Ευκλειδης α 93 by demi de

ΜΑθΗΜΑτΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ / το

yια

Τεύχος 93

γυμνάσιο

Αύγουστος - Σεπτέμβριος 2014

Τιμή Τεύχοuς, 3,00 Εuρώ

Ευκλείδης

e-mail: info@hms.gr,

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Τα Μαθηματικά στον Κόσμο

Θεωρία Παιyνίων,

Γιώργο<; Τσομίδη<; ... .... ... ..................... ..... .... .. .................... .. ....... 1

Ιστορία των Μαθηματικών Ερ?τοσθένη� ο Κυρηναίο<;

Ε�βαδά επιπέδων οχημάτων, , Νικοι; Τζιφα<; ............................................................................... 26 Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου, Π . Αρδαβάνη, Ε. Πεpυσινάκη ..................................................... 29

Ιωαννη<; Σταμελλο<; ......................... ... ..... ............ .. .. .. .... .... ..... .. .. .. 5

Μαθηματικά και Τεχνολογία Ε ισαyωγή στο χελωνόκοσμο

Θέματα για δυνατού<; λύτε<;, Στέφανο<; Κεtσοyλου, Κώστας ΣάJιαρης ................................. 30 • Γ'Τάξη Μονώνυμα,

Π. Αρδαβάνη, Δ. Παλαιοyιαννίδη<; .............................................. 7

Σταυρούλα Αλαφάκη ................................................................. 31

τα_υτότητε<;,

' Γιαwη<; Καμπουριδη<; ................................................................ 33

Τα Μαθηματικά στο Σχολείο

Ο Θαλή<; και τα ανάλογα τμήματα

• Α'τάξη Ευκλείδεια Διαίρεση,

, , Γ. Λυμπεροπουλο<;, Α. Μπακαλη<;, Μ. Σισκου ....................... 35

Κώστας ΣάJιαρης, Μάvια ΣάJιαρη

.... ................... ... ........ 11

Θέματα για προχωρημένου<;, Νίκο<; Τζίφαι;. Αριστείδη<; Κωvσταvτιvίδηι;, Κώστα<; Γ. Σάλαρη<; . ....... 37

Εισαγωγή στι<; βασικές έννοιε<; της γεωμετρία<;,

Δ. Παλαιοyιαννίδη<; .................................................................. 13

Παράλληλε<; ευθείε<; που τέμνονται από μια ευθεία, Αθανασία Κυριακοπούλου ....................................................... 16

Β'τάξη Εξισώσει<;, .Jημήτρης ΧοvδροJιίδης .\νισώσεις Α 'Βαθμού,

www.hms.gr

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Μαθ�ματικοί Δια�ωνισμοί,

, ................ .......................... 38 Επιμελεια: Επιτροπη Διαyωνισμων

•

................................ ..................... 21

Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα

Διασκεδαστικά Μαθηματικά,

Δημήτρη<; Χοvδρολίδη<; .............................................................. 46

.:.7-::·.οσ;a Κυριακοπούλου ......................................................... 2 4

3η Εκθεση Μαθηματικών

............. .. ................... ............. .... .. 47

....................................................................................................

ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕλλΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΥΙΚΗΣ ΗΑΙΡΕΙΑΣΣυντακτική Επιτροπή

fWIBIIΣIHιUOY 34 1-�ΑβRιιλ

τ� Ζ1Ο 3617784.210 3616532 Fa: 210 3641025

Εκδότης:

Πρόεδρος: Ι<ε"ίσοyλου Στέφανος

Α. Αντιπρόεδρος: Κυράνας Παναγιώτης

fεώρyιος Δημάκος

.1ιεuθυντής:

Γράμμα της Σύνταξης

a· Αντιπρόεδρος: Λυμπερόπουλος Γεώργιος

Μέλη:

Αyyελή�ννα Αλαφάκη Σταυρούλα Επιμέλεια Έκδοσης: Αλεξανδρότου�ννα Αντωνοπούλου Κατιόννα Κυριακοπούλου Νάνσυ Αποστόλου Αyyελική Σάλαρης Κωνσταντίνος Αρδαβάνη Πόπη Γεωργίου Σπύρος ΜΕΓΑΛΟΣ ΧΟΡΗΓΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ Ε.Μ.Ε. Θεοδωρόπουλος Θρασύβουλος Κιούφτη Ροδούλα ----,-..... Κωνσταντινίδης Αριστείδης Κυράνας Παναγιώτης Κυριακοπούλου Νάνσυ Λυμπερόπουλος Γεώργιος

Εμμανουήλ Κρητικός

Μενδωνίδης Γεώργιος Μορφοπούλου Μαρία Μπακάλης Αναστάσιος Παλαιογιαννίδης Δημήτριος Σάλαρης Κωνσταντίνος Σίσκου Μαρία Τ ζίφος Νίκος Τσικοπούλου Στάμη Φερεντίνος Σπυρίδων ΧΡιστοδούλου Ντόρα Χρυσαβέργης Μιχαήλ

Αποκεντρωμένοι συνεργάτες Γιάννης Θωμα"fδης (Θεσ/νίκη) Γιώργος Ρίζος (Κέρκυρα) Γ ιώργος Τσαπακίδης (Αγρίνιο) Ειρήνη Περισυνάκη (Κρήτη) Γιάννης Ράλλης (Χίος)

Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054 ISSN: 1105

•

7998

Αγαπητοί αναγνώστες και αναγνώστριες του περιοδικού Ευκλείδης Α" Στο πρώτο τεύχος της σχολικής χρονιάς 2014·15 θα θέλαμε η Συντακτική επιτροπή του περιοδικού και ο πρόεδ ρ ό ς τ η ς να σ α ς ε υ χ η θ ο ύ μ ε υγεία κ α ι δημιουργικότητα. Στη νέα σχολική περίοδο το περιοδικό μας θα συνεχίσει την προσπάθεια ποιοτικής αναβάθμισης που εδώ και καιρό έχει δρομολογήσει. Αρκετές στήλες μας έχουν βρει θερμή ανταπόκριση από τους αναγνώστες όπως οι καλές πρακτικές των σχολείων και η Τεχνολογία στα Μαθηματικά. Μερικές από τις νέες δραστηριότητες: • Στο περιοδικό υπάρχει πλέον ψηφιακό αποθετήριο στο οποίο συγκεντρώνονται όλες οι εργασίες που στέλνονται από εσάς και στη συνέχεια γίνεται επιλογή για κάθε τεύχος.

Καθιερώθηκε μία νέα στήλη για κάθε τάξη με ασκήσεις και προβλήματα για ικανούς λύτες. Περιμένουμε και τις δικές σας προτάσεις. Στο παρόν τεύχος έχουν καταχωρηθεί θέματα μόνο για την Β· και Γ" Γυμνασίου. •

• Έχουν ξεκινήσει οι διαδικασίες δημιουργίας εσωτερικού κανονισμού του περιοδικού ο οποίος αναμένεται να ολοκληρωθεί και εγκριθεί από το ΔΣ της ΕΜΕ. Κλείνοντας θα θέλαμε να ευχαριστή σουμε τους συναδέλφους και τους μαθητές από όλες τις περιοχές της Ελλάδας που στέλνουν υλικό, που επικοινωνούν με το περιοδικό και μοιράζονται τις ιδέες τους. Για τη Συντακτική Επιτροπή Ο πρόεδρος: Στέφανος Κέί"σογλου Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Β" Αθήνας

........................................................................................................ . ..............

• •

ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ της

ΕΜΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑτΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ

Στοιχειοθεσία - Σελιδοποίηση: EMHNIKH ΜΑΘΗΜΑTIKH ΗAIPEIA Εκτύπωση: ROTOPRINT (Α. ΜΠΡΟΥΣΑΛΗ & ΣΙΑ EEI. τηλ.: 21 Ο 6623778 358 Υπεύθυνος τυπογραφείου: Δ.Παnαδόnουλος ·

Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται από την Ε.Μ.Ε. Οι συνεργασίες, τα άρΘρα, οι προτεινόμενες ασκriσεις, οι λύσεις ασκriσεων κτλ. πρέπει να στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ένδειξη "Για τον Ευκλείδη Α"". Τα χειρόγραφα δεν επιστρέφονται. Όλα τα άρΘρα υπόκεινται σε κρίση

Τιμή τεύχους: ευρώ 3,00

Ετήσια συνδρομή (1 0,00+2,00 Ταχυδρομικό=ευρώ 12,00). Ετήσια συνδρομή για Σχολεία ευρώ 10,00 Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:

1. Με απλri ταχυδρομικri επιταγri σε διαταγri Ε.Μ.Ε. Ταχ. Γραφείο ΑΘriνα 54 Τ.Θ. 30044 2. Στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε., όπου υπάρχει δυνατότητα τραπεζικriς συναλλαγr\ς με την τράπεζα EUROBANK 3. Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε.

Θεωρία Πα ιyνίων

Γ ιώ ργος Τσομίδης

ανθρώπινες σχέσεις χαρακτηρίζονται από καθημερινές αλληλεπιδράσεις, συμβιβασμούς, υπο ωρήσεις, συγκρούσεις, συμμαχίες, aνταγωνισμούς. Είναι εύλογο ότι κάθε άτομο δρα σύμφωνα με το προσωπικό του συμφέρον, ενώ θεωρείται θεμιτό και αποδεκτό να ενεργεί ως το σημείο ε κείνο που δεν προσβάλλει, με οποιοδήποτε τρόπο, τα υπόλοιπα μέλη της κοινωνίας. Το συμφέρον του ατόμου εθεωρείτο ανέκαθεν κινητήριος μοχλός της συμπεριφοράς του, καθώς στην ουσία αποτελεί φυσι κή ανάγκη τού κάθε ζωντανού οργανισμού να επιβιώσει στο περιβάλλον και να διαιωνίσει τα γονίδια του. Αυτός είναι και ο βασικός μηχανισμός της λειτουργίας της Φύσης, σύμφωνα με τους κανόνες της οποίας ο καλύτερα προσαρμοσμένος οργανισμός αναπτύσσεται και αναπαράγεται. Στη προσπάθεια τού ο άνθρωπος να κατανοήσει αυτές τις aρχέγονες και αέναες συμπεριφορές χρησιμοποιεί Μ αθηματικά εργα λεία, και επομένως το βασικό πλαίσιο (ή σημείο αναφοράς) μελέτης της συμπεριφοράς του ατόμου ανα πτύσσεται και αναλύεται μέσα από τη Θεωρία Παιγνίων. Η Θεωρία Παιγνίων άπτεται διαφόρων επιστημονικών κλάδων όπως είναι τα οικονομικά, η πολιτι κή, τα ηλεκτρονικά δίκτυα κ.ά. , διατηρώντας την ουσία της αμετάβλητη, όπως θα επεσήμανε και ο Πλά τωνας. Ποια είναι όμως η ουσία της; Η στρατηγική αλληλεπίδραση των παικτών και τα αποτελέσματα που αυτή η «σύγκρουση)) αποφέ ρει. Οι αρχαίοι Έλληνες Φιλόσοφοι, είχαν επιτύχει μια πρώτη θεωρη τική-περιγραφική προσέγγιση της Θεωρίας Παιγνίων μέσω της πολι τικής και κοινωνικής ανάλυσης της εποχής (Πολιτεία Πλάτωνος, Ηθι κά και Πολιτικά του Αριστοτέλη). Τι είναι όμως η Θεωρία Παιγνίων; Στο ακόλουθο άρθρο θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε και να κατανοήσουμε αυτόν τον συναρπαστικό κόσμο ξεκινώντας με δύο πολύ κλασικά παραδείγματα, το πρώτο είναι γνωστό ως Δίλημμα του Φυλακισμένου και το δεύτερο ως Η μάχη των δύο Φύλων.

Το Δίλημμ α του Φυλακισμέν ου Ας φανταστούμε ότι υπάρχουν δύο σεσημασμένοι κακοποιοί, οι οποίοι είναι φίλοι, με πί.ούσιο ποι νικό μητρώο ο καθένας στους. Έπειτα από αλλεπάλληλες συλλήψεις και καταδίκες αποφασζουν να α φήσουν τη ζωή του κλέφτη και να ακολουθήσουν την οδό της νομιμοφροσύνης. Αφού λοιπόν βρίσκουν νόμιμα επαγγέλματα για να απασχολούνται και όλα βαί νουν ήρεμα στη ζωή τους, μαθαίνει ο ένας για ένα όχι και τόσο καλά φυλασσόμε νο κοσμηματοπωλείο σε μία κοντινή γειτονιά. Αρχικά δεν αναφέρει στο φίλο του τίποτα και προσπαθεί να διώξει τις «κακέρ) σκέψεις από το μυαλό του. Περνώ ντας οι μέρες, η σκέψη του εύκολου κέρδους είχε για τα καλά ριζώσει μέσα στο μυαλό του και μην μπορώντας άλλο να κρατηθεί, τα λέει όλα στο φίλο του. Επει δή στη προκειμένη περίπτωση, είχε κυλήσει ο τέντζερης και είχε βρει το καπάκι του, αποφασίζουν να ληστέψουν το κοσμηματοπωλείο. Καταστρώνουν λοιπόν το σχέδιο δράσης και ένα ήσυχο βράδυ εξορμούν. Για κακή τους τύχη δύο αστυνομικοί με συνοδεία σκύλου τυχαίνει να περνούν έξω από το κοσμημα τοπωλείο ενώ οι φίλοι μας βρίσκονται ήδη μέσα και γεμίζουν τις τσάντες τους με χρυσαφικά. Το σκυλί αρχίζει μανιασμένα να γαβγίζει, οι αστυνομικοί αντιλαμβάνονται ότι κάτι τρέχει, οι κλέφτες πανικοβάλ λονται και πετιούνται απότομα έξω τρέχοντας και μετά από ένα σύντομο κυνηγητό οι αστυνομικοί τους συλλαμβάνουν. Στο αστυνομικό τμήμα τους βάζουν σε δύο ξεχωριστά δωμάτια ανάκρισης. Ο διοικητής, διαβάζει τους φακέλους με το ιστορικό τους και αποφασίζει να τους «στριμώξευ) προσφέροντάς την ίδια συμφω νία στον καθένα ξεχωριστά λέγοντας τα εξής: Αν δεν ομολογήσεις, θα μπεις φυλακή για ένα χρόνο. Αν προδώσεις το φίλο σου, και αυτός σιωπήσει εσύ θα τη γλιτώσεις και αυτός θα φάει τρία χρόνια. Αν όμως ο ένας προδώσει τον άλλο, τότε θα μπείτε και οι δύο μέσα για δύο χρόνια.

Όπως παρατηρείται ο διοικητής είναι έξυπνος και οι δύο φίλοι (Α και Β) ζητάνε από ένα κομμάτι χαρτί για να γράψουν σε ένα πινακάκι αυτά που τους προσφέρει ο Αστυνόμος. Έχουμε λοιπόν τον Πίνα κα του Παιγνίου:

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/1

------

ΒΙΑ

Θεω ρία Π αιγνίων

Σιωπά

Α: 1 χρόνο

Ομολογεί

Α: 3 χρόνια

Β: 1 χρόνο

Β: ελεύθφος

-------

Ομολογεί

Α: ελεύθερος

Β: 3 χρόνια

Α: 2 χρόνια

Β:

2χρόνια

Ας δούμε ποία θα είναι η έκβαση του παιγνίου ξεκινώντας από τον φυλακισμένο Α. τι θα επιλέξει 1; Αν ο Α δεν μιλήσει τότε γνωρίζει ότι υπάρχουν δύο περιπτώσεις: είτε ο Β να τον προδώσει είτε όχι. Αλλά από την άλλη μεριά αν ο Β σιcεφτεί ότι Α δεν θα μιλήσει τότε συμφέρει τον Β να προ δώσει τον Α και να φύγει ελεύθερος. • Αν ο Β δεν μιλήσει τότε γνωρίζει ότι υπάρχουν δύο περιπτώσεις: είτε ο Α να τον προδώσει είτε όχι. Αλλά από την άλλη μεριά αν ο Α σιcεφτεί ότι Β δεν θα μιλήσει τότε συμφέρει τον Α να προ δώσει τον Β και να φύγει ελεύθερος. • Αν ο Α ομολογήσει τότε γνωρίζει ότι υπάρχουν δύο περιπτώσεις: είτε ο Β να τον προδώσει είτε όχι. Αλλά από την άλλη μεριά αν ο Β σιcεφτεί ότι Α θα ομολογήσει τότε συμφέρει τον Β να προ δώσει τον Α και να μπούνε και οι δύο μέσα για 2 χρόνια. • Αν ο Β ομολογήσει τότε γνωρίζει ότι υπάρχουν δύο περιπτώσεις: είτε ο Α να τον προδώσει είτε όχι. Αλλά από την άλλη μεριά αν ο Α σιcεφτεί ότι Β θα ομολογήσει τότε συμφέρει τον Α να προ δώσει τον Β και να μπούνε και οι δύο μέσα για 2 χρόνια. Άρα η έιcβαση του παιγνίου (δηλ. η ισορροπία του) είναι και οι δυο να ομολογήσουν [ομολογεί, ομολο γεί] και να μπούνε για δύο χρόνια φυλακή. Παράλογο; Όπως μας διδάσιcει η Θεωρία Παιγνίων και mo συγιcε κριμένα ο ιcύ ριος John Nash, με τη διάσημη ισορροπία Nash, μάλλον όχι. Ο John Nash ( 1 928) υπήρξε αναμφίβολα ένας από τους σπουδαιότερους Μαθηματικούς Οικονομολόγους του περασμένου αιώνα. Όχι μόνο για την οξυδέρκειά του αλλά και για τον τρόπο με τον ο;τοiο προσέyyιζε τα διάφορα προβλήματα που απασχόλησαν τον επιστημονικό τον βίο. Ο Nash -ήρωας τη.; ;cοί.χyσυντιανής ταινίας «Ένα υπέροχος άνθρωπος»- ξεχώρισε όχι μόνο για την συμβολή του στην ε :nστήμη αl).ά και λόγω της ιδιόρρυθμης προσωπικότητάς του, η οποία ιcλονιζόταν από τη βαριά σχιζο φρέ\τια και το σύνδρομο καταδίωξης, τα οποία τον ταλαιπωρούσαν ήδη από την ηλικία των 29 ετών. Χαραιcτηριστικό της διανοίας του Nash είναι η μοναδική φράση που είχε γράψει ο καθηγητής και μέντο ράς του R.J. Duffin στη συνοδευτική συστατική επιστολή για τις διδακτορικές του σπουδές (αρχικά στο Harvard και έπειτα στο Pήnceton): «Αυτός ο άνθρωπος είναι ιδιοφυία». Ο Nash υπήρξε «αυθάδης» όσο αφορά τη Θεωρία Παιγνίων και ουσιαστικά τη πήρε από το χέρι και την οδήγησε σε ένα ανώτερο επίπεδο με μία και μόνο απλή σιcέψη . Αρχικά, ο Nash αναγνώρισε ότι σε ένα παίγνιο το αποτέλεσμα, εξ ορισμού, δεν εξαρτάται μόνο από την επιλογή ενός παίκτη, αλλά και από το σύνολο των επιλογών των υπολοίπων παικτών. Πιο συγκεκριμένα, δεν μπορείς να συμβουλέψεις κά ποιον πώς πρέπει να συμπεριφερθεί σε ένα παίγνιο αγνοώντας τι θα κάνουν οι άλλοι. Άρα, δεν είναι δυ νατόν να κάνεις εκείνη την επιλογή που εξυπηρετεί το συμφέρον σου καλύτερα, εφόσον δεν γνωρίζεις τις επιλογές τφν άλλων. Ό�ως, και οι υπόλοιποι παίκτες βρίσιcονται στην ίδια θέση . Δηλαδή, είναι όλοι τους «παγιδευμένοι» στην ίδια κατάσταση; Χαρακτηρίζεται, λοιπόν, η παραπάνω κατάσταση από aπροσδιοριστία; Αυτό το μπερδεμένο κουβάρι έλυσε ο Nash τη ισορροπία Nash. Η ισορροπία Nash (ΝΕ) περιγράφει μια κατάσταση, η οποία έχει φτάσει σε εκείνο το σημείο, όπου κανένα παίχτη δεν συμφέρει να απομακρυνθεί, δεδομένων των εmλογών των αντιπάλων του, ακόμη και αν αυτή δεν συμφέρει κανέναν. Με άλλα λόγια, όταν υπάρχει στρατη γική αλληλεπίδραση μεταξύ ατόμων, επιχεφήσεων κ.α., μπορεί η ισορροπία του παιγνίου να καταλήγει σε μία κατάσταση στην οποία ενώ κανένας δεν είναι ευχαριστη μένος (δεν έχει κέρδος-όφελος), είναι προτιμότερο για αυτόν/ους να μην απομακρυνθεί διότι τότε θα βγει εντε λώς χαμένος. Όπως στο παραπάνω παράδειγμα με τους φίλους μας τους διαρρήκτες. Ας συνεχίσουμε τα παρα δείγματα, με ένα αξιολάτρευτο αλλά όχι αχώριστο ζευγάρι και ακολούθως με μία ιδιότροπη παρέα. •

Οι γραμμές (κόιcιcινο) αφορούν τον παίκτη Α και οι στήλες (πράσινο) το παίκτη Β. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/2

------

Θεω ρία Π αιγνίων ------

Η μάχη των Φύλων

Ο Παρμενίωνας και η Ιοκάστη είναι πολλά χρόνια ζευγάρι. Λόγω του ότι εργάζονται πολλές ώρες την ημέρα, προσπαθούν τα βράδια να βρίσκονται και να τα περνάνε μαζί κάνοντας βόλτες, πηγαίνοντας κινηματογράφο ή ό,τι άλλο τους κάνει κέφι. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμά τους είναι το ότι ενώ δεν έ χουν τις ίδιες προτιμήσεις (γούστα), θέλουν να είναι αχώριστοι. Έτσι προσπαθούν να κάνουν ποικίλες εξόδους ούτως ώστε να παραμένουν και οι δύο ευχαριστημένοι και να μην αδικείται κανένας. Ο Παρμενίωνας το τελευταίο διάστημα έχει υψηλό φόρτο εργασίας και είναι λιγάκι κουρασμένος και αφηρημένος. Το μόνο που σκέφτεται τη σημερινή μέρα είναι η βραδινή του έξοδος με την Ιοκάστη. Λόγω κούρασης όμως θα προτιμούσε να μην πάει τη σημερινή βραδιά στην αγαπημένη όπερα της Ιοκάστης, αλλά να παρακολουθήσει τον ποδοσφαιρικό αγώνα της αγαπημένης του ομάδας από το σπίτι. Από την άλλη η Ιο κάστη γνωρίζει ότι ο σύντροφός της είναι κουρασμένος, θέλει να του κάνει το χατίρι, αλλά δεν έχει όρεξη για 2 ποδόσφαιρο και θέλει διακαώς να παρακολουθήσει την όπερα • Λόγω aφηρημάδας, ο Παρμενίωνας έχει ξεχάσει το κινητό του aφόρτιστο και είναι μέσα στο αυτο κίνητο καθοδόν για το σπίτι. Αυτό που τριβελίζει το μυαλό του είναι αν θα καταφέρουν να συνεννοηθούν με την Ιοκάστη και να μην μαλώσουν. Το ίδιο αναρωτιέται και η Ιοκάστη περιμένοντας στο σπίτι. Όπως και να έχει, θέλουν να είναι μαζί. Οι σκέψεις (και οι ανησυχίες) και των δύο μπορούν να aποτυπωθούν στον παρακάτω πίνακα με κλί μακα από το 0-103 των προτιμήσεών τους: Παρμενίωνας/1οκάστη

Όπερα

Ποδόσφαιρο

Π: Ο

Όπερα

Π:5 1:10

1:0

Ποδόσφαιρο

Π: Ο

Π:JΟ

1:0

1:5

Ποία είναι η έκβαση του παιγνίου; Θα παραμείνει το ζευγάρι αχώριστο ή θα μαλώσουν και ο καθέ νας θα περάσει τη βραδιά μόνος/η ; Για να εξετάσουμε τη συλλογιστική του παιγνίου. • Αν ο Π επιλέξει όπερα, γνωρίζοντας ότι η Ι προτιμάει όπερα, τότε η Ι θα επιλέξει όπερα. Από την άλλη, αν η Ι επιλέξει όπερα τότε ο Π θα επιλέξει όπερα για να είναι μαζί. • Αν η Ι επιλέξει όπερα τότε ο Π θα επιλέξει όπερα για να είναι μαζί. Από την άλλη, αν ο Π επιλέξει όπερα τότε η Ι θα ακολουθήσει την επιλογή του Π αφού τη συμφέρει. • Αν ο Π επιλέξει ποδόσφαιρο τότε η Ι θα επιλέξει ποδόσφαιρο για να είναι μαζί. Από την άλλη, αν η Ι επιλέξει ποδόσφαιρο τότε ο Π θα ακολουθήσει την επιλογή της Ι αφού τον συμφέρει • Αν η Ι επιλέξει ποδόσφαιρο, γνωρίζοντας ότι ο Π προτιμάει ποδόσφαιρο, τότε ο Π θα επιλέξει ποδό σφαιρο. Από την άλλη, αν ο Π επιλέξει ποδόσφαιρο τότε η Ι θα επιλέξει ποδόσφαιρο για να είναι μαζί. . Όπως παρατηρείται το ζευγάρι βάζει τη σχέση του πάνω απ' όλα και έτσι έχουμε δύο ισορροπίες Nash: [όπερα, όπερα], [ποδόσφαιρο, ποδόσφαιρο], που όπως θα λέγαμε πιο επιστημονικά έχουν ίση πιθανότητα πραγματοποίησης. Ο καταλυτικός παράγοντας αυτού του παιγνίου, το οποίο έχει τις δύο παραπάνω ισορροπίες, είναι το γεγονός ότι και οι δύο παίκτες συμφωνούν εκ των προτέ ρων στο ότι θέλουν να είναι αχώριστοι. Οι εκ των προτέρων συμφωνίες στα παίγνια και πως αυτές επηρεάζουν το αποτέλεσμα ενός παιγίου, αποτελούν ένα τεράστιο και ιδιαίτερα γόνιμο πεδίο επιστημονικής έρευνας. Μία ιδ ιότ ροπη παρ έα Ας φανταστούμε μια aχώριστη παρέα ατόμων η οποία αποφασίζει να πάει στον κινηματογράφο. Αυ τή η παρέα έχει μερικές ιδιαιτερότητες: είναι όλοι τους τρομερά εγωιστές και κανείς δεν δέχεται να υπο χωρεί στις απόψεις και τις προτιμήσεις του. Επίσης, δεν υπάρχουν «κολλητοί» και δεν γίνονται συμβιβα σμοί, ενώ κανένας τους δεν θέλει να μένει μόνος. Τέλος, κανονίζουν να συναντηθούν έξω από τα εκδο τήρια των εισιτηρίων για να επιλέξουν επί τόπου την ταινία που θα δουν (εντάξει, είναι όλοι τους αρκετά ιδιότροποι, αλλά πιστέψτε με τέτοιες παρέες υπάρχουν !). Η πρώτη σκέψη η οποία αναδύεται είναι αν θα 2 3

Η όπερα θα δώσει μία μοναδική παράσταση στη πόλη. Το Ο σημαίνει ότι δεν θέλει καθόλου και το 1 0 ότι θέλει οπωσδήποτε.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/3

------

Θεω ρία Παιγνίων

-------

μπορέσει αύτη η παρέα να δει μια ταινία και να μην μαλώσουν τα άτομα μεταξύ τους. Και η απάντηση είναι προφανώς όχι! Από τη στιγμή που κανένας δεν είναι διαθετημένος να αλλάξει έστω και για μια η μέρα τα γούστα του υπάρχουν δύο λύσεις. Η πρώτη είναι να επιλέξουν να δουν μια ταινία που αφήνει όλους αδιάφορους και η δεύτερη είναι να σηκωθούν να φύγουν από τον κινηματογράφο και να πάνε κά που αλλού, όπως σε ένα μπαρ για παράδειγμα (όπου είναι πολύ mθανό ιcαι εκεί να συμβεί ακριβώς το ί διο). Και οι δύο λύσεις αποτελούν ισορροπία Nash, όπου ενώ το αποτέλεσμα δεν είναι επιθυμητό για κα νέναν, σε κανέναν δεν συμφέρει να αποκλίνει (δηλαδή να γυρίσει σπίτι). Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η απόκλιση ισοδυναμεί με τη μοναξιά και όπως έλεγε ο Αριστοτέλης «όποιος είναι μόνος είναι ή θηρίο ή θεός» (Πολιτικά, Α, 2, 1 0- 1 3). Παρατηρείτε ότι οι «σκληρές στρατηγικές», φέρνουν ανεπιθύμητα αποτε ί.έσματα.

