Εξισώσεις 2ου βαθμού by demi de

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση 2ου βαθμού λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής : αχ 2 + βχ + γ = 0,α ≠ 0

Οι πραγματικοί αριθμοί α,β,γ λέγονται συντελεστές της εξίσωσης Ένας αριθμός ρ λέγεται ρίζα μιας εξίσωσης,αν και μόνο αν την επαληθεύει. Δηλαδή ισχύει αρ 2 + βρ + γ = 0. Διακρίνουσα της εξισώσης 2ου βαθμού ονομάζεται ο αριθμός Δ= β 2 − 4 αγ ΔΙΑΚΡINOYΣΑ Δ>Ο Δ=0 Δ<0

ΡΙΖΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

1 ,2

−β± ∆ 2α

Μία διπλή ρίζα την χ=−

β 2α

Δεν έχει ρίζες. (αδύνατη).

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ α)Αν για τους συντελεστές ισχύει α=β=γ=0 τότε κάθε χ είναι λύση της εξίσωσης και ονομάζετε αόριστη β)Αν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει τρείς ρίζες τότε α=β=γ=0 δηλαδή είναι αόριστη (η απόδειξη να γίνει από τους μαθητές) γ)Αν η συντελεστές είναι ρητοί αριθμοί και η διακρίνουσα είναι τέλειο τετράγωνο τότε οι λύσεις είναι ρητοί αριθμοί

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1)Αν η εξίσωση (χ+α+β)2+(α+2)(β-2)=(α+β)2 έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα α,β και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση ΛΥΣΗ Έχουμε χ2+α2+β2+2αχ+2χβ+2αβ+(α+2)(β-2)=α2+2αβ+β2  χ2+2(α+β)χ+(α+2)(β-2)=0 για να έχει η εξίσωση διπλή ρίζα θα πρέπει Δ=0  4(α+β)2-4(α+2)(β-2)=0  α2+2αβ+β2-αβ+2α-2β+4=0  α2+β2+αβ+2α-2β+4=0  α2+α(β+2)+β2-2β+4=0 καταλήξαμε σε μια εξίσωση ως προς α δευτέρου βαθμού άρα για να έχει λύση θα πρέπει Δ1 ≥ 0 (β+2)2-4(β2-2β+4) ≥ 0  β2+4β+4-4β2+8β-16 ≥ 0  -3β2+12β-12 ≥ 0  (β-2)2 ≤ 0  β=2 άρα α=-2.Η εξίσωση άρα γίνεται χ2=0 και η διπλή ρίζα είναι το χ=0 2)Να δειχθεί ότι η εξίσωση (α+β)χ2-2(β+ αγ )χ+β+γ=0 με β>0,είναι αδύνατη. ΛΥΣΗ Για να δειχθεί ότι η εξίσωση είναι αδύνατη θα πρέπει Δ ≤ 0 4(β+ αγ )24(α+β)(β+γ) ≤ 0  (β+ αγ )2 ≤ (α+β)(β+γ)  αβ+αγ+β2+βγ ≥ β2+αγ+2β αγ  αβ+βγ ≥ 2β αγ όμως επειδή β>0 άρα αρκεί να δειχθεί ότι α+γ ≥ 2 αγ .Ισχύει ότι άρα αποδειχθήκε

( α − β)

≥ 0 ⇔ α + γ ≥ αγ

3)Αν α ρητός αριθμός να βρεθεί το κ ώστε η εξίσωση αχ2+(α+κ)χ+κ2-2=0 να έχει ρητές λύσεις ΛΥΣΗ Για να έχει η εξίσωση αχ2+(α+κ)χ+κ2-2=0 ρητές λύσεις θα πρέπει η διακρίνουσα τις εξίσωσης είναι Δ=(α+κ)2-4α(κ2-2) να είναι τέλειο τετράγωνο.Αρα Δ=α2+2ακ+κ2-4ακ2+8α=α2+2α(κ-2κ2+4)+κ2 είναι ένα τριώνυμο ως προς α άρα για να είναι τέλειο τετράγωνο θα πρέπει Δ1 =0 4(-2κ2+κ+4)2-4κ2=0 (-2κ2+κ+4-κ)(-2κ2+κ+4+κ)=0 άρα κ2-2=0 ή κ2-κ-2=0  κ1 =+ 2 ,κ 2 =- 2 ,κ 3 =2,κ 4 =-1 4)Να δειχθεί ότι αν η εξίσωση αχ2+2βχ+γ=0 έχει διπλή ρίζα τότε και η εξίσωση ανχ2+2βνχ+γν=0 έχει και αυτή διπλή ρίζα ΛΥΣΗ

Αφού η εξίσωση αχ2+2βχ+γ=0 έχει διπλή ρίζα άρα 4β2-4αγ=0β2αγ=0(1).Η εξίσωση ανχ2+2βνχ+γν=0 έχει Δ=4β2ν-4ανγν=4[(β2)ν-(αγ)ν]=4(β2αγ)(…) λόγω της (1) έχουμε Δ=0 άρα η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ασκήσεις ανάπτυξης 1)Αν η εξίσωση (β2+1)χ2-2 2 χ+αβ+α-β=0 έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα β και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση (απ. β=0) 2)Αν η εξίσωση χ2-2(α+β+γ)χ+α2+β2+γ2=0 έχει μια διπλή ρίζα να δειχθεί ότι

βγ αγ βα + + =3 α2 β2 γ 2

3)Αν η εξίσωση χ2+(α+β)χ+α2-2β+2=0 έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα α,β και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση (απ.α=-1,β=2) 4)Αν η εξίσωση χ2+α(χ+α+2)+β(χ+β+2) όπου α,β ακέραιοι αριθμοί,έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα α,β και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση 5)Δίνεται η εξίσωση 2χ2+2(2α+3β+1)χ+7(α2+β2+1)=0 α)Αν έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν τα α,β (απ. α=2,β=3) β)Για τις τιμές των α,β που βρήκατε να λυθεί η εξίσωση 6)Να λυθεί η εξίσωση α(α+1)χ2-2(α2+3α+1)χ+(α+2)(α+3)=0 7)Αν η εξίσωση (α+γ-2β)χ2+(α+β-2γ)χ+β+γ-2α=0 έχει διπλή ρίζα τότε να δειχθεί ότι είναι αόριστη 8)Αν ισχύει α3+β3+γ3=3αβγ με α ≠ β ≠ γ ≠ 0 τότε η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει ρίζες το 1 και

γ α

9)Αν ισχύει η σχέση α3+8β3+27γ3=18αβγ και η εξίσωση αχ2+(2β+3γ)χ9=0 έχει ρίζα το 1 να βρεθεί η άλλη ρίζα της 10)Αν η εξίσωση (α2+β2+γ2)χ2+2(α+β+γ)χ+3=0 έχει πραγματικές ρίζες τότε να λυθεί 11)Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=3 και Γ εσωτερικό σημείο του έτσι ώστε ΑΓ*ΓΒ=β2 όπου β ακέραιος.Να βρεθούν τα ΑΓ,ΓΒ

12)Αν οι εξισώσεις α1 χ2+β 1 χ+γ 1 =0 και α2 χ2+β 2 χ+γ 2 =0 έχουν μια κοινή ρίζα να δειχθεί ότι η εξίσωση

β γ α γ α 1 β1 2 ψ − 2 1 1 ψ + 1 1 = 0 έχει μια διπλή β2 γ2 α2 γ2 α2 β2

ρίζα 13)Aν υπάρχει μοναδικό α ώστε το σύστημα  α ( χ 2 + ψ 2 + 1) = 2 χ   2 2  να έχει λύση,τότε να βρεθεί το β  β ( χ + ψ + 1) = 2ψ (α + β )( χ 2 + ψ 2 + 1) = χ 2 + ψ 2 − 1  

(Απ β= ±

2 ) 3

14)Aν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει ρίζα το 1 α)Να δειχθεί ότι η εξίσωση 2χ2-2(α2+β2+γ2)+α4+β4+γ4=0 έχει μια διπλή ρίζα. β)Αν αβ+βγ+γα=1 να βρεθεί η διπλή ρίζα (Απ. χ=1) 1 1 1 3 + + = αν χ − α χ − β χ − γ ( χ − α )( χ − β )( χ − γ ) 2 8 2 γνωρίζουμε ότι α+β+γ=5 και αβ+βγ+γα= − (Απ.χ= , ) 3 3 3

15)Να λυθεί η εξίσωση

16)Αν α θετικός ακέραιος αριθμός και η εξίσωση χ2+ανχ-(αλ+κ)=0 και ισχύουν λ<ν<2λ και

1 <κ<1.Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει άρρητη λύση 4

17)Αν η εξίσωση (α2+1)χ2-2(αβ+1)χ+β2+1=0 έχει λύση να βρεθεί η λύση αυτή (Απ.χ=1) 18)Αν η εξίσωση αβγχ2-2χ+α+β+γ=0 έχει διπλή ρίζα να δειχθεί ότι η εξίσωση χ2-2χ+(α+β)(β+γ)=0 δεν έχει ρίζες 19)Aν ισχύει

= 0 τότε να λυθεί η εξίσωση χ -2αχ-β -γ =0 2

20)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α γ + α γ = 0 α)Να δειχθεί ότι έχει δύο ρίζες άνισες β)Αν έχει ρίζα το γ να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει το β 21)Έστω η εξίσωση χ2+(α+β+γ)χ+μ(αβ+βγ+γα)=0 με α,β,γ θετικοί αριθμοί.Να βρεθούν οι τιμές του μ έτσι ώστε η εξίσωση

α) Να βρεθούν οι τιμές του μ έτσι ώστε η εξίσωση να έχει πραγματικές λύσεις β)Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου να βρεθούν οι τιμές του μ έτσι ώστε η 3 4

εξίσωση να μην έχει πραγματικές ρίζες (Απ. α.μ≤ ,β.μ>1) 22)Aν ισχύουν οι σχέσεις 2 α − β < β + 2γ και αβ < 2γ να δειχθεί ότι η γ

εξίσωση βχ2+( γ + 1 )χ- =0 έχει έχει πραγματικές λύσεις 4

23)Aν η εξίσωση αχ2-2βχ+γ=0 έχει διπλή ρίζα να δειχθεί ότι η εξίσωση (α+γ)χ2+2(α+β+γ)(χ+1)=0 δεν έχει ρίζες 24)Δίνεται η εξίσωση χ2-2αβχ-α2-β2=0 όπου α,β θετικοί διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί.Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακέραιες περιττές ρίζες 25)Δίνονται οι εξισώσεις αχ2+2βχ+γ=0,βψ2+2γψ+α=0,γω2+2αω+β=0 με αντίστοιχες διακρίνουσες Δ 1 ,Δ2 ,Δ3 και ισχύει Δ1 +Δ2 +Δ 3 =0.Να λυθούν οι εξισώσεις 26)Δίνονται οι ευθείες ε1 :ψ=2χ+κ και ε 2 :ψ=2χ+κ+3.Να βρεθεί ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ορίζει στις ε1 ,ε2 τμήμα (ΑΒ)= 5 7 2

3 2

όπου Α ανήκει στην ε1 και Β ανήκει στην ε 2 (Απ.ψ=- χ ή ψ=- χ) 27)Nα δειχθεί αν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α,β,γ ρητούς έχει ρίζα το 3 2 τότε α=β=γ=0 28)Αν η εξίσωση χ2+αχ+β=0 με α,β ρητοί αριθμοί έχει ρίζα τον αριθμό 12 τότε να βρεθούν τα α,β και η άλλη ρίζα της εξίσωσης 29)Aν α,β,γ πλευρές τριγώνου και η εξίσωση χ2-(α2+β2+γ2)χ+α2(β2+γ2)=0 έχει μια διπλή ρίζα να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 30)Aν α,β,γ πλευρές τριγώνου με

β ακέραιος και η εξίσωση 4γχ2γ

(α+β)χ+α+β-γ=0 έχει λύση να βρεθεί το είδος του τριγώνου 31)Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης χ2-Δχ+3=0 να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης

32)Αν η εξίσωση αβγχ2+2(αβ+βγ+γα)χ+3(α+β+γ)=0 έχει μια διπλή λύση να δειχθεί ότι α3+β3+γ3=3αβγ 33)Aν α,β,γ πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα β να δειχθεί ότι η εξίσωση 2αχ2+2βχ+γ=0 έχει πραγματικές ρίζες.Αν έχει μια διπλή λύση να βρεθεί το είδος του τριγώνου 34)Η εξίσωση (α2+β2)χ2+2(αγ+βδ)χ+γ2+δ2=0 έχει διπλή ρίζα αν και μόνο αν ισχύει αδ=βγ 35)Αν η εξίσωση (α+β+γ)χ2-6χ+

=0 έχει λύση να δειχθεί ότι

α=β=γ 36)Αν οι εξισώσεις αχ2+2χ+β=0,βψ2+4ψ+γ=0,γω2+6ω+α=0 έχουν διπλές ρίζες να βρεθούν α)Να βρεθούν τα α,β,γ β)Να βρεθούν οι ρίζες των εξισώσεων Ερωτήσεις σωστού-λάθους 1. Αν η εξίσωση αx2+2x+β=0 έχει Δ=8 τότε α,β ομόσημοι 2. Η εξίσωση αx2 + 1 = 0 έχει διακρίνουσα πάντα αρνητική. 3. Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 έχει μία ρίζα ίση με το μηδέν, όταν η διακρίνουσά της είναι ίση με το μηδέν. 4. Οι αριθμοί 1 και -2 είναι ρίζες της εξίσωσης x2-x-2 = 0 5. Η εξίσωση -αx2+βx+γ = 0 έχει δύο ρίζες άνισες αν α>0 και γ>0. 6. Αν Δ=0 τότε η εξίσωση αx2+βx+γ=0 έχει μια διπλή ρίζα την x= −

β 2α

7. Aν στην εξίσωση αx2+βx+γ=0 είναι αγ<0, τότε Δ>0. 8. Αν στην εξίσωση αx2+βx+γ=0 ισχύει Δ>0 τότε είναι α,γ ετερόσημοι 9. Αν η εξίσωση αx2+2βx+α=0 έχει μια διπλή ρίζα, τότε χ=1 ή -1 10. Η εξίσωση αx2+βx+γ=0 με α>0,β=0 και γ>0 είναι αδύνατη. 11. Η εξίσωση βx2+x-γ=0 έχει δύο ρίζες άνισες, τότε 4βγ≥1

Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 2 1. Αν η εξίσωση 3x -2x-α = 0 έχει για διπλή ρίζα το 3, τότε ο α ισούται με:

Α. 21 Β. – 11 Γ. 41 Δ. - 41 Ε. 0 2 2.Η εξίσωση x +4x-λ=0, για λ=-4 Α. είναι αδύνατη Β. έχει μια διπλή ρίζα Γ. έχει δύο ρίζες άνισες και πραγματικές Δ. έχει τρεις ρίζες Ε. τίποτε από τα προηγούμενα 2 3. Αν η εξίσωση βx +x-γ=0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε : Α. 4βγ<1 Β. 4βγ>1 Γ. 4βγ<-1 Δ. 4βγ>-1 Ε. 4βγ=1 4.

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)=

x +1 είναι το: x − 2x + 1 2

Α.κενό Β. [-1,+∞) Γ. [-5,1)∪(3,+ ∞) Δ. (-1,1)∪(1,10) Ε.-1 Αν η εξίσωση x2-4x+2κ = 0 έχει 2 ρίζες άνισες, για τον πραγματικό αριθμό κ ισχύει: Α. κ<2 Β. κ ≤ 2 Γ. κ<-2 Δ. κ>- 1 Ε. κ οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ • Αν ρ 1 ,ρ 2 , είναι οι ρίζες της εξίσωσης αχ 2 + βχ + γ = 0,α ≠ 0 ,S το άθροισμα και P το γινόμενο τους,τότε ισχύουν οι τύποι του Vieta: S = ρ1 + ρ2 = −

P= ρ 1 .ρ 2 =

β α

γ α

• Με την βοήθεια των τύπων του Vieta η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0,α ≠ 0

γράφεται ισοδύναμα ως εξής: x 2 − Sx + P = 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το πρόσημο των ριζών μπορούμε να το βρούμε και χωρίς να λύσουμε την εξίσωση,ανάλογα με τις τιμές των Δ,Ρ,S όπως φαίνεται από το παρακάτω πίνακα Δ Ρ S Ρίζες της αχ2+βχ+γ=0 + + + 2 θετικές ρίζες + + - 2 αρνητικές ρίζες + - + 2 ρίζες ετερόσημες με απολύτως μεγαλύτερη την θετική + - - 2 ρίζες ετερόσημες με απολύτως μεγαλύτερη την αρνητική

+ + + 0 0 0 -

0 0 + + 0

2 ρίζες αντίθετες μία ρίζα 0 και η άλλη θετική μία ρίζα 0 και η άλλη αρνητική μια διπλή θετική μια διπλή αρνητική μια διπλή το 0 Δεν έχει ρίζες στο R

0 + + 0

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Aν χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2-αχ+β=0 και της χ2ν-ανχν+βν=0 όπου ν ∈ Ν και είναι β ≠ 0 να δειχθεί ότι (χ 1 +χ 2 )ν=χ 1 ν+χ 2 ν ΛΥΣΗ Αφού χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2-2χ+β=0 άρα χ 1 +χ 2 =α (1) και χ 1 χ 2 =β (2) και επειδή χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της χ2ν-ανχν+βν=0 άρα χ 1 ν-ανχ 1 ν+βν=0 λόγω των (1) και (2) έχουμε χ 1 2ν-( χ 1 +χ 2 )νχ 1 ν+ χ 1 ν χ 2 ν=0 είναι όμως χ 1 χ 2 =β ≠ 0 και άρα χ 1 ≠ 0 άρα χ 1 ν-( χ 1 +χ 2 )ν+ χ 2 ν=0 (χ 1 +χ 2 )ν=χ 1 ν+χ 2 ν 2)Αν χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της εξίσωσης

1 1 = με β≠0 και ισχύει χ 1 α−χ β

χ 2 =γ να εκφράσετε το α συναρτήση των β και γ ΛΥΣΗ Από την

1 1 = θα πρέπει χ≠0 και χ≠α το ΕΚΠ=βχ(α-χ) άρα η α−χ β

εξίσωση γίνεται β(α-χ)+χβ=χ(α-χ)  αβ-χβ+βχ=αχ-χ2  χ2-αχ+αβ=0.Επειδή ισχύει χ 1 -χ 2 =γ  (χ 1 -χ 2 )2=γ2 (χ 1 +χ 2 )2-4 χ 1 χ 2 =γ2 όμως χ 1 +χ 2 =α και χ 1 χ 2 =αβ άρα α2-4αβ=γ2 α2-4αβ-γ2=0 που είναι δευτεροβάθμια με Δ=16β2+4γ2>0 άρα 4β ± 2 4β 2 + γ 2 α= = 2β ± 4β 2 + γ 2 2

3)Αν 2(κ+λ+μ)=α2+β2+γ2 και οι λύσεις των εξισώσεων χ2+αχ-κ=0 και χ2+βχ-λ=0 είναι β,γ και γ,α αντίστοιχα,να δειχθεί ότι τα α,β είναι λύσεις της εξίσωσης χ2+γχ-μ=0 ΛΥΣΗ Για να είναι λύσεις τα α,β θα πρέπει να δειχθεί ότι α+β=-γ και αβ=-μ.Αφού οι λύσεις των εξισώσεων χ2+αχ-κ=0 και χ2+βχ-λ=0 είναι β,γ και γ,α αντίστοιχα άρα β+γ=-α (1) και βγ=-κ (2) και γ+α=-β και γα=-λ (3)

Από την (1) έχουμε α+β=-γ.Από την σχέση 2(κ+λ+μ)=α2+β2+γ2  λόγω (2),(3) έχουμε 2(-βγ-γα+μ)= α2+β2+γ2 2μ=α2+β2+γ2+2βγ+2γα  2μ=(α+γ)2+β2+2βγ  2μ=2β2+2βγ  μ=β(β+γ)=-αβ  -μ=αβ άρα αποδείχθηκε ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ασκήσεις ανάπτυξης 1)Αν για την εξίσωση χ2+βχ+γ=0 ισχύει χ 1 2+χ 2 2=(1-β)3-1 να δειχθεί ότι β=0 ή β=γ+1 2)Αν για την εξίσωση χ2-βχ=γ=0 ισχύει Δ=4 να δειχθεί ότι χ 1 − χ 2 = 2 3)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 και χ 1 2+χ 2 2 ≤ 2γ να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει διπλή ρίζα 4)Δίνεται η εξίσωση αχ2-αχ+γ=0 και ισχύει ότι χ 1 3+χ 2 3=1 να δειχθεί ότι α)γ=0 και β)να λυθεί η εξίσωση 5)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α,β ομόσημους να δειχθεί ότι είναι αδύνατο να ισχύει χ 1 − χ 2 = 1 6)Έστω χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2+αχ+β=0 και ρ 1 =χ 1 +4 και ρ 2 =χ 2 +4 οι ρίζες της 2χ2+10αχ+β=0.Να βρεθούν τα α,β 7)Αν οι εξισώσεις χ2+αχ+βγ=0 και χ2+βχ+γα=0 έχουν μια κοινή ρίζα να δειχθεί ότι οι άλλες δύο ρίζες είναι ρίζες της εξίσωσης χ2+γχ+αβ=0 8)Αν χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2+αχ+1=0 και ισχύει χ 1 5+χ 2 5=χ 1 +χ 2 να βρεθεί το α 9) Αν χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2+αχ+6=0 και ισχύει χ 1 4+χ 2 4=χ 1 2+χ 2 2 να βρεθεί το α 10)Αν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει ρίζα το 1 και ισχύει α + β = γ να δειχθεί ότι η άλλη ρίζα είναι αρνητική 11)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+α=0 με α>0 α)Να δειχθεί ότι Ρ+

1 1 + ≥3 χ1 + 1 χ 2 + 1

β)Αν ισχύει η ισότητα να λυθεί η εξίσωση

12)Αν χ 1 ,χ 2 ≠1 οι ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+α=0 με α>0 να δειχθεί ότι η εξίσωση (χ 1 2+2002χ 1 +1)ψ2-4008ψ+χ 2 2+2002χ 2 +1=0 δεν έχει λύσεις 13)Αν η εξίσωση 6χ2-6γχ+β2-α2=0 έχει μια διπλή ρίζα να βρεθούν οι ακέραιες και θετικές τιμές του S,P της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 ώστε αυτή να έχει λύση 14)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 και Ρ,S διαδοχική ακέραιοι αριθμοί α)Να δειχθεί ότι οι δύο ρίζες της εξίσωσης είναι ακέραιες β)Να δειχθεί ότι η διακρίνουσα Δ είναι πολλαπλάσιο του α2 γ)Αν η Δ=4α2 να βρεθούν οι ρίζες τις εξίσωσης 15)Αν η εξίσωση αχ2+βχ-β=0 έχει ακέραιες ρίζες τότε να βρεθούν αυτές 16)Έστω η εξίσωση αβχ2+2χ-γδ=0 όπου α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί ακέραιοι θετικοί αριθμοί.Να δειχθεί ότι α)έχει ακέραιες ρίζες β)ότι χ 1` − χ 2 ≥ 5 .Αν ισχύει η ισότητα να βρεθούν τα α,β,γ,δ και να λυθεί η εξίσωση 17)Να λυθεί η δευτεροβάθμια εξίσωση που οι ρίζες της χ 1 ,χ 2 και S,P αποτελούν διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς το κάθε ζεύγος 18)Δίνεται η εξίσωση χ2+βχ-4=0 και ισχύει για τις ρίζες χ 1 ,χ 2 ότι  χ + χ 2 + 1  χ + χ 2 + 1  = 1 .Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης 1 2  1   2

