και έχω: λό θα ήταν ο αναγνώστης, πριν διαβάσ�ι τις παρακάτω γραμμές, να κάνει μια καλή επανάληψη γύρω από τις Ί ι-!11 (--dy) � ιΌ f(y) dy� περιπές, άρτιες και περιοδικές συναρτήσεις και F( c x) � ι: κυρίως στις πράξεις μεταξύ αυτών των σuναρτήσεων. � ιΌ f(y) dy+ { f(y) dy� Αν η συνάρτηση f είναι περιπή και συνεχής στο·[-a, α], τότε είνα': �Ο+ { f(y) dy� Ι: f (y) dy� { f(x) dx� Ο, a E R 2.

Αn6δειξa.

�ς

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ. ι:

� { f(x) dx � F (χ) (Ι) Δηλαδή για κάθε χ R, F(-x) F(x) και επομέ νως η F είναι αρτία. Αν η συνάρτηση f είναι αρτία και συνεχής στο [- α, α], τότε είναι: ιΌ f(x) dx�2 [ f(x) dx, a E R ιΌ f(x) dx � f.' fH (- dt) � f.' I (� dt � f.' f(x) dx και η (1) γράφεται: J f(χ) dx Jo f(χ) J{ f(x) dx J f(χ) dx Ο Πpοφανώς έχουμε: o ιΌ f(x) dx � ιΌ (χ) dx + !." f(x) dx και εργαz6μεvοι όπως σrην πρόταση (1) τελικά έχουμε: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' Έχουμε ιΌ f(x) dx� {" f(x) dx+ J: f(x) dx Στο &α!ί'ιiρωμα ιΌ (χ) dx, χ�

Αn6δειξa:

-α

dx +

θέτω

- I κιn

Αa6δειξa.

κn. τ.

4/42

Αρτιες - Περιττές - Περιοδικές :Ειιναρτόσεις

J-α f(x)dx= 1α f(x) dx+ 1α f(x) dx=2 1α f(x) dx αJo f(x)dx= 1α f(x)dx. -α J-α f (χ) dx = 2 1α f (χ) dx Ο

διότι

F(F,x) -F(+ F ' = = Ο (2) (2) f(x) + f(- x) = Ο -f(x)�-, R f f(-f(x)-x)==-f( x), R [' f(� dt � F(x) = Jx f(t) dt= J0 f(t) dt+ 1x f(� dt= J: ι(� dt- ι- Ί(� dt R(x) � Ε f(� dt. � R(- x) ι- Ί(� dt και F(x) = R(x) -R(R -x) R'R' =f(= xf()-x)(6) R. F ' (χ) == Rf(x')(χ+) +f(-R ' = Ο, 6, F' =R Ο, R. F = [, f(� dt� κdJε Άρα

Επομένως

4. Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής σrο [- α, α] τότε

- χ) c και (χ) (- χ) λόγω της (1) γίνεται:

και τελικά: για κάθε χ Ε και επομέ νως η είναι περιπή σrο • Έσrώ για κάθε χ Ε (3) Θα δεiξω,

C (c ιχdJφά).

Έσrω

-χ

{. f(χ) dx � {. (χ) dx + J: f (χ) dx

Αο6δει�n ·ε,.,,

(1)

και η

(- χ)

f(-x)

(1)

Θάω

yίvεrαι:

f(-x)]

Επομένως,

f(x)

-α

Σnpείωσa. Κάνοντας χρήση αυτής της πρότα σης, αποδεικνύονται αμέσως οι προτάσεις 1 και 3.

f [, ι(� dt�c.

5. Αν η συνάρmση είναι συνεχής σrο είναι περιπή αν και μόνο άν

για κάθε χ Ε

ως

(5)

χΕ R

C, .,.,

R, f τότε η

Προηγουμένως δείξαμε ότι:

[, f(� dt � = Ο,

Σnμείωσn.

C, .,.a κdJε χΕ R

Επομένως ισχύει και για χ

{ f(� dt �

από υπόθεση είναι συνεχής σrο επομένως έχει αρ){.Ική σrο και έσrω η αρχική της. Άρα (χ) (1)

F' (χ) =Rf

η (4) .,Wεrσι

�

Προφανώς η είναι συνεχής και ισχύουν οι ισό τητες: (χ) (-χ) (7), για κάθε χ Ε Από την (5) έχω: (-χ) χ) λόγω των 7, 1. Τελικά δείξαμε (χ) για κάθε χ Ε Δηλαδή (χ) C, για κάθε χ Ε και επομένως

(c: σrαθερά).

Αο6δει�n.

(4)

�

Εργαzόμενοι όπως προηγουμένως, έχουμε:

J-o f(χ) dx = 1α f dx α J-α f(x) dχ= 1α dχ+ 1α f(x) dx= α = 1α [f(x) + dx Jα dx= 1α [f(x) + f(- x)] dx.

-χ

δηλαδή

f � {. f(χ) dx � Ο και

C, άρα C 0. f!M W η ειiιαι ΟU\1100\ς

και ιφπή τάε,

άα ano&nwύεrα

η πρόταση (1) με τρόπο διαφορετικό.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ .

4/43

'Άρnες - Περιτιές - Περιοδικές J:σvαρτάσεις

Αν η συνάρτηση είναι περιοδική !{αι συνεχής σrο [α,β] με περίοδο τ, fτότε ισχύει η ισότητα: 6f f(x) dx = f6 + Κf f(x) dx, κ ΕΖ

α+

Jx+ f(� dt= τtωdt, νια κάθε xER

ελικq δείξαμε

l -

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και περιοδική σrο R με περίοδο Τ και για κάθε χ Ε [- Τ/2, Τ/2] έχουμε f(-x) =-f(x), τότε και η συνάρτηση, Επειδή η f είναι περιοδική με τη περίοδο Τ, έχω: κάθε χ Ε (α,β] (1) f(f(xx -+κτ)κτ) f(f(xx))γιγιαακάθε F(x) � [ιι� dt χ Ε [α,β] (2) είναι περιοδική με περίοδο Θέτω t = χ + κτ και το J.ΊιχJ dx .,ιvi'IOI Θα δείξω για κάθε χ Ε R: F(x) = F(x + Τ). Δηλα δή θα δείξω: Αοόδει�n.

κr

τ.

JB JB + f(t- dt(=ZJ JB + (t) dt α + Κf α α + Κf + = Jαβ+ Κf f(x) dx ΤεΛικά f6 f(x) dx = f6 + Κf f dx α α+

Αοόδει�.

f.Ίι� dt� [ ·Ίι� dt, -J: ιι� dt-f+Ίι� dt�o. Jx f(� dt + fα f ω dt = Ο, Jx f(t) dt = Ο, αx+ χ + Τ χ + Τ J f(t) dt= O. για να δείξω ότι η F είναι περιοδική, Αν η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τ αρκείΕπομένως, να δείξω για κάθε χ Ε και συνεχής σrο τότε για κάθε χ Ε ισχύει η ισότητα: Jx + Τf(t) dt= J{oτf(� dt f · Ίι� dt�o ιι1 χ Στην πρόταση δείξαμε για κάθε χ Ε J: +Ίι� dt� {ιι� dt --, [ · Ίι� dt� J.Ίωdt + {. τιι� dt ιι1 Επομένως η 2 θα ισαχύει και για χ=- Τ/2 Jτ f(t) � = { τ = f ( t) dt Θέτω + = t και το χ1 +Τf(t) dt 1χ + Τf (t) dt ix f + Τ) = JoJ: + Ίι� dt- τ�α τ Δηλαδή F(x + Τ) = F(x) για κάθε χ Ε Άρα η F είναι περιοδική με περίοδο Τ. [ f [ f (� dt (f, Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής �ο τότε εί ναι περι οδική με περίοδο αν και μόνο αν Επομένως η γράφεταιχ Jx+ f(� dt= fτf(t) dt + J{o f(t) dt= lτf(� dt +Ίι� dt� c J: χ χ για κάθε χ Ε ( σταθερά). t (χ) c1x

κr

κτ)

κr

δείξαμε:

κr

(χ)

(7)

!21

Αοόδει�n.

Φιεrαι:

(y) dy

�

Άρα,

·Τ

Τei\κό

ΠΕρΙοδική)

�

(� περmή)

(1)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κn. τ.

4/44

1\pσες - Περιπές - Περιοδικές Σvvαρτάσεις

(1) για χ = λ και y = Ο γίνεται: Έστω 6τι η f είναι περιοδική με περίοδο Τ. f(λ) + f(λ) = 2f(λ=)f(O) <=> 2f(λ) = 2f(λ)f(O) <=> f(O) 1 (λ6γω της 2) Άρα f(x + Τ) = f(x), για κάθε Ε R. (1) (ii) Η (1) για χ = Ο γίνεται: Θεωρώ τη συνάρτηση F με τύπο f(y) + f(-y) = 2f(O)f(y) <=> f(y) + (-y) = 2f(y) <=> + f(-y) = f(y), για κάθε Ε R. F(x) = 1 τ f(� dt- J.x f(t) dt, χΕ R (2) Δηλαδή f(-x) = f(x), για κάθε χyΕ R, άρα η f είναι άρτια συνάρτηση. F είναι παραγωγίmμη, επειδή η f είναι συνεχής Επίσης η είναι απ6 υπ6θεση συνεχής στο R και επομένως είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemaη στο σί:ο R απ6 υπ6θεσn. [-α, α] και επειδή είναι και αρτία στο R, τελικα είναι θέrω R (χ) ι: f (η dt κm .,ψ,ιως ολοκλnρώmμη και αρτία σrο [-α, α] και σύμφωνα με την πρ6τασn έχουμε: R(x + 1") = Ι ιωd!: af f(χ) dx = 2!.0 f(χ) dx Άρα η (2) γράφεται: F(x) = R (χ + Τ) -R(x) R είvαι προφανώς παραγωyίαιμη. 2. Η συνάρτηση R είναι συνεχής στο [- 1, 1] με Συνεπώς: F' (χ) = R. (χ + τ) -R' (χ) R(x) > Ο και R(x) R(-x) = 1, για κάθε χ Ε [-1, 1]. = f (χ + Τ) - f(x) Δείξατε 6τι f(x) -:-f(x) = Ο Δηλαδή (χ) = Ο, για κάθε χ Ε R και επομένως x4v dx=-1+ 1' νΕΝ* 1_1 --F(x) = C, άρα η (2) γίνεται R( x) + 1 4v 1 J: ·Ίιηd!- J: ιιη d!= για κάθε Ε R και τελικά Η σuvάρmσn S S (χ) = )(1v προφαvώς 1. f(� dt = C, νια κάθέ χΕ R(x) + 1 είναι συνεχής σrο [-1, 1] και συνεπώς ολοκλωρώmμη κατά Riemaη. .Στο &οκλήρωμα Ι ==11 χ dx 'Εαω, Lx + τ (η = C, ι«Ιθε χΕ Ο δηλ. f(x + Τ) = f(x), για θέτω χ = -u και έχω: _ 1 R(x) + 1 Άρc;ι f( x + Τ) -f( x ) κάθε R και έπομέvως η f είναι περιοδική με πε 1 x4v dx = - - (- u)4v = ρίοδο Τ στο R. Ι =1 R (χ) + 1 f+ 11 R (- u) + 1 Β. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - -1 Θεωρούμε τη μη μηδεviκή συνάρτηση f: 1 R - R με τις ιδι6τητες: w v 1 J =du= dx ψ) + f(x - ψ) = 2 f(x) · f(y) (1) για κάθε α. R _ R u) + 1 f( x (- χ) + 1 ( 1 R(-x) = 1 έχω, 1 x, y ER επει δ ή R(x) και β. Συνεχής στο R Να αποδείξετε: (ί) f(O) = 1 και ( χ"'· 0 I= _1_ + dx = _ χR··(χ). Κ+(χ)1 dx= (ii) Ja f(x) dx= 2 !. f(x) dx, α Ε R 1 1 R( x ) -1 J 1 x4v . [R(x) + 1-1] dx= Επειδή,,απ6 υπ6θεσn, η f είναι μη μηδενική συνά 1 = ρτηση, θα υπάρχει τουλώασrο ένας πραγματικ6ς αριθ _ 1 R(x) + 1 μ6ς λ γιa τον οποίον ισχύει η σχέση f(λ) .. Ο (2) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' (ί ) Η