Συνοψίζοντας, μπορούμε να πούμε ότι η Θεωρία Παιγνίων επιχειρεί μία Μαθηματική προσέγγιση των ιcοινωνικών, πολιτικών και οικονομικών αλληλεπιδράσεων μεταξύ φυσικών ή μη προσώπων με αρ .._τrά μεγάλη επιτυχία. Η Μαθηματική θεμελίωσή της πατάει γερά πάνω στη Μ αθηματική Λογική, όπου οι παίκτες θεωρείται ότι συμπεριφέρονται ορθολογικά. Γενικότερα, στον κόσμο των οικονομικών και κοινωνικών επιστημών, τα άτομα-μονάδες τα οποία διαμορφώ νουν καταστάσεις χαρακτηρίζονται ως ορθολογικοί παράγοντες-παίκτες. Πιο απλά, κάθε άτομο μπορεί να α ντιληφθεί τι είναι το καλύτερο, ορθότερο, σημαντικότερο, ουσιαστικότερο κ.τ.λ. για τον εαυτό του, προτού πάρει μια απόφα ση για το πώς πρέπει να συμπεριφερθεί. Τέτοιου είδους πολίτες-άτομα είναι οι πρωταγωνιστές όλων των κλασικών κοι νωνικοοικονομικών θεωριών (κομμουνι σμός, σοσιαλισμός κλπ.). Απαιτείται, λοιπόν, από τα άτομα να συμπεριφέρο νται με τον καλύτερο τρόπο σε οποιαδήποτε κατάσταση, ούτως ώστε να ικανοποιείται η θεωρία. Αυτό, όμως, συμβαίνει στην πραγματική ζωή ; Στην καθημερινότητα όπου κάθε πολίτης βρίσκεται αντιμέτωπος με το απρόβλεπτο της ζωής; Σε αυτό το ερώτημα προσπάθησε να δώσει απάντηση ο Nash και ως ένα με γάλο βαθμό τα κατάφερε. Όπως είδαμε, η ιδιοφυία του Nash έγκειται στο γεγονός ότι συμπεριέλαβε στη θεωρία του την κοινή παραδοχή ότι δεν μπορούν όλοι οι άνθρωποι να κάνουν ορθολογικές επιλογές και το αποτέλεσμα, όπου συνήθως είναι το μη αναμενόμενο, συνεχίζει ακόμη και σήμερα να εκπλήσσει. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο Nash ήτανε ένας άνθρωπος ο οποίος δεν δίσταζε να χρησιμοποιεί τη φαντασία του πάνω στης επιστήμη . ΕΛΛΗΝιΚΗ ΜΑΘΗΜΑτικΗ ΕτΑΙΡει• Οι πρo-Nash αναλύσεις στη Θεωρία Παιγνίων ενώ ήτανε λογικές, ήτανε αρκετά aποστειρωμένες. Ο λόγος είναι ότι οι λύσεις που προτείνονταν συμβούλευαν τους παίκτες πώς να συμπεριφερθούν, σε ένα οποιοδήποτε παίγνιο, ανεξάρτητα από τις υποκειμενικές προσδοκίες για το τι θα κάνουν Ίltr81111., οι αντίπαλοί τους. Μ ε άλλα λόγια: κάνε αυτό που σε συμφέρει κσλύτερα ελα χιστοποιώντας τις ζημίες, αδιαφορώντας για τις επιλογές των άλλων, έστω και αν αυτές σε επηρεάζουν.

Στη καθημερινότητα όμως όταν κάποιος κάνει μία επιλογή, η επιλογή του αυτή δεν αφορά μόνο τον ίδιο αλλά και υπόλοι πα μέλη της κοινωνίας και αντίστροφα. Όπως όταν κάποιος αποφασίζει για το αν θα επισκευάσει το χαλασμένο κινητήρα του αυτοκινήτου του. Η επι λογή που θα κάνει δεν αφορά μόνο τον ίδιο αλλά και το κοινωνικό σύνολο διότι ένας χαλασμένος κινητήρας έχει σοβαρές περιβαλλοντικές επιπτώσεις που επηρεάζουν τη δημόσια υγεία. Εσείς τί θα επιλέγατε; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ. l/4

Ερατοσθένης ο Κυρηναίος και ο υπολογισμός της περιφέρειας της Γης

====

Ιωάννης Ευαγγ. Σταμέλος

Κυρήνη, που βρίσκεται στη σημερινή Λιβύη, ήταν αποικία των Θηραίων, οι οποίοι ο δηγήθηκαν εκεί, όπως μας πληροφορεί ο Ηρόδοτος, έχοντας οδηγό τον Κορώβιο από την Ίτανο (ανατολική Κρήτη). Ο Ερατ ο σθ ένης ο Κυρηναίος (276-194 π.Χ.) είναι γνωστός κυρίως από το πείραμά του, με το οποίο μέτρησε πρώτος την ακτί να της Γης, και κατ' επέκταση την περιφέρειά της. Ο Ερατοσθένης υπήρξε διευθυντής του Μουσείου στην Αλε ξάνδρεια -κάτι σαν το σημερινό Harvard- την περίοδο του Πτο λεμαίου του Γ', του Ευεργέτη (πρώτος διευθυντής υπήρξε ο γνω στός μας Ευκλείδης). Σπούδασε στην Αλεξάνδρεια και ενδεχομένως και στην Αθήνα. Στους μικρούς μαθητές του γυμνασίου είναι γνωστός και από το περίφημο «κόσκινό» του, το οποίο είναι μια μέθοδος για να βρί σκουμε τους αρχικούς πρώτους αριθμούς. Παρά το ότι, όμως, είναι γνωστός ως μαθηματικός, ασχολήθηκε και με την Αστρονομία (το έργο του «Καταστερισμοί» είναι μια από τις πρώτες καταγραφές των αστέρων του ουρανού -κυκλοφορεί μεταφρασμένο από τις εκδόσεις Αίθρα) αλλά και με την Γεωγραφία. Μάλιστα η λέξη «γεω γραφία» οφείλεται σ' αυτόν. Θεωρείται δε, ακόμα, και σπου δαίος χαρτογράφος. Σχετικά με το περίφημο πείραμά του, επειδή τελευταία παρουσιάζεται και ως aτραξιόν, θα επιχειρήσουμε κάποιες παρατηρήσεις ελπίζοντας σε κάποια ρεαλιστική αποτίμηση του μεγέθους του. Η μαθηματική εξήγηση δεν είναι υπερβολικά δύσκολη αλλά βασίζεται σε κάποιες παραδοχές τις οποίες συνέλαβε πρώτος ο Ερατοσθένης (δείτε το σχετικό σχήμα παρακάτω και προσπαθήστε να εξηγήσετε γιατί στο τρίγωνο της ράβδου με τη σκιά στην Αλεξάνδρεια η γωνία φ είναι όσο και η επί κεντρη): 1 . Οι φωτεινές ακτίνες του ηλίου που φτάνουν στη Γη εί ναι παράλληλες λόγω της μεγάλης απόστασης. 2. Το μεσημέρι κατά το θερινό ηλιοστάσιο (21 Ιουνίου) στο σημερινό Ασσουάν (την αρχαία Συήνη) είναι κάθετες στην επιφάνεια της Γης, δηλαδή η προέκτασή τους περνάει από το κέντρο της. Το «Κόσκινο και ο Ερατοσθέ 3. Το Ασσουάν και η Αλεξάνδρεια βρίσκονται πάνω στον νη ρ> , σκίτσο της Μ . Καρτέρη ίδιο μεσημβρινό, όπως θα λέγαμε σήμερα. Σιγανού, από το βιβλίο « Χιού4. Θα έπρεπε κάποιος να μετρήσει με ακρίβεια την από μορ και Μ αθηματικά» σταση της Αλεξάνδρειας από το Ασσουάν, κάτι που δεν ήταν και τόσο εύκολο την εποχή του Ερατοσθένη και 5. Ότι ο Νείλος από την Αλεξάνδρεια μέχρι το Ασσουάν, την εποχή του Ερατοσθένη ήταν σχεδόν ευθύγραμμος και υπήρχε η δυνατότητα κανείς να βαδίσει κατά μήκος της ακτής του. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/5

------

Ε ρατοσθένης ο Κυρηναίος και ο υπο λογισμός της περιφέρειας της Γης

------

0 Ντένι Γκετζ στο βιβλίο του «Τα αστέρια της Βερενίκης» (Ψυχογιός 2006), το οποίο είναι μια ιστορική μυθοπλασία σχετικά με το πείραμα του Ερατοσθένη, έχει μια πολύ πειστική εκδοχή. Βάζει τον Ερατοσθένη να μετράει τη σκιά ενός μετρημένου, κάθετου, πασάλου στην ταράτσα του Μουσείου της Αλεξάνδρειας το μεσημέρι στις 12, όπου στο Ασσουάν, το α : η απόσταση Αλεξάνδρειας - Σuήνης οποίο είναι νότια, αυτή είναι μηδενική, φ : η επ{ιcεντρη yων{α στο τόξο Αλεξάνδρεια-Σuήνη κατά το θερινό ηλιοστάσιο. Μάλιστα για να προσδιορίσει επακριβώς την ημέρα του θερινού ηλιοστασίου χρησιμοποιεί ένα βαθύ πηγάδι στο Ασσουάν, από τον πάτο του οποίου κάποιος την ημέρα βλέπει τα αστέρια στον ουρανό και μόνο, τη συγκεκριμένη ημερομηνία, τον ήλιο, στις 12 το μεσημέρι. Χρησιμοποιεί, κατά μια εκδοχή, βα διστές -γνωστούς από την εκστρατεία του Μεγάλου Αλεξάνδρου για τη σχεδί αση χαρτών- προκειμένου να υπολογίσει την απόσταση Αλεξάνδρεια-Ασσουάν. Κατά μια άλλη εκδοχή ένα άρμα με με τρητή στροφών στις ρόδες του. Οι υπολογισμοί στη συνέχεια είναι εύκολοι γιατί με τα στοιχεία αυτά υπο - εχίιcε\τρη γωνία Αλεξάνδρειας - Ασσουάν πάνω στον μεσημβρινό (ή η διαφορά γε �-. -:ών για τους δυο τόπους). εβ{rίω; να σημειωθεί ότι ο Ερατοσθένης έκανε, με το πείραμά του, μια πολύ καλή _ � �ει �ση του μήκους της ακτίνας και κατ' επέκταση της περιφέρειας ενός μεσημβρινού της Γη.; (ο υπολcryισμός του για την περιφέρεια ήταν 39.690 χιλιόμετρα, ενώ σήμερα ξέρουμε ότι εί ναι 40.007,86 χιλιόμετρα) (Μπορεί ακόμα να γίνει και πιο εύκολος υπολογισμός, για μικρούς μαθητές με αναγωγή στις 360°, αντί να χρησιμοποιηθεί η ακτίνα). Σήμερα με τα GPS και τους χάρτες ακριβείας που διαθέτουμε ξέρουμε όλα όσα χρειάζονται για να κάνουμε ακριβέστατες μετρήσεις ακόμα κι αν θελήσουμε να επαναλάβουμε στον τόπο μας -παραλλαγμένο βέβαια- το πείραμα του Ερατοσθένη. Και η παιδαγωγική αξία του πειράμα τος, ασφαλώς, είναι μεγάλη, κυρίως για την ιστορική του σημασία και τη χαρά που δίνει στους μικρούς μαθητές η βιωματική δραστηριότητα μέτρησης της σκιάς τους. Όμως η σπουδαιότητα των δράσεων αυτής της μορφής, εκτός από την σύνδεση που προσφέρει των μαθηματικών με την ιστορία της επι στήμης, έγκειται, κατά την άποψή μας, στην αφόρμηση που προσφέ ρει στον διδάσκοντα για να διερευνήσει με τους μαθητές του πιο θεω ρητικές και πιο σύνθετες έννοιες. Αν παραληφθεί αυτό το τελευταίο κινδυνεύουν οι μαθητές να θεωρήσουν ότι ο Ερατοσθένης δεν έκανε και τίποτα σπουδαίο και ότι η επιστήμη είναι συνταγές μόνο για όσους είναι μυημένοι σ' αυτήν. Το πείραμα του Ερατοσθένη είχε δυο πολύ μεγάλων διαστάσεων επιτεύγματα: την θεωρητική σύλληψη αφ' ενός και την υλοποίησή της αφ' ετέρου. Εδώ προηγείται η θεωρητική σύλληψη. Με κανένα τρόπο δε, δεν αποτέλεσε κάποια aτραξιόν τότε που έγινε. Αυτό δεν σημαίνει, βέβαια, ότι δεν μπορεί να αποτελέσει σήμερα μια θαυμάσια ιδέα για κάποιους παιδαγωγικούς ή τουριστικούς σκοπούς, κυρίως λόγους του βιωματικού και ιστορικού χαρακτήρα του πειράματος.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/6

ισοyωyή στο χελωνόκοσμο

Π. Αρδ α β άνη , Δ . Π αλαιογιαννίδης

Ο χελωνόκοσμος είναι ένα εκπαιδευτικό ψηφιακό περιβάλλον συμβολικής έκφρασης. Είναι ένα ελεύθερο λογισμικό που διατίθεται δωρεάν και αποτελεί έναν μικρόκοσμο του Αβάκιου E-slate. Αποτελείται από διακριτές ψηφίδες. Στο σχήμα που ακολουθεί μπορείς να δεις έναν χελωνόκο σμο και τις ψηφίδες που χρησιμοποιούμε πιο συχνά. Με τη βοήθεια εντολών που γράφει στη γλώσσα Logo στο συντάκτη ο χρήστης πλοηγεί στο ε πίπεδο ή στο χώρο μια ψηφιακή οντότητα που έχει τη μορφή χελώνας. Η χελώνα, καθώς κινεί ται, αφήνει πίσω της ένα ίχνος δημιουργώντας γεωμετρικά σχήματα. Οι κινήσεις της χελώνας εί ναι στην πραγματικότητα μόνο δύο, όσο περίπλοκο και να φαίνεται το σχήμα που δημιουργεί. Μπορεί να κινηθεί ευθύγραμμα (μπροστά ή πίσω) ή να στρίψει (δεξιά ή αριστε ρά) στο επίπεδο. Οι βασικές εντολές πλοήγησης της χελώνας είναι οι εξής: Εντολή

Αποτέλεσμα

Όνομα εντολής

Συντομογραφία στα Ελληνικά

μπροστά 50

μ 50

fd 50

χελώνα κινείται 50 βήματα μπροστά

πίσω 50

π 50

bk 50

χελώνα κινείται 50 βήματα πίσω

αριστερά 60

α 60

lt 60

χελώνα στρίβει 60 μοίρες προς τα αριστερά

δεξιά 60

δ 60

χελώνα στρίβει 60 μοίρες προς τα δεξιά

σβήσεγραφικά

σβγ

Καθαρίζει ο Καμβάς κα ιη χελώνα επιστρέφει στην αρχική της θέση

στυλοπάνω

σπ

χελώνα κινείται χωρίς να αφήνει ίχνος

στυλόκάτω

σκ

χελώνα κινείται αφήνοντας ίχνος

Επανάλαβε 4 [ ]

Repeat 4 []

Συντομογραφία στα Αγγλικά

Η χελώνα επαναλαμβάνει 4 φορές τη διαδικασία που είναι γραμμένη μέσα στις αγκύλες

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/7

------

Ε ισαγωγή στους χελωνόκοσ μους ------

Πρόσεξε ότι αν γράψεις τις εντολές στα ελληνικά στην πλήρη τους μορφή δεν έχει σημασία αν θα βάλεις τόνους ή όχι. Δηλαδή είτε γράψεις σβήσεγραφικά ή σβησεγραφικα η εντολή θα ε κτελεστεί. Δοκίμασε τώρα να κινήσεις τη χελώνα στον Καμβά. Αν γράψεις δ60 (χωρίς κενό), η εντολή δεν μπορεί να εκτελεστεί και στο κάτω πλαίσιο του συντάκτη Lo go εμφανίζεται το εξής μήνυμα λάθους: "Ι don't know how to δ60". Κάθε φορά γράφεις μια εντολή, πατάς το πλήκτρο Insert του πληκτρολογίου σου φροντίζοντας ο κέρσορας να βρίσκεται στη γραμμή της εντολής που έγραψες και βλέπεις τη χελώνα να αντιδρά αναλόγως. Μπορείς επίσης να γράψεις μια σειρά από εντολές τη μια κάτω από την άλλη ή τη μια μετά την άλλη αφήνοντας κενό ανάμεσά τους, να τις επιλέξεις όλες μαζί και να πατήσεις το πλήκτρο Insert. Οι εντολές θα εκτελεστούν από τη χελώνα η μια μετά την άλλη. Δοκίμασε να πλοηγήσεις τη χελώνα ώστε να σχεδιάσει ένα τετρά γωνο. Και τώρα κάτι ενδιαφέρον. Ξέρεις ότι μπορείς να εκπαιδεύσεις τη χελώνα; Μπορείς να της μάθεις μια διαδικασία και να την βάζεις να την εκτελεί κάθε φορά που θα δίνεις το όνομά της. Για να δημιουργήσεις μια διαδικασία πρέπει πρώτα να της δώσεις ένα όνομα. Το όνομα μπορεί να είναι μία λέξη ή δυο λέξεις ενωμένες π.χ. νέο_σχήμα και όχι νέο σχήμα. Μπορείς να δεις ένα παράδειγμα στη διπλανή εικόνα. Η διαδικασία γράφεται στην ψηφίδα Lo g o. Εδώ, δώσαμε στη διαδικασία το όνομα «παράδειγμα». Στη συνέχεια γράφεις τις εντολές με τις οποίες θα πλοηγήσεις τη ι.εiΛνα. Κλείνεις τη δια δικασία με την εντολή «τεi.ο;». Γ ι α να ε;: ,; εις τη διαδικασία, η και πατάς το οzή: Όχι το πλήτ::- :=: λυ-ό ήταν. Η χελώνα έχει διαδικασία. Αρκεί τώρα να Ί άvεις το όνομα της διαδικασίας, να πατήσεις το κουμπί insert και η χελώνα θα την εκτελέσει. Ονόμασε τετράγωνο τη διαδικασία που κατασκεύασες πριν με την οποία η χελώνα σχεδίασε ένα τετράγωνο και εκτέλεσέ την. Προσπάθησε τώρα, χρησιμοποιώντας την εντολή Επανάλαβε και τη διαδικασία "τετράγωνο", να κατασκευάσεις μια διαδικασία με την οποία η χελώνα θα σχε διάσει το σχήμα που βλέπεις. Σε μια τάξη διοργανώθηκε ένας διαγωνισμός στο περιβάλλον ενός χελωνόκο σμου. Κάθε μαθητής καθοδηγεί τη χελώνα του ακολουθώντας οδηγίες που του δίνονται σε διάφορα στάδια του παιχνιδιού. Νικητής θα είναι όποιος κατορθώσει να πλοηγήσει σωστά τη χελώνα του ακολουθώντας τις οδηγίες που του δίνονται. Ο Γιαννάκης παίρνει ως πρώ τη οδηγία την εξής: "Προχώρα 100 βήματα μπροστά. Όταν φτάσεις εκεί, στρίψε δεξιά τόσο

,.· .

Ύωνία που θα σχηματιστεί από το ίχνος της χελώνας όταν κινηθεί και πάλι μπροστά να είναι μια οξεία Ύωνία 50 μοιρών. Προχώρα 80 βήματα μπροστά και περίμενε Ύια νέες οδηΎίες". Ο Γιαννάκης, για να υλοποιήσει την οδηγία, αποφάσισε να γράψει την παρακάτω δι ώστε η

αδικασία: για πρωτη_οδηγια μ 100 δ 50 μ 80 τελος σβγ πρωτη_οδηγια

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/8

-------

Ε ισαγωγή σ το υς χελωνόκοσμους

------

Τι πιστεύεις; Τα κατάφερε ο Γιαννάκης; Δοκίμασε να τρέξεις και εσύ τη διαδικασία. Δυστυ χώς, η γωνία που σχηματίστηκε είναι αμβλεία. Ο Γιαννάκης απορεί γιατί, ενώ έδωσε στη χελώ να την εντολή να στρίψει 50 μοίρες δεξιά, η γωνία που σχηματίστηκε είναι αμβλεία. Μπορείς να τον βοηθήσεις να βρει τη διαδικασία που θα οδηγήσει τη χελώνα να σχεδιάσει τη σωστή γωνία; Ο υπεύθυνος του εργαστηρίου πρότεινε στο Γιαννάκη να γράψει την παρακάτω διαδικασία: για γωνια :ω μ 100 δ :ω μ 80 τελος σβγ γωνια 50 Μπορείς να φανταστείς τι έγινε όταν ο Γιαννάκης την εκτέλεσε; Προσπάθησε να τρέξεις και εσύ τη διαδικασία αυτή. Μετά τρέξε την πάλι αλλάζοντας την τιμή στην τελευταία εντολή δίνο ντας μια φορά γωνια 80, μια δεύτερη φορά γωνια 40, μια ακόμα φορά γωνια 90 και μερικές άλ λες τιμές που θα επιλέξεις εσύ. Μπορούμε δηλαδή να τρέχουμε την ίδια διαδικασία απλά αλλά ζοντας την τιμή; Η χρήση μεταβλητών μας δίνει αυτή τη δυνατότητα. Χρησιμοποιούμε λοιπόν μεταβλητές όταν θέλουμε να αποκτήσουμε τη δυνατότητα να κατασκευάσουμε μια διαδικασία που θα μπορεί να εκτελεστεί εύκολα, χωρίς να την ξαναγράφουμε κάθε φορά από την αρχή, για πολλές δυνατές τιμές των μεγεθών που συμμετέχουν. Πρόσεξε ότι για να αντιληφθεί το λογισμι κό ότι έχει να κάνει με μεταβλητή, θα πρέπει μπροστά από το γράμμα που συμβολίζει τη μετα βλητή να βάζεις άνω και κάτω τελεία. Πρόσεξε επίσης ότι ο υπεύθυνος του εργαστηρίου φρό ντισε μετά την εντολή τέλος (δηλαδή έξω από τη διαδικασία), αλλά πριν από την εντολή για την εκτέλεσή της για μια συγκεκριμένη τιμή, να τοποθετήσει την εντολή "σβγ". Η επιλογή αυτή έγι νε με στόχο να έχουμε καθαρή εικόνα του τι συμβαίνει κάθε φορά μια και με αυτόν τον τρόπο πριν από κάθε εκτέλεση της διαδικασίας καθαρίζει ο Καμβάς και η χελώνα επιστρέφει στην αρ χική της θέση.

Υπάρχει όμως και ένας πιο εύκολος τρόπος να χειριστούμε τις τιμές μιας μεταβλητής. Είναι η ψηφίδα μεταβολέας. Τρέξε την εντολή γωνία 50. Μετά πήγαινε στον Καμβά. Θα παρατηρήΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/9

------

Ε ισαγωyή στους χελωνόκοσμους

-------

σεις ότι όταν ο κέρσορας βρεθεί πάνω στη γραμμή μετατρέπεται σε σταυρό. Κάνε κλικ πάνω στη γραμμή. Στο μεταβολέα ενεργοποιείται ένας δείκτης με όνομα ω και τιμή 50. Σύρε τον με το ποντίκι. Μπορείς να βρεις ποιο χαρακτηριστικό του σχεδίου στον Καμβά ελέγχεις με τον μετα βολέα; Αριστερά και δεξιά από τον δείκτη βλέπεις την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η μεταβλητή σου. Αυτές τις τιμές μπορείς να τις αλλάξεις κάνοντας πάνω τους διπλό κλικ με το ποντίκι και γράφοντας τις τιμές που θέλεις. Δοκίμασέ το. Με το μεταβολέα έχεις τη δυνατότητα να πειραματιστείς πολύ εύκολα αλλάζοντας τις τιμές της μεταβλητής. Δοκίμασε με τη βοήθειά του να βρεις ποια τιμή θα πρέπει να δώσεις στη μεταβλητή ω ώστε η γωνία που θα σχηματιστεί να είναι 50 μοιρών. Δοκίμασε να βρεις την τιμή της μεταβλητής και για άλλες γωνί ες που θα σκεφτείς και συμπλήρωσε τον πίνακα που ακολουθεί για τις γωνίες που σου ζητείται και μερικές ακόμα που θα επιλέξεις εσύ. Τιμή της μεταβλητής ω

Εκτίμηση του μέτρου της γωνίας που σχηματίστηκε

1 30

1 20

Τι παρατηρείς: Μπορείς να διατυπώσεις έναν κανόνα; Διόρθωσε τη διαδικασία γωνία : ω ώστε η χελώνα να σχηματίζει τη γωνία ω. Η δεύτερη δοιαμασiα χου κλήθηκε να ξεπεράσει ο Γιαννάκης ήταν να κατασκευάσει ένα ισό:τi.ευ� φtyωνο. Αχοφάσισε ότι για να κατασκευάσει η χελώνα ένα ισόπλευρο τρίγωνο, θα Λ4-� \'α την οδηyήσει με τη διαδικασία: yια ηχyωνο

:α :ω

εmναλαβε 3 [μ :α δ :ω] τελος

σβγ τριγωνο 100 60

Μελέτησε τη διαδικασία πριν την τρέξεις. Πιστεύεις ότι ο Γιαννάκης τα κατάφερε; Πρόσεξε ότι χρησιμοποίησε δύο μεταβλητές. Έτσι στην εντολή για την εκτέλεση της διαδικασίας έδωσε δύο τιμές. Η πρώτη από αυτές αντιστοιχεί στην πρώτη μεταβλητή, με τη σειρά που γράφονται στο όνομα της διαδικασίας, και η δεύτερη τιμή αντιστοιχεί στη δεύτερη μεταβλητή. Τρέξε τώρα τη διαδικασία. Ποιο λάθος έκανε ο Γιαννάκης; ΕΡΩΤΗΜΑ ΤΑ ΠΡΟΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ:

Προσπάθησε να αλλάξεις τον κώδικα της διαδικασίας ώστε να σχηματίζεται πάντα ένα ισό πλευρο τρίγωνο με πλευρά της οποίας το μήκος ελέγχεται με τη βοήθεια μιας μεταβλητής. D

Η τρίτη οδηγία που πήρε ο Γιαννάκης ήταν να κατασκευάσει το σκίτσο ενός σπιτιού σαν αυτό που του δόθηκε και φαίνεται στην επόμενη εικόνα. Κατάφερε να το κατασκευάσει χρησιμοποιώντας και διαδικασίες που είχε κα τασκευάσει στις προηγούμενες δοκιμασίες. Προσπάθησε να κατασκευάσεις και εσύ ένα σκίτσο σαν αυτό.