19)Αν οι ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 (αγ≠0) είναι ανάλογες με του φυσικούς αριθμούς μ και ν,να δειχθεί ότι

µ ν β2 + +2= ν µ αγ

20)α)Έστω χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 (1).Να σχηματιστεί δευτεροβάθμια εξίσωση της οποία οι ρίζες προκύπτουν από της ρίζες της (1) αυξημένες κατά κ β)Αν υπάρχει μοναδικό κ ώστε η εξίσωση που προκύπτει από το α) να έχει ρίζα το 1 να βρεθεί ο Γ.Τ. του σημείου Α(α,γ) 21)Έστω η εξίσωση α(αχ+β)4+β(αχ+β)2+γ=0 να βρεθεί το γινόμενο των ριζών ρ 1 ρ 2 ρ 3 ρ 4

22)Αν χ 1 ,χ 2 ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 να σχηματιστεί εξίσωση με ρίζες

1 1 , αχ 1 + βχ 2 αχ 2 + βχ 1

23)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α≠β και ισχύει βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης

χ1

χ2

β α −β

να

24)Αν χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της χ2+(α+1)χ+β+2=0 να βρεθούν τα α,β ώστε να ισχύουν χ 1 2+χ 2 2=α2,χ 1 χ 2 =β2 αχ + βψ = 1  είναι αόριστο να σχηματιστεί β΄βάθμια  χ + 2ψ = 2 

25)Αν το σύστημα 

 χ 1 + χ 2 + χ 1 χ 2 = α    χ 12 + χ 2 2 + χ 1 χ 2 β 

εξίσωση με ρίζες χ 1 ,χ 2 για τις οποίες ισχύει 

26)Να σχηματιστεί εξίσωση με ρίζες χ 1 ,χ 2 που αποτελούν τις κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου με υποτείνουσα 8 και εμβαδό 9 Ερωτήσεις σωστού-λάθους 1)Αν S το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης αx2-x+γ=0 με α≠0 τότε ισχύει ότι α,S αντίστροφοι 2)Αν S και Ρ το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης αx2+βx+γ=0 με α≠0, τότε ισχύει:α2+β2=S2-2P 3)Η εξίσωση που έχει ως ρίζες τις α και 2α είναι η x2-α2χ+3α=0 4)Αν p 1 , p 2 είναι ρίζες της αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0 οι - p 1 , - p 2 είναι ρίζες της αx2 - βx + γ = 0. 5)Αν α,β,γ ομόσημοι και x1 ,x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2+βx+γ=0, τότε οι x1 ,x 2 είναι ομόσημες,θετικές 6)Αν για την εξίσωση αx2+βx+γ=0 ισχύει α=γ≠0 και έχει άνισες ρίζες,τότε ισχύει S2>4 7)Aν η εξίσωση αx2+βx+γ=0 με α≠0 έχει Δ=0, τότε είναι Ρ≥0. 8)Όταν η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 με α>0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες, το γ είναι αρνητικός αριθμός. 9)Αν x 1 ,x2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2+αx+β=0 με x1 <0<x2 τότε είναι β>0. 10)Δεν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε : α+β=2 και αβ=3. 11)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α γ + α γ = 0 τότε S>0 12)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με Ρ,S διαδοχική ακέραιοι

Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ Σ-Λ

αριθμοί τότε Δ είναι τέλειο τετράγωνο Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1)Αν γνωρίζουμε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών μιας εξίσωσης, τότε αυτή είναι: Α. x2+Sx+P=0 Β. x2-Sx-P=0 Ε x2-Sx+P=0

Γ. x2-Px+S=0

Δ. αx2-Sx+P=0

2)Oι αριθμοί 2 και 3 είναι ρίζες της εξίσωσης: Α. x2-2x+ 3 =0

Β. x2-(2+ 3 )x+2

Δ. 3 x2-2x+1=0

Ε x2-2 3 x+(2+ 3 )=0

2 =0

Γ. x2+(2+ 3 )x+2 3 =0

3)Aν x1 ,x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2-(λ+2)x+λ=0, τότε η παράσταση x 1 2+x2 2 ισούται με: Α. 2λ-4 Β. λ2+1

Γ.4

Δ. λ2+4

Ε λ+1.

4)Αν οι ρίζες της εξίσωσης αx + λ x + λ = 0 είναι θετικές, τότε ο λ είναι: Α.λ<α Β. λ < 0 Γ. λ = 0 Δ. α >0 2

Ε. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. 5)Αν οι ρίζες της εξίσωσης 5x2 + (λ2-2λ+1) x - 1 = 0 είναι αντίθετες τότε ο πραγματικός αριθμός λ είναι: Α. αρνητικός αριθμός Β. λ = 0 Γ. λ = 1 Δ. λ =-5 Ε. λ =1

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Τις ασκήσεις της κατηγορίας αυτής τις αντιμετωπίζουμε συνήθως με αντικατάσταση ή μετασχηματισμό ώστε να οδηγηθούμε σε μια εξίσωση 2ου βαθμου.Οι μετασχηματισμοί διαφέρουν από άσκηση σε άσκηση και για το λόγο αυτό χρειάζεται η εμπειρία και η εφευρετικότητα του λύτη. Μερικές συνηθισμένες μορφές εξισώσεων είναι οι εξής 1)Η εξίσωση αχ2+β χ +γ=0 εδώ η αντικατάσταση είναι y= χ και η εξίσωση γίνεται αy2+βy+γ=0 (ισχύει ότι y2= χ2= χ ) 2)Η εξίσωση αχ4+βχ2+γ=0 εδώ η αντικατάσταση είναι y=χ2 με y>0 και η εξίσωση γίνεται αy2+βy+γ=0 2

3)Γενικότερα στις εξίσωσης με μορφή αf(x)2ν+βf(x)ν+γ=0 η αντικατάσταση είναι y=f(x)ν και η εξίσωση γίνεται αy2+βy+γ=0 4)Ισχύει ότι α2+β2=0  α=β=0 ή α + β = 0  α=β=0 ή α + β = 0  α=β=0 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Έστω η ευθεία y=κχ+λ και η παραβολή y=αχ2+βχ+γ τότε η λύση του  y = κχ + λ

  είναι τα σημεία τομής τους.Ανάλογα με  y = αχ + βχ + γ 

σύστηματος 

τις λύσεις της εξίσωσης αχ2+(β-κ)χ+γ-λ=0 έχουμε α)Αν Δ>0 τότε η ευθεία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία β)Αν Δ=0 τότε η ευθεία είναι εφαπτομένη της παραβολή γ)Αν Δ<0 τότε δεν έχουν κανένα κοινό σημείο

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Nα λυθεί η εξίσωση (χ2-2χ+2)(χ2-χ-1)+1=2χ2-3χ+1 ΛΥΣΗ Θέτουμε α=χ2-2χ+2 και β=χ2-χ-1 άρα η εξίσωση θα γίνει αβ+1=α+β  αβ-α-β+1  (α-1)(β-1)=0 α=1 ή β=1  χ2-2χ+2=1 ή χ2-χ-1=1  χ2-2χ+1=0 ή χ2-χ-2=0  χ=1(διπλή) ή χ=2 ή χ=-1 2)Να λυθεί η εξίσωση (χ-1)(χ-2)(χ-3)(χ-4)=20χ(χ-5) ΛΥΣΗ Εδώ δεν έχουμε κάποια ομοιότητα ώστε να κάνουμε μετασχηματισμό.Θα προσπαθήσουμε να την εμφανίσουμε με κατάλληλους πολλαπλασιασμούς *     Έχουμε  χ − 1)  χ − 5) 2 ) χ 3) χ − 4) = 20 χ − χ −    *

(χ -5χ+4)(χ -5χ+6)=20(χ -5χ) θέτουμε y=χ2-5χ (y+4)(y+6)=20y y2+10y+24=20y y2-10y+24=0 y=4 ή y=6 2

άρα χ2-5χ=4 ή χ2-5χ=6  χ2-5χ-4=0 ή χ2-5χ-6=0  χ 1 = χ2 =

5 + 41 ή 2

5 − 41 ή χ 3 =6 ή χ 4 =-1 2

3)Αν α,β,γ είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου να δειχθεί ότι το αχ + βy + γ = 0  σύστημα  α β  είναι αδύνατο + + γ = 0 χ y   

ΛΥΣΗ Έχουμε

− βy − γ   − βy − γ   χ= χ= αχ + βy + γ = 0     α α        α β     α β  2 γ 0 + + = α β  χ y   + + γ = 0 + + γ = 0      − βy − γ y  χ y − βy − γ   χ =  α   για να μην έχει λύση το σύστημα θα 2 2 2 2  βγy + ( β + γ − α ) y + βγ = 0

πρέπει θα πρέπει να ισχύει Δ<0 Δ=(β2+γ2-α2)2-4β2γ2=(α+β+γ)(β+γ-α)(β-γ-α)(β-γ+α) όμως από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι α<β+γ ,β<α+γ ,γ<α+β άρα Δ<0 άρα το σύστημα είναι αδύνατο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1)Να λυθούν οι εξισώσεις α)χ2-3 χ +2=0 β)(χ+1)2- χ + 1 -2=0 γ)χ4-4χ2+3=0 δ)(χ+2)4-2(χ+2)2-3=0 2

 2χ − 1   χ − 1  2)Να λυθεί η εξίσωση   +   = 2  χ − 1   2χ − 1 

3)Να λυθεί η εξίσωση χ 3 + 4)Να λυθεί η εξίσωση χ 3 +

=χ+

+ χ2 +

 1 − 2 χ +  + 2 = 0 χ χ  1

χ 2 − 5χ + 6 χ 2 + 5χ + 6 χ 2 − χ + 1 χ 2 + χ + 1 5)Να λυθεί η εξίσωση 2 + = + χ + 5χ + 6 χ 2 − 5χ + 6 χ 2 + χ + 1 χ 2 + χ + 1  x2 − 5 xy − 6 y 2 = 0 6)Να λυθεί το σύστημα  2  2  x + y = 10  8 x+ y  =   x + y + 1 7)Να λυθεί το σύστημα  7  xy = 12   

 x2 + y 2 + 2( x + y) = 23  2 2  x + y + xy = 19 

8)Να λυθεί το σύστημα 

 x2 + 2 xy = 16  2  xy + y = 15 

9)Να λυθεί το σύστημα 

ax + 2 y = 1   να έχει μια λύση και 2 2 − x + y = 1

10)Να βρεθεί το α ώστε το σύστημα  μετά να βρεθεί αυτή (Απ.α= ± 3 )

 χ + ψ + χψ = −1 11)Να λυθεί το σύστημα  2  όταν β ακέραιος αριθμός 2  χ + ψ + χψ = β 

(Απ.β=2 και χ=

− 3+ 5 − 3− 5 − 3− 5 − 3+ 5 ,ψ= ή ψ= ,χ= ) 2 2 2 2

12)Αν α,β,γ διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί να λυθεί το σύστημα

χ ψ χ ψ 27 64 + = 1 , 3 = 3 , 3 χ 2 + 3 ψ 2 = 3 γ 2 (Απ.χ= ,ψ= ή χ=-1,ψ=0) α β α β 25 25

13)Αν οι παραβολές y=λx2+2 και y=χ2+2χ+γ,με κ,γ ακέραιοι αριθμοί,έχουν ένα κοινό σημείο τότε να βρεθούν οι δύο παραβολές 14)Αν η ευθεία y=λχ+1 είναι εφαπτομένη της παραβολής y=αχ2+βχγ2+2γ με α>0 να βρεθεί το γ

(

)(

)

15)Nα λυθεί η εξίσωση χ 2 + χ 4 + 1 χ − 2 + χ 2 − 4 χ + 5 = 1

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( x )= αχ 2 + βχ + γ Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση (τριώνυμο ) 2 αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβαθμίων f ( x )= αχ + βχ + γ παραγόντων ως εξής: f ( x )= αχ 2 + βχ + γ

