Ευκλειδης Β 63 by demi de

ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2006-2007

Εκπαιδευτικά βιβλία για

μαθητές και εκπαιδευτικούς μαθηματικά

f) ενιοfου Λυκεfου

Άλγεβρα

Α' Ενιαίου Λυκείου Θ. Τ σιούμας, I. Σιάχος

Μεθοδολογία Άλγεβρας

Β' Εν ι αίου

Λυκείου Γενικής Παιδείας Ε. Πρωτοπαπάς

το

r· Ενιαίου Λυκείου

Γεωμετρία

Β' Ενιαίου Λυ κείου

Γενικής Παιδείας Ε. Πρωτοπαπάς

Μαθηματικά

Γ' Ενιαίου Λυκείου Γεν ι κ ή ς Παιδείας Μ. Τσιλπιρίδης

δυναμικό site των ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΠΑΤΑΚΗ

Επισκεφθείτε το site μαc; και θα βρείτε για την εκΠαίδευση:

t Στο on line βιβλιοπωλείο, όλα τα εκπαιδεύτικά βιβλία των Εκδόσεων Πατάκη ταξινομημένα κατά τάξη-μάθημα-σειρές, με περιγραφή

περίληψη (βεβαίως υπάρχουν βιβλία και των άλλων κατηγοριών). Μπορείτε στο τμήμα αυτό να ενημερωθείτε και να παραγγείλετε. t Στο τμήμα εκπαίδευση, αποσπάσματα από τα εκπαιδευτικά βιβλία

πληροφορίες για την εκπαίδευση στην Ελλάδα και σε όλο τον κόσμο.

( I 0-16 σελίδες από κάθε βιβλίο) και ακόμη: άρθρα/σχόλια/

t Στην κεντρική σελίδα του site (homepage), η ένδειξη: «Συμπληρώματα και παροράματα βιβλίων των Εκδόσεων Πατάκη», όπου θα

βρείτε συμπληρωματικό υλικό για τα βιβλία και τυχόν παροράματα. t Στο Forum μπορείτε να διατυπώσετε τις απόψεις σας, να υποβάλετε ερωτήματα, να απαντήσετε σε ερωτήσεις άλλων ή να σχολιάσετε

τις απόψεις τους. t Μπορείτε να επισκεφθείτε την ηλεκτρονική εκπαιδευτική εφημερίδα e-Π@τ@κηc;/Παιδεία, που είναι πλούσια σε εκπαιδευτικό υλικό. t Πολλά ακόμα ενδιαφέροντα υπάρχουν για όλους: εκδηλώσεις, διαγωνισμοί, πληροφορίες για τις Εκδόσεις Πατάκη και άλλα. Σαc; περιμένουμε στο site μαc;.

Μη χάσετε την ευκαιρία που μας προσφέρει η σύγχρονη τεχνολογία για άμεση επαφή και ενημέρωση.

web site: http://www.patakis.gr, e-mail: info@patakis.gr, sales@patakis.gr

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ETAIPEIA

Τεύχος

•

Ιανουάριος

•

Φεβρουάριος - Μάρτιος

2007·

e-mail: info@hms.gr www.hms.gr

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ

ΓΙΑ

Έτος

λθ' -

ΤΟ

Ευρώ:

3,50

ΛΥΚΕΙΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

../' Ιστορικές Μαθηματικές Αναφορές

•

Νέα και Παλιά στον Κόσμο των Μαθηματικών

../' Μαθηματικοί Διαyωνισμοί- Μαθηματικές Ολυμπιάδες

../' Χρωματισμοί Επιπέδου

..........

•••

../' Το Βήμα του Ευκλείδη

. ...............

../' Homo Mathematicus

. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . 9

............

../' Αξιόλοyοι Μαθηματικοί

........

.......... ..

....... 13 ....... 15

.......................................................... 18

../' Άλyεβρα

Μαθηματικά

.......................... 20

Α'

Τάξης

../' Γεωμετρία

....... 26 33

Μαθηματικά

../' Άλyεβρα

.. Β'

../' Γεωμετρία

Τάξ ης ·

..... 45

.......

../' Κατεύθυνση

..... 56

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

Μcιθηματικά

../' Μαθηματικά Γενικής Παιδεία

Γ"

Τόξης

.. 69

../' Μαθηματικά Κατεύθυνσης

.. 73

../' Ο Ευκλείδης προτείνει... Ευκλείδη

................................... 76

../' Τα Μαθηματικά μας Διασκεδάζουν .................................... 79

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑfΙΚΗΣ ΗΑΙΡΕΙΑΣ

ΓΊΑΝΕΠΙΠΗΜΙΟΥ 34

Τηλ.: 21 Ο 3617784 Fax:2103641025

•

106 79 ΑΘΗΝΑ

3616532

Εκδότης:

Εξαρχάκος Θε:όδωρος

Διευθυντής:

Τυρλής Ιωάννης Κωδικός ΕΛ.ΤΑ.: 2055 JESN

Συντακτική Επιτροπή

Εκτελεστική Γραμματεία

Πρόεδρος:

Ταααόπουλος Γιώργος

Αντιπρόεδρος:

Ευαταβίου Βαγγcλης

Γραμματέας:

Χριατ6πουλος Παναγιώτης

Μέλη:

1105 -7998

Αργυράκης Δ. Δρούταας Π. Λουρίδας

Σ.

Ταπεινός Ν.

Επιμέλεια 'Εκδοσης: Τααα6πουλος Γιώργος Ευαταβίου Βαyycλης ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ ΤΗΣ ΕΜΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΥΙΚΗΣ ΕΥΑΙΡΕΙΑΣ

Αθανασόπουλο$ Γεώργιος Ανασrασίου Για".."])ς Ανδρουλακάκης Νικος Αντωνόπουλος Νίκος .ι\ργυρ�κης Δημ,ήτ9ιος Βακαλόπουλος Κωσrας Γράψας Κων/νος Δρουτσας Παναγιώτης Ευσrαθίου Βαγγέλης Ζαχαρόπουλος Κων/νος Ζώτος Βαγγέλης Καλίκας Σταμάτης ΚανέλλΟς Χρήσrος Καραγκού";ης Δ'Ι]μήτρης Καρακατσανης Βασίλης Καρκάνtjς Βασίλης Κατσούλης Γιώρyος Κερασα�ιδης Γιαννης Καρδαμιτσης Σπύρος Κnπουρός Χρήσrος Κλάδη Κατερίνα Κόντζιας Νίκος Κοτσιφάκης Γιώργος Κυριακόπουλος Αντώνης Κυ ιακόπουλος Θανάσης Κυ ερν�του ΧQυσt. Λα αρίδης Χρησrος Λάππας Λευτέ�ης Λουρίδας Σωτηρης Μαλαφέκας Θανασης

�

Μανολάκου Στοματική Μενδρινός Γιάννης Μεταξάς Νικόλαος Μυλωνάς Δημήτρης Μώκος Χρήσrος Πανουσάκης Νίκος Ρέγκλης Δημήτρης Σαίτη Εύα Στα'ίκος Κώσrας Στά'ίκος Παναγιώτης Στρατής Γιάννης Ταπεινός Νικόλαος Τασσόπουλος Γιώργος τζιώτζιος Θανάσης Τριάντος Γεώργιος Τσαγκάρης Ανδρέας Τσατούρας Ευάγγελος Τσικαλουδάκης Γιώργος Τσιούμας Θανάσης Τυρλής Ιωάννης Φανέλη Άννυ Χαραλαμποπούλου Λίνα Χαραλάμπους Θάνος Χρισrόπουλος Παναγιώτης

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• •

•

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργάτες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη β'". Τα χειρόγραφα δεν επιοτρέφονtαι. Τιμή Τεύχους ευρώ 3,50

Ετήσια συνδρομή (10,00 + 4,00 Ταχυδρομικά= ευρώ 14,00)

Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00

Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται με απλή επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο Αθήνα 54 Τ.Θ. 30044 ή πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Εκτύπωση: ΙΝ1ΈΡΓΙΡΕΣ Α.Ε. τηλ.: 210 8160330 Υnι:ύθuνος τunογpαφι:ίοu: Β. Σωτηριάδης

Επιμέλεια: Χρήστος Κηπουρός Το άρθρο που ακολουθεί μας έστειλε ο Καθηγητής του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Θόδωρος Μπόλης αναφέρεται στη καθιέρωση ορισμένων Μαθηματικών Βραβείων και στα ονόματα των βραβευθέντων μαθηματικών . Στη συνέχεια μας γνωρίζει πότε και από ποιους μαθηματικούς αναφέρθηκαν, για πρώτη φορά, τα διάφορα μαθηματικά σύμβολα που χρησιμοποιούμε σήμερα ώστε να λειτουργήσει πιο καλά ο χώρος των Μαθηματικών. Στο τεύχος 5 7 του Ευκλείδη Β', είχαμε αναφέρει μερικά από αυτά. Σχετικά με το βραβείο Nobel, γνωρίζουμε στον αναγνώστη τα παρακάτω: Ο Σουηδός χημικός και μεγαλοβιομήχανος Αλφρέδος Νόμπελ άφησε ένα μεγάλο μέρος της περιουσίας του για να καθιερώσει τα 5 χρηματικά βραβεία που φέρουν το όνομά του. Τα βραβεία αυτά δίνονται ανά ένα, σε κάθε πρόσωπο, που διακρίθηκε στη Φυσική, τη Χημεία, την Ιατρική, την Λογοτεχνία και την Ειρήνη. Αλλά ο Νόμπελ, για δικούς του λόγους δεν είχε συμπεριλάβει τα Μαθηματικά . Όμως από το 2003, η Νορβηγική Α καδημία Επιστημών θεσμοθέτησε ένα αντίστοιχο προς το βραβείο Νόμπελ που συνοδεύεται από το ίδιο χρηματικό ποσόν (Ι90. 000 Σουηδικές κορώνες) και ονομάζεται βραβείο Abel προς τιμήν του Νορβηγού Μαθηματικού

Παραθέτουμε τώρα το

.:EJsH εnrikAbe1.(1802 - 1 829)

άρθρο του Καθηγητή Θ.Μπόλη που φέρει ως τίτλο:

I ΝΕΑ I ΚΑΙ I ΠΑΛΙΑ I ΣΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Θ όδωρος Μπόλης, Καθηγητής Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Εισαγωγή

Στο παρόν σημείωμα παρουσιάζουμε μερικά ενδιαφέροντα νέα από τη Διεθνή Μαθηματική σκηνή καθώς και μια σύντομη ιστορία των περισσότερο χρησιμοποιουμένων στοιχειωδών Μαθηματικών συμβόλων. Τα ονόματα των αναφερομένων Μαθηματικών των οποίων η βιογραφία (και πολύ πιθανώς φωτογραφίες) εμφανίζονται στον πράγματι εξαιρετικό ιστότοπο http://www-histoα.mcs.st-and.ac.uk/-histoα/ θα γράφονται με μπλε γράμματα. Επειδή το βιβλίο του Cajori [ 1] είναι πολύ ογκώδες, προτείνουμε τον ιστότοπο [2] για μια σύντομη αλλά εκτενέστερη από την παρούσα ενημέρωση. ABEL

Τα

...

I NEAI

ΥΠΑΡΧΕΙ ΒΡΑΒΕΙΟ ΝΟΒΕ&ο ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ; ΟΧΙ, ΥΠΑΡΧΕΙ ΟΜΩΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟ ΠΟΥ ΛΕΓΕ ΤΑΙ ΒΡΑΒΕΙΟ ABEL . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/2

------- Ιστορικές Μ α θηματικές Αναφορές

-------

1 Βραβείο Abel I Τον περασμένο Μάρτιο, η Νορβηγική Ακαδημία

ότι ο Σουηδός Μαθηματικός Lennart Axel Edvard Carleson ( 1928 -) τιμήθηκε με το βραβείο Abel για τη συμβολή του στην Αρμονική Ανάλυση και τη Θεωρία των Δυναμικών Συστημάτων Η απονομή του βραβείου έγινε στις 23 Μα:fου 2006 από το βασιλιά της Νορβηγίας Harald. Το βραβείο Abel θεσμοθετήθηκε το 2003 και συνοδεύεται από το ίδιο χρηματικό ποσό με το βραβείο Nobel. Προηγούμενοι τιμηθέντες με το βραβείο Abel είναι: Για το 2005 ο Αμερικανός (Ουγγρικής καταγωγής) Peter Daνid Lax (1926 -), για το 2004 ο Βρετανός (Λιβανικής καταγωγής) Sir Michael Francis Atiyah ( 1929 ) μαζί με τον Αμερικανό Isadore Singer και για το 2003 ο Γάλλος αλγεβριστής Jean-Pieπe Seπe (1926 - ). Επιστημών ανακοίνωσε

Carleson

I Μετάλλια Fields. Στο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο (lntemational Mathematical Congress) που

έγινε στη Μαδρίτη (22-30 Αυγούστου 2006) έγινε η απονομή των Μεταλλίων Fields στους Andrei Okounkov (Πανεπιστήμιο του Berkeley και τώρα του Princeton), Terence Tao (UCLA) και Wendelin Wermer (Universite Paris-Sud και Ecole Normal Superieure). Ο τέταρτος τιμηθείς για την απόδειξη της εικασίας του Poincare Ρώσος Μαθηματικός Γpuropuiί Πepe.rιbMaH (Grigorii Perel'man) αρνήθηκε όμως να αποδεχτεί το Μετάλλιο. Θυμίζουμε ότι ο Tao και ο Perel'man είχαν κερδίσει χρυσό μετάλλιο στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα για την Αυστραλία για την ΕΣΣΔ, αντίστοιχα, όταν ήταν πολύ νεαροί μαθητές. Τα Μετάλλια Fields, προς τιμήν του Καναδού Μαθηματικού John Charles Fields (1 863 - 1932), απονέμονται από τη Διεθνή Μαθηματική Ένωση (Intemational Mathematical Union, IMU) τέσσερα το πολύ κάθε τέσσερα χρόνια από το 1936 σε διακεκριμένους Μαθηματικούς κάτω των σαράντα ετών, ενώ το βραβείο Abel (όπως και το βραβείο Nobel) δεν έχει περιορισμό ηλικίας. Μέχρι τώρα μόνο 48 Μαθηματικοί έχουν τιμηθεί με το Μετάλλιο Fields, το οποίο έχει χαραγμένη την κεφαλή του Αρχιμήδη (287 - 212 π.Χ.).

CARLGAUSS

Στη Μαδρίτη ανακοινώθηκε ότι ο Γιαπωνέζος Μαθηματικός και Καθηγητής μου στο Παν/μιο του Aarhus της Δανίας Kiyosi ltδ (1915 - ), Ομότιμος Καθηγητής του Παν/μίου του Κυότο, τιμήθηκε με το βραβείο Gauss (προς τιμήν του «πρίγκηπα των Μαθηματικών» Γερμανού Johann Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1 855)), το οποίο απονέμεται για πρώτη φορά φέτος από τη Διεθνή Μαθηματική Ένωση (IMU) και τη Γερμανική Μαθηματική Ένωση (Deutsche ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β. τ. 3/3

------ Ιστορικές Μ αθ ηματικές Αναφορές

------

Mathematiker - Vereinigung) για να τιμήσουν επιστήμονες των οποίων «η μαθηματική έρευνα είχε σημαντική επίδραση σε κλάδους εκτός των Μαθηματικών, όπως στην Τεχνολογία, στις επιχειρήσεις ή απλώς στη καθημερινή ζωή των ανθρώπων». Ο Καθηγητής κ. ltό έχει εργασθεί στον κλάδο των Στοχαστικών Διαδικασιών. ΓΒραβείο RolfNevanlinna. I Στη Μαδρίτη τιμήθηκε επίσης από την IMU ο Αμερικανός Μαθηματικός Jon Kleinberg του Παν/μίου του Comell με το Βραβείο Neνanlinna (προς τιμήν του Φινλανδού Μαθηματικού Rolf Herman Nevanlinna (1895- 1980)), το οποίο απονέμεται κάθε τέσσερα χρόνια από το 1982 σε Μαθηματικό νεώτερο των 40 χρόνων που διακρίθηκε στον κλάδο της Πληροφορικής ή της Αριθμητικής Ανάλυσης. Μέχρι σήμερα τιμήθηκαν με το βραβείο αυτό επτά Μαθηματικοί.

Rolf Nevalinna

Nikole d' Oresme

11 Ο

Marine Mersene

Τον περασμένο Σεπτέμβριο και πριν περάσει χρόνος από την ανακάλυψη από τους Curtis Cooper και Steνen Boone του 43ου πρώτου του Mersenne (βλ. το σημείωμά μου [3] στον Ευκλείδη Β' του Ιουνίου 2006 και τις εκεί παραπομπές), ανακαλύφτηκε από τους ίδιους ο 44°ς γνωστός πρώτος του Mersenne 44°ς πρώτος

του

Mersenne.

232 582657- 1

12457502601536945540...11752880154053967871

ο οποίος έχει 9808358 ψηφία (ο μεγαλύτερος γνωστός σήμερα πρώτος αριθμός). Τα

. . .

lnAΛΙAI

Σύντομη Ιστορία των Στοιχειωδών Μαθηματικών Συμ β όλων πράξεων: (+) (200 - 284),

δεν χρησιμοποιούσε Πρόσθεση και αφαίρεση ( ). Ο Διόφαντος σύμβολο για την πρόσθεση για την οποία απλώς έβαζε τις ποσότητες τη μια δίπλα από την άλλη ενώ για την αφαίρεση χρησιμοποιούσε ένα ανάποδο ψ που εικάζεται ότι προήλθε από τη λέξη «λεϊψις», έλλειμμα. Π. χ. η εξίσωση Σύμβολα

5χ3- 2χ2 +χ - 3

γράφονταν κάπως έτσι

Ε 'Κ Α' ς rll Β' ΔvΓ' Μ0 ΙΣΟ Ν ΜΗΔΕΝΙ, δηλ. πέντε κύβοι (μιας ποσότητας) και μια σκέτη ίδια ποσότητα μείον δύο δυ\'άμει� :-η� τετράγωνα) και τρεις μονάδες ίσον με μηδέν. Το μείον πάει και στ ς τρεις μον άδε� δηί.. χι:ι;ί�ον·:-αι τα θετικά από τα αρνητικά. (?[ιJαί\'ει «και». Θεωρείται ότι Το σύμβολο + ήταν μια συντόμευση της Λατινική� ί.έ�η� πρωτοεμφανίστηκε στο χειρόγραφο A lgorίsmus prοpοrtίοnοΙϊιπι tΛογισμός Αναλογιών) που γράφτηκε από τον Γάλλο Μαθηματικό (που ανακάλυψε την Αναλυτική Γεωμετρία πολύ πριν από τον Descartes) Υ

c! ::οι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/4

------ Ιστορικές Μ αθηματικές Αναφορές

------

Nicole d' Oresme (1323- 1382) μεταξύ του 1356 και του 1361 αν και το σύμβολο εμφανίζεται σ' ένα αντίγραφο του χειρογράφου αυτού και υπάρχει η αντίληψη ότι εισήχθη από τον αντιγραφέα. Πάντως, σύμφωνα με τον Ελβετικής καταγωγής Αμερικανό Μαθηματικό και Ιστορικό των Μαθηματικών Florian Cajori (1859 - 1930), το σύμβολο εμφανίστηκε σ' ένα χειρόγραφο του 1417. Σε τυπωμένο βιβλίο τα σύμβολα + και - πρωτοεμφανίζονται στην Εμπορική Αριθμητική Behende vnnd hubshe Rechnung auff allen Kauffmanschaften (Σβέλτος και όμορφος λογισμός για όλες τις εμπορικές επιχειρήσεις, η ορθογραφία είναι της εποχής!), Leipzig 1489, του Γερμανού Johannes Widmann (1462 - 1498), όπου το + συμβόλιζε περίσσευμα και το - έλλειμμα: «Was - ist?, das ist minus . . . und was +ist?, das ist mer.» Το επόμενο βιβλίο που χρησιμοποίησε τα σύμβολα + και - σε αλγεβρικές εκφράσεις ήταν του Ολλανδού Giel Vander Hoecke με τίτλο Een sonderlίnghe boek ίn dye conste Arίthmetίca (Ενα ειδικό βιβλίο στην τέχνη της Αριθμητικής), Antwerp 1514, και το αμέσως επόμενο ήταν του Γερμανού Henricus Grammateus (γνωστός και ως Henricus Scriptor ή Heinrich Schreyber) με τίτλο Ayn new Kunstlίch Buech (Ενα νέο τεχνικό βιβλίο), 1558 ([1], σ. 131). Στην Αγγλία τα σύμβολα αυτά εμφανίστηκαν το 1557 στο βιβλίο του Άγγλου Robert Recorde (1510 - 1558) με τίτλο The Whetstone ofWίtte (το Ακόνι της Σοφίας). Θαυμάστε την ορθογραφία της εποχής! «There be other 2 signes in often use of which the first is made thus + and betokeneth more: the other is thus made - and betokeneth lesse.» Στο βιβλίο αυτό πρωτοεμφανίστηκε και το σύμβολο ισότητας =. Σύμβολα πολλαπλασιασμού. Το σύμβολο χ, ( ο σταυρός του Αγίου Ανδρέα κατά τον Cajori) χρησιμοποιήθηκε από τον Άγγλο Μαθηματικό που ανακάλυψε τον λογαριθμικό κανόνα William Oughtred (1574- 1660) στο βιβλίο του Clavίs Mathematίcae (Κλειδί για τα Μαθηματικά) που γράφτηκε το 1628 και δημοσιεύτηκε στο Λονδίνο το 1631, αν και το σύμβολο εμφανίστηκε το 1618 σε ένα ανώνυμο παράρτημα της μετάφρασης του Edward Wright του βιβλίου του Σκωτσέζου John Napier (1550 - 1617) Mίrijicί logarίthmorum canonίs descrίptίo (Περιγραφή των θαυματουργικών κανόνων των λογαρίθμων) από τα Λατινικά στα Αγγλικά, αλλά πιστεύεται ότι το εν λόγω παράρτημα γράφτηκε από τον Oughtred.

Florian Cajori

Johann Bernoulli

Σε ένα γράμμα προς τον (Ελβετό) Johann Bemoulli (1667 - 1748) ο πολύς Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716) στις 29 Ιουλίου 1698 δηλώνει ότι δεν του αρέσει το χ γιατί μπορεί να συγχυστεί με το χ και χρησιμοποιεί το σύμβολο για τον πολλαπλασιασμό και το σύμβολο : για τη διαίρεση. Οι ιστορικοί των Μαθηματικών δεν συμφωνούν αν προηγούμενες χρήσεις της τελείας από τους Άγγλους Thomas Haπiot (1560 - 1621) (Artίs Analytίcae Praxis ad A equatίones A lgebraίcas Resolvendas (Πρακτική της αναλυτικής τέχνης για τις προς λύσιν αλγεβρικές εξισώσεις), 1631) και Thomas Gibson •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ .3/5

------- Ιστορικές Μ αθ ηματικές Ανα φορές

(Syntaxίs mathematίca

αριθμών στο κείμενο.

-------

(Μαθηματική Σύνταξη), 1655) συμβόλιζαν πολλαπλασιασμό ή διαχωρισμό

χρησιμοποιήθηκε από τον Ελβετό Johann Heinrich Rahn, αλλιώς Rhonius, (1622 1676) το 1659 στο βιβλίο του Teutshe A lgebra (Γερμανική Άλγεβρα). Επανήλθε την εποχή των υπολογιστών. Η Απλή παράθεση για τον συμβολισμό του πολλαπλασιασμού εμφανίζεται για πρώτη φορά σε ένα χειρόγραφο που βρέθηκε θαμμένο στο χωριό Bakhshali της Ινδίας που χρονολογείται από τον όγδοο, ένατο ή δέκατο αιώνα. Χρησιμοποιήθηκε επίσης από τον Ισπανό ισλαμιστή Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi (1412 - 1486) τον 15° αιώνα και σε άλλα χειρόγραφα της ίδιας εποχής. Χρησιμοποιήθηκε επίσης από τον Γερμανό (ανακάλυψε τους λογαρίθμους ανεξάρτητα από τον Napier) Michael Stifel (1487 - 1567) το 1544 στο βιβλίο Arίthmetίca ίntegra (Ολοκληρωμένη Αριθμητική), Nuemberg, και το 1553 στην αναθεωρημένη έκδοση του βιβλίου του Αυστριακού ChristoffRudolff(1499 - 1545) Dίe Coss (Η Άλγεβρα, από τη λέξη cosa που χρησιμοποιούνταν τότε για τη μεταβλητή), όπου χρησιμοποιήθηκε και η επανάληψη ενός γράμματος για τον συμβολισμό δυνάμεων. Τα Σύμβολα διαίρεσης . Η παρένθεση κλεισίματος ), π.χ. 4)5 για το 4/5 χρησιμοποιήθηκε από τον Stifel το 1544 στο βιβλίο Arίthmetίca ίntegra που αναφέρθηκε στο προηγούμενο εδάφιο (το βιβλίο γράφτηκε το 1540). Δύο τελείες: πρωτοχρησιμοποιήθηκαν το 1633 για τον συμβολισμό κλασμάτων στο βιβλίο Johnson Arίthmetίk; In two bookes και το 1684 για τον συμβολισμό λόγων και διαίρεσης από τον Leibniz στο βιβλίο Acta erudίcorum. Ο Johann Rahn (Rhonius) στην Teutshe A lgebra το 1659 χρησιμοποίησε για τη διαίρεση το σύμβολο του οβηλού Οι Θετικοί εκθέτες Ο Nicole d' Oresme (1323 - 1382) χρησιμοποίησε μη υπερυψωμένους αριθμούς για το συμβολισμό δυνάμεων, ενώ ο Γάλλος Nicolas Chuquet (1445 - 1488) το 1484 στο βιβλίο του Le Trίparty en la Scίence des Nombres (το Τριμερές στην επιστήμη των αριθμών, δηλ. η επιστήμη των αριθμών σε τρία μέρη) χρησιμοποίησε 5 4 για να συμβολίσει το 5χ4 ([1], σ.102). Το 1634 ο Γάλλος Pierre Herigone (Herigonus, 1580 - 1643) συμβόλιζε τις δυνάμεις με α, α2, α3 κλπ στο Cursus mathematίcus ([1], σ.202), ενώ το 1636 ο James Hume, ένας Σκωτσέζος που ζούσε στο Παρίσι χρησιμοποίησε υπερυψωμένους ρωμαϊκούς αριθμούς στο βιβλίο του L ' A lgebre de Vίete d' vne mέthode nouvelle, claίre, et Facίle (Η Άλγεβρα του Viete με μια νέα, διαυγή και εύκολη μέθοδο, [1], σ.345). Ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται σήμερα ανήκει στον Rene Descartes (Cartesius, 1596 1650) πρωτοεμφανίστηκε στο βιβλίο του La Gέomέtrίe, 1637 ([1], σ. 178). Ο ι Αρνητικοί Ο Nicolas Chuquet (βλ. ανωτέρω) το1484 χρησιμοποίησε 5 1 m με μια παύλα πάνω από το m στον εκθέτη για το sx·1 ([1], σ. 102). Ο σημερινός συμβολισμός ανήκει στον Sir lsaac Newton (1643 -1727) και εμφανίζεται το 1676 σε ένα γράμμα του προς τον Γραμματέα της Βασιλικής Εταιρείας Henry Oldenburg, όπου περιγράφει την ανακάλυψη του γενικού διωνυμικού θεωρήματος (με οποιονδήποτε εκθέτη) δώδεκα χρόνια πριν. Στο ίδιο γράμμα χρησιμοποίησε ρητούς εκθέτες ([1], σ. 178) με τον σημερινό συμβολισμό, ενώ άλλοι άγαρμποι συμβολισμοί για τέτοιους χρησιμοποιήθηκαν από τον Nicole d' Oresme και τον Φλαμανδό Simon Stevin (1548 - 1620). Ο Αστερίσκος *

Σίψβολα εκθετι:ί)ν:

εκθέτες

ί\λλα σίψβολα π ρ άξεων.

Η τελεία για το εσωτερικό γινόμενο (αν και όχι στο κέντρο της γραμμής εκτύπωσης) και ο «σταυρός του Αγίου Ανδρέα» για το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιήθηκε από τον Αμερικανό Μαθηματικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/6

------- Ιστορικές Μ αθηματικές Ανα φορές

-------

Edwin Bidwell Wilson (1889 - 1964) το1901 στο βιβλίο των σημειώσεων του φημισμένου Αμερικανού εφαρμοσμένου Μαθηματικού Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) Vector A nalysίs (Διανυσματική Ανάλυση). Μέχρι σήμερα η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία παρουσιάζει στο ετήσιο συνέδριό της τη διάλεξη Gibbs. Το σύμβολο ± χρησιμοποιήθηκε το 163 1 από τον William Oughtred στο Clavίs Mathematίcae([I], σ. 245).

Τα σύμβολα Σ για το άθροισμα και Δ για τη διαφορά εισήχθησαν το1755

από τον πολυφημισμένο και πολυγραφότατο Ελβετό Μαθηματικό Leonhard Euler (1707 1783 ). Σύμφωνα με τον Cajori ([Ι], 11, σ. 78) το σύμβολο Π για τον πολλαπλασιασμό οφείλεται στο Gauss το 1 812. Κάποιος Gullberg υποστηρίζει ότι το Π οφείλεται στον Descartes, στον οποίο σίγουρα οφείλεται (La Geometrίe, 1637) το ριζικό σύμβολο ....{ , το οποίο προέρχεται από το πρώτο γράμμα της λατινικής λέξης radix = ρίζα (σας θυμίζει το ραδίκι;). Ο Rudolff πρωτοχρησιμοποίησε το ριζικό το 1525 χωρίς την οριζόντια γραμμή (νinculum). Δείκτες πάνω από το άνοιγμα του ριζικού (π.χ. 3 για την κυβική ρίζα) προτάθηκαν to 1629 από τον Γάλλο Μαθηματικό και Μουσικό (σε αυτόν οφείλουμε το συμβολισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin, cos, tan) Albert Girard (1595 - 1632) στο βιβλίο του lnventίon nouvelle και, σύμφωνα με τον Cajori ([1], σ.372) πρωτοχρησιμοποιήθηκαν το 1690 από τον (Γάλλο βέβαια) Michel Rolle (1652 - 1719) στο Traίte d' A lgebre. Το σύμβολο Ι Ι για την απόλυτη τιμή εισήχθη to 1841 από τον Γερμανό Μαθηματικό Karl Weierstrass (1815 - 1 897), ([1], #492, 11 σ. 123). Σύμβολα Σχέσεων.

John Wallis

Το σύμβολο της ισότητας = εμφανίστηκε το 1557 στο βιβλίο του Robert Recorde (1510 - 1558) με τίτλο The Whetstone ofWίtte (βλ. ανωτέρω). Σε ωραία ορθογραφία της εποχής έγραψε «I will sette as Ι ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/7

------ Ιστορικές Μ α θηματικές Ανα φορές

------

doe often in woorke use, a paire of parralles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: because noe 2, thynges, can be moare equalle.» Υπάρχει εικασία από τον Cajori ([1], σ. 126) ότι το σύμβολο της ισότητας χρησιμοποιούνταν στο Πανεπιστήμιο της Bologna ανεξάρτητα από τον Recorde και ίσως ενωρίτερα. =,

Karl Weierstrass

Τα σύμβολα ανισότητας < και πρωτοεμφανίστηκαν το 163 1 στο βιβλίο του Harriot που αναφέρθηκε ανωτέρω στα σύμβολα του πολλαπλασιασμού. Το βιβλίο δημοσιεύτηκε δέκα χρόνια μετά το θάνατο του Harriot και γράφτηκε στην τελική του μορφή από τον Nathaniel Torporley, ο οποίος φαίνεται ότι είναι υπεύθυνος για το στυλ και τους συμβολισμούς. Αναφέρεται στα Λατινικά: «Signum majoritatis ut a b significet a majorem quam b» και «Signum minoritatis ut a b significet a minorem quam b.)) Τα σύμβολα και χρησιμοποιήθηκαν το 1734 από τον Γάλλο Pierre Bouguer (1698 - 1758). Ο Άγγλος Μαθηματικός John Wallis (1616 - 1703) χρησιμοποίησε παρόμοια σύμβολα, μόνο που οι οριζόντιες γραμμές ήταν πάνω από τα σύμβολα της ανισότητας. Το σύμβολο *-επινοήθηκε από τον Euler. >

[1]

Two Volumes Bound As One, Doνer Publications, Inc., New York, 1993. Ανατύπωση του πρωτοτύπου που ήταν σε δύο τόμους από την The Open Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1928, 1929

[2]

http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html

Cajori, Florian,

HISTORY OF MATHEMATICAL NOTATIONS,

[3] Μπόλης, Θεόδωρος, Και Πρώτος και Πολύ Μεγάλος, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β', τεύχος 60 (2006),

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/8

σ. 2-5,

/�?;-;Jι ;�/(j;j ;!J1-",!.!/:{-() :;3ij:j,;J '

_..-/

)

:/j�;'j ;i:J._;:J.�?t,'f/1�.!;'f1�;f!!'Jj) ·;3'. ,

Επιμέλεια: Σωτήρης Ε. Λουρίδας

ι_ __

ΣΑΒΒΑΤΟ, 20 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2007

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α,β,y,δ,ε με α<Ρ<r<δ<ε και η

γιατί έχουν: ΑΜ κοινή πλευρά, ΑΔ = ΑΕ, ΜΑΔ Α

ΜΑΕ .

παράσταση

Κ= αlδ-rl + αlδ-εΙ+ ε IP- αΙ + ε IP-rl IP- al + IP- rl + Iδ-rl + lδ-εΙ (i) Να αποδείξετε ότι: β < Κ<δ.

•

(ii) Αν είναι

Β Γ Άρα θα έχουν και ΑΜΔ = ΑΜΕ . (2) Λόγω των (1) και (2) τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΑΓ είναι ίσα, οπότε θα έχουν και ΑΒ =ΑΓ , δηλαδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. να συγκρίνετε τους αριθμούς χ, y, (i) Λαμβάνοντας υπόψη τις ανισότητες 3. Αν είναι y> Ο και + I � 64, να α < α β < r < δ< ε εύκολα βρίσκουμε ότι κ = r ' ποδείξετε ότι: + y < 512. οπότε β < Κ < δ . (ίί) Έχουμε χ -y = (a+Ρ)( r + δ) ( α + r)(Ρ+ δ) = Επειδή είναι χ, y > Ο έχουμε χ 3 + / � 64 => χ 3 < 64 και / < 64 => = ay + p δ -ap yδ = => χ < 4 και y < 8 => χ 4 < 4χ 3 και/ < 8y 2 ' = a( r -Ρ) + δ(Ρ - r ) = ( r - P)(a - δ) < ο . Άρα είναι χ - y < Ο δηλαδή χ < y . από τις οποίες με πρόσθεση κατά μέλη λαμβάνου Ομοίως λαμβάνουμε y - z = ( δ - r )( α - Ρ) < ο . με χ 4 +/ < 4χ 3 + 8/ < 8 ( χ 3 + / ) �8-64 = 512 . χ= (α+ P)(r + δ), y= ( a+ r )(P+ δ) , z= ( a+ δ)(P+ r )

χ,

4 χ

Σ το εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ υπάρχει

σημείο Μ τέτοιο ώστε MBf = Mrn και πάνω στις ΜΒ και ΜΓ υπάρχουν σημεία Δ και Ε, αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΔ=ΑΕ

ΜΜ ΜΑΕ

. Να αποδείξετε ότι το και = τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. -

Επειδή είναι ΜΒΓ = ΜΓΒ , το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ισοσκελές με ΜΒ = ΜΓ. (1) Επιπλέον, τα τρίγωνα ΜΑΔ και ΜΑΕ είναι ίσα

Έχουμε κέρματα και χαρτονομίσματα των 1, 10 και 100 ευρώ. Είναι δυνατόν με 1000 ακριβώς από αυτά να σχηματί σουμε το ποσό των 50000 ευρώ;

Αν υποθέσουμε ότι παίρνουμε χ κέρματα του ε νός ευρώ, y χαρτονομίσματα των 1 Ο ευρώ και χαρτονομίσματα των 100 ευρώ, τότε θα έχουμε τις ισότητες x + 10y + 100z= 50000 και χ + y + z= 1000 , (1) από τις οποίες με αφαίρεση κατά μέλη λαμβάνου-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/9

------

Μ α θηματικο ί Διαγω νισ μο ί - Μ αθηματικές Ολυμπ ιάδες ------

με:

είναι ορθογώνιο ισοσκελές.

9y+99z=49000=> 9·( y+11 z) =49000=>94 1 9000,

που είναι άτοπο, γιατί το άθροισμα των ψηφίων του 49000 είναι ο αριθμός 13 που δεν διαιρείται με το 9. 1.

ότι + Ρ(χ)=� κχ+λ

Δίνεται

το με

πολυώνυμο έχει τις

κ,λεΙR.

πραγματικές ρίζες Xi , �, και Χ.! που ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Να εκφράσετε την παράσταση

Ε ι.

Γ=(t- �)(ι- χ;)(ι- �)

συναρτήσει των κ, λ.

Από την υπόθεση έχουμε ότι:

( 1) Ρ ( χ )= (Χ - Χ1 )(Χ - Χ2 )(Χ - Χ3 ) Η παράσταση Κ γράφεται: κ( Xi ,Χz,XJ)=(1- Xi )(1+Xi )(1- Xz)(1+Χz)(1- XJ)(1+XJ) =(1-Xj ) ( 1 - Xz)(1- Χ) )(1 +χ, )(1+Xz)(1+XJ) =Ρ(1)[-(-1-Xj )( -1- Χz)(-1- XJ)] =-Ρ(1)Ρ(-1) =-(1+κ+λ)(-1- κ+λ) = =(1+κ) 2 - λ2• •

Θ εωρούμε τόξο ΑΒ 90° και προεκτείνουμε τη χορδή ΑΒ κατά ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ=ΑΒ. Ονομάζουμε Δ το σημείο ----

επαφής της εφαπτομένης του τόξου ΑΒ από το Γ και Κ το ίχνος της κάθετης από το Α προς τη ΒΔ. Να αποδείξετε ό τι: ΚΒ=2ΚΑ. -

Έχουμε:

ΓΔ2 =ΓA·IΉ=2Rh ·Rh=4R2 =>ΓΔ=2R=2 ·0Δ. Επειδή επιπλέον οΔΓ= 90° , αρκεί να αποδείξουμε ότι ΟΓ Δ ΑΚ Β ή ισοδύναμα αρκεί να αποδείξουμε ότι: ot Δ= ΑΒΚ. Δ

�

ΑΔJ2.

(1) Άρα είναι ΚΑ=ΚΔ= 2 Επιπλέον, αν είναι ΑΑ1 ..lΓΔ , ΒΒ, ..lΓΔ και ΟΑ= R , τότε με χρήση του τύπου της απόστασης σημείου κύκλου από εφαπτομένη του, λαμβάνουμε 21 AA' ΓΑ ( Δ Α)2 ΔΑ/2R

= = =2 . (2) ΔΒ2 I ΒΒ, ΓΒ 12R J2 ' ' ΔΒ= ΑΔ2 οποτε ' απο την οτι Απο' τη (2) επεται (1) έπεται ότι ΔΒ ΚΔ ΚΑ και ΚΒ=ΚΔ+ΔΒ=2·ΚΑ . ΔΒ

--,

( αα4 +ββ4 a+P aaβ + J

Αν α, β είναι θετικοί ακέραιοι, να αποδείξετε ότι:

�

Ρ.

Από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου έχουμε α-φορές

β-Φορές

α4 +β4- α3 +α3 +...+α3 + β3 +β3 +..β3 ----'-> α +β = α+β α � α+ 4( α3 ) (Ρ3 γ = α+ 4( αα ββ γ

Πράγματι αν Ε είναι το aντιδιαμετρικό σημείο του Α ως προς τον κύκλο Ο, τότε: από την οποία έπεται το ζητούμενο. OB I ΕΓ =>ΕΓ ..l ΟΕ=> ΟΔΓΕ εγγεγραμμένο τετράπλευ 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από σημείο Μ => ΔfΕ= ΔΟΑ => 2ΔfΟ= 2 . ΑΒΚ της πλευράς ΒΓ φέρουμε παράλληλες προς τις ΑΓ και ΑΒ που τέμνουν τις =>ΔfΟ= ΑΒΚ ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Κ και Λ, αντί Έστω Ε το aντιδιαμετρικό σημείο του Α ως προς τον κύκλο κέντρου Ο στοιχα. Αν είναι ΜΚ=χ, ΜΛ=y, να βρείτε Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΔΒΕ έπεται το ελάχιστο της παράστασης S=x2+Y ότι ΚΔΑ = ΑΕΒ = 45° , οπότε και το τρίγωνο ΑΔΚ ---

---

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ .3/ 1 0

------

Μ αθ η ματικοί Δ ιαγωνισ μο ί - Μ α θηματικές Ολυμπ ι άδες ------

και τη θέση του σημείου Μ για την ο ποία λαμβάνεται αυτό.

ΛίJση Ι"' τρόπ ο ς

Μέσω της σχέσης να προχωρήσουμε ως εξής:

(1) θα μπορούσαμε

)(

(

β 2 κ2 y 2 λ2 α2 α2 S· 2 + 2 = + 2 β r α2 α

, , ισχυει , οταν Η ισοτητα

=α

)( βα : + βα: ) 2:: γ2

ή λ = -β 2 , οταν -

Γ' τάξη Λυrκεi!ιJυ Αν log150 2= χ, log150 3 = y τότε να υπολογιι-χ-y 2(1στεί η τιμή της παράστασης Α = 50 y)

ΛiJση β γ 1so· = 1soy 3 2 το σημείο Μ χωρίζει τη ΒΓ σε λόγο �2 • �(;_ �(;_ ) ) ( ( � =( 150'-y )�t�-� =150ι-;-y � Α = = 2"' Τρόπος Έστω ότι είναι ΜΒ = κ και ΜΓ = λ , 3 1-x-y οπότε θα είναι + λ = α . 1-x-y ( 0 '-y ) Ψy) = 150_2_ .J1soι -x-y Τότε θα έχουμε βκ β yλ y= �= Υ L και και χ= . __ __!22_ α = {150 J2s α κ α λ α 1so•+y = 1so· 'V-z-:3 Άρα η παράσταση S γίνεται 1

2, = 150 1150Υ 50 = = = 15 150·1 ΟΥ = = 5. = 5 1og150A = 2{χ-) 1-y = log15050 = logιso (1650) log15050=-log 1 - 505. Ά ρα Α 5. 1 25-log1 0 5 ) 1 ( 2 50 21ogl50 3

�

β 2 κ2 -y 2 λ2 S = x - + y 2 = -+ α2 α2 2 β 2 κ2 + r 2 ( α - κ) ----::-'-� s = α2 β2 + r2 2 2y2 κ κ + r 2 = f( κ). = α α2 ?

.:..._

(

2"' τρόπος

(1)

)

---'

Άρα η παράσταση S είναι τριώνυμο ως προς κ 2 2 με συντελεστή του κ2 τον β α+2 r Ο , οπότε η παράσταση έχει ελάχιστο για >

I /α - 2 ( β-2r2 2 + r2 ) I l α2

κ-

---;---'--'=;--;--

αy 2 β2 + r2 .

αβ 2 λ= α -κ= 2 2 , β +r

οποτ, ε

Δίνεται

ότι

Ρ( χ)= χ3 + κχ+

το με κ,λ

πολυώνυμο JR έχει τις

πραγματικές ρίζες Χι, Χ2, και Χ3 που

ανά δύο είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Να εκφράσετε την παράσταση

Γ= (l+ X:){t+ x;)(t+ Χ:)

συναρτήσει των κ, λ.

Λ.ύση

το σημειο Από την υπόθεση έχουμε ότι: Τότε είναι Ρ( ) = ( )( - Χ )( - ) · (1) Μ στο οποΟίο λαμβάνεται το ελάχιστο της παρά Η παράσταση Κ γράφεται: 2 στασης S χωρίζει την πλευρά ΒΓ σε λόγο Κ( .x;, Xz, -XJ) =(ί -.χ;)( -i- .x;)(ί - Xz)(-i- Xz)(ί - -ΧJ)(-i- -XJ) ΜΒ = Υ2 • =(ί -.χ;)( ί - Χz)(ί - -ΧJ)(-i - .x;)(-i- Xz)(-i- -XJ) ΜΓ β 2 = Ρ( 1)Ρ( = (-i + χi+λ)(ί - χi+λ) =λ2 +(κ- 1)2 • 2 ) α y ( ' ι 2 2 = ' Η τιμη' του ελαχιστου ειναι Πuφατήρψη�: Λύνεται και με τους τύπους του β +y Vieta. 3. Να λύσετε στο ffi. την εξίσωση: ,

χ - Χ1

-1)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β. τ .3/ 1 1

Χ3

------ Μ αθηματικοί Διαγωνισμο ί - Μ αθη ματικές Ολυμπιάδ ες ------, Γh=l 2χ3 +1. ν-τ- 3

του ΑΒΓ και τον συμμετρικό του C 2 (Λ,R) ως προς τη ΒΓ. Τότε το Λ θα είναι μέσο του μικρού τόξου ΒΓ. ' Α ' το aντιδιαμετρικό του Α στον C1 και Α" Η συναρτηση h ( χ ) = 2χ 23 + 1 είναι γνησίως αύ- Έστω το aντιδιαμετρικό του Κ στον C2. Το τρίγωνο ΒΑ"Γ είναι ισόπλευρο οπότε ξουσα, άρα αντιστρέφεται και ΙΑ" = ΙΒ + ΙΓ . Επίσης ΒΙΓ = ΒΚΓ = 120°. 1 > χ Επομένως ΙΑ + ΙΒ + ΙΓ = ΙΑ + ΙΑ". ' 3 Αλλά ΙΑ"::::; ΚΑ" = 2R (R η ακτίνα του περιγε γραμμένου κύκλου) και ΙΑ = ΑΛ- R<ΑΆ -R = ΚΑ ' = R. 2J3 = 2J3 , αφού ΒΓ=2 Άρα ( 1 ) <=> h-'(x) = h (x) με χ�!. ΙΑ + ΙΒ + ΙΓ::::; 3R = 3 Άρα 3 3 Α' Αφού f γνησίως αύξουσα, τα κοινά σημεία των � 2 2 � =-G , G θα βρίσκονται στη πρώτη διχοτόμο y=x. �R =J3 3 2χ3 +1 2χ3 +1 'Εχουμε: y : h ( χ <=> y = -3- <=> χ = -3- <=> Έστω ΙΑ=χ, IB=y, ΙΓ=ω Υ x y=x y= x Τότε Α2 = 30°� χ = 2ρ 1 + 1 J3 J3 - 3χ + 1 = 0 <=> χ ε 1, 2 ,- 2 <=> <=> 2χ3 ΒΙΓ = 120°� y 2 + ω 2 + yω = 4 { 1 ) λ: y=x y=x � ( y + ω ) 2 - yω = 4� (y + ω) 2 = 4't:-yω� Α" + + λ y + ω =�4 yω = .J4 με λ=yω. Εξάλλου (ΙΒΓ) =_!_2 . ρ . 2 = ρ J3 = -λJ3- , οποτε ' ρ = -λJ3 (ΙΒΓ) = 21 yω 2 4 4 . λJ3 + .J4 + λ::::; 2J3 , ή + 1 2χ Αρκεί λοιπόν � 2 y = h(x) y = h(x) y = λJ3 + 2.J4 + λ::::; 4J3 y � h-'(x) x � h(y ) x � 2y: + l Όμως RJ3 = 2�R = � και (2) y = 2x33 + 1 2J3 > 3λ�-8 > λ�4 > -8 > λ . R > ρ� 2 > -�8 <=> 3 3 �3 4 x - y = f ( y3 - x3 ) (3) (Η σχέση αυτή προκύπτει και άμεσα από την (1)). Οπότε αρκεί 2.J4 + λ::;J3(4 - λ ) , ή ( 3 ) <=> x = y ή 2x 2 + 2yx + 2y 2 + 3 = 0 4 ( 4 + λ )::ο;2(4 - λ ) 2 , ή 3λ 2 - 28λ + 32�0 που ( 4 ) <=> χ = y αφού η ( 4 ) έχει ισχύει αφού Δ=-188. Δ = - ( 12y 2 + 24)<0, Vy εJR κ.λπ. =

h_,

�

)}

} {

�

}

�-

}

}}

:: i' FJz-'}} }

r:;

�

}

I I

•

r;:;

Αν Ι είναι το έγκεντρο τριγώνου με ΒΓ=2 και ότι:

ΒΑΓ �

60° ,

ΑΒΓ

να αποδείξετε

ΙΑ + ΙΒ + ΙΓ � 2-fj .

Θεωρούμε τον περιγεγραμένο κύκλο

(K ,R)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/12

ω _____ _ __ __

--· -

---

-------

Μαθηματικοί Δ ιαγωνισ μο ί - Μαθηματικές Ολυμπ ιάδ ες

------

Γ.Δ Κοντογιάννης -Δ.Γ. Κοντογιάννης

Πολλά προβλήματα προσεγγίζονται αποτελεσμα τικότερα θεωρώντας στοιχεία του προβλήματος και αναδεικνύοντας τη σχέση τους «χρωματίζο ντας» τα κατάλληλα με διαφορετικά χρώματα. Για πρώτη φορά η αποδεικτική αυτή μέθοδος των δια κριτών Μαθηματικών, εφαρμόσθηκε από τον Άγ γλο Μ.Ε. Fisher το 1961 για τη λύση ενός δύσκο λου προβλήματος που έκανε με πολύ απλό τρόπο. Βέβαια προβλήματα δυνατότητας χρωματισμού ε πιφανειών είχαν τεθεί από το 19° αιώνα( π.χ: πρό βλημα των τεσσάρων χρωμάτων). Σήμερα προ βλήματα χρωματισμού δίδονται συχνά σε μεγά λους μαθηματικούς διαγωνισμούς. 1. Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με δυο χρώματα. Να απο δείξετε ότι υπάρχει τμήμα μήκους k, με ομοχρωματικά άκρα.

Κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς k (σχ. l ). Σύμφωνα με την αρχή του Dirichlet, δυο από τις κορυφές τουλάχιστον θα έχουν το ίδιο χρώμα. Α /

. . ... ···-·------------

Γ 2. Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου μαύρα και άσπρα (υπάρχουν σημεία και των δυ ο χρωμάτων). Να αποδείξετε ότι υπάρχει τμήμα μήκους keN* τ ου οποίου τα άκρα έχουν διαφ ορετικό χρώμα. Β

Έστω Α, Β δυο σημεία με διαφορετικό χρώμα. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ί) AB<k. Με κορυφές τα Α, Β και ακτίνα γρά φουμε κύκλους και ορίζουμε το Γ. Ένα από τα τμήματα ΑΓ, ΒΓ είναι το ζητούμενο. ίί) Αν ΑΒ> k, τότε λαμβάνοντας διαδοχικά ΑΑι=ΑιΑz = . . . =Av.ιAv=k και AvB<k. Αν τα σημεία (Α, Αι), (Αι,Αz), . . . , (Av.ι,Av) έχουν το ίδιο χρώμα με το Α, και AvB, έχουν δια φορετικό χρώμα και AvB οπότε αναγόμαστε στην περίπτωση (ί) Α Αι Az ... Av Β i-·----··--

.. -·· --

·-···

···+- .. -· . -·--· ·+·-.

---

' ... --1-··.

3. Να εξετάσετε αν μπορούμε τοποθετώ ντας κατάλληλα τα σχήματα (πολύμινα) να σχη ματίσουμε ορθογώνιο 4 χ 5. i

I_ --

Γ-�

�lι1

---

--,

-- --

Αν χρωματίσουμε τα πολύμινα με δυο χρώμα τα π.χ. άσπρο μαύρο, τότε το πλήθος των τετραγώ νων με άσπρο χρώμα είναι διαφορετικό από το πλήθος των τετραγώνων με μαύρο. Όμως στο ορ θογώνιο 4 Χ5 το πλήθος των άσπρων και το πλή θος των μαύρων τετραγώνων είναι ίσα.

' '

' - --· -·-------·---·

ΟΙ κορυφές κανονικού 7-γώνου χρωμα τίζονται μαύρες ή άσπρες. Να αποδείξετε ότι 4.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/13

-------

Μ α θ ηματικο ί Δ ιαγ ωνισ μοί - Μ α θηματικές Ολυμπ ιάδες

υπάρχουν τρεις με το ίδιο χρώμα που είναι κο ρυφές ισοσκελούς τριγώνου. Ισχύει το ίδιο για κανονικό 8-γωνο ;

-------

ερ

Β ------------Δ ----�----ε�ι Γ εκ ει (Σχ. 7)

Στο κανονικό 7-γωνο πάντα υπάρχουν δυο δι αδοχικές κορυφές με το ίδιο χρώμα (αφού 7 περιτ τός), π.χ. οι κορυφές Α, Β έχουν χρώμα άσπρο. Αν μεταξύ των κορυφών Γ, Ε, Η υπάρχει άσπρη κο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ρυφή, τότε σχηματίζεται ισοσκελές με κορυφές άσπρες. Αν οι Γ, Ε, Η είναι μαύρες, αυτές σχημα 1 . Να αποδείξετε ότι μια σκακιέρα 50Χ50 δεν εί ναι δυνατό να καλυφθεί από 4 μοναδικά τε τίζουν ισοσκελές τρίγωνο. Για κανονικό 8-γωνο τράγωνα που σχηματίζουν Τ/Τ. αυτό δεν ισχύει (π.χ αν χρωματίσουμε τις κορυφές 2. Να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για lOXlO Α, Β, Ε, Ζ με το ίδιο χρώμα Α (Σχ. 6)). σκακιέρα 3. Ένα κτήριο σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου έχει διαιρεθεί σε 1 00 ίσα δωμάτια σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου (σχ.8). Στο μέσο κάθε τοίχου μεταξύ δυο δωματίων υπάρχει πόρτα. Πόσα δωμάτια είναι δυνατόν να επισκεφθού με, χωρίς να περάσουμε δυο φορές από το ίδιο; Ε (Σχ. 6) Στο επίπεδο θεωρούμε ν ευθείες οι ο ποίες το διαιρούν σε περιοχές. Να αποδείξετε ότι οι περιοχές μπορεί να χρωματιστούν με δυο χρώματα, ώστε γειτονικές περιοχές να έχουν δι αφορετικό χρώμα. 5.

Η απόδειξη θα γίνει επαγωγικά. Προφανώς για ν= 1, η πρόταση ισχύει, αφού μια ευθεία ε ι διαιρεί το επίπεδο σε δυο ημιεπίπεδα, τα οποία είναι δυνα τό να χρωματισθούν με διαφορετικά χρώματα. Έ στω ότι η πρόταση ισχύει για ν=k ευθείες. Έστω μια επιπλέον ευθεία εκ+ι · Τότε αν αυτή τέμνει μια περιοχή ΑΒΓ στις πε ριοχές ΑΒΔΕ και ΓΔΕ αφήνουμε το χρώμα της ΑΒΔΕ αμετάβλητο και αλλάζουμε το χρώμα της ΓΔΕ. Επίσης αλλάζουμε το χρώμα της περιοχής που περικλείεται από τις ευθείες ει, εκ, ερ τότε αλ λάζουμε το χρώμα της περιοχής και συνεχίζουμε με τον τρόπο αυτό, δηλαδή αλλάζουμε το χρώμα των νέων περιοχών που δημιουργούνται σε σχέση με τις παλιές των οποίων ήταν μέρος.

4. 5.

Σχ. 8 Πόσοι ρόμβοι του υπάρχουν στο Σχ. 8; \2J Τα σημεία των πλευρών ισοπλεύρου τριγώνου είναι χρωματισμένα με δυο χρώματα. Να απο δείξετε ότι υπάρχουν 3 από αυτά που είναι ο μοχρωματικά και αποτελούν κορυφές ορθογω νίου τριγώνου. (Ρ. Erdos 1973) Σε κάθε επίπεδο (π) που είναι χρωματισμένο με δυο χρώματα (άσπρο και μαύρο) υπάρχει α) ένα μοναδιαίο τμήμα με άκρα άσπρα σημεία, είτε β) 4 συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ, Δ ώστε ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ=l . Θεώρημα Fermat. Αν ν ακέραιος και ρ πρώ τος, τότε ρfαΡ-α. (Να το αποδείξετε χρησιμο ποιώντας «κομπολόγια» με ρ χάντρες, όπου καθεμία έχει διαφορετικό χρώμα, από α χρώ ματα).

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/ 1 4

L....:>L__:;t_-'-'--..\L..::>L.:L-�L.:;,L�

Ανδρέας Ζαχαρίου

(1933-2005)

Γράφει ο Ομότιμος Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Πήραμε και δημοσιεύουμε από τον Σ.Π. Ζερβό τον ομότιμο Καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών το άρθρο αξιόλογους Μαθηματικούς που έφυγαν από την ζωή πρόσφατα. Με το συνοπτικό βιογραφικό που παραθέτει ρίχνει φως σε ιστορικές στιγμές, τόσο της πατρίδας μας, μέσα από τη ζωή του, όσο και χαρακτηριστικές στιγμές της ιστορίας της Ελ ληνικής Μαθηματικής Εταιρείας.

ρία και στην Έκθεση Ιδεών. Αυτά προδιαγρά ψανε και ολόκληρη την πορεία του. Καρδιά Από τους προικισμένους στα Μαθηματικά

του εθνικοαπελευθερωτικού αγώνα το Παγκύ

και πιο φιλομαθείς σ' αυτά ανθρώπους που έχω συναντήσει, διεθνώς.

''Homo mathemati

πριο, θα συντονίσει τον ερευνητικό και θυελ λώδη χαρακτήρα του Α. Ζαχαρίου με έναν σε

Κυριολεκτικά «ανέπνεε μαθηματικά». Ήταν σε θέση να κρατάει ταχύτατα κατανοη

μόνιμη και παλικαρίσια έξαρση πατριωτισμό. Μακροπρόθεσμα, καθώς θα μου έχει πει ο ίδι

μένες σημειώσεις από διακεκριμένους ξένους

ος ο αξέχαστος φίλος μου Ανδρέας, ο πατριω

ομιλητές (στ' αγγλικά) στα πιο διαφορετικά

τισμός αυτός θα βρει διέξοδο στην ολόπλευρη, σε βάθος μελέτη των αρχαίων ελληνικών μα

cus".

αντικείμενα.

θηματικών. Προσθέτουμε: Αυτό όμως θα γίνει ι J

) 1 !

Καθώς το περιεχόμενο

μόνον όταν ο Ανδρέας θα έχει κατακτήσει τη

των σημειώσεων αυτών αποτελεί ανεπανάλη πτη (γιατί οι περισσότεροι ομιλητές αυτοί, πια δεν ζούνε) εθνική μαθηματική περιουσία μας, να αναλάβει η ΕΜΕ τη φροντίδα, συμπληρω

διεθνή αναγνώριση με τις ερευνητικές εργασί ες του στα πιο δύσκολα και προχωρημένα σύγχρονα μαθηματικά (Διδακτορική διατριβή στην Αλγεβρική Τοπολογία, με Καθηγητή -

μένες και μεταφρασμένες με κρατική οικονο

Σύμβουλο και Κριτή τον J.F. Adams, από τους

μική ενίσχυση, να εκτυπωθούν και να διανε μηθούν στα μέλη της και στις βιβλιοθήκες της

μεγαλύτερους αλγεβροτοπολόγους της εποχής μας. Αναφορές από ερευνητές διεθνούς κύ

πατρίδας μας. Σημαντική θα μπορούσε να εί

ρους στις σχετικές εργασίες του Ανδρέα). Α

ναι η βοήθεια της εκλεκτής μαθηματικού συ ζύγου του Α. Ζαχαρίου κ. Ελένης Ζαχαρίου

κόμα, όταν θα έχει αποκτήσει αληθινή σοφία

. ·. .

και του ερευνητικού μαθητή, συνεργάτη του Α. Ζαχαρίου και συναδέλφου μας στο Πανε πιστήμιο Αθηνών Παναγιώτη Τσαγγάρη.

Φοίτησε το 1951-57 στο Παγκύπριο Γυ μνάσιο της Λευκωσίας και αποφοίτησε από αυτό με βραβεία στα Μαθηματικά, στην Ιστο-

σε ευρύτατο μαθηματικό φάσμα, λόγω της δε καετούς παραμονής του σε μαθηματικά κέ ντρα και ιδιαιτέρως σεβαστά πανεπιστήμια της Ευρώπης και των ΗΠΑ (η διατριβή του στο Manchester) 1963-1973, και προπαντός, της ακούραστης και ακόρεστης φιλομάθειάς του. Ισόβια ερωτευμένος με τη Θεωρία Αριθμών

''Homo mathematicus",

ο Ανδρέας χωρίς να πάψει να είναι πάντα βαθύς και ενημερωμένος

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/15

------

Αξιόλογοι μαθηματικο ί ...

------

αλγεβροτοπολόγος, θα αφοσιωθεί ερευνητικά, ιδιαιτέρως, στη Θεωρία Αριθμών. Σχετικές εί

ολογίας και Μαθηματικής Γλωσσολογίας που μεγαλώνει ουσιαστικά τις γνώσεις που είχαμε

ναι και οι εξαίρετες διδακτορικές διατριβές

προηγουμένως.

που έγιναν μαζί του. Πάντως, από κάποια στιγμή και μετά ο Α. Ζαχαρίου θα δοθεί ολό κληρος στη σπουδή των Αρχαίων Ελληνικών

σήμερα δικαιώνουν απόλυτα την άποψή του

δημοσιεύσεις του είναι διάσπαρτες και αρκετό μέρος του έργου του είναι αδημοσίευτο, θα πρέπει όλα να συγκεντρωθούν σε έναν τόμο. Δεν πρέπει να χαθεί αυτή η αληθινά εθνική

ότι στις διακοσμήσεις των Αρχαίων έχουμε

προσφορά του.

Μαθηματικών με την πιο πλατιά έννοια του όρου. Οι βιβλιογραφικές γνώσεις που έχουμε

χωρίς βέβαια αποδείξεις, στοιχεία από σημερι

Στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, στο οποίο

νά μαθηματικά. Ένα ιδιαίτερο στοιχείο του

σταδιοδρόμησε καθηγητικά, εισήγαγε ως εξε

Ανδρέα ήταν ότι η μελέτη του αυτή δεν ήταν στατική αλλά δυναμική. Δηλαδή, εμπνεόταν

ταζόμενα μαθήματα την Αλγεβρική Τοπολο

από τους Αρχαίους για να δημιουργήσει νέα

γία, την Ομολογική Άλγεβρα και τη Θεωρία Αριθμών. Εξάλλου, οργανώσαμε μαζί και τα

δικά· του μαθηματικά. Μια δημιουργία που απολάμβανε ιδιαίτερα, ένιωθε πραγματική ευ

διεθνή Μαθηματικά Συμπόσια προς τιμή των μεγάλων Μαθηματικών Marc Κrasner, Roger

τυχία. Αν κανείς του έλεγε ότι κάνει Ιστορία

Apery (γιος Έλληνα μετανάστη στη Γαλλία) και Dον Tamari. Ακόμα, την πρώτη Ελληνο

των Μαθηματικών θα μπορούσε να επαναλά βει την απάντηση του μεγάλου Γάλλου μαθη

σοβιετική Μαθηματική Συνάντηση (1987).

ματικού Henri Lebesgue στη συνεργάτιδά του

Στα δυο πρώτα Συμπόσια είχαμε και την πο

όταν αυτή τον ρώτησε: <<'Ώστε δάσκαλε κάνετε Ιστορία;» <<'Όχι Κυρία, κάνω Μαθηματικά». Στη διάρκεια αυτής της έρευνας φάνηκε

λύτιμη συμπαράσταση του Σπύρου Σπαθή, στο πανεπιστήμιο Paris VI αλλά δεν ξεχνά πο

τέ την πατρίδα μας. Προηγουμένως, ως Αντι πρόεδρος του Δ.Σ. της ΕΜΕ είχε συμβάλει

είναι και το τελευταίο αντικείμενό του. Θα τον

ουσιαστικά στις «Πυθαγόρειες Ημέρες», το

νια. Οι αυτοδύναμες έρευνές του καταλήξανε σε έναν δικό του κόσμο Μαθηματικής Αρχαι-

που διδάσκει από πολλά χρόνια Μαθηματικά

ότι ο Α. Ζαχαρίου είχε ταλέντο και στην Αρ χαιολογία. Επίσης, στη Γλωσσολογία, που θα βοηθήσει στο τελευταίο η άριστη γνώση της γλώσσας μας, από τα σχολικά του κιόλας χρό

!·.