Γ ράψε τις απαντή σεις σου και στείλε τις σε ένα α ρχείο doc στο : ihfo@hms.gr με θέμα: Ευ κλείδης Α'. Μία από αυτές θα δη μοσιευ θεί στο επόμενο τεύχος. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Α' 93

τ.l/10

Τάξη

Ευκλείδεια

Δ ι αίρεση Κώστας Γ Σ άλα ρης, Μ άνια Κ Σ άλα ρη

Όταν εκτελούμε τη διαίρεση 357: 35 θα προκύψει πηλίκο 10 και υπόλοιπο 7. Τη διαίρεση μπορούμε να τη aποτυπώσουμε σε οριζόντια μορφή ισότητας, 3 57 35 •10 + 7. · Ο 357 λέγεται διαιρετέος, ο 35 διαιρέτης ο 1Ο πηλίκο και ο 7 υπόλοιπο. Η παραπάνω ισότητα ονομάζεται Ευκλείδεια Διαίρεση , ονομασία που πήρε από τον σπουδαίο αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη (325π.χ-266π.χ). Από την ισότητα της ευκλείδειας διαίρεσης παρατηρούμε ότι το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη. Αν χρησιμοποιήσουμε αντι αριθμούς γράμματα ο τύπος της ευκλείδειας διαίρεσης είναι Δ δ • π + υ , Ο � υ < δ όπου Δ ο διαιρεταίος, δ ο διαιρέτης, π το πηλίκο και υ το υπόλοιπο. Όταν υ=Ο τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια διαφορετικά αν υ διάφορο του μηδενός λέγεται ατελής. =

Δραστηριό τη τ α-Πρόβλη μα Η Α τάξη του Γυμνασίου Τρίπολης έχει 28 μαθητές και ο Γυμναστής του Σχολείου θέλει να τους τοποθετήσει σε εξάδες Πόσες εξάδες θα δημιουργηθούν και πόσοι μαθητές θα περισσέψουν. Η Βάσω σχεδόν αμέσως λέει στο Γυμναστή με ποιο τρόπο θα χωρίσει τους μαθητές σε εξάδες. Οι πρώτοι 6 μαθητές να βγούν στην αυλή του σχολείου και να τοποθετηθούν σε μία γραμμή οριζόντια. Πίσω από αυτούς άλλοι 6 μαθητές σε άλλη γραμμή και έτσι συνέχεια. Με αυτό τον τρόπο δημιουργηθήκανε 4 εξάδες και περισσέψανε 4 μαθητές όπως φαίνεται στο ποιο κάτω σχήμα

I� I� I� I� I� I� � � � �

� � � 1(

� 1( 1f 1( '

1{ 1{ 1{ 1{

1{ 1{ 1{

2η εξάδα

� 1{ �

I I

3η εξάδα 4η εξάδα

Εκείνη τη στιγμή περνούσε από την αυλή του σχολείου ο Μαθηματικός της Α τάξης και άκουσε το πρόβλημα, οπότε προθυμοποιήθηκε να δώσει μια ποιο μαθηματική λύση Στρεφόμενος στους μαθητές είπε ότι το πρόβλημα μυρίζει ευκλείδεια Διαίρεση και συνέχισε: «Αν πάρουμε το σύνολο των 28 μαθητών της τάξης και το διαιρέσουμε με το 6 που είναι ο αριθμός των μαθητών κάθε εξάδας τότε θα έχουμε συμφωνα με την Ευκλείδεια Διαίρεση, 28 6 • 4 + 4, άρα θα δημιουργηθούν 4 εξάδες και θα περισσέψουνε 4 μαθητές.» =

Μετά από τη λύση που έδωσε ο μαθηματικός στο πρόβλημα βρήκε στην άκρη της αυλής ένα πίνακα και αφού ζήτησε την άδεια από το Γυμναστή να χρησιμοποιήσει το χρόνο της ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/1 1

------

Ε υκλείδεια Διαίρεση

-------

γυμναστικής, φώναξε τους μαθητές κοντά του και έγραψε στον πίνακα 2 προβλήματα Παρότρυνε δε τους μαθητές να τα λύσουν. Πρόβλη μα 1

Αν διαιρέσουμε ένα αριθμό δια του 5, ποια είναι τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης; Αθηνά σήκωσε το χέρι της και λέει στο Μαθηματικό: «Κύριε αν γράψουμε τον τύπο της Ευκλείδειας Διαίρεσης Δ = δ•π+ υ , αυτό που γνωρίζουμε είναι ότι το δ = 5 . Η ισότητα λοιπόν γίνεται Δ = 5 •π+ υ . Επιπλέον μας είπατε χθες στο μάθημα των μαθηματικών ότι το Ο:::;υ; <δ, άρα οι τιμές που μπορεί να πάρει το υπόλοιπο είναι 0, 1 ,2,3,4». Ο Μαθηματικός στράφηκε στην Αθηνά και της έδωσε συγχαρητήρια. Η

Πρό βλημα 2

Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ του 1 00 και 1 50, οι οποίοι όταν διαιρεθούν με το 32 αφήνουν υπόλοιπο 8 Επί πέντε λεπτά επικρατούσε απόλυτη ησυχία και κανένας μαθητής δεν σήκωσε το χέρι του, οπότε παρεμβαίνει ο Μαθηματικός και λέει στους μαθητές , ότι το πρόβλημα φαίνεται ότι είναι σχετικά δύσκολο και οι μαθητές είναι δικαιολογημένοι ,γιατι δεν έχουν μαζί τους χαρτί και μολύβι ούτε και θρανίο για να ακουμπήσουν ,προκειμένου να δραστηριοποιήσουν τη σκέψη τους και έτσι αποφάσισε να λύσει μόνος του το πρόβλημα. Κάθε ένα.; α..-τό τοιλ; αριθμούς που ζητάμε σύμφωνα με την Ευκλείδεια διαίρεση γράφεται :\ 3: :t-8. όχου Α είναι ο αριθμός ή οι αριθμοί που ζητάμε. π είναι το πηλίκο της διαίρεσης. --\Υ σtη\' ισότητα τη.; Ευκλείδεια.; διαίρεσης βάλουμε π = 1 τότε έχουμε Α = 32 •1+8 = 40 αριθμό; ειcrό; ορίων 100 -1 50. Αν π=2 , Α = 32•2+8 =72 εκτός ορίων. Αν π = 3 , Α= 32•3..,..8 = 104 .Αριθμός εντός ορίων και γίνεται δεκτός. Αν π = 4 , Α = 32•4+8 = 136 αριθμός εντός ορίων ιcαι γίνεται δεκτός. Αν π=5 , Α = 32•5+8 = 168 , αριθμός εκτός ορίων και δεν -yίνεται δεκτός. Σύμπέρασμα οι αριθμοί τους οποίους ζητάμε είναι οι 1 04 και 1 36 .. Ο Μαθηματικός με την ευκαιρία αυτή γράφει στον πίνακα 5 προβλήματα και παροτρύνει τους μαθητές να τα λύσουν (όποιος θέλει) και να τα φέρουν στο επόμενο μάθημα μαθηματικών. =

•

Πρόβλη μα 1 .

Με τη χρήση της Ευκλείδειας Διαίρεσης, να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς, οι οποίοι όταν διαιρεθούν με το 3 δίνουν πηλίκο 1 1 . Π ρόβλη μα 2

Σήμερα είναι 2 Νοεμβρίου ημέρα Τετάρτη και έχει γενέθλια η Ελεάνα. Ποια μέρα της εβδομάδας είναι η 28 Δεκεμβρίου του ίδιου έτους που έχει γενέθλια η ξαδέλφη της η Αθηνά. Πρόβλη μα 3

Δίνεται η Ευκλείδεια διαίρεση 193 = 12•χ + 13 Να βρεθεί ποιος είναι ο διαιρέτης και ποιο είναι το πηλίκο. Πρόβλη μα 4

Δίνονται δύο φυσικοί αριθμοί οι 540 και 420. Να βρεθεί ο μεγαλύτερος αριθμός με τον οποίο αν διαιρεθούν οι παραπάνω αριθμοί θα προκύψουν υπόλοιπα διαίρεσης οι αριθμοί 40 και 20 αντίστοιχα. Πρόβλη μα 5

Δείξτε ότι αν οι αριθμοί χ, y διαιρούμενοι με 3 αφήνουν υπόλοιπο 1 και 2 αντίστοιχα, τότε το άθροισμά τους θα είναι πολλαπλάσιο του 3. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/12

Ε ισαyωyή στις βασικές έννο ιες της yεωμετρίας =======

Σε ένα από τα τεύχη του περιοδικού Popular Me chanics, τη χρονιά 1 9 1 3, δημοσιεύτηκε το σκίτσο που βλέπεις. Πώς σου φαί νονται τα πόδια των δύο κυρίων; Είναι ίσια ή μήπως είναι στραβά; Είσαι σίγου ρος/η για την απάντηση που έδωσες; Μήπως, όποια και αν είναι η απάντηση, θα πρέπει να ελεγχθεί; Και με ποιο τρόπο μπορεί να γίνει αυτός ο έ'λ.εγχος; Το ερώτημα που τέ θηκε είναι πολύ σημαντικό για τη γεωμετρία. Το πραγματικό ερώτημα είναι: Οι γραμμές που ορίζουν τα περιγράμματα των ποδιών εί ναι καμπύλες ή ευθείες; Και το ερώτημα που προκύπτει άμεσα είναι: Υπάρχει κάποιο γεω μετρικό όργανο που μπορεί να μας βοηθήσει να απαντήσουμε; Ας χρησιμοποιήσουμε ακόμα ένα σχήμα, που δεν είναι σκίτσο, αλλά αποτελείται από μερικά από τα πιο συνηθισμένα γεωμε τρικά αντικείμενα: Σημεία, ευθείες, ημιευθείες και ευθύ γραμμα τμήματα. Οι σκού ρες κατακόρυφες γραμμές θυμίζουν τα περιγράμματα των ποδιών των δύο κυρίων του σκίτσου, έτσι δεν είναι; Ας ε πιστρέψουμε λοιπόν στα ερωτήματα που θέ σαμε πιο πάνω και ας επιχειρήσουμε να πά ρουμε απαντήσεις από το σχήμα αυτό. Ξεκι νάμε από το δεύτερο ερώτημα. Υπάρχει γεω μετρικό όργανο με τη βοήθεια του οποίου να μπορούμε να αποφασίσουμε αν μια γραμμή είναι ευθεία; Πολύ σωστά. Υπάρχει και είναι ο κανόνας (ένας χάρακας χωρίς μονάδες μέτρη σης) ή ένας απλός χάρακας. Και πώς μπορού με να αποφασίσουμε αν μια γραμμή είναι ευ θεία; Αρχικά, θα επιλέξουμε δύο σημεία της. Στη συνέχεια, θα τοποθετήσουμε το χάρακα με τέτοιο τρόπο ώστε τα δύο σημεία να βρί σκονται ακριβώς πάνω στην ακμή του και θα ελέγξουμε αν η γραμμή ακολουθεί την ακμή του χάρακα. Αν κάποιο μέρος της απομακρύ νεται από την κόψη του, τότε η γραμμή δεν εί-

Δ. Π αλαιογιαννίδης

ναι ευθεία. Χρησιμοποίησε λοιπόν τώρα έναν χάρακα για να aποφασίσεις αν οι δύο κατακό ρυφες τονισμένες γραμμές είναι ευθείες. Κάνε το ίδιο για τις νοητές γραμμές που ορίζουν τα περιγράμματα των ποδιών των δύο κυρίων. Πώς σου φαίνεται το αποτέ'λ.εσμα του ελέγχου που έκανες; Στο δεύτερο σκίτσο, όπως είπαμε, έχουμε χρησιμοποιήσει τα πιο απλά γεωμετρικά αντι κείμενα: Σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ευθεί ες και ημιευθείες. Αναγνωρίζεις ένα σημείο στο σκίτσο; Μπορείς να περιγράψεις χρησιμο ποιώντας τη διαίσθησή σου και τις αισθήσεις σου τι είναι ένα σημείο; Μπορούμε να έχουμε πολλές διαφορετικές απαντήσεις: Η μύτη ενός καλά ξυσμένου μολυβιού, η μύτη μιας καρφί τσας, μια μικρή κουκκίδα στο χαρτί που δημι ουργήσαμε ακουμπώντας πάνω του το μολύβι μας και πολλές άλλες. Κάθε σημείο το ονομά ζουμε με ένα κεφαλαίο γράμμα του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου. Σημείωσε τώρα πάνω σε ένα χαρτί δύο σημεία Α και Β. Με τη βοήθεια ενός χάρακα προσπάθησε να ενώσεις τα σημεία αυτά. Ξέ ρεις ποιο είναι το γεωμετρικό ανnκείμενο που δημιούργησες; Μόλις κατασκεύασες το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα σημεία Α και Β. Συνή θως για να ονομάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα χρησιμοποιούμε τα ο νόματα των δύο άκρων του. Πώς ονομάζεται λοιπόν το ευθύγραμμο τμήμα που κατασκεύα σες; Σωστά, ονομάζεται ΑΒ. Ας κάνουμε τώρα κάτι άλλο. Μπορείς να προεκτείνεις το ευθύγραμμο �F?:---_f τμήμα ΑΒ και προς τις :. ::·:--- - δύο κατευθύνσεις; Ποιο είναι το γεωμετρικό αντι κείμενο που προκύπτει αυτή τη φορά; Είναι μια ευθεία. Μπορείς να προεκτείνεις την ευ θεία συνέχεια ή θα σταματήσει κάπου; Μπο� ______--!- ρείς να την προεκτεί χ� - \.:.: :.- νεις, έστω και νοητά, αακόμα και έξω από το χαρτί σου. Έχει λοιπόν η ευθεία άκρα όπως το Α

________

·. ·

.·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/13

..,

------ Εισαγωγή Στις βασικές έννοιες της γεωμετρίας

ευθύγραμμο τμήμα; Όχι, μια ευθεία δεν έχει ά1Cρα. Δεν έχει αρχή ούτε τέλος. Εκτείνεται απεριόριστα. Και πώς μπορούμε να την ονο μάσουμε; Με ένα μικρό γράμμα του ελληνι κού ή του λατινικού αλφάβητου, για παρά δειγμα η ευθεία ε ή η ευθεία α ή η ευθεία c. Μπορούμε όμως να την ονομάσουμε χρησιμο ποιώντας τα ονόματα δύο σημείων της. Για παράδειγμα, η ευθεία ΑΒ. Μπορούμε ακόμα να ονομάσουμε μια ευθεία με ένα μικρό γράμμα, συνήθως από τα τελευ ταία του αλφάβητου, και το ίδιο γράμμα με τόνο. Για παράδειγμα, στο διπλανό σχήμα βλέπουμε την ευθεία χ ' χ. Και αν προεκτείνεις το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μόνο προς τη μια κατεύθυνση, ας πούμε προς την πλευρά του σημείου Β; Τότε έχεις κατα σκευάσει την ημιευθεία ΑΒ, δηλαδή την ημι ευθεία με αρχή το σημείο Α η οποία περιέχει το σημείο Β . Δοκίμασε να την κατασκευάσεις μόνος'η στο χαρτί. όπω; και την η μιευθεία που έχει αpzή το σημείο Β και περιέχει το Α, δηί.α δή την η μιευθ εία ΒΑ. \f;ωpούμε επίση; να ονομάσουμε μια ημιευ το όνομα τη; αρχής της και ένα μικρό θεία σm-ήθως από τα τελευταία του αλφά : α παράδειγμα χ ή ψ ή χ ' . Δηλαδή η ιευθεία ΑΒ του διπλανού σχήματος μπο ρεί να ονομαστεί και Αχ όπως και η ημιεύθεία ΒΑ μπορεί να ο νομαστεί Βχ ' . Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι μια ημιευθεία έχει αρχή αλλά δεν έχει τέ λος. Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε μια ευθεία χ ' χ και ένα σημείο της Ο. Το σημείο Ο χωρίζει την ευθεία χ 'χ σε δύο ημιευθείες, την Οχ ' και την Οχ. Σε αυτή την περίπτωση οι δύο ημιευ θείες λέγονται αντι/ ___-1. κείμενες ημιευθείες. χ�:� Δηλαδή δυο ημιευθείες είναι αντικείμενες όταν έχουν κοινή αρ χή, βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία και δεν έχουν άλλο κοινό σημείο εκτός της αρχής τους. Και τώρα ήλθε η ώρα για λίγη δράση. Κατα σκεύασε μια ημιευθrία Οχ. Προσπάθησε να κατασκευάσεις την αντικείμενη ημιευθεία της. ·

�

•

------

Τα κατάφερες; Πώς έκανες την κατασκευή; Σωστά. Προεκτείνουμε την ημιευθεία προς την πλευρά της αρχής της. Η παρακάτω εικόνα είναι ένας πίνακας του διάσημου ζωγράφου Pablo Picasso που λέγε ται «Οι τρεις μουσικοί». Μπορείς να βρεις αρ κετά από τα αντικείμενα με τα οποία ασχολη θήκαμε μέχρι τώρα στον πίνακα αυτό. Αυτό που τώρα μας ενδιαφέ ρει είναι η · επιφάνεια που φαίνεται να υπάρχει μπροστά από τον μουσικό που κάθεται στην αριστε ρή πλευρά του πίνακα. Η επιφάνεια αυτή, όπως και οι επιφάνειες των τοίχων που φαίνονται πίσω και δεξιά από τους μουσικούς μας δίνουν την αίσθηση του επίπε δου. Προσοχή όμως! Ένα επίπεδο δεν τελειώ νει και δεν περικλείεται από συγκεκριμένες γραμμές. Προεκτείνεται ατελείωτα προς ο ποιαδήποτε κατεύθυνσή του. Δεν έχει αρχή, δεν έχει τέλος, δεν έχει όρια που να το περιο ρίζουν από πουθενά. Φαντάσου τώρα ένα επί πεδο και μια ευθεία που περιέχεται σε αυτό. Τότε η ευθεία εφαρμόζει πάνω στο επίπεδο όπως και να την τοποθετήσουμε πάνω του. Ακριβώς μια τέτοια επιφάνεια μπορούμε να φανταζόμαστε ως επίπεδο. Στην εικόνα που ακολουθεί βλέπεις έναν άλλο πίνακα ζωραφικής. Αυτή τη φορά είναι ένα έργο του ζωγράφου Wassily Kandinsky . Μπο ρείς να δεις γεωμετρικά αντικείμενα με τα ο ποία έχουμε ήδη ασχοληθεί; Ποια είναι αυτά; Βλέπεις ακόμα στον πίνακα μια γραμμή που αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα και τον διατρέχει ξεκινώντας από την πάνω αριστερή γωνία του και καταλήγοντας στην πάνω δεξιά γωνία; Ξέρεις πώς λέγεται μια τέτοια γραμμή που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία; Λέγεται τεθλασμένη γραμμή. Τα ευθύγραμμα τμήματα από τα οποία αποτελείται λέγονται πλευρές της. Τα άκρα των ευθυγράμμων από τα οποία αποτελείται η τεθλασμένη λέγονται

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ. Ι/14

------ Ε ισαγωγή Στις βασικές έννοιες της γεωμετρίας

κορυφές της. Το σημεία από το οποία ξεκινάει και καταλήγει η γραμμή λέγονται άκρα της τε θλασμένης. Προσπάθησε τώρα να φτιάξεις στο χαρτί σου μια τέτοια γραμμή. Πρόσεξε όμως. Δεν θα φτιάξεις μια οποιαδήποτε τεθλασμένη. Η γραμμή που θα κατασκευάσεις πρέπει να έχει την εξής ιδιότητα: Αν προεκτείνεις μια οποια δήποτε πλευρά της, όλες οι άλλες πλευρές θα μένουν στην ίδια μεριά της προέκτασης. Μια τέτοια τεθλασμένη γραμμή λέγεται κυρτή. Υπάρχουν στον πίνα κα του Kandinsky κλει στές τεθλασμένες γραμ μές, δηλαδή τεθλασμένες στις οποίες τα δύο άκρα συμπίπτουν; Ξέρεις πώς λέγονται τέτοιες γραμμές; Λέγονται σχήματα. Βρες μερικά σχήματα πρώτα στον πίνακα του Kandin sky και μετά στον πίνακα του Picasso που βλέπεις παρακάτω. Μπορείς να ονομάσεις με ρικά από τα σχήματα αυτά; Εκτός από τεθλασμένες γραμμές και ευ θύγραμμα σχήματα στους δύο πίνακες υπάρ χουν και γραμμές που δεν είναι ευ θύγραμμες. Μπο ρείς να ανακαλύ ψεις κάποιες από αυτές; Σου θυμί ζουν κάποιο άλλο γεωμετρικό αντι κείμενο με το οποίο δεν έχουμε ασχοληθεί α κόμα; Ποιο είναι αυτό; Να ένας ακόμα πίνακας του Kandinsky. Και σε αυτόν μπορείς να δεις κάποια από τα αντι κείμενα που είδαμε μέχρι εδώ. Μπορείς να δεις όμως και ένα ακόμα γεωμετρι κό αντικείμενο, τη γωνία. Ανα γνωρίζεις μια χα ρακτηριστική γω νία στον πίνακα; Μπορείς να βρεις και άλλες; Τι ακριβώς όμως εννοούμε όταν χρησιμοποιούμε τον όρο γωνία; Είναι μόνο οι δύο ημιευθείες που έχουν κοινή αρχή και την

------

σχηματίζουν; Μήπως δεν είναι μόνο αυτές αλ λά και τα σημεία του επιπέδου που φαίνονται στον πίνακα χρωματισμένα με πιο έντονο χρώμα; Προσπάθησε τώρα να απαντήσεις στις ερωτήσεις που ακολουθούν επιχειρώντας να δικαιολογήσεις τις απαντήσεις σου: Έχει η γωνία όρια ή μήπως δεν περιορίζεται; Είναι μια γωνία σχήμα; Ασκήσε ις

Πάρε ένα σημείο Α. Να κατασκευ άσεις πέντε ευθείες που διέρχονται από το Α . Πόσες ακόμα τέτοιες ευθείες μπορείς να γράψεις; Πάρε, τώρα, ακόμα ένα σημείο Β. Πόσες από τις ευθείες που διέρχονται από το Α διέρχονται και από το σημείο Β;

Σημείωσε σε ένα φύλλο χαρτί τρία σημεία Α, Β και Γ που να μην βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Να χαράξεις όλα τα ευ θύγραμμα τμήματα που έχουν άκρα τα Α, Β και Γ και να τα ονομάσεις. Κάνε το ίδιο με τις ευθείες και τις ημιευθείες που ορί ζονται.

Να σχεδιάσεις μια ευθεία ε και τρία ση μεία της Α, Β, Γ. Να ονομάσεις όλες τις ημιευθείες που ορίζονται. Ποιες από αυ τές είναι αντικείμενες ημιευθείες;

Να σημειώσεις σε ένα φύλλο χαρτί τέσ σερα σημεία Α, Β, Γ, Δ που ανά τρία δεν είναι συνευθειακά. Να χαράξεις όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν άκρα τα παραπάνω σημεία και να τα ονομάσεις.

Στο διπλανό σχήμα μπορείς να δεις ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ.

Να ονομάσεις τις πλευρές του. Να χαράξεις τις διαγωνίους του και να τις ονομάσεις. γ) Να χαράξεις και να ονομάσεις όλες τις ημιευθείες που ορί ζονται. Να βρεις ποι ες από αυτές είναι αντικείμενες ημιευθείες. α) β)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/15

Παράλληλες ευβι:ίες που τέμνοντα ι από ι:uθι:ια Άθρο ισμα yωv ιωv τρ ιyωvοu. '

μ ι α άλλη

Αθανασία Κυ ρ ιακοπούλου

======

Στο προηγούμενο τεύχος είχαμε αναφερθεί Οι παρ άλληλες ευθείες είναι οι ει και ε2 και η στη σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο. διακεκο μμένη ευθεία είναι η ε η οποία τέμνει Τώρα, θα ασχοληθούμε με τη θέση τριών τις άλλες δύο. Τότε, η ευθεία ε λέγεται ευθειών στο ίδιο επίπεδο: τέμνουσα των παραλλήλων ευθειών. Στο παρακάνω σχήμα δημιουργούνται 8 Α ναφερ όμ αστε σε διαφ ορετικές ευ θείες (όχι γωνίες, τις οποίες θα μπορούσαμε να δηλαδή σε ευ θείες που να ταυτίζο ντα ι . χωρίσουμε σε 2 ομάδες. Την 1 η ομάδα αποτελούν οι γωνίες α, β, γ, δ με άθροισμα : α+β+γ+δ=360° και τη 2η ομάδα αποτελούν οι γωνίες κ, λ, μ, ν με άθροισμα ε+ζ+η+θ=360°. ε '

(Α)

·'

---

-----

β,'α

ει

γ, ' δ

--------------

λ 'κ

(Γ

(Δ) - -έ

Ο.

ευ

ή ,; ) Β : Οι δύο

·a 'ο .