Ααόδειξa. •

(3)

-α

F''

(1)

·.·

�

με

χ +Τ

•

Avσa

.,.a

�

χε

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

1�

ΧιιV

.Δ

-ί-

-α

ΛvσΩ.

κη. τ .

4/45

�,

1\pnες - Περιττές - Περιοδικές Σ"vαρτόσεις

= 1-1 x4v .dx- 1-1 R (χ)x4v+ l dx= 11 x4v dx- 1 121 = 11 x4v dx1 (1} f(x} = x4v είναι aρτίa στο άρα 11 X4v dx= 2 11 x4v dx (2} και επομένως η (1} γίνεται λόγω της (2} : � 2 i' dx

Από tην εφαρμογή (3} έχω:

LΌ R (x) dx � LΌ R (- x) dx. c c

-1

Άρα

-1

I = g(f(x)x) dx= g(f(--x)x) dx= -c a +1 -c a +1

-1

Άρα

= -gf(x)(x) dx= _1_f(x)+1 dx = -c a + 1 -c a9 (χ)

,ιιν

c I = 1Ο1 x4v dx = [ x4v+ 11] Ο1 = � 1 c χ a9 ( ) f ( χ) = g(x) dx = 1-c f(χ) . [a9a9(χ(χ) )++11-1J dx Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο a], -cc a + 1 c δείξατε ότι: c x) f( = 1-c f(x) dx- 1-c a9 (χ) + 1 dx = 1- c f(x) dx-1 και επομένως

[-d,

Avσa.

και επομένως

Θέτω χ = -u και έχω:

21 =

1-α f(x) dx=-J- α f(- u} du=

1-cc f(x) dx= 21Οc f(x) dx

α α � {. 1(- u)du� {. 1(- x) dx Αν η συνάρτηση f: R είναι aρτίa και συνε χής, δείξciτε ότι: {. l (x) dx � {. 1(- x)dx {. Ι(χ) ·h(<+ Yl +,ί.)dx. � o Έστω a Ο, a 1 και f, g συνεχείς συναρτή σεις στο Αν η f είναι aρτίa και η g είναι πεpιπή συνάρτηση R με τύπο: στο δείξατε c1 f(x)ότι dx= 1c f(x) R ( x) =f( x) h( x + +χ2) νι R είναι προφανώς συνεχής στο R και επομένίvς ολο -c a9 (χ) + 1 Ο κληρώσιμη κατά Riemaη. f aπό υπόθεση είναι aρτίa. Ονομάzω g(x) = h(x +ν1 + χ2 ),χΕ R και Προφανώς η R με τύπο g (- χ) = h (-χ+ νι + .κ.) = h (ν ι + χ2 _ χ) = R (x) = a9 f((χ)x)+ 1 1 = h χ+ νl + χ2 =- g(x) είναι συνεχής και επομένως ολοκληρώσιμη κατά R

--+

!'fflJ&.

[-c, c]. [ -c, c]

;ο!

Avσn.

dx, cE

Avσa.

Riemaη στο [ -c, c].

έχω:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/46

Αρnες - Πεpιπές -: Πεpιοδιίιές J:uvαpτιίσεις

Άρα για κάθε χ Ε R έχω: g(-x) = --g(x). {2χ+2, -1:s:x<O Επομένως η g είναι περιπή και η R ως γινόμενο f(x) = -2χ+2, O:s:x:s: 1 αρτίας και περιπής είναι τελικά περιπή συνάρτηση 0 X:S-1 ή 1 στο R. Άρα Φανερά είναι συνεχής στο= R και ολοκληρώσιμη κατά Riemaη Επίσης f(-x) f(x). Δηλαδή είναι και {" ιι,q π ( 1 + Υ1 + "')dκ� αρτία. Άρα . (Πρόταση 1) f2 f(x) dx= 212 f(x) dx= 21 1 (- 2χ + 2) dx= τα ολοκληρώματα -2 ο ο /21 Υπολογίσατε π 1994συvχdχ 1 +χ-dx (ii) 1π (--χ (i) f- συvxh1/2 1 _ χ ο 2 ) 0 Η συνάρτηση f είναι συνεχής και περιοδική με liii) [Ί ( 1 + ημ2χ)χ' dκ liv) {, q1-ι � Ι +{1 1 -ι,.j))dκ περίοδο Τ στο R. Δείξατε ότι: + (ί) Το { Ί(χ) dκ, αΕR είναι ανεξάρτητο του α (i) Ι =f112 f(x) dx, όπου f(x) = αιvh 11 +χ -χ - 1/2 + Η f έχει πεδίο ορισμού το (-1, 1) και είναι συνε χής στο (-1, 1). Άρα υπάρχει το Ι. Εύκολα δείχνεται (ii) Ja κΤ f (χ) dx = Κ 1Τ0 f (χ) dx, κ Ε Ν* ότι f(-x) = -f(x). Δηλαδή η f είναι περmή στο (-1, 1) άρα και στο (-%, %) και επομένως Ι = Ο. (iii) Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα 0π (Πρόταση 1). 2 I= 10 V1-συv2xdx (ii) Θέrω �-χ= u και έχω: Ι = u1994 ημudu 2 J-π/2 (i) Από την πρόταση 7 έχω: π/2 = f u1994 nμudu. [ • Ίι� dt J.Ίι� dt. χε π/2π/2 Άρα για χ = α έχω: Δn?αδή Ι = - xl994 ημχdχ Χ�

Λ"σn

π/2

Λ"σn.

�

Jπ/2

ι«ΙJε

{ · Ίωdt� J.Ίωdt

συνάρτηση f με τύπο 1 994 = f(x) χ ημχ είναι φανερά περιπή ως γινόμενο Δηλαδή το αρτίας και περιπήςστο R. Άρα Ι = Ο. { · Ί wdκ 1 1 1 είναι ανεξάρτητο του α. (iii) l=f χ�o dx+f χ�ο ημ2χdχ=f χ� ο dχ= -1 -1 -1 (ii) Για κ = 1 προφανώς ισχύει λόγω του (i). Υποθέτω ότι ισχύει για κ = { . ί(χ) dκ � v f.Ίιχ) dκ (iν) f(x) = 1 1 - I χ I I + ( 1 I χ I ) και χωρίς από ξω ότιΘα δείξω ότι ισχύει για κ = ν + 1. Δηλαδή θα δεί λυτα γράφεται: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' Η

ν:

vτ

κn. τ.

4/47

Αρnες - Περιττές - Περιοδικές Σσvαρτάσεις

α + (v + f (χ) dx = (ν }{Τf (χ) dx Jα 0 Το πρώτο μέλος της γράφεται: α + (v + f(χ) dx = α + vT + Τf(χ) dx = Jα Jα Τ α ( α +l") v T + + = J f (χ) dx J f (χ) dx((=21)) α α+Τ Τ Τ α + Tcrmά J κ f(x) dx= J{ f(x) dx α o l) τ

(3)

+ 1)

(3)

l) τ

1'. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ.

Έστω α > Ο, α 1 και f αρτία και συνεχής συνάρτηση στο [ - . Δείξατε ότι: (i) c f (χ) dx = {c f (χ) dx, νια κάθε κ Ε R 1.

(ii)

(ili)

Η f(x) = I ημχ I φανερά είναι περιοδική με περίο δο Π στο R. Άρα σ 2 I= Γ2 Jf π l� dx= Γ2. 20 JΓ ημχdχ=40Γ2

dx = J{c f(χ) dx, νια κάθε κ Ε R o

Υπολογίσατε το

�

- c f!x + 1

;ο!

]

- c cfx + 1

(20π -J2rifxdx= Γ2 (20 π l� dx.

J Jc

c, c

2 χ1994 dx, J 2 (x) _

αν γvωρίzετε ότι η R είναι συνεχής στο [ -2, 2] με R(x) > Ο και R(x) · R(-x) = 4, για κάθε χ Ε [ -2, 2]. 3.

Υπολογίσατε το

JΊ

(1 + φ <!χ) "'...

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f(x) > Ο για κάθε χ Ε R, δείξατε ότι η F με τύπο F(><) � [" f(� di; Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής, περιπή και γvησιώς αύξουσα στο R, τότε: α Ε R δεν είναι περιοδική. (i). Μελετήσατε την F (><) [" ι� dt Είναι F (χ) = f(x) και επειδή f(x) > Ο για κάθε χ Ε R, έχουμε F (χ) > Ο για κάθε χ Ε R. Δηλαδή η F α Ε R ως προς τη μονοτονία. είναι γνησίως αύξουσα στο R. Έστω ότι η F είναι πε ριοδική με περίοδο Τ. Άρα F(x + Τ) = F(x). Δηλαδή (ii) Να αποδειχθεί ότι αν αν και χ + Τ χ είναι F(x + Τ) = F(x) και επομένως L' f(� dt �O δεν είναι "1 - 1". Αυτό όμως είναι άτοπο, διότι η F εί ναι γvησιώς αύξουσα και συνεπώς "1 - 1". Άρα η F και α β, τότε α + β = Ο. δεν είναι περιοδική. 8.

Λvon.

�

;ο!