Δ>0

Δ=0

(

α ( x − x 1)( x − x 2 )

Δ<0

α x − x1

οπου x 1,x 2 οι ρίζες της

)

δεν αναλύεται

οπου x 1 η διπλή ρίζα της

σε γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων

β  ∆  f ( x )= αχ + βχ + γ = α  x +  −  2α  4α 2

Αποδεικνύεται επίσης ότι:

οπότε η γραφική της παράσταση προκύπτει αν η γραφική παράσταση της φ ( x )= αx 2 (παραβολή) μετατοπιστεί οριζόντια κατά β και 2α

πίνακας

∆ 4α μεταβολών της f ( x )= αχ 2 + βχ + γ

κατακόρυφα

κατά

−∞

−

f ( x )= αχ 2 + βχ + γ

αν α>0 β 2α

+∞

∆ 4α

ελάχιστο πίνακας

μεταβολών της f ( x )= αχ 2 + βχ + γ −∞

−

f ( x )= αχ 2 + βχ + γ

αν α<0 β 2α

+∞

∆ 4α

μέγιστο άρα η συνάρτηση −

∆ β το 4α 2α

ελάχιστο

f ( x )= αχ 2 + βχ + γ παρουσιάζει

όταν α>ο ενώ

στο −

όταν

α<ο

μέγιστο παρουσιάζει

β ∆ το . 2α 4α

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να βρεθεί το χ ώστε η παράσταση

x2 − x − 2 να γίνει ελάχιστη x2 − 6 x + 9

στο

ΛΥΣΗ Θέτουμε

x2 − x − 2 =μ  χ2-χ-2=μ(χ2-6χ+9) (μ-1)χ2-(6μ-1)χ+9μ+2=0 2 x − 6x + 9

η εξίσωση θα πρέπει να έχει λύση άρα Δ ≥ 0  (6μ-1)2-4(μ-1)(9μ+2) ≥ 0 9 άρα η 16 6µ − 1 7 9 = μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το μ είναι − για χ= 2( µ − 1) 5 16

1+12μ+36μ2-4(-2-7μ+9μ2) ≥ 0  16μ+9 ≥ 0  μ ≥ −

2)Για ποία τιμή του λ το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης χ2-(λ-1)χ+(λ-3)=0 είναι ελάχιστο ΛΥΣΗ Το χ 1 2+χ 2 2=(χ 1 +χ 2 )2-2χ 1 χ 2 =(λ-1)2-4(λ-3)=λ2-6λ+12 η συνάρτηση f(λ)= λ2-6λ+12 θα πρέπει να να πάρει την ελάχιστη τιμή.Η τιμή αυτή 6 2

είναι λ= = 3 και το χ 1 2+χ 2 2=λ2-6λ+12=3 3)Να προσδιορισθούν οι συντελεστές του τριωνύμου f(χ)=αχ2+βχ+γ ώστε να έχει ρίζα το 2 και να έχει ελάχιστο -1 για χ=3 ΛΥΣΗ Αφού το είναι ρίζα άρα 4α+2β+γ=0 (1).Για να πάρει το τριώνυμο f(χ)=αχ2+βχ+γ την ελάχιστη τιμή θα πρέπει fmin =-1  και για το χ= −

4αγ − β 2 = −1 (2) 4α

β β  − =3 (3).Αρκεί να λύσουμε το σύστημα 2α 2α

4α + 2 β + γ = 0    2 4αγ − β = −4α  …4α(1-α)=0 α=0ή α=1 άρα έχουμε δύο λύσεις − β = 6α   

(α,β,γ)=(0,0,0) ή (1,-6,-8).Άρα το τριώνυμο χ2-6χ-8

4)Για ποία τιμή του α η ελάχιστη τιμή της παράστασης (χ-α)2+(χ-2α)2-(χ-3α+1)2 γίνεται μέγιστη ΛΥΣΗ Η παράσταση γίνεται (χ-α)2+(χ-2α)2-(χ-3α+1)2=χ2-2χ-4α2-6α+1.Η ελάχιστη τιμή της είναι −

∆ 4 − 4( −4α 2 + 6α − 1) =− = −4α 2 + 6α − 2 .Η 4α 4

παράσταση αυτή είναι τριώνυμο ως προς α και αφού ο συντελεστής του α2 είναι -4<0 άρα παρουσιάζει μέγιστο για α= −

6 3 = −8 4

5)Δίνεται η f(χ)=χ2-2(α+β)χ-2αβ(γ-1)+γ2 όπου α,β θετικοί διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί με β>α και γ άρτιος.Να εξεταστεί αν μπορεί η f(χ) να γραφεί σαν τέλειο τετράγωνο ΛΥΣΗ Για να γραφεί η f(χ) σαν τέλειο τετράγωνο θα πρέπει Δ=0 Δ=4(α+β)2+4[2αβ(γ-1)-γ2]=0α2+2αβ+β2+2αβγ-2αβ-γ2=0 α2+β2+2αβγ-γ2=0 γ2-2αβγ-α2-β2=0.Η τελευταία εξίσωση είναι δευτεροβάθμια ως προς γ και η οποία θα πρέπει να έχει λύση Δ1 =4 α2β2+4(α2+β2)=4(α2β2+α2+β2) Όμως α,β θετικοί διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί άρα β=α+1.Άρα Δ1=4[α2(α+1)2+α2+(α+1)2]=4(α4+2α3+3α2+2α+1)=4(α2+α+1)2 Έχουμε γ 1,2 =

2αβ ± 2(α 2 + α + 1) = α (α + 1) ± (α 2 + α + 1) 2

Άρα γ 1 =-1 ή γ 2 =2α(α+1)+1(περιττός αφού είναι της μορφής 2κ+1) όμως γ άρτιος και δεν μπορεί άρτιος να είναι ίσος με περιττό.Άρα καμία λύση δεν είναι δεκτή και επομένως η f(χ) δεν μπορεί να γραφεί σαν τέλειο τετράγωνο 6)Έστω η f(χ)=αχ2+βχ+γ τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί η διακρίνουσα της f(χ) ΛΥΣΗ Αφού η f(χ) τέμνει τον χχ’ σε δύο σημεία άρα Δ>0.Το Α( Β(

−β − ∆ ,0),το 2α

−β + ∆ −β −∆ ,0) και Κ( , ).Έχουμε ότι ΚΑ=ΚΒ=ΑΒ.Όμως 2α 2α 4α 2

 − β + ∆ − β   − ∆ 2 ∆ ∆2  + ΚΑ=  = + −  2α   4α  4α 2 16α 2  2α 2

 − β − ∆ − β   − ∆ 2 ∆ ∆2  + ΚB=  = − +  2α   4α  4α 2 16α 2  2α 2

−β − ∆ −β + ∆  ∆  = AB=  .Αφού ΚΑ=ΚΒ=ΑΒ άρα ΚΑ2=ΑΒ2 − 2  α 2α   2α



∆

α2

∆ 4α 2

∆2 16Δ=4Δ+Δ2Δ(Δ-12)=0 όμως Δ>0 άρα Δ=12 2 16α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Ασκήσεις ανάπτυξης

1)Να βρεθεί το τριώνυμο f(χ)=αχ2+βχ+γ ώστε να έχει ρίζα το 3 και να έχει ελάχιστο -1 για χ=2 2)Για ποία τιμή του λ το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης χ2-(λ+2)χ-(λ-3)=0 είναι ελάχιστο 3)Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ (Ο=900 ) παίρνουμε στην ΟΑ σημείο Μ και φέρουμε την ΜΝ παράλληλη στην ΟΒ. ( το Ν επί της ΑΒ ). Αν είναι (ΟΑ)=4 , (ΟΒ) =3 και (ΟΜ) =χ, και Ε(χ) το εμβαδον του τριγώνου ΒΜΝ, α.Να αποδείξετε ότι: (ΜΝ)=

3(4 − x) 3 3 , και Ε(χ)= - x 2 + x 4 2 8

β. Να βρείτε τη θέση του Μ για την οποία το εμβαδόν Ε(χ) μεγιστοποιείται. Ποια είναι η μέγιστη τιμή; 4)Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 2α ποιο είναι εκείνο που έχει το μέγιστο εμβαδό; 5)Να προσδιοριστεί η παραβολή f(χ)=αχ2+βχ+γ στις παρακάτω περιπτώσεις. α. όταν διέρχεται από τα σημεία Α(0,2), Β(1,0) , Γ(3 , 2) β. όταν τέμνει τον άξονα ψ΄ψ στο σημείο Α(0,2) και έχει κορυφή Κ(1,-2) 6)α)Aν α+β=γ(σταθερό),να δειχθεί ότι αβ γίνεται μέγιστο όταν α=β=

γ 2

β)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α=90) με σταθερή την υποτείνουσα ίση με 4.Να βρεθούν οι κάθετες πλευρές ώστε το γινόμενο τους να γίνει μέγιστο. 7) Δίνεται η συνάρτηση f (χ)=κχ2+λχ+3 α. Να βρείτε τα κ και λ ώστε να έχει στη θέση χ=1 τοπικό ακρότατο ίσο με –2 β. Τι είδους ακρότατο παρουσιάζει η συνάρτηση στη θέση χ=1; 8)Δίνεται ευθεία ΑΒ=α,να βρεθεί σημείο Γ τέτοιο ώστε ΑΓ2+ΒΓ2 να γίνει ελάχιστο.Εφαρμογή α=2 λχ + ψ = 2  2 2  όταν η παράσταση Α=3χ -4ψ  χ +ψ = λ 

9)Να λυθεί το σύστημα  γίνεται μέγιστη

 χ +ψ − ω = α 2 − 1    10)Να λυθεί το σύστημα  χ −ψ + ω = (α + 1) 2  όταν το ψ παίρνει τη  χψ + ω = α 4 + 2α 2 + 2   

μέγιστη τιμή του

11)Nα βρεθούν οι τριάδες α,β,γ διδοχικών ακέραιων και θετικών αριθμών τέτοιοι ώστε να ισχύουν αχ+βψ=γ και το άθροισμα χ2+ψ2 να έχει ελάχιστο μεγαλύτερο από 1 (Απ.(α,β,γ)=(1,2,3)ή(2,3,4)) 12)Να βρεθούν τα α,β της παράστασης

χ 2 + αχ + β ώστε να έχει μέγιστο χ

1 4

1 και ελάχιστο 3 (Απ.α=2,β= ) 13)Δίνεται η παράσταση

χ 2 + λχ + λ2 − 1 .Να δειχθεί ότι το μέγιστο της χ

παράστασης είναι αντίστροφο του ελαχίστου της. 14)Έστω η παράσταση χ2-(αγ+1)χ+γ.Να δειχθεί ότι α)Παριστάνει το εμβαδό ορθογωνίου παραλληλογράμμου και να βρεθούν οι διαστάσεις του β)Αν για χ=4α+3 το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο γίνεται τετράγωνο να βρεθούν τα α,γ 15)Aν η κορυφή της f(χ)=αχ2+βχ+

ανήκει στην ευθεία χ= 2 ψ να

βρεθεί το β (Απ.α=4 2 ή α=-2 2 )

16)Αν η κορυφή της f(χ)=αχ2+2αχ+1 απέχει από την αρχή των αξόνων 1 4

απόσταση 1 να βρεθεί το α (Απ.α= ) 17)Αν υπάρχει μοναδικό α και f(χ)=αχ2+2(α+1)χ+α+2=0 να βρεθεί η απόσταση της κορυφής της f(χ) από την αρχή των αξόνων 18)Έστω η f(χ)=αχ2+χ+5 να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της απόστασης της κορυφής της f(χ) από την αρχή των αξόνων 19)Έστω η f(χ)=αχ2+βχ+γ τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ(2,1) η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθούν τα α,β,γ (Απ. α=-3,β=12,γ=-11)