είναι :

�ίε; τέμνονται ανά δύο. (3

ευθείες είναι παράλληλες και μία άλλη ευθεία τέμνει αυτές τις παράλληλες - θα αναφερθούμε παρακάτω γι ' αυτήν τη ν περ ίπτωση -. (2 σημεία τομής) Σχή μα (Γ) : Τέμνονται και οι τρεις σε ένα σημείο. Τότε λέμε ότι οι ευθείες συντ ρέχουν . Σχή μα (Δ) : Οι ευθείες είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους. (κανένα σημείο τομής) Π αρατή ρηση : Σε περίπτωση που έχουμε 2 παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 και μια τρίτη ευθεία ε που τέμνει την ε1 , τότε αναγκαστικά η ευθεία ε θα τέμνει και την ε2 . Σύμφωνα με την παραπάνω παρατήρηση, ένα αντίστοιχο σχήμα θα είναι αυτό: /

Τώρα, θα ονομάσουμε τις παραπάνω γωνίες ανά ζεύγη γωνιών. Η μία γωνία θα ανήκει στην 1 η ομάδα και η άλλη γωνία στην 2η ομάδα.

Η διαδ ικασία ε ίναι η εξής: 1.

Οι παράλληλες ε 1 και ε2 δημιουργούν τις εξής περιοχές: Η μία περιοχή είναι αυτή που βρίσκεται εντός των παραλλήλων ευθειών και η άλλη περιοχή (γκρι) είναι αυτή που βρίσκεται εκτό ς: ,

___

λ /κ

�

ε/

/ ----....,C..-- - · --ε1 / / / /

ε2

;,/

β /α

�

ε1

δ ε�

Αν

και οι δύο γωνίες βρίσκονται μεταξύ των παραλλήλων, τότε τις λέμε

εντός .

Αν και οι δύο γωνίες βρίσκονται εκτός των παραλλήλων (στον γαλάζιο χώρο), τότε τις λέμε εκτός. Αν η μία γωνία βρίσκεται μεταξύ των παραλλήλων και η άλλη εκτός των παραλλήλων (γκρι περιοχή) , τότε τις λέμε εντός εκτός.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/16

----

Παρ άλληλες ευ θ ε�ς που τέμνονται

αχό p.ια

2. Η

άλλη ευθ εία - Άθ ροισμα γωνιών τριγώνου .

---

τέμνουσα ε χωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα, το Ηι και το Η2. Αν και οι δύο γωνίες βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο (είτε στο Η 1 , είτε στο Η2), τότε Δηλαδή, στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τις λέμε επί τ' αυτά. Αν όμως βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα (η μία στο Ηι τα εξής «Ζ>> με τις αντίστοιχες εφεξή � γωνίες: _ε_ . - και η άλλη Η2), τότε λέγοντα� εναλλάξ.

-�:/

β /α

ει

?' δ

/κ

�/ '11

ε: ε

Επομένως, προκύπτουν οι εξής ονομασίες: ./ Οι γωνίες α και λ λέγονται εντός εκτός

. - ·

εναλλάξ .

Οι γωνίες α και κ λέγονται εντός εκτός κι

επί τ' αυτά.

Στην εικόνα 1 , εύκολα διαπιστώνουμε ότι Οι γωνίες α και μ λέγονται εκτός εναλλάξ. οι εντός κι επί τ' αυτά γωνίες είναι ./ Οι γωνίες α και ν λέγονται εκτός κι επί τ' παραπληρωματικές. Δηλαδή ω+φ= 1 80°. αυτά. Για να μπορούμε να βρίσκουμε εύκολα τις ./ Οι γωνίες γ και κ λέγονται εντό ς εν αλλάξ. εντός κι επί τ' αυτά γωνίες που ./ Οι γωνίες γ και λ λέγονται εντός κι επί τ' σχηματίζονται σε κάποιο σχήμα, προσπαθούμε αυτά. να εντοπίζουμε ένα μέρος ενός ./ Οι γωνίες γ και μ λέγονται εντό ς εκτός κι παραλληλογράμμου, ως εξής: ./

επί τ' αυτά .

Οι γωνίες

εναλλάξ.

και

λέγονται

εντό ς εκτός

Όταν μία ευθεία ε (τέμνουσα) τέμνει δύο Αν «κόψουμε» το παραπάνω ευθείες εz, ε2, με ε ι ll ε2 (δηλαδή οι εz, ε2 είναι παραλληλόγραμμο, θα δημιουργηθούν τα εξής μεταξύ τους παράλληλες) (Εικόνα 1), τότε δύο σχήματα: σχηματίζονται δύο ζεύγη εντός εναλλάξ γωνιών. Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

\ξΥ

�

ει

σ=λ

ρ= κ

ε:

Ε ικόνα 1

Οι παραπάνω γωνίες ω και φ είναι εντός κι επί τ' αυτά και είναι παραπληρωματικές.

Για να μπορούμε να εντοπίζουμε εύκολα τις Ά θ ρ ο ισμα γ ων ι ών τ ριγ ών ου . εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται σε Με ένα χάρακα φτιάξτε ένα τυχαίο κάποιο σχήμα, προσπαθούμε να βλέπουμε ένα τρίγωνό: «Ζ» ή κάποιον αντικατοπτριqμό του: I

�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.1/1 7

---- Παρ άλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευ θεία - Άθ ροισμα γωνιών τριγώνου. ---

Στη συνέχεια ονομάστε κάθε γωνία με τους Στη συγκεκριμένη περίπτωση, δεν υπάρχει αριθμούς 1 , 2 και 3, όπως στο επόμενο σχήμα: τρίγωνο (στην Ευκλείδεια Γεω μετρία) που να μην έχει άθροισμα γωνιών Ι 80°, αλλά για να αποδείξουμε τη γενίκευση, δεν αρκεί να ελέγξουμε ν αριθμό τριγώνων. Προκειμένου να γενικεύσουμε τον παραπάνω Με ένα ψαλίδι κόψτε τις τρεις αυτές γωνίες: ισχυρισμό (ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι Ι 80°), χρειάζεται μια από δειξη, η οποία αφορά όλα τα τρίγωνα:

�

Έστω τρίγωνο ΑΒ Γ. Θα απο δείξουμε ότι : Μ'Β +ΓΑΒ + ΑΒΓ = 180°

Τώρα θα έχετε τα εξής κομμάτια:

�Γ

�

Εφαρμόστε τις γωνίες, τη μία δίπλα στην Β άλλη, ώστε να είναι διαδοχικές. Το σχήμα σας Από το σημείο Α φέρνουμε ευθεία Χ1Χ θα μοιάζει με το επόμενο:. παράλληλη προς την ευθεία ΒΓ.

\J(f50 να φτιάξετε και

:ι:'

Δοκιμάστε άλλα τυχαία τρίγωνα. Ισόπλευρα, ισοσκελή, σκαληνά, ορθογώνια. οξυγώνι α αμβλυγώνια και ε α μόστε τι; γωνίες τους όπως π αραπ άν ω . Ε ρ τή σει..; : •

Γ Β

ναι το άθροισμα Τότε:

Ποιο παρατη ρείτε ότι εί

των γωνιών ενός τριγώνου;

•

να γενικεύσουμε και να ισχυριστούμε ότι σε όλα τα τρίγωνα το άθροισμα των γωνιών του είναι ευθεία γωνία ( 180°); Αν φτιάξετε 100 τρίγωνα και κολλήσετε τις γωνίες, τη μία δίπλα στην άλλη, όπως · παραπάνω και σας βγει σε όλες τις περιπτώσεις το άθροισμα ευθεία γωνία, αυτό θα σημαίνει ότι θα συμβεί το ίδιο και στο 10 1° τρίγωνο; Αν φτιάξετε Ι 000 τρίγωνα και κολλήσετε τις γωνίες τη μία δίπλα στην άλλη, όπως παραπάνω ·και σας βγει σε όλες τις περιπτώσεις το άθροισμα ευθεία γωνία, αυτό θα σημαίνει ότι θα συμβεί το ίδιο και στο Ι 00 Ι τρίγωνο; Αν βρίσκατε ένα μόνο τρίγωνο, για το οποίο δεν ισχύει ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι Ι 80°, τότε αυτό θα απέρριπτε τη γενίκευση. Αυτό λέγεται aντιπα ρ άδειγμα . Το aντιπαράδειγμα, λοιπόν, αρκεί για να αποδείξει ότι ένας ισχυρισμός είναι ψευδής. •

Τώρα, μπορούμε

•

ΒΑχ ΑΒΓ ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων Χ1χ iΙ ΒΓ με τέμνουσα την ΑΒ. χ'ΑΓ Af'B ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων Χ1χ iΙ ΒΓ με τέμνουσα την ΑΓ. =

Γνωρίζουμε ότι χ'ΑΓ + ΓΑΒ + ΒΑχ Άρα: Αf'Β +ΓΑΒ + ΑΒΓ 180°

•

180°

Εφα ρμογή 1 . Δύ ο ευθείες τέμνονται και η μια από τις γωνίες που σχηματίζονται είναι 30°. Να υπολογίσετε τις άλλες τ ρ εις γωνίες. Υ

•

' χ Ι

' y

Λύση : •

γωνία χ 1 όy 30° , αφού είναι ίση με τη γωνία χόy 30° ως κατακορυφήν γωνίες. Η γωνία x ' Oy Ι 50° ως παραπληρωματική της γωνίας χόy 30° . Η

1 =

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93

τ.Ι/18

----

Πα ρ άλλη λες ευ θ είες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία - Άθ ροισμα γωνιών τρ ιγώνου.

---

Ένας άνθρωπος στέκεται στο σημείο Α γωνία y 'όχ = 1 50° , αφού είναι ίση με τη κοιτώντας προς το Γ και θα περπατήσει πάνω γωνία χ ' όy = 1 50° ως κατακορυφήν γωνίες στις πλευρές ΑΓ, ΓΒ, ΒΑ, φτάνοντας ξανά Σχημ ατικ ά : στην ίδια θέση στο Α, κοιτώντας προς το Γ. Ας βρούμε πόσες μοίρες θα στρίψει: Πηγαίνοντας από το Α στο Γ, δεν στρίβει καθόλου. Η

•

Ε φ αρ μ ογή 2 .

Στο διπλανό σχήμα, ΑΒ=ΑΓ και ΒΓΙΙΔΕ. Να υπολογιστούν οι γωνίες:

Όταν φτάσει στο σημείο Γ, για να προχωρήσει προς το σημείο Β, θα πρέπει να στρίψει 1 80° - Γ , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

�

•

z = ΒΓΕ ,

•

w = ΓΕΔ ,

•

_ν = ΒΔΕ ,

•

χ = ΒΑΓ .

Λύση. •

•

γωνία z = Β fΈ είναι παραπληρωματική της Β ΓΑ , η οποία είναι ίση με την ΑΒΓ (αφού =60° ΑΒ=ΑΓ). Άρα, z = 1 80° - Bf'A = 1 80° - 60° = 1 20° . Η γωνία w = ΓΕΔ είναι παραπληρωματική της γωνίας z, ως εντός κι επί τ' αυτά μέρη των παραλλήλων ευθειών ΒΓ και ΔΕ με τέμνουσα την ΓΕ. Άρα, w = 1 80° z = 1 80° - 1 20° = 60° . Η γωνία y = Β ΔΕ είναι ίση με την ΑΒΓ =60°, ως εντός εκτός και επί τ ' αυτά μέρη των παραλλήλων ευθειών ΒΓ και ΔΕ με τέμνουσα την ΒΔ . Άρα, y = 60° . Από άθροισμα γωνιών του τριγώνου ΑΒΓ προκύπτει ότι χ = 1 80° - 60° - 60° = 60° (Παρατήρηση: Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.) Η

•

Όταν φτάσει στο σημείο Β, θα πρέπει να στρίψει 180° Β , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: -

Όταν φτάσει στο Α, για να κοιτάξει προς το σημείο Γ θα πρέπει να στρίψει 1 80° - Α , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Οπότε συνολικά θα έχει στρίψει Εφα ρμ ογή 1. Το άθροισμα των εξωτερικών (1 80° - f') + (1 80° - :8) + (1 80° - Α) = γωνιών κάθε τριγώνου είναι 360°. Ας δούμε 540° - (A + B + f') = 540° - 1 80° = 360° γιατί: Έχουμε την παρακάτω τριγωνική πλατεία. Ά σκηση 1 . Στο σχήμα της παραπάνω εφαρμογής 2, αν AB=5cm και ΓΕ= 1 cm, να βρεθεί το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΔΕ. Ά σκηση 2 . Στο παρακάτω σχήμα, ΑΒ=ΑΓ. Να δικαιολογήσετε γιατί ΑΒχ = My . Γ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/19

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία - Άθροισμα γωνιών τριγώνου.

----

---

Δ�Υ

ε llδ

Άσκηση 3 . Στα παρακάτω σχήματα, ευθείες ει και εz είναι παράλληλες (ει ll εz) .

υπολογιστούν οι άγνωστες γωνίες.

οι Να

Άσκη ση 4.

ε llδ

.Ζ'

εll δ llη ό

Άσκη ση 5.

Στο δι.-tl .ανό

Ά σκηση 8.

Να υπολογίσετε τις γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου, αν μία από αυτές είναι πενταπλάσια μιας άλλης. · Να διακρίνετε δύο περιπτώσεις.

σχήμα. να υmΙ.οyιστεί η 'roJVia ω.

Στο παρακάτω σχήμα, ΑΒIΙΓΔ και ΒΓIIΔΕ. Να υπολογιστούν τα χ καιy.

Άσκηση 9.

λσκηση 6.

Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε και η είναι παράλληλες (ε llη). ί. Να υπολογιστούν οι γωνίες α, β, γ, δ και . ίί. Να υπολογιστεί η κυρτή γωνία που σχηματίζουν οι τεμνόμενες ευθείες ε και ζ. ..

� 2χ

Να υπολογιστούν όλες οι εσωτερικές γωνίες των τριγώνων στα παρακάτω σχήματα.

Άσκηση 1 0.

Ά σκηση 7.

Στα παρακάτω σχήματα Να υπολογιστούν τα χ και y. Άσκηση 1 1 . Να βρεθεί η γωνία (οι ε · θείες ε, δ και η είναι παράλληλες) παρακάτω σχή.ματα: ' I \ I j 1 2 (1 .

ε llδ

4\1'

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/20

στα

Εξ ι σώσε ι ς Τάξη

======

Χονδρολίδη ς Δη μήτ ρης

Τα Μαθηματικά έχουν το δικό τους αλφάβητο, το οποίο χρησιμοποιούν για να διατυπώσουν τις μαθηματικές προτάσεις και θεωρίες. Μαθηματικές προτάσεις στις οποίες εμπλέκεται το σύμβολο της ισότητας ·· = ·· ονομάζονται ισότητες. Ανάλογα με τον εκθέτη στον οποίο είναι υψωμένη η μεταβλητή χ , ως προς την οποία θεωρούμε τη εξίσωση, χαρακτηρίζουμε και τον β αθμό της. Έτσι η εξίσωση 3χ - 6 = 4χ - 8 είναι π ρ ώτου βαθμού με άγνωστο την μεταβλητή χ. 3χ - 6=4χ - 8 Ό,τι είναι αριστερά του ·· = ·· λέγεται πρώτο μέλος .._.,_..

l ο μελος

Ό,τι είναι δεξιά του ·· ·· λέγεται δεύτερο μέλος Οι όροι που περιέχουν το χ λέγονται άγνωστοι ό ρ οι Οι υπόλοιποι λέγονται γνωστοί ό ροι =

.._.,_..

2ο μελος

3χ,4χ -6,-8

Για να λύσουμε μία εξίσωση (να την φέρουμε στην μορφή χ=α στηριζόμενοι στις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών) ακολουθούμε μία διαδικασία( επίλυση) με τα παρακάτω βήματα: 1 . Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών ( αν υπάρχουν) βρίσκοντας πρώτα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους ( Ε.Κ.Π). 2 . Εκτελούμε τις πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα-πολλαπλασιασμούς) προσέχοντας τα πρόσημα. 3. Υπογραμμίζουμε τους άγνωστους όρους και χωρίζουμε γνωστούς όρους από αγνώστους (έχοντας υπόψιν μας ότι, όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, αλλάζει και πρόσημο).Συνήθως τους άγνωστους όρους τους μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος και τους γνωστούς στο δεύτερο. 4. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων( aντικαθιστούμε τους όμοιους όρους με το άθροισμα τους προσέχοντας τα πρόσημα). 5. Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή του αγνώστου ,όταν ο συντελεστής είναι διαφορετικός από Ο ( * Ο ) και βρίσκουμε την λύση. Παράδειγμα 1 : Να λυθεί η εξίσωση: 3 · (χ - 1) + χ=2 · (χ - 2) + 3 Λύση

3 · (χ - 1) + χ = 2 · (χ - 2) + 3 3χ - 3+ χ = 2χ - 4+ 3 (Εκτελούμε τις πράξεις) 3χ+ χ - 2χ = -4+ 3+ 3 (Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους όρους) 2χ = 2 (Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων) 2χ 2 -=(Διαιρούμε με τον συντελεστή του άγνωστου όρου) 2 2 χ=1 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

τ.l/21

-------

Να λυθεί η εξίσωση: χ + ι _ χ = 2χ - 4 5 2

Παρ άδ ειγμα 2 : Λύ ση

χ + ι _ = 2χ -4 χ 5 2 1 Ο . χ + ι - ι Ο · χ = ι Ο · 2χ - 1 Ο · 4 2 5 5 · (χ + 1) - ι Οχ = 2 · 2χ - 40 5χ + 5 - 1 0χ = 4χ - 40 5χ - 1 Οχ - 4χ = -40 - 5 -9χ = -45 -9χ -45 -= -9 -9 χ=5

π αρα' δ ειγμα

ΑΔΥΝΑΤΗ

Οχ = -9

Λύ ση :

( Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π.(2,5)= 1 Ο και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το ι Ο) (Κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών) (Κάνουμε τις σημειωμένες πράξεις) (Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους) (Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων) (Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου)

1 3χ Να λυθεί η εξίσωση: 3 - 5χ = χ - ι - 6 3 2 3 - 5χ = χ - ι 1 3χ (Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π.(3,2,6)=6 και πολλαπλασιάζουμε 6 3 2 όλους τους όρους με το 6) 3 - 5χ χ-ι ι 3χ 6 - -- = 6 · -- - 6 απαλοιφη, παρονομαστων (Κανουμε , , ) 3 2 .6 2 · (3 - 5χ) = 3 · (χ - 1) - 1 3χ (Κάνουμε τις πράξεις) (Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους όρους) 6 - 1 Οχ = 3χ - 3 - l 3x - 1 0χ - 3χ + 1 3χ = -3 - 6 (Κάνουμε αναγωγή ομοίων)

Παράδειγμα 3 : Λύ ση :

Εξισώ σεις

χ-ι 3 χ+5 ' Να λυθει' η εξισωση: + =

W S W

x-l 3 = χ+5 +1 0 5 10

(Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π.(5, 1 0)=1 0 και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το 10) χ-1 3 χ+5 (Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών) +1 0· - = 1 0 10· 10 5 10 (Κάνουμε τις πράξεις) x-l+2·3 = x+5 (Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους όρους) x-l+6 = x+5 (Κάνουμε αναγωγή ομοίων) x-x = l-6+5 Οχ = Ο ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ή ΑΟΡΙΣΤΗ --

· --

I Στα Μαθηματικά χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις και για την επίλυση προβλημάτων

Για να λύσουμε ένα πρόβλημα ακολουθούμε την παρακάτω πορεία: Συμβολίζουμε με μια μεταβλητή ένα από τα ζητούμενα. Με την βοήθεια της μεταβλητής αυτής εκφράζουμε τα διάφορα μεγέθη που υπάρχουν στο πρόβλημα. Βρίσκουμε την ισότητα μεταξύ των μεγεθών και σχηματίζουμε εξίσωση. Λύνουμε την εξίσωση και ελέγχουμε αν η λύση ανταποκρίνεται στο πρόβλημα. Πρό βλημα 1 : Σε μία εκδρομή στον Άγιο Νικόλαο Νάουσας πήγαν συνολικά 52 μαθητές και γονείς για να δουν τους χώρους όπου πραγματοποιούνται τα καλοκαιρινά Μαθηματικά Σχολεία • •

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/22

------

Εξισ ώσεις

της Ημαθίας. Αν οι μαθητές είναι τριπλάσιοι από τους γονείς να βρεθεί πόσοι είναι οι μαθητές και πόσοι οι γονε�. Λύση : Έστω χ ήταν οι γονείς. Τότε οι μαθητές ήταν 3χ και επομένως χ + 3χ = 52 4χ = 52 4χ 52 -=4 4 χ = 1 3 Άρα 1 3 ήταν οι γονείς και 3 9 ήταν οι μαθητές. με 1 0 ερωτήσεις κάθε σωστή απάντηση βαθμολοyείτε με 5 μm-ά.δε..;

Σε ένα test ενώ για κάθε ερώτηση που δεν απαντιέται ή δίνεται σ' αυτήν λάθος απάντηση αφαιρού\'-:α; μονάδες. Ο Λευτέρης πήρε στο test 29 μονάδες. Σε πόσες απαντήσεις απάντησε σωστ ά : Λύση : Έστω σε χ ερωτήσεις απάντησε σωστά. Τότε οι λανθασμένες ήταν 1 0-χ. Οπότε από τις σωστές απαντήσεις πήρε 5χ μονάδες ενώ από τις λανθασμένες έχασε 2( 1 0-χ). Επειδή οι συνολικές μονάδες ήταν 29 έχουμε την εξίσωση Πρόβλη μα 2 :

Ασκή σε ις γι α Λύση : α)

δ) στ)

θ)

5χ - 2 · (1 0 - χ) = 29 5χ - 20 + 2χ = 29 5χ + 2χ = 29 + 20 7χ = 49 7χ 49 -=7 7 χ = 7 Οι σωστές απαντήσεις του Λευτέρη

Να λυθούν οι εξισώσεις:

ήταν 7.

:�

2 (χ + 1) 2χ - 1 - = 5 5 χ 2 3χ - 1 _ 2χ - 5 = 5 1 3- + 1- = ε) 6 4 1 5 (4χ - 3) 2-χ 3χ - 1 3 - 2χ χ - 2 1 1 1 - 2χ (3χ + 2 ) = - - 20 ζ) -- - χ = - 2 η ) - + - = -7 7 2 3 3 12 4 6χ 4 2χ - 1 3 · (χ + 1) = 3 1 3χ + 1 x+2 x _χ = + +S = + � ια) 1 ι) 3 4 3 2 3 2 7

(1 - χ) + 3 · (2χ - 1) = 7χ

�;

β)

3χ - 2 2χ - 1 = 3 6

γ)

� ( ;) � ( �)

�

Προβλή ματα 1) Αγόρασε κάποιος ένα τραπέζι κουζίνας με 4 καρέκλες και πλήρωσε 480 ευρώ. Αν το τραπέζι

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

κοστίζει όσο 2 καρέκλες να βρεθεί η τιμή κάθε καρέκλας. Ισοσκελές τρίγωνο έχει γωνία βάσης μεγαλύτερη κατά 1 5° από την γωνία κορυφής. Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου. Να βρεθούν 3 διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που έχουν άθροισμα 24. Να βρεθούν 2 αριθμοί που έχουν άθροισμα 60 και ο ένας είναι εννεαπλάσιος του άλλου. Σ ' ένα αγρόκτημα οι άνθρωποι μαζί με τα σκυλιά τους έχουν πλήθος 1 2.Αν τα πόδια τους είναι 3 8 , πόσοι είναι ο ι άνθρωποι; Ένας μαθητής Β ' Γυμνασίου είναι 14 χρονών και ο μαθηματικός του είναι 3 1 χρονών. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του καθηγητή θα είναι διπλάσια από την ηλικία του μαθητή του; Το άθροισμα των ηλικιών της Λυδίας και της μητέρας της είναι 43 .Πριν τέσσερα (4) χρόνια η Λυδία είχε το ένα τέταρτο της ηλικίας της μητέρας της. Ποια είναι η ηλικία της Λυδίας; Να βρεθούν οι ηλικίες τριών αδελφών αν η πρώτη είναι μεγαλύτερη της δεύτερης κατά τρία(3) χρόνια ,η δεύτερη είναι μεγαλύτερη της τρίτης κατά τέσσερα(4)χρόνια και το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 59 χρόνια. Σ' ένα τμήμα της Β ' Γυμνασίου οι μαθητές είναι τριπλάσιοι από τις μαθήτριες. Μία μέρα που απουσίασαν τέσσερις (4) μαθητές και τέσσερις (4) μαθήτριες οι μαθητές ήταν επταπλάσιοι από τις μαθήτριες. Πόσους μαθητές και πόσες μαθήτριες έχει το τμή μα; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/23

Αν Ι σώσε Ι ς Α 'Βα θ μο ύ

Ας

παίξουμε με τη ζυyαρ ιό!

Αθ ανασία Κυριακοπούλου

Δραστη ριότητα 1 .

μ;

α:πα:ρα:iτητες πpοϋποθiσεις:

:Άριστη yvώση ..Άyyλικώv.

:Άριστη yvώση J{j'Y.

J{ ηλικiα: της vα: εivα:ι το πολύ 25 iτη.

•

-6

·5

-4

·3

·2

·1

τι σημαίνει η τρίτη προϋπόθεση;

Η Μαρία που είναι 28 ετών, μπορεί να κάνει θέση ; συγκεκριμένη αίτηση για την

ί.

ii .

iv.

ν.

vii . χ.

Η Σοφία που είναι 23 ετών;. d. Η Πόπη που είναι 25 ετών; Αν θέσουμε ως χ την ηλικία, τότε ποια e. μαθηματική σχέση είναι σωστή : χ:::;2 5 χ>25 χ�25 χ<2 5 c.

_ _ _ _ __

Μαρία

•ου

�

ίίί. vi .

viii .

ίχ .

χί .

χίί .

xiii.

xiv.

xv .

xvi . χίχ.

xvi i .

χνίί ί .

χχ .

Δραστη ριότητα 3.

_ _ _ _ _ _

a..

-----

Δρ αστη ρ ιότητα 2.

Σημειώστε σ ε διαφορετικό, κάθε φορά, άξονα των πραγματικών αριθμών τις λύσεις των παρακάτω ανισώσεων και εξισώσεων:

..Άyyελiιχ 1. Ζητεiτα:t κοπέλα yρα:μμα:τεύς με τις εξιjς 1.

στην παραπάνω αγγελία; Τι έχετε να σχολιάσετε για τις λύσεις των ανισώσεων χ�5 και χ:::;3 ; ------

τις προάλλες, είδα σε μια εφημερίδα τις εξής περίεργες αγγελίες:

Έχουμε μια ζυγαριά και διάφορους κύβους από μόλυβδο (Pb), χρυσό (Au) και ξύλο μάζας mpb= l l ,3g, mAu= l 9,3g και

έχει ύψος 1 68 cm, μπορεί να

ιαΙνει αίτηση για την συγκεκριμένη θέση ; Η Σοφία που έχει ύψος 1 70cm; Η Πόπη τ. ου έχει ύψος 1 80cm;

b. c.