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/48

Β Ι ΒΛ Ι Α

Μ Α Θ Η Μ Α'Τ Ι Κ Ω Ν

Μ Ι ΧΑΛ Η

KA P A M AV P O V -�

ΚΥΚΛ Ο Φ Ο Ρ ΟΥ Ν

ΑΛΓ Ε Β ΡΑ

Α ΝΑΛΥ ΣΗ

ili !'J�-

ΛΥ Κ Ε I Ο Υ

�� κάθε βιβλίο παρατίθεται με μεθοδικό τρόπο η θεωpίqi1; την οποία πλαισιώνουν: *

παρατηρήσεις

λυμένες εφαρμογές

άλυτε5: πρωτότυπες ασκήσεις

Για κά θ ε β ιβλίο υπάρχει ειδικό β οή θημα που δίνε ται μόνο στο υς συναδέλ φ ο υ ς (ΔΩ Ρ ΕΑΝ)

Για πληροφορίες απευθυνθήτε στα τηλέφωνα : 270747 -266766 - FAX 24 1 1 84' ·: ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘ � �Η = . ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ Α.Ε. Αθήνα, Διδότου 39, τηλ. 36�Q� .§ f3, 3608527 .. ,· · .· Ή ; · .<:) εσσαΆονίκη, Γρηγορίου Ε' 30, τηλ. 31 0506 . .

"ΕΝΑ "ΠΛΕΚΤΟ" ΜΕ ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ ΣΥΝΑΡΥΗΣΕΙΣ Ηλίας Λοyοθέτnς

Στο παρακάτω "πλεκτό" φιλοδοξώ: α) Ειδικά: Να Α 1) Για να υπάρχει η F πρέπει η συνάρτηση aνaδυθε.ί η έννοια της "συνάρτησης ολοκλήρωμα" και f(t) _t_ να είναι ορισμένη στο (0, + οο) και η fνa t-ht η περιρρέουσα ατμόσφαιρα που aυτή aποπνέει στο μαθηματικό οικοδόμημα και β) Γενικά: Να γίνει μια είναι συνεχής σ' aυτό το διάστημα. Για να ορίzετaι η ξενάγηση χώρους των μαθηματικών όπως: ιδιόm στο (0, οο) είναι aρκετό το t - lηt � Ο σε aυτό το ' τες και υπολογισμοί ολοκληρωμάτων όρια -μονοτο fδιάστημα. Απάντηση σ aυτό το ερώτημα μπορούμε νία συνάρτησης εμβαδά -λύσεις εξι σ ώσεων έχουμε θεωρώντας τη συνάρτηση g(t) = t .- lηt και να ασύμmωτες, κ.λπ. τον πί ν ακα μεταβολών της. Δίνονται οι συναρτήσεις F, Ι, Δ, G, με . (t) = 1--=1t t-1t g x F(x} = _t_ dt, Ι(χ} = 1 ( 1 + ht) dt, t J t-ht t 1 + οο hx)2 ' Δ(χ) = hx _ ( χ2 2 g' (t) + ορισμένες στο (0, +οο). I g(t) / � Α 1) Να επαληθευτεί η ύπαρξη της συνάρτησης F l και να μελετηθεί aυτή ως προς την μονοτονία στο σύ νολο ορισμού της. Παρατηρούμε: για t 1 η g είναι γνήσια aύξουσα 2) Χρησιμοποιώντας την μονοτονία της F, δηλ. το πρόσημο της F(x). g (t) > g(1) δηλ. t-lηt 1. 3) Δείξτε ότι το Im F(x) = + οο για t < 1 η g είναι γvήma φθίνουσα δηλ. g(t) > g (1) δηλ. t -lηt > 1. 4) Υπολογίστε το Ι(χ) δια κάθε χ > 1. Άρα για κάθε t Ε (0, + οο) το t -lηt > Ο δηλ. για κάθε t, t -lηt � Ο. f προφανώς είναι συνεχής συνάρ 5) Δειξrεότι: F(x) �χ+ l (hx)2-1 δια κάθε χ> 1. 2 τηση στο (0, + οο), υπάρχει λοιπόν η συνάρτηση F και μάλιστα είναι μια συγκεκριμένη παράγουσα της f εκεί 6) Βρείτε την πaράγωγq της συνάρτησης G. νη γιαΜονοτονία την οποία F(1) =: Ο. Β 1) Να ορισθεί η συνάρtηση h Ι + Δ. της F δια κάθε χ > Ο F' (t) = _χ_, x- hx 2) Να βρεθούν τα όρια της h στα άκρα του συνό λου ορισμού της. επειδή χ - lηχ > Ο όπως δείξαμε προηγουμένως 3) Ανazητήστε τις aσύμπτωτες της Ch (γραφικής το F ' (χ) > Ο άρα η F είν αι γνήσια aύξουσα στο παράστασης της h) και �στω D η ευθεία που είναι πλά (0, + οο) . για aσύμmωτη της Ch. 4) Μελετήστε την θέση της Ch ως προς την D και 2) Πρόσημο της F(x): βρείτε το μέφο του εμβαδού Α(λ) μεταξύ: της Ch της D + οο και των ευθειών με εξισώσεις χ = 1 και χ = λ με λ 1 . 5) Να προσδιορίσετε το όριο J2. του Α(λ) όταν + λ - οο και να δείξετ� ότι η εξίσωση Α (λ) = J2.2 έχει μοναδική λύση στο [ 1, + οο). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' =

σε

I I

�

οροσ

�

διορίσι:ε

χ - + οο

•

κn. τ.

4/50

Ένα "ολεκι:ό" με τέσσερειs cηιvαρτιiσειs

F είναι γνήσια αύξουσα στο (0, +οο) και F(l) = 1) συνάρτηση h ορίzεται στο σύνολο (0, + οο) που είναι το κοινό μέρος των συνόλων που ορίzεται η Ο άρα: Ι και για χ � 1 F(x) > F(l) Ο δηλ. F(x) > Ο. για χ 1 F(x) F(l) Ο δηλ. F(x) Ο. Ο τύπος της h: h(x) = + (χ) = Ι (χ) + (χ) = χ-1 + l (hx)2 + hxχ2 _ (hx)2 = χ-1 + χ2 Επειδή χ - + οο θεωρώ το χ � 1 άρα lηχ > Ο χ :Ξ!: 1 αφου, χ� x- hx , -επομεvως x-hx Το χ -ο+ h(x) = χ - ο+ {χ-1 + hx) =..,.οο αφού χ και τΜικά 1 dt }1Γ 1 dt δηλ F(x) :Ξ!: χ-1 επειδή -ο+ hxχ2 = ο+ .(hx ·l)=- oo (+ oo)=- oo . J Το χ --+ + οο {χ-1 + hxχ2 ) =·+ οο αφού ο κριτήριο παρεμβολής είναι ένα εργαλείο με μεγάλη χρηστική αξία στην αναzήτηση των ορίων) . χ--++"" hxχ2 = χ--+ + οο 2χ = 0 Επειδή , h(x) = -οο η ευθεία χ = Ο είναι κατακόρυφη ασύμmωτη της Ch. � χ-1+ [(wJ '·hl·dt� Επειδή χ --+ + οο h(x)= + οο έχει νόημα η αναzήτησηση ας aσύμπτωτης = χ-1 + [l (n�2J x1 = χ-1 + (hx)2 . οποί α προσδιπλάγι ορίzεται ως εξής: της Ch στο + οο, η hxχ2 (χ) -(χ-1) = hxχ2 h ( χ )= χ-1 + Αρκείνα δείξουμε ότι F(x) � Ι(χ) για κάθε χ > 1 δηλ. χ--+ + οο [h(x) -(x-1)] = χ --+ +"" hxχ2 :::; o και εξ' ορισμού η ευθεία με εξίσωση = χ -1 είναι x χ_ :Ξ!: 1 + hxχ { nt) _ :Ξ!: t {x_ dt dt (l ασύμmωτη της Ch στο + οο. x-hx }1 }1 _ χhx <=> x-hx _x x+χhχ:Ξ!: Ο <=> yιακάθε χ:Ξ!: 1 x-hx _ (χ + hx) (x-hx) :Ξ!: 0 ( - (hx)2) :Ξ!: <=> τηςΓιαστονα+ οοέχειή στονόημα η αναzήτηση πλάγιας ασύμmω οουποχρεωτι της γραφικής παράστασηςh(μιx)ας x(hx)x-hx) x(x-hx) συνάρtησης h πρέπει κά το χ ---ιιο + ω ή 2 (x-(x-hx) το χ ---ιιο - 00 h(x) να.είναι +οο ή- οο, διαφορετικά δεν που ισχύει αφού χ > 1, χ -lηχ > Ο, (lnx? > Ο. υπάρχει. Για να μελετήσουμε την θέση της Ch με την aσύμπτωτη μελετaμε το πρόσημο της διαφοράς h(x)-(x-1) = hxχ2 . Παρατηρούμε ότι το πρόσημο της διαφοράς εξαρ τάται από το lηχ αφού χ2 > Ο όμως lηχ > Ο δια κάθε �( (ι+ �)dt- [(ι+ �)dt� Ι(Jί!) -Ι(χ) χ > 1 και lηχ Ο δια κάθε Ο χ 1. (χ) = Ι'(χ2)· 2χ-Ι' (χ) = 2χ · (1 + �2)-(1 + �t) = Επομένως: δια κάθε χ > 1 η Ch είναι πάνω από την = 2χ-1 + 2hx2χ _ hxχ . δια κάθε χ 1 η Ch είναι κάτω από την για χ = 1 Β

.Η •

•

Δ.

_t_ > t- ht

• ··

(τ

(D. L' Hospital)

-· ο-,

t-ht

Ο!:

δηλ.

χ+

<=>

άρα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

_ _

χ2 - χ2

�

•

χ2

χ __,.

•

χ2

Δ)

<=> ---

eψa•

τέμνονται. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' κn. τ.