20)Έστω η f(χ)=αχ2+βχ+

τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή

της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί το β (Απ.β=±6) 21)Έστω τα σημεία Α(α,β) και Β(2-α,δ) να βρεθεί σημείο του χχ’ ώστε το άθροισμα ΜΑ2+ΜΒ2 να γίνει ελάχιστο 22)Να βρεθεί σημείο Β της παράστασης f(χ)= α ( χ − 1) + 4 ώστε να απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο Α(

α +2 2

,0)

23)Αν α,β,γ είναι τα μήκη των πλευρών τριγώνων και το τριώνυμο f(χ)=

α γ α 2 β χ + χ + είναι τέλειο τετράγωνο και ακέραιος αριθμός να γ γ α β

δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 24) Αν α,β,γ είναι τα μήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με β>α>γ και το τριώνυμο f(χ)=αχ2+βχ+ γωνίες του τριγώνου

είναι τέλειο τετράγωνο να βρεθούν οι

25)Έστω οι συναρτήσεις f(χ)=χ2+αχ+β και g(χ)=χ2+γχ+δ και ισχύουν οι σχέσεις 2α+δ=β+5 και α=γ+4.Να βρεθεί η απόσταση των κορυφών των παραβολών 26) Έστω οι συναρτήσεις f(χ)=χ2+αχ+β και g(χ)=χ2+γχ+δ και ισχύουν οι σχέσεις α+δ=β και α=γ+4.Να βρεθεί το α ώστε η απόσταση των κορυφών των παραβολών να γίνετε ελάχιστη 27)Οι συναρτήσεις f(χ)=χ2-αχ+1 και g(χ)=αχ2-χ+1 τέμνονται στα σημεία Α,Β.Να βρεθεί το α ώστε το μήκος του ΑΒ να γίνετε ελάχιστο 28)Αν η σχέση χ 2 + βχ + α + χ 2 + αχ + γ = χ 2 + γχ + β ισχύει αν και μόνο αν χ <1 να δειχθεί α3+β3+3αβγ=γ3 29)Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ γίνεται θετική για χ <1 να δειχθεί ότι ν2γ+νβ+α≥0 για ν >1 30)Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+(β-2004)ψχ+ψ2 γίνεται αρνητική για κάθε χ,ψ∈[-1,1].Να βρεθούν τα α,β

31)Να βρεθούν οι συναρτήσεις f(χ)=αχ2+βχ+γ ώστε να ισχύει f(α)=α, f(β)=β και f(γ)=γ 32)Έστω η f(χ)=(α-1)χ2+βχ+α τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο και ισχύει f(α)=α να βρεθεί η f(χ) (Απ.β=-2 και γ=2 ή –1) 33)Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+α+1 της οποίας η κορυφή έχει ίδια τετμημένη και τεταγμένη.Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε για κάθε β η f(χ) να τέμνει τον χχ΄ 34) Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+α-1 τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ) που έχει ίδια τετμημένη και τεταγμένη.Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθούν τα α,β 35)Έστω η συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ-

που τέμνει τον ψψ΄ στο Α και τον

χχ΄ στο Β,Γ και Κ η κορυφή της παραβολής α)Να βρεθούν οι αποστάσεις ΚΑ,ΒΓ β)Να βρεθεί το β ώστε ΚΑ=ΒΓ 36)Nα βρεθούν τα κ,λ ώστε η παράσταση (λ2+λκ+1)χ2+χ+2κ να είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού Ασκήσεις σωστού-λάθους Να σημειώσετε το Σ αν είναι σωστή ή το Λ αν είναι λάθος σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις για τη συνάρτηση f(χ)=αχ2+βχ+γ 1)Αν α>0 είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0,+ ∞ ) 2)Αν α>0 έχει ελάχιστο το –Δ/(4.α2) 3)Είναι γνήσια μονότονη στο R 4)Αν α>ο έχει ελάχιστο στο –β/2.α 5)Αν α<0 είναι γνησίως αύξουσα στο (- ∞ , -β/2.α) 6)Αν α<0 και β>0 είναι γνησίως μονότονη στο (β/2.α ,-β/2.α) 7)Έχει κορυφή το σημείο (-Δ/4.α , -β/2.α) 8)Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία χ=-β/2.α

Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ

Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ

Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 1)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x2 -αx -β2, α,β≠ 0 έχει με τον άξονα x΄x: Α. ένα κοινό σημείο Β. ένα κοινό σημείο που είναι το Ο (0, 0) Γ. κανένα κοινό σημείο

Δ. δύο κοινά σημεία

Ε. δύο κοινά σημεία που το ένα είναι το Ο (0, 0). 2)Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x2-αx+α-1,α≠0 εφάπτεται στον άξονα x΄x, τότε το κ ισούται με: Α. 2 Β. 3

Γ. - 2

Δ. -1

Ε. -3

3)Ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα είναι: Α. f (x) = x2 - 2x – 1

Β. φ (x) = x2 - 6x + 9

Γ. h (x) = x2 - 2x + 1

Δ. g (x) = x2 - 6x - 9

Ε. k (x) = x2 + 4x + 4 4)Αν f (x) = αx2 + βx + γ και Δ < 0 τότε το τριώνυμο f (x) γράφεται: Α. f (x) =  x 

β 2  2α 



Δ. f (x) = α x + 

Β. f (x) =  x + 

Δ 

β 2  2α 

Γ. f (x) = α  x + 



Ε. f (x) = α (x +

 4α 2 



β 2  2α 

Δ  β 2 ) +  2α 4α 2 

5)Η συνάρτηση f(x) =χ2-4χ+3 Α. έχει ελάχιστο στο 2 Β. έχει ελάχιστο το 1 Γ. είναι γνησίως αύξουσα στο[-2 , 2] Δ. κανένα από τα προηγούμενα ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x)=αχ2+βχ+γ Δ>0 Τότε ΕΚΤΟΣ των ριζών το τριώνυμο είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α και ΕΝΤΟΣ των ριζών το τριώνυμο είναι ΕΤΕΡΟΣΗΜΟ του α. x f (x )

−∞

+∞

ομόσημο ετερόσημο ομόσημο του α 0 του α 0 του α

Δ=0 Τότε το τριώνυμο είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΓΙΑ ΟΛΕΣ τιμές του χ ΕΚΤΟΣ απο την τιμή x 0 = x

−∞

−β που την μηδενίζει. 2α −β 2α

+∞

f (x )

ομόσημο του α

Δ<0 Τότε το τριώνυμο ειναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΓΙΑ ΟΛΕΣ τις τιμές του χ.

f (x )

−∞

+∞

ομόσημο του α

ΠΩΣ ΛΥΝΟΥΜΕ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Α(χ)Β(χ)…Γ(χ)<ή>0 Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά κατά τα γνωστά και στη συνέχεια το πρόσημο του γινομένου με τη βοήθεια πίνακα. ΠΩΣ ΛΥΝΟΥΜΕ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Ισχύει ότι

Α( χ ) Α(χ) >0ή <0 Β( χ ) Β(χ)

A( χ ) A( χ ) > 0 ⇔ A(x)B(x) > 0 και ομοίως < 0 ⇔ A(x)B(x) < 0 B( χ ) B( χ )

Οπότε αναγόμαστε στην παραπάνω μορφή ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Έστω η συνάρτηση f(x)=(χ-α1 )2+(χ-α 2 )2+…+(χ-αν )2 να δειχθεί ότι ν(α 1 2+α 2 2+…+α ν 2) ≥ (α1 +α2 +…+αν )2 ΛΥΣΗ Αφού η συνάρτηση f(x)=(χ-α1 )2+(χ-α2 )2+…+(χ-αν )2 είναι άθροισμα τετραγώνων θα πρέπει να ισχύει ότι f(x) ≥ 0 Όμως f(x)=νχ2-2(α 1 +α 2 +…+αν )χ+α1 2+α 2 2+…+αν 2 ≥ 0 για να ισχύει αυτό θα πρέπει Δ ≤ 0  4(α 1 +α2 +…+αν )2-4ν(α 1 2+α2 2+…+αν 2) ≤ 0  ν(α 1 2+α 2 2+…+α ν 2) ≥ (α1 +α 2 +…+α ν )2

2)Αν ισχύει η σχέση (χ2-2χ+1)(ψ2+ψ+1)+(ψ2-4ψ+4)(χ2+χ+1)=0 να βρεθούν τα χ,ψ ΛΥΣΗ

Η σχέση (χ2-2χ+1)(ψ2+ψ+1)+(ψ2-4ψ+4)(χ2+χ+1)=0  (χ-1)2(ψ2+ψ+1)+(ψ-2)2(χ2+χ+1)=0 όμως το τα τριώνυμα ψ2+ψ+1 και χ2+χ+1 έχουν διακρίνουσες ίσες -3<0 άρα δεν έχουν λύσεις και έιναι πάντα θετικά αφού ο συντελεστής του των χ2,ψ2 είναι το 1>0. Επίσης (χ-1)2 ≥ 0 και (ψ-2)2 ≥ 0 και επομένως έχουμε άθροισμα θετικών ίσων με το μηδέν άρα χ=1 και ψ=2 3)Να λυθεί η εξίσωση

( χ 2 + 2 χ − 3)( χ 3 − 1) <0 − χ 2 + 2χ − 1

ΛΥΣΗ

( χ 2 + 2 χ − 3)( χ 3 − 1) Η ανίσωση < 0 γίνεται − χ 2 + 2χ − 1 ( χ 2 + 2 χ − 3)( χ 3 − 1)( − χ 2 + 2 χ − 1) < 0 

(χ2+2χ-3)(χ-1)(χ2+χ+1)(χ2-2χ+1)>0(χ2+2χ-3)(χ-1)(χ2+χ+1)(χ-1)2>0 όμως το χ2+χ+1>0 αφού η διακρίνουσα του είναι Δ=-3<0 και ο συντελεστής του χ2 είναι θετικός,επίσης (χ-1)2>0.Άρα η ανίσωση γίνεται (χ2+2χ-3)(χ-1)>0.Το τριώνυμο χ2+2χ-3 μηδενίζετε για χ=-3 και χ=1 ενώ το χ-1 μηδενίζετε για χ=1.Έχουμε τον πίνακα Χ -∞ -3 1 +∞ χ-1 ο + 2 χ +2χ-3 + ο ο + γινόμενο + + Άρα οι λύσεις είναι το διάστημα (-3,+ ∞) 4)Να βρεθούν οι τιμές του γ ώστε να ισχύει χ2-2χ+2γ-γ2≤0 αν και μόνο αν το χ∈[κ,κ2] με κ≠1,0 ΛΥΣΗ Έστω f(χ)=χ2-2χ+2γ-γ2.Παρατηρούμε ότι α=1>0 άρα για να ισχύει η σχέση θα πρέπει Δ≥0 γιατί αλλιώς αν Δ<0 τότε f(χ)≥0 άτοπο.Αφού Δ≥0 άρα έχει δύο ρίζες χ1,χ2 και για να ισχύει η σχέση χ2-2χ+2γ-γ2≤0 θα πρέπει το χ∈[χ1,χ2] άρα χ1=κ και χ2=κ2.Έχουμε ότι κ2-2κ+2γ-γ2=0(1) και κ4-2κ2+2γ-γ2=0(2).Αφαιρούμε την (1) από την (2) και έχουμε κ2-2κκ4+2κ2=0-κ4+3κ2-2κ=0 κ(κ3-3κ+2)=0 κ=0 (απορρίπτεται) ή κ3-3κ+2=0κ3-κ-2κ+2=0κ(κ-1)(κ+1)-2(κ-1)=0(κ-1)(κ2+κ-2)=0 κ=1 (απορρίπτεται) ή κ2+κ-2=0 κ=-2 ή κ=1 (απορρίπτεται).Άρα κ=-2 και το διάστημα είναι το [-2,4] και χ1=-2 και χ2=4 άρα f(-2)=f(4)=8+2γ-γ2=0 γ2-2γ-8=0 έχουμε Δ=4+4*8=36>0 άρα έχουμε δύο άνισες ρίζες γ 1,2 =