Ξύλο:

0.6g

Ξύλο:

0.6g

_ ___

Μπορείτε να σχεδιάσετε πάνω στη γραμμή τα ύψη (cm) που πρέπει να έχει η κοπέλα προκειμένου να μπορεί να κάνει αίτηση για την παραπάνω θέση ;

1 50 e.

Χρυσός: 1 9,3gΧρυσός: 1 9,3gΧρυσός: 1 9,3g

_ _ _ _

1 60

1 70

1 80

Χρυσός: 19.3gΧρυσός: 19,3gΧρυσός: 1 9,3g

190

Αν θέσουμε ως χ το ύψος σε cm, τότε ποια μαθηματική σχέση είναι σωστή : 1 70�χ 1 70<χ:::; Ι 80

χ:::; Ι 80

x< l 70

1 70:::;x< l 80

x> l 80

1 70<x< l 80

μJ ..Άy:ycli« 3. Ζητεiτα:ι πωλητιjς με εμπερiα: στο χώρο τωv

Βάλτε στη ζυγαριά όσους κύβους θέλετε, οποιουδήποτε υλικού, αρκεί η ζυγαριά να μην υγαριά: Ζω α ίστε

ι:

πωλιjσεωv. !!(ρiπει η προϋπηρεσiα: vα: εivα:ι τουλαχzστοv 5 κα:ι το πολύ 3 iτη.

1-.ι

Η Μαρία που έχει 5 έτη προϋπηρεσίας, μπορεί να κάνει αίτηση; b. Η Σοφία που έχει 2 έτη ; c. Η Πόπη που έχει 4 έτη; d. Τελικά, ποιοι μπορούν να κάνουν αίτηση a.

α η μάζα που βάλατε στο Α μέρος της ζυγαριάς. γπολογίστε το. α= (g) ίί. Έστω β η μάζα που βάλατε στο Β μέρος της ζυγαριάς. γπολογίστε το. β= (g) Σημειώστε την μαθηματική σχέση που ισχύει ί. Έστω

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/24

----

Ανισώσεις Α ' Βαθ μού Ας παίξουμε με τη ζυγαριά!

μεταξύ των α και β: α β b. Στη συνέχεια τοποθετήστε ίση μάζα κύβων ίση με γ (ότι υλικό-ά θέλετε) και στα δύο μέρη της ζυγα ιά . Ζω α ίστε τώ α

ί. Έστω

ίν. c.

α'=α+γ

β+γ=β'

Τι συμπεραίνετε; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Τώρα, αφαφέστε ίση ποσότητα μάζας δ και από τις δύο πλευρές της ζυγαριάς (όποιους κύβους θέλετε, αρκεί να f:χουν αθροιστικά ίση μάζα). ί. Έστω α " η νέα μάζα στο Α μέρος της ζυγαριάς. Υπολογίστε το.

α''=α '-δ=_g

β " η μάζα που βάλατε στο Β μέρος της ζυγαριάς. Υπολογίστε το.

ίί. Έστω

β"=β'-δ=_g.

ίίί.

Σημειώστε την μαθηματική ισχύει μεταξύ των α " και β":

ίν.

τι συμπεραίνετε; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

α '-δ

β'-δ

Δ ραστη ρ ιότη τα 4.

-β

2α 2p 3α 3β 10α 1 0_13_ α

Εδώ ζυγίζω .

. .. . . . (g)

-β

-2α -2 8 -3α -3β -10α -108

2α . . . . . . . . . . . . 2β 3α . . . . . . . . . . . . 3β

Εδώ ζυγίζω . . . . . . . . Μ

α/2 β/2 α/3 βι3 α/1 0 Β/10

α. . . . . . . . . . . .β

Ι Οα . . . . . . . . . . . . Ι Οβ Μαθηματική σιέσιι

α. . . . . . . . . . . .β α/2 . . . . . . . . . . . . β/2

Εδ ώ ζυγίζω . . . . . . . (2)

α/3 . . . . . . . . . . . . β/3 α/Ι Ο . . . . . . . . . . . . β/1 0 Μαθηματική σχέστι

-α . . . . . . . . . . . . -β -2α . . . . . . . . . . . . -2β -3α . . . . . . . . . . . . -3β - Ι Οα . . . . . . . . . . . . - Ι Οβ

α. . . . . . . . . . . .β -α/2 . . . . . . . . . . . . -β/2

-α/3 . . . . . . . . . . . . -β/3 -α/ 1 0 . . . . . . . . . . . -β/ 1 0

Δ ραστη ριότητα 5.

Η παρακάτω ζυγαριά δεν ισορροπεί! ---r\<2....., Στην Α μεριά υπάρχουν 2 κύ βοι ξύλου μάζας mΞ και 2 κυβάκια μάζας χ. Στην Β μεριά υπάρχουν 1 κύβος ξύλου μάζας mΞ και 3 κυβάκια μάζας χ . a. Μ ε τη βοήθεια του χ ν α εκφράσετε με μι!Ι σχέση ανίσωσης το γεγονός ότι η ζυγαριά δεν ισορροπεί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Να γίνει σύγκριση μεταξύ της μάζας χ και mΞ. b.

Α σκή σ εις για λύ ση .

1. 2.

Μαθηματική σχέστι

Τι συμπεραίνετε; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

σχέdη που

Ας επαναφέρουμε τη ζυγαριά έχοντας τη μάζα α στο Α μέρος και τη μάζα β στο Β μέρος. Συ_ι.ιπλι.l}ρωστε τα 4 πινακάκια:

Cυνίζω . . . .. . . . (g)

β α/(-2) β/(-2) α/(-3) β/(-3) α/(-10) β/(-1 0)

α'

η νέα μάζα στο Α μέρος της ζυγαριάς. Υπολογίστε το. α'=α+γ= g ίί. Έστω β' η μάζα που βάλατε στο Β μέρος της ζυγαριάς. Υπολογίστε το. β'=β+γ=_g ίίί. Σημειώστε την μαθηματική σχέση που ισχύει μεταξύ των α'=α+γ και β'=β+γ :

Εδώ

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί, των οποίων τα 3 /5 είναι το πολύ 3 και τα 2/7 είναι τουλάχιστον Ι . Απ. 4,5. Το διπλάσιο ενός ακέραιου ελαττωμένου κατά 5 είναι το πολύ 22 και το τριπλάσιο ενός άλλου ακέραιου αυξημένου κατά 1 3 δεν υπερβαίνει το 5 1 . Αν το άθροισμα αυτών των δύο ακεραίων είναι τουλάχιστον 25, να Απ. 13, 12. βρεθούν οι δύο αυτοί ακέραωι αριθμοί Να λυθεί το πα μα ανm

!ρ3��:στη)

χ�Ο

3. 4.

/J ,

Ο].

Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: z 2 + y2 � ο χ2 � ο Απ . x = y = z = O

5. Ο Γιάννης θέλει να κάνει μαθήματα κιθάρας. Έχει βρει 2 ωδεία. Το Ι 0 ζητά 9 1 € για εyyραφή και 1 5€ για κάθε ώρα μαθήματος. Το 2° ζητά 120€ για εyyραφή και 1 0€ για κάθε ώρα μαθήματος. Πότε συμφέρει η 2η επιλογή; Απ. Α ν κάνει τουλάχιστον 6 ώρες μάθημα. 6. Θα φτιάξουμε ένα γλυκό που θα ζυγίζει τουλάχιστον 8 κιλά, για ένα πάρτι με πολλούς καλεσμένους. Η αναλογία ζάχαρη : αλεύρι είναι Ι 3 . Πόσα κιλά αλεύρι θα χρειαστούμε; Α π. Τουλάχιστον 6 κιλά. 7. Ένα βενζινοκίνητο αυτοκίνητο έχει μέση κατανάλωση 9 λίτρα ανά Ι 00 km. Αυτοκίνητο ίδιου μοντέλου, αλλά με diesel κινητήρα είναι 3600€ ακριβότερο και καταναλώνει επίσης 9 λίτρα ανά Ι 00 km. Α ν η τιμή βενζίνης είναι Ι ,3€ ανά λίτρο και η τιμή diesel 0,9€ ανά λίτρο, πόσα km πρέπει να διανύσει το αυτοκίνητο για να συμφέρει η αγορά Α π . Ι 00.000 km. diesel; 25 8. Σε μια τάξη υπάρχουν μαθητές. Στο διαyώνισμα Μαθηματucών, το 4πλάσιο αυτών έyραψαν βαθμό 2: 10, έyραψαν βαθμό είναι μεyαλm:ερο ωtό το 3πλάσιο αυτών <1 Ο. Να βρcl}εί ο μuφόtερος δuναιόν αριθμός μαθητών Aπ. l l . που έyραψαν βαθμό 2:10.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.Ι/25

που που των των

Εμβαδά επιπέδων σχη μάτων Εξερευνήσεις με το τύπο τ ο υ PICK 'S Τ ζίφας Ν ίκος Γνωρίζετε ότι το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός , που εκφρά ζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο.

αριθμός αυτός εξαρτάται

από την μονάδα μέτρησης των επιφανειών που χρησιμοποιούμε. Για την εύρεση του εμβαδού μιας πολυγωνικής επιφάνειας υπάρχουν μέσα στο βιβλίο σας παραδείγματα όπου ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών αυτών χρησιμοποιούνται τα μικρά τε τραγωνάκια ή τριγωνάκια τετραγωνισμένου χαρτιού. Πριν περίπου εκατό χρόνια ένας aυστριακός μαθη ματικός ο Georg e Alexander ( 1 8 59για την εύρεση εμβαδού σχη μάτων

1 943) ανακάλυψε μια σχέση , γνωστή σαν τύπος του

Pick

Pick ,

που είναι τοποθετη μένα πάνω σε έναν γεωπίνακα χρησιμοποιώντας τους κόμβους του γεωπίνα κα. Ας αρχίσουμε βλέποντας πολύγωνα πάνω σε ένα γεωπίνακα. Όπως βλέπουμε οι παρακάτω γεωπίνακες περιέχουν κόμβους. Στα παρακάτω σχή ματα μετράμε τους κόμβους που βρίσκονται στο εσωτερικό του πολυγώνου και αυτούς που βρίσκονται πάνω στις πλευρές του και υπολογί ζου με τα εμβαδά σε κάθε περίπτωση χρησιμοποιώντας τους τύπους που έχουμε μάθει χωρίζο ντας τα πολύγωνα σε γνωστά σχή ματα . Ως μονάδα μέτρησης χρησιμοποιούμε το μικρότερο τε τράγωνο του γεωπίνακα.

ΠΟΛΥΓΩΝΟ Α

1 Ο ση μεία πάνω στις πλευρές 1 2 εσωτερικά ση μεία

Εμβαδόν=2.(1 .5)+9+4= 1 6

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΊ'ΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΕΜΒΑΔΩΝ ΤΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΤΟ

Ση μείω ση : •

•

Γε ωπίνακας προκύπτει αν σε τετραγ ωνισμένο χαρτί κρατή σουμε μόνο τις κορυφ ές τ ων τετραγών ων Κόμβοι είναι τα ση μεία πάνω στον γε ωπίνακα.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93

τ.

1/26

-------

Ε μ βαδά επιπέδων σχημάτων

--------

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΊ'ΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΕΜΒΑΔΩΝ ΤΩΝ ΣXHMAffiN ΤΟ

ΠΟΛΥΓΩΝΟ Β

11 11

6 σημεία πάνω στις πλευρές 1 7 εσωτερικά σημεία

Ε μ β αδόν ορ θ ογωνίου=40 εμ β αδόν πολυγώνου=4 0-1-8-2(6)=1 9

τίθεται τώρα το ερώτη μα πως οι κόμβοι που βρίσκονται στο εσωτερικό του πολυγώνου και αυτοί που βρίσκονται πάνω στις πλευρές του θα μας βοηθήσουν να βρούμε το εμβαδόν του. Υ πάρχουν ένα σωρό από πράγματα που μπορούμε να σκεφτούμε. Φαίνεται δύσκολο να βρούμε μια σχέση που θα μας βοηθήσει στην προσπάθεια αυτή . Μια σπουδαία τεχνική είναι να βάλουμε μια μεταβλητή και να δούμε πως μεταβάλλεται σε σχέση με μια άλλη . Ας δούμε την παρακάτω δραστηριότητα.

.οz7ο . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . D .... ... .. ...

Δραστηρι ό τη τα Α

�

. . . � � .

•

Ζ,---�

Βήμα 1 °

Επιβεβαιώστε ότι κάθε πολύγωνο από το Α έως

Κ έχει εμβαδόν E= l 2 .

Βήμα 2 °

Αν ονομάσουμε κ τον αριθμό των κόμβων που είναι πάνω στις πλευρές του κάθε σχή ματος

και λ τον αριθμό των κόμβων που βρίσκονται στο εσωτερικό του συμπληρώνουμε τον παρακά τω πίνακα για κάθε πολύγωνο από το Α έως

Κ.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ. 1/27

------- Ε μ β α δά

Α Πολύγωνο(Ε= 12) Αριθμός κόμβων (κ) 14 Αριθμός κόμβων (λ) 6

10 14 6 8

επιπέδων σχημάτω\' -------

Ε 10

6 10

Ι 12

Βήμα 3° Ας παραστήσουμε τα ζεύγη αυτών των σημείων σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων 20

Ζ • {8. t) Ε • (10, 8) I • (12, 7) Γ • (14, 6) Β = (10. 8) Η • (16, 5) λ = (14, 6)

ο ο

Παρατηρούμε ότι αυτά βρίσκονται όλα πάνω σε μια ευθεία της μορφής λ=ακ+β επομένως αρκεί να βρούμε τα α και β για να δούμε ποια είναι αυτή η ευθεία . Επειδή αυτή περνά από τα σημεία Κ(26,0) και Α( 14,6) έχουμε ότι : 0=2 6α+ β και 6=14α+ β οπότε από την πρώτη από αυτές έχουμε β=-26α και από την δεύτερη εξίσωση με την βοήθεια της πρώτης έχουμε 6=140: -26α οπότε 12α= -6 και α = _.!_ . Από την 2 πρώτη εξίσωση έχουμε Ο = 2 - + β ή β = 1 3 άρα η ευθεία έχει εξίσωση λ = - κ + 1 3

{ �)

�

Βήμα 4°

Ο τύπος του Pίck

Εάν Ε είναι το εμβαδόν ενός πολυγώνου που προσαρμόζεται σε έναν γεωπίνακα, κ είναι ο αριθμός των κόμβων που είναι πάνω στις πλευρές του κάθε σχήματος και λ ο αριθμός των κόμ βων που βρίσκονται στο εσωτερικό του τότε:

Ε=

..... λ + .. .. .. κ - ...... .

Επειδή στην περίπτωση μας έχουμε εμβαδόν 12 ας δούμε μήπως βγάλουμε τον τύπο του Pick από την εξίσωση της ευθείας. Πράγματι έχουμε λ = _ .!_ κ + 1 3 ή λ + .!.. κ = 12 + Ι (γράφουμε το 1 3=12+1 για να εμφανί2 2 σουμε το εμβαδόν) λ + .!.. κ - 1 = 12 ή λ + .!.. κ - 1 = Ε 2 2 Άρα ο τύπος του Pick είναι Ε = λ + .!.. κ - 1 2 Δραστηρι ό τητα

Να βρείτε εσείς τώρα τον τύπο του Pick με την βοήθεια πολυγώνων που έχουν εμβαδόν 8 ακολουθώντας την ίδια διαδικασία . ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ. 1/28

Εμβαδόν πλάγ ιου παραλληλογράμμου

Π. Αρδ α β άνη , Ε . Περυσινάκη

Στο σχολικό βιβλίο μαθαίνουμε ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με πλευρές α, ενο α * Ε μβ α δόν ορ θ ογ ωνίου = μήκος * πλάτ ος = α * β

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε ένα τύπο υπολογισμού του Εμβαδού ενός οποιουδήποτε παραλληλογράμμου με βάσεις α, β και ύψη υα, υβ αντίστοιχα.

- ---------r � :

-υβ- - - - - - - ..

\ υα

ι:.

' Ε

Μια απλή ιδέα είναι να κόψουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΖ, να το μετακινήσουμε προς τα δεξιά έτσι ώστε το Α να ταυτιστεί με το Β και η πλευρά ΑΔ με την ΒΓ. Τότε παρατηρούμε ότι σχηματίζεται ένα ορθογώνιο (γιατί;) ΖΔΓΚ με διαστάσεις την πλευρά α και το ύψος υα του πλάγιου παραλληλογράμμου. Επομένως το Εμβαδόν του πλάγιου παραλληλογράμμου = α * υα Αν όμως μετακινήσουμε το τρίγωνο ΔΕΓ ώστε το Γ να ταυτιστεί με το Β και η ΔΓ με την ΑΒ το πλάγιο παραλληλόγραμμο μετατρέπεται σε ορθογώνιο με πλευρές β, υβ (γιατί;) δηλαδή Ε μ βαδόν πλάγιου παραλλη λογρ ά μμου α * υα β * υ 11 =

τι γίνεται στη περίπτωση του παραλληλογράμμου στο διπλανό σχήμα; Παρατηρήστε ότι το ίχνος του ύψους υα είτε το φέρουμε από την κορυφή Δ, είτε από την κορυφή Γ βρίσκεται στην προέκταση

ΑΒ

και το τριγωνάκι που μεταφέραμε πριν δεν είναι όλο μέρος του παραλλη λογράμμου . της πλευράς -7 Μπορείς να δείξεις ότι ισχύει και σε αυτήν την περίπτωση ο τύΠος του Εμβαδού που βρήκαμε προηγουμένως; Αν όχι δοκίμασε τη διαδραστική εφαρμογή με το λογισμικό Geogebra στη διεύθυνση http://www. geogebratube. org/student/m 1 64683 Η ιδέα που εξετάσαμε στην αρχή, να κόψουμε δηλαδή ένα τριγωνάκι από το πι..σyιο παραλληλόγραμμο και αλλάζοντας την θέση του να πάρουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, μπορεί να εφαρμοστεί και σε αυτή την περίπτωση αλλά με ένα πιο πολύπλοκο «κόψιμο - ράψιμο», όπως περιγράφεται εδώ: http://www . geogebratube . org/student/m 1 65 5 1 8 -7 Τα παραλληλόγραμμα στο παρακάτω σχήμα έχουν ίσες βάσεις και οι ευθείες ε1, ε2 είναι παράλληλες. Μπορείς να εξετάσεις ποια άλλη σχέση έχουν τα παραλληλόγραμμα αυτά;

ε2

-7

Ένα πείραμα με τις γραμμές του τετραδίου σου: Ένωσε την αρχή της 1ης γραμμής με το τέλος της 3ης γραμμής και την αρχή της 2ης γραμμής με το τέλος της 4ης γραμμής, όπως εικονίζεται στο επόμενο σχήμα. Σχηματίστηκε έτσι ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο το οποίο αν κοπεί στις διακεκομμένες γραμμές, τα 3 κομμάτια του μπορούν να καλύψουν μια οριζόντια λουρίδα χαρτί (μεταξύ δύο διαδοχικών γραμμών του τετραδίου). Μπορείς να βρεις πώς ακριβώς γίνεται αυτό; �------�

-7

Μπορείς να σχεδιάσεις ένα άλλο πλάγιο παραλληλόγραμμο με τις γραμμές του τετραδίου σου ώστε να χρειαστεί να κοπεί σε 4 κομμάτια προκειμένου να καλύψει μια οριζόντια λουρίδα; ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/29

Θέ μ ατα γ ια δυνατο ύ ς λ ύ τες ======

Προτείνουν οι: Στέφανος Κείσογλου - Κώστας Σάλαρη ς

Θέμα 1 ° Παρατηρήστε τα παρακάτω αλγεβρικά αθροίσματα στα οποία φαίνονται οι 6 πρώτοι όροι τους καθώς και ο τελευταίος. Α = 1-2+3-4+5-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -100 Β = 2-3+4-5+6-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 1 00 Γ = 3-4+5-6+7-8 . . . . . . . . . . . . . . . . - 1 00 α) Να δημιουργήσετε τους 6 πρώτους όρους καθώς και τον τελευταίο από τα 7 επόμενα αλγεβρικά αθροίσματα Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, I, Κ ακολουθώντας τον κανόνα με τον οποίο δημιουργούνται τα τρία προηγούμενα Α, Β, Γ. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα Α+Β+Γ+Δ+Ε+Ζ+Η+Θ+Ι+Κ. Θέμα 2° α) Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακεραίους με άθροισμα 27. β) Τώρα να γράψετε τον αριθμό 3 5 σαν άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων. Ας γενικεύσουμε. Να εξηγήσετε γιατί κάθε πολλαπλάσιο του 3 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών διαδοχικών ακέραιων αριθμών.

γ)

Θέμ α

3°

ν 7 3 <Να β ρειτε , τους πρωτους , , αριθ μους <, ν που επαλη θευουν , την ανισοτητα 8 7 5 (Πρώτος ονομάζεται ο φυσικός αριθμός που έχει διαιρέτες τον εαυτό του και τη μονάδα) -

Θέμα 4° Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ aυξάνουμε το μήκος της μιας πλευράς κατά ένα ποσό και ελαττώνουμε το μήκος της διαδοχικής της πλευράς κατά το, ίδιο ποσό οπότε προκύπτει ένα ορθογώνιο. Είναι προφανές ότι η περίμετρος του νέου σχήματος, δηλαδή του ορθογωνίου παραλληλογράμμου, είναι ίση με την περίμετρο του αρχικού τετραγώνου. Το ερώτημα που τίθεται είναι τι συμβαίνει με το εμβαδόν καθώς πολλοί συμμαθητές σας θεωρούν λογικό ότι και το εμβαδόν παραμένει το ίδιο! ! Μπορείτε να απαντήσετε τεκμηριωμένα τι θα συμβεί με το εμβαδόν;

D==>

Θέμα 5° Το σημείο Μ είναι εσωτ;ερικό του τετραγώνου ΑΒΓΔ και είναι γνωστές οι αποστάσεις του από τις κορυφές Β, Γ, Δ όπως φαίνεται στο σχήμα. Να επινοήσετε μία στρατηγική για τον υπολογισμό της απόστασης ΜΑ και να την εφαρμόσετε.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/30

Μονώνυμα Τάξη

=====

Σταυρούλα Αλαφάκη

Τι είναι ένα μονώνυμο; βρίσκεται στην ανηγμένη του μορφή. Για να aποσαφηνίσουμε την έννοια αυτή Φέρνουμε πάντα το μονώνυμο στην α πρώτα θα την ορίσουμε και μετά θα δώσουμε νηγμένη του μορφή και μετά προχωράμε στη παραδείγματα. μελέτη του ή σε πράξεις με άλλα μονώνυμα� Ο ρισμό ς: Κάθε αλγεβρική παράσταση που Ανηγμένη ΣυντεΚύριο Μονώνυμο περιέχει μόνο την πράξη του πολλαπλασια ιιέρος μορ φή λεστής σμού λέγεται μονώνυμο . 1 2 5 2 5 2 -κ μ κ μ 5μ - κ Ας αναλύσουμε λίγο τον ορισμό: 2 2 2 � Είναι μία αλγεβρική παράσταση με έναν 2 J3 χ4ψ 2x J3 χ3ψ 2 J3 2 J3 χ4ψ όρο. 3ψ2(χ2)4ψ 3 χδψj 3 ΧΗψ3 � Το μονώνυμο είναι γινόμενο στα θ ερών και Ο εκθέτης κάθε διαφορετικής μεταβλητής μεταβλητών. λέγεται βαθ μός του μονωνύμου ως προς τη � Οι μεταβλητές πρέπει να έχουν εκθέτη μεταβλητή αυτή. φυσικό αριθμό. Μελετήστε τον παρακάτω πί Το άθροισμα των εκθετών όλων των μετα νακα: βλητών λέγεται βαθ μός του μονωνύμου ως ΧΑΡΑΚΤΗΠΑΡΆΣΤΑΣΗ ΑΙτΙΑ προς το γινόμενο των μεταβλητών. ΡΙΣΜΟΣ Κάθε αριθ μός μπορεί να θεωρηθεί μονώνυ Δεν είναι Έχει δύο χψ+2 αβ μονώνυμο όρους μο . Λέγεται σταθερό μονώνυμο και είναι βαθ I

3 α2

4χ2

./Ψ

J5χ3 ψ5 _!_ α2 β 2

Δεν είναι

3 α2

μονώνυμο

= 3 α2 β-3 ,

αρνητικός εκθέτης

Δεν είναι μονώνυμο

4χ2

�ψ

=4χ2ψ 112 ,

κλασματικός εκθέτης

Είναι μονώνυμο Είναι μονώνυμο

μού Ο .