4/51

D. D

Έvα "ολεκι:ό" με τέσσερεις (Π)Vαρτιίσεις

g(1)=1, /\ -++σοg(λ)= 11--+ +σολ(2 λ - 1+ 1λ) · Α(λ) � iΊx-1+;-(x-l)] dx � {(;)dx � = (- 1) =αφού /\ -+ +σο λ = Ο. Γι-�)· hx·dx �H· nxJ:-ι�·(hχ)' dx � Επισης g. (λ) = --.2λ- λ για λ > 2 g' (λ) Ο για 1 λ 2 g' (λ) > Ο H nxJ:- {H-�dx�-*WΙ+[- x- 1]: � 2 + οο 1 =- 1·λ λ + 1 = 1- λ - λ g ' (λ) + ο 2Ιη2 � g(λ) 11--+ +σοΑ(λ) = 11--+ +σο (1- 1λ) = 1 1 I αφού 11--+ +σο λ =0 για λ = 2 έχουμε μέγιστο το g(2) = 2 Ιη2. Από τον πίνακα μεταβολών η g(λ) φαίνεται ότι g(2) = 2Ιη2 > Ο και εξίαι>ση Α (λ) = 2 1 - 1λ - λ 12 δηλ έχει ρίzαgστο(λ) =[ 2,- + και αφού είναι συνεχής στο [2, + 11--+ +σο 2λ-2-2Ιηλ =λ λ-2 -2 Ιηλ = Ο 2Ιηλ-λ + 2 = Ο. δή η g(λ) στο [2, + είναι γνήσια φθίνουσα ύπαρξη της λύσης αυτής της εξίσωσης και η μο αυτήΕπειη ρίzα κή. συνάρτηση g(λ) δεν μη ναδικότητά της μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους, δεvίzεται ότανείναι1 μοναδι λ 2 αφού g(1) = 1 > Ο και g (2) όμως αν θεωρήσουμε την συνάρτηση = 2Ιη2 > Ο και επι π λέον είναι συνεχής και γνήσια αύ g(λ) = 2Ιηλ - λ + 2, το g(1) το g(λ) και τον πίνακα ξουσα σ' αυτό το διάστημα. τελικά, λοιπόν' η εξίσωση μεταβολών της g, μπορούμε να έχουμε συνολι κ ή απά = Α ( λ ) 2μηδενίzεται μόνο γι α μι α τιμή για την ντηση στα ερωτήματα αυτά. οποία ισχύει > 2. Επειδή για χ > 1 η πάνω από την D έχουμε Ch

οο .

•

Im hλ

Άρα

•

- 00

Im hλ

•

.,e yίvεrαι:

<=>

1 nr. .

nr.- 1

hλ

οο

<=>

οο

)

οο .

οο

lim

..eι

)

λσ

λσ,

ΜΑθΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 1995 Το aποτελέσματα της Εθνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδος

12. Κοvτορίνης Νίκος Α · Λυκείου (Πειραματικό Λύκειο Πα-

1995

τρών) 13. Κούρτης Λάμπρος Γ · Λυκείου (5ο Λύκειο Λάρισος)

1. 2. 3.

Κουρούvης Δρόσος Γ ' Λυκείου (Λύκειο Καλύμνου):

14. Λυμπεροπούλου Φωτειvή Γ ' Λυκείου (5ο Λύκειο Καλλιθέας)

Χρυσό Μετάλλειο

15. Μιχαλάκης Σπύρος Γ ' Γυμνασίου (Κολλέγιο Αθηνών)

Ροuτzούνης Σταύρος Β · Λυκείου (12ο Λύκειο Περιστερίου):

16. Ξυθάλης Χρήστος Γ ' Λυκείου (2ο Λύκειο Γλυφάδας)

Αργυρό Μετάλλειο

17. Βαλεοvτής Ευτύχιος Β ' Τάξη (Λύκειο Κaρλοβάσου Σάμου)

Μaυροειδής Ιάκωβος Γ· Λυκείου (5ο Λύκειο Χανίων) :

18. Ράmης Ορέστης Α · Λύκειου (Αμερικ. Κολλέγιο Αγ. Παρα

Χάλκινο Μετάλλειο

σκευής)

Μπρέγιaννης Πέτρος Γ · Γυμνασίου

Σολιδάκης Γεώργιος Γ' Λυκείου (3ο Λύκειο Χανίων):

20. Μιχαλάκaς Ζήσης Β · Λυκείου

Χάλκινο Μετάλλειο

21. Πaπaκωνστavτίνου Χρήστος Β · Λυκείου (Νηρέως - Πρωτέ-

19. Σιδηρόπουλος Λάzaρσς Γ ' Γυμνaσίου ( 19ο Γυμνάσιο Θεσ/

(2ο Γυμνάσιο Αμαρουσίου) : Χάλκινο Μετάλλειο

6. 7.

νικης)

Κaρaνaστάσης Νικόλαος Γ · Λυκείου (1ο Λύκειο Λαμίας) :

(llo Λύκειο Θεσ/ νικης)

ως Ρaφήνaς)

Έπαινος

22. Πετρόπουλος Άρης Β ' Λυκείου (4ο Λύκειο Χαλανδρίου)

Μaϊόπουλος Ραφαήλ Γ ' Λυκείου (Κολλέγιο Αθηνών):

23. Βαμβακάρης Δομέvικος Γ ' Λυκείου (2ο Λύκειο Δράμας)

Έπαινος

24. Λιaκόπουλος Παναγιώτης Β ' Λυκείου (Εκπ. Δούκα)

Θεοδωρίδης Πέτρος (ΕΠ.Λ. Αλεξανδρούπολης)

25. Μαλaκούδης Δημήτρης Β ' Λυκείου (2ο Λύκειο Άνω Τού-

Μαλικιώσης Ρωμανός - Διογένης Γ · Γυμνασίου ( 14ο Γυμν. Θεσ/ νίκης)

10. Τάκος Γιώργος Β ' Λυκείου (1ο Πειρaμ. Λ. Αθηνών)

1 1 . τρυφερίδης Θανάσης (Πειραματικό Σχ. του Αριστ. Πaνεπ. Θεσ/ νικης)

μπας Θεσ/ νικης)

26. Κaτηq)όρη Ελένη Α ' Λυκείου (Βαρβάκειο Πειρaμ. Λύκειο) 27. Παπαδόπουλος Πέτρος Γ ' Λυκείου (22ο Λύκειο Αθηνών)

28. Παπαγεωργίου Ανδρέας Γ · Λυκείου (2ο Λύκειο Μοσχάτου) 29. Βρυώνης Ανδρέας Β ' Λυκείου (2ο Λύκειο Παπάγου)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/52

ΣΥΝΑΡΥΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ και μια οροσέyyισn τnς lnx ως εμβαδοv Δn μότρnς Ντρίzος

Έστω συνάρτηση f(t) ηου ορίzεται και είναι συνεχής σ' ένα διάστημα Δ, φραγμένο ή όχι. Το ολοκλήρωμα της f(t) από t = α μέχρι t = Χο ορίzει έναν πραγματικό αριθμό

F(Y())

= fxo f(t) dt, α

όπου χ0 είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του Δ και α ένα αυθαίρετο αλλά σταθερό όμως σημείο του Δ. Αν τώρα σε κάθε σημείο Χο Ε Δ aντιστοιχίσουμε τον μο ναδικό πραγματικό αριθμό

F(>ΙJ)

�

f'' ι f(� dt

ι ω c11;

Σχ. 2

τότε ορίzεται μια νέα συνάρτηση F : Δ - R με τύπο

F(x)

�

Στον τύπο αυτής της συνάρτησης, με το χ συμβολίzουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή της ενώ με το t την μεταβλητή ολοκλήρωσης. Βλέπουμε λοιπόν ότι με τα ολοκληρώματα μπορούν να οριστούν νέες συναρτήσεις. Έτσι για παράδειγμα: ο φυσικός λογάριθμος ενός αριθμού χ > Ο ορίzεται με τον τύπο

hx= J{1χ ldt,t

Αν χ = 1 τότε η τιμή Ιη1 εκφράzει, όπως είναι φανερό, το μηδενικό εμβαδό

Εφαρpοyιί: Ν' αποδειχrούν οι ισότητες (Σ.l):

χ>

·χ

και α ένα αυθαίρετο αλλά σταθερό σημείο του διαστήματος

που μπορούμε να τον μεταχειριστούμε και σαν συνάρτηση του χ. Για κάθε χ > 1 η τιμή Ιηχ εκφράzεται από το εμβαδό Ε1 του σχήματος 1 . Για κάθε χ με Ο < χ < 1 η τιμή lnx εκφράzεται από το εμ βαδό � του σχήματος 2. Στην περίmωση αυτή είναι

(0, +οο)

(Σ.2): Ιη(χ · ψ) = Ιηχ + Ιηψ, χ, ψ > Ο Αοόδει�: Θέrουμε u = t/a ή t = au, άρα dt = (au) '

Με t = α και t = αχ προκύmει αντίστοιχα u = 1 και u = χ και επειδή η t/a είναι "1 - 1" έχουμε:

f (t)

.l (au) ' du au

Σύμφωva με

f (t) = �. t > ο t

•ην

{Σ. l) κaο m..Bn hκ

�

θα έχουμε

(χ .

Σχ. 1 χ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

, fαα ldt= {χ *du = fx ldt = {χ t }1 }1 1 t { � dt h ψ) = f χ ·ψ 1 dt fx dt + f χψ dt 1 t 1t t χ = }1{χ 1t dt + }1{ψ1dt= t hx+ hψ ·χ

1f 1 lt dt =O ldt= t }1{χ ldt,t Ο

κη. τ.

4/53

Σvvαρτιiσεις ao\1 oρizovτai με ολοιιλορώpατα

Στο σχήμα 4. θεωρώντας πως 1 ης προφανείς_ισότητες:

f (t) f (t)

Ει (Σl ) Ε3

.!... ,. t > ο t

Οπόrε:

χ·ψ

Σχ. 3 Ας δούμε τώρα μια γεωμετρική ερμηνεία (σχήμα 3.) της ισότητας (Σ.2) στην περίmωση που είναι χ > 1 και ψ > 1 Στο σχήμα 3. έχουμε Ει = �. γιατί:

Ε3

1dt = { χ 1dt - {Ψ 1dt και συνεπώς }1 t Jι t 1 t h = hx- hψ

Γλv }

χ·ψ

(Σ. l) x

1dt = t

Είδαμε έτσι μια γεωμετρική προσέyyιση της (Σ.4) Για την απόδειξη της (Σ.5) θα διακρίνουμε ης περιπτώ σεις: (α) ΈοΊ:ω 1 < χ < ψ. Τότε (βλέπε σχήμα 5.) ισχύει:

Ει < Ει + � · Άρα

1dt = Ε ι t

1 dt < {Ψ 1 dt δηλαδή t Jι t

ι��> { �� .. ψ

( 1dt + ( 1dt = hx + hψ Jι t J ι t

Θα δούμε σm συνέχεια την απόδειξη και άλλων ίδιοτήτων mς lιix ορίzοvτας αιν lnx, όπως ει'δαμε, ως το ολοκλήρωμα

(Σ.4): h

(;)

f (t)

f (t) = .!...,. t > ο t

hx- hψ

Αοοδείξεις:

Από mν (Σ.2): Ιη(χ · ψ) = lnx + Ιηψ με ψ = 1/χ προκύπτει

h1 = hx + h 1 χ

και επειδή Ιη1 = b, θα είναι lηχ-ι � -Ιηχ. Λόγω τώρα των (Σ.2) και (Σ.3) διαδοχικό

(;) = h (x · �)

�ουμε:

t χ ι Ψ Σχ. 5 Φυσικό είναι γνωστό πως η (Σ.5) μας λέει όη η συνάρ τηση Ιηω, ω > Ο είναι γνήσια αύξουσα. Για την απόδειξη τώρα της (Σ.6) θα διακpίνουμε πόλι περιπτώσεις: (α) Για κάθε χ > 1 και t Ε [1, χ] διαδοχικό έχουμε:

f f f

1 s ts x<:> 1 s 1 s 1 οπόrε χ t

= hx + hψ- 1 = nx - hψ

f (t)

1dts l dts dt<=> x�1 s hxs x - 1 1 χ 1 t 1

f (t)

!.. ,t>ο t

(β) Για κάθε χ με Ο

<χ<

1 και t Ε [χ, 1] έχουμε:

xs ts 1 <=> 1 s 1s 1 οπόι:ε t χ

Σχ. 4

Ιηψ

(γ) Αν είναι μόνο χ = 1 ή μόνο ψ = 1, τότε είναι φανε ρό πως π (Σ.5) πόλι αληθεύει.