2±6 = 4,−2 2

5)Έστω ότι η ανίσωση αχ2+βχ+γ≤0 έχει μοναδική λύση,να δειχθεί ότι

β2-4αγ=0 και α>0 ΛΥΣΗ Έστω ότι α<0.Θα διακρίνουμε τις περιπτώσεις Δ>0,Δ<0,Δ=0 Αν Δ>0 τότε η ανίσωση έχει λύσεις σε δύο διαστήματα άρα όχι μοναδική Αν Δ<0 τότε είναι αδύνατη Αν Δ=0 τότε ισχύει για κάθε χ άρα όχι μοναδική Έστω ότι α>0.Θα διακρίνουμε τις περιπτώσεις Δ>0,Δ<0,Δ=0 Αν Δ>0 τότε η ανίσωση έχει λύσεις σε δύο διαστήματα άρα όχι μοναδική Αν Δ<0 τότε ισχύει για κάθε χ άρα όχι μοναδική Αν Δ=0 τότε α(χ+

β 2 β β ) ≤0(χ+ )2≤0χ=μοναδική λύση 2α 2α 2α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1)Να βρεθεί το κ ώστε να ισχύει χ2+ψ2+2>(ψ+κ)χ x + y = 2

  x + y = x + y 

2)Να λυθεί το σύστημα 

3)Να λυθούν οι ανισώσεις α)(1-χ)(χ2-10χ+21)(-χ2+χ-5)<0 β)(χ2+χ+1)(χ2-4χ-5)(-χ2+χ-3)2003>0 4)Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση χ2-(λ-1)χ+λ2-3λ+2=0 ώστε να έχουν θετικές λύσεις 5)α)Aν f(χ)=αχ2+βχ+γ και υπάρχει ξ ∈ R ώστε να είναι αf(ξ)<0,να αποδείξετε ότι το f(χ) έχει ρίζες χ 1 ,χ 2 άνισες και χ 1 <ξ<χ 2 β)Αν α3+β3+γ3=3αβγ με α,β,γ διάφορα μεταξύ τους με α>0 και για την f(χ)=αχ2+βχ+γ ισχύει (β+γ)f(ξ)>0 να δειχθεί ότι 1<ξ ή ξ<1 6)Αν α<β<γ να δειχθεί ότι η εξίσωση

1 1 1 + + =0 χ −α χ − β χ −γ

7)Nα βρεθούν οι τιμές του λ ώστε για την εξίσωση (λ-1)χ2-(λ2-2)χ+λ-3=0 να ισχύει χ 1 +χ 2 +χ 1 χ 2 <0 8)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές 3(χ2+1),χ2-χ+1,χ2-χ+2 όπου χ ακέραιος.Να βρεθούν οι πλευρές του τριγώνου

9)Αν α,β,γ αρνητικοί αριθμοί και ισχύει α + 2 χ − χ 2 + β + 2 χ − χ 2 = γ + 2 χ − χ 2 τότε να δειχθεί ότι α+β≤γ-1

10)Αν ισχύει χ2+ψ2-αχ-βψ+γ>0 για κάθε χ,ψ∈ℜ να δειχθεί ότι γ>

α2 + β2 4

Εφαρμογή: Αν ισχύει χ +ψ -γχ- 3 ψ+γ>0 για κάθε χ,ψ∈ℜ να βρεθεί ο ακέραιος γ 2

11)Να βρεθούν τρεις ακέραιοι διαδοχικοί αριθμοί ώστε το άθροισμα των τετραγώνων να είναι μικρότερο του 3 12)Αν οι εξισώσεις χ2+(2λ+1)χ+λ=0 και λχ2+(3λ+4)χ+1=0 έχουν μια κοινή θετική ρίζα να βρεθούν τις τιμές που μπορεί να πάρει το λ 13)Αν χ2+ψ2=α και χ+ψ=β και να βρεθούν οι τιμές του α ώστε να ισχύει χ+χψ+ψ>1 για κάθε χ,ψ ∈ℜ 14)Αν για α,β ισχύει η σχέση β2+(α-2) αβ -2α3<0 να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του λόγου

β α

15)Αν υπάρχει μοναδικό γ ώστε η εξίσωση αχ2+(γ+1)χ+γ≤0 να έχει μοναδική λύση να βρεθεί το α 16)Αν η ανίσωση αχ2+2(α+3)χ+β≤0 έχει μοναδική ακέραια ρίζα να βρεθεί το α 17)Να βρεθούν τα χ,ψ ώστε η ανίσωση (ψ-1)χ2 +ψχ+1≤0 να έχει μοναδική λύση

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1)Να λυθεί η εξίσωση 2(α3+β3)χ2-3χ+α+β=0 όταν οι αριθμοί α,β αποτελούν ρίζες της εξίσωσης χ -λχ+ 2

ΛΥΣΗ

λ2 − 1 2

Αφού α,β αποτελούν ρίζες της εξίσωσης χ2-λχ+ αβ=

λ2 − 1 2

=0 άρα α+β=λ και

.Θα πρέπει να βρούμε το άθροισμα α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)

(1).Ισχύει ότι α2+β2=(α+β)2-2αβ=λ2-2( α3+β3=λ(1-

λ2 − 1 2

) και η εξίσωση γίνεται 2λ(1-

(2λ-λ +λ) χ -3χ+λ=0  (3λ-λ )χ -3χ+λ=0 3

)=1 άρα η (1) γίνεται

λ2 − 1 2

)χ2-3χ+λ=0 

α)Αν 3λ-λ3=0  λ=0 ή λ=± 3 τότε έχουμε λύση την χ=

λ 3

β)Αν 3λ-λ ≠0  λ≠0 ή λ≠± 3 τότε Δ=9-4λ(3λ-λ )=9-12λ2+4λ4=(2λ2-3)2 3

2 3 τότε έχουμε μια διπλή ρίζα την χ=2 3 3 + 2λ2 − 3 3 β 2 )Αν λ≠± τότε έχουμε δύο άνισες ρίζες τις χ 1 = ή 2λ (3 − λ2 ) 2

β 1 )Αν λ=±

χ2 =

3 − 2λ2 − 3 2λ (3 − λ2 )

αν 2λ2-3>0  λ<-

3 3 και λ> 2 2

λ 1 3 − 2λ2 + 3 6 − 2λ2 3 + 2λ2 − 3 τότε χ 1 = ή χ2 = = = = 2 2 2 2 2λ ( 3 − λ ) 3 − λ 2λ ( 3 − λ ) 2λ ( 3 − λ ) λ 3 3 <λ< 2 2 2 3 − 2λ + 3 6 − 2λ2 1 3 + 2λ2 − 3 λ τότε χ 1 = ή = = χ = = 2 2 2 2 2λ ( 3 − λ ) 2λ ( 3 − λ ) λ 2λ (3 − λ ) 3 − λ2

αν 2λ2-3<0  -

2)Αν η εξίσωση 3 α + β χ2+4 8 − β χ+4 6 − α -56=0 έχει μια ρίζα το 2,να βρεθεί η άλλη ρίζα ΛΥΣΗ Αφού η εξίσωση έχει ρίζα το 2 άρα 12 α + β +8 8 − β +4 6 − α -56=0 3 α + β +2 8 − β + 6 − α -14=0

Θέτουμε κ= α + β ,λ= 8 − β ,μ= 6 − α άρα κ2+λ2+μ2=14 (1) και 3κ+2λ+μ=14 (2).Πολλαπλασιάζουμε την (2) με το 2 και την αφαιρούμε από την (1).Έχουμε κ2+λ2+μ2-6κ-4λ-2μ+14=0(κ-3)2+(λ-2)2+(μ-1)2=0 κ=3 και λ=2 και μ=1  β=4,α=5.Άρα η εξίσωση γίνεται 9χ2+8χ-52=0 και Δ=1936 άρα χ 1,2 =

− 8 ± 44 26 χ 1 =2 , χ 2 =18 9

3)Έστω α,β,γ πλευρές τριγώνου με α≥β , α≥γ τότε αν υπάρχει μοναδικό χ κατά το οποίο ελαττόμενες οι πλευρές α,β,γ γίνονται πλευρές ορθογωνίου τριγώνου να δειχθεί ότι το αρχικό τρίγωνο είναι ισοσκελές ΛΥΣΗ Οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου είναι α-χ υποτείνουσα γιατί α≥β , α≥γ και οι κάθετες πλευρές είναι β-χ,γ-χ.Άρα από πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε (α-χ)2=(β-χ)2+(γ-χ)2  χ2+2(β+γ-α)χ+β2+γ2-α2=0 και αφού υπάρχει μοναδικό χ άρα η διακρίνουσα θα πρέπει είναι Δ=0 4(β+γ-α)2-4(γ2+β2-α2)=0 α2+β2+γ2-2αβ-2αγ+2βγ-γ2-β2+α2=0 …α2-α(β+γ)+βγ=0 (α-β)(α-γ)=0 α=β ή α=γ άρα το αρχικό τρίγωνο είναι ισοσκελές 4)Aν η εξίσωση χ2+αχ+1=β έχει θετικές ακέραιες ρίζες τότε να δειχθεί ότι ο αριθμός α2+β2 είναι ακέραιος και σύνθετος ΛΥΣΗ Αν χ 1 ,χ 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης τότε χ 1 +χ 2 =-α και χ 1 χ 2 =1-β.Άρα α2+β2=( χ 1 +χ 2 )2+(1-χ 1 χ 2 )2=χ 1 2+χ 2 2+2χ 1 χ 2 +1-2χ 1 χ 2 +χ 1 2χ 2 2= χ 1 2+χ 2 2+1+χ 1 2χ 2 2=(χ 1 2+1)(χ 2 2+1) άρα ο αριθμός α2+β2 είναι ακέραιος ως γινόμενο ακεραίων και σύνθετος αφού γράφετε σαν γινόμενο 5)Έστω η εξίσωση αχ4+βχ2+γ=0 α)Να δειχθεί ότι για να έχει η εξίσωση τέσσερις πραγματικές ρίζες θα πρέπει τα α,γ να είναι ομόσημα ενώ β ετερόσημο των α,γ β)Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η εξίσωση (α2+α-2)2003χ2+β2004χ+(α-α-6)2005=0 ΛΥΣΗ α)Θέτουμε όπου χ2=ψ και άρα έχουμε την εξίσωση αψ2+βψ+γ=0 (1).Για να έχουμε τέσσερις πραγματικές ρίζες θα πρέπει ψ>0 γιατί μόνο τότε θα έχει ρίζες η εξίσωση χ2=ψ.Άρα οι ρίζες τις (1) θα πρέπει να είναι θετικές

δηλαδή πρέπει S,P>0

−β

>0  α,β<0 άρα ετερόσημα και

γ >0α,γ>0 άρα ομόσημα.Άρα α,γ είναι ομόσημα ενώ β ετερόσημο των α

α,γ β)Σύμφωνα με το α) θα έχουμε ότι β2004>0 άρα (α2+α-2)2003(α-α6)2005<0(α2+α-2)(α2-α-6)<0.Ο πρώτος παράγοντας έχει ρίζες –2,1 ενώ ο δεύτερος παράγοντας έχει ρίζες 3,-2 άρα σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα -∝ -2 1 3 +∝ 2 α +α-2 + + + 2 α -α-6 + + γινόμενο + + + Το γινόμενο πρέπει να είναι αρνητικό άρα α∈(1,3) 6)α)Να βρεθεί η συνάρτηση f:R→R που ικανοποιεί την σχέση 2f(χ)+f(χ-1)=αχ2+χ+1 (1) για κάθε χ∈R β)Να βρεθεί η συνάρτηση g:R→R που ικανοποιεί την σχέση g(χ+1)≤χ≤g(χ)+1 (2) για κάθε χ∈R γ)Αν η συνάρτηση g(χ) είναι εφαπτομένη της f(χ) να βρεθεί το α ΛΥΣΗ α)Αφού η σχέση ισχύει για κάθε χ άρα θα ισχύει και για χ-1 άρα 2f(χ1)+f(χ)=α(χ-1)2+(χ-1)+12f(χ-1)+f(χ)=αχ2-2αχ+α+χ (3).Οι σχέσεις (1) και (3) αποτελούν σύστημα.Από την (1) έχουμε ότι f(χ-1)=αχ2+χ+1-2f(χ) και την θέτουμε στην (3) και έχουμε 2[αχ2+χ+1-2f(χ)]+f(χ)=αχ2-2αχ+α+χ  2αχ2+2χ+2-4f(χ)+f(χ)= αχ2-2αχ+α+χ -3f(χ)=-αχ2-2αχ-2χ+χ+α-2-3f(χ)=-αχ2-2αχ-χ+α-2 f(χ)=