Το Ο συγκεκριμένα λέγεται μη δενικό νώνυμο και ορίζουμε πως δεν έχει βαθ μό. Μονώνυμο

-7 χψ 2χ2ψχ3 3ψ 3 χ2(χψ2)3 -4χ

Ανηγμένη μορφή

Βαθμός ως προς χ

-4χ 5

5 5 1 ο

-2χψ 6'Χ5Ψ2 6 3 χ 5ψ

Βαθμός ως προς ψ 1

2 6

ο ο

μο

Βαθμός ως προς y και ψ

2 7

11 1 ο

Αν εμφανίζονται περισσότερες από μία 4-----=5=---J.._----==----'---=----'-----=---L-----=---' σταθερές, υπολογίζουμε το γινόμενό τους και Δύο μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο ο αριθμητικός παράγοντας που προκύπτει λέ μέρος, λέγονται όμοια . γεται συντελεστής του μονωνύμου. Δύο μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο Αν στο γινόμενο των μεταβλητών κάποια μέρος (όμοια) και ίσους συντελεστές λέγονται μεταβλητή εμφανίζεται περισσότερες από μία ίσα. Δύο μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο φορές, κάνουμε τον πολλαπλασιασμό ώστε μέρος (όμοια) και αντίθετους συντελεστές λέ κάθε μεταβλητή να εμφανίζεται μία μόνο φο γονται αντίθετα. ρά και με έναν μόνο εκθέτη. � Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι Το γινόμενο όλων των διαφορετικών με όμοια; 3 χψ2 � -4χψζ, χζψ2 , 2χψζω , ψ2χ, -ψ2 ζχ ταβλητών με τους αντίστοιχους εκθέτες τους Απ άντ: 3χψ ζ , χζψ2 , -ψ2ζχ λέγεται κύ ριο μέρ ος του μονωνύμου. � Ν α βρεθ ούν τα κ, λ ώστε τα παρακάτω Όταν το μονώνυμο έχει ένα μόνο αριθμητικό μονώνυμα να είναι όμοια : παράγοντα και κάθε μεταβλητή εμφανίζεται μία i) 2βαιc+2 και -3α5 β-λ l ) μόνο φορά και με ένα μόνο εκθέτη, λέμε πως S ψλζ2χ3+2ιc και -2ζ2χιc+ ιι · ·

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/3 1

------- Μονώνυμα -----� γινόμενο : Να το υπ ο λογιστεί

-2χ3ψ5· 3 χi ' ' ' 4 7 Απ αντ: -2χ�ψ- · 3 χψ2=-6χ ψ Το πή λίκο μονωνύμων έχει συντελεστή το πηλίκο των συντελεστών και κύριο μέρος το γινόμενο κοινών και μη κοινών μεταβλητών με εκθέτη κάθε μεταβλητής τη διαφορά των Πρέπει: κ+2=5 και -λ=1 άρα κ=3 εκθετών (εκθέτης διαιρετέου - εκθέτης διαιρέ Όμοια: 1διο κύριο μέρος: ./ Τσος αριθμός μεταβλητών ./ 1διες μεταβλητές - υ ψω μένες στον ίδιο εκθέτη

Απάντ :

τη). Το πη λίκο μονωνύμων δεν είναι πάντοκαι λ=- 1 ii) Πρέπει: λ=Ο και 3+2κ=κ+ 1 άρα κ=-2 τε μονώνυμο . θ ο ωνύμων είναι μονώ � Να υπολογιστούν τα πη λίκα : Το ά ρ ισμα όμοιων μον νυμο με ίδιο κύριο μέρος και συντελεστή το i) 8α3β2 : -2αβ ii) 6χ2ψ3ζ : 3 χ4ψ2 άθροισμα των συντελεστών των επιμέρους Απάντ : i) 8α3β2 : -2αβ=-4α2 β QΜοvώνυμο μονωνύμων. Το άθροισμα δύο αντίθ ετ ων μο ii) 6χ2ψ3ζ : 3 χ4ψ2=2χ-2ψζ QΔεν είναι μονώνυμο νωνύμων είναι το μηδενικό μονώνυμο. (αρνητικός εκθέτης σε μεταβλητή) �

Να υπολογιστεί το ά θ ρ οισμα:

2χψξ +3ψχξ-7ψξχ Απ άντ: 2χψξ + 3ψχξ-7ψξχ=(2 + 3-7)χψζ2 = =-2χψξ

Π ροτειν ό μ εν ες Α σ κή σεις 1 . Να συ μπλη ρωθούν ο ι π αρακάτω πίνα�ες, αφού συνενωθούν σε ένα:

μω1·, ω; μονώνυμο όμοιο με αυτά. έχει τον ίδιο βαθμό. Ε

λτό; από τα αντίθετα μονώνυμα που το άθροισμά τους είναι το μηδενικό μονώνυμο που δεν έ Ίει βαθμό.

-3χ 2χ

Μονώνυμο

3�ψ 3

Το άθ ρ οισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια είναι μία παράσταση που ονομάζεται πολυώ νυμο και δεν ανάγεται περισσότερο. �

Μο νώ νυμ ο πρ οκύπτει μό νο στην περ ίπτωση που ο δια ιρέτης περ ιέχει αποκλειστικά κάποιες από τις μεταβλητές του δια ιρετέου κα ι συγκε κριμένα με μικρ ότερ ους εκθέτες. Μο νώ νυμο προκύ πτει πρ ο φανώ ς και όταν ο δια ιρέτης είνα ι στα θερ ό πολυώ νυμο .

Να βρ εθ ούν τα κ, λ ώστε το πολυώνυμο :

Συντελεστής

Βαθμός ως Προς χ

2. Α) Β)

να είναι μονώνυμο .

Θα πρέπει οι δύο όροι του πολυωνύ μου να είναι όμοια μονώνυμα για να μπορούν να αθροιστούν και να προκύψει ένας όρος. Άρα, λ-1 =2 και κ+3=4 δηλαδή λ=3 και κ=1 . Οπότε: 3χ2ψ4-5χ2ψ4=-2χ2ψ4 Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών και κύριο μέρος το γινόμενο κοινών και μη κοινών μεταβλητών με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της. Απάντ :

Βαθμός ως '!f!οα

Βαθμό ως π ρος χ και ψ

2βλ-ιοκαιύν τα5α5κβ,2λ, ναώστεείναιτα μονώνυμα: -Να2α- κ+βρεθ (κ 1)χ3η?λ+J και 4χ3, να είναι ίσα. όμοια. Γ)-(3 -χ)ψ3ωκαι(2κ+ l)χ. ψ2 .ω, να είναι αντίθετα. 3. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις : Α) -χ3ψω+ 5ψωχ3-3χ3ωψ Β) 4α2 β4-2 β4α2 -5 α2 β4- α2 β4 Γ)-χ2ψ(-χ)4ψ3 ( �}3ψ Δ) (-�αχ> )2 (-ψ2)α(-χ)ψ 3_ _1

3χ2ψκ+3-5χλ-1 ψ4

Ανηγμένη μορφή

Να ελέγξετε αν τα αποτελέσματα των ακό λουθων π ράξεων είναι μονώνυμα:

(12χ3ψ4ωι= (-3χ2ψω) Β) -4χ3ψ2 -5 χ3ψ2+2χ2ψ3 Γ) (-8α3χ) : (2αχω2)

Α)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/32

Ταυτότητες =======

Καμπου ρ ίδη ς Γιάννη ς

είναι κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για κάθε τιμή των μεταβλητών της. Αναφέρουμε τις πιο aξιοσημείωτες ταυτότητες Ταυ τότητα :

(α ± β) 2 α2 ± 2 α β + β 2 ( α ± β) 3 = α3 ± 3 α2 β + 3 α β 2 ± β 3 =

( α + β)(α - β) = α2 - β 2

( α + β)(α2 - α β + β 2 ) = αJ + β 3 ( α - β)(α2 + α β + β 2 ) α3 - β 3

•

4 = χ2 +4+ χ2 (2χ-1)(2χ+1) =(2χγ - 12 = 4χ2 - 1 (3α- 2β){2β+3α) = (3α- 2β)(3α+ 2β) = (3α) 2 -(2β) 2 = 9α2 -4β2 (2α-3)3 = (2α) 3 -3·(2α) 2 · 3+ 3 ·(2α) · 32 -33 = 8α3 -3· 4α2 · 3+3·(2α) · 9-27 = 8α3 -36α2 + 54α- 27

Εφαρμογή των ταυτοτήτων έχουμε σε υπολο γισμό παραστάσεων όπως π. χ. ( 3χ - y ) 2 όπου στη θέση του α έχουμε 3χ και στη θέση του β έχουμε το y. Οπότε έχουμε : (3χ-y) 2 =(3χ) 2 -2· (3χ) · y+ / = 9χ2 - 6xy + y2 Χρήσιμες παρατηρήσεις: Επειδή οι παραστάσεις: -α + β και - α - β είναι αντίθετες με τις α - β και α + β αντίστοιχα 3 2 + 3 · χ·-+1 1 Αν θέλουμε τα αναπτύγματα : = χ3 +-χ 2 4 8 (-α + β) 2 και (-α - β γ θα έχουμε : 3 1 3 2 +-χ+χ3 +-χ (-α + β) 2 = (α - β γ = α2 - 2αβ + β2 2 4 8 (-α - β) 2 = (α + β) 2 = α2 + 2αβ + β2 Εκτέλεση πράξεων με συνδυασμό π.χ να βρεθούν τα αναπτύγματα : ταυτοτήτων : ( -2χ + / Υ ( 2χ - / ) 2 Ν:χ -yMιuv α 111$ς : •

•

= (2χ) 2 - 2 · (2χ) · y2 + ( / Υ = 4χ2 - 4χ / + / ( -2χ2 - 3 / ) 2 = ( 2χ2 + 3 / ) 2 = ( 2χ2 y + 12 . χ2 . / + 9/ = 4χ4 + 12χ2 / + 9y6

( 3x+ l) 2 -(x-l)(x+ l)-3(1 +2)2 = ( 3χ) 2 +2·(3χ) · 1+12 -(1 -ι2)-3[( 1Υ +2·1 ·2+i

•

91 +6χ+ ι-( 1 -1)-3(χ4 +41 +4) = 9i +6x+1-1 +1-3x4 -4i-12= -3χ4 +4i +6χ-10. ( χ-1)3 -3χ(χ+1) +2χ' = :>? -3·1 · 1+3· x · l2 -13 -31 -3χ+2χ' = :>? -31 +3x-1-3i -3χ+2χ' = 3:>? - � -1 . •

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/33

------

Ταυτότητες ------

Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια ισότητα εκ τελούμε τις πράξεις και στα δυο μέλη και κατ αλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα . Να αποδειχθούν οι ταυτότητες : (α - β) 2 + 4α (α + β) = (α + β) 2 + 4α2 Το 1° μέλος γίνεται : ( α - β ) 2 + 4α (α + β) = α � - 2 αβ + β 2 + 4α2 + 4αβ = 5α2 + 2αβ + β2 Το 2 ° μέλος γίνεται : (α + Ρ ) 2 + 4α2 = α2 + 2αβ + β2 + 4α2 = 5α2 + 2αβ + β2 .Άρα ισχ;ύει η ισότητα. ( 3α + 2 γ - ( 2α + 3) 2 = 5 (α + 1 ) (α - 1) Το 1° μέλος γίνεται : (3α + 2 γ - (2α + 3 γ = 9α2 + 12α + 4 - ( 4α2 + 1 2α + 9) = 9α2 + 12α + 4 - 4α2 - 12α - 9 = 5α2 - 5 . Το 2° μέλος γίνεται : 5 (α + 1) (α - 1) = 5 ( α2 - 1) = 5α2 - 5 . Άρα ισχ;ύει η ισότητα. •

•

1 ο 1 · 99 = ( 1 00 + 1) ( 1 00 - 1) = 1 002 - 12 = 10.000 - 1 = 9.999 . Προτεινόμενες Ασκήσεις : Να υπολογισθούν τα αναπτύγματα : i) (λ + 1)2 ii) (2α + 3)2 •

•

iii) (χ - _!_ )2 iν)(2χ - y )2 χ

ν) ( - χ - 2)2 νi) ( - α2 + αβ)2 νii) (2α - 1 )3 νίίί) (3χ2 - y)3 Να γίνουν οι πράξεις : i) (α + 4)2 - α2 - 1 6 ii) (χ - 3)(χ + 3) + 9 iii) (1 - χ)(1 + χ) + χ2 iν) (2χ + 4)2 - 4χ2 - 1 6χ ν) (2α + 1)(2α - 1) νi) (χ - 3)2 - 6(χ + 1) νii) 3χ(χ + 2) - (χ - 3)2 νiii) (3χ - 1 )2 - (χ + 2

•

Να αποδειχθούν οι ταυτότητες : i) ( α2 _ β2 )2 = (α2 +β2/ _ (2αβ)2 ii) (4χ + 3 y)2 - (3χ + 4y)2 = 7(χ + y)(x - y) •

( :) + - :) = 4

iii) α +

iν) Αν α + β + γ = 2τ , να αποδείξετε ότι : (τ-α)2 + (τ-β)2 + (τ-γ)2 = α2 + β2 + γ2 . Να συμπληρω θούν οι ισότητες : Παράδειγμα συμπλήρω σης κενών : 8 4 (3 + .. y = ... + ... + 25α2 επειδή 25α2 = ( 5α ) 2 i) ( ..... + 1)2 = χ + . . . χ + . . . . . . ίί) ( ...... - 2χ)2 = ....... - 2χ + ...... . τότε (3 + .. Υ = ... + ... + (5α) 2 Άρα ίίί) (α + ...... )3 = ....... + 6α2β + ........ + ...... . (3 + 5α) 2 = 9 + 30α + (5α) 2 . ίν) ( ..... - ..... )3 = 8κ3 - 36κ2λ + ....... - .. ... . (. .. - .. Υ = 9α2 - 12αβ + ... ν) ( ...... - ...... )2 = 2 - 2..fiκ + ..... . (3α - .. Υ = 9α2 - 2 · 3α · 2β + ... Αν x = .Jϊi + J3 και ψ = .Jϊl - .J3 να υπολογίσετε την παράσταση: (3α - 2β) 2 = 9α2 - 2 · 3α · 2β + (2β) 2 Α=χ2 - 3χψ+ψ2 (3α - 2β) 2 = 9α2 - 12αβ + 4β2 Να υπολογίσετε την παράσταση: Σύντομη εκτέλεση πράξεων : Α=�7 - 2J6 + �7 + 2J6 972 = (100 - 3) 2 = 1 002 - 2 · 1 00 · 3 + 32 (Υποδειξη: βρείτε το Α2 ) = 1 0.000 - 600 + 9 = 9.409 1 032 - 972 = (103 - 97)(103 + 97) = 6 · 200 = 1200 •

• • •

•

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ. l/34

Θαλής

τα

Ανάλογα

Ο Θαλής ο Μιλήσιος (6 3 0/6 3 5 π. Χ- 543 π. Χ) είναι ένας από τους επτά σοφούς της αρχαιότητας. ο Είναι αρχαιότερος προσωκρατικός φιλόσοφος και είχε ασχοληθεί με τα μ αθηματικά, τη φυσική , τη

�

....

··

μηχανική , την μετεωρολογία.

αστρονομία

και

τη

Ο Θαλής είχε ιδρύσει τη Μιλησιακή σχολή της φυσικής φιλοσοφίας και πολλοί αρχαίοι, όπως και ο Αριστοτέλης, τον θεωρούσαν τον πρώτο Έλληνα φιλόσοφο. Προσπάθησε να εξηγήσει με βάση την επιστήμη φυσικά φαινόμενα, όπως την έκλειψη ηλίου χωρίς να αναφερθεί στη μυθολογία. (Με φυσικές διαδικασίες.) Ο Ηρόδοτος μας πληροφορεί πως ο Θαλής προέβλεψε την έκλειψη ηλίου του 585 π. Χ. ένα χρόνο πριν την πραγματοποίηση της. Στη φυσ ική ο Θαλής ανακάλυψε τις τροπές (ηλιοστάσια), το ετερόφωτο της σελήνης καθώς και τον ηλεκτρισμό και το μαγνητισμό από τις ελκτικές ιδιότητες του ορυκτού μαγνήτη και του ηλεκτρικού (κεχριμπάρι). Η συμβολή του ήταν επίσης σπουδαία και στη γεωμετ ρία . Κατάφερε να μετρήσει το ύψος των πυραμίδων βασιζόμενος στο μήκος της σκιάς τους και της σκιάς μιας ράβδου. Σήμερα έχουμε και το θ εώρη μα του Θαλή που αναφέρει:

μα τμηματα

Γ . Λυμπερ όπουλος-Α.

Μπακάλης-Μ. Σίσκου

Η διάμετρος κύκλου διχοτομεί τον κύκλο. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. Οι παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. 4. Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες , είναι μεταξύ τους ίσα. 5. Η εγγεγραμμένη σε ημιπεριφέρεια γωνία είναι ορθή. (Πηγή: βικιπαίδεια) Στην τάξη αυτή θα ασχοληθούμε με το Θεώρημα του Θαλή. Στο Θεώρημα του Θαλή στηρίζονται και δύο βασικά θεωρήματα που θα μελετήσουμε κυρίως στην επόμενη τάξη. Θεώρημα 1 : Η ευθεία που διέρχεται από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς μια πλευρά του , διέρχεται και από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Έστω ότι έχουμε το τρίγωνο ΑΒΓ και από το μέσο Μ της ΑΒ φέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ παράλληλα στη ΒΓ. Αν από το Α φέρουμε παράλληλη στη ΒΓ τότε από το Θεώρημα του Θαλή θα ισχύει 1.

2. 3.

Όταν παράλλη λες ευ θ είες τέμνονται από δύ ο άλλες ευ θ είες τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία ευ θ εία είν αι ανάλογα με τα αντίστοιχα τμήματα που ο ρ ίζονται στην άλλη ευ θ εία .

1 ΑΒ 2

ΑΜ ΑΝ ΑΜ = - και =AN = -l . Άρα και -

ΑΒ ΑΓ ΑΓ 2

Επομένως το Ν θα είναι μέσο της ΑΓ. AD ΑΕ

BD EC

Αντίστ ρ οφα:

ΑΒ

Θεώρημ α 2 : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δυο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά.

Εφαρμογές:

Ακόμη στον Θαλή αποδίδονται οι αποδείξεις των πέντε προτάσεων που ακολουθούν.

Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΚ=4 cm, ΓΛ=6 cm και ΒΓ=Ι Ο cm. Αν Μ είναι το μέσο του τριγώνου και ΚΛ//ΒΓ, ΛΜ// ΑΒ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/35

-------

Ο Θ α λής και τα Αν άλογα Ε υ θύγραμμ α Τ μή ματα

να υπολογίσετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που υπάρχουν στο σχήμα.

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ει// ε2// ε3 // ε4 . Αν ΑΓ=4, ΑΔ=8, MN=l και ΛΜ=3 να υπολογίσετε τα ΚΛ και ΑΒ. ει

Β �-----+-----� Γ Μ

Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΔ=4 cm, ΕΓ=9 ' ετε το ΔΓ. cm και ΒΕ=3 cm. Να υπο 6.

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ και να φέρετε τη διάμεσο ΑΜ Αν Κ το μέσο της ΑΜ και ΚΛ// ΒΓ και γνωρίζουμε ότι ΑΓ=12 και ΜΓ=S να υπολογίσετε τα ΒΓ και ΛΓ. .

7. 3.

�.

Να κατασκευάσετε τραπέζιο ΑΒΓΔ ώστε οι μη παράλληλες πλευρές του να είναι ΑΔ=30 cm και ΒΓ=40 cm. Αν ΓΜ= �3 ΓΔ και ΜΕ//ΑΒ να υπολογίσετε τα τμήματα ΓΜ και ΜΔ. Να υπολογίσετε το χ σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: ι. Α

π.

ΙΙΙ .

Α 8,1 Ε

Στο παρακάτω σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζω, με ΑΒ=7 και ΒΓ=12. Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ και το ΖΓΚ είναι ισοσκελές τρίγωνο. Αν ΒΜ//ΑΔ και ΑΔ=6 να υπολογίσετε το ΜΚ.

Δ 8.

Δίνεται το παρακάτω τραπέζιο ΑΒΓΔ

Αν Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του να αποδείξετε ότι: ro

ΔΟ

ΑΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/36

Θέματα για προχωρημένους Επιμέλεια : Ν ίκος Τζίφ ας ,Κωνσταντινίδη ς Αρ ιστείδη ς, Κώστας Σ άλα ρη ς 1 ) Το άθροισμα των ν πρώτων φυσικών αριθμών 3,7, 1 1 , 1 5, 1 9, ... δίνεται από τον τύπο ν(2ν+1). α) Πόσους τέτοιους φυσικούς αριθμούς πρέπει να πάρουμε, ώστε το άθροισμα τους να είναι

μεγαλύτερο από 2 1 Ο ; β) Ποιος θα είναι ο τελευταίος από τους αριθμούς αυτούς ; 2) Θεωρούμε τις εξισώσεις αχ2 + βχ + γ = Ο (1) και γχ2 + βχ + α = Ο (2) με αγ =/: Ο. Να αποδείξετε ότι : α) Αν έχει λύση η (1) , τότε θα έχει λύση και η (2), β) Αν ο ρ =/: Ο είναι ρίζα της (1), τότε ο .!.. θα είναι ρίζα της (2), ρ γ) Αν β = α+γ , τότε οι ρίζες των εξισώσεων είναι αριθμοί aντίστροφοι και να τις υπολογίσετε .

3 ) Ένα άλογο και ένα μουλάρι , βαρυφορτωμένα και τα δύο βάδιζαν δίπλα- δίπλα .Το άλογο παραπονέθηκε για το βαρύ φορτίο του. « γιατί διαμαρτύρεσαι ; >>, ρώτησε το μουλάρι. «Αν σου πάρω ένα από τα σακιά που έχεις στην ράχη σου ,το δικό μου φορτίο θα γίνει διπλάσιο από το δικό σου. Αλλά αν πάρεις εσύ ένα σακί από την ράχη μου , το φορτίο σου θα γίνει ίσο με το δικό μου ». Πόσα σακιά μετέφερε το άλογο και πόσα το μουλάρι ; 4)

Η Μαρία πάντα έψαχνε τρόπους να εξοικονομεί χρήματα. Πήγε λοιπόν μια μέρα σε ένα μαγαζί με ρετάλια και βρήκε ένα κομμάτι ύφασμα 20cm χ 50 cm, ενώ το τραπέζι της ήταν τετράγωνο με πλευρά 30 cm. Αγόρασε λοιπόν το ύφασμα με την προοπτική να καλύψει το τραπέζι της. Αφού προβληματίστηκε βρήκε τελικά λύση πως πρέπει να κόψει το ύφασμα με 3 τομές. Εσείς μπορείτε να βρείτε τη λύση του προβλήματος έστω και με 4 τομές. , 5) 'Εστω χ, y, z θ ετικοι, αριθ μοι ετσι ωστε: Απο δει'ξτε οτι

,, ,

χ = y2y+ l , y= z2z+ l , z= x2χ+ l --

x = y=z=l α 3 , , α + β α-β α+3 , , 6) Αν =- να βρεθουν οι λογοι α-β α+β β+4 β 4 -

7) Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου έχει διαστάσεις χ και y μέτρα. Το οικόπεδο έπρεπε να μικρύνει για να περάσει οπωσδήποτε ο δρόμος. Έτσι το εμβαδόν έγινε + 1 0) τετραγωνικά μέτρα. Πόσα μέτρα μειώθηκε κάθε μια από τις αρχικές διαστάσεις χ, y του οικοπέδου.

(xy-5χ-2y

8) Σχήματα που έχουν το εμβαδόν τους ίσο με την περίμετρο τους 1 ο Πα ρ άδ ειγμα : Ένας κύκλος με ρ=2 έχει εμβαδόν Ε=π.ρ2=4π και περίμετρο Π=2πρ=4π 2° Πα ρ άδ ειγμα: Ένα τετράγωνο με πλευρά α=4 έχει εμβαδόν Ε= α2=1 6 και περίμετρο

Π=4α=1 6.

Δραστη ριό τητα

Υπάρχουν άλλα σχήματα με την ίδια ιδιότητα. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/37

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Επιμέλεια:· Επιτροπή Διαγωνισμών

18η

4i��. � /� �: J�i ,;;

Βαλκανική Μαθη ματική Ολυ μπιάδα Νέων Οχρίδα,

2 1-26

Ιουνίου,

�;. ·-�;.

·'\� · · �

2014

· � ,.τ

Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων διοργανώθηκε της Π. Μ. από 21 pqpι 26 2014. Συμμετείχαν συνολικά 16 χώρες, (11 χώρες επίσημα και 5 φιλοξενούμενες χώρες). Ελληνική ομάδα κατέκτησε συνολικά 5 μετάλλια και την πέμπτη θέση μεταξύ των επισήμως συμμετεχουσών χωρών , τους μαθητές: Η 1 8η

στην Οχρ ίδ α

Γ. Δ.

Ι ουνίου

με

ό Μ ετάλλιο ό Μ ετάλλιο

Χάλκινο Μ ετάλλιο Χάλκινο Μ ετάλλιο Χάλκινο Μετάλλιο

Αρχηγός της Ελληνικής ομάδας ήταν ο μαθηματικός μαθηματικός

Αλέξανδ ρος Συγκελάκης

και υπαρχηγός ο

Γ εώ ργιος Αποστολόπουλος.

ΘΕΜΑΤΑ:

1 8ης

Πρόβλη μα 1 . Να β ρείτε όλους τους δ ιακεκριμένους πρώτους αριθ μούς p,q και r έτσι ώ στε:

2 4 3p - 5q - 4r 4

Βαλκαν ι κής Μαθηματ ι κής Ολυμπ ιάδας Νέων

Παρατηρούμε πρώτα ότι, αν οι q και r είναι και οι δύο διαφορετικοί από το 3, τότε q2 Ξ r2 Ξ 1 ( mod 3) , οπότε το πρώτο μέλος της δεδομένης εξίσωσης θα είναι πολλαπλάσιο του 3, ενώ το 26 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3, άτοπο. Άρα πρέπει q 3 ή r 3 , οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: q 3. Τότε η εξίσωση γίνεται: 3p4 -4r2 431. (1). Αν p 5, τότε από το μικρό θεώρημα του είναι p4 Ξ1(mod5), οπότε 3-4r2 Ξ1(mod5) ή ισοδύναμα r2 +2ΞO(mod5)<=>r2 Ξ3(mod5) , το οποίο είναι άτοπο, αφού εύκολα προκύπτει ότι το υπόλοιπο του τετραγώνου ενός θετικού ακέραιου modu1o 5 ανήκει στο σύνολο {Ο, 1, 4} . Επομένως πρέπει p 5 και r 19. 3p4 -5q4 62 . (2) 3. Τότε η δεδομένη εξίσωση γίνεται: Αν p 5, τότε το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι πολλαπλάσιο του 5, άτοπο. Άρα πρέπει p 5, οπότε από το μικρό θεώρημα του έχουμε p4 Ξ 1( mod5) 5q4 Ξ 1( mod5), που είναι αδύνατο. Επομένως, η μοναδική λύση του προβλήματος είναι η ( ρ, q, r) ( 5, 3,19) . Λύση :

Ι.

:;t:

Fermat

11. r

Fermat

:;t:

Π ρόβλη μα

Θεωρού με

ένα

ABC με εμβαδό S . Έστω τρ ίγωνο DN .l. BC ( Ν Ε BC) . Αν Η1 και Η2 είναι τα

οξυγώνιο

CD .l. AB,(D E ΑΒ ) , DM .l. AC ( Μ Ε AC) και ο ρθόκεντρα των τριγώνων MNC και MND, αντίστοιχα, να ΑΗ1 ΒΗ2 συν αρτή σει του S .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ. l/38

βρείτε το ε μβ αδό του τετραπλεύ ρου

_;_____

_ _ _ _ _ _ _ __

Λύση (1°ς τρ όπος) :

Μαθηματικοί Διαγωνισμο ί

----

Έστω και Τ τα μέσα των τμημάτων CD,MN,CN,CH1 και ΜΗ,, αντίστοιχα. Από το τρίγωνο MNC έχουμε ΡΚ = .!_2 · MC και ΡΚ 11 MC . Όμοια, από το τρίγωνο MH, C έχουμε = .!_2 · MC και 1 MC, οπότε: ΡΚ = και ΡΚ 1 . Επίσης, από το τρίγωνο CDN έχουμε ΟΚ 1 DN και αφού DN BC και ΜΗ, BC έπεται ότι ΤΗ, 1 ΟΚ . Επειδή το Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου CMN , θα είναι ΟΡ . Άρα, αφού CH, , έπεται ότι: ΟΡ 1 CH, . Επομένως τα τρίγωνα και ΚΡΟ είναι ίσα, αφού έχουν παράλληλες πλευρές ανά δύο και = ΡΚ . Άρα είναι =ΡΟ, οπότε CH, = 2 ·ΡΟ και CH, 1 ΡΟ . Σχήμα 1 Ανάλ-ογα, λαμβάνουμε DH2 = 2 ·ΡΟ και DH2 1 ΡΟ . Από σχέσεις CH, = 2 ·ΡΟ = DH2 και CH, 1 ΡΟ 1 DH2 , έπεται ότι το τετράπλευρο CH1 H 2D είναι παραλληλόγραμμο, οπότε Η1 Η2 1 = CD, και το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΗ1 ΒΗ2 δίνεται από Ε(ΑΗ1 ΒΗ2) = ΑΒ· 2Η Η2 = AB·CD 2 = 2ος Επειδή ΜΗ, 1 DN και ΝΗ, 1 DM , το τετράπλευρο MDNH1 είναι παραλληλόγραμμο. Ομοίως, από τις παραλληλίες ΝΗ2 1 CM και ΜΗ 2 1 CN έπεται ότι το Σχήμα 2 τετράπλευρο MCNH2 είναι παραλληλόγραμμο. 'Εστω Ρ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος . Τότε τα σημεία Η 1 και Η 2 είναι συμμετρικά των σημείων D και C, ως προς κέντρο το σημείο Ρ . Επομένως, CD 1 Η1 Η2 και CD = Η1Η2 • Έτσι, από την καθετότητα CD ΑΒ έχουμε ότι: Ε(ΑΗ , ΒΗ2 ) = ΑΒ2. CD O, P, K, R

.l ΜΝ

TRH,

RH,

τις

. ...