{χ 1dt Ji t

(Σ.S): lnx < lnψ όταv χ < ψ (Σ.6): χ- 1 s hxs χ- 1 χ

- (χ 1 dt > - ( 1dt<:> ( 1dt < ( 1dt <=> hx < hψ Jι t J ι t } 1 t }1 t

Για οποιαδήποτε θετικό χ και ψ ισχύουν οι σχέσεις:

(Σ.3): lnx-1 = - lnx

lnx

(β) Έστω Ο < χ < ψ < 1. Τότε (βλέπε σχήμα 6.) ισχύει:

Άρα

Jιx

Ει + � > �· Άρα

Προφανείς είναι τώρα οι ισότητες:

(Ει + � + Ε3) - (Ει + �)

(;)

Ει

< χ/ψ < ψ < χ, έχουμε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

ι�$ ι��$ ι�� ..

4/54

:Εοvαρτιiσεις

aoo

ορίzοvται pε ολοκλιιρώpαι:α

_JΓι J t JιΓ ; = J: <h� J: ;<h� J: �<h= dt � -

�

f (t)

χ- 1 χ

ΠΡΟΥΕΙΝΟΜΕΝΑ θΕΜΑΤΑ:

1.1. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R και

dt �

l dt � -

f (x)

χ Ε R τότε να βρεθεί η τιμή της F ' ' στη θέση χ 1 στην πε ρίπτωση που είναι f(1) 995 και f ' (1) 5 1.2. Αν για κάθε χ > Ο είναι f(x) > Ο και (f2 (χ)) > Ο τότε: (α) Ν' αποδειχτεί ότι F ' (1995) > F ' (1994) (β) Να βρεθούν οι τιμές του Κ, Κ > 6/5 για τις οποίες αληθεύει η ισότητα (Σ. 1): =

J,"'Ί ω <h

>ο

+ .i'!(.ι)

2. Για κάθε χ

� J."" - Ί ω <h ιs. - 6J ιιs. - 61 +

> Ο ορίzουμε τη συνάρτηση

2.1. Να αποδειχτεί ότι f(x)

Σχ. 6

2.2. Να υπολογιστεί το

(γ) Αν χ 1 η (Σ.6) αληθεύει ως ισότητα. Ο αναγνώσrης μπορεί να αποδείξει και άλλες ιδιότητες mς lnx παίρνοντας υπόψη, όπως είδαμε, όn η lnx εκφράzει το εμβαδά

{χ l cJt Jι �

(χ) ��(/,'

)

f(� <h � f(x) (1)

ολοκλήρωσης με την παραγώγιση. - Κάθε συνεχής συνάρτηση f είναι η παράγωγος μιας άλλης συνάρτησης F που είναι κι αυτή συνεχής. - Η συνεχής συνάρτηση f ορίzει με μοναδικό τρόπο την παραγωγίσιμη συνάρτηση F, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει· f(x) αφού για κάθε σταθερά c Ε R ισχύει (F(x) + c) ' - Αν α και β είναι δυο διαφορετικά σημεία τdυ Δ τότε τα ολοκληρώματα =

+ x+l ---ιο χ

Ιχ+2

x+l

f (t) dt

4. 1. Να βρεθεί ο τόπος μιας συνεχούς συνάρτησης f που ικανοποιεί την ισότητα

�χ

με

F (x)

�Ι (S t-4) !(4ι' - 4t}<h ·

για κάθε χ Ε (- οο, 0). 4.2. Αν για την ταχύτητα υ (t) ενός κινητού που κινείται πάνω σ' έναν άξονα συντεταγμένων είναι υ(t) f(t) σε m/sec, να Βρεθεί το διάστημα που διανύει το κινητό από τη χρονική στιγμή t = 3 sec μέχρι τη στιγμή t 15 sec. =

5. Ένα σωματίδιο κινείται πάνω σε έναν άξονα συντε ταγμένων με επιτάχυνση

ν(� (_4-t4_)2 =

σε cm/sec2.

Να υπολογιστεί το διάστημα που διανύει το σωματίδιο μεταξύ των χρονικών στιγμών t 1 sec και t 2 sec, αν εί ναι γνωστό πως η ταχύτητα του σωματιδίου τη χρονική στιγ μή t Ο sec είναι 2 cm/sec. =

είναι διαφορετικά και αυτό γίνεται άμεσα φανερό, σκεπτό μενοι πως το καθένα εκφράzει και ένα άλλο εμβαδά στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy. Φυσικά ισχύει:

�(J,'ιω<h) � �({ιι� +ιιχΙ

f (t) dt

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της F(x)

(Σ.l)ο F (x)

Παραι:nράσεις - Η ισότητα ( 1 ) δείχνει τον τρόπο αλληλεξάρτησης της

lim

Ιχ+2 οο

3. Δίνεται η συνάρτηση

/,' f(� dt,Onως

στην αρχή του άρθρου ορίσmκε, είναι παραγωγίσιμη στο Δ και για κάθε χ Ε Δ ισχύει:

F(x)

θεώ.,.pa, Η σuνόρmσn F(x)

>Ο

2.3. Να βρεθεί η παράγωγος τhς συνάρτησης

Ε=

� hx� x- 1

f (t) = .!..., t t

� { xfω dJ;

Βιβλιοyραφία

Ε.Μ.Ε: Περιοδικά 'ΈΥΚΛΕΙΔΗΣ" Β ' και Γ . George Β. Thomas - Ross L. Fiηηey: Απειροστικός Λογι σμός Ντρίzου Δ: Ενότητες Ανάλυσης

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β '

κη. τ.

4/55

Μιyαδι κοί αριθμοί Παναyιώτnς Χριστόnοvλος - θανάσnς Χριστόnοvλος

Λ.Χ.ο

Ιστορικ ό

Οι μιγαδικοί αριθμοί εμφανίστηκαν στην Άλγε βρα τον 16ο αιώνα στην προσπάθεια να εκφρασθούν οι ρίzες δευτεροβάθμιας εξίσωσης με αρνητκή δια κρίνουσα. Ο Ιταλός μαθηματικός Jerolamo Cardaηo το 1545 στην προσπάθειά του2 να- λύσει ένα πρόβλημα οδηγή θηκε στην εξίσωση χ 10χ + 40 =0, hου έχει αρνη τική διακρίνουσα Δ=-60 και έγραψε χ1 = 5 + γ- 15 και = 5-γ-15 αλλά σημείωσε ότι οι λύσεις αυτές είναι ακραίες, εξε zητημένες και άχρηστες. Το 1637 ο Descartes τις ονόμασε φανταστικές ρί zες και ο Euler από το αρχικό γράμμα της λέξης «Imagiηaire>> 8παρέστησε το Γ-1 με το i. Το 1 31 ο Gauss τους έδωσε γεωμετρική παρά σταση και τους αριθμούς αυτος τους ταύτισε με τα ση μεία του8επιπέδου. Το 1 37 ο Hamiltoη τους έδωσε λογική θεμελίω ση θεωρώντας τους ως διατεταγμένα zεύγη πραγματι κών αριθμών. Έτσι σήμερα οι μιγαδικοί αριθμοί (complex ηumpers) μπορούν να θεωρηθούν επέκταση του σύνόλου των πραγματικών αριθμών. Είναί το ευρύτε ρο σύνολο μέσα στο οποίο ισχύουν οι τέσσερις γνω στές μας πράξεις και έχουν λύση όλες οι εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές. Το σύνολο αυτό δεν είναι διατεταγμένο. Ένας από τους θεμελιωτές της Γεωμετρίας των μι γαδικών αριθμών ήταν ο μεγάλος Έλληνας μαθηματι κός Κων. Καραθεοδωρής (1873-1950), ο οποίος εισή γαγε τη "χορδική απόσταση", την απόσταση δηλαδή εvός zεύγους μιγαδικών (z1 , �) σφαίρα Riemaηη. Ο τύπος είναι: Χ2

σm

i l � lz 3i l 2 = lz - i l 2 � lz +(z3il 3i)= lz(z--3i) = (z -i) ( i) � . � (z - Ζ)ί = 2 � 2yii = 2-�z y = -1 . . Έτσι θα έχουμε z = χ χ Ε R Άρα 2z + 3i = 2(χ-i) 3i = 2χ + και Arg(2z 3i) = 2π/3 Arg(+2x + i) = 2π/3 1� εφ 2π3 = j_ � - fi = 2κl �x=- 2fi -1- -i και mομέvως ο z=- 2fi Σημ. Αν z = α βί α Ο τότε ημθ =β/ρ = � εφ Arg(z) = εφθ = σuνθ α/ρ α +

<=>

ί,

<=>

2χ

;ο!

'ι\σιιnσn 2n:

ΑνΕΠ(χ)C, δείξτε = χ2 ότι2lz1 -z21x (1 lz112) (1 + lz212) zι, z2 Π(χ) Ο για κάθε χ Ε R. Πότε μπορεί να ισχύει η ισότητα; Είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο με πραγματικούς συντελεστές και α = 1. Άρα για να είναι το Π(χ) ομό σημο του α για κάθε χ Ε R2 πρέπει Δ <2Ο.)(1 + 2) = Έχουμε Δ = 4 (1 -4(z 12 +1 lz+11 z 2 =1�1 == 4[(z4 ι -z2J (zι ""z2Jlz1-�1 -+ ΖιΖιΖΙ ι 1 Η) = l 21 JJ 1 ( z z zl ιz = -4 [z1'Z22 (1 +2 'Ζ'ιz2) (1 + 'Ζ2'ιz2z2)] = 2 = -4(1 ϊ1�)(1 z1ϊ2=) =--4 1 1 + z1ϊ21 Ο Όταν Δ = Ο � z1ϊ2 1, τότε Π(χ) = Ο για χ=-�=-� 2α ι -� +

�

Αnόδει�n:

'ι\σιιιισn 3n

Να βρεθεί το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου για τα οποία είναι: z- q l---κ Να βρεθεί ο μιγαδικός z = χ + iy, χ, =y Ε IR, αν κ Ο κdι α, β δεδομένοι �- � μιγαδικοί αριθμοί. 2π!3 -i και Arg( 2 z + 3i ) = ισχύουν lz + 3i l Ιz l ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

'ι\σιιnσn ln:

κη. τ.