χ2+(

2α + 1 2 −α )χ+ άρα η f(χ) είναι παραβολή 3 3

β)Αφού η σχέση g(χ+1)≤χ≤g(χ)+1 ισχύει για κάθε χ∈R άρα μπορούμε να θέσουμε όπου χ το χ-1 άρα θα έχουμε g[(χ-1)+1)≤χ-1≤g(χ-1)+1 g(χ)≤χ-1≤g(χ-1)+1 άρα από την πρώτη ανισότητα έχουμε χ≥ g(χ)+1 άρα έχουμε g(χ)+1≤χ≤g(χ)+1 χ=g(χ)+1 g(χ)=χ-1 άρα από g(χ) είναι ευθεία γ)Αφού η συνάρτηση g(χ) είναι εφαπτομένη της f(χ) άρα θα πρέπει οι δύο συναρτήσεις να έχουν ένα κοινό σημείο.Για να βρούμε το σημείο αυτό πρέπει να λύσουμε την εξίσωση g(χ)=f(χ) χ-1=

χ2+(

2 −α 2α + 1 )χ+  3 3

3χ-3=αχ2+(2α+1)χ+2-ααχ2+2(α-1)χ+5-α=0 η εξίσωση θα πρέπει να έχει μια λύση άρα Δ=04(α-1)2-4α(5-α)=0α2-2α+1-5α+α2=0

2α2-7α+1=0 η εξίσωση έχει Δ=49-4*2=41 άρα α=

7 ± 41 4

7)Έστω χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της εξίσωσης χ2-αχ+β=0.Να βρεθούν τα α,β ώστε το ελάχιστο της παράστασης Α=χ 1 2(χ 2 +1)+χ 2 2(χ 1 +1) να είναι ίσο με 4 ΛΥΣΗ Πρώτα θα πρέπει να γράψουμε την παράσταση Α ως άθροισμα και γινόμενο των ριζών χ 1 ,χ 2 με χ 1 χ 2 =β και χ 1 +χ 2 =α Α=χ 1 2χ 2 +χ 1 2+ χ 2 2χ 1 +χ 2 2=χ 1 χ 2 (χ 1 +χ 2 )+χ 1 2+χ 2 2= χ 1 χ 2 (χ 1 +χ 2 )+(χ 1 +χ 2 )22χ 1 χ 2 =βα+α2-2β=α2+αβ-2β.Η παράσταση είναι τριώνυμο ως προς α με τον συντελεστή του β2 να είναι το 1>0 άρα παρουσιάζει ελάχιστο για − β 2 − 8β β2 β2 −β και η Α γίνεται Α min = − − 2 β = όμως Α min =4 α= 4 4 2 2 −β -β2-8β=16β2+8β+16=0(β+4)2=0β=-4 και α= =2 2

8)Δίνεται η εξίσωση αχ2+Δχ+α+γ=0 με διακρίνουσα Δ.Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί πάρει το γ ώστε η εξίσωση,για κάθε α,να έχει πάντα δύο άνισες λύσεις ΛΥΣΗ Αφού Δ είναι η διακρίνουσα άρα Δ=Δ2-4α(α+γ)  Δ2-Δ-4α(α+γ)=0 (1) ή εξίσωση θα πρέπει να έχει τουλάχιστον μια ρίζα άρα Δ 1 ≥0 1+4*4α(α+γ)≥01+16α(α+γ)≥016α2+16αγ+1≥0.Η ανισόσητα είναι ένα τριώνυμο ως προς α και θα πρέπει να ισχύει για κάθε α.Άρα αφού α=16>0 πρέπει να ισχύει ότι Δ 2 ≤0(16γ)2-4*16≤0 4γ21 4

1≤0γ2≤ .Έχουμε λοιπόν τον πίνακα -∞ γ2-

1 4 1 4

1 2

Άρα για γ2≤ - ≤γ≤

1 2

+ -

1 2

+∞ +

1 έχουμε ότι υπάρχει τιμή του Δ έτσι ώστε 2

Δ∈R.Όμως θα πρέπει για μία από τις δύο λύσεις τις (1) να ισχύει και Δ>0.Παρατηρούμε ότι το Δ1 +Δ2 =1.Αν Δ 1 <0 και Δ2 <0 τότε Δ 1 +Δ2 =1<0 αδύνατο άρα τουλάχιστον μια εκ των Δ 1 ,Δ 2 είναι θετική και άρα η αρχική μας εξίσωση θα έχει δύο ρίζες άνισες

9)Να βρεθούν τα α,β,χ,ψ,με ψ ακέραιο αριθμό,ώστε η ανίσωση χ2+(α+β-1)ψχ+αψ+3≤0 να έχει μοναδική λύση ΛΥΣΗ Η εξίσωση είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς χ άρα για να έχει μια μοναδική λύση θα πρέπει Δ=0 (δες λυμένο παράδειγμα σελίδα ) Έχουμε ότι (α+β-1)2ψ2-4(αψ+3)=0(α+β-1)2ψ2-4αψ-12=0 αφού όμως ψ ακέραιος αριθμός άρα θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι τέλειο τετράγωνο άρα Δ1 =16α2+4*12*(α+β-1)2=64α2+96α(β-1)+(β-1)2 άρα η διακρίνουσα είναι δευτεροβάθμια ως προς α και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο άρα η Δ2 =0962(β-1)2-4*64(β-1)2=0β=1 και έχουμε Δ1 =64α2 και ψ1,2 =

4α ± 8α

ψ1 =

12α

,ψ2 =

− 4α

=−

για να είναι ψ

ακέραιος αριθμός θα πρέπει το α να είναι διαιρέτης των 2,6 άρα α=±1,±2 Α)Αν α=1 τότε ψ 1 =6 και ψ2 =-2.Για ψ1 =6 τότε χ=-3 και για ψ2 =-2 τότε χ=1 Β) Αν α=-1 τότε ψ1 =-6 και ψ2 =2.Για ψ1 =-6 τότε χ=-3 και για ψ2 =2 τότε χ=1 Γ)Αν α=2 τότε ψ1 =3 και ψ 2 =-1.Για ψ1 =3 τότε χ=-3 και για ψ2 =-1 τότε χ=1 Δ)Αν α= -2 τότε ψ1 =-3 και ψ2 =1.Για ψ1 =-3 τότε χ=-3 και για ψ2 =1 τότε χ=1 10)Nα βρεθούν τα α,β ώστε η παράσταση ημθ=2χ2+αχ+β,με θ οξεία γωνία,να ορίζεται αν και μόνο αν χ∈[1,2] ΛΥΣΗ Α)Γνωρίζουμε ότι ημθ≤1 άρα θα πρέπει 2χ2+αχ+β-1≤0.Θεωρούμε την f(χ)= 2χ2+αχ+β-1 παρατηρούμε ότι α=2>0 άρα για να ισχύει η σχέση θα πρέπει Δ≥0 γιατί αλλιώς αν Δ<0 τότε f(χ)≥0 άτοπο. Αφού Δ≥0 άρα έχει δύο ρίζες χ1,χ2 και για να ισχύει η σχέση θα πρέπει 2χ2+αχ+β-1≤0 το χ∈[χ1,χ2] άρα χ1=1 και χ2=2.Άρα έχουμε f(1)=2+α+β-1=0 α+β=-1 (1) και f(2)=8+2α+β-1=02α+β=-7 (2).Οι σχέσεις (1),(2) αποτελούν σύστημα με λύσεις α=-6 και β=5

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1)Αν η σχέση (α3+β3+γ3)χ2+(α+β+γ)χ+α+β-γ-2=0 ισχύει για κάθε χ τότε να βρεθούν τα α,β,γ

2)Να δειχθεί ότι για το τριώνυμο f(χ)=αχ2+βχ+γ ισχύει S

f( − 2003 )=f( + 2003 ) 3)Αν (κ-α)2+(κ-β)2=(κ-γ)2+(κ-δ)2 και (λ-α)2+(λ-β)2=(λ-γ)2+(λ-δ)2 και (μ-α)2+(μ-β)2=(μ-γ)2+(μ-δ)2 με κ ≠ λ ≠ μ ≠ κ να δειχθεί (2003-α)2+(2003-β)2=(2003-γ)2+(2003-δ)2 4)Αν η ευθεία y=αχ και η παραβολή y=αχ2+2χ+γ έχουν δύο κοινά σημεία με γ ακέραιος και η παραβολή διέρχεται από το σημείο (2,3) να βρεθούν η ευθεία και η παραβολή 5)Aν α,β,γ ρητοί αριθμοί τότε να βρεθεί το α ≠ 0 έτσι ώστε η εξίσωση αχ2+βχ+β+1=0 να έχει ρητές ρίζες 6)Να βρεθούν οι τιμές του γ ώστε ότι αν η ευθεία y=λχ+κ είναι εφαπτομένη της παραβολής y=αχ2+βχ+γ,όπου α,β,γ ρητοί αριθμοί και γ ≠ κ,τότε οι ρίζες της εξίσωσης αχ2+βχ+γ=0 να είναι ρητοί αριθμοί 7)Δίνεται η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α,β,γ α ≠ 0 και ρητοί αριθμοί και ισχύει P+S=

2004

ρητοί αριθμοί

.Να βρεθεί το α ώστε οι ρίζες της εξίσωσης να είναι

8)Αν η ευθεία y=α με α ακέραιος αριθμός τέμνει τις παραβολές y 1 =χ2+χ+1 και y2 =-x2+x+1 σε τέσσερα σημεία να βρεθεί το α 9)Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η ευθεία y=(β2+λβ+1)χ+γ είναι εφαπτομένη της παραβολής y=αχ2+βχ+γ 10)Έστω α,β,γ,μ,ν πραγματικοί αριθμοί διάφοροι μεταξύ τους και του μηδενός και ισχύει

µ2 ν 2 + = α .Να δειχθεί ότι η εξίσωση β γ

χ2-(α+β+γ)χ+βγ+γα+αγ-μ2-ν2=0 έχει ρίζες πραγματικές και άνισες 11)Nα βρεθεί ευθεία που να είναι εφαπτομένη ταυτόχρονα στις παραβολες y=χ2+χ+1 και y=χ2-χ+1 12)Να δειχθεί πως για κάθε τριάδα αριθμών χ,ψ,α ισχύει χ2+2ψ2-α 2 χ-2 2 ψ+α2+1 ≥ 0

13)Αν υπάρχει μοναδικό κ έτσι ώστε οι παραβολές y=κχ2+αχ+κ και y=χ2+κχ+1 να τέμνονται σε ένα σημείο τότε να βρεθούν οι παραβολές αυτές 14)Αν η εξίσωση

χ2 β +γ χ + γ = 0 έχει διπλή ρίζα ρ τότε να δειχθεί +2 α α+β

ότι ρ=±β ή ρ=±γ 15)Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου να δειχθεί ότι η εξίσωση χ2-4αγχ+(α2-β2+γ2)2=0 έχει δύο ρίζες άνίσες και άρρητες 16)Αν ισχύει α2+β2=1 και η εξίσωση ρίζα το 4 να βρεθούν τα α,β

1 2 4 4 2 2 χ -(α +β +α β )χ+α8+β8+1=0 έχει 8

17)Aν η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 με α≠0 έχει ρίζα το S να δειχθεί ότι η εξίσωση 2χ2+2(αβ+βγ+γα)χ+α4+β4+γ4=0 έχει διπλή ρίζα 18)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 όπου οι ρίζες χ 1 ,χ 2 είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί.Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της P-S 19) Έστω ότι εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες με α>0 και ισχύει ότι S + S 2 + 1 P + P 2 + 1 = 1 α)Να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει το S