τρόπος:

ΜΝ

Πρόβλη μα 3. Έστω a, b,c θετικοί πραγματικοί αριθ μοί τέτοιο ι ώστε abc

ότι :

( �) ( �) ( .; a+

Λύση (1 ος τρόπος) :

�

Να αποδείξετε

3( a + b + c + 1.) . Πότε ισχύει η ισότητα ;

Από τη γνωστή ανισότητα χ 2 + y2 + z2 + + zx και την σχέση abc = 1, �

= (ab 1 + � + a ) + ( bc + 1 + .; + b) + ( ca + 1 + � + c) = ab + bc + ca + � + � + .; + 3 + a + b + c. Όμως, από τηνb ανισότητα αριθμητικού a- γεωμετρικού μέσου έχουμε: ' οτι:' ' προκυπτει ab +-a 2b, bc +-bc 2c, ca +-c 2a, οποτε' απο' την τελευταια' ανισοτητα ( a + �)2 + (b+ �)2 + (c+ ·;γ 2a+ 2b+ 2c+3+a + b+c = 3( a + b+c+ 1). - γεωμετρικού μέσου που χρησιμοποιήσαμε Η ισότητα ισχύει, όταν σε όλες τις ανισότητες αριθμητικού 1 1 ab =-,b bc=-,c ca =-,a abc= 1 1 b +-=c+-, ' ισοτητα, ' δηλαδη,' αν, και μονον ' αν, a+-= ισχυειη c a a b c +

�

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/39

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισμο ί

------

Ι Ι 2 =Ι, b2 =1, c2 =Ι, abc = l <=>a=b=c=I. <::> a + ι;Ι =b+�=c+;,a - αριθμητικού μέσου έχουμε: 2ος Από την ανισότητα τετραγωνικού (a+-+b+-+c+(a+-Ι )2 + (b+-1 )2 + (c+-Ι )2 Ι Ι Ι )2 1 Ι Ι ( ) ( b 3 c a (a +-bΙ )2 + b +-ci ) + c + -aΙ 2 > b 3c a .( 1) -b -3 c - a > a+-+b+-+c+Γι Από την ανισότητα αριθμητικού - γεωμετρικού μέσου έχουμε: .!.a . +.!.b . +.!.c 3Jν� = 3 . (2) ( a + - + b + - + c + -) Από τις (1) και (2) λαμβάνουμε: ( a + i) + ( b + �) + ( c + ;) b / a ( a + b : c + 3) b+c)+9-3�(a-+-----' b+ c'-)+--.-- 6(a-.:. +--"'--+ b+c )+9 -> ----'= (a + b+c )(a + b+c)+6(a 3 3 = 9(a+b+c)+9 3 = 3 ( a + b + c + Ι). Η ισότητα ισχύει αν και μόνον αν a = b = c = Ι. η, 4. s η. s β Συμ ολίζουμε με k το ζητούμενο αριθμό τιμών και έστω {s1 ,s2 , ,sk} οι αντίστοιχες τιμές Λύση : του s . Ονομάζουμε κάθε s; και κάθε άλλο μη αρνητικό αριθμό, ως Προφανώς, η Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο διαφορετικοί «αριθμοί που χάνουν» s; > sj , οι οποίοι είναι ισοϋπόλοιποι modulo η . Τότε την πρώτη φορά που θα παίξει ο θα μετακινήσει s; -sj πέτρες (αφού ηl( s; -sj) ), αφήνοντας έτσι sj πέτρες για τον παίκτη Αυτό όμως είναι αντίθετο με το ότι οι αριθμοί s; και sj είναι και οι δύο «αριθμοί που χάνουν». Επομένως, η -Ι k η -Ι. Έστω ότι υπάρχει ένας ακέραιος { 1, 2, ... ,η - Ι} , τέτοιος ώστε ο + είναι «αριθμός πόυ κερδίζει» για κάθε m . Σημειώνουμε με u το μέγιστο αριθμό που κερδίζει, αν k > Ο , ή Ο, αν k=O και έστω s=ΕΚΠ(2,3, ... ,u+η+Ι). Παρατηρούμε ότι όλοι οι αριθμοί s+2,s+3, . . ,s+u+η+I είναι σύνθετοι. Έστω m' τέτοιος ώστε s+u + 2 m'n + s + u +η+ Ι . Για να είναι ο m'n + «αριθμός που κερδίζευ>, πρέπει να υπάρχει ακέραιος ο οποίος είτε ισούται με 1 είτε είναι πρώτος είτε είναι θετικό πολλαπλάσιο του η τέτοιο ώστε m'n + είναι «αριθμός που χάνει>> ή ισούται με Ο και επομένως μικρότερος ή ίσος του u . Επειδή s + 2 m'n + -u m'n + s + u +η + Ι, ο αριθμός πρέπει να είναι σύνθετος, δηλαδή ο είναι πολλαπλάσιο του η, έστω = qη . Τότε όμως m'n + = ( m'- )η+ πρέπει να είναι «αριθμός που κερδίζει», σύμφωνα με τις υποθέσεις μας. Αυτό όμως είναι αντίθετο προς την υπόθεση ότι όλοι οι αριθμοί + m είναι «αριθμοί που κερδίζουν». Επομένως. η η-1 τρ όπος:

ι ....ο_

-'----'

--'-

-'------''--

<=>

�

;ο:

Για κάποιο θετικό ακέ ραιο

Π ρό βλη μα

δύ ο παίκτες Α και Β παίζουν το ακόλου θο παιχνίδ ι:

πέτρες, παίρνουν εναλλάξ πέτρες με τον Α να αρχίζει πρ ώτος. Σε κάθ ε γύ ρο του

Από ένα σωρ ό με

παιχνιδ ιού , ο παίκτης παί ρνει είτε μ ία πέτρα, είτε πρ ώτο αριθ μό από πέτρες, είτε έναν αριθ μό από

Ν ικητή ς του παιχνιδιού είναι ο παίκτης ο οποίος

πέτρες που είναι θετικό πολλαπλάσιο του

παίρνει την τελευταία π έτρα. Αν υπο θέσουμε ότι οι Α και Β παίζουν χωρ ίς να κάνουν λάθη, τότε για ο παίκτης Α δεν μπορ εί να νικήσει ;

πό σες τιμές του

• • •

«αριθμό που χάνει»

κερδίζει».

κάθε πολλαπλάσιο του

«αριθμό που

είναι «αριθμός που κερδίζει».

Β.

υπάρχουν το πολύ

δηλαδή

rΕ

r-p

sps

κάθε μη μηδενική κλάση υπολοίπου modulo

ακριβώς

r-p

«αριθμοί που χάνουν»,

Ν,

περιέχει έναν αριθμό που χάνει. Άρα, υπάρχουν

αριθμοί που χάνουν.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/40

------- Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

-------

Π ροκριματικός διαγωνισμός Ν έων 12 Απριλίου 2014

{(x2 + y2}2 - xy (x + y}2 = 19} . x - yJ = l J βάνουμε: Κάνοντας τις σχετικές πράξεις στην πρώτη εξίσωση λαμ {(χ2 +y2 )2 -xy(x+y/ =19} <=> {χ4 +2x2y2 +yJx4 --yJx3=ly-2x2y2 -xyJ =19} <=> {χ4 +yJ4x-x-yJ=l3y -xy3 =19} J x -yJ=l xJ - YJ ) = 19} {(χ - )2 ( χ 2 + xy + y2 ) = 19} { χ 2 + xy + y2 = 19 , {(χ- Jx(-yJ=l J x - yJ =1 } J x - yJ =l

Π ρ όβλημα 1 : Να προσδ ιορ ίσετε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθ μών

(χ, y),

τα οποία είναι λύ σεις

(Α. Φελλούpης)

του συστή ματος: Λύση :

Υ)

<::::>

οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: = 1 1 � � { +:�:�' = 19} {,, +:�:�' =19} {χ' + χ' :, +�=� !)' =19} { y=x - 1 } { y=x-1 } y=x-1 } <=> (x,y)=(3,2) η, (x,y)=(-2,-3) . , 3χ 2 -3χ-18=0 χ 2 - χ-6=0 {χ =3 η χ = -2 =χ - � 1 � {,, +:�:;, � -19} {., +:;: ;' =19} {. , +χ' :, + (:� ι)' =19} {3χ2 :;χχ-�� = Ο} <=> {.2 :: �:� ο} <=> {χ :_�� :ι= 2} <=> (x,y) =(-3, -2) ή (x,y) = (2,3). c(O, R ) (με Ο 2: .,

•

<::::>

Δίνεται τετράπλευ ρο ΑΒΓΔ εyyεyραμμένο σε ιώκλο και ακτίνα R ) κέντρο Με κέντρα τις κορυφές Α,Β , Γ ,Δ θεωρούμε ιώκλους CΑ,ζ,ζ.,CΔ αντίστοιχα, που δεν τέμνονται μεταξύ ο ιώκλος C 8 στα σημεία τους. Ο ιώκλος C Α τέμνει τις πλευ ρές του τετραπλεύ ρου, στα σημεία Πρόβλη μα

, , Α1 Α 2 Β1 ,Β2 , Γ1 ,Γ2 Α1Α2 , Β1Β2 , Γ1Γ2 Δ1Δ2Δ1 , Δ2 • Τα τρίγωνα ΑΑ1 Α2 , ΒΒ1 Β2 , ΓΓ, Γ2 και ΔΔ1 Δ2 είναι ισοσκελή, γιατί δύο πλευρές τους είναι

και ο ιώκλος ο ιώκλος C r στα σημεία τετράπλευ ρο που ορίζουν τεμνόμενες οι ευθείες

CΔ

Να αποδειχτεί ότι το είναι εyyράψιμο. (Ε. Ψύχας)

στα σημεία και

Λύση :

ακτίνες των(όπως αντίστοιχων κύκλων). Σημειώνοντας με μικρά γράμματα τριγώνων στο σχήμα), προκύπτουν οι παρακάτω ισότητες γωνιών:τις ίσες γωνίες των ισοσκελών Α+ χ+ χ = 180° χ = 90° - Α2 (1) Β ο (2) Β + y + y = ι8 ο <=> y = 90° - 2 z = 90° - t2 (3) t + z + z = 180° Δ (4) . Δ + ω+ ω = 180° <=> ω = 90° Εφόσον το τετράπλευρο ΑΒ2ΓΔ είναι εγγεγραμμένο, το άθροισμαοιτων απέναντιισότητες γωνιώνγωνιών: του είναι 180° , οπότε θα ισχύουν παρακάτω , , (Ιλ(3) x+z=90° Α+Γ=180" Β' Δ' = 180° (2),(4) Υ+ ω = 90° (6) . �

<::::?

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ. l/41

(5) ,

------

Μαθηματικοί Δ ιαγωνισμοί

-------

Έστω ότι οι ευθείες Α1Α2 ,Β, Β2 ,Γ1 Γ2 και Δ1Δ2 (τεμνόμενες) δημιουργούν το τετράπλευρο ΚΛΜΝ . Από το τρίγωνο ΚΑ1Β 2 , έχουμε: Κ +χ + y = 180° , ενώ από το τρίγωνο ΜΓ1 Δ2 , προκύπτει η ισότητα: Μ+ +ω= 180°.τις δύο τελευταίες ισότητες γωνιών και συνδυάζοντας το αποτέλεσμα με τις ισότητες (5) Προσθέτοντας και (6) , έχουμε: Κ+ Μ = 180° . 3: = 11 , = 1111 = 111111 = 111· · 1 1 1 (η z

Δίνονται οι ακέ ρ αιοι α 1

Πρόβλη μα

ακέραιος μεγαλύτερος του

8). 'Εστω

11.

α2

α3

'-ν--'

,... ,

απ

6-ψηφ iα

= � ' ί = 1, 2,· 11

· ·

,η ,

2 n-ψηφ iα

+ + ++

το πη λίκο της δ ιαίρεσης του a ; με το

Να αποδείξετε ότι το άθ ρο ισμα εννέα "διαδ οχικών " πη λίκων: είναι πολλαπλάσιο του εννέα, για κάθε ί = 1, 2, 3, , (η - 8) .

= Q1

· · ·

Q1+ 1

Q1+2

· · ·

Q1+8

(Ε. Ψι5χας)

· �01. Θεωρώντας τη Θα αποδείξουμε ότι κάθε πηλίκο q; =α.11 , i = 1,2, ···, η είναι της μορφής: =101· � δεκαδική αναπαράσταση του αριθμού , έχουμε: = Hfi-1 + 1<Yi-2 + 1<Yi-J +-1(ii-4 · · 10"' + Ht + 1ο' + 1<i + 10+ 1 = 102i-2 (10+ 1) + 102i-4 (10+; 1)+ ..; ·+ 104 (10+ 1)+ 102 (10+ 1)+ (10+ 1) = 11(102i 2 + 102i-4 +· . ·+ 104 + 102 + 1) . Άρα είναι: = 102 -2 + 102 -4 + · · · + 104 + 102 1 = 101· 12 )-·ψηφί·101α , δηλαδή ο ακέραιος q; = 101· ί-1)-·ψηφί·101,α ί ( ( 2 - 1 μηδενικά και i μονάδες που εναλλάσσονται διαδοχικά μεταξύ τους. Άρα το αποτελείται από άθροισμα των ψηφίων του q; είναι i , του qi+I είναι i + 1 και του qi+2 είναι i + 2 κ.λ.π εννέα, το άθροισμα των ψηφίων σε πειδή οι αριθμοί q; ,q;+1 ,q;+2 , - ··,q;+S> i=1,2,3,-··,(η-8) είναι Εοποια β στήλη (στην Sκατακόρυφη πρόσθεση) δεν υπερ αίνει τοόλωνεννέα. Άρα το άθροισμα των ψηφίωνδήποτε του αθροίσματος ,; ισούται με το άθροισμα των ψηφίων των προσθετέων, που είναι (i)+ (i+1)+(i+2)+···+(i+8)=9i+ 82" 9 =9(i+4) . q

Λύ ση :

α.

α;

'---ν--'

Πρόβλη μ α

Σ = {1,2,3, ,η} . Θέλουμε να διαμερίσουμε το σύνολο Σ σε τρ ία μεταξύ τους με Α u Β u Γ = Σ και τέτο ια ώστε τα αθ ροίσματα των

Δίνεται το σύνο λο

••.

υποσύνολα Α, Β και Γ ξένα στοιχείων τους S Α , S B και Sr , αντίστοιχα, να είναι ίσα. Ν α εξετάσετε, αν αυτό είναι δυνατόν, όταν : (α)

η = 2014 ;

Λύση (α)

(β)

η = 2015 ;

(γ)

η = 2018 .

(Α. Φελλούρης)

Υποθέτουμε ότι μπορεί να γίνει το ζητούμενο. Για η = 2014 το άθροισμα των στοιχείων του το άθροισμα των στοιχείων του συνόλου Σ θα είναι συνόλου Σ είναι: SΣ = S + SB + Sr = 3 · S δηλαδή . πολλαπλάσιο του 3. Όμως � ( 2014) = 201422015 =1007 ·2015:;Cπολλαπλασίου3, οπότε δεν είναι δυνατόν να διαμεριστεί το σύνολο Σ σε τρία υποσύνολα ξένα μεταξύ τους και με ίσα αθροίσματα στοιχείων. . 2015 2016 Για η=2015 είναι SΣ ( 2015 ) = 2 =1008·2015 =πολλαπλασίου3 . Παρατηρούμε ότι το σύνολο Σ αποτελείται από το σύνολο Μ0 = { 1,2,3,4,5 } και από 335 διαδοχικές εξάδες της μορφής: Mk = { 6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5 } , k=1,2, . . ,335 . Διαμερίζουμε πρώτα το σύνολο Μ0 σε τρία υποσύνολα με ίσα αθροίσματα στοιχείων. Αυτά είναι τα Α0 = { 1,4} , Β= { 2,3} και Γ= { 5 } . Επειδή ισχύει ότι: ( 6k + 1 ) + ( 6k + 4) = ( 6k + 2 ) + ( 6k + 3 ) = 6k + (6k + 5) για κάθε k = 1,2, ... ,335 , το ζητούμενο επιτυγχάνεται αν θεωρήσουμε τα σύνολα Α= { 1,4} { 6k + 1,6k + 4 :k = 1,2, ... ,335} Β = { 2,3} { 6k + 2,6k + 3 :k = 1,2, . . ,335} , Γ= { 5} { 6k,6k + 5 :k = 1,2, ... ,335} . Για η = 2018 είναι SΣ ( 2018 ) = 20182· 2019 = 1009 · 2019 = πολλαπλασίου3. Παρατηρούμε ότι το σύνολο Σ αποτελείται από το σύνολο Μ0 = { 1,2,3,4,5,6, 7,8} και από 335 διαδοχικές Α

Α,

(β)

(γ)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/42

-------

Μαθηματικοί Διαγωνισμοί -------

εξάδες της μορφής: = { 6k+3,6k+4,6k+5,6k+6,6k+7,6k+8} , k=1,2, . . ,335 . Διαμερίζουμε πρώτα το σύνολο Μ0 σε τρία υποσύνολα με ίσα αθροίσματα στοιχείων. Αυτά είναι τα Α0 = { 1,2,3,6} , Β = { 5,7} και Γ= { 4,8} . Επειδή επιπλέον ισχύει ότι: ( 6k+3) + ( 6k+8) = ( 6k+4) + ( 6k+ 7) = (6k+5) + (6k+6) , για κάθε k=0,1, . .,335, το ζητούμενο επιτυγχάνεται αν θεωρήσουμε τα σύνολα Α= { 1,2,3,6} υ { 6k 3,6k + 8 :k = 0,1,2, ...,335} , Β= { 5, 7 } υ { 6k+ 4,6k + 7 :k = 0,1,2, . . ,335 } , Γ= { 4,8} u {6k +5,6κ+6:k = 0,1,2, ... ,335} . Α, Β Γ (β) και (γ) δεν είναι μοναδικά. Mk

Σημείωση . Τα σύνολα

και

που θεωρήσαμε στα ερωτήματα

Υπάρχουν και άλλες δυνατές επιλογές.

Λύσεις ασκήσεων τεύχους 92

Α27. Ν α συγκρίνετε τους αριθ μούς: Α = �2013 + ../2014 + �2014 + ../2013 , Β = �2013 + ../2013 + �2014 + ../2014 .

(Ου κρυ\ i υ 2 Ι Ι I Ι :ο;

Από τη μορφή των Α και Β, υποκινούμεθα να θεωρήσουμε τους αριθμούς A= �a+ .Jb + �b+ .fa , Β = �a+ .fa + �b+ .Jb όπου a, b θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a b . Επειδή είναι Α, Β > Ο έχουμε: Α>Β <::> Α2 >Β 2 <=> �a+ .Jb · �b+ .fa > �a+ .fa · �b+ .Jb <=> ( a + .Jb)( b + .fa ) > ( a + .fa)( b + .Jb) <=> a.fa + b.Jb > a.Jb + b.fa <=> ( a - b)( .fa - .Jb) > Ο, που ισχύει για a b. Άρα είναι Α > Β .

Λύση :

Α28. Αν a, b, c θετικο ί ακέραιοι, να αποδείξετε ότι:

3a2 + b2 + 2ac 3b2 + c2 + 2ab 3 c + a2 + 2bc 2

< -

3 2 ( a + b + c)

(Ουκρανία 2008)

Χρησιμοποιώντας τις γνωστές ανισότητες για a,b,c > Ο : a2 + b2 ;::: 2ab, b2 c2 ;::: 2bc, c2 + a2 ;::: 2ca , οι παρανομαστές των κλασμάτων του πρώτου μέλους γίνονται 3a 2 + b2 + 2ac = 2a2 + a2 + b2 + 2ac ;::: 2a2 + 2ab + 2ac = 2a ( a + b + c ) , 3b2 + c2 2ba = 2b2 + b2 + c2 + 2ba;::: 2b2 + 2bc + 2ba = 2b ( a + b + c ) , 3c2 a 2 +2bc = 2c2 +c2 +a 2 +2bc;::: 2c2 + 2ca + 2bc = 2c ( a + b+c) , , a a b b c c οποτε, εχουμε 23a +b2 +2ac 2a ( a+b+c) 3b2 +c2 +2ab 2b ( a+b+c) , 3c2 +a2 +2bc 2c(a+b+c) , , 3 . απο, τις οποιες, με προσ, θεση κατα, με' λη λαμβανουμε ; 2 +ba2 +2ac + 3b2 +cb2 +2ab + 2 +ac2 +2oc 2(a+b+c )

Λύση :

:::;

Ν22.

Β ρ είτε όλα τα ζεύγη

( m, n )

θετικών ακεραίων που είναι λύσεις της εξίσω σης: mn

(Ουκρανία 2008)

= 2009( η + 1) .

Επειδή ( η, η+ 1 ) = 1 , από τη δεδομένη εξίσωση προκύπτει ότι: ( η+ 1 )1 m και n2 j 2009 . Από τη σχέση n2 j 2009=72 ·41:=>n=1 ή n =7. Για η=1, έχουμε m=2009·2=4018, ενώγια n=7, έχουμε m = 328. Επομένως, τα ζητούμενα ζεύγη είναι: ( m,n ) = ( 4018,1 ) ή ( m,n ) = ( 328, 7 ) . Λύση :

Αν οι ακέ ραιοι a, b,c,d ικανοποιούν την εξίσωση θ ό αρι μ ς ab είναι πολλαπλάσιο του 14. Λύ ση :

Ν23.