4/56

Μιyαδικοί Αριθμοί

Anάvτaσa Υ

� �) �

Α(zι)

B(z2

B'(z

Γ'(z' 3) χ

α) Αν κ 1 και Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών αριθ μών α, β και Μ η εικόνα ενός ruxαfoυ μιγαδικού αριθ 'Ομως ( 1) .;:;. �� - zιl = �3 -zιl .;:;. μού z, έχουμε lz - al = (ΜΑ) και lz - βl = (ΜΒ) άρα lz2 -zίl lz3 -zίl 3- z} I = lz2 - z} I Ι z3 - zιl .;:;. = 1, δηλαδή = ΜΒ και το σύνολο των ση .;:;.Ιz2 -(zzι l-lzzιHz3 - zί ) I = l(z2 - zί )(z3 - zι J I (3) i 2 μείων είναι η μεσοκάθεm του ΑΒ. β) Αν κ 1 το σύνολο των σημείων είναι ο Απολ η (2) .;:;. Arg(z3 - zι) -Arg (z2 - zι) = λώνιος κύκλος. Ο κύκλος τέμνει την ΑΒ στα Ε, Δ τα = Arg(z3 - z} ) - Arg (z2 - z} ) .;:;. οποία χωρίzουν το ΑΒ εσωτερικά και εξωτερικά σε .;:;. Arg (z3 - zι ) + Arg (z2 - zί ) = λόγο κ. = Arg (z3 - zί ) + Arg (z2 - zι) .;:;. .;:;. Arg [(z3 - zι Hz2 - z} )] = = Arg [(z3 - z} )(z2 - zιΗ (4) Από τις (3) και (4) έχουμε: (z - zι) (z2 - z} ) = = (z3 - z ' ι ) (z2 - zι) .;:;. zιz ' 2 + z2z3 +z3z ' ι = = z ι z2 + z 2z3 + z3 zι οι σχέσεις είναι ισοδύναμες άρα ισχύει και το αντίστροφο. =

ΜΑ ΜΒ

ΜΑ

•

Αν α = οι + βιi. = 0ι + β2ί και z = χ + yi τότε I (χ- αι) + {y- βι ) ϊl = κ .;:;. I (χ- αz} + (y - βz) ϊl χ2 (1 - κ2) + y2(1 - � ) + 2(κ2α2 - αι)χ + 2(κ2β2 - βι ) + αι2 βι2 - � (a22 + β22) = Ο εξίσωση κύκλου. β

Ασκaσa Sa

1η άσκηση από τις γενικές ασκήσει ς του βιβλίου έλ της Βης τάξης στο 2ο κεφάί\ α ι ο θ ει να δείξουμε ότι: ι 3Ρ 3 x3v μ +2 + το2 Ρ(χ) = + χ + χ διαιρείται με το χ + χ + 1 (ν, μ, ρ θετικοί ακέραιοι) Η

Αnόδειξa:

Το χ2 + χ + 1 έχει ρίzες τις zι = 1 + u i και � = 1 Γ3 ί ή 2 2 2 2 Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες στο μιγαδικό 2π ι. ημ-2π = zι επίπεδο των zι , z2, z3 και το τρίγωνο με κορυφές τα zι = σuv-+ zί, z2, z3 και το τρίγωνο με κορυφές τα 3 3 zί, z2, z3 είναι όμοια αν και μόνο αν Αρκεί το Ρ(χ) va διαιρείται με χ - zι και χ - z2. + z3 . Ζ ι ΖιΖz + Z2z3 + l = zί Ζ2 + z Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(χ) με χ- zι είναι υ ι = Ρ(zι) ηv + z�μ + ι + :ziP + 2 = 2; 3ν) + ί ημ (2; ) + σuv (2; (3μ + 1)) + Αν ΑΒΓ=Α'ΒΤ' τότε σu v ( (ΑΒ) = jΑΓ) 2; (3μ + 1)) + σuv{2; (3ρ + 2)) + (Α 'Β' ) (Α 'Γ ' ) (1) και + ίημ ( BAr = Β'ΑΤ ' (2) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.

Ασκaσa 4a

�

ZgZ

. Zg

Αnόδειξa

κn.

4/57

(; ) + σνν (2πμ + 2π ) + ι. ημ (2πμ + 2π ) + 3 3 + σνν (2πρ + �) + ί ημ (2πρ + �) =

Μιyαδιιιοί Αριθpοi

+ ί ημ 2 (3ρ + 2) = σνν (2nv) + ί ημ (2πv) +

= 1 + i . ο- 1 + fi i _l_fii = ο

2 2 2 2 Ομοίως είναι υ2 = P(z2) = P(z1 ) = Ο Άρα το Ρ(χ) διαιρείται με (χ - zι) (x - z2 ) = χ2 + χ + 1.

Ασκnσn 8n

Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών aριθμών, που είναι λύσεις της εξίσωσης lz - 11 2 + Ιz - 3 - 2il 2 = 6 Aaάvι:nσn

'Εστω Α(1, 0) και 8(3, 2), οπότε (ΑΒ) = Γs, ον Κ είναι το μέσο του ΑΒ, τότε Κ (2, 1). Έστω Μ η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο, τό τε η σχέση lz - 11 2 + lz - (3 + 2i)l 2 = 6 γίνεται (ΜΑ) 2 + (ΜΒ)2 = 6, αλλά aπό το θεώρημα της δια μέσου (ΜΑ)2 + (ΜΒ)2 = 2 (ΜΚ)2 + (ΑΒ)2 επομένως 2 2 (ΜΚ)2 + (ΑΒ)2 = 6 <=> 2 2 (ΜΚ)2 + 8_ = 6 <=> (ΜΚ)2 = 1 2

Acnιnσn 6 n

Να λυθεί στο t η εξίσωση (ax2 + βχ + γ)2 = (βχ2 + γχ + a) (yx2 + οχ + β) Λ.Jσn

Η εξίσωση ισοδύναμο γράφεται 3 (χ - 1) [(a2 - βγ)χ + (aβ - y2)] = Ο <=> <=> χ3 - 1 = Ο ή (a2 - βγ)χ = y2 - aβ. Γιο την χ3 = 1 έχουμε τις λύσεις

χ1 1, χι = _l + Ui, � _l_Ui 2 2 2 2 Γιο την (a2 - βγ)χ = y2 - aβ έχουμε: a) ον a2 - βγ ,. Ο 1 3 2 - aβ v= >!4 cf - βγ Άρα το σημείο Μ aπέχει aπό το σταθερό σημείο Κ β) ον a2 - βγ = και y2 - aβ ,. Ο αδύνατη 2 γ) ον a - βγ Ο και y2 - aβ Ο � = κάθε μιγα aπόσταση ίση με 1, δηλαδή το σημείο Μ είναι το ση μείο του κύκλου (Κ, 1). δικός.

Ασκnσn 9n

Ασκnσn 7n

Να εξεταστεί ον ο μιγαδικός z με lzl ,. 1 είναι ρίza της 1 + z + z2 + . . . + zv - 1 = Ο με ν Ε Ν

ορίσμαrά τους (Ν

Λ.Jσn

Επειδή lzl ,. 1 έχουμε z - 1 Ο και v-1 1 + z + z-? + ... + zv - ι = z-άρa zν - 1 = 0 <=> z- 1 ZV = 1 ή zV = ��ν [συv (vθ) + j ημ (νθ)] 1 <=> ,.

σνν (νθ) = _l_ και ημ (νθ) Ο ι �v Από το ημ (νθ) Ο έχουμε νθ = κπ κ Ε Ζ. Άρα συν (κπ) = _l_ <=> + 1 = _l_ <=> ι�v = 1 άrοπο ι �v ι �v γιατί lzl ,. 1 έτσι ο z δεν είναι ρίza.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

(;:)ν = �

ι�ι = 1

Αν z1 , z2 , Ε t και ν Ε Ν, Ποιο σχέση έχουν το και

Aaάvι:nσn

Αν z1 = a + βi ή z1 =ρ(συνθ + i ημθ) z2 = συνφ + i ημφ τότε �l v = a + βί ν = (ο + βί)2 ν = (ο + βi)2ν = a- βί cf + β2 z1 (c?- + β2)ν 1 = (cf + β2)ν [σνν (2vθ) + i ημ (2vθ)] = 2 (cf- + β )ν = συνφ + ίημφ.

() ( ) (

)

Άρα νθ = κπ- ! ή vθ + ! = κπ όπου κ Ε Ζ. 2 2 κη. τ.

4/58

Μιyαδικοί Αριθμοί

Ασκaσa lOa

ί\σκaσa 12a

Να λυθεί η εξίσωση: (1 + z) 2v + (1 - z)2v = (1 Λ.Sσa

Θ,

εrουμε

1 + z)v = ω νιαη, η (-1 -z

-z2)v

..s:: �αι>οη

Av z1 , �. z3 Ε C. Να δειχθεί όη ο αριθμός 1 1 1 z = z1 � 2'8 εfvαι φανταστικός

v Ε Ν* , yραφεrαι

( �)v)2_ (�)v Ο

(�)2v

v + 1 = ( 1 - z2) <=> +1= 1-z 1-z 1-z (1-z)2v ή ω2 - ω + 1 = 0 Δίvουμε Ίη λύση Ίης εξίσωσης αυΊής που είvαι

(--)

( ) 2

- -

- - - Ο. (��)v

ω1 = 1 + 1'..3:. ί, ή ω2 = 1 - U i 2 2 2 2 v v ,Άρα 1 + z = ω η, -1 + z = ω (1) l 1 -z 1-z Όμως i ω 1 1 = 1 ή i ω2 1 = 1 άρα και w = 1 <=> 1 + z . 1 + = 1 <=> 1 -z 1 - z �

Ο z γράφααι 1 1 1

1 1 1

Άρα z Ε Ι ί\σκaσa 13a

�

1 + z + z + zz = 1 -z-z + zz <=> z + z = επομέvως ο z είvαι φαv'fQσηκός αριθμός δηλ. z = κί και οι (1) έχουv Ίnv μορφή aκqm 9) v = ω και = ω (Άσκηση .