)(

(

β)Αν α=

β2 −6 4

)

και β ακέραιος να βρεθούν τα α,β,γ

20)Έστω η f(χ)=χ2+αχ+β τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί το εμβαδό του ΚΑΒ (Απ. Ε=3 3 ) 21)Έστω η f(χ)=αχ2+βχ-

τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή

της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Κ 22)Έστω η f(χ)=λχ2+λ(λ+1)χ+λ+1 τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Α,Β και Κ η κορυφή της f(χ).Αν το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ισόπλευρο να βρεθεί το λ (Απ.λ=3 ή -2) 23)Έστω η συνάρτηση f(χ)=βχ2+2χ+γ είναι τέλειο τετράγωνο και η εξίσωση χ2+βχ+γ=0.Να δειχθεί ότι

α)Οι ευθείες ψ=Pχ+S και ψ=Sχ+Ρ είναι κάθετες β)Αν από το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών διέρχεται η f(χ) να βρεθεί η f(χ) 24)Να βρείτε όλους τους ακέραιους ν για τους οποίους η εξίσωση 1

x ψ

2ν δεν έχει πραγματικές και άνισες λύσεις x +ψ

25)Nα βρεθεί η εξίσωση με ακέραιες ρίζες που ικανοποιούν την σχέση χ 1 3+χ 2 3=(χ 1 +χ 2 )2 26)Έστω η f(χ)= αχ2+βχ+γ με γ≠0 τέμνει τον άξονα των χ σε δύο σημεία με θετικές ακέραιες τετμημένες διαφορετικές μεταξύ τους.Να δειχθεί ότι f3(1) ≠α3+β3+γ3 27)Αν για την εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 ισχύει 3 χ 1 + 3 χ 2 = 1 να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(χ)=χ2-2αγχ+γ(α+β)3 εφάπτεται με τον χχ΄ 28)Αν για την εξίσωση αχ2+βχ+γ=0 ισχύει 12α 3 γ = 3 α (64α-β) να βρεθεί η τιμή της παράστασης 3 χ 1 + 3 χ 2 29)Να σχηματιστεί η εξίσωση με ρίζες χ 1 = κ + κ + 1 ,χ 2 = λ + λ + 1 με κ,λ>0 και Ρ=1 30)Έστω ένα σύστημα 2x2.Αν D χ +D y είναι κοινή ρίζα των εξισώσεων χ22χ-2(D χ +D y -1)=0 και χ2-Dχ+2=0 τότε να βρεθούν οι λύσεις του συστήματος 31) Δίνονται οι ευθείες ε 1 :ψ=2χ+κ και ε2 :ψ=2χ+κ+1.Μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ορίζει στις ε1 ,ε 2 τμήμα (ΑΒ) όπου Α ανήκει στην ε1 και Β ανήκει στην ε 2 .Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή 1 5

του ΑΒ (Απ.ΑΒ min = ) 32)Δίνεται ένα σύστημα 2x2 και η εξίσωση D2+2λD-(λ4+3λ2+4)=0 και η εξίσωση χ2-2λχ+2(D χ D y+λ2)=0 έχει ρίζα την D χ -D y.Να βρεθεί το λ ώστε η D να γίνει μέγιστη και μετά να βρεθούν οι λύσεις του συστήματος 33)Δίνεται ένα σύστημα 2x2 που έχει μοναδική λύση (χ ο,ψ ο) οι οποίες αποτελούν και λύσεις της εξίσωσης Dχ2+D χ χ+D ψ =0.Να βρεθούν τα χ ο ,ψ ο 1 2

1 2

[Απ.(χ ο ,ψ ο )=(1,-2) ή (- ,- )]

34)Δίνεται σύστημα 2χ2 που έχει μια εξίσωση χ-ψ=3 και η συνάρτηση f(χ)= Dχ2+D χ χ+D ψ τέμνει τον άξονα χχ΄ στα Β,Γ.Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του μήκους ΒΓ (Απ.ΒΓ=2 2 ) αχ + αψ = 1  να έχει  χ + αψ = β 

35)Αν υπάρχει μοναδικό β ώστε το σύστημα 

μοναδική λύση και η εξίσωση χ2+(α+β)χ+α=0 έχουν D=Δ να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης και του συστήματος 36)Δίνονται οι ευθείες ε1 :λχ+4ψ=8,ε 2 :χ+λψ=4 που τέμνονται στην κορυφή Α της παραβολής f(χ)=-(λ+2)χ2+βχ+60λ α)Να βρεθεί η κορυφή της παραβολής [Απ.(8,4)] β)Αν η f(χ) τέμνει τον άξονα χχ΄ στα σημεία Β,Γ.Να δειχθεί ότι ΑΒΓ ισοσκελές γ)Να βρεθεί το εμβαδό του ΑΒΓ [Απ.(ΑΒΓ)=8] 37) Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+α(α2+α+1)=0 με α≠β και ισχύει 1

χ1

χ2

α −β

.Να βρεθούν τα α,β και ώστε οι ρίζες να παίρνουν τις

ελάχιστες τίμες

38)Δίνεται η συνάρτηση f(χ)=αχ2+3αχ+γ που τέμνει τον άξονα χχ΄ σε διαδοχικά σημεία Α,Β με τετμημένες ακέραιούς διαδοχικούς αριθμούς. α)Να βρεθούν οι τετμημένες αυτές όταν ΑΒ γίνει ελάχιστο β)Αν ΑΒmin = 5 να βρεθεί το α αχ + βψ = γ   με  βχ + γψ = α 

39)Έστω η εξίσωση αχ2+2βχ+γ=0 και το σύστημα 

α,β,γ≠0. α)Αν το σύστημα είναι αόριστο να λυθεί η εξίσωση β)Αν Δ+4D=0 και οι λύσεις τις εξίσωσης είναι η λύση του συστήματος να βρεθούν οι τιμές που παίρνει το S  χ 2 + ψ 2 = 1  με λύσεις χ 0 ,ψ 0 και χ 0 ≠ψ 0 και ισχύει η = β χψ  

40)Έστω το σύστημα 

σχέση χ2+βχ+γ≤0 για κάθε χ∈[ χ 0 ,ψ 0 ].Να λυθεί το σύστημα

41)Έστω οι ευθείες ε1 :αχ+βψ=α+κ και ε2 :βχ+αψ=β+λ με Α(χ 0 ,ψ0 ) το σημείο τομής τους και η εξίσωση (κ+λ-2)χ=(α2-β2)2+(β+1)(β-1)-(α2+1) που είναι αόριστη α)Να βρεθούν τα α,β β)Αν η απόσταση ΑΟ,όπου Ο η αρχή των αξόνων,γίνεται ελάχιστη να βρεθούν τα κ,λ λχ + ψ = λ + 1   χ + λψ = λ 

42)α)Να λυθεί το σύστημα 

β)Αν χ ο,ψ ο οι λύσεις του συστήματος να βρεθούν οι τιμές που μπορεί να πάρει το λ ώστε να ισχύει χ ο+ψ ο>1 43)Έστω η σχέση (α-β+γ-1)χ≥αψ2+βψ+γ ισχύει για κάθε χ και αν και μόνο αν το χ∈[β,α].Να βρεθούν τα α,β,γ 44)Να βρεθούν οι τιμές του μ ώστε η εξίσωση

4χ =1-(2μ+1)2 να έχει χ +3

ακέραιες ρίζες 45)Να βρεθούν τα α,β ώστε στην εξίσωση χ2+αχ+β=0 αν θέσουμε χ=

1 −ψ η εξίσωση που προκύπτει ως προς ψ να έχει την ίδια ρίζα με την 1 +ψ

αρχική 46)Aν η εξίσωση χ 2 + αχ + 1 + αχ 2 + χ + 1 = 0 έχει μια μόνο λύση να βρεθεί το α 47)Αν η συνάρτηση f(χ)=χ2+αχ+β και ισχύει f(β)=β να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης f(χ)=0 48)Αν η ανίσωση χ2+2(ψ+ω)+(ψ+1)(ω-1)≤0 έχει μοναδική λύση να βρεθούν τα χ,ψ,ω 49)Aν οι ευθείες ε 1 :ψ=(α2+β2+γ2)χ και ε 2 :ψ=(αβ+βγ+γα)χ+1 α)Πότε οι ευθείες είναι παράλληλες; β)Να βρεθούν τα κ,λ ώστε τα σημεία Α(κ,1)∈ε 2 και Β(1,λ)∈ε 1 γ)Να βρεθούν τα α,β,γ έτσι ώστε ΑΒ να είναι ελάχιστη 50)Aν υπάρχει μοναδικό χ ώστε να ισχύει συν2θ=αχ2+βχ+γ τότε να βρεθεί το θ

51)α)Nα σχηματιστεί εξίσωση με ρίζες χ 1 ,χ 2 που ικανοποιούν τις εξισώσεις χ 1 +χ 1 χ 2 +χ 2 =α2-α+1 και (α-1)2(χ 1 +χ 2 )+αχ 1 χ 2 =2α(α-1)2 β)Να διερευνυθεί η παραπάνω εξίσωση για τις διάφορες τιμές του α γ)Να δειχθεί ότι αν έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τότε αυτές είναι θετικές δ)Να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση f(χ)=χ2-(χ 1 +χ 2 )χ+χ 1 χ 2 να έχει ελάχιστη τιμή fmin =-

1 4

52)Έστω ότι υπάρχει γωνία θ έτσι ώστε ημθ=χ+α και συνθ=χ+β να βρεθεί η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της διαφοράς α-β 53)Αν υπάρχει μοναδικό χ ώστε για γωνία θ να ισχύει ημθ= συνθ=

β χ +γ

α χ +γ

και

όπου α,β,γ πλευρές τριγώνου,να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι

ισοσκελές 54)Να σχηματιστεί εξίσωση με ρίζες χ 1 ,χ 2 για τις οποίες ισχύει χ 1 2+χ 2 2=α2,χ 1 χ 2 =(α-1)2 και το άθροισμα χ 1 +χ 2 να είναι ελάχιστο 55)Έστω η εξίσωση αχ2+βχ+β-1=0 με β ρητό αριθμό και χ 1 ,χ 2 οι ρίζες της που είναι οι κάθετες πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου.Να βρεθεί το το α ώστε η υποτείνουσα να είναι ρητός αριθμός  χ 4 + χ 2ψ 2 + ψ 4 = α  56)Να λυθεί το σύστημα  2  αν το άθροισμα χ+ψ είναι 2  χ + χψ + ψ = 3 

ελάχιστο

57)Έστω οι εξίσωσεις αχ2+βχ+γ=0 και (αγ)2 αγ χ2+4χ+β2=0 έχουν ταυτόχρονα ρίζες α)Να δειχθεί ότι οι εξισώσεις έχουν από μια διπλή ρίζα β)Αν οι ρίζες των εξισώσεων είναι οι συντελεστές διεύθυνσης δύο ευθειών να βρεθεί το α ώστε οι δύο ευθείες να είναι κάθετες μεταξύ τους 58)Έστω η συνάρτηση f(χ)= x + 2 + 3 − x α)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(χ) β)Αν f(χ)=3 και θέσουμε x + 2 =α και 2 2 α+β=3,α +β =5 γ)Να λυθεί το σύστημα α+β=3,α2+β2=5 δ)Να βρεθεί η λύση της εξίσωσης f(χ)=3

β να δειχθεί ότι 3− x =

59)Έστω τα σημεία Α(χ,2),Β(3,χ),Γ(5,2-χ) α)Να βρεθούν τα μήκη των ΑΒ,ΑΓ β)Αν ΑΓ-ΑΒ=1 να βρεθούν τα ΑΒ,ΑΓ και μετά το χ

ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΕΜΙΡΤΖΟΓΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