7a + 8b = 14c + 28d ,

να αποδείξετε ότι ο

Θεωρούμε τη δεδομένη εξίσωση modulo 2, οπότε παρατηρούμε ότι 2 1( 14c + 28d) 2 1( 7a 8b ) 2 1 7a 2 j a a πολλαπλάσιο του 2. =>

:=:>

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/43

(Αυστρία 20 1 2)

------ �Ιαθηματικοί Διαγωνισμοί

-------

Θεωρώντας επίσης τη δεδομέ.τι εξίσωση modulo 7, οπότε παρατηρούμε ότι 71(14c -.,( 8b ) 7l8b 7lb πολλαπλάσιο του 7. Επομένως, άμεσα προκύπτει = ποίJ.απλάσιο του 14. ΒΓ 2 ΒΛ � 8d Ι => - 7a

�

όn a b

Γ 1 7 . .!h-εται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ +

ΑΓ Έστω •

η διχοτόμος της

γω\iας Β και έστω κ,Μ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, αντίστοιχα. Βρείτε τη (Λευκορωσία 2013) γωνία κλΜ συναρτήσει της γωνίας ω = ΑΒΓ . Λύση ( 1 ο; τ ρόπος)

Εφόσον ΒΛΛΓ είναιΒΓ διχοτόμος της γωνίας Β , θα ισχύουν διαδοχικά οι ΛΓ ΒΓ --= σχέσεις: -=-� ΒΑ ΑΓΛΓ+ΛΑ Επειδή όμωςΛΑΛΓ +ΛΑ= και ΒΑ+ΒΑ+ΒΓ ΒΓ = 2ΑΓ , έχουμε: ΛΓ -ΒΓ =-= ΒΓ ΜΓ , οποτε, το τριγωνο -= , ΓΛΜ ειναι , ισοσκεΜ.ς και 2 ΑΓ 2ΑΓ Σχήμα 1 κατά συνέπεια Μ, = 90° � Γ2 . Η Μ, είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου 2ΑΓ = ΑΓ και δεδομενου ΒΓ ΑΒ -' y= 900 �-�-=' ' t Β Α . (1) σχυει ' ΜΓ τωρα + =-+-= ΒΛΜ , αρα: 2 2 2 2 2 2 ότι = ΜΓ , καταλήγουμε ότι: = ΑΛ . Δηλαδή και το τρίγωνο είναι ισοσκε'λές. Άρα Κ, = 90° - Α2 . Η Κ, είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΛΜ , άρα: χ = 90° - Α2 - Β2 = t2 . (2) Προσθέτοντας τις σχέσεις ( 1) και(2), έχουμε: κλΜ = χ+ y = Α2 + Γ2 = 90° - Β2 . 'Εστω Ν σημείο της ΑΓ τέτοιο ώστε = ΑΒ2 . Τότε = ΑΓ - = ΑΒ 2+ ΒΓ - 2 = _Β2_Γ ' οτι:' ΑΛ ' διχοτομος ' της γωνιας Γ , επεται . Επειδη' η ΒΛ ειναι = ΑΒ Άρα εχουμε = ΑΒ , ΒΓ ΛΓ ΒΓ οπότε τα σημεία1 ( και Ν συμπίπτουν. Επομένως τα τρίγωνα ) και ΜΓΛ είναι ισοσκελή και ισχ6ει: = ΑΛΚ = 2 180° -ΒΑΓ ) και ΓΜΛ =ΓΛΜ = 21 ( 180° -ΒΓΑ . 180° -BAr -- 180° -ΒΓΑ Επομένως, έχουμε: = 180° - ΑΛΚ-ΓΛΜ = 180° - -2 2 Γ Α 180° -ΑΒΓ 180° -ω ω = ΒΑr+Β 2 = 2 = 2 =900 _ 2 . η

�

ΛΓ

Ί �

ΛΓ

ΚΑ

ΑΚ

ΑΚΛ

ΝΓ

ΑΝ

2ο; τρόπος:

ΑΝ ΝΓ

ΑΒ

_ _

ΑΒ Α

ΚΑΛ

ΑΚΛ

ΑΝ

ΚΛΜ

Γ 1 8. Μέσα σε κύκλο

Γ(Ο,R)

γρ άφ ουμε

μικρούς κύκλους με ακτίνες

r1 , r1 , ... , rn

έτσι ώ στε

κανένας από αυτούς να μη περιέχει το κέντρο Ο στο εσωτερικό του και το άθ ροισμα των μηκών τους να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του π Ν α απο δείξετε ότι υπ άρχει κύκλος κέντρου Ο που τέ μνει δύο 20 1 3 ) τουλάχιστον από τους μικρούς κύ κλους. •

(Λευκορωσία 1 Από την υπόθεση έχουμε 2π ( + + . . + ) π<=> + + .. + -2 . (1) Αν υποθέσουμε ότι ο κυκλικός δίσκος που ορίζεται από τον κύκλο Γ (Ο, R) περιστρέφεται γύρω από το κέντρο του Ο κατά γωνία 360° , τότε κάθε μικρός κύκλος διαγράφει έναν κυκλικό δακτύλιο του οποίου το πλάτος είναι 2r;. Αν όλοι οι διαγραφόμενοι κυκλικοί δακτύλιοι δεν έχουν κοινά σημεία, τότε + + .. + = 2 ( + + .. + ) 1, (2) η οποία αντίκειται στη σχέση (1 ). Επομένως, δύο τουλάχιστον κύκλουςτουςτέμνονται, οπότε υπάρχει κύκλος κέντρου Ο και ακτίνα την απόσταση τουαπόΟ απότουςτο μικρούς σημείο τομής που τέμνει2009 δύο τουλάχιστον από τους μικρούς κύκλους. 2009 Λύση :

::?:

rn ::?:

Δ9. Χ ρωματίζουμε τα μοναδ ιαία τετρ άγωνα ενός χ τετραγώνου μαύ ρα και λευκά, όπως ά ά στη σκακιέ ρα, έτσι ώ στε το κ τω αρ ιστε ρ ό τετρ γωνο να είναι μαύ ρο. Ένα πιόνι μπορεί να

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α' 93 τ.l/44

------ Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

------

μετακινείτε π άνω στο τετρ άγωνο με τους ακόλου θους κανόνες: • Α ρχικά το πιόνι β ρ ίσκεται στο κάτω αριστε ρ ό τετρ άγωνο • Μπορ εί να κινη θεί κάθε φ ορ ά μόνο σε τετρ άγωνο που έχει κοινή πλευρ ά με το τετρ άγωνο που β ρ ίσκεται. • Όταν το πιόνι μετακινη θεί σε ένα τετρ άγωνο, τότε το τετρ άγωνο αυτό αλλάζει χρ ώ μα. Είναι δυνατόν χρησιμοποιώντας ένα κινού μενο πιόνι να χρωματίσουμε όλα τα τετρ άγωνα μαύ ρα ; Ι σχύ ει το ίδιο, αν το πιόνι δ εν μπορ εί μετά από μία κίνηση του να γυρ ίσει άμεσα στην προηγού μενη (Ουκρανία 2008) θέση του ;

Παρατηρούμε ότι, αν μετακινήσουμε το πιόνι από την αρχική του θέση Α (κάτω αριστερό τετράγωνο)Β τηςσεσκακιέρας οποιοδήποτε άλλο τετράγωνο και γυρίσουμε πίσω στο τοναρχικό τετράγωνο Α ακολουθώντας ίδιο δρόμο, τότε από τη διαδικασία αυτή, αλλάζει χρώμα το J τετράγωνο Β, αλλά ξεκινώντας και το τετράγωνο Α.Α Έτσι είναι δυνατόν από το νατετράγωνο μετακινούμε τοεπιστρέφουμε πιόνι σε κάποιοπίσωλευκό r rh και να απότο fkb! τον ίδιο δρόμο στο Α, αλλάζοντας έτσι χρώμα του λευκού τετραγώνου. Α ν αυτό ) γίνει γιατηνόλαεπιστροφή τα λευκάτουτετράγωνα, τότε κατά πιονιού στο Σχήμα 2 Σχήμα 3 διπλανό τετράγωνο πριν το τετράγωνο εκκίνησηςΑνΑ,τοδιακρίνουμε δύοείναιπεριπτώσεις: τετράγωνο Α λευκό, τότε μετακι ν ούμε το πιόνι στο Α, το οποίο έτσι αλλάζει χρώμα και τοόλατετράγωνο τα τετράγωνα τηςμαύρο, σκακιέρας θασταματάμε έχουν γίνειτομαύρα. Ανείναι Α είναι τότε πιόνι στη θέση αυτή, γιαtί όλα τα τετράγωνα μαύρα. ΑΠάλι ν τοείναι πιόνιδυνατό δεν μπορεί μετά απότο μίαζητούμενο, κίνηση ωςτουεξής: να γυρίσει άμεσα στην προηγούμενη θέση του, τότε να επιτευχθεί Μετακινούμε το πιόνι σχήμα. από το κάτω αριστερό τετράγωνο Α καιπερνάει επιστρέφουμε σε αυτό, μετρεις τη διαδρομή που φαίνεται στο διπλανό Με αυτό τον τρόπο το mόνι από ένα τετράγωνο και τέσσερις φορές,τετράγωνο ενώ περνάει δύο φορές απόΈτσιτα υπόλοιπα τετράγωνα της διαδρομής. Μετά απότα αυτή τητετράγωνα. διαδρομή μόνο ένα αλλάζει χρώμα. μπορούμε να αλλ ά ξουμε το χρώμα σε όλα λευκά Στο τέλος διακρίνουμε δύο περιπτώσεις που είχαμε θεωρήσει και στο προηγούμενο ερώτημα. Λύση :

•

r--

.....__

•

τις

Ασκήσε ις yια λύση

4 +4 · 20134 20124 +4·20134 • Βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = 2014 20132 + 4027 2 20132 + 40252 Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς χ 1 , χ 2 , , χ 2014 που είναι ικανοποιούν τις εξισώσεις: 1+χ � =2χ 2 , 1+χ; =2x3 , ••• ,l+x;01 3 =2χ 2014 ,1+χ ;014 =2χ 1• Δίνεται ότι η συνάρτηση f ( χ ) = 2 + bx + με ακέραιους, είναι τέτοια ώστε ο αριθμός f{k) να διαιρείται με το 5, για κάθε ακέραιο k . Να αποδείξετε ότι και οι τρεις συντελεστές διαιρούνται με το 5. όλουςίσοτουςμε 2027 τετραψήφιους αριθμούς που είναι τέτοιοι ώστε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμούΒρείτεείναι Έστω ΒΜ τρίγωνο ΑΒΓ. ΝΣτηντέτοιοπλευρά Κ έτσιότι:ώστε τη διάμεσο σε σημείο ώστεΒΓ θεωρούμε ΒΓ. Να σημείο αποδείξετε ΒΚ το ευθύγραμμο τμήμα τέμνει Α29.

Α30.

•••

Ν24.

a, b, c

Ν25.

Γl9.

η .

ΑΝ =

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ.l/45

= ΚΝ.

ΑΚ

Δ ιασκεδαστικά Μαθηματικά Το ν ούφα ρο

Ένα νούφαρο που σε διπλασιάζεται μέγεθος κάθε μία ώρα, κάνει ένα μήνα ( 3 0 ημέρες) για να γεμίσει μία λιμνούλα. Πόσο χρόνο θα κάνουν δύο νούφαρα για να γεμίσουν την ίδια λιμνούλα; Απολύσεις

Για λόγους οικονομίας (κρίση) ένα εργοστάσιο απολύει το 20% των εργατών του. Αν θέλει να ανακτήσει ξανά την ίδια δύναμη εργατών, πόσο % από αυτούς που απόμειναν στο εργοστάσιο θα προσλάβει; Α ρ ιθμοί Δίνονται 6

διαδοχικοί αριθμοί. Οι τρεις πρώτοι έχουν άθροισμα 27. Ποιο είναι το άθροισμα των τριών επομένων; Άλματα

Το άλμα της αλεπούς είναι 1m και του σκύλου 2m. ΑJ..λά ο σκύλος κάνει 2 άλματα και η αλεπού 3. Τα άλματα τα κάνουν ταυτόχρονα, δηλαδή όταν ο σκύλος κάνει 1 άλμα, τότε κάνει και η αλεπού 1 άλμα. Ο σκύλος βρίσκεται στη θέση Α και η αλεπού 20 m μπροστά του. Σε ποια απόσταση από την θέση Α θα την

Φ ρά κτης 1 20m

Πόσες κολώνες θέλει ο κ. Παπαδόπουλος για να κάνει φράκτη 120m, ώστε κάθε δύο από αυτές να απέχουν 12m;

Χονδ ρ ολίδης Δη μήτ ρης Απαντήσεις τεύχους 92

Απάντηση στο ερώτημα για τη ζωή του Διοφάντου :

Θεωρούμε χ τα έτη που έζησε ο Διόφαντος. Μεταφράζουμε σε εξίσωση το πρόβλημα:

�+�+�+5+�+4 = χ 6 12 7 2

Λύνοντας την παραπάνω εξίσωση, προκύπτει ότι χ=84 έτη.

Απάντηση στο γρίφο του

Einstein .

Προσπάθησε μόνος σου να συμπληρώσεις τον πίνακα που ακολουθεί χρησιJ,tοποιώντcις_τα στοιχεία που δόθηκαν. Χρώμα Ιδιοκτήτης Ποτό Τσιγάρα Κατοικίδιο Αν δεν τα καταφέρεις, συμπλήρωσέ τον ακολουθώντας την πορεία της παρακάτω λύσης. Ο Νορβηγός μένει στο πρώτο σπίτι και δίπλα στο μπλε σπίτι. Άρα το δεύτερο σπίτι είναι το μπλε. Το πράσινο σπίτι είναι αριστερά από το άσπρο, οπότε και τα δύο είναι μετά το μπλε. Επομένως το πρώτο σπίτι είναι το κίτρινο ή το κόκκινο. Όμως στο κόκκινο μένει ο Βρετανός. Άρα το πρώτο σπίτι είναι το κίτρινο. Δηλαδή τα δύο πρώτα σπίτια είναι το κίτρινο και το μπλε. Μένουν το κόκκινο, το πράσινο και το άσπρο. Το πράσινο και το άσπρο είναι δtαδοχικά με αιιτή τη σειρά. Άρα η σειρά των τριών σπιτιών θα είναι κόκκινο, πράσινο και άσπρο ή πράσινο, άσπρο και κόκκινο. Ας υποθέσουμε ότι είναι πράσινο, άσπρο και κόκκινο. Τότε το πράσινο είναι το μεσαίο σπίτι. οπότε ο ιδιοκτήτης του πίνει γάλα. Αλλά ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού πίνει καφέ. Άρα είναι αδύνατον το μεσαίο σπίτι να είναι το πράσινο. Άρα η σειρά των σπιτιών είναι: Κίτρινο, Μπλε, Κόκκινο, Πράσινο, Άσπρο. Ο ιδιοκτήτης του κίτρινου σπιτιού κωtνiζει Dιmhill Άρα ο Νορβηγός κωtνiζει Dιmhill Ο Δανός πίνει τσάt, μπύρα πίνει αυτός που κωtνiζει Blue Master, καφέ πίνει ο ιδιοκτήτης του πράσινου σπιτιού και γάλα πίνει ο ιδιοκτήτης τοu μεσαίου σπιτιού. Άρα ο Νορβηγός πίνει νερό. Αυτός που κωtνiζει Blends f:xy:ι ένα γείτονα που πίνει νερό. Άρα ο ιδιοκτήτης του 2"' σπιτιού κωtνiζει Blends. Ο ιδιοκτήτης τόu 1"' σπιτιού πίνει νερό, ο ιδιοκτήτης του 3"' πίνει γάλα και ο ιδιοκτήτης του 4"' πίνει καφέ. Άρα οι ιδιοιcrήτες του 2"' και του 5"' πίνουν ο ένας τσάι και ο άλλος μπόρα. Αυτός που πίνει μπύρα κωtνiζει Blue Master, οπότε δεν είναι ο ιδιοκτήτης του 2"' σπιτιού. Άρα μπύρα πίνει ο ιδιοκτήτης του 5"' σπιτιού και τσάι ο ιδιοκτήτης του 2"'. Αλλά τσάι πίνει ο Δανός. Άρα ο ιδιοκτήτης του 2"' σπιτιού είναι ο Δανός. Ο ιδιοκτήτης του 500 σπιτιού πίνει μπόρα, οπότε καπνίζει Blue Master. Επομένως οι ιδιοκτήτες του 3ou και του 4"' σπιτιού καπνiζουν ο ένας Pήnce και ο άλλος Pall Mall. Αλλά Pήnce καπνίζει ο Γερμανός και στο 3° σπίτι μένει ο Βρετανός. Επομένως ο Γερμανός μένει στο 4° σπίτι και ο Βρετανός καπνίζει Pall Mall. Άρα στο 5° σπίτι μένει ο Σουηδός. Ο Σουηδός έχει σκύλο και αιιτός που καπνiζει Pall Ma\1 f:yy;ι ένα πουλί. Δηλαδή ο Βρετανός έχει πουλί. Αυτός που μένει δίπλα σε αιιτόν που καπνίζει Dunhill έχει άλογο. Επομένως ο ιδιοκτήτης του μπλε σπιτιού, ο Δανός, έχει άλογο. Αυτός που καπνίζει Blends, δηλαδή ο Δανός, μένει δίπλα σε αιιτόν που f:yy;ι γάτα. Ο Δανός έχει γείτονες τον Βρετανό, που εκτρέφει ένα πουλ� και τον Νορβηγό. Δηλαδή ο Νορβηγός έχει τη γάτα. Άρα το ψάρι έχει ο Γερμανός. .

3 η Ε ΚΘ Ε Σ Η ΜΑΘ Η 1\1 ι'\ Τ Ι ΚΩ Ν στο 1 ο γυμνασιο Σκάλας Ωρωπού

Ακολουθώντας τα " ίχvη " των αριθμών, των σημείων, των γραμμών, των ευθυγράμμων σχημάτων αλλά και των στερεών, έφτανε κανείς στο μαγικό κήπο τ ω ν μ α θ η ματ ι κό>ν μέσα από τη φετεινή, την 3η κατά σειρά έκθεση μαθηματικών, του ιου Γυμνασίου Σκάλας Ωρωπού. Εκεί λοιπόν την Πέμπτη 8 Μαiου 2014, ημέρα των εγκαινίων της έκθεσης, ένιωθε ο καθένας από τους παρευρισκόμενους να μεταμορφώνεται ο όρος ΜΑΘΗΜΑτΙΚΆ, σε ένα μεγάλο κήπο από τα ' ' ΔΕΝΤΡΑ του ΠΥΘΑΓΟΡΑ". Αυτό άλλωστε δήλωνε και ο ευφάνταστος τίτλος της έκθεσης, "ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΑΤΑ ΣΤΟΝ ΗΛΙΟ ΤΩΝ ΑΡΡΗΤΩΝ, ΣΥΛΛΕΓΟΝΤΑΣ ΚΑΡΠΟΥΣ ΑΠΟ ΤΟ Δ Ε ΝΤΡΟ ΤΟΥ ΠΥΘΑ Γ ΟΡΑ ' ' .

Την 3η έκθεση σχεδίασε, προετοίμασε και παρουσίασε για μια ακόμη φορά η μαθηματικός κ Μαραγκού Γε ωργία μαζί με τους φετεινούς μαθητές της των τμημάτων ΑΙ, B l , Β2, Β3, Β4. Η έκθεση αυτή που ήταν αρτιότερη και πλουσιότερη σε ιδέες και έργα από τις δύο προηγούμενες, κατόρθωσε να δώσει και φέτος μια άλλη διάσταση στην επιστήμη των Μαθηματικών, αφού το "πρ ίσμ α " μέσα από το οποίο μπορούσε ο καθένας να δει τα Μαθηματικά στην Έκθεση, τα μετέτρεπε μέσα του σε κάτι καινούργιο και ξεχωριστό.

Για να κατασκευάσουν τα έργα τους οι μαθητές, άντλησαν ιδέες από τις διάφορες ενότητες των μαθηματικών που διδάχθηκαν τη φετεινή χρονιά αλλά και από τις γενικότερες συζητήσεις που έκαναν για τα μαθηματικά στην τάξη με αφορμή τα ιστορικά σημειώματα ή τις εφαρμογές τους στη φύση και στην τέχνη. Οι μαθητές αφού πρώτα μελετούσαν ατομικά ή ομαδικά, το θέμα με το οποίο ήθελαν να ασχοληθούν, από το σχολικό τους βιβλίο ή διάφορα εξωσχολικά βιβλία, το σχεδίαζαν προσεκτικά σε μεγέθυνση στο χαρτί και το κατασκεύαζαν στη συνέχεια με πολύ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α ' 93 τ. l/47

------- 3η Έκθεση Μαθηματικών --------

κέφι και μεράκι βάζοντας το προσωπικό τους γούστο, συχνά με τη βοήθεια των γονιών τους, αν πρόκειτο για σύνθετη κατασκευή από ξύλο. Όλα όσα είδαμε στην έκθεση πλαισιώνονταν με ζωντανή μουσική, βιντεοπροβολές κινουμένων σχεδίων, παρεμβάσεις με δυναμικά λογισμικά γεωμετρίας, επιδείξεις εκθεμάτων, αποδείξεις προτάσεων, παίξιμο ρόλων κ.λ.π Το άνοιγμα της Έκθεσης και η έναρξη των παρουσιάσεων των έργων των μαθητών έγινε με μουσική που έπαιξαν τρεις μαθήτριες της Β ' γυμνασίου, αφού η ιδέα της σύνδεσης των Μαθηματικών και της Μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην Αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, στον οποίο προσωπικά αποδίδεται η μαθηματική κατασκευή της μουσικής κλίμακας. Οι ίδιες μαθήτριες στην περυσινή 2η έκθεση, είχαν αναλύσει με μουσικά κομμάτια τη σύνδεση της μουσικής με τα κλάσματα που όντως την " κυβερνούν " και μέσω αυτής ελέγχουν τον άψυχο και έμψυχο κόσμο, όπως έλεγαν οι Πυθαγόρειοι. Τα θέματα της Έκθεσης για την Α ' Γυμνασίου αφορούσαν τις μονάδες μέτρησης μήκους, επιφ άνειας και όγκου, τους κανόνες διαιρετότητας και διάφορες γεωμετρικές κατασκευές, όπως αυτή του συμβόλου ΓΙΝ-ΓΙΑΝΓΚ εμπνευσμένες όλες από τα αντίστοιχα κεφάλαια των μαθηματικών που διδάχθηκαν τη φετεινή χρονιά οι μαθητές της τάξης αυτής. Τα περισσότερα όμως θέματα της έκθεσης αναφέρονταν στην ύλη της Β' Γυμνασίου. Αφού και ο αριθμός των μαθητών της τάξης αυτής, που συμμετείχαν στο εργαστήρι των μαθηματικών, ήταν πολύ μεγαλύτερος από τους μαθητές της Α τάξης και το θέμα της έκθεσης εστίαζε στον Πυθαγόρα και το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αρχικά έγιναν από τους μαθητές ιστορικές αναφορές στον Π υ θ αγόρ α , που με τη διδασκαλία του αποσκοπούσε στο να οδηγήσει τον άνθρωπο στην κατανόηση των νόμων της φύσης και στο να βελτιώσει και να αναπτύξει τις ικανότητές του. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στο προφίλ των Πυθαγορίδων γυναικών. Τονίστηκε πως τα Μαθηματικά στην αρχαιότητα είχαν έντονο το άρωμα γυναίκας. Αν και αυτές είχαν συμβάλλει στην εξέλιξη της επιστήμης, ωστόσο είχαν βυθιστεί στη λήθη της Ιστορίας αλλά στην Έκθεση αυτή " αναστή θηκαν " ! Μάλιστα δύο μαθητές σχηματίζοντας με ένα μεταλλικό σύρμα ένα fractal το ακούμπησαν, ως περιδέραιο, στο λαιμό της ΑΡΙΓΝΩΤΗΣ ( τα αποκαλυπτήρια του πορτρέτου της οποίας έγιναν στα εγκαίνια της έκθεσης. Οι μαθητές αναφέρθηκαν εκτενώς και στο ' ΆΟΓΙΚΟ ΣΚΆΝΔΑΛΟ ΤΩΝ ΑΡΡΉΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ" και στην πρώτη κρίση στα Μαθηματικά. Ένας μαθητής σχεδίασε στον πίνακα με κανόνα και διαβήτη τη ΣΠΕΙΡΑ των ΑΡΡΉΤΩΝ . Η καθηγήτρια τόνισε μεταξύ άλλων πως η ανακάλυψη των αρρήτων ήταν ο καταλύτης της επερχόμενης αξιωματικής μεθόδου. Εκτενής αναφορά έγινε από τους μαθητές στη FRACTAL γεωμετρία. Σχεδιάστηκαν στον πίνακα από δύο μαθητές, δύο ΔΕΝΤΡΑ του ΗΥΘΑΓΟΡΑ, το ένα ξεκινώντας με ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο και το δεύτερο με ορθογώνιο σκαληνό τρίγωνο. Ανάλογα δένδρα είχαν κατασκευάσει τα παιδιά με ξύλο και τα είχαν τοποθετήσει πάνω σε μεγάλα πανώ ή τα είχαν ράψει με τη βοήθεια των γονιών τους πάνω σε υφάσματα σχηματίζοντας ωραιότατα πανώ ή τα είχαν κατασκευάσει με σύρμα (όπως φαίνεται στις παρακάτω φωτογραφίες) ή με ξύλινους κύβους που τους είχαν βάψει με κόκκινο χρώμα.(όπως στην τελευταία φωτογραφία

λέγεται ότι ήταν θυγατέρα του Πυθαγόρα),

φιλόσοφος, συγγραφέας, μαθηματικός από την Σάμο που

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ

Α' 93 τ. l/48

------

Έγιναν

επιπλέον

ανασύνθεση

αποδείξεις

ισοδυνάμων

3η Έκθεση Μαθηματικών Π Υ Θ Α ΓΟ Ρ Ε Ι Ο Υ

του

σχη μάτων,

τα

οποία

οι

--------

Θ ΕΩ Ρ Η Μ ΑΤΟΣ

με

τεμαχισμό

και

μαθητές σχεδίασαν στον πίνακα και παρουσιάστηκαν ανάλογες κατασκευές από ξύλο, χαρτόνια και πλαστικό που είχαν φτάξει κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους για τις ανάγκες του αντίστοιχου μαθή ματος. Τέλος η καθηγήτρια έχοντας καιρό πριν αποκαλύψει στους

μαθητές

ΑΡΠΕΔΟΝΗΣ " ,

της

τα

' 'ΜΥΣτΙΚΆ

ΤΗΣ

απέλαυσε να τα αποκαλύπτουν κι

αυτοί με τη σειρά τους στους επισκέπτες της Έκθεσης. Ένα σχοινί που το είχαν μετατρέψει σε αρπεδόνη , δένοντας πάνω του σε ίσες αποστάσεις

1 2 κόμπους,

βοήθησε να θεμελιωθεί εύκολα και γρήγορα

η Ευκλείδεια Γεωμετρία αλλά να κατασκευαστούν με αυτό διάφορα κανονικά σχή ματα όπως το κανονικό εξάγωνο το κανονικό δωδεκάγωνο κ.α. Το ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι aξιοποιούσαν το πυθαγόρειο θεώρη μα για να ξαναχαράζουν τα όρια των χωραφιών όταν τα νερά από τις πλη μμύρες του Νείλου υποχωρούσαν, αλλά και το ότι δεν το είχαν ποτέ εκφράσει ως χρήσιμη θεωρία, μαζί με το τι ήταν η αρπεδόνη , τα παρουσίασε μια μαθήτρια μεταμφιεσμένη σε αρχαία Αιγυπτία. Ένας μαθητής μεταμφιεσμένος σε αρπεδονάπτη έδειξε με τη βοήθεια της αρπεδόνης στους παρευρισκόμενους ποιά ήταν η κύρια δουλειά των αρπεδοναυπτών που αποτελούσαν τους τοπογράφους της αρχαιότητας. Έτσι βγήκε από όλους μικρούς και μεγάλους το συμπέρασμα πως η αρπεδόνη δεν ήταν απλά ένα κατασκευαστικό εργαλείο, αλλά ένα καταπληκτικό

πανάρχαιο ' ' εκπαιδευτικό

παιχνίδι ' ' στα

χέρια των αρπεδοναπτών, που με τη σειρά τους δεν ήταν μόνο κατασκευαστές της ορθής γωνίας αλλά ιεροφάντες της γεω μετρίας κάτω από το

ιερατείο της Αιγύπτου και

της Βαβυλώνας αρκετούς αιώνες πριν τον επιστημονικό θεμελιωτή της, τον Ευκλείδη , με τα "Στοιχεία "του . Το

παιχνίδι με την αρπεδόνη , φάνηκε να το απολαμβάνον ιδιαίτερα οι μαθητές. Τέλος μια μαθήτρια έδειξε

με μία ΚΟΥΠΑ του ΠΥΘΑΓΟΡ Α ή αλλιώς ' 'κούπα του

Δικαίου " το πως ο άπληστος επιδιώκοντας να τη γεμίσει με λίγο κρασί παραπάνω τιμωρείται, αφού από μια κρυφή τρύπα το κρασί χύνεται όλο στο χώμα. Η μαθήτρια προέτρεψε τους παρόντες ενήλικες να απολαμβάνουν τον οίνον στην κούπα τους αντλώντας τη μέγιστη ωφέλεια, όπως δίδασκε και ο μεγάλος μύστης Πυθαγόρας. Κάτω λοιπόν από τη σκιά του Δέντρου του Πυθαγόρα, αυτού του σπάνιου δέντρου που φύεται στο Ευκλείδειο επίπεδο, εκεί στο

1°

Γυμνάσιο Σκάλας Ωρωπού παρευρέθηκαν μαθητές, καθηγητές,

γονείς και φίλοι. Θερμά συγχαρητή ρια για μια ακόμη φορά αξίζουν

μα θη τές αυτούς, που από την περυσινή Έκθεση τους βρήκαμε να μεγαλώνουν και να προοδεύουν, στην υπεύθυνη

στους

καθηγήτρια ΠΕΟ3 κ. Μ αραγκού Γε ω ργί α και στο Διευθυντή του σχολείου κ. Τ σιριγώτη Χ αράλα μπο , που από την πρώτη χρονιά της Έκθεσης στη ρίζει ολόψυχα όλο το εγχείρη μα δίνοντας έτσι την ευκαιρία

σε

όλους

να

γνωρίσουν

τα

Μαθη ματικά

από

ξεχωριστή , ενδιαφέρουσα πλευρά.

Τ σικοπούλου Στ αματούλα Σχολική Σύμβουλος Μαθη ματικών Ανατολικής Αττικής

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α'

93 τ. l/49

μια