(��:)

Αιιόδειξa

Λ. n v

. 2n vα cα;ι , _-s: z = συv 2π "'εrε 6τι ο πιvακας 9 + ι ημ 9

[ 1

1 z2 z7 Α = z4 f' [' .; z -} είvαι αvτισφέψιμος Αιιόδειξa

��

Για vα είvαι αvτισφέψιμος πρέπει IAI pι

ί\σκaσa l la

Av ο v είvαι θεηκός ακέραιος, vα αποδείξαε όη δεv υπάρχει χ Ε R για Ίοv οποίο vα είvαι: ( 1 + xif = 1 + u 2 2 Αιιόδειξa

1 � + � ίι <=> 11 + xi�= 1 <=>

Av υπάρχει χ Ε R πρέπει �1 + xi)� =

<=> ( V1 + x2 )v = 1 <=> 1 + x2 = 1 <=> x = O 'Ομως (1 +

χϊ.)v

Άρα η εξίσωση

1 l 1 l 1 l

4 4 = 1 /' l' - z2 z .f + z7 z f' = Π� z .; -} z i3 .; z .; z -} = + .;s + .;2 = = = + .;s +

.p _.p _.p _.;s _.p -}2 _-z!B _3

διότι .Ρ = 1 .;s = συv 3Οπ 9 + ημ 3Οπ 9 =

_ 1_ 2

24π zl2 = συv 24π 9 + ί ημ 9 = - 1 + i u και 2 2 zlS = (ZJr= 1.

= 1 1 + Ui 2 2 p!

(1 + xif = 1 + U i εfvαι αδύvαm. 2 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/59

iu 2

Π ρ ο βλήματ α Πιθανοτήτων Δnμότρnς Ι. Mnovvάκnς

Άρα δεκτή μόvο η θ = 2.. 3 Έχομε τώρα Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος (δ.χ.) και Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα του Ω, ξένα ανά δυο, τέτοια ώστε Ρ(Δ) = Ρ(Α υ Β . ) = Ρ( Α υ (Α υ Γ)) = Ρ(Α υ Γ) = Ω = Α υ Β υ Γ. Έστω ακόμη ότι υπάρχει ένας θετι Ρ(Α) + Ρ(Γ) = κός αριθμός θ τέτοιος ώστε =1+1=1 6 2 6 Ρ (Α) + Ρ (Β) = .l, Ρ (Β) + Ρ (Il = 5θ , Εξ' άλλου Γ ' = Α υ Β, όποτε Α ς: Γ ' ή 3θ 4 Α n Γ· = Α Ρ (Il + Ρ (Α) = θ Έτσι έχουμε Ρ(Ε) = Ρ(Α n Γ . ) = Ρ(Α) = 1/6 όπου Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) οι πιθανότητες των ενδεχομέ νων Α, Β, Γ αντίστοιχα. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Δ = Α υ Β . , Ε = Α n Γ . Πρόβλημα 2 Πρόβλημα 1

Έστω Α, Β, Γ τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού Με πρόσθεση κατά μέλη των δεδομένων ισοτήτων χώρου (δ.χ.) α) Να δειχθεί ότι 1 - Ρ(Α ' n Β . n Γ ' ) s Ρ(Α) + παίρνουμε Ρ(Β) + Ρ(Γ) s 2 + Ρ(Α n Β n Γ) 2 (Ρ (Α) + Ρ (Β) + Ρ (Il = _1_ + 5θ + θ β) Αν Α, Β, Γ ξένα ανά δυο μεταξύ τους να δειχθεί (1) 3θ 4 ότι 2Ρ(Α υ Β υ Γ) s Ρ(Α . ) + Ρ(Β . ) + Ρ( Γ. ) . Όμως Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) = Ρ( Α υ Β υ Γ) = ΛΘση Ρ(Ω) = 1, επειδή Α, Β, Γ ξένα ανά δυο. α) Έχουμε 1 - Ρ(Α ' n B · n Γ' ) = 1 - Ρ[ (Α υ Β) ' Έτσι από την (1) προκύmει n Γ ' ] = 1 - Ρ[ (Α υ Β υ Γ) . ] = Ρ( (Α υ Β) υ Γ) s 5θ + θ 1 +2 =Ρ(Α υ Β) +Ρ(Γ) s Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ). 3θ 4 (από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων εύκολα <=> 27θ2 - 24θ + 4 = ο προκύmει ότι Ρ(Κ υ Λ) s Ρ(Κ) + Ρ(Λ), για δυο ενδε Λύνοντας την δευτεροβάθμια αυτή εξίσωση βρί χόμενα Κ, Λ ενός δ.χ.) σκουμε Για τη δεύτερη ανισοϊσότητα μετασχηματίzομε πρώτα το δεύτερο μέλος της 2 + Ρ(Α n Β n Γ) = 2 + Ρ[(Α n Β) n Γ)] = =2 + P(f'\ n Β) + Ρ(Γ) - Ρ[(Α n Β) U Γ] = Αν θ = 2/3, αφαιρώντας κάθε μια από τις δοσμένες (λόγω του προσθετικού νόμου των πιθανοτήτων) σχέσεις από την Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) = 1 (2), βρί = 2 + Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α υ Β) +Ρ( Γ)- Ρ[(Α n Β) υ Γ] σκουμε αντίστοιχα Έτσι, προς απόδειξη γράφεται Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) s 2 + Ρ(Α n Β n Γ) <=> Ρ (Il = 1, Ρ (Α) = 1, Ρ (Β) = 1 . <=> Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ( Γ) s 2 + Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α υ Β) 6 3 2 + Ρ(Γ) - Ρ[(Α n Β) υ Γ] <=> s 2 - Ρ(Α υ Β) Αν θ = 2. τόrε Ρ (Α) + Ρ(Β) = 3. > 1, άτοπο, Ρ[(Α n Β) υ Γ] <=> Ρ(Α υ Β) + Ρ[(Α n Β) υ Γ] s 2, 9 2 που ισχύει αφού κάθε προσθετέος είναι μικρότερος ή [6..ω mς (2). ίσος της μονάδας. Λσσa

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β.

κn. τ.

4/60

Προβί\ιipατα Πιθαvοτάτωv

β) Επειδή Α, Β, Γ ξένα ανά δυο, έχουμε Ρ(Α υ Β Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ), οπότε 2Ρ(Α υ Β υ Γ) s Ρ(Α " ) + Ρ(Β " ) + Ρ(Γ " ) 2[Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ)] s 1 Ρ(Α) + 1 Ρ(Β) + 1 Ρ(Γ) 3[Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ)] s 3 Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) s 1, που ισχύει, εφ' όσον Α υ Β υ Γ ς;;; Ω και Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) Ρ(Α υ Β υ Γ) s Ρ(Ω) 1. υ

�

� -

�

Πρόβλapα 4

Έξι μπάλες είναι μέσα σε ένα δοχείο και έχουν πάνω τους τους αριθμούς 1, 2, 4, 6, 8, 9 αντίστοιχα. Παίρνουμε στην τύχη 3 μπάλες την μια κατόπιν της άλλης χωρίς επανατοποθέτηση, και έστω α, β, γ κατά σειρά οι αριθμοί τους. Ποιά είναι η πιθανότητα ο πίνακας Α

Πρόβλapα 3

Σε μια πόλη κυκλοφορούν δυο περιοδικά, το ΜΦΑ και το ΒΗΓΑ. Το 25% των κατοίκων έχει δια πιστωθεί ότι διαβάzει το ΜΦΑ, το 85% δεv διαβάzει το ΒΗΤΑ, εvώ το 38% των κατοίκων διαβάzει τουλ6χιστον ένα από τα δυο περιοδικά. Να βρεθούν οι πιθανότητες: . α) Ένας (τυχαίος) κάτοικος να διαβάzει και τα δυο περιοδικά β) Ένας κάτοικος να μην διαβάzει κανένα περιο δικό.

= [ ; �]

να είναι aντιστρέψιμος; Avσa

p= =Ο =

Η zητούμενη πιθανότητα είναι ίση με 1 Ρ(ο Α δεv είναι aντιστρέψιμος). Ως γνωστόν, ο Α είναι μη aντιστρέψιμος αν και μόνο αγ - β2 ή β2 αγ. Επειδή το α έχει 6 επιλογές το β 5 και το γ 4, οι δυνα τές περιπτώσεις του πειράματος είναι (σύμφωνα με την Α.Τ.Α.) 6 5 4 120 (δηλαδή ο δ.χ. αποτελείται από τις διατάξεις των 6 αριθμών ανά 3). Αναzητούμε τις τριάδες α, β, γ με β2 αγ. Γινόμενα που να' ναι τετράγωνα είναι μόνο και Avσa Έστω τα ενδεχόμενα Α: ο κάτοικος διαβάzει το πε 1 4 22 , 2 · 8 42, 4 9 62, άρα ευνοϊκές περι πτώσεις είναι 1 2 4 καθώς και η 4 2 1 ριοδικό ΜΦΑ 2 4 8 καθώς και η 8 4 2 Β: ο κάτοικος διαβάzει το περιοδικό ΒΗΓΑ. 4 6 9 καθώς και η 9 6 4 α) Ζητούμε την πιθανότητα Ρ(Α n Β). Είναι Ρ(Α υ Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α n Β) και Ρ(Α) 0,25, (Μπορούμε να τις βρούμε και αναλυτικά: α 1 ... , Ρ(Β) 1 - Ρ(Β " ) 1 - 0,85 0, 15, Ρ(Α υ Β) = α 2 ... κ.λπ., δοκιμάστε). Έτm η zrnoύμεvn πιθανό mτα είναι 0,38 οπότε Ρ(Α n Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α υ Β) 0,25 + 0,15 - 0,38= 0,02 ή 2%. 19 e 0,95. β) Ζητούμε mν πιθανότητα 120 20 20 Ρ(Α. n Β . ) Ρ(να μην διαβάzει κανένα) 1 - Ρ (διαβάzει τουλάχιστο ένα) 1 - 0,38 0,62 ·

= ·

p= 1-_Q_= 1-l=

1 ΜΑΘ Η ΜΑΥΙ ΚΑ 4ης ΔΕΣ Μ Η Σ 1

Για σωστή, πλήρη και υπεύθυνη προετοιμασία των υποψηφίων A. E . I . ΤΛΧΗΣ ΠΟΛΥΔΟΡΟΙ - ΓΙΛΗΝΗΙΙΙΑΧΟΙ

τιιuιι ΠΙΙΛΥΔΟI'ΟΣ • ΠAINIJ. IIUOI

ΤΑΙΙΗΣ IIΟΛΥΔΟΡΟΣ • ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΙΛΙΙDΣ

Γul ώ.οιιλιpινη ιμt rφοcΊΟιμQΟia1ΙιΙΥUΠοφηφiωνΑ.Ε.Ι.