Καθώς οι σχετικές

JΕι

r<G)Ί)1J'ίfl1ΓJ2n<:"'[�Λ\�

1975, στη Σάμο. Όλα αυτά στο πιο υψηλό διε θνές επίπεδο. Όμως, ο Ανδρέας Ζαχαρίου μπορούσε να σταθεί παντού. Ήταν« -».

(Ξ:;;r�τι'ϊζ�σ: L·

I I

! I

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/16

!7:-:; ι'r:'Ι·.f: �' ��·J ·• \j. ·'--"•

l��, -:'V.'

Η Homo Mathematicus είναι μια στήλη στο περιοδικό μας, με σκοπό την ανταλλαγή απόψεων και την ανάπτυξη προβληματισμού πάνω στα εξής θέματα: 1) Τι είναι τα Μαθηματικά, 2) Πρέπει ή όχι να διδά σκονται, 3) Ποιοι είναι οι κλάδοι των Μαθηματικών και ποιο το αντικείμενο του καθενός, 4) Ποιες είναι οι εφαρμογές τους, 5) Ποιες επιστήμες ή κλάδοι επιστημών απαιτούν καλή γνώση των Μαθηματικών για να μπορέσει κάποιος να τους σπουδάσει. Για τους σ υνεργάτες της στήλη ς: παράκληση! τα κείμενα της στήλης αυτής, ως προς το περιεχόμενό τους και ως προς το επίπεδό τους, θα πρέπει να είναι συμβιβαστά με τα ενδιαφέροντα και το επίπεδο κα τανόησης από μέρους των παιδιών. Επιμέλεια: Καρκάνης Βασίλης, Κερασαρίδης Γιάννης, Ταπεινός Νίκος I . "τι είναι τα Λ1αθηματικά;"

β) η γνώμη των Πλατων ι κών

Για να καταλάβουμε την πλατωνική άποψη για τα Μαθηματικά, πρέπει να υπενθυμίσουμε στους αναγνώστες μας κάποιες πλατωνικές δοξασίες για το Σύμπαν και τους κόσμους. Κατά τον Πλάτωνα το Σύμπαν αποτελείται από δύο κόσμους: ο ένας είναι αυτός που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας (αντιστοιχεί στην ύλη), ο άλλος είναι υπεραι σθητός και συλλαμβάνεται μόνο με το πνεύμα. Το "Είναι" βρίσκεται έξω από εμάς, δεν είναι ο ρατό όπως η πραγματικότητα που μας περιβάλλει, είναι άχρονο, άϋλο, ασώματο, αόρατο και αιώνιο. Τα αισθητά πράγματα δεν είναι παρά ένα αντίγρα φο του υπεραισθητού '' Είναι". Οι ιδέες που υπάρ χουν στον υπεραισθητό κόσμο είναι το αρχέτυπο της ουσίας των όντων. Αυτός είναι ο περίφημος "κόσμος των ιδεών" του Πλάτωνα. Στην κορυφή της ιεραρχίας των επιστημών βρί σκονται τα Μαθηματικά και η Διαλεκτική, επιστή μες που δίνουν τη δυνατότητα να μελετηθεί η "πρώτη αρχή του παντός". Κατά τους πλατωνιστές: α) οι μαθηματικές οντότητες είναι ένα υποσύνολο του "κόσμου των ιδεών" 11. "οι συνεργάτες της στιμης γράφου ν-ερωτούν ,

β)

αντικείμενο των Μαθηματικών είναι η διερεύ νηση των ιδεών μέσα στις οποίες περιέχονται οι α ριθμητικές και οι γεωμετρ ικέ ιδέες. γ) ο Πλάτωνας δεν απορρίπτει την πρακτική πλευ ρά των Μαθηματικών, την οποία, όμως, δεν θεωρεί κύρια. δ) τα Μαθηματικά φανερώνουν την πραγματική τους αξία στο βαθμό που μέσω αυτών προσεγγίζουμε τις αιώνιες και άχρονες αλήθειες, οι οποίες αποτε λούν τον "κόσμο των ιδεών" του Πλάτωνα .

Να τι λέει ο ακαδημαϊκός Θανάσης Φωκάς: «Ό πως είναι ευρύτατα γνωστό, ο Πλάτωνας μίλαγε για τον κόσμο των ιδεών ο οποίος υπάρχει ανεξάρτητα από εμάς σε μια άλλη πραγματικότητα. Οι πλατω

νιστές μαθηματικοί πιστεύουν ότι σε αυτόν ακριβώς τον κόσμο κατοικούν και θεμελιώδεις μαθηματικές σχέσεις τις οποίες εμείς απλώς προσπαθούμε να ανακαλύψουμε. Δηλαδή δε δημιουργούμε αλλά ανακαλύπτουμε Μαθηματικά»

[πηγή: Κεντρική ομιλία του Θανάση Φωκά στο 23° Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας στην Πάτρα (1 1/2006), με θέμα «Τα Μαθηματικά και ο Εγκέ φαλος»]. Στο επόμενο η γνώμη των Αριστοτελικών Γ ιάννης Κερασαρίδ ης

Συνεχίζουμε, με τη δημοσίευση του 2ου μέρους της ενδιαφέρουσας εργασίας του φίλου της στήλης Τηλέμαχου Μπαλτσαβιά

Θέμα. Π ρολεγό μενα:

«ΤΟ ΠΡΟ ΒΛΗ ΜΑ ΤΩΝ ΓΕΝΕΘΛΙΩΝ»

(2° μέρος), Τηλέμαχος Μπ αλτσαβ ι άς (Κεφαλονι ά)

«Μια άλλη ιστορία τώρα που θα μας εισαγάγει στο Πριν από πολλά χρόνια ένας προσκεκλημένος δεύτερο συμπέρασμα αυτού του άρθρου. στο τηλεοπτικό πρόγραμμα του παρουσιαστή Johnny Carson στις Η.Π.Α., προσπαθούσε να εξηΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/ 1 7

------

#d�d ��T#E�AT/CVf

γήσει το φαινόμενο που μόλις περιγράψαμε. Ο Johηηy Carsoη δεν τον πίστεψε και ρώτησε πόσοι από τους παρόντες στο ακροατήριο της εκπομπής περίπου 120 άτομα-έχουν τα ίδια γενέθλια με αυ τόν, ας πούμε στις 8 Αυγούστου. Η απάντηση ήταν κανείς, και ο προσκεκλημένος, που δεν ήταν μαθη ματικός, είπε κάτι ασυνάρτητο για να δικαιολογη θεί. Αυτό που ο προσκεκλημένος έπρεπε να πει εί ναι ότι χρειάζονται σχετικά λίγα άτομα για να υ πάρχει κάποια κοινή ημερομηνία γέννησης, και όχι μια συγκεκριμένη ημερομηνία, όπως η 8 Αυγού στου. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό που θα ήθελε ο Johηηy Carsoη είναι ίση με 1 -(364/365) 1 20=0,28 και αυτό προκύπτει ως εξής : αν θεωρήσουμε πάλι το συμπληρωματικό ενδεχόμενο, αυτό θα είναι τώ\\\0

Ε " /\

-------

ρα το «κανείς από τους 120 δεν έrει γεννηθεί την 8η Στην περίπτωση αυτή, κάθε ένας από τους 120 ανθρώπους έχει 365 δυνατές ημερομηνίες γενεθλίων και 364 επιλογές για να συμβεί το παρα πάνω ενδεχόμενο, αφού πρέπει να αποκλειστεί μό νο η 8η Αυγούστου. Προσέξτε την κρίσιμη διαφορά : τώρα ζητάμε κάθε άνθρωπος από τους 120 να μην έχει γεννηθεί στις 8 Αυγούστου και όχι να μην έχει κοινά γενέθλια με όλους τους υπόλοιπους όπως πριν. Συνεπώς η πιθανότητα του συμπληρωματικού (364/365) ενδεχομένου είναι ίση με (364/365) 1 0 2 (364/365) , άρα (364/365) . . .1 2(364/365)= 1-(364/365) 0=0,28 Αυγούστου».

ΓΙ . \ Ρ .\ \ Ε Ι Γ'. r λ

Ακόμα ένα αριθμητικό παράδειγμα για να κατα λάβουμε πόσο διαφορετικά είναι τα ενδεχόμενα που θέσαμε. Ενώ χρειάζονται μόνο 23 άτομα για είμαστε 50% βέβαιοι πως υπάρχουν τουλάχιστον δυο άτομα με κοινή ημερομηνία γέννησης, χρειά ζονται 253 άτομα για να είμαστε 50% βέβαιοι πως υπάρχουν τουλάχιστον δυο άτομα με κοινή ημερο μηνία γέννησης την 8η Αυγούστου. Αυτό συμβαίνει διότι το 253 είναι ο μικρότερος φυσικός η για τον οποίο η τιμή της παράστασης 1-(364/365)n ξεπερ νάει το 1/2.

Δείτε τώρα σε ένα διάγραμμα την σύγκριση των πι θανοτήτων αυτών των δυο ενδεχομένων. Η πράσι νη καμπύλη παριστάνει την πιθανότητα του ενδε χομένου «δυο τουλάχιστον άνθρωποι έχουν την ί δια ημερομηνία γέννησης» και η μπλε καμπύλη παριστάνει την πιθανότητα του ενδεχομένου «δυο τουλάχιστον άνθρωποι έχουν γεννηθεί στις 8 Αυ γούστου». Στον οριζόντιο άξονα μετράμε το πλή θος η των ανθρώπων και στον κατακόρυφο άξονα μετράμε την αντίστοιχη πιθανότητα. Από την πα ραπάνω διαπραγμάτευση βγάζουμε δυο συμπερά σματα : Ι ) Τα συγκεκριμένα γεγονότα έχουν αισθητά μικρότερη πιθανότητα να συμβούν από τα γενικά. Είδαμε ότι δοθέντος ενός πλήθους ατόμων είναι εξαιρετικά πιθανό να υπάρχουν δυο τουλάχιστον με την ίδια η μερομηνία γέννησης, ωστόσο είναι πολύ μικρότερη η πιθανότητα να συμβεί το ίδιο όταν η κοινή ημερο μηνία γέννησης γίνεται συγκεκριμένη. 2 ) Δεν πρέπει να παίρνουμε και πολύ στα σοβαρά τους παρουσιαστές-οικοδεσπότες των talk shows όταν το θέμα στρέφεται γύρω από επιστημονικά ζητήματα. Η κατάρτισή τους γύρω από αυτά είναι συνήθως ανύπαρκτη. Θυμηθείτε πόσο άστοχη ήταν η παρατήρηση του Johηηy Carsoη, έστω και αν ο υποστηρι κτής της σωστής άποψης δεν μπόρεσε να την υπερασπίσει. Ελπίζω αγαπητοί αναγνώστες να ανταμειφθήκατε για τον χρόνο που δαπανήσατε διαβάζοντας αυτό το άρθρο. Ήθελα μόνο να περιγράψω ένα ενδιαφέρον (και διασκε δαστικό) μαθηματικό φαινόμενο που δυστυχώς σήμερα δεν υπάρχουν σαν αναφορά στα σχολικά βιβλία» [ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ : 1) Εγκυκλοπαίδεια LIFE, τόμος ΜΑΘΗΜΑΠΚΑ, σελίδα 143, 2) PAULOS, JOHN ALLEN, «Αριθμοφοβία», σελίδες 45, 46, 3) ΜΑΘΗΜΑ ΠΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ, Β'& Δ' ΔΕΣΜΗΣ, ΟΕΔΒ, σελίδα 88, 4) Τα διαγράμματα προέρχονται, με τη σειρά που εμ φανίζονται, από τις παρακάτω ιστοσελίδες: http ://www. mste. uiuc. edu/reese/birthdayIexp laηatioη. html http://eη. wikipedia.org/wiki/Image:050329-birthday 1 .pηg] http://eη. wikipedia.org/wiki/Image:Birthday_paradox.pηg 0.8

0.5

0.4 0.2

100

150

200

250

300

350

400

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/1 8

Η στήλη αυτή έχει ω ς στόχο την ανάπτυξη μαθηματικού διαλόγου. Φιλοδοξούμε να συμμετάσχουν όλοι

όσοι έχουν ένα γενικότερο ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά.

Επιμέλεια: Γιάννης Στρατής ""'" Βαγγέλης Ευσταθίου

λ)

Άλγεβρα των Δεικτών του Ρολογιού (Το ρολόι κτυπά και εξισώσεις) Δη μήτρης Ι. Μπουνάκης

Συνέχεια από το πρ οηγού μενο τεύχος

Π α ρ αδείγματα

1 . Μετά την 1 και μέχρι τις 2, οι δείκτες σχη

ματίζουν γωνία 1 20° στις 1 και 60(ν + 1 2) - 2ω = λ= 11 60 · 1 3 - 240 = 540 = = 4 9 _!_ λεπτά. 11 11 11

ώρας 1 0- 1 1 , οπότε με ν = 10 και λ = Ο από τον τύ60(1 0) - 2ω , πο ( 1 ) παιρνουμε Ο ή ω = 300° , 11 δηλαδή την ίδια γωνία. 4. Στις 1 .55, προηγείται ο μεγάλος, οπότε

2 . Από τις 4 μέχρι τις 5, και μετά την συνά

ντησή τους, οι δείκτες σχηματίζουν γωνία 340° 60(ν + 1 2) - 2ω = στις 4 και λ= 11 60 · 1 6 - 68 0 = 280 = = 25 2_ λεπτά. 11 11 11 Όπως είδαμε

ηγείται ο μικρός, καθώς αρχίζει η διάρκεια της

(περίπτωση Α, παράδειγμα 1 )

και πριν την συνάντησή τους οι δείκτες μπορούν

(ν= 1 , λ=55) και οι δείκτες σχηματίζουν γωνία ω με 60(1 3) - 2ω 55 ή ω = 8 7,5°. 11 5. Στις 1 2 .30, ο μεγάλος προηγείται του μι

κρού, οπότε (ν = Ο, λ = 30 ) και οι δείκτες σχημα

τίζουν γωνία ω με 60(1 2) - 2ω = 30 ή ω= 1 9 5° ή κυρτή γωνία 1 6 5° . 11

να σχηματίσουν γωνία 20°, δηλαδή την ίδια κυρτή γωνία, στις 4 και 1 8 _3._ λεπτά. Οι ώρες αυτές συμ11

μετρικές ως προς την ώρα συνάντησης που είναι 4 και 2 1 ..2_ λεπτά. Αυτό βέβαια συμβαίνει και στις 11 άλλες ώρες και για ορισμένες γωνίες. 3 . Την ώρα 1 0.00 μπορούμε να θεωρήσουμε

ότι προηγείται ο μεγάλος (αφού έφτασε στο 1 2 κα

τά την διάρκεια της ώρας 9 .00- 1 0.00), οπότε για ω=9, λ=60 βρίσκουμε γωνία δεικτών ω με 60(2 1) - 2ω = 6 0 ή ω = 300ο_ 11

Πρόβλημα 3 Υπ άρχουν χρονικές στιγμές που συναντιού νται και οι τρεις δείκτες του ρολογιού; Λύση

Κατ' αρχήν υπάρχει μια προφανής στιγμή συ νάντησης και των τριών δεικτών, στις 1 2 . Α ς εξετάσουμε αν υπάρχουν και άλλες. Σε μια τέτοια στιγμή πρέπει κατ' αρχήν να συναντιούνται ο μεγάλος και ο μικρός δείκτης. Αυτό όπως είδαμε συμβαίνει στις ώρες

Μπορούμε όμως και να θεωρήσουμε ότι προΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/1 9

Σv = νh

60 ν 11

m '

ν = 1 ,2, . . . , 1 1 .

Τ ο Βήμα του Ευκλείδη

Για να συναντηθεί με αυτούς και ο δείκτης των δευτερολέπτων, σε κάποια από αυτές τις στιγμές, 60 ν πρέπει στο πλήθος των δευτερολέπτων .60, 11

60 (ν - 6) 11

· 60=60κ+

6Ο(ν - 6) 11

� 1 1 κ=59 (ν-6) '

οπότε το 1 1 πρέπει να διαιρεί τον (ν - 6) που συμ βαίνει μόνο για ν = 6, εφόσον ν = 6, . . , 1 1 . Τότε ό

μετά την ώρα ν, να περιέχει ένα ακέραιο πολλα60 ν ' πλασιο του 60 και να υπο λε'ιπονται δευτερο'

μως λ = Ο.

λεπτα, δηλαδή πρέπει να υπάρχει ακέραιος κ με 60 ν 60 ν 59ν -- · 60=60κ+ -- �5 9ν= 1 1 κ�κ= - ' οπότε 11 11 11

σκουμε ν = 5 , οπότε λ = 60 (Άσκηση). Άρα μόνο

1 1 /ν, άρα ν= 1 1 . Αλλά με ν= 1 1 έχουμε σημείο συνάντησης στις 1 2 ακριβώς. Επομένως δεν υπάρχει άλλη χρονική στιγμή συνάντησης εκτός στις 1 2 . Π ρ όβ λη μα 4

Υπάρχουν χρ ονικές στιγμές π ου ο μεγάλος δείκτη ς συμπίπτει με τ ο δευτερ ολεπτ οδείκτη, ενώ ο μικρός είναι σε ευθεία γωνία με του ς άλ λου ς δυ ο ;

Λύση

Αν ο μικρός προηγείται του μεγάλου (Σχήμα

Όμοια εργαζόμενοι για την περίπτωση που ο μεγάλος προηγείται του μικρού (τύπος 2) βρί στις 6 ακριβώς ο μικρός δείκτης βρίσκεται σε ευ θεία γωνία με τους άλλους δυο δείκτες.

Πρόβλημα 5

Υπάρχουν χρ ονικές στιγμές π ου ο μικρός δείκτη ς συμπίπτει με τ ο δευτερ ολεπτ οδείκτη, ενώ ο μεγάλος είναι σε ευθεία γωνία με του ς άλλου ς δυ ο;

Λύση

Αν ο μεγάλος προηγείται του μικρού (Σχήμα 5), εφόσον σχηματίζουν γωνία 1 80° από το πρό

Β, έχουμε ότι αυτό θα συμ

βλημα 2, περίπτωση βαίνει

λεπτά μετά τις ν με 60(ν + 6) ' = ' ν= 0 ' 1 ' 2 , . . . , 5 (λο11

4), εφόσον σχηματίζουν γωνία 1 80°, από το πρό

λ- 60(ν + 1 2) - 3 60

βλημα 2, περίπτωση Α, έχουμε ότι αυτό θα συμ-

γω 30(ν+ 1 )::Ξ:ω::Ξ:3 60°) .

βαίνει λ 60 ν - 3 60 λ 11

λεπτά μετά τις ν με 60(ν - 6) (λόγω ν- 6 ' 7 , . . . , 1 1 ' 11

0::Ξ:ω::::3 Ον) 12

Σχή μα 5 Για να συμπίπτει τώρα ο δευτερολεπτοδείκτης με το μικρό δείκτη πρέπει και αρκεί να υπάρχει

Σχήμα 4

με το μεγάλο δείκτη πρέπει και αρκεί, όπως στο

ακέραιος κ με 6Ο(ν + 6) 60(ν + 6) · 60=60κ+ -30�22κ- 1 1 =2 · 59(ν+6) ' 11 11

προηγούμενο πρόβλημα, να υπάρχει ακέραιος κ με

που είναι άτοπο, εφόσον το πρώτο μέλος είναι πε

Για να συμπίπτει τώρα ο δευτερολεπτοδείκτης

ριττός ακέραιος αριθμός ενώ το δεύτερο άρτιος. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ. 3/20

Τ ο Βήμα του Ευ κλείδη

Όμοια εργαζόμενοι για την περίπτωση που ο μικρός προηγείται του μεγάλου (περίπτωση Α, πρόβλήματος 3) καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα δεν υπάρχουν τέτοιες χρονικές στιγμές. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μεγάλος δείκτης συμπίπτει με το μικρό και ο δευτερολεπτοδείκτης να είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δυο. Πρόβλη μα 6

Να εξεταστεί αν υπάρχουν χρονικές στιγμές που οι τρεις δείκτες σχηματίζουν ανά δυο γωνία 120°. Λύ ση

Έστω ότι προηγείται ο μικρός, έπεται ο μεγά λος και ακολουθεί ο δευτερολεπτοδείκτης (Σχήμα 6). Ο μικρός με τον μεγάλο θα σχηματίζουν γωνία 120° και αυτό συμβαίνει τις ώρες ν και 60ν - 2 · 120 = 60(ν - 4) λεπτα,, οπότε λόγω 11 11 0::Ξ;ω::Ξ;3 0ν, ν=4,5, . . . ,1 1 . 12 -----

Σχήμα 6 Για να βρίσκεται ο δευτερολεπτοδείκτης σε γωνία 120° (χρονική απόσταση 20 δευτερολέπτων από τον μεγάλο) με τους άλλους δυο, εντός κά ποιας ώρας, πρέπει να υπάρχει ακέραιος κ με 60(ν - 4) _ 60 = 6Οκ + 60(ν - 4) 20 <=> 11 11 <::::>3 (1 1 κ-59·(ν-4))= 1 1 που είναι άτοπο, εφόσον το 1 1 δεν είναι πολλα πλάσιο του 3.

Άρα δεν υπάρχουν τέτοιες χρονικές στιγμές. Όμοια εργαζόμαστε και στις άλλες περιπτώσεις και βρίσκουμε ότι δεν υπάρχουν χρονικές στιγμές με γωνίες δεικτών 120° . Προβλήματα - Ασκήσεις

1. Να

βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν οι δεί κτες (ωροδείκτης, λεπτοδείκτης) στις 7.50 το πρωί. ( Απ. κυρτή 65°) 2. Ποια χρονική στιγμή, αμέσως μετά τις 9 , οι δείκτες σχηματίζουν ορθή γωνία; 8 ( Απ. 9 h 3211 m) 3 . Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μεγάλος δείκτης συμπίπτει με το μικρό, ενώ ο δευτερολεπτοδείκτης είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δυο. 4 . Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα του μεγάλου και μικρού δείκτη του ρολογιού, καθώς και η με ( Απ. 6° Im, 0,5 °/m). ταξύ τους σχέση. 5. Ποια χρονική στιγμή αμέσως μετά τις 6 ο μικρός και ο μεγάλος δείκτης σχηματίζουν ευθεία ( Απ. 7h 60/1 1m) γωνία; 6 . Δείξετε ότι, όταν προηγείται ο μεγάλος δεί κτης, σχηματίζει ευθεία γωνία με τον μικρό τις ' ν και 6Ο· (ν + 6) λεπτα,' ν=Ο , ... , 5 . Ειναι δυναωρες ' 11 τόν να συμβεί αυτό σε ακέραιο αριθμό λεπτών και πότε; 7. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μεγάλος και ο μικρός δείκτης σχη ματίζουν ευθεία γωνία και ο δευτερολεπτοδείκτης σχηματίζει γωνία 90° με κάθε ένα από αυτούς. -

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/2 1

Τ ο Βή μα του Ε υ κλείδη

6 ΝΕΕΣ ΑΠΟΔ ΕΙΞΕΙΣ

ΤΟ Υ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ Υ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΣ τ ου Γ. Μενδωνίδη Στα δύο τελευταία τεύχη του ΕΥΚΛΕΙΔΗ Β ' δημοσιεύθηκαν στα εξώφυλλα τους σχήματα του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. Για το θεώρημα αυτό που θεωρείται ως το σπουδαιότερο θεώρημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχουν γίνει πολλές αποδείξεις και έχουν γραφτεί πολλά βιβλία. Το 2006 γράφτηκε από τον πρόεδρο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας κ. Θα';δ(•}!J Ο Εξιφχάκ() το αξιόλο γο βιβλίο : « Το ΠυΟαγiJρειο Θαύρ ημα στα ιΗα Οημα τικά τω ν Αρχαίω ν lioJ.πι rη.a& JΙ» . Το βιβλίο αυτό διατίθεται στους ενδιαφερόμενους και από τα γραφεία της Ε.Μ.Ε. Ο μαθηματικός Ε. Loomis είχε την επιμονή και υπομονή να συγκεντρώσει σε βιβλίο του 370 διαφορετικές α ποδείξεις του Π.Θ. από όλα τα έθνη και όλες τις εποχές. Σ' αυτό υπάρχουν αποδείξεις του Copemicus, του Newton, του Leibniz και πολλών άλλων διάσημων μαθηματικών. Εκτός από τις αποδείξεις των ενδόξων Ελλήνων μαθηματικών της αρχαιότητας, αναφέρεται και η τελευταία Ελληνική απόδειξη, από τον Πάππο, το 300 περίπου μ.Χ. Πρόσφατα στον «ΕΥΚΛΕΙΔΗ Α '» δημοσιεύτηκαν δυο <<νέες» αποδείξεις του Π.Θ. από τους μαθηματικούς Γεράσιμο Λ εγάτο και Γιώργο Μ εν δ ωνίδη που δεν υπάρχουν στο βιβλίο του Loomis. Ο «ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β'» συνεχίζοντας δημοσιεύει παρακάτω άλλες έξι αποδείξεις του Π.Θ. από τον συνάδελφο Γιώργο Μ ενδωνίδη που δεν αναφέρονται στις 3 70 του παραπάνω βιβλίου. Οι αποδείξεις αυτές στηρίζονται και μας θυμίζουν τη θεωρία των εμβαδών, την ομοιότητα τριγώνων, τη δύναμη σημείου ως προς κύκλο και το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου.

Π ρώτη Απόδειξη

Εξισώνοντας τα αποτελέσματα έχουμε: α 2 + -'--γ 2 +--'- β 2 --βγ + γ 2 = βγ + 2 2 _ 2 2 γ 2 = α + γ2 β 2 2γ 2 = α 2 + γ2 - β 2

Παίρνουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) με β<γ. Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά τμήμα ΓΔ=ΑΒ=γ και σχηματίζουμε το ορθογώνιο ΑΔΖΒ. Πάνω στη ΔΖ παίρνουμε τμήμα ΔΕ=ΑΓ=β. Άρα ΕΖ=γ-β. Από την ισότητα των I ΔεύτερηΑπόδειξη":J ορθογωνίων τριγώνων ΑΒΓ και ΓΔΕ έχουμε: ΓΕ=ΒΓ=α, BfΑ = ΔΕΓ = ω και ΑΒΓ = ΔfΕ = φ . Παίρνουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) . Με πλευρά τη ΒΓ κατασκευάζουμε Άρα BfA + ΔfE = BfA + ABΓ = ro + ψ = 90° . εξωτερικά του το τετράγωνο ΒΓΔΕ και προεκτεί Επομένως BrE = 90° νουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΒΗ=ΑΓ=β. Από την κατασκευή του Φέρνουμε τη ΗΕ και την προεκτείνουμε κατά τμή ορθογωνίου ΑΔΖΒ έχουμε: μα ΕΖ=ΑΓ=β. ΒΖ=ΑΔ=β+γ Έχουμε: ΒΕΗ = ΑΒΓ γιατί έχουν: ΒΗ=ΑΓ=β, Βρίσκουμε τώρα το εμ ΒΕ=ΒΓ=α και ΗΒΕ = AfB (γιατί είναι οξείες γω βαδόν του ορθογωνίου νίες με πλευρές κάθετες) Επίσης είναι: ΑΔΖΒ με δυο τρόπους και Δ Ε Ζ = Β Ε Η , γιατί ΕΖ=ΗΒ=β, ΔΕ=ΒΕ=α και Β εξισώνουμε τα αποτελέΑ ΔΕΖ = ΗΒΕ (γωνίες με πλευρές κάθετες). σματα : (ΑΔΖΒ) =ΑΒ · ΑΔ=γ (β+γ)=βγ+γ2 Άρα έχουμε: Δ Ε Ζ = ΒΕΗ = ΑΒΓ (ΑΔΖΒ) =2(ΑΒΓ)+ (ΒΓΕ)+(ΒΕΖ)= Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παρ/μο γιατί έχει ΒΖ · ΕΖ = 2 · ΑΒ2· ΑΓ + ΒΓ2· ΓΕ + --τις απέναντι πλευρές του ΑΒ και ΔΖ ίσες και πα 2 ράλληλες, ως κάθετες στην ΖΗ. τέλος τα τρίγωνα 2 2 + β) γ) y γ (β ( -β α α · α βγ = βy + 2 + 2 =2· 2 + 2 + ΑΓΔ και ΒΕΖ είναι ίσα, γιατί έχουν: ΑΓ=ΖΕ=β, 2 Δ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ. 3/22

Το Βή μα του Ευκλε ίδη

ΓΔ=ΒΕ=α και AfΔ = ΒΕΖ = 90° + Γ

Τέτα ρ τ η Α π ό δ ε ιξ η

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90° ) προε κτείνουμε την πλευρά του ΒΓ κατά τμήμα ΓΕ=ΒΓ. Πάνω στην υποτείνουσα του ΒΓ παίρνουμε το ση μείο Δ ώστε ΓΔ=β. Τότε είναι: ΒΔ=α-β και ΔΕ=α+β.

Βρίσκουμε το εμβαδόν του πενταγώνου ΑΗΖ ΔΓΑ με δυο τρόπους και εξισώνουμε τα αποτελέ Η κάθετη από το Δ προς την ΒΓ τέμνει την σματα: προέκταση της ΓΑ στο σημείο Ζ. Τότε τα ορθογώ (ΑΗΖΔΓΕ ) = (ΒΓΔΕ ) + 3 (ΑΒΓ ) = I α 2 + 3 · β; Ι νια τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΔΖ είναι ίσα γιατί έχουν: ( ΑΗΖΔΓΕ ) = (ΑΒΖΔ ) + 2 ( ΒΕΖ ) + (ΒΕΗ) = ... ΓΔ=ΓΑ=β και τη Γ κοινή Από την ισότητα αυτή προκύπτουν: ΔΖ=ΑΒ=γ και ΓΖ=ΒΓ=α. Παρατηρούμε στο τρίγωνο ΒΕΖ ότι η διάμεσός του ΖΓ είναι ίση με το μισό της απέναντι πλευράς Παίρνουμε το ορθογώνιο ΑΒΓ ( Α 90° ) και ΒΕ. Άρα το τρίγωνο ΒΖΕ είναι ορθογώνιο. Τα ορ Στην ευθεία ΒΓ και εκατέρωθεν του σημείου Γ, τα θογώνια τρίγωνα ΒΔΖ και ΔΕΖ έχουν, των ΒΖΔ = ΖΕΒ = ω ' γιατί είναι οξείες με πλευρές κά τμήματα ΓΔ=ΓΕ=ΓΑ. Τότε ΔΑΕ = 90° γιατί στο τρίγωνο ΕΑΔ η διά θετες.ΒΔΆραΔΖείναι όμοια ακαι- επομένως έχουμε: β = -γ = δηλαδή μεσός του ΑΓ, είναι ίση, με το μισό της πλευράς ΔΖ ΔΕ γ α+β του ΔΕ. Ε και γ2= α2-β2 Άρα α2=β2+γ2 Β

f!. ω·

·�

)(

--- -- - --� Δ '

πλεu ρές.L

'---,-\ ΓΑ=ΓΕ

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ( Α = 90° ) προε κτείνουμε την πλευρά του ΒΑ κατά τμήμα Α Ο=ΑΓ=β και την ΓΑ κατά τμήμα ΑΔ=ΑΒ=γ και γράφουμε τον κύκλο (Ο,Β). Αφού είναι ΟΑΓ = 90° θα έχουμε ότι η ΔΑΓ εφάπτεται του κύκλου. Από τα ίσα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΟ έχου με ΔΟ=ΒΓ=α. Άρα ΔΕ=α-β και ΔΖ=α+β.

ΆΓ

'ω / r: Α t1 Γω-

Π έμπτη Α πό δ ε ιξη

Έχουμε: ΒΑΔ = ΓΑΕ = ΑΕΓ = ω Άρα τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΕ είναι όμοια. γ α -β ΒΔ , , ς εχουμ Επομενω ε: ΑΒ ΒΕ = ΑΒ και α + β = -γΆρα γz= αz-βz Και αz=βz+γz Λ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/23

Τ ο Βήμα του Ευκλε ίδη

Αν πάρουμε τη δύναμη του σημείου Δ ως προς τι: τον κύκλο (Ο,β) θα έχουμε: Έχουμε: ΑΔ2=ΔΕ·ΔΖ γz=(α-β) - (α+ β) γz= αz-βz Άρα α2=βz+γ2

I 'Ε κτη Απόδ ειξη I

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, (Α 90° ) με γ<β, φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ και από το σημείο Δ την κάθετη στην ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο ση μείο Ε και την προέκταση της ΒΑ στο σημείο Ζ. Από το γνωστό θεώρημα της εσωτερικής διχο τόμου να αποδείξετε ότι: ΒΔ � β + γ και ΓΔ � α+γ . Από το σημείο Δ φέρνουμε την ΔΗ l. ΑΒ και την ΔΘ l. ΑΓ .Από ίσα τρίγωνα να αποδείξετε ότι: ΔΕ�ΔΒ και ΔΖ�ΔΓ. Άρα ΔΕ � βσ:y+ γ · Παίρνοντας τη δύναμη του σημείου Γ ως προς το εγγράψιμο (;) τετράπλευρο ΑΒΔΕ να βρεθεί ό-

β 2 + βγ - α2 β+γ

= .:..___:_:..__ _ ι

Από την ισότητα ΖΕ=ΔΖ-ΔΕ να βρεθεί ότι: ΖΕ αββ +- γαγ . Επίσης έχουμε ΓΕ=ΑΓ-ΑΕ, δη =

ΑΕ

λαδή:

Εi@

Να αποδείξετε την ομοιότητα των τριγώνων, ΔΕ ΑΖΕ και ΓΔΕ και από την αναλογία, ΑΕ ΖΕ ΓΕ που προκύπτει από αυτήν, να αποδείξετε αντι καθιστώντας ότι: α2=β2+γ2 • =

εικασία του Poincare έλαβε καταφατικη απαντηση . . .

Ανδρέας Αρβανιτογεώργος

Ένα από το βραβεία Fields (αντίστοιχα των βραβείων Νόμπελ για τα μαθηματικά) που απονε μήθηκαν τον Αύγουστο 2006 στο Διεθνές Συνέ δριο Μαθηματικών στη Μαδρίτη, δόθηκε στον μαθηματικό Grigori Perel ' man με την αιτιολογία: "για τις συνεισφορές του στη γεωμετρία και την ε

παναστατική και σε βάθος κατανόηση, της αναλυτι

κής και γεωμετρικής δομής τη ς εξίσω σης ροής του

Οι εργασίες του Perel ' man είχαν ως συνέ πεια την απόδειξη της εικασίας γεωμετρικοποίησης του Therston. Η εικασία αυτή, αρκετά περίπλοκη στη διατύπωσή της, αφορά μαθηματικά αντικείμε να τα σποία ονομάζονται πολλαπλότητες και είναι επέκταση μιας φημισμένης εικασίας των μαθημα τικών, της εικασίας του Poincare. Ο μαθηματικός Poincare διατύπωσε την εικα σία του το 1904 και από τότε ήταν αντικείμενο προσπάθειας πολλών μαθηματικών, αλλά και σηRίccί ''.

μαντικής ανάπτυξης του κλάδου των μαθηματικών που ονομάζεται αλγεβρική τοπολογία. Το έτος 2000 το Ινστιτούτο Μαθηματικών Klay στη Βοστώνη των Η.Π.Α. παρουσίασε επτά προβλήματα, τα ο ποία θεωρούνται από κορυφαίους μαθηματικούς τόσο σημαντικά, ώστε να έχουν τη δυναμική να αποσχολήσουν τους μαθηματικούς κατά τον 21 ο αιώνα. Μάλιστα, για την επίλυση καθενός από αυ τά έχει αθλοθετηθεί ποσό 1 .000.000 δολαρίων. Τα προβλήματα αυτά έχουν την αντίστοιχη βαρύτητα των εικοσιτριών προβλημάτων τα οποία είχε δια τυπώσει ο Hilbert το 1900 και τα οποία είχαν κε ντρικό ρόλο στα μαθηματικά του 20ου αιώνα (κά ποια από αυτά εξακολουθούν να έχουν). Η εικα σία του Poincare είναι ουσιαστικά η εξειδίκευση ενός από τα προβλήματα του Hilbert. Η διατύπω ση έχει ως εξής: κάθε απλά συνεκτική, συμπαγής,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ. 3/24

Τ ο Βή μα του Ε υκλε ίδη

τρισδιάστατη πολλαπλότητα, ε ίναι ομοιομορ φ ική με τη ν τρισδιάστατη σφ αίρα.

Ας εξηγήσουμε την ορολογία. ηησ/ίιrί.στατη

πο/).απ)ι)τητα: Χώρος ο οποίος γύ

ρω από κάθε ση μείο του μοιάζει με τον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο. Ο ι πολλαπλότητες είναι τα βασικά αντικείμενα σπουδής του κλάδου των μαθη ματικών που ονομάζεται roπol.rηfα . Αντικείμενο της τοπολογίας εί ναι ο προσδιορισμός του πότε δύο ( τοπολογικοί) χώροι μπορούν να μετασχη ματιστούν ο ένας στον άλλο κάτω από συνεχείς (δηλ. χωρίς "κοψίματα" και "ραψίματα") μετασχη ματισμούς (π.χ. είναι δυνατόν ένας λουκουμάς να

μετασχηματιστεί

στη

συνηθισμένη

δισδιάστατη

σφαίρ α ; ) .

-\<>:τυ:

η :; Ουσιαστικά ση μαίνει ό τ ι ο συγκεκριμέ

νος χώ ρος είναι πεπερασμένος σε έκταση και ότι περιέ χει όλα τα ση μεία συσσώρευσής του .

.':" ·

·ι .,.-τι;.-ιί :.;

Η ιδιότητα ενός χώρου σύ μφω

να με την οποία κάθε κλειστός βρόχος επί αυτού είναι δυνατόν να συρρικνωθεί και να "κλείσει" σε ένα ση μεί ο. Με άλλα λόγια ο χώ ρος δεν έχει "τρύπες" .

συνη

θισμένη σφαίρα είναι απλά συνεκτική, αλλά ο λουκου μάς δεν είναι. Δύο χώροι είναι ομοιμορφικοί αν

5 το 1961 από τον Zieman, για 6 το 1962 από τον Staligs και για � 7 το 1961 από τον Smayl (βραβείο Fields 1966). Η περίπτωση λοιπόν για 3 παρέμενε ανοικτή έως το 2003. Σε μια σειρά άρθρων εξαιρετικά υψηλής μαθημα τικής τεχνικής (2002-03), ο Perel'man απέδειξε την εικασία του Therston, η οποία έχει ως συνέ πεια την εικασία του Poincare. Αξίζει εδώ να αναφέρουμε ότι ο Perel 'man στηρίχτηκε σε μια μακρά προσπάθεια πολλών μα θηματικών και κυρίως του Hamilton, ο οποίος από το 1982 είχε αναπτύξει ένα πρόγραμμα προσέγγι σης της εικασίας του Poincare, μελετώντας μια με ρική διαφορική εξίσωση, η οποία σχετίζεται με την κύρτωση της πολλαπλότητας, γνωστή ως εξίσωση ροής το υ Rίccί. Ο Hamilton είχε προχωρήσει πολύ στο πρόγραμμα αυτό, αλλά είχε καταλήξει σε σο βαρές δυσκολίες, τις οποίες τελικά ο Perel'man ξεπέρασε με τα άρθρα που προαναφέραμε. Η αξία της εικασίας του Poincare έχει εφαρμογή τόσο στα μαθηματικά όσο και στη φυσική, μια και βοηθά στην πληροφόρηση για τη μορφή του σύμπαντος. Για περισσότερες πληροφορίες παραπέμπουμε στις παρακάτω πηγές και στη βιβλιογραφία τους. η =

η =

είναι δυνατόν να μετασχηματιστεί ο ένας στον άλλο χωρίς να γίνουν κοψίματα και συρραφές.

lρ ι Γiδιάστατη σφαίρα.

μείων

(x, y, z, w) που

ρου

Το σύνολο όλων των ση

του τετραδιάστατου Ευκλείδειου χώικανοποιούν

την

εξίσωση

Έτσι λοιπόν, η εικασία του Poincare αναφέρει ότι κάθε χώρος ο οποίος κοντά σε κάθε ση μείο του μοιάζει με τον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, είναι πεπερα

Ε ν δ ε ικτικές ανα φ ο ρ ές Η εικασία του Poίncare: Ένα πρόβλημα που απασχολεί τους μαθηματικούς και με τά την επίλυσή του, Πρακτικά 2 3 °u Πανελλήνιου Συνε δρίου Μαθη ματικής Παιδείας ΕΜΕ, Πάτρα 2006, l Ο l Α.

1 07 .

H - D . Cao - Χ . - Ρ . Zhu: Α complete proof of the Poίncare and the geometrίzatίon conjectures applίcatίon of the Hamίlton-Perelman theorey of the Rίccί jlow, Asian J. Math . l O (2) 2006, 1 6 5 -492. Reνised: December 2006. Clay

σμένος σε έκταση και επιπλέον κάθε κλειστός βρόχος σε αυτόν είναι δυνατόν να συρρικνωθεί σε σημείο, μπο ρεί να μετασχηματιστεί στην τρισδιάστατη σφαίρα.

Η εικασία αυτή σύντομα γενικεύθηκε, με αντί στοιχες προϋποθέσεις, για μια οποιαδήποτε συ μπαγή πολλαπλότητα διάστασης . Η περίπτωση 1 είναι τετριμμένη, ενώ η περίπτωση της ει κασίας για 2 είναι ένα κλασικό αποτέλεσμα της διαφορικής γεωμετρίας, ήδη γνωστό από τον 19° αιώνα. Η εικασία για 4 αποδείχτηκε το 1982 από τον Friedman (βραβείο Fields 1986), για η

η =

Αρβανιτογεώργος :

Mathematics

Conjecture,

Institute :

The

Poίncarέ

www . c laymath . org.

J. Milnor: Towards the Poίncarέ Conjecture and the classfficatίon of 3-manifolds, Notices Amer. Math . Soc. 50 ( 1 0) Noνember 2003 . J . W . Morgan - G. Πan :

Rίccίjlow and the

Poίncarέ Conjecture, www . arxiν.org/abs/math . DG/0607607, July 2006. G . Perelman :

jlow

and

The entropy formula for the Rίccί ίts geometrίc applίcatίons,

www . arxiν.org/abs/math . DG/02 1 1 1 5 9 , Nov. 2002 . G. Perelman :

man!folds, March 2003 .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/25

Rίccί jlow wίth !lurgery on three-

www . arxiv. org/abs/math . DG/0303 1 09,

�ωωqJLJJωιs gm�

[jJO(]J 'iJ[jfιY !iJ() 'ίJcfJ�[j] [j(J)� iJflJ[fj(jιf"tlJ !

;

, , Ρ l)

Ζαχαρόπουλος Κωνσταντίνος, Καραγκούνης Δημήτρης

Γνωρίζουμε ότι: χ 2 - χ + 5 < Ι -Ι < χ 2 - χ + 5 < Ι ---5χ - 3 5χ - 3 με 5χ - 3:;t:O δηλαδή, χ :;t: i5 . 2 α) Βρίσκουμε τη διακρίνουσα της (Ι) εξίσωσης. Συνεπώς χ 5χ- χ- +3 5 > -Ι ( 1 ) χ 2 - χ + 5 < Ι (2) Δ = (3α2 + β2)2 - 4αβ · (2β2 + 6α2 - 4αβ)= ή 5χ - 3 = 9α4 + β4 + 6α2 β2 - 8αβ3 - 24α3 β + Ι6α2 β2 = Η (Ι) γίνεται : =9α4 + β4 + Ι 6α2 β2 - 8αβ3 + 6α2 β2 - 24α3 β - χ + 5 + Ι > Ο <::::> - χ + 5 + 5χ -3 > Ο =(3α2)2 + (β2)2 + (4αβ)2 - 2 · β2- 4αβ + --5χ -3 5χ -3 + 2 · 3α2 · β2 - 2 · 3α2 · 4αβ = χ 2 + 4χ + 2 > 0 <::::> (5χ -3)(χ 2 +4χ +2) > 0 (3) --(1) =(-3α2 - β2 + 4αβ)2 � Ο , 5χ -3 συνεπώς η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές . Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου β) Η εξίσωση (2) γίνεται: αβγ2 χ2 + (3α2γ + β2γ)χ χ2 + 4χ + 2. + 2β2 + 6α2 - 4αβ = Ο Δ = β2 - 4αγ = 42 - 4 · 2 8, άρα J8 = 2J2 . Βρίσκουμε τη διακρίνουσα της (2) εξίσωσης. -4 + 2J2 = -2 + J2 Δ = (3α2γ + β2γ)2 - 4αβγ2 · (2β2 + 6α2 - 4αβ) = ± JΔ =\. 2 η, Χ ι ,2 = β 2α =γ2(3α 2 + β2)2 - 4αβγ2 · (2β2 + 6α2 - 4αβ) = - 2J2 = -2 - ν2 -4 -=γ2 · [(3α2 + β2)2 - 4αβ · (2β2 + 6α2 - 4αβ)] 2 και από την (1) του (α) έχουμε 2 τριώνυμο χ + 4χ + 2 είναι θετικό, δηλαδή ο =γ2 · (-3α2 - β2 + 4αβ)2� Ο , συνεπώς η εξίσωση έχει Το μόσημο του α = Ι δύο ρίζες πραγματικές . αν χ -2 - J2 ή χ >-2 + J2 . Επίσης 5χ - 3 Ο <::::> χ > i5 . Να βρείτε τις τιμές του χ R για τις οποίες αΤο πρόσημο της σχέσης (3) προκύπτει από τον πα χ+5 ρακάτω πίνακα: λη θ ευει η ανισωση < . 5χ - 3 Να βρεθεί το είδος των ριζών των παρακάτω ε ξισώσεων: α) αβ χ 2 + (3α2 + β 2) χ + 2β 2 + 6 α2 - 4αβ Ο ( 1 ) β) αβγ2 χ2 + 3α2γχ+ β 2γχ + 2β2 + 6 α2 - 4αβ Ο (2)

<=>

•

r;;

, , I xz- 1 ε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ. 3/26

-------

---- - 5χ-3

χ2 +4χ+2

- 2- .Jl

6 b

Γινόμενο

- - ·-·---

-2+ '.[2

3 5

� -·

:.;

+οο

χ 2 + 2χ - 1 1 ( ) δεν μπο2 χ-3 ρεί να λάβει τιμές μεταξύ του 2 και 6, όταν το χ είναι πραγματικός αριθμός.

Να δειχθεί ότι το κλάσμα

Μ αθηματικά για την Α ' Λυκείου -------

Συνεπώς η σχέση (3) αληθεύει για χ Θεωρούμε ότι το κλάσμα λαμβάνει τιμές μεταξύ του 2 και του 6 δηλαδή, ε ( -2 - h,-2 + h ) u (� ,+oo ) (I) + 2χ - 1 1 < 6 , 2 < χ 22(χ Η (2) γίνεται : - 3) χ 2 -χ +5 - 1<ο χ 2 -χ +5-5χ +3 <ο με χ 3 τότε θα καταλήξουμε σε άτοπο. 5χ -3 5χ -3 χ 2 -6χ + 8 <0 <::::> (5χ -3)(χ 2 -6χ + 8)<0 (4) --') Εστω χ 2 + 2χ - 1 1 < 6 5χ -3 2(χ - 3 ) Α Βρίσκουμε τις ρίζες του τριωνύμου 2 χ + 2χ - 1 1 χ2 - 6χ + 8. 6<ο 2 2(χ 2 3 ) · Δ = β - 4αγ = 6 - 4 8 = 36 - 34 = 4. 2 - 1 0χ+ 25 4 = χ χ 2 + 2χ - 1 1 - 1 2(χ- 3 ) Χ < <::: :> ο � <::::> ± ν'Δ = /' 2(χ - 3 ) 2(χ - 3) χ 1 ,2 - β 2α \.ι Χ = 2 2(χ - 3)(χ2 - lOx + 25) < Ο <::::> 2 2(χ - 3)(χ - 5)2 < ο (1) Το τριώνυμο χ2 - 6χ + 8 είναι θετικό, δηλαδή ο μόσημο του α = 1 χ 2 + 2χ - 1 1 αν χ < 2 ή χ > 4. ' >2 Ε στω Β) 2 (χ - 3 ) Επίσης 5χ - 3 > Ο χ > �5 . χ 2 + 2χ - 1 1 - 4(χ- 3 ) χ 2 + 2χ - 1 1 ο > >Ο 2 Το πρόσημο της σχέσης (4) προκύπτει από τον πα 2(χ - 3 ) 2(χ - 3 ) ρακάτω πίνακα: χ 2 - 2χ + 1 - 3)(χ2 - 2χ + 1) >Ο 2(χ 2(χ - 3 ) 2(χ - 3)(χ - 1)2 > ο (2) I Από τις σχέσεις (1 ), (2) προκύπτει το σύστημα: I I 2(χ - 3)(χ - 5) 2 <0 ? - ? 2(χ - 3)(χ - 1) 2 > 0 b - 6 για να καταλήξουμε σε άτοπο αρκεί να δείξουμε Συνεπώς η σχέση (4) αληθεύει για ότι το σύστημα είναι αδύνατο . 2(χ - 3)(χ - 5) 2 < ο χ ε( �) υ ( 2, 4 ) ( 11 ) 2(χ - 3)(χ - 1) 2 > 0 χ2 - χ + 5 Από τις ( Ι ), ( 11 ) η 5 χ 1 αληθεύει ό(χ - 3) <Ο, διότι (χ-5) 2 �Ο χ <3 -3 χ>3 ( χ - 3) > Ο, διότι (χ-1) 2 �Ο ταν Πράγματι το σύστημα είναι αδύνατο συνεπώς το κλ ' ασμα χ 22+( χ2χ- -3 )1 1 δε μπορει' να λα' βει τιμες' με2 -2+-12 -2--12 ταξύ του 2 και του 6 . Δηλαδή χ ε ( -2 - h,-2 + h) υ (2, 4) <=>

<::::>

<=>

<::::>

<=>

----

<::::>

· ·· · -

·· -··

-00

3 5

5χ-3

χ2 +6χ+8

Γινόμενο

· - !� - - - �

<=>

{

{ {

-οο,

I +οο :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/27

<=>

{

------ε

Μ α θηματικά για την Α ' Λυκείου -------

α βρεθούν οι τιμές2 του λ ώστε το τριώνυ μο ά 5(2λ - 1)χ + χ - 1 να γρ φεται ως: α) Γινόμενο ενός αριθμού επί ενός τέλειου τε τραγώνου. β) Γινόμενο ενός αριθμού επί μιας διαφοράς δύο πραγματικών παραστάσεων. επί ενός αθροίσματος γδύο) Γτετινόμενοα ενός παραιθμούατικών ρ γώνων ρ γμ παραστάσεων. Ν

g(x)

και D η ορίζουσ2α των συντελεστών. 2 Αν ηδ επλξίσωση χ + 5(D - 1)χ - 6(D - 1) έχει α)μίαΝαι βρείή ρίζα. τε τον συντελεστή λ. β) Να λυθεί το σύστημα . α) Η εξίσωση χ2 + 5(D - 1)χ - 6(D - 1 / = Ο έχει =Ο

μία διπλή ρίζα συνεπώς, Δ = Ο => [5(D - 1)] 2 + 4 · 6(D - 1)2] = 0 � 25(D - 1 )2 + 24(D - 1 )2 = Ο � 49(D - 1)2 = ο � D - 1 = 0 � D = 1 (1) Γνωρίζουμε ότι αν σε ένα τριώνυμο . D = λ - 1 2λ 1 = (λ - 1)2 - 4λ2 = f(x) = αχ2 + βχ + γ, με α ::j::. Ο ισχύει Δ = Ο τότε αυτό Επισης 2 2λ λ _ 1 γράφεται στη μορφή f(χ) = α χ + α =λ2 - 2λ + 1 - 4λ2 = -3λ2 - 2λ + 1. (2) Βρίσκουμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι: 2 -3λ2 - 2λ + 1 = 1 � -3λ2 - 2λ = Ο � g(x) = 5(2λ - 1)χ + χ - 1 3λ2 + 2λ = ο � λ(3λ + 2) = ο � Δ = 40λ - 19 . Αρκεί Δ = Ο οπότε, 40λ - 19 = Ο � λ = ..!2_ λ = ο ή 3λ + 2 = ο � λ = ο ή λ = - �3 40 . , Γνωρίζουμε ότι αν σε ένα τριώνυμο β) Για λ = Ο το σύστημα γίνεται: f(x) = αχ2 + βχ + γ, με α ::j::. Ο ισχύει Δ > Ο τότε αυτό -χ -2 � χ = 2 Σ : -y == -1 γράφεται στη μορφή y=1 ' Άρα η λύση του συστήματος είναι : (χ, y) = (2, 1). �χ) � α χ + . . α γινεται: Για λ = --23 το συστημα Η διακρίνουσα του τριωνύμου g(x) είναι 4 = -2 5 - -y --x Δ = 40λ - 19, αρκεί λοιπόν Δ > Ο οπότε, -5x - 4y = -6 � Σ : 43 35 5 � -4x - 5y = -5 40λ - 19 > ο � λ ..!2_ - -x -y = -40 . 3 3 3 Γνωρίζουμε ότι αν σε ένα τριώνυμο 4 · 5x + 4y = 6 (3) f(x) = αχ2 + βχ + γ , με α ::j::. Ο ισχύει Δ < Ο τότε αυ -5 · 4x + 5y = 5 (4) τό γράφεται στη μορφή 20χ + 16y = 24 πρόσθε�ατά ' -20χ - 25y = -25 �χ) � α χ + + α -9y = -1 � y = -91 Η διακρίνουσα του τριωνύμου g(x) είναι Δ = 40λ - 19, αρκεί λοιπόν Δ < Ο οπότε, Για y = -19 η σχέση (3) γίνεται: 40λ - 19 < ο � λ ..!2_ 10 . 50 � χ = 40 . 5χ + 4 ·-91 = 6 � 5χ = 9 9 . του συστηματος . ( χ, y)= "9'9" 10 1 . . Άρα η λυση ειναι: Δίνεται το σύστ{(λημ-α 1)χ + 2λy = -2 Σ· ;;. σ κη ση 6 2 λχ + (λ - 1)y = λ - 1

{ :)

{(

t ) -(�η >

{(

{

t ) (�η

{

μέλη

Δίνονται οι εξισώσεις :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/28

( )

-------

Μα θηματικά για την Α ' Λυκείου -------

χ2 - ιΟDχ·χ + 25·D/ = Ο (ι) και y2 - 8α Dy ·y + ι6α2 · D/ = Ο (2) με α Ε R * . Έστω ότι το ζεύγος (χ, y) με χ, y >Ο είναι η μο ναδική λύση ενός συστήματος ευθειών τότε : α) Να υπολογίσετε την ορίζουσα D του συστή ματος και να βρείτε τον α Ε R * . β) Αν η λύση του συστήματος έχει μορφή (χ, y) = (β, β) όπου Ρ Ε R : να βρείτε τις ορίζουσες Dx , Dy συναρτήσει του Ρ Ε R: . γ) Να λύσετε την εξίσωση (D 2 - ι )χ4 - 2 D2 x2 + _!__ = Ο 25 και να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό Ρ .

Υ = DDY

β = D1 Y <=> β = 5D D = �5 . 5 γ) (D2 - 1 )χ4 - 2D2x2 + ;5 = Ο, θέτουμε χ2 = u (6) οπότε η εξίσωση γίνεται: 1 = Ο και για D = -1 (D 2 - 1 )u2 - 2D 2u + 5 25 προκύπτει: =>

<=>

(-251 - 1 ) u 2 - �25 u + -251 = Ο <=>

2 - � u + -1 = 0 <::> 24u2 + 2u - 1 = 0 . - 24 u 25 25 25

α) Αφού το σύστημα έχει μοναδική λύση ισχύει D Βρίσκουμε τη διακρίνουσα Q Δ = 4 + 96 = 100 >0. Βρίσκουμε τις λύσεις της εξίσωσης (ι) οπότε: χ2 - 10Dx · x + 25 · D/ = Ο <=> 2χ - 2 · 5 · Dx · x + (5 · Dx )2 = Ο <::::> (χ - 5Dx)2 = Ο Οι ρίζες της εξίσωσης-2είναι: 8 =u ι 48+ 10 = ( 7) - 5Dx = Ο <::::> = 5Dx . 48 6 D x = -1 με χ Ο ή Συνεπως' 5 χ 1 -2 10 u2 = 48 = -12 -= ( 8) D 48 4 οπότε : D = χx = ..!_5 . (3) Οπότε από τις σχέσεις (6),(7),(8) ισχύει ότι : Βρίσκουμε τις λύσεις της εξίσωσης (2) οπότε: 1 1 χ 2 = - ή χ 2 = -2y - 8α · D -y + 16α2 · D/ = Ο <=> 4 6 y 2 2 <=> y - 2 ·4· α · Dy · y + (4αDy) = Ο <::> απορρίπτεται 2 <=> (y - 4 · α· Dy) = Ο 2 = -1 <=> χ = -1 = - ή χ = - 1 = χ <=> y - 4 · α · Dy <=> y = 4 · α · Dy . 6 6 6 -16 D 1 απορρίπτεται διότι x,y R : Συνεπώς y = 4α με y Ο οπότε: του Επειδή (χ, y) = (β, β) με β R : η λύση β .J6 D 1 D = -yY = στηματος ειναι χ, y = -,4α (4) 6 . 6 6 αρα = Από τις σχέσεις (3) , (4) τα πρώτα μέλη είναι ίσα άρα και τα δεύτερα οπότε : 1 1 <=> 4α = 5 <=> α = -5 . (5) - = 4 5 4α Δίνεται η εξίσωση χ2 - � αχ + i = Ο . 3 9 β) Επειδή (χ, y) = (β, β) η μοναδική λύση του Αν η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ίση με ι : στήματος προκύπτει ότι: � � χ= � α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού D β = 1 <=> β = 5D <=> D = 5 και α. 5 <::::> Χ

.J6 .J6 , ' ( ) ( .J6 .J6 )

.J6

_ Υ

συ-

συ

β) Για τις τιμές του α που βρήκατε να δείξετε ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/29

------

Μ αθηματικά για την Α ' Λυκείου ------

5 6 Οι δύο κάθετες ευθείες απέχουν μεταξύ τους από σταση d(x 1 , χ2) = Ι χ 1 - χ2Ι = l i - ( �JI = � 1� � = 1� ε) Βρίσκουμε τα5 σημεία που τέμνει τον άξονα χ 'χ η f1(χ) = χ2 - -3 χ + -49 5 + -4 = Ο οπότε f1 (χ) = Ο χ2 - -χ 5-3 +1 .i3 9 -= 3 2 4 Ο. α) Εχουμε χ2 - -αχ+-= χ 1 ,2 - 5 ή 3 9 2 _!_ 3 -1 Δ =1 => ( 35 α J -4·1 ·9"4 =1 -=3 2 <::::> 295 α2 �9 = 1 <::::> άρα η f1 τέμνει τον χ 'Jχ στα σημεία J 2 5 α 2 = 1+ � <=> Α = (�, Ο και Β = (�, Ο 9 9 -295 α 2 = -295 <=> α 2 =1 <::::> α = ±1 Β ρίσκουμε2 τα5 σημεία4 που τέμνει τον άξονα χ 'χ η β) f(x) = χ2 - �3 αχ+ _i9 εκφράζει δύο παραβο- f2(x) = x + -χ3 + 5-9 . 4 f2 (x) = Ο � χ2 +-χ λές. 3 + -9 = Ο οπότε Για α = 1 προκύπτει: f1(x) = χ2 - �χ3 + _i9 . -35 +1 2 3 Για α= -1 προκύπτει: f2(x) = χ2 + �3 χ + _i9 . ή Χ1,2 = 5 γ) Οι συναρτήσεις f1, f2 παρουσιάζουν και οι δύο -1 3 ελάχιστα διότι ο συντελεστής των μεγιστοβαθμίων _i 2 3 όρων τους είναι το 1. 35 -β 5 με ' ελαχιστο ' στο χ1 - -=-=Η f1 εχει άρα η f2 τέμνει τον χ 'χ στα σημεία Γ = ( -i,oJ 2α 2 6 -Δ -1 fi (X I ) = -= - . και Δ = ( - � ,0J 4α 4 35 -β ' στο χ2 -- 2α =Τ= -65 με Για χ = Ο προκύπτει ότι f1 (0) = f2(0) = οπότε οι ' ελαχιστο Η f2 εχει f1,f2 τέμνουν τον άξονα y ' y στο σημείο αντιστοί-Δ --1 . f2(x2) = -= ( O, �J . 4α 4 χως Ε δ) Οι άξονες συμμετρίας για τις f1, f2 είναι οι αντίστοιχες κα' θετες στον χ χ ευθ ει,ες χ1= 6"5 και χ2 =

ότι η συνάρτηση 5 4 χ - -3 αχ+ -9 εκφράζει δύο παραβολές. α βρείτ.ε τα μέγιστα ή τα ελάχιστα των δύο γ)παΝαβολών δ) ρΝα βρείτε τους άξονες συμμετρίας των δύο παραβολών και πόσο αυτοί απέχουν μεταξύ τους. ές και να βρείτε ε) Ναυ σχεδιάσετε τι πα αβολ ς ρ την . ε θεία που εφάπτεται συγχρόνως και στις δύο f(x)

�

/' \,

- -

/' \,

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/30

------

χ=5 /6

Μαθηματικ ά για την Α ' Λυκε ίου ------

{

: = �: �} � { χ�:� 1} � χ::� 1} � δηλ. έχει άπειρες λύσει ς, τηςκ) μεμορφής � + χ 1 κ y)= κ ( , ( ε τότε το (1Σ) γίνεται: . Αν λ=-1,-χ-Υ= χ +y=1 } � Ox+ O y=2 δηλαδή είναι αδύνατο.

Cπ

111)

-6

-8

-4

-2

1 /� l/3 4/} ιι

-2

Υ{ ::·κκ+ε1�}

9. Να λυθεί το σύστημα: χ-1 3 y+2 4 2y - 1 ι ω-1 3

-4

-- = Η ευθεία που εφάπτεται συγχρόνως και στις δύο παραβολές είναι η παράλληλη στον χ ' χ που περνά =2 από τα ελάχιστα των δύο παραβολών και είναι η χ+1 y = --.41 Για να ορί ζ ονται οι εξισώσεις του συστήματος, πρέπει να ισχύει: ω i-1 , xi--1 , μορφή: 8. Να το σύστημα: Το σύστημα παίρνειyi--2 τη { 4x-3y=10 : �ι = Ο ιι ; 6y-ω=2 2χ-ω=-2 �ι = Τώρα Τρίτηγίνεται: εξίσωση με προσθέτοντας στητηνδεύτερη (-1) καιπολλαπλασιάζοντας �l Το σύστημα γράφεται: {�;::�;� { ( χ-λ) -y=Ο 2 2χ-ω=-2 J λχ-y=λ ( Σ ) � λχ-λy � 4 4 = λ χ-λy =Λ { 4χ -3y = 10 Διαιρούμε τη 2η εξίσωση με 2 � -χ+ 3y = 2 D= Ι 1λ λ-1 ι = ( 1-λ )( 1+λ) 2χ -ω =-2 Ανκαι πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση με 4 D χ = λλ42 -1λ = ( λ-1 ) την προσθέσουμε στην πρώτη τότε το τελευ , ταίο σύστημα θα γίνει ισοδύναμο με το: 2 λ λ {-x+3y=2 9y = 18 Υ = 2 D Y = 1 λ4 =λ2 ( λ-1 ) ( λ2 +λ+1 ) � { -x+3y=2 � 2χ -ω= -2 2χ -ω= -2 D=Ο� λ=1 ή λ=-1 y=2 y=2 { Ι) Αν λ 1 και λ::F- 1 τότε το (Σ) έχει μοναδική χ =2 λύση την χ =4 � χ =4 2χ-ω=-2 ω=lΟ χ =-χDD =- 1+λ Άρα το σύστημα(χέχει, y, ω)= μοναδική λύση 2 4 10) , , ( y= oD = λ2 ( λ21+λ+ λ + 1 ) 10. Να λυθεί η ανίσωση -2< χ 2-2 χ-3:55 Αν λ= 1, τότε το (Σ) γίνεται: -6

-8

�

λυθ ε ί

-λ

λ4

11)

ίί) Να ερμηνευτούν γραφικά οι λύσεις της πα ραπάνω ανίσωσης

ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ

Β' τ.3/3 1

------ Μ αθηματικά για την Α ' Λυκείου ------

Έχουμε2 -2< χ2-2χ-3:::;5 2 { Χ -2χ-1>0 (1) <:::::> { χχ 2 -2χ-3>-2 <::: ::> -2χ-3� 5 χ 2 -2χ-8�0 (2) 2-4αγ=8>0τηνΓΔ( 1) έχουμε:../8 Δ=βΛύνοντας Ji = χ 1+ -β± .,... .._ { 2± χ ι.2 2α = 2 .......,.. χ ι =1- Ji 2 I 2 I Ji Οι λύσεις είναι χ < 1 - Ji ή χ > 1 + Λύνοντας τη (2)=4έχουμε: Δ=3 6 2± 6 ::> { Χ ι χ ι ,2 =--<::: -2 2 χ 2 =·�2-

Λύ ση

•

lx .

2 x- l

Ι +νl

Ι --{2

Οι I

01 I

g;c �

Οι λύσεις τηςοι λύσει (2) είςντηςαι -2:-:αρχι:;χ:-:κ:;4ής (δοθείσας) ανί Επομένως σωσης είναι οι κοινές λύσεις των ( 1) και (2)

Οισημείων λύσειςτηςτηςπαραβολής ανίσωσης είναι οι τετμημένεςμεταξύ των που βρίσκονται των ευθειών y=-2, y=5 . Δηλαδή: l -2� x <1- J2 ή 1 + Ji < x � 4 1

1 1 . Να βρείτε τις τιμές του λΕR για τις οποίες η aνίσωση (λ+2)χ2-2λχ+3λ<Ο με /..;:f:.-2 να α ληθεύει για όλες τις πραγματικές του χ. Λύση

Θα πρέπει να ισχύουν { Δ < Ο <:::::> { 4λ2 -12λ2 -24λ <Ο λ+2<0 λ+2<0 2 -24λ <ο <:::::> { λ2 + 3λ >ο <:::::> {λ ( λ + 3) >ο <:::::> { -8λ λ<-2 λ<-2 λ+2<0 Οι τιμές του λ φαίνονται στο παρακάτω σχήμα -3

-2

Άρα λ<-3.

1 2χ 2 - χ + 2 1 � 1

1 2. Ν α λυθεί η aνίσωση χ 2 - 2χ Ji J2 Δηλαδή l -2� x <1- ή 1+ < χ � 4 1 Η ανίσωση ορίζεται για χ2-2 χ *Ο <:::::> χ(χ-2) *0<=> Για τη γραφι κ ή λύση της ανίσωσης κάνουμε τι ς χ*Ο καιλόγω χ*2.Δ=-1 Και 5επει<0δέχουμε: ή 2χ2-χ+2>0 για κάθε γραφικές παραστάσεις της παραβολής y=x2-2x-3 χ και των ευθειών y=-2, y=5 . 1 2χ 2 -χ+2 1 � Ι <=:> 2χ 2 -χ+2 �1<:::::> χ 2 -2χ χ -2χ2 2 2χ <:::::> χ 2 -χ-2χ+ 2 -1 -> ο <:::::> χχ 2+χ-2χ+ 2 -> ο <:::::> ( χ 2 +χ+ 2 ) . ( χ 2 -2χ ) �ο<:::::> <:::::> χ 2 -2χ �ο<:::::> χ (χ-2) �ο Αφού χ 2 + χ + 2 > Ο για κάθε χ Άρα οι λύσεις δίνονται στο παρακάτω σχήμα Λ ύ ση

ii)

y= 5

IR .

ο ( 1 ,-4)

Αυτές είναι χ<Ο ή χ>2 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/32

------

Μαθηματικ ά για την Α ' Λυκε ίου ------

Εγγεγραμμένα σχήματα- αναλογίες -ομοιότητα Χρήστος Κανέλλος ρ όλογο ς : Θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσου με μέσα από ένα παράδειγμα τη διαδικασία επί λυσης προβλημάτων που αναφέρονται στα κεφά λαια εγγεγραμμένα σχήματα - αναλογίες - ο μοιότητα. Αυτό πιστεύουμε ότι μπορεί να γίνει με μια μεθοδολογική σκέψη, η οποία θα συνδέει με σωστό τρόπο τα δεδομένα προς τα ζητούμενα. Γι' αυτό και σε ορισμένες ασκήσεις έχουμε γράψει και μια σκέψη ώστε να είναι εύκολο να προσανατολι στεί κανείς προς την ιδέα αυτή. , Έστω το ευθύγραμμο τμή μα ΑΒ και τα σημεία Κ, Λ, Μ, τέτοια ώστε τα Κ, Μ να βρίσκονται προς το ίδιο ημιεπίπεδο που ορί ζει η ΑΒ, ενώ το Λ στο άλλο, όπως δείχνει το σχήμα. Αν ισχύει ΑΚΒ = ΑΜΒ = 1 80° - ΑΛΒ τότε τα Α, Β, Κ, Λ, Μ θα είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο. IJl

... -- - - -.

Λ Το τετράπλευρο ΚΑΛΒ είναι εγγράψιμο σε κύκλο C ι αφού οι 2 απέναντι γωνίες ΑΚΒ, ΒΛΑ είναι παραπληρωματικές. Τα σημεία Μ και Κ βλέπουν την ΑΒ υπό την ίδια γωνία. Άρα το σημείο Μ θα είναι είτε σημείο του κύκλου C 1 , είτε σημείο του συμμετρικού του κύκλου C1 προς τον φορέα της ΑΒ (έστω C2). Όμως επειδή τα Κ, Μ βρίσκονται προς το ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζει η ΑΒ, το ση μείο Μ θα είναι σημείο του κύκλου C1 • Άρα τα Α, Β, Κ, Λ, Μ θα είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύ κλο. _ -·

Παραηjρ ιίf "'i · Ισχύει και το αντίστρο φ ο της πρότα

ση ς αυτής. Η απόδειξη προκύ πτει εύκολα α πό το ν ορισμό των εγγεγραμμένων τετρα πλεύρ ων .

·-

/Γ Α'

/\ τr ό Λ �

ορθόκεντρου ενός εγγεγραμμένου τριγώνου ως προς άξονα τον φορέα οποιασδήποτε πλευράς του, ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο. Α

: Πολλές φορές κάνουμε κατασκευα στική απόδειξη, που σημαίνει ότι χρησιμοποιούμε

το ζητούμενο σαν δεδομένο κι ταυτίζουμε το δε δομένο με αυτό που προκύπτει. Ένα τέτοιο παρά δειγμα μπορούμε να δούμε στην άσκηση αυτή. Έστω το εγγεγραμμένο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ΑΤ το ύψος που αντιστοιχεί στη κορυφή Α. Προεκτεί νω την ΑΤ και έστω ότι τέμνει τον κύκλο στο Α ' . Θεωρώ το συμμετρικό σημείο Η του Α ' ως προς την ΒΓ. Θα δείξω ότι το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου. Φέρνω την ΒΗ και έστω ότι τέμνει την ΑΓ στο Σ. Τα τρίγωνα ΗΤΒ και Α ' τΒ είναι ίσα (Α ' τ=ΤΗ από κατασκευή, ΒΤ κοινή, ΗΤΒ = A 'i'B = 90° ) , άρα ΤΒΗ = Α ' ΒΤ = ω . Ε πειδή οι γωνίες Α ' Ar, Α ' ΒΤ είναι εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο και βαίνουν στο ίδιο τόξο Α ' Γ , θα είναι ίσες μεταξύ τους, άρα και ίσες με ω. Δηλαδή από το τρίγωνο ΑΤΓ η γωνία AfT θα είναι 90° -ω. Άρα από το τρίγωνο ΒΣΓ θα έχω: ΒΣΓ AfT ΓΒΣ = 180° δηλαδή ΒΣΓ + 90° - ω + ω 1 80° . Οπότε ΒΣΓ = 90° . Επομένως το ΒΣ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Αφού οι φορείς των υψών ΑΓ και ΒΣ τέμνονται στο Η, το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. .-.

Θέλω να αποδείξω ότι το συμμετρικό του σημείου Η ως προς την ευθεία ΒΓ θα είναι σημείο του κύκλου. Ισοδύναμα μπορώ να αποδεί ξω ότι το σημείο Τ βρίσκεται στο μέσο του ευθύ\. 1' !� "z

�,; t: \lff η :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/33

------

Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου ------

γραμμου τμήματος ΗΑ ' , δηλαδή ότι τα τμήματα ΤΗ,ΤΑ ' είναι ίσα κάτι που με ωθεί στο να χρησι μοποιήσω το εργαλείο της ισότητας τριγώνων. Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου. Προεκτείνω την ΗΤ και έστω ότι τέμνει τον κύκλο στο Α·. Επειδή οι γωνίες Α ' ΒΓ, Α ' ΑΓ είναι εγγεγραμμένες στον ίδιο κύκλο και βαίνουν στο ίδιο τόξο Α :Γ , θα είναι ίσες μεταξύ τους. Επίσης οι γωνίες ΤΑΓ και ΗΒΓ έχουν τις πλευρές τους κάθετες και είναι και οξείες (ως γωνίες ορθογωνίων τριγώνων). Άρα είναι ίσες, δηλαδή ΤΑΓ ΗΒΓ . Ακόμη τα τρίγω να ΗΤΒ και Α ' ΤΒ έχουν κοινή πλευρά την ΒΤ και είναι ορθογώνια, άρα θα είναι τελικά ίσα, οπότε ΗΤ=ΤΑ·. Άρα το Α· είναι συμμετρικό του Η ως προς την ΒΓ. Όμοια αποδεικνύεται ότι το συμμε τρικό του Η ως προς τους φορείς των άλλων δύο πλευρών ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο. Να αποδειχθεί ότι αν έχουμε μια σειρά από ευθύγραμμα τμήματα τα οποία είναι παράλληλα ή βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε ο λόγος των μηκών των ευθυγράμμων αυτών τμημά των ισούται με το λόγο των μηκών των προβολών τους. Λύση

ΑΒ ΓΔ ΕΖ ΑΒ = ΓΓ ' = ΕΕ ' (Σl). Όμως ΓΓ'=Γ1Δ1 και ΕΕ'=Ε1Ζ1 (ως απέναντι πλευ ρές ορθογωνίων παραλληλογράμμων) άρα η σχέση ΑΒ = ΓΔ = ΕΖ (Σl) γίνεται ΑΒ ΓΔ Ε z Μια σημαντική εφαρμογή του γεγονότος αυτού εί ναι η απόδειξη του Εδώ θα πρέπει βέβαια να λάβουμε υπ' όψιν το α ξίωμα του Pach σύμφωνα με το οποίο μια ευθεία είναι αδύνατο να τέμνει και τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου σε εσωτερικά τους σημεία. Εάν η ευθεία (ε) διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ και τέμνει τους φορείς των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ και Δ, Ε, Ζ . ΖΒ ΕΓ ΔΑ 1 . αντίστοιχα, τότε ισχυει ΖΓ ΕΑ ΔΒ I

Θεω ρ ή ματος τ ο υ Μ εν ελάο υ .

Θ ε ώ ρ η μ α Μ ενελάο υ :

---

Β α σ ι κ tΊ π ρ ό τ αση :

�

Β,

ε, Ε

LJ Z

Ε'

Έστω ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ τα ευθύγραμμα τμήματα (όπως φαίνονται στο σχήμα). Κατ' αρχήν η εκφώνηση μας οδηγεί στο να προβάλλουμε τα τμήματα πάνω στην ε. Η ισότητα λόγων που μας ζητείται να αποδείξουμε, μας παραπέμπει στις α ναλογίες. Επειδή στο συγκεκριμένο πρόβλημα έ χουμε και καθετότητα, το μυαλό μας πηγαίνει στην ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων. Με το σκεπτικό αυτό σχηματίζουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΒ1, ΓΔΓ', ΕΖΕ'. Έστω ότι έχουμε τα παράλληλα τμήμα τα ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ και την ευθεία ε και έστω ΑΒ1, Γ1Δ1, Ε1Ζ1 οι προβολές τους στην ε αντίστοιχα. Έστω Γ' η προβολή του σημείου Γ στην ΔΔ1, Ε' η προβολή του σημείου Ε στην ΖΖ1. Οι γωνίες Β Α Β1 , Δ f Γ, Ζ Ε Ε', είναι ίσες μεταξύ τους σαν αξείες με πλευρές μια προς μια παράλληλες. Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΒ 1, ΓΔΓ', ΕΖΕ' είναι όμοια μεταξύ τους οπότε οι πλευρές τους είναι α νάλογες, δηλαδή θα έχουμε Μ ί α σ κέ ψη :

Α π ό δ ε ι ξη :

Βλέποντας το σχήμα, παρατηρούμε ότι δεν διαπιστώνεται άμεσα ομοιότητα, άρα δεν μπορούμε να πάρουμε την ζητούμενη αναλογία από ομοιότητες. Η μονάδα μας προδιαθέτει για απλοποίηση αριθμητών-παρονομαστών. Όμως δεν μπορούμε να εργαστούμε με τα ευθύγραμμα τμή ματα καθώς αυτά βρίσκονται σε διαφορετικούς φορείς. Άρα σκεπτόμαστε να προβάλλουμε τα σχήματα σε μια ευθεία. Επειδή τα Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά (ευθεία ε), προβάλλουμε όλα τα ση μεία στην ευθεία ε' που είναι κάθετη στην ε, έτσι ώστε η προβολή των Δ, Ε, Ζ να είναι το ίδιο ση μείο. Κάτι τέτοιο θα απλοποιήσει την άσκηση και πιθανόν να μας οδηγήσει στο αποτέλεσμα Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε η οποία τέμνει τους φορείς των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ στα Δ,Ε,Ζ αντίστοιχα. Θεωρώ την ε ' με ε Όlε και προβάλλω στην ε' όλα τα σημεία. Έ στω Ο η προβολή των Δ, Ε, Ζ, έστω Α' η προβολή του Α, Β ' του Β και Γ του Γ. Άρα, βασιζόμενοι Μ ί α σ κέψ η :

Α π ό δ ε ι ξη Θ . Μ ενελάου :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/34

------ Μ αθηματικά για την Α ' Λυκείου

και στην προηγούμενη πρόταση θα έχουμε: ΖΒ ΕΓ ΔΑ = ΟΒ ΌΓ ΌΑ ' = ΟΑ ' ΟΒ ΌΓ ' = 1 ΖΓ ΕΑ ΔΒ ΟΓ ' ΟΑ ' ΟΒ ' ΟΑ ' ΟΒ ' ΟΓ '

Παρατ;jρ η ση : Ισχύει και το αντίστροφο του Θεω ρήματος Μενελάου. Α σ κ η ση : Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Τ του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ με την ιδιότητα νΤΒ-μΤΓ=Ο, όπου μ,ν θετικοί ακέραιοι και σταθε ροί. Έστω Σ τυχαίο σημείο του ευθύγραμμου τμή ματος ΒΓ. Φέρνω παράλληλη από το Σ προς την ΑΤ και έστω ότι αυτή τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε. Να αποδειχθεί ότι μβΑΔ-νγΑΕ=Ο

ΤΓ = ν ( 1 ) Ισχύει ότι νΤΒ-μΤΓ=Ο=>νΤΒ=μΤΓ=> ΤΒ μ Σύμφωνα με το Θεώρημα του Θαλή θα έχω ΑΔ = -=:>ΤΣ ΑΔ = ΤΣ (2)* και επίσης ΑΒ ΤΒ γ ΤΒ ΤΓ β ΤΓ ΑΓ = ΑΕ ΤΣ => ΑΕ = ΤΣ (3 )* Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (2),( 3 ) θα έχω τελικά: ΑΔ β = ΤΣ ΤΓ =>( ι) -βΑΔ = -ν => βΑΔ ΤΓ => --γ ΑΕ ΤΒ ΤΣ γΑΕ = ΤΒ γΑΕ μ μβΑΔ=νγΑΕ=> μβΑΔ-νγΑΕ=Ο

Παρα τιjρηση : Στην ειδική περίπτωση που μ =ν= l

� το Τ είναι μέσο του ΒΓ, παρατηρούμε ότι προκύ-

πτει:

β ΑΕ ΑΔ = γ

(*) Σημείωση: Για να γίνει πιο κατανοητό το πώς εφαρμόζεται το Θεώρημα του Θαλή και προκύ πτουν οι σχέσεις (2), (3), μπορείτε να θεωρήσετε στην πρώτη περίπτωση την ευθεία ε 1 παρ άλληλη προς τις Α τ,ΕΣ τέτοια που να διέρχεται από την κορυφή Β και στην δεύτερη περίπτωση την ευθεία ε2 παρ άλλη λη προς τις Α τ,ΕΣ τέτοια που να διέρχεται από την κορυφή Γ.

Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο ώστε φέροντας το ύψος ΑΔ και τη διάμεσο ΑΜ, να έ χουμε ΒΔ=ΔΜ. Φέρουμε από το Μ παράλληλη

------

προς την ΑΔ και έστω Ζ το σημείο που τέμνει την ΑΓ. Από το Ζ φέρνουμε παράλληλη προς τη ΒΓ και έστω Ε το σημείο τομής με την ΑΒ. Να αποΑΕ = -1 . δειχθει"οτι ΕΒ 2 Α

Μ ια σκέψη : Στην άσκηση αυτή πρέπει να αποδεί ξουμε ότι ένας λόγος ευθυγράμμων τμημάτων ισούται με _.!._2 . Και επειδή έχουμε και παράλληλες ευθείες, διαφαίνεται ότι το θεώρημα του Θαλή θα μας χρησιμεύσει στη λύση της άσκησης. Λύση : Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο ΑΒΓ, καθώς έχουμε ΕΖ//ΒΓ, και παίρΑΕ = ΑΖ νου με: (1) ΕΒ ΖΓ Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Θαλή στο τρίγωνο ΑΔΓ, καθώς έχουμε ΜΖ//ΑΔ, και παίρνουμε: ΑΖ ΔΜ (2) ΖΓ = -ΜΓ Από τις σχέσεις ( 1 ), (2) παίρνουμε τελικά ότι ΑΕ = -ΔΜ ΕΒ ΜΓ -21 ΒΜ -21 ΜΓ 1 ΑΕ ΔΜ Ά ρα ΕΒ = ΜΓ = ΜΓ = ΜΓ = l . Άσκηση : Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ με διαμέσους μ α , μ β , μ y και το τρίγωνο ΑΉ ' Γ με διαμέσους μα,μβ ,μγ . Αν ισχυει οτι μαμα = μμβ = μμ γ =λ να αποβ γ δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΉ ' Γ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας λ. Α Ι

•

Ά σ κηση :

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/35

---

Μ α θηματικ ά για την Α ' Λυκε ίου ----

Α'

Β' �μγ'··. Κ'

Γ'

Αφού έχουμε σαν δεδομένο μια ανα λογία ευθυγράμμων τμημάτων, θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι τα ΑΒΓ και Α ' Β'Γ' έχουν τις πλευρές τους μία προς μία ανάλογες οπότε θα είναι και όμοια. Έστω Δ και Δ ' τα βαρύκεντρα των τριγώνων ΑΒΓ και Α ' Β ' Γ ' αντίστοιχα. Κατασκευάζω τα παραλ ληλόγραμμα ΒΔΓΚ και Β' Δ ' Γ ' Κ ' . Παρατηρούμε ότι

2μ μ ΓΔ 3 1 =λ ΒΚ και Β ι Κ ι = Γ ι ι:i = -2-r = ι μ -3 μ/ γ άρα τα δύο αυτά παραλληλόγραμμα είναι όμοια μεταξύ τους με λόγο ομοιότητας λ. Άρα οι διαγώ νιοι των παραλληλογράμμων αυτών θα διατηρούν τον ίδιο λόγο ομοιότητας. Συγκεκριμένα ΒΒΓΓ = λ . Όμοια αποδεικνύεται ότι ΑΑΓι Γ ι = λ και ότι ΑΒ Α ι Β ι = λ . Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α ' ΒΤ ' έχουν τις πλευρές τους μια προς μια ανάλογες οπότε εί ναι όμοια μεταξύ τους με λόγο ομοιότητας λ.. γ

1 1 -

Δο κιμ άστε τις α ντίστο ιχες ασκήσε ις μ ε τις δ ιχο τόμ ο υ ς και τα ύ ψη.

Γ · . Έχουμε να αποδείξουμε μια ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων. Αφού δεν υπάρχουν ίσα τρίγωνα στο σχήμα, θα προσπαθήσουμε να απο δείξουμε την ισότητα, μέσω της ισότητας δύο λό γων με ίσους αριθμητές ή ίσους παρονομαστές. Τα ορθογώνια τρίγωνα και οι παράλληλες ευθείες που έχουμε στη συγκεκριμένη άσκηση, συντείνουν στο να αναζητήσουμε τη λύση στα όμοια τρίγωνα που σχηματίζονται και στις αναλογίες ευθυγράμμων τμημάτων. Β

Οι ευθείες (ε) και ΒΓ είναι παράλληλες, οπότε, εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Θαλή παίρνουμε ότι ΑΕ ΑΖ (Ι) ΕΔ ΖΓ Στο τρίγωνο ΑΒΔ, η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνί ας Β. Θεωρούμε ΕΕ ' l_ ΑΒ . Προφανής ΕΕ ' =ΕΔ (2). Τα τρίγωνα ΑΕΈ και ΑΔΒ είναι όμοια ως ορθογώνια με κοινή την Ε 'ΑΕ . Επομένως θα έχουμε: ΑΕ ' ΕΕ ' (2) ΕΔ ΑΒ ΒΔ ΔΒ Άρα θα έχουμε ΑΕ ΑΒ (3 ) ΕΔ ΒΔ Από ( 1 ), (3 ) παίρνουμε ΑΒ (4) ΒΔ ΑΖ ΖΓ Παρατηρούμε ότι ΑΒ Δ ΖΑΕ , ως οξείες γωνίες με τις πλευρές τους μια προς μια κάθετες. Άρα συμπεραίνουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΒ και ΖΕΑ είναι όμοια, οπότε θα έχουμε ΑΒ ΑΖ (5) ΒΔ ΑΕ Από τις σχέσεις (4) και (5), παίρνουμε τελικά ότι ΑΕ=ΖΓ. -- = -- = -

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α 90° ) . Έστω ότι η διχοτόμος της γωνίας Β Η σχέση (3) μπορεί να προκύψει τέμνει το ύψος ΑΔ στο Ε. Από το σημείο Ε φέ επίσης από το Θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου ρουμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ. Αν Ζ το σημείο τομής της (ε) με την ΑΓ, να αποδειχθεί ότι ή τριγωνομετρικά από τον νόμο των ημιτόνων. ΑΕ=ΖΓ. =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/36

Α' Α8ΗΝΑΣ ΑΤτJΚΗ

ΜΑΡΙΝΟΣ Μ ΙΛΤΟΣ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΘΕΟΜ ΗΤΩΡ

ΑΝΔΡΙΤΣΑΚΗ ΕΛΕΝ Η-ΑΝΝΑ

Μ Η ΛΟΥ ΛΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Ίο E N I A I O Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΜΟΣΧΟΣ ΑΧΙΛΛΕΑΣ ι 4ο ΕΝιΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΠΑΚΑΣ ΙΑΣΟΝΑΣ

AMEPIKANIKO ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝ ΑΤΟΛ Ι Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛ Ο Σ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ Α Ρ ι ΣτΟΤΕΛΕιΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΚΑΡΑΓΚΟΥΝΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ι ο E N I A IO Λ Y K E I O Π ΑΝΟΡΑΜ ΑΤΟΣ

Ε Κ ΠΙΡΙΑ ΒΥΖΑΝτιΟ

ΕΚΠ/ΡιΑ ΘΕΟΜ ΗΤΩΡ

ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗ ΕΥΓΕΝΙΑ So E N I A IO Λ Y K E I O Η Λ ΙΟΥΠΟΛΗΣ

Ν ΕΣΤΟΡΙΔΗ ΕΥΡΙΔΙΚΗ

Ε Κ Π/ΡΙΑ ΦΡΥΓΑΝΙΩΤΗ Α Ε

Λ Ε Ο Ν Τ Ε Ι Ο Λ YKEIO Π Α ΤΗΣΙΩΝ

ΜΠΑΛΑΣΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 4ο Ε Ν ι Α ι Ο Λ Υ Κ Ε ι Ο ΚΑΛΑΜΑΡιΑΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΜΠΑΛΤΑΤΖΗΣ ΘΑΝΟΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

Ε Κ Π/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛ Ι Δ Η Ε.

4ο ΕΝιΑιΟ Λ Y K E I O ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

'ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Π Α ΠΑΝΟΥΤΣΟΣ'

So ENIAIO Λ YKEIO ΒΥΡΩΝΑ

ΒΑΡΔΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

4ο ENIAIO Λ Y K E I O ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΓΙΑΝΝΑΚΟΥ ΙΩΑΝΝΑ 4ο ENIAIO Λ Y K E I O Η Λ ΙΟΥΠΟΛΗΣ ΖΑΙΜΗ ΑΝΙΣΑ 4ο ENIAIO Λ Y K E I O ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΚΑΡΡΑΣ ΜΑΝΟΣ Ι ο Π Ε Ι Ρ . NIAIO Λ Y K E I O ΑΘΗΝΩΝ ΚΑΡΥΣΑΚΛΗ ΕΛΠΙΣ MAPIA ι 6ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΜ ΙΑΝΟΣ Ν Ι ΚΟΣ 40ο Ε Ν ι Α I Ο Λ Y K E I O ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΥΚΟΥ!'iΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΒΥΖΑΝτιΟ

KPIKA MAPIA ι ο Π Ε Ι Ρ . Ε Ν ι Α ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΘΗΝΩΝ ΚΩΝΣΤΑΝΤΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΞΕ:>iΟΦΩ:"ό 9ο ΕΝΙΑιΟ Λ YKEIO ΑΘΗΝΩ'J ΛΑΒΔΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ 4 ο Ε Ν ι Α ι Ο Λ γ κ ε ι ο Η Λ ιΟΥ ΠΟΛΗΣ ΛΑΖΑΡΙΔΟΥ KATEPI:'\A 4ο E N I A I O Λ Y K E I O ΒΥΡΩΝΑ ΛΑΜΠΡΟΥ ΔΗ:\ΙΗΤΡΑ 5Ίο Ε Ν Ι Α ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΘΗ'JΩΝ ΛΕΟΥΣΗ MAPIA ι 6ο Ε Ν ι Α ι Ο Λ γ κ ε ιΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Η.\ΙΑΣ 5Ίο E N I A I O Λ γ κ ε ι ο ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑΔΑΚΗ :'\ΑΣΙΑ 5Ίο Ε Ν ι Α ι Ο Λ γ κ ε ι ο ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥ.\ΟΣ ΑΛΚΙΒΙΑΔΗΣ ι ο Π Ε Ι Ρ . Ε Ν ι Α ι Ο Λ γ κ ε ι ο ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΠΑΛΟΥΚΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ι Ίο ΕΝιΑιΟ Λ γ κ ε ιο ΑΘΗ!'Ω!'i ΠΑΣJQγ A :"i :'\ A ι 6ο ΕΝιΑιΟ Λ γ Κ Ε I Ο ΑΘΗΙ'Ω!'i ΠΕΡΠΙΝΙΑΣ ΣΤΡΑΤΟΣ ΛΕΟΝΤΕιΟ Λ Υ Κ Ε ι Ο ΠΑΤΗΣΙΩΝ

ΠΕΤΣΑΛΑΚΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ ι 4ο E N I A I O Λ γ κ ε ι ο ΑΘΗ!'Ω!'i ΠΟΛ ΥΖΟΣ ΟΡΕΣΤΗΣ 4ο ΕΝιΑιΟ Λ γκειο ΖΩΓΡΑΦQγ ΡΑΙΛΗΣ ΚΩ:'\1:'\ΟΣ ι 6ο E N I A I O Λ ΥΚΕιΟ ΑΘΗΝΩΝ ΡΑΠΗΣ ΠΑΣΧΑΛΗΣ 38ο ΕΝιΑιΟ Λ γκειο ΑΘΗΝΑΣ ΣΤΑΘΑΤΟΣ ΠΑ:'\ΑΓΙΩΤΗΣ 4ο ΕΝιΑΙΟ Λ YKEIO ΖΩΓΡΑΦΟγ ΣΤ ΑΘΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ι ο ΠΕιΡ. ΕΝ ι Α ι Ο Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ ΤΣΑΡΠ ΑΛΗΣ ΠΑΝΑ ΓΙΩΤΗΣ 2ο ΕΝιΑιΟ Λ γ κ ε ι ο Η Λ ιογΠΟΛΗΣ ΦΑΣΟΥΛΑ ΑΛΙΚΗ 2ο Ε Ν Ι Α ι Ο Λ γ κ ε ι ο ΚΑιΣΑΡιΑΝΗΣ ΦΡΑΓΚΟΥΛΗΣ Ν Ι ΚΟΣ ι ο E N I A I O Λ γ κ ε ι ο ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ ΧΑΤΖΗΑΝΤΩΝIΟΥ ΒΑΣΙΛΕIΟΣ ι 6ο ΕΝιΑIΟ Λ ΥΚΕιΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΝΕΣΤΩΡΑΣ ΛΑΜΠΡΟΣ ι 6ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕιΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΣΑΠΑΝΑΚΗΣ θΩΜΑΣ 26ο E N I A I O Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ ΦΩΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 4ο E N I A I O Λ γ κ Ε ι Ο ΒΥΡΩΝΑ ΧΑΤΖΗΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ 43ο E N I A I O Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ιΚΗΣ

Μ ΠΟΥΖΟΥΚΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ι ο Π Ε Ι Ρ . Ε Ν ι Α ι Ο ΛΥΚΕΙΟ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

Μ Π ΡΕΖΑΣ ΑΛΕΞIΟΣ ΝΑΖΙ ΡΟΓΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ

Ε Λ Λ Η Ν ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣ!Ν ι Κ Η Σ

ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο ΚΟΛΛΕΓΙΟ Θ ΕΣΙΝ Ι ΚΗΣ

Ε Λ Λ Η Ν ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ Ι Κ Η Σ

ΠΑΜΠΑΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 1 4ο E N I A I O Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ Ι ο ΠΕιΡ. ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ

ΚΟΝΤΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ I ο ΕΝΙΑιΟ Λ ΥΚΕιΟ ΠΥ ΛΑΙΑΣ ΚΟΠΑΝΟΣ ΓΡΗΓΟΡIΟΣ

Α!ΙiΔΡΙΚΟΣ ΑΡΓΥΡΗΣ ΕΚΠ.'ΡιΑ Μ ΑΝΤΟΥ Λ ι Δ Η Ε.

Α:>IΔΡΙ ΚΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΣ ΕΚΠΙΡΙΑ ΜΑ ΝΤΟ γ Λ Ι Δ Η Ε.

A:>iTΩNIOY ΟΡΦΕΑΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ

ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ-ΓΙΑΝΝΟΠΟΥ Λ Δ Α Μ ΙΑΝΟΣ

Ε ΚΠ.'ΡΙΑ Μ Α ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

Α Ρ ΙΠΟΤΕΛΕιΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΠΑΣΒΑΤΗΣ ΑΔΑΜ

ΕΚΠΙΡιΑ Μ Α ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΛΑΝΑΡΑΣ ΧΑΡΗΣ-ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ ι ο Ε Ν ι Α ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΕΠΑΝΟΜΗΣ

ΕΚΠιΡιΑ ΜΑΝΤQγ Λ ι Δ Η Ε .

ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ Π Α γ ΛΟΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΟΥΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΠΑΣΧΑΛΙΔΟΥ Δ Η ΜΗΤΡΑ

ΑΠΟΗΟΛΟΣ Π Α γ ΛΟΣ

Ε Κ Π/ΡΙΑ Μ Α ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΒΑΣΜΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΕIΟΣ-Π ΕΡΙΚ

ΠΑ Υ ΛΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ

ΕΚΠιΡΙΑ Μ ΑΝΤQγ Λ ι Δ Η Ε .

Ε Λ Λ Η Ν ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ Ι ΚΗΣ

ΑΡΣΑ Κ Ε ι Ο ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΒΟΥΛΓΑΡΕΛΗΣ ΔΗ ΜΗΤΡΗΣ

ΠΕΤΡΗΧΟΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΛΟΥΦΑΚΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ-Μ ΙΧΑΗΛ

ΕΚΠιΡΙΑ Μ ΑΝΤΟΥΛ Ι Δ Η Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΑΜ ΕΡιΚΑΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕ ΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛ ιΑ

ΒΡΟΧΙΔΗΣ ΠΑ ΡΗΣ I Oo Ε Ν ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γ A I T Α Ν Ι ΔΟΥ MAPIA

ΠΛΑΤΣΑ KYPIAKH

Μ ΕΝΤΕΣΙΔΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΣ ΕΚΠΙΡΙΑ Μ Α ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

Μ Π ΑJΙ\ΑΚΑΚΗΣ ΚΩΣΤΑΣ

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Ο ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ Ι Κ Η Σ

Ε ΚΠΙΡιΑ Μ ΑΝΤΟΥ Λ Ι Δ Η Ε.

ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΡΟΥΥΣΩΝΗΣ ΚΟΡΝΗΛΙΟΣ

E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΑΝΔΡΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛ Λ Ε Γ Ι Ο ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΣΑΚΕΛΛΑΡΗ BEPONIKA ι 2ο Ε Ν ι Α ι Ο Λ Υ Κ Ε ι Ο ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΤΑΥΡΙΑΝΟΥ ΔΑΝΑΗ ι Sο E N I A I O Λ Y K E I O ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΖΕΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

Ίο ΕΝιΑIΟ Λ Y K E I O ΚΑΛΑΜΑΡιΑΣ

Ε Κ Π ιΡ ιΑ ΜΑΝΤΟγ Λ ι Δ Η Ε .

ΓΙ ΕΧΑΣΚΙΕΛ ΗΛΙΑΣ Α Μ Ε Ρ Ι ΚΆ Ν ι ΚΟ ΚΟΛΛ Ε Γ Ι Ο ΑΝΑΤΟΛΙΑ

ΓΚΑΝτJΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ 2ο E N I A I O Π Ε Ι Ρ . ΛΥΚΕΙΟ

Ε Λ Λ Η Ν ι Κ Ο Κ Ο Λ Λ Ε Γ Ι Ο ΘΕΣΙΝ Ι Κ Η Σ

ΠΑΠΑ ΪΩΑΝΝΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΕΛΛΗΝ ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣ!Ν ι Κ Η Σ

Α Μ Ε Ρ ι ΚΑΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛ ι Α

ΓΚΑΡΑ Δ Η Μ ΗΤΡΑ

ΤΖΟΥ ΛΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ

ΓΕΡΜΑΝιΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

Π Α ΠΠΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΠΑΝΙ ΚΟΛΑΟΥ ΑΘΑΝΑΣIΟΣ

τJ ΚΤΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΕΛΛΗΝΟΓΑ Λ Λ Ι Κ Η Σ Χ Ο Λ Η ΚΑΛ Α Μ Α Ρ ι

Ε Κ Π Ι Ρ ι Α ΜΑΝ Τ Ο ΥΛ Ι Δ Η Ε .

ΕΚΠ/ΡιΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛιΔΗ Ε.

ΔΟΥΓ ΑΝΙΩΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΤΟΛΙΑΣ ΦΩΤΗΣ 2ο E N I A I O Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε ι Ο

30ο Ε Ν Ι Α ι Ο Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Δ Η Μ ΗΤΡΟΥΛΗ ΝΑΤΑΛΙΑ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΠΕΤΡιΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΠΟΝτJΚΙΔΗΣ ΑΡΣΕ Ν Ι ΟΣ

ΔΟΥΡΑΛΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΘΕΣΣΑΛ ΟΝΙΚΗΣ

ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑ Υ ΛΟΣ

ΑΠΟΗΟΛΟΣ Π Α γ ΛΟΣ

ΤΣΑΚΟΥΡΙΔΟΥ ΑΝΝΑ

ΕΡΜΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΣ Ίο E N I A I O Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ

Ε Λ Λ Η Ν Ι ΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

Σ ΙΩΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 1 4ο ΕΝΙΑιΟ Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ ΤΑΛΑΤΖΙΔΟΥ ΝΑΝΣΗ

ΤΣΕΡΑ Ν Ι ΔΗΣ ΣΤΑΥ ΡΟΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

Ε Κ Π/ΡΙΑ Μ Α ΝΤΟΥ Λ Ι Δ Η Ε.

Α Ρ ΙΠΟΤΕΛΕιΟ ΚΟΛ Λ Ε ΓΙΟ

ΖΑΦ Ε Ι ΡΑΚΟΓΛΟΥ ΑΡΙΣΤΗ ι Ίο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΘΕΣΣΑΛΟΝ ιΚΗΣ ΙΓΝΑΥΙΑΔΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΤΣΙΑΓΓΟΥ ΝΙ ΚΟΛΕΤΤΑ

ΤΖΙΩΛΑ ΤΑτJΑΝΑ ι 4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε ι Ο ΘΕΣΣΑΛΟΝ ιΚΗΣ ΧΑ Ϊ ΔΟΥΔΗ ΕΙΡΗΝΗ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥ Λ Ι Δ Η Ε.

ΤΣΙΑΛΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Ε Λ Λ Η Ν ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ Ι Κ Η Σ

Α Ρ ΙΠΟΤΕΛ Ε ι Ο ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΚΑΛΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΤΣΙΛΟΓΛΟΥ ΟΔΥΣΣΕΑΣ

ΧΑΛΚΙΑΣ ΕΥΘΥ Μ Ι ΟΣ

Α Ρ ιΣΤΟΤΕΛΕιΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

Ε Λ Λ Η Ν ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ι Κ Η Σ

A M E P I K A N I K O ΚΟΛΛΕΓΙΟ Α Ν ΑΤΟΛ ιΑ

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ

ΓΕΡΜΑΝ ι Κ Η Σ Χ Ο Λ Η ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΦΩΤΗ ΕΛΕΑΝΑ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΡΙΗΟΤ Ε Λ Ε Ι Ο ΚΟΛ Λ Ε Γ Ι Ο

Ε Λ ΛΗΝΟΓΑΛ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ Κ Α Λ Α Μ Α Ρ Ι

ΚΑΡΑΜΑΝΛΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΗΣ ι Οο E N I A I O Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ ΚΑΡΠΟΥΖΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ 3ο Ε Ν ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε ι Ο ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ

ΧΑΡΑΛΑΜ Π Ι ΔΟΥ ΕΛΕΝΗ ΑΡΙΠΟΤΕΛΕIΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΒΑΓΓΟΥΣ ΚΥΡΙΛΛΑ ι 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝ ι Κ Η Σ ΓΑΡΥΦΑΛΟΥ MAPINA

ΧΑΤΖΗΑθΑΝΑΣΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ

Ε Κ ΠΙΡιΑ Β Α Σ ι Λ Ε Ι Α Δ Η

Ε Λ ΛΗΝΟΓΑ Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ

ΓΙΑΤΣΟΓΛΟΥ Ν Ι ΚΟΣ 1 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝιΚΗΣ ΓΡΗΓΟΡIΟΥ ΡΑΦΑ ΗΛΑ 2Ίο E N I A I O Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΡΟΣΔΟΣ-ΚΟΥΤΣΟΥΜΠΕΛΙ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ι ο Π Ε Ι Ρ . E N I A I O ΛYKEIO

ΧΑΤΖΗΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΤΗΡΗΣ

Ε Λ Λ Η ΝΟΓΑΛ Λ ι Κ Η ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ

ΚΙ ΡΥΣΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ

A M E P I K A N IKO ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟΛιΑ

Ε Λ Λ Η Ν Ι ΚΟ Κ Ο Λ Λ Ε Γ Ι Ο ΘΕΣΙΝΙΚΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΟΤΑΝΙΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΑΒΡΑΝΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΠΑΝΟΡΑΜΑΤΟΣ

ΚΕΣΚΙΝΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ Μ ΑΝΤΟΥ Λ Ι Δ Η Ε.

2ο E N I A I O Π Ε Ι Ρ . Λ Y K E I O ΘΕΣΙΚΗΣ

ΚΟΥΚΟΥ ΛΗ Λ ΙΝΤΑ-ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ

ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΚΟΥΡΟΥ MAPIA I Oo Ε Ν Ι Α ι Ο Λ Υ Κ Ε ι Ο ΘΕΣΣΑΛΟΝ ιΚΗΣ ΚΟΥΡΟΥΔΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΛΕΟΝΤΕΙΟ Λ γ κ Ε Ι Ο ΠΑΤΗΣιΩΝ

ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΡΟΜΠΟΥ ΒΑΙΑ-ΑΛΙΚΗ ι ο ΠΕιΡ. ΕΝιΑIΟ Λ ΥΚΕιΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΒΩΛΟΣ ΛΑΜΠΡΟΣ So ENIAIO Λ Y K E I O ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΤΑ ΥΛΑΚΗ ΧΡΥΣΑΝθΗ 3ο Ε Ν ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΔΑΦΝΗΣ ΧΑΤΖΗ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΞΕΝΟΦΩΝΤΑΣ

ΚΟΥΤΟΥΚΟΓΛΟΥ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ

ΚΑΒΑΖΗΣ ΠΑΣΧΑΛΗΣ 5Ίο ENIAIO Λ Y K E IO ΑΘΗΝΩΝ ΚΑΡΑΒΕΛΛΑΣ ΣΟΦΟΚΛΗΣ 2ο ΠΕΙΡ. Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΑΘΗ ΝΩΝ

ΝΤΡΙΑΝ ΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

Λ ΕΟΝΤΕΙΟ Λ ΥΚΕιΟ ΠΑ ΤΗΣΙΩΝ

ΓΚΙ ΚΟ ΠΟΥ Λ Ι ΑΝΔΡIΑΝΑ

Μ Π Ι ΖΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

Α Π ΟΗΟΛΟΣ ΠΑ Υ ΛΟΣ

4ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ι Ο ΖΩΓΡΑΦΟΥ

34ο ΕΝιΑΙΟ Λ YKEIO ΑΘΗΝΩΝ

ΛΙΑΚΑ ΚΑΛΗ-ΑΦΡΟΔJτΗ

ΠΡΩΤΟΠΑΠΑΣ ΑΔΩΝΙ Σ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛ ι Δ Η Ε .

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΕΚΠ/ΡιΑ ΒΑΣΙ Λ Ε Ι Α Δ Η

ΧΑΤΖΗΕΜΜΑΝΟΥΗΛ Ε Μ ΜΑΝΟΥΗΛ 30ο ENIAIO Λ Y K E I O ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ ΧΑΤΖΗΣΤΕΡΓΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ

Π Ε ΙΡ. ΣΧΟΛΕ Ι Ο Π Α Ν Ε Π . ΑΘΗΝΩΝ

ΚΟΥΦΟΓΙΑΝΝΙΔΗΣ ΟΡΕΣΤΗΣ

ΑΡΕΤΑΚΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

Ε Λ Λ Η Ν ΙΚΟ Κ Ο Λ Λ Ε Γ Ι Ο ΘΕΣΙΝ Ι Κ Η Σ

Λ ΕΟΝΤΕΙΟ Λ YKEIO ΠΑΤΗΣΙΩΝ

Ε Κ ΠΙΡιΑ Μ Α ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε . Α Μ Ε ΡιΚΑΝιΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ Α Ν Α ΤΟ Λ Ι Α

ΚΑ ΥΣΟΥ ΛΕΑ ΕΛΕΝΑ-ΑΡΓΥΡΟΥ ΛΑ

ΚΑΤΑΒΟΥΤΑΣ ΗΛΙΑΣ 4ο Ε Ν Ι Α ι Ο Λ Υ Κ Ε ΙΟ Γ ΑΛΑτΣIΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ 54ο E N I A I O Λ Y K E I O ΑΘΗΝΑΣ ΜΠΑΡΜΠΑΛΙΑ ΕΛΕΝΗ-ΜΑΡΙΑ

Κ Ι Λ Ι ΓΚΑΡΙΔΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

Θ ΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

4ο ENIAIO Λ Y K E I O ΓΑΛΑ τΣΙΟΥ

ΖΙΩΓΑΣ ΒΑΙΟΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

Ε Λ Λ Η Ν ιΚΟ ΚΟΛ Λ Ε Γ Ι Ο ΘΕΣ/Ν ιΚΗΣ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΚΑΤΣΗ ΟΛΓΑ

ΚΑΤΣΟΥΛΙΔΟΥ ΣΤΕΛΛΑ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕιΟ

Α' θΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΚΑΡΑΦΕΡΑΣ ΙΩΑΝΝ ΗΣ-ΓΕΩΡΓΙΣ ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΑΝΟΡΑΜΑΤΟΣ

ΓΕΡΜΑΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

32ο Ε Ν Ι Α ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΚΟΥΤΣΟΠΕΤΡΑΣ ΗΛΙΑΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

Α I ΒΑΖΙΔΟΥ E I PHNH I 5o Ε Ν Ι Α ι Ο Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 2ο ΕΝιΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Υ Λ Α Ι ΑΣ ΓΑΒΡΙ ΗΛΙΔΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ 2ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Θ Ε ΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΑΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ι sο E N I A I O Λ Y K E I O ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΟΥΣΑΚΗ A I KATEPINH

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΖΕΡΒΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΆ 2Ίο ΕΝΙΑιΟ Λ γ κ Ε Ι Ο ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΕΤΑ Α ΡΙΠΟΤΕΛ Ε Ι Ο ΚΟΛΛΕΓΙΟ

ΚΟΛΛΙΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ι ο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΡΜΗΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΛΕΥΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ι 4ο ENIAIO Λ YKEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ Λ Ι Α ΚΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΕΚΠιΡιΑ ΜΑ ΝΤΟΥ Λ ι Δ Η Ε.

ΜΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗΣ ΧΡΙΣΤΟΣ-ΑΠΟΣΤΟΛ

ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΙΔΟΥ ΣΕΒΑΣΤΗ

Ε Ν ι Α ι Ο Λ Y K E I O ΤΡιΑΝΔΡΙΑΣ

ΕΚΠ/ΡιΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΚΩΤΤΗ ΣΟΦΙΑ-ΕΙΡΗΝΗ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Π Ε ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΘΕΣ/ΚΗΣ ΛΕΩΝΗ KATEPINA

ΔΡΑΚΟΝΤΑΕΙΔΗΣ ΠΑ Υ ΛΟΣ

ΕΚΠΙΡιΑ ΒΑΣιΛΕΙΑΔΗ

Ε Λ Λ Η Ν ΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ ΙΚΗΣ

ΜΕΛΙΔΗΣ ΛΑΖΑΡΟΣ ι ο E N I A I O Λ ΥΚΕιΟ Π Υ ΛΑΙΑΣ Μ Π ΑΝΤΡΑ ΕΛΠΙΔΑ ι 2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΘΕΣΣΑ Λ Ο Ν Ι Κ Η Σ Μ Π ΑΤΖΙΛΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ ΧΡΙΣτJΝΑ

A M EPIKAN IKO ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΝΑΤΟ Λ Ι Α

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε .

ΜΕΛΕΖΙΑΔΟΥ KATEPINA

ΖΒΕ ΕΛΕΝΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΘΕΣΙΝ Ι Κ Η Σ

ΕΛΛ ΗΝΟΓΑΛΛ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ

ΜΗΤΣΟΥ ΛΗΣ ΣΠΥΡΟΣ

ZIAMOY MAPIA-ZAXAPIA 2ο E N I A I O Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε ι Ο ΘΕΣΙΚΗΣ ΚΑIΤΑΛΙΔΟΥ Δ Η Μ ΗΤΡΑ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΦΡΥΓ ΑΝΙΩΤΗ ΑΕ

M I M I KOY ΖΑΦ Ε Ι ΡΩ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ .3/37

ΕΚΠΙΡΙΑ Μ Α ΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

ΜΑΥΡΟΥΔΗ NANYIA

ΕΚΠΙΡιΑ ΜΑΝΤΟΥ Λ ι Δ Η Ε.

ΜΠΙΚΗΣ ΤΗΛΕΜΑΧΟΣ

------

Ι ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ Θ Ε Ρ Μ Η Σ

Αποτελέσματα Π ανελληνίου Δ ιαγωνισ μού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-1 2-2006 Μ ΠΑΦΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ Γ ΕΠΟΝΑ

ΘΕΣΣΑ Λ Ο Ν Ι Κ Η Σ

ΝΕΑ Γ Ε Ν Ι Α Ζ Η Ρ Ι Δ Η

ΣΟΥΡΛΑ ΤΖΗΣ ΣΩΤΗΡΗΣ

ENIAIO Π Ε Ι Ρ . ΛΥΚΕΙΟ Π ΑΤΡΩΝ

ΝΑΤΣΙΚΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΜΠΟΖΙΚΗ ΑΡΙΑΔΝΗ

Ι ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΩΠΙΟΥ

ΖΗΚΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ Μ ΑΝΤΟΥ ΛΙΔΗ Ε.

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΥ ΛΑΣ

ΠΑΝΙΔΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΜΠΟΥΚΑΣ ΛΕΑΝΔΡΟΣ

Α Μ Ε Ρ Ι ΚΆΝΙΚΟ ΚΟΛ Λ Ε Γ Ι Ο ΑΝΑΤΟΛ Ι Α

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΠΟΝΑ

ΣΧΙΖΑΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΑΣ ΧΑΡΔΑΛΟΥΠΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

Π ΑΡΑΣΧΟΥ Α Ν Ν Α

ΜΠΟΥΡΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ-ΓΕΠΟΝΑ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο

ΤΟΣΠΣ Ε Ι Ο Α Ρ Σ Ά Κ Ε Ι Ο Ε Κ Α Λ Η Σ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΠΑΝΑΓΟΥ ΗΛΙΑΝΑ

ΣΙ ΒΒΛΣ ΚΩΝΣΤΛΝτΙΝΟΣ

ΤΟΣΠΣ Ε Ι Ο ΑΡΣΆΚ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΕΚΠΙΡΙΑ Μ Α ΝΤΟΥ Λ Ι Δ Η Ε .

ΠΑΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΤΟΥΡΑΣ ΙΩΛΝΝΗΣ

ΖΕΡΒΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΑτrΑΣ

ΚΕΧΑΓΙΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ε Ν Ι Α / 0 Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α ΤΡΩΝ ΚΟΛΛΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑ ΤΡΩΝ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΛ Υ Β ΙΩΝ Θ Ο Ρ Ι ΚΟΥ

ΑΡΓΟΛΙΔΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΑΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Ρ ΓΟΥΣ ΚΟΡΔΩΜΕΝΟΥ ΔΗΜ ΗΤΡΑ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΑΝΤΟ Υ Λ Ι Δ Η Ε .

ΠΑΝΤΕΛΑΚΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑ!ΔΕ!Α-ΚΟντΡΟΥΜΠΗ Α.Ε.

ΚΟΥΚΟΥ ΛΗΣ ΚΩΣΤ ΛΣ

ΤΣΟΓΓΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ Κ Α Ι Σ Α Ρ Η

ΟΙΚΟΝΟΜΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΑΤΡΑΣ

2ο ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ Υ Κ Ε Ι Ο

ΠΑΠΛΔΗΜΑΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΡΑΝΙΔΙΟΥ

ΚΟΥ ΛΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ - Γ Ε ΠΟΝΑ

ΠΛΠΟΥΔΟΥ ΜΛΡΙΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΠΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Π ΑΤΡΩΝ

Φ ΡΛΓΚΟΠΟΥΛΟΣ ΛΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ ΜΆ�ΤΟ Υ Λ Ι Δ Η Ε.

ΤΟΣΙτΣΕΙΟ Α Ρ Σ Ά Κ Ε Ι Ο Ε Κ Λ Λ Η Σ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΓΟΥΣ

E N I A I O Λ YKEIO ΚΑΣτΡ ΙτΣ ΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΧΑΡΑΛΛΜ ΠΙΔΗΣ ΠΛΝΛΓΙΩΤΗΣ

ΠΛΑΤΛ Ν Ι ΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΕΚΠ/ΡΙΑ Γ Ε ΠΟΝΑ

ΠΟΝΤΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΤΣΑΠΡΑΛΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Ν Α Υ Π Λ Ι Ο Υ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΟΥΒΡΟΠΟΥ ΛΟΥ ΟΛΓ Α

Μ Α Ν Ι ΑΤΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ

ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΚΑΛ Α Μ Ά Ρ Ι

ΧΛΤΖΗ Δ Η ΜΗΤΡΙΛΔΟΥ ΖΗΝΟΒΙΛ

ΚΟΤΡΩΝ ΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ Y K E I O ΚΑΣτΡΠΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΚΟΥΓΙΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Ε Ν Ι Α Ι Ο Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΑΤΡΩΝ

ΚΟΥΤΡΑΣ ΘΩΜΑΣ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΣτΡΠΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

Μ Α ΡΟΥΝΤ ΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ

Ε Κ Π / Ρ Ι Α Μ ΑΝ Τ Ο Υ Λ Ι Δ Η Ε .

ΤΟΣΠΣ Ε Ι Ο ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

ΧΛΤΖΗ Π ΛΝΤΛΖΗ Μ Α Ρ Ι Λ

ΡΟΖΗ Δ Η ΜΗΤΡΑ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε / 0 ΑΡΓΟΥΣ

Μ Π ΑΖΑΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙ Κ Η

1 4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΝΟ!ΞΗΣ

Λ ΥΚΟΓΙΑΝΝΗ ΣΟΦΙΑ

E N I A I O Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α ΤΡΩΝ

ΑΙτΩΛΟΑ ΚΛΡΝΛΝΙΛΣ Α ΆΥΚΕΙΟΥ ΚΛΡΛΓΙΛΝΝΗΣ ΘΩΜΛΣ

Σ Ι ΓΛΛΛΣ ΗΛΙΛΣ

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Π Α Ι Δ Ε Ι Α - ΚΟΥΤΡΟΥ Μ Π Η

Μ Π ΑΛΑΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α ΤΡΩΝ Μ Π Α ΡΛΑΣ ΦΩτΙΟΣ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΑΤΡΩΝ

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΥ ΛΛΣ

ΡΟΤΖΙΩΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΣΙΔΕΡΗ ΘΕΟΔΩΡΑ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Α ΡΓΟΥΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Α Γ Ρ Ι Ν ΙΟΥ

ΤΟΣΠΣ Ε Ι Ο Α Ρ ΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΦΡΑ ΓΚΟΣ ΕΥ ΑΓΓΕΛΟΣ

E N I A I O Π Ε Ι Ρ . ΛYKEIO

Ν Ι ΚΟΥ ΑΘΛΝΛΣΙΟΣ

ΣΚΟΥΛΑΡΙΚΗΣ ΣΩΤ Η ΡΗΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΡΓΟΥΣ

Π Α Ν Ε Π ΙΣτΗΜΙΟΥ Π Α ΤΡΩΝ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Γ Ρ Ι Ν ΙΟΥ

ΕΚΠ/ΡΙΑ Γ Ε ΠΟΝΑ

ΡΙΖΟΥ ΔΙΟ�ΥΣΙΛ

ΣΟΥ ΛΕΛΕΣ ΒΛΣΙΛΗΣ

ΠΑΛΛΆΔΙΟ

ΤΟΣ!ΤΣ Ε Ι Ο ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΑΡΚΑΔΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ι Γ Ι Ο Υ ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΥ ΒΑΣΙΛΙ Κ Η

ΣΛΚΚΑΣ ΤΛΣΟΣ

ΣΠΥΡΟΠΟΥΛΟΣ Χ ΡΗΣΤΟΣ

3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ

E N I A I O Π Ε Ι Ρ . ΛY K E I O Π Α ΤΡΩΝ

4ο EN I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Γ Ρ Ι Ν ΙΟ Υ

ΤΟΣΠΣ Ε / 0 ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

Τ ΛΣΟΥΛΛΣ ΖΩΗΣ-ΓΕΡΛΣΙΜΟΣ

ΣΤΑΜΑΤΕΛΟΣ Π ΕΤΡΟΣ

ΒΡΕΤΤΟΥ ΚΑΛ ΥΨΩ-ΕΥΓΕΝΙΑ ΓΚΙτΖΙΑ ΒΑΣΙΛΙΚΗ

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ι Γ Ι Ο Υ

2ο E N I A / 0 Λ ΥΚΕΙΟ Α ΓΡ Ι Ν Ι Ο Υ

ΤΟΣΠΣ Ε Ι Ο ΑΡΣΆΚΕΙΟ Ε Κ Α Λ Η Σ

ΕΝ Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΤΕΓΕΑΣ

Π Ε Ρ ΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛ Ο Σ ΧΡΗΣΤΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΤΗΛΕΜΛΧΟΣ

ΣΤΕΦΑΝΟΥ ΝΕΦΕΛΗ

ΔΟΥΡΙΔΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΣτrlτΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΤΟΣΠΣ Ε Ι Ο ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο ΛΥ Κ Ε Ι Ο ΤΡΙΠΟΛΗΣ

ΡΑΖΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Α Γ Ρ Ι Ν ΙΟΥ 2ο Ε Ν Ι Α / 0 Λ ΥΚΕ/0 Α Γ Ρ Ι Ν Ι Ο Υ

ΣΥΚΩΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΥ ΛΑΣ ΤΟΥΝΤΛΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΜΑΛΕ ΒΙτΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΑΛΑΝ Η Σ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΖΑΒΙτΣΑΝΛΚΗ Α Ι ΚΑΤΕΡΙ Ν Η

ΤΟΣΠΣ Ε Ι Ο ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΕΚΑΛΗΣ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΣτΡΟΥΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε /0 Μ ΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ

ΗΟΥΜΠΟΥΝΗΣ ΚΩΣΤ ΑΣ

ΒΑΛτΙΝΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΤΕΦΑ Ν Ι Α

I ο E N I A I O Λ YKEIO Α Ι ΓΙΟΥ

ΡΟΘΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕ/0 ΑΙ ΓΙΟΥ ΣΑΡΡΛΣ Μ ΑΡΙΟΣ

ΓΙΑΝΝΑΤΣΕΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Y K E I O Π ΑΤΡΩΝ

ΛΛΝΤΖΟΥΝΗΣ Ν Ι ΚΟΛΛΟΣ

ΝΕΑ ΓΕΝ Ι Α Ζ Η Ρ Ι Δ Η

2ο ΕΝ Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο τrΙΠΟΛΗΣ

ΣΙΜ ΙτΖΗ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ

2ο Ε Ν Ι Ά / 0 Λ ΥΚΕΙΟ Α Γ Ρ Ι Ν Ι Ο Υ

ΤΣΑΓΚΛΛΟΥ ΛΝΝΑ Ι ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΥ ΛΑΣ ΤΣΑΝΑΚΑΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΡΙΟΣΤΑΘΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΣ

ΣΟΥΡΟΥ Ν Η MAPINA

ΤΣΙΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

E N I A I O ΠΕΙΡ. Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α ΤΡΩΝ

3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΡΙΠΟΛΗΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Π Ε Ι Ρ . Λ Y K E I O Π ΑΤΡΩΝ

ΕΝΙΑ/0 Λ ΥΚΕΙΟ Α Ν Ά Β Υ ΣΣΟΥ

ΚΑΛΟΜΙτΣΙΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

ΣΠΗΛΙΟΠΟΥ ΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ

ΤΣΙΓΚΡΗΣ Χ ΡΗΣΤΟΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΤΡΙΠΟΛΗΣ

2ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ι ΓΙ Ο Υ

ΤΟΣΠΣ Ε Ι Ο Α Ρ ΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΜΑΡΙΟΛΑ ΣΤΑ Υ ΡΟΥ ΛΑ

ΣΩΡΡΑΣ ΑΡΤΕΜΗΣ

ΤΣΙΟΛΚΑΣ ΑΧΙΛΛΕΑΣ

3ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥ Κ Ε Ι Ο ΤΡΙΠΟΛΗΣ

Ίο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E IO Π ΑτrΩΝ

Ι ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ Ν Α Υ Π Α ΚΤΟΥ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε / 0 ΚΟΡΩΠΙΟΥ

ΤΣΙΠ ΡΑΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΜΠΟΥΡΑΝΤΑΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ ΝΙ

ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ ΔΙΩΝ

ΤΣΙΛΙΓΙΑΝΝΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Ν Α Υ Π Ά ΚΤΟΥ ΑΝΑΤΟΛΙ ΚΗΣ Α ΤτΙΚΗΣ Λ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΖΑ ΡΙΑΔΗ Δ Η Μ ΗΤΡΑ

Ε Κ Π / Ρ Ι Α ΚΩΣΤΕΑ - Γ Ε ΠΟΝΑ

3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΤΡΙΠΟΛΗΣ

ΦΙΝΤΖΟΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

ΣΙΟΡΟΒΙΓΚΑ OYPANIA

TPIANTΑΦΥ ΛΛΟΠΟΥ ΛΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

ΕΚΠ/Ρ ΙΑ ΚΩΣΤΕΑ-ΓΕΠΟΝΑ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Τ Ρ Ι Π Ο Λ Η Σ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α ΤΡΩΝ

ΦΡΟΥΖΗΣ Μ Ι Χ Λ Η Λ

ΤΣΙ ΠΟΥΡΙΑΡΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Γ Ρ Ι Ν Ι Ο Υ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΟΦΙΛΛΤΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ Ι ο ΕΝΙΛΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Μ ΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΚΑΡΛΧΛΛΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΣτΡΙΤΣ Ι Ο Υ ΑΧΑΪΑΣ

ΕΚΠΙΡΙΑ ΩΘΗΣΗ

ΤΟΣΙτΣΕΙΟ Α Ρ Σ Ά Κ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΑΝΔΡΙΑΝ ΕΣΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΛΝΔΡΟΥΤΣΟΠΟΥ ΛΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ

ΦΩΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΥ ΛΑΣ ΧΑΛΑΖΩΝΙτΗ ΛΣΠΑΣΙΛ

ΑΠΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΔΡΕΟΥ ΑΡΓΥΡΩ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΗΑΣ ΓΙΑΝΝΑΚΗ ΠΑΣΧΑΛΙΑ

ΝΕΑ ΓΕΝΙΛ ΖΗΡΙΔΗ

ΤΟΣΙτΣ Ε Ι Ο ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο Ε ΚΑ Λ Η Σ

I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΗΑΣ

ΑΡΜΑΟΥ ΕΛΕΝΗ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝ ΗΣ

ΣΤΑΥ ΡΟΥ ΕΛΙΣΑΒΕΤ-ΠΑΡΑΣΚ

ENIAIO ΠΕΙΡ. ΛYKEIO

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΗΑΣ

Π Α Ν Ε Π Ι Σ τ Η Μ Ι Ο Υ Π Α ΤΡΩΝ

ΕΚΠ/ΡΙΑ Κ Α Ι Σ Α Ρ Η

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ-ΓΕ ΙΤΟΝΑ

ΤΟΣΠΣ Ε Ι Ο ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΤΣΙτΣΙΡΙΔΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. ΛΥΚΕΙΟ Π Α Ν Ε Π ΙΣτΗ Μ Ι Ο Υ Π Α ΤΡΩΝ

ΥΦΑΝΤΗ ΜΑΡΙΑΝΘΗ

ΜΑΝΟΥΣΟΠΟΥΛΟΥ ΚΛΤΕΡΙΝΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΦΑΚΑΛΟΥ ΠΟΛ ΥΞΕΝΗ

ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΛΛΗΣ

ΒΑΣΙΛΟΠΟΥ ΛΟΥ ΣΤΑ ΥΡΟΥ ΛΑ

Ε Κ Π / Ρ Ι Α ΚΩΣτΕΑ-ΓΕ ΠΟΝΑ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΗΑΣ

ΦΛΩΡΑΤΟΣ ΖΗΣΙΜΟΣ

E N I A I O ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΛΛΗΝΗΣ

Μ Α ΥΡΟΕΙΔΗ ΑΛΚΗΣτΙΣ

ΒΟΥΔΟΥΡΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕ Α - Γ Ε ΠΟΝΑ

ΑΡΤΑΒΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΑΡΣΆΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ YKEIO

ΒΡΥΝ ΙΩΤΗΣ ΠΑΝΤΑΖΗΣ

ENIAIO Λ Y K E I O ΓΕΡΑΚΑ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣτΕΑ-ΓΕ ΠΟΝΛ

ΠΑΡΟΛΛΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΓΥΠΛ ΙΟΛΗ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΒΟΥΛ Α Σ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥ ΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΗΑ Σ ΑΧΑΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΤΥΠ Η Σ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΓΕΠΟΝΑ

ΣΛΜΟΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ

ΑΡΣΆΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ

ΔΗΜΑΚΟΠΟΥ ΛΟΥ MAPIA

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΩΣΤΕΑ-ΓΕ ΙΤΟΝΑ

Π Α Ν Ε Π ΙΣτΗΜIΟΥ Π ΑΤΡΩΝ

ΑΔΡΙΑΝΟΣ ΛΑΜ Π ΡΟΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ Ω Θ Η Σ Η

ΜΠΟΥΡΟΥΤΖΗΣ Π ΛΝΑΓΙΩΤΗΣ

Π Α Ν Ε Π ΙΣτΗΜΙΟΥ Π Α τrΩΝ

Ψ ΑΛΛΙΔΑΣ ΕΥ ΑΓΓΕΛΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ι Γ Ι Ο Υ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΧΑΡΙΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΑΝΑΓΩΣΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Ρ !ΟΥ Α Χ ΑΪΑΣ

ΙΟΡΔΑΝΙΔΟΥ ΧΛΟΗ Α ΡΣΕ Ν Ι Α

ΕΡΑΣΜ Ε ΙΟΣ Ε Λ Λ Η Ν Ο Γ Ε Ρ Μ Α Ν Ι Κ Η

2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Ι ΓΙΟΥ

ΑΝΔΡΟΥΤΣΕΛΛΗΣ ΘΩΜΑΣ

Ε Κ Π / Ρ Ι Α ΚΩΣτ Ε Α - Γ Ε ΠΟΝΑ

ΣΧΟΛΗ

ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ

ΕΝΙΑ/0 ΠΕΙΡ. ΛΥΚΕΙΟ

ΙΩΑΝΝΙΔΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΩΠΙΟΥ ΒΛΑΧΟΣ ΘΛΝΛΣΗΣ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΩΠΙΟΥ Γ ΑΝΑ ΤΟΣ ΘΕΟΔΩΡΗΣ

ΕΝ Ι Α Ι Ο ΠΕΙΡ. Λ Υ Κ Ε Ι Ο

Π Α Ν Ε Π Ι Σ τ Η Μ Ι Ο Υ Π Α ΤΡΩΝ

ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο Ε Κ Α Λ Η Σ

Ε Λ Λ Η ΝΟΓΕΡΜΑΝΙΚΗ Λ Γ Ω Γ Η ΣΧΟΛΗ ΙΙΑΝΑΓΕΑ - ΣΑΒΒΑ

Κ Ι Μ Π ΙΖΗ ΑΘΗΝΑ-ΔΕΣΠΟΙΝΑ 3 ο E N I A IO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΩΠΙΟΥ

ΚΙτΛΡΤΖΙΑΝ ΓΙΑΝΝΗΣ

Π Α Ν Ε Π Ι Σ τ Η Μ Ι Ο Υ ΠΑτrΩΝ

ΑΝΤΩΝ ΕΛΛΗ ΕΛΕΝΗ

ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΟΘΩΝΑΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο ΠΕΙΡ. Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α τrΩΝ

ENIAIO Π Ε Ι Ρ . ΛΥΚΕΙΟ

Γ Ι Α Ν Ν ΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΕΛΕΝΗ

Π Α Ν Ε ΠΙΣΠΙ Μ Ι Ο Υ ΠΑ ΤΡΩΝ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α τrΩΝ

ΒΙτΣΑΣ Ν Ι ΚΟΛΑΣ

ΓΟΥΜΕΝΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

ΕΚΠΙΡΙΑ ΓΕΠΟΝΑ

ENIAIO Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο

ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΠΑτrΩΝ

ΚΡΟΜΠΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΚΑΛΟΤΕΡΑΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣτΗΜΙΟΥ Π Α ΤΡΩΝ

ΔΕΛΛΑΤΟΛΑ MAPIA

ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚΕΙΟ Ε Κ Α Λ Η Σ

ΤΟΣΙτΣΕ/0 ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο ΕΚΛΛΗΣ

ΒΟΥ Λ Γ ΑΡΙΔΗΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ

ΕΝ Ι Α Ι Ο ΠΕΙΡ. Λ Υ Κ Ε / 0 Π Α ΤΡΩΝ

ΚΩΣΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΚΑΤΣΑΡΟΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α ΤΡΩΝ

ΔΗΜΟΥ ΟΡΕΣΤΗΣ

ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΝΆΒΥΣΣΟΥ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Y K E IO Β Α Ρ Η Σ

ΒΟΥΡΛΟΥΜΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Π ΑΤΡΩΝ

Λ ΥΤΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ Ι ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΥΛΑΣ ΜΑΝΣΟΛΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΚΟΥΣΟΥΤΗ E I P H N H

ΑΡΣΆΚΕΙΟ Π ΑτrΩΝ

ΔΡΑΚΟΥΛΕΛΗΣ ΜΙΧΑΗΛ

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΥ ΛΑΣ

ΔΑΡΕΙΩΤΗ Ν ΙΚΟΛΙτΣΑ

E N I A I O Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑ ΤΡΩΝ

ΟΡΥΣΤΑ Ι Ν ΑΓΓΕΛΙΝΑ

ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΛΟΥΣΙΚΩΝ Α ΧΑΪΑΣ

ΘΡΑΜΠΟΥΛΙΔΗΣ Ε Μ ΜΑΝΟΥΗΛ

ΤΟΣΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο Ε Κ Α Λ Η Σ

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε / 0 ΒΟΥ Λ Α Σ

ΔΑΡΜΑΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΚΑΣτΡΠΣΙΟΥ ΑΧΑΪΑΣ

ΜΟΣΧΟΥ ΜΑΡΙΛΕΝΑ

1 3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Π ΑτrΩΝ

ΚΑΛΟΦΩΝΟΥ ΦΩΤΕΙΝΗ

ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ

ΑΡΣΆΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ

ΜΟΤΣΚΑ ΛΟΡΕΝΑ

ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΥ ΛΑΣ ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΜΙΧΑΗΛ

1 1 ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ Π ΑτrΩΝ

ΚΑΛ ΥΒΑ ΝΕΚΤAPIA

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Ά ΒΥΣΣΟΥ

ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΡΗΣ

ΔΗΜΟΠΟΥ ΛΟΥ ΘΕΟΦΑΝΗ

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ

ΜΟΥ ΓΚΑΣΗ ΕΛΕΝΗ

ΠΑΠ ΠΛΣ ΘΩΜΛΣ

ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ Π Α Ν Ε Π .

ΚΑ ΡΚΟΥ Λ Ι ΑΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ

ΠΑτrΩΝ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΑΤΡΩΝ

Μ Π Α Μ Π Η Σ Χ ΡΗΣΤΟΣ

ΠΑΛΛΗΝΗΣ

ΤΟΣ ΠΣΕΙΟ ΑΡΣΆΚ Ε Ι Ο ΕΚΑΛΗΣ

ΠΡΙΦΤΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

ΖΕΙΝΗΣ ΕΥΘΥΜΗΣ I ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε / 0 Π ΑΤΡΩΝ

ΑΡΣΆΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ

E N I A IO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Ο Ι Ξ Η Σ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Δ Ι ΟΝΥΣΟΥ

ENIAIO Μ Ο Υ Σ Ι ΚΟ Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ .3/38

Κ Η Π ΟΥΡΓΟΣ ΘΡΑΣΥΒΟΥ ΛΟΣ

Αποτελέσ ματα Π ανελληνίου Διαγωνισ μού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-1 2-2006 Ε Λ Λ Η Ν Ο Γ Α Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Y K E I O ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ

ΟΥΡΣΟΥΛΙΝΩΝ

ΤΣΕΤΣΕΡΗ ΜΑΡΙΑ-ΝΕΦΕΛΗ

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ

ΚΩΤΣΕΛΕΝΗ ΣΤΑΜΑΤΟΥΛΑ 4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α τΡΩΝ Λ Α Μ Π Ι ΡΗΣ ΒΛΑΣΗΣ Ίο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Α ΤΡΩΝ .\I BANIOΣ Α ΠΟΣΤΟΛΟΣ

ΚΑΖΑΝΤΖΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

ΔΑΒΡΗΣ-ΣΑΜΠΑΤ ΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ ΔΙΑΜΑΝΤΑ ΡΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ ΖΟΥΡΝΑΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ

ΚΟΥΗΛΣ ΚΩΣΤΑΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΦΑΦΑΛΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΧΑΡΗΣ

Ι Ο Ν Ι ΟΣ ΣΧΟΛΗ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ

ΦΙΟΡΑΒΑΝΤΕΣ ΦΟΙΒΟΣ Ε Λ Λ Η Ν Ο ΓΑ Λ Λ Ι Κ Η Σ Χ Ο Λ Η

3ο E N I A I O Λ Y K E I O ΑΓΙΑΣ

ΚΑΜΠΡΑΝΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ Ι ο E N I A I O Λ YKEIO Α Γ Ι Α Σ

ΟΥ ΡΣΟΥ Λ ΙΝΩΝ

ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ

ΧΑΡJτΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΦΡΟΣΥΝΗ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Ν Ε Α Σ ΠΕΝΤΕΛΗΣ

E N I A I O ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ

ΚΑΡΑΜΑΝΛΗ Α Ι ΚΑΤΕΡΙΝ Η-ΠΑΡΑ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

ΚΑΡΑ Π Ι ΠΕΡΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

Π Α Ν Ε Π Ι Π Η Μ Ι Ο Υ Π Α ΤΡΩΝ

Ε Λ Λ Η Ν Ο ΓΑ Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ Ο Υ ΡΣΟΥ Λ ΙΝΩΝ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΓΕΛΕΡΟΥ ΠΟΛ ΥΞΕΝΗ

E N I A I O Λ Y K E I O ΝΕΑΣ Π Ε Ν Τ Ε Λ Η Σ

ΜΠΟΝΙΚΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ ENIAIO Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο

ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ-ΛΙΝΑΡΔΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΠΕΙΡ.

Π Α Ν Ε Π Ι Π Η Μ ΙΟΥ ΠΑ τΡΩΝ

ΕΛΛ Η ΝΟΓ Α Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ Α Γ .

ENIAIO Λ YKEIO PIOY ΑΧΑIΑΣ

ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ

ΚΑ ΡΚΛΛΟΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ ΑΝΑ Β ΡvτΩΝ

ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ

ΚΕΦΑΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΒΑΡΕΛΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ 3ο ENIAIO Λ Y K E I O ΚΗΦΙΣΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΧΡΙΣτJΝΑ-ΝΕΦΕΛΗ

Π ΕΡΡΑΚΗΣ ΚΥΡΙΛΚΟΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

P I E R C E COLLEGE

ΓΕΡΜΑΝ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ ΑΘΗΝΩΝ

ENIAIO Λ Y K E I O ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧΑIΑΣ

ΡΑΠΑΝΟΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΚΙΤΡΟΜ ΗΛΙΔΗΣ Μ Ι ΧΑΗΛΕΜΜΑΝΟΥΗ

ΓΚΟΛΟΓΙΑΝΝΗΣ Π Α Υ ΛΟΣ 4ο E N I A I O Λ Y K E I O Η ΡΑ Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

ΑΠΙΚΗΣ

ΚΥΡΚΑΣΙΑΔΟΥ MAPIA 9ο ENIAIO Λ YKEIO ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ Λ Α Μ Π ΡΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΠΗΜΙΟΥ ΠΑ ΤΡΩΝ

ΚΟΖΩΝ ΗΣ ΑΓΓΕΛΟΣ

ΔΑΤΣΕΡΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΣΑΛΑΜΑΑΙ Κ Η ΧΡΙΣτJΝΑ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ

Α ΥΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ENIAIO Λ YKEIO ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ ΑΧ ΑIΑΣ

ΚΟΚΚΙΔΗΣ Φ Ι Λ Ι Π ΠΟΣ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ ΚΟΝΤΟΜΑΡΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΔΕΔΟΥΣΗ Ε Ι Ρ Η Ν Η-ΚΩΝ/ΝΑ

ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ Υ ΚΕΙ Ο

ΚΟΑΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

ΜΑΛΟΒJτΣ ΙΩΣΗΦ

Δ Η Μ ΗΤΡΙΑΔΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΠΑ ΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΗΣ

ΣΑΜΑΡΗΣ Μ Ι ΧΑΛΗΣ Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΣτΡΙτΣΙΟΥ Α ΧΑIΑΣ

Π Α ΡΑΣΚΕΥΗΣ

ΚΟΚΚΙΝΕΛΗΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Β Ρ Ι Λ ΗΣΣΙΩΝ ΚΟΥΚΟΥΤΟΣ ΜΑΝΟΣ

ΣΦΗΚΑ A I KATEPINH

ΕΚΠ/ΡΙΑ Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ

ΙΟΝ ΙΟΣ ΣΧΟΛΗ

Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ

ΚΟΝΤΟΝΑΣΙΟΣ ΠΑΝΑ ΓΙΩΤΗΣ

Δ Ι Α ΚΟΣΑΒΒΑΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΤΑΓΚΑΛΑΚΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ 4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Π Α τΡΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΑΦΕΙ ΡΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Π Α ΤΡΩΝ ΘΕΟΔΟΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

Κ Ο Λ Λ Ε Γ Ι Ο ΑΘΗ ΝΩΝ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

�1ΑΣΟΥΡΟΣ Δ ΗΜΟΣΘΕΝΗΣ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΧΟΛΑΡΓΟ Υ Μ ΠΟΥΝΤΑΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΚΩΝΣΤΑΝΤΕΛΑΚΗ ΜΥ rτΩ

ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΠΗΜΙΟΥ Π Α τΡΩΝ

ΘΕΟΔΩΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΩΡΓ- ΑΓΓΕΛΟΣ I Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ τΡΩΝ ΚΑ ΡΑΤΑ ΠΑΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ

ΕΛΜΑΝΟΓΛΟΥ ΜΑΡΙΑΝΘΗ

Κ Ο Λ Λ Ε Γ Ι Ο ΑΘΗ ΝΩΝ

ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛ ΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Α Γ .

ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ

ΕΥΣΤΑΘΙΑΔΗ ΧΛΟΗ

ΝΑΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΚΩΝΣΤΑΝτJ Ν Ι Δ Η ΑΘΗΝΑ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΑΠΙΚΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

ΚΑΛΟΓΕΡΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ-ΔΑΝΑΗ

ΛΑΔΙΑΣ ΧΑΡΙΛΑΟΣ 8ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΛΑΔΙΚΟΥ ΕΛΕΝΗ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

ΟΡΦΑΝΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ 3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΚΟΛΟΚΥΘΑΣ ΑΡΓΥΡΙΟΣ

ΑΠΙΚΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

E N I A I O ΛΥ Κ Ε Ι Ο Ν Ε Α Σ Π Ε Ν Τ Ε Λ Η Σ

ΑΡΣΑ Κ Ε Ι Ο ΠΑ τΡΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

ΚΟΡΑΣΙΔΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧ Ι ΚΟ Υ ΚΟΥΚΟΥΡΑΚΗ EYTYXIA

ΚΕΧΑΓΙΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΜΑΝΩΛΑ ΒΙΟΛΕΤΤ Α

ΠΕΙΡ.

Ε Ν Ι Α Ι Ο Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑ ΗΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤ Η

ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ 2ο ΑΡΣΆΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ Μ Ι ΧΑΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜ ΠΟΣ

ΛΕΚΚΑ ΒΑΣΙΑ

ΚΟΡΕΝΤΖΕΛΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΜΑΤΘΙΟΠΟΥΛΟΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ ΠΑ τΡΩΝ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

ΛΟΤΣΑ ΡΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ Ι Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΑΤΡΩΝ ΜΑΜΑΡΕΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε ΙΟ Α Ι ΓΙΟΥ ΜΠΟΝΕΛΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

Α Ν Α Β ΡΥΤΩΝ

ΠΑΝΤΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Η ΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΑΠΙΚΗΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΠΑΠΑΡΓΥΡΙΟΥ ΑΝ ΑΣΤΑΣΗΣ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΠΟΥ ΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΜΑ Υ ΡΟΓΟΡΔΑ ΤΟΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ

ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΕΝΤΕΛΗΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

ΜΟΥΖΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ 2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Γ Ι ΑΣ

ΡΑΠΤΟΔΗΜΟΥ A I KATEPINH 4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ ΣΑΒΒΑΛΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

Μ Ε ΓΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΟΛΛΕΓΙΟ Α Θ Η ΝΩΝ

ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ

Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Ε Λ Λ Η Ν Ο ΓΑ Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ

ΣΚΟΡΔΙΛΗΣ ΖΗΣΗΣ-ΙΑΣΩΝ

Π Α Ν Ε Π Ι Π Η Μ Ι Ο Υ ΠΑ τΡΩΝ

Μ Ι Α Ρ Η Σ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ Μ Ι ΧΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

Ο Υ ΡΣΟΥ Λ ΙΝΩΝ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

ΣΑΑΚΙΑΝ ΝΟΡΑ Ι Ρ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

Ν Ι ΚΟΛΟΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ENIAIO ΠΕΙΡ. ΛΥΚΕΙΟ

ΜΟΝΦΕΡΑΤΟΥ ΕΣΜΕΡΑΛΔΑ

ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡ. Λ Υ Κ Ε Ι Ο

Π Α Ν Ε Π Ι Π Η Μ Ι Ο Υ Π Α ΤΡΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

ΤΟΛΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΜΠΑΡΜΠΑΤΗ ΕΙΡΗ ΝΗ-ΙΩΑΝΝΑ 2ο ΑΡΣΆΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ Μ Π JτΣΑΚΗ ΤΩΝΙΑ

ΝΤΟΓΚΑΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Χ Ο Λ Α Ρ ΓΟΥ ΝΤΡΙΓΙΟΥ BAIA

ΣΜΥΡΝΙΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ Ι ο ΑΡΣΑ Κ Ε Ι Ο Ψ Υ Χ Ι ΚΟ Υ Σ Π Ι ΘΟΥΡΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 3ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΕΝΙΑΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ

E N I A I O ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ Π Α Ν Ε Π Ι Π Η Μ ΙΟΥ Π Α τΡΩΝ

ΒΑΡΒΑ Κ Ε Ι Ο ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ

ΑΠΙΚΗΣ

ΣΦΑΚΙΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η ΡΑΚΛΕΙΟΥ

Β' ΑΘΗΝΑΣ ΑΤτJΚΗ Α ΛΥΚΕIΟΥ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΙΣΤΟΣ

Κ Ο Λ Λ Ε Γ Ι Ο ΑΘΗΝΩΝ ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

ΞΑΝΘΟΠΟΥ ΛΟΥ ΘΕΜΙΣ-ΔΗ Μ ΗΤΡΑ 2ο ΛΡΣΑ Κ Ε Ι Ο Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΑΚΗΣ ΗΛΙΑΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ Α Θ Η Ν ΩΝ

ΜΠΟΝΑΤΗΣ Π Ε Ρ Ι ΚΛ Η Σ

ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι Ρ . ΛΥ Κ Ε Ι Ο

ΑΗΔΟΝΗ ΓΕΩΡΓΙΑ

ΣΧΟΛΗ Π Α Ν Α Γ ΙΩΤΟΠΟΥΛΟΥ I . M .

ΠΑΝΑΓΙΩΤΛΚΟΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΑΠΙΚΗΣ

Π Ε Ι Ρ.

Ν Ι ΚΟΛΑΙΔΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΤΑΤΑΡΑΚΗΣ ΜΑΝΟΣ

Α Ν Α Β ΡΥΤΩΝ

Μ ΠΟΛΕΤΗ ΟΛΓ Α

ΑΠΙΚΗΣ

ΣΧΙΖΑΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ 3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η Ρ Α Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΛ Ι Α Ν Η

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΠΑΝΑ ΓΙΩΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΦΑΙΔΩΝ

BAPBAKEIO ΠΕΙΡ. ΛΥΚΕΙΟ

ΕΚΠ!ΡΙΑ ΜΑΝΕΣΗ

ΞΥΔΑΚΗΣ ΓΑΛΑΤΗΣ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Ν ΕΟΥ Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ OI KONOMOY ΕΥ ΑΓΓΕΛΟΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

ΤΖΙΜΠΛΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ Κ Ο Λ Λ Ε Γ Ι Ο ΑΘΗΝΩΝ

ΑΝΤΩ:>ΟΙΟΥ ΓΙΑΥ'iΗΣ Ι ο ΑΡΣΑ Κ Ε Ι Ο Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ ΒΑΛΥΡΑΚΗ ΝΕΦΕΛΗ Ε Λ Λ Η Ν Ο ΓΑ Λ Λ Ι Κ Η Σ Χ Ο Λ Η ΟΥ ΡΣΟΥ Λ Ι ΝΩΝ

ΒΑΣΙΛΑΚΑΚΗΣ Μ Ι ΧΑΛΗΣ ΕΚΠΙΡΙΑ Η Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Π Α Ι Δ Ε Ι Α

ΒΛΑΧΑΒΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ 2ο ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ ΓΙΑΤΡΑΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ

ΟΙ ΚΟΝΟΜΟΥ ΝΑΤΑΣΑ E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Μ Ε Λ ΙΣΣΙΩΝ

ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ ΠΕΙΡ. Λ Υ Κ Ε Ι Ο

ΤΖΩrτΖΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡIΟΣ

ΠΑΠ ΑΚΥΡJτΣΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι Κ Ο Υ ΠΕΝΤΑΡΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΦΛΩΡΙΩΤΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΧΑΡΑΛΑ Μ Π ΙΔΗΣ Ι ΓΝΑτJΟΣ E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ Μ Ε Λ ΙΣΣΙΩΝ

Π ΕΤΡΟΠΟΥ ΛΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΧΛΗ MAPIA

P I E R C E COLLEGE

ΕΛΛΗΝΟΓ Α Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ

ΣΑΒΒΑΛΑ θΕΝΙΑ

ΟΥ ΡΣΟΥ Λ Ι ΝΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑϊΤΗ

ΚΟΛΑΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΨΥΧΑΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Α ΥΚΕΙΟ ΝΕΟΥ ΨΥΧΙΚΟΥ Β ' ΘΕΣΣΑΛΟΝΙ Κ Η Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΦΕΝΤΟΥ ΛΙΔΗΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ

ΠΑΠΑΔΗΜ ΗΤΡΙΟΥ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΣΑΒΒΙΔΗΣ ΑΜΒΡΟΣΙΟΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΚΟΑΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΠΑΠΠΕΛΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΣΑΡΑΝΤΗ ΝΙ ΚΟΛ-Δ Η Μ ΗΤΡΑ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

PIERCE C O L L E G E

ΠΑΤΜΑΝΙΔΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΣΤ ΑΜ ΠΟΥ ΛΟΓ ΛΟΥ ΤΑΣΟΣ

E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ

ΑΓΙΟΣ ΙΩΣΗΦ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΠΑΥΛΑΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ ΠΕΤΡΟΠΟΥ ΛΟΣ Π Ε Ρ Ι ΚΛΗΣ

ΣΤ ΑΣΙΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Μ Π Ι ΡΝΙΟΥ A c'llτΩ NETA 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΕΥΟΣΜΟΥ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΑΠΙΚΗΣ

Π ΕΤΡΟΧΕΙΛΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΦΛΟΚΑ ΜΥΡΤΩ 2ο ΛΡΣΑΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΗΣ

ΖΑΡΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ Α Θ Η ΝΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

ΚΟΛ Λ Ε Γ Ι Ο ΑΘΗ ΝΩΝ

ΖΕΡΒΑΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ 2ο ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΕΥΚΗΣ ΖΟΥΡΑΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ Ι ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ ΖΥΓΟΥ ΡΟΠΟΥ ΛΟΥ MAPIA ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤ Η

ΒΑΡΒΑΚΕΙΟ Π Ε Ι Ρ . Λ Y K E I O

Ε Λ Λ ΗΝΟΓΑΛ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ Α Γ . ΠΑΡΑΣΚΕΥΗΣ

ΠΑΝΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ Ψ Υ Χ Ι Κ Ο Υ ΠΑΝΤΕΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ 2ο ΑΡΣΑΚΕΙΟ ΨΥΧΙΚΟΥ Π Α Π Α ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΗΣ

ΔΑΓΚΛΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ 2ο ΑΡΣΆ Κ Ε Ι Ο Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ Δ ΡΙΖΟΣ ΑΛΕΞΗΣ 8ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ Ε Μ Μ ΑΝΟΥΗΛ Σ Χ Ο Λ Η ΜΩΡΑϊΤΗ

Ε Κ Π/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

ΡΟΥΣΙΩΤΗ ΙΩΑΝΝΑ

ΧΡΙΣΤΟΔΟΥ ΛΑΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΘΕΣΣΑΛΟ Ν Ι Κ Η Σ

Μ Α Κ ΕΔΟΝ ΙΑΣ

Π ΑΠΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΕΙΡ. ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑΝ/ΜΙΟΥ

ΤΖΙΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Ε Λ Λ Η Ν Ο Γ Α Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Π Ε Ι Ρ . ΣΧΟΛ Ε Ι Ο ΠΑΝ/ΜΙΟΥ

ΟΥΡΣΟΥΛ ΙΝΩΝ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΣΑΡΗΓΙΑΝΝΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΓΕΛΕΡΟΥ ΜΑΡΙΑ-ΓΑΛΗΝΗ Ι ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Μ Α ΡΟΥΣΙΟΥ ΑΛΕΞΙΑΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΠΕΙΡ.

ΣΧΟΛΗ ΜΩΡΑIΤΗ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΤΕΡΨΗ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Π Ε Υ Κ Η Σ ΑΡΒΑΝΙΤΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΛΑΜΠΡΙΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ

P I E R C E COLLEGE

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΔΟΥΚΑ

Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Ε Υ ΚΩΝ ΘΕΣΣΑ ΛΟΝ Ι Κ Η Σ

ΣΑΚΑΡΙΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ P I E RC E COLLEGE Α Ν Α Β Ρ ΥΤΩΝ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΑΓΚΛΙ ΒΕΡΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΣ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΥΚΕΩΝ

ΘΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ

ΣΤΥΛΙΑΝΝΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ-ΧΑΡΑ

ΙΟΝ ΙΟΣ Σ Χ Ο Λ Η

Κ Ο Λ Λ Ε Γ Ι Ο ΑΘΗ ΝΩΝ

ΘΕΟΔΩΡΟΠΟΥΛΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ Ι ο ΑΡΣΑ Κ Ε Ι Ο Ψ Υ Χ Ι ΚΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ

ΤΖΑΝΝΕΤΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ ΤΟΜΠΛΕΡ ΡΩΜΑΝΟΣ

ΑΡΚΟΥΛΗ ΧΑΡΑ

ΙΟΝ ΙΟΣ ΣΧΟΛΗ

ΚΟΛΛΕΓΙΟ ΑΘΗ ΝΩΝ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΠΕΝΤΕΛΗΣ

ΠΕΙΡ. Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑΝ/ΜΙΟΥ

ΙΩΑΝΝΙΔΟΥ ΑΝΤΩΝ ΙΑ

ΤΡΟΜΠΟΥΚΗΣ Ι ΚΑ ΡΟΣ

ΒΛΑΧΟΔ Η ΜΗΤΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Μ Α Κ ΕΔΟΝ Ι Α Σ

ΕΥΚΛ ΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/39

ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥ ΛΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΔΡΥΜΟΥ

ΜΑΡΑΝτJΔΗΣ ΠΑΥΛΟΣ

Αποτελέσματα Π ανελληνίου Δ ιαγωνισ μού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-1 2-2006

------

ΜΑΡΙΝΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΚΟΤΣΑ Μ ΠΟΥΓΙΟΥΚΟΓΛΟΥ ΗΛΙΑΣ

Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ

I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΟΛΙΧΝΗΣ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΧΑ ΔΑΡΙΟΥ

Μ Ι ΧΑΗΛΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΚΕΩΝ

ΛΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ Ν Ι ΚΟΣ Ι ο ΕΝ Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΕτΡΟΥ ΠΟΛΗΣ

ΚΟΥΤΣΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΟΔΩΡΗΣ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ Ι ΜΟΥ ΜΗΤΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Μ Α Ν Δ Ρ Α Σ ΑΠ Ι Κ Η Σ

ΜΑΧΑΙΡΟΥΔΙΑ ΓΕΝΟΒΕΦΑ

ΛΕΟΝΤΕΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Ν ΕΑΣ Σ Μ Υ Ρ Ν Η Σ

ΚΟΛΟΒΟΥ ΣΟΦΙΑ

8ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ ΙΣτΕΡΙΟΥ

ΞΥΓΓΗ ΕΛΕΝΗ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

Μ ΗΤΡΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ

6ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Ν ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΠΑΚτΙΤΗΣ ΠΩΡΓΟΣ

ΒΟΥΡΔΟΥΜΠΑΣ ΦΑΝΗΣ Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Μ Α ΓΟΥ ΛΑΣ

ΠΑΝΝΙΚΑΚΗ ΣΩΤΗΡΙΑ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

Π ΕΤΡΙΔΟΥ ΓΙΟΛΑΝΤΑ I ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΚΕΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ι ΓΑΛΕΩ

ΣΕΡΚΕΔΛΚΗΣ ΛΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ

ΡΩΣΣΙ ΚΟΠΟΥ ΛΟΥ-ΠΑ Π Π Α ΣΤΥΛΙΑΝΉ

ΜΠΟΥ ΛΓΟΥΡΗΣ ΛΑΖΑΡΟΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Γ Λ ΥΦΑΔΑΣ

ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ Α Ι Μ Ι Λ Ι Α E I P H N H

6ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΙΓ ΑΛΕΩ

ΣΤ ΑΘΑΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΛΑ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Μ ΕΓΑΡΩΝ ΑΠΙΚΗΣ

ΠΕΙΡ.

ΠΑΠΑΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΥ ΑΡΕΤΗ

ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΑΝΩ Λ ΙΟΣΙΩΝ

Π Ε Ι Ρ . Σ Χ Ο Λ Ε Ι Ο ΠΑΝ/Μ ΙΟΥ

Μ Π ΡΑΧΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

2ο Λ ΥΚΕΙΟ Ι Λ ΙΟΥ

ΣΜΥΡΝΗ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ ΑΠΙΚΗΣ

ΣΤΡΑΤΑΚΗ ΣΤΕΛΛΑ

ΝΤΟΥΡΜΑΣ Π ΕΤΡΟΣ

ΣΤΛΛΙΟΣ ΔΟΜΕΝΙΚΟΣ

Π Ε Π ΠΑΣ ΠΑΝΝΗΣ

Π Ε Ι Ρ . ΣΧΟΛ Ε Ι Ο ΠΑΝ/ΜΙΟΥ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΧΑ ΔΑΡΙΟΥ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΜΑΝΔΡΑΣ Α Π Ι Κ Η Σ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΟΣΑΝΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΤΖΩΡΤΖΑΤΟΣ ΣΠΥ ΡΟΣ

ΧΑ ΤΖΗΒΛΣΙΛΕΙΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ

ΤΟΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

Ι Δ ΙΩτΙΚΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΟΛ ΥΤΡΟΠΗ

Λ ΕΟΝΤΕ ΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Ν ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ

ΑΡΜΟΝ ΙΑ

ΦΑΡΑΚΟΥΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ Ι Μ ΟΥ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΧΟΗΙΑ ΤΗ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΦΛΑΡΗ Μ ΑΓΔΑΛΗΝ Ή

ΠΑΝΑΓΙΑΝΝΑΚΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΉ

Π Ε Ι Ρ . ΣΧΟΛ ΕΙΟ ΠΑΝ/ΜΙΟΥ

ΝΕΑ Π Α Ι Δ Ε Ι Α ΝΤΑΓΚΑΣ Σ.

ΧΑΤΖΗ ΡΟΔΟΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ

I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

Π ΕΡΡΟΣ Π Α ΡΑΣΚΕΥΑΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΛΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΔΡJτΣΑΣ ΚΩΝΣΤ ΑΝτΙ ΝΟΣ

Γ ΛΥ ΚΕΙ ΟΥ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑ ΔΑΡΙΟΥ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΜΕΓ ΑΡΩΝ ΑΠΙΚΗΣ

ΒΑΛΚΑΝΙΔΟΥ Δ Η Μ ΗΤΡΑ Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΥΦΑΛΙΩΝ

ΡΕΠΠΑΣ Χ ΡΥΣΟΒJτΣΙΝΟΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΛΓΓΕΛΗΣ ΘΩΜΑΣ 3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ :-Ι ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ Ι Κ Η Σ

Α ΥΓΟΥ Λ Ε Α - Λ Ι Ν Α ΡΔΑΤΟΥ

ΔΑΛΑΜΑΓΚΑΣ ΑΓΓΕΛΟΣ

ΚΑΣΤΑΝ Η ΑΝΑΣΤΑΣΙΛ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Μ Ε ΓΑΡΩΝ ΑΠΙΚΗΣ

ΚΑΛΑ ΪΤΖΙΔΟΥ ΙΩΑΝΝΑ

ΣΩΤ Η ΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΓΑΡJτΑ

4ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΥΦΑΛ ΙΩΝ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥ ΠΟΛΗΣ

ΔΕΙΚΤ ΛΚΗΣ Μ Ι ΧΑΛΗΣ

Θ ΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΤΕΡΛΕΜΕΣ Ν ΙΚΟΛΑΟΣ

ΠΕΙΡ.

ΛΙΑΛΙΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΝτΙΟΣ ΙΩΑ Κ Ε Ι Μ

ΕΚΠ/ΡΙΑ τΣΙΑΜΟΥ Λ Η I.

ΣΜΥΡΝΗ

τrJΑ:'<ΤΑΦΛΑ ΡΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ

Ε Υ Α Γ Γ Ε Λ Ι Κ Η Σ ΣΧΟΛΗΣ ΝΕΑ

ΚΑΛΛΙΕΡΗ ΜΑΡΙΑ

ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΜΑΝΔΡΑΣ Α ΠΙΚΗΣ

ΞΕΚΟΥΚΗ Α Ι ΚΑΤΕΡΙΝΗ

ΗΛΙΟΠΟΥ ΛΟΣ ΦΩΤΗΣ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΥΚΕΩΝ

ΝΕΑ Π Α Ι Δ Ε Ι Α ΝΤΑΓΚΑΣ Σ.

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΖΩΗ Γ.

ΤΣΙΓΚΟΣ ΣΠΥΡΟΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΚΛΛ ΠΥΡΗ ΜΛΡΙΛ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΚΟΥΣΤΕΝΗΣ ΚΑΝ ΕΛΛΟΣ-ΡΑΦΑΗΛ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΓΥΡΙΟΥ ΣΩΤΗΡΙΑ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΓΛ ΥΦΑΔΑΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Μ Α Ν Δ Ρ Α Σ Α ΠΙΚΗΣ

Π Α Υ ΛΙΔΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ

ΤΡΟΥ ΛΛΙ ΝΟΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΓΙ ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ ΤΣΙΟΥΝΗ Σ Ν Ι ΚΟΛΛΟΣ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥ ΠΟΛΗΣ ΤΩΜΛΔΑΚΗΣ ΠΟΛ ΥΒΙΟΣ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΟΗΙΑ ΠΙ

Μ Ι ΧΑΗΛΙΔΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Σ τΑ ΥΡΟΥΠΟΜΙΣ

ΘΕΣΣΑΛΟΝ ΙΚΗΣ

ΜΠΟΥΛΟΥΤΑ ΣΟΦΙΑ

ΒΕΛΕΝΤΖΑ ΓΕΩΡΠΑ

Ι Δ ΙΩτΙΚΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΟΛ ΥΤΡΟΠΗ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Ν ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ

ΤΖΙ Μ ΟΥΛΙΔΗΣ Δ Η ΜΟΣΘΕΝΗΣ

ΓΚΕΛΟΥ ΣΕΒΑΣΤΗ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ ΚΟΛΟΒΟΥ ΙΟΥ ΛΙΑ

ΑΡΜΟΝΙΑ

ΝΤΟΚΟΣ ΕΡΜΗΣ

Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Ε Υ ΚΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟ Ν Ι ΚΗΣ

ΧΡΗΣτΙΔΗ ΔΕΣΠΟΙΝΑ

3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο !\ΓΙΟΥ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΥ

ΒΟιΩτJΑΣ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΕτΡΟΥ ΠΟΛΗΣ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΦΡΟΥΔΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

Δ Η Μ ΉΤΡΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΒΕΝΤΟΥΡΗ ΕΙΡΗΝΗ-ΜΙΚΑΕΛΑ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑΛΑΙΟΥ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΘΕΣΠ ΙΩΝ

ΑΥΓΟΥΛ ΕΑ - Λ Ι ΝΑΡΔΑΤΟΥ

ΦΛΛΗ ΡΟΥ

ΚΑΡΑΜΠJτΣΑΚΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

Γ ΑΛΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

ΓΙΟΥ ΛΗ ΜΛΡΙΑ-ΕΥΓΕΝΙΑ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Θ ΗΒΩΝ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Ε Λ Ε Υ Σ Ι Ν Α Σ

ΜΑΡΑΓΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣΙΝΑΣ ΜΙΚΕΔΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΕΛΕΥΣrΝΑΣ Π Α ΠΛΚΩΝΣΤΛ ΝτΙ ΝΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ι ΓΑΛΕΩ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑΛΑΙΟΥ

ΚΑΡΑΤΖΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

ΣΤ ΑΜΟΥ ΛΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΦΑΛΗ ΡΟΥ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΗ ΒΩΝ

2ο Λ ΥΚΕΙΟ ΙΛ ΙΟΥ

ΓΟΥΝΑΛΑΚΗΣ ΛΝΤΩΝΗΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΜΑΝΔΡΑΣ Α ΠΙΚΗΣ

ΚΡΑΛΛΗΣ ΝΙ ΚΟΣ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Ι ΒΑΔΕΙΑΣ Μ ΑΡΚΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

ΣΤΕ ΡΓΙΟΠΟΥ ΛΟΥ ΔΙΟΝΥΣΙΑ

Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛ ΙΘΕΑΣ

ΡΟΚΚΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΕτΡΟΥ ΠΟΛΗΣ

Δ Η Μ Η Τ ΡΟΓΛΟΥ ΠΛΝΝΗΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΜΑΝΔΡΑΣ Α ΠΙΚΗΣ

ΤΣΕΚΟΥΡΑΣ ΙΑΣΟΝΑΣ

5ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο :-Ι ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΔΩΔΕΚΑΝΉΣΟΥ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΑΓ ΙΩΝ ΒΟ ΙΩτΙΑΣ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΚΑΤΣΕΛΗ ΒΑΣΙ Λ Ι Κ Ή

ΝΤΑΛΙΑΝΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Λ Ι ΒΑΔΕΙΑΣ ΠΑΝΤΕΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥ ΛΟΥ ΑΘΛΝΛΣΙΑ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑΛΑΙΟΥ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΦΛΝΤΕΝΟΥ ΑΝΤΩΝΙΑ

ΦΑ Λ Η ΡΟΥ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΡΧΆ ΓΓΕΛΟΥ

ΙΔ ΙΩτΙΚΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΟΛ ΥΤΡΟΠΗ

ΚΙΝΑΖΗΣ ΣΑΒΒΑΣ

ΓΙΩΤΑ ΣΜΑΡΑΓΔΉ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΒΑΓΙΩΝ ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΑΡΜΟΝ Ι Α

3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο "ΙΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

ΠΑΠΑΔΙΑΣ ΣΕΡΑΦΕΙΜ

ΚΑΡΥΩΤΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

ΓΚΑΒΟΠΑΝΝΗ ΚΥΡΙΑΚΗ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Λ Ι ΑΗΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΙΔ ΙΩτΙΚΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ ΠΟΛΥΤΡΟΠΗ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑΛΑΙΟΥ

ΡΟΔΙΩΝ ΠΑ ΙΔΕΙΑ

ΠΑΠΑΘΕΟΔΟΣΙΟΥ ΧΡΙΣτΙΝΑ

ΑΡΜΟΝ Ι Α

ΦΑΛfΙ ΡΟΥ

ΖΛΧΑΡΟΣ Π ΕΤΡΟΣ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΩ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ Ι ΑΗΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΣΑΡΑΝΤΛΚΟΣ ΗΛΙΑΣ

Λ Υ Μ Π ΕΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

Π ΕΤΡΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ

5ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΕτΡΟΥ ΠΟΛΗΣ

5ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΓΛ ΥΦΑΔΑΣ

ΚΙ ΟΥΖΕΛΟΓΛΟΥ ΗΛΙΑΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΑΣΠ ΡΩΝ ΣΠ ΠΙΩΝ

ΣΚΑΠΕΡΛΣ ΣΩΤΗΡΗΣ

!\ΙΛΓΟΥΛΛ ΕΛΕΝΗ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΩ

ΒΟΙΩτΙΑΣ

Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α ΓΙΩΝ ΑΝΆΡ ΓΥΡΩΝ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΑΛΑΙΟΥ

ΜΑΡΚΟΓΛΟΥ Ν Ι ΚΟΣ

ΦΛΩΡΑ ΑΓΓΕΛΙΚΉ

ΣΚΛΑΒΟΥΝΟΣ ΧΛΡΑΛΑΜ ΠΟΣ

ΦΑΛΗΡΟΥ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΩ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Β Α ΓΙΩΝ ΒΟΙΩτΙΑΣ

5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ι ΓΑΛΕΩ

ΤΖΛ ΒΛΡΛΣ ΣΠΥ ΡΙΔΩΝ

ΜΑ ΥΡΟΝΙ ΚΟΛΑ ΜΑΡΙΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΑΛΑΚΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Σ Ι Β ΠΑ Ν Ι Δ Ε ΙΟΥ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΡΟΔΟΥ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΙ-ΙΒΩΝ

ΧΙΩΤΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Ι ο EN I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ ΓΡΕΒΕΝΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΑΤΖΗΖΗΣΗΣ ΒΛΣΙΛΕΙΟΣ

ΚΑΡΑΚΙΚΕ ΣΩΤΗΡΙΑ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΕΣΚΑ ΤΗΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΡΓΥΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΜΠΟΥΚΟΥΒΑΛΑ ΛΓΓΕΛΑ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Λ ΙΑΡτΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΓΡΕΒ ΕΝΩΝ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΟΡΧΟΜ ΕΝΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΣΙΛΦΛΑΚΛ ΑΗΕΜΙΣ

ΔΡΑΜΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΒΑΡΒΑΡΑ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΡΟΔΟΥ

ΚΟΝΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΒΟΙΩτΙΑΣ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Δ Ε Σ Κ ΑΤ Η Σ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΔΡΑΜΑΣ

ΣΑΡΗ ΓΙΑΝΝΗ ANNA-EI P H N H

ΚΥΜΠΑΡΗΣ ΚΩΣΤΑΣ

ΓΡΕΒ ΕΝΩΝ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Θ Η ΒΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΚΑΝΤΗ ΡΛΓΑ ΧΑΡΟΥΛΑ

ΘΩΙΔΟΥ KYPIAKH Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΔΡΑΜΑΣ ΚΑΙ ΚΤΖΟΓΛΟΥ MAPIA

Σ Α Ρ Ρ Η ΑΓΓΕΛΙΚΉ ΣΤΑ ΥΡΙΔΟΥ MAPIA ΧΡΙΣτΙΝΑ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΘΗΒΑΣ

ΔΟΥΚΛΙΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

ΜΟΥ ΛΑ! ΕΝΤΒΑΛΝΤΟ

ΣΧΟΛΗΣ

ΜΟΣΧΟΒΑΚΟΥ ΕΛΕΝΗ

ΤΣΟΛΑΚΙΔΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΓΙΟΥ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΥ

Μ Π ΛΛΑΛΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ

ΧΛΛΜΟΥΚΗΣ ΧΑΡΛΛΛΜΠΟΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛ ΥΜΝΟΥ

Π Λ Π Λ Μ ΕΝΤΖΕΛΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΑ 3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΩ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΡΟΔΟΥ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ Ι Α ΗΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΓΡΕΒ ΕΝΩΝ

3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

ΔΗ ΜΟΥ ΛΑ ΣΠΥΡΙΔΟΥ ΛΑ

ΤΣΙΟΛΕΡΙΔΟΥ ΒΑΣΙΛ Ι ΚΉ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΟΡΩΝΗΣ ΡΟΔΟΥ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ Ι Α ΗΟΥ ΒΟΙΩτΙΑΣ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΓΡΕΒΕΝΩΝ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΔΡΑΜΑΣ

ΤΣΑΚΙ ΡΗΣ ΣΛΒΒΑΣ

ΔΡΟΥΓΚΑ ΖΩΗ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΑΡΧΆΓΓΕΛΟΥ

ΣΚΑΛ ΙΓΚΟΥ ΠΑΓΩΝΑ

ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΔΕΣΚΑΗΙΣ ΓΡΕΒΕΝΩΝ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΡΟΥΣΣΟΠΟΥ ΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Ι ΒΑΔΕΙΑΣ

ΣΩΤΗΡΗ ΕΛΕΝΗ

3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΩ

ΤΑΤΣΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΕΣΚΑΤΗΣ ΓΡΕΒΕΝΩΝ

ΤΣΙ Μ ΠΟΥΚΕΛΛΗ ΜΑΡΙΑ

ΨΥ ΛΛΑΚΗ ΑΙΚΑΤΕ ΡΙΝΗ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Λ Ι ΒΑ Δ Ε Ι ΑΣ

Δ' ΑΘΗΝΑΣ Α ΠΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΜΕΝ ΕΛΑΟΣ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

ΡΟΔΙΩΝ Π Α Ι Δ Ε Ι Α

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΘΗ ΒΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛ ΙΔΗΣ ΛΡΙΣΤΕΙΔΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΤΩΝΟΓΛΟΥ ΑΡΧΟΝΤΟΥΛΑ

Γ' ΑθΗΝΑΣ ΑΠΙΚΗ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΧΑΛΑΤΣΗ ΘΕΟΔΩΡΗ

ΧΑΤΖΗΝΙ ΚΟΛΑΟΥ ΑΡΓΥΡΩ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΟΔΟΥ

6ο EN I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Ν ΕΑΣ ΣΜΥΡΝΗΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΔΡΑΜΑΣ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΟΥΝΑΛΑΚΗ ΗΛΙΑΝΛ-ΕΛΕΥΘΕΡΙ

ΔΟΒΛΕΤΟΓΛΟΥ ΣΤΥ Λ ΙΑΝΟΣ

ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΑΝΤΩΝ ΗΣ

ΑΝΔΡΙΑΝΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑ ΥΡΟΣ

Ίο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΛΙΘΕΑΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο .ΡΟΔΟΥ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΔΑΣΚΑΛΑΚΗΣ ΙΛΣΟΝΑΣ

ΚΑΡΛΠΑΝΝΙΔΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΚΑΖΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΑΣΤΑΡΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

4ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Α Λ Ι Μ ΟΥ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΔΡΑΜΑΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΡΟΔΟΥ

5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΑΙΓ ΑΛΕΩ

ΔΕΣΠΟΤΗΣ ΘΩΜΑΣ

ΛΑΖΑΡΙΔΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΚΟΥ ΛΛΙΑΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΓΙΑΝΤΖΑ ΦΩΤΕΙΝΗ

5ο ΓΥΜΝΆΣΙΟ Π Α Λ Α Ι ΟΥ ΦΑΛΗ ΡΟΥ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΛ ΥΜΝΟΥ

2ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΛ ΙΟΥ

ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΥ ΜΑΡΙΛ-ΜΑΛΒΙΝΑ

!\Ι ΙΧΑΗΛΙΔΗΣ ΛΝΤΩΝΗΣ

ΚΥΖΑΛΑΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

ΘΑΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

ΠΕΙΡ.

2ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΔΡΑΜΑΣ

ΕΥ Α Γ Γ Ε Λ Ι Κ Η Σ ΣΧΟΛΗΣ Ν ΕΑ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΡΟΔΟΥ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΣΜΥΡΝΗ

ΠΛΝΛΓΙΩτΙΔΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΛΑΓΚΑ Ν Η ΦΙΛΑΡΕΤΗ

ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΚΕ ΡΕΣΤΕΤΖΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΡΟΔΟΥ

ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΠΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΔΡΑΜΑΣ ΔvτJΚΗΣ ΑΠΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΡτΙΝΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

Λ ΕΟΝΤΕΙΟ Λ Y K E I O Ν Ε Α Σ Σ Μ Υ Ρ Ν Η Σ

ΚΑΛ ΥΒΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΚΟΛΕΛΗ MAPIA

ΚΟΛΙΑ Ν Ι ΚΗ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π ΕτΡΟΥΠΟΛΗΣ

ΚΟΤΣΙΕΒΑ ΕΛΙΣΩ

ΣΧΟΛΗ ΞΕΝΟΠΟΥ ΛΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ .3/40

I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛ Υ Μ Ν Ο Υ

Μ Ε Ι ΧΑΝΕΤΖΙΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ ΡΟΔΙΩΝ Π Α Ι Δ Ε Ι Α

Αποτε λέσ ματα Π ανελλην ίου Δ ιαγ ωνισ μού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-1 2-2006

------

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

\Α ΚΟΣ ΑΡΙΣΤΕΗΗΣ

E N I A ! O Λ Υ Κ Ε ! Ο ΚΑΝ ΗΘΟΥ

Α Μ Β ΡΟΣΙΔΗΣ ΘΕΟΚΛΗΣ

Ρ Ο C. ! Ω Ν Π Λ ! C. Ε ! Α

ΕΥΡΥΤΑΝΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Α::ΟΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΕΡΟ!ΑΣ ΣΑΦΑ Ρ Ι ΚΑΣ I . - Μ Π Α Ρ Μ Π Α ΡΟΥΣΗΣ Λ.

ΤΖΙΡΙτΑ ΖΑΧΑ ΡΑΤΟΥ ΕΛΕΝΗ

ENIAIO Λ YKEIO Κ Α Ρ Π Ε Ν Η Σ Ι Ο Υ

ΓΑΡΕΦΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ

8ο ΕΝ Ι Α !Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η ΡΑΚΛΕΙΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΣΑΚΝΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

!ο ΕΝ!Α!Ο ΛΥΚΕ!Ο ΑΛ ΕΞΑ Ν Δ Ρ Ε !ΑΣ

ΤΡΑΓΑΝ ΙΤΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΣΑΡΟΥΚΟΣ :'1/ Ι ΚΟΣ

ΗΜΑΘΙΑΣ

ΠΕΙΡ.

ΡΟΔ!ΩΝ Π Α ! Δ Ε ! Α

ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Κ Α Ρ Π Ε Ν Η Σ Ι Ο Υ

ΓΙΑΡΙ Μ Π Α Μ Π Λ ΔΕΣΠΟΙΝΑ

ΤΣΑ ΠΑΚΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΣΜΑΡΝΙΑΝΑΚΗΣ ΓΛΑΥΚΟΣ

ΖΑΚΥΝΘΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΡΟΚΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο ΛΥ Κ Ε Ι Ο Β Ε Ρ Ο Ι Α Σ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΓΑΖIΟΥ Η Ρ Ά Κ Λ Ε Ι Ο Υ

Μ Π Ι ΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

3 ο ENIAIO Λ Y K E I O Κ ΑΤΑΣτA P IOY

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΡΑΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΘΕΣΠΡΩτJΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΥΤΣΟΓΙΑΝΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ

Π Ε Τ ΡΟΠΟΥ.\ΟΣ ΣΟΦΟΚΛΗΣ Ε Ν ! .-\ 1 0 Λ Υ Κ Ε ! Ο Α Π Ε Ρ!ΟΥ ΠΟ.\ΙτΗΣ Ε Μ Μ Α!'ΙΟΥΗΛ Ε Ν ! .-\ 1 0 Λ ΥΚΕ!Ο Α Π ΕΡ!ΟΥ

ΜΟΥΣ!ΚΟ Λ Υ Κ Ε ! Ο ΡΟΔΟΥ

ΣΤΑ�10Υ ΑΛΙΚΗ 2ο Ε Ν ! Α ! Ο Λ Y K E I O ΡΟΔΟΥ ΣΩΤΗ ΡΑΚΗ ΑΙ Κ.Η Ε Ρ Ι Ν Η 3 ο E N I A ! O Λ Υ Κ Ε ! Ο ΡΟΔΟΥ

ΒΑΦΕΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ

2ο EN!AIO Λ ΥΚΕ!Ο Β Ε Ρ Ο I Α Σ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΛΙ ΒΩΚΑΣ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ

ΣΤΡΑΤΆ ΚΗ ΒΑΓΓΕΛΙΩ !ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ Η ΡΑ Κ Λ ΕΙΟ Υ

ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο

!ο EN!AIO Λ ΥΚΕΙΟ ΗΓΟΥΜΕΝ ΙΤΣΑΣ

!ο ENIA!O ΛΥΚΕ!Ο Ν ΑΟΥΣΆΣ

Μ ΑΝΤΖΙΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝl"ΙΝΟΣ !ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ Η ΓΟ Υ Μ Ε Ν ΠΣΑΣ

ΝΤΕΤΣΙΚΑ ΜΑΓΔΑΛΗΝΗ Ι ο E N ! A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η ΓΟ Υ Μ Ε Ν ΠΣΆΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΡΡΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

ΣΩΤΗ ΡΟΠΟΥ.\ΟΣ Γ Ε ΡΑΣΙΜΟΣ

2ο ΕΝΙΑ!Ο Λ Y K E I O ΖΑΚΥΝΘΟΥ

ΚΑΤΣΙΆ Ν Ι ΔΟΥ ΑΡΙ ΑΝΑ-ΝΙ ΚΟΛΕΤΑ

2ο ΕΝ!Α!Ο . \ Υ Κ Ε ! Ο ΡΟΔΟΥ

ΗΛΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕIΟΥ ΑΒΡΑΜΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΔΟΞΙΑ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΆΛΕΞΆΝΔΡΕΙΆΣ

ΦΙ.\Ι Π Π ΗΗΣ Α'ΠΡΕΑΣ

ENIAIO Λ YKEIO ΖΛΧΑ ΡΩΣ Η Λ Ε ΙΑΣ

2ο ΕΝΙΆ!Ο Λ YKEIO Β Ε ΡΟ ! Ά Σ

Ε Ν ! .-\ 1 0 .\ Υ Κ Ε ! Ο Λ Π Ε Ρ!ΟΥ

ΔΑΜΆΣΚΟΥ ΧΡΙΣτΙΝΑ

ΣΙΜΟΠΟΥΛΟΣ Α ΓΓΕΛΟΣ

Ι ο ENIAIO Λ YKEIO Η ΓΟ Υ Μ Ε Ν ΠΣΆΣ

Γ ΛΥΚΕIΟΥ ΜΚΟ.\ΗΣ λΗ,Ι ΗΤΡΗΣ

ENIAIO Λ Y K E I O Π Ε Λ Ο Π Ι Ο Υ Η Λ Ε ΙΑΣ

4ο Ε Ν Ι Ά ! Ο Λ Y K F. ! O Β Ε Ρ Ο Ι Ά Σ

ΔΑΝΙ ΚΑΣ Χ ΡΥΣΑΝΘΟΣ

2ο E S ! .-\ 1 0 .\ ΥΚΕ!Ο ΡΟΔΟΥ

4ο Λ ΥΚΕΙΟ Π Υ Ρ ΓΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΣΤΑ\ Ι..\. ΠΑλΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΚΟΛΟΒΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΣ

Η ΡΑΚΛΕΙΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΥΦΑΝΤ ΑΚΗ ΑΝΝΑ

Γ ΛΥΚΕIΟΥ ΓΕΩΡΓΟΥΛΑΣ ΠΕΤΡΟΣ

2ο E S I .-\ 1 0 .\ Υ Κ Ε ! Ο ΡΟΔΟΥ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Α Μ Α Λ ΙΑΔΑΣ

3 ο Ε Ν Ι Ά Ι Ο Λ Y K E I O Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

Ε Β ΡΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΡΓΙΩΤΟΥλΗ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ

ΗΛΕΙΑΣ

ΒΑΚΟΥΦΤΣΗ ΝΑ Τ ΑΣΑ

ΙΩΑΝΝ/ΝΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΟΧΑΡΗ Μ Ι ΚΕΛΑ

ΚΟΝΤΟθΑ ΝΑΣΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

Π Α Γ Κ Ρ ΙΠΙΟΝ

3 ο EN!AIO Λ YKEIO ΙΩΆΝΝ ΙΝΩΝ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO Α Μ Α Λ ΙΑΔΑΣ

ΚΑΠ ΕΤΑΝΑΚΗΣ ΜΑΡΚΟΣ

ΚΑΡΑΤΖΕΝΗ ΙΣΜΗΝ Η-ΧΑΡΙΚΛΕ

ΤΣΙΓΚΡΑΣ ΙΩΑΚΕΙ'Ι 2ο Ε Ν ! Α ! Ο . \ Υ Κ Ε ! Ο Κ Α Λ Υ Μ Ν Ο Υ

ΗΜΑΘΙΆΣ

ΚΟτΙΔΗΣ ΑΝΕΣΤΗΣ

2ο E N ! A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η ΓΟ Υ Μ Ε Ν ΠΣΑΣ

ESIA!O .\ Υ Κ Ε ! Ο C. ! Δ YMOTEIXOY

Η Λ Ε ΙΑΣ

2ο E N I A ! O Λ Υ Κ Ε ! Ο Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

4ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝ ΙΝΩΝ

Ε Β ΡΟΥ

ΚΟΡΚΟΛΗΣ ΠΑΝΛ ΓΙΩΤΗΣ

ΚΟΥΜΑΝΤΖΙΛ ΔΩΡΟΘΕΑ

Λ I ΑΓΚΟΥ ΧΡΥΣΑ Υ ΑΓΗ-ΜΑΡΙΑ

Μ Η Τ Κ.-1. Ε.\IΣΑΒΕΤ ΕΝ !Α!Ο . \ ΥΚΕ ΚJ .liΔ�ΟτΕΙΧΟΥ ΕΒΡΟΥ ΤΟΚ.-\.\1 .-Ι. Ν Η ΓΕΩΡΓΙΑ ENWO . \\ l<.E!O .liΔΥΜΟτΕ!ΧΟΥ ΕΒΡΟΥ ΧΡΗΣΤΑ I Ν ΑΣ ΓΡΗΓΟΡΗΣ Β ΛΥ ΚΕΙΟΥ ΠΑΠΑΖΗ.\Α ΚΗ 'IAPIA ENIAIO . \ \l<.E!O lliΥΜΟτΕ!ΧΟΥ ΕΒΡΟΥ Γ AYKEIOY ΔΑΡΗΟΥ Ε.\ΕΝΗ

2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Π Υ ΡΓΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ

Π Ά Γ Κ ΡΗτJΟΝ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν ΑΤΟΛΗΣ

ΚΟΤΣΙΦΑ ΕΥΓΕΝΙΑ

ΚΡΑΣΑΝΑΚΗΣ Ε Μ Μ ΑΝΟΥΗΛ

ΙΩΛΝΝ ! ΝΩΝ

4ο Λ Y K E I O Π Υ ΡΓΟΥ Η Λ Ε Ι Α Σ

Π Ε Ι !'. E N ! A I O Λ ΥΚΕΙΟ

Μ Ε ΛΙΣΣΟΥΡΓΟΣ ΘΕΜ ΙΣΤΟΚΛΗΣ

ΜΑ ΡΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Λ Α Μ Π ΡΑΚΗ Ε Ι Ρ Η Ν Η

ΔΩΔΩΝ Α Ι Α ΕΚ Π/ Ρ ΙΆ

4ο Λ ΥΚΕΙΟ Π Υ ΡΓΟΥ Η Λ Ε Ι ΑΣ

3 ο Ε Ν Ι Ά ! Ο Λ Υ Κ Ε ! Ο Η ΡΆ Κ Λ Ε ΙΟΥ

Μ Π ΑΤΣΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΝΤΥΜΕΝΟΥ IOY ΛΙΑ

Μ Α ΡΑΓΚΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ-ΜΙΛΤΟΣ

ΔΩΔΩΝ Α Ι Α ΕΚ Π/ Ρ ΙΑ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Α Μ Α Λ Ι ΑΔΑΣ

Π Λ ΓΚΡΗτJΟΝ

Μ ΠΟΛΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

ΗΛΕΙΑΣ

ΜΟΧΙΑΝΑΚΗ ΜΑΡΙΛΕΝΑ

Ε Ν Ι Ά Ι Ο Λ Y K E I O ΖΩΣ Ι Μ Α Ι Α ΣΧΟΛΗ

ΟΙ ΚΟΝΟΜΟΠΟΥΛΟΣ Α ΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ

2ο Ε Ν Ι Λ ! Ο Λ Υ Κ Ε ! Ο Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΠΟΥ ΛΙΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Μ Α Λ Ι ΑΔΑΣ

Μ Π ΟΛΑΚΗΣ ΖΑΧΑΡΗΣ

4ο E N I A I O Λ Y K E I O ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

2 ο ESL-\10 . \ ΥΚΕ!Ο ΟΡΕΣ"ΠΑΔΑΣΕΒΡΟΥ

ΗΛΕΙΑΣ

2ο ΕΝ!Ά!Ο Λ ΥΚΕΙΟ Η ΡΆ Κ Λ Ε Ι Ο Υ

ΕΥΒΟΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΓΙΑ\ΝΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ

ΟI ΚΟΝΟΜΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ

I ο ENIAIO Λ YKEIO Π Υ ΡΓΟΥ Η Λ Ε Ι ΑΣ

3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕ!Ο Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

Π ΡΟΥΣΚΑΣ ΜΑΡΙΟΣ-ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΑ Ν Ν Ι ΝΩΝ Φ Ε ΡΕΝτΙΝΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΠΑΠΑΔΗΜΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΡΙΣτJ ΒΟΤΕΒΗΣ ΣΟΝΙΑ

E N I A I O Λ Y K E I O ΖΩΣ Ι Μ Ά Ι Ά ΣΧΟΛΗ

Ε Ν ! Α ! Ο .\ Υ Κ Ε ! Ο ΒΑΘ ΕΟΣ Α Υ Λ Ι ΔΑΣ

E N I A I O Λ Y K E I O ΖΑΧΑ ΡΩΣ Η Λ Ε ΙΑΣ

ΓΥΜΝΆΣΙΟ Λ I M F.NA Χ Ε ΡΣΟΝΗΣΟΥ

ΑΡΒΑΝΙτΗ 'ΙΑΡΙΑ-ΙΣΜ Η Ν Η

ΠΟΛΥΔΩΡΟΣ ΒΗΣΣΑΡΙΩΝ

Η ΡΆ Κ Λ Ε ΙΟΥ

Β ΛΥΚΕIΟΥ Δ Ε Μ Ι ΡΤΖΟΓΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Σ Μ Π ΩΚΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Ίο ΕΝ Ι Α !Ο Λ Υ Κ Ε ! Ο ΙΩΑΝΝ ΙΝΩΝ

Ε Ν ! .-\ 1 0 .\ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΡΥΣτΟΥ Ε Υ Β Ο ! Α Σ

2ο ENIAIO Λ YKEIO Α Μ Α Λ ΙΑΔΑΣ

ΑΦΡ.ΗΗ Α\ΑΣΤΑΣΙΑ

ΗΛΕΙΑΣ

Ι ο Ε Ν Ι Ά Ι Ο Λ Y K E I O Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΘΕΟΔΩΡΙΚΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

!ο E S ! .-\ ! 0 .\ Υ Κ Ε ! Ο ΧΑΛΚ !ΔΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΒΡΑΜΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΣΗΜΑΚΗΣ

ΣΟΥΛΤΛΊΌΥ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ .Jo Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Η Ρ Λ Κ Λ Ε ΙΟΥ ΣΥΓΓΕΛΑΚΗ ΕΛΕΝΗ

ΔΩΔΩΝ Λ Ι Α Ε Κ Π Ι Ρ Ι Ά

8.\.-\ΧΟΓΙ .-\ \ Ν Η A I KATEP I N H

ENIAIO Λ YKEIO ΖΑΧΑ ΡΩΣ Η Λ Ε Ι ΑΣ

Ε Ν ! .-\ ! 0 .\ Y K E I O ΙΣτ Ι Α ΙΑΣ

ΔΟΥΝΙΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Υ Ρ ΓΟΥ Η Λ Ε ΙΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΥΛΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

8ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Y K E I O ! Ι Ρ Α Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΚΛΡΛ Μ Π Ι ΝΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ Ι ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΜΟΥΣΤΑΛΑΣ ΛΑΕΡΤΗΣ

ΣΩΜΑΡΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ

Ίο E N I A I O Λ ΥΚΕ!Ο ΙΩΆΝΝΙΝΩΝ

E N I A I O Λ Y K E I O Ν ΕΑΣ

ΝΤΑΣΚΑΓΙΑΝΝΗ ΠΑΝΑΓΙΟΥΛΑ

Ι ο E N I A I O Λ Y K E I O Α Μ Α Λ Ι Α ΔΑΣ

Α Λ Ι Κ Α Ρ Ν ΑΣΣΟΥ Η Ρ Α Κ Λ Ε Ι Ο Υ

ΗΛΕΙΑΣ

ΤΖΑΝΙΔΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

Π Α Π Α ΪΩΑΝΝΟΥ ΑΡΗΣ

Ε Υ Β Ο ! .-\Σ

ΓΙΑΓΚΟΥ ΒΙ ΡΓIΝΙΑ E N I .-\ 10 .\ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΣτ Ι Α Ι Α Σ Ε Ν Ι Α ! Ο Λ Y K E I O ΙΣτΙΑΙΑΣ

ΓΙΑ\Ν ΙτΣΟΥΔΗ ΑΡΓΥΡΩ

ΔΟΥ.\.<\:\Ι ΗΣ ΗΛΙΑΣ l ο ENIAIO Λ Y K E I O Χ Α Λ Κ Ι Δ Α Σ

ΕΥΒΟΙΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΛΑΣΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ Ι ο E N I A I O ΛΥΚΕΙΟ Α Μ Α Λ ΙΑΔΑΣ

ΚΑΚΑΡΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

ΗΛΕΙΑΣ

Ε Ν Ι Α ΙΟ Λ Y K E I O ΖΩΣ Ι Μ Α Ι Α ΣΧΟΛΗ

ΠΑΓΚ ΡΗτJΟΝ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΤΖΩΡl"ΖΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΥΡΙΑΚΟΥ ΛΑ Ι ο Ε Ν Ι Ά ! Ο ΛΥΚΕΙΟ Η ΡΛ Κ Λ Ε !ΟΥ ΤΡΥΠΑΚΗΣ ΜΑΝΟΣ

ΔΩΔΩΝ Ά Ι Ά Ε Κ Π / Ρ Ι Α

Π Α Π Π ΑΣ ΜΙΧΑΗΛ ΣΥΜΙΝΕΛΑΚΗ ΘΑΛΕΙΑ

Ε Ν Ι Α ! Ο Λ Y K E I O ΒΑΣΙΛΙΚΟΥ ΕΥΒΟIΑΣ

Δ Η Μ ΗΤΡΟΥΛΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

I !ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Η Ρ Α Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΔΩΔΩΝ Ά Ι Α Ε Κ Π Ι Ρ ! Α

ΚΟΚΚΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ

4ο Λ YKEIO Π Υ Ρ ΓΟΥ Η Λ Ε Ι ΑΣ

ΧΑΤΖΑ ΚΗ ΜΑΡΙΛΕΝΑ

E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΝΗΘΟΥ

ΚΑΤΣΙΚΑ Π Η Ν ΕΛΟΠΗ

2ο E N I A I O Λ Y K F. I O Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΚΟΥΒΛΗΣ Α:"ΙΑ ΡΓΥΡΟΣ

ENIAIO ΛYKEIO ΓΙΕΛΟΠΙΟΥ ΗΛΕΙΑΣ

ΤΟΥΛΟΥ Μ Η ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ

ΗΜΑΘΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΑΑΦΟΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΝΑ ΓΙΩΤΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΤΑΚΗ ΔΑΝΑΗ-ι\ΕΣΠΟΙΝΑ 3 ο E N I A I O Λ Y K E I O Ι Ι ΡΑ Κ Λ Ε ΙΟΥ ΑΝΔΡΟΥ ΛΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Ν Ι ΚΟΣ ΚΟΣΜΑΣ ΠΑΝΑ ΓΙΩΤΗΣ

E N I A I O Λ Y K E I O ΙΣτ Ι Α ΙΑΣ

E N I A I O Λ Y K E I O ΒΑΣΙΛΙΚΟΥ ΕΥΒΟΙΑΣ

3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝΙ ΝΩΝ

ΛΑΓΚΑΣ - Ν Ι ΚΟΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΖΩΣ Ι Μ Α Ι Ά ΣΧΟΛΗ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΞΙΟΥ ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ

I ο ENIAIO Λ YKEIO Β Ε ΡΟΙΑΣ

3 ο Ε Ν ! Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η Ρ Ά Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥ ΑΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔ ΡΟΣ

ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ ΛΕΥΤΕΡΗΣ

E N I A I O Λ Y K E I O ΖΩΣ Ι Μ Α Ι Α ΣΧΟΛΗ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Ι Μ ΝΗΣ ΕΥΒΟΙΑΣ

4ο E N ! A I O Λ Υ Κ Ε ! Ο ΒΕΡΟΙΑΣ

Ι ο E N I A I O Λ Y K E I O Η ΡΑ Κ Λ Ε !ΟΥ

ΜΕΛ ΙΣΣΟΒΑΣ ΣΟΦΟΚΛΗΣ

ΑΛΕΞΙΟΥ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΒΑΡΑΚΛΗ ΑΝΝΑ

ΔΡΑΚΩΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

!ο E N ! A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΑΝ Ν Ι ΝΩΝ

E N I A I O Λ Y K E I O Λ Ι Μ ΝΗΣ ΕΥΒΟΙΑΣ

4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε ! Ο ΒΕΡΟ!ΑΣ

5 ο E N I A I O Λ Y K E I O Η Ρ Ά ΚΛ Ε ΙΟΥ

Μ ΗΛΙΩΝΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ

ΓΕΩΡΓΙΟΥ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΑΝΝ ΙΝΩΝ

ΜΑΣΤΟΡΑΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ

ΓΚΟΥΣΔΟΥΒΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΚΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

E N I A I O Λ YKEIO Λ Ι Μ Ν ΗΣ ΕΥΒΟIΑΣ

! ο Ε Ν ! Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε ! Ο ΝΑΟΥΣΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Ι·Ι ΡΑΚΛ Ε ΙΟΥ

Π Α Π ΠΑΣ ΣΤΑ Υ ΡΟΣ

ΚΟΤΡΟΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΕΥΘΥΜΙΑΔΟΥ ΘΑΛΕΙΑ

ΚΟΥΝΕΝΟΣ ΜΑΝΩΛΗΣ

4ο Ε Ν Ι Ά Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΑΝΝ !ΝΩΝ

4ο ENIAIO Λ Y K E IO Β Ε Ρ Ο Ι Α Σ

E N I A I O Λ Y K E I O Μ Ε Λ ΕΣΩΝ

ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ ΞΕΝΟΦΩΝ

ΕΥΒΟΙΑΣ

ΚΟΓΙΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

Η ΡΆΚΛΕ ΙΟΥ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΙΩΑΝ Ν Ι ΝΩΝ

ΚΟΥΒΑΡΗ ΜΑΡΙΑ

4ο ΕΝΙΑ!Ο Λ ΥΚΕ!Ο Β Ε ΡΟ!ΑΣ

ΚΡΑΣΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝ ΗΣ

ΜΑΔΕΝΛΙΔΟΥ ΣΤΑ ΥΡΟΥ ΛΑ

ΚΩΝΣΤΑΝτJΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ

ΦΡΛΓΚΙ ΑΔΑΚΗ ΒΑΣΙΛΕΙΑ

ΚΑΒΑΛΑΣ Α ΛΥΚΕIΟΥ ΓIΑΝΝ ΙΩΤΗΣ ΣΤΕΡΓΙΟΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΛΟΥΤΡΩΝ Α ΙΔΗΨΟΥ

4ο EN!AIO Λ Υ Κ Ε ! Ο ΒΕΡΟΙΑΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Η Ρ Λ Κ Λ Ε ΙΟΥ

3 ο EN!AIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΆΒΑΛΑΣ

ΕΥΒΟ!ΑΣ

ΜΕΛIΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΥΡΙΑΚΉ

ΦΡΑΓΚΟΥΛΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΓΚΡΑΝΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΞΑΝΘΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

!ο ENIAIO Λ ΥΚΕ!Ο Β F. ΡΟ ! Α Σ

ΠΕΙΡ. ENIAIO ΛYKEIO

5ο E N I A I O Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΑΜ ΑΡΥΝΘΟΥ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΣτ Ι Α ! Α Σ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Η Ρ Α Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΕΝ!Α!Ο Λ ΥΚΕ!Ο !Στ ! Α ! Α Σ

Μ Ι Κ ΡΟΠΟΥΛΟΥ ΙΩΑΝΝΑ

ΦΥΣΑΡΑΚΗ ΚΑΛΛIΟΠΗ

ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ

ΠΑΠΑΝΔΡΕΟΥ ΚΩΣΤΑΣ

2ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ! Ο Ν ΑΟΥΣΑΣ

ΠΕΙΡ. E N I A ! O Λ Y K E I O

3 ο E N I A IO Λ Y K E I O ΚΛΒΑΛΑΣ

Ε Ν ! Α ! Ο Λ Υ Κ Ε ! Ο !Στ ! Α ! Α Σ

Χ Ρ Η Σ ΤΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΟΦΡΥ ΔΟΠΟΥ ΛΟΥ ΑΝΝΑ

4ο Ε Ν ! Α ! Ο Λ ΥΚΕ!Ο Χ Α Λ Κ ! ΔΑΣ

ΜΟΛ ΥΒΑΣ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΣ l ο ENIAIO Λ YKEIO Ν ΑΟΥΣΑΣ Μ Π ΑΛΤΖΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

4ο EN!AIO Λ ΥΚΕ!Ο ΒΕΡΟΙΑΣ

2ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ΙΟ Ι i ΡΑ Κ Λ Ε ΙΟΥ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΒΑΛΑΣ

ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ

Μ Π ΟΥΝΤΟΥΣΗΣ ΠΑΝΑΓΙ!!l"ΗΣ

ΤΣΑΡΟΥΧΑ ΔΕΣΠΟΙΝΑ

Ε Ν ! Α Ι Ο Λ Y K E I O Ν ΕΑΣ ΑrτΑ Κ Η Σ

ΕΝ Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε !Ο Μ Ε Λ Ι Κ Η Σ Η Μ ΑΘ!ΑΣ

ΕΥΒΟ!ΑΣ

Π ΡΟΥΣΑΛΗ ΕΥΘΥ Μ Ι Α l ο Ε Ν Ι Α ! Ο Λ Υ Κ Ε ! Ο Ν ΑΟΥΣΑΣ ΤΖΗΜΟΥ ΜΙΧΑΗΛΙΑ l ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Λ ΕΞΆΝΔΡΕΙΑΣ

ΨΥΧΑΡΑΚΗΣ ΠΑΝΑ ΓΙΩΤΗΣ Ι ο ENIA!O ΛΥΚΕΙΟ Η Ρ Α Κ Λ Ε ΙΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΙΟΡΓΙΩΤΑ ΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ

ΣΤΑΜΑΤΟΥΚΟΥ ΣΟΦΙΑ

ΓΙΑ ΓΚΟΣ Ν Ι ΚΟΣ Ε Ν ! Α ! Ο Λ Υ Κ Ε ! Ο ΙΣτ!Α!ΑΣ

ΓΚΟΥΝΤΑΣ ΚΩΣΤΑΣ 4ο E N I A I O Λ Y K E I O ΧΑΛΚ ΙΔΑΣ

ΗΜΑΘΙΑΣ

2ο E N I A I O Λ YKEIO Η ΡΑ Κ Λ ΕΙΟΥ

2ο E N ! A I O Λ Y K E I O ΚΑΒΑΛΑΣ

ΧΡΥΣΟΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ

τJΦΚΙΤΣΗΣ ΚΩΣΤΑΣ

5 ο ΕΝΙΆΙΟ Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΤΣΟτΣΚΑΣ Α ΝΑΣΤΑΣΙΟΣ 5ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΒΑΛΑΣ

2ο E N I A I O Λ YKEIO Η ΡΆ Κ Λ Ε ΙΟΥ

ΧΑΤΖΗ ΓΙΑΝΝΑΚΟΥ ΜΑΡΙΑ

ΑΝΤΩΝ ΙΑΔΗΣ ΚΑΡΟΛΟΣ

2ο ΕΝΙΆΙΟ Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

Π Ε Ι Ρ . Ε Ν Ι Ά Ι Ο ΛΥ Κ Ε Ι Ο

ΧΡΥΣΟΣΤΟΜΙΔΗΣ ΑΝ ΕΣΤΗΣ

Μ Π Ε Μ Π ΕΛΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ

ΤΣΙΛΙΓΓΕΡΙΔΗΣ ΣΤΑ ΥΡΟΣ

ΚΑΛΟΓΕΡΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

3 ο Ε Ν Ι Ά Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Κ Α ΒΑΛΑΣ

E N I A I O Λ Y K E I O ΙΣτ J Α Ι Α Σ

4ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ! Ο ΒΕΡΟΙΑΣ

3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Η Ρ Α Κ Λ Ε ΙΟΥ

Ν Ι ΚΟΛΆΟΥ ΑΛΕΞΆΝΔΡΑ

ΧΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Μ Π ΟΛΛΚΗ ΜΛΡΙΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΑΜΠΕΛΗ ΜΑΡΙΛ

E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΝΗΘΟΥ

E N I A I O Λ Y K E I O ΜΕΛΙΚΗΣ Η Μ ΑΘ !ΑΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Η ΡΆ Κ Λ Ε ΙΟΥ

3ο Ε Ν Ι Ά Ι Ο Λ Υ Κ Ε !Ο ΚΑΒΑΛΑΣ

ΧΕΛΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΑ ΠΑΦΡΑΓΚΑΚΗΣ Α ΠΟΣΤΟΛΟΣ

ΚΟΥΚΟΥ ΞΑΝΘΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ .3/4 1

Αποτελέσματα Π ανελληνίου Δ ιαγωνισ μού «0 Θ ΑΛ ΗΣ» 9-1 2-2006

------

ΚΟΥΚΟΥΦ Ι ΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΠΑΠΑΔΗΜΟΠΟΥ ΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΦΑΝΙ ΑΔΟΥ ΕΛΕΝΗ

ΠΑΠΑΖΟΓΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΑ

ΜΑΝΔ ΡΙΝΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 5ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Β Α Λ Α Σ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ

3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛ ΕΜΑ ΙΔΑΣ

Μ ΑΛΕΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΜΑΝΑ τιΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΖΑ Ν Η Σ ΑΝΤΩΝ ΙΑΔΗΣ ΣΤΕΛ/ΟΣ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΆΣΙΟ & Λ. Τ Κ ΟΡ Θ ΙΟΥ ΦΙΛΕΡΗ ΧΡΙΣτιΝΑ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΒΑΛΑΣ

ΜΑΧΜΟΥ ΚΙΩΤΗΣ Ν Ε ΡΑΝΤΖΗΣ

! ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ

5ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

3 ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΠΟΡΙΑΣ

ΜΠΑΝΤΗ MAPIA

ΠΑΝΤΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΤΕΛΕΗ ΜΩΝ

ENIAIO Λ YKEIO Ν Ι Κ Η Σ Ι Α ΝΗ Σ

!ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΠΟΡΙΑΣ

Μ ΠΟΥΖΕΛΟΣ ΓΑΒΡIΗΛ-ΡΑΦΑΗΛ ΣΕΪΤΑΝΙΔΗΣ ΙΩΑΝ Ν Η Σ

ΚΕΡΚΥΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΡΥ ΔΗΣ Θ ΡΑΣΥΒΟΥ ΛΟΣ

5ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΑΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖ Α Ν Η Σ

ι ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ι Ο ΣΥΡΟΥ

ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ Μ Ε Λ Υ Κ Ε Ι Α ΚΕΣ ΤΑΞΕιΣ

ΦΡΕΡΗ ΑΝΝΑ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ

!ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΥ ΡΟΥ

!ο ENIAIO Λ YKEIO ΠΤΟΛ Ε Μ Α ΙΔΑΣ

6ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Β Α Λ ΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ ΕΡΚΥΡΑΣ

ΚΟΥ ΛΙΔΗΣ ΣΤΥ ΛΙΑΝΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΟΥΤΣ/ΝΟΣ ΒΑΣΙ ΛΕΙΟΣ

ΤΣΑΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΘΩΜΑΣ Ι ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ Κ Α Β Α Λ ΑΣ Γ ΛΥΚΕ/ΟΥ Δ Ε Μ Ι ΡΤΖΟΓΛΟΥ ΘΩΜΑΣ

ΜΑ ΥΡΩΝΑΣ Ν Ι ΚΟΣ

!ο E N I A I O Λ YKEIO ΠΤΟ Λ Ε Μ Α ΙΔΑΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε ι Ο ΣΥΡΟΥ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O Κ Ε ΡΚΥΡΑΣ

ΛΑΜΠΡΙΛΝΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ

ΣΙΟΥΡΗΣ ΙΑΣΩΝ

Ν Ι ΚΑΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ

!ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΤΟΛ ΕΜΑ ΙΔΑΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ

2ο E N I A I O Λ YKEIO Κ Ε Ρ ΚΥΡΑΣ

ΛΕΣΓΙΔΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΛΒΑΛΑΣ

Ν Ι ΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

!ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΤΟΛ Ε Μ Α ΙΔΑΣ

ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ ΘΩΜΑΣ

3 ο ENIAIO Λ YKEIO Κ Ε Ρ ΚΥΡΑΣ

ΠΑΛΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΛΑΚΩΝΙΑΣ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΚΟΚΚ Ι Ν Η

!ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

ΠΟΛJτΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

ΚΟΥΡΙΔΗΣ ΣΤΑ Υ ΡΟΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΕΡΚΥΡΑΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ

ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑ Ντι ΝΑ 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΣΠΑΗΗΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Σ Π Α ΡτΗΣ

!ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΒΑΛΑΣ

ΡΕΒΥΘΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

3ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΤΟΛ Ε Μ Α ΙΔΑΣ

ΛΑΣΚΑΡΙΛΗΣ ΚΩΣΤΑΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Ε Ρ ΚΥΡΑΣ

Π Α Π Α Π ΡΙΛΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΓIΑΝΝΑΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

5ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΒΑΛΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΥΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΠΤΟΛ Ε Μ Α ΙΔΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΣΠΑ ΡτΗΣ

ΠΑΤΜΑΝΙΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ

ΓΙΑΝΝΟΥ ΛΕΑ ΓΕΩΡΓΙΑ

5ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΒΑΛΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Ε Ρ ΚΥΡΑΣ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛ Ε Μ Α ΙΔΑΣ

3 ο ΕΝΙΛΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Σ Π Α ΡτΗΣ

Π ΕΤΡΙΔΗΣ ΠΕΤΡΟΣ Jo E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΒΑΛΑΣ ΠΟΛΑΤΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ

ΚΕΦΑΛΛΗ Ν Ι ΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΣΣΑΡΗΣ ΓΕΡΑΣΙ Μ ΟΣ

ΤΕΡΡΑ ΑΛΕΞΗΣ

ΓΡΗΓΟΡΗ MAPIA

!ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΠΤΟ Λ Ε Μ Α IΔΑΣ

2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Σ Π Α Η Η Σ

ΤΣΑΧΕΙ ΡΙΔΗΣ ΘΕΟΦΙΛΟΣ

5ο E N I A I O Λ Y K E I O Κ Α Β Α Λ ΑΣ

2ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ρ ΓΟΠΟΛΙΟΥ

3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΠΤΟΛ Ε Μ Α ΙΔΛΣ

ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Σ Π Α ΡτΗΣ

ΡΑΜΚΑΪ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

ΚΕΦΑΛΛΟΝ ΙΑΣ

ΛΑΓΓΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΠΑΠΛΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

ΚΙΟΥΣΗΣ ΛΗΜΗΤΡΗΣ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΒΑΛΑΣ

Μ ΕΤΑΞΑΣ Δ Η Μ ΗrΡΗΣ

ΣΟΦ/ΑΝΟΠΟΥ ΛΟΣ Α Ι Μ ΙΛΙΟΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ρ ΓΟΠΟΛΙΟΥ

ΚΟΡΙΝΘΟΥ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥ ΛΟΥ E I P H N H-MAPIA

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΒΑΛΑΣ

ΚΕΦΑΛΛΟΝΙΑΣ

4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

!ο E N I A I O Λ Y K E I O Σ Π Α ΡΤΗΣ

ΧΑ ΤΖΗ ΚΥΡΙΑΚΙΔΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

Μ ΠΑΖΙ ΓΟΣ ΔΙΟΝΥΣΗΣ

ΒΑΛΜΑ ΑΡΓΥΡΩ

ΠΟΛ Υ ΔΕΡΑΚΗ ΜΑΝ ΤΩ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΒΑΛΛΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ρ ΓΟΠΟΛΙΟΥ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΜΟΛΑΩΝ Λ ΑΚΩΝ ΙΑΣ

ΠΑΝΑΓΙΩΤΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

3 ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ Σ Π ΑΡτΗΣ

Χ ΡΥΣΟΧΟΪΔΟΥ MAPIA

ΚΕΦΑΛΛΟΝ ΙΑΣ

ΓΡΙΣΠΟΥ ΒΑΣΙΛ Ι Κ Η

6ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΒΑΛΑΣ

ΣΙΛΑΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

Β ΛΥΚΕ/ΟΥ ΒΑΣΙΛΑΚΟΥ ΣΟΦΙΑ

ENIAIO Λ YKEIO Κ Ε Ρ Α Μ Ε ΙΩΝ

ΚΑΡΑΧΑΛ/ΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ-ΣΟΦΙΑ

3 ο Ε Ν ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε ι Ο ΣΠΑΗΗΣ

ΚΕΦΑΛΛΟ Ν ΙΑΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΒΑΧΑΒΙΩΛΟΥ NIKH

ΚΟΛΛΙΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

2ο Ε Ν Ι Λ Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Σ Π Α Η Η Σ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΠΟ Κ Α Ρ Δ ΠΣΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΔΡΕΑΤΟΣ ΓΙΩ ΡΓΟΣ

ΚΑΡΑΚΑ�ΙΠΑ ΑΛΙΝΑ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α ΡΓΟΠΟΛ ΙΟΥ

ΚΟΥΚΟΥΛ/ΔΗ ΚΛΕΙΩ

3ο ENIAIO ΛYKEIO ΣΠΑΗΗΣ

4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΡΔΠΣΑΣ

Κ ΕΦΑΛΛΟΝΙΑΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΣΚΡΟΥ Μ Π ΕΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ

ΚΑΡΥΔΑΣ ΜΑΤΘΑΙΟΣ

ΜΟΥΡΕΛΑΤΟΥ ΛΑΟΥΡΑ

ΤΣΑ Μ Π Α Ν Ι ΟΥ Κ ΟΛΓΑ

2ο ΕΝ Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Σ Π Α ΡτΗΣ

ΚΑΡΔJτΣΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΚΑΡΕΛΛΑ ΕΥ ΛΓΓΕΛΙΑ

ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Κ Ε Ρ Α Μ Ε ΙΩΝ

ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

ΤΣΕΛΛΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ

ΚΑΤΣΙΩΝΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΚΕΦΑΛΛΟΝ ΙΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑΝΝΟΠΟΥ ΛΟΣ ΒΛΑΣΗΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Σ Π Α ΡΤΗΣ

!ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΑΡΔΠΣΑΣ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Κ Α Ρ Δ ΠΣΑΣ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΛΑΧΑΒΙΩΛΟΣ ΦΑΝΗΣ

ΛΕΚΚΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΟΣ

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Σ Π Α ΡΤΗΣ

!ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΙΛΚΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΑΡΙΔΟΥ Ν Ι ΚΟΛΕΤΑ

ΜΗΝΟΥ ΕΥΦΡΟΣΥΝ Η

2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Κ Ι Λ Κ Ι Σ

ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΒΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

ΓΕΩΡΓΑΚΑΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Ρ Δ ΠΣΑΣ

ΠΟΥΛΑΚΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

3 ο Ε Ν ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Σ Π Α ΡτΗΣ

3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΓΙΑΝΝΑΚΟΥΡΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΡΔ ΙΤΣΑΣ

ΓΚΙΟΥ ΛΕΚΑ ΣΟΝ ΙΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε !Ο Κ Ι Λ Κ Ι Σ ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΑΓΑΠΗ

Π ΡΑΝΤΖΙΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτιΟΝΟΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Σ Π Α ΡΤΗΣ

ΝΤΡΙΣΜΠ ΙΩΤΗ ΚΩΝΣΤΑΝτιΝΑ

2 ο ENIAIO Λ Y K E I O Κ Ι Λ Κ ΙΣ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Β ΕΛΟΥ ΚΟΡΙΝΘΙΑΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Κ Α Ρ Δ ΠΣΑΣ

ΚΟΥΣΙΔΩΝΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΣΑΡΛΑ ΒΛΣΙΛ Ι Κ Η

ΚΟΥΚΟΣΙΑΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΝΤΑΝΤΑΜ Η Σ ΑΘΑΝΑΣ/ΟΣ

ΠΑΛΑΝΤΖΑ E I P H N H

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΓΟΥ Μ ΕΝ ΙΣΣΑΣ

! ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΚΑΣΤΡΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Σ Π ΑΡΤΗΣ Π ΑΙΠΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΗΛΙΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΙΛΚΙΣ

Χ Ρ/ΣΤΟΠΟΥ ΛΟΥ ΣΟΦΙΑ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Σ Π Α ΡΤΗΣ

ΠΑΛΙΟΥΡΑΣ ΕΥ ΑΓΓΕΛΟΣ

ΜΑΝΟΥΣΑΡ/ΔΟΥ ΣΥΜΕΛΑ

3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΡΙΝΘΟΥ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΡΔΠΣΑΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Κ Ι Λ Κ Ι Σ

ΠΑΠΑΣΠΥΡΙΔΑΚΟΣ ΠΑΝΑΓIΩΤΗΣ ι ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Σ Π Α ΡτΗΣ ΠΟΥΛ ΥΚΕΦΑΛΟΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ 2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕιΟ Σ Π Α ΡτΗΣ

Π ΡJτΣΑΣ ΘΩΜΑΣ

ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ Ε Μ Μ ΑΝΟΥΗΛ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΛΑΧΟΥ ΣΤΑ ΥΡΟΥ ΛΑ

2ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ Κ Α Ρ Δ ΠΣΑΣ

E N I A I O Λ YKEIO ΓΟΥ Μ Ε Ν ΙΣΣΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΤΣΙΝΟΠΟΥ ΛΟΥ ΧΑ ΡΟΥ ΛΑ

ΚΙΛΚΙΣ

Γ ΑlτΑΝΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΡΕΤΣΙΝΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

5ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΣΥΡΚΙΑΔΗΣ ΚΟΣΜΑΣ

Α Ρ ΙΠΟτΕ Λ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ

2ο Ε Ν ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΣΠΑΗΗΣ

!ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Ι Λ Κ ΙΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΟ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΡJτ!ΔΟΥ TPIANT ΑΦΥ ΛΛΙΑ

ΓΕΩΡΓΟΠΟΥ ΛΟΣ ΚΩΝΣΤ ΑΝτιΝΟΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Σ Π Α ΡτΗΣ

!ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο K IATOY

ΚΑΡΔΠΣΑΣ

! ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Ι Λ Κ Ι Σ

ΕΥ ΑΓΓΕΛ/ΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ

ΓΚ/ΟΥΛΕΚΑ ΜΑΡΙΑ Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Ι Λ Κ Ι Σ ΜΟΣΧΟΓ ΛΟΥ ΣΤΥΛΙ ΑΝΟΣ

ΛΑΡΙΣΑΣ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΝΑΓΝΩΣΤΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΗΛΙΟΠΟΥ ΛΟΥ ΠΑΝΩΡΑΙΑ

Ίο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Ι ΑΤΟΥ

ΑΡΜΠΑΡΑ ΣΟΦΙΑ

Β ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗ ΕΛΕΝΗ ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Φ Α Ν Α Ρ ΙΟΥ

5ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΒΑΪΟΠΟΥ ΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ

ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

ΤΣΟΥΤΣΟΥΡΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο MOYZA KIOY

3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Κ Ι Λ Κ ΙΣ

ΚΟΡΔΑΛΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΕΚΠ/ΡΙΑ ΝΤΟΛΚΟΥ Κ.

ΚΑΡΔ ΠΣΑΣ

Γ ΛΥΚΕ/ΟΥ Α ΓΤΖΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝ Η Σ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘΟΥ

Μ Π Α Κ Ο Γ Ι Α Ν Ν Η Ν.

ΓΚΙΝΗ ΚΩΝΣΤΑΝτιΑ-ΠΑΡ

ΜΑ ΥΡΑΓ ΑΝΗΣ ΘΟΔΩΡΗΣ

ΓΚΑΝΑΤΣΙΟΥ OYPA N I A

E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ MOYZAKIOY

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Ι Λ Κ ΙΣ

Α Ρ ΙΠΟΤΕΛ Ε Ι Ο ΚΟΡΙΝΘιΑΚΟ

ΕΚΠΙΡΙΑ - Ρ Α Π ΤΟΥ Μ .

ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΟΖΑΝΗΣ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΑΝΤΩΝΙΑΔΟΥ ΕΜΟΡΦΙΛΗ-ΙΩΑΝΝΑ

ΚΑΤΣΑΡΟΥ ΛΕΜΟΝIΑ Ι ο E N I A I O Λ Y K E I O Κ Α Ρ Δ ΠΣΑΣ Μ Π ΛΛΛΑ ΘΕΟΠ ΙΣΤΗ

2 ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΖΑΝΗΣ

ΕΚΠΑιΔΕΥΤΗΡΙΟ

ΕΥΘΥΝΙΑΔΗ ΜΑΡΙΑ

ΚΥΚΛΆΔΩΝ Α ΛΥΚΕ/ΟΥ ΒΕΛΟΥΔΟΥ ΒΑΣ Ι Λ Ι ΚΗ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

ΚΑΤΣΙΑΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΚΟΥΡΙΟΥ

5ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Ρ Δ ΠΣΑΣ

ΒΑΡΒΟΥΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ι ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΥΡΟΥ

ΝΑΣΤΛΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΝΤΟΥ ΛΑΒΕΡΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

2ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΖΑΝΗΣ

ΚΑΛΗ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ

9ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΓΚΟΥΤΖΗΚΩΣΤΑΣ ΠΑ Υ ΛΟΣ

ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ ΜΕ

ΟΥΓΙΑΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΣΑΡΑΦΗ ΒΑΣ!Λ Ι Κ Η ΧΑΡΜΠΑ ΜΥΡΙΟΚΑΛΗ

2ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

Λ ΥΚΕιΑΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

ΠΑΠΑΔΟΥ ΛΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ

ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ Μ Ε

2ο Ε Ν ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Λ Α Ρ ΙΣΛΣ

Γ ΛΥΚΕ/ΟΥ Μ ΕΛΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΚΑΛΑΪΤΖΟΠΟΥ ΛΟΣ Δ ΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΡΑΘΑΝΑΣΗ ΒΑΣ Ι Λ I Κ Η Ι ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΖΑΝΗΣ ΚΑτιΚΑΡΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΚΟΥΒΕΛΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ Λ Υ Κ Ε Ι Α Κ Ε Σ ΤΑΞΕΙΣ

ΠΑΠΑΝΤΟΥ MAPIA

ΚΩΝΣΤΑ ΒΑΣΙΛ Ι Κ Η

4ο E N I A I O Λ Y K E I O Λ Α Ρ IΣΑΣ

4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Ρ Δ ΠΣΑΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΠΤΟΛ ΕΜΑ ΙΔΑΣ

Β Α Λ Π Ε ι Ο Γ Υ Μ Ν Ά Σ Ι Ο !ΟΥ Μ Ε

ΣΑΙτΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡ/ΟΣ

ΣΟΦΟΣ ΓΡΙΙΓΟΡΗΣ

ΚΑΤΣΑΟΥΝΗ ΖΩΗ-ΕΙ Ρ Η Ν Η

Λ Υ Κ Ε Ι Α ΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Ρ Δ ΠΣΑΣ

! ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΖΑΝΗΣ

ΛΕΙ ΒΑΔΑΡΑΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΣΒΑΡΝΑ ΕΥΦΡΟΣΥΝΗ

ΚΑΣΤΟΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΛ ΥΡΕΝΤΑΚΗΣ ΜΛΝΩΛΗΣ

ΚΙΛΗΣ Ν Ι ΚΟΣ

!ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΥ ΡΟΥ

5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

3 ο E N I A I O Λ YKEIO ΠΤΟΛ ΕΜΑΙΔΑΣ

ΜΑΚΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ι ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥ ΡΟΥ ΜΑΡΑΓΚΟΥ Α Ν Ν Α Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΥ ΡΟΥ ΜΠΑΛΚΟΥΡΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Φ/ΛΙΠ ΠΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

!ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΡΔΠΣΑΣ

ΚΩΝΣΤΑΝτ ι Ν Ι ΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

9ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε ΙΟ Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

ΧΛΝΤΖΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

3 ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ

!ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝ Η Σ

ΣΑΛΠΙ ΓΓΙΔΟΥ ΧΡΙΣτιΝΑ

ΣΑΒΒΟΥΛ Ι Δ Ο Υ ΕΥΣΑΪΑ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΠΟΡΙΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε ΙΟ ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ Ι ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΠΟΡΙΑΣ ΝΑΣ/ΟΣ Σ/ΜΟΣ

ΤΣΟΥΦΛΙΔΗΣ ΟΡΕΣΤΗΣ-ΡΩΜΑΝΟΣ

ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ ΜΕ

Β ΛΥΚΕ/ΟΥ ΒΑΝΗΣ ΖΗΣΗΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΠΤΟΛ ΕΜΑΙΔΑΣ

Λ Υ Κ Ε Ι Α Κ ΕΣ ΤΑΞΕΙΣ

5ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Α Ρ IΣΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΟΥΝΖΟΥ ΡΙΔΗ ΑΡΓΥΡΩ

Μ Π ΑΤΣΑΛΗ Μ Α ΡΟΥΣΑ

ΓΚΟΥΓΚΟΥ ΛΗ ΕΛΕΝΗ

ΒΑΛΠΕΙΟ ΓΥΜΝΆΣΙΟ !ΟΥ Μ Ε

5ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

! ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΠΟΡΙΑΣ

!ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΖΑΝΗΣ

Λ ΥΚΕΙΑΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ

ΖΑΧΑΡΗ ΚΩΝ/ΝΑ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΤΩΝ!ΑΔΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

Μ Π ΑΤΣΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ Μ ΑΡΙΑ-ΦΑΝΗ

3 ο E N I A I O Λ YKEIO Λ Α ΡΙΣΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΖΑΝΗΣ

!ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ ΣΥΡΟΥ

ΚΟΛΟΚΟΤΡΩΝΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/42

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε !Ο Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

Αποτ ελέσμ ατ α Π ανελλην ίου Διαγωνισ μού «0 ΘΑΛΗΣ» 9-1 2-2006 \ I H T PO ' Σ I -\ � Β Α Σ I . \ Η Σ = Ξ "'\ : . .; :•:' Ό Υ !\. Ξ Ι Ο . \ Α Ρ ΙΣΑΣ \ Ι ! Χλ:: ' l !o.: O . \ A O :: "' E ' l λ i O . \ Υ Κ Ε Ι Ο . \ λ ΡΙΣΑΣ \η . \ Ω ' .-\ Π Α Ρλ Σ ΚΕ Υ Η i σο E ' l .-\ 1 0 .\ Y K E I O Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

ΠΕΙΡ.

E'IIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

ΠΑΤΣΑΤΖΗΣ

Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΣ

ENIAIO Λ Y K E I O ΠΟΛΙΧΝ ΠΟΥ Λ ΕΣΒΟΥ

4ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΛΑΜ ΑΤΑΣ

ENIAIO Π Ε Ι Ρ . Λ ΥΚΕΙΟ ZANNEIOY

ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ

ΠΕΙΡΑΙΑ

4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΛΟΥΚΑΣ Χ ΡΗΣΤΟΣ

ΤΑΜΒΑΚΕΡΑ Β Ι ΚΤΩΡΙΑ

ΓΙΟΥΧ Ι ΜΕΝΚΟ ΓΙΟΥΡΙ

E N I A I O Λ Y K E I O Α Μ Π ΕΛΑΚ ΙΩΝ

3 ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

4ο ENIAIO Λ YKEIO Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΟΥΚΛΑΡΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ

ΓΚΑΡΚΟΥ ΛΑΣ ΦΩτΙΟΣ

Λ VKOVPH ΕΛΠΙΔΑ

4ο E N I A I O Λ YKEIO Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

E N I A I O ΠΕΙΡ. Λ YKEIO ZANNEIOY

Ι ο E ' I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΛΑ ΡΙΣΑΣ

3 ο ENIAIO Λ Y K E I O Μ Υ τ Ι Λ Η Ν Η Σ

ΜΑΘΙΟΠΟΥΛΟΥ MAPIA

Π Ε ΙΡΑΙΑ

ΚΟΥΚΕΛΛΗΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ

I ο E N I A I O Λ Y K E I O Κ Α Λ Α Μ Α ΤΑΣ

ΜΑ Υ ΡΟΘΑΛΑΣΣΙτΗΣ ΣΤΑ Υ ΡΟΣ

Ο Ι ΚΟ , Ο Μ Ο Υ ΜΕΛΠΟΜΕΝΗ

5ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

ΠlτΣΙΛΗ-ΧΑΤΖΗ ΔΙΟΝΥΣΙΑ

1 2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

3ο E N I A I O Λ Y K E I O ΛΑΡΙΣΑΣ

ΦΩτΙΟΥ ΔΙΑΜΑΝΤΟΥΛΑ

I ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜΑ Τ ΑΣ

Μ ΕΛΛΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ Α Γ . ΙΩΣΗΦ ΕΛ Λ ΗΝ Ο Γ ΑΛΛ ΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

' " ΤΣΙ Ο Σ Α ' ΤΩ :>iΗΣ

"JEANNE D' ARC"

E N I A I O Λ YKEIO ΠΠΡΑΣ Λ ΕΣΒΟΥ

ΣΟΥΜΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΛΑΡΙΣΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

4ο E N I A I O Λ γκειο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΣΟΥΛ ΤΣΙΩΤΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ 3 ο ENIAIO Λ Y K E I O Λ Α ΡΙΣΑΣ ΣΥΡ:νΙΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗ

ZEPBOV ΖΩΓΡΑΦΙ Α

ΤΣΙΛ Ι ΒΑΡΑΚΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

E N I A I O Λ Y K E I O Π Ο Λ Ι Χ Ν ΠΟΥ Λ ΕΣΒΟΥ

4ο E N I A I O Λ γ κ Ε Ι Ο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

\ο Λ ΥΚΕΙΟ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ

ΚΟΝΤΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΟΒΣΕΣΙΑΝ ΣΤΕΠΑΝ

ΕΚΠ PIA - ΡΑΠΤΟΥ Μ.

5ο E N I A I O Λ YKEIO ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

3 ο ENIAIO Λ YKEIO Ν Ι ΚΑΙΑΣ

ΣΑΠΟΥ:>iΑ ΒΑΣΙ Λ Ι Κ Η

Μ Ι Κ ΡΟΜΑΣΤΟΡΑΣ Χ ΡΗΣΤΟΣ

ΤΖΑΤΖ Α Κ Η ΚΩ,ΑΑ

ΛΑΜ Π ΡΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

Χ.-Η ΖΗ .-1.'>.-\ Σ Τ Α Σ Ι Ο Υ :'Ι: Α ΥΣΙΚΑ

ΠΕΙΡ. E N I A I O Λ Y K E I O ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

4ο E N I A I O Λ γκειο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

9ο ENIAIO Λ Y K E I O Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ Μ Ι ΧΑΕΛΑ

ΓΑΛΑΝΟΠΟΥ ΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ

ΕΝΙΑΙΟ .\ Υ Κ Ε Ι Ο ΓΙΑΝΝΟΥ Λ Η Σ

5ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

4ο E N I A I O Λ γ κ ε ι ο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΠΑΒΕΛ Α ΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ

Γ ΛΥΚΕ ΙΟΥ ΗΛΙΑΣ \ Ι Η , ΑΣ

ΣΑΒΒΑΣ Μ ΙΧΑΛΗΣ

4ο Ε 'ό l .-\ 10 .\ ΥΚΕΙΟ Λ Α Ρ ΙΣΑΣ

ΕΚΠ Ρ l λ - ΡλΠΤΟΥ \1.

ΚΑΤΣΙ Ο Υ . \ Η Σ Χ ΡΥΣΟΣΤΟΜΟΣ

Μ Π ΕΛΕΧΑΚΗΣ ΣΠΥΡΟΣ

ΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ

Α Γ . ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛ Λ ΗΝ Ο ΓΑ Λ Λ Ι Κ Η

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΜΥτΙΛΗΝΗΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ γκΕΙΟ Κ Α Λ Α ΜΑΤΑΣ

ΣΧΟΛΗ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΛΕΥΚΑΔΑΣ

ΓΡΗΓΟΡΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

ΠΟΛ ΥΜΕΝΑΚΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

4ο ENIAIO Λ γκειο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΑΓ. ΠΑΥΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ

5ο Ε 'ό l .-\ 1 0 . \ ΥΚΕΙΟ . \ Α ΡΙΣΑΣ

ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥΛΟΣ ΘΩΜΑΣ

ΔΑΡΣΑΚΛΗ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ

ΣΧΟΛΗ Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

Π Α Π Α , Ι ΚΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Λ ΕΥΚΑΔΑΣ

4ο E N I A I O Λ γ Κ Ε Ι Ο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΣΑΡΔΕΛΗ Α Γ Γ Ε Λ Ι Κ Η

2ο E ' l .-\ 10 . \ Υ Κ Ε Ι Ο . \ λ Ρ ΙΣ Α Σ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

ΚΑΡΑΒΙτΗΣ ΔΑΡΕΙΛΕΝΑ

E N I A I O Ρ Α Λ Λ Ε Ι Ο Λ Υ Κ Ε \ 0 Θ Η Λ ΕΩΝ

E N I A I O . \ ΥΚΕΙΟ ΓΟ'όΝΩΝ ΤΟ ΤΣΙ Α-"! Π Ι Ο '

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ γ κ Ε Ι Ο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

Π ΕΙΡΑΙΑ

ΑΝΔΡΙΚΟΠΟΥ ΛΟΥ ΛΟΥΙΖΑ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ

ΣΕΡΓΗΣ Π Ε Ρ Ι ΚΛΗΣ

ΜΟΥΣΙΚΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

\ο E N I A I O Λ γ κ ε ι ο Μ ΕΣΣΗΝ ΗΣ

Α Γ . ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑ Λ Λ Ι Κ Η

E N I A I O .\ Y K E I O λ Γ I Α Σ

ΑΤΣΙΑ ΣΤΕΛΙΝΑ

ΚΟΜΗΝ ΕΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΣΧΟΛΗ ΠΕΙΡΑΙΑ

Τ ΣΑ Π Ε Ρ .\ Η Σ Α θ Α , Α Σ Ι Ο Σ

ΣΑΡΡΟΣ θ E Oill POΣ

5ο EN I A I O Λ Y K E I O ΒΟΛΟΥ

4ο ENIAIO Λ γκΕΙΟ Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΣΚΑΡΑΦΙΓΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

2ο Ε:\ 1.-\ 10 .\ Υ Κ Ε Ι Ο . \ Α ΡΙΣΑΣ

ΒΙΛΑΕΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

ΛΑΣΙθΙΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

6ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΒΟΛΟΥ

ΜΑΛΑΝΔΡΙΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΛΑΜ ΑΤΑΣ Μ ΗΛΙΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΣΧΟΛΗΣ Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

ΔΕΛΗΓΙΑΝΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΙΩΝ ΙΔΕΙΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

4ο E N I A I O Λ YKEIO ΚΑΛΑΜΑ ΤΑΣ

ΒΑΣΑ Ρ\Ι Ι � Η Σ \1.-\ ,ΟΣ

E N I A I O Λ Y K E I O Α Λ Μ Υ ΡΟΥ

2ο Ε 'ό l .-\ 1 0 .\ ΥΚΕΙΟ ΙΕΡλΠ ΠΡλΣ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

Μ ΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΕΝΙΑΙΟ ΠΕΙΡ. Λ ΥΚΕΙΟ ΙΩΝΙΔΕΙΟΥ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Μ Ι ΛΤΟΣ

4ο ENIAIO Λ Y K E I O Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΣΧΟΛΗΣ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΑΝΔΡΙ ΚΟΠΟΥΛΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ

!ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΛΟΥ

O I KONOMOV ΣΩΤΗΡΗΣ

E N I A I O . \ Y K E I O Π Ε Ρ \ Ι Ι Α ΔΩΝ

ΚΟΚΟΝΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ γ κ Ε Ι Ο ΚΑΛΑΜ ΑΤΑΣ

ΑΓ. Π Α γ ΛΟΣ ΕΛ Λ ΗΝ Ο ΓΑ Λ Λ Ι Κ Η

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

6ο E N I A I O Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥ ΛΟΥ ΣΤΑ YPOV ΛΑ

ΣΧΟΛΗ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΚΑ ΡΟΦ Υ . \.-\ Κ Η Σ :νΙΑ,ΟΣ

Ι ο Ε Μ - \ 1 0 . \ Y K E I O Ι Ε Ρ Α Π ΠΡΑΣ

ΜΑΝΤΖΟΡΟΓΕΩΡΓΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

4ο E N I A I O ΛΥΚΕΙΟ Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

Δ ΡΑ ΓΩΝΑ ΒΑΣ Ι Λ Ι Κ Η

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΛΜ ΥΡΟΥ

ΤΣΙΧΡΙΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ

Α Γ . ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΛΑΜ ΑΤΑΣ

\I A , I O Y :'( A K H Σ Γ Ι Ω ΡΓΟΣ

Μ Π Ι ΡΜΠΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΧΑΛΟΥ ΛΑΚΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

"JEANNE D' ARC"

2ο Ε'όl.-\10 .\ ΥΚΕΙΟ Ι Ε Ρ Α Π ΠΡΑΣ

E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΑΛΜΥΡΟΥ

\ο E N I A I O Λ Y K E I O Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΑΓ. ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑ Λ Λ Ι Κ Η

Δ Ε Ρ,ΙΙΤΖΑΚΗ

ΚΩ'ΣΤ-\ ' τ Ι ' Α

ΓΑΙτΑΝΗΣ Μ Ι ΧΑΗΛ

ΚΟΚΚΑΛΙΑΡΗ ΣΟΦΙΑ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

ΞΑΝΘΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΠΕΙΡΑΙΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΚΑΚΗ ΚΑΛΛΙΟΠΗ

Μ ΠΛΑΤΣΗ ΖΩΗ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΑΔΑΣ Π ΕΤΡΟΣ

Ι ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΝΕΑΣ ΙΩΝ ΙΑΣ

ΚΑΝΤΖΑΡΙΔΟΥ MAPIA

Α Γ . ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Ι Ε Ρ Α Π ΠΡΑΣ

Μ Α ΓΝΗΣΙΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΞΑΝΘΗΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

Ν ΙτΣΑΚΟΥ KATEPINA

ΚΥΡΓΟΥ ΧΡΥΣΟΥΛΑ

"JEANNE D' ARC"

Κ.\ΩΝΤΖΑΣ Μ Ι ΧΑΗΛ

\ ο E N I A I O Λ Y K E I O Ν ΕΑΣ ΙΩΝ ΙΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΞΑΝΘΗΣ

Α Γ . ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

E N I A I O Λ Y K E I O Α Γ Ι Ο Υ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ

ΜΑΓΝΗΣΙΑΣ

ΧΟΝΔΡΟΥ MAPIA

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΜΑΚΡΙΔΗ ΕΛΕΝΗ ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ

"JEANNE D' ARC"

ΡΑΠΤΗΣ Ν Ι ΚΟΣ

\ ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ γ κ ε ι Ο ΞΑΝΘΗΣ

ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

6ο E N I A I O Λ Υ ΚΕΙ Ο ΒΟΛΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

\ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π ΕΡΑΜΑΤΟΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Ι Ε ΡΑΠΠΡΑΣ

ΣΠΑΘΗΣ Α ΓΓΕΛΟΣ

ΚΕΧΑΓΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΣΕΡΓΗΣ ΙΩΝΑΣ

ΠΑΠΑΣΠΥΡΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

6ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΞΑΝΘΗΣ

Α Γ . ΠΑ Υ ΛΟΣ ΕΛΛΗΝΟΓΑ Λ Λ Ι Κ Η

ΣΟΥΣΑ Μ Λ Η ΜΑΡΙΑΝθΗ

ΣΤΑ VPIANOV ΔΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΟΛΗ Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΓIΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ

6ο EN I A I O Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΤΣΙΡΙ ΓΚΑΚΗΣ ΣΠΥΡΟΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΣΟΥΡΔΑΚΟΣ Ν Ι ΚΗΤΑΣ ΤΑΣΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

I ο E N I A I O Λ YKEIO ΞΑΝΘΗΣ

ΤΣΑΛΑΤΖΙΔΟΥ-ΦΟΥΝΤΑ ΤΖΟΥΛ Ι Α ΜΑΡΙΑ

ΠΕΙΡΑΙΑ

ENIAIO Λ YKEIO Ν Ε Α Π Ο Λ ΕΩΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΛΟΥ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΕΙΡΑΙΑ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

Ψ ΑΡΟΓΙΩΡΓΟΣ ΣΠΥΡΟΣ

ΓΕΩΡΓΙΑΔΗ ΑΝΝΑ

Φ Ι Λ Ι Π Π ΙΔΗΣ Π Α ΡΑΣΚΕΥ ΑΣ "JEANNE D' ARC" ΧΡΗΣΤΑΚΟΥ ΒΑΣ Ι Λ Ι ΚΗ

ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΤΖΩ?τΖΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

6ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O Ν Ι ΚΑ Ι Α Σ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Ι Ε Ρ Α Π ΠΡΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΙΑΛΟΥΣΗΣ Μ Ι ΛτΙΑΔΗΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΒΟΥ ΔΟΥΡΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

\ο Ε Ν Ι Α \ 0 Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Ε ΡΑτΣΙΝ ΙΟΥ

ΧΑΝΙΩΤΑΚΗΣ Π ΕΤΡΟΣ

3 ο E N I A I O Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

ΓΙΑΝΝΟΥ ΛΙΔΗΣ ΣΩΤΗΡΗΣ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Ι Ε Ρ Α Π ΠΡΑΣ

ΓΚΟΥΠΑΣ Ν Ι ΚΟΣ

\ ο E N I A I O Λ Y K E I O Κ ΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΒΟΛΟΥ

E N I A I O Π Ε Ι Ρ . Λ Y K E I O ZANNEIOY

Α Γ . ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

"JEANNE D' ARC"

ΑΓ. ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥθΥΜΙΟΥ ΕΥΓΕΝΙΑ

Α Γ . Π Α Υ ΛΟΣ Ε Λ Λ Η Ν Ο ΓΑ Λ Λ Ι Κ Η

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΡΜΙΤΖΗ ΚΑΛΛΙΟΠΗ

Α Ι ΒΑΛΙΩΤΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

Ίο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΟΛΟΥ

Σ Χ Ο Λ Η Π Ε Ι ΡΑΙΑ

2ο ENIAIO Λ Y K E I O Κ ΕΡΑτΣΙΝ ΙΟΥ

ΚΑΝτΙΩΤΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΓΚΙΟΚΑ MAPIA

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Ι Ε Ρ Α Π ΠΡΑΣ

ΠΑΓΩΝΟΠ ΠΟΥΛΟΣ ΣΩΤΗΡΗΣ

ΓΚΙΡΙΤΗ ΕΛΙΣΑΒΕΤ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

5ο E N I A I O Λ Y K E I O ΒΟΛΟΥ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

ΒΑΣΑΡΜΙΔΗ E I P H N H

ΣΚΟΥΛΑΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΣ

ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΤΕΛΗΣ

ΚΑΡΕΛΛΗΣ ΧΑΡΗΣ

2ο EN I A I O Λ Y K E I O Ι Ε Ρ Α Π ΠΡΑΣ

8ο ENIAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

Α Γ . Π Α γ ΛΟΣ Ε Λ Λ Η Ν Ο ΓΑ Λ Λ Ι Κ Η

1 2ο E N I A I O Λ Y K E I O Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

Δ Ε ΡΜ ΙτΖΑΚΗΣ Μ ΑΝΩΛΗΣ

ΓΟΝΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΑΠΟΣΤΟΛΗΣ

"JEANNE D' ARC" ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΗ Ν Ι ΚΟΛ

ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΤΖΕ Ρ Μ Ι ΑΔΩΝ

6ο ENIAIO Λ YKEIO ΒΟΛΟΥ

Α Γ . ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓΑ Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ

6ο E N I A I O Λ Y K E I O Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Α Γ . ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓ ΑΛΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

ΣΧΟΛΗ ΠΕΙΡΑΙΑ

ΚΕΡΑΜΙΔΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΔΟΡΓΙΑ ΙΣΜ Η Ν Η

ΜΟΥΣΙΚΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΒΟΛΟΥ

"JEANNE D' ARC"

ΕΥΣΤΡΑτΙΟΥ ΑΝΝΑ

2 ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ Κ Ε ΡΑτΣΙΝ ΙΟΥ

2ο ENIAIO ΛY K E I O Ι Ε Ρ Α Π ΠΡΑΣ

ΜΕΣΣΗΝΙΑΣ

ENIAIO ΠΕΙΡ. Λ YKEIO ZANNEIOY

ΛΟΥΡΟΥΝΤΖΗΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε \ 0 ΚΟΡΥΔΑΛΛΟΥ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΣΑΚΕΛΛΑΡΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΚΟΛΛΑ ΧΡΥΣΟΥ ΛΑ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΕΙΡΑΙΑ

ΕΜΠΕΡΛΕ ΣΙτΑ

ΕΣΠΑΝΙΟΛ ΟΔΥΣΣΕΑΣ

ΘΕΜΕΛΗΣ ΦΙΛΙΠ ΠΟΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ

4ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

3 ο ENIAIO Λ YKEIO Ν Ι ΚΑ Ι Α Σ

3ο E N I A I O Λ Y K E I O Κ Ε ΡΑτΣΙΝΙΟΥ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΘΕΟΔΩΡΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

ΚΑΛΑΜΠΟΚΗ ΗΛΙΑΝΑ

ΜΕΛΛΙΟΥ KATEPINA Α Γ . ΙΩΣΗΦ ΕΛΛΗΝΟΓ Α Λ Λ Ι Κ Η ΣΧΟΛΗ

ΜΑΝΟΥΣΙΑΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜ ΠΟΣ

"JEANNE D' ARC"

4ο E N I A I O Λ Y K E I O Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε ΙΟ Α Μ Π Ε Λ Α Κ ΙΩΝ

ENIAIO Λ YKEIO Α ΓΙΟΥ Ν Ι ΚΟΛΆΟΥ

ΚΟΜΕΣΣΑΡΙΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΣΑΛΑΜ ΙΝΑΣ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

4ο E N I A I O Λ YKEIO Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΚΑΡΠΟΔΙΝΗ ΧΡΙΣτΙΝΑ

Π ΕΡΟΝ Ι ΚΟΛΗΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΚΟΡΟΜΗΛΑ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΑ

2ο E N I A I O Λ YKEIO Κ Ε Ρ ΑτΣΙΝ ΙΟΥ

!ο E N I A I O Λ Y K E I O Ι Ε Ρ Α ΠΠΡΑΣ . ΛΑΣΙΘΙΟΥ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΚΛΗΜΟΥ ΕΥ ΑΓΓΕΛΙΑ

ΚΥΡΙΟΠΟΥ ΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

ΜΟΥΣΙΚΟ Λ Y K E I O Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

3 ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Ε ΡΑΤΣΙΝΙΟΥ

ΠΛΑΤΑΚΗ MAPINA

3 ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΚΟΥΡΕΤΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

ΜΠΟΜΠΟΤΑΣ ΑΓΟΡΑΚΗΣ

E N I A I O Λ Y K E I O Α Γ Ι Ο Υ Ν Ι ΚΟΛΑΟΥ

Μ ΠΕΧΡΑΚΗΣ Π ΕΤΡΟΣ

1 2ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

I Οο E N I A I O Λ Y K E I O Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

\ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΚΟΥΦΑΤΖΙΔΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

ΠΕΛΛΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΑΒΟΥΣΑΝΟΥ ΣΟΦΙΑ ΙΩΑΝΝΑ

ΧΡΙΣτΙ ΝΑΚΗΣ ΓIΩΡΓΟΣ

ΜΟΚΑΣ Δ Η Μ Η Τ ΡΙΟΣ \ο ENIA\0 ΛΥΚΕΙΟ Π Ε ΡΑΜΑΤΟΣ ·

Μ ΠΑΛ ΤΖΗΣ ΣΠΥΡΟΣ

Μ Π Ο ΡΑ ΜΑΡΓΑΡΙΤΑ

1 2ο ENIAIO Λ YKEIO Π Ε Ι Ρ Α Ι Α

!ο ENIAIO Λ YKEIO ΙΕΡΑΠΠΡΑΣ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Κ Α Λ Α Μ ΑΤΑΣ

ΚΟΥΦΟΠΑΝΤΕΛΗ ΤΖΟΥΛ Ι Α Ν Ν Α

ΚΑΛΙτΑΚΙΔΟΥ ΣΟΦΙΑ

ΛΑΣΙΘΙΟΥ

ΦΟΥΡΝΑΡΑΚΗΣ ΜΑΡΙΟΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Π Ε Ι Ρ . Λ Υ Κ Ε \ 0 ΖΑΝΝ Ε \ Ο γ

3 ο E N I A I O Λ YKEIO ΠΑΝΝΠΣΩΝ

ΛΕΣΒΟΥ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΛΑΜΑΤΑΣ

ΠΕΙΡΑΙΑ

ΚΟΝΔΥΛΗ ΓΑΛ Η Ν Η

Α ΛΥΚ Ε Ι ΟΥ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΥΡΓΙΑΛΑΝΗ ΒΑΣΙΛ Ι Κ Η

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΕΔΕΣΣΑΣ Π Ε Λ Λ Α Σ

Μ Α Υ Ρ Ι ΚΟΣ ΜΑΝΩΛΗΣ

ΒΕΛΙΣΣΑΡΗ ΧΡΙΣτΙΝΑ

ΕΥΚΛΕ ΙΔΗΣ Β' τ. 3/43

ΛΑ ί ΔΟΥ ΣΤΑΜΑτΙΑ

Αποτελέσματα Π ανελληνίου Δ ιαγωνισ μο ύ «0 ΘΑΛ ΗΣ» 9-1 2-2006

------

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΕΔΕΣΣΑΣ Π ΕΛΛΑΣ

3ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

Ι ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε ΙΟ Τ Ρ Ι Κ ΆΛΩΝ

ΜΑΝΩΛΟΓΛΟΥ ΣΟΦΙΑ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΚΛΙΑΦΑ ΑΘΗΝΑ EPI KETH

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΚΥΔΡΑΣ

ΚΟΚΟΖΙΔΟΥ ΧΡΙΣΠΝΑ

Ι ο ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ Τ Ρ Ι ΚΆΛΩΝ

E N I A I O Λ Y K E I O Α ΤΑΛΑΝΤΗΣ

Μ Π Ε ΚΤΣΗΣ Τ ΡΥΦΩΝ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΚΟΜΠΟΛΙΑΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

3ο E N I A I O Λ Y K E I O ΗIΚΑΛΩΝ

ΤΟΥΝΤΛΣ ΣΤ ΑΜΑ ΤΗΣ

ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥ ΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΠΝΟΣ

I ο E N I A I O Λ Y K E I O ΕΔ ΕΣΣΑΣ

ΡΟΔΟΠ ΙΙΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥ ΛΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΚΥΡΙΑΖΟ ΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΜΑΓΚΟΥΤΗΣ ΒΛΣΙΛ Η Σ

ENIAIO Λ YKEIO Μ Α Λ ΕΣΙΝΑΣ

E N I A IO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΚΥΔΡΑΣ

Ι ο E N I A IO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

3ο E N I A I O Λ Y K E I O Τ Ρ Ι Κ ΆΛΩΝ

ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΜΑΝΤΖΙΟΣ ΟΡΕΣΤΗΣ

ΤΣΙτΣΙ Μ Π Η Σ ΗΛΙΑΣ

E N I A I O Λ Y K E I O ΚΡΥ ΑΣ ΒΡΥΣΗΣ

ΜΠΑΝ ΙΩΤΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ

3 ο Ε Ν Ι Λ Ι Ο Λ Y K E IO Η Ι ΚΑΛΩΝ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Λ Α Μ ΙΑΣ

Π ΕΛΛΑΣ

2ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

Μ Π ΑΚΩΣΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Π ΙΠΡΟΥ ΕΛΕΝΗ

ΡΟΔΟ Π Η Σ

3ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΣΚΥ ΔΡΑΣ

Π Α Π ΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΣΤΑΣ

ΠΑΝΑΓΙΩΠΔΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ

VI Π E KA ΕΛΕΝΗ

ΦΑΩΡΙΝΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΡΠΕΝΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΠΙΑ ΤΣΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

4ο ENIAIO Λ Y K E I O Η Ι Κ Α ΛΩΝ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΦΛΩΡΙΝΑΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΕΔ ΕΣΣΑΣ Π Ε Λ Λ ΑΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΤΕΡΖΑΝΙΔΟΥ ΕΛΙΣΆΒΕΤ

ΣΙΣΜΑΝ ΙΔΗΣ ΣΤΥΛΙ ΛΝΟΣ-ΜΑΡΙΟ

E N I A IO Λ Y K E IO Ο Ι Χ Α Λ ΙΑΣ Τ Ρ Ι ΚΆΛΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΥΣΙΑΣ ΜΙΧΑΗΛ

I ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΕΔΕΣΣΑΣ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΦΛΩΡΙΝΑΣ

ΤΣΑΒΛΙΔΟΥ MAPIA I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΕΔ ΕΣΣΑΣ ΧΡΗΣΤΆΚΗ ΚΩΝΣΤΑ ΝΠΝΑ

ΡΟΔΟ Π Η Σ

3ο E N I A I O Λ YKEIO Τ Ρ Ι Κ Ά ΛΩΝ

ΣΙΩΚΗΣ ΒΑΣΙΛ Ε Ι ΟΣ

ΣΤΕΦΑΝ Η Σ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΤΑΤΣΙΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

E N I A I O Λ Y K E I O AMYNTAIOY

3ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝ Η Σ

4ο ENIAIO Λ YKEIO Τ Ρ Ι ΚΆΛΩΝ

ΦΛΩΡΙΝΑΣ

ΦΩΚΙΔΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΌΛΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΑ ΕΝΙΑΙΟ Α ΥΚΕΙΟ ΠΕΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ ΚΑΛΛΙΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ENIAIO Α YKEIO Α Μ Φ Ι ΣΣΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ ΚΟΥΡΕΑΗ ΟΛΓΑ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΣΚΥ ΔΡΑΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ε ΡΥΘΡΟΠΟΥΛΟΥ-ΚΑΛ ΤΣΙΔ ΛΝΑΣΤΑΣΙΑ

ΤΣΙΜΟΥΗΑΚΙΔΟΥ ΞΑΝΘ Ι Π Π Η

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΗΣΟΠΟΥ ΛΟΥ ΦΙΛΟΘΕΗ

3ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

4ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Τ Ρ Ι ΚΆΛΩΝ

ΡΟΔΟ Π Η Σ

ΚΑ ΤΣΑΔΩΡΑ ΚΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

Ι ο Λ YKEIO ΓΙΑΝΝ ΙτΣΩΝ

ΨΑΘΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ-ΠΑΝΑ

6ο E N I A I O Λ Y K E I O Η Ι Κ ΑΛΩΝ

ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΔΟΥ ΛΟΥ ΒΑΣΙΛ I Κ Η

3 ο ENIAIO Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΚΑΤΣΑ ΝΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΕΔΕΣΣΑΣ Π Ε Λ Λ Α Σ

ΡΟΔΟ Π Η Σ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O Τ Ρ Ι Κ ΆΛΩΝ

ΣΤΑ Θ Η Σ ΛΑΜ Π ΡΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑΜΟΥΡΙΔΗΣ ΜΑΡΙ ΝΟΣ

Μ Π ΡΑΖΙτΙ ΚΟΣ ΣΙΛΟΥ ΑΝΟΣ

ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Α Μ Φ Ι ΣΣΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ

J o ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Η Ι Κ Α ΛΩΝ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΠΑΠΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΕΥΓΕΝΙΑ

Β ΑΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΡΓΑΚΗΣ Ν ΙΚΗΤΑΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΕΔ ΕΣΣΑΣ Π ΕΛΛΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΟΛΚΛΣ ΛΠ ΟΣΤΟΛΟΣ

ENIAIO Λ Y K E I O ΠΕΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

6ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Τ Ρ Ι ΚΛΛΩΝ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΓΙΑΝΝ ΠΣΩΝ

ΕΥΣΤΑΘΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΣΓΟΥΡΑΛΗ ΕΛΕΝΗ

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

Π ΕΛΛΑΣ

3ο Ε Ν Ι Λ Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΑΛ Α Μ Π Α ΚΑΣ

E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ Π Ε Α Σ ΦΩΚΙΔΑΣ

Π ΕΝΤΕΡΙΔΗΣ ΛΑΖΑΡΟΣ

ΡΟΔΟΠ Η Σ

ΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

E N I A I O Λ YKEIO ΣΚΥΔΡΑΣ

ΚΥΡΓΕΛΑΝΗΣ Ν Ι ΚΟΣ

3 ο ENIAIO Λ YKEIO Η Ι ΚΛΛΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΟΦΑΝΗ ΕΛΕΝΗ

Ι ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε ΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΣΦΗΝΑ ΕΛΕΝΗ ΑΝΝΑ

ENIAIO Λ YKEIO Α Μ Φ ΙΣΣΑΣ ΦΩΚΙΔΑΣ

3 ο Ε Ν Ι Λ Ι Ο Λ Y K E I O ΓΙΑΝΝ ΠΣΩΝ

ΡΟΔΟΠΗΣ

3ο Ε Ν Ι Λ Ι Ο Λ YKEIO ΤΡΙ ΚΑΛΩΝ

Π ΙΕΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΩΑΝ Ν Ι ΔΟΥ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ

ΠΛΠΑΝΤΩΝΙΟΥ ΕΛΕΝΗ

ΤΖΑΤΖΛ ΡΑΚΗΣ Ε Μ Μ ΑΝΟΥΗΛ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ Y K E I O Τ Ρ Ι Κ Ά ΛΩΝ

ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ A AYKEIOY ΚΛΡΑΜΑ Υ ΡΟΣ ΣΤΥ ΛΙΑ:ΙΙ ΟΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΧΑΡΙΣΗΣ Ν Ε ΚΤΑΡΙΟΣ

E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΣΣΑΝΔΡΑΣ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

ΤΑΚΑ ΕΥΔΟΞΙΑ

3ο ENIAIO Λ YKEIO ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΡΩΜΑΝΙΔΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΜΑΚΡΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ

ΡΟΔΟΠΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΡΑΘΑΝΑΣΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

ΤΟΚΜΑΚIΔΗΣ ΠΑΝΑ ΓΙΩΤΗΣ

3ο ENIAIO Λ Y K E I O Τ Ρ Ι Κ Ά ΛΩΝ

XANIA A AYKEIOY ΒΟΡ.10Υ ΧΡΙΣΠΝΑ

Π Ι Ε Ρ Ι ΑΣ

2ο E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗ Ν Η Σ

ΚΕΡΑΜ ΙΔΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

3 ο E N I A I O Λ Y K E I O ΧΑΝ ΙΩΝ

ΝΤΑΛΑΜ Π Ε ΚΟΣ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

ΡΟΔΟ Π Η Σ

3ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο Τ Ρ Ι Κ Ά ΛΩΝ

ΓIA!'O:II IKAKI MAPIA 3 ο E N I A IO Λ Y K E I O ΧΑ Ν ΙΩΝ

Π Ι ΕΡΙΑΣ

Ι ο ΕΝΙΛΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

ΧΡΗΣΠΔΗΣ ΧΡΙΣΤΟΣ

ΚΡΥΝ ΙτΣΛ E PPIKA

Π Ι Ε ΡΙΑΣ

3ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Τ Ρ Ι Κ Ά ΛΩΝ

ΚΑΡΜΠΑΔΑΚΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΠΑΡΙΣΣΟΠΟΥΛΟΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΛΙτΣΙΟΣ ΛΕΩ:Ι!ΙΔΑΣ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΤΩΝΙ ΛΔΟΥ-ΠΛΥΤΑ ΡΙΑ KYPIAKH

E N I A I O Λ Y K E I O Ο Ι Χ Α Λ Ι Α Σ ΤΡΙ ΚΆΛΩΝ

ΚΟΝΤΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

ΠΛΡΙΣΙΔΗΣ ΑΡΓΥΡΗΣ

3 ο E N I A I O Λ YKEIO ΧΑ Ν ΙΩΝ

Π Ι ΕΡΙΑΣ

3ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ENIAIO Λ YKEIO Ο I Χ Λ Λ ΙΑΣ Τ Ρ Ι ΚΛΛΩΝ

ΚΟΥ ΡΙΔΛΚΗ ΧΡΙΣΠΝΑ

ΤΣΙΑΧΡΗ ΣΤΟΣ ΗΛΙΑΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΧΑΝ ΙΩΝ

ΤΖΑΦ ΕΡΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

4ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

ΒΑΡΕΛΑ E I P H N H

6ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε ΙΟ Τ Ρ Ι Κ Α ΛΩΝ

Μ Π ΟΥΡΝ ΑΖΟΣ ΑΓΓΕΑΟΣ

ΧΑΡΑΛΑΜ Π Ι Δ Η Σ ΣΟΦΟΚΛΗΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

3 ο ENIAIO Λ ΥΚΕΙΟ Χ Α Ν ΙΩΝ

Ι ο ΕΝΙΑΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΤΕΡΙΝΗΣ

ΡΟΔΟΠ ΗΣ

ΦΘΙΩτΙΔΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΑΡΟΔΗ:νΙΟΣ ΕΥΣΤΡΑΠΟΣ

ΞΥΛΑΚΗ MAIPH 2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΧΑΝ ΙΩΝ

Π Ι Ε ΡΙΑΣ

ΓΕΩΡΓIΑΔΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΑ

ΠΡΕΒΕΖΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΟΣ ΑΝΑΣΤ ΑΣΙΟΣ

Ι ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

Ι ο Ε Ν Ι Λ Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ Λ Α Μ ΙΑΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΚΟΓΙΑΣ ΜΑΡΙΟΣ-ΕΥΑΓΓΕΛΟ

ΛΕΟΝΠΔΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO Λ Α Μ ΙΑΣ

ΠΑΠΑΛΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΣ 3 ο E N I A I O Α Y K E I O ΧΑΝΙΩΝ ΣΑΡΙΔΑΚΗΣ ΜΑΘΙΟΣ

ENIAIO Λ YKEIO Π Α ΡΓΑΣ

2ο EN I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΛΟΓΟΘΕΤΗΣ ΔΗΜ ΗΤΡΗΣ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

Λ Ι Β Ι Ε ΡΑΤΟΣ ΗΛΙΑΣ

ΡΟΔΟ Π Η Σ

EN I A I O Λ Y K E I O Μ Α Λ ΕΣΙΝΑΣ

ΣΕΚΑΔΑ Κ Η Σ Δ Η Μ ΗΤΡΗΣ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O Π Ρ Ε Β ΕΖΑΣ

ΜΑ ΡΟΥ ΔΑΣ ΑΛ ΕΞΑΝΔ ΡΟΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

4ο E N I A I O Λ Y K E I O ΧΑ Ν ΙΩΝ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΜΠΟΝΙΑΣ ΚΩΝΣΤΑΙ'ο:τΙΝΟΣ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΜΑ ΥΡΙ ΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΣΠΒΑΝΑΚΙ ΧΡΥΣΑ Φ Ι Α Ι Π Π Α

ΡΟΔΟ Π Η Σ

4σ E N I A I O Λ Y K E I O Λ Α Μ ΙΑΣ

4ο E N I A I O Λ Y K E I O ΧΑΝ ΙΩΝ

2ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ Π Ρ Ε Β ΕΖΑΣ

ΣΚΑΡΛΑτΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ

ΠΑΠ ΠΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΦΑΝΤΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝ ΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Λ Α Μ Π ΡΟΥ ΛΑΜΠ ΡΟΣ

Ι ο Ε Ν Ι Λ Ι Ο Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

3ο E N I A I O Λ YKEIO Λ Α Μ ΙΑΣ

4ο ENIAIO Λ Y K E I O ΧΑΝ ΙΩΝ

ΡΟΔΟΠΗΣ

2ο ΕΝ Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Ρ Ε Β ΕΖΑΣ

ΧΑΤΖΗ Ν Ι ΚΟΛΛΟΥ Δ Η Μ ΗΤΡΙΟΣ

Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΜΑΛΕΣΙΝΑΣ

Β ΑΥΚΕΙΟΥ ΒΟΥΓΙΟΥΚΑΛΑΚΗ ΟΛΓΑ

ΜΕΛΕΚΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ

Ι ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε ΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΠΕΡΛΕΠΕ ΓΑΡΥΦΑΛΛΙ Α-ΕΙ Ρ Η

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Π Ρ Ε Β ΕΖΑΣ

ΡΟΔΟ Π Η Σ

ΤΡΙΑΝΤ ΑΦΥ ΛΛΟΥ E I P H N H

ΓΟΥ ΑΕΑΚΟΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΠΕΠΟΝΗΣ ΘΩΜΑΣ

ΧΙΝΕΛΗΣ ΠΑΝΟΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΠΟΥΚΑΛΗ

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Χ Α Ν Ι ΩΝ

2ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO Π Ρ Ε Β ΕΖΑΣ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΧΑΝΤΖΑ ΚΟΥ Φ ΡΑ:-ΙΤΖΕΣΚΑ

ΚΟΥΤΣΑ ΚΗ ΠΛΟΥ Λ Ι Ν Α

ΡΕΘΥΜΝΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΛΜΑΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ΕΚΠΛΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΠΟΥΚΑΛΗ

3ο E N I A I O Λ Y K E I O ΧΑΝ ΙΩΝ

ΣΑ ΜΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓIΟΚΑ Ρ Ι Ν Η ΑΘΗΝΑ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΚΕΝΕΡΑΛΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΤΡΑΚΑΚΗ ΘΑΑΕΙΑ

ΠΕΙΡ. ENIAIO ΛYKEIO

E N I A I O Λ Y K E I O Α Μ Φ Ι Κ Λ Ε ΙΑΣ

ΧΑ Ν ΙΩΝ

Π Α Ν Ε Π Ι Π Η Μ ΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΥΘΑΓΟ Ρ Ε Ι Ο ENIAIO Λ Y K E I O ΣΑΜΟΥ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

ΦΥl'ΡΑΚΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ

ΚΑΡΟΥΜ Π Η Σ ΓΙΩΡΓΟΣ

2ο ENIAIO Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

ΤΖΩΡΤΖΙΝΑΚΗΣ ΜΑ ΡΙΟΣ

ΛΟΥΚΑΔΑΚΗΣ Ε Μ ΜΑΝΟΥΗΛ

ENIAIO Λ Y K E I O Π Α Λ Α ΙΟΧΩΡΑΣ

Π Ε Ι Ρ . ENIAIO Λ Y K E I O

E N I A I O Λ ΥΚΕΙΟ ΣΑΜΟΥ

ENIAIO Λ YKEIO ΑΜΦΙΚΛΕΙΑΣ

Π Α Ν Ε Π ΙΣΗΙΜ ΙΟΥ Κ Ρ Η Τ Η Σ

ΤΖΑΝ Η ΑΣΠΛΣΙΑ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

Γ AYKEIOY ΓIΑΚΟΥΜΑΚΗΣ ΘΟΔΩΡΗΣ ΜΑΡΙΟΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΜΑΛΑΚΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

ΠΥΘΑΓΟ Ρ Ε Ι Ο E N I A I O Λ Y K E I O ΣΑΜΟΥ

Λ Α Μ Π Ρ Ι Ν Ι Δ Η ΘΕΟΛΩΡΑ

2ο E N I A I O Λ Y K E I O ΧΑΝ ΙΩΝ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΗΠ ΚΟΣ :ΙΙ Ι ΚΟΛΑΟΣ

ΦΘΙΩl'ΙΔΑΣ

Λ Υ Κ Ε Ι Ο Ν ΕΑΣ ΚΥΔΩΝ ΙΑΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΓΥΡΙΔΗ ΑΜΑΛΙΑ

ΚΛΩΘΑΚΗΣ ΑΝΔΡΕΑΣ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΡΕΘΥΜΝΟΥ

EN I A I O Λ Y K E IO ΑΤΑΛΑΝΤΗΣ

ΚΑΣΑΜΠΑΑΗΣ ΒΑΣΙΑΗΣ

ΡΟΔΟΠΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΑΜ ΠΑΤΖΗ ΔΕΣΠΟΙΝΑ

ΠΥΘΛΓΟ Ρ Ε Ι Ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ ΥΚΕΙΟ ΣΑ ΜΟΥ ΠΥΘΑΓΌ Ρ Ε Ι Ο ENIAIO Λ Y K E I O ΣΑΜΟΥ

Ι ο E N I A I O Λ Y K E IO ΛΑΜ ΙΑΣ

ΤΣΙ ΡΑΝΤΩΝΑΚΗ ΔΑΝΑΗ

Ι ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΠΟΛΥΕΖΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΖΑΡΚΑΣ ΧΑΡΑΑΑΜΠΟΣ

4ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΧΑΝ ΙΩΝ

ΡΟΔΟΠΗΣ

ENIAIO ΛΥΚΕΙΟ ΣΑΜΟΥ

E N I A I O Λ Y K E I O Α ΤΑΛΑΝΤΗΣ

ΤΣΙΧΛΑΚΗΣ Ν Ε ΚΤΑΡΙΟΣ

ΔΟΥΡΟΥΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΣΕΡΡΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΞΑΝΘΟΠΟΥ ΛΟΥ ΕΥΘΑΛΙΑ I ο ΕΝΙΛΙΟ Λ Y K E IO Σ Ε Ρ ΡΩΝ ΡΟΝΤΣΗΣ Ν Ι ΚΗΤΑΣ

ΦΘΙ!ΠΙΔΑΣ

4ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΧΑΝ ΙΩΝ

ΖΩΓΟΠΟΥ ΛΟΣ-ΠΑΠΑΛΙΑΚΟ ΓΙΩΡΓΟΣ

4ο E N I A I O Λ YKEIO ΧΑΝ ΙΩΝ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΑΤΑΛΑΝΤΗΣ

ΧΑΤΖΗΔΑΚΗΣ Π Α ΝΑΓΙΩΤΗΣ

3 ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ ΡΟΔΟΠ Η Σ

ΕΠΤΑΜΗΝ ΙτΑΚΗΣ Ν Ι ΚΟΛΑΟΣ I ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ Y K E I O ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΜΗΤΣΟΥ ΠΛΝΑ ΓΙΩΤΗΣ

Λ Y K E I O Ν ΕΑΣ Κ Υ ΔΩΝ ΙΑΣ

ΧΑΙ ΡΕΤΗΣ Ν Ι ΚΟΣ

ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

3 ο ENIAIO Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΧΑΝ ΙΩΝ

ΚΑΝΕΛΛΟΠΟΥ ΛΟΣ ΠΑΝΑ ΓΙΩΤΗΣ ΛΑΪΝΑ Η ΡΩ 4ο Ε Ν Ι Λ Ι Ο Λ Υ Κ Ε Ι Ο Λ Α Μ Ι Α Σ

ΧIΟΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΥΛΩΝΑ KYPIAKH

ΡΟΔΟ Π Η Σ

ΜΟΥΣΙΚΟ Λ YKEIO Σ Ε Ρ ΡΩΝ

Ι ΓΝΑΤΑΚΗΣ Α ΝΕΣΤΗΣ ΡΟΔΟ Π Η Σ

ΤΡΙΚΑΛΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΖΩΓΡΑΦΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΘΑΝΟΣ

E N I A I O Λ Y K E I O Ο Ι Χ Α Λ ΙΑΣ Τ Ρ Ι Κ Ά ΛΩΝ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ YKEIO ΚΟΜΟΠΙΝΗΣ

ΚΑΒΑΛΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Ν Ι ΚΟΑΟΥΤΣΟΣ ΑΑΕΞΑΝΛΡΟΣ I ο ΕΝΙΑΙΟ ΛYKEIO ΛΑΜΙΑΣ ΝΤΑΝΑΣΗΣ Π Ε Ρ Ι ΚΛΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Λ ΕΟΝΤΑΡΑΣ ΙΩΑΝ Ν Η Σ

ΡΟΔΟΠΗΣ

3ο Ε Ν Ι Α Ι Ο Λ YKEIO Τ Ρ Ι ΚΆΛΩΝ

Ι ο ENIAIO ΛYKEIO ΛΑΜΙΑΣ

E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο ΒΡΟΝΤΑΔΟΥ Χ ΙΟΥ

ΚΑΦΑΛΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝτΙΝΟΣ

ΚΑ ΨΙΩΤΗΣ ΞΕΝΟΦΩΝ

3 ο ΕΝΙΑΙΟ Λ ΥΚΕΙΟ ΚΟΜΟΤΗΝΗΣ

ΕΥΚΛ ΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/44

3 ο E N I A I O Λ Υ Κ Ε Ι Ο Χ ΙΟΥ

ΚaΙιιιι8τιιιet ,.. I'IIP lr �ιllιι 'W•ιι Αιι••Ι•ιι Άλγεβρα περί προόδων

Καρ ακα τσάνης Βασίλης, Κυριακόπουλος Θ ανάσης, Καρδαμίτσης Σπύρος «Στη βάση ποί.ί.ών μ α θημ α τικών α νακαλύψεων βρίσκεται μια εντελώς απλή ιδέα: Ένα προφανές γεωμε τρικό σχήμ α, μι α κα ινούργια στοιχειώδης ανισότητα κ. ο. κ. Αρκεί μόνο η καινούργια αυτή ιδέα να εφαρμο στεί με τον κατάί.ί.ηί.ο τρόπο για να λυθεί η άσκηση που με την πρώτη ματιά δείχνει απλησίαστη. » Adreί Kolmogoroν

Ει δ ική κα τηγορ ία των ακολ ουθιών αν = f(ν) αποτελούν οι πρόοδοι. Στην αριθμητική πρόοδο ο γενικός όρος α ,. είνα ι ypαμμ ι κή συνάρτηση του ν, ενώ στην γεωμετρική πρόοδο ο γενικός όρος α v είναι εκθετική συ

νάρτηση το υ ν. Γι α υτό κα ι η «αργή» μεταβολή ενός μεγέθους έχει συνδεθεί με αριθμητική πρόοδο, ενώ αν το μέγεθος συνδεθεί με γεωμετρική πρόοδο έχει «αλματώδη» μεταβολή. '

Πρώτο ι α σχολήθηκα ν με τις προόδους οι Αρχαίοι Έλληνες μελετώντας τους τρίγωνους, πλευρικούς και διαμετρικούς αρ ιθμούς, ενώ μέσα από την Γεωμετρία κα ι τις αναλογίες μελέτησαν τις γεωμετρικές προό δους ( « α ναλλ οίωτος λόγος» Στοιχεία Ε ΥΚΛ ΕΙΔ Η βιβλίο ΙΧ ). Πολύ αργότερα η αντιστοιχία μεταξύ της α ριθμητικής κα ι της γεωμετρικής προόδου θα οδηγήσει στην έννοια του λογαρίθμου και της λογαριθμικής συνάρτησης (Nαpίer 1 550-1 61 7) . Από τις βασικές εφαρμογές της θεωρίας των προόδων είναι ο υπολογι σμός

δι α φόρων μορφών

αθροισμάτων.

Ένα

τέτοιο

άθροισμα

εμπλέκεται

και

στον

υπολογι

σμό(τετραγωνισμό) του εμβαδού του παραβολικού χωρίου από τον Αρχιμήδη. Ο ι Αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν το άθροισμα των όρων αριθμητικής προόδου α 1 , α2,

• • •

α ν , δηλαδή γνώ

ριζαν την ισότητα α1 + α2 + . . . + α v = � (α 1 + α v) . Το άθροισμα αυτό απαιτείται για την λύση ενός παλιού 2 ·

Κινέζικου προβλήματος (1"ς αιώνας) «Μια γυναίκα υφαίνει 5 πόδια ύφασμα την πρώτη ημέρα και ελλατώ νεται σταθερά η ύφανση φτάνοντας στο 1 πόδι την τελευταία ημέρα. Α ν η γυναίκα εργάστηκε 30 ημέρες να βρεθεί πόσα συνολικά πόδια ύφανε;» και η λύση: « Πρόσθεσε ότι ύφανε την πρώτη μέρα και την τελευταία μέρα και πάρε το μισό του αθροίσματος και τότε πολλαπλασίασε επί το πλήθος των ημερών» Τον ίδιο τύπο χρησιμοποίησε ο νεαρός τότε Gauss για να υπολογίσει ταχύτατα το άθροισμα 1 + 2 + . . . + 40 εντυπωσιάζοντας τον δάσκαλό του. Μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις του μαθηματικού μοντέλου «γεωμετρική πρόοδος» έχουμε στον περίφημο συνδυασμό « σκακιέρας - κόκκων ρυζιού» του Ινδού Sessa, και ακόμα στο "Great chaίn letter of 1 935 " και στο πρόβλημα των προγόνων: «Βρείτε πόσους προγόνους είχατε πριν από 1 000 χρόνια» (

βλέπε Ευκλείδης Β ' τεύχος 1 0, 1 993) . τέλος οι Πυθαγόρειοι ήταν εκείνοι που μέσω της «παλλόμενης χορ δής» επινόησαν τον αρμονικό μέσο και την Αρμονική πρόοδο. ΕΥΚΛ ΕΙΔΗΣ Β' τ.3/45

Μ α θη μ ατικά για την Β ' Λυκείου

I Α Ρ Ι Θ ί\1 Η τ i Κ Η

Π ΡΟΟΛΟΣ

Μια ακολουθία ονομάζεται αριθμητι κή πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με την πρόσθεση του ίδιου πά ντοτε αριθμού. Δηλαδή : αν+ = αv +ω για κάθε ν ε Ν* ο αριθμός ω= �ι-αν ονομάζεται διαφορά της προόδου. Ο Ρ Ι Σ Μ ΟΣ

� Ι ΟΣ Τ Ο Σ Ο Ρ Ο Σ

Α Ρ Ι Θ Μ Η τ Ι ΚΟΣ

Π ΡΟΟΔΟΣ

Μια ακολουθία ονομάζεται γεωμε τρική πρόοδος, αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικού αριθμό. Δηλαδή :αν+ = αν . λ για κάθε ν ε Ν* και α,:;eΟ ο αριθμός λ = αν+ιlαν ονομάζεται λόγος της προό δου. Ο Ρ Ι Σ Μ ΟΣ

I αν = α , + (ν - 1)ωl Μ ΕΣΟΣ

Ι β = ; γ ι όπου α, β, α

γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Η συνθήκη για να είναι οι α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου είναι: 2β = α + γ

I ΓΕΩΜ ΕΤΡ Ι ΚΉ

Ά Θ Ρ Ο Ι Σ Μ Α Δ Ι Α Λ Ο Χ Ι Κ Ω '\1

Ο Ρ Ω '\1

s. � Ξ · (αι + α,) � Ξ · [2α, + (ν - Ι )ω]

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ο Σ VΙ Ε Σ Ο Σ

l β =�l όπου α,

β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου μη μη δενικοί. Η συνθήκη για να είναι οι α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου είναι: β2 = · γ α

I s. � α, . fΞf λ ;' I

Α Θ ΡΟ Ι Σ Μ Α Δ Ι ΑΔ Ο Χ Ι ΚΩΝ ΟΡΩΝ

Σ Υ Μ Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ή Π Α Ρ ΆΣΤΑΣ Η Τ Ω Ν Ο ΡΩ Ν

Σ Υ Μ Μ Ε Τ Ρ Ι Κ Ή Π Α Ρ ΛΣf Α Σ Ή Τ Ω Ν Ο Ρ Ω Ν

Α Ρ Ι Θ Μ Ι-Π Ι Κ Η Σ Π Ρ Ο Ο ΔΟΥ

Γ Ε Ω Μ ΕΤ Ρ Ι Κ Η Σ Π ΡΟΟΔΟΥ

Α) Αν το πλήθος των όρων είναι περιττό. Υπάρ

χει τότε μεσαίος όρος της προόδου, έστω και αν χει τότε μεσαίος όρος της προόδου, έστω και αν ο λόγος της προόδου είναι λ τότε τους όρους της η διαφορά της προόδου είναι ω τότε τους όρους τους γράφουμε: της τους γράφουμε: χ,

χ,

. . . χ - 2ω, χ - ω, χ, χ + ω, χ + 2ω . . .. • • •

χ , - , χ, χλ, χλ2 ,

λ2 λ

. . . •

Υπάρ Β) Αν το πλήθος των όρων είναι άρτιο. Υπάρ χουν δύο μεσαίοι όροι και στην περίπτωση αυτή χουν δύο μεσαίοι όροι και στην περίπτωση αυτή τους όρους της προόδου που έχουν διαφορά 2ω, τους όρους της προόδου που έχουν λόγο λ2 , τους γράφουμε: τους γράφουμε: Β) Αν το πλήθος των όρων είναι άρτιο.

• . .

χ - 3ω, χ - ω, χ + ω, χ + 3ω

• • ••

• • • -

, - , χλ, χλ , λ

. . .•

Π Α Ρ Α ΊΉ Ρ Ή Σ Ε Ι Σ Σ Τ Η Ν Θ Ε Ω Ρ Ι Α :

Δύο πολύ χρήσιμα αθροίσματα 1)(2νν(ν-+ ....:. ") S 1 -_1 + 2 + 3 + . . . + ν - ν(ν2+ 1) ) S2 - 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + ν2 - ----'..6 .:. +----'-1) Για την απόδειξή τους το πρώτο είναι άθροισμα όρων αριθμητικής προόδου με α 1 = 1 και ω= 1 και για το δεύτερο θέτουμε διαδοχικά α = Ο, 1, 2, . . . . , ν στην ταυτότητα (α + 1)3 = α3 + 3α2 +3α +1 και προσθέ τουμε κατά μέλη. 2 . Αν (αν ) νεΝ μια ακολουθία ισχύει: αν = Sv - Sv-ι, με ν � 3 3 . Αν (αν) ν ε Ν μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω είναι: αμ+κ = ακ + μω = αμ +κω Ι.

ιι "

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/46

Μ αθηματικά για την Β ' Λυκείου

Ε ΡΩ Τ Η Σ Ε Ι Σ ΤΥΠ ΟΥ ΣΩΣΤΟ -

ΛΑΘΟΣ

Για κάθε α, β, γ R, αν α - β, β, α + β είναι δι αδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε α=β

Ε Ρ!Η Η Σ Ε Ι Σ

Π ΟΛ .\. Α Π Λ Η Σ JF: Π ι\ Ο Πη :

Αν η διαφορά μιας αριθμητικής προόδου είναι η μεγαλύτερη ρίζα και ο πρώτος της όρος η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης χ2 - 7χ + 1 Ο = Ο, τότε ο 1 οος όρος της προόδου είναι ο Β. 5 0 Γ. 37 Α. 47 2. Η ακολουθία 2, 7, 12, 16, . . .. είναι αριθμητική 5 Ε. 67 πρόοδος με διαφορά ω = Δ. 27 α3 β3 3. Σε κάθε αριθμητική πρόοδο α1, α2 , με δια- 2. Αν οι αριθμοί χ, 2 , 3αβ(α - β) είναι διφορά ω, ο όρος της αzοΟΊ είναι ίσος με αι+ αδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε: 2006ω Α. χ = α3 - β 3 Β. χ = (α + β) 3 Γ. χ = (α - β) 3 Δ. χ = 3αβ(α+β) Ε. χ = αβ 4. Σε κάθε αριθμητική πρόοδο που ισχύει: 3. Η ακολουθία (αν) με νιοστό όρο S 5 = 4 5 και S6 = 63 τότε ό έκτος όρος α6 της αν= 1 821ν +2007 είναι αριθμητική πρόοδος με προόδου είναι 1 8 διαφορά ω ίση με: Γ. 1 Β. 1821 Α. 2007 5. Μια ακολουθία α 1 , α 2 , α 3 , . · · , α ν είναι α Ε. 1 820 Δ. 2006 ριθμητική πρόοδος αν και μόνο αν οι διαφορές 4. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι α1 = 5 και α" - α" 1 των διαδοχικών όρων της είναι ίδιες α5 = 17 . Τότε η διαφορά ω είναι ίση με για κάθε ν Ν * . Α. 5 Β. 3 Γ. 4 Ε. 17 Δ. 2 5. Αν οι αριθμοί 1, �2χ + 7 , χ + 2 είναι διαδοχι 6. Για κάθε α, β, γ> Ο αν α, β και γ είναι διαδοχι κοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε: κοί όροι αριθμητικής προόδου τότε και οι α Α. χ = 2 Β. χ = -2 Γ. χ = ± 2 ριθμοί ra_ ..Jβ και .JY είναι επίσης διαδοΔ. χ = 1 Ε. χ = -3 ή χ = 1 χικοί όροι αριθμητικής προόδου. 6. Η ακολουθία ( αv) με νιοστό όρο αν = 1821 2οογ- ι είναι γεωμετρική πρόοδος � , 1_ ( α > Ο) είναι δια7 . Αν οι αριθμοί με λόγο λ ίσο με: γ Γ. 1 Β. 1821 Α. 2007 δοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, τότε Ε. 1 820 Δ. 2006 α =1 7. Σε γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο 8. Αν σε μία γεωμετρική πρόοδο είναι α 1 = α και λόγο λ, το γινόμενο . αzοο7 = 2 2007 αι = λ = 2 , τοτε Ρ ι ο = α 1 α2 α .... α 1 0 είναι ίσο με: 3 9. Αν οι θετικοί αριθμοί α, β και γ είναι συγχρό Γ. α ι ο λ zο Α. α 1 ο · λ sο Β. α 9 · λ sο νως διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμε Δ. α 1 0 λ1 00 Ε. α 1 0 · λ τρικής προόδου, τότε 8. Αν ο λόγος μιας γεωμετρικής προόδου είναι η α = β = γ. μικρότερη ρίζα και ο πρώτος όρος της η μεγα lΟ.Στην γεωμετρική πρόοδο α - 1, λύτερη ρίζα της εξίσωσης 2χ2 - 3χ + 1 =0, τότε (α - 1)α, (α - 1)α2 , . . .. με α f. 1 το άθροισμα ο έκτος όρος της προόδου είναι: των πέντε πρώτων όρων της είναι: S5 = α5 - 1 1 1 1 1 1 Α. - Β.- Γ. - Δ. - Ε. 32 31 36 33 35 ε

• • • •

...

•

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ι� ι� ι� ι: ι� ι: ι� ι: ι� ι� ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/47

Μ αθηματικά για την Β ' Λυκε ίου

Α1•

Το παρακάτω διάγραμ μα αναπαριστάνει όρους μιας ακολουθίας ( «ν) · - - - . - - - - - - - - - - - - . 1\1

:! \+3

•

5 ο

• · · ·

• '

· :

1 :!

ί) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ίί) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι συντεταγμένες όλων των σημείων της αριθμητικής προό δου. ίίί) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(7,1 7) και

Β ( �2 ,6) είναι σημεία της παραπάνω ακολουθίας. ΛΥΣΗ

i) Επειδή η ακολουθία είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν * , γνωρίζουμε ότι η γραφική της παράσταση αποτε λείται από σημεία με τετμημένες ακέραιους θετι κούς αριθμούς. Συνεπώς ο πρώτος όρος της ακο λουθίας είναι η τεταγμένη του «πρώτου» σημείου της που έχει ως τετμη μένη το θετικό ακέραιο 1, δηλαδή είναι α1 = 5 και αντίστοιχα έχουμε αz = 7 και ο νιοστός όρος της είναι αν = 2ν+3. Επιπλέον είναι αν+ι = 2(ν+1) + 3 = 2ν + 5 άρα αν+ ι - αν = 2ν + 5 - ( 2ν + 3) = 2, οπότε η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω = αν+ι - αν = 2 και πρώτο όρο αι = 5 . i). Η εξίσωση της ευθείας από την οποία διέρχο νται τα δύο «πρώτα» σημεία (1,5) και (2,7) της α ριθμητικής προόδου έχει μορφή y = αχ + β και τα σημεία αυτά την επαληθεύουν, επομένως έχουμε:

{ 5 =α·1 +β} <::::> { α + β = 5 } <::::> { = 2 } και η ευ 7=α· 2 +β 2α +β= 7 β = 3 α

θεία έχει εξίσωση y =2χ + 3. Απομένει να δείξουμε ότι οι συντεταγμένες όλων των σημείων της αριθμητικής προόδου ανήκουν στην ευθεία (ε): y =2χ + 3, επομένως αρκεί να δεί ξουμε ότι το σημείο Μ (ν, 2ν+3) επαληθεύει την παραπάνω ευθεία. Πράγματι για χΜ = ν και ΥΜ = 2ν + 3 έχουμε 2χΜ + 3 = 2ν +3 = ΥΜ οπότε το Μ ανήκει στην (ε). Άρα η εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρί σκονται οι συντεταγμένες όλων των σημείων της αριθμητικής προόδου είναι η ευθεία y =2χ + 3. iii) Το σημείο Α(7,17) προφανώς επαληθεύει την παραπάνω ευθεία, άρα είναι σημείο της ακολουθίας, αλλά το σημείο Β ( % , 6) αν και επαληθεύει την ευθεία δεν είναι σημείο της ακολουθίας διότι 3

- � Ν .. .

ι\ 1 0

Δίνονται οι ακολουθίες (αν), ν ε Ν με «t = 2, αν+t = «ν + 2 και (βν), ν ε Ν με β1 = 2, βν+Ι = «ν + βν για κάθε ν εΝ*. Να βρείτε τους «ν, β,. ως συνάρτηση του ν

Για την ακολουθία (αν), νεΝ έχουμε: αν+ι - αν = 2 συνεπώς είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω=2, τότε αν = α 1 + (ν - 1)ω = 2 + (ν-1) · 2 = 2ν Για την ακολουθία (βν) ν ε Ν έχουμε: βκ+ Ι = ακ + βκ δηλαδή βκ+ Ι = 2Κ +βκ για κάθε κε Ν * (1) Θέτοντας διαδοχικά στην θέση του κ της σχέσης (1) τις τιμές 1, 2, . . . ,ν-1 έχουμε: με κ = 1 : βz = 2 · 1 + β ι με κ = 2 : β3 = 2 · 2 + βz με κ= ν-1 : βν = 2 · (ν - l) + βv.ι και προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:

2� . . . +βv=2[1+2+ . . . +(ν - 1)]+βι+ . . . +;χ{, ή

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/48

Μ αθ ηματικά για την Β ' Λυκείου

βν _ β + 2 . ν ( ν2- 1 ) ' ή βν = 2 + ν(ν -1) αφού είναι β 1 = 2 (το άθροισμα 1 + 2 +3 + . . . + (ν - 1) είναι άθροισμα των ν-1 πρώτων όρων αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο και διαφορά ίση με 1 Σ Χ Ο Λ i Ο : Παρατηρήστε τον διαγώνιο νόμο της διαγραφής κατά την πρόσθεση. -

___.:._____:_

Λ3•

Σε μια αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω έ χουμε: α7 + αι7 30 και α9 + α2 ο 40 ί) Να βρεθεί ο πρώτος όρος α1 και η διαφορά ω της προόδου. ίί) Να βρεθεί το άθροισμα S των όρων της α ριθμητικής προόδου που βρίσκονται μεταξύ των όρων της αs και α2s · =

που περιέχονται μεταξύ των αμ και αλ όρων της όπου λ>μ+ 1 είναι όσοι οι ακέραιοι χ 1 , χ2 , . . . χρ με ταξύ των λ και μ. Όμως οι ακέραιοι μ, χ 1 , χ2 , . . . χρ, λ αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθ. προόδου (βν) με β 1 =μ, βρ+2=λ και ω=1, οπότε βρ+2=β Ι +(ρ+2-1) · 1 <:::::>λ=μ+ρ+ 1<:::::>ρ=λ-μ-1 το πλήθος. Παράδειγμα: Έστω αμ = αs και αλ = α25 τότε . . . . . ... ,αs , ........... , α2s , . . . . . . . '----ν---'

μεταξύ των α8 και α25 παρεμβάλλονται 25-8-1 = 16 όροι οπότε στο ερώτημα ii) ( άλλη αντιμετώπιση ) : S = (α 9 +2 α 24 ) · 16 = (9 +239) · 16 =384 Α�.

i) Ο πρώτος όρος α 1 και η διαφορά ω της προόδου προσδιορίζονται από την λύση του παρακάτω συ στήματος: α 7 + α 1 7 = 30 <:::::> α 9 + α 20 = 40 α 1 + 6ω + α 1 + 16ω = 30 <=> α1 + 8ω + α 1 + 19ω = 40 2 α1 + 22ω = 30 που έχει ως λύση α 1 = -7 και 2 α 1 + 27ω = 40 ω=2 ii) Από την διάταξη του αθροίσματος των όρων της αριθμητικής προόδου:

{ { {

}

Για 12 διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου ισχύουν τα εξής: Το γινόμενο των δύο ακραίων είναι ίσο με 70, ενώ το άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων όρων είναι 74. Να βρείτε τους όρους αυτούς. Λ ΥΣ Η

}

Παριστάνουμε τους 12 όρους της αριθμητικής προόδου ως εξής: α - 1 1ω, α - 9ω, α - 7ω, α - 5ω, α - 3ω, α - ω, α + ω, α + 3ω, α + 5ω, α + 7ω, α + 9ω και α + 1 1ω. Τότε σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης έχου με το σύστημα: α - 3ω + α - ω + α + ω + α + 3ω = 74 (1) (2) (α - 1 1ω)( α + 1 1ω) = 70 s8 s Από την σχέση (1) έχουμε ότι: s 1-' 7 βλέπουμε ότι το άθροισμα S των όρων της αριθμη 4α = 74 δηλαδή α = 32 και από την σχέση (2) τικής προόδου που βρίσκονται μεταξύ των όρων έχουμε: α2 - (1 1ω)2 = 70 <:::::> της αs και α2s είναι : 37 ) 2 - 70 <:::::> 3 7 ) 2 - (1 1ω) 2 =70<:::::> (1 1ω) 2= ( 2 ( <=> 2 S = S 24 - S s = 24 8 =+ (24-1)ω]-[2α [2α 1 + (8 - 1)ω] και για <=>(1 1ω)2 = 3 7 2 - 2 80 1 08 9 <=>1 1ω = 1 2 2 4 4 α 1 =-7 και ω=2 έχουμε: 33 επομενως . ω= ±3 24 = ± = ± ν{1089 . [2 . ( -7 ) +(24-1)2]- 28 . [2 . ( -7 ) +(8-1 )2]= s= 2 2 2 -τ . για ω = 23 : ρα οι οροι της προο' δου ειναι: = 384 Σ :Χ α \ Π Ο : Εάν (αν) μια ακολουθία τότε οι όροι Ά

}

α1 + α1 + . . . . + υ.s + Ut,� + . . . . + υ.1-' + α1 5

---

-----

+--

{

}

------+

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/49

Μ α θηματικά για την Β ' Λυκείου

17 - 1 1·-23 , 17 - 9·-23 , ... ' 17 + 3 17 + 9·-3 , . . , και για ω = -- : 17+ 1 1·-, 2 2 17-11·-23 11·2

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι αν οι συνεφαπτόμενες των γωνιών του τριγώνου σφΑ, σφΒ, σφΓ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητι κής προόδου, τότε και τα τετράγωνα των αντι στοίχων πλευρών του τριγώνου είναι επίσης δι αδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Αφού οι σφΑ, σφΒ και σφΓ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε: συ νΒ συνΑ συνΓ 2σφΒ = σφΑ + σφΓ ή 2 ·--=--+-ημΒ ημΑ ημΓ + ημΑσυνΓ ή 2 . συημΒν Β = συνΑημΓ ημΑη μΓ Γ) ημ(Α + _ συνΒ ημΒ ή 2 _ συνΒ ημΒ η μΑη μΓ ή 2 ημΒ ημΑημΓ ή ημ2Β = 2ημΑημΓσυνΒ (1) (αφού Α + Γ = 180° - Β θα έχουμε η μ(Α + Γ) = η μ( 180°- Β) = η μΒ) � = ημΓ Αλλά είναι ημΑ = � ' 2R 2R ' ημΒ = .1_ 2R (νόμος ημιτόνων)- β2και 2 γ2 (νόμος συνημιτόνων) συνΒ = α +2αγ τότε από την (1) σχέση έχουμε: - βz _

2 +γ2 α 2 2R 2R 2αγ 4R τότε β2 = α2 + γ2 - β2 2β2 = α2 + γ2 L =2 - � . l . �

δηλαδή τα τετράγωνα των αντιστοίχων πλευρών του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Δίνονται τρεις αριθμητικές πρόοδοι με κοινό πρώτο όρο α1 = 1 και διαφορές ωι= 1, ω 2 = 2 και ω3 = 3 αντίστοιχα. i) Να βρεθούν τα αθροίσματα Sι, S 2 και S3 των ν πρώτων όρων των τριών παραπάνω προόδων.

Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί S 1, S 2 και S3 αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. ii)

i) Για τα αθροίσματα S1, S 2 και S3 των ν πρώτων όρων των τριών παραπάνω προόδων έχουμε: Sι = 2ν ·[2α 1 +(ν-1)·ω1] = 2ν -[2·1+(ν-1 )·1 ] =

ν + 1) -·(ν 2 ν ν = ] = s 2 = -·[2α -·[2·1+(ν-1)·2] +(ν-l)·ω 2 2 2 � -2ν = ν2 2 ν 1) =-·(3ν2 ι

ii) Για να δείξουμε ότι οι αριθμοί S 1 , S2 και S3 α ποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, αρκεί να αποδείξουμε ότι: ..!_2 · (S ι+S 3 )=S 2 πράγματι έχουμε: _!_ · ( Sι + S 3 ) = ..!_ _ [ � ·(ν+1)+ � ·(3ν-1) ] = 2 2 2 2 ν 1 +3ν- 1) = -1 · -ν · 4ν = ν2 = S2 -·21 -·(ν+ 2 22 Έχουμε 4200 αντικείμενα και τα χωρί ζουμε σε ν+1 ομάδες (νεΝ*), ως εξής: Η 1η ομά δα να περιέχει 5 αντικείμενα, η 2η να περιέχει 8 αντικείμενα, η 3η να περιέχει 1 1, κ.ο.κ. Δηλαδή κάθε ομάδα να περιέχει 3 αντικείμενα περισσό τερα της προηγουμένης. i) Να βρείτε το μέγιστο πλήθος των ομάδων που μπορούμε να σχηματίσουμε. (δίνεται ότι: .JιΟΟ849 � 3 18 ) ii) Να βρείτε το πλήθος των αντικειμένων της τελευταίας ομάδας. iii) Να βρείτε το πλήθος των αντικειμένων που περισσεύουν.

i) Τα πλήθη των αντικειμένων στις ομάδες αποτε λούν διαδοχικούς όρους της αριθμητικής προόδου: 5, 8 , 11 , . . . με πρώτο όρο α ι = 5 και διαφορά ω =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/50

Μ αθ ηματικ ά για την Β ' Λυκείου

3. Η (ν+ 1) ομάδα περιέχει: <Χν+ι = αι + (ν + 1 - 1 )ω = 3ν + 5 αντικείμενα. Το πλήθος των αντικειμένων στις (ν + 1) ομάδες είναι: Sν+ Ι - ( α ι +2α ν +Ι ) · (ν + 1) (5 + 3ν + 5) · (ν + 1) = (3ν + 10) · (ν + 1) (1) 2 2 Από την υπόθεση έχουμε: Sv+I � 4200 (3ν 2 10) · (ν + 1) � 4200 3ν2 -13 ± ν'100849 -' νι '2 = ---+ 13ν - 8390 -< Ο απ' οπου 6 και οι ρίζες είναι: ν 1 3 �5 = 50,8 33 1 = -55,2 ή ν2 - 6 Άρα η ανίσωση αληθεύει για εκείνα τα ν που είναι: - 55,2 � ν � 50,8. Επειδή ζητάμε το μέγιστο πλήθος των ομάδων που μπορεί να σχηματιστεί και με δεδομένο ότι ν Ν ' έχουμε ότι η μέγιστη τιμή του ν είναι η ν = 50. Συνεπώς μπορούμε να σχηματίσουμε ν + 1 = 51 το πολύ ομάδες. ii) Η τελευταία ομάδα είναι η 5 1 και το πλήθος των αντικειμένων της είναι: αs ι = αsο+ ι = 3 · 50 +5 = 155 αντικείμενα. iii) Από την (1) για ν = 50 έχουμε: S 51 = (3 · 502+ 1Ο) · (50 + 1) = 4080, άρα απομένουν 4200 - 4080 = 120 αντικείμενα. Η επόμενη (ν+ 1) + 1 = ν+2 ο μάδα θα έπρεπε να περιέχει 3(ν+1) +5 = 3 ·5 1 +5 =158 αντικείμενα, άρα 158 -120 = 38 είναι τα επι πλέον αντικείμενα που χρειαζόμαστε για να συ μπληρώσουμε την αμέσως επόμενη ομάδα. <=>

<=>

�

(ν - 1)ω + (-κ + 1)ω = αν - (κ-1)ω ii) Με βάση το πρώτο ερώτημα έχουμε: ακ + αν-κ+ ι = αι + (κ - 1)ω + αν - (κ-1)ω = αι + αν iii) Αρκεί να αποδείξουμε ότι: [αι + (κ - 1)ω][αν - (κ-1)ω � α 1 · α ν αρκεί αιαν-αι(κ-1)ω + αν(κ - 1) ω--(κ-1)2 ω2 ] � α 1 αν, αρκεί - αι(κ-1)ω + αv(κ - 1)ω - (κ-1)2 ω2 � Ο, αρκεί (κ - 1)ω(αv - α 1 ) - (κ -1)2 ω2 � Ο, αρκεί (κ - 1)ω[α 1 +(ν - 1)ω-α 1 ]-(κ -1)2 ω2� Ο, αρκεί (κ - 1)(ν - 1)ω2- (κ -1)2 ω2 � Ο, αρκεί (κ - 1)ω2 [ν - 1 - (κ - 1)] � Ο, αρκεί (κ - 1 )ω2 (ν - κ) � Ο που ισχύει γιατί 1 <κ�ν. Λ <J .

Τα μήκη των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αν α είναι το μήκος της μικρότερης πλευράς και ω η διαφορά της προόδου, τότε να δείξετε: i) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, τότε α = 3ω ii) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι οξυγώνιο, τότε α > 3ω iii) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο, τότε α < 3ω . \. Υ Σ Η

Τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ είναι: α, α + ω, α + 2ω, με μεγαλύτερη πλευρά την α + 2ω, συνεπώς: i) Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε έχουμε: (α + 2ω)2 = α2 + (α + ω)2 α2 + 4αω +4ω2 = =α2 + α2 + 2αω + ω2 α2 - 2αω - 3ω2 = Ο (1) Θεωρώντας την σχέση (1) τριώνυμο ως προς α έ χουμε: Δ = (-2ω)2 -4(-3ω2 ) = 4ω2 +12ω2 = 16ω2 και η ε ξίσωση ( 1) έχει ρίζες: α = - ω < Ο που απορρίπτεται και α = 3ω που είναι Δίνεται η αριθμητική πρόοδος α1, α2 , δεκτή. α3, ακ, ... αν με κεΝ, l<�ν. Να αποδείξετε ότι: ii) Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, τότε: i) αν-κ+ \ = αν - (κ-l)ω (α + 2ω)2 < α2 + (α + ω)2 α2- 2αω--3ω2 > Ο που ii) ακ + αν-κ+ \ = α ι + αν αληθεύει όταν α > 3ω ( ή α < -ω που απορρίπτεται iii) ακ · α ν -κ + ι � α ι · α ν γιατί α > 0.) iii) Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, τότε έχουμε: ί) Έχουμε ότι : αν-κ+ Ι = αι + (ν - κ + 1 - 1)ω = α 1 + (α + 2ω )2 > α2 + (α + ω)2 α2 - 2αω - 3ω2 < Ο _

' � ,��

<=>

• • •

<=>

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/5 1

Μ α θηματικά για την Β ' Λυκείου

που αληθεύει όταν α <3ω . \. J Ι ι ·

Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η εξίσωση χ4 - (3λ+2) χ 2 + λ2 Ο να έχει τέσσερεις ρίζες πραγματικές που αποτελούν δι αδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. (εξετά σεις ΑΣΕΠ 2002) =

Λ 'Ι Σ Η

Αρχικά για να έχει η εξίσωση τέσσερεις ρίζες πραγματικές πρέπει η επιλύουσα της εξίσωσης, y2 - (3λ+2)y + λ2 = Ο (1) να έχει δύο ρίζες και μά λιστα να είναι θετικές, άρα πρέπει και αρκεί: {� : � δηλαδή Η πρώτη σχέση ισχύει για κάθε λ R και η δεύτε, και αρκει, ρη για ιv--- 23 . Συνεπως. πρεπει λ> -2 3. Έστω χ-3ω, χ-ω, χ+ω, χ+3ω, οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Επειδή αυτές προκύπτουν από την (1) με τον μετασχηματισμό χ2 = y θα πρέπει να είναι ανά δύο αντίθετες, επομένως θα πρέπει χ-3ω+χ+3ω=Ο δηλαδή χ = Ο. Συνεπώς οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης θα έχουν την μορφή - 3ω, - ω , ω, 3ω. Επομένως οι ρίζες της επιλύουσας ( 1 ) είναι Υι = 9ω2 , Υ2 = ω2 , και από τις σχέσεις Vieta για την εξίσωση (1) έχουμε: { Υι + y2 = 3λ + 2 <=> {9ω2 + ω2 = 3λ + 2 <=> Υι Υ = λ 9ω2 ω = λ 10ω 2 = 3λ + 2 9ω4 = λ 2 aπαλείφοντας από τις παραπάνω σχέσεις το ω2 έ χουμε: 9 { 3� � 2 ) = λ <=> 1 9λ2 - 108λ - 36 = ο . Οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης είναι λ=6, ' τι' και οι δυο' δ εκτες' αφου ειναι λ= -196 που ειναι -2 ' του ) μες, μεγαλυτερες l: Χ α\ ϊ Ο : «διτετράγωνη εξίσωση και αριθμητική πρόοδος»

}

ι:: � � ο} · ε

· { 2

· }

�

- )Υ; , - JY: , JY: , )Υ; .

Για να έχει η διτετράγωνη τέσσερεις ρίζες πρέπει και αρκεί για την επιλύουσά της να είναι: Δ > Ο, Ρ > Ο, S >Ο και αν απαιτήσουμε η διτετρά γωνη εξίσωση να έχει ρίζες διαδοχικούς όρους α ριθμητικής προόδου πρέπει και αρκεί: 2 JY: = - JY: + )Υ; δηλαδή 3 JY: = )Υ; δηλαδή 9y ι = Yz

•

� ---

}

Θεωρούμε την διτετράγωνη εξίσωση αχ4 + βχ2 + γ = Ο (α f:- Ο) (1) και την επιλύουσά της αy2 + βy +γ = Ο (2) που προκύπτει θέτοντας στην αρχική εξίσωση χ2 = y Ο . Έστω ότι η εξίσωση (2) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τις Υ ι , Υ2 με Ο< Υ ι < Υ2 τότε η εξίσωση (1 ) θα έχει ως ρίζες τις

}

ι,

Έστω η γεωμετρική πρόοδος (γ.) με λό γο λ και η αριθμητική πρόοδος (αν) με διαφορά ω. Να υπολογίσετε την παράσταση: , , . Ρν - γ γ γ (Δ ινεται Οτι. - 1)(2ν - 1) 1 2 + 2 2 +3 2 + . . . + (ν- 1) 2 ν(ν ) 6 ·

α1 1

α, 2 ••••

•

α ,. ν

Έχουμε: γν = γι λ και αν = α ι + (ν - 1 )ω, ν επομένως: Ρ = γ �' · γ �' .... γ�' = (γ λ ) =γ�' (γ , λ) (γ , λ ) λ = γ�' .λ - γ, λ = γ, ·

ν-ι

1 +ω

+ ( α 1 + ω ) + . . .+ α 1 + ( ν - Ι ) ω .

να1 + ω[ 1 + 2 + . . . � ( ν - 1 )] ν(ν-1) ν ·α 1 +ω· -2

,z.

•

α1 +2ω ·

...

ν-Ι

ε Ν*

α1 +(ν - Ι ) ω

( α 1 + ω ) + . . .+ ( ν - Ι ) [ α 1 + ( ν - Ι ) ω ]

α 1 -[ 1 + 2 + . . . + ( ν - Ι )] + i 1 1 + 2 1 + . . . + ( ν - 1 ) 1 ]ω

ν(ν-1) ν ( ν - 1 )( 2 ν - 1 ) α 1 · -- + ω 6 2

Ο Νίκος γιορτάζοντας τα 1 0α γενέθλιά του ζήτησε από τους γονείς του ως δώρο 30 € και για κάθε επόμενα γενέθλιά του να του αυξά νουν το ποσό κατά 6 €, μέχρι να γιορτάσει τα 21 α γενέθλιά του. Οι γονείς του aντιπρότειναν τα εξής: «Θα σου δώσουμε τώρα 1 € και κάθε επόμε να γενέθλια θα σου διπλασιάζουμε το προηγού μενο ποσό». Ο Νίκος σκέφτηκε λίγο και απέρ ριψε την πρόταση των γονιών του, πιστεύοντας ότι με την δική του πρόταση θα κέρδιζε περισ σότερa χρήματα όταν θα γιορτάζει τα 1 8α γενέ θλια του.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/52

Μ αθ ηματικ ά για την Β ' Λυκείου

Να δικαιολογήσετε αν συμφωνείτε ή δια φωνείτε με την άποψη του Νίκου. ii) Πόσα χρήματα θα πάρει με την δική του άποψη στα 21α γενέθλιά του και πόσα θα έπαιρνε με την πρόταση των γονιών του ; ί)

Σύμφωνα με την άποψη του Νίκου θα πάρει δώ ρο στα ωα γενέθλιά του 30€, στα 1 1 α γενέθλια 36 € στα 12α γενέθλια 42 € κ.τ.λ. Τα ετήσια δώρα του επομένως είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προό δου με πρώτο όρο α 1 = 30 και διαφορά ω = 6, οπό τε για να βρούμε τα χρήματα που θα πάρει στα 18α γενέθλιά του πρέπει να υπολογίσουμε τον ένατο όρο της προόδου, επομένως έχουμε: α9 = α 1 + (9 - 1)ω = 30 + 8 · 6 = 78 € Σύμφωνα με την άποψη των γονέων του θα πάρει 1€ στα ωα γενέθλιά του, 2€ στα 1 1 α, 4€ στα 12α κ.τ.λ. Τα ετήσια δώρα του επομένως είναι διαδοχι κοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α 1 = 1 και λόγο λ = 2, οπότε για να βρούμε τα χρήματα που θα πάρει στα 18α γενέθλιά του πρέπει να υπο λογίσουμε τον ένατο όρο της προόδου, επομένως έχουμε: α9 = α 1 . λ9 - 1 = 28 = 256 € Επομένως διαφωνούμε με την άποψη του Νίκου. ίί) Επειδή από τα 1 σα γενέθλια του Νίκου μέχρι τα 21α μεσολαβούν 12 χρόνια, έχουμε ότι με την ά ποψη του στα 21 α γενέθλια θα πάρει: α 12 = α 1 +(12-1)ω=α 1 + 1 1ω=30+1 1 6 =96€ και με την άποψη των γονέων του στα 21 α γενέ θλια θα πάρει: α 1 2 = α 1 . λ1 1 = 2 1 1 = 2048 € ! ·

�

�� 1<

ιφιθ . evδ .

ιφιθ. evδ.

ιφ ιθ. evδ.

Το άθροισμα των όρων που βρίσκονται στο 1° διάστημα είναι: sl = κ +2 2 ·(l +λ) Το άθροισμα των όρων που βρίσκονται στο 2° διάστημα είναι: κ + 2 · (λ+λ2) = κ + 2 · λ(l +λ) s2 = -2 2 --

Το άθροισμα των όρων που βρίσκονται στο ν0 διά στημα είναι: Sν = κ ; 2 . (λν- Ι +λν) = κ ; 2 · λν- 1 (1+λ) τότε το ζητούμενο άθροισμα είναι: S=S 1 +S 2+ . . .. +Sν= κ +2 2 · (l+λ)(l+λ+λ2+ . . . +λν- 1 )(1) αλλά το άθροισμα 1 +λ+λ2+ . . . +λν- Ι είναι άθροισμα ν όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο 1 και λόγο λ * 1, επομένωςν είναι: λ - 1 , άρα από την (1) σχέση 1+λ+λ2+ . . . +λν- Ι = -λ-1 έχουμε ότι το ζητούμενο άθροισμα είναι: κ + 2 · (l +λ) ·-λν - 1 S = S 1 +S 2+ . . .. + Sν = -2 λ-1 --

Αi�.

Ν α αποδείξετε ότι: 1 1 1 ... 1 - 222 2 333 3 � ψηφία

2ν

� ψηφία

.••

Α Π ΟΛ Ε i Ξ Η

� ψηφία

•••

Είναι: 1 1 1 ... 1 = 1 +ω+ ω2 + ω3 + . . . + ω2ν- Ι 2ν ω2ν - 1 ω2ν - 1 ω-1 9 ν 2 + 222 . . . 2 = 2 ( 1 ω+ ω + ω 3 + . . . + ω - Ι ) ν - 1 = 2 · ων - 1 Λ Υ :Ζ.: Η = 2 · ων ω-1 9 Σε κάθε ένα από τα ν διαστήματα (1, λ), (λ, λ2), και . . . . , (λν- Ι , λν) υπάρχουν κ + 2 όροι 333 ... 3 = 3 · ( 1 +ω+ ω2 + ω3 + . . . + ων-Ι ) ν Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος 1 , λ, λ2 , . . . ,λν (λ > 1). Σε κάθε ένα από τα διαστήματα (1, λ), (λ, λ2 ), , (λν-ι, λν) παρεμβάλουμε κ aριθμη τικούς ενδιάμεσους. Έτσι σχηματίζεται μια νέα ακολουθία. Να βρείτε το άθροισμα των όρων της. , _,, ,

�

ψηφία

• • ••

"-ν-' ψηφία

•

�

ψηφία

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/53

Μ αθηματικ ά για την Β ' Λυκείου

10ν - 1 = 3 · -10ν - 1 = · -10ν - 1 = 3 · -10 - 1 9 3 επομένως έχουμε: 1 1 1 ... 1 - 222 ... 2 = J l0 29ν - l - 2 - 10ν9- l = � � = � 10 2 ν - 1 - 2 · 10ν + 2 = 10 2 ν - 2 - 10ν + 1 = 9 9 � [ 10ν - 1 ) 2 = 10�- 1 = � 3 ν Σ λ Ο .\ [1 0 : Εάν τα ψηφία ενός ν- ψηφίου αριθμού είναι ίσα, τότε αυτός αναλύεται σε άθροισμα ν ό ρων γεωμετρικής προόδου π.χ. 33333 = 5 = 3 · 1 Q Ο + 3 · 10 + 3 · 102 + 3 · 103 + 3 · 104 = 3 . ( 1 + 10 + 102+ 1 03 + 104) = 3 . 1059- 1

ψ η φ ια

....._,_._..

ψ η φία

τις λ = 1, λ = -21 και λ =3. Επειδή είναι Ο < λ < 1 δεκτή είναι μόνο η τιμή λ = _!_2 . Τέλος από την 5 - 2 · _!_ 5 - l = 2 - 1 =4. 2 - 2 · _!_2 Επομένως οι ζητούμενες δύο πρόοδοι είναι: η αριθμητική 4, 4+-21 , 4+ 2 · -21 , . . . . . . . και σχέση(3) για λ = _!_2 έχουμε: α

--=2

η γεωμετρική Λ ι (, -

Να υπολογίσετε το άθροισμα ι 3 5 2ν - ι S - + - + -+ ... + -- ' νεΝ 2 4 8 2ν ν

:\ Υ Σ f,,

Παρατηρούμε ότι κάθε όρος του παραπάνω αθροί σματος είναι γινόμενο των αντίστοιχων όρων μιας Λ-�:,. Δίνονται δύο πρόοδοι, μια αριθμητική και μια γεωμετρική με κοινό πρώτο όρο α (α > Ο) αριθμητικής προόδου ( 1, 3, 5, . . .. , 2ν-1) με δια και ω=λ(Ο<λ<l). Αν οι δεύτεροι όροι τους δια φορά ω = 2 και μιας γεωμετρικής προόδου 1 , -1 , . . . , -1 ) με λογο . λ=-1 . φέρουν κατά 5/2 και οι τρίτοι όροι τους διαφέ ( -1 , 2 2 2 23 2ν 2 ρουν κατά 4, να βρείτε τις δύο αυτές προόδους. Για τον υπολογισμό του αθροίσματος παίρνουμε το Sν -λ Sv = Sν - _!_2 Sν 'Εχουμε: Αφού οι δύο πρόοδοι έχουν κοινό πρώτο όρο α (α>Ο) και ω=λ με Ο<λ<l, τότε συμβολίζουμε τους 3 +-5 + + -2ν - 1 sν = -21 + όρους τους ως εξής: 2 2 23 2ν α, α + λ, α + 2λ, . . . . . . τους όρους της α. π. και 1 3 -5 + . . . +-2ν - 1 -21 sν = α, αλ, αλ2 , τους όρους της γ. π. 23 24 2 2 +-+ 2ν+Ι Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης έχουμε: και αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε: (α + λ) - αλ = � (1) sν - !2 s ν = (α + 2λ) - αλ 2 :4 (2) _ _1 ) + ( 2_ _ 2_ ) + . . . + = _!_2 + 2_ 2 2 2 2 23 23 Από την ( 1) σχέση έχουμε: + ( 2ν - 1 _ 2ν - 3 ) - 2ν - 1 α(l-λ) = �2 -λ <::::> α= 25 -- 2λ (3) και από την σχέση 2ν+Ι 2λ 2ν 2ν 2 Sν = (2) έχουμε: _!_ + ( � + � + � + � ) 2ν - 1 = 2 2 2 23 24 ... + 2ν 2ν+Ι + 2λ - S - 2λ λ2 = 4 <::::> α+2λ-αλ2 = 4 <::::> 2S -- 2λ 2λ 2 - 2λ _!_ Sν= _!_ +2 ( _1 + -1 + -1 + ... + -1 2ν - 1 2λ3 -9λ2 + 10λ - 3 =Ο 2 2 2 2 23 24 2ν 2ν+Ι Με την βοήθεια του σχήματος Horner έχουμε ν -1 1 (λ- l)(λ--2 )(λ-3)= Ο. Η εξίσωση αυτή έχει ρίζες • • •

• • • • • • • • • • • • •

{

}

(

<=> (ι- !) _

ό ρ οι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/54

)

<=>

Μ α θηματικά για την Β ' Λυκε ίου

[Η(ΞΓ'l -I]] - 2ν - 1 η. -2 - 1 4 2 [ ( 2 ) -ι ] - 2ν - 1 2ν - Ι ( ) ] [ 2 2

-2Ι Sν _- -2Ι +2 · _!_

_!_ 2 Sν = 2 -

2 ν +Ι

ν ·_!_ _!_ - ι

_!_ - 2 . !

επομένως Sv = -

2 ν +Ι

ν -ι

-Ι -

2ν+l

----=------=-----

Α .:.:. Κ Η .:.:. Ε Ι Σ: Γ ι\ . \. Y l: H

Να βρεθεί διτετράγωνη εξίσωση με πραγματι κές ρίζες, όταν αυτές αποτελούν διαδοχικούς ό ρους αριθμητικής προόδου και η μεγαλύτερη ρίζα είναι η ρ = 2 + J3 ( υπόδ�ιξη : δείτε το σχόλιο της άσκησης 9) 2. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου 2, 6, Ι8, 54, . . . . που i) υπερβαίνει τον 5000 ii) είναι αμέσως μικρότερος του 4000 (απάντη ση : i) α9 και ii) α7) 3. Δίνεται η ακολουθία αν με S ν = 3ν2 + ν. α) Να βρείτε τον νιοστό όρο αν και να αποδείξετε ότι η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. β) Να βρείτε την τάξη του όρου της προόδου που είναι ίσος με Ι 00. (υπόδ ε ιξη : είναι αν = S ν - S ν-ι) Να υπολογίσετε το άθροισμα S = Ι + 22 + 333 + 4444 + . . . + ν (1 1 1 ... 1) I.

.ci .

'-----v---J

ψηφία

(υπόδ:; ιξη :

Είναι 98=9+2 ·99 + 3 · 999 + . . .. + ν (99 ... 9) = ν . . .. +ν(1Ον- l) =(10-1 )+2(1 02-Ι )+3(103- 1 )+4(104-1)+ Θέτουμε S1 = 10+ 2 · 102+ . . . + v · 10ν υπολογίζουμε το S1 - 10 S 1 και τελικά το 9S ως συνάρτηση του Sι) 5 . Να βρεθεί ο β ώστε οι αριθμοί 19, 10β, 25 + 9β να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Αν ο 10β είναι ο όγδοος όρος της παρα πάνω προόδου να βρείτε το S so. (απάντηση β = 4, και S so =57800) 6. Να βρεθεί το άθροισμα των φυσικών αριθμών '-ν-'

που βρίσκονται μεταξύ του Ι 00 και Ι 0000 και οι οποίοι διαιρούμενοι δια 12 ή δια 18 αφήνουν υπό λοιπο 5. ( υπόδ� ιξη : Έστω Ν ένας τέτοιος φυσικός αριθμός τότε Ν = 12π 1 + 5 και Ν = Ι 8π2 +5 όπου πι, π2 ε Ν άρα Ν - 5 = Ι2π 1 και Ν - 5 = l 8π2 συνεπώς ο Ν - 5 είναι της μορφής 36π3 ( γιατί;) απάντηση: s = 1387375) 7 . i) Να υπολογίσετε το άθροισμα S = Ι + 2χ + 3χ2 + . . . + νχν- Ι ( x :f 1) ν-1 ii) Όμοια S 1 = 1 + -λ2 + . . . + -λ ν-2 iii) Αν (αν) αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω και πρώτο όρο α1 = α και (βν) γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ και πρώτο όρο β1 = β, τότε να υπολογίσετε � + . . . + αν + το άθροισμα s · = � β, β2 βν (υπόδε ιξη : i) υπολογίστε το S - χ S ii) να θέσετε όπου χ το 1/λ και όπου ν το ν-1 στο προηγούμενο άθροισμα. . . = -α · λ ν-Ι + - · S ) ... ) απαντηση:S β (λ - 1 ) λ βλ 8. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση α συ ν 2 "2Γ γ συ ν 2 Α2 = 3β2 . Να δείξετε ότι οι πλευρές α, β, γ του τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. (υπόδειξη : ισχύει ασυνΓ + γσυνΑ =β) 9 . Να βρείτε το άθροισμα των αρτίων από 2 έως 380 που δεν είναι πολλαπλάσια του 6 ή του 8 (απάντη ση : S =165 14) 1 0 . Εάν S ν και S ν-ι τα αθροίσματα των ν και ν-1 όρων μιας γεωμετρικής προόδου με λόγο λ και S το άθροισμα των γινομένων των ν πρώτων όρων της προόδου ( λαμβανομένων ανά δύο καθ' όλους τους δυνατούς τρόπους), να δείξετε ότι: 1 s = - ·sν · Sν - 1 λ+Ι (υπόδειξη : s � =(α ι + α2 + . . . + αν)2 = α ; + α ; + . . . + α � +2(αια2+αια3 +α. 2 α3 + . . . +αν- ιαν) και , γ.π. με α , = α 2, και λ ' - λ2 η α 21 , α 22 , . . . , α 2ν ειναι - 1 κ.τ . λ. ) λ 2 ν, α12 + α 2 + . . . + α 2 = α12 ·οποτε 2 ν λ2 - 1 111

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/55

•

v-1

Μ αθηματικά για την Β ' Λυκείου

ΚΑΝ ΟΝΙΙG\ ΠΟΛ ΥΓΩΝL� ΜΕ ΤΡ ΗΣΗ ΚΥ ΚΛΟtτ Στέλιος Λαμνής Τα κανονικά πολύγωνα μελετήθηκαν από τον Πάππο τον Αλεξανδρέα στο έργο του «Περί μαθηματικής συ ναγωγής». Το έργο αυτό συντάχθηκε γύρω στα 320μ.Χ και σώζεται σε ένα και μοναδικό βυζαντινό χειρό γραφο του 1 2"" αιώνα, και αποτελεί ένα πραγματικό θησαυρό για την μελέτη της αρχαίας Ελληνικής γεωμε τρίας. Στην εισαγωγή του 5"" βιβλίου του έργου, εκθειάζει τις μέλισσες οι οποίες «με την βοήθεια κάποιας γεωμετρικής διαίσθησης» κατασκευάζουν κελιά εξαγωνικής διατομής (κανονικά πολύγωνα) για να εξασφα λίσουν την αποθήκευση μεγαλύτερης ποσότητας μελιού παρά αν είχαν τετράγωνη ή τριγωνική διατομή. 1•

Α Σε κάθε κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ ΔΕ να α ποδείξετε ότι: α). Κάθε διαγώνιος είναι παράλληλη προς την απέναντι πλευρά της. β). Φέρνοντας δύο διαγώνιές του, που δεν έχουν κοινό άκρο, δημιουργείται ένας ρόμβος. γ). Κάθε διαγώνιος χωρίζει το πεντάγωνο σε ένα ισοσκελές τρίγωνο και σε ένα ισοσκελές τραπέ ζιο.

. \ Y l: H

Θεωρούμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του κανονι κού πενταγώνου. Η κεντρική γωνία του κανονικού , , 3 6 0 " = 7 2 ο . Αυτο, σημαινει πενταγωνου ειναι ω5 = -5 ότι καθένα από τα πέντε ίσα τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ και ΕΑ έχει μέτρο ίσο με 72°. .

Ε Α Β = 1 80 " - 3 650 " = 180° - 72° = 108°. Συνεπώς Γ Ε Α+Ε Α Β=72° + 108°= 1 80°, άρα ΕΓIIΑΒ γιατί οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες τους είναι παραπληρωματικές. β). Θεωρούμε τις διαγώνιες ΕΓ και ΑΔ που τέμνο νται στο σημείο Ζ. Θα αποδείξουμε ότι το τετρά πλευρο ΑΖΓΒ είναι ρόμβος. Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα, είναι EΓIIAB και ΑΔΙΙΒΓ, δηλαδή ΖΓΙΙΑΒ και AZIIBΓ . Συνεπώς το ΑΖΓΒ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί οι απέναντι γωνίες του είναι παράλληλες. Επειδή όμως το παραλληλόγραμμο ΑΖΓΒ έχει δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες, ΑΒ=ΒΓ=λ5, το ΑΖΓΒ είναι ρόμβος. γ). Σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα, είναι EΓIIAB. Συνεπώς το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι τραπέζιο. Επειδή ΑΕ=ΒΓ=λ5, το τραπέζιο αυτό είναι ισοσκε λές. Το τρίγωνο ΔΕΓ είναι ισοσκελές, γιατί ΔΕ = ΔΓ = λs . Λ 2 • Από σημείο Ρ εκτός κύκλου (0, ρ) φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ του κύκλου. Αν Α Ρ Β =60° να υπολογίσετε: α). Τη γωνία ΑΟΒ . β). Τα μήκη των εφαπτόμενων τμημάτων ΡΑ και ΡΒ συναρτήσει της ακτίνας ρ. γ). Το εμβαδόν του μεικτόγραμμου χωρίου ΡΑΒ συναρτήσει της ακτίνας ρ. ,

α). Θεωρούμε τη διαγώνιο ΕΓ του κανονικού πε νταγώνου · θα αποδείξουμε ότι ΕΓ 11 ΑΒ. Η γωνία Γ Ε Α είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο ΑΒΓ, το οποίο έχει μέτρο 72° + 72° = 144°, άρα Γ Ε Α = 1 442 " = 72°. Η γωνία Ε Α Β είναι μια από τις ίσες γωνίες του κανονικού πενταγώνου, άρα Λ

Λ 'Ί' L Η

Γνωρίζουμε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο Ρ εκτός αυτού, είναι ίσα. Δηλαδή ΡΑ = ΡΒ = α. Γνωρίζουμε επίσης ότι η διακεντρική ευθεία ΡΟ διχοτομεί τη γωνία Α Ρ Β των εφαπτόμενων τμη μάτων καθώς και τη γωνία Α Ο Β των ακτίνων που

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ .3/56

Μ α θηματικά για την Β ' Λυκείου

καταλήγουν στα σημεία επαφής.

Δηλαδή Α Ρ Ο = Β Ρ Ο =

ΑΡΒ = 30

ναρτήσει τη ς ακτίνας ρ. ο

και

ΑΟΒ Α Ο Ρ = Β Ο Ρ = -- = φ. 2

ΛΥΣ Η

α). Είναι ΑΒ = ρ = �. ΒΓ = ΑΔ = ρ J2 = �. άρα τόξο ΑΒ = 60° , τόξο ΑΔ = τόξο ΒΓ = 90° και συ νεπώς τόξο ΓΔ = 1 20°. Αν Ρ είναι η τομή των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ τότε η γωνία ΑΡΒ είναι εσωτερική γωνία του κύκλου και ισούται με 90° 90° 9 Ο0 ΑΡΒ = 1 80° - Α - Β 1 = 1 80° 2 2 Επομένως οι ΑΓ και ΒΔ τέμνονται κάθετα. Λ

α). Το τετράπλευρο ΡΑΟΒ είναι εγγράψιμο σε κύ κλο, επειδή Ρ Α Ο = Ρ Β Ο = 90° (ΟΑ, ΟΒ είναι ακτίνες που καταλήγουν στα σημεία επαφής). Επομένως θα είναι Α Ο Β + Α Ρ Β = 1 80°, οπότε Α Ο Β = 1 80° - 60° = 1 20°. ΟΑ β). Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΡΟ είναι γφφ = ΡΑ ο

η σφ60 = •

J3 = , ρ

άρα ΡΑ = ΡΒ = α =

J3 .

γ). Αν ονομάσουμε Ε το εμβαδόν του μεικτόγραμ μου χωρίου Ρ ΑΒ και Εκτ το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που ορίζεται από έλασσον τόξο ΑΒ, τότε έχουμε Ε = (ΡΑΟΒ) - Εκτ ( 1 ). Επειδή τα τρίγωνα ΡΑΟ και ΡΒΟ είναι ίσα (γιατί έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία), προφα νώς θα είναι και ισοδύναμα. ΟΑ · ΡΑ Άρα (ΡΑΟΒ) = 2 · (ΡΑΟ) = 2 · , οπότε (ΡΑΟΒ) =

•

.fj (2).

π.

1 20 °

π .

(3). Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) στη σχέση π . ρ 2 - 3 J3 - π ' Ε = ρ 2 ν3 ( 1 ), παιρνουμε: 3 ρ ( 3 ). Επίσης Εκτ =

3 60 0

Α3•

r;;

= -3

-- -

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο σε κύκλο (0, ρ) με ΑΒ = ρ και ΒΓ = ΑΔ = ρ J1, . α). Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι ΑΓ και ΑΔ είναι ίσες και τέμνονται κάθετα. β). Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών του ΑΒΓΔ είναι κορυφές τετραγώνου. γ). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ συ-

- - - -

Οι γωνίες Β Α Δ και Α Δ Γ είναι εγγεγραμμένες, 90 0 + 1 20 0 άρα Β Α Δ= 1 05° και Α Δ Γ= 2 + 60" (_Xj' =75°. Είναι 2 Β Α Δ+Α Δ Γ= 1 05°+ 75°= 1 80°, δηλαδή ΑΒ//ΓΔ (γιατί έχουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες τους παραπληρωματικές), συνεπώς το ΑΒΓ Δ είναι τραπέζιο και επειδή ΒΓ = ΑΔ είναι ισοσκελές. Ε πομένως οι διαγώνιοί του ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες. β). Αν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΓ ΑΓ ΑΓ ΑΒΓΔ ' τότε θα είναι - //= - και ΚΝ 11= - , 2 2 2 δηλαδή ΚΝ//= ΛΜ. Άρα το ΚΑΜΝ είναι παραλ ληλόγραμμο. ΒΔ ΑΓ Επειδή ΚΝ = ΛΜ = - ' ΚΑ = ΝΜ = - και 2 2 ΑΓ = ΒΔ, τότε θα είναι ΚΝ = ΛΜ = ΝΜ = ΚΑ. Άρα το ΚΑΜΝ είναι ρόμβος. Επειδή ΚΝ /I ΑΓ, ΚΑ I/ ΒΔ και ΑΓ .l ΒΔ, θα είναι ΚΝ _l ΚΑ, δηλαδή Λ Κ Ν = 90°. Άρα το ΚΑΜΝ είναι ορθογώνιο. Επομένως το ΚΑΜΝ είναι τετράγωνο. γ). Επειδή τόξο ΓΔ = 1 20°, θα είναι ΓΔ = λ3 = ρ J3 . Αν ΑΕ είναι το ύψος του ισοσκελούς τραπεζίου, τότε φανερά είναι

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/57

Μ α θηματικά για την Β ' Λυκείου

ρ · ( J3 - 1 ) Δ Γ ρ ρ ΑΒ Jj ΔΕ = 2 2 2 Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρί γωνο ΑΔΕ έχουμε: AEz=AΔz-ΔEz=(ρ J2 / ρ2 ·(J322 -1)2 � - (24+J3) , ΑΕ = ρJ2 � . επομενως 2 Έτσι, το εμβαδόν του τραπεζίου είναι (ΑΒΓΔ)= (ΑΒ + Γ2Δ) ΑΕ = =.!.2 · (ρJ3 + ρ) · ρJ2 - � 2 ή (ΑΒΓΔ) = -i ρ 2 J2 ( J3 + 1 ) J2 + J3 . =

_ _,____.:...

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγε γραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ) και Δ, Ε είναι αντί στοιχα τα μέσα του τόξου ΑΓ και της πλευράς ΒΓ του τριγώνου. Φέρουμε την ΔΕ, η οποία τέ μνει τον κύκλο στο σημείο Σ. Να υπολογίσετε τα ΔΕ και ΕΣ συναρτήσει της ακτίνας.

λαδή ΕΣ = 3ρJ7 14 · Ένα σημείο Α βρίσκεται σε απόσταση ΟΑ 2α από το κέντρο ενός κύκλου (0, α). Φέρουμε από το Α το εφαπτόμενο τμήμα ΑΒ προς τον κύκλο και στη συνέχεια γράφουμε τον κύκλο (Α, ΑΒ). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του κοινού μέ ρους των δύο κυκλικών δίσκων.

Το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κυκλικών δίσκων Ε ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο κυκλικών τμημάτων τ και μ. Δηλαδή Ε=τ+μ (1). Όμως τ = Εκ.τ. ( Ο.ΒΓ) - (ΟΒΓ) και μ = Εκ.τ. ( Α.ΒΓ) (ΑΒΓ), έτσι η σχέση (1) γίνεται: Ε = Εκ.τ. ( Ο.ΒΓ) - (ΟΒΓ) + Εκ.τ. (Α.ΒΓ) - (ΑΒΓ) ή Ε = Εκ.τ. ( Ο.ΒΓ) + Εκ.τ. (Α.ΒΓ) - [(ΟΒΓ) + (ΑΒΓ)] ή Ε = Εκ.τ. ( Ο.ΒΓ) + Εκ.τ. (Α.ΒΓ) - (ΑΒΟΓ) (2). _..

Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, καθένα από τα ίσα τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ θα έχει μέτρο ίσο με 120°. Το Δ είναι το μέσο του τόξου ΑΓ, άρα τόξοΔΓ = 60°, οπότε τόξο ΒΔ = 120° + 60° = 1 80°. Συνεπώς η ΒΔ είναι διάμετρος, άρα ΒΔ = 2ρ. Επειδή το τόξο ΔΓ είναι 60°, θα είναι ΔΓ = λ6 = ρ. Εφαρμόζουμε τώρα το Θεώρημα των Διαμέσων στο τρίγωνο ΔΒΓ και έχουμε:2 ΒΔ2 + ΔΓ2 = 2ΔΕ2 + Β 2Γ ή 4ρ2 + ρ2 = 2ΔΕ2 ρ J7 · 3ρ 2 αρα ' ΔΕ = -+2 2

....

-- -- - �---- - - ...

Β..

Το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ορθογώνιο και η κάθετη πλευρά ΟΒ είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας ΟΑ, άρα Β Α Ο = 30°. Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΟ και ΑΓΟ είναι ίσα, οπότε Β Α Γ = 60° και Β Ο Γ = 120°. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΟ έχουμε ΑΒ2=0Α2-ΟΒ2=(2 α)2-α2= 3 α2 , δηλαδή ΑΒ=α.J3 . 2 · 120° πα 2 και Έτσι Ε (Ο.ΒΓ)= π · ΟΒ360 3 ° 2 2 · Εκ.τ.(Α.ΒΓ)= π · ΑΒ360· 60 = π · 36· α π 2α 2 Επειδή οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ΑΒΟΓ τέ μνονται κάθετα, το εμβαδόν του θα ισούται με το μισό του γινομένου των διαγωνίων του, δηλαδή (ΑΒΟΓ) = -21 · ΟΑ · Β Γ = -21 · 2α · α-ν3 = α 2 -ν3 . Από το Θεώρημα των Τεμνόμενων Χορδών, για Όλα αυτά τα aντικαθιστούμε στη σχέση (2) και τις τέμνουσες ΒΕΓ και ΔΕΣ, έχουμε: π · α 2 - α2 -ν3 = α2 · 5π - 6J3 . πα 2 +-, Ε = εχουμε 6 3 2 . Β Ε · ΕΓ = ΔΕ ΕΣ η' ρ Jj2 . ρJj2 ρJ7 2 ΕΣ' δη�

�

{;;

Σ ·.

r;;

� .

Δύο κύκλοι (0, R) και (Κ, ρ) εφάπτονται

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/58

Μ αθ ηματικά για την Β ' Λυκείου

εσωτερικά στο σημείο Α, από το οποίο φέρουμε μια ευθεία που τέμνει τον ένα κύκλο στο Γ και τον άλλο στο Β. Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά των δύο κυκλικών τμημάτων που ορίζονται από τα ελάσσονα τόξα ΑΓ και ΑΒ των δύο κύκλων, είναι ανάλογα προς τα τετράγωνα των ακτίνων των δύο κύκλων. Αν ονομάσουμε Ε 1 και Ez τα εμβαδά των κυκλι κών τμημάτων που ορίζονται από ελάσσονα τόξα ΑΒ και ΑΓ των δύο κύκλων αντίστοιχα, πρέπει να Ε R2 αποδ ει' ξου με οτι -, = ρEz Τα τρίγωνα ΑΓΚ και ΑΒΟ είναι ισοσκελή (γιατί ΚΑ = ΚΓ = ρ και ΟΑ = ΟΒ = R), και είναι όμοια γιατί έχουν κοινή τη γωνία Α. Άρα, ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου (ΑΟΒ) R 2 = - ( 1 ). ομοιότητάς τους, δηλαδη. (ΑΚΓ) ρ 2 Β .

α). Έχουμε ΑΒ = λr, = ρ και ΒΓ = λ3 = ρ J3 . Συνε πώς το τόξο ΑΒ είναι 60° και το τόξο ΒΓ είναι 1 20°, άρα το τόξο ΑΒΓ είναι 60° + 1 20° = 1 80°, επομένως η πλευρά ΑΓ είναι διάμετρος, δηλαδή ΑΓ = 2ρ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο, με ορθή γωνία την Β , συνεπώς ι;; 1 1 ρ 2 J3 (ΑΒΓ) = - ΑΒ · ΒΓ = - ρ · ρ ν 3 = 2 - · 2 2 Γ -

•

Α Β β). Αν ονομάσουμε ΕΑ8, EBr και EAr τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων που ορίζονται από τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα, έχουμε: ΕΑ Β = Εκ.τ.(Ο.ΑΒ) - (ΟΑΒ). Το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ισόπλευρο με πλευρά ρ, συ' του ειναι . . το εμ β αδ ον . (ΟΑΒ) = ρ 2 4J3 αρα νεπως

π · ρ 2 · 60° ρ 2 J3 2 2π - 3 J3 =ρ · 4 360 12 EBr = Εκ.τ.(Ο.ΒΓ) - (ΟΒΓ) Για τον υπολογισμό του (ΟΒΓ), φέρουμε το ύψος ΟΔ, το οποίο όμως το aπόστημα του ισοπλεύρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένο σ' αυτόν τον ΕΑΒ =

Επειδή οι κυκλικοί τομείς Ο.ΑΒ και Κ.ΑΓ έχουν ίσες τις γωνίες Ο και Κ , ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότη(Ο.ΑΒ) R 2 = - (2) · τάς τους, δηλα δη. (Κ.ΑΓ) ρ 2 Από τις σχέσεις ( 1 ) και (2) παίρνουμε R 2 (ΑΟΒ) (Ο.ΑΒ) (ΑΟΒ) - (Ο.ΑΒ) ρ2 (Κ.ΑΓ) (ΑΚΓ) - (Κ.ΑΓ) (ΑΚΓ)

�Ε2

'·· >

Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ) και είναι ΑΒ λι;, ΒΓ λ3. α). Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του ρ. β). Να βρείτε το εμβαδόν των κυκλικών τμημά των που ορίζονται από τις τρεις πλευρές του τριγώνου. =

)

(

-- ,

κύκλο, δηλαδή ΟΔ = α3 =

� - Συνεπώς (ΟΒΓ) =

2 J3 -1 · ΒΓ · ΟΔ = -1 · ρ νι;;3 · -ρ = ρ , αρα EBr = 2 4 2 2 π · ρ 2 · 1200 ρ 2 J3 4π - 3 J3 =ρ . _ 4 360 12 Επειδή η ΑΓ είναι διάμετρος, τελικά το κυκλι κό τμήμα που ορίζεται από την πλευρά αυτή π · ρ2 . Ε Α Γ = -. ημικυ' κλ ιο, αρα ειναι · 2

(

)

Δύο κύκλοι (Κ, ρ) και (Λ, R) τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν η κοινή χορδή τους ΑΒ είναι ίση με την πλευρά κανονικού εξαγώνου εγγε γραμμένου στον κύκλο (Κ, ρ) και επίσης ίση με την πλευρά τετραγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο (Λ, R), να βρείτε το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κυκλικών δίσκων.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/59

Μ α θηματ ικά για την Β ' Λυκείου

ΛVΣΗ

πλευρά του κανονικού εξαγώνου που είναι εγγε γραμμένο στον κύΚλο (Κ, ρ) είναι ίση με την ακτί να του κύκλου ρ, ενώ η ακτίνα του άλλου κύκλου ρ · J2 ρ · J2 -· ' με ' ιση - , δη λαδη' R θ α ειναι 2 2 Η

Αν ονομάσουμε Ε το εμβαδόν του κοινού μέρους των δύο κυκλικών δίσκων, διαπιστώνουμε ότι το Ε είναι το άθροισμα των εμβαδών των δύο κυκλικών τμημάτων μ και τ, δηλαδή Ε=μ+τ=Εκτ (Κ.ΑΒ)-(ΚΑΒ)+Εκτ (Λ.ΑΒ)--{ΛΑΒ) ( 1 ). Επειδή στον κύκλο (Κ, ρ) είναι ΑΒ = λ6 = ρ , το τρίγωνο ΚΑΒ θα είναι ισόπλευρο και επίσης Α Κ Β = 60°. π . ρ 2 60ο π . ρ 2 και Ά ρ α Εκτ (Κ.ΑΒ) = 360 6 ρ 2 Jj (ΚΑΒ) = · 4 ρ · J2 Επειδή στον κύΚλο (Λ, ) είναι ΑΒ = �. 2 το τρίγωνο ΛΑΒ θα είναι ορθογώνιο και επίσης Α Λ Β = 90°. J2 π . ( ρ . ) 2 90° 2 2 =� Άρα Εκτ (Λ.ΑΒ) 8 360 J2 1 ρ2 1 και (ΛΑΒ) = - · ΛΑ · ΛΒ = - · (ρ · -) 2 = - · 4 2 2 2 Αντικαθιστώντας όλες αυτές τις τιμές στη σχέση ( 1 ) έχουμε: π · ρ 2 ρ 2 Jj + π · ρ 2 � = ρz 7π - 1 + J3 . Ε= 6 4 8 -4 24 4

Αν ονομάσουμε Ε το εμβαδόν του καμπυλόγραμ μου τριγώνου ΑΒΓ, τότε έχουμε: Ε = (ΚΛΜ) - { Εκτ (Κ.ΑΓ) + Εκτ (Λ.ΑΒ) + Εκτ (Μ.ΒΓ) } (1 ). Το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο, επειδή έχει τρεις ίσες πλευρές ΚΛ = ΛΜ = ΜΚ = 2ρ. (2ρ ) 2 J3 2 J3 ρ Άρα (ΚΛΜ) = (2). 4 •

•

(

Α9•

)

Τρεις ίσοι κύκλοι (Κ, ρ), (Λ, ρ) και (Μ, ρ) εφάπτονται ανά δύο στα σημεία Α, Β και Γ και στα σημεία Δ, Ε, Ζ αντίστοιχα με τον περιγε γραμμένο κύκλο (Ο, R) περί τους τρεις αυτούς κύκλους. Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν του κα μπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ πρώτα συναρτή σει της ακτίνας ρ και μετά συναρτήσει της α κτίνας R. ΛΥΣΗ

Οι τρεις κυκλικοί τομείς, που ορίζονται από τα ελάσσονα τόξα ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ, είναι ίσοι, γιατί έχουν την ίδια ακτίνα ρ και ίσες γωνίες, καθε μιά από τις οποίες είναι 60°. Άρα Εκτ (Κ.ΑΓ) + Εκτ (Λ.ΑΒ) + Εκτ (Μ.ΒΓ) = 2 π ρ 2 . 600 = � ( 3). =3 · · 360° 2 Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και ( 3) στη σχέση ( 1 ) παίρνουμε: 2 Ε = ρz J3 � = ρz ( J3 � ) (1). 2 2 Επειδή το Ο είναι το ορθόκεντρο του ισοπλεύ ρου τριγώνου ΚΛΜ, θα έχουμε _

•

ΟΚ =

= �3 = �3 ρ J3 Συνεπώς R = ΟΔ = ΚΒ

2 ρ · (2 J3 + 3 ) ΟΚ + ΚΔ = - · p · vr.:;3 + ρ = · 3 3 3R Ά ρα ρ = 2 J3 + 3 · Αντικαθιστώντας την τελευταία σχέση στον 2 R τύπο (I) παίρνουμε: Ε = • J3 2 +3

( � J ( Ξ) .

Α 1 0• Δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ, ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Γ και έστω ΑΒ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους. Αν Α Κ Γ 60°, να βρείτε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει των ακτίνων ρ και R.

ΛΥΣΗ

Φέρνουμε από το Λ την ΛΝ l_ ΚΑ. Το τετράπλευρο ΑΒΛΝ είναι ορθογώνιο. Πράγμα-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/60

Μ α θη μ ατικά για τη ν Β · Λυκείου

τι, το ΑΒΛΝ είναι παραλληλόγραμμο γιατί ΑΝ II ΒΑ και ΝΑ 11 ΑΒ (οι ΑΝ και ΒΑ είναι και οι δύο κάθετες στην ΚΑ, επίσης οι ΝΑ και ΛΒ είναι και οι δύο κάθετες στην ΑΒ). Επιπλέον το ΑΒΛΝ είναι και ορθογώνιο γιατί οι γωνίες Α και Β είναι ορθές. Επομένως είναι ΑΒ = ΑΝ και ΝΑ = ΛΒ = ρ, άρα ΚΝ = ΚΑ - ΝΑ = R - ρ. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρί γωνο ΚΑΝ έχουμε: ΝΛ2 = ΚΛ2 - ΚΝ2 = (R + ρ)2 - (R - ρ) 2 = (R + ρ + R - ρ) (R + ρ - R + ρ) = 4 R ρ, δηλαδή ΝΛ = ΑΒ = 2 .JR"-:p . -

Επειδή στο τραπέζιο ΑΒΛΚ είναι Α + Β = 1 80°, θα είναι και Α Κ Γ + Β Λ Γ = 1 80° ή 60° + Β ΑΓ 1 80° Επομένως ΒΑΓ = 1 20° . -

μου τριγώνου ΑΒΓ, τότε έχουμε: Ε = (ΑΒΛΚ) - Ε κ.τ. (Κ.ΑΓ) - Ε (Λ.ΒΓ) (1). (ΚΑ + ΛΒ) · ΑΒ (R + ρ) · 2 .JR"-:p (ΑΒΛΚ) = = 2 2 ή (ΑΒΛΚ) = (R + ρ) .JR"-:p ( 1 ). π · R 2 · 60 ο Ε (Κ.ΑΓ) = 360 ο π · R2 ή Ε (Κ.ΑΓ) = - (2). 6 π · ρ 2 · 1 20 ο Ε (Λ.ΒΓ) = 360ο π · ρ2 η. Ε (Λ.ΒΓ) - -- (3). κ.τ.

•

κ.τ.

•

κ.τ.

Επομένως, η (I) λόγω των ( 1 ), (2), (3) γίνεται: π · R 2 π · ρ2 Ε = (R + ρ) .JR"-:p 3 . 6 --

Α Αν ονομάσουμε Ε το εμβαδόν του καμπυλόγραμ-

Κωνικές Το μές Τζιώτζιος Αθανάσιος - Τσατούρας Ευάγγελος Το κεφάλαιο αυτό αναφέρεται στο πώς οι κωνικές τομές, που πρωτοεμφανίστηκαν στην Ελληνική Γεωμετρία, περιγράφονται σήμερα από δευτεροβάθμιες εξισώσεις σαν καμπύλες του επιπέδου των συ ντεταγμένων. Οι Έλληνες της εποχής του Πλάτωνα τις περιέγραφαν σαν τις καμπύλες που προκύπτουν όταν ένας κώνος τμηθεί από ένα επίπεδο και τις μελετούσαν με μεθόδους της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Από την ε ποχή της ανακάλυψης της Αναλυτικής Γεωμετρίας από τον Descartes ( 1 594 - 1 650) και τον Fermat ( 1 60 1 - 1 665) όλο και περισσότερο η μελέτη αυτών των καμπύλων γίνεται με αλγεβρικές και αναλυτικές μεθόδους με αποτέλεσμα να αποτελούν πλέον τμήμα της Αναλυτικής Γεωμετρίας.

1. Θεωρούμε τον κύκλο χ2 + y2 + Αχ + By + Γ = Ο με κέντρο Κ. Δείξτε ότι: ί. Αν η ευθεία y = Β χ + Γ είναι διάμετρος του τότε: Β (Α - 1) = 2Γ.

ίί. Αν η ευθεία y = Αχ - Β εφάπτεται στον κύκλο τότε: Α2 (Β - 1)2 = 4Γ (Α2 + 1). ίίί. Αν η ευθεία (ε) y = - Β τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία Μ , Ν τότε: Α2 > 4Γ και αν ΚΜ.lΚΝ τότε: Α2 = Β 2 + 4Γ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/6 1

Μα θηματικά για την Β ' Λυκείου

Γνωρίζουμε ότι ο δεδομένος κύκλος έχει ως κέντρο το σημείο . 1 Α Β Κ - - , -- και ακτινα ρ = - νιΑ 2 + Β 2 - 4Γ . 2 2 2 ι. Αφού είναι διάμετρος η y = Βχ + Γ διέρχεται

)

(

από το Κ, δηλαδή ισχύει

( )

-� = Β -� +Γ

Επίσης τα χι και χ 2 είναι οι λύσεις του συστή ματος : Υ = που δίνει την εξίσω-

{χ2 + y�+ Αχ + Βy + Γ = Ο }

ση: χ 2 + Αχ + Γ = Ο. Από τους τύπους του Vieta ισχύει ότι Χι Χ2 = Γ και χ ι + χ2 = -Α (2). Από τις (1) και (2) έχουμε: Az Az Bz Γ - - + - +- = 0 δηλ. Α2 = Β 2 + 4Γ . 4 4 2 ·

που γίνεται: - Β = - ΑΒ +2Γ άρα Β(Α-1 )=2Γ. η.

Η y = Αχ - Β εφάπτεται στον κύκλο όταν d( K,y) = ρ . Οπότε έχουμε: I A(- Α2 ) - (- B2 ) - B I .!_ = 2 JΑ 2 + Β 2 - 4Γ JA 2 + 1 δηλαδή

.!. I -A2 -B I= .!. vfA2 + 1 vfA2 + Β2 -4Γ

2 2 υψώνοντας στο τετράγωνο είναι: (Α2+ Β)2 = (Α2+ 1 )(Α2 +Β 2-4Γ) που σχηματίζεται ως εξής Α4+2 Α2 Β +Β 2 = Α4+Α2 Β 2-4 Α 2 Γ+Α2+ Β 2-4 Γ οπότε γίνεταιΑ2 (Β 2-2Β + 1) = 4Γ(Α2+ 1 ). Επο μένως ισχύει ότι: Α2 (Β-1 )2 = 4Γ (Α2+ 1 ). ίίί.

Για να τέμνει τον κύκλο η (ε) y = -Β αρκεί: d(Κ,ε) < ρ δηλ 1 -

Β + B I < .!. JA 2 + Β 2 - 4Γ

2 2 2 2 2 πρέπει Β < Α +Β -4Γ άρα Α2 > 4Γ. Μ

2. Σε σημείο Μ της παραβολής y2 =2 p x φέ ρουμε την εφαπτομένη της. Έστω η χορδή ΑΒ της παραβολής που διέρ χεται από την εστία της Ε και είναι παράλληλη της εφαπτομένης στο Μ. ί. Να αποδειχθεί ότι: ΑΒ = 4ΜΕ. ίί. Αν Ν μέσον της ΑΒ και Λ , Κ οι προβο λές των Ν , Μ πάνω στη διευθετούσα και Ρ το μέσον της ΝΛ , να δείξετε ότι το ΚΜΡΛ είναι παραλληλόγραμμο. ι.

Έστω το σημείο Μ (χο , Υο) , με Yo2=2pxo , τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: ΥοΥ = p(x+xo ), που έχει συντελεστή διεύθυνσης Ρ

Υο

Ν κ

(

)

(

Αν Μ(χ ι ,-Β) , Ν(χ2 ,-Β) τα σημεία τομής, τότε ΚΜ = χ + -Α2 ' - -Β2 και ΚΝ = χ 2 + -Α2 ' --Β2 �

�

Αφού ΚΜ ..l ΚΝ τότε ΚΜ ΚΝ = Ο άρα Β 2 = Ο που είναι: (χι + -Α2 )(χ2 + -Α2 ) + 4 ·

Χ ιΧ2 +

(δ)

( )

Άρα η (ΑΒ) : y = k x _ Ε. . Οπότε οι συντεταγ2 Υο μένες των Α και Β είναι οι λύσεις του συστήματος:

Β2 = Ο (1). Α2 + Α (χ ι + χ2) + 4 4 2

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/62

Μ αθ ηματικά για την Β · Λυκείου

{:'��:�:_f)} ::::} {:: ::::x - f)' }

και

2 2 Υο Υο Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη, οι τετμημένες χ ι , χ 2 των σημείων Α και Β, είναι οι λύσεις της εξίσωσης: px2 - (p2 + 2yo2 )x + Ε_ = Ο ( 1 ). 4 Όμως ΑΒ = ΑΕ + ΒΕ = d(Α,δ) + d(Β,δ) = =χ ι + Ε + x z + Ε = χ ι + x z + p 2 2 (όπου δ η διευθετούσα της παραβολής). Από την ( 1 ) και από τους τύπους Vieta έχουμε ότι y2 p 2 + 2y 02 = p + 2 -0 . + Xz = 3

Χι

[ )

Επομένως η

)

(

� y� A B = 2p + 2 Υ = 4 Ε + = 4 E + x0 = 2 2p 2 Ρ =4d(Μ,δ) = 4ΜΕ. ιι.

)

Οι

του συντεταγμένες χ y + " Υι + 2 · 2 2 +χ Συνεπώc- η ΛΝ= Χ ι 2 + Ε 2 2

( Χι

το ΛΡ =

ΑΒ 4

είναι

ΑΒ . Δηλαδή 2

= ΜΕ. Επειδή ΜΕ = ΜΚ τότε

ΜΚ = ΛΡ. Όμως ισχύει ΜΚ // ΛΡ, άρα το ΚΜΡ Λ είναι παραλληλόγραμμο.

3. Έστω η έλλειψη:

χ2 αz

y2 + βz

και η ευθεία

(ε): y λχ + β με λ -::�; Ο. i. Να δείξετε ότι τα μέσα των χορδών της έλλειψης, που είναι παράλληλες της ευ θείας (ε) ανήκουν σε ευθεία. ii. Ν α αποδείξετε ότι κάθε παραλληλό γραμμο, με κορυφές σημεία της έλλει ψης και πλευρές μη παράλληλες των α ξόνων, δεν είναι ορθογώνιο. =

Θεωρούμε χορδή ΓΔ // (ε) με Γ(χ ι , Υι ) και Δ(xz ,y2 ) σημεία της έλλειψης. Επομένως ισχύει

y2 - Υ ι λ. Χ2 - χι Το μέσον του ΓΔ έχει συντεταγμένες: + χ = Χ ι Χ 2 Υ - Υ ι + Υ2 2 ' 2 β Οπότε η ( 1 ) δίνει: λ·2y = 2χ δηλ. α β2 y = - --2 χ. λα Συνεπώς τα μέσα των χορδών ανήκουν στην ευβ2 θεία: y = - 2 χ. λα ι ι . Αν ΚΑΜΝ είναι παραλληλόγραμμο εγγε γραμμένο στην έλλειψη και Ζ, Η μέσα των ΚΑ, ΜΝ αντίστοιχα, τότε από (i) έχουμε ότι: β2 β2 λzΗ = δηλ. λ · λκ = Λ -:F -1 αzΗ α2 λ α2 φού β2 * α2 . Οπότε η ΖΗ δεν είναι κάθετη της ΚΑ. Όμως ΖΗ//ΚΝ, άρα η ΚΝ δεν είναι κάθε τη της ΚΑ. Επομένως το ΚΑΜΝ δεν είναι ορ θογώνιο.

Όμως λrΔ = λ άρα

..:...___:_=.:..._

---

ΚΑ

4. Δίνεται η ευθεία χ α , α>Ο και σημείο Α ( κ2 α , Ο) με κ>l. Από μεταβλητό σημείο Μ φέρουμε την ΜΒ κάθετη στην χ α, ώστε ΜΑ κ· ΜΒ. i. Να αποδειχθεί ότι το Μ ανήκει σε υπερ βολή και να υπολογισθεί η εκκεντρότη τα της. ίί. Αν η παραπάνω υπερβολή είναι ισοσκε λής να βρεθεί το κ. Ακολούθως από ένα

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/63

Μ α θηματικά για την Β ' Λυκείου

σημείο Ρ (χο, Υο) αν φέρουμε εφαπτομέ νες ΡΓ, ΡΔ στην ισοσκελή υπερβολή και ορίσουμε Ν το μέσον της Γ Δ να δειχθεί ότι η ΡΝ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. i.

Έστω το Μ (χ , y) τότε η σχέση ΜΑ = κΜΒ γίνεται �( κ 2 α - χ) 2 + y 2 = κ l χ - α l άρα κ4α2 + χ 2 - 2κ2 αχ + y2 = κ2 χ 2 - 2κ2 αχ + κ2 α2 δηλ. (κ2 - 1 )χ2 - y2 = κ4α2 - �α2 που είναι: 2 χ 2 ---y'--' --- - = 1 . κ z α z κ z α z ( κ z - 1)

Β Ι-----.. ο

Ρ Δ Από τις ( 1 ) και (2) έχουμε ότι ΟΝ 11 ΟΡ και αφού το Ο είναι κοινό τότε η ΡΝ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

5. Για τα σημεία Α(α,Ο), Α ' (-α,Ο) με α > Ο και M(x,y) με χ ::;:. ± α, ισχύει ότι: Λ

Άρα το Μ διαγράφει την παραπάνω υπερβολή με γ2 = �α2 + �α2 (� - 1 ) = κ4α2 . κ2 α , η εκκεντροτητα , Οποτε ει,ναι ε = --= κ . κα ii. Για να είναι ισοσκελής η υπερβολή, πρέπει ε = ..fi δηλ. κ = ..fi . Επομένως έχουμε την ισοσκελή υπερβολή χ2 - y2 = 2αz . Αν ορίσουμε τα σημεία Γ(χι ,Υι ) και Δ(χ 2 ,y2 ) τότε ' οτι: ' χ ι 2 - y ι 2 =2 α2 και χ2 2 - y22 =2 α2 . ισχυει ' ' Χι 2 - Υ ι 2 = χ22 - Υ22 ειναι Εξισωνοντας δηλ. (χι-χ2 )(χι + χ2 )=

εφ (ΑΜ, χ'χ) ·εφ (Α'Μ, χ'χ) =λ. Α. Να βρεθεί η καμπύλη που διαγράφουν τα σημεία Μ για κάθε λ ε 9t. Β. Έστω cι η καμπύλη που προκύπτει για λ = 1 και c2 αυτή που προκύπτει για λ = -1 . Να δείξετε ότι: ί. Για κάθε σημείο Ν της c1 ισχύει ΟΝ2 = ΕΝ · Ε 'Ν, όπου Ε, Ε ' οι εστίες της c1 και Ο το κέντρο της c2 . ii. Αν φέρουμε εφαπτομένη σε τυχαίο ση μείο Κ της c2 η οποία τέμνει τον χχ ' στο Λ και η κάθετη στο Λ του χχ ' τέμνει την c1 στα Γ και Δ, τότε ΚΓ l_ ΚΔ

αφού οι συντεταγμένες του Ν είναι Χ ι + X z Υ ι + y2 · 2 ' 2 Οι εξισώσεις των ΡΓ και ΡΔ αντίστοιχα είναι: Χι Χ -Υ ιΥ = 2α2 και XzX -Υ2Υ =2α2 . Αφού διέρχονται από το Ρ ισχύει: ΧιΧο - ΥιΥο -2 α2 και χ2χο - Υ2Υο -2 α2 . Αφαιρώντας γίνεται: χ -χ Υ Χο(Χι -χ2 )-Υο(Υι-Υ2 ) =Ο δηλ. , 2 ο =λpο (2) y, - y2 Χ ο

0 Α. Η φ (ΑΜ, χ'χ) = y - και η εφ (Α'Μ, χ 'χ) = χ-α y2 y-0 ' οτι: ' ' επομενως ισχυει = λ που χ+α χ 2 - α2 είναι y2 = λχ2 - λα2 , άρα λχ2 - / = λα2 ( 1 ). Αν λ = Ο τα σημεία Μ ανήκουν στην ευθεία y = Ο (άξονας χχ ' ). χ2 y2 = 1 , που ει-' Αν λ > Ο η ( 1 ) δίνει: 2 α ( νι;::ι.. α) 2

(

)

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/64

Μ αθ ηματικ ά για την Β ' Λυκείου

ναι υπερβολή και μάλιστα όταν το λ = 1 γίνεπάντα παράλληλη της ΑΒ, ενώ η εφα , 2 2 2 ται η ισοσκελης: χ - y = α . πτομένη στο Ο έχει συντελεστή διεύ 2 2 χ y θυνσης αντίστροφο του συντελεστή της Αν λ < Ο η ( 1 ) δίνει: -2 + Η = 1 , α ( -λα) 2 εφαπτομένης στο Ρ. ίίί. Τα σημεία τομής των εφαπτομένων στα δηλ. έλλειψη και για την τιμή λ = -1 τότε το 2 2 2 σημεία Ρ και Ο για κάθε κύκλο είναι Μ ανήκει στον κύκλο: χ + y = α . 2 2 συνευθειακά με τα κέντρα των κύκλων. Β. i. Από το (Α) έχουμε ότι η c ι : χ - / = α και .J2 2 2 2 c2 : χ + y = α , οπότε οι εστίες είναι Ε( α,Ο) ι. Δεχόμαστε ότι Α( α, Ο) και Β(Ο, β) με α, β και Ε ' ( - .J2α , Ο) και το κέντρο 0 (0,0). πραγματικούς θετικούς. Ισχύει λοιπόν ότι Αφού το N (xo ,yo ) ανήκει στην ισοσκελή υ ' α + β = κ. Έστω Κ το κέντρο των κύκλων, περβολή τότε ισχύει ότι I EN - Ε ΝΙ = 2α υψώ νοντας τετράγωνο γίνεται: άρα η εξίσωση των κύκλων είΕΝ2 + Ε ' Ν2 - 2ΕΝ·Ε ' Ν =4α2 ναι: δηλ. 2 2 2 ' β -Γ αz + β 2 (χ0 - J2α) + lo +(χ0 + 2α) + Υο -2ΕΝ·Ε Ν=4α που γίνεται (χ - � )2 + (y - - )2 = 2 2 4 που είναι 2χσ2 + 4α2 + 2y02 - 2 ΕΝ·Ε ' Ν = 4α2 χ2 + y2 - αχ - βy = Ο δηλ. άρα 2ΕΝ·Ε ' Ν = 2 (χο2 + y02 ). χ2 + y2 - αχ - (κ-α)y = Ο. Αν θεωρήσουμε Όμως η ΟΝ = �χ� + y� . Επομένως ισχύει: ότι όλοι τους διέρχονται από σταθερό ση ΟΝ2 = ΕΝ · Ε ' Ν. μείο, τότε αυτό θα επαληθεύει για κάθε α 1 1 . Έστω το Κ(χι , Υι ), η εφαπτομένη της Cz την σχέση : α(y - χ) - κ y + χ2 + y2 = Ο. 2 στο Κ είναι: χι χ + ΥιΥ = α • Οπότε πρέπει: αz αz Υ=χ Για y=O το χ = - . Οπότε το Λ( - ,0) και η Υ-χ =Ο Χι Χι χ 2 + y 2 - κy = Ο 2χ 2 - κχ = Ο αz , , καθετη στο Λ ειναι: χ = - . y-x Χι άρα χ(2χ - κ) = Ο 2 � = Αν είναι το Γ( x2 ,y2 ) τότε Λ(χ2 ,-y2 ) με χ 2 κ Χ ι και τελικά έχουμε: y = χ = Ο ή y = χ = . Συ2 ' ' χ ι χ2 = α2 και επισης ' λος αρα χ22 - Υ2 2 =α2 . 0 κυκ νεπώς οι κύκλοι τέμνονται στα σημεία 0(0,0) και με διάμετρο την ΓΔ είναι: (χ - χ2 )2 + / = y22 . Αρκεί το Κ να είναι σημείο του. Δηλαδή να ι- Ρ( �2 ' �2 ). ' σχυ, ει: (χι - χ2 ) 2 + Υ ι 2 = Υ22 που ειναι η. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΚΡ είναι 2 2 2 2 2 2 2 ' + + + 2 = 0 = α . η κ-β α+β-β � Χι Χι Χ2 Υι Χ2 Υ2 Χι Υι = = . λκp = Το οποίο ισχύει μια και το Κ είναι σημείο του c2 . κ-α _ α+β-α β Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ΚΡ άρα 6. Τα σημεία Α και Β κινούνται στους ημιάξο το λεφ·λκp = -1 δηλ. λεφ = _ Q_ . νες Οχ και Oy αντίστοιχα, ώστε ΟΑ+ΟΒ κ, α Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι με κ σταθερό. Θεωρούμε τους κύκλους που δια β - Ο _ Q_ γράφονται με διάμετρο την ΑΒ. Να αποδείξετε λΑ Β = = 0-α α· ότι: Οπότε η εφαπτομένη είναι παράλληλη της ΑΒ. i. Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από δύο στα Όμοια αν λε ο συντελεστής της εφαπτομένης θερά σημεία Ο και Ρ (με Ο την αρχή στο σημείο Ο τότε λε · λακ = -1 , των αξόνων). ii. Η εφαπτομένη κάθε κύκλου στο Ρ είναι

κ(Ξ·%}

{

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/65

{

}

<=>} {

}

Μ αθηματικ ά για την Β ' Λυκείου

με λοκ = � δηλ. λε = - � . α β

B(xz ,Yz) ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι π ά ντα ορθογώνιο στο Ο. Να αποδείξετε ότι: ί. X t Xz = 4 p 2 και Υ1Υ2 = -4p 2 ίί. Οι συντεταγμένες του μέσου Μ της υπ ο τείνουσας επαληθεύουν την εξίσωση : z y = Ρ (χ - 2 p) . ίίί. Η ευθεία ΑΒ διέρχεται π άντα απ ό ένα σταθερό σημείο Ρ. iv. Αν οι εφαπτομένες στα σημεία Α, Β τέ μνονται στο Κ, τότε αυτό το σημείο κι νείται πάνω σε μια ευθεία και επίσης ι σχύει ότι: ΚΜ II χ χ Ό ι.

111.

Επομένως λεφ· λε = 1 . Η εξίσωση της εφαπτομένης στο Ο είναι:

y - Ο = - � . ( χ -0) <::::> y = - � . χ, ενώ στο Ρ β β κ β . κ ειναι: y- = -- (χ - - ) <::::> 2 α 2 κ β β κ2 β <::::>y = -- χ + - ( - + 1 ) <::::> y = - - χ + - . α 2 α α 2α Το σημείο τομής τους είναι η λύση του συ στήματος των δύο εξισώσεων, που γίνεται: α β Κ 2 <::>-( α2 β2 χ = κ 2 β αρα -- . χ = -- χ + - ) - . 2α 2 β α κβ κ2β κ2β χ = 2(α - β) 2 (α - β)κ 2(α - β)(α + β) για α:;t:β. Αντίστοιχα το α κβ κα = . y= β 2(α - β) 2 (α - β) κ(α - β) κ = -. Επομένως x + y 2(α - β) 2 Οπότε τα σημεία τομής των εφαπτομένων ανήκ . . χ+y= την οποια κουν στην σταθ ερη. ευ θ εια:

επαληθεύουν οι συντεταγμένες των κέντρων, αφού α β κ . ει-. . - + - = -. Τ ε' λος οταν α = β , οι εφαπτομενες 2 2 2 ναι παράλληλες. 7.

Στην παραβολή y 2 = 2 px με κορυφή το Ο θεωρούμε τα μεταβλητά σημεία A(x t ,Yt ),

Τα διανύσματαθέσης των Α ,Β είναι ΟΑ = (χι , Υι ) και ΟΒ = (x2 ,y2 ). -->

-->

Αφού ΟΑ l_ ΟΒ τότε ΟΑ- ΟΒ = Ο δηλ. ΧιΧ2 + ΥιΥ2 = Ο <::::> ΥιΥ2 = - ΧιΧ 2 .

Επειδή τα Α, Β είναι σημεία της παραβολής τότε ισχύει: Υι 2 = 2 pχ ι και Yz2 = 2px2 ( 1 ) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε (ΥιΥz ? = 4p2 Xι Xz <::::> (-χιχ2 )2 = 4p 2 χι χ2 . Χ ιΧ = 4p2 και ΥιΥ2 = - 4Ρ2 . αρα 2 Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις ( 1 ) έ χουμε Υι 2 + y/ = 2 p(χ ι + Xz ) ή (Υ ι + Υ2 )2 - 2ΥιΥz = 2 p (χι + χ2 ). Το μέσον Μ της ΑΒ έχει συντεταγμένες χ + χ-=-2 και y = Υ ι + Y z , επίσης από ( i ) το χ = -!..-1_ 2 2 ΥιΥ2 -- - 4Ρ2 · Συνεπώς είναι (2y) 2+8 p2=2p(2x)<::::>4y2 = 4px - 8 p2<::::>/ =p (x-2p ). Επομένως το σημείο Μ επαληθεύει την παραπάνω 11.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/66

Μ αθηματικά για την Β ' Λυκείου

εξίσωση. Αφαιρώντας τις σχέσεις ( 1 ) σχηματίζεται η (Y ι-Y2 )(y, +y2 )=2p(xι-x2 ), αν x,:;ex2 τότε y , - y 2 -2p -"--- . Ο συντελεστής της ΑΒ είχ , - X z Υι + Yz 2 -y ναι λ = Υ ι 2 , επομένως λ = - Ρ- . Άρα x, - Xz Υι + Υz 2p ( - , η εξίσωση της ΑΒ είναι: y-y 1 = χ χ) Υ ι + Yz που γίνεται: Υι Υ - Υι 2 + ΥΥ2 - Υ ι Υ2 = 2px - 2px, <:::::> <=>Υι Υ + ΥΥ2 + 4p 2 = 2px. 4p 2 . Ό μως y2 = -- , οποτε η ΑΒ γραφεται: Υ 4p 2 ' y,y - - y + 4p 2 = 2 px που ειναι η εξης: Υ 2 2p(x-2p)y, - 4p2y = Ο. Για να επαληθεύουν yy οι συντεταγμένες του Ρ την σχέση, για κάθε y 1 πραγματικό αριθμό, πρέπει y = Ο και x-2p = 0 . Άρα το σημείο Ρ είναι (2p, 0). Όταν χ, = Xz τότε χ 1 = χ 2 = 2p, άρα η ΑΒ εί ναι η ευθεία χ = 2p που προφανώς διέρχεται από το Ρ( 2p,O). ιν. Οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι: εφ Α : ΥιΥ = p(x + Χ ι) εφΒ : YzY = p(x + χ2) αφαιρώντας τις σχέσεις έχουμε (Υ ι - Υ2 )Υ = p(χ ι - χ2), αν x, :;ex 2 τότε p(x , - χ ? ) = Ρ Υι + Yz -= Ρ Υ= 2p ι λ 2 Υ Υ2 Υι + Yz Άρα η τεταγμένη του Κ είναι ίση με την τε ταγμένη του Μ. Δηλαδή η ΚΜ I/ χχ Ό Αντικαθιστώντας την τιμή του y σε μία από τις εξισώσεις των εφαπτομένων γίνεται: y , (y y2 ) = p(x + x 1 ) <=:> y� + y 1 y 2 = 2px + 2px , από τις σχέσεις του ( i ) έχουμε -4p 2 = 2px δηλ. χ = -2p. ιιι.

Συνεπώς τα σημεία Κ κινούνται στην ευθεία χ = -2p. Όταν χ , = χ2 = 2p, τότε και Υι = 2p, Υ2 = - 2p. Οπότε οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι: 2py = p(x+2p) και -2py = p(x+2p) που λύνο ντας το σύστημα το Κ είναι (-2p,O). Άρα και σ ' αυτήν την περίπτωση ισχύουν τα ζητούμε να.

8. Στην έλλειψη

χ2 α2

y2 + β2 = ι με κέντρο το

θεωρούμε δύο κάθετες διαμέτρους ΑΒ και ΓΔ διαφορετικές των αξόνων. Να αποδείξετε ότι: ι ι ι ι ί. Α Ο 2 + ΓΟ 2 = � + ff . ii.

(

)

Αν το ΟΑΓ

.::.__ _

ίίί .

�α 2 + β2 2

τότε η

α 2 + β2 = αβ Το γινόμενο τωνσυντελεστών διεύθυν .:...__ σης των εφαπτομένων.... στα σημεία Α και Γ είναι σταθερό και ίσο με (ι - ε2 ) 2 , όπου ε η εκκεντρότητα της έλλειψης. Η ΑΒ δεν μπορεί να διχοτομεί χορδή της έλλειψης παράλληλη της ΓΔ . ΑΓ

ίν .

ι.

Έστω οι εξισώσεις των διαμέτρων είναι: 1 (ΑΒ): y = λχ , με λ:;t:Ο και (ΓΔ): y = - - χ . Τα λ συντεταγμένες (χ 1 ,λχ 1 ) σημεία Α, Γ θα έχουν 1 . και (χ2 , - λ χ 2 ) αντιστοιχα. Α φου. ειναι σημεια χ 2 λ2 χ 2 της έλλειψης θα ισχύει ότι: -21 + -?-1 = 1 και βα .

Ε Υ Κ \ Ε Η Η Σ Β ' τ.3/67

Μ α θηματικά για την Β ' Λυκείου

2 και εφ Β : χα; χ - λχ \ y 1 . Άρα έχουν συντελελύνοντ ας και ως που προς χ1 χ 2 β α λβ α2-'--στές διεύθυνσης τους: β 2 -:-- :- ενώ , εχουμε χ 2, = -?λ-::-:2 2 λβ 2 . χ,β 2 α +β β 2 και λ = χ 2 λβ 2 = λΑ -- - -Β -λχ,α2 λα2 χ 2 α2 α2 Τότε είναι: 1 1 1 Το γινόμενο τους ισούται: _Α_ο_2 + _r_o_2 (�χ � + λ2 χ� ) 2 + --::-;:::=:: ==x=�22 λβ 4 α2 - γ2 2 J ; 2 _ λ λ = = · χ 2 + )Υ Α Β λα 4 α2 α2 ) 1 + λ2 . χ � (l + λ2 ) χ ; (l + λ2 ) Έστω χορδή ΚΛ // ΓΔ με K(x3 , y3 ) και - _! Α Λ(χ4 ,y4) . Αφού τα Κ,Λ ανήκουν στην έλλειψη 2 2 2 2 � 1 � 2:1._ + και τότε: � 1 = α2 + β 2 = · α2 β 2 χ +� χ =1 ---+

= -= -[r_)2 [ ) -[ι- :: )' = - ( ι - ε' )'

(

Ιν.

Δ Β .Ί ' τις τιμες' των χ12 , χ22 και κα-' Αντικα θ ιστωντας νοντας τα σύνθετα κλάσματα απλά γίνεται: 1 J! α2 + β 2 + λ\ α 2 + λ2 β 2 ) 1 + --ΑΟ 2 Γ0 2 (1 + λ2 )α 2 β 2 (1 + λ2 ) λ2 α 2 β 2 λ2 α2 + β 2 + α 2 + λ2 β 2 (1 + λ2 )(α 2 + β 2 ) (1 + λ2 )α 2 β 2 (1 + λ2 )α2 β 2 + β 2 = -1 + -1 α2 --'-α2 β 2 α2 β 2 ·

2 2 2 2 Αφαιρώντας είναι: χ 4 α-2 χ 3 + y4 -2 y 3 --0 που β γίνεται: β 2 <=> (y4-y3 )(y4+y3 ) = - (χ4-χ3 )(χ4+χ3 ) α2 y4 - y 3 y 4 + y 3 Η παραπάνω ισότητα γίνεται: (1) + α χ χ χ χ 2 2 2 2 0 , 4 3 4 3 ΑΟ + Γ = α + β . Απο, το υθαγορειο Π 2 2 2 2 Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΚΛ είναι: αβ ΑΟ ΓΟ λκΛ = - _!_λ = Υ4 - y3 Θεώρημα στο ΟΑΓ είναι: ΑΟ2+ΓΟ2=ΑΓ2 , ενώ για χ4 - χ3 το εμβαδόν του ισχύει: Θεωρώντας ως Μ το μέσον του ΚΛ τότε ΑΟ . ΓΟ =2(0ΑΓ). Άρα έχουμε: χ χ ΑΓ2 α 2 + β 2 Μ 4 ; 3 , Υ4 ; y 3 και αν υποθέσουμε ότι η ΑΒ 4( 0ΑΓ) 2 α2 β 2 · διέρχεται από το Μ, τότε: λ = λΜο = Υ4 ++ Υ 3 . Η οποία μας δίνει χ4 χ 3 2 + β2 α2 + β 2 α2 + β 2 2 α 2 ΑΓ = α 2 2 4 4 = α β2 = 1 Επομένως η (1) δίνει: _!_λ λ = - αβ : δη λ. β β α2 2 2 αδύνατο αφού β α . δη λ. ΑΓ = α α+ β β Άρα η ΑΒ δεν διχοτομεί καμία χορδή παράλληλη iii. Οι εξισώσεις των εφαπτομένων στα Α και Γ της ΓΔ. λχ, 1 χ, χ + ' εφΑ : ειναι: 2 α β2 y ιι.

= - β: .

<=>

[

)

(

=t-

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/68

ΠΙΘΑΝΟ ΤΗΤΕΣ Γ. Τσικαλουδάκης Τα τε;.ευτα ία χρ όνι α συνηθίζετα ι στις Εισα γωγικές Εξετάσεις σε ένα η δύο α πό τα θέμ ατα να έχουμε συνδυ αστικές α σκήσεις από στατιστική κα ι πιθα νότη τες ή από ανάλυση κα ι πιθα νότη τες. Μι α τέτο ι α πρ ο σπάθει α έχει γίνει σε μερ ικά α πό τα πα ακάτω θέμ α τα : Έστω

Α, Β

Ρ(Α) =

ενδεχόμενα ενός δειγματικού

χώρου Ω . Αν είναι: P(A' u B)

αποδείξετε ότι :

i) Ρ( Α - Β) = � , ii) iii) Ρ(Β) S Ρ(Α) '

Ρ(Β) S

P(A n B') , να

�,

Έχουμε: i) Ρ( Α' Β) = Ρ( Α n Β') � Ρ( Α') + Ρ(Β) - Ρ( Α' n Β) = Ρ(Α) - Ρ( Α n Β) � 1 - Ρ( Α) + Ρ(Β) - ( Ρ(Β) - Ρ( Α n Β)) = = Ρ( Α) - Ρ(Α n Β) � 1 - Ρ(Α) + P(A n B) = Ρ(Α) - Ρ(Α n Β) 2P(A) - 2P(A n B) = l P(A n B') = ! (1) ii) Είναι: Ρ(Α Β) ::;; 1 , ισοδύναμα: Ρ( Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α n Β) ::;; 1 (2) Αλλά είναι: Ρ( Α) - Ρ(Α n Β) = ! , οπότε (2) γίνεται: Ρ(Β) + ! ::;; 1 , ισοδύναμα: Ρ(Β) ::;; ! . iii) Είναι: Ρ [(Α - Β) (Β - Α)] S 1 , ισοδύναμα: Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α n Β) ::;; 1 ισοδύναμα: 2Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α n Β ) ::;; 1 + Ρ(Α) και λόγω της (1), 1 + Ρ(Β) ::;; 1 + Ρ(Α) , άρα Ρ(Β) ::;; Ρ( Α) . υ

�

Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός; δειγματικού χώQου Ω με:

ν - Ρ ( Β ) = 2ν - 3 , ν2 + 7 V2 + 7 _1y_ Ρ(Α υ Β) = ν2 + 7 -

και

όπου ν είναι θετικός; ακέQαιος; . 1 . Να βQείτε τι τιμές; μποQεί να πάQει ο ν . 2. Αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα,να βQείτε την τιμή του ν . 3. Να βQείτε για ποια τιμή του ν η Ρ( Α n Β) γίνεται μέγιστη, καθώς; και τη μέγιστη τιμή της;. 1.

Αρκεί να είναι: Ο ::;; Ρ(Χ) ::;; 1 , για Χ {Α, Β, Α Β} Δηλαδή πρέπει να είναι: ν- ::;; 1 , 0 ::;; 2ν - 3 ::;; 1 και 0 ::;; � 0 ::;; ν 2 + 7 ::;; 1 ν2 + 7 ν2 + 7 ν2 - ν + 7 � 0 , ισοδύναμα: ν � -23 ισοδύναμα: 2ν2 - 3 � ο ν - 2ν + 10 � 0 ν 2 - 2ν + 7 � Ο Άρα αρκεί να είναι � 2 . 2. Αν τα Α, Β είναι ασυμ β ί β αστα, τότε P(AnB) =O Αλλά έχουμε: Ρ( Α n Β) = Ρ( Α) + Ρ(Β) - Ρ( Α Β) , οπότε είναι: Ρ( Α) + Ρ(Β) - Ρ( Α Β) = Ο και συνεπώς: _2 ν_ + 2ν2 - 3 - � = ν + 7 ν + 7 ν 2 + 7 0 , ισοδύναμα: ν = 3 2. Είναι: Ρ( Α Β) = ν2 - 3 . Θεωρούμε τη συ ν +7

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/69

Γ'ι

Μ α θηματικ ά για την Γ Λυκείου

, . 1 + 3 + 5 + ... + """"iO 2ν + 1 O = 1 , ισοισοδυναμα. 100 100 100 δύναμα: 1 + 3 + 5 + ... + (2ν + 1) = 100 (1) Οι προσθετέοι του αθροίσματος ( 1) αποτελούν αριθμητική πρόοδο με α 1 = 1 , διαφορά ω=2 και αν = αι + (ν - 1)ω = 1 + (ν - 1) · 2 = 2ν - 1 , οπότε είναι: αν+ = 2ν + 1 και: 1 + 3 + 5 + ... + (2ν + 1) = 100 <=> sv+l = 100 <=> [ 1 + (2ν + 1) ] · ν ; 1 = 100 <=> (ν + 1) 2 = 100 <=> ν + 1 = 10 <=> ν = 9 . Άρα έχουμε: Ω = { Ο , 1 , 2 , . . . , 9 } και συνεπώς Ν(Ω) = 1 0 . β) Είναι: Ε = { Ο, 1 , 2 } με Ε ενδεχόμενο του Ω , Θ !F.: '\Ή Α J σ οπότε έχουμε: Ρ(Ε) = Ρ(Ο) + P( l) + Ρ(2) = Δ ίνεται η συνάρτηση: f( x ) = χ4 - 4χ3 + 4χ2 + 2 = 1 01 0 + 1 03 0 + 1 05 0 = 1 09 0 1. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f . γ) Είναι: Ω = { 0, 1 , 2 , . . . , 9 } . Ακόμα έχουμε : } ο δειγματικός χώ2. Έστω Ω = { 0 , 1 , 2 , f(O) = 2 , f( l) = 3 , f(2) = 2 και f(3 ) = 1 1 ρος ενός πειράματος τύχης με πιθανότητες α Αλλά η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα πλών ενδεχομένων: στο διάστημα [2, +οο) , οπότε για κάθε ν 3 είναι 2k + 1 P(k ) = -- , k = 0 , 1 , 2 , ... f(ν) f(3 ) , δη λαδή f(ν) > 3 και συνεπώς το πλή100 θος των (διαφορετικών) τιμών της f στο Ω είναι α) Να αποδείξετε ότι Ν(Ω) = 10 . Ν ( f(Ω) ) = Ν(Ω) - 1 = 9 β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου αφού μόνο δύο τιμές της f στο Ω είναι ίδιες: Ε του Ω, όπου ενός Ε = { k Ω/ η f παραυσιάf;,ει τοmκό ακράrαχο σrο k} f(O) = f(2) = 2 . Επομένως σε τυχαία επιλογή στοιχείου του Ω' = f(Ω) , αν με Α συμβολίσουμε γ) Έστω Ω' = f(Ω), το σύνολο τιμών της f το ενδεχόμενο: το στοιχείο που επιλέξαμε να είναι στο Ω. Σε τυχαία επιλογή ενός στοιχείου του τοπικό ακρότατο της f, έχουμε: Ω' να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομέ Α = { 2, 3 } και συνεπώς Ρ(Α) = % · νου το στοιχείο αυτό να είναι τοπικό ακρό νάρτηση f με: f(x) = � -+37 , 2 και έχουμε: χ f'(x) = - xz( 2+ 6 χ )+2 7 χ +7 οπότε επειδή είναι: -χ2 +6χ + 7 =0 <=> χ = -1 ή χ = 7 έχουμε: f'(χ) < Ο , για χ > 7 και f'(χ) > Ο , για 2 5, χ < 7 . Συνεπώς η f παρουσιάζει μέγιστο στο 7, οπότε και η Ρ( Α Β) γίνεται μέγιστη για ν = 7 . (καθότι το σύνολο τιμών της Ρ( Α Β) είναι υποσύνολο του συνόλου τιμών της t). Για ν = 7 είναι: Ρ( Α Β) = 1� χ �

..., ν

�

,ν

�

Θ Ε Μ Α 4ο

τατο της f.

Δίνεται το σύνολο :

Είναι: f'(x) = 4χ(χ - 1)(χ - 2) , οπότε έ χου � το�_�αρα�άτω πίνακα μονοτονία'i_της f:._ ο χ 2 +οο Γ(χ) ο + ο ο + f(x) � / ! Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f(χ) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στις θέσεις: Ο, 2 με τιμές: f(0)=2, f(2)=2 και τοπικό μέγιστο στο 1 με f(1)=3 . 2. α) Είναι: Ρ(Ο) + P(l) + Ρ(2) + ... + Ρ( ν) = 1 , 1. i I

i___

-00

Ω = {1 , 2 , 3 , . . . , ν } και οι συναρτήσεις , k ε με: + kx2 + (k + 12 )χ , k ε

fk( x ) =tx3

Επιλέγουμε τυχαία μια από τις παραπάνω συναρτήσεις και θεωρούμε το ενδεχόμενο: Ε: η επιλεγείσα από τις fk να έχει δυο τοπικά ακρότατα α) Αν είναι Ρ( Ε ) Ο, 7 να βρείτε το πλήθος των fk β) Αν τα στοιχεία του Ω έχουν μέση τιμή

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/70

Μαθ ηματικ ά για την Γ Λυκείου

χ = 9 , να βρείτε την πιθανότητα του

πα οποιαδήποτε τράπεζα Α, Β, Γ. ραπάνω ενδεχομένου Ε . Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια της πόλης γ) Αν το Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός αυτής. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Ε 1 : Η επιλεγείσα οικογένεια έχει κάρτα ανάπειράματος τύχης με πιθανότητες: Ρ(ω) = ι � ' ω ε Ω ληψης από την Α και από την Β τράπεζα. ν να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχο Ε2 : Η επιλεγείσα οικογένεια έχει κάρτα ανάληψης χρημάτων από μια μόνο από τις μένου Ε. τράπεζες Α , Β , Γ . . \. Υ �':.: Η

Η συνάρτηση f έχει παράγωγο:

( (χ) = χ 2 + 2kx + ( k + 1 2) Το τριώνυμο χ 2 + 2kx + (k + 1 2) έχει διακρίνουσα: Δ = 4k 2 - 4k - 48 = 4 (k 2 - k - 1 2) = 4(k - 3)(k + 4) Δ > Ο <=> k > 3 (για k ε Ω ) Συνεπώς από τις παραπάνω συναρτήσεις μόνο οι τρεις πρώτες δεν έχουν δύο τοπικά ακρότατα. Συνεπώς είναι: Ρ(Ε) = ν - 3 , οπότε έχουμε: ν α) Αν Ρ(Ε) = 0, 7 , τότε είναι ν ν- 3 = 0, 7 , άρα ν = lΟ . β) Είναι: χ = ( 1 + 2 + 3 + . . + ν) = ( l + ) · ν = 1 � ν , οπότε αν χ = 9 , έχουμε: 9 = 1 � ν , άρα ν = 17 και με:

� ;

�

Ρ(Ε) = ν - 3 = Η 17 ν γ) Είναι: p (1) + P(2) + p(3) + . . . + p(ν) = 1 <=> 1 ( 1 + 2 + 3 + . . + ν ) = 1 � 1 · ( 1 + ν) · ν = 1 lΟν 1 0ν 2 1 ν + <:::> = 1 <=:> ν = 19 . 20 Οπότε: Ρ(Ε) = ν � 3 =

συνεπώς:

��

Σε μια πόλη που αποτελείται από 500 οικογέ νειες υπάρχουν τρεις τράπεζες, Α , Β , Γ . Το 70% των οικογενειών της πόλης αυτής διαθέτει μία τουλάχιστον κάρτα ανάληψης χρημάτων από τις τράπεζες Α ή Β μόνο, ενώ το 30ο/ο των οικογε νειών της πόλης αυτής διαθέτει κάρτα ανάληψης χρημάτων μόνο μίας από τις τράπεζες Α,Β. Το 90% των οικογενειών της πόλης διαθέτει μία τουλάχιστον κάρτα ανάληψης χρημάτων από

\ \'Σ Η

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α : μια οικογένεια διαθέτει κάρτα από την Α τράπεζα. Β : μια οικογένεια διαθέτει κάρτα από την Β τράπεζα Γ : μια οικογένεια διαθέτει κάρτα μόνο από την Γ τράπεζα. Έχουμε: Ε 1 = Α Π Β P ( A U B ) = 0, 7 και P [(A - B) U (B - A)] = 0, 3 Ακόμα είναι: Ρ ( Α Π Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ( Α υ Β) και Ρ ( (Α - B) U ( Β - Α)) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - 2Ρ(Α Π Β) οπότε έχουμε το σύστημα: Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ ( Α Π Β) + Ο, 7

{

Ρ( Α) + Ρ(Β) - 2 Ρ(Α Π Β) = 0, 3 από το οποίο προκύπτει: Ρ(Α Π Β) = 0, 4 και Ρ(Α) + Ρ( Β) = 1, 1 Επομένως έχουμε: Ρ ( Ε 1 ) = Ρ(Α Π Β) = 0, 4 , Ακόμα είναι: Ρ ( Γ) = 0, 9 - 0, 7 = 0, 2 , οπότε έχουμε: Ρ( ξ ) = Ρ( Α -Β) + Ρ(Β-Α) + Ρ(Γ) = = Ρ( Α) +(B) - 2P(AnB) + P(Γ) = l, l - 0, 8 + 0, 2 = 0, 5

Δίνεται το σύνολο:

ii)

Ω = {1 0 , 1 1 , 1 2 , . . . , 9 9 } Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του ω ε Ω .

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: το ω είναι πολλαπλάσιο του 3 Β: 80ω - ω2 � 1200 Ν α βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων: Α, Β, Α Π Β . Θεωρούμε τις συναρτήσεις fk , k ε Ω με:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3!71

2 fk ( χ) = �2kx - 3χ '

Μα θηματικά για την Γ Λυκείου

Επιλέγου με τυχαία μία από τις fk Να βρεί τε την πιθανότητα του ενδ εχομένου Ε, όπου : Ε = { ν Ω / το fk (ν ) είναι μέγιστο της fk } .

ε i) Είναι: Ν(Ω) = 90 και Α = {12,15,18, . ,99 } με Ν (Α) = αφού οι αριθμοί 12, 1 5, 18, ... , 99 είναι τα πολλαπλάσια του 3 από το 12 έως και το 99 και τα πολλαπλάσια του 3 μέχρι και το 99 είναι 34 , αφού (συν το 0), ενώ μέχρι το 12 υ πάρχουν τέσσερα πολλαπλάσια του 3, το Ο, το 3, το 6 και το 9. Επομένως είναι: Ν(Α) 30 l Ρ(Α) = = = Ν(Ω) 90 3 Για την πιθανότητα του Β έχουμε: 2 � 1200 <=> 80ω-ω (ω- 60)(ω-20) 2 Ο <=> ω � 20 ή ω 2 60 Άρα B={l0,11,12, . . ,20} U{60,6 1 ,62 , ... ,99} , .\ Υ Σ Η

Σε ένα χωριό το 90% των οικογενειών έχει ένα

τουλάχιστον παιδί, ενώ το 80% έχει ένα ή δυο παι

δία και το 60% των οικογενειών έχει τουλάχιστον δυο παιδιά.

Πάνω από τρία παιδία δεν έχει καμία οικογέ

30 ,

99 : 3

ω 2 - 80ω + 1 200 � Ο

οπότε:

( )

Ρ Β

Ν (Β) Ν(Ω)

1 1 + 40 90

<:::}

21. 90

60, 63, 66,

Ακόμα είναι:

AnB={12,15, 18} υ{ , 99} N(AnB) = 3+ (34-20) = 17 , με N AnB 17 οποτε. P ( AnB )- (Ν Ω ) - 90 () ii) Για τα τοπικά ακρότατα της fk έχουμε: α) η fk έχει πεδίο ορισμού: [ο ' 2{ J με: f� ( χ)= .J2�:� � οπότε έχουμε: f� ( χ)< Ο , για 2 χ ε (f, 23k ) και f� (χ) Ο , για ε ( Ο , �) . Άρα η fk παρουσιάζει μέγιστο για = f . β) Συνεπώς για το ενδεχόμενο έχουμε: Ε= { ν ε Ω / το fk (ν) είναι μέγιστο της fk } Ε = {ν ε Ω / ν= f , k ε Ω } , αφού το fk (ν) γίνεται μέγιστο για ν � , με k ε Ω οπότε πρέπει (και αρκεί) στο κλάσμα f , ,

...

ν,

το k να είναι πολλαπλάσιο του 3 και το πηλίκο ν α είναι στοιχείο του Ω. Άρα είναι:

Ε = {30,33,

...

,99 }

και

Ρ(Ε) = ΝΝ((ΩΕ)) = 9023 .

�

νεια.

α)

Αν οι οικογένειες του χωριού είναι 200, να ε

κτιμήσετε το πλήθος τω παιδιών του χωριού.

β)

Σε τυχαία επιλογή μιας οικογένειας του χω

ριού, να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου: Α: η οικογένεια έχει ένα ή δυο παιδιά.

γ)

Συναντάμε στο δρόμο ένα παιδί του χωριού

αυτού: να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχόμενου:

Ε 1 : το παιδί να ανήκει σε οικογένεια που έχει ένα μόνο παιδί.

Ε 2 :το παιδί να ανήκει σε οικογένεια που έχει το πολύ δύο παιδιά.

Έστω τα ενδεχόμενα: μια οικογένεια δεν έχει παιδία Α 1 : μια οικογένεια έχει ένα παιδί Α2 : μια οικογένεια έχει δύο παιδία Α3 : μια οικογένεια έχει τρία παιδία Για το παραπάνω πείραμα είναι: Α0 :

Ρ(Α0) =0,1 , Ρ(Α1) + Ρ(Α2 ) = 0,8 Ρ(Α3) + Ρ(Α 2 ) = 0, 6 Ρ(Α1) + Ρ(Α2 ) + Ρ(Α3) = 0,9 Από τις παραπάνω ισότητες προκύπτει: Ρ(Α3) =0,1 , Ρ(Α2 ) =0,5 , Ρ(Α1) =0,3 οπότε έχουμε:

α) Το πλήθος των παιδιών του χωριού εκτι μάται ότι είναι:

0,1·200· 3 +0,5 ·2·200+0,3·1·200= = 60+200+ 60 = 320. Είναι: Ρ(Α) = Ρ(Α1) + Ρ(Α 2 ) =0,8

β) γ) Το πλήθος των οικογενειών που έχουν παιδιά είναι:

200· 10090 = 180 ' οπότε ένουμε: Ρ( Ε ) = Ο, 3 · 200 = = 180·200 18 3 ' 0,3·200+0 ,5 1 60 = �9 Ρ(Ε2 ) = 180 = 180

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/72

_§_ 1

Μ αθηματικ ά για την Γ Λυκείου

Ασκήσεις που λύνονται με τη βοήθεια παραγώγων

Θανάσης Τριανταφύλλου

Δίνεται η συνάρτηση f , με f ( x ) = χ(π - χ)συvχ + ( 2 χ - π)ημχ . (α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο (Ο, π). (β) Να δείξετε ότι η εξίσωση /(χ) = Ο έχει ακριβώς μια πραγματική λύση στο διάστημα (0, π). (γ) Να δείξετε ότι _!_ < ημχ � για κάθε 1.

στο (0, π).

χ(π - χ)

�, π

Λύση .

(α) Είναι f' (x) = [ χ ( π - χ ) συ vχ + ( 2χ - π )ημχ ]' = = ( π - χ) συ vχ - χσυ vχ - χ ( π - χ )ημχ + +2 ημχ + ( 2χ - π ) συvχ = = � - � - χπημχ + χ2 ημχ + +2ημχ + � - � = = (χ2 - χπ + 2 )ημχ με ημχ > Ο στο δ ιάστημα (Ο, π ) , οπότε το πρόσημο της πρώτη ς παραγώγου εξαρτάται από το τριώνυμο χ 2 - χπ + 2 το οποίο έχει ρίζες π + �π 2 - 8 π - �π ] - 8 Ο = ,

< ρI

< ρ2 =

<π.

είναι γνησίως αύξουσα, διότι, όπως είδαμε στο (β) στο διάστημα αυτό είναι Ο < f (x) , ενώ στο διάστημα [ π , π) , είναι γνησίως φθίνουσα. Η g 2 π π = 4 οποτε ' ' παροισια' ζει μεγιστο στο 2 , το g 2 , 2 π για κάθε

στο (Ο, π ) είναι

()

g(x) �

Είναι

� π

( 1 ).

1 - = 1 · _!_ = _!_ (2) lim g(x) = lim ημχ χ · π π π-χ χ και lim g(x) = lim ημ ( π - ) · _!_ = _.!._ (3) Αν υπάρχει στο διάστημα ( 0, π ) με g( α ) � _.!._ , 2 π , α < α και η συναρτηση g ειναι τότε, επειδή ο < 2 χ--.ο•

χ--.ο+

Χ -> Π-

Χ -> Π

, γνησιως αυ' ξουσα στο

g ( α2 ) < g ( α ) � π1 -

π (Ο, ) 2

θα

είναι

(4).

Στην περίπτωση αυτή για κάθε χ στο ( 0, α ) θα 2

Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [ 0 , p1 ] και στ ο [ p2 , π ] , ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο [Ρι ' Pz J · + π (β) Το = Ρι Pz είναι το μέσο του [p1 , Ρ2 ] και 2 2

g (x) < g( α2 ) . Οπότε θα είναι lim g (x) � g( α2 ) < _.!._π (5). Από τις (2 ) και (5) ' ' ' δη λαδη' 1 < -1 , που ειναι ' ατοπο. οτι καταληγουμε

είναι ρίζα της f (x) = Ο , διότι

( � , π ) . Δηλαδή, αν υπάρχει στο διάστημα ( � , π ) με g (β) � (6), τότε, επειδή από το

ι ( � ) = Ο . Συνεπώς

η εξίσωση f ( χ) = Ο έχει μια ρίζα. Δεν έχει άλλη ρίζα στο διάστημα [ p1 , p2 ] , διότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σ ' αυτό. Επειδή f (O ) = Ο και η f είναι γνησίως αύξουσα στο [O, p1 ] , για κάθε χ με Ο < χ � p1 είναι Ο < f ( χ) , οπότε δεν έχει ρίζα στο ( O , p1 ] . Δεν έχει ρίζα στο διάστημα [pz , π) , διότι στο διάστημα [p2 , π] η f είναι γνησίως αύξουσα, και f( π) = Ο . χ f (x) = g'(x) , (γ) Θέτουμε g(x) = ημ 2 χ (π - χ ) χ (π - χ ) 2 στο ( Ο, π) . Η συνάρτηση g στο διάστημα ( 0 , π ] 2

είναι χ --. ο •

π π Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε και στο διάστημα -

�

β+π π π ' ' < π και - < β < π προκυπτει οτι - < β < 2 2 2 η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο β π θα είναι � g ( β ) > g (7). ,π --

(� )

�

Στην περίπτωση αυτή για κάθε δηλαδή, για κάθε

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/73

(;) β στο ( ; π , π )

για το οποίο θα είναι

Μ α θηματικά για την Γ Λυκείου

π β+π -< <χ<π 2 2 --

Οπότε θα είναι

(;)

β π ' εχουμε g ( x) < g

lim g (x)

.r ->π

:-ς

( β +2 π ) < _!._π

( 8).

Από τις (3) και ( 8) καταλήγουμε ότι _!._ < _!._ , που π π είναι άτοπο, επίσης. Συνεπώς, δείξαμε ότι για κάθε χ ε (Ο , π ) είναι χ g ( x) = ημ > _!._ (9). χ ( π - χ) π Από τις ( 1 ) και (9) προκύπτει ότι 1 4 χ - < ημ -< -2 π χ ( π - χ) π •

Μια συνάρτηση /ορίζεται στο διάστημα {α, β) και είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό. Για την fιιη;ύουν (ί) J<3> (x) > Ο για κάθε χ στο διάστημα {α, β]. (ii) Η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) ακριβώς 2 τοπικά ακρότατα στις θέσεις γ,δ με α < y < δ < β . Να δείξετε ότι (α) Η f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής (ξ, /(ξ)) με y < ξ < δ . (β) Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση γ και τοπικό ελάχιστο στη θέση δ. (γ) Η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [ξ,β] και τα κοίλα κάτω στο διάστημα [α,ξ]. Cδ

(�) και ( α ; ) ι

� Ι<Ρ> � f( a ) ; /(ξ)

ξ Ρ :::; Ι< ξ> ι

.\ iJσn� ,

(α). Επειδή η f -σύμφωνα με το (i) - είναι παραγωγίσιμη στο {α,β} και παρουσιάζει ακρότατα -σύμφωνα με το (ii)- στις θέσεις r και δ, θα έχουμε -σύμφωνα με το θεώρημα του FeπnatΓC r) = Γ ( δ) = Ο ( 1 ). Επειδή η f ' είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [γ,δ] και, όπως είδαμε στην ( 1 ), ισχύει Γ (r) = Γ ( δ ) , σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, θα υπάρχει ξ στο (y, δ) με f " ( ξ) = Ο . Επειδή f < 3 > (x) > Ο στο [α,β} η συνάρτηση f" είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό · και επειδή μηδενίζεται στο ξ θα είναι f "(x) < Ο (2) στο [α, ξ) και f "(x) > Ο ( 3) στο (ξ, β], οπότε έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής στη θέση ξ. (β). Από το (ii) και το (α) προκύπτει ότι α < r < ξ < δ < β και ότι η / " είναι γνησίως

αύξουσα στο διάστημα {α,β}. Θα είναι, συνεπώς, f" ( α ) < f" (y) < f" ( ξ ) = Ο < f" ( δ) < f" ( β ) (4) Οπότε θα είναι: f" ( α ) < f" ( y) < Ο (5), και Ο < f" ( δ) < f" ( β ) (6). Από τις ( 5) και ( 6) προκύπτει αντιστοίχως ότι η f ' είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, ξ] και γνησίως αύξουσα στο [ξ, β] . Και επειδή από το ( 1 ) έχουμε ότι στα γ και δ η τιμή της f ' είναι Ο , θα πρέπει να είναι: Γ ( α ) > ΓC r) = Ο > Γ ( ξ ) (7), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, γ] και γνησίως φθίνουσα στο [γ, ξ] . Δηλαδή στο σημείο γ έχουμε αλλαγή της μονοτονίας -από αύξουσα σε φθίνουσα- και συνεπώς στη θέση αυτή η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Με παρόμοιο τρόπο θα δείξουμε ότι στη θέση δ η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο . Είναι Γ ( ξ ) < Γ ( δ) = ο < Γ ( β) ( 8), οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ξ,δ] και γνησίως αύξουσα στο [δ,β]. Από όσα προηγήθηκαν προκύπτει ότι στο σημείο δ έχουμε αλλαγή της μονοτονίας -από φθίνουσα σε αύξουσα - και συνεπώς στη θέση αυτή η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

3. Δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και ότι στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ. (α) Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της /' είναι το διάστημα [J'( a ), J'(β)] . (β) Αν λ πραγματικός αριθμός στο Δ ', να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο Α της γραφικής παράστασης Cι της f στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη προς την y = λ χ + μ . (γ) Αν η ευθεία y λχ + μ δεν τέμνει την C1 και ισχύει f (χ) > λχ + μ για κάθε χ στο Δ, να δείξετε ότι το σημείο Α του προηγούμενου ερωτήματος είναι το σημείο της Cι το οποίο έχει από την ευθεία y λ χ + μ τη μικρότερη απόσταση. (δ) Να βρεθεί το σημείο της έλλειψης 4χ 2 + y 2 1 το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση από την ευθεία y χ 3 .

Δ=

Δ'=

,\ι'Jση,

(α). Επειδή η f στρέφει τα κοίλα άνω, η Γ είναι γνησίως αύξουσα στο Δ = [ α , β ] , οπότε το σύνολο τιμών της Γ είναι το

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/74

Μ αθηματικ ά για την Γ Λυκείου

f' ( [α , β ] ) = [f' ( α ), f' (β )] = Δ ' . (β). Επειδή η f' είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ και το λ ανήκει στο Δ ' , η εξίσωση f' (x) = λ έχει ακριβώς μια λύση στο Δ, την χ = δ , οπότε f' ( δ) = λ . Η εφαπτομένη στο σημείο ( δ , f ( δ)) έχει συντελεστή διεύθυνσης f' ( δ) = λ , οπότε είναι παράλληλη προς την (ε) : y = λ χ + μ ή - λ χ + y - μ = Ο (γ). Είναι γνω στό από τη Β Άυκείου ότι η απόσταση σημείου M0 (x0 , y0 ) από ευθεία (ε ' ) με εξίσωση Ατ: + Βγ + Γ = Ο στο καρτεσιανό επίπεδο δίνεται από τη σχέση : I + Byo + Γ I d ( Μ0 , ε ) = Axo1 ν Α2 + Β 2 Αν, λοιπόν, M (x0 , f (x0 )) τυχαίο σημείο της C.r με χ0 στο Δ = [ α , β ] , η απόσταση του Μ από την (ε) είναι, αφού f (x) > λχ + μ : - χ d(M , ε ) = 1 λ ο + f(xo ) - μ I = �1 + λ 2 f( - χ = χ0 ) λ 0 - μ = f(χ0 ) - λ χ0 - μ = d (x) �1 + λ 2 �1 + λ 2 Δηλαδή η ζητούμενη απόσταση είναι μια συνάρτηση του χ0 με τύπο d (xo ) = f(xo J λχο - μ (l) �1 + λ 2 Η παράγωγος της ( 1 ) είναι )d '(xo J = f' (xo λ (2) �1 + λ 2 Η (2) μηδενίζεται όταν ο αριθμητής γίνει μηδέν. Δηλαδή, όταν f' (x0 ) = λ (3). Σύμφωνα, όμως, με το (β), η μοναδική λύση της ( 3) στο Δ είναι η χ0 = δ . Οπότε είναι d '( δ ) = Ο (4). Επειδή για τιμές χ0 < δ είναι αρνητικός ο αριθμητής της (2) ενώ τιμές χ0 > δ αυτός είναι θετικός, όπως προκύπτει από το γεγονός ότι η f' είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Τελικά έχουμε ακρότατο, και μάλιστα τοπικό ελάχισrο , στη θέση χ0 = δ . (δ). Λύνουμε την εξίσωση 4χ 2 + / = 1 ως προς y . Είναι f (x) = ± �1 - 4χ 2 Το μέρος της C/ , που βρίσκεται κάτω από τον άξονα των χ και στρέφει τα κοίλα άνω είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με f (x) = - �1 - 4x 2 ι

•

1 - 4χ 2 � Ο <=> χ ε

[-�·�] .

συνάρτησης αυτής είναι:

f' (x) = (- �1 - 4χ 2 ) ' = (-(1 - 4χ 2 ) 2 ) ' = t� 4χ = - .!_ (l - 4x 2 ) - . (l - 4x 2 ) ' = (4) 2 �1 - 4χ 2 Από την εξίσωση y = x - 3 ή χ - y - 3 = 0 , την (4), και με όσα αναφέραμε στο (γ) είναι f'(χ) = λ = 1 , οπότε έχουμε 4χ = 1 <:=> 4χ = �1 - 4χ 2 <=> f' (x) = 1 <=> �1 - 4χ 2

J3 <=> 1 6χ 2 = 1 - 4 χ 2 <=> 1 2χ 2 = 1 <=> χ ± =

Επειδή οι τιμές του χ , που μηδενίζουν την αντίστοιχη σχέση (2 ) (από την απάντηση του γ ' ερωτήματος, για την περίπτωση που εξετάζουμε), ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f (x) = - �1 - 4χ 2 , 1 1 J3 δη λαδη' ± 6 ' ε -2 ,.2 , εχουμε:

]

[

' ( � ) f ( �) � , ( �) -Jι - 4( � )' � ( fi) B ( Jj fi)

ι -

�

αλΜ και ι

- -4 -

�

�-

οπότε, σύμφωνα με όσα αναφέραμε στο (γ ' ), τα σημεία J3 Α -

6 ' \{3 '

6 ' \{3 -

της c/ απέχουν τη μικρότερη απόσταση από τη ευθεία y = χ - 3 .

Γ.

ΠΙΚΑΛ ΟΥΔΑΚΗΣ

Λ)

ΜΛθΗΜΛ ΤΙΚΛ ΚΛΤΕΥθΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΙΓΛΔΙΚΟΙ:

ΣΥΝΆΡΤΗΣΕ/Σ ._ ΟΡΙΛ - ΣΥΝΕΧΕΙΛ:

3. 4.

Β)

Σε τέσσερις τόμους (1400 σελίδες) πλήρης θεωρία, μεθοδολαyία, ασκήσεις, διαγωνίσματα

πλήρης θεωρία, μεθοδολαyία, ασκήσεις, διαγωνίσμα τα ΠΑΡΛΓΩΓΟΙ: ερωτήσεις θεωρίας- ασκήσεις, διαγωνίσματα ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΛ ΤΛ: πλήρης θεωρία, μεθοδολαyία, ασκήσεις, διαγωνίσματα θΕΜΛΤΛ: ΣΤΛΤΙΣΠΚΙΙΣ - ΠΙθΑΝΟΠΠΏΝ

Τηλ. : 210 95 17863 Κιν.:6973827622

Η παράγωγος της ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/75

Ε u κλεiί δ nς

π ρ οτ ε iί νε ιι

... ... ...

<<Η καρδιά των μαθηματικών είναι τα προβλήματα και οι λύσεις και

ο κύριος λόγος ύπαρξης του μαθηματικού είναι να λύνει προβλήματα».

P. R. HA LMOS Επιμέλεια: Γ. Στρατής, Γ. Τριάντος, Ν. Αντωνόπουλος 83.

Να λύσετε την εξίσωση:

(

Ji x3

+�+5χ+-;χ χ ) = 25+ 5χ2 +2.+ χ χ

(Επροτάθη από τον καθηγητή Θ ό δ ω ρ ο Λ ί> σ η ( α π ό

τον

ίδ ω }

Μ π ό λη )

Θέτουμε α=5 και η εξίσωση γράφεται 1 α+2 α <V L χ 3 + - + αχ + - = α 2 + αχ 2 + +χ 3 2 χ χ χ που είναι δευτεροβάθμια ως προς α και γράφεται

ι;; (

α2 -

[.J2

x + .J2 - χ 2 _!_ χ2 χ _

)

J α +'!: + x - .J2x3 - .J2 χ3

J2x (s- J2x+ �)[s- � J

Που έχει ρίζες ως προς α τις _

_!_ και

χ Άρα η αρχική εξίσωση αναλύεται στο γινόμενο + χ' = o

J2 �(sJ2 � J2)

και έτσι έχουμε να λύσουμε τις δυο εξισώσεις x 2 5x - 1 = 0 και x 4 + 5x 2 - = 0 των οποίων οι ρίζες στο σύνολο C είναι οι:

± 50 + s

, ±

J�(- 5 + �25 + 4J2)

Λύσεις επίσης έστειλαν οι συνάδελφοι Γ ι άννη ς Στα μ ατο γ ιάνν η ς, Δροσιά Αττικής, Ι ω ανν ίδ η ς Α ντι•η·ης. Λάρισα και Ρ η δ όλφος \1 π ό ρ η ς . Δάφνη Αττικής. 84. Δίνεται η συνάρτηση f : R � R για την ο ποία ισχύει f(x)-e-r<x>=x-1 για κάθε X E R και f(R) =R. Να αποδείξετε ότι: α) Για κάθε Ε R ισχύει: f(x)>x-1

β) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R γ) f(O) =Ο δ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο � ε) Η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1 1 στ) Η εξίσωση f(x2-1)=f(-x) έχει μια τουλάχι στον ρίζα στο (0,1) ζ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο � . (Επροτάθη από το συνάδελφο Σ άμπα Θεόδω ρ ο , Πάτρα) Λ ίΗ:rη (από το συνάδελφο Τ σαπακίδη Γιι:ίψγο, Αγρίνιο) α) Για κάθε χ Ε � είναι: f(x)- (χ- 1 )= e-f(x)>O, οπότε f(x) >χ-1 β) Αν η f δεν ήταν γν. αύξουσα, τότε θα υπήρχαν α, β Ε � με α<β ώστε f(α) � f(β). Τότε: -f(α) � -f(β)<::::> e-f(α):::; e-f(β) <::::> -e-f(α)� -e-f(β) ' οπότε f(α) -e-f(α) � f(β) -e-f(β) <::::>α- 1 �β- 1 <::::>α � β, άτοπο. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Αν υποθέσουμε ότι f(O):;t: Ο και χωρίς βλάβη της γενικότητας f(O)>O, τότε έχουμε -f(O) <Ο<::> e-f(O) < e0<::::>-e-f(0)>- 1 <::::> <::::> f( O) -e-r< o>>- 1 + f(O) <::::> 0- 1 >- 1 + f(O) <::::> <::::> f(O)<O, άτοπο. Άρα f(O) =Ο δ) Η συνάρτηση ως γνησίως μονότονη είναι και « 1 - 1 », οπότε αντιστρέφεται. Θέτουμε y=f(x), οπό τε η δοσμένη ισότητα γίνεται y-e-y=x- 1 <::::>x=y-e-y+ 1 . ι Άρα Γ (x)=x-e-x+ 1 , χ Ε � . Επειδή η Γ ι είναι συ νεχής στο � , το ίδιο συμβαίνει και με την αντί στροφή της δηλαδή την f. ε) Περιέχεται στο (δ)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/76

Ο Ε υκλε ίδη ς πρ οτε ίνει... Ευκλε ίδη ... και Δ ιό φαντο

στ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x2-1)-f(-x) η οποία είναι συνεχής στο [0,1 ] και g(O)=f(- 1 )-f(O)=f(- 1 ), g( 1 )=f(O)-f( -1 )=-f(- 1 ), οπότε g(O)g(1)=- [f(-1)]2<0, διότι f(-1) * f(O)=O Επομένως από το Θ . του Bolzano προκύπτει ότι η g(x)=O έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0, 1) ζ) Για κάθε χ IR είναι (tι(x))'=l + e-x-:FO, οπότε η αντίστροφη συνάρτηση της Γ ι . δη λ. η f, αντι στρέφεται στο R. \ ι , σ υ � έστειλαν οι συνάδελφοι Χρ. Κοίφτης. Λάρισα, Η λι ό π ουλος. Καλαμάτα, Α . Ι ω α ννί δ η ς . Λ άρισα και ' l π ό ρ η ς . Δάφνη Αττικής. Ε

πάρχει το πολύ ένα χ0 Ε IR ώστε g(Χο)=Ο<::>f (Xo)=f(Χο). ΛίJσεις έστειλαν επίσης οι συνάδελφοι Κ αρ α β ό τας Δημήτρ ιος, κ. Αχαίας, ί�Π λ Τh {ιπουλος Γ ι άννης, Καλαμάτα, Μάγκος Θανάσης, Κοζάνη και ν ί δ η ς Αντ ώνης, Λάρισα. Ι ω αν

86.

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύουν αβγ-:FΟ και α+β+γ=αβγ, να αποδείξετε ότι για οποιονδήποτε ακέραιο κ, κ-:10, ισχύει: ακ+β κ+γκ-:FΟ

(προτείνεται από τους συναδέλφους _\ ρ ο ίJτσα και !\. Π ανο υ σά κη . Αθήνα) Λ ίJ ση από το συνάδελφο Ρ. fVff π ό ρ η . Είναι φανερό ότι η πρόταση ακ+ βκ+γκ μπορεί να 85. Έστω μια συνάρτηση f : IR IR η οποία εί μηδενίζεται μόνο όταν οι α, β , γ δεν είναι ομόση ναι παραγωγίσιμη στο IR . Αν η συνάρτηση f' μοι και κ=2m+ 1 , περιττός. Έστω ότι ο αριθμός γ είναι συνεχής και γνησίως μονότονη και επιπλέ είναι αρνητικός και Ο<α:::; β . ον ισχύει lim f { χ) = .e, .e IR να αποδείξετε ότι Θέτουμε εφχ=α και εφy= β και εφz=γ με υπάρχει ένα, το πολύ, χ0 IR , ώστε f'(xo)= f(x0). Ο < χ < -π2 ' Ο < y < -π2 και - -π2 < z < Ο Επροτάθη από το συνάδελφο Θ. Κ υ ρ ια κόπουλο Η δοσμένη ισότητα γράφεται . \ί; σ η από το συνάδελφο Μ π ό ρ η, α+ β Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι fγν . -γ = 1 -αβ � εφ(-z) =εφ(χ + y) � χ + y + z = λπ, λ Ε Ζ αύξουσα, οπότε η f είναι κυρτή στο R. Θα αποδεί ξουμε ότι η fδιατηρεί το πρόσημό της σταθερό. Αλλά -2:2 < χ + y + z < π <=> -2:2 < λπ < π <=> λ = Ο , Έστω ότι η fαλλάζει πρόσημο. Τότε από τη συνέ οπότε -z = χ + y . Αν θέσουμε χει της f προκύπτει ότι υπάρχει ξ Ε IR ώστε f(χ)=(εφχym+Ι +(εφy) zm+ ι _(εφ(χ+y)) zm+l f(ξ)>Ο . Με χι >ξ έχουμε f(χι)> f(ξ)=Ο και επειδή η f είναι αρκεί να δείξουμε ότι f(x)-:FO όταν χ, y Ε Ο, . κυρτή, η C r θα είναι "πάνω" από την εφαπτομένη Είναι: της στο χ ι, οπότε 1_ _ εφ2m ( x+ ) 1 f ' (x) = { 2m+1) εφ2mx_ y O"UJ ( x+ y) = f(x)> f(χι )+ f(χι)(χ- χι) για κάθε χ>χι. O"UJx Ισχύει επίσης: = { 2m+ 1) [εψ2mΧ + εφ2ιn+2Χ - εψ2m {Χ + y) - εφ2ιn+2 {Χ + y) J lim f(x, ) + f ' (x, )(x - x, ) ] = +oo χ � οο[ + οπότε lim f (χ) = +οο άτοπο. Άρα η f διατηρεί Αν m>O και εφ2χ> εφ2(χ+y), τότε f(x)>O στο Ο, και εξαιτίας του γεγονότος ότι σταθερό πρόσημο. Αν υποθέσουμε ότι f(x)>O, τότε θεωρώντας τυ limf( = Ο θα είναι f(x)>O στο χαίο α IR και εργαζόμενοι όπως προηγουμένως χ �Ο χ) 2 με την εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη α, Αν m<O και εφ2χ> εφ2(χ+y), τότε f(x)<O στο καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα f(x)<O, οπότε f .J... Ο, και εξαιτίας του γεγονότος ότι στο IR . Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση g(x)=f(x)-f(x) είναι γνησίως αύξουσα, οπότε υΤ.

Γ.

Ρ.

�

Χ -Η-ω

Ρ.

( �)

[

( �)

Χ -ΗΟΟ

•

( �)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' τ.3/77

(ο, 2:)

]

Ο Ε υκλείδ η ς πρ οτε ίνει... Ε υκλε ίδ η ... και Δ ιόφαντο

lim f ( χ ) = Ο θα είναι f(x)<O στο (ο,

χ�Ο

!:)2

Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει f(x):f;O δηλ. ακ+βκ+γκ:f:Ο Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν θεωρή σουμε ότι οι δυο από τους α, β, γ είναι αρνητικοί και ο ένας θετικός. Λύσεις έστειλαν επίσης οι συνάδελφοι Γ.Τσα π α κ ίδης, Αγρίνιο, Α . Κ α λ ά κ ο ς Κ. Πατήσια, Α . Ι ω αννίδης, Λάρισα, Ρ . ίVΙ π ο ρ ή ς , Δάφνη Αττικής και Χ . \ερμ η;όγλου, Δράμα ,

Οι συνάδελφοι Γ. Στ αματογιάννης. Δροσιά Αττι κής, X p . Κ ο ύ ρτης. Λάρισα, Γ.Τσαπα κ ί δ η ς , Αγρίνιο και Ρ. :\1 πό ρ η ς . Δάφνη Αττικής 88. Ονομάζουμε S το σύνολο των τριγώνων των οποίων οι κορυφές έχουν ακέραιες συντεταγμέ νες και είναι όμοια με δοσμένο τρίγωνο. Αν ΑΒΓ είναι το τρίγωνο του S με το ελάχιστο εμβαδόν, να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμέ νου κύκλου δεν έχει ακέραιες συντεταγμένες. (Επροτάθη από τον Ν . Λ ντωνόπουλο) (από τον ίδιο) Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο οποίο Α = Ο και έστω Β(α,β), Γ(γ,δ) οι άλλες κορυφές του και K(x,y) το περίκεντρό του με α, β, γ, δ ε Ζ . Υ Λύση

Σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R θεωρούμε μια διάμετρο ΑΒ και σημείο Ρ στο εσωτερικό του. Αν Γ, Δ είναι τα σημεία τομής των ΑΡ, ΒΡ με τον κύκλο και D1, D 2 οι δυνάμεις του σημείου Ο ως προς τους περιγεγραμμένους κύ κλους C1, C 2 των τριγώνων ΡΒΓ και ΡΑΔ αντί στοιχα, να αποδείξετε ότι: I Dι-D 2 1 �2R·OH, όπου Η το δεύτερο κοινό σημείο των κύκλων χ Cι, C 2 . ρ (Επροτάθη από το συνάδελφο Γ ι ώ γο Τ ρ ι άντο) Λ ίJ σ η (Από τον πολιτικό μηχανικό ί\νδρη Ι ω άν Β(α,β) νη . Αθήνα) Αν Η είναι η προβολή του σημείου Ρ στην ΑΒ, τό Έστω χ, y ε Ζ , τότε: τε το γεγονός ότι τα τετράπλευρα ΗΒΓΡ και ΗΡ (ΑΚ)=(ΚΒ) � (ΑΚ)2 = (ΚΒ) 2� ΒΑ είναι εγγράψιμα, μας οδηγεί στο συμπέρασμα � 2 2 χ +y =(α- χ) 2+(β- y)2� α2+β 2=2(αχ+βy), οπότε ότι το Η θα είναι το δεύτερο κοινό σημείο των κύ ο αριθμός α2 +β2 είναι άρτιος, που σημαίνει ότι οι κλων C , , C z . αριθμοί α,β είναι ή και οι δυο άρτιοι ή και οι δυο περιττοί. Τότε όμως θα ισχύει α+β, α-β άρτιοι οα β α-β πότε + -- ε Ζ 2 ' 2 Ομοίως βρίσκουμε ότι οι γ+δ και γ-δ άρτιοι, οπότε γ+δ γ-δ εΖ 2 ' 2 Θεωρούμε τρίγωνο Α ι Β 1 Γ 1 με α β α β r. γ + δ γ - δ Α , = Α, Β , , 2 ' 2 · Έτσι έχουμε: I D ι l =ΟΒ · ΟΗ= R · OH ( 1 ) και Στο τρίγωνο αυτό οι συντεταγμένες των κορυφών I Dz l =ΟΗ· ΟΑ= R · OH (2) του είναι ακέραιες και: Οπότε I D ι-Dz l � I D ι I + I Dz l � R.O H+R·OH, ό (Α,Β1 ) 2 = ( α + β) 2 + ( α - β) 2 ] = ( α2 + β2 ) = ( ΑΒ) 2 πως προκύπτει από τις ( 1 ) και (2) Άρα I D ι -Dz l � 2R-OH οπότε ΑΒ = J2A,B 1 Λύσεις έστειλαν επίσης: 87.

(

�[

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3178

; ;

} (

)

�

Ο Ε υκλείδ η ς πρ οτε ίνει ... Ευκλε ίδ η ... και Δ ιό φ αντο

y, Ζ δίνονται οι σχέσεις α 2 + β 2 = γ2 και Ομοίως ΑΓ = .JiA , Γ, και , , ισχυει χ + y = z . Ν α απο δ ει' ξ ετε οτι (Β , Γ, ) 2 = � [ (α + β - γ - δ ) 2 + ( α - β - γ + δ ) 2 ] = ( γ + z } 2 � ( α + χ } 2 + ( β + y γ . Πότε ισχύει η ισότητα ; = � [ ( α - γ ) 2 + ( β - δ γ] = � ΒΓ 2 (Προτείνεται από τον ντuΗ'έu, Σπάρτη) οπότε ΒΓ = .JiB , Γ, Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α 1Β1Γ 1 είναι όμοια με 1 1 5. Στο εσωτερικό ορθογωνίου παραλληλο ταξύ τους με λόγο ομοιότητας J2 οπότε: γράμμου ( της περιμέτρου του συ μπερ ιλαμβα ( ΑΒΓ ) = 2 ( Α Β 1 Γ1 ) = -(Ι Α Γ ) νο μένης) με δ ιαστάσεις a= 1 2 m, β=8 m , θε 2 Β ( Α , Β ,� ) � , ωρούμε 17 τυχαία σημεία. Να αποδείξετε ότι που είναι άτοπο διότι υποθέσαμε ότι το ΑΒΓ είναι υπάρχει ένα τουλάχιστον τρίγωνο ΑΒΓ με κο το τρίγωνο του S με το ελάχιστο εμβαδόν. ρυφές τρία από τα 17 αυτά σημεία με εμβα Άρα το περίκεντρο του τριγώνου δεν έχει ακέραιες δόν ( ΑΒΓ } � 6m 2 • συντεταγμένες (Προτείνεται από τον Τσ�λια κ\) , Αθήνα) z

2.: >: • . \

Λ.

l l l.

Π Ρ ΟΙΈ Ι :\ Ο Μ Ε Ν ΕΣ A1: K H Σ E i l:

Τα σημεία Αι,Βι,Γι βρίσκονται πάνω στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, Γ Α τριγώνου ΑΒΓ α ντίστοιχα, διάφορα των κορυφών του. Αν είΓΓ Β ΑΑ ναι --1 = λ, Β = μ, ι = ν και Ε0 το εμβαΑ, Β Γ1 Α Β1 Γ δόν του τριγώνου που ορίζουν τα σημεία τομής των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ ι, ΒΓ ι , Γ Αι ανά δύο, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε 0 συναρτήσει των λ, μ, ν και του εμβαδού Ε του τρ ιγώνου ΑΒΓ. ι

(Προτείνεται από τον �. Βαδι βούλη , Άρτα)

1 1 2.

Να βρείτε τους μη αρνητικούς ακέραιους χ , w, ώστε να ισχύει 2 w - .J vJt + ι = ι [2χ + 3Υ + 2' + 3y y,

�(

(Προτείνεται από τον

).� {

)

Χρ. Λψφτζόγλου.,

Δράμα)

ι ι 3.

Δίνεται κανονικό επτάγωνο Α ΒΓΔΕΖ Η . Αν ονομάσουμε β το κοινό μήκος των μικρότερων και γ το κοινό μήκος των μεγα λυτέρων διαγωνίων του, να δείξετε ότι ο λόγος ..!!_ είναι λύση της εξίσωσης χ3+2χ2-χ-1 = Ο. γ

(Προτείνεται από τον Γ. 1\' ι κητάκη, Σητεία) ι ι 4.

Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ και χ,

1 ι6.

Ν α αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος m δεν διαιρείται με το 2 ή το 3, τότε ο αριθμός 3 2ν + 2 διαιρεί τον αριθμό m 2 ' - 1 , για κάθε νεΝ*. ·

(Προτείνεται από τον Χημικό �ιφJ3ιλ6, Αθήνα) Στο προηγούμενο τεύχος του περιοδικού έκανε την εμφάνισή του ο «δαίμονας της αυτό ματης αρίθμησης» Βέβαια όσον αφορά στα λυμένα θέματα το κακό είναι μικρό, ωστόσο για να διατηρηθεί η ενιαία αρίθμηση, παρακα λούμε τους φίλους αναγνώστες της στήλης, από τους οποίους ζητάμε συγνώμη για αυτή την α ναστάτωση, να aριθμήσουν εκ νέου τις ασκή σεις προς λύση. Έτσι οι ασκήσεις αυτές θα πρέπει να aριθ μηθούν εκ νέου και αντί των αριθμών 89 έως 96 να χρησιμοποιηθεί η ορθή αρίθμηση από 103 έως 1 10. 2) Στην εκφώνηση της ασκησης 92 (με σω στή αρίθμηση 106) οι αριθμοί χ, y, z κα κώς θεωρήθηκαν θετικοί. Το σωστό είναι μη αρνητικοί. Το γεγονός επεσήμανε εκτός από τον κ. Τσαπακίδη ο συ νάδελφος και φίλος Ρ. Μπόρης που πολύ ορθά απέδειξε ότι κα άθροισμα S, δεν έχει μέγιστο με x,y,z θετικά και τον ευχαριστούμε.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3179

Ευχαρι στούμε πάλι γ ια την κατανόηση.

Τα Μαθηματικά μας διασκεδάζουν

Τα μαθηματικά αν και είναι επιστήμη που απαιτεί αυστηρή διατύπωση, έχουν τη μαγεία να αποσπούν το εν διαφέρον όλων των ανθρώπων. Επινοήσεις σε προβλήματα ή ασκήσεις με κατάλληλο τρόπο διατυπωμένα εξάπτουν το πνεύμα, διεγείρουν τη φαντασία και κεντρίζουν την περιέργεια. Πρώτοι οι Αρχαίοι Έλλ ηνες όπως ο Δ ιόφαντος, ο Ζήνωνας κ. ά. μας δίδαξαν αυτά τα μαθηματικά. Στη στήλη αυτή θα παρουσιάζουμε θέματα τα οποία δεν απαιτούν ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις αλλά μας διασκεδάζουν με την εκφώνησή τους ή τη λύση τους και είναι μια ευχάριστη και συναρπαστική ασχολία .

Επιμέλεια : Παναγιώτης Χριστόπουλος

Ο μεταπτυχιακός φοιτητής στους Η/Υ /1{ τρ ος Χρ ιστrί πο υ).ος μας έγραψε για τη στήλη ένα πάρα πολύ ωραίο πρόβλημα (το δηλητήριο), η λύση του προβλήματος φαίνεται δύσκολη αλλά είναι απλή και εντυπωσιακή . Το Δηληη)ριο

Έχουμε 256 βαρέλια με κρασί αλλά το ένα έχει δηλητήριο. Ένας χημικός έλεγχος, μας δίνει την πληροφορία αν ένα δείγμα έχει δηλητήριο ή όχι. Θέλουμε να βρούμε , με τον ελάχιστο αριθμό ε λέγχων ποιο βαρέλι έχει το δηλητήριο. 1 ) Πόσους ελέγχους θα κάνουμε ; 2) Αν θέλουμε και την πο σότητα δηλητηρίου που έχει το δείγμα πόσοι έλεγ χοι χρειάζονται;

μαθητής είτε είναι δάσκαλος. Όλες οι ιστορίες είναι γραμμένες σε μυθιστορηματική αφήγηση .

Ένα απόσπασμα του βιβλίου:

Η προσφορά που έκανε ο χαλίφης αλ Μουτασίμ

στονΜπέρεμιζ, στον Ά νθρωπο που μετρούσε.

Μια μέρα που ο Μπέρεμιζ έδωσε λύση σε ένα πρόβλημα, ο Χαλίφης του είπε ότι μπορεί να ζη τήσει όσα πλούτη θέλει. Τότε αυτός ζήτησε να παντρευτεί την κόρη του σεΊχη Γεζίντ, Τελασίμ. «Δεν υπάρχουν μάγια για να κερδίσεις την καρδιά μιας γυναίκας.» Όμως «Μπέρεμιζ, του είπε ο σέtχης, δεν θα αντι τεθώ στο γάμο σου με την όμορφη κόρη μου Τε λασίμ αν λύσεις σωστά το εξής πρόβλημα: Έχω στην υπηρεσία μου 5 όμορφες σκλάβες που μου προσφέρθηκαν από έναν πρίγκιπα τη ς Μογγολίας. Δύο έχουν μαύρα μάτια , οι άλλες τρεις γαλανά. Ο ι μαυρομάτες λένε πάντα την αλήθεια ενώ οι άλλες πάντα λένε ψέματα. Σε λίγο θα έρθουν εδώ αλλά έχουν καλυμμένα τα πρόσωπα με πέπλο και δεν φαίνονται τα μάτια τους. Πρέπει να ανακαλύψεις ποιες έχουν μάτια μαύρ α και ποιες γαλανά. Μπορείς να υποβάλεις στις τρεις από τις σκλάβες μια μόνο ερώτηση σε καθεμιά. Α ν α παντήσεις σωστά θα πα ντρευτείς την Τελασίμ. » Άραγε παντρεύτηκε την

όμορφη Τελασίμ;

Άλλα βιβλία που είναι στο πνεύμα της στήλης «τα μαθηματικά μας διασκεδάζουν» είναι : Τώρα που είπαμε δηλητήριο μην ξεχάσω να σας πω για μια πάρα πολύ ωραία θεατρική παράσταση «η 1 7'1 νύχτα» του Απ όστολου Δοξιάδη στο θέα τρο «ΑΝΕΣIΣ». Το θεατρικό έργο έχει να κάνει με

το θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ.

Ο Συνάδελφος Κώστας Βακαλόπουλος έγραψε για τη στήλη : « Από μια μαθήτριά μου δέχτηκα δώρο ένα βι βλίο. Όταν το διάβασα ενθουσιάστηκα από τις ωραίες και ενδιαφέρουσες ιστορίες του. τίτλος του βιβλίου Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΠΟΥ ΜΕΤΡΟΥΣΕ (μια συλλογή από μαθηματικές περιπέτειες για νεαρούς αναγνώστες) του Βραζιλιάνου συγγραφέα Malba Tahan». Οι ιστορίες του θυμίζουν Χίλιες και μία νύχτες. Το βι βλίο είναι συναρπαστικό και απολαυστικό συγχρόνως. Μπορεί να το διαβάσει ευχάριστα ο καθένας, είτε είναι

Διασκεδαστικά Μαθη ματικά, Yakoν Perelman. Σκέ ψου έναν αριθμό, Johnny Ball. Το πανηγύρι των Μα θη ματικών, Martin Gardner. Ο Σατανάς, ο Cantor και το άπειρο, Raymond Smullyan Μηδέν, ΝΤΕΝΙ ΓΚΕΤΖ. Το κοτόπουλο από το ΜΙΝΣΚ, Chemyak & Rose. Αιχμάλωτος των μαθη ματικών, Rebecca Gold stein. Την κυρία ή την τίγρη , Raymont Smullyan. .

Ακόμα θα σας πρότεινα να επισκεφθείτε την διεύθυνση www.hms.gr καθώς και την διεύθυνση της ΕΜΕ www.thalesandfriends.org.gr. Δ ιάλογος.

Το δεκαέξι λεει στο δεκατρία:

Θέλω να αποτίσω φόρο τιμής στη φιλία μας.

Το δεκατρία απαντά:

Ευχαριστώ καλέ μου φίλε για την καλοσύνη σου θα την ξεπληρώσω με το ίδιο νόμισμα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ .3/80

Τ α Μ αθ η ματικά μας Δ ιασκεδ άζουν

Άραγε τι το ιδιαίτερο έχουν αυτοί οι αριθμοί; Απλά είναι τετράγωνοι φίλοι αριθμοί. Το τετράγωνο του 16 είναι 256 που 2+5+6= 1 3. Το τετράγωνο το 1 3 είναι 1 69 που 1 +6+9= 1 6. Το επιτάφιο επίγραμμα το υ Δ ιόφαντο υ.

Πέρασε το ένα έκτο της ζωής του ως παιδί και το ένα δωδέκατο ως έφηβος. Έμεινε παντρεμένος χω ρίς παιδί για το ένα έβδομο της ζωής του. Πέντε χρόνια αργότερα απέκτησε ένα γιο. Ο γιος του πέ θανε όταν έφτασε στο μισό της ηλικίας του πατέρα του. Ο Διόφαντος έζησε τέσσερα ακόμα χρόνια, πνίγοντας τον πόνο του στη μελέτη των αριθμών, και ύστερα πέθανε. Σε ποια ηλικία πέθανε; Η βρύσ η

Μια χαλασμένη βρύση στάζει μία σταγόνα κάθε δύο λεπτά. Οι 575 σταγόνες είναι το 1 / 1 0 του λί τρου. Πόσο νερό θα χαθεί σε ένα μήνα. Ο μαθητής

Ένας μαθητής το καλοκαίρι πήγε στη Ρόδο για δου λειά και συμφώνησε να δουλέψει 2 μήνες για 1440 Ευρώ_και ένα ποδήλατο. Ύστερα από 35 μέρες συ νέβη κάτι και έφυγε αφού πήρε 300 Ευρώ και το πο δήλατο. Ποια ήταν η αξία του ποδηλάτου; Το τραμ

Κύκλο ι μ ε ί δ ι ο μήκους

Κυλάμε τον δακτύλιο στο τραπέζι μέχρι που το σημείο Α να ξαναβρεθεί στο τραπέζι στο σημείο Β. Οι 2 κύκλοι του δακτυλίου έχουν το ίδιο μήκος; Δηλαδή ΑΑ ' = ΒΒ ' ;

($)--- - - -------=---- r�· Α'

Α ινίγματα

1 ) Βρίσκεται σε χώρο κλειστό που έχει δέκα πόρ τες. Όταν ανοίξει μια από αυτές, οι άλλες πόρ τες κλείνουν, όταν ανοίγουν οι 9, μένει κλει στή η μία. Τι είναι; 2) Ποια περιοχή είδε τον ήλιο μόνο μια φορά; 3 ) Όσο ήταν ζωντανό, έμενε ακίνητο, όταν του έκοψαν το κεφάλι, κινήθηκε. Τι είναι; Τα αινίγματα αυτά λέγεται ότι τα έθεσε στο σοφό Σολομώντα πριν 3000 χρόνια η Βασί λισσα Βαλκίς του βασιλείου Σαβά (σημερινή Υεμένη) και στη συνέχεια του πρόσφερε αμύ θητους θησαυρούς.

ι/ πω•τιίσειc: στα 0/:ματα το υ 2'"' Τ;:ι!ιιι ιι ;:; �: Στο iii) θέλει διόρθωση των 3 τελευταίων να γίνει πρώτων και των 2 πρώτων τελευταίων. Το Πρόβλημα δίνει δύο λύσεις ΓΛΑ ΥΞ και ΘΖΑ ΥΞ άρα το πουλί είναι η ΓΛΑ ΥΞ (κουκουβάγια). Το ποδήλατοΥπάρχει απάτη διότι οι αγοραστές των κουπονιών αυξάνουν με Γεωμετρική Πρόοδο. Άρα ύ στερα από λίγες μέρες δεν θα βρίσκονται άλλοι παίκτες και οι τελευταίοι θα χάσουν τα λεφτά τους.

Ένας πεζός βαδίζει με 6 χιλιόμετρα την ώρα και "'" ακολουθεί τις γραμμές του τραμ από Σύνταγμα προς Γλυφάδα. Στα δύο χιλιόμετρα τον προσπερνά ένα τραμ που ξεκίνησε από το Σύνταγμα 1 Ο λεπτά αργότερα. Αφού βάδισε 1 1 και 1 /3 χιλιόμετρα ακόμα συναντήθηκε για δεύτερη φο ρά με το τραμ που επέστρεφε από τη Γλυφάδα. Αν το τραμ έμεινε στη Γλυφάδα 1 Ο λεπτά ποιο είναι το μήκος της γραμμής του τραμ(Σύνταγμα - Γλυφάδα);

Το παιχνίδι με τα νομίσματα

Ο φύλακας

Αυτό λέγεται πύργος του Anoi.

Ένας φύλακας κάθετε στο κέντρο της φυλακής και παρακολουθεί τους φυλακισμένους στα 8 κελιά, τα οποία επικοινωνούν μεταξύ τους, με τον εξής τρόπο: και κάθετε ήσυχος. Είναι σωστός ο συλλογισμός του; Πόσοι είναι οι κρατούμενοι; Ξέρετε ότι: 1 3 + 2 3 + 3 3 = ( 1 +2+3) 2 Ο θ ' 3 7 1 = 3 3 +7 3 + 1 3 και 407=4 3 +0 3 +7 3 Οι αριθμοί

Α) Ποια είναι τα δυο τελευταία ψηφία του αρυθμου' 2 70 ; Β) Ο αριθμός Χ είναι παράγο ντας του αριθμού 926 1 000. Δεν διαιρείται με τους 50, 270, 686, 1 764 αλλά διαιρείται με 1 0, 90, 98 και 882. Ποιος είναι ο αριθμός Χ;

Η ηλικία του παιδιού

Ο καθηγητής είναι 49 ετών και ο γιος του 28. Καναρίνια 6 επί 2/3 Ευρώ, Παπαγάλοι 2 επί l /3 Ευρώ και Περιστέρια 1 8 επί 4/3 Ευρώ. Το πρόβλημα έχει και άλλες λύσεις.

Τα πουλιά

Α : 2 ι ο,5 0 , 2 ο, ι '"' ο, ι ο , 2 ο, ι ο, ι 0,5 ο , 2 ο, ι ο, ι Β : ο,2 ο, ι ι ο, ι o,s ο,2 ο, ι ο, ι 0,2 ο, ι Γ: ο, ι ο,5 ο,2 ο, ι ο, ι 2 ο,2 ο, ι ι ο, ι ο,5 ο,2 ο, ι

Ο Π ο λλαπλασιασμός 4 ι5 3 82 8 3 0 3 320 ι 24 5

Οι Π ίθηκοι χ

Χ-( - ) = 1 2 και Χ= 1 6 8 ή Χ= 48 .

ι 5 8 5 3 0

Ο πύ ργος του Αϊφελ

Ο λόγος των όγκων( άρα και του βάρους) ομοίων ( σω μάτων) σχημάτων ισούται με τον κύβο του λόγου των 300 3 3 8000tn . ) = 20 = υψων τους. ( ltn 15 .

Άρα ζυγίζει 1 τόνο.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/81

από r ι s ε κδόσε ι s « Δ Ι Ο ΦΑΝΤΟΣ» Γιώργος Μ . Μιχαηλίδης

ΜΑθΗΜΑΤΙ ΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟΜΟΣ Β' θετική - Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ •

θεω{!ία

•

Παρατηρήσει; - Σχόλια

Λυμένα ΙlαQαδείγματα

ΕQωηiσεις Καταν6ησης

•

Ασκήσεις: - θέματα

Μεθοδολογία

ΔιοΦΑΝΤΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