Σιοιχείοθεωρι:ας-Λιιμένεςασι:ήσεις- Αοιιήοεις γιολύση

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β.

κη. τ.

4/61

rεωμετρία Β , Λ\Ιιιείο" Αγαπητοί φίλοι του Ευκλείδη. Ευχαριστούμε πο λύ για την ανταπόκριση που δείξατε στη νέα μας στή 82) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α > 90 • το ύψος λη . Οι λύσεις των προτεινομένων ασκήσεων θα αρχί του ΒΔ και η διάμεσος ΑΜ. Αν ΑΒ2 ΑΔ · ΑΓ δείξrε σουν να δημοσιεύονται από το 1ο τεύχος 1995 - 96. ότι (ΑΒΓ) = ΑΒ ΑΜ (rιώρyος Κατσο1.Ιλnς) Στο τεύχος αυτό προτείνεται με νέα σειρά ασκήσεων που πιστεύουμε θα σας συvτροφεύσουν ευχάριστα r ' Λ\Ιιιείο" στις καλοκαιρινές σας διακοπές. =

1\λyεβρα Α' Λ\Ικείο\1

;ι!

AS) Να λυθεί η εξίσωση

(x2v + 1) (y2κ + 1)

2xv, ν, Κ Ε Ν*

(Λαμορ6οο\Ιλος Τάσος)

Α6) Να λυθεί η εξίσωση (χ2 + 1)4 (y2 + 1)5 = 16χ4

(Λαpορ6οο\Ιλος Τάσος)

rεωμετρία Α ' Λ\Ιιιείο" Α7)

r2• Έστω f, g συνεχείς στο [α, β] με f(x) < g(x), για κάθε χ Ε [α, β] και f ([α, β]) n g ([α, β]) 0. Δείξι:ε ότι υπάρχει χ0 Ε (α, β) ώστε: f(α) + f(β) + g(α) + g(β) 4f(x0) ή 4g(x0)

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει

f= 9σ'-3Α

2 Φέρουμε ΓΕ .l ΑΒ και τη ΓΖ κάθετη στη διχοτόμο της Α. Αν Μ το μέσο της ΒΓ να δειχτεί ότι ΓΕ .l ΜΖ.

(rιώρyος Τσιιιαλο\Ιδάιιnς)

r3 Αν οι θετικοί αριθμοί α 1 , α2, . . . , α είναι ανά v δύο διαφορετικοί μεταξύ τους και για κάθε χ Ε R ισχύει: λια{ + λ2α{ + . . . + �Gvx = δείξι:ε ότι λ1 = λ2 = = � = . . .

(rιώρyος Τσιιιαλο\Ιδάιιnς)

* (Η αρίθμηση συνεχίzεται ανα τάξη Α, Β, Γ Λυκείου από το προηγούμενο τεύχος).

(θαvάσnς Κ\Ιριακ6οο\Ιλος)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ .

4/62

;.•

' ·�·.·

') --:. ._�...-�·-.""'�

.:'.:

' -�," -,,..:·� � "''ι �

""'i""::c__

:;.

.,,_. __

--t . �·

..ι-:.� ι(\ '

··�_, .:

,�_ -

�� ....,.� :._

� ,..._._

••

Επιμέλεια: rιάvvnς Τνρλιί.ς

Από τον κ. Σταύρο Παπασταυρίδη λάβαμε την παρακά τω επιστολή. Στο τεύχος 14( 1994) του ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β · , σελίδα 58, δημοσιεύεται άρθρο που περιέχει, εσφαλpέvn άποψη πάνω στην έvvοια του ακρότατου συναρτήσεως, και στη σχετική επιστολογραφία που δημοσιεύεται στο τεύχος 15( 1995), σελίδα 62, ο aρθρογράφος επικρίνει τα σχολικά εγχειρίδια της Γ ' ΛΥΚΕΙΟΥ, γράφοντας ότι 'Ή σύγχιση που επικρατεί στα εγχειρίδια της Γ ' Λυκείου, έχει επιση μανθεί'' , ενώ η αλήθεια είναι ότι δεν υπάρχει καppία απο λύτως σύγχιση. Σας παρακαλώ να δημοσιεύσετε την επι στολή αυτή, για να μη δημιουργούνται χωρίς λόγο ανη συχίες μεταξύ των υποψηφίων για τις γενικές εξετάσεις. Με τιμή Σταύρος Γ. Παπασταυρίδης Αντιπρόεδρος Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Αντιπρόεδρος του Δ. Σ. της ΕΜΕ Εκ των Συγγραφέων βιβλίων της Γ ' Λυκείου Από τον Ακαδημαϊκό και τ. πρόεδρο της ΕΜΕ κ. Ν. Κ. Αρτεμιάδη λάβαμε το παρακάτω πρόβλημα. Πρόβλnpα Η ευθεία y = γ τέμνει την καμπύλη y = 2χ - 3χ3, στο Ιο τεταρτημόριο, όπως δείχνει το σχήμα. Να ευρεθεί η τιμή του ν για την οποία τα εμβαδά των δύο σκιασμένων τμημάτων να είναι ίσα. Λ.Sσn. Έστω (β, γ) το δεύτερο σημείο τομής της y = ν με την καμπύλη. Θέλομε ένα ν τέrοιο ώστε

(!) ήτοι (2)

(γ - (2χ - 3χ3 11 dx

γβ - β2

+ 3.. β4 4

�

= ο

Θέτοντας στην (2), ν = 2β-3β3 έχομε β = 2.. Άρα ν = � 9 3 ψ

Από το συνάδελφο Δ. Ντρίzο λάβαμε την παρακάτω επιστολή. Αγαπητοί συνάδελφοι, υπεύθυνοι της Σ.Ε. του ''Ευκλεί δη Β ' , (Ε.Β ' )" θα ήθελα με αυτή την επιστολή να κάνω μια πρόταση που θα συνέβαλε, κατά την άποψή μου, προς την αναβάθμιση του ήδη αρκετά καλού περιοδικού (Ε. Β ' ) Κάθε άρθρο που εσείς θα κρίνετε πως είναι δημοσιεύσιμο να παραθέτει οπωσδήποτε και τη σχετική βιβλιογραφία, αν για τη σύνταξή του έχουν χρησιμοποιηθεί π.χ. αυτούσια θέ-

ματα ή "θέματα μοντέλα" από κάποια συγκεκριμένα βιβλία. Και τούτο γιατί ο (Ε. Β ' ) δε διαβάzεται μόνον από μαθητές, όπως ξέρετε. Η παράθεση βιβλιογραφίας, όχι μόνο συνι στά εντιμότητα και σεβασμό στον όποιο αναγνώστη, αλλά ίσως κάποιες φορές τον διευκολύνει κιόλας. Μια σχετική σας οδηγία, μέσω του (Ε.Β ' ) προς τους συγγραφείς άρθρων θα έλυνε, πιστεύω, αυτό το θέμα. Και σε τελευταία ανάλυση, δε δημιουργεί ευχάριστη αί σθηση σε κανένα μας, το να βλέπουμε μια άσκηση σ' έvα βιβλίο π.χ., που έχουμε δει και ξαναδεί εδώ και κεί, χωρίς να γίνεται όμως και μια βιβλιογραφική αναφορά. Με συναδελφική εκτίμηση Δ. Ντρίzος (*) Το περιεχόμενο αυτής της επιστολής κινείται στο πνεύμα συzητήσεων που γίνονται μεταξύ φίλων - μελών του Παραρτήματος Ε.Μ.Ε. Τρικάλων. • Από το συνάδελφο Δ. ΙΈωρyίοιι λάβαμε την πα ρακάτω επιστολή. Αγαπητέ Ευκλείδη. Στο συνέδριο της Ε.Μ.Ε. στην Κέρκυρα, άκουσα τον κα θηγητή κ. Θ. Εξαρχάκο στην ομιλία του να αναφέρει ότι η μέ θοδος της μαθηματικής τέλειας επαγωγής έχει δημιουργηθεί από τον Αριστοτέλη. Επειδή το θέμα είναι εθνικό, θα παρα καλούσα τον ''Ευκλείδη Β · " να μας αναφέρει κάτι σχετικά. Φιλικά Δ. Γεωργίου • Από το συνάδελφο Δ. Kovτoyιάvvn λαβάμε τις πα ρακάτω διορθώσεις που αφορούν τυπογραφικά λάθη που έγιναν στο άρθρο του "Είναι ακρότατο ή φράγμα" στο τεύ χος 14 του ''Ευκλείδη Β · ". Από παραδρομή οι διορθώσεις δεv έγιναν στο τεύχος 15. (i) Στο τίτλο αντί "Είναι ακρότατο ή φράγμα" να γραφεί "Είναι ακρότατο ή φράγμα;" (ii) Στη σειρά 18 αντί "f(A) = [α, β]", f(A) ς;;; [α, β] • Από το συνάδελφο Σάκο Λιnορδέzιι λάβαμε σει ρά ασκήσεων. Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια. • Από το κο θεο:��.άρn Ι'έωρyιο λάβαμε λύσεις των ασκήσεων της I.M.O. • Από το συνάδελφο Π. Ι'κόvο λαβάμε μια σειρά ασκήσεων πάνω στις ακολουθίες. • Από τον κο Ν. Κιιριαzιi λάβαμε λύσεις των ασκή σεων της 35ης I.M.O. και της άλλης Β.Μ.Ο. • Από τον κ. Χαράλαpnο Λάσκαρι λάβαμε εργα σία με θέμα "παραλειπόμενα στη μέrρηση του κύκλου". • Από τον απόφοιτο Λυκείου Νικόλαο Πολιιyέvn λάβαμε λύση μιας άσκησης της I.M.O. Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια. • Από το μαθητή Ζέρβα Αβαvάσιο λά6αμε εργασία πά νω στα σημεία καμπής. Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια. • Από τον Χ. Στcιχι:έα λάβαμε την εργασία "Μια και νούργια Μαθηματική ανακάλυψη". • Από το μαθητή Kαvzo.Spα Κωv/ vo του Ιωάννη λά6α με λύσεις των ασκήσεων Γεωμετρίας Α ' Λυκείου του τεύχους 13.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'

κη. τ.

4/63

από τις Εκδόσεις Σαββάλα

Κυι<:λοφοpούν σε λίyες ημέpες

./ Μαθηματικά Β' Γυμνασίου για καλούς μαθητές ./ Μ αθηματικά Γ' Γυμνασίου για καλούς μαθητές

Σαββάλας

Εκδόσεις - Βιβλιοπωλείο Ζ.

Πηγής 1 8 & Σόλωνος

•

1 06 8 1

Αθήνα

•

Τηλ. 330 1 25 1

F ax. 36 1 0